Расчет искажения огибающей электромагнитного импульса при его распространении в регулярном волноводе. III

6. Заключение

В цилиндрической системе координат получена функция Грина уравнений Максвелла для плоского волновода. С помощью этой функции записано четырехмерное интегральное уравнение для поля в волноводе, заполненном холодной изотропной плазмой, возникающей в нулевой момент времени. Получено явное представление резольвентного оператора в случае аксиально-симметричного распределения поля. При возбуждении волновода линейным источником получено первичное и пре-

образованное поле. Установлено, что структура поля зависит от последовательности моментов включения источника и возникновения плазмы. Показано, что после возникновения плазмы поле приобретает осциллирующий характер.

Литература: 1. Nerukh A., Scherbatko I., Marciniak M. Electromagnetic wave frequency shift by temporal variation of medium parameters// Pr. Inst. Lacznosci., 110, 1998. 3. 7-27. 2. Hepyx А.Г.,Хижняк НА. Современные проблемы нестационарной макроскопической электродинамики. Харьков: НПО”Тест-радио”.1991. 279с. 3. Борисов В.В. Неустановившиеся поля в волноводах. Ленинград: Изд-во Ленингр. ун-та. 4. Сахненко Н.К., Hepyx А.Б. Нестационарное аксиально-симметричное излучение источника в плоском волноводе //Вісник Харківського національного університету. 2000. №467. С. 144-147.

Поступила в редколлегию17.05.2000

Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Буц В.А.

Сахненко Наталия Константиновна, ассистент кафедры высшей математики ХТУРЭ. Научные интересы: распространение электромагнитных волн в нестационарных средах. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. (0572) 40-93-72.

Нерух Александр Георгиевич, д-р физ.-мат. наук, профессор, зав. кафедрой высшей математики ХТУРЭ. Научные интересы: нестационарная электродинамика. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. (0572) 40-93-72.

УДК 537.877

РАСЧЕТ ИСКАЖЕНИЯ ОГИБАЮЩЕЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИМПУЛЬСА ПРИ ЕГО РАСПРОСТРАНЕНИИ В РЕГУЛЯРНОМ ВОЛНОВОДЕ. III

здесь u(r, z) и v(r, z) должны быть известными (заданными по условию задачи) функциями; и граничному условию Ez = 0 при r = а, т.е.

8 2П(а, z, t) 1 8 2 П(а, z, t) _

r = a ----v ’ ’ 7--------v ’ ’ 7 = 0 .

8 z

2

2

81

2

Решение задачи

Искомую функцию ищем в виде интеграла Фурье

ЧУМАЧЕНКО С.В.

Предлагается решение задачи о распространении электромагнитного импульса по круглому волноводу с произвольной огибающей [1,2]. Используемый математический метод — интегральное преобразование Фурье. Рассматривается случай заданного распределения электромагнитного поля в пространстве.

Постановка задачи

Требуется найти электромагнитное поле, представимое потенциалом Герца:

П

где функция П(г, z, t) удовлетворяет уравнению

АП(г, z, t)-А АЩуЛ = 0

8 Ґ

начальным условиям

c

t = 0 П

t = 0

d П

dt

t=0

v(r, z) ,

П

1 <X

-= J A

"V2^ —Ж

eihzdh

Подставим искомое решение в виде (5) в уравнение (2):

Д-

1 82 ^ c2 a t2

( 82

1 8

П(г , z, t) = 2 ^

1 8Z

к8r2 r 5r 8z2 c2 812 j

П(г , z, t) =

1 <Ю

-JT/k _x

82 A 1 8A ,2л 1 82 A

1-------h 2 A -

8r

2 r 8r

c2 at2

eihzdh = 0

a2 a 1 8A 1 a2 a ,2/ln

---+----------------h A = 0

ar2 r 8r c2 at2

Поскольку переменные в цилицдрической системе координат разделяются, то решение уравнения (6) должно иметь вид

A

2

25

РИ, 2000, № 2

где A(h) — пока будем рассматривать как произвольную константу.

Подставив (7) в (6), получим

A

T + T— - R-2 - h 2 RT

dr

2

dr

c 2 dt2

1 d2R 1 dR , 2 11 d2T or

------+--------h =-----------=------

R dr2 rR dr T c2 а2 ’•

= 0

c dt

Из (8) следуют два уравнения:

2

,2

1 d 2 R

^IT2

A. dR

rR dr

1 d 2T

Tit2

b\(h) - h2 c 2

= -<a2(h).

Обозначим

2

Y2 =\(h) - h 2-Y 2(h) c2

2

Тогда, умножив (9) на r R , будем иметь

2 2 d2R

у r -----

П(г , z, t) =

J A+ (h) J o[ Y(h)r ] ei

и заменяя h на - h во втором слагаемом равенства (15), получаем

і <Х)

П(г, z, t) =-j= J A+ (h) J0[ y(h)r ] eihz ~ ia(h)tdh +

1 <x>

+ — JA_

V2^ v ’

Формула (16) для П(г, z, t) определяет электромагнитное поле в комплексных амплитудах. Реальный физический процесс определяется вещественными функциями. Для того чтобы (16) была вещественной функцией, необходимо обязательное выполнение условия

A_ (-h) = A+ (h),

= 0 ,

(10) где * означает комплексное сопряжение. Обозначим: A+ (h) = — A(h) . Тогда искомая функция примет окончательный вид:

dR 2 2 (yr)—- + Y r = 0

d

R

где b(h) = 0 , так как поле не должно иметь особенностей внутри волновода; a(h) выберем равным единице, поскольку в искомом решении общего вида (7) уже есть произвольная константа A(h) (или иначе — a(h) включим в константу A(h)).

Аналогично решение уравнения (10) представим в виде

T(h, t) = a(h) e_iro(h)t +p(h) eia(h)t. (13) Итак, согласно (7), (12), (13) имеем

A(h, r, t) = A(h)a(h) J0 (yr) e ~ia(h)t +

+ J~(h)P(h) J 0 (yr) eia(h)t =

= A+ (h) J0 (yr) e _iro(h)t + A_ (h) J0 (yr) eira(h)t .(14) Искомая функция u(r, z, t) согласно (5) имеет вид

і ГО

1 г ' ^ r ’ Jhz-ia(h)tdh +

1 ГО

П(г , z, t) = —= J A(h) J0 (yr) ei(hz _ro(h)t) dh + 2^2% _<Xi

і ГО

+ J A*

2Ы2п '

До сих пор A(h), а следовательно, и A*(h) были произвольными константами. Определим их, воспользовавшись начальными условиями (3а) и (3б). Согласно (17) и (3а) имеем:

П(г , z,0) = ^= J A(h) J0 (yr) elhzdh +

2\2%

1 “ h

+ і— \ A* (h) J0(yr) e“ihzdh = u(r, z). (18*) 2\2%

Или, меняя h на - h и пределы интегрирования во втором слагаемом

1 “ h

J A(h) J 0 (yr) eihzdh +

242м j

1 “ h

J A*

242m 1

1  A(h) + A* (-h) . ihzj7 . .

J -------------- J0

л/2л j

2

42m _z

1 <X)

2= J A_

42n _ж

Известно, что во всех волноводах, кроме заполненных гиротронными средами, ra

26

Умножая (18) на .— e и интегрируя по z в

yJ2%

пределах от - да до да (обратное преобразование Фурье), получаем

A(h) + A*(-h) т ,_ч 1 _ч_-ihz.

2

J0

»2л -да

Аналогично используем начальное условие (3б) и (17). Найдем сначала производную по времени от функции П(г , z, t), определенной формулой (17):

РИ, 2000, № 2

dn(r’zt) =—^ f(~ia(h))A(h)J0(yr)ei(hz~at)dh + dt 2/2я

і ГО

+ —^ J

2\2% _да

Подставим в (20) t = 0 и воспользуемся (36):

1 “ h - J (~i<a)A(h)J0 (yr) elhzdh -

2 -Ж

1 ж 4

----1= J

2\2k _x 'v 7

Преобразуем интеграл (21) так же, как и (18*). Применяя обратное преобразование Фурье, получаем

1 1 “ 7

- [іШ~ [-A(h) -AA(-h)]Jo (yr) =-= Jv(r,z)e lhzdz

2 -да ‘

Итак, (19) и (22) можем записать в виде

A(h) + A (-h) 2

A(h) - A* (-h) _

1 r U(r, z) e-ihz

^ JOT^rre dz •

yf-K-ю J0

2

J

i v(r, z) ihz

V-^jL<a

dh

Получим систему алгебраических уравнений относительно A(h) и AA (-h) . Складывая и вычитая (23), (24), соответственно, получаем

A(h) = !— J -——[u(r, z) н—l—v(r, z)]e~ihzdz

'І—К-ж J0(Yr) 1

ra

і *-

A*(-h) =^L J

__ . [u(r, z)---1—v(r, z)]e ihzdz

J0(vr) Ф) •

1

Напомним, что y

A*

1  1 4—л__ж J0

[u

—-—v(r, z)]e ihzdz (h) •

Действительно, (27) есть комплексно-сопряженное от (25). Если известны функции u(r, z) и v(r, z) (а они должны быть заданы по условию задачи), то тогда по ним находим A(h) и A*(h) по формуле (25).

Пока у нас оставалась неизвестной постоянная разделения переменных в уравнении (8) — ю (h). Определим ее. Это можно сделать, воспользовавшись граничным условием (4) в постановке задачи:

Ez =

^2 1 д2^

я - - ~,,2

ydz с dt j

П

Подставим сюда выражение П(г, z, t) из (17) и учтем обозначение (11):

Ez =—= Jy 2 A(h) J 0 (yr) ei(hz ~af) dh +

2\2к -да

+ -^= Jy2A*(h)J0(yr)e"l(hz_rat)dh . (29) -yJ2%

Потребуем выполнения граничного условия

Ez\ = 0,

zlr=a ’

1 I 1

2 \J—k

Jy2A(h)J0(ya)ei(hz~at)dh

1 ^ I

+ -= Jy2A*(h)J0(ya)e"i(hz_rat)dh \ = 0 . (30) y]2% J

Это граничное условие должно выполняться при любых значениях z и t (- да< z < <х> , - <х>< t < <х> ). Его можно обеспечить только при условии

J0

Отсюда следует, что

ya = р0п , п = 1,2,3,...,

где р 0п — один из корней функции Бесселя ( р 0п — известные числа). Отсюда согласно (11) и (32):

2 2 2 Y a =^0п,

Л

( 2 V h2

Vc J

- 2 ю- =^0п , h2

с2~ а—

a~ =^0п ,—— = '-A!L + h г0п - 2

а = rn(h) =

Ц 0пс

, 2 2 ha

» 0п

а согласно

Y =

Ц 0п

Из (35) видно, что для выполнения граничного условия при любых z и t необходимо, чтобы у зависела от h и определялась величиной по формуле (35).

Перепишем основные формулы (17) и (25) с учетом результатов (35) и (34):

і ГО

П(г,z,t) = -^ J A(h)Jo(\^0nL)e-(hz~a(h)t)dh +

2уі—ж_х a

і ГО

+ -^ J A*

2у—К _да a ,

1

a

a

РИ, 2000, № 2

27

A(h) =

1

І

1

J0(МПГ- )L a

u(r, z)-

&

v

(

где

ra(h) =

Ц 0nc

1

, 2 2 h a

2

^ On

e~ihzdz

&

Ц 0nc

a

1

22

ha

Вернемся к начальным условиям (3) в целях их уточнения. До сих пор было существенно только то,

что функции u(r, z) и v(r, z) должны быть известными. Эти функции по своему смыслу есть потенциал Герца и его производная по t в фиксированный момент времени t = 0, который определяет электромагнитное поле внутри волновода.

Естественно, что и при t = 0 должно выполняться граничное условие. Отсюда следует, что

0 0n

v(r,z) = J0(ЦOn

где v(z) и V(z) уже могут быть произвольными (но должны быть известными по постановке задачи).

Учитывая (39), (40), формулу (37) следует переписать в виде

ч 2^ 0n;

Применяемую процедуру можно строго обосновать, производя оценку интеграла методом стационарной фазы.

Вводя в (45) обозначения

2

В 0nc 2 a

v n =

формулу (45) перепишем в виде

^ 0n

&n (h) = vt

22 h a n

2

^ 0n J

Подставляя (47) в интеграл (43) и пользуясь готовым результатом Джексона, получаем:

r )v

r -)V

П(г, z, t) = -і Re

exp|-(z - va2h0t)2/21? (1+ia2vt /1?')]

д/і +

22

x exp[ih0z - iv(1 + h0 a /2)t] + exp[-(z + va2h01)2 /2I?(1 + ia2vt /I2)]

A(h) =

1

42?? j

J

v

ra

V

e ~ihzdz

Рассмотрим [3] пример, когда „2

v(z) = e 21 cos h0 z , V(z) = 0 . Подставив (41) в (37), получим

\j1 +

2^1 r

x exp[-ih0 z - iv

0 ’ a

Физический анализ огибающей электромагнитного импульса будет приведен в следующей статье.

В частности, групповая скорость (по точной формуле (38)) равна

2

I

2

I

2

A

2

2

I2 2

+exp 2 (h+h0)2

vrp =-

dro

dh

>=A (h).

p0nc h0a*

1

h=h0

2

» 0n

ф + h02 a 2/Ц 2n

= c-

h0 a

P 0n

Для вычисления П(г , z, t) подставим (42) в (36):

і

1 + h0 a / P 0n

1

П(г,z,t) = —1= Re J (exp

242? _Q

I 2 2

~ — (h - h0)2

exp

I2

(h +h0)2

J0(H0n —)ei[hz~°m']

dh

Если волновое число h0, задаваемое в условии (4) таково, что при заданном радиусе волновода

1 V_ „ 1

8 и0„ ' <44)

то (38) можно заменить приближенной формулой

Литература: 1. Чумаченко С.В. Расчет искажения огибающей электромагнитного импульса при его распространении в регулярном волноводе. Основные положения. I // Радиоэлектроника и информатика. 1999. №4. С.10-12. 2. Чумаченко С.В. Расчет искажения огибающей электромагнитного импульса при его распространении в регулярном волноводе. Основные положения. II // Радиоэлектроника и информатика. 2000. № 1. С.19-23. 3. ДжексонДж. Классическая электродинамика. М.: Мир, 1965. 702с.

Поступила в редколлегию 19.02.2000

Рецензент: д-р техн. наук, проф. Руженцев И.В.

Чумаченко Светлана Викторовна, канд. физ.-мат. наук, ассистент кафедры АПВТ ХТУРЭ. Научные интересы: математическая физика. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 40-93-26.

i

a

a

1

i

a

1

2

a

28

РИ, 2000, № 2