Задача пресследования, описываемая дифференциальными уравнениями дробного порядка

Маматов М.Ш. ©

Доктор физико-математических наук, Национальный университет Узбекистана имени Мирзо Улугбека

Ташкент, Узбекистан

ЗАДАЧА ПРЕССЛЕДОВАНИЯ, ОПИСЫВАЕМАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ ДРОБНОГО ПОРЯДКА

Аннотация

Статья посвящена изучению задачи преследования описываемой дробными дифференциальными уравнениями. Получены достаточные условия для возможности завершения преследования управляемых систем дробного порядка.

Ключевые слова: преследования, преследующий, убегающий, управления преследования, управления убегания.

Keywords: pursuit, pursuer, evader, pursuit control, evasion control.

Дробное исчисление развивается уже более трёхсот лет, беря начало от обсуждения в 1695г. в переписке между Г. Лопиталем и Г. Лейбницом вопроса о смысле производной

порядка 12 [1,69]. Считается, что первый шаг в построении дробного исчисления был

сделан Л. Эйлером в 1738г., заметившим, что результату вычисления производной порядка p от степенной функции можно придать смысл при нецелом p [1,190]. Исследования в данном направлении проводились также П. Лапласом, С. Лакруа и Ж. Фурье. Они в 1822г. предложили первое в истории определение дробной производной произвольного положительного нецелого порядка p от произвольной, но достаточно гладкой функции f (х) на основе следующего интегрального равенства

dPf (Х) = Р f (t) cos(tx -11 + PP)dt,

где t и l - переменные интегрирования.

В настоящее время, под влиянием бурного научно-технического и технологического прогресса дробное исчисление превратилось в мощное научное направление, включающее как фундаментальные, так и прикладные исследования.

Достаточно богатая история развития дробного исчисления, вплоть до середины XX в., весьма полно описана в [1-5]. В первой половине XX в., примерно с 20-х гг., начали развиваться исследования не только фундаментального математического характера, но и исследования, связанные с моделированием физических систем и объяснением их свойств на основе использования аппарата дробного исчисления. Первые попытки таких исследований предпринимались ещё Ж.Лиувиллем и Н.Абелем при решении задачи о таутохроне и других классических задач, в которых возникают интегральные уравнения или соотношения, представляющие собой интегралы и производные дробного порядка. В конце XIX -начале XX вв. О.Хевисайдом было построено операционное исчисление, позволяющее проводить расчёты электрических схем. О.Хевисайдом и Т.Бромвичем было показано, что для распределённых систем, таких как полубесконечная резистивно-ёмкостная линия, передаточная функция выражается интегро-дифференциальным оператором,

представляющим собой производную порядка 12. В 30-40-е гг. XX в. А.Гемантом,

А.Н.Герасимовым, Г.Скоттом-Блэром и Ю.Н.Работновым были проведены обширные исследования свойств вязкоупругих материалов, в ходе которых также было

© Маматов М.Ш., 2016 г.

продемонстрировано, что в волокнистых полимерах напряжение представляется в виде свёртки дробно-степенной функции и деформации или производной от деформации. При этом дробный показатель в степенной функции обусловлен реальными физическими свойствами таких материалов. В середине XX в. Ф.Майнарди и М.Капуто показали, что использование дифференциальных уравнений дробного порядка для построения моделей в задачах термовязкоупругости более адекватно из физических соображений и позволяет более точно воспроизводить в расчётах экспериментально наблюдаемые данные.

Во второй половине XX в. исследователи обратили внимание на возможность использования дробного исчисления в теории систем и сигналов. В связи с этим стали развиваться работы по дробному обобщению вариационного исчисления и теории дифференциальных включений, а также по дробному обобщению классических интегральных преобразований Фурье, Лапласа, Гильберта и др.

В настоящее время, под влиянием бурного научно-технического прогресса дробное исчисление превратилось в мощное научное направление, включающее как фундаментальные, так и прикладные исследования. Это обусловлено необходимостью более точного описания физических систем и процессов, ставших объектами интереса современных исследователей.

Динамика систем, описываемых уравнениями дробного порядка, является объектом исследования специалистов примерно с средины XX в. [6,7]. Исследование динамических систем дробного порядка с управлением активно развивается в последний 5-8 лет [8-10]. Растущий интерес к данным направлениям обусловлен двумя основными факторами. Во-первых, к середине прошлого века были достаточно полно проработаны математические основы дробного интегро-дифференциального исчисления и теории дифференциальных уравнений дробного порядка [1]. Примерно в это же время стала складываться и методология применения дробного исчисления в прикладных задачах, начали развиваться численные методы расчета интегралов и производных дробного порядка. Во-вторых, в фундаментальной и прикладной физике к этому моменту был накоплен значительный объем результатов, показавших необходимость использования аппарата дробного исчисления для адекватного описания целого ряда реальных систем и процессов [3,254;4,345]. В качестве примеров реальных систем упомянем электрохимические ячейки, конденсаторы с фрактальными электродами, вязкоупругие среды. Эти системы обладают, как правило, нетривиальными физическими свойствами, полезными с практической точки зрения. Например, нерегулярная структура электродов в конденсаторах позволяет достигать для них гораздо большей емкости, а использование электрических схем с элементами, имеющими передаточную характеристику дробно-степенного типа, обеспечивает более гибкую настройку контроллеров дробного порядка, используемых в современных системах управления. Для таких управляемых систем дробного порядка на сегодня не существуют аналогичных результатов типа Л.С.Понтрягина.

Пусть движение объекта в конечномерном евклидовом пространстве Rn описывается дифференциальным уравнением дробного порядка вида

с а

Dfz = Az + Bu - Gu + f

о^ г

где 2 е Яп, п > 1; С0 В« - оператор дробного дифференцирования,

«е (0,1], г е [0, Г], А -пхп, В -рхп и G - qхп постоянные матрицы,

и,и-управляющие параметры и - управляющий параметр преследующего игрока, и е Р с Яр, и- управляющий параметр убегающего игрока, ие Q с Я, Р и Q - компакты, /(г) - известная измеримая вектор-функция. Дробную производную будем понимать как левостороннюю дробную производную Капуто [1,414]. Напомним, что дробная производная Капуто произвольного нецелевого порядка «> 0 от функции г (г) е АС И+1(а, Ъ), а, Ъ е Я , определяется выражением

(I) = 1 (2) К

») Г(1 -{«}){ с1£ (I-Хр. (2)К

роме того в пространстве Я" выделено терминальное множество М. Цель преследующего игрока вывести г на множество М, убегающий игрок стремится этому помещать.

Рассматривается задача преследования о сближении траектории конфликтно-управляемой системы (1) с терминальным множеством М за конечное время из заданных начальных положений г0. Будем говорить, что дифференциальная игра (1) может быть закончена из начального положения г0 за время Т = Т (г0), если существует такая измеримая функция и(I) = и(г0,и(1))е Р, Iе [0,Т], что решение уравнения

СР^г = Аг + Ви(1) - Оь(1) + /(I), г(0) = г0 п

ринадлежит множеству М в момент I = Т при любых измеримых функциях и(1), Ь)е 0, 0 < I < Т.

Настоящая работа, посвященная получению достаточных условий завершения преследования для управляемых систем дробного порядка примыкает к исследованием [1016]. При этом мы используем идеи первого прямого метода преследования Л.С.Понтрягина [10,307].

Перейдем к формулировке основных результатов. Всюду в дальнейшем: а) терминальное множество М имеет вид М = М0 + М1, где М0 - линейное подпространство

Я", М1 - подмножество подпространства Ь - ортогонального дополнения М0; б)

ж - оператор ортогонального проектирования из Я" на Ь; в) под операцией - понимается

операция геометрического вычитания [10, 307].

Пусть вОа = ta 1 " Ak--матричная a-экспонента [1,414] и r > 0,

k=0 Г

U(r) = perABP, U(r) = pe^GQ, w(r) = U(r) - i)(r) ;

t

W

0

Теорема. Если в игре (1) при некотором t = t1, выполняется включение

t

-PZo - jpea

то из начального положения г0 можно завершит преследование за время Т = т1.

Доказательство теоремы. Возможны два случая: 1) т1 = 0; т1 > 0. Случай 1) тривиальный, так как при т1 = 0 из включения (4) имеем -жг0 е -М1 или жг0 е М1 , что

эквивалентно включению z0 е M

Пусть теперь т1 > 0. Тогда найдутся векторы d е М1 и w е | W(гтакие, что (см.

0

(3), (4) ) d + w = 0. Далее, в соответствии с определением интеграла | W(г)dг существует

0

суммируемая функция w(r),0 < г <т1, w(г) е W(г), что w = | w(г)dг . Учитывая это равенство,

0

рассмотрим уравнение

ж^-)[Ви - Оь] = w{тl -1)

Относительно u е P при фиксированных t е[0,г1] и ие Q. Так как w(r) е ), то уравнение (9) имеет решение. Из всех решений уравнения (9) выберем наименьшее в лексикографическом смысле и обозначим его через и(/, и). Функция и(/, и),0 < t <т1,ье Q, является лебеговски измеримой по t и борелевски измеримой по и [9,135]. Поэтому для любой измеримой функции и = ), 0 < t <¥,и(/) е Q, функция u(t, )), 0 < t <т1, будет лебеговски измеримой функцией [9,135]. Положим и(/) = и(/,и(/)), 0 < / <т1 и покажем, что при таком способе управления параметром и траектория г(и(), и(), г0) попадает на множество М за время, не превосходящее Т = т1.

Действительно, по (9) для решения ), 0 < / < ¥, уравнения

CDfz = Az + Bu(t) - Gu(t) + f (t), z(0) = z0,

0^ t

имеем [1, 414]

t t pz (t) = pz0 + jpef(t1 -r)[Az0 + f (r)]dr + jpef4 -r)[Bu(r) - Gu(r)]dr = 0 0 t t = pz0 + jpef'1 -r)[Az0 + f (r)]dr- jw(t -r)dr = 00

pzQ + )peAa(t -r}[ Az0 + f (r )]dr - w =Pz0 +\peAa(t -r}[ A^ + f (r )]dr + d,

00

Так как d + w = 0. Далее имеем pz(t) = pz0 +jpef(T1 -r}[Az0 + f (r)]dr + de M1. Отсюда

0

получим, что z(t) e M . Теорема доказана полностью.

Литература

1. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations. Amsterdam: Elsevier, 2006.-500.

2. Учайкин В.В. Метод дробных производных. Ульяновск: Артишок, 2008. -380 с.

3. Тарасов В.Е. Модели теоретической физики с интегро-дифференцированием дробного порядка. Ижевск: РХД, 2011.-540.

4. Lakshmikantham V., Leela S., Vasundhara D.J. Theory of Fractional Dynamic Systems. Cambridge: Cambridge Academic Publishers, 2009.-500.

5. Monje C.A., Chen Y.Q., Vinagre B.M., Xue D., Feliu V. Fractional-order Systems and Controls: Fundamentals and Applications. London: Springer-Verlag, 2010.-400 c.

6. Caponetto R., Dongola G., Fortuna L., Petras I. Fractional Order Systems. Modeling and Control Applications. Singapore: World Scientific, 2010.-200.

7. Agrawal O.P. A Formulation and Numerical Scheme for Fractional Optimal Control Problems// J.Vibr. Control. 2008. V.14.No. 9-10. P. 1291-1299.

8. Frederico G.S.F., Torres D.F.M. Fractional Optimal Control in the Sense of Caputo and the Fractional Noethers Theorem// Int. Math. Forum. 2008. V. 3. No. 10. P. 479-493.

9. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. Москва, 1977.-624с.

10. Понтрягин Л.С. Линейные дифференциальные игры преследования// Мат. Сборник, 1980, Т. 112, № 3, с. 307-330.

11. Осипов Ю.С., Пандольфи Л., Максимов В.И. Задача робастного граничного управления: случай краевых условий Дирихле // Докл. РАН. - Москва. 2000. - Т. 374. - № 3. - С. 310-312.

12. Сатимов Н.Ю., Тухтасинов М. О некоторых игровых задачах в распределенных управляемых системах // ПММ. - Москва. 2005. - Т. 69. Вып. 6. - С. 997-1003.

13. Маматов М.Ш. К теории дифференциальных игр преследования в системах с распределенными параметрами // Автоматика и вычислительная техника. - Рига. 2009. - № 1. - С. 5-14.

14. Маматов М.Ш., Алимов Х.Н. К решению задачи преследования в управляемых распределенных системах высокого порядка// Математические труды. - Новосибирск. 2013.Т.16. - №2. - С.1-16.

15. Mamatov M.SH.,Tashmanov E.B., Alimov H.N. Differential Games of Pursing in the Systems with Distributed Parameters and Geometrical Restrictions //American Journal of Computational Mathematics. - 2013. - № 3. - C.56-61.

16. Mamatov M.SH.,Tashmanov E.B., Alimov H.N. Zwquasi_Linear Discrete Games of Pursuit Described by High_Order Equation Systems// Automatic Control and Computer Sciences. 2015. - V. 49. - № 3. - P. 148-152.