Предельные распределения числа кратных ребер одной вершины конфигурационного графа

Труды Карельского научного центра РАН № 4. 2014. С. 121-129

УДК 519.1754

ПРЕДЕЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЧИСЛА КРАТНЫХ РЕБЕР ОДНОЙ ВЕРШИНЫ КОНФИГУРАЦИОННОГО ГРАФА

И. А. Чеплюкова

Институт прикладных математических исследований Карельского научного центра РАН

Рассматривается случайный граф, содержащий N вершин, в котором независимые одинаково распределенные случайные величины £i,... ,£jv> равные степеням вершин графа, имеют биномиальное распределение с параметрами (N,p), где параметр р = p(N) выбран так, что Np —> А, 0 < А < оо, при N —> ос. Получены предельные распределения числа кратных ребер одной вершины случайного графа.

Ключевые слова: случайный граф, конфигурационная модель, петля, кратное ребро, предельное распределение.

I. A. Cheplyukova. LIMIT DISTRIBUTIONS OF THE NUMBER OF MULTIPLE EDGES OF A VERTEX OF A CONFIGURATION GRAPH

We consider a random graph with N vertices in which the random variables equal to the vertex degrees are independent and have a binomial distribution with parameters (N,p), where p = p{N) is such that N —> oo, Np —> A, 0 < A < oo. Limit distributions of the number of multiple edge are obtained for one vertex of the configuration model.

Key words: random graph, configuration model, loop, multiple edge, limit distribution.

Изучению случайных графов, предназначенных для моделирования сложных сетей коммуникаций, посвящено множество работ (см., например, [5, 9, 11]). Одна из наиболее известных моделей - конфигурационная модель с независимыми одинаково распределенными степенями вершин. Построение этой модели состоит из двух этапов. На первом этапе для каждой из N вершин графа определяется ее степень в соответствии с некоторым распределением вероятностей. Для удобства изложения процесса построения такой модели часто используется понятие полуреб-ра, введенное в [11]. Из каждой вершины графа может выходить несколько полуребер, число которых равно степени данной вершины.

Предполагается, что все вершины и полуре-бра различны. На втором этапе построения происходит последовательное образование ребер: на каждом шаге два полуребра выбираются равновероятно и, соединившись, образуют ребро; если сумма всех полуребер является нечетным числом, то вводится вспомогательная (фиктивная) вершина, степень которой равна 1, и последнее свободное полуребро образует ребро с этой дополнительной вершиной. При изучении структуры таких графов оказалось эффективным использование методов теории ветвящихся процессов ([4, б, 7, 10] и др.). Однако при построении конфигурационной модели соединение полуребер происходит без ограничений, следовательно, могут по-

0

явиться кратные ребра и петли, а этих объектов в реализациях ветвящихся процессов нет. Поэтому необходимо уметь оценивать вероятности появления петель и кратных ребер при исследовании конфигурационных графов. Первые такие результаты были получены в работах [2] и [3].

В [8] рассматривается предельная структура графа, содержащего N вершин, при условии, что существует предельное распределение степеней вершин с конечными двумя первыми моментами. В [8] показано, что если максимальная степень вершины вышеуказанного графа имеет порядок при N —> оо, то

число петель и число кратных ребер асимптотически имеет распределение Пуассона. В этом случае конфигурационный граф имеет только конечное число петель и кратных ребер. Следовательно, как отмечалось в [1], можно предположить, что предельная структура этого графа эквивалентна структуре уже хорошо изученной классической модели случайного графа Эрдеша-Реньи. В таком случайном графе, содержащем N вершин, степень вершины подчиняется биномиальному распределению с параметрами (Д^ — 1 ,р), где р означает вероятность соединения пары вершин в ребро. Исследованию структуры и свойствам графа Эрдеша-Реньи посвящено большое число работ. Например, в книге [8] рассматривается частный случай такого графа, где параметр распределения степеней вершин р = р(Д^) выбран так, что при N —> оо выполнено условие Ир = Л, 0 < Л < оо. В этом случае при N —> оо биномиальное распределение степеней вершин может быть приближено Пуассоновским распределением с параметром Л, и по построению такой граф не имеет ни петель, ни кратных ребер. Можно предположить, что в асимптотике структура конфигурационного графа с N вершинами и биномиальным распределением степеней вершин с параметрами (И,р), где параметр р = р(-Л^) удовлетворяет вышесказанному условию, аналогична этой классической модели Эрдеша-Реньи. Например, размер ее максимальной компоненты связности может измениться только за счет появления конечного числа петель и кратных ребер.

В данной работе рассматривается частный случай конфигурационного графа с биномиальным распределением степеней вершин, параметр распределения р = р(М) которого выбран так, что при N —> оо выполнено условие Ыр —> А, 0 < Л < оо. Как было сказано ранее, можно предположить, что в асимптотике, при N —> оо, структура такого графа эквивалентна соответствующей классической модели

Эрдеша-Реньи. В настоящей работе получены предельные распределения вероятностей числа кратных ребер для одной вершины в рассматриваемом случайном графе.

Введем необходимые обозначения. Пусть Ci j • • • j £лг означают независимые случайные величины, равные степеням вершин с номерами 1,N соответственно, распределение которых имеет вид

р{«< = *}=(* У ('-f)"'*" М

Понятно, что для изучения случайного графа желательно знать предельные распределения основных характеристик этого графа, например, максимальную степень и сумму степеней графа. Легко показать, что для максимальной степени £(дг) = max{£i,..., £дг} справедливо следующее утверждение.

Лемма 1. Пусть N —> оо, тогда для х таких, Xх

что 0 < Ci ^ Ne~x— ^ С2 < оо, справедливо х\

равенство

Г

Р{£(лг) <х} = ехр |-Ne ущу J >

где [ж] означает наименьшее целое число, большее или равное х.

Замечание 1. Из условий леммы 1 нетрудно получить, что при N —> оо максимальная степень вершины с вероятностью, стремящейся к единице, эквивалентна

In N In In N'

Учитывая последнее замечание, для изучения предельного поведения числа петель и числа кратных ребер нашего графа достаточно рассмотреть только те вершины, степени d которых не превосходят максимальную, однако при доказательствах всех нижеприведенных теорем мы расширим это условие и будем рассматривать графы, степени вершин которых удовлетворяют условию d = o(Na),a < 1/2.

Выберем две произвольные вершины нашего графа, например вершины с номерами N и N — 1. Пусть случайная величина 7дг равна числу петель вершины с номером N, а случайная величина Алг,лг-1 равна числу ребер вида

©

(І\Г, І\Г — 1). Введем следующие обозначения:

р((ім; т) = Р{7лг = т|£дг = г};

р(йм,(1н-ґ,т) =

= Р{Адг,дг-і = гп |£дг = гілг,Слг-і = йлг-і},

т = 0,1,2,...;

_ Г Е[£]т, если т = 1,2,...;

1 1, если т = 0,

Оіт. —

где Е[£]ш означает факториальный момент, т. е.

Е[£Г = Е£(£-1)...(£-т + 1).

Теорема 1. Пусть N —> оо, тогда для т = 0,1,2,... справедливы следующие утверждения.

1. При фиксированных с?дг

^лг!

р((ІАг; т) =

2. При сім оо

(гідг — 2га)!т!(2Аі\Г)т

р(гідг; т) =

й N ш

“лг

2АІЧЛ / т

Теорема 2. Пусть N —> оо, тогда для т = 0,1,2,...

г» Г 1 1+°

Р{7ЛГ = т} = ^К2ЖГ“™'

2<?Є 0!ш определено в (2).

Следствие 1. Пусть N —> оо, тогда

Р{7ЛГ = 0} = 1 + о(1).

Теорема 3. Пусть N —> оо, тогда для т =

0,1,2,...

Г, <ілг—і; т) =

_ гідг!гідг-і!

т\{йм — т)\{йм-1 — т)\( Аі\Г)т

гідг <ілг(ідг_і

х ехр

АЛ" АЛ"

Следствие 2. Пусть N —> оо, тогда

р(^лг,^лг-1;0) = 1 + о(1).

Следствие 3. Пусть ЛЛ, с^лг, с^лг—1 —> оо, тогда для т = 0,1,2,...

р(гідг,гідг-і;т) =

Теорема 4. Пусть N —> оо, тогда для т = 0,1,2,...

Р{Адг,дг-і = гп} = —А а2

т\{ХЫ)т т'

Обозначим через К событие, состоящее в том, что вершина с номером N не имеет ребер кратности больше единицы. Тогда справедливо следующее утверждение.

Следствие 4. Пусть N —> оо, тогда Р{К} = 1 + о(1).

Для доказательства этих утверждений нам потребуется предельное распределение суммы степеней всех вершин случайного графа. Обозначим через 77дг сумму всех степеней вершин, Т. е. 77ДГ = ?1 +?2 Н-Ь£лг при отсутствии фик-

тивной вершины, в противном случае 77дг = £1 + £2 + • • • + £дг + 1- В работе [1] доказана следующая лемма.

Лемма 2. Пусть N —> оо, тогда для целых неотрицательных к равномерно относительно (к — Д^2р)/\/ДГА(1 — р) в любом конечном интервале

у/2ттХЩЇ^р)

Р{г?(дг) = к} =

[ (к — И2р)2 |

\ Ш(1-р)}-

ехр ‘

Доказательства теорем 1, 2 и следствия 1 приведены в статье [1].

Докажем теорему 3. Обозначим через r]N-2 сумму степеней вершин графа без учета (І\Г — 1)-Й И ІУ-Й вершин, Т. е. Г]N = Г]АГ-2 + £лГ-1 + £лг • Согласно формуле полной вероятности имеем

<§)

Р{АлГ,ЛГ-1 = гп|£лг = ^лг,£лг-1 = ^ЛГ-1, Г/ЛГ-2 = ^ЛГ — ^ЛГ — г-1} =

= Р{Алг,лг-1 = га|£лг = йлг,£лг-1 = dN-l,r^N-2 = ^лг — ^лг — йлг-1,7лг = 0} х х Р{7ЛГ = 0|£лг = ^ЛГ, £лГ-1 = dN-l,r^N-2 = Ы — dN — dN-l} +

+ Р{АлГ,ЛГ-1 = гп\^ = ^ЛГ,£лГ-1 = dN-l,r^N-2 = Ы — dN — ЙЛГ-1,7ЛГ = 1} х

х Р{тлг = 1|£лг = dN, £лГ-1 = dN-l,r^N-2 = Ы — dN — dN-l} Н---------------Ь

+ Р{АлГ,ЛГ-1 = гп\^ = ^ЛГ,£лГ-1 = dN-l,r^N-2 = Ы — dN — dN-l,'YN = А} X

х Р{тлг = ^4|£лг = dN, £лГ-1 = dN-l,r^N-2 = Ы — dN — dN-l} +

+ Р{АлГ,ЛГ-1 = гп\& = ^ЛГ,£лГ-1 = dN-l,r]N-2 = /лг — dN — ЙЛГ-1,7ЛГ > ДТЛГ = о(^“)} X х Р{тлг > Атлг = о(ЛГ°)|^ = ^лг,£лг-1 = ^лг-1,г/лг-2 = ^лг — ^лг — <^лг—1} =

А

= У^Р{Адг,дг-1 = т|£лг = ^лг,£лг-1 = dN-l,r]N-2 = /лг — ^лг — йлг-1,7лг = /с} х к=0

х Р{тлг = А:|£лг = ^лг} +

+ Р{Алг,лг-1 = га|£лг = йлг,£лг-1 = йлг-1,г/лг-2 = ^лг — ^лг — йлг-1,7лг > Атлг = о(№)} х

х Р{тлг > А7лг = = ^лг},

где -А - некоторая положительная постоянная, выбор которой будет ясен из дальнейшего. Несложно видеть, что

Р{АлГ,ЛГ-1 = га|£лг = ^ЛГ,£лГ-1 = dN-l,r]N-2 = ^ЛГ — ^ЛГ — ЙЛГ-1,7ЛГ > А,'У = о(№‘)} X х Р{тлг > А,'у = о(№‘)\^ = dN} ^ Р{7лг > А7 = °(-^°Жлг = с^лг} ^

^ ^ Р{7лг = &|£лг = ^лг} ^

к>А,к=о

/[ЛЛГ/2]

^ ^ I ^ Р{7лг = А:|£лг = с^лг, г/лг-1 = /лг — йлг}Р{г/лг-1 = г — ^лг} +

/с>А,/с=о(ЛГа) \ £лг=с£дг

+ ^ Р{7лг = &|£лг = ^лг, г/лг-1 = ^лг — йлг}Р{т7лг-1 = ^лг — ^лг} I =

гдг > [ллг/2] ,гдг=о(лг«+1) /

= 2! + £2.

Тогда, используя известное неравенство (см., например [6]): для случайной величины р, имеющей биномиальное распределение с параметрами пир

Р{/? ^ пр/2} ^ ехр{—пр/8},

находим, что

[ЛЛГ/2]

£1 ^ ^ ^ Р{т7лг-1 = 1аг — с^лг} ^

/с>А,/с=о(ЛГа) Iдг=(^дг

^ ^ Р{г?лг-1 ^ ^} ^ ехр{-А^/8}^°.

/г>А,/г=о

Рассмотрим слагаемое £2. Пусть С\, С2,... /лг > С\Ы справедливо соотношение:

означают некоторые положительные постоянные. В [1] было показано, что при й = Р{7лг = к|£дг = ^лг,г/лг-1 = ^лг — (1} =

Отсюда и из (4) получаем, что

*- £ Е

к>А,к=о(№) гДг>[ЛЛГ/2],гДг=о(ЛГ«+1) 4 7 *

хР{т7ЛГ-1 = Ы — Йлг} ^

I I__~глта\ \ /

< 2. й

к>А,к=о{№-)

Из (4), (6) и (7) находим, что

Р{АлГ,ЛГ-1 = гп\^ = ЙлГ,£лГ-1 = ^ЛГ-1,Г/ЛГ-2 = ^ЛГ — ^ЛГ — ЙЛГ-1,7ЛГ > ^4}х

х Р{7ЛГ > А|Слг = < СаЛГ^20"1).

Из соотношений (3) и (8) получаем, что

Р{АлГ,ЛГ-1 = гп|£лг = ^ЛГ, £лГ-1 = ^ЛГ-1, Г/ЛГ-2 = ^ЛГ — ^ЛГ — <^ЛГ—1} =

= Р{Адг,дг-1 = т|£лг = с^лг,£лг-1 = йлг-1,г/лг-2 = ^лг — ^лг — йлг-1,7лг = /с} х

к=0

х Р{7ЛГ = &|£лг = ^лг} + О =

А

= Р{Адг,дг-1 = т|£лг = с^лг,£лг-1 = йлг-1,г/лг-2 = ^лг — ^лг — йлг-1,7лг = /с} х

к=0

хр

По формуле полной вероятности имеем:

р(^лг, ЙЛГ-1; ш) = ^ Р{Алг,ЛГ-1 = га|£лг = ^ЛГ, £лГ-1 = ЙЛГ-1, Г/ЛГ-2 = ^ЛГ — Йлг — <^ЛГ—1}

X

1^^сг^+сг^_1,

1^=о

х Р{^лг-2 = ^лг — ^лг —

©

Разобьем область суммирования на три части:

= {/дг

сім + ^лг-1 ^ /лг < АЛГ — В\/Аі\Г(1 — р)};

К2 = {/лг : 1ы Є Є [АЛГ - В у/ ХЫ{1 -р), АЛЛ + В^/хЩї^р)]};

Кз = {1м :Ы>Ш + Ву/Ш(1-р)},

где выбор положительной постоянной В будет ясен из дальнейшего, а соответствующие суммы обозначим через <%, і = 1,2,3.

Нетрудно видеть, что при т ^ тіп{гілг, с(лг-і}, & ^ с?дг/2 справедливы равенства:

при к О

Р{Алг,лг-1 = гп |£лг = ^лг,£лг-і = ^лг-ъ

г/лг-2 = ^лг — ^лг — гілг-і, 7лг = /с} =

_ /<^лЛ /С^ЛГ-Л ( /с?ЛГ — 771^ т/ \ т / \ 2/с

X I Дм — — ^ЛГ-Л

& / \ ^лг — т — 2к

(1ат — — 1)!!

х (гідг — т — 2/с)!

(/лг - 1)!!

и при /с = О

Р{АлГ,ЛГ-1 = га|£лг = £лг-1 = ЙлГ-1,

г/лг-2 = 1ы — (їм — гілг-і, 7лг = 0} = _ ^^лЛ /ЙЛГ-1 т ) \ т

. /дг — ^лг — йлг-і , т!| |х

адг — т

где (2/-1)!! = 1-3- -что для заданного I

(2/ — 1). Легко показать,

(21-1)!! = .

Основной вклад в сумму, стоящую в правой части соотношения (10), дает слагаемое й'г-Используя формулу Стирлинга и асимптотику:

ь2

Ъ3'

где Ь = о(х) при х —> оо, из (11) - (13) получаем, что при N —> оо

Р{Алг,лг-1 = гп |£лг = ^лг,£лг-і = ^лг-ъ г/лг-2 = 1ы — (1м — йм-ъ 7лг = к} =

2к

т!(гілг-і — т)\{йм — т — 2к)\2(2к — 2)!

х

^дг ^лг^лг-і 1м

1м

(2гідг + йм-і)(т + 2/с) ^ ^(гідг + ^лг-і)3

/лг

/2

1ЛГ

и

Р{АлГ,ЛГ-1 = га|£лг = ^лг,£лг-і = ЙЛГ-1,

Г/ЛГ-2 = /лГ — ^ЛГ — ЙЛГ-1, 7лг = 0} =

С^лг-іі/дг™

т\{йм — т)\{йм-і — т)\

х

^дг ^ЛГ^ЛГ-І

1м

1м

(2гідг + йн-і)т ^ ((гідг + ^лг-і)3

/лг

/2

1ЛГ

Из соотношений (9) и (10) несложно найти,

что

-52 = ^ Р{^?ЛГ-2 = ^ЛГ — ^лг — Йлг-і}(р{Алг,лг-і = »тг|£лг = ^ЛГ, £лг-1 = ЙЛГ-1,

Г/ЛГ-2 = ^ЛГ — ^ЛГ — ЙЛГ-1, 7лг = 0}р(^лг; 0) +

А

+ Р{Адг,дг-і = т|£лг = гілг,£лг-і = йлг-і,г/лг-2 = ^лг — ^лг — ^лг-1,7лг = /е}р(^лг; /с) +

+ о(л'А(2°-1))).

Отсюда, из пункта 1 теоремы 1 и соотношений (14), (15) получаем, что при фиксированных С?дг

о рг , , , 1 + о

% = ^ Р{ад-2 = 1К-ЛК- <!„.,} _ тщЛя _ т), +

А___________________((1м!)2с1М-1!^т-2к(1 + о(1))__________________\ =

т!(^лг-1 — т)\(йм — т — 2к)\2(2к — 2)!((^лг — 2к)\к\(2\М)ку

ЛГ' ^ Ь ^ Р{г/лг-2 = ^лг — йлг — <^лг—1 }(1 + о(1)).

(Ш)т(йм-1 - т)\(йм - т)\

Используя пункт 2 теоремы 1, несложно по- сделана сколь угодно близкой к выражению казать, что последнее соотношение справедливо и в случае, когда с?дг —> оо. Тогда отсюда и ____________________________ о

из леммы 2 следует, что при N —> оо выбором (ЛДг)т(с?дт_1 — т)!(с?дг — т)!

достаточно большого -В сумма может быть

Оценим 51. Несложно видеть, что

[АЛГ/2]

<?1 ^ ^ Р{АлГ,ЛГ-1 = гп\£м = ^ЛГ,£лГ-1 = йм-1,Г]М-2 = 1ы — <1м — <^ЛГ—1} х

Ялг=^лг+йлг-1

хР{т7ЛГ-2 = Г — ^ЛГ — <^ЛГ—1} +

+ ^ Р{АлГ,ЛГ-1 = гп\& = ^ЛГ, £лГ-1 = ЙЛГ-1, Г/ЛГ-2 = ^ЛГ — Йлг — <^ЛГ—1} х

[ллг/2]+1^гдг<ллг-вл/ллг

хР{?7ЛГ-2 = ^ЛГ — ^ЛГ — ^ЛГ-1}-

Тогда из (9) получаем, что

<?1 ^ Р{г/лг-2 ^ Л7\Л/2} + ^ Р{г/лг-2 = ^лг — ^лг — <^лг—1} х

[ллг/2]<гдг<ллг-вл/ллг(1-р) х (Р{АлГ,ЛГ-1 = гп\^ = ^ЛГ,£лГ-1 = dN-l,rfN-2 = ^ЛГ — ^ЛГ — ЙЛГ-1,7ЛГ = 0}х

хР{7лг = 0|£лг = ^лг} +

А

+ Р{Адг,дг-1 = т|£лг = с^лг,£лг-1 = йлг-1,г/лг-2 = ^лг — ^лг — йлг-ъ7лг = /с} х &=1

х Р{7ЛГ = &|£лг = + 0(^А(2“-1)) ).

Отсюда, из пункта 1 теоремы 1 и неравенства (5) находим, что при фиксированных с?дг

^ ехр |----—1 + ^ Р{г/лГ-2 = ^ЛГ — ^ЛГ — <^АГ—1} х

[ллг/2]<гДт<ллг-вл/ллг

с?дг!с?дг_1!^ш — т — 2к)\(йм-\ — ш)\

А_______________________(сЫ)2^-!^™"2*_____________________________\

“ 2т!

< ехр|----------—1 + С4(\Н)~т ^ Р{т7лг—2 = ^ЛГ — с1м — ^ЛГ-1}-

[ллг/2]<гдг<ллг-вл/ллг

Аналогичная оценка для суммы 61 справед- Аналогично тому, как получено соотноше-лива и для случая, когда с?дг —> оо. Отсюда, ние (16), из теоремы 1, леммы 2 и (9) можно

из леммы 2 и явного выражения для суммы показать, что при N —> оо и достаточно боль-

йз следует, что при N —> оо и при достаточно ших значениях В выполнено неравенство:

больших значениях В справедливо, что

й = о

£3 ^ Сб ^ Р{^лг-2 = Ы — — йн-1} ^Р{Алг,лг-1 = га|£лг = ^лг, £лг-1 = йлг-ъ

з

Г/ЛГ-2 = Ы — dN — йлг-1,7лг = 0}р(^лг; 0) +

л

+ Р{Адг,дг-1 = т|£лг = с^лг,£лг-1 = ^лг-ъ^лг-г = ^лг — ^лг — йлг-ъ7лг = &}р(^лг; А:)^ ' 1

< (ЛГА)^^-"й)1(*г-,)1 Е Р{ЧЯ-2

&=1

гдт>лгл+в-^лгл

Отсюда, из соотношений (10), (16) и выраже- Докажем теорему 4. Используя формулу ния для суммы ^2 следует утверждение теоре- полной вероятности, имеем, что при т = мы 3. 0,1,2,...

Р{АлГ,ЛГ-1 = гп} = ^2 ^2 ^*{^N,N-1 = т\Ы = ^лг,£лг-1 = <^АГ—1} х

х Р{£лг = ^лг}Р{£лг-1 = ^ЛГ-1}-

Тогда из теоремы 3 и равенства (1) следует, что при N —> оо и га = 1,2,... справедливо

Р{Ааг,аг-1 = т} =-1^1 £ Р^дг = М х

х Е ^^рк--=<г--} = ^л^(Екп2,

йдо ^т,

й^ = о

Р{Алг,лг-1 = 0} = (1 + о(1)) ^2

dN>dN-1^°» dN,dN_1=o

Теорема 4 доказана.

Следствия 2 и 3 непосредственно следуют из утверждения теоремы 3, следствие 4 вытекает из теоремы 4, используя следующие соотношения

Р {К} = 1 - Р {К} >

^ 1 — і\ГР{Алг,лг-і > 0}.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант 13-01-00009, и Программы стратегического развития Петрозаводского государственного университета на 2012-2016 гг.

Литература

1. Чеплюкова И. А. Предельные распределения числа петель и кратных ребер одной вершины конфигурационного графа // European Resercher (в печати).

2. Bender Е. A., Canfield Е. R. The asymptotic number of labeled graphs with given degree sequences // Journal of Combinatorial Theory,

Series A. 1978. Vol. 24, Iss. 3. P. 296-307.

3. Bollobas B. A probabilistic proof of an asymptotic formula for the number of labeled regular graphs // European Journal of Combinatorics. 1980. Vol. 1. P. 311-316.

Р{£лг = с2лг}= (l + o(l)).

4. Erdos P., Renyi A. On the evolution of random graphs // Magyar Tud. Akad. Mat. Kutato Int. Kozl. 1960. Vol. 5. P. 17-61.

5. Faloutsos M., Faloutsos P., Faloutsos Ch. On power-law relationships of the internet topology // Computer Communications. 1999. Rev. 29. P. 251-262.

6. Janson S., Luczak T., Rucinski A. Random graphs. New York: Wiley, 2000. 348 p.

7. Hofstad R., Hooghiemsra G., Znamenski D. Distances in random graphs with finite mean and infinite variance degrees // Electronic Journal of Probability. 2007. Vol. 12. P. 703-766.

8. Hofstad R. Random graphs and complex networks. 2011. 386 p.

9. Newman M. E. Y., Strogatz S. H., Watts D. Y. Random graphs with arbitrary degree distribution and their applications // Physical Review E. 2001. 64. 026118.

10. Pavlov Yu. L. On power-law random graphs and branching processes // Proceedings of the Eight International Conference CDAM. Minsk: Publishing center BSU. 2007. Vol. 1. P. 92-98.

11. Reittu H., Norros I. On the power-law random graph model of massive data networks // Performance Evaluation. 2004. Vol. 55. P. 3-23.

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ:

Чеплюкова Ирина Александровна

старший научный сотрудник, к. ф.-м. н.

Институт прикладных математических исследований Карельского научного центра РАН ул. Пушкинская, 11, Петрозаводск,

Республика Карелия, Россия, 185910 эл. почта: chia@krc.karelia.ru тел.: (8142) 763370

Cheplyukova, Irina

Institute of Applied Mathematical Research,

Karelian Research Centre, Russian Academy of Sciences 11 Pushkinskaya St., 185910 Petrozavodsk,

Karelia, Russia

e-mail: chia@krc.karelia.ru

tel.: (8142) 763370