Прямое моделирование упругопластического поведения поликристаллов на мезоуровне

Прямое моделирование упругопластического поведения поликристаллов на мезоуровне

В.Н. Ашихмин, П.В. Трусов

Пермский государственный технический университет, Пермь, 614600, Россия

В работе рассмотрен подход к прямому моделированию упругопластического поведения двумерного представительного объема поликристалла на мезоуровне. В качестве модельного материала используется плоский кристалл. Анализируются особенности двумерного напряженно-деформированного состояния. Исследуется влияние числа систем скольжения, анизотропии упругих свойств, а также величины напряжения начала скольжения и модуля упрочнения материала зерна на мезо- и макропараметры представительного объема.

1. Введение

Бурное развитие вычислительной техники в последнее время активизировало работы по прямому моделированию поведения представительного объема неоднородного материала на мезоуровне. Как правило, процедура подобного моделирования сводится к решению краевой задачи для представительного объема с использованием тех или иных численных методов. Обзор публикаций в данной области приведен в работе [1], авторы которой предлагают обобщающий термин «вычислительная мезомеханика материалов» для подобных моделей.

Реализация прямых моделей, описывающих поведение представительного объема поликристаллическо-го материала на мезоуровне и использующих метод конечных элементов, имеет ряд особенностей. Во-первых, неоднородность и анизотропия физико-механических свойств, связанная с формой, размерами и ориентацией кристаллографических осей материала зерен, а также требование представительности моделируемого объема, заставляющее рассматривать достаточно большое число зерен, приводят к необходимости решения систем линейных алгебраических уравнений большой размерности. Во-вторых, существенная нелинейность физико-механических свойств материала зерен при моделировании упругопластического поведения материала приводит к

длительной итерационной процедуре получения решения. Для уменьшения отмеченных вычислительных сложностей можно выбрать два пути:

1) сократить число искомых параметров за счет более грубой аппроксимации исследуемой области (например, зерно описывать одним конечным элементом);

2) уменьшить размерность задачи (т.е. от трехмерной постановки перейти к двумерной).

Оба пути имеют серьезные недостатки. Грубая аппроксимация структуры материала представительного объема может привести к сглаживанию всех полей и качественному искажению получаемых результатов. При переходе к двумерной постановке задачи не рассматриваются многие существенно объемные моды деформации и, следовательно, исключаются из рассмотрения многие интересные особенности в поведении поликристаллов. Однако реализация двумерной модели значительно проще и требует значительно меньше как вычислительных, так и временных затрат. Кроме того, двумерная постановка значительно упрощает качественный анализ как разрешающих соотношений, так и получаемых результатов. Поэтому при разработке методики и алгоритмов решения подобных задач данный путь кажется более предпочтительным. После апробации методики и отладки алгоритма можно перейти к построению трехмерной модели.

© Ашихмин В.Н., Трусов П.В., 2002

2. Двумерная модель представительного объема

Переход к двумерным моделям обычно выполняют с использованием подходов Т. Абе или Т. Лина [2] (рис. 1).

Оба подхода были предложены для моделирования упругого поведения поликристалла. При моделировании дислокационного скольжения для подобных моделей необходимы дополнительные гипотезы и ограничения. Например, что делать с системой скольжения, плоскость которой не перпендикулярна плоскости моделирования? Можно принять, что плоскость моделирования совпадает с определенной плоскостью кристалла (например (111) для ГЦК-решеток) или же предложить какие-то другие допущения.

Поликристалл на мезоуровне представляет существенно неоднородную систему взаимодействующих между собой подобластей-зерен. Элементами системы на данном уровне можно считать как отдельные зерна, так и границы между ними. Поведение подобных систем должно определяться как свойствами отдельных элементов, так и коллективными свойствами этих элементов (например законом распределения кристаллографических осей материала зерен). Если в качестве цели исследования с использованием прямой модели поставить изучение общих характерных механических свойств подобных систем, то можно предложить еще один подход к построению двумерных прямых моделей, исключающий вообще третью размерность. В этом случае моделирование ведется в двумерном пространстве для двумерных кристаллов с использованием соотношений двумерной механики деформируемого твердого тела. Двумерный или плоский (планарный) кристалл в этом случае следует рассматривать как искусственный модельный материал, которому едва ли имеется аналог среди реальных материалов. Можно предположить, что

а

при некоторых видах напряженно-деформированного состояния поведение деформационного состояния поверхности образца близко к поведению плоского поликристалла.

Предлагаемый подход не лишен недостатков, главным из которых является сложность в проверке адекватности результатов моделирования. Однако данный подход может быть применен для анализа механического поведения существенно неоднородных систем с нелинейными и анизотропными свойствами.

К достоинствам данного варианта двумерного подхода можно отнести не только упрощение гипотез при описании дислокационного скольжения, но и значительное облегчение вывода необходимых разрешающих соотношений и анализа получаемых результатов моделирования.

3. Особенности двумерного напряженно-деформированного состояния материала

Двумерное напряженно-деформированное состояние имеет ряд особенностей, которые необходимо учитывать как при построении модели, так и при анализе получаемых результатов. Будем рассматривать только симметричные тензоры напряжений и деформаций. В этом случае тензоры напряжений а и деформаций 8 имеют по три независимые компоненты: {а} = (ап, а22, т} и {8} = (8И, 822, у}.

Для тензора напряжений а определим первый инвариант тензора напряжений Коши или среднее давление

Л

и максимальное касательное напряжение

Рис. 1. Модель представительного объема поликристалла: модель Т. Абе t << dCp (плоское напряженное состояние) (а); модель Т. Лина t >> dср (плоское деформированное состояние) (б); d ср — средний размер зерна поликристалла

Таблица 1

Напряжения Деформации

Главные значения а1,2 = а±Ттах 81, 2 = 8±Утах/2

6 ся II Ч II 2

Инварианты т ~2 , ^2 1г = -а + Ттах Ч 2 = -8 2 + У тих/4

Интенсивность а = 2ттах 8 = 2Утах

Параметр Надаи-Лоде а, + а9 а Ха = 1 2 = а1 - а2 Ттах 8] +е9 2е Хе= 1 2 = 81 е2 Утах

Аналогично для тензора деформаций е вводим первый инвариант тензора малых деформаций

А

и максимальную деформацию сдвига

У тах = >/

Приведенные в таблице 1 соотношения показывают, что в двумерном случае напряженное состояние характеризуется величиной среднего давления а и величиной максимального касательного напряжения ттах, а деформированное состояние — средней деформацией е и максимальной сдвиговой деформацией утах. Результаты исследования неоднородности упругих мезонапря-жений, приведенные в работе [3], показывают, что именно величина ттах определяет степень неоднородности полей напряжений в поликристалле на мезоуровне.

Особенностью двумерного случая является изменение ограничений на предельное значение коэффициента Пуассона |Л. Рассмотрим одноосное растяжение прямоугольного образца до продольной деформации е11. Поперечную деформацию в этом случае можно определить как е22 =-це11. Пренебрегая малыми членами, двумерный аналог объемной деформации е5 можно записать следующим образом

е5 =

Из физических соображений очевидно, что при растяжении площадь образца не должна уменьшаться и поэтому

ц< 1,

причем случаю несжимаемости соответствует ц ^ 1.

Можно высказать гипотезу, что в некоторых случаях пластического деформирования деформация поверхности трехмерного образца протекает в условиях, близких к двумерным. Например, такое состояние может достигаться, если в данной точке поверхности образца реализуются условия чистого сдвига. Тогда модуль отношения двух главных компонент тензора деформации

| е2/е1 | для таких точек поверхности при несжимаемости должен стремится к 1, а не к 1/2, как для объемного случая. Данное обстоятельство можно попытаться проверить экспериментально. При этом для точек поверхности образца можно использовать методику измерения мезодеформаций, использованную в работе [4].

4. Модель материала зерна

При построении механической модели зерна необходимо знать упругие и пластические свойства используемого материала. Во многих работах по прямому моделированию поликристалла упругие свойства принимаются изотропными. Данное предположение кажется достаточно грубым, так как среди реальных кристаллов, относящихся к металлам, только монокристалл вольфрама можно считать практически изотропным. Наличие упругой анизотропии свойств уже на упругой стадии макронагружения приводит к существенной неоднородности полей напряжений и деформаций на мезоуровне, во многом определяющей картину упругого и пластического поведения поликристаллического материала [3].

При описании механических свойств материала отдельного зерна используем допущение об однородности строения и физико-механических свойств по всей площади зерна. Так как материал зерна соответствует «плоскому кристаллу», то на атомном уровне его строение можно представить в виде двумерной кристаллической решетки, состоящей из одинаковых ячеек.

В общем случае в модели можно использовать совершенно произвольные наборы упругих и пластических свойств, рассматривая данные параметры независимо друг от друга. Например, ориентацию и количество систем скольжения можно выбирать независимо от ориентации упругих свойств. Однако в этом случае анализ и систематизация полученных результатов в значительной степени затрудняется. Поэтому для упрощения ситуации можно ввести некоторые простейшие плоские кристаллические решетки и «привязать» к ним упругие и пластические свойства.

4.1. Плоский гексагональный кристалл

Плоский гексагональный кристалл (рис. 2) можно рассматривать как плоский аналог базисной плоскости ГПУ-кристаллов. Поэтому механические свойства плоского гексагонального кристалла должны быть близки механическим свойствам материала в базисной плоскости ГПУ-кристаллов. В общем случае упругие свойства можно считать анизотропными, описываемыми тремя константами (двумерный аналог кристаллов кубической симметрии). Системы скольжения — 3 системы скольжения, образованные тремя направлениями, расположенными под углом 60 градусов друг к другу.

Рис. 3. Плоский квадратный кристалл

Рис. 2. Плоский гексагональный кристалл

4.2. Плоский квадратный кристалл

Плоский квадратный кристалл (рис. 3) является плоским аналогом плоскости (001) ОЦК-кристаллов, и его механические свойства соответствуют свойствам для плоскости (001) ОЦК-кристаллов. Упругие свойства описываются тремя константами; главные оси соответствуют направлениям [10] и [01] (двумерный аналог кристаллов кубической симметрии). Системы скольжения — 2 системы скольжения, образованные двумя направлениями [11], расположенными под углом 90 градусов друг к другу.

4.3. Упругие свойства материала зерна Обобщенный закон Гука в двумерном случае примет

вид

где ст — тензор модулей упругости (16 компонент); $уы — тензор податливости. В матричной форме а т =

стп8п , 8т ^тпап , т 1, 3‘

Для введенных выше плоских кристаллов упругие свойства описываются тремя техническими модулями: Е — модуль упругости; ц — коэффициент Пуассона; G12 — модуль сдвига. Записать матрицы податливости и упругости через технические модули в кристаллографической системе координат можно следующим образом:

5 =

1 -ц 0

Е Е

-ц 1 0

Е Е

0 0 1 Є12 .

с = -

1 -ц2

Е цЕ

цЕ Е

0 0

0

0

^2

Введем понятие изотропного модуля сдвига Є материала:

2

так как приведенная для него зависимость от Е и ц характерна для изотропных материалов.

В качестве характеристики степени упругой анизотропии кристалла можно использовать параметр анизотропии [5]

12 _

2с

33

12

Как можно видеть из соотношения (10), для изотропного материала коэффициент анизотропии равен 1. Для анизотропных материалов коэффициент А может быть как меньше единицы, так и больше ее.

Выражая из соотношения (10) анизотропный модуль сдвига через параметр анизотропии и изотропный модуль сдвига, для матриц модулей упругости и податливости можно получить следующие выражения

1

2Є

1 -ц

-ц 1

0 0

2Є

1 - ц

1ц

ц1

0 0 (1 -ц)/2 А

Обозначим матрицу упругих свойств (модулей упругости или податливости) через МС8. Тогда в произвольной лабораторной системе координат (ЛСК) матрицу модулей упругости М С8 можно представить в следующем виде

M11 +

Ml2 -

ks2 AM c,

ks2 AM c

Ml2 -

ks2 AM c

k2AM c.

Kkcks AM c

M і, +-*

Kkc ks AM c

Kkcks AM c

Kkc ks AM c

K

где AMcs = M12 -Mn + 2M33/K2; kc = ТО82Ф; ks = = sin 2ф; Ф — угол между соответствующими осями в кристаллографической и лабораторной системах координат; K = 1 для матрицы модулей упругости, K = 2 для матрицы податливости.

Из (12) с использованием (11) для матрицы модулей упругости получим:

AMCs = 2G(VA -1), [лас ] =

= 2G

* Т 2

1 _ Aks ц + Akt

1 - ц 2 1- ц 2

Ц + А* ks2 1 A* ks2

1 - ц 2 1- ц 2

**

kc ks A

k c ks A

.kc ks A*

kc ks A

1 A ks2

— +-------

2 A 2

где A* = 1 -1/A.

Аналогично для матрицы податливости:

AMcs = M12 -M11 + M33/2 = (A - 1)/2G,

[s ^K ] =

1

2G

1 + ks2 A -1 - Ц - ks2 A -1

1 + ц s 2 1 + ц s 2

1 A 2 1 і 1 + е A -1

1 + ц 2 2 і +

kc ks

kcks

- kc ks

2

Соотношения (13), (14) показывают, что анизотропия упругих свойств определяется только коэффициентом анизотропии А. Приведенные соотношения позволяют легко проанализировать интервал изменения компонент матрицы модулей упругости и податливости, найти их максимальные и минимальные значения. Параметр А* может служить альтернативным представлением параметра анизотропии, значение которого для изотропного материала равно 0.

Кроме того, из соотношений (13), (14) видно, что сумма первых двух строк не зависит от ориентации системы координат, что позволяет констатировать инвариантность к вращению системы координат величины среднего давления и средней деформации. Данное обстоятельство может служить дополнительным подтверждением справедливости приведенных соотношений.

Матрицы [ЛСК ] и [СЛСК ] являются взаимно обратными. В общем случае структуру матрицы [ЛСК ] для рассматриваемых плоских кристаллов можно представить следующим образом:

С2 С3

-С

3 С3

Тогда обратная матрица может быть записана в следующем виде:

М ЛЖ ]=[с Лж ]-1=

С1С4 С3

С2 С4 + С3

С2 С4 + С3 С,С 4

-С32

-С

-С

где А = (с1 -с2)с4 -2с3.

Из (15) можно записать условия существования обратной матрицы:

(с, С2)С4 2С3 ^ 0, С, + С2 ^ 0.

4.4. Модель дислокационного скольжения

Плоскость скольжения плоского кристалла всегда перпендикулярна плоскости моделирования. Для задания системы скольжения достаточно определить только направление скольжения, задаваемое углом а относительно оси Х1 в кристаллографической системе координат. С системой скольжения можно связать систему координат линий скольжения, образованную осями т и п (рис. 4). Ось т совпадает с направлением скольжения.

Рис. 4. Ориентация системы скольжения

С, + с2

С1 + С2

С1 + С2

С1 + С2

С1 - С2

т

^ск

^0

Уск У

Рис. 5. Зависимость напряжения скольжения от накопленной деформации скольжения в к-ой системе скольжения

Для построения модели дислокационного скольжения введем следующие гипотезы:

1. Деформация, связанная с дислокационным скольжением, реализуется посредством сдвига по линиям скольжения.

2. Данная система скольжения становится активной, если касательное напряжение тС для нее превышает некоторое предельное значение т0, которое можно назвать напряжением начала скольжения.

3. Напряжение начала скольжения т0 будем считать одинаковым для всех систем скольжения.

4. Процесс упрочнения по к-ой системе скольжения осуществляется независимо от процесса упрочнения по другим системам скольжения и определяется накопленной деформацией скольжения у С к.

5. Величина напряжения скольжения тС к к-ой системы скольжения связана с накопленной деформацией скольжения уСк следующей зависимостью

тс к =т 0 + Ос к У С к,

где Оск — модуль упрочнения по к-ой системе скольжения (рис. 5).

6. Полная накопленная пластическая деформация 8 С в данной точке определяется компонентами в лабораторной системе координат и равна сумме накопленных пластических деформаций по всем активным системам скольжения

8 С11 =-8 с 22 = -£у с к ^п(2Рк V2,

V с = £ с к С0!5

где Рк =а к +Фк •

7. Полные деформации равны сумме упругой 8е и пластической 8С деформаций

8=8 е + 8 с.

5. Соотношения метода конечных элементов

Из соотношения (17) выразим пластические деформации сдвига на к-ой системе скольжения

у С к = Н

где Атк = | ттк | - тСк, Н(Атк0) — функция Хэвисайда (Н(Атк) = 0 при Атк < 0 и Н(Атк) = 1 при Атк > 0). Тогда деформации пластичности в матричной форме для одного конечного элемента можно получить, подставив (20) в (18) и перейдя к приращениям

№ с} = [5с 1^0},

где [ £С ] — матрица податливости элемента, зависящая от количества, свойств и ориентации активных систем скольжения:

[^ 1=

•к2 - - 2 skck

- 2 •кск .

- 2•кск 2•кск 4ск

Здесь К — число систем скольжения материала, ск = = С08 2Р к, •к = вт2Рк.

Для получения разрешающих соотношений метода конечных элементов применим метод Галеркина, который можно рассматривать как частный случай метода взвешенных невязок. Функции формы элемента можно рассматривать как взвешивающие функции, зависящие от координат. В этом случае соотношения метода Г алер-кина для данной задачи с применением процедуры метода конечных элементов можно записать в следующем виде:

|[в ]т {<1а}а&-|[у ]т {1Р}4$ = 0,

где [в ] — матрица градиентов элемента, [N ] — матрица функций формы элемента.

Используя аддитивность деформаций, получим

{&} = № е} + № с} = [5ес ]^а},

где [5 ес ]=[5 е ]+[5с ] — матрица упруго-дислокационной податливости.

Используя (15), обращаем матрицу [ 5ес ] и получаем соотношения относительно приращений напряжений

^о} = [5ес ]-1{d8} = [Сес ]№},

где [ Сес ] — матрица упруго-дислокационных модулей. Подставляя данное выражение в (23), получаем

| [в]т[Сес][в]^}<Ш = | [N]т{dP}dS•

^ 5

Заменяя интегрирование по области суммированием по элементам, получаем систему уравнений. Решение системы (24) на каждом шаге нагружения можно вести итерационным методом, принимая на первой итерации приращение деформаций за счет дислокационного скольжения нулевым и уточняя его на каждой следующей итерации.

С к=1

Рис. 6. Разбиение зерна на конечные элементы

6. Геометрическое описание представительного объема и условий нагружения

В данной работе исследовался представительный обьем поликристалла квадратной формы, состоящий из одинаковых (за исключением крайних) по размерам шестиугольных зерен. Зерна описывались одинаковым четным количеством четырехугольных изопараметри-ческих конечных элементов. Предварительные численные эксперименты [3] показали, что удовлетворительные результаты по напряжениям и деформациям получаются уже при разбиении зерна 4x4 элемента (рис. 6).

Упругие свойства материала в пределах зерна считались однородными. Модуль упругости и коэффициент Пуассона принимали следующие значения:

Е = 131 200 МПа, ц = 0.366.

В конкретном вычислительном эксперименте значения упругих и пластических свойств материала для всех зерен области принимались одинаковыми. Однако для исследования влияния анизотропии упругих свойств на мезо- и макропараметры поликристалла модуль сдвига G12 в различных вычислительных экспериментах варьировался в интервале от 35 000 до 125 000 МПа. Значение модуля сдвига G12 = 48 023 МПа соответствует изотропным упругим свойствам материала.

Значение пластических свойств материала зерна в различных экспериментах изменялось, принимая значения из следующих интервалов:

1) напряжение начала скольжения т0 от 5 до 15 МПа;

2) модуль упрочнения Gc от 10 до 90 МПа.

Распределение ориентации кристаллографических

осей материала по зернам представительного обьема принималось случайным, соответствующим равномерному закону распределения. Однако во всех вычислительных экспериментах использовалась одна и та же выборка углов ориентации кристаллографической системы координат материала зерен.

Упругопластическое поведение представительного обьема существенным образом зависит от количества содержащихся в этом обьеме зерен материала. Для областей с малым содержанием зерен (например 4x4 зерна) характерны ступенчатые диаграммы «макронапря-

жение о — макродеформация 8» (рис. 7). При увеличении числа зерен в исследуемой области «ступенчатость» диаграммы постепенно сглаживается. Подобную зависимость диаграммы нагружения можно объяснить, если рассматривать процесс пластического деформирования как поочередно сменяющие друг друга стадии постепенного возрастания напряжений в некоторой области образца и последующего быстрого перераспределения напряжений при достижении некоторого критического уровня в данной области. При малом числе зерен в исследуемой области потеря устойчивости затрагивает весь образец, проявляясь на диаграмме нагружения пологой ступенькой. При большом числе зерен потеря устойчивости наблюдается лишь в отдельных зонах исследуемой области, что приводит к более гладким диаграммам нагружения. В данной работе исследовались области из 100 (т.е. 10x10) зерен. В этом случае эффект ступенчатости диаграммы нагружения практически не проявляется.

Исследовалось поведение представительного объема поликристалла при одноосном нагружении вдоль горизонтальной оси X1 однородной нагрузкой. Использована «мягкая» схема нагружения, при которой нагрузки задаются в силах.

7. Макро- и мезопараметры напряженно-деформированного состояния

При анализе результатов прямого моделирования представительного объема материала на мезоуровне следует рассматривать как параметры мезоуровня, так и макроуровня. Неоднородность строения и случайная ориентация кристаллографической системы координат материала зерен приводят к пространственно неоднородному напряженно-деформированному состоянию на мезоуровне [3]. Случайный характер ориентации кристаллографической системы координат материала зерен позволяет рассматривать поля напряжений и деформаций как случайные с применением для их анализа методов статистики. В частности, интерес могут представлять как диаграммы плотности распределения парамет-

8

Рис. 7. Диаграмма «макронапряжение - макродеформация» для области с малым содержанием зерен

Рис. 8. Пластические мезодеформации

ров, так и эволюция в процессе деформирования таких статистических оценок, как математическое ожидание М и среднеквадратическое отклонение 5 параметров.

Поля компонент напряжений X и компонент деформаций Е на мезоуровне можно представить поверхностью, испытывающей колебания относительно некоторого среднего значения. Величина среднеквадратического отклонения 5 характеризует среднее значение амплитуды таких колебаний. Для оценки изменения среднеквадратического отклонения 5 по отношению к мате-

матическому ожиданию М можно использовать коэффициент вариации К у = 5/М.

В качестве макропараметров могут выступать оценки статистических моментов соответствующих параметров мезоуровня. Однако такой подход применим в том случае, когда макропараметры носят интегральный смысл и действительно могут рассматриваться как средние по области значения. Например, при задании нагрузки образца в перемещениях («жесткое нагружение») в качестве компонент тензора макронапряжений можно использовать средние значения мезонапряжений по всей области или, по крайней мере, по нагружаемой границе этой области. При «мягком» нагружении (в усилиях) возникает проблема определения макродеформаций. Использование средних значений компонент мезо-деформаций вызывает сомнения, так как в реальном эксперименте макродеформации обычно измеряют по изменению расстояния между рисками или реперными точками на поверхности образца. Для соотнесения результатов моделирования с экспериментом использование подобного метода рисок или реперных точек кажется более оправданным. Тем более, что для конечно-элементной реализации модели представительного объема подобные методы реализуются достаточно просто.

8. Мезопараметры напряженно-деформированного состояния

На рис. 8 показано типичное распределение главных значений пластических мезодеформаций, полученных в результате одноосного растяжения образца из плос-

< , МПа

15

30

45

60

Гтах , %

2.5

7.5

10

Рис. 9. Распределение мезопараметров при растягивающей нагрузке 45 МПа: максимальные касательные напряжения Ттах

2 4 6 8 Гтах, %

Рис. 10. Диаграммы плотности распределения максимальных деформаций

кого гексагонального кристалла вдоль горизонтальной оси Х1 однородной нагрузкой (012 = 48 023 МПа; т0 = = 5 МПа; Ос = 10 МПа). Длина стрелок характеризует величину пластических деформаций. Можно отметить наличие существенной неоднородности в распределении деформаций. Имеются более «жесткие» зоны размером в несколько зерен, которые пластически практически не деформировались, и есть более податливые области интенсивного пластического деформирования, ори-

0 20 40 стц, МПа

Рис. 11. Диаграмма изменения |Е^ Е^ в зависимости от нагрузки

ентация кристаллографической системы координат зерен в которых является более благоприятной по отношению к внешней макронагрузке.

Неоднородность можно наблюдать и на рис. 9, где показано распределение максимального касательного напряжения и максимальной пластической деформации сдвига. Более «жесткие» области, окруженные полосами интенсивной пластической деформации, пытаются сместиться и развернуться относительно друг друга. По-

Рис. 12. Статистические параметры мезонапряжений и мезодеформаций в зависимости от напряжения начала скольжения: среднеквадратическое отклонение мезонапряжений Ттах

о02, МПа

Ер, МПа

Рис. 13. Зависимость макрохарактеристик от напряжения начала скольжения: функция упрочнения о11

ведение подобной неоднородной системы в определенном смысле можно уподобить смеси различных по размеру резиновых шариков с жесткостью, убывающей от центра к поверхности. Отдельный шарик в этом случае подобен «жесткой» области с «мягким» окружением и может включать несколько соседних зерен. Под действием внешней однородной нагрузки такие шарики будут испытывать не только сжатие и растяжение, но и пытаться повернуться друг относительно друга. Можно ожидать большие аккомодационные возможности подобной системы по отношению к внешнему нагружению и, как следствие, возможное значительное превышение средних по представительному объему мезо-деформаций по отношению к макродеформациям за счет больших мезодеформаций сдвига в «мягком» окружении.

Как уже отмечалось выше, мезопараметры можно рассматривать как случайные величины. На рис. 10 приведены диаграммы плотностей распределенияр макси-

мальной пластической мезодеформации сдвига Гтах при различной величине растягивающей нагрузки (30, 45 и 60 МПа). Как можно видеть из приведенных диаграмм, с ростом нагрузки разброс значений мезодеформации Е увеличивается. Данное обстоятельство говорит об увеличении неоднородности (амплитуды колебаний) полей компонент пластических мезодеформаций в процессе нагружения. Закон распределения мезодеформации близок к нормальному. Аналогичным образом ведут себя и компоненты мезонапряжения X.

Выше отмечалось, что при пластическом деформировании плоского кристалла модуль отношения главных деформаций \Е2/Е11 стремится к 1. На рис. 11 показана диаграмма изменения модуля отношения математических ожиданий |Е2/ Е11 в зависимости от величины растягивающей макронагрузки. На начальном этапе упругого деформирования величина данного отношения совпадает с коэффициентом Пуассона. Затем по мере развития пластических деформаций величина |Е2/ Е11 стремится к 1.

9. Влияние напряжения начала скольжения на макро- и мезохарактеристики

На рис. 12 показаны диаграммы изменения в процессе одноосного растяжения вдоль оси Х1 среднеквадратического отклонения 5 и коэффициента вариации К у максимальных касательных мезонапряжений Ттах и максимальной мезодеформации сдвига Гтах в зависимости от макродеформации 811 и напряжения начала скольжения значения т0 монокристалла (плоский гексагональный кристалл; А = 1; G12 = 48 023 МПа; Gc = = 50 МПа).

Как можно видеть, с ростом т0 увеличивается степень неоднородности полей мезопараметров, хотя сами диаграммы остаются подобными. В рассматриваемом диапазоне значений напряжения начала скольжения наблюдается практически линейная зависимость величины среднеквадратического отклонения мезопараметров

от V

На рис. 13 показаны изменения макрохарактеристик в зависимости от напряжения начала скольжения. Анализ приведенных результатов показывает, что данная характеристика свойств монокристалла в основном влияет на предел текучести поликристалла. В рассмотренном диапазоне значений т0 предел текучести о02 имеет прямо пропорциональную зависимость с коэффициентом пропорциональности 3:

о,

0.2 = 5 + 3т 0.

10. Влияние модуля упрочнения на макро- и мезохарактеристики

На рис. 14 показаны диаграммы изменения в процессе одноосного растяжения среднеквадратического

Рис. 14. Статистические параметры мезонапряжений и мезодеформаций в зависимости от модуля упрочнения: среднеквадратическое отклонение мезонапряжений Ттах

отклонения 5 и коэффициента вариации Ку максимальных касательных мезонапряжений Ттах и максимальной мезодеформации сдвига Гтах в зависимости от макродеформации еп и модуля упрочнения Gc материала зерна (плоский гексагональный кристалл; А = 1; = 48 023 МПа; т0 = 10 МПа).

Коэффициент вариации характеризует скорость изменения величины среднеквадратического отклонения по отношению к величине математического ожидания. В отличие от мезонапряжений для мезодеформаций изменение коэффициента вариации носит немонотонный характер. Причина падения значений коэффициента вариации на начальной стадии нагружения требует дополнительного исследования.

Из приведенных диаграмм можно видеть, что при больших значениях модуля упрочнения (50 и 90 МПа) его влияние на распределение мезонапряжений и мезодеформаций незначительно. При значениях менее 50 МПа происходит рост среднеквадратического отклонения мезопараметров. Данное обстоятельство свидетельствует об увеличении неоднородности полей мезо-деформаций и мезонапряжений.

Из приведенных на рис. 15 диаграмм макропараметров можно заключить, что особенно большое влияние

модуль упрочнения монокристалла оказывает на модуль упрочнения поликристалла.

Получим приближенную оценку значения макроскопического модуля упрочнения поликристалла. Для этого воспользуемся подходом Рейсса [5], когда напряженное состояние во всех зернах представительного объема принимается одинаковым и совпадающим с макронапряжениями (ап, а22, т). Задавая последние, вычислим касательное напряжение в k-ой системе скольжения:

Ттk = 0.5

Если лабораторную систему координат совместить с направлениями главных напряжений, то соотношение (25) упростится

Ттk = 0.5

Условие активации k-ой системы скольжения можно записать в следующем виде

ттk ^тсk =т0 + GckYck.

то есть при отсутствии пластических деформаций сдвига

то =^k = 0.5

а02, МПа

Ер, МПа

Ъс, МПа

Рис. 15. Зависимость макрохарактеристик от модуля упрочнения: функция упрочнения о11

Тогда можно найти разность главных напряжений активации системы скольжения

Аак = а2 - а1 = 2т0^іп 2вк

Анализ соотношения (29) показывает, что при принятых выше в данной работе гипотезах система скольжения никогда не активируется, если направление скольжения параллельно или перпендикулярно направлениям главных напряжений в данной точке. Наиболее благоприятным для активации системы скольжения является угол 45° по отношению к главным напряжениям.

Будем считать, что пластические деформации начнутся при активации хотя бы одной системы скольжения, т.е. из (29) получаем

Аатіп = “ЇП (2т0/«п2рк ),

к=1, К

где К — общее число систем скольжения.

Оценку макроскопического предела текучести тела можно выполнить различными способами. Например,

в качестве такой оценки можно считать осредненное по всем ориентировкам систем скольжения значение Ао

аТ = (Аатіп ) = - [ Аатіп (в) Ф •

п {

С использованием полученного по (20) значения У С k из соотношений (18) можно найти пластические деформации е с11 в лабораторной системе координат. Для случая одноосного растяжения напряжением о11 с использованием оценки предела текучести (31) модуль упрочнения Ерр при заданной ориентации систем скольжения можно приближенно вычислить следующим образом:

ЕрР =(ои -от Vес11(в).

Осредняя последнее выражение по всем ориентациям систем скольжения, получаем оценку модуля упрочнения поликристалла

Ер =<ЕР>) = П Р

ерр (Р)ар.

На рис. 15, в для сравнения приведены полученная в результате численного моделирования зависимость макромодуля упрочнения и его оценка по соотношению (32) с использованием ориентационного осреднения. При значениях модуля упрочнения монокристалла более 50 МПа наблюдается достаточно хорошее совпадение численного результата и оценки (32). При уменьшении модуля упрочнения монокристалла менее 50 МПа расхождение численных результатов и оценки (32) быстро увеличивается, достигая при Gc = 10 МПа тридцатикратной величины.

Подобное поведение макроскопического модуля упрочнения можно объяснить существенной неоднородностью пластических деформаций при малых значениях модуля упрочнения монокристалла (см. рис. 14). В этом случае работа внешней нагрузки затрачивается на локальную пластическую деформацию областей с благоприятной ориентацией кристаллографической системы координат по отношению к приложенной нагрузке. При этом образовавшийся более «жесткий» каркас испытывает меньшую деформацию, увеличивая макроскопический модуль упрочнения поликристалла. Если модуль упрочнения монокристалла достаточно высок, то поликристалл деформируется более однородно, заставляя в одинаковой степени деформироваться все зерна поликристалла. Можно обратить внимание на поведение поликристалла при Gc = 30 МПа (рис. 14, в, г). Изменение величин среднеквадратического отклонения и коэффициента вариации деформаций не является монотонным. Можно заключить, что в этом случае в процессе нагружения участки относительно однородного деформирования представительного объема сменяются участками нарастания неоднородностей. Для однородного дефор-

5(Ттах), МПа

Ку

$(Гтах), %

Рис. 16. Статистические параметры мезонапряжений и мезодеформаций в зависимости от параметра анизотропии А: среднеквадратическое отклонение мезонапряжений Ттах

мирования характерны убывающие зависимости коэффициента вариации деформаций. Для неоднородного деформирования незначительный убывающий участок на диаграмме сменяется участком монотонного возрастания коэффициента вариации.

При выводе оценки (32) был использован подход, основанный на ориентационном осреднении. Сравнение результатов оценки (32) с результатами прямого моделирования показывает слабые стороны моделей, применяющих ориентационный тип осреднения. Использование подобных моделей оправдано для случаев однородного деформирования при слабой локализации деформации. В противном случае модели, использующие ориентационное осреднение, могут давать качественно неверные результаты.

11. Влияние параметра анизотропии на макро-и мезохарактеристики

На рис. 16 показано изменение в процессе одноосного растяжения величины среднеквадратического отклонения 5 и коэффициента вариации Ку максимальных касательных мезонапряжений Ттах и максимальной ме-зодеформации сдвига Гтах в зависимости от макродеформации е11 и значения параметра анизотропии А

(плоский гексагональный кристалл; т0 = 5 МПа; Gc = = 10 МПа).

Как можно видеть из приведенных результатов, в процессе нагружения неоднородность поля мезонапря-жений и мезодеформаций нарастает. При этом, чем меньше значение параметра анизотропии, тем быстрее увеличивается неоднородность.

На рис. 17 показаны изменения макрохарактеристик в зависимости от значения параметра анизотропии. Анализ приведенных результатов позволяет заключить, что с увеличением анизотропии упругих свойств происходит незначительное (по сравнению с т0 и Gc> уменьшение предела текучести и модуля упрочнения материала. Уменьшение модуля упрочнения при значениях параметра анизотропии больше единицы требует дополнительного исследования.

Таким образом, чем более материал зерна анизотропный, тем более проявляются неоднородность и локализация пластической деформации, приводящая к увеличению макроскопического модуля упрочнения. В целом, можно отметить более слабое по сравнению с т0 и Gc влияние параметра анизотропии упругих свойств монокристалла на макроскопические характеристики пластичности поликристалла.

Рис. 17. Зависимость макрохарактеристик от параметра анизотропии: функция упрочнения о11(е11) (а); предел текучести о0.2 (б); упроч-

12. Влияние числа систем скольжения материала зерен

Уменьшение числа систем скольжения материала должно приводить к уменьшению аккомодационных возможностей представительного объема поликристалла, что должно вызывать увеличение неоднородности и локализацию пластической деформации на мезоуров-не и, как следствие, увеличение модуля упрочнения поликристалла.

На рис. 18 показаны распределения пластических деформаций сдвига по системам скольжения при одноосном растяжении образцов из материала с двумя (плоский квадратный кристалл) и тремя (плоский гексагональный кристалл) системами скольжения. Упругие и пластические свойства материала зерен принимались одинаковыми. На приведенном рисунке величина деформации сдвига по соответствующей системе скольжения показана штрихом с длиной, пропорциональной величине деформации. Ориентация штрихов совпадает с ориентацией соответствующей системы скольжения. Для материала с двумя системами скольжения (рис. 18, б) отчетливо видна локализация деформаций в отдельных областях представительного объема. Зоны локализации окружены «упругим каркасом», воспринимающим приложенное макронагружение и определяющим макроскопическое механическое поведение поликристалла. Так как доля областей пластического деформирования относительно невелика, то для материалов с двумя системами скольжения практически отсутствует зависимость макроскопических пластических свойств от модуля упрочнения Gc монокристалла.

На рис. 19 показаны диаграммы макроскопического растягивающего напряжения о11 в зависимости от макродеформации е11 при одноосном растяжении образца (А = 1; т0 = 5 МПа; Gc = 10 МПа). Как можно видеть,

Рис. 18. Распределение пластических деформаций по системам скольжения: плоский гексагональный кристалл

Стц, МПа

и 3 6 8ц,%

Рис. 19. Диаграмма «макронапряжение - макродеформация» для плоского гексагонального и плоского квадратного кристаллов

для образца с двумя системами скольжения характерны большие значения макроскопического предела текучести и модуля упрочнения, что подтверждает сделанные выше предположения о макроскопических свойствах подобных материалов.

Как и для материалов с тремя системами скольжения, при увеличении напряжения начала скольжения т0 монокристалла величина предела текучести о02 поликристалла возрастает. Для т0 из диапазона от 5 до 15 МПа справедлива линейная зависимость с коэффициентом пропорциональности 11.5:

0 0.2 = 11.5 V

Обобщая приведенные результаты исследования, можно выдвинуть предположение, что любая неоднородность свойств или строения поликристалла на мезо-уровне, приводящая к локализации пластической деформации, оказывает упрочняющее воздействие на поликристалл.

В качестве факторов, влияющих на локализацию деформаций, могут выступать:

1) модуль упрочнения монокристалла,

2) анизотропия упругих свойств,

3) число систем скольжения зерна,

4) неоднородность размеров зерен,

5) неоднородность фазового состава или неоднородность свойств.

Представительный объем поликристалла на мезо-уровне можно рассматривать как некоторую конструкцию или систему, состоящую из взаимосвязанных элементов. В условиях однородного деформирования все элементы подобной системы нагружаются одинаково, что приводит к увеличению деформационных возможностей всей системы, то есть поликристалла. Под деформационными возможностями системы можно пони-

мать ее способность деформироваться без разрушения элементов и нарастания неоднородности параметров состояния этих элементов. Можно предположить, что аналогичные условия однородного деформирования существуют не только для мезоуровня, но и для нижележащих уровней поликристалла. В этом случае деформационные возможности этих нижележащих уровней в условиях однородного деформирования также должны возрастать. Можно ожидать существенного роста деформационных возможностей поликристалла на макроуровне при одновременном выполнении условий однородности для нескольких смежных уровней. Вполне возможно, что для режимов сверхпластичности поликристаллов реализуется подобное одновременное многоуровневое выполнение условий однородности.

13. Выводы

Приведенные результаты исследования предложенной модели представительного объема поликристалла свидетельствуют, что поликристалл на мезоуровне является сложной неоднородной системой взаимодействующих между собой элементов. Даже при относительно простых свойствах монокристалла мезообъем демонстрирует довольно сложное коллективное поведение, связанное с локализацией деформации и адаптацией всей системы к внешнему макронагружению.

Увеличение неоднородности строения и свойств представительного объема поликристалла на мезоуров-не приводит к увеличению неоднородности пластического деформирования и, как следствие, к увеличению макромодуля упрочнения поликристалла.

Полученные результаты свидетельствуют о том, что методы вычислительной мезомеханики в комплексе с экспериментальными методами и аналитическими подходами могут служить мощным инструментом при изучении поведения поликристаллических материалов.

Литература

1. Мишнаееский Л. (младший), Шмаудер 3. Современные конечноэлементные методы анализа влияния микроструктуры на механические свойства неоднородных материалов: обзор // Физ. мезо-мех. - 1999. - Т. 2. - № 3. - С. 5-22.

2. Кукса Л.В., Эльманович В.И. Применение МКЭ к исследованию микронеоднородности упругих напряжений и деформаций в поликристаллах // Проблемы прочности. - 1979. - № 7. - С. 70-75.

3. Ашихмин В.Н., Трусов П.В. Статистические параметры распределе-

ния упругих мезонапряжений в поликристаллах с кубической решеткой // Физ. мезомех. - 1999. - Т. 2. - № 1-2. - С. 69-75.

4. Богачев И.Н., Вайнштейн А.А., Волков С.Д. Введение в статистическое металловедение. - М.: Металлургия, 1972. - 216 с.

5. Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред. -М.: Наука, 1977. - 400 с.