О тождествах типа тождеств Гаусса для функции R1 (часть i)

140

Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 9 (18), 2015 I ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

соответствует отрицательная масса, а силам отталкивания - положительная.

Физический эфир наполнен энергией взаимодействия электрических зарядов, образующих дипольные пары - нейтрино. Вследствие разнонаправленности сил взаимодействия, эфир в целом остается нейтральным и безмассовым. Заряды и нейтринные диполи осциллируют относительно положения равновесия, обладая единичной степенью свободы.

На основе представления о зарядовом строении материи установлены закономерности, связывающие энергетические потенциалы элементарных зарядовых структур: нейтрино, электрона, протона.

Электрон не бесструктурен, а представляет собой динамичную структуру из трех зарядов: одного положительного и двух отрицательных, скрепленных энергией взаимодействия и наделенной тремя степенями свободы.

Установлено, что энергия зарядовых структур напрямую зависит от степени ее свободы, что позволило соотнести энергии свободного электрона и нейтринного диполя и получить оценку: w^o^-w^O^ эВ (а=1/137), которая соответствует установленному пределу осцилляционной энергии нейтрино (0,28 эВ). На основе константы а получена формула, связывающая энергетические потенциалы протона и электрона.

Показано, что выполнение законов сохранения энергии и зарядов в процессах обмена между элементарными частицами и эфиром, обеспечивается благодаря участию нейтринных диполей в реакциях элементарных частиц. На основе анализа зарядового баланса реакций, связанных с обменом зарядами, представлено образное «дырочное» объяснение природы антиматерии.

Подтверждено наличие структурной связи на всех уровнях организации материи. Соотнесено время

микро процесса - оборота электрона с временем оборота Вселенной, которое несправедливо считается ее возрастом. Связь времен определяется магическим числом: 137 (1038), которое обратно постоянной: а, ибо время это обращенная частота или энергия процесса.

Показано, что эфир в целом массой не обладает. Масса структурных фрагментов нейтринной матрицы эфира, близка к нулевой, что не лишает эфир инерционности и связанного с ней информационного потенциала, который определяется, как физическая мера его структурированности.

Сознательные и бессознательные участники процесса обмена энергией и информацией с эфирной матрицей наделены дополнительной свободой для испытания различных способов выживания.

Физический эфир уподоблен живой среде, в которой происходят непрерывные процессы преобразований, прямые и обратные, потенциальных форм энергии и информации в актуальные.

Литература.

1. Гроф С. Величайшее путешествие.

Сознание и тайна смерти. М. Изд-во

Трансперсонального института, 2007.

2. Никольский Г.Ю. Третий элемент.

Сборник статей. Saarbruken: LAP LAMBERT, 2015, 137 с.

3. Репченко О.Н. Полевая физика или как устроен мир. Изд. 2-е, М.:Галерия, 2008, 319 с.

4. Shaun A. Thomas, Filipe B. Abdalla, and Ofer Lahav. Upper Bound of 0.28 eV on Neutrino Masses from the Largest Photometric Redshift Survey Phys. Rev. Lett. 2010. Т. 105, вып. 3. С. 031301.

5. Felipe J. Llanes-Estrada, Gaspar Moreno

Navarro. Cubic neutrons, arXiv:1108.1859v1 (nucl-th), 2011.

О ТОЖДЕСТВАХ ТИПА ТОЖДЕСТВ ГАУССА ДЛЯ ФУНКЦИИ R

Подклетнова Светлана Владимировна

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики Самарского государственного аэрокосмического университета имени академика С.П. Королёва (национальный

исследовательский университет), г. Самара

АННОТАЦИЯ

В данной статье приведены 18 тождеств для функции R^ типа тождеств Гаусса, выведено и

доказано одно из приведённых тождеств.

ABSTRACT

18 identities for the function R^ of the type of the Gaussian identities are listed, one of the listed identities is derived and proved in this article.

Ключевые слова: тождество, функция, Гаусс, тождества Гаусса.

Keywords: identity, function, Gauss, Gaussian identities.

Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 9 (18), 2015 I ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

141

Рассмотрим функцию двух переменных

<Х)

Ri (a,p,p ,8;у,8 ; x, у )= X

m,n=0

У /n+m У7 /п У7 /m У 'п

(у) (8') n\m\

n+m n

x у

1)

где |x| < 1, |у| < 1, параметры a, Р, Р', 8, у, 8' принадлежат пространству

действительных чисел, причём параметры у и 8' не равны нулю и целым отрицательным числам.

При у — a — Р' > 0 данная функция может быть записана в виде

/ , . ч ^ (a) (р) (8) . ч

R (a,p,p ,8;у,8 ;x,у)= X / Т" { Л—f'xn • F(a + n,p ;у + n;у),

m,n=0

(у) (8) n!

У' /n+m У /n

где

F ( a, b; c; z ) = X

( a ). (b )„

( c )nn!

гипергеометрическая функция Гаусса.

В рекуррентной формуле Гаусса [1, с. 1058]

3)

c [ c — 1 — ( 2c — a — b — 1) x ] F ( a, b; c; x ) + (c — a )(c — b ) F (a,b; c +1; x ) +

+c (c —1)( x — 1) F (a, b; c — 1; x) = 0

обозначим a = a + n, b = Р', c = у + n, x = у , перепишем соотношение через эти

параметры, умножим обе части полученного тождества на

1 (a)n (P)n (8)„ ,x

у+n (у)„(8'l,n!

сгруппируем по степеням n , а затем просуммируем обе части по n от нуля до бесконечности. При помощи формулы (3) запишем гипергеометрическую функцию Гаусса в виде ряда и применим соотношения (1) и (2), а также известное

представление: (a) (a + n) =(a) . В

V /n\ /ш У / n+m

5) результате получим:

у8' (у + 1)[у — 1 — (2у — a — p' — 1) у ] R (a,p,p' ,8;у,8; x, у) +

+ap8(y +1) x (1 — у) R1 (a +1,р +1,р ,8 +1;у +1,8 +1; x, у) + +88 (у + 1)(у — a)^ — рр)yR (a,p,p',8;у +1,8'; x, у) +

+ap8(j — a) xyR1 (a + 1,Р + 1,Р,8 + 1;у + 2,8 +1; x, у) +

+у8 (f - 1)(у — 1)R (a,p,p,8;у —1,8;x,у) = 0.

6)

В справедливости полученного тождества формулы (6) в ряд (1). Запишем полученное

нетрудно убедиться при помощи разложения (1) в ряд тождество:

функции R1 . Разложим каждую функцию R1

из

у8'(у + 1)[у — 1 — (2у — a — pр — 1)у] X a,,+m (Р}"с,Р \ 8 • x"y +

m,n=0

(у) (8') n!m!

У' /n+m У /n

+ap8(j +1)x(1 — у) X (a + 1)п+"(Р + 1)y" (p )m (8 +1)n • xnym +

m,n=0

(у +1) (8 +1) n!m!

n+m n

142

Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 9 (18), 2015 I ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

+S'(r + 1)(y - a)(y - p,у У ,n+m , nS • xnym + ^ )(Г )(Г ^ ту0 (y + 1)n+m (ППМ ^

+а(58(у - а)ху У У +f)n+m^f +]\nt ^}m (S +1)п • xnym +

m,n=0

(y + 2) (S’ +1) n\m\

n+m n

(a)n+m (P)„ (p>)m (S)n »

+ ySV - 1)(у - 1) У

m,n=0 (y 1)n+m (° )n

n\m\

xnym =0.

00

Отсюда имеем:

(а)„+т (Я, (П„ (S)n

yS'(y + 1)(y-1) У v Т'Я '/'Я • xnym

m,n=0

(y) (S’) n\m\

V' /n+m V 'n

, w ч ”

-yS'(y +1)(2y-a-p-1) У /Г Jr m A, • xnym +

m=l,n=0 (y)n+m_1 (S )nn-( m О’

» (а +1) 1 (P +1) 1 (P') (S +1) 1

+apS(y +1) У ^—’n+m-1 у ^ AAA .,4, , • xnym

m=0,n=

n=1 (y + 1)n.„-1 (S' + 1)n-1 (n - l)!"!

» (а +1) Ap +1) (p') (S +1) ,

-apS(y +1) У ^------y+m-2 V ’"p \ Jm-\\---^• xnym +

(y + 1)n+m-2 (A + 1)n-1 (n - !)l(m - 1)1

, w w 4 ”

+S'(y + \)(y-a)(y-p') У У-у'( n,( "у"’" \ • xnym +

"=1,"=0 (y + Dn+m-1 (S ’n n (m 1)» (a +1) (p +1) Ap') As + 1) ,

+apS(y- а) У ^------Z"±"-^—у у Л"-|ч У ^ • xnym +

pyy )У=, (y + 2)n+m_2 (S' + fin-, (n - 1)l(m -1)\ y

\vS'(v2 A ^ (a)n+m-1 (p)n (p ’m-1 (S)n xn ym

+S (y -11 Ли(y- 1)nm1 (S'lnim -1)1 •xy -

8)

00

(

О

-yS’(y2 -1) У

m,n=0

(aL„ (p)„ (p% (S)„

(y-1) (S') nlml

n+m n

• xnym

= 0.

Выделим из сумм первые слагаемые, так чтобы оставшиеся суммы начинались с 1 по обоим параметрам (m и n), и вынесем за скобки общие множители в суммах. После приведения подобных получим тождество:

о = о,

9)

что и доказывает справедливость соотношения (6).

В работе [1, с. 1058-1059] записаны 18 рекуррентных формул Гаусса, аналогичных (4). Используя эти формулы и рассуждения, подобные предыдущим, выводим и обосновываем оставшиеся 17 тождеств. Выпишем полученные тождества:

yS'(y + 1)[y -1 - (2y - a - p' -1)y]R1 (a,p,p',S;y,S ';x,y) +

+aps(y +1) x (1 - y) R1 (a +1,p +1,p ,S +1;y +1,S +1; x, y) + +S (y +1)(y - a)(y - p)yR1 (a,p,p,S;y + 1,S;x,y) +

+apS(y - a)xyR1 (a + 1,p + 1,p,S + 1;y + 2,S +1;x,y) +

+yS(y2 -1)(y -1)R (a,p,p',S;y- 1,S';x,y) = 0;

Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 9 (18), 2015 I ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

143

2. yS'(2a — y —ay + р y) R (a, р,р ,S;y, S'; x, y) + +apSx(1 — y)R (a +1,р +1,р ,S + 1;y +1,S +1;x,y) + +yS ' (y — a) R (а — 1,р,р ' ,S;y,S '; x, y) +

+PS(y — a)xR (а,р + 1,p,S + 1;y + 1,S +1;x,y) +

+aySs (y — 1) R (a +1, р, р',S; y, S'; x, y) = 0;

3. ySs(2р' — y — р'y + ay) • R (a,p,p',S;y,S';x,y) + +aрSx (y — 1) • R (a +1, р +1, p, S +1; y +1, S' +1; x, y) + +yS' (y — р') • R (a,P,P' — 1,S;y,S'; x, y) +

+aрSxR (a +1, р +1, p — 1, S +1; y +1, S' +1; x, y) +

+р[ySf (y — 1)- R (a, рр' + 1,S;y,S'; x, y) = 0;

4. y(y + 1)S'R (ух,р,р — 1,S;y,S';x,y) —

—y(y + 1)S'R (a — 1,р,р,S;y,S';x,y) —

—pS(y +1) xR1 ((х,р +1,р ,S +1;y +1,S' +1; .^, y) +

+(a — р')(y + 1)S 'yR (ух,р,р',S;y + 1,S';x,y) + +aрSxyR (a +1, р +1, р, S +1; y + 2, S' +1; x, y) = 0;

5. y(a — р')(y + 1)S 'R (ух,р,р',S;y,S';x,y) +

+aрS (y +1) x^1 (a +1, р +1, р, S +1; y +1, S +1; x, y) — —a(y — р')(y + 1)S 'R (a + 1,р,р',S;y + 1,S';x,y) — —aрS (a +1) x^1 (a + 2, р +1, р, S +1; y + 2, S' +1; x, y) + +р р S' (y + 1)(y — a) R (aa,р,р р + 1,S;y +1, S '; x, y) = 0;

6. y(y +1)S'R (a,',p',S;y,S';x,y) -—y(y + 1)S^1 (a,p,p' ,S;y + 1,S'; x, y) —

—a'SxR (a +1,p +1,P ,S +1;y + 2,S +1;x,y) —

—aSp'yR (a + 1,p,p' + 1,S;y + 2, S '; x, y) = 0;

7. yR (a,P,P',S;y,S';x,y) —

—(y —a) R (a,p,p + 1,S;y +1, S'; x, y) —

—a(1 — y) R (a + 1,p,p + 1,S;y + 1,S; x, y) = 0;

8. y(y + 1)S'R (a,p,p',S;y,S';x,y) +

+pS(y +1)xR (a +1,p +1,p,S +1;y +1,S +1;x,y) — —(y — P')(y +1) S 'R (a +1, p, p', S; y + 1,S'; x, y) —

—PS (a +1) xR (a + 2, p +1, p, S + 1;y + 2,S' +1; x, y) —

—P' S' (y +1)(1 — y)R (a + 1,p,p' + 1,S;y + 1,S';x,y) = 0; yS' (y — p'y — a) R (a, p, p',S; y, S'; x, y) — yS' (y — a)R (a — 1,p,p',S;y,S';x,y) —

9.

144

Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 9 (18), 2015 I ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

-'8(у - а)xRi (а,Р + 1,Р',8 + 1;у +1,8' +1;х,у) +

+ар8у(1 - у)R (а + 1,р,р +1,8;у +1,8;х,у) = 0;

10. /8 '(у - Р' - а у) R (а,Р,Р' ,8; у, 8'; х, у) --aP8xyR1 (а + 1,Р + 1,Р',8 + 1;у +1,8 +1;х,у) --/8'(у - Р')R (а,Р,Р' -1,8;у,8';х,у) --aP8xRl (а + 1,Р + 1,р -1,8 + 1;у +1,8 +1;х,у) +

+Р1/81 у (1 - у) R (а, Р,Р' +1,8; у, 8'; х, у) = 0;

11. уRl (а,Р,Р,8;у,8;х,у) - уRl (а,р,р +1,8;у,8;х,у) +

+ayR (а + 1,Р,Р +1,8; у +1,8; х, у) = 0;

12. у8'R (а,Р,Р,8;у,8;х,у) + p8xRl (а +1,Р +1, р,8 +1;у +1,8 +1;х,у) --у8'R (а +1, Р, Р',8; у, 8'; х, у) +

+Р8'yR (а +1, Р Р' +1,8; у +1,8'; x, у) = 0;

13. (а-(у- Р' ) у) у (у +1)8 'R, (а,Р,Р' ,8;у,8'; х, у) +

+аР8(у +1) х (1 - у) R1 (а +1,Р +1,Р ,8 +1;у +1,8 +1; x, у) --ау (у +1)8 ' (1 - у) R (а +1, Р, Р',8; у, 8'; х, у) +

+8 (у + 1)(у - а)(у - Р)yR (а,Р,Р,8;у +1,8;х,у) +

+аР8(у - а)xyR1 (а + 1,Р + 1,Р,8 + 1;у + 2,8 +1;х,у) = 0;

14. у8'(у + 1)(Р ' - (у - а)у)R (а,Р,Р',8;у,8';х,у) --у8'Р'(у +1)(1 - у)R (а,Р,Р' +1,8;у,8';х,у) +

+8 (у + 1)(у - а)(у - Р)yR (а,Р,Р,8;у +1,8;х,у) +

+аР8(у - а)xyR1 (а + 1,Р + 1,Р,8 + 1;у + 2,8 +1;х,у) = 0;

15. у (у +1)8 'R1 (а,Р,Р',8;у,8'; х, у) -

-у(у + 1)8'R (а,Р,Р' +1,8;у +1,8 ';х,у) --аР8хК1 (а +1, Р +1, Р +1,8 +1; у + 2,8 +1; х, у) +

+а8' (у - Р') yR (а +1, Р, Р' +1,8; у + 2,8'; х, у) +

+а (а +1) Р8хуК1 (а + 2, Р +1, Р +1,8 +1; у + 2,8 +1; х, у) = 0;

16. у (у + 1)8р (а,Р,Р' ,8;у,8; х, у) +

+Р8(у +1) xRl (а +1,Р +1,Р ,8 +1;у +1,8 +1; ^ у) -

-у(у + 1)8'R (а + 1,Р,Р,8;у +1,8 ';х,у) -

-(а +1)Р8хК1 (а + 2,Р +1,Р ,8 + 1;у + 2,8 +1;х,у) +

+Р'(у - а)8' yR (а + 1,Р,Р' + 1,8;у + 2,8 ';х,у) = 0;

17. у8' (у +1) R1 (а, Р,Р р , 8; у, 8'; х, у) -

-8 ' (у + 1)(у-Рр) R (а,р, Р', 8; у +1,8 '; х, у) --aP8xR1 (а + 1,Р + 1,р ,8 + 1;у + 2,8 +1; х, у) -

Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 9 (18), 2015 I ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

145

-Р'{у +1)S'R (а,р,р' + 1, S; у +1,S';х,y) = 0;

18. yR {а,р,р 1111, у) -(г- а) R {а,р,р' ,S;y + 1,S; х, у) -

-aRi (а + 1,р,р,S;y + 1,S;х,у) = 0.

Литература

1. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. - М.:

Физматгиз, 1963. - 1100 с.

О ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ПЕРВЫХ ИНТЕГРАЛАХ ВОЗМУЩЁННОЙ ЗАДАЧИ БАРРАРА

Севрюков Павел Фёдорович

кандидат физ.-мат. наук, доцент, Ставропольский государственный педагогический институт, г. Ставрополь, кафедра математики и информатики.

Ключевые слова: планета, гравитационный потенциал, спутник, задача Баррара, первый интеграл задачи.

Key words: planet, gravitational potential, satellite, problem of Barrar, the first integral of the problem.

Аннотация: Рассматривается задача о дополнительных аналитических первых интегралах одной известной задачи о возмущённом движении спутника в поле, задаваемом гравитационным потенциалом Баррара. Показано отсутствие дополнительных (отличных от известных) первых интегралов задачи.

Annotation: The problem of additional analytical first integrals of one known problem ofperturbed motion of the satellite in the field defined Barrar’s gravitational potential. The absence of additional (non-famous) first integrals of the problem is a fact.

Рассмотрим движение спутника, принимаемого за материальную точку, в поле тяготения осесимметричной планеты. Если ось аппликат направить вдоль ось динамической симметрии планеты, а начало координат поместить в произвольной точке этой оси, то гравитационный потенциал в стандартных обозначениях будет иметь вид

U = ^

Г

[ 1 + Z”= 1

ГМГ

где f - гравитационная постоянная, т - масса планеты, r - модуль радиус-вектора, In - постоянный параметр, Рп - полином Лежандра n - го порядка.

Гравитационное поле планеты будем аппроксимировать полем тяготения Баррара [1, 2]. При этом начало координат поместим в шаровую точку инерции планеты, тогда 11=с. Это значение составляет аппликату центра масс планеты, /2=0, а потенциал Баррара запишется следующим образом:

fm fm .

u = — + —sln<P’

z

где sin^= —. Оставшиеся члены

r

гравитационного потенциала

пертурбационную функцию

V = ^=3 zkPnisinp),

составят

U=W+R.

Уравнение движения невозмущённой задачи Баррара интегрируется в замкнутом виде в квадратурах. Канонические переменные «действие-угол» введены в работе [2] и выражены через эллиптические квадратуры.

Дифференциальные уравнения возмущённой задачи Баррара принимают наиболее простую форму, если ввести канонические переменные L, G, H, l, g, h, подобные элементам Делоне кеплеровского движения и обращаются в соответствующие элементы при с=0 [3]. Уравнения возмущённого движения в канонических оскулирующих переменных L, G, H, l,

g, h будут иметь вид

dL dH* dG dH* dH dH*

dt dl , dt dg , dt = dh ’

dl _ dH* dg _ dH* dh _ -aH*.

dt dL dt dG dt dH v ‘

причём

H* = H о + R.

Ясно, что в формуле

H = H0(L, G, H ) - невозмущённый

гамильтониан задачи Баррара, R - пертурбационная функция(3), которая с учётом соотношений

sin^=sini-cos6>,

1

r=p-------------

1 + e cos v

может быть представлена в форме

R = fm Z”=^n+r

В приведённых формулах р=а(1-е2), 0=v+rn; а-большая полуось, е - эксцентриситет, i - наклон орбиты, v - истинная аномалия, т - аргумент перицентра.

Введём функции наклона и эксцентриситета для задачи Баррара [4]:

= ^/02>п