Дифракция звуковых волн на неоднородном упругом полом цилиндре в слое жидкости с жёсткими границами

МА ТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

УДК 534. 26

Л.А. Толоконников, д-р физ.-мат. наук, проф.,

ДИФРАКЦИЯ ЗВУКОВЫХ ВОЛН НА НЕОДНОРОДНОМ УПРУГОМ ПОЛОМ ЦИЛИНДРЕ В СЛОЕ ЖИДКОСТИ С ЖЁСТКИМИ ГРАНИЦАМИ

Получено аналитическое решение задачи дифракции звуковых волн на неоднородном упругом полом цилиндре в слое жидкости с жесткими границами.

Ключевые слова: звуковая волна, полый упругий цилиндр, идеальная жидкость, рассеяние звука.

Исследование распространения звуковых волн в волноводных системах, содержащих препятствия, представляет интерес для различных приложений. Дифракция звуковых волн на сплошном однородном упругом цилиндре в плоском слое жидкости исследована в работе [1]. Задача дифракции звука на неоднородном трансверсально-изотропном полом цилиндре в плоском волноводе с акустически мягкими стенками решена в [2]. В работе [3] изучена дифракция звука на неоднородной анизотропной цилиндрической оболочке в волноводе с жесткими границами. При этом в [2, 3] рассматривался случай симметричного расположения тела и симметричного распространения источников звука первичного поля возмущений относительно оси волновода. Кроме того, в этих работах для определения поля смещений в упругом цилиндре предлагается численное решение краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. В работе [4] найдено аналитическое решение задачи рассеяния звуковых волн на неоднородной упругой цилиндрической оболочке произвольной толщины при ее произвольном расположении и произвольном расположении источников звука в плоском волноводе с мягкими границами. В на-

стоящей работе методом, предложенным в [4], находится аналитическое решение задачи дифракции звуковыгс волн на неоднородном упругом цилиндре в слое жидкости с жесткими границами.

Полагаем, что в плоском волноводе с абсолютно жесткими границами находится радиально-неоднородныш упругий полыш цилиндр с внешним г и внутренним Г2 радиусами. Волновод и полость цилиндра заполнены: идеальныши жидкостями, плотности и скорости звука которык равны>1 рц,е и Р2,С2 соответственно.

Система прямоугольный: координат х,у,г выыбрана так, что ось хнаправлена по нижней стенке волновода, ось у перпендикулярна стенкам, ось г параллельна оси цилиндра. При этом нижняя стенка соответствует плоскости у = 0, верхняя - у = й, где й - ширина волновода. Положение оси цилиндра определяется уравнениями

х = Хо, у = Уо, -°о<г <оо.

В волноводе вдоль оси х распространяется гармоническая звуковая волна давления р! с круговой частотой ю, возбуждаемая заданныш распределением источников звука на сечении волновода, расположенного на расстоянии Хо от оси цилиндра. В дальнейшем временной множитель

е—ю будем опускать.

С цилиндрической оболочкой свяжем цилиндрическую систему координат г,ф, г с началом на оси цилиндра.

Определим давление полного акустического поля р\ в волноводе и акустическое давление Р2 в полости цилиндра, а также найдём поле смещений в упругом цилиндрическом слое.

В рассматриваемой постановке акустические давления р^ и Р2 не завися от координаты: г. Они являются решениями уравнений Гельмголь-ца:

Ар; {г,ф)+к2р]

где к] =ю/С] - волновы1е числа в волноводе (( =1) и полости цилиндра ( = 2).

При этом р1 = р! + ps, где ps - давление рассеянного цилиндром акустического поля в волноводе, удовлетворяющее уравнению Гельмголь-ца.

В области х >0 давление первичного поля возмущений представим в виде разложения по собственныш функциям волновода с акустически жесткими границами:

ж

р! (х,у)= ТАпеГ/"х СОБ ^у,

п=0

,2 ^ 2 л кп . где уп = л к. - Хп; Хп = —; Ап - заданные амплитуды.

v 1 й В цилиндрической системе координат, связанной с цилиндром, падающая волна может быть записана следующим образом:

Р (г, ф)= Ъ^т^ш (к1г)е

тф

т =-оо

О

где ат = 1т Ъ Апв^пх° сов

п=0

X

п1 0

т агсБт

п

к

Зт - цилиндрическая

1 У

функция Бесселя порядка т .

При этом разложение (2) описывает общий случай произвольного расположения источников звука на сечении волновода х = 0.

Уравнения движения упругого слоя в случае установившихся колебаний в цилиндрической системе координат имеют вид

да

гг

дг да

+

1 да

Гф

Гф

+

г дф 1 да

+

агг афф

= -ю риг;

дг г дф

фф 2

+ -а

г

гф

-ю2 ри ф,

где р = р(г) - плотность материала оболочки; иг,иф - компоненты вектора смещения и в цилиндрической системе координат; а ^ - компоненты тензора напряжений. При этом компоненты иг ,иф вектора смещений не завися от цилиндрической координаты 2, и и2 = 0.

Компоненты тензора напряжений связаны с компонентами вектора смещений соотношениями

ди(

а

гг

а

ди

ХсЦу и + 2ц——;

дг

' диф

афф = ХсЦу и + 2ц

гф

1 ди

и

фф л

ф

г дф

+

иг

+

У

г дф дг

где X = Х(г) и ц = ц(г) - модули упругости материала оболочки.

Искомые функции р8, Р2 и иг ,иф должны удовлетворять граничным условиям на стенках волновода и на поверхностях полого цилиндра.

Граничные условия на абсолютно жестких стенках волновода заключаются в равенстве нулю нормальной скорости частиц жидкости:

дР1

ду ' ду

Граничные условия на поверхностях полого цилиндра заключаются в непрерывности нормальных скоростей частиц упругой среды и жидкости на внешней и внутренней поверхностях оболочки; равенстве на них нор-

г

г

где У]г = ---- радиальная компонента вектора скорости частиц

мального напряжения и акустического давления; отсутствии на этих поверхностях касательнык напряжений:

при г = Г]; - тиг = ]; агг = -р]; аГф = 0,

Ф]

«юр ] дг

жидкости в волноводе (( = 1) и полости цилиндра (( =2).

Кроме того, давление р* должно удовлетворять условиям изучения на бесконечности по оси х, а давление р2 - условию ограниченности.

Давление рассеянного акустического поля р* будем искать в виде потенциала простого слоя

р 8

¿0

где V! (0, у0) - неизвестна функция, описывающая распределение источников поля р* на внешней поверхности цилиндра; О(х,у|х0,у0)- функция Грина; ¿0 - окружность радиуса г с центром в точке (X0,Уо); й/о = г^фо - элемент контура ¿0.

Функция Грина является решением краевой задачи:

ДО + к^О = -8

д

Фу Фу

х ^±оо \дг )

где г = л!(х - х0 )2 + (у - у0 )2 - расстояние между точкой наблюдения (х, у) и источником пол (х0, у0) на контуре ¿0; 8 - дельта-функция.

Решение задачи (8) - (10) имеет вид

о

еУп(х-х0) х >х_

е .

е -уп(х-х0 ) х <х0,

О (x, y|x0, у0 )= Е ~7ГЛ-Г"

ч СОБ %пу СОБ ^пу0

п=0 й(1 + 80п Яп где 8оп - символ Кронекера.

Ввода обозначение v(xо,у0) = г^1 (х0,у0) и переходя от декартовыгх координат х, у к полярныш координатам г, ф, вы1ражение (7) запишем так:

2л:

р*

0

Благодаря представлению функции Грина в виде (11) функция р*,

определенна формулой (12), удовлетворяет уравнению Гельмгольца (1), граничныш условиям (5) и условиям излучения на бесконечности. В ре-

зультате задача определения рассеянного поля ps сводится к нахождению функции распределения у(ф0), обеспечивающей выполнение условий (6) на поверхностях полого цилиндра.

Акустическое давление p2 в полости цилиндра, удовлетворяющее уравнению Гельмгольца (1) и условию ограниченности, будем искать в виде

P2 ф)= IBmJm

m =-оо

Очевидно, что вектор смешения u в упругом слое является периодической функцией с периодом 2л. Поэтому функции иТ

представим следующими радами Фурье:

оо

^

m =-оо m =-оо

Подставляя вы1ражения (14) в уравнения (3) с учетом (4), получим следующую систему линейны1х дифференциальные уравнений второго порядка относительно неизвестные функций ^^^ (г) и ^m (г) для каждого т :

AmUm BmUm СшЦ^ш = 0,

где Um = (ulm, U2m ^; Лт, 1~т ,Cm - матрицы>1 второго порядка.

Представим функцию плотности распределения источников в виде разложения в ряд Фурье:

о

v

m=-оo

Коэффициенты: Bm и Ьм разложений (13) и (16), а также четы:ре краевылх условия для нахождения частного решения системы: дифференциальные уравнений (15) подлежат определению из шести условий (6).

Из теории потенциала известно [5], что потенциал простого поля (7) непреры:вен на поверхности, по которой распределены: источники, а его нормальная производная на этой поверхности имеет разры:в, равныш по величине -77. Интеграл (12) и производныы от него следует понимать в

смыюле главного значения с переносом операции дифференцирования непосредственно наподыштегральную функцию.

Учиты:вая вы:ражения (16) и

8г

л 27 =--V(ф)+ Щф0 )М (ф, ф0 )^ф0,

г=г1 г1 0

из первого граничного условия (6) получаем систему линейны:х уравнений относительно неизвестные: Ь

м

о

Ьм + Е^ПМЬП = ^

П =-оо

2л 2л

где (Хпт =-Л- I I М(ф,фоУпф0е~1тфйф^йф-

2л2 о о

/т = --1-|со2Р1и1т

, т ^ К1"чт\' / ^т'

л

М(ф,фо )=д( фг1 ,фо )г=; /т(к1г)=-(г)3т((1г) •

Для регуляризации системы: уравнений (17) вышолним замену неиз-вестны:х [6] Ьт = Ьт/т((г1). В результате полученная система может бы:ть решена методом усечения [7].

/^ч п 2 Р2Щт

Из четвертого граничного условия (6) находим Вт =

т к2/т

2

Коэффициенты: Ьт и Вт вы:ражаются через величины: и1т(г) и и2т(г2). Для определения последних необходимо решить краевую задачу для системы: обы:кновенны:х дифференциальны:х уравнений (15).

Краевы:е условия для этой системы: получим из оставшихся неиспользованными четы:рех граничны:х условий (6). В матричном виде они записываются следующим образом [4]:

I г —Гл

+ рт^т \ =0,

'г =г2

где Ет, - матрицы: второго порядка.

Таким образом, нахождение поля смещений в упругом цилиндрическом слое сведено к решению системы: обы:кновенны:х дифференциальные уравнений (15) с краевы:ми условиями (18), (19).

Найдем аналитическое решение задачи (15), (18), (19) методом, предложенны:м в [4].

Запишем краевую задачу (15), (18), (19), в безразмерном виде. Для этого введем безразмерные величины:

* г * ит * X * и * р * а г =—; ит =—; Х = —; и = —; р =—; а = —, г 1 X Хо ро г

где ро и Хо - некоторы:е характерные плотность и упруга постоянная; а - некоторая точка отрезка [/2,г]; а* - некоторая точка отрезка [/ /пЛ]

В качестве точки а возьмем середину отрезка [2/ /1,1] •

Предположим, что безразмерные модули упругости и плотность не*

однородного - упругого слоя представимы: многочленами относительно г (или аппроксимированы: такими многочленами). Будем иметь

X*(г*) = Я X(*-о*); ц*(С*) = Я-а*);р*( = Яр()(*-а*),

k =0 k=0 k =0

где Х(к), ц(к) и р(к) - коэффициенты: многочленов, Я - максимальна степень используемые многочленов.

—*

Каждую составляющую вектора ит будем искать в виде:

иМ = Яи

k=0 * * *

Элементы: матриц АМ,ВМ,СМ вы:ражаются через безразмерные модули упругости и плотность. Поэтому эти элементы: запишем в виде многочленов

* Я

Атг' = * Ат' V - О / ; Втг' = * Вт' V - О / ; Сту = * Сту V - О / . k=0 k=0 k=0

Подставляя (20) и (21) в (15) и приравнивая нулю коэффициенты: при каждой степени (( - о*) , получим уравнения для определения коэффициентов и(М (г = 1,2):

Е Е [(+1 -к)(п+2-ъЩиМ1-+(+1 -^(иМ1-

'=1к=0

= 0,

п =0,1,1, ...; г = 1,1,

где Я = шт(Я, п) .

Из последней системы: уравнений находим рекуррентны:е соотно-

шения, выражаюш,ие и\т > 1м через и1м \и2т ,и1т >и2м ^

(п = 0,1,...). По полученны:м соотношениям можно вышислигь все коэффициенты: разложений (20) за исключением и(М и иММ (( = 1,2 ) .

Коэффициенты: и^М и и(М можно выиислить, если краевую задачу

**

(15), (18), (19) свести к задачам с начальными условиями в точке г =а

[4].

В результате решения краевой задачи (15), (18), (19) имеет вид

и*М = Е <2р Е иМ

р=1 п=0

где иМ=§; и2р = §2р; и( = §3р; ^ = §4р,

2,3,. и любы:х р (р = 1,2,3,4) и(М = иМ.

9

Подставив выражения (22) в краевые условия (18) и (19), получим систему четырех линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов Qp (p =1,2,3,4).

Определив из системы коэффициенты Qp и подставив их в (22),

получим аналитическое решение краевой задачи (15), (18), (19).

Таким образом, поле смещений в упругом цилиндрическом слое описывается выражением (22), рассеянное акустическое поле в волноводе - выражением (12), а акустическое поле в полости цилиндра - выражением

(13).

Работа выполнена при поддержке РФФИ (09-01-97504-Р-центр).

Список литературы

1. Применение метода интегральных уравнений к задаче дифракции акустических волн на упругих телах в слое жидкости / В.Е. Белов [и др.] // Акустический журнал. 1994. Т. 40. № 4. С. 548-560.

2. Толоконников Л.А., Садомов А.А. О дифракции звука на неоднородной трансверсально-изотропной цилиндрической оболочке в слое жидкости // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. Т. 12. Вып. 5. С. 208-216.

3. Садомов А.А. Дифракция звука на неоднородной анизотропной цилиндрической оболочке в волноводе с жесткими границами при симметричном распределении источников первичного поля// Вестник ТулГУ. Сер. Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. 2007. Вып. 1. С. 76-83.

4. Толоконников Л.А. Романов А.Г. Распространение звука в волноводе в присутствии неоднородной цилиндрической оболочки произвольной толщины // Изв. ТулГУ. Сер. Естественные науки. 2008. Вып. 2. С. 151-160.

5. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М. : Наука. 1966. 724 с.

6. Иванов Е.А. Дифракция электромагнитных волн на двух телах. Минск : Наука и техника. 1968. 584 с.

7. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. М. : Физматгиз. 1962. 708 с.

L. Tolokonnikov, A. Romanov

Diffraction of a sound wave by an inhomogeneous elastic hollow cylinder in a layer of fluid with hard bounds

The analytical solution of diffraction of a plane sound wave by an inhomogeneous elastic hollow cylinder in a layer of fluid with hard bounds is obtained.

Получено 19.01.09