Стохастическое моделирование отказов систем

In this thesis the research of control system of tunnel excavation complex CTEM -5,6 is described. The mathematical descriptions of the elements of the complex and the general control diagram are obtained. The software products for remote control of tunnel excavation complex are presented.

Key words: tunnel excavation complex, copy-cutter, rotor, programmable logic controller, SCADA systems, control algorithm, human machine interface.

Klintsov Grigoriy Nikolaevich, student, argon-eldaramail. ru, Russia, Tula, Tula State University,

Larkin Eugene Vasilyevich, doctor of technical science, professor, head of chair, elarkina mail. ru, Russia, Tula, Tula State University

УДК 519.31

СТОХАСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОТКАЗОВ СИСТЕМ

В.В. Котов, Н.А. Котова, М.Л. Савин

Предложен алгоритм моделирования процесса отказов/восстановлений в сложных системах, основанный на математическом аппарате сетей Петри-Маркова и методе статистических испытаний имитационной модели. Получены выражения для оценки времени наработки на отказ по имитационной модели системы.

Ключевые слова: отказ, сложная система, имитационная модель, сеть Петри-Маркова, стохастическая матрица, матрица плотностей распределения, матрица логических условий, время наработки на отказ.

Сети Петри-Маркова (СПМ) широко используются для моделирования стохастических процессов в системах, в связи с чем применяются так- же и для описания отказов/восстановлений [1, 2, 3]. СПМ допускают последовательные упрощения и получение итоговой математической зависимости [4, 5, 6, 7], представляющей в контексте теории надежности аналитическое выражение для плотности распределения времени наработки до отказа системы, включающей ряд взаимодействующих элементов [8]. Для полученного аналитического выражения может быть найдено математическое ожидание, которое является численным показателем надежности.

Подобный подход применим лишь для моделей систем с простой структурой, так как решение задачи аналитическими методами представляет собой трудоемкий процесс. В случаях сложных систем [9] аппарат

СПМ рекомендуется применять для получения численного решения путем моделирования процесса отказов/восстановлений.

Исходными данными для моделирования являются: описание структуры СПМ отказов как двудольного графа со структурой П = {А, 2, Оа(2), 02 (А)}, где А = Ца),..., (а),..., aJ(а)} - конечное

множество позиций; 2 = {г^),..., 2 ^ (2),..., г J (2)} - конечное множество переходов с подмножеством поглощающих переходов 2Е с 2; 02 (А) = 02 (а{(а)),..., 02 (а ] (а)),..., 02 (aJ (а)),..., } - множество выходных

функций переходов; Оа (2) = {Оа (21(2)),..., Оа (2 j (2)),..., Оа ^ (г))} - множество выходных функций позитий; Оа (2е ) = 0;

вектор q = Ь^г1(2),. ., qj(2),. ., ЧJ(z)] вероятностей начала процесса в

переходах множества 2;

прямоугольная матрица р = [рj(а),j(2)] вероятностей выполнения

полушагов в переход 2j(2)е О2 [аj(а)] после окончания пребывания процесса в состоянии aj (а);

прямоугольная матрица /(?) = ^(а), j(2)(?)] плотностей распределения времени ? пребывания в состоянии aj (а) с последующим выполнением полушага в переход 2j(2) е О2 [аj(а)];

матрица Ь = \Lj(2), j (а)], определяющая логические условия выполнения полушага в позицию аj(2) е Оа [2j(2)].

Элементы математической модели имеют следующий физический

смысл:

позиции множества А = {а1(а),...,aj(а),...,aJ(а)} являются математическим подобием состояний элементов системы [1];

переходы множества 2 = ^1(2),..., 2j(2),..., 2J(2)} моделируют взаимодействие элементов, в частности эффект "соревнования" [10];

выходная функция позиции О2 (aj(a)) моделирует множество вариантов изменения состояний элементов системы;

выходная функция перехода Оа (2j(2)) моделирует множество возможных состояний, в которые попадают элементы системы в результате выполнения логических условий взаимодействия;

вероятности вектора q представляют собой стохастические параметры вариантов исходных состояний системы;

плотности распределения Д?) и вероятности р описывают параметры безотказности элементов системы;

логические условия Ь моделируют условия потери/сохранения ра-

ботоспособности системы при отказах элементов.

С целью сокращения вычислительной сложности алгоритма моделирования систем данного типа целесообразно предварительно выполнить следующие действия:

упорядочить элементы вектора q по возрастанию и сформировать интервалы:

Оц2) =[0, 2) ), ..., а](2) =

Л J(z)—1 "

, QJ (z) = У Zqj(z),1 j=1

;

Pj(a),1(z) = 1°, pj(a),1(z) ), Pj

j

_ j=1 j=1

упорядочить элементы j(a)-ñ строки матрицы р по возрастанию и сформировать интервалы:

Г j ( z ) j ( z ) Л

Pj (a), j (z) = 1 pj (a), j (z), 1 pj (a), j (z ) _ j=1 j=1

" J ( z)-1 ]

Pj

j=1 _

найти функцию распределения Fj (a), j (z )(t) = {l — exp[- m j (a), j (z )t ]} и

обратную ей функцию, считая, что все потоки отказов/восстановлений являются потоками стационарными и без последействия

fj (a), j ( z ) (t ) = m j (a), j ( z )exP[—m j (a), j ( z )t L где m j (a) j ( z ) - интенсивность потока, соответствующего плотности распределения fj (a), j (z) (t):

t =--1-ln

m j

где p - случайное число, равновероятно распределенное в интервале [0, 1);

сформировать наборы булевых констант и массивы для наборов текущих булевых переменных, соответствующих элементарным конъюнкциям дизъюнктивной нормальной формы булева выражения для Lj (z) j (a).

Процесс моделирования включает следующие алгоритмы. Алгоритм 1. Определение перехода, в котором начинается процесс:

1) запускается генератор случайных чисел и формируется квазислучайное число p с равновероятным законом распределения;

2) выбирается переход zj (z), в котором начинается процесс, в соответствии с правилом: j(z) = k(z), если pe Qk(z), 1 £ k(z) £ J(z);

3) конец.

Алгоритм 2. Определение направления выполнения полушагов из позиции a j (a) в переходы Oz (aj(a)):

1) запускается генератор случайных чисел и формируется равномерно распределенное число p;

2) выбирается направление выполнения полушага позиции aj(а) в переходы 0% (aj(a)) в соответствии с правилом: j(z) = к(г), если р с

Pj (а), к (г), 1 £ Кг) £

3) запускается генератор случайных чисел и формируется число р;

4) определяется момент выполнения полушага в переход г^) по

зависимости (3);

5) конец работы алгоритма.

Алгоритм 3. Определение направления выполнения полушагов из переходов Zj ) в позиции Од (zj )):

1) после выполнения полушага, определяемого кортежем [а j (а), Zj (2)], во всех массивах текущих булевых переменных логические

нули и (а), у'(г)]-й переменной меняются на логические единицы;

2) каждый набор текущих булевых переменных сравнивается с набором булевых констант, соответствующих элементарным конъюнкциям дизъюнктивной нормальной формы булева выражения для Lj ) j (а);

3) в случае совпадения хотя бы одного набора булевых переменных с набором булевых констант выставляется признак открытия перехода Zj ) для выполнения полушага, определяемого кортежем [гj(z), ак (а)];

4) после выполнения полушагов во все компоненты элементарных конъюнкций наборов булевых переменных записывается логический нуль;

5) конец работы алгоритма.

Алгоритмы 1 - 3 позволяют сформировать управляющий алгоритм моделирования, приведенный ниже.

Алгоритм 4. Моделирование процесса отказов/восстановлений:

1) устанавливается таймер в положение t = 0;

2) запускается алгоритм 1, и с его помощью формируется вектор состояний СПМ;

3) параметру к присваивается значение к = 1;

4) из перехода Zj ) выполняются полушаги в позиции aj{a)е Од (zj(zZ)), таким образом формируется к-й вектор состояния;

5) перебираются позиции aj(а), и для каждой из них определяется

направление выполнения полушагов в соответствии с алгоритмом 2. Для каждого выбранного направления определяется интервал времени выполнения полушага Dtj (а);

6) перебираются интервалы времени Л^(а), и из них выбирается

Dtj (а) шт ;

7) изменяется текущее время t = t + Dtj (а) ш^п;

8) выполняется полушаг из позиции aj(a), соответствующей Dt j(a)min 5 в переход z j(z

)e OZ [aj(a)];

9) если переход zj(z) e Z^Zjz e ZE, то конец. В противном случае -

переключение в оператор 10;

10) запускается алгоритм 3 и проверяются переходы по признаку открытия в связи с выполнением полушага [aj(a), zj(z)e Oz (aj(a))]. При

отсутствии открытых переходов - переключение в оператор 12;

11) при наличии открытых переходов, например zk(z), выполняются полушаги в позиции подмножества Oj (zk (z)), таким образом корректируется k-й вектор состояния;

12) k = k + 1, переход к оператору 5.

Итогом работы алгоритма 4 является простой статистический ряд временных интервалов t = {¿1,..., tn,..., tn } достижения подмножества ZeZe из подмножества переходов, для которых элементы вектора q не равны нулю. Алгоритм 4 должен быть выполнен достаточное количество раз для того, чтобы набрать удовлетворительную статистику по временным интервалам.

Обработка простого статистического ряда может производиться по известным методикам обработки результатов статистических испытаний [11], предусматривающим выполнение следующих операций:

1) разделение всего диапазона 0 < t < tmax на равные участки 0 < t <

<t t< t < 2t, 2t< t < 31, ..., (К- 1)t< t < tmax;

2) определение частот vk попадания временных интервалов из статистического ряда на каждый из K участков по зависимости

v = |{t |(k - 1)t< t < kt} |

nk--,

k N

где | {.. .}| - мощность соответствующего множества;

3) построение по частотам vk гистограммы

g :

f X X X Л

- ... - + kt ... - + (K - 1)t 2 2 2

lV 0 ... Vk ... V K-1

т

где — + кт - середина к-го диапазона, 0 £ к £ К - 1; Ук - частота попадания

времени в к-й диапазон;

4) определение среднего времени и дисперсии достижения поглощающего перехода по формулам

N N _

I ^ I {гп - т)2

Т = —; В = п=-.

N N -1

Найденное время Т будет являться средним временем наработки системы до отказа;

5) аппроксимация гистограммы (5) определяется по аналитическому закону распределения. Указанную аппроксимацию целесообразно производить в том случае, если результаты моделирования по анализируемой модели являются промежуточными, и будут использоваться при аналитическом решении задачи проектирования отказоустойчивых систем более высокого иерархического уровня, где рассматриваемая система является элементом. Вследствие того, что в рассматриваемом случае производится хотя и машинный, но эксперимент, аппроксимацию плотности аналитическим законом распределения целесообразно проводить по критерию с2 Пирсона [11].

Для этого необходимо построить гистограмму (5) графически и подобрать аналитический закон /}), в наибольшей степени повторяющий форму гистограммы, у которого математическое ожидание и дисперсия совпадают с параметрами Т и В, рассчитанными по зависимостям (6).

Обозначим величины плотностей вероятностей аналитического закона /(}) в точках Т,..., + кг,..., + (К - 1)т, соответственно

'О

2 да

/}) будет иметь вид:

2

т

/ - = /о ,..., / - + кт = /к,..., / - + (К - 1)т = /К-1.

У

2

У

Тогда критерий с2 для гистограммы (4) и аналитического закона

с2=/¿' к-/*

к=0 /к 2

В соответствии с критерием с по кривой распределения определяется вероятность того, что закон распределения /(}) удовлетворяет критерию близости, полученной с помощью моделирования гистограммы. Если вероятность достаточно велика, то принятая гипотеза о виде и параметрах аппроксимирующего закона распределения не противоречит результатам моделирования.

Таким образом, СПМ являются универсальным математическим аппаратом, позволяющим получать как теоретические, так и квазиэкспериментальные данные о статистических параметрах процесса отказов/восстановлений в сложных системах.

)

2

Список литературы

1. Ларкин Е.В. Об одном подходе к моделированию параметрических отказов // Известия ТулГУ: Проблемы специального машиностроения. Вып. 6. Ч. 2. Тула: ТулГУ, 2003. С. 387 - 394.

2. Ларкин Е.В. Редукция сетей Петри-Маркова // Известия ТулГУ: Серия: Математика. Механика. Информатика. Т. 1. Вып. 3. 1995. С.99 - 109.

3. Игнатьев В.М., Ларкин Е.В. Сети Петри-Маркова. Тула: ТулГУ, 1997. 163 с.

4. Ларкин Е.В., Котов В.В., Котова Н.А. Оценка эффективности программного обеспечения робота с использованием сетей Петри-Маркова // Известия ТулГУ. Технические науки. Вып. 9. Ч. 2. Тула: Изд-во ТулГУ, 2013. С. 156 - 163.

5. Ларкин Е.В., Ивутин А.Н. Временные и вероятностные характеристики транзакций в цифровых системах управления // Известия ТулГУ. Сер. Технические науки. Вып. 1. Тула: Изд-во ТулГУ, 2013. С. 252 - 258.

6. Ларкин Е.В. Ивутин А.Н., Костомаров Д.С. Методика формирования сети Петри-Маркова для моделирования когнитивных технологий // Известия ТулГУ. Технические науки. Вып. 9. Ч. 1. Тула: Изд-во ТулГУ, 2013. С. 303 - 311.

7. Ларкин Е.В., Котов В.В., Котова Н.А. Генерация Петри-Марковских моделей в задачах оптимизации когнитивных технологий обучения // Известия ТулГУ. Технические науки. Вып. 9. Ч. 1. Тула: Изд-во ТулГУ, 2013. С. 298 - 303.

8. Ларкин Е.В., Ивутин А.Н. Обобщенная полумарковская модель алгоритма управления цифровыми устройствами // Известия ТулГУ. Сер. Технические науки. Вып. 1. Тула: Изд-во ТулГУ, 2013. С. 221 - 228.

9. Ларкин Е.В., Ивутин А.Н. Прогнозирование времени выполнения алгоритма // Известия ТулГУ. Технические науки. Вып. 3. Тула: Изд-во ТулГУ, 2013. С. 301 - 315.

10. Ларкин Е.В., Ивутин А.Н. «Соревнования» в многопроцессорных компьютерных системах // Известия ТулГУ. Сер. Технические науки. Вып. 12, ч. 2. Тула: Изд-во ТулГУ, 2012. С. 198 - 204

11. Ширяев А.Н. Вероятность. М.: Наука, 1989. 640 с.

Котов Владислав Викторович, д-р техн. наук, проф. е1агк1иа таИ. ги, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Котова Наталия Александровна, канд. техн. наук, доц. е1агк1иа таИ. ги, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Савин Максим Леонидович, асп., е1агк1иа таИ.ги, Россия, Тула, Тульский государственный университет

STOCHASTIC SIMULA TION OF SYSTEMS FAILURES V. V. Kotov, N.F.Kotova, M.L.Savin

An algorithm of simulation of failures/restoration process in complex systems, based on mathematical apparatus of Petri-Markov nets and Monte-Carlo Method of imitation model is proposed. Expressions for evaluation of mean time between failures (MTBF) on simulation model are obtained.

Key words: failure, complex system, simulation (imitation) model, Petri-Markov net, stochastic matrix, densities matrix, logical conditions matrix, mean time between failures (MTBF).

Kotov Vladislav Victorovich, doctor of technical science, professor, elar-kin@mail.ru, Russia, Tula, Tula State University,

Kotova Natalya Alexandrovna, candidate of technical science, docent, elarkinamail. ru, Russia, Tula, Tula State University,

Savin Maxim Leonidovich, postgraduate, elarkina mail. ru, Russia, Tula, Tula State University

УДК 621.38

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ТРЕХФАЗНОГО

ВЕНТИЛЬНОГО ДВИГАТЕЛЯ С УЧЕТОМ ОСНОВНЫХ ВОЗМОЖНЫХ ОТКАЗОВ

Д.П. Лимаренко

Предложена математическая модель работы трехфазного вентильного двигателя, отражающая электромагнитные и электромеханические процессы, проходящие в электроприводе, с учетом возможных неисправностей элементов привода.

Ключевые слова: двигатель, электромеханические процессы, электропривод, вентиль, обмотки статора.

В качестве исполнительного элемента ЭПЗА используется вентильный моментный двигатель с возбуждением от высокоэнергетических постоянных магнитов Кё-Бе-Б. Рассматриваемый двигатель [2, 3, 4] представляет собой трехфазный ВМД. Подключение секций ВМД к источнику