Решение задач на комбинацию сферы с другими телами с помощью системы подводящих вопросов

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА КОМБИНАЦИЮ СФЕРЫ С ДРУГИМИ ТЕЛАМИ С ПОМОЩЬЮ СИСТЕМЫ ПОДВОДЯЩИХ ВОПРОСОВ

С.В. Лебедева

THE SOLUTION OF PROBLEMS DEALING WITH THE COMBINATION OF A SPHERE WITH OTHER SOLIDS BY THE SYSTEM OF LEADING QUESTIONS

Lebedeva S. V.

The solution of problems dealing with the combination of a sphere with other solids by the coordinate and geometric methods has been considered in the article. A system of tasks allowing the organization of assistance for students in solving such problems is suggested.

Key words: inscribed and described spheres (balls), a combination of solids, coordinate method.

В статье рассмотрено решение задач на комбинацию сферы с другими телами координатным и геометрическим методами. Предложена система заданий, позволяющая организовать помощь учащимся в решении задач поданной теме.

Ключевые слова: вписанные и описанные сферы (шары), комбинация тел, координатный метод.

УДК 372.851: 514

Решение геометрических задач, особенно стереометрических, вызывает у ученика большие трудности. Перед учителем встает задача помочь учащимся преодолеть барьер перед решением задач по геометрии и достигнуть того, что дети смогут применить необходимые знания самостоятельно. В процессе обучения школьников поиску решения задач на комбинацию шара с другими телами у учащихся развиваются такие способности, как способность анализировать, сравнивать, устанавливать связи между объектами, делать умозаключения.

Об этом же в своей книге «Как решать задачу» пишет и Д.Пойа: помогать ученику - одна из наиболее важных обязанностей учителя. Действительно, ученика вряд ли стоит оставлять наедине с новой задачей, к решению которой он пока не видит подходов, без всякой помощи. Однако помощь должна оказываться в такой мере, чтобы ребенку было над чем думать и над чем работать самостоятельно, т. е. чтобы помощь не была ни недостаточной и ни избыточной. Иначе пользы от помощи учителя может быть мало [1].

Очевидно, учителю, чтобы оказать действенную помощь ученику в решении задачи, нужно: - найти «источник затруднений» и подвести ученика к шагу, до которого он мог бы додуматься самостоятельно, т. е. создать у него иллюзию самостоятельной догадки; -задать ему наводящий вопрос, указать на сходство с известным материалом, помочь увидеть закономерность.

С. В. Лебедева

Решение задач на комбинацию сферы с другими телами с помощью системы...

Задания целесообразно составлять в определенной системе, усложняя по мере того, как знания будут усваиваться учениками. При этом у учащихся устанавливаются связи изученного ранее с новым материалом.

Рассмотрим систему заданий на примере темы «Комбинация шара с другими телами». То, что изучение круглых тел и комбинаций с ними в школьном курсе геометрии стоит практически на последнем месте имеет свои плюсы. К этому времени учащиеся владеют довольно большим запасом методов решения геометрических задач. Нужно только продемонстрировать, где и какими способами решить задачу предпочтительнее соответствующим методом, и на этом моменте мы остановимся позже. Решению задач на комбинацию шара с другими телами в школьном курсе геометрии уделяется очень мало времени, но объем материала, предназначенного к изучению, довольно большой. Ученик должен получить представление о таких понятиях, как «описанный, вписанный шар (сфера)», отчетливо представлять положение центра шара (сферы) в различных комбинациях тел, уметь устанавливать зависимость между радиусом шара (сферы) и линейными элементами тел, входящих в комбинацию. Задания в данных упражнениях составлены таким образом, что вопросы и ответы на них, которые предлагаются для анализа, построены так, чтобы навести ученика на нужную мысль; они учитывают те сложности, которые нередко возникают у самого учителя, когда он решает ту или иную задачу. Например:

Задание 1.

1. Рассмотрите чертежи: см. рис. 1.

2. Найдите в них сходство и различие. Разделите их на несколько групп по какому-нибудь признаку. Укажите признак.

3. Какой признак выбрал ученик, если у него получилось 2 группы, одна из которых состоит из фигур 2, 7?

4. По какому признаку могли бы быть объеденены следующие рисунки: 1, 3, 5, 9? В чем сходство и различие чертежей, собранных в данную группу?

5. Подумайте, о чего зависит, где расположен центр описанной окружности?

Выполнив данное упражнение можно сделать следующие выводы, необходимые для дальнейшего решения задач:

^ Шар называется описанным около многогранника, если все вершины многогранника находятся на поверхности шара.

^ Центр описанного шара есть точка, одинаково удаленная от всех вершин многогранника, и потому будет находиться на пересечении плоскостей, перпендикулярных к ребрам в их серединах[3]

^ Шар можно описать около пирамиды, если можно описать окружность около основания последней. Центр описанного около пирамиды шара может располагаться внутри, на боковой грани, на основании и вне пирамиды. Точное определение положения центра шара в каждом конкретном случае делается на основе анализа данных [4].

г

'-¡г

Рис. 1. Фигуры для задания 1

Если высота пирамиды больше радиуса основания, то центр шара расположен внутри пирамиды. Если высота пирамиды меньше радиуса основания, то центр шара расположен на продолжении высоты пирамиды [4].

Как видно из предыдущего, при выполнении задания учащиеся приобретают умения видеть объект в целом, выделять разные функции объектов, входящих в комбинацию пространственных фигур, фиксировать внимание на существенном для конкретной задачи.

Задание 2.

1. Прочитайте и сравните задачи:

Сторона основания правильной Сторона основания правильной

треугольной пирамиды равна а, боковое четырехугольной пирамиды равна а, боковая ребро образует с плоскостью основания угол грань образует с плоскостью основания угол 45°. Найдите радиус описанного шара [5]. 60°. Найдите радиус описанного шара [5].

Чем похожи задачи? В чем различие между ними?

2. Выполните к каждой задаче рисунок.

3. Если у вас возникли трудности, подумайте, нужно ли изображать шар.

4. Где на вашем рисунке будет расположен центр описанного шара? Если вы затрудняетесь ответить на поставленный вопрос, вернитесь к предыдущему упражнению и, подумайте на каком расстоянии от вершин пирамиды находится центр шара.

5. Решите задачи.

6. Попробуйте найти радиус шара, описанного около треугольной пирамиды, у которой стороны основания а, в, с и боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом а. [6]

Выполняя это задание, ребенок вырабатывает последовательность действий для нахождения радиуса описанной сферы, что необходимо для решения более сложных задач на нахождение площади шаровой поверхности или объема шара. Заметим, что последние пункты в упражнениях рассчитаны на более заинтересованных детей. Даже, если ребенок не найдет полного ответа на поставленный вопрос, он все равно будет рассуждать и анализировать, сравнивать свои действия с действиями, которые он использовал при решении предыдущих задач.

С целью развития их абстрактного мышления далее предлагаем учащимся задания с буквенными данными (без числовых данных). Например:

Боковое ребро правильной четы- В правильной четырехугольной

рехугольной пирамиды равно в, а плоский пирамиде ребро основания равно а и

угол при вершине равен а. Найдите радиус плоский угол при вершине равен а. Найти

сферы, описанной около пирамиды [5]. радиус сферы, описанной около нее [6].

Стоит заметить, что в этих задачах также имеется некоторое сходство и различие, на что нужно обратить внимание учеников, используя ряд наводящих вопросов и вспомагательных действий. К тому же, решая эти задачи ученик должен установить связь между элементами пирамиды и шара (сферы), применить нужные формулы, выполнить алгебраические преобразования, используя теорему Пифагора, соотношения в прямоугольном треугольнике и тригонометрические тождества.

В результате выполнения данных заданий у детей сформировалось более-менее четкое представление о том, где может находиться центр описанной сферы (шара), как расположены вершины вписанного (описанного) многогранника и, как связаны между собой элементы этих фигур. Далее будем использовать эти знания при решении более сложных заданий.

Как сказано в начале статьи, при решении задач этой серии акцент следует сделать не только на условии задачи с целью нахождения пути ее решения, желательно вспомнить с учащимися и способы достижения результата. Приведем пример.

С. В. Лебедева

Решение задач на комбинацию сферы с другими телами с помощью системы...

Задание 3.

1. Какие способы решения геометрических задач вам известны?

2. Прочитайте и сравните задачи. В чем вы видите основное отличие? На какие из предыдущих задач они похожи?

В тетраэдре РАВС все плоские углы при вершине Р прямые. Найдите радиус и площадь поверхности сферы, описанной около этой пирамиды, если РА = РВ = РС = 6. [2]

В тетраэдре БАВС два плоских угла при вершине Б прямые, а величина третьего угла равна 60°. Найдите радиус и объем сферы, описанной около этой пирамиды, если Б А = БВ = БС = 12. [2]

Рис. 2. Рисунок к 3 заданию

3. Сделайте к задачам рисунки. Решите задачи.

4. Подумайте, почему для решения первой задачи, пирамиду расположили следующим образом: см. рис. 2.

5. Какой способ решения первой задачи можно предложить, если учесть, что все плоские углы при вершине Р прямые?

6. Введите прямоугольную систему координат. Где будет находиться начало отсчета? Как будут расположены координатные оси?

7. Попробуйте задать координаты точек А, В, С. Обозначьте координаты центра сферы О(х, у,

8. Что вы можете сказать о длине отрезков ОА, ОВ, ОС, ОР. Выразите длину радиуса сферы через соответствующие координаты точек.

9. Если у вас возникли затруднения, вспомните, как найти длину отрезка, зная координаты его начала и конца.

10. Вычислите координаты центра сферы и найдите радиус сферы. Ответьте на вопрос задачи.

11. Попробуйте решить методом координат вторую задачу.

Обратим внимание на то, что решая вторую

задачу координатным методом, учащиеся могут затрудниться с выполнением чертежа и расположением осей координат, поскольку не все углы при вершине О прямые, но тем интереснее рассуждение ребят в этом случае. Для нахождения координат некоторых вершин потребуется дополнительное построение и знание свойств равнобедренного и прямоугольного треугольников.

Например, если расположить пирамиду так, как показано на рисунке (см. рис. 3), то для нахождения координат вершины В можно сделать выносной чертеж плоскости хОу и, на плоском рисунке вычислить координаты точки В. Таким образом, выполняя задание 3 учащиеся рассмотрят два способа решения задачи: координатный и геометрический.

Задание 4.

1. Прочитайте задачу.

В треугольной пирамиде РАВС все плоские углы при вершине Р прямые. Найдите площадь сферы, описанной около этой пирамиды, если РА = 2, РВ = 3, РС = 4. [2].

Скажите, в чем основное отличие ее от предыдущих задач? Попробуйте решить задачу геометрическим путем.

2. Какие трудности возникли при решении этой задачи геометрическим способом? Удалось ли вычислить высоту пирамиды, радиус описанной около основания окружности или радиус сферы, не выполняя громоздких вычислений.

3. Решите задачу координатным методом.

4. У вас получился такой рисунок: см. рис. 4.

Попробуйте задать координаты точек А, В, С.

Обозначьте координаты центра сферы О(х, у, ъ). И вычислите вычислите координаты ценьра сферы.

5. Проверьте себя: х = 1; у = 1,5; ъ = 2.

6. Ответьте на вопрос задачи.

Задача, предложенная в этом задании, отличается от предыдущих: ребра пирамиды, выходящие из вершины Р -разной длины, а плоские углы при этой вершине прямые. Достаточно трудно, решая задачу геометрическим способом, определить, где находится центр сферы, придется выполнить много вычислений. Учащимся не трудно будет

догадаться, что ввести прямоугольную систему координат в этом случае гораздо удобнее. Если расположить начало координат в точке Р, а координатные оси совместить с ребрами, длины которых известны, то ответить на вопрос задачи не составит большого труда. Выполняя последовательно задания 1 - 4, на четвертом задании дети легко придут к такому выводу, т. е. применят полученные ранее знания в новой ситуации.

Итак, организация работы предложенным способом помогает учащимся разобраться в сущности изучаемого материала. Благодаря вопросам, которые ставятся перед детьми в заданиях, организуется их размышление над ходом решения задачи, глубже осмысливается зависимость между условием и вопросом задачи, активизируется мыслительная и практическая деятельность. Рассмотренные методы решения задач по данной теме дают возможность не только усвоить понятия, связанные с понятиями вписанные и описанные сферы (шары), но и показать учащимся, что на геометрии тоже можно использовать знания, полученные на уроках алгебры.

Рис. 4. Рисунок к заданию 4

ЛИТЕРАТУРА

1. Пойа Д. Как решать задачу // Квантор. — 1991. - №1. С. 8 — 10.

2. Потоскуев Е. В. Векторный метод решения стереометрических задач // Математика. — 2009. — №6.

3. Шевелев М. Геометрические тела, вписанные в шар и описанные около него // Математика в школе. — 1938. — №2. С.57 — 62.

4. Смирнов И. И. К методике решения задач на комбинацию шара с другими телами // Математика в школе. — 1951. — №1. С.61 — 68.

5. Гордин Р. К. Это должен знать школьник. — М.: МЦНМО, 2011.

6. Стратилатов П. В. Сборник задач по геометрии для 9-10 классов. — М.: Просвещение, 1986.

7. Занков Л. В. Избранные педагогические труды. — М.: Дом педагогики, 1999.

Об авторе

Лебедева Светлана Викторовна, Астраханский государственный университет, аспирант 4 курса по специальности «Теория и методика обучения и воспитания (математика)». Учитель математики МОУ «Гимназия №3» города Астрахани. Сфера научных интересов - методика преподавания математики, дифференцированное обучение.