Моделирование и прогнозирование реализованной волатильности финансовых инструментов

УДК 336.7

Д.А. ТИМИРКАЕВ

МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ РЕАЛИЗОВАННОМ ВОЛАТИЛЬНОСТИ ФИНАНСОВЫХ ИНСТРУМЕНТОВ

Ключевые слова: волатильность, реализованная волатильность, VaR.

Современный банковский риск-менеджмент в значительной мере опирается на концепцию количественного измерения риска. Важнейшими проблемами, возникающими при оценке рыночного риска, являются моделирование и прогнозирование волатильности финансовых инструментов. Рассмотрена модель реализованной волатильности, которая обладает рядом преимуществ по сравнению с традиционными моделями волатильности.

D.A. TIMIRKAEV

MODELING AND FORECASTING REALIZED VOLATILITY OF FINACIAL INSTRUMENTS

Key words: volatility, realized volatility, VaR.

Modern banking risk management is based on quantitative models. Modeling and forecasting volatility of financial instruments is main problem of risk evaluation process. This work presents realized volatility model, which has some advantages in comparison with traditional volatility models.

Реализованная волатильность

В начале 2000-х годов большую популярность прибрела концепция реализованной волатильности (realized volatility). Основная идея авторов заключалась в том, что исследователю доступны не только дневные данные, но и внутридневная информация по многим торгуемым финансовым инструментам. Использование высокочастотных временных рядов позволяет значительно улучшить качество оценивания волатильности как на дневном интервале, так и на более длительных промежутках времени. Еще одним безусловным преимуществом модели является ее простота: для оценки волатильности (как в одномерном, так и в многомерном случае) не нужно оценивать параметры модели, так как этих параметров просто нет.

Пусть логарифмическая дневная доходность актива задается процессом:

rt = ,

где rt = In pt - In pt-1; pt - последовательность цен; zt - последовательность независимых одинаково распределенных гауссовских случайных величин zt ~ N/D(0,1). В этом случае rt~N(0,a2). Далее рассмотрим n цен pti, i = 1..n

внутри торгового дня, интервал между наблюдениями равен Д, где n =1 - это

А

количество доступных внутри дня наблюдений. Дополнительно предполагаем, что rti = otJztJ, где ru = In ptJ - In ptJ-1, zt ~N/D(0,n~1), тогда для дневных доход-

n 1 n

ностей и дисперсий выполнено: r = Y r

и ст2 =-Y.a2,. . Определим информа-

t t,i t t,i i=1 n i=1

ционное множество 3ti = 3(pab)aa=-шьЬ=0 как сигма-алгебру событий к моменту i в день t, тогда 3t0 - информационное множество к моменту начала дня t. В этом

случае E(rt21 3^) = Var(rt | 3^) - E2(rt | 3^) = ^, т.к. E(rt | 3,0) = 0.

Определим дневную реализованную дисперсию (realized variance) как сумму квадратов внутридневных доходностей:

RVt = trt2i.

i=1

Покажем, что если внутридневные доходности не коррелированы, то реализованная дисперсия является несмещенной оценкой дневной дисперсии: E(RVt | 3,,о) = а?.

Перепишем квадрат дневной доходности в виде:

( n Л2 n n-1 n

rt = (Ёч = Zrt2+2Z Trt/tj,

V i=1 ) i=1 i=1 У=i+1

тогда

n n-1 n n-1 n

E(rf | 3,i0) = E(£^ Pt,0) + 2E(£ | 3,0) = E(RVt | 3,,0) + 2E(£ у I 3W),

i=1 i=1 у=i+1 i=1 у=i+1

а так как внутридневные доходности не коррелированы, то:

E(r2| 3,0) = E(RV | 3,0) = a2.

Однако можно показать, что более точные оценки дневной волатильности дает суммирование внутридневных доходностей, а не квадрат дневной доходности, так как Var(RVt 13t 0) < Var(rf | 3t0). Более того, что при некоторых условиях:

lim Var(RVt 13t0) = 0.

На практике обычно используются интервалы длиной 5-30 мин. в зависимости от типа инструмента, так как на меньших интервалах возможны сильные искажения информации. Нужно также отметить, что в реальности торги на многих рынках не ведутся все 24 часа, и необходимо учитывать возможность скачка цен в момент открытия биржи. Подробный анализ данной проблемы приведен в работе Т. Андерсона [2].

Прогнозирование и моделирование реализованной волатильности Несмотря на то, что реализованная волатильность является всего лишь оценкой волатильности и поэтому подвержена некоторой ошибке измерения, эта оценка достаточно надежна и ее можно считать фактической волатильностью. Такое допущение позволяет использовать весь инструментарий стандартного анализа временных рядов, например моделировать волатильность с помощью AR-модели:

1°9Кд) = с + Р 1од(стмд) + vt, где of д - реализованная волатильность в день t, рассчитанная по наблюдениям

внутри дня с интервалом д. Более широкие возможности для моделирования волатильности дает модель HAR (Heterogenous Autoregressive Realized Volatility model), предложенная в работе Ф. Корси [4]. В модели предполагается, что волатильность является взвесью дневной, недельной и месячной компонент:

с(*д = а0 + а1см,д + а2сГ-1,д + азам,д + st,

1 5

где а^_1д - дневная волатильность; ст"1д =_^ст^-/д - недельная волатиль-

5 i=1

1 22

ность; д = !_CTf-i д ~ месячная волатильность. Предполагается, что

22 i=1

ошибка st - гауссовский белый шум. Для оценивания параметров модели используется метод наименьших квадратов.

Обобщение одномерного случая приводит к следующей формуле для оценки ковариационной матрицы в рамках модели реализованной волатильности:

1/д

^ t,д =Z Rt-1+уд,дRM+уд,д . j=1

В данном случае опять нет никакой необходимости использования сложных нелинейных моделей и процедур поиска максимума функции правдоподобия. Вместо этого расчет производится на основе высокочастотных данных, что позволяет считать ковариационные матрицы наблюдаемыми и соответственно моделировать их. В работе [1] показано, что если доходности активов линейно независимы и количество активов меньше _!, то ковариационная

д

матрица QtA будет положительно определенной.

Поскольку в процедуре оценки показателя VaR необходима прогнозная ковариационная матрица доходностей факторов риска, для прогноза можно воспользоваться моделью [2, с.15]:

veoh(Q. и) = vech(C) + veoh(&t-1д) + vt, где veoh - оператор векторизации (vector half operator), преобразующий нижнюю диагональ матрицы размерности n х n в вектор размерности n х n(n -1) х 1. Для оценки параметров можно использовать метод наименьших квадратов, а положительная определенность гарантируется, если матрица C положительно определена, а элементы вектора р положительны.

Показатель VaR

В банковском риск-менеджменте рыночный риск принято оценивать с помощью показателя VaR. В общем случае - это величина потерь портфеля финансовых инструментов, которая не будет превышена с заданной вероятностью. Формально можно определить показатель VaR следующим образом:

P(rt < -VaR^ | 3t-1) = а ,

где rt - доходность портфеля (или одного инструмента); р(. 13t ) - условная вероятность; VaR“ - это показатель VaR (Value at Risk - «стоимость под риском») в момент t с заданным доверительным уровнем а.

Далее пусть rt = |at +atzt, где ^t = E(rt | 3t-1), ст2 = Var(rt | 3t-1). Также предположим, что G - функция распределения вероятности инноваций zt и G

относится к семейству looation-soale* распределений, широко используемых в финансовой эконометрике (наиболее распространенным является нормальное распределение). Тогда можно показать, что при заданном а и 3t-1 выполнено:

VaRf' = -(ц( +а^аг

где G- - а-квантиль G. Такая запись весьма удобна, так как VaR линейно

зависит от условного математического ожидания и дисперсии процесса rt .

Прогноз показателя VaR на один шаг получается после замены всех компонентов формулы на соответствующие прогнозы:

vaRа = -(jl t +6 G а-1).

Моделирование квантилей методом FHS

Достаточно простой способ выбора типа распределения инноваций предложен в работах [3, 6]. Для оценки квантили вместо обычных доходностей (как

* Это означает, что если X - случайная величина, вероятностное распределение которой относится к такому распределению, то и у = ц + иХ относится к данному распределению.

в методе полного исторического моделирования) используются нормированные данные £ = г -^1 , т.е. нормализованные по оценкам условного матема-

-t

<6,

тического ожидания и волатильности доходности. Оценки at можно получать

с помощью любых моделей волатильности, например GARCH или реализованной волатильности, что приведет к различным оценкам квантили.

Оценка VaR получается следующим образом:

VaRa+1 =-(ц,+1 +a,+( a1(m)), где Ga\m) - оценка а-квантили распределения zt; m - глубина горизонта, на котором проводится оценка квантили (например 250 дней).

Проверка адекватности модели

Простейший тест на проверку адекватности VaR-модели предложен П. Купцом (Kupiec) в работе [5]. Введем индикатор, принимающий значение единица, если фактическая доходность превышает уровень VaR, и значение ноль в противном случае:

fl, rt < VaRa

1 (а) [0, \ > УвЩ

Если модель адекватна, то должно быть выполнено: Н0: Р[1,(а) = 1] = Е[11 (а) = 1] = а. Фактическое количество превышений уровня

VaR распределено по биномиальному закону, а статистика отношения правдоподобия рассчитывается по формуле:

POF = 2 In

„ 1 - а ,

V

где /(а) = ]Г/( (а), а = /(а) - распределена по закону хи-квадрат с двумя сте-

/=1 п

пенями свободы. Если полученная статистика меньше критического значения, то нулевая гипотеза принимается.

Статистика РОЕ не может использоваться, если в ходе проверки модели уровень VаR не был превышен ни разу. В этом случае можно воспользоваться альтернативной статистикой (тест Вальда), распределенной по стандартному нормальному закону:

л/П(а - а) г = . .

•у/а

Оценка адекватности моделей на реальных данных

Оценим адекватность рассмотренных моделей на примере рядов логарифмических доходностей индекса ММВБ. Воспользуемся внутридневными котировками на 5-, 10-, 15-, 30-минутных интервалах* за период 01.01.200331.12.2009. Для оценки параметра VaR применим следующий алгоритм:

1) оценка реализованной волатильности по соответствующим внутридневным доходностям;

2) оценка параметров HAR-модели по обучающей выборке (данные за 2003-2007 гг.);

3) построение прогноза волатильности на каждый день тестовой выборки (данные за 2008-2009 гг.) в соответствии с полученной моделью;

* Данные доступны на сайте http://www.finam.ru/anaIysis/export/defauIt.asp.

4) построение квантилей инноваций для тестовой выборки по методу FHS с горизонтом 250 дней;

5) построение показателя VaR с уровнем надежности 99% и проверка адекватности модели.

Описательная статистика полученных рядов приведена в табл. 1, результаты тестирования моделей (табл. 2).

Таблица 1

Описательная статистика временных рядов

Ряд Мат. ожидание СКО Асимметрия Эксцесс

rt 0,08% 2,63% -0,170543 13,342230

RV-5min 1,78% 1,43% 0,729388 0,223580

RV-10min 1,85% 1,44% 0,668761 -0,441646

RV-15min 1,86% 1,44% 0,683400 -0,243381

RV-30min 1,88% 1,51% 0,795546 0,351499

Таблица 2

Результаты тестирования моделей

Показатель FHS-HAR-RV- 5min FHS-HAR-RV- 10min FHS-HAR-RV- 15min FHS-HAR- RV-30min

а0 0,002406 0,002573 0,002721 0,002980

СКО а0 0,000526 0,000557 0,000592 0,000638

ах 0,22879 0,230189 0,213838 0,180372

СКО ах 0,034789 0,034806 0,034677 0,034770

а2 0,508628 0,502024 0,491061 0,507910

СКО а2 0,057256 0,057198 0,057982 0,059125

а3 0,092516 0,092776 0,111814 0,113265

СКО а3 0,054035 0,054475 0,056772 0,059171

R2 0,407157 0,398409 0,368277 0,334525

Обучающая выборка, дней 1211 1211 1211 1211

Тестовая выборка, дней 494 494 494 494

Пробоев VaR, шт. 7 6 6 7

Пробоев VaR, %. 1,42% 1,21% 1,21% 1,42%

z -статистика 0,931507 0,479319 0,479319 0,931507

p-значение z 0,175796 0,315856 0,315856 0,175796

На рис. 1 изображены полученные значения реализованной волатильности (по 30-минутным доходностям), на рис. 2 - фактические доходности и показатель VaR, на рис. 3 - нормированные доходности и FHS-квантили.

Рис. 1. Реализованная волатильность индекса ММВБ

Рис. 2. График доходности индекса ММВБ и показателя VaR

4

J? Л? JP JT J? J* J? J? J? J? J' J? J?

. «-> KV .V Л> -V - V > > > > > , > _ > _v _v _ у

.o'- о* .cP .o1, .d° &

Рис. 3. График нормированной доходности и FHS-квантили

Обобщая полученные результаты, можно сказать, что рассмотренные модели обеспечили высокое качество прогноза показателя VaR вне зависимости от выбора внутридневного интервала. К их достоинствам можно отнести просто-

ту реализации, так как не требуется специальное программное обеспечение (все расчеты произведены в MS Excel), и высокую точность результатов.

Литература

1. Andersen T.G. Modeling and Forecasting Realized Volatility / T.G. Andersen, T. Bollerslev, F.X. Diebold, P. Labys // Econometrica, Econometric Society. 2003. Vol. 71(2). March. 3. P. 579-625.

2. Andersen T.G. Practical Volatility and Correlation Modeling for Financial Market Risk Management / T.G. Andersen, T. Bollerslev, P. Christoffersen, F. X. Diebold // NBER Chapters, The Risks of Financial Institutions. National Bureau of Economic Research, Inc. 2. 2007. Р. 513-548.

3. Barone-Adesi G. Backtesting Derivative Portfolios with Filtered Historical Simulation (FHS) / G. Barone-Adesi, K. Giannopoulos, L. Vosper // European Financial Management. Blackwell Publishing Ltd, 2002. Vol. 8(1), № 5. Р. 31-58.

4. Corsi F. A Simple Long Memory Model of Realized Volatility / F. Corsi. Working paper. 2004.

5. Kupiec P. Techniques for Verifying the Accuracy of Risk Management Models / P. Kupiec // Journal of Derivatives. 1995. № 3. S. 73-84.

6. Pritsker M. The hidden dangers of historical simulation / M. Pritsker // Finance and Economics Discussion. Series 2001-27, Board of Governors of the Federal Reserve System (U.S.). 2001. Vol. 3.

ТИМИРКАЕВ ДЕНИС АНАТОЛЬЕВИЧ - аспирант кафедры математического моделирования экономических процессов, Финансовая академия при Правительстве РФ, Россия, Москва (timirkaev@mail.ru).

TIMIRKAEV DENIS ANATOLYEVICH - post-graduate student, Finance academy under the Government of the Russian Federation, Russia, Moscow.