Об одной форме записи уравнений движения пористых сред в терминах скоростей, напряжений и давления

Проблемы информатики. 2013. № 4

47

ОБ ОДНОЙ ФОРМЕ ЗАПИСИ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ПОРИСТЫХ СРЕД В ТЕРМИНАХ СКОРОСТЕЙ, НАПРЯЖЕНИЙ И ДАВЛЕНИЯ

Х. Х. Имомназаров

Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН,

630090, Новосибирск, Россия

УДК 517.95

Получена форма записи уравнения движения пористых сред в терминах скоростей, напряжений и давления в виде симметрической ¿-гиперболической системы.

Ключевые слова: Пористая среда, гиперболическая система.

The form of the equation of motion of porous media in terms of velocities, stresses and pressure as symmetrical ¿-a hyperbolic system has been obtained.

Key words: Porous media, hyperbolic system.

Введение. Теория пористоупругости широко используется в геомеханике, биофизике и других областях науки и техники. В частности, в эндогенной геологии и геофизике земной коры возникают проблемы, связанные с теоретическим анализом динамических процессов тепломассопереноса: объемного магмообразования при частичном плавлении; возникновения и эволюции флюидных систем, которые сопровождаются фильтрацией сквозь твердую вмещающую среду. Во флюидных системах развивается конвекция в условиях, когда флюид в некоторой ее части находится в критическом состоянии. При решении петрологических задач приходится анализировать многокомпонентные многофазные среды (магмы), находящиеся в термодинамическом состоянии, которое соответствует ликвидусной поверхности. Для описания динамики интрузий в этом случае при макроскопическом рассмотрении требуется вводить в теорию двухскоростные и более континуумы. Это требует построения количественной теории, отражающей характерные особенности упомянутого класса геологических задач [1].

В большинстве случаев в гидрологических задачах расчета фильтрирующихся жидкостей сквозь деформирующийся инородной каркас пользуются так называемой формулой Дарси

k ^

v =--V p,

1

заменяющей в механике таких сред основное динамическое уравнение. Здесь v — скорость жидкости, p — поровое давления, k — проницаемость, / — вязкость жидкости. Это соотношение получено из лабораторных экспериментов в 1856 г. французским инженером А. Дарси, исходя из анализа расхода жидкости при заданном напоре.

В данной работе получена форма записи уравнения движения пористых сред в терминах скоростей, напряжений и давления в виде симметрической ¿-гиперболической системы.

1. Нелинейная система уравнений В. Н. Доровского для пористых сред. В 1989 г. В. Н. Доровский [1], основываясь на законах сохранения, инвариантности теории относительно преобразований Галилея и квазилинейности уравнения движения жидкости, согласованного с условиями термодинамического равновесия, построил нелинейную математическую модель (теория пористоупругости) движения жидкости через упругодеформируемую пористую среду:

др т .

— + div j = 0, р = ps + pi, J = р5и + piv,

ddji + dkHik = dk^vi + diVk - 2div v^ ^ +

+di((iidlv v + (i2div (J - pu)), nik = PsUiUk + piViVk + pSik + hij gjk, OS (S. VT a^ Л R m

m + div pJ - a33T - T

+ (v, V)vi = - — + ^ Oi(u - v)2 + — Oj n [Ok Vi + OiVk - 2 bik div v ) ) -Ot p 2 p pi \ \ 3 J J

hkj 1

-^TOigjk + — Oi(Ziidiv v + Zi2div (J - pu)) - aisOiT - an(J - pu)i, 2 p pi

^Ogf + gkjOiUj + gijOkUj + UjOjgik = 0, ps = const Jdet (gik),

eo = eo(p, S, Jo ,gik).

Закон сохранения энергии

др

— + а1у (д* + то") = о,

, « V2 тб) -г ч

Чк = ( ^ + + ~ ) + Рз(и, и - v)Uk + ПгПитдтг,

Щ = -азг^г - риг) - азздгТ--<210 - ри)г^ V - <22 (j - ри),ётУ 0 - ри) + УкПгк,

Пгк = -^{дкУг + дгУк - 2Ьгкdiv^ - <lldiv V - <12div (j - ри), и массы упругого пористого тела

д- + div (рви) = 0,

не входят в полную систему уравнений, поскольку являются следствием исходной системы. Последняя функциональная зависимость является уравнением состояния — она должна быть задана и замыкает систему уравнений (1) в присутствии диссипации энергии. Другими словами, структура уравнений такова, что при произвольном характере взаимодействия подсистем уравнения движения квазиленейны и выполняются общие законы сохранения при тождественном соблюдении основного термодинамического тождества:

йво = ТйБ + Дйр + (и - V, + ^ ¿д^.

Здесь е0 — внутренняя энергия единицы объема; первые два члена соответствуют термодинамическому соотношению для дифференциала энергии неподвижной жидкости при постоянном объеме; третье слагаемое выражает тот факт, что относительная скорость есть производная энергии по относительному импульсу [2]; четвертое слагаемое представляет собой энергию упругой деформации; ^ = р8 (и — V) — плотность относительного импульса; и — скорость движения упругой пористой среды с парциальной плотностью ря; рг — парциальная плотность жидкости; п, агк, (ъ,к = 1, 2, 3), (гт(1, т = 1, 2) — кинетические коэффициенты, являющиеся функциями от величин, определяющих локальное термодинамическое состояние системы; Б — энтропия единицы объема; р — плотность; Т — температура; Д — химический потенциал; Лгк — компоненты тензора напряжений; дгк — компоненты метрического тензора упругой деформации; 8гк — символ Кронекера дг = ; ^ — диссипативная функция; е — энергия единицы объема [2]:

рv2

е = ео + — + j — р^-

В [3, 4] показано существование четырех типов звуковых колебаний: двух поперечных (в изотропной среде их свойства совпадают) и двух продольных. В уравнении движения жидкости, опустив из рассмотрения инерционные эффекты и эффекты деформации, получим нелинейный закон Дарси

1

V = —

рргац

V р.

Принципиальное отличие линеаризованной модели Доровского от хорошо известных моделей Френкеля — Био [5, 6] состоит в том, что модель Доровского в изотропном случае описывается тремя упругими постоянными К = Л + |д, Л > 0, д > 0, а = р0 а3 + К/р02 [3,

4]. Эти упругие параметры взаимно-однозначно выражаются тремя скоростями (с4, сР1, упругих колебаний [7-9]:

Д

СР2 )

р0,8 С ,

К

р0 р0,! 2 р0,,

с2 СР1

С2

СР2

8 р0,г 2 о-С

3 р0

(СР1 СР2

2 64 р0,гр0

9

р0

- 4 ~С1

а3 = 77"2

1 2р0

Р1

+Ср2—8 с+

(СР1 СР2

2 64 р0,гр0,

9

р0

- 4 ~С4

Данное обстоятельство является важным для численного моделирования распространения упругих волн в пористых средах, когда известны распределения скоростей акустических волн, физических плотностей матрицы и пористости.

2. Об одной форме записи системы уравнений В. Н. Доровского для пористых сред в виде симметрической ¿-гиперболической системы. Линеаризованная система уравнений Доровского имеет вид [3, 4]

диг

р0у

р0,я + дкЛгк +--- дгр =0

СЛ р0

2

дуг , р01 я п

р0,1^г +--дгр = 0 ,

дЪ р0

+ д

съ \ р0 ; р0

др

— — (К — ар0 р0,-) divu + ар0 р0,г divv = 0 ,

Здесь р0 = р0,1 + р0р0,- = р0я (1 — ¿0), р0,1 = р0г ¿0, ¿0 — пористость; р0,я и р0 ,1 — физические плотности упругого пористого тела и жидкости, соответственно; р0  а3 > 0 — модуль объемного сжатия жидкой компоненты гетерофазной среды. Введем новые неизвестные функции

= —Кэ — — .

р0

Система (2), после исключения divu в терминах и, V, агк и р, перепишется в виде

р0,- — дксггк = 0 ,

р0,¡^7 +--дгр = 0 ,

съ р0

1 дЪгк Л датт а х дР 1 , а n п

2ДЖ — 2Дд6гк^Г + дт — 2

а дЪтт , 3 р0,- К р0,г/р0,- + а др р0,г _ ------1------— +--divv = 0 ,

д дЪ р0 д дг р0

где Л = Л а р0 — К2, а = а р0 р0,я — К, Д = 3 К (а р^ — К).

Непосредственным вычислением можно убедиться, что справедливы неравенства

п2

р0,г , ~ 2 , ТУ- р0,1

--+ а = аз р0 р0,- + К-

р0, - р0 р0, -

Обозначим через Л8, Д3 коэффициенты Ламе однородного упругого изотропного материала. Используя формулу [4], получаем соотношение

К-

J

К ^ + а = а3 р0 р0- + К > 0 , Д = 3 К а3 р3 > 0 .

Ит р0 аз = -р.

Устремляя в (7) пористость к нулю, получим

др 1 дат

дЪ 3 дЪ '

Аналогично, устремляя в (6) пористость к нулю, с учетом (8), получим

1 дагк Лв г датт п , п

Огк о, = дг ик + дк иг,

д- дЪ (3 Л- + 2 д-) д- дЪ

которые совпадают с продифференцированными по времени формулами в теории упругости [10].

Вводя вектор w = (щ,и2, и3,у\,у2,у3, а12, а13, а23, ац, а22, а33,р)Т, перепишем систему (4)-(7) в векторной форме

д w

А— + Бк дк w = 0. дЬ

Здесь А = (аг^), г,] = 1,13 — симметрическая матрица, элементы которой определяются следующим образом:

аг,г = Р0,в, аг+3,г+3 = Ро,1) аг+6,г+6 = 1/^,аг+9,г+9 = (1 — Д^2^ г = 1, 3

а10,11 = а11,10 = а10,12 = а12,10 = а11,12 = а 12,11 = —Л/(2^ Д),

а10,13 = а13,10 = а11,13 = а13,11 = а12,13 = а13,12 = a/Д,

3р0,з К р0,г/р0,з + а

а13,13

Р0

Д

остальные а^ = 0. Б к = (щ^), г,] = 1,13, к = 1, 3 — симметрические матрицы, элементы которых определяются следующим образом:

Ь1 = Ь1 = Ь1 = Ь1 = Ь1 = Ь1 = Ь2 = Ь2 = Ь2 = Ь2 =

Ь1,10 = Ь10,1 = Ь2,7 = Ь7,2 = Ь3,8 = Ь8,3 = Ь1,7 = Ь7,1 = Ь2,11 = Ь11,2 =

Ь2 = Ь2 = Ь3 = Ь3 = Ь3 = Ь3 = Ь Ь3,9 = Ь9,3 = Ь1,8 = Ь8,1 = Ь2,9 = Ь9,2 = Ь

3,12 12,3

Ь31

1,

Ь4,13 = Ь13,4 = Ь2,13 = Ь23,5 = Ь6, 13 = Ь33,6 = р0,1/р0,

остальные $ ^ = 0.

Если покажем, что матрица А — положительно определенная, то система (9) будет симметрической ¿-гиперболической (по Фридрихсу). Для этого в силу положительности парциальных плотностей упругого пористого тела р0 з и жидкости р0д, а также модуля сдвига ^ достаточно показать положительно определенность следующей матрицы

А

а10,10 а10,11 а10,12 а10,13

а10,11 а11,11 а11,12 а11,13

а10,12 а11,12 а12,12 а12,13

а10,13 а11,13 а12,13 а13,13

Непосредственные вычисления показывают, что условия положительной определенности матрицы А выполнены:

_ л

а10,10

1 - X 1

-- > — > о,

2^ 3^

а10,10 а10,11 а10,11 а11,11

>

> 0,

а10,10 а10,11 а10,12 а10,11 а11,11 а11,12 а10,12 а11,12 а12,12

2

аР0 4^2Д

> 0,

3

1

a10,10 a10,11 a10,12 a10,11 a11,11 a11,12 a10,12 a 11, 12 a12,12 a10,13 a11,13 a12,13

Таким образом, система (9) является симметрической ¿-гиперболической. Список литературы

1. Доровский В. Н. Континуальная теория фильтрации // Геология и геофизика. 1989. № 7. C. 39-45.

2. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика. М.: Наука, 1988.

3. Доровский В. Н., Перепечко Ю. В., Роменский Е. И. Волновые процессы в насыщенных пористых упругодеформируемых средах // Физика горения и взрыва. 1993. № 1. C. 100-111.

4. Blokhin A. M., Dorovsky V. N. Mathematical modelling in the theory of multivelocity continuum. N. Y.: Nova Science, 1995.

5. Френкель Я. И. К теории сейсмических и сейсмоэлектрических явлений во влажной почве // Изв. АН СССР. Сер. геогр. и геофиз. 1944. Т. 8, № 4. C. 133-150.

6. Biot M. A. Theory of propagation of elastic waves in fluid-saturated porous solid. I. Low-frequency range //J. Acoustical Society of America. 1956. V. 28. P. 168-178.

7. ИмомнАЗАров Х. Х. Несколько замечаний о системе уравнений Био // Докл. РАН. 2000. Т. 373, № 4. С. 536-537.

8. Imomnazarov Kh. Kh. Some remarks on the Biot system of equations describing wave propagation in a porous medium // Appl. Math. Lett. 2000. V. 13, N 3. P. 33-35.

9. ИмомнАЗАров Х. Х., Михайлов А. А. Использование спектрального метода Лагерра для решения Линейной двумерной динамической задачи для пористых сред // Сиб. журн. индустриальной матем. 2008. Т. 11, № 3(35). С. 86-95.

10. Годунов С. К. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1979.

Имомназаров Холматжон Худайназарович — д-р физ.-мат. наук, ведущ. науч. сотр. Института вычислительной математики и математической геофизики СО РАН; e-mail: imom@omzg.sscc.ru

Дата поступления — 4.09.2013

"10,13 "11,13 "12,13 "13,13

4^2Д

> 0.

1