Устойчивость течения Куэтта двухатомного газа в условиях вязкой стратификации и возбуждения колебательной моды

2016 Математика и механика № 4

УДК 532.5:532.517.4 Б01 10.17223/19988621/42/8

И.В. Ершов

УСТОЙЧИВОСТЬ ТЕЧЕНИЯ КУЭТТА ДВУХАТОМНОГО ГАЗА В УСЛОВИЯХ ВЯЗКОЙ СТРАТИФИКАЦИИ И ВОЗБУЖДЕНИЯ КОЛЕБАТЕЛЬНОЙ МОДЫ1

В рамках линейной теории исследована устойчивость вязких двумерных возмущений в сверхзвуковом плоском течении Куэтта совершенного и колебательно-возбужденного газа. В обоих случаях исследовалась альтернатива, когда коэффициенты переноса принимались либо постоянными, либо зависящими от статической температуры потока. Для учета температурной зависимости сдвиговой вязкости использовалась модель Сазерленда, при этом коэффициенты теплопроводности выражались соотношениями Эйкена. Для совершенного газа проведено подробное сравнение характеристик устойчивости I и II акустических мод рассматриваемых моделей вязкости. Показано, что «вязкая» стратификация значительно повышает устойчивость течения по сравнению со случаем постоянной вязкости. Вместе с тем для более простой модели постоянной вязкости сохраняются все характерные особенности развития вязких возмущений, отмеченные для модели Сазерленда. При учете температурной зависимости коэффициентов переноса диссипативный эффект возбуждения колебательной моды сохраняется. Относительное уменьшение инкрементов нарастания вязких возмущений мод I и II, вызванное колебательным возбуждением, одинаково для обеих моделей вязкости. При этом увеличение критического числа Рейнольдса составляет около 12 %.

Ключевые слова: линейная устойчивость, формула Сазерленда, колебательная релаксация, акустические моды.

Плоское течение Куэтта широко используется в линейной теории устойчивости в качестве простой модели для исследования влияния различных факторов, таких, как реология, физико-химические процессы, механические характеристики граничных поверхностей на устойчивость потока. В работах [1, 2] рассматривалась линейная устойчивость сверхзвукового течения Куэтта совершенного газа при конечных числах Рейнольдса. Температурная зависимость вязкости описывалась формулой Сазерленда, число Прандтля принималось постоянным, объемная вязкость исключалась из рассмотрения с помощью соотношения Стокса. В [2] была изучена зависимость инкрементов нарастания и критических чисел Рей-нольдса наиболее неустойчивых вязких мод от числа Маха потока. Эти исследования на современном этапе при тех же предположениях были продолжены в работе [3], где дополнительно к модели Сазерленда рассматривался случай постоянной вязкости. Основное внимание здесь было посвящено изучению промежуточного интегрального нарастания вязких возмущений на базе немодального энергетического подхода. В рамках классической (модальной) линейной теории сопоставление двух вязкостных моделей ограничилось в основном сравнением

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 14-01-00274).

критических параметров течения наиболее неустойчивой вязкой моды для нескольких значений числа Маха. Было показано, что «вязкая» стратификация в несколько раз увеличивает критические числа Рейнольдса относительно соответствующих значений для случая постоянной вязкости.

В работе [4], где на основе линейной теории исследовалось влияние колебательного возбуждения на устойчивость сжимаемого течения Куэтта в невязком пределе, было зафиксировано заметное стабилизирующее воздействие колебательной релаксации на невязкие акустические моды. В [5] рассматривалась линейная устойчивость вязких возмущений в сверхзвуковом течении Куэтта колебательно возбужденного и совершенного газа с независящими от температуры коэффициентами переноса. Основной результат этой работы состоял в том, что колебательное возбуждение на уровне, который достижим, например, в нерасчетных струях или с помощью лазерной накачки, увеличивает устойчивость течения в широком диапазоне чисел Маха и Рейнольдса. При этом относительное увеличение критического числа Рейнольдса по сравнению с совершенным газом может достигать 12 %.

В связи с отмеченным в [3] чрезвычайно сильным влиянием «вязкой» стратификации на критические параметры течения возникает естественный вопрос. Сохранится ли в этих условиях заметное стабилизирующее влияние колебательной релаксации? Кроме того, представляет самостоятельный интерес провести подробное сравнение характеристик линейной устойчивости течения Куэтта совершенного газа для двух моделей вязкости. Это позволит сделать заключение о том, насколько в данном случае содержательна более простая модель постоянной вязкости, одним из преимуществ которой является возможность использовать при линеаризации известное точное решение уравнений Навье - Стокса.

Постановка задачи и основные уравнения

Рассматривается линейная устойчивость плоского вязкого течения Куэтта колебательно-возбужденного газа. В координатной плоскости поток ограничен двумя бесконечными параллельными плоскостями, находящимися на расстоянии И друг от друга. Считается, что плоскость у = 0 покоится, а граница у = И движется равномерно в собственной плоскости со скоростью и0. Течение описывается в рамках модели двухтемпературной аэродинамики, в которых учитывается зависимость коэффициентов переноса от температуры потока [6-8]. В частности, для вязкости, как и в [1-3], использовалась формула Сазерленда [9]. Обусловленные поступательным вращательным Хг и колебательным Ху движением молекул газа коэффициенты теплопроводности определяются соотношениями Эйкена [6-8]. Предполагается, что удельные теплоемкости не зависят от статической (поступательной) Т и колебательной Ту температур газа и постоянны. В качестве характерных величин для обезразмеривания были выбраны ширина канала И, скорость границы и о, плотность р0 и температура Т0 основного течения на движущейся границе канала и образованные из них время /0 = Ыи0 и давление р0 = р0и02. Коэффициенты переноса обезразмеривались на их значения при температуре Т0. В безразмерных переменных система уравнений имеет вид

^+^=0,

5/ д X:

(

ди, ди —+и.— д t д х,

V 1

д р + 1 д

д х, Яе д х,

ди,

п(т) ^

д X]

1А д

+—I а, +- , ReV 1 3|дх,.

ди 1 П(Т) ^

д х.

рГдГ+и (У-1) рт дин+у уР(ТУ - Т)+

|д t 1 д хг 1 д х, ЯеРг д х2 т

у

2Яе

(д^ + ди 1

д х, д х, V 1 1

2

+ 2| а1 -

2А( д и,

3Лд х

+и, дТк 1=_?0^ А

1 дt 1 дX, I 33ЯеРгдх

п(т) дт-

д х,

ТуР

УМ р = Рт, Уу =

У уь 1- Ууь'

1, ] = 1, 2,

где х1 = х, х2 = у, а по повторяющимся индексам подразумевается суммирование.

Параметры, входящие в уравнения системы (1) - (5), определяются следующим образом. Коэффициент а1 = ПоУПс* есть отношение объемной и сдвиговой вязкостей. Коэффициент у = ср/су - показатель адиабаты, су = су + сУг, ср = су + Я - соответственно удельные теплоемкости при постоянных объеме и давлении, где выделены составляющие, обусловленные поступательным су и вращательным сУг движением молекул газа, Я - газовая постоянная. Коэффициент уУ1Ь = суу/(су + сУг + сУу) характеризует степень неравновесности колебательной моды, сУу - удельная теплоемкость при постоянном объеме, связанная с колебательным движением молекул газа, т - характерное время колебательной релаксации. Параметры Яе = р0Ьи0/п0 и М = и0/(уЯТ0)1/2 есть соответственно числа Рейнольдса и Маха несущего потока. Рг = п0су/^0 - число Прандтля, где коэффициент теплопроводности Х0 = Х0+Х0г определяется поступательными и вращательными степенями свободы молекул газа.

Нижний предел уУ1Ь = 0 соответствует случаю невозбуждения колебательной моды молекул. С другой стороны, равнораспределение энергии по степеням свободы молекул не является здесь верхним пределом для параметра уу1ь. Поскольку закон равнораспределения энергии неприменим в неравновесной ситуации, описываемой системой уравнений (1) - (5), когда разрыв между статической температурой потока Т и колебательной температурой Ту может быть достаточно велик. В [6] показано, что при Т = 300 К неравновесная теплоемкость сУу и 1.8Я. Используя равнораспределение энергии в состоянии термодинамического квазиравновесия по поступательным и вращательным модам молекул, получаем, что параметр уу1ь и 0.42. С ростом разрыва между температурами Ту и Т значение уУ1Ь увеличивается, приближаясь в пределе к единице, когда энергия колебательной моды молекул существенно превышает температуру квазиравновесного термостата, определяемого поступательными и вращательными степенями свободы молекул. В расчетах максимальное значение параметра уУ1Ь было выбрано равным уУ1Ь = 0.4, с тем, чтобы остаться в рамках используемой модели, избежав возбуждения высоких колебательных уровней энергии.

В качестве решения для среднего течения (несущего потока) выбрано равновесное стационарное решение, где уУ1Ь = 0 и Т = Ту. При этом считалось, что гидродинамические переменные среднего течения зависят только от поперечной координаты у:

ых = и.

и удовлетворяют граничным условиям

1 гр

Us (0) = 0, Us (1) = 1,

dy

= 0, Ts

y=0 Y M2

В силу геометрии профилей среднего течения (6) уравнение неразрывности (1) удовлетворяется автоматически. Уравнение Ландау - Теллера (4) также выполняется тождественно, поскольку для рассматриваемого равновесного решения параметр уУ1Ь = 0 и Т = Ту. При этом из уравнений импульсов (2), энергии (3) и уравнения (7) определяются р.Т. = 1, р.(у) = 1/(уМ2), а профили скорости и.(у) и температуры Т.(у) вычисляются из системы уравнений:

т{ ^Ь т{ П ] +

ау^ ау) ау^ ау) \ ау )

Для вязкости, определяемой формулой Сазерленда [2-4]

1,5 Т.3/2

П.

Т. (у) + 0,5 ' '

и различных чисел Маха М при у = 1.4; Рг = 3/4 система (8) с данными Коши (7) интегрировалась численно с помощью метода Рунге-Кутты четвертого порядка на интервале у = [0; 1] с шагом Ау = 10-3. Результаты расчетов зависимостей скорости и.(у) и температуры Т.(у) для М = 0.5; 2 и 5 представлены на рис. 1.

Рис. 1. Профили скорости Us

Fig. 1. Profiles of the

Мгновенные значения гидродинамических переменных представим в виде

их = + их , иу =иу , Р = Р* + р, Т = Т + T, ТУ = ТУ, * + ТУ ,

ёц

р = р* + p, П=П* + П=П* + Пт,т, Пт=

ёТ

Т=Т,

где возмущения гидродинамических переменных представляются в виде бегущих плоских волн

Ч

Здесь а - волновое число вдоль периодической переменной х, с = сг+1с, - комплексная фазовая скорость, / - мнимая единица. Подставляя (10), (11) в уравнения системы (1) - (5) и линеаризуя ее относительно среднего течения, получаем систему уравнений для амплитуды возмущений:

ОР + аР*У+р* о = °

'

^ Д и - р Ои - ар * уи'-/ае+^иЧ^^ + ^ 0'=0, Яе * Яе Яе Яе

а Д п ' , апт,Х ' п —Ду - аргОу - е +--:—у = 0,

Яе Яе

Д 0 - р О 0 - ар * ут;-а(у -1) о+2у(у-1) ПМ

ЯеРг

Яе

(и'+/а2у)) + ^(0у -0)+ у ' т

2упт Т' + У * 0' + ЯеРг

т(Пт Т) + У(У -1) Пт Х^2

ЯеРг

Яе

) = 0;

20УУу Д0 „ р О0 „„ р уТ- Тур* (0 0)+20УУупт,Т0' +

777—!-Д 0у - Ту Р* О0у - аУуР* уТ*--(0у - 0)+ п-0' +

33ЯеРг т 33ЯеРг

+20уТуПт,Т'0' + 20ууу (пт,*Т;) 0 = 0

33ЯеРг

33ЯеРг

у М2 р = р*0 + рТ*,

= у| у=1 =01 у=0 = 01 у=1 = 0у 1у=0 = 0у 1у=1 = р|у=0 = р|у=1 = 0,

и 1у=0 и1у=1 У1у=0 Чу=1 "|у=0 "1у=1

О=/а(и - с), о=у'+/и, е = р -оп/ц + ло, Уу Д =

Яе V 31 1- Уу1ь

ё2

--а

"Ту1Ь ёу1

Здесь и далее штрих у функций обозначает дифференцирование по переменной у.

Спектральная задача и метод решения

Система (12) вместе с однородными граничными условиями (12) определяет спектральную задачу, в которой собственными значениями являются комплексные фазовые скорости возмущений с = сг+1с,, а числа Маха М, Рейнольдса Яе и

волновое число а служат параметрами. Для расчета собственных значений с = сг+1с/ неустойчивых мод система (12) сводилась к матричному виду и далее решалась численно в среде пакета МаИаЪ. Использовался метод коллокаций [10, 11], ранее примененный в работах [12, 13]. Следует отметить, что в работах [1-3], посвященных исследованию линейной устойчивости течения Куэтта в невозбужденном совершенном газе, также применялся метод коллокаций, причем в [1-3] использовался инструментарий МаНаЪ. В данном случае спектральная задача записывалась в матричном представлении:

Лф"+ 4ф'+ АзФ = сЛ4ф, ф| =ф| = 0,

1у=0

где ф = (р, и, у, 6, 6у), а матрицыЛк (к = 1, 2, 3, 4) размера (5x5) имеют вид

0 0 0 0 Л

Яе

( 0 0

Л, =

0 0

Яе

а! +-

0 0

0

УП, ЯеРг

0

0 0

20УУуП, 33ЯеРг

Л2 =

0 0

т

у М2

0 0

/аП; Яе

ап +-

2у(у-1) п, М2и;

Яе 0

Яе

а а2

-а (у -1) 0

0 а5 Р;

у М2

0 Л 0

0

(-К,

/ аТ

Л3 =

у М2

т

у М2 0 0

Л4 =

-Ф; -аЬ1

/а Ь5

-/ а

-р; -ар, и;

-а 2Ь2

аЬ6

0

' аР;

у М2

+ а'

у М2 -Ь

0 -аУур, т Уу Ь7

-/ 0 0 0 0

0 -/ар 0 0 0

0 0 -/а2р, 0 0

0 0 0 -/ар 0

0 0 0 0 -/ау

0 0

0

У ур; Т

- Уу Ь4У Л

Пт Т ( + 4) 2 у а1 10 у у аъ

а =—;—, а2 = а11 ап +— I, а3 =--, а4 =-^^

Яе V 3 ] Рг 33

а5=, *=/-и+па4], * "р.и+па,

«3 = 'аР-^ + ^+^ --1»а^М2^', *4 = /ар,^ + Ь+2Й£,

« = а. (а. +1), « = 2'аТ(У-1>ПМЦ _р<т. = ГА+.20Пу (тЛ')'

3] и Яе т 33ЯеРг

В качестве узлов коллокации выбирались точки Гаусса - Лобатто

1 1 + 008]

N

Уп 2

п = 0,1,..., N,

в которых полином Чебышева ^й степени имеет экстремумы на отрезке у = [0, 1]. Дифференциальные операторы первого порядка, входящие в спектральную задачу, аппроксимируются на данном шаблоне матрицей коллокационных производных От [10, 11] размером ^+1)х^+1). Дифференциальные операторы второго порядка аппроксимируются суперпозицией D'N = [10, 11].

Построенная таким образом дискретная аппроксимация позволяет свести задачу (14) к обобщенной задаче на собственные значения (линейному спектральному матричному пучку) относительно спектрального параметра с:

5 N+4

X

1=0

где вектор неизвестных г размером 5^+1) состоит из значений собственных функций в узлах коллокации:

г(х2) = (Р0 ,Р1,.,РN , u0,u1,.,uN ,у0 ,у1,.,у N ,00,01,.,0 N ,0 у,0 ,0 у,1,.,0у, N ),

а матрицы О, Е размером 5(N+1)х5(N+1) вычисляются с использованием специальной процедуры МаИаЬ по формулам

О=А1  О1 + А2  DN + А3 ^, Е=А4  ^

(знак «» обозначает прямое (тензорное) произведение матриц [14]), - единичная матрица размером ^+1)х^+1). Однородные граничные условия (13) для уравнения (15) учитываются неявно через оператор и на дискретном уровне реализуются заменой матриц DN на окаймленные матрицы размером ^-1)х^-1), которые получаются при выполнении условий [10, 11]:

о0к,] = Ок,] = 0, Ок0 = Ок^ = 0, / = 0,1,N, ] = 0,1,N, к = 1,2.

Для нахождения всех собственных значений и функций обобщенной спектральной задачи (15) использовалась процедура МаЙаЬ, реализующая р2-алго-ритм, который позволяет одновременным ортогональным преобразованием привести пару матриц О, Е к обобщенной верхней треугольной форме [15]. В результате применения данной процедуры для фиксированных значений чисел Рей-

нольдса Re и Маха M, объемной вязкости аь степени неравновесности колебательной энергии yvlb, времени колебательной релаксации т и волнового числа а получается набор (N+1)-ro собственных значений c = cr+ici.

Для проверки точности вычислений параллельно были проведены расчеты собственных значений c = cr+ici с помощью метода «стрельбы». Для этого уравнения (12) заменялись фундаментальной системой уравнений и граничными условиями для вещественных и мнимых частей функций р, u, v, 9 и 0v. Полученная система при фиксированных наборах параметров Re, M, yvlb, т и а интегрировалась численно с помощью процедуры Рунге-Кутты четвертого порядка на интервалах ye [0; 0.5] и ye [0.5; 1] с шагом Ay = 10-3. Шаг по волновому числу Да = 10-3. Точкой «прицеливания» служила середина канала - y = 0.5. Значения cr и ci подбирались таким образом, чтобы вычисленные «слева» и «справа» в точке y = 0.5 значения функций pr, ur, vr, 9r, 9v,r и р„ ui, v„ 9U 9v i совпадали с точностью до 10-8. Соответствующее такому совпадению значение c принималось в качестве собственного значения при заданном наборе параметров Re, M, а1, yvlb, т, а. Сравнение результатов, полученных с помощью методов коллокаций и «стрельбы» показало, что различия в значениях c = cr+ici, наблюдаются лишь в шестом-седьмом десятичных знаках после запятой. Таким образом, была обеспечена необходимая точность вычисления инкрементов (декрементов) возмущений.

Расчеты велись при следующих значениях параметров: yvlb = 0 - 0.4; т = 10-2 -10; а1 = 0 - 2; M = 0.5 - 25; Pr = 3/4; у = 7/5. Значение волнового числа менялось в диапазоне а = 0 - 10 с шагом Да = 10-3. Число узлов коллокаций в интервале ye[0; 1] варьировалось в диапазоне от N+1 = 100 до N+1 = 500 и в большинстве расчетов принималось равным N+1 = 300.

Результаты расчетов

Для модели постоянной вязкости и модели Сазерленда параметрические расчеты спектральной задачи (15) показали, что изменение значений времени колебательной релаксации в диапазоне 10-2 < т < 10 слабо влияет на поведение спектров вязких возмущений. Поэтому ниже расчетные данные приведены для одного значения времени т = 1.

Показано, что для модели постоянной вязкости и модели Сазерленда множество собственных значений линейной задачи устойчивости сверхзвукового вязкого течения Куэтта термически возбужденного молекулярного газа, как и в случае совершенного газа, делится на два непересекающихся множества Sa и Sv [1-3]. Собственные значения из множества Sa сходятся в пределе Re^ro к собственным значениям для невязких акустических мод I, II, III и т.д. Собственные значения из Sv не имеют асимптотической связи с невязкой задачей и характеризуются большими декрементами затухания [16]. Разбиение множества мод Sa на четные и нечетные, классифицированное для невязких возмущений в равновесном и колебательно-возбужденном газах [4], сохраняется и для вязких возмущений. Представление об общей структуре спектра вязких возмущений дает рис. 2.

Графики зависимостей волновых скоростей cг(а) для семейств четных и нечетных мод возмущений из Sa приведены на рис. 3. Здесь сплошной и штриховой линиями показаны зависимости cг(а) для четных и нечетных мод невязких возмущений соответственно для невозбужденного (yvlb = 0) и колебательно-возбужденного (yvlb = 0.4) газов. Из рис. 3 следует, что диссипативные эффекты, связанные с «вязкой» стратификацией, варьированием числа Рейнольдса и с возбужде-

нием внутренних степеней свободы молекул, практически не меняют поведения кривых сг(а), рассчитанных в невязком приближении при Яе^го [4]. Выделенные моды I и II, как видно из рис. 3, раньше других переходят в интервал сг = [0, 1], где, как было показано в [4, 12], возможно развитие невязкой неустойчивости, и в этом смысле являются наиболее неустойчивыми.

Рис. 2. Спектры собственных значений для M = 5, Re = 5-105 при а = 0.1

Рис. 3. Зависимости cr

Fig. 3. Dependencies cr

При числе Маха M = 2 кривые мод I и II практически зеркально симметричны относительно линии cr = 0.5, соответствующей положению критического слоя на оси канала. Можно обратить внимание, что с ростом числа Маха точки перехода мод I и II в интервал cr = [0; 1] сдвигаются в область меньших волновых чисел а, а симметрия относительно cr = 0.5 несколько нарушается. Последнее связано с увеличением несимметрии профиля температуры среднего течения Ts при возрастании числа Маха (см. рис. 1).

Сравнение декрементов (инкрементов) юг- = асг- мод I и II для двух моделей вязкости в совершенном газе представлено на рис. 4. На графиках рис. 4, а можно заметить, что дестабилизирующее влияние вязкости на устойчивую [4] в невязком пределе моду I при M = 3 имеет место для обеих моделей. При этом влияние «вязкой» стратификации по сравнению со случаем n = const [5] сводится к смещению зоны неустойчивости в сторону больших волновых чисел и небольшому снижению максимального инкремента. Следует отметить, что такая вязкая дестабилизация моды I проявляется лишь в очень узком диапазоне чисел Маха M - 3. При всех других числа Маха мода I остается устойчивой и вязкость оказывает на нее исключительно дополнительное стабилизирующее воздействие. В частности, это подтверждается кривыми декрементов для M = 5.

Рис. 4. Зависимости юг

Fig. 4. Dependencies юг

Как следует из рис. 4, б стратификация также сдвигает кривые инкрементов моды II в сторону коротковолновых возмущений, незначительно снижая их максимумы. Вместе с тем для обеих моделей вблизи а - 1.5 при М = 5 фиксируется резкое локальное возрастание инкремента вызванное дополнительным дестабилизирующим воздействием вязкости. Этот эффект сохраняется и при дальнейшем продвижении в зону дальнего сверхзвука [2].

Влияние возбуждения колебательной моды на наиболее неустойчивые акустические моды возмущений в стратифицированном течении можно оценить по графикам рис. 5. Видно, что в основной части диапазона неустойчивости возбужде-

ние приводит к уменьшению инкрементов нарастания. При этом относительная величина подавления возмущений остается такой же, как и для модели постоянной вязкости [5].

Общее представление об устойчивости течения Куэтта дают кривые нейтральной устойчивости «/(Re,a) = 0 на рис. 6. Влияние возбуждения на стратифицированный поток при M = 3 для обеих мод I и II представлено графиками рис. 6, а. Пунктирные кривые, отвечающие предельному возбуждению колебательной моды, можно рассматривать как сдвиг соответствующих сплошных кривых для совершенного невозбужденного газа в область больших чисел Re и a без изменения формы, в частности без деформации внутренней области неустойчивости. Точки K1, K\ соответствуют минимальным (критическим) числам Рейнольдса Recr, определяющим порог, ниже которого все возмущения затухают. Видно, что наиболее неустойчивой является мода II, у которой существенно меньше критические числа Рейнольдса и заметно шире внутренняя зона неустойчивости в направлении оси волновых чисел а. Можно констатировать, что учет зависимости вязкости от температуры никак не сказывается на диссипативном эффекте колебательного возбуждения, которое повышает устойчивость обеих мод, увеличивая критические числа Рейнольдса.

Рис. 5. Зависимости юг

Fig. 5. Dependencies юг

На рис. 6, б сравниваются нейтральные кривые для совершенного газа и обеих моделей вязкости при числе Маха M = 5. Анализ графиков позволяет заключить, что во всем диапазоне чисел Рейнольдса влияние стратификации по вязкости сводится в основном к усилению диссипативного эффекта, проявляясь в сужении зоны неустойчивости и существенном возрастании критического числа Рейнольдса, что видно из сравнения точек K2, K'2. Вместе с тем характерные особенности поведения кривых нейтральной устойчивости в дальней сверхзвуковой области при M > 5 остаются неизменными для обеих моделей. В частности, здесь область неустойчивости при возрастании числа Рейнольдса расширяется (ср. рис. 6, а).

Кроме того, в обоих случаях кривые имеют два минимума по числу Рейнольдса. При этом острый пик вблизи а ~ 1.5 соответствует острому пику инкремента нарастания на графике рис. 4, б, связанному с дополнительной вязкой неустойчивостью. Минимум на пологой части кривых, наоборот, определяется диссипативным влиянием вязкости на максимальный инкремент инерционной неустойчивости при М = 5 [4].

Рис. 6. Кривые нейтральной устойчивости юг

Fig. 6. Curves of neutral stability юг

Поведение кривых нейтральной устойчивости w,(M, а) = 0 и изолиний фазовых скоростей wr(M, а) = const моды II во всем расчетном диапазоне чисел Маха для обеих моделей вязкости в совершенном газе показано на рис. 7. Из графиков wr(M, а) = const следует, что независимость фазовых скоростей от диссипативных эффектов, отмеченная на рис. 3 для M = 3; 5, имеет место для всех чисел М. Кривые W/(M, а) = 0 показывают, что расхождение между моделями вязкости резко усиливается с возрастанием числа Рейнольдса. Это прослеживается по максимальному размеру основной области неустойчивости вдоль оси M. Если для модели Сазерленда этот размер остается неизменным, то в случае постоянной вязкости при Re = 106 обе ветви кривой выходят далеко за предел M = 25.

Графики рис. 8 дают возможность качественно оценить влияние модели вязкости, сжимаемости и колебательного возбуждения на критические параметры моды II. Можно видеть, что во всем диапазоне чисел Маха для совершенного газа «вязкая» стратификация в несколько раз увеличивает значение Recr по сравнению со случаем постоянной вязкости, хотя длины волн наиболее неустойчивых возмущений (критические волновые числа) при переходе от модели к модели меняются незначительно. Для обеих моделей возбуждение колебательной моды увеличивает критические числа Рейнольдса и критические волновые числа при всех числах

Маха, хотя и существенно меньше, чем стратификация. Видно, что немонотонность всех кривых в зависимости от числа Маха имеет одинаковый характер: в области умеренных сверхзвуковых значений М < 6 с ростом сжимаемости понижается устойчивость течения, а ее дальнейшее увеличение, наоборот, стабилизирует поток.

а а

Рис.7. Изолинии юг

Рис. 8. Зависимости Recr

Fig. 8. Dependencies

Критические числа Рейнольдса Кесг и соответствующие им значения волновых чисел асг

М Совершенный газ

Модель постоянной вязкости Модель Сазерленда

ЯеСг асг Яесг асг Яесг асг Яесг асг

3 50060 2.5460 164870 2.8398 56060 2.6039 184190 2.9025

5 23830 2.1310 85720 2.5688 26930 2.3377 95750 2.6831

7 21640 1.9301 121830 2.5156 24230 2.1801 136080 2.6435

9 35080 1.8706 205110 2.4884 39630 2.1226 229110 2.6241

11 55750 1.8790 308170 2.4851 62720 2.1144 344230 2.6218

13 75240 1.8840 461550 2.4872 84940 2.1119 515550 2.6255

15 85150 1.8110 655850 2.4950 96150 2.0660 732580 2.6394

Точные количественные оценки влияния каждого рассматриваемого фактора на критические числа Рейнольдса и критические волновые числа моды II можно извлечь из приведенной таблицы. В частности, учет температурной зависимости вязкости по модели Сазерленда (9) при 3 < М < 15 увеличивает Кесг от трех до шести раз. При этом асг возрастает в пределах 30 %. Относительное возрастание чисел Яесг при возбуждении колебательной моды практически совпадает для обеих моделей вязкости и составляет примерно 10-12 %.

Заключение

Численное исследование устойчивости двумерных возмущений в сверхзвуковом течении Куэтта для двух моделей вязкости в совершенном и колебательно возбужденном газах позволяет сделать следующие выводы.

«Вязкая» стратификация совершенного газа в форме модели Сазерленда значительно усиливает стабилизацию течения. В частности, в диапазоне чисел Маха 3 < М < 15 критическое число Рейнольдса моды II, остающейся наиболее наиболее неустойчивой при всех числах Маха М > 3, возрастает примерно в 3-6 раз по сравнению с моделью постоянной вязкости, хотя соответствующие волновые числа а увеличиваются в пределах 30 %.

Относительное уменьшение инкрементов нарастания вязких возмущений мод I и II при колебательном возбуждении практически одинаково для обеих моделей вязкости. При этом увеличение критического числа Рейнольдса в обоих случаях лежит в пределах 10-12 %.

Более простая модель постоянной вязкости на качественном уровне полностью воспроизводит все характерные особенности развития вязких возмущений акустических мод I и II в совершенном газе:

Дестабилизация устойчивой в невязком пределе моды I в узком диапазоне волновых чисел а в окрестности М 3. Существенное увеличение инкремента нарастания моды II по сравнению с невязким пределом при а ^ 1.5 для сверхзвукового диапазона 5 < М < 15.

Характерное поведение кривых нейтральной устойчивости в координатах (Яе,а) при 5 < М < 15, в частности расширение области неустойчивости с ростом Яе и наличие двух минимумов на верхней ветви. Немонотонную зависимость критического числа Рейнольдса Яесг от числа Маха с незначительным сдвигом минимума в точку М ^ 6.

ЛИТЕРАТУРА

1. Duck P.W., Erlebacher G., Hussaini M.Y. On the linear stability of compressible plane Couette flow // J. Fluid Mech. 1994. V. 258. P. 131-165.

2. Hu S., Zhong X. Linear stability of viscous supersonic plane Couette flow // Phys. Fluids. 1998. V. 10. No. 3. P. 709-729.

3. MalikM., Dey J., Alam M. Linear stability, transient energy growth, and the role of viscosity stratification in compressible plane Couette flow // Phys. Rev. E. 2008. V. 77. No. 3. P. 036322(15).

4. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В. Линейная устойчивость течения Куэтта колебательно-возбужденного газа. 1. Невязкая задача // ПМТФ. 2014. Т. 55. № 2. С. 80-93.

5. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В. Линейная устойчивость течения Куэтта колебательно-возбужденного газа. 2. Вязкая задача // ПМТФ. 2016. Т. 57. № 2. С. 64-75.

6. Нагнибеда Е. А., Кустова Е.В. Кинетическая теория процессов переноса и релаксации в потоках неравновесных реагирующих газов. СПб.: Изд-во СПб. ун-та, 2003.

7. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В. Устойчивость течений релаксирующих молекулярных газов. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2012.

8. Ферцигер Дж., Капер Г.К. Математическая теория процессов переноса в газах. М.: Мир, 1976.

9. Кэй Дж., Лэби Т. Таблицы физических и химических постоянных. М.: Физматгиз, 1962.

10. Canuto C., Hussaini M.Y., Quarteroni A., Zang T.A. Spectral Methods in Fluid Dynamics. Berlin: Springer, 1988.

11. Trefethen L.N. Spectral Methods in Matlab. Philadelphia: Soc. for Indus. and Appl. Math., 2000.

12. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В. Линейная устойчивость невязкого сдвигового течения колебательно возбужденного двухатомного газа // ПММ. 2011. Т. 75. Вып. 4. С. 581-593.

13. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В. Критические числа Рейнольдса в течении Куэтта колебательно возбужденного двухатомного газа. Энергетический подход // ПМТФ. 2012. Т. 53. № 4. С. 57-73.

14. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1970.

15. Moler C.B., Stewart G.W. An algorithm for generalized matrix eigenvalue problems // SIAM J. Numer. Anal. 1973. V. 10. No. 2. P. 241-256.

16. Morawetz C.S. The eigenvalues of some stability problems involving viscosity // J. Rat. Mech. Anal. 1952. V. 1. P. 579-603.

Статья поступила 16.06.2016 г.

Ershov I.V. (2016) STABILITY OF THE COUETTE FLOW OF A DIATOMC GAS IN CONDITIONS OF VISCOUS STRATIFICATION AND VIBRATIONAL MODE EXCITATION. Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 4(42). pp. 84-99

DOI 10.17223/19988621/42/8

Stability of the viscous two-dimensional perturbations in a supersonic plane Couette flow of perfect and vibrationally excited gases is investigated within the framework of the linear theory. In both cases, the transport coefficients were taken to be both constant and dependent on the static temperature of the flow. The Sutherland viscosity law was used in order to take into account the temperature dependence of shear viscosity. The thermal conductivity coefficients caused by the translational, rotational, and vibrational motions of gas molecules are determined by Eucken's relations. A detailed comparison of the stability characteristics of the acoustic modes I and II for both viscosity models is carried out for a perfect gas. It is shown that the «viscous» stratification significantly increases the flow stability as compared to the case of the constant viscosity model. At the same time, the characteristic features in the development of viscous disturbances, typical for the Sutherland model, remain valid in the case of a simpler constant viscosity model. The dissipative effect of the vibrational mode excitation is preserved in the case when the temperature dependence of the transport coefficients is taken into account. The relative reduction caused in the

growth rates of viscous disturbances for modes I and II by the vibrational excitation is practically

the same for both viscosity models. The increase in the critical Reynolds number is approximately

12 % in both cases.

Keywords: linear stability, Sutherland formula, vibrational relaxation, acoustic modes.

ERSHOV Igor Valer'evich (Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Novosibirsk State

University of Architecture and Civil Engineering

E-mail: i_ershov@ngs.ru

REFERENCES

1. Duck P.W., Erlebacher G., Hussaini M.Y. (1994) On the linear stability of compressible plane Couette flow. J. FluidMech. 258. pp. 131-165. DOI 10.1017/S0022112094003277.

2. Hu S., Zhong X. (1998) Linear stability of viscous supersonic plane Couette flow. Phys. Fluids. 10(3). pp. 709-729. DOI 10.1063/1.869596.

3. Malik M., Dey J., Alam M. (2008) Linear stability, transient energy growth, and the role of viscosity stratification in compressible plane Couette flow. Phys. Rev. E. 77(3). pp. 036322(15). DOI: 10.1103/PhysRevE.77.036322.

4. Grigor'ev Yu.N., Ershov I.V. (2014) Linear stability of the Couette flow of a vibrationally excited gas. 1. Inviscid problem. J. Appl. Mech. Tech. Phys. 55(2). pp. 258-269. DOI 10.1134/S0021894414020084.

5. Grigor'ev Yu.N., Ershov I.V. (2016) Linear stability of the Couette flow of a vibrationally excited gas. 2. Viscous problem. J. Appl. Mech. Tech. Phys. 57(2). pp. 247-257. DOI 10.1134/S0021894416020073.

6. Nagnibeda E.A., Kustova E.V. (2009) Non-equilibrium reacting gas flows. Kinetic theory of transport and relaxation processes. Berlin: Springer.

7. Grigor'ev Yu.N., Ershov I.V. (2012) Ustoychivost' techeniy relaksiruyushchikh molekulyar-nykh gazov [Stability of the flows of the relaxing molecular gases]. Novosibirsk: Izd. Sib. Otd. Ross. Akad. Nauk.

8. Ferziger J.H., Kaper H.G. (1972) Mathematical theory of transport processes in gases. Amsterdam, London: North Holland Publ. Comp.

9. Kaye G.W., Laby T.H. (1958) Tables of physical and chemical constants. London, New York, Toronto: Longmans, Green & Co.

10. Canuto C., Hussaini M.Y., Quarteroni A., Zang T.A. (1988) Spectral methods in fluid dynamics. Berlin: Springer.

11. Trefethen L.N. (2000) Spectral methods in Matlab. Philadelphia: Soc. for Indus. and Appl. Math. DOI 10.1137/1.9780898719598.

12. Grigor'ev Yu.N., Yershov I.V. (2011) The linear stability of inviscid shear flow of a vibrationally excited diatomic gas. J. Appl. Math. Mech. 75(4). pp. 410-418. DOI 10.1016/ j.jappmathmech.2011.09.006.

13. Grigor'ev Yu.N., Ershov I.V. (2012) Critical Reynolds number of the Couette flow in a vi-brationally excited diatomic gas. Energy approach. J. Appl. Mech. Tech. Phys. 53(4). pp. 517-531. DOI 10.1134/S0021894412040062.

14. Korn G.A., Korn T.M. (1961) Mathematical handbook for scientists and engineers. New York: McGraw-Hill.

15. Moler C.B., Stewart G.W. (1973) An algorithm for generalized matrix eigenvalue problems. SIAM J. Numer. Anal. 10(2). pp. 241-256. DOI 10.1137/0710024.

16. Morawetz C.S. (1952) The eigenvalues of some stability problems involving viscosity. J. Rat. Mech. Anal. 1. pp. 579-603.