Стационарные распределения самогравитирующего нелинейного скалярного поля с вихревым гравитационным полем

УДК 530.12; 530.145

В. Г. Кречет, С. В. Родичев, И. В. Синильщикова

Стационарные распределения самогравитирующего нелинейного скалярного поля с вихревым

гравитационным полем.

Показано, что у гравитационного поля может существовать вихревая составляющая часть, которая может быть отделена от основного гравитационного поля. Эта вихревая составляющая формирует свой соответствующий эффективный тензор энергии-импульса (ТЭИ), обладающий экзотическими свойствами, что способствует образованию «кротовых нор». Учитывается также влияние самогравитирующего нелинейного скалярного поля совместно с вихревым гравитационным полем. Получены решения, описывающие геометрию «кротовых нор».

Ключевые слова: гравитация, вихревое поле, тетрада, скалярное поле, «кротовая нора», метрика, уравнения Эйнштейна.

V. G. Krechet, S. V. Rodichev, I. V. Sinilshchikova

Stationary distributions of the self-gravitating nonlinear scalar field with the vortex gravitational field

It is shown that the gravitational field may have a vortex part which can be separated from the main gravitational field. This vortex component forms the corresponding effective energy impulse tensor (EIT) possessing exotic properties; it promotes formation of «wormholes». Influence of the self-gravitating nonlinear scalar field together with the vortex gravitational field is taken into consideration. The solutions describing geometry of «wormholes» are received.

Keywords: gravitation, a vortex field, tetrad, a scalar field, «wormholes», metrics, Einstein's equations.

Показано [1, 3], что стационарное вихревое поле даже для случая вакуума может действительно образовывать «кротовые норы», а также при взаимодействии с вращающейся идеальной жидкостью [2] и с самогравитирующим безмассовым скалярным полем [5]. В последней работе было проведено исследование асимптотики получающихся «кротовых нор» и проведена сшивка с внешним плоским пространством, и показано, что при такой сшивке необходима промежуточная тонкая мембрана из «фантомной» материи.

В данной работе мы рассмотрим стационарную систему с вихревым гравитационным полем и с гравитирующим нелинейным скалярным полем 9(x,y,z,t), имеющим потенциалы V(9), специальных типов, имеющих физическую интерпретацию.

Здесь мы рассматриваем случай цилиндрической симметрии с метрикой пространства-времени, допускающей существование стационарного вихревого гравитационного поля:

ds2 = Adx2 + В dip2 + Cdz2 + 2Edcpdt- Ddt2

где все метрические коэффициенты зависят лишь от одной радиальной координаты x. Это простейший тип пространства-времени с вихревым гравитационным полем.

В общем случае вихревое гравитационное поле описывается четырехмерным ротором тетрадного поля e^fx^): его кинематическая характеристика есть угловая скорость ioL вращения тетрады

где латинские индексы середины алфавита (i,k,l,m,...) соответствуют четырем мировым координатам хk.,а латинские индексы начала алфавита (а,Ь,с...) соответствуют локальным координатам ха касательного пространства Минковского. Вектор определяет эффективный вектор плотности момента импульса гравитационного поля:

- гравитационная константа Эйнштейна.

© Кречет В. Г., Родичев С. В., Синильщикова И. В., 2013

В стационарном пространстве

определяется формулой [1, 2, 3]:

Геометрические свойства пространственного сечения t= const пространства-времени

определяется трехмерной метрикой

ВГ-F"

dl2 = Adx2 + ^^ dip2 + Cdz 2

Здесь угловой метрический коэффициент gфФ=

ED-E

= R2

при неограниченном возрастании

определяет пространственную бесконечность, а при R=0 имеем ось симметрии OZ.

Считая, что наша вращающаяся система отсчета сопутствует материальному источнику гравитационного поля, то азимутальный поток материи в такой системе отсчета Тг — 0, и из

уравнения Эйнштейна К; = кТ| получаем, что К; = 0., откуда при интегрировании этого уравнения

получаем, что

to = Wq/DVC;

Здесь T4~ — компонента ТЭИ материи, a R; — компонента тензора кривизны Риччи.

В данной работе в качестве материального источника гравитационного поля используем, как указывалось выше, нелинейное скалярное поле с потенциалом V(<p). Причем У(ф) выбираем в виде:

1) V

2) У

3) V(ip) = VaCshm(p)2a (a = const) Такой выбор типов потенциалов обусловлен следующими аргументами.

Так, например, при а=^ потенциал (7.1) V(tp) = V0cosmtp совпадает с потенциалом псевдоскалярного

аксионного поля [4], которое может присутствовать в хромодинамике для предотвращения нарушения СР-симметрии, а также в геометрической модели электрослабых взаимодействий. Поскольку cosmcp - четная функция, то лагранжиан аксионного поля будет инвариантен относительно Р-преобразования (Ф -* — ф). То же можно сказать и о потенциале (7.2) 1,т(ф) = У0(сЬтф)2а.

Потенциал (7.3) ^(ф) = shmф для скалярного поля был использован в космологических моделях с «темной энергией». Полный лагранжиан скалярного поля имеет вид:

¿(ф)=-

фгк<Р

'к .

7

и с Цф) какого либо из приведенных в (7), и оно является источником геометрии (1).

Будем полагать, что ф = ф (х) и использовать сопутствующую систему отсчета и решать уравнения Эйнштейна для скалярного поля (8) в пространстве времени в форме

В геометрии (1) и при ф = ф(х) тензор энергии-импульса скалярного поля (8) будет иметь вид:

для

Далее для удобства перейдем к экспоненциальным обозначениям коэффициентов:

и используем гармоническую радиальную координату х, так что будем иметь условие:

Тогда система уравнений Эйнштейна (9) будет иметь вид: 1)у'Р' + уУ+ РУ = " у-Ф'2 ~ кУ(ф)е2п-£1>2е2Р-^

метрических

2) р" = -хУ(<р)е2и

и добавляем сюда уравнение для самого нелинейного скалярного поля

dv

2л

Так что будем решать совместную систему уравнений гравитационного и скалярного полей

Выпишем сначала следуемые из (13, 14) соотношения и решения, справедливые при любом выборе V(cp).

Складывая уравнения 2) и 3) в системе (13) и сравнивая результат с уравнением 4), найдем, что У+р" , С'-|3' . _ с: -(3

Ii" =

-, откуда: J =

+ с . (-1

- :::;

ff = - (У + Р) + сх

Далее вычитая 2)и3)в(13), получим уравнение Лиувилля для функции — у:

Первый интеграл этого уравнения следующий

-fi' + f = *j4<ji2Qe2P-2Y + sign k- к2 (k=const) Здесь sign k - знаковая функция от k. Окончательное решение уравнения (16) следующее:

Теперь складываем уравнения (13.2) и (13.3) и, учитывая соотношения (15), получим уравнение для функции у (х) + Р(х):

|3 "+у"=—2кУ

или, учитывая, что 2а = 3(у + |3) + 2сх, а 2а" — 3{у" + Д"). из (19), получим также уравнение для функции 2ог(дг):

Далее для сокращения перейдем к безразмерному скалярному потенциалу <р(х} преобразованием: т/йф-» ф. Тогда во всех вышеприведенных уравнениях сократится гравитационная константа и. И рассмотрим выражение из первых двух слагаемых в правой части уравнения (13.1), продифференцировав его по х:

(-ф'г-У(ф)е2*)' = ф'ф"- ^-ф'е2п-2н'У(ф)е2сс

В правой части (23) теперь стоит интегрируемое выражение: -н'«,г =!-«'")'. Поэтому,

'2 " - , - , , Теперь учтем уравнение (14) для скалярного поля и получим:

С учетом уравнения

(- ф'2 — У(ф)е2п)' = - н'н"

интегрируя (23), получим:

Выражение (24), так же как и (17), представляют собой еще один первый интеграл системы дифференциальных уравнений (13), (14), т. к., подставив (24) в уравнение (13.1) вместе с (17), получим тождество с условием на константы интегрирования:

+ - sign к - к2 = 0

Соотношение (24) вместе с уравнением для скалярного поля (14) при известном потенциале V(tp) представляют собой замкнутую систему уравнений для функций cr(:v) и решая которую,

найдем ог(дг) и ^(х), а затем с помощью (17) и все остальные функции ß(x). у(х), ц(х).

Но сначала понизим порядок уравнения для скалярного поля (14), приняв за неизвестную функцию ф'=1/»(ф), и переходя от аргумента х к аргументу ср; так что уравнения (14), (24) будут иметь вид:

То есть получили систему из двух уравнений первого порядка для функций с((<р~) и 'ф(ф). Решение этой системы следующее:

ф

Найденное решение, в котором искомые функции выражаются через потенциал V(ф), справедливо именно для потенциалов вида (7), используемых в данной работе. Из условий совместности уравнений (26), (27) находим соотношения между константами интегрирования сг и параметрами физической системы полей У0. а, т. Причем для каждого из этих 3-х потенциалов они будут разные. 1)Так для потенциала ^(ф) = У,}(сЬт ф)-а условия совместности следующие:

с2=Га-1)С1У0-; m2 =

а

(a(a-1))>0

2) Для потенциала ^(ф) = V0 (shm ф) -а условия получаются следующими:

c2=ri-a)ClV0-;m2 = —^

;; (а(а-1))>0

Za

3) Для потенциала У(ф) = VqI. созтф) -а условия совместности следующие:

-f-;

¡a.t.l-a.

с2 = (а - 1) Cg V а; tn2 =

Далее, когда известна функция (17) и получены функции ф'=ф'(У(ф)) и а(У(ф)) (28), легко

получается решение для всех неизвестных функций к<_х), |}(х), у(х), ц(х) при учете условий совместности (29), (30), (31) и (25) для всех трех типов потенциалов (7):

I. Решение для потенциала ^(ф) = Vq(oosnup)а. что соответствует аксионному полю:

т; 0<а<1; cL V01/a(l - а) = - с sign к  к2

т = I

-д 2а(1-а)'

е2к = с± У0В /(сЬрх)2(1-^;

Здесь коэффициент gф(p = е2^ определяет возможность существования «кротовой норы». При данном потенциале I возможность существования «кротовых нор» существует во всех трех случаях выбора константы k ^>0, k=0, ^0) при соответствующем подборе констант c,k,p, не противоречащем условию совместности (32).

а) при к>0 для существования «кротовой норы» должно быть: с<0 и |с| > k + Cj(l — a) V0 ' а,

а область существования решения 0 < х < со. При этом е2!3 ф Q во всей областей е2^ со при х -ï 0 н х -> со, т. е. на краях области существования имеем пространственные бесконечности (вход и выход из «кротовой норы»).

Для остальных метрических коэффициентов в асимптотиках имеем: f ~Y 0 при х -» 0, и е2т -ï со при х со; е2с = const при х=0, и е2к -> 0 при х со.

í ~ ~ \Г

б) при к=0 для существования «кротовой норы» должно быть с<0 и|с| > '— с1 í 1 — a) V0 а, а

V 3

область существования решения та же: 0< х < со, и здесь также е"^ ï Ü во всей области, а при х -» 0 и при х —* со, т. е. в асимптотиках, е2^ —» со, имеем пространственные бесконечности на концах области, то есть имеем «кротовую нору».

Асимптотики для остальных метрических коэффициентов е-':; и е- '1' такие же, как и при к>0.

в) при к<0 область существования решения, 0 < х < — и во всей области е-13 ï 0. а на краях

е-Р —> от, то есть также получилась «кротовая нора» с условием на константы (32).

При этом метрические коэффициенты е-а и на краях области имеют конечную величину и нигде не равны нулю, и только — на краях обращается в нуль, то есть получившаяся «кротовая нора» с обоих концов закрыта горизонтом видимости.

В последнем случае (k<0) метрику геометрии получившейся «кротовой норы» легче всего сшить с метрикой вращающейся системы отсчета плоского пространства-времени

ás2 = dr2 + г2

где ft - угловая скорость вращения системы отсчета, так как при этом два метрических коэффициента e-':i и е-1- в решении (33) с обоих концов являются постоянными, как в плоской метрике (34), и их сшивать не нужно.

II. V !. ф) = V,} с h m ф) -а, П о с ко л ь к у chm<jp — функция четная, то такой потенциал также годится для аксионного поля.

В этом случае из условий совместности следует:

и существует соотношение, следующее из решения:

i

сЬтф =

coa рос

А решение для метрических коэффициентов следующее:

f izi 1

2li1b(cjVdb ) h-ah ti

к{с«и px) ^t1 4 ea

;

Спнрх)1^1"8)^™

2Ш|5 (Cj.VDB )Й"Яшкж

;

-i1 -Уе1711

Из решения (37) видно, что «кротовые норы» могут быть для всех трех случаев: 1) к>0; 2) к=0; 3) к<0, т. к. в серии интервалов ['тгп — " ] < рд: < лги + где п=0,1,2, на концах которых cos рх =0, e2^ i 0 . и е2^ —> со на указанных концах, что соответствует пространственным бесконечностям.

Наиболее наглядный вид и удобный для исследования данное решение имеет при |к| = 2р и = _ т , что не противоречит условиям совместности (35):

qjd с, ah Zpn р 7ц- с de pi- e01

;

2Ш[)С,

VuCDEpie01 ш D c/'k-Em^pri

; Ck = 0)

V p-VB-аиргв"*

;

Из формул решения (38) видно, что при таком выборе константы k (k=2p) нули функции sinkx и соэрх совпадают на правых концах интервалов периодичности.

Например, в интервале 0 < рх < ^ имеем, что зт2рх =созрх =0 при рх=0 и рх = При этом, когда

к<0, е-Р 0 в этом интервале и е^ —» со на концах этого интервала, т. е. получается здесь «кротовая нора». Для остальных метрических коэффициентов, е-^и е- -'., на концах этого интервала имеем:

1) когда х 0, то е^ -> 0; е2с = const; е2^ = const;

2) когда рх то е2* = const; е2с -J со; е2^ со.

III. ПФ) = Vofshnup)2»

Тогда условия совместности следующие:

V-

а > 1; (а - 1) Ct v0 с2 + - sign к  к2; щ=

-; p

,3ClVD 'я

ij 2я

и получается соотношение shmtp =

sh Ъх'

А решение для метрических коэффициентов следующее:

е2* = с^ (shpx)2^-^'; е2^ = ( с±У0

Здесь «кротовые норы» можно получить при любом знаке константы k (k>0, k=0, k<0) при соответствующих соотношениях между константами c, k, p.

Однако наиболее удобным для исследования и для сшивки 2-х концов "кротовой норы" с внешними плоскими пространствами является случай, когда к<0.

Тогда, если взять интервал значений кх, где х =f0, а на концах которого sinkx=0, например, 2тт <|к|х < Зтс, то внутри этого интервала е2^ Q, и е2^ ао при |к|х -» 2тг и |к|х -» Зтс, т. е. на обоих концах интервала получается пространственная бесконечность, и получается на указанном интервале геометрия пространства-времени «кротовой норы».

При этом для остальных метрических коэффициентов е-*, е-К е-'' на обоих устьях «кротовой норы» получаются значения

1) |к|х = 2ж; егу = 0; e2ci = const ф 0; е2^ = const ф 0

2) |к|х = Зтг; е2* = 0; е2п = const ^ 0; е2^ = const Ф 0

Видно, что поскольку все метрические коэффициенты на всем интервале 2тт <|к|х < Зтс имеют конечные значения, то полученная геометрия «кротовой норы» наиболее удобна для сшивки с обоих ее концов с внешними плоскими пространствами.

Таким образом, рассмотренные конфигурации самогравитирующих нелинейных скалярных полей с данными выше потенциалами У(ф) при наличии вихревого гравитационного поля могут образовывать «кротовые норы», но все они не имеют плоские асимптотики.

Однако среди них существуют такие, у которых все метрические коэффициенты на всем их протяжении являются конечными. Такие получающиеся «кротовые норы» наиболее удобны для сшивки их устьев с внешними плоскими пространствами.

Библиографический список

1. Кречет, В. Г. Геометрические и астрофизические эффекты вихревого гравитационного поля [Текст] / В. Г. Кречет // Известия ВУЗов. Физика. - 2007. - №10. - с. 57-61.

2. Кречет, В. Г. Пятимерная геометрическая модель грави-электрослабых взаимодействий [Текст] / В. Г. Кречет // Известия ВУЗов. Физика. - 2013. - №2. - с. 21-29.

3. Кречет, В. Г. Современные космологические данные и вращение Вселенной [Текст] / В. Г. Кречет // Известия ВУЗов. Физика. - 2005. - №3. - с. 3-6.

4. Линде, А. Д. Физика элементарных частиц и инфляционная космология [Текст] / А. Д. Линде. - М. : Изд. Наука, 1973.

5. Bronnikov K. A., Krechet V.G., Lemos J.P.S. Rotating Cylindrical Wormholes. Physical Rev-2013, D 87, p. 084051-084060.

Bibliograficheskij spisok

1. Krechet, V. G. Geometricheskie i astrofizicheskie jeffekty vihrevogo gravitacionnogo polja [Tekst] / V. G. Krechet // Izvestija VUZov. Fizika. - 2007. - №10. - s. 57-61.

2. Krechet, V. G. Pjatimernaja geometricheskaja model' gravi-jelektroslabyh vzaimodejstvij [Tekst] / V. G. Krechet // Izvestija VUZov. Fizika. - 2013. - №2. - s. 21-29.

3. Krechet, V. G. Sovremennye kosmologicheskie dannye i vrashhenie Vselennoj [Tekst] / V. G. Krechet // Izvestija VUZov. Fizika. - 2005. - №3. - s. 3-6.

4. Linde, A. D. Fizika jelementarnyh chastic i infljacionnaja kosmologija [Tekst] / A. D. Linde. - M. : Izd. Nauka, 1973.

5. Bronnikov K. A., Krechet V.G., Lemos J.P.S. Rotating Cylindrical Wormholes. Physical Rev-2013, D 87, p. 084051-084060.