СПОСОБ КОНСТРУИРОВАНИЯ СОПРИКАСАЮЩИХСЯ ТЕЛ С ОДНОНАПРАВЛЕННЫМ ВРАЩЕНИЕМ И КОМПЬЮТЕРНАЯ СИСТЕМА ДЛЯ РЕАЛИЗАЦИИ ЭТОГО СПОСОБА
METHOD OF DESIGNING OF CONTACTING BODIES WITH UNIDIRECTIONAL ROTATION AND COMPUTER SYSTEM FOR THIS METHOD IMPLEMENTATION

Изобретение касается способа конструирования тел (изделий), которые при равнонаправленном вращении с одинаковой скоростью вокруг параллельно расположенных осей все время соприкасаются друг с другом по меньшей мере в одной точке.
Рассмотрим два круга, которые расположены на параллельных осях рядом друг с другом, как это схематически изображено на фигуре 1. Общеизвестно, что круги при вращении в одинаковых направлениях касаются друг друга таким образом, что при вращении всегда имеется соприкосновение в одной точке, которая расположена между центрами вращения кругов.
Кроме того, известно, что помимо кругов имеются и другие геометрические фигуры, которые при вращении в одном направлении всегда касаются друг друга в одной точке. Пример показан на фигуре 2. Эти фигуры при вращении в одном направлении с одинаковой скоростью всегда касаются друг друга в одной точке.
Двухмерные геометрические фигуры, представленные на фигурах 1 и 2, можно различным образом продолжать в третье измерение. Одна простая возможность - это, например, линейное продолжение фигур в направлении осей вращения, так чтобы образовывались дисковидные или стержневидные тела, которые при вращении в одной направлении касаются друг друга по линии между центрами вращения, которая проходит параллельно осям вращения.
Еще одна возможность состоит, например, в том, чтобы продлевать геометрические фигуры вдоль осей вращения винтообразно, так чтобы образовывались винтообразные тела, которые при вращении в одном направлении соприкасаются вдоль кривой между телами.
Тела, которые при равнонаправленном вращении вокруг параллельно расположенных осей с одинаковой скоростью всегда соприкасаются друг с другом по меньшей мере в одной точке, имеют значение, например, в технологии экструдеров, где их применяют в качестве шнековых экструдеров, вращающихся в одинаковых направлениях, например, для обработки вязких масс или в целях смешивания. Такие равнонаправленные двухвальные и многовальные экструдеры известны специалисту из патентной и специальной литературы. В качестве примера следует упомянуть следующую публикацию [1]: K.Kohlgrüber: "Der gleichläufige Doppelschneckenextruder", Hanser Verlag, 2007. To свойство, что соседние шнеки при равнонаправленном вращении попарно касаются друг друга, дает в случае шнековых экструдеров то преимущество, что они скоблят друг друга и поэтому друг друга очищают.
Для некоторых тел, которые при равнонаправленном вращении вокруг параллельно расположенных осей с одинаковой скоростью всегда соприкасаются друг с другом по меньшей мере в одной точке, существуют правила конструирования.
Так, например, из литературы по шнековым экструдерам известно (см., например, [1], стр.96-98), что шнековый элемент типа по Эрдменгеру с профилем сечения, как на фиг.2 настоящей заявки, можно составить из дуг окружности.
Неизвестно, однако, какие критерии должны быть выполнены в общем случае, чтобы два тела, вращающихся в одном направлении вокруг параллельно расположенных осей, все время касались друг друга по меньшей мере в одной точке.
Известно (см., например, [2]: Вооу «Geometry of fully wiped twin-screw equipment», Polymer Engineering and Science 18 (1978) 12, Seiten 973-984), что равнонаправленное вращение двух соприкасающихся тел вокруг фиксированных их осей идентично с точки зрения кинематики «сдвигу без вращения» одного тела вокруг другого, в этом случае фиксированного, тела. Эту особенность можно использовать для того, чтобы поэтапно создавать геометрические фигуры, которые при равнонаправленном вращении постоянно соприкасаются друг с другом в одной точке. При таком рассмотрении первая фигура («создаваемая») зафиксирована неподвижно, а вторую фигуру («создающую») поступательно перемещают вокруг первой по дуге окружности. Можно задать только часть профиля на второй фигуре и изучить, какой профиль при этом будет таким образом создан на первой фигуре. Создающая фигура в определенном смысле «вырезает» создаваемую.
Не известен, однако, общепринятый способ, позволяющий создать саму предварительно заданную часть второй фигуры. В [2] описан возможный подход, позволяющий генерировать участок профиля, из которого можно исходить, и из которого создают остальную часть профиля. Этот подход, однако, очень сложен с математической точки зрения и в первую очередь не универсален, то есть можно создавать только такие профили, которые можно описать с помощью приведенных в [2] математических функций.
Поэтому, исходя из нынешнего уровня техники, поставлена задача представить общий способ, посредством которого можно конструировать тела, которые при равнонаправленном вращении с одинаковой скоростью вокруг двух параллельно расположенных осей всегда соприкасаются друг с другом по меньшей мере в одной точке.
Неожиданно были обнаружены основные принципы, составляющие базу для двух тел, которые при равнонаправленном вращении вокруг двух параллельно расположенных осей всегда соприкасаются друг с другом по меньшей мере в одной точке.
Исходя из этих основных принципов, можно вывести общий способ для конструирования таких тел.
Поэтому предметом настоящего изобретения является способ согласно независимому пункту 1 формулы изобретения для конструирования тел (изделий), которые при равнонаправленном вращении с одинаковой скоростью вокруг параллельно расположенных осей все время соприкасаются друг с другом по меньшей мере в одной точке. Предпочтительные формы исполнения находятся в зависимых пунктах формулы изобретения.
Способ согласно изобретению можно применять к двум или более телам. Тела расположены друг рядом с другом на параллельных осях вращения, попарно проходящих на расстоянии а друг от друга. Целесообразно описывать способ для двух тел K1 и K2, которые вращаются с одинаковой скоростью, каждое вокруг своей оси. При размещении более чем двух тел тела K1 и K2 всегда попеременно располагаются на соседствующих осях вращения.
Тела K1 и K2 в целях простоты изложения в настоящем тексте называют также соответствующими (соотносящимися) телами.
Скорость вращения - это число оборотов тела вокруг своей оси в единицу времени (единица измерения - герц).
Для конструирования соответствующих тел K1 и K2 сначала создают профили сечения этих тел. Профили сечения - это профили, которые получаются при сечении тел K1 и K2 плоскостью Е, которая проходит перпендикулярно осям вращения A1 и A2.
Неожиданно было обнаружено, что можно задать профиль сечения одного тела, а профиль сечения другого, соответствующего тела легко вывести из этого заданного профиля. При этом задаваемый профиль должен удовлетворять лишь немногим, простым в реализации критериям. Профиль соответствующего тела выводят простым образом либо начертательно (графически), либо путем расчетов. Это позволяет конструировать исключительно разнообразные соответствующие тела. Кроме того, это впервые дает возможность задавать практически любое тело и простым образом выводить из заданного тела соответствующее ему тело. Способ согласно изобретению не ограничен профилями сечения, которые описывают дугами окружности (как в случае шнековых элементов типа по Эрдменгеру, см. [1] стр.96-98). Способ согласно изобретению также не ограничен описанными в [2] математическими функциями для определения профилей сечения.
Чтобы назвать критерии, которым должен удовлетворять задаваемый профиль сечения, задаваемый профиль целесообразно описать как математическую кривую.
Кривая (математическая) - это одномерный объект, у которого имеется кривизна. При этом «одномерный» означает, что по кривой можно перемещаться только в одном направлении (либо же в противоположном направлении). В данном случае кривая лежит в двухмерной плоскости Е, которая проходит перпендикулярно к осям вращения A1 и A2.
Точки пересечения S1 и S2 осей вращения A1 и A2 с плоскостью Е также называют центрами вращения конкретных осей. Расстояние между центрами вращения S1 и S2 составляет а.
Под кривизной кривой подразумевают изменение направления на единицу длины. Кривизна прямой везде равна нулю, поскольку ее направление не изменяется. У окружности радиуса r кривизна везде одинакова (а именно равна 1/r), поскольку ее направление везде изменяется в одинаковой мере. У всех остальных кривых кривизна обычно изменяется от точки к точке.
Кривизна некоторой кривой в некоторой точке P таким образом указывает, в какой мере кривая отклоняется от прямой в непосредственном окружении точки P.
Величину, обратную кривизне, называют радиусом кривизны. Это радиус окружности (круг кривизны), который в окрестности точки соприкосновения представляет собой наилучшее приближение (см. учебную литературу по математике, в частности, по геометрии).
Как известно специалисту, в параметрическом представлении кривую можно определить в зависимости от параметра s:
<mrow><mover accent="true"><mi>p</mi><mo>→</mo></mover><mrow><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mtable><mtr><mtd><mrow><mi>x</mi><mrow><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>)</mo></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><mi>y</mi><mrow><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>)</mo></mrow></mrow></mtd></mtr></mtable></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow>
<mrow><mover accent="true"><mi>p</mi><mo>→</mo></mover><mrow><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>)</mo></mrow></mrow>
При этом x(s) и y(s) - это координаты точек кривой
в двухмерной плоскости E.
Чтобы из кривой, которая описывает профиль сечения тела K1, можно было создать профиль сечения соответствующего тела K2, эта кривая должна удовлетворять следующим критериям:
- Кривая должна быть замкнутой.
- Кривая должна быть непрерывной.
- Кривая должна быть выпуклой.
- Кривая на отдельных участках должна быть непрерывно дифференцируема.
<mover accent="true"><mi>p</mi><mo>→</mo></mover>
- В каждой точке кривая
должна иметь радиус кривизны ρ, который меньше расстояния а или равен ему.
Как известно, у замкнутой выпуклой кривой имеется следующее свойство.
Рассмотрим две произвольные точки P1 и P2 на кривой. Если эти точки P1 и P2 соединить прямой, то эта прямая пройдет через точки P1 и P2 кривой, но сверх того ни через одну другую точку на кривой, вне зависимости от того, где на кривой лежат точки P1 и P2.
Равным же образом для выпуклой кривой справедливо, что в каждой точке у кривой положительная кривизна. У кривой может быть один или несколько перегибов. В том случае, если имеются один или несколько перегибов, на участках между перегибами кривая непрерывно дифференцируема (что означает, непрерывно дифференцируема на отдельных участках). В том случае, когда перегибы отсутствуют, кривая целиком непрерывно дифференцируема. Возможность описать перегибы математически приведена ниже.
<mover accent="true"><mi>p</mi><mo>→</mo></mover>
<mover accent="true"><mi>q</mi><mo>→</mo></mover>
Если немногочисленные и простые в реализации вышеприведенные критерии выполнены, то из кривой
можно вывести кривую
, которая описывает профиль сечения соответствующего тела K2.
<mrow><mrow><mo>|</mo><mover accent="true"><mi>x</mi><mo>→</mo></mover><mo>|</mo></mrow><mo>=</mo><msqrt><mrow><mover accent="true"><mi>x</mi><mo>→</mo></mover><mo>⋅</mo><mover accent="true"><mi>x</mi><mo>→</mo></mover></mrow></msqrt></mrow>
Для этого следует ввести еще несколько векторов (см., например, "HÜTTE, das Ingenieurwissen", 32-е издание, ISBN 3-540-20325-7, 2004, начиная со стр.59 [3]). Использованный способ записи соответствует стандартному математическому способу записи: вектор обозначают стрелкой над буквой, при этом точка над выражением в каждом случае представляет собой производную по параметру, черты модуля означают модуль вектора, то есть корень из скалярного произведения на самого себя,
, а крест означает смешанное произведение.
Кроме того, из соображений простоты изложения сначала предполагают, что кривая полностью непрерывно дифференцируема, то есть не имеет перегибов. В этом случае изложенные ниже соотношения справедливы для всех точек профиля сечения без ограничений. В случае же профилей сечения с одним или несколькими перегибами нижеизложенные соотношения справедливы для непрерывно дифференцируемых участков между перегибами.
<mrow><mover accent="true"><mi>t</mi><mo>→</mo></mover><mrow><mo>(</mo><mover accent="true"><mi>p</mi><mo>→</mo></mover><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mfrac><mover accent="true"><mover accent="true"><mi>p</mi><mo>→</mo></mover><mo>˙</mo></mover><mrow><mrow><mo>|</mo><mover accent="true"><mover accent="true"><mi>p</mi><mo>→</mo></mover><mo>˙</mo></mover><mo>|</mo></mrow></mrow></mfrac></mrow>
- Пусть
- множество нормированных касательных векторов длины 1 (единичных касательных векторов).
<mover accent="true"><mi>p</mi><mo>→</mo></mover>
<mover accent="true"><mi>p</mi><mo>→</mo></mover>
Для каждой точки кривой
существует нормированный касательный вектор, который в указанной точке проходит касательно к кривой
.
<mrow><mover accent="true"><mi>n</mi><mo>→</mo></mover><mrow><mo>(</mo><mover accent="true"><mi>p</mi><mo>→</mo></mover><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mfrac><mover accent="true"><mover accent="true"><mi>t</mi><mo>→</mo></mover><mo>˙</mo></mover><mrow><mrow><mo>|</mo><mover accent="true"><mover accent="true"><mi>t</mi><mo>→</mo></mover><mo>˙</mo></mover><mo>|</mo></mrow></mrow></mfrac></mrow>
<mover accent="true"><mi>p</mi><mo>→</mo></mover>
- Пусть
это множество нормированных нормальных векторов длины 1, которые в каждом случае указывают в направлении центральной точки круга кривизны, принадлежащего к данной конкретной точке кривой
.
<mover accent="true"><mi>p</mi><mo>→</mo></mover>
<mover accent="true"><mi>p</mi><mo>→</mo></mover>
<mover accent="true"><mi>p</mi><mo>→</mo></mover>
Для каждой точки кривой
существует нормированный нормальный вектор, который в указанной точке перпендикулярен касательной к кривой
. Этот нормальный вектор направлен к центру того круга (круга кривизны), который аппроксимирует кривизну для данной конкретной точки кривой
. Круг кривизны, принадлежащий к некоторой точке кривой, имеет тот же радиус (ту же кривизну), что и кривая в этой точке.
<mrow><mi>ρ</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><msup><mover accent="true"><mi>s</mi><mo>˙</mo></mover><mn>3</mn></msup></mrow><mrow><mrow><mo>|</mo><mrow><mover accent="true"><mover accent="true"><mi>p</mi><mo>→</mo></mover><mo>˙</mo></mover><mo>×</mo><mover accent="true"><mover accent="true"><mi>p</mi><mo>→</mo></mover><mo>¨</mo></mover></mrow><mo>|</mo></mrow></mrow></mfrac></mrow>
<mrow><mover accent="true"><mi>s</mi><mo>˙</mo></mover><mo>=</mo><mrow><mo>|</mo><mover accent="true"><mover accent="true"><mi>p</mi><mo>→</mo></mover><mo>˙</mo></mover><mo>|</mo></mrow></mrow>
Тогда
- это радиус кривизны, причем
.
<mover accent="true"><mi>a</mi><mo>→</mo></mover>
a
- Пусть
- вектор длины , который направлен от точки сечения S1 к точке сечения S2.
<mover accent="true"><mi>q</mi><mo>→</mo></mover>
<mover accent="true"><mi>p</mi><mo>→</mo></mover>
Кривую
, которая описывает профиль сечения соответствующего тела K2, получают из кривой
, описывающей предварительно заданный профиль сечения тела K1, посредством нижеследующего соотношения:
<mrow><mover accent="true"><mi>q</mi><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mover accent="true"><mi>p</mi><mo>→</mo></mover><mo>+</mo><mi>a</mi><mo>⋅</mo><mover accent="true"><mi>n</mi><mo>→</mo></mover><mrow><mo>(</mo><mover accent="true"><mi>p</mi><mo>→</mo></mover><mo>)</mo></mrow><mo>+</mo><mover accent="true"><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow></mrow>
<mover accent="true"><mi>a</mi><mo>→</mo></mover>
<mover accent="true"><mi>p</mi><mo>→</mo></mover>
<mover accent="true"><mi>p</mi><mo>→</mo></mover>
<mover accent="true"><mi>q</mi><mo>→</mo></mover>
<mover accent="true"><mi>q</mi><mo>→</mo></mover>
<mover accent="true"><mi>p</mi><mo>→</mo></mover>
<mrow><mover accent="true"><mi>t</mi><mo>→</mo></mover><mrow><mo>(</mo><mover accent="true"><mi>p</mi><mo>→</mo></mover><mo>)</mo></mrow></mrow>
<mrow><mover accent="true"><mi>n</mi><mo>→</mo></mover><mrow><mo>(</mo><mover accent="true"><mi>p</mi><mo>→</mo></mover><mo>)</mo></mrow></mrow>
<mrow><mi>a</mi><mo>⋅</mo><mover accent="true"><mi>n</mi><mo>→</mo></mover><mrow><mo>(</mo><mover accent="true"><mi>p</mi><mo>→</mo></mover><mo>)</mo></mrow></mrow>
<mover accent="true"><mi>a</mi><mo>→</mo></mover>
a
a
На фиг.3 схематически показана реализация способа согласно изобретению на основании одной точки на кривой. Точки пересечения S1 и S2 с осями вращения обозначены маленькими кружками. Они находятся на расстоянии а друг от друга. Вектор
имеет длину  и направлен от S1 к S2. Над точками пересечения S1 и S2 показан участок кривой
. Точка на кривой выделена и обозначена маленьким кружком. Из этой точки кривой
можно создать точку на соответствующей кривой
. Для получения точки на соответствующей кривой
в точке кривой
проводят касательную
к кривой, строят нормированный нормальный вектор к этой касательной
и удлиняют его в  раз, а затем, наконец, прибавляют к этому вектору
вектор
.
<mover accent="true"><mi>p</mi><mo>→</mo></mover>
<mover accent="true"><mi>p</mi><mo>→</mo></mover>
Кривую
можно непрерывно описать одной математической функцией. Равным же образом кривую
можно на отдельных участках описать разными математическими функциями.
<mover accent="true"><mi>p</mi><mo>→</mo></mover>
<mover accent="true"><mi>p</mi><mo>→</mo></mover>
Кривая
на отдельных участках должна быть непрерывно дифференцируема. Таким образом, отдельные участки кривой
, заданной на отдельных участках, не обязательно должны переходить друг в друга на границах с возможностью непрерывного дифференцирования.
<mover accent="true"><mi>q</mi><mo>→</mo></mover>
Если два участка кривой встречаются друг с другом в точке перегиба, то для точки перегиба не определен вектор касательной и нормальный вектор. Таким образом из отношения (1) для точки перегиба профиля тела K1 нельзя непосредственно вывести соответствующий участок кривой
соответствующего тела K2.
Неожиданно было, однако, обнаружено, что каждому перегибу в профиле сечения тела K1 соответствует дуга окружности в профиле сечения тела K2.
Размер дуги окружности задается ее центральным углом и радиусом. В дальнейшем центральный угол дуги окружности для краткости называется углом дуги окружности. Положение дуги окружности задается положением его центра и положением обеих его конечных точек.
a
Дуга окружности в профиле сечения K2, соответствующая перегибу в профиле сечения тела K1, всегда имеет радиус, размер которого соответствует межосевому расстоянию . Кроме того, дуга окружности, соответствующая перегибу, всегда характеризуется углом, который соответствует тому углу, под которым встречаются друг с другом касательные к участкам кривых в точке перегиба.
<mover accent="true"><mi>q</mi><mo>→</mo></mover>
<mover accent="true"><mi>p</mi><mo>→</mo></mover>
a
И наоборот, соответственно, справедливо утверждение, что соответствующий участок профиля кривой
представляет собой «перегиб», если участок профиля кривой
- это дуга окружности с радиусом .
В связи с этим целесообразно описывать перегиб дугой окружности, радиус которой равен 0. На перегибе происходит переход первого участка кривой во второй участок кривой посредством поворота на угол дуги окружности с радиусом, равным нулю. Касательная к первому участку кривой в центре дуги окружности с радиусом, равным нулю, пересекается с касательной ко второй дуге окружности также в центре дуги окружности под углом, соответствующим углу дуги окружности. Если учесть дугу окружности, то все соседствующие участки кривой (первый участок кривой → дуга окружности с радиусом, равным нулю, → второй участок кривой) переходят друг в друга по касательной. Целесообразно рассматривать дугу окружности с радиусом, равным нулю, как дугу окружности, радиус которой равен eps, причем eps - это очень малое положительное действительное число, стремящееся к 0 (eps<<1, eps→0). Из соответствующего профиля сечения формируется дуга окружности с тем же углом и радиусом, равным межосевому расстоянию.
Описанная ситуация проиллюстрирована на фигуре 7. На фигуре 7 показаны часть профиля сечения тела K1 и часть профиля сечения получающегося тела K2. Показанная часть профиля сечения тела K1 состоит из участков кривых KA1 и KA2. Эти участки кривых встречаются друг с другом в точке перегиба KP, которая обозначена маленьким кружком, то есть профиль сечения тела K1 имеет перегиб. Как пояснено выше, перегиб предпочтительно описывать дугой окружности, радиус которой имеет нулевую величину. Угол дуги окружности равен углу W, который образуют друг с другом касательная TA1 к участку кривой KA1 и касательная TA2 к участку кривой KA2 в точке перегиба KP.
<mrow><mover accent="true"><mi>q</mi><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mover accent="true"><mi>p</mi><mo>→</mo></mover><mo>+</mo><mi>a</mi><mo>⋅</mo><mover accent="true"><mi>n</mi><mo>→</mo></mover><mrow><mo>(</mo><mover accent="true"><mi>p</mi><mo>→</mo></mover><mo>)</mo></mrow><mo>+</mo><mover accent="true"><mi>a</mi><mo>→</mo></mover></mrow>
<mover accent="true"><mi>p</mi><mo>→</mo></mover>
<mover accent="true"><mi>q</mi><mo>→</mo></mover>
В профиле сечения тела K2, соответствующего телу K1, принадлежащие к участкам кривых KA1 и KA2 участки KA1' и KA2' получаются из отношения (1):
. При этом для кривой
в уравнение (1) необходимо в каждом случае подставить участки кривых KA1 и KA2, так, чтобы в качестве кривой
в итоге получились участки кривых KA1' и KA2'. Между получающимися участками кривых KA1' и KA2', которые обозначены на фигуре 7 штриховыми линиями, возникает пустое место.
a
a
<mover accent="true"><mi>a</mi><mo>→</mo></mover>
Из перегиба в профиле сечения тела K1 в профиле сечения соответствующего тела K2 получается дуга радиусом r= ( = межосевое расстояние между центрами вращения S1 и S2) и углом W. Эта дуга окружности замыкает зазор между участками кривых KA1' и KA2'. Центр дуги окружности получают путем сдвига перегиба на расстояние а параллельно линии, соединяющей точки S1 и S2, в направлении тела К2. Это соответствует сдвигу (параллельному переносу) точки перегиба на вектор
. Конечные точки получающейся в итоге дуги окружности граничат с границами участков кривых KA1' и KA2'. Таким образом, как величина, так и положение итоговой дуги окружности однозначно следуют из параметров, которые описывают точку перегиба как дугу окружности с радиусом, равным нулю.
Соответственно, способ согласно изобретению можно сформулировать следующим образом:
a
<mover accent="true"><mi>p</mi><mo>→</mo></mover>
<mover accent="true"><mi>p</mi><mo>→</mo></mover>
Предметом настоящего изобретения является способ создания двух тел K1 и K2, которые при равнонаправленном вращении с одинаковой скоростью вокруг двух расположенных параллельно друг другу на расстоянии  осей A1 и A2 всегда по меньшей мере в одной точке соприкасаются друг с другом, отличающийся тем, что в некоторой плоскости Е перпендикулярно осям вращения образуют профиль сечения тела K1 посредством непрерывной, на отдельных участках непрерывно дифференцируемой, замкнутой, выпуклой кривой
, а профиль сечения тела K2 образуют из кривой
в соответствии с отношением
<mrow><mover accent="true"><mi>q</mi><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mover accent="true"><mi>p</mi><mo>→</mo></mover><mo>+</mo><mi>a</mi><mo>⋅</mo><mover accent="true"><mi>n</mi><mo>→</mo></mover><mrow><mo>(</mo><mover accent="true"><mi>p</mi><mo>→</mo></mover><mo>)</mo></mrow><mo>+</mo><mover accent="true"><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow></mrow>
причем
<mover accent="true"><mi>p</mi><mo>→</mo></mover>
а
- в каждой точке кривая
имеет радиус кривизны ρ, который меньше расстояния  или равен ему;
<mover accent="true"><mi>p</mi><mo>→</mo></mover>
<mrow><mover accent="true"><mi>n</mi><mo>→</mo></mover><mrow><mo>(</mo><mover accent="true"><mi>p</mi><mo>→</mo></mover><mo>)</mo></mrow></mrow>
<mover accent="true"><mi>p</mi><mo>→</mo></mover>
<mover accent="true"><mi>p</mi><mo>→</mo></mover>
- для каждой точки кривой
в пределах непрерывно дифференцируемого участка существует нормированный нормальный вектор
длины 1, который в данной конкретной точке перпендикулярен касательной к кривой
и указывает в направлении центра круга кривизны, принадлежащего к данной конкретной точке кривой
;
<mover accent="true"><mi>a</mi><mo>→</mo></mover>
а
-
представляет собой вектор, который проходит от точки пересечения S1 оси вращения A1 с плоскостью Е до точки пересечения S2 оси вращения A1 с плоскостью Е и имеет длину ,
а
<mover accent="true"><mi>p</mi><mo>→</mo></mover>
- в случае перегиба в профиле сечения тела K1 профиль сечения тела K2 имеет дугу окружности, радиус которой соответствует межосевому расстоянию , а угол которой соответствует тому углу, под которым встречаются друг с другом касательные к участкам кривых кривой
в точке перегиба.
<mover accent="true"><mi>p</mi><mo>→</mo></mover>
<mover accent="true"><mi>p</mi><mo>→</mo></mover>
Точка пересечения S1 может лежать внутри замкнутой кривой
или вне ее. Предпочтительно, чтобы точка пересечения S1 лежала внутри замкнутой кривой
.
<mover accent="true"><mi>p</mi><mo>→</mo></mover>
<mover accent="true"><mi>p</mi><mo>→</mo></mover>
<mover accent="true"><mi>p</mi><mo>→</mo></mover>
<mover accent="true"><mi>p</mi><mo>→</mo></mover>
<mover accent="true"><mi>p</mi><mo>→</mo></mover>
<mover accent="true"><mi>p</mi><mo>→</mo></mover>
Замкнутая кривая
может обладать зеркальной симметрией, центральной (точечной) симметрией или симметрией вращения. Если замкнутая кривая
обладает зеркальной симметрией, то предпочтительно, чтобы точка пересечения S1 располагалась на оси симметрии. Если у замкнутой кривой
имеется более одной осей симметрии, то предпочтительно, чтобы точка пересечения S1 располагалась в точке пересечения по меньшей мере двух осей симметрии кривой
. Если замкнутая кривая
обладает центральной симметрией, то целесообразно, чтобы точка пересечения S1 располагалась в центре симметрии. Если замкнутая кривая
обладает симметрией вращения, то целесообразно, чтобы точка пересечения S1 располагалась в центре вращения профиля.
<mover accent="true"><mi>p</mi><mo>→</mo></mover>
<mover accent="true"><mi>p</mi><mo>→</mo></mover>
a
Если точка пересечения S1 располагается внутри или на кривой
, то для всех точек на кривой
максимальное расстояние до точки S1 равняется , а минимальное расстояние составляет 0.
<mover accent="true"><mi>p</mi><mo>→</mo></mover>
Кривую
можно, например, непрерывно описать одной математической функцией. В качестве примеров следует назвать известные специалисту функции, как то: круговые, эллиптические, параболические или гиперболические функции. Кроме того, например, можно представлять функции в форме
<mrow><mover accent="true"><mi>p</mi><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><msub><mi>r</mi><mn>0</mn></msub><mo>−</mo><mi>f</mi><mrow><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>)</mo></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>⋅</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mtable><mtr><mtd><mrow><mi>cos</mi><mrow><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>)</mo></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><mi>sin</mi><mrow><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>)</mo></mrow></mrow></mtd></mtr></mtable></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>+</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mtable><mtr><mtd><mrow><msub><mi>x</mi><mn>0</mn></msub></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>y</mi></mtd></mtr></mtable></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow>
,
0
в силу чего, в зависимости от формы функции f(s) при реализации шнековых элементов получается произвольно выбираемая щель между корпусом с радиусом r и вращающимся шнековым элементом. f(s) может представлять собой линейную или квадратичную функцию s, гиперболическую функцию или экспоненциальную функцию.
Кроме того, следует назвать функции, значения которых определяются контрольными точками, как, например, B-сплайн-функции, функции Безье, рациональные функции Безье, а также неоднородные рациональные В-сплайны (NURBS). Функции Безье, рациональные функции Безье, NURBS предпочтительны, поскольку их часто применяют в конструировании с применением систем CAD (Computer Aided Design, САПР - системы автоматизированного проектирования), и там они служат для того, чтобы путем сдвига контрольных точек задавать произвольные формы в геометрически наглядном виде.
В качестве примера здесь следует привести функции Безье. Как известно, функции Безье имеют форму
<mrow><mover accent="true"><mi>C</mi><mo>→</mo></mover><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mstyle displaystyle="true"><msubsup><mo>∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow><mi>n</mi></msubsup><mrow><msub><mi>B</mi><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>n</mi></mrow></msub><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow><msub><mover accent="true"><mi>P</mi><mo>→</mo></mover><mi>i</mi></msub></mrow></mstyle></mrow>
,
<mrow><msub><mover accent="true"><mi>P</mi><mo>→</mo></mover><mi>i</mi></msub></mrow>
причем
- это координаты контрольных точек, а
<mrow><msub><mi>B</mi><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>n</mi></mrow></msub><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mtable><mtr><mtd><mi>n</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>i</mi></mtd></mtr></mtable></mrow><mo>)</mo></mrow><msup><mi>t</mi><mi>i</mi></msup><msup><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><mi>t</mi></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mi>i</mi></mrow></msup></mrow>
полином Бернштейна.
Рациональные функции Безье степени n, которые описаны, например, в книге М.S.Floater "Derivatives of rational Bezier curves". Comp. Aid. Geom. Design 9, 1992, 161-174 [4], как известно, имеют форму
<mrow><mover accent="true"><mi>P</mi><mo>→</mo></mover><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mfrac><mrow><mstyle displaystyle="true"><msubsup><mo>∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow><mi>n</mi></msubsup><mrow><msub><mi>B</mi><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>n</mi></mrow></msub><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow><msub><mi>w</mi><mi>i</mi></msub><msub><mover accent="true"><mi>P</mi><mo>→</mo></mover><mi>i</mi></msub></mrow></mstyle></mrow><mrow><mstyle displaystyle="true"><msubsup><mo>∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow><mi>n</mi></msubsup><mrow><msub><mi>B</mi><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>n</mi></mrow></msub><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow><msub><mover accent="true"><mi>P</mi><mo>→</mo></mover><mi>i</mi></msub></mrow></mstyle></mrow></mfrac></mrow>
<mrow><msub><mover accent="true"><mi>P</mi><mo>→</mo></mover><mi>i</mi></msub></mrow>
i
причем
представляет координаты контрольных точек функции, a w их весомость.
Особо предпочтительны квадратичные и кубические (т.е. где n=2 и n=3) функции Безье и кубические рациональные функции Безье.
Выкладки (выведение), необходимые для реализации способа, специалист может получить, применяя общеизвестные математические правила. Различные методы для рациональных функций Безье приведены, например, в [4]. Для расчета выведения целесообразно также применять компьютерную алгебраическую систему. Еще одна возможность состоит в том, чтобы аппроксимировать выведение, исходя из имеющихся численных данных, например, через расчет разностей. Такие способы известны специалисту и представлены, например, в книге Press, Teukolsky, Vetterling, Flannery: "Numerical Recipes in FORTRAN", 2nd edition, ISBN 052143064 X, начиная со стр.180 [5].
<mover accent="true"><mi>p</mi><mo>→</mo></mover>
Кривую
можно равным же образом описать на отдельных участках различными математическими функциями, причем функции на участках предпочтительно соответствуют функциям, упомянутым в предыдущем абзаце.
<mover accent="true"><mi>p</mi><mo>→</mo></mover>
<mrow><mover accent="true"><mi>q</mi><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mover accent="true"><mi>p</mi><mo>→</mo></mover><mo>+</mo><mi>a</mi><mo>⋅</mo><mover accent="true"><mi>n</mi><mo>→</mo></mover><mrow><mo>(</mo><mover accent="true"><mi>p</mi><mo>→</mo></mover><mo>)</mo></mrow><mo>+</mo><mover accent="true"><mi>a</mi><mo>→</mo></mover></mrow>
<mover accent="true"><mi>q</mi><mo>→</mo></mover>
Особый случай описания математическими функциями по отдельным участкам представляет собой описание посредством дуг окружности. Возможно описать часть или всю кривую
, а, соответственно, и часть или весь профиль сечения тела K1 через дуги окружности. Из отношения
следует, что в этом случае кривая
и, соответственно, профиль сечения соответствующего телу K1 тела K2 составлен из дут окружности.
<mrow><msub><mover accent="true"><mi>p</mi><mo>→</mo></mover><mi>n</mi></msub></mrow>
<mrow><msub><mover accent="true"><mi>q</mi><mo>→</mo></mover><mi>n</mi></msub></mrow>
<mrow><msub><mover accent="true"><mi>p</mi><mo>→</mo></mover><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub></mrow>
<mrow><msub><mover accent="true"><mi>q</mi><mo>→</mo></mover><mi>n</mi></msub></mrow>
<mover accent="true"><mi>a</mi><mo>→</mo></mover>
<mover accent="true"><mi>a</mi><mo>→</mo></mover>
<mrow><msub><mover accent="true"><mi>q</mi><mo>→</mo></mover><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub></mrow>
<mrow><msub><mover accent="true"><mi>p</mi><mo>→</mo></mover><mi>n</mi></msub></mrow>
Если профили создают по отдельным участкам в соответствии со способом согласно изобретению, то соответствующие участки профилей тел K1 и K2 также могут меняться от участка с участком. В этом случае после предварительного задания участка
и вычисления соответствующего участка
предварительно задают участок кривой
, который по касательной переходит в
и в соответствии с (1) при замене S1 и S2 друг на друга (т.е. при использовании -
вместо
) дает в результате участок кривой
, который по касательной переходит в предыдущий участок кривой
.
Неожиданно оказывается, что способ согласно изобретению можно реализовать на бумаге только с помощью циркуля и угольника.
В принципе, это даже позволяет создавать профиль сечения тела исключительно от руки, а профиль сечения соответствующего тела - графически выводить из заданного в графическом виде профиля.
a
Для этого целесообразным образом сначала помещают центры вращения S1 и S2 в некоторую плоскость. Расстояние между центрами вращения составляет . Профиль сечения тела K1 целиком и полностью чертят в плоскости точек S1 и S2. При этом справедливы вышеприведенные критерии для создания профиля тела K1.
Каждую отдельную точку профиля сечения соответствующего тела K2 можно вывести из отдельных точек предварительно заданного профиля сечения тела K1.
Профили сечения соответствующих тел можно продлевать в третье измерение различным образом, чтобы создавать тела, которые при равнонаправленном вращении с одинаковой скоростью вокруг расположенных параллельно друг другу осей всегда касаются друг друга по меньшей мере в одной точке. Пояснение этому дано на примере шнековых элементов для шнекового экструдера, поскольку способ согласно изобретению предпочтительно применяют для создания шнековых элементов.
Способ согласно изобретению не ограничен, однако, шнековыми элементами обычной в наше время модульной конструкции, состоящей из шнековых элементов и центральных валов, а применим также к шнекам сплошной конструкции. Поэтому под понятием "шнековые элементы" подразумевают также сплошные шнеки.
Шнековые элементы можно применять как транспортировочные, месильные или смешивающие элементы.
Транспортировочный элемент отличается тем (см., например, [1], стр.227-248), что профиль шнека продолжается в осевом направлении подобно винту с непрерывным поворотом. При этом Транспортировочный элемент может быть правым или левым. Шаг транспортировочного элемента предпочтительно находится в пределах от 0,1 до 10 величин межосевого расстояния, причем под шагом подразумевают длину по оси, необходимую на полный оборот профиля шнека, а длина по оси транспортировочного элемента предпочтительно находится в пределах от 0,1 до 10 значений межосевого расстояния. Число ходов, шаг и осевая длина у соседствующих шнековых элементов (соответствующих тел) одинаковы.
Месильный элемент отличается тем (см., например, [1], стр.227-248), что профиль шнека ступенчато продолжается в осевом направлении в форме месильных дисков. Расположение месильных дисков может быть правоходным, левоходным или же нейтральным. Длина месильных дисков по оси предпочтительно находится в пределах от 0,05 до 10 значений межосевого расстояния. Расстояние между двумя месильными дисками по оси предпочтительно находится в пределах от 0,002 до 0,1 значений межосевого расстояния. Число ходов и осевая длина месильных дисков у соседствующих шнековых элементов (соответствующих тел) одинаковы.
Смесительные элементы (см., например, [1], стр.227-248) формируют путем изготовления транспортировочных элементов с проемами в гребнях шнеков. Смесительные элементы могут быть правоходными или левоходными. Шаг их предпочтительно находится в пределах от 0,1 до 10 величин межосевого расстояния, а длина элементов по оси предпочтительно находится в пределах от 0,1 до 10 величин межосевого расстояния. Проемы предпочтительно имеют форму u-образного или v-образного паза, которые предпочтительно располагают в направлении, противоположном таковому подачи, или же параллельно оси. Число ходов, шаг и осевая длина у соседствующих шнековых элементов (соответствующих тел) одинаковы.
Для перехода между различными шнековыми элементами в качестве распорной втулки часто используют подкладные диски. В особых случаях используют так называемые переходные элементы, которые позволяют осуществить плавный переход между двумя шнековыми профилями с различным числом витков, причем в каждой точке перехода имеет место самоочищающаяся пара профилей шнеков. Переходные элементы могут быть правоходными или левоходными. Шаг их предпочтительно находится в пределах от 0,1 до 10 величин межосевого расстояния, а их длина по оси предпочтительно находится в пределах от 0,1 до 10 величин межосевого расстояния. Число ходов, шаг и осевая длина у соседствующих шнековых элементов (соответствующих тел) одинаковы.
Настоящее изобретение позволяет создавать профили соответствующих тел «с нуля» (ab initio). В противоположность нынешнему уровню техники способ согласно изобретению не опирается на имеющиеся профили, а позволяет создавать произвольные профили пошагово с соблюдением простых правил. Способ согласно изобретению универсален, то есть он не ограничен определенными типами тел (например, шнековыми элементами типа по Эрдменгеру).
Как уже изложено, способ согласно изобретению можно реализовать на бумаге только с помощью циркуля и угольника. Целесообразно реализовывать способ согласно изобретению на компьютерной системе, поскольку координаты и размеры профилей, представлены в форме, которая поддается дальнейшей обработке на компьютере.
Поэтому предметом настоящего изобретения также является компьютерная система для реализации способа согласно изобретению на компьютере.
Предпочтительно, чтобы компьютерная система имела графический интерфейс пользователя (GUI), который дает пользователю возможность просто вводить произвольно выбираемые величины для создания профилей с помощью устройств ввода, например мыши и/или клавиатуры. Особо предпочтительно, чтобы у компьютерной системы имелась возможность задавать контуры профилей с помощью контрольных точек и при необходимости весомости в случае функций, значения которых определяются контрольными точками, как, например, B-сплайн-функции, функции Безье, рациональные функции Безье, а также неоднородные рациональные В-сплайны (NURBS), причем это можно было бы осуществлять в виде чисел (координат), графически или же посредством комбинации графического и числового ввода. Кроме того, предпочтительно, чтобы компьютерная система имела графический вывод, с помощью которого рассчитанные профили шнеков можно было бы визуализировать на графическом устройстве вывода, как, например, на экране и/или принтере. Предпочтительно, чтобы компьютерная система имела возможность экспортировать рассчитанные профили, т.е. сохранять их в форме пригодного к записи набора данных, которые включают в себя геометрические размеры рассчитанных тел, на носителе данных в целях дальнейшего применения или переносить их на подключенное устройство. Предпочтительно, чтобы компьютерная система была сконструирована так, чтобы она могла рассчитывать как профили сечения, так и сгенерированные на основе профилей сечения тела, а рассчитанные геометрические параметры выводить в формате, которые можно применять на машине для изготовления таких тел, например, на станке, например, на фрезеровочном станке, чтобы изготавливать реальные тела. Такие форматы известны специалисту.
После того как трехмерные профили описанным образом созданы, тела можно изготовить, например, с помощью фрезеровочного станка, токарного станка или станка для вихревой обработки. Предпочтительные материалы для изготовления таких тел - это различные сорта стали, в особенности азотированные стали, хромистые, инструментальные и нержавеющие стали, металлические композиты, изготовленные методом порошковой металлургии на основе железа, никеля или кобальта, инженерно-керамические материалы, как, например, оксид циркония или карбид кремния, если тела представляют собой шнеки для экструдеров.
Шнековые элементы для двухшнековых или многовальных экструдеров обычно помещают в корпус. При этом шнековые элементы и корпус выполнены так, что благодаря вращению шнековых элементов осуществляется не только попарная очистка соседствующих шнековых элементов скоблением, но присутствует и очистка внутренних стенок корпуса благодаря вращению шнековых элементов.
Как изложено, например, в публикации [1] на страницах 27-30, как правило, в сборках шнековых элементов и корпуса на практике всегда имеются так называемые зазоры. Как известно специалисту, зазоры между шнеком и корпусом могут отличаться от зазоров между шнеками либо же быть одинаковы. Зазор между шнеком и корпусом обозначают через δ, а зазор между шнеком и шнеком - через s. Также зазоры могут быть постоянными либо же варьировать в заданных пределах. Также возможно сдвигать профиль шнека в пределах зазоров.
Таким образом, применяемые на практике шнековые элементы из-за имеющихся зазоров, строго говоря, не обладают тем свойством, что при равнонаправленном вращении с одинаковой скоростью вокруг параллельно расположенных осей они касаются друг друга по меньшей мере в одной точке.
Тем не менее, для создания шнековых элементов на практике обычно сначала исходят из точно очищающих скоблением контуров (профилей), а затем вводят зазоры. Соответственно, согласно изобретению сначала предпочтительно виртуально создают тела (шнековые элементы), которые при равнонаправленном вращении с одинаковой скоростью вокруг параллельно расположенных осей соприкасаются по меньшей мере в одной точке. Исходя из этих, предпочтительно виртуальных, геометрических параметров, предусматривают зазоры, которые препятствуют тому, чтобы применяемые на практике шнековые элементы «задирались».
Специалисту известны методы, предназначенные для того, чтобы вывести профиль шнека с зазором из заданного профиля шнека с точной очисткой скоблением. Известные методики, предназначенные для этих целей, - это, например, описанная в [1], начиная со стр.28, возможность увеличения межосевого расстояния, эквидистанты продольного сечения или пространственной эквидистанты. При увеличении межосевого расстояния конструируют профиль шнека меньшего диаметра и раздвигают на величину зазора между шнеками. В методе с эквидистантой продольного сечения кривую профиля в продольном сечении (параллельно оси вращения данного элемента) сдвигают на половину зазора между шнеками перпендикулярно кривой профиля внутрь, в направлении оси вращения. В методе с использованием пространственной эквидистанты, исходя из пространственной кривой, по которой истираются шнековые элементы, шнековый элемент уменьшают на половину величины зазора между двумя шнеками в направлении, перпендикулярном плоскостям профилей с точной очисткой скоблением.
Специалисту в технологии экструдеров известно также и эксцентрическое размещение шнековых элементов в корпусе с сохранением очистки скоблением [шнеков друг друга] попарно и корпуса (см., например, [1] стр.108, 246 и 249).
Корпуса, зазоры и/или эксцентрическое размещение можно надлежащим образом использовать применительно к соответствующим друг другу телам, которые при равнонаправленном вращении вокруг двух параллельно расположенных осей касаются друг друга таким образом, что всегда имеется соприкосновение по меньшей мере в одной точке.
Еще один предмет настоящего изобретения, таким образом, - это способ создания шнековых элементов. Способ создания шнековых элементов согласно изобретению, отличается тем, что на первом этапе создают профили сечения тел, которые при равнонаправленном вращении с одинаковой скоростью вокруг расположенных параллельно друг другу на расстоянии а осей вращения всегда соприкасаются друг с другом по меньшей мере в одной точке, в соответствии с описанным выше способом. На втором этапе вводят зазоры, например, по методу увеличения межосевого расстояния, эквидистанты продольного сечения и/или пространственной эквидистанты. Зазор между шнековыми элементами предпочтительно составляет от 0,002 до 0,1 от межосевого расстояния, и зазор между шнеком и корпусом предпочтительно находится в пределах от 0,002 до 0,1 от межосевого расстояния.
Далее следует пояснение изобретения на основании примеров, однако, оно не ограничивается ими.
В нижеследующих примерах для длин не используют никаких единиц, а исключительно безразмерные величины (числа). При технической реализации эти числа можно в произвольном масштабе перенести в техническое исполнение.
Пример 1:
Пусть дан эллиптический профиль с параметрическим представлением
<mrow><mover accent="true"><mi>p</mi><mo>→</mo></mover><mrow><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mtable><mtr><mtd><mrow><mn>29</mn><mi>cos</mi><mrow><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>)</mo></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><mn>19</mn><mi>sin</mi><mrow><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>)</mo></mrow></mrow></mtd></mtr></mtable></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow>
, s∈[0…2π[
<mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mtable><mtr><mtd><mrow><mn>48</mn></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>0</mn></mtd></mtr></mtable></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow>
Пусть межосевое расстояние составляет 48, центр вращения эллиптического профиля располагается в начале координат, а центр вращения второго профиля в
.
Радиус кривой равен
<mrow><mi>ρ</mi><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>551</mn></mrow></mfrac><msup><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mo>−</mo><mn>480</mn><msup><mrow><mi>cos</mi></mrow><mn>2</mn></msup><mi>s</mi><mo>+</mo><mn>841</mn></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mrow><mfrac><mn>3</mn><mn>2</mn></mfrac></mrow></msup></mrow>
Максимальное значение радиуса кривой равно примерно 44,26, то есть меньше, чем межосевое расстояние. Таким образом, профиль допустим.
В этом случае нормальный вектор
<mrow><mover accent="true"><mi>n</mi><mo>→</mo></mover><mrow><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mtable><mtr><mtd><mrow><mo>−</mo><mfrac><mrow><mn>19</mn><mi>cos</mi><mtext> </mtext><mi>s</mi></mrow><mrow><msqrt><mrow><mn>841</mn><mo>−</mo><mn>480</mn><msup><mrow><mi>cos</mi></mrow><mn>2</mn></msup><mtext> </mtext><mi>s</mi></mrow></msqrt></mrow></mfrac></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><mo>−</mo><mfrac><mrow><mn>29</mn><mi>sin</mi><mtext> </mtext><mi>s</mi></mrow><mrow><msqrt><mrow><mn>841</mn><mo>−</mo><mn>480</mn><msup><mrow><mi>cos</mi></mrow><mn>2</mn></msup><mtext> </mtext><mi>s</mi></mrow></msqrt></mrow></mfrac></mrow></mtd></mtr></mtable></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow>
Тогда контур создаваемого профиля шнека - это
<mrow><mover accent="true"><mi>q</mi><mo>→</mo></mover><mrow><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mtable><mtr><mtd><mrow><mfrac><mrow><mi>cos</mi><mtext> </mtext><mi>s</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mo>−</mo><mn>912</mn><mo>+</mo><mn>29</mn><msqrt><mrow><mn>841</mn><mo>−</mo><mn>480</mn><msup><mrow><mi>cos</mi></mrow><mn>2</mn></msup><mtext> </mtext><mi>s</mi></mrow></msqrt></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mrow><msqrt><mrow><mn>841</mn><mo>−</mo><mn>480</mn><msup><mrow><mi>cos</mi></mrow><mn>2</mn></msup><mtext> </mtext><mi>s</mi></mrow></msqrt></mrow></mfrac><mo>+</mo><mn>48</mn></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><mo>−</mo><mfrac><mrow><mi>sin</mi><mtext> </mtext><mi>s</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mo>−</mo><mn>1392</mn><mo>+</mo><mn>19</mn><msqrt><mrow><mn>841</mn><mo>−</mo><mn>480</mn><msup><mrow><mi>cos</mi></mrow><mn>2</mn></msup><mtext> </mtext><mi>s</mi></mrow></msqrt></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mrow><msqrt><mrow><mn>841</mn><mo>−</mo><mn>480</mn><msup><mrow><mi>cos</mi></mrow><mn>2</mn></msup><mtext> </mtext><mi>s</mi></mrow></msqrt></mrow></mfrac></mrow></mtd></mtr></mtable></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow>
На фигуре 4 показаны оба контура: создающий эллипс слева, а создаваемый контур справа.
Пример 2:
<mover accent="true"><mi>p</mi><mo>→</mo></mover>
Пусть участок создающего контура шнека
представлен кубической кривой Безье с контрольными точками
<mrow><msub><mi>P</mi><mn>0</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mrow><mtable><mtr><mtd><mn>1</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><mn>3.6</mn></mrow></mtd></mtr></mtable></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow>
<mrow><msub><mi>P</mi><mn>1</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mrow><mtable><mtr><mtd><mrow><mn>2.8</mn></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>3</mn></mtd></mtr></mtable></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow>
<mrow><msub><mi>P</mi><mn>2</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mrow><mtable><mtr><mtd><mrow><mn>3.8</mn></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><mn>0.6</mn></mrow></mtd></mtr></mtable></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow>
<mrow><msub><mi>P</mi><mn>3</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mrow><mtable><mtr><mtd><mrow><mn>3.6</mn></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><mo>−</mo><mn>0.8</mn></mrow></mtd></mtr></mtable></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow>
,
,
,
<mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mtable><mtr><mtd><mrow><mn>10</mn></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>0</mn></mtd></mtr></mtable></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow>
Пусть межосевое расстояние составляет 10, центр вращения создающего профиля располагается в начале координат, а центр вращения создаваемого профиля в
.
Параметрическое представление кривой
<mrow><mover accent="true"><mi>p</mi><mo>→</mo></mover><mrow><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mtable><mtr><mtd><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mn>5.4</mn><mi>s</mi><mo>−</mo><mn>2.4</mn><msup><mi>s</mi><mn>2</mn></msup><mo>−</mo><msup><mi>s</mi><mn>3</mn></msup></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><mn>3.6</mn><mo>−</mo><mn>1.8</mn><mi>s</mi><mo>−</mo><mn>5.4</mn><msup><mi>s</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>2.8</mn><msup><mi>s</mi><mn>3</mn></msup></mrow></mtd></mtr></mtable></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow>
s∈[0…1]
Радиус кривизны имеет максимум примерно в 3,87 для t=0,445, что меньше, чем межосевое расстояние 10, поэтому кривая допустима.
1
2
<mover accent="true"><mi>p</mi><mo>→</mo></mover>
<mover accent="true"><mi>q</mi><mo>→</mo></mover>
На фиг.5 показана кривая согласно изобретению. Точки S и S, обозначенные окружностями, представляют собой центры вращения профилей сечения соответствующих тел. Контрольные точки P0-P4 тоже обозначены окружностями. Кроме того, на фигуре показан контур
и соответствующий ему контур
.
Пример 3:
В качестве создающего профиля задана часть эллиптического профиля с параметрическим представлением
<mrow><msub><mover accent="true"><mi>p</mi><mo>→</mo></mover><mn>1</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mtable><mtr><mtd><mrow><mn>29</mn><mi>cos</mi><mrow><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>)</mo></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><mn>19</mn><mi>sin</mi><mrow><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>)</mo></mrow></mrow></mtd></mtr></mtable></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow>
<mrow><mi>s</mi><mo>∈</mo><mrow><mo>[</mo><mrow><mn>0</mn><mo>…</mo><mfrac><mi>π</mi><mn>2</mn></mfrac></mrow><mo>[</mo></mrow></mrow>
,
Этот профиль соответствует части профиля из примера 1. Межосевое расстояние тоже такое же, как в примере 1. Соответственно, тогда
<mrow><msub><mover accent="true"><mi>q</mi><mo>→</mo></mover><mn>1</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mtable><mtr><mtd><mrow><mfrac><mrow><mi>cos</mi><mtext> </mtext><mi>s</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mo>−</mo><mn>912</mn><mo>+</mo><mn>29</mn><msqrt><mrow><mn>841</mn><mo>−</mo><mn>480</mn><msup><mrow><mi>cos</mi></mrow><mn>2</mn></msup><mtext> </mtext><mi>s</mi></mrow></msqrt></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mrow><msqrt><mrow><mn>841</mn><mo>−</mo><mn>480</mn><msup><mrow><mi>cos</mi></mrow><mn>2</mn></msup><mtext> </mtext><mi>s</mi></mrow></msqrt></mrow></mfrac><mo>+</mo><mn>48</mn></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><mo>−</mo><mfrac><mrow><mi>sin</mi><mtext> </mtext><mi>s</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mo>−</mo><mn>1392</mn><mo>+</mo><mn>19</mn><msqrt><mrow><mn>841</mn><mo>−</mo><mn>480</mn><msup><mrow><mi>cos</mi></mrow><mn>2</mn></msup><mtext> </mtext><mi>s</mi></mrow></msqrt></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mrow><msqrt><mrow><mn>841</mn><mo>−</mo><mn>480</mn><msup><mrow><mi>cos</mi></mrow><mn>2</mn></msup><mtext> </mtext><mi>s</mi></mrow></msqrt></mrow></mfrac></mrow></mtd></mtr></mtable></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow>
<mrow><mi>s</mi><mo>∈</mo><mrow><mo>[</mo><mrow><mn>0</mn><mo>…</mo><mfrac><mi>π</mi><mn>2</mn></mfrac></mrow><mo>[</mo></mrow></mrow>
,
<mrow><msub><mover accent="true"><mi>q</mi><mo>→</mo></mover><mn>1</mn></msub></mrow>
<mrow><msub><mover accent="true"><mi>p</mi><mo>→</mo></mover><mn>1</mn></msub></mrow>
После
определяют
, как часть эллипса
<mrow><msub><mover accent="true"><mi>p</mi><mo>→</mo></mover><mn>2</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mtable><mtr><mtd><mrow><mn>19</mn><mi>sin</mi><mrow><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>)</mo></mrow><mo>+</mo><mn>48</mn></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><mn>29</mn><mi>cos</mi><mrow><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>)</mo></mrow></mrow></mtd></mtr></mtable></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow>
<mrow><mi>s</mi><mo>∈</mo><mrow><mo>[</mo><mrow><mfrac><mi>π</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>…</mo><mi>π</mi></mrow><mo>[</mo></mrow></mrow>
,
,
<mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mtable><mtr><mtd><mrow><mn>48</mn></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>0</mn></mtd></mtr></mtable></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow>
причем центр вращения создающего профиля помещают в точку
, а создаваемого профиля - в начало координат. Тогда получается
<mrow><msub><mover accent="true"><mi>q</mi><mo>→</mo></mover><mn>2</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mtable><mtr><mtd><mrow><mfrac><mrow><mi>sin</mi><mtext> </mtext><mi>s</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mo>−</mo><mn>1392</mn><mo>+</mo><mn>19</mn><msqrt><mrow><mn>841</mn><mo>−</mo><mn>480</mn><msup><mrow><mi>cos</mi></mrow><mn>2</mn></msup><mtext> </mtext><mi>s</mi></mrow></msqrt></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mrow><msqrt><mrow><mn>841</mn><mo>−</mo><mn>480</mn><msup><mrow><mi>cos</mi></mrow><mn>2</mn></msup><mtext> </mtext><mi>s</mi></mrow></msqrt></mrow></mfrac></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><mfrac><mrow><mi>cos</mi><mtext> </mtext><mi>s</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>912</mn><mo>+</mo><mn>29</mn><msqrt><mrow><mn>841</mn><mo>−</mo><mn>480</mn><msup><mrow><mi>cos</mi></mrow><mn>2</mn></msup><mtext> </mtext><mi>s</mi></mrow></msqrt></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mrow><msqrt><mrow><mn>841</mn><mo>−</mo><mn>480</mn><msup><mrow><mi>cos</mi></mrow><mn>2</mn></msup><mtext> </mtext><mi>s</mi></mrow></msqrt></mrow></mfrac></mrow></mtd></mtr></mtable></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow>
<mrow><mi>s</mi><mo>∈</mo><mrow><mo>[</mo><mrow><mfrac><mi>π</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>…</mo><mi>π</mi></mrow><mo>[</mo></mrow></mrow>
,
Соответственно, из повторной смены создающего и создаваемого профиля получается
<mrow><msub><mover accent="true"><mi>p</mi><mo>→</mo></mover><mn>3</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mtable><mtr><mtd><mrow><mn>29</mn><mi>cos</mi><mrow><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>)</mo></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><mn>19</mn><mi>sin</mi><mrow><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>)</mo></mrow></mrow></mtd></mtr></mtable></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow>
<mrow><mi>s</mi><mo>∈</mo><mrow><mo>[</mo><mrow><mi>π</mi><mo>…</mo><mfrac><mn>3</mn><mn>2</mn></mfrac><mi>π</mi></mrow><mo>[</mo></mrow></mrow>
,
<mrow><msub><mover accent="true"><mi>q</mi><mo>→</mo></mover><mn>3</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mtable><mtr><mtd><mrow><mfrac><mrow><mi>cos</mi><mtext> </mtext><mi>s</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mo>−</mo><mn>912</mn><mo>+</mo><mn>29</mn><msqrt><mrow><mn>841</mn><mo>−</mo><mn>480</mn><msup><mrow><mi>cos</mi></mrow><mn>2</mn></msup><mtext> </mtext><mi>s</mi></mrow></msqrt></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mrow><msqrt><mrow><mn>841</mn><mo>−</mo><mn>480</mn><msup><mrow><mi>cos</mi></mrow><mn>2</mn></msup><mtext> </mtext><mi>s</mi></mrow></msqrt></mrow></mfrac><mo>+</mo><mn>48</mn></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><mo>−</mo><mfrac><mrow><mi>sin</mi><mtext> </mtext><mi>s</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mo>−</mo><mn>1392</mn><mo>+</mo><mn>19</mn><msqrt><mrow><mn>841</mn><mo>−</mo><mn>480</mn><msup><mrow><mi>cos</mi></mrow><mn>2</mn></msup><mtext> </mtext><mi>s</mi></mrow></msqrt></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mrow><msqrt><mrow><mn>841</mn><mo>−</mo><mn>480</mn><msup><mrow><mi>cos</mi></mrow><mn>2</mn></msup><mtext> </mtext><mi>s</mi></mrow></msqrt></mrow></mfrac></mrow></mtd></mtr></mtable></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow>
<mrow><mi>s</mi><mo>∈</mo><mrow><mo>[</mo><mrow><mi>π</mi><mo>…</mo><mfrac><mn>3</mn><mn>2</mn></mfrac><mi>π</mi></mrow><mo>[</mo></mrow></mrow>
,
и благодаря еще одной смене создающего и создаваемого профиля
<mrow><msub><mover accent="true"><mi>p</mi><mo>→</mo></mover><mn>4</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mtable><mtr><mtd><mrow><mn>19</mn><mi>sin</mi><mrow><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>)</mo></mrow><mo>+</mo><mn>48</mn></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><mn>29</mn><mi>cos</mi><mrow><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>)</mo></mrow></mrow></mtd></mtr></mtable></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow>
<mrow><mi>s</mi><mo>∈</mo><mrow><mo>[</mo><mrow><mfrac><mn>3</mn><mn>2</mn></mfrac><mi>π</mi><mo>…</mo><mn>2</mn><mi>π</mi></mrow><mo>[</mo></mrow></mrow>
,
<mrow><msub><mover accent="true"><mi>q</mi><mo>→</mo></mover><mn>4</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mtable><mtr><mtd><mrow><mfrac><mrow><mi>sin</mi><mtext> </mtext><mi>s</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mo>−</mo><mn>1392</mn><mo>+</mo><mn>19</mn><msqrt><mrow><mn>841</mn><mo>−</mo><mn>480</mn><msup><mrow><mi>cos</mi></mrow><mn>2</mn></msup><mtext> </mtext><mi>s</mi></mrow></msqrt></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mrow><msqrt><mrow><mn>841</mn><mo>−</mo><mn>480</mn><msup><mrow><mi>cos</mi></mrow><mn>2</mn></msup><mtext> </mtext><mi>s</mi></mrow></msqrt></mrow></mfrac></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><mfrac><mrow><mi>cos</mi><mtext> </mtext><mi>s</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mo>−</mo><mn>912</mn><mo>+</mo><mn>29</mn><msqrt><mrow><mn>841</mn><mo>−</mo><mn>480</mn><msup><mrow><mi>cos</mi></mrow><mn>2</mn></msup><mtext> </mtext><mi>s</mi></mrow></msqrt></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mrow><msqrt><mrow><mn>841</mn><mo>−</mo><mn>480</mn><msup><mrow><mi>cos</mi></mrow><mn>2</mn></msup><mtext> </mtext><mi>s</mi></mrow></msqrt></mrow></mfrac></mrow></mtd></mtr></mtable></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow>
<mrow><mi>s</mi><mo>∈</mo><mrow><mo>[</mo><mrow><mfrac><mn>3</mn><mn>2</mn></mfrac><mi>π</mi><mo>…</mo><mn>2</mn><mi>π</mi></mrow><mo>[</mo></mrow></mrow>
,
Контур возникающего в результате этого шнека целиком представлен на фигуре 6.