ОБ ОДНОМ ПОДХОДЕ К ИЗУЧЕНИЮ СТОХАСТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ЛЕОНТЬЕВСКОГО ТИПА С ИМПУЛЬСНЫМИ ВОЗДЕЙСТВИЯМИ

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 12. № 3 (2020). С. 51-61.

УДК 517.9; 519.216.2

ОБ ОДНОМ ПОДХОДЕ К ИЗУЧЕНИЮ СТОХАСТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ЛЕОНТЬЕВСКОГО ТИПА С ИМПУЛЬСНЫМИ ВОЗДЕЙСТВИЯМИ

Е.Ю. МАШКОВ

Аннотация. Изучается система стохастических дифференциальных уравнений в форме Ито, у которой в левой части имеется вырожденный постоянный линейный оператор. В правой части системы имеется постоянный линейный оператор и детерминированное слагаемое, которое зависит только от времени, а также импульсные воздействия. Предполагается, что коэффициент диффузии данной системы задается квадратной матрицей, зависящей только от времени. Данные системы уравнений встречаются во многих приложениях. Изучаемая в работе система с применением преобразования регулярного пучка матриц к обобщенной вещественной форме Шура приводится к каноническому виду. Для исследования полученных канонических уравнений необходимо рассмотрение производных достаточно высоких порядков от свободных членов, включая винеровский процесс. В связи с этим для дифференцирования винеровского процесса мы применяем аппарат производных в среднем по Нельсону от случайных процессов, что позволяет при исследовании уравнения не применять аппарат теории обобщенных функций. В результате получаются аналитические формулы для решений уравнения в терминах производных в среднем случайных процессов.

Ключевые слова: Производная в среднем, текущая скорость, винеровский процесс, стохастическое уравнение леонтьевского типа.

Mathematics Subject Classification: 60Н30, 60Н10

1. Введение

Рассматривается вырожденное стохастическое дифференциальное уравнение в форме Ито вида

d Асъ(t) = В£(t)dt + f (t)dt + dS((t) + P(t)dw(t), 0 ^ t ^ T, где В + AA - регулярный пучок вещественных постоянных матриц размера п х щ А -вырождена, £(t) - искомый случайный процесс; w(t) - винеровский процесс в Rra; Р(t) -

п х п ( ) п

функция; C(t) - п-мерный процесс скачков; S - п х п-матрица. В литературе для данных систем используются следующие названия: алгебро-дифференциальные, деекрипторные, системы леонтьевского типа. Изучаемые уравнения возникают в работах Л. А. Влаеен-ко и др. [1], [2] при математическом моделировании динамики корпорации предприятий при использовании инвестирования. В работах О. Schein, G. Denk [3], Т. Sickenberger, Е. Winkler [4], [5] рассматриваемые системы возникают при математическом моделировании колебаний и электрических цепей. В работах А. Л. Шестакова, Г. А. Свиридюка [6]

E.Yu. Mashkov, On approach for studying stochastic Leontieff type equations with impulse

actions.

© Машков Е.Ю. 2020.

Работа поддержана РФФИ (грант 18-01-00048).

Поступила 17 апреля 2020 г.

с применением систем леонтьевского типа изучается динамическое искажение сигналов в радиоустройствах. Также отметим работу А. А. Белова, А. П, Курдюкова [7], в которой описаны многочисленные приложения уравнений леонтьевского типа.

Отправной точкой для данной статьи послужила работа [8], в которой данное уравнение исследуется с применением канонической формы Вейерштрасса регулярного пучка матриц, Поскольку, в общем случае, мы не можем устойчиво вычислить форму Вейерштрасса (см, [9]), напрашивается исследование данной системы с применением обобщенной формы Шура для регулярных пучков. Как известно(см. [9]), форма Шура вычисляется устойчивым образом.

Специфика уравнений леонтьевского типа предполагает рассматривать производные высших порядков от правой части (в том числе и винеровекого процесса). Как известно (см., например, [10]), производные винеровекого процесса существуют только в смысле обобщенных функций, которые крайне трудны для применения в изучении конкретных уравнений. Это обстоятельство делает прямое исследование нашего уравнения сложным.

Предлагаемый в настоящей работе метод исследования (как и в [8], [11]) данного уравнения основан на применении аппарата производных в среднем по Нельсону от случайных процессов, для описания которых не использованы обобщенные функции, А именно, мы применяем симметрические производные в среднем (текущие скорости) винеровекого процесса. Текущие скорости, в соответствии с общей идеологией теории производных в среднем по Нельсону, являются естественными аналогами физической скорости детерминированных процессов, В результате для изучаемого уравнения мы получаем физически осмысленные формулы для решений в терминах симметрических производных в среднем случайных процессов.

2. Производные в среднем

Рассмотрим стохастический процесс £(£) в Яп, Ь € [0,1], определенный на некотором вероятностном пространстве Р, Р) и такой, что £(£) является ^-случайной величиной для всех ¿. Известно, что каждый такой процесс порождает семейство а-подалгебр а-алгебры Р "настоящее" которое будем считать полным, т.е. пополненным всеми множествами вероятности нуль.

Ради удобства мы обозначаем условное математическое ожидание ) относительно

"настоящего" А для £(£) через Е|. Обычное ("безусловное") математическое ожидание обозначается символом Е.

мы, так что его производные существуют только в смысле обобщенных функций. Чтобы избежать использования обобщенных функций, согласно Нельсону [12], [13], [14] даем следующее определение:

Определение 2.1 ([10]). (г) Производная в среднем справа Р^(¿) процесса, £(£) в момент врем,ени Ь есть Рх-случайная величина, вида,

где предел предполагается существующим в Рх(0,,Р,Р) и △ ^ +0 означает, ч,то △ стремится, к 0 и △ > 0. (и) Производная в среднем, слева, Р*£(¿) процесса, £(£) в момент времени Ь есть Рх-случайная, величина,

YÜ(t,х) = lim El|m = x) V' ' At^+Ü tK At 1 W '

Y°Ü

где (как и в (г)) предел предполагается существующим в L1(Q, F, Р) и At ^ +0 означает, что At стрем,ится к 0 и At > 0.

Следует отметить, что, вообще говоря, (t) = Р*£(t), то если, например, £(t) почти наверное имеет гладкие выборочные траектории, эти производные очевидно совпадают,

Р

сий)

- lim E1 (Ы + Af —

At^+Ü tK At

^ № - at -At), a?4+ü ^t ( At на Rn, то есть, Р£(t) = YÜ(t, £(t)) и Р*£(t) = Y°Ü(t, £(t)).

Определение 2.2 ([10]). Производная, Ps = \(Р + Р*) называется, симметрической производной в среднем,. Производная, Ра = \(Р — Р*) называется, антисимметрической производной в среднем,.

Рассмотрим векторные поля v1 (t,х) = \(YÜ(t,х) + Y*°(t,х)) и и1 (t,х) = 2,(YÜ(t,х) — Y*Ü( t ,х)).

Определение 2.3 ([10]). v1 (t) = v1 (t, £(t)) = РяС(t) называется, текущей скоростью

процесса, £

Текущая скорость является для случайных процессов прямым аналогом обычной физической скорости детермиинированных процессов (см, [10]), Осмотическая скорость измеряет насколько быстро нарастает "случайность"процесса.

Определяющую роль в наших конструкциях играет винеровский процесс ([10]), который мы обозначим символом w(t). Имеют место следующие

Лемма 2.1 ([16]). Пусть w(t) - n-мерный винеровский процесс, Р(t) - достаточно гладкая, k х n-матрица, t Е (0,Т). Тогда для любого t имеет место формула

Р-sjy (s)d w(s) = Р (t) .

Е (0,Т) имеют место равенства

Pw

2t

При целом, k ^ 2

П

Р^) = (—1) '

k„..U\ _ I i\fc-l i=l _w(^

2k tk '

3. Основной результат

Как уже было сказано во введении, рассматривается стохастическое дифференциальное уравнение в Яп вида

¿АЦГ) = в£(г)<и + + (вс(¿) + р(г^Ц), о ^ г ^ т,

которое в интегральной форме имеет вид

А£

ио ио ио

где A и В - вещественные постоянные пх п - матрицы, А - вырождена, ЛА+В - регулярный пучок матриц, Л G R, S - числовая п х п-матрица, ((t) - п-мерпый процесс скачков, Р(t) -достаточно гладкая п х п-матрицa, f (t) - достаточно гладкая детерминированная вектор-функция, зависящая от времени, w(t) - винеровский процесс, Ç(t) - искомый случайный процесс. Процесс скачков ((t) = ((t,и) задается следующим образом

N

((t ,и) = ^ (г (w)x(t - tr ), 0 < ti < ••• < tN <T,

r=i

где x _ функция Хевисайда, равная нулю для отрицательных значений аргумента и единице для неотрицательных, (r (и) - случайные величины со значениями в Rn.

Из вида (3,1) понятно, что (для простоты) начальное условие для решения (3,1) предполагается вида

£

Скажем сразу, что для построенных нами ниже решений это условие не выполняется. Поэтому мы аппроксимируем решения процессами, которые удовлетворяют этому начальному условию, но становятся решениями лишь с некоторого (заранее заданного сколь угодно малого) момента времени t о > 0 (см. ниже).

Формулы для решений задачи (3.1), (3.2) будем искать (как и в работе [2]) среди случайных процессов Ç(t,и), которые удовлетворяют (в том смысле как описывается ниже) уравнениям

M(t) -А£(0) = В Î i(s)ds + î f(s)ds+ Î Р (s)dw(s), 0 ^t^ ti, о о о

M(t) -AÇ(U ) = В î Ç(s)ds + Î f (s)ds + Î Р (s)dw(s), U ^t^ U+i, Ai(t) -M(tN ) = В f Ç(s)ds+ Î f(s)ds + î Р (s)dw(s), tN ^t^T,

Jt^ j^n j^n

при всех r = 1, 2,..., N — 1 в точках tr удовлетворяют равенствам

A^(tr + 0, и) — Â£(tr — 0,и) = S(r(ш),г = 1, 2,..., N,

и в начальный момент времени t = 0 удовлетворяют начальному условию

= 0, 1, . . . , N r

А-Ш —А£о(0) = В Î io(s)ds+ f f(s)ds + f Р (s)dw(s), 0 h, (r = 0),

Jо Jo J0

A^r (t) — A^r (tr ) = В î Çr (s)ds + Î f(s)ds + Î Р (s)dw(s), tr ^t^ tr+i,

*J к/ к/

A С N (t) — ÀÇn (t N ) = В Î În (s)ds + Î f(s)ds+ î Р (s)dw(s), tN

J t n J t n J ^n

r = 1,2,... ,N — 1, где

f0(0) = 0, A^r (tr ) = A£r-i (tr, и) + S (r (и), r=1,...,N.

Для дальнейшего изложения нам понадобится

Теорема 3.1. (Обобщенная вещественная форма Шура [9]) Для регулярного пучка ЛA + В вещественных постоянных п х п-матриц A и В найдутся вещественные ортогональные матрицы Ql и Qr, такие, что матрица QlAQr - верхняя, квазитреугольная (т.е. верхняя, блочно-треугольная матрица с диагональными блоками размера

1 х 1 и 2 х 2; блоки размера 1 х 1 соответствуют вещественным собственным значениям,, а, блоки размера 2 х 2 - сопряженным парам комплексных собственных значений), а, матрица (ЬВ(я - верхняя, треугольная.

Как нетрудно заметить, уравнение (3,1) в общей форме неудобно для изучения, поэтому приведем его к некоторому каноническому виду. Выполним для регулярного пучка матриц АА + В, А е Л преобразование Шура (описывается парой невырожденных матриц (операторов) (Ь и (к)- Тогда уравнение (3,1) преобразуется следующим образом

ЯьАякЯ-1 т = (ьВ(к Г як1 е

./0

+ [ Яь!Шз + ЯьБС(г) + [ (ьР(8^(8), о ^¿^т, 00

и в новых обозначениях принимает вид

Ац

0 0 0

(о) = о,

где С(1) = (ЬР= Як1^М = А = ЯЬА(п ~ верхняя квазитреугольная

матрица, В = ЯЬВ(к ~ верхнетреугольная матрица, (Ь/= з(^). Пронумеровав векто-

А

2 х 2 1 х 1

1х1

деляютея последовательно для г = 0, 1,..., N через случайные процессы г/г , которые удовлетворяют уравнениям

Аг]о(г) — А г]о(0) = [ Вг]о(8)ё.8+ [ д(8^8 + [ С (з)йт(з), 0 ¿ь (3.5) ио ио ио

Аг]г(г) — Аг]г(и) = ! Вг]г(8)ё,8 + ! д(з)йз+ ! С(з)йт(з),

К/ К/ К/

и и+1, г = 1,...^ — 1

Аг]м (^ — Аг]М ) = В г]М (в) ¿в + д(в)(1з + С (з)йт(в),

щ

Замечание 3.1. Как было отмечено выше, для, построения процесса,, описывающего .модель, заданную уравнениями (3.5), (3.6) и (3.7), нужны производные свободных членов (включая, винеровский процесс). Производные винеровского процесса, существуют только в смысле обобщенных функций. Поэтому чтобы, избежать использования обобщенных функций, мм для, построения процесса,, описывающего .модель, заданную (3.5), (3.6) и (3.7), будем использовать симметрические производные в среднем, (текущие скорости) Р$ для, случайных процессов. В этой работе для, вычисления симметрических производных высших порядков будет использоваться, а-алгебра "настоящее" винеровского процесса. Отметим, что для, вычисления производных в среднем, можно использовать и какую-либо другую а-алгебру, но тогда, формулы для вычисления симметрических производных высших порядков от винеровского процесса, изменятся.

Принимая во внимание структуру матриц А и В, нетрудно видеть, что задачи (3,3), (3,4) и (3,5), (3,6), (3,7), (3,8) распадаются на несколько уравнений и систем уравнений.

Последние п—р +1 компонент процесса т]г, соответствующие строкам А с вырожденными диагональными блоками размера 1 х 1, соберем в одно матричное уравнение

/О пр пр 0 ар+1 ир+2

) 0 <+2

р+1

\ ! лт ^

\0 0 0 ... О ) V Яг^) )

0

'р+1 ар+2

0 0 а:

,р+1 'Р+2

<\

00

(Щ Щ>+1 0 р+1 0 р+1

00

0 ... 0 у V жи) у

ьр \ ( Лр(8)\ ( 9р(8) \

ьп /

Г]р+1

V <

¿8 +

др+1

V 9П

(1 5 +

+

сГЧ Ж*

Ъ Г + 1-!

4(8) .. р °п- 1( ) СРп(8) \ ( Ы1 (8) \

ср+1

СГЧ 8 ) ... сп- °п- -\

%(8) . . п 1( ) с( ^ ) У у Ып(8) у

= 1, 2)..,Ы — 1.

Из последнего уравнения системы (3.9) получаем, что

Ьпп ^ €

3=1"Ьт

Так как именно текущая скорость (симметрическая производная в среднем) соответствует физической скорости, из этого уравнения мы находим применением к обеим частям

равенства производной ИЦ (см. Замечание 3.1). Легко видеть, что применение производных в среднем О1 и ИЦ (и, следовательно, ИЦ) к интегралам Римана в левой и правой частях дает одинаковые результаты г/™^) и дп(Ь). Таким образом, мы с применением Лем-

мы 2,1 получаем, что

1 1 ^^ Ы

•я = — 19п(<) —1Е^г = 1,2,...,м—1

ип ип :]=1 21

Из предпоследнего уравнения системы (3,9) мы получаем, что

Г (Ъпп--1лп-1(8) + ьпп-1Пп(8))&+

гг п г I

+ дП-1

»/¿^ - -1 к) ьг

<-1 гТг

3 = 1

р

а

71

г

г

г

г

г

г

V

откуда, проведя рассуждения, аналогично сделанным выше, с использованием Леммы 2,2

выводим

1

чг1

Ьп-1  Ьп

ип-1 ип

Сд п

сИ

Ып-1 1

+ --дпИ)--т  дп-1 &)+

уп-1 . Ьп У у ' гп-1 у у '

п- 1 п п- 1

п 1

+

+

п- 1 п п 1 п

п- 1 ип_

ьп-1 . Ьп

п 1 п

Е сп^)

3=1

Е сп^)

=1

4 2

~2Ъ

п 1

п- 1 п п 1 п

=1

С сп(Ь) С

1

п- 1 °п-т 3=1

В точности аналогично, для р ^ г ^ п — 1 мы получаем рекурентную формулу

п

= Е И)+дг{1) +

=

(Е ^ т

=г+1 '

Е <5

3 = 1

Заметим, что для систем вида (3,9), заданных на промежутках [0,¿^ и ,Т], имеют место при 0 < Ь ^ ^и ^ Ь < Т соответственно аналогичные формулы для решений. При этом, найденные процессы удовлетворяют условиям (3,8) в том случае, когда компоненты случайной величины М(г(и), соответствующие нулевым 1x1 блокам по главной диагонали

в Д равны нулю, т.е. ((М(г(и))) = 0.

V / ]=р

Итак, с учетом выше сказанного, при 0 < Ь < Т получаем формулы для г/г(1):

1 1 п ™ = — 1-пяпа) — ¥ Е ^

п 3=1

(¿^ (А

\)=1+1 /

^

2

3=1

р ^ г ^ п — 1

Перейдем к вопросу о нулевых начальных условиях для решений системы (3.9) (при г = 0). Принимая во внимание определение симметрических производных в среднем, нетрудно заметить, что они корректно определены только на открытых промежутках времени, поскольку в их конструкции использованы как приращения по времени вправо, так и влево. Тогда из формул (3.10), (3.11) и (3.12) видно, что решения г]1 (1) описываются как суммы, в которых каждое слагаемое содержит сомножитель вида ^¡т^, к ^ 1. Следовательно, решения стремятся к бесконечности при £ ^ 0, т.е. значения решений при Ь = 0 не существуют. Один из вариантов разрешения указанной ситуации (как и в [11]) состоит в следующем. Зафиксируем сколь угодно малый момент времени Ьо € (0,Т) и зададим функцию Ь0(1) формулой

о

I

¿0, если 0 ^ Ь ^ Ь, если Ь0 ^ Ь.

Элементы - в формулах (3,10), (3.11) и (3,12) заменим на  Полученные процессы в момент времени Ь = 0 будут принимать нулевые значения, однако они станут решениями только при Ь0 ^ Ь < Т. Отметим, что для двух разных моментов времени а при Ь ^ тах(^2)) значения соответствующих процессов п.н, совпадают.

п

А 1 х 1

+1

И

(1) + ... + а^п(г) — ^(Ъ) — а]+^+1(и) — ... — окТ (и) (ЬЫ (з) + Ц+^+Ч з) + ... + К'Пп (з))(18+

¡-1

.2/

+ I д3 ( 8 )й8 + с'1( 8 )йы1( 8 ) + I С?2 ( 8 ) Лы2 ( 8 ) + ... + I с!п( 8 ) ¿ЫП ( 8 ), Ь г ^ Ьг+, г = 1,..., N — 1.

Для такого типа уравнений есть аналитическая формула для решений

И ,• у.

. ~7^-и) . а? -7

4 (1) = еа> п* (и ) + еа> V3+1

а'з

ь7

а? -7 (*-**) .. + еа7 'Пп(,г

аз

¡•I

+ еа7 Л,

ь7

7 + ь7

J 1 , а7{1~и)с2(и) 2 г' а7

з аыи + е 7 ——аыи + ... + е 7

Ьг v

7С>п

3

3

аз

3 <1ы1+

ь7

^ -Л (г-и) 1 Ы _

-а7( \ 1 ¿(„л

+ ^ [ -.<? (и) + -±+1 Г]3+1(и) +

о t г

+ ... + %п(и) — -У- (а]+^+1(и) + ... + с£гГ(и))№—

а1

а

з

'2+1 ,пз+1

з ' аз

Ж.

Отметим, что для уравнений вида (3.16), заданных на промежутках [0,и \Ъм,Т], имеют место аналогичные формулы для решений. Учитывая все г/Г (Ь), получаем выражение для

V3 (V

N ь]_

V3 ^)=> е

а7 тЦ,

Г=1

( т1 с V 4

+... +

-)

т э Гп

1 х^ — и)+

+ ь7

(~и) ¿1 (и), ..1

ь7

ь7

+ I еа ^^¿ы^ + еа7и)щ^дыХ, + ... + [\а7г

'о

а

'о

а

и

7

о

а

и

ь7

^ _7 (±-

7 (*~иК 1 ,. . ь\

+ I еа7 [~д3(и) + V3+1(и) +

I о а у

У

+ ... + ^г,п(и) — (а^+^и) + ... + а11г,п(и))Ци— £ (а] )2

Ы

з („3 гпЗ+1(

Ъ+1^3 + 1

3 '

аз

аз

п^п

а

Для строк А с блоками раз мера 2 х 2 получаем подсистемы из пары уравнений

аЫ- (^ + <+1 Л?1 + <+2<Пг+2^) + ... + —

— (44 (и) — а\+1 ^ г) — а1+2'П г+2(г г) — ... — г) =

/4 (М ( Я ) + Ц+1 'П1+Ч 8 ) + Ь\+2ГТ+2( 8 ) + ... + Ъп<Пп( 8 ))С8 +

+ д\5 )С8 + с1( в )Сш1( 5 )+ с2( 5 )Сш2( 5 ) + ... + ¿п( 5 ) Сшп( 5 ),

К/ tr К/ tr К/ tr К/ tr

а^14 (^ + а*+14+41) + О *+2 (I) + ... + СС+1 г]п(1) —

— а\+14 (и) — а™ ^(Ь) — а+г]г+2(1г) — ... — (¿++1 цп(1г) =

= 1 \ь%1 п1+\В) + Ь+гТ+2( 8) + ... + Ь^гГ (8 ))С8+

+ [ дг+1(8)С8 + ! 4+4 5 )Сш1(8) + ! с2+1(8)Сш2(8) + ... + [ С^1 (8)Сшп(8),

и и и О ^^

и и+1, г = 1,...,ы — 1.

В матричной форме в новых обозначениях эта подсистема уравнений принимает вид

т]г (г) — т]г (и )+Щ — г) =

= [ Кг]г

где

[ Г]гг\ „=(Ъ\ Ь\+Л к = (а\ о^+Д 1

I 4+ V , ^=10 , л= И+1

т = л(%  (ч*2..гт)т

¿1+2 ап

и и

= ^Чщ ]]] ^ (ч»2...гТ?, {!+') -Кв(2)= ^ ..

Для этой подсистемы уравнений имеет место аналитическая формула для решений (см.

[17])

т]г(I) = ек(1~и)'цг(и) + екЩг) + !* ек{'~т]Лв(т)Сгит+

и

+ £ ек(ь~т) (в(т) + д(т) — К#(т)) Ст — Щ.

Отметим, что для уравнений вида (3.18), заданных на промежутках [0,и м,Т], имеют место аналогичные формулы для решений. Учитывая все г]г (I), получаем выражение для

г

г

г

г

г

г

m

N .

m = £ е K (i" ^ ^Л (( M С .X(t — tr ) +

r=1 3 г

+ Î1 eK{t~T)

Jo

+ e т) — i)(t),

J0

где ( ( М(г(и))3) - 2-мерный вектор, составленный г-й и (ъ + 1)-й координат вектора V / ]=г

МI (ш).

Таким образом, суммируя выше сказанное, мы доказали следующее утверждение

Теорема 3.2. Пусть ХА + В - регулярный пучок постоянных п х п-матриц, Б -п х п-матрица, а ¡(Ь) - достаточно гладкая, п-мерная вектор-функция, 0 ^ Ь ^ Т; пусть 0 < <    < Ь N <Т; и (и - невырожденные матрицы размера п х п, приводящие пучок ХА + В к канонической обобщенной вещественной форме Шура; А = В = (ьВ(и; пусть (г (ш) - случайные величины со значениями в Яп, такие, что компоненты, случайной величины (г(ш), соответствующие вырожденным блокам, размера 1 х 1 на главной диагонали в А, равны, нул,ю, г = 1, 2,..., И; пусть ((Ъ,ш) = (г(ш)х(Ъ — и), где х ~ функция Хевисайда, равная, нулю для отрицательных значений аргумента и единице для неотрицательных. Тогда:

1) уравнение (3,1) преобразуется, в ка,ионическое уравнение (3,3), которое распадается на отдельные уравнения и подсистемы уравнений;

А

1 х 1, имеет место при 0 < Ь <Т рекурентная формула для нахождения решений вида (3.13),(3.14);

3) зафиксировав сколь угодно малый момент врем,ени, Ь0 > 0, мы в знаменателях процессов, удовлетворяющих приведенным в пункте 2) рекурентным соотношениям,, заменяем 0( ) = 0 чения, но становятся решениями, только при Ь0 ^ Ь < Т;

А

1х1

А

2 х 2

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Власенко Л.А, Лысенко Ю.Г., Руткас А.Г. Об одной ст,охаст,ической модели динамики предприятий корпорации // Экономическая кибернетика. 1-3

2. Vlasenko L.A., Lvshko S.L., Rutkas A.G. On a stochastic impulsive sustem // Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine. 2, 50-55

3. Schein О., Denk G. Numerical solution of stochastic differential-algebraic equations with applications to transient noise simulation of microelectronic circuits // Journal of Computational and Applied Mathematics. 100:1, 77-92

4. Sickenberger T., Winkler R. Stochastic oscillations in circuit simulation // PAMM • Proc. Appl. Math. Mech. 7:1, 4050023^4050024

5. Winkler R. Stochastic DAEs in Transient Noise Simulation // Proceedings of Scientific Computing in Electrical Engineering, June, 23rd - 28th, 2002, Eindhoven, Springer Series Mathematics in Industry. 4, 408-415

6. Shestakov A.L., Sviridvuk G.A. On the measurement of the «white noise» // Vestnik of South Ural State University. 27

7. Белов А.А., Курдюков А.П. Дескрипторные системы и задачи управления // М.: АНО Физматлит. 2015.

8. Mashkov E.Yu. Stochastic Leontief type equations with impulse actions // Bulletin of the South Ural State University. Series Mathematical Modelling, Programming k, Computer Software. 11:2, 58-72

9. Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра // М.: Мир. 2001.

10. Gliklikh Yu.E. Global and Stochastic Analysis with Applications to Mathematical Physics // London: Springer-Verlag. 2011.

11. Гликлих Ю.Е., Е.Ю. Машков Е.Ю. Стохастические уравнения леонтьевского типа и производные в среднем, случайных процессов // Вестник Южно-Уральского государственного университета. 6:2, 25-39

12. Nelson Е. Derivation of the Schrddinger equation from Newtonian mechanics // Phvs. Reviews. 150:4, 1079-1085

13. Nelson E. Dynamical theory of Brownian motion // Princeton: Princeton University Press. 1967.

14. Nelson E. Quantum fluctuations // Princeton: Princeton University Press. 1985.

15. Партасарати К.P. Введение в теорию вероятностей и теорию меры // М.: Мир. 1988.

16. Gliklikh Yu.E., Mashkov E.Yu. Stochastic Leontieff type equation with non-constant coefficients 11 Applicable Analysis. 94:8, 1614-1623

17. Gihman I.I., Scorohod A.V. Theory of stochastic processes //3. New York (NY): Springer-Verlag. 1979.

Евгений Юрьевич Машков,

Юго-Западный государственный университет,

ул. 50 лет Октября, 94,

305040, г. Курск, Россия

E-mail: mashkovevgen@yandex. ru