Прикладные варианты теорий упругопластического деформирования материалов при сложном нагружении

Раздел 3. Естественные науки.

2. Сью Т.Ц. Получение точного решения уравнений Навье-Стокса, International Journal of non-linear mechanics, Vol 20, №20, G. Britain, 1985.

3. Выскребцов В.Г. Гидромеханика в новом изложении, из-во «Спутник+», М, 2001г.

4. Жуковский Н.Е. Собрание сочинений, Том 2, Гидродинамика, М-Л, 1949, стр. 698.

5. Шапеев А.Н. Вязкие несжимаемые течения жидкости в секторах и конусах. Автореферат диссертации на соискание к.ф.-м.н., Новосибирск, 2009г.

Прикладные варианты теорий упругопластического деформирования материалов при сложном нагружении

к.ф-м.н. доц. Даншин В.В., Семенов П.В.

МГТУ «МАМИ» 8 (495) 223-05-23, tm@mami.ru

Аннотация. В статье рассмотрены математические модели упругопластическо-го деформирования на основе теории процессов пластического деформирования, развиваемая В.Г Зубчаниновым и частного варианта теории неупругости В.С. Бондаря. Основные положения и уравнения этих теорий упругопластического деформирования материалов приводятся в виде систем дифференциальных уравнений, что позволяет проведение теоретических исследований закономерностей уп-ругопластического деформирования материалов при сложном нагружении по плоским траекториям деформаций.

Ключевые слова: упругость, пластичность, сложное нагружение.

Введение.

Проблемы надежного функционирования и снижения материалоемкости конструкций современной техники, работающей в условиях высоких уровней силовых нагрузок, делают весьма актуальной задачу математического моделирования упругопластического поведения материала конструкций. Увеличение рабочих параметров современных машин и аппаратов приводит к возрастанию как общей, так и местной напряженности конструкций. Реальные процессы нагружения таких конструкций таковы, что в материале конструкций возникают упругопластические деформации. При этом нагружение является сложным и характер его изменения может быть самым произвольным в условиях повторности действия силовых нагрузок. Правильный учет упругопластической стадии деформирования материала конструкций в конечном счете приводит к повышению прочности, долговечности, надежности функционирования машин и аппаратов современной техники.

Развитие теории пластичности и разработка определяющих соотношений, описывающих процессы сложного нагружения, в настоящее время идет двумя основными путями. К первому направлению относятся различные варианты упругопластических процессов, базирующиеся на общей математической пластичности А. А. Ильюшина [1, 2]. Ко второму направлению относятся различные варианты теории пластического течения при комбинированном упрочнении, базирующиеся на концепции микронапряжений, выдвинутой В.В. Новожиловым [3].

В статье рассматриваются теория процессов пластического деформирования [4-6], успешно развиваемая В. Г. Зубчаниновым и его учениками и относящаяся к теориям первого направления, а также достаточно простой вариант второго направления - теории упругопла-стического деформирования, являющейся частным вариантом разработанной В.С. Бондарем теории неупругости [7-12].

Основные положения и уравнения теорий упругопластического деформирования Определяющие уравнения общей теории процессов [4-6] имеют вид:

da dt

„ d3 , 1 d2 Э

Pi = ~r, P2 =

= M1 p1 + Ma + M3 p3, 1

-, Рз =

X1P1 +

dp2 ds

Xi ds2 X2

Здесь p1 , p2 , p3 - ортонормированные реперы (базисы) Френе, а х1 , X2 соответственно кривизна и кручение траектории деформирования. Единичный вектор напряжений a представим в репере Френе:

a = cos&pi + sin& [cos &2P2 + sin &2P3 ],

" a _ .* Г Г - .* .* .*

a = — , a = Siii + S2/2 + S3/3 , Э = }i/i + }2Í2 + }3/3 , a

где: a и Э - векторы напряжений и деформаций [1, 2] в пространстве А.А. Ильюшина. Функционалы процесса определены формулами:

M = — - M1 cos&1 - M3 sin&1 sin&2 ,

ds

Mk = Mk (Э, X1, X2 )(k = 1,3).

Векторные свойства материала могут быть получены из уравнений:

d&

ds

+ X1

cos &2 = — [- M1 sin & + M3 cos &1 sin &2 ], a

•J d&2 1 n M3 sin&11—- + x2 I = X1 cos&1 sin&2 +---cos&2

I ds J a

где - угол сближения, Э2 - угол депланации.

Если траектория деформирования задана в параметрическом виде Э = Э () , где I - параметр нагружения, то определяющие соотношения (1) в скалярной форме преобразуются к виду:

dSk ds

= N

d3k ds

+M — +

M 3 d

X 2 ds

f

X1 dt7

2 <-ч Л

где:

N = M1 + X-M3. X2

На рисунках 1 и 2 представлены образ процесса деформирования и фрагмент локального образа процесса деформирования в репере Френе в текущей точке К. Для плоских траекторий [4-6] N = М1, М3 = 0. Тогда вместо соотношений (5) получим:

Здесь:

S

Sk = M3k + M^s (k = 1,3). a

°(s) w da da dO

M1 = —^, M =--M1 cos&1, — =-,

s ds dsds

а = ^ ^ + ^32 , ^ = д/ Э2 + Э32 . Для функционалов М1, dа¡ds в теории процессов часто принимаются аппроксимации

[6]:

М1 =

Ф

+ 1 20 -

Ф(э У

\/д ехр(-Гоэ),

ёо ёФ

где функция сложности процесса:

20 -

ёФ

ds

Л

/Р exp(- у э),

I =

0

1 - СОБ^ 2

Рисунок 2 - Локальный образ процесса

Рисунок 1 - Образ процесса деформирования

В формулах (8), (9) э - длина дуги траектории деформировании, Ф(э) - универсальная функция, определяемая из опыта на простое растяжение. Считается, что эта функция мало отличается от диаграммы растяжения. Параметры р , q, у, у0 находятся из базового эксперимента [4] по траекториям деформаций типа веера.

Сформулируем основные положения и уравнения теории упругопластического деформирования [8] - частного варианта теории неупругости. Тензор скоростей деформаций представляется в виде суммы скоростей упругой и пластической деформаций:

8, = 8* +8Р .

Упругие деформации при изменении напряжений следуют обобщенному закону Гука:

{Зоо51}-о,)],

где: Е, V- соответственно модуль Юнга и коэффициент Пуассона, о0 = 1\3ои - среднее на-

^ = ее 0 ,-и

пряжение.

Полагается, что в пространстве составляющих тензора напряжений существует поверхность нагружения, разделяющая области упругого и упругопластического состояний. Уравнение поверхности нагружения принимается в следующем виде:

ч, 3

1 )=- (- а,,

Здесь

=

девиатор активных напряжений, э , - девиатор напряжений, ец* -длина дуги пластической деформации. Тензор а, характеризует смещение поверхности на-гружения в девиаторном пространстве напряжений, функция Ср (ер*) - изотропное упрочне-

=~ё^и +1 -ё ее1р + 8аа1} К* .

ние.

Смещение поверхности нагружения определяется следующим уравнением:

2 . (2

В общем случае ё, ё е, ёа являются функционалами процесса нагружения, здесь же они считаются константами материала. Уравнение (14) характеризует анизотропное упрочнение.

Пластические деформации зависят от истории нагружения и являются функционалами процесса. Считается, что поле скоростей пластической деформации в пространстве напряжений имеет потенциал. Тогда, принимая в качестве потенциала функцию (13), тензор скоростей пластической деформации будет определяться уравнением:

р ; _ р

Ь1] ~ Л " 0 *Ьи* ,

да1} 2 а*

где а* - интенсивность активных напряжений, ¿р - интенсивность скоростей пластической деформации.

Используя зависимости (11)-(15), можно получить уравнение для скорости пластической деформации для жесткого нагружения:

р _ 1] 1] о —

Е* + 3G а

и

„* * р е*р*) Е* _ Че + ё + ёе* + ёааи , Че_-~р ,

р* _ * _ 3

ьи * > аи _ * •

аи* 2 аи*

Условия упругого и упругопластического состояний имеют вид: упругость -

а* <Ср ^ери*. <0;

упругопластичность -

а*и _ Ср п ар* > 0.

Для определяющих и материальных функций теории упругопластического деформирования установлены следующие зависимости [7]:

ё _ Еа + ваа , ёе _ вЕа , ёа _ .

Теорию замыкают материальные функции, подлежащие экспериментальному определению:

Е, V - упругие параметры;

Ср {?и*) - функция изотропного упрочнения;

Еа , в, аа - параметры анизотропного упрочнения.

Упругие параметры определяются традиционными методами, материальные функции модели определяются из опытов на одноосное растяжение-сжатие, которые являются сложным нагружением по двухзвенным траекториям с изломом на 180 градусов.

Заключение

Система уравнений (7) теории процессов и система уравнений (11)-(16) упругопластического деформирования при известных начальных условиях могут быть проинтегрированы одним из известных численных методов, например, методом Рунге-Кутта четвертого порядка

Раздел 3. Естественные науки.

точности. Представляет несомненный интерес проведение теоретического эксперимента с помощью изложенных теорий для сравнительного исследования закономерностей упруго-пластического деформирования материалов при сложном нагружении по плоским траекториям, вид которых определяется программой экспериментальных исследований, разработанной В.Г. Зубчаниновым и реализованной под его руководством Тверской научной школой.

Литература

1. Ильюшин А.А. Пластичность. Основы общей математической теории. - М.: Изд. АН СССР, 1963. 271 с.

2. Ильюшин А. А. Механика сплошной среды. - М.: Изд-во МГУ, 1990. 310 с.

3. Новожилов В., Кадашевич Ю.И. Микронапряжения в конструкционных материалах. - Л.: Машиностроение, 1974. 344 с.

4. Зубчанинов В.Г. Математическая теория пластичности - Тверь.: ТГТУ. - 2002. - 300 с.

5. Зубчанинов В.Г. Устойчивость и пластичность. Т. 2. Пластичность. - М.: Физматлит, 2008. 366 с.

6. Зубчанинов В.Г. Механика процессов пластических сред. - М.: Физматлит, 2010. 352 с.

7. Бондарь В.С. Неупругость. Варианты теории. - М.: Физматлит, 2004. 144 с.

8. Бондарь В.С., Даншин В.В. Пластичность. - М.: Физматлит, 2008. 176 с.

9. Бондарь В. С. Математическая модель неупругого поведения и накопления повреждения материала // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Методы решения: Всесо-юз. межвуз. сб. / Горьк. ун-т. 1987. С. 24-28.

10. Бондарь В.С. Математическая моделирование процессов неупругого поведения и накопления повреждений при сложном неизотермическом нагружении в условиях ионизирующего излучения // Расчеты на прочность. - М.: Машиностроение, 1988. Вып. 29. С. 23-29.

11. Бондарь В.С. Неупругое поведение и разрушение материалов и конструкций при сложном неизотермическом нагружении // Автореф. дисс. на соиск. уч. степени докт. физ.-матем. аукн. - М.: МАМИ, 1990. 40 с.

12. Бондарь В.С. Теория неупругости // Материалы 49-й Межд. науч.-техн. конф. ААИ «Приоритеты развития отечественного автотракторостроения и подготовки инженерных научных кадров». Школа-семинар «Современные модели термовязкопластичности» Ч. 2. - М.: МАМИ, 2005. С. 3-24.

Задача о флаттере пластины переменной толщины в уточненной и

дополненной постановке

к.ф.-м.н. доц. Кудрявцев Б.Ю.

МГТУ «МАМИ»

Аннотация. В линейной постановке исследована задача об устойчивости в сверхзвуковом потоке газа пластины переменной толщины, составляющей часть поверхности тонкого клина. При этом пластина свободно операется по кромкам, а вектор скорости потока направлен по оси клина. Найдена критическая скорость при различных значениях параметров.

Ключевые слова: флаттер, сверхзвуковой поток газа, пластина переменной толщины, устойчивость.

Задача о флаттере пластины постоянной толщины изучена достаточно подробно как с использованием линейной поршневой теории [1, 2], так и в случае некоторых других новых постановок [3-7]. При этом работ, где исследовалась бы устойчивость в потоке газа пластины переменной толщины или жесткости, довольно мало [8-11], и рассмотрена в них только бесконечная полоса. В предлагаемой статье представлено решение задачи линейного флаттера