Математическая модель пассивного пробоотборника

УДК 532.546

О. В. Соловьева, А. Н. Гайфутдинов, Д. Р. Шафиков

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПАССИВНОГО ПРОБООТБОРНИКА

Ключевые слова: пробоотборник, аспирация частиц, метод граничных элементов.

Развита математическая модель и проведены численные исследования коэффициента аспирации аэрозоля в пассивный пробоотборник. В отсутствии влияния частиц на газовый поток несущая среда рассчитывается в приближении потенциального течения несжимаемого газа на основе метода граничных элементов. Уравнения движения частиц рассчитываются в найденном поле скоростей для определения коэффициента аспирации. Исследована зависимость коэффициента аспирации от числа Стокса при различной проницаемости фильтра и угла раствора пробоотборника.

Keywords: sampler, particles aspiration, boundary elements method

A mathematical model and numerical calculations of the coefficient of aerosol aspiration into a passive sampler are realized. In the absence of the effect of particles influence on the gas flow the carrier medium is calculated in the approximation of an incompressible potential flow by the boundary element method. The equations of motion of the particles is calculated in the velocity field results to determine the coefficient of aspiration. The coefficient of the aspiration depending on the Stokes number and sampler angle is studied.

Мониторинг воздушных загрязнений может быть достигнут при использовании пассивных пробоотборников на беспилотных летательных аппаратов [1]. В указанной работе разработан аэрозольный пробоотборник конической формы с внутренним фильтром, течение в котором обеспечивается давлением набегающего потока. Пробоотборник работает в диапазоне скоростей 70120 км/час. Взвешенные частицы осаждаются на фильтре внутри пробоотборника . Скорость потока воздуха в области фильтра регулируется изменением проницаемости материала. Коническое расширение внутреннего воздушного потока приводит к уменьшению скорости воздуха перед фильтром. В работе [1] изучались радиоактивные аэрозоли с размерами 0.1-1 мкм. Описанный пассивный конический пробоотборник с фильтром можно также использовать для отбора проб грубодисперсных аэрозолей. В этом случае концентрация частиц в невозмущенном потоке и в зоне фильтра может отличаться вследствие проявления их инерционности. В настоящей работе предложена математическая модель аспирации аэрозоля в пассивный конической пробоотборник конической формы с пористым экраном.

Постановка задачи

Рассматривается обтекание потоком газа конического пассивного пробоотборника с пористым экраном (фильтром) внутри. Экран радиусом H расположен в самой широкой части аппарата, где средняя скорость потока по сечению будет наименьшей. На рис. 1 приведена схема носовой части пробоотборника. Течение считается осесимметричным, Геометрия корпуса имеет две образующие: конус с большим наклоном образующей (с соответствующим углом между образующей и основанием а^), через который внутрь попадает поток, и конус с малым наклоном образующей (с углом а2) для выравнивания потока перед фильтром.

корпус пробоотборника

ось симметрии

Рис. 1 - Схема носовой части пассивного пробоотборника

Хвостовая часть пробоотборника может быть разной формы для обеспечения протекания потока газа внутри. Например, в работе [1] используется плавно сужающийся канал с резким расширением в конце. Целью настоящей работы является анализ аспирации аэрозоля в конический пробоотборник при допущении беспрепятственного попадания газа внутрь, поэтому форма хвостовой части не рассматривается.

Задача решается при следующих допущениях. Так как в носовой части пробоотборника отсутствует развитая турбулентность, а пограничный слой тонок, то поток газа будет рассмотрен в приближении отсутствия вязкости и сжимаемости. Концентрация дискретной фазы в окружающей среде пробоотборника считается малой, без взаимодействия частиц между собой и с потоком.

Требуется определить коэффициент аспирации аэрозольных частиц в конический пробоотборник при различных значениях параметров задачи. Второй целью работы является установить связь между параметрами задачи, такими как угол раствора, скоростью полета аппарата и проницаемостью фильтра.

Модель потока воздуха

Краевая задача обтекания пробоотборника потоком воздуха решается для потенциала скорости Ф методом граничных элементов [2] в приближении невязкого несжимаемого осесимметричного течения. Такое приближение показало свою состоятельность в задачах аэродинамики обтекания крыловых профилей [3-5] и осесимметричных тел [6-9].

Значение потенциала скорости ф в точке

имеет вид

X 4л Ш

р( х,г ) = ия х -

dx¡dr¡dв

"1 4 л

л/Сх - х/):

х - х,) + г2 + г,2 - 2гг cos 0

где ида - скорость движения аппарата (набегающего потока), д, - интенсивности распределенных по поверхности пробоотборника кольцевых источников/стоков. Интегрирование по углу 0 осуществляется от 0 до 2л, координаты х и г -осевая и радиальная соответственно.

Задавая условия на поверхности элементов пробоотборника, построим систему линейных алгебраических уравнений для нахождения неизвестных значений д,. После решения системы, компоненты скорости в точке определяются соотношениями:

др

их (хг)=-иг (х,г ) =

дх др

дг '

На стенках пробоотборника задано условие непротекания ип = 0. Фильтр внутри пробоотборника рассматривается как пористый экран. Перепад давления Ар пропорционален потоку через фильтр [10]

Ар = рРиаих,

где их - нормальная составляющая скорости на поверхности фильтра, р - плотность воздуха, 3 -параметр, характеризующий свойства пористого экрана, включая его проницаемость. Случаи 3 = 0 и 3 ^ да соответствуют абсолютной проницаемости (пробоотборник без фильтра) и непроницаемому экрану (твердая стенка).

Использую теорему Бернулли для стационарного потока идеальной несжимаемой жидкости и соотношение (1), запишем для их соотношение

и = и

х да

(¡+1 -¡)'

Модель движения частиц

В приближении стоксового аэродинамического сопротивления безразмерные уравнения движения

=

взвешенной частицы имеют вид: dvx = их - ух dx

~dГ = а '

^у = иу - Уу 4у = V

dt а ' dt у'

где Ух Уу - компоненты скорости частицы, St = и0т/ гс - число Стокса, г = р^р/18/ -время релаксации сферической частицы, рр -плотность частицы, dp - диаметр частицы, / -коэффициент динамической вязкости газа.

Решая задачу Коши для уравнений (5) с начальными условиями 1=0:

Ух = 1,Уг = 0, х = х0,г = г0, поучим траектории движения частиц.

Коэффициент аспирации

Построенные траектории движения частиц используются для вычисления коэффициента

аспирации А. Отношение скоростей свободного потока и на входном сечении пробоотборника Rg = ида / ип используется как параметр улавливания аэрозольных частиц для тонкостенных пробоотборников.

В невозмущенном потоке вдали от пробоотборника частицы движутся параллельно оси х. Обозначим 5р - площадь сечения вдали в свободном потоке, ограниченную предельной траекторией частиц попавших в пробоотборник. Поверхность предельной траектории разделяет поток находящихся в среде частиц на две части: улавливаемую в трубку и оставшиеся вне пробоотборника. Зная площадь 5р и расход потока через входное отверстие пробоотборника Q = UsлR2, коэффициент аспирации можно выразить в виде

и1Бп лR20U 2 А = = ^2^ = RgRp20'

Q л^ц

где Rp0 - начальная радиальная координата

предельной траектории в свободном потоке вдали от пробоотборника.

В случае пассивного пробоотбора с тонким фильтром, коэффициент аспирации оценивается

параметрами 3 и 8 = (Ярв / Rin) , (Rin, Rps -

радиусы входного сечения пробоотборника и пористого экрана). Используя соотношение сохранения массы

ЧХ = и^,

и соотношение (2) запишем связь между параметрами Rg и 3

Rg = б- /

(¡+1 -¡)'

Варьируя параметры 3 и 8 можно найти значения, обеспечивающие требуемые величины Rg, включая режимы изокинетического пробоотбора.

Результаты сравнительных расчетов цилиндрического пробоотборника

Проведем сравнение расчетов по предложенному методу на примере цилиндрического пробоотборника 8 = 1. Рассмотрим разные величины Rg в сравнении с известными приближенными формулами: работа [11]

А (а) = 1+та -1),

1

2 = 1 -

(1 + (2 + 0.62/ Rg) St)'

работа[12]

Я = 1 -работа [13] Л = 1

1

1 + St/(1 + 0.418 / St) 1

1 + (2 + 0.62/ Ra - 0.9Ra )St

Результаты представлены на рис. 2.

Рис. 2 - A(St) для значений Ra = 2 и S = 1: 1 -

[11], 2 - [12], 3 -

предложенному методу

[13], 4 - расчет

по

Видно, что расчеты по предложенному методу находятся близко к кривым приближенных формул экспериментальных работ [11-12], в частности, повторяют характер увеличения коэффициента аспирации при увеличении числа Стокса.

Результаты расчетов конического пробоотборника

Далее построены кривые аспирации частиц для конического пробоотборника с разным значением угла раствора.

Сравнение зависимостей коэффициента аспирации А от числа Стокса St для различных параметров пассивного конического

пробоотборника ^ и 8 приведено на рис. 3-4.

Рис. 4 - A(St) для значений Ra = 25 и S : 1 -0=1, 2 - S =3.323, 3 - S =4.207, 4 - S =48.025

При небольшой скорости аспирации кривые A(St) практически совпадают для цилиндрического и конических пробоотборников с разным углом раствора конуса. При достаточно больших значениях скорости аспирации наблюдаются отличия в работе между цилиндрическим и коническими пробоотборниками в диапазоне инерционных частиц. При этом отличия коэффициента аспирации для разных углов раствора конуса незначительны.

Литература

1. K. Perajarvi, J. Lihtinen, R. Pollanen, H. Toivonen. Radiation Protection Dosimetry, 123, 328-333 (2008).

2. C.A.J. Fletcher. Computational Techniques for Fluid Dynamics. Springer-Verlag, Berlin, 1990. 445 p.

3. А.Н. Гайфутдинов, Р.А. Гайфутдинов, С.А. Соловьев. Вестник Казан. технол. ун-та, 12, 249-253 (2013).

4. А.Н. Гайфутдинов, Р.А. Гайфутдинов, С.А. Соловьев. Вестник Казан. технол. ун-та. 9, 77-80 (2014).

5. А.Н. Гайфутдинов, Р.А. Гайфутдинов, С.А. Соловьев. Вестник Казан. технол. ун-та. 23, 114-115 (2015).

6. Н.Б. Ильинский, Р.Ф. Марданов, С.А. Соловьев. Журнал вычислительной математики и математической физики. 7, 1309-1317 (2008).

7. С.А. Соловьев. Прикладная механика и техническая физика, 6, 16-26 (2009).

8. Н.Б. Ильинский, С.А. Соловьев. Изв. Вузов. Авиационная техника, 2, 44-48 (2010).

9. Н.Б. Ильинский, С.А. Соловьев. Журнал вычислительной математики и математической физики, 3, 553-563 (2012).

10. F.G. O'Neill. Ocean Engineering. 33, 1884-1895 (2006).

11. S.P. Belyaev, L.M. Levin. Journal of Aerosol Science, 5, 325-338 (1974).

12. B.Y.H. Liu, Z.Q. Zhang. Journal of Aerosol Science, 20, 713-720 (1989).

13. S. Paik, J.H. Vincent. Journal of Aerosol Science, 33, 705-720 (2002).

Рис. 3 - A(St) для значений Ra = 2 и S : 1 S =1, 2 - S =3.323, 3 - S =4.207, 4 - S =48.025

© О. В. Соловьева - доцент кафедры ТОТ ФГБОУ ВО «КГЭУ», rara_avis86@mail.ru, А. Н. Гайфутдинов - доцент кафедры МАХП НХТИ (филиала) ФГБОУ ВО «КНИТУ», gan.59@mail.ru, Д. Р. Шафиков - студент кафедры ТОТ ФГБОУ ВО «КГЭУ», lampotka. 8 8 @mail. ru.

© O. V. Soloveva - assistant professor of TBT, KGPEU, rara_avis86@mail.ru, A. N. Gayfutdinov - assistant professor of MACHP, NCHTI KNRTU, gan.59@mail.ru, D. R. Shafikov - student of TBT, KGPEU, lampotka.88@mail.ru.