ЧИСЛЕННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ МЕТОДА ПЕРЕМЕННЫХ ПАРАМЕТРОВ ПРИ РЕШЕНИИ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НА ОСНОВЕ ГРАФОВОЙ МОДЕЛИ УПРУГОГО ТЕЛА

Вестник Астраханского государственного технического университета. Серия: Управление, вычислительная техника и информатика. 2023. № 2

Vestnik of Astrakhan State Technical University. Series: Management, computer science and informatics, 2023. N. 2 _ISSN2072-9502

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

MATHEMATICAL MODELING

Научная статья УДК 519.6+539.3:539.4

https://doi.org/10.24143/2072-9502-2023-2-135-144 EDN XЮSQJ

Численная реализация метода переменных параметров при решении упругопластических задач на основе графовой модели упругого тела

Александр Александрович Тырымов, Евгений Геннадьевич Шведовн

Волгоградский государственный технический университет, Волгоград, Россия, esheg@rambler.ru3

Аннотация. Представлены результаты использования графовой модели сплошной среды для решения упругопластических задач. Напряженно-деформированное состояние определяется методом переменных параметров на основе диаграммы деформирования материала среды. Метод основан на представлении определяющих соотношений упругопластичности в форме уравнений линейной теории упругости, но с переменными параметрами упругости. Вычислительный процесс представляет собой итерационную процедуру, в которой каждое следующее приближение сводится к решению линейно-упругой задачи. Эта задача решается графовым методом. Напряженно-деформированное состояние находится нестандартным численным методом, в котором сплошное тело представляется дискретной моделью в виде ориентированного графа. На конкретных примерах показана высокая эффективность метода по сравнению с традиционным методом конечных элементов. Повышенная точность вычислений даже при использовании грубых сеток обеспечивается благодаря тому, что: 1) вершинный и контурный законы теории графов реализуют выполнение уравнений равновесия и совместности деформаций для элемента в целом; 2) уравнения равновесия выполняются локально по объему элемента. В качестве примеров решены задачи об упругопластическом изгибе консоли и упругопластическом состоянии пластины с круговым отверстием. Сравнение полученных результатов с решениями этих задач другими методами показало хорошее совпадение. Высокая точность расчетов позволяет использовать итерационную процедуру метода переменных параметров упругости в качестве подпрограммы в пакете прикладных программ, созданном для графового метода.

Ключевые слова: теория упругости, теория пластичности, графовая модель, графовый метод, расчет, упруго-пластическая деформация

Для цитирования: Тырымов А. А., Шведов Е. Г. Численная реализация метода переменных параметров при решении упругопластических задач на основе графовой модели упругого тела // Вестник Астраханского государственного технического университета. Серия: Управление, вычислительная техника и информатика. 2023. № 2. С. 135-144. https://doi.org/10.24143/2072-9502-2023-2-135-144. ЕБЫ ХЮЯдХ

© Тырымов А. А., Шведов Е. Г., 2023

X

я

Вестник Астраханского государственного технического университета. Серия: Управление, вычислительная техника и информатика. 2023. № 2 ISSN2072-9502

Математическое моделирование

Original article

Numerical implementation of method of variable parameters in solving elastic-plastic problems based on graph model of elastic body

Alexander A. Tyrymov, Evgeniy G. ShwedovM

Volgograd State Technical University, Volgograd, Russia, esheg@rambler.ruB

Abstract. The article highlights the results of using a graph model of a continuous medium for solving elastic-plastic problems. The stress-strain state is determined by the method of variable parameters based on the deformation diagram of the medium material. The method is based on the representation of the defining elastic plasticity relations in the form of equations of linear elasticity theory, but with variable elasticity parameters. The computational process is an iterative procedure in which each successive approximation is reduced to solving a linear elastic problem. The § problem is solved by the graph method. The stress-strain state is found by a non-standard numerical method in which

g a solid body is represented by a discrete model in the form of an oriented graph. Concrete examples show the high ef-

| ficiency of the method in comparison with the traditional finite element method. The increased accuracy of calcula-

te tions, even when using coarse grids, is ensured by the fact that: 1) the vertex and contour laws of graph theory imple-

g ment the equations of equilibrium and compatibility of deformations for the element as a whole; 2) the equilibrium

^ equations are performed locally by the volume of the element. The problems of the elastic-plastic bending of the con-

^ sole and the elastic-plastic state of a plate with a circular hole are solved as examples. Comparison of the obtained re-

sults with the solutions of these problems by other methods showed a good match. The high accuracy of calculations

H makes it possible to use the iterative procedure of the method of variable elasticity parameters as a subroutine in the

& application package created for the graph method.

a

Keywords: theory of elasticity, theory of plasticity, graph model, graph method, calculation, elastic-plastic deformation

0

^ For citation: Tyrymov A. A., Shwedov E. G. Numerical implementation of method of variable parameters in solving

^ elastic-plastic problems based on graph model of elastic body. Vestnik of Astrakhan State Technical University. Se-

g ries: Management, computer science and informatics. 2023;2:135-144. (In Russ.). https://doi.org/10.24143/2073-

g 5529-2023-2-135-144. EDN XIOSQJ.

я

я

u

1 Введение моделью которых служит ориентированный граф

с Проектирование современных конструкций с ши- как идеализация гипотетических приборов, необхо-

| роким использованием в них структурно неодно- димых для измерения деформированного состояния

| родных материалов требует разработки эффектив- тела. С помощью графового подхода дискретная

g ных методов расчета таких конструкций на проч- модель среды может быть построена как первичная Ü ность. Достижение этой цели невозможно без со- модель исследования, а не как некоторая аппрокси-I вершенствования известных и создания новых уни- мация исходной континуальной модели.

& версальных численных методов, моделирующих Процесс решения задач теории упругости с ис-

я напряженно-деформированное состояние (НДС) пользованием графового метода состоит из следу-

| структурно и механически неоднородных тел. ющих основных этапов:

Среди различных численных методов, применя- 1. Дискретизация, т. е. разбиение сплошной

^ емых для расчета НДС, основными достаточно эф- среды (конструкции) на некоторое количество по-

^ фективными и широко распространенными являют- добластей - конечных элементов. При этом пред-

§ ся метод конечных элементов и метод граничных полагается, что подобласти не пересекаются, т. е.

д элементов. Для этих методов характерно то, что не накладываются друг на друга и полностью за-

^ дискретизации подвергается не сама среда на этапе полняют исходную область.

< ее моделирования, а уже созданная континуальная 2. Построение для каждого элемента зависимо-

| модель среды. В результате при численном модели- стей, связывающих усилия с деформациями (в рас-

я ровании процессов деформирования реальной сре- сматриваемом ниже случае - закон Гука), форми-

н ды могут быть допущены различные и трудно уста- рование матрицы жесткости элемента.

навливаемые погрешности, поэтому использование 3. Сборка индивидуальных зависимостей в опре-

дискретных подходов на ранних этапах моделиро- деляющую систему алгебраических уравнений, по-

вания задач механики сплошной среды является лучение глобальной матрицы жесткости. На этом

оправданным и весьма перспективным. этапе существенную роль играет матричное пред-

В статье использован метод расчета полей де- ставление структурных связей графа (для получения

формаций и напряжений упругих тел, дискретной уравнений связной системы на основании уравнений

Vestnik of Astrakhan State Technical University. Series: Management, computer science and informatics. 2023. N. 2 ISSN2072-9502

Mathematical modeling

ее частей используются матрицы контуров, путей, разрезов и хорд).

4. Решение полученной системы алгебраических уравнений.

5. Определение компонентов НДС.

Способ конструирования графовой модели, ее конфигурация, применение специальным образом сконструированных матриц для вывода определяющей системы уравнений применительно к плоской и осесимметричной задачам теории упругости предложены Е. Г. Кузовковым и подробно изложены в [1-3]. В работе [4] на основе графовой модели построен двумерный сингулярный элемент для расчета напряженно-деформированного состояния в окрестности особых точек разреза. В статьях [5, 6] он был использован для моделирования НДС в окрестности центральной трещины в прямоугольной пластине. Графовая модель упругой среды в полярной системе координат рассматривалась в [7], а в работе [8] построена графовая модель трехмерного упругого тела в декартовой системе координат.

Метод упругих решений. Алгоритм итерационной вычислительной процедуры

По сравнению с задачами линейной теории упругости трудности в определении НДС пласти-

ческих тел значительно возрастают. Однако при построении приближенных решений в ряде случаев их можно обойти. Существует класс задач, которые можно изучить методом упругих решений. В его основе лежит метод линейных приближений. Итерационный процесс строится таким образом, что каждое следующее приближение сводится к решению линейно-упругой задачи. Процесс последовательных приближений продолжается до тех пор, пока разница между двумя соседними приближениями не будет признана малой.

Метод переменных параметров [9] является одним из вариантов метода упругих решений. Он предложен И. А. Биргером и основан на представлении зависимостей упругопластического тела в форме уравнений теории упругости, в которых параметры упругости зависят от напряженного состояния и потому их значения в различных точках отличаются друг от друга. Связь между компонентами тензора деформаций ех, е у

e и компо-

ХУ

т xy в теории

нентами тензора напряжений ох, оу

малых упругопластических деформаций для дву мерной задачи могут быть записаны в форме зако на Гука [9]

.

< .

N

1 i *\ 1 Í *\ 1

=e*К-vc); ey = E*-vc*'; = G*^;

где

E =-

3E

2ET +1 - 2v

* ET-1 + 2v v = -

2TE +1 - 2v

G* = -L; T=

2T 2c,

E, v - модуль Юнга и коэффициент Пуассона со-E

ответственно; G =

модуль упругости при

2

сдвиге; о,- - интенсивность нормальных напряжений; £,- - интенсивность деформаций.

Так как значения ^ в (2) неизвестны, то для расчета используется процесс последовательных приближений. В первом приближении полагают, что т = 1/ (2G). Тогда переменные параметры упругости равны упругим постоянным: Е* = Е; v* = v; О* = О . В результате решается обычная задача теории упругости и определяются напряжения оХ^тХу1, ... и деформации ех1,уху1, ... в первом приближении. По этим величинам в каждой точке тела определяют интенсивности напряжений ол и деформаций ел .

При малых упругопластических деформациях для каждого материала между интенсивностью напряжений и интенсивностью деформаций суще-

ствует определенная функциональная зависимость о,- = Ф(£), которая задается диаграммой деформирования аналитически или с помощью таблицы. В случае сложного напряженного состояния зависимость о- - £- в каждой точке принимается такой же, как зависимость о - £ при простом растяжении, т. е. о, = 3О*е,. [10].

На втором шаге для величины 3О* = о, / е, следует внести поправку и принять 3О* = о*1 / ел , где *

о,1 - интенсивность напряжений, которая соответствует интенсивности деформаций е,1, взятой из диаграммы деформирования. По величинам ст*1, ел

по формулам (2) находят параметры Е , v ,О , которые в разных точках тела различаются.

Зная эти параметры, вновь решают задачу упругости и определяют напряжения стХ2),т^, •••, деформации ех2,у^2, ..., а также интенсивность напряжений о,2 и интенсивность деформаций е,2.

r о b

ц

x

Вестник Астраханского государственного технического университета. Серия: Управление, вычислительная техника и информатика. 2023. № 2 ISSN2072-9502

Математическое моделирование

•e

d &

&

Я Я Я

а Я

Далее этот процесс повторяют, заканчивая расчет при достаточной близости двух соседних приближений.

Таким образом, решение задач теории пластичности сводится к решению последовательности задач линейной теории упругости. При этом метод расчета в упругой области предполагается известным. Таким методом обычно служит метод конечных элементов (МКЭ). Предлагаемый в статье метод является сочетанием метода последовательных упругих решений с последовательным изменением упругих характеристик материала и метода расчета НДС линейно-упругого тела с использованием графовой модели упругого тела.

Результаты численных расчетов

Результаты тестирования разработанного пакета прикладных программ, созданного на основе графового метода и предназначенного для решения упругих и упругопластических задач, представим на следующих примерах.

Пример 1. Решается задача об изгибе консольной балки, находящейся в плоском напряженном состоянии. Задача входит в узкий класс плоских задач теории упругости, которые тщательно изучались различными методами. Особенность этой конструкции в том, что при больших значениях отношения длины консоли L к высоте h элементы консоли совершают большие перемещения в качестве твердого тела при малых деформациях этих элементов. Ввиду плохой обусловленности с уменьшением

шага сетки эта задача может оказаться труднореализуемой при ее решении численными методами. Известно, например, что многим конечным элементам свойственна неспособность передавать состояние чистого изгиба, а характер реагирования конечного элемента на этот вид нагрузки был назван «паразитическим сдвигом» [11].

Рассматривается консоль с упругими характеристиками: E =106 Н/м2 - модуль Юнга, v = 0,3 -коэффициент Пуассона, длина консоли L, высота h. Предполагается, что левый торец консоли закреплен, а к правому приложена равномерно распределенная нагрузка p = 10,0 Н/м2. Начало координат поместим в центре заделанного торца, ось OY направлена вдоль торца, ось OX - по длине.

Прежде чем решить упругопластическую задачу, представляется целесообразным проанализировать точность расчета на основе графовой модели для упругого тела. Сравним решения, полученные МКЭ и графовым методом. Определяется изгиб конца консоли в зависимости от отношения длины консоли L к высоте h (к = L / И), а также от числа степеней свободы; 16 степеней свободы соответствуют сетке 3 х 1; 42 - сетке 6 х 2; 130 - сетке 12 х 4 элементов.

В табл. 1 представлены результаты при k = 10 ^ = 10 м, h = 1 м), полученные в работе [12] на трех типах конечных элементов, с расчетом на основе графовой модели.

Таблица 1 Table 1

Анализ точности расчетов вертикального смещения торца в зависимости от числа степеней свободы

Analysis of accuracy of calculations of the vertical displacement of the end face depending

on the degrees of freedom

Тип элемента Число степеней свободы Число элементов Вертикальное смещение торца

погрешность, % м

QUAD8s 36 3 3,10 0,03876

дИАБ91 42 3 1,58 0,03937

QUAD9t 42 3 3,38 0,03865

Элемент графовой модели 16 3 4,25 0,03832

42 12 0,72 0,03971

Теоретическое значение для сплошной консоли - - 0 0,04000

я F

u

w

В

В [12] использовались следующие конечные элементы: QUAD8s - 8-узловой серендипов, QUAD91 -9-узловой лагранжев, QUAD9t - 9-зловой элемент, составленный из 2-х 6-узловых треугольных элементов.

В графовом методе используется 4-узловой прямоугольный элемент с 8 степенями свободы

при аппроксимации поля деформаций линейными полиномами. Стандартный МКЭ для этого требует 16 степеней свободы (элементы с 8 узлами).

При равном числе степеней свободы графовая модель дает более точные результаты (см. табл. 1).

Vestnik of Astrakhan State Technical University. Series: Management, computer science and informatics. 2023. N. 2 ISSN2072-9502

Mathematical modeling

В последней строке табл. 1 в качестве теоретической величины прогиба на правом конце принято значение, получаемое в курсе сопротивления материалов (балочное приближение) по формуле

V = ркL3 / (3Е1); I = й3 /12 - момент инерции прямоугольного сечения консоли, имеющей единичную ширину. Точное значение прогиба определяется формулой [1]

V =

ph (3vy2 (L - xi + (1 +1, 25v) h2x + (3L - xi x2i

В табл. 2 приведены полученные графовым методом отношения расчетных перемещений торца консоли в точке А(х =10, у = 0) к теоретическому

6 EI

значению свободы.

в зависимости от числа степеней

Таблица 2 Table 2

Сравнение точности расчетов вертикального смещения торца для конечно-элементного и графового методов

Comparison of accuracy of calculations of the vertical displacement of the end face for the method of finite elements and graph method

L, м h, м k Vieop, м V I Ктв„р, %

Число степеней свободы

16 42 130

10 2,00 5 0,01027 96,67 98,81 100,34

10 1,00 10 0,04028 95,09 98,59 99,61

10 0,5 20 0,16027 89,38 97,10 99,30

10 0,25 40 0,64027 72,05 91,26 97,69

< .

< .

N

При практическом применении численных методов важное значение имеет эффективность расчетной модели, под которой можно понимать достигаемую точность решения при фиксированном числе степеней свободы. Поэтому число степеней свободы можно считать некоторой обобщенной характеристикой возможностей метода, определяющей в конечном итоге вычислительные затраты. Как видно из табл. 2, с увеличением числа степеней сво-

боды решение на графовой модели быстро приближается к точному решению.

Поскольку графовый метод позволяет найти численные решения линейных задач достаточно эффективно, можно ожидать, что эффективность сохранится и при решении последовательности упругих задач. В расчетах используем метод переменных параметров, основанный на формулах (1), (2). При решении упругопластической задачи используем диаграмму деформирования, представленную на рис. 1.

Рис. 1. Диаграмма деформирования упругопластического материала балки Fig. 1. Diagram of deformation of elastic-plastic material of a beam

r о b

"O b

3

о о.

Вестник Астраханского государственного технического университета. Серия: Управление, вычислительная техника и информатика. 2023. № 2 ISSN2072-9502

Математическое моделирование

Диаграмма получена по вводимой таблично диаграмме растяжения и достаточно хорошо отражает зависимость о,. - из [12]. Процесс последовательных приближений, использующих диаграмму деформирования, описан выше. Итерации продолжаются до тех пор, пока во всех элементах не

станет /с*-1| < 0,01.

При решении использовались прежние упругие параметры материала, а длина и высота приняты, как и в [13], L = 1 м, h = 0,4 м. На рис. 2 приведена деформированная сетка, иллюстрирующая известный факт о приближенно плоской форме деформируемых сечений, перпендикулярных оси балки.

&

^

я я я

Рис. 2. Деформированная сетка при изгибе консольной балки Fig. 2. Deformed mesh at a cantilever beam bending

Наконец, на рис. 3 сплошной и пунктирной линиями соответственно показаны эпюры напряжений оха, т в сечении, равноудаленном от защем-

ленного конца балки и конца, нагруженного равномерно распределенной нагрузкой.

я

Рис. 3. Распределение нормальных и касательных напряжений в вертикальном серединном сечении Fig. 3. Distribution of normal and shear stresses in the vertical middle section

Это упругопластическое решение хорошо согласуется с результатами из работы [13], полученными с помощью метода смягченных определяющих уравнений.

Пример 2. Рассмотрим теперь задачу о напряженном состоянии пластины с центральным круговым отверстием. Эта задача также входит в узкий класс плоских задач теории упругости, которые тщательно исследовались различными методами.

Оценим напряженное состояние пластины размером 30 х 30 мм, которая ослаблена круговым отверстием радиусом 3 мм. Пластина в направлении оси х подвергается одноосно растягивающему напряжению интенсивности Р = 300 МПа. Используются треугольные элементы графовой модели с линейной аппроксимацией перемещений. В расчетах приняты следующие характеристики материала пластины: Е = 215 000 МПа - модуль Юнга;

Vestnik of Astrakhan State Technical University. Series: Management, computer science and informatics. 2023. N. 2 ISSN2072-9502

Mathematical modeling

V = 0,3 - коэффициент Пуассона; от = 650 МПа -предел текучести. Диаграмма деформирования материала представлена на рис. 4.

Диаграмма получена по вводимой таблично диаграмме растяжения. Процесс последовательных

приближений, использующих диаграмму деформирования, описан выше. Итерации продолжаются до тех пор, пока во всех элементах не станет |о,./о*-1 < 0,01.

Рис. 4. Диаграмма деформирования материала пластины Fig. 4. Diagram of the plate material deformation

Изучается плоское напряженное состояние пластины. Ввиду симметрии рассматривалась четверть всей области. Исследуемая область разбивалась на 720 треугольных элементов. В наиболее напряженных элементах, примыкающих к точке х = 0, у = 3,

отмечено появление зоны пластических деформаций.

На рис. 5 показано изменение напряжения ох вдоль оси пластины, перпендикулярной направлению растягивающей силы.

672 МПа

--15

v. мм

.

< .

N

r о

b

Рис. 5. Распределение напряжений в наиболее нагруженном сечении пластины Fig. 5. Stress distribution in the most loaded section of the plate

Вестник Астраханского государственного технического университета. Серия: Управление, вычислительная техника и информатика. 2023. № 2 ISSN2072-9502

Математическое моделирование

•е &

&

Я Я Я

Из рисунка видно, что при наличии упругопла-стических деформаций максимум напряжений несколько сдвигается от контура отверстия вглубь пластины, в то время как в решении упругой задачи максимальная концентрация напряжений достигается на контуре отверстия.

Отметим, что с целью сравнения полученных результатов геометрические и физические параметры, принятые в расчетах, взяты такими, как при решении соответствующей задачи вариационно-разностным методом в [14]. Сопоставление эпюр напряжений, полученных на графовой модели и в [14], показало хорошее совпадение.

Численные расчеты графовым методом сравнивались также с результатами экспериментов по определению деформаций в пластине с отверстием с весьма точным измерением упругопластических деформаций вблизи контура и на контуре [15]. В этой работе имеются данные экспериментальных замеров деформаций вдоль оси х = 0 пластины шириной 400 мм с отверстием диаметром 80 мм. Используя функциональную зависимость ci = Ф(е,) из работы [15] и определив деформации графовым методом, сопоставим результаты в табл. 3.

Таблица 3 Table 3

Сравнение экспериментальных замеров деформаций и деформаций, определенных графовым методом

Comparison of experimental measurements of deformations and deformations defined by the graph method

Показатель Значения

Расстояние от центра отверстия, мм 40 41 42 43 44,5 49

Экспериментальные данные, е^ -10-3 9,2 6,7 5,0 4,5 4,2 3,7

Расчет по графовой модели, е^ • 10-3 9,8 6,9 5,3 4,7 4,4 4,0

a Я

Согласно данным, представленным в табл. 3, экспериментальные и расчетные значения с использованием предлагаемого численного метода хорошо согласуются.

Заключение

Показано, что графовый метод позволяет получать достаточно точные результаты на сетках с небольшим числом элементов и при фиксированном

числе степеней свободы превосходит по своим возможностям стандартный МКЭ. Впервые графовая модель использована при расчете НДС в упругопла-стическом теле. Графовый метод можно применять не только в задачах линейной теории упругости, но и при решении упругопластических задач, нелинейных задач, в задачах теории трещин [5, 6] и других разделах механики твердого деформируемого тела.

Список источников

я

W

В

1. Кузовков Е. Г. Графовая модель упругой среды в декартовой системе координат // Проблемы прочности. 1993. № 12. С. 60-70. DOI: 10.1007/BF00774638.

2. Кузовков Е. Г. Графовая модель упругого тела в смешанных переменных // Проблемы прочности. 1986. № 6. С. 88-92. DOI: 10.1007/BF001523964.

3. Kuzovkov E.G. Axisymmetric Graph Model of an Elastic Solid // Проблемы прочности. 1996. № 6. С. 83-103. DOI: 10.1007/BF02209319.

4. Тырымов А. А. Сингулярный элемент графовой модели упругой среды в декартовой системе координат // Вычислительная механика сплошных сред. 2011. Т. 4, № 4. C. 125-136. DOI: org/10.7242/1999-6691/2011.4.4.47.

5. Тырымов А. А. Численное моделирование Т-напряжений и коэффициента биаксиальности напряжений для образца с центральной трещиной при смешанных граничных условиях // Вычислительная механи-

ка сплошных сред. 2020. Т. 13, № 4. С. 393-401. DOI: 10.7242/1999-6691/2020.13.4.30.

6. Тырымов А. А. Численное моделирование Т-нап-ряжений и коэффициента биаксиальности напряжений для образца с центральной трещиной на основе графовой модели упругого тела // Деформация и разрушение материалов. 2021. № 6. С. 2-9. Ю1: 10.31044/1814-4632-2021-6-2-9.

7. Тырымов А. А. Графовый подход при построении конечно-элементной модели упругих тел в полярной системе координат // Вестн. МГТУ им. Н. Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 3. С. 52-70. DOI: 10.18698/1812-3368-2017-3-52-70.

8. Тырымов А. А. Уравнения состояния графовой модели трехмерных упругих тел в декартовой системе координат // Вестн. Перм. нац. исследоват. политехнич. ун-та. Механика. 2017. № 3. С. 188-202. DOI: 10.15593/рет.тесЫ2017.3Л1.

Vestnik of Astrakhan State Technical University. Series: Management, computer science and informatics. 2023. N. 2 ISSN2072-9502

Mathematical modeling

9. Биргер И. А. Некоторые общие методы решения задач теории пластичности // Прикладная математика и механика. 1951. Т. 15. Вып. 6. С. 766-770.

10. Безухов Н. И. Основы теории упругости, прочности и ползучести. М.: Высш. шк., 1968. 512 с.

11. Cook R. Avoidance of parasitic shear in plane elements // J. Struct. Div. Proc. Amer. Soc. Civil Engrs. 1975. V. 101, no. 6. P. 1239-1253. DOI: 10.1061/JSDEAG.0004075.

12. Cook W. A. The effect of geometric shape on two-dimensional finite elements // Nuclear Engineering and Des-

1982. V. 70, iss. 1. Р. 13-26. DOI: 1061/0029-5493(82)90263-1.

13. Коларов Д., Балтов А., Бончева Н. Механика пластических сред. М.: Мир, 1979. 302 с.

14. Иосилевич Г. Б. Концентрация напряжений и деформаций в деталях машин. М.: Машиностроение, 1981. 224 с.

15. Панферов В. М. Концентрация напряжений при упруго-пластичных деформациях // Изв. АН СССР. 1954. № 4. С. 47-65.

References

1. Kuzovkov E. G. Grafovaia model' uprugoi sredy v dekartovoi sisteme koordinat [Graph model of elastic medium in Cartesian coordinate system]. Problemy prochnosti, 1993, no. 12, pp. 60-70. DOI: 10.1007/BF00774638.

2. Kuzovkov E. G. Grafovaia model' uprugogo tela v smeshannykh peremennykh [Graph model of elastic body in mixed variables]. Problemy prochnosti, 1986, no. 6, pp. 88-92. DOI: 10.1007/BF001523964.

3. Kuzovkov E.G. Axisymmetric Graph Model of an Elastic Solid. Problemy prochnosti, 1996, no. 6, pp. 83-103. DOI: 10.1007/BF02209319.

4. Tyrymov A. A. Singuliarnyi element grafovoi modeli uprugoi sredy v dekartovoi sisteme koordinat [Singular element of graph model of elastic medium in Cartesian coordinate system]. Vychislitel'naia mekhanika sploshnykh sred, 2011, vol. 4, no. 4, pp. 125-136. DOI: org/10.7242/1999-6691/2011.4.4.47.

5. Tyrymov A. A. Chislennoe modelirovanie T-nap-riazhenii i koeffitsienta biaksial'nosti napriazhenii dlia obraz-tsa s tsentral'noi treshchinoi pri smeshannykh granichnykh usloviiakh [Numerical simulation of T-stresses and stress biaxiality coefficient for sample with central crack under mixed boundary conditions]. Vychislitel'naia mekhanika sploshnykh sred, 2020, vol. 13, no. 4, pp. 393-401. DOI: 10.7242/1999-6691/2020.13.4.30.

6. Tyrymov A. A. Chislennoe modelirovanie T-nap-riazhenii i koeffitsienta biaksial'nosti napriazhenii dlia obraz-tsa s tsentral'noi treshchinoi na osnove grafovoi modeli up-rugogo tela [Graph approach in constructing finite element model of elastic bodies in polar coordinate system]. Defor-matsiia i razrushenie materialov, 2021, no. 6, pp. 2-9. DOI: 10.31044/1814-4632-2021-6-2-9.

7. Tyrymov A. A. Grafovyi podkhod pri postroenii konechno-elementnoi modeli uprugikh tel v poliarnoi sisteme koordinat [Graph approach in constructing finite element model of elastic bodies in polar coordinate system].

Vestnik MGTU im. N. E. Baumana. Seriia. Estestvennye nauki, 2017, no. 3, pp. 52-70. DOI: 10.18698/1812-33682017-3-52-70.

8. Tyrymov A. A. Uravneniia sostoianiia grafovoi modeli trekhmernykh uprugikh tel v dekartovoi sisteme koordinat [State equations of graph model of three-dimensional elastic bodies in Cartesian coordinate system]. Vestnik Permskogo natsional'nogo issledovatel'skogo politekhnicheskogo universiteta. Mekhanika, 2017, no. 3, pp. 188-202. DOI: 10.15593/perm.mech/2017.3.11.

9. Birger I. A. Nekotorye obshchie metody resheniia zadach teorii plastichnosti [General methods for solving problems of theory of plasticity]. Prikladnaia matematika i mekhanika, 1951, vol. 15, iss. 6, pp. 766-770.

10. Bezukhov N. I. Osnovy teorii uprugosti, prochnosti i polzuchesti [Fundamentals of theory of elasticity, strength and creep]. Moscow, Vysshaia shkola Publ., 1968. 512 p.

11. Cook R. Avoidance of parasitic shear in plane elements. J. Struct. Div. Proc. Amer. Soc. Civil Engrs., 1975, vol. 101, no. 6. P. 1239-1253. DOI: 10.1061/JSDEAG.0004075.

12. Cook W. A. The effect of geometric shape on two-dimensional finite elements. Nuclear Engineering and Desing, 1982, vol. 70, iss. 1, pp. 13-26. DOI: 1061/0029-5493(82)90263-1.

13. Kolarov D., Baltov A., Boncheva N. Mekhanika plasticheskikh sred [Mechanics of plastic media]. Moscow, Mir Publ., 1979. 302 p.

14. Iosilevich G. B. Kontsentratsiia napriazhenii i de-formatsii v detaliakh mashin [Concentration of stresses and deformations in machine parts]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1981. 224 p.

15. Panferov V. M. Kontsentratsiia napriazhenii pri up-rugo-plastichnykh deformatsiiakh [Stress concentration in elastic-plastic deformations]. Izvestiia AN SSSR, 1954, no. 4, pp. 47-65.

.

< .

N

r

o

b

Статья поступила в редакцию 16.02.2023; одобрена после рецензирования 30.03.2023; принята к публикации 24.04.2023 The article is submitted 16.02.2023; approved after reviewing 30.03.2023; accepted for publication 24.04.2023

& ¡у

я я я

я F

Вестник Астраханского государственного технического университета. Серия: Управление, вычислительная техника и информатика. 2023. № 2 ISSN2072-9502

Математическое моделирование

Информация об авторах / Information about the authors

Александр Александрович Тырымов - кандидат физико-математических наук; доцент кафедры прикладной математики; Волгоградский государственный технический университет; tyrymov2010@yandex.ru

Alexander A. Tyrymov - Candidate of Physico-Mathematical Sciences; Assistant Professor of the Department of Applied Mathematics; Volgograd State Technical University; tyrymov2010@yandex.ru

Евгений Геннадьевич Шведов - кандидат физико-математических наук; доцент кафедры прикладной математики; Волгоградский государственный технический университет; esheg@rambler.ru

Evgeniy G. Shvedov - Candidate of Physico-Mathematical Sciences; Assistant Professor of the Department of Applied Mathematics; Volgograd State Technical University; esheg@rambler.ru