Эффект каналирования пластических сдвигов и нелинейные волны локализованной пластической деформации и разрушения

УДК 69.4, 539.376, 539.4.015

Эффект каналирования пластических сдвигов и нелинейные волны локализованной пластической деформации и разрушения

В.Е. Панин, В.Е. Егорушкин, А.В. Панин

Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634021, Россия

На основе совместных подходов физической мезомеханики и неравновесной термодинамики рассмотрены механизмы возникновения в деформируемом твердом теле как многоуровневой системе нелинейных волн локализованного пластического течения и разрушения. Показано, что в основе возникновения нелинейных волн локализованного пластического течения лежит самоорганизация каналированных на мезомасштабном уровне потоков локальных структурных превращений, развивающихся на наномасш-табном уровне, и аккомодационных полос сброса на макромасштабном уровне. В условиях деформационного упрочнения бегущие волны локализованного пластического течения трансформируются в фазовые волны стационарной макролокализации, сопровождаемые фазовыми волнами разрушения. В структурно-неоднородной среде в иерархии мезомасштабных уровней распространение каналированных локальных структурных превращений сопровождается генерацией дислокаций, мезополос сдвига и других деформационных дефектов. Эти механизмы деформации определяют диссипативную составляющую общего процесса пластического течения твердых тел. Предложена теория нелинейных волновых процессов локализованного пластического течения в деформируемом твердом теле, которая хорошо согласуется с известными в литературе экспериментальными результатами.

Ключевые слова: нелинейные волны, пластическая деформация, разрушение, физическая мезомеханика, неравновесная термодинамика

The plastic shear channeling effect and the nonlinear waves of localized plastic deformation and fracture

V.E. Panin, V.E. Egorushkin and A.V. Panin

Institute of Strength Physics and Materials Science SB RAS, Tomsk, 634021, Russia

Approaches adopted in physical mesomechanics and nonequilibrium thermodynamics are combined in an integrated framework to examine the mechanisms involved in generation of nonlinear waves of localized plastic deformation and fracture in a loaded solid treated as a multiscale system. It has been found that in a loaded solid, local structural transformation fluxes develop at the nanoscale level and undergo channeling at the mesoscale level, whereas accommodation kink bands form at the macroscale level. Generation of the nonlinear waves of localized plastic flow is shown to be due to self-organization of the three processes in question. In the case where work hardening takes place at deformation, traveling waves of localized plastic flow are eventually transformed into steady-state phase failure waves localized at the macroscale level. In a hierarchy of mesoscale levels, propagation of channeled local structural transformations in a heterogeneous medium gives rise to strain-induced defects, such as dislocations, mesoscale shear bands, etc. These deformation mechanisms define the dissipative components of the overall plastic flow process developing in solid bodies under loading. A theory of nonlinear waves of localized plastic flow in a deformed material is proposed. The theoretical predictions made conform with experimental data known from the available literature.

Keywords: nonlinear waves, plastic deformation, fracture, physical mesomechanics, nonequilibrium thermodynamics

1. Введение

Традиционно деформируемое твердое тело описывается как одноуровневая система. На макромасштабном уровне общепринятым является математический аппарат механики сплошной среды. В основе пласти-

ческого течения лежат сдвиги в поле средних приложенных напряжений при нагружении твердого тела выше предела упругости. Физическая природа пластических сдвигов не обсуждается. Кривая «напряжение - деформация» описывается как деформационное упрочне-

© Панин В.Е., Егорушкин В.Е., Панин А.В., 2010

ние материала, связанное с полями его внутренних напряжений. Различные виды деформации (при квазиста-тическом или ударном нагружении, циклическом деформировании ниже предела текучести, ползучести под постоянной нагрузкой при высоких температурах и др.) описываются как независимые специфические процессы, не имеющие общей природы.

На микромасштабном уровне физиками разрабатывается теория деформационных дефектов в деформируемой кристаллической решетке. Наибольшее развитие получила теория дислокаций, обеспечивающих трансляционные моды деформации. Поворотные моды деформаций описываются теорией дисклинаций. Подход сугубо одноуровневый. Используется методология механики сплошной среды: движение дефектов в деформируемом кристалле происходит под действием средних приложенных напряжений. Основная цель микромасштабного подхода — дать физическую интерпретацию пластических сдвигов на основе представлений теории дислокаций и дисклинаций. Путем решения многочастичной задачи самосогласованного движения сложных дислокационных ансамблей под действием средних приложенных напряжений предполагалось рассчитать кривую «напряжение - деформация»1.

В практике инженерных расчетов пластичности и прочности твердых тел существующие одноуровневые подходы в первом приближении были вполне удовлетворительными. Механика сплошной среды дает возможность рассчитывать макромеханические характеристики (пределы упругости, текучести, прочности, относительное удлинение и др.) при различных видах нагружения. Теории дислокаций и дисклинаций позволяли предложить качественную физическую интерпретацию макромеханических характеристик.

Однако в существующих традиционных подходах физики и механики деформируемого твердого тела не была решена важная ключевая проблема: физическая природа и механизм зарождения деформационных дефектов различного типа, включая трещины. В классических уравнениях механики и теории дислокаций описывается трансляционно-инвариантный кристалл. Рождение в таком кристалле любого деформационного дефекта приводит к возникновению сингулярности в дифференциальных уравнениях деформации и разрушения. Для исключения этой сингулярности физики вырезали ядра дислокаций и стали рассчитывать только связанные с ними механические поля в кристалле. Фактически построенная к настоящему времени теория дислокаций является микромеханикой дефектов кристаллической решетки в деформируемом твердом теле.

1 Эту задачу в рамках одноуровневого подхода физикам не удалось решить до сих пор. Как стало ясно в последнее время, подобная задача может быть решена только на основе многоуровневого подхода.

Механика сплошной среды изначально исключает рассмотрение деформационных дефектов, полагая, что пластический сдвиг возникает и развивается только под действием средних приложенных напряжений. При этом не учитывается возрастание термодинамической неравновесности деформируемого твердого тела, которая существенно изменяет его упругие характеристики. Как следствие, все теории физики и механики деформируемого твердого тела построены на основе силовых моделей механики Ньютона и уравнений равновесной термодинамики. Используется одноуровневый подход: макромасштабный уровень в механике сплошной среды и микромасштабный уровень в теории дислокаций и дисклинаций.

Указанные недостатки определили ошибочность традиционной методологии физики и механики деформируемого твердого тела и пришли в противоречие с экспериментальными результатами, полученными в последние два десятилетия на мезомасштабных уровнях. Ситуация стала критической при анализе механического поведения наноструктурных материалов и тонких пленок. Сильнонеравновесные состояния указанных материалов, определяющая роль их дефектной подсистемы обусловили неприменимость к их описанию общепринятой методологии физики и механики деформируемого твердого тела. Потребовалась разработка принципиально новых подходов, которые бы учитывали специфику поведения наноструктурных твердых тел.

Использование приборов новых поколений, сочетающих высокую разрешающую способность с возможностью сканирования больших площадей рабочей поверхности деформируемого образца, позволило вскрыть широкий спектр структурно-масштабных уровней пластического течения (от нано до макро), которые не учитываются в механике сплошной среды и теории дислокаций. Стало очевидным, что деформируемое твердое тело есть иерархически организованная многоуровневая система, в которой пластическое течение самосогласованно развивается на нано-, микро-, мезо- и макромасштабном уровнях.

Принципиально необходим учет локальных структурных превращений в зоне пластического сдвига, что соответствует наномасштабному уровню деформации. Зарождение и развитие пластического сдвига не может быть связано со средним приложенным напряжением, которое не приводит к структурному превращению деформируемого кристалла в целом. Локальные структурные превращения при зарождении дислокаций, дисклинаций, мезо- и макрополос локализованного пластического течения связаны с локальными концентраторами напряжений различного масштаба. Обосновать их возникновение и методы математического описания на основе теории кристаллической решетки можно только в рамках многоуровневого представления деформируемого твердого тела вплоть до его электронной подсистемы.

2. Деформируемое твердое тело как многоуровневая система

Пластическое течение твердого тела при его нагружении выше предела упругости связано с локальной потерей его сдвиговой устойчивости [1-3]. Поэтому центральной задачей в методологии описания пластического течения твердого тела является системный анализ сдвиговой устойчивости всех подсистем деформируемого твердого тела: кристаллической решетки в объеме материала, всех составляющих его фаз, поверхностных слоев и внутренних границ раздела. Для понимания механизма отклика твердого тела при его нагружении очень важным является анализ электронной подсистемы. Именно ее возмущение обусловливает возникновение локальных концентраторов напряжений, генерирующих все виды деформационных дефектов.

Наименьшую сдвиговую устойчивость в нагруженном твердом теле имеет его поверхностный слой, который рассматривается как особое состояние вещества [4-8]. Отсутствие у атомов поверхности кристалла половины межатомных связей обусловливает специфическую структуру поверхностного слоя: наличие террас и ступенек, повышенная концентрация вакансий (и, следовательно, увеличенный молярный объем), значительное смягчение его фононного спектра, широкий спектр различных атомных конфигураций, в том числе не свойственных объему кристалла. Последнее обстоятельство свидетельствует о том, что поверхностный слой толщиной в несколько межатомных расстояний следует рассматривать не просто как ослабленный кристалл, а как систему атомных кластеров различных конфигураций (рис. 1) [8], которые ведут себя принципиально отлично от равновесного кристалла с трансляционной симметрией. Как следствие, поверхностный слой при нагружении твердого тела более интенсивно теряет свою сдвиговую устойчивость по сравнению с объемом кристалла и проявляет специфические механизмы пластического течения недислокационной природы [5-7]. При рассмотрении локальных структурных превращений в трансляционно-инвариантном кристалле необходимо учитывать связанные с данными превращениями возмущения в электронном и фононном спектрах кристалла. Подобная задача должна решаться в модели сильно возбужденных состояний в кристаллах и неравновесной термодинамики [9, 10]. Это обусловливает волновой характер распространения пластических сдвигов в нагруженном твердом теле [11-15].

Все внутренние границы раздела в деформируемом твердом теле также следует рассматривать как самостоятельные подсистемы, играющие важную функциональную роль в зарождении деформационных дефектов в объеме материала. Зарождение дислокаций на внутренних границах раздела экспериментально обнаружено давно [16]. Функциональная роль внутренних границ

Рис. 1. Структурные модели поверхности Р1 [8]: нереконструирован-ная поверхность

раздела как области зарождения дислокаций рассмотрена в [17-19]. Подчеркнем, что потенциально структура внутренних границ раздела удовлетворяет всем условиям, необходимым для зарождения дислокаций. Необходимость совместности деформации двух нагруженных разнородных сред обусловливает возникновение на границе их раздела квазипериодических концентраторов напряжений и связанных с ними локальных зон гидростатического растяжения, обеспечивающих локальные структурные превращения при зарождении дислокаций. Другими словами, все процессы на внутренних границах раздела следует рассматривать на на-номасштабном уровне. Это лежит в основе волнового характера распространения пластических сдвигов на мезомасштабном уровне в структурно-неоднородной среде. Чтобы показать существование общего подхода к многоуровневому описанию деформации и разрушения твердых тел, рассмотрим термодинамические основы эволюции дефектной подсистемы в деформируемом твердом теле, которая завершается его разрушением.

3. Методология многоуровневого описания пластической деформации и разрушения на основе термодинамики неравновесных состояний

Пластическое течение твердого тела на различных структурно-масштабных уровнях и в различных условиях нагружения осуществляется путем зарождения и движения деформационных дефектов очень широкого спектра: точечные дефекты, дислокации, дисклинации, двойники и мартенсит деформации, полосы локализованной деформации различного масштаба, движение структурных элементов деформации как целого (например путем зернограничного проскальзывания) и др. Описать самосогласованное зарождение и движение всех типов деформационных дефектов в деформируемом твердом теле — сложная математическая задача. Наиболее перспективный путь ее решения — выделить общий признак всех типов деформационных дефектов и определить его как элементарный акт пластической деформации на всех ее масштабных уровнях. Такой общий признак действительно имеется: он связан с развитием в любом пластическом сдвиге локального структурного превращения в нагруженном кристалле. Данный элементарный акт определяет структуру ядер всех типов деформационных дефектов. Подобные локальные структурные превращения могут происходить в зонах концентраторов напряжений любого масштаба вследствие возмущения в таких зонах равновесного термодинамического потенциала Г иббса. Для их термодинамического описания следует рассматривать влияние внешнего поля на зависимость равновесного термодинамического потенциала Гиббса

Р

i=l

от молярного объема V нагруженного материала. В соответствии с теорией [20], в зонах концентраторов напряжений различного масштаба необходимо ввести дополнительно «эффективный потенциал» Щ(у, а), с полем а которого связан локальный неравновесный термодинамический потенциал Гиббса Д(у, а). В поле а может происходить локальное структурное превращение, если выполняется условие:

Д

т.е. неравновесный термодинамический потенциал Гиббса Д(у, а) в локальной зоне концентратора напряжений должен быть ниже соответствующего значения Д(у). Подобные эффекты могут возникать только в локальных зонах гидростатического растяжения, которые характеризуются увеличенным молярным объемом. Им соответствуют увеличенные значения локальной «эффективной температуры», а также конфигурационной и колебательной энтропии. В этих условиях фактор производства энтропии при пластической деформации обусловливает возникновение в локальных зонах гидростатического растяжения локального структурного превращения

|1 Г1! Г 1 Л .

1 А ! В 1 1 1 1 1 1 1 1 1 №-1 IУ0 V, У2 У3 в, | с \о I I н ' А I н I I О I I I I I

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 \ 1 1 1 1 \ 1 1 1 1 / 1 1 | . \ 1 1 | \ 1 1 1 / \ ! \ | С < < О) < '

Рис. 2. Зависимость термодинамического потенциала Гиббса Д(р) от молярного объема у с учетом локальных зон гидростатического растяжения различного масштаба, в которых возникают дефектные структуры. Области различных состояний: А — гидростатическое сжатие, В — мезосубструктуры различных структурно-масштабных уровней, Бх — наноразмерные структуры, С — наноструктурные состояния, D — возникновение пористости и разрушения

с образованием деформационного дефекта либо новой фазы с другой структурой. В рамках указанных представлений на рис. 2 приведен график зависимости термодинамического потенциала Гиббса от молярного объема у. При критических значениях молярного объема ( = 1, 2, ..., 6) термодинамический потенциал Р (vi, а) испытывает локальные минимумы, отражающие локальные неравновесные потенциалы в зонах гидростатического растяжения различного масштаба. Критические значения соответствуют следующим состояниям в деформируемом твердом теле:

у0 — равновесный кристалл;

у1 — зоны микроконцентраторов напряжений, в которых зарождаются ядра дислокаций;

у2 и у3 — зоны мезо- и макроконцентраторов напряжений, в которых происходят локальные структурно-фазовые переходы с формированием соответственно мезо- и макрополос локализованной пластической деформации; в этих зонах будут возникать и дисклина-ции;

у4 — наноструктурные состояния в сильнонеравновесном твердом теле, в котором нанокристаллы размером d < 30 нм окружены квазиаморфной фазой [21];

уст соответствует пересечению кривой Д(у, а) оси абсцисс; при дальнейшем возрастании локального молярного объема изменение термодинамического потенциала Гиббса происходит в условиях Д(у) > 0 и трансляционно-инвариантная система становится неустойчивой: в ней развиваются различные виды деструкций материала;

при у > усг возможно сосуществование двух фаз: атом-вакансионной фазы (при у = у5) и локального вакуума (при у > у6) в виде микропор, трещин и несплош-ностей.

Из рис. 2 видно, что все локальные минимумы на кривой Р (vi )| имеют общие коноды с основным минимумом равновесного термодинамического потенциала при у = у о. Это означает, что в деформируемом твердом теле в условиях локализации пластического течения всегда должна сохраняться недеформированная среда, в которой могут сосуществовать все виды деформационных дефектов, включая неустойчивые атом-ваканси-онные фазы.

Подобное термодинамическое представление стадий кривой Д(у) на рис. 2 позволяет поставить им в соответствие следующие области деформации и разрушения нагруженного твердого тела:

у_1 - у1 — область упругого сжатия-растяжения равновесного кристалла;

у1 - у4 — область пластической деформации твердого тела без признаков деструкции дефектного материала и возможностью полного его возврата в равновесное состояние (например при отжиге);

у4 - у5 — область предпереходных двухфазных наноструктурных состояний, предшествующая структурному распаду кристалла;

у5 - у 6 — область образования несплошностей различного масштаба, микропор, трещин; в этой области имеется возможность вязкого течения и сублимации материала в твердом состоянии;

у < у _1 — область, соответствующая гидростатическому сжатию и характеризующаяся несжимаемостью твердого тела.

Представленная на рис. 2 эволюция неравновесного структурного состояния деформируемого твердого тела позволяет сделать ряд важных заключений.

1. Теория дислокаций может описывать деформируемое твердое тело только вблизи его основного структурного состояния в интервале у0 - у1 возрастания его молярного объема. В условиях высокой термодинамической стабильности кристалл допускает возмущение его трансляционной инвариантности только в масштабах ядра дислокации. Вне области ядра, которое имеет другую структуру, трансляционная инвариантность исходного кристалла сохраняется.

2. Возрастание молярного объема в деформируемом твердом теле выше у1 делает возможным развитие локальных структурных превращений в протяженных областях кристалла. В этих условиях концентраторы напряжений мезомасштабного уровня генерируют мезо-полосы локализованной пластической деформации и дисклинации как новый тип объемных деформационных дефектов, качественно отличных от дислокаций.

3. Развитие полос локализованной деформации и дисклинаций обусловливает фрагментацию исходной структуры материала, что необходимо учитывать в мезо-механике деформируемого твердого тела.

1.51 мкм А

Рис. 3. Образование цепочек микропор вдоль мезополос локализованной деформации и объединение микропор в форме двугранного угла на границе АВ зерен 1 и 2; пластина высокочистого А1 толщиной 180 мкм, наклеенная на плоский образец технического А1; знакопеременный изгиб при Т = 293 К; число циклов N = 17.55 • 106

4. Образование трещин и последующее разрушение деформируемого твердого тела связано с возникновением локальных зон материала, в которых молярный объем у > у5 и термодинамический потенциал Гиббса Д(у, а) > 0; в этих зонах кристалл испытывает структурно-фазовый распад. Образованию трещины предшествует развитие пористости в локальных зонах с у >у5. Как правило, это происходит в мезополосах локализованной пластической деформации (рис. 3). Данное заключение подтверждается теоретическими расчетами [22].

Таким образом, в основе термодинамической классификации структурно-масштабных уровней пластической деформации и разрушения лежит анализ иерархии масштабов изменения молярного объема в деформируемом твердом теле. Он является обобщенным термодинамическим параметром, который определяет степень неравновесности структуры материала и механизмы развития в нем локальных структурных превращений при пластической деформации и разрушении. Пластическая деформация и разрушение являются двумя стадиями единого процесса возрастания неравновесности термодинамического состояния нагружаемого кристалла. Они должны описываться в рамках единого подхода на основе физической мезомеханики и неравновесной термодинамики.

4. Волновая теория локализованной пластической деформации и разрушения твердых тел

Хорошо известно, что упругая деформация распространяется в виде упругих волн. Пластическая деформация в рамках одноуровневого подхода теории дислокаций описывается как диссипативный процесс. По-

кажем, что локализованная пластическая деформация и разрушение в многоуровневой системе развиваются как нелинейный волновой процесс.

Введение дислокаций и дисклинаций в механику деформируемого твердого тела производится с помощью калибровочной теории дефектов и описания полей их напряжений [23-26 и др.]. Так, введение неабелевой калибровочной группы £0(3) х Т(3) позволило объединить механические поля плотности дислокаций и дисклина-ций и их токов в нелинейных уравнениях Янга-Миллса [24, 25]. В работах [11, 12] предложено в качестве группы калибровочных преобразований рассматривать простую девятипараметрическую группу преобразований вещественного трехмерного пространства GL(3, R), а также введены источники янг-миллсовских полей — квазиупругие микродисторсии. Полученные волновые уравнения при их совместном анализе с неравновесной термодинамикой дискретных подсистем позволяют в рамках многоуровневого подхода обосновать единую природу локализованной пластической деформации и разрушения как нелинейных волновых процессов.

Одним из частных случаев волновых уравнений, полученных в [12], являются уравнения для безразмерных величин потока 3 и плотности а линейных дефектов (разрывов вектора смещений и):

д а д 1п и,,

дх,

7-а _

д/ *С

ЭаЦ

дхС

дхх

- 0,

дt

Эа^ дt ’

даС

дхх

/ с2 дt

•+ аа _ Р'

С 'V в Сав

1 дуи

даС дPvвcаV

-2 дt дха

дха Е

где V, =д 1п u,|дt — скорость упругой деформации среды с дефектами; ^ = (д 1п ^/дх^ )(С^/Е) — упругие напряжения в такой среде; с и с — соответственно скорость звука и скорость распространения фронта пластического возмущения; Р, (х, t) — пластическая часть дисторсии; е,х5 — символ Леви-Чивиты; С^ — упругие константы.

Уравнения (3)-(7) имеют следующий смысл: (3) — уравнение непрерывности среды с дефектами, из которого следует, что источником пластического потока является скорость перестроения дефектов; (4) — условие совместности пластической деформации; принципиально важно, что изменение плотности среды со временем определяется в данном случае не дивергенцией, а ротором потока, т.е. его пространственной неоднородностью; (5) — условие непрерывности дефектов, что

отражает отсутствие зарядов вихревой компоненты поля пластической деформации а^ = е^д, рв; (6) — определяющее уравнение для среды с пластическим течением; (7) — уравнение квазиупругого равновесия. Оно представляет собой известное в континуальной механике уравнение, но, кроме упругой деформации, содержит в правой части пластические дисторсии. Факги-чески данное слагаемое отражает рождение деформационных дефектов в локальных зонах гидростатического растяжения, сформированных концентраторами напряжений.

Выражение (6) присуще только среде с пластическим течением. Оно связывает временные изменения пластического потока с анизотропным пространственным изменением плотности дефектов е,хздаа/дхх и источниками ^ _ Р^СЕ. Отличие уравнений (6) и (7) от соответствующих уравнений теории упругости состоит в том, что изменение скорости пластической деформации со временем определяется самими напряжениями, а не дст^/дх, как в упругом случае. Кроме того, в правую часть (6) в качестве источников входит сама пластическая дисторсия Р, (х, t), что свидетельствует о двойственности дефектов как полевых источников.

Из системы уравнений (3)-(7) могут быть найдены волновые уравнения для безразмерных величин потока 3 и плотности дефектов а:

1 д 2/а д

дt2

дх.,

д

дt

д 1п иа (х, I) дх,,

1 д 1п ир ^|ш 1

Е дxv

ар

1 д2аа д2аС

- є

дt2

8

дх.,

д2іпир (х,t)п'V дР$

дxxдxv

с ^ _

аР дх,

"Сар

X

при условии совместности источников

- + Є,

дМп

дt т' дх,

где М — правая часть выражения (8); N — правая часть выражения (9); м(х, і) — неупругие смещения в волне неупругой локализованной деформации.

Правая часть уравнения (8) характеризует источники потока дефектов. Они определяются скоростью квази-упругой деформации д/дt (ЕЦСЕ _ ЕрСС|з)1/Е. В скобках представлена разность внутренних напряжений сжатия (растяжения) и сдвига, связанных с распределением напряжений в зоне концентратора напряжений. Релаксационные процессы перестроения дефектов (типа кластеров различных атомных конфигураций или их конгломератов) представлены в (8) членом рр СС|з/Е.

- 0,

Правая часть уравнения (9) характеризует источник плотности деформационных дефектов. Им является завихренность е,х5 д/дх (Ев _ Р^) С^/е сдвиговой деформации, вызванной релаксацией сдвиговых напряжений в локальных зонах гидростатического растяжения.

Характер волновых потоков деформационных дефектов определяется правой частью уравнений (7) и (8). Пластическая дисторсия рв (х, t) играет принципиально важную роль.

Предваряя интерпретацию уравнений (3)-(9), отметим, что волновые уравнения пластического течения твердых тел были получены и в работах [23, 24, 27, 28]. Однако они не были интерпретированы как волны пластичности. Вывод о волновом характере распространения возмущения в среде всегда связан с вопросом о групповой скорости возмущения. В отсутствие дисперсии групповой скорости волна вполне определена. Неоднородность среды приводит к дисперсии и разбиению волнового пакета. Поэтому в рамках одноуровневого подхода волн пластичности, в принципе, быть не может.

Однако при рассмотрении деформируемого твердого тела как многоуровневой системы и принимая во внимание развитие пластической деформации по схеме «сдвиг + поворот», заключение о нелинейных волнах пластичности и разрушения получает убедительное обоснование. Более того, вне схемы нелинейных волн невозможно обеспечить воспроизводство концентраторов напряжений при распространении пластических сдвигов как локальных структурных превращений. Не случайно, все известные волновые уравнения пластического течения подобны уравнениям электродинамики и приводят к качественно подобным полевым закономерностям [29, 30].

В свете вышесказанного, источником плотности деформационных дефектов является завихренность д/дхЕ _Рв)Са^/Е сдвиговой деформации, которая обусловлена локальными структурными превращениями в квазиупругой зоне концентратора напряжений. Такое локальное структурное превращение обеспечивает релаксацию как встречных сдвиговых напряжений, так и напряжений гидростатического растяжения в зоне около концентратора напряжений. После завершения данного локального релаксационного процесса концентратор напряжений перемещается дальше в поле приложенных напряжений. Этот волновой процесс может быть выражен аналитически для случая каналиро-ванной локализованной деформации в заданных граничных условиях.

Рассмотрим локализованный поток дефектов в слоистой структуре, когда деформация вдоль направления L развивается каналированно между двумя слоями неде-формируемого материала. Общую систему координат выберем так, чтобы ось г была направлена вдоль L, а х

и у изменяются в пределах толщины деформируемого слоя. Согласно [12], распределение пластического потока в локальной (г < L) области имеет вид:

- _ -

I - -і—2-х(5, О Ь(5, і)(1п(2Цт) _ 1) _ V/, 4п

где Ь — вектор бинормали в локальной системе координат; X — изменение кривизны области (изменение кривизны оси области), обусловленное внешней нагрузкой; і — касательная; 5 — текущее значение длины области; -1, -2 — модули «вектора Бюргерса» объемной трансляционной и приповерхностной или ротационной несовместности соответственно; V/— градиентная часть потока, обусловленная сторонними источниками.

Определим изменение формы области потока локализованной деформации длиной L и начальными размерами 8. Пространственно-временные изменения формы Е(5, і) в процессе деформации могут быть найдены из уравнения

дЕ

дt

Используя выражение для J и сделав замену

і —— t

-1 _ —2 4п

получим

дЕ(я, і) ді

-хь _

4п

V/.

Первое слагаемое в правой части (13) отражает кривизну потока дефектов (его завихренность). В отсутствие V/ (или при его сонаправленности с Ь), решая (13) совместно с уравнением дЕ/дs = t и уравнениями Фре-не [31], можно показать, что изменения формы рассматриваемой области описываются выражениями

Ех t) = _—т—-^еЛ[2Р^ + 4у0]х

2 +1)

х sin[2P

2

Еу (s, t) =--- ---{sech[2P(s + 4vt)]х

p

х cos[2P

Е2 (5, і) - 5 _-

1

P

х{th[2P

Уравнения (14)-(16) определяют изменение формы области, ось которой — спиральная кривая с постоянным кручением т = -2у. В этих соотношениях V = _ у/ в, у характеризует скорость перемещения локальных структурных превращений в области спиральной кривой вдоль направления L, параметр в связан с кривизной х выражением

Х^, 0 = 4вsech[2P

Рис. 4. Изменение формы и скорости локализованной пластической деформации со временем в соответствии с соотношением

Характер каналированного спирального распространения локализованной пластической деформации в слоистой структуре представлен на рис. 4.

Кривизна х спирали является важным параметром каналированного волнового распространения локализованного пластического течения. Влияние этого параметра на форму спирали и локальную скорость у поперечного формоизменения деформируемой области показано на рис. 5. Как видно из рис. 5, а, при малой кривизне Х скорость у поперечного формоизменения невелика, а спираль испытывает слабо выраженное кручение с большой длиной поперечной волны. Такая картина наблюдается для развития пластического сдвига в сильнонеравновесных поверхностных слоях. Пример подобной спиральной нелинейной волны представлен на рис. 6 для случая знакопеременного изгиба сильнонеравновесной фольги высокочистого алюминия [32]. При увеличении кривизны длина поперечной волны резко уменьшается, а скорости поперечного формоизменения возрастают (рис. 5, б). Это очень важный эффект, так как при отражении волны от границ слоистой среды скорость у меняет знак на противоположный. При большой кривизне х в данных зонах возникает гидростатическое растяжение, вызывающее возникновение трещин. Данный эффект, например, обусловливает развитие трещин в зонах экструзии материала из поверхностного слоя образцов при их циклическом нагружении,

Рис. 5. Зависимость формы и скорости локализованной пластической деформации от кривизны х деформируемой области, Хх < Х2

Рис. 6. Двухслойный плоский образец А999/А7. Образование подвижной наноструктурированной границы между субзернами в объеме алюминиевой фольги, к = 170 мкм, N = 4 • 105 циклов, просвечивающая электронная микроскопия [32]

низкую пластичность структурно-неоднородных сред, растрескивание и отслоение хрупких покрытий.

Рассмотрим условия корректности применения теории [12] к описанию нелинейных волн локализованного пластического течения в деформируемом твердом теле.

5. Условия развития в диссипативном процессе пластической деформации нелинейных волн локализованного пластического течения

Как уже отмечалось выше, в рамках одноуровневого подхода традиционной теории дислокаций процесс пластической деформации является сугубо диссипативным. Самоорганизация дислокаций и формирование дислокационной субструктуры также является стадией этого диссипативного процесса.

Однако многоуровневый подход физической мезо-механики и неравновесной термодинамики позволяет

т

А.

Рис. 7. Эволюция поля векторов смещений на поверхности плоского образца композиционного материала А1 + 10 % Al2Oз при растяжении [36]; представлены две последовательные стадии движения полосы локализованной пластической деформации

сформулировать условия, при которых в рамках диссипативного процесса пластической деформации развиваются нелинейные волны локализованного пластического течения. Этих условий два:

1) наличие каналированных потоков локальных структурных превращений в деформируемом твердом теле,

2) учет структурно-масштабных уровней и схемы «сдвиг + поворот» в самосогласованном многоуровневом пластическом течении нагруженных твердых тел.

Приоритетную роль в этих условиях играют канали-рованные локальные структурные превращения на на-номасштабном структурном уровне. Если процессы локальных структурных превращений каналированы и создают при своем развитии на наномасштабном уровне концентраторы напряжений на более высоком структурно-масштабном уровне, релаксация концентраторов напряжений пластическими сдвигами на микро-, мезо-или макроуровне происходит как нелинейный автовол-новой процесс. При этом диссипативный и автоволно-вой процессы развиваются одновременно, но на разных структурно-масштабных уровнях.

Такое сочетание диссипативного и волнового процессов имеет место для большинства чистых металлов с самого начала их пластической деформации. Николем-поляризатором каналированных локальных структур-

ных превращений является ослабленный поверхностный слой. В нем каналированные потоки локальных структурных превращений на наноуровне ориентированы вдоль максимальных касательных напряжений Тщк • Сопряжение ослабленного поверхностного слоя, имеющего кластерную атом-вакансионную структуру (рис. 1), с кристаллической подложкой обусловливает эффект каналирования потоков локальных структурных превращений в поверхностном слое. Торможение потоков локальных структурных превращений кристаллической подложкой происходит на двух структурномасштабных уровнях: мезо и макро. На мезоуровне на интерфейсе «кластерный поверхностный слой - кристаллическая подложка» возникает «шахматное» распределение зон растягивающих и сжимающих нормальных напряжений [33] и в клетках растягивающих нормальных напряжений рождаются дислокации [5-7]. Поверхностным натяжением дислокации инжектируются в объем кристалла подобно ингибитору в реакции Бе-лоусова-Жаботинского [34]. Процесс в объеме кристалла развивается на микромасштабном уровне как сугубо диссипативный. Он описывается параболическими уравнениями типа:

ди г, . _1 ду . .

— = /(и, у) + DДu, е — = -у + v(u).

дд

Рис. 8. Двойные спирали мезополос локализованного пластического течения при растяжении тонких пленок Т^ нанесенных на полипропиленовую подложку, Т = 293 К, е = 5 %. Атомно-силовая микроскопия. Размер изображений: 2.8х2.8 (а) и 11.2X 11.2 мкм2 (б) [15]

Здесь переменные и и V — соответственно концентрации активатора и ингибитора; у(и) — монотонно возрастающая функция; є<< 1.

Когда каналированный поток локальных структурных превращений, распространяющийся в поверхностном слое, достигает противоположной боковой поверхности образца, возникает макроконцентратор встречных изгибающих напряжений. Каналированный поток локальных структурных превращений замедляет скорость своего движения вдоль образца, что экспериментально обнаружено в [35]. С учетом заданных граничных условий (неизменность оси деформируемого образца) макроконцентратор напряжений генерирует в обра-

зец макрополосу локализованной деформации как полосу сброса. Каналированный поток локальных структурных превращений продолжает распространяться вдоль оси образца дальше, периодически генерируя макроконцентраторы напряжений и полосы сброса локализованной пластической деформации (рис. 7). Этот процесс описывается уравнениями (3)-(9) как нелинейная волна локализованной пластической деформации.

В работах [14, 15, 37] нелинейные волны локализованного пластического течения исследованы в нано-структурированных поверхностных слоях и тонких пленках. Варьировалась толщина поверхностного слоя и более четко фиксировался его интерфейс с кристалли-

Рис. 9. Развитие мезополос экструдированного материала в поверхностных слоях образцов титана ВТ1-0

Рис. 10. Изображения образцов стали ЭК-181, подвергнутых промежуточной ультразвуковой обработке; глубина упрочненного слоя 100 (а), 200 (б) и 300 мкм (в); растяжение, е = 17 (а), 16 (б) и 10 % (в) [37]. Сканирующая туннельная микроскопия

ческой подложкой. Во всех случаях выявлены нелинейные волны локализованной пластической деформации в виде двойных спиралей (рис. 8-10).

Особенно наглядно предсказание теории [12] о спиральном механизме распространения нелинейной волны пластического течения проявляется при растяжении тонких пленок титана, напыленных на полимерную подложку (рис. 8). Неравновесные напыленные тонкие пленки не имеют трансляционно инвариантной кристаллической структуры и характеризуются наличием большого числа атомных кластеров различных конфигураций [38]. Эластичная полимерная подложка позволяет нелинейным волнам локализованной пластической деформации сформировать в металлической пленке хорошо выраженную трехмерную структуру. При образовании в двухслойном композите поперечной трещины двойные спирали не разрушаются, а только растягиваются подобно пружинам.

На рис. 9, г хорошо видна ламельная структура спиральной волны пластического течения в нанострукту-рированном поверхностном слое образца малоуглеродистой стали при его одноосном растяжении. Представленные на рис. 10 двойные спирали волн локализованной деформации в наноструктурированных поверхностных слоях высоколегированной ферритно-мартенсит-ной стали подтверждают предсказание мезомеханики о том, что размеры клеток «шахматной доски» на интерфейсе «поверхностный слой - подложка» линейно связаны с толщиной поверхностного слоя. В соответствии с этим предсказанием увеличение толщины нанострук-турированного поверхностного слоя приводит к возрас-

таиию геометрических размеров двойных спиралей волн локализованной деформации, которые распространяются вдоль клеток интерфейса, испытывающих растягивающие нормальные напряжения.

Очень актуален вопрос о визуализации потоков кана-лированных локальных структурных превращений в поверхностных слоях деформируемых твердых тел. В литературе известны различные методы экспериментального исследования их развития:

- поля векторов смещений [39], выявляемые оптикотелевизионным измерительным комплексом высокого разрешения [40] (рис. 7);

- обнаружение оптическим интерференционным профилометром New View на поверхности деформированного поликристаллического образца меди тонких линий некристаллографического скольжения, ориентированных по направлению Tmax [41];

- исследование субмикродефектов поверхности туннельным профилометром [42, 43].

Все эти сведения дают важную информацию о потоках каналированных локальных структурных превращений и их возможной роли в пластической деформации твердых тел.

Особо отметим перспективный метод исследования потоков каналированных локальных структурных превращений в поверхностных слоях нагруженных металлических образцов, предложенный в работах [44-46]. Тонкие фольги (толщиной 30-180 мкм) исследуемого материала наклеивают на плоские образцы высокопрочного материала и подвергают знакопеременному изгибу при 293 K. Пластическая деформация фольги развива-

Рис. 11. Ламельная фрагментированная структура крупных складок на поверхности фольг А1 толщиной 35 мкм, наклеенных на плоский образец технического А1; знакопеременный изгиб при Т = 293 К; число циклов N = 2.9 • 10

ется в условиях упругого нагружения подложки, которая играет роль нагружающего устройства. Клеевая прослойка в двухслойном образце обеспечивает жесткие граничные условия на внутреннем интерфейсе. Поэтому развивающиеся потоки каналированных локальных структурных превращений на внешней лицевой поверхности фольги наглядно проявляются в виде тонких складок экструдированного материала, распространяющихся в поле максимальных касательных напряжений (рис. 11). Представленные на рис. 11 складки экструдированного материала на поверхности фольг А1 имеют ламельную фрагментированную структуру. Она характеризуется высоким уровнем кривизны [44] и соответствует профилю нелинейной волны локализованного пластического течения, представленной на рис. 5, б. На рис. 12 показаны складки каналированной пластической экструзии, развивающейся в наводороженном поверхностном слое плоского образца технического титана ВТ1-0 при знакопеременном изгибе [44]. Кривизна этих складок мала, и они соответствуют нелинейным волнам, представленным на рис. 5, а. Очень слабое межатомное взаимодействие в сильно наводороженном поверхностном слое обусловливает расслоение мате-

риала складок. Спиралевидная фрагментированная структура расслоенных складок наглядно иллюстрирует вихревой характер их пластического течения.

Различие характера развития поворотных мод деформации в нелинейных волнах локальных структурных превращений у А1 и наводороженного Т хорошо согласуется с теорией [12]. Уравнения (3)-(9) и (11) позволяют описать поворотные моды деформации в спиральной волне и оценить длину поперечной волны локализованного пластического течения. Как показано в [12], угол поворота ДФ за время Дt в волне (11) при условии L ~ R ^ — размер области локализации пластического сдвига) и малых в = ст / 8Е (8 — ширина полосы сдвига; Е—модуль упругости) может быть представлен в виде:

ЭФ

дt

8

R 4

-ехр

8л

Х(Ь1 - Ь2^

где т = 9(1 + ст)/^, ст — коэффициент Пуассона; ст — напряжение вдоль области спиральной волны. Из (18) видно, что на скорость поворотной моды и, соответственно, длину спиральной волны очень сильно влияют ее кривизна х и градиент сторонней силы V/, вернее, его угол ф с бинормалью Ь, который определяет величину скалярного произведения (V/ • Ь). При большой кривизне х нелинейной волны и, соответственно, большом угле ф между вектором бинормали Ь и встречным полем упругих напряжений в окружающем волну локальных структурных превращений материале угловая скорость поворотной моды дФ/дt будет большой. Это соответствует алюминию. Его высокая энергия дефекта упаковки у обусловливает высокие встречные напряжения при каналированном распространении локальных структурных превращений. Они сильно изменяют направление вектора бинормали Ь, составляя с ним большой угол ф. Скалярное произведение (V/ • Ь) в (18) оказывается малым, а кривизна х — большой. В соответствии с (18), нелинейная волна локальных структурных превращений в поверхностном слое А1 будет характеризоваться высокой угловой скоростью дФ|дt.

Рис. 12. Спиралевидная слоистая структура складок в наводороженном поверхностном слое технического титана ВТ1-0; знакопеременный изгиб при Т = 293 К; число циклов N = 12.4 • 106

Рис. 13. Развитие пучков тонких складок экструдированного материала в наводороженном поверхностном слое зерна B технического титана ВТ-10; знакопеременный изгиб, число циклов N = 106; Axiovert; х600 [39]

Кривизна х нелинейной волны локальных структурных превращений в наводороженном поверхностном слое Ti мала [44]. Аномально низкая энергия дефекта упаковки у титана (и его наводороженного поверхностного слоя тем более) обусловливает слабое изменение направления вектора бинормали b волны локальных структурных превращений. Соответственно, оба параметра х и (V/ • b) определяют малые угловые скорости ЭФ/dt в нелинейных волнах локальных структурных превращений в Ti. Тонкая спиралевидная структура внутри крупных складок в наводороженном поверхностном слое Ti связана с развитием в нем на первой стадии формирования локальных структурных превращений тонких складок, которые распространяются в виде пучков (рис. 13). На второй стадии формирования нелинейной волны локальных структурных превращений кручение пучков тонких складок визуализирует спиралевидный характер развития крупных складок на рис. 12. Закономерности развития каналированных локальных структурных превращений, выявляемые методом [44-47] с использованием лазерной профиломет-рии, интерференционного профилометра New View, туннельной сканирующей и атомно-силовой микроскопии, свидетельствуют о принципиально важной роли каналирования локальных структурных превращений в возникновении нелинейных волн локализованного пластического течения.

6. Нелинейные волны локализованной пластической деформации

Волновые уравнения (8) и (9) предсказывают следующий механизм распространения нелинейных волн локализованного пластического течения:

- левые части уравнений свидетельствуют о колебательном характере деформации среды при распространении в ней нелинейных волн локализованного пластического течения;

- правые части уравнений, характеризующие источники плотности деформационных дефектов и плотности их потоков, содержат слагаемые, учитывающие образование нормальных напряжений в зонах гидростатического растяжения:

= д д1п иа (х, О дt дхи ’

возникновение в этих зонах неупругих напряжений сдвига:

1 д 1п ив

* = -Е-дИТ ^

релаксацию нормальных и касательных напряжений в зоне А механизмом каналированных локальных структурных превращений:

С = 1 РвС ^

с Е Pv с«р •

Рассмотрим различные соотношения слагаемых А, В и С в правых частях уравнений (8) и (9).

Наибольший интерес представляет случай, когда сумма В + С невелика и соизмерима со слагаемым А. Это соответствует малым значениям правой части уравнения (8) и определяет возможность распространения нелинейных волн локализованного пластического течения. При этом завихренность ецх8д/дх (Ев - Рув) С^/е сдвиговой деформации, связанная с каналированными локальными структурныим превращениями в зонах гидростатического растяжения, также мала. Подобные волны характерны для всех пластичных материалов и их сплавов. Легкое зарождение дислокаций и их высокая подвижность обусловливают диссипативный характер пластического течения в объеме материала. Однако двухуровневое самосогласование каналированных потоков локальных структурных превращений в поверхностных слоях, вызывающих изгиб оси образца, и периодических макрополос сброса, обусловливает распространение в деформируемом образце нелинейных волн локализованных сдвигов. Закономерности распространения таких волн пластичности подробно описаны в монографиях [39, 48].

Проиллюстрируем экспериментальное подтверждение предсказаний теории [12] результатами исследования [36] (рис. 7). На рис. 7 представлена схема распространения поверхностных волн переключения на поверхности плоского образца композита А1 + 10 % А1203 при его растяжении (при нагружении двумя подвижными захватами). Дисперсные частицы в объеме композита ограничивают дислокационную деформацию, а высокий уровень деформирующих напряжений способствует развитию в нагруженном образце хорошо выраженных макрополос локализованной деформации. Первичные пластические сдвиги в направлении ттах возникают в поверхностном слое образца около одного из подвижных захватов. Их фронт распространяется вдоль дефор-

мируемого образца, вызывая его изгиб и поперечное отклонение от заданной оси нагружения. Как следствие, в образце квазипериодически возникают полосы сброса в виде макрополос локализованной деформации, параллельные фронту первичных сдвигов. Расстояние между соседними полосами сброса составляет 1-2 мм. Генерация каждой полосы сброса сопровождается возникновением скачка на кривой «напряжение - деформация».

При достижении фронтом первичных поверхностных сдвигов второго подвижного захвата на противоположной головке образца происходит отражение фронта и его распространение в обратном направлении. При этом векторы поверхностных смещений скачком изменяют свое направление на сопряженное ттах (рис. 7, б). Направление поперечного смещения образца изменяется на противоположное. При многократном возвратно-поступательном движении фронта первичных поверхностных сдвигов вдоль оси нагружения образец испытывает поперечные автоколебания подобно струне скрипки. Они описываются левой частью волнового уравнения (8). Рождающиеся при этом периодические полосы локализованной деформации последовательно охватывают весь образец, развиваясь одновременно с диссипативным процессом дислокационной деформации во всем объеме образца. Подобный процесс классифицируется в синергетике как движение бегущего импульса в возбудимой среде [49]. В мезомеханике он описывается волновыми уравнениями (8) и (9).

Подчеркнем очень важное обстоятельство. Поскольку рассматриваемые нелинейные волны локализованной пластической деформации развиваются на стадии деформационного упрочнения кривой ст-е, уровень концентраторов напряжений, генерирующих полосы сброса в объем материала, будет непрерывно расти по мере увеличения степени деформации е. Связанное с концентраторами напряжений встречное поле изгибающих напряжений при достижении критического значения есг скомпенсирует изгибающие напряжения, вызванные каналированными локальными структурными превращениями. С этого момента фронт каналированных локальных структурных превращений начинает перемещаться совместно с концентраторами напряжений как солитонная пара. Метод электронной спекл-интерферо-метрии в [35] зафиксировал это как возникновение локализованной «белой полосы», ориентированной по на-

Отрэженный Прямой

Рис. 14. Схема самосогласования сдвигов при взаимодействии макрополос локализованной деформации [52]

Рис. 15. Характер взаимодействия макрополосы локализованной деформации, распространяющейся в объеме образцов малоуглеродистой хромистой стали с упрочненными поверхностными слоями; растяжение, х10: 1 — верхняя грань, 2 — боковая сторона, 3 — нижняя грань образца

правлениям ттах. По мере перемещения «белой полосы» вдоль оси образца она испытывает неоднократную переориентацию на сопряженное направление ттах. Механизм этой переориентации вскрыт в [50] при растяжении субмикрокристаллического армко-железа.

Факт неоднократной переориентации «белой полосы» свидетельствует о развитии в ней сдвиговой деформации вдоль ттах. Естественно, что в центральной части образца «белая полоса» должна остановиться, так как при этом изгибающие моменты слева и справа от нее оказываются равными. При дальнейшем нагружении в месте остановки «белой полосы» происходит образование шейки, где две стационарные макрополосы, самоорганизованные в виде креста, генерируют сдвиги по схеме фазовой волны [39, 51-53] (рис. 14). В работе [53] такие сдвиги в сопряженных макрополосах четко выявлены методом акустической эмиссии. Ведущая макрополоса в шейке по-прежнему активируется потоком каналированных локальных структурных превращений. Сдвиги в сопряженной макрополосе индуцированы заданным граничным условием (неизменность оси образца). Образец как целое по-прежнему совершает автоколебания при чередовании сдвигов в сопряженных макрополосах по схеме фазовой волны. Данный волновой процесс завершается разрушением образца в шейке. Его механизм будет рассмотрен ниже в п. 7.

Если поверхностные слои образца упрочнены и в них не могут развиваться процессы каналированных локальных структурных превращений, то нелинейная волна распространяется в виде самосогласованных механизмов движения фронта сдвигов в объеме материала и образования периодических поперечных трещин в упрочненных поверхностных слоях [39]. В частном случае это может быть распространение зигзагообразной макрополосы локализованного сдвига в виде волны полного внутреннего отражения [54] (рис. 15).

Рис. 16. Волновой характер эволюции двух систем сопряженных макрополос локализованного пластического течения в образце сплава 36НХТЮ в процессе прокатки при 293 К; е = 60-80 %; х20000 [55]

Мезополосы локализованной деформации, ориентированные по сопряженным направлениям ттах, можно формировать при прокатке листового материала [55] (рис. 16). В этом случае мезополосы генерируются в клетках «шахматного» распределения растягивающих нормальных напряжений в зоне контакта «вал - прокатываемый лист». При этом в условиях прокатки формируется регулярная динамическая мезоструктура, в которой в ходе движения листа сдвиги попеременно активируются в сопряженных направлениях ттах. Это проявляется в циклическом изменении полярной плотности текстурных компонент /1{110}(100) и /2{100}(112). Так, например, с увеличением компоненты /1 компо-

Рис. 17. Циклы изменения полярной плотности микротекстурных компонент ^ и f2 при увеличении степени пластической деформации; аустенитный сплав на железо-никелевой основе; прокатка [55]

нента /2 уменьшается и наоборот (рис. 17). Данный процесс пластической деформации при прокатке развивается как типично волновой. Но, в отличие от квазиста-тического растяжения, в динамической мезоструктуре не возникает стационарной макролокализации. Поэтому деформация при прокатке в условиях формирования регулярной динамической мезоструктуры развивается в режиме сверпластичности. Характерно, что образец прокатанного в условиях сверхпластичности материала имеет очень низкую пластичность при последующем растяжении вследствие очень быстрого возникновения стационарной макролокализации в шейке.

Анализ известных в литературе закономерностей пластической деформации твердых тел показывает, что пока в деформируемом образце на макромасштабном уровне развиваются бегущие волны локализованного пластического течения, материал пластичен. Остановка бегущей волны и формирование стационарной макролокализации пластического течения завершается разрушением твердого тела. В основе возникновения стационарной макролокализации пластической деформации лежит эффект деформационного упрочнения. Поэтому любой пластичный материал, деформируемый в условиях деформационного упрочнения, обречен на разрушение. Идеальная сверхпластичность предполагает полное отсутствие деформационного упрочнения. Развитие пластического течения без нарушения сплошности может происходить только в условиях полного са-мосогласования механизмов деформации на нано-, мик-ро- и мезомасштабных уровнях.

7. Нелинейные волны разрушения в условиях каналированных сдвигов

Уравнения (8) и (9) предсказывают развитие нелинейных волн локализованного пластического течения при малых значениях их правой части. Если эти условия не выполняются, возможны три сценария.

1. Правая часть волновых уравнений велика, и происходит хрупкое разрушение нагруженного материала в отсутствие пластической деформации.

2. Развитие нелинейной волны пластического течения сопровождается раскрытием трещины вдоль ее траектории.

3. Нелинейные волны пластического течения распадаются на отдельные солитоны, и пластическая деформация развивается только как диссипативный процесс.

Все три сценария определяются значениями слагаемых А, В и С и их соотношением в правой части уравнения (8). Рассмотрим это подробнее.

Согласно неравновесной термодинамике [10], зарождение и распространение трещины происходят в локальных зонах, в которых термодинамический потенциал Гиббса материала становится больше нуля. Это имеет место в зонах гидростатического растяжения

Рис. 18. Волновой характер расслоения образца стали 37ХН3МФА при прокатке [56]

вблизи концентратора напряжений при значениях молярного объема V > vcr (рис. 2). В уравнении (8) данный эффект описывает слагаемое А. Таким образом, хрупкое разрушение материала может быть в условиях, когда А >> В + С. Другими словами, возрастание растягивающих нормальных напряжений в зоне гидростатического растяжения вблизи концентраторов напряжений не сопровождается в этих условиях локальным структурным превращением с образованием другой структуры. Как следствие, в этой зоне происходит структурный распад кристалла с образованием трещины.

Последнее характерно для интерметаллидов и химических соединений, в которых электронная структура изначально исключает любые структурные превращения в твердом состоянии либо возможные локальные структурные превращения в нагруженном материале не могут происходить чисто кинетически (низкие температуры, высокие скорости нагружения, дисперсное упрочнение и др.). В то же время, возможность незначительных локальных структурных превращений при распаде кристалла обусловливает возникновение дислокаций на берегах трещины даже при абсолютно хрупком разрушении.

Раскрытие трещины вдоль нелинейной волны пластических сдвигов означает развитие нелинейных волн разрушения. Это возможно при соотношении А > В + + С, но при условии, что материал находится в сильнонеравновесном состоянии вблизи Р(у) = 0. На первой стадии нелинейная волна локализованной пластической деформации развивается в условиях Р(у) < 0. На второй стадии процесса локализованной деформации, когда в зоне пластического сдвига термодинамический потенциал Гиббса становится больше нуля, в зоне сдвига происходит распад кристаллической структуры с образованием трещины. Классический пример такой нелинейной волны разрушения представлен на рис. 18 [56]. При перенагартовке в процессе холодного проката материал расслаивается вдоль нелинейной волны сдвигов локализованной пластической деформации.

На рис. 19, а представлен экспериментальный результат [55], иллюстрирующий на первой стадии холодной прокатки развитие перед вершиной трещины зигзагообразной полосы локализованной пластической деформации. На второй стадии прокатки зигзагообразное распространение трещины наследует траекторию волны пластических сдвигов (рис. 19, б). Магистральная трещина точно повторяет зигзагообразный профиль, обусловленный развитием на первой стадии сопряженных мезополос локализованных пластических сдвигов (рис. 19, в).

Рис. 19. Локализация пластического течения и разрушения аустенит-ных дисперсионно-твердеющих сплавов при одноосном растяжении (а, б) и знакопеременном нагружении (в) [55]: а — развитие локализованных полос в пластической зоне перед вершиной трещины, х1 500; б — продвижение зигзагообразной трещины вдоль полосы локализованного пластического сдвига, х1200; в — зубчатый профиль магистральной трещины, х1 500

Рис. 20. Самосогласованное распространение по типу фазовой волны макрополос локализованной деформации в образце субмикрокрис-таллического армко-Бе; растяжение, е = 3 (а), 4 (б) и 5 % (в) [57]

Представленные на рис. 18, 19 нелинейные волны разрушения обнаружены в условиях прокатки и при очень больших степенях пластической деформации. Именно в условиях сильнонеравновесного материала и каналирования пластических сдвигов удается сохранить волну разрушения от распада. Подобные условия были созданы в [57] при растяжении перенагартован-ного субмикрокристаллического армко-железа. Невозможность формировать полосы сброса в таком образце блокирует распространение в его поверхностных слоях потоков каналированных локальных структурных превращений. Как следствие, макролокализация пластических сдвигов возникает в таком образце около его галтели уже на пределе текучести (рис. 20). Две макрополосы локализованной деформации самоорганизуются по схеме диполя. Развитие макрополос в ходе нагружения растяжением сопровождается разрушением неравновесной дефектной структуры, созданной в результате предварительного равноканального углового прессования, и раскрытием в них трещин. Процесс разрушения происходит по типу фазовой волны. В этом случае ее стационарность обеспечивают два условия: сильная неравно-весность материала и каналирование локализованной пластической деформации.

В подобных условиях происходит зарождение усталостных трещин в поверхностных слоях материалов при их циклическом нагружении. Развивающиеся кана-

Рис. 21. Волновой характер развития усталостной трещины в поверхностном слое плоского образца алюминия при его знакопеременном изгибе, число циклов N = 3.2 -106 [58]: а — общий вид профиля трещины, х200; б — зигзаг усталостной трещины в зоне С, х 1300; в — развитие трещины в зоне поворота локального мезообъема D, х 600. Растровая электронная микроскопия

лированные потоки локальных структурных превращений в поверхностных слоях не могут генерировать полосы сброса в упруго нагружаемый объем материала. Поэтому трансляционные потоки локальных структурных превращений периодически формируют в поверхностном слое локальные мезовихри, которые релакси-руют поля встречных напряжений в упруго деформи-

руемой подложке [58] (рис. 21). При достижении в поверхностных слоях сильнонеравновесного состояния в трансляционно-ротационных волнах локализованного пластического течения происходит раскрытие поверхностных усталостных трещин. Данный эффект описан в литературе по усталостному разрушению [59].

В структурно-неоднородных средах нелинейные волны разрушения диспергируют. Однако их элементы играют очень важную роль в понимании физики разрушения твердых тел. Любое разрушение происходит как структурный распад твердого тела при условии Р^) > > 0. Механизм достижения этого условия, как правило, имеет волновую природу. Именно это определяет акус-тоэмиссию при зарождении и распространении трещины.

3. Распад нелинейных волн пластического течения является наиболее широко распространенным механизмом деформации структурно-неоднородных сред. Он подробно описан в [60]. В рамках теории [12] он соответствует соотношению слагаемых в правой части уравнения (8) А > В + С. Все слагаемые невелики по абсолютному значению и материал находится в области В отрицательных значений термодинамического потенциала Гиббса на рис. 2.

8. Заключение

Принято считать, что пластическая деформация и разрушение твердых тел являются сугубо диссипативными процессами. В то же время в литературе экспериментально обнаружены различные виды нелинейных волн локализованного пластического течения и фазовые волны разрушения, механизм которых до сих пор остается дискуссионным и не имеет физического обоснования в рамках диссипативной природы пластической деформации и разрушения.

В настоящей работе показано, что нелинейные волны пластической деформации и разрушения могут развиваться в рамках общего диссипативного процесса. Для этого необходимо рассматривать деформируемое твердое тело как самосогласованную многоуровневую систему и учесть эффект каналирования локализованных пластических сдвигов в «шахматном» распределении растягивающих и сжимающих нормальных напряжений на интерфейсе «ослабленный поверхностный слой - кристаллическая подложка». Пластические сдвиги в ослабленном поверхностном слое в виде локальных структурных превращений на наномасштабном уровне распространяются каналированно по клеткам с растягивающими нормальными напряжениями вдоль направлений ттах, создавая изгибающий момент на ось образца. В заданных граничных условиях на боковой грани образца возникают концентраторы изгибающих напряжений, которые при достижении критических значений

релаксируют генерацией макрополос сброса локализованного пластического течения. Данный процесс развивается периодически, обусловливая распространение вдоль оси образца нелинейных волн локализованной пластической деформации.

В структурно-неоднородной среде в иерархии самосогласованных мезомасштабных уровней распространение каналированных пластических сдвигов в поверхностном слое и на внутренних границах раздела сопровождается генерацией деформационных дефектов мик-ро- и мезомасштабных уровней (дислокаций, мезополос локализованной деформации, дисклинаций и др.). Это определяет диссипативную составляющую общего процесса пластической деформации. Она подобна отведению в среду ингибитора при распространении в поверхностном слое жидкости фронта реакции Белоусова-Жаботинского.

В условиях деформационного упрочнения при некоторой степени деформации фронт каналированных сдвигов начинает перемещаться вдоль оси упрочненного образца совместно с концентратором изгибающих напряжений. Как следствие, бегущие нелинейные волны вырождаются в солитонную пару, которая методом электронной спекл-интерферометрии выявляется как движущаяся «белая полоса». В центральной части образца «белая полоса» останавливается, обусловливая стационарную макролокализацию пластического течения и образование шейки. Деформация в шейке развивается как фазовая волна сдвигов, каналированных в двух макрополосах, самосогласованных в схеме креста по сопряженным направлениям ттах. Развитие фазовой волны стационарной макролокализации пластического течения сопровождается зарождением в центре шейки трещины, которая распространяется в схеме фазовой волны разрушения.

На основе калибровочной теории дефектов развита теория нелинейных волн локализованной пластической деформации и разрушения. Получены волновые уравнения для плотности дефектов и плотности их потоков. Левые части этих уравнений описывают периодическую осцилляцию среды, в которой распространяются нелинейные волны локализованного пластического течения. Правые части уравнений описывают источники пластических сдвигов, которые связаны с возникновением вблизи концентраторов напряжений локальных зон гидростатического растяжения, неупругой сдвиговой деформации и релаксационных процессов локальных структурных превращений, обеспечивающих распространение пластического сдвига. Полученные волновые уравнения позволяют проанализировать условия распространения в диссипативной среде нелинейных волн локализованного пластического течения или их распада в структурно-неоднородном твердом теле при различных условиях нагружения.

Развитая волновая теория позволяет удовлетворительно объяснить известные в литературе экспериментальные результаты, полученные в работах авторов и других исследователей.

Работа выполнена при финансовой поддержке проектов СО РАН (№№ 3.6.1.1 и 1), Президиума РАН (№№ 12.2, 18.1, 11.1), РФФИ (№№ 09-12026-офи-М и 08-01-0706а) и грантов Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых и поддержки ведущих научных школ РФ (№№ МД-188.2010.8 и НШ-5242.2010.1).

Литература

1. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов / Под ред. В.Е. Панина. - Новосибирск: Наука, 1995. -Т. 1. - 297 с.

2. Physical Mesomechanics of Heterogeneous Media and Computer-Aided Design of Materials / Ed. by V.E. Panin. - Cambridge: Cambridge Interscience Publishing, 1998. - 339 p.

3. Panin V.E. Synergetic principles of physical mesomechanics // Theor. Appl. Fract. Mech. - 2001. - V. 37. - No. 1-3. - P. 261-298.

4. Zangwill A. Physics of Surfaces. - Cambridge: Cambridge University Press, 1988. - 536 р.

5. Панин В.Е. Физическая мезомеханика поверхностных слоев твердых тел // Физ. мезомех. - 1999. - Т. 2. - № 6. - С. 5-23.

6. Панин В.Е. Поверхностные слои твердых тел как синергетический

активатор пластического течения нагруженного твердого тела // МиТОМ. - 2005. - №7.- С. 62-68.

7. Панин В.Е., Панин А.В. Эффект поверхностного слоя в деформируемом твердом теле // Физ. мезомех. - 2005. - Т. 8. - № 5. - С. 715.

8. Васильев М.А. Структура и динамика поверхности переходных металлов. - Киев: Наук. думка, 1988. - 248 с.

9. Егорушкин В.Е., Панин В.Е., Савушкин В.Е., Хон Ю.А. Сильно возбужденные состояния в кристаллах // Изв. вузов. Физика. -1987. - Т. 30. - № 1. - С. 9-33.

10. ПанинВ.Е., ЕгорушкинВ.Е. Неравновесная термодинамика деформируемого твердого тела как многоуровневой системы. Корпускулярно-волновой дуализм пластического сдвига // Физ. мезо-мех. - Т. 11. - № 2. - 2008. - С. 9-30.

11. Панин В.Е., Гриняев Ю.В., Егорушкин В.Е., Бухбиндер И.Л., Кульков С.Н. Спектр возбужденных состояний и вихревое механическое поле в деформируемом кристалле // Изв. вузов. Физика. -1987.- Т. 30. - № 1. - С. 34-51.

12. Егорушкин В.Е. Калибровочная динамическая теория дефектов в неоднородно деформируемых средах со структурой. Поведение границы раздела // Изв. вузов. Физика. - 1990. - Т. 33. - № 2. -С. 51-68.

13. Егорушкин В.Е. Динамика пластической деформации. Волны нелинейной пластической деформации в твердых телах // Изв. вузов. Физика. - 1992. - Т. 35. - № 4. - С. 19-41.

14. Panin V.E., Egorushkin V.E., Panin A.V. Mesomechanics of Structural Materials with Nanostructured Surface Layers // Proc. VII Int. Conf. on Mesomechanics “Materials for Safety and Health”, Montreal, August 1-4, 2005. - P. 231-238.

15. Панин А.В. Нелинейные волны локализованного пластического течения в наноструктурированных поверхностных слоях твердых тел и тонких пленках // Физ. мезомех. - 2005. - Т. 8. - № 3. - С. 517.

16. Панин В.Е., Дударев Е.Ф., Бушнев Л.С. Структура и механические свойства твердых растворов замещения. - М.: Металлургия, 1971.- 208 с.

17. Панин В.Е., Фомин В.М., Титов В.М. Физические принципы ме-зомеханики поверхностных слоев и внутренних границ раздела в

деформируемом твердом теле // Физ. мезомех. - 2003. - Т. б. -М 2. - С. 5-14.

1В. Гpuняeв Ю-B., Панин B.E. Расчет напряженного состояния в упруго пагружеппом поликристалле // Изв. вузов. Физика. - 197В. -М 12. - С. 95-101.

19. Панин B.E., Плeшaнoв B.Q, Гpuняeв Ю-B., Koбзeвa СЛ. Формирование периодических мезополосовых структур при растяжении поликристаллов с протяженными границами раздела // ПMТФ. -199В. - Т. 39. - М 4. - С. 141-147.

20. Лeoнmoвuч M.A. О свободной энергии неравновесного состояния // ЖЭТФ. - 193В. - Т. В. - М 7. - C. В44-В54.

21. Панин B.E., Eгopyшкuн B.E. Наноструктурные состояния в твердых телах // ФMM. - 2010. - Т. 110. - М 5. - С. 1-10.

22. Бeлaй O.B., Kuceлeв С.П. Числеппое моделирование деформирования и разрушения пластины нанокомпозита «медь - молибден» при одноосном растяжении методом молекулярной динамики // Физ. мезомех. - 2010. - Т. 13. - М 4. - С. 25-34.

23. Kroner E. Gauge field theories of defects in solids. - Stuttgart: Max Plank Inst., 19В2. - 102 p.

24. Kaдич A., Эдeлeн Д. Калибровочная теория дислокаций и дискли-паций. - M.: Mир, 19В7. - 17б с.

25. Edelen D.G.B. On a closure of the governing equations of defect dynamics and the resulting theory of the plastic state // Int. J. Eng. Sci. - 1979. - V. 17. - No. 4. - P. 441-4б4.

26. Bвeдeнue в микромеханику / Под ред. M. Опами. - M.: Mеталлур-гия, 19В7. - 2В0 с.

27. Lagoudas D.C., Edelen D.G.B. Material and spatial gauge theories of solids. I. Gauge constructs, geometry, and kinematics // Int. J. Eng. Sci. - 19В9. - V. 27. - No. 4. - P. 411-431.

2В. Gunter H. Remark on groups and internal structure in continuum mechanics // Annalen der Physik. - 19ВЗ. - V. 495. - Iss. 4-5. - P. 291297.

29. Йшида С. Интерпретация мезомехапических характеристик пластической деформации на основе аналогии с теорией электро-магпитпого ноля Mаксвелла // Физ. мезомех. - 2001. - Т. 4. - М3.-С. 29-34.

30. Йшида С. Динамика пластической деформации па основе механизмов восстановления и диссипации энергии при пластичности // Физ. мезомех. - 200В. - Т. 11. - М 2. - С. З1-ЗВ.

31. Maк-Koннeл A-Дж. Введение в тензорный анализ. С приложениями к геометрии, механике и физике. - M.: Физматгиз, 19бЗ. -411 с.

32. Панин B.E., Сypuкoвa Н.С., Eлcyкoвa Т.Ф., Eгopyшкuн B.E., Пачи-вaлoв Ю.И. Наноструктурированные фазовые границы в алюминии при циклической интенсивной пластической деформации // Физ. мезомех. - 2009. - Т. 12. - М б. - С. 5-15.

33. Панин B.E., Панин A.B., Mouceeнкo Д.Д., Eлcyкoвa Т.Ф., Щ^зи-на О.Ю., Maкcuмoв П..B. Эффект «шахматной доски» в раснреде-лении напряжений и деформаций на интерфейсах в нагруженном твердом теле // ДАН. - 200б. - Т. 409. - М 5. - С. б0б-б10.

34. Tyson JJ. The Belousov-Zhabotinsky Reaction (Lecture Notes in Biomathematics). - Berlin: Springer, 197б. - Vol. 10. - 150 p.

35. Toyooka S., Widiastuti R., Zhang Q., Kato H. Dynamic observation of localized strain pulsation generated in the plastic deformation process by electronic speckle pattern interferometry // Jpn. J. Appl. Phys. -2001. - V. 40. - No. 2A. - P. В7З-В7б.

36. Дepюгuн E.E., Панин B.E., Шмayдep З., Сmopoжeнкo И.B. Эффекты локализации деформации в композитах на основе Al с включе-пиями Al2O3 // Физ. мезомех. - 2001. - Т. 4. - М 3. - С. 35-47.

37. Панин A.B., Лeoнmьeвa-Смupнoвa M.B., Чepнoв B.M., Панин B.E., Пoчuвaлoв Ю.И., Meльнuкoвa E.A. Повышение прочностных характеристик конструкционной стали ЭК-1В1 па основе многоуровневого подхода физической мезомеханики // Физ. мезомех. -2007. - Т. 10. - М 4. - С. 73-Вб.

ЗВ. Di Carlo A. Actual Surfaces versus Virtual Cuts // Whence the Boundary Conditions in Modern Continuum Physics? - Roma: Accademia Nazional dei Lincei, 2004. - P. 97-113.

39. Поверхностные слои и внутренние границы раздела в гетерогенных материалах / Под ред. В.Е. Панина. - Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2006. - 520 с.

40. Сырямкин В.И., Панин С.В. Оптико-телевизионный метод исследования поведения и диагностики состояния нагруженных материалов и элементов конструкций // Вычислительные технологии. -2003. - Т. 8. - Спец. вып. - С. 10-25.

41. Наймарк О.Б., Баяндин Ю.В., Леонтьев В.А., Пермяков С.Л. О термодинамике структурно-скейлинговых переходов при пластической деформации твердых тел // Физ. мезомех. - 2005. - Т. 8. -№ 5. - С. 23-29.

42. Веттегрень В.И., Светлов В.Н., Рахимов С.Ш. Исследование эволюции субмикродефектов на поверхности нагруженных образцов золота при помощи туннельного профилометра // ФТТ. -1996. - Т. 38. - № 2. - С. 590-594.

43. Веттегрень В.И., Рахимов С.Ш., Светлов В.Н. Исследование эволюции рельефа поверхности отожженных образцов Си и Pd под нагрузкой // ФТТ. - 1997. - Т. 39. - № 9. - С. 1560-1563.

44. ПанинВ.Е., Елсукова Т.Ф., ПопковаЮ.Ф. Каналирование локальных структурных превращений в поверхностных слоях поликристаллов при циклическом нагружении знакопеременным изгибом // Физ. мезомех. - 2010. - Т. 13. - № 4. - С. 5-14.

45. Панин В.Е., Елсукова Т.Ф., Егорушкин В.Е., Ваулина О.Ю., По-чивалов Ю.И. Нелинейные волновые эффекты солитонов кривизны в поверхностных слоях поликристаллов высокочистого алюминия при интенсивной пластической деформации. I. Эксперимент // Физ. мезомех. - 2007. - Т. 10. - № 6. - С. 21-32.

46. ПанинВ.Е., Елсукова Т.Ф., Ваулина О.Ю., ПочиваловЮ.И. Нелинейные волновые эффекты солитонов кривизны в поверхностных слоях поликристаллов высокочистого алюминия при интенсивной пластической деформации. II. Роль граничных условий, интерфейсов и неравновесности деформированного состояния // Физ. мезомех. - 2008. - Т. 11. - № 5. - С. 17-26.

47. Кузнецов П.В., Панин В.Е., Петракова И.В. О роли нестабильности Гринфельда при формировании твидовой структуры на поверхности кристаллов алюминия при циклическом растяжении // Физ. мезомех. - 2010. - Т. 13. - № 1. - С. 11-21.

48. Зуев Л.Б., Данилов В.И., Баранникова С.А. Физика макролокализации пластического течения. - Новосибирск: Наука, 2008. -328 с.

49. Лоскутов А.Ю., Михайлов А.С. Введение в синергетику. - М.: Наука, 1990. - 270 с.

50. Панин В.Е., Гриняев Ю.В., Панин А.В. Полевая теория многоуровневого пластического течения в шейке деформируемого твердого тела // Физ. мезомех. - 2007. - Т. 10. - № 5. - С. 5-16.

51. Панин В.Е., Деревягина Л.С., Валиев РЗ. Механизм локализованной деформации субмикрокристаллической меди при растяжении // Физ. мезомех. - 1999. - Т. 2. - № 1-2. - С. 89-95.

52. Деревягина Л.С., Панин В.Е., Гордиенко А.И. Самоорганизация пластических сдвигов в макрополосах локализованной деформации в шейке высокопрочных поликристаллов и ее роль в разрушении материала при одноосном растяжении // Физ. мезомех. -2007. - Т. 10. - № 4. - С. 59-71.

53. Панин С.В., Бяков А.В., Гренке В.В., ШакировИ.В., Юссиф С.А.К. Многомасштабное исследование стадийности локализованной пластической деформации при растяжении образцов сплава Д16АТ с надрезами акустико-эмиссионным и оптико-телевизионным методами // Физ. мезомех. - 2009. - Т. 12. - № 6. - С. 63-72.

54. Антипина Н.А., Панин В.Е., Слосман А.И., Овечкин Б.Б. Волны переключения макрополос локализованной деформации при растяжении поверхностно упрочненных образцов // Физ. мезомех. -2000. - Т. 3. - № 3. - С. 37-41.

55. Панин В.Е., Строкатов Р.Д. Динамика мезоскопической структуры и сверхпластичность аустенитных сталей и сплавов // Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов / Под ред. В.Е. Панина. - Новосибирск: Наука, 1995. - Т. 1. -С. 208-240.

56. Губернаторов В.В., Соколов Б.К., Гервасьева И.В., Владимиров Л.Р. О формировании полосовых структур в структурно-однородных материалах при деформации // Физ. мезомех. - 1999. -Т.2. - № 1-2. - С. 157-162.

57. Panin A., Panina A., Ivanov Yu. Deformation macrolocalisation and fracture in ultrafine-grained armco iron // Mater. Sci. Eng. A. - 2008. -V. 486. - No. 1-2. - P. 267-272.

58. Панин В.Е., Елсукова Т.Ф., Ангелова Г.В. Волновой характер распространения усталостных трещин на поверхности поликристал-лического алюминия при циклическом нагружении // Физ. мезо-мех. - 2002. - Т. 5. - № 3. - С. 93-99.

59. Шанявский А.А., Захарова Т.П., Потапенко Ю.А. Бифуркационный переход от мезо- к наномиру усталости титанового сплава ВТ3-1 как частично замкнутой системы // Физ. мезомех. - 2009. -Т. 12. - № 3. - С. 33-44.

60. Инфельд Э., Роуландс Дж. Нелинейные волны, солитоны и хаос. -М.: Физматлит, 2006. - 478 с.

Поступила в редакцию 01.07.2010 г.

Сведения об авторах

Панин Виктор Евгеньевич, д.ф.-м.н., академик РАН, научный руководитель ИФПМ СО РАН, paninve@ispms.tsc.ru Егорушкин Валерий Ефимович, д.ф.-м.н., профессор, внс ИФПМ СО РАН, root@ispms.tomsk.ru Панин Алексей Викторович, д.ф.-м.н., зав. лаб. ИФПМ СО РАН, pav@ispms.tsc.ru