Задача термоупругости для сплошного цилиндра с внешней кольцевой трещиной

Раздел V. Математическое моделирование технологических и экономических процессов

УДК 519.4

В.А. Жорник, ПА. Савочка

ЗАДАЧА ТЕРМОУПРУГОСТИ ДЛЯ СПЛОШНОГО ЦИЛИНДРА С ВНЕШНЕЙ КОЛЬЦЕВОЙ ТРЕЩИНОЙ

Проводится исследование развития поверхностных Колычевых трещин в нагретом цилиндре, изготовленном из хрупкого материала (неорганическое стекло), при его охлаждении в воде. Показано, что трещина может развиваться под действием температурных напряжений, возникающих за счет охлаждения средой, омывающей цилиндрическую поверхность и за счет охлаждения с берегов трещины средой, попавшей в нее. Проведен расчет этих температурных напряжений; показано, что вторыми напряжениями можно пренебречь по сравнению с первыми.

Цилиндр; неорганическое стекло; кольцевая трещина; охлаждение; вода; темпера.

V.A. Zhornik, P.A. Savochka

THERMOELASTIC PROBLEM FOR A SOLID CYLINDER WITH AN OUTER

RING-SHAPED CRACK

Surface ring-shaped crack development in a heated up cylinder made of fragile material (inorganic glass) under cooling in water is examined. It is shown that the crack may develop under temperature stresses arising because of cooling medium from the cylinder surface and because of crack banks cooling by the medium getting into the crack. Computing of these temperature stresses is fulfilled; it is shown that the second stresses might be neglected comparing with the first ones.

Cylinder; inorganic glass; ring-shaped crack; cooling; water; temperature stresses.

Введение. В процессе изготовления и эксплуатации детали машин и элементы конструкций, изготовленные из хрупких материалов, подвергаются резким теп.

температурные напряжения, которые, усиливаясь вблизи трещиноподобных де, . вблизи кончика трещины растягивающих термоупругих напряжений, характеризуемых коэффициентом интенсивности напряжений (КИН) KI [1]. При достижении КИН критического значения KIC (трещиностойкости) - постоянной материала -трещина начинает расти.

1. Аналитическое решение задачи. В работе авторов [2] рассматривалось поведение внешней соосной кольцевой трещины, расположенной в середине

rc ,

( ). , -ной начальной температуры T02, охлаждался с цилиндрической поверхности путем теплообмена (коэффициент теплообмена «о) со средой (вода), имеющей температуру T01 < T02. В работе была получе на зависимость КИН К12 от времени. Г рафик зависимости безразмерного КИН К12 от безразмерного времени Fo для различных относительных размеров трещины «приведен на рис. 1.

*7:

0.05

а- /_/ _0.7 0.85 'ч.

0.95 ^0.96 5*5^ ч ч.

" т-^ 0.973 У у - 0.98 Т*

1 1 1 Ч 1 \ \ 1 0.99 ^ У У У • // / X—

1 / У

.,<1 0.994 у * 0.37

г.

г—^ ф ^ *^.998_ . 0.25 „ ^

1 / ^ 1 /у ' —г~ £1 — - - — — — </

Го

Рис. 1. Зависимость К ¡,2 от времени ¥в для различных размеров кольцевой

трещины а

2К, ,2

где Ро

ал

г

'Тяф'а Е2

ат - коэффициент термического расширения материа-

Г Г

С С

ла цилиндра; Е2 - его модуль упругости; г2 - коэффициент Пуассона; а0

К

Р2 С 2

- температуропроводность материала цилиндра; К - его теплопроводность; р1 -плотность; с2 - удельная теплоемкость; - радиус фронта кольцевой трещины.

При построении графиков на рис. 1 безразмерный коэффициент теплообмена цилиндрической поверхности со средой был принят Ы = а0гс / К = 90 (коэффициент теплообмена а = 26-103 Вт/м2К - постоянная установки по охлаждению ци-). - ( -), , рис. 1, следующие: ат = 87-10-7 1/К, Е2 = 6-104 МПа, г2 = 0,23, К = 0,5852 Вт/м-К,

Р2 = 3,03-103 кг/м3, с2 = 8,33-102 Дж/кг-К, К1С = 0,535 МПа-м1/2. Радиус цилиндра гс = 2-10-3 м, длина € = 4-10-2 м, начальный размер кольцевых трещин в цилиндре 0,973 < а< 0,997.

Рассмотрим рост самой мелкой трещины размера как а = 0,997. Согласно рис. 1 для этой трещины К*12 достигает максимального значения, равного 0,09 в момент времени Ро ~ 0,003. При заданной трещиностойкости К*к: = (К*12)шах - по-( ), -механических и геометрических постоянных цилиндра, приведенных выше, и определенной по (1) разности температур Т02 - Т01

Т

т =

01

2 К1С

аТ2Е2 - 0,09

трещина размером а = 0,997 в этот момент времени начинает распространяться, , а= 0,77 ( . . 1).

, 0,997 < а< 0,77

имеют значения К*12 большие, чем 0,09. Далее трещина от размера а= 0,77 растет весьма медленно (по мере развития градиентов температур по радиусу вглубь цилиндра и достижения К*12 величины, равной 0,09) до значения а= 0,3 (см. на рис. 1 ),

момент времени Ро ~ 0,093 (цилиндр лопнул). Средняя скорость движения кончика трещины на медленной стадии роста V = 0,61 -10"3 м/с.

, (2) т02 - т01 -

,

термостойкостью стеклянного цилиндра при заданных внешних условиях испытания. При более высоком перепаде температур (с учетом приведенных выше физико-механических постоянных) безразмерный КИН K*1C , согласно (1), окажется ниже 0,09 и трещины размером а= 0,997 и более мелкие, если бы они были (например, а= 0,998), начали бы распространяться.

В вышеприведенном анализе процесса распространения трещины в цилиндре предполагалось, что этот процесс связан с температурными напряжениями, вызванными охлаждением цилиндра средой, омывающей цилиндрическую поверхность, а охлаждающая среда, попавшая в трещину, только снижает (~ на 25 %) , , К1С - .

предполагалось, что температурные градиенты и напряжения, обусловленные охлаждением средой с берегов трещины, пренебрежимо малы по сравнению с напряжениями, вызванными охлаждением с цилиндрической поверхности.

К1,1

трещиной, который вызывается охлаждением цилиндра с берегов трещины, а так-

К1,1 К1,2, .

К1,1 , , .

( = 4- 10-2 ), -

тие кольцевой трещины в ее устье (2й ~ 10-6 м) относительно мало, то область

, ,

( ) т02, -

верхности которого имеется слой толщины й из другого материала (охлаждающая ) т01, .

,

трещины, так как при попадании окружающей среды в трещину она все-таки успевает прогреться и, возможно, превращается в водяной пар.

Математическая постановка задачи теплопроводности имеет вид

г > 0, 0 <х < й,

дг 2 дх2

, і > 0, й <х < да,

Гі(х, г) = Тіл, г = 0, 0 <х < й, Т2(х, г) = Т02, г = 0, й <х < да, Т1(х, г) = Т2(х, г), г > 0, х = й,

дх

дх

=а^ ^ t\, t > 0, x = 0,

ox

T2

A1,2

где а1 2 =-----:-----температуропроводность материалов слоя и полупростран-

Л,2С1,2

ства соответственно; К,2 - теплопроводность материалов; рц - их плотность; си -; а1 - .

Задача (3)-(10) решалась методом интегрального преобразования Лапласа по времени, и в случае тепловой изоляции поверхности при х = 0 ее решение на контакте (х = й) имеет вид

T2(, Fo\-T02 _ 1 + h V (- b\n-i_f 2n\a^ d 1

g(d,Fo\02_----------------- У(_h\n-1 erf 2n ,

T01 - T02 1 + 4A2p2Cll\PfX n_1 ^ Va1 rcJFOy

где h _ 1 ylAipicJ^2P2(~^ • Fo _ - критерий Фурье; erf (x) - функция оши-

1 + у] A2P2C2 Гс

.

Как видно из выражения (11), температура на контакте (на берегах трещины) является функцией времени.

Для расчета температурных напряжений вблизи кончика трещины, вызванных температурным полем (11), воспользуемся решением задачи одного из авторов [3]. В этой работе рассчитывался КИН Kj для пространства с полубесконечной

T 02, -

ный момент времени мгновенно принимали постоянную температуру T01.

В этом случае решение для КИН имеет вид

K* (Fo\_ 2Kj (( -i2 \--\ _~ 'Z&T Г—^ 1

4^47аТг Е2

к —

к_1 Г (к + i\ V 2 У

X

X

Ро * *- Р< - * +1, * -1;!,* + Ъ-(у ) Ро

-Д 1, + ЯГ * 1У 2 2 4 2 4 2 2 4 ’

2Д 2 *+4 2 - 4

- Ро Й * + 2 Р1 - * + 3, * + 1;3, * + 1-у- ) Ро

Д1 *+^ ^ \ 2 4 2 4 2 2 4 1 '

где ат- коэффициент термического расширения материала пространства (цилиндра), Е2 - модуль упругости; у2 - коэффициент Пуассона; у = угс, у = v/1a2, V - скорость движения кончика трещины; Дх) - гамма-функция; 2Р2(...) - обобщенная гипергеометрическая функция.

Для того чтобы применить решение (11) к расчету КИН с переменной во времени температурой на берегах трещины в(й, Ро), воспользуемся теоремой Дюамеля [4]

К*1

Полученное значение К*11(Ео) возникает в кончике трещины за счет охлаждения средой, находящейся в движущейся со скоростью V тре щине, на берегах которой задается температура Т2(й, 0.

2. Численный анализ задачи

Для получения численных значений К*х(Бо) по (13) необходимо задать физико-механические и геометрические постоянные неорганического стекла и охла-( ).

Для стекла: ^ = 0,5852 Вт/м-К, р2 = 3,03-103 кг/м3, с2 = 8,33-102 Дж/кг-К.

Для воды: Л1 = 0,5852 Вт/м-К, р1 = 103 кг/м3, с1 = 42-102 Дж/кг-К.

На рис. 2 приведен график зависимости температуры на поверхности полупространства в(й, Бо) от времени Бо, рассчитанный по (11).

Рис. 2. Зависимость температуры на поверхности полупространства в(й, Го) от

времени Го

Как видно из рис. 2, температура на поверхности полупространства при Го < 0 равна начальной температуре Т02 (в(й, Го) = 0). При Го = 0 температура на поверхности полупространства мгновенно принимает значение между Т01 и Т02, т.е. Т2(й, 0) = Т02 - 0,563(Т02 - Т01), (Т02 > Т01), и далее она с течением времени стремит-

Т02. , -

чество теплоты в конечном слое толщины й значительно меньше, чем в полупро-.

Для численного расчета К ^ (Го) представ им кривую, изображенную на рис. 2, в виде ступенчатой функции:

в((, Бо) = £ в,. И(о - Бо,), Бо0 = 0,

где Н(Го) - функция Хевисайда (Н(Го) = 0 при Го < 0, Н(Го) = 1 при Го > 0). Подставляя (14) в (13), имеем

К*,1 (Бо) = \К*(Бо - т)£ вд(т - Бо, )іт,

0 ,=0

где 8 (?) - функция Дирака.

Окончательное выражение для К*1

К*1 (Бо)= £в,К*(Бо- Бо,).

1=0

Ьо

і=0

Для расчета К^ (Го) по (16) необходимо значение К** (Го). На рис. 3 приве-

*

дены рассчитанные по (12) графики зависимости К1 от времени Го для различных скоростей движения кончика трещины.

Рис. 3. Зависимость К1 от времени Го для различных скоростей движения

кончика трещины

По (16) рассчитывался К*1 (Бо) с использованием значений в, определенных из (14), и значений К*(о), взятых из графика на рис. 3 для у = 2,6. Число* V

вое значение у = у =-----------г получено с использованием значения скорости

і • С ^ с

1аг

движения кончика трещины V = 0,61 -10-3 м/с, а2 = 2,319-10-7 м2/с и гс = 2-10-3 м. Результат расчета К*1 (Бо) изображєн на рис. 4.

Рис. 4. Зависимость К*, от времени Бо для скорости трещины у = 2,6

Согласно рис. 4, максимальное значение K*1 (Fo) = 0,0116, а согласно рис. 1 максимальное значение K *2 (F0) = 0,09. Таким образом, максимальное значение K*x, даже несмотря на такие, указанные выше, жесткие условия охлаждения с берегов трещины, меньше на порядок K* 2, и поэтому величиной K* 1 в данном

случае можно пренебречь по сравнению с K* 2.

Заключение. Проведенный расчет коэффициента интенсивности напряжений k;4, связанный с температурным напряжениями, возникающими за счет охлаж-, , меньше коэффициента интенсивности напряжений K*2, связанного с темпера, ,

. -сивности напряжений K* х можно пренебречь по сравнению с K* 2.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Irwin G.R. Fracture. Handbuch der Physik - Berlin: Springer. - 1958. - P. 551-590.

2. Жорник BA., Савочка ПА. Хрупкое разрушение цилиндрических тел при нестационарном тепловом воздействии // Известия ЮФУ. Технические науки. - 2009. - № 4 (93).

- С. 205-212.

3. Zhornik A.I., Zhornik V.A., Kartashov E.M. Dynamic thermoelastificity problem for a plate with a moving semi-infinite cut // Advanced Computational Methods in Heat Transfer IV: Book Fourth International Conference on Advanced Computational Methods in Heat Transfer “Heat Transfer 96”. - Southampton UK, Boston USA. - 1996. - P. 549-556.

4. Лыков А.В. Теория теплопроводности. - М.: Высшая школа, 1967. - 600 с.

Статью рекомендовал к опубликованию д.т.н., профессор Я.Е. Ромм.

Жорник Виктория Александровна

ГОУ ВПО "Таганрогский государственный педагогический институт".

E-mail: Zhornik_Victoria@mail.ru.

. , . , 48.

Тел.: 88634601807.

К.ф-м.н.; доцент.

Савочка Петр Анатольевич

Технологический институт федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования "Южный федеральный университет" в г. Таганроге.

E-mail: Savochka07@mail.ru.

347928, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44.

.: 88634360460.

.

Zhornik Viktoriya Aleksandrovna

Taganrog State Pedagogical Institute.

E-mail: Zhornik_Victoria@mail.ru.

48, Initsiativnaya Street, Taganrog, Russia.

Phone: +78634601807.

Cand. of Phis.-Math. Sc.; Associate Professor.

Savochka Petr Anatolievich

Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Autonomy Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”.

E-mail: Savochka07@mail.ru.

44, Nekrasovskiy, Taganrog, 347928, Russia.

Phone: +78634371603.

Assistant.

УДК 53.004

. . , . . , . .

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ИНДУКЦИОННОГО НАГРЕВА ПОЛОГО ЦИЛИНДРА

Рассматривается численное решение задачи теплопроводности, описывающее процесс нанесения порошковых покрытий на внутренние поверхности стальных труб методом центробежного индукционного припекания. Граничное условие на внутренней поверхности полого цилиндра (трубы) учитывает поглощение тепла порошковым слоем. На внешней - (помимо поверхностных источников, связанных с индукционным нагревом) конвекцию и излучение, то есть является нелинейным. Проводится сравнение рассчитанного распределения температуры по толщине цилиндра с аналогичным кусочно.

Покрытие; температурное поле; коэффициент теплопроводности.

A.I. Zhornik, Yu.A. Prokopenko, A.E. Chistyakov

NUMERICAL SOLUTION OF THE INDUCTION HEATING PROBLEM FOR

THE HOLLOW CYLINDER

Numerical solution of the thermal conductivity problem for the steel tubes' internal surfaces powder covering process by the method of centrifugal sticking is considered in the work. Boundary condition on the inner surface of the hollow cylinder (tube) implies heat absorption by the powder layer. On the external one (besides surface sources connected with induction heating) convection and radiation are included, that is we have nonlinear boundary condition. Comparison of the computed temperature radius distribution with an analogous sectionally linearized solution is fulfilled.

Covering; temperature field; heat conductivity factor.

. -

ходят широкое применение в различных отраслях промышленности. Одним из методов нанесения покрытий является метод центробежного индукционного при,

,

по внутренней поверхности полого металлического цилиндра[5,6]. Металл нагре-, .

Мощность объёмных источников распределяется равномерно в поверхностном слое по всей длине и окружности цилиндра. Интенсивность источников убывает с

глубиной по экспоненциальному закону. Но расчёты показывают, что затухание

мощности с глубиной настолько велико, что можно перейти к плоскому поверхностному источнику нагрева.

.

внутри полого цилиндрического тела, на внутренней поверхности которого нанесено порошковое покрытие, а внешняя поверхность нагревается равномерно рас-