Модулярные формы и приложения

С. Ягунов, "Модулярные формы и приложения"

С. Ягунов

Модулярные формы и приложения

---

Лекции проходят по вторникам с 19:00 (время СПб). Первая лекция пройдет 5 сeнтября в ПОМИ (комната 311) Если вы хотите посещать курс и еще не зарегистрированы, сделайте это, пожалуйста,

здесь

.(на сайте С. Ягунова) и

здесь

(на сайте Indico EIMI)

---

Планируемый курс является продолжением курса "Введение в модулярные формы и функции: теория и приложения" (

сайт С.Ягунова

,

Сайт Indico Eimi

) , читаного в весеннем семестре 2023г. В предыдущем семестре мы, в общих чертах, обсудили классическую теорию модулярных форм и функций. В этом семестре мне хотелось бы сделать больший акцент на приложениях.

Однако начнем мы с рассказа о такой интересной и важной области, тесно связанной с модулярными формами, как эллиптические кривые и функции. Необходимые факты о модулярных формах будут рассказаны (напомнены) в рамках курса. Поэтому, пришлашаются, также, заинтересованные слушатели, не посещавшие первой части курса. Эллиптические криивые и эллиптические функции также играют чрезвычайно важную роль в современной математике. Например, доказательство Эндрю Вайлсом (Andrew Wiles) Великой Теоремы Ферма является, по сути, доказательством частного случая гипотезы Таниямы--Вейля, связывающей эллиптические кривые с теорией модулярных форм.

Приведем некоторые отрывки из анонса первой части курса, посвященные, в основном, приложениям теории модулярных форм.

... Помимо своей внутренней красоты, модулярные формы/функции обладают многочисленными приложениями в самых различных областях математики. Уже давно известна их польза для нахождения сумм делителей, вычисления количества представлений чисел в виде сумм квадратов, нахождения числа классов квадратичных форм. В прошлом веке выяснилось и ключевое значение модулярных форм при исследовании функции Рамануджана , в доказательствах иррациональности значения дзета функции Римана от 3 и Большой Теоремы Ферма.

... Коэффициенты разложений Фурье модулярных форм дают нам много новых целочисленных констант (например, 1728, 196884 и т.д.), иногда появляющихся в самых неожиданных местах. Например, в связи с размерностями представлений самой большой спорадической простой группы. Эта область известна как Monstrous moonshine.

...Уже в этом веке возникли многочисленные связи с дифференциальными уравнениями и математической физикой, теорией струн.

Литература. Материалы первого семестра курса и видео-записи лекций доступны по

ссылке

.