Теоретические основы организации вывода умозаключений в немонотонных средах

Вестник Дагестанского государственного технического университета. Технические науки. № 18, 2010.

-\-

УДК 338.467.5

А.Ю. Сусин

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОРГАНИЗАЦИИ ВЫВОДА УМОЗАКЛЮЧЕНИЙ В НЕМОНОТОННЫХ СРЕДАХ

В статье рассматривается один из важных элементов понятийного мышления интеллектуальных систем, связанный с организацией вывода умозаключений в произвольной немонотонной проблемной области. Вводятся понятия условно-зависимой переменной и её свойств как базовые понятия теоретических основ организации вывода умозаключений в немонотонных средах.

Ключевые слова: интеллектуальные системы, условно-зависимые предикаты, немонотонный вывод.

Введение. Организация вывода умозаключений в интеллектуальных системах является одним из эффективных направлений моделирования понятийного уровня мышления для принятия решения на основе рассуждений [1]. Однако, по ряду причин оно не получило достаточно широкого распространения в ИС с различным функциональным назначением.

Одной из таких причин является немонотонность вывода умозаключений в рамках произвольной предметной области. Данное обстоятельство привело к разработке различных немонотонных логик правдоподобных рассуждений (см. например [2]), которые в значительной степени позволили обойти отмеченные трудности. К сожалению, такие немонотонные логики не позволяют системе принятия решений однозначно судить об истинности выводимых заключений, а только с определенной степенью правдоподобности подтверждают их выполнимость в выбранном множестве схем логических аксиом и правил вывода. Такая недоопределенность вывода в немонотонных логиках ограничивает их использование для принятия решений в автономно функционирующих ИС, часто требующих однозначного ответа на вопрос об истинности выводимых умозаключений.

Другой существенной причиной, ограничивающей широкое применение различных логик рассуждений, является то, что для современного этапа их развития характерен вывод только отдельных обособленных умозаключений. В реальных условиях функционирования этого недостаточно, так как для решения сложных задач требуется вывод как отдельных умозаключений-факторов, так и формирование цепочки взаимосвязанных рассуждений.

В данной статье изложены теоретические основы одного из подходов к организации вывода умозаключений в немонотонных средах на основе логики условно-зависимых переменных и предикатов, позволяющему избежать выше отмеченных недостатков, возникающих при использовании существующих методов немонотонного вывода.

Условно-зависимые переменные и их особенности. Условно-зависимой переменной называется и обозначается двойка А(Р) = (С, Р), где СА - название переменной; ¥А - множество требований и условий, которым должны удовлетворять элементы произвольного (базового) множества А, чтобы они относились к переменной

А(Ра ) .

В самом общем случае элементы множества ¥А могут носить разнообразный характер, зависящий от вида и свойств условно-зависимой переменной А(¥А ) .

Условно-зависимая переменная А(¥) называется условно-зависимой предметной переменной (1111), если множество ¥ определяется множеством характеристик и признаков, которыми должны обладать произвольные предметы проблемной среды, относящиеся к ПП А(¥ ) .

Пусть каждый предмет а (X ), г = 1, к описывается множеством характеристик Х{. Тогда пишем а (X )А(¥) , если ¥ ^ Х{ и пишем а (X ) ^ А(¥А) в противном случае.

Таким образом, множество ¥ можно интерпретировать как множество причинно-следственных ограничений, образующих монотонное множество объектов А( ¥) относительно заданного свойства у, определяющегося характеристиками ¥А .

В немонотонной изменяющейся во времени области А множество ограничений ¥А можно разбить на два подмножества: ¥А - абсолютные причинно-следственные ограничения, присущие ПП А(¥л) независимо от условий проблемной среды и относительные, то есть появляющиеся причинно-следственные ограничения или «тормозные» факторы 2А. Появление в среде тормозных факторов 2А нарушает

монотонность вывода фактов в рамках множества А(¥А), образованного множеством

абсолютных ограничений ¥(А ) .

Например, все живые существа, имеющие развитые крылья объединяются во множество А(¥л) - «летающих животных». Однако, при появлении «тормозящего»

фактора 2\ - «наличие повреждений» все живые существа А(¥А) теряют способность летать.

Пусть для двух ПП А(¥л) и В(¥), образованных из элементов одного и того же базового множества А и выполняется условие " ¥А ^ ¥". Тогда множество А(¥л) называется покрытием множества В(¥) и обозначается В(¥в) ^ А(¥А) . Например, пусть ПП В( ¥) и А( ¥) соответственно являются переменными с именами «летающие живые существа» и «живые существа». Очевидно, что В(¥в) ^ А(¥) и все элементы А, удовлетворяющие ¥ , удовлетворяют требованиям и ¥ , обратное же условие не всегда выполнимо, так как не все «живые существа» имеют «развитые крылья», присущие летающим живым существам.

Из сказанного вытекает, что существующие ПП А( ¥) можно расширять и сужать по признакам, которые в первом случае добавляются к множеству признаков ¥ , а во втором случае удаляются из этого множества. Предметные переменные А(¥А) и В(¥) называются условно равными и обозначаются А(¥л) = В(¥в), если ¥ = ¥ . Рассмотрим один из важных частных случаев ПП. Пусть ПП А(¥) формируется по заданному признаку, а множество ¥ определяется множеством причин, влекущих за собой выполнимость следствия: У а (X ) е АА(¥Л ) ^ М (а (Xi), Я*), где « ^ » - операция импликации; М(а),Я) - высказывание «объект а(X) обладает признаком Я».

Приведенное импликативное правило означает следующее, если объект а (X) относится к ПП АЯ(¥), то этот объект обладает признаком Я*. В этом случае ПП является каузально-зависимой переменной и обозначается А*(¥), а признак Я* называется образующим признаком этой ПП.

Например, казуально-зависимая 1111 А*(РА) - «летающие птицы» состоит из

элементов базового множества А -«птицы», обладающих умением Л - летать по причине наличия у них развитых крыльев.

Предметная переменная называется замкнутой и обозначается А*(Р*), если Р* определяется множеством необходимых и достаточных причин [3], влекущих за собой общезначимость следствия:

У а (X) е АЛ*(РА) ^ М (а (X), Л), г = 1, п для всех элементов, входящих в 1111 АЛ*( р*) .

Обобщенной ПП называется тройка Аоб(р) = (СА;{А(Р)},г = 1,п;Р°), где С° -

название обобщенной переменной, например, «хищные животные»; {А (Р)}, г = 1, п ; -множество 11, образующих обобщенную переменную, например, «хищные птицы» и т.д.; РАб - признаки, характерные для всех ПП А (Р), г = 1, п, образующих обобщенную переменную Аоб (РА).

Рассмотрим условно-зависимые теоретико-множественные операции над ПП, определенными на элементах одного и того же базового множества А .

Пусть ПП А(р) определена на элементах множества А . Тогда дополнением ПП

А(р) к базовому множеству А называется и обозначается ПП А(р) = (СА, р) , у которой название СА является антонимом названию С, а условия принадлежности р определяются отрицанием хотя бы одного из условий р. Иными словами, к ПП А(р) относятся все объекты а (X ) £ А(р ) или р .

Условно-зависимым пересечением ПП А( р ) и В( р ), определенных на элементах базового множества А , называется и обозначается ПП

^(Р ) = А(р ) о В(р ), Ы(РМ ) = (См, р ) , у которой название С^ образуется при помощи конкатенации названий Сл & Св через связку И, а условия принадлежности р = р ^ р . Другими словами, ПП N(р) включает такие объекты а, () из А, для которых выполняется условие (р ^ X¡ )&(Р ^ X), то есть объекты одновременно удовлетворяющие требованиям и р и р . В результате получается ПП, которая покрывается и А(р ), и В(р ) .

Условно-зависимым объединением ПП А(р) и В(р) называется и обозначается ПП К(р ) = А(р ) ^ В(р ), К(р ) = (Ск, р ) , для которой название С^ получается при помощи конкатенации названий С и С через связку ИЛИ, а множество условий принадлежности р определяется по следующему правилу:

\ Ра о Рв, если FA о Fв * 0; К \{Ра V Рв }, если FA о р = 0,

где запись {р V р } означает, что множество р условий принадлежности состоит из двух независимых множеств и р, при этом, любой элемент из базового множества а (Xi) е А относится к ПП К(р ) , если выполняется условие (р ^ Xi) ^ (Рв ^ Xi), то есть, если он удовлетворяет требованиям хотя бы одного из подмножеств р или р. В результате получается ПП, которая покрывает и А(р ), и В(р ) .

Из вышесказанного следует, что каждая ПП А(¥) объединяет под одно название аналогичные друг другу объекты по признакам ¥ . Назовем такую аналогию объектов а (X¡) е А(¥) сильной аналогией по признакам ¥ . Для количественной оценки сильной аналогии объектов по признакам определим показатель степени аналогии р(а (Xi), а (Xi)), который вычисляется следующим образом:

(Xt), а (Xt)) = min

пх nx'\ \x nXh

XI ' X

где 1x1 - мощность множества Xi. С другой стороны, ПП А(¥) включает объекты аналогичные по признакам объектам ПП В(¥), если ¥ ^ ¥ = 0 . Назовем такую аналогию объектов слабой аналогией по признакам ¥ ^¥ . Степень р*с(а(Xi),Ь.(X.)) слабой аналогии объектов ПП А(¥) и В(¥) по признакам является величиной постоянной и может определяться следующим образом:

» 21¥ ^¥я| ¿(а (X,), Ь, (X,)) =  1 А В|

где коэффициент 2 взят для выполнения условия р*с(а(X),b(X)) = 1, если F = FB.

Пусть заданы две ПП A(FA) и B(FB) . Прямым условно-зависимым произведением ПП на базе условия F ^ F называется и через A(F)х B(F) обозначается множество пар {< а (X ) G A(¥ ), b (Xj) G B(FB ) >} , таких, что они удовлетворяют требованиям заданного условия F ^ F, которое заключается в следующем, если а (X ) удовлетворяет требованиям условий F , то b (X ) должен удовлетворять требованиям F2, вытекающим из условий F .

Нечеткой ПП называется и обозначается пара A(Fa) = (Ca,A(Fa)), где СА -название предметной переменной; FÁ - нечеткое множество признаков принадлежности, которым должны удовлетворять объекты 1111 A(Fa ). Каждый / элемент нечеткого множества FÁ задается парой < ///; (f;), >, где fj - название требования или признака; цр (f ) g [ü,l] - субъективная оценка степени присущности характеристики (признака) f . для объектов 1111 A(FA) .

Если каждый объект а(Х) определяется при помощи нечеткого множества признаков X, i = 1, п2, а в качестве условий принадлежности к 1111 A(Fa ) принимается нечеткое множество характеристик РА, то пишем a(X¡) е A(f',), если FAciXi. В противном случае пишем a(X¿) g A(Fa) . Здесь знак cz означает нечеткое включение множества FÁ в множество Xi.

Нечеткое множество РА является нечетким подмножеством X, если степень включения

4 уфл Д) = m,n

является величиной большей или равной 0.5, где / (f) - степень присущности признака /, объекту ,); «—»» - операция нечеткой импликации, которая берется следующим обРазом: тах(1 - / f ), / f)) .

Учитывая, что интерпретация степени присущности /р (f) для ПП несколько иная, чем интерпретация степени принадлежности у нечетких множеств, операцию включения множества FÁ в множество Xi можно упростить, воспользовавшись следующим правилом.

Множество Рл является нечетким собственным подмножеством Xi, если выполняется условие:

щ GFA)(3f: ei,)^ ./;.)&(// (./;) //,(./;•)) .

Приведенная запись означает, что /•';! с; Х;, если каждый признак /., содержащийся в /•', со степенью присущности /х (fj) > /р (fj) .

Если для двух нечетких 1111 A(Fa ) и B(FB) выполняется условие FB ciFa , то 1111 B(FB) называется нечетким покрытием 1111 A(Fa) и обозначается A(Fa) с: B(FB) .

Расширением и сужением нечеткой 1111 A(Fa) по признакам принадлежности X называются предметные переменные и соответственно обозначаются A(Fa 'и Л) и A(Fa \ Л), для которых множества признаков принадлежности получаются из /•',

соответственно путем присоединения к ним и удаления из них множества признаков Л .

Рассмотрим теоретико-множественные операции над нечеткими ПП заданными на элементах одного и того же базового множества А .

Пусть нечетко заданная 1111 A(Fa) = (Ca,Fa) определена на элементах базового множества А . Тогда, дополнением A(Fa) к базовому множеству А называется 1111 1A(Fa) = (1Ca,1Fa) , у которой название 1СА является антонимом названию СА, а степени присущности /Jp(fj) элементов множества 1 /<, определяются следующим выражением jup(fj.) = 1 -jup(fj.), где jUp(fj) - степени присущности /, элементов к множеству /•', исходной ПП A(Fa) .

Пересечением ПП A(Fa) = (Ca,Fa) и B(Fb) = (Cb,Fb) называется и обозначается 1111 D(Fd) = (Cd,Fd) , равная D{Fd) = A{FA)r^B{FB), для которой имя CD=CA*CB определяется конкатенацией имен СА и Св, а признаки принадлежности FD= Fa^jFb, Fd = (< (fjl fj >}j = lщ ¡Лр (./;) = max(///;( f¡), //(./;)), где //,,. (./;), //(./;) - степени присущности признака /. соответственно к 1111 (/',) и B(FB) ; 'о - нечеткая операция объединения [4].

Таким образом, 1111 D(Fd) включает те и только те объекты которые

одновременно удовлетворяют требованиям условий Fa a Fb, то есть 1111 D(Fd ) нечетко покрывается и A(Fa), и B(FB). Например, пусть A(Fa) - 1111 с названием «длинные

объекты», a B(FB) - «и острые объекты», тогда D(Fd) = A(FÁ)dB(Fb) является lili с названием «длинные и острые объекты».

Объединением 1111 A(Fa) и B(FB) называется и обозначается 1111

@(F@) = A(Fa)^jB(Fb), @{F@) = (C@,Fb) , для которой имя С@ определяется конкатенацией имен CA, CB выполненной связкой « ИЛИ », а

р = | Fa если РАглРв* 0; @ \(Fa v h X если FacFb= 0,

К = \</-irU'j)J'j >!, ' = !,>", ) = min(///;(/; ),//(/; )), где n - операция нечеткого

пересечения множеств; FÁ и FB - носители нечетких множеств /', и h),; (/', v ) -запись, означающая, что множество условий принадлежности Fа состоит из двух множеств FÁ и FB, и любой элемент А является элементом 1111 @(F@), если он удовлетворяет требованиям хотя бы одного из множеств FÁ или !•],.

Нечеткая 1111 A(Fa) называется каузально-зависимой, если имеется доминирующий принак X, определяющий ее название C, например, «летающие существа», а множество FA является множеством причин и сопричин, влекущих за собой выполнимость следствия:

где M{ai{Xi),X)~ высказывание «объект а,(Х,) обладает признаком X». Степень истинности этого высказывания задается величиной, равной v(FA, Xi); « ^» - операция импликации.

Найдем степень сходства p{aj{Xi),dj{Xj)) двух объектов ¿/(X) и а](Х]) по доминирующему признаку X при условии, что a¡(Xi), a¡(Xi) § Ж F,). Данная степень вычисляется следующим образом:

piaXXXaXX])) = (1 -р\а&\а&))ХЛ>>

где XX - поправочный коэффициент по признакам принадлежности FÁ, который берётся как абсолютная величина разности:

р - усредненное значение нечетной степени сходства объектов ¿/ (Х ) и

Усредненное значение степени сходства объектов определяется по формуле:

п

Вестник Дагестанского государственного технического университета. Технические науки. № 18, 2010.

-\-

где ¡лх (f), ¡л'х (f) - степени присущности характеристик f. соответственно к

множествам Xi и X'; «» - операция нечеткой эквивалентности, которая берется следующим образом [4]:

min(max(l - //, (fj), jli, {f.)), max(l - jli, {f.), //, (fj))) m =max(m,m1) ; от, от, - соответственно X и X].

Использование усредненной оценки степени сходства объектов аг

обусловлено тем, что множества характеристик и для различных объектов

обязательно содержат различные элементы, а это может привести к тому, что при значительном общем сходстве объектов, являющихся различными по заданным признакам, степень их сходства будет принимать нулевое значение.

Заключение. В предложенной работе были сформулированы основные понятия условно-зависимых переменных, предикатов и их свойств, являющихся теоретической основой метода организации вывода умозаключений в немонотонных средах, с помощью которого возможно преодолеть ограничения, возникающие при использовании существующих методов немонотонного вывода. На основе предложенной логики условно-зависимых предикатов строятся правила и многоярусные схемы вывода цепочек взаимосвязанных умозаключений. При этом, решение проблемы заключается в выделении монотонных участков вывода умозаключений на основе причинно-следственных ограничений, накладываемых на объекты произвольной проблемной области.

Библиографический список:

1. Поспелов Д.А. О человеческих рассуждениях в интеллектуальных системах. В кн.: Логика рассуждений и ее моделирование // Вопросы кибернетики. -М.: АН СССР. 1982.

2. Тейз А., Грибомон П., Луи Ж. и др. Логический подход к искусственному интеллекту: от классической логики к логическому программированию. -М.: Мир, 1990.

3. Поспелов Д.А. Ситуационное управление: теория и практика. М.: Наука, 1986.

4. Мелихов А.М., Берштейн Л.С., Коровин С.Я. Ситуационные советующие системы с нечеткой логикой. - М.: Наука, 1990.

5. Берштейн Л.С., Ильягуев П.М., Мелехин В.Б. Интеллектуальные системы. -Махачкала: Дагкнигоиздат, 1996.

Вестник Дагестанского государственного технического университета. Технические науки. № 18, 2010.

-\-

A.Y. Susin

The theoretical basis of the conclusions inference organisation in non-monotonic environments.

One of the important elements of intellectual systems conceptual thinking associated with the conclusions inference organisation in arbitrary non-monotonic subject area is considered in this article. The concepts of conditional-dependent variable and its properties as basic concepts of the theoretical basis of the conclusions inference organisation in non-monotonic environments are defined.

Keywords: intellectual systems, conditional-dependent predicates, non-monotonic inference.

Сусин Александр Юрьевич (р. 1984) аспират очной формы обучения Дагестанского государственного технического университета. Окончил Дагестанский Государственный Технический Университет (2006).

Область научных интересов: искусственный интеллект, математическая логика, математическое моделирование. Автор 4 научных публикаций.