Представление поверхности склона в модели схода снежной лавины

А.С. Соловьев,

кандидат физико-математических наук, доцент, Воронежский институт Государственной противопожарной службы МЧС России

А.В. Калач,

доктор химических наук, Воронежский институт Государственной противопожарной службы МЧС России

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ СКЛОНА В МОДЕЛИ СХОДА СНЕЖНОЙ ЛАВИНЫ

REPRESENTATION OF THE SURFACE OF THE INCLINE IN MODEL OF THE DESCENT OF THE AVALANCHE

Предложена методология представления поверхности скольжения снежной массы в модели, предоставляющей возможность задавать статистико-геометрические параметры склона.

The methodology for the sliding surface of the snow mass in the model, which provides the ability to set statistical andgeometricparameters is suggested.

Процесс схода снежной лавины чрезвычайно сложен для экспериментального изучения, поскольку лавина образуется в случайный момент времени и сходит очень быстро. Кроме того, уровень кинетической энергии движущейся снежной массы опасен для исследовательского оборудования и исследователей [1]. Однако в последние десятилетия появилась возможность использовать высокопроизводительную вычислительную технику для компьютерного моделирования. Ранее нами был предложен математический аппарат и произведена серия компьютерных программ для моделирования схода снежной лавины [2, 3]. Имитационная модель схода лавины позволяет изучить схему схода лавины и оценить ее поражающее действие в зависимости от толщины снежного покрова, состояния снега, температуры, угла склона. Установлено, что одним из наиболее важных факторов, определяющих характер схода снежной лавины, является рельеф поверхности склона.

Методология создания необходимого рельефа поверхности заключается в следующем. Поверхность представлялась в виде случайной функции z(x) с определенными средними параметрами. Поверхность склона в модели формировалась в два этапа. На первом этапе генерировали горизонтальную поверхность со случайными неровностями, описываемую в дальнейшем функцией q(x), на втором этапе поверхность поворачивали на угол склона а, что отражалось в повороте графика функции q(x).

На первом этапе плавную функцию q(x ) задавали как суперпозицию гауссовских пиков с параметрами xi (положение неровности), И\ (высота неровности) и Si (среднеквадратичное отклонение, задающее ширину неровности):

i 2Л

Nn

q(x) = 2 H. exp і =1

2“

si

где г — номер неровности; N — количество неровностей на участке поверхности склона заданной длины.

Гауссовские пики распределялись по длине контрольного участка (100 м) случайным образом по равномерному закону. При этом параметры И\ и о1 также выбирались случайным образом по равномерному закону из заданных интервалов. Характерные значения интервалов следующие: от 0 до 1 м для И\ и от 0,3 до 5 м для Оь На рис. 1 представлен ре-

льеф поверхности для нескольких характерных наборов параметров х^ Н и о1, используемых в дальнейшем при проведении компьютерных экспериментов.

Для универсальности поверхность склона представлялась состоящей из таких же элементов-кругов, что и снежная масса. Трибологические свойства склона и взаимодействие его со снежной массой задавались путем выбора параметров вязкоупругого взаимодействия. Элементы склона располагали вдоль полученной функции q(x), то есть координата элемента склона yi определялась как yi = q(x^. Однако элементы склона располагались ближе друг к другу, чем равновесное состояние элементов-кругов. Этим самым исключалось проникновение снежной массы под склон.

Рис. 1. Типы рельефа поверхности, используемые при моделировании: а — типичный (Н =0,2 м, о1 = 1 м); б — сильно изрезанный (Н = 0,4 м, о1 = 0,5 м);

в — плавный

В трехмерном случае генерировали функцию высоты поверхности от двух координат z(x, у) как суперпозицию гауссовских пиков с параметрами (х^ у^ (положение «препятствия»), Н (высота препятствия) и о1 (среднеквадратичное отклонение, задающее ширину выступа):

Г

Nх+Nп z (х, у) = 2 Н ехр

г=1 1

а

2 Л

О

г

где Их — количество холмов, Ип — количество препятствий. В данном случае использовали два типа неровностей: «холмы» — протяженные неровности ^ более 2 м) и «камни» — неровности небольшого размера ^ менее 0,4 м).

Гауссовские пики распределялись по длине и ширине контрольного участка (500 х 5м2) случайным образом по равномерному закону. При этом параметры Н\ и Оi также выбирались случайным образом по равномерному закону из следующих интервалов: от 0 до 1 м для Н и от 0,2 до 0,4 м для ОЧисло гауссовских пиков, имитирующих выступы, рассчитывается исходя из поверхностной плотности «холмов» и «камней» (рис. 2).

Рис. 2. Изображения участка поверхности склона размерами 50 х 5 м

сгенерированного в модели

После генерации поверхности случайной формы производился ее наклон на угол

склона а. Для поворота поверхности относительно центра (хо, у0) координаты элементов поверхности (х 1, у[) пересчитывались следующим образом. Сначала рассчитывались начальные угол ф1 и расстояние г до центра вращения по формулам

arctg

У - У о

х

х„

х0 > 0;

arctg

I "0

У - У

I

о

+ р,

хг хо

X

Хо < 0.

Затем рассчитывались новые координаты элементов поверхности:

х = х„ + г. со8(Ь. + а);

; 0 / Г1

у = Уо + Г 81П

После создания поверхности склона проводили компьютерные эксперименты по сходу снежной лавины. В начальный момент времени компьютерного эксперимента снежная масса неподвижна, располагается вдоль склона на большом протяжении и имеет заданную толщину снежного покрова. С течением времени увлекаемая силами тяжести снежная масса сначала медленно сползает по склону, затем, по мере ускорения, начинает все больше дробиться, переходя в псевдогазообразное состояние. При этом скорость движения снежной массы существенно увеличивается [4].

Процесс сползания снежной массы во многом определяется наличием и размерами неровностей склона, т.к. неровности могут препятствовать сползанию снега, влиять на перераспределение толщины и плотности снежного покрова. Поэтому были проведены две серии компьютерных экспериментов, в которых исследовалась зависимость выходных параметров от высоты неровностей склона к, принимающих значения 0,00, 0,01, 0,02, 0,03, 0,05, 0,07 и 0,09 м (рис. 3), и от ширины неровностей склона Ь — 0,00,

0,10, 0,20, 0,30, 0,40, 0,50, 0,65, 0,80 и 1,00 м.

х

в

Рис. 3. Зависимость параметров от высоты неровностей склона: а — средней толщины снежного покрова; б — максимальной скорости при сползании снега (1) и средней скорости сползания снежной массы (2); в — средней плотности снежной массы

При высоте неровностей к=0,00^0,05 м средняя толщина снежного покрова остается практически постоянной, а при к=0,05^0,09 м она незначительно возрастает с увеличением высоты неровностей (рис. 3, а).

Средняя скорость сползания снежной массы линейно уменьшается с увеличением высоты неровностей (рис. 3, б). Эти зависимости объясняются тем, что более высокие неровности эффективнее задерживают снежную массу на склоне, что приводит к уменьшению средней скорости сползания и увеличению толщины снежного покрова. Максимальная скорость при сползании снега нелинейно убывает с возрастанием высоты неровностей (рис. 3, б), зависимость близка к квадратичной.

Зависимость средней плотности снежной массы от высоты неровностей склона (рис. 3, в) аналогична зависимости средней толщины снежного покрова от высоты неровностей склона (рис. 3, а). При к=0,05^0,09 м средняя плотность практически постоянна, а при к=0,05^0,09 м она возрастает с увеличением высоты неровностей.

Средняя толщина снежного покрова, средняя и максимальная скорость сползания снежной массы и средняя плотность снежной массы практически не зависят от ширины неровностей склона.

Таким образом, предложен универсальный метод представления склона горы для моделирования схода снежной лавины. Метод позволяет задавать такие параметры рельефа, как линейная плотность протяженных выступов (холмов) и небольших выступов (камней), высоту выступов, закон их распределения по высоте.

ЛИТЕРАТУРА

1. Божинский А.Н., Черноус Г. А. Статистическое моделирование напряженного снежного покрова на склоне гор // Материалы гляциологических исследований. — М., 2005. — Вып. 99. — С. 111—116.

2. Соловьев А.С., Лебедев О.М., Калач А.В. Математическое моделирование поведения снежной массы на горном склоне // Вестник ВГТУ — 2011. — Т7. — №4. — С.115—117.

3. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2011614354 от 2.06.2011г. — Имитационная модель схода снежной лавины. — Соловьев А.С., Посметьев В. В., Калач А. В., Лебедев О.М.

4. Соловьев А.С., Калач А.В., Псарев С. А. О природе снежной лавины // Пожары и чрезвычайные ситуации: предотвращение, ликвидация. — 2012. — № 2. — С. 4—9.