Применение компьютерной математики для решения многомерных задач

Прикладная математика

121

УДК 004.02

Е.В. Прокопенко, Я.В. Славолюбова, С.Р. Ли

ПРИМЕНЕНИЕ КОМПЬЮТЕРНОЙ МАТЕМАТИКИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ

МНОГОМЕРНЫХ ЗАДАЧ

Моделирование - исследование объектов путем построения и изучения их моделей - это основной способ научного познания. Данный способ называют вычислительным экспериментом и основывается он на трех основных понятиях: мо-дель-алгоритм-программа. Использование компьютера при моделировании возможно по трем направлениям:

1. Вычислительное - прямые расчеты по программе.

2. Инструментальное - построение базы знаний, для преобразования ее в алгоритм и программу.

3. Диалоговое - поддержание интерфейса между исследователем и компьютером.

Успешное применение систем компьютерной алгебры зависит, в первую очередь от правильного выбора модели соответствующей геометрической задачи. Вычислительная система при исследовании задачи играет роль экспериментальной базы, позволяет численно проверить возникающие гипотезы и указать не только идею к математическому доказательству, но и даже выступать в роли базы доказательства.

В настоящее время повсеместно используются такие популярные системы как Maple, Mathematical MathCad, MatLab, Derive. Они обладают универсальными математическими возможностями, широко распространены в России и за рубежом, постоянно совершенствуются, развивая аппарат и пополняя ресурсы, имеют возможность взаимной интеграции.

Объективное сравнение систем осложняется в связи с разным назначением программ и идеологией их использования.

Система Maple, предназначена главным образом для выполнения аналитических (символьных) вычислений (хотя содержит ряд средств и для численного решения дифференциальных уравнений и интегрирования) и имеет для этого один из самых мощных в своем классе арсенал специализированных процедур и функций (более 3000). Возможности Maple ориентированы на профессиональных математиков; решения задач в среде Maple требует не только умения оперировать какой-либо функции, но и знания методов решения, в нее заложенных: во многих встроенных функциях Maple фигурирует аргумент, задающий метод решения. Maple имеет собственный язык программирования [1].

То же можно сказать и о Mathematica. Это мощная система символьных вычислений, визуализации данных, решения различных прикладных задач с множеством других возможностей. Данная

система имеет большую функциональную наполненность (есть даже синтезирование звука). Mathematica обладает высокой скоростью вычислений, но требует изучения довольно более сложного, чем у Maple, языка программирования.

Mathcad, в отличие от Maple, изначально создавался для численного решения математических задач, он ориентирован на решение задач именно прикладной, а не теоретической математики, когда нужно получить результат без углубления в математическую суть задачи. Для символьных вычислений предназначено интегрированное ядро Maple, содержащее только ряд основных функций.

Matlab - наиболее популярная система численного решения дифференциальных уравнений и визуализации результатов. Она содержит пакет прикладных программ для решения задач технических вычислений и одноимённый язык программирования, используемый в этом пакете. Для символьных вычислений предназначено интегрированное ядро Maple, содержащее только ряд основных функций. Этих функций недостаточно для решения задач многомерной геометрии.

То есть наиболее оптимальным вариантом является выбор системы Maple.

Ниже приведены математические модели задач построения контактных структур с приведением алгоритмов решений, основанных на использовании системы Maple.

1. Общие сведения из теории контактных структур

Определение 1 ([2]). Дифференцируемое

(2п+1)-мерное многообразие М2п+| класса (Сх) называется контактным многообразием или имеет контактную структуру, если на нем задана глобальная дифференциальная 1-форма г|, такая что

r\A(dr\)n ч^0 всюду на М2п+|.

Контактная структура задает 2п-мерное рас-

пределение Е, Е = {X е TM2n+l : Г|(Х) = 0},

которое называют контактным распределением, и ненулевое векторное поле 4, такое что Г|(£,) = 1, й^Г|(^, X) = 0 для всех векторных полей X на М2п+]. Это векторное поле определяет 1-мерное распределение, дополнительное к Е, и называется характеристическим векторным полем контактной структуры.

Определение 2 ([2]). Говорят, что дифференцируемое многообразие М2п+| имеет (р, £, ср)-структуру, если оно допускает поле ср эндоморфизмов касательных пространств, векторное поле £, и 1-форму г|, удовлетворяющую условиям:

122

Е.В. Прокопенко, Я.В. Славолюбова, С.Р. Ли

П© = 1,<р2=-/ + г1^, ^

где / -тождественное преобразование ГМ2п+|.

Также имеют место следующие условия: = О и Г|о(р = 0 в определении (ц, £, ср)-структуры, вытекающие из условий (1).

Определение 3 ([2]). Если многообразие M2n+1 с заданной (ц, £, ср)-структурой допускает римано-ву метрику g, такую что

g(<p*, <рУ) = g(X, Y) - л(*)П(Г),

dx&X,Y) = g{$X,Y)

для любых векторных полей X, Y, тогда говорят, что Л/2п+| имеет (г|, ср, gl-структуру или контактную метрическую структуру. Риманова метрика g контактной метрической структуры называется ассоциированной метрикой. Полагая Y = Ъ) в (2), получим Г|(Х) “ <§(£,? X).

2. Математические модели построения левоинвариантных контактных метрических структур

Для решения задачи построения контактных структур на (2/7+1 )-мерных группах Ли необходимо предварительно решить следующие задачи:

1. Определить контактную форму г\ (2/7+1)-мерной алгебры Ли L(G) или решить вопрос о ее существовании.

2. Определить характеристическое поле £ (или поле Риба).

3. Определить специальный базис Eh /=1,...,2/7+1 контактной алгебры Ли.

4. Определить структурные константы Соотносительно нового базиса Eh /= 1.,2/7+1.

Рассмотрим реализацию одной из перечис-

ленных задач с использованием ._____________

Задача:

Определить структурные константы Су относительно нового базиса Eh i=l,...,2n+l. Математическая модель: е, - исходный базис,

с‘” - структурные константы исходной алгебры

Ли относительно начального базиса eh 7=1,.. .,2/7+1,

Ej - новый базис,

к

А - матрица перехода от е, к Ei, Et = ер Вычислительная формула г(. - Ascp (А-1 /

Применение методов компьютерной математики:

I) Находим матрицу перехода.

2) Запускаем процедуру для пересчета структур-

ных констант.

3) Выписываем вид структурных констант Су .

Опишем процедуру для вычисления структурных констант в новом базисе.

Входными параметрами данной процедуры являются массивы структурных констант С в исходном базисе Су и матрицы перехода Л.

Выходным параметром является массив структурных констант С1 в новом базисе ( Су ).

strconst:=proc

Описываем локальные переменные: local i,j,k,s,p,l;

Описываем глобальные переменные: global Cl;

Тело процедуры:

Вычисляем массив, обратный к матрице перехода

invA:=inverse(A):

Определяем массив новых структурных констант и выводим на печать его нетривиальные компоненты:

С1 :=array( 1 ..n, 1 ..n, 1 ..п): for i to n do for j to n do for 1 to n do k:-k': s:='s': p:='p':

С1 [i,j,p] :=(sum(sum( A[k,i] * A[s,j]*C[k,s,p] *invA [l,p],

'k'=l ..n),'s-1 ..n,'p'=l ..п»; od od od; for i to n do for j to n do for p to n do if Cl[i,j,p]<>0 then

print((i,j ,p)=simplify(e valm(C 1 [i,j ,p]))) fi

od od od end:

Вызов процедуры производится следующей командой:

strconst(C,A,n).

Для решения задачи построения контактных алгебр Ли на основе симплектических и точных симплектических, являющимися подалгебрами Ли коразмерности 1, необходимо реализовать сле-

дующую схему:_________________________________

Задача:

Построить контактную (2п + 1)-мерную алгебру Ли как расширение симплектической алгебры Ли Математическая модель:

Ь(Н) - 2п-мерная симплектическая алгебра Ли, со - симплектическая форма,

L(G) = L(H)*coR-

Центральное расширение:

[X. Y]L(G )=[Х, Y]l(h }+co(X,Y)C и [x,CJ = o,

если X,YeL(H), CeZ(L(G)).

Прикладная математика

123

Применение методов компьютерной математики:

1) Загружаем массив структурных констант алгебры Ли ЦН).

2) Загружаем массив коэффициентов сим-плектической структуры со.

3) Запускаем процедуру для вычисления струк-

турных констант Czy центрального расширения.

4) Запускаем процедуру изоморфизма для проверки изоморфна ли полученная алгебра Ли одной из алгебр Ли списка А. Диатты [3].

Опишем процедуру для вычисления структурных констант центрального расширения.

Пусть Eh...,E2n+i ~ базис алгебры Ли

ЦН) Хю RE2n+\, a eI,...,e2„+i - базис алгебры Ли ЦН).

Скобки Ли центрального расширения L(G) = L(H) Хю RE2n+\ задаются:

[XJ]L(G) =[XJ]L(H) +<ЦХ,У)Е2п+хн

\Х,Е2п+] ] = 0, если X,YeL(H).

Распишем данные условия на базисных векторах:

lEi, Ej ] = [et, ej ] + co(ez-, ej )Eln+\,

[Ei>E2n+\] = 0’ *J=

EijEk ~cijek + (**ijE2n + \> Ei,2n+i i,j=l,...,2n, s=l,...,2n + l.

В результате получаем:

Г'к _ Д ^2/7 + 1 2т7 + 1 . 2/7+1

( ./ -<//' ( (/ <7, • ‘"/7 ’

C:92/7+i =0, i,j,k=l,...,2/7, s=J,...,2n.

Введем обозначения: С - массив структурных констант на алгебре Ли L(G), Cl - массив структурных констант на алгебре Ли L(H).

Входными параметрами данной процедуры являются массивы структурных констант С и массив компонент симплектической формы omegam,

т - размерность алгебры Ли L(G), (т=2п+1).

Выходным параметром является массив структурных констант С1.

CentrStr:=proc

Описываем локальные переменные: local i,j,p; Описываем глобальные переменные: global Cl;

Тело процедуры:

Определяем массив новых структурных констант и выводим на печать его нетривиальные компоненты:

C:=array(l..m,l..m,l..m): for i to m-1 do for j to m-1 do for p to m-1 do

Cl[i,j,m]:=C[i,j,m]+omegam[i,j,m]:, Cl[i,j,p]:=C[i,j,p]:; od od od; for i to m do for j to m do for p to m do

if Cl[i,j,p]<>0 then

print((i,j,p)=simplify(evalm(Cl [i,j,p]))) fi

od od od end:

Вызов процедуры производится следующей командой:

CentrStr(C, omegam, m).

Например,

CentrStr(array( sparse, 1 ..5,1 ..5,1 ..5, [(1,2,3)= 1 ,(2,1 ,3)=-1,(1,2,5)=1 ,(2,1,5)=-l ,(1,4,1 )=-2,

(4,1,1 )=2,(2,4,2)= 1 ,(4,2,2)=-1 ,(3,4,3)=-1 ,(4,3,3)= 1 ,(3,4,5)= 1 ,(4,3,5)= 1 ]),array(sparse, 1 ..5,

1..5, 1..5,[(1,4,5)=1,(2,3,5)=1, (4,1,5)=-1 ,(3,2,5)=-

1]),5).

Далее, определив контактную структуру, можно построить контактную метрическую структуру (r|, (p, g) и изучить геометрические характе-

ристики и свойства построенных структур.

В случае большой размерности решение представленных задач без использования систем аналитических вычислений затруднительно.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

\. Дьяконов, В. Maple 9 в математике, физике и образовании - М.: СОЛОН Пресс, 2004. - 688 с.

2. Blair D.E. Riemannian Geometry of Contact and Symplectic Manifolds // Progress in Mathematics. -Birkhauser Boston, 2002. - Vol. 203. - 304 p.

3. Diatta, A. Left invariant contact structures on Lie groups // arXiv: math.DG/ 0403555, 2004. - Vol. 2. -17 p.

Авторы статьи

Прокопенко Евгения Викторовна канд. физ.-мат. наук, доцент каф.прикладных информационных технологий КузГТУ Email: pev-05@nmail.ru? 8-960-920-15-76

Славолюбова Ярославна Викторовна канд. физ.-мат. наук, доцент каф.высшей и прикладной математики Кемеровского института (филиала) РЭУ им. Г.В. Плеханова Email: jarl984@mail.ru

Ли

Сергей Робертович канд. техн. наук,доцент каф. вычислительной техники и информационных технологий Кемеровского института (филиала) РЭУ им.

Г.В.Плеханова/. Email: sergejli@yandex.ru