Силовое взаимодействие в контакте «Колесо - рельс»

ТРАНСПОРТ

УДК 621.3

СИЛОВОЕ ВЗАИМОДЕИСТВИЕ В КОНТАКТЕ «КОЛЕСО - РЕЛЬС»

© 2004 г. Л.Н. Сорин, А.А. Зарифьян, Г.А. Бузало

Моделирование сил, возникающих в контакте между движителем и опорой, представляет собой одну из основных проблем при исследовании движения наземных транспортных средств. Безусловно, в каждом конкретном случае имеются свои особенности, но характерными чертами этой проблемы являются необходимость учета формы и механических свойств поверхностей движителя (колеса) и опоры (рельса), а также явлений, происходящих в контакте при перемещении движителя относительно опоры под нагрузкой.

Рассмотрение подсистемы «колесо - рельс» в комплексе компьютерного моделирования рельсового экипажа требует экономичного в вычислительном плане алгоритма расчета силового взаимодействия, так как значения сил требуется вычислять на каждом шаге интегрирования уравнений движения. В настоящей работе изложена методика моделирования силового взаимодействия в контакте «колесо - рельс», которая достаточно точно описывает физику явления и, в то же время, обладает приемлемым быстродействием, что позволило применить ее при решении задач динамики многоосного тягового подвижного состава.

При качении колесной пары по рельсовой колее положение точек контакта на рабочих поверхностях колес и рельсов постоянно меняется. Нормальная нагрузка в точках контакта также является переменной. Под нагрузкой происходит деформация материала, вследствие чего «точки контакта» превращаются в контактные площадки конечных размеров, имеющих форму эллипса.

1. Определение размеров контактного эллипса. Определение размеров контактной площадки выполняем согласно [1], где приводится алгоритм нахождения полуосей а и Ь контактного эллипса, образующегося при сжатии нормальным усилием Р двух упругих тел, соприкасающихся первоначально в точке, если между нормальными плоскостями, содержащими главные радиусы кривизны поверхностей, имеется некоторый угол у.

Будем считать, что первой главной кривизной на рабочей поверхности колеса является переменная кривизна, соответствующая продольному направле-(1

нию кк

на поверхности рельса пер-

0 1

вая главная кривизна &рел1, всегда равная нулю, также

соответствует продольному направлению [2]. Тогда угол между нормальными плоскостями у представ-

ляет собой угол виляния колесной пары (при центральной установке у = 0).

Вторыми главными кривизнами являются

^кол2 = Коли = 0, ^ел2 = ^ел = 1/^рел = 3,333 м .

Для некоторого взаимного расположения колесной пары и рельсовой колеи, при заданном усилии P в контакте, полуоси a, b определяются следующим образом. Значения промежуточных величин А + В и В -А находятся по формулам:

A + B = ~ №кол1 + ^ол2 + ^ел1 + ^ел2^) ,

B - A = "2 [(^кол1 - ^кол2 )2 + №рел1 - ^ел2 )2 + +2№кол1 - ^кол2 )(^ел1 - ^ел2 ) C0S 2V ] .

Полуоси а и b контактного эллипса:

3п P(Yj +Y2) , 3п P(Yj +Y2) a = m з--111—— ; b = n 3--———

4

4

где Е12 = 2,1-10 Па - модуль Юнга; v1,2 = 0,3 - коэффициент Пуассона (материал колес и рельсов - сталь),

1 -VI2 „ _ 1 -V;;

Yi , Y2 =

пЕ1

пЕ2

Значения коэффициентов m и n табулированы в

B - A

Г31 в зависимости от угла в такого, что cos в =-.

J A + B

В качестве примера проведем расчет полуосей а и b при положении колеса, соответствующем центральной установке колесной пары на рельсовой колее. В этом случае угол между нормальными плоскостями

V = ° , kM1 =1598 м\ kM2 = 0 ^«л = 0 , k^a =3,333 откуда находим

A + B = 2,466 м-1; B - A = 0,868 м-1;

в = 69°,397; m = 1,295; n = 0,797 .

Нормальное усилие в контакте P = 19400 Н обусловлено только силой тяжести колесной пары (масса колесной пары 3950 кг).

Получаем величины полуосей эллипса a = 4,838 мм (в продольном направлении), b = 2,977 мм (в попе-

речном направлении), площадь контактного эллипса S = nab = 45,25 мм2.

Таким образом, определены размеры контактного эллипса, образованного рабочими поверхностями колеса и рельса, при заданном положении колесной пары на рельсовой колее и заданной нагрузке.

2. Определение нормальных и касательных усилий в контакте. Из решения задачи Герца о контакте двух упругих тел известно, что нормальные усилия по площадке контакта распределены согласно эллиптическому закону.

В задачах моделирования железнодорожных экипажей очень важным является учет упругого характера касательных усилий, возникающих в контакте «колесо - рельс» (явление крипа). При движении в кривых участках пути отличительными чертами являются значительные линейные (крип) и угловые (спин) скоро -сти проскальзывания колес по отношению к рельсам.

Для определения касательных усилий используем теорию «упругого контакта» Й.Калкера. Кратко изложим основные этапы вычислений согласно алгоритму Fastsim, предназначенному для нахождения распределения касательных усилий по площадке контакта [4].

Исходными данным для вычислений являются:

- полуоси контактного эллипса a, b;

- величины абсолютного продольного Vx и поперечного Vy крипа [2, формула (15)], а также угловой скорости виляния (спина) ф [2, формула (16)];

- скорости качения V колеса по рельсу;

- значение нормальной нагрузки в контакте P.

Вычислительная процедура, позволяющая найти

значения касательных усилий, состоит из следующих этапов.

1. Выбираются параметры сеточного разбиения площадки контакта: M - число интервалов вдоль продольной оси x, N - число интервалов вдоль поперечной оси у. На практике принимают значения M и N в пределах от 10 до 20.

2. Вычисляется параметр податливости L по формуле

J

L =-

п

Vy

С i С'

22

па

4С

23

G

JVT+V2

+ аЬф2

где О - модуль упругости при сдвиге, О = Е/[2(1 + V)], Сп, С22, С23 - коэффициенты, определяемые согласно [4].

3. Выполняется подготовка начальных значений перед выполнением итераций вдоль оси у:

Ех = 0, Еу = 0, Ду = 2Ь / N, у = Ь-Ду/2.

4. То же вдоль оси х:

ау = а^ 1 - (у /Ь)2 , Дх = 2ау /М , х = ау - Дх, рх = 0 , ру = 0 .

5. Вычисляются касательные усилия в предположении о локальной зоне сцепления:

Дх Ду

Рх = Рх - (-фу) ру = ру - 7й (у + фх),

VL

Продольная составляющая рх учитывает наличие продольного крипа и спина, поперечная составляющая ру - поперечного крипа и спина.

6. Вычисляется предельное значение сцепления, основанное на аппроксимации эллиптического закона распределения давления в контакте

P

bound

2CfP nab

(1 -(x/a)2 -(y/b)2),

где Су - коэффициент трения скольжения.

7. Выполняется проверка: если I р > РЬ°ипИ, то локальная область есть область

скольжения и

px

РУ

если|р| < РЬ°ипа, то локальная область есть область сцепления и рх , ру - без изменений.

8. Суммируются распределенные усилия

Ех = Ех + ДхДу рх, Еу = Еу + ДхДу ру .

9. Проверяется окончание итеративного процесса по х: х = х - Дх, если х > -ау, - переход к пункту 5.

10. Проверяется окончание итеративного процесса по у: у = у - Ду , если у > -Ь , - переход к пункту 4.

11. Окончание алгоритма, значения Ех и Еу определены.

Результатом работы алгоритма Еа8&1ш являются значения Ех и Еу - продольное и поперечное касательные усилия на площадке контакта.

3. Моделирование контакта гребня колеса и боковой поверхности рельса. При движении в кривых устойчивое положение колесной пары на рельсовой колее обеспечивается направляющей силой, возникающей в зоне контакта между гребнем колеса и боковой поверхностью рельса. К главным факторам, определяющим направление экипажа рельсовой колеей при движении в кривой, относятся нормальное усилие и сила трения в боковом контакте, угол набегания колеса на рельс, величина "забегания" точки контакта относительно оси, угол наклона плоскости контакта к горизонту

Поверхность гребня является конусом с углом при основании т (т = 70°). Точка контакта гребня с боковой поверхностью головки рельса находится на расстоянии Дугреб от круга катания (рис. 1), контакт находится на расстоянии /греб ниже уровня головки рельса. Эти значения определяются по конкретным профилям колеса и рельса, обычно принимают /греб = 10.

а

Рис. 1. Контакт гребня с боковой поверхностью рельса

Величина поперечного зазора между гребнем и внутренней гранью головки рельса Агреб нормируется согласно условиям эксплуатации, в частности в зависимости от радиуса кривой (таблица).

Зависимость зазора Агреб от радиуса кривой и ширины колеса

Радиус кривой Re, м Ширина колеи, мм Суммарный зазор 2Дгреб, мм

более 350 1520 14

от 300 до 350 1530 24

менее 300 1535 29

Если угол набегания а Ф 0, то контакт гребня колеса с головкой рельса смещается вдоль рельса на некоторое расстояние Ь, которое называется «забеганием» контакта гребня с рельсом и вычисляется по формуле

b = r tg a tg т

1

1 - tg2 a tg2 т

r tg a tg т,

знак b совпадает со знаком угла набегания a.

Сформулируем условие возникновения контакта гребня колеса с рельсом для левого и правого колес. Для записи условия необходимы значения Ay бокового относа колесной пары и угол набегания a (равный углу виляния). Кроме того, введем величину Ьгреб = bk - Аугреб - расстояние от центра масс колесной пары до точки контакта на гребне, взятое вдоль оси y.

На левом колесе расстояние от начала дуговой системы координат [SC] [2] до предполагаемой точки контакта равно:

Hy =Ay + Ьгреб cos a + b sin a,

причем b sina неотрицательно.

Контакт гребня и головки рельса возникает при выполнении условия

Д = Hy -(b^ + Агреб ) ^0.

Радиус-вектор точки контакта в системе [—] [2], связанной с колесной парой, имеет вид

,

-греб1 = (Ь Ьгреб

аналогично для правого колеса:

V

-Rk - ^греб )

Hy = -Ду + Ьгреб cos a + b sin a ;

Д = Hy -

(F) _

—греб2

= (-b -b

греб

Y

-Rk - ^греб ) •

Вводим в рассмотрение (для каждого из колес) систему координат [Ж], третья ось еез которой совпадает с общей нормалью соприкасающихся поверхностей в точке контакта. Система [Ж] может быть получена поворотом вокруг первой оси координатной системы, связанной с рельсовой нитью: [Ж] на угол т, [Ж] на угол -т.

Направляющее усилие, приложенное от боковой поверхности рельса на гребень колеса, вычисляется по закону линейного упругого элемента:

7(0) _ Сг Ае 1-н ~ ^бок^адз'

где Д дается выражением (1) либо (2), Сбок - боковая упругость рельсовой нити (принята равной 18000 кН/м [48]).

Скорость проскальзывания гребня по рельсу достаточно велика, поэтому касательное усилие считаем направленным противоположно скорости в точке контакта и вычисляем по закону кулоновского трения. Кинематические характеристики контакта гребня и боковой поверхности рельса вычисляются аналогично

[2]: -греб _ —(0)+»(0) х, греб.

Составляющие тангенциальной силы:

- вдоль первой оси [Ж] оси:

—(0) _ -с УГгре^ £а,У 7(0) . -т,1 " ( (0) (0) ) —- Н ;

- вдоль второй оси [Ж] оси:

—т,2 _ ( (0) (0) ) 7Н ,

здесь С^ - коэффициент трения скольжения между гребнем колеса и боковой поверхностью рельса. При расчетах было принято С^ = 0,25, что соответствует сухому трению стали по стали. Задание меньших значений Спозволяет исследовать движение при наличии устройств гребнесмазывания.

4. Примеры расчета. Приведем примеры, в которых рассматривается качение одиночной колесной пары по рельсовой колее. Уравнения движения колесной пары получены согласно [5] и представляют собой систему дифференциально-алгебраических уравнений

М(£)£ + к(£, ф _ Q(q, ?) + 0(фТ X, £ (?) _ 0,

где ? - столбец обобщенных (лагранжевых) координат; М - матрица масс; к, Q - столбцы гироскопических и активных сил; X - множители Лагранжа разре-

занных связей; g - алгебраические уравнения связей,

) ] = 1, п

G = dg dq =

т _ I

- матрица Якоби, n = 6 -

число лагранжевых координат, т = 2- число уравнений связей.

Нормальная нагрузка в контакте Р определяется с помощью множителя Лагранжа, получаемого при решении уравнений движения (3), по формуле

где вектор Ог образован первыми тремя элементами

/-й строки матрицы Якоби уравнений связей, Хг -множитель Лагранжа, г = 1 для левого колеса и г = 2 для правого.

Действующими силами являются сила тяжести (масса колесной пары т = 3950 кг) и силы взаимодействия Ехг, Еуг в контакте «колесо-рельс». Параметры расчета таковы: ак = 0,0499584 рад, Як = 625 мм, Ьк = 790 мм. Начальная скорость движения V = 10 м/с,

что соответствует угловой скорости вращения ю = 16 рад/с. Коэффициент трения скольжения Су = 0,25.

4.1. Качение колесной пары по прямолинейному горизонтальному участку пути в центральной установке. Кинематические характеристики в точках контакта таковы: продольный крип 7х1 = 7х2 = 0, поперечный крип 7у1 = 7у2 = 0 [2].

Спин слева равен ф1 = -0,799 рад/с, справа ф2 = +0,799 рад/с [2]; это геометрический спин, обусловленный коничностью рабочих поверхностей колес.

Продольные усилия в контакте равны нулю, что соответствует чистому качению. Поперечные усилия равны по модулю 628,4 Н и направлены: для левого контакта - влево по ходу, для правого - вправо по ходу.

4.2. Качение колесной пары по прямолинейному горизонтальному участку пути при наличии начального отклонения. Полагаем, что колесная пара в начальный момент смещена вправо по ходу на 1 мм от центральной установки.

Наблюдается картина неустойчивого движения, амплитуда колебаний бокового относа возрастает (рис. 2).

-Боковой относ

---Угол виляния

2 3 4 5 о _

Время, с

Рис. 2. Колебания бокового относа и виляния колесной пары

Длина волны этих колебаний составляет Ь = 19,6 м. В [6] приводится формула Клингеля, полученная из кинематических соображений и позволяющая оценить длину колебаний бокового относа при извилистом движении колесной пары:

L = 2п

= 19,74 м,

здесь обозначено ^ = Ьк = 0,79 м, г = Як = 0,625 м, у = 1/20.

Этот результат практически полностью совпадает с длиной волны, найденной нами в результате решения задачи динамики.

На рис. 3 изображены графики касательных усилий (сил крипа) в контакте «колесо - рельс». Значения продольных сил крипа на левом и правом колесе равны по модулю и противоположны по знаку (см. рис. 3а). Поперечная сила крипа на левом колесе направлена влево, на правом - вправо, абсолютные значения сил не совпадают (см. рис. 36).

б

Рис. 3. Касательные усилия в контакте «колесо - рельс»: а - продольные; б - поперечные

4.3. Качение колесной пары в круговой кривой.

Для круговой кривой заданного радиуса возможно подобрать такое начальное поперечное отклонение колесной пары, чтобы за счет разности радиусов кругов катания она совершала движение в состоянии

а

динамического равновесия. Принято, что возвышение наружного рельса отсутствует. Пусть постоянный радиус кривой равен ЯС = 3000 м. Тогда, при начальном смещении на 3,11 мм в сторону наружного рельса, разность радиусов качения слева и справа составляет 0,331 мм.

При качении колесная пара близка к состоянию динамического равновесия (рис. 4), угол виляния от-считывается в системе координат [^С].

Рис. 4. Движение колесной пары по круговой кривой в состоянии динамического равновесия

Продольные скорости проскальзывания в контактах Ух1 и Ух2 равны нулю, что соответствует чистому качению. Значения поперечного крипа слева и справа одинаковы: Уу1 = Уу2 = -0,0001 м/с. Спин слева равен: Ф1 = -0,7957 рад/с, справа: фх = -0,8023 рад/с. Разность абсолютных значений обусловлена различной коничностью рабочих поверхностей колес в левой и правой точках контакта из-за смещения колесной пары на 3,11 мм.

Рис. 5. Поперечные силы крипа при движении по круговой кривой

Продольные касательные усилия в контактах «колесо - рельс» равны нулю, а поперечные представлены на рис. 5.

Сумма сил, действующих на колесную пару в проекции на радиальное направление, равна по величине

центробежной силе

mV1

= 131,67Н.

Выводы

Разработанный алгоритм вычисления силового взаимодействия в контакте «колесо - рельс» является важнейшей частью математической модели качения колесной пары по рельсовой колее, которая в свою очередь входит в состав общего комплекса исследования движения рельсового экипажа в прямолинейных и криволинейных участках пути (рис. 6). Рассмотрение динамики рельсового экипажа в полной пространственной постановке позволяет решать задачи выбора наилучших параметров конструкций, снижения воздействия на путь при вписывании в кривые в режиме выбега и тяги, нахождения критических скоростей движения и многие другие. Экономичность алгоритма играет большую роль при многовариантных расчетах с использованием сложных моделей многоосного тягового подвижного состава.

I ргд те и. |г*Д?гл ГТ'-*;'. Л^Г.ч,-Л» Г^.*/.» __

Рис. 6. Модель локомотива с осевой формулой 2o-2o-2o, предназначенная для изучения вписывания в криволинейные участки пути

Литература

1. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. М., 1975.

2. Сорин Л.Н., Бузало Г.А., Зарифьян А.А. Расчет геометрических и кинематических характеристик рабочего контакта «колесо - рельс» // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки 2003. № 4. С. 111-115.

3. Гарг В.К., Дуккипати Р.В. Динамика подвижного состава. М., 1988.

4. Kalker J.J. Rolling contact phenomena: linear elasticity. Reports of the department of applied mathematical analysis. Delft, 2000.

5. Моделирование электромеханической системы электровоза с асинхронным тяговым приводом / Ю.А. Бахвалов, А. А. Зарифьян, В.Н. Кашников и др. М., 2001.

6. Вериго М.Ф., Коган А.Я. Взаимодействие пути и подвижного состава. М., 1986.

Ростовский государственный университет путей сообщения;

ОАО Всероссийский научно-исследовательский и проектно-конструкторский

институт электровозостроения;

Южно-Российский государственный технический университет (НПИ)_

26 марта 2003 г.