3d-алгоритмы теоремы Польке Шварца

Научно-методический раздел

УДК 681.327.11

3Р-АЛГОРИТМЫ ТЕОРЕМЫ ПОЛЬКЕ - ШВАРЦА

А.Л. Хейфец

Разработаны компьютерные ЭБ-алгоритмы, позволяющие средствами современных графических редакторов воспроизвести задачу реконструкции основной теоремы аксонометрии. Рассмотрены основные известные варианты реконструкции. Дана их сравнительная оценка. Приведены примеры построений применительно к пакету Аи^САБ.

Ключевые слова: компьютерное моделирование, геометрическое моделирование, 30-алгоритмы, аксонометрия, теорема Польке - Шварца, ЛМоСЛО.

Введение

Компьютерное ЗБ-моделирование позволяет достаточно просто создавать и исследовать сложные пространственные модели. В качестве характерного примера рассмотрим теорему Польке -Шварца - основную теорему аксонометрии [1, 2], утверждающую, что «всякий невырождающийся полный четырехугольник можно рассматривать как параллельную проекцию тетраэдра наперед заданной формы».

Эта теорема излагается в курсе начертательной геометрии. Практическое значение имеет ее частный случай - теорема Польке, из которой следует, что оси аксонометрической проекции можно задать произвольно. То есть, наряду с наглядным изображением куба (рис. 1, а) теоретически возможны и его «странные» аксонометрические проекции (рис. 1, б, в).

Известен ряд вариантов доказательства рассматриваемой теоремы [1]. Оптимальным считается вариант Г.А. Шварца [1, 2]. Однако этот вариант и близкий к нему вариант Е.А. Глазунова [3] основаны на курсе аффинной геометрии, который инженерным специальностям вузов не преподается. Другие варианты доказательства: А.К. Власова [4] и М.В. Бурде [5], не требующие привлечения аффинной геометрии, - оказались забытыми. В связи с этим теорема Польке - Шварца в учебной литературе, за исключением [2], приводится без доказательства.

Прикладное и познавательное значение для учебного процесса имеет задача реконструкции, вытекающая из рассматриваемой теоремы. Например, нахождение размеров и пространственного положения куба, проекцией которого является одно из изображений, приведенных на рис. 1. Алгоритмы реконструкции повторяют алгоритмы доказательства теоремы и, как и те, имеют различную сложность и наглядность.

Цель работы: апробация алгоритмов реконструкции теоремы Польке - Шварца средствами современного компьютерного З^моделирования,

их оптимизация и сравнительная оценка применительно к учебному процессу.

Методика работы заключалась в реализации алгоритмов на базе пакета АШоСАБ, как наиболее ориентированного среди пакетов САПР на решение задач теоретического плана в геометрическом моделировании.

1. Алгоритм Г.А. Шварца и А.К. Власова

Заданы произвольный тетраэдр (рис. 2, а) и произвольный плоский четырехугольник со своими диагоналями (рис. 2, б-д). Вершины тетраэдра и четырехугольника пронумерованы произвольным образом. Требуется расположить тетраэдр так, чтобы при параллельном проецировании он с точностью до подобия отобразился в четырехугольник при совпадении нумерации вершин. Последнее означает, что вершина 0 тетраэдра должна отобразиться в вершину 01 четырехугольника и т. д. При решении сохраняется форма тетраэдра, а его размеры можно равномерно масштабировать.

Рассмотрим пример реконструкции для варианта выпуклого четырехугольника (рис. 2, б). В других вариантах (рис. 2, в-д) построения аналогичны. Алгоритм реконструкции, вытекающий из доказательства, данного Г.А. Шварцем, и дополненный А.К. Власовым, следующий.

1. Примем одну из граней тетраэдра, например, грань (1,2,3) за его основание и для наглядности построений установим тетраэдр основанием с плоскостью П1, в которой расположен четырехугольник проекции (см. рис. 2, а, рис. 3, а). Грань, принимаемая за основание, не должна в проекции вырождаться в отрезок прямой, например, для вариантов (см. рис. 2, г, д) недопустимо в качестве основания тетраэдра выбрать грань (0,1,3).

2. Определим направление проецирования как вектор 5 = (0,0*) (рис. 3, а, б) относительно тетраэдра из условия соответствия основания тетраэдра его проекции. Для этого дважды реализуем простое отношение трех точек. Если за основание тетраэдра

Рис. 1. Аксонометрические проекции куба Рис. 2. Тетраэдр

и варианты его проекции

Рис. 3. Реконструкция тетраэдра: а - схема решения; б - определение направления ребер призмы; в - построения в плоскости Пі; г - построения в плоскости нормального сечения призмы П2; д - определение плоскостей наклонных сечений призмы; е, ж - проецирующие модули;

з - результат реконструкции

принята грань (1,2,3) (рис. 3, б, в), то из отношения длин отрезков \11,01\ : \01,21\ = \1,0\ : \0,2\ или в принятой форме записи (11,01,21) = (1,0,2) находим точку О ребра (1,2) тетраэдра. Для этого достаточно отрезок проекции (11, 21) скопировать вместе с маркером точки 01, совместив точку проекции 21 и точку тетраэдра 2, затем провести параллельные отрезки (11,1) и (01,0). Так же, из отношения (31,01,01) = (3,0,0*), находим точку 0*.

3. Строим наклонную трехгранную призму (см. рис. 3, а), ребра которой параллельны найденному вектору 5 и будут проецирующими лучами основания тетраэдра.

4. Находим сечения призмы как треугольники А3(13,23,33) и Л3*(13*,23*,33*), каждый из которых должен быть подобен Лі(11,21,31), входящему в заданный четырехугольник проекции (см. рис. 3, а, в). По алгоритму Г.А. Шварца треугольники Л3, Л3* находятся, исходя из их ортогонально-перспективного соответствия с Л1 [2, 3]. Чтобы избежать аффинных построений, применим алгоритм А.К. Власова [4]:

а) в плоскости П1 (см. рис. 3, в) находим центр С1 окружности с1(11,21,31). Задаем произвольную плоскость сечения призмы П2 (желательно нормальную к ребрам) и строим Л2(12,22,32) как сечение призмы этой плоскостью;

б) строим в П2 эллипс е2, соответствующий окружности с1. Для этого в плоскости П1 находим точку К1. В плоскости П2 из отношения (31,К1,21) = (32,К2,22) находим точку К2. Затем из отношения (11,С1,К1)=(12,С2,К2) находим точку С2. Эллипс е2 строим средствами параметризации пакета АиІюСАВ как непрерывную кривую по точке центра С2 и трем точкам 12, 22, 32;

в) строим эллиптический цилиндр (рис. 3, д) с основанием е2 и направлением оси, совпадающим с направлением ребер призмы;

г) строим сферу, касающуюся цилиндра в двух точках, и в пересечении с цилиндром находим его круговые сечения - окружности с3, с3*;

д) плоскости круговых сечений с3, с3* принимаем за секущие плоскости П3, П3 *. Находим искомые Л3(13,23,33) и Л3*(13*,23*,33*) как сечения призмы этими плоскостями.

5. Формируем два модуля (рис. 3, е, ж). Каждый из них содержит тетраэдр, ребра призмы и один из треугольников Л3 или Л3*. Модули перемещаем так, чтобы плоскости Л3 или Л3* совместить с плоскостью проекции П1, в которой расположен Л1.

6. Поскольку треугольники Л1, Л3 и Л3* подобны, то применяя масштабирование, перемещение и вращение модулей, совмещаем их треугольники Л3 или Л3* с Л1. Найденное положение тетраэдров является искомым (рис. 3, з).

В развитие алгоритма А.К. Власова добавим, что искомые наклонные сечения призмы П3, П3* можно найти без явного построения круговых се-

чений. Для этого следует задать плоскость П2 перпендикулярно ребрам призмы и повернуть ее на угол а = ± arccos (d2/d1), где d2 и dl длины соответственно малой и большой полуосей эллипса e2.

Частные случаи реконструкции. Помимо рассмотренного выше общего случая реконструкции алгоритм «отрабатывает» и частные случаи вырожденного четырехугольника проекции (см. рис. 2, г, д). На рис. 4 приведен пример, в котором произвольный тетраэдр (см. рис. 2, а) отображается в прямоугольный равнобедренный треугольник, причем две вершины тетраэдра отображаются в вершину прямого угла.

Рис. 4. Реконструкция тетраэдра в частном случае проецирования

Теорема Польке. Если тетраэдр имеет прямой трехгранный угол при вершине и равные по длине боковые ребра, то последние образуют декартовую систему координат. В этом случае рассмотренный алгоритм воспроизводит теорему Польке как частный случай теоремы Польке - Шварца.

Количество возможных решений. Тетраэдры, образованные параллельным перемещением вдоль направлений проецирования рассматриваются как единое решение. С учетом этого в работах [2, 3] говорится о четырех решениях теоремы Польке - Шварца. В дополнение к полученным двум (см. рис. 3, з) в качестве решений рассматриваются еще два тетраэдра, симметричные относительно П1. Однако, зеркально-отраженные тетраэдры не равны исходным. Поэтому, по нашему мнению, в общем случае теорема Польке - Шварца имеет два решения.

Вывод о количестве решений теоремы Польке - Шварца можно дополнить. Если допустить, что каждая из четырех вершин тетраэдра может отобразиться в любую из четырех вершин четырехугольника, то есть, не принимать во внимание нумерацию вершин, получим количество решений равным количеству перестановок в нумерации вершин тетраэдра или четырехугольника, то есть 4!=24. Причем, каждое решение имеет, как и прежде, два варианта, то есть возможны 48 положений тетраэдра.

Для теоремы Польке, как частного случая теоремы, симметрия относительно П1 приводит к замене правой тройки осей на левую (см. рис. 6, д, е). С этим допущением количество решений принято считать равным четырем.

О 3й-параметризации. Математический аппарат этого сравнительно нового программного средства современных графических редакторов позволяет «сразу» найти сечения призмы, подобные заданному треугольнику. Это существенно упрощает решение, поскольку позволяет избежать п. 4 рассмотренного выше алгоритма. Поскольку 3d параметризация в пакете AutoCAD на сегодня отсутствует, призму необходимо перегрузить в пакет, имеющий режим 3d эскиза, в который входит 3d параметризация (Inventor, SolidWorks и др.). Построив на ребрах призмы произвольный треугольник, задать ему размерные зависимости как значения двух углов искомого треугольника Ai.

2. Алгоритм Е.А. Глазунова

Алгоритм [3] реконструкции позволяет найти положение тройки осей декартовой системы по их предварительно заданной проекции, то есть отражает только теорему Польке. Для понимания алгоритма реконструкции первоначально рассмотрим его доказательную часть [3, с. 36].

Пусть заданы три взаимно перпендикулярных отрезка равной длины, выходящих из точки O. Примем их за оси декартовой системы координат OXYZ (рис. 5, а). Построим сферу с центром в точке O и радиусом, равным длине каждого из отрезков. Введем две плоскости проекции. Плоскость

П1 по отношению к осям 0ХУ2 занимает общее положение. Плоскость П2 ± 02.

Проецируем оси 0ХУ2 и сферу на обе плоскости единым вектором (0,02). Проекциями осей 0ХУ2 на П1 является тройка векторов 01Х1У121 (рис. 5, б). Проекциями тех же осей на П2 - тройка векторов и 02Х2У222. Сфера проецируется на плоскости в эллипсы е1, е2, являющиеся сечениями единого проецирующего цилиндра.

Отметим важные особенности проецирования на плоскость П2 ± 02 (рис. 5, в, г):

• поскольку оси 0Х и 0У параллельны П2, то они проецируются на нее в натуральную величину в виде двух равных взаимно перпендикулярных отрезков 02Х2 и 02У2;

• малая ось эллипса е2 равна радиусу сферы и, следовательно, длине каждого из отрезков 0ХУ2;

• точка 22 совпадает с фокальной точкой эллипса е2.

Последнее свойство проявляется при перемещении сферы вдоль оси проецирующего цилиндра в положение касания с плоскостью П2 эллипса е2 (рис. 5, д). Для цилиндра и плоскости П2 образуется сфера Данделена 5^ Известно, что ее касание с секущей плоскостью происходит в точке фокуса сечения, которой является точка 22.

При параллельном проецировании объекта на две плоскости между проекциями устанавливается простое отношение трех точек. То есть это отношение имеется между проекциями тройки осей 0ХУ2 на плоскости П1 и П2. Совместное рассмотрение проекций с учетом особых свойств проекции на П2 позволяет решить задачу реконструкции.

Алгоритм реконструкции. Пусть в плоскости П1 даны три произвольных отрезка 01Х1У121, имеющие общую точку 01 (рис. 5, б, рис. 6, а). Допускается, чтобы два из заданных трех отрезков принадлежали одной прямой или совпадали. Поставим задачу отыскать (реконструировать) в пространстве положение тройки осей декартовой системы координат 0ХУ2, которая проецируется в эти отрезки. Алгоритм построений следующий.

1. В плоскости П1, рядом с проекцией заданных отрезков 01Х1У121 (рис. 6, а), из произвольной точки 02 строим два взаимно перпендикулярных отрезка 02Х2 и 02У2 равной произвольной длины (рис. 6 , в). Принимаем их за проекции осей, перенесенных с плоскости П2 в плоскость П1 с некоторым произвольным масштабированием.

2. На основе соответствия проекций 01Х1У121 и 02Х2У222 найдем точку 22 (см. рис. 6 , в). Для этого на отрезке 01У1 (см. рис. 6 , а) находим точку 01. На отрезке 02У2 найдем точку 02 из условия \01в1\ : \в1У1\ = \02в2\ : \в2У2\ (см. рис. 6, б) или (01,01,У1) = (02,02,У2). Проводим отрезок Х202. Затем, из соотношения (Х1,01,21) = (Х2,02,22) найдем точку 22.

3. Строим эллипс е2 по его центру 02, точке фокуса 22 и точке малой оси М2 (см. рис. 6, в). Для этого, на основе известных свойств эллипса, строим вспомогательную окружность С с центром в точке 02 радиусом, равным длине отрезка М222 и находим точку 32 большой оси эллипса е2. Строим эллипс е2 как непрерывную кривую по его центру 02 и конечным точкам главных осей М2 и 32.

4. Строим эллипс е1. Для этого (см. рис. 6, в), продлив отрезки 02Х2 и 02У2, находим точки 12, 22 эллипса е2. Пропорциональным делением находим соответствующие им точки 11, 21, 31 эллипса е1 на продолжении осей 01Х1У121 (см. рис. 6, а). Например, точку 11 находим из отношения (02,Х2,12) = (01,Х1,11). Далее, средствами параметризации пакета А^оСАБ строим эллипс е1 по его центру 01 и точкам 11, 21, 31. Построив эллипс е1, находим объектной привязкой точки его главных осей Л,В,С,0 и строим окружности с1.

5. Определяем вектор проецирования 5 (рис. 6, г). Для этого поворачиваем окружность с1 на 90° вокруг большой оси ЛВ эллипса е1 - окружность с1 *. Из точки Л строим к этой окружности отрезок касательной ЛТ=б. Точку касания Т определяем

Рис. 6. Реконструкция по алгоритму Глазунова: а - построение эллипса е1; б - простое соответствие трех точек; в - построение эллипса е2; г - направление проецирования и нахождение тройки осей;

д, е - четыре решения

объектной привязкой. Отрезок 5 перемещаем в центр эллипса е1, точку 01, получаем отрезок 5о.

6. Строим сферу с центром в точке 01 радиусом, равным длине малой оси 00 эллипса е1. Сферу смещаем на произвольное расстояние вдоль отрезка 5о.

7. Из точек Х1,У1,21 строим отрезки 5Х, 5у, 5г, параллельные 5. Находим точки их пересечения со сферой. Например, строим сечение сферы плоскостью, задаваемой параллельными лучами 5о и 5Х. В сечении получаем окружность сХ, которая пересекается с отрезком 5Х в точках Х и Х*. Найденные шесть точек соединяем отрезками с центром сферы.

8. Из шести отрезков формируем (выделяя цветом) две тройки декартовых осей. Чтобы выделить тройку осей, достаточно установить систему координат осью 2 вдоль одной из осей и найти две оси, перпендикулярные выбранной. В итоге получаем два решения: правая тройка векторов 0ХУ2 и левая тройка векторов 0*Х*У*2*. Для повышения наглядности результата следует разделить тройки,

сместив их вдоль направления проецирования (рис. 6, д).

9. Еще два решения получим, приняв за направление проецирования отрезок 5Г. Эти решения также можно получить симметричным отображением первых двух троек относительно плоскости П1.

Дополнительное повышение наглядности достигается построением четырех кубов по тройкам найденных осей (рис. 6, е).

Э. Алгоритм М.В. Бурде

На плоскости П заданы отрезки охуг. Необходимо найти пространственную тройку декартовых осей 0ХУ2, для которой охуг являются аксонометрической проекцией (рис. 7, а, б).

Алгоритм [5] основан на взаимосвязи между пространственным вращением искомой тройки 0ХУ2 и происходящим при этом изменением ее проекций охуг. Алгоритм позволяет по изменению проекций, соответствующему четырехкратному, определенным образом организованному враще-

Рис. 7. Алгоритм Бурде: а - заданная проекция осей; б - фаза 0; в - переход к фазе 1; г - переход к фазе 2; д - переход к фазе 3; е - переход к фазе 4; ж - результат реконструкции

нию тройки осей 0ХУ2, найти вектор проецирования 5 и длину этих осей. Положения осей в результате вращений названы «фазами». Начальное положение - фаза 0, конечное - фаза 4. Ниже, в разделах «Фазы» приведена взаимосвязь между вращением пространственной тройки осей и изменением ее проекций, необходимая для понимания алгоритма реконструкции. Для реализации алгоритма достаточно выполнить действия, приведенные в разделах «Построения».

Фаза 0. Искомая тройка осей занимает некоторое (неизвестное на данный момент) начальное положение 0Х°У°2° = 0ХУ2. Начальное положение заданных аксонометрических осей обозначим как °°° ох у г = охуг.

Фаза 1 достигается вращением тройки 0Х°У°2° вокруг ее оси 0Х°. Точки У° и 2° перемещаются по некоторой окружности с01, а их проекции у° и г° - по эллипсу е°1 (рис. 7, в), для которого отрезки оу° и ог° являются сопряженными полу-диаметрами, позволяющими построить этот эллипс. Поскольку ось 0Х° неподвижна, то 0Х1 = 0Х°, ох1 = ох°.

Поворот тройки 0Х°У°2° выполняют так, чтобы оси проекций ог1 и ох1 совпали по направлению. Это возможно, если найти пересечение окружности с01 с плоскостью (5, х1). Точка 2° переходит в 21, точка У° - в положение У1. Вектор 5 и плоскость 0Х121 совмещаются. Отрезки оу1, ог1 являются новыми сопряженными полудиаметрами эллипса е°1, поэтому оу1 параллелен касательной (1 (параллельность следует из свойств сопряженных диаметров эллипса).

Построения 0-1. В точке г° проводим отрезок (° I1 оу° (это касательная к эллипсу е°1). Применив параметризацию, строим эллипс е°1 по его центру

о, точкам у°, г° и касательной /°. Находим точку г1 = ох° П е°1. Для построения оу1 II (1 проводим некоторую хорду И II ог1 и проводим оу1 через среднюю точку И. В результате первой фазы вращения оси охуг приняли положение ох1у1г1.

Фаза 2. Выполняется поворот пространственной тройки из положения 0Х1 У121, полученного в фазе 1, вокруг оси У1 (рис. 7, г). Угол вращения задается таким, чтобы ось 022 совместилась с вектором 5. Следовательно г2 = о. Поскольку ось 0У1

неподвижна, то У2= У1, у2=у1. Точки X1, I1 пере-

12 1 1 мещаются по окружности с , их проекции х , г

перемещаются по дуге некоторого эллипса е12, являясь конечными точками его сопряженных диаметров, и переходят в положение х2, г2. Учитывая, что вектор проецирования 5 принадлежит

плоскости окружности с12, соответствующий ей

12

эллипс е вырожден в отрезок прямой, которому принадлежат конечные точки сопряженных диаметров этого эллипса: х1, г1 и х2, г2. Согласно теореме Аполлония: ¡ох1]2 + \ог1\2 = ¡ох2]2 + \ог2\2.

Построения 1-2. Строим точку х на продолжении отрезка ох1. Применяем теорему Аполлония.

Учитываем, что \ог2\ = 0. Длину \ох2\ находим геометрическим построением как гипотенузу А(о,г1,К), в котором \г1К \ = \ох1\ = т. В результате второй фазы вращения оси охуг приняли положение ох2у2г2, при этом ось

ог2

вырождена в точку о.

Фаза Э. Вращением тройки вокруг оси 02 2 переводим ось 0Х2 в горизонтальное положение 0Х3 (рис. 7, д). Точки X 2, У 2 перемещаются по окружности с23, которая на плоскость П отобра-

23 2 2

жается в эллипс е . Для этого эллипса ох и оу являются сопряженными полудиаметрами. Поскольку 0Х 3 параллельна П, то угол 0Х3У3 отображается в прямой, и новые сопряженные полу-

33

диаметры ох и оу становятся главными полуосями эллипса е23. Ось 023 по-прежнему проецируется в точку о - центр эллипса е23. Длина ох3 стала равной истинной длине осей ё пространственной тройки осей.

Построения 2-Э. С применением параметри-

23

зации строим эллипс е по сопряженным полу-диаметрам ох2, оу2. Строим отрезки ох3 и оу3 как

23

главные полуоси эллипса е . В результате третьей фазы вращения оси охуг приняли положение

3 3 3 3

ох у г , при этом ось ог по-прежнему вырождена в точку о.

Фаза 4. Вращением пространственной тройки вокруг оси 0Х 3 установим ось 0У3 параллельно плоскости П (рис. 7, е). При этом Х4 = Х3, х4=х3. Точки 23 и У3 вращаются по окружности с34, которая на плоскость П проецируется в эллипс е34, вырожденный в отрезок прямой у3г4. В итоге 024 ± П, длина оу4 становится равной ё. Точка г4 находится по теореме Аполлония для вырожденного эллипса е34: \оу3\2 + \ог3\2 = \оу4\2 + \ог4\2, учитывая, что ог3 = 0.

Построения 3-4. Находим точки у4, N. Строим А(о,у3,Щ. Отложив длину катета y3N = п на продолжении оси оу3, получаем точку г4. Строим отрезок ог*1. П длиной ё. Строим отрезок х4х*, который является искомым направлением проецирования тройки осей 0ХУ2.

Подтверждение правильности решения находим из параллелограмма 0ог*24, расположенного в плоскости а. Сторона 24г* и найденный отрезок г4г* принадлежат одной прямой и отрезок 24г* параллелен искомому вектору 8.

Пространственное положение осей находится с помощью двух вспомогательных призм [5]. Более наглядно, по нашему мнению, его найти с помощью сферы (рис. 7, ж), центр которой расположен на проецирующем отрезке 5. Радиус сферы равен ё = ох4=оу4. Конечные точки осей находятся на пересечении сферы и проецирующих лучей, восстановленных из конечных точек аксонометрических осей. В итоге находим две пространственные тройки осей, одна из них 0ХУ2 правая, вторая 0Х*У*2* - левая. Еще два решения находим по симметрии относительно плоскости П (см. рис. 6, д).

Компоненты сопоставляемых алгоритмов

№ Задача Алгоритмы

Шварц и Власов Глазунов Бурде

1 Простое отношение трех точек + +

2 Построение эллипса по точке центра и трем точкам + +

3 Построение сечения треугольной призмы, подобного заданному треугольнику + - -

4 Нахождение фокальных точек эллипса - + -

5 Построение эллипса по сопряженным диаметрам +

6 Построение касательной к эллипсу в его произвольной точке - - +

7 Теорема Аполлония о сопряженных диаметрах эллипса - - +

4. Сравнительная оценка алгоритмов реконструкции

Реализация рассмотренных алгоритмов требует владения общими приемами точных 3d построений: формирование тел с заданными параметрами (сфера, наклонная призма, эллиптический цилиндр), построение точки пересечения прямой с плоскостью, пересечения прямой со сферой, нахождение круговых сечений эллиптического цилиндра, применение объектных привязок и др.

Кроме того, алгоритмы требуют решения специальных задач (см. таблицу). Задачи 1, 7 связаны с выполнением простых геометрических построений (см. рис. 3, б, рис. 6, б, рис. 7, г, е). Задачи 2, 5 -основаны на задании геометрических зависимостей (параметризация), имеющихся в современных графических пакетах САПР. Это построение эллипса по пяти точкам или касательным в их различных сочетаниях, построение эллипса по точке центра и трем точкам. Задача 3 - требует построения круговых сечений эллиптического цилиндра и решается на основе теоремы о двойном соприкосновении квадрик, либо применения 3d-параметризации. Задачи 4, 5 требуют знания свойств эллипса, в частности, что касательная в конечной точке одного из сопряженных диаметров параллельна второму диаметру. Задача 6 - построение касательной к эллипсу по вспомогательной хорде, параллельной диаметру эллипса. Присутствуют задачи о нахождении точки фокуса эллипса по сфере Данделена (см. рис. 5, д), о построении касательной в заданной точке эллипса (см. рис. 7, в), теорема о проецировании прямого угла (см. рис. 7, д).

Афинные преобразования присутствуют лишь в алгоритмах Шварца и Глазунова в минимальной скрытой форме в виде задачи на деление отрезка в заданном отношении, что делает эти алгоритмы доступными и понятными без знаний курса афин-ной геометрии.

Заключение

Рассмотренные алгоритмы охватывают весь базовый курс начертательной геометрии. Средства

компьютерных графических редакторов, в сочетании с развиваемыми методами З^моделирования делают эти исторические и классические алгоритмы современными, эффективными и доступными для студента обучающими примерами.

Помимо «ручного» варианта рассмотренные алгоритмы реконструкции реализованы в виде компьютерных программ, написанных на языке АШо^р. Программы применяются в лекционном курсе и позволяют продемонстрировать и косвенно доказать теорему Польке - Шварца как одну из его красивых и важных теорем.

Во всех алгоритмах погрешность реконструкции является характерной для точных построений пакета АиоСАБ и не превышает 10-5.

Выводы

Сопоставляя рассмотренные алгоритмы по критериям: наглядность восприятия, техническая сложность реализации и универсальность, - приходим к следующим выводам.

1. Оптимальным для учебного процесса является алгоритм Шварца, дополненный решеним Власова. Этот суммарный алгоритм в наибольшей мере демонстрирует возможности и эффективность компьютерного 3 ^моделирования, которые делают решение задачи реконструкции весьма простым и доступным для решения силами студента.

2. Алгоритм Глазунова также основан преимущественно на З^построениях, но он сложнее в восприятии, чем предыдущий, и рассматривает лишь частный случай - реконструкцию тройки осей.

3. Алгоритм Бурде наиболее сложен в восприятии. Он также рассматривает лишь реконструкцию тройки осей, ориентирован в основном на планиметрические построения и поэтому наименее нагляден.

Литература

1. Бескин, Н.М. Основное предложение аксонометрии / Н.М. Бескин // Вопросы современной начертательной геометрии; под ред. Н.Ф. Четве-рухина. - М.; Л.: Гостехиздат, 1947. - С. 55-125.

2. Начертательная геометрия / Н.Ф. Чет-

верухин, В.С. Левицкий, З.И. Прянишникова и др.; под ред. Н.Ф. Четверухина. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Высш. шк., l963. - 420 с.

3. Глазунов, Е.А. Аксонометрия / Е.А. Глазунов, Н.Ф. Четверухин. - М.: Гостехиздат, l953. -29l с.

4. Власов, А. К. Новое доказательство теоремы Pohlke / А.К. Власов // Математический

сборник. - Т. ХХХ11, в. 3. - Гос. издат., 1925. -С. 453-456.

5. Бурде, М. В. Восстановление масштабного трехосника по его параллельной проекции методом преобразования фаз /М.В. Бурде // Труды московского семинара по начертательной геометрии и инженерной графике. - М.: Советская наука, 1958. - С. 111-114.

Хейфец Александр Львович, кандидат технических наук, профессор кафедры «Графика», ЮжноУральский государственный университет. E-mail: heifets@yandex.ru.

Bulletin of the South Ural State University Series “Construction Engineering and Architecture” ___________________________________________________2013, vol. 13, no. 1, pp. 71-79

3D-ALGORITHMS OF POLKE - SCHWARTZ THEOREM

A.L. Kheyfets

There are developed computer 3D-algorithms, which allow reproducing the task of reconstruction of the basic axonometry theorem by means of modern graphic editors. The article considers principle variants of reconstruction. It gives their comparative assessment and examples of elaborations in relation to AutoCAD package.

Keywords: computer simulation, geometric simulation, 3D-algorithms, axonometry, Polke-Schwartz theorem, AutoCAD.

Kheyfets Alexander Lvovich, candidate of engineering sciences, professor of Graphics Department, South Ural State University. E-mail: heifets@yandex.ru.

Поступила в редакцию 12 марта 2013 г.