Анализ механического поведения дисперсно-армированного нанокомпозита. Оценка локальной прочности включения, межфазного слоя и приграничного объема матрицы

УДК 539.3:620.22-419

Анализ механического поведения дисперсно-армированного нанокомпозита. Оценка локальной прочности включения, межфазного слоя и приграничного объема матрицы

С.В. Шилько, Д.А. Черноус, С.В. Панин1

Институт механики металлополимерных систем им. В.А. Белого НАН Беларуси, Гомель, 246050, Беларусь 1 Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634021, Россия

С использованием четырехфазной модели структуры дисперсно-наполненного композита, содержащего межфазный слой, получена расчетная оценка его предела текучести. Разработанная расчетная методика позволяет при произвольном виде нагружения найти распределение напряжений во включении, межфазном слое и приграничном объеме матрицы. В качестве критерия текучести композита выбрано условие достижения усредненным значением интенсивности тензора напряжений предела текучести материала матрицы. Усреднение производится по площади границы раздела матрицы с межфазным слоем включения. На основе разработанной методики получены расчетные зависимости относительного предела текучести наполненного композита от объемной доли наполнителя и среднего радиуса включений, которые качественно соответствуют известным из литературы экспериментальным данным.

Ключевые слова: нанокомпозит, дисперсный наполнитель, полимерная матрица, межфазный слой, предел текучести, эффективные упругие характеристики

Mechanical behavior of a particle-reinforced nanocomposite. Estimation of local strengths of the inclusion, interphase layer and near-boundary matrix volume

S.V. Shilko, D.A. Chernous and S.V. Panin1

Biely Institute of Mechanics of Metal-Polymeric Systems NAS Belarus, Gomel, 246050, Belarus 1 Institute of Strength Physics and Materials Science SB RAS, Tomsk, 634021, Russia

The yield strength of a particle-reinforced composite with an interphase layer was calculated with the use of a four-phase model of the composite structure. The developed computation technique makes it possible to determine the stress distribution in the inclusion, interphase layer and near-boundary matrix volume under arbitrary load. The yield criterion for the composite was taken to be the equality of the averaged stress tensor intensity and the matrix yield strength. The averaging was over the interface area of the matrix and inclusion interphase layer. Using the developed technique, dependences of the relative yield strength of the particle-reinforced composite on the filler volume fraction and average inclusion radius were calculated; the dependences agree qualitatively with available experimental data.

Keywords: nanocomposite, dispersed particles, polymer matrix, interphase layer, yield strength, effective elastic characteristics

1. Введение

Широкое практическое использование дисперсно-армированных композитов, в особенности, растущий интерес к полимерным нанокомпозитам, актуализирует совершенствование известных и разработку новых методов расчета и прогнозирования деформационно-прочностных характеристик материалов данного класса.

С учетом армирующего действия наполнителя во многих случаях является корректной характеризация конструкционных полимерных композитов введением касательного модуля упругости как производной от осевого напряжения по продольной деформации при одноосном напряженном состоянии. В частности, в расчетах широко используется приравнивание начального моду-

© Шилько С.В., Черноус Д.А., Панин С.В., 2011

ля упругости касательному модулю в начальной точке диаграммы нагружения (е = 0), что соответствует модулю Юнга линейно-упругого материала.

Известно множество публикаций, включая обобщающие труды [1-3], в которых изложены методы и результаты прогнозирования эффективных деформационных характеристик полимерных композитов исходя из известных упругих модулей и объемного содержания наполнителя. В частности, это являлось предметом исследований в статье [4] применительно к композитам на высокомолекулярной матрице, армированной наночастицами глины. Гораздо менее полно в научной литературе представлено решение задач теоретической интерпретации эффекта упрочнения полимерной матрицы, в особенности при введении нанонаполнителей. Получение адекватной оценки прочности дисперсно-наполненного полимера усложняется вследствие нелинейности деформирования полимерной матрицы и сложных физико-химических явлений на границе раздела фаз, поэтому здесь пока доминируют макроскопическая и феноменологическая трактовки процесса разрушения (например, монография [5]).

Вместе с тем, основная причина погрешности расчета эффективной прочности композитов заключается в том, что ее определяют макроскопическими (усредненными) напряжениями или деформациями, вместо использования их локализованных в пределах микро-и нанообластей максимальных значений. Это предполагает получение детальной картины напряженно-деформированного состояния с учетом внутренней структуры материала. Данная задача обычно решается численными методами с привлечением компьютерных программ конечно-элементного анализа [6, 7] или квантовой механики [8]. Параметрический анализ прочности исследуемых систем, заключающийся в варьировании характеристик структуры и свойств, при использовании указанных общих подходов является очень трудоемким и требует привлечения значительных вычислительных ресурсов, вплоть до использования суперкомпьютеров. Использование при реализации метода конечных элементов принципа представительного объема конечного

> « ^ * - че Л 3

— - V

-

•

размера (RVE-метода) применительно к микро- и нанокомпозитам [9] и объектно-ориентированного моделирования [10] позволяет отчасти решить эту проблему, однако требует дополнительного обоснования корректности выбора представительного объема материала, граничных условий, количества и типа элементов, способа разбиения и т.д. Несмотря на геометрически точное воспроизведение микроскопического фрагмента структуры нанокомпозита (рис. 1), в подобных исследованиях, как правило, не учитывается определяющее влияние межфазного слоя.

Авторы считают, что для прогнозирования прочностных свойств рассматриваемых гетерогенных материалов эффективен аналитический аппарат теории упругости и пластичности в рамках общего подхода физической мезомеханики [11], что было реализовано, например, в статье [12] при определении прочности ряда дисперсных материалов и композитов.

Одной из форм реализации данного метода применительно к дисперсно-армированным полимерам является четырехфазная модель, описанная ранее в работе [13]. Модель позволяет учесть межфазный слой и значительно (до 0.5) расширить диапазон объемного содержания жесткой фазы, в пределах которого удается получить приемлемую расчетную оценку эффективного начального модуля упругости композита, причем возможности модели не ограничиваются оценкой эффективных упругих свойств. В соответствии с подходом, изложенным в [13], использование четырехфазной модели подразумевает аналитическое решение уравнений теории упругости для каждой фазы.

Целью настоящей работы является развитие четырехфазной модели дисперсно-наполненного полимера для получения теоретической оценки максимальных напряжений, возникающих в полимерных нанокомпозитах при различных видах нагружения.

2. Описание четырехфазной модели

Рассматриваемая четырехфазная структурная единица в виде составного шара, помещенного в макроско-

Рис. 1. Изображение микрофрагмента нанокомпозита на основе полипропилена, полученное с помощью растровой электронной микроскопии

Рис. 2. Четырехфазная модель композита

пически однородную среду (рис. 2), является общим представлением множества реальных конфигураций дисперсных частиц наполнителя с прилегающими объемами матричного материала.

Внутренняя часть шара, имеющая радиус а, моделирует включение. Радиус а определяется как среднее значение радиусов частиц наполнителя. Следующий элемент модели толщиной I соответствует межфазному слою, который образуется в наполненных полимерах вследствие физико-химических процессов, происходящих на границе раздела «полимер - наполнитель».

В работах [14-16] показано, что толщина межфаз-ного слоя I зависит от радиуса а и фрактальной размерности поверхности df включения:

I kllm

Здесь 1т — длина статического сегмента полимера, которая определяется следующим образом:

4

3(1- 2vm)’

где 10 = 0.154 нм — длина скелетной связи основной цепи.

Как было показано в работах [14-16], для фрактальной размерности можно записать следующее равенство: ^3 - lg

df = 3 ± -

^ а + 9

Здесь р — плотность материала частиц. Коэффициент к в (3) для каждого типа наполнителя определяется экспериментально. Знак перед дробью выбирается так, чтобы при любом значении радиуса а обеспечить выполнение условия 2 < df < 3. Соотношения (1) -(3) свидетельствуют о том, что для заданной пары материалов матрицы и наполнителя толщина межфазного слоя однозначно определяется радиусом включения.

Внешний слой составного шара (рис. 2) толщиной (Ь - а - I) соответствует полимерной матрице. При за-

данном значении а общий радиус составного шара b определяется объемной долей наполнителя cf:

b = fl

Среда, в которую помещен шар радиуса b, представляет собой непосредственно исследуемый композит.

В дальнейшем будем рассматривать только линейноупругое деформирование компонентов композита, когда механическое поведение материала наполнителя определяется модулем Юнга Ef и коэффициентом Пуассона Vf ’ материала полимерной матрицы — начальным модулем упругости Em и коэффициентом Пуассона v m, межфазный слой характеризуется начальным модулем Ei и коэффициентом vl ’ материал композита — параметрами Ec и v с.

Однородное деформированное состояние материала определяется шестью компонентами тензора деформаций (i, j = х, y, z). Перейдем от декартовой системы

координат х, y, z к главным осям тензора деформаций 1, 2, 3. В дальнейшем вместо главных значений е1, е2, е3 будем использовать деформации e0, e12, e23, которые определяются из соотношений

е1 = e0 + e12 ’ е2 = e0 - e12 + e23 ’ е3 = e0 - e23 •

Здесь e0 = 1/3^ + е2 + е3) — объемная деформация; e12 = 1/3 (2е1 - е2 - е3) — деформация, характеризующая сдвиг в плоскости (1, 2); e23 = ^3(е1 + е2 - 2е3) — деформация, характеризующая сдвиг в плоскости (2, 3). Перейдя к сферическим координатам г, 0, ф (рис. 1), для упругих смещений можно записать: ur = e0r + e12r sin2 0 cos (2ф) +

+ e23 r(sin2 0 sin2 ф- cos2 0)’ u0 = e12 r sin 0 cos 0 cos (2ф) +

+ e23r sin 0 cos 0 (1 + sin2 ф)’ иф = -e12 r sin 0 sin(2ф) +

+ e23r sin 0 sin ф cos ф.

Соотношения (6) определяют упругие смещения в пространстве, образованном некоторым однородным материалом. Для данного пространства на бесконечности (г ^ го) в главных осях 1, 2, 3 заданы деформации e0 ’ e12 ’ e23. Зададим те же условия деформирования для четырехфазной модели (рис. 1). Центральная симметрия данной модели позволяет определить упругие смещения для каждого компонента композита следующим образом:

ur = Vr(0) (r) + Vr(12) (r) sin2 0 cos (2ф) +

+ V}23 (r)(sin2 0 sin2 ф - cos2 0), u0 = V0(12) (r) sin 0 cos 0 cos (2ф) +

+ V0(23) (r) sin 0 cos 0 (1 + sin2 ф)’ иф = Vp(12) (r) sin 0 sin (2ф) -- Vi23)(r) sin 0 sin ф cos ф.

Здесь У^)(г) — функции радиуса г, описывающие г-е упругое смещение (г = г, 0, ф) при заданной на бесконечности деформации е* = 0, 12, 23). Для определе-

ния этих функций будем рассматривать независимо друг от друга три режима деформирования, при каждом из которых задана одна деформация (е0 или е12, или е23).

При заданном значении е0 в выражениях

у(П) = у0(12) = Уф(12) = Уг(23) = У0(23) = уф23) = 0.

Подставим полученные при этом выражения для смещений в уравнения равновесия упругодеформируемого тела в сферических координатах [17]. После выполнения математических преобразований уравнения равновесия сведутся к дифференциальному уравнению для функции У/0 (г). Решение этого уравнения имеет вид [2]:

Уг(0) = А1т + -

Здесь константы А1, А2 для каждой фазы определяются из граничных условий.

Условие ограниченности деформаций и напряжений при г = 0 приводит к тому, что для включения А^ = 0. Выполнение принципа Эшелби [18] сводится к равенству: А2с = 0. В качестве внешней нагрузки на композит зададим на бесконечности (г ^ <») объемную деформацию е0. При этом А1с = е0. Таким образом, неизвестными являются одна константа для включения А^ и по две константы для межфазного слоя А11, А21 и матрицы А1т, А2т. Для определения этих пяти величин используются условия неразрывности радиальных смещений иг и компоненты а,, тензора напряжений на трех межфазных границах (между включением и межфазным слоем при г = а, между межфазным слоем и матрицей при г = а + I, между матрицей и собственно композитом при г = Ь). В качестве шестой искомой величины выступает объемный модуль композита.

При заданном значении е12 в выражениях

у(0) = у(23) = у(23) = уф(23) = 0.

Используя полученные при этом выражения для смещений в уравнениях равновесия упругодеформируемого тела, получим систему дифференциальных уравнений для функций У/12), У0(12), Уф12). Решение данной системы имеет вид [2]:

у(П) = А3г -

6v

У0

= Аг -

1 - 2^ 7 - 4у Т-2у

-Ал г

3 А5 5 - 4v А6

л

• +

А4 г -

2 А5 2 А6

У(*) = -У* ф0

В выражениях (9) V — коэффициент Пуассона материала данной фазы композита (включения, межфазного слоя, матрицы или собственно композита); константы А3 6 для каждой фазы определяются из граничных условий.

Условие ограниченности деформаций и напряжений при г = 0 приводит к тому, что для включения А^ = = А6{- = 0. Выполнение принципа Эшелби сводится к равенству А6с = 0. В качестве внешней нагрузки на композит зададим на бесконечности (г ^ <») объемную деформацию е12. При этом А3с = е12. Таким образом, неизвестными являются две константы для включения А^, А^, по четыре константы для межфазного слоя А31,..., А61 и матрицы А3т,..., А6т, одна константа для композита А4с . Для определения этих одиннадцати величин используются условия неразрывности смещений иг и и0, компонент а,,, аг0 тензора напряжений на трех межфазных границах (между включением и меж-фазным слоем при г = а, между межфазным слоем и матрицей при г = а + I, между матрицей и собственно композитом при г = Ь). В качестве двенадцатой искомой величины выступает модуль сдвига композита.

Решение, соответствующее деформации е23, может быть получено из предыдущего случая (соответствующего е12). Для этого необходимо осуществить поворот координатных осей и необходимые перерасчеты. При этом характер зависимости функций У/23^, У0(23), Уф23) от радиуса г аналогичен характеру соответствующих зависимостей Уг(12)(г), У0(12)(г), Уф12)(г). Отличие будет заключаться только в том, что при определении констант следует принять А3с = е23.

Вычислив все константы А в выражениях (8) и (9), установим расчетные зависимости упругих смещений (7) от сферических координат г, 0, ф. Зная эти зависимости, определим для каждого элемента четырехфазной модели компоненты тензора напряжений в сферической системе координат. Затем определяется зависимость от координат г, 0, ф интенсивности тензора напряжений [17]:

°и = 72'((а,г- а00)2 +(а г,- афф)2 +

+

Таким образом, исходными параметрами для изложенной математической модели наполненного композита являются упругие характеристики компонент Е f, V^ Е1, V1,Ет, Vт, средний радиус включений а и объемная доля наполнителя cf. Данная математическая модель позволяет получить расчетную оценку эффективных упругих характеристик композита Ес, V с , а также при заданном макроскопическом деформированном состоянии е* установить распределение интенсивности тензора напряжений аи во включении, в межфазном слое и в объеме матрицы, непосредственно примыкающем к межфазному слою. Макроскопическими будем считать деформации и напряжения, которые действуют в окрестности данной точки композита, рассматриваемого как однородный изотропный материал с модулем Юнга Ес и коэффициентом Пуассона V с. Для исполь-

зуемой четырехфазной модели (рис. 1) макроскопические деформации и напряжения выступают в роли граничных условий, заданных на бесконечности (г ^ <»).

3. Расчет предела текучести композита

В соответствии с критерием Мизеса условие текучести однородного материала записывается в виде:

Ои = ат,

где а т — предел текучести материала.

В рамках настоящей работы не рассматривается пластичность наполнителя и межфазного слоя, а текучесть исследуемого композита обусловлена переходом в пластическое состояние только полимерной матрицы (как наиболее слабого составляющего композита), что характерно для обычно используемых компонентов. Следовательно, для получения расчетной оценки предела текучести композита необходимо сопоставить интенсивность тензора напряжений в материале матрицы с пределом текучести матрицы атт.

Следует, однако, отметить, что при заданном макроскопическом напряженно-деформированном состоянии в окрестности данной точки композита распределение интенсивности аи в объеме матрицы является неоднородным.

В результате использования описанной выше математической модели (4)-(10) установлено, что независимо от режима нагружения композита при заданных углах 0, ф величина интенсивности напряжения аи в материале матрицы четырехфазной модели (г от а + I до Ь) принимает наибольшие значения на границе раздела межфазного слоя и матрицы. Следовательно, начало текучести композита соответствует моменту, когда интенсивность тензора напряжений аи (г, 0, ф) при г = = а + I достигает значения атт.

Вместе с тем, переход в пластическое состояние материала матрицы только в одной точке (или на малой площадке) границы раздела не может рассматриваться как критерий для определения предела текучести композита а тс. Поэтому в качестве одного из основных параметров напряженно-деформированного состояния четырехфазной модели определим усредненное по площади границы раздела «матрица - межфазный слой» значение интенсивности тензора напряжений следующим образом:

1 2п П

<Ои>= — I |аи(а +I, 0, ф^т 0 dе dф.

4п

0 0

Для записи строгого критерия текучести неоднородного материала следует получить расчетную зависимость интенсивности тензора макроскопических напряжений от интенсивности макроскопических деформаций [3, 5], что для рассматриваемых композитов является весьма трудоемким и включает операцию усреднения. Поэтому при оценке предела текучести ограничим-

ся соотнесением усредненного значения интенсивности тензора макроскопических напряжений (аи> с пределом текучести материала матрицы атт. Тогда для получения расчетной оценки величины атс первоначально необходимо найти эффективные упругие характеристики композита Ес и Vc. Затем задается произвольное макроскопическое состояние композита а* и вычисляется интенсивность тензора макроскопических напряжений

аис = ^2((а« - ауу )2 + (а« - агг )2 +

+

При заданных а* и упругих характеристиках композита определяются макроскопические деформации е*. Затем по формулам (5) вычисляются деформации е0, е12, е23. С использованием разработанной математической модели (7)-(10) определяется распределение интенсивности тензора напряжений аи (г, 0, ф) в объеме четырехфазной модели. По формуле (12) вычисляется усредненное по площади границы раздела значение интенсивности (аи >. Таким образом удается установить зависимость усредненного значения (аи > от интенсивности тензора макроскопических напряжений аис. Так как в рамках разработанной математической модели рассматривается только линейно-упругое деформирование фаз композита, то установленная зависимость будет линейной. Введем коэффициент концентрации напряжений в форме: К и = аис/ (аи >. В соответствии с избранным способом расчета величины атс введенный коэффициент будет определять относительный предел текучести композита

• = К = -

а

а

<аи >

Принятый способ определения предела текучести композита позволяет получить расчетную оценку, практически не зависящую от режима нагружения.

4. Пример расчета

В качестве примера для проведения тестового расчета разработанной математической модели рассмотрим полиэтилен высокой плотности (Ет = 1.53 ГПа, Vт = = 0.45), наполненный активированным наноразмерным кальцитом (Ef = 26 ГПа, vf = 0.27). Данный композит был использован в качестве расчетного примера в предыдущей статье авторов [13]. Аналогично работе [13], коэффициент к, определяющий по соотношению (3) фрактальную размерность поверхности включений, примем равным к = 410 м5-^ /г. При заданных свойствах наполнителя и матрицы использование изложенной расчетной методики позволяет определить коэффициент концентрации напряжений Ки, характеризующий

а

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 с,

Рис. 3. Зависимость относительного предела текучести композита от объемной доли наполнителя: 1 — анализ без учета межфазного слоя, 2 — при наличии межфазного слоя

относительный предел текучести исследуемого композита как функцию объемной доли наполнителя cf, среднего радиуса включений а и упругих свойств межфазного слоя Е1, vl.

На рис. 3 представлены расчетные зависимости относительного предела текучести композита от объемной доли cf, полученные без учета межфазного слоя (I = 0) и при использовании гипотезы [10] о «проникновении» наполнителя в матрицу (Е1 = Ef, V1 = VМожно отметить, что зависимость Ки от cf характеризуется наличием минимума при малых значениях объемной доли наполнителя cf и максимума в области больших значений cf. Уменьшение относительного предела текучести при Cf < °Л обусловлено возникновением концентраторов напряжений при введении в матрицу частиц наполнителя.

Дальнейшее увеличение степени наполнения ^ приводит к тому, что максимальные напряжения локализуются в армирующих частицах. Относительный предел текучести композита увеличивается с ростом cf. В области больших значений cf соседние частицы наполнителя сближаются. В промежутках между ними возникает множественная концентрации напряжений, что обусловливает снижение предела текучести композита при cf > °.9 (рис. 3, кривая 1). Наличие в композите межфазного слоя приводит к увеличению предела текучести и смещению положения максимума Ки в область меньших значений объемной доли наполнителя (рис. 3, кривая 2). Отмеченный характер расчетной зависимости К и (с^ соответствует известным экспериментальным данным [14].

Использование разработанной математической модели требует задания в качестве исходных параметров полного набора свойств матрицы, наполнителя и межфазного слоя. Данное обстоятельство затрудняет количественное сопоставление расчетных и экспериментальных данных.

Графики на рис. 3 построены для а = 10 нм, что соответствует максимально допустимому значению фрактальной размерности поверхности включений df = 2.98. С увеличением среднего радиуса включений а фрак-

0.90 -I--------------1------------.-------------1------------1-------------—

-8 -7 -6 -5 -4 1да

Рис. 4. Зависимость относительного предела текучести композита от среднего радиуса включений: Е1 = Е ^ V1 =v f (1); Е1 = 2Ет, VI =

^т

тальная размерность df уменьшается. При этом уменьшаются толщина межфазного слоя I и степень влияния данного слоя на эффективные свойства исследуемого композита. Еще раз отметим, что толщина межфазного слоя определяется не только степенью развитости поверхности частиц наполнителя, что, однако, является предметом отдельного исследования.

Расчетная зависимость относительного предела текучести от радиуса включений представлена на рис. 4. В диапазоне изменения радиуса а от 10 нм до 100 мкм увеличение величины а приводит к снижению предела текучести композита. В данном диапазоне значение коэффициента концентрации Ки зависит от упругих характеристик межфазного слоя. При получении расчетных зависимостей было принято допущение об отсутствии пластических деформаций в межфазном слое. Вследствие данного допущения при более жестком межфазном слое расчетное значение предела текучести композита будет ниже.

5. Заключение

Установлено, что использование известных общих решений теории упругости для неоднородной среды при объемном деформировании и чистом сдвиге позволяет описать напряженно-деформированное состояние дисперсно-наполненного композита на мезоуровне (в масштабе отдельного включения) при произвольном нагружении.

Основываясь на подробной картине распределения напряжений в окрестности включения, удается получить адекватную оценку предела текучести исследуемого композита. В рамках данного подхода учитывается упругодеформируемый межфазный слой. Общий вид полученной в рамках разработанного подхода расчетной зависимости относительного предела текучести от объемной доли наполнителя качественно соответствует известным экспериментальным результатам для наполненных композитов. В дальнейшем планируется выполнить количественное сопоставление расчетных оценок с экспериментальными результатами, полученными при наноиндентировании отдельных компонентов.

Работа выполнена при поддержке БРФФИ и РФФИ (проекты №№ Ф10-240 (10-08-90011-Бел_а), Т10С0-033, 09-08-00752-а.

Литература

1. Composite Materials. Vol. 2. Mechanics of Composite Materials / Ed. by G.P. Sendeckyj. - New York: Academic Press, 1974. - 640 p.

2. Кристенсен P Введение в механику композитов. - М.: Мир, 1982. -

334 с.

3. Гузъ А.Н., Хорошун Л.П., Ванин Г.А. Механика композитных материалов и элементов конструкций. Т. 1. Механика материалов. -Киев: Наукова думка, 1982. - 368 с.

4. Li X., Gao H, Scrivens W.A, Fei D., Thakur V, Sutton M. A, Reynolds A.P., Myrick M.L. Structural and mechanical characterization of nanoclay-reinforced agarose nanocomposites // Nanotechnology. -2005. - V. 16. - No. 10. - P. 2020-2029.

5. Фудзии Т., Дзако М. Механика разрушения композиционных материалов. - М.: Мир, 1982. - 232 с.

6. Гаришин О.К., Лебедев С.Н. Исследование структурных напряжений в дисперсно наполненных эластомерных нанокомпозитах // Мех. композ. мат. констр. - 2006. - Т. 12. - № 3. - С. 289-299.

7. Cannillo V, Bondioli F., Lusvarghi L., Montorsi M., Avella M., Erri-coM.E., Malinconico M. Modeling of ceramic particles filled poly-mer-matrix nanocomposites // Compos. Sci. Technol. - 2006. -V. 66. - No. 7-8. - P. 1030-1037.

8. Яновский Ю.Г., Григоръев Ф.В., Никитина Е.А., Власов А.Н., Кар-

нет ЮН. Наномеханические свойства нанокластеров полимерных композитов // Физ. мезомех. - 2008. - Т. 11. - № 3. - C. 61-74.

9. IUTAM Symposium on Modelling Nanomaterials and Nanosystems: IUTAM Bookseries. - New York: Springer, 2009. - V13. - P. 241248.

10. Dong Y, Bhattacharyya D., Hunter PJ. Characterization and object-oriented finite element modelling of polypropylene/organoclay nanocomposites // Key Eng. Mat. - 2007. - V. 334-335. - P. 841-844.

11. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов / Под ред. В.Е. Панина. - Новосибирск: Наука, 1995. -Т. 1. - 298 с., Т. 2. - 320 с.

12. Хархардин А.Н., Топичиев А.И Структурная топология дисперсных материалов и композитов // Строительные материалы. Наука. - 2006. - № 7. - С. 27-30.

13. Черноус Д.А., Шилъко С.В., Панин С.В. Анализ механического поведения дисперсно-армированного нанокомпозита. Метод расчета эффективных упругих характеристик // Физ. мезомех. -2010. - Т. 13. - № 4. - С. 85-90.

14. Козлов Г.В., Яновский Ю.Г., Карнет Ю.Н. Фрактальная модель усиления эластомеров дисперсными наполнителями // Мех. ком-поз. мат. констр. - 2005. - Т. 11. - № 3. - С. 446^50.

15. Козлов Г.В., Буря А.И., Липатов Ю.С. Фрактальная модель усиления эластомерных нанокомпозитов // Мех. композит. мат. - 2006. - Т. 42. - № 6. - С. 797-802.

16. Буръян О.Ю., Новиков В.У. Моделирование межфазного слоя в композитах с полимерной матрицей. Определение его структуры и механических свойств // Мех. композит. мат. - 2002. - Т. 38. -№ 3. - С. 289-304.

17. Старовойтов Э.И. Основы теории упругости, пластичности и вязкоупругости. - Гомель: БелГУТ, 2001. - 344 с.

18. Эшелби Дж. Континуальная теория дислокаций. - М.: Иностр. литeр., 1963. - 247 с.

Поступила в редакцию 01.11.2010 г.

Сведения об авторах

Шилько Сергей Викторович, к.т.н., доц., зав. отд. ИММС НАНБ, shilko_mpri@mail.ru Черноус Дмитрий Анатольевич, к.т.н., доц., снс ИММС НАНБ, depa10@tut.by Панин Сергей Викторович, д.т.н., доц., зав. лаб. ИФПМ СО РАН, svp@ispms.tsc.ru