Физико математическая модель температурной зависимости сопротивления металлофольговых резисторов

Недорезов В.Г. ФИЗИКО - МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТЕМПЕРАТУРНОЙ ЗАВИСИМОСТИ СОПРОТИВЛЕНИЯ МЕТАЛЛОФОЛЬГОВЫХ РЕЗИСТОРОВ

На основе анализа физико-механических эффектов, действующих в конструкции металлофольгового резистивного элемента, разработана модель, описывающая их температурную зависимость сопротивления. С учетом тензорезистивного эффекта получена общая модель удобная для проведения расчетов. Проверка разработанной модели методом сравнения расчетных данных с экспериментальными результатами показала хорошую сходимость эксперимента с предложенной моделью. Представленная физико - математическая модель температурной зависимости сопротивления металлофольговых резисторов позволяет не только рассчитывать температурную зависимость сопротивления металлофольговых резисторов, но и осуществлять подбор материалов, обеспечивающих получение резисторов с исчезающее малым температурным коэффициентом сопротивления.

Основные тенденции и направления развития производства резисторов и резисторных компонентов в первую очередь, определяются изделиями, имеющими уникальные параметры по временной и температурной стабильности сопротивления, по величине токовых шумов, по точности обеспечения номинального сопротивления и т.д. Такими уникальными характеристиками обладают прецизионные и суперпрецизион-ные резисторы, изготавливаемые из сплавов: сопротивления в виде микропровода, микропроволоки и

металлургической фольги микронных размеров.

Вполне очевидно, что прогресс в изготовлении прецизионных и суперпрецизионных резисторов является особо важным, т.к. он определяет научно-технический прогресс в смежных областях, использующих эти изделия, и способствует созданию радиоэлектронной аппаратуры, приборов и комплексов, отличающихся высокой точностью, стабильностью, надежностью и качеством.

К изделиям, разработка которых стала возможной благодаря глубокой научной проработке, использованию прогрессивных групповых технологий и специальным конструкторским и материа-ловедческим решениям, относятся металлофольговые резисторы, сочетающие в себе достоинства проволочных резисторов с технологичностью изготовления полупроводниковых изделий [1]. Достижение высоких эксплуатационных характеристик этих резисторов, и, прежде всего, температурного коэффициента сопротивления (ТКС), обеспечивается за счет принципа термокомпенсации, который связан с терморезистивным эффектом, возникающим в системе резистивный материал - подложка из-за различия их температурных коэффициентов линейного расширения (ТКЛР).

Однако, физико - математическая модель температурной стабильности металлофольговых резисторов в настоящее время отсутствует. Это может быть связано с действительным ее отсутствием или с огромной тайной, которую создает по данному вопросу фирма «Vishay», являющаяся монополистом по данному направлению резисторостроения. Автором настоящей статьи за время работы в головном российском институте по резисторостроению опубликовано несколько статей по данному вопросу [2, 3] . В этой статье приводятся последние соображения автора в части физико - мате-

матической модели температурной стабильности металлофольговых резисторов.

При разработке данной модели ТКС были сделаны следующие допущения:

резистивная фольга жестко связана с подложкой, т. е. влияние клеевого слоя не учитывается;

толщина подложки намного больше толщины резистивной ленты, поэтому влияние фольги на подложку не учитывается;

температурные коэффициенты линейного расширения подложки и резистивного материала в рабочем интервале температур практически постоянны (это подтверждается экспериментально);

резистивная фольга вследствие малой ее толщины находится в резистивном элементе в плосконапряженном состоянии, а величина деформации - в упругой области.

С учетом этих допущений была разработана физико-математическая модель температурной зависимости сопротивления металлофольговых резисторов. При разработке модели учитывались следующие составляющие, вносящие вклад в температурную зависимость сопротивления: собственная температурная зависимость сопротивления исходной резистивной фольги и изменения сопротивления, обусловленные изменениями ее геометрических размеров и объема. Температурная зависимость сопротивления резистора в таком случае будет определяться выражением

I — I - изменение сопротивления резистивного материала (свободного) от температуры;

V я )сф

I — I - изменение сопротивления резистивного материала (свободного) за счет изменения объе-

V Я0 )у сф

ма от температуры;

( я, ]

I — I - изменение сопротивления резистивного материала (приклеенного или напыленного) за

V Яо)упф

счет изменения объема от температуры;

В связи с тем, что в настоящее время для резистивных материалов, обладающих аномально низким ТКС, не существует единой теоретической концепции механизма электропереноса, а обычно применяемая модель Грюнанзена - Блоха [4] дает хорошее совпадение экспериментальных результатов с теоретическими только для некоторых чистых металлов, поэтому для описания температурной зависимости сопротивления свободной резистивной фольги можно воспользоваться выражением

где #20 - соответствует ТКС резистивной ленты при температуре 20 °С;

Р - характеризует температурную зависимость ТКС.

Изменение сопротивления свободной резистивной фольги от температуры за счет изменения ее объема и геометрии определяется

где

сопротивления резистора от температуры;

I + й1

Я ^ ^

К° )у СФ Р0-^

а • к

где 1, а, h - геометрические размеры элемента фольги;

da, dh - изменение геометрических размеров от температуры.

Если изменение геометрических параметров определяется температурным коэффициентом расширени-

-II - 1------- .

Уф I Ро )1 + аф

В соответствии с [5]

йр (3&У А <&а &к & ^

р V ^ а к I ) ,

где О - коэффициент Бриджмена;

dV - изменение объема фольги при изменении температуры от То до Т.

При отсутствии анизотропии температурного коэффициента линейного расширения

йР = -30(Т -Т0) .(5) Р

С учетом подстановки (5) в (4) и после преобразований, получим

Для приклеенной фольги выражение подобно (3), только

йр ^йУ йа йк й1 \

-^- = -0-----О1 ---+-----+ —

р V ^ а к I )

йа й1 , ч

—, — - изменение длины и ширины элемента резистора, равное ап(1 -Т0), а изменение высоты

а I

у = аф

После преобразований и подстановки выражений (5-8) в уравнение (3), получим

ч

.Я

-{1 - О [ 2ап (Т - То ) + аф (Т - Т ) + 2р(а*-ап )](Т - Т )};

0 )у сф

[1 -аф (Т - То)-2м(аф -ап )(Т - То)]

После подстановки выражений (2) им

|-Я-) =1 + а20

После подстановки выражений (2), (6) и (9) в исходное уравнение (1) и его преобразования по-

лучим

1о)^г\± ±о) ^ф ^пЖ* *о)

у р

Выражение для ТКС, полученное из данной формулы, имеет вид

ТКС = а2о + Р

Первое составляющее в данном выражении соответствует ТКС резистора при комнатной температуре, вторая составляющая характеризует крутизну изменения ТКС от температуры и третья определяется тензорезистивным эффектом.

В связи с тем, что коэффициент Бриджмена, входящий в выражение (11), представляет собой «вещь в себе» достаточно сложно определяемая величина, удобнее выразить третью составляющую через коэффициент тензочувствительности.

Коэффициент тензочувствительности является количественной характеристикой тензорезистивного эффекта и определяется как относительное изменение сопротивления от деформации:

к= ,12!

где £ - относительная деформация.

Коэффициент тензочувствительности зависит от свойств материала, направления приложения деформации и направления протекания тока.

В связи с отсутствием общей физико-математической модели, устанавливающей эту связь, автором сделан вывод зависимости коэффициента тензочувствительности, из которой вытекают частные случаи.

Вывод формулы производился при следующих допущениях:

материал, подвергаемый деформации, является изотропным;

деформация сжатия (растяжения) находится в упругой области;

изменения сопротивления в материалах обусловлены изменениями размеров и объема, а не структурной перестройкой.

Рассмотрим образец, подвергаемый деформации, в виде прямоугольного параллелепипеда. Пусть направление протекания тока совпадает с осью х параллелепипеда. Деформация образца осуществляется в произвольном направлении, не совпадающем ни с одной из главных осей. В этом случае деформация будет полностью описываться тензором деформации с шестью независимыми коэффициентами.

Изменение сопротивления под воздействием деформации £ , если направление этой деформации составляет с осями х, у, z углы а , р , у , будет иметь вид:

X + dX _ X_ p (Y + dY)(Z + dZ) pYZ

X

/ p— ,

YZ ,

где р,р\ - удельное сопротивление материала до и после воздействия деформации;

йХ, dY, йХ - изменение размеров в направлении осей х, у, z, соответственно. После преобразования выражения (13) получим

йЯ Л а 1 + ег

--- 1 г------1 ,

R )є p

Учитывая выражение (7) и после преобразований получим

= G

Подставив (15) в (14), получим dR') f1 +G (£x + sy + sz )]-(1 + sx) ,

--- =-------7-----ч-----------------1 •

R Ss

Если обозначить составляющие деформации s на оси x, y, z как sx = s • cosa ; Sy = s- cos Р ; s'=s* cosy ,

то деформация по главным осям будет определяться следующими соотношениями:

sx = s^-v-

где u - коэффициент Пуассона.

Подставив данные соотношения в уравнение (16), получим dR Л f1 + G (S'x +S'y +S'z )(1 - 2u)]'[1 +SX -u'(s'x +S'z )] ^

R Js [1 +s'y -U'

После перемножения, исключения малых второго порядка и разложения данного выражения в ряд Маклорена получим

|~Rj = Gє • (1 — 2^)(cosa + cosp + cosу) + є •[cosa — л • (cosp + cosy)] —

-s' [cosy - u'

Разделив правую и левую части данного выражения на деформацию, получим общий вид изменения коэффициента тензочувствительности К в зависимости от характеристик материала и углов a, Р, у для случая деформации объемного образца в произвольном направлении по отношению к направлению протекания тока

K = G'

Рассмотрим частные случаи, вытекающие из данного выражения:

1. Одноосное напряженное состояние, когда направление протекания тока совпадает с направлением деформации, т.е. a = 0 ,/? = 90е,у = 90' (продольный тензоэффект) .

Уравнение (21) преобразуется к виду

K^ = G

где k0 - продольный коэффициент тензочувствительности.

2. Одноосное напряженное состояние, когда направление протекания тока перпендикулярно приложенной деформации, т.е. a = 90 ,/? = 0°,;^ = 90 (поперечный тензоэффект) .

Уравнение

где - поперечный коэффициент тензочувствительности.

3. Плосконапряженное состояние, когда направление протекания тока составляет с деформацией углы 0(а(90 ,0(/?(90и,у = 90 . Если угол р выразить через угол а , то уравнение (16) преобразуется к виду

Kx = G'

где Kx - коэффициент тензочувствительности в зависимости от угла a при плосконапряженном состоянии.

Полученные из общего уравнения частные случаи для коэффициентов тензочувствительности совпадают с выражениями, приводимыми в литературе, например [6].

В экспериментальном плане наиболее просто определяется продольный коэффициент тензочувствительности [7], поэтому выразим коэффициент Бриджмена через продольный коэффициент тензочувствительности •

K^ = G

2/л — 1

Тогда

ТКС = a20 +p{T — To) + 2

где єх,Є ,Є2 - составляющие деформации в направлении осей x, y, z, соответственно.

ЖС — а20 +P

AR і _/ і

— — 1 а20 + 2(аф _ап)'

R

1 + 2м_ K^ 2м_ 1

1 + 2м_ K^ 2м_1

(м_ 1 ) + м

(м _ 1 )+м

(Т _ To ) + ^(Т _ To )2

После построения физической модели ТКС металлофольгового резистора необходимо определить условия, при которых обеспечивается минимальный ТКС в диапазоне рабочих температур.

В общем виде эта задача решается следующим образом

* 2

J ТКС(Т)• dT ^ min ^ 0

осле интегрирования

а20 _Р Т0 + 2

1 + 2м_ K» (м_ 1)+м 2м _1

После интегрирования, получим

1 + 2м_ Kt

а20 _Р^ Т0 + 2(аф _ап )•

2м_ 1 1 + 2м_ Kt

(м_ 1)+м

• (Т _ Т )+|(Т22 _ Т12) — 0

2м_ 1

(м _ 1) + м

+|(Т2 + Т ) — 0

а

+ "т

1 + 2м_ K^ 2м_1

(м _ 1)+м

- 0

где Т2, Ті, To - максимальная, минимальная и комнатная температура, соответственно, в рабочем диапазоне температур;

Все величины, входящие в данное выражение являются постоянными (в рамках разработанной модели), кроме а2о (величина ТКС при температуре 2 0 °С). Для обеспечения минимальных значений ТКС в рабочем интервале температур необходимо решить данное уравнение относительно а2о •

Определение величины а2о в рамках полученной модели проведем для металлофоль гового резистора типа Р2-67 на основе лучшей отечественной резистивной фольги из сплава «Х».

Рабочий диапазон температур Т, Т для резистора типа Р2-67 задается минус 60...+ 125 °С.

В результате решения уравнения (30) исходное значение а2о для обеспечения минимального значения температурного коэффициента сопротивления в рабочем диапазоне должно составить +11,32•Ю-6 °С-1 (или 11,32 ppm).

Расчетные температурные зависимости сопротивления исходной фольги из отечественного сплава «Х» - и резистора Р2-67, обеспечивающие минимально возможное значение ТКС при выбранной конструкции и материалов приведены на графике (рисунок) . На этом же графике представлена температурная зависимость реального резистора типа Р2- 67 с температурной зависимостью сопротивления близкой к расчетной. Различие в температурных характеристиках идеального и реального резистора показано на нижней вставке к данному графику. Расхождение значений идеального и реального резистора обусловлено, в большей степени, отклонением температурной зависимости сопротивления исходной резистивной фольги от расчетной и, в меньшей степени, связано с погрешностью определения физических характеристик материалов, входящих в данную модель и определяющих точность сходимости экспериментальной и расчетной кривой.

Отечественная резистивная фольга из «Х» - сплава, которая по параметрам близка к «С» -

сплаву фирмы «Vishay», и обеспечивает в резисторах в рабочем диапазоне температур минус 60. + 125 °С минимальные значения ТКС на уровне ± (2.3) ppm.

Металлофольговые резисторы, разработанные НИИ электронно-механических приборов и выпускаемые в настоящее время, не уступают по температурной стабильности сопротивления резисторам фирмы «Vishay» на основе сплава «С».

или

или

Рисунок Температурные зависимости сопротивления исходной фольги и резисторов на основе отечественного сплава «Х»: Ш - исходная фольга; - резистор с минимально возможным ТКС; О - реальный резистор

Выводы:

Таким образом, в статье представлена общая физико - математическая модель температурной зависимости сопротивления металлофольговых резисторов удобная для проведения расчетов, пользуясь которой можно не только определять температурную зависимость сопротивления резисторов, но и обеспечивать подбор материалов, обеспечивающих получение резисторов с исчезающее малым температурным коэффициентом сопротивления.

ЛИТЕРАТУРА

1. Каталог фирмы «Vishay».

2. Недорезов В.Г. Температурная зависимость сопротивления металлофольговых резисторов// Электронная техника. Сер. Радиодетали и радиокомпоненты. - 1988, - Вып. 2(71), - с. 22-25.

3. Недорезов В.Г. Зависимость коэффициента тензочувствительности керметных резистивных материалов зависимости от направления протекания тока и деформации// Перспективные материалы,2003 - №3, - С. 95-100

4. Займан Дж. Электроны и фононы. - М.: ИЛ, 1962. - 488 с.

5. Рузга З. Электрические тензометры сопротивления. М.: Мир,1964, 365с.

6. C. Canali et. al. Strain sensitiviti in Thick-films resistors. Trans. on Comp. Hybr. & Man. Techn. v. CHMT-3, № 3, 1980, рр.421-423.

7. Недорезов В.Г. Физико-механические эффекты резистивной проволоки из прецизионных сплавов сопротивления/ А.В. Кузнецов, В.Г. Недорезов, В.И. Старкин // Электронная техника. Сер. Материалы . - 1990, - Вып. 8(253), - с. 63-66.