Моделирование риска кредитной миграции в банковской деятельности

6(6) - 2008

Банковский сектор

моделирование риска кредитной миграции в банковской деятельности

А.С. ЧИЖОВА,

магистр международной экономики Университета Констанц (Германия) Российская экономическая академия им. Г. В. Плеханова

Риск кредитной миграции (credit migration risk) — это риск изменения кредитного рейтинга банковского актива. Автор исследования [3, с. 422] определяет миграцию кредитных рейтингов как «дискретный случайный процесс, заключающийся в изменении кредитного рейтинга заемщика или долгового обязательства в течение определенного интервала времени». Риск кредитной миграции неразрывно связан с определением кредитного рейтинга, являющегося дискретной характеристикой кредитоспособности заемщика.

Кредитоспособность заемщика является латентной (скрытой) непрерывной переменной и определяется банковскими специалистами на основе интегральных показателей, агрегирующих информацию о хозяйственной деятельности заемщика. Цель оценки кредитоспособности — расчет вероятности дефолта заемщика. Дефолт является ключевой характеристикой кредитного риска и наиболее ярким его проявлением. В источнике [3, с. 362] приводится следующее определение дефолта— «неисполнение контрагентом в силу неспособности или нежелания условий кредитного соглашения или рыночной сделки». Дефолт является причиной кредитных потерь банка, сопровождающих процесс кредитования заемщиков.

Взаимосвязь показателей кредитоспособности, вероятности дефолта и кредитного рейтинга заем-

0

max

щика представлена на рис. 1. Каждому значению кредитоспособности соответствует единственное значение вероятности дефолта, изменяющейся в интервале от 0 до 1. Для трансформации непрерывной шкалы кредитоспособности в дискретную шкалу кредитных рейтингов вводятся пороговые значения, разбивающие шкалу кредитоспособности на непересекающиеся интервалы. Каждому интервалу кредитоспособности соответствует определенное значение кредитного рейтинга.

Прогнозирование значений кредитных рейтингов заемщиков и оценка вероятностей их изменений лежат в основе современных подходов к управлению кредитным риском. Так, например, шкала кредитных рейтингов является ключевым звеном таких моделей, как Credit Metrics, разработанной компанией J. P. Morgan, и CreditPortfolioView, разработанной компанией MacKinsey. Переходные вероятности кредитных рейтингов в этих моделях записываются в виде миграционной матрицы, т. е. матрицы переходных вероятностей. Элемент ij этой матрицы показывает вероятность изменения кредитного рейтинга из категории i в категорию j в течение определенного периода времени, называемого горизонтом прогнозирования. Горизонт прогнозирования, как правило, выбирается равным 1 году.

Главным предположением при построении миграционной матрицы является гипотеза одно-

1

Вероятность дефолта

V

Ri

V"

R2

Rk

min Кредитоспособность _)

рис. 1. Определение кредитных рейтингов

родности заемщиков с одинаковым кредитным рейтингом. Однако практические исследования по данному вопросу опровергают правомерность этой гипотезы и свидетельствуют о влиянии среды функционирования заемщиков, а также их кредитной истории на процесс изменений кредитных рейтингов. Это обстоятельство обусловливает необходимость разработки новых подходов к моделированию процесса изменений кредитных рейтингов с учетом неоднородности заемщиков и влияния систематических факторов риска.

Кредитная миграция, в частности, неблагоприятные изменения кредитных рейтингов заемщиков являются причиной косвенных потерь банков. Это в первую очередь связано с тем, что кредитоспособность заемщика дает возможность определить вероятность его дефолта, являющуюся определяющей характеристикой стоимости кредитного обязательства заемщика. Неблагоприятные изменения кредитных рейтингов увеличивают вероятность дефолта заемщика и уменьшают стоимость его долгового обязательства, например, корпоративной облигации. Именно поэтому, анализ миграции кредитного рейтинга является неотъемлемой частью процесса управления кредитными рисками.

В данной статье рассматривается модель оценки и прогнозирования кредитных рейтингов корпоративных заемщиков, учитывающая дискретный характер моделируемых переменных, а также неоднородность их индивидуальных характеристик. Для оценки параметров модели используется база данных крупной немецкой банковской группы. Период наблюдения составляет 6 лет и включает промежуток времени с 1998 по 2004 г. Набор данных по каждому заемщику включает показатели кредитной истории, длительности присвоения кредитного рейтинга, а также отраслевой и географической принадлежности заемщика. Метод, используемый для построения модели, — порядковый пробит (ordered probit) — позволяет определить индивидуальные индексы кредитоспособности заемщиков, а также переходные вероятности кредитных рейтингов для каждого заемщика на основании индивидуальных характеристик кредитного риска.

Кроме того, в статье предложены подходы по внедрению прогнозных пробит-моделей в процесс моделирования банковского кредитного риска. Оценка кредитного риска производится на основе эмпирического распределения вероятностей суммарных потерь банка, состоящих из прямых потерь в результате дефолта, а также косвенных потерь в результате изменений кре-

7х"

дитных рейтингов заемщиков. Эмпирическое распределение вероятностей потерь позволяет рассчитать значения интегральных показателей кредитного риска, включая показатель VaR (Value-at-Risk) — Стоимость под Риском. Математическую основу разработанного метода составляет метод имитационного моделирования Монте-Карло, а стоимость долговых обязательств определяется как дисконтированное математическое ожидание денежных потоков по ссуде.

Модель «порядковый пробит»

Пусть рассматривается кредитный портфель банка, состоящий из кредитов N заемщикам, т. е. i=1,..., N. Обозначим R — кредитный рейтинг заемщика i в момент времени t, при этом Rtt = 1 — высшая категория кредитоспособности, а R = K — низшая категория кредитоспособности. Для моделирования и прогнозирования таких упорядоченных дискретных случайных величин, как кредитные рейтинги, используются модели, получившие названия «порядковый пробит» (ordered probit) и «порядковый логит» (ordered logit) [2, c. 413 - 416; 1, c. 296 - 298].

Предположим, что непрерывная латентная (ненаблюдаемая) случайная величина, характеризующая индекс кредитоспособности заемщика (у*и), является линейной функцией от ряда объясняющих переменных (факторов риска) X и ={X Ul,..., X tL }, где l=1,..., L — порядковый индекс объясняющих переменных, с вектором параметров в = {31,...,р^:

У = XtiPi+Xu в +...+XlPl+в it = X' в+в it,

где в it — независимые одинаково распределенные случайные величины с функцией распределения F (ошибки, отклонения модели). В случае если ошибка модели вit подчиняется стандартному нормальному закону распределения, где F = Ф(0, 1), модель называется «порядковый пробит» (ordered probit).

Обозначим ц1,...,цк_1 — пороговые значения индекса кредитоспособности у*, определяющие K непересекающихся интервалов кредитоспособности, соответствующие числу кредитных рейтингов. Тогда наблюдаемый кредитный рейтинг определяется по следующему правилу [4, с. 520]:

1, если у * it <

2, если < у * lt < ц2, ... (2) к _ 1 если Цк-2 < У *it < , D, если Цк-1 < у * t.

31

R =

В дальнейшем для нормализации индекса кредитоспособности модели необходимо условие цк-1 = 0 . Тогда распределение вероятностей дискретной случайной величины R может быть представлено в виде: q\ = PR = 1} = Ф

qK-1 = P{R = к -1} =Ф(Цк-1 - XP) -Ф(Цк-2 - m qD = P{R = D = 1 -Ф(Цк-1 -XP), i = 1,...,«, где qk обозначает вероятность присвоения кредитного рейтинга k заемщику i в момент времени t, k=1,..., K, i=1,..., N, t=1,..., T. Отметим, что сумма

переходных вероятностей qkt равна 1 для каждого

к

заемщика, т. е. Z qk = 1.

k=1

Для того чтобы гарантировать неотрицательность полученного распределения вероятностей, необходимо выполнение дополнительного условия, отражающего возрастание значений пороговых переменных:

Ц < ... <^к-1 = 0.

Оценка векторов параметров модели «порядковый пробит» (р = {Pp..., PL }, ц1,..., цк-1) общим количеством (L+K-1) производится с помощью метода максимального правдоподобия (ММП). При

этом функция правдоподобия модели имеет вид:

т к

ln L=Z Z Zyjln qi ^ max,

t=1 d =0 j=1

где yjt — вспомогательные бинарные переменные модели, определяемые по следующему правилу: j =|1, если R = j, j = 1, —, к ,

" [ 0 в противном случае.

Максимизация логарифма функции правдоподобия позволяет найти оценки максимального правдоподобия векторов параметров в = {в1,..., PL } и ц1,...,цк-1, обладающие свойствами состоятельности, несмещенности и асимптотической оптимальности в случае независимой выборки.

Алгоритм имитационного моделирования

Разработанный в данной статье алгоритм представлен для займов со сроком погашения 2 года, но может быть обобщен для случаев долгосрочного кредитования. Общая структура алгоритма представлена на рис. 2. Целью данного алгоритма является построение эмпирического распределения вероятностей прямых и косвенных потерь банка,

а также оценка ключевых показателей кредитного риска, таких как величина ожидаемых потерь по кредиту, размах вариации потерь, а также показатель Cтоимость под Риском VaR. Прогнозирование осуществляется в момент времени t, а горизонт прогнозирования составляет 1 год.

Начальные шаги (1 — 3) алгоритма содержат процедуры отбора факторов риска и оценки параметров модели «пороговый пробит» [в, ц] методом максимального правдоподобия в соответствии с выражениями (3), (4).

Для каждого сценария моделирования m, m=1,..., M, генерируются нормально распределенные случайные компоненты модели stt с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1 общим количеством N, что соответствует количеству заемщиков кредитного портфеля (шаг 4 алгоритма). Значения случайных компонент stt определяют направления изменения индексов кредитоспособности заемщиков в соответствии с выражением (1) (шаг 5 алгоритма). Результатом изменения индексов кредитоспособности являются события дефолта, либо изменения кредитных рейтингов заемщиков, определяемые по правилу (2) (шаг 7 алгоритма).

В случае если заемщик находится в состоянии дефолта, определяется величина прямых потерь банка (шаг 6 алгоритма):

Lit+1 = LGD V, is 11,

где Lu+1 — размер прямых потерь банка по кредиту в результате дефолта заемщика i в момент времени t+1 (в ден. ед.); t+1 — горизонт прогнозирования величины потерь банка;

LGD — величина, характеризующая размер потерь по кредиту в случае дефолта, выраженная в процентном отношении к общей сумме кредита. В статье предполагается, что данный показатель одинаков для всех заемщиков кредитного портфеля;

V- — величина основного долга и процентных платежей заемщика i к моменту погашения долга заемщиком в период времени t+2 (в ден. ед.).

Величины прямых потерь банка суммируются по всем заемщикам, находящимся в состоянии дефолта, что составляет подмножество заемщиков I1 s N. Суммирование величин прямых потерь для каждого сценария моделирования m производится по формуле

LS = Z L+1.

isl1

Косвенные потери банка определяются для заемщиков, характеризующихся неблагоприятными изменениями кредитных рейтингов, что составляет

рис. 2. Алгоритм построения эмпирического распределения вероятностей потерь по кредитному портфелю

РГ ^ В :

^-¿и-1

РГ^ Л :

ных единицах и находится по формуле дисконтированного математического ожидания бинарной случайной величины

-100)+(1 -

1 + г.

к = 1,...,К,

Л:

Рис. 3. Дерево событий для займа со сроком погашения 2 года

подмножество заемщиков 12 е N. Изменения кредитных рейтингов являются причиной изменения вероятностей дефолта заемщиков в период времени 1+1

Ж = 1 -Ф(Цк-1 -в), Ь, (7) где X 'й+1 — прогноз значений факторов риска в момент времени +1.

Рисунок 3 иллюстрирует дерево событий для займа с первоначальным кредитным рейтингом = j в момент времени t. В следующий момент времени (^+1) кредитный рейтинг заемщика может измениться вплоть до состояния дефолта с переходными вероятностями р]к , где к=1,.., К, D. Каждому новому кредитному рейтингу соответствует вероятность дефолта р° к моменту погашения займа в период времени t+2, поэтому изменения кредитных рейтингов сопровождаются изменениями вероятностей дефолта.

Изменения вероятностей дефолта составляют сущность риска кредитной миграции и являются причиной изменений стоимостей долговых обязательств заемщиков. Прогнозируемая стоимость долгового обязательства заемщика i в случае, если прогнозируемый кредитный рейтинг заемщика равен к в момент времени t+1, измеряется в денеж-

где — безрисковая процентная ставка.

Величина косвенных потерь банка в результате изменений кредитного рейтинга заемщика из категории у в момент времени /в категорию к в момент времени 1+1 по займу / измеряется изменением стоимости долгового обязательства заемщика. Данная величина измеряется в денежных единицах и находится по формуле

, к = 1,...,К,

д(т) = V д^

+1 й+1

Величина суммарных потерь банка по сценарию моделирования т измеряется в денежных единицах и находится как сумма прямых и косвенных потерь из следующего выражения (шаг 8 алгоритма):

= 4+1 +д

Суммирование величин прямых и косвенных потерь по всем заемщикам для каждого сценария и повторение шагов (4) — (8) лежат в основе построения эмпирического распределения прямых и косвенных потерь по кредитному портфелю (шаг 9 алгоритма).

Пример реализации метода оценки кредитного риска

Данный раздел статьи содержит практическую реализацию разработанного метода оценки кредитного риска банковского портфеля ссуд. Для этого в статье используется база данных крупной немецкой банковской группы. Среднее количество рейтингуемых заемщиков в базе данных равно 1 131, что за период времени 1998 — 2004 гг. составляет около 6 786 наблюдений. Первый этап

разработанного метода представлен моделью «порядковый пробит», позволяющей получить оценки переходных вероятностей кредитных рейтингов и значения индивидуальных индексов кредитоспособности, используемых на втором этапе метода оценки совокупного банковского кредитного риска, представленного алгоритмом имитационного моделирования банковских кредитных потерь. Для проведения численных расчетов в статье использовались программные продукты SAS Institute Inc. (Version 2006), Stata Corp. (Version 2003) и Microsoft Excel (Version 2003).

Обратимся к оценке и анализу результатов модели «порядковый пробит». В модели используются 15 объясняющих переменных, отражающих различные характеристики компаний-заемщиков. В табл. 3. приводятся определения объясняющих переменных модели. Переменные Rp.., RKхарактеризуют начальный кредитный рейтинг заемщика в момент времени t. Использование этих переменных позволяет избежать включения в модель группы показателей, характеризующих хозяйственную деятельность заемщика, например, рентабельность, ликвидность и оборачиваемость его активов. Замена этих показателей на агрегированный пока-

затель начального кредитного рейтинга упрощает процедуру прогнозирования будущих кредитных рейтингов.

Переменные Старый (Old) и Новый (New) используются в модели для описания влияния на будущий кредитный рейтинг (Rt+:) информации о том, когда заемщик получил кредитный рейтинг банка впервые. Переменные Понижение рейтинга (Downgrade), Неизменный рейтинг (No change) и Повышение рейтинга (Upgrade) отражают влияние предыдущего изменения рейтинга AR на будущее изменение рейтинга AR, где AR = R - R-1.

Следующие две группы независимых переменных модели учитывают географическую и индустриальную дифференциацию заемщиков. Шесть независимых двоичных переменных Germany, Europe, N. America, L. America, Asia и Japan разбивают выборку на шесть географических регионов: Германия, Европа, Северная Америка, Латинская Америка, Азия и Япония.

В связи с тем, что для оценки математических моделей используется выборка заемщиков немецкой банковской группы, то индустриальная дифференциация заемщиков осуществляется на основе отраслевой классификации Европейского

Обозначения и определения переменных модели

Таблица 1

переменная Определение

Future rating (Ru+1) Кредитный рейтинг заемщика в момент времени t+1. 1 — наилучший кредитный рейтинг, 9 — наихудший кредитный рейтинг

Rj, j = 1,..., 9 Группа бинарных переменных, характеризующих кредитный рейтинг заемщика в момент времени ^ 11, если Я. = j, где Я = <{ ^ ] = 1,..., 9, 1 0, в противном случае ] = 1 — наилучший кредитный рейтинг, ] = 9 — наихудший кредитный рейтинг

Default 1 — заемщик объявил дефолт по обязательствам в момент времени t

Old 1 — впервые кредитный рейтинг заемщику присвоен в момент времени М либо ранее

New 1 — впервые кредитный рейтинг заемщику присвоен в момент времени t

Downgrade 1 — ухудшение кредитного рейтинга заемщика в момент времени t. АВи > 0

Upgrade 1 — улучшение кредитного рейтинга заемщика в момент времени £ АЯ11 < 0

No change 1 — кредитный рейтинг заемщика оставлен без изменений АЦ( = 0

L. America 1 — заемщик зарегистрирован в Латинской Америке

N. America 1 — заемщик зарегистрирован в Северной Америке

Japan 1 — заемщик зарегистрирован в Японии

Europe 1 — заемщик зарегистрирован в Европе (за исключением Германии), Северной Африке либо на Ближнем Востоке

Asia 1 — заемщик зарегистрирован в Азии или Австралии

Germany 1 — заемщик зарегистрирован в Германии

Services 1 — заемщик занят в сфере услуг

Trade 1 — заемщик занят в торговле

Capital intensive 1 — заемщик занят в капиталоемких отраслях

Structural change 1, если t > 2002 г.

ФИНАНСОВАЯ АНАЛИТИКА

проблемы и решения ' 35

Таблица 2

значения пороговых переменных

переменная Порог 1 Ii Порог 2 I2 Порог 3 1з Порог 4 I4 Порог 5 I5 Порог 6 I6 Порог 7 I7 Порог 8 I8

значение -8,2163 -6,5056 -5,0727 -3,6784 -2,5988 -1,4906 -0,7414 -0,3549

Союза (Auszug der Klassifikation der Wirtschaftszweige (2003)). В дальнейшем экономические отрасли агрегируются до трех основных групп отраслей: Сфера услуг (Services), Торговля (Trade) и Капиталоемкое производство (Capital intensive).

Результат оценки модели «порядковый пробит» методом максимального правдоподобия приведен в табл. 2, 3, при этом количество категорий кредитных рейтингов (K) равно 10, а переменные Порог 1,... Порог 8соответствуют пороговым значениям |1V.., |8 (|9 = 0 для определения модели). Важным свойством модели является то, что более высокие значения латентного индекса соответствуют худшим кредитным рейтингам. В связи с этим положительные (отрицательные) коэффициенты объясняющих переменных оказывают отрицательный (положительный) эффект на прогнозируемый кредитный рейтинг заемщика.

Таблица 3

коэффициенты модели «порядковый пробит»

переменная значение коэффициента

Константа -0,2419

R1 -8,0508**

R2 -6,4697**

R3 -5,0596 **

R4 -4,0564**

R5 -3,1391**

R6 -2,1463**

R7 -1,2889**

R8 -0,7510**

Old 0,0380

Old •Downgrade -0,3070**

Old • Upgrade 0,3334**

L. America 0,6026**

N. America 0,1511*

Japan -0,1267

Europe -0,0107

Asia -0,1129

Services 0,1309*

Trade 0,0952

Structural change -0,5857**

Примечания:

1. Знаку «*» соответствует 5 %-ный уровень доверия, а знаку «**» — 1 %-ный уровень доверия.

2. Категории сравнения: R9, New, No change, Germany, Capital intensive.

Проанализируем полученные результаты. Как следует из табл. 3, переменные R1,...,R8 статистически значимы при уровне доверия 1 %, что свидетельствует о неоднородности (гетерогенности) заемщиков с разными кредитными рейтингами. Высокое значение коэффициента переменной Структурные изменения (Structural change) подтверждает наличие структурных изменений кредитного портфеля в конце 2002 г. Отрицательный знак коэффициента PSir chcmge свидетельствует о наличии положительного сдвига переходных вероятностей кредитного портфеля в 2003 г.

Как следует из табл. 3, понижение кредитного рейтинга в прошлый период времени (Downgrade=1) имеет строго положительный эффект на прогнозируемое будущее значение кредитного рейтинга, распределение вероятностей смещено влево. И наоборот, повышение кредитного рейтинга в прошлый момент времени (Upgrade=1) имеет отрицательный эффект на последующее значение кредитного рейтинга, т. е. распределение вероятностей смещено вправо. Полученный результат свидетельствует о наличии отрицательной автокорреляции временного ряда изменений кредитных рейтингов, т. е. цикличность процесса их изменений (mean-reversion process).

В работе [5] сравнивается динамика изменений внутренних кредитных рейтингов и кредитных рейтингов ведущих рейтинговых агентств. Анализ проводится в предположении того, что распределение вероятностей индекса кредитоспособности является симметричным распределением, где плотность вероятности монотонно снижается по мере удаления от математического ожидания и кредитный рейтинг изменяется при пересечении математическим ожиданием заранее обозначенных пограничных значений. В этом случае «... пересечение порогового значения, влекущее изменение кредитного рейтинга, более вероятно на небольшую величину, нежели намного. Чем ближе значение индекса кредитоспособности к только что пересеченному пороговому значению, тем больше вероятность возврата кредитного рейтинга по сравнению с вероятностью последующего изменения кредитного рейтинга в сторону удаления от предшествующего значения» [5, с. 2].

Данный аргумент в полной мере объясняет наличие отрицательной автокорреляции кредитных рейтингов коммерческих банков, использующих симметричные распределения вероятностей для оценки вероятностей дефолта.

Положительный коэффициент переменной L. America свидетельствует о значительно более низкой кредитоспособности заемщиков из Латинской Америки по сравнению с заемщиками из Германии. Этот факт во многом объясняется финансовым кризисом в Аргентине в 2000 г. Положительные коэффициенты переменных Торговля (Trade) и Сфера услуг (Services) свидетельствуют о более низких темпах повышения кредитных рейтингов заемщиков в этих отраслях по сравнению с заемщиками, занятыми в капиталоемких отраслях.

Оценка параметров модели «порядковый пробит» является содержанием шагов 1 — 3 разработанного алгоритма имитационного моделирования прямых и косвенных потерь банка, составляющего

<

где дд, = А - А-1.

первый этап модели оценки кредитного риска. Содержание второго этапа модели представлено шагами 4 — 9.

В связи с тем, что оценка модели «порядковый пробит» осуществляется на основе данных за период 1998 — 2004 гг., т. е. t=2004, а выбранный горизонт прогнозирования составляет 1 год, то потери банка моделируются к моменту времени ^+1=2005. При этом в 2004 г. рассматриваемый кредитный портфель состоит из 1 122 заемщиков.

Рассмотрим однородный портфель кредитов/ займов каждый размером 1 000 денежных единиц с одинаковым сроком погашения 2 года, т. е. в момент времени t+2=2006 (V = 1000, / = 1,...,N). Таким образом, в момент времени t+1=2005 кредитор подвержен риску прямых (преждевременный дефолт заемщика) и косвенных (переоценка стоимости долгового обязательства) потерь по кредитному портфелю, в то время как в момент времени t+2=2006 кредитор подвержен только риску прямых потерь. Так как количество заемщиков равно 1 122, то общий объем моделируемого кредитного портфеля составляет 1 122 000 денежных единиц.

Кроме того, предположим, что размер потерь в случае дефолта также одинаков для всех заемщиков

и равен 50 %, т. е. LGD = 0,5. Дополнительно выберем безрисковую процентную ставку f, равную 5 %. Данные предположения об однородной структуре кредитного портфеля не изменяют положения рассматриваемого метода (алгоритма) и восполняют недостаточную информацию о кредитном портфеле в расчетной базе данных1.

В дальнейшем прогноз значений факторов риска осуществляется только для указанных 1 122 заемщиков, составляющих кредитный портфель в 2004 г. и не учитывает новые кредиты, которые могут быть предоставлены кредитором в течение горизонта прогнозирования. В связи с этим прогноз значений бинарных переменных Old и Structural change равен 1 для всех заемщиков.

Прогноз значений переменных Upgrade и Downgrade основан на сравнении кредитных рейтингов заемщиков в периоды времени t=2004 и t-1=2003 и осуществляется по следующему правилу:

Также очевидно, что значения отраслевых и географических переменных для каждого заемщика не изменяются во времени, поэтому прогноз значений этих переменных в период времени t+1 равен их значениям во все предыдущие периоды времени.

Для реализации разработанного алгоритма необходимо сгенерировать N = 1 122 случайных чисел еи, i = 1,..., N для каждого сценария т, т = 1,..., М. Выберем количество генерируемых сценариев М, равное 500, т. е. М=500, что соответствует наиболее часто применяемым на практике значениям М в интервале 100 < М< 1 000. Таким образом, количество сгенерированных случайных чисел е, равно N • М = 1 122 • 500 = 561 000. '

После пересчета значений индекса кредитоспособности для каждого заемщика и для каждого

л

сценария по формуле уи = X , в + е, (шаг 5) определим значения прогнозируемых кредитных рейтингов Дпо правилу (2), где К=10, и D соответствует событию дефолта. Таким образом, вероятность дефолта заемщика i в момент времени ^+1, облада-

1 Информация о размерах ссуд немецкой банковской группы является строго конфиденциальной информацией и недоступна в расчетной базе данных.

< 0 Upgrade = 1 _ улучшение рейтинга, 0 в противном случае, = 0 No change = 1 _ неизменный рейтинг, 0 в противном случае, > 0 Downgrade = 1 _ ухудшение рейтинга, 0 в противном случае,

ющего кредитным рейтингом J в момент времени t, находится по формуле р= 1 - - у *и). Ко-

личество сгенерированных дефолтов заемщиков по приведенному правилу для каждого из сценариев приведено на рис. 4. Наибольшее количество дефолтов отмечено по 8-му сценарию и равно 25, наименьшее количество дефолтов зарегистрировано по 416-му и 441-му сценариям и равно 5. При этом среднее количество дефолтов по всем сценариям составило 14,632, т. е. около 15 дефолтов.

Учитывая, что размер потерь в случае дефолта принят равным 50 % (LGD = 0,5) суммы займа, среднее значение прямых потерь по кредитному портфелю по всем сценариям равно М[4т)] = 14,632• 0,5-1000 = 7 316,0 ден. ед.

Сгенерированные изменения кредитных рейтингов Ц1+1 заемщиков по приведенному правилу являются причиной изменения вероятностей дефолта заемщиков к моменту погашения займов, что одновременно является источником косвенных

30

потерь по кредитному портфелю, так как изменения вероятности дефолта влекут переоценку стоимостей долговых обязательств.

Вероятность дефолта заемщика i в момент времени t+2 (т. е. к сроку погашения долга), обладающего кредитным рейтингом k в момент времени ^+1, находится по формуле р^ = 1 - - у *и+:),

где прогноз индекса кредитоспособности у *и+1 находится на основе прогнозируемых значений объясняЛ * Л

ющих переменных: у и= Хйв (шаг 7 алгоритма). Полученные в результате этого расчета вероятности дефолта в зависимости от сгенерированных кредитных рейтингов представлены на рис. 5.

Как следует из анализа рис. 5, вероятность дефолта заемщиков увеличивается экспоненциально с ухудшением кредитных рейтингов с Ц1+1 = 1 (наилучший кредитный рейтинг) до Е11+1 = 9 (наихудший кредитный рейтинг), что соответствует теоретическим предпосылкам модели. Вероятность дефолта заемщиков, обладающих кредитными рейтингами

Рис. 4. Количество дефолтов

Номер сценария

35,00

30,00

I 25,00

£ 20,00

§ 15,00

£

о 10,00

¿5 5,00

0,00

т

....1111

2 3 4 5 6 7 8 Кредитный рейтинг заемщика Я

Рис. 5. Распределение вероятностей дефолта по кредитным рейтингам

0

1

9

120,00

100,00 ГО 1-

о

1-

80,00 о го

X

60,00 к га

X

40,00 X О)

Е;

20,00 2

ГС

0,00 X

у у У <?з <?з <?з <?з <?з ^ ^ ^ ^ ^ > > > >

Величина потерь, ден. ед. Рис. 6. Распределение косвенных потерь по кредитному портфелю

от Д,+1 = 1 до Д+1 = 4 близка к нулю, в то время как вероятность дефолта заемщиков с кредитным рейтингом Д = 9достигает уровня 37 %.

На основе полученных вероятностей дефолта

кП

рк+1 для всех сценариев производится переоценка стоимости каждого долгового обязательства по каждому сценарию с использованием следующего выражения (шаг 8):

м[Ук+1]=

рк+1

1 + г,

•V =

Рк+1

•1000,

1 + 0,05

где порядковый индекс к=1,..., 9 определяет сгенерированный кредитный рейтинг заемщика в момент времени ^+1.

Сравнение полученной стоимости долговых обязательств с их стоимостью по базовому сценарию М]У дает возможность определить величину переоценки стоимости д(шаг 9) по формуле (9), при этом базовый сценарий означает отсутствие изменений кредитных рейтингов за период времени t = 2004 - t + 1 = 2005.

35

30

25

ГС

1- о 20

1-

о ГС 15

3"

10

5

0

Л^ ^

> > ^ У

Величина потерь, ден. ед. Рис. 7. Распределение суммарных потерь по кредитному портфелю

Тогда величина косвенных потерь по сценарию т находится как сумма косвенных потерь по каждому займу: д(т) = £д* .

Полученные значения косвенных потерь д(+!1) для М = 500 сценариев позволяют построить эмпирическое распределение вероятностей косвенных потерь по кредитному портфелю, являющееся приближением плотности распределения вероятностей этого показателя. Для графического изображения эмпирического распределения вероятностей воспользуемся методом гистограммы, представленной на рис. 6. Для построения данной гистрограммы значения косвенных потерь по всем сценариям моделирования группируются с интервалом группировки равным 100 ден. ед. В связи с тем, что максимальное полученное значение величины косвенных потерь составляет 4 664,1 ден. ед., а минимальное — 1 303,2 ден. ед., промежуток [-4 700; -1 300] разбивается на 34 непересекающихся интервала. Количество сценариев, величина косвенных потерь по которым попадает в соответствующий интервал (частота попадания), отражается на главной вертикальной оси гистограммы. Так, величина косвенных потерь в интервале [-2 800; -2 700] отмечена по 39 сценариям.

На вспомогательной вертикальной оси отражается накопленная частота попадания сценария имитационного моделирования в соответствующий интервал (возрастающая кривая). Данный показатель измеряется в процентах от 0 до 100 и является приближением функции распределения вероятностей косвенных потерь. Накопленная частота распределения показывает, с какой вероятностью величина косвенных потерь может превысить некоторое выбранное значение. Так, анализ рис. 6 показывает, что вероятность косвенных потерь в размере более 2 700 ден. ед. составляет около 60 %.

Полученная величина косвенных потерь по каждому сценарию д(+!) в совокупности с величиной прямых потерь позволяет оценить величину суммарных потерь по кредитному портфелю: 5+») = ¡т +д(+1, т=1,..., М. Полученное эмпирическое распределение суммарных потерь по кредитному портфелю представлено на рис. 7.

120,00

100,00 ГС~ 1-

о

80,00 о ГС

X

60,00 к ГС

X

40,00 X О)

Е;

20,00 С о

го

0,00 X

7х"

39

Максимальное значение суммарных потерь по кредитному портфелю составило 15 445,1 ден. ед. при минимальном значении потерь равном 5 763,6 ден. ед. Математическое ожидание распределения составило 10 185,8 ден. ед. при среднеквадратичес-ком отклонении 1 857,1 ден. ед. Полученное эмпирическое распределение также позволяет оценить показатель VaR (Value-at-Шsk), т. е. стоимость под риском моделируемого кредитного портфеля. При выборе доверительного интервала 95 % показатель VaR (Value-at-Risk) составляет 13 250 ден. ед.

Выводы

Риск кредитной миграции, т. е. риск изменения кредитного рейтинга заемщика банка лежит в основе косвенных потерь банка. Косвенные потери возникают в результате изменения стоимости долгового обязательства в связи с неблагоприятным изменением кредитного рейтинга заемщика и ростом вероятности его дефолта. Предложенный в статье метод оценки риска кредитной миграции позволяет осуществлять интегральную оценку риска на основе построения эмпирического распределения вероятностей косвенных потерь. Разработанный метод состоит из двух обособленных блоков. Первый блок метода представлен эконометрической моделью «порядковый пробит», позволяющей производить оценку переходных вероятностей кредитных рейтингов с учетом влияния микро- и мак-

роэкономических факторов риска, а также расчет индивидуальных индексов кредитоспособности, определяющих преемственность первого и второго блоков метода. Второй блок представлен алгоритмом имитационного моделирования Монте-Карло для построения распределения вероятностей банковских потерь. В основе этого алгоритма лежит подход к оценке стоимости долговых обязательств с использованием метода дерева событий, где под событиями подразумеваются изменения кредитных рейтингов, а также потенциальный дефолт заемщиков.

Литература

1. Магнус Я. Р., Катышев П. К., Пересецкий А. А. Эконометрика: начальный курс. М.: Дело, 2005.

2. Тихомиров Н. П., Дорохина Е. Ю. Эконометрика М.: Экзамен, 2003.

3. Энциклопедия финансового риск-менеджмента/Под ред. А. А. Лобанова, А. В. Чугунова. М.: Альпина Паблишер, 2003.

4. Cameron A. C., Trivedi P. K. Microeconometrics: Methods and Applications. Cambridge University Press, New York, 2005.

5. Loeffler G. Avoiding the rating bounce: Why rating agencies are slow to react to new information, Working paper № 97, Goethe University, Frankfurt, 2002.

Не успели оформить

подписку на 2008 год?

Оформить подписку на журналы Издательского дома «Финансы и Кредит» можно с любого номера в редакции или в одном из агентств альтернативной подписки.

Полный список агентств альтернативной подписки можно посмотреть на сайте : www.financepress.ru.

Тел./факс: (495) 621-69-49, Http://www.fin-izdat.ru

(495) 621-91-90 E-mail: post@fin-izdat.ru