Управление пакетными коммутациями в телематических устройствах с ограниченным буфером и повторными заявками с помощью вероятностного выталкивающего механизма и приоритетного обслуживания первичных заявок

Управление пакетными коммутациями

в телематических устройствах с ограниченным буфером и повторными заявками с помощью вероятностного выталкивающего механизма и приоритетного обслуживания первичных заявок

Заяц О. И., Кореневская М. М., Ильяшенко А. С., Мулюха В. А. Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого Санкт-Петербург, РФ

zay.oleg@gmail.com, masha_kor95@mail.ru, ilyashenko.alex@gmail.com, vladimir@mail.neva.ru

Аннотация. В работе рассматривается однопотоковая система массового обслуживания конечной емкости с абсолютным приоритетом, вероятностным выталкивающим механизмом и повторными требованиями. Дано описание исследуемой модели, получены аналитические выражения для коэффициентов загрузки системы по каждому типу требований. Показан способ сведения модели к модели без повторных требований. Методом производящих функций найдены основные вероятностные характеристики для обоих типов требований. В результате численных расчетов исследовано влияние вероятностей выталкивания и повторного обслуживания на вероятности потерь. Также исследован режим двух случаев: запирания системы и линейного закона потерь в зависимости от вероятности повторного обращения.

Ключевые слова: теория массового обслуживания, приоритетные системы, вероятностный выталкивающий механизм, повторные заявки, метод производящих функций.

ВВЕДЕНИЕ

Основной аналитический метод исследования телематических устройств состоит в рассмотрении их как специфических систем массового обслуживания [1]. Для корректного описания реальных сетевых взаимодействий при этом приходится использовать достаточно сложные модели СМО. Во-первых, фактическая структура информационных потоков диктует использование многопотоковых моделей СМО [2]. Во-вторых, частичные потоки должны быть надлежащим образом приоритезированы. Приоритет означает некоторое преимущество в обслуживании, которое предоставляется особо выделенным типам заявок по отношению к остальным типам.

Исследования последних лет показали, что приоритет в обслуживании целесообразно дополнить также приоритетом по постановке в очередь, т. е. соответствующим выталкивающим механизмом. Саму концепцию выталкивающего механизма предложил Г. П. Башарин и начал разрабатывать еще на рубеже 1960-1970-х годов [3]. Однако на первоначальном этапе развития этой теории речь шла только о детерминированном выталкивающем механизме. Он дает

безусловное право высокоприоритетным требованиям всегда вставать на место низкоприоритетных в накопителе, когда тот бывает переполнен.

Такой выталкивающий механизм лишь отчасти решает задачу управления пакетными коммутациями. На практике часто интенсивность высокоприоритетного трафика существенно ниже, чем низкоприоритетного. При этом возникает следующая дилемма: если включить описанный механизм, то в накопителе будут преобладать высокоприоритетные запросы. Если же от него отказаться, то, напротив, большая часть накопителя будет забита низкоприоритетными запросами. Между тем для эффективной работы телематического устройства необходим рациональный баланс тех и других [2]. Детерминированный механизм не дает возможности тонкой настройки телематического устройства, необходимой для гибкого и эффективного управления им.

В начале 2000-х годов Н. О. Вильчевский выдвинул идею вероятностного (рандомизированного) выталкивающего механизма, в котором выталкивание происходит по случайному закону с некоторой вероятностью а. Величина а играет роль параметра управления и служит для адаптации телематического устройства к условиям окружающей сетевой среды. В статьях [4, 5] эта идея была реализована для случая двухпотоковой одноканальной марковской СМО с ограниченным накопителем и относительным приоритетом. Уже в самых первых работах по вероятностному выталкивающему механизму была показана его высокая эффективность. Так, в работах [4, 5] приводится числовой пример, в котором введение приоритета уменьшает вероятность потери высокоприоритетных требований всего в 2-3 раза, а дополнение приоритета еще и случайным выталкиванием позволяет за счет увеличения а от 0 до 1 уменьшить эту вероятность потери сразу в 10 23 раз.

По классификации Г. П. Башарина [2] система, рассмотренная в [4, 5], имеет обозначение М2 / М /1/ к / / . Первый (векторный) символ в этом обозначении говорит, что на вход системы поступают два простейших потока требований. Второй символ указывает, что обслуживание обоих этих потоков идет по показательному закону с одинаковой

интенсивностью. Третий символ соответствует тому, что имеется лишь один канал обслуживания, а четвертый - что суммарная емкость СМО составляет ровно к требований (одно на обслуживании и к - 1 в накопителе). Последний символ приоритета/* свидетельствует о наличии приоритета первого потока над вторым, причем значение г = 1 отмечает относительный приоритет, а значение у = 1 - вероятностный выталкивающий механизм.

Авторы данной статьи продолжили исследования, начатые в [4, 5], и разобрали ряд других разновидностей приоритета для СМО класса М2 / М /1 / к / /¡, снабженных вероятностным выталкивающим механизмом помимо случая относительного приоритета (г = 1). В статьях [6, 7] эта задача решена для случая абсолютного приоритета (г = 2), а в работе [8] - применительно к случаю чередующегося приоритета.

В теории массового обслуживания существует ряд усложнений, которые не попали в эту классификацию, однако требуют дополнительного внимания. Одним из таких усложнений является эффект «разогрева» и «охлаждения» модели [9, 10]. Еще один интересный способ усложнения модели - добавление повторных заявок. Во всех упомянутых статьях [2-8] не учитывался важный фактор повторных вызовов. Между тем хорошо известно, что игнорирование этого фактора в телефонных, информационно-вычислительных и телематических системах способно кардинально изменить реальную картину функционирования такого рода систем. Исследованию СМО с повторными вызовами посвящена обширная литература. Достаточно полное представление о современном состоянии работ в этой области дают монография [11] и обзор [12]. Вычислительные и алгоритмические аспекты проблемы подробно разобраны в [13].

В последние годы существенно возрос интерес к исследованию приоритетных систем с повторными требованиями. Здесь следует отметить интересный обзор [14], а также содержательную статью [15]. Изучение таких СМО началось со случая, когда ограничивалась длина очереди только низкоприоритетных требований, высокоприоритетные могли поступать в накопитель в любом количестве [16, 17]. Впоследствии ученые перешли к изучению моделей, в которых ограничение касалось и очереди высокоприоритетных заявок [18-23].

Особо следует отметить работы П. П. Бочарова и его соавторов, посвященные анализу тех приоритетных СМО с повторными требованиями, в которых приоритет по обслуживанию предоставляется первичным требованиям, а при повторном обращении требование превращается в низкоприоритетное [18-20]. Эти задачи чрезвычайно интересны с прикладной точки зрения, но явно недостаточно изучены. Выше отмечалось, что появление повторных заявок способно в корне изменить поведение СМО, в том числе при наличии приоритетов. Это происходит из-за обилия в таких системах вторичных требований, повторно пытающихся попасть в систему. Во многих случаях напрашивается естественное и логичное решение - предоставить преимущество впервые поступившим заявкам. Это имеет место, например, при моделировании узлов коммутации в информационных системах [24].

В нашей статье модель, подобная разобранной в [18-20, 24], изучается в комбинации с вероятностным выталкивающим механизмом. Это позволяет тонко настроить баланс

между первичными и вторичными требованиями, что принципиально важно, например, в задачах управления робото-техническими комплексами в космических экспериментах, детально описанных в работе [25].

Описание модели СМО

Рассмотрим систему массового обслуживания, на вход которой поступает один-единственный входящий простейший поток требований с интенсивностью 0. Этот поток будем называть первичным потоком заявок. Такие заявки будут иметь в данной системе наивысший приоритет. При функционировании системы с ограниченным накопителем на ее входе могут возникать потери этих первичных требований из-за отсутствия свободных мест в накопителе. В этом случае обычно требования попросту безвозвратно теряются. Однако при рассмотрении систем с повторными заявками у потерянных требований появляется возможность повторно попасть в систему. Именно такие заявки будут формировать еще один - второй - входящий поток в систему, обладающий меньшим приоритетом, чем первичный. Этот поток фактически делает систему двухпотоковой. Более детально поведение повторных заявок в системе может быть описано следующим образом.

Первичные требования, которые были потеряны по причине отсутствия свободных мест в накопителе, с вероятностью, равной единице, попадают на орбиту повторных требований. В классической постановке задачи о повторных требованиях вероятность попадания с орбиты обратно в систему была равна единице для всех типов требований. Чтобы не допустить забивания орбиты вытесненными из СМО требованиями, введем дополнительный параметр модели - вероятность попадания из орбиты обратно в систему д. Тогда если какое-либо требование ранее было вытеснено из системы и вновь попало туда лишь с орбиты повторных требований, то оно с заданной вероятностью д может еще раз попасть на орбиту, а с вероятностью 1 - д безвозвратно потеряться. Схема описанной СМО приведена на рис. 1.

Исследование такой системы можно свести к случаю обычной двухпотокой системы с вероятностным выталкиванием и без повторных заявок. Однако для этого придется использовать интенсивность первичного и вторичного входящих потоков, фактически реализуемую в данной СМО. Рассмотрим процесс получения этих интенсивностей подробнее.

При таком способе организации СМО интенсивность входящих потоков может быть получена как

=

- ^1rep '

^2rep

I P

Л1,0 poss 1 - P

1 poss

^qP}2 1 - qP

1 qposs

где X, , X - интенсивность потоков первичных и вторич-

1rep" 2rep ^ ^

ных повторных требований, соответственно; р и -вероятность потери требований из первичного и вторичного потоков, соответственно.

Из результатов работ [6, 7] можно сделать вывод, что вероятность потери зависит от четырех параметров: Р1, Р2, к и а, первые два из которых представляют собой коэффициенты загрузки, соответственно, по высоко- и низкоприоритетному трафику, а третий - суммарную емкость системы.

Рис. 1. Схема однопотоковой СМО с повторными заявками

Рис. 2. Размеченный граф состояний для системы с повторными заявками

Тогда для определения коэффициентов загрузки можно использовать систему уравнений, получаемую из уравнений (1) делением их обеих частей на интенсивность обслуживания требований в канале:

Р1 = Р1,0;

Р1,0Ф!^ Р2, к, а) * 1 - ЧФ2

Р2 =

1 - Ф1

Введенные здесь функции четырех упоминавшихся аргументов задают выражения для вероятностей потери.

С использованием найденных выражений для коэффициентов загрузки (2) и для вероятностей потери, полученных методами работ [6, 7], легко получить численное значение интенсивности вторичного потока (а значит, и коэффициента загрузки по этому потоку), после чего легко находятся конкретные числовые значения для вероятностей потерь тре-

бований в зависимости от всех параметров системы, к которым теперь добавляется еще один - вероятность повторного обращения д.

Метод производящих функций

Для получения аналитических выражений для характеристик исследуемой модели существует ряд методов, применяемых к приоритетным системам массового обслуживания, рассмотренных в работе [26]. Один из них - метод производящих функций, который и будет применен далее.

Рассмотрим систему с вероятностным выталкивающим механизмом, абсолютным приоритетом и повторными заявками в установившемся режиме. Процесс в этой системе будет Марковским. Он является также и эргодическим, что гарантирует существование финальных вероятностей, не зависящих от начального состояния системы. Последние удовлетворяют стационарной системе уравнений Колмогорова.

Введем вначале фазовое пространство этой системы (совокупность всевозможных состояний, в которых она может находиться). Определим его равенством

П = {

Далее определим вероятности состояний:

Р(г,у;г) = Р{^1 (г) = г,N2(г) = у,0 < г + у < к},

где N(0 - число требований д-го типа в системе в момент времени г.

Введем финальные вероятности этой системы: Ру = ^И/О,у;г), (г = 0,к, у = 0,к,0 < г + у < к).

Тогда по обычным правилам можно построить размеченный граф состояний, описывающий все возможные переходы между состояниями системы из фазового пространства (3). Этот граф представлен на рис. 2.

Воспользуемся приведенным графом состояний и построим систему уравнений Колмогорова для финальных вероятностей. В результате этих действий получим следующую систему линейных уравнений:

- [Х1(1 - 8у,к-г) + аХ1(1 - 8г,к )8у,к-г +

+ (1 -а) 8 у,к-г 2(1 -8 у к-г) +

+ ц(1 -8 )]Р , у + ^+1, у + И8/,0 Р, у+1 +

+ Х2 Р, у-1 +Х1Р-1, у +аХ18у, к-А-1, у+1 +

+ (1 -а) Х18 у л-,• 8г,1р-1, у+1 = ^

(0 < г < к;0 < у < к - г).

Для удобства записи этих уравнений использован дельта-символ Кронекера, который позволяет привести все уравнения (4) к единообразной форме для произвольных значений индексов г и у.

Уравнения (4) выполняются при всех г, у > 0, для которых выполняется условие г + у < к. Здесь введено следующее соглашение, которое будет использоваться во всей статье:

Р, у = 0,(г < 0, у < 0, г + у > к).

Для получения характеристик модели будем использовать метод производящих функций.

Для этого определим производящую функцию финальных вероятностей Р . из фазового пространства (3) в виде

к к-i

G(u, v) = ХЕ P,

i j i \

i-0 у-0

Для этой производящей функции условие нормировки выглядит следующим образом:

к к-г

е(1,1) = ХХ Р, у = 1.

г=0 у=0

Теперь приступим к получению аналитического выражения для производящей функции. Для этого умножим левую и правую части уравнения (4) на и'г-* и просуммируем по всем допустимым значениям (г, у). После ряда алгебраических преобразований приходим к искомому уравнению для производящей функции финальных вероятностей:

[Я,1м(1 - и) + А^и(1 - + М-(и - (и, V) =

- |i(u - v)G(0, v) + (1 - a)X1P0 kvku(u - v) +

+|iu(v - 1)G (0,0) + aX1uk+1 (v - u) Pk ,0 +

к i к-i

+[a^1 (u - v) + X (1 - u)v + X2 (1 - v)v]uУ Pi к-iu'v 1

i-0

Чтобы получить отсюда выражения для искомых вероятностей P . при произвольных i и у, необходимо вначале разрешить (5) относительно G, что дает

G(u, v) --1-*

vp1

*((u - v)G(0, v) + u(u - 1)G(0,0) +

к  k-

+[ap1(u - v) + P1 (1 - u)v + P2 (1 - v)v]u У Р,к-u'v ' +

i-0

+aP1uk+1 (v - u)рк,0 +(1 - a)Plpo,kv<iu(u - v))-

Здесь u1, u2 - корни знаменателя этого выражения, определяемые по формуле

u1,2 -

[Р1 + Р2 (1 - v) +1] + 4[Р1 +Р2 (1 - v) +1]2 - 4р1

2Р1

Эти корни являются простыми полюсами производящей функции, для дальнейшего решения необходимо разложить выражение для производящей функции по степеням ее аргументов и и V.

Чтобы это сделать, воспользуемся выражениями для тех характеристик системы, которые хорошо известны по исследованиям классической однопотоковой системы класса М/М/1/к. Это прежде всего распределение общего числа требований в системе:

n

n

r -У P . - У P .. i-0 i-0

Подставим в (6) выражение для финальных вероятно-стейиз работы [7]. Тогда получим систему уравнений, содержащую только наиболее интересующие нас «диагональные» вероятности р. = Рк,,.

= х р - /, /=Р0Р1 с 2 -аФ2р.

•+1

/=0

где

+ X Р/%2,/ + Рк (а -1)82,к-1 ,(0 < 2 < к -1), 1=1

С, = X р11-к+2-/)/2 (/ -1 -р1/2/ -2); 1=0

Ф 2 = Р(2+1-к )/2с1-1-2;

к/ = X р(2 ^ )/2(р-У2 с ш-1 - с^в -] -

«=/

-аР( 1 -к)/2в2+1-/ С -/ аР1 Р Ч -1-

- / +2

Дополним эту систему уравнением (6), чтобы получить одно недостающее уравнение:

к к

гк = Х рк-м = Х Р1. (=0 (=0

Данная система имеет квазитреугольную матрицу, для которой процесс решения можно свести к решению системы с треугольной матрицей. Профиль этой матрицы представлен на рис. 3 (при к = 21).

Нахождение

ВЕРОЯТНОСТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК МОДЕЛИ

Одной из самых важных характеристик любой телематической системы является вероятность потери заявки, которая зависит от её типа. Для каждого типа требований вероятность потери может быть найдена по ранее полученным формулам (7)-(9):

Р£ = <?к + (1 -а) X Р(; Р^ = гк + а-Р^ X р + ^ Рк.

(=1 Р2 (=1 Р2

Численное исследование зависимостей Р^ от вероятности выталкивания а дало очень интересные результаты, представленные ниже на графиках.

Рассмотрим зависимость вероятности потерь для двух типов требований в зависимости от параметров а и д при разных значениях коэффициента загрузки р1. Результаты представлены на рис. 4 для высокоприоритетных требований, на рис. 5 - для низкоприоритетных требований в обоих случаях при Р1 = 1.0; 1.6; 2.2; 2.8.

Из зависимостей на рис. 4 видно, что с ростом коэффициента загрузки системы отдельные кривые из семейства кривых, отвечающих разным значениям параметра д,

р = 1.0

0.7

Р = 1.6

р = 2.2

Рис. 3. Профиль матрицы итоговой системы

Рис. 4. Зависимость вероятности потерь высокоприоритетных требований от а и д

0.95

а! о.э

0.85

) = 1.6

1 4=1

4=0

Из графиков на рис. 5 видно, что при некоторых значениях параметра а удается практически полностью заблокировать систему от попадания в нее низкоприоритетных требований. В работах [6-8] такой эффект назван запиранием системы, причем были найдены области действия подобных эффектов. Для данной системы можно сделать вывод, что при высоких значениях коэффициента загрузки варьирование вероятности попадания требований на повторное обслуживание д не оказывает существенного влияния

д = о.оо

1.5

0.2

0.4

0.6

0.8

2.5

Р

—а = 0 -а = 0.1 -а = 0.2 -а = 0.3 —а = 0.4 а = 0.5 -а = 0.6 -а = 0.7

—а = 0.8

-а = 0.9

¿р*^ , I -а= 1

3.5

> = 2.2

1 4=1

4=0

q = 0.50

Рис. 5. Зависимость вероятности потерь низкоприоритетных требований от а и д

сближаются друг с другом, и это говорит о снижении зависимости вероятности потерь от вероятности попадания требования на повторное обслуживание. А поскольку сами кривые несколько приподнимаются вверх, то можно сделать логичный вывод, что вероятность потери при дальнейшем увеличении нагрузки будет только расти.

В работах [6-8] введено понятие областей линейности, в которых при определенных комбинациях коэффициентов загрузки зависимость вероятности потерь от вероятности выталкивания оказывалась близка к линейной. В данном случае такой характер поведения вероятности потерь можно наблюдать только для небольших значений коэффициента загрузки.

1.5

1.5

2.5

р

д = 0.75

2.5

Р

—а = 0 -а = 0.1 -а = 0.2 -а = 0.3

—а = 0.4 а = 0.5 -а = 0.6 -а = 0.7 —а = 0.8 -а = 0.9 -а= 1

3.5

—а = 0 -а = 0.1 -а = 0.2 -а = 0.3

—а = 0.4 а = 0.5 а = 0.6 -а = 0.7 —а = 0.8 -а = 0.9 -а= 1

3.5

Рис. 6. Зависимость отношения коэффициентов загрузки повторного и первичного потоков при различных а и д

на проявление этого эффекта. Однако если значения коэффициента загрузки близки к пропускной способности системы, то можно в достаточно широком диапазоне менять вероятности потерь и даже совсем запереть систему от попадания повторных заявок.

Еще одним результатом, представлявшим интерес для приложений, была зависимость отношения между коэффициентами загрузки потоков требований (рис. 6).

Из приведенных зависимостей видно, что при изменении вероятности выталкивания а соотношение между коэффициентами загрузки убывает, т. е. первичный поток начинает преобладать над вторичным. Однако при изменении вероятности попадания потерянного требования на повторное облуживание это соотношение возрастает. Максимальные значения для всех случаев достигаются при а = 0 и д = 1.

Заключение

В рамках данной работы исследована однопотоковая система с повторными заявками и вероятностным выталкиванием. Получены аналитические выражения для коэффициентов загрузки модели с повторными заявками. Показан способ сведения однопотоковой модели с повторными заявками к двухпотоковой модели без них. Показано применение метода производящих функций для получения вероятностей состояний модели. Также построены численные зависимости вероятностей потери от основных параметров модели. Практически значимыми результатами являются полученные эффекты запирания и линейного закона потерь, которые могут быть использованы для уменьшения вычислительной загрузки на телематические устройства, функционирующие и принимающие решения в режиме реального времени. Предварительные расчеты таких областей, где проявляются эти эффекты, позволят сразу выбирать нужные значения параметров модели вместо их многократного вычисления в реальном времени, что позволит поднять производительность систем и повысить эффективность управления ею.

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 15-29-07131 офи_м.

Литература

1. Вишневский В. М. Теоретические основы проектирования компьютерных сетей / В. М. Вишневский. - М.: Техносфера, 2003.

2. Заяц О. И. Управление пакетными коммутациями в телематических устройствах с ограниченным буфером при наличии абсолютного приоритета и вероятностного выталкивающего механизма / О. И. Заяц, В. С. Заборовский, В. А. Мулюха, А. С. Вербенко // Программная инженерия. - 2012. - № 2. -С. 22-27; № 3. - С. 21-29.

3. Башарин Г. П. Некоторые результаты для систем с приоритетом / Г. П. Башарин // Массовое обслуживание в системах передачи информации. - М.: Наука, 1969. - С. 39-53.

4. Avrachenkov K. E. Randomized push-out disciplines in priority queueing / K. E. Avrachenkov, G. L. Shevlyakov, N. O. Vil-chevsky // J. Math. Sci. - 2004. - Vol. 22, no. 4. - P. 33363342.

5. Avrachenkov K. E. Priority queueingwith finite buffer size and randomized push - out mechanism / K. E. Avrachenkov, N. O. Vilchevsky, G. L. Shevlyakov // Perform. Eval. - 2005. -Vol. 61, no. 1. - P. 1-16.

6. Ilyashenko A. Further investigations of the priority queueing system with preemptive priority and randomized push-out mechanism / A. Ilyashenko, O. Zayats, V. Muliukha, L. Laboshin // Lect. Notes in Comp. Sci. - 2014. - Vol. 8636. - P. 433443.

7. Muliukha V. Preemptive queueing system with randomized push-out mechanism / V. Muliukha, A. Ilyashenko, O. Zayats, V. Zaborovsky // Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul. -2015. - no. 1/3. - P. 147-158.

8. Ilyashenko A. Alternating priorities queueing system with randomized push-out mechanism / A. Ilyashenko, O. Zayats, V. Muliukha, A. Lukashin // Lect. Notes in Comp. Sci. - 2015. -Vol. 9247. - P. 436-445.

9. Гиндин С. И. Численный расчет многоканальной системы массового обслуживания с рекуррентным входящим потоком и «разогревом» / С. И. Гиндин, А. Д. Хомонен-ко, С. Е. Ададуров // Изв. ПГУПС. - 2013. - Вып. 4 (37). -С. 92-101.

10. Хомоненко А. Д. Моделирование облачных вычислений с использованием многоканальной системы массового обслуживания с «охлаждением» / А. Д. Хомоненко, М. М. Ха-лиль, С. И. Гиндин // XIX междунар. конф. по мягким вычислениям и измерениям (SCM-2016). - СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2016. - Т. 1. - С. 247-251.

11. Falin G. I. Retrial queues / G. I. Falin, J. G. Templeton. -L.: Chapman and Hall, 1997.

12. Falin G. I. A survey of retrial queue / G. I. Falin // Queueing Syst. - 1990. - Vol. 7. - P. 127-168.

13. Степанов С. Н. Численные методы расчета систем с повторными вызовами / С. Н. Степанов. - М.: Наука, 1983.

14. Choi B. D. Single server retrial queues with priority calls / B. D. Choi, Y. Chang // Math. Comput. Modell. - 1999. -Vol. 30, no. 1. - P. 7-32.

15. Artalejo J. R. Stationary analysis of a retrial queue with preemptive repeated attempts / J. R. Artalejo, A. N. Dudin, V. I. Kli-menok // Oper. Res. Lett. - 2001. - Vol. 28. - P. 173-180.

16. Choi B. D. The M/G/1 retrial queue with Bernoulli schedule / B. D. Choi, K. K. Park // Queueing Syst. - 1990. - Vol. 7. -P. 219-227.

17. Choi B. D. On the virtual waiting time for an M/G/1 retrial queueing systems with two types of calls / B. D. Choi, D. H. Han, G. I. Falin // J. Appl. Math. Stochastics Anal. - 1993. - Vol. 6, no.1. - P. 11-29.

18. Бочаров П. П. Система M/G/1/r с повторными заявками и приоритетным обслуживанием первичных заявок / П. П. Бочаров, О. И. Павлова, Д. А. Пузикова // Вестн. РУДН. -Прикладная математика и информатика. - 1997. - № 1. -

C. 37-57.

19. Bocharov P. P. A M/G/1/r retrial queueingsystem with prioritry of primary customers / P. P. Bocharov, O. I. Pavlova,

D. A. Puzikova // Math. Comput. Modell. - 1999. - Vol. 30, no. 1. - P. 89-98.

20. Бочаров П. П. Стационарные вероятности состояний системы MAP/G/1/r с повторными заявками и приоритетным обслуживанием первичных заявок / П. П. Бочаров, А. В. Пе-чинкин, Н. Х. Фонг // Автоматика и телемеханика. - 2000. -№ 8. - С. 68-78.

21. Choi B. D. MAP1, MAP2/M/c retrial queue with guard channels and its applications to cellar networks / B. D. Choi, Y. Chang, B. Kim // Top. - 1999. - Vol. 7. - P. 231-248.

22. Choi B. D. M/G/1 retrial queueing systems with two types of calls and finite capacity / B. D. Choi, K. B. Choi, Y. N. Lee // Queueing Syst. - 1995. - Vol. 19. - P. 215-229.

23. Choi B. D. The M1, M2/G/1/k retrial queueing systems with priority / B. D. Choi, D. B. Zhu // J. Korean Math. Soc. -1998. - Vol. 35. - P. 691-712.

24. Агаларов Я. М. Об одном численном методе вычисления стационарных характеристик узла коммутации с по-

вторными передачами / Я. М. Агаларов // Автоматика и телемеханика. - 2011. - № 1. - С. 95-106.

25. Zaborovsky V. Cyber-Physical Approach in a Series of Space Experiments "Kontur" / V. Zaborovsky, V. Muliukha, A. Ilyashenko // Lect. Notes in Comp. Sci. - 2015. - Vol. 9247. -P. 745-758.

26. Рыжиков Ю. И. Расчет многоканальных систем обслуживания с абсолютным и относительным приоритетами на основе инвариантов отношения / Ю. И. Рыжиков, А. Д. Хо-моненко // Интеллектуальные технологии на транспорте. -2015. - № 3. - С. 11-16.

Network Packets Management in Telematic Devices with Retrial, Limited Buffer Size Using Randomized Push-Out Mechanism and Prioritization for Initial Flow

Zayats O. I., Korenevskaya M. M., Ilyashenko A. S., Muliukha V. A. Peter The Great St.Petersburg Polytechnic University Saint-Petersburg, Russian Federation zay.oleg@gmail.com, masha_kor95@mail.ru, ilyashenko.alex@gmail.com, vladimir@mail.neva.ru

Abstract. In this article considered retrial queueing system with single incoming flows, finite buffer, preemptive priority and randomized push-out mechanism. Provided description of queueing system model, obtained analytical expressions for load coefficients of system for both types of incoming flows and shown method of casting this model to model without retrial. Using generating functions method obtained main probabilistic characteristics of considered model (like loss probabilities) for both types of incoming packets. Obtained theoretical results allowed to study dependences of loss probabilities from model parameters like push-out and retrial probabilities. Also found areas of retrial probability values when model can get closed for low-priority packets or can have linear dependence of loss probability from pushing-out probability.

Keywords: priority queueing systems, prioritized system, randomized push-out mechanism, retrial systems, queueing theory.

References

1. Vishnevsky V. M. Teoreticheskie osnivy proektirovaniya komputernikh setey [Theoretical bases of computer networks design.]. Moscow, Tekhnosfera, 2003.

2. Zayats O. I., Zaborovsky V. S., Muliukha V. A., Verben-ko A. S. Network packets management in telematic devices with limited buffer size preemptive priority and randomized push-out mechanism. Part 1. [Upravlenie paketnimi kommutaciyami v telemeticheskih ustroystvah s ogranichennim bufferom prinal-ichii absolutnogo prioriteta i veroyatnostnogo vitalkivayushego mehanizma. Chast' 1], Programmnaya ingeneria [Program Eng.], 2012, no. 2, pp. 22-27; no. 3, pp. 21-29.

3. Basharin G. P. Some results for priority systems [Nekoto-rierezultatidlyasistem s prioritetom]. Massovoe obslujivanie v sistemah peredachi infomacii [Queueing theory in data transfer systems]. Moscow, Nauka, 1969, pp. 39-53.

4. Avrachenkov K. E., Shevlyakov G. L., Vilchevsky N. O. Randomized push-out disciplines in priority queueing, J. Math. Sci., 2004, vol. 22, no. 4, pp. 3336-3342.

5. Avrachenkov K. E., Vilchevsky N. O., Shevlyakov G. L. Priority queueingwith finite buffer size and randomized push - out mechanism, Perform. Eval., 2005, vol. 61, no. 1, pp. 1-16.

6. Ilyashenko A., Zayats O., Muliukha V., Laboshin L. Further investigations of the priority queueing system with preemptive priority and randomized push-out mechanism, Lect. Notes in Comp. Sci., 2014, vol. 8636, pp. 433-443.

7. Muliukha V., Ilyashenko A., Zayats O., Zaborovsky V. Preemptive queueing system with randomized push-out mechanism, Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul., 2015, no. 1/3, pp. 147-158.

8. Ilyashenko A., Zayats O., Muliukha V., Lukashin A. Alternating priorities queueing system with randomized push-out mechanism, Lect. Notes in Comp. Sci., 2015, vol. 9247, pp. 436-445.

9. Gindin S. I., Khomonenko A. D., Adadurov S. E. Numerical computations multiflowqueueing system with recurrent flow and heating [Chislenniy raschet mnogokanalnoy sistemi massovogo obslugivaniya s rekurrentnim vhodyashim potokom i razogrevom], PGUPS News [Izv. Peterburgskogo universiteta putey soobsheniya], 2013, no. 4 (37), pp. 92-101.

10. Khomonenko A. D., Khalil M. M., Gindin S. I. Cloud computing modelling with multichannel queueing systems with «cooling» [Modelirovanie oblachnikh vichisleniy s ispol-zovaniem mnogokanalnoy sistemi massovogo obslugivaniya s okhlagdeniem]. XIXInt. Conf. soft Comput. Measurements (SCM-2016). 2016, St. Petersburg, St. Petersburg Electrotech-nical Univ. "LETI", Т. 1, pp. 247-251.

11. Falin G. I., Templeton J. G. Retrial queues. L, Chapman and Hall, 1997.

12. Falin G. I. A survey of retrial queue, Queueing Syst., 1990, vol. 7, pp. 127-168.

13. Stepanov S. N. Chislennie metody rascheta sistem s pov-tornimi vizovami [Numerical methods in retrial systems]. Moscow, Nauka, 1983.

14. Choi B. D., Chang Y. Single server retrial queues with priority calls, Math. Comput. Modell., 1999, vol. 30, no. 1, pp. 7-32.

15. Artalejo J. R., Dudin A, N., Klimenok V. I. Stationary analysis of a retrial queue with preemptive repeated attempts, Oper. Res. Lett., 2001, vol. 28, pp. 173-180.

16. Choi B. D., Park K. K. The M/G/1 retrial queue with Bernoulli schedule, Queueing Syst., 1990, vol. 7, pp. 219-227.

17. Choi B. D., Han D. H., Falin G. I. On the virtual waiting time for an M/G/1 retrial queueing systems with two types of calls, J. Appl. Math. Stochastics Anal., 1993, vol. 6, no. 1, pp. 11-29.

18. Bocharov P. P., Pavlova O. I., Puzikova D. A. Sistema M/G/1/r s povtornimi zayavkamii prioritetnim obslugivaniem pervichnikh zayavok [Retrial queueing system M/G/1/r with priority of primary customers], RUDN Bull. Appl. Math. Inf. [Vestnik RUDN. Prikladnaya matematika i informatika], 1997, no. 1, pp. 37-57.

19. Bocharov P. P., Pavlova O. I., Puzikova D. A. A M/G/1/r retrial queueing system with prioritry of primary customers, Math. Comput. Modell, 1999, vol. 30, no. 1, pp. 89-98.

20. Bocharov P. P., Pechinkin A. V., PhongN.Kh. Stacio-narnie veroyatnosti sostoyaniy sistemi MAP/G/1/r s pov-tornimi zayavkami i prioritetnim obslugivaniem pervichnikh zayavok [Stationary probabilities od retrial queueing system MAP/G/1/r and priority on primary customers], Automatics and telemechanics [Avtomatika i telemehanika], 2000, no. 8, pp. 68-78.

21. Choi B. D., Chang Y., Kim B. MAP1, MAP2/M/c retrial queue with guard channels and its applications to cellar networks, Top, 1999, vol. 7, pp. 231-248.

22. Choi B. D., Choi K. B., Lee Y. N. M/G/1 retrial queueing systems with two types of calls and finite capacity, Queueing Syst., 1995, vol. 19, pp. 215-229.

23. Choi B. D., Zhu D. B. The M1, M2/G/1/k retrial queueing systems with priority, J. Korean Math. Soc., 1998, vol. 35, pp. 691-712.

24. Agalarov Ya. M. Ob odnom chislennom metode vichislen-iya stacionarnih harakteristic uzla kommutacii s povtornimi peredachami [A numerical method for calculating stationary characteristics switching node with retransmissions], Automatics and Telemechanics [Avtomatika I Telemehanika], 2011, no. 1, pp. 95-106.

25. Zaborovsky V., Muliukha V., Ilyashenko A. Cyber-Phys-ical Approach in a Series of Space Experiments "Kontur" Lect. Notes in Comp. Sci., 2015, vol. 9247. pp. 745-758.

26. Ryzhikov Yu. I., Khomonenko A. D. Raschet mnogoka-nalnikh system obslugivaniya s absolutnim i otnositelnim pri-oritetami na osnove invariantov otnosheniya [Computational approach for multiflowqueueing systems with preemptive and non-preemptive priorities based on relational invariants], Intellectual Technologies on Transport [Intellectualnie Tehnologii na Transporte], 2015, no. 3, pp. 11-16.