Разработка алгоритма нахождения максимального потока минимальной стоимости в нечеткой динамической транспортной сети

Разработка алгоритма нахождения максимального потока минимальной стоимости в нечеткой динамической транспортной сети А.В. Боженюк, Е.М. Герасименко Введение

Задачи, рассматриваемые на транспортных сетях, в частности, потоковые задачи являются актуальными, поскольку позволяют решать широкий круг практических задач, а именно, задач нахождения максимального количества потока, которое можно передать по дугам сети, нахождения минимального по стоимости маршрута перевозки заданного количества единиц товара и пр. Потоковые задачи нахождения максимального потока и потока минимальной стоимости в транспортных сетях широко освещались в литературе авторами [1, 2, 3]. Но в условиях реальной жизни в данных задачах необходимо учитывать, что такие параметры транспортных сетей, как пропускные способности и стоимости перевозок не могут быть точно известны. На данные параметры влияют различные экзогенные и эндогенные виды неопределенности [4], в частности, пробки на дорогах, ремонтные работы, колебания в ценах на бензин, следовательно, мы приходим к потоковым задачам в транспортных сетях в нечетких условиях [5]. Данная область является менее исследованной, подобные задачи были рассмотрены в [6].

Потовые задачи, описанные ранее, можно отнести к статическим, так как при их рассмотрении не учитывается параметр времени прохождения потока по дугам сети. В действительности, поток затрачивает определенное время, чтобы добраться от начальной вершины дуги к конечной. Следовательно, мы приходим к «стационарно-динамическим» задачам. Данные модели предполагают не мгновенное прохождение потока по дугам сети. Данные задачи рассматривались в литературе авторами [1, 7].

Рассматриваемые в литературе задачи на динамических сетях, которые мы будем называть «стационарно-динамическими» задачами учитывают не мгновенное прохождение потока по дугам сети и не принимают во внимание возможность параметров транспортных сетей меняться во времени. Действительно, пропускные способности, стоимости перевозок и параметры времени прохождения потока по дугам сети могут изменяться в зависимости от времени отправления потока. Будем называть такие задачи «динамическими». Данная область исследования является малоизученной. Учитывая это, а также нечеткий характер параметров, присущий транспортным сетям, приходим к рассмотрению потоковых задач в динамических транспортных сетях в нечетких условиях [8]. В частности, рассмотрим в данной статье задачу определения потока минимальной стоимости в нечеткой динамической транспортной сети.

Задача нахождения максимального потока минимальной стоимости в нечеткой динамической транспортной сети

Рассмотрим постановку задачу нахождения максимального потока минимальной стоимости в нечеткой динамической транспортной сети:

Р ~

МттЬв £ £ ~~ Ю

в=0 (х,, Xj )еА

Р ~ ~ ~

£ £Ю-~

0=0 х,бХ

£ [<~,

£ £[~

х,бХ

в=0 х,бХ

0 ^ 1

Выражение (1) означает, что необходимо найти минимальный маршрут перевозки максимального количества потока в транспортной сети за заданное количество моментов времени. Выражение (2) показывает, что максимальное количество потока ~ за р периодов времени, равно потоку, выходящему из

источника за р периодов времени (0). Выражение (4) показывает, что

0=0

максимальное количество потока р за р периодов времени равно потоку,

р ~

входящему в сток за р периодов времени (0-тп). Количество потока

0=0

Р ~

(0-т), входящее в источник за р периодов времени, равно количеству

0=0

р ~ ~

потока, покидающему сток

0=0

утверждается, что для каждого узла хі, кроме источника и стока, и каждого момента времени 0 количество потока ^ (0-тг), вошедшее в хг в момент времени (0-т]г) равно числу единиц потока (0), выходящему из хг в момент 0. Неравенство (5) показывает, что потоки ^ (0) для всех моментов времени должны быть меньше пропускных способностей 55 (0) по

соответствующим дугам.

Иными словами, необходимо перевезти ~(р) единиц потока с минимальными затратами в динамической транспортной сети, так, чтобы последняя единица потока вошла в сток в момент времени не позднее р. Формальный алгоритм решения данной задачи:

Этап 1. Перейти от заданного нечеткого динамического графа О = (X, А) к «растянутому во времени» на р интервалов нечеткому статическому графу Ор = (Хр, Ар) путем «растягивания во времени» исходного

динамического графа за заданное количество временных интервалов путем создания отдельной копии каждой вершины хі є X в каждый

рассматриваемый момент времени 0є Т. Пусть Ор = (Хр, Ар) представляет собой «растянутый во времени» граф исходного динамического графа. Множество вершин Хр графа Ор задается как Хр = {(хі, 0):(хі, 0) є X х Т}.

Множество дуг Ар состоит из дуг, идущих из каждой пары «вершина-время» (хг ,0) є Хр в каждую пару «вершина время» вида (х}, 0 + гг] (0)), где х} є Г(хг) и

9 + тг] (9) < р . Пропускные способности ~(х, х} ,9,0 + т ^ (0)), соединяющие пары

«вершина-время» (х ,9) с (х}, в + тц (9)) равны и1} (9), стоимость перевозки

~(х,х},9,0+ ту(9)) единицы потока по дуге, соединяющей пару «вершина-

время» (х{ ,9) с (х}., 9 + тц (9)), равна (9). Вводим искусственный источник я'

и сток г и соединяем я дугами с каждым истинным источником, а г с каждым истинным стоком. Фиктивные дуги, идущие от искусственных вершин, имеют бесконечную пропускную способность и нулевую стоимость. Ищем максимальный поток от я к г .

Этап 2. Строим нечеткую остаточную сеть Ор для «растянутого во

времени графа» Ор в зависимости от величин, идущих по дугам графа потоков. Нечеткая остаточная сеть Ор = (Xр,Лр) строится по «растянутой во времени» сети Ор в зависимости от величин потоков £(х{,х}.,3,9 = 3 + ть(3)), (далее 9 = 3 + тг] (3)), идущих по дугам последней следующим образом: каждая дуга в остаточной нечеткой сети Ор, соединяющая пару «вершина-время» (хр,3) с парой «вершина-время» (хр,9), по которой поток «~(х,х},3,9) отправляется в момент времени 3 е Т имеет нечеткую остаточную пропускную способность им (х, х} ,3,9) = и (х, х} ,3,9) -% (х, х} ,3,9), стоимость см (х, х} ,3,9) = с (х, х} ,3,9) с временем прохождения тм (х, х} ,3,9) = т( х, х} ,3,9) и обратную дугу, соединяющую (хр,9) с (хр,3) с остаточной пропускной способностью (х}, х ,9,3) = % (х, х} ,3,9), стоимостью

см( х}, х ,9,3) = -~( х}, х ,3,9) и временем прохождения потока по данной дуге тм (х}., х ,9,3) = -т( х, х}. ,3,9).

Этап 3. Ищем путь Рр минимальной стоимости по алгоритму Форда из

искусственного источника я в искусственный сток г в построенной нечеткой остаточной сети, начиная с нулевых значений потоков.

(I) Если путь Рр найден, переходим к этапу 4.

(II) Если пути не удалось найти, то получен максимальный поток £ (хі, х}, 3,0) + 5? х Рр? = ~(р) минимальной стоимости ~(£ (хі, х},3,0) + 5? хРр?) в

растянутом во времени статическом нечетком графе из я в г , и переходим к шагу 5.

Этап 4. Пускаем по найденному пути максимальное количество единиц потока в зависимости от ребра в остаточной сети с минимальной остаточной пропускной способностью 5? = тіп [~ ? (хг, х}, 3,0)], (хг, х}) є Рр? .

Этап 5. Обновляем значения потоков в графе Ор: для дуг,

соединяющих пару «вершина-время» (хД0) с (х/,3) в О? с

неположительной модифицированной стоимостью с ?(х, хі ,0,3) < 0 изменяем поток £(хі, х{ ,3,0) по соответствующим дугам, идущим из (х}. ,3) в (хі ,0) из Ор с £(х}, хі ,3,0) на £(х}, хі ,3,0) -5?. Для дуг, соединяющих пару «вершина-время» (хі ,3) с (х} ,0) в О? с неотрицательной модифицированной

стоимостью ~?(хі, хі,3,0) > 0 изменяем поток £(хі,х;.,3,0) по дугам, идущим из (хі ,3) в (х} ,0) из Ор с £(хі, х} ,3,0) на £(хі, х} ,3,0) + 5? и переходим к этапу 2, начиная с нового значения потока по дугам и заменяя значение потока в графе Ор: £(х, х} ,3,0) ^£(хг, х} ,3,0) + 5? х Р?.

Этап 6. Если найден максимальный поток £

минимальной стоимости ~(£(х, х} ,3,0) + 5?х Р?) в графе Ор из фиктивного

источника я в фиктивный сток г , определяемый множеством путей Рр?,

переходим к первоначальному динамическому графу О следующим образом: отбрасываем искусственные вершины я, г и дуги, соединяющие их с другими вершинами. Таким образом, в исходном динамическом графе О получен максимальный поток ~(р) минимальной стоимости, эквивалентный потоку из источников (начальная вершина исходного графа, растянутая на р интервалов) в стоки (конечная вершина, растянутая на р интервалов) в графе Ор после удаления фиктивных вершин, а каждый путь, соединяющий

вершины (s,3) и (t,g = 3 + zst (3)), T, по которому идет поток "(s, t,3,g) стоимости c(i(s,t,3,g)) соответствует потоку "st(3). стоимости Щ"(3)).

Численный пример, реализующий работу алгоритма

Рассмотрим пример, иллюстрирующий реализацию описанного алгоритма. Пусть транспортная сеть, являющаяся частью железнодорожной карты, представлена в форме нечеткой транспортной сети, полученной из ГИС «Object Land» [9] , как показано на рис.1. Понятие «ГИС» представлено в [10].

Рис. 1. - Исходный динамический граф О Вершина х1 представляет собой источник, вершина х5 - сток. Нечеткие

пропускные способности и стоимости, а также параметры времени прохождения потока по дугам, зависящие от момента отправления потока представлены в виде таблиц № 1, 2 и 3. Необходимо найти минимальную стоимость перевозки максимального количества единиц потока ~(р). Правила оперирования с нечеткими треугольными числами представлены в [6].

Строим остаточную сеть, как показано на рис.2. Так как остаточная сеть на первом шаге совпадает с исходным «растянутым во времени» графом, находим в ней путь минимальной стоимости от я к г по алгоритму Форда в Ор. Получаем путь я ,(х1,1),(х2,2),(х5,3),г стоимости (105,15,15) условных

единиц и передаем по нему (20,3,4) общей стоимости (2100,15,15) единиц потока, что показано на рис.3.

Таблица № 1

Нечеткие пропускные способности, зависящие от момента отправления потока

Момент времени в Нечеткие пропускные способности по дугам графа с ц, ед.

0

1

2

3

Таблица № 2

Нечеткие стоимости, зависящие от момента отправления потока

Момент времени в Нечеткие стоимости по дугам граф сі}., условные ед.

0

1

2

3

Переходим к построению «растянутого во времени графа» Ор, как на

рис.2. Строим остаточную сеть исходя из нового значения потока по дугам графа, как показано на рис.4. Находим путь минимальной стоимости в построенной остаточной сети от я к г по алгоритму Форда. Получаем путь я ,(х1,0),(х2,1),(х4,2),(х5,3),г стоимости (110,15,15) условных единиц и передаем

по нему (10,1.5,2) единиц потока общей стоимости (1100,15,15), тогда поток переходит в (рис.5).

Таблица № 3

Параметры времени прохождения потока по дугам

Момент времени в Время прохождения потока по дугам графа гу., ед. времени

0 1 4 4 2 5 1

1 1 3 1 4 4 4

2 3 1 3 1 3 1

3 2 1 3 2 3 1

Рис. 2. - Ор - «растянутый во времени» вариант графа О

Рис. 3. - Граф Ор с потоком (20,3,4) единиц

Рис. 5. - Граф Ор с новым значением потока

Строим остаточную сеть исходя из нового значения потока по дугам графа, как показано на рис.6. Так как в данной сети не существует увеличивающего пути, найден максимальный поток минимальной стоимости.

Рис. 6. - Остаточная сеть Омр после нахождения потока

Отбрасывая искусственные вершины и дуги с потоком, соединяющие их с другими вершинами, получаем максимальный поток (30,5,6) единиц минимальной стоимости (3200,15,15) условных единиц. Переходя к динамическому графу О от «растянутого во времени» статического графа Ор, можно сделать вывод, что максимальный поток (30,5,6) за 3 интервала времени равен потоку, выходящему из пар «вершина-время» (х1,0) и (х1,1) и входящему в пару «вершина-время» (х5,3), т.е. (30,5,6) единиц, которые определяются путем х1 ^ х2 ^ х5, который отправляется в момент времени в = 1 и прибывает в сток в момент времени в = 3 и путем х1 ^ х2 ^ х4 ^ х5 , который отправляется в момент времени в = 0 и прибывает в сток в момент времени в = 3 .

Заключение

Данная статья рассматривает алгоритм нахождения максимального потока минимальной стоимости в нечеткой динамической транспортной сети. Практическая ценность рассматриваемого метода в том, что он позволяет решать задачи нахождения оптимального маршрута перевозки максимального количества потока от начального пункта к конечному. Актуальность рассматриваемого алгоритма в том, что он принимает во внимание нечеткий характер параметров транспортной сети, а также зависимость параметров транспортной сети от времени отправления потока.

Литература:

1. Форд, Л.Р. Потоки в сетях [Текст] / Л.Р. Форд, Д.Р. Фалкерсон. - М: Мир, 1966. - 276 с.

2. Крисофидес, Н. Теория графов. Алгоритмический подход [Текст] / Н. Кристофидес. - М: Мир, 1978. - 432 с.

3. Майника, Э. Алгоритмы оптимизации на сетях и графах [Текст] / Э. Майника - М: Мир, 1981. - 326 с.

4. Целигоров, Н.А., Целигорова, Е.Н., Мафура, Г.В. Математические модели неопределенностей систем управления и методы, используемые для их исследования [Электронный ресурс] // «Инженерный вестник Дона», 2012, №4. - Режим доступа: http://ivdon.ru/magazine/archive/ n4p2y2012/1340 (доступ свободный) - Загл. с экрана. - Яз. рус.

5. Bozhenyuk, A., Gerasimenko, E., Rozenberg, I. The task of minimum cost flow finding in transportation networks in fuzzy conditions [Text] // Proceedings of the 10th International FLINS Conference on Uncertainty Modeling in Knowledge Engineering and Decision Making Word Scientific, Istanbul, Turkey, 26-29 August 2012. - pp. 354-359

6. Bozhenyuk, A., Gerasimenko, E., Rozenberg, I. The methods of maximum Flow and minimum cost flow finding in fuzzy network [Text] // Proceedings of the Concept Discovery in Unstructured Data Workshop (CDUD 2012) co-located with the 10th International Conference on Formal Concept Analysis (ICFCA 2012) May 2012, Katholieke Universiteit Leuven, Leuven, Belgium 2012. - pp. 1-12.

7. Боженюк, А.В. Анализ и исследование потоков и живучести в транспортных сетях при нечетких данных [Текст] // А.В. Боженюк, И.Н. Розенберг, Т.А. Старостина - М: Научный мир, 2006. - 136 с.

8. Bozhenyuk, A., Gerasimenko, E., Rozenberg, I. Algorithm of maximum dynamic flow finding in a fuzzy transportation network [Text] // Proceedings of East West Fuzzy Colloquium 2012 19th Zittau Fuzzy Colloquium, September 5 -7, pp. 125-132.

9. Rozenberg, I., Gittis, C., Svyatov, D. Geoinformation system Object Land [Text] // Proceedings of IPI RAN Systems and Means of Informatics. - Science, Moscow, 2000.

10. Клаус, Н.Г., Клаус, А.И. Практика интеграции

геоинформационных систем и многоагентных моделей в исследовании социальных конфликтов [Электронный ресурс] // «Инженерный вестник Дона», 2011, №1. - Режим доступа: http://ivdon.ru/magazine/archive/

n1y2011/400 (доступ свободный) - Загл. с экрана. - Яз. рус.