Использование фрактальных методов для анализа финансовых рядов

УДК330.4

Ю. П. Александровская

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ФРАКТАЛЬНЫХ МЕТОДОВ ДЛЯ АНАЛИЗА ФИНАНСОВЫХ РЯДОВ

Ключевые слова:финансовый ряд, фрактальный рынок, показатель Херста.

Проведен сравнительный анализ основных постулатов теорий эффективного и фрактального рынков. Исследованы фрактальные свойства динамического финансового ряда на основе метода нормированного размаха. Показана фрактальная структура динамики котировок продажи золота на базе данных ОАО «Сбербанк России».

Keywords: financial row, fractal market, Hurst exponent.

The comparative analysis of the main postulates of theories of the effective and fractal markets is carried out. Fractal properties of a dynamic financial row on the basis of a method of rated scope are investigated. The fractal structure of dynamics of quotations of sale of gold on a database ofJSC Sberbank ofRussia is shown.

Введение

Люди и компании во всем мире ежедневно ставят перед собой вечные вопросы: в какой форме хранить свои сбережения? Куда вкладывать существующие финансовые ресурсы, чтобы они приносили доход при заданном уровне риска? Как оценить истинную стоимость активов, чтобы не переплатить посредникам? Как выбрать оптимальное сочетание активов, среди которых акции, облигации, дерива-тивы, золото, банковские вклады и безотказная наличность?

Лучше понять природу ценообразования на рынках финансовых активов помогают исследования нынешних Нобелевских лауреатов. Присуждение Нобелевской премии по экономике за 2013 год Юджину Фаме, Роберту Шиллеру и Ларсу Питеру Хансену возобновило дискуссии об эффективности и границах применимости краткосрочных и долгосрочных прогнозов на финансовом рынке. Предложенная Ю. Фамой идея информационной эффективности рынка, по сути, есть другая формулировка главной теоремы технического анализа, а подход Р. Шиллера опирается, прежде всего, на результаты работы компании. Таким образом, эта дискуссия представляет собой спор сторонников фундаментального и технического анализов финансового рынка.

Развитие взглядов на финансовые рынки

Классическая финансовая теория основана на гипотезе об эффективности финансовых рынков, то есть на предположении о том, что на рынке цена актива определяется путем непредвзятой оценки его ценности. Теория эффективных рынков возникла на финансовом факультете Чикагского университета и долгое время ученые верили в то, что фондовый рынок победить нельзя, поскольку вся имеющаяся информация уже заложена в ценах. Гипотеза эффективного рынкабыла высказана в шестидесятые годы в работах Нобелевского лауреата экономиста Пола Самуельсона и других, официально же она датирована диссертацией Юджина Фама в 1964 году. Ее родословная, однако, начинается намного раньше -с защиты диссертации в 1900-м году Луи Башелье. Он высказал предположение, что текущая цена является наилучшим предсказателем будущей, так как,

если бы существовали еще более заслуживающие доверия предсказатели, она бы немедленно их отразила. Как утверждает Ю. Фама, «на эффективном рынке соревнование среди многих интеллектуальных участников приводит к ситуации, когда в любое время текущие цены индивидуальных ценных бумаг уже отражают результаты информации, базируемой на событиях, уже произошедших, и на событиях, которые на рынке теперь».

Рынок выступает в качестве высокочувствительного информационного сверхпроводника, быстро реагирующего на каждый «квант сведений», способный изменить цену, машины по определению истинной стоимости активов, обеспечивая тем самым оптимальное распределение рисков и доходно-стей в экономике.

Согласно этой теории, «эффективность» рынка проявляется именно в скорости «обработки» той информации, которая может повлиять на баланс спроса и предложения. Именно в этом смысле говорят, что она соответствующим образом закладывается в цену. Теория эффективного рынка утверждает, что в цене «сидит» вся необходимая информация [1].Иными словами, финансовый рынок признавался рациональным.

В неоклассической теории финансов обсуждаемая концепция выражается путем формулирования и обоснования гипотез эффективности рынка, утверждающих о теоретически возможном существовании трех форм эффективности рынка — слабой, умеренной и сильной. Экономисты 1950-1960-х, изучив поведение цен на рынке акций с помощью статистических методов, пришли к выводу, что оно случайное, не подчиняется экономическим законам, а потому иррациональное. Самуэльсон выдвинул предположение, что случайность поведения цен не является признаком иррациональности, и выдвинул теорию «случайного блуждания». В 1970 году Фама развил теорию, признав некоторые ограничения в доступе к информации и определив три возможные формы эффективного рынка: слабую, полусильную и сильную.Так, если текущие рыночные цены отражают все известные исторические данные по ценам и объемам торгов, то рынок характеризуется «слабой формой эффективности» и, следовательно, самостоятельный технический анализ не сделает ин-

вестора более успешным. Если вся доступная для участников рынка информация отражена в ценах, то рынок характеризуется «полусильной формой эффективности». В этом случае самостоятельный фундаментальный анализ не даст инвестору новых идей. Наконец, если цены отражают всю информацию, включая инсайдерскую, и даже инвесторы, имеющие к ней доступ, не могут заработать, то можно утверждать, что рынок обладает «сильной формой эффективности». Таким образом, на каждом уровне доступа к информации невозможно получать доход, превышающий среднерыночный [2].

Однако за последнее десятилетие теория эффективного рынка, которая в 1970-х годах превратилась почти что в аксиому, серьезно пошатнулась. Ученые находят все больше и больше подтверждений несостоятельности этой гипотезы. Аномальное поведение рынков и различного рода кризисы, происходящие на них, являются веским тому подтверждением [3].

Первый удар нанесли сторонники теории бихевиоризма, такие как Ричард Тейлер из Чикагского университета и Роберт Шиллер из Йельского университета, которые довольно убедительно продемонстрировали, что психология масс, стадное поведение и тому подобные явления могут оказывать значительное влияние на динамику фондовых рынков. То есть, в действительности, рынки оказывались не такими уж эффективными.

Роберт Шиллер пытался понять предсказуемость рынка на длинных промежутках времени. Он выяснил, что цены акций более волатильны (изменчивы), чем фундаментальные факторы, лежащие в основе колебаний, — например, дивиденды.

На фоне неутихающих споров по поводу применимости гипотезы эффективных рынков ученые начали заниматься разработкой новых подходов к оценке рисков на фондовых рынках. В последнее время пристальное внимание заслужил подход, основанный на гипотезе фрактального рынка, предложенный Бенуа Мандельбротом. Этот подход описан в его книге «(Не)послушные рынки. Фрактальная революция в финансах». В ней также приводятся примеры, опровергающие основные постулаты старой теории, и высказывается предположение о фрактальности рынка. Он пишет: «Прибыль и риск составляют пропорцию, но стандартная арифметика к ней неприменима. Знаменатель, т. е. риск, больше, чем обычно принято считать, поэтому результатом отношения обязательно станут обманутые надежды» [4]. В качестве принципиально нового инструмента оценки рисков, он предложил использовать фрактальную геометрию. Он показал, что с помощью фрактальной теории можно создавать очень правдоподобные ценовые диаграммы котировок акций или фондовых индексов, а с помощью фрактальной размерности оценивать риски вложения в те или иные акции.

В книге Э. Петерса «Фрактальный анализ финансовых рынков. Применение теории Хаоса в инвестициях и экономике» в дополнение к описанию гипотезы фрактального рынка проводятся расчеты, подтверждающие, что современный рынок

имеет фрактальную природу. Он также рассматривает методы фрактального анализа рынков акций, облигаций и валют [5]. В статьях Пашутина С.Б. «Нелинейная динамика российского рынка: фрактальный подход к устранению хаоса» и Готовчикова И.Ф. «Оценка путей совершенствования стратегий поведения на российском валютном рынке» проводится анализ российского фондового рынка, подтверждающий его фрактальный характер, а также описывается взгляд на фрактальную теорию с позиции теории хаоса и рассматривается проблема устойчивости отдельных компаний на рынке.

При фрактальном подходе исследуемый временной ряд рассматривается в качестве фрактала. Под фракталом понимается «сложная геометрическая фигура, обладающая свойством самоподобия, то есть составленная из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком». Основным параметром, характеризующим фрактальный временной ряд, является его фрактальная размерность. Так для оценки валютных кризисов производится анализ динамики фрактальной размерности валютных курсов и определяются диапазоны колебаний валютного курса, в рамках которых рынок находится в устойчивом состоянии.

Исследование фрактальных свойств финансового ряда. Результаты и обсуждение

Современный финансовый рынок представляет собой семиблочную систему относительно самостоятельных звеньев. Такими звеньями являются денежный рынок, рынок ссудных капиталов, рынок ценных бумаг, страховой рынок, рынок недвижимости, валютный рынок, рынок драгоценных металлов и драгоценных камней.

Рынок драгоценных металлов представляет собой механизм, являющийся важнейшей составной частью производства, распределения и потребления финансовых активов, обеспечивающий и регулирующий потребности путем реализации продуктов добычи и перераспределения высвобожденных запасов [6].

Высокая удельная ценность, ликвидность определяют использование драгоценных металлов и камней в качестве финансовых активов. Слитки и монеты из драгоценных металлов являются объектом банковского и биржевого оборотов, входят в состав государственных и международных золотовалютных резервов, выступают важнейшим ресурсом, способным обеспечить экономический и финансовый потенциал государства-продуцента, гарантировать стабильность банка, а также благосостояние отдельного человека.

В работе исследовались фрактальные свойства динамики котировок золота в ОАО «Сбербанк России». В качестве данных в исследовании были взяты ежедневные цены покупки золота за период с 1 января 2011 года по 1 января 2014 года. Динамика цены покупки золота ОАО «Сбербанк России» показана на рисунке 1.

Основным параметром, характеризующим фрактальный временной ряд, является его фрак-

тальная размерность. На практике при исследовании фрактальных свойств динамических рыночных показателей обычно определяется показатель Херста (Н), связанный с фрактальной размерностью соотношением:

0 = 2-//,

где Б - фрактальная размерность; Н - показатель Херста.

1ВОО

121)0

01.01.2011 11.12.2С11 20.11.2012 02.11.2013

Рис. 1 - Динамика цены продажи золота ОАО «Сбербанк России», руб/г

Показатель Херста используется для поиска в динамическом ряду смещений. На рынках капитала эти смещения могут генерироваться инвесторами, которые с запозданием реагируют на текущую обстановку. Изменить размер смещения или его направление может только новая информация.

Показатель Херста позволяет проводить классификацию временных рядов по степени их случайности:

1) если " ^ 3 . то подтверждается гипотеза эффективного рынка, события являются некоррелированными, и они уже использованы и обесценены рынком;

2) если показатель Херста лежит в промежутке от 0 до 1, но не равен 0,5, то ряд является фракталом и его поведение значительно отличается от случайных блужданий. При й :> события, происходящие сегодня, будут учитываться в динамике рынка завтра, т. е. рынок продолжает учитывать полученную информацию и некоторое время спустя после наступления события. Если показатель Херста колеблется от 0,5 до 1, то процесс характеризуется долговременной памятью. Это означает, что последующие показатели сильно зависят от прошедших. К этому близка характерная для хаоса чувствительность к начальным условиям. Информационное влияние на рынок в этом случае продолжительно по времени и его нельзя сравнивать просто с автокорреляцией, так как в случае автокорреляции влияние информации быстро падает. Такое влияние хотя и ослабевает со временем, но гораздо медленнее, чем при кратковременных зависимостях [3].

3) Показатель Херста, колеблющийся от 0 до 0,5, означает антиперсистентный процесс. То есть система меняется быстрее, чем случайная. Это означает частые, но небольшие изменения. Можно сказать, что чем выше показатель Херста, тем меньше на временном ряду «зазубрин». Можно предположить, что при показателе Херста равном единице

будем иметь гладкую прямую (восходящий или нисходящий тренд).

В природе встречаются системы первого типа, с показателем Херста от 0,5 до 1, которые называются персистентными (согласно Мандельброту

- инерционными). Персистентные процессы характеризуются независимостью от временного масштаба. Дневные изменения зависят от прошедших дневных изменений в той же степени, что и, например, недельные изменения зависят от прошедших недельных изменений. Очевидно, что это свойство персистентных процессов является фрактальным.

По показателю фрактальности Н также можно делать выводы о степени рискованности вложения в тот или иной актив:

а) при Нблизком к 1 цены на рассматриваемый актив ведут себя более предсказуемо, поэтому риски, связанные с этим активом меньше;

б) при Нблизком к 0 поведение цен более непредсказуемо и хаотично, поэтому выше риски, связанные с покупкой актива;

в) при ^ = движение цен представляет собой случайное броуновское движение.

Показатель Херста рассчитывается с помощью метода нормированного размаха (Я/^-анализа), где Я - размах вариации, а - стандартное отклонение.

Размах вариации изменяет свой масштаб в зависимости от числа наблюдений по степенному закону. Изменение масштаба по степенному закону

- это признак самоподобия и, как следствие, фрак-тальности временного ряда.

В соответствии с алгоритмом метода нормированного размаха [7] исходный временной ряд длиной М преобразовывался с помощью логарифмических соотношений, и был получен временной ряд длиной $ = — 1 со значениями уровней:

X к = I од (1^/Мк), к 1,2,..., ^-1 ;

Далее определяются собственные делители (а) числа ^ такие, что целое количество наблюдений п в каждом из смежных подпериодов, образованных путем деления всего исследуемого периода на соответствующий собственный делитель, было не меньше десяти:

N = а- п,

п- целое, п >10.

Таким образом было получено 17 вариантов разбиения исходной выборки на подвыборки равной длины.

Для каждого варианта разбиения (соответствующего одному из выбранных собственных чисел а) вычислялся средний нормированный размах по следующему алгоритму:

1. для каждого /-го подпериода времени вычислялось выборочное среднее значение цены продажи золота:

IX/

^ -1=_

где а - среднее значение цены продажи золота в

/'-том подпериоде, Хк . - цена продажи золота на км наблюдении /'-того подпериода, П - количество наблюдений в подпериоде; 2. для каждого '-го подпериода времени вычислялось выборочное стандартное отклонение цены продажи золота:

5,-* =

где а - стандартное отклонение цены продажи золота в '-том подпериоде;

3. для каждого подпериода времени вычислялся размах цены продажи золота:

= тах

4. для каждого подпериода времени вычислялся

нормированный размах цены продажи золота: % я>

5. вычислялся средний нормированный размах цены продажи золота:

И%1

я/

Результаты расчета представлены в табл. 1. Таблица 1- Результаты Я/8-анализа

а п К/8 ^

114 10 3,01 1,00 0,48

95 12 3,36 1,08 0,53

76 15 3,86 1,18 0,59

60 19 4,33 1,28 0,64

57 20 4,49 1,30 0,65

38 30 5,89 1,48 0,77

30 38 6,75 1,58 0,83

20 57 8,18 1,76 0,91

19 60 8,53 1,78 0,93

15 76 10,25 1,88 1,01

12 95 10,89 1,98 1,04

10 114 11,45 2,06 1,06

6 190 16,11 2,28 1,21

5 228 14,49 2,36 1,16

4 285 20,87 2,45 1,32

3 380 23,55 2,58 1,37

2 570 26,69 2,76 1,43

Затем строилось уравнение парнойрегрес-сии, в котором в качестве результирующего признака использовался логарифм нормированного размаха, а в качестве независимого фактора - логарифм количества наблюдений в подвыборке:

|^)=1од р)+/Мод РЬ

В этом уравнении коэффициент регрессии соответствует значению показателя Херста.

В результате проведенного регрессионного анализа было получено следующее уравнение:

•1од р)+£. ?,21 ) ^5,35 )

На рисунке 2 представлены результаты моделирования на основе уравнения регрессии.

Ц%)

/%) = -0,05+ 0,64

Рис. 2 - Моделирование нормированного размаха от объема выборки в логарифмической шкале

Для проверки значимости уравнения регрессии использовалась статистика Фишера, которая сравнивалась с табличным значением для уровня значимости 5%, количества факторов и количества элементов в выборке. Полученное уравнение объясняет 99% (Д* =0.99 ) вариации исследуемого признака и является статистически значимым () и, следовательно, может быть использовано для проведения дальнейших исследований. Также проверялась значимость параметра Нс помощью статистики Стьюдента, которая также сравнивалась с табличным значением. Значение коэффициента Херста, полученное по выборке, состоящей из 1141 наблюдения, статистически значимо () и может быть распространено на всю генеральную совокупность.

Из проведенного анализа следует, что ежедневные изменения котировки золота характеризуются как персистентный процесс Херста(Н=0,64) и временной ряд характеризуется эффектом «долговременной памяти». То есть, теоретически, то, что происходит сегодня на рынке золота, воздействует на будущее.

Для проверки обоснованности результатов дополнительно проводился тест, основанный на случайном перемешивании элементов динамического ряда, в результате которого был полностью нарушен порядок исходного ряда. Если ряд в действительности является независимым, то вновь вычисленный показатель Херста не изменится, поскольку отсутствовал эффект долговременной памяти, то есть корреляции между наблюдениями. В этом случае перемешивание данных не оказывает влияния на качественные характеристики данных.

Если же имеет место эффект долговременной памяти, то порядок данных весьма важен. Перемешанные данные разрушают структуру системы. Оценка Н окажется значительно ниже и будет приближаться к 0,5, даже если частотное распределение наблюдений не изменится [1].

После случайного перемешивания ряда котировок золота было построено следующее уравнение регрессии:

1д(%) = 0,27 + 0,09 1од (?)+£.

Полученное уравнение является статистически значимым (Б=146,75) и объясняет 90% изменчивости исследуемого признака. Проверка на значимость по статистике Стьюдента показала статистическую значимость коэффициента Херста ().

Резкое уменьшение значения показателя Хер-ста подтверждает вывод о фрактальной структуре реального ряда котировок продажи золота. При разрушении структуры системы ряд стал антиперси-стентным.

Заключение

Современный финансовый рынок характеризуется значительной сложностью протекающих на нем процессов. С одной стороны финансовый рынок достаточно хаотичен, поскольку его эволюция определяется волей большого количества людей, а с другой в нем действуют устойчивые механизмы, определяемые коллективным поведением участников.

В этой связи построение формальных моделей, позволяющих лучше понять структуру и поведение рынка, как единого целого, так и его составляющих, в течение длительного времени привлекали и продолжают привлекать внимание практиков и исследователей.

Стандартные методы моделирования временных рядов для анализа и прогнозирования процессов, происходящих на финансовых рынках, часто дают неудовлетворительные результаты. Можно отметить разрыв между действительными экономическими реалиями и экономическими теориями.

Неспособность линейных моделей объяснять реально происходящие процессы привела к созданию альтернативных подходов, в основу которых заложено изучение рынка капитала как нелинейной динамической системы, где все вновь возникающие цены находятся в зависимости от своих

предыдущих значений, а поступающая на рынок новая информация не всегда находит немедленное и симметричное отражение в ценах на рыночные активы.

В современных условиях нелинейный подход не является интегрированной и цельной концепцией, но представлен большим количеством различных подходов и методов анализа, требующих дальнейшего развития и разработки. Наиболее детально разработанной в свете адаптации к условиям финансовых рынков среди нелинейных концепций можно назвать гипотезу фрактального рынка.

Проведенное в работе исследование фрактальных свойств финансового ряда котировок продаж золота на основе И/8-анализа указывает на зависимость будущих цен от их прошлых изменений.

Таким образом, процесс ценообразования на рынке золота глобально детерминирован, зависим от начальных условий, то есть прошлых значений. Локально же процесс ценообразования случаен и в каждом конкретном случае цена золота имеет не менее двух вариантов развития. Фрактальный анализ рынка напрямую исходит из фрактальной теории и заимствует свойства фракталов для получения прогнозов.

Литература

1. Э. Петерс, Хаос и порядок на рынках капитала. Новый аналитический взгляд на циклы, цены и изменчивость рынка. Мир, Москва, 2000. 333 с;

2. В. Сафонов, Практическое использование волн Эллиота в трейдинге: диагностика, прогнозирование и принятие решений. Альпина Паблишер, Москва, 2002. 363 с;

3. Р.М. Нуртдинов, А.Р. Нуртдинов, Вестн. КГТУ, 17, 12, 284-290(2014);

4. Б. Мальдерброт, Фрактальная геометрия природы. Институт компьютерных исследований, Москва, 2002. 656 с

5. Э. Петерс, Фрактальный анализ финансовых рядов. Интернет-трейдинг, Москва, 2004. 304 с.;

6. С.С. Берман, Вестн. КГТУ, 14, 5, 293-298 (2011);

7. А.В. Зиненко, Бизнес-информатика, 3, 24-30 (2012);

© Ю. П. Александровская - к.т.н., доц. каф. бизнес-статистики и математических методов в экономике КНИТУ, ualeksandrovskaya@mail.ru.

© J. P. Aleksandrovskaya, Cand.Tech.Sci., the associate professor, the associate professor of business statistics and mathematical methods in economy KNRTU, ualeksandrovskaya@mail.ru.