Продольные волны напряжений сжатия-растяжения в дискретно-неоднородных тонких пластинах

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2013. Вып. 2. Ч.2. С. 28-32

Механика

УДК 539.374

Продольные волны напряжений сжатия-растяжения в дискретно-неоднородных тонких пластинах

В. Л. Баранов, А. В. Щекин, В. Н. Щитов

Аннотация. Моделируются волновые процессы, сопровождающие пробитие тонкой дискретно-неоднородной пластины, в рамках энергетического подхода.

Ключевые слова: ударник, дискретно-неоднородная пластина, волна напряжений, метод характеристик.

В работе [1] показано, что процесс пробития деформируемой преграды жёстким ударником удобно моделировать энергетической моделью, правая часть уравнения энергобаланса которой представляет собой суперпозицию энергозатрат ударника на преодоление сил трения и лобового сопротивления преграды, а также на формирование в материале преграды различных типов волн напряжений, изменяющих качество материала преграды быстрее, чем происходит проникание в неё ударника. Проведённый численный и экспериментальный анализ показывает, что значительная доля энергии затрачивается в зоне распространения продольной волны напряжения. Сложность структуры современных слоистых преград делает задачу анализа распространения в них продольных волн «напряжения-сжатия» актуальной. Количество работ, посвящённых этому, незначительно и наиболее полный критический их анализ приведён в [2].

Ниже в первом приближении рассматривается задача продольного соударения двух стрежней, первый из которых является жёстким, а второй

— составным, с площадью поперечного сечения, равной площади жёсткого стержня и с длинами участков, равными соответствующим толщинам слоёв многослойной пластины. В этом случае решение задачи может быть получено на основе базовой волновой системы уравнений

да

дЬ =Р дЬ ’

дх дЬ

дє

дУ

дЬ Ег дЬ

= Ф (а, є, Ь, Мг)  Н (а - /г (є)),

где а — напряжение; е — деформация; У — скорость частиц в волне; Е — модуль упругости материала г-го слоя; Ьг, Мг — параметры, отражающие изменение статических и динамических характеристик г-го слоя в зависимости от величины деформации и скорости деформирования соответственно; х — лагранжева координата; Ь — время; рг — плотность материала г-го слоя; Ф — экспериментально определяемая функция, описывающая комплекс неупругих свойств материала слоя с учетом дополнения её кинематическими и динамическими условиями на границах между слоями и на свободной поверхности; Н(г) — единичная функция Хевисайда, отражающая факт упругой разгрузки материала.

Методом характеристик система (1) приводится к системе уравнений в полных дифференциалах:

-1 йУ ^ -1 йа = ±ФйЬ при йх = ±Бг

и Е

йе — -1 йа =+ФйЬ при йх = 0,

Е

7~\ / Е •

где = \ Е — скорость распространения продольного упругого

V гг

возмущения в г-м слое.

Соответствующая (2) конечно-разностная система уравнений имеет вид:

У4 =о

аг = 1 а4 = о

пг 1 . . '

(У? + Уі) - Ег (а! - а\) + 2 & х (Ф1 - Ф3) АЬ

Е4

(аз + аі) - (У^ - Уз^ - Ег (Ф1 + Ф4) АЬ

є4 = є2 + Е

где нижние индексы соответствуют номерам узловых точек на характеристической сетке (рис. 1).

Значения искомых функций на фронтах прямой и обратной волн определяются из решения обыкновенного дифференциального уравнения

< [а]4 1 4

—= -_Ег [Ф]4

<<Ь 2 у 7

в совокупности с кинематическими и динамическими соотношениями между

скачками искомых функций вида

1

3

2

Рис. 1. Элемент фазовой плоскости, внутри которого ищется решение

[а]г = Ег [е]г = ТВгрг [У]г /д.

К перечисленному в случае многослойной пластины добавляются соотношения, описывающие эффекты на границах раздела слоёв, а также эффекты взаимодействия прямых и обратных волн для случаев, когда слои жёстко сцеплены друг с другом, то есть когда на границах слоёв выполняются условия непрерывности перемещений:

При г = п будем считать, что последний слой соприкасается со слоем, имеющим нулевую плотность и нулевой модуль упругости:

На рис. 2 представлен характеристический узел, лежащий на границе слоёв. Совокупность приведённых уравнений описывает процесс отражения прямой и обратной плоских волн от границ раздела слоёв.

аг = аг+1; Уг = Ут, г £ [1,п].

рп+1 = 0; ап+1 = 0.

К3

1+1

2 2

Рис. 2. Схема расчёта в узле г на границе раздела

На рис. 3, 4 и 5 представлены некоторые результаты численного решения задачи для случая трёхслойной пластины (сталь 3 — алюминий — сталь 3). Аппроксимация правых частей определяющих уравнений для материалов слоёв производилась с помощью соотношений, приведённых в [1]. Начальная скорость удара У0 = 100м/с.

а, МПа 4000

3000

Сталь 3 Алюминий Сталь 3

2

1 3 4

0,04

Рис. 3. Моментные снимки напряжений в пластине: 1 - х = 20мм; 2 - х = 50мм; 3 - х = 100мм; 4 - х = 130мм

Рис. 4. Моментные снимки скоростей материала в волне: 1 - х = 20мм;

2 - х = 150мм

р

0,20

' Сталь 1 Алюминий Сталь 3

г

IV

0.04

0,09

Рис. 5. Моментные снимки остаточных деформаций: 1 - х = 20мм;

2 - х = 150мм

Видно, что уровень сжимающих напряжений в лицевом слое в несколько раз больше уровня напряжений в подстилающих слоях. По мере развития процесса нагружения уровень напряжений на нагружаемой поверхности падает. На границах раздела материалов возникают всплески деформаций, которые могут потенциально служить источниками разрушения материалов в зоне соприкосновения слоёв, что наблюдается в экспериментах. Скорости частиц в волне в первом слое изначально равны скорости ударника и резко

затухают во втором и третьем слоях, причём интенсивность затухания во втором слое наибольшая, что объясняется его более низкими механическими и более высокими вязкостными свойствами.

Значимость влияния неоднородности механических характеристик материалов на параметры напряжённо-деформированного состояния существенна, и её нужно учитывать при моделировании процессов пробития.

Список литературы

1. Некоторые вопросы проектирования боеприпасов проникающего типа / В.Л.

Баранов [и др.]. Тула - Климовск: ТулГУ - ЦНИИТМ, 2002. 225 с.

2. Математическое моделирование взаимодействия ударников с многослойными

преградами / Н.Н. Белов [и др.]// В книге: Экстремальные состояния вещества.

М.: Машиностроение, 1991. С. 226-229.

Баранов Виктор Леопольдович (spira@tula.net), д.т.н., профессор, кафедра стрелково-пушечного вооружения, Тульский государственный университет.

Щекин Алексей Валерьевич, нач. отдела, ЦНИИТочМаш, Климовск.

Щитов Виктор Николаевич (tschitov1960@yandex.ru), д.т.н., зам. ген. директора, ЦНИИТочМаш, Климовск.

Longitudinal waves of tension of compression and stretching in discretely non-uniform thin plates

V. L. Baranov, A.V. Schekin, V. N. Schitov

Abstract. Wave processes accompanying beating in a thin discretely nonuniform plate within the power approach are modelled.

Keywords: drummer, discretely non-uniform plate, wave of tension, method of characteristics.

Baranov Viktor (spira@tula.net), doctor of technical sciences, professor, department of rifle and cannon armaments, Tula State University.

Schekin Allexei, manager of department, Tsniitochmash, Klimovsk.

Schitov Viktor (tschitov1960@yandex.ru), doctor of technical sciences, deputy general director, Tsniitochmash, Klimovsk.

Поступила 22.03.2013