Методические возможности графов

ПЕДАГОГИКА И МЕТОДИКА ПГЕПОДАВАНИЯ

Вестник Омского университета, 2003, №1, с. 132-134.

© Омский государственный университет 1 ^

МЕТОДИЧЕСКИЕ ВОЗМОЖНОСТИ ГРАФОВ

Е.В. Дьякова

Омский государственный университет, кафедра алгебры 644077, Омск, пр. Мира, 55а

Получена 11 ноября 2002 г.

We constructed the sistem of exercises to illustrate some difficult things from group theory. Graph theory is a source of examples and exercises for our article.

Начавшийся в XX в. процесс алгебраизации математики вызвал появление упорных попыток введения основных алгебраических понятий на все более ранних стадиях обучения, в том числе и школьного. Естественно, что здесь на первый план выдвигается теория групп; во-первых, ввиду той фундаментальной роли, которую группы играют в математике вообще, и, во-вторых, ввиду относительной простоты этого понятия. С группами сталкивается в той или иной мере фактически каждый, кто сколько-нибудь серьезно занимается математикой или ее приложением.

Теория групп дала мощные средства для исследования алгебраических уравнений, геометрических преобразований, а также для решения ряда задач топологии, теории чисел и теории функций. Две особенности теории групп привели к тому, что сложилась традиция откладывать ее изучение на более поздние этапы обучения. Первая особенность состоит в том, что теория групп обладает высокой степенью абстракции, свойственной теоретико-групповым понятиям, а умение обращаться с ними приходит лишь с математической зрелостью. Вторая - в том, что теория групп имеет глубокие связи с другими науками, проследить которые можно тогда, когда учащиеся уже знакомы с их основами.

Понятно, что для наглядности первые понятия теории групп демонстрируют на примерах, взятых из геометрии. Гассматривают группы симметрий геометрических объектов, состоящих из движений, сохраняющих ориентацию трехмерного пространства. Учащиеся знакомятся с такими группами, как группа диэдра, циклическая, группа Клейна, кватернионов, с симметрической группой /г-й степени, знакопеременной группой степени п. Запас примеров несколько расширяется, если от названных групп перейти к их подгруппам. Но это всё, таким образом, за-

пас примеров из теории групп довольно скудный. Конечно, можно применять теорему Кэли, в которой говорится о том, что любая конечная группа вложима в симметрическую группу. Но такое описание групп довольно громоздко и далеко от наглядности.

Учитывая особенности этой науки, мы поставили перед собой следующие задачи: во-первых, изложить некоторые понятия из теории групп в форме, доступной для начинающих; во-вторых, пополнить запас примеров. Обучение школьников и студентов элементам теории групп — это задача, подчиненная другой, на наш взгляд, более актуальной: научить учащихся самостоятельно находить симметрии математических объектов. Мы стремились каждое абстрактное понятие сделать более «осязаемым» с помощью более наглядных образов — графов.

Нами разработана система задач, иллюстрирующих понятия теории групп, использующая задание группы как группы симметрий автоморфизмов графа. Математическая основа такого подхода при формировании иредставлениий о симметрии — теорема Фрухта о том, что любая конечная группа является группой симметрий конечного графа (аналогичный результат верен и для бесконечных групп).

Первые понятия, которые мы предлагаем рассмотреть, — группа и подгруппа. Правильное понимание такого базового понятия очень важно, поэтому предложенная система заданий поможет заложить прочную основу для дальнейшего изучения теории групп и др. наук.

Говоря о подгруппе, мы начинаем работать с цветными графами Кэли, то есть в графе выделяем некоторое множество вершин или ребер и рассматриваем те симметрии, которые сохраняют это множество.

Выделим следующие типы задач:

Методические возможности графов

133

1. Для ряда графов требуется определить их группу симметрии, причем можно подобрать графы специальным образом, в зависимости от того, какие цели ставятся.

2. Доказать, что конкретный граф имеет заданную группу симметрии.

3. Найти группу симметрий, которая сохраня-ля бы раскраску (отмеченные вершины) графа.

4. Построить граф с заданной группой симметрий.

При,мер 1. Найдите группы симметрий графа. Каков порядок найденных групп?

А

В

С

При,мер 2. Сколько симметрий переводят отмеченные вершины в отмеченные? Докажите, что группа симметрий графа, которые сохраняют тип вершины, изоморфна 5*4.

Следующее понятие, которое мы предлагаем рассмотреть, — изоморфизм групп: когда группы определены по-разному, а устроены одинаково. Очевидно, что изоморфные графы имеют изоморфные группы, поэтому далее переходим к изучению изоморфизма графов. При этом задачи на определение изоморфности графов делим на два типа:

— когда графы не имеют связи с геометрическими объектами;

— когда они имеют такую связь.

При,мер 3. Являются ли данные графы изоморфными? Почему?

Пример 4- Граф А имеет десять вершин (это вершины правильного десятиугольника) и пятнадцать ребер (это стороны десятиугольника и его

диагонали, соединяющие попарно центрально-симметричные вершины). Граф В тоже имеет десять вершин (это вершины правильной призмы с основанием — пятиугольник) и пятнадцать ребер (ребра данной призмы). Верно ли, что графы А и В изоморфны?

Более подробно остановимся на иллюстрации конструкций в теории групп: прямого произведения, нормального делителя, фактор-группы, сплетения. Далее предлагаем рассмотреть задачи следующего типа.

a. Для предложенных графов найти группу симметрий. Здесь демонстрируются графы с общей или различной группой.

b. Для данного графа найти нормальный делитель группы автоморфизмов графа, построить по нему фактор-группу.

Сначала продемонстрируем конструкцию прямого произведения на следующем примере. Гас-смотрим два графа Г и Д, их группы автоморфизмов С(Г) и С(Д) соответственно. Теперь рассмотрим граф Г и Д:

Г

Д

Если графы Г и Д неизоморфны, то С(Г и Д) = = С(Г) х С{ А). Если же </? : Г —* Д — изоморфизм, то на Г и Д определим автоморфизм Ф. Он совпадает с ц> на Г и с на Д. То-

гда С(Ги Д) = [С(Г) х С(Д)]А(Ф) - полупрямое произведение, где (Ф) — циклическая группа порядка 2.

Если мы рассматриваем только связные графы, то к множеству вершин графа Г и Д добавим одну новую, которую соединим ребрами со всеми вершинами Г и Д. Получим иллюстрацию прямого произведения групп, как это сделано выше для несвязных графов.

При,мер 5. Назовите группы симметрий графов:

А

В

Пример 6. Гассмотрим группу С автоморфизмов графа и в ней подгруппу Н тех автоморфизмов, при которых остается неподвижной каждая вершина, в которую приходит стрелка.

134

Е.В. Дьякова.

Каков порядок Н,С? Является ли Н нормальной в С? Найдите С (верно ли, что С = 64?). Постройте С/Н.

Л

Проиллюстрируем на данном примере конструкцию, которая помогает усвоить такие понятия, как нормальный делитель, фактор-группа, сплетение. Пусть С\, Со, Сз — изоморфные графы; группа симметрий графа С?;, г = 1,2,3,4 — это б'о . Вводим новые вершины В1, Во, В3 . Соединим каждую вершину со всеми вершинами соответствующего графа С; и В1 с Во, В3, Во с В3 . Получим связный граф С. В группе его симметрий выделим подгруппу тех симметрий, при которых вершины остаются на своих местах. Полученная подгруппа Н — это прямое призве-дение: Н = Бо х Бо х б'о , а группа всех симметрий графа С — подстановочное произведение БогС'з, открытое в XIX в. Фробениусом при изучении конечных групп. Для произвольных групп та же конструкция под названием сплетение была построена Калужниным и Краснером. Рассуждая аналогичным образом, мы можем построить любую модель, что позволяет увеличить разнообразие примеров в теории групп. Возможности таких моделей велики.

1. Они дают примеры групп с нетривиальным нормальным делителем;

2. Симметрическая группа содержит любую наперед заданную конечную группу, что позволяет проиллюстрировать сплетение с любой наперед заданной группой;

3. Модели дают возможность проиллюстрировать любое расширение групп с помощью вложения в группу всех симметрий графа. (По теореме Калужнина-Краснера любое расширение группы А с помощью нормального делителя Н вложимо в сплетение НгА);

4. Они иллюстрируют конструкцию факторгруппы.

Система задач такого типа важна для учащихся еще и потому, что все эти понятия довольно трудно проиллюстрировать на геометрических объектах.

Итак, теория графов может быть использована для иллюстрации некоторых понятий из теории групп. В работе максимально использована наглядность, чтобы сгладить недостатки,

связанные с абстрактым характером теоретико-групповых понятий и нехваткой примеров, предложена система задач, которые позволят не только разобраться в понятиях, но и более детально изучить их, закрепить полученные знания.

Ответы к примерам:

1. А'4 (четверная группа Клейна).

2. 24. Если пронумеровать отмеченные и неотмеченные вершины в 1, 2, 3, 4 и рассмотреть симметрии, то получим подстановки на четырех символах. В итоге получим 64.

3. Да. По определению, можно пронумеровать вершины обоих графов специальным образом (как на рисунке).

4. Нет. В графе В выполняется свойство: для любых четырех вершин 1,2,3,4 верно, если вершина 1 связана ребром с вершиной 2, вершина 2 связана с вершиной 3, 3 с 4, тогда вершина 4 связана ребром с вершиной 1. В графе А такое свойство не выполняется и, по определению, графы не изоморфны.

5А. Граф С?1 имеет группу симметрий б'з, Со — б'о, а граф С объединяет эти графы. Тогда группа симметрий графа С Г — это прямое произведение Г = б'з х 5*2 .

5В. Некоммутативная группа порядка 8, К^ХБо .

6. |С| = 24; \Н\ = 8. Здесь Н — нормальный делитель С. Причем Я = & х Бо х Бо, С =

БогСз^С/Н ^ С3.

1. Кукин Г.П., Кузнецова О.В. Лекции о симметрии. Омск: ОмГУ, 1993.

2. Гроссман И., Магнус В. Группы и графы. М.: Мир, 1971.

3. Ope О. Теория графов. М.: Наука, 1980.

4. Харари Ф. Перечисление графов. М.: Мир, 1973.

5. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. М.: Наука, 1977.