Численные решения дисперсионных уравнений электромагнитных волн в ограниченных продольно-намагниченных гиротропных эллиптических областях

УДК 537.876.4:537.622.6

© Г. Б. Итигилов, Д. Ш. Ширапов, С. И. Олзоева

ЧИСЛЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ДИСПЕРСИОННЫХ УРАВНЕНИЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В ОГРАНИЧЕННЫХ ПРОДОЛЬНО-НАМАГНИЧЕННЫХ ГИРОТРОПНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ОБЛАСТЯХ

Впервые получены и численно решены дисперсионные уравнения гибридных волн в ограниченных эллиптических гиротропных продольно-намагниченных областях с бесконечно проводящими стенками.

Ключевые слова: электромагнитная волна, ограниченная продольно-намагниченная эллиптическая область, уравнения Максвелла, дисперсионное уравнение, продольное намагничивание.

© G. B. Itigilov, D. Sh. Shirapov, S. I. Olzoeva

NUMERICAL SOLUTIONS OF DISPERSING EQUATIONS OF ELECTROMAGNETIC WAVES IN THE LIMITED

LONGITUDINALLY MAGNETIZED GYROTROPIC ELLIPTIC

AREAS

For the first time the dispersing equations of hybrid waves in the limited elliptic gyrotropic longitudinally magnetized areas with infinitely conducting are obtained and numerically solved.

Keywords: electromagnetic wave, limited longitudinally magnetized elliptic area, Maxwell's equations, dispersing equation, longitudinal magnetization.

Введение

Известно, что направление поворота поляризации электромагнитной волны (ЭМВ) в продольно-намагниченной гиротропной ограниченной области не зависит от направления распространения волны и изменяется на обратное при изменении направления постоянного намагничивания. Это свойство, являющееся проявлением невзаимности, используется в сверхвысокочастотных ферритовых устройствах поляризационного или фарадеевского типа [1,2].

ЭМВ, распространяющаяся в регулярной эллиптической ограниченной области, имеет меньшее затухание, чем в прямоугольной и круглой при равных периметрах поперечного сечения [3].

Кроме того, эллиптическая форма поперечного сечения позволяет сохранять положение плоскости поляризации волны по отношению к сечению в отличие от круглой, у которой плоскость поляризации волны неустойчива и зависит от распределения деформации ее сечения по длине [3].

Целью настоящей работы является вывод и численное решение дисперсионных уравнений ЭМВ в продольно-намагниченных эллиптических областях для выявления особенностей распространения волн в указанных областях.

Вывод дисперсионных уравнений

Уравнения Максвелла для гармонических процессов без наведенных токов и зарядов имеют вид [1]:

\rotH = ; го1.Е = -; \divE = 0; сИ\Е = 0,

где Е, Н - соответственно напряженности электрического и магнитного полей; г - абсолютная диэлектрическая проницаемость среды, гЕ = О -электрическая индукция, В - магнитная индукции, ] - мнимая единица, w - циклическая частота.

При распространении волны в магнитогиротропной среде магнитная индукция В в системе (1) примет следующий вид:

В = И н .

При продольном намагничивании, когда направление внешнего намагничивающего постоянного магнитного поля совпадает с направлением распространения ЭМВ (волна распространяется вдоль координаты 2), тензор магнитной проницаемости феррита, как следует из [1], имеет вид:

у" 0

м\\ = - И 0

0 0

где М = Мо

0 2 2 wn - w

к = ^

ww,

0 2 2 Wn - w

w

м

Кп

= ц0УМ0, У = 1.76*10"— -

кг

гиромагнитное отношение для спина электрона, w0 = ¡и0УН0 - частота ферромагнитного резонанса, /и0 - магнитная постоянная, М0 - намагниченность феррита, Н0 - намагничивающее внешнее магнитное поле.

Знаки перед недиагональными компонентами в (3) могут быть проти-

воположными, если взять к = -ц0

ww

м

Для получения выражений для поперечных компонент электромагнитного поля (ЭМП) в [4] на основе уравнений Максвелла был разработан метод инвариантных преобразований (МИП).В результате применения МИП к ограниченной продольно-намагниченной эллиптической области

wо wм

2

w0 — w

в работе [4] были получены выражения для поперечных ЭМП:

jya2 1

~2~2 ed

g+g -

5EZ wju c2 5HZ jw2sk С

E =-

1

g+2 g_2 ed

dE„

у a2 дф

6E,

у dHz

дф ws

2^ i

w/u c dH z jw sk

дф у a

5E„

у dHz

--1---

dE, ws дф

He =

jYa

1

g+2g2 ed

2

2

H =-

jyci 1

ws 8EZ 8Hz ^ jw sk у дф

ws 5E, 8H,

ws дЕ dH,

у дф

g2g2 ed

jw2sk С

ws 8E dH,

у дф

у дф a

где Е,,ф - поперечные координаты эллиптической системы координат,

e - фокусное расстояние эллипса, у - постоянная распространения,

1 / ; 2 е 2 22 22 2 2 2,2 7 2 d = yj ch q - cos ф, a = w fj11e-y = w ¡us -y , g±= w sju± w sk -y ,

c = w s

2 7 2

2„M -k И

Ранее в работе [5], используя МИП, были получены уравнения Гельм-гольца гибридных ЕН и НЕ волн соответственно:

д2 Ez д2 E7 + 7

д%2 дф2

д2 Hz д2 H

д$2 дф2

где ¡и^ = ju2 -k И

2 d2 (i

,2

\ 2 2 Д,

wsju± -у~ JEZ - je d ywk—HZ = 0,

И

7 + e2 d2

f

w 2Щ\

^W 2

—r и

HZ + je2 d 2ywskEZ = 0, M

Краевые задачи Дирихле и Неймана для уравнений (5) имеют вид:

ГЕг е С2 (О)п С (дО);

IЕ2 = 0 на границе ограниченной области О

и

Hz

dH,

dn

\C2 (G )n C1 (dG);

= 0 на границе ограниченной области G(dG),

где О - ограниченная область, дО - граница ограниченной области, С (в) - непрерывные на О функции, С1 (О) - непрерывно дифференцируемые на О функции, С2 (О) - дважды непрерывно дифференцируемые на О функции, п - нормаль к границе ограниченной области дО .

2

a

2

2

a

e

2

Для решения уравнений Гельмгольца (5) с условиями (6) и (7) применим метод, предложенный в [6]. Затем, подставив полученные решения в (4) и применив граничные условия в виде Ez = Ev = 0 на бесконечно проводящей внутренней поверхности ограниченной эллиптической области, получим следующее дисперсионное уравнение:

-|k i-у2

4qi 1 Ce 1 qi) _

e 2 Cem

+ l ki-Y2

4q2 1 4qi Ce '„

+ J

. у 2 ska 2 Л1Л 2

cemq2)

cemq2) y3 wsk + J 2 -

cem & qi)

. cem qi ),

e- J e2 Cem

A, -

ce

(я>, qi) i

cem

M q2)

A,

= c,

где к2 = у 2£/и1, сет (ср, q12) - четные обыкновенные функции Матье I

рода целого порядка т и их производные сет (<р, q1 2); Сет (<£, q1 2) - четные присоединенные (модифицированные) функции Матье I рода (с целым индексом) и их производные Сет q12), £0- граничный эллипс,

k1 -у2 -Aiyws

qi =-

k_ И.

e21 kL-y2 - A 2yws

4

и q2 =-

k_

параметры

функций Матье, Ai 2 - корни уравнения

k Д2 yws — Л2 +

И

f

w 2Щ\

2 2 2 — у - w SjU1 + у

И

\

k

A-yw^\, — = С . И

Известно, что в ограниченных эллиптических областях распространяются четные и нечетные волны [7]. Выражение (8) описывает распространение четных волн. Для получения дисперсионного уравнения для нечетных волн в (8) надо сделать следующую замену:

jCe qi,2 Se qi,2) ,Ce

где Se(^c, qi 2), Se (<^c, qi 2) - нечетные присоединенные (модифицированные) функции Матье I рода (с целым индексом) и их производные, se(<p, qi 2), se (<р, qi 2) - нечетные обыкновенные функции Матье I рода целого порядка m иих производные.

Графики численных решений

Так как дисперсионные уравнения (8) не решаются аналитически, то их анализ проводился численно. Для этого был составлен комплекс программ на основе программного пакета Maple. Полученные результаты по-

24

ce

2

e

4

зволяют проводить численный анализ дисперсионных уравнений (8) для различных сечений ограниченной эллиптической области и степени гиро-тропии заполнения.

На рисунке 1 представлены графики зависимостей постоянных распро-

странения

к7

от напряженности намагничивающего магнитного поля

для гиротропной эллиптической области при продольном намагничивании с длиной большой полуоси 8=0,016 м и эксцентриситетом Е=0,75 при частоте V = 6,28 • 1010 Гц и намагниченности феррита wM = 0,15 • V .

На рисунке 1 нижние индексы «С» и «8» означают четную и нечетную моды, верхние индексы «+» и «-» означают правое и левое направления вращения, каждаяцифра нижнихиндексов «11» и «12» определяетчисло полуволн, укладывающихся вдоль поперечных координатных осей эллиптической ограниченной области: первая цифра означает периодич-

w0

ность поля по координате (р, а вторая - по £ . При — = 1 наступает ферромагнитный резонанс (на рис. 1 - вертикальная пунктирная линия).

£ = 0_753 1 = 0-01С1^ »„ = 0_15»

0 0.5 1 1.5 2 »

Рис. 1. Зависимости постоянных распространения различных мод от напряженности намагничивающего поля для эксцентриситета Е=0.75, полученные при решении уравнений (8) (показаны только ЕН- моды).

На рисунке 1 горизонтальными пунктирными линиями показаны моды при отсутствии магнитного поля: с Еп,

5 Е11 '

У г

Заключение

При сравнении результатов (рис. i) и графиков, представленных в [i], следует вывод, что при увеличении эксцентриситета эллипса Е и намагниченности феррита углы поворота плоскости поляризации стано-

w

вятся существеннее для эллиптических ограниченных областей.

Данный результат показывает практическое преимущество эллиптических направляющих систем перед круглыми при проектировании фазовращателей.

Литература

1. Микаэлян А. Л. Теория и применение ферритов на сверхвысоких частотах. - Л.: Госэнергоиздат, i963. - 664 с.

2. Гуревич А. Г., Мелков Г. А. Магнитные колебания и волны. - М.: Физматлит, i994. - 464 с.

3. Ефимов И. Е., Шермина Г. А. Волноводные линии передачи. - М.: Связь, i979. - 232 с.

4. Итигилов Г. Б., Ширапов Д. Ш. Метод инвариантных преобразований для определения поперечных компонент электромагнитного поля в гиротропных ограниченных областях // Вестник Бурятского государственного университета. - 2ci2. - Вып. 9. - C.i62-i66.

5. Итигилов Г. Б., Ширапов Д. Ш. Волновые уравнения электромагнитных волн в ограниченных областях с ферритовым заполнением с ортогональной формой поперечного сечения при продольном намагничивании // Вестник Восточно-Сибирского государственного университета технологий и управления. - 2ci2. - № 3(38). - С. 5-Ю.

6. Сул Г., Уокер Л. Вопросы волноводного распространения электромагнитных волн в гиротропных средах: пер. с англ. / под ред. Г. Мирома-нова. - М.: Изд-во иностр. лит-ры, i955. - i92 с.

7. Мак-Лахлан Н. В. Теория и приложение функций Матье / пер. с англ. В. А. Братановского. - М.: Изд-во иностр. лит-ры, i953. - 475 с.

Итигилов Гарма Борисович, старший преподаватель кафедры «Электронные вычислительные системы» Восточно-Сибирского государственного университета технологий и управления, e-mail: gablz@mail.ru, тел. 8(3ci2)2i5-3i4.

Ширапов Дашадондок Шагдарович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой «Электронные вычислительные системы» Восточно-Сибирского государственного университета технологий и управления, e-mail: shir@esstu.ru, тел. 8(3ci2)2i5-3i4.

Олзоева Сэсэг Ивановна, доктор технических наук, профессор кафедры «Электронные вычислительные системы» Восточно-Сибирского государственного университета технологий и управления, e-mail: sseseg@yandex.ru, тел. 8(3ci2)2i5-3i4.

Itigilov Garma Borisovich, Senior Lecturer, department of electronic computing systems, East Siberian State University of Technologies and Management.

Shirapov Dashadondok Shagdarovich, Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Head of the department of electronic computing systems, East Siberian State University of Technologies and Management.

Olzoeva Seseg Ivanovna, Doctor of Technical Sciences, Professor of the department of electronic computing systems, East Siberian State University of Technologies and Management.