Точные решения нелинейных уравнений мелкой воды над прямолинейным дном

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

НАУКА- ИННОВАЦИИ. ТЕХНОЛОГИИ, №2, 2017

удк532.517+517.95 Чиркунов Ю.А. [Chirkunov Yu.A.], Пикмуллина Е.О. [Pikmullina Е.О.]

ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕЛКОЙ ВОДЫ НАД ПРЯМОЛИНЕЙНЫМ ДНОМ*

Exact solutions of nonlinear shallow water equations over square bottom

Точные решения для каждой математической модели имеют особое значение. Они позволяют оценить, степень адекватности математической модели реальным физическим процессам, после проведения экспериментов, соответствующие этим решениям, а также оценить возникающие отклонения. Точные решения можно использовать для описания некоторых физических процессов. Точные решения являются хорошими тестами для проверки приближенных численных решений. В настоящей статье выполнен групповой анализ однопараметрического семейства уравнений, описывающих в рамках нелинейной одномерной модели мелкой воды распространение поверхностных волн над прямолинейным дном. Параметром этого семейства является угловой коэффициент наклона дна. В результате специального нелокального преобразования годографа, ассоциированного с групповым свойством исходной нелинейной системы, эта система сведена к линейной системе. Используя групповые свойства этих систем, получены формулы производства («размножения») решений нелинейной системы. С помощью инвариантных и частично инвариантных решений линейной системы и найденных формул производства решений получено бесконечное множество невырожденных решений нелинейной системы. Найдены все вырожденные решения этой системы. Полученные решения могут быть использованы при исследовании наката волн на берег, а также при исследовании распространения жидкости в каналах.

Exact solutions for each mathematical model are important. They allow us to assess, the degree of the adequacy of the mathematical model of real physical processes, after carrying out experiments appropriate to these solutions, and an evaluation of the arising deviations. Exact solutions can be used to describe of some physical processes. Exact solutions are good tests to check the approximate numerical solutions. In this paper we performed a group analysis of the one-parameter family of the equations, describing within the framework of the nonlinear one-dimensional shallow water model, the propagation of surface waves above a straight bottom. A parameter of this family is an angular coefficient of inclination of the bottom. As a result of a special nonlocal hodograph transformation, associated with the group property of the original non-linear system, this system is reduced to a linear system. Using the group properties of these systems, we obtained the formulas of the production ("reproduction") of the solutions of nonlinear system. With a help of the invariant and partially invariant solutions of the linear system and found formulas of the production of the solutions, we obtained an infinite set of non-singular solutions of nonlinear system. We found all degenerate solutions of this system. These solutions can be used in the study of waves rolling on shore, and also in the study of the spread of liquid in the channels.

Ключевые слова: мелкая вода, групповой анализ, инвариантные и частично инвариантные решения, невырожденные и вырожденные решения.

Key words: shallow water, group analysis, invariant and partially invariant solutions, non-degenerate and degenerate solutions.

Исследование выполнено при частичной финансовой поддержке Новосибирского государственного архитектурно-строительного университета и РФФИ в рамках научного проекта № 16-01-00446 а.

Введение

Нелинейная одномерная модель мелкой воды vT+wy+j]y=0, VT+{{n + ky)v)y=a

используется при исследовании наката волн на берег, а также при исследовании распространения жидкости в каналах (см., например, [1-4]). Здесь: v=y{r,y) - скорость распространения поверхностных волн вдоль оси оу со свободной поверхностью z = п{т,у) + ку над прямолинейным дном z = ку, к = const - угловой коэффициент наклона дна, oyz - прямоугольная декартова система координат, г - время. При к= 0 система (1) описывает распространение поверхностных волн над горизонтальным дном, а при к ф 0 - над наклонным дном. Если кф 0, то после замены переменных

t — кт * зс — к

( 1„2Л I2

v = u(f,x)+i, rj = h{t,x)-x-

кг

у~ г

\ - /

система (1) приводится к системе

и1 + иих + кх = 0, + икх + !гих = 0,

являющейся записанной для переменных к (к > 0) системой (1) с угловым коэффициентом к = 0. Следовательно, в силу преобразования (2) одно параметрическое семейство систем (1) с параметром к € { -со, со) порождается системой (1) с параметром к= 0, а именно, системой (3).

Материалы и методы исследований

В настоящей работе исследуется однопараметрическое семейство уравнений, описывающих в рамках нелинейной одномерной модели мелкой воды распространение поверхностных волн над прямолинейным дном. Параметром этого семейства является угловой коэффициент наклона дна. Эта модель используется при исследовании наката волн на берег, а также при исследовании распространения жидкости в каналах. Методами исследований являются: групповой (симметрийный) анализ и общие методы теории дифференциальных уравнений.

Результаты исследований и их обсуждение

1. Групповое свойство системы (3). Основная группа Ли преобразований системы (3) является бесконечной и порождается операторами:

г=ф(и,}г)д1 н-^м,/г)+мф(и,й))ас, У1=1д{+хдх, У2=1дх+ди, У3=г0г-иам-2/гдй,

Г4 =

где (Ф = ф(м,А),Ч/ = *р(и,й)) - любое решение системы

Ф

и+^=о, ¥и+(АФ)л-О.

Из группового свойства (4) вытекают, в частности, следующие формулы производства («размножения») решений. Если =

= - решение системы (3), то решением системы (3), записанной для

переменных являются следующие пары функций (?/'(?', х').//(/', х')):

и'=алШ5+и

Здесь а1,а2,а3,а4,а5 Ф 0] - произвольные вещественные постоянные, а (Ф = ф(м,А)1*Р = *р(г<,Л)). - любое решение системы (5).

В силу преобразования (2) отсюда следуют формулы производства решений системы (1) при кф 0. А именно, если( V = = ~ решение системы (1), то решением системы (1), записанной для переменных т',у',у',т]' являются следующие пары функций г'' = \>'{т',у%щ' = >]'(т',у'):

V = V

щкт',а^ку' + —

V = П

а1кт\а1ку'+—{а1-$(кт'>? + - (а1-1)<2^,+а|(£г')2); (8) Ч 2 ' ) 2 >

V = V

кт' + а2,к(у' + а2т') + — + а3

+ а2,

Т) =7]

а.

кт' + а2,к{у' + а2т') + — +

г \

а

1 г "2

+ а0кт + + аг; 2

V =с.

Ч

\ Л

-н-о - а4кт' + кт\

, 2 7] =а4

{ г

V

V

< , ч2 Л , д2 Л

а5кт',ку'+ ^ Т '

ч

-¥;

'=у

V' = кт'-Ф (у' - кт',т]' + ку') +

+у(ф(у' - кт',7!' + ку'), *Р(у' - кт',П' + ¥) + Я(т',у',к,у',т}')),

т]' = (у' - кт', т]' + ку')-ку' + Л(т',у',к,у',т]') +

+Г] (ф (у' - кт',т]' + ку'), ^(у'-кт',т]' + ку') +Я (т\ у', к, у',

[ Я

2. Невырожденные решения.

Решение (и = и{^,х),к = к(л,х)) системы (3) будет называться невырожденным, если отличен от нуля якобиан # 0. Аналогично, решение \ ^ = у{т,у),т] = ^{т,уУ) системы (1) будет называться невырожденным, если отличен от нуля якобиан ^^^ * 0. Множества невырожденных решений систем (1) и (3) связаны преобразованием (2).

Система (3) на множестве невырожденных решений линеризуется с помощью преобразования годографа, которое удобно выбрать ассоциированным с групповым свойством (4) системы (3), а именно:

г = ф

В результате этого преобразования система (3) приводится

к системе (5).

Решения систем (3) и (5) связаны между собой следующим

образом.

Любое невырожденное решение ( и(/,х),/г(?,х)) системы (3) определяет по формулам (13) невырожденное решение системы (5), т.е. решение (Ф(«,й),Ч'(м,й)), удовлетворяющее условию = (ф^ - кФгь) * 0. Обратно, каждое невырожденное решение (Ф(«,Л),Ч/(и,/|)| системы (5), удовлетворяющее условию | ФI - АФ : ) * 0 в некоторой области переменных и, А, неявным образом определяет по формулам (13) невырожденное решение х)\

системы (3) в соотвстств\ ющей области переменных I, х.

Таким образом, линейная система (5) определяет для системы (3) уравнений одномерной модели мелкой воды с горизонтальным дном и ее основную группу Ли преобразований, и все множество ее невырожденных решений. В силу преобразования (2) - то же самое справедливо и для системы (1).

3. Групповое свойство системы (5).

Оператор, допускаемый системой (5), ищется в виде:

#1

Из условия инвариантности относительно этого оператора многообразия, определяемого уравнениями (5), следует, что основная группа Ли преобразований системы (5) (факторгруппа по нормальному делителю, связанному с линейностью системы) порождается операторами

( 2 N и- + к

V4 У

ди+икдк+\-Ч>-иФ (/¡Ф-иЧ')^,

х2=иди+2кдн-Фдф, хъ = ди, х^ФЗф+ч^.

Из группового свойства (14) в силу линейности системы (5) вытекают следующие формулы производства ее решений. Для любой пары комплексно-значных функцией (Ф(и. И), *Р(г/, И)), являющейся решением системы (5), решением системы (5), записанной для переменных и',/г',Ф',хР' являются следующие пары функций (Ф'(н', /?'). И')), задаваемые формулами

Ф'(м')А') = Ке|/и3(м,А,6])(4Ф(м,Л) + Ь|(2Ч'(м,/;)-мФ(м,Л)))|, 1Р'(м',/г') = -Ке|16//(м,й,Ь1)(4Ч,(м,/г)+й1(2/гФ(и,А)-мЧ/(м,А)))];

Ф'(м',/г') = Ьп|//3(м,А,й1)(4Ф(м,А) + й1(2Ч,(м)А)-мФ(м,А)))|,

Ф'(и', к') = й2ЯеФ (ь2(и'+ Ьгк')=; Ф'(м',К)=ъ2\тф{ь2(и'+ ьз,),Ь%к'), /»')= [тЧ^и'+й,;

где(1(и,1г,Ь\} = (ь*и2 -4Ь*И-Щи + 1>, 2: Ьу,Ь2,Ь^ЬА (Ь2Ь>4 произвольные вещественные постоянные,

Групповое свойство (14) и линейность системы (5) в силу инфинитези-мальной формулы производства решений [6] дает следующие формулы производства ее решений. А именно, если (ф(м,А),¥(м,й)) - произвольное гладкое решение системы (5), то решениями этой системы являются следующие пары функций (Ф'(н, И). А)):

Ф'(и,к) =

^ 2 Л —+2й 2 ,

( 2 N

и -+

Ч2 У

Фн (и, А) + 2иНФк (м,Л)-Ч/(м,Л) + 2иФ(и,к), 4>и (и,к) + 2икЧ/н(и,к)-кФ(и,к) + их¥(и,к);

Ф'

Ф'

Ввиду линейности системы (5) любая линейная комбинация решений этой системы является ее решением.

4. Точные решения системы (5).

Для классификации инвариантных и частично инвариантных решений системы (5) строится оптимальная система неподобных подалгебр алгебры Ли с базисом (14). Оператор Х4 - ее центр. Каждой подалгебре из этой оптимальной системы подалгебр соответствует порождаемая ею подгруппа основной группы системы (5). В результате получается оптимальная система подгрупп основной группы этой системы. Она содержит четыре одно-параметрические подгруппы. (х4 }, (Ж2 + аХ^, {Х3 + РХ^, \Х1 + Х3 + ггЛТ4); шесть двухпараметрических подгрупп Х2, X, ^. Х2+уХ^,Х, . (х2 +х4,х3),(х1,х4- х2), (х1 + 8ХЪ,х4), (х2 + аХ4,Хх) и три трехпара-метрические подгруппы Х1,Х2,Х4), (х2,Хг,Х4), {хх,Х4 - Х2,Хъ), где -произвольные вещественные постоянные.

Применение критерия инвариантности функции относительно группы Ли преобразований [5] позволяет получить в пространстве В. (и,И, Ф,Ч0 универсальный инвариант каждой подгруппы из построенной оптимальной системы подгрупп. Найденные универсальные инварианты всех подгрупп позволяют полу чить простейшие представители всех существенно различных инвариантных и частично инвариантных решений системы (5). Конкретизация условия (- кФ'к ) ф 0 невырожденности для некоторых полученных решений выглядит весьма громоздко и, поэтому ниже не всегда приводится. При выполнении этого условия каждое из этих решений имеет физический смысл.

Входящие во все последующие формулы величины ск (к = 1,2,...,10 суть произвольные вещественные постоянные.

Система (5) имеет тривиальное решение

Ф = £ц Т = с7,

А 2

которое при с Ф 0 в силу (14) является невырожденным. В дальнейшем производится факторизация по этому решению. В частности, все инвариантные решения ранга 0 являются тривиальными.

4.1. Инвариантные решения ранга 1.

Получены решения, инвариантные относительно подгрупп (Х2+аХ4), (х3 + рх4).

Решение, инвариантное относительно подгруппы

[ Х2 + аХ ) - это автомодельное решение, имеющее вид

4 П

Подстановка в систему (5) дает факторсистему

1-е

которая сводится к уравнению Хейна. После замены = 4 2 £?(£) оно приводится к гипергеометрическому уравнению Гаусса, решение которого выражается через гипергеометрическую функцию Р(а,Ь;с;§). В результате инвариантное (х2 + аХЛ) - решение при определяется по формулам

а-\Г г

Ф = А 2

2 сгР

X* Л ~ 11 —— 2 4А

+с'Тн"

ч I

. 3 и и, и- \— ^ 2 4А

Ч' = /г2

1 ^ а) А

/2 \ /

——4 ,4А ,

ДД + 1;3;" 2 4А

// /

1

Л.Д-1;-;— 2 4А

+

+2с.

(«—2)г

12А

.2

——4 Ч4А у

2Л

„ 5 и И И 2 4А

I 2 лЛ '

и 4

— + —

,4А а,

. 3 и и, /1—1;—:— ^ ^ 2 4А

Здесь Я = ^(1-а), // = ^(2-а). При а = 2£ + 1 (Л =0,1,2,...), и при с3 = 0, а = 2к {к = 0,1,2,...) задаваемое формулами (23) решение выражается через элементарные функции, и по формулам (13) определяется решение системы (3). Например, при с4 = О, а = 0 это решение неявно задается системой уравнений

* = 2(А + и2), *2(г-2и2) = 2|-и(17и2-8г)-х1 .

Из условия невырожденности этого решения следует, что на плоскости И"!л,х) область течения не должна содержать точки кривой (л + /)2= 2'' (' ~ 2)• 4X0 заведомо выполняется при г е | 1.

Инвариантное (х^ + ¡ЗХА )— решение имеет вид

Ф = ехр(^м)^(А), Ч/ = ехр(/9й)С(А).

Подстановка в систему (5) дает факторсистему

2

/ЗГ(к) + (?(Н) = 0, ^(А)+да(А) + А^'(А) = 0,

общее решение которой выражается через функцию Бесселя (¿г) и функцию Неймана Уа(4) Искомое решение определяется по формулам

Ф=7= ехр^и^р/зЦ+с^ (2/зЩ,

Т= ехр(^м)(-с5/0 [2/т) + с6¥0 .

4.2. Частично инвариантные решения ранга 0 дефекта 1.

Частично инвариантные //-решения ранга 0 дефекта 1 системы (5) суть, решения для подгрупп Н е ^(Х],Х2,ХА), [Х^,Х4 - Х2,Х^, (Х2. Нетривиальным является только (хх,Х4 - Х2, А'3^-решение. Его орбита такова:

Ф = ^-•

п

Результатом подстановки (25) в (5) является система уравнений

¥ Ч2

^===4>и + =: 0, 4>и +-р==Ч>н

Если с1 = 0, то система (26) имеет только нулевое решение Ф = Ч' = 0. Если с1 Ф 0, то из (26) следует

=--1 1

2 с7 А 2с7

Условие совместности для системы (27) выполнено тождественно. По теореме о редукции [5] из (27) и (5) следует, что решение (25) редуцируется к инвариантному решению. Интегрирование совместной системы (27) и применение формулы (25) дает

У- . , Ф= |И+С8У

ч/(и + с8) -4й /н<(и + с8) -4А

Соответствующее решение системы (3) определяется следующим образом: скорость и = и (*,:*) является корнем алгебраического уравнения

ЗГГ2(4с8)Г—7л:|м3Н- ¿(7д?Ч0с8£с+с8 12) и2+ 2(с3й:(4х-с8г)-г{м+с8д;2(г-2;с)-4с7г=0,

а превышение свободной поверхности над дном определяется по формуле

А =

Условие невырожденности этого решения: (и + с8)|(х-гы)3-г(и + + е8)-3(х-ги)У |фО

4.3. Частично инвариантные решения ранга 1 дефекта 1.

Рассматриваются частично инвариантные //-решения системы (5) для подгрупп Н е |(х2, Хъ ), Ы2 + уХг, Х4 ), (х2 Х4, Х3)} и простая волна для однородной системы, эквивалентной системе (5).

— Уравнение наименьшего инвариантного многообразия, содержащего частично инвариантное (Х2,Х3 ^-решение имеет вид

Ч< = /

Подстановка (29) в систему (5) дает

ФМ+2ЙФ/'

Если /(Л) = +\/я, то определитель линейной системы (30) равен нулю, а соответству ющее решение системы (5) есть Ф = 0, = Если/(Л) ф ±%/Л, то из системы (30) следует

ГФ2 (2/1/'2Ф2-1)ф

Ф =- ф, =-- ИП

4Л/'2Ф2-1' А А(4Г2Ф2-1)'

Условием совместности для (31) является равенство //" - 2//'3 +/' = 0, из которого следует, что

Л—2 с2

/

' I ъ -> у 4 СдЛ-Л2

Из (31), (32) и (5) в силу теоремы о редукции [5] следует, что решение (29) редуцируется к инвариантному решению. При этом функция \|/ такова:

/гФ2 -2сд

¥ = c9arctg - | -: гс10

а функция Ф определяется из вполне интегрируемой системы (31).

— Орбита частично инвариантного (Х2+ уХ^,Х^-решения такова

ф я=

и + у ' h

Подстановка (34) в (5) дает

(и + у)Ч>и+кГ(Л)Ч>к

т.

к

При / (Я) = решение имеет вид ф = ¥ = 0.

из (35) следует

' а'2(Л)-(и+у)2Г(Л)-2к(и+Г)2'

к

* к

Система (36) совместна, только если является решением уравнения

Л[ Л(Л-4)-4/3(/2~Л) Г - 2Л (Л - 4) (/2 - Л) #'2 + 2Л/' +

+(/2 - лу (з/2 (Л - 2) - 2Л)Г+(/2 -л)2 (-/4+(я2+1)/3+2/) = 0.

Из (36), (37) и (5) в силу теоремы о редукции [5] следует, что решение (34) редуцируется к инвариантному решению. При этом функция \\> определяется из вполне интегрируемой системы (36), а функция Ф — по формуле (34). При этом функция /(Я) является решением уравнения (37).

— Орбита частично инвариантного (X„ + X4,Х^-решения есть

2

Ф = /

п

Из системы

Решение системы (39) при/(Л) = ±-(л имеет вид Ф = *Р = 0. При / (Я) 5е ±л/Л из (39) следует

_кГ{Х)-Г{Х)Ф _ 2

Система (40) совместна тогда и только тогда, когда функция является решением уравнения

Из (40), (41) и (5) в силу теоремы о редукции [5] следует, что решение (38) редуцируется к инвариантному решению, для которого Ч* определяется из вполне интегрируемой системы (40), а функция Ф - по формуле (38). При этом функция /(А) является решением уравнения (41).

4.4. Простая волна.

С помощью новой неизвестной функции 0 = /?Ф система (5) записывается в виде однородной системы

0и+АЧ'а=О, ^„+0л=О

Параметрическое представление простой волны для системы (42) имеет вид:

в = в

где Л = А (и, А) - параметр простой волны. Подстановка (43) в (42) дает систему уравнений, связывающую искомые функции (43) и искомый параметр X:

+ АУ'4 = 0, Ш'Ль + &Лк = 0,

в которых штрих обозначает производную по параметру X. Условие существования нетривиального решения полученной линейной алгебраической системы (44) с неизвестными Л,,, Лн имеет вид 0'2 - АЧ"2 = 0. Отсюда следует уравнение простой волны

0' = ,

где \|/ - любая гладкая функция переменной А, отличная от постоян-

ной.

Из системы (44) в силу (45) следует, что параметр простой волны определяется по формуле Л = и + 2л/А.

Соответствующее решение системы (5) имеет вид

Ф= + +

где \;/ любая гладкая функция, а 0 определяется уравнением (45).

Полученная простая волна для системы (42) является невырожденным решением системы (5), поскольку для этой простои волны ^ о.

4. Семейство невырожденных решений.

Получены точные решения (22); (23); (24); (28); (31)—(33); (34), (36), (37); (38), (40), (41); (45), (46), (ф2 - кф\ ) * 0 системы (5), которые при условии являются простейшими представителями существенно различных (не связанных обратимыми точечными преобразованиями) невырожденных точных решений этой системы. Они зависят от тринадцати произвольных вещественных постоянных a,fl,y,cl,c2,~->cw, а решение, заданное формулами (45), (46), имеет функциональный произвол. Применение к этим решениям формул (15)-(18) производства решений системы (5), зависящих от четырех произвольных вещественных постоянных (b2b4 0), дает бесконечное множество существенно различных невырожденных точных решений этой системы, зависящее от семнадцати произвольных постоянных и одной произвольной функции. Применение к этим решениям инфинитезималь-ных формул производства решений (19)—(21) расширяет это множество точных решений. Линейная оболочка этого множества образует бесконечномерное векторное пространство V невырожденных точных решений системы (5).

Формулы (13) представления общего невырожденного решения системы (3) уравнений мелкой воды, описывающей распространение поверхностных волн над горизонтальным дном, порождают при (Ф, Ч'). пробегающих пространство V, бесконечное множество невырожденных точных решений этой системы. Применение к этим решениям формул (6), (7) производства решений дает дополнительные невырожденные точные решения системы (3).

Применение формул (2) к полученному бесконечному множеству невырожденных точных решений системы (3) дает бесконечное множество невырожденных точных решений системы (1) уравнений мелкой воды, описывающей распространение поверхностных волн над наклонным дном. Применение к этим решениям формул (8)—(12) производства решений дает дополнительные невырожденные точные решения системы (1).

5. Вырожденные решения системы (3). Система (3) имеет тривиальное вырожденное решение: ш = const, h = const. Множество нетривиальных вырожденных решений системы (3) исчерпывается следующими решениями:

1) А = 0, а скорость и определяется неявно уравнением

f

2 )h =

f \ и

- + с

v2 ^ „ ЛЛ

/

а скорость и определяется неявно уравнением

^ + с =0,

V V 2 J)

где с - произвольная вещественная постоянная, а/- произволь-

ная гладкая не постоянная функция.

6. Вырожденные решения системы (1) при к Ф (I.

Система (1) при имеет тривиальное вырожденное решение кф 0. Отличное от него нетривиальное вырожденное решение системы (1) имеет вид у = 0, г) = const

TJ = F(V). Подстановка (49) в (1) дает

vT+(v + F')vy = 0, ((F')2 - F - fy)V, = kv.

Условием совместности системы (50) является равенство:, из которого следует, что функция \>Р" + кР' + (к +1) V = 0 имеет вид /• :

при кф± 1;0: F = -xvz+cxvk +

F = —v2 + с, In v + c„ 2

при к = 1: при к 1: F = qv2 + с2,

где С|. с2 - произвольные вещественные постоянные.

Подстановка (51)—(53) в систему (50) и интегрирование полученных уравнений дает уравнения, которые определяют неявно параметрическую функцию у:

щмкф ±1; 1^2; 2: с, пр ¡1=1: с, при к = 2: с при jfe = с

(И

1-4 , 2А:-3 2-к ,

TV +

г v +

-2 к

к

vlnv + V + 1 - г

+ c2v---1- yv = c3,

+ с2 - • yv - с3.

V

г 1 , -I -зЛ

---jnv + - V

Vv 2 6 У

—v-y/v - ' Tsfv - — Inv t- 2с-,

v3 2 23 J

при Аг = —1: v = v(y), q =-— + (y-c2)v +c3 = 0,

c2v + yv = c3,

+ c2T+J;v=c3' (54) к

где C3 -

произвольная вещественная постоянная.

Таким образом, для нетривиальных вырожденных решений системы (1) при к Ф 0 превышение свободной поверхности над дном определяется по формулам (49), (51)—(53), а скорость распространения поверхностных волн определяется неявно уравнениями (54)—(58).

у

Выводы

Для нелинейных уравнений, описывающих в рамках одномерной модели мелкой воды распространение поверхностных волн над прямолинейным дном, получены точные решения: невырожденные и вырожденные. Полученные решения могут быть использованы при исследовании наката волн на берег, а также при исследовании распространения жидкости в каналах.

Библиографический список

1. Stoker J.J. Water Waves: The Mathematical Theory with Applications / John Wiley and Sons, New York, 1958 (reprinted in 1992).

2. Whitham G.B. Linear and nonlinear waves. New York: John Wiley & Sons. 1974. 622 p.

3. Didenkulova I., Pelinovsky E. // Rogue waves in nonlinear hyperbolic systems (shallow-water framework). 2011. Nonlinearity. V. R1-R18.

4. Верисокин A.E. Зиновьева Л.М. Особенности технологии промывки и освоения горизонтальных скважин после селективного гидроразрыва пласта на месторождениях Западной Сибири // Наука. Инновации. Технологии. Научный журнал СКФУ. Ставрополь, 2015. Вып. 3. С. 79-90.

5. Чиркунов Ю.А., Хабиров С.В. Элементы симметрийного анализа дифференциальных уравнений механики сплошной среды. Новосибирск: НГТУ, 2012. 659 с.

References

1. Stoker J.J. Water Waves: The Mathematical Theory with Applications / John Wiley and Sons. New York, 1958 (reprinted in 1992).

2. Whitham G.B. Linear and nonlinear waves. New York: John Wiley & Sons. 1974. 622 p.

3. Didenkulova I., Pelinovsky E. // Rogue waves in nonlinear hyperbolic systems (shallow-water framework). 2011. Nonlinearity. V. R1-R18.

4. Verisokin A.E., Zinovieva L.M. Osobennosti tehnologii promyvki i osvoenia gorizontaljnyh skvajin posle selectivnogo gidrorazryva plasta na mestorojdeniah Zapadnoy Sibiri (Features of technology of washing and development of horizontal wells after selective hydraulic fracturing of layer on fields of Western Siberia) J.: Science. Innovations. Technologies. 2015. No 3. P. 79-90.

5. Chirkunov Yu. A., Khabirov S. V. Elementy simmetriynogo analiza differentzialjnyh uravneniy mehaniki sploshnoi sredy (Elements of symmetry analysis of differential equations of continuum mechanics). Novosibirsk: NGTU. 2012. 659 p.