Обучение через игру – педагогика и результаты обучения математике в раннем детстве

Фогт Ф., Хаузер Б., Стеблер Р., Рехштайнер К., Урех К.

Обучение через игру -педагогика и результаты обучения математике в раннем детстве*

Франциска Фогта, Бернхард Хаузер3, Рита Стеблерь, Карин Рехштайнер3, Криста Уреха

а Институт исследований в области преподавания и обучения, Университет образования Сен-Галлена, Сен-Галлен, Швейцария;

ь Институт исследований образования, Цюрихский университет, Цюрих, Швейцария

Хотя исследования подчеркивают важность раннего обучения математике в детском саду, практики нуждаются в эффективных и инновационных педагогических методиках. В настоящее время применяются разные подходы: от основанного на обучении и руководстве со стороны педагогов до подхода, основанного на играх. Данное исследование раннего вмешательства рассматривает влияние этих двух подходов в педагогике на математические компетенции детей. В исследовании 35 воспитателей детских садов и 324 шестилетних ребенка были случайным образом распределены на три группы: занимающиеся по образовательной программе, использующие игровой подход с карточными и настольными играми и контрольную группу. Мнения педагогов, полученные в ходе данного исследования, были объединены в полуструктурированные интервью. Полученные данные свидетельствуют о более высоких результатах обучения в целом для игрового подхода. Дети с низким уровнем компетенций, как правило, добились больших успехов при работе по образовательной программе; дети с высокими компетенциями - больше при игровом подходе. Педагоги оценили игровой подход с использованием карточных и настольных игр как более подходящий к разнообразным потребностям детей.

Ключевые слова: дошкольное образование; математика; игра; количественно-числовые компетенции; детский сад; педагогика.

Для цитирования: Фогт Ф., Хаузер Б., Стеблер Р., Рехштайнер К., Урех К. Обучение через игру -педагогика и результаты обучения математике в раннем детстве // Современное дошкольное образование. - 2019. - №3(93). - С. 66-78.

Введение

Математические компетенции в раннем возрасте имеют большое значение для последующих результатов обучения (Duncan et al., 2007; Grbssing, Peter-Koop, 2008). Несмотря на растущее понимание того, что дети нуждаются

* Franziska Vogt, Bernhard Hauser, Rita Stebler, Karin Rechsteiner & Christa Urech (2018): Learning through play -pedagogy and learning outcomes in early childhood mathematics, European Early Childhood Education Research Journal, DOI:10.1080/1350293X.2018.1487160. Публикуется с любезного разрешения журнала European Early Childhood Education Research Journal.

** Contact: Franziska Vogt, franziska.vogt@phsg.ch, Institute for Research in Teaching and Learning, University of Education St. Gallen, Notkerstrasse 27, 9000 St. Gallen, Switzerland.

в математическом обучении в детском саду, нет единого мнения о наилучшем педагогическом подходе в этой области. Воспитатели детских садов подчеркивают, что математические занятия должны быть включены в повседневную жизнь (Gross, Rossbach, 2011) или что раннее обучение должно основываться на игре, даже если само понимание игры различно (Gasteiger, 2015).

Представленный ниже исследовательский проект сравнивает эффективность игрового подхода с использованием карточных и настольных игр (Hauser et al., 2015), с образовательной программой (Krajewski, Nieding, Schneider, 2007) и контрольной группой. Кроме того, принятие педагогами того или иного подхода имеет важное значение для его эффек-

Learning through Play - Pedagogy and Learning Outcomes in Early Childhood Mathematics

Franziska Vogta, Bernhard Hauser3, Rita Steblerb, Karin Rechsteiner3 and Christa Urecha

institute for Research in Teaching and Learning, University of Education St. Gallen, St. Gallen, Switzerland; institute of Education Research, University of Zurich, Zurich, Switzerland

Whilst research underlines the importance of early mathematics in kindergarten, practitioners need effective and innovative approaches to pedagogy. Currently, very different approaches are deployed from an instructional, educator-led approach based on training programmes to a play-based approach. This intervention study examines the effects on the mathematical competency of these two pedagogies. Thirty-five kindergarten educators and 324 six-year-old children were randomly assigned to either a training programme, a play-based approach with card and board games or to the control group. Educators' views on the interventions were gathered in semi-structured interviews. The results indicate higher learning gains overall for the play-based approach. Differentiated effects were found as tendencies: children with low competencies tend to gain more from training programmes compared to no intervention; children with high competencies gain more from the play-based approach than the training. Educators evaluated the play-based intervention with card and board games as better suited to children's diverse needs.

Keywords: early childhood education; mathematics; play; quantitynumber-competencies; kindergarten; games; pedagogy.

For citation: Franziska Vogt, Bernhard Hauser, Rita Stebler, Karin Rechsteiner & Christa Urech (2019). Learning through play - pedagogy and learning outcomes in early childhood mathematics. Preschool Education Today. 3:13, 66-78 (in Russian).

тивной реализации. Поэтому мнения педагогов также должны быть приняты во внимание.

В данной статье рассматриваются следующие вопросы исследования: как игровой подход с карточными и настольными играми соотносится с образовательной программой по обучению детей математике? Существуют ли дифференцированные эффекты для детей с различными уровнями математических компетенций? Каков практический опыт и взгляды педагогов на игровой подход и образовательную программу?

Теоретическая основа: математические компетенции и педагогические подходы в детском саду

Обзор начинается с актуальности обучения математике в детском саду с последующим акцентом на определенные аспекты математических компетенций детей. Затем рассматривается вопрос об отношении воспитателей

к математике. После чего излагаются различные подходы к обучению математике в раннем детстве, за которыми следует обсуждение инновационного потенциала игры в раннем преподавании математики.

Значение математических компетенций

Математические компетенции в детском саду очень важны для последующих результатов обучения в школе. Такие компетенции, как распознавание цифр и чисел, числовая последовательность, счет, порядок, сравнение цифр и чисел, сложение и вычитание, были признаны сильнейшими предикторами для более поздних школьных достижений, достигая средней величины эффекта 0,34 - по сравнению с ранним чтением (0,17), навыками внимания (0,10) и социально-эмоциональным поведением (0,0) (Duncan et al., 2007). Дети с низкими математическими компетенциями в детском саду чаще всего испытывают трудности с математикой и в школе (Dornheim, 2008).

Количественно-числовые компетенции являются предиктором более поздних математических компетенций за пределами цифр

и чисел, в то время как фонологическое знание - нет (Krajewski, Schneider, 2009). Математические компетенции у дошкольников в детском саду значительно различаются, что также связано с разли чиями в домаш нем обучении (Anders et al., 2012; Sonnenschein, Galindo, 2015). Чтобы расширить возможности для всех детей, независимо от их социального происхождения, детский сад должен целенаправленно развивать методы обучения математике (Grüssing, Peter-Koop, 2008), а детям должны быть предоставлены возможности для обучения, отвечающие их разнообразным образовательным потребностям (Gasteiger, 2015).

Как и в других предметных областях, решающее значение имеет качество обучения, но оно также может сильно различаться (McCray, Chen, 2012). Энгель и коллеги (2016) связали время, затраченное, по сообщениям педагогов, на математику, с успехами детей в математике и не нашли никакой корреляции. Они пришли к выводу, что педагоги фокусируются на таких учебных занятиях, которые не являются достаточно сложными для большинства детей, например изучение форм.

Компетенции, которые необходимо развивать

Необходимы такие способы обучения математике, которые являются стимулирующими, целесообразными и адаптивными к разнородным потребностям маленьких детей. Трех-четырехлетние дети нуждаются в умелом руководстве, чтобы заметить количественные отношения в повседневной жизни и начать представлять «информацию о структуре, формах, пространстве и числе» (McCray, Chen, 2012, 292).

Как подчеркивают Сарама и Клементс (2009), цель состоит в развитии «всеобъемлющих» математических компетенций, которые являются ключевыми для математики и соответствуют детскому мышлению. Среди них количественно-числовые компетенции весьма актуальны. Как показали лонгитюдные исследования, количественно-числовые компетенции при поступлении в школу являются самым сильным предиктором математических достижений в третьем классе (Krajewski, Schneider, 2009), а в дошкольном возрасте объясняют до 41% различий в математических компетенциях в начальной школе, в то время как общие когнитивные способности только до 10% (Dornheim, 2008).

Теоретическая модель развития количественно-числовых компетенций

обеспечивает ориентацию на развитие этих математических компетенций от базового уровня «последовательности чисел, выделенных из количеств» - к «связи количества с числом» и до «концепции числовых отношений» (Krajewski, Schneider, 2009).

Мнения воспитателей детского сада о математическом обучении

Мнения педагогов могут повлиять на обучение математике в детском саду. Их ощущение самоэффективности в отношении математики связано с важностью, которую они придают этому предмету в детском саду (Brown, 2005). Педагоги могут быть обеспокоены тем, что математика - «это не забава» (Lee, Ginsburg, 2009), и выражают негативные эмоции по отношению к математике (Benz, 2012), возможно, под влиянием их собственного, зачастую негативного, школьного опыта (Anders, Rossbach, 2015). Другие результаты указывают на позитивное отношение к математике воспитателей детских садов (Chen et al., 2014; Thiel, 2010).

Линк, Фогт и Хаузер (2017) обнаружили, сравнивая мнения воспитателей детских садов в Австрии, Германии и Швейцарии, что швейцарские педагоги более решительно выступают за целенаправленный подход к математике в детском саду, чем их немецкие и австрийские коллеги.

Различные подходы к обучению математике в раннем возрасте

Принимая во внимание, что для детского сада требуются стимулирующие, целесообразные и адаптивные способы обучения математике, и учитывая, что количественно-числовые компетенции особенно актуальны для последующего обучения, педагоги должны выбрать наилучшие подходы для возможности приобретения этих компетенций в детском саду.

Шулер (2008) рассказывает о некоторых проблемных ситуациях, с которыми сталкиваются педагоги, среди них: 1) выбор образовательной программы и соглашение о бесплатном обучении; 2) воспитание проблемных детей и воспитание всех детей в группе; 3) сосредоточение внимания на предметной области - т.е. развитие каких-то конкретных компетенций в ущерб более широкому подходу.

Традиционно математика не находилась в центре внимания образовательной программы в детском саду, и воспитатели использовали методику, при которой математические

компетенции применяются в повседневной жизни, например, подсчет присутствующих детей, сравнение количества предметов при распределении детей за общим столом и т.д. Однако акцент на раннем обучении приводит к сдвигам и в повседневной практике детского сада. Сегодня в детских садах доступен целый ряд учебных материалов, ряд из которых требует определенных временных рамок для целенаправленной математической деятельности. Многие материалы разработаны в качестве пособий для образовательной программы с установленным порядком упражнений, ориентированных на определенные компетенции, развиваемые детьми в образовательной группе под руководством педагога.

Педагоги часто не одобряют использование образовательных программ, поскольку они слишком похожи на школьные (Jörns et al., 2014). В связи с ростом числа учебных, «школьных» программ обучения для детских садов встает вопрос о том, является ли подход, ориентированный на образование и обучение под руководством педагога, наиболее подходящим для детей дошкольного возраста или же для них более уместен игровой подход (Hauser, 2005)?

Игровой подход как инновация

Инновационные подходы к раннему обучению математике должны быть не только адекватны и эффективны с точки зрения развития, но и совместимы с педагогикой детского сада. Поскольку дети в детском саду имеют высокую мотивацию к обучению, но не формальным, учебным способом, то игру можно рассматривать как мощное средство обучения (Hauser, 2005).

игру можно определить как «веселую, добровольную, гибкую, активную деятельность, не имеющую внешних целей, включающую активное участие ребенка и часто имеющую элемент притворства» (Weisberg, Hirsh-Pasek, Golinkoff, 2013, 105). Игра ребенка лежит в основе дошкольного образования (Singer, 2013), хотя педагоги не всегда осознают свою роль в развитии игры (Bodrova, 2008; Vu, Han, Buell, 2015). Важно проводить различие между игровыми действиями и активностью, инициированной взрослыми, которая напоминает школьные занятия (Bergen, 2015). Вайсберг и коллеги (2015) придумали образовательные мероприятия под руководством педагога, замаскированные под игру «Брокколи в шоколаде». Вуд (2009) подчеркивает необходимость проводить различие

между разными формами континуума: свободной игрой и отсутствием игры. Такое разъяснение требуется для «управляемой игры»: «управляемая игра находится между свободной игрой и прямым обучением» (Weisberg, Hirsh-Pasek, Golinkoff, 2013, С.105) и направляется взрослым, структурирующим игровую среду, но оставившим управление игрой детям (Weisberg et al., 2015).

Инновационные подходы к раннему обучению математике могут опираться на игру, будь то ролевая игра (van Oers, 2010) или настольные и карточные игры. Необходимо признать, что ролевая игра, или игра с правилами, требует от детей немало времени, чтобы установить игровые рамки, принять участие в игре и развить ее (Bergen, 2015). Что касается настольных и карточных игр, некоторые исследования показали, что они эффективны в приобретении математических компетенций (Gasteiger, 2015; Jörns et al., 2014; Kamii, Kato, 2005; Ramani, Siegler, 2008; Schuler, 2013).

Гаштайгер, Оберштейнер и Рейсс (2015) подчеркивают, что не только концепция «игры» используется по-разному, но и сами «игры»; поэтому они предлагают «континуум - от игр, предназначенных только для развлечения, до мероприятий по целевому обучению с небольшим количеством развлекательных функций». Для игрового подхода к математике в дошкольном образовании необходимы четыре условия: 1) «математическое содержание должно быть частью игровой механики»; 2) должно быть «правильно представлено»; 3) «необходимо для дальнейшего обучения»; 4) игра должна «соответствовать индивидуальным потребностям ребенка в обучении» (Gasteiger, Obersteiner, Reiss, 2015, 233).

Хотя игра широко признается в качестве важной траектории обучения в дошкольном образовании, мало что известно об эффективности игры по сравнению с другими способами обучения в дошкольном детстве. Представленный здесь исследовательский проект позволил сравнить игровой подход с использованием карточных и настольных игр и образовательной программой. Эта статья посвящена анализу интервью и результатов обучения. В ней рассматривается ответ на следующий основной вопрос: в какой мере эффективность игрового подхода к раннему обучению математике (с использованием карточных и настольных игр) можно сравнить с эффективностью образовательной работы по образовательной программе и каковы предпочтения педагогов?

Методы

Дизайн исследования

В рамках исследовательского проекта сравнивались две группы раннего вмешательства: игровой подход и образовательная программа, а также контрольная группа, прошедшая пред- и пост-тесты в рамках квазиэкспериментального дизайна, основанного на измерении уровня математических компетенций детей. Все мероприятия были максимально сопоставимы по содержанию и времени.

Была выбрана образовательная программа, показавшая эффективность по результатам предыдущего тестирования, - Mengen zählen Zahlen [Количество, Счет, Числа] (Krajewski, Nieding, Schneider, 2007, 2008). Она составлена из 24 разделов по полчаса каждый, ориентированных на количественно-числовые компетенции. Каждый раздел проводится с небольшой группой детей под руководством педагога, который использует конкретные математические задания и материалы (см. Примечание 1). Исследовательская группа разработала игровой подход с использованием карточных и настольных игр, учитывающий содержание образовательной программы и включающий задания на сравнение количества, подсчет, распознавание чисел и взаимосвязь «часть - целое». Некоторые из игр были доступны, такие как Halli Galli; другие требовали адаптации правил или материалов, такие как «Закрой ящик» и «Выстрой пятерки»; а некоторые игры были разработаны для проекта с нуля, такие как More is More (Vogt, Rechsteiner, 2015) (см. Примечание 2).

Все игры были опробованы с детьми детского сада и оценены на предмет их пригодности в сотрудничестве с тремя воспитателями. Для игрового вмешательства педагогам была предоставлена коробка с 10 определенными карточными и настольными играми. Игровое вмешательство имело ту же продолжительность, что и образовательная программа. Все дети играли в карточные и настольные игры на протяжении 24 получасовых отрезков в небольших группах. В основном, дети могли выбирать себе товарищей по игре и игру, но они должны были играть в «математические игры», находившиеся в коробке, в течение получасовых отрезков. Воспитатели представляли игры и помогали детям. Воспитателям контрольной группы детского сада было предложено работать как обычно.

Широко используемые способы развития математических компетенций включают счет в повседневной жизни, игру в кубики и ролевую игру. Что касается исследовательской этики, то можно констатировать, что экспериментально варьирующиеся педагогические подходы с вмешательствами с интервалом в восемь недель в рамках учебной программы детского сада не доставили детям неудобств.

Родители и дети были проинформированы об исследовательском проекте и дали полное согласие на участие. Воспитатели обеих групп прошли одинаковый общий инструктаж по изучению математики в детском саду (1 день) и инструктаж либо по игровому подходу, либо по образовательной программе (1 день) и два отдельных последующих занятия (каждое по полдня). Данные о мнениях воспитателей были собраны в конце занятия независимым исследователем с использованием полуструктурированных проблемно-ориентированных телефонных интервью.

Выборка

После получения списка всех детских садов в кантоне Сен-Галлен в Швейцарии с воспитателями этих детских садов связались и пригласили для участия в исследовании и случайным образом распределили в одну из групп. В каждом из выбранных детских садов в исследовании участвовала группа детей последнего перед поступлением в начальную школу года, т.е. 5-6-летние дети. Выборка включала 12 воспитателей и 111 детей, входящих в группу, использующую учебную программу Mengen zählen Zahlen, 11 воспитателей и 91 ребенка в группе, реализующей игровой подход, и 12 воспитателей и 127 детей в контрольной группе (см. Примечание 3). Средний возраст детей составил 6 лет 3 месяца, без статистической разницы между тремя группами (F[2,325] = 1,400; p > .05).

Инструменты и анализ данных

Сначала описываются количественные инструменты исследования и статистические процедуры, затем - качественные инструменты и качественный анализ данных.

Количественные инструменты. Математические компетенции измерялись с помощью теста Zahlenstark, разработанного Мозером и Бервегером (2007) и использованного для крупномасштабной оценки в Швейцарии (Moser, Bayer, 2010). Тест совместим с моделью развития математических

компетенций Краевски, которая объединяет методы измерения математических компетенций, Ван ден Хойвель-Пангейзеном (1995) и Мозером Опицем (2001). Тест включает в себя задачи на счет, количество, величину, знание цифр и чисел и первые арифметические операции, как правило, сопровождаемые изображениями и встроенные в повседневные мероприятия.

Исследователи проводили тесты индивидуально с каждым ребенком в помещении. Когнитивные способности измерялись с помощью двух субтестов CFT1 (Weiss, Cattell, Osterland, 1997). Родители заполнили анкету с вопросами о социально-экономическом положении семьи, языках, на которых говорят дома, и условиях домашнего обучения.

Количественный анализ данных. Чтобы выяснить, являются ли группы сопоставимыми, был проведен дисперсионный анализ (ANOVA) по возрасту детей, когнитивным способностям, социально-экономическому статусу семьи, миграционному прошлому и математическим компетенциям по результатам пред-теста. Затем результаты тестов математических компетенций сравнивались путем применения дисперсионного анализа с повторными измерениями. Были изучены дифференцированные результаты, разделяющие детей на три группы, каждая из которых составляла треть от общей выборки в соответствии с результатами пред-теста по математическим компетенциям. В итоге были сформированы подгруппы высокого, среднего и низкого уровня, по каждой подгруппе был проведен дисперсионный анализ ANOVA.

Качественныеинструменты. Воспитатели обеих групп были проинтервьюированы независимым исследователем после периода вмешательства. Интервью проводились по телефону и длились 30-40 минут. Сначала педагогов попросили составить рассказ, в котором они объясняли бы коллеге, в чем заключается проект, в котором они участвовали. Затем их попросили описать, как они осуществляли вмешательство, как дети участвовали в этом вмешательстве и - в качестве общей заключительной оценки - будут ли они в будущем использовать игровой подход или образовательную программу. Полуструктурированные проблемно-ориентированные интервью были записаны на аудиоаппаратуру и полностью расшифрованы.

Качественный анализ данных. расшифрованные аудиозаписи были сначала про-

анализированы с использованием качественного контент-анализа программой MAXQDA (Kuckartz, 2010). Хотя на первом этапе интервью были тщательно проанализированы с целью выявления проблем, связанных с организацией конкретных игр, повторный анализ интервью, представленный в настоящей статье, отражает мнения и опыт педагогов. Кроме того, были подробно проанализированы позиции воспитателей, обнаруженные в начале каждого интервью, а также их понимание педагогических подходов к обучению математике, выявленное в ходе дальнейшей беседы (Kruse, 2015).

Результаты

Предполагается следующая последовательность изложения результатов: сначала будут представлены количественные результаты, отражающие математические компетенции детей, а затем качественные результаты, основанные на анализе ответов педагогов.

Результаты, касающиеся обучения детей

Три группы оказались сопоставимы по результатам пред-теста, поскольку не было обнаружено различий в отношении когнитивных способностей, социально-экономического статуса и миграционного фона (Подробнее см. Hauser et al., 2014). Математические компетенции детей в пред-тесте во всех трех группах не различаются (Таблица 1). На математические результаты обучения влияет метод вмешательства: ANOVA для повторных измерений показывает значительную взаимосвязь между временем и группой (F [2,321] = 4,04; p = .019; частичное п2 = .025) (Таблица 1) с более высокими результатами в обучении для игрового вмешательства по сравнению с контрольной группой (поправка Бонферрони p = 0,015). Расчет величины эффекта Коэна d = 0,30, это небольшой эффект (Cohen, 1988).

Чтобы определить, могут ли дети по-разному получать пользу от вмешательства в зависимости от уровня их компетенций, дети были разделены на три группы в соответствии с их математической подготовкой перед тестированием. Группы были составлены по низкому уровню компетенции, среднему уровню и высокому уровню соответственно. В Таблице 2 представлен обзор показателей компетенций для этих трех групп.

Таблица 1. Математические компетенции детей в пред- и пост-тесте

М №) а пред-тест М пост-тест М №) достижения А1\ЮУА время х группа Поправка Бонферрони

Игровой подход 63.89 (17.14) 75.24 (17.59) 11.35 (9.15) р = .019; Игра > контроль, р = .015

Образовательная программа 65.21

Контрольная группа 60.58

а Нет различий между группами в пред-тесте (ANOVA: F [2,323] = 1,988). ь ANOVA для повторного измерения: F [2; 321] = 4,04; р = 0,019; частичное г|2 = .025.

Таблица 2. Математические компетенции низкого, среднего и высокого уровней

Уровень компетенции в пред-тесте N Средний показатель пред-теста (SD) Минимальный показатель пред-теста Максимальный показатель пред-теста Средний показатель пост-теста (SD) Достижения

Низкий 109 43.08

Средний 102 62.81

Высокий 113 82.55

Достижения детей в группах различаются в зависимости от уровня (А1МОУА, Р [2,321] = 11,416; р = .000), и поправка Бонферрони показывает значительно более высокие результаты для группы низкого уровня по сравнению с двумя другими - среднего (р = .005) и высокого уровня (р = .000), в то время как успехи обучения в группах со средним и высоким уровнями не отличаются.

Для всех трех групп было проведено повторное измерение А1МОУА для выявления возможных различий в зависимости от метода вмешательства.

В группе дошкольников с низким уровнем развития математических компетенций было обнаружено (Р[2,106] = 2.84, р = .063,

частичная ц2 = .051), что обучение, построенное на основе образовательной программы, возможно, позволяет достичь более высоких результатов, чем в контрольной группе (поправка Бонферрони, предельное значение, р = .078).

Для детей со средним уровнем развития математических компетенций тенденции влияния формы организации обучения на его эффективность не обнаружено.

Для группы высокого уровня была обнаружена тенденция (Р[2,110] = 2,77; р = .067; частичная п2 = .048)с незначительной разницей между игровым подходом, показывающим более высокие результаты обучения, и образовательной программой (р = .065) (Таблица 3).

Таблица 3. Достижения групп низкого, среднего и высокого уровня в зависимости от метода вмешательства

М №) Достижения -игра М №) Достижения - образовательная программа М №) Достижения -контроль Р время х группа Поправка Бонферрони

Низкий 13.16 (8.73) п = 32 14.21 (6.99) п = 34 10.23 (8.34) п = 43 .063 Образовательная программа > контроль р = .078

Средний 11.09 (9.11) п = 23 8.88 (8.50) п = 32 7.26 (6.48) п = 47 -

Высокий 9.82 (9.53) п = 34 5.18 (8.13) п = 44 6.57 (8.66) п = 35 .067 Образовательная программа > контроль р = .078

Результаты, касающиеся взглядов педагогов и их интеграции в педагогическую практику

Результаты качественных интервью представлены следующим образом: во-первых, анализируется общая характеристика интервенции1 со стороны педагогов; во-вторых, описывается оценка педагогами пригодности и результатов вмешательства и, в-третьих, обобщается их опыт в отношении интеграции интервенции в их педагогическую практику.

Характеристика вмешательств. Когда их спросили, как бы они описали проект коллеге, воспитатели группы с игровым подходом упомянули ключевые слова «игры» и «математика» и отметили организацию проекта:

«Я принимаю участие в проекте по ранним математическим компетенциям и нахожу это захватывающим. Мы получили целую коробку с материалами, рассказали об играх и позволили детям работать самостоятельно. П одде рживается развитие нескольких компетенций, и это очень разнообразно и увлекательно, и дети заинтересованы».

Воспитатели группы с образовательной программой часто использовали термин «программа обучения» (7/12) и отмечали математическое содержание (8/12):

«Поэтому я бы сказал ей [воображаемой коллеге], что я следую программе, которую использую три раза в неделю с детьми... Она ориентирована на числа от нуля до десяти, чтобы выучить, например, что такое число или количество, и таким образом построить основу для последующей арифметики».

Оценка педагогами пригодности и успехов в обучении. Почти все воспитатели в обеих группах отметили качество предоставленного материала. Игры, а также образовательная программа включают материалы, сделанные из дерева, что важно для некоторых воспитателей.

Все воспитатели намерены использовать эти материалы и в следующем году. В то время как почти все педагоги (10/11) планируют осуществить игровое вмешательство в следующем году аналогичным образом, только половина педагогов (5/12) будет снова осуществлять образовательную программу. Некоторые педагоги подчеркивают, что они будут использовать

1 В зарубежных источниках термин «интервенция» имеет коннотацию обучения в соответствии с заранее разработанной программой.

материалы образовательной программы, но адаптируют педагогический подход и будут ориентированы только на детей с низкими математическими компетенциями:

«Я бы использовал это снова, но действовал бы избирательно. Я бы собирал действительно слабых детей и работал с ними более интенсивно. Я бы выбрал какую-то привлекательную цель, например, построить дорогу, как предложение в рамках свободной игры для всех детей».

Педагоги игрового подхода планируют совершить то же самое вмешательство снова. Как подчеркнул этот педагог, все дети получили пользу от вмешательства:

«Я обязательно сделаю это снова в следующем году. Думаю, что поступлю точно так же. ...Более слабые дети получили большую пользу, но и сильные тоже».

Что касается образовательной программы, то все педагоги критиковали ее за то, что она не отвечает потребностям всех детей, и упомянули проблему скуки; половина педагогов неоднократно говорила, что детям стало очень скучно:

«Они действительно больше не находили это очень крутым, они больше не занимались, потому что им было недостаточно вызовов».

Некоторые педагоги также выразили обеспокоенность тем, что детям приходится долго сидеть и слушать. Что касается игрового вмешательства, то скука вообще не упоминалась, только один педагог чувствовал, что мотивация детей оставалась не такой высокой, как он надеялся.

Интеграция вмешательства в их педагогическую практику. Несколько воспитателей игрового подхода выразили мнение, что педагогика детского сада не должна включать столько программ. Хотя образовательная программа по фонологическому просвещению широко распространена и иногда считается обязательной, педагоги не хотели бы иметь больше программ в дополнение к той, которую они уже внедрили. Некоторые педагоги, участвующие в образовательной программе, заявили, что они хотели бы быть в игровой группе, поскольку это больше отвечало их педагогическим потребностям. Они выразили озабоченность по поводу того, что у детей нет выбора в отношении вида деятельности в рамках образовательной программы и что она слишком похожа на школьную программу:

«Теперь я думаю, что для меня было бы важнее быть в другой группе, так как там было больше свободы и веселья, когда дети могли выбирать сами: «Что круто? Что я могу сделать с помощью математики?» ... Это было бы больше, чем детский сад.....Веселья было мало, потому

что им приходилось делать то, чего они, возможно, не хотели делать, и то, что им придется делать потом в школе».

Некоторые педагоги отметили, что сначала они переживали по поводу того, что математике не место в детском саду, но затем обнаружили, что детям нравятся игры:

«Это действительно игры, которые очень нравятся детям. ... это способствует развитию компетенций в нескольких областях, и дети не замечают этого, так как все это в игровой форме... Я просто считаю, что математика не должна присутствовать в детском саду».

Оба типа вмешательства были интегрированы в образовательные программы, например, способ распределения игр:

«У меня имелась фотография каждого ребенка... и я распределял их по играм. Итак, их фотографии были рядом, они вошли в комнату и огляделись: «Где моя фотография?», а затем сразу же начали играть».

Педагоги обоих подходов отметили, что они не требовали определенной темы или какого-то «фантазийного» мира:

«Я думаю, что материалы [образовательной программы] красивые и очень хорошо подходят. ... Их было не так уж и много, как бывает с разными безделушками или игрушками, но все было очень просто».

Обсуждение

Сравнение результатов пред- и пост-теста с восьминедельным интервалом между ними показало значительно более высокие результаты обучения для группы игровой математики по сравнению с традиционным детским садом, но без эффектов для образовательной программы. Это контрастирует с другими оценками, согласно которым программа привела к значительным достижениям детей (Krajewski, Nieding, Schneider, 2008).

Значительные достижения при игровом подходе, по сравнению с контрольной группой, подчеркивают, что с его помощью дей-

ствительно можно добиться успехов, используя карточные и настольные игры. До настоящего времени исследования эффектов игровых подходов сравнивали с результатами контрольных групп, но не с другими методами интервенции, и обнаружили, что игры эффективны (Gasteiger, 2015; Jörns et al., 2014; Kamii and Kato, 2005; Ramani, Siegler, 2008). Поскольку нет существенных различий между игровым вмешательством и образовательной программой, можно утверждать, что игровой подход, по крайней мере, столь же эффективен, как и образовательная программа, проводимая под руководством педагога. Игровой подход основывается на идее «управляемой игры» (Weisberg, Hirsh-Pasek, Golinkoff, 2013): свободный выбор для детей и акцент на равных возможностях. Игра управляется, поскольку карточные и настольные игры ориентированы на конкретные математические компетенции в рамках структуры обучения, обозначенной педагогом, и контролируемых временных рамок.

Образовательная программа позволила добиться незначительных успехов в обучении детей с низким уровнем компетенции - по сравнению с контрольной группой - она не адаптирована к детям с более высоким уровнем. Можно сделать вывод, что образовательные программы, проводимые для всей группы, рискуют оказать пагубное воздействие, поскольку большинство детей знакомятся с содержанием программ, которые они уже знают (Engel et al., 2016), и поэтому им становится скучно.

Оценка педагогами результатов обучения на основе их повседневного наблюдения соответствует дифференцированным количественным результатам. Они также отметили, что образовательная программа в основном эффективна для детей с очень низкими компетенциями, в то время как игровой подход отвечает интересам всех детей - от низкого до высокого уровня компетенций. Игровой подход был оценен позитивнее, поскольку считался более веселым и менее похожим на школу. Поэтому он был более совместим с педагогическими убеждениями воспитателей, а также аналогичен выводам об акценте на веселье (Lee, Ginsburg, 2009), положительные эмоции (Anders, Rossbach, 2015) и «истинную» и «развлекательную» игру (Gasteiger, 2015). Для обоих методов вмешательства педагоги отметили, что они [эти вмешательства] не требуют определенной темы или фантазийного мира (Schuler, 2013) и что они могут интегрировать игровой подход в свою повседневную практику.

Выводы

Исследование эффективно демонстрирует, что инновационные подходы к раннему обучению математике могут быть успешно основаны на игре, особенно на карточных и настольных играх, специально разработанных с учетом количественно-числовых компетенций, определенных образовательной программой. Конкретный потенциал карточных и настольных игр во многом заключен в возможности выполнения математических действий снова и снова и мотивации установки группы детей, при которой со-игроки контролируют и поддерживают друг друга (Stebler et al., 2013). Разработанный здесь игровой подход - это не свободная, а управляемая игра (Weisberg, Hirsh-Pasek, Golinkoff, 2013). Целью данного исследования было сравнение эффективности двух разных педагогических подходов в детском саду, направленных на идентичные количественно-числовые компетенции. Дальнейшие исследования могут быть направлены на создание игровых подходов к обучению математике в детском саду, которые ориентированы на более широкий круг математических компетенций.

результаты этого исследования подчеркивают важность удовлетворения разнообразных потребностей каждого ребенка (Garrote, Moser Opitz, Ratz, 2015; Gasteiger, 2015). Математические компетенции детей в детском саду за год до поступления в школу очень разнообразны (Dornheim, 2008; Krajewski, Schneider, 2009). Учебные программы по принципу «один формат для всех» не могут выполнять задачи по расширению возможностей каждого ребенка. Вместе с тем полученные результаты свидетельствуют о том, что образовательная программа для проблемных детей является эффективной наряду с целым рядом игр для различных уровней компетенций в области математического обучения всех детей.

Какими бы хорошими ни были учебные материалы, их образовательный потенциал может быть реализован только посредством хорошего преподавания и обучения. Также в рамках игрового подхода педагоги выполняют диагностику, структурируют организацию обучения, обеспечивают стимулы, задают вопросы и определяют стратегии решения математических задач, способствуя обсуждению математики среди детей (Wullschleger, Stebler, 2016). Кроме того, знания педагогов могут влиять на эффективность обучения на игровой

основе (Oppermann, Anders, Hachfeld, 2016). В ходе интервью педагоги выражали свои педагогические убеждения, но возможное влияние этих убеждений на результаты обучения статистически оценить не удалось из-за размера выборки. Будущие исследования могут быть сосредоточены на игровом подходе с гораздо более обширной выборкой для изучения компетенций и убеждений педагогов.

При сопоставлении результатов с данными интервью становится очевидным, что все педагоги положительно относятся к вмешательствам. По мере осуществления этих мероприятий некоторые воспитатели выражали обеспокоенность по поводу того, что детям наскучивает заниматься по образовательной программе. Интервью ясно показывают, что педагоги с большим энтузиазмом отнеслись к игровому подходу. Их позитивное отношение могло быть фактором, способствующим успехам и достижениям детей, проявленным в ходе этого исследования. Поскольку в детской педагогике существуют прочные традиции, важно, чтобы инновационные подходы к математике в раннем детстве не только оказались эффективными с точки зрения успехов в обучении, но и чтобы эти инновации легко интегрировались в педагогику детского сада.

Основываясь на мнениях, высказанных педагогами в интервью, а также на описании их повседневного опыта работы в детском саду, игровой подход к раннему обучению математике, безусловно, обладает огромным потенциалом для того, чтобы стать инновацией, которая легко и широко будет принята практикующими специалистами в этой области.

Примечания

1. Раздел 2.5 учебной программы «Mengen, Zahlen, zählen» (Krajewski, Nieding, Schneider, 2007) используется для демонстрации образовательной программы. В разделе использована так называемая «цифровая лестница» - представление цифр 1-9 (и числа 10) на деревянных блоках разной высоты, на каждом из которых изображена цифра, а также соответствующее количество точек. Педагог помещает цифровую лестницу в середину круга детей и объясняет: «7 меньше 8» - указывая на блоки - «меньше точек у 7, чем у 8». Затем одному за другим детям задают вопросы: «Что меньше, 5 или 4? Почему?». После этого каждого ребенка просят взять два разных блока, поставить их перед собой и сказать: «[цифра] больше/меньше, чем [цифра]». Цель этого раздела в том, чтобы

осознать структуру числа, что большая цифра содержит «больше» на одну или несколько точек, чем меньшая цифра.

2. В качестве одного из примеров карточных и настольных игр описывается «More is More» («Больше - больше», Vogt, Rechsteiner, 2015): на каждой карте изображено три набора точек разных цветов. В общей сложности 45 карт в игре включают наборы точек в восьми разных цветах. Карты распределяются поровну между игроками. Каждый ребенок кладет свои карты в стопку лицом вниз перед собой. В центре стола лежит одна карта. Дети поочередно выкладывают карты и сравнивают количество точек на них и цвета с центральной картой. Если их карта показывает «больше» одного из цветов, чем центральная карта, они кладут свою карту посередине сверху, таким образом, центральная карта постоянно меняется. Если на его карте нет того количества точек, которое больше и того же цвета, что на центральной карте, ребенок помещает эту карту в новую стопку и открывает следующую карту. Когда первая стопка заканчивается, ребенок берет новую стопку своих карт и продолжает. Первый ребенок, который сбросит все свои карты, становится победителем. Эта игра направлена на сравнение количества без подсчета, чтобы поддерживать скорость. Воспитатели советуют, чтобы в эту игру играли вместе дети с одинаковым уровнем компетенций. В отличие от «More is More», большинство других карточных и настольных игр также можно использовать в гетерогенных группах.

3. Первоначально для игрового подхода были отобраны 12 воспитателей, но один воспитатель был вынужден пропустить мероприятия по состоянию здоровья.

Благодарности

Авторы благодарят воспитателей детских садов, а также детей и их родителей за участие в этом исследовательском проекте.

Раскрытие информации

Авторы не сообщали о потенциальном конфликте интересов.

Финансирование

Этот исследовательский проект был поддержан Швейцарским национальным научным фондом [грант № 100014_124485].

ORCID

Franziska Vogt http://orcid.org/0000-0002-2023-0431

Литература / References

1. Anders, Y., and H.-G. Rossbach. 2015. "Preschool Teachers' Sensitivity to Mathematics in Children's Play: The Influence of Math-Related School Experiences, Emotional Attitudes, and Pedagogical Beliefs." Journal of Research in Childhood Education 29 (3): 305-322. doi:10.1080/02568543.2015.1040564.

2. Anders, Y., H. G. Rossbach, S. Weinert, S. Ebert, S. Kuger, S. Lehrl, and J. von Maurice. 2012. "Home and Preschool Learning Environments and their Relations to the Development of Early Numeracy Skills." Early Childhood Research Quarterly 27 (2): 231-244.

3. Benz, C. 2012. "Attitudes of Kindergarten Educators about Math." Journal für MathematikDidaktik 33 (2): 203-232.

4. Bergen, D. 2015. "Psychological Approaches to the Study of Play." American Journal of Play 7 (2):51-69.

5. Bodrova, E. 2008. "Make-Believe Play Versus Academic Skills: A Vygotskian Approach to Today's Dilemma of Early Childhood Education." European Early Childhood Education Research Journal 16 (3): 357-369.

6. Brown, E. T. 2005. "The Influence of Teachers' Efficacy and Beliefs Regarding Mathematics Instruction in the Early Childhood Classroom." Journal of Early Childhood Teacher Education 26 (3): 239-257.

7. Chen, J. Q., J. McCray, M. Adams, and C. Leow. 2014. "A Survey Study of Early Childhood Teachers' Beliefs and Confidence about Teaching Early Math." Early Childhood Education Journal 42 (6): 367-377. doi: 10.1007/s10643-01 3-0619-0.

8. Cohen, J. 1988. Statistical Power Analysis for the Behavioral Sciences. Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum.

9. Dornheim, D. 2008. Prädiktion von Rechenleistung und Rechenschwäche: Der Beitrag von Zahlen-Vorwissen und allgemeinkognitiven Fähigkeiten. Berlin: Logos.

10. Duncan, G. J., C. J. Dowsett, A. Claessens, K. Magnuson, A. C. Huston, P. Klebanov, L. S. Pagani,et al. 2007. "School Readiness and Later Achievement." Developmental Psychology 43 (6): 1428-1446.

11. Engel, M., A. Claessens, T. Watts, and G. Farkas. 2016. "Mathematics Content Coverage and Student Learning in Kindergarten." Educational Researcher 45 (5): 293-300.

12. Field, A. 2009. Discovering Statistics Using SPSS. Los Angeles, CA: Sage.

13. Garrote, A., E. Moser Opitz, and C. Ratz. 2015. "Mathematische Kompetenzen von Schülerinnen und Schülern mit dem Förderschwerpunkt geistige Entwicklung. Eine Querschnittstudie." Empirische Sonderpädagogik 7 (1): 24-40.

14. Gasteiger, H. 2015. "Early Mathematics in Play Situations: Continuity of Learning." In Mathematics and Transition to School: International Perspectives, edited by B. Perry,

A. Gervasoni, and A. MacDonald, 255-272. Singapore: Springer.

15. Gasteiger, H., A. Obersteiner, and K. Reiss. 2015. "Formal and Informal Learning Environments: Using Games to Support Early Numeracy." In Describing and Studying Domain-Specific Serious Games, edited by J. Torbeyns, E. Lehtinen, and J. Elen, 231-250. Cham: Springer.

16. Gross, C., and H. G. Rossbach. 2011. "Frühpädagogik." In Empirische Bildungsforschung. Gegenstandsbereiche, edited by H. Reinders, H. Ditton, C. Gräsel, and

B. Gniewosz, 75-86. Wiesbaden: VS Verlag für Sozialwissenschaften.

17. Grüssing, M., and A. Peter-Koop. 2008. "Effekte vorschulischer mathematischer Förderung am Ende des ersten Schuljahres: Erste Befunde einer Längsschnittstudie." Zeitschrift für Grundschulforschung 1 (1): 65-81.

18. Hauser, B. 2005. "Das Spiel als Lernmodus: Unter Druck von Verschulung - im Lichte der neueren Forschung." In Bildung 4- bis 8-jähriger Kinder, edited by T. Guldimann, and B. Hauser, 143-168. Münster: Waxmann.

19. Hauser, B., E. Rathgeb-Schnierer, R. Stebler, and F. Vogt, eds. 2015. Mehr ist mehr. Mathematische Frühförderung mit Regelspielen. Seelze: Klett/Kallmayer.

20. Hauser, B., F. Vogt, R. Stebler, and K. Rechsteiner. 2014. "Förderung früher mathematischer Kompetenzen." Frühe Bildung 3 (3): 139-145.

21. Jörns, C., K. Schuchardt, D. Grube, and C. Mähler. 2014. "Spielorientierte Förderung numerischer Kompetenzen im Vorschulalter und deren Eignung zur Prävention von Rechenschwierigkeiten." Empirische Sonderpädagogik 2014 (3): 243-259.

22. Kamii, C., and Y. Kato. 2005. "Fostering the Development of Logico-Mathematical Thinking in a Card Game at Ages 5-6." Early Education and Development 16 (3): 367-384. doi: 1 0.1 207/s1 5566935eed 1603_4.

23. Krajewski, K. 2003. Vorhersage von Rechenschwäche in der Grundschule. Hamburg: Kovac.

24. Krajewski, K., G. Nieding, and W. Schneider. 2007. Mengen, zählen, Zahlen: Die Welt der Mathematik verstehen (MZZ). Berlin: Cornelsen.

25. Krajewski, K., G. Nieding, and W. Schneider. 2008. "Kurz- und langfristige Effekte mathematischer Frühförderung im Kindergarten durch das Programm 'Mengen, zählen, Zahlen'." Zeitschrift für Entwicklungspsychologie und Pädagogische Psychologie 40 (3): 135-146.

26. Krajewski, K., and W. Schneider. 2009. "Exploring the Impact of Phonological Awareness, Visual-Spatial Working Memory, and Preschool Quantity-Number Competencies on Mathematics Achievement in Elementary School: Findings from a 3-Year Longitudinal Study." Journal of Experimental Child Psychology 103 (4): 516-531.

27. Kruse, J. 2015. Qualitative Interviewforschung. Weinheim: Juventa.

28. Kuckartz, U. 2010. Einführung in die computergestützte Analyse qualitativer Daten. 3rd ed. Wiesbaden: VS Verlag für Sozialwissenschaften.

29. Lee, J. S., and H. P. Ginsburg. 2009. "Early Childhood Teachers' Misconceptions about Mathematics Education for Young Children in the United States." Australasian Journal of Early Childhood 34 (4): 37-45.

30. Link, M., F. Vogt, and B. Hauser. 2017. "Überzeugungen von Kindergartenlehrpersonen zur mathematischen Förderung im Kindergarten: Schweiz, Deutschland und Österreich im Vergleich." Beiträge zur Lehrerbildung 35 (3): 440-458.

31. McCray, J. S., and J.-Q. Chen. 2012. "Pedagogical Content Knowledge for Preschool Mathematics: Construct Validity of a New Teacher Interview." Journal of Research in Childhood Education 26 (3): 291-307. doi:10.1080/02568543.2012.685123.

32. Moser, U., and N. Bayer. 2010. 4 bis 8. Schlussbericht der summativen Evaluation. Lernfortschrittte vom Eintritt in die Eingangsstufe bis zum Ende der 3. Klasse der Primarschule. Bern: Schulverlag plus.

33. Moser, U., and S. Berweger. 2007. Wortgewandt & zahlenstark. Lern- und Entwicklungsstand bei 4-bis 6-Jährigen. St. Gallen: interkantonale Lehrmittelzentrale.

34. Moser Opitz, E. 2001. Zählen, Zahlbegriff, Rechnen. Theoretische Grundlagen

und eine empirische Untersuchung zum mathematischen Erstunterricht in Sonderklassen. Bern: Paul Haupt.

35. Oppermann, E., Y. Anders, and A. Hachfeld. 2016. "The Influence of Preschool Teachers' Content Knowledge and Mathematical Ability Beliefs on their Sensitivity to Mathematics in Children's Play." Teaching and Teacher Education 58: 174-184.

36. Ramani, G. B., and R. S. Siegler. 2008. "Promoting Broad and Stable Improvements in Low-Income Children's Numerical Knowledge Through Playing Number Board Games." Child Development 79 (2): 375-394.

37. Sarama, J., and D. H. Clements. 2009. Early Childhood Mathematics Education Research: Learning Trajectories for Young Children. New York: Routledge.

38. Schuler, S. 2008. "Was können Mathematikmaterialien im Kindergarten leisten? -Kriterien für eine gezielte Bewertung." In Beiträge zum Mathematikunterricht 2008, edited by Eva Vasarhelyi. Hildesheim: Franzbecker.

39. Schuler, S. 2013. Mathematische Bildung im Kindergarten in formal offenen Situationen - eine Untersuchung am Beispiel von Spielen zum Erwerb des Zahlbegriffs. Münster: Waxmann.

40. Singer, E. 2013. "Play and Playfulness, Basic Features of Early Childhood Education." European Early Childhood Education Research Journal 21 (2): 172-184.

41. Sonnenschein, S., and C. Galindo. 2015. "Race/Ethnicity and Early Mathematics Skills: Relations between Home, Classroom, and Mathematics Achievement." Journal of Educational Research 108 (4): 261-277.

42. Stebler, R., F. Vogt, I. Wolf, B. Hauser, and K. Rechsteiner. 2013. "Play-Based Mathematics in Kindergarten. A Video Analysis of Children's Mathematical Behaviour While Playing a Board Game in Small Groups." Journal für Mathematik Didaktik 34 (2): 149-1 75.

43. Thiel, O. 2010. "Teachers' Attitudes Towards Mathematics in Early Childhood Education." European Early Childhood Education Research Journal 18 (1): 105-115.

44. Vanden Heuvel-Panhuizen,M. 1995. "Leistungsmessung im aktiv-entdeck-endenMathematikunterricht." In Am Rande der Schrift. Zwischen Sprachenvielfalt und Analphabetismus, edited by H. Brügelmann, H. Balhorn, and I. Füssenich, 87-107. Lengwil am Bodensee: Libelle. van Oers, B. 2010. "Emergent Mathematical Thinking in the Context of Play." Educational Studies in Mathematics 74 (1): 23-37.

45. Vogt, F., and K. Rechsteiner. 2015. "Regelspiele entwickeln." In Mehr ist mehr. Mathematische Frühförderung mit Regelspielen, edited by B. Hauser, E. Rathgeb-Schnierer, R. Stebler, and F. Vogt, 46-55. Seelze: Klett/Kallmayer.

46. Vu, J. A., M. Han, and M. J. Buell. 2015. "The Effects of In-Service Training on Teachers' Beliefs and Practices in Children's Play." European Early Childhood Education Research Journal 23 (4): 444-460.

47. Weisberg, D. S., K. Hirsh-Pasek, and R. M. Golinkoff. 2013. "Guided Play: Where Curricular Goals Meet a Playful Pedagogy." Mind, Brain, and Education 7 (2): 104-112.

48. Weisberg, D. S., A. K. Kittredge, K. Hirsh-Pasek, R. M. Golinkoff, and D. Klahr.

2015. "Making Play Work for Education." Phi Delta Kappan 96 (8): 8-13.

49. Weiss, R. H., R. B. Cattell, and J. Osterland. 1997. CFT 1. Grundintelligenztest Skala 1. Göttingen: Hogrefe.

50. Wood, E. 2009. "Conceptualising a Pedagogy of Play: International Perspectives from Theory, Policy and Practice." In From Children to Red Hatters: Divers Images and Issues of Play, edited by D. Kuschner, 166-190. Lanham: University Press of America Inc.

51. Wullschleger, A., and R. Stebler.

2016. "Individuelle mathematikbezogene Lernunterstützung bei Regelspielen zur Förderung früher Mengen-Zahlen-Kompetenzen im Kindergarten." In Perspektiven mathematischer Bildung im Übergang vom Kindergarten zur Grundschule, edited by S. Schuler, C. Streit, and G. Wittmann, 171-186. Berlin: Springer Spektrum.

A-X Актуальные проблемы дошкольного i\\ образования на странице «СДО» в Facebook: ^Bv https://www.facebook.com/sdojournal