Масштабная инвариантность при динамической фрагментации кварца

УДК 539.4

Масштабная инвариантность при динамической фрагментации кварца

М.М. Давыдова, С.В. Уваров, О.Б. Наймарк

Институт механики сплошнык сред УрО РАН, Пермь, 614013, Россия

Проведено исследование статистических закономерностей фрагментации кварцевык цилиндрических образцов в условиях динамического нагружения. Оригинальное экспериментальное оборудование позволило сохранять фрагментированные образцы после удара (с целью определения распределения фрагментов по размерам, пространственный скейлинг) и записывать импульсы фрактолюминесценции, возникающие на вновь образовавшихся поверхностях разрушения (с целью определения распределения по размерам интервалов между импульсами фрактолюминесценции, временной скейлинг). Результаты обработки данных эксперимента показали, что распределения по размерам как для пространственного параметра (размер фрагмента), так и для временного параметра (интервал между импульсами фрактолюминесценции) описываются степенной функцией. Это позволяет отнести динамическую фрагментацию кварца к явлениям, проявляющим самоорганизованную критичность.

Ключевые слова: динамическая фрагментация хрупких материалов, масштабная инвариантность, фрактолюминесценция

Scale invariance in dynamic fragmentation of quartz

M.M. Davydova, S.V. Uvarov, and O.B. Naimark

Institute of Continuous Media Mechanics, UrB RAS, Perm, 614013, Russia

In the work, we studied statistical regularities in fragmentation of cylindrical quartz specimens under dynamic loading. The original equipment used in the study ensured integrity of the specimens after impact for determination of fragment side distributions (spatial scaling) and allowed recording fractoluminescence pulses at newly formed fracture surfaces for determination of pulse spacing distributions (temporal scaling). The results of experimental data processing show that the size distributions for both the spatial parameter (fragment size) and the temporal parameter (fractoluminescence pulse spacing) are described by a power function. This enables us to refer dynamic fragmentation of quartz to phenomena exhibiting self-organized criticality.

Keywords: dynamic fragmentation of brittle materials, scale invariance, fractoluminescence

1. Введение

Явление фрагментации представляет собой разделение твердого тела на части в результате воздействия квазистатической нагрузки, удара или взрыва. Фрагментация наблюдается как в природных объектах, так и в инженерных системах, и имеет место в широком диапазоне пространственных и временных масштабов. Постановки задач фрагментации, как правило, соответствуют двум направлениям.

В первом классе задач исследуют условия разделения материала на большое число фрагментов заданной величины. Такие задачи возникают в горной промышленности, например применительно к процессам дроб-

ления руды с целью определения оптимальной величины нагрузки, приводящей к фрагментации. Как правило, в таких исследованиях анализируется поведение материала в зависимости от величины энергетического воздействия вблизи так называемой [1-4] «критической точки», соответствующей переходу от дефектного материала к фрагментированному.

Второй класс задач посвящен исследованию процесса фрагментации вдали от «критической точки» в условиях значительных энергетических воздействий на материал. Целью этих исследований является объяснение процесса разрушения и создание таких материалов, которые смогли бы выдержать условия нагружения, приводящие к фрагментации [5-14].

© Давыдова М.М., Уваров С.В., Наймарк О.Б., 2013

Основным инструментом исследования статистических закономерностей фрагментации является определение распределения фрагментов по размерам (массам), иными словами, определение количества фрагментов N(r, m) размера r (массы m) больше некоторого заданного. Вид распределения зависит от множества факторов:

1) величины энергии, затраченной на разрушение [2, 3, 9, 15, 16];

2) свойств материала (хрупкий или пластичный) [11, 14, 17];

3) размерности объекта (двумерные, пластина, стержень; трехмерные) [6, 7].

Обобщая экспериментальные результаты, можно выделить две группы распределений. Первая характеризуется функцией распределения, в выражение которой входит экспонента [5, 14, 16-18], вторая — функцией распределения, описываемой с помощью степенной зависимости [1-4, 6-10, 12, 13, 15-17, 19]. Кроме того, распределение Гилварри, представляющее собой комбинацию степенной и экспоненциальной функций, также хорошо описывает распределение фрагментов по размерам как для хрупких, так и для пластичных материалов. В работах [16, 17] высказывается предположение, что при фрагментации пластичных материалов закон распределения фрагментов по размерам описывается экспоненциальной функцией, а при фрагментации хрупких — степенной. Подчеркивается, что наличие характерного масштаба (определяющего масштаб локализации пластической деформации — adiabatic shear bands) для экспоненциального распределения и отсутствие такового в случае степенного распределения является определяющим в понимании физических основ хрупкого разрушения. В то же время, некоторые экспериментальные исследования показали, что распределение фрагментов по размерам лучше описывается произведением степенной и экспоненциальной функции f(х) ха[1, 18], получившим название степенного распределения с экспоненциальным затуханием. Причем, согласно модели [1], предложенной авторами для описания фрагментации в зависимости от величины энергетического воздействия, по мере увеличения энергии возрастает влияние экспоненциальной части распределения. Экспериментальные исследования [18] показали, что степенное распределение с экспоненциальным затуханием характерно для области высоких энергетических воздействий, а для малых энергий — логарифмически нормальное распределение. Там же показано, что распределение в виде суммы двух экспонент хорошо аппроксимирует распределение фрагментов по размерам, как и степенное с экспоненциальным затуханием. Во всех рассмотренных случаях график распределения фрагментов по размерам в двойных логарифмических координатах представляет собой пря-

мую линию (т.е. описывается степенным законом) в области малых и средних фрагментов. Отклонение экспериментальных точек от прямой линии всегда связано с наличием больших фрагментов. Увеличение нагрузки приводит к возрастанию количества фрагментов и уменьшению средней массы фрагмента, и, как следствие, к уменьшению отклонения от степенного закона. Подводя итоги экспериментальных исследований, автор работы [14] делает заключение, что функции распределения фрагментов по размерам исследованных металлов и сплавов описываются экспоненциальным законом. В [19] фрагментация хрупких материалов рассматривается как фрактальный процесс, приводящий к распределению N ~ х~ё, где N—количество фрагментов; х — их линейный размер; d — фрактальная размерность. Фрактальность распределения в широком диапазоне размеров фрагментов позволила авторам [6] рассматривать фрагментацию как явление, проявляющее «самоорганизованную критичность».

В последние несколько десятилетий стало очевидно, что многие хаотические и сложные системы не поддаются традиционному анализу. В 1987 г. в [20] была предложена концепция самоорганизованной критичности. Согласно этой теории, динамическая система в процессе своей эволюции приходит в критическое состояние, которое в дальнейшем является самоподдержи-вающимся. Возникающее критическое состояние представляет собой ряд метастабильных состояний, переходящих друг в друга посредством «лавин», первая из которых появилась в результате локального внешнего возмущения. Такое критическое состояние называется са-моорганизованным, а критерием существования само-организованной критичности в системе считается наличие степенных зависимостей для распределения лавин по размерам и распределения времен жизни лавин. Концепция самоорганизованной критичности является достаточно универсальной и используется для анализа динамических систем, исследуемых в различных областях науки, в том числе, и для прогноза разрушения [21].

Исследуя фрагментацию хрупких материалов (гипс, мыло, парафин) авторы [6] показали, что распределение фрагментов по размерам описывается степенным законом, что подтверждает пространственный скейлинг, характерный для «самоорганизованной критичности». В [22] также отмечается, что исследование поведения системы в рамках концепции самоорганизованной критичности предполагает подтверждения наличия как пространственного скейлинга (масштабно-инвариантной зависимости для «пространственной переменной»), так и временного скейлинга (масштабно-инвариантной зависимости для «временной переменной»).

Целью настоящего исследования является разработка и проведение эксперимента по фрагментации кварца, который позволит исследовать распределение фрагмен-

тов по размерам (пространственный скейлинг), а также распределение временны х интервалов между импульсами фрактолюминесценции (временной скейлинг).

На протяжении нескольких лет авторы статьи изучают закономерности квазихрупкого разрушения. Результаты статистико-термодинамического описания коллективных эффектов в ансамблях мезодефектов позволили записать определяющие уравнения для описания процессов деформации и разрушения хрупких материалов с учетом накопления дефектов [23-27]. На базе этих уравнений были созданы программы, позволяющие моделировать разрушение как процесс формирования пер-коляционного кластера, состоящего из разрушенных элементов. Была проанализирована зависимость фрактальной размерности перколяционного кластера от па-

раметров нелинейного кинетического уравнения, описывающего накопление дефектов в материале [28, 29]. Кроме того, авторами был проведен цикл работ, посвященный исследованию динамики распространения трещин в полиметилметакрилате [25]. Результаты моделирования с помощью перколяционной модели и экспериментальных исследований по динамике распространения трещин послужили основой для разработки эксперимента по фрагментации стеклянных пластин в условиях квазистатического нагружения [30-32]. Основным требованием к условиям эксперимента было сохранение картин фрагментации после снятия нагрузки. Анализ картин фрагментации с применением фрактальных соотношений подтвердил, что они самоподоб-ны, причем значение фрактальной размерности зависит

Ударник

Стальной цилиндр

I

База

Улавливатель

¡¡¡С ЩЩ

iKr:.v

Рис. 1. Схемы эксперимента по фрагментации кварцевых цилиндрических образцов в различных условиях нагружения: фрагментация в результате взаимодействия прямой и отраженной волн сжатия (а); фрагментация при прохождении только волны сжатия (б); фрагментация вызванная прохождением прямой волны сжатия и последующей реверберацией этой волны в стержне (в). Диаметр образца D = 10 (а), 12 мм (б, в); длина основной части Ьосн = 80 (а), 120 мм (б, в); длина буфера = 25 мм; длина внешней части Ьвнеш = 30 мм; масса ударника т = 13.9 (а), 6.3 г (б); скорость ударника V = 17...22 (а), 40...50 м/с (б). ФЭУ — фотоэлектронный умножитель

от типа разрушения (распространение одиночной трещины или ветвление трещин). Кумулятивное распределение фрагментов пластины по размерам также описывается степенной функцией [31-33].

2. Динамическая фрагментация кварца

Исследование статистики динамической фрагментации кварцевых цилиндрических образцов, включающее определение распределения фрагментов по размерам (пространственный скейлинг) и распределения интервалов между импульсами фрактолюминесценции (временной скейлинг), было реализовано на баллистической установке (рис. 1, а), состоящей из газовой пушки калибра 19.3 мм и системы регистрации скорости ударника. На первом этапе эксперимента стояла задача оценить влияние условий нагружения, формы и размеров образцов на вид функции распределения фрагментов по размерам. Были реализованы три типа нагружения: фрагментация в результате взаимодействия прямой и отраженной волн сжатия (I); фрагментация при прохождении только волны сжатия (II); фрагментация, вызванная прохождением прямой волны сжатия и последующей реверберацией этой волны в стержне (III).

Условия нагружения I. Образец кварцевого стекла, в пленочной оболочке, обеспечивающей сохранение фрагментированного объема, закреплялся на основании (рис. 1, а). Одноосные условия нагружения обеспечивались «буфером», на который воздействует ударник массой 13.9 г, движущийся со скоростью 17-22 м/с.

Условия нагружения II. Для исключения влияния отраженной волны на процесс фрагментации изменялись конфигурация образца и условия его закрепления. Образец собирался из трех секций: буфера, основной части и внешней части (рис. 1, б). Размер внешней части подбирался таким образом, чтобы не допустить распространение волны отражения в основную часть. Образец

помещался в стальной цилиндр, заполненный вспененным полиэтиленом, и после удара вылетал в улавливатель. При определении статистических закономерностей фрагментации учитывались только фрагменты основной части образца.

Условия нагружения III. Схема, представленная на рис. 1, в, иллюстрирует условия эксперимента, позволяющего регистрировать временную последовательность образования поверхностей разрушения в ходе фрагментации. В результате воздействия ударной нагрузки в образце возникают поверхности разрушения, что приводит к появлению вспышек фрактолюминес-ценции [34], которые регистрируются двумя фотоэлектронными умножителями с записью сигнала на осциллограф с частотой дискретизации 1 ГГц.

з. Распределение фрагментов по размерам

Исследование статистических закономерностей фрагментации, как правило, предполагает построение кумулятивной функции распределения фрагментов по размерам, т.е. определения зависимости количества фрагментов Щ(г, т) размера г (массы т) больше некоторого заданного от размера фрагмента г (массы т). Масса фрагментов определялась путем взвешивания на электронных весах HR-202i (точность весов равна 10-4 г). Крупные фрагменты взвешивали индивидуально, а мелкие фрагменты просеивали через систему сит

и, используя режим «счета фрагментов», определяли массу и количество фрагментов в каждом сите. Функции распределения фрагментов по размерам хорошо описывается степенным законом (рис. 2). Соответствующие им зависимости плотности распределения приведены на рис. 3.

Анализ статистических закономерностей фрагментации цилиндрических образцов из кварцевого стекла показал, что изменение условий нагружения, скорости

Рис. 2. Пример распределения фрагментов по размерам для двух образцов

Масса, г

Рис. 3. Плотность распределения фрагментов по размерам

Рис. 4. Положение координаты максимума плотности распределения фрагментов по размерам ттах в зависимости от величины удельной энергии

ударника и размеров образцов (рис. 1) не влияет на тип функции распределения, — во всех случаях она остается степенной. Однако масса фрагментов ттах, соответствующая максимуму плотности распределения фрагментов по размерам, зависит от условий нагружения (рис. 4). Причем для условий нагружения I и II масса фрагментов ттах имеет больший разброс, чем для III. При увеличении удельной энергии (III) в 7 раз величина ттах остается практически неизменной (треугольники на рис. 4).

Изменение энергетических условий нагружения (скорости ударника и размера образца) влияет на средний размер фрагмента. Увеличение удельной энергии приводит к уменьшению среднего размера фрагмента (рис. 5).

На рис. 6 в двойных логарифмических координатах приведены функции распределения фрагментов по размерам. По оси X отложен линейный размер дефекта г,

OI  II А III

(-Н g о.з - О

X <D Л

S - сЗ &0.2- Л

а о О - < о

d S о

§ 0.1-X о

э . Он и

0.0-

ОС"

Рис. 6. Распределение фрагментов по размерам для стеклянных пластин и кварцевых стержней

который вычислялся как корень кубический из массы фрагмента или корень квадратный из площади фрагмента, по оси Y— количество фрагментов размера больше некоторого заданного. На рисунке представлены распределения фрагментов по размерам при фрагментации стеклянных пластин в условиях квазистатическо-го нагружения [30-32] и распределения фрагментов по размерам при динамической фрагментации кварцевых стержней (условия нагружения I и II).

Все функции распределения удовлетворяют «фрактальному соотношению для количества фрагментов» (fractal number relation), предложенному в [19]:

N

где г—линейный размер фрагмента; N (> г) — количество фрагментов размера больше г; Ds — фрактальная размерность, которая изменяется в интервале 1.6 < Ds < < 2.0 для стеклянных пластин, и 1.1 < Ds < 1.7 для кварцевых цилиндров (условия нагружения I и II). Коэффициент корреляции (R-квадрат) при аппроксимации экспериментальных данных прямыми линиями составлял не менее R2 = 90 %.

Величина фрактальной размерности Ds зависит от количества энергии, затраченной на его фрагментацию (рис. 7). Увеличение удельной энергии приводит к возрастанию Ds . Отдельно стоящая точка является ил-

2.5'

Q

к

X

I2'

о-

es

со

СЗ « О

С

1.0-

© à

А ^ А А о о* О I  II A III

~ I

И I

0 200 400 600

Удельная энергия, Дж/кг

0 200 400 600

Удельная энергия, Дж/кг

Рис. 5. Зависимость среднего размера фрагмента от значения удельной энергии

Рис. 7. Зависимость показателя степени (фрактальной размерности ) от удельной энергии

lnN

1 ln m /3

Рис. 8. Распределение фрагментов по размерам кварцевых стержней, разрушенных в условиях нагружения III

люстрацией статистического характера хрупкой фрагментации и сильного влияния поверхностных дефектов на инициирование процесса разрушения.

4. Распределение по размерам интервалов между импульсами фрактолюминесценции кварца

Схема эксперимента, позволяющего определять масштабно-инвариантные зависимости как для пространственного параметра (распределение фрагментов по размерам), так и для временного параметра (распределение по размерам временных интервалов между импульсами фрактолюминесценции), приведена на рис. 1, в. Функции распределения фрагментов по размерам для схемы нагружения III, как и для I и II, описываются степенным законом с достоверностью R2 > >91 % (рис. 8). Фрактальная размерность изменяется в интервале 1.01 < < 2.24.

Поверхности разрушения, возникающие в процессе фрагментации кварца, инициируют эмиссию света, интенсивность которого регистрируется двумя быстродействующими фотоэлектронными умножителями со временем нарастания 0.8 нс, расположенными у противоположных боковых поверхностей образца. Два фотоэлектронных умножителя использовались для повышения достоверности эксперимента. Сигнал с фотоэлектронными умножителями передавался на быстродейст-

Время, мс

Рис. 10. Изменение интенсивности фрактолюминесценции во времени

вующий осциллограф с полосой пропускания 3.5 ГГц и частотой дискретизации до 10 ГГц. В экспериментах частота дискретизации устанавливалась равной 1 ГГц. На рис. 9 представлена типичная форма импульса, соответствующего единичному событию разрушения.

Время, не

20 Н

rfl5-

§

PQ

Он

I 10

X

S

а

х

Я с J

к 5Н

§

PQ

Ж

-bitoJiÉi

i

ы

Рис. 9. Типичный импульс, регистрируемый фотоэлектронными умножителями

1 201 401 601

Порядковый номер интервала

Рис. 11. Иллюстрация процесса измерения интервала между событиями

lnN

iiill Ъч y = -0.8578x + 11.885 R2 = 0.9718

y = -0.8546x + 11.594 V

R2 = 0.9859

D = 0.8562 ^4 3 x\x ХФ

0 2 4 6 8 10 12 14 Ы

Рис. 12. Распределение интервалов по размерам в двойных логарифмических координатах

Анализ записанного сигнала (рис. 10, а) показал, что процесс фрагментации длится достаточно долго по сравнению с акустическими временами и на два-три порядка превышает время пробега упругой волны по стержню (17.4 мкс). Частота импульсов не убывает монотонно, импульсы сгруппированы в пакеты (рис. 10, б), подобно «лавинам» в модели самоорганизованной критичности [20].

Данные с осциллографа обрабатывались в несколько этапов: при помощи фильтра низких частот выделялись фронты импульсов; затем измерялся уровень шума на участке, где импульсы отсутствовали; по измеренному уровню шума устанавливался порог дискриминации (горизонтальная линия на рис. 11, а); далее вычислялась величина интервалов (расстояние между вертикальными линиями на рис. 11, а) между импульсами, превысившими этот порог.

Последовательность интервалов приведена на рис. 11, б. Начальная и заключительная стадия процесса фрагментации характеризуются редкими событиями разрушения (большими интервалами ~ 2 • 105 нс), тогда как активной части процесса фрагментации соответствуют интервалы от 2 до 5 -103 нс.

На рис. 12 в двойных логарифмических координатах построена дополнительная интегральная функция распределения интервалов по размерам (сигнал с двух фотоэлектронных умножителей) — зависимость количества интервалов N размера больше заданного от размера интервала t. Такая функция распределения соответствует традиционному статистическому анализу пространственной фрагментации. Экспериментальные данные можно разделить на три участка: малые интервалы (I); средняя часть (2); большие интервалы (3). Средняя часть хорошо (Я2 > 97 %) описывается степенной зависимостью. Отклонение от прямой на малых интервалах (количество точек не более 15 %) обусловлено тем, что величина интервалов соизмерима с величиной дискретизации осциллографа (1 нс). В области больших

интервалов (не более 2 % точек) сказывается влияние масштабного эффекта, т.е. величина интервала соизмерима со временем процесса (время пробега упругой волны по стержню). Средняя часть, как правило, составляет более 80 % точек, что позволяет сделать заключение о степенном характере распределения интервалов по размерам. Величина показателя степени DT в выражении

N

определялась как среднее значение наклонов, соответствующих сигналам с двух фотоэлектронных умножителей.

5. Выводы

Проведено экспериментальное исследование динамической фрагментации кварцевых цилиндрических образцов. В результате обработки данных эксперимента построены распределения по размерам для пространственной (размер фрагмента) и временной (величина интервала между импульсами фрактолюминесценции) переменных. Оба распределения описываются степенной функцией, что позволяет сделать предположение о характере процесса хрупкой фрагментации как процесса самоорганизованной критичности.

Литература

1. Astrom J.A., Linna R.P., Timonen J., Peder Friis Moller, Oddershede L.

Exponential and power-law mass distributions in brittle fragmentation // Phys. Rev. - 2004. - V. 70. - P. 026104-1-026104-7.

2. Katsuragi H., Sugino D., Honjo H. Scaling of impact fragmentation near the critical point // Phys. Rev. E. - 2003. - V. 68. - P. 046105.

3. Katsuragi H., Sugino D., Honjo H. Crossover of weighted mean fragment mass scaling in two-dimensional brittle fragmentation // Phys. Rev. E. - 2004. - V. 70. - P. 065103.

4. Wittel F., Kun F., Hermann Y.J., Kroplin B.H. Fragmentation of shells // Phys. Rev. Lett. - 2004. - V. 93. - No. 3. - P. 035504-1-035504-4.

5. Grady D.E., Kipp M.E. Geometric statistics and dynamic fragmentation // J. Appl. Phys. - 1985. - V. 58. - No. 3. - P. 1210-1222.

6. Oddershede L., Dimon P., Bohr J. Self-organized criticality in fragmenting // Phys. Rev. Lett. - 1993. - V. 71. - No. 19. - P. 3107-3110.

7. Meibom A., Balslev I. Composite power laws in shock fragmentation // Phys. Rev. Lett. - 1996. - V. 76. - No. 14. - P. 2492-2494.

8. Kadono T. Fragment mass distribution of platelike objects // Phys. Rev. Lett. - 1997. - V. 78. - No. 8. - P. 1444-1448.

9. Ching E.S.C., Lui S.L., Xia K.-Q. Energy dependence of impact fragmentation of long glass rods // Physica A. - 2000. - V. 287. - P. 8390.

10. Kadono T., Arakawa M. Crack propagation in thin glass plates caused by high velocity impact // Phys. Rev. E. - 2002. - V. 65. -P. 035107(R).

11. Сильвестров B.B. Применение распределения Гилварри для описания статистики фрагментации твердых тел при динамическом нагружении // ФГВ. - 2004. - Т. 40. - № 2. - С. 111-124.

12. dos Santos F.P.M., Barbosa VC., Donangelo R., Souza S.R. Experimental analysis of lateral impact on planar brittle material // Phys. Rev. E. - 2010. - V. 81. - P. 046108 (9 p.).

13. Brodskii R.Ye., Konevskiy P. V, Safronov R.I. Size distribution of sapphire fragments in shock fragmentation // Function. Mater. - 2011. -V. 18. - No. 2. - P. 200-205.

14. Botvina L.R. Dynamic fragmentation criterion that reflects the effect of the composition and mechanical properties of a material and loading conditions // Russian Metallurgy. - 2011. - No. 10. - P. 973980.

15. Ishii T, Matsushita M. Fragmentation of long thin glass rods // J. Phys. Soc. Japan. - 1992. - V. 61. - P. 3474-347.

16. Grady D.E. Length scales and size distributions in dynamic fragmentation // Int. J. Fract. - 2010. - V. 163. - No. 1-2. - P. 85-99.

17. Grady D.E. Fragment size distributions from the dynamic fragmentation ofbrittle solids // Int. J. Impact Engng. - 2008. - V. 35. - P. 15571562.

18. Katsuragi H., Ihara S., Honjo H. Explosive fragmentation of a thin ceramic tube using pulsed power // Phys. Rev. E. - 2005. - V. 95. -P. 095503.

19. Turcotte D.L. Fractals and Chaos in Geology and Geophysics. - Cambridge: Cambridge University Press, 1997. - 221 p.

20. Bak P., Tang C., WiesenfeldK. Self-organized criticality: an explanation of 1/f noise // Phys. Rev. Lett. - 1987. - V. 59(4). - P. 381-384.

21. Макаров П.В. Самоорганизованная критичность деформационных процессов и перспективы прогноза разрушения // Физ. мезо-мех. - 2010. - Т. 13. - № 5. - С. 97-112.

22. HenrikJ.J. Self-Organized Criticality: Emergent Complex Behaviour / Physical and Biological Systems: Cambridge Lecture Notes in Physics 10. - Cambridge: Cambridge University Press, 1998. - 153 p.

23. Наймарк О.Б., Давыдова М.М. Топологический (фрактальный анализ) кинетики накопления дефектов при оценке прочности углеродных композитов // Механика композитных материалов. -1994. - Т. 30. - № 1. - С. 19-30.

24. Naimark O.B., Davydova M.M. Crack initiation and crack growth as the problem of localized instability in miсrocrack ensemble // J. Phys.

III. - 1996. - V. 6. - P. 259-267.

25. Наймарк О.Б., ДавыдоваМ.М., Плехов О.А., Уваров С.В. Экспериментальное и теоретическое изучение динамической стохастич-

ности и скейлинга при распространении трещин // Физ. мезомех. -1999. - Т. 2. - № 3. - С. 47-58.

26. Naimark O.B., Davydova M.M., Plekhov O.A., Uvarov S.V Nonlinear and structural aspects of transitions from damage to fracture in composites and structures // Computers & Structures. - 2000. - V. 76. -P. 67-75.

27. Наймарк О.Б., Баранников В.А., Давыдова М.М., Плехов О.А., Уваров С.В. Динамическая стохастичность и скейлинг при распространении трещины // Письма в ЖТФ. - 2000. - Т. 26. - № 6. -С. 67-77.

28. Давыдова М.М. Применение фрактального формализма при моделировании разрушения и анализе характеристик поверхностей излома // Деформация и разрушение материалов. - 2005. - № 6. -С. 12-18.

29. Davydova M., Davydov D. The use of fractal concept in failure simulation and fracture surface analysis // Zeszyty Naukowe Politechniki Opolskiej. Seria Mechanika. - 2005. - V. 82. - No. 304. - P. 45-52.

30. Davydova M., Davydov D. Fractal analysis of fragmentation patterns of glass plates // Mater. Sci. Forum. - 2007. - V. 567-568. - P. 289292.

31. Давыдова М.М., Давыдов Д.М. Экспериментальное исследование статистических закономерностей фрагментации стекла // Материаловедение. - 2007. - № 4. - C. 14-19.

32. Давыдова М.М. Экспериментальное исследование статистических закономерностей фрагментации стекла // Физ. мезомех. -2008. - Т. 11. - № 5. - С. 77-83.

33. Davydova М.М., Naimark О-B., Leontiev V.A., Uvarov S.V. Scaling properties of crack branching and brittle fragmentation // Europ. Phys. J. Web of Conferences. - 2010. - V. 10. - P. 00037p.1-00037p.4.

34. Веттегрень В.И., Куксенко B.C., ЩербаковИ.П. Кинетика эмиссии света, звука и радиоволн из монокристалла кварца после удара по его поверхности // ЖТФ. - 2011. - Т. 81. - № 4. - С. 148-151.

Поступила в редакцию 12.07.2013 г.

Сведения об авторах

Давыдова Марина Михайловна, к.т.н., снс ИМСС УрО РАН, davydova@icmm.ru Уваров Сергей Витальевич, к.ф.-м.н., снс ИМСС УрО РАН, usv@icmm.ru Наймарк Олег Борисович, д.ф.-м.н., зав. лаб. ИМСС УрО РАН, naimark@icmm.ru