«Калькулятор кручения» автомобильных дорог*

УДК 625.72:528.486

П.А. ЕЛУГАЧЁВ, аспирант,

Б.М. ШУМИЛОВ, докт. физ.-мат. наук, проф.,

Е.Г. ПРИХОДЬКО,

А.А. ХОЛКИНА, студенты,

ТГАСУ, Томск

«КАЛЬКУЛЯТОР КРУЧЕНИЯ» АВТОМОБИЛЬНЫХ ДОРОГ*

В данной статье проведен анализ возможности получения оптически ясных и плавных очертаний автомобильных дорог (АД) с использованием понятия пространственного кручения трассы АД. Разработан «калькулятор кручения», с его помощью установлены основные формы кручения базиса автомобильной дороги, представленные в аналитическом и дискретном виде.

Автомобильные дороги отличаются от других сложных в инженерном отношении продуктов человеческой деятельности своей чрезвычайной протяженностью и уникальностью привязки к конкретному ландшафту. Так как типовой проект АД содержит чертежи трех ее проекций (план, продольный и поперечные профили), их раздельный анализ не позволяет дать оценку дороге как пространственному сооружению с точки зрения потребительских свойств трассы (оптическая ясность, плавность и гармоничность проектируемой дороги) [7, 8]. Перспективным считается определение оптически плавной трассы через понятие кручения [1-5].

Кручение представляет собой дифференциальную характеристику трассы как пространственной кривой, и, следовательно, трасса должна иметь математическое описание в виде трехмерной функции. Удобнее всего трассу в пространстве задавать в виде системы параметрических уравнений

где I - текущий параметр (например, время движения по трассе).

Если форма плоской кривой определяется функцией ее кривизны, то форма пространственной кривой однозначно определяется совокупностью двух функций - кривизны и кручения [6]. Кривизна (р) пространственной трассы имеет тот же механический смысл ускорения поступательного движения автомобиля, что и для плоской трассы:

где х', х" - первая, вторая производные х по I и т. д.

Кручение - новое геометрическое понятие для трассы автомобильной дороги как кривой в пространстве, но именно кручением кривой можно объяснить многие из явлений зрительного восприятия, которые до сих пор оцени-

* Исследование выполнено при финансовой поддержке Программы проведения фундаментальных исследований в области естественных, технических и гуманитарных наук, проект № 2.1.2.1276.

{х = х(1), у = у(1), г = г(I)},

(х'2 + у'2 + г'2)3

© П.А. Елугачев, Б.М. Шумилов, Е.Г. Приходько, А.А. Холкина, 2007

ваются и объясняются на основе лишь эмпирических правил. Кручение Т пространственной кривой определяется формулой

Т = Я2

X у z X" у" I" X'" у'" і”'

(х '2 + у '2 + г '2)3

где Я = 1/р - радиус кривизны.

Собственно, наличие кручения и характеризует: либо это истинно пространственная кривая (например, винтовая линия с постоянными кривизной и кручением [6]), либо (если кручение в каждой точке кривой равно нулю) плоская кривая, расположенная в пространстве.

Напомним, что при проектировании трасса рассматривается как совокупность двух проекций - трассы в плане и трассы в продольном профиле (проектной линии). В обеих проекциях трасса автомобильной дороги представляет собой кусочно-непрерывную линию, составленную из различных аналитических функций (элементов). Трасса в плане состоит чаще всего из совокупности отрезков прямых, круговых кривых и клотоид. В продольном профиле - это отрезки прямых и квадратных парабол. Непрерывность трассы в плане подразумевает непрерывность кривизны стыкуемых элементов или, по крайней мере, общую касательную, если радиус кривизны более 2000 м. Непрерывность трассы в профиле подразумевает лишь общую касательную. При этом начальные и конечные пикеты элементов плана и профиля, как правило, не совпадают (несовершенные сочетания, несогласованная трасса). Это может привести и приводит к самым неожиданным эффектам с точки зрения оптической плавности и ясности трассы (изломы видимых элементов автомобильной дороги, просадки - невидимые участки автомобильной дороги и т.д.). Заметим, что если пространственная трасса имеет нулевую кривизну (прямая и в плане, и в продольном профиле), то все производные равны нулю, и малейшее проявление кривизны будет приводить к существенному кручению этой линии. Этим, отчасти, объясняется утрированное зрительное восприятие любых локальных отклонений от прямой на участках прямолинейного проло-жения дороги.

Таким образом, если при раздельном трассировании необходимо контролировать графики кривизны трассы в плане и продольном профиле, то при пространственном трассировании контроль должен осуществляться за графиками пространственной кривизны и кручения.

Целью исследования является установление вида и величины кручения (3), при сочетании разных видов аналитически заданных кривых в плане и продольном профиле и их взаимном расположении.

В исследовании рассматриваются такие сочетания кривых, которые в пространстве образуют линии, выходящие из плоскости. П.Я. Дзенис эмпирически установил, что кривая, формирующая контур сечения идеального цилиндра, является абсолютно плавной и ясной с точки зрения водителя, движущегося по ней. Такая кривая выбрана нами эталоном ясности трассы автомобильной

дороги. При этом кручение на таком участке кривой равно нуля. Следовательно, трасса, моделируемая такой пространственной кривой, у которой кручение стремится к нулю, будет стремиться к абсолютной оптической ясности.

П.Я. Дзенис установил наиболее часто встречающиеся при проектировании взаимные сочетания кривых, которые свел в табл. 1.

Таблица 1

Основные элементы трассы по П.Я. Дзенису

№пАл План н про доганын профиль Группа ЭЛЙМЙНТОЕ На з ванне э пн: мй иго е тр ас с ы

1

1 ориз сига пша я ЕриЕ ая

Прямы*

2 - " НаКПЮИБй Я 1фКЕ :±Я

Плоская ЕогнугаякркЕая

4 г ,

Пто сын

5 кринки ГЪрИЗ СИГ аЛБНаЯ Ери Е± 3 Накпннна я ьрнЕ ая

6 ^

1 _ ^ Кривая по сто янн ото уклона

8 ^^ Про стран СТЕНИНЫ КрНЕЬК Вогнута я вбивая

9 1 Е ьпуклая ЕриЕ ая

Плоские кривые ограничиваются нормами проектирования элементов плана и профиля, которые в основном зависят от требования обеспечения минимальной видимости на кривых. Движение по таким кривым сопровождается постоянством угла поворота колес при больших радиусах > 2000 м и смещением автомобиля к осевой линии при малых радиусах (тем самым водитель как бы увеличивает радиус закругления).

Пространственные прямые нормируются из условий безопасности движения и ограничиваются по своей протяженности [1].

Для сложных пространственных кривых известны лишь эмпирические правила сочетания, и в большинстве случаев их качество зависит от опыта проектировщика.

Единственный объективный пространственный критерий - это ясность движения по кривой, которая, в свою очередь, может быть увязана с нормированием кручения пространственной кривой.

Оценивать кручение пространственной кривой будем исходя из двух правил получения проектных данных:

- задание массива пространственных точек (если неизвестны элементы трассы, начала и концы кривых, их математическое описание, например, при паспортизации и диагностике автомобильных дорог, при проезде по оси дороги с ОР8-приемником);

- аналитическое задание кривой (если элементы трассы известны, определены их взаимоположения и необходимо получить оптически плавную трассу средствами традиционной методики трассирования при новом строительстве, ремонте и реконструкции дорог).

В первом случае плоскую кривую в плане (я,, х,, у,} и профиле (я,, г,} (выраженную дискретной моделью пространственных точек с фиксированным шагом) преобразуем в пространственный вид {хг, у,, г,}, г = 0,1,... Ж

Для определения кручения в конкретной точке пространства необходимо наличие минимального количества четырех последовательных пространственных точек кривой

Р,

Тогда можно сформировать три пространственных вектора, задающих два последовательных изменения направления трассы от входящего пространственного тангенса (по аналогии с традиционными тангенсами):

Ч,

с координатами

иг = Хг+1 - X

Уг = Уг+1 - У; где І=1’2-

Ж = ¿г+1 - г.

Полученные векторы позволяют вычислить векторы бинормалей с координатами:

х г = V • ж+1 - Ж • ^;

Гг = Ж, • и,+1 - иг • Ж,+і; где і = 1, 2,

Х = иг • Ум - V • иг+1,

а поворот вектора бинормали в пределе при сближении точек, в соответствии с определением [6], задает угол кручения по формуле:

Ь • Ь

Т = агесшГ , 2 ),

где

длина вектора |Ьг | = ^Xг2 + Гг2 + 21 , і = 1, 2,

скалярное произведение Ь1 • Ь2 = X1 • X 2 + Г1 • Г2 + Х1 • Х 2.

Проверкой работоспособности предложенного выше алгоритма будет служить файл описания точек (табл. 2), где предусмотрен поворот точки 4, относительно точки 1 на угол 90° (рис. 1).

Таблица 2

Пространственный базис трассы

№ X Y Z

1 0,00 0,00 100,00

2 100,00 0,00 0,00

3 200,00 0,00 0,00

4 200,00 100,00 0,00

Рис. 1. Пространственные точки базиса

Данная процедура («калькулятор кручения») реализована в программе Bezier (рис. 2) для анализа и моделирования пространственных трасс автомобильных дорог и разрабатывается для внедрения в промышленную систему автоматизированного проектирования автомобильных дорог IndorCAD/Road.

Рис. 2. Внешний вид программы Bezier

Во втором случае кривая описана аналитически, и для нее необходимо предложить точный метод вычисления кручения. Для этого создадим заготовки для аналитического вычисления всех входящих в выражение (3) производных и определим пространственную кривизну по формуле

72 Л2 Л2

K (т) =

(-^(о)2+4^ ))2+4^ ))2

ш ш ш

4т х(т ))2 + 4г у« ))2 + (ш2 z(t ))2

А Ж Ж

4 х(т))2+("Г y(t ))2+("Т г(т ))2

А А А

ш ш2 ш ш2 ш ш2

А Ж2 А Ж2 А Ж

.

4 х(т))2 + ('Г У(t ))2 + ("Г z(t ))2

А А А

Кручение определяем по формуле

Т (/) =-

А , ч А , ч ё , ч — х(т) — У(т) — г« А А А

А1

Ж2 А'

А2

-х

Ж

а

АІ

ж2

А3

-г

— х

Ж3

Ж3

Ж3

К

4х(/ ))2 + (dУ(t ))2 + 4^ ))2

А от Щ'

На основе созданного «калькулятора кручения» для определения существующего кручения автомобильных дорог и моделирования кручения при аналитическом выражении трассы автомобильных дорог рассмотрим группу параметрических кривых при сочетании элементов, формирующих пространственную кривую постоянного уклона (винтовая кривая) (рис. 3).

Рис. 3. Пространственный вид трассы автомобильной дороги, выраженной винтовой кривой

3

3

Аналитическое выражение кривой, 0 < ^ < п:

х

у

г

Аналитический график кручения винтовой кривой имеет линейный вид (рис. 4). При движении по такой пространственной кривой оптическая ясность будет обеспечиваться при соблюдении минимального расстояния видимости в плане в соответствии с категорией дороги (кривизной).

Рис. 4. Графики кручения: пунктир - для аналитически заданной кривой, линия - для кривой, заданной базисом пространственных точек

График кручения базиса имеет нестабильную скачкообразную форму в связи с преобразованием плоских кривых в набор точек пространственного вида. Отметим еще одну особенность: чем ближе форма пространственной кривой стремится к плоскому сечению цилиндра(эллипсу), тем сильнее возникает осцилляция. Поэтому настоятельно требуется выполнение дополнительной процедуры сглаживания этих осцилляций. В частности, если просто усреднить каждые два соседних значения, то форма кручения базиса также будет иметь линейное выражение. В общем случае актуальной остается разработка оптимального метода сглаживания (усреднения). Кроме этого, заметен пока необъясненный систематический сдвиг формы кручения базиса.

При моделировании пространственной кривой в плане отрезком дуги и в профиле синусоидой формируется эллипс в пространстве, который в частном случае образует контур сечения, по П.Я. Дзенису [4, 9]. А такая кривая, как уже было сказано, обладает нулевым кручением.

Интересными с позиции установления величины и формы кручения являются сочетания кривых, образованных составными математическими функциями, так, например, когда трасса образована круговой кривой в плане и составной параболой (сплайном) в профиле. Сочетание несовершенное с точки зрения ландшафтного трассирования, поскольку имеется смещение кривой в плане относительно профиля более % длины параболы. Пусть профильная кривая образована комбинацией двух функций, на начальном участке описана наклонной прямой, которая в комбинации с круговой кривой образует винтовую кривую в пространстве; далее - парабола при сочетании с круговой кривой образует вогнутую (по П.Я. Дзенису) пространственную кривую (рис. 5). Итак, сложное несовершенное сочетание необходимо оценить с позиции дифференциальной пространственной характеристики - кручения.

Рассмотрим далее в качестве универсального пространственного элемента участок степенной винтовой кривой Ук((), к > 1:

х^) = а ео8

у

г

Пусть пространственная кривая описана аналитически в пространстве (рис. 5, 6):

- участок № 1 (стандартная винтовая кривая У\(ф;

- участок № 2 (степенная винтовая кривая У2(ф.

Рис. 6. Пространственный вид трассы автомобильной дороги

Отметим, что при таком подборе составных кривых имеет место непрерывная склейка двух участков трассы в точке 1 = п и разрыв первой производной, а значит, и скачок направления касательной в этой точке. Предполагается, что именно при нарушении условий геометрической (оптической) гладкости составных кривых могут проявляться ненормируемые опасные эффекты излома ведущих элементов автомобильной дороги - кромки, линейная дорожная разметка, просадки насыпи - невидимые участки автомобильной дороги и т.д.

Графики (рис. 7) характеризуют винтовую пространственную кривую с постоянным кручением, которая ограничивается мгновенным снижением кручения и плавным ростом на участке вогнутой пространственной кривой. При движении по такому закруглению водитель верно оценивает кривизну и скорость кручения ведущих линий на участке №1, затем на некотором расстоянии до участка №2 (в картинной плоскости взгляда водителя) появляется оптическое искажение ведущих линий (провал, излом). Обратим внимание, что экстремум при аналитическом расчете кручения и при расчете «калькулятором кручения» совпадает. Следовательно закругление будет стремится к идеальному, когда график кручения будет без экстремумов и иметь форму плавной линии. Также обратим внимание и на форму графика кручения при аналитическом расчете: она представляет собой выпуклую линию и кручение максимально возрастает на участке №2 примерно в области, где заканчивается винтовая кривая и начинается вогнутая пространственная кривая. Обратим внимание на то, что кручение сходит в ноль в точке сопряжения функций. Этот факт может положительно отразиться при использовании параболы и плоской круговой кривой. Тогда скорости кручения в точке сопряжения пространственных кривых совпадут (будут равны нулю), а значит, трасса получится оптически ясная и плавная.

Рис. 7. Графики кручения: пунктир - для аналитически заданной кривой, линия - для кривой, заданной базисом пространственных точек

Пусть далее пространственная кривая описана аналитически в пространстве (рис. 8):

- участок № 1 (стандартная винтовая кривая У^));

- участок № 2 (степенная винтовая кривая Уз(0).

Рис. 8. Пространственный вид трассы автомобильной дороги

При таком подборе составных кривых также остаются непрерывная склейка двух участков трассы в точке ^ = п и скачок направления касательной в этой точке. Однако при этом кривизна второго участка кривой при аналитическом продолжении на отрезок ^ < п меняет знак, что позволяет ожидать дополнительно к ранее исследованному примеру возникновение биений кручения составной трассы (рис. 9).

ь1

Рис. 9. Графики кручения: пунктир - для аналитически заданной кривой, линия - для кривой, заданной базисом пространственных точек

Пусть профильная кривая образована двумя прямыми. Например, пространственная кривая имеет аналитическое представление в пространстве (рис. 10):

- участок № 1 (стандартная винтовая кривая У1(1) при заданном уклоне Ь);

- участок № 2 (стандартная винтовая кривая У1(1) при заданном уклоне Ь/3).

Этот случай имеет прямое отношение к практике проектирования, поскольку известно, что при алгебраической разности уклонов менее чем 5 о/оо на дорогах I и II категорий, < 10 о/оо на дорогах III категории и < 20 о/оо на дорогах IV и V категорий разрешено не сопрягать кривыми [1]. В связи с тем, что дорога при проектировании рассматривается попикетно, проектировщик не в состоянии выделить какие-либо особенности проектируемой трассы. Однако при реальном проезде данного участка трассы водитель неизбежно будет сбрасывать скорость, интуитивно предчувствуя приближение опасности (излом ведущих элементов автомобильной дороги, просадка насыпи и т.д.). Соответствующий график кручения для кривой, заданной базисом пространственных точек, в отличие от слабо выраженной особенности кручения для аналитически заданной кривой, имеет четко выраженный выброс (рис. 11). Это свойство можно рассматривать как преимущество при восстановлении геометрии трассы, когда неизвестно ее аналитическое выражение. Участки вы-

броса значений могут также характеризовать начало и конец кривых, что позволяет устанавливать протяженность кривых и их геометрию. Таким образом, предложенный калькулятор дает возможность предварительной объективной оценки участков кривых с экстремальными значениями.

Профиль : и

Рис. 10. Традиционные проекции трассы автомобильной дороги

Рис. 11. Графики кручения: пунктир - для аналитически заданной кривой, линия - для кривой, заданной базисом пространственных точек

Интересным с позиции кручения является рассмотрение составного сплайна, где профильная кривая образована двумя параболами с коэффициентом ускорения (приближенно кривизна в профиле трассы) Ь/3. Например, пространственная кривая имеет аналитическое представление в пространстве (рис. 12):

- участок № 1 (степенная винтовая кривая У2(1) при заданном ускорении Ь);

- участок № 2 (степенная винтовая кривая У2(?) при заданном ускорении Ь/3).

Рис. 12. Пространственный вид трассы автомобильной дороги

Особенностью данного сочетания является как отсутствие разрыва трассы, так и направления касательной. Однако скорость изменения направления касательной в точке ^ = п изменяется скачком. Следовательно, и кривизна трассы претерпевает разрыв. С этой точки зрения в ходе проектирования данный вариант будет отброшен в силу сложившейся практики. Однако аналитический график кручения в этом примере отличается плавностью, а график кручения базиса не имеет видимых экстремумов на фоне «шумовых» значений (рис. 13). В случае пикетного трассирования использование «калькулятора кручения» уже позволит обеспечить оптическую ясность движения по проектируемой трассе.

В другом случае при плавности кривизны, трасса удовлетворяет устоявшимся нормам проектирования, однако применение «калькулятора кручения» приводит к противоположному результату. Рассмотрим составной сплайн, где профильная кривая образована стыковкой параболы (№1) и кубической параболы (№2). Например, пространственная кривая имеет аналитическое представление в пространстве (рис. 14):

- участок № 1 (степенная винтовая кривая У2(0 при заданном коэффициенте Ь);

- участок № 2 (степенная винтовая кривая У3(0 при заданном коэффициенте, равном -Ъ).

Рис. 14. Пространственный вид трассы автомобильной дороги

Особенностью данного сочетания является как отсутствие разрыва трассы, так и направления касательной и разрыва кривизны. Следовательно, трасса по принятым критериям считается удовлетворительной. Однако графики кручения как по аналитически заданной кривой, так и для кривой, заданной базисом пространственных точек, имеют видимый скачок каждый (рис. 15).

Очевидно, в случае пикетного трассирования использование «калькулятора кручения» позволит предупредить появление участков с необеспеченной оптической ясностью движения по проектируемой трассе и получить основные формы и свойства графика кручения.

Итак, подводя итог исследованию, можно сказать, что назрела необходимость внедрения методики пространственного трассирования и определения оптической ясности трасс. Даже с использованием «калькулятора кручения» сложно этого добиться из-за плоской природы модели трассы. Именно по этой причине возникает «шум» на графиках, что является недостатком данного алгоритма. Следовательно, кручение должно определяться для аналитически заданной трассы в пространстве. В последующем необходимо установить величины кручения в зависимости от категорий автомобильных дорог, тем самым установив численные ограничения.

Библиографический список

1. СНиП 2.05.02-85. Автомобильные дороги / Госстрой СССР. - М. : ЦИТП Госстроя СССР, 1986. - 56 с.

2. Бойков, В.Н. Применение кривых Безье при трассировании автомобильных дорог /

B.Н. Бойков, М.А. Елугачёв, П.А. Елугачёв // НиТ в дорожной отрасли. - №3 - 2005. -

C. 17-20.

3. Бабков, В.Ф. Ландшафтное проектирование автомобильных дорог / В.Ф. Бабков. - М. : Транспорт, 1980. - 189 с.

4. Дзенис, П.Я. Пространственное проектирование автомобильных дорог. / П.Я. Дзенис, В.Р. Рейнфельд. - М. : Транспорт. - 120 с.

5. Елугачев, П.А. Опытное трассирование автомобильной дороги с использованием пространственных кривых Безье / П.А. Елугачев // Электронный журнал «Исследовано в России». - 2006. - 96. - 915-922. http//zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2006/096.pdf

6. Пространственное трассирование автомобильных дорог: Аспекты математической реализации / В.Н. Бойков, Б.М. Шумилов, П.А. Елугачев [и др.] // Экологические проблемы в транспортно-дорожном комплексе: сб. науч. тр. - М. : МАДИ (ГТУ); УФ МАДИ (ГТУ), 2005. - С. 63-75.

7. Бойков, В.Н. Актуальность метода пространственного трассирования автомобильных дорог / В.Н. Бойков, П.А. Елугачев, П.С. Крысин // Вестник Томского государственного архитектурно-строительного университета. - №1. - 2006. - С. 145-149.

8. Проблемы описания протяженных объектов криволинейного очертания на примере трасс автомобильных дорог в ГИС и САПР/ П.А. Елугачев, Э.А. Эшаров, В.Н. Бойков [и др.] // Сборник научных материалов 3-ей Всероссийской конференции молодых ученых: фундаментальные проблемы новых технологий в 3-ем тысячелетии. - Томск : Изд-во Ин-та оптики атмосферы СО РАН, 2006. - С. 609-612.

9. AASHTO. A policy on geometric design of highways and streets. - American Association of State Highway and Transportation Officials, Washington, D.C., 1990. - 1044 p.

P.A. ELUGACHEV, B.M. SHUMILOV, E.G. PRIHODKO, A.A. HOLKINA

THE CALCULATOR OF TORSION OF HIGHWAYS

The analysis of obtaining the visually clear and smooth highway outlines, with the use of concept of spatial torsion of a line is given in the article. «The calculator of torsion» is developed and basic forms of torsion of the highway basis, presented in an analytical and discrete kind are worked out.