Моделирование деформаций трехмерных конструкций с плоскими граничными поверхностями

УДК 539

Ф. С. Хайруллин, О. М. Сахбиев

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДЕФОРМАЦИЙ ТРЕХМЕРНЫХ КОНСТРУКЦИЙ С ПЛОСКИМИ ГРАНИЧНЫМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ

Ключевые слова: вариационный метод, шестигранник, расчет конструкций.

В работе излагается алгоритм численной реализации вариационного метода расчета трехмерных упругих конструкций, основанный на использовании аппроксимирующих функций с конечными носителями произвольной степени аппроксимации, позволяющий также определять напряженно-деформированное состояние составных конструкций. В основе данного представления лежит модель шестигранника с плоскими гранями.

Key words: variational method, hexagon, calculation of structures.

In this article the algorithm of numerical realization of the variational method of calculation of the three-dimensional elastic constructions is offered. This algorithm is based on the use of approximating functions with final carriers of arbitrary order of approximation which also allows to determine the stress-strain state of the composite constructions. The basis of this view is the model of a hexagon with planar edge.

В работе [1] представлен метод расчета трехмерных конструкции сложной формы с кусочно- гладкими граничными поверхностями, основой которого является метод определения напряженно-деформированного состояния тонких оболочек сложной формы, предложенной в работе [2]. Введены предположения, что перемещения и деформации малы, справедлив закон Гука, рассматривается изотропный материал.

Рассматривается конструкция Vk в виде шестигранника с криволинейными гладкими гранями Q,-, i = 1,6, которые в декартовой системе координат x, y, z описываются уравнениями z = F^x,y), z = F2(x,y), y = F3(z,x), y = F4(z,x), x = F5(y,z), x = F6(y,z), где F,' = 1,6 -однозначные функции класса C1.

В качестве функций F,' = 1,6,

определяющих грани Q(-, i = 1,6 , могут быть использованы различные аналитические функции, которые описывают, например, части цилиндров, сфер, плоскостей и т.д., а также эти функции могут задаваться численно. Однако имеет смысл рассмотреть частные случаи для конкретных видов граней, т.к. при этом происходит упрощение решения задачи, некоторые необходимые для расчетов параметры определяются аналитически, повышается точность и сокращается время расчета.

Рассмотрим частный случай, когда подобласть V представляет собой шестигранник с плоскими гранями (рис. 1). На рисунке показаны уравнения граней, номера сторон и номера угловых точек.

В пределах подобласти V вводится локальная

система координат p^ Р2, вз , которая связана с декартовой системой координат x, y, z таким образом:

Рис. 1

x = F5 (y^ z15 )(1 - F6 (y^ z16 ) p1 + y = F3 (x13 )(1 - в2 ) + F4 (x14 ) в2 + y^ (1) z = F1( x11, УН )(1-p3 )+ F2 (x12, y12 ) p3 + z10,

где

У15 = f95 (9g (P3 )) (1 - P2 ) + f 1,5 (911 (P3 )) в

2

+

+ q51(p2,p3 ) z15 = f35 (93 (P2 )) (1 - P3 ) + f75 (^7 (p2 )) p3 +

+ 952 (p2,p3 ) У16 = f10,6 (910 (p3 ))(1 - p2 )+ f12,6 (912 (p3 )) p2 + + 961(p2,p3 ),

z16 = f46

x10 = 9|1 (p1,p2 )(1-p3 )+ 921 (p1, p2 ) p3 , 951 (p2, p3 ) = [93 (p2 ) - У1 (1 - p2 ) - У3p2 ] (1 - p3 ) -

+ [97(p2)-У5(1 - p2)-У7p2] p3,

952 (p2,p3 )= 99 (p3 )-Z1(1-p3 ) - Z5p3 (1 - p2 ) +

+ [9n(p3)-z3(1-p3)-z7p3] p2, 961 (p2, p3 ) = [94 (p2 ) - У2 (1 - p2 ) - У4p2 ] (1 - p3 ) +

+ [98(p2)-У6(1-p2)-У8p2] p3, 962(p2,p3)=[910(p3)-z2(1-p3)-z6p3] (1-p2) +

+ [012 (Рэ )" 24(1- вз)" ^аРэ ] Р2.

9ц

Соотношения, определяющие координаты у и г , определяются аналогичным образом.

В выражениях (2) функции а2 = /у, (а1) задают

уравнения проекций граничных линий Л у

поверхностей О, на соответствующие

координатные плоскости; функции а1 = ду-

определяют координату точки на оси 01 по

соответствующей координате Р, на линии Л у ;

Х/, У/, 1/, / = 1,8 - координаты угловых точек подобласти V . Величинами 01,02 обозначены координаты Х, у или 1 в зависимости от выбранной линии Л у .

Формулы (1) - (2) выбраны таким образом, что в подобласти V, выполняются условия

0 < Р1,Р2,Р3 < 1, на гранях О, уравнения (1) переходят в уравнения этих граней, которые задаются уравнениями Р/ = 0 или Р/ = 1, / = 1,3 .

На граничных линиях уравнения (1) переходят в уравнения линий Л у и они задаются одной из

координат Р/, / = 1,3.

Для плоских граней функцию д4 (Р2) можно представить в виде:

д4(Р2)= у2 + Р2 • (у4 - у2).

Тогда уравнение линии Л4 запишется так:

Х = ^41 (у Х2 + ^^ (Х4 - Х 2 ) ,

у = у2 + Р2 • (у4 - у2),

1 = Р1(Х, у) э 21 + (Х - Х1)(У21 • *31 - "31 • ^21) + V 21 • ^11 - ^11 • W 21 , (у-у-|)(У31 • -^Ц • w3т).

V 21 • w11 - ^11 • w 21

где

^ = Х2 - Х1, V21 = у2 - у1, V31 = г2 - г1, W11 = Х4 - Х1, w21 = у4 - у1, w31 = 14 - г1. Рассмотрим трехмерную конструкцию, которую можно разбить на подобласти вида V,. На

основании вариационного принципа Лагранжа [3] к к

бЕ = £ бЕ,

к=1 к=1 о,

где Е - полная энергия конструкции, Е,, П,, б ЬУ, - полная энергия, потенциальная энергия деформации и вариация работы внешних сил единицы объема подобласти V, ; и = {и^ и2 }Т -

вектор перемещений подобласти V, в системе координат х, у, 1 ; К - количество подобластей.

В подобласти V, компоненты перемещения аппроксимируются функциями, заданными в системе координат Р1, Р2, Р3 :

м, м2 м3

"/ V )= Е Е Е О^т х

т1 =1 т2 =1 т3 =1

х ^ (Р1) 'т2 (Р2 ) ^ (Р3 ),

П/к

формы:

неизвестные постоянные; функции

)= 1- Р1, /2

Функции формы (6) определены таким образом, что

на граничных поверхностях Ок подобласти

функции(5) переходят в двумерные полиномы, на к

граничных линиях Л у - в одномерные полиномы.

Используя аппроксимирующие функции (5) и формулы для определения деформаций и напряжений в случае трехмерной теории упругости, выполняя кинематические граничные условия и условия стыковки подобластей, относительно

неизвестных постоянных О!

т1т2т3 из вариационного

уравнения (4) на основании стандартных преобразований получается система линейных уравнений.

Для плоских граней при определении деформаций и вычислении интегралов по подобласти V, все производные, входящие в формулы, вычисляются аналитически. Например,

^ = ^6(у16, 116)- (у15,115) , 5Р1

= I У3^15 - ^35 (у3 - у1 + Р3(у7 + у1 - у3 - у5))+ 502 | V35W25 - V25W35

+ ^25 - v25^5

+ I 36^6 - ^36 (у4 _ у2 + (уа + у2 _ у4 _ у6 )Р3 ) +

I V36W26 - V26 W36

- V26W16

V36W26 - V26 W36

((14 - 12)(1 - Р3) + (18 - 16)Р3)|Р1.

5г = I V^ - V15W35 ((у5 - у1)(1 - Р2) + (у7 - у3 )Р2 ) +

5Р3 I V35 W25 - V25 W35

v15w25 - v25w15 V35 W25 - V25 W35

(15 - 11 + Р2 (17 + 11 - 13 - 15)) I (1 - Р1)-

+ | v^ - V16W36 ((у6 - у2 )(1 - Р2) + (уа - у4 )Р2 ) +

I V36 W26 - V26 w36

(16 - 12 + (1а + 12 - 16 - 14)Р2 )|Р1.

+ V16W26 - V26W16 V36 W26 - V26 W36

Здесь

^5 = Х5 - Х1. V25 = у5 - у1. V35 = 15 - 11. W15 = Х3 - Х1. W25 = у3 - у 1. Wз5 = 13 -V16 = Х4 - Х2. V26 = у4 - у2. V36 = 14 - 12.

^16 = Хб - Х2; ^26 = У6 - У2; ^36 = Z6 - Z2 В качестве примера рассматривалась задача об изгибе прямоугольной балки (рис.2) под действием распределенной нагрузки интенсивности q . Длина балки 100 см, ширина и высота поперечного сечения 10см, д = 1МПа, Е = 2 • 105Мпа , V = 0,3 . При расчетах полагалось, что М1 = М2. Расчет проводился одним и двумя элементами. Во втором случае областью стыковки элементов является сечение Б (г = 10см ).

Рис. 2

В таблице 1 приводятся напряжения Ог2 на верхней поверхности балки в двух точках для двух поперечных сечений: в заделке (х = 0 ) и в середине балки (х = 50см ). В последней строке приведены значения напряжений, полученные методами сопротивления материалов [4].

Как видно из представленных результатов при использовании одного элемента точности решения не хватает, так как рассматривается достаточно длинная балка. При использовании двух элементов, когда в окрестности закрепления выделяется отдельный элемент, уже при порядке аппроксимирующей функции 2х5 (т.е. в поперечном сечении балки искомые функции аппроксимируются линейными функциями) получается решение, совпадающее с решением, найденным методами сопротивления материалов.

При увеличении порядка аппроксимирующей функции в поперечном сечении балки напряжения в заделке (х = 0) начинают возрастать, т.е. приведенное решение улавливает концентрацию напряжений. Причем в угловой точке (х = 5 см ) напряжения выше, чем в верхней точке посередине

поперечного сечения балки (х = 0). В точках удаленных от заделки (х = 50 см ) напряжения совпадают с решением, полученным методами сопротивления материалов.

Таблица 1

Число M1xM 3 z =0 z=50см

эл-тов x=0 x=5см x=0 x=5см

2x4 259 259 95.3 95.3

3x4 259 259 95.3 95.3

2x5 324 324 81.1 81.1

3x5 347 350 86.1 86.8

1 4x5 351 353 86.3 86.8

2x6 335 342 78.9 80.3

3x6 342 348 78.9 79.9

2x4 309 309 88.8 88.8

3x4 300 367 89.5 89.7

4x4 346 389 89.3 89.4

2x5 304 304 75 75

3x5 284 375 75 75.2

2 4x5 349 404 74.7 74.9

5x5 376 451 74.8 75

2x6 301 301 75 75

3x6 273 378 74.9 75.1

4x6 355 411 74.7 74.8

5x6 389 482 74.7 74.8

6x6 424 501 74.8 74.8

[4] 300 300 75 75

Литература

1. Хайруллин Ф. С., Сахбиев О.М. О методе расчета трехмерных конструкций сложной формы// Вестник Казанского технологического университета, 2014, т. 17, №23, С.328-330.

2. Хайруллин Ф. С. Метод расчета тонких оболочек сложной формы. // Известия РАН. Механика твердого тела. - 1998, № 3. - С. 30 - 33.

3. Абовский Н. П., Андреев Н. П., Деруга А. П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек. - М.: Наука, 1978. - 288 с.

4. Феодосьев В. И. Сопротивление материалов. - М.: Наука, 1979. - 560 с.

© Ф. С. Хайруллин, д-р физ.-мат. наук, проф. каф. теоретической механики и сопротивления материалов КНИТУ, tmsm@kstu.ru; О. М. Сахбиев - инж. той же кафедры.

© F. S. Khayrullin, doctor of physico-mathematical sciences, prof. of department of theoretical mechanics and strength of materials, KNRTU, tmsm@kstu.ru; O. M. Sakhbiev, engineer of department of theoretical mechanics and strength of materials, KNRTU.