О верхних огибающих семейства n-дизъюнктных операторов

Владикавказский математический журнал Июнь-сентябрь, 2001, Том 3, Выпуск 3

УДК 517.98

О ВЕРХНИХ ОГИБАЮЩИХ СЕМЕЙСТВА п-ДИЗЪЮНКТНЫХ ОПЕРАТОРОВ

В. А. Раднаев

В этой статье устанавливается характеризация сублинейных операторов, являющихся

верхними огибающими семейства п-дизъюнктных операторов, дается описание возникающих субдифференциалов и их крайних точек.

1. Введение

На протяжении всей статьи, если не оговорено особо, X ж Е — векторные решетки над полем вещественных чисел К, причем Е порядково полна (К-пространство). Рассматриваемые отображения действуют из X в Е.

1. Определение. Линейный оператор Т : X —Е называется п-дизьюнктным, если Т является порядково ограниченным и для любых попарно дизъюнктных элементов .г(,. .г,......г„. е X выполнено соотношение

п

Д №01 = 0.

i=0

В настоящей статье изучаются сублинейные операторы, представимые в виде верхних огибающих семейства положительных п-дизъюнктных операторов. Устанавливается, что данный класс сублинейных операторов содержит в себе суммы п сублинейных операторов, сохраняющих конечные верхние границы, причем это включение строгое. Отметим, что для линейных операторов эти классы совпадают: известно, что положительные п-дизъюнктные операторы, действующие в порядково полные векторные решетки, сводятся к суммам п попарно дизъюнктных решеточных гомоморфизмов (см. [1-2]).

При исследовании этого класса сублинейных операторов важную роль играют вопросы геометрического строения возникающих субдифференциалов. Здесь возникают задачи внутренней характеризации субдифференциала и описания множества его крайних точек. Стоит подчеркнуть, что эти задачи были решены первоначально для канонического оператора (= операции взятия точной верхней границы у порядково ограниченной функции) (см. [3, 2.2.9]), затем для операторов, сохраняющих конечные верхние границы (см. [3, 2.5.7, 2.5.8]).

© 2001 Раднаев В. А.

2. Вспомогательные сведения

Перед тем как приступить к подробному изложению, напомним некоторые сведения об основных объектах, рассматриваемых в данной работе. Мы будем следовать общепринятым обозначениям и терминологии согласно [3-5].

Известно, что регулярные (= порядково ограниченные) операторы, действующие из Л и /•,'. образуют Ii-пространство Lr(X,E) регулярных операторов с положительным конусом, который обозначается символом /.+ (Л". /•,').

Субдифференциалом (в нуле) дР сублинейного оператора Р, называется множество

дР := {Т Е L(X, Е) : (Уж е Х)Тх ^ Р(ж)},

где I. (Л. /•,') — пространство линейных операторов из Л и /•,'.

Символом Ch(P) обозначается совокупность всех крайних (или экстремальных) точек субдифференциала дР. Через Orth(E') обозначаем кольцо ортоморфизмов на Е с единицей 1е-

2. Теорема [3, 2.2.7]. Следующие утверждения эквивалентны:

(1) оператор S е Ch(P);

(2) если для операторов S\,..., Sn е ЭР и ортоморфизмов аъ...,апе

[О, //.;] ВЫПОЛНЯЮТСЯ СООТНОШеНИЯ v;:=| iVд. = Ie, О/,. О Si,- = S, TO Qifc о S =

o-k ° Sk для каждого /.: = 1.....п.

Для произвольного непустого множество Q обозначим символом (С^. /v) совокупность всех (порядково) ограниченных отображений из Q в Е\ Несложно проверить, что {(}. Е) является /\-upociранетом при наделении покоординатными алгебраическими операциями и упорядочением. Оператор £q из ¿oo(Q, Е) в /•,'. действующий по правилу:

eQ:f^ sup{/(a) : a Е Q} (/ G loo(Q,E)),

называют каноническим оператором. Символ еп используют, когда мощность множества Q равна п. Сам оператор еп при этом называют конечнопорожден-ным.

Сублинейный оператор Р называют возрастающим, если для любых х, у Е X из х ^ у следует, что Р(х) ^ Р(у)-

Заметим, что для конечнопорожденного оператора еп формулу [3, 2.1.5(1)] можно уточнить:

3. Предложение. Пусть Р — возрастающий сублинейный оператор. Тогда

d(Poen) = {S Е L+(Xn,E) : (Уж е X) S(x,x,...,x) ^ Р(х)}.

4. Предложение [3, 2.1.8 (1)]. Пусть ...../'„ — сублинейные операторы. Тогда справедливо представление:

с) ^ У Д ^ = У |а0 ° 9Р0 +----Ь ап о с)Рп : а0, аъ...,апе ОгЙ1+(£),

п .

5. Теорема [2, 3.6]. Для оператора Т е /-, (Л". Е) следующие утверждения равносильны:

(1) оператор Т является п-дизъюнктным;

(2) для любых попарно дизъюнктных операторов 7},. 7).....'/"„. е

Ь+(Х,Е) таких, что У2"=и Т\ = |Т| найдутся ортоморфизмы оо. о |.....о„. е

Ог1 Ь+( ) такие, что У2"=и <У} = //•; и для каждого г = 0.1.....п выполнено

щТг = 0.

Всюду ниже, имея некоторый набор элементов {./(,. х,\,..., хп}, условимся считать, что х-\ := хп, жп+1 := .г(,.

Следующее утверждение представляет собой эквивалентную формулировку определения положительного п-дизъюнктного оператора.

6. Теорема [2, 3.4]. Пусть X, Е — векторные решетки, Т е /,+ (Л". /•,'). Следующие утверждения эквивалентны:

(1) оператор Т является п-дизъюнктным;

(2) для всех .го. .г |......г„. е X выполняется

' п \ п

т (Vх* = V т(х°у" у у у" у

а=0 / 1=0

3. Сублинейные операторы, сохраняющие п - с у п р е м у м ы

Напомним, что множество Л С ЬГ(Х,Е) называется слабо порядково ограниченным, если для каждого х е X множество {Тх : Т е Л} порядково ограничено в Е.

7. Замечание. Несложно проверить, что свойство (2) для линейного оператора в теореме 6 выполняется и для более широких классов отображений, чем класс положительных п-дизъюнктных операторов: для любого слабо порядково ограниченного семейства положительных п-дизъюнктных операторов (7г)г6н из I в £ их верхняя огибающая Р, действующая по формуле

Р(х) = вир{Г^(ж) : £ е S} (х е X), является сублинейным оператором, удовлетворяющим равенству

(п \ п

У хЛ = V Р

i=0 / г=0

для всех .ГО..Г,......r„. е .V. Мотивируясь этим наблюдением, введем следующий класс сублинейных операторов.

8. Определение. Пусть Р : X —Е — сублинейный оператор in Л и /•,'. Будем говорить, что Р сохраняет, п-супремумы, если Р удовлетворяет условию (*). В случае n = 1 говорят, что Р сохраняет конечные верхние границы. Как мы установим позже, указанное свойство является характеристическим для изучаемого класса сублинейных операторов, представимых в виде верхних огибающих семейства положительных п-дизъюнктных операторов.

Изучим подробнее свойства введенного класса операторов.

9. Предложение. (1) Пусть Р : X Е — сублинейный оператор, сохраняющий n-супремумы. Тогда его субдифференциал с)Р состоит из положительных операторов.

(2) Пусть Р^ : X —Е (г = 1,..., п) сублинейные операторы, сохраняющие конечные верхние грани. Тогда их сумма Р = У2"=и I) является сублинейным оператором, сохраняющим п-супремумы.

< (1) Пусть х, у е X, х ^ у. Тогда из рассмотрения семейства {xq, ..., хп}, где xq := у, а для каждого г = 1,... ,n Xi := х вытекает, что Р(х) ^ /,(//). Требуемое теперь вытекает из [3, 2.1.2].

(2) Возьмем элементы xq, .г,......г„. е Л. Тогда

Р{х0 V • • • V xn) = Pi{x0 V • • • V хп) +    + P„,{xo V • • • V хп)

= Рг{х0) V • • • V Рг{хп) + • • • + Рп{х0) V • • • V Рп{хп) = 8Щ){Рг(хк) Н-----b Pn(xin) > \.....''„. е {0,1,..., п}}.

Заметим, что в каждом наборе {/1...../„. }• отсутствует по крайней мере

один элемент из множества {0,1,..., п}. Поэтому, упорядочив взятие супремумов, получим:

п

Р(х0 V хг V • • • V хп) = У sup Н-----Ь Pn(xin) :

i=о

е {0,..., г — 1, г + 1,..., п}|

п

= У (p1{xoV---Vxi^1Vxi+1V---Vxn) + --- + PnXx0V---Vxi^1Vxi+1V---Vxn)^

г=О

п

= \/ Р(х0 V • • • V У Хг+1 V • • • V хп),

1=0

что и требовалось доказать. >

Покажем, что предложение 9 (2) нельзя обратить. Более того, для каждой векторной решетки Е найдется Е'-значный сублинейный оператор, сохраняющий 2-супремумы, но не являющийся суммой двух сублинейных операторов, сохраняющих конечные верхние грани.

10. Пример. Пусть Е — произвольная векторная решетка, р — отображение из /•,' х /•,' и /•,'. действующее по правилу

р(ж, у) = (х + у) + ((х, у) е Е х Е).

Тогда р является сублинейным оператором, сохраняющим 2-супремумы. Проверим, например, последнее свойство. Возьмем произвольные элементы во = (х0,у0), ех = (>1,2/1), е2 = (х2,у2) из Е х Е. Тогда

2

р(е0 V в! V е2) = (х0 У хг У х2 + Уо У уг У у2)+ = \/ (х> + .

г,1=0

С другой стороны,

р

2

= {х0У хг + у0У уг)+ У (х0У х2 + у0У у2)+ У (хгУ х2 + угУ у2)+ = \/ + + .

*,з=0

Таким образом, р(во Уе± У е2) = р(во Уег) Ур(ео У е2) Ур{е\Уе2), т. е. р сохраняет 2-супремумы.

Покажем, что р не разлагается в сумму двух сублинейных операторов, сохраняющих конечные верхние грани. Предположим обратное: пусть р = Р\ + р2, где />|. ¡н — сублинейные операторы с упомянутым свойством. Зафиксируем г е {1,2}. Сначала проверим, что р-, ^ 0. Заметим, что в силу неравенства Рг(ж, у) ^ р%{х Л у, х Л у) ((х,у) е Е х Е), достаточно проверить, что Рг{х, х) ^ 0 для всех х & Е.

Действительно, из соотношений:

Рх

следует, что р^(х+,х+) = р^(х,х) (г = 1,2). А так как р^(х+ ,х+) = (р^(х, х))+, то Рг(ж, х) ^ 0. Итак, Рг(ж, у) ^ 0 для всех (ж, у) Е Е х Е.

Теперь из уравнений

(.х + у)+ = Рг(х,у) +р2(х,у),

вытекает, что Рг(ж, у) —у) = 0 ((х,у) е ЕхЕ). Следовательно, \х + у\ =

{х + у)+ + {х + у)~ = рг{х, у)Ург{-х, -у) + р2(>, у) Ур2(^ж, -у) = рг{ |ж|, |у|) + Р2(|ж|, \у\) = |ж| + \у\.

Ясно, что полученное соотношение \х+у\ = |ж| + |у| не выполняется для всех х, у е Е. Противоречие. Следовательно, р нельзя представить в виде суммы двух сублинейных операторов, сохраняющих конечные верхние границы.

Более глубокие взаимосвязи между сублинейными операторами, сохраняющими //-супремумы, и положительными п-дизъюнктными операторами раскрываются при изучении геометрии возникающих субдифференциалов.

4. Строение субдифференциала

Сформулируем характеризацию сублинейного оператора, сохраняющего //-супремумы, в терминах его субдифференциала.

11. Теорема. Для возрастающего сублинейного оператора Р : X —Е следующие утверждения равносильны:

(1) Р сохраняет п-суиремумы;

(2) для каждого набора / = ( '!},. Т\.....'/"„ ). где 7} е 1.+ ( Х. /•,') (/' =

0. 1.....//). '/; € с)Р существует набор а = (оо. о |.....о„) элементов

Ог1 Ь+(/•,'). для которых У2"=и Oíj = 1е и найдется матрица

А

( о

т1

о

то

ч п

\т0п

Тп

гро

г

т}

грп

Г°\

-1 п 11

Г,

п

ТУ

п

0 /

где Г/ е 1.+ ( Х. Е), 'Г/ = 0 (/' = 0. 1.....//: ] = 0. 1.....//). и сумма элементов

каждой строки матрицы А лежит в субдифференциале с)Р, такая, что справедливо равенство а о А = ¿, т. е. УУ/=(, о ,-'/"/ = Ч) для всех /' = 0. 1.....//.

< Определим следующие отображения из Л' 1 в Е:

Р{хо, Ж1, ..., — Р Р*(ж0,Ж1,...,Жп) := Р(х0 У Хг V

' п \

У^)'

а=0 /

УЖг+1 У---Ужп),

о

о

где (.Г(|. .г |......г„) е Л'"+1. г е {0,1,..., п}. Тогда функции Р : Л"+1 —Е,

I) : Хп+г —Е (г = 0,1,...,п) являются сублинейными операторами, для которых выполнено соотношение Р = У"=о I). что равносильно равенству соответствующих субдифференциалов, т. е. с)Р = (Н\/"=и /У)- Пусть £п+1 — ко-нечнопорожденный канонический оператор из Л' 1 в X. Воспользовавшись формулой из предложения 3, выводим

дР = {(.г и. .Г|......г„.) 7(|.Г(| + 7"| .г I н-----Ь Г„Ж„

п

: 7} е /+(.\\ /•;)(/ = о. 1.....,/). ]Г//} е (7/,1-

г=0

Аналогично, для каждого / = 0.1.....у/ справедливо соотношение

= {(ж0, хг,...,хп) ^ &1х0 Н-----Ь + Н-----Ь :

(->; е 1+{\.Е) (.у =0.1.....v.j¿i) Y,

з

3=0,Зфг

Наконец, вычисляя субдифференциал <7( V"=o P¿) согласно предложению 4 и сравнивая с дР, получим требуемый результат. >

Нижеследующая теорема является ключевой для понимания взаимосвязей между сублинейными операторами, сохраняющими n-супремумы и их линейными аналогами — п-дизъюнктными операторами.

12. Теорема. Крайние точки субдифференциала сублинейного оператора, сохраняющего n-супремумы, являются п-дизъюнктными операторами.

< Пусть Т Е Ch(P). Для того, чтобы установить требуемое, воспользуемся критерием 6 п-дизъюнктного оператора. Для этого возьмем операторы

'/•„/Г,.....7"„. е /+(.Y. Е) такие, что 7} ± Tj (г ф j). EtoTi = Т. В силу

теоремы 11 найдется семейство операторов {T¡ Е 1.+ ( Х. Е) : г = 0,1,..., n; j = 0,1,..., гг} и набор ортоморфизмов ao, o¡i,..., an Е Orth+(£'), удовлетворяющих следующим условиям:

(1) T¡ = 0 для всех г = 0,1,..., щ

(2) ЕГ=о Г/ G для каждого j е {0,1,..., п};

(3) ЕГ=о <*í = Ie ;

(4) v;=(1 <*//'/ = Ti для всех i = 0,1,..., п.

Для каждого j Е {0.1.....// } обозначим S¡ := ЕГ=о ''У  Согласно условию

(2) выполнено Sj Е дР. Кроме того, суммируя по i = 0,..., п в соотношении (4), получим равенство Т = ЕГ=оЕ"=о«?'Г/ = Зафиксируем j Е {0,1,..., п}. В силу теоремы 2 выполнено равенство <у¡S¡ = <*//'. Отсюда с учетом (4) из дизъюнктности семейства {7} : i = 0.....п }• вытекает, что для

каждого г = 0.....//. г Ф ] выполняется соотношение ос^Т- _1_ Ту Теперь,

суммируя по г, получаем, что выполнено ос^Б^ _1_ Ту Но поскольку ос^Б^ = <*//'. то из неравенств 0 ^ ау!) ^ а^Г и 0 ^ ау!) ^ ^з '¡'»тодим 0 ^ ау!) ^ /у/Г А '/) = 0, т. е. 'у/I) =0. В силу произвольности }. привлекая теорему 5, получим, что Т является п-дизъюнктным оператором. >

Отметим, что в случае, когда п = 1 и Е — расширенное ^-пространство, теоремы 11 и 12 были ранее получены С. С. Кутателадзе (см. например, [3, 2.5.7, 2.5.8]).

5. Основной результат

Теперь установим основной результат — характеризации сублинейных операторов, представимых в виде верхних огибающих семейства положительных п-дизъюнктных операторов.

13. Теорема. Для сублинейного оператора Р следующие утверждения равносильны:

(1) Р представим в виде верхней огибающей семейства положительных п-дизъюнктных операторов;

(2) Р является оператором, сохраняющим п-суиремумы;

(3) Р допускает представление в виде суперпозиции сублинейного оператора, сохраняющего конечные верхние границы, и п-дизъюнктного оператора.

< (1) =г- (2). Согласно теореме Крейна — Мильмана для субдифференциалов (см. [3, 2.2.2]) для всех х е X выполнено соотношение Р(х) = вир{Г(ж) : Т е С1»( />) }•. Возьмем произвольные элементы .г(,. ./•,....../•„. е X. Из теоремы 12 вытекает, что операторы Т е СЬ( /,) являются п-дизъюнктными, а, значит, сохраняют п-супремумы (теорема 6). Отсюда легко выводим требуемое.

(2) => (1). Очевидно в силу существования представления Р{х) = вир{Г(ж) : Т е СЬ(Р)} (х е X) и теоремы 12.

(2) => (3). Пусть Т е СЬ(Р). Тогда, как известно, (см. [3, 2.1.4, 2.2.2)]) имеет место представление Р = где (} = СЬ(Р) и линейный опе-

ратор (СЦ) : X —100(СЦ,Е) действует по правилу: (Я)(х) := (Т —Тж), Т е т. е. (С^)(х) — функция из 1оо{С^,Е), сопоставляющая каждому Т е (} элемент Тх. Очевидно, что канонический оператор £д сохраняет конечные верхние границы, поэтому в силу теоремы 6 для завершения доказательства остается показать, что ((/) сохраняет //-супремумы. Зафиксируем элементы ./•(,.,/-|....../•„. е X, Т е СЦ. Из теоремы 12 вытекает, что (} состоит из положительных п-дизъюнктных операторов, а, значит, выполнено {Я)(А7=0^)(Т)=Т(А7=0Хг)= с другой

стороны, поскольку порядок и /-х ( (}. Е) поточечный, справедливо соотношение

( п \

\/

Ki=о /

п

\/

i=0 п

У Г(ж0 V • • • V V V • • • V хп).

Следовательно, выполнено равенство (Q) (\/Г=о = УГ=о(^)(жо V • • • V a^i V V • • • V жп), что и требовалось доказать.

(3) =г- (2). Легко проверяется с использованием характеризации 6 п-дизъ-юнктных операторов как операторов, сохраняющих //-супремумы. >

Литература

1. Beтаи S. J., Huijsmans С. В., de Pagter В. Sums of lattice homomorphisms // Proc. Amer. Math. Soc.—1992,—V. 115, No. 1.—P. 151-156.

2. Radnaev V. A. On n-disjoint operators // Siberian Adv. Math.—1997.—V. 7, No. 4.— P. 45-79.

3. Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С. Субдифференциалы. Теория и приложения.— Новосибирск: Наука, 1992.—269 с.

4. Aliprantis С. D., Burkinshaw О. Positive operators.—New York: Akad. Press, 1985.

5. Kusraev A. G. Dominated Operators.—Dordrecht: Kluwer, 2000.—446 c.

г. Улан-Уде

Статья поступила 26 июля 2001