Деформация и разрушение цилиндрических оболочек взрывом неконтактных зарядов конденсированных взрывчатых веществ

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2014. Вып. 1. Ч.1. С. 117-132 Механика

УДК 539.375.5:69.058.8

Деформация и разрушение цилиндрических оболочек взрывом неконтактных зарядов конденсированных взрывчатых веществ

Г. Т. Володин, А. С. Новиков

Аннотация. Дано приближенное решение задачи о гарантированном разрушении открытой цилиндрической оболочки взрывом неконтактного заряда конденсированного взрывчатого вещества (ВВ) в воздухе. Применен метод Б.Г. Галеркина для решения начально-краевой задачи и модифицированный для динамических нагрузок критерий разрушения материалов, предложенный П.П. Баландиным.

Ключевые слова: заряд конденсированного ВВ, взрывная

нагрузка, упругое деформирование, гарантированное разрушение, метод Б.Г. Галеркина, критерий разрушения.

Нахождение условий гарантированного разрушения оболочечных элементов конструкций является актуальной научно-технической проблемой при проектировании взрывозащитных инженерных сооружений, несущих элементов конструкций взрывоопасных производств, определении технических условий специальных складов боеприпасов, утилизации крупногабаритных элементов конструкций и др.

Проблему разрушения элементов конструкций взрывом условно можно представить в форме двух взаимосвязанных задач: внешней и внутренней. Назовем внешней задачу об определении характеристик и расположения источника взрыва, приводящего к гарантированному разрушению элемента конструкции, под которым понимаем утрату его несущей способности в силу появления трещин, сколов, разделений на фрагменты.

Назовем внутренней задачу об исследовании собственно процесса высокоскоростного деформирования и разрушения твердых тел с учетом режимов нагружения, механических и физических свойств материала.

В работах Т.М. Саламахина [1, 2] рассмотрена внешняя задача для балочных элементов конструкций и внешней нагрузки, созданной взрывом неконтактных зарядов конденсированных ВВ различных форм в ближней области взрыва. Получены соотношения для удельного импульса и

расположения заряда ВВ в ближней зоне для гарантированного разрушения балочных конструкций.

В работах [3-8] решена внешняя задача для упругой пластины с применением энергетического метода.

В работе [9] рассмотрена внутренняя задача разрушения, создана модификация метода численного моделирования процессов высокоскоростного деформирования и разрушения твердых тел, явно учитывающая фрагментацию и позволяющая моделировать нагружение структурно неоднородных материалов. В предложенной математической модели высокоскоростного деформирования учтено образование новых контактных и свободных поверхностей, учтена релаксация сдвиговых напряжений, фрагментарное разрушение отрывного и сдвигового характера, учитываются скорость деформации и вязкостные характеристики материала.

В отличие от работ [3-8], где для решения внешней задачи разрушения балок, пластин и оболочек взрывом применен энергетический метод, в предлагаемом исследовании рассматриваются свободные колебания тонкой цилиндрической оболочки в упругом режиме под действием начального импульса, созданного взрывом неконтактного сферического заряда конденсированного ВВ (частный случай данного исследования рассмотрен в работе [10] для пластины). В процессе колебаний возникает нестационарная зона разрушения, определяемая в каждый момент времени поверхностью разрушения, которая находится из принятого критерия

разрушения, что позволяет проследить за движением зоны разрушения от начала ее возникновения до завершения движения, определив тем самым масштаб гарантированного разрушения оболочки.

Физическая модель

Рассмотрим модель деформирования упругой открытой цилиндрической оболочки взрывом заряда конденсированного ВВ, расположенного на

некотором фиксированном расстоянии от поверхности оболочки.

Шарнирно опертая по всему своему контуру оболочка, с размером плана 2ах2Ь стрелой подъема 5, выполнена из упругого материала, имеет постоянную толщину Ь, радиус кривизны Я и принимается тонкой и пологой, т.е. Ь/Я ^ 1/20 [11] и 5/ шш [а,Ь] ^ 2/5 [12] соответственно (рис. 1). Материал оболочки предполагается однородным и изотропным, рассматривается упругий режим деформирования вплоть до ее гарантированного разрушения. Принимаются основные классические гипотезы теории тонких оболочек [12], прогибы предполагаются малыми, не превышающими 1/5 ее толщины.

На расстоянии Ь1 от срединного слоя оболочки, над центром

симметрии плана, располагается сосредоточенный сферический заряд

конденсированного ВВ радиуса го, тип и энергетические характеристики которого определяются обобщенным параметром Ао [3].

2

J 1

Ч'о,

Рис. 1. Схема расположения заряда ВВ над оболочкой при взрыве

Рассматривается ближняя область действия взрыва Ьх/го ^ 15 [1], для которой давлением окружающей среды можно пренебречь по сравнению с давлением продуктов взрыва. Вследствие кратковременности действия взрывной нагрузки (время её действия т не превышает 2 х 10-4 с) начальными смещениями точек оболочки, за время действия нагрузки, можно пренебречь [2].

Математическая модель и решение задачи

Введем прямоугольную декартову систему координат Охуг, оси Ох и Оу расположим в плоскости плана оболочки, а начало координат - в центре симметрии плана (см. рис. 1). Центр кривизны обозначим Ох, а угол, определяющий длину дуги цилиндрической оболочки - 20. Стрела подъема оболочки над планом 5 = Я — л/Я2 — Ь2.

Вследствие принятия гипотезы о малости прогибов, компоненты и = и (ж,у,£) и V = V (ж,у,£) вектора перемещений Л [и,у,гш] произвольной точки срединной поверхности М (х,у,г), где х Є [—а, а], у Є [—&,&], г = г (у) = т/В2 — у2 — Я + 5, оболочки считаются пренебрежимо малыми по сравнению с компонентой 'Ш = 'Ш (х,у,і). Следовательно, вектор перемещения принимается в виде Л [0, 0, ш (х, у, і)] и уравнение движения для оболочки имеет вид [13]

V4™ + рЬ = р

у Ш + Б дЬ2 Б ,

где Р (ж, у, Ь) — распределение внешней нагрузки от взрыва заряда ВВ по поверхности оболочки в момент времени Ь, Б = ЕЬ3/[12(1-и2)] -цилиндрическая жесткость, р - плотность материала оболочки,

4 ^гт2 д4 д4 д4

V = V V = —-т + 2 Оо + —т — бигармонический оператор.

дж4 дж2ду2 ду4

Для нахождения распределения начальных скоростей точек оболочки выражение (1) приведем к виду

д (д™ 1 [1 \ Б 4

дЦаТ — рь X р

Проинтегрируем (2) по времени Ь в пределах от Ь = 0 — момента подхода газового потока, созданного взрывом заряда ВВ, к поверхности оболочки, до Ь = т, где т — время действия взрывной нагрузки:

дш 1 Г*

Ж - РК і р(ж-у-()Л

Б />т = —г У4ш  гіі,

о РК Уо

откуда

дш

Ж

1 [т Б Г

-----г Р

РЬ Уо РК Уо

*=Т

При т ^ 0, что характерно для импульсной взрывной нагрузки, выражением в правой части уравнения (3) можно пренебречь, откуда следует:

дш

Ж

г

= — при т ^ 0,

*=Т РЬ

где г - удельный (по площади) импульс,

г = г

У°

В исследованиях Т.М. Саламахина [1, 2] для удельного импульса г (4) получено соотношение

• А°С 2 /гл

2 = ^ СОЙ ^

где г — расстояние от точки М оболочки до центра заряда ВВ, ^ —

угол, образованный скоростью потока продуктов взрыва с нормалью к

поверхности преграды.

Вследствие кратковременности действия взрыва начальными смещениями точек оболочки, за время действия взрывной нагрузки, можно пренебречь [2], следовательно,

» (ж, у, г)|т= 0.

Деформирование происходит уже после действия взрывной нагрузки, в течение свободных колебаний оболочки, описываемых уравнением

V4» + £ § =0.

Граничные условия для уравнения (6) соответствуют способу закрепления оболочки по ее краям. Для шарнирного опирания получим [13]:

0 при х = ±а,

» = 0, д2» д2»

дж2 ' Мву2

» = 0, д2» д2»

ду2 + ^ дж2

= 0 при у = ±Ъ.

Примем за начало отсчета времени Ь = 0 — момент начала свободных

колебаний оболочки, тогда математическая модель рассматриваемой задачи соответствует интегрированию уравнения свободных колебаний оболочки (6) при выполнении граничных условий (7), (8) и начальных условий:

»

Ж

*=0

г

рИ"

Выражение (5) для удельного импульса преобразуем к виду

г

рИ

= С  VI (ж, у),

где

Ао

VI (ж, у) =

д/Я2 - у2 (Я + И1) - Я2

рИЯ2

ж2 + у2 +

Для решения полученной начально-краевой задачи применим приближенный метод Б.Г. Галеркина [14], согласно которому функцию прогибов » = » (ж, у, Ь) будем искать в виде

2

2

W (ж, y, t) = W1 (t)  (ж, y) + W2 (t)  ^2 (x, y) + ... + Wn (t)  ^n (ж, y) , П € N,

где полная система координатных функций |^n (x,y)} выбрана в виде ^ (ж,!/) = COS3 ( Н ) cos3 ( Ц ) СО*-1 ( Ж ) сое—1 ( b ) ,

а функции wn (t) подлежат определению. Для Vn € N и t > 0 функции ^n (ж, y) удовлетворяют граничным условиям (7), (8), ^n (ж, y) > 0 в области плана оболочки.

Подставив предполагаемое решение (11) в уравнение (6), получаем невязку

n

N2

i=l

д4^i

дx4

дx2дy2

ду4

I

+ D '2 Wi(t) ' ^ (x,y) •

D

i=l

Полагая полученную невязку N2 (ж,у,Ь), согласно методу Б.Г. Галеркина [15], ортогональной каждой координатной функции ^ (ж, у), в рассматриваемой области, приходим к системе уравнений:

' /_0 /_b N2 (x, У, t)  ^1 (x, y) dxdy = О,

f “0 f_b N2 (x, y, t)  ^2 (x, y) dxdy = 0,

, f“0 f*b N2 (x, y, t)  ^n (x, y) dxdy = 0.

Введем обозначения

Bl

дx4

дx2дy2

ду4

ph

Bi

D

Тогда систему (l2) перезапишем в матричном виде

/ wl(t) X / wl(t) \

= \-l. Al

V nxn/ ^nxn

W2

\ Wn (t) /

W2

V Wn (t) /

где матрицы АПхп и АПхп, размера n х n, выглядят следующим образом:

n

А 2 =

пХп

/ а Ь а Ь а Ь ^

/ / в2(ж,у)^1(ж,у)^жйу / / вКж,у)^1(ж,у)йжйу..^ / ВП(ж,у)^1(ж,у)^ж^у

— а —Ь —а —Ь —а —Ь

а Ь а Ь а Ь

I I В 2(ж,у)^2(ж,у)^ж^у / / В|(ж,у)у>2(ж,у)йжйу... / / (ж,у)^2(ж,у)^ж^у

—а —Ь —а —Ь —а —Ь

а Ь а Ь а Ь

/ / В 2(ж,у)^„ж,у)йжйу / / В|(ж, у)^„(ж, у)йжйу... / / ВП(ж, у)^„(ж, у)йжйу

—а —Ь —а —Ь —а —Ь

А =

^ПХП

/ а Ь а Ь а Ь \

/ I В1(Х,Р)^ 1(х,у)йхйу -/ ^ В1(х,у)^1(х,у)йхйу... -/ ^ В^п(х,у)^1(х,у)йхйу

— а —Ь —а —Ь —а —Ь

а Ь а Ь а Ь

-/ / В\{х,у)1р2(х,у)йхйу -/ / В1(х,у)1р2(х,у)йхйу... -/ $ ВП(х,у)1р2(х,у)йхйу

—а —Ь —а —Ь —а —Ь

а Ь а Ь а Ь

у-/ / В\{х,у)1рп{х,у)<1х<1у -/ / В1(х,у)1рп(х,у)йхйу... -/ / В^1{х,у)^п{х,у)в,хв,у

—а —Ь —а —Ь —а —Ь

Начальные условия для системы дифференциальных уравнений (13) определим подстановкой выражения для прогибов (11) в выражения (9) и

(10) соответственно.

Начальное условие, определяемое выражением (9), выполняется, если

»*

В начальное условие (10) подставим выражение го (ж, у, 0), найденное из

(11). Получим невязку

N1 (ж, у, С) = С  VI (ж, у) - » (ж, у, 0), которую перезапишем в виде

П

N1

г=1

и будем минимизировать аналогично невязке N2 (ж, у, Ь):

( а Ь

/ / N1 (х, у, С)  <£>1 (х, у) dxdy = 0,

—а —Ь

а Ь

/ / N1 (х, у, С)  £2 (х,у) dxdy = 0,

—а —Ь

а Ь

/ / N1 (х, у, С)  (х, у) dxdy = 0.

—а —Ь

Систему (16) приведем к виду

/ У] 1(0) \ с

V2

с

3 Л-1

= {АПхп)

( 1-а1-ь у1 (х, у)  £1 (х, у) (х(у \

1-а!-ь У1 (х,у) ' £2 (х, у) (Ыу

V 1—а 1—Ь у1

где матрица АПхп, с размерностями п х п имеет вид:

Аз =

пх п

/ а Ь а Ь а Ь

/ I <Р1{х,у)<Р1{х,у)(х(у $ / ^1(х,у)^2(х,у)(х(у... / / ^1(х,у)^п(х,у)(х(у

— а —Ь —а —Ь —а —Ь

а Ь а Ь а Ь

I / £2(х,у)^1(х,у)(х(у / $ 1Р2(х,у)1Р2(х,у)(х(у... $ / ^2(х,у)^п(х,у)(х(у

—а —Ь —а —Ь —а —Ь

а Ь а Ь а Ь

/ / ^п(х,у)^1(х,у)(х(у / / ^п(х,у)^2(х,у)(х(у... / / ^п(х,у)^п(х,у)(х(у

—а —Ь —а —Ь —а —Ь

Решение системы (17) приводит к соотношениям

г г (0) = вг  С,

где вг — соответственно некоторые константы, [вг] = м/(с-кг), г = 1,и, п € N.

Следовательно, выражения (14) и (18) определяют начальные условия для системы дифференциальных уравнений (13).

Подставив начальное условие (18) в выражение для невязки N1 (15), получим

N1 (х, у, С) = С  N1* (х, у),

где

N1

™1 (Х,у) = ^ вг • (Х,у) .

г=1

Также потребуем выполнение следующих условий:

вг > 0, г = 1,п,

N1*

Требование (19) необходимо для того, чтобы выражение

П

г=1

было также положительно определенным, как и выражение г (х,у) / рЪ.

Требование (20), в свою очередь, означает, что элемент оболочки, находящийся на одной линии, соединяющей центр плана оболочки с зарядом ВВ, не может получить начальную скорость больше той, которую ему сообщит импульсная нагрузка от действия взрыва заряда.

Начальное условие (18) зависит от массы С заряда ВВ. Следовательно, если задать массу заряда, то можно определить прогибы оболочки в каждой точке М срединной поверхности как функцию положения точки и времени Ь и как следствие проверить выполнение условия гарантированного разрушения материала (заранее выбрав некоторый критерий разрушения) по всему объему оболочки в любой момент времени Ь.

Для нахождения области (зон) разрушения воспользуемся критерием разрушения, предложенным П.П. Баландиным [16], в котором учтем динамический характер действующей нагрузки.

Согласно введенным ранее основным гипотезам теории тонких оболочек (для которых ах = 0, тхх = 0, тух = 0) этот критерий приводит к соотношению

с2х + О - ОхОу + 3т%у - Ко* • р3 •

Выражения для напряжений ох, оу и тху имеют вид [12]

Е

Сх —

1 - &2

тт д2и а а ди

-н' дХ2 + я '+ я2 у'н' Ъу - а

1 я

н

д 2и ду2

2

Е

Су

1 - а

1 у ди

я •и + н • я2 • - н

1 -< я

д2и

ду2

- а • н

д2и

дх2

2

Е

ху

н1

-(у)2.

2 д2

и

1 + и V ^ Ю дхду ’

где н € [-Ъ/2, Ъ/2].

Подставив напряжения (22) в выражение (21), приведем критерий разрушения к виду

Ш1 (х, у, Ь) • н2 + и (х, у,Ь) • н + из (х, у, Ь) ^ 0,

где

д 2/и

Ш1 (х, у, Ь) = О2 (х, у, Ь) + с4 (х, у, Ь) - О1 (х, у, Ь) 04 (х, у, Ь) + 3т1 (у) • ^хду,

и2 (х,у,Ь) =

= и • [201 (х, у, Ь) • 02 + 203 • 04 (х, у, Ь) - 01 (х, у, Ь) • Оз - 02 • 04 (х, у, Ь)] -

-Ко*аз

из (х, у, Ь) =

-и;2 • (02 + 02 - 020^ - Ко*аз (0р - 0с) • (02 + 03) • и - К0*и3 • 0р0с

Е Г д2и иу ди Г. / у \21 д2и

01 (х, у, Ь) =

1 - и2

02 =

д2и

иу ди дх2 + К2 ду и

Е Еи

1 -< ю

ду

(1 - и2) я

02

(1 - и2) я

04 (х, у, Ь) =

Е ' у ди 1- ( у А2] д2и д2и

1 - и2 я2 ду \я) д (О идх2\

т1 (у) = -

Е

1 + и

1_,2

я

Выделим в выражении (23) равенство и, разрешая полученное квадратное уравнение относительно Н, придем к выражению

1

где

н1,2 (х,у,Ь) = — 62 ±л/Б~1 201 I

61 = —, 62 = —, = 62 - 461.

из из

Выражение (24) определяет поверхность, на которой и внутри которой материал гарантированно разрушен. Полученная зависимость (24) позволяет «следить» за перемещением поверхности (фронта) разрушения оболочки с изменением времени при фиксированных массе заряда ВВ и его расположении в пространстве ближней зоны.

Следовательно, задав массу заряда ВВ и высоту его расположения над центром симметрии плана оболочки, получим картину изменения во времени зоны разрушения.

В качестве примера приведем расчеты для цилиндрической оболочки, которая имеет следующие геометрические и механические характеристики: а = 0.5 м, Ь = 0.5 м, Я = 2 м, Ь = 4А10-2 м, 6 = 6.4А10-22 м; материал — серый чугун марки СЧ 32-52, для которого: плотность р = 7.3-103 кг/мз, предел прочности на одноосное статическое растяжение 0р= 3.2-108 Па и на сжатие 0с = 11 108 Па, модуль Юнга Е = 1.351011 Па, коэффициент Пуассона и = 0.25, коэффициент однородности на гарантированное разрушение К0* = 1.4, коэффициент динамичности из= 1.3 [3] , расстояние от центра сферического заряда ВВ до срединного слоя оболочки Ь 1 = 0.2 м, ВВ - литой тротил, для которого обобщенный параметр А0 = 400 м/с [1] и плотность ро = 1630 кг/мз.

Введем дополнительные характеристики:

В табл. 1 приведем результаты вычислений для характеристик N1* (0, 0), Ш*, N1* и йт (0) /С первых 20 натуральных т.

Как видно из табл. 1, наилучшее приближение в смысле характеристики N** дает слагаемое с порядковым номером 14.

Проведем более подробное исследование на случай, когда в выражении для прогибов (11) зафиксировано два произвольных слагаемых:

й (х, у, г) = йті ІЇ) • Утх (х, У) + йт2 (Ґ) • Рт2 (х, У) , Ш 1 Є N, Ш-2 Є N.

При выборе этих двух слагаемых, наилучшего приближения в смысле характеристики N**, используем следующий алгоритм.

Фиксируем ті = 1, тогда из всех возможных значений т2 выберем такое, чтобы выполнялись условия (19), (20) и характеристика N1* имела минимальное значение.

Зафиксируем в выражении для прогибов (11) одно слагаемое: й (х,у,і)= йт (і) • <Рт (х,у) , Ш Є N.

Таблица 1

Значения N1(0, 0), 1Ы*, N1* и иит(0)/С для приближения с одним слагаемым в функции прогибов

т Щ (0,0) т* N** й т(0)/С т N* (0,0) т* N1* й т(0)/С

1 13.926 2.079 14.08 20.321 11 2.793 1.02 2.974 31.453

2 12.491 1.826 12.623 21.756 12 1.979 1.082 2.255 32.268

3 11.143 1.602 11.258 23.103 13 1.202 1.156 1.668 33.044

4 9.877 1.409 9.977 24.369 14 0.462 1.238 1.322 33.785

5 8.686 1.247 8.775 25.561 15 - 0.246 1.326 1.348 34.493

6 7.563 1.12 7.645 26.684 16 - 0.923 1.415 1.689 35.169

7 6.503 1.029 6.583 27.744 17 - 1.571 1.505 2.176 35.818

8 5.5 0.977 5.586 28.747 18 - 2.193 1.595 2.711 36.439

9 4.55 0.961 4.651 29.696 19 - 2.789 1.684 3.258 37.036

10 3.649 0.978 3.778 30.597 20 - 3.362 1.771 3.8 37.609

Далее зафиксируем т 1 = 2 и значение т2 определим аналогичным способом. Для последующих значений т рассуждаем аналогично. Результаты, необходимые для выбора слагаемых наилучшего приближения в смысле характеристики N**, приведены в табл. 2.

Таблица 2

Значения N*(0,0), lNl, N**1 й„п (0)/С и ъит2 (0)/С для приближения с двумя слагаемыми в функции прогибов

т 1, т 2 N1; (0,0) Ш* N1* йті (0) /С гчт2 (0) /С

0 3 ''-Г 0.016 0.467 0.468 12.465 21.766

2, 32 0.111 0.499 0.511 14.217 19.919

3, 35 0.106 0.537 0.547 16.145 17.996

4, 39 0.058 0.58 0.583 18.172 16.017

5, 44 8.428-10-3 0.628 0.628 20.217 14.021

6, 49 0.062 0.681 0.681 22.156 12.029

7, 57 0.015 0.736 0.736 24.124 10.108

Как видно из табл. 2, искомое наилучшее приближение, соответствуют слагаемым с порядковыми номерами 1 и 30. Вид функций V (х, у) и и 1 (х, у), для данного приближения, показан на рис. 2.

Поверхности гарантированного разрушения

н (х, у, Ь) = 2-1 62 + л/о~1

для момента времени Ь* = 5-10-4 с и различных величин масс заряда ВВ показаны на рис. 3 (А — для С = 0.25 кг, Б — для С = 0.27 кг, В — для С = 0.29 кг, Г — для С = 0.31 кг).

Рис. 2. Графики функций У

Рис. 3. Поверхность разрушений Н1 (х,у,Ь). Серый чугун СЧ 32-52

Из рис. 3 видно, что с увеличением массы заряда, при других фиксированных значениях параметров задачи, зона разрушения увеличивается по ширине и объёму.

Отношение максимального прогиба итах = и (0,0,Ь*) к толщине оболочки, будет

|итах| /Ь = {0.051, 0.055, 0.059, 0.063}

для масс ВВ

С = {0.25, 0.27, 0.29, 0.31}

соответственно. Данные величины не превышают 1/5, что соответствует введенной гипотезе малых прогибов.

Отношения ^До для масс заряда ВВ

С = {0.25, 0.27, 0.29, 0.31}

соответственно равны:

6.023, 5.87, 5.732, 5.606.

Заключение

Полученные результаты определяют картину разрушения оболочки в любой фиксированный момент времени в стадии ее упругого деформирования взрывной нагрузкой - от начала зарождения зоны разрушения до момента ее максимального объема внутри оболочки. Следовательно, задавая наперед массу заряда ВВ и его расположение над поверхностью оболочки в момент взрыва, можно проследить за возникновением и продвижением с расширением зоны разрушения, определяя таким образом возможность и масштаб гарантированного разрушения оболочки.

Методика проведенных исследований может быть использована для инженерных расчетов в задачах прогнозирования гарантированного разрушения элементов конструкций взрывом неконтактных зарядов ВВ.

Список литературы

1. Саламахин Т.М. Физические основы механического действия взрыва и методы определения взрывных нагрузок. М.: ВИА, 1974. 255 с.

2. Саламахин Т.М. Разрушение взрывом элементов конструкций. М.: ВИА, 1961. 275 с.

3. Володин Г.Т. Действие взрыва зарядов конденсированных ВВ в газовой и жидкой средах. Ч. 2. Взрывостойкость и гарантированное разрушение элементов конструкций. Тула: Левша, 2005. 160 с.

4. Володин Г.Т. Прямой вариационный метод исследования взрывостойкости и гарантированного разрушения балочных конструкций взрывной нагрузкой // Вестник ТулГУ. Сер. Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. 2009. Вып. 1. С. 49-54.

5. Володин Г.Т. Математическое моделирование взрывостойкости и гарантированного разрушения балочных конструкций взрывной нагрузкой // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2012. Вып. 1. С. 163-172.

6. Володин Г.Т. Моделирование гарантированного разрушения пластин взрывом неконтактных зарядов конденсированных взрывчатых веществ // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2012. Вып. 1. С. 173-183.

7. Володин Г.Т., Чан Тхань Тунг. Математическое моделирование гарантированного разрушения пластин взрывом неконтактных зарядов конденсированных взрывчатых веществ // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2013. Вып. 1. С. 67-74.

8. Володин Г.Т., Новиков А.С. Разрушение открытой цилиндрической оболочки взрывом неконтактных зарядов конденсированных взрывчатых веществ // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2013. Вып. 1. С. 75-84.

9. Глазырин В.П. Деформирование и разрушение неоднородных материалов и конструкций при ударе и взрыве: дис. ... д-ра физ.-мат. наук. Томск, 2008. 149 с.

10. Володин Г.Т., Чан Тхань Тунг. Метод Б.Г. Галеркина в задачах гарантированного разрушения пластин взрывом // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2013. Вып. 3. С. 110-119.

11. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. Л.: ГСИСП, 1962. 432 с

12. Колкунов Н.В. Основы расчета упругих оболочек. М.: Высшая школа, 1963. 278 с.

13. Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М.: Изд-во «Наука», ГРФМЛ, 1972. 432 с.

14. Галёркин Б.Г. Собрание сочинений: в 2 т. М.: Изд-во АН СССР, 1952. Т. 1. 391 с., 1953. Т. 2. 438 с.

15. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина. М.: Мир, 1988. 347 с.

16. Гольденблат И.И., Копнов В.А. Критерии прочности и пластичности конструкционных материалов. М.: Машиностроение, 1968. 191 с.

Володин Геннадий Тимофеевич (g.volodin@yandex.ru), д.т.н., профессор, кафедра математического анализа, Тульский государственный университет.

Новиков Андрей Сергеевич (asnov28@mail.ru), аспирант, кафедра математического анализа, Тульский государственный университет.

Deformation and destruction of cylindrical shells blast non-contact charge condensed explosives

G.T. Volodin, A. S. Novikov

Abstract. This article gives an approximate solution to the problem of guaranteed destruction of the open cylindrical shell explosion of non-contact charge condensed explosive in the air. Applied the method of B.G. Galerkin method

for the solution of the initial-boundary value problem and modified for dynamic loading of materials failure criterion proposed by P.P. Balandin.

Keywords: charge of condensed explosives, explosive load, the elastic deformation, the guaranteed destruction, method B.G. Galerkin, fracture criterion.

Volodin Gennady (g.volodin@yandex.ru), doctor of technical sciences, professor, department of mathematical analysis, Tula State University.

Novikov Andrei (asnov28@mail.ru), postgraduate student, department of mathematical analysis, Tula State University.

Поступила 13.03.2014