Метод коллокации для спектральных задач теории диэлектрических волноводов

МАТЕМАТИКА

УДК 517.9

А. Г. Фролов

МЕТОД КОЛЛОКАЦИИ ДЛЯ СПЕКТРАЛЬНЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ВОЛНОВОДОВ1

Аннотация. Для численного решения задач о поверхностных и вытекающих собственных волнах слабонаправляющего диэлектрического волновода в полупространстве предлагается метод коллокации. Он обосновывается теоретически и практически.

Ключевые слова: диэлектрический волновод, задача на собственные значения, интегральные уравнения, метод колллокации.

Abstract. The author suggests a collocation method to solve problems on surface eigenwaves and leaky eigenwaves of weakly guiding dielectric waveguide in the half-space. This method is investigated theoretically and practically.

Key words: dielectric waveguide, eigenvalue problem, integral equations, collocation method.

Ряд спектральных задач теории диэлектрических волноводов сводится к линейным и нелинейным задачам поиска характеристических чисел двумерных слабо сингулярных интегральных уравнений [1-3]. Одним из эффективных численных методов решения подобных задач является метод коллокации [4, 5]. В настоящей статье предлагается реализация метода коллокации для поиска поверхностных (линейная задача) и вытекающих (нелинейная задача) собственных волн слабонаправляющего волновода в полупространстве. Для обеих задач доказываются теоремы сходимости и приводятся результаты численных экспериментов.

Опишем метод коллокации приближенного решения линейной спектральной задачи о поверхностных собственных волнах слабонаправляющего волновода в полупространстве [3]:

Введение

1. Метод коллокации для задачи о поверхностных собственных волнах

u = ХТ (с)и.

Здесь

(Т (с) )u( х) = J К (с; X, y)u(y)dy, хє О. ;

1 Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 09-01-97009.

К (с; х, у) = 2- (Ко (с | х - у |) - К0 (с | х - y * |))(х))(у),

где П - область поперечного сечения волновода - ограниченная область в верхней полуплоскости R+ = {-=о < хі < ^, х2 > 0}, целиком лежащая в полукруге радиуса R с центром в начале координат; Ко - функция Макдональ-

2 2

* 2 п (х)_П

да (см., напр., [6]), y = (y1,-y2), p (х) = —2---------2^ > 0; n - непрерывный

n+ - Пте

в П показатель преломления волновода; пте > 0 - постоянный показатель

преломления окружающей среды, n+= maxп(х), с = лШ2 -ю2£оМ-оп£ > 0 -

хєП

мнимая часть поперечного волнового числа; в > 0 - постоянная распростране-

2 2 2

ния; ю> 0 - частота электромагнитных колебаний; X = w £оМ-0 (п+ _ пте) > 0 , е0 (М-о) - электрическая (магнитная) постоянная. При каждом фиксированном значении с> 0 необходимо найти все характеристические числа X и отвечающие им собственные функции и оператора Т(с).

При построении и теоретическом обосновании сходимости метода кол-локации будем опираться на общие результаты теории дискретной сходимости проекционных методов решения линейных спектральных задач для многомерных слабосингулярных интегральных уравнений [4]. Ядро К слабо полярно, поэтому, если ЭП - липшицева кривая и решение задачи (1) существует в (П), то собственные функции и принадлежат [7] пространству

вещественных непрерывных функций C (П) с нормой

хєП

Будем рассматривать оператор Т как оператор, действующий в пространстве C(П). Проведем регулярную триангуляцию области П, следуя, напр., [8]. Будем использовать такие треугольники Пjh с прямолинейными

границами, что Пг^ П П , h = 0 , если i ^ j. Пусть max diam^ jh) ^ h , где

Kj^Nh

Nh

Nh - число треугольников. Обозначим символом П = ^ П j h £ П дискрет-

j=1

ный аналог области П, а через Sh = jh}^=1 - сетку на области П, такую что ^jh - центр тяжести Пjh, j = 1,..., Nh . Ясно, что dist(х,Sh) ^ 0,

h ^0, хєП, где dist(х,Sh) = min | х-^jh |.

^ j ,hєSh

Обозначим E = C (П) и введем пространство функций Eh = C (S h), заданных на сетке Sh , с нормой || Uh |E = max | Uh (^ j h) |, Uh є Eh . Опреде-

h 1jNh

лим оператор Ph : E ^ Eh сужения функции и є E на сетку Sh : PhU є Eh -сеточная функция со значениями (p^)(^ j h) = и(^ j h), j = 1, ., Nh .

Семейство (ии )^е(о и) элементов ии є Еи называется дискретно сходящимся [4] к элементу и є Е, если || ии — р^и |Еи ^ О, И ^ 0. Будем обозначать дискретную сходимость так: ии------->и . В рассматриваемом нами случае дискретная сходимость ии--------------->и означает, что тах | ии(£,, и) — и(£,¡и)1^О,

1]Щ,

и ^ 0.

Очевидно, || ри ЦцЕ,Еи ) = 1, и оператор рк є Ь

обозначено пространство линейных ограниченных операторов ри : Е ^ Еи) удовлетворяет условию: || рии ||еи ^|| и ||е , и ^ 0 для любого и є Е.

Приближенное решение интегрального уравнения (1) будем разыскивать в виде кусочно-постоянной функции

Щи

и

І=1

где ф у и (х) = 1 при х єП і и , ф ] и (х) = 0 при х ¿П і и .

В интегральном уравнении (1) аппроксимируем область интегрирования П областью Пи, заменим и на и(и) и запишем полученное равенство в точках ^г- и . Получим конечномерную линейную спектральную задачу:

иі,и = и

]=1 П ] ,и

где и],и = ии(^ ] и).

Введем дискретный аналог оператора Т - оператор Ти, действующий в Еи :

Щ

(Тиии )(^,и) = £ и

]=1 П],и

Семейство (Ти )иє(о и) операторов Ти єЬ(Еи, Еи) называется дискретно сходящимся [4] к оператору Т є Ь(Е, Е), если из ии------------->и следует,

что Тиии---->Ти . Дискретную сходимость семейства операторов будем обозначать через Ти---->Т . Будем говорить, что семейство (Ти )/гє(0А) операто-

ров Ти єЬ(Еи,Еи) сходится к оператору Т є Ь(Е,Е) дискретно компактно, если Ти----->Т , и, кроме того, из || ии ||еи < сош!;, и є (0, к), следует, что се-

мейство (Тиии )иє(0А) дискретно компактно. Отметим, что согласно [4] семейство (ии)кє(оh) элементов ии є Еи называется дискретно компактным,

у и { К

І и I К

если любая последовательность ии , для которой ип — 0, содержит дискретно сходящуюся подпоследовательность.

Обозначим через эр(Т) = {X > 0: 3 0 Ф и є Е, и = XTu} спектр оператора Т , а через $р(Ти) - спектр оператора Ти .

Теорема 1. Для любого 0 Ф^ є sp(T) существует такое семейство Xи є $р(Ти), что Xи —— ^0 при и — 0. С другой стороны, если эрТ) Э Xи — Х0 при и — 0, то Х0 є эр(Т). Если п є С (П), а характери-

2

стическое число Х0 є эр(Т) простое, то имеет место оценка | Xи — X0 К си .

Доказательство. Оператор Ти є Ь(Еи, Еи) - конечномерный. Оператор Т є Ь(Е,Е) - вполне непрерывный (в силу леммы 2.2 [4]). Следовательно, по теореме 4.2 [4] достаточно показать, что семейство (Ти )иє(0А) операторов Ти є Ь(Еи, Еи) сходится к оператору Т є Ь(Е, Е) дискретно компактно и для и0 = XоTЫо получить оценку

Доказательство дискретной компактной сходимости проводится аналогично доказательству леммы 5.2 [4]. Для доказательства оценки (7) необхо-

Далее доказательство проводится аналогично доказательству леммы 5.3 [4]. Теорема доказана.

2. Метод коллокации для задачи о вытекающих собственных волнах

Задача о вытекающих собственных волнах слабонаправляющего волновода в полупространстве формулируется в виде нелинейной спектральной задачи для фредгольмовой голоморфной оператор-функции [3]:

У Тириио— риТио \\еи Кси2, и — °.

2

димо прежде всего заметить, что если п е С (П), то любая собственная

2 0 ~

функция задачи (1) принадлежит [4] пространству С ’ (П) с нормой

хєП

хєП

где р(х) = іпГ | х — У |.

уєГ

А(ю, в) = I — X(ю)T(ю, в);

((ю,в))и(х) = | К(ю,в;х,у)и(у)ёу, хє П;

П

К (ю, в; х, у) = 4 (я01) (х(ю, в) | х — у |) — я01) (х(ю, в) | х — у * |)) р( х) р( у),

где %((0,e) = \W2n££0М-0 -в2 ; Н^) - функции Ханкеля первого рода нулевого порядка (см., напр., [6]), остальные обозначения введены в первом пункте. Для каждой фиксированной частоты ю>0 необходимо найти все постоянные распространения в, принадлежащие «нефизическому» листу Ло2) ри-мановой поверхности Л функции ln %(в), определяемому условиями:

Л02) = (веЛ: -П2 < argх(в) < 3я/2, Im(х(в))< 0}.

При построении метода коллокации операторное уравнение (8) удобно трактовать как уравнение в банаховом пространстве комплекснозначных непрерывных функций E = C (П) с нормой (3). Исследование сходимости метода проведем, опираясь на общие результаты теории дискретной сходимости проекционных методов решения нелинейных спектральных задач для фред-гольмовых голоморфных оператор-функций [9].

Триангуляцию области П проведем так, как описано в разд. 1, но для согласования наших обозначений с принятыми в [9] j -й треугольник обозначим П j, число треугольников - n, дискретный аналог области П - симво-n

лом Пп = ^ П j с П, сетку из точек коллокации на области П - через j=1

Еп = (^ j }П=1, а функцию фj h - символом фj . Пространство Сп наделим нормой:

II un lien = max I un, j I, un е C ,

C 1jn

где un j есть j -я компонента вектора un . Оператор, определяющий сужение

функции и е E на сетку En , обозначим pn е L(E, Cn) .

Пусть N - множество всех натуральных чисел. Через N', N' и т.д. обозначим бесконечные подмножества множества натуральных чисел N. Под сходимостью Zn ^ Z, n е N', будем понимать сходимость при n , когда индекс n пробегает множество N'. Согласно [9] последовательность (un }neN' векторов un е Cn называется дискретно сходящейся к пределу и е E, если ||un - pnu^Cn ^ 0, n е N'. Будем обозначать это так: un ^ и, n е N'. Поясним, что дискретная сходимость un ^ u, n е N', означает при используемой в пространстве Cn норме, что max | un j - u (£, j) |^ 0, n е N'.

1<j<n J

Разыскивая приближенное решение интегрального уравнения (8) в виде кусочно-постоянной функции

n

u

j=1

аппроксимируя область интегрирования Q областью Qn и записывая полученное равенство в точках коллокации, получаем конечномерную спектральную задачу:

П

uni = ^£unj j KZ>i,У)dУ, i = 1,•••, П •

j=1

Введем в рассмотрение дискретные аналоги операторов T и A - операторы, действующие в C :

П

(Tnun )(^-)=£un,j j K(вSi,у)dУ, i = 1,•••, n; j= Q;

An (в) = I-\Tn (в), An (в): Cn — Cn,

где I - единичный оператор в Cn •

Будем говорить, что последовательность операторов {An }n£jv' собственно сходится к оператору A: E — E, определенному равенством (8), если выполнены условия:

un —— u, п є N Anun —— Au, п є N ,

||un|| < const, {Anun }nEN' P - компактна ^ {un }n

Отметим, что согласно [9] последовательность {un }neN' называется дискретно компактной, или P -компактной, если для каждого N' с N' существует такое подмножество чисел N" с N', что последовательность {un }neN"' сходится к некоторому пределу u є E •

Обозначим символом o(A) характеристическое множество оператора A(e), символом с(An) - характеристическое множество оператора An (в) • Приближенные значения вП постоянных распространения в будем искать как характеристические значения оператора An (в)- Относительно сходимости описанного метода справедлива следующая теорема^

Теорема 2^ Если во є о(A), то существует такая последовательность

чисел {вп}neN , вп єо(An), что вп —во, пє N • Если {вп}neN - некоторая последовательность точек из Л такая, что вП є о( An), вП — во єЛ , n є N, то во єо(A) • Пусть {вП }ПЄN - некоторая последовательность точек из Л ; {vn }n<EN - последовательность нормированных векторов; ||un||cn = 1 такие, что вП є о( An); кроме того, An (вП )un = 0, вП — во єЛ , а un — uo, n є N • Тогда во є о(A) и A(вo)uo = о, |u||e = 1 •

Доказательство теоремы заключается в проверке условий 1-6 теорем 1 и 2 [9] в рассматриваемом случае •

L Оператор pn : E — СП очевидно линеен и обладает свойством

2. Оператор-функции А(в) и Ап (в) голоморфны на Л . Это можно доказать, рассуждая аналогично [10, с. 459].

3. При любом РеЛ операторы А(в) и Ап (в) фредгольмовы. Это непосредственно вытекает из полной непрерывности оператора Т(в): Е ^ Е (см. лемму 2.2 [4]) и конечномерности оператора Тп (в).

4. Для любого веЛ последовательность операторов {Ап(в)}пе^ собственно сходится к оператору А(в). Покажем сначала, что выполняется условие (12). Очевидно, что

||Апип - РпАи\\Сп ^11 Апип - АпРпи\Сп + |\АпРпи - РпАи\Сп .

Для вектора рпи е Сп определим кусочно-постоянную функцию и

по формуле (10). Ясно, что тогда Апрпи = рпАи(п), где А: Ь(П) ^ Е, следовательно,

и(п) - и

\\AnPnu - PnAu\\Cn <||Р

ПIIE —СПГ \\Ь„—Е

Объединяя неравенства (14) и (15), получаем оценку

||Anun — pnAu\cn “|||lcn )Cn llUn — PnU\cn +

+1 рЛе—Cn llAll

E—Cn\\ WL^—E = 1, и

u(n) - u

u(n) - u

L*

— о, n є N •

Кроме того, имеет место оценка

где с(в) - непрерывная в области Л функция: с(в) = 1 + sup J | K(в, x, y) | dy.

xsQq

Из определения оператора An (в) вытекает, что

пє N, вє Л^

Теперь можно заключить, что условие (12) выполняется в силу (16)-(19).

Проверим условие (13). P -компактность последовательности векторов {Anun }nejv означает, что для любого N' с N существует такое подмножество N" с N, что последовательность {Anun = un + Tnun}neN" P -сходится к некоторому w е E . Для un е Cn определим функцию u(n) е L(П) по формуле (10). Так как || un C ^ const, то || u(n) ||l ^ const при n е N" . Оператор

Т: (П) ^ Е вполне непрерывен [4, с. 14]. Следовательно, множество

вательность {Тпип }пеы"' Р -сходится к V е Е . Таким образом, последовательность {ип}пеы"' Р -сходится к вектору и = ^ —XVе Е, и условие (13) выполнено.

компакте Ло с Л . Справедливость этого утверждения непосредственно следует из оценок (18) и (19).

6. Множество р(А) не пусто, т.е. с(А) ^Л. Справедливость этого утверждения непосредственно следует из теоремы 3 [1]. Теорема доказана.

При теоретическом обосновании метода коллокации предполагалось, что интегралы в (5) и (11) вычисляются точно. В ходе реальных вычислений внедиагональных элементов матриц подынтегральные выражения аппроксимировались их значениями в точках коллокации. Интегралы, отвечающие диагональным элементам, имеют логарифмическую особенность. Поэтому подынтегральные выражения представлялись в виде суммы 1п |^г- — у| и непрерывной функции, которая аппроксимировалась ее значением в точке кол-локации. Для вычисления интеграла от 1п |^г- — у| по треугольнику П- последний разбивался на две области: Ц- = Бр- (^г-) и (П- \ Бр- (^г-)), где Бр- (^г-) -круг с центром в точке коллокации, радиус которого равен расстоянию от ^г-до ближайшей стороны треугольника. Интеграл от 1п |^г- — у | по Бр> (^г-) вычисляется аналитически, в интеграле по П- \ Бр- (^г-) расстояние |^г- — у|

приближенно полагалось равным р- .

Для каждого а> 0 оператор Т(а), определенный равенством (2), является самосопряженным, однако в силу того, что П- Ф П j при - Ф ] , матрица,

построенная описанным методом для решения задачи (5) получается несимметричной. Поэтому она дополнительно была симметризована умножением

на матрицу diag(| , Щ2,..., |Ц ^ )/Щ2, где Ц| - максимальная площадь

треугольника. Таким образом, задача (5) сводится к обобщенной линейной задаче на собственные значения вида Би = ХБА(а)и для симметричных положительных матриц. При каждом фиксированном а из некоторого интервала положительной полуоси вычислялись сразу несколько первых собственных значений и отвечающих им собственных функций методом Арнольди

{Ти (п)}пе Ы" относительно компактно. Значит, из любой последовательности {Ти( п)}пе Ы" можно извлечь сходящуюся подпоследовательность {Ти(п)}пеы", т.е. Ти(п) — V ^ 0, пе Ы"", Vе Е. Отсюда в силу неравенства

\\Тпип - РиЛсп “II рЛЕ^сп Ти(И) - У Е и 1ЫЕ^Сп =1 слеДУет, что последо-

ограничены равномерно по п и в на каждом

3. Результаты численных экспериментов

[11].

Задача (11) при фиксированном Х>0 сводится к спектральной задаче вида А(в)и = 0, где А - матрица, элементы которой являются комплекснозначными функциями комплексного параметра в, и - вектор с комплексными компонентами. Для решения этой задачи использовался вариант метода обратных итераций с невязкой, предложенный в работе [12].

В ходе численных экспериментов задачи (5) и (11) решались для областей П двух форм: 1) единичный полукруг с центром в начале координат, лежащий на прямой Ь; 2) прямоугольник с отношением сторон 1/2, середина большей стороны которого совпадает с началом координат, а длина меньшей стороны равна единице.

На рис. 1 изображены дисперсионные кривые для поверхностных и вытекающих собственных волн полукруглого и прямоугольного волноводов в полупространстве с постоянным показателем преломления. Поверхностным волнам соответствуют графики а = а(Х), 1т% = а>0. Значения X, при которых а = 0, называются точками отсечки. При переходе через точки отсечки поверхностные волны трансформируются в вытекающие, у параметра X появляется вещественная часть.

3

4

2

О

-2

4

А

Рис. 1. Дисперсионные кривые для поверхностных и вытекающих собственных волн полукруглого (сверху) и прямоугольного (снизу) волноводов в полупространстве

На рис. 2 и 3 изображены линии уровня собственных функций задач о поверхностных и вытекающих собственных волнах для полукруглого и прямоугольного волноводов в полупространстве.

Представим теперь результаты исследования зависимости точности вычислений от числа точек коллокации N . При с = 1 и разных N вычислялись

приближенные собственные значения X 6 задачи о поверхностных собственных волнах. Затем они сравнивались с Хб = 50,8596, вычисленном при N = 8096 для полукруглого волновода, и с Хб = 35,2225 , полученном при N = 8032 для прямоугольного волновода. Результаты вычислений представлены в табл. 1.

Таблица 1

Приближенные собственные значения X 6 задачи о поверхностных волнах для полукруглого и прямоугольного волноводов в полупространстве; с = 1

Полукруглый волновод

N 61 240 506 1059 2024 4236

И 0,3531 0,1693 0,1210 0,0863 0,0605 0,0432

X 6 39,3336 48,0972 49,5528 50,2392 50,5952 50,7702

е 1,8172 1,8956 1,7561 1,6377 1,4209 0,9432

£ 0,2266 0,0543 0,0257 0,0122 0,0052 0,0018

Прямоугольный волновод

N 64 320 664 1280 2656 4800

И 0,3896 0,1598 0,1125 0,0799 0,0562 0,0454

X 6 29,4901 33,6530 34,4707 34,8661 35,0785 35,1684

е 1,0720 1,7450 1,6866 1,5850 1,2929 0,7459

£ 0,1627 0,0446 0,0213 0,0101 0,0041 0,0015

В табл. 1 приведена зависимость от N следующих величин: относительной ошибки £=| X —X6 | /Х6 и величины е = £/И2 , где И - максимальная длина стороны треугольника. Видно, что с увеличением числа N относительная погрешность £ убывает. Результаты аналогичного исследования сходимости для вытекающих волн приведены в табл. 2.

Таблица 2

Приближенные характеристические значения X 4 задачи о вытекающих волнах для полукруглого и прямоугольного волноводов в полупространстве

Полукруглый волновод

N 240 506 1059 2024

И 0,1693 0,1210 0,0863 0,0605

X4 2,7616 - 0,9311/ 2,7897 - 1,0195/ 2,7978 - 1,0556/ 2,8020 - 1,0715/

е 1,8019 1,4209 1,1408 0,8241

£ 0,0516 0,0208 0,0085 0,0030

Прямоугольный волновод

N 320 664 1280 2656

И 0,1598 0,1125 0,0799 0,0562

X 4 2,6492 - 0,9372/ 2,6523 - 1,0056/ 2,6597 - 1,0224/ 2,6612 - 1,0389/

е 1,4703 1,0922 1,1777 0,5662

£ 0,0375 0,0138 0,0075 0,0018

32. (Ш К

1 0 1

Ля = 27.5:379

О 1-1 О 1

Ад = 20.9^3 Л 5 = 3-3.749:3

1

Щ 6

Рис. 2. Линии уровня собственных функций задачи о поверхностных волнах для полукруглого (сверху) и прямоугольного (снизу) волноводов в полупространстве; 0=1

№ 2 (22), 2012 Физико-математические науки. Математика

Рис. 3. Линии уровня собственных функций задачи о вытекающих волнах для полукруглого (сверху) и прямоугольного (снизу) волноводов. В первом и третьем рядах показаны вещественные части функции г/, во втором и четвертом - мнимые

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

Значение Х4 = 2,8042 -1,0803/, с которым сравнивались значения X4, полученные при меньшем количестве треугольников, вычислено для полукруглого волновода при N = 4236 и ^4 = 20,2. Для прямоугольного волновода X4 = 2,6630 -1,0437/ при N = 4800 и ^4 = 15,2.

Автор благодарит Е. М. Карчевского за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

Список литературы

1. Даутов, Р. З. Метод интегральных уравнений и точные нелокальные граничные условия в теории диэлектрических волноводов / Р. З. Даутов, Е. М. Карчев-ский. - Казань : Изд-во Казан. гос. ун-та, 2009. - 271 с.

2. Карчевский, Е. М. Численное решение задачи о распространении электромагнитных волн в слабонаправляющих волноводах / Е. М. Карчевский, А. Г. Фролов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2011. - № 1. - С. 47-57.

3. Карчевский, Е. М. Собственные волны слабонаправляющего волновода в полупространстве / Е. М. Карчевский, А. Г. Фролов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2012. - № 1. - С. 22-30.

4. Vainikko, G. Multidimensional weakly singular integral equations / G. Vainikko. -Springer, 1993. - 159 p.

5. Смирнов, Ю. Г. Математические методы исследования задач электродинамики / Ю. Г. Смирнов. - Пенза : Инф.-изд. центр ПензГУ, 2009. - 268 с.

6. Янке, Е. Специальные функции / Е. Янке, Ф. Эмде, Ф. Леш. - М. : Наука, 1968. - 344 с.

7. Владимиров, В. С. Уравнения математической физики / В. С. Владимиров. -М. : Наука, 1976. - 527 с.

8. Даутов, Р. З. Введение в теорию метода конечных элементов / Р. З. Даутов, М. М. Карчевский. - Казань : Изд-во Казан. гос. ун-та, 2004. - 239 с.

9. Вайникко, Г. М. О быстроте сходимости приближенных методов в проблеме собственных значений с нелинейным вхождением параметра / Г. М. Вайникко, О. О. Карма // Журнал вычислительной математики и математической физики. -1974. - Т. 14, № 6. - С. 1393-1408.

10. Като, Т. Теория возмущений линейных операторов / Т. Като. - М. : Мир, 1972. -740 с.

11. Lehoucq, R. B. Deflation techniques for an implicitly re-started Arnoldi iteration / R. B. Lehoucq, D. C. Sorensen // SIAM J. Matrix Analysis and Applications. - 1996. -V. 17. - P. 789-821.

12. Neumaier, A. Residual inverse iteration for the nonlinear eigenvalue problem / A. Neumaier // SIAM J. Numer. Anal. - 1985. - V. 22, № 5. - P. 914-923.

Фролов Александр Геннадьевич Frolov Alexander Gennadyevich

аспирант, Казанский (Приволжский) Postgraduate student, Kazan

федеральный университет (Volga region) Federal University

E-mail: ekarchev@yandex.ru

УДК 517.9 Фролов, А. Г.

Метод коллокации для спектральных задач теории диэлектрических волноводов / А. Г. Фролов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2012. - № 2 (22). - С. 3-15.