Математические подходы к проектированию нанороботов и нанодинамических систем

Математические подходы

к проектированию нанороботов и нанодинамических систем

В предыдущих статьях обсуждались общие вопросы проектирования нанороботов и нанодинамических систем. Здесь следует отметить, что математическое моделирование наноконструкций позволяет существенно ускорить процесс разработки наносистем и перевести поиск нужной конфигурации молекулы из эвристической и полуэмпирической плоскости в плоскость точного проектирования и инжиниринга.

Виталий ГРИБАЧЕВ

reshebnik@rambler.ru

Введение

Точный математический расчет конфигурации нанодинамических систем необходим в силу специфики используемой технологии производства. Нанотехнолог не может непосредственно ручным или аппаратным способом воздействовать на начальную структуру или конформацию молекулы, и в идеале его функции должны сводиться к тому, чтобы всего лишь создать условия, при которых молекула или группа молекул самостоятельно соберется в необходимую структурную конфигурацию. В этом особенность техпроцессов проектирования любых наноустройств, в том числе и устройств наноэлектроники. Молекула (наносистема) сможет собраться в необходимую конформацию только в том случае, если данная конформация будет наиболее энергетически выгодной по сравнению со всеми другими возможными конформациями. Эта наиболее энергетически выгодная конформация может быть рассчитана математически. Поэтому такая наиболее общая постановка задачи позволяет заниматься разработкой, математическим расчетом и унификацией базовых стандартных наномодулей, на основе которых впоследствии можно будет проектировать массу всевозможных систем, в том числе это могут быть молекулярные компьютеры, ячейки нанопамяти, нанотранзисторы, нанодатчики, системы доставки лекарств, нанодвигатели, наноманипуляторы и т. п.

При построении математических моделей молекул следует учитывать, что молекула сама по себе является динамической системой и находится в состоянии постоянного колебательного движения. Частоты собственных молекулярных колебаний находят отражение в полосах резонансного поглощения молекулярных спектров. Соответственно, при изменении конформации молекул спектры также претерпева-

ют изменения. Измеряя спектр наноробота до и после управляющего воздействия, мы сможем определить, в каком состоянии он находится и выполнил ли он свою задачу. Спектры поглощения крупных молекул могут претерпевать существенные изменения в нескольких случаях. Прежде всего, это происходит при присоединении или отсоединении крупных атомных групп, или физических операторов [3], в ходе фазовых изменений, а также при установлении или разрыве внутримолекулярных или межмо-лекулярных химических связей, включая водородные и ван-дер-ваальсовы связи. Кроме того, небольшое изменение в спектрах поглощения происходит при значительных изменениях конформации молекул. Так, немного отличаются спектры цис- и трансизомеров. Понятно, что нас как разработчиков нанороботов практически не интересуют химические превращения молекул, однако большой интерес будут представлять изменения в спектре наносистемы, происходящие при перемещении манипулятора наноробота или смещении частей нанодинамической системы друг относительно друга. Такие изменения могут сопровождаться, а могут и не сопровождаться образованием или раз-

С

Рис. 1. Обозначения атомов молекулы и единичных векторов

рывом связей. На данном этапе разработок по умолчанию предполагается, что наноди-намическая система может находиться всего в двух состояниях. Открыто — закрыто, активно — неактивно, или наноманипулятор в начальном — в конечном положении.

Для построения математических моделей молекул и расчета молекулярных спектров в настоящее время активно используется аппарат векторного анализа и графы. Таким образом, для построения молекулярных моделей и оценки конформационных изменений в них хорошо подходят векторный и графовый способы описания.

Векторная модель молекулы

В качестве примера векторного описания молекулы и пояснения математических принципов молекулярного моделирования удобно рассмотреть достаточно простую пятиатомную молекулу XABCD наподобие метана СН4 (рис. 1).

Для создания векторной модели равновесного состояния молекулы, прежде всего, зададим систему единичных векторов е, направленных от центрального атома Х к периферийным атомам вдоль направления валентных связей (рис. 2). Углы между векторами Єї будут определять углы между валентными связями в молекуле. Положение плоскостей углов между векторами, например угла е2Хе1 или е3Хе1, можно задать с по-

мощью вектора hi,, перпендикулярного обоим векторам, составляющим угол.

Для этого вначале необходимо задать вспомогательные векторы т., перпендикулярные соответствующему вектору е{ и лежащие в плоскости соответствующего угла.

Для дальнейших рассуждений нарисуем отдельно систему векторов е2, е1, т12.

Проекция вектора е2 на вектор е1 равна у = e2cosф.

Так как векторы по определению единичные, то есть 1е21 = 1е11 = 1, то по условию имеем у = e2cosф = e1cosф. Модуль вектора а равен проекции вектора е2 на направление вектора т12, то есть 1а1 = e2cos(90-ф) = е^іпф = sinф.

Учитывая, что вектор т12 по определению также единичный, получим тіаі = msinф.

На рис. 3 видно, что вектор а является, по сути, разностью между векторами е2 и у, откуда имеем: а = msinф = е2-у = e2-e1cosф, то есть:

1

(^-^совср).

этср

Аналогично выражение для вектора т13 будет выглядеть так:

т.

1

вШф

(е3-Є[С08ф).

Векторы к. тоже единичные и равны векторному произведению ^ = е;хе. Для того чтобы найти угол между плоскостями е2Хе1 и е3Хе1, необходимо найти угол между векторами ^2 и ^3. Обозначим этот угол буквой у. Учитывая, что векторы hj тоже единичные, получим: ^2 = е1хе2, h13 = е1хе3.

Угол между плоскостями можно найти из векторного произведения:

откуда

к12хк13 = !й12!!й13І8Іпу,

^12*^13 і і

вшу = |т мі | = Л12хЛ13.

К\\^\

В формуле для \2 выразим е2 через вспомогательный вектор т12, учитывая, что е2 = = а+у = т^тф + e1cosф. Тогда получим:

Ь12 = е^т^тф+е^овф) = е^т^тф.

Аналогично h13 = е^т^тф.

В итоге получим:

8ту = й12хй13 =

= (е1хт1281пф)х(е1хт1381пф) =

= 8тф[е1хт12хе1хт13].

Раскрывая скобки и сокращая, в итоге получим:

8шу = 8тф.

Что в общем случае совершенно верно, так как молекула метана представляет собой правильный тетраэдр, все валентные углы в котором равны друг другу. Численные значения валентных углов получим из соображений симметрии. Учитывая, что:

е1+е2+е3+е4 = 0 и С08ф = е{е2 = е{е3 = ее4, то есть е1е1+е1е2+е1е3+е1е4 = 0

1+е1е2+е1е3+е1е4 = 0, то есть е1е2+е1е3+е1е4 = -1 = 3С08ф, С08ф = -1/3,

откуда угол между плоскостями ф = 109,47°. Получение

резонансных частот колебаний

После того как определена векторная модель молекулы, необходимо определить спектр резонансных частот. Для анализа конформаций нанодинамических систем с некоторой долей приближения можно считать, что в молекуле возможны всего два вида колебаний: колебания, связанные с изменением длины валентных связей, и колебания, связанные с изменением валентных углов [1].

Таким образом, для сложной линейной молекулы, содержащей п атомов, число различных валентных связей будет (п-1), а число различных видов колебаний будет 2п-5. В это число не войдут поворотные колебания и колебания, связанные с поперечным смещением валентных связей относительно плоскостей углов, так называемые неплоские колебания. Поворотные колебания в наносистеме можно существенно уменьшить путем введения в нужных местах двойных связей, так как вращение вокруг двойной связи ограничено.

Для определения частот нормальных колебаний достаточно решить систему из п уравнений, которыми в классической механике определяют малые колебания системы материальных точек. Уравнения этого типа называются вековыми, так как историче-

-СцЮ

-С21(й2

Ри

Рп-

ски они применялись в небесной механике для решения задач о вековых возмущениях в движении планет [2].

Кинетическая и потенциальная энергия системы колеблющихся материальных точек будет соответственно равна:

Ек=\цСу**)’ Ер = \иЦХ>ХР

£ и г V

где G^j — коэффициенты, зависящие от массы частиц и геометрии равновесной конфигурации, а Р^ представляют коэффициенты, характеризующие потенциальную энергию молекулы.

Используя уравнения Лагранжа для кинетической и потенциальной энергии движущихся частиц, можем записать:

±(СМх) = 0,

7=1

где I = 1, 2 ... п.

Подстановка решения в виде х^ = Хре‘> приводит к системе уравнений вида:

Х(^-С2)х.= 0,

где I = 1, 2 ... п.

В раскрытом виде это будет выглядеть как система уравнений:

(Рц-^!2)^^-^©2^... = 0 (Р21-^12)х1 + (Р22-^22)х2+''' = 0

(Р+пГС+п]2)х]+(Рі

Ї+П/+1 Оі+п/+1'

ю2)х2+.

= 0

Данная система имеет решение, если равен нулю ее определитель, то есть (формула внизу страницы).

Решив получившееся матричное уравнение, находим искомые частоты колебаний ак, где (к = 1, 2 ... п). Коэффициенты Р. и О. определяют либо аналитически, где это возможно, либо экспериментально, либо используя квантово-механические расчеты. Возможно решение обратной задачи, когда в уравнения подставляются резонансные частоты, полученные экспериментально, а коэффициенты вычисляются аналитически с целью дальнейшего использования их при анализе измененных конфигураций рассматриваемой наносистемы.

Графовый метод описания

Методики расчета спектров резонансного поглощения в пределах малых колебаний

= 0.

°12(о . •• Ру+п-°у+гР

(?22 . • • -^Й-1 ]+П ~ (*І+1 у+иШ

СзУ . * * Рі+2 у+в ^і+2 у'+л ^

или

ї-4

Рис. 4. Схематичное изображение 4-звенного базового элемента

хорошо подходят для оценки начального и конечного состояния нанодинамической системы, однако оценить с их помощью все совокупное множество конформационных изменений, которое возникает, например, при движении манипулятора наноробота, не представляется возможным. В работе [3] предлагается методика графового описания конформационных изменений крупных молекулярных систем, которая подойдет для оценки всех возможных для данной молекулярной конфигурации положений наноманипулятора.

Авторы используют 4-звенную молекулярную конформацию как базовый элемент и с помощью соответствующего 4-звенного графа описывают все возможные конформации. Затем полученная суперматрица конформаций используется для описания произвольной п-звенной молекулы. Существенно важен момент, что для построения графа авторы используют только водородные связи. На рис. 4 схематично показан базовый 4-звенный элемент. Валентные связи показаны сплошными линиями, водородные — пунктиром.

В соответствии с рисунком матрица, описывающая 4-звенный элемент, записывается, как показано в таблице 1.

Если водородные связи в соответствующих позициях обозначить переменными, то можно развернуть матрицу в линейный 4-разрядный вектор (табл. 2).

Таблица 2. Линейный 4-разрядный вектор

і-2 і-3 і-4

і хі х2 х3

і-1 х4 х5

і-2 х6

Таким образом, вектор для графа, изображенного на рис. 4, будет [000101].

Если в молекуле можно выделить ближний (в пределах 4 звеньев) и дальний порядки, то, используя 4-звенную матрицу в качестве базового элемента, можно построить полную матрицу, описывающую п-звенный граф всей наносистемы. Если такого порядка не предполагается, то полную матрицу кон-формационных изменений можно построить путем расширения индексов по горизонтали и вертикали. Анализируя полную матрицу, можно выделить области наиболее вероятных конформационных состояний и унифицировать описание разрабатываемых систем, что упростит процесс их проектирования. Авторы также вводят понятие физического оператора. Поскольку изменение конформации молекул чаще всего инициируется присоединением или отсоединением каких-либо молекулярных групп, то в процессе математического моделирования наносистемы эти молекулярные группы можно считать физическими операторами, переводящими наносистему из одного состояния в другое.

Роль водородных связей

Водородной связью считается межмолеку-лярная или внутримолекулярная связь вида: Х-Н...В-У, где Н и В — водородный атом и соседний атом, участвующие в образовании связи, а Х и У — дополнительные атомы или группы, составляющие молекулу. Водородные связи обычно сильнее, чем межмолекулярные, но слабее, чем стационарные валентные связи. Обычно энергия водородной связи составляет

10-30 кДж/моль, но в отдельных случаях она может быть значительно выше [4]. Чаще всего водородная связь возникает между молекулами растворителя и атомными группами растворяемого вещества, однако, например, в процессе сворачивания белковых глобул гидрофобные атомные группы белка сконфигурированы таким образом, чтобы не допустить образования внешних водородных связей и обеспечить правильное сворачивание (фол-динг) белковой глобулы за счет образования внутримолекулярных водородных связей.

Благодаря своему промежуточному (в энергетическом смысле) положению, водородная связь может оказать существенную помощь в конструировании нанодинамических систем с заранее запрограммированными траекториями перемещения частей системы друг относительно друга. Допустим, у нас имеется наноди-намическая система с вращательной степенью свободы относительно центрального атома. Для упрощения расчетов желательно ограничить ее степени свободы вдоль направления у, например, сплошной кристаллической стенкой (рис. 5). В этом случае наноманипулятор сможет принимать только два положения — А и В.

При нормальных условиях молекулы находятся в постоянном движении, следовательно, в общем случае наноманипулятор будет находиться в том положении, которое более энергетически выгодно, то есть в положении с меньшей полной энергией Е. Но даже в этом случае случайные флуктуации будут все время перебрасывать его из одного положения в другое. Очевидно, что для устойчивого закрепления манипулятора в определенном положении, например в положении А, необходимо на начальном этапе зафиксировать их водородной связью. Для перебрасывания манипулятора из положения А в положение В потребуется сообщить молекуле энергетический импульс, достаточный для разрушения водородной связи, или применить специализированный физический оператор.

Похожий механизм молекулярных «защелок» используется в работе европейских исследователей из института молекулярной биологии университета Орхуса и датского национального центра ДНК-нанотехнологий [5].

Таблица 1. Матрица, описывающая 4-звенный элемент

і-2 і-3 і-4

0 0 0

і-1 1 0

і-2 1

Используя технологию, называемую ДНК-оригами (DNA origami), они синтезировали последовательности нитей ДНК, которые за счет сил внутримолекулярного и межмолекулярного взаимодействия осуществляют самосборку в «коробочки с крышками». «Крышки» снабжаются «защелками» из комплементарных коротких участков ДНК.

Таким образом, смешивая в растворе затравочные ДНК, скрепочные ДНК и молекулы полезной нагрузки, можно получить в растворе полностью собранную и закупоренную «коробочку» с полезной нагрузкой внутри. «Защелки» могут взаимодействовать с комплементарными нуклеотидными последовательностями (физическими операторами), отпирающими «коробочку» в нужный момент и в нужном месте.

Заключение

Подводя итог вышесказанному, можно сказать, что построение векторных молекулярных моделей является достаточно удобным способом описания молекулярных конформаций и позволяет получить расчетные уравнения в относительных молекулярных координатах, не зависящих от ориентации молекулы относительно окружающего пространства. Координаты зависят только от взаимного положения частей молекулы друг относительно друга. Классификацию конфор-мационных состояний большой наносистемы удобно проводить с помощью графового метода, который дает возможность определить наиболее энергетически выгодную последовательность конформа-ционных изменений, необходимых для осуществления нанороботом возложенных на него задач, если мы сможем рассчитать полную энергию каждой молекулярной конформации и сопоставим эту энергию с каждым заданным на графе конформационным состоянием.

После построения полного графа конформационных состояний можно осуществлять компьютерную обработку и машинное проектирование наносистемы взамен эмпирического и полуэмпириче-ского подходов. Расчеты с использованием молекулярных моделей позволяют оценить изменения, происходящие в спектрах поглощения молекул, и, таким образом, в реальном времени контролировать динамические перемещения манипуляторов наносистем. Фиксация начального положения наноманипулятора еще на этапе синтеза наносистемы может осуществляться с помощью водородных или еще более слабых межмолекулярных связей.

Литература

1. www.spbstu.ru/phmech/ThM/Home_page_Elena_Ivanova/ Moment%20 potentials%20 RUS.htm

2. Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1966.

3. Карасев В. А., Лучинин В. В. Введение в конструирование бионических наносистем. М.: Физматлит, 2009.

4. Москва В. В. Водородная связь в органической химии // Соросовский образовательный журнал. 1999. № 2.

5. http://www.membrana.ru/articles/inventions/ 2009/05/08/154300.html