Фрактальный анализ поведения быстрых индикаторов экономики России

№ 2 (38) 2012

Ю. В. Трифонов, докт. экон. наук, профессор Нижегородского государственного университета

Е. С. Митяков, аспирант Нижегородского государственного университета

В. А. Сазонтов, канд. физ.-мат. наук, доцент Нижегородского государственного технического университета

Фрактальный анализ поведения быстрых индикаторов экономики России

Применение метода фрактального анализа к исследованию объектов и явлений может привести в ряде случаев к появлению интересных и неожиданных результатов.

Введение

Понятие фрактала было предложено Б. Мандельбротом для обозначения нерегулярных самоподобных структур [1]. Появление теории фракталов позволило проводить статистические исследования сложных объектов. При этом информация о наличии фрактальных свойств может играть существенную роль в моделировании и прогнозировании поведения объекта.

Многие авторы отмечают взаимосвязь информационных технологий с фракталами. В частности, теория фрактального анализа используется в некоторых алгоритмах сжатия данных. Фрактальные свойства характерны для информационных веб-сайтов, на которых публикуются документы, соответствующие определенным тематикам. Мировая система научной коммуникации, состоящая из множества статей, журналов и авторов, также имеет фрактальную структуру.

Аппарат фрактального анализа можно использовать для прогнозирования краткосрочных тенденций при анализе временных рядов в тех случаях, когда анализируются экономические данные за длительный период. На небольших промежутках времени экономические параметры могут вести себя квазислучайно в силу влияния как рыночных, так и не рыночных факторов (ожидания потребителей, политические события и т. д.).

В долгосрочном плане зависимость экономических параметров от случайных факторов уменьшается.

В экономических исследованиях аппарат фрактального анализа применялся, в основном, для анализа тенденций фондового рынка [2]. В данной работе представлены результаты применения метода фрактального анализа для исследования динамики макроэкономических показателей России.

Описание модели

Способ изучения фрактальных временных рядов базируется на научных исследованиях английского ученого Херста и носит название R/S метода [3]. Он состоит в анализе размаха параметра (разности между наибольшим и наименьшим значениями на изучаемом временном отрезке) и его среднеквадратичного отклонения.

Прежде всего, дадим определение понятию «размах». Пусть

xtJ=£ e - e),

i=i

где xtj — накопленное отклонение за i измерений, et — прирост наблюдаемого значения ряда в периоде i, — математическое ожидание el за i периодов. Тогда размах — разность между максимальным и минимальным значениями накопленного отклонения:

R = max X i) - min

№ 2 (38) 2012

Для сравнения различных временных рядов Херст разделил размах на стандартное отклонение исходных данных. Этот нормированный размах увеличивается со временем. Обобщая эмпирические данные, Херст предложил следующее соотношение:

R/S =

где R/S — нормированный размах, N — число испытаний, а — константа, Н — показатель Херста.

В соответствии с известными результатами теории случайных процессов Н должен равняться 0,5, если ряд следует совершенно случайным (броуновским) блужданиям. Иными словами, размах накопленных отклонений должен расти пропорционально квадратному корню из числа испытаний N. Если Н отличается от 0,5, это означает, что наблюдения не являются независимыми [3]. Существуют три возможных варианта изменения показателя Херста:

• Н = 0,5 — «белый шум», процесс без памяти (все значения ряда некоррелирова-ны);

g • 0 < Н < 0,5 — антиперсистентный или § эргодический ряд (если ряд возрастает I в предыдущий период, то с большой веро-§ ятностью в следующем периоде начнется I спад и наоборот);

« • 0,5 < Н < 1 — персистентный, или тренер доустойчивый ряд (если ряд возрастает I (убывает) в предыдущий период, то, веро-? ятно, он будет сохранять эту тенденцию кай кое-то время в будущем). & Херст предложил формулу для оценки величины Н по значению R/S:

I H = log

§ Показатель Херста преобразуется

« во фрактальную размерность в соответст-

§ вии с формулой: D = 2 - H. Таким образом,

« если Н = 0,5, то D = 1,5.

:g Наилучший результат фрактальный ана-

f лиз дает при значительном числе экспери-

^ ментальных данных, поэтому были выбра-

^ ны быстрые индикаторы экономики России,

статистика которых берет начало с конца 1990-х гг. [4]. Учет этих индикаторов ведется несколько раз в году (поквартально или раз в месяц). Количество экспериментальных точек по разным показателям составляло от 50 до 150 за период с января 1999 г. по январь 2011 г. В этом случае хотя и нельзя говорить о 100%-ной адекватности полученной оценки, однако можно проследить некоторые тенденции, которые, в свою очередь, помогут в дальнейшем прогнозировании.

Быстрые индикаторы представляют собой информационное пространство, включающее пять множеств: сводные показатели, финансы, цены, социальную сферу, производство важнейших видов промышленной продукции. Каждое множество содержит свой набор показателей, которые анализировались в дальнейшем.

Существует несколько алгоритмов оценки показателя Херста [3], которые различаются быстротой, эффективностью и точностью результатов работы.

В нашем случае показатели Херста вычислялись с учетом оптимального выбора коэффициента достоверности аппроксимации в соответствии с вычислительным алгоритмом [2]:

1. Преобразование исходного временного ряда длины M во временной ряд длины N = M - 1 на основе использования следующего правила:

n, = log

где m, — значение исходного ряда в точке i, n, — значение нового ряда в той же точке.

2. Вычисление отклонения xu от среднего значения временного ряда по формуле (1).

3. Для каждой итерации нахождение N- 1 значений xti, которые используются при вычислении размаха (2).

4. Нормировка размаха R путем деления на стандартное отклонение S, которое вычисляется по N значениям.

5. Логарифмирование R/S и N/2.

ПРИКЛАДНАЯ ИНФОРМАТИКА /-

' № 2 (38) 2012

6. Построение графика зависимости функции log (R/S) от log (N/2).

7. Нахождение путем линейной аппроксимации графика тангенса угла его наклона, представляющего собой показатель Херста.

щего из значении, подчиняющихся линейному закону, близким к 1.

На рисунках 1- 5 показаны кривые R/S в двойной логарифмической шкале, полученные описанным методом для одного из индикаторов каждого из пяти множеств

s о

Й 5

ва

ei

S

Вычислительный эксперимент

Вычислительный эксперимент по нахождению оценки показателя Херста производился с использованием программы MathCad 14. Достоверность результатов вычислительного эксперимента подтверждается тестовыми испытаниями, проведенными с описанным выше алгоритмом. Например, для «белого шума», полученного с помощью генератора случайных чисел, вычисленный с помощью алгоритма показатель Херста оказался равным 0,53, а для ряда, состоя-

log(R/S) ш  Н = 0,9 Ф

\

ч \ H = 0,5

\ m j log

Рис. 1. R/S анализ для показателя «Валовый внутренний продукт»

log(RS) H = 0,71 ' —fC Jf ~ " \н = 0,45

. ф К^ * \ + Г» s* W ф " * г ф /

\ * Ф \ / * \ / log

log(R/S) H = 0,87

л

\н=0,5

' i У * Ф *

' /\ "*/

\J

*

log

Рис. 3. R/S анализ для показателя «Доходы консолидированного бюджета»

1,5

log(RZS) Н = 0,9 . ,

\Н = 0,5

. 0* • ~/V

-  л Ф/ *

log

0 1 2 Рис. 4. R/S анализ для показателя «Занятость населения»

log(RZS) Н = 0,3 f

Ai ^

* /

og

Рис. 2. R/S анализ для показателя «Индекс потребительских цен»

Рис. 5. R/S анализ для показателя «Добыча полезных ископаемых. Нефть»

№ 2 (38) 2012

(групп). Группа «Сводные показатели» представлена индикатором «Валовый внутренний продукт», группа «Финансы» — индикатором «Доходы консолидированного бюджета», группа «Цены» — индикатором «Индекс потребительских цен», группа «Социальная сфера» — индикатором «Занятость населения», а группа «Производство важнейших видов промышленной продукции» — индикатором «Добыча полезных ископаемых. Нефть».

Горизонтальные прямые на рисунках соответствуют различным значениям показателей Херста. Как видно из рисунков, процесс с долговременной памятью в первых четырех случаях наблюдается на протяжении приблизительно 6-7 лет (на рисунках это значение по оси абсцисс составляет приблизительно 1,5, пунктирная линия). Правее этой точки график в первых четырех случаях приобретает характер случайных блужданий (штрих-пунктирная линия) при Н = 0,5. Это отчетливо видно, так как график начинает резко отклоняться от первоначально установившейся траектории.

§ Подобный вычислительный эксперимент § был произведен для всех показателей ин-И формационного пространства.

I Заключение

о

По результатам анализа можно сделать

| следующие выводы.

? 1. Быстрые показатели экономики Рос-

й сии имеют среднюю длину цикла 6-7 лет,

& т. е. в течение этого срока проявляется зависимость показателей от начальных дан-

§ ных (присутствует долгосрочная память).

¡^ Примечательно, что примерно одинаковая

§ длина цикла была установлена при анали-

« зе нескольких показателей экономики Рос-

§ сии. Это свидетельствует об инвариантно-

« сти длины цикла. Таким образом, основное

! влияние на результат оказывает не число

| наблюдений, а величина периода. Выявлен-

^ ная закономерность находится в противоре-

^ чии с принципом, лежащим в основе клас-

сического статистического анализа, для надежности результатов которого более важно количество наблюдений, нежели длина исследуемого временного ряда. Показатель Херста для первых четырех групп показателей в основном значительно превышает 0,5. Это говорит о том, что с наибольшей вероятностью тенденции будут сохраняться и можно делать краткосрочные прогнозы.

2. Столь высокая оценка Н для различных быстрых показателей экономики России, говорит о том, что российская экономика является фрактальным объектом, а не следует случайным блужданиям, и показатели имеют фрактальное распределение вероятности. Рынок подвержен смещенным случайным блужданиям с аномальной величиной (в среднем Н = 0,75, фрактальная размерность D = 1,25). Так как значение оценки показателя Херста для большинства быстрых показателей российской экономики принадлежит промежутку 0,5 < Н < 1, то имеем персистентный ряд. Если ряд возрастает (убывает) в предыдущий период, то, скорее всего, он сохранит эту тенденцию какое-то время в будущем.

3. Пятая группа показателей заметно отличается от остальных групп, так как во всех трех случаях показатель Херста H < 0,5, что говорит об антиперсистентности тренда и указывает на то, что тенденции с наибольшей вероятностью будут меняться.

Список литературы

1. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. М.: Институт компьютерных исследований, 2002. — 656 с.

2. Стрыгин А. Ю. Анализ фрактальных свойств финансово-экономических процессов в экономике РФ. Выпускная квалификационная работа. СПб.: филиал ГУ-ВШЭ, 2004.

3. Hurst H. E. Long-term Storage of Reservoirs. Transactions of the American Society of Civil Engineers 116, 1951.

4. Краткосрочные экономические показатели Российской Федерации // URL: http://www.gks.ru/wps/ wcm/connect/rosstat/rosstatsite/main/publishing/ catalog/periodicals/doc_1140080765391.