Неустановившиеся резонансные режимы движения неуправляемого аппарата при полете в атмосфере

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том VIII 1977

№ 6

УДК 629.735.33.015

НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ РЕЗОНАНСНЫЕ РЕЖИМЫ ДВИЖЕНИЯ НЕУПРАВЛЯЕМОГО АППАРАТА ПРИ ПОЛЕТЕ В АТМОСФЕРЕ

М. Г. Гоман

Рассматриваются неустановившиеся резонансные режимы движения вращающегося аппарата с малой массовой и аэродинамической асимметрией при входе в атмосферу. Приводится процедура асимптотического расщепления уравнений движения относительно центра масс на уравнения, описывающие низкочастотное и высокочастотное движения. Получены приближенные решения для изменения углов атаки и скольжения при прохождении через резонанс, а также оценки критической величины массовой и аэродинамической асимметрии, приводящей к установившемуся резонансному режиму вращения.

Рассмотрим неуправляемое движение летательного аппарата, близкого к осесимметричному, относительно центра масс при полете в атмосфере. Будем считать, что движение происходит с малыми углами атаки и скольжения. Такой подход использовался при анализе пространственного движения аппарата во многих работах [1 — 10]. Так, например, в работах [4, 6] исследуется возмущенное колебательное движение аппарата в нестационарных условиях полета, в работах [3, 10] анализируется движение при прохождении через резонанс. В работах [5, 7—9] рассматриваются условия возникновения резонансного режима вращения.

Запишем уравнения движения относительно связанной с аппаратом центральной системы координат. Будем считать, что у аппарата имеется малая массовая и аэродинамическая асимметрия, обусловленная неоднородностью распределения массы и искажениями поверхности. Считая, что центробежные моменты инерции отсутствуют, и пренебрегая влиянием гравитационной силы, получим следующие уравнения [1]:

а = — К—

Р = <“у + амдт + (4 Р + сг ас) ;

<!>* = — А\ я + Атх Шу + Мгг Шг + Магхр шх р + мг ас; “у = — В<4 р — Впх <ог + Ж “у (оу — М°у* '(»,а + Му ас; шх—м* р + мх ас,

где а, р — углы атаки и скольжения;

ш , о)г — проекции вектора угловой скорости

аппарата;

¡-751

°«(Р)= I/ —1---------------критические угловые скорости крена;

‘у (2) — 'х

• Л/ 1Л IX

!У_________. п______________________1г — ¡х .

¡у

1Х, 1у, 1г— главные моменты инерции;

М{ = М11111, М{ = т\ дБ1 — производные аэродинамических моментов;

М1яс=М1л<.\11У ,Мгас=т,ас#5/. — аэродинамические моменты, связанные

с наличием массовой и аэродинамической асимметрии (г = х, у, г; у-=(оу, юг,

шх а>

Р, Р);

т — масса аппарата;

5, £ — характерные площадь и длина аппарата.

Изменение движения центра масс аппарата является относительно медленным по сравнению с изменением возмущенного движения относительно центра масс. Поэтому коэффициенты уравнений (1), зависящие от скорости полета V и скоростного напора <7, будем считать функциями „медленного“ времени т=.е*, где е— малый параметр [2].

Наличие у аппарата массовой и аэродинамической асимметрии приводит к появлению балансировочных углов атаки и скольжения, которые значительно возрастают при совпадении угловой скорости крена с критическими угловыми скоростями о>а, Возникающие при этом значительные моменты крена от угла скольжения могут привести к установлению резонансного режима вращения, когда в течение длительного времени выполняются условия

шх ~

Возмущенное колебательное движение аппарата, как будет показано ниже, носит двухчастотный характер. На околорезонанс-ных режимах низкочастотное колебательное движение аппарата становится медленным и соизмеримым по скорости изменения с движением центра масс и движением крена. Поэтому естественно выделить из уравнений (1) систему уравнений, описывающую низкочастотное движение аппарата по тангажу и рысканию. Воспользуемся для этого методикой, изложенной в [11].

Рассмотрим первые четыре уравнения в (1), которые линейны относительно а, р, сог, о)у, и будем считать, что величина скорости крена наряду с траекторными параметрами является некоторой функцией медленного времени х. Представим рассматриваемую

систему уравнений в матричном виде, выделяя малые демпфирующие члены

X — [/’’о (х) + гр! (х)] X + Х0,

где

0 - “»Л 1 0 ^ /йК 0 0 0

0 0 1 ; ЛСО- 0 Л 0 0

Ло>а 0 0 - 0 м: N О

0 - - Ва>1 Вт 0 - лї;*ч 0 0 м;у

СУ ас /яК

р с ас-^-

II О

ас

ЮУ | ' Му ас

Проведем асимптотическое расщепление уравнений (2) посредством линейного преобразования координат

X — и (у, е)6 + Р(х, е),

где £/(х, £) — матрица размера (4Х4), а Р(х, г), £ —векторы (IX4)-При этом вектор 5 должен удовлетворять уравнению

£ = б(х, £)$ +2(х, г),

в котором матрица О (х, г) и вектор Z (х, г) имеют следующую структуру:

0(т, е) =

0) р оа О 0

0 </н

о

где Ов,н (х, г) — матрицы-блоки (2X2), а (х, є)— вектор (1X2).

Таким образом, при условии, что известны матрицы £/(х, є) и б(х, е) и векторы Р(х, є) и £(х, г), система для £ (4) в соответствии с (5) расщепляется на две независимые подсистемы второго порядка относительно векторов размерности (1Х2)!В, таких.

что \

О

Диффе

+

эенцируя (3) и используя (2), (4), получим тождество по I, из которого можно выделить два уравнения, связывающие £/(х, е), б(х, 6), Р(х, е), ¿{х, г):

в&К г)+£/

Будем предполагать, что искомые матрицы £/(х, в) и G(x, г), а также векторы Р (х, s) и Z(x, s) допускают формальные разложения по г:

s=0

00

е) = Х£-'РЛт); г('с, ) = Хе* ^ <т)-

5 = 0 ¿-=о

Подставляя разложения (8) в уравнения (6), (7), группируя и приравнивая нулю члены при одинаковых степенях е, получим систему рекуррентных алгебраических уравнений, определяющих коэффициенты разложений (8):

/W£/0(t)-í/0(t)<?0(t) = 0;

5—1

^0 W ^ М - Us W Go (*) - tfo W О, (T) + ^Uj (х) C,-y (X) -

i=i

dU,

5—1

di

(9>

для s 1;

(x) P,(x) = i/0 (x) Z, (x) + 2>y(x)Z,_,(x) - F1 WPs-iW

dP,

s—l

/='

dx

Xos

ДЛЯ 5>0.

Из уравнения (9) видно, что матрица ¿/0(т) должна трансформировать матрицу Г0(х) к блочно-диагональной структуре матрицы б(х, в) в форме (5), при этом она должна быть неособенной

C0(x)=W1(x)F0(T)f/0(x):

Go

о

0

GI

Для получения матрицы £/0(т) необходимы собственные значения матрицы /г0(х)- Они определяются следующим выражением:

Bi,

'ß + (1 + AB) i

X1>2(i) =----- ^

+ \/~ [Ai»l -f BiÖ2 +

При (u2>max(u>2, top и при co2<min(w2, o>2) КОрНИ (x) и X2 (x} чисто мнимые. В этом случае движение носит двухчастотный колебательный характер, причем | X, | определяет высокую частоту, а величина | Х2 ] — низкую. При min (w2, ш2 < max (со2, ш2) воз-

никают два действительных корня, один из которых положителен. Эта область значений скорости крена соответствует апериодически неустойчивому движению аппарата. При со2 = <о2, <в2 = а>2 низкочастотный корень Х2 равен нулю.

Для того, чтобы матрица £/0(х) удовлетворяла условию (12),. ее столбцы должны быть собственными векторами матриц /^(х) —

— Х2(х)£' и У»(х)— Х2(х)Е, причем выбор собственных векторов неединственен. Осуществим выбор матрицы í/0(x) так, чтобы векторы £в и £н— решения расщепленных систем уравнений—имели

определенный физический смысл, а именно, являлись высокочастотной и низкочастотной составляющими вектора с компонентами а и ¡3, т. е.

£н =

= + Е„.

Для выполнения условия (14) достаточно, чтобы нулевой член разложения матрицы и (х, в), удовлетворяющий условию (12), был выбран в виде

1 0 1 0 Ло)2 + Ш2 + Х2 , а 1 х ' 1.2

0 1 0 1 . в1-’- О-М)-, ’

0 «1 0 0 а2 0 ’ ь + X* 2 ^•2- (1 + В)»Х' ’

а все последующие члены разложений матрицы 17 (х, г), а также вектор Р(х, е) имели следующую структуру:

^(х) =

О О 0,100 *^(0

Р

о

Р2

где £/*! (х), ¿/52(х) — матрицы-блоки (2X2), а Р2(х, г)— вектор (1X2).

При выборе матрицы 1/0 (х) в виде (15) матрицы-блоки б£(х) и {/^(х), определяемые соотношениями (12), имеют следующий вид:

с0вК> =

0"

где

1

2(1 + А) (Од

1

2(1 +В).

[ЯШ2 _ Лш2 + (1 + 2А + А В) < + у С1 ]; [Я* - А «>2 _ (1 + 2В + А В) (о| + УЦ];

(3 = [Л’ + Я£ + (1 +ЛВ)‘

4Л5К-ш2)(«>2_ш2).

Собственные числа матриц-блоков О^(х) и бЦ(х) совпадают с собственными числами матрицы /^(х), определяющими соответственно высокочастотное и низкочастотное движение, так как 2 (х) £2 (х) = Хх (х), 2" (х) (х) = XI (х). Демпфирующие свойства вы-

сокочастотных и низкочастотных колебательных движений определяют члены матриц б(х) и б"(х). Для их определения умножим слева уравнение (10) при 5=1 на матрицу 1 (х), тогда получим

Со (х) 01 (х) — (3, (х) £?0 (т) = б, (х) + Я! (х),

где

Разобьем матрицы (Мх) и Н1(х) на клетки в соответствии со структурой матриц б0(х) и ¿Дх):

<МФ

<?1Ч0 <?!2

; /М0 =

в?1 со <??2

[

I

Тогда матричное уравнение (17) может быть записано в виде четырех эквивалентных уравнений относительно матриц-блоков

(г) и Ну (х):

адв№-в)2(т)бЕ(т)~Я12(т);

0£(*) <??»(*) - <?Г(0<?0в(х)=ЯГ(х);

Оов(х) (?}' (х) - (?}1 (х) О0в (х) = (?1 (х) + яГ (х);

Оо (т) <?« (х) - О? (х) 01 (х) = О" (х; + Я?2 (х).

Из первых двух уравнений системы (18) однозначно определяются матрицы ф}2(х) и О21 (х), так как собственные числа матриц

Оо{х) и Оо (х) различны. Соотношение (16) для матрицы ¿Л(х) накладывает определенную связь на блоки матрицы (х):

<?Г

Таким образом, матрица ф, (х), а следовательно, и ^(х) полностью определены. Подставляя теперь соотношение (19) в третье и четвертое уравнения системы (18), получим матрицы Ов(х) и 0“(х). Из уравнения (11) аналогично определяются члены разложений для векторов г(х, в) и Р (х, е).

Уравнения, описывающие низкочастотные движения, будем рассматривать совместно с уравнением крена, а уравнения, описывающие высокочастотные движения, — изолированно. В работах [2, 4] на основе сравнения с результатами расчетов по полным уравнениям пространственного движения показано, что такое расщепление уравнений позволяет достаточно точно описывать пространственное движение аппарата как на резонансных, так и на нерезонансных режимах.

Для анализа движения аппарата при прохождении через резонанс и анализа условий попадания аппарата в установившийся резонансный режим вращения будем рассматривать уравнения, описывающие медленные низкочастотные движения аппарата, считая, что различие в критических скоростях «><, и шр связано с различием значений тлг и т$, а поперечные моменты инерции равны 1у = = 1г = 1. Воспользуемся приближенными выражениями для величин 2” и 2“, справедливыми, когда угловая скорость крена <иЛ. находится в окрестности критических скоростей соа, юр. Будем также

считать, что т^(а> = 0; т?* = т?* = т\ с* = —с\, а величина обусловлена смещением центра масс аппарата относительно оси

симметрии Ду, тогда М\ = С1 — Лг)4у где ^ __ ^ ^ _----£_

1Х X 1 су

При этих предположениях получаем следующую систему урав-

Здесь аб =

-Ьусх

Чу ас

т\ ' тУу

балансировочные зна-диагональ-

чения углов атакй и скольжения при шл = 0; Цз ные члены матрицы

Приведем уравнения (20) к безразмерной форме. Для этого введем в рассмотрение малый безразмерный параметр х:

2 —/л

і -/г

,2 >

имеющий порядок отношения характерных времен возмущенного движения аппарата относительно центра масс и движения самого центра масс. Будем рассматривать резонанс на отрезке времени, где скоростной напор возрастает, и считать, что величина х на рассматриваемом отрезке времени постоянна.

Производя в уравнениях (20) замены переменных

а =

і- у*

1 - /_

¡¿С =--------- <1>,

2-І.

' о ’ аУ* '

а/хс^; аб = 80 соэ Ф0; Вб = 805іпФ0

и сохраняя главные члены в уравнениях (20), получим следующие безразмерные уравнения относительно а, р и ш:

<1а

-рг = (іа + (2ш + а) р — 8ІП Ф0;

= — 2юа + + соэ Ф0;

й

~Ж

- = 1 — -^0 — р.

В уравнениях (23) выделилось четыре безразмерных параметра:

я8 с'-пГМЬЧІ-ІхГі.

^ “ МУ

ч — 8р (2 1Х) _

1 * /, х3/2 ’

тх ас

1хт>

Остановимся на физическом смысле параметров (24). Величина ^ характеризует отношение демпфирования самого аппарата к демпфированию, обусловленному нестационарностью движения его центра масс. Различие характеристик аэродинамической устойчивости в плоскостях углов атаки и скольжения отражает параметр плоскостной асимметрии а. Параметр v1, пропорциональный величине сложной асимметрии Ду-80, определяет степень взаимодействия движений по тангажу и рысканию с движением крена. Параметр м0 характеризует влияние постоянного момента крена.

На начальном участке входа в атмосферу угловая скорость крена аппарата значительно превосходит величину критической скорости о><х. Поскольку величина ]/х мала, переменная ш принимает большие отрицательные значения. Увеличение критической скорости ша приводит к возрастанию переменной ш.

При малых значениях параметра V, величина и>х проходит через резонансную область, при этом со-^ос. При прохождении через резонанс возникают значительные колебания по углам атаки и скольжения. Проанализируем характер этого движения, а также влияние на него параметров асимметрии о, у0 и относительной величины демпфирования [а.

Рассмотрим систему (23), считая, что параметры а, равны нулю. В этом случае уравнения (23) могут быть проинтегрированы. Из третьего уравнения системы (23) получаем, что и> = (1 — v0)í. Вводя комплексный угол атаки <р = а + ¿¡3~ преобразуем первые два уравнения в (23) к одному комплексному уравнению первого порядка:

из которого получим

— і

1 — v0

(*. ш3 ^ ^

(•ь-T^J j eT=radt.

—со

-* <' (ф-7^) [тг ^+с (/;

2

со

где С(х) — J cos -^-t2di\ S (л:) = J sin — i2 dt — интегралы Френеля,

о о _ _

На фиг. 1 приведены_ зависимости а0(со) и |30 (ш) ПРИ o = vo=0-Максимальное значение а0тах = 2,07 достигается при си—1,52, а максимальное значение Ротах =1)63 — при со = 0,92. Воспользовавшись приближенным выражением для параметра *. (21), справедливым при прохождении через резонанс на больших высотах,

у __ (2 /у) ^ У^вх S*n I ^ВХ 1

2(1 1Х) • и>х вх

где y¡ — логарифмический градиент плотности атмосферы, можно получить приближенные выражения для максимальных значений углов атаки и скольжения в зависимости от начальных условий входа в атмосферу и параметров аппарата. Так, например, для угла атаки

; = 2,07 = 2,07 80 |/ 2 (1 _ ¡x)'

Ух ’ и V (2-4)^вх5ш|0вх| '

Для оценки влияния параметров р, о и на решение уравнений (23) преобразуем их, вводя комплексный угол атаки <р»=а + £р. Тогда, объединяя первые два уравнения в (23; в одно комплексное уравнение и деля его на третье уравнение, получим следующее нелинейное комплексное уравнение:

Будем считать, чго величины **., з, у1 невелики, и будем искать решение уравнения (26) в следующем виде:

¥ = 9о + ?|іН- + ,5 + <р„ V,,

где ^(ш) _ ^ , ф, (ш) — , <рУі (<!>)= функции влияния параметров ¡і, о, у1, 1

Подставляя решение для f в виде (27) в уравнение (26) и приравнивая выражения при параметрах ¡а, о, v1 нулю, получим линейные дифференциальные уравнения относительно функций % и <Р„,, которые могут быть проинтегрированы.

Функция влияния параметра ц, получаемая в результате интегрирования, имеет следующий вид:

У*

ІСо»

1 — V,,

Г- — • «

1 --- '/п

і ф„ —

1—V,

Ф

где

Ф

% а2 1 Г . і - V«

1 — ч0

й1.

Производя интегрирование выражения (28) по частям и учитывая, что при х -* — оо

IX1

Ф(х)х—-*0, получим следующее выражение для функции 9,,.:

Функции влияния параметров о, V! выражаются следующими квадратурами:

IX»

?о =

1 Ч>

?ь =

I

1т е 1 1,0 йх-

ФЛ = V

Функции яа, р„, а,,, р,, приведены на фиг. 1 для случая, когда 0 — 0. Смещение экстремумов 1 И Р по О) имеет второй поря-

док малости по сравнению с малыми значениями параметров ¡а, а, V], поэтому можно записать приближенные выражения для максимальных значений углов атаки и скольжения с учетом влияния параметров ¡а, а, V!, считая, что положение экстремумов такое же, как и в случае <р = <р0,

«шах = 2,07 -£ (1 + 1,281* - 0,06 о + 0,4 V,); У *

ршах = 1,63-^(1 + 0,92 р-0,41 а + 0,27 у,).

у у.

Из формул (29) видно, что демпфирование приводит к уменьшению максимальных значений углов атаки и скольжения, поскольку }а<0. При положительных значениях параметра V, величины ашах и Ртах возрастают, а при отрицательных — уменьшаются. Это можно объяснить тем, что при '*1>0 момент крена от угла скольжения замедляет прохождение аппарата через резонанс, а при V! 0 ускоряет. Параметр о наиболее значительно влияет на вели-

чину Ртах, поэтому в зависимости от знака а будет происходить растяжение и сжатие годографа вектора скорости относительно связанных с аппаратом осей в плоскости угла скольжения.

При определенных значениях параметров [а, з, 70, Ф0 у решений уравнений (23) возникают особые точки вблизи плоскости «=0. Эти особые точки соответствуют установившимся резонансным режимам вращения, которые могут быть как устойчивыми, так и неустойчивыми. Проанализируем условия, при которых у решений системы уравнений (23) возникают особые точки.

Перейдем в уравнениях (23) к новым переменным 8 и Ф, определяемым соотношениями а = 8совФ, р = 8$тФ:

= (¡А + а cos Ф sin Ф) 8 + sin (Ф — Ф0);

— //ф —

8 = — (2о> + а sin2 Ф) 8 + cos (Ф — Ф0);

du>

dC

= 1 — v0-----------V, о sin Ф.

Наличие особых точек у решений системы уравнений (30), а следовательно, и (23) будет определяться существованием решения уравнения

1 — Vo + ^i/O*. о, ф0> ф) =

где

ffr, о, Ф0, Ф) = sin^sin(t~^ .

’ U ' {Л.О sin Ф COS Ф

Уравнение (31) имеет решения по Ф только в тех случаях, когда величина (без ограничения общности можно считать ее положительной) удовлетворяет условию v,;j>v6ll(t), где бифуркационное значение параметра v,

ЧбиФ = шах /(ц, а, Ф0, Ф) '

Ф

При |о[>2|[а| функция / имеет особенность, поэтому особые точки решений систем уравнений (30), (23) существуют при всех положительных значениях Vj. Для осесимметричного случая, когда

о = 0, выражение (32) принимает следующий вид:

''биф

В фазовом пространстве переменных а, р, ш существуют области притяжения, „захвата“ фазовых траекторий особыми точками. Граничные точки этих областей представляют некоторые неустойчивые сепаратрисные поверхности, которые разделяют фазовые траектории на траектории, „захватываемые“ особыми точками, и траектории, проходящие в положительное полупространство <о (фиг. 2). В принципе возможно определение этих сепаратрисных поверхностей. Тем самым была бы решена задача определения начальных условий движения, при которых происходит „попадание“ в установившийся резонансный режим вращения при заданной асимметрии. Назовем критическими такие значения параметра V,, при которых фазовая траектория с начальными условиями а = р = 0, ш = — оо принадлежит сепаратрисной поверхности. Критическое значение параметра \р зависит от других параметров, входящих в уравнения (23):

— =,.*<), фо)-

Таким образом, в пространстве параметров ¡а, а, ч0, V,, Ф0 можно выделить области параметров, при которых происходит „захват“ траектории с нулевыми начальными условиями по а и р особой

точкой, т. е. происходит „попадание“ в установившийся резонансный режим вращения. Отметим, что по самому определению критические значения параметра укр всегда больше или равны бифуркационным значениям у6иф, при которых у решений уравнений (30),

(23) возникают особые точки.

Фиг.2

Анализ решений уравнений (23), получаемых численным интегрированием, с точки зрения „попадания“ в установившийся резонансный режим вращения позволяет построить универсальные поверхности в пространстве пара-

симости величины укр от параметров Ф0, ¡а при а = 0. Величина vкp существенно зависит от положения балансировочного пространственного угла атаки, определяемого значением Ф0. Величина *кр минимальна при Ф0 = 0, а при Ф0 -> тс значение укр стремится к бесконечности (фиг. 3). При малых значениях параметра [а величина \р значительно превосходит бифуркационные значения параметра vбИф. Зависимость критической величины vк¡. от параметра ^ в этой области имеет линейный характер вплоть до пересечения с границей области существования установившихся резонансных режимов вращения у6иф (^). При

| М 23 1 величина vкp определяется условием существования установившегося резонансного режима,

1,5

1,0

0,5

ц.м-

I результаты расчета 6 по полнь/м ура.6-_ пениям пространственного дВиме -ния

—аналитическая оценка.

Х = 0,0115

ф _уг6~0

Фиг. 5

¥ 8 12' 16 и)х1х,р/с

Фиг. 6

т. е. "^кр := ^биф (фиг. 4). Различие характеристик аэродинамической устойчивости в плоскостях углов атаки и скольжения может приводить к значительному уменьшению критической величины асимметрии. Это видно из зависимостей критической величины 7кр от параметра плоскостной асимметрии а, которые проведены на фиг. 5.

Полученные зависимости величины укр от параметров Ф0, [а, а можно использовать для получения аналитических выражений, определяющих критические значения сложной асимметрии Д_у§0 в виде функций от начальных условий входа и параметров аппарата. Так, например, аппроксимируя зависимость ^кр([а) при Ф0 = 0 для малых значений линейной функцией \>кр (и) = 0,47 — 0,53 [а и используя приближенное значение параметра * в соотношениях

(24), получим выражение для критической величины сложной асимметрии

(Ду8о)кР = 0,17 +

+ 0,27 АЗ.81”16«!. /с, _ ти \ _

тЬСу \ х /

Относительная роль первого члена в выражении (33) значительно возрастает при малых значениях угловой скорости крена при входе в атмосферу о^вх, при этом первый член и определяет в основном величину асимметрии. Выражение (33) достаточно хорошо согласуется с результатами расчетов критической величины асимметрии по полным уравнениям пространственного движения (фиг. 6).

ЛИТЕРАТУРА

1. Б ю ш г е н с Г. С., Студнев Р. В. Динамика пространственного движения самолета. М., .Машиностроение“, 1967.

2. К у з м а к Г. Е. Динамика неуправляемого движения летательных аппаратов при входе в атмосферу. М., „Наука", 1970.

3. Гоман М. Г. Анализ резонансных режимов пространственного движения летательных аппаратов, имеющих плоскость симметрии при полете в атмосфере. Труды ЦАГИ, вып. 1789, 1976.

4. Ш и л о в А. А., Васильев А. Ф. Динамическая устойчивость пространственного движения летательных аппаратов на больших углах атаки при некоторых видах инерционно-аэродинамической несимметрии. Труды ЦАГИ, вып. 1345, 1971.

5. Ш и л о в А. А., Гоман М. Г. Резонансные режимы пространственного неуправляемого движения летательных аппаратов на участке входа в атмосферу. Труды ЦАГИ, вып. 1624, 1975.

6. Ярошевский В. А. Возмущенное движение неуправляемого тела около центра масс при полете в атмосфере. .Ученые записки ЦАГИ“, т. 2, № 6, 1971.

7. Barber a F. An analytical technique for studying the anomalous roll behavior of ballistic re-entry vehicles. AIAA Paper N 69-103.

8. В о о 11 e W. J. Spin variations in slender entry vehicles during

rolling trim. AIAA J., vol. 9, N 4, 1971.

9. Pettus I. J. Persistent re-entry vehicle roll dynamics. AIAA Paper N 70-560.

10. Tolosko R. J. Re-entry dynamics of trimmed body vith cons-

tant spin. J. Spacecraft, vol. 8, N 1, 1971.

11. Фещенко С. Д., Шкиль Н. И, Николенко Л. Д. Асимптотические методы в теории линейных дифференциальных уравнений. Киев, .Наукова думка“, 1966.

Рукопись поступила 12/V 1977 г.