Профессиональная подготовка учителя математики к преподаванию геометрических преобразований в средней школе

открытие фактов в процессе рассмотрения частных случаев. Этот метод близок и к методам физической науки. Кроме того, применяется эвристический метод, в котором студент приходит к обобщению с помощью преподавателя или самостоятельно. В дальнейшем используются также индуктивно-исследовательский и дедуктивно-исследовательский методы.

Использование физических моделей при формировании понятий математического анализа не является единственной целью построения курса, а рассматривается как один из приемов обучения, способствующий формированию у студен-тов-физиков философской идеи единства материи. Создаются условия для их подготовки к решению задач, требующих синтезированных знаний, усиливается мотивационная составляющая познавательной деятельности студентов.

Примечания

1. Саранцев, Г. И. Методология методики обучения математике [Текст] / Г. И. Саранцев. Саранск, 2001. 144 с.

2. Столяр, А. А. Педагогика математики [Текст] / А. А. Столяр. Минск: Выш. шк., 1969. 362 с.

3. Усова, А. В. Формирование у школьников научных понятий в процессе обучения [Текст] / А. В. Усова. М.: Педагогика, 1986. 173 с.

4. Ончукова, Л. В. Особенности построения математических моделей при формировании понятий математического анализа [Текст] / Л. В. Ончукова // Формирование математических понятий в контексте гуманитаризации образования: межвуз. сб. науч. тр. Саранск, 2003. С. 169-173.

5. Иванчук, О. В. Методика формирования у учащихся обобщённых видов деятельности по усвоению понятий о физических объектах [Текст] : дис. ... канд. пед. наук / О. В. Иванчук. Астрахань, 1999. 146 с.

6. Резник, Н. И. Концепция инвариантности в системе преподавания дисциплин естественнонаучного цикла [Текст]: дис. ... д-ра пед. наук / Н. И. Резник. Владивосток, 1996. 326 с.

Л. В. Тимшина

ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ПОДГОТОВКА УЧИТЕЛЯ МАТЕМАТИКИ К ПРЕПОДАВАНИЮ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

Одна из содержательных линий современного школьного курса геометрии, которая получает продолжение и в вузовском курсе геометрии, - линия геометрических преобразований. В статье рассмотрены основные направления профессиональной подготовки будущих учителей математики к преподаванию геометрических преобразований в средней школе.

ТИМШИНА Лариса Вячеславовна - старший преподаватель кафедры высшей математики ВятГГУ © Тимшина Л. В., 2008

Идея преобразования геометрических образов способствует созданию у будущих учителей полного и единого представления о предмете геометрии вообще и школьной в частности; объясняет, как школьная геометрия вписывается в изучаемые в педвузе геометрии; показывает ряд новых методов решения школьных задач. Более глубокое понимание геометрии создает большие возможности для учителя в выборе способов изложения материала, а следовательно, в выборе из них наилучшего.

Задача всесторонней подготовки учителя по геометрическим преобразованиям очень широка. Она предполагает, во-первых, осознание места и роли этой темы в структуре геометрической науки и практике преподавания, во-вторых, изложение на современном научном уровне различных видов преобразований плоскости и пространства, в-третьих, привитие прочных навыков в решении задач на применение геометрических преобразований. Специальная геометрическая подготовка студентов кроме обеспечения знаниями, умениями и навыками по предмету должна способствовать овладению основными приемами мыслительной деятельности и их дальнейшему развитию.

Рассматривая роль различных видов преобразований в обосновании геометрии, заметим, что «элементарная геометрия содержит две большие общие идеи, которые легли в основу всего дальнейшего развития геометрии и значение которых далеко выходит даже за эти достаточно широкие рамки. Речь идет о дедуктивном методе и аксиоматическом обосновании геометрии, во-пер-вых, и о геометрических преобразованиях и теоретико-групповом обосновании геометрии, во-вторых» [1].

Изучение геометрических преобразований позволяет осуществить знакомство будущих учителей математики с групповой точкой зрения на геометрию.

Обобщение понятия движения как преобразования одной фигуры в другую приводит к общему принципу определения разных пространств, когда пространством считается множество элементов (точек), в котором задана группа взаимно однозначных преобразований этого множества на себя. Геометрия такого пространства состоит в изучении тех свойств фигур, которые сохраняются при преобразованиях из этой группы. Например, евклидова геометрия изучает свойства фигур, сохраняющиеся при движениях, аффинная геометрия - свойства фигур, сохраняющиеся при аффинных преобразованиях, топология - свойства фигур, сохраняющихся при любых взаимно однозначных и взаимно непрерывных преобразованиях. В эту же схему включаются геометрия Лобачевского и проективная геометрия.

Начало теоретико-групповому подходу в геометрии было положено Эрлангенской программой Ф. Клейна. Хотя точка зрения Ф. Клейна на построение геометрии не исчерпывает всего богатства современной геометрии, его теоретико-групповой подход к построению геометрии охватывает практически все геометрические теории, изучаемые сейчас в качестве учебного предмета в высшей школе.

Приобщая студентов к дедуктивному методу, можно сообщить им, что разные системы обоснования евклидовой геометрии были предложены несколькими учеными, из числа которых особо заслуживают быть отмеченными итальянский математик М. Пиери, профессор прославленного Геттингенского университета Д. Гильберт и приват-доцент Новороссийского университета В. Ф. Каган.

В чисто математическом отношении предложенные системы аксиом равносильны: приняв за основу любую из них, можно на этой базе доказать все предложения, рассматриваемые как аксиомы в двух других системах. Главное различие между тремя рассматриваемыми аксиоматиками заключается в путях реализации метрической структуры евклидова пространства, отличающей его от аффинного пространства. Гильберт учитывал эту структуру, аксиоматизируя понятие равенства отрезков и углов, М. Пиери считал основным понятием движение, а Каган исходил из понятия расстояния между точками. Пиери с самого начала вводит в геометрию понятие движения.

Вопросы структурной точки зрения на геометрию раскрываются при подготовке будущих учителей в разделе оснований геометрии.

В современных учебных вузовских пособиях для студентов физико-математических факультетов педагогических вузов [2] геометрические преобразования излагаются на базе тех геометрических представлений, которые сложились у студентов при изучении школьного курса геометрии. Такой подход предполагает повторение, обобщение и систематизацию базовых геометрических знаний, полученных в школе.

С этой точки зрения целесообразно сообщить студентам, что основная идея в школьной геометрии состояла в том, что фигуры, полученные друг из друга преобразованиями движения и подобия, имели одни и те же свойства и, следовательно, считались равными или подобными. Метод преобразований сводился лишь к изменению местоположения и размеров фигуры.

В курсе вузовской геометрии изучаются и другие геометрии, прежде всего, аффинная геометрия и аффинные свойства фигур. Эта геометрия отличается от школьной тем, что в ней кроме преобразований движения и подобия будут выполняться с фигурами другие преобразова-

ния - аффинные, которые могут изменять форму фигуры. При этом включаются в рассмотрение новые линии, устанавливается своего рода родство между, казалось бы, совершенно различными линиями. Например, тот факт, что окружность переходит в эллипс при аффинном преобразовании, указывает на наличие каких-то общих свойств этих линий. Здесь возникают для нас новые возможности. Аффинные преобразования, благодаря своим инвариантам, являются мощным средством для вывода новых геометрических теорем и решения разнообразных задач.

Проективная геометрия дает возможность еще более обобщить изучение линий или других геометрических образов, используя проективное преобразование. Топологические, или взаимно однозначные и взаимно непрерывные, преобразования позволят установить еще более глубоко скрытые свойства геометрических фигур.

Такая вводная беседа перед изучением геометрических преобразований актуализирует ранее сложившиеся знания и способствует более осознанному изучению новых математических теорий.

Изучение существующей системы профессиональной подготовки будущего учителя математики по геометрическим преобразованиям показывает, что учебный материал по геометрическим преобразованиям является вполне сложившимся, устоявшимся. Однако «малые», но не менее важные фрагменты учебного знания и методика их изучения разработаны крайне слабо. Так же слабо разработаны конкретные формы и методы усвоения содержания вузовских курсов, формы организации учебно-познавательной деятельности студентов: они представлены в имеющихся разработках общо и безотносительно к тому или иному конкретному содержанию.

Таким «малым» фрагментом в общей линии геометрических преобразований являются проективные преобразования. На наш взгляд, можно выделить следующие цели изучения проективных преобразований: обобщение имеющихся у студентов знаний; усвоение новых приемов решения геометрических задач школьного типа; развитие творческих способностей, привитие навыков самостоятельной работы; развитие абстрактного и логического мышления.

Личный опыт работы показывает, что у большинства студентов при изучении проективных преобразований создается представление, будто бы им, как будущим учителям, эти преобразования для работы в школе не нужны. Многие из студентов знают основные положения теории проективных преобразований, умеют их доказывать, но не знают, где найти им приложения. В связи с этим необходимо так строить преподавание, чтобы студенты понимали, что и почему они

изучают, в чем состоит ценность конкретного учебного материала. Необходимо подчеркнуть его профессионально-практическую направленность.

Здесь можно выделить два направления. Первое связано с изучением гомологий, второе - с использованием проективных преобразований в решении геометрических задач на доказательство и построение.

С точки зрения применения проективных преобразований к школьному курсу геометрии особую значимость приобретают гомологии. Гомологией называется проективное преобразование проективной плоскости, оставляющее неподвижными все точки некоторой прямой. Рассматривая некоторые частные случаи гомологии (несобственный центр и/или ось) на расширенной евклидовой плоскости, можно установить скрытую связь между такими, казалось бы, разными преобразованиями, как перспективно-аффинное преобразование, гомотетия и параллельный перенос.

Геометрические преобразования являются одним из наиболее эффективных методов решения многих геометрических задач на доказательство, нахождение множеств точек, построение.

Рассмотрим комплекс задач:

1. Дана трапеция АВСБ с основаниями АВ и СБ, две ее вершины А и С недоступны. Постройте прямую АС.

2. Постройте прямую, проходящую через данную точку и недоступную точку пересечения двух данных прямых.

3. На чертеже ограниченных размеров даны прямые а и Ъ, пересекающиеся в недоступной точке А, и прямые тип, пересекающиеся в недоступной точке В. Постройте прямую АВ.

По своим параметрам последняя задача является более общей, чем вторая, а вторая задача -более общей, чем первая. Таким образом, первую задачу можно считать ключевой задачей, наводящей на идею решения остальных задач. Рассмотрим один из возможных вариантов решения этой задачи. На расширенной евклидовой плоскости зададим гомологию с осью АС, парой соответственных точек В иОи центром в точке 5, принадлежащей прямой ВО. Произвольно возьмем точку М, принадлежащую АВ. Построим ее образ М' при заданной гомологии. Произвольно возьмем еще одну точку И, принадлежащую ВС. Построим ее образ И'. По свойству гомологии точка Р пересечения прямых МИ и М'Ы' лежит на оси АС. Аналогично строим еще одну точку Q, также лежащую на прямой АС. Через точки Р и О, проводим прямую АС.

Не ставя целью охватить сложную проблему развития мышления в целом, мы выделяем существенные и важные мыслительные умения: наблюдение и сравнение, абстрагирование и конкретизация, обобщение и специализация, классифика-

ция и систематизация, анализ и синтез, отыскание и применение аналогий и противопоставлений, построение гипотез и планирование действий. Перечисленные приемы мыслительной деятельности являются методами построения нового знания, создают предпосылки для дальнейшего самостоятельного расширения и углубления знаний, могут применяться в смежных областях, позволяют находить решения в новых ситуациях.

В рамках данного вопроса мало исследованной является проблема формирования эвристической составляющей мышления. В учебниках геометрии для высших учебных заведений проблеме формирования эвристик не уделяется специального внимания. В результате будущие учителя математики имеют слабое представление об эвристиках и возможностях их использования в работе с учениками.

В толковом словаре русского языка С. И. Ожегова дается такое определение эвристики: «Эвристика. 1. Совокупность исследовательских методов, способствующих обнаружению ранее неизвестного. 2. Основанный на беседах, диалогах метод обучения, стимулирующий у учеников развитие активного поиска решений» [3].

Согласно модели творческой математической деятельности, предложенной Т. А. Ивановой, «процесс познания в математике начинается с накопления фактов и выдвижения гипотез. В науке искусство изобретения, метод нахождения нового называется эвристикой. Поэтому методы, с помощью которых осуществляется накопление фактов и выдвижение гипотез, т. е. методы, способствующие открытиям, называются эвристическими методами деятельности» [4]. Эвристическая составляющая математической деятельности рассматривается Т. А. Ивановой в качестве одного из компонентов культуры мышления в системе гуманитарно-ориентированного математического образования.

Г. И. Саранцев [5] выделяет три группы эвристик. К первой группе относятся эвристические приемы: прием опорных задач; прием вспомогательных задач; прием достраивания фигуры; прием рассмотрения предельных случаев; прием введения вспомогательной неизвестной и т. д.

Специальные эвристики обусловливаются такими положениями: для доказательства равенства отрезков можно воспользоваться доказательством равенства треугольников, содержащих отрезки, либо одним из видов движений, либо доказательством того, что четырехугольник, боковыми сторонами которого являются данные отрезки, есть равнобедренная трапеция, и т. д.

Следующую, наиболее сложную группу эвристик образуют методы научного познания: наблюдение и сравнение, эксперимент, анализ и

синтез, неполная индукция и аналогия, обобщение, специализация и т. д.

Таким образом, методы, с помощью которых человек открывает новые способы решения, строит нестереотипные планы и программы, называют эвристическими. Эвристические методы и приемы являются лишь предварительными моментами в процессе решения задач; часто они наводят на правильное решение, но существует вероятность и ошибочных действий.

Метод геометрических преобразований имеет объективные предпосылки для обучения учащихся эвристическим приемам, а также специальным эвристикам, обусловленным содержанием теоретического материала данной темы. Рассмотрим этот вопрос более подробно.

Особое значение на этапе выбора геометрического преобразования имеет переформулирование задачи. Оно позволяет облегчить поиск нужного преобразования. Сущность переформулирования состоит в преобразовании систем исходных данных и требования задачи, в замене данного утверждения формулировкой, облегчающей решение. В результате переформулирований элементы задачи включаются в новые связи и отношения, выступают в новом качестве, в новых понятийных характеристиках. Здесь можно выделить следующие основные приемы переформулирования: равносильное преобразование требования задачи; получение следствия; переосмысление элементов фигуры в плане другого понятия; перевод содержания задачи на язык специальной теории.

Рассмотрим, как применяется прием равносильного преобразования требования задачи.

Пример 1. На отрезках АВ и ВС (АВ + ВС = = АС) как на сторонах построены равносторонние треугольники АВМ и ВСР (рис. 1), вершины М и Р которых лежат по одну сторону от прямой АС. Доказать, что треугольник ВЕК правильный, где Е и К — середины отрезков АР и МС.

M

Рис. 1

Решение. Требование задачи равносильно двум условиям: BE = ВК и ¿KBE = 60°. Одновременное выполнение этих условий означает, что одна из точек есть образ другой при повороте вокруг точки В на угол 60°.

Прием получения следствий состоит в том, что из данных условий задачи получают некоторые выводы, а из полученных промежуточных результатов - новые выводы и т. д. Нередко таким путем удается решить предложенную задачу.

Пример 2. Внутри треугольника ABC выбрана точка М. Если построить ¿MAB = ¿CAP (рис. 2) и отложить АР = АМ, если далее построить ¿MBC = ¿ABQ, BQ = ВМ и ¿MCA = ¿BCR, CR = СМ, то точки М, Р, Q, R лежат на одной окружности.

А

Рис. 2

Решение. По условию ZMAB = ZCAP и АР = АМ, тогда точки M и Р симметричны относительно биссектрисы а угла САВ. Аналогично точки M и Q, M и R симметричны относительно биссектрис b и с соответствующих углов. Прямые a, b и с пересекаются в точке О, которая симметрична сама себе. Следовательно, ОМ = ОР, ОМ = OQ, ОМ = OR, что и доказывает принадлежность точек одной окружности.

Различные приемы, ситуации, особенности решения задач методом геометрических преобразований рассматривают А. И. Артемов [6], Б. И. Аргунов, М. Б. Балк [7], Г. И. Саранцев [8], И. С. Рубанов [9].

Некоторые типичные ситуации (ситуации 1— 4) применения метода геометрических преобразований в задачах на построение описываются в пособии [10].

Ситуация 1 рекомендует сблизить данные или искомые фигуры. Сближение данных фигур чаще всего удобно осуществить посредством параллельного переноса. Ситуация 2 рассматривает точку как пересечение двух фигур, из которых одна является образом некоторой данной фигуры при геометрическом преобразовании. В ситуации 3

строится фигура, удовлетворяющая только некоторым условиям задачи. Из нее искомая фигура может быть получена с помощью геометрического преобразования определенного вида. Ситуация 4 позволяет использовать свойство данной фигуры, а именно то, что при некотором преобразовании фигура переходит сама в себя. Отмеченное свойство фигуры дает возможность построения дополнительных ее элементов, не указанных в условии.

Заметим, что перечисленные ситуации являются конкретными интерпретациями общих эвристических приемов: прием достраивания фигуры до определенной конфигурации или изменение расположения частей; метод пересечения; составление промежуточных задач или метод последовательных приближений; инвариантность фигуры.

Составление промежуточных задач - одна из разновидностей приема элементарных задач. В методической литературе суть этого приема различные авторы трактуют по-разному. В пособии [11] этот прием связывается с решением задачи, которая является элементом основной, более сложной.

В плане обучения методу геометрических преобразований прием элементарных задач заключается в использовании простейших упражнений для формирования навыков применения отдельных действий, его составляющих. Использование симметрии, поворота, параллельного переноса, гомотетии требует владения следующими умениями: а) строить фигуры, в которые переходят данные фигуры при симметрии, повороте, параллельном переносе, гомотетии; б) видеть соответственные при указанном преобразовании точки на соответственных при том же преобразовании фигурах; в) выделять элементы, определяющие преобразование; г) строить соответственные при указанном преобразовании точки на заданных произвольных фигурах; д) использовать специфические свойства преобразований. Эти умения определяют состав упражнений, в процессе выполнения которых формируется изучаемый метод.

Отметим еще один аспект элементарных задач. По каждой конкретной теме школьного курса математики число идей, используемых при решении всего спектра соответствующих задач, весьма невелико. Поэтому можно указать ряд задач, каждая из которых демонстрирует применение конкретной идеи. «Оказывается, при решении геометрических задач с помощью преобразований всего лишь восемь таких приемов в совокупности на 90%» обеспечивают необходимое использование теоретических фактов [12]. В их число входят и отмеченные ранее приемы: изменение расположения частей, метод пересечения, метод последовательных приближений, инвариантность фигуры.

К числу общих эвристических приемов относится прием рассмотрения предельного случая, или сведение к частному случаю. Этот прием характерен для преобразований, которые могут заметно менять форму фигур, - аффинных и инверсии - и применяется, когда утверждение задачи инвариантно относительно соответствующего преобразования.

Наряду с общими эвристическими приемами для решения задач методом геометрических преобразований используются специальные эвристики, обусловленные содержанием теоретического материала. Тема «Геометрические преобразования» вооружает студентов новыми способами доказательства принадлежности точек одной прямой, перпендикулярности и параллельности прямых. Все эти доказательства построены на использовании специфических свойств частных видов преобразований.

Для того чтобы эвристические методы стали для учащихся средствами познания, необходимо, чтобы они систематично и целенаправленно формировались как через систему задач, так и путем специального акцентирования мышления будущих педагогов.

Примечания

1. Яглом, И. М. Геометрические преобразования.

1 [Текст] / И. М. Яглом. М.: Гос. изд-во науч.-техн. лит., 1955. С. 4.

2. Аргунов, Б. И. Элементарная геометрия [Текст] / Б. И. Аргунов, М. Б. Балк. М.: Просвещение, 1966. 366 е.; Атанасян, А. С. Геометрия [Текст]: учеб. пособие для студ. физ.-мат. фак. пед. ин-тов: в

2 ч. Ч. I / Л. С. Атанасян, В. Т. Базылев. М.: Просвещение, 1986. 336 е.; Саранцев, Г. И. Общая методика преподавания математики [Текст]: учеб. пособие для студ. мат. спец. пед. вузов и ун-тов / Г. И. Саранцев. Саранск, 1999. 208 с.

3. Ожегов, С. И. Толковый словарь русского языка [Текст] / С. И. Ожегов, Н. Ю. Шведова. М.: Азбуковник, 1999. 944 с.

4. Теоретические основы обучения математике в средней школе [Текст] / Т. А. Иванова, Е. Н. Перево-щикова, Т. П. Григорьева, Л. И. Кузнецова; под ред. Т. А. Ивановой. Н. Новгород: Изд-воНГПУ, 2003. С. 49.

5. Саранцев, Г. И. Общая методика преподавания математики [Текст]: учеб. пособие для студ. мат. спец. пед. вузов и ун-тов / Г. И. Саранцев. Саранск, 1999. 208 с.

6. Артемов, А. И. Об эвристических приемах при обучении геометрии [Текст] / А. И. Артемов // Математика в школе. 1973. № 6. С. 25-29.

7. Аргунов, Б. И. Указ. соч.

8. Саранцев, Г. И. Указ. соч.

9. Рубанов, И. С. Восемь ремней для мотора, или Как применять геометрические преобразования к решению задач [Текст] / И. С. Рубанов // Математический вестник педвузов Волго-Вятского региона. Вып. 2. Киров: Изд-во Вятского госпедуниверситета, 2000. С. 178-189.

10. Аргунов, Б. И. Указ. соч.

11. Там же.

12. Рубанов, И. С. Указ. соч.