О трёхмерных многообразиях рода 2

О ТРЕХМЕРНЫХ МНОГООБРАЗИЯХ РОДА 2

Работа посвящена компьютерному перечислению диаграмм Хегора рода 2 и распознаванию задаваемых ими трехмерных многообразий. Приведены результаты компьютерного эксперимента, на основе которых сформулировано несколько гипотез.

Ключевые слова: разбиение Хегора, диаграмма Хегора, род многообразия.

Введение

Пусть М — замкнутое ориентируемое трехмерное многоообразие и М = Н и Н' — его разбиение Хегора рода 2. Выберем в каждом из кренделей по два меридиональных диска С Н, Д' С Н', 1 ^ г,] ^ 2. Тогда системы кривых иг = дДг, у = дД', 1 ^ г,] ^ 2, на поверхности ^ образуют диаграмму Хегора многообразия М. Общее число точек пересечения меридианов диаграммы называется ее сложностью. Работа посвящена перечислению диаграмм Хегора рода 2 и распознаванию задаваемых ими трехмерных многообразий. Перечисление диаграмм ведется в порядке возрастания их сложности. Распознавание многообразий и отсеивание дубликатов выполняется с помощью разработанной авторами и их коллегами программы “Распознаватель многообразий”.

1. Представление диаграмм шестерками чисел

Будем говорить, что диаграмма (Г, и1, и2, у1, у2) приведена, если выполнены следующие условия.

1. Среди областей, на которые меридианы и1,и2, V1,у2 разбивают поверхность ^, нет двуугольников.

2. Любая дуга, которая соединяет две точки одного и того же меридиана диаграммы, подходит к нему с одной стороны и не имеет с меридианами других общих точек, параллельна дуге меридиана между ее концами. Это условие означает, что диаграмма не допускает нетривиальных волн [1; 2].

Пусть диаграмма (Г,и1,и2,у1,у2) приведена и пусть М = Н и Н1 — отвечающее ей разбиение Хегора. Разрежем крендель Н по его меридиональным дискам ^!,Д2, ограничиваемым меридианами и1,и2, соответственно. В результате получится шар В3 с двумя парами дисков Д±,Д± (копий дисков П1,П2) на его сферическом крае Б2 = дВ3. При этом меридианы у1,у2 разрежутся на дуги. Из приведенности диаграммы следует, что концы каждой дуги лежат на краях различных дисков. Построим на сфере Б2 граф следующим образом: его

Работа выполнена при поддержке авторов Российско-Израильским грантом № 06-01-72014 и совместным грантом УрО РАН — СО РАН № С9-1.1.

вершины отвечают дискам Д±, а ребра — классам параллельных дуг меридианов у1,у2. Этот граф (обозначим его О ) называется графом Хегора диаграммы (Г,п1,п2,у1,у2). Граф О имеет четыре вершины, которые разбиты на две пары, отвечающие меридиональным дискам кренделя Н.

Известно [1; 2], что любую диаграмму Хегора неприводимого многообразия М минимального рода д ^ 2 можно с помощью операций замен меридианов преобразовать в приведенную диаграмму того же многообразия, отвечающую тому же самому разбиению Хегора. Более того, графы Хегора приведенных диаграмм рода 2 имеют простое описание.

Обозначим через О1 полный граф с 4 вершинами (который можно интерпретировать как одномерный остов тетраэдра), а через О2 — граф, который получается из двух пересекающихся окружностей на плоскости добавлением по одной вершине валентности 2 на каждой из двух дуг одной из окружностей. Удобно считать, что оба графа лежат в сфере Б2, причем вершины валентности 2 графа О2 расположены в различных компонентах дополнения к его двойному ребру.

Лемма 1. Граф Хегора любой приведенной диаграммы рода 2 изотопен либо подграфу графа О1; либо такому подграфу графа О2, который имеет двойное ребро.

Доказательство. Хорошо известно [1; 2], что граф Хегора любой диаграммы рода 2 без двуугольников изотопен либо подграфу графа О1, либо подграфу графа О2, либо имеет петлю (рис. 1). В нашей ситуации петля невозможна, так как данная диаграмма приведена.

Рис. 1. Графы Хегора диаграмм рода 2 без двуугольников

Опишем способ, как диаграммы первого типа, т. е. диаграммы, имеющие граф Хегора, изотопный подграфу графа С1, можно задавать шестерками целых чисел вида (а, Ь, с, і, е, f). Смысл чисел а,Ь,е и і ясен: они показывают числа дуг в пучках параллельных дуг, отвечающих ребрам графа С1. При этом каждое из чисел Ь и с отвечает ребрам, которые соединяют вершины одной пары. Множество оставшихся дуг разбивается на две пары пучков. Пучки одной пары отвечают паре не имеющих общих вершин ребер графа О и состоят из а дуг каждый. Пучки второй пары отвечают двум оставшимся ребрам графа и состоят из <і дуг каждый (рис. 2). Здесь стоит отметить, что равенство чисел дуг в соответствующих пучках следует из того, что края дисков каждой пары содержат одно и то же число концов дуг.

Рис. 2. Диаграммы Хегора многообразия Зейферта (£2; (2, 1), (3, 1), (3, -1)), задаваемого шестеркой (2, 3, 2, 1, 2,4) сложности 11, и многообразия Зейферта (£2; (2,1), (2,1), (4, -3)), задаваемого шестеркой (2, (1,1), 2, 1, 1) сложности 10. При склеивании соответствующих дисков звездочки должны попадать

в звездочки

Для объяснения смысла чисел в,/ нам понадобится понятие топологической симметрии и топологического поворота диска Д на себя. Предположим, что на крае диска Д отмечено несколько точек. Тогда топологическая симметрия — это произвольный гомеоморфизм Д ^ Д, который обращает ориентацию и переводит отмеченные точки в отмеченные точки. Аналогичным образом можно говорить о симметрии одного расположенного на сфере диска Д- с отмеченными точками на другой такой же диск Д+. Так как диски лежат в одной сфере, то понятие обращающего ориентацию гомеоморфизма между ними имеет смысл. Топологический поворот — это сохраняющий ориентацию гомеоморфизм Д ^ Д, который переводит отмеченные точки в отмеченные точки. С точностью до изотопии, неподвижной на отмеченных точках, топологическая симметрия полностью задается образом одной отмеченной точки. Это же верно и для топологического поворота. Более того, если указано направление обхода края диска Д, то топологический поворот задается одним целым числом, рассматриваемым по модулю числа отмеченных точек.

Опишем смысл числа в, предполагая, что числа а, Ь, с, d отличны от 0. Пусть - два диска, соединенные Ь-пучком, т. е. ребром графа С1, которому поставлено в соответствие число Ь. Отмеченными точками будем считать концы дуг этого и других пучков, лежащие на краях дисков. Напомним, что эти диски получились в результате разрезания кренделя Н по диску Д^, поэтому между ними имеется естественное отождествление <р: Д- ^ Д+, которое является топологической симметрией. Зададим другую (нулевую) топологическую симметрию ф: Д- ^ Д+ требованием, чтобы она переводила один конец какой-нибудь (и тогда каждой) дуги из Ь-пучка в другой конец той же дуги.

Теперь мы готовы определить число в: оно равно числу, характеризующему такой топологический поворот Я: ^ Д+, что <^(х) = Я(ф(х)) для любого

х £ Д+. При этом направление обхода края диска Д+ должно быть выбрано так, чтобы концы Ь, d, а дуг встречались именно в этом порядке. Число / определяется аналогичным образом. Единственное отличие состоит в том, что вместо Ь-дуг нужно рассматривать с-дуги и задавать ориентации дисков тройкой с, d, а (см. рис. 2). Если какие-нибудь из чисел а,Ь,с, d равны нулю, т. е. если соответствующих дуг нет, то для определения нулевой топологической симметрии вместо них нужно взять любые другие (назовем их мнимые) дуги, соединяющие те же

диски. Единственное условие состоит в том, чтобы мнимые дуги не пересекались между собой и не пересекали реальных ребер графа.

Диаграммы второго типа, т. е. диаграммы с графами Хегора, изотопными содержащим двойное ребро подграфам графа 02, задаются шестерками вида (а, (Ь, с)^, в, /). Числа Ь и с задают кратности дуг в пучках, отвечающих двойным ребрам графа 02, числа а, d имеют тот же смысл, что и выше. Здесь уместно отметить, что все числа а, Ь, с, d отличны от нуля, так как в противном случае либо в графе Хегора не было бы двойного ребра, либо диаграмма не была бы приведена. Параметры в и / имеют прежний смысл: они задают отождествления дисков, причем в отвечает дискам , соединенным двойным ребром. Для определения параметра / нужно воспользоваться мнимой дугой, которая соединяет диски и пересекает только пучок с. Отметим, что для любой шестерки первого или второго типа число 2а + Ь + с + 2d имеет простой и ясный геометрический смысл: оно равно сложности (т. е. числу точек пересечения меридианов) соответствующей диаграммы Хегора. Поэтому мы будем называть его сложностью шестерки (рис. 2).

Замечание 1. Из описания чисел а, Ь, с, d следует, что они всегда неотрицательны. Число в определено только по модулю а + Ь + d в случае шестерки первого типа и по модулю а + Ь + с + d в случае шестерки второго типа. Аналогично, число / определено только по модулю а + с + d или по модулю а + d, в зависимости от типа шестерки. Ради удобства мы всегда будем рассматривать в и

/ как неотрицательные целые числа, которые строго меньше соответствующих модулей.

Следующее понятие объясняет тот произвол, который был допущен при кодировании диаграмм шестерками.

Определение 1. Шестерки первого типа называются эквивалентными, если от одной к другой можно перейти с помощью цепочки следующих преобразований:

1. (а, Ь, с, d, в, /) ^ ^, Ь, с, а, -в, — /).

2. (а, Ь, с, d, в, /) ^ (а, с, Ь, d, /, в).

3. (а, Ь, с, 0, в, /) ^ (а, Ь, с, 0, —в, — /).

4. (а, 0, 0, d, в, /) ^ (а, 0, 0, d, 2d — в, 2d — /).

Шестерки второго типа называются эквивалентными, если от одной к другой можно перейти с помощью цепочки следующих преобразований:

1. (а, (Ь, с)^, в, /) ^ ^, (Ь, с), а, —в, — /).

2. (а, (Ь, с)^, в, /) ^ (а, (с,Ь)^^ — а — в^ — а — /).

Напомним, что две диаграммы Хегора (Г, п1,п2,у1, у2), (Г', п1, п'2, у', у2) называются гомеоморфными, если существует такой гомеоморфизм к: Г ^ Г', что к(п1 и п2) = п1 и п'2, к(у1 и у2) = у' и у'2.

Лемма 2. Шестерки одного типа задают гомеоморфные диаграммы Хегора тогда и только тогда, когда они эквивалентны.

Доказательство леммы состоит в тщательном анализе произвола, допущенного при кодировании диаграмм шестерками.

2. Как работает программа, классифицирующая диаграммы

Схема работы программы такова. Она перечисляет в порядке возрастания сложности шестерки неотрицательных целых чисел. При этом каждая шестерка подвергается следующим проверкам:

1. Определяет ли она диаграмму Хегора?

2. Можно ли изменить меридианы п1, п2 полученной диаграммы (Г,п1,п2,у1,у2) так, чтобы новая шестерка была проще исходной?

3. Можно ли аналогичным образом упростить двойственную диаграмму (Г,у1,у2,п1,п2)?

4. Задает ли диаграмма (Г,п1,п2,у1,у2) многообразие рода 1 (линзовое пространство) или связную сумму двух линзовых пространств?

Ответ на первый вопрос дает компьютер. Для ответа на вопросы 2-4 мы пользуемся рядом частичных критериев. При отрицательном ответе на вопрос 1 или при положительном ответе на один из вопросов 2-4 программа отбрасывает рассматриваемую шестерку и переходит к следующей. Если же шестерка выдержала проверку, то она включается в список вместе с отвечающим ей трехмерным многообразием. Для определения топологического типа этого многообразия мы используем программу “Распознаватель многообразий”.

Разумеется, программа перечисляет не все шестерки, а только по одной шестерке из каждого класса эквивалентных шестерок. Для определенности мы всегда берем шестерку, которая является самой большой в смысле лексикографического порядка. Например, минимальную диаграмму Хегора многообразия Зей-ферта (Б2; (2,1), (3,1), (3, —1)) можно задать четырьмя эквивалентными шестерками (2, 3, 2,1, 2, 4), (2, 2, 3,1,4, 2) ,(1, 3, 2, 2, 4,1), (1, 2, 3, 2,1, 4) (см. рис. 2 и определение 1). Мы представляем этот класс максимальной шестеркой (2, 3, 2,1, 2, 4). Приведем более детальные описания отдельных этапов работы программы.

1. Чтобы выяснить, задает ли данная шестерка диаграмму Хегора, достаточно проследить, что происходит с дугами диаграммы, когда диски П±,П± склеиваются между собой. Диаграмма Хегора возникает тогда и только тогда, когда в результате получаются две замкнутые кривые, которые не разбивают поверхности кренделя.

2. Основной способ преобразования диаграмм и отвечающих им шестерок состоит в перекладке одного из меридианов. Опишем его более подробно.

Пусть (^,«1,и2,^1,у2) — диаграмма Хегора рода 2, заданная шестеркой (а, Ь, с, ^,е,/). Обозначим через и1 #аи2 новый меридиан, который получается суммированием меридианов и1 и и2 вдоль дуги, параллельной а-пучку, неважно, какому (рис. 3). Тогда а-перекладка заключается в замене одного из меридианов и на меридиан и1#аи2. Аналогично, ^-перекладка состоит в замене одного из меридианов « на его сумму и1#^и2 вдоль ^-пучка с другим меридианом. Таким образом, всего к данной диаграмме можно применить

4 перекладки. При этом сложность 2а + Ь + с + 2^ шестерки (а, Ь, с, ^, е, /), задающей диаграмму, меняется вполне предсказуемым образом: к ней добавляется одно из чисел Ь + d — а, с + d — а при а-перекладке и одно из чисел Ь + а — d, с + а — d при d-переклaдке. Добавляемые числа могут быть и отрицательными, т. е. перекладка может уменьшить сложность шестерки (к чему мы и стремимся).

Рис. 3. Перекладка меридиана

3. Очевидно, что сложность двойственной диаграммы совпадает со сложностью исходной. Тем не менее задающая ее шестерка может оказаться проще в смысле лексикографического порядка.

4. Для ответа на последний вопрос применялись два очевидных признака:

(I) Если два меридиана диаграммы пересекаются ровно в одной точке (т. е. составляют устранимую пару), то она задает многообразие рода

0 или 1.

(II) Если диаграмма несвязна (т. е. если объединение всех четырех меридианов состоит из более чем одной компоненты связности), то она задает связную сумму многообразий рода 0 или 1.

Разумеется, реальная схема работы программы является более сложной. Во-первых, для каждой следующей шестерки (а, Ь, с, d, е, /) описанные выше преобразования (перекладки и переходы к двойственной диаграмме) применяются многократно, т. е. не только к ней, но и ко всем шестеркам, полученным из нее при предыдущих преобразованиях. Оптимальное число таких итераций (шесть) было подобрано экспериментально. Все возникающие при этом новые шестерки запоминаются (разумеется, дубликаты отбрасываются). Полученное таким образом локальное множество £(адсде,/) состоит из шестерок разной сложности,

причем все они определяют эквивалентные разбиения Хегора одного и того же трехмерного многообразия.

Во-вторых, с самого начала работы программы начинает формироваться глобальное множество Б неинтересных шестерок, которые либо были уже рассмотрены, либо заведомо могут быть получены из уже рассмотренных преобразованиями перекладок меридианов и взятия двойственной диаграммы, либо задают многообразия рода 1 или их связные суммы. Увеличение множества Б происходит так. Если обнаружится, что одна из шестерок множества Б(а,ь,с,4,е,/) является “неинтересной”, то все множество Б(а,ьс4,е,^ и шестерка (а, Ь, с, d,e,/) включаются в Б .В противном случае множество Б(а,ьс,4,е,^ все равно включается в Б, а шестерка (а,Ь, с, d,e,/) подается в программу “Распознаватель многообразий” и включается в множество Б только после получения и запоминания ответа.

3. Анализ таблицы и сопоставление с известными результатами

Все многообразия, полученные в результате перечисления всех диаграмм Хегора рода 2, содержащих не более 32 точек пересечения меридианов, можно разделить на три серии:

1. Многообразия Зейферта (кроме линзовых пространств и их связных сумм).

2. Граф-многообразия, не являющиеся зейфертовыми.

3. Гиперболические многообразия.

Прокомментируем результаты более подробно.

3.1. Многообразия Зейферта рода 2

Задавать многообразия Зейферта мы будем в виде (В; (р1, д1),... , (рп, дга)), где поверхность В — база многообразия Зейферта, а параметры особых слоев (рг, ^) при всех % удовлетворяют условиям рг ^ 1 и пары чисел Рг,% — взаимно просты. Напомним, что если многообразие Зейферта имеет край, то все компоненты края снабжены стандартными системами координат [2].

Благодаря усилиям ряда математиков (см., например, [3; 4]), разбиения Хегора рода 2 многообразий Зейферта изучены достаточно полно. Из полученных результатов несложно вывести следующую теорему.

Теорема 1. Многообразие Зейферта имеет род Хегора 2 тогда и только тогда, когда оно относится к одному из следующих типов.

1. (Б2;(р1,51), (Р2,<22), (рз,5з)), где р > 1.

2. (ЕР2; (^1,51), (Р2,)), где р > 1.

3. (Т2; (р, 1)), где р ^ 1.

4. (К2, (р, 1)), где р ^ 1.

5. (Б2;(2,1), (2, —1), (2, —1), (2? + 1,?)), где ? ^ 1.

Известно, что все неприводимые разбиения Хегора замкнутых многообразий Зейферта делятся на два класса: вертикальные и горизонтальные. Из описанных выше многообразий Зейферта рода 2 многообразия типов 1 и 2 допускают вертикальные разбиения рода 2, а типов 3, 4 и 5 — горизонтальные, хотя вертикальные разбиения более высоких родов у них также имеются. Структура вертикальных и горизонтальных разбиений описана достаточно хорошо [4]. Поэтому мы для примера опишем разбиение только одного (последнего) типа. Нам понадобятся две леммы.

Лемма 3. Многообразие М = (Д2; (2, — 1), (2? + 1,?)) при ? > 1 можно представить в виде объединения М = Qь и Qw двух экземпляров (черного и белого) произведения N2 х I диска с двумя дырками на отрезок так, чтобы были выполнены следующие условия:

1. Каждое из многообразий Qь,QW выходит на дМ по двум меридиональным кольцам (т. е. по кольцам типа (1, 0)), причем в Qь,QW эти кольца послойны, т. е. состоят из отрезков вида {*} х I.

2. Qь П Qw = дQь П дQw есть диск с тремя дырками.

Доказательство. Сначала мы докажем, что многообразие М' = (А2; (2, — 1)) можно разбить на два экземпляра QЬ, QW многообразия N2 х I так, чтобы каждый экземпляр выходил на один краевой тор д1М' многообразия М' по двум кольцам типа (1, 0), а на второй тор д2М' — по одному кольцу типа (2,1). Для этого рассмотрим многообразие Мд = (Д2; (2, —1), (2,1)) = К2хI. Оно получается из прямого произведения А2 х I отождествлением оснований А2 х {0,1} по суперпозиции параллельного переноса {*}х{0} ^ {*}х{1} и сохраняющего ориентацию гомеоморфизма А2 х {1} ^ А2 х {1} с двумя неподвижными точками. Поэтому Мд можно разбить на два толстых кольца Аь = А2 х [0,1 ] и Aw = А2 х [ 1, 1]. Каждое из этих колец выходит на край многообразия Мд по двум меридиональным кольцам. Заметим, что многообразие М' можно получить из многообразия Мд вырезанием трубчатой окрестности особого слоя типа (2,1). При этом вырезании толстые кольца Аь, Aw превращаются в многообразия QЬ, QW нужного типа.

Теперь мы вырежем из многообразия М трубчатую окрестность и особого слоя типа (2? + 1,?). Полученное многообразие можно отождествить с многообразием Мд так, чтобы тор ди совпал с тором д2МД и чтобы меридиан (2,1) тора ди, рассматриваемого как тор в дМд, пересекал меридиан (2?+1, ?) полного тора и в одной точке и поэтому являлся его параллелью. Отметим, что приклеивание к трехмерному многообразию полного тора по состоящему из параллелей кольцу не меняет этого многообразия. Отсюда следует, что многообразия Qw = QW и и и Qь = QЬ являются искомыми.

Лемма 4. Пусть полный крендель Н представлен в виде граничной связной суммы Н = Т1 Т2 двух полных торов. Приклеим к Н третий полный тор Т путем отождествления двух составленных из его параллелей колец на дТ

с составленным из параллелей кольцом на дТ1 и аналогичным кольцом на дТ2. Тогда полученное в результате такого приклеивания многообразие является полным кренделем рода 2.

Доказательство. Если две компоненты края диска с двумя дырками соединить правильно приклеенным кольцом, то получится тор с дыркой. Поэтому заключение леммы следует из очевидного наблюдения, что прямое произведение кольца на отрезок является полным тором, а прямые произведения на отрезок диска с двумя дырками и тора с дыркой являются полными кренделями рода 2.

Пример 1. Представим многообразие М = (Д2; (2,1), (2, —1), (2, —1), (2?+1, ?)) в виде объединения по тождеству на крае многообразий М1 = (Д2; (2,1), (2, —1)) и М2 = (Д2, (2, —1), (2?+1, ?)), где ? ^ 1. Разобъем многообразие М1 = К2хI двумя кольцами на два многообразия типа А2 х I, одно из которых мы назовем белым толстым кольцом, другое - черным. Многообразие М2 разобъем по лемме 3 на белый экземпляр Qb и черный экземпляр Qw многообразия N2х/. Каждое из этих многообразий пересекает край дМ2 по двум кольцам. Поэтому можно считать, что при склейке многообразий М1 и М2 белая пара колец на крае дМ1 склеится с белой парой колец на крае дМ2, а черная пара колец склеится с черной. Тогда по лемме 4 в результате склеивания как белых, так и черных частей получатся полные крендели, которые и составляют разбиение Хегора рода 2.

3.2. Комментарии к табличным многообразиям Зейферта рода 2

В построенной таблице встретились многообразия всех пяти типов. Других многообразий Зейферта рода 2 не встретилось, так что проведенный компьютерный эксперимент подтвердил правильность теории. Нужно отметить, что для многообразий каждой из указанных выше серий 1—5 можно, следуя теории, построить естественные представления шестерками. Однако часто такие представления не являются наиболее экономными в смысле шестерочной сложности (общего числа точек пересечения меридианов). Приведем пример.

Пусть многообразие М = (Б2;(р1,?1), (р2,?2), (р3,?3), (1,к)), где все параметры особых слоев нормализованы (т. е. 0 < ?* < рг) за счет введения джокера к ^ —1. Тогда его “естественная” диаграмма Хегора рода 2, построенная исходя из вертикального разбиения, описываемого для многообразий типа 1, задается шестеркой (а, Ь, с, d, е, /), где

а = Рз — ?з + 1, Ь = р1 — 1 + ?з(?1 — 1) + (рз — ?з)(Р1 — ?1 — 1), с = р2 — 1+ рз(?2 — 1) + р2рз(к + 1), d = ?з,

е = d + а(з(рь?1) — 1) + 1 и / = з(р2,?2) + рзг(р2,?2) + рз«(р2,?2)(к + 1).

Здесь числа г(рг, ?*), з(рг, ?*) выбраны так, что г^^р* — 3^,^)^ = 1 и 0 <

Г(рг,?г) ^ , 0 < в(р*, ?*) < р*.

Однако диаграмма, отвечающая этой шестерке, часто оказывается не минимальной. Например, многообразие (Б2; (2,1), (2,1), (5, 2), (1, 0)) имеет сложность 15 и задается шестеркой (2, 6, 3,1,5, 2). Но если для этого многообразия выписывать шестерки по указанным формулам (варьируя нумерации особых слоев), то получаются шестерки больших сложностей, а именно, (4,1,11, 2, 3,11), (2,1,16,1, 2,8) и (2, 7, 5,1, 4,5).

Приведем по одному примеру для каждого типа многообразия Зейферта рода 2.

1. (Б2; (2,1), (2,1), (2, —1)) задается шестеркой (2,1,1,1, 2, 3).

2. (ДР2; (2,1), (2, —1)) задается шестеркой (2, 2, 2, 2, 3, 3).

3. (Т2; (2,1)) задается шестеркой (8,1,1, 7,14,15).

4. (К2; (2,1)) задается шестеркой (8, 8, 8,0, 7, 7).

5. (Б2; (2,1), (2, —1), (2, —1), (3,1)) задается шестеркой (6,1,1, 5,10,11).

3.3. Граф-многообразия рода 2

В этом разделе мы опишем разбиения некоторых серий граф-многообразий рода 2. Сказать определенно, является ли этот список граф-многообразий рода 2 исчерпывающим, нельзя, однако многообразий из рассматриваемых серий хватает, чтобы покрыть множество всех граф-многообразий, допускающих диаграммы Хегора рода 2 сложности не выше 32.

Пусть Т, Т' — двумерные торы с зафиксированными системами координат. В том случае, если они являются краем многообразия Зейферта, будем считать, что система координат на них индуцирована структурой Зейферта соответсвующего многообразия. Обозначим через ^: Т ^ Т' гомеоморфизм, заданный матрицей

Теорема 2. Следующие граф-многообразия имеют род Хегора 2.

1 (^2;(Рі,?і), (Р2,?2)) (Д2;(рз,3з), (Р4,94))> Рі > 1.

2. (А2;(рі,5і), (Р2,52))/^, Рі > 1

3. (А2; (р 1))/^ь, Р > 1

4. (Д2; (Р2,?2)) (А2; ^1)) (Д2; (Рз^з^ (Р4,?4)), рі > 1

5. (А2; (p, 1)) (А2; фьд^ (Р2,?2)), Р ^ 1, Рі > 1.

6. (Д2; (2, 5і), (2, ф)) и^ь (Д2; (2, д), (2к + 1, к)), к ^ 1.

7. (Д2; (Рі,ді), (Р2,д2), (Рз,дз)) и^ (Д2; (2,д), (2к + 1,к)), Рі > 1, к ^ 1.

8. (М2; (рі, ді), (р2, д2)) и^ (Д2; (2, д), (2к + 1, к)), Рі, к ^ 1

Доказательство. Для доказательства этой теоремы мы явно предъявим разбиение рода 2 для каждой серии граф-многообразий.

1. Многообразия вида М = (Д2; (р^), (р2,?2)) и^ (Д2; (рз^з), (р4,?4)).

, а через ^ь: Т ^ Т' гомеоморфизм, заданный матрицей

Рассмотрим существенное послойное кольцо в многообразии Мі = (Д2; (рі,ді), (р2,д2)). Оно разбивает его на два полных тора, которые мы будем называть черным и белым. Аналогичным образом разобъем многообразие М2 = (Д2; (рз, дз), (р4, д4)) (рис. 4). Так как гомеоморфизм ^ переводит меридиан тора дМі в параллель тора дМ2, то можно считать, что два черных полных тора пересекаются в многообразии М по диску, а следовательно образуют полный крендель рода 2. Аналогично два белых полных тора склеиваются при гомеоморфизме ^ в полный крендель рода 2. Таким образом имеем разбиение рода 2 граф-многообразия М.

М1 М2

Рис. 4. Разбиение каждой из составляющих частей многообразия М = (Д2; (ръдх), (Р2,)) (Д2; (рз,дз), (Р4,94)) на два полных тора существенными послойными кольцами

2. Многообразия вида М = (А2; (р1,?1), (р2,?2))/^.

В этом случае ситуация во многом аналогична предыдущей. Разобъем многообразие М1 = (А2; (р1,?1), (р2,?2)) на черный и белый полный торы двумя существенными послойными кольцами, каждое из которых пересекает обе компоненты края многообразия М. Можно считать, что под действием гомеоморфизма ^ каждый полный тор склеивается сам с собой по диску, а это эквивалентно приклеиванию к полному тору ручки индекса 1. Таким образом, получаем разбиение рода 2 граф-многообразия М.

3. Многообразия вида М = (А2; (р, 1))/^ь.

Разобъем многообразие М1 = (А2; (р, 1)) на черный полный крендель Qь и белый полный крендель Qw так, как это описывалось в лемме 3. Так как гомеоморфизм ^ь переводит меридиан в меридиан, то в многообразии М черные вертикальные кольца склеиваются друг с другом. Это эквивалентно тому, что к полному кренделю Qb приклеивается полный тор по двум параллелям, а поэтому по лемме 4 в многообразии М полный крендель Qь склеится в полный крендель рода 2. Аналогичное верно и для белого полного кренделя Q2. Таким образом, имеем разбиение рода 2 граф-многообразия М.

4. Многообразия вида

М = (д2; (ръ зО, (р2, ?2)) и^ (а2; (Р, 1)) и^ (д2; (Рз, ^ (Р4, ?4))-

Как и раньше, разобъем многообразие М1 = (А2; (р, 1)) на черный полный крендель Qb и белый полный крендель Qw так, как это описывалось в лемме 3. Многообразие М2 = (Д2; (р1,?1), (р2,?2)) разобъем на черный полный тор Ж1 и белый полный тор Ж2 существенным послойным кольцом. То же самое сделаем

с многообразием Мз = (Д2; (рз,?з), (р4,?4)), разбив его на полные торы и1 и и2 (рис. 5).

Ж ж

2 М2 1

О ГГ1

; ^

аъ

М,

и2 и,

2 М3 1

Рис. 5. Многообразия М2 и Мз разбиваются на черный и белый тор двумя существенными послойными

кольцами

Так как гомеоморфизм ^ переводит параллель в меридиан, то он переводит черные кольца на краях дМ2 и дМз в черные вертикальные кольца на дМ1, и аналогично с белыми кольцами. Заметим, что объединение Ж1 и Qь и и1 в многообразии М является полным кренделем рода 2. В самом деле, полный крендель Qb можно представить как дисковую сумму двух полных торов Т1 и Т2 так, что одно вертикальное кольцо дQь П М1 параллельно параллели А1 тора Т1, а второе вертикальное кольцо дQ1 П М1 параллельно параллели А2 тора Т2. Тогда приклейка полного тора Ж1 эквивалентна перестройке тора Т1 с параметрами (р1,?1) вдоль осевой окружности тора Т1, а приклейка полного тора [Д эквивалентна перестройке тора Т2 с параметрами (рз, ?з) вдоль осевой окружности тора Т2. Поэтому объединение черных кусков многообразия М дает полный крендель рода 2. Аналогично устанавливается, что объединение белых кусков многообразия М дает полный крендель рода 2. Таким образом, имеем разбиение рода 2 граф-многообразия М.

5. Многообразия вида М = (А2; (р, 1)) и^ (А2; (рь <21), (р2, 92)).

Представим многообразие М1 = (А2; (р, 1)) в виде объединения черного полного кренделя Qb и белого полного кренделя Qw (см. лемму 3). Многообразие М2 = (А2; (р1,?1), (р2,?2)) разобъем на черный полный тор Ж1 и белый полный тор Ж2 двумя существенными послойными кольцами, каждое из которых пересекает обе компоненты края многообразия М2. Так как гомеоморфизм ^ переводит меридиан в параллель, то он сохраняет цвета колец, на которые разбит тор дМ1 = дМ2 в многообразии М. Более того, результатом приклейки полного тора Ж1 к полному кренделю Qb по двум кольцам будет снова полный крендель рода

2. В самом деле, приклейку полного тора Ж1 можно осуществить в два этапа. Сначала приклеить полный тор по паре колец, параллельных параллели, а затем сделать перестройку с параметрами (р1,?1) вдоль осевой окружности этого тора. После приклейки полного тора по паре колец, составленных из параллелей, получим полный крендель рода 2 по лемме 4, а после перестройки вдоль осевой окружности приклеенного полного тора получим снова полный крендель рода 2, так как эта осевая окружность отрезается от всего многообразия Qь и Ж1 существенным диском. Аналогичным образом объединение Qw и Ж2 в многооб-

разии М является полным кренделем рода 2. Так, имеем разбиение рода 2 граф-многообразия М.

6. Многообразия вида М = (Д2; (2, ?1), (2, ?2)) и^ь (Д2; (2, ?), (2& + 1, &)).

Отметим еще раз, что многообразие М1 = (Д2, (2, ?1), (2, ?2)) имеет два различных расслоения Зейферта, а именно М1 = (Д2;(2,^1), (2,?2)) = К2 хБ1 = (Б1 х I) х /Д, где к — гомеоморфизм кольца с двумя неподвижными точками. Многообразие М1 можно естественным образом разбить на черный тор и1 = (Б1 х I) х [0; 0.5] и белый тор и2 = (Б1 х I) х [0.5; 1]. При таком разбиении оба черных кольца [Д П дМ1 имеют тип (1,0), и, аналогично, белые кольца и2 П дМ1 имеют тип (1, 0) (рис. 6).

/ \ с

Тії

Рис. 6. Представление многообразия Мі = (^2, (2, дх), (2, #2)) как косое произведение К2хI = (£х х I) х I/,, где гомеоморфизм колец Н: А2 А2 состоит в симметрии относительно осевой окружности и диаметра кольца (отмечено пунктиром). Белый и черный полные торы получены утолщением кольца А2

Многообразие М2 = (Д2; (2, ?), (2^ + 1, &)) разобъем на черный полный крендель Qb и белый полный крендель Qw так, как это описывалось в лемме 3. Так как гомеоморфизм ^ь переводит меридиан в меридиан, то он сохраняет цвета склеиваемых колец, и объединение Qb и и1 в многообразии М будет полным кренделем рода 2 по лемме 4. Аналогичное верно и для белой части Qw и и2. Таким образом, имеем разбиение рода 2 граф-многообразия М.

7. Многообразия вида М = (Д2;^,^), (р2,<?2), (рз,?з)) и^ (Д2;(2,^), (2^ +

1Л)).

Многообразие М2 = (Д2; (2, ?), (2^ + 1, &)) разобъем на черный полный крендель Qb и белый полный крендель Qw так, как это описывалось в лемме 3. Многообразие М1 = (Д2; (р1, ?1), (р2, ?2), (рз, ?з)) разобъем на три полных тора [Д, и2 и из двумя существенными послойными кольцами. Покрасим полные торы [Д и из в черный цвет, а тор [/2, который разделяет торы [Д и [7з, в белый.

При гомеоморфизме ^ каждый черный полный тор приклеивается к полному кренделю Qb по кольцу, которое является вертикальным на крае дQь, а значит, в результате получится полный крендель рода 2. Белый полный тор [/2 под действием гомеоморфизма ^ приклеивается к полному кренделю Qw по двум кольцам, которые на кренделе Qw являются параллелями, а следовательно, и в этом случае объединение [/2 и Qw в многообразии М будет полным кренделем рода 2. Таким образом, имеем разбиение рода 2 граф-многообразия М.

8. Многообразия вида М = (М2; (р1, ?1), (р2, ?2)) и^ (Д2; (2, ?), (2^ + 1, &)).

Многообразие М1 = (М2;(р1,^1), (р2,д2)) разобъем на черный полный тор и1 и белый полный тор и2 с помощью двух существенных послойных колец. При этом тор дМ1 будет состоять из четырех колец: двух черных и двух белых. Многообразие М2 = (Д2; (2, д), (2^ + 1, &)) разобъем на два полных кренделя Qь и Qw точно так же, как и раньше.

Гомеоморфизм ^ приклеивает полный тор [Д к полному кренделю Qb по паре колец, которые являются вертикальными на крае дQь, а поэтому результатом приклейки будет полный крендель рода 2. Аналогичное верно и для белых частей и2 и Qw. Таким образом, имеем разбиение рода 2 граф-многообразия М.

3.4. Комментарии к табличным граф-многообразиям рода 2

Оказалось, что в отличии от случая многообразий Зейферта, представители не всех указанных восьми серий встретились в таблице. А именно, не встретилось ни одного многообразия, принадлежащего пятой серии, а среди многообразий, принадлежащих восьмой серии были только многообразия вида (М2; (р1,д1)) и^ (Д2;(2,д), (2^ + 1,&)), когда многообразие с базой лист Мебиуса имеет только один особый слой.

Следует отметить также, что принадлежность к классу многообразий рода

2 многообразий из серий 1 — 7 следует и из теоретических соображений. Более того, основываясь на результатах [5] можно показать, что никаких других граф-многообразий рода 2, состоящих из многообразий Зейферта с ориентируемыми базами, не существует.

3.5. Количественный анализ

Число замкнутых, ориентируемых неприводимых 3-многообразий рода 2, допускающих диаграммы Хегора с N ^ 32 точками пересечения меридианов, представлено в табл. 1. В ней указано число многообразий по всем восьми геометриям и общее число многообразий для каждого данного значения сложности Хегора.

Кроме этого, на рис. 7 показан график зависимости числа многообразий рода 2 от числа точек пересечения меридианов. По горизонтальной оси откладывается число точек пересечения меридианов диаграммы Хегора, а по вертикальной оси — число разных типов многообразий, имеющих диаграмму Хегора рода 2 с данным числом точек пересечения меридианов.

Скорость роста общего числа многообразий оказывается полиномиальной и не превосходящей кубической. Также интересно отметить, что скорость возрастания числа многообразий неодинакова. Так, при переходе от четного значения сложности Хегора к нечетному приращение числа многообразий гораздо больше, чем при переходе от нечетного значения к четному.

Выскажем гипотезу о характере диаграмм Хегора рода 2, которая появилась в результате анализа полученных данных. Напомним, что диаграммы могут задаваться шестерками двух типов — первого и второго (см. определение 1).

ГИПОТЕЗА. Если замкнутое ориентируемое многообразие М рода 2 может быть задано шестеркой второго типа, сложность Хегора которой совпадает

Таблица 1. Многообразия, допускающие диаграммы Хегора рода 2 с не более, чем 32 точками пересечения

меридианов

N Е3 Н2 х К 5 3 №1 БЬ2 К 8с1 Н 3 Composite Total

8 0 0 1 0 0 0 0 0 1

9 0 0 1 0 0 0 0 0 1

10 0 0 4 0 0 0 0 0 4

11 0 0 4 0 0 0 0 0 4

12 2 0 5 0 0 0 0 0 7

13 1 0 9 1 1 0 0 0 12

14 1 0 8 4 4 0 0 0 17

15 0 0 11 2 12 0 0 0 25

16 0 0 6 4 18 1 0 1 30

17 0 0 16 1 26 2 0 1 46

18 0 1 9 5 38 2 2 4 61

19 0 0 14 0 56 2 2 4 78

20 0 1 12 1 63 4 2 9 92

21 0 1 21 1 83 2 10 14 132

22 0 0 12 3 100 2 15 16 148

23 0 1 24 0 136 2 21 19 203

24 0 3 13 6 147 6 29 20 224

25 0 0 29 0 193 2 40 42 306

26 0 1 19 1 211 2 56 46 336

27 0 0 32 1 274 2 79 56 444

28 0 2 19 3 283 6 87 62 462

29 0 1 42 0 363 2 131 95 634

30 0 4 22 4 380 2 162 91 665

31 0 1 39 0 480 2 216 131 869

32 0 1 27 2 485 8 238 135 896

Всего 4 17 399 39 3353 49 1090 746 5697

со сложностью многообразия, то М можно задать и шестеркой первого типа, имеющей ту же сложность.

Из результатов компьютерного эксперимента следует, что для всех многообразий сложности до 32 эта гипотеза верна.

3.6. Об информативности групп гомологий

Первая группа гомологий трехмерного многообразия является его легко вычисляемым удобным инвариантом. Насколько этот инвариант информативен? Приведем результаты исследования полученных данных. Обозначим через ш(и) число различных многообразий рода 2 в классе всех многообразий рода 2, сложность которых не превосходит данного числа и, а к(и) — общее число их первых групп гомологий. Полученные с помощью компьютера значения этих чисел для и ^ 32 приведены в табл. 2. Из таблицы видно, что информативность первой группы гомологий (которую можно выразить средним числом многообразий на

Рис. 7. Зависимость роста числа многообразий рода 2 от числа точек пересечения меридианов

Таблица 2. Число многообразий рода 2 сложности п 32 и число их различных групп гомологий

п < 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Н(и) 0 1 2 5 8 13 21 30 40

т(п) 0 1 2 6 10 17 29 46 71

Н(п) 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Н(п) 51 59 73 81 95 104 114 129 150

т(п) 101 147 208 286 378 510 658 861 1085

и 25 26 27 28 29 30 31 32

Н(п) 165 177 193 212 228 249 267 293

т(п) 1391 1727 2171 2636 3267 3932 4801 5697

Г

/

/

п

т-------1-------1-------1-------1----

10 15 20 25 30

Рис. 8. Значения последовательности Ь(п), 7 ^ п ^ 32 приближаются параболой у = 0.47(ж — 8)2

250200150 -100 50

Фша

8

7 -I 6

5 Н 4

3 -2 -

1

~I— 10

~I— 15

20

25

—I—

30

Рис. 9. Значения последовательности 4m(n), 8 ^ n ^ 32 хорошо приближаются прямой у = 0.32(ж — 8) + 1

одну группу) сравнительно велика до сложности 16

Список литературы

1. Homma, T. An algorithm for recognizing S3 in 3-manifolds with Heegaard splittings of genus two / T. Homma, M. Ochiai, M. Takahashi // Osaka J. Math. — 1980. — Vol. 17. — P. 625—648.

2. Матвеев, С. В. Алгоритмические и компьютерные методы в трехмерной топологии / С. В. Матвеев, А. Т. Фоменко. — М. : Изд-во МГУ, 1991.

3. Boileau, M. Heegaard genus of closed orientable Seifert 3-manifolds / M. Boileau, H. Zieschang // Inventiones Mathematicae. — 1984. — Vol. 76. — P. 455—468.

4. Moriah, Y. Irreducible Heegaard splittings of Seifert fibered spaces are either vertical or horizontal / Y. Moriah, J. Schultens // Topology. — 1998. — Vol. 37, № 5. — P. 1089—1112.

5. Schultens, J. Heegaard splittings of graph manifolds / J. Schultens // Geometry and Topology. — 2005. — Vol. 8. — P. 831—876.