Процедура аналитического синтеза астатических цифровых следящих систем по непрерывным прототипам

УДК 681.5

Т. А. Антонова, А. В. Семёнов Процедура аналитического синтеза астатических цифровых следящих систем по непрерывным прототипам

Рассмотрена задача аналитического синтеза астатических цифровых следящих систем при заданных требованиях к качеству и порядку астатизма, в результате ее решения определена желаемая передаточная функция дискретной системы на основе ее непрерывного прототипа (непрерывной передаточной функции). Преимуществом указанного метода является то, что с помощью него удается устранить методическую ошибку при синтезе астатических дискретных систем, вызванную дискретизацией желаемых передаточных функций непрерывных систем. Данная ошибка присуща другим методам синтеза, в которых уменьшение систематической ошибки предполагается за счет уменьшения периода дискретизации по времени. Программа по автоматическому построению желаемой передаточной функции дискретной системы, реализующая указанный метод, была разработана в среде МЛЛЛБ.

Ключевые слова: цифровая следящая система, непрерывный прототип, дискретный прототип, желаемая передаточная функция, астатизм, показатели качества, МАЛАВ.

Введение

В настоящее время при высоком технологическом уровне вычислительной техники в основном все следящие системы (СС) являются цифровыми. Использование цифровых методов обработки информации в СС позволяет реализовать сложные алгоритмы управления и обеспечить их быструю модернизацию.

Нередко к проектируемой СС уже предъявлен ряд технических требований (время регулирования, перерегулирование, порядок астатизма, точность реализации коэффициентов системы), поэтому в соответствии с техническим заданием необходимо синтезировать СС с заданным порядком астатизма по задающему воздействию и определенными показателями качества [1, 2].

Поставлена задача разработки процедуры синтеза цифровых астатических следящих систем по заданным показателям качества в средеЫЛ'ПЛВ. Разработка процедуры синтеза проводится в средеМЛТЬЛВ, а моделирование в разрешенииMЛTLЛB/Simulink, используемом для имитационного моделирования динамических систем. Входными параметрами процедуры являются заданные показатели качества и порядок астатизма, выходными - желаемая дискретная передаточная функция (ПФ). Кроме того, необходимо провести математическое моделирование процесса определения желаемой дискретной ПФ в расширении МЛ^ЛВ/ Simulink.

© Антонова Т. А., Семёнов А. В., 2017

Математическое обеспечение

Схема следящей системы, представленная для математического моделирования, приведена на рис. 1. На вход системы подается сигнал g, на выход - сигнал у. Здесь также (р/z) - передаточная функция замкнутой СС (где аргумент р - для непрерывных СС, а z - для дискретных ПФ), отклонение (рассогласование) в = g - у.

Wyg

g У

Рис. 1. Схема следящей системы для моделирования

Определение желаемой дискретной ПФ СС проводится на основе стандартных ПФ непрерывных СС. Задача синтеза, как показано в статье [3], включает три основные этапа.

Первый этап. Необходимо получить непрерывный прототип - ПФ Wyg (р) непрерывной замкнутой СС, удовлетворяющей поставленным требованиям к качеству управления, порядку астатизма и условиям физической реализуемости: времени регулирования tp, перерегулированию о** и порядку астатизма V*, а также условию физической реализуемости т < п для непрерывных систем (где т, п - степени полиномов числителя и знаменателя ПФ соответственно).

03

га

s

ф

о см

см

О!

<

I

о та

0 ^

СО та

1

о.

<и

3

и <и со

см ч-ю

с?

см ч-ю см

(П (П

Запишем непрерывный прототип астатической по задающему воздействию СС [1]:

Ж(р, Юс) =

Н>

А^юГ'-1 + ... + А1ю0-1 р + ЛрЮ0я А оР0 + А0-1Ю0 Р0-1 + ... + А^р + А0Ю(

где Н0(р), Н(р) - полиномы числителя и знаменателя непрерывной ПФ соответственно;

А,- - стандартные коэффициенты (берутся из таблицы стандартных коэффициентов [1, 2] с учетом требований к порядку системы и астатизма, а также к перерегулированию);

V я - порядок астатизма системы по задающему воздействию.

Здесь также приведен временной масштабный коэффициент ш0, учитывающий заданное время регулирования и определяемый по формуле

Юп = 1пт / t*

W (г) = ^ Zг {^Р^-г [ р _

где 2Т {•} - обозначение 2Т-преобразования от функции, стоящей в фигурных скобках;

Т - период дискретизации.

Математическое преобразование в соответствии с формулой (3) выполняется с помощью встроенной функции ЫА^АВ c2d при выбранном периоде дискретизации [4].

Таким образом, полученный дискретный прототип в замкнутом состоянии W по задающему полиномиальному воздействию g (кТ) = g () (где к - номер такта) описывается выражением в общем виде:

^ (*) =

По + + П2 *2 + ... + Пт-1*т-1 + Пт*

50 + + 52 *2 +... + 5п-^п-1 + 5п*п

Здесь ц,, 8, - коэффициенты числителя и знаменателя дискретной ПФ соответственно.

Третий этап. Необходимо получить дискретную желаемую ПФ. Точность дискретных систем (ДС) определяется величиной ошибки, с которой система воспроизводит задающее полиномиальное воздействие. Для определения ошибок дискретных систем, вызванных полиномиальными воздействиями, применяется метод коэффициентов ошибок, на основании которого сформулирована и доказана теорема об условиях астатизма ДС [5].

Теорема 1. Об условиях астатизма ДС. Дискретная система с ПФ вида (4) имеет аста-тизм V я-го порядка по отношению к задающему полиномиальному воздействию g (кТ~) степени г =у , если коэффициенты этой ПФ удовлетворяют условиям:

где tpm - табличное время регулирования при

«о = 1 [1].

Если ю0 = 1, выражение (2) описывает стандартную ПФ. При ю0 < 1 переходный процесс в системе является более продолжительным, а при ю0 > 1 - более кратким.

Второй этап. Для получения дискретного прототипа по непрерывному прототипу необходимо выполнить Z-преобразование последнего [1, 2]:

т п

£ (ик- = X (-1)5,,

V = 1, Уг

Ё (V, К- (V, )5,,

где (к) - биномиальные коэффициенты, определяемые по формуле (к) = 1!/ к !(г - к)!

Если условие (5) для заданного порядка астатизма не выполняется по отношению к дискретному прототипу (4), определяются

с« * *

новые значения коэффициентов 8, и г\*, для чего существует ряд методов [6, 7]. Затем условие (5) заново проверяется с учетом новых коэффициентов. Если полученная в результате изменения коэффициентов дискретная ПФ удовлетворяет этим условиям в полном объеме, то она является желаемой дискретной ПФ для синтезируемой СС.

Описанный выше поэтапный алгоритм был реализован в среде ЫATLAB в виде программных процедур и функций. Структурная схема работы алгоритма приведена на рис. 2.

Пример расчета желаемой дискретной ПФ по непрерывному прототипу представлен

п, tp, Cg, \g Функция, реализующая шаг 1: получение непрерывного прототипа Щр, Щ) Функция, реализующая шаг 2: получение дискретного прототипа W(z) Функция, реализующая шаг 3: получение желаемой ПФ ДС W\z) Функция оценки показателей качества tp,Cg

Рис. 2. Процедура аналитического синтеза с компонентом анализа показателей качества СС

на рис. 3. В примере использованы следующие данные:

Порядок системы, п ...............................5

Заданный порядок астатизма, V* ........3

Время регулирования, р, с..................3,7

Перерегулирование, ст*,, %...................< 25

Тип системы ...........................................дискретная

continuous-time transfer function, а

б

У' MAUAS И014ь

-!. tarmirfWinao«^

W_z_zhelaemaya =

0.04471 z"4 - 0.006333 z"3 - 0.1039 гЛ2 + 0.05509 z + 0.01049

ZA5 - 3.294 z*4 + 4.044 z"3 - 2.224 z-2 + 0.4982 z  - 0.02444

sample time: 0.083918 seconds Discrete-time transfer function.

Рис. 3. Результаты работы процедуры: а - стандартная непрерывная ПФ; б - непрерывный прототип; в - дискретный прототип; г - желаемая ПФ ДС

Для проведения сравнительного анализа показателей качества, получаемых в ходе синтеза ПФ, на рис. 4 представлены реакции непрерывного прототипа, дискретного прототипа и желаемой ПФ ДС при единичном ступенчатом и линейно нарастающем воздействии. В случае единичного ступенчатого воздействия реакция системы будет являться переходной характеристикой.

Показатели качества системы оцениваются по переходной характеристике (рис. 4, а).

о 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 t, с

а

рад

0,37 0,35 0,33 0,31 3 1

je i'J

,2 3,3 3,4 3,5 3,6

0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 -0,1

0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 г, с б

Рис. 4. Результаты моделирования: а - переходные характеристики непрерывного

прототипа (—), дискретного прототипа (..........),

желаемой ПФ ДС (—) при единичном ступенчатом воздействии; б - реакция непрерывного

прототипа (—), дискретного прототипа (..........),

желаемой ПФ ДС (—) при линейно нарастающем воздействии

га

га

s ф

в

г

Результаты оценки показателей качества следящих систем

Тип системы Показатели качества Порядок астатизма Результат

1Р, с стр %

Требуемое* Результат моделирования Требуемое* Результат моделирования Требуемое* Результат моделирования

Непрерывный прототип 3,5 3,46 < 20 19,8 3 3 Не удовлетворяет по типу системы

Дискретный прототип То же То же То же То же То же 1 Не удовлетворяет по порядку астатизма

Желаемая ПФ ДС 3,7 3,62 < 25 22 То же 3 Удовлетворяет

* При расчете в качестве исходных данных берется значение соответствующего параметра

о см

см

О!

<

I

(0 та

г

о ^

со та г о.

<и

3

и <и со

см ч-ю

с?

см ч-ю см

(П (П

Результаты оценки показателей качества как для желаемой дискретной ПФ, так и для ее непрерывного прототипа представлены в таблице.

Отметим, что в ходе синтеза показатели качества непрерывного прототипа на первом этапе необходимо выбирать с некоторым запасом. Показатели качества желаемой дискрет-рад

0,8 0,6 0,4 0,2 0 0,2 -0,4

2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 а

рад

ной ПФ удовлетворяют требуемым, но имеют незначительные ухудшения по сравнению с непрерывным прототипом, что является «платой» за достижение системой заданного порядка астатизма.

При единичном ступенчатом воздействии (рис. 5, а) ошибка между задающим воздействием и выходным сигналом для всех трех

рад

0,035 0,030 0,025 0,020 0,015 0,010 0,005 0

-0,005 -0,010

1

0

10

15

20 б

25

30

35 и с

0,5 0,4 0,3 0,2 ОД

0

10 15

20 в

25 30 35 с

Рис. 5. Ошибки системы при единичном ступенчатом (а), линейно нарастающем (б) и квадратично нарастающем (в) воздействии: --желаемая дискретная ПФ;-----непрерывный прототип;..........- дискретный прототип

систем в установившемся режиме стремится к нулю. При линейно нарастающем (рис. 5, б) и квадратично нарастающем (рис. 5, в) воздействиях видно, что к нулю стремится только ошибка непрерывного прототипа и желаемой ПФ ДС, а рассогласование дискретного прототипа имеет постоянное значение ошибки в случае линейно нарастающего воздействия и расходящееся значение ошибки в случае квадратично нарастающего воздействия. Это доказывает, что дискретный прототип не обладает астатизмом выше первого порядка. Заключение

В ходе проведения исследования задачи синтеза СС была применена методика расчета желаемой ПФ дискретной СС на основе ее непрерывного прототипа, получаемого на основе стандартных ПФ. В среде МА^АВ разработана программа по автоматическому построению желаемой ПФ дискретных СС, реализующая разработанный поэтапный алгоритм решения задачи аналитического синтеза. Рассмотрен численный пример, показывающий работу реализованной программной процедуры определения желаемых ПФ астатических цифровых СС.

Продемонстрированный в ходе моделирования подход показал преимущество перед ранее использовавшимся подходом при моделировании цифровых следящих систем. Значение динамической ошибки, неизбежно возникающей в ходе расчета дискретного прототипа, снижали путем уменьшения периода дискретизации по времени. Именно доработка изменений коэффициентов дискретного прототипа позволила достичь заданного порядка астатизма, выполняемого на третьем этапе алгоритма. Кроме того, с помощью разработанной программы были произведены оценка и анализ показателей качества системы с желаемой дискретной ПФ.

Разработанная программа позволяет автоматизировать процесс анализа и синтеза цифровых СС и имеет практическую значи-

мость при разработке и математическом моделировании различных высокоточных систем слежения, систем наведения, а также систем сопровождения. Список литературы

1. Гайдук А. Р. Теория автоматического управления. М.: Высшая школа, 2010. 415 с.

2. Пупков К. А., Егупов Н. Д. Методы классической и современной теории автоматического управления. 2-е изд., перераб. и доп. В 5 т. Т. 3. Синтез регуляторов систем автоматического управления. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2004. 616 с.

3. Семёнов А. В., Гайдук А. Р. Метод построения желаемых передаточных функций дискретных систем с высоким порядком аста-тизма // Известия ЮФУ Технические науки. 2013. № 2 (139). С. 14-19.

4. Дьяконов В. П. МАТЬАВ Я2006/2007/2008. Simulink 5/6/7. Основы применения. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Солон-Пресс, 2008. 800 с.

5. Семёнов А. В., Гайдук А. Р. Биномиальные условия компенсации полиномиальных воздействий // Известия ЮФУ. Технические науки. 2013. № 4 (141). С. 156-151.

6. Семёнов А. В. Способы расчета коэффициентов желаемых передаточных функций астатических дискретных следящих систем. Матер. Всерос. науч. конф. «Теоретические и методические проблемы эффективного функционирования радиотехнических систем - Систе-мотехника-2013». Таганрог, 2013. С. 25-33.

7. Семёнов А. В. Желаемые передаточные функции астатических дискретных следящих систем, имеющих «внешние» нули передачи. Проблемы автоматизации. Региональное управление. Связь и автоматика. ПАРУ-СА-2013 / Сб. тр. II Всерос. науч. конф. молодых ученых, аспирантов и студентов. Геленджик: Изд-во Южного федерального университета, 2013. Т. 1. С. 48-53.

Поступила 18.01.17

Антонова Татьяна Алексеевна - техник первой категории Публичного акционерного общества «Научно-производственное объединение «Алмаз» имени академика А. А. Расплетина», г. Москва.

Область научных интересов: моделирование, синтез астатических цифровых следящих систем, разработка алгоритмов работы астатических следящих систем.

Семёнов Александр Валерьевич - кандидат технических наук, старший преподаватель Московского физико-технического института (государственного университета), начальник отдела Публичного акционерного общества «Научно-производственное объединение «Алмаз» имени академика А. А. Расплетина», г. Москва. Область научных интересов: теория автоматического управления, цифровая обработка сигналов, цифровая фильтрация, методы аналитического синтеза цифровых следящих систем, математическое моделирование динамических систем.

Procedure of synthesising astatic digital tracking systems analytically from continuous prototypes

The article deals with the problem of synthesising astatic digital tracking systems analytically, taking into account the requirements for astaticism quality and order; solving this problem leads to finding the desired transfer function of a discrete system based on a continuous prototype (a continuous transfer function). The advantage of the method specified above is that it makes it possible to eliminate the procedure bias caused by quantising desired transfer functions of continuous systems when synthesising astatic discrete systems. This bias is inherent in other synthesis methods that assume that reducing the sampling period will also lower the constant error. We used the MATLAB environment to develop our software implementing this method for automated construction of a desired transfer function of a discrete system.

Keywords: digital tracking system, continuous prototype, discrete prototype, desired transfer function, astaticism, quality indices, MATLAB.

Antonova Tatyana Alekseevna - Technician of the first rank, Public Joint Stock company "Research and Production Corporation "Almaz" named by Academician A. A. Raspletin", Moscow. £ Science research interests: simulation and synthesis of astatic digital tracking systems, developing algorithms for operation ™ of astatic tracking systems.

z

— Semenov Aleksandr Valerevich - Candidate of Engineering Sciences, Assistant Professor, Moscow Institute of Physics

>jjj and Technology, Head of Department, Public Joint Stock company "Research and Production Corporation "Almaz" named

i by Academician A. A. Raspletin", Moscow.

i Science research interests: automatic control theory, digital signal processing, digital filtering, analytical synthesis methods

<3 for digital tracking systems, mathematical modelling of dynamic systems. |