О градиенте конформного радиуса плоской области

Том 154, кн. 1

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Физико-математические пауки

2012

УДК 517.546

О ГРАДИЕНТЕ КОНФОРМНОГО РАДИУСА ПЛОСКОЙ ОБЛАСТИ

Л.А. Аксептъев, А.Н. Ахметова

Аннотация

Статья посвящена исследованию квазиконформности отображения области под действием градиента конформного радиуса. Доказано, что для областей с выпуклыми границами градиент конформного радиуса осуществляет квазиконформное отображение. Получены новые оценки коэффициента квазиконформности градиента конформного радиуса для указанных областей.

Ключевые слова: квазиконформное отображение, конформный радиус, градиент конформного радиуса, выпуклая область.

Пусть D - односвязная область комплексной плоскости, граница которой содержит более одной точки. По теореме Римана существует конформное отображение f : E = {Z : |Z| < 1} ^ D. Конформным радиусом области D в точке z = f (Z) называется величина

R

Градиент конформного радиуса определяется формулой

= 2Дг> : .г-ч1:П.

dx ду

р _ Vl1 ff" 1 - ICI2 Л

Инициатива в исследовании введенной градиентной функции принадлежит Ф.Г. Авхадиеву и К.-И. Виртсу [1. 2]. Ими изучено множество значений градиента конформного радиуса и установлена диффеоморфность градиентного отобра-D

шения диффеоморфности во всей области, а также случаи нарушения взаимной однозначности граничных элементов (прямолинейные участки границы и угловые точки).

Для градиента конформного радиуса в случае области с выпуклой граничной кривой справедливо неравенство | R-z |2 — |R-z|2 > 0, переписывая которое в виде

(R-

< 1,

придем к истолкованию диффеоморфности в терминах квазиконформности отображения, осуществляемого функцией Дг. Детали такого истолкования представлены в настоящей работе в виде трех теорем и двух примеров. Эти результаты частично содержатся в [3, 4] и являются продолжением [5, 6] и дополнением к [1, 2].

В основу исследования положено понятие квазиконформности [7. с. 13]. согласно которому диффеоморфное отображение [1] УД(Б, г) является К-квази-конформным, если УД(Б, г) удовлетворяет уравнению Бельтрами

(УД)г = М(г,г)(УД)2, г е Б,

для которого

К - 1

sup = —— <1 (1 < К < оо).

zeD К + 1

1. Пусть D(a) = {z : | argz| < ап/2}, a G (0,1], и D(0) = {z : | Im z| < n/2}.

Имеет место

(2) (1) подмножества выпуклой области D = f (E), отличной от D(a), a G [0,1], осуществляет квазиконформное отображение.

Для угловой области D

ется на каждом компакте из D(a) и D(0).

Справедлива точная оценка коэффициента квазиконфюрлтости по всему классу S0 выпуклых функций f (r(), Z G E, 0 < r < 1, вида

sup К (f (rZ )) =

f (Oes0

1 + r-1r

2 '

Доказательство. Необходимое и достаточное условие выпуклости области Б [8, с. 166] - конформного образа круга Е под действием функции г = /(() -записывается в виде

/ "(0

НеС^77777>-1, С € Е.

f '

Если Ф0(С) осуществляет одноли стпое отображение круг а E на полуплоскость

<p(Z) удовлетворяет усло-

/ "

{Него > -1}, то в силу (5) функция Ф^1 (С ^т^у

виям леммы Шварца [8, с. 319] и имеют место соотношения |у>(С)| < 1, <£>(0) = 0. Поэтому £>(£) = С<Ж), ^(0 _ регулярная функция в Е, и справедлива цепочка неравенств

1£(С )1

I£(C)I < IZI

IZI

1

b(Z)I < 1.

Таким образом, у(£) — функция, удовлетворяющая условиям обобщенной леммы Шварца [8. с. 319].

С<Ж)

Так как Ф0

2С

1-е

,/"(0 то лсУ

f ''

Фо(^(С)) = 2

<Ж)

1 - С<Ж)

и следовательно,

f '

Вычислим производные

Rzz

//'(С) 1-ICI2 /,3(С) 2

{/(0,0,

Д-2

I/'(01(1 -1С12}

/ ''(С) 1 - 1С I2

/ '

-с

1

Умножив на Д модули этих производных, с учетом (6) запишем

(1 -|С12)2

Г

ло) 2\ло

22

И(1 -1С12) 11-СИ5

2

1

/ '

1

2^(С) 1 -|С12

1 - С<Ж) 2

-с

|1 - Су(С)12

Составляя отношение полученных выражений, будем иметь

Д

Д

1-1С12 1-И012

По обобщенной лемме Шварца знак равенства в неравенстве |у'(С)| <

С + а

1-И012 1-1С12

достигается на экстремальной функции вида <р(С) = ега ' _ , |о| < 1. Эта

1 + Ч

Д

функция определит тождество

Д

= 1. Выясним, для каких функций / оно

справедливо. Для этого подставим экстремальную функцию у, удовлетворяющую

на простейшие дроби. Будем иметь

/ ''

2(С + -

= СЫ2 Я + = е.1а/2

/'(С) 1 + (а - ае-)С - е^С2

где г = е4а/2С и

П = -г 1т{ае1а/2} + ^ 1 - 1т2{аег«/2} € дЕ,

и = -г 1т{ае1а/2} - ^ 1 - 1т2{аег«/2} € дЕ,

причем г1 = г2, так как 1т2{аега/2} = 1, если |а| < 1. Решая систему

{А + В = -2,

А В г -¿1 + г -12

иаидем

где

Аг2 + Вг1 = 2ае4а/2,

2и + 2аеа/2

А = -= -1-13, В=-2-А = -1 + ГЗ,

¿2 - ¿1

Ке{аеа/2} /3 = 1 1- €= М.

уЛ - 1т2{аеа/2}

Тогда, интегрируя соотношение

по

/'

-1-/3 + -1 + /3

Zeia/2 - ti Zeia/2 - t2 У '

получим

поэтому

ln f '(Z) = ln C

f

Ze

ia/2 _

t2

в-1

Ci

Zeia/2 - t^ (Zeia/2 - t1)2 Zeia/2 -12

Ceia/2 - ii

+ C2 пр ив = 0,

> ia/2 j-

C3 In VL/o ~ ,2 + C4 при /3 = 0.

Св4а/2 — ¿1

Первая функция (в случае в = 0) в (7) будет отображать единичный круг на угловую область раствора пв, вторая (в случае в = 0) - на линейно преобразованную горизонтальную полосу.

Для указанных функций достигается знак равенства в оценке для |у'(£)|, и квазиконформное отображение вырождается. Поэтому будем называть эти функции исключительными и обозначим класс выпуклых функций без исключительных функций вида (7) через 5°.

Поскольку для каждой функции /(£) е ¿>° справедливо соотношение

max

izi<r

i-IZI2

i-b(Z)l2

HZ)I

< 1,

где функция ^ определяется no f из (6), то в области Dr = f (Er), Er = {Z : |Z| < < r}, получим

h(№,Er)= sup <1.

zeDr

Rz

Dr,

зикопформпо отображаться градиентом (2) конформного радиуса (1). Дополнительно отметим, что

sup ki(f(Z),Er) = 1

f es°

с достижением ki(f (Z), Er) = 1 та исключительных функциях, не входящих в ¿>0. Первая часть теоремы 1 доказана.

(6) r

и перепишем его в виде

f''

Так как

= 2 г

f '(rZ) 1 - rZ^(rZ)'

rV«)|(1 - IZ|2)2

TO

Rz

Rz

1 -IZI2

(i-|C|2)(i-r2bK)|2) |i - rC<p(rQ\2

1

2

=r

Легко показать, что знак равенства достигается только в предположении, что

<Ж) = еП и С = 0.

Введем коэффициент

к2(/(<), Е) = г2 шах

1 1С'2 V«)!

< г2,

1 — г2|^>(г£ )|2

который определит квазиконформность градиента УД(Вт, г). Отметим также, что

шах к2(/(гГ), Е) = г2 < 1,

1 ей» у 4 у у

1 1 + <

так как при г = ш-- имеем

1 — гС

1 - 1С12

ЩВг^)=2г- 14

и

Приведем пример с коэффициентом квазиконформности

1 + к2

меньшим, чем

1 — к2(/(гС),Е)'

1 + г2

1 г2

Пример 1. Пусть область В представляет собой квадрат с отображающей функцией [8, с. 77]

С

Ж)= /

У (1 -(4)1/2 • 0

Конформный радиус для области Вт с

тС

г = / Ю = У

¿с

(1 — г4С4)1/2 0

записывается в виде

поэтому

473 _ с

п-ЛС) '' ^ ^

(1 _г4С4)1/4(1 _г4^4)3/4'

Зг3с2

(1 _г4С4)1/4(1 _ .г4^4)5/4'

1 - г8 1С16

£ЫС)

ДгДС) —--;-^з—— •

Г(1 -,-4С4)3/4(1 - г4С )3/4

Составляя отношение вторых производных по модулю, после сокращений будем иметь

Дг

Дzz

Тогда

к2 (г) = вир 0<|С|<1

Дг

Дг

4 3и

= г тах --—г

0<«<1 1 —

4 3и°(1 — и°) 4 п 1 п 1

= г4 ——^—< г4, 0 < г < 1, 0 < ио < 1. 1 — г8и3

Заметим, что Д г г

вир

Д г

г=1

= тах -;-гттт;—

1/!С I2 + 1 + 1С12

1.

1С1=1

С другой стороны.

Мр)

Д г

Д г

3|С!2(1 — !С I2

г=1,|С|<Р причем /г2(г) < А;1(г), так как

г4 <

1 — КI6

Зг2

г4 + г2 + 1 .

3р2

С1<р

- р4 + р2 +1'

3

По-видимому, и в общем случае для любой выпуклой области Б = / (Е) будем иметь *2(/(гС),Е) < **(/(С),ЕГ), 0 < г < 1.

2. Рассмотрим теперь класс функций , которые отображают Е- = {|£| > 1} на области Б-, то € Б-, представимые как внешность некоторой замкнутой выпуклой линии н характеризующиеся выпуклостью вниз поверхности конформного радиуса. Имеет место

Теорема 2. Градиент (2) конформного радиуса Д(/(Е-),/(()) для любого компактного подмножества области Б- = /(Е-) с конечным выпуклым дополнением, осуществляет квазиконформное отображение.

Существуют точные оценки аналогов величин к1 и к2 для двух видов квазиконформных отображений.

Прежде чем приступить к доказательству теоремы, приведем следующий результат, который легко получить с помощью принципа гиперболической метрики [8, с. 3261-

Лемма 1. Если функция ) регулярна во внешности Е- единичного круга Ей ^>(Е-) с Е-, то для производной этой функции справедлива оценка

С е Е~.

Равенство достигается только для функций

С + а

в любой точке С € Е-.

Доказательство теоремы 2. Необходимое и достаточное условие выпуклости границы области Б-, полученной из Е- действием функции /, имеет в ид (5).

f ''

Как в доказательство предыдущей теоремы, получим подчинение Z ^о =

2 / f''(z)\

-. Тогда Ф^1 ( С-ттттт" ) = <р(°°) = 00• Повторяя выкладки, проводон-

z- Г и V f'

пыс ранее, получаем откуда имеем

f''(z) 2

f'(Z) Z(<Ж) -1)'

Учитывая, что в данном случае конформный радиус определяется выражением

R

подсчитаем вторые производные. Будем иметь

АО

f'

1 ИС)1С12-1|2 _ (1С12-1)(ШС)12-1) 1С12ИС)-1|2 1С12ИС)-1|2 :

так как

Далее.

1.НС)т2 П|?= ICI2-i , ?=1С1У(0-1 2 /'(С) ; ^ СМО-1) СЫО-1)'

( z 2 1)2 Д|Д55|= '2 j |{/(С),С}|,

{/(0,0 =

Z2(^(Z) - 1) Z(<Ж) - 1)2 Z2(^(Z) - 1)2

2У(0+СУ;(0= О ЫСКУ

Z2(^(Z) - 1)2 Z2(^(Z) - 1)2:

поэтому

l

Д« Ы2 — 1 '

Поскольку > М > 1, то» применяя лемму 1 к функции Су>(С), придем к соотношению |Дгг/Д^ | < 1.

По лемме 1 равенство здесь достигается на экстремальной функции Z^(Z) = - 1 +

= ега--, приводящей к ¡р

Z + а

функция 1/<Ж) должна иметь нуль второго порядка. Поэтому для рассмотренного в теореме класса функций отношение |Дгг/Д;^ | те обращается в 1 ни в одной точке В-, то есть

КНПГ-^ МШИ,,

¿-1(7(0, Ег ) = тах |уС|2_1 < 1-

Поэтому любой компакт, предварительно помещенный в область В— = / (Е—), Е— = ^ : |Z| > г > 1}, будет отображаться градиентом конформного радиуса квазиконформно, причем

вир к1 (/Ю,Е—) < 1, 1 < г < то, и вир к1 (/Ю,Е-) = 1. /еЕ» /еЕ»

Переходя теперь к г-линиям уровня, получим

а значит.

ГК) = 2 /'«) СЫЮ -

/"К)1С12-1 |72 , _

+ с

-1

/'«) 2

{/(гС),С} = -2

Учитывая неравенство (9), будем иметь

1С |2|уК) - 1|2 (у(< )С)'

с2(у(<) - 1)2'

Щг<КУЖ\2-1) |С121УК)12-1

< 1.

Достижение знака равенства в последнем неравенстве невозможно. Поэтому

С), Е ) = тах-, -:- < 1,

причем

вир ^2(/(гС),Е

/ еЕ0

= 1 пр и г > 1.

3. Области Б, то € дБ, разбиваются па два класса. Один характеризуется выпуклостью линий уровня, близких к граничной кривой, и этот случай отражен 1,

линий уровня, связанных с окружностями |£ | = г, на линии уровня, связанные с окружностями |£ + г| = 1 - г, квазиконформность градиента конформного радиуса сохраняется всюду внутри области, за исключением бесконечно удаленной точки. Этот эффект отражает

Теорема 3. А) Градиент (2) конформного радиуса й(Б, г) для любой замкнутой конечной области, включенной в Б = /(Е), /(-1) = то (причем С\Б -выпуклое множество), осуществляет квазиконфюрмное отображение.

В) В частности, утверждение А справедливо для градиента конформного радиуса Д(/(ЕГ), /(^)) в случае области /(Ег), Ег = {^ : + г| < 1 - г}, 0 < г < 1.

Так как {^ : + г| < 1 - г} ^ {С : ИеС > р}, р

удобнее вести речь о поверхности конформного радиуса

й(/(Р),/ (С))=2Яе С |/'(С )|, / (С ) = /

1г

С

1 -си

ТТ^'

то

1-е

1 + СУ'

построенной над полуплоскостью Р = {С : Ие £ > 0} (соответствующие отображающие функции /(С) образуют класс £0(Р)). Поэтому для доказательства теоремы 3 понадобится еще один частный случай принципа гиперболической метрики.

Лемма 2. Если функция у(С) регулярна в полуплоскости Р и у(Р) С Р, то для производной у' функции у справедлива оценка

Кеу(С) ИеС :

С € Р,

равенство в которой достигается лишь для функций

¥(С) = —^  1' а> Ь, с, с1 £ К, ай — Ъс > О, —cZ + ш

в любой точке Z € Р.

Доказательство теоремы 3. Необходимое; условие выпуклости граничной линии в данном случае имеет вид

поэтому из геометрических соображений

по

/'

= <Ж),

где _ функция, удовлетворяющая условиям леммы 2.

Перейдем к вычислению производных конформного радиуса (12). Имеем

Дг(С) = Ш (Шс + о)' = Щ(ШтьС + Л,

л о Vv

Дгг К) =

у/Ш

по

Ие Z + 1

у^о (11"(0\ ЧпоУ\ПеС = уЩ{Ш-с}Ке<:

\[гЧО

и поэтому

Д|Дгг| = 2|{/(Z),Z}| Ие2 Z. С учетом (14) перепишем последнее выражение в виде

^'Ю —

АО

Ие2 Z.

Так как

Д«

у^Ж) ( Щ ЕеС+1

ЛО/лса '

2|/'(О!

/ Ж)

/ '(О

' л, по , по Тй) ТШ

то

Д Д г

/ ''

1.

Д Д^(Z) = ЬЮ Не Z + 1|2 — 1 = )|2 йе2 Z + 2Ие Z Ие Ж).

1

С

2

с

1

2

Взяв отношение вторых производных, получим

2 Re Z

^ <ReC(2H + M2) <ReC(2^f + ly , L

Достижение знака равенства в неравенстве

|y'(Z) - y2(Z)/2| < |y'(Z)l + |y(Z)l2/2

имеет место, когда y'(Z) и —y2(Z)/2 имеют одинаковое значение аргумента. Пусть у'(СХС) = — У2(С)/2 = Roel9, тогда функция —= тт является ве-

—y2(Z)/2 r2

гцественной аналитической функцией, положительной во всей полуплоскости, что возможно тогда и только тогда, когда Д1/Д2 = 2а > 0. Решением дифференциаль-

у'

ного уравнения -, " = 2а будет функция 1/у(С) = а( + Ъ. Среди всех таких

—y2(Z)/2

функций выберем те, которые переведут правую полуплоскость на себя, именно, y(Z) = 1/(aZ+ «в), а, в е R, а > 0. Из (14) получаем f (а, Z) = Ci(aZ+^в)(1+а)/а + + C.

Для любой замкнутой области Gp С D, которая является образом полосы {Z : 0 < Re Z < р} = f-1(Gp), будем иметь

M/(0,r'(G)) = - «* Я < >- w

sup ^(р, f) = 1. f eE»(P )\{f (а,С)|

Оценку (15) можно конкретизировать, включив G в область /(rE) при некотором г е (0,1).

Области f (P), полученные преобразованием полуплоскости P с помощью функций f(Z) е S0(P), не исчерпываются конечными областями с выпуклыми границами. Поэтому для области f (P) те существует аналога коэффициента k2 из доказательства теорем 1 и 2. q

Взаимодействие выделенных классов, связанных с теоремами 1 и 3, иллюстрирует

Пример 2. Возьмем класс функций

z = f (а, а; Z) = (Z + а)а, Z е P, а> 0, 0 <а< 2,

и исследуем для него множество значений градиента конформного радиуса.

P

0 < а < 1 1 < а < 2.

Так как f'(a,a; С) = а(С + о)а_1, то Д = а|С + о|а_1(С + С) и

дг = ^«(с + «)(а-1)/2

^(С + а)(а-3)/2(С + С) + (С + «)(а-1)/2

С + а\{а-1)/2 1

Т^т— [

Поело нетрудных выкладок получим

й й

йй

Ие С

Ие С + 2а/(а + 1)'

При а = 0 имеем |йй г/йг г | = 1. Если а = 0, то

= тах

гес„

йг

йг

р + 2а/ (а + 1)'

где (}р та часть замкнутой области В, которая при действии /(о, а; С) соответствует полосе {0 < Ие£ < р} или части {^ : < 1, - г| > 1 - г} замкнутого

2

единичного круга {Ы < 1}, причем р = --.

1 - г

Определим граничные точки градиента. Для этого представим 'а +

Уй(«п) =

а - «п

(а-1)/2 (а - 1)«п +(а + 1)(-«п) + 2а

а - «п =2

. . (а—1)2 а + г''1 ] = 2ег(«-1) .

а - «п

Когда п изменяется от -то до +то, точка Уй(«п) (то есть конец этого вектора

20

от 2е—'¿(а— 1)п/2 до 2ег(а—1)п/2, не выходя за пределы дуги окружности между этими точками.

Теперь нужно найти образы бесконечно удаленной точки при различных подходах к ней. Для этого подсчитаем пределы Уй(гев) при г ^ то, когда фиксированная величина в находится в промежутке (-п/2, п/2). Имеем

Иш Уй(ге

¿в)

Иш

г—

^в + а 1)/2

(а - 1)^в + (а + 1)ге—¿в + 2а

ге ¿в + а ) а - «п

= e¿в(а—1)e¿в[(а - 1)e¿в + (а + 1)е—¿в] = (а - 1^в(а+1) + (а + 1Ув(а—1) = у(в).

Если в будет изменять ся от - п/2 до п/2, то точка у (в) опишет дугу циклоиды между крайними точками 2«е—'¿ап/2 (при в = -п/2) и -2^ап/2 (при в = п/2) (см. рис. 1).

а<1

а=1

21в

а>1 '

Рис. 1

Граничная кривая не зависит от а = 0. Если а = 0, то при а < 1 образ

а>1

внешнюю дугу циклоиды. Точечный образ при а = 1 сохраняется для любых а. Частными видами граничных линий с параметрическим представлением

г = (а + «п)а, -то < п < +то, а > 0,

являются параболы

z = (а + in)2 ^ {x = а2 - п2, У = 2ап} ^ у2 = —4а2(х - а2) (при а = 2) и гиперболы

z = (а + ¿n)1/2 ^ а + in = (x + iy)2 ^ а = x2 — у2, n = 2xy ^и а = 1/2).

Summary

L.A. Aksentyev, A.N. Akhmatova. On the Gradient, of the Conlbrmal Radius of a Plane Domain.

This paper studies the quasi-conformality of domain mapping by the gradient of the conformal radius. It is proved that the gradient of the conformal radius realizes quasi-conformal mapping for domains with convex boundaries. For these domains we obtain new estimates of the quasi-conformalit.y coefficient of the conformal radius gradient.

Key words: quasi-conformal mapping, conformal radius, gradient of the conformal radius, convex domain.

Литература

1. Avkhatliev F.G., Wirths K.-J. The conformal radius as a function and its gradient image // Israel J. Math. 2005. V. 145. P. 349 374.

2. Avkhatliev F.G., Wirths K.-J. Scliwarz-Pick type inequalities. Basel Boston Berlin: Birkliauser, 2009. 156 p.

3. Ахмстова А.Н. Свойства конформного радиуса и теоремы единственности для внешних обратных краевых задач: Дис. ... канд. физ.-мат. наук. - Казань, 2009. - 105 с.

4. Akhmatova A. Quasiconformal mappings associated with Galiov's equation in inverse boundary value problems // 21t.li Int. Workshop on Operator and Applications, TU Berlin, Book of abstracts. 2010. P. 4 5.

5. Аксетпъев Л.А., Ахме.това А.Н. Об отображениях, связанных с градиентом конформного радиуса // Изв. вузов. Матем. 2009. Л' 6. С. 60 64.

6. Аксетпъев Л.А., Ахме.това А.Н. Об отображениях, связанных с градиентом конформного радиуса // Мат. заметки. 2010. Т. 87, Л' 1. С. 3 12.

7. Альфорс Л. Лекции по квазиконформным отображениям. М.: Мир, 1969. 133 с.

8. Голузии Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1966. 630 с.

Поступила в редакцию

07.10.10

Переработанный вариант

08.12.11

Аксентьев Леонид Александрович доктор физико-математических паук, профессор кафедры математического анализа Казанского (Приволжского) федерального университета.

E-mail: Leonid.AksantevQksu. ru

Ахметова Альбина Наилевна кандидат физико-математических паук, доцепт кафедры высшей математики Казанского национального исследовательского технического университета им. А.Н. Туполева.

E-mail: achmetowaeinbox.ru