Энергетические распределения электронных связанных состояний в поле сверхтяжелого ядра

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Том 150, кн. 2 Физико-математические пауки 2008

УДК 530.145:539.18

ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЭЛЕКТРОННЫХ СВЯЗАННЫХ СОСТОЯНИЙ В ПОЛЕ СВЕРХТЯЖЕЛОГО ЯДРА

Р.Х. Гайнутдинов, А. А. Мутыгуллина, А. С. Петрова

Аннотация

Проблема описания электронных связанных состояний в поле сверхтяжелых ядер, «погруженных» в пижпий континуум. рассматривается в рамках формализма обобщенной квантовой динамики, развитого в работе (J. Pliys. A: Mat.li. Gen. 1999. V. 32.

Р. 5657 5677). Показано, что электронное связанное состояние, «погруженное» в континуум. характеризуется энергетическим распределением. В лидирующем порядке теории это распределение имеет брейт-вигперовскую форму.

Ключевые слова: сверхтяжелые ядра, электронные связанные состояния, нестабильный вакуум.

Введение

Достигнутый в настоящее время прогресс в области техники столкновений тяжелых ионов открыл возможность создавать сверхтяжелые квазимолекулы с суммарным зарядом Z > 170. Например, при столкновении ядер урана и ниже кулоновского барьера на короткое время образуется сверхтяжелая молекула с зарядом Z = 184. В поле такой молекулы из вакуума могут рождаться электрон-позитронные пары, в результате чего вакуум приобретает заряд и становится нестабильным. Эта нестабильность обусловлена тем фактом, что в поле ядра со сверх-критическим зарядом незанятое электронное состояние погружается в континуум и. как следствие, может быть спонтанно заполнено электроном при одновременной эмиссии позитрона [1]. Задача описания таких погружающихся состояний существенно отличается от задачи об обычных связанных состояниях в квантовой электродинамике (КЭД), которая решается с использованием формализма адиабатической ^-матрицы. В случае погружающихся электронных состояний приходится иметь дело с энергетическим распределением (состояния размазаны по некоторому энергетическому интервалу), а не с фиксированной энергией связанного состояния. Это энергетическое распределение говорит о том. что «погруженное» связанное состояние нестабильно и распадается с рождением электрон-позитронной пары. В общем случае процесс такого распада не может быть описан в рамках формализма ^-матрицы. Это приводит к серьезным проблемам, поскольку, как хорошо известно, в КЭД можно устранить ультрафиолетовые расходимости из ^-матрицы и функций Грина, но не из величин, характеризующих временную эволюцию системы: регуляризация матрицы рассеяния приводит к тому, что расходящиеся члены автоматически появляются в уравнениях Шредингера и Томанага Швингера. Поэтому эти уравнения имеют лишь формальное значение в квантовой теории поля. Поскольку локальность является основной причиной расходимостей в квантовой теории поля, кажется естественным решать эту задачу введением нелокального форм-фактора в плотность гамильтониана взаимодействия. Однако введение такого форм-фактора приводит к потере ковариантности. Причина этого очевидна.

Уравнение Шредиигера локально во времени, и гамильтониан описывает локальное взаимодействие. В нерелятивистской квантовой механике процессы мгновенного взаимодействия могут быть нелокальны в пространстве. Но в квантовой теории поля взаимодействие, размазанное по пространству, должно быть также нелокально во времени. Таким образом, чтобы введение нелокальиости в теорию было внутренне непротиворечивым, необходимо найти способ решения задачи об эволюции в случае нелокальных во времени взаимодействий. Вместе с тем в работе [2] было показано, что уравнение Шредингера не является самым общим динамическим уравнением, совместным с общепринятыми концепциями квантовой физики, и как следствие наиболее общих принципов канонической и фейнмановской формулировок квантовой теории было выведено более общее уравнение движения. Являясь эквивалентным уравнению Шредингера в случае мгновенных взаимодействий, это обобщенное динамическое уравнение позволяет расширить квантовую динамику на случай нелокальных во времени взаимодействий. Развитый таким образом формализм обобщенной квантовой динамики (ОКД) открыл новые возможности для решения ряда проблем в ядерной [5] и атомной [6] физике. В данной работе формализм ОКД используется для исследования проблемы описания электронных связанных состояний, «погруженных» в нижний континуум, в поле сверх-тяжелых ядер. Мы покажем, что такой подход к решению проблемы позволяет последовательно учитывать тот факт, что связанные состояния, «погруженные» в континуум, описываются энергетическими распределениями.

1. Обобщенная квантовая динамика

В формализме ОКД оператор эволюции представляется в виде:

£ £2

и

£о £о

где §{Ь2,*1) описывает вклад в оператор эволюции от процесса, при котором взаимодействие в системе начинается в момент времени *1 и заканчивается в момент времени *2. Для того чтобы оператор эволюции в форме (1) был унитарным для любых * и *0, оператор Б>(*2,*1) должен удовлетворять уравнению

£2 £4

£1 £1

С помощью этого уравнения можно получить оператор Б(*2, *1) для любых времен *1 и *2) если операторы Б?(*2 5*1), соответствующие бесконечно малым временам длительности взаимодействия т = *2 — * 1, известны.

Естественно предположить, что наибольший вклад в оператор эволюции в пределе при *2 ^ *1 дают процессы, связанные с фундаментальным взаимодействием в изучаемой системе. Обозначая этот вклад через Ят1;(*2,*1), можно записать

Б?

£2 —^£1

где т = *2 — *1. Если Н-ш1(*2, *1) определен, уравнение (2) позволяет найти оператор *5?(*2, *1) - Тогда формула (1) может быть использована для того, чтобы построить оператор эволюции и(*,*0) и, соответственно, вектор состояния в любой момент времени *. Таким образом, уравнение (2) можно рассматривать как уравнение движения для состояний квантовой системы.

В случае изолированной системы оператор £?, ^1) может быть представлен в виде

5^2, Іі) = ехр

где Но - свободный гамильтониан. Переходя к терминам Т-оператора, для оператора эволюции в представлении Шредингера получим:

СО

ие

2п ]

— О

где

/ \п< \\ ^ <п2\п1> <п2\Т{г)\п1>

< тг2 <3

г - ЬП1

где г = х + *у,пу> 0, п означает полный набор дискретных и непрерывных переменных, характеризующих систему в целом, |п) — собственные векторы свободного гамильтониана Н0, а (п2|Т(г)|п1) определяется по формуле

СО

о

Т

имеет вид [2]

й(?72|ї»|?7і) _ ^ {п2\т(г)\п){п\т(г)\пі) /о^

1к

с граничным условием

Т Ы - В

\г\ —— со

где

о

В(г) = ^ йт ехр(ігт)Н(П)(7

..........

0

— ^) = ехр(-гЯо*2)Я1пг(*2,*1)ехр(гЯо*1) - обобщенный оператор взаимодействия в представлении Шредингера. Решение уравнения (8) удовлетворяет уравнению

< П2|Т(^1)|П1 > — < П2|Т(^Ж > =

, < п2\Т{г2)\п >< п\Т(г1)\п1 >

= (‘2_*1,4'—(« - - в»>—' 1

Это уравнение, в свою очередь, эквивалентно следующему уравнению для оператора Грина:

сы — сы =

Записанное в терминах операторов 5(42, £]_), уравнение (2) не содержит операторов, описывающих взаимодействие в системе, и, следовательно, должно удовлетворяться во всех случаях. Это соотношение для амплитуд 5(42,41), которые являются вкладами в оператор эволюции от процессов с полностью определенными моментами начала и конца взаимодействия в системе. Соответственно, уравнения (8) и (10) являются соотношениями для Т-оператора. Эти уравнения являются однозначным следствиям композиционного закона и представления (1), выражающего фейнма-новский принцип суперпозиции, и, следовательно, выводятся из первых принципов квантовой теории без обращения к дополнительным постулатам, таким, как уравнение Шредингера в каноническом подходе и формула интегралов по траекториям в фейнмаиовской формулировке.

2. «Погружение» электронных связанных состояний в континуум

Теперь, используя формализм ОКД, рассмотрим проблему «погружения» электронных связанных состояний в континуум. Решение этой задачи начнем с рассмотрения оператора Грина. Оператор Грина С(г) и оператор Т(г), определенные уравнениями (6) и (7) соответственно, связаны соотношением:

С

где

V'' |п) (п

Со(г) =

г - Еп + І0

есть свободный оператор Грина, описывающий эволюцию свободных частиц.

Для описания квантовой электродинамики в поле ядра естественно снова переопределить «свободный» гриновский оператор введением в описываемые им процессы кулоновского взаимодействия электронов и позитронов с ядром. Для этого мы должны получить собственные вектора дираковского гамильтониана

Н

где V(Я) = Яи(г, Я) - кулоновский потенции ядра, который зависит от Я только через радиус распределения ядерного заряда, который, в свою очередь, зависит от Я .Для 170 < Я < 200 эта зависимость пренебрежимо слаба, и мы можем записать

V

Таким образом, мы должны решить уравнение Дирака с гамильтонианом Н(Я):

Н

Для точечных ядер это уравнение имеет точные решения при Яа < 1. При

Я = 1/а = 137 решения уравнения (15) достигают критической точки. Для моди-

фицированных кулоиовских потенциалов, которые необходимо использовать для неточечных ядер, это уравнение может быть также решено для всех Я, вплоть до критического значения заряда Ясг « 170 [1]. В случае таких потенциалов можно получить решения уравнения (15) для связанных состояний вплоть до Ясг, при котором связанное состояние погружается, то есть исчезает в непрерывном спектре отрицательных энергий. По этой причине для Я > Ясг естественно разделить V(Я) на две части:

V (Я) = V (Ясг)+ V (Я '),

где Я' = Я — Ясг, и включить в «свободный» гриновский оператор только взаимодействие, описываемое потенциалом V(Ясг). Пусть |^сг)) - собственный вектор для Я = Ясг, то есть

Н

Оператор Грина, который описывает эволюцию в случае, когда взаимодействие в системе сводится только к взаимодействию электронов и позитронов с ядром, описываемому потенциалом V(г, Ясг), имеет следующий вид:

где n — полный набор дискретных и непрерывных переменных, характеризующих систему в целом. При таком выборе свободного оператора Грина полный гринов-ский оператор можно записать в виде

G

где оператор Tcr(z) описывает полное взаимодействие электронов и позитронов с ядром и электромагнитным полем, исключая взаимодействие, характеризуемое потенциалом V(r, Zcr). Для того чтобы оператор Грина (18) удовлетворял уравнению (6), оператор Tcr(z) должен удовлетворять уравнению

dTcr

—-----------^------------------------------- <19>

Отметим, что будучи следствием обобщенного динамического уравнения, уравнение (19) по форме совпадает с этим исходным уравнением. Единственное отличие заключается в том, что в уравнении (19) в качестве базисных векторов фоковско-го пространства используются собственные вектора |-0„) гамильтониana H(Zcr). Используя уравнение (19) с граничным условием

Tcr

можно описать электронные связанные состояния в полях с докритическим потенциалом, процессы рождения электрон-позитронных пар в таких ПОЛЯХ и эволюцию вакуумного состояния.

Важно, что Tcr(z) описывает не только взаимодействие между частицами, но и их самодействие. Наличие соответствующих матричных элементов приводит к тому, что уравнение (19) оказывается существенно сингулярным в физической области. Однако эту трудность можно обойти с помощью редукции [7], которая заключается в том, что «свободный» оператор Грина G0cr)(z) заменяется на оператор G0(z), описывающий эволюцию системы в случае, когда имеет место только взаимодействие с «вакуумом», то есть нет переходов между различными состояниями |^(cr) >, a Tcr(z) заменяется соответственно на M(z), который описывает переходы между различными состояниями

G0cr) + G0cr)

В результате такой редукции могут быть выведены уравнения, которые дают возможность найти M(z) и «свободный» оператор Грина G0(z). На практике более удобно записывать уравнения не для оператора Грина G0(z), а для амплитуды G„(z), определяемой соотношением

<V£r)|Go

z - - 6„

Граничные условия для M(z) и Cn(z) имеют вид:

\ z\ —— ^

Cn

\ z\ —— ^

Отметим, что отличие M(z) от Tcr(z) заключается в том, что M(z) не описывает взаимодействие системы в состоянии 11s) с вакуумом.

Теперь рассмотрим физику процессов, происходящих после «погружения» электронных связанных состояний в нижний континуум. Ограничимся случаем малых Z', когда в континуум «погружено» только связанное состояние |1в). Матричные элементы оператора Грина (1в|С(з)|1в) могут быть представлены в виде:

Подстановка уравнения (21) с (1в|С0(з)|1в), определенным с помощью (25), в уравнение (11) дает следующее уравнение на С^Дз):

= - £

п=1в

Для малых Z' в лидирующем порядке можно пренебречь такими квантовоэлектродинамическим эффектами, как поляризация вакуума и лэмбовский сдвиг. В этом случае граничное условие (23) принимает вид

\г\ —

Обобщенное динамическое уравнение с этим граничным условием в лидирующем порядке дает следующее решение

М

Подставляя

П= 1в

- £

В лидирующем порядке можно пренебречь Сп(г) то отношению к Еп в операторе С0(г) и записать это уравнение в виде

~у~ = - Е < 1*\У

п=1в

со следующим граничным условием для С'і8(г):

Сь

В этом приближении удобно использовать дырочный формализм Дирака и переписать уравнение (30) в виде

лещ _ г ЛЕ(і8\у{г')\уЕ)^Е\У{г')\і8)^

сіг 7 (г — ЕУ

\Е\>Ше

Формальное решение этого уравнения с граничным условием (31) имеет вид

С1а

Здесь |у>я} _ собственные векторы свободного днраковского гамильтониана Но = = *7м(д/джм) + т, принадлежащие как верхнему (E > m), так и нижнему континуумам и имеющие нормировку (у>£'|^e} = £(E' — E); Ve = (1s|V(Z')|^e}, AEb = (1s|V (Z')|1s}.

Функции Cis(z), определяемые уравнением (33), можно переписать в следующем виде:

Cis

где F(z) - интеграл в смысле главного значения

F

и Г = 2п|Уе |2 • Пренебрегая F(z) то сравнению с AEis, для матричных элементов (1s|G(z)|1s} имеем

z — Eis — AEis + гГ/2

Эти матричные элементы могут быть переписаны в внде

где

o

Из уравнения (37) следует, что вектор состояния 11s} может быть представлен в виде

|1s} = J a

иий континуум, не имеет определенной энергии и характеризуется энергетическим распределением, описываемым функцией a(E). Как следует из уравнения (38), при малых Z' это распределение имеет брейт-вигнеровскую форму с максимумом вблизи энергии E = Eis + AEis, лежащей в нижнем континууме.

Заключение

Используя формализм ОКД, мы описали процесс «погружения» электронного связанного состояния |1 в) в нижний континуум. Показано, что для малых Z1 вектор состояния имеет вид (39) и характеризуется брейт-вигнеровским энергетическим распределением. Это является проявлением того факта, что незаполненное электронное состояние, «погружающееся» в континуум, может быть спонтанно заполнено электроном с одновременной эмиссией позитрона. Наши результаты полностью совпадают с полученными в рамках стандартной квантовой электродинамики сильных полей [1]. Важно, что мы продемонстрировали, что эти результаты получаются при решении обобщенного динамического уравнения в лидирующем порядке и справедливы при малых Z'. Например, при больших Z' в нижний континуум погружается более чем одно связанное состояние, и энергетические распределения этих состояний могут иметь форму, отличную от брейт-вигнеровской. В отличие от стандартных методов, подход, основанный на ОКД, позволяет решить

проблему описания связанных электронных состояний, «погруженных» в нижний континуум, и структуры вакуума в сверхкритических полях с любой точностью. Это открывает новые возможности для решения многих проблем квантовой электродинамики в сильных ПОЛЯХ.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ для поддержки ведущих научных школ РФ (НШ-2965.2008.2).

Summary

R.Kh. Gainutdinov, A.A. Mutygullina, A.S. Petrova. Energy Distributions of Electronic Bound States in the Field of a Superheavy Nucleus.

The problem of describing electronic bound states in the field of a superheavy nucleus is investigated within the formalism of the generalized quantum dynamics (GQD) developed in article (J. Pliys. A: Math. Gen. 1999. V. 32. P. 5657 5677). The electronic bound states in a supercritical field, which is imbedded in the lower continuum, are characterized by an energy distribution. In leading order of the theory this distribution is shown to be of the Breit. Wigner form.

Key words: superheavy nuclei, electronic bound states, unstable vacuum.

Литература

1. Greiner W., Muller B., Rafelski J. Quantum Electrodynamics of strong fields. Berlin Heidelberg: Springer-Verlag, 1985.

2. Gainutdinov R.Kh. Nonlocal interactions and quantum dynamics // J. Pliys. A: Math. Gen. 1999. V. 32. P. 5657 5677.

3. Feynman R.P. Space-time approach to non-relat.ivist.ic quantum mechanics // Rev. Mod. Pliys. 1948. V. 20. P. 367 387.

4. Feynman R.P., Hibbs A.R. Quantum Mechanics and Path Integrals. N. Y.: McGraw-Hill.

1965.

5. Gainutdinov R.Kh., Mutygullina A.A. Nonlocality of the NN interaction in an effective field theory // Pliys. Rev. C. 2002. V. 66. Art.. 014006.

6. Gainutdinov R.Kh., Mutygullina A.A., Scheid W. Effects of lionlocalit.y in time of inter-

actions of an atom with its surroundings on the broadening of spectral lines of atoms // Pliys. Lett. A. 2002. V. 306. P. 1 9.

7. Gainutdinov R.Kh. Natural spectral-line broadaning in multiply-charged ions and the problem of surface divergences // JETF. 1995. V. 108. P. 1600 1613.

Поступила в редакцию 06.02.08

Гайнутдинов Ренат Хамитович доктор физико-математических паук, профессор кафедры оптики и папофотопики Казанского государственного университета.

E-mail: Renat.GainutdinovQksu.ru

Мутыгуллина Айгуль Ахмадулловна кандидат физико-математических паук, доцепт кафедры общей физики Казанского государственного университета.

E-mail: Aigul.MutygullinaQksu.ru

Петрова Александра Сергеевна магистрант кафедры оптики и папофотопики Казанского государственного университета.