Классы функций многозначной логики, замкнутые относительно операций суперпозиции и обращения

Математика

УДК 519.716.5

КЛАССЫ ФУНКЦИЙ МНОГОЗНАЧНОЙ ЛОГИКИ, ЗАМКНУТЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ОПЕРАЦИЙ СУПЕРПОЗИЦИИ И ОБРАЩЕНИЯ

Д. Е. Стародубцев1

На множестве функций /г-значной логики рассматривается замыкание относительно операций суперпозиции и обращения. Приведено описание всех замкнутых классов функций /г-значной логики относительно этих операций.

Ключевые слова: многозначная логика, замкнутые классы, оператор замыкания, усиление суперпозиции, операция обращения.

The closure under composition and inversion operations is considered on the set of functions of the fc-valued logic. A full description of such closed classes is obtained.

Key words: fc-valued logic, closed classes, closure operator, inversion operation, extension of composition operation.

Работа относится к теории функциональных систем. Исследуются замкнутые классы функций fc-значной логики [1, 2]. Известно, что семейство замкнутых классов булевых функций имеет счетную мощность [3, 4], а семейство замкнутых классов функций fc-значной логики при к ^ 3 — мощность континуума [1, 5]. Исследования, касающиеся решения задачи описания замкнутых классов функций fc-значной логики, можно разделить на два основных направления. Первое из них заключается в описании определенных фрагментов решетки замкнутых классов и изучении свойств классов из этих фрагментов. Известно, например, описание всех предполных классов [6, 7]. В работе [2] приведены некоторые результаты, касающиеся минимальных классов и минимальных клонов. Подробнее с результатами, полученными в этом направлении, можно ознакомиться в [8, 9]. Второе направление заключается в рассмотрении различных усилений операции суперпозиции, которые позволяют получить более "просто" устроенную решетку классов функций, замкнутых относительно новых операций. Изучались, например, операторы ^-замыкания [10], замыкание относительно операций суперпозиции и перестановки [11]. Обзор результатов в этом направлении приводится в работах [9, 11]. Настоящая работа относится ко второму направлению исследований. На множестве функций fc-значной логики наряду с операцией суперпозиции вводится операция обращения, которая в некотором смысле является обратной к операции отождествления переменных. Получено описание всех классов функций, замкнутых относительно операций суперпозиции и обращения. Для классов булевых функций аналогичная задача была решена в 2011 г. в дипломной работе Н.Т. Мартыновой, выполненной на механико-математическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова в 2011 г.

Пусть к ^ 3. Обозначим через Ек множество {0,1,... , к — 1}, через Рк множество всех функций fc-значной логики. На множестве функций fc-значной логики определим операцию обращения следующим образом. Для п ^ 2 обозначим через Ап множество наборов а = (а..., ап) £ Етаких, что ап = щ для некоторого г € {1,... ,п — 1}. Рассмотрим функцию f(x\,... ,хп) € Рк- Будем говорить, что функция д(х\,... ,хп^\) получена из функции / с помощью операции обращения, если для всех наборов (а\,..., ап+1) из множества Ап+\ выполняется <7(0:1,..., an+i) = f(a\,..., ап). Заметим, что если функция д(х\,..., хп^\) получена из функции f(x\,... ,хп) при помощи операции обращения, то / можно получить из д путем отождествления переменной хп-\-\ с любой из переменных х\,... ,хп. Через А(/) будем обозначать множество всех функций д, получаемых из / операцией обращения. Через [F] будем обозначать замыкание множества функций F относительно операции суперпозиции, через [F]д замыкание F относительно операций суперпозиции и обращения. Через е(х) будем обозначать тождественную функцию, через Tj множество всех функций из Рк, сохраняющих константу г. Набор (сх\,..., ап) £ Е% будем называть разнозначным, если существуют i,j € {1,... ,п}, такие, что щ ф aj.

1 Стародубцев Дмитрий Евгеньевич — асп. каф. дискретной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: dmitry. starodQgmail .com.

2 ВМУ, математика, механика, № 2

Утверждение 1. Пусть s(x) € Рк Пусть I С Ек — такое множество значений, что s(x) € Tj для всех г € I и s(x) £ Tj для всех j € Ek\I. Тогда для любой одноместной функции2 /(ж) € Г\ш Ti выполняется соотношение /(ж) € [{з(ж)}]д.

Доказательство. Рассмотрим функцию д(х,у), определенную следующим образом:

{s(x), если х = у,

/(ж), если х фу и s(x) = у,

0 иначе.

Заметим, что д(х,у) € Д(з(ж)), так как на наборах вида (а, а) функция принимает значение s(a) и тем самым может быть получена из функции s(x) с помощью операции А. Покажем, что /(ж) = д(х, д(х, х)). По определению функции д для любых а € Ек имеем д(а,д(а,а)) = g(a,s(a)). Теперь если а = s(a), то g(a,s(a)) = s(a) = а = f(a); если а ф s(a), то применение функции s к первому аргументу дает в точности второй аргумент, поэтому получаем g(a,s(a)) = /(а). Таким образом, /(ж) € [{«(ж)}]д. Утверждение доказано.

Лемма. Пусть п ^ 2, /(х\,... ,хп) € Рк, / сохраняет константы из некоторого множества I Q Ек и только их. Пусть для любого разнозначного набора ¡3 = (ß\,..., ßn-i) € существует значение 7 € Ek, такое, что для всех j € Ek выполнено равенство f(ß,j) = 7. Тогда найдется функция д(Х\,..., хп-\) € Рк, сохраняющая константы из множества I, такая, что / получается из д при помощи операции обращения.

Доказательство. Рассмотрим функцию д(Х\,..., хп-\), такую, что для всех наборов ¡3 € выполнено равенство g(ß) = f(ß,ß 1). Покажем, что / получается из д при помощи операции обращения. По определению операции обращения для этого достаточно показать, что для всех наборов а = (а 1,..., ап) € Ап выполнено равенство f{ct\,..., ап) = д{а\,  , an-i)- Легко видеть, что для всех а € Ek верно д(а,..., а) = /(а,..., а) (отсюда также следует, что д сохраняет константы из множества /). Докажем теперь искомое равенство для разнозначных наборов а € Ап. В этом случае равенство а\ = ... = ап-\ невозможно, так как тогда мы имели бы а ф Ап. По условию леммы ) = /(аь ..., an-i,ai) = g{ai,..., an-i). Лемма доказана.

Теорема 1. Пусть s(ж) € Рк• Пусть I С Ек — такое множество значений, что s(ж) € Tj для всех г € I и s(ж) ф. Tj для, всех j € Ek \ I. Тогда [{.§(ж)}]д = f]i&ITi.

Доказательство. Очевидно, [{.§(ж)}]д С P|ie/Tj. Покажем, что любая функция /(х\,... ,хп) € Cli^iTi может быть получена из з(ж) с помощью операций суперпозиции и обращения. Доказательство будем проводить индукцией по числу переменных функции /. Любая одноместная функция /(Ж1) € Пi€jTi принадлежит [{.§(ж)}]д по утверждению 1, любая двухместная функция f(x\,x2) € Cli^iTi также принадлежит [{.§(ж)}]д по лемме. Таким образом, база индукции установлена. Будем далее считать, что п ^ 3. Предположим, что реализованы все функции из f^\i€lTi, зависящие менее чем от п переменных. Пусть /(х\,... ,хп) € C\i&ITi. Покажем, что / € [{.«(ж)}] д. Определим следующие вспомогательные функции (здесь а = (а\,..., otn-i) — всевозможные разнозначные наборы из Епк-1)-.

/о(жь ...,хп) =

при Ж1 = Ж2 = • • • = Жга_1, иначе;

Ж! при Ж1 = Ж2 = • • • = жга И Ж1 € /,

/й(жь ...,хп) = { /(жь ...,хп) при (жь .. .,xn-i) = а, 0 иначе;

j Ж1 при Х\ = Х2 =  = хп И Х\ G I,

d[ ос 1 ^ • • • ^ ос ft) — \

I Ж1 + 1 (mod к) иначе;

'Ж! при Ж1 = Ж2 = • • • = жга И Ж1 € /,

Ра(х 1, ...,хп) = <( f(a,j) при (жь ... ,хп) = (j + 1,..., j + 1 ,j) для j € Ек, 0 иначе;

Здесь и далее будем считать, что при 1=0 множество Пгр/ Т совпадает с Рк-

q(x,y) =

при Х\ = . . . = Хп и Х\ € I, при (жь... ,xn-i) = а, иначе;

у при х = 1, х иначе.

Имеет место равенство /(ж) = тах(/о(ж), тах(/й(ж))). По лемме каждая из функций j]j. (I. /v*. (¡(Х

а

может быть получена применением операции А к подходящей функции из f^\i&ITi, которая зависит от п — 1 переменной и которая по предположению индукции принадлежит [{.§(ж)}]д. Из доказательства базы индукции также следует, что в [{.§(ж)}]д содержатся функции q, min, max, используемые в дальнейших рассуждениях. Для доказательства теоремы достаточно реализовать функции /й для всех рассматриваемых наборов а.

Покажем, что f&(xi,... ,хп) = q(gä(xi,... ,xn),hä(xi,.. .,хп)), где hä(xi, ...,хп) = pä(d(xn,x,x, ... ,х),... ,d(xn,x,x,... ,х),хп), х = ппп(ж1,...,хп), ж = тах(ж1,...,хп). Пусть ß € Если д&Ф) Ф 1, то q(gä(ß),hä(ß)) = ga(ß) = fä(ß), иначе q(gä(ß),hä(ß)) = hä(ß). Найдем значение функции hä только на соответствующих наборах. Пусть /3 = (1,...,1)и1 €/. Тогда

hä(ß) = Pä(d(ß),..., d(ß), 1) = Pä( 1,..., 1) = 1 = fä(ß).

Пусть теперь ß = (ä,j), где j € Е^. Так как (ot\,..., ап-\) ф (а,..., а) для всех а € то ß ф ß. Тогда

hä(ä, j) = Pä(d(j, ß,ß,...,ß),..., d(j, ß, ¡3,..., ¡3), j) = Pctij + 1,   , j + 1, j) = f&(ä, j) = f&0).

Таким образом, приведенная формула реализует f&(x). Теорема доказана.

Теорема 2. Пусть А С Рк. Пусть множество I С выбрано так, что для любого г € I всякая функция / € А принадлежит Ti, а для, любого j € Е^\1 существует функция / € А, не принадлежащая Tj. Тогда [Л]д = f]iGlTi.

Доказательство. Соотношение [Л]д С P|ie/Tj следует из того, что по условию теоремы любая функция из А принадлежит Пг<=/ и Для любого г € Е^ множество Tj является замкнутым относительно операций суперпозиции и обращения классом. Докажем обратное включение. Если I = Е^, то любая функция из А сохраняет все константы и, следовательно, для любой функции / из А по теореме 1 выполняется соотношение То П Т\ П ... П Tk_i = [{е(ж)}]д С [{/}]д С [Л]д.

Пусть теперь I ф Е^. Для каждого j € I рассмотрим функцию fj € А \ Tj. Для каждой функции fj положим gj(х) = fj(x,..., х). Пусть I = {i\,..., im}, Е^\1 = {j 1,   , jn}- Будем считать, что элементы ii,...,im упорядочены между собой естественным образом; то же предположение сделаем относительно элементов j 1,... ,jm. Упорядочим элементы из Ед. следующим образом: i\ < ... < im < j 1 < ... < jn. Обозначим через ппп°(ж,у) функцию, равную меньшему из значений аргументов относительно этого упорядочения. Заметим, что min, min° € Д(е(ж)), так как min(a, а) = min°(a, а) = а для любого а € Е^. По утверждению 1 для любой одноместной функции s(x) имеем е(ж) € [{«(ж)}]д, поэтому min, min° € [{^}]д для любого j € Е^ \ I и, следовательно, min° € [А]д.

Для каждой функции gj(ж) введем следующие две функции:

hj{x) =

h°(ж) =

ж, если gj(x) = ж;

0 иначе,

ж, если gj(ж) = ж;

¿1 иначе.

По утверждению 1 выполнены соотношения hj,h° € А (gj) и, следовательно, hj,h° € [А] д.

Пусть I ф 0. Положим г°(ж) = min° h°(ж). Для всех г € I при любом j € Ek\ I имеем gj € Ti,

j€Ek\I

h° € Ti, т.е. h°(i) = i. Значит, r°(x) € f)ieITi. Заметим, что gjx(ji) ф ji, поэтому hj^ji) = i\. Так как i\ является минимальным значением относительно соответствующего упорядочения элементов

3 ВМУ, математика, механика, №2

из Ek, то r°(ji) = i\. Рассуждая аналогичным образом для j2,... ,jn, получаем, что r°(j2) = • • • =

r°(jn) = i i. Так как {j 1,... ,jn}, то r°(x) ф Tj для всех j € Ек\ I. Применяя теперь теорему 1 к

функции г°(ж), получаем, что f]i&ITi = [{г°(ж)}]д С [Л]д.

Рассмотрим случай 1 = 0. Положим теперь г(х) = min НЛх). Заметим, что для всех j € Ек

j'eEfc

выполняется gj(j) ф j, поэтому hj(j) = 0 и r(j) = 0. Получаем, что г(х) € То и г(х) ф Tj для всех j € Ek\ {0}. По теореме 1 имеем [{г(ж)}]д = То. Рассмотрим теперь класс [{г(ж),до(х)}]д. Так как [{г(ж)}]д = То, то То С [{г(ж),<?о(ж)}]д- В силу того, что до(х) £ То, имеем [{г(ж),до(ж)}]д <f. То. Поскольку класс То является предполным классом для замыкания относительно суперпозиции, то он является таковым и для рассматриваемого замыкания. Отсюда следует, что Рк = [{г(х), <?о(ж)}]д Q

Ma-

Тем самым доказано обратное включение для искомого равенства. Теорема доказана. Теорема 3. Семейство классов в Рк, замкнутых относительно операций суперпозиции и обращения, исчерпывается следующим списком: Рк, C\i&ITi для всевозможных I С Ек-

Доказательство. Любой класс из приведенного списка является замкнутым относительно операций суперпозиции и обращения. Покажем, что любой класс, замкнутый относительно операций суперпозиции и обращения, содержится в приведенном списке.

Рассмотрим произвольный замкнутый относительно операций суперпозиции и обращения класс А. Выберем множество I С Ек так, чтобы для любого г G I всякая функция / € А принадлежала Ti, а для любого j € Ек\1 существовала функция / € А, не принадлежащая Tj. Тогда по теореме 2 получаем [Л]д = f]ieITi. Теорема доказана.

Отметим, что, согласно теореме 1, для каждого из замкнутых относительно операций суперпозиции и обращения классов функций fc-значной логики существует конечный базис, состоящий из одной одноместной функции (ее можно выбрать произвольным образом из всех одноместных функций, содержащихся в рассматриваемом классе). Из теоремы 3 также следует, что предпол-ными классами относительно рассматриваемого замыкания являются классы То, Т\, ..., Тк~\ и только они.

Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект №14-01-00598 ("Вопросы синтеза, сложности и контроля управляющих систем"), и программы фундаментальных исследований ОМН РАН "Алгебраические и комбинаторные методы математической кибернетики и информационные системы нового поколения" (проект "Задачи оптимального синтеза управляющих систем").

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Яблонский C.B. Введение в дискретную математику. М.: Высшая школа, 2001.

2. Lau D. Function algebras on finite sets: a basic course on many-valued logic and clone theory. Berlin: Springer, 2006.

3. Post E.L. Introduction to a general theory of elementary propositions // Amer. J. Math. 1921. 43, N 3. 163-185.

4. Post E.L. The two-valued iterative systems of mathematical logic // Ann. Math. Stud. 1941. 5.

5. Янов Ю.И., Мучник A.A. О существовании /г-значных замкнутых классов, не имеющих конечного базиса // Докл. АН СССР. 1959. 127, № 1. 44-46.

6. Rosenberg I.G. La structure des functions de plusieurs variables sur un ensemble fini // C. r. Acad. sei. Paris. 1965. 260. 3817-3819.

7. Яблонский C.B., Гаврилов Г.П., Набебин A.A. Предполные классы в многозначных логиках. М.: Изд-во МЭИ, 1997.

8. Михайлович A.B. О замкнутых классах функций многозначной логики, порожденных симметрическими функциями // Математические вопросы кибернетики. Вып. 18. М.: Физматлит, 2013. 123-212.

9. Угольников A.B. О некоторых задачах в области многозначных логик. Мат-лы X Междунар. семинара "Дискретная математика и ее приложения" (Москва, МГУ, 1-6 февраля 2010 г.) / Под ред. О.М. Касим-Заде. М.: Изд-во ЦПИ при мех.-мат. ф-те МГУ, 2010. 18-34.

10. Марченков С.С. S'-классификация функций многозначной логики // Дискретная математика. 1997. 9, № 3. 125-152.

11. Тарасова О. С. Классы функций трехзначной логики, замкнутые относительно операций суперпозиции и перестановок // Математические вопросы кибернетики. Вып. 13. М.: Физматлит, 2004. 59-112.

Поступила в редакцию 15.02.2016