Е.Л.Коротяев "Обратные задачи для Оператора Шрёдингера на окружности" (с/к физ-фака СПбГУ и лаборатории Чебышева)

Е.Л.Коротяев "Обратные задачи для Оператора Шрёдингера на окружности"

Е.Л.Коротяев "Обратные задачи для Оператора Шрёдингера на окружности"
(спецкурс физ-фака СПбГУ и лаборатории Чебышева).

По средам с 13-00 до 15-30 (3 часа), аудитория 203, начиная с 9 февраля.

Цель курса - изложить введение в тeорию обратных задач на примере
одномерного периодического оператора Шрёдингера (оператора Шрёдингера
на одномерной окружности). Известно, что спектр этого оператора
дискретный и соответствующие собственные значения имеют кратность 1
или 2. Фактически будет излагаться современный (аналитический) подход
из теории обратных задач. Отметим, что этот подход достаточно часто
используется в приложениях, как в многомерных
обратных задачах, так и при анализе интегрируемых систем и их
возмущений. Приведём основные положения данных лекций:

1) Мы рассматриваем одномерную окружность как простейшее
многообразие, на котором определён оператор Шрёдингера.
2) При решении обратных задач рассматривается простейший класс потенциалов.
3) Грубо говоря мы покажем, что отображение: потенциал -> спектр
оператора Шрёдингера инъективно и сюръективно. Более того, мы покажем
как по спектру определяется потенциал (процедура восстановления
потенциала по спектральным данным).
4) Мы используем аналитический подход из теории обратных задач. Этот
подход используется в различных задачах анализа, в основном в
исследовании таких интегрируемых систем, как KdV, нелинейное уравнение
Шрёдингера и т.д.
5) В этом подходе используются методы функционального анализа, теории
функций и спектральной теории дифференциальных операторов, при этом от
слушателей не предполагается знание фактов, выходящих за объем
базового курса.