Ламинарно-турбулентный переход при течении ньютоновских и неньютоновских жидкостей в круглой трубе

Ключевые слова:

ламинарно-турбулентный переход, ньютоновские и неньютоновские жидкости, производство и поток энтропии.

Keywords:

laminar-turbulent transition, Newtonian fluid, non-Newtonian fluid, entropy production and flow.

УДК 532.517.3 А.Г. Потапов

Ламинарно-турбулентный переход при течении ньютоновских и неньютоновских жидкостей в круглой трубе

Существует большое количество разнообразных жидкостей естественного и технического происхождения, привлекающих внимание исследователей с точки зрения закономерностей течения в круглой трубе. В этом отношении кроме вязких (ньютоновских) жидкостей большую группу составляют неньютоновские жидкости, «общими свойствами которых являются их текучесть и отклонение от закона трения Ньютона» [1]. К таким жидкостям можно отнести суспензии глин, нефти с высоким содержанием смол и парафинов, растворы полимеров и другие системы, обладающие внутренней структурой, образуемой взаимодействием частиц дисперсной фазы или макромолекул полимеров. Несмотря на многолетние систематические экспериментальные и теоретические исследования, причина нарушения ламинарного режима течения жидкости в круглых трубах и возникновения турбулентности остается неясной.

Для вязких (ньютоновских) жидкостей существует известное решение Пуазейля, которое связывает расход с градиентом давления. Формально ламинарное течение Пуазейля существует для любых расходов, но реально при расходах, превышающих некоторую критическую величину (Q > Q ), оно теряет устойчивость. Экспериментально для этих жидкостей было установлено, что существует критическое число Рейнольдса (Re = vp d/ц, где р - плотность жидкости; v - характерная скорость потока; d - гидравлический диаметр, ц - коэффициент динамической вязкости) в пределах 1800-2320 [2, 3]. В экспериментах возникновение ламинарно-турбулентного перехода определялось как по изменению формы профиля скорости в трубе, так и по отклонению коэффициента гидравлического сопротивления от расчетного значения, вычисленного по формуле Гагена-Пуазейля. Следует отметить, что результаты исследований обоими методами адекватны друг другу [3]. Эксперименты показали, что существует область ламинарного течения, где при вводе в поток возмущений возникает неустойчивость ламинарного профиля скорости, которая, однако, не приводит к возникновению установившегося турбулентного движения в трубе, и ламинарное течение восстанавливается [3].

Применительно к неньютоновским системам достаточно много работ посвящено экспериментальным и теоретическим исследованиям течения в круглых трубах жидкостей, ламинарное течение которых достаточно полно описывается теоретическими зависимостями, полученными на основе вязко-пластичной модели Шведова-Бингама (Bingham) [4, 5]. Однако закономерности турбулентного течения и ламинарно-турбулентного перехода при течении вязко-пластичных жидкостей изучены недостаточно. Экспериментальные данные о нарушении ламинарного течения вязко-пластичных жидкостей, полученные различными исследователями, показывают, что критическое значение Re зависит от безразмерного параметра Хедстрема (Hedstrom) He = x0pd/^2, где т0 - динамическое напряжение сдвига; п - пластическая вязкость [4, 5].

Среди реальных жидкостей хорошее соответствие модели Шведова-Бингама наблюдалось при течении в трубах глинистых суспензий. Однако после обработки глинистых суспензий полимерами, в частности полиакриламидом (ПАА), в ламинарной области экспериментальные результаты соответствовали модели вязко-пластичной

жидкости, но кризис ламинарного течения наступал позже, чем у необработанных полимером глинистых суспензий при одинаковых значениях Не [6]. Результаты исследований перехода к турбулентности в круглой трубе с помощью прямого численного моделирования влияния входных возмущений на возникновение турбулентности показали устойчивость течения Пуазейля к малым возмущениям, что согласуется с экспериментальными данными [7, 8].

Н.Н. Моисеев в работе [9] отмечает: «Когда природа допускает существование двух процессов, достигающих одной и той же цели, то реализуется тот, который требует меньших энергетических затрат. ... Природа этим принципом нам демонстрирует удивительную особенность: она допускает не просто те движения, при которых энтропия растет, а только те, при которых рост энтропии минимален (в частности, нуль)». На основании математического эксперимента Н.Н. Моисеевым сформулирована гипотеза: «Уравнения движения вязкой жидкости. допускают целый спектр возможных почти периодических решений, и им при известных условиях соответствует целая система возможных установившихся течений жидкости. Одно из них - ламинарное течение Пуазейля. Остальные - это некоторые базовые турбулентные течения. - Другими словами: - При данном расходе Q > Q1 существует много форм стационарных турбулентных течений, практически не отличимых по своим интегральным характеристикам» [9].

Приняв эту гипотезу в качестве рабочей, для стационарных течений различных сред запишем уравнение Дарси-Вейсбаха в следующем виде:

1 vj

— dP.. = k-.—^—dx, р 4 j 2d

новесия соответствует частному случаю, когда и поток энтропии, и производство энтропии обращаются в нуль».

Для простой системы объединенное уравнение первого и второго законов термодинамики запишется в виде [13, 14]

d Ф<- sdT + 1 dP, Р

где Ф - термодинамический потенциал Гиббса; s - энтропия; T - термодинамическая температура. С приближением к состоянию равновесия изобарно-изотермический потенциал системы убывает, достигая минимума в состоянии равновесия, когда dФ = 0, при этом оба члена в правой части уравнения (2) равны нулю, поскольку при равновесии T = const и P = const.

Опираясь на определение И. Пригожина состояния равновесия как частного случая стационарного, можно предположить, что стационарное состояние наступает тогда, когда dФ = 0, но T Ф const и P Ф const. В этом случае из уравнения (2) для стационарного процесса получим следующее соотношение [11, 15]:

1 dP = sdT. Р

Совместно анализируя уравнения (1) и (3), используя индексацию, принятую для уравнения (1), можно записать [10, 11]:

s .dT ~ k.—^dx. ' " 2d

где Р - давление; X - коэффициент гидравлического сопротивления; р - плотность жидкости; V - среднерасходная скорость потока; d - диаметр трубы; I - индекс течения (для ламинарного течения Пуазейля / = 1, при / > 1 возникают стационарные базовые турбулентные течения); ] - индекс скорости потока [10, 11]. В работе [12] И. Пригожин отмечает: «В стационарном состоянии положительное производство энтропии компенсируется отрицательным потоком энтропии: активность, производящая энтропию, постоянно поддерживается за счет обмена с окружающей средой. Состояние рав-

Используя уравнение (4), можно получить следующее соотношение:

В работе [2] по результатам расчетов сделан вывод, что при Яе < 1000 при любых характеристиках пульсационного движения на входе вдали от начала устанавливается ламинарное течение. В работе [3] на основании экспериментальных исследований сделано предположение, что при Яе > 1000 ламинарный профиль неустойчив.

При Яе ~ 1000 коэффициенты сопротивлений, вычисленные по формулам для ламинарного и турбулентного течений, равны между собой: v2/v1 = 1. Таким образом, при Яе ~ 1000 из соотношения (5) получаем: vl = v2, ^ = Х2, s11 ~ s22. При Яе < 1000 отношение (5) меньше единицы, т.е. v2/v1 < 1, и, следовательно, s22 < s11.

2

С увеличением Яе (ростом расхода жидкости) при Яе > 1000 растет отношение у2/у1 > 1 и, следовательно, энтропия турбулентного течения в трубе при Яе > 1000 и = Х22 выше энтропии ламинарного потока: б22 > 8П.

Рассмотрим ситуацию, когда с ростом расхода жидкости наступает кризис ламинарного течения, приняв в первом приближении Яе = 2060 как среднее для интервала 1800— 2320 значение. Для оценки численного значения соотношения (5) рассчитаем коэффициенты сопротивлений по формулам:

^11 -

64 Re1

при Re1 = 2060, Xjj = 0,031068 для ламинарного потока;

- 2,08lgRe2 -Jl-1,04

для турбулентного потока [16].

Подставив в формулу

„ = § получаем значение 5 ~ 4,6513. V ^и Rel

Используя значение 5, для определения Яе можно записать:

- 8,32lg6,482Re1.

Следует отметить, что численное значение 5 практически совпадает с первой постоянной Фейгенбаума (Feigenbaum) 5f, приблизительно равной 4,6692. Если подставить в уравнение (8) значение 5 = 4,6692, получим критическое число Рейнольдса для вязких жидкостей Re1 = 2063.

Для неизолированных систем, обменивающихся с внешней средой энергией или веществом, в работе [17] изменение энтропии представлено в виде суммы двух членов:

ds = djs + des dt dt dt

где dts - производство энтропии, обусловленное процессами внутри системы; des - поток энтропии, обусловленный происходящими обменами; t - время.

При этом «согласно второму закону термодинамики, d¡s > 0. Наоборот, нет такого физического закона, который бы определял знак

изменения энтропии des в неизолированной системе ^^ ф 0). Иными словами, в зависимости от рассматриваемой системы величина des может быть как положительной, так и отрицательной» [17]. Таким образом, «чтобы поддерживать систему в стационарном состоянии, мы должны поддерживать ее обмен с окружающей средой» [17].

Как видно, при Яе > 1000 энтропия потока при турбулентном течении выше, чем при ламинарном режиме, и с увеличением Яе их отношение растет. При Яе < Яекр. реализуется стационарное ламинарное течение Пуазейля, в котором, по определению И. Пригожина, положительное производство энтропии компенсируется отрицательным потоком энтропии, зависящим от обмена системы с окружающей средой [17]. Можно предположить, что при достижении значения Яе > Яекр в ламинарном потоке не обеспечивается равенство между производством энтропии и потоком энтропии из-за недостаточной эффективности обмена системы с окружающей средой. При этом с увеличением числа Рейнольдса происходит последовательный переход потока на нестабильные режимы (в переходной области) с более высоким значением энтропии, пока поток не достигнет режима «базового турбулентного течения» [9], при котором устанавливается стационарное турбулентное течение (течение Прандтля-Кармана) с другими характеристиками производства и потока энтропии, при которых восстанавливается баланс между положительным производством энтропии и отрицательным потоком энтропии. Вместе с тем можно предположить, что затягивание ламинарно-турбу-лентного перехода при течении в круглой трубе обеспечивается двумя путями: снижением эффективности положительного производства энтропии или повышением эффективности отрицательного потока энтропии.

Таким образом, очерчены контуры некоторой гипотезы о причине и механизме лами-нарно-турбулентного перехода при течении вязких жидкостей в круглой трубе. Несмотря на широкий диапазон значений динамической вязкости для газов и жидкостей, все исследования приводят к общему результату: так называемое нижнее критическое число Рейнольдса изменялось в узком диапазоне 1800-2320, и причины такого разброса пока не установлены [2]. Вероятно, для проверки подобных гипотез нужно выйти за пределы массива

экспериментальных исследований ламинарно-турбулентного перехода при течении ньютоновских (вязких) жидкостей. Необходимо проанализировать результаты экспериментальных исследований течения жидкостей, для которых «коэффициент трения зависит не только от числа Рейнольдса, а также и от некоторых других безразмерных критериев» [1].

Как отмечалось ранее, экспериментально установлено, что Яекр вязко-пластичных жидкостей зависит от безразмерного параметра Не [18, 19]. При этом экспериментальные результаты охватывают диапазоны изменения Яекр и Не до 105 и 107 соответственно, что позволяет проверить сформулированные ранее выводы на двухпараме-трической модели.

Коэффициент гидравлического сопротивления при ламинарном течении вязко-пластических жидкостей в круглой трубе рассчитывается по формуле Букингама (обобщенное уравнение Гагена-Пуазейля) [19]:

Х =

Яе ф

, ч . 4 1 4 8Не где ф(а) = 1—а + -а ; а =--.

3 3 X Яе2

Расчет X по формуле (10) производят с учетом соотношения

8Яе = ф(а) Не а

Используя понятие турбулентной вязкости для вязко-пластичных систем, уравнение движения в пограничном слое можно записать в следующем виде:

т = т0 +

ау

где т - касательное напряжение; пт - коэффициент турбулентной вязкости.

Выражая пт через путь смешения и решая уравнение (12) при граничных условиях на стенке и на границе вязко-пластичного подслоя, получаем уравнение для определения коэффициента гидравлического сопротивления [20]:

Ш2^Гх-1МУ2Л6^

1 = Г1__8Ие

= I ХЯе2

Решая совместно уравнения (10) и (13) и используя значения 5 для определения Яекр при турбулентном течении вязко-пластичных сред [11, 15], получим уравнение:

!-— 8,32 ( а \ 6,452 22,08акр

>

где акр - это критическое значение а в уравнении (11).

При Не = 0, а = 0 и ф(а) = 1 уравнение (14) идентично уравнению (8). Следует отметить, что уравнение (14) было выведено ранее в работе [11] на основе интуитивных догадок.

Соответствие полученных уравнений (14) фактическим значениям Яекр при различных значениях Не проверялось с использованием результатов экспериментальных исследований течения глинистых суспензий без обработки полимерными реагентами, опубликованных в работах [6, 19, 21-23]. Массив данных объединил 74 экспериментальных результата, диапазоны изменения значений составили 3,58-103 < Не < 1,36-107 и 2,15-103 < Яе < 9,9-104.

Расчеты Яекр по уравнению (14) при 5 = 4,6692 показали, что относительное среднеквадратичное отклонение экспериментальных данных от расчетных составило 9,77 %. При этом экспериментальные результаты равномерно распределились

вдоль тренда, определенного согласно уравнению (14). Отклонение значений, рассчитанных с использованием уравнения Хэнкса (Я. Ж НапкБ) [4], от экспериментальных результатов с ростом Не увеличивается, достигая 150 % при Не = 107,2 [11]. Таким образом, можно считать, что уравнение (14) адекватно отражает зависимость Яекр от Не в интервале 0 < Не < 1,36-107.

Анализ полученных решений показывает, что для каждого значения Не в окрестности Яекр существует область, в которой коэффициент гидравлического сопротивления X ниже, чем при турбулентном течении вязкой жидкости, при равных значениях Яе. Для оценки уровня снижения X при течении вязко-пластичных жидкостей в условиях Яекр относительно кривой Прандтля-Кармана по уравнениям (10) и (14) для конкретных значений а^ были рассчитаны параметры Яекр, Не и Хкр (таблица) . Затем для полученных значений Яекр по формуле (7) определены значения Хт , соответствующие турбулентной кривой для вязких жидкостей. Величина относительного снижения коэффициента гидравлического сопротивления

X — X

определялась как АХ = —-— 100% .

ч

Согласно представленным результатам при малых значениях Не снижение гидравлических сопротивлений составляет более 50 %. С ростом Не эта величина уменьшается, но остается значительной даже при Не > 108 и Яе > 105. Следует отметить, что эти результаты соответствуют экспериментальным данным (рис. 1), но расходятся с результатами теоретического анализа турбулентного течения неньютоновских суспензий

Р. Хэнкса и Б. Дадиа (В. БаШа) [18], которые пришли к ошибочному заключению, что Хкр > Хт при Не > 105 и неизменном Яе.

Следует отметить, что возможность затягивания ламинарно-турбулентного перехода на продольно обтекаемой плоской пластине в потоке вязкой несжимаемой жидкости с помощью создания и подбора оптимального распределения объемных сил отмечалась в работе [24], где показано, что «надлежащим подбором объемных сил удается не только обеспечить полностью ламинарный режим течения в пограничном слое, но и уменьшить полное сопротивление обтекаемого тела». Вероятно, эффект при течении вязко-пластичных жидкостей также обусловлен объемными силами, связанными с пластичностью текущей среды. Можно предположить, что наложение на поток объемных сил снижает эффективность производства энтропии. Положительные результаты по затягиванию ламинарно-турбулентного перехода при охлаждении поверхности крыла самолета, что, вероятно, влияет на повышение эффективности потока энтропии, получены В. А. Кузьминским [25].

Таким образом, между ламинарно-тур-булентным переходом при течении вязких и вязко-пластичных жидкостей в круглых трубах существует глубокая аналогия.

Возникает вопрос: существуют ли дополнительные эффекты затягивания ламинарно-турбулентного перехода и снижения коэффициента гидравлических сопротивлений при обработке глинистых суспензий полимерами или позднее нарушение ламинарного течения обусловлено только изменением реологических свойств в рамках вязко-пластичной модели? Введение в водную суспензию глины полимеров,

Расчетные оценки снижения X относительно кривой Прандтля-Кармана (Хт) при ламинарном течении вязко-пластичных жидкостей в условиях Яе = Яекр

акр Не Яекр Хкр хт ДХ, %

0 0 2063 0,0310 0,0494 59,4

0,1 2303 2496 0,0296 0,0464 56,9

0,2 6803 3117 0,0280 0,0432 54,5

0,3 16060 4035 0,0263 0,0399 51,8

0,4 36853 5482 0,0245 0,0364 48,6

0,5 90846 8040 0,0225 0,0326 45,0

0,6 256913 13007 0,0202 0,0286 41,6

0,7 930572 24428 0,0178 0,0243 36,8

0,8 5606857 61325 0,0149 0,0196 31,7

0,9 117044278 303990 0,0113 0,0140 24,3

таких как ПАА или полиэтиленоксид (ПЭО), приводит к появлению упругости, о чем свидетельствует проявление эффекта Вейссенберга, а также возникновение градиента избыточного давления в зазоре между всплывающим газовым пузырем и стенкой вертикального канала [25]. При Яе < Яекр течение этих жидкостей в круглой трубе достаточно полно описывается моделью Шведова-Бингама. В турбулентных течениях, как отмечается в работе [1], значительные аномалии поведения наблюдаются даже для лишь слегка упругих жидкостей, например разбавленных растворов полимеров. При этом для выделения эффектов затягивания ламинарно-турбулентного перехода рекомендуется выбрать систему графического представления зависимости X от Яе [1].

Для дифференциации эффектов затягивания ламинарно-турбулентного перехода при течении вязко-пластичных жидкостей приведем уравнение (11) к виду

Х0 = X - К-е-

0 Яе2

где К = 10,67 (1 - 0,25а3) - безразмерный коэффициент; X 0 — 64 - вклад сил вязкости в гидрав-Яе

лическое сопротивление потока вязко-пластичной жидкости при ламинарном течении.

На рис. 2 представлены экспериментальные данные, где по оси абсцисс отложены значения Х0, вычисленные по уравнению (15). Согласно представленным данным

X

0,07

при Яе < Яекр для всех значений Не результаты соответствуют закону Пуазейля, справедливому для ламинарных течений. При этом кризис течений согласуется с расчетами Яекр для вязко-пластичных жидкостей по уравнению (14). При Яе > Яекр значения Х0 растут с увеличением Яе и стремятся к турбулентной закономерности Прандтля-Кармана.

На рис. 3 представлены экспериментальные данные о зависимости Х0 от Яе при течении глинистых суспензий без добавки ПАА при Не = 7-103 и с добавкой 0,4 % ПАА при Не = 5,55-103, а также кривые, отражающие свойства течения Пуазейля и турбулентного течения Прандтля-Кармана. Несмотря на то что значение Не для обработанной полимером суспензии несколько ниже, чем для суспензии без обработки, нарушение ламинарного режима наступает значительно позднее. При этом в соответствии с расчетами по формуле (14) для вязко-пластической жидкости после достижения Яекр с увеличением Яе коэффициент Х0 продолжает снижаться в соответствии с закономерностью Пуазейля, а затем начинает медленно отклоняться от течения Пуазейля, замедляя снижение. Аналогичное изменение Х0 наблюдается при течении концентрированных растворов полимеров [1].

С целью изучения затягивания ламинарно-турбулентного перехода при течении глинистых суспензий, обработанных полимером ПАА, проведены исследования на капиллярном вискозиметре [26]. Результаты экспериментов представлены на рис. 4, где по оси ординат отложены

\  эксперимент [6, 18,20-22] кризис ламинарного течения - — — турбулентный режим течения — — -  ламинарныи режим

\

\ \ \ *

А _____

0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 0

Рис. 1. Зависимость коэффициента гидравлического сопротивления от числа Рейнольдса

0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01

0

I

0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01

0

\А эсперимент [6]: А Не = 2,5-103  Не = 2,3-103 Не = 1,1103 ^ Не = 1,5103 тренды: — — —  ламинарный режим — — турбулентный режим -

\ \

\ V \

\ Г ^ ^

_ ♦ "---

..............

Рис. 2. Зависимость Х0 от Яе для вязко-пластичных суспензий глин

6

эсперимент:

без добавки ПАА, Не = 7-103 • добавка 0,4 % ПАА, Не = 5,55-103

тренды:

ламинарныи режим турбулентный режим

^ • ••••

3,5

4,5

Рис. 3. Влияние добавки ПАА на затягивание ламинарного режима течения суспензии глины

значения прироста Яекр относительно расчетных значений:

А Ке = ^ -Ке-р<'4)1оо%,

где Яе^р - экспериментальные значения Яекр для глинистых суспензий, обработанных ПАА, в момент конца снижения и начала роста Х0; Яекр.(14) - Яекр, рассчитанные по уравнению (14) для чистых суспензий глин при равноценных значениях Не.

Представленные данные показывают, что с увеличением концентрации полимера в глини-

стой суспензии растет затягивание ламинарно-турбулентного перехода по сравнению с вязко-пластичными жидкостями, не обладающими упругими свойствами. Корреляция данных по затягиванию ламинарно-турбулентного перехода для упруго-вязко-пластичных жидкостей, вероятно, может быть получена с привлечением таких критериев, как число Деборы или Вейссенберга [1], однако при проведении названных в статье экспериментов упругие характеристики жидкостей не контролировались. Наличие или отсутствие упругих свойств диагностировалось по проявлению эффекта Вейссенберга.

3

4

Концентрация ПАА, %

Рис. 4. Зависимость прироста Яекр от концентрации ПАА при течении глинистых суспензий

***

Таким образом, результаты исследований позволяют сделать следующее заключение.

Ламинарно-турбулентный переход обусловлен нарушением в ламинарном потоке баланса между положительным производством энтропии и отрицательным потоком энтропии, при этом устанавливается новое стационарное турбулентное течение с другими значениями производства энтропии и потока энтропии, при которых восстанавливается баланс. На основании данной гипотезы можно предположить два вероятных пути поиска технологий управления затягиванием ламинарно-турбулентного перехода при течении жидких систем: 1) создание условий для ограничения эффективности производства энтропии, что можно реализовать наложением на поток силовых полей или приданием жидкости пластичных и упругих свойств за счет специальной обработки при регулировании реологии; 2) повышение

эффективности потока энтропии за счет усиления интенсивности тепломассобмена системы с окружающей средой.

Показано, что ламинарно-турбулентный переход при течении вязких и вязко-пластичных жидкостей в круглой трубе происходит тогда, когда при равенстве коэффициентов гидравлического сопротивления в режимах турбулентного и ламинарного течений отношение энтро-пий для этих режимов в степени 0,5 в первом приближении практически совпадает с универсальной постоянной Фейгенбаума 5у = 4,6692.

Проведен анализ расчетных и экспериментальных данных по нарушению ламинарного течения и переходу к турбулентности при течении неньютоновских жидкостей в круглой трубе. Установлено, что при течении упруго-вязко-пластичных систем кризис ламинарного режима наступает значительно позднее по сравнению с вязко-пластичными жидкостями.

Список литературы

1. Астарита Дж. Основы гидромеханики неньютоновских жидкостей: пер. с англ. / Дж. Астарита, Дж. Марруччи. - М.: Мир, 1978. - 309 с. - Перевод изд.: Astarita G. Principles of non-newtonian fluid mechanics / G. Astarita, G. Marrucci. - L.-N.Y.: McGraw-Hill, 1974. - 309 р.

2. Павельев А.А. Переход к турбулентности на начальном участке круглой трубы / А.А. Павельев, А.И. Решмин // Изв. РАН. МЖГ. - 2001. - № 4. - С. 113-121.

3. Павельев А.А. О нижнем критическом числе Рейнольдса для течения в круглой трубе / А. А. Павельев, А. И. Решмин,

С.Х. Тепловодский и др. // Изв. РАН. МЖГ. -2003. - № 4. - С. 47-55.

4. Hanks R.W. The laminar-turbulent transition for fluids with a yields stress / R.W. Hanks //

A. I. Ch. E. Journal. - 1963. - V. 9. - P. 306-309.

5. Маковей Н. Гидравлика бурения: пер. с венг. / Н. Маковей. - М.: Недра, 1986. - 536 с. -Перевод изд.: Macovei N. Hidraulica forajului / N. Macovei. - Bucuresti: Editura tehnica, 1982.

6. Потапов А.Г. Методика определения снижения гидравлического сопротивления при течении вязко-пластичных жидкостей / А.Г. Потапов,

B.Г. Литвишко // Сб. тр. ИГиРГИ. -М.: ИГиРГИ, 1976. - Вып. 27: Бурение глубоких разведочных скважин в осложненных условиях Нижнего Поволжья. - С. 32-36.

7. Павельев А.А. Влияние структуры начальных возмущений на режим установившегося течения в трубе / А.А. Павельев, А.И. Ремшин,

B.В. Трифонов // Изв. РАН. МЖГ. - 2006. -№ 6. - С. 68-76.

8. Никитин Н.В. Численное исследование ламинарно-турбулентного перехода в круглой трубе под действием периодических входных возмущений / Н.В. Никитин // Изв. РАН. МЖГ. - 2001. - № 2. - С. 42-55.

9. Моисеев Н.Н. Математика ставит эксперимент / Н.Н. Моисеев. - М.: Наука, 1979.

10. Потапов А.Г. О кризисе ламинарного течения нелинейных сред в трубе / А.Г. Потапов // М-лы Междунар. шк.-сем. «Реофизика

и теплофизика неравновесных систем». Ч.1: Неравновесные процессы в гетерогенных средах. - Минск, 1991. - С. 136-137.

11. Потапов А.Г. К вопросу о ламинарно-турбулентном переходе при течении вязких и вязко-пластичных жидкостей в круглой трубе / А. Г. Потапов // Вести газовой науки: Проблемы эксплуатации газовых, газоконденсатных и нефтегазоконденсатных месторождений. - М.: Газпром ВНИИГАЗ, 2013. - № 4 (15). - С. 69-75.

12. Пригожин И. Время, хаос, квант. К решению парадокса времени / И. Пригожин,

И. Стенгерс. - М.: Эдиториал УРСС, 2003. -

C. 200-239.

13. Седов Л.И. Механика сплошной среды / Л.И. Седов. - М.: Наука, 1976.

14. Сычев В.В. Дифференциальные уравнения термодинамики / В.В. Сычев. - М.: Наука, 1981.

15. Потапов А.Г. Причина ламинарно-турбулентного перехода при течении вязких и вязко-пластичных жидкостей

в круглой трубе / А.Г. Потапов // XI Всеросс. съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики: сб. докл. - Казань, 2015. - С. 3097-3099.

16. Миллионщиков М.Д. Турбулентные течения в пограничном слое и в трубах / М.Д. Миллионщиков. - М.: Наука, 1969.

17. Николис Г. Познание сложного / Г. Николис, И. Пригожин. - М.: Мир, 1990.

18. Hanks R.W. Theoretical analysis of the turbulent flow of non-newtonian slurries in pipes /

R.W. Hanks, B.H. Dadia // A. I. Ch. E. Journal. -1971. - V. 17. - P. 554-557.

19. Ильин Г.А. Определение критической скорости течения промывочных и цементных растворов / Г.А. Ильин // Газовая промышленность. -1971. - № 1. - С. 5-7.

20. Потапов А.Г. Сопротивление при турбулентном течении буровых растворов / А. Г. Потапов // Сб. тр. ИГиРГИ. - М.: ИГиРГИ, 1976. -

Вып. 27: Бурение глубоких разведочных скважин в осложненных условиях Нижнего Поволжья. - С. 27-31.

21. Повх И.Л. Возникновение и развитие турбулентности при движении дисперсной системы в круглой трубе / И. Л. Повх, Н.И. Болонов, А.Е. Эйдельман // Инженерно-физический журнал. - 1974. -Т. XXVI. - № 5. - С. 901-907.

22. Филатов Б.С. Течение суспензий глины в трубах / Б.С. Филатов // Коллоидный журнал. - 1954. - Т. XVI. - № 1. - С. 65-71.

23. Латыпов Э.К. Уточнение расчета потерь давления при течении вязко-пластичных жидкостей в трубах / Э.К. Латыпов,

Б.С. Филатов // Нефтяное хозяйство. - 1962. -№ 3. - С. 23-30.

24. Казаков А.В. О возможности затягивания ламинарно-турбулентного перехода при больших числах Рейнольдса с помощью оптимального выбора объемных сил /

A.В. Казаков // Изв. РАН. МЖГ. - 2002. - № 4. -С. 81-86.

25. Кузьминский В.А. Влияние охлаждения поверхности крыла на переход ламинарного пограничного слоя в турбулентный

при сверхзвуковых скоростях потока /

B.А. Кузьминский // Ученые записки ЦАГИ. -1981. - T. XII.

26. Васильченко С.В. Влияние упругих свойств структурированных систем на процесс подъема в них пузыря газа / С.В. Васильченко, А.Г. Потапов // Коллоидный журнал. - 1989. -Т. 51. - Вып. 2.