Исследование комбинации элементарных функций в учебной математической деятельности

ЧАСТНЫЕ МЕТОДИКИ

УДК-510:373

ИССЛЕДОВАНИЕ КОМБИНАЦИИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ В УЧЕБНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ

В.И. Горбачев, Д.Ф.Гегеле, А.А.Мануилов, Н.Ю.Кирюхина

В статье описаны результаты исследования комбинации элементарных функций в учебной математической деятельности и делаются выводы о том, что исследование всякой функции, представленной в виде комбинации или композиции элементарных функций, осуществляется в виде общего метода. Его основу составляют теоретические факты - необходимый признак экстремума, достаточные признаки возрастания и убывания функции, достаточные признаки максимума и минимума. Признаки по равенству производной нулю, чередованию ее знаков позволяют однозначно судить о важных свойствах самой функции. Целостное представление о графике функции создается в сочетании аналитических методов поиска характерных точек графика, общих свойств функции и применение признаков монотонности, экстремума. Авторами приводится диалоговая форма решения задачи исследования функции на монотонность, экстремум по целям, содержанию, представленности субъекту.

Ключевые слова: комбинация элементарных функций, достаточные признаки возрастания и убывания функции, достаточные признаки максимума и минимума, схема исследования функции, исследования на монотонность и экстремум.

В учебнике «Алгебра и начала анализа 10 - 11» в теме «Производная и ее применение» А. Н. Колмогоров ставит задачу исследования комбинации элементарных функций на наибольшее и наименьшее значения, экстремум с помощью аппарата производных.

Задаче исследования конкретной функции на монотонность предшествует абстрактная схема [1. С. 51]: 1) найти область определения и область значения функции; 2) выяснить, обладает ли функция особенностями, облегчающими исследование, т. е. является ли функция четной или нечетной, периодической; 3) вычислить координаты точек пересечения графика с осями координат; 4) найти промежутки знакопостоянства функции; 5) выяснить, на каких промежутках функция возрастает, а на каких убывает; 6) найти точки экстремума, вид экстремума (максимум или минимум) и вычислить значение функции в этих точках; 7) исследовать поведение функции в окрестности характерных точек, не входящих в область определения и при больших (по модулю) значениях аргумента.

Общую схему исследования функции на монотонность автор реализует в комбинации функций, одна из которых логарифмическая. При этом применение общей схемы осуществляется вне ссылок на нее, в конкретной сокращенной форме.

В условиях сопоставления конкретных и обобщенных действий приведем авторское решение задачи для его последующего методического и теоретического анализа:

V = х2 1п х

исследовать функцию на возрастание, убывание, экстремум и построить ее

график.

1. Функция определена при x > 0. 5.1 Найдем ее производную:

/ '

х 2 . 5.3 На области определения х > 0,

(1п х + 2

поэтому знак производной совпадает со знаком 2 .5.5 Отсюда следует, что

/'(x) > 0

1

на промежутке

; ¥ W e 0

и поэтому на промежутке

1

; ¥ LV e 0

возрастает. 5.7 На промежутке ( 0; 1

промежутке

V ve

V Ve 0 1

функция

производная отрицательна, поэтому { убывает на

это точка минимума

. 6.4 В точке ^ е производная меняет знак с минуса на плюс, значит,

/I — 2

. 8.3 График функции приведен на рисунке:

. 6.5 W e 0

1

Q5 '>

IE г>

Сравнение действий общей схемы исследования функции и авторских действий по

V = х21п х

исследованию конкретной комбинации функций в необобщенном, неполном

операционном составе позволяет выделить следующие методические замечания:

1. В условиях рассогласования автором общего способа исследования функций на монотонность и ее конкретной реализации в комбинации функций обобщенный способ исследования функций не только не формируется, но и отрицается его закономерный характер.

2. Автором предложен учащимся изящный пример и изящный способ его исследования вне методической цели формирования обобщенного способа деятельности в данном классе задач.

Для проектирования методики решения данной задачи с позиции формирования общего способа исследования функции на монотонность на ее области определения выделим закономерный состав действий ("на уровне имен"), её конкретную (материализованную) и обобщенную в действии (внешнеречевую) формы.

Теоретической основой решения данных методических задач выступает деятельностная теория учения (А. Н. Леонтьев [2], В. В. Давыдов [3]), ее важный раздел -теория поэтапного формирования умственных действий. (П. Я. Гальперин [4], Н. Ф. Талызина [5]).

Согласно А. Н. Леонтьеву, во всей, в том числе и в учебной математической деятельности, выделяются действия - те целостные части определенной деятельности, которые отвечают конкретным промежуточным целям субъекта в принятой им цели деятельности.

В психическом строении деятельности как последовательности действий, систему подцелей фиксирует и реализует субъект, т.е. выделение в математической деятельности составляющих его действий осуществляет каждый учащийся. Значит, одна и та же деятельность различными учащимися может осуществляться в разной системе действий. Однако, деятельность, которую осуществляет учащийся, не является новой, ранее в обществе эту деятельность исследовали многие поколения и через систему учебников, методических разработок выделена наиболее оптимальная для данной категории учащихся система подцелей выполнения деятельности и соответствующая им система действий. Эту систему действий будем называть закономерной в данном виде деятельности.

Характерная особенность закономерного состава действий в деятельности - состав действий выработан в обществе и зафиксирован в системе учебников, пособий в явном или неявном виде. В закономерном составе зафиксированы все действия, осуществляя которые каждый из учащихся в теоретическом и практическом плане может усвоить заложенный в них обобщенный способ деятельности.

Закономерный состав действий данного вида деятельности сохраняется в условиях его представленности субъекту в материализованной, внешнеречевой и внутренней формах.

Закономерный состав действий является обязательной ступенью формирования деятельности в условиях его последующего сокращения, превращения в операционный состав.

По П. Я. Гальперину, каждый вид математической учебной деятельности в системе составляющих его действий проходит три закономерных уровня формирования: материализованный, внешнеречевой, внутренний. Учащемуся каждый из уровней формирования представляется на начальном этапе как разные действия, виды деятельности. Следовательно, в процедуре формирования вида деятельности должны быть отработаны:

а) состав действий "на уровне имен", неизмененный для каждого уровня сформированности;

б) критерии сформированности каждого из трех уровней для одного и того же действия, вида деятельности;

в) в методическом плане должен быть спроектирован переход с одного уровня сформированности действия на последующий.

В качестве критериев сформированности каждого уровня выделим следующие:

• цель действия;

• характер включенности действия в более широкую деятельность;

• содержание действия;

• форма представленности действия субъекту [6] .

Закономерный состав действий в данном виде деятельности выделяется не исходя из конкретных примеров, обладающих индивидуальностью, спецификой реализации, а из общих закономерностей решения всех задач данного класса - с позиции выделения общего способа деятельности в данном классе задач. При таком подходе устраняется анализ вида деятельности в процедурах решения примера разными учащимися, т.е. исчезает индивидуальный характер выполнения субъектами данного вида деятельности. Закономерность и обобщенность данного вида деятельности обосновывают представление состава действий "на уровне имен" исходя из внешнеречевой формы представленности действий субъекту.

Для целей формирования общего способа исследования композиции элементарных функций на монотонность и экстремум "на уровне имен" зафиксируем исходный класс задач: задачи по исследованию элементарных функций, их композиций и комбинаций на монотонность, точки экстремума при помощи аппарата производных. Целью данного вида

деятельности в классе задач выступает формирование общего способа исследования функций.

V = х21п х

Функция является одним из представителей данного класса задач и в

процессе ее исследования на монотонность, экстремум нужно установить состав всех действий, посредством которых будет определяться монотонность, экстремумы каждой из композиций элементарных функций.

Содержанием данного вида деятельности выступает применение общих закономерностей (достаточных признаков) возрастания и убывания дифференцируемых функций, поиска точек минимума и максимума функции (необходимого и достаточных признаков) к исследованию конкретной функции, представленной либо в виде композиции элементарных функций, либо в виде алгебраических операций над элементарными функциями.

Данный вид деятельности есть составная часть деятельности по общему исследованию элементарных функций, их комбинаций и построению соответствующих графиков.

Итоговая цель деятельности - формирование общей схемы исследования функций. Данная цель определяет специфику исследования функций на монотонность, предполагая графическую иллюстрацию функции, т.е. схематическое построение графика с указанием промежутков возрастания, убывания, точек экстремума.

В условиях применения в одной конкретной задаче пяти теорем (необходимых и достаточных признаков) отметим следующий закономерный операционный состав применения каждой теоремы к конкретной функции:

а) актуализация общего признака в данной авторской концепции с фиксацией всех условий, указанных в теореме;

б) постановка цели применения данного теоретического факта к конкретной задаче;

в) проверка выполнимости всех условий теоремы в данной конкретной задаче;

г) применение теоремы к конкретной задаче на основе справедливости всех ее условий;

д) анализ результата применения теоремы в данной конкретной задаче.

Требование полноты операционного состава действий, реализуемое в условиях

применения в задаче целого спектра теорем начал анализа, рефлексия как представленной А. Н. Колмогоровым общей схемы исследования функции, так и реальной деятельности по исследованию конкретных комбинаций функций позволяют выделить следующий закономерный состав действий на «уровне имен действия»:

Характеристика данной функции как комбинации или композиции элементарных функций и актуализация свойств, входящих в нее элементарных функций.

Поиск области определения, точек разрыва исходной функции через области определения, точки разрыва элементарных функций. Анализ возможной области значения функции с позиции ее вычисления.

Исследование четности, периодичности исходной функции по аналогичным свойствам элементарных функций. Ограничение области изменения переменной х при наличии таких свойств.

Поиск возможных точек пересечения графика исходной функции с осями координат из условий у0 = ДО) или ДхО) = 0.

Актуализация необходимого признака экстремума, достаточных признаков монотонности функции по знакам производной и постановка задачи вычисления производной исходной функции с целью последующей оценки знаков производной на области определения.

Вычисление производной функции по правилам дифференцирования.

Поиск стационарных (Р(х) = 0) и критических (Г(х) не существует) точек в соответствии с необходимым признаком экстремума.

Установление знаков производной на промежутках области определения, выделенных стационарными и критическими точками из неравенств Г (х) > 0 и Дх) < 0, решаемых методом интервалов.

Вычисление промежутков убывания функции на основе достаточного признака убывания, промежутков возрастания функции на основе достаточного признака возрастания и их схематичное изображение на области определения.

Поиск всех точек максимума на основе достаточного признака максимума функции.

Поиск всех точек минимума на основе достаточного признака минимума функции.

Вычисление значения функции в точках максимума, в точках минимума и в тех точках, при переходе через которые производная не изменяет своего знака.

Анализ изменения функции по изменению знаков ее производной на соседних промежутках, определенных точками разрыва.

Построение схематичного графика исходной функции на ее области определения, с учетом характерных точек, свойств четности, периодичности, изображения точек экстремума, промежутков монотонности, изменения функции при переходе через точки разрыва.

Анализ области изменения функции на промежутках области определения и на всей области определения.

Анализ действий по исследованию функции с позиции достижения цели - поиска промежутков монотонности и точек экстремума.

Оценка общности выделенных действий в классе всех композиций или комбинаций элементарных функций.

Установленный «уровень имен» обобщенного способа деятельности в данном классе задач выступает методической основой для выделения учащимися процедуры исследования комбинации конкретных функций и формирования у учащихся главной цели деятельности - общего способа исследования любых комбинаций и композиций элементарных функций.

В соответствии с методической целью деятельности в процессе последовательного

V = х21п х

изучения конкретной функции зафиксируем в деятельности учащихся

закономерный состав действий:

Задача 1. Исследуем функцию У х 1п х на возрастание, убывание, экстремум и построим график этой функции.

V = х21п х

Функция " является произведением функций у = х2 и у = 1пх, которые

раньше изучались. Нам известны свойства и графики квадратичной и логарифмической функций, в частности их области определения.

Л у = х 21п х /Л ч

Функция у определена на промежутке (0; ю) в силу ограничений на

область определения логарифмической функции.

Точек разрыва на своей области определения функция не имеет, т. к. их нет у квадратичной и логарифмической функций.

Оценка области значения функции пока затруднена, т. к. одна из функций у = 1пх неограниченна на области определения.

Функция не является четной по свойству логарифмической и не является нечетной по свойству квадратичной. В связи с отсутствием тригонометрических функций свойства периодичности не выполняются.

Из условия 1(х0) = 0, т. е. х21пх = 0 получаем х = 0 и х = 1 - все точки области определения, в которых функция пересекает ось Ох. Значит (1; 0) - единственная точка пересечения графика оси Ох.

Условие у0 = 1^(0), не проверяется т. к. 0 не принадлежит области определения. Значит график функции не пересекает ось Оу.

Для вычисления точек экстремума, промежутков монотонности необходимо использовать изученный необходимый признак экстремума функции, связанный с равенством нулю производной, и достаточные признаки возрастания и убывания функции,

V = х21п X

связанные со знаками производной на промежутках. Значит, для функции " нужно вычислить производную и исследовать ее согласно признакам.

По правилу вычисления производной произведения элементарных функций

( 1Л /'(х) = 2 х 1п х + —

V 2,

В соответствии с необходимым признаком экстремума все точки экстремума

/'(х) = 0

определяются либо как стационарные точки из уравнения

, 2 х

критические из условия ^ (х) не существует. Уравнение

либо как

ln X + — v 2

0

0

на области

1

х = е " =

определения дает единственную стационарную точку ^е . На области

определения функции ее производная так же определена, т. е. критических точек функция не имеет.

Для применения достаточных признаков возрастания и убывания функции на

1

/' (х) > 0

промежутках решаем методом интервалов неравенство 4 у , т. е.

2 X

v

ln X + — 2

> 0

0

г

Первый сомножитель положителен на каждом из двух промежутков

(1

~г ;+¥ Чл/ е у

1

\

0; /

v Ve 0

и

. Второй сомножитель в силу возрастания функции У 1п х и пересечения ее

= 1

х — — I—

графика с прямой 2 в точке * е будет менять знак с минуса на плюс, это позволяет

/'

оценить знаки на каждом промежутке.

Соответствие между промежутками знаков производной и промежутками монотонности представим в виде таблицы:

f 1 ^ (0;rl V ve 0 f 1 ^ г; ¥ W e 0

f'

f

На основе достаточного признака убывания функции У х 1п х убывает на

промежутке

V Ve.

и 1 у = х 21п X

На основе достаточного признака возрастания функции у возрастает на

промежутке

1

\

; ¥ e )

Стационарная точка у ^ является точкой локального минимума, других

стационарных и критических точек не имеет, максимума.

1

X =

т. е. нет других точек минимума и ' 1 ^ 1

f

W e )

2e

В единственной точке экстремума * е значение функции В силу отсутствия точек разрыва изучение поведения функции на соседних для них промежутках не проводится.

На координатной плоскости хОу отмечаются: область определения; точка

11

пересечения оси Ох и оси Оу (отсутствуют); точка минимума

2e

0

промежуток

V Ve)

и промежуток возрастания

1

+¥ e )

V

приближение

убывания функции

значения функции к нулю при стремлении переменной х к нулю справа; схематический

1

--; ¥

Г\

график функции; по графику устанавливается область значения функции

Исследование данной функции осуществлено на достаточных признаках монотонности и необходимых признаках экстремума, обладает общим закономерным характером и для других композиций и комбинаций элементарных функций.

Таким образом, неполный состав действий, предлагаемый А. Н. Колмогоровым, упускающий процедуры применения в задаче пяти теорем, не позволяет утверждать о возможности формирования у учащихся общего способа деятельности в классе композиций и комбинаций элементарных функций даже на материализованном уровне.

Материализованный уровень представленности полного состава действий по исследованию функций через «уровень имен действий» состыкован с обобщенным способом деятельности.

В методической деятельности, направленной на перенос полного спектра действий на комбинации и композиции элементарных функций, происходит осознание учащимися как всего метода исследования, так и «кристаллизация» общей схемы общего способа деятельности на внешнеречевом уровне.

Задача 2: На основе общего способа исследования комбинации, композиции элементарных функций на монотонность, экстремум провести исследование функции

у = ^ х3 - X

В задачах на исследование монотонности, экстремума функций в качестве примеров функций выступают элементарные функции, их композиции, их комбинации. В данном

^ (х) = -3/

случае функция

- кубическая функция,

IX

X

- есть композиция

F(x) = f (g(x)) где g(x) = x

X

f (x) = vx

иррациональная функция. Свойства элементарных

функций

g(x) = x3 - x f (x) = Vx

процессе исследования композиции

ранее изучены, они будут использоваться в

Р

1

Начальным этапом исследования функции на монотонность является анализ области

р (х) = 3 х3 - х

определения, точек разрыва, области значений. Композиция ' определена

- х 1 2(х) = х3 - х У(х) = ух

для всех значений А ,т.к. элементарные функции иуу/

определены на всей числовой прямой. В связи с отсутствием точек разрыва у функций У 2 (х) и У У(х) композиция У Р (х) также не имеет точек разрыва. Ограничения на область значений У Р (х) связаны с ограничениями на область значений У 2 (х) и

у = ((х) ^ У = х3 - х г-

у ' . Так как у не ограничена, то анализ области значений композиции

функций затруднен.

Важными в исследовании функции являются ее свойства четности, периодичности, позволяющие проводить исследование не на всей области определения, а на ее части.

Свойство четности композиции У Р (х) проверяется через элементарные функции у = 2(х) и У = /(х). В данной задаче 2(-х) = (-х)' - (-х) = -(^ - х) = -(х) и

У (-х) = 3~-х = - Ух = - У (х) Р (-х) = -Р (х) 0

, поэтому . В связи с нечетностью

ф й У = Р

композиции функций возможно ее исследование на промежутке и

дальнейшее использование симметричности графика относительно начала координат.

Свойство периодичности У Р (х) не выполняется в связи с отсутствием

тригонометрических функций в записи элементарных функций У 2(х) и У У (х) .

Для визуального представления графика функции необходимо исследовать его точки

пересечения с осью 0х (из условия Р(хо) 0) и осью °У (из условия Уо Р(0)). В

Р(х) = 3х3 - х Р(х0) = 0 3х3 - х = 0

композиции условие 0 имеет вид уравнения , его

х0 =-1, х0 = 0, х0 = 1 „ ^ [0; +¥)

решения 0 ' 0 ' 0 . На части области определения 1 ' точками

пересечения графика оси 0х являются точки (0;0)' (1;0)- Условие У° Р(0) имеет

У0 = 30 = 0. _ (0;0) й й

вид ^0 Значит, точка у ' ' - является единственной точкой пересечения

графиком оси °У.

Общей закономерностью точек экстремума в классе всех функций является

Р'

необходимый признак экстремума: для точек экстремума или не

существует. Возрастание или убывание функции определяется достаточными признаками:

ф й й х Р' (х) > 0

функция возрастает на тех промежутках значений переменной , для которых ,

и функция убывает на тех промежутках значений переменной х, на которых Р (х) < 0. Значит, обязательным этапом исследования функции на экстремум, монотонность

й

является поиск производной, вычисление стационарных ( ), критических (

не существует) точек, промежутков знакопостоянства производной Р (х) .

р (х)=зхг-х

Функция ' есть композиция элементарных функций. По правилу

вычисления производной композиции функций и на основе вычисления производных

зх 2 - 1 Р' (х) = 3х 1 . 3з/(х3 - х)2

иррациональной и кубической функций

П Р'(х) = 0

Поиск стационарных точек осуществляется из условия 4 у , соответствующее

Эх2 -1

уравнение

x3 - x)2

= 0

на промежутке

[0; +¥)

определяет одну стационарную

x =

точку

. Критические точки, в которых Р (х) не существует, находятся из

равенства нулю знаменателя производной. Уравнение х = 0 и х = 1

x - x = 0

определяет критические

точки

1

x=

/Э х = 0 х = 1

Стационарная * и критические ' точки разбивают участок

области определения исходной функции на промежутки.

[0; +¥)

V3

Знаки производной на каждом рех выделенных промежутков определяются в

3

F'

x -

1

x +

1

л/3 Л S

и исследования методом

хэ - х)2

условиях ее представления интервалов".

Оценка знаков производной на промежутках позволяет построить таблицу:

0

1

x

Г i ^ 10;V3 J

F'(x) - + +

F

На основе достаточного признака возрастания функции композиция

' 1 Л

У = F

возрастает на промежутках

л/3

;1

и

, на которых

F' (x) > 0. На

основе

У = F

убывает на промежутке

л

0;—¡=

V3.

достаточного признака убывания композиция

р' (х) < о

, на котором .

На основе достаточного признака функция принимает значение максимума в точках экстремума, в которых производная меняет знак с плюса на минус. Для данной

У = F

У = F

не имеет точек

композиции таких точек нет, т.е. функция

локального максимума.

На основе достаточного признака функция принимает значение минимума в точках

экстремума, в которых производная меняет знак с минуса на плюс. Для данной

=

х —

у = р (х) 4Э

значение

композиции

является точкой локального минимума.

Для уточнения положения графика функции важную роль играют координаты всех

У = Р

точек экстремума

. Координаты (0'0) и (1'0) -

точек экстремума композиции

F

' 1 Л

= — 3

г

л/э) Цз43

1

Г — 3

определяет точку

>/3' Чз43

установлены ранее. Значение локального минимума.

Представление графика композиции или комбинации элементарных функций существенно зависит от изменения функции слева и справа от точек разрыва. Характер изменения функции в окрестностях точек разрыва необходимо исследовать отдельно. Для

й У = Р

данной композиции ^ у ' точки разрыва отсутствуют, что упрощает процедуру

представления ее графика.

Процесс построения графика нечетной функции состоит из двух этапов: построения половины графика функции на части области определения с учетом всех установленных свойств функции и симметричного отражения первой половины графика относительно

[ 0; +¥)

начала координат. Для данной функции на

часть графика имеет вид.

Рис. 2

Симметричное отображение относительно начала координат позволяет построить

Р (х) = $

график функции

Г x x

на области определения.

-I з ' 1

На графике композиции или комбинации функций формируется визуальное представление всех ее промежутков монотонности, точек экстремума, области изменения.

1

р (х) = Зх3 - х

Для на ее области определения точка локального максимума

x = —

V3

1

x =

Тз

и точка локального минимума у " выделяют все промежутки монотонности функции, график позволяет увидеть ее неограниченность.

Таким образом, исследование всякой функции, представленной в виде комбинации или композиции элементарных функций, осуществляется в виде общего метода. Его основу составляют теоретические факты - необходимый признак экстремума,

достаточные признаки возрастания и убывания функции, достаточные признаки максимума и минимума. Признаки по равенству производной нулю, чередованию ее знаков позволяют однозначно судить о важных свойствах самой функции. Целостное представление о графике функции создается в сочетании аналитических методов поиска характерных точек графика, общих свойств функции и применение признаков монотонности, экстремума.

Приведенная диалоговая форма решения задачи исследования функции на монотонность, экстремум по целям, содержанию, представленности субъекту характеризует внешнеречевой уровень сформированности данного вида деятельности - в системе математических понятий фиксирует общий метод исследования комбинации или композиции функций. В соответствии с результатами исследования Н.Ф. Талызиной [5] только в условиях сформированности внешнеречевого уровня вида деятельности может затем проектироваться процесс сокращения действий, в содержании обоснования снимается требование полноты. Предлагаемая же А.Н. Колмогоровым методика формирования исследования функции не обеспечивает ни внешнеречевой уровень действий, ни полноту его операционного состава и, значит, не может быть рекомендована в практике работы учителя математики.

The article deals with the results of analysis of a combination of elementary functions in mathematical learning activities and presents inferences showing that analysis of any function given as a combination or a composition of elementary functions is possible within a general method. This method is based on the following theoretical facts: the indispensable feature of extremum, sufficient features of decreasing and increasing functions, sufficient features of maximum and minimum. The features of a derivative tending to zero and alternation of its signs are sufficient to definitely judge the important characteristics of a function itself. A holistic view of a function graph is formed as a result of a combination of analytical methods of finding the characteristic points of a graph, the general characteristics of a function and implementation of features of monotony and extremum. The authors present a dialogical form to be used in solving the problem of analyzing a function for monotony and extremum taking into consideration aims, contents and presentation to a subject.

The key words: combination of elementary functions, sufficient features of increasing (rising) and decreasing (falling) functions, sufficient features of maximum and minimum, scheme for analysis of a function, analysis of monotony and extremum.

Список литературы

1. Колмогоров, А.Н. Алгебра и начала анализа: 10-11 кл. общеобразоват. учреждений/ изд. М.: Просвещение, 2001. 384 с.

2.Леонтьев А.Н. Деятельность. Сознание. Личность. М.: Политиздат, 1971. 304 с.

3. Давыдов В.В. Теория развивающего обучения. М.: Имтор, 1996. 544 с.

4.Гальперин П.Я. Психология как объективная наука. Под ред. А. И. Подольского. М.: Изд-во «Институт практической психологии», 1998. 480 с.

5. Талызина Н.Ф. Управление процессом усвоения знаний. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1984. 167 с.

6.Горбачев В.И. Закономерности поэтапного формирования умственных действий в математической деятельности учащихся/Актуальные проблемы подготовки будущего учителя математики. Межвузовский сборник научных трудов. Вып. 8. Калуга. Изд-во КГПУ им. Циолковского, 2006. с. 78-97.

Об авторах

В.И Горбачев - док. пед. наук, профессор, декан физико-математического факультета Брянского государственного университета имени академика И.Г.Петровского, bryanskgu@ mail.ru.

Д.Ф. Гегеле - аспирант Брянского государственного университета, имени академика И.Г. Петровского, bryanskgu@ mail.ru.

А. А Мануилов.- магистр Брянский государственный университет имени академика И.Г. Петровского, bryanskgu@ mail.ru.

Н.Ю. Кирюхина- магистр Брянский государственный университет имени академика И.Г. Петровского, bryanskgu@ mail.ru.