Ф-инвариантные поверхности в обмотках броневого двухобмоточного трансформатора

621.314.21.042.53

М. А. Шакиров, А. А. Ткачук

Ф-ИНВАРИАНТНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ В ОБМОТКАХ БРОНЕВОГО ДВУХОБМОТОЧНОГО ТРАНСФОРМАТОРА

Дата поступления: 18.06.2018 Решение о публикации: 17.10.2018

Аннотация

Цель: Подтверждение существования внутри первичной обмотки силового трансформатора броневого типа Ф-инвариантной поверхности, т. е. такой поверхности, которая охватывает магнитный поток Ф, не изменяющийся при вариациях нагрузки на вторичной обмотке. Методы: Доказательство базируется на разработанной авторами методике получения кривых распределения непрерывной функции магнитного потока Ф(г) вдоль радиуса r в стержне, окне и боковом ярме трансформатора с осевой симметрией на основе численного расчета и построения картин магнитных полей с использованием пакетов отечественной программы ELCUT. Результаты: Показано, что существование Ф-инвариантных поверхностей вытекает из анализа магнитоэлектрической 4Т-образной схемы замещения трансформатора, благодаря тому, что в ней одновременно с электрическими величинами отображаются магнитные потоки в отдельных частях магнитопровода и окна, а также потоки рассеяния, возникающие из-за конечного значения магнитной проницаемости стали. Практическое совпадение радиусов Ф-инвариантных поверхностей, полученных численно (по картинам полей) и по формулам, вытекающим из анализа 4Т-образной схемы замещения, подтверждают корректность этих формул. Практическая значимость: Определена роль Ф-инвариантных поверхностей в передаче мощности от обмотки к обмотке и понимании возникновения сверх- и антипотоков (в сравнении с потоком холостого хода) в отдельных частях стали в режимах короткого замыкания, от которых зависит электродинамическая стойкость силовых трансформаторов в этом режиме. Представлены соображения о существовании Ф-инвариантных поверхностей в условиях насыщения стали и наличия в ней активных потерь.

Ключевые слова: Трансформатор, первичная и вторичная обмотки, магнитный поток, схема замещения, короткое замыкание, холостой ход.

Mansur A. Shakirov, D. Eng. Sci., professor, manshak@mail.ru (Peter the Great Saint Petersburg Polytechnic University); * Anton A. Tkachuk, Cand. Eng. Sci., senior lecturer, associate professor, a.a.tkachuk@mail.ru (Emperor Alexander I Petersburg State Transport University) Ф-INVARIANT SURFACES IN DOUBLE-WOUND SHELL-TYPE TRANSFORMER COILS

Summary

Objective: Confirmation of the existence of Ф-invariant surface inside the primary coil of shell-type power transformer, i. e. a surface which encircles the magnetic flux Ф which does not change despite fluctuations of loads in secondary coils. Methods: The proof is based on a method, developed by the authors, of obtaining distribution curves of continuous function of magnetic flux Ф(г) along the r radius in the core, window and yoke of the transformer with axial symmetry on the basis of numerical calculation and building the picture of magnetic fields with the use of Russian software package ELCUT. Results: It is shown that the existence of Ф-invariant surfaces proceeds from the analysis of electromagnetic 4T-circuit for transformer substitution as it reflects magnetic flows in individual parts of magnetic core and window as well as leakage flux which occur due to finite value of steel's magnetic inductivity. Practical agreement of Ф-invariant surfaces' radii, obtained numerically (from field pictures) and by

formulae produced by analysis of 4T-circuit's equivalent circuit confirms correctness of these formulae. Practical importance: The role of ^-invariant surfaces in transferring capacity from coil to coil and in understanding the appearance of super- and anti-flows (in comparison with x.x. flow) in isolated parts of steel in short-circuit regime, on which the electro-dynamic withstand of power transformers in this regime depends, is determined. Considerations on the existence of ^-invariant surfaces under conditions of saturation of steel and occurrence of resistance losses in it are presented.

Keywords: Transformer, primary and secondary coils, magnetic flux, equivalent circuit, short circuit, no load operation (x.x.).

Введение

Уровень состояния железнодорожного транспорта напрямую зависит от развития объектов его инфраструктуры, одним из самых распространенных элементов которой является силовой трансформатор. По своему назначению и конструкции он представляет собой едва ли ни одно из простейших устройств электроэнергетики, в частности тягового электроснабжения. Тем удивительнее непрестанное, наблюдаемое в течение более 100 лет количество работ, посвященных исследованию его свойств и поведения. Причина такой ситуации - явно и неявно выражаемая авторами неудовлетворенность традиционной теорией трансформаторов с ее Т-, П- и Г-образными схемами замещения [1-8]. Отсутствие убедительной физической основы данных моделей вызывает непрекращающиеся диспуты вокруг того, какая из них попригоднее в том или ином случае [9], что в итоге приводит к сомнительным выводам при анализе аварийных ситуаций, являющихся также предметом беспрестанных обсуждений на сессиях СИГРЕ и МОК [10].

Прервать это беспрецедентное по своей продолжительности состояние можно только полным отказом от надуманных догм традиционной теории, включая лежащий в ее основе принцип действия трансформатора, основанный на сомнительной концепции об определяющей роли так называемого «намагничивающего тока». Несуразность проявляется в том, что по такой логике выходит, что трансформатор с наилучшей сталью ( ^сталь = ) работать не сможет, так как в

этом случае намагничивающий ток обращается в нуль, что порождает абсурдные высказывания вроде: «... нельзя использовать понятие ц,сталь = да, особенно, если речь идет о физическом понимании работы трансформатора ...» [11, с. 61].

Здесь проходит линия размежевания традиционной и новой теорий [12, 13], которая начинается с объяснения передачи энергии в трансформаторе с ц,сталь = да посредством вектора Пойнтинга, направленного от обмотки к обмотке в окне трансформатора; в этом случае потери в стали отсутствуют и ток намагничивания (ток холостого хода (х.х.)) равен нулю. При цсталь Ф да возникают дополнительные составляющие вектора Пойн-тинга, направленные от обмоток в магнито-провод и определяющие утечку мощности на покрытие активных и реактивных потерь в стали; теперь ток намагничивания не равен нулю и служит признаком некачественности стали. Чем выше качество стали, тем он меньше. Как видно, в новой теории ток намагничивания проявляется как паразитный эффект, принимая смысл тока утечки (а не движущей силой рабочего процесса) в трансформаторе, что наглядно проявляется в его физико-математической модели в виде 4Т-образной схемы замещения [13, 14]. Адекватность этой схемы проявляется в отображении на ней наряду с электрическими величинами также реальных (т. е. поддающихся измерению) магнитных потоков в толще обмоток, промежутке между ними, а также в отдельных участках стали магнитопровода с учетом насыщения в любых условиях работы трансформатора. Еще одним подтверждением фи-

зичности и адекватности 4Т-образной схемы замещения является обнаружение с ее помощью нового физического эффекта - образования А-инвариантной (или Ф-инвари-антной) поверхности в толще первичной обмотки трансформатора, т. е. такой поверхности, внутри которой магнитный поток Ф не зависит от нагрузки. Это открытие в случае идеализированного трансформатора ( М-сталь = ) получило строгое математическое подтверждение в работе [14], в которой также установлено, что условием передачи активной мощности является наличие угла между потоками, ограниченными Ф-инва-риантными поверхностями обмоток.

Цель настоящей работы - проверка существования Ф-инвариантных поверхностей в реальных трансформаторах ( цсталь фда ) и осмысление их роли в понимании динамической стойкости трансформаторов в режиме короткого замыкания (к.з.), что связано с оценкой возникающих в этом режиме сверх-и антипотоков в сравнении с потоком х.х. Ф 0 [15]. В качестве инструмента исследования, помимо 4Т-образной схемы замещения, использовался отечественный пакет программ анализа полей БЬСиТ.

Смысл картины переменного магнитного поля

Линии магнитного поля, очевидно, имеют методическое значение лишь тогда, когда их форма не зависит от времени, что возможно, если индукции во всех точках линии совпадают по фазе или находятся в противофазе. Тогда за период синусоидального колебания линия сохранит свою конфигурацию при синхронном изменении интенсивности индукций во всех ее точках. Теоретически такое условие достигается при следующих допущениях:

- сопротивления обмоток трансформатора постоянному току Я1 = Я2 = 0 ;

- нагрузка чисто реактивная или нулевая (режим к. з.);

- активные потери в стали равны нулю;

- магнитная проницаемость стали конечна, причем в любом k-м участке магнито-провода цk = const.

При этих допущениях не имеет значения, для какого момента строится картина магнитного поля. В настоящей работе она строится для токов, совпадающих с их действующими значениями, что позволяет все вычисления вести относительно действующих значений магнитных величин (индукций и потоков) и в них же представлять картины магнитных полей, которые рассчитываются, таким образом, в магнитостатической постановке.

Все картины полей будем строить для повышающего трансформатора броневого типа с кольцевым ярмом и высотой обмоток, равных высоте окна (рис. 1, А). Габариты трансформатора: Dleg = 430 мм, высота окна h = 870 мм. Геометрические данные:

51 = 30 мм, a = 60 мм, 5 = 50 мм, b = 40 мм,

52 = 50 мм, Da = 550 мм, D5 = D12 = 660 мм, Db = 750 мм. Радиусы граничных поверхностей стержня, обмоток и бокового ярма составляют: rleg = 215 мм, r1a = 245 мм,

r2a = 305 мм, r1b = 355 мм, r2b = 395 мм,

rM = dl = 445мм, rA2 = D2 = vri2g + r2 «

« 495 мм.

Цилиндрический бак находится на расстоянии А = 150 мм от магнитопровода. Высота обмоток принимается равной высоте окна h . Число витков wa = 130 . Коэффициент трансформации k = (wa / wb) = 11/12.

Индуктивность к. з. Lash, приведенная к a-обмотке, рассчитывается с помощью соотношений [14]

Т Црп(Da + a /2)a 2

La =-Vl-Wa ,

3h

L5 =-;-Wa ,

h

= ^0n(Db - b /2)^. 2

А

Б

Рис. 1. Четыре потока в стали и три потока в окне идеализированного трансформатора

La = L + L + L '

Нам понадобятся величины

L L L'

- 0,2135, = 0,6074, - 0,1791.

т П ' J -ж-n ' J T-n '

L

sh

L

sh

L

sh

верхностей, между которыми протекают указанные потоки. Данный топологический атрибут 4 Т-образной схемы замещения позволяет отображать также значения функции потока Ф(г ) на этих поверхностях (рис. 1, В) и даже предсказать существование Ф-инвариантных поверхностей. С такой целью на рис. 1, В каждая из величин 3La /2 и 3Lb / 2 расщеплена на два слагаемых:

3L L

- — + L,

= Lb + ^. (1) 2 b 2

Ф-инвариантная поверхность в идеализированном трансформаторе

В идеализированном трансформаторе отсутствуют потоки в зазорах 51, 52, а также за пределами магнитопровода, поэтому бак на рис. 1, А не показан. На рис. 1, Б крестиками выделены узлы, соответствующие радиусам но из схемы заключаем, что напряжения от гкц, К, г2, гь, г2ь, гД1 цилиндрических по-

Узлы между этими частями соответствуют особым цилиндрическим поверхностям внутри обмоток, радиусы которых обозначены как г0а и г0ь. Действительно, непосредствен-

и г0 -узла в направлении общего узла

( г = 0 ) оказываются всегда равными напряжениям на зажимах трансформатора:

*or* = Vа , ¿0Ф^ = U'b,

r0 r0

где к0 = ую^ • Отсюда вытекает, что если напряжения на входах заданы, то потоки

ф а = = ф

0

Ф b = =

r0b

kn

а а . а Г0 "r1 1 + < « r° +4 Г2а 1 л/э

ь ь b r0 Ä r2 M 1 + 4 - Г2Ь-b rib 2 V3

.

внутри цилиндрических поверхностей соответственно радиуса г0а и г0ь окажутся строго детерминированными и равными потоку х. х. Ф0.

Из (2) вытекает следующее. При заданном напряжении иа на первичной а-обмотке поток внутри г0а -поверхности не зависит от нагрузки и равен потоку х. х. Это означает, что г0а является радиусом Ф-инвариантной (характеристической) поверхности относительно нагрузки на Ь-обмотке, что иллюстрирует рис. 1, Г. Кривые на нем построены с помощью соотношения

Ф(г) = 2пг • А(г),

где А(г) - векторный потенциал, формулы которого приведены в [14].

Аналогичным образом, исходя из рис. 1, В и соотношения (3), доказывается Ф-инва-риантность г0ь-поверхности относительно нагрузки на а-обмотке, когда первичной является Ь-обмотка и задано напряжение иь (или иь ).

Одновременно характеристическая поверхность играет роль нуль-поверхности в режиме к. з. обмотки, внутри которой она находится, как охватывающая нулевой поток в этом режиме и, следовательно, определяющая линию раздела потоков в окне при к. з.

Формулы для определения радиусов Ф-инвариантных поверхностей в идеализированном трансформаторе получены в [14]:

Для рассматриваемого примера, согласно кривым (рис. 1, Г),

г0а = 280,7 мм, г0ь = 372,5 мм.

Практически такие же результаты получаем по формулам (4) и (5):

278 мм, r0 = 371,3 мм.

Обе характеристические поверхности и их радиусы (6) показаны на рис. 1, А. В работе [14] показано, что условием передачи активной мощности является наличие угла между потоками, ограниченными поверхностями этих радиусов.

Кривая Ф(г) для режима х. х. на рис. 1, Г поясняет проблему электротонического состояния материи на языке, доступном для электротехников в обход сложного кванто-во-механического его подтверждения в условиях постоянного магнитного поля, выполненного Д. Бомом и Ю. Ароновым в 1956 г. [16, 17]. Названное явление в идеализированном трансформаторе проявляется в возникновении (при отсутствии тока в первичной а-обмотке, находящейся под действием синусоидально изменяющегося напряжения Ц) электродвижущей силы (ЭДС) в разомкнутой вторичной Ь-обмотке при полном отсутствии в зоне ее расположения поля магнитной индукции, тогда как векторный потенциал в этой зоне характеризуется распределением А( г) = = Ф(г)/2пг. Тем самым выявляется тождественность количественного выражения интенсивности электротонического состояния с векторным потенциалом, а через соотношение E = -<ЭА / д1 (или Е(г) = —/юА(г)) объясняется появление ЭДС в Ь-обмотке при х. х., а так-

r

же работа трансформатора в целом. В аналогичной перспективе следует рассматривать электротоническое состояние и в зоне первичной обмотки, в которой также наряду с током отсутствует и магнитное поле.

Кривая на рис. 1, Г для случая сопротивления нагрузки Х1оиЛ = 0 наглядно представляет сверх- и антипотоки в режиме к. з. внешней Ь-обмотки. Отрезок р^ = 1,105 характеризует сверхпоток к. з. в стержне, а отрезок Р2 Я2 =-0,088 - антипоток к. з. в боковом ярме, отнесенные к потоку х. х., что согласуется с их расчетом [14]:

Р4 =1 +

2L

0 2135 = 1 + 0,2135 = 1,1067,

'sh

Р2 42 =

LI

2L

sh

2

0,1791 2

= -0,0895.

А

З а м е ч а н и е. Формулы (4)-(9) наглядно показывают, что радиусы характеристических поверхностей и относительные значения сверх- и антипотоков в идеализированном трансформаторе зависят только от ширины обмоток и зазора между ними.

Ф-инвариантная окружность в трансформаторе при цсталь = const Ф да

В отличие от идеализированного этот трансформатор изображен с охватывающим его цилиндрическим баком (рис. 2, А). Магнитные потоки представлены при допущении, что линии магнитного поля в окне параллельны оси стержня, что отчасти подтверждается картинами полей для режимов к. з., построенных при цсталь = Ю0ц0 и цсталь = Юц0 в [15].

Б

Г

В

Рис. 2. Магнитные потоки Фк в трансформаторе при цсталь ^ да (А), функции потока Ф(г) на границах обмоток (Б), его 4 Т-образные схемы замещения с отображением этих потоков (В), а также кривые Ф(г) в средней плоскости (г = 0) трансформатора при ц сталь = 100ц0

для реактивных нагрузок

Часть потоков из стали вытесняется в пространство между ней и баком (Ф Оа, Ф О, Ф Д), другая - в зоны окна (Ф 81, Ф 8 2), прилегающих к стали. Эти потоки как следствия конечности Цсталь являются истинными потоками рассеяния. Между ними и основными потоками, а также функцией Ф (г) имеют место следующие связи, вытекающие из аналога первого закона Кирхгофа для магнитных цепей:

Ф « ) = Ф+ Ф 8

лентной ветвью, представленной на рис. 2, В индуктивностью (-£,аХа /2) и ЭДС Ъ,айа, где

ta =

Lleg + L81

Lleg + Lsi -La/2

= 1 + -

Lr,/2

L„

Leg + L81 -La /2 ~ 1 + 2

.

ФЮ = Фa8 + Фa = Ф

ф

Ф

Далее в этой схеме произведено расщепление величины 3La /2 по аналогии с (1), но с учетом коэффициента Ъ,а:

^ = ^ + ^а .

Узел между образовавшимися элементами обозначен через г0а . Аналогичные преобразования представлены в правой части схемы:

На данном этапе активными потерями пренебрегаем. Для учета магнитных сопротивлений участков стали к схеме замещения идеализированного трансформатора (см. рис. 1, Б) подключены четыре поперечные ветви намагничивания с линейными индуктивностями Lleg, LaЪ, Г8Ъ, L^de, к которым добавлены четыре индуктивности рассеяния LS1, 1Ха, О и (ХД + Lg 2) (рис. 2, Б). Формулы для их вычисления приведены в [12]. Для простоты здесь, как и в [12], не представлены индуктивности рассеяния, отражающие вытесненные потоки из стержня в зону внутренней а-обмотки и из бокового ярма в зону внешней Ъ-обмотки, что для силовых трансформаторов вполне допустимо.

Из физических соображений с учетом симметрии конструкции трансформатора относительно его средней плоскости (г = 0) вытекает, что в данной плоскости должны существовать Ф-инвариантные окружности. Это доказывается также путем цепочки эквивалентных преобразований схемной модели (рис. 2, Б), приводящих ее к схеме, приведенной на рис. 2, В. Вначале выполнена замена параллельного соединения двух ветвей - ветви, состоящей из индуктивности (-Ха /2) и ЭДС Е = иа, и ветви с индуктивностью (+ Х81) - одной эквива-

L,

где

tb =77

Т' + т' + т'

side 8 2 + А

т' + т' + т' - Т' / 2

side 8 2 + А ' Z

: 1 +

L

2( Lide + L8 2 + LA )'

с образованием узла г0 . Кроме того, на рис. 2, В наряду с потоками (при учете выражений (14)-(17)) отображены значения функции потока Ф(г) на окружностях в средней части обмоток радиусов г1а, г2а, г1ъ, г2Ъ в соответствии с соотношениями (10)—(13). Непосредственно из рис. 2, В заключаем, что напряжения от г0а - и г0Ъ -узлов в направлении общего узла (г = 0) оказываются независимо от нагрузки равными напряжениям:

М> га , гЪ =^и'ъ ,

г0 г0

откуда вытекает, что если напряжения на входах заданы, то потоки

t U

Ф = S a^a = ф XX

ro k

/Vn

га '

Ф » =

r0

ïbU'b

kr,

-ф

внутри окружностей соответственно радиуса г0а или г^ в средней части обмоток (г = 0) будут детерминированными и равными соответствующим потокам х. х., охватываемыми этими окружностями (как и в случае идеализированного трансформатора, в котором ф ^ = ф = ф 0). Выражения (18)-(20) подтверждают наличие общей точки пересечения семейства кривых (рис. 2, Г), построенных для функции Ф(г)/ Фхах в средней плоскости (г = 0) с помощью программы БЬСОТ на основе методики, представленной в Приложении. Выбор функции Ф(г)/ Фхах обусловлен тем, чтобы это семейство при цсталь ^ да пересекалось в точке (г0а ,1), как и в случае идеализированного трансформатора на рис. 1, Г, где ф0-Ф« .

Из рис. 2, Г следует, что при цсталь = 100ц0 значения г0а и г0ь практически совпадают с (6) и (7). Из кривой для х. х. следует, что в данном случае величины Ф х'х « Ф « Ф 0. Благодаря этому, как и для идеа0лизированного трансформатора, по кривой к. з. находим (рис. 2, Г):

- сверхпоток к. з. в стержне характеризуется отрезком р^ = 1,0955 (при цсталь = да на рис. 1, Г: отрезок р1д1 = 1,105),

- антипоток к. з. в ярме характеризуется отрезком р2 д2 = -0,08787 (при цсталь = да на рис. 1, Г: отрезок р2д2 =-0,088).

Как видно, эти величины отличаются от представленных на рис. 1, Г менее чем на 1 %.

Ф-инвариантные поверхности в трансформаторе при цсталь ф да

Из допущения о параллельности линий магнитного поля в окне относительно оси стержня следует, что Ф-инвариантные окружности при достаточно больших значениях ц должны находиться на Ф-инвариантных поверхностях. Это подтверждается кривыми Ф (г) для случая ц = 100ц и к , = к, построенными с помо-

1 сталь ' 0 обм 7 1

щью программы БЬСиТ в плоскости г = 3к/8, которые практически совпадают с кривыми рис. 2, Г и потому здесь не приводятся. При этом и значения радиусов г0а и г0ь практически равны величинам (6) и (7). Таким образом, при цсталь = 100 ц0 можно говорить о существовании Ф-инвариантных поверхностей, радиусы которых можно определять по формулам (4), (5) для идеализированного трансформатора. Потому Ф-инвариантные поверхности на рис. 2, А показаны совпадающими с Ф-инвариантными поверхностями на рис. 1, А.

Ф-инвариантные поверхности в реальном трансформаторе

Сказанное с большой вероятностью можно отнести также к реальным силовым трансформаторам с активными потерями в стали и обмотках в условиях насыщения стали. Это косвенно подтверждается семейством кривых Ф(г) для рассматриваемого примера при сильно заниженном значении цсталь = 5ц0, построенных в плоскости как z = 0 (рис. 3, А), так и z = = 3h/8 (рис. 3, Б), и практическим совпадением радиусов r0a и r0b (они представлены непосредственно на графиках) в обоих случаях с результатами (6) и (7). Более того, практически такие же значения имеют радиусы r0a и

r0b и в случае Цсталь = Ц (рис. 4 А Б).

Однако, если при Цсталь > 100ц0 , как отмечалось выше, Ф х'х ~ Фхх « Ф 0 , то при ц =

' r0a rleg 0 ' г "сталь

= 5 ц0 это условие не соблюдается, и для оценки сверхпотока в стержне и антипотока в ярме при к. з. следует воспользоваться отношениями, которые для случая, приведенного на рис. 3, А (z = 0), принимают вид

kleg -

Ф к3

rleg

Фхх

rleg

Pl4l P'iVi

-1,072

ф кз

rleg

(пРИ M"сталь -œ на Рис l, Г: -фХеГ - Piqi-

= 1,105),

rleg

А

Б

Рис. 3. Кривые Ф (г) в плоскостях 2 = 0 (А) и 2 = 3Н/8 (Б) трансформатора при цсталь = 5ц0 для реактивных нагрузок

А

Б

Рис. 4. Кривые Ф (г) в плоскостях 2 = 0 (А) и 2 = 3Н/8 (Б) трансформатора при цсталь = ц0 для реактивных нагрузок

Ф кА

k = rAi

""side ф х.х

rleg

Р2 Ъ РА

= 0,060

фкз rA

(при Усталь =да на рис. 1, Г: фДГ = Р2Ъ =

гн

= -0,088).

Для случая рис. 3, Б (г = 3Н /8) имеем ^ = 1,105 и =-0,115. Как видно, даже

при цсталь = 5ц0 эти оценки близки к получен-

ным при Цсталь

= да.

В случае цсталь = ц0 из рис. 4, А следует, что в плоскости г = 0

к% = Р1 = 1,064, кШе = - -0,077. РЪ РЪ

а в плоскости г = 3к /8

kleg =

РЪ

р'Ъ

= 1,104, ksde =

Р2 Ъ

р'ъ

= -0,145.

что также вместе с результатами анализа кривых Ф (г)/ Ф ^ при Цсталь = 100Ц и = = 5ц0 (см. рис. 2, Г и рис. 3) можно принять в качестве доводов о наличии (приближенно) в реальном трансформаторе Ф-инвариантных поверхностей. Можно также считать прибли-

женно выполняющимися свойства, перечисленные в замечании, которые проявляются тем очевиднее, чем выше значение цсталь.

Заключение

Результаты выполненного численного построения и анализа картин магнитных полей в трансформаторе броневого типа подтверждают вытекающее из его 4Т-образной схемной модели существование Ф-инвариантных поверхностей. Это свидетельствует о корректности физико-математических идей, которые привели к созданию 4Т-образной схемы замещения. Установлена связь Ф-инвариантных поверхностей с явлением возникновения сверх-и антипотоков при к. з. трансформатора, что важно для оценки электродинамической стойкости трансформаторов в аварийных ситуациях.

Задачей следующего этапа является разработка алгоритма построения семейства кривых распределения потока при любой активно-реактивной нагрузке с целью подтверждения явления Ф-инвариантности в общем случае с учетом потерь в стали трансформатора. В методическом отношении по-прежнему актуален поиск доступного физического толкования этого открытия и его значения для понимания работы трансформатора в любых условиях его работы.

Правомерность постановки этих задач вытекает из предварительных наблюдений изложенных открытий, полученных авторами в результате построения и анализа полей в броневых трансформаторах с дисковыми и чередующимися обмотками, а также в стержневых и тороидальных трансформаторах.

Приложение

Алгоритм построения магнитного поля двухобмоточного трансформатора при реактивных нагрузках с применением программы ELCUT

Рассмотрим алгоритм для трансформатора с данными, приведенными в примере при

сильно заниженном значении ц = 5 ц . Поле

сталь 0

осесимметрично. Поэтому в файл исходных данных программы ELCUT заносятся:

- осесимметричная геометрия магнитопро-вода и обмоток;

- граничные условия на поверхности бака; поскольку он экранирует магнитное поле, то на его поверхности векторный потенциал принимается равным нулю;

- значения относительной магнитной проницаемости участков магнитопровода, например ц , цМе и др.; в изучаемом случае примем, что

= Цside = 5Ц0 ;

- плотности электрических токов 81 и 82 в сечении соответственно внутренней и внешней обмоток:

6 = S2 = ^212

ah

об1

bh

об 2

где I и I - токи обмоток, предварительно вычисляемые (при известном напряжении Ц первичной обмотки) с целью построения магнитного поля для заданного значения реактивной нагрузки = ±]хы .

Величины I и I находим по формулам для токов трансформатора с линейными характеристиками, что требует предварительного определения собственных (Ьх, Ь2) и взаимной (М индуктивностей обмоток при заданном цсталь = 5ц0, которые здесь рассчитываются по методу конечных элементов (МКЭ) с помощью программы БЬСиТ. Методика их вычислений и расчета индуктивности к. з. включает четыре этапа.

Э т а п 1. Определение собственной индуктивности Ь внутренней обмотки трансформатора. Задаемся токами ^ = 1 А и !2 = 0. Находим плотность тока внутренней обмотки трансформатора, учитывая, что ее высота равна высоте окна:

1-130

ah

обм

0,06 - 0,87

- 2,49042 -103 А/м2.

Плотность тока внешней обмотки 82 = 0. Выполнив в программе БЬСОТ расчет энергии магнитного поля, создаваемого током внутренней обмотки, получаем Ж1 = 0,002665 Дж. Так как во время моделирования магнитного поля рассматривалась только 1/4 часть всего трансформатора, то результирующее значение энергии определяется как ^мрез1 = 4Ж1 = = 4 • 0,002665 = 0,01066 Дж. Воспользовавшись выражением Ж1 = Ы^ /2 (и учитывая, что I = 1 А), находим индуктивность внутренней обмотки Х1=2Жмрез1=2 • 0,01066 = = 0,02132 Гн.

Э т а п 2. Определение собственной индуктивности Ь2 внешней обмотки трансформатора. Задаемся токами I = 0 и I = 1 А. Определяем плотность тока внешней обмотки трансформатора:

S, =-72 ^

1-142

bh

обм

0,04 - 0,87

= 4,08046 -103 А/м 2.

Плотность тока внешней обмотки 81 = 0. В результате расчета энергии магнитного поля, создаваемого внешней обмоткой, получаем Ж2 = 0,003543 Дж. Результирующее значение энергии определяется как ^мрез2 = 4Ж2 = = 4 • 0,003543 = 0,014172 Дж. Воспользовавшись выражением Ж2 = /2 (и учитывая, что I = 1 А), находим индуктивность внутренней обмотки Ь2 = 2Шм рез2 = 2 • 0,014172 = = 0,028344 Дж.

Э т а п 3. Определение взаимной индуктивности Ммежду обмотками. В отличие от предыдущих этапов задаемся ненулевыми значениями токов обеих обмоток, например ^ = 1 А и I = -1 А. Очевидно, плотности токов в каждой обмотке совпадают с полученными выше:

81 = 2,49042 -103 А/м 2,

52 =-4,08 0 46 -103 А/м2.

Энергия магнитного поля 1/4 части трансформатора в этом случае, выданная программой БЬСиТ, Ж12 = 0,001048 Дж. Результирующее значение энергии магнитного поля

Wl2peз = 4 Г12 = 0,004192 Дж. Так как ^ = = = 1 А, то, согласно [15], взаимная индуктивность М определяется из соотношения

М = ^м . рез1 + ^м . рез2 — ^12рез =

= 0,01066 + 0,014172 - 0,004192 = = 0,02064 Гн.

Э т а п 4. Вычисление Ц,к. Индуктивность к. з. трансформатора при цсталь = 5ц0 равна

L", = L - M2/ L2 = 0,02132 -

- 0,020642 /0,028344 = 6,29•Ю-3 Гн.

В целях удобства сопоставления магнитных полей трансформаторов с ц,сталь Ф да и

Цс

= да

при реактивной нагрузке полезно

воспользоваться следующими рекомендациями (важными также при анализе работ типа [18-20]).

1. Реактивную нагрузку следует представлять, как и на рис. 2, Г, в долях сопротивления к. з. трансформатора:

Zloud = ±jxloud =

Sh '

где X - любой вещественный коэффициент (на рис. 2, Г использованы значения X = 0; 0,25; 1; 15; -15) . Тогда в соответствии с известными соотношениями для трансформатора с линейными характеристиками выражения для токов обмоток при заданном ± ]х1оиа упрощаются:

71 =

roL1 -

ю2 M2

(L2 ± Xloud

ю2 м2

(L1--:-— ю

(»L2 + АюLsh

L1 -

м2 V

L2 + ALash у

72 =-

M

L2 + ALah

71.

В частности, при к. з. внешней обмотки (X —^ 0) имеем

i;

к.з внеш

U1

с

ю

L1 -

M

2

к

M

L

'2 У

i;

L

2

Токи в режиме х. х.

!0 = -Ц-> 12 = 0.

юц

2. Поскольку кривые Ф(г)/ Ф^ строятся

в относительных единицах, то можно задаться любым первичным напряжением Ц1, которому будет соответствовать определенная величина Ф хах. Найдя при этом напряжении и за-

г0

данной реактивной нагрузке величины Ф (г), далее необходимо поделить все значения Ф (г) на Ф хах (Фхах и г0а можно получить по пересечению кривых Ф(г) при х. х. и к. з.). Далее действия повторяются для новой реактивной нагрузки с последующим делением на ту же

величину Ф хах. Однако деления можно избе-

г0

жать, если выбрать Ц таким, что соответствующее ему значение Ф хах = 1 Вб. Чтобы найти такое напряжение для трансформатора

при цсталь = 5ц0, с помощью БЬСиТ вначале зададимся произвольной величиной Ц = Ц', например

Ц' = 2ф>хФ хх = 2-п-50-130-1 = 40820 В,

при этом ток х. х., протекающий по внутренней обмотке трансформатора, оказывается равным

IÖ-

и;

40820

2nfL 2-п-50 • 0,02132 а плотность его составляет > _ 70

- б 097,5б1 А,

S'-

ah

обм

- б097,5б1130 -'5 55 о. А/м^.

0,0б • 0,87

Введя это значение плотности тока в EL-CUT, находим поток х. х.

Ф'ХХ = 0,08684 Вб,

отвечающий напряжению U' = 40820 В. Можем написать пропорцию

U' = 40820 о Ф'хх = 0,08684,

U' - ?

г0 х.х

о Ф х;х -1,0,

откуда определяем напряжение питающей обмотки, обеспечивающее Ф хах = 1 Вб при

с г°

ц = 5ц:

сталь 0

u;^X-X

U-

' ^ ra 40820 •'

Ф'хх 0,08б84

- 470059,88 В.

Для проверки вычисляем ток х. х. при найденном и1:

и

Iö -

2nfL1

470059,88 2•^•50 0,02132

- 7021б,0407 А

и соответствующую ему плотность тока внутренней обмотки

80 = 70216-132172^ = ,74,8675 106 АЛЛ 0,06 - 0,87

Введя в программу БЬСиТ значения 81 = = 80 и 82 = 0, получаем картину магнитного поля трансформатора с цсталь = 5ц0 и его кривую Ф(г) в режиме х. х., при котором поток внутри окружности радиуса г0а, лежащей в плоскости

г = 0, должен быть равен Ф хах = 1 Вб. Поэтому

г0

эта кривая одновременно представляет автоматически кривую Ф(г) / Ф хах .

3. При выбранном напряжении точке пересечения кривых Ф(г)/ Ф^ при любой нагрузке будут соответствовать координаты (г0а, 1). В табл. 1 приведены выражения для токов

при Цоал = 0, 25Ьак , Lload = Ьак , ЬЪаЛ = 15Ьхк ,

Ь10аа = -15Ь^к, а в табл. 2 - расчетные значения плотностей токов в сечениях обмоток,

ТАБЛИЦА 1. Токи обмоток броневого трансформатора при реактивных нагрузках

Значения Lload Выражение для тока Il Выражение для тока I2

0,25LA ( M2 a L-- V 1 L2 + 0,25Lah Л У -A M h + 0,25 ь:„

та Lsh a Ui f M2 Л L-- T + La V sh У -I, M 1 T + Ta

15 Lash a Ui L m2 J L2 + 15Lah J -I, M L M 15Lh

-15Lh a Ui L m2 J Li L —15 La 1^2 U i^sh У -I. M 1 T - 15Ta T2 15Tsh

ТАБЛИЦА 2. Плотности токов обмоток броневого трансформатора при чисто реактивных нагрузках

Значения L load Величина плотности токов, А/м 2

Si S2

0,25Lah 5,265778 -108 —5,952476 -108

та Lsh 4,133402 -108 -4,035995 -108

15Lash 2,088874 -108 —5,757493-107

-15Lash 1,32233 -108 6,877322-107

заносимые в программу ELCUT для рассматриваемого трансформатора при цсталь = 5ц0. Очевидно, каждой величине ц будет соответствовать свое значение Uv

Библиографический список

1. Boyajian A. Resolution of transformer reactances into primary and secondary reactances / A. Boyajian // AIEETrans. - 1925. - Jun. -P. 805-810.

2. Марквардт Е. Г. Электромагнитные расчеты трансформаторов / Е. Г. Марквардт. - М. : ОНТИ, Ред. энергетич. лит., 1938. - 136 с.

3. Пенчев П. Р. Въерхуразсейването в транс-форматорите / П. Р. Пенчев. - София : Техника, 1969. - 123 с.

4. Cherry E. C. The duality between inter-linkend electric and magnetic circuits and the formulation of transformer equivalent circuits / E. C. Cherry // Proceedings of the Physical Society. - 1949. - Vol. 1, (B) 62. - P. 101-111.

5. Blume L. F. Transformer engineering : A treatise on the theory, operation and application of transformer / L. F. Blume, A. Boyajian, G. Gamilly, T. C. Lenox, S. Minnec, M. V. Mon-tsinger. - New York : Wiley, 1951. - 239 p.

6. Slemon G. R. Equivalent circuits for transformers and machines including nonlinear effects / G. R. Slemon // Proc. Inst. Elect. Eng., IV. - 1953. - Vol. 100. - P. 129-143.

7. Лейтес Л. В. Схемы замещения многообмоточных трансформаторов / Л. В. Лейтес, А. М. Пинцов. - М. : Энергия, 1974. - 192 с.

8. Leon F. Transformers in power system transients / F. Leon, P. Gomez, Martinez-Ve-lasco, M. Rioual // Parameter Determination. -Boca Raton, FL : CRC, 2009. - Pt 4. - P. 177250.

9. Leon F. Comparing the T and n equivalent circuits for the calculation of transformer inrush currents / F. Leon, A. Farazmand, P. Joseph // IEEETrans. PowerDelivery. - 2012. - Vol. 27, N 4. -P. 2390-2397.

10. Лурье А. И. Электродинамическая стойкость трансформаторов и реакторов при коротком замыкании / А. И. Лурье. - М. : Знак, 2005. - 520 с.

11. Малыгин В. М. Локализация потока энергии в трансформаторе / В. М. Малыгин // Электричество. - 2015. - № 4. - С. 6065.

12. Шакиров М. А. Вектор Пойнтинга и новая теория трансформаторов. Ч. 1 : Трансформатор с тонкими обмотками / М. А. Шакиров // Электричество. - 2014. - № 9. - С. 5259.

13. Шакиров М. А. Теория трансформаторов. Ч. 2 : Идеализированный трансформатор с обмотками конечной толщины / М. А. Ша-киров // Науч.-технич. ведомости СПбГПУ. Наука и образование. - 2012. - № 4 (159). -С. 21-52.

14. Шакиров М. А. Вектор Пойнтинга и новая теория трансформаторов. Ч. 4 : Анатомия трансформатора / М. А. Шакиров // Электричество. - 2017. - № 3. - С. 37-49.

15. Шакиров М. А. Картины магнитных сверх- и анипотоков в короткозамкнутом двухобмоточном трансформаторе. Ч. 1 : Броневой трансформатор / М. А. Шакиров, Ю. В. Варламов // Электричество. - 2015. -№ 8. - С. 9-18.

16. Фейнман Р. Фейнмановские лекции по физике. Т. 6 : Электродинамика / Р. Фейн-ман, Р. Лейтон, М. Сендс. - М. : Мир, 1977. -347 с.

17. Поливанов К. М. К 100-летию «Трактата об электричестве и магнетизме» Дж. К. Максвелла / К. М. Поливанов // Электричество. -1974. - № 2. - С. 1-4.

18. Ким К. К. Метрология и техническое регулирование : учеб. пособие / К. К. Ким, В. Ю. Барбарович, Б. Я. Литвинов. - М. : Маршрут, 2006. - 255 с.

19. Ким К. К. Рыхление смерзшегося угля электрогидравлическим методом / К. К. Ким, М. А. Шпилев // Мир транспорта. - 2013. -№ 2. - С. 48-56.

20. Антонов Ю. А. Модель взаимодействия токоприемника с контактным проводом / Ю. А. Антонов, К. К. Ким // Наука и техника транспорта. - 2008. - № 4. - С. 9-12.

References

1. Boyajian A. Resolution of transformer reactances into primary and secondary reactances. AIEETrans, 1925, Jun, pp. 805-810.

2. Markvardt E. G. Elektromagnitnye raschety transformatorov [Electromagnetic transformer engineering]. Moscow, ONTI Publ., Red. Ener-getich. Lit. Publ., 1938, 136 p.

3. Penchev P. R. Vorkhu razseivaneto v trans-formatorite [On scattering in transformers]. Sofia, Tekhnika Publ., 1969, 123 p.

4. Cherry E. C. The duality between inter-linkend electric and magnetic circuits and the formulation of transformer equivalent circuits. Proceedings of the Physical Society, 1949, vol. 1, (B) 62, pp. 101-111.

5. Blume L. F., Boyajian A., Gamilly G., Lenox T. C., Minnec S. & Montsinger M. V. Transformer engineering: A treatise on the theory, operation and application of transformer. New York, Wiley Publ., 1951, 239 p.

6. Slemon G. R. Equivalent circuits for transformers and machines including nonlinear effects. Proc. Inst. Elect. Eng., IV, 1953, vol. 100, pp. 129-143.

7. Leites L. V. & Pintsov A. M. Skhemy zameshcheniia mnogoobmotochnykh transfor-matorov [Equivalent circuits for multi-circuit transformers]. Moscow, Energiia Publ., 1974, 192 p.

8. Leon F., Gomez P., Martinez-Velasco J.A. & Rioual M. Transformers in power system transients. Parameter Determination. Boca Raton, FL, CRC Publ., 2009, pt 4, pp. 177-250.

9. Leon F., Farazmand A. & Joseph P. Comparing the T and n equivalent circuits for the calculation of transformer inrush currents. IEEE Transactions on PowerDelivery, 2012, vol. 27, no. 4, pp. 2390-2397.

10. Lur'e A. I. Elektrodinamicheskaia stoikost transformatorov i reaktorov pri korotkom zamy-kanii [Electrodynamic withstand of transformers and reactors in case of short circuit]. Moscow, Znak Publ., 2005, 520 p.

11. Malygin V. M. Lokalizatsiia potoka en-ergii v transformatore [Localisation of energy flow inside transformer]. Elektrichestvo [Electricity], 2015, no. 4, pp. 60-65.

12. Shakirov M.A. Vektor Pointinga i novaiia teoriia transformatorov [Poynting vector and a

new transformer theory]. Pt 1. Transformator s tonkimi obmotkami [Thin-winding transformer]. Elektrichestvo [Electricity], 2014, no. 9, pp. 5259.

13. Shakirov M. A. Teoriia transformatorov [Transformer theory]. Pt 2. Idealizirovannyi transformator s obmotkami konechnoi tolsh-chiny [Idealized transformer with finite-thickness winding]. Nauchno-tekhnicheskie vedomosti SPbGPU. Nauka i obrazovanie [Science and eng. proc. of Saint Petersburg Polytechnic University. Science and education], 2012, no. 4

14. Shakirov M.A. Vektor Pointinga i novaiia teoriia transformatorov [Poynting vector and a new transformer theory]. Pt 4: Anatomiia transforma-tora [Anatomy of a transformer]. Elektrichestvo [Electricity], 2017, no. 3, pp. 37-49.

15. Shakirov M.A. & Varlamov Yu. V. Kartiny magnitnykh sverkh- i antipotokov v korotkozam-knutom dvukhobmototchnom transformatore [Pictures of magnetic super- and anti-flows in short-circuited double-winding transformer]. Pt 1. Bronevoi transformator [Shell-type transformer]. Elektrichestvo [Electricity], 2015, no. 8, pp. 9-18.

16. Feinman R., Leiton R. & Sends M. Fein-manovskie lektsii po fizike [The Feynman lectures on physics]. Vol. 6. Elektrodinamika [Electrodynamics]. Moscow, Mir Publ., 1977, 347 p.

17. Polivanov K. M. K 100-letiiu "Traktata ob elektrichestve i magnetizme" Dzh. K. Maksvella [On the centenary of J. C. Maxwell's "A Treatise on Electricity and Magnetism"]. Elektrichestvo [Electricity], 1974, no. 2, pp. 1-4.

18. Kim K. K., Barbarovich V. Yu. & Litvi-nov B. Ya. Metrologiya i tekhnicheskoye regu-lirovaniye [Metrology and technical regulation]. Uchebnoye posobiye [Tutorial]. Moscow, Marshrut Publ., 2006, 255 p.

19. Kim K. K. & Shpilev M. A. Rykhlenie smerzshegosya uglya elektrogidravlivcheskim metodom [Frozen coal ripping by means of electro-hydraulic method]. Mir transporta [The world of transport], 2013, no. 2, pp. 48-56.

20. Antonov Yu. A. & Kim K. K. Model vzaimodeistviya tokopriyemnika s kontaktnym provodom [A current collecting device and contact wire interaction model]. Nauka i tekhnika transporta [Science and technology of transport], 2008, no. 4, pp. 9-12. (In Russian).

ШАКИРОВ Мансур Акмелович - доктор техн. наук, профессор, manshak@mail.ru (Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого); *ТКАЧУК Антон Андреевич -канд. техн. наук, доцент, а. a.tkachuk@mail.ru (Петербургский государственный университет путей сообщения Императора Александра I).