Синтез алгоритмов управления колебаниями мехатронных систем на основе задания экспоненциальных законов изменения упругих координат

УДК 621:534.833

СИНТЕЗ АЛГОРИТМОВ УПРАВЛЕНИЯ КОЛЕБАНИЯМИ МЕХАТРОННЫХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ ЗАДАНИЯ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ ЗАКОНОВ ИЗМЕНЕНИЯ УПРУГИХ КООРДИНАТ

© Н.К. Кузнецов1, Ле Ба Хань2

Иркутский государственный технический университет, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

Рассматриваются вопросы разработки алгоритмов управления упругими колебаниями исполнительных механизмов мехатронных систем на основе методов решения обратных задач динамики. Синтез алгоритмов производится с помощью задания экспоненциальных законов изменения упругих координат. Ил. 3. Библиогр. 6 назв.

Ключевые слова: компенсация упругих колебаний; мехатронная система; обратная задача динамики; экспоненциальный закон изменения упругих координат.

SYNTHESIS OF ALGORITHMS TO CONTROL MECHATRONIC SYSTEM VIBRATIONS BASED ON SETTING EXPONENTIAL LAWS OF ELASTIC ORIGIN CHANGE N.K. Kuznetsov, Le Ba Khanh

Irkutsk State Technical University, 83 Lermontov St., Irkutsk, 664074.

The paper deals with the issues of developing algorithms to control elastic vibrations of operating mechanisms of mecha-tronic systems based on the solution methods of inverse dynamic problems. The algorithms are synthesized by setting the exponential laws of change of elastic origin. 3 figures. 6 sources.

Key words: compensation of elastic vibrations; mechatronic system; inverse dynamic problem; exponential law of change of elastic origin.

Актуальной проблемой создания таких мехатронных систем, как промышленные роботы, является проблема ограничения упругих колебаний в переходных режимах работы [1]. Эффективным методом синтеза алгоритмов управления упругими колебаниями является использование методов решения обратных задач динамики [2]. В [3] синтез алгоритмов управления колебаниями производился с помощью задания гармонических законов изменения упругих координат, а в [4] - на основе задания дифференциальных уравнений движения. В настоящей статье рассматриваются вопросы синтеза алгоритмов управления упругими колебаниями исполнительных механизмов промышленных роботов на основе задания экспоненциальных законов изменения упругих координат.

Как показывают исследования [3], дифференциальные управления движения исполнительных механизмов промышленных роботов в режиме позиционирования в окрестности некоторого заданного положения могут быть представлены следующим образом:

Mq* + MAq + cAq = 0,

где д* = [4*1,4*2,41*3- вектор-столбец обобщенных координат основных движений;

Ад = [А}*],А}*2,^}*зт - вектор-столбец упругих

деформаций звеньев; М = [т^)] - матрица приведенных масс (моментов инерции) звеньев исполнительных механизмов (^=1,2,3);

МП = ^АщА^ )'тп2¿п2)'тз¿п3)] - диагональная матрица приведенных масс (моментов инерции) приводов; с = diаg[cnl,cn2,cnз] - диагональная матрица приведенных коэффициентов жесткости; Ь = diag[bl,b2,bз] - диагональная матрица коэффициентов вязкого трения;

Ои = [Яп1(Мп1 \Оп2{Мп2\<2п3{Мп3)] - вектор-столбец движущих сил (моментов) приводов движения; и = diag\ul,и2из] - диагональная матрица

передаточных отношений механических передач движения от приводов к звеньям.

Элементы матрицы М в режиме позиционирования можно считать постоянными величинами, соответствующими конечной конфигурации исполнительного механизма. Как было установлено, для многих

1 Кузнецов Николай Константинович, доктор технических наук, профессор, зав. кафедрой конструирования и стандартизации в машиностроении, тел.: (3952) 405434, e-mail: knik@istu.edu

Kuznetsov Nikolai, Doctor of technical sciences, Professor, Head of the Department of Designing and Standardization in Mechanical

Engineering, tel.: (3952) 405434, e-mail: knik@istu.edu

2Ле Ба Хань, аспирант, тел.: 89246250801, e-mail: bakhanh25186@yahoo.com

Le Ba Khanh, Postgraduate, tel.: 89246250801, e-mail: bakhanh25186@yahoo.com

конструкций промышленных роботов матрицу М в режиме позиционирования можно полагать диагональной.

Для определения динамических воздействий, обеспечивающих компенсацию упругих колебаний исполнительных механизмов роботов, движущие силы представим в виде двух составляющих:

=* + йдоп,

где Оп* - движущие силы, реализующие программное движение; Оаоп - дополнительные силы, осуществляющие гашение упругих колебаний.

Предполагая силы Оп* известными, найдем дополнительные силы Оаоп. Эту задачу будем решать в два этапа. Вначале на основе решения обратной задачи динамики определим программные управляющие воздействия, а затем путем исключения времени пересчитаем эти воздействия в функции упругих координат. Считая Ь = 0 , преобразуем уравнения (1) и (2) с учетом (3) к одному уравнению:

М/ц + с

Уравнение (4) запишем в форме Коши, обозначив Ад1 = х1, А}2 = х3 , А]3 = х5 [5]. Тогда вместо (4) будем иметь

х = -с(М + Мп )(ММп)-1х - йдопМ-1, (5) где х = [Л]1,0,Л]2,0,Л]3,0']п - вектор упругих деформаций; х = \з,±2,0,х4,0,х6- вектор первых производных упругих деформаций.

Уравнение (2) можно переписать в виде

х

где А=-С(М+Мп)(ММп)-1 - матрица размерности (б х б);

-1

иЦ)=0дОПМ п - вектор дополнительных воздействий, обеспечивающих гашение упругих колебаний;

В= [0,1,0,1,0,1]т.

Предположим, что матрица А известна и такова,

что матрица управляемости имеет ранг, равный 6. Последнее означает, что движение системы (3) вполне управляемо:

Для определения дополнительных управляющих воздействий воспользуемся предложенным в [2] приведением уравнения (6) к каноническому виду заменой переменных

х

где матрица К канонического преобразования определяется выражением

К=Э х

41 42 4з 44 45 1

42 4з 44 45 1 0

4з 44 45 1 0 0

44 45 1 0 0 0

45 1 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0

Здесь 41,5 - коэффициенты характеристического уравнения. Использование канонических уравнений (8) позволяет облегчить процедуру синтеза дополнительных управляющих воздействий с помощью ЭВМ. Характеристическое уравнение, соответствующее матрице А, определяется выражением

ёе*||Л-р1| = Рб + Ч5Р5 + Ч4Р4 +

3 2

+ ЧзР + Ч2Р + Ч1Р + 40

где I - единичная матрица.

Для вычисления коэффициентов характеристического полинома (6) можно воспользоваться матрицей управляемости Э. Произведение с использованием этой матрицы и матрицы А образует матрицу Фробе-ниуса

5_1А5=

Элементы последнего ее столбца представляют собой взятые с обратным знаком коэффициенты характеристического полинома [6]. При этом 4б = 1. С учетом преобразования (8) уравнение (5) приводится к канонической форме:

г

При этом входящие в (10) матрица в и вектор е6 равны

0 0 0 0 0 - 40

0 0 0 0 0 - 41

0 0 0 0 0 - 42

0 0 0 0 0 - 4з

0 0 0 0 0 - 44

0 0 0 0 0 - 45

0 1 1 1 1

0 0 1 1 1

0 0 0 1 1

0 0 0 0 1

0 0 0 0 0

40 - 41 - 42 - 4з - 44

в=К"1АК=

-45

0 0 0 0 0 1

Найдем управляющие воздействия и, обеспечивающие изменение упругих координат по экспоненциальным законам:

* * * * „

г =(21 , 0, 2з , 0, 25 , 0)т =

е=к:1ь=

=(С е , 0, С3 е

-яз{, 0, С5 е~Я5{ )т,

✓1 е ' , 0, с3( где С1, С3, С5 - постоянные, определяемые начальными значениями координат; А1, Л3, Л5, - различные действительные или комплексно-сопряженные числа.

На основе (10) справедливы равенства

* * —

7 у+1(1) = х](1);] = 1,5 .

С учетом последнего можно записать ¿(()= Л в~Л( С ; С = (С1,0,С3,0,С5,0)т где приняты следующие обозначения:

-X1t о о о о о

о о о о о о

о о eЯ о о о

о о о о о о

о о о о еЯ о

о о о о о о

Л =

111111

Я, 0 Я 0 Я

Я2

0 Я

о Я25

я"3 о я о я35 я4, о XÍ о Я

Я5

о Я

о Я

Компенсирующие воздействия получим в результате подстановки г(!) из (11) в (10) вместо г(!)\

г (г) = Ог (г) + е6и (г) .

Из (12) найдем

и(1)=е ~б т-вг'т

Ае~Х1 С = z( г),

Н

е" иС = А~1г( г ). Подставляя (14) в (13), сначала получим управляющие воздействия как функции промежуточных координат:

и= ^1,0^3,0^5,0)Г =е ~в (Л Л0 -вЛ ) А'12(0.(15) Затем с помощью обратного преобразования 1(1)=К1х(1) закон управления (15) выразим через упругие координаты:

и= {х1,0, x3,0, х5,0ут = к:1х

В рамках структурного подхода [1] дополнительные воздействия, обеспечивающие гашение упругих колебаний, представим в виде

Одоп=Щоп

где Шдо„(р) - вектор передаточных функций дополнительных обратных связей по упругим координатам; р -символ дифференцирования. Передаточные функции дополнительных обратных связей в (17) определяются на основе уравнения (16).

Структурная схема системы компенсации упругих колебаний, полученная на основе уравнений (1), (2) и (17), показана на рис. 1. На этой схеме дополнительные обратные связи по упругим координатам можно интерпретировать и как новые значения конструктивных параметров исполнительных механизмов, и как управляющие воздействия, реализуемые по принципу обратной связи с помощью приводов программных движений или дополнительных двигателей.

В качестве примера определим динамические воздействия, обеспечивающие компенсацию упругих

Рис. 1. Структурная схема компенсации упругих колебаний

Принимая во внимание, что 2*(0= Л Л0 е А С, А = ^а^-А1,0,Аз,0,А5,0) , из последнего равенства получим

-1 -А/

и

Выразим управляющие воздействия (13) в функции упругих координат. На основе (11) можно записать

колебаний по одной из степеней подвижности промышленного робота с электрогидравлическим приводом, расчетная схема которой приводится к двухмас-совой колебательной системе, показанной на рис. 2. На этом рисунке приняты следующие обозначения: д*

- обобщенная координата программного движения; Ад - отклонение исполнительного механизма от программного движения; тп,т - соответственно приведенные массы привода и исполнительного механизма;

e

e

Рис. 2. Двухмассовая расчётная схема: ЭГУ - электрогидравлический усилитель типа сопло-заслонка;

ГД - гидродвигатель

- приведенная движущая сила привода; 0Н - сила нагрузки; с - приведенный коэффициент жесткости исполнительного механизма; ь - коэффициенты вязкого трения.

Дифференциальные уравнения движения этой системы для режима позиционирования в окрестности положения, определяемого координатой ц*, имеют вид

(т + тп)4*+т/4+ Ь4* = Qn -QH;

т/4+ т4* + с/ = 0.

Величины необходимых динамических воздействий, компенсирующих упругие колебания, определим с помощью дополнительной связи в виде экспоненциальных зависимостей: Лц = е'М С , где С=(СЬ..., С)т - вектор-столбец произвольных по-

'М / -1, 1 1,1 1

стоянных; е = аш£(е 1 ,...е у ) - диагональная матрица показательных функций (/=1,2).

Полагая, что в начальный момент времени Лд(0) = Л40 и Л4(0) = Л4{0, и производя необходимые вычисления, на основании выражений (18), (19) при Ь = 0, =0 получим следующий закон изменений движущей силы привода (без учета его динамической характеристики):

Qo(t) = -

-Л4° * 112 + т2)+

12 -11

11Л40 -Л% Л2г

12 -11

где Qo(t) = Qn(t)/mn ; т = [с(т + тп)/ттп]7

частота собственных колебаний системы.

Закон управления (20) является программным. Выразим функции времени через координату Л и ее производную:

Се11 + С2е12 = Лд(1);

ХСе11 + Х2С2е1'2* = Л4(1).

Откуда

Се11^ 12Л40 -Л4 . с е121 =_ Л-Л -Л4 12 -11 12 - 11

Подставляя выражения (22) в (21), получим

QП =-кпЛд - ку Л4,

где к0 = т -Л^ку =11 +12.

Коэффициенты к0 и ку в выражении (23) могут быть представлены как коэффициенты усиления дополнительной обратной связи по упругой координате Л4 и ее скорости. Структурная схема двухмассовой системы с дополнительной обратной связью, полученная на основе уравнений (18), (19) и (23), показана на рис. 3.

С другой стороны, коэффициенты кс и ку можно интерпретировать и как новые значения параметров механической части системы. Подставляя выражение (23) в уравнение (18) и складывая последнее с уравнением (19), будем иметь

тЛ4 + ЬЛ4 + сЛ = -

Выражение (24) представляет собой дифференциальное уравнение упругих колебаний с новыми значениями параметров жесткости с = кп и демпфирования Ь = ку.

Рис.3. Структурная схема двухмассовой системы с дополнительными обратными связями

2

Предлагаемые алгоритмы управления упругими колебаниями могут быть использованы в системах управления движением как серийных, так и проектируемых конструкций промышленных роботов. В первом случае для их реализации необходимо доработать систему управления движением роботов путем организации дополнительных обратных связей по

упругим координатам и их скоростям. Во втором случае снижения интенсивности упругих колебаний можно добиться на стадии проектирования роботов путем соответствуюшего выбора конструктивных параметров исполнительных механизмов. Применение этих алгоритмов позволит повысить точность, быстродействие и надежность работы мехатронных систем.

Библиографический список

1. Елисеев С.В., Кузнецов Н.К., Лукьянов А.В. Управление колебаниями роботов. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1990. 320 с.

2. Крутько П.Д. Обратные задачи динамики управляемых систем: Линейные модели. М.: Наука, 1987. 304 с.

3. Кузнецов Н.К. Динамика управляемых машин с дополнительными связями: монография. Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2009. 288 с.

4. Кузнецов Н.К., Грудинин В.Г., Умнов В.И. Синтез управляющих воздействий методом обратных задач динамики // Проблемы механики современных машин: мат. четв. меж-дун. конф. Улан-Удэ: Изд-во ВСТГУ, 2009. Т.1. С. 240-243.

5. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1976. 576 с.

6. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников. М.: Наука, 1968. 720 с.

УДК 621.3.01 -621.3.09-621.3.013

АНАЛИЗ ЗАВИСИМОСТЕЙ АМПЛИТУД И ФАЗ ГАРМОНИК МАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ ОТ ПАРАМЕТРОВ ПЕТЕЛЬ ГИСТЕРЕЗИСА

1 9

© В.Д. Сартаков', В.В. Гасельник2

1Иркутский государственный технический университет, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83. 2Иркутский государственный университет путей сообщения, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Чернышевского, 15.

Решается нелинейная электрофизическая задача расчета амплитуд и фаз гармоник магнитной индукции в ферромагнитных материалах, перемагничиваемых синусоидальным полем. Выполнен анализ, позволяющий связать величины амплитуд и фаз гармоник магнитной индукции с параметрами петли гистерезиса. Найдены взаимосвязи между амплитудами и фазами гармоник магнитной индукции и коэрцитивной силой. Получены аналогичные взаимосвязи для остаточной индукции в ферромагнитных материалах. Сделан вывод о возможности неразрушающего контроля физико-механических параметров промышленных изделий с использованием метода высших гармоник. Ил. 15. Библиогр. 3 назв.

Ключевые слова: магнитная индукция; амплитуда гармоник; фаза гармоник; коэрцитивная сила; остаточная индукция; ряд Фурье.

ANALYSIS OF DEPENDENCIES OF MAGNETIC INDUCTION AMPLITUDES AND HARMONICS PHASES ON HYSTERESIS LOOP PARAMETERS V.D. Sartakov, V.V. Gaselnik

Irkutsk State Technical University, 83 Lermontov St., Irkutsk, Russia, 664074. Irkutsk State University of Railway Engineering, 15 Chernyshevsky St., Irkutsk, Russia, 664074.

The paper solves a nonlinear electrophysical problem of calculating the amplitudes and harmonics phases of magnetic induction in ferromagnetic materials being remagnetized by a sinusoidal field. The analysis enabling to connect the values of magnetic induction amplitudes and harmonics phases with the hysteresis loop parameters is performed. The relationships between the amplitudes and harmonics phases of magnetic induction and the coercive force are found. Similar relationships for the residual induction in ferromagnetic materials are obtained. A conclusion is made on the possibility of nondestructive control of physical and mechanical parameters of industrial products by applying the method of higher harmonics. 15 figures. 3 sources.

Key words: magnetic induction; amplitude of harmonics; harmonics phase; coercive force; residual induction; Fourier series.

1Сартаков Валерий Дмитриевич, кандидат технических наук, профессор, тел.: (3952) 410160, e-mail: valery_41@mail.ru Sartakov Valery, Candidate of technical sciences, Professor, tel.: (3952) 410160, e-mail: valery_41@mail.ru

2Гасельник Владимир Валерьевич, кандидат технических наук, доцент, тел.: 89148743596, e-mail: gasvv@yandex.ru Gaselnik Vladimir, Candidate of technical sciences, Associate professor, tel.: 89148743596, e-mail: gasvv@yandex.ru