СПОСОБ УПРАВЛЕНИЯ СПУСКОМ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА В АТМОСФЕРЕ ПЛАНЕТЫ
METHOD OF CONTROL OVER SPACECRAFT DESCENT IN ATMOSPHERE OF PLANETS

Изобретение относится к космонавтике, в частности к управлению спуском космического аппарата (КА) в атмосфере планеты, использующее управляемое аэродинамическое торможение и обеспечивающее минимизацию конечной скорости космического аппарата при условии минимума максимальной температуры в критической области его поверхности.
Известен способ управления спуском космического аппарата в атмосфере планеты, использующий управляемое аэродинамическое торможение и обеспечивающий снижение конечной скорости космического аппарата, описанный в книге - Иванов Н.М., Мартынов А.И. «Движение космических летательных аппаратов в атмосферах планет». М.: «Наука», 1985, стр.168-173 - [1]. Указанный способ заключается в управлении аэродинамическим торможением путем изменения угла крена γ КА. При этом движение космического аппарата осуществляется с постоянным значением угла атаки, соответствующим его максимальному балансировочному аэродинамическому качеству. Способ предусматривает одноразовое переключение угла крена γ с величины, равной π рад, на нулевое значение, что соответствует переключению эффективного аэродинамического качества с минимального значения (-K) на максимальное (+K).
Недостатки данного способа заключаются в следующем. Во-первых, при использовании указанной программы управления максимальные температуры в критической области поверхности КА достигают чрезмерно больших величин. Это объясняется тем, что космические аппараты, обладающие аэродинамическим качеством, осуществляют полет по траекториям с несколькими рикошетами и, следовательно, с несколькими локальными максимумами температур. Причем, абсолютный максимум температур, как правило, совпадает со вторым или третьим локальными максимумами. При этом используемая программа управления углом крена не обеспечивает предотвращения нарастания температуры после достижения своего первого локального максимума. Во-вторых, способ-аналог не предусматривает управление углом атаки космического аппарата. Это снижает потенциальные возможности гашения скорости и снижения максимальных температур, поскольку увеличение угла атаки приводит к возрастанию интенсивности аэродинамического торможения КА.
Известен способ управления спуском космического аппарата в атмосфере планеты, использующий управляемое аэродинамическое торможение и обеспечивающий снижение конечной скорости космического аппарата, описанный в книге - Н.М. Иванов, А.И. Мартынов «Управление движением космических аппаратов в атмосфере Марса». Москва, «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1977, стр.159-169 - [2]. Указанный способ заключается в двухпараметрическом управлении космического аппарата углами крена и атаки. Вход космического аппарата в атмосферу осуществляется с углом γ=π рад и углом атаки α, соответствующим его максимальному значению балансировочного аэродинамического качества. На начальном этапе полета осуществляется переключение угла крена γ на нулевое значение. После достижения углом наклона вектора скорости к местному горизонту нулевого значения угол крена γ определяется из условия обеспечения полета космического аппарата по изовысотному участку (участку с постоянной высотой). Затем осуществляется переключение угла крена γ на нулевое значение, обеспечивающее движение космического аппарата по рикошетирующей траектории с увеличением высоты полета. На этом участке происходит увеличение угла атаки α от значения, соответствующего максимуму аэродинамического коэффициента подъемной силы КА до значения, соответствующего максимуму аэродинамического коэффициента лобового сопротивления КА.
max
Недостатки данного способа заключаются в следующем. Во-первых, его осуществление не предполагает управления углом атаки α космического аппарата на участке интенсивного нарастания температуры в критической области поверхности. Тогда как увеличение угла атаки α на этом участке позволяет уменьшить как скорость полета КА, так и зависящую от нее температуру нагрева поверхности. Во-вторых, введение изовысотного участка полета не приводит к снижению первого локального максимума температуры, т.к. этот участок начинается после достижения T. В-третьих, сход КА с изовысотного участка осуществляется с максимальным значением аэродинамического коэффициента подъемной силы, то есть при достаточно малых величинах аэродинамического коэффициента лобового сопротивления и при значениях аэродинамического качества, отличающегося от абсолютного максимума. В этом случае существуют резервы в управлении, как по повышению интенсивности аэродинамического торможения, так и по увеличению продолжительности полета. Оба эти фактора могут способствовать снижению конечной скорости КА.
<mover accent="true"><mi>T</mi><mo>˙</mo></mover>
<mover accent="true"><mi>T</mi><mo>¨</mo></mover>
<mrow><mover accent="true"><mi>T</mi><mo>¨</mo></mover><mo><</mo><mn>0</mn></mrow>
<mrow><mover accent="true"><mi>T</mi><mo>˙</mo></mover><mo>></mo><mn>0</mn></mrow>
<mrow><mover accent="true"><mi>T</mi><mo>˙</mo></mover><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow>
<mrow><mover accent="true"><mi>T</mi><mo>˙</mo></mover><mo>=</mo><mover accent="true"><mi>T</mi><mo>¨</mo></mover><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow>
<mrow><mover accent="true"><mi>T</mi><mo>˙</mo></mover><mo><</mo><mn>0</mn></mrow>
Наиболее близким по технической сущности к заявляемому способу управления спуском космического аппарата в атмосфере планеты, использующему управляемое аэродинамическое торможение и обеспечивающим снижение конечной скорости космического аппарата при условии минимума максимальной температуры в критической области его поверхности, является способ управления спуском космического аппарата в атмосфере планеты, обеспечивающий минимизацию максимальной температуры в критической области поверхности КА. Указанный известный способ описан в патенте RU №2493059, опубл. 20.09.2013 - [3], который выбран прототипом. Данный способ управления спуском космического аппарата в атмосфере планеты заключается в его пространственной ориентации и управлении аэродинамическим торможением, стабилизации при входе в атмосферу по углам крена, рысканья и углу атаки, обеспечивающему максимальное аэродинамическое качество, определении текущих координат и скоростей полета космического аппарата и приведении в действие средств обеспечения посадки, при этом в процессе спуска непрерывно измеряют температуру T внешней поверхности космического аппарата в ее критической области, по каждому измеренному значению температуры T вычисляют скорость и ускорение ее изменения путем вычисления во времени соответственно первой
и второй
производных; при достижении второй производной отрицательных значений
с сохранением первой производной положительных значений
, увеличивают угол атаки и продолжают спуск до выполнения условия равенства нулю первой производной
, после чего устанавливают значения углов крена и атаки, обеспечивающих выполнение условий равенства нулю первой и второй производных
, при которых осуществляют спуск космического аппарата по изотемпературному участку, при достижении первой производной отрицательных значений
устанавливают нулевой угол крена и угол атаки, обеспечивающий максимальное значение аэродинамического качества, и завершают участок торможения космического аппарата.
<mrow><mover accent="true"><mi>T</mi><mo>˙</mo></mover><mo><</mo><mn>0</mn></mrow>
Недостаток данного способа заключается в том, что при его осуществлении не полностью реализуются все возможности управления на заключительном участке спуска КА по снижению конечной скорости. Так, реализуется достаточно поздний сход КА с изотемпературного участка (при
), что приводит к уменьшению продолжительности заключительного участка полета КА и к заниженной интенсивности гашения его скорости. Кроме того, способ не предусматривает управление углом атаки КА непосредственно перед введением в действие системы мягкой посадки, что также приводит к снижению интенсивности аэродинамического торможения космического аппарата.
Сущность изобретения заключается в использовании рациональных программ управления углами крена и атаки, обеспечивающих минимизацию конечной скорости полета КА при условии минимизации максимальной температуры в критической области его поверхности. Это достигается введением новых фрагментов управления по сравнению с прототипом. Во-первых, выбором рациональных условий переключения угла крена на нулевое значение, что обеспечивает сход КА с изотемпературного участка и перевод его на рикошетирующую траекторию с увеличением высоты полета. Движение КА по изотемпературному участку обеспечивается путем соответствующего изменения угла крена: сначала происходит увеличение угла крена γ, приводящее к снижению аэродинамического качества и поддержанию постоянного значения температуры в критической области поверхности КА (отсутствие такого режима управления приводит к изначальному снижению температуры с последующим значительным ее ростом), а затем, по мере уменьшения скорости полета угол крена γ КА, достигнув своего максимального значения, начинает уменьшаться. На этом этапе полета увеличение аэродинамического качества не приводит к последующему росту температуры сверх ее первого максимума. Поэтому, выбором момента установления нулевого значения угла крена, можно достигнуть наиболее эффективного гашения скорости на последующем этапе полета. Наиболее рациональным является сход КА с изотемпературного участка в момент достижения угла крена γ максимального значения: более раннее переключение угла крена γ на нулевое значение может привести к последующему росту температуры, а более позднее - к снижению продолжительности последующего участка спуска и, следовательно, к уменьшению эффективности гашения скорости КА. Во-вторых, в момент схода КА с изотемпературного участка устанавливают угол атаки КА, соответствующий максимальному значению аэродинамического качества КА (в прототипе - максимальному значению аэродинамического коэффициента подъемной силы КА). Это объясняется необходимостью обеспечения более продолжительного заключительного участка полета и более интенсивного торможения КА в атмосфере. В-третьих, возрастание угла атаки КА после его схода с изотемпературного участка и завершения набора высоты полета приводит к увеличению аэродинамического коэффициента лобового сопротивления и к большему снижению скорости к моменту введения в действие системы мягкой посадки.
<mover accent="true"><mi>T</mi><mo>˙</mo></mover>
<mover accent="true"><mi>T</mi><mo>¨</mo></mover>
<mrow><mover accent="true"><mi>T</mi><mo>¨</mo></mover><mo><</mo><mn>0</mn></mrow>
<mrow><mover accent="true"><mi>T</mi><mo>˙</mo></mover><mo>></mo><mn>0</mn></mrow>
<mrow><mover accent="true"><mi>T</mi><mo>˙</mo></mover><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow>
<mrow><mover accent="true"><mi>T</mi><mo>˙</mo></mover><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow>
<mrow><mover accent="true"><mi>T</mi><mo>¨</mo></mover><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow>
i
i-1
Также сущность изобретения - способа управления спуском космического аппарата в атмосфере планеты, заключается в пространственной ориентации космического аппарата и управлении его аэродинамическим торможением, стабилизации космического аппарата при его входе в атмосферу планеты по углам крена γ, рысканья и углу атаки α космического аппарата, обеспечивающему максимальное аэродинамическое качество, определении текущих координат и скоростей полета космического аппарата, непрерывном измерении температуры T внешней поверхности космического аппарата в ее критической области, вычислении скорости и ускорения ее изменения путем вычисления по времени соответственно первой
и второй
производных; при достижении второй производной отрицательных значений
с сохранением первой производной положительных значений
, увеличивают угол атаки α космического аппарата и продолжают спуск до выполнения условия равенства нулю первой производной
, после чего устанавливают значения углов крена γ и атаки α космического аппарата, обеспечивающих выполнение условий равенства нулю первой и второй производных
и
, обеспечивающих спуск космического аппарата по изотемпературному участку, при этом в процессе движения космического аппарата по изотемпературному участку осуществляют непрерывное сравнение значений углов крена γ в текущий t и предыдущий t моменты времени и вычисляют их разность Δγ по формуле
i
i-1
Δγ=γ-γ,
i
i
где γ - значение угла крена космического аппарата в момент времени t, i=1, 2, 3 …,;
i-1
i-1
γ - значение угла крена космического аппарата в момент времени t, i=1, 2, 3 …,
при выполнении условия
Δγ<0,
устанавливают значение угла крена γ КА, равное около 0 рад и угол атаки α КА, соответствующий максимальному значению его аэродинамического качества, обеспечивающий сход космического аппарата с изотемпературного участка и движение по рикошетирующей траектории; осуществляют непрерывное измерение угла наклона вектора скорости θ космического аппарата к местному горизонту, при выполнении условия
i
max
h<h,
i
i
где h - текущее значение высоты полета космического аппарата в момент времени t в атмосфере планеты;
max
h - максимальное значение высоты полета космического аппарата при его движении по рикошетирующей траектории,
устанавливают значение угла атаки α космического аппарата в соответствии с математическим выражением
,
где V - текущее значение скорости космического аппарата;
0
V - скорость космического аппарата при достижении максимальной высоты полета по рикошетирующей траектории после схода с изотемпературного участка;
θ - угол наклона вектора скорости космического аппарата к местному горизонту;
x0
C - значение аэродинамического коэффициента лобового сопротивления при нулевом значении угла атаки космического аппарата;
S - площадь миделева сечения космического аппарата;
M - константа, полученная после введения допущений и преобразования исходной системы дифференциальных уравнений;
l, n, A - постоянные коэффициенты при аппроксимации зависимостей аэродинамических коэффициентов от угла атаки к аналитическому виду,
по достижению углом атаки α космического аппарата величины α*, соответствующей максимальному значению его аэродинамического коэффициента лобового сопротивления, осуществляют полет с этим значением угла атаки α* до ввода в действие системы мягкой посадки.
Техническим результатом изобретения - способа управления спуском КА в атмосфере планеты является минимизация конечной скорости космического аппарата и минимизация максимальной температуры в критической области его поверхности, что приводит к снижению массы теплозащитного покрытия КА и к уменьшению потребных энергетических затрат на осуществление космических миссий по исследованию планет Солнечной системы и, следовательно, к увеличению доли полезной нагрузки в общем весовом балансе космического аппарата. Применение предлагаемого способа в зависимости от проектно-баллистических характеристик КА, краевых условий и параметров планет назначения позволяет снизить суммарную массу топлива и теплозащитного покрытия спускаемого аппарата ~ на 15% по сравнению с использованием способа-прототипа.
<mover accent="true"><mi>T</mi><mo>˙</mo></mover>
<mover accent="true"><mi>T</mi><mo>¨</mo></mover>
<mrow><mover accent="true"><mi>T</mi><mo>¨</mo></mover><mo><</mo><mn>0</mn></mrow>
<mrow><mover accent="true"><mi>T</mi><mo>˙</mo></mover><mo>></mo><mn>0</mn></mrow>
<mrow><mover accent="true"><mi>T</mi><mo>˙</mo></mover><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow>
<mrow><mover accent="true"><mi>T</mi><mo>˙</mo></mover><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow>
<mrow><mover accent="true"><mi>T</mi><mo>¨</mo></mover><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow>
i
i-1
Указанный технический результат достигается за счет отработки рациональных программ управления углами крена и атаки КА, а именно за счет того, что в способе управления спуском космического аппарата в атмосфере планеты, выбранном прототипом и заключающимся в пространственной ориентации космического аппарата и его управлении аэродинамическим торможением, стабилизации при входе в атмосферу планеты по углам крена γ, рысканья и углу атаки α космического аппарата, обеспечивающему максимальное аэродинамическое качество, определении текущих координат и скоростей полета космического аппарата, непрерывном измерении температуры T внешней поверхности космического аппарата в ее критической области, вычислении скорости и ускорения ее изменения путем вычисления по времени соответственно первой
и второй
производных; при достижении второй производной отрицательных значений
с сохранением первой производной положительных значений
, увеличивают угол атаки α космического аппарата и продолжают спуск до выполнения условия равенства нулю первой производной
, после чего устанавливают значения углов крена γ и атаки α космического аппарата, обеспечивающих выполнение условий равенства нулю первой и второй производных
и
, обеспечивающих спуск космического аппарата по изотемпературному участку, дополнительно в процессе движения космического аппарата по изотемпературному участку осуществляют непрерывное сравнение значений углов крена γ в текущий t и предыдущий t моменты времени и вычисляют их разность Δγ по формуле
i
i-1
Δγ=γ-γ,
i
i
где γ - значение угла крена космического аппарата в момент времени t, i=1, 2, 3 …,;
i-1
i-1
γ - значение угла крена космического аппарата в момент времени t, i=1, 2, 3 …,
при выполнении условия
Δγ<0,
устанавливают значение угла крена γ КА, равное около 0 рад и угол атаки α КА, соответствующий максимальному значению его аэродинамического качества, обеспечивающий сход космического аппарата с изотемпературного участка и движение по рикошетирующей траектории; осуществляют непрерывное измерение угла наклона вектора скорости θ космического аппарата к местному горизонту, при выполнении условия:
i
max
h≤h,
i
i
где h - текущее значение высоты полета космического аппарата в момент времени t в атмосфере планеты;
max
h - максимальное значение высоты полета космического аппарата при его движении по рикошетирующей траектории,
устанавливают значение угла атаки α космического аппарата в соответствии с математическим выражением
,
где V - текущее значение скорости космического аппарата;
0
V - скорость космического аппарата при достижении максимальной высоты полета по рикошетирующей траектории после схода с изотемпературного участка;
θ - угол наклона вектора скорости космического аппарата к местному горизонту;
x0
C - значение аэродинамического коэффициента лобового сопротивления при нулевом значении угла атаки космического аппарата;
S - площадь миделева сечения космического аппарата;
M - константа, полученная после введения допущений и преобразования исходной системы дифференциальных уравнений;
l, n, A - постоянные коэффициенты при аппроксимации зависимостей аэродинамических коэффициентов от угла атаки к аналитическому виду,
по достижению углом атаки α космического аппарата величины α*, соответствующей максимальному значению его аэродинамического коэффициента лобового сопротивления, осуществляют полет с этим значением угла атаки α* до ввода в действие системы мягкой посадки.
Заявленный способ управления спуском космического аппарата в атмосфере планеты поясняется следующими фигурами.
На фиг.1 для способа-прототипа приведены графики зависимостей температуры T нагрева корпуса КА в критической области его внешней поверхности, скорости полета V, углов крена γ и атаки α от времени спуска аппарата в атмосфере Марса при минимизации максимального значения температуры.
На фиг.2 для заявленного способа приведены графики зависимостей температуры T нагрева корпуса КА в критической области его внешней поверхности, скорости V и высоты полета h, углов крена γ и атаки α от времени спуска аппарата в атмосфере Марса при минимизации конечной скорости при условии минимизации максимального значения температуры.
При сравнении представленных на фиг.1 и 2 графиков можно сделать вывод, что при практически одинаковой конечной скорости КА, температура T нагрева корпуса КА в критической области его внешней поверхности в предлагаемом изобретении меньше чем в способе-прототипе.
Согласно работе [2], стр.194 аэродинамические коэффициенты лобового сопротивления и подъемной силы с высокой степенью точности могут быть аппроксимированы следующими аналитическими зависимостями:
x
x0
2
C=C+Asin(nα+l),
y
y0
C=C+Asin(nα+l)cos(nα+l).
x0
y0
В частности, при использовании формы космического аппарата типа несущий корпус C=0,2; C=-0,1; A=2,3; n=1,125; l=5,625°.
Для других типов форм могут быть использованы аналогичные зависимости при других значениях коэффициентов - [2], стр.194.
Покажем возможность осуществления изобретения, т.е. возможность его промышленного применения. Особенностью ведения космической деятельности во многих странах мира является активизация изучения планет Солнечной системы. В рамках Федеральной космической программы 2016-2025 гг. предусмотрены работы по созданию космических комплексов для исследования Марса, Венеры, Юпитера, Меркурия, в том числе по проектированию спускаемых аппаратов. При этом, одной из важнейших проблем является разработка ключевых технологий управления, обеспечивающих снижение массово-энергетических затрат на всех участках межпланетных перелетов. В этих условиях благоприятным фактором является снижение затрат топлива на гашение скорости в процессе функционирования системы мягкой посадки и уменьшение массы теплозащитного покрытия КА. Успешное решение этой проблемы во многом обеспечивается при размещении на борту спускаемых аппаратов систем управления аэродинамическим торможением, использующих принципы управления углами крена и атаки КА, изложенные в предлагаемом изобретении.
Что касается технических средств, обеспечивающих управление аэродинамическим качеством КА, то есть управление его углами крена и атаки, то они известны - см., например, работы [1], стр.37, [2], стр.57, 270, а также работу «Навигационное обеспечение полета орбитального комплекса «САЛЮТ-6» - «СОЮЗ» - «ПРОГРЕС»», ответственные редакторы Б.Н. Петров, И.К. Бажинов, Москва, «Наука», 1985, глава 1 - [3].
Примечания. 1. Заявитель поместил в Приложении к материалам заявки обоснование использованного им (в описании и формуле изобретения) математического выражения для расчета значений угла атаки КА на его конечном участке спуска в атмосфере планеты, чтобы излишне не перегружать описание изобретения. Однако если Экспертиза сочтет целесообразным, заявитель не будет возражать на его включение в состав описания.
2. Согласно п.2.3.1 Руководства по экспертизе заявок на изобретения от 25.07.2011 г.: использование в формуле изобретения признака «около» при характеристике значений числовых параметров допустимо.
3. Заявитель в материалах заявки использовал два тождественных термина «переключают» значение угла крена γ КА (используемое при описании аналогов) и «устанавливают» значение угла крена γ КА (в формуле изобретения), как, по его мнению, более предпочтительное. При этом полагая, что единство терминологии в данном случае не нарушено.
Приложение. Относится к заявке на изобретение «Способ управления спуском космического аппарата в атмосферах планет» (использующий управляемое аэродинамическое торможение и обеспечивающий минимизацию конечной скорости космического аппарата при условии минимума максимальной температуры в критической области его поверхности (примечание Заявителя).
Вывод используемых математических зависимостей для расчета угла атаки на конечном участке спуска космического аппарата (КА) в атмосфере планеты
Движение КА в атмосфере согласно работам [1, 2] описывается системой дифференциальных уравнений в скоростной системе координат с учетом влияния гравитационных, аэродинамических, центробежных и кориолисовых сил в предположении центральности поля тяготения
x
y
Здесь V - скорость КА, θ - угол наклона вектора скорости к местному горизонту, ε - курсовой угол, r - радиус-вектор, соединяющий центр планеты и положение КА, λ и φ - долгота и широта подспутниковых точек КА соответственно, m - масса КА, t - время, ρ - плотность атмосферы, C и C - аэродинамические коэффициенты лобового сопротивления и подъемной силы соответственно, R - радиус планеты, h - высота полета, g - ускорение силы тяжести, µ - произведение постоянной притяжения на массу планеты, S - площадь миделева сечения.
Значения управляющих параметров α и γ могут изменяться в пределах
max
0≤α≤α, -π≤γ≤π.
Преобразуем исходные уравнения (1) с учетом введения допущений, ранее применяемых в ряде отечественных и зарубежных работ, в частности в работах [1, 2]
0
к
ц
гр
а
h<<R, ρ=ρexp(-βh), F+F<<F<<F,
0
к
ц
гр
а
где ρ - плотность атмосферы на поверхности Марса, β - логарифмический коэффициент изменения плотности атмосферы от высоты, F, F, F, F - кориолисова, центробежная, гравитационная и аэродинамическая силы соответственно.
Будем рассматривать только конечный участок спуска КА, начинающийся с момента достижения аппаратом максимальной высоты после полета по рикошетирующей траектории и завершающийся моментом ввода в действие системы мягкой посадки.
Специфическими особенностями динамики движения КА на этом этапе спуска, обусловленными значительным снижением скорости полета, являются увеличение гравитационных и уменьшение аэродинамических сил, действующих на КА. При этом на этапе после схода аппарата с изотемпературного участка и достижения максимальной высоты рикошета гравитационные силы принимают значения, на порядок большие, чем аэродинамические.
Используя указанные допущения, рассматривая движение КА в плоскости входа в атмосферу и учитывая, что на конечном участке осуществляется спуск аппарата с нулевым углом крена, преобразуем систему уравнений к виду
где M - кусочно-постоянная функция, согласно работам [1, 2].
i
Решение задачи поиска оптимального управления КА при обеспечении минимальной конечной скорости проводилось с использованием принципа максимума Понтрягина. Запишем гамильтониан H и сопряженные переменные Ψ
,
,
, .
1
3
Сопоставляя уравнения для расчета функций H, Ψ, Ψ, преобразуем формулы для сопряженных переменных следующим образом:
, .
Из условия трансверсальности в конечной точке траектории полета КА следует, что
Учитывая, что гамильтониан не зависит в явном виде от времени полета правомерно записать уравнение
H≡0.
Это позволяет представить зависимости для расчета сопряженных переменных в виде
, .
Интегрируя эти уравнения с учетом формул (3), получим
,
3
3
a
, Ψ(t)==const.
1
2
3
Анализ зависимостей для расчетов сопряженных переменных с учетом равенства нулю гамильтониана показал, что Ψ(t) является отрицательной монотонно возрастающей функцией, достигающей в конечной точке траектории величины, равной -1; Ψ(t) - положительная монотонно убывающая функция, достигающая в конечной точке траектории величины, равной нулю; Ψ(t) - является постоянной функцией, имеющей отрицательное значение.
x
Из условия обеспечения максимума гамильтониана определим закон изменения аэродинамического коэффициента лобового сопротивления C на заключительном этапе полета КА
x
1
C=-signΨ.
1
x
Учитывая, что сопряженная переменная Ψ является отрицательной, аэродинамический коэффициент C будет принимать максимальное значение в конце траектории полета.
x
Для определения динамики изменения величины C разделим первое уравнение системы (2) на второе и получим следующее уравнение
.
x
В результате его решения запишем формулу для определения аэродинамического коэффициента C в зависимости от изменяющихся величин V и θ:
0
где V - скорость космического аппарата при достижении максимальной высоты полета по рикошетирующей траектории после схода с изотемпературного участка.
Согласно работам [1, 2] аэродинамические коэффициенты лобового сопротивления и подъемной силы с высокой степенью точности могут быть аппроксимированы следующими аналитическими зависимостями:
x
x0
2
C=C+Asin(nα+l),
y
y0
C=C+Asin(nα+l)cos(nα+l).
x0
y0
Для спускаемых аппаратов типа несущий корпус C=0,2; C=-0,1; A=2,3; n=1,125; l=5,625°.
С учетом этих зависимостей формула (4) преобразуется к следующему виду:
,
Анализ этого уравнения показал, что угол атаки α на рассматриваемом участке полета КА монотонно возрастает с повышающейся интенсивностью и достигает в конце участка величины, равной ≈70÷85°, что соответствует максимальному значению аэродинамического коэффициента лобового сопротивления.
Источники информации
1. Иванов Н.М., Мартынов А.И. «Движение космических летательных аппаратов в атмосферах планет». М.: «Наука», 1985, стр.168-173.
2. Н.М. Иванов, А.И. Мартынов «Управление движением космических аппаратов в атмосфере Марса». Москва, «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1977, стр.159-169.