Некоторые типы гипергеометрических лазерных пучков для оптического микроманипулирования

НЕКОТОРЫЕ ТИПЫ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЛАЗЕРНЫХ ПУЧКОВ ДЛЯ ОПТИЧЕСКОГО МИКРОМАНИПУЛИРОВАНИЯ

В.В. Котляр1'2, А.А. Ковалев1'2, Р.В. Скиданов1’2, С.Н. Хонина1'2 1 Институт систем обработки изображений РАН,

2Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королева

Аннотация

Получены явные аналитические выражения, описывающие параксиальные световые пучки, являющиеся частными случаями гипергеометрических (HyG) лазерных пучков [J.Opt.Soc.Am.A, v.25, p.262-270 (2008)]. К ним относятся модифицированные квадратичные Бессель-Гаусс (mQBG) пучки, полые гауссовые оптические вихри (HGOV), модифицированные элегантные Лагерра-Гаусса пучки (meLG) и гамма-гипергеометрические (gHyG) пучки. По технологии электронной микролитографии синтезирован бинарный дифракционный оптический элемент, приближенно формирующий HyG пучки. Теория и эксперимент находятся в удовлетворительном соответствии. Экспериментально показана возможность вращения диэлектрических микрочастиц в световом кольце HyG пучка.

Ключевые слова: гипергеометрический пучок, гипергеометрическая мода, дифракционный оптический элемент, оптическое вращение диэлектрических микрочастиц, конфлюэнтная функция (функция Куммера), логарифмический аксикон.

1. Введение

Недавно были рассмотрены новые световые моды - гипергеометрические (HyG) моды [1]. После этого появилось несколько обобщающих работ, в которых были рассмотрены гипергеометрические-гауссовые (HyGG) моды [2], HyG пучки [3] и круговые пучки (CiB) [4]. В [4] указано, что частными случаями круговых пучков являются многие известные световые пучки, например, стандартные [5] и элегантные [6] моды Лагерра-Гаусса (sLG, eLG), квадратичные Бессель-Гаусса (QBG) пучки [7]. Заметим, что HyG моды [1] и HyGG пучки [2] были реализованы с помощью жидкокристаллических микродисплеев.

В данной работе приводится явный вид лазерных пучков, которые являются частными случаями HyG пучков [3]. Это модифицированные квадратичные Бессель-Гаусс (mQBG) пучки, о которых упоминалось в [2], но не было приведено их явного вида, и которые отличаются от обычных QBG пучков [7]. Показано, что известные гауссовые оптические вихри (GOV) [8,9] являются также частным случаем HyG пучков. Получены явные аналитические выражения для новых световых пучков: полых гауссовых оптических вихрей (HGOV), модифицированных элегантных Лагерра-Гаусса (meLG) пучков и гамма-гипергеометрических (gHyG) пучков. Эти световые пучки также являются частными случаями HyG пучков.

В работе приводятся экспериментальные результаты по формированию пары HyG пучков с номерами (n, у) и (-n,-у) с помощью бинарного дифракционного оптического элемента (ДОЭ). ДОЭ был синтезирован по технологии электронной микролитографии. Проведено сравнение экспериментальной и расчетной картин дифракции для HyG пучка. Приведены также результаты эксперимента по враще-

нию полистироловых шариков диаметром 5 мкм в световом кольце сформированного HyG пучка.

2. Общий вид ИуЄ пучков

В [3] показано, что с помощью начального светового поля при г = 0 вида

(— Ф, г = 0) =

2p I w

exp

---Г—Г + ig ln I — | + inj

2o2 I w 1

где (г, ф) - полярные координаты в начальной

плоскости г = 0 , ю и у - действительные параметры логарифмического аксикона, о - радиус перетяжки Гауссового пучка, п - номер сингулярности (целое число) спиральной фазовой пластинки (СФП), т - целое число - показатель степенной составляющей комплексной амплитуды, в произвольной плоскости г > 0 сформируется параксиальное световое поле, описываемое комплексной амплитудой вида:

чп+1 / Ч / I— \т+/у

л/2о

Eg’n’m (р0Z) (2гог! I z°q2

V wq у

(і ^n

к ор

yjlqz

exp

ikp 2 z

+ in0

xi Fi

n + m + 2 + ig 2 :

n +1, -

Ґ , V кор

л/2"<

qz У

1/2

где г0 = ко2, q = (1 -гг0/г) , (р,8) - полярные ко-

ординаты в поперечной плоскости, Г( х) - гамма-функция, 1Е1 (а,Ь,х) - функция Куммера [10],

к = 2я/1 - волновое число света, 1 - длина волны.

m

x

x

2

3. Частные случаи HyG пучков

В этом разделе мы получим аналитические выражения для частных случаев HyG пучков: mQBG, GOV, HGOV, meLG и yHyG пучков.

Все эти пучки не являются модами свободного пространства и не сохраняют свою структуру при распространении. Дифракционная картина в сечении этих пучков представляет собой набор светлых и темных концентрических колец, среди которых самое яркое кольцо является основным, а остальные кольца - боковыми лепестками. Из этих пучков только mQBG пучки обладают бесконечной энергией, как, например, обычные моды Бесселя [11], а остальные пучки имеют конечную энергию.

3.1. Модифицированные квадратичные Бессель-Гаусса пучки

Известна связь функции Куммера и функции Бесселя целого и полуцелого порядков [10]:

г і n +1 , .

1 F1|-------------, n +1, x I =

где (х) - функция Бесселя. Тогда из (2) с учетом

(3) и при условии, что у = / (т +1), получим:

Е., +|) (р, 8, г ) =

/

( п. \ (- )n+1f ksw'

= Ео,„,-1 (p, e, z ) = ^=^ |----------------IX

x exp

xl

in Є +

ikp2

V2P V 2 zq

P2

2R1

ikp2

2o2

где

о2(z) = 2о R (z) = 2 z

2

1 +-

V

z

0 J

f z2 ^ 1+—

V z0 J

R1

(

1 +

2z

0J

1п (х) - модифицированная функция Бесселя.

Световые пучки, описываемые комплексной амплитудой (4), имеют сомножителями гауссовую экспоненту и функцию Бесселя. Поэтому они сходны с известными пучками Бесселя-Гаусса (BG) [12]. Зависимость аргумента функции Бесселя в (4) от радиальной координаты квадратичная, и поэтому пучки (4) сходны с QBG пучками [7]. Но QBG пучки порождаются начальным световым полем при г = 0 ,

описываемым функцией J^ 2 (ar2) exp (-br2 + in j), a

и b - постоянные, а в любой другой плоскости z > 0 выражение для амплитуды QBG пучков можно получить с помощью справочного интеграла [13]:

J Jn (ar2) exp (-br2) Jn (cr) rdr =

n

0 2

J

2

4

exp

c2b

4

Пучки (4) порождаются с помощью другого светового поля в начальной плоскости:

-1 (r,jz=0)=V “1 expI -202+inj

и поэтому отличаются от QBG пучков. Световые поля (4) можно назвать модифицированными квадратичными Бессель-Гаусс пучками (mQBG).

При о  ¥ (гауссовый пучок заменяется плоской волной) из (4) получаются расходящиеся Бесселевы пучки, описанные в [3]:

~ , Ю ik

E0--(p, q,z )=ifeх

x(-i )2+1 exp

(

ine +ikP- I J„ 4z

ї kp2 ^ v 4z /

Световое поле (7) имеет особенность в центре начальной плоскости при z = 0 и r = 0 и обладает бесконечной энергией. Рассмотрим далее случаи без таких особенностей.

3.2. Гауссовы оптические вихри В этом разделе приводится явный вид комплексной амплитуды для еще одного частного случая HyG пучков - GOV [8,9]. Известна рекуррентная связь между функциями Куммера [10]:

1F (a, b, -x) = exp (-x) 1F1 (b - a, b, x).

С учетом (9) общий вид ЫуО пучков (2) для дальнейшего удобно написать в виде:

F,

,<r e, z ) = (-£ i-%

2pn! Vzq

V2a

wq j

/ \n

k ap '

V2qz

exp

іпЄ +

ikp 2 z

V2qz

n + m + 2 + i, хГ|------ ----- Ix

n-m-ig

X1F1

2

n + 1,

2

k ap

V2<

qz J

В [3] найдена связь между функцией Куммера и модифицированными функциями Бесселя:

c2a

1

n

X

2

p

г

2

2

X

2

2

v

X

X

1FJ 2,n +1,x) = гV 2

n-1

2^ х

n-1

J I x exp

2

ln-1

Используя (11) и положив у = /т , из общего вида (10) для ЫуО пучков можно получить частный случай в явной форме:

4л/Р

k op

V2<

qz

x exp

іпЄ +

zq

ikp2 p2

2R1

ln-1

где

У=

1

kop

•s/21

p

+

ikp2

qz J

2о2(г) 2К (г)'

Световое поле (12) порождается начальным полем вида:

1

E0,§,0 (r Ф, z = 0)=^ exp

2p

I

2o

2 + inj

которое можно реализовать с помощью дифракции гауссового пучка на СФП. Поэтому световые пучки, описываемые комплексной амплитудой (12), могут быть названы GOV [8,9].

3.3. Полые гауссовы оптические вихри Можно получить явный аналитический вид через модифицированные функции Бесселя для комплексной амплитуды световых пучков, близких по форме к пучкам (12). Такие пучки можно сформировать с помощью дифракции полого гауссова пучка на СФП:

E-(r,z=0) = V ЮІexp

I r2

- — + inj I.

Чтобы получить комплексную амплитуду при г > 0 , получим сначала промежуточное соотношение. Для этого сравним два справочных интеграла, один из которых пропорционален функции Куммера [13]:

Jr2 exp(-pr2) Jn (cr) dr = cnp

n + 3

2

xr| — |Г-1 (n +1) 1F1

n + 3 2

-

n +1,-------

4 p

а второй интеграл получается путем дифференцирования обеих частей равенства [13]

Jexp (-pr2) Jn (cr) dr =

1 p

exp

2V p

по параметру p

-s/p

J r2 exp (—pr2) Jn (cr) dr =---p 2 exp

8 p

11-n c2

2

Л

2 8 p J § V 8 p J V 8 p

2

2

• n-2 2

8p

Сравнивая правые части (15) и (17), получим связь между функцией Куммера и модифицированными функциями Бесселя:

1F11 —+-, n +1, - x I = x 2 exp V - x I^§x

xr-

11 n + 3 2

1 -n-£1, I£I+£, , I £

Используя (18), из общего уравнения (2), при условии у = / (т -1), получим явное выражение для новых световых пучков:

Ei(m-1Um ^ Є z) = E0,§,1 (P, e, z) =

( Л§+1 (-i) V2P

I ko3

zwq 1 - n

і§Є +

ikp2

2

2R1

- У 11„

J 2 2

где у такое же, как в (12). Световые поля (19) с учетом вида порождающего их поля (14) можно назвать HGOV.

3.4. Модифицированные элегантные пучки Лагерра-Гаусса Эти пучки порождаются с помощью начального поля вида:

Еу,п,2р+п (r, Ф, Г = 0) =

1 I r

2p V ю

2 p+n

exp

I z!

2o

2 + inj

Получим новый вид световых пучков как частный случай HyG пучков (2) при условии у = —і (2р - т + п), р - целое число (р > —п/2). Для

этого воспользуемся известной связью между функцией Куммера и присоединенными многочленами Лагерра [10]:

где Lp (x) - присоединенный многочлен Лагерра. С учетом (21) из (10) следует:

0

2

2

x

0

x

Л

z

0

x

x

x

x

2

2

f

2

\

x

2

p

x

x

x

Л

x

0

2

Е0,2 „ (г е,г ) = <—!ЛР К

\/2о

юд

где ґ = 2 у =

п+2р

ґ2 ехр

2р

іпЄ +

гд

ікр2 2 г

- ґ

% (ґ),

к орД-\/2дг)

Световые пучки, описываемые комплексной амплитудой (22), можно назвать meLG пучками. Об этих пучках упоминается в [2], но явного вида их не приведено. Мы называем эти новые световые пучки элегантными, так как аргумент многочлена Лагерра комплексный, как и у обычных eLG [6]. Но зависимость аргумента многочлена Лагерра в (22) от переменной г отличается от аналогичной зависимости в обычных eLG пучках [6]. Приведем для сравнения явный вид eLG пучков в принятых здесь обозначениях:

N р+1

, г ) = (— Г 1-^-1 X

ЕеШ (р,е,г) = (—і)~(±)'

п

2 п

s 2 ЄХР (іп Є-5 ) Ь”р ( 5) ,

^ —2і о2 гс ю2д2 г

где 5 = -ікр21(2д2г). Из сравнения (22) и (23) видно, что аргументы 5 и ґ отличаются своей зависимостью от координаты г . Это отличие возникает из-за того, что meLG пучки (22) порождаются начальным полем (20), а eLG пучки (23) порождаются начальным полем вида:

Ееш (r, Ф, г = 0) =

єхр

- 202+іпф IЕ

Г г2 N

2о2

3.5. Гамма-гипергеометрические пучки

Приведем здесь еще один явный вид комплексной амплитуды, описывающей частный случай ЫуО пучков (2). Для этого воспользуемся связью между функцией Куммера и неполной гамма-функцией [10]:

1Е1

где у(у, х) - неполная гамма-функция,

х

у(п х) = |х"-1 єхр (Ч) ¿4.

С учетом (25) из (2) получим частный вид HyG пучков при у = і (т + 2):

Еі(т+2-п),п,т (P, е, г) = Е0,п,п-2 (P, Є г) =

= (-і )п+1 ( к ю2 'У крю

2г

2я

Ґ

X єхр

2г

ікр2 2 г

+ іпЄ I у

2

кор

лУ2(

дг )

Световые пучки (27) описываются комплексной амплитудой, пропорциональной неполной гамма-функции, и поэтому мы назвали их уHyG пучками. Световые пучки (27) порождаются начальным световым полем вида:

Е0,п,п-2 (г, Ф, г = 0) =

1 Ґ \п-2 (

1 [ Г '

2я I ю

ехр

г

2о2

+ іпф

Заметим, что meLG пучки (22) переходят в уHyG пучки (27) при р = -1.

4. Моделирование

Формирование HyG-мод [1] с помощью дифракционных оптических элементов - непростая задача. Во-первых, аналогично модам Бесселя [11], HyG-моды имеют бесконечную энергию, а во-вторых, HyG-моды порождаются начальным световым полем (1), которое имеет особенность в начале координат (о  ¥, т = -1):

Ет,п,-1 (г, ф, г =0)=(ю)ехР іУ1п(ю)+іпФ

.

Поэтому на практике, чтобы сформировать HyG-моду, световое поле (29) следует ограничить кольцевой диафрагмой с радиусами ^ и К2 (Л1<^2). Однако такое ограничение апертуры начального поля при некоторых параметрах не приводит к заметным искажениям HyG-моды. На рис. 1 показан вид радиального распределения интенсивности поля (29), ограниченного кольцевой диафрагмой, и интенсивности на расстоянии г=100 мм.

б)

р, тт

Рис. 1 Радиальное распределение интенсивности ИуОмоды

При следующих параметрах расчета: 1=532 нм, ,К1=0,05 мм, Л2=1 мм, ^=1 мм, число отсчетов

X

п

X

2

п

2

0

п

N=512; параметры ЫуО-моды: п=4, у=-10, среднеквадратичное отклонение точной интенсивности, полученной на основе уравнения (2), от рассчитанной с учетом ограниченной апертуры (рис. 16) составляет 5,5%.

Реализация амплитудного распределения, показанного на рис. 1а, для формирования ЫуО моды является неэффективным способом. Более энергетически эффективным и технологичным является формирование ЫуО моды с помощью фазового бинарного ДОЭ [14].

Функция пропускания такого ДОЭ может иметь следующий вид:

(r, Ф) =

= sgn < cos

g ln І — І + nf + cr cos Ф

где с - несущая пространственная частота.

На рис. 2 показана бинарная фаза ДОЭ (30) (диаметр 5 мм, п=7, у=10, с=10 мм-1 , м>=\ мм) (а) и рассчитанная картина дифракции на расстоянии г=700 мм от ДОЭ (б).

Рис. 2. Бинарная фаза ДОЭ

Из рис. 2б видно, что при освещении ДОЭ (рис. 1а) плоской волной на некотором расстоянии формируются в основном две кольцевых картины дифракции, близкие к ^О модам с номерами п=7, у=10 (большие кольца) и п=—7, у=—10 (малые кольца). В каждый из двух пучков идет около 40% световой энергии.

На рис. 3 показаны радиальные распределения интенсивности, рассчитанные для идеальной моды HyG (кривые 1) и сформированные с помощью бинарного ДОЭ (рис. 2а) (кривые 2) на расстоянии г=2000 мм: п=7, у=10 (а) и п=-7, у=—10 (б).

р, тт

Рис. 3. Радиальные распределения интенсивности точных HyG-мод (кривые 1) и рассчитанных после бинарного

ДОЭ

Среднеквадратичное отклонение точных HyG-мод от рассчитанных на расстоянии z=2000 мм от бинарного ДОЭ (рис. 2а) составило 43% (а) и 35% (б). Таким образом, замена убывающей от r амплитуды функции (29) на постоянную в (30) приводит к заметной ошибке при формировании HyG пучка. Однако отличия касаются только боковых лепестков картин дифракции и почти не затрагивают основное кольцо.

5. Эксперимент

С помощью электронной литографии был изготовлен бинарный фазовый ДОЭ размером 5 X 5 мм с разрешением 10 мкм для длины волны 532 нм. На рис. 4. показано изображение центральной части микрорельефа этого ДОЭ, полученное с помощью интерферометра NewView 5000 Zygo co 100 -кратным увеличением.

0.000 іпт 0.353

Рис. 4. Микрорельеф центральной части бинарного ДОЭ (рис. 2а) размером 353*2б5мкм в подложке из плавленого кварца

w

Требуемая высота микрорельефа в подложке из плавленого кварца (8Ю2) равна 578,3нм, а высота изготовленного рельефа колебалась от 572 до 583 нм. То есть бинарный ДОЭ изготовлен с высокой точностью — около 1%.

На рис. 5 показаны картины дифракции, сформированные после освещения ДОЭ плоским пучком света диаметром 4 мм от твердотельного лазера с длиной волны 532 нм и мощностью 500 мВт и измеренные на разных расстояниях от ДОЭ: 2000 мм (а), 2300 мм (б) и 3000 мм (в). Из рис. 5 видно, что картины дифракции по форме совпадают с расчетными картинами (рис. 2в) и что на достаточном удалении от ДОЭ оба световых пучка п=7, у = 10 и п=-7, у = —10 слабо меняются при распространении.

Из рис. 6 видно, что обе картины дифракции и их радиальные сечения удовлетворительно соответствуют друг другу, а среднеквадратичная ошибка составляет 27%.

Рис. 5. Картины дифракции, сформированные ДОЭ

На рис. 6 показаны экспериментальная (а) и расчетная (в) картины дифракции плоской волны на ДОЭ для ЫуО-моды (п=7, у = 10) и их радиальные сечения интенсивности (б и г соответственно).

б)

г)

2,30 4,50 6,80

Рис. б. Экспериментальная

На рис. 7 показаны три фрагмента (разделенных временным интервалом в 15 сек) вращения поли-стиролового шарика диаметром 5 мкм, вращающегося по основному кольцу HyG пучка (п=7, у = 10 ),

сформированного бинарным ДОЭ (рис. 4). Световое кольцо на рис. 7 после фокусировки микрообъективом х40 имело диаметр 39 мкм.

а)  -і-- Я б) ^^Ннимі., амі шЯ в) I

Рис. 7. Вращение полистироловой частицы диаметром 5 мкм (местоположение частицы показано белым треугольником) по основному кольцу картины дифракции для ИуО пучка (п=7, у=10), сформированной при дифракции плоской волны на

ДОЭ

6. Заключение

Получены явные аналитические выражения, описывающие параксиальные световые пучки, являющиеся частными случаями HyG лазерных пучков: mQBG, GOV, HGOV, meLG и gHyG пучки. По технологии электронной микролитографии с точностью реализации высоты микрорельефа около 1% синтезирован бинарный дифракционный оптический элемент, приближенно формирующий HyG пучки. Бинарный ДОЭ рассчитывался как киноформ, то есть модуль кодируемой комплексной функции заменялся константой, а аргумент (фаза) комплексной функции сохранялся. В результате такой замены сформированные картины дифракции по форме совпадают с картинами дифракции для HyG пучков, хотя количественно заметно отличаются. Однако отличия касаются только боковых лепестков картин дифракции (периферийных колец) и почти не затрагивают основное кольцо. Теория и эксперимент находятся в удовлетворительном соответствии. Также экспериментально показана возможность вращения полистироловых шариков диаметром 5 мкм в световом кольце сформированного лазерного пучка.

Благодарности

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке российско-американской программы «Фундаментальные исследования и высшее образование» (грант CRDF RUX0-014-Sa-06, грантов РФФИ №№ 07-07-97600, 08-07-99007 и Президента РФ № НШ-3086.2008.9.

Авторы выражают благодарность группе Я. Туру-нена (Физический факультет Университета Йоенсуу, Финляндия) за изготовление и предоставление для проведения экспериментов оптических элементов.

Литература

1. Kotlyar, V.V. Hypergeometric modes / [V.V. Kotlyar and other] // Opt. Lett. 2007.- Vol. 32. - p.742-744.

2. Karimi, E. Hypergeometric-Gaussian modes / [E. Karimi and other] // Opt. Lett. 2007.- Vol. 32.-p.3053-3055.

3. Kotlyar, V.V. Family of hypergeometric laser beams / V.V. Kotlyar, A.A. Kovalev // J. Opt. Soc. Am. A. 2008.-Vol.25.- p.262-270.

4. Bandres, M.A. Circular beams / M.A. Bandres, J.C. Gutierrez-Vega // Opt. Lett. 2008.- Vol. 33.- p.177-179.

5. Siegman, A.E. Lasers / A.E. Siegman - University Science, 1986.

6. Takenaka, T. Propagation of light beams beyond the paraxial approximation / T. Takenaka, M. Yokota, O. Fuku-mitsu // J. Opt. Soc. Am. A. 1985.- Vol. 2.- p.826-829.

7. Caron, C.F.R. Bessel-modulated Gaussian beams with quadratic radial dependence / C.F.R. Caron, R.M. Potv-liege // Opt. Commun. 1999.- Vol. 164.- p.83-93.

8. Rozas, D. Propagation dynamics of optical vortices / D. Rozas, C.T. Law, G.A. Swartzlander, Jr. // J. Opt. Soc. Am. B. 1997.- Vol. 14.- p.3054-3065.

9. Kotlyar, V.V. Generation of phase singularity through diffracting a plane or Gaussian beam by a spiral phase plate / [V.V. Kotlyar and other] // J. Opt. Soc. Am. A. 2005.- Vol. 22.- p.849-861.

10. Handbook of Mathematical Functions / ed. by. M. Abra-movitz, I.A. Stegun.- National Bureau of Standards, Applied Math. Series, 1965.

11. Durnin, J. Difraction-free beams / J. Durnin, J.J. Miceli, J.H. Eberly // Phys. Rev. Lett. 1987.- Vol. 58.- p.1499-1501.

12. Gori, F. Bessel-Gauss beams / F. Gori, G. Guattari, C. Pado-vani // Opt. Commun. 1987.- Vol. 64(6).- p.491-495.

13. Прудников, А.П. Интегралы и ряды. Специальные функции / А.П. Прудников, Ю. А. Брычков, О.И. Мари-чев - М. :Наука, 1983.

14. Methods for Computer Design of Diffractive Optical Elements / ed. by V.A. Soifer.- Willey & Sons, 2002.