Является ли коммутация на блюдаемых главным отличием классической механики от квантовой?

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 530.1

ЯВЛЯЕТСЯ ЛИ КОММУТАЦИЯ НАБЛЮДАЕМЫХ ГЛАВНЫМ ОТЛИЧИЕМ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ ОТ КВАНТОВОЙ?

в.в. кисиль

Факультет математики, Университет г. Лидс, Великобритания kisilv@maths.leeds.ac.uk

В 1926 г. Дирак предположил, что квантовая механика может быть получена из классической заменой единственного допущения. По его мнению, классическая механика определяется коммутативными величинами («с-числами»), в то время как квантовая требует некоммутативных («q-чисел»). Остальные допущения являются общими для обоих теорий. В данной работе мы критически пересматриваем предложение Дирака.

С этой целью представляем некоммутативную модель классической механики с ненулевой постоянной Планка. Это возможно благодаря использованию ниль-потентной единицы е такой, что е2 =0. Следовательно, решающую роль в построении квантовой теории выполняет мнимая комплексная единица.

Ключевые слова: квантовая механика, классическая механика, коммутационные соотношения Гейзенберга, наблюдаемая, интеграл по путям, группа Гейзенберга, комплексные числа, дуальные числа, нильпотентная единица

V.V. KIZIL. IS COMMUTATIVITY OF OBSERVABLES THE MAIN FEATURE, WHICH SEPARATE CLASSICAL MECHANICS FROM QUANTUM?

In 1926, Dirac stated that quantum mechanics can be obtained from classical theory through a change in the only rule. In his view, classical mechanics is formulated through commutative quantities (c-numbers) while quantum mechanics requires noncommutative one (q-numbers). The rest of theory can be unchanged. In this paper we critically review Dirac’s proposition.

We provide a natural formulation of classical mechanics through noncommutative quantities with a non-zero Planck constant. This is done with the help of the nilpotent unit e such that e2 = 0. Thus, the crucial role in quantum theory shall be attributed to the usage of complex numbers.

Key words: quantum mechanics, classical mechanics, Heisenberg commutation relations, observables, path integral, Heisenberg group, complex numbers, dual numbers, nilpotent unit

...it was on a Sunday that the idea first occurred to me that ab-ba might correspond to a Poisson bracket.

P.A.M. Dirac,

http://www.aip.org/history/ohilist/4575_1.html

(.было воскресенье и ко мне впервые пришла мысль, что ab - ba может соответствовать скобке Пуассона.

П.А.М. Дирак)

1. Введение

Сейчас наблюдается возрождение интереса к основаниям квантовой теории, которое поддержано заметным финансированием в различных странах. Одна из причин этого связана с прикладными инженерными вопросами, возникающими при работе с нано объектами. Копенгагенская интерпретация была удовлетворительной для сравнительно небольшого числа теоретических физиков (и может быть даже льстила их элитарному духу). Однако для массового освоения практикующими инженерами хотелось бы

иметь более реалистичную картину происходящего в микромире. В поисках таких объяснений необходимо вернуться к самым истокам квантовой теории.

В 1926 г Дирак предположил, что квантовая механика может быть получена из классической заменой единственного допущения, см. [1]:

.there is one basic assumption of the classical theory which is false, and that if this assumption were removed and replaced by something more general, the whole of atomic theory would follow quite naturally. Until quite recently however, one has had no idea of

what this assumption could be.1

Дирак предположил, что необходимое условие заключено в коммутационных соотношениях Гейзенберга для наблюдаемых координаты и импульса частицы [1]:

qr Pr — Pr qr = ih.

Алгебраически это соотношение фиксирует неком-мутативность величин qr и Pr. Поэтому Дирак предложил [1] гипотезу о том, что классическая механика определяется коммутативными величинами («c-числами», как он их назвал), в то время как квантовая требует некоммутативных («q-чисел»). Остальная часть теории, не противоречащая предыдущему допущению, не требует изменений. Это в явном виде подтверждено в следующей статье Дирака [2]:

The new mechanics of the atom introduced by Heisenberg may be based on the assumption that the variables that describe a dynamical system do not obey the commutative law of multiplication, but satisfy instead certain quantum conditions.2 Эта же точка зрения неоднократно выражалась и в более поздних работах ([3], стр. 41, [4], стр. 11).

Точка зрения Дирака получила широкое распространение, особенно среди математически ориентированных учёных. Более того, расплывчатая вариация «квантовое — это что-то такое некоммутативное» изначального предложения была с легкостью обращена во «всякое некоммутативное — это квантовое». Например, стало модным называть всякую некоммутативную алгебру «квантовым пространством» [5].

Давайте внимательно разберем, действительно ли некоммутативность является важнейшим источником квантовой теории.

2. «Алгебра» наблюдаемых

Отбросив предположение о коммутативности наблюдаемых, Дирак делает следующее, казалось бы очень гибкое, допущение [1]:

All one knows about q-numbers is that if z1 and z2 are two q-numbers, or one q-number and one c-number, there exist the numbers zi + z2, ziz2, z2zi, which will in general be q-numbers but may be c-numbers.3 Математически это предположение (совместно с некоторыми естественными соотношениями) обозначает, что наблюдаемые образуют алгебраическую структуру, называемую кольцом. Далее, линейный принцип суперпозиции требует, чтобы у наблюдаемых была также структура векторного пространства, что вместе с предыдущим условием характеризует множество всех наблюдаемых как алгебру.

Некоторые работы, ориентированные в первую очередь на математиков, см. [6], § 1.2, прямо говорят об «алгебре наблюдаемых», что мало отличается от предыдущей цитаты из [1]. Это также следует из двух взаимосвязанных допущений, содержащихся в каноническом учебнике Дирака, на котором выросло не одно поколение исследователей:

1. «линейные операторы соответствуют динамическим переменным» [3], § 7, стр. 40.

2. «линейные операторы можно складывать» [3], § 7, стр. 38.

Однако предположение, что любые две наблюдаемые допускают сложение, полностью несовместимо с их физическим смыслом. Чтобы сложение было возможно, обе наблюдаемые должны иметь одну размерность. Это тщательно объясняют ученикам средних школ («нельзя складывать сапоги с яблоками», как говорил мой учитель физики), но зачастую требуют забыть в ВУЗовских учебниках. Поэтому стоит немного задержаться на этом элементарном вопросе. Например, для наблюдаемых координаты q и импульса р, какова должна быть размерность выражения q+р? Метры или кгх м/сек? Если наши расчеты показывают значение 5 для p+q в метрической системе, каков будет результат при переходе к аршинам и пудам? Так как такие вопросы не допускают внятного ответа, то предположение Дирака не совместимо с физическим смыслом теории.

Другое распространенное определение, хромающее на ту же ногу, часто используется в хороших книгах, написанных отличными математиками, см. например [7], § 2-2, [8], § 1.1. Оно вводит квантовые наблюдаемые как проекторнозначные меры на безразмерной действительной прямой. Такое определение немедленно влечет (посредством функционального исчисления операторов) существование новых наблюдаемых, заданных алгебраическими выражениями [7], § 2-2, c. 63:

Because of Axiom III, expressions such as A2, A3 + A, l — A, and eA all make sense whenever A is an observable.4

Однако, если A не является безразмерной величиной, то выражение A3 + A не может иметь никакую согласованную с этим размерность.

Конечно, физические дефекты этих (безупречных в математическом отношении) построений не мешают физикам получать правильные ответы, которые прекрасно согласуются с экспериментом. Нет смысла обсуждать, какими способами это достигается. Более полезно попытаться обозначить математические основания, которые не будут страдать описанными недостатками.

1 «.существует одно базовое допущение в классической теории, которое неверно, и если это допущение удалить или заменить чем-то более общим, вся теория атома получилась бы естественно. Однако до недавнего времени никто не подозревал, какое это может быть допущение».

2«Новая механика атома, предложенная Гейзенбергом, может быть основана на допущении, что переменные, описывающие динамику системы, не следуют закону коммутативности умножения, вместо этого удовлетворяют некоторым квантовым соотношениям».

3«Все, что мы знаем о q-числах это, если г1 и х2 —два q-числа, или одно q-число и одно с-число, тогда существуют величины г1 + г2, г1г2, г2г1, которые в общем случае являются q-числами, но могут оказаться и с-числами».

4«Вследствие Аксиомы III, выражения вроде А2, А3 + А, 1 — А и еА все имеют смысл, если А является наблюдаемой».

3. Несущественная некоммутативность

Хотя мы можем складывать только наблюдаемые одной и той же размерности, нет никаких ограничений такого рода на умножение физических величин. Естественно, размерность произведения равна произведению размерностей сомножителей, поэтому коммутатор [A,B] = AB — BA всегда определен для произвольных величин A и B. В частности, коммутатор (1) вполне определен. Но так ли он важен для построения квантовой механики?

Можно утверждать, что некоммутативность физических величин не является необходимой предпосылкой для оснований квантовой теории: хорошо известны схемы, обходящиеся без этого. Наиболее выдающийся пример — интеграл по путям, развитый Фейнманом (и предложенный, опять же, Дираком). Чтобы выявить действительно существенные элементы, обратимся вначале к популярным лекциям [9], которые представляют основу метода в очень доступной форме. Фейнман смог рассказать главные моменты квантовой электродинамики, не упомянув некоммутативность ни разу.

Может быть это просто следствие поверхностности изложения? Возьмем вполне академический учебник [10]. В нем некоммутативность упоминается лишь на страницах 132-133 (§ 5-3) и 194 (§ 7-3). В заключении, на странице 377 (§ 12-10) упоминается некоммутативность кватернионов, но это не относится к нашему обсуждению. Более того, на странице 194 подчеркивается, что некоммутативность квантовых величин является следствием техники интегрирования по путям, а не самоценной аксиомой.

Что же является математическим основанием квантовой теории, если некоммутативность не так важна? Наглядное повествование в [9] использует секундомер для исчисления квантовой амплитуды. Угол поворота стрелки секундомера представляет фазу для пути x(t) между двумя точками конфигурационного пространства. Математическое выражение для этой фазы мы можем найти в [10],(§ 2-15):

0[x

где S[x(t)] — классическое действие вдоль пути x(t). Сложив все вклады вида (2) вдоль всех возможных путей5 между двумя точками a и b, мы получаем амплитуду перехода K(a,b). Эта величина содержит в себе очень аккуратное описание многих квантовых эффектов. Поэтому выражение (2) также претендует на роль краеугольного камня квантовой теории.

Но есть ли хоть что-то общее между двумя основополагающими формулами (1) и (2)? На первый взгляд, нет При более детальном рассмотрении можно заметить, что есть только два общих элемента. Перечисленные в порядке значимости (каковой она зачастую представляется) это:

1. Ненулевая постоянная Планка h.

2. Мнимая единица i.

Действительно, постоянная Планка была исторически первой характеристикой квантового (дискретного) поведения и вне всякого сомнения принадлежит ядру всей теории. Более того, классическая

механика зачастую мыслится как переход от точной квантовой теории в полуклассическом пределе Н ^ 0. Поэтому ненулевая постоянная Планка считается явным признаком квантового мира в его оппозиции к классической механике. К сожалению, широко распространена традиция «выбирать такую систему единиц, в которой Н = 1». В результате, постоянная Планка исчезает из многих формул, где ее присутствие было важно. Отметим также, что 1 в равенстве Н = 1 не является безразмерным скаляром, но физической величиной с размерностью действия. Следовательно, простая экономия на опускании этой постоянной нарушает размерность всех физических тождеств.

Мнимая единица также является непременным участником любых формулировок квантовой теории. Достаточно указать, что популярные лекции [9] прекрасно обходятся без всякого упоминания некоммутативности, но содержат комплексные числа как явно, так и неявно — вращение стрелки секундомера наглядно изображает изменение унимо-дулярной комплексной фазы (2) вдоль пути. И это второе (неявное, но очень существенное) использование комплексных чисел даже важнее их краткого явного упоминания. Тем не менее, комплексные числа зачастую воспринимаются как полезный, но все же чисто технический элемент теории.

4. Квантовая механика и группа Гейзенберга

В поисках источника квантовой теории мы вновь возвращаемся к коммутационным соотношениям (1): или в роли необходимой аксиомы, или как важное следствие, но они являются обязательным элементом теории. Достаточно давно стало понятно, что эти соотношения есть структурные тождества для алгебры Ли группы Гейзенберга [8,11,12]. В простейшем случае одного измерения группа Гейзенберга Н1 представляется евклидовым пространством К3 с групповой операцией:

(в,х,у) * (в',х',у' ) =

=

где и является симплектической формой на М2 [13], §37:

и

Здесь, как и с интегралами по траекториям, мы видим еще один пример квантового объекта определенного в терминах классического.

Группа Гейзенберга некоммутативна вследствие кососимметричности симплектической формы: и(х,у;х',у') = -и(х',у';х,у). Множество точек вида (в, 0,0) образует центр Н1. Нам потребуются унитарные неприводимые представления Н1 в бесконечномерных пространствах. В таком представлении р центр группы должен действовать умножением на комплексное число с единичным модулем, те. р(в, 0,0) = е2п1Лв1 для некоторого Н = 0.

Далее, важная теорема Стоуна-фон Неймана [8], § 1.5 устанавливает, что все унитарные неприводимые представления группы Н1 с общим значе-

5Мы здесь не касаемся вопроса, каким образом можно математически безупречно обосновать эту процедуру.

нием Н унитарно эквивалентны. Из этого следует, что любые реализации квантовой механики, представляющие соотношение (1) (к примеру, волновая механика Шредингера), унитарно эквивалентны матричной механике Гейзенберга.

В частности, любое унитарное неприводимое представление Н1 эквивалентно подпредставлению

следующего представления в пространстве

рп(в,х,у) : /(д,р) ^

0:

Здесь К2 может быть отождествлено с классическим фазовым пространством, где д обозначает координату в конфигурационном пространстве, а р — соответствующий импульс. Функция /(д,р) в (5) представляет состояние физической системы как амплитуду на фазовом пространстве. Поэтому, по сравнению с более известным представлением Шредингера на действительной оси (конфигурационном пространстве), представление (5) более интуитивно и имеет много технических достоинств [8,12,14]. Хотя, как было отмечено выше, оба представление унитарно эквивалентны.

Инфинитезимальные порождающие однопараметрических подгрупп рй(0, х, 0) и рй(0,0, у) в (5) — есть операторы 1 Ндр - 2пщ и -2Ндq - 2п\р. Для них непосредственно проверяется тождество:

[—1 Ьда — 2пір,1 Ндр — 2під] = ік,

к = 2пН.

Так как мы имеем представление тождества (1), эти операторы могут использоваться как представители квантовых наблюдаемых координаты и импульса.

Имея классический гамильтониан Н(д,р), мы можем проинтегрировать его преобразование Фурье Н(х,у) с представлением рК :

Н

Н(х,у) рн(0,х,у) йх йу

и получим (возможно неограниченный) оператор Н на Ь2(к2). Такое соответствие оператора Н (кванто-

вой наблюдаемой) и функции Н(д,р) (классической наблюдаемой) известно как квантование Вейля или исчисление Вейля [8], § 2.1. Гамильтониан Н определяет динамику квантовой наблюдаемой к через уравнение Гейзенберга:

йк

т—

М

Нк- кН.

Такое построение квантовой механики на основе унитарных неприводимых представлений группы Гейзенберга хорошо известно, см. например [8,12,15].

5. Классическая некоммутативность

Сейчас мы покажем, что в квантовой теории по-настоящему важным являются комплексные числа, а вовсе не ненулевая постоянная Планка, как принято думать. Конкретно, представим модель классической механики с ненулевой постоянной Планка, но с другими гиперкомплексными числами. Вместо мнимой единицы і со свойством і2 =

—1 используем нильпотентную единицу б такую, что б2 = 0. Хорошо известно, что порожденные ею дуальные числа связаны с относительностью Галилея [16, 17] — важной симметрией классической механики — так что ее появление в нашем исследовании не такая уж и неожиданность. Скорее, мы должны удивляться, почему дуальные числа так мало известны и так редко используются в современной физике (да и математике).

Другой важной особенностью нашей модели классической механики является ее некоммутативность. Таким образом, она опровергает предположение Дирака о некоммутативности как важнейшем источнике всех квантовых построений. Более того, наша модель будет выведена из все той же группы Гейзенберга, что еще больше роднит квантовую и классическую теории.

Рассмотрим четырехмерную алгебру С с базисом 1, і, б и іб. Можно определить следующее представление реН группы Гейзенберга в пространство С-значных гладких функций [18,19]:

рек(з,х,у) : /(д,р) ^ е-2пі(ха+ур^/(д,р)+

+бк

Непосредственно проверяется тождество

рек

для группового умножения (3) на Н1. Так как реН не является унитарным представлением в комплексном векторном пространстве, то оно не подпадает под действие теоремы Стоуна-фон Неймана. Оба представления (5) и (7) являются некоммутативными и действуют на функциях заданных на фазовом пространстве. Важное отличие между этими двумя представлениями таково:

• Представление (5) индуцировано (в смысле Макки [20], § 13.4) комплекснозначным характером рН(в, 0,0) = е2піЛв центра группы Н1.

• Представление

Сходство представлений (5) и (7) будет еще более наглядным, если записать (7) в виде:

Рн(в,х,у) : /(д,р) ^

е — 2п

/

іН

іН

д — — бу,р + — бх

.

Здесь для дифференцируемой функции к действительной переменной ь выражение к(ь + еа) понимается как к(ь)+еак'(ь) при произвольной константе а е С. Для аналитических функций действительной переменной это может быть обосновано через их разложение в ряд Тейлора [16], [22], § 1.2(10), [23]. Родственный источник этого выражения находится также в варианте нестандартного анализа использующего идемпотентную единицу е [24].

Инфинитезимальные порождающие для одномерных подгрупп реН(0,х, 0) и рек(0,0, у) в представлении (7) соответственно есть:

йр^,, = -2п'щ - 4П— др, йрУеН = -2п_р + дq.

Непосредственно вычисляется их коммутатор:

йрХеН  йрУ еН - йрУ еН  йрХеН = еН.

Это тождество похоже на коммутационные соотношения Гейзенберга (1): коммутатор отличен от нуля и пропорционален постоянной Планка. Единственное различие заключается в замене мнимой единицы на нильпотентную. Природа этого замещения проявится, когда мы проинтегрируем представление (7) с преобразованием Фурье Н(х,у) гамильтониана Н (д,р):

H =

/R2n

H(x,y) peh(0,x,y) dxdy =

TT eh I dH d dH d

H +------------------------------

2 I dp dq dq dp

Мы получили дифференциальный оператор первого порядка на фазовом пространстве. Такой оператор порождает динамику классической наблюдаемой к — гладкой вещественнозначной функции на фазовом пространстве — посредством уравнения сходного с уравнением Гейзенберга (6):

йк

бк— = Нк — кН.

М

Подставляя (10) и используя тождество є2 получаем:

dk dH dk dH dk

dt

dp dq dq dp

О, мы

Это, естественно, уравнение Гамильтона в классической механике, использующее скобку Пуассона двух функций Н и к. Как отмечено в эпиграфе, Дирак предположил, что коммутатор должен соответствовать скобке Пуассона. Однако мы обнаружили, что коммутатор в представлении (7) в точности является скобкой Пуассона.

Отметим, что и постоянная Планка, и ниль-потентная единица сокращаются из окончательного уравнения (11), но для этого преобразования было важно, что Н = 0. Такое застенчивое исчезновение в самый последний момент может объяснить, почему величины Н и е обычно остаются незамеченными в классической теории.

6. Заключение

В данной работе мы пересматриваем математические основания квантовой и классической механики, а также роль гиперкомплексных единиц _2 = -1 и е2 = 0 в этих теориях. Для того, чтобы сделать рассмотрение полным, должно упомянуть третью логическую возможность: гиперболическую единицу ) со свойством }2 = +1, см. [19,21,25-29], однако ее обсуждение выходит за рамки данной статьи.

Сделанный анализ приводит к следующим заключениям:

1. Некоммутативность не обязательно включать в аксиоматизацию квантовой теории, она естественно получается как следствие других базовых предпосылок.

2. Некоммутативность не является отличительной чертой квантовой теории от классической, существуют некоммутативные модели классической механики.

3. Ненулевая постоянная Планка вполне совместима с классической механикой. Нет никакой необходимости рассматривать полукласси-ческий предел h ^ 0, в котором константа должна стремиться к нулю.

4. Нет никакой необходимости рассматривать множество наблюдаемых как алгебру, что несовместимо с базовым физическим смыслом теории. Квантование можно производить по процедуре Вейля, которое требует от множества наблюдаемых с одной физической размерностью всего лишь структуры векторного пространства.

5. Решающую роль в построении любой квантовомеханической модели играет комплексная мнимая единица, см. (1) и (2). Классическая механика может быть получена заменой мнимой единицы на нильпотентную е2 = 0 в коммутационных соотношениях (9).

Заметим, что некоммутативность играла такую важную роль в построениях Дирака, потому что нетривиальный коммутатор требовался как замена классической скобке Пуассона. Мы показали, что умножение классических наблюдаемых тоже может быть некоммутативным и в этом случае коммутатор в точности совпадает со скобкой Пуассона. Таким образом, водораздел между двумя теориями не проходит по линии коммутативно/некоммутативно.

Возможно, Дирак все-таки прав, предполагая, что есть всего лишь одно допущение, которое отделяет квантовую теорию от классической, см. его первую цитату в начале статьи. Мы можем разделить его в такой форме:

Квантовая механика частицы основана на использовании мнимой единицы для индуцирования представления группы Гейзенберга с ее центра. При замене мнимой единицы на нильпотентную получаем классическую механику, причем все остальные компоненты теории (некомму-тативность, ненулевая постоянная Планка, динамическое уравнение, основанное на коммутаторе) остаются неизменными.

Благодарности

Автор благодарен анонимному рецензенту журнала Mathematical Intelligencer за критический отзыв, который позволил немного улучшить изложение в данной статье и потребовал заметного увеличения числа дословных цитат. Еще более полезным отзыв оказался тем, что укрепил уверенность автора в необходимости этой статьи. Я также благодарен рецензенту журнала «Известия Коми НЦ УрО РАН», который подсказал выражение (8) для классического представления группы Гейзенберга. Выражаю при-

знательность и Н.А. Громову за полезные обсуждения различных вопросов, связанных с нильпотентной

единицей.

Литература

1. Dirac PA.M. Quantum mechanics and a preliminary investigation of the hydrogen atom // Proc. Royal Soc. London A, 1926. Vol. 110. № 755. P. 561-579.

2. Dirac PA.M. On the theory of quantum mechanics // Proc. Royal Soc. London A, 1926. Vol. 112. № 762. P. 661-677.

3. Дирак П. Принципы квантовой механики. М.: Наука, 1979. 408 с.

4. Дирак П. Пути физики. М.: Энергоатомиздат, 1983. 88 с.

5. Cuntz J. Quantum spaces and their noncommu-tative topology // Notices Amer. Math. Soc., 2001. Vol. 48. № 8. P. 793-799.

6. Фаддеев Л.Д., Якубовский OA. Лекции по квантовой механике для студентов-математи-ков. Л.: ЛГУ, 1980. 200 с.

7. Mackey G.W. Mathematical foundations of quantum mechanics. New York, Amsterdam: W.A. Benjamin Inc., 1963. 160 p.

8. Folland Gerald B. Harmonic analysis in phase space. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1989. (Annals of Mathematics Studies. Vol. 122).

9. Фейнман P. КЭД — странная теория света и вещества. М.: Наука, 1988. 144 с. (Библиотечка ”Квант”. Вып. 66).

10. Фейнман P., Хибс A. Квантовая механика и интегралы по траекториям. М.: Мир, 1968. 384 с.

11. Howe R. On the role of the Heisenberg group in harmonic analysis // Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.), 1980. Vol. 3. № 2. P. 821-843.

12. Howe R. Quantum mechanics and partial differential equations // J. Funct. Anal., 1980. Vol. 38. № 2. P. 188-254.

13. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1989. 432 c.

14. Zachos C. Deformation quantization: quantum mechanics lives and works in phase-space // Int. J. Mod. Phys. A, 2002. Vol. 17. № 3. P. 297316; arXiv:hep-th/0110114.

15. Kisil V.V. p-Mechanics as a physical theory: an introduction // J. Phys. A, 2004. Vol. 37. № 1. P. 183-204; arXiv:quant-ph/0212101.

16. Громов НА. Контракции и аналитические продолжения классических групп. Единый подход. Сыктывкар: Коми НЦ УрО АН СССР, 1990. 220 с.

17. Яглом И.М. Принцип относительности Галилея и неевклидова геометрия. М.: Наука, 1969. 303 c.

18. Kisil V.V. Erlangen programme at large: an Overview // Advances in applied analysis. Basel: Birkhauser Verlag, 2012. P. 1-78; arXiv: 1106.1686.

19. Kisil V.V. Hypercomplex representations of the Heisenberg group and mechanics // Int. J. Theor. Phys., 2012. Vol. 51. № 3. P. 964-984; arXiv:1005.5057.

20. Кириллов AA Элементы теории представлений. М.: Наука, 1978. 344 с.

21. Кисиль В.В. Индуцированные представления группы SL2(R) и гиперкомплексные числа // Известия Коми НЦ УрО РАН, 2011. № 1(5). C. 4-10; arXiv:0909.4464.

22. Зейлигер Д.Н. Комплексная линейчатая геометрия. Поверхности и конгруэнции. М.-Л.: ГТТИ, 1934. 196 с.

23. Catoni F., Cannata R., Nichelatti E. The parabolic analytic functions and the derivative of real functions // Adv. Appl. Clifford Algebras, 2004. Vol. 14. № 2. P. 185-190.

24. Bell John L. A primer of infinitesimal analysis. Cambridge: Cambridge University Press, 2008. 140 p.

25. Hudson R. Generalised translation-invariant mechanics. Oxford: Bodleian Library, 1966. (D. Phil. thesis).

26. Khrennikov A. Contextual approach to quantum formalism. New York: Springer, 2009. 356 p. (Fundamental Theories of Physics. Vol. 160).

27. Kisil V.V. Geometry of Mabius transformations: Elliptic, parabolic and hyperbolic actions of SL2(R). London: Imperial College Press, 2012. 180 p.

28. Pilipchuk V.N. Nonlinear dynamics. Between linear and impact limits. Berlin: Springer, 2010. 360 p. (Lecture Notes in Applied and Computational Mechanics. Vol. 52).

29. Ulrych S. Considerations on the hyperbolic complex Klein-Gordon equation // J. Math. Phys., 2010. Vol. 51. № 6. P. 063510, 8.

Статья поступила в редакцию 23.05.2012.