Задача Коши для уравнения распределенного порядка в банаховом пространстве

Математические заметки СВФУ Январь—март, 2018. Том 25, № 1

УДК 517.9

ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ РАСПРЕДЕЛЕННОГО ПОРЯДКА В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Е. М. Стрелецкая, В. Е. Фёдоров, А. Дебуш

Аннотация. Исследуется задача Коши для уравнения распределенного порядка в банаховом пространстве с дробной производной Герасимова — Капуто и с линейным ограниченным оператором в правой части. Методами теории преобразования Лапласа найдены условия существования и единственности решения задачи в пространстве экспоненциально растущих функций. Решение представлено в виде контурного интеграла от резольвенты ограниченного оператора со сложным аргументом, определяемым видом распределенной производной. Доказана аналитичность полученного решения в правой полуплоскости комплексной плоскости. Полученный общий результат использован при исследовании задачи Коши для одной ин-тегродифференциальной системы уравнений, правая часть которой представляет собой композицию интегрального по пространственным переменным и линейного преобразований неизвестной вектор-функции.

Б01: 10.25587/8УРи.2018.1Л2769 Ключевые слова: эволюционное уравнение, дробная производная Герасимова — Капуто, задача Коши, уравнение распределенного порядка.

1. Введение и предварительные сведения

Уравнения с распределенными дробными производными встречаются при математическом моделировании сложных систем [1-7]. Существует большое количество работ, посвященных качественному и численному анализу различных уравнений с дробными производными, отметим среди них работы авторов данной статьи [8-19], близкие по методам исследования и посвященные исследованию качественных вопросов разрешимости уравнений дробного порядка в банаховых и локально выпуклых пространствах. В настоящей работе рассматривается задача Коши для уравнения распределенного дробного порядка с производной Герасимова — Капуто

ь

J ш(а)Вах(г) ва = Ах (г), I > 0,

а

в банаховом пространстве. Оператор А предполагается линейным и ограниченным. Доказана теорема об однозначной разрешимости этой задачи в пространстве экспоненциально растущих функций, получен вид ее решения, аналитического в правой полуплоскости. Полученный общий результат использован при исследовании одной интегродифференциальной системы уравнений.

© 2018 Стрелецкая Е. М., Фёдоров В. Е., Дебуш А.

При в > 0 обозначим др (Ь) := Ьв-1/Г(в) для Ь > 0,

г t

.^¡гЦ) := := I др(г-зЩ3)(1з = щ !(I - з^^з) ¿з.

о о

Пусть а > 0, т — наименьшее целое число, не превосходимое числом а, — обычная производная порядка т € М, — дробная производная Герасимова — Капуто [20,21], т. е.

(т-1 \

Лф - £ Л

Пусть X — банахово пространство, обозначим через Л£(%) банахово пространство всех линейных непрерывных операторов, действующих из X в X. Сформулируем используемую в дальнейшем теорему. Обозначим

Sa0,в0 := (А € С : | агя(Л - ао)| < 0о, А = о«}, ^ := (Ь € С : | агяЬ| < р, Ь = 0},

И+ := {0}иИ+. Преобразование Лапласа функции х : И+ —> X будем обозначать через х.

Теорема 1 [22, теорема 2.6.1]. Пусть в0 € (п/2,п), а0 € К, Я : (а0, ^ X. Тогда следующие утверждения эквивалентны.

1. Функция Я имеет аналитическое продолжение Я : Ба0,д0 ^ X, при этом

Уве (тг/2,в0)ЗК = К(в) >0УАе5О0,е ||Д(А)||Ж < |.

2. Существует такая аналитическая функция Т : Ее0-п/2 ^ X, что

Ув € (п/2, 00) ЗС = С(в) > 0 УЬ € £е-п/2 ||Т (Ь)Пж < С(в)еао Ее г и Т(Л) = Я(А) при всех Л > 00.

2. О решении задачи Коши для эволюционного уравнения распределенного дробного порядка

При А € (X) рассмотрим задачу Коши

х

для дифференциального уравнения распределенного порядка

ь

/„а№М .а = Ах,(). « > С. (2,

а

где — дробная производная Герасимова — Капуто, 0 < а < Ь < 1. Решением

задачи (1), (2) будем называть функцию х £ С(И+;Х) такую, что существует ъ _

/ ш(а)В"ж(£) (1а £ С(И+;Х) и выполняются равенства (1) и (2).

Обозначим через Е(К,ао',Х) множество таких функций х : R+ —> X, что ЭК > О3а0 > OVi G S+ \\x(t)\\x < Keaot. Будем использовать также обозначения

b

E(X) := U IJ E(K,ao; X), W(Л) := /ш(а)Ла da, K>0 ao>0 а

3

Y = и Yk, Yi = {Л G C : |Л| = ro, arg Л G (-п,п)} k=1

Y2 = {Л G C : arg Л = п, Л G [-ro, -ro)},

Y3 = {Л G C : arg Л = -п, Л G (-ro, -ro]}.

Теорема 2. Пусть A G Jzf (X), xo G X и функция ш : (a, b) ^ R такова, что при некотором ß > 0 функция W(Л) аналитична на множестве {Л G C : |Л| > ß, arg Л G (-п, п)}, при этом

Тогда функция

X(t) = ¿J / Штх)1 _ А)-^х0 dA, r0 = max{ß, (НМЬсн) 1/5

Y

является единственным решением задачи (1), (2) в пространстве E(X).

Доказательство. Для ro = max{ß, (2||A||j2>(X)/C)1/Ä} и Л G y выполняется неравенство |W(Л)| > 2||A||^f(x) и существует оператор (W(Л)/ - A)-1 G Jzf(X), при этом

\\W

1 ~ 2

Поэтому значения x(t) определены формулой (3) по крайней мере при t > 0. Пусть R > ro,

4

Гя = U rfejR, Г^я = Yi,

k=1

Г2,Д = {Л G C : |Л| = R, arg Л G (п, -п)}

Гз,я = {Л G C : arg Л = п, Л G [-ro, -R]},

Г4,я = {Л G C : arg Л = -п, Л G [-R, -ro]},

замкнутый контур Гя обходится по часовой стрелке. Введем в рассмотрение еще контуры

Гб,я = {Л G C : arg Л = п, Л G (-R, -ro)}, Гб,я = {Л G C : arg Л = -п, Л G (-ro, -R)},

тогда 7 = Г5,я и Г6,я и Гя \ Г2,я.

Перепишем х(Ь) при Ь > 0 в виде

1 г РАг ^ 1 г РАг ^

Ц) = — —¿2 \¥(Х)-кАкх0 ¿X = х0 + — / — ]Г \¥(Х)-кАкх0 ¿X к=0 ' к=1

1 г РАг ~

2пг / Л ^—'

7--Г»

7

При Ь € [0,1], Л € 7

к=0

<

1+5

согласно условиям теоремы на функцию Ш, поэтому

1 С РА* ^

2т ] Л ^

к=0

2тг<5г£

Следовательно, интеграл сходится равномерно по Ь € [0,1] и по непрерывности 1 /" 1

ж(0) = жо + — / ¿А

П ^ к=0

= Х0 +

так как по теореме Коши

1 1

— / тИ'(АГ1ЛУШАГ^(1А = 0, 2пг / Л ^^

к=0

Гд

/1 ^

Г к=0

Г 2,Д

„ 1

<

4С -1

<

Я5

¿Я5

к = 5,6.

Таким образом, ж (Е С(И+;Х), ж(0) = хд. По построению

1 рг Яе А

мт*<- ] -щ-НЫ\х<КеГ0\

к,Д

так как

„t Re Л

/„t Re Л !

^-ds < erot J erot(cosV-i) d(p < 2irer'ot,

Y1 o

—ro

/„t Re Л „x—ro

——ds<erot / -dx = C1er°t, к = 2,3, i > 1.

Yk — TO

При этом можно взять

— ro

2e—ro /• ex 2

п J x п te[o,1]

—то

Следовательно, x G E(X).

При Re y > ro выполняется равенство

Y

В силу (4) данный интеграл сходится и справедливы равенства

lim / -^^-

Гк,Д

Поэтому по интегральной формуле Коши и в силу отрицательной ориентации контура Гя

*М = Ит -L [ ,W{X\ aW(X)I - А)~1х0 d\ = -

я^то 2пг J Л(« - Л) «

Гд

при этом x(y) аналитически продолжима на {« G C : |y| > ro, argy G (-п, п)} ввиду аналитичности резольвенты.

Используя также обозначение L для преобразования Лапласа, запишем

L

w(a)Dax(i)da

= - АГЧ - ж0) = - А)~1х0 =

м м

Здесь принят во внимание тот факт, что оператор коммутирует со своей резольвентой. Подействуем на обе части полученного равенства обратным преобразованием Лапласа и получим равенство (2) во всех точках непрерывности функции ж, т. е. при всех t > 0. Как было замечено, х £ С(И+;Х), поэтому в силу непрерывности оператора А правая часть уравнения (2) принадлежит этому пространству, а потому и левая часть уравнения также в нем лежит и функция х является решением задачи (1), (2).

b

Если существуют два решения xi, x2 задачи (1), (2) из пространства E(X), то их разность y = x1 — x2 £ E(X) является решением уравнения (2) и удовлетворяет начальному условию y(0) = 0. Подействуем на обе части равенства

b

J ^

a

преобразованием Лапласа и получим

W (A)y(A) = Ay(A).

Поэтому при Re A > ro имеем y(A) = 0. Значит, y = 0.

Замечание 1. Нетрудно убедиться, что, скажем, ш(а) = const, ш(а) = an, n £ N, или ш(а) = са, c > 0, удовлетворяют условиям теоремы 2.

Следствие 1. В условиях теоремы 2 семейство операторов

1 ^ (W(A)J - A)_1eAt dA G jSf(X) : i G R+

А

Y

а поэтому и решение (3) задачи (1), (2) аналитически продолжимо в правую полуплоскость {t G C : Re t > 0}.

Доказательство. Как замечено при доказательстве теоремы 2,

xUl) = m.{Ww-A)-i м

является аналитической функцией на множестве

{м G C : |м| > ro, argм G (-п,п)}.

Поэтому для любого 0о G

м

< 71 < 1-г vm g sa0,во

И 1м- ^

при некотором С = С($о,ао). По теореме 1 оригинал X этой функции аналитически продолжим в £е0_п/2. Устремив к п, получим его аналитичность в £п/2 = (4 € С : Re I > 0}.

Пример. Рассмотрим задачу

«

ь

I = ¡КМ*«.,)«. (,,<)спх1+. ,6,

а О

Здесь О С К" — ограниченная область, 0 < а < Ь < 1, ш : (а, 6) ^ К, (т х т)-матрица В, К : О х О ^ Кт заданы, «(ж, 4) = (^(ж, 4), г>2(ж, 4),..., г>т(ж, 4)) — неизвестные функции.

Возьмем X = Ь2(0)т,

(Аш)(х) =У К^

о

для ад = (^1, ... ) € Ь2(0)т. Тогда А € (Ь2(0)т), и если функция ш удовлетворяет условиям теоремы 2, задача (5), (6) имеет единственное решение в пространстве Е(Ь2(0)т).

ЛИТЕРАТУРА

1. Caputo M. Mean fractional-order derivatives, differential equations and filters // Ann. Univ. Ferrara Sez. VII Sci. Mat. 1995. V. 41. P. 73-84.

2. Caputo M. Diffusion with space memory modelled with distributed order space fractional differential equations // Ann. Geophys. 2003. V. 46, N 2. P. 223-234.

3. Umarov S., Gorenflo R. Cauchy and nonlocal multi-point problems for distributed order pseudo-differential equations // Z. Anal. Anwend. 2005. V. 24. P. 449-466.

4. Meerschaert M. M., Scheffler H.-P. Stochastic model for ultraslow diffusion // Stochastic Process. Appl. 2006. V. 116. P. 1215-1235.

5. Atanackovic T. M., Oparnica L., PilipoviC S. On a nonlinear distributed order fractional differential equation //J. Math. Anal. Appl. 2007. V. 328. P. 590-608.

6. Kochubei A. N. Distributed order calculus and equations of ultraslow diffusion //J. Math. Anal. Appl. 2008. V. 340. 252-280.

7. Jiao Z., Chen Y., Podlubny I. Distributed-order dynamic system. Stability, simulations, applications and perspectives. London: Springer-Verl., 2012.

8. Федоров В. Е., Дебуш А. Один класс вырожденных дробных эволюционных систем в банаховых пространствах // Дифференц. уравнения. 2013. Т. 49, № 12. С. 1616-1622.

9. Федоров В. Е., Гордиевских Д. М. Разрешающие операторы вырожденных эволюционных уравнений с дробной производной по времени // Изв. вузов. Математика. 2015. № 1. С. 71-83.

10. Гордиевских Д. М., Федоров В. Е. Решения начально-краевых задач для некоторых вырожденных систем уравнений дробного порядка по времени // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. 2015. Т. 12. С. 12-22.

11. Федоров В. Е., Гордиевских Д. М., Плеханова М. В. Уравнения в банаховых пространствах с вырожденным оператором под знаком дробной производной // Дифференц. уравнения. 2015. Т. 51, № 10. С. 1367-1375.

12. Fedorov V. E., Nazhimov R. R., Gordievskikh D. M. Initial value problem for a class of fractional order inhomogeneous equations in Banach spaces // AIP Conf. Proc. 2016. V. 1759. P. 020008.

13. Федоров В. Е., Романова Е. А., Дебуш А. Аналитические в секторе разрешающие семейства операторов вырожденных эволюционных уравнений дробного порядка // Сиб. журн. чистой и прикл. математики. 2016. Т. 16, № 2. С. 93-107.

14. Костич М., Федоров В. Е. Вырожденные дробные дифференциальные уравнения в локально выпуклых пространствах с сигма-регулярной парой операторов // Уфим. мат. журн. 2016. Т. 8, № 4. С. 100-113.

15. Романова Е. А., Федоров В. Е. Разрешающие операторы линейного вырожденного эволюционного уравнения с производной Капуто. Секториальный случай // Мат. заметки СВФУ. 2016. Т. 23, № 4. С. 58-72.

16. Фёдоров В. Е., Романова Е. А. Об аналитических в секторе разрешающих семействах операторов сильно вырожденных эволюционных уравнений высокого и дробного порядков // Итоги науки и техники. Сер. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. 2017. Т. 137. С. 82-96.

17. Fedorov V. E., Gordievskikh D. M., Baybulatova G. D. Controllability of a class of weakly degenerate fractional order evolution equations // AIP Conf. Proc. 2017. V. 1907. P. 020009.

18. Федоров В. E., Плеханова M. В., Нажимов Р. Р. Линейные вырожденные эволюционные уравнения с дробной производной Римана — Лиувилля // Сиб. мат. журн. 2018. Т. 59, № 1. C. 140—152.

19. Гордиевских Д. M., Федоров В. E., Туров M. M. Бесконечномерная и конечномерная ^-управляемость одного класса вырожденных эволюционных уравнений дробного порядка // Челяб. физ.-мат. журн. 2018. Т. 3, вып. 1. С. 5—26.

20. Герасимов А. Н. Обобщение линейных законов деформации и их приложение к задачам внутреннего трения // Приклад. математика и механика. 1948. Т. 12. С. 529—539.

21. Caputo M. Lineal model of dissipation whose Q is almost frequancy independent. II // Geophys. J. Roy. Astron. Soc. 1967. V. 13. P. 529—539.

22. Arendt W., Batty C. J. K., Hieber M., Neubrander F. Vector-valued Laplace transforms and Cauchy problems. Basel: Springer-Verl., 2011. (Monogr. Math.; V. 96).

Статья поступила 12 января 2018 г.

Стрелецкая Елизавета Михайловна Челябинский гос. университет, кафедра математического анализа, ул. Братьев Kашириных, 129, Челябинск 454001 wwugazi@gmail.com

Федоров Владимир Евгеньевич

Челябинский гос. университет,

кафедра математического анализа,

ул. Братьев Kашириных, 129, Челябинск 454001;

Шадринский гос. педагогический университет,

кафедра физико-математического и информационно-технологического образования, ул. Kарла Либкнехта, 3, Kурганская область, г. Шадринск 641870;

Южно-Уральский гос. университет (национальный исследовательский университет), лаборатория функциональных материалов, пр. Ленина, 76, Челябинск 454080 kar@csu.ru

Амар Дебуш

Университет Гельмы, факультет математики, П. 401, Гельма 24000, Алжир amar_debbouche@yahoo. fr

Математические заметки СВФУ Январь—март, 2018. Том 25, № 1

UDC 517.9

THE CAUCHY PROBLEM FOR DISTRIBUTED

ORDER EQUATIONS IN BANACH SPACES

E. M. Streletskaya, V. E. Fedorov, and A. Debbouche

Abstract: The Cauchy problem for a distributed order equation in a Banach space with the fractional Gerasimov—Caputo derivative and a linear bounded operator in the right-hand side is studied. Existence and uniqueness conditions for the problem solution in the space of exponentially growing functions are found by the methods of the Laplace transformation theory. The solution is presented in the form of a contour integral of the bounded operator resolvent with a complex argument determined by the form of the distributed derivative. The analyticity of the solution in the right half-plane of the complex plane is proved. The general result is applied to the research of the Cauchy problem for an integro-differential system of equations with right-hand side in the form of composition of an integral operator with respect to the spatial variables and the linear transformation of the unknown vector-function.

DOI: 10.25587/SVFU.2018.1.12769

Keywords: evolution equation, fractional Gerasimov—Caputo derivative, Cauchy problem, distributed order equation.

REFERENCES

1. Caputo M., "Mean fractional-order derivatives, differential equations and filters," Ann. Univ. Ferrara, Nuova Ser., Sez. VII, 41, 73-84 (1995).

2. Caputo M., "Diffusion with space memory modelled with distributed order space fractional differential equations," Ann. Geophys., 46, No. 2, 223-234 (2003).

3. Umarov S. and Gorenflo R., "Cauchy and nonlocal multi-point problems for distributed order pseudo-differential equations," Z. Anal. Anwend., 24, 449-466 (2005).

4. Meerschaert M. M. and Scheffler H.-P., "Stochastic model for ultraslow diffusion," Stochastic Process. Appl., 116, 1215-1235 (2006).

5. Atanackovic T. M., Oparnica L., and PilipoviC S., "On a nonlinear distributed order fractional differential equation," J. Math. Anal. Appl., 328, 590-608 (2007).

6. Kochubei A. N., "Distributed order calculus and equations of ultraslow diffusion," J. Math. Anal. Appl., 340, 252-280 (2008).

7. Jiao Z., Chen Y., and Podlubny I., Distributed-Order Dynamic System. Stability, Simulations, Applications and Perspectives, Springer-Verlag, London (2012).

8. Fedorov V. E. and Debbouche A., "A class of degenerate fractional evolution systems in Banach spaces," Differ. Equ., 49, No. 12, 1569-1576 (2013).

9. Fedorov V. E. and Gordievskikh D. M., "Resolving operators of degenerate evolution equations with fractional derivative with respect to time," Russ. Math., 59, No. 1, 60-70 (2015).

10. Gordievskikh D. M. and Fedorov V. E., "Solutions of initial boundary value problems for some degenerate equations of systems of time-fractional order," Izv. Irkutsk. Gos. Univ., Ser. Mat., 12, 12-22 (2015).

© 2018 E. M. Streletskaya, V. E. Fedorov, A. Debbouche

11. Fedorov V. E., Gordievskikh D. M., and Plekhanova M. V., "Equations in Banach spaces with a degenerate operator under a fractional derivative," Differ. Equ., 51, No. 10, 1360—1368

(2015).

12. Fedorov V. E., Nazhimov R. R., and Gordievskikh D. M., "Initial value problem for a class of fractional order inhomogeneous equations in Banach spaces," in: AIP Conf. Proc., 1759, 020008 (2016).

13. Fedorov V. E., Romanova E. A., and Debbouche A., "Analytic in a sector resolving families of operators for degenerate evolution fractional equations," J. Math. Sci., 228, No. 4, 380—394 (2018).

14. KostiC M. and Fedorov V. E., "Degenerate fractional differential equations in locally convex spaces with <r-regular pair of operators," Ufimsk. Mat. Zh., 8, No. 4, 100—113 (2016).

15. Romanova E. A. and Fedorov V. E., "Resolving operators of a linear degenrate evolution equation with Caputo derivative. The sectorial case," Mat. Zamet. SVFU, 23, No. 4, 58—72

(2016).

16. Fedorov V. E. and Romanova E. A., "On analytic in a sector resolving families of operators for strongly degenerate evolution equations of highest and fractional orders," Itogi Nauki Tekh., Ser. Sovrem. Mat. Prilozh., Temat. Obz., 137, 82-96 (2017).

17. Fedorov V. E., Gordievskikh D. M., and Baybulatova G. D., "Controllability of a class of weakly degenerate fractional order evolution equations," in: AIP Conf. Proc., 1907, 020009 (2017).

18. Fedorov V. E., Plekhanova M. V., and Nazhimov R. R., "Degenerate linear evolution equations with the Riemann-Liouville fractional derivative," Sib. Math. J, 59, No. 1, 136-146 (2018).

19. Gordievskikh D. M., Fedorov V. E., and Turov M. M., "Infinite-dimensional and finite-dimensional e-controllability for a class of fractional order degenearte evolution equations," Chelyab. Fiz. Mat. Zh., 3, No. 1, 5-26 (2018).

20. Gerasimov A. N., "Generalization of linear deformation laws and their applications to problems of internal friction," Prikl. Mat. Mekh., 12, 529-539 (1948).

21. Caputo M., "Lineal model of dissipation whose Q is almost frequency independent. II," Geophys. J. R. Astronom. Soc., 13, 529-539 (1967).

22. Arendt W., Batty C. J. K., Hieber M., and Neubrander F., Vector-valued Laplace Transforms and Cauchy Problems, 2nd ed., Springer-Verlag, Basel (2011) (Monogr. Math.; V. 96).

Submitted January 12, 2018

Elizaveta M. Streletskaya Chelyabinsk State University,

129 Kashirin Brothers Street, Chelyabinsk, Russia 454001 wwugazi@gmail.com

Vladimir E. Fedorov Chelyabinsk State University,

129 Kashirin Brothers Street, Chelyabinsk, Russia 454001; Shadrinsk State Pedagogical University, 3 Karl Liebknecht Street, Shadrinsk, Russia 641870; South Ural State University (National Research University), 76 Lenin Avenue, Chelyabinsk, Russia 454080 kar@csu.ru

Amar Debbouche Guelma University, 401, Guelma, Algeria 24000 amar_debbouche@yahoo. f r