Математическая модель магнитного гистерезиса, базирующаяся на теории Прейзаха

Оригинальная статья / Original article УДК 621.311.001

DOI: http://dx.doi.org/10.21285/1814-3520-2018-8-104-113

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ МАГНИТНОГО ГИСТЕРЕЗИСА, БАЗИРУЮЩАЯСЯ НА ТЕОРИИ ПРЕЙЗАХА

© М.В. Андреев1, М.В. Спица2, А.В. Киевец3

Национальный исследовательский Томский политехнический университет, 634050, Российская Федерация, г. Томск, пр. Ленина, 30.

РЕЗЮМЕ. ЦЕЛЬ. В условиях постоянного усложнения электроэнергетических систем все более актуальной становится задача обеспечения адекватности функционирования устройства релейной защиты. Для ее решения авторы предлагают использовать детализированные математические модели совокупности измерительных трансформаторов релейной защиты совместно с современными симуляторами электроэнергетических систем. Очень важным является адекватное моделирование измерительных трансформаторов, в частности процесса намагничивания сердечника, поскольку измерительные трансформаторы во многом определяют форму контролируемого сигнала релейной защиты и влияют на ее работу. Однако, ввиду отсутствия точного математического описания характеристики намагничивания сердечника измерительного трансформатора, в настоящее время используются упрощенные модели, не отражающие всех протекающих в сердечнике процессов. Целью работы является разработка математической модели гистерезиса, обладающая высокой точностью воспроизведения процессов перемаг-ничивания сердечника трансформатора. МЕТОДЫ. Основным методом исследования является математическое моделирование процессов перемагничивания ферромагнитного материала. Для проведения исследований использовался программный комплекс MathCAD. РЕЗУЛЬТАТЫ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ. В статье представлены фрагменты разработки и исследования математической модели с памятью магнитного гистерезиса, базирующейся на теории Прейзаха, адекватно воспроизводящей как предельные, так и частные петли гистерезиса. ВЫВОДЫ. Анализ существующих математических моделей трансформаторов тока позволил выявить наиболее перспективный подход для описания процесса намагничивания - теория Прейзаха, которая из-за сложности реализации в распространенных программных и программно-аппаратных комплексах не применяется. На основе теории Прейзаха для описания процесса магнитного гистерезиса была разработана математическая модель гистерезиса с памятью состояния вещества и проведены предварительные исследования данной модели, подтвердившие правильность ее работы.

Ключевые слова: релейная защита, магнитный гистерезис, инверсная модель гистерезиса, теория Прейзаха, предельная петля гистерезиса, частная петля гистерезиса.

Информация о статье. Дата поступления 05 июня 2018 г.; дата принятия к печати 23 июля 2018 г.; дата онлайн-размещения 31 августа 2018 г.

Формат цитирования. Андреев М.В., Спица М.В., Киевец А.В. Математическая модель магнитного гистерезиса, базирующаяся на теории Прейзаха // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2018. Т. 22. № 8. С. 104-113. DOI: 10.21285/1814-3520-2018-8-104-113

MATHEMATICAL MODEL OF PREISACH THEORY-BASED MAGNETIC HYSTERESIS

M.V. Andreev, M.V. Spitsa, A.V. Kievets

National Research Tomsk Polytechnic University, 30, Lenin pr., Tomsk, 634050, Russian Federation

1Андреев Михаил Владимирович, кандидат технических наук, заведующий научно-исследовательской лабораторией моделирования электроэнергетических систем Инженерной школы энергетики, e-mail: andreevmv@tpu.ru Mikhail V. Andreev, Candidate of technical sciences, Head of the Research Laboratory for Electrical Power System Simulation of the Power Engineering School, e-mail: andreevmv@tpu.ru

2Спица Мария Владимировна, магистрант, e-mail: mariya.spica@mail.ru Maria V. Spitsa, Master's degree student, e-mail: mariya.spica@mail.ru

3Киевец Антон Владимирович, аспирант, e-mail: kievec.v.l@gmail.com Anton V. Kievets, Postgraduate, e-mail: kievec.v.l@gmail.com

ABSTRACT. PURPOSE. As the complexity of electric power systems (EPS) constantly increases, the task of ensuring adequate operation of relay protection devices (RP) is becoming more and more relevant. To solve it the authors propose to use the detailed mathematical models of the combination of measuring transformers of relay protection together with modern EPS simulators. The adequate modeling of measuring transformers is very important, in particular, the core magnetization process, since measuring transformers in many respects determine the shape of the controlled signal of relay protection and affect its operation. However, the absence of an accurate mathematical description of the characteristics of measuring transformer core magnetization leads to the use of simplified models which do not reflect all processes in the core. The purpose of the work is development of a mathematical model of hysteresis featuring high reproduction accuracy of transformer core magnetization reversal processes. METHODS. The main research method is mathematical modeling of ferromagnetic material magnetization reversal. The research is performed using the MathCAD software package. RESULTS AND THEIR DISCUSSION. The article presents the fragments of development and study of a mathematical model with a magnetic hysteresis memory based on the Preisach theory, which reproduces both major and minor hysteresis loops with high accuracy. CONCLUSIONS. The analysis of existing mathematical models of current transformers allowed to identify the most promising approach for describing the magnetization process i.e. Preisach theory, which, due to the complexity of its implementation is not used in widely spread software and hardware/software complexes. A mathematical model of a hysteresis with the memory of matter state has been developed on the basis of the Preisach theory for describing the magnetic hysteresis process. The preliminary studies of the model confirmed the correctness of model operation. Keywords: relay protection, magnetic hysteresis, inverse hysteresis model, Preisach theory, major hysteresis loop, minor hysteresis loop

Information about the article. Received June 05, 2018; accepted for publication July 23, 2018; available online August 31, 2018.

For citation. Andreev M.V., Spitsa M.V., Kievets A.V. Mathematical model of Preisach theory-based magnetic hysteresis. Vestnik Irkutskogo gosudarstvennogo tehnicheskogo universiteta = Proceedings of Irkutsk State Technical University. 2018, vol. 22, no. 8, pp. 104-113. DOI: 10.21285/1814-3520-2018-8-104-113. (In Russian).

Введение

Во избежание повреждения дорогостоящего электротехнического оборудования и развития системных аварий необходимо применять устройства релейной защиты и автоматики (РЗА). Правильное функционирование устройств релейной защиты зависит от формы кривых переменного тока и напряжения, снимаемых со вторичной обмотки трансформаторов тока и напряжения, которые являются основными датчиками контролируемых величин энергообъектов.

В силу этого необходимо адекватно учитывать искажение сигнала во вторичной обмотке измерительных трансформаторов. Основной причиной искажения сигнала, снимаемого со вторичной обмотки измерительного трансформатора (ИТ), является насыщение его магнитопровода, чему в большей степени подвержен трансформатор тока.

Математическая модель трансформатора может быть представлена системой уравнений:

f dB ... di7

щ • il - w2 • ¿2 = lc • H;

в = m,

где: г2 = Иоб + Ин - активное сопротивление со стороны вторичной обмотки; 12 = Ьоб + ¿н - индуктивность со стороны вторичной обмотки; ^б, иб - активное сопротивление и индуктивность вторичной обмотки; ¿н -активное сопротивление и индуктивность нагрузки; 5с - сечение стали магнитопровода; /с - средняя длина силовой линии магнитного поля; /1, /2 - первичный и вторичный токи ТТ; Ш - число витков первичной и вторичной обмоток соответственно; В - магнитная индукция; Н - напряженность магнитного поля; В = /(Я) - характеристика намагничивания сердечника трансформатора.

Постановка проблемы. Главной проблемой является отсутствие точного математического описания характеристики намагничивания сердечника измерительного трансформатора тока, без которой невозможно теоретически оценить степень искажения сигнала, снимаемого со вторичной обмотки измерительного трансформатора устройствами релейной защиты.

Получить эту характеристику с высокой точностью можно только эмпирическим

путем. Пользоваться эмпирическими методами для оценки искажения сигнала измерительным трансформатором нецелесообразно, т.к. это требует много времени и ресурсов. В силу этого широко используются математические модели, основанные как на методах аппроксимации, так и на различных теориях гистерезиса.

Еще более актуальной проблему отсутствия точного математического описания гистерезиса делает активное внедрение микропроцессорных (МП) устройств РЗА и усложнение алгоритмов защиты с целью повышения их эффективности. Данные факторы в свою очередь приводят к усложнению анализа корректности работы устройств РЗА в различных режимах работы энергосистем и, как следствие, к необходимости применения моделей, описывающих поведение измерительных трансформаторов наиболее адекватно.

На данный момент широкое распространение получила апробация алгоритмов функционирования устройств РЗА при помощи математического моделирования, в частности - при помощи программно-аппаратных комплексов (ПАК) моделирования псевдо-реального и реального времени. В данных комплексах используются модели, основанные на аппроксимации кривой намагничивания, работах профессора Г. Доммеля [1], формуле Фрелиха [2] и усовершенствованных математических моделях ферромагнитного гистерезиса Джайлза-Атертона.

Все эти модели имеют ряд суще-

ственных недостатков и ограниченную область применения. Например, модель, базирующаяся на формуле Фрелиха, может быть использована только в области сильных полей при условии, что магнитная индукция и напряженность магнитного поля не меняют знака [2]. Классическая модель Джайлза-Атертона имеет довольно низкую точность определения данных в области насыщения и частных петель гистерезиса -частные петли гистерезиса, построенные при помощи этой модели, получаются искаженными и могут выходить за пределы предельной петли гистерезиса [3]. Также известным недостатком данного метода является то, что у петель гистерезиса может наблюдаться отрицательный наклон - при увеличении магнитного поля уменьшается его индукция, что подробно рассмотрено в [3]. К тому же все эти модели имеют очень большую погрешность - от 15 до 30% [4-6]. Широкое их применение при наличии таких существенных недостатков обусловлено малым количеством вычислительных ресурсов, требующихся для их реализации.

Цель исследования. В настоящее время модели гистерезиса с памятью (воспроизводящие историю намагничивания) чаще всего разрабатываются в рамках Прейзаховского подхода. Данный метод обладает довольно высокой точностью при высокой сложности. Целью работы является разработка математической модели гистерезиса, обладающая высокой точностью воспроизведения процессов перемагничи-вания сердечника трансформатора.

Материалы и методы исследования

Теория Прейзаха [7-14] рассматривает магнитный материал как совокупность диполей (гистеронов), каждый из которых описывается прямоугольной петлей гистерезиса (рис. 1 а), определенной двумя независимыми параметрами. Посредством распределения данных параметров между диполями возможно математическое описание (2) гистерезиса магнитомягких и магни-тотвердых материалов как функции от напряженности магнитного поля:

В

где: Б - площадь треугольника Прейзаха; ^(к1,к2) - функция распределения частиц Прейзаха; у{^1,Ь2,Н(ь)) - характеристика гистерезиса одного элементарного участка.

Функция распределения частиц Прейзаха ^(к1,к2) является неотрицательной весовой функцией, представляющей веса каждого гистерона в плоскости Прейза-хова пространства S (рис. 1 Ь). Прейзахово

Jl B

а b

Рис. 1. Характеристика гистерезиса одного гистерона

пространство может быть разбито на два участка: S+, в котором все гистероны имеют значение +1, и S-, где гистероны имеют значение -1.

Наиболее удобным представляется реализовать модель в дискретном виде. В таком случае система уравнений (1) примет вид:

ti+i = ti + At;

_ wt . I2i+1 =

W2

w2 1

Bi+i = ki'h iik+l - k) + k2(h i+1 -Ï2 Ù + BC; Hi+1 = f(Bi+i).

Как видно из системы уравнений (3), входной величиной модели является магнитная индукция В, а выходной - напряжен-

M(1,1

M

4\M

M

ность магнитного поля Н, то есть необходимо инвертировать модель. Также необходимо отойти от интегрального характера модели и представить функцию распределения гистеронов в дискретном виде.

Треугольник Прейзаха в математических моделях реализуют как матрицу размера п*п, где половина значений, ограниченная треугольником, представляет собой значения функции распределения (закрашенная часть на рис. 2 а, и где вторая половина - нулевые значения.

Функция распределения частиц Прейзаха определяется эмпирически. Определить ее вид можно на основании приведенных в справочных данных трансформатора типовых кривых намагничивания (рис. 2 Ь).

b

Рис. 2. Прейзахово распределение

а

Матрица заполняется при условии, что изменение магнитной индукции для каждого столбца/строки постоянно: АВ = const. Необходимо знать величину изменения напряженности магнитного поля при изменении магнитной индукции на постоянную величину для восходящей и нисходящей ветвей петли гистерезиса - АНвосх,АНшсх.

Значения элементов матрицы должны удовлетворять следующим условиям:

(АНтсх(г) = lrc=1M(c,r);

(АНнисх(с) = 1кг=сМ(с,т).

Значит, сумма элементов столбца г должна составлять величинуДЯвосх, а сумма элементов строки с - АНнисх. При этом к - линия поворота, т.е. номер столбца, соответствующего величине магнитной индукции В, при которой магнитная индукция перестала возрастать и начала убывать.

Определить значения функции распределения можно итерационным методом. В основу определения функции распределения гистеронов был положен метод, представленный в [15]. Данный метод был переработан для возможности его использования в инверсной модели гистерезиса. Начальное значение элементов матрицы можно определить, например, таким образом:

Л/п(п + 1) Vп + 1-с>г; (5) п + 1 - с < г,

M(с,г) =

(На.

0

где Нампл - удвоенное значение предельной напряженности магнитного поля Нт.

Значение элементов матрицы уточняется для каждого элемента с по следующему выражению:

МуточЛс, г) = М

м,

уточн

Если значение элемента получается (с,г) < 0, тогда оно принимается равным нулю. Затем уточненную матрицу необходимо принять, как Муточн(с,г) = М(с,г) и продолжить расчет.

Значение элементов матрицы уточ-

няется для каждого элемента г по следующему выражению:

М,

уточн

(с, г) = М(с,г)+

+

кНшсх(с)~Ъг=

iM

M,

уточн

Если значение элемента получается (с,г) < 0, тогда оно принимается равным нулю. Затем уточненную матрицу необходимо принять, как Муточн(с,г) = М(с,г) и продолжить расчет.

В качестве критерия правильности решения можно воспользоваться методом оптимизации Левенберга-Марквардта: данные операции необходимо продолжать до

тех пор, пока величина % (8) не станет меньше, чем желаемое значение погрешности:

X = 1П=1[^Нвоа(т) -

1П=п-г+1М(с,г)]2+Щ=1[АНнисх(г)-

ЕП-1+1М

Таким образом, в модели, созданной на базе теории Прейзаха, напряженность магнитного поля Н будет меняться в соответствии со следующим алгоритмом:

1. Каждое значение В, рассчитанное по соответствующему выражению системы уравнений (2), округляется до ближайшего дискретного значения б/, которому соответствуют определенная строка с/ и столбец г/ матрицы Прейзахова распределения.

2. В соответствии с характером изменения магнитной индукции напряженность магнитного поля будет меняться следующим образом:

^+1 = с] + 1; Г]+1 = Г] + 1;

if Bj+1>Bj{

АН,

восх j + 1 = ^Cl=1^{c,rj + l)' h

Hi+i = Hj+1 = Hj + АНвосх j+i.

if В j + 1

cj+1 = cj - 1; rj+1 = rj - 1;

Kl

АНнисх j+1 = ^ M(n-cj+1,r);

r=cj+1

{ Hi+1 = Hj+1 = Hj - АНн

<Bj{

'нисх j + 1-

При этом линии поворота М/ и К/ меняют свои значения в тот момент, когда изменение магнитной индукции меняет характер своей динамики.

Значения М/ фиксируются и сохраняются в памяти алгоритма, когда магнитная индукция принимает некоторое значение В] и после этого меняет свой характер с убывающего на возрастающий:

Lo = п; L = Г; = const.

'J

М/ стирается из памяти алгоритма и принимает предыдущее значение, когда соблюдается условие:

4+1

> L, => L, = L

1-1.

Значения К/ фиксируются и сохраняются в памяти алгоритма, когда магнитная индукция принимает некоторое значение В] и после этого меняет свой характер с возрастающего на убывающий:

Ко = п; К = С; = COnSt.

К/ стирается из памяти алгоритма и принимает предыдущее значение, когда соблюдается условие:

cj+i

< К => К = К

1-1-

Результаты исследования и их обсуждение

Данная модель была реализована в электронной среде Mathcad. В силу специфики работы данной среды модель претерпела ряд изменений, связанных с особенностями нумерации массивов: нумерация в МаШсаЬ начинается не с единицы, как представлено в модели выше, а с нуля. Также модель была представлена в статическом виде, т.е. ее функционирование возможно только при условии, что характер изменения

магнитной индукции известен изначально.

В качестве примера была построена предельная петля и частные петли для характеристики гистерезиса, обладающие следующей предельной петлей, представленной на рис. 3. Петля была разбита на пять дискретных участков. Изменение магнитной индукции для каждого участка постоянно и составляет ЬВ = 0,5 Тл.

1

1

Рис. 3. Исходная предельная петля Fig. 3. Initial major loop

Функция распределения частиц Прейзаха была определена как матрица размером 5*5 и рассчитана по формулам (5)-(7). Погрешность была определена по формуле (8) и составила х = 0,674 о. е. Итоговый вид матрицы функции распределения:

0 0 0 0 0,1 0 0 0 0,425 0,075 М= 0 0 1,389 0,48 0,131 0 0,423 0,479 0 0 1.0,099 0,074 0,13 0 0

Полученная в результате моделирования предельная петля (рис. 4) практически не отличается от исходной: среднее отклонение расчетной величины от исходной составляет 0,0022 А/м. Частные петли (рис. 5 и 6) не выходят за предельные, однако оценить насколько искаженными получаются частные петли невозможно без экспериментальных данных.

Рис. 4. Смоделированная предельная петля Fig. 4. Simulated major loop

Hl

Рис. 5. Смоделированная частная петля Fig. 5. Simulated minor loop

ВГВ1

Рис. 6. Смоделированная частная петля Fig. 6. Simulated minor loop

Выводы

1. Проблема полного и достоверного моделирования трансформаторов тока до сих пор актуальна, о чем свидетельствует множество работ в данном направлении. Ее решение откроет новые уникальные возможности на пути создания адекватных математических моделей РЗА, которые, как указывали авторы [16-18], могут быть эффективно использованы для задач проектирования, исследования и настройки устройств автоматики и защиты.

2. Анализ существующих математических моделей трансформаторов тока позволил выявить наиболее перспективный подход для описания процесса намагничивания - теория Прейзаха, которая, однако, ввиду сложности реализации в распространенных программных и программно-аппаратных комплексах не применяется.

3. На основе теории Прейзаха для

описания процесса магнитного гистерезиса была разработана математическая модель гистерезиса с памятью состояния вещества и проведены предварительные исследования данной модели, подтвердившие правильность ее работы.

4. Дальнейшие исследования будут направлены на разработку полной математической модели трансформатора тока и ее адаптацию для Всережимного моделирующего комплекса реального времени электроэнергетических систем (ВМК РВ ЭЭС) [19, 20], разработанного в Томском политехническом университете. ВМК РВ ЭЭС позволит реализовать разрабатываемую модель в полном объеме без ограничения и упрощения моделей основного оборудования.

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 16-38-60043 мол_а_дк.

Библиографический список

1. Hermann W. Dommel. Digital computer solution of electromagnetic transients in single- and multiphase networks // IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems. 1969. Vol. 88. No. 4. P. 388-399.

2. Матюк В.Ф., Осипов А.А. Математические модели кривой намагничивания и петель магнитного гистерезиса. Ч. I. Анализ моделей // Неразрушающий контроль и диагностика. 2011. № 2. С. 3-35.

3. Deane J.H.B. Modeling the dynamics of nonlinear inductor circuits. IEEE Transactions on Magnetics. 1994. Vol. 30. Issue 5. P. 1-13.

4. Наумов В.А, Шевцов В.М. Математические модели трансформатора тока в исследованиях алгоритмов дифференциальных защит // Электрические станции. 2003. № 3. С. 51-56.

5. Новаш И.Ф., Румянцев Ю.Ф. Упрощенная модель

трехфазной группы трансформаторов тока в системе динамического моделирования // Энергетика. Известия высших учебных заведений и энергетических объединений СНГ. 2015. № 5. С. 23-38.

6. Король Е.Г. Анализ методов моделирования петли гистерезиса ферромагнитных материалов // Електро-технка i Електромехашка. 2007. № 6. C. 44-47.

7. Preisach F., Fur Z. Phys. 94, 277 (1935).

8. Eichler Ja., Novak M., Kosek M. Differences between Preisach Model and Experiment for Soft Ferromagnetic Materials, Effect of Instrument Accuracy // IEEE International Workshop of Electronics, Control, Measurement, Signals and their Application to Mechatronics (ECMSM). 2017.

9. Willerich S., Herzog H.-G. Interpretation of an Energy Based Hysteresis Model as a Scalar Preisach Operator // IEEE Conference on Electromagnetic Field Computation (CEFC). 2016. P. 13.

10. Tousignant M., Sirois F., Kedous-Lebouc A. Identification of the Preisach Model Parameters Using Only The Major Hysteresis Loop and The Initial Magnetization Curve // IEEE Conference on Electromagnetic Field Computation (CEFC). 2016. P. 11.

11. Anooshahpour F., Polushin I.G., Patel R.V. Classical Preisach Model of Hysteretic Behavior in a da Vinci Instrument // IEEE International Conference on Advanced Intelligent Mechatronics (AIM). 2016. P. 1392-1397.

12. Eichler J., Novak M., Kosek M. Experimental-numerical method for identification of weighting function in Preisach model for ferromagnetic materials // International Conference on Applied Electronics (AE). 2016.

13. Eichler J., Novak M., Kosek M. Implementation of the first order reversal curve method for identification of weight function in Preisach model for ferromagnetics // ELEKTRO. 2016. P. 602-607.

14. Zsurzsan T.-G., Andersen M.A.E., Zhe Zhang, Andersen N.A. Preisach model of hysteresis for the Piezoelectric Actuator Drive // IECON 2015 - 41st Annual Conference of the IEEE Industrial Electronics Society. 2015. P. 2788-2793.

15. Wawrzata P. Application of a Preisach hysteresis model to the evaluation of PMN-PT ceramics properties // Archives of metallurgy and materials. 2013. Vol. 58.

16. Андреев М.В., Боровиков Ю.С., Сулайманов А.О. Средства всережимного моделирования дифференциальных защит трансформаторов в электроэнергетических системах // Известия высших учебных заведений. Электромеханика. 2015. № 4. С. 63-67.

17. Андреев М.В., Боровиков Ю.С. Оптимизация уставок дифференциальных защит трансформаторов и автотрансформаторов с помощью их адекватных математических моделей // Современные проблемы науки и образования. 2013. № 3. С. 53.

18. Андреев М.В., Рубан Н.Ю., Гордиенко И.С., Боровиков Ю.С., Гусев А.С., Сулайманов А.О. Всережим-ное математическое моделирование релейной защиты электроэнергетических систем. Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 2016. 180 с.

19. Суворов А.А., Гусев А.С., Сулайманов А.О., Андреев М.В. Проблема верификации средств моделирования электроэнергетических систем и концепция ее решения // Вестник Ивановского государственного энергетического университета. 2017. № 1. С. 11-23.

20. Боровиков Ю.С., Гусев А.С., Андреев М.В., Уфа Р.А. Полигон для отработки решений по построению активно-адаптивных сетей на базе всережимного моделирующего комплекса реального времени // Научные проблемы транспорта Сибири и Дальнего Востока. 2014. № 4. С. 292-296.

References

1. Hermann W. Dommel. Digital computer solution of electromagnetic transients in single- and multiphase networks. IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, 1969, vol. 88, no. 4, pp. 388-399.

2. Matyuk V.F., Osipov A.A. The mathematical models of the magnetization curve and the magnetic hysteresis loops. Part I. Analysis of models. Nerazrushajushhij kontrol' i diagnostika [Nondestructive Control and Diagnostics], no. 2, 2011, pp. 3-35. (In Russian).

3. J. H. B. Deane. Modeling the dynamics of nonlinear inductor circuits. IEEE Transactions on Magnetics. 1994, vol. 30, Issue: 5, pp. 1-13.

4. Naumov V.A, Shevcov V.M. Mathematical models of a current transformer in the studies of differential protection algorithms. Jelektricheskie stancii [Electric Stations], 2003, no. 3, pp. 51-56. (In Russian).

5. Novash I.F., Rumjancev Ju.F. A simplified model of three phase bank of current transformers in the dynamic simulation system. Jenergetika. Izvestija vysshih uchebnyh zavedenij i jenergeticheskih ob"edinenij SNG [Energetika. Proceedings of the CIS Higher Education Institutions and Power Engineering Associations], 2015,

no. 5, pp. 23-38. (In Russian).

6. Korol' E.G. Analysis of modeling methods of ferromagnetic material hysteresis loop. Electrical Engineering & Electromechanic, 2007, no. 6, pp. 44-47. (In Russian).

7. Preisach F., Fur Z. Phys. 94, 277 (1935).

8. Eichler Ja., Novak M., Kosek M. Differences between Preisach Model and Experiment for Soft Ferromagnetic Materials, Effect of Instrument Accuracy. IEEE International Workshop of Electronics, Control, Measurement, Signals and their Application to Mechatronics (ECMSM), 2017.

9. Willerich S., Herzog H.-G. Interpretation of an Energy Based Hysteresis Model as a Scalar Preisach Operator. IEEE Conference on Electromagnetic Field Computation (CEFC), 2016, p. 13.

10. Tousignant M., Sirois F., Kedous-Lebouc A. Identification of the Preisach Model Pa-rameters Using Only The Major Hysteresis Loop and The Initial Magnetization Curve. IEEE Conference on Electromagnetic Field Computation (CEFC). 2016, pp. 11.

11. Anooshahpour F., Polushin I.G., Patel R.V. Classical

Preisach Model of Hysteretic Behavior in a da Vinci Instrument. IEEE International Conference on Advanced Intelligent Mechatronics (AIM), 2016, рр. 1392-1397.

12. Eichler J., Novak M., Kosek M. Experimental-numerical method for identification of weighting function in Preisach model for ferromagnetic materials. International Conference on Applied Electronics (AE), 2016.

13. Eichler J., Novak M., Kosek M. Implementation of the first order reversal curve method for identification of weight function in Preisach model for ferromagnetics, ELEKTRO, 2016, рр. 602-607.

14. Zsurzsan T.-G., Andersen M.A.E., Zhe Zhang, Andersen N.A. Preisach model of hysteresis for the Piezoelectric Actuator Drive // IECON 2015 - 41st Annual Conference of the IEEE Industrial Electronics Society, 2015, рр. 2788-2793.

15. Wawrzata P. Application of a Preisach hysteresis model to the evaluation of PMN-PT ceramics properties. Archives of metallurgy and materials, 2013, vol. 58.

16. Andreev M.V., Borovikov Yu.S., Sulaymanov A.O. Instruments for all-regimes simulation of transformers differential protections in electrical power systems. Izvestiya vysshih uchebnyh zavedenij. Elektromek-hanika [Russian Electromechanics], 2015, no. 4,

Критерии авторства

Андреев М.В., Спица М.В., Киевец А.В. имеют равные авторские права и в равной мере несут ответственность за плагиат.

Конфликт интересов Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.

pp. 63-67. (In Russian).

17. Andreev M.V., Borovikov Yu.S. Optimization of transformers differential protection settings with its adequate mathematical models. Sovremennye problemy nauki i obrazovaniya [Modern Problems of Science and Education], 2013, no. 3, p. 53. (In Russian).

18. Andreev M.V., Ruban N.Yu., Gordienko I.S., Borovikov Yu.S., Gusev A.S., Sulaymanov A.O. Vserezhim-noe matematicheskoe modelirovanie releynoy zaschity elektroenergeticheskih sistem [All-Regimes mathematical simulation of relay protection in electrical power systems]. Tomsk: Tomsk Polytechnic University Publ., 2016, 180 p. (In Russian).

19. Suvorov A.A., Gusev A.S., Sulaymanov A.O., Andreev M.V. The problem of verifying electric power system simulation tools and its solution concept. Vestnik Ivanovskogo gosudarstvennogo energeticheskogo uni-versiteta [Vestnik IGEU], 2017, no. 1, p. 11. (In Russian).

20. Borovikov Yu.S., Gusev A.S., Andreev M.V., Ufa R.A. Testing site for hybrid real-time power system simulator for research and development of active-adaptive networks. Nauchnyie problemyi transporta Sibiri i Dalnego Vostoka [Scientific Problems of Transport in Siberia and the Far East], 2014, no. 4, pp. 292 - 296. (In Russian).

Authorship criteria

Andreev M.V., Spitsa M.V., Kievets A.V. have equal author's rights and bear equal responsibility for plagiarism.

Conflict of interest

The authors declare that there is no conflict of interests regarding the publication of this article.