Динамика изменения численности людей в сфере деятельности некоммерческих организаций

DOI: 10.15593/2224-9354/2019.2.18 УДК 658.5-027.546

А.В. Болотин, А.А. Лунегова

ДИНАМИКА ИЗМЕНЕНИЯ ЧИСЛЕННОСТИ ЛЮДЕЙ В СФЕРЕ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ НЕКОММЕРЧЕСКИХ ОРГАНИЗАЦИЙ

На базе математических методов системного анализа построена качественная теория динамики изменения численности людей в сфере, охваченной деятельностью некоммерческих организаций (НКО) в Российской Федерации. Представлены дифференциальные уравнения для относительной скорости роста численности людей в сфере НКО. Рассмотрены две группы детерминированных дифференциальных уравнений динамики изменения общей численности людей в НКО: обыкновенные дифференциальные уравнения, в которых относительная скорость роста является функцией числа людей, не охваченной сферой НКО, и уравнения, где относительная скорость - функция времени. Решение дифференциального уравнения первой группы приводит к аналитической зависимости для относительного прироста людей в сфере НКО, позволяющей предсказать временное поведение переменной, а также теоретически обосновать выбор функциональной зависимости относительной скорости роста численности людей, при получении и анализе уравнений второй группы. Результаты теоретического анализа могут быть использованы при построении имитационной модели динамики изменения численности НКО, с целью последующего изучения влияния деятельности НКО на изменение экспериментально измеряемых показателей качества жизни народонаселения.

Ключевые слова: некоммерческие организации (НКО), системный анализ, относительная скорость роста НКО, дифференциальные уравнения, имитационное моделирование, качество жизни населения.

Любая социально-экономическая система состоит из определенных структурных элементов, которые взаимодействуют и взаимосвязаны между собой. Применительно к условиям функционирования социально-экономическую систему целесообразно рассматривать как совокупность двух подсистем: экономической и социальной, каждая их которых обладает определенным потенциалом. Вместе с тем известно, что в качестве одной из составляющих структурных элементов социально-экономических систем являются некоммерческие организации и их деятельность, направленная на решение социально значимых проблем общества.

© Болотин А.В., Лунегова А.А., 2019

Болотин Александр Викторович - канд. хим. наук, доцент кафедры промышленного и гражданского строительства ФГБОУ ВО «Северо-Восточный государственный университет», Политехнический институт, е-mail: alexandr_bolotin@mail.ru.

Лунегова Анастасия Антоновна - канд. экон. наук, доцент кафедры технических дисциплин ФГБОУ ВО «Пермский национальный исследовательский политехнический университет», Лысьвенский филиал, Автономная некоммерческая организация «Культурно-правовой центр «ВИВАТ», е-mail: laaru@rambler.ru.

В настоящее время основное внимание государства акцентируется на деятельности социально ориентированных некоммерческих организаций (СО НКО), оказывающих общественно полезные услуги, о чем говорится в п. 2.2 Федерального закона от 03.07.2016 № 287-ФЗ [1].

Расширение поля деятельности СО НКО сопряжено с определенными финансовыми затратами. Это вызывает некоторые трудности в оказании общественно полезных услуг, так как СО НКО, в основном, обладают небольшими материальными и людскими ресурсами. В этих условиях грантовая поддержка со стороны государства является весьма своевременной. В 2017 году только по программе президентских грантов на поддержку НКО направлено 7 млрд руб. [2].

Понять, какой процент полученных грантов непосредственно доходит до своей цели в условиях обширной территории РФ, представляется весьма проблематичным. Тем не менее поле деятельности СО НКО на сегодняшний день активно развивается и расширяется. Все больше в деятельность СО НКО втягиваются граждане в качестве волонтеров, имеющие активную жизненную позицию, т.е. обладающие определенным социальным потенциалом [3].

В целях управления этим процессом нами проведен теоретический анализ динамики изменения средней численности людей во времени, задействованных в сфере СО НКО.

Для упрощения теоретического анализа динамического поведения рассматриваемого процесса целесообразно, следуя логической схеме работ [4-6], ввести понятие относительной скорости роста численности людей ), за-

1 < ц ,

действованных в сфере НКО--(год ), и представить ее в общем случае,

ц &

как функцию двух переменных - численности людей, не охваченных сферой НКО (ц ), и времени (¿):

~=/

ц <л

Очевидно, что нахождение в общем виде функциональной зависимости / (ц; /) и решение дифференциального уравнения (1) представляет собой довольно сложную задачу.

Упрощение достигается при рассмотрении двух предельных случаев,

а именно, когда величина--^ является только функцией ц либо только

ц <

функцией £ Отметим, что аналогичные упрощающие допущения используются при составлении дифференциальных уравнений биологии развития [7-9].

Принимая в качестве простейшей зависимости линейную зависимость / (ц) = к ц, перепишем (1) для первого предельного случая следующим образом [10-14]:

Шц , _ ...

— = кц ц.

Ш

Пусть £ - прирост Ц в результате включения новых людей в сферу НКО, т.е. £ = ц-ц0, где ц0 - начальная численность людей в НКО. С учетом того, что прирост Ц равен убыли ц, получим вместо (2) дифференциальное уравнение

= к

Для упрощения последующего теоретического анализа введем безразмерные переменные и параметры по формулам:

£ Л

^ = Ф; кц0^ = т; = Ф0,

10 10

где ц 0 - начальная численность людей, не задействованных в деятельности НКО; ц0 - начальная численность людей в сфере НКО; т - безразмерное время; к - константа скорости рассматриваемого процесса. Тогда исходное уравнение (3) запишется так:

Щф =

а его решение может быть представлено в виде

Ф0

Ф = —-Г^Г.

1 + Ф/ ф0 )т

К сожалению, данные социологических экспериментов относительно ежемесячного изменения параметров ц0 и ц0 отсутствуют. Однако мы можем дать некоторую численную оценку безразмерному параметру Ф0, пользуясь соображениями физической размерности входящих в (4) величин. Оче-

ц0 ,

видно, что ц0 << ц0 , поэтому Ф0 = —- << 1.

ц 0

На рис. 1 приведена рассчитанная по уравнению (6) временная зависимость относительного прироста людей в сфере НКО при ф0 = 10-1.

Ф

0,8

0,6

/

0,4

0,2

О 5 10 15 20 30

Время, т

Рис. 1. Временная зависимость прироста людей в сфере НКО, рассчитанная по уравнению (6), при ф0 = 10-1

Как показывает график, траектория прироста ф достигает стационарного состояния при некотором значении безразмерно времени т .

Полученные результаты приводят к логичному выводу - нормировать, при рассмотрении второго предельного случая, накопление численности людей в сфере НКО общим временем роста и принять, что удельная скорость

роста (1) пропорциональна (¿т -1) - оставшемуся времени достижения максимально возможной численности людей, соответствующей предельной емкости имеющихся НКО (лт):

где лт - максимально возможная численность людей в НКО при tm .

Из уравнения (8) следует, что величина лт достигается при условии t = tm . Если же t > tm , то л начнет уменьшаться по кривой, которая симметрична кривой ее предшествующего увеличения. Уравнения (6) и (8) находятся в хорошем качественном соответствии с экспериментальными данными

и

Л^)=Лт еХР ^(т - t)2 ,

(рис. 2, 3).

б

Рис. 2. Средняя численность работников (а) и добровольцев (б) в СО НКО (данные по РФ)*

Подчеркнем, что уравнение (8) есть не что иное, как нормальный закон распределения (закон Гаусса) [15-18]:

/

1 (х-^) 1 2°2

а

здесь ц и а - параметры распределения, определяемые опытным путем.

Это становится наиболее очевидным, если записать зависимость численности людей в сфере НКО от времени (8) так:

1 - ^ ) = £'—и в 21 а

а

где использованы такие обозначения: р = 1/а2, Р' = ц

а

* Авторская разработка по материалам [3].

б

Рис. 3. Средняя численность работников (а) и добровольцев (б) в СО НКО (данные по Пермскому краю)*

В частном случае при t << tm :

( -1)2 = ^ - 2t t +12 « ^ - 2t t.

V т ) т т т т

Подставляя (11) в (8) и вводя обозначения

Лт =Лт еХР

' Р 2Л —г

2 т

; а = Р к,

получаем экспоненциальный закон динамики роста л (t) :

Л(t) ~ Лт еХР(аt).

Разложив экспоненту в ряд [19] и пренебрегая вторым членом по сравнению с первым, можно получить линейный закон роста Л (t) :

Л(t )~Лт (1 + at).

*Авторская разработка по материалам [6].

а

Подчеркнем, что принимаемые допущения переводят проблему математического описания динамики изменения численности людей в сфере НКО из детерминированных моделей, перемещая все внимание на стохастические элементы, что наглядно демонстрируется формой уравнений (8) и (10).

Как видно на рис. 2,3, изменение ц(t) описывается асимметричными

кривыми, что связано с влиянием на динамику процесса факторов внешней среды, которые меняются случайным образом. Другими словами, это означает, что в уравнение (7) следует ввести некую нелинейность, которая и приведет к решению типа асимметричного распределения. Указанному требованию, по-видимому, будет соответствовать уравнение вида

1 Шц = .

ц А t

Решение уравнения (14) дает асимметричное распределение для временной эволюции средней численности людей в НКО:

) = ЛЯ exp

"f (lntm - ln t)2

Таким образом, увеличение численности людей в сфере НКО может быть также рассмотрено с позиций теории случайных процессов [20].

Развитые нами теоретические соображения позволяют создать имитационную модель динамики роста численности НКО в РФ, учитывающую многие показатели, сопутствующие росту, а также спрогнозировать влияние указанных процессов на изменение показателей качества жизни населения.

Список литературы

1. О некоммерческих организациях [Электронный ресурс]: Федер. закон от 12.01.1996 № 7-ФЗ (ред. от 05.02.2018) // Сборник основных федеральных законов. - URL: http://fzrf.su/zakon/o-nekommercheskih-organizaciyah-nko-7-fz/ (дата обращения: 25.05.2018).

2. Доклад о состоянии гражданского общества в Российской Федерации за 2017 год / Общественная палата Российской Федерации. - М., 2017. - 100 с.

3. О реализации мер по обеспечению доступа негосударственных организаций к предоставлению услуг в социальной сфере [Электронный ресурс]. -URL: http://nko.tmbreg.ru/images/%D0%A8%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0% B8%D0%BD_%D0%90.pdf (дата обращения: 25.05.2018).

4. Капица С.П. Математическая модель роста народонаселения мира // Математическое моделирование. - 1992. - Т. 4, № 6. - С. 65-79.

5. Капица С.П. Феноменологическая теория роста населения Земли // Успехи физических наук. - 1996. - Т. 166, № 1. - С. 64-80.

6. Устойчивость глобального развития и хаотичность региональных явлений в нелинейных динамических системах / В. А. Садовничий, В.В. Козоде-ров, Л. А. Ушакова, С. А. Ушаков // Синергетика: тр. сем. - Т. 3. Материалы круглого стола «Самоорганизация и синергетика: идеи, подходы и перспективы». - М.: Изд-во МГУ, 2000. - С. 5-39.

7. Термодинамика биологических процессов / под ред. А.И. Зотина. -М.: Наука, 1976. - 280 с.

8. Математическая биология развития: моногр. / В.З. Аладьев [и др.]; Ин-т биологии развития им. Н.К. Кольцова. - М.: Наука, 1988. - 592 с.

9. Зотин А.И., Зотина Р.С. Феноменологическая теория развития, роста и старения организмов - М.: Наука, 1993. - 364 с.

10. Математическое моделирование в микробиологии и химической технологии пищевых добавок: учеб. пособие / А.В. Болотин, И.М. Мага,

B.В. Нечипорук, В.И. Ткач. - Ужгород: Изд-во В. Падяка, 2014. - 368 с.

11. Кудрявцев И.К. Химические нестабильности. - М.: Изд-во МГУ, 1987. - 280 с.

12. Эбелинг В. Образование структур при необратимых процессах: пер. с нем. - М.: Мир, 1979. - 280 с.

13. Николис Дж. С. Динамика иерархических систем: Эволюционные представления: пер. с англ. - М.: Мир, 1989. - 486 с.

14. Николис Г., Пригожин И. Познание сложного: Введение: пер. с англ. -М.: Мир, 1990. - 280 с.

15. Владимирский Б.М., Горстко А.Б., Ерусалимский Я.М. Математика. -М.: Лань, 2006. - 960 с.

16. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. Ч. I. - М.: Наука, 1976. - Т. V. - 584 с.

17. Клименко В.В. Уравнения роста шелковичного червя Bombyx morí L. // Онтогенез. - 1971. - Т. 2. - С. 617-625.

18. Клименко В.В. Анализ уравнений роста на примере шелковичного червя // Количественные аспекты роста организмов. - М.: Наука, 1975. -

C.36-41.

19. Маделунг Э. Математический аппарат физики: справ. рук. - М.: Физматгиз, 1961. - 618 с.

20. Мюнстер А. Теория флуктуаций // Термодинамика необратимых процессов: лекции в летней международной школе им. Энрико Ферми. - М.: Иностранная литература, 1962. - С. 36-145.

References

1. O nekommercheskikh organizatsiiakh [On non-profit organizations]. Federal Law of Jan.12, 1996 no. 7-FZ, rev. Feb. 5, 2018. Collection of general federal laws. Available at: http://fzrf.su/zakon/o-nekommercheskih-organizaciyah-nko-7-fz/ (accessed 25 May 2018).

2. Doklad o sostoianii grazhdanskogo obshchestva v Rossiiskoi Federatsii za 2017 god [Report on the state of civil society in the Russian Federation for 2017]. Moscow, Civic Chamber of the Russian Federation, 2017, 100 p.

3. O realizatsii mer po obespecheniiu dostupa negosudarstvennykh organizatsii k predostavleniiu uslug v sotsial'noi sfere [On the implementation of measures to ensure the access of non-governmental organizations to the provision of services in the social sphere]. Available at: http://nko.tmbreg.ru/images/ %D0%A8%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B8%D0%BD_%D0%90.pdf (accessed 25 May 2018).

4. Kapitsa S.P. Matematicheskaia model' rosta narodonaseleniia mira [Mathematical model of global population growth]. Matematicheskoe modelirovanie, 1992, vol. 4, no. 6, pp. 65-79.

5. Kapitsa S.P. Fenomenologicheskaia teoriia rosta naseleniia Zemli [Phe-nomenological theory of Earth population growth]. Uspekhi fizicheskikh nauk, 1996, vol. 166, no. 1, pp. 64-80.

6. Sadovnichii V.A., Kozoderov V.V., Ushakova L.A., Ushakov S.A. Ustoichivost' global'nogo razvitiia i khaotichnost' regional'nykh iavlenii v nelineinykh dinamicheskikh sistemakh [Sustainability of global development and chaotic nature of regional phenomena in non-linear dynamic systems]. Sinergetika. Vol. 3. Materialy kruglogo stola "Samoorganizatsiia i sinergetika: idei, podkhody i perspektivy". Moscow, MSU, 2000, pp. 5-39.

7. Termodinamika biologicheskikh protsessov [Thermodynamics of biological processes]. Ed. A.I. Zotin. Moscow, Nauka, 1976, 280 p.

8. Alad'ev V.Z. [et al.]. Matematicheskaia biologiia razvitiia [Mathematical biology of development]. Moscow, Institute of Developmental Biology named after N.K. Koltsova, Nauka, 1988, 592 p.

9. Zotin A.I., Zotina R.S. Fenomenologicheskaia teoriia razvitiia, rosta i stareniia organizmov [Phenomenological theory of growth development and body ageing]. Moscow, Nauka, 1993, 364 p.

10. Bolotin A.V., Maga I.M., Nechiporuk V.V., Tkach V.I. Matema-ticheskoe modelirovanie v mikrobiologii i khimicheskoi tekhnologii pishchevykh dobavok [Mathematical modeling in microbiology and chemical technology of food supplements]. Uzhgorod, Izdatel'stvo V. Padiaka, 2014, 368 p.

11. Kudriavtsev I.K. Khimicheskie nestabil'nosti [Chemical instability]. Moscow, MSU, 1987, 280 p.

12. Ebeling W. Strukturbildung bei irreversiblen Prozessen (Russ. ed.: Ebe-ling V. Obrazovanie struktur pri neobratimykh protsessakh. Moscow, Mir, 1979, 280 p.).

13. Nicolis J.S. Dynamics of Hierarchical Systems: An Evolutionary Approach (Russ. ed.: Nikolis Dzh. S. Dinamika ierarkhicheskikh sistem: Evoliutsionnye predstavleniia. Moscow, Mir, 1989, 486 p.).

14. Nikolis G., Prigozhyn I. Knowledge of the Complex. Introduction (Russ. ed.: Nikolis G., Prigozhin I. Poznanie slozhnogo: Vvedenie. Moscow, Mir, 1990, 280 p.).

15. Vladimirskii B.M., Gorstko A.B., Erusalimskii Ia.M. Matematika [Mathematics]. Moscow, Lan', 2006, 960 p.

16. Landau L.D., Lifshits E.M. Statisticheskaia fizika [Statistical physics]. Part 1. Moscow, Nauka, 1976, vol. 5, 584 p.

17. Klimenko V.V. Uravneniia rosta shelkovichnogo chervia Bombyx mori L. [Growth equation for silkworm Bombyx mori L.]. Ontogenez, 1971, vol. 2, pp.617-625.

18. Klimenko V.V. Analiz uravnenii rosta na primere shelkovichnogo chervia [Analysis of growth equations using the example of silkworm]. Kolichestvennye aspekty rosta organizmov. Moscow, Nauka, 1975, pp. 36-41.

19. Madelung E. Die mathematischen Hilfsmittel des Physikers (Russ. ed.: Madelung E. Matematicheskii apparat fiziki. Moscow, Fizmatgiz, 1961, 618 p.).

20. Miunster A. Teoriia fluktuatsii. Termodinamika neobratimykh protsessov: lektsii v letnei mezhdunarodnoi shkole im. Enriko Fermi [Thermodynamics of irreversible process: Lectures at International Summer School of Enrico Fermi]. Moscow, Inostrannaia literatura, 1962, pp. 36-145.

Оригинальность 96 %

Получено 17.08.2018 Принято 14.09.2018 Опубликовано 28.06.2019

A.V. Bolotin, A.A. Lunegova

DYNAMICS OF THE NUMBER OF PEOPLE INVOLVED IN NON-PROFIT ORGANIZATIONS

The mathematical methods of the system analysis were applied to advance the qualitative theory of dynamics of the number of people involved in non-profit organizations (NPOs) in the Russian Federation. The differential equations were produced to evaluate a relative growth rate of the number of people in NPOs. Two groups of the determined differential equations are considered to reflect dynamics of the total number of people in NPOs: the ordinary differential equations in which a relative growth rate is a function of the number of people outside NPOs, and the equations where the relative rate is a function of time. Solving

the differential equation of the first group results in analytical dependence for a relative input of people in the sphere of NPOs, allowing predictions on the variable's temporal behavior. The second group of the equations enables to prove theoretically a choice of functional dependence of a relative growth rate of the number of people. The results of the theoretical analysis can be used to build a simulation model for dynamics of the number of NPOs in an effort to discover the influence of NPOs on the experimentally measured indicators of the population's quality of life.

Keywords: non-profit organizations (NPOs), system analysis, relative rate of growth of NPOs, differential equations, simulation modeling, population's quality of life.

Aleksandr V. Bolotin - Candidate of Chemical Sciences, Associate Professor, Department of Industrial and Civil Engineering, Northeast State University, Polytechnic Institute, е-mail: alexandr_bolotin@mail.ru.

Anastasiya A. Lunegova - Candidate of Economic Sciences, Associate Professor, Department of Technical Disciplines, Perm National Research Polytechnic University, Lysva Branch, е-mail: laaru@rambler.ru.

Received 17.08.2018 Accepted 14.09.2018 Published 28.06.2019