Напряженное состояние пластической среды при сложном пространственном воздействии

УДК 539.374.001.8

Д-р техн. наук В. В. Чигиринский, А. А. Ленок Запорожский национальный технический университет, г. Запорожье

НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ПЛАСТИЧЕСКОЙ СРЕДЫ ПРИ СЛОЖНОМ ПРОСТРАНСТВЕННОМ ВОЗДЕЙСТВИИ

Представлено аналитическое решение пространственной задачи с анализом напряженного состояния среды при двухкупольной эпюре контактных напряжений. Представлены компоненты тензоров напряжений.

Присутствие тригонометрических функций в решении позволяет задать разнознаковый характер изменения напряжений и описать единым выражением его особенности в разных зонах очага деформации. Дифференциальные соотношения Коши-Римана определяют выпуклый характер эпюры контактных напряжений. Появление двух новых функций обеспечивают необходимый характер изменения контактного напряжения по ширине и подпор со стороны контактного трения.

Показаны качественные и количественные характеристики изменения напряженного состояния металла для двухкупольной пространственной схемы нагружения. Представленный результат имеет место для широких очагов деформации, с двумя линиями раздела течения металла.

Ключевые слова: напряженное состояние, двухкупольная эпюра, пространственная задача, фактор формы, коэффициент трения.

Введение

Разные физические модели пластического формоизменения определяются разными режимами деформирования в условиях неоднородного напряженно-деформированного состояния металла. В работах [1-3] представлено аналитическое решение пространственной задачи с анализом напряженного состояния среды при однокупольной эпюре контактных напряжений. Такая модель соответствует схеме течения металла с одной линией раздела в поперечном направлении. В зоне перехода формируется купол нормальных контактных напряжений, в этой же зоне касательные контактные напряжения изменяют свой знак.

На основании экспериментальных данных [4-5] ус -тановлено, что возможно существование двух линий раздела течения металла, которым соответствует двух-купольная эпюра нормальных контактных напряжений. При этом соответствующим образом изменяются не только нормальные, но и контактные касательные напряжения, рис. 1.

Рис. 1. Эпюра контактных напряжений в соответствии с работой [4]

Постановка задачи

В соответствии с работами [1-3] можно записать компоненты тензора напряжений для пространственной задачи в виде

ах = +Са3 • exp 63 • сс^(А3Ф3) + а0 + C, =+Са2 • exp62 • соз(А2Ф2) + ао + C,

az = -Са3 • exp63 • tos(a303) -- Са2 • exp 62 • tos(a2Ф2) + ао + C,

Tyz = С02 • exp02 • sin А2Ф2,

Тxz = Со3 • exp03 • sin

где аi - нормальное напряжение; - касательное напряжение; а0 - гидростатическое напряжение; A¿ -постоянная величина, характеризующая тригонометрическую функцию для напряженного состояния пластичной среды; Фi - неизвестная гармоническая функция, зависящая от координат очага; 6 j и 6 j - неизвестные гармонические функции, показатели экспонент, характеризующие распределение напряжений и скоростей деформации в очаге деформации; Cai - постоянные величины, характеризующие напряженное состояние пластической среды и поле деформаций.

Следует подчеркнуть, что присутствие тригонометрических функций в решении позволяет задать разно-знаковый характер изменения напряжений и описать

© В. В. Чигиринский, А. А. Ленок, 2017

ISSN 1607-6885 Hoei Mamepia.nu i технологи в металурги та машинобудувант №1, 2017

77

единым выражением его особенности в разных зонах очага деформации.

Дифференциальные соотношения Коши-Римана (1) определяют выпуклый характер эпюры контактных напряжений, и являются ограничениями, которые удов -летворяют условиям задачи и определяют вид самих функций. Для гидростатического напряжения можно принять [6]

ст0 = -2 • Са2 • ехР02 • с^А2Ф2 -- 2 • Са3 • ехр83 • созА3Ф3.

Вид выражения (2) определен использованием граничных условий, задаваемых угловыми значениями напряжений, рис. 2. В этом случае принимается, что нормальные компоненты тензора напряжений в угловых точках соответствуют минимальным значениям. Следует подчеркнуть, что тригонометрические функции А2Ф 2 и А2Ф 2 несколько отличаются друг от друга постоянной величиной п таким образом, чтобы в угловой точке, их значения были равны. Такая модель не противоречит общим положениям задачи, и позволяет изменить характер контактных напряжений в соответствии с двухкупольной эпюрой. Постоянная Сп2 будет одинаковой при использовании функций А2Ф 2 и А2Ф 2. Покажем это.

Подставляя (2) в (1) получим выражения для дальнейшего анализа и расчетов.

X = -2 • Сс3 • ехр е2 • созА2Ф2 -

- Са3 • ехр е3 • сosА3Ф3 + С,

у = -(2Са2 ехре2 • с08А2Ф2 - Са2 ехре^созА2Ф2 )-

- 2Са3 • ехр е3соэА3Ф3 + С,

г = -

—3Са3 ехр е3 • созА3Ф3 + С,

туг = Со2 • ехре2 • зш А2Ф2,

тхг = Сст3 • ехр е3 • А3Ф3 .

Решение задачи

Для определения постоянных интегрирования Са2, Са3, С и подтверждения функциональной зависимости для напряжения ст0 и воспользуемся угловыми значениями функций, рис. 2, запишем граничные условия в виде, при

Рис. 2. Объемная эпюра контактных напряжений в поперечном направлении

=I = Ь = А......

Х = Т,У =~,2 = Т , е2 = е20 , = е20 ,

2

2

2

е3 = е30 , А2Ф2 = А2Ф20 , А2Ф2 = А2Ф20 ,

А3Ф 3 =А3Ф30, ст г =-2 • &0, ст х =СТу = 0.

Следует подчеркнуть, что в угловой зоне, определяемой продольным и поперечным направлениями, вертикальные нормальные напряжения ст 2 характеризуется одинаковым напряжением к0, которое необходимо учитывать при подстановке граничных условий. В угловой точке возможно выполнение условия

А2Ф20 = А2Ф20. Записывая равенство продольного и поперечного напряжений в угловой точке с учетом граничных условий, имеем

Сст3 • ехр е30 • с0Я(А3Ф30 ) = Сст2 • ехр е20 • с0з(А2Ф20) ,

или

Сст3 = Сст2

ехре20 • с0з

Подставляя (4), (5) в (3) получим

Сст3 =

2 • к0

3 • ехр е30 • созА3Ф30

Сст2 =

2 • к0

3 • ехре20 • созА2Ф20 , С = 2 •ko,

где к0 - сопротивление пластическому сдвигу в угловой части очага деформации на контакте без наклепа.

Появление двух функций А2Ф2, А2Ф2 обеспечивают, с одной стороны, необходимый характер изменения контактного напряжения по ширине, с другой, подпор со стороны контактного трения.

Если в выражения (3) подставить соответствующие

граничные условия и постоянную Сст2, то соотношения (6) по форме, останутся неизменными, т. е.

Сст3 = Сст2

Сст3 =

ехре^0 • сов

2 • к0

3 • ехр е30 • созА3Ф3

Сст2 =

2 • к0

3 • ехр е^0 • с^А2Ф20

С = 2 • к0,

е2 = е:2 , е20 = е:20 .

Функции А 2Ф 20, А2Ф 20 отличаются только тем, что позволяют перейти в соседний квадрант, изменив знак косинуса функции А2Ф'2.

С учетом (8) компоненты тензора напряжений

ст х = -2-

2к0

3соз А 2Ф 20

ехр1

озА 2Ф 2 -

2к0

3созА3Ф30

ехр

(е3 -930 )соз А3Ф3 + 2 • к0

- 2

2к0 (

2к0

созА9Ф9 созА9Ф-

Л

ехр\е2 е2^ ,

3 \ созА2Ф20 соБА2Ф20)

ехр(е3 - е30 )а3Ф3 + 2 • к0

3созА3Ф 30 2 • к

ст 2 = -3-

0

3собА3Ф 30

ехр1

(е3 -е30 ^

озА3Ф3 -

2 • к0

-ехр1(

2 созА2Ф2 + созА2Ф2

соБА2Ф 20

собА2Ф 20 ;

+ 2к0

2к0

т у2 =-

у 3 • созА2Ф 20

2к0

• ехр(е2 -е^ ^

3 • созА3Ф30

зш А 2Ф 2

• ехр(е3 - е30 )• зт А3Ф3.

Из выражения (9) следует, что при разных значениях е2, е20 и е2, е20 в угловой точке, рис. 1, их разность всегда равна нулю, а экспоненты равны единице. Тогда определяющим значением для постоянной являются

функции А2Ф'2 и А2Ф2 .

Можно убедиться, что выражения (9) удовлетворяют граничным условиям (4) и для них соответствует выражение (2). В этой связи определим функциональные зависимости А2Ф2 , А2Ф'2 и А3Ф3 . Решая уравнения Лапласа для А2Ф2 и А3Ф3 (1) можно получить функции вида

А 2ф 2 =А2 А5 • у • 2 , А2Ф 2 = п + А 2 А5 • у • 2 , А3Ф3 = А3А4 • х • 2.

С учетом соотношений Коши-Римана (1), для функций е можно записать

е2 = -1 ^2 А5 • (2 - 22),

Единый очаг деформации требует, чтобы соседние участки имели одинаковые постоянные и функции, т. е.

е3 =- -2 • А3А4 • ( - 22),

ау =-

3

т Х2 =

1607-6885 Новi матерiали i технологи в металурги та машинобудувант №1, 2017

79

С целью упрощения анализа введем в рассмотрение новое значение сопротивления деформации в виде

Тогда выражения (9), с учетом (12) и (14) запишутся в виде

k0 = J • k0.

Определим значение коэффициентов А2А5, А2а5 , А3А4. Граничные условия для контактных напряже-

а х = -2 ко

k0

COSA 2ф 20

exp

OSA 2Ф 2 -

сosAзФз0

exp(©3 -©30)сosAзФз + 3к0 ,

l

b

h

нии принимается в виде,

Х 2, У 2, Z 2 :

Туг = к0 -^2, ТХ2 = £0 -V3, при этом

^2 = /-(1 -/), ^3 = 2/-(1 - /), где / - коэффициент трения.

Подставляя граничные условия в выражения для касательных напряжений (9), получим

к0 - V2 = к0 - 2Ф20 , к0 - V3 = 4 - 1ВА3Ф30 ,

а2Ф20 = аг^у 2 ~ V2 , А3Ф30 = аг^у3 ~ .

Анализ показывает, что при переходе в другой октант, функция А2Ф 2 должна иметь вид

A202 = п + 4

bh

• yz,

, ' L \ ^ œsA^2

а y = -k0 exp (б 2 -620 ) 2--^^

œsA 2Ф 2

сosA2Ф20 сosA2Ф 20

- 2--k0-

œsA^ 30

з(©3 -©30 )сo

а z = -3-

сosA3Ф 30

exp^63 - 630 £osA^3 + 3k0

exp(©3 -630 )сosA3Ф3 -

- k0exp(62 -(

2 COsA2Ф2 + с^2Ф2

v сosA2Ф20 с^2Ф20 ;

+ 3k0

T ,„ =

k0

yz- A Ф • exp(©2 - ©20 } Sln A 2Ф 2 , œsA^ 20

где Ь - ширина очага деформации, Н - высота очага деформации, а - коэффициент перехода.

При а = 1 в выражении (13), для граничных условий можно принимать, в крайних (угловых) точках очага деформации, А2Ф20 = А2Ф20. В этом случае обеспечивается определение указанных постоянных с одинаковой точностью из выражений (10) и (13). Далее имеем

20 = 20 = A2A5

b h

22

l h

A3Ф30 = A3A4 • - • -,

A2A5 = 4a3a4 = 430

bh

Ih

Значение функций 8 в угловой точке на контактной поверхности

©' = 2 A 2Ф 20 ©20 - -2 •

©30 - -2 •

b • h

l • h

( bL - hLл

4 4

( »2

2 Л

l2 - h

4 4

v ;

œsA^ 30

• exp

(©3 -©30 )• si

sln A^

3Ф3.

В двухкупольной эпюре контактных напряжении присутствуют две линии раздела течения металла в поперечном направлении.

Напряжения (15) могут быть просчитаны для каждой точки объемного очага деформации, включая контакт с инструментом.

Представляет интерес знать ширины участков с крайним односторонним течением металла. Используя выражение (12) можно определить размеры этих зон. Участок полосы между косинусами +1, равен ширине участка с односторонним течением металла.

(п + а •

Тогда A 2Ф 2 =п + 2

(П + а • A2Ф20 ) y = 0

-I--yb = 0,

b

Уъ =-

2 л + а^2Ф20

Знак минус указывает, что значение уЬ находится в отрицательной области. При отсутствии контактного трения (А 2 Ф 20 = 0), уЬ = -Ь / 2.

Размер зоны (16) можно использовать в (13) вместо размера Ь/2. Ширина соседнего участка равна

' b b Уъ =-т + т

b A 2Ф20

2 2 п + A2Ф20

2 л + A2Ф20

k

k

T xz =

b

п

71

При А 2 Ф 20 = 0, уь = 0. Последнее условие определяет на всем протяжении Ы2 только одностороннее течение металла.

Анализ полученных результатов

Используя выражения (9), (15) появляется возможность определения компонентов тензора напряжений пространственной задачи в каждой точке очага деформации для более сложного построения, т.е. двухкуполь-ной эпюры, в том числе и на контакте.

Объемная эпюра контактных нормальных напряжений представлена на рис. 3-5 в поперечном направлении при разных значениях коэффициента трения и фактора формы. На краю, в центральном и промежуточном поперечном сечении.

Анализ показывает, что с изменением контактного трения (коэффициента трения) и параметров очага деформации (¡/к и Ь/к) изменяются контактные напряжения в сторону увеличения или уменьшения их неравномерности. Если коэффициент трения равен нулю, то удельные силы трения отсутствуют, а распределение нормальных напряжений на контакте носит равномерных характер.

Из анализа полученного результата видно, что при разных параметрах очага деформации и коэффициента трения использование метода гармонических функций за счет тригонометрической составляющей позволяет математически правильно, качественно и количественно оценить напряженное состояние среды в условиях сложного пространственного нагру-жения.

Купольность контактных напряжений определяется числом раздела течения металла. Изменение знака поперечной составляющей тензора напряжений позволяет определить зоны встречного течения металла с отрицательным знаком, а зоны бокового течения металла с положительным.

На фоне гидравлического давления это определяет двухкупольный характер изменения нормальных вертикальных напряжений ст2 .

Такая физическая и математическая модели позволяют качественно и количественно охарактеризовать влияние линий раздела течения металла на напряженное и, следовательно, деформированное состояние металла.

в

Рис. 3. Эпюра вертикальных нормальных напряжений в среднем сечении очага деформации

1607-6885 Новi матерiали i технологи в металургИ та машинобудувант №1, 2017 81

в

Рис. 4. Эпюра вертикальных нормальных напряжений в плоскости входа в очаг деформации

Выводы

1. Установлена возможность существования двух линий раздела течения металла, которым соответствует двухкупольная эпюра контактных нормальных напряжений.

2. На базе аналитического решения пространственной задачи для модели течения металла с одной линией раздела определены компоненты тензора напряжений пространственной задачи для более сложного построения.

3. Получены двухкупольные эпюры вертикальных контактных напряжений в поперечном направлении при разных значениях коэффициента трения и фактора формы на краю, в центральном и промежуточном поперечном сечении.

4. Показаны качественные и количественные характеристики изменения напряженного состояния пластической среды при сложном пространственном воздействии.

Список литературы

1. Каптуров Л. Е. Контактные силы в очаге деформации при прокатке полос, Теория прокатки (материалы Всесоюзной научно-технической конференции «Теоретические проблемы прокатного производства»), под ред. А. П. Чекмарева. - М. : Металлургия, 1975. - С. 428431.

2. Целиков А. И. Теория расчета усилий в прокатных станах / Целиков А. И. - М. : Металлургиздат, 1962. -495 с.

3. Исследование неоднородности напряженного состояния заготовки при объемном пластическом нагружении / В. В. Чигиринский, А. А. Ленок, Х. Дыя, М. Кнапински // XVII International scientific conference new technologies and achievements in metallurgy, material engineering and production engineering: monografie № 56, Cz^tochowa 2016. - С. 218-226.

4. Чигиринский В. В. Исследование влияния граничных условий на контактные напряжения при объемном на-гружении / В. В. Чигиринский, А. А. Ленок // Обработка материалов давление: сборник научных трудов. Краматорск: ДГМА, 2016. - №1 (42). - С. 37-44.

5. Чигиринский В. В. Исследование влияния граничных условий на параметры напряженного состояния при объемном пластическом нагружении / В. В. Чигиринский, А. А. Ленок, Л. А. Якубович // Новi матерiали i технологи в металургй та машинобудуванш: науковий журнал, 2015. - № 2. - С. 127-132.

6. Chigirinsky V.V. Determination of integral characteristics of stress state of the point during plastic deformation in conditions of volume loading / V.V. Chigirinsky, A.A. Lenok, S.M. Echin // Metallurgical and Mining Industry: scientific and technical journal. 2015. - № 11 - Р. 153-164.

Одержано 20.06.2017

Чигиринський В.В., Ленок А. А. Напружений стан пластичного середовища при складному просторовому вн. iimi

Представлено аналгтичне рШення просторово'г' задач1 з анализом напруженого стану середовища при двокупольнш епюр1 контактних напружень. Представлено компоненти тензору напружень.

Присуттсть тригонометричних функцш у ргшеннг дозволяе задати р1знознаковий характер змти напружень i описати единим виразом його особливостг в ргзних зонах осередку деформацИ. Диференцшш спгввгдношення Кошi-Рiмана визначають випуклий характер епюри контактних напружень. Поява двох нових функцш забезпечують необхiдний характер змти контактного напруження по ширит i тдтр з боку контактного тертя.

Показано якiснi та кшьюсш характеристики змши напруженого стану металу для двокупольноi просторовог схеми навантаження. Представлений результат мае мiсце для широких осередюв деформацп, з двома лiнiями роздщ течп металу.

Ключовi слова: напружений стан, двокупольна епюра, просторова задача, фактор форми, коефщент тертя.

Chigirinsky V., Lenok A. Stress state of a plastic medium under a complex volume impact

An analytical solution of the volume problem with the stress state analysis of the medium in the case of a two-dome diagram of contact stresses is presented. The components of stress tensors are presented.

The presence of trigonometric functions in the solution makes it possible to specify the multi-character character of the change in stresses and to describe by a single expression its features in different zones of the medium deformation. The differential Cauchy-Riemann relations define the convex character of the contact stresses. The appearance of two new functions provides the necessary character of the change in the contact stress across the width and the support from the contact friction side.

The qualitative and quantitative characteristics of the change in the metal stress state for a two-dome volume loading scheme are shown. The presented result takes place for wide deformation centers, with two lines of metal flow separation.

Key words: stress state, two-dome diagram, volume problem, form factor, friction coefficient.

ISSN 1607-6885 Нов1 матер1али i технологи в металургй та машинобудуванн1 №1, 2017