Об одном приеме символьной визуализации иррациональных чисел в школьном курсе алгебры

ния мыслительных средств для анализа прототипа профессиональной деятельности, проектирования образа профессионального будущего, совершенствования интерактивной и перцептивной сторон общения, осмысления своей профессиональной позиции.

Принципиальное значение придавалось позиционности участников обсуждения и межпозиционных взаимоотношений с применением рефлексивного анализа. Направления рефлексивного анализа предполагало осознание и переосмысление собственного профессионального продвижения, своего эмоционального состояния, собственной активности в решении учебных задач, интеллектуально-коммуникативного вклада в процесс и результат групповой деятельности, конкретных интеллектуально-коммуникативных приемов, своих личностных особенностей и индивидуальных проявлений стиля деятельности. Именно это позволило 76% участников всей экспериментальной группы достичь удовлетворенности профессиональной идентичностью, повысить уверенность в себе и чувство собственного достоинства, андрагогическую компетентность, скорректировать адекватность образа Я.

Создание образа успешного профессионального будущего, обнаружение и актуализация своих профессиональных ресурсов, защита образа желаемого будущего, модификация его реальностью способствовали повышению устойчивости профессиональной идентичности. Это достигалось приведением в соответствие образа Я реальным опытом в процессе решения специально моделируемых ситуаций, в которых предоставлялась возможность принятия решений в рамках про-

фессиональной этики и этики общения со взрослыми обучающимися.

В ходе проведения занятий наиболее удачными в плане выполнения и анализа участниками были упражнения на выявление профессиональных стереотипов, уровня профессионализма и формирование установки на его развитие; на повышение уровня осознания возможных препятствий на пути к профессиональным целям и представления о путях преодоления этих препятствий; на тренировку профессиональных навыков (работа с аудиторией, слушание и осмысление услышанного, коммуникативные умения); на развитие социальной и профессиональной уверенности, формирование позитивного образа Я, повышение самооценки, формирование позитивного профессионального будущего; на осознание человеком самого себя, развитие самопринятия и основ управления собой, упрочение личностной идентичности. Это предполагало развитие андрагогической компетентности в контексте перехода от внешних к внутренним средствам регулирования позитивного и адекватного самовосприятия и восприятия других.

В целом представленный опыт осмысления проблемы развития профессионального самосознания инженеров-преподавателей системы повышения квалификации газовой промышленности отражает соответствие современным потребностям и тенденциям развития внутрифирменного обучения в контексте актуальных направлений модернизации российского образования как стратегического ресурса развития общества.

Библиографический список

1. Педагогический энциклопедический словарь / гл. ред. Б.М. Бим-Бад. - М.: Большая Российская энциклопедия, 2002.

2. Об образовании: Закон РФ от 10.07.1992. № 3266-1 (с изм.) [Э/р] // Гарант, 2005.

3. Варданян, Ю.В. Становление и развитие профессиональной компетентности педагога и психолога: монография / под науч. ред. В.А. Сластенина. - М.: Издательский Дом Магистр-Пресс, 2002.

4. Ермолаева, Е.П. Профессиональная идентичность как комплексная характеристика соответствия субъекта и деятельности // Психологическое обозрение. - 1998. - № 2.

5. Шнейдер, Л.Б. Профессиональная идентичность: монография. - Москва: Московский открытый социальный университет, 2001.

Bibliography

1. Pedagogicheskii enciklopedicheskii slovar' / gl. red. B.M. Bim-Bad. - M.: Bol'shaya Rossiiskaya enciklopediya, 2002.

2. Ob obrazovanii: Zakon Rf ot 10.07.1992. № 3266-1 (s izm.) [ЕМ-] // Garant, 2005.

3. Vardanyan, Yu.V. Stanovlenie i razvitie professional'noi kompetentnosti pedagoga i psihologa: monografiya / red. V.A. Slastenina. - M.: Izdatel'skii Dom Magistr-Press, 2002.

4. Ermolaeva, E.P. Professional'naya identichnost' kak kompleksnaya harakteristika sootvetstviya sub'ekta i deyatel'nosti // Psihologicheskoe obozrenie. - 1998. - № 2.

5. Shneider, L.B. Professional'naya identichnost': monografiya. - Moskva: Moskovskii otkrytyi social'nyi universitet, 2001.

Статья поступила в редакцию 26.06.11

УДК 512

Emelin A.V. ABOUT ONE RECEPTION OF SYMBOLICAL VISUALIZATION OF IRRATIONAL NUMBERS IN THE SCHOOL COURSE OF ALGEBRA. Article is devoted visualisation of irrational numbers. On concrete examples reception of irrational numbers which can be described final number of symbols is considered.

Key words: visualisation, symbolical visualisation, visual model, irrational numbers.

А.В. Емелин, аспирант АГПИ им. А. П. Гайдара, г. Арзамас, E-mail: emelinalexandr@yandex.ru

ОБ ОДНОМ ПРИЕМЕ СИМВОЛЬНОЙ ВИЗУАЛИЗАЦИИ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ АЛГЕБРЫ

Статья посвящена визуализации иррациональных чисел. На конкретных примерах рассматривается прием иррациональных чисел, которые могут быть описаны конечным числом символов.

Ключевые слова: визуализация, символьная визуализация, визуальная модель, иррациональные числа.

Визуализация изучаемого материала, обеспечивающая мышления в процессе усвоения знаний, что достигается соз-его наглядность, предполагает повышение роли визуального данием визуальной модели (или моделей), изоморфной тем

сторонам объекта изучения, которые являются существенными для поставленных целей образовательного процесса. «Взамен утраченных сторон явления модель приобретает простоту восприятия. Эти две характерные черты модели (изоморфное отражение существенных черт явления и простота восприятия модели) и выражают наглядность модели» [1, с. 307].

Понятие модели в зависимости от сферы человеческой деятельности может иметь различное содержание. Общим для различных моделей является то, «что модель в том или ином смысле более или менее полно имитирует объект», но «никогда не бывает полностью идентичной реальному объекту» [2, с. 306]. Визуальные модели имеют свою специфику, поскольку они ориентированы преимущественно на зрительное восприятие и визуальное мышление.

Визуализация знаний осуществляется чаще всего геометрически или графически, однако, как известно, визуальные

модели могут состоять не только из чертежей и графиков, но и из символов. Символьная визуализация позволяет наглядно представлять содержание изучаемого материала путем создания такой визуальной модели, которая основана на изменении структуры символьной информации, организованной в соответствии с каким-либо обобщающим принципом (или принципами).

Использование символьной визуализации на уроках алгебры особенно актуально при изучении иррациональных чисел, которые являются одним из наиболее абстрактных математических объектов. В качестве подтверждения сказанному рассмотрим ряд задач, связанных с приемом иррациональных чисел, которые могут быть описаны конечным числом символов.

а = 0,10100100010000...

[3,

Задача 1. Доказать, что десятичная дробь а представляет собой иррациональное число с. 10].

Доказательство. Как известно, иррациональное число может быть записано бесконечной десятичной непериодической дро^

бью. Возможно ли существование периода для дроби

0,10100100010000...

? Из десятичной записи числа а видно, что

цифра 1 в ней чередуется с нулями, количество которых после каждой следующей цифры 1 возрастает на единицу: 0,101001000100001...

1 2 3 4 Этого достаточно для интуитивного понимания отсутствия периода, но данный факт не нагляден,

хотя и является основой доказательства, поэтому приведем более подробные рассуждения.

Предположим, что данная дробь является периодической. Тогда, начиная с некоторого номера п, в записи десятичной

дроби содержится повторяющаяся группа цифр, состоящая из рассмотрим 4 возможности:

к

цифр. Период должен содержать и единицы, и нули, поэтому

1) период начинается с единицы и заканчивается единицей: такая возможность не осуществима, так как цифра будет нулем, что противоречит принципу построения периодической дроби:

( \

...0

100...0100...01

0...

V к У

2) период начинается с единицы, а заканчивается нулем: при таком условии существование периода невозможно, поскольку число нулей между единицами возрастает:

Ґ

...0

V

Л

o()a7°loo...oo 10а70100...00

к к

1...

, где

Р < ч

3) период начинается с нуля, заканчиваясь единицей: аналогично случаю 2) существование периода также невозможно: Гр V 9 Л

00^00...01 00^00...01

к к

У

0...

У

где

Р < Ч

4) период начинается с нуля и заканчивается нулем: чтобы показать, что образовать период нельзя и в этой ситуации, достаточно сравнить число нулей между первой и второй по счету единицами в двух любых смежных отрезках цифр длины к :

( Р V 9 >

00...100...0100

У

00...1 00...0100

0...

У

где

Р < ч

Таким образом, на основании использования четырех символьных визуальных моделей можно показать, что дробь

а = 0,10100100010000... й б„

не является периодической, следовательно, она представляет собой иррациональное число.

Каждая из четырех представленных моделей отражает определенную часть структуры записи исходного числа а и изоморфна этой части, что позволяет рассматривать произвольные предполагаемые периоды, начиная с произвольной цифры после запятой и учитывая только то, что число нулей в десятичной записи числа возрастает после каждой следующей единицы на один нуль.

Задача 2. Преобразовать дробь в °’ (123) таким образом, чтобы в результате получилось иррациональное число.

в в’

Решение. Используя дробь ^ , составим число ^ , руководствуясь следующим правилом: к первой по счету цифре 3 числа в прибавим число 1, ко второй цифре 3 - число 2, к третьей цифре 3 - число 3 и т.д., заменяя каждый раз цифру 3 новым числом:

я

п

п

к

к

п

в = 0,123123123123123123...

+ ^ ^ ^ ^ ^ ^

1 2 3 4 5 6... в' = 0,124125126127128129... в

Дробь ^ бесконечна, но не является периодической, так как в силу принципа своего построения не содержит какой-либо повторяющейся группы цифр. Тем не менее, приведем строгое доказательство этого факта.

в' к

Предположим, что десятичная дробь является периодической, тогда, начиная с некоторого номера к после запятой,

данная дробь содержит период длины п , в котором - по указанному правилу - содержатся несколько различных цифр:

в' = 0,024з

к ' п 3

в

Заметим, что третья цифра после запятой в числе ^ равна 4, далее за какой-либо группой цифр «12» обязательно будет

в = 0,124...1244...12444...124444...

следовать число 44, затем - 444 и т.д.:

Как только длина отрезка записи, состоящего из четверок, будет больше или хотя бы равна числу 2п , предполагаемый период будет полностью содержаться в данном отрезке:

в' = 0,124.а1а2... атат+1... а„а1а2... атат+1... а„а1а2... атат+1... ап...

/ ’ о / 12 т т+1 п 12 т т+1 п 12 т т+1 п

V

к

А А А А А А

V ^ ^ ^

в' = 0,124...............4......40........ .......40.......4...

к т п-т п т

Следовательно, период дроби представляет собой число вида 44.. .4, что является противоречием нашему предположению; поэтому дробь в не является периодической, а, значит, и не является рациональным числом.

В решении этой задачи также используется несколько символьных визуальных моделей: при преобразовании числа в в в

число , а также при доказательстве иррациональности последнего.

Задача 3. Исходя из определения иррационального числа, привести пример двух положительных иррациональных чисел, сумма которых является рациональным числом.

Решение. Если сумма двух положительных иррациональных чисел рациональна, то случай, когда они равны по модулю и противоположны по знаку, исключен. Указание воспользоваться определением иррационального числа подталкивает к рассмотрению бесконечных непериодических дробей.

8,3535535553... 6,5353353335...

В частности, одним из решений данной задачи является пара чисел и , так как их

14,

сумма есть рациональное число :

8.3535535553...

+

6.5353353335...

14,8888888888...

В задачах 1, 2, 3 мы использовали иррациональные числа, которые могут быть описаны конечным числом символов. Данный прием символьной визуализации обладает некоторыми несомненными преимуществами, хотя и не является универсальным:

1) с его помощью можно вводить понятие иррационального числа и наглядно иллюстрировать свойства иррациональных чисел;

2) он позволяет производить действия непосредственно с иррациональным числом, выраженным десятичной дробью;

3) структура десятичной записи подобных дробей способствует пониманию особенностей (бесконечности и неперио-дичности дробей), позволяющих отличать иррациональные числа от рациональных;

4) указанные особенности используются при доказательстве иррациональности чисел; это означает что, в отличие от метода, основанного на теории делимости, появляется возможность задействовать основное определение иррационального числа.

Библиографический список

1. Болтянский, В.Г. Беседы о математике. Книга 1. Дискретные объекты / В.Г. Болтянский, А.П. Савин. - М.: ФИМА,

МЦНМО, 2002.

2. Архипкин, В.Г. Естественно-научная картина мира / В.Г. Архипкин, В.П. Тимофеев. - Красноярск, 2002.

3. Башмаков, М.И. Задачи по математике. Алгебра и анализ / М.И. Башмаков, Б.М. Беккер, В.М. Гольховой; под ред. Д.К. Фаддеева. - М.: Наука, 1982.

Bibliography

1. Boltyanskiy, V.G. Besedy o matematike. Kniga 1. Diskretnye ob"ekty / V.G. Boltyanskiy, A.P. Savin. - M.: FIMA, MCNMO, 2002.

2. Arhipkin, V.G. Estestvenno-nauchnaya kartina mira / V.G. Arhipkin, V.P. Timofeev. - Krasnoyarsk, 2002.

3. Bashmakov, M.I. Zadachi po matematike. Algebra i analiz / M.I. Bashmakov, B.M. Bekker, V.M. Gol'hovoy; pod red. D.K. Faddeeva. - M.: Nauka, 1982.