Математическая модель деформирования ортотропных конических оболочек

А. А. Семенов, А. А. Овчаров

Математическая модель деформирования ортотропных конических оболочек

Введение

Наиболее широкое применение конические оболочки находят в авиационной технике и машиностроении. Одной из первых работ по исследованию устойчивости конических оболочек была работа Х.М. Муштари [1]. Также здесь необходимо отметить вклад Н. А. Алумяэ, Э. И. Григолюка, А. В. Саченкова [2] и др. В работе Н. В. Валишвили [3] исследуется устойчивость конических оболочек на основе осесимметричной теории. В работе [4] задача устойчивости конических оболочек была сведена к отысканию собственных значений системы дифференциальных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами, и было показано, что решение необходимо искать приближенно.

Одним из применяемых ранее подходов к решению данной проблемы было сведение конической оболочки к цилиндрической. Радиус цилиндрической оболочки принимался как среднее между большим и малым радиусами конической оболочки. Данная методика хорошо себя показала при расчете оболочек с малым углом конусности [5], но при его увеличении специфичность строения конической оболочки начинает сильнее сказываться на ее устойчивости, и такой подход становится неприемлемым.

По сравнению с расчетом цилиндрических оболочек, исследовать такие конструкции труднее. Это проявляется, прежде всего, в усложнении геометрических соотношений, связывающих перемещения и деформации. К недавним работам в области исследования конических панелей и оболочек следует отнести статью F. Shadmehri, S.V. Hoa и M. Hojjati [6], в которой рассматриваются замкнутые конические оболочки из композиционных

материалов, но математическая модель строится на теории первого порядка, а также не учитывается геометрическая нелинейность.

В работах [7, 8] были получены уравнения движения для подкрепленных ребрами жесткости конических оболочек при линейно-упругом деформировании с учетом поперечных сдвигов.

В исследовании [9] показана математическая модель деформирования оболочки, но не учитываются поперечные сдвиги и ортотропия материала.

В работе [10] приводится математическая модель деформирования оболочки на основе функционала полной энергии деформации, которая учитывает геометрическую и физическую нелинейности, поперечные сдвиги, возможность развития деформации ползучести, введение ребер жесткости с помощью метода конструктивной анизотропии с учетом сдвиговой и крутильной жесткости, но без учета ортотропии материала.

Математическая модель деформирования подкрепленных ортотропных оболочек общего вида на основе функционала полной энергии деформации была представлена в работе [11].

Цель исследования

Целью данной работы является построение математической модели деформирования конических оболочечных конструкций на основе функционала полной энергии деформации с учетом ортотропии материала, геометрической нелинейности и поперечных сдвигов.

Материал и методы исследования

Схематичное изображение панели конической оболочки показано на Рисунке 1.

Математическая модель деформирования оболочки строится на основе функционала полной энергии деформации (или уравнений равновесия), а также включает в себя геометрические соотношения, физические соотношения и граничные условия.

Рис. 1. - Схематичное изображение и принятая локальная система координат панели конической оболочки

Модель Кирхгофа-Лява, когда неизвестными являются только три функции перемещений и = и(х,у),К = V(х,у),Ж = Ж(х,у) и в уравнениях равновесия функции и и V имеют вторые производные, а функция Ж -четвертые, дает существенную погрешность. Необходимо учитывать еще и поперечные сдвиги, т.е. рассматривать модель Тимошенко-Рейснера. Тогда неизвестными будут пять функций - три функции перемещений точек координатной поверхности иV,Ж и две функции, характеризующие углы поворота нормали в плоскостях Х02, Т02: = (х, у), х¥у = х¥у (х, у). При

этом получаемая модель будет геометрически нелинейной, т.е. зависимость деформаций от перемещений - нелинейная, что позволяет исследовать не только напряженно-деформированное состояние оболочки, но и ее устойчивость. В дальнейшем будем рассматривать только модель Тимошенко-Рейснера.

В рассматриваемой модели геометрические соотношения для срединной поверхности оболочки принимают вид [11]

1 ди 1 тл дА , 12

ех =--+-V--кхЖ + —01,

х А дх АВ ду х 2 1

1 дV 1 т г дВ 7 тт 12 е у =--+-и--к Ж + -0 2

у О Л, Л О Я-* у 2

В ду АВ дх

1 д¥ 1 ди 1 т тдЛ 1 т,дВ л л

у „ =--+----и---V— + 010 2,

^ Л дх В ду ЛВ ду ЛВ дх 12

/ 1 ^ ттт \

01

О дЖ . ттл + кП

V

Л дх

0

2

У

V

1 дЖ , т.

--+ куУ

В ду у

у

где е х, е у - деформации удлинения вдоль координат х, у срединной поверхности; уху - деформации сдвига в плоскости ХОУ; Л, В, кх, ку -

параметры Ляме, характеризующие геометрию оболочки и главные кривизны оболочки вдоль осей х и у. Для конической оболочки они принимают вид

Л = 1 В = х • БШ 0 и к = 0 к, =

х

. Из-за наличия в формулах зависимости

от координаты х, сложность системы соотношений (1) существенно возрастает.

Функции изменения кривизн Хь Х 2 и кручения %12 принимают вид:

Х1 =

1 дЧх

+

1 дЛ

Л дх ЛВ ду

Чу ; х2 =

I дЧ.+_!_ дВ Ч

В ду ЛВ дх х

2х

1 дЧ у 1 дЧх 1

12

+

— Чх+дВ Ч ду х дх у

Л дх В ду ЛВ Для связи деформаций и напряжений используются физические соотношения, которые строятся на основе обобщенного закона Гука. Выразив напряжения через деформации, получим физические соотношения для тонкостенной ортотропной оболочки при линейно-упругом деформировании:

ст„ =

Е1

х 1 _ 1 ^12^ 21

Е 2

ст.

1 М-12 Н-21

ех 21еу + г

е у +^12 е х + 2 +^12 Х1 )

Т ху = ^12

У ху + 2 2Х

12

Т х2 = О1Ъкг(2)( -01);

Ту. = ^23к[(2)( -02 ),

здесь Е1, Е2 - модули упругости в направлениях х, у; С12,О13,О23 - модули сдвига в плоскостях ХОУ, Х02, У02 соответственно; ц12, ц 21 -коэффициенты Пуассона; /(2) - функция, характеризующая распределение напряжений тх2, ту2 по толщине оболочки, к - числовой коэффициент, соответствующий выбранной функции / (2). Для гладких оболочек принимается

/ (2 )= 6

' 1 - 2! Л 4 И2

к =

5

6

Функция /(2) при 2 = - И и 2 = 2 (верхняя и нижняя поверхности

оболочки) обращается в нуль, а также удовлетворяет условиям [12]:

и И

12 1 2 2 1

И |/(2^2 = 1; - | /2(2)<к = -

И

к

На основе физических соотношений можно сформировать выражения для усилий и моментов. Интегрируя напряжения (2) по 2 в пределах от - И /2 до И / 2, получим усилия и моменты, приведенные к срединной поверхности оболочки и приходящиеся на единицу длины сечения. Для гладких оболочек они будут иметь вид

Nx

Е

1 ц12ц21

N = Е2

У

1 ц12ц21

И

И

е х +Ц 21е 1

\

е у +^12е х

N ху = Nyx = Оъ

И у

ху

ы.

Ел

1 ц12 Ц 21

' И!Л

Ч12У

е2

М =-2-

У 1

I — Ц12 Ц 21

МУ = Мух = О12

Ч12У

2

' к^ ^ Ч12У

Х12

бх = Оикк((!х -01), бу = О23Цуу - 02 }

где Ых, Ыу, N, ^ух - нормальные усилия вдоль осей х, у и сдвиговые усилия в плоскости ХОУ соответственно; Мх,Му,Мху,,М- изгибающие моменты

л ^ I/ ' л.у ' у А.

в направлении осей х,у и крутящие моменты; бх, бу - поперечные силы в

плоскостях ХО2 и УО2.

Функционал Лагранжа полной энергии деформации оболочки является суммой работ внутренних и внешних сил, и принимает следующий вид [11]:

1 агуТ I 1/ \

Э = 2 3 ] 8 х +Ыу 8 у + 2 ( + Мух Д ху + Мх Х1 + Му Х 2 +

а1 у

+ (( + Мух ) + бх (( -01)+ бу ((у -0 2 )- 2qw\ABdxdy.

Подставив выражения для усилий и моментов (3) в функционал (4), получим

1 а у2(х) ( е к

э=2 з з

2 а у (х) I1 -Ц12 Ц 21

(8 х +Ц 218 х 8 у )+ 1 - Е 2 (8 ( +Ц12 8 х 8у )+ О12 кУ

Ц12Ц 21

ху

+

+ •

Е

1 Ц12Ц 21 + О

г к!л Ч12У

Х1 + Ц 21Х 2 Х1

)+Г

Е,

Ц12 Ц 21

(к!л Ч12У

Х 2 +^12 Х 2 Х1 / +

к3 ^

'12

V 3 У

х22 + О13кк((х - 01 )2 + О23кк((у - 02 )2 - 2qW [ABdxdy

Приведя подобные члены, получим

Э

+

1 аУ2 (х) I Е

=211

«1 у(х)'

Ех

Иг 2 +

Е,

Ц12Ц 21

1 2 + 1 21

1 21

Ц 21И +

Е,

+ у -0 2 )2

1 "Ц12Ц 21

Е

Ц 21И

гхгу + 1 ^122ИГ^ + ^13кИ(х -01 )2 +

' И3 >

1 Ц12Ц 21

12 ,

х2 +

2

'12 I ху

Е

' И3 >

1 Ц12Ц 21

+

Е

Ц 21 +

Е

Ц12

И! л

УЧ12У

Х1Х 2 + 2в}

12

Ч12 У

' и3 л

Ч6У

X 2 +

1 - Ц12Ц21 1 - Ц12Ц21 Учитывая, что Е1ц 21 = Е2ц12, введем обозначения:

Х22 - 2дЖ \ ABdxdy

^2 = Е2, °12 =

^12

Е1 Е1

и приведем функционал к виду

а У2

^ ^13 =

Е1

^23 =

Е1

Э

Е1

2(1

Ц12Ц 21

| | Г*82 + ^2Иг2 +2ИЦ21гхгу + ИУ^ +

«1 У1

____р. 3 7 3 _

+овЦч/ х -01 )2 + о2зкк( у -0 2) + — X2 + — о2 X2 +

+ И3 Ц21Х1Х2 + ^ё17хг2 - 2 ^ -Ц12Ц21 ] Ж\ABdxdy.

6 3 Е1 ]

Способ закрепления контура конструкции учитывается через граничные условия (Таблица 1), которые влияют в дальнейшем на выбор аппроксимирующих функций [13], а область, занимаемая оболочкой, задается в пределах интегрирования [14]: а1 < х < а, у1 (х)< у < у2 (х). Использование функций у1 (х), у2 (х) позволяет учитывать нестандартную форму контура оболочки.

Таблица № 1

Краевые условия при различном закреплении контура конструкции

Закрепление При х = «1, х = а При у = у

Шарнирно-неподвижное закрепление и = V = Ж = Мх = = 0 л у и = V = Ж = Чх = Му = 0 л у

Жесткое закрепление и = V = Ж = ^х =^у = 0 х у и = V = Ж = ^х =^у = 0 х у

Жесткое при х = а1, х = а и шарнирно-неподвижное при у = у (хХ у = у 2(х) и = V = Ж = ^х =^у = 0 л у и = V = Ж = Чх = Му = 0 л у

Жесткое при х = а1, х = а и свободный край при у = У1(х), у = У2(х) и = V = Ж = ^х =^у = 0 х у Ку = Ку = б = Му = Му = 0

Заключение

Таким образом, полученные соотношения (1), (2), (5) вместе с краевыми условиями представляют собой математическую модель деформирования конической оболочечной конструкции с комплексным учетом таких факторов, как ортотропия материала, геометрическая нелинейность и поперечные сдвиги.

Для дальнейшего исследования прочности и устойчивости рассматриваемых конструкций к представленной модели могут применяться методы, подходы и алгоритмы, представленные в работах [14 - 17].

Литература:

1. Муштари, Х. М. Об устойчивости тонкостенных конических оболочек круглого сечения при кручении парами [Текст] / Х. М. Муштари. - В кн. Сборник научных трудов КАИ. - Казань: Издательство Казанского авиационного института, 1935. - С. 39-40.

2. Муштари, Х. М. Об устойчивости цилиндрических и конических оболочек круглого сечения при совместном действии осевого сжатия и внешнего нормального давления [Текст] / Х. М. Муштари, А. В. Саченков // Прикладная математика и механика, 1954. т. XVIII, № 6. - С. 667-674.

3. Валишвили, Н. В. Методы расчета оболочек вращения на ЭЦВМ [Текст] / Н. В. Валишвили. - М.: Машиностроение, 1976. - 278 с.

4. Вольмир, А. С. Устойчивость деформируемых систем [Текст] / А. С. Вольмир. - М.: Наука, 1967. - 984 с.

5. Преображенский, И. Н. Устойчивость и колебания конических оболочек [Текст] / И. Н. Преображенский, В. З. Грищак. - М.: Машиностроение, 1986. - 240 с.

6. Shadmehri F., Hoa S.V., Hojjati M. Buckling of conical composite shells // Composite Structures. - Vol. 94. - 2012. Pp.787-792. D01:10.1016/j.compstruct.2011.09.016

7. Овчаров, А. А. Математическая модель конической оболочки ступенчато-переменной толщины при динамическом нагружении [Текст] / А. А. Овчаров // Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ: Межвуз. темат. сб. тр. СПбГАСУ. -СПб., 2004. - С. 127-132.

8. Овчаров, А. А. Компьютерные технологии исследования устойчивости панелей ребристых конических оболочек [Текст] / А. А. Овчаров // Вестник гражданских инженеров. - № 2(11). - 2007. - С. 104-111.

9. Бурцева, С. В. К расчету оболочек вариационно-энергетическим методом [Электронный ресурс] / С. В. Бурцева, Г. П. Стрельников, В. И. Авилкин // Инженерный вестник Дона. - 2012. - Т. 23, № 4, Ч. 2. - С. 13. Режим доступа: http://ivdon.ru/magazine/archive/n4p2y2012/1291

10. Баранова, Д. А. Математическая модель деформирования подкрепленных оболочек вращения при учете различных свойств материала [Электронный ресурс] // Инженерный вестник Дона. - 2012. -Т.20, № 2. - С. 45-50. Режим доступа: http://ivdon.ru/magazine/archive/n2y2012/745

11. Карпов, В. В. Математическая модель деформирования подкрепленных ортотропных оболочек вращения [Текст] / В. В. Карпов, А. А. Семенов // Инженерно-строительный журнал. - № 5. - 2013. С. 100-106.

12. Вольмир, А. С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек [Текст] / А. С. Вольмир. - М.: Наука, 1972. - 432 с.

13. Карпов, В. В. Математическое моделирование, алгоритмы исследования модели, вычислительный эксперимент в теории оболочек [Текст] / В. В. Карпов. - СПб.: СПбГАСУ, 2006. - 330 с.

14. Семенов, А. А. Алгоритмы исследования прочности и устойчивости подкрепленных ортотропных оболочек [Текст] / А. А. Семенов // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. - № 1.

- 2014.- С. 49-63.

15. Карпов, В. В. Прочность и устойчивость подкрепленных оболочек вращения: в 2 ч. Ч.2: Вычислительный эксперимент при статическом механическом воздействии [Текст] / В. В. Карпов. - М: Физматлит, 2011.

- 248 с.

16. Атисков, А. Ю. Компьютерные технологии расчета оболочек [Текст] / А. Ю. Атисков, Д. А. Баранова, В. В. Карпов, Л. П. Москаленко, А. А. Семенов. - СПб.: СПбГАСУ, 2012. - 184 с.

17. Qu Y., Wu S., Chen Y., Hua H. Vibration analysis of ring-stiffened conical-cylindrical-spherical shells based on a modified variational approach // International Journal of Mechanical Sciences. - Vol.69. - 2013. Pp. 72-84. http://dx.doi.org/10.1016/j.ijmecsci.2013.01.026