Решение дифференциальных уравнений Клеро в частных производных с логарифмической функцией

УДК 517.952

Б01 10.21685/2072-3040-2019-2-3

Л. Л. Рыскина, Л. А. Жидова

РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ КЛЕРО В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ С ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ФУНКЦИЕЙ

Аннотация.

Актуальность и цели. Особые решения уравнений типа Клеро в частных производных представляют определенный интерес в прикладных задачах. В недавних работах обсуждалась связь особого решения уравнения типа Клеро и эффективного действия в квантовой теории поля с составными операторами. Целью данной работы является описание метода нахождения особых решений для дифференциальных уравнений в частных производных типа Клеро, правая часть которой имеет вид логарифмической функции от произведения п независимых переменных.

Материалы и методы. Предложена процедура нахождения особого решения уравнения типа Клеро для случая, когда функция от частных производных имеет вид логарифмической функции. Основная идея заключается в нахождении не частных производных искомой функции, а их произведений. Данный метод может быть применен для нахождения особых решений уравнений типа Клеро для некоторых функций, в которых эта структура сохраняется.

Результаты. Изучена проблема нахождения особого решения дифференциального уравнения в частных производных типа Клеро для случая, когда функция от производных представляет собой логарифм от произведения п независимых переменных. Отдельно обсуждается случай, когда все степени производных под знаком логарифма имеют одинаковое значение, а также подробно обсуждается вывод особого решения для уравнения в случае произвольных различных степеней. Полученные особые решения были вычислены для произвольного количества переменных и представляют собой основной результат работы.

Выводы. Изученные уравнения типа Клеро представляют собой нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных и являются обобщением хорошо известного обыкновенного дифференциального уравнения Клеро на случай, когда искомая функция зависит от многих переменных. Метод нахождения общего решения для уравнений данного типа подробно описан в литературе. Однако общего метода нахождения особого решения не существует. В данной статье описана проблема нахождения особого решения дифференциального уравнения типа Клеро в частных производных со специальной правой частью. Найдено особое решение уравнения типа Клеро, когда правая часть имеет вид логарифмической функции от произведения частных производных искомой функции и их степеней. Поиск особых решений для конкретных функций представляет собой перспективное направление для дальнейших исследований.

Ключевые слова: дифференциальные уравнения в частных производных, дифференциальные уравнения типа Клеро, особые решения, логарифмическая функция.

© Рыскина Л. Л., Жидова Л. А., 2019. Данная статья доступна по условиям всемирной лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/), которая дает разрешение на неограниченное использование, копирование на любые носители при условии указания авторства, источника и ссылки на лицензию Creative Commons, а также изменений, если таковые имеют место.

L. L. Ryskina, L. A. Zhidova

SOLUTION OF CLAIRAUT DIFFERENTIAL EQUATIONS IN PARTIAL DERIVATIVES WITH LOGARITHMIC FUNCTION

Abstract.

Background. Special solutions of partial differential Clairaut-type equations are of particular interest in applied problems. In recent papers, the connection of a particular solution of the Clairaut-type equation and the effective action in quantum field theory with compound operators has been discussed. The purpose of this paper is to describe a method for finding particular solutions for equations of the Clairaut-type, the right-hand side of which has the form of a logarithmic function of the product - independent variables.

Materials and methods. A procedure has been proposed for finding a special solution of a Clairaut-type equation for the case when the function has the form of a logarithmic function. The basic idea is to find not the functions, but the expressions a1 z^

and xl zi. This method can be used to find special solutions of equations of the Clair-aut-type for some functions in which this structure is preserved.

Results. In this paper, we consider the problem of finding a special solution of a partial differential Clairaut-type equation for the case when the function of the derivatives is the logarithm of the product of independent variables. The case when all degrees of derivatives under the logarithm sign have the same value is discussed separately, and the derivation of a special solution for an equation in the case of arbitrary different degrees is also discussed in detail. The special solutions obtained in this work were calculated for an arbitrary number of variables and represent the main result of the work.

Conclusions. We studied differential Clairaut-type equations in partial derivatives. This type of equations is a nonlinear partial differential equation and is a generalization of the well-known ordinary Clairaut differential equation to the case when the desired function depends on many variables. The method of finding a general solution for equations of this type is described in detail in the literature. However, there is no general method for finding a particular solution. This article describes the problem of finding a special solution of a differential Clairaut-type equation in partial derivatives with a special right-hand side. A special solution is found for a Clairaut-type equation, when the right-hand side has the form of a logarithmic function of the product of partial derivatives of the unknown function and their powers. Note that in both cases, for a given choice of the function of the derivatives in the equation, it is possible to solve the system of equation that determines the particular solution of the equation. The search for specific solutions for specific functions remains poorly understood and represents a promising direction for further research.

Keywords: differential equations in partial derivatives, Clairaut-type differential equations, singular solutions, logarithmic function.

Введение

Данная работа посвящена изучению дифференциальных уравнений в частных производных типа Клеро. В теории дифференциальных уравнений в частных производных класс уравнений Клеро хорошо известен, их общее решение подробно описано в [1-3]. Известно, что общее решение дифференциальных уравнений типа Клеро в частных производных представляет собой

семейство линейных функций [1-3]. Помимо общего решения, дифференциальные уравнения Клеро в частных производных допускают существование частных решений и особого решения [1-3]. Критерием существования особого решения является разрешимость системы нелинейных уравнений [1-3], которая включает частные производные искомой функции и независимые переменные. В общем случае такая система не имеет решения, однако в некоторых частных случаях удается найти все производные искомой функции как функции только переменных ху [4-8]. Поэтому поиск особых решений уравнений типа Клеро для конкретных функций заслуживает определенного внимания исследователей. В работах [4-5] авторы исследовали проблему поиска особых решений, в настоящей статье будет описан метод нахождения особых решений для уравнений типа Клеро, правая часть которых имеет вид логарифмической функции от произведения п -независимых переменных.

1. Основные определения и обозначения

Дифференциальным уравнением в частных производных типа Клеро называется уравнение вида [1-3]:

^ dy f dy dy dy

У - / xi =¥

^dv I dxj dx2 dxt

1 dx i=1 1

n J

Здесь функция у есть искомая функция от п переменных, у = у(Х1,Х2,...,хп), функция у является заданной п раз непрерывно-дифференцируемой функцией своих переменных.

Общеерешение уравнение (1) имеет вид [1-3]:

п

У( Х1

, х2,..., хп ) = 2 СЛ + у

у=1

где С1,С2,...,Сп - некоторые постоянные. Помимо общего решения (2), дифференциальное уравнение типа Клеро (1) может иметь особое решение. Особые решения уравнений типа Клеро в частных производных представляют определенный интерес в прикладных задачах [4-8]. В данном контексте отметим, что в недавних работах [4, 6] обсуждалась связь особого решения уравнения типа Клеро и эффективного действия в квантовой теории поля с составными операторами. В частности, было показано, что уравнение, определяющее однопетлевое эффективное действие в теории с составными полями и содержащее неизвестный функционал и его вариационные производные, имеет вид уравнения типа Клеро.

Для нахождения особых решений используется система уравнений

Х + ду

где введено обозначение Эу / дх{ = , У = 1,2,...,п . В случае, если система уравнений (3) имеет решение г = г (х1,х2,...,хп), то уравнение (1) обладает особым решением вида

У = Z ZiXi + z1' z2,•••,zn )• i=1

В случае обыкновенных дифференциальных уравнений [9-11] система уравнений (3) редуцируется до одного уравнения и проблема нахождения особого решения уравнения Клеро формально сводится к нахождению обратной для функции у'(z). Известно большое количество примеров выбора функции у(z), для которых особое решение обыкновенного дифференциального уравнения Клеро может быть получено в явном виде [9-11]. В отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений [9-11], в теории уравнений в частных производных [1-3] примеров таких функций известно гораздо меньше, что обусловлено не только конкретным выбором функции у( Zl, Z2,..., zn), но и числом переменных. В настоящей статье рассмотрим проблему нахождения особого решения уравнения (1), когда функция у имеет вид логарифма от произведения п независимых переменных Zl,Z2,...,zn. Также подробно описывается случай, когда переменные

z1, z2,..., zn i = 1,2,...,n .

входят в произведения с произвольными степенями в

2. Материал и методика 2.1. Логарифмическая функция от произведения частных производных

В недавних статьях [4, 6] обсуждались некоторые аспекты нахождения особых решений дифференциального уравнения типа Клеро в частных производных в контексте квантовой теории поля. Ниже рассмотрим проблему нахождения особого решения уравнения (1), когда функция у имеет вид логарифма от произведения п -независимых переменных Zl • Z2 •... • zn, Vпе N :

у(zi,Z2,...,Zn) = -аln(zi • Z2 •...• Zn) = -аln

П

i=l

где а — произвольное ненулевое вещественное число. Система (3) примет вид

а п

xi--= 0,

Z1

а

X2--= 0,

z2

а

xn--= 0.

Из системы (6) можно найти произведение ху • zi, г = 1,2,...,п : Х1 • Zl = Х2 • Z2 =... = хп • zn = а, а = еош1.

п

Выражаем из системы (6) произведение Zl • Z2 •... • zn = z^ :

г=1

П Zi = —а-

i=1 X1 x2 ... xn

а

П

i=1

Подставляем (7) и (8) в выражение (4) и получаем особое решение уравнения (1) для случая, когда функция у имеет вид (5):

У = а

n -ln

а» ^

П

i=1

V 1=1 J

В итоге рассмотрения уравнения типа Клеро (1) со специальной правой частью, представленное выражением (5), получено особое решение вида (9) для произвольного количества переменных. Выражение (9) является одним из основных результатов работы.

3. Логарифмическая функция от произведения частных производных в произвольных степенях

Теперь обратимся к вопросу нахождения особого решения уравнения (1), когда функция у имеет вид логарифма от произведения п -независимых

в Р? Ри ТЧ Р,

переменных в произвольных степенях: ^2 2 •...• z^n = II zfl :

г=1

у(Z1,Z2,...,Zn) = -а1п(^ • Z2e2 • ...• ZnPn) = -а1п

n

р

i=1

( п \

= —а(р11пzl +р2 1п^ + ... + Рп 1п^ ) = —а 2в 1пZi

\ г=1

где а, Р1, Р2,.., вп — произвольные ненулевые вещественные числа. Система (3) примет вид

1 ар1

x

x

Z1

2 ар2

z2

= 0, - = 0,

n аРй

= 0.

n

Из системы (11) можно найти произведение х^ • , У = 1,2,...,п :

х121 = аРъ х2 22 = ap2, .. хп2п = аРп и сами функции 21, 22,..., гп :

ар1 =ар2 „ =«Рп

Z1

z2

х1 х2 хп

Подставляя выражения (12) и (13) в (4), получим

У = а

e п n f вЛ ln-ZPi -Z Pi InP

а i=1 i=1 V xi J

= а

ln - ZPi

а

В итоге рассмотрения уравнение типа Клеро со специальной правой частью, представленной уравнением (11), получено особое решение (14) для произвольного количества переменных. Выражение (14) также является основным результатом работы.

Результаты

В работе изучалась проблема нахождения особого решения дифференциального уравнения в частных производных типа Клеро для случая, когда функция от производных представляет собой логарифм от произведения п независимых переменных. Отдельно обсуждается случай, когда все степени производных под знаком логарифма имеют одинаковое значение, а также подробно обсуждается вывод особого решения для уравнения в случае произвольных различных степеней. Отметим, что в обоих случаях для данного выбора функции от производных в уравнении удается разрешить систему (3), определяющую особое решение уравнения. Полученные в настоящей работе особые решения (9) и (14) были вычислены для произвольного количества переменных и представляют собой основной результат работы. Отметим, что решение (14) переходит в решение (9) в пределе равенства всех показателей производных единице, Рг- = 1.

Заключение

В последнее время изучение дифференциальных уравнений в частных производных типа Клеро представляет определенный интерес [4-8]. В большей степени в прикладных задачах уделяется значительное внимание нахождению особых решений данных уравнений (см., например, [4, 6]), что свидетельствует об актуальности полученных в настоящей работе результатов. Поиск особых решений для конкретных функций остается малоизученным и представляет собой перспективное направление для дальнейших исследований. В дальнейшем планируется изучить другие классы функций от производных в уравнении (1), для которых особое решение будет существовать.

Библиографический список

1. Зайцев, В. Ф. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка / В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин. - Москва : Физматлит, 2003. - 416 с.

2. Камке, Э. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка / Э. Камке. - Москва : Наука, 1966. - 260 с.

3. Курант Р. Уравнения с частными производными. - Москва : Мир, 1964. - 830 с.

4. Lavrov, P. M. Legendre transformations and Clairaut-type equations / P. M. Lavrov and B.S. Merzlikin // Physics Letters. - 2016. - Vol. 756 (B). - P. 188-193.

5. Lavrov, P. M. Loop expansion of the average effective action in the functional renormalization group approach / P. M. Lavrov and B. S. Merzlikin // Phys.Rev. -2015. - Vol. 8 (D92). - Р. 085038.

6. Zyryanova, O. V. Singular solution of Clairaut equations / O. V. Zyryanova and V. I. Mudruk // Russian Physics Journal. - 2018. - Vol. 4 (61). - Р. 635-642.

7. Walker, M. L. Cho-Duan-Ge decomposition of QCD in the constraintless Clairaut-type formalism / M. L. Walker and S. Duplij // Phys.Rev. - 2015. - Vol. 92 (D). -Р. 064022.

8. Рахмелевич, И. В. О решениях многомерного уравнения Клеро с мультиод-нородной функцией от производных / И. В. Рахмелевич // Известия Саратовского университета. Новая серия. Сер.: Математика. Механика. Информатика. - 2014. -Т. 14, № 4. - С. 374-381.

9. Зайцев, В. Ф. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин. - Mосква : Физматлит, 2002. - 256 с.

10. Степанов, В. В. Курс дифференциальных уравнений / В. В. Степанов. -Mосква : Физматлит, 1965. - 512 с.

11. Эльсгольц, Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление / Л. Э. Эльсгольц. - Mосква : Эдиториал УРСС, 2000. - 319 с.

References

1. Zaytsev V. F., Polyanin A. D. Spravochnik po differentsial'nym uravneniyam v chast-nykh proizvodnykh pervogo poryadka [Handbook on differential equations in partial first-order derivatives]. Moscow: Fizmatlit, 2003, 416 p. [In Russian]

2. Kamke E. Spravochnik po differentsial'nym uravneniyam v chastnykh proizvodnykh pervogo poryadka [Handbook on differential equations in partial first-order derivatives]. Moscow: Nauka, 1966, 260 p. [In Russian]

3. Kurant R. Uravneniya s chastnymi proizvodnymi [Equations with partial derivatives]. Moscow: Mir, 1964, 830 p. [In Russian]

4. Lavrov P. M. and Merzlikin B. S. Physics Letters. 2016, vol. 756 (B), pp. 188-193.

5. Lavrov P. M. and Merzlikin B. S. Phys.Rev. 2015, vol. 8 (D92), p. 085038.

6. Zyryanova O. V. and Mudruk V. I. Russian Physics Journal. 2018, vol. 4 (61), pp. 635-642.

7. Walker M. L. and Duplij S. Phys.Rev. 2015, vol. 92 (D), p. 064022.

8. Rakhmelevich I. V. Izvestiya Saratovskogo universiteta. Novaya seriya. Ser.: Matemat-ika. Mekhanika. Informatika [Proceedings of Saratov University. New series: Mathematics. Mechanics. Informatics]. 2014, vol. 14, no. 4, part 1, pp. 374-381. [In Russian]

9. Zaytsev V. F., Polyanin A. D. Spravochnik po obyknovennym differentsial'nym uravneniyam [Ordinary differential equations handbook]. Moscow: Fizmatlit, 2002, 256 p. [In Russian]

10. Stepanov V. V. Kurs differentsial'nykh uravneniy [A course of differential equations]. Moscow: Fizmatlit, 1965, 512 p. [In Russian]

11. El'sgol'ts L. E. Differentsial'nye uravneniya i variatsionnoe ischislenie [Differential equations and calculus of variations]. Moscow: Editorial URSS, 2000, 319 p. [In Russian]

Рыскина Лилия Леонидовна

кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математического анализа, Томский государственный педагогический университет

E-mail: ryskina@tspu.edu.ru

Жидова Любовь Александровна кандидат педагогических наук, доцент, кафедра математического анализа, Томский государственный педагогический университет

E-mail: gidovala@yandex.ru

Ryskina Liliya Leonidovna Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of mathematical analysis, Tomsk State Pedagogical University

Zhidova Lyubov' Aleksandrovna Candidate of pedagogical sciences, associate professor, sub-department of mathematical analysis, Tomsk State Pedagogical University

Образец цитирования:

Рыскина, Л. Л. Решение дифференциальных уравнений Клеро в частных производных с логарифмической функцией / Л. Л. Рыскина, Л. А. Жидова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2019. - № 2 (50). - С. 28-35. - Б01 10.21685/20723040-2019-2-3.