Вероятностные модели сейсмических воздействий

-\-

УДК: 625.042.7

А.Д. Абакаров, Х.Р. Зайнулабидова

ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МОДЕЛИ СЕЙСМИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЙ

Разработаны вероятностные модели сейсмических воздействий, учитывающие степени определённости и полноты исходной сейсмологической информации. Сейсмоопасные территории разделены на два типа районов. К районам с 1-й степенью неопределённости отнесены территории, где параметры сейсмических воздействий могут быть заданы в виде вероятностных распределений, а к районам с 2-й степенью неопределённости отнесены территории, где параметры воздействий могут быть прогнозированы в определённых интервалах.

Ключевые слова: Сейсмическое воздействие, повторяемость землетрясения, расчётное ускорение, доверительное значение, функция риска

До сих пор основными параметрами, характеризующими сейсмичность территорий, являются балльность и вероятность повторяемости землетрясения. Но анализ инструментальных записей землетрясений показывает что, даже при одинаковых балльностях, сейсмический эффект для различных территорий может отличаться весьма существенно по спектральному составу и продолжительности.

Количественные параметры сейсмического движения грунта зависят от многих факторов, к основным из которых можно отнести такие характеристики, как механизм и энергия очага, гипоцентральное расстояние, геологическое строение, геоморфология, режим подземных вод и т.д. Поэтому очевидно, что оценка возможного землетрясения в баллах недостаточна. В то же время, сейсмоопасные территории отличаются и статистикой прошедших землетрясений и уровнем сейсмологических исследований. По степени определённости и полноты исходной сейсмологической информации о параметрах воздействий и повторяемости землетрясений, сейсмоопасные территории можно подразделить на два типа районов.

К сейсмоопасным районам с первой степенью неопределённости следует отнести районы с более определённой информацией о параметрах (ускорения, преобладающие частоты, продолжительность) и повторяемости сейсмических воздействий. Сейсмологическую информацию здесь следует считать более полной, если параметры воздействия могут быть прогнозированы в виде вероятностных распределений с высокой достоверностью. Для этого требуется большой объём данных о региональной сейсмичности и достаточная статистика инструментальных записей сильных землетрясений.

Ко второй степени неопределённости можно отнести районы относительно мало изученные, с ограниченными историческими данными о прошедших землетрясениях и недостаточным набором или полным отсутствием инструментальных записей сильных землетрясений. Известными здесь являются расположение очаговых зон, магнитуды ожидаемых землетрясений, эпицентральные расстояния, интенсивности и повторяемости событий, приведённые в картах сотрясаемости.

Разработка расчётных моделей сейсмических воздействий является одним из ответственных этапов оценки сейсмического риска. Разная степень изученности сейсмоактивных территорий требует разного подхода к формированию модели воздействия, т.е. чем меньше степень изученности, тем больше должна быть доля осторожности в расчётах.

Модель сейсмического воздействия для районов с 1-й степенью неопределённости. Вероятностная природа сейсмических воздействий имеет два источника. Во-первых, каждое землетрясение представляет собой случайное событие. Во-

-\-

вторых, движение грунта в каждой точке поверхности есть результат сложного явления

распространения волн от случайного разрыва в неоднородной среде, и представляет собой нестационарный случайный процесс. Для определения сейсмоопасности территорий чаще всего применяют модель Пуассона и модель "тригерного" типа. Каждая из этих моделей имеет свои преимущества и недостатки. Рассмотрим оба случая для построения модели сейсмического воздействия для территорий с 1-й степенью неопределённости. Представим параметры колебаний грунтов в виде вектора S с совместной плотностью вероятности Д^), функция риска при этом на отрезке времени [0, Т] представляем в виде [1]

= 0)

¡=1

где, 0(2;) - вероятность отказа сооружения при воздействии землетрясения класса

<2&,)= /6

Здесь - показатель риска по отношению к воздействию класса при фиксированном значении вектора S.

Считая, что землетрясения класса являются событиями редкими, которые можно описать пуассоновским потоком событий с интенсивностью Ва^), вероятность повторения землетрясения класса Ъх хотя бы один раз за период Т определяем в виде:

р

Здесь предполагается, что все землетрясения - независимые события и накопление повреждений после каждого землетрясения отсутствует. Принадлежность сейсмического воздействия тому или иному классу определяется по количественному показателю интенсивности, т.е. по балльности. Если в пределах каждого класса возможны землетрясения от разных очагов, то выражение (3) примет вид:

п т

(4>

7-1 Ы1

Более полным для рассматриваемых типов территорий представляется модель сейсмического воздействия "тригерного" типа [2], поскольку она отражает физическое представление о землетрясении как об акте высвобождения накопленной энергии, т.е. учитывает сейсмическую предысторию территории.

Разобьем рассматриваемую территорию на области 22..., такие, что

землетрясение в каждой из этих областей можно рассматривать как независимое событие. Допустим, что событие 01 в момент времени 1;к, есть результат действия некоторого случайного процесса S(t) (характерная деформация). Параметр S(t) играет роль предвестника землетрясения. Примем гипотезу о полумарковости процесса S(t), предположив, что параметр S в любой момент времени t из интервала ^+1), зависит лишь от момента ^ наступления предыдущего сильного землетрясения 0Г и от его параметров. В общем случае S= S(t| Тг), где Тг, - совокупность информации полученной к моменту времени V В интервале времени процесс S(t| Тг), предполагается

непрерывной и неубывающей функцией t. Предположим что, землетрясение 0 наступает, когда параметр S достигает верхнего порогового предела S*, который в свою очередь является реализацией случайной величины с функцией распределения Б*^*) и плотностью вероятности Р*^*). После землетрясения параметр S принимает новое значение S**. Будем считать его реализацией случайной величины, которая зависит от последнего достигнутого уровня S* параметра S. Для задания этой зависимости нужно иметь условную плотность вероятности Р**^**^*). Функция распределения Е^|ТГ) для момента очередного землетрясения Qr+1, вычисленная с учётом информации, полученной к моменту определяется так:

Б^Т^Р^^Т)},

где Р{^}- вероятность наступления случайного события. Отсюда

-\-

Б£|Тг)=Г*[8

Предположим что, некоторый макросейсмический эффект У есть однозначная непрерывная функция У=§(Б, Б*) от реализации верхнего порога Б и нижнего 0^**^*. Введём функцию условного риска, равную вероятности того, что в полуинтервале (1к, 1) произойдёт следующее сильное землетрясение, макросейсмический параметр которого равен или превышает заданное значение У:

0

Вероятность в правой части выражается через совместную плотность распределения значений Б* и Б**. Отсюда

0

где Л(У, 1|Тк) - множество значений Б* и Б**, удовлетворяющих условиям под знаком вероятности в соотношении (7).

Зависимости (6) и (8) аналогичны известным макросейсмическим формулам [2] для повторяемости сильных землетрясений и для распределения по энергетическим классам. Согласовав формулы (6) и (8) с макросейсмическими формулами, можно получить параметры необходимые для расчётов.

Модель сейсмического воздействия для районов с 2-й степенью неопределённости. К 2-й степени неопределённости следует отнести районы относительно мало изученные, с ограниченными историческими и сейсмологическими данными и с недостаточным или полным отсутствием инструментальных записей сильных землетрясений. Известны здесь такие данные как расположение очаговых зон, магнитуды ожидаемых землетрясений, эпицентральные расстояния и повторяемость, приведённая в картах сотрясаемости. На основе этих сейсмологических данных с использованием эмпирических зависимостей полученных для различных районов мира можно оценить некоторые количественные параметры колебаний грунтов (максимальные ускорения, диапазон преобладающих периодов колебаний, продолжительности воздействий). Применимость той или иной зависимости необходимо определить путём сравнительного анализа имеющихся записей афтершоковых и слабых землетрясений. Так как, для рассматриваемой расчётной модели воздействия известны лишь интервалы изменения параметров сейсмических колебаний грунтов, необходимо соблюдать некоторую осторожность при выборе расчётных значений преобладающего периода и ускорения. Наиболее осторожными в этом случае будет решение, когда из прогнозируемого интервала преобладающих периодов колебаний в качестве расчётного принимается период, представляющий наибольшую опасность для сооружения, т.е. соответствующий максимуму спектра реакции. Продолжительность воздействия можно принять равной средней продолжительности для данного класса землетрясений. Данные о средних периодах повторяемости землетрясений, той или иной балльности приводятся в картах сейсмической сотрясаемости. Оценки этих параметров в картах определены как с учётом статистики прошлых землетрясений, так и на основе сейсмологических исследований в условиях недостаточной статистики.

Получим выражения для определения расчётных уровней периода повторяемости Га и

ускорения а * при заданных уровнях обеспеченности и £ соответственно.

Принято, что плотность распределения повторяемости сильных землетрясений описывается экспоненциальным законом

=

а

где - интенсивность повторяемости землетрясения.

Средняя величина периода повторяемости землетрясения с ускорением равным или большим а на основе статистики прошлых лет определяется в виде

п

, *

распределения Ф(Та) можно представить в виде Ф(Та) - ^ ^а^  /'" 1 -е п'в"'Тг

а а

Вестник ДГТУ. Технические науки. № 15, 2009. -\-

П ы

где п - число прошлых землетрясений, а - период времени между появлением ьго землетрясения.

Для определения плотности распределения Ф(Т а ) представим (10) в виде

— 1 "

Та=-7, где 7 = ^.

п ¿=1

Распределение ¥(У) случайной величины У может быть вычислено как композиция п экспоненциальных законов распределения.

Известно, что такое представление соответствует гамма-распределению

пи

4/

_ (и-1)!

Так как Т а является линейной функцией случайного аргумента У, плотность

Оп-Ва)

(п-1)!

2

Обозначив 2 = 2 • п  Ва -Та, получим g(z) - г"'1 -е 2 / г".

Тогда верхний и нижний доверительные пределы для интенсивности повторяемости Ва определяем из уравнений

Г -.¿2<12 = \-г. Г --е2й2 = £

J О» ~ 5 J о» ~ •

о ^ о ^

1 2 1 2

Отсюда следует: ВИа = --=-  Ха; К = --' Х\-и,

2-п-Та 2-п-Та

где х2а, Х21- а, - квантили х2- распределения, табличные значения которых выбираются при числе степеней свободы равном 2п.

Нижний и верхний доверительные пределы периода повторяемости

Т"а=\/Вв»; Га =1/В:

Во втором случае, когда Та определён в условиях отсутствия или недостаточной статистики, оптимальным будет решение, если периоды повторяемости, заданные в картах сотрясаемости, принять равными не среднему значению, а максимальному, т.е. принять

Та = г;

Такой подход впервые был принят А.Р. Ржанициным [3] для определения достоверности повторения максимальных снеговых и ветровых нагрузок. В этом случае период повторяемости Та, соответствующий уровню обеспеченности находим из условия

е В"Т" = \ — ^ . Откуда

Тат=-~Н 1-Я- 04)

Ва

Таккак Ва=\/Та, получим Та =Тат /[-1п(1-#)]

По этому выражению для 90% доверительного уровня период повторяемости Та » '1'"' / 2.

Ускорения колебания грунтов при землетрясении также является случайной величиной со средним а и среднеквадратическим аа значениями. Поэтому расчётное

значение ускорения колебания грунтов а * должно соответствовать определённому уровню обеспеченности принимаемому в зависимости от ответственности сооружения.

Вероятность непревышения ускорением грунта определённого порогового уровня а за период времени Т лет представим в виде

С =

где Ла среднее число превышения порогового уровня за период времени, равному одному

году. Из (15) следует

Ля=

Если сейсмические колебания грунтов представить в виде узкополосного стационарного случайного процесса с эффективной продолжительностью 1 и преобладающим периодом колебаний Т|, то

а

• ехр(-Г, ^ 2 • а

Тогда, исходя из (15), (16) и (17) выражение для определения расчётного уровня ускорения, соответствующего уровню обеспеченности получим в виде

а = сг

2 • 1п

2 — — 1 Та'Т'ы\То

1/2

Функция риска при модели воздействия соответствующей для территорий с 2-й степенью неопределённости имеет вид (4), где вероятность отказа сооружения при воздействии к-го землетрясения - го класса О^к) находим при фиксированных параметрах Т|, а*(^) и 1

Следует отметить, что в СНиП 11-7-81* «Строительство в сейсмических районах» для объектов строительства обычной ответственности уровень обеспеченности расчётного ускорения £ принят равным 0,9 (90%), повышенной ответственности 0,95(95%), а высокой ответственности 0,99(99%). Задавшись ими и с учётом параметров возможных сейсмических воздействий по выражению (18) можно получить более обоснованные значения расчётных ускорений для рассматриваемых территорий.

)

Библиографический список:

1. Болотин В.В. Статистическое моделирование в расчётах на сейсмостойкость//Строительная механика и расчёт сооружений - 1981.- №1. с. 60-64

2. Сейсмический риск и инженерные решения/Пер. с анг. под ред. Ц. Ломница, Э.Розенблюта. - М.: Наука, 1981 - 375 с.

3. Ржаницын А.Р. Теория расчёта строительных конструкций на надёжность. - М.: Стройиздат, 1978. - 240 с.

Вестник ДГТУ. Технические науки. № 15, 2009.

-\-

A.D. Abakarov, H.R. Zaynulabidova

Likelihood models of seismic influences

Likelihood models of seismic influences, considering degrees of definiteness and completeness of the initial seismological information are developed. Seism dangerous territories are divided into two types of areas. Territories where parameters of seismic influences can be set in the form of likelihood distributions are carried to areas with the first degree of uncertainty, and territories where parameters of influences can be predicted in certain intervals are carried to areas with the second degree of uncertainty

Keywords: Seismic influence, repeatability of the earthquake, accounting speedup, confidential importance, function of the risk

Абакаров Абакар Джансулаевич (р.1950). Заведующий кафедрой «Архитектура» Дагестанского государственного технического университета, профессор кафедры «Промышленное и гражданское строительство». Доктор технических наук (1994). Окончил строительный факультет Дагестанского политехнического института (1973). Основное направление научной деятельности: теория сейсмостойкости зданий и сооружений.

Автор более 60 научных работ.

Зайнулабидова Ханзада Рауповна (р. 1967). Старший преподаватель кафедры «Архитектура» Дагестанского государственного технического университета. Кандидат технических наук (2006). Окончила строительный факультет Дагестанского политехнического института (1993).

Основное направление научной деятельности сейсмоопасность территорий. Автор более 14 научных работ.