Финитная аппроксимируемость как достаточное условие разрешимости по допустимости для транзитивных модальных и суперинтуиционистских логик

МАТЕМАТИКА

А.Н. Руцкий

ФИНИТНАЯ АППРОКСИМИРУЕМОСТЬ КАК ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ РАЗРЕШИМОСТИ ПО ДОПУСТИМОСТИ ДЛЯ ТРАНЗИТИВНЫХ МОДАЛЬНЫХ И СУПЕРИНТУИЦИОНИСТСКИХ ЛОГИК

Модальные логики, правило вывода, финитные модели.

Исследование допустимых правил вывода интенсивно ведутся с 50-х годов, в первую очередь для изучения свойств интуиционистской логики H. Основным средством здесь была, как правило, алгебраическая семантика. В 60-х годах в работах М. Фиттига, С. Крипке был предложен другой мощный инструмент логических исследований - модельная семантика Крипке [Крипке 1974]. Это дало новый толчок к исследованию допустимых правил вывода, в частности, это позволило решить В.В. Рыбакову базовую проблему - о разрешимости по допустимости интуиционистских логик [Рыбаков 1984]. Но общего критерия, позволяющего однозначно определять допустимость произвольного правила вывода в заданной логике получено не было. Более того, А. Чагровым был указан пример неразрешимой по допустимости модальной логики [Chagrov A. 1997]. Вместе с тем для всех известных транзитивных модальных и суперинтуиционистских логик, обладающих свойством финитной аппроксимируемости, удавалось построить критерии допустимости правил вывода [Бабены-шев 1992; Максимова 1975; Руцкий 2006; Рыбаков 1984; Рыбаков 1984; Рыбаков 1990; Цит-кин 1974; Rutskiy 2001; Rybakov 1997]. Было естественным предположить, что наличие этих свойств в логике достаточно для ее разрешимости по допустимости.

Ранее автору удалось построить критерий допустимости правил вывода для логики S4.am.XP Zq [Руцкий 2006]. Применив технику Рыбакова и специальные конструкции для фреймов Крипке, использованные ранее при исследовании свойств наследования правил вывода, а также обобщив ранний опыт решения проблемы, автору удалось получить исчерпывающий критерий для данного класса логик.

Основные понятия и определения

Основные понятия, определения и теоремы изложены, например, в [Rybakov 1997]. Здесь лишь кратко приведем необходимые для доказательств теоремы и построения. Фреймом Крипке F (или просто фреймом) называется пара (W,R), где W - непустое множество элементов фрейма F, R - бинарное отношение на W. Если для элементов a,be W: aRb, то говорят «a достигает b» или «a видит b». Пусть {pb ..., pn} - множество пропозициональных переменных, тогда означиванием V на фрейме F называется отображение, ставящее в соответствие каждой переменной p1 подмножество V (pi)cW. Само множество переменных Dom

(V)=(pi, ...,pn} будет образовывать область означивания V. Моделью Крипке M (или просто моделью) называется тройка (W, R, V), где (W, R) - фрейм, а V - означивание на его элементах пропозициональных переменных.

Истинность формулы a в элементе a модели M обозначаем a ||—v a. Для логики X фрейм F называется X-фреймом или фреймом, адекватным логике X, если Vae X при любом означивании V и на любом элементе a фрейма F: a ||—v a. Логика X называется финитно аппроксимируемой, если она порождается некоторым классом FrX X-фреймов, т. е. VaeX VFeFrx: F||— a Vß£ X $Fe Fr x, означивание V, 3beF: b|^v -ß. Этот класс называется также классом характеристических фреймов. Правило вывода г = 0Ci(^), ..., оса (^)/ß(^) называется допустимым в модальной логике X, если при любой подстановке формул У=> х из того, что 0Ci(}'), ..., а*(У

),еХ, следует ß(J ),е к. Элемент а модели М называется формульным, или определимым, если существует такая формула a, что VbeF b||—v a ^ b = a. Означивание V для переменных pi, ..., pn называется формульным, если V для каждой переменной pi существует формула ab что VbeF b ||—vOLi ^ b ||—vPi.

Пусть F = (W,R) - транзитивный фрейм, т. е. фрейм с транзитивным отношением R. Сгустком (или кластером) фрейма F называется подмножество Ce W, такое, что Va,be C, Vce W: (aRb)&(bRa) и (aRc)&(cRa)^(ce C). Вырожденным сгустком называется иррефлексивный элемент C=(a}. Через C (a) обозначим сгусток, содержащий элемент a. Сгусток C1 «достигает» сгусток C2 в модели M (обозначаем C1RC2), если $ae C1, 3be C2 такие, что aRb. Фактически отношение «достигать» задает на множестве сгустков фрейма строгий частичный порядок. Сгусток C2 называется непосредственным последователем (потомком) сгустка C1, если C1RC2 и VC (C^Ci)&(CiRC)&(CRC2)^(C=C2). Здесь сгусток Ci называется непосредственным предшественником сгустка C2. Цепью сгустков фрейма F называется множество сгустков A, если из любых двух сгустков какой-то один «видит» другой. Длиной цепи называем количество ее сгустков. Антицепью сгустков фрейма F называется множество сгустков A, которые попарно «не видят» друг друга. Элемент a фрейма F имеет глубину n, если это максимальная длина цепи во фрейме F, начинающейся со сгустка C (a). Слоем глубины n фрейма F будем называть множество всех его элементов глубиной n, мы обозначим его Sln (F). Сгустки фрейма F, входящие в верхний слой Sl1(F), будем называть также максимальными в F. Множество всех элементов фрейма F глубиной не больше n будем обозначать как Sn (F).

Фрейм F=(W,R) называется прямой суммой семейства фреймов F,=(W,,R), /е I (при этом УЩ W,nW;=0), если = UiE/VKj и R = Ui&Ri обозначаем ^ = Uie/Множество YR£=(x |xeW, $ye Y, >Rx} будем называть верхним конусом, порожденным множеством элементов YiW. Аналогично определяем множество YR£=(x |xeW, 3ye Y, ><Rx&-(xRy)}.

Сгусток С будем называть конакрытием для антицепи сгустков А из F, если выполняется условие Ск<=иС1Ёд

Отображение f фрейма (Wi,Ri) во фрейм (W2,R2) называется р-морфизмом, если Va,beWi aRib ^ f (a) R2f (b) и Va,beWif (a) R2f (b) ^ $ce Wi (aRc)&f (с) = f (b). Отображение f модели Mi=(Wi,Ri,Vi) в модель M2=(W2,R2,V2) называется р-морфным, если f осуществляет р-морфизм (Wi,Ri) во фрейм (W2,R2), Dom (Vi) = Dom (V2) и VpeDom (Vi) Vae Wi a |j—vip ^ f (a)|^vp

Модель Крипке Кп называется п-характеристической для нормальной модальной логики X, если область определения означивания V из Кп будет множеством Р, содержащим п различных пропозициональных переменных, и если для всякой формулы а от переменных Р:

Построение п-характеристической модели СК(п) следующее. Пусть X - финитно аппроксимируемая модальная логика, К4сХ, и Р=(р1, ..., рп} - множество пропозициональных букв. Пусть также S1 - множество всевозможных сгустков со всевозможными означиваниями пропозициональных букв из Р, с тем условием что в каждом сгустке нет двух элементов с одинаковыми означиваниями пропозициональных букв, а в множестве S1 нет двух различных сгустков, изоморфных как подмодели, и каждый сгусток множества S1 является X-фреймом. Первый слой модели ^х(п) определяем так: Sll(Chx(n)):= S^ Если подмодель СК(т) для некоторого т построена, то построение подмодели Sm+1(ChX(n)) следующее: произвольным образом выбираем антицепь Y из подмодели Sm (СК(п)), имеющей, по крайней мере, один сгусток глубиной не меньше т, и добавляем к ней любой сгусток С из множества S1 как непосредственный предшественник сгустков из Y при условии, что:

1) фрейм Ск£ будет Х-фреймом;

2) если Y состоит только из одного рефлексивного сгустка С1, то С не будет подмоделью

Продолжая этот процесс, мы и получаем модель Chx(n).

Приведем основные теоремы, касающиеся техники Рыбакова построения и использования семантической характеристической модели. Для упрощения работы ссылки будем приводить на единый источник.

Лемма 1 (лемма 2.5.15. [Rybakov 1997]). Пусть отображение f является р-морфизмом модели Mi=Wi, Ri,Vi) в модель M2=(W2, R2,V2). Тогда для любой формулы a от переменных Dom (Vi) справедливо утверждение: VaeWi a||—via ^ ^ f (a)|| V2a.

Теорема 2 (теорема 3.3.3 [Rybakov 1997]). Пусть K„=(W„, R„,V„) (t/e N) - последовательность «-характеристических моделей для модальной логики X. Правило вывода г = oci(^), ...,

оса является допустимым в X тогда и только тогда, когда для каждого //е N и каждого

формульного означивания S переменных из r в Kn правило r истинно в модели (W„, Rn,S), т. е. из S (ai) = Wn, ..., S (an) = W„ следует S (ß)= W„.

Теорема 3 (теорема 3.3.6 [Rybakov i997]). Модель Chx(n) является n-характеристической моделью.

Теорема 4 (теорема 3.3.7 [Rybakov i997]). Любой элемент модели Ch^(k) является формульным. Для любой нормальной модальной логики X со свойством финитной аппроксимируемости любой элемент модели Chx(k) также является формульным.

Лемма 5 (лемма 3.4.6 [Rybakov 1997]). Пусть М - подмодель модели W, включающая модель шах (Y,W,m) J"

, где Y - подмножество формул. Тогда Vae |M|, Vae Y a ||—va в модели W ^ a ||—va в модели M.

Лемма 6 (лемма 3.4.2 [Rybakov i997]). Пусть X - финитно аппроксимируемая модальная логика, расширяющая K4, или суперинтуиционистская логика. Если существует означивание S переменных правила вывода r во фрейме некоторой р-характеристической модели Chx(p), которое опровергает правило r, тогда существует означивание S этих переменных во фрейме модели Chx(k), где k - число переменных правила вывода r, которое также опровергает правило r.

Существует перевод Геделя - Маккинси - Тарского, позволяющий устанавливать связь между суперинтуиционистскими логиками и модальными логиками решетки модальных напарников в спектрах над S4 [Максимова i974].

Ci.

Теорема 7 (теорема 3.2.2 [Rybakov 1997]). Правило вывода r является допустимым в суперинтуиционистской логике X тогда и только тогда, когда правило Т (r) допустимо в наибольшем ее модальном напарнике o(X).

Основные результаты

Теорема 1. Правило вывода r = ai(xb ...,Xn), ..., as(xi, ...,Xn) / b(xi, ..., Xn) не допустимо в финитной аппроксимируемой модальной логике X, К4с X тогда и только тогда, когда существует модель Крипке M = <W,R,S> = ^ Mу c означиванием S для переменных правила

вывода r, удовлетворяющее следующим свойствам:

(a) модель М является Х-моделью и модель Si(M) изоморфна модели Si(Ch,.(7?));

(b) модель М содержит не более 9CW> О 2':-2 1' элементов, здесь w =

= ||Si(Ch K4(w))||, t = |Sub (r)|, где g (w, t) - функция, определяемая формулой эффективного означивания ([Rybakov 1997]), Sub (r) - множество подформул правила вывода r, замкнутое по отрицанию;

(c) для каждой антицепи E сгустков Xk модели Му, допускающей в X рефлексивное (ир-рефлексивное) конакрытие, существует элемент Xer (xei) из Му такой, что

0(хш, Sub (г)) = U {0(у, Sub (г)) US (у, Sub (/)) | ^elte Е} US (xER, Sub (/)) (1) (или соответственно

0

(d) каждая компонента Му является открытой подмоделью модели ChX(w);

(e) модель M также опровергает правило вывода r.

Доказательство

Необходимость. Пусть правило r не является допустимым в логике X, то, согласно теоремам 2, 3 и лемме 6, для фрейма ^-характеристической модели ChX(n) существует опровергающее правило r означивание W, формульное для переменных x1, ..., xn. Для каждого подмножества Z с Sub (r) и каждой компоненты Ну модели ChX(n) выделим не лежащий в максимальном сгустке элемент-представитель Xz так, чтобы S (xz, Sub (r)) = Z (если такой элемент в модели H;- найдется). Построим модель K/Z как открытую подмодель Ну, порожден-

П K

ную таким элементом xZ. Тогда модель Ку = ПК) Jz также будет открытой конечной

подмоделью Ну, поскольку количество компонент Ну не превышает ^ . Очевидно, что

объединение К = ^ K у этих компонент также опровергает правило r и также является X-

фреймом. Согласно лемме 5, для произвольной компоненты Ку (которая очевидно содержат модель max (sub (r),Ky,1) US1(Ky)) можно построить сжимающийр-морфизмf из Ку в конечную X-модель Му с эффективным ограничением мощности (см. [Рыбаков 1984] или [Rutskiy 2001]). Как известно, при р-морфном отображении истинность формул на элементах образа сохраняется, поэтому правило r на некоторой модели Му будет опровергаться. Верхний слой при этом отображении не будет подвергнут сжатию, поэтому S1(M;) = S1(K/) = S1(H;). Точный р-морфный прообраз Му будет некоторой открытой подмоделью Ку, следовательно, сама модель М является открытой подмоделью ChX(n). Но тогда модель М = ^ ^^у обладает

свойствами (a), (b), (d), (e).

Докажем теперь свойство (с). Пусть E - конечная антицепь сгустков модели Му, допускающая рефлексивное (иррефлексивное) конакрытие в логике X. Обозначим через U множество представителей ze CE сгустков антицепи E. Рассмотрим в модели Ку множество прооб-

разов fj '(U) множества U и обозначим через E (f ') множество сгустков, содержащих элементы ff '(U). Поскольку антицепь Е допускала рефлексивное (иррефлексивное) конакры-

cRi

тие в \ то фрейм ] U {х}, полученный добавлением рефлексивного

гр/ f-1 yi R<

конакрытия к Е, будет Х-фреймом. Следовательно, Х-фреймом будет и фрейм - J ^ U {у}, где y - аналогичное конакрытие для E (f - Точные прообразы сгустков E (f - содержатся в K, а значит, и в компоненте ^-характеристической модели Hj. Согласно принципам ее построения, для них в Hj должно существовать рефлексивное (иррефлексивное) конакрытие zer (zei) со свойством

0(zER, Sub (/)) = U {oiy, Sub (/)) US (у, Sub (/)) | ^elte E (ff >)} US (zER, Sub (/)),

(соответственно 0(zEl, Sub (r)) = U {0(y, Sub (r)) US (y, Sub (r)) \ yeXke E iff1)}). Согласно теореме, 2 р-морфное отображение сохраняет истинность формул на элементах-образах, следовательно,

U {0(у, Sub (/)) US (у,Sub (/)) |yeXkeE iff1)} = = U {oiy, Sub (/)) US (y,Sub (r))\yeXke E}.

Согласно построению модели Kj, в ней будут существовать элементы с аналогичными свойствами, что и доказывает свойство (с).

Достаточность. Пусть для логики X существует модель M = ^ ^^ j , обладающая

свойствами (a)-(e). Тогда каждую модель Mj можно воспринимать как открытую подмоделью компоненты Hj, построенную на фрейме характеристической модели ChX(n). Будем

/ ^^ ch

подразумевать под Mch = <w,R, v) = A j именно такую подмодель модели ChX(n). Ана-

Уе J

логично учитываем, что, согласно теореме 4, каждый элемент модели СК(и) является формульным. Поэтому для конечного числа элементов М°ь можно построить формульное означивание V для переменных правила г, которое будет совпадать с исходным означиванием S модели М. Как и раньше, в аналогичных построениях семантических критериев разрешимости [Рыбаков 1984; Rutskiy 2001; Rybakov 1997] доопределим означивание V на весь фрейм модели СК(и), традиционным способом построив последовательность возрастающих подмножеств К(х,г) для "хе | м|, "г: 0 < г < т\, где т1 - количество миров в модели м. Эта последовательность множеств должна будет удовлетворять традиционным свойствам (а1)- (е1) (см., например, лемму 3.4.10 [Rybakov 1997; Rutskiy 2001; Руцкий 2006]). Однако свойство (А), используемое в построениях, ориентированных на разделение элементов модели по глубине, в приводимом ниже доказательстве не используется. Это позволяет нам отказаться от жестких требований на возможность произвольного ветвления в характеристической модели, а значит, и лишних ограничений на исследуемые логики.

Мы не будем подробно останавливаться на конструкции множеств К(х,г) и доказательстве свойств (а1)- ^1), отметим лишь, что в целом это легко проводится по аналогии с работами [Рыбаков 1984; Rybakov 1997]. Однако доказательство свойства (е1) необходимо провести иначе. Напомним, что свойство (е1) имеет вид (см. лемму 3.4.10 [Rybakov 1997]): "уе | НСь 0 < г < т1

у£ V (р) = , (Кх, 0 | х ||-р} ^ ^ ЗW (| W | = г+1)&("хе Wí| м1уа<п!(х, г) *0).

Это свойство гарантирует, что построенные множества покрывают компоненты Н т. е.

xej I(x t) = H ПУсть

0 < t < m1

тогда очевидно У ^ По свойству (el) для множеств индекса t это дает

нам существование t+1 элементного множества D из M j , такое, что VxeD yR<nX(x, t) Ф0. Если существует еще один такой элемент xy е M j \D: yR<nX(xy, t) Ф0, то свойство (е1) будет доказано для множеств X(x, t) индекса t+1.

Допустим, что такого элемента Xy не существует, но тогда у ||—v q (D) (см. определение

множеств Х(х, t) из [Rybakov 1997]). Рассмотрим все элементы и: >'R//,

-' - -- у^- —'  - ', причем взятые из максимального слоя среди всех таких элементов (в

крайнем случае, мы можем взять y = u). Поскольку u «достигает» в точности те элементы, что и у, то u||—v q (D) (по второй компоненте) также. Пусть G={z1, ..., z;} - множество представителей всех сгустков, непосредственно следующих за сгустком С (u).

Антицепь минимальных сгустков С (z1), ..., С (z;) допускает рефлексивное (иррефлексив-ное) конакрытие, в противном случае не существовало бы рефлексивного (иррефлексивно-

% V

го) элемента и. Рассмотрим все элементы ' такие, что z,eZ(' t). Очевидно, что анти-

У" V

цепь Т={С (' zi), ..., С (' zf)} также допускает рефлексивное (иррефлексивное) конакрытие.

Следовательно, по свойству (с) в модели j ' существует элемент i:GR( vGI соответственно), для которого выполнялось бы свойство (1) (или (2)) по отношению к антицепи Т. Если

элемент и рефлексивен, то ^Ц—V%(D) по элементу ^ся, но тогда получим

iZfrt + i) , что противоречит допущению (3). Если элемент u является ир-

рефлексивным, то существует ^GI- Пусть выполняется условие

S

Тогда ^Ц—v(p(D), а значит, 3' ^ ^ ^ и снова получим противоречие с

(3). Если же условие (4) не выполняется, то u ||—vj(D). В случае u = у сразу приходим к аналогичному противоречию с условием (3). Если же _yR?/ и

не ХО*'", /+1) для некоторого ^¡е , но при этом условие (4) для него не выполнялось

бы, то получим D. Следовательно, добавляя его в D, мы получим требуемое условием (е1) t+2 элементное множество. Это и будет доказательством свойства (el) для множеств индекса t+1.

Проводим такие расширения означивания V из каждой компоненты Mj модели Mch на соответствующую компоненту компоненты Hj. В итоге мы получим формульное означивание V на всем фрейме модели Chx(n), опровергающее правило r. По теореме 2 допустимые правила никогда не могут быть ложными на фреймах характеристических моделей при формульных означиваниях, следовательно, r не допустимо в X.

Следствие 1. Финитно аппроксимируемые по Крипке транзитивные модальные логики разрешимы по допустимости.

Согласно теореме 7 о переводе Геделя-Маккинси-Тарского для правил вывода [Rybakov 1997:], приведенная выше теорема дает нам возможность проверять допустимость произвольного правила r и в суперинтуиционистских логиках. Для этого достаточно рассмотреть правила T (r) в модальном напарнике рассматриваемой логики.

Следствие 2. Финитно аппроксимируемые по Крипке суперинтуиционистские логики разрешимы по допустимости.

Библиографический список

1. Бабенышев С.В. Разрешимость проблемы допустимости правил вывода в модальных логиках S4.2 и S4.Grz // Алгебра и логика. 1992. Т. 31. № 4. С. 341-359.

2. Крипке С.А. Семантический анализ модальной логики. I, II // Модальная логика. М.: Наука, 1974. С.254-323.

3. Максимова Л.Л., Рыбаков В.В. О решетке нормальных модальных логик // Алгебра и логика. 1974. Т. 13. № 2, С. 105-122.

4. Руцкий А.Н. Критерий допустимости правил вывода с метапеременными в модальной логике S4.0m // Сибирский математический журнал. 2006. Т. 47.

5. Руцкий А.Н. Разрешимость по допустимости модальной логики S4.am.^P.Çq // Вестник КГПУ им. В.П. Астафьева. 2006 (3). С. 102-118.

6. Рыбаков В.В. Критерий для допустимых правил вывода модальной системы S4 и интуиционистской логики // Алгебра и логика. 1984. Т. 23. № 5. С. 369-384.

7. Рыбаков В.В. Допустимые правила логик, содержащих S4.3 // Сибирский математический журнал. 1984. Т. 25. № 5. С. 141-145.

8. Рыбаков В.В. Критерий допустимости правил вывода с параметрами в интуиционистской пропозициональной логике // Известия АН СССР. (Серия математическая). 1990. Т. 54. № 6. С. 357-377.

9. Циткин А.И. О допустимых правилах интуиционистской логики высказываний // Математический сборник. 1977. Т. 102. № 2. С. 314-323.

10.Chagrov A., Zakhariaschev M. Modal logics. London, Cambridge Press, 1997. 589 p.

11. Rutskiy A. N. Decidability of Modal Logics S4©On, S4©Xn, w.r.t. Admissible Inference Rules // Bulletin of the Section of Logic. 2001. V.30. № 4. Р. 181-189.

12.Rybakov V.V. Admissibility of logical inference rules. Elseiver Sci.Publ., North-Holland. New-York; Amsterdam, 1997.