Построение многосеточных конечных элементов сложной формы с применением локальных аппроксимаций

УДК 539.3 АД. Матвеев

ПОСТРОЕНИЕ МНОГОСЕТОЧНЫХ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ СЛОЖНОЙ ФОРМЫ С ПРИМЕНЕНИЕМ ЛОКАЛЬНЫХ АППРОКСИМАЦИЙ1

Изложены процедуры построения многосеточных конечных элементов сложной формы с применением локальных аппроксимаций, которые учитывают композитную структуру тел и порождают дискретные модели малой размерности.

Ключевые слова: упругие тела, многосеточные элементы сложной формы, локальные аппроксимации, дискретные модели малой размерности.

A.D. Matveev CONSTRUCTING THE MULTIGRID FINI TE ELEMENTS OF IRREGULAR SHAPE USING LOCAL APPROXIMATION

The constructing procedures of the irregular shape multi-grid finite elements, using local approximation that takes into account composite body structure and produces small dimensional discrete models are set forth.

Key words: elastic bodies, multi-grid finite elements of irregular shape, local approximations, small dimensional discrete models.

При анализе упругих тел широко применяют метод конечных элементов (МКЭ) [1,2]. Для более точной дискретизации областей используют конечные элементы (КЭ) сложной формы и разных размеров (криволинейные треугольные, четырехугольные, параллелепипеидальные). Реализация МКЭ с применением криволинейных КЭ требует сложных вычислений. Построение для тел сложной формы регулярных разбиений, которые достаточно точно учитывают сложную границу тел, порождает базовые дискретные модели очень высокой размерности. Это создает определенные трудности при реализации МКЭ, которая требует большого объема памяти ЭВМ и больших временных затрат.

Как известно [3-6], достоинства многосеточных конечных элементов (МнКЭ) заключаются в том, что они способны учитывать сложную структуру композитов и порождают многосеточные дискретные модели, размерности которых на несколько порядков меньше размерностей базовых моделей. Поэтому реализация МКЭ для многосеточных дискретных моделей требует значительно меньше времени счета и объема памяти ЭВМ, чем для базовых. В [3-6] численно исследуются МнКЭ формы куба, прямоугольного параллелепипеда (квадрата, прямоугольника). Применение таких МнКЭ для анализа упругих тел сложной формы затруднительно.

Следует отметить, что наиболее достоверно деформирование упругих тел (при малых деформациях) описывают дифференциальные уравнения трехмерной задачи теории упругости [7], записанные в декартовой системе координат. Уравнения теории упругости, представленные в полярных, цилиндрических координатах имеют особенности, т. е. не во всех точках области тела они могут применяться. Кроме того, применение криволинейных систем координат при построении уравнений теории упругости порождает определенные законы для полей деформаций, напряжений упругих тел (конструкций), которые не зависят от характера и вида нагружений, что не всегда соответствует реальности.

В данной работе изложены некоторые подходы и процедуры построения МнКЭ сложной формы. Предлагаемые процедуры построения МнКЭ реализуются в декартовых системах координат.

1. Построение многосеточных конечных элементов с применением локальных аппроксимаций. Рассмотрим в декартовой системе координат Oxyz композитный МнКЭ Ve формы прямоугольного

параллелепипеда размерами ахЬхс (рис. 1). Суть построения трехмерного МнКЭУесостоит в следующем [4]. Вначале область Ve представляем базовым разбиением, которое состоит из КЭ первого порядка формы куба, порождает мелкую узловую сетку и учитывает композитную структуру. С помощью метода конденсации строим суперэлементVes [2], т.е. неизвестные МКЭ внутренних узлов мелкой сетки выражаем через неизвестные тех узлов мелкой сетки, которые лежат на границе области Ve.

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 11-01-00053).

На гранях суперэлемента V£ определяем крупные узловые сетки, вложенные в мелкую. Затем узловые неизвестные суперэлемента с помощью аппроксимаций, построенных для перемещений на крупных сетках, выражаем через узловые неизвестные крупных сеток. Используя аппроксимации перемещений базового разбиения и аппроксимации перемещений, построенных на крупных сетках, по известным алгоритмам [4] строим матрицу жесткости и вектор узловых сил МнКЭ Vе. Пусть размерности трех крупных узловых сеток (построенных на смежных гранях параллелепипеда Vе) различны. В этом случае получаем четырехсеточный

КЭ, так как при его построении используем четыре различные узловые сетки: трехмерную мелкую и три двумерных крупных сетки. На крупных узловых сетках аппроксимирующие функции перемещений и,V,w представляем через функции Лагранжа [8]. Пусть крупная узловая сетка для нижней грани МнКЭ Ve (рис. 1, г = 0) имеет п узлов по оси х и т узлов по оси у. На рисунке 2 показана крупная сетка нижней грани, п- 25, т -17, оси х,у декартовой системы координат и оси /,_/ целочисленной системы координат (узлов крупной сетки) совмещены, узел ^ крупной сетки отмечен точкой. Аппроксимирующая функция перемещений и , построенная на крупной узловой сетке с помощью полиномов Лагранжа, имеет вид [8]

п,т

и= ,

«=и=1

где - базисная функция для узла ^ крупной сетки; и^ - значение функции и в узле ^ крупной сетки.

Щ=Ц{хЩ{у).

Полиномы Лагранжа Ц, Ь™ определяют по формулам [8]

ад= П *»= П <3>

Aшxi ~хк -Ук

здесь х1, у] - координаты узла ^ крупной сетки (рис. 2).

Аналогичные аппроксимирующие полиномы Лагранжа используются для перемещений V, w.

Отметим некоторые трудности, которые возникают при реализации МКЭ с применением МнКЭ. Согласно

необходимо выполнить п4 последовательных умножений чисел. Расчеты упругих тел, проведенные на ЭВМ

с помощью языка РСЖТРАМ с двойной точностью, показывают, что при п > 18 операция последовательных умножений чисел порождает погрешность (связанную с погрешностью вычислений ЭВМ), которая приводит к численной неустойчивости решений, построенных по МКЭ.

]

О

V £

• 7 1

\ /

п I, X

а

Ь

Рис. 2. Разбиение нижней грани МнКЭ Уе на подобласти

С другой стороны, применение аппроксимаций малого порядка порождают решения с большой ошибкой. В связи с этим в данной работе предлагается при построении МнКЭ сложной формы использовать локальные аппроксимации. Краткая суть применения локальных аппроксимаций при построении МнКЭ состоит в следующем. Области граней МнКЭ (см. рис. 1), на которых строим крупные узловые сетки, представляем

непересекающимися подобластями. На рисунке 2 квадратные подобласти Б1' (где к = 1,...,24) одинаковых размеров отмечены жирными линиями, типовая подобласть закрашена. На подобластях определяем крупные узловые сетки, на которых строим локальные аппроксимирующие функции (перемещений) малого порядка. При этом на общей границе двух подобластей узлы крупных сеток совпадают. В качестве локальных аппроксимаций для перемещений на подобластях прямоугольной формы можно использовать полиномы Лагранжа невысокого порядка, п,т < 5 . Для подобластей 8к (см. рис. 2) полиномы Лагранжа имеют четвертый порядок, п, т - 4. На гранях МнКЭ сложной формы следует использовать локальные аппроксимации. Трехмерные МнКЭ сложной формы типа пластины (толстой плиты) с вырезами представлены на рисунке 3.

Рис. 3. Трехмерные МнКЭ сложной формы

На рисунке 3 показаны прямоугольные и треугольные подобласти граней МнКЭ сложной формы, на крупных узловых сетках которых определяются локальные аппроксимации для перемещений.

2. Построение двухсеточных конечных элементов сложной формы с применением известных аппроксимирующих полиномов. Вданном параграфе предложены два подхода построения композитных двухсеточных КЭ (ДвКЭ) сложной формы. Как известно [3], для построения композитного ДвКЭ формы пря-

моугольного параллелепипеда (прямоугольника) используют две вложенные узловые сетки: мелкую и крупную. Мелкая узловая сетка порождена базовым разбиением области ДвКЭ на КЭ первого порядка формы куба (квадрата), которое учитывает его композитную структуру. На мелкой сетке определяем крупную узловую сетку ДвКЭ. Узловые перемещения мелкой узловой сетки с помощью аппроксимаций, которые построены на крупной сетке с применением полиномов Лагранжа [8], выражаем через узловые перемещения крупной сетки. Число узлов крупной сетки определяет размерность ДвКЭ, которая существенно меньше размерности мелкой сетки. Используя аппроксимации перемещений базового разбиения и аппроксимирующие функции перемещений, построенные на крупной сетке, по известным алгоритмам [3] определяем матрицу жесткости и вектор узловых сил ДвКЭ.

Первый подход применяется для граничных композитных ДвКЭ сложной формы. Суть первого подхода кратко рассмотрим на примере построения граничного двумерного композитного ДвКЭ Sp первого порядка сложной формы, который расположен в декартовой системе координат Оху (рис. 4) и испытывает плоское напряженное состояние. Пусть область ДвКЭ Sp имеет криволинейную границу AB, которая совпадает с границей композита. На рисунке 4 граница AB отмечена жирной линией, пусть на границе ABкомпозит закреплен. Вначале на области ABCD строим базовое разбиение ДвКЭ Sp, состоящее из квадратных КЭ первого

порядка со стороной h. Базовое разбиение учитывает сложную форму области ДвКЭ Sp (криволинейную границуAB), учитывает композитную структуру, кинематические граничные условия на границе AB и порождает мелкую квадратную сетку с шагом к. На рисунке 4 показана сетка базового разбиения, на которой жесткие частицы (размерами 2к х 2к) закрашены.

2h

О х

Рис. 4. Базовое разбиение ДвКЭ Sp

Используя аппроксимации перемещений мелкой сетки и аппроксимирующие функции перемещений, построенные на крупной сетке (узлыA,B,C,D крупной сетки ДвКЭ на рис. 4 отмечены точками), по известным алгоритмам [3] строим матрицу жесткости и вектор узловых сил ДвКЭ Sp. Итак, ДвКЭ Sp может сколь угодно точно учитывать криволинейную границу ABи сложную композитную структуру(за счет выбора шага h мелкой квадратной сетки). При построении граничных двумерных ДвКЭ сложной формы (плоской задачи упругости [7]) в качестве крупных узловых сеток можно использовать узловые сетки известных криволинейных двумерных КЭ первого, второго и третьего порядка [1,2] и известные аппроксимирующие полиномы, построенные для крупных сеток в декартовых системах координат. На рисунке 5 представлен граничный двумерный ДвКЭSe второго порядка сложной формы, узлы крупной сетки которого отмечены точка-ми.Криволинейная граница Aх Bх CхДвКЭSe (на рис. 5 отмечена жирной линией) совпадает с границей двумерного тела. На рисунке 6 в декартовой системе координат Oxyz показан трехмерный ДвКЭ Vе первого порядка сложной формы, узлы крупной сетки которого отмечены точками. Криволинейная граница A 2 B2

C 2 D 2 ДвКЭГе совпадает с границей трехмерного тела, остальная часть границы ДвКЭ состоит из пяти граней, которые параллельны соответствующим плоскостям Оху, Oxz, Oyz. Процедуры построения ДвКЭ Se и Vе аналогичны вышеописанной.

Рис. 5. Крупная сетка ДвКЭ Se

Во втором подходе область сложной формы трехмерного (двумерного) композитного ДвКЭ заменяем областью более простой формы, например, прямоугольным параллелепипедом, кубом (прямоугольником, квадратом), объем (площадь) которой приближенно равна объему (площади) исходной области ДвКЭ. При построении ДвКЭ используем базовое разбиение, построенное для области простой формы, и крупную сетку, которая определена для области ДвКЭ сложной формы. В этом случае упрощается процедура построения ДвКЭ.

Основные положения второго подхода построения ДвКЭ рассмотрим на примере композитногоДвКЭ 8е первого порядка формы трапеции ABCD (рис. 7), области жестких квадратных частиц закрашены.

Рис. 7. Узлы крупной сетки ДвКЭ 8е формы трапеции

2

ДвКЭ £е расположен в декартовой системе координат Оху и испытывает плоское напряженное состояние [7]. Пусть углы а, /? малы. В силу малости углов а, Р область трапеции приближенно представляем прямоугольной областью A1Bх Cх Dх, площадь которой равна площади трапеции, т. е. A х Bх =(AB + CD)/2. На области A! B! Cх Dх строим базовое разбиение ДвКЭ 8е, которое состоит из квадратных КЭ первого порядка, порождает мелкую узловую сетку и учитывает композитную структуру. Используя аппроксимации перемещений базового разбиения и аппроксимации, построенные для перемещений и, V на крупной сетке, узлы A, B, C, D которой на рисунке 7 отмечены точками, по известным алгоритмам [3] строим матрицу жесткости и вектор узловых сил ДвКЭ 8е формы трапеции.

На рисунке 8 показано разбиение двумерного тела 5 (половина круглой шайбы) на ДвКЭ £е (где е = 1,2,3) первого порядка формы трапеции (см. рис. 7). В данном случае боковая сторона ДО (ВС) ДвКЭ £е (см. рис. 7) лежит на радиусе 7? внешней окружности шайбы 5, а - ¡5 (рис. 8). Поскольку при увели-

чении числа ДвКЭ£е £*—»0, то описанную выше процедуру построения ДвКЭ формы трапеции можно использовать в расчетах по МКЭ двумерного тела 5.

Рис. 8. Область S и ее разбиение на ДвКЭ Se формы трапеции

Предлагаемые подходы аналогичным образом можно использовать при построении трехмерныхМнКЭ сложной формы (например, формы прямой призмы, в основании которой лежит трапеция, криволинейных МнКЭ). В качестве крупных сеток в этом случае можно использовать узловые сетки известных трехмерных криволинейных КЭ и известные аппроксимирующие полиномы первого, второго и третьего порядка, которые построены для крупных сеток в декартовых системах координат [1, 2].

Рассмотрим в декартовой системе координат Oxyz (рис. 9) шестигранный композитный ДвКЭ Vp

первого порядка сложной формы, верхняя Sl и нижняя S2 грани (размерами axa, ЪхЪ, b > а) которого параллельны, область S2 =bxb лежит в плоскости Оху , a,b > h, где h -толщина ДвКЭ V . Проекция области Sx = ах а на плоскость Оху находится в области S2, Sx с S2. Узлы крупной сетки Ун ДвКЭ Vp на рисунке 9 отмечены точками.Такие трехмерные ДвКЭ можно использовать при расчете конструкций оболочечного типа.

-У

Рис. 9. Шестигранный ДвКЭ V и параллелепипед VS

Область ДвКЭ Vp сложной формы приближенно представляем областью более простой формы -прямоугольным параллелепипедом У3 (см. рис. 9) размерами схсх/г, где значение с находим по формуле с = т](а2 +Ь2)/2 . Если а~Ь, И < а, Ь, то в этом случае нетрудно видеть, что объем ДвКЭ V приближенно равен объему параллелепипеда У3, т.е. V « У3 . Если боковые грани ДвКЭ Ур криволинейные, то с = ,/№+£2)/2 , где ^ ^ , Б2 - площади верхней и нижней граней ДвКЭ V . Базовое

разбиение ДвКЭ Vp строим на области VS, которое порождает мелкую узловую сетку и учитывает компо-

зитную структуру. Используя аппроксимации перемещений базового разбиения и аппроксимации перемещений, построенные на крупной сетке VH, по известной процедуре [3] определяем матрицу жесткости и вектор узловых сил ДвКЭ Vp .

Литература

1. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. - М.: Мир, 1975.

2. Постнов В.А. Численные методы расчета судовых конструкций. - Л.: Судостроение, 1977.

3. Матвеев А.Д. Некоторые подходы проектирования упругих многосеточных конечных элементов / Институт вычислительного моделирования сО РАН. - Красноярск, 2000. - 30 с. Деп. в ВИНИТИ № 2990-В00.

4. Матвеев А.Д. Многосеточное моделирование композитов нерегулярной структуры с малым коэффициентом наполнения // ПМТФ. - 2004. - № 3. - С. 161-171.

5. Матвеев А.Д. Совместное применение одно- и двухсеточного моделирования для трехмерных упругих композитов сложной формы // Вестн. КрасГАУ. - 2005. - № 9. - С. 52-59.

6. Матвеев АД.Двухсеточное моделирование локально армированных трехмерных упругих тел // Вестн. КрасГАУ. - 2006. - №10. - С. 192-198.

7. Самуль В.И. Основы теории упругости и пластичности. - М.: Высш. шк., 1970.

8. Норри Д., де-Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. - М.: Мир, 1981.