Алгебраический метод анализа теплодинамики мерзлого грунта на основе гармонической линеаризации

И. Г. Соловьев, А. Е. Паньшин

АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ МЕТОД АНАЛИЗА ТЕПЛОДИНАМИКИ МЕРЗЛОГО ГРУНТА НА ОСНОВЕ ГАРМОНИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ

Рассмотрена алгебраическая схема анализа задачи Стефана на основе метода гармонической линеаризации.

Теория математического анализа температурных процессов в массивах мерзлых грунтов (ММГ) основывается на классической задаче Стефана [1, 2], которая существенно эволюционировала вследствие роста актуальности прикладных вопросов устойчивости мерзлых грунтовых оснований, возмущенных техногенными сооружениями [3, 4]. Развитие криогенных технических средств [5, 6] и технологии управления позволяет подходить к анализу вопросов автоматизированного регулирования температурного состояния мерзлотных оснований с использованием современных алгебраических методов управления, что особенно актуально при оценке и авторегулировании степени взаимовлияния тепловых источников возмущений, расположенных в пределах одного мерзлотного основания.

Рис. 1. Цилиндрическая п-слойная схема ММГ, возмущенного вертикальной сваей радиуса Я0:

АН — интервал (толщина) слоевого деления; Я, і = 0,1 — радиусы кольцевого деления ММГ; Бь Ц — торцевая и радиальные площади теплопередач

Рассмотренная в [7] техника расчета термодинамики мерзлых массивов методом гармонической линеаризации позволяет развивать алгебраические подходы к анализу тепловых процессов возмущенных грунтов. В статье изложена методика матричного квазилинейного алгебраического анализа двумерной задачи типа Стефана [1, 2] для ММГ, возмущенного вертикальной свайной конструкцией. Пространственная п-слойная цилиндрическая схема ММГ (рис. 1), с площадными параметрами теплопередач послойно-вертикальной: Б = п(2 -Я2-1), і = 0,1,

(=1 = 0)— и радиальной:Ь/ = 2пИ] -АН, / = 1,1, дает конечномерную структурную схему модели массива, как на рис. 2.

Рис. 2. Конечномерная схема радиально симметричной структуры ММГ:

0/(0 — средняя температура/-го кольцевого элемента в /-м слое; 0о(О, 0п+і(О, 0,м(0 — краевые графики температур; 0я(О — послойное распределение температур сваи;

X/ /+1, Xі:/+1 — коэффициенты теплопередач в горизонтальном и вертикальном направлениях

Каждый элемент послойно-цилиндрической структуры характеризуется зонально осредненной температурой массива — 0/(0, центрированной относительно точки фазового перехода, и теплофизическими характеристиками: си(0/) — теплоемкостью и Ху(0/) — теплопроводностью, которые в условиях фазовых переходов являются нелинейными функциями, как в [7]. Введенные на рис. 2 коэффициенты теплопередачи вычисляются по выражениям

............... 1

2

Х;. „ =-Ь (X. . +Х. . „), Х/:'+1 = - 5. (X .. +Х . „.), /,/+1 /\ /,/ /,/+1/> / 2 / / /+1,/'’

где для параметровX а =Х#(9#)/9#, в силу гармонической линеаризации [8], принято: X / = ...

На основании рис. 2 и введенных обозначений термодинамика ММГ рассматриваемой структуры может быть описана системой уравнений вида

40 С0 (9о ) = Л0Во + Ло,101 + Ео0П + ЕТ9Т ,

41 С1(01) = Ло,10о -Л101 +Л1,202 + Е10П ,

V ^(0') = Л і-1,10-1-Л і01+Л і, 1+10+1 + Е' 0п

17

где переменные состояния (/+1) х п-мерной системы объединены в блоки:

0О = со1[0ю е20 ... 0„о], •••, 0; = со1[01У 02у ... 0„;-], 1 = й

краевые условия также объединены в векторы внешних воздействий:

0П = СО|[0О 0п+1]. 0/+1 = СО|[01(/+1) - 0п (,+1)].

0Т — тепловое возмущение «верха» сваи, обусловленное тепловыделением смонтированной конструкции, Vj = АН • ^ад{50 51 ... 5/} — матрица объемов

цилиндрических (/ = 0) и кольцевых (/ = 1, /) элементов системы.

Матрицы теплопередач, например, для /-го цилиндра схемы ММГ (/-е уравнение системы (2)) имеют вид:

Л =

^ +Х}2 +х;-г, +х;,,+1

і 1,2

-Х1

о

о

Л1,2

^2 +Х2,Э +Х2-1,, +х2,+1 о о

о

о

л П-1,П . л П,П+1 . л П . л П

k¡ + k¡ + k¡-1, / + k¡, /+1

Л-1, і

1 л о 1 Х/+1 о ' і X "• о о 1

721/ 7 2 о о

i-1,i ,Л/,/+1 /,/+1 , E =

_ о ХП-1, _ _ о ХП/+1 _ о ХП,П+1

Краевая динамика вертикального распределения температур для внешней 1+1 окаймляющей зоны принимается эталонной температурой невозмущенного грунта, что соответствует системе уравнений

V

d

1+1 м Cl+1 (0м) Лl+101+1 + El+10П >

dt

где Ц+1 — диагональная матрица послойных объемов окаймляющего цилиндра.

Пусть краевые температуры «верха» и «низа» системы назначаются соотношениями

0П (t) = дП + ЬП sin rat, 0T (t) = 0T - const, дП =

9о

Яп+1.

тогда приближенное решение системы (2), (3) будем искать в виде ряда Фурье, ограничиваясь первыми двумя членами разложения:

0, (t) « q¡ + ai cos rat + b¡ sin rat, i = 0, l +1. По схеме гармонической линеаризации [7, 8] имеем с, (0, (t)) » qcl + Qa (a, cos rot + bi sin at),

где Ос/ — диагональная матрица коэффициентов гармонического разложения нелинейности с(0 у).

Заметим, что исходные составляющие сумм элементов матриц Л,, Л, +1, Е,, согласно (1), также определяются как коэффициенты X а = 0Л.[8] ряда Фурье.

Подставив (4)-(6) в систему уравнений (2) и приведя подобные при постоянном смещении 9, а также при функциях этю? и ообю?, приходим к алгебраическим соотношениям относительно параметров <9, а, Ь> / = 0,1 +1 искомого решения (5) системы (1).

Для постоянного смещения

ЛоЯо Ло,1Я1 ЕоЯП + ЕгЯг, -Л1,0 Яо + Л1Я1 - Л1, 2 Я2 = Е1ЯП,

—Л1 -1,1Я1-1 + Л1Я1 — Л1,1+1Я1+1 = Е1ЯП.

Для амплитуд и фаз

Моео - Мо,1в1 = НоЬп,

-Мо 1ео + М1е1 - М12е2 = Н1йп ,

-М1 -1,1 е1 -1 + М1 е1 - М;, / +1е/+1 = Н1 Ьп,

где е, =

> , Н = "Е/' ,М = "Л/ -т' , М, ,+1 = Л/, /+1 о

.а/ - ’ / _ о - _Т/ Л/- ’ /, / + 1 о Л/, /+1

То =юЦ,Со, Со = со^ад-|11 ^..1|, со — удельная теплоемкость материала сваи.

Условия устойчивости свайного основания устанавливаются относительно диапазона послойных вариаций температур первого кольца, что определяется парой <д1, е1>. С использованием ленточной структуры матриц систем (7), (8) искомое решение для первого и нулевого цилиндра выписывается в явном виде.

Утверждение. В условиях (7), (8) справедливы равенства

Яо = В(о)Яп + Бтдт + Р (о)я+1, Я = В(1)Яп + Ц1)Яо + р (1)9;+1,

ео = С(о)йп + в(о)е;+1,

е1 = 0(1)ЙП + N (1)ео + С(1)е,+1,

где матрицы В(), Ц), Р(), О(-), ^), С() вычисляются из рекурентных соотношений

(Л, - Л,, ,+1^(/ +1))Б(/) = Е , + Л,, /+1В(/ +1),

(Л, - Л,, ^Ц/ + 1))Ц/) = Л/-1,/,

(Л, - Л, ,+1^(/ +1))Р(/) = Л,. /+1Р(/ +1),

(М/ - М,,+^(/ + 1))N(/) = М/-1/ ,

(- M,,,+1/V(i + 1))G(i) = M,,,+1G(i +1),

BT = (Ло -л0,1^(1))-1 ET, по нисходящему индексуi e {/-1, / -2,..., 1, 0}, из начальных значений:

B(l) = Л-E,, L(l) = Л-1Л!-1,1, P(l) = л-1лi +1,

D

Доказательство. Учитывая схожесть структур систем (7) и (8), доказательство приводим для системы (7).

Из последнего уравнения системы в силу (11) имеем:

q, = B(i )qn + L(i )qn-1 + p(i )q,+1.

Пусть выполнено

q,+1 = B

тогда для q, в силу (7) справедливо равенство

Л qi =Л-1, / q/-1+Л/, /+1q# + E, qп.

После подстановки (12) и приведения подобных получаем

(л, - л,, i+1L(i + 1))q, = (E, +Л/, ,+1B(/ + 1)q +Л/-1, iq,-1 +Л,,,+1P(i + 1)qw . Отсюда

q, = (Л, - Л,. ,+1L(i +1))-1 ((E, + Л,. ,+1B(i +1))qп + Л,-1,, q,-, + Л,. ,+,P{i +1)q+1),

что соответствует определению матриц B(i), L(i), P(i) (10), а следовательно, и выражениям (9) для i = 0 и i = 1.

Заметим, что в условиях (3) для пары <qi+1, ei+1> справедливы равенства

qi+1 = B

Полученные линейные решающие правила

от значений q., e. в схеме гармонического баланса. Поэтому реально решение задачи анализа по соотношениям (9) и (10) осуществляется методом последовательных приближений с пошаговым уточнением параметров Л., M. по результатам решений q., e. (рис. 3 в [1]).

ЛИТЕРАТУРА

1. Ершов Э. Д. Общая геокриология. — М.: Недра, 1990. — 559 с.

2. Горбылев М. И., Красс М. С., Соловьев Б. С. Искусственное замораживание

грунтов при освоении месторождений нефти и газа Западной Сибири // Задачи механики природных процессов / Под ред. С. С. Григоряна, М. С. Красс. — М.: Изд-во Моск. унта, 1983. — С. 64-70.

3. Павлов А. В. Расчет и регулирование мерзлотного режима почвы. — Новосибирск: Наука, 1980. — 240 с.

4. Инженерно-геологический мониторинг промыслов Ямала: В 2 т. Т. 1: Моделирование термомеханического взаимодействия сооружений с грунтами / Дубина М. М., Коновалов В. В., Цибульский В. Р., Черняков Ю. А. — Новосибирск: Наука, 1996. — 136 с.

5. Долгих Г. М., Кинцлер Ю. Э., Окунев С. Н. Практический опыт строительства оснований зданий и сооружений в условиях ВМГ. — Тюмень: НПО «ФундаментстройАр-кос», 2002. — 155 с.

6. Кузьмин Г. П. Подземные сооружения в криолитозоне. — Новосибирск: Наука, 2002. — 176 с.

7. Соловьев И. Г., Васькевич А. В. Анализ теплодинамики мерзлого грунта методом гармонической линеаризации (статья в настоящем сборнике).

8. Попов Е. П. Теория нелинейных систем автоматического регулирования и управления. — М.: Наука, 1988. — 256 с.

I. G. Soloviev, A. E. Panshyn

ALGEBRAIC METHOD OF ANALYSIS FROZEN GROUND (PERMAFROST) HEATDYNAMICS BASED ON HARMONIC LINEARIZATION

The algebraic scheme of Stephan’s task analysis based on the method of harmonic linearization is considered.