Математическое исследование движения сыпучих материалов в ударно-отражательном измельчителе

УДК 622.73:519.6

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ СЫПУЧИХ МАТЕРИАЛОВ В УДАРНО-ОТРАЖАТЕЛЬНОМ ИЗМЕЛЬЧИТЕЛЕ

ЖИРОВ Д. К., КОРОЛЕВА М. Р.

Институт механики Уральского отделения РАН, 426067, г. Ижевск, ул. Т. Барамзиной, 34

АННОТАЦИЯ. Представлена математическая модель, описывающая динамику движения частиц по прямолинейным лопаткам центробежно-ударной мельницы. Уравнения позволяют определять скорость и угол вылета частиц с лопаток центробежных измельчителей, величину силы реакции опоры, определяющую износ лопаток в зависимости от скорости вращения ротора, угла наклона лопаток, коэффициента трения и массы частицы. Проведенные теоретические исследования показали, что меняя угол наклона разгонных лопаток можно влиять на износ рабочих поверхностей мельниц, при этом величина ударного импульса частицы снижается несущественно. Полученные значения углов вылета частиц с разгонных лопаток, определяют угол атаки при их ударе об отбойную поверхность, и могут быть использованы для подбора оптимальной геометрии отбойной деки.

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: центробежно-ударная мельница, математическое моделирование, движение частицы, скорость вылета, сила реакции опоры, ударный импульс.

ВВЕДЕНИЕ

При использовании центробежно-ударных мельниц для измельчения различных материалов, возникают задачи снижения энергетических затрат и степени износа рабочих элементов мельниц. Оптимальное соотношение параметров работы мельниц может быть найдено экспериментальным путем при исследовании нескольких конструкций для различных режимов работы. Однако, данный путь трудоемок и требует больших материальных затрат на создание моделей мельниц и проведение экспериментальных работ [1].

Направления решения данных проблем могут быть получены при разработке математических моделей, позволяющих адекватно описать процесс движения разрушаемых частиц как по лопаткам ударных мельниц [2 - 4], так и в воздушном пространстве между кромками лопаток и отбойной поверхностью [5]. С помощью разработанных математических моделей возможно изучение закономерностей изменения скорости движения частиц разрушаемого материала, характера и особенностей силового взаимодействия [6], что поможет определить оптимальные технологические и конструктивные параметры рабочих органов мельниц центробежно-ударного типа и повысить их энергоэффективность.

Некоторые теоретические исследования направлены на определение траекторий частиц различной крупности с учетом профилей скоростей газового потока, рассчитанного с учетом степени турбулентности течения [1]. При этом основное внимание уделяется определению параметров газового потока, и не учитывается взаимодействие частиц с поверхностями лопаток смесителя, а также конструктивные особенности мельниц.

Большинство существующих моделей движения частиц в пространстве рабочих колес центробежных мельниц базируются на предположении о разгоне частицы с ускорением по лопатке за счет действия центробежной силы. В работе [2] представлена математическая модель движения частиц в межлопастном пространстве ротора и кольцевом зазоре роторно-центробежного смесителя, проводится аэродинамический расчет процесса перемешивания сухих сыпучих материалов, но не приводится оценка износа разгонных лопастей. Увеличение срока службы рабочих поверхностей за счет уменьшения сил трения исследуется в работе [5], однако при расчете параметров схода частиц с лопаток (величина и направление полной скорости) величина силы трения не учитывается. В реальности условия входа частиц в рабочие каналы разгонного диска (наличие гравитационной и начальной скорости, воздушного потока) исключают возможность подачи частиц на лопатки с бесконечно малой скоростью. Тем самым, исключается возможность использования

существующих моделей для целей практического расчета рабочих колес центробежных измельчающих устройств.

Таким образом, для практических расчетов деталей центробежно-ударных мельниц необходима разработка новых моделей движения частиц в измельчающей установке, учитывающих влияние начальной скорости входа частицы на разгонные лопатки, трения между частицей и рабочей лопаткой, величину силы реакции опоры, траекторию и скорость вылета частиц, оптимальную форму отбойной деки.

Наиболее оптимальным является следующий подход. Во-первых, необходимо в одномерном, либо двумерном приближении [7] проследить движение частиц измельчаемого материала по поверхности разгонной лопатки мельниц. Определить время, скорость вылета частицы с кромки лопаток, что в свою очередь поможет оценить силу давления частицы на лопатку и определить ударный импульс частицы в момент ее вылета в пространство «разгонный диск - дека». Во-вторых, рассчитать траекторию движения частиц в воздушном потоке между кромками лопаток и отбойной поверхностью, с учетом набора внешних сил и геометрическими особенностями отбойной поверхности. Использование такого комплексного подхода позволит связать между собой параметры мельниц и характеристики измельчаемого материала и увеличить эффективность процесса измельчения.

В данной работе представлены результаты математического моделирования движения частицы по прямолинейной лопатке центробежно-ударной мельницы.

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Считается, что движение частицы материала по поверхности разгонной лопатки происходит в горизонтальной плоскости (рис. 1), а движение в осевом направлении отсутствует. Попав на лопатку, частица измельчаемого материала под действием инерционных сил движется к внешнему краю лопатки, вылетает с неё, и, ударяясь в отбойную деку, разрушается на более мелкие частицы. При этом предполагается, что частица не отрывается от поверхности лопатки, пока не достигнет ее внешнего края.

Рис. 1. Движение частицы по разгонной лопатке ударно-центробежной мельницы

Ротор центробежно-ударной мельницы вращается с постоянной угловой скоростью ш=628 рад/с. Рассматривается относительное движение частицы D, массой m = 0,2 г (рис. 1). Положение разгонных лопаток относительно оси вращения ротора O определяется величинами rn = \OB\ и Sn = |BC| (рис. 2). В данной работе длина лопаток и радиус диска

считаются неизменными: L = |CA| = 0,075 м, R = |OA| = 0,125 м . Радиус отбойной деки Rd = 0,15 м. Угол наклона лопаток определяется соотношением rn / R = sin j. Положение частицы на лопатке задается с помощью функции пути по поверхности лопатки S (t).

Рис. 2. Схема движения частицы

На движущуюся по лопатке частицу будут действовать следующие силы (рис. 1): центробежная сила инерции Рс, кориолисова сила инерции Рк, сила трения о поверхность

лопатки Pf, сила реакции опоры N. Пренебрегая силой аэродинамического сопротивления,

получим следующую систему уравнений, определяющую движение частицы по поверхности прямолинейной лопатки смесителя:

т—— = Рс cos р - Рг,

Л1

N = Рк -Рс sinр,,

сС*

где Рс = та> , Рг = fN, / - коэффициент трения, Рк = 2тю—, - модуль радиус-вектора 1 С

частицы. Момент I = 0 соответствует времени попадания частицы на разгонную лопатку, при этом положение частицы определяется величиной *0, а скорость равна У0.

Из уравнения (1) можно получить формулу для определения нормальной реакции опоры

N

N = тщ 2--согп

{ Л п

Решая систему (1), получим следующее соотношение для определения положения частицы:

* ('

1 ( ^0 + ^п - Гп1)- V ^ 1

1 -Л1 1 -Л1

- *п + Гп/,

где

л=-щ( /-7+1), 12=-щ(/+/+1).

Продифференцировав уравнение (3) можно получить аналитическое выражение для нахождения скорости движения частицы:

V (t ) = 1

12 ( *0 + *п - Гп/)-V 1 - 1 ( * + *п - Гп1)-V0 ^

1 -11 1 -11 В зависимости от угла наклона, положения и скорости частицы в начальный момент времени возможно ее движение в обоих направлениях, т.к. на нее действуют противоположные силы трения и инерции.

Иногда решение уравнений движения частицы по лопатке рассматривают без учета силы трения [3]. Если пренебречь силами трения формулы (3) и (4), можно упростить, приняв / = 0 :

* С

Ш + ' 2

[1 + е"2^ I + [1 - е"2Ш I - * .

1 1 2ш 1 п

V ^) = Ш0 + *п [еШ -е~Ш ] + ^[ем + е"

В этом случае частица всегда будет двигаться к внешнему краю лопатки, под действием центробежной силы инерции.

Исходя из уравнений (3) или (5), можно рассчитать время вылета частицы с лопатки I , приравняв левую часть уравнений величине Ь и численно решив получившееся нелинейное уравнение.

ВЛИЯНИЕ СИЛ ТРЕНИЯ

Для определения влияния сил трения на динамику частицы были рассчитаны время схода частицы с лопатки I , а также скорость вылета частицы V при углах наклона гп/Я = 0...0,55 для значений коэффициента трения / = 0,4 и / = 0 по формулам (3) - ( 6). Считалось, что координата входа частицы на лопатку *0 = 0, и ее начальная скорость равна нулю. Углы наклона лопаток гп/Я > 0,55 не исследовались, т.к. при этом сила трения превосходит силу инерции, и частица двигается к внутреннему краю лопатки. Результаты показаны на рис. 3.

t , мкс 12 10 8 6 4 2

I = 0,4

I = 0

J и

V , м/с

70

60

50

40

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 гп / Я

а)

30

I = 0

I = 0,4

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 гп / Я

б)

Рис. 3. Время (а) и скорость (б) вылета частицы с лопатки

Рассмотрим случай, когда на частицу не действует сила трения. Время схода частицы практически не зависит от угла наклона лопатки. При радиальном расположении

лопатки время вылета t = 2,495 мкс, а скорость V = 71 м/с. При угле наклона гп/Я = 0,55 1 - ~ = 3,045 мкс, V = 62 м/с.

Наличие сил трения приводит к тому, что время движения частицы по лопатке возрастает с 3 мкс для радиального случая до 13 мкс при максимальном угле наклона лопасти, рассматриваемом в данной работе. Нужно отметить, что резкое увеличение времени схода частицы наблюдается для углов наклона гп/Я = 0,5...0,55. Скорость вылета частицы материала существенно отличается от случая идеального скольжения и меняется от 52 до 32 м/с. Таким образом, при гп/ Я = 0,55 скорость вылета в два раза меньше, по сравнению со

скоростью, полученной без учета силы трения. Столь значительное расхождение результатов, говорит о том, что пренебрежение силой трения может привести к неверным результатам в дальнейшем при расчетах углов вылета частиц и величины ударного импульса.

ВЫЛЕТ ЧАСТИЦЫ

Направление вектора скорости частицы в момент ее схода с лопатки (Я = L ) показано на рис. 4 и будет зависеть от расположения лопатки относительно центра оси вращения ротора. Разложим скорость вылета частицы Уа на радиальную ¥г и касательную V составляющие.

Рис. 4. Схема вылета частицы с лопатки

Радиальная скорость V = V (I) движения частицы материала при вылете будет определяться по формуле (3). Тангенциальная скорость движения частицы в момент схода зависит от скорости вращения ротора и радиуса диска Vт= Ящ. Полная относительная скорость вылета частицы материалы равна

Направление вектора скорости вылета частицы определяется углом схода частицы с лопатки

g = arctg

f V Л

v V у

Поскольку модуль радиус-вектора частицы материала в момент схода не меняется от угла поворота лопатки (R = R), то тангенциальная составляющая скорости также будет

постоянной VT = wR = 78,5 м/с. Зависимость радиальной и полной относительной скорости, а также угол вылета частицы от угла поворота лопатки приведены на рис. 5. Видно, что с увеличением угла наклона лопатки, полная скорость вылета уменьшается с 94 до 85 м/с, а угол вылета с 34 до 22°.

Угол наклона лопатки влияет на реакцию опоры, действующую на частицу. На рис. 6 показана реакция опоры в момент схода частицы с лопасти при различных положениях лопатки. Опорная сила уменьшается с 13 до 5,8 Н, а значит, уменьшается и сила, с которой частица давит на поверхность лопатки. Таким образом, меняя угол наклона лопатки можно уменьшить силу давления частицы более чем на 50 %.

Из рис. 5 - 6 видно, что уменьшение силы трения сопровождается снижением скорости вылета частицы с лопатки, а, следовательно, и понижением ударного импульса частицы, который определяет степень разрушения частицы при ее ударе об отбойную деку. Величина ударного импульса зависит от скорости движения частицы, ее массы и угла атаки

F = mVcosa.

К, м/с

84

68

52

36

20

Ка

Кг

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 гп/Я 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 гп/Я

а) б)

Рис. 5. Зависимость радиальной V, полной V относительной скорости вылета частицы

и угла вылета (б) от поворота лопатки

Ы, Н

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 гп / Я Рис. 6. Сила реакции опоры в момент вылета частицы с лопатки

Рассмотрим случай использования кольцевой деки радиуса Яа. Если предположить, что частица с момента схода с поверхности лопатки и до момента столкновения с отбойной декой не меняет направление и скорость движения, то угол атаки определяется по формуле

Я V

бш а =--:.

Я, V

С учетом (9) и (10) ударный импульс будет определяться

^ = 1 -

Г Я V Г : 2 V2 - Г я ^

=т т

VЯу VК у VЯ,)

V:

т

V2 -

1-

Г Я_ ^ V Я у

2Л

V:

На рис. 7 показан угол атаки и ударный импульс частицы при ее попадании на кольцевую деку. Максимальный ударный импульс соответствует радиальному расположению лопатки гп/Я = 0, минимальный - гп /Я = 0,55. По сравнению с радиальной

лопаткой снижение ударной силы составило 21 %.

Из формулы (11) видно, что при постоянной тангенциальной скорости движения частицы, ударный импульс будет определяться величиной радиальной компоненты скорости, которая уменьшается с ростом угла наклона лопатки (рис. 5). Вклад тангенциальной

о

У

составляющей скорости в выражении

1-

( я Л2^

V Я у

У2 будет зависеть только от

геометрических параметров мельницы и скорости вращения ротора. Таким образом, чтобы увеличить ударный импульс частицы необходимо увеличивать радиальную компоненту скорости, либо изменять угол вылета частицы с лопатки за счет изменения ее формы. Другим способом повышения ударной силы может быть использование зубчатой отбойной деки с углом образующей в (рис. 4).

Р, н

0,014

0,013

0,012

0,011

/

•'а

52

50

48

46

44

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 гп / Я Рис. 7. Ударный импульса и угол атаки частицы при попадании на кольцевую деку

Для эффективного измельчения угол удара измельчаемых частиц об поверхность отбойной деки должен быть близок к 90 градусов, то есть требуется обеспечить ориентацию рабочих поверхностей отражательных дек в соответствии с углом вылета частиц с разгонных лопаток. Для исследования оптимального угла наклона зубьев деки была геометрически решена задача определения оптимального угла образующей зубьев отбойной деки, решение которой показало, что при угле деки в = 45° угол атаки частицы после вылета с лопаток с соотношением гп/Я от 0 до 0,55 находится близко к 90 градусам, что повышает эффективность измельчения. В этом случае есть возможность реверсирования мельницы -можно использовать обе поверхности разгонных лопаток и все стороны зубьев отбойной деки, что позволит получить двойной ресурс рабочих элементов мельницы и удвоить межремонтный интервал.

ВЫВОДЫ

Скорость и угол вылета частиц с разгонных лопаток центробежной мельницы определяется углом наклона лопаток, длиной лопаток, свойствами измельчаемого материала (коэффициент трения). Представленные в работе уравнения позволяют определять скорость и угол вылета частиц в зависимости от конструкционных параметров разгонного диска и характеристик измельчаемого материала.

Разработанная математическая модель движения частиц в разгонном диске центробежной мельницы позволяет определять величину силы реакции опоры в зависимости от угла наклона лопатки, при заданных коэффициенте трения и массе частицы. Изменение величины силы реакции опоры от конструкционных параметров разгонного диска и свойств измельчаемого материала определяет срок службы разгонных лопаток. Приведенные в работе уравнения позволяют выбрать параметры системы «разгонный диск - дека» с позиции оптимального соотношения «эффективность разрушения / износ лопаток». Например, при использовании разгонного диска диаметром 0,250 м и скорости вращения

ротора 628 рад/с использование радиальных лопаток обеспечивает скорость вылета частиц с лопаток 94 м/с, силу реакции опоры 13 Н, ударный импульс 0,0135 Н, а при угле наклона лопатки гп/Я = 0,55 скорость снижается до 85 м/с, реакция опоры равна 5,8 Н, ударный

импульс 0,0105 Н. Таким образом, снижение эффективности разрушения на 22 % приводит к уменьшению величины реакции опоры в 2 раза. Учитывая тот факт, что в многоступенчатых центробежно-ударных мельниц разрушение происходит серией ударов, энергия которых ниже критических, знание величины реакции опоры очень важно.

Для эффективного измельчения угол удара измельчаемых частиц об поверхность отбойной деки должен быть близок к 90 градусов, то есть требуется обеспечить ориентацию рабочих поверхностей отражательных дек в соответствии с углом вылета частиц с разгонных лопаток. Разработанная модель дает возможность определять угол вылета частиц с лопаток и подбирать необходимую геометрию отбойной деки. Так для лопаток с гп/ Я = 0 угол вылета составляет 34 градуса, соответственно оптимальный угол образующей отбойной деки составит 40 градусов. Для лопаток с гп/Я = 0,5 угол вылета равен 22 градуса, для эффективного разрушения угол образующей деки составит приблизительно 45 градусов.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Шувалов С. И., Андреев А. А. Математическое описание движения частиц в динамическом сепараторе пыли // Вестник ИГЭУ. 2005. Вып. 1. С. 25-28.

2. Гарабажиу А. А. Математическое моделирование процесса перемешивания сухих сыпучих материалов в энергосберегающем роторно-центробежном смесителе // Вестник Полоцкого государственного университета. Серия В. Промышленность. Прикладные науки. 2013. № 3. С. 126-134.

3. Товаров В. В., Оскаленко, Г. Н. Исследование вылета частиц из лопастных роторов центробежных измельчающих машин // Труды Гипроцемент. 1962. Вып. 84. С. 38-45.

4. Золотарев С. В. Ударно-центробежные измельчители фуражного зерна (основы теории и расчета). Барнаул: ГИПП «Алтай», 2001. 200 с.

5. Ширко А. В., Камлюк А. Н. Динамика частиц в ударно-метательной мельнице с разгонными лопатками разных типов // Механика машин, механизмов и материалов. 2011. № 1 (14). С. 36-40.

6. Козин А. Ю., Фомин С. Н., Кутлубаев И. М., Хозей А. Б. Моделирование движения минерального сырья в ускорителе центробежного типа // Вестник Белгородского государственного технологического университета им. В.Г. Шухова. 2015. № 4. С. 57-59.

7. Следченко В. А. Совершенствование технологического процесса распределения известьсодержащих материалов центробежным разбрасывателем: Автореф. дис. канд. техн. наук. Воронеж, 2012. 24 с.

8. Липанов А. М., Жиров Д. К. Математическое моделирование динамики движения частиц в установках по измельчению центробежно-ударного типа. Часть 1. Математическая модель // Химическая физика и мезоскопия. 2014. Т. 16, № 1. С. 82-87.

9. Жиров Д. К. Разработка методики по определению показателя измельчаемости материалов в центробежно-ударных мельницах // Химическая физика и мезоскопия. 2016. Т. 18, № 1. С. 49-60.

10. Денисов В. А. Повышение эффективности процесса измельчения зерновых компонентов комбикормов : Автореф. дис. докт. техн. наук. М., 1992. 32 с.

11. Липанов А. М., Жиров Д. К. Математическое моделирование динамики движения частиц в установках по измельчению центробежно-ударного типа. Часть 2. Расчет параметров работы разгонного диска // Химическая физика и мезоскопия. 2015. Т. 17, № 1. С. 81-85.

MATHEMATICAL INVESTIGATION OF GRANULAR MATERIAL MOVEMENT AT THE IMPACT MILL

Zhirov D. K., Koroleva M. R.

Institute of Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Izhevsk, Russia.

SUMMARY. The mathematical model of particles movement on the centrifugal impact mill blade is presented. The equations for particle displacement (3) and particle velocity (4) on the blade surface were obtained. Besides was received expression for supporting force (2). Similar equations were obtained without friction force - (5), (6).

Numerical calculations of the time and velocity of particle escape from mill straight blade into air space with friction force and without it were made. Was demonstrated, that ignoring friction force leads to incorrect results and conclusions.

Obtained equations allow determine velocity and angle of departure of particles, value of the supporting force towards blades wear, depending on the rotor speed, blade angle inclination, friction coefficient and particle mass. The development model allows determine optimal geometry of the impact deck.

The blade angles rn/R that are considered in this work ranged from 0 to 0.55. Increasing the inclination angle increases the time departure, and decreases the angle, velocity and supporting force of the particle when it escape from blade surface. Change in supporting force from design parameters determines the blades operating life. The optimum operating parameters of the system «damage efficiency / working surfaces wear» can be obtained. For example, when the disk diameter is 0.250 m, rotor angular velocity is 628 rad/s, using the radial blades leads to escape velocity is 94 m/c, supporting force - 13 N, impact impulse - 0.0135 N. When rn/R = 0.55, velocity departure is increased to 85 m/c, supporting force to 5.8 N, and impact impulse to 0.0105 N. This means that angle blade change affects the working surfaces wear and herewith impact impulse reduced slightly.

For effective grinding of materials, particle's impact angle on deck should be close to 90°. This fact reached in case, when is used toothed deck with deck angle equal to 45°.

KEYWORDS: centrifugal impact mill, mathematical modeling, particle movement, departure velocity, supporting force, impact impulse.

REFERENCES

1. Shuvalov S. I., Andreev A. A. Matematicheskoe opisanie dvizheniya chastits v dinamicheskom separatore pyli [The mathematical description of the motion of particles in a dynamic separator dust]. Vestnik IGEU [Bulletin of Ivanovo State Power University], 2005, vol. 1, pp. 25-28.

2. Garabazhiu A. A. Matematicheskoe modelirovanie protsessa peremeshivaniya sukhikh sypuchikh materialov v energosberegayushchem rotorno-tsentrobezhnom smesitele [Mathematical modelling of the process of mixing of dry bulk materials in a rotary power mixer]. VestnikPolotskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya V. Promyshlennost'. Prikladnye nauki [Bulletin of Polotsk State University. Series B. Applied sciences], 2013, no. 3, pp. 126-134.

3. Tovarov V. V., Oskalenko G. N. Issledovanie vyleta chastits iz lopastnykh rotorov tsentrobezhnykh izmel'chayushchikh mashin [The study of particle emission from the rotor blade centrifugal grinding machines]. Trudy Giprotsement [Proceedings Giprotsement], 1962, vol. 84, pp. 38-45.

4. Zolotarev S. V. Udarno-tsentrobezhnye izmel'chiteli furazhnogo zerna (osnovy teorii i rascheta) [Shock-Centrifugal crushers feed grains (basic theory and calculation)]. Barnaul: GIPP «Altay» Publ., 2001. 200 p.

5. Shirko A. V., Kamlyuk A. N. Dinamika chastits v udarno-metatel'noy mel'nitse s razgonnymi lopatkami raznykh tipov [Dynamics of particles in dispatch-throwing mill with dispersing shovels of different types]. Mekhanika mashin, mekhanizmov i materialov [Mechanics of Machines, Mechanisms and Materials], 2011, no. 1 (14), pp. 36-40.

6. Kozin A. Yu., Fomin S. N., Kutlubaev I. M., Khozey A. B. Modelirovanie dvizheniya mineral'nogo syr'ya v uskoritele tsentrobezhnogo tipa [Simulation of mineral raw materials in the accelerator movement of centrifugal type]. Vestnik Belgorodskogo gosudarstvennogo tekhnologicheskogo universiteta im. V.G. Shukhova [Bulletin of BSTU. named after V.G. Shukhov], 2015, no. 4, pp. 57-59.

7. Sledchenko V. A. Sovershenstvovanie tekhnologicheskogo protsessa raspredeleniya izvest'soderzhashchikh materialov tsentrobezhnym razbrasyvatelem [Perfection of technological process of distribution of lime materials centrifugal spreader]. Voronezh, 2012. 24 p.

8. Lipanov A. M., Zhirov D. K. Matematicheskoe modelirovanie dinamiki dvizheniya chastits v ustanovkakh po izmel'cheniyu tsentrobezhno-udarnogo tipa. Chast' 1. Matematicheskaya model' [Modeling particles dynamic motion on centrifugal shock mill blades. Part 1. Mathematical model]. Khimicheskaya fizika i mezoskopiya [Chemical Physics and Mesoscopics], 2014, vol. 16, no. 1, pp. 82-87.

9. Zhirov D. K. Razrabotka metodiki po opredeleniyu pokazatelya izmel'chaemosti materialov v tsentrobezhno-udarnykh mel'nitsakh [The development of certain indicators grindability materials techniques in a centrifugal impact mills]. Khimicheskaya fizika i mezoskopiya [Chemical Physics and Mesoscopics], 2016, vol. 18, no. 1, pp. 49-60.

10. Denisov V. A. Povyshenie effektivnosti protsessa izmel'cheniya zernovykh komponentov kombikormov [Improving the efficiency of the process of grinding grain components of animal feed]. Moscow, 1992, 32 p.

11. Lipanov A. M., Zhirov D. K. Matematicheskoe modelirovanie dinamiki dvizheniya chastits v ustanovkakh po izmel'cheniyu tsentrobezhno-udarnogo tipa. Chast' 2. Raschet parametrov raboty razgonnogo diska [Modeling particles dynamic motion on centrifugal shock mill blades. Part 2. The calculation of acelerating disc working parameters]. Khimicheskaya fizika i mezoskopiya [Chemical Physics and Mesoscopics], 2015, vol. 17, no. 1, pp. 81-85.

Жиров Дмитрий Константинович, кандидат технических наук, научный сотрудник Института механики УрО РАН, e-mail: zhirov_dmitriy@mail. ru

Королева Мария Равилевна, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Института механики УрО РАН, e-mail: koroleva@udman. ru