Обзор методов построения квазифрактальных антенных решеток

УДК 621.396.67

ОБЗОР МЕТОДОВ ПОСТРОЕНИЯ КВАЗИФРАКТАЛЬНЫХ АНТЕННЫХ РЕШЕТОК С.Н. Панычев, С.М. Фёдоров

В работе представлен обзор методов построения фрактальных антенных решеток с помощью фрактальных и апериодических плиток, также приведен метод оптимизации конструкции решетки для улучшения ее характеристик. Описаны основные достоинства и недостатки получаемых фрактальных решеток

Ключевые слова: фрактал, антенная решетка, фрактальная плитка

Хотя множество фрактальных плиток известно с древних времен (пример древней плитки представлен на рисунке 1), формальная математическая теория плиток существует всего столетие [1]. Теория плиток нашла применение во многих областях: кристаллографии, биологии, теории коммуникаций. Позже, теория плиток стала успешно применяться в области электромагнетизма, в частности, в разработке антенных решеток на основе фрактальных плиток [2, 3, 4] и апериодических плиток [5]. Уникальная конструкция этих плиток используется для создания антенных решеток с низким уровнем боковых лепестков при минимальных интервалах между элементами решетки равных одной длине волны. Кроме того, в [6, 7, 8] показано, что надежные схемы пертурбации элементов, основанные на генетическом алгоритме можно использовать для улучшения характеристик этих решеток.

Модульные конструкции, основанные на теории фракталов, рассмотрены в книге Вернера [9] для разработки решеток с низким уровнем бокового лепестка. Фрактальная антенная решетка - это решетка, состоящая из плиток самоподобных подрешеток с фрактальными границами, покрывающими плоскость или часть плоскости без нахлестов и промежутков. Известно множество различных конструкций фрактальных решеток: решетка Пеано-Госпера, тердрагон, 6-тердрагон, псевдопушинки [9]. Другое важное свойство фрактальной решетки состоит в том, что самоподобная геометрия их плиток может использоваться, при создании быстрой итерационной процедуры для расчета диаграммы направленности дальней зоны поля, для достаточно большой антенной решетки, которая может быть значительно быстрее

Панычев Сергей Николаевич - ВГТУ, д-р техн. наук, профессор, тел. 8(473) 243-76-65

Фёдоров Сергей Михайлович - ВГТУ, аспирант, тел. 8(904) 210-05-35

обычного дискретного преобразования Фурье (ДПФ).

Рис. 1. Плитка из храма Дилвара Джейн на горе Абу, Индия

Существует особый тип фрактальной решетки, основанный на семействе заполняющих пространство кривых Пеано-Госпера (рисунок 2), поэтому он называется - фрактальные решетки Пеано-Госпера (ФРПГ) [2, 3, 4, 7, 10]. Элементы этой решетки равномерно распределены вдоль кривой Пеано-Госпера, как показано на рисунке 3, что образует конфигурацию плоской решетки с гексагональной сеткой внутри, а снаружи ограниченной нерегулярной замкнутой фрактальной кривой Коха. Эта фрактальная граница Коха и ее внутреннее содержимое формируют остров Госпера, используемый для покрытия плоскости плитками [2, 3]. Кроме того, плитки острова Госпера, показанные на рисунке 4, самоподобны и могут быть разделены на 7 маленьких плиток, каждая из которых является масштабированной копией оригинала. ФРПГ можно итерационно построить до любой итерации роста с помощью заданного в первой итерации набора формул для

смещения, масштабирования, вращения. Эти уникальные свойства использовались в книгах [2, 3] при разработке методологии для детерминированных решеток, обладающих рядом полезных свойств: равномерное распределение токов, низкий уровень боковых лепестков, относительно широкая полоса частот, модульная архитектура.

(а) Итерация 1 (6) Итерация 2

(б) Итерация 3

Рис. 2. Первые 3 итерации построения кривой Пеано-Госпера

б)

Рис. 3. Расстановка элементов решетки на первой итерации (а) и второй итерации (б) кривой Пеано-Госпера. Начальные равноудаленные места расположения элементов обозначены “+”. Расположения элементов прошедших пертурбацию с помощью генетического алгоритма обозначены “о”

Итерация 3 Итерация 4

Итерация 5

Рис. 4. Первые 5 итераций построения острова Госпера

Поскольку ФРПГ обладает фрактальной границей, ее уровни бокового лепестка ниже, чем у прямоугольной решетки эквивалентного размера с сеткой из равносторонних треугольников. При расстоянии между элементами равном одной длине волны, ФРПГ демонстрирует более низкий общий уровень боковых лепестков, чем квадратная периодическая и прямоугольно-гексагональная решетки [4]. В этом примере у всех антенных минимальное расстояние между элементами равно одной длине волны.

В разработке фазированных решеток (особенно широкополосных) важно, не допустить сильного увеличения уровня боковых лепестков, когда главный луч направлен в сторону от нормали. В случае ФРПГ с расстоянием между элементами до одной длины волны, уровни боковых лепестков меняются слабо. Однако, когда минимальное расстояние между элементами равно одной длине волны или больше, и главный луч развернут от нормали, боковые лепестки сильно увеличиваются в дальней зоне диаграммы направленности. Генетический алгоритм можно использовать для оптимальной пертурбации расположения элементов внутри ФРПГ, для обеспечения приемлемых уровней боковых лепестков [6, 7]. Эта процедура используется для модульной или плиточной фазированной решетки с нерегулярным фрактальным распространением элементов вокруг ее периферии вместе с апериодическим расположением элементов внутри решетки. Во время проектирования решетки, генератор расстановки элементов первой итерации впоследствии используется для создания ФРПГ следующих итераций с помощью эффективной итерацион-

ной процедуру, при этом на каждой итерации антенная решетка сохраняет свои широкополосные характеристики в пределах указанного объема сканирования. Примеры пертурбации расположения элементов вдоль кривой Пеано-Госпера с помощью генетического алгоритма показаны на рисунке 3.

Аналог фрактальных плиток, апериодические плитки используют для создания антенных решеток со свойствами которые, как правило, не характерны для обычных периодических решеток. В отличие от фрактальных решеток, состоящих из элементов расположенных на одинаковом расстоянии друг от друга вдоль кривой Пеано-Госпера, апериодические плиточные решетки состоят из элементов расположенных в вершинах этой решетки [5]. У антенных решеток созданных таким способом есть тенденция к образованию геометрической структуры с локальным порядком и осевой симметрии, но без поступательной симметрии. Общепринятый метод создания этих плиток основан на методе разложения [1], который похож на метод систем итерирующих функций использующийся при создании фрактальных конструкций. Метод заключается, в разложении плитки на несколько маленьких плиток, которые являются масштабированными копиями оригинальной плитки. Этот итеративный процесс продолжается вплоть до создания большой плитки.

Плитка Данзера - является хорошим пример апериодической плитки используемой для создания широкополосных плоских антенных решеток с низким уровнем боковых лепестков и имеющих малую толщину [5, 8]. Плитка Данзе-ра представляет собой конструкцию, созданную на основе трех заданных протоплиток треугольной формы. Плитка Данзера формируется покрытием плоскости этими треугольниками, с соблюдением правила выравнивания. Часть плитки Данзера вместе с тремя протоплитками показана на рисунке 5 [1]. Пример решетки основанной на плитке Данзера показан на рисунке 6.

а)

Рис. 5. Часть плитки Данзера

Й*,

- Л Л »V

*-угч-

V-

:оо:

Т’У

Рис. 6. Конструкция начальной решетки Данзера

Учитывая характерные свойства этого класса антенных решеток, их удобно использовать как основу в различных конструкциях антенн, таких как очень редкие антенные решетки [8] и решетки с очень широкой полосой частот. Существует метод позволяющий создать широкополосную плоскую решетку, основанный на простой пертурбации базового процесса генерации апериодической решетки. В этом методе дополнительные точки размещаются в пределах границы протоплитки, используемой для создания апериодической плитки. Эти точки располагаются в приделах протоплитки поскольку полная апериодическая плитка создается методом разложения. В результат формируется апериодическая плитка, содержащая дополнительные точки в приделах каждой составляющей ее плитки. Преобразование такой апериодической плитки в антенную решетку даёт элементы в вершинах плитки вместе с элементами в каждой дополнительной точке. Решетка может быть масштабирована для получения нужного расстояния между элементами и затем усечена, чтобы поместиться в нужной апертуре. Регулируя положение точки в пределах каждой базовой плитки, можно сильно изменить лучевые свойства модифицированной апериодической плиточной антенной решетки.

Литература

1. B. Grunbaum and G. C. Shephard, Tilings and Patterns (New York: W. H. Freeman and Company, 1987).

2. D. H. Werner, W. Kuhirun, and P. L. Werner, “Frac-tile Arrays: A New Class of Tiled Arrays with Fractal Boundaries,” IEEE Transactions on Antennas and Propagation, vol. 52, no. 8 (August 2004): 2008-2018.

3. D. H. Werner, W. Kuhirun, and P. L. Werner, “The Peano-Gosper Fractal Array,” IEEE Transactions on Antennas and Propagation, vol. 51, no. 8 (August 2003): 2063-2072.

4. J. N. Bogard, D. H. Werner, and P. L. Werner, “A Comparison of the Peano-Gosper Fractile Array with the Regular Hexagonal Array,” Microwave and Optical Technology Letters, vol. 3, no. 6 (December 2004): 524-526.

5. V. Pierro, V. Galdi, G. Castaldi, I. M. Pinto, and L. B. Felsen, “Radiation Properties of Planar Antenna Arrays Based on Certain Categories of Aperiodic Tilings,” IEEE Transactions on Antennas and Propagation, vol. 53, no. 2 (February 2005): 635-644.

6. J. N. Bogard and D. H. Werner, “Optimization of Peano-Gosper Fractile Arrays Using Genetic Algorithms to Reduce Grating Lobes During Scanning,” Proc. IEEE International Radar Conference, (May 2005): 905-909.

7. J. N. Bogard, D. H. Werner, and P. L. Werner, “Optimization of Peano-Gosper Fractile Arrays for Broadband Performance Using Genetic Algorithms to Eliminate Grating Lobes During Scanning,” Proc. IEEE AP-S Int. Symp., vol. 1B (July 2005): 755-758.

8. T. G. Spence and D. H. Werner, “Thinning of Aperiodic Antenna Arrays for Low Side-Lobe Levels and Broadband Operation Using Genetic Algorithms,” Proc. 2006 IEEE AP-S Int. Symp., vol. 3 (July 2006): 2059-2062.

9. D. H. Werner, W. Kuhirun, and P. L. Werner, “Frac-tile Arrays: A New Class of Tiled Arrays with Fractal Boundaries,” IEEE Transactions on Antennas and Propagation, vol. 52, no. 8 (August 2004): 2008-2018.

10. G. J. Walker and J. R. James, “Fractal Volume Antennas,” IEE Electronics Letters, vol. 34, no. 16 (August 1998): 1536-1537.

Воронежский государственный технический университет

REVIEW OF CONSTRUCTION METHODS OF QUASIFRACTAL ARRAYS S.N. Panychev, S.M. Fedorov

This paper presents an overview of construction methods of fractal antenna arrays by use of fractal and aperiodic tilings. Also, method for optimizing designed array is given. The basic advantages and disadvantages of fractal arrays are described

Key words: fractal, fractal array, fractal tile