Математическое моделирование следящего электрогидравлического привода

We consider solution of the problem of mathematical modeling of electromagnetic characteristics of radar absorbing structures based on metallized dielectrics. To this end, using the projection method, we developed a deterministic computational algorithm evaluating S-parameters of radar absorbing structures based on bands of disoriented dielectric with metal nanolayer in the microwave range.

Key words: periodic structure nanolayer metal, dielectric, self-contained unit.

Golovanov Oleg Aleksandrovich, doctor of physico-mathematical science, professor, golovanovolamail.ru, Russia, Penza, branch of VA MTO,

Polyanskov Alexander Vladimirovich, adjunct, irina7ppagmail. com, Russia, Penza, branch of VA MTO,

Sereda Eugenie Borisovich, candidate of technical science, head of the department, cool.seb2010@yandex.ru, Russia, Penza, branch of VA MTO.

УДК 621.62.82

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛЕДЯЩЕГО ЭЛЕКТРОГИДРАВЛИЧЕСКОГО ПРИВОДА

А.А. Парамонова, В.С. Ивахно, П.А. Клейменов

Рассмотрен метод построения математической модели электрогидравлического привода объемного регулирования с управлением скоростью вращения приводного электродвигателя. Модель учитывает упругость механических передач системы, взаимовлияние электродвигателя и гидросистемы, сжимаемость рабочей жидкости.

Ключевые слова: электрогидравлический привод, объемное регулирование, следящая система, адаптация.

Электрогидравлические приводы широко применяются в следящих системах автоматического управления, что объясняется их большим коэффициентом усиления по мощности, сравнительно высоким КПД, быстродействием, плавностью движения. При проектировании нового изделия необходимо исследовать систему пока еще не существующую физически, а для этого необходимо разработать и исследовать математическую модель, адекватную реальной системе. Однако полное математическое описание следящих гидравлических систем является довольно сложным, характеризуется распределенными и изменяющимися параметрами, к тому же физические свойства жидкости оказывают значительное влияние на динамику системы.

Так как в данной статье рассматривается позиционирование нагрузки за счет регулирования скорости вращения приводного асинхронного двигателя нерегулируемого насоса, математическая модель такой системы, помимо вышеперечисленных особенностей, должна учитывать еще и взаимовлияние электродвигателя и переменной нагрузки, создаваемой насосом.

Применение эффективных методов анализа и синтеза предполагает линеаризацию уравнений динамики. Линеаризованные уравнения позволяют оценить работу системы лишь при малых отклонениях от состояния равновесия, к тому же делается большое число допущений, упрощений, система становится далека от реальной.

Поэтому предлагается исследовать достаточно полную математическую модель следящего электрогидропривода в различных климатических условиях, и по результатам анализа работы системы составить адаптивный алгоритм управления позиционированием нагрузки.

На рис. 1 дана схема электрогидропривода с объемным регулированием, содержащая две аксиально-поршневые машины: насос 3 и гидромотор 5. Подача насоса 3 через редуктор 2 регулируется скоростью вращения асинхронного двигателя 1, сигналы управления которым формируются узлом управления в зависимости от угла поворота вала нагрузки. Насос 3 двумя трубопроводами 4 соединен с гидромотором 5, имеющим постоянный рабочий объем. Направление вращения вала гидромотора 5 зависит от того, правый или левый электромагнит гидрораспределителя Р1 включен. В исходном состоянии (при отсутствии управляющего сигнала) гидрораспределителя Р1 подача рабочей жидкости в гидромотор отсутствует. Вал гидромотора через редуктор 6 соединен с управляемым объектом (нагрузкой). Давление на выходе насоса поддерживается предохранительным клапаном КП. Гидрораспределитель Р3 используется для ускорения слива рабочей жидкости при отключении ее подачи на гидромотор. Гидрораспределитель Р2 направляет поток рабочей жидкости на слив либо напрямую, либо через дроссель ДР, позволяющий расширить диапазон регулирования скорости вращения гидромотора.

Узел управления в зависимости от заложенного алгоритма управления включает/отключает электромагниты гидрораспределителей и формирует трехфазное напряжение на асинхронный двигатель по закону U / f = const.

Составим математическую модель следящего гидропривода в виде системы уравнений отдельных его элементов, связанных между собой.

Рис. 1. Схема электрогидропривода с объемным регулированием

Не учитывая потери на намагничивание и полагая, что магнитодвижущие силы идеально синусоидально распределены в воздушном зазоре между статором и ротором, математическая модель асинхронного двигателя с короткозамкнутым ротором может быть представлена дифференциальными уравнениями электрической подсистемы и дифференциальными уравнениями механической подсистемы в проекциях на оси вращающейся системы координат ёд (ось ё располагается по потоку ротора, ось д ей перпендикулярна) [1]:

фдз

иёз - Кз1ёз +

ёг

+ ёз,

ёг

Юф

дз'

О ^г^дг

ёф

дг

0 - ^Аёг +

ёг

ёг

+ (Ю-(ю-

Ю • 7

шт ^р

ФФ

ёг

1<Ю-Ю™ • 7„фф1

т

р гсдг

ёю

т

ёг

т

ёг

- 1 (мдв - РЮт - Мс I

- Ю

т

где , - проекции напряжения статора на оси системы координат dq,

В; ,- проекции тока статора на оси системы координат dq, А; -

сопротивление фазной обмотки статора, Ом; ф^, ф, фqr, ф- проекции

потокосцеплений статора и ротора на оси системы координат dq, Вб; d / dt - оператор дифференцирования; Ю - угловая скорость поля, рад/с; Яг -сопротивление ротора, Ом; iqr, idr - проекции тока ротора на оси системы

координат dq, А; ют - угловая скорость ротора, рад/с; 1 р - число пар по-

2

люсов; 3 - момент инерции ротора двигателя, кг • м ; Мдв - электромагнитный момент, Н • м ; F - коэффициент вязкого трения двигателя, Н• м/рад/с; Мс - момент нагрузки на валу двигателя, Н • м; 0т - угол поворота ротора двигателя, рад.

Проекции потокосцеплений статора и ротора на оси вращающейся системы координат dq

фds — (Lаs + ^т )ids + Lmidr, фqs — (Lаs + ^т )iqs + Lmiqr ,

фdr — (^аг + ^т )idr + Lmids , фqr — + ^т Ууг + Lmiqs , где Ьсг , Ьа8 - индуктивности рассеяния ротора и статора, Гн; Ьт - индуктивность намагничивания двигателя, Гн.

Электромагнитный момент асинхронного двигателя определяется

как

М

— 3(фdsiqs — фqsids ).

дв 2

Нагрузкой двигателя в данной системе является насос, подсоединенный через редуктор. Момент нагрузки, действующий на вал двигателя со стороны насоса, равен сумме статического момента насоса и момента,

создаваемого давлением жидкости

с

М с

бнас ЛР нас

V Юнас

+ М стат

1

кр нас

3

где Qнас - теоретическая подача насоса, м/с; Лрнас - Рнапор - Рслив - перепад давлений в насосе, кг/м ; юнас - угловая скорость насоса, рад/с; Мстат - статический момент насоса, Н • м; кр нас - коэффициент передачи

редуктора 2 от двигателя к насосу.

Производительность насоса определяется как произведение удельной подачи насоса на число оборотов вала за вычетом утечек:

Qнас — у • пнас — кутеч • Лрнас ,

где у - удельная подача за один оборот, м /об.; пнас - число оборотов вала, об/с; кутеч - коэффициент утечек насоса, зависящий от свойств жидкости, м5 • кг/с .

Так как используемые в данной системе насос и гидромотор взаим-нообратимы, угловая скорость вала гидромотора исходя из формулы (1) определится как

2р

ю

мот

(бмот + kутеч ' ^рмот )' _

q

где юмот - угловая скорость вала гидромотора, рад/с; Qм0т - расход гид-

3 2

ромотора, м /с; Лрмот - перепад давлений в гидромоторе, кг/м . Угол поворота вала гидромотора

Ш —

а мот — юмот,

ш

где амот - угол поворота вала гидромотора, рад.

Крутящий момент Ммот, создаваемый гидромотором,

Ммот — q  ^мот  Лмех ' ~ ,

2Р

где Лмех - механический КПД гидромотора.

При описании нагрузки вместе с редуктором 6 будем учитывать неидеальности механической передачи от вала гидромотора к нагрузке. Тогда уравнение равновесия моментов на валу объекта регулирования будет иметь следующий вид:

3

'нагр

нагр

Шг

— с  /(ф) + Мупр - М

нагр тр

2,

где 3нагр - момент инерции нагрузки, кг  м ; юнагр - угловая скорость нагрузки, рад/с; с - коэффициент жесткости упругого элемента от вала гидромотора к нагрузке, Н  м/рад; ф - угол скручивания упругого элемента, рад; Мупр - момент от внутренних сил вязкого трения в упругом элементе, Н  м; Мтнрагр - момент от сил трения в элементах механической передачи, жестко связанной с валом нагрузки, Н  м.

За счет наличия люфтов в зацеплениях редуктора угол скручивания упругого элемента представляется в виде функции угла

i (ф)—

а мот — а , анагр

V > у

— Фн при ф>фн 5

а мот — а , анагр

V кр у

+ фн при ф<—фн5

М упр

^упр • ф при |ф|>фн ,

где фн - половина люфта редуктора, рад; кр - коэффициент передачи редуктора 6 от вала гидромотора к нагрузке; анагр - угол поворота вала нагрузки, рад.

Момент от внутренних сил вязкого трения в упругом элементе может быть представлен в виде [2]

-Ф

-г

0 при |ф<фн,

где ^упр - коэффициент вязкого трения в упругом элементе, Н• м/рад/с.

Момент от сил трения в элементах механической передачи, жестко

связанной с валом нагрузки,

нагр т~1

мтр — мсух.тр • ^^(^нагр ) + ^нагр • ^нагр ,

где Мсух тр - момент сухого трения на валу нагрузки, Н • м; ^нагр - коэффициент вязкого трения на валу нагрузки, Н • м/рад/с.

При наличии упругой механической передачи от вала гидромотора до вала нагрузки на гидромотор, в свою очередь, действует момент со стороны механической передачи

м мотр — с • / (ф)+м Упр,

где Ммотр - момент, действующий на гидромотор со стороны нагрузки, Н • м.

Гидрораспределители Р1, Р2, Р3 в модели представляют собой местные гидравлические сопротивления [3], расход через которые определяется по формуле

браспр — т распр Л

2Лрраспр

Р ,

где 0распр - расход через распределитель, м/с; ¡траспр - коэффициент

расхода распределителя; Л(к) - площадь проходного сечения распредели-

2 2 теля, м ; Лрраспр - перепад давления распределителя, кг/м ; р - плотность

жидкости, кг/м3. Причем

Л

Л(Н) —

, тах распр , , _

к----+ Лутечраспр при к > 0,

ктах

Лутечраспр при к < 0,

где к - ход золотника распределителя, м; Лтах распр - максимальная площадь проходного сечения, м2; ктах - максимальный ход золотника, м; Лутеч распр - площадь зазоров при полностью закрытом проходном сечении, м2.

Электромагниты гидрораспределителей Р1, Р2, Р3 в модели описываются звеном запаздывания по времени.

Расход через дроссель ДР определяется по уравнению (2):

6др — т ДР АДР

2аРдр

Р

3

где Qдp - расход через дроссель, м/с; Адр - площадь проходного сечения дросселя, м ; тдр - коэффициент расхода дросселя; Ардр - перепад давления дросселя, кг/м2.

Расход через клапан КП определяется по уравнению (2):

<2кп — т кп АКП(Р\

1

2АРКП

Р

акп

3

где Окп - расход через клапан, м/с; ткп - коэффициент расхода клапана, Аркп - перепад давлений клапана, кг/м .

Площадь затвора клапана Акп (Р) определяется перепадом давлений клапана, заданным давлением рзад, при превышении которого клапан начинает открываться и максимальным давлением ртах, при котором клапан полностью открыт для сброса излишнего объема жидкости:

Аутеч КП при АРКП £ Р зад,

Атах КП — Аутеч КП ( ч

-—--(АРКП — Рзад ) + Аутеч КП

Ртах - Р зад

при Рзад <АРКП < Рmax,

Атах КП при АРКП ^ Ртах,

Л 2

где Атах кп - максимальная площадь проходного сечения клапана, м ; Аутеч КП - площадь зазоров при полностью закрытом проходном сечении,

м2.

При моделировании трубопроводов 4 учитывается сжимаемость жидкости и потери давления в них из-за сопротивления трения. Расход жидкости, связанный со сжимаемостью жидкости, в предположении абсолютно жестких стенок трубопроводов, определяется по уравнению [3]:

Q — Уо ф

7—г 7. 5

Е ш

3

где Qсж - расход, связанный со сжимаемостью жидкости, м/с; Уо - внутренний объем трубопровода, м ; Е - модуль объемной упругости жидко-

2 2 сти, кг/м ; р - давление в трубопроводе, кг/м .

Потеря напора в трубопроводе выражается формулой [4]

Ь V 2

Лр — 1у 0 ™

— 2 g

где 1 - коэффициент потерь в трубе, который зависит от формы потока жидкости; 70 - удельный вес, кг/м ; Ь - длина трубопровода, м; — - диа-

2

метр трубопровода, м; Vж - скорость потока, м/с; g — 9,81 м/с - ускорение свободного падения.

Рассмотрим работу реальной системы со следующими параметрами составляющих. Параметры асинхронного двигателя ДФ42-8: мощность 11 кВт, напряжение 220 В, частота сети 400 Гц, синхронная частота вращения 6000 об/мин, максимальный вращающий момент Мдвах — 49 Н • м

3 —18310-4 кг • м2 , — 0,2519 Ом , Яг — 0,0672 Ом , Ьаг — 0,0512 мГн — 0,1023 мГн , Ьт —1,627 мГн , 1р — 4 , кр нас — 6

2

¥ — 0,005879Н• м/рад/с ; параметры нагрузки: 3нагр — 25000 кг • м

Мсух.тр — 900 Н • м , ¥нагр — 0,001 Н • м/рад/с , кр — 378 , фн — 3•Ю-4 рад

с —1,718910 Н • м/рад , ¥упр — 0,001 Н • м/рад/с ; параметры гидромотора/насоса: номинальное давление нагнетания насоса (гидромотора) 16 МПа, номинальная частота вращения насоса 1000 об./мин, номинальная

частота вращения гидромотора 1500 об./мин, q — 32 10-6 м3/об., Лмех — 0,95, Мстат — 2,943 Н • м; параметры гидрораспределителей: время

включения/выключения - 0,3 с, ктах — 2 мм , Лтахраспр — 0,20737мм ,

—10 2 2

траспр — 0,65, Лутечраспр —10 м ; параметры дросселя: Лдр — 0,75мм ,

2

тдр — 0,65 ; параметры клапана: Лтахкп — 0,0044 мм , тКП — 0,7 ,

—12 2

Рзад — 18 МПа, ртах — 38 МПа, Лутечкп —10 м ; параметры трубопровода: —=9 мм, Ь=5 м; параметры рабочей жидкости: кинематическая вязкость при нормальной рабочей температуре - 20 сст, при температуре минус 40 0С -

400 сст, р — 850 кг/м3, Е —1550 МПа, процент растворенного воздуха -10 %.

Чтобы осуществить точное позиционирование нагрузки применяется так называемое двухступенчатое позиционирование [5]. К тому же время выхода в заданную точку в рассматриваемой системе является критичным. Поэтому алгоритм управления электрогидроприводом следующий:

/зад

1) включается распределитель Р1;

2) асинхронный двигатель вращается с максимальной скоростью, по мере снижения ошибки по углу Аа частота питающего напряжения двигателя /зад рассчитывается узлом управления по следующему закону:

Аа — а зад — а нагр , I — К рег  Аа,

Ттт пРи 1 £ /тт,

1 при /тт < 1 < /тах, ^/тах

где азад - заданный угол поворота нагрузки, град; Крег - коэффициент регулятора, Гц/град; / - промежуточная переменная, Гц; /тщ- минимальное значение частоты питающей сети, Гц; /тах — 400Гц - максимальное значение частоты питающей сети.

1. По достижению определенного значения ошибки по углу Аа др

включается управление через дроссель, нагрузка переходит на пониженную скорость вращения.

2. При Аа — 0 распределитель Р1 выключается, распределитель Р4 включается.

Значение ошибки по углу Аа др было найдено экспериментально

такое, при котором выполнялись условия: до достижения Аа = 0 система должна успевать перейти на пониженную частоту вращения; момент, прилагаемый к асинхронному двигателю со стороны насоса, должен быть

меньше максимального вращающего момента двигателя Мс < М^^. При нормальной температуре рабочей жидкости оно составило Аа др — 6,7°.

Минимальное значение частоты питающей сети /тт — 20 Гц было также определено экспериментально.

Рассмотрим работу системы при нормальной рабочей температуре, заданный угол поворота нагрузки азад —15° , коэффициент регулятора Крег — 200 Гц/град . Результаты моделирования в пакете прикладных программ МЛТЬЛБ приведены на рис. 2. Максимальная скорость вращения

нагрузки <Г —15,6 град/с (рис. 2, б), время установления максимальной скорости грег — 0,53 с. В момент времени 1,2 с включается управление через дроссель, что отражается на моменте нагрузки асинхронного двигателя - скачок момента 21,5 Н  м (рис. 2, а), а скорость вращения нагрузки устанавливается равной 2,8 град/с. После окончания переходного процесса (2,1с) ошибка по углу составила 6,35 угловых минут.

210

а

Рис. 2. Результаты моделирования: а - момент, действующий на асинхронный двигатель со стороны насоса при нормальной рабочей температуре; б - скорость вращения нагрузки

и

Если рассматривать работу модели при тех же параметрах K рег Daдр, но при пониженной температуре рабочей жидкости из-за возрастания вязкости значительно уменьшается скорость вращения нагрузки, затягивается время выхода на номинальную частоту вращения, соответственно время регулирования возрастает, оно составило 9,7 с.

Адаптация к изменению параметров рабочей жидкости производится путем пересчета значения Da др. Определяется ошибка по скорости -

разность между известной максимальной скоростью вращения при нормальных климатических условиях и текущей скоростью. Настраиваемый

*

параметр Da др вычисляется в процессе работы системы по следующей формуле:

*

Da др = Daдр - Кадапт e,

где Кадапт - коэффициент адаптации, определяемый временем установления максимальной частоты при нормальной рабочей температуре, с;

e = WnaxT - Wnax - ошибка по скорости, град; Wmax - максимальная угловая скорость, получаемая в процессе работы системы, град/с.

рассмотрим работу системы при пониженной рабочей температуре,

*

применяя формулу (3) для расчета Da др, коэффициент адаптации принимается равным Кадапт = 0,53 с . результаты моделирования приведены на

рис. 3. Максимальная угловая скорость нагрузки составила 10,9 град/с (рис. 3, б), время установления максимальной скорости 1 с. Управление через дроссель в данном случае включается в момент 1,7 с, момент нагрузки асинхронного двигателя при этом 10,3 Н  м (рис. 3, а), угловая ско-

211

рость нагрузки устанавливается равной 0,43 град/с. Время переходного процесса при применении адаптации уменьшилось до 4,6 с, ошибка позиционирования - 2,87 угловых минут.

а

б

Рис. 3. Результаты моделирования: а - момент, действующий на асинхронный двигатель

со стороны насоса при пониженной рабочей температуре; б - скорость вращения нагрузки

Таким образом, предложенный алгоритм адаптации позволяет существенно сократить время позиционирования, не ухудшая при этом точностных характеристик системы.

Разработанная математическая модель электрогидропривода учитывает взаимовлияние электродвигателя и гидросистемы, позволяет проводить анализ работы системы с различными алгоритмами управления, при разных температурных условиях. Это дает возможность уже на этапе проектирования системы управления разработать систему, удовлетворяющую высоким требованиям по точности и времени позиционирования.

Список литературы

1. Калачев Ю.Н. Векторное регулирование (заметки практика). М.: ЭФО, 2013. 63 с.

2. Следящие приводы: в 3 т. 2-е изд., перераб. и доп. / под ред. Б.К. Чемоданова. Т. I. Теория и проектирование следящих приводов / Е.С. Блейз [и др.]. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 1999. 904 с.

3. Попов Д.Н. Динамика и регулирование гидро- и пневмосистем: учебник для машиностроительных вузов. М.: Машиностроение, 1976. 424 с.

4. Гамынин Н.С. Основы следящего гидравлического привода. М.: ОБОРОНГИЗ, 1962. 293 с.

5. Марголин Ш.М. Точная остановка электроприводов. М.: Энерго-атомиздат, 1984. 104 с.

Парамонова Александра Алексеевна, канд. техн. наук, науч. сотрудник, sla2906@yandex.ru, Россия, Тула, ПАО «НПО «Стрела»,

Ивахно Валерий Сергеевич, канд. техн. наук, нач. отд., vivakhnoamail.ru, Россия, Тула, ПАО «НПО «Стрела»,

Клейменов Павел Александрович, инженер 1-й категории, Россия, Тула, ПАО «НПО «Стрела»

MATHEMA TICAL MODELING OF FOLLO W-UP ELECTROHYDRA ULIC DRIVE

A.A. Paramonova, V.S. Ivachno, P.A. Kleimenov

The method of creating mathematical model for delivery control electrohydraulic drive with electric drive motor velocity control is described. The model takes into account mechanical transmission flexibility, electric drive and hydraulic system interference, compressibility of working fluid.

Key words: electrohydraulic drive, delivery control, follow-up system, adaptation.

Paramonova Alexandra Aleksevna, candidate of technical sciences, research engineer, sla2906@yandex. ru, Russia, Tula, JSC "Scientific Production Association "Strela ",

Ivachno Valerii Sergeivich, candidate of technical sciences, head of department, vivakhnoa mail.ru, Russia, Tula, JSC "Scientific Production Association "Strela ",

Kleimenov Pavel Alexandrovich, 1-st class engineer, Russia, Tula, JSC "Scientific Production Association "Strela "