Активная параметрическая идентификация стохастических нелинейных непрерывно-дискретных систем на основе линеаризации во временной области

стохастическая динамика и хаос

УДК 681.5.015

активная параметрическая идентификация стохастических нелинейных непрерывнодискретных систем на основе линеаризации во временной области

В. М. Чубич,

канд. техн. наук, доцент

Новосибирский государственный технический университет

Впервые рассмотрены теоретические и прикладные аспекты активной параметрической идентификации стохастических нелинейных непрерывно-дискретных систем. Приведены оригинальные результаты для случая, когда подлежащие оцениванию параметры математических моделей могут входить в уравнения состояния и наблюдения, начальные условия и ковариационные матрицы помех динамики и ошибок измерений. Рассмотрен пример оптимального оценивания параметров одной модельной структуры.

Ключевые слова — оценивание параметров, метод максимального правдоподобия, планирование оптимальных входных сигналов, информационная матрица Фишера, критерий оптимальности.

Введение

Проблема идентификации относится к одной из основных проблем теории и практики автоматического управления и является обязательным элементом решения крупномасштабных прикладных задач. Качественное решение данной проблемы способствует эффективному использованию современных математических методов и сложных наукоемких технологий при проектировании различных систем управления подвижными и технологическими объектами, построении прогнозирующих моделей, конструировании следящих и измерительных систем.

По способу проведения эксперимента существующие методы идентификации можно разделить на пассивные и активные. При пассивной идентификации для построения математической модели используются реально действующие в системе сигналы и нормальный режим эксплуатации не нарушается. Методы пассивной идентификации достаточно полно описаны, например, в работе [1]. Активная идентификация, напротив, предполагает нарушение технологического режима и подачу на вход изучаемой системы специальным образом синтезированного сигнала. Его находят в результате решения экстремальной задачи для некоторого предварительно выбранного

функционала от информационной (или дисперсионной) матрицы вектора оцениваемых параметров. Трудности, связанные с необходимостью нарушения технологического режима, должны окупаться за счет повышения эффективности и корректности проводимых исследований, что обусловлено самой идеологией активной идентификации, базирующейся на сочетании приемов параметрического оценивания с концепцией планирования эксперимента [2—4].

Более определенно процедура активной идентификации систем с предварительно выбранной модельной структурой предполагает выполнение следующих этапов:

1) вычисление оценок параметров по измерительным данным, соответствующим некоторому пробному сигналу;

2) синтез на основе полученных оценок оптимального по некоторому выбранному критерию сигнала (планирование эксперимента);

3) пересчет оценок неизвестных параметров по измерительным данным, соответствующим синтезированному сигналу.

Целесообразность применения концепции активной идентификации при построении математических моделей стохастических динамических систем показана, например, в работах [5—13]. При этом основное внимание зарубежных уче-

ных в настоящее время обращено на линейные модели в форме передаточных функций [7, 8, 10], нелинейные FIR-модели [7, 11] и детерминированные нелинейные модели в пространстве состояний [5, 9]. Стохастические модели в пространстве состояний рассматривались авторами работ [6, 12, 13]. Тем не менее, данная область исследований остается еще недостаточно изученной, а возможности применения в ней методов оптимального планирования экспериментов выявлены далеко не полностью. В настоящей статье приведены результаты исследований автора в рамках указанной проблемы применительно к многомерным стохастическим нелинейным непрерывно-дискретным системам, описываемым моделями в пространстве состояний.

Постановка задачи

Рассмотрим следующую модель управляемой, наблюдаемой, идентифицируемой динамической системы в пространстве состояний:

х^)= f [х^), и^), t| + а(^^), t е[^, tN]; (1) г 1

У

к = 0, 1, ..., N -1,

где х(г) — ге-вектор состояния; и(г) — детерминированный г-вектор управления (входа); w(г) — ^-вектор возмущения; у(гЫ+1) — т-вектор измерения (выхода); v(гы+l) — т-вектор ошибки измерения.

Предположим, что:

• вектор-функции Ах(г), и(г), г] и Щх(гЫ+1), гЫ+1] непрерывны и дифференцируемы по x(г), u(г) и х(гЫ+1) соответственно; случайные векторы w(г) и v(гk+l) являются стационарными белыми гауссовыми шумами, для которых

Е^(t)] = 0, Е^(t)wт (т)] = Q5(t-т);

Е^*+1)] = 0, Е[^+1 )vT (^+1)] = К5к;;

ЕГv(tk+l )wт (т)] = 0, к, I = 0, 1, ..., N -1, т £ ^0, tN ]

(здесь и далее Е[] — оператор математического ожидания, 5(г - т) — дельта-функция, 5Ы — символ Кронекера);

• начальное состояние x(гo) имеет нормальное распределение с параметрами

Е[х(t0 )] = х0, Е{х(*0 )-х0][х0 )-х0 } }= р0

и не коррелирует с w(г) и v(гы+l) при любых значениях переменной Ы;

• подлежащие оцениванию параметры ©=(01,

02, ..., 08) могут содержаться в вектор-функциях ^х(г), u(г), г], ^х(гЫ+Д гЫ+1], матрицах G(г), Q, И, P0 и векторе Х0 в различных комбинациях.

Необходимо для математической модели (1), (2) с учетом высказанных априорных предположений разработать процедуру активной параметрической идентификации, включающую в себя оценивание параметров и планирование входных сигналов, исследовать эффективность и целесообразность применения указанной процедуры. В такой постановке задача рассматривается и решается впервые.

Линеаризация модели

Считая значение вектора неизвестных параметров © фиксированным, выполним линеаризацию во временной области нелинейной модели (1), (2) относительно номинальной траектории {хд-(г), ге[го, г^]}, для которой

^хн

хН (t0 ) = х0.

Разложив вектор-функции Ах(г), и(г), г] и Щх(гЫ+1), гЫ+1] в ряды Тейлора в окрестностях точек [хя(г), ия(г)] и хя(гЫ+1) соответственно и отбросив члены второго и более высоких порядков, запишем уравнения линеаризованной модели

X (t) = f Гхн (t), ин (^ t] +

» и н ^Цх (t)-х н (t)] +

3х

^ [хн (t) иН (t) ё

и

3и

У (*к+1 )= Ь [х Н (ёк+1 ), ёк+1 ] + [хН (tk+l) ёк+1 ]

ах

х[х

для которой и будем решать поставленную зада-

чу. С учетом обозначений

а (ё)= Ї [хн (ё), ин (t) t]-

[хн(t), ин (ё), ё] (ё) ,

3Х(ё) х н (ё)+

[и ё)-и н ё);

„(.> 31 [нн н). ин(ё). А; ...

р

А(ёк+1)— Ь[хн (ёк+1 ), ё+1 3Ь [хн (ёк+1 ), ёк+1

Н(ёк+1 ) —

3х

3Ь [х н (ёк+1) ёк+1

н

Зх

соотношения (4), (5) определяют непрерывнодискретную модель гауссовой линейной нестационарной системы, описывающейся уравнениями

^х^)=a

у (1к+1 )=А (1к+1 )+ Н (1к+1)х (1к+1 )+^к+1),

6—0, 1, ..., N-1.

Заметим, что изложенный способ линеаризации не применим к неоднозначным функциям и нелинейностям, имеющим угловые точки и разрывы. Для линеаризации таких нелинейностей можно воспользоваться методом статистической линеаризации.

Оценивание неизвестных параметров

Оценивание неизвестных параметров математической модели осуществляется по данным наблюдений Е в соответствии с критерием идентификации %(©). Сбор числовых данных происходит в процессе проведения идентификационных экспериментов, которые выполняются по некоторому плану £у.

Предположим, что экспериментатор может произвести V запусков системы, причем сигнал и1 он подает на вход системы Ы1 раз, сигнал и — Ы2 раза и т. д., наконец, сигнал и? — раз. В этом случае дискретный (точный) нормированный план эксперимента ^ представляет собой совокупность точек и1, и2, — , и^ называемых спектром плана, и соответствующих им долей повторных запусков:

иі, и,и,

К

кі К2 ,

V

> • • •»

V V

и, ЄОи, і — 1, 2, q.

ПисНДг задает ограничения на условия проведения эксперимента. Будем считать, что входной сигнал и(£) является кусочно-постоянным на фиксированных интервалах времени:

и(ё) = и(ёк ), < ё < ёк+1, к = 0, 1, ..., N -1,

т. е. для каждой точки и спектра плана ^ справедливо

и Г={[ и;

Обозначим через Yij у-ю реализацию выходного сигнала (у—1, 2, ..., йі), соответствующую і-му входному сигналу иі (і=1, 2, ..., q). Тогда в результате проведения по плану ^ идентификационных экспериментов будет сформировано множество

5 ={(и*,) І = 1 2, •••’ кі’ і = 1 2, •••’

ч

Е кі = у. і=1

Уточним структуру Yi у

УТ,І = {[У1’1 (ё1 )]Т , [У1’1 (ё2 )]Т , ..

] — 1, 2, ..., кі, і — 1, 2,

ІУі’1

и заметим, что в случае пассивной параметрической идентификации, как правило, д^=1.

Априорные предположения, высказанные при постановке задачи, и выполненная линеаризация моделей состояния и наблюдения относительно выбранной детерминированной опорной траектории (3) позволяют воспользоваться для оценивания параметров методом максимального правдоподобия. В соответствии с этим методом необходимо найти такие значения параметров в, для которых

0 = а^ т1п [—1п£

0! й0 0! й0

где в соответствии с [1, 14]

✓ ч Ыту 1 О. N—1 1

х (0 )= V 1п2п +1 £ *. £ в1 (ъ+1)+1

1=1 к=0

хЕЁ Е [е и

1=1 ]=1 к=0

причем

е 1’* (**+1 )=у 1,7' (**+1)- у 1’* (**+11 ч)»

а У1,1

х1,1 (t 1^ )= ¥1 (1;)х1,1 (t 1 ^)+ а' (t), ^ < 1: < tfe+l;

АР; (111к )= (1)Рг (111к )+

+Рг (111к )[рг (1)|Т + G(t)QGT (1),

1к < 1 < 1к+1;

Вг (1к+1 )= Н (1к+1 )Рг (1к+111к )Гнг (1к+1 )|Т + К;

К (1к+1 )= Р (1к+1 11к )^Н^ (1к+1 )] (1к+1 )] ;

V

х1,7' (**+11**+1)—х1,7' (**+11Ч)+ (^+1 )е 1,7' (^+1);

Р

для Ы=0, 1, ..., N - 1, ] = 1, 2, ..., Ы;, I = 1, 2, ..., q начальными условиями х (10110 )= X0, Р(г0, г0) = Р0.

Для нахождения условного минимума %(©) воспользуемся методом проекции градиента [16], учитывая, что

д% (0) ——— 1

д0

:ЕЕЕ

l=1 j=1k=0

г l’j (tk±i у

де 1,1

д0і

т _1

г , (tk±1 )1 |B' (tk±1 )| x

x—a(tk+1) lBi (tk±i)| г ’1 (<i+i )^+ +2 (k+i Ґ 1

l = 1, 2, ..., s.

Здесь частные производные

дБ

деi,j (t

k+1,

д0 і

д0

по аналогии с [і2] вычисляются по ре-

куррентным аналитическим формулам, вытекающим из уравнений непрерывно-дискретного фильтра Калмана.

Планирование входных сигналов

Предварим рассмотрение алгоритмов синтеза оптимальных входных сигналов изложением некоторых основополагающих понятий и результатов теории планирования эксперимента для нашего случая.

Под непрерывным нормированным планом £ условимся понимать совокупность величин

[U 1, U 2 , ..., U q 1 q

5=1P P P |, Pi -0, Еpi=1,

Ip 1, p2, ..., pq I

i=l

U і Є аU, i = 1, 2, ..., q.

Здесь точки спектра иі имеют такую же структуру, как и в случае дискретного плана ^, но веса рі могут принимать любые значения в диапазоне от 0 до 1, в том числе и иррациональные. Множество планирования определяется ограничениями на условия проведения эксперимента.

Для плана (14) нормированная информационная матрица M© определяется соотношением

M

i=1

в котором информационные матрицы Фишера одноточечных планов

d2 lnl

M(U; 0) = -E------

Y d0d0T

зависят от неизвестных параметров 0, что позволяет в дальнейшем говорить только о локально-оптимальном планировании. Получено [17] весьма сложное в математическом отношении и громоздкое для представления в рамках данной статьи выражение для информационных матриц Фишера M(U; 0), соответствующее модели (10), (11).

Качество оценивания параметров моделей можно повысить за счет построения плана эксперимента, оптимизирующего некоторый выпуклый функционал X от информационной матрицы M(£) путем решения экстремальной задачи

= argmin X[M

Решая задачу планирования эксперимента, мы определенным образом воздействуем на нижнюю границу неравенства Рао—Крамера [1]: например, для D-оптимального плана минимизируем объем, для А-оптимального — сумму квадратов длин осей эллипсоида рассеяния оценок параметров.

При решении экстремальной задачи (16) возможны два подхода. Первый из них (прямой) предполагает поиск минимума функционала X[M(£)] непосредственно с привлечением методов нелинейного программирования. Возможные варианты прямой процедуры синтеза оптимальных входных сигналов представлены в работах [3, 6,

12, 13]. Другой подход (его называют двойственным) основан на теореме эквивалентности [18], обобщенная формулировка которой выглядит следующим образом.

Утверждения:

1) план £* минимизирует X[M©];

2) план минимизирует max ц (U,c,);

Ue^u

3) max ц (U, £*) = n

Ue£2u ' '

эквивалентны между собой. Информационные матрицы планов, удовлетворяющих условиям 1—3, совпадают. Любая линейная комбинация планов, удовлетворяющих 1—3, также удовлет-

йи^ Б7

Таблица 1. Соответствие значений параметров теоремы эквивалентности критериям оптимальности

Критерий оптималь- ности Параметры теоремы эквивалентности

X [ м(§)] Ц(и, 5) л

D -іпавг м(^) Бр [м-1 (% )М(и)] й

А вр [м-1 (%) Бр [м-2 (% )М(и) Бр [м-1 £ )|

воряет 1—3. Выражения для ц(и, £), п приведены в табл. 1.

Приведем двойственную градиентную процедуру построения непрерывных оптимальных планов [2, 12, 18].

Шаг 1. Зададим начальный невырожденный план и по формуле (15) вычислим нормированную матрицу М(^о) плана. Положим ^0.

Шаг 2. Найдем локальный максимум

и1 = а^ тах т

иеОи

методом проекции градиента. Если окажется,

что д (и1, Ъ, I)- п < 5, закончим процесс. Если

ц (и1, ^I )> п, перейдем к шагу 3. В противном случае будем искать новый локальный максимум.

Шаг 3. Вычислим тг по формуле

а^ тіп X

0<т<1

:Т

э/+1

$ Т+1 =(1-т )$ I + т$(и1),

где ^(иг) — одноточечный план, размещенный в точке и

Шаг 4. Составим план £ г+1 =(1-т і )£ і + + т^ (и1), произведем его «очистку» в соответствии с рекомендациями [2], положим і=і+1 и перейдем на шаг 21.

Приведенный алгоритм построения оптимальных сигналов требует вычисления градиента

Vu^ (и,^ )=

ди а

Р = 0, 1, N -1, а = 1, 2, г.

Для критерия D-оптимaльности получаем

д

дііа

= Sp

м-1

б»м

диа

1 Соответствие значений параметров Х[М(£)], ц(и, £), п двойственной процедуры критериям А- и D-оптимальности такое же, как и в табл. 1.

В случае критерия А-оптимальности

дSp [м-2 (5)М(и)1

= Sp

М-2

д

диа

д (Щ___________________

ди,а

Основу рассмотренной процедуры синтеза входных сигналов составляют достаточно сложные объемные алгоритмы вычисления информационной матрицы одноточечного плана М(и; ©) и

дЖ

ее производных

обстоятельно изло-

а (р ) ’

женные автором [17, 19].

Практическое применение в процедуре активной параметрической идентификации построенного непрерывного оптимального плана

и*, и,.

* *

Рі, Р2,--

и*

£р* = 1, р* > о, иг є Ои, 1=1

і = 1, 2, ..., q

затруднено тем обстоятельством, что веса р* представляют собой, вообще говоря, произвольные вещественные числа, заключенные в интервале от 0 до 1. Несложно заметить, что в случае заданного числа V возможных запусков системы * *

величины к = vpi могут оказаться нецелыми числами. Проведение эксперимента требует округления величин к* до целых чисел. Очевидно, что полученный в результате такого округления план будет отличаться от оптимального непрерывного плана, причем приближение тем лучше, чем больше число возможных запусков. Возможный алгоритм «округления» непрерывного плана до дискретного (точного) изложен в работе [4].

Разработанный в рамках системы МА^АВ программный комплекс включает в себя модули, от вечающие за вычисление информационной матрицы и ее производных по компонентам входного сигнала, нахождение оценок неизвестных параметров методом максимального правдоподобия, синтез А- и Б-оптимальных входных сигналов с использованием прямой и двойственной градиентных процедур.

Пример активной параметрической идентификации

Рассмотрим следующую модель стохастической нелинейной непрерывно-дискретной системы:

0,01

а , ч 02 , ч

----х

& 0!

0

~(и(і) — х(і))>

1

хехр [0,25(и(і) - х(і))] + 01 о>(і),

е1

і ЄІІ,

о, tN

y

где 9i, 02 — неизвестные параметры системы, причем 2 < 01 < 10; 0,05 < 02 < 2.

Будем считать, что выполнены все априорные предположения, высказанные при постановке задачи, причем

Е [w(*)w(t)] = 0,85(t - т) = Q5(t - т);

Е [v [+1)v (Ч+1 )] = 048 ki = R ki;

x(t0 )e N (0; 0,01).

Выполнив линеаризацию модели (17), (18) во временной области относительно номинальной траектории:

—хн (t) = ——2 xH (t) + 0,—(uH(t) — xH (t))x

dt

xexp[0,25

xH (to ) = 0,

получим линеаризованную модель вида (10), (11), в которой о oi

a(t) = о— exp[0,25(uh (t) - xh (t))]x yi

x{l + 0,25 (uH (t) — xH (t))] x xu(t) — 0,25 ( uh (t) — xh (t))2 };

F(t) = -02 - M1exp[0,25(uh (t) - xh (t)) x

01 0i

x[1 + 0,25 (uh (t) - xH (t))];

G(t) = 01; A (tk+i )= 0; H (tk+i )= 1.

H1

Необходимо оценить параметры 01, 02, входящие в a(t), F(t) и G(t).

Считая, что для номинальной траектории (19) u^t)=u(t), te[t0, tN], обеспечим наилучшее приближение построенной линеаризованной модели к своему нелинейному аналогу. Выберем область

планирования й и ={u € RN\ 10 < u(tk )< 15,

k = 0, 1, ..., N — 1} и критерий D-оптимальности. Для того чтобы ослабить зависимость результатов оценивания от выборочных данных, произведем шесть независимых запусков системы и усредним полученные оценки неизвестных параметров. Реализации выходных сигналов получим компьютерным моделированием при истинных значениях параметров 0* = 4, 02 = 0,5 и t0=0, t_N=30, N=31.

О качестве идентификации в пространстве параметров и в пространстве откликов будем судить, соответственно, по значениям коэффициентов ke и kY, вычисляющихся по следующим формулам:

е - е

cp

е - е

cp

/Л. \2 /Л. \2

^

kY —

1 >

cp cp

Y - Y А cp А cp 1

N-1

k—О

N-1 / * 2

k—О

где 0* — вектор истинных значений параметров; 0 Ср — вектор усредненных оценок неизвестных значений параметров по исходному входному сигналу; в ср — вектор усредненных оценок неизвестных значений параметров по синтезированному входному сигналу; Yср={уср(^+і), к=0, 1, ...,

N—l}, ¥Ср = {г/Ср (к+11 ^^+1), к = 0, 1 ..., N — 1}

Ър {уср (^й+1 І ^к+1)’ к = 0, 1, ..., N — 1} усредненные по всем запускам последовательности измерений для вектора 0, равного 0*, 0ср, 0ср соответственно, при некотором выбранном допусти-входном сигнале и(і) є Пи; у(ік+11 ік+1) нахо-

мом

дится при помощи равенства

У +11Ч+1 )= А (^k+1)+ н (^k+1 )х +1 11+1 )•

Результаты выполнения процедуры активной параметрической идентификации представлены в табл. 2 (оптимальный план получился одноточечным).

Данные табл. 2 показывают, что коэффициент k0 « 5,27. В пространстве откликов при псевдослучайном входном сигнале и(£), представленном на рис. 1, kY « 1,13. При решении реальных задач истинные значения параметров неизвестны и, таким образом, сравнение качества оценок в пространстве параметров невозможно. Именно поэтому наиболее показательным является сравнение качества оценивания в пространстве откликов (рис. 2, а, б).

Значения полученных коэффициентов k,д и kY позволяют сделать вывод об эффективности и це-

u

16 14 12 10 J-J

-2 3 8 13 18 23 28 33 *

Рис. 1. Тестовый сигнал для анализа качества прогнозирования на основе результатов из табл. 2

Таблица 2. Результаты выполнения процедуры активной идентификации

Исходный и синтезированный входные сигналы Номер запуска системы Значения оценок параметра

01 02

и( £1 1 3,587 0,434

16 14 12 10 8.— 2 6,099 0,565

3 5,735 0,486

4 3,158 0,504

5 3,354 0,484

6 4,002 0,413

-2 3 8 13 18 23 28 33 * Средние значения по запускам 4,322 0,481

и(і) 1 3,156 0,522

18 2 4,724 0,587

16 14 12 10 о 3 4,917 0,537

4 3,320 0,460

5 3,865 0,463

6 4,375 0,500

-2 3 8 13 18 23 28 33 і Средние значения по запускам 4,060 0,512

Рис. 2. Графическое представление Yср и У,*, при ^^), изображенном на рис. 1: а — уср(й+1|й+1) соответствует уСр (*й+11 *к+1); б — уср(й+1|й+1) соответствует уср (^к+1 14+1) •

лесообразности применения разработанной процедуры активной параметрической идентификации при построении моделей стохастических нелинейных непрерывно-дискретных систем.

Заключение

Дано систематическое изложение наиболее существенных для практики вопросов теории и техники активной параметрической идентификации стохастическихнелинейных непрерывнодискретных систем. Рассмотрена и решена задача оптимального оценивания на основе линеаризации во временной области для случая вхождения неизвестных параметров в уравнения состояния и наблюдения, начальные условия и ковариационные матрицы помех динами-

Литература

1. Льюнг Л. Идентификация систем: Теория для пользователя. — М.: Наука, 1991. — 432 с.

2. Федоров В. В. Теория оптимального эксперимента (планирование регрессионных экспериментов). — М.: Наука, 1971. — 312 с.

3. Денисов В. И. Математическое обеспечение системы ЭВМ — экспериментатор. — М.: Наука, 1977. — 251 с.

4. Ермаков С. М., Жиглявский А. А. Математическая теория оптимального эксперимента. — М.: Наука, 1987. — 320 с.

5. Zhao J., Kanellakopoulos I. Active identification for discrete-time nonlinear control. Part I: Output-feed-back systems // IEEE Trans. Automat. Control. 2002. Vol. 47. N 2. P. 210—240.

6. Денисов В. И., Чубич В. М., Черникова О. С. Активная параметрическая идентификация стохастических линейных дискретных систем во временной области// Сиб. журн. индустр. матем. 2003. Т. 6. № 3(15). С. 70—87.

7. Hjalmarsson H. From experiment design to closed-loop control // Automatica. 2005. Vol. 41. P. 393—438.

8. Gevers M., Miskovic L., Bonvin D., Karimi A. Identification of multi-input systems: variance analysis and input design issues // Automatica. 2006. Vol. 42. P. 559—572.

9. Jauberthie C., Denis-Vidal L., Coton P., Joly-Blanchard G. An optimal input design procedure// Automatica. 2006. Vol. 42. P. 881—884.

10. Rojas C. R., Welsh J. S., Goodwin G. C., Feuer A. Robust optimal experiment design for system identification // Automatica. 2007. Vol. 43. P. 993—1008.

11. Hjalmarsson H., Martensson J., Ninness B. Optimal input design for identification of nonlinear systems:

ки и ошибок измерений. Разработаны оригинальные градиентные алгоритмы активной идентификации, позволяющие решать задачи оптимального оценивания параметров математических моделей методом максимального правдоподобия с привлечением прямой и двойственной процедур синтеза А- и D-оптимальных входных сигналов. Показана эффективность и целесообразность применения разработанной процедуры активной параметрической идентификации при построении моделей стохастических нелинейных непрерывно-дискретных систем.

Работа выполнена при поддержке Федерального агентства по образованию в рамках ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009—2013 гг.

learning from the linear case // American control conf. (ACC), 9—13 July 2007. P. 1572—1576.

12. Денисов В. И. и др. Активная параметрическая идентификация стохастических линейных систем. — Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2009. — 192 c.

13. Chubich V. M. Application of methods of experiment design theory in problem of stochastic nonlinear discrete systems identification // Proc. of the IASTED international conferences on automation, control, and information technology (ACITCDA 2010), Novosibirsk, Russia, 15—18 June 2010. P. 272—279.

14. Astrom K. J. Maximum likelihood and prediction errors methods // Automatica. 1980. Vol. 16. P. 551—574.

15. Огарков М. А. Методы статистического оценивания параметров случайных процессов. — М.: Энер-гоатомиздат, 1980. — 208 c.

16. Базара М., Шетти К. Нелинейное программирование. — М.: Мир, 1982. — 583 c.

17. Чубич В. М. Особенности вычисления информационной матрицы Фишера в задаче активной параметрической идентификации стохастических нелинейных непрерывно-дискретных систем // Науч. вест. НГТУ. 2009. № 1(34). C. 41—54.

18. Mehra R. K. Optimal input signals for parameter estimation in dynamic systems — survey and new results // IEEE Trans. Automat. Control. 1974. Vol. 19. N 6. P. 753—768.

19. Чубич В. М., Филиппова Е. В. Вычисление производных информационной матрицы Фишера по компонентам входного сигнала в задаче активной параметрической идентификации стохастических нелинейных непрерывно-дискретных систем // Науч. вест. НГТУ. 2010. № 2(39). C. 53—63.