О НЕКОТОРЫХ РЕШЕНИЯХ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ И РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ЗАПАЗДЫВАНИЯМИ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

О НЕКОТОРЫХ РЕШЕНИЯХ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ И РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ЗАПАЗДЫВАНИЯМИ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Эмирова И.С.

Эмирова Ирина Султановна - доцент, кандидат физико-математических наук, Дагестанский государственный университет, г. Махачкала

Аннотация: в статье рассматриваются решения функционально-дифференциального уравнения с сосредоточенными и распределенными запаздываниями вида с неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве. Доказывается теорема о существовании решения, связанного с кратными полюсами резольвенты, порождаемой заданным уравнением. Ставится вопрос об асимптотическом разложении решений исследуемого уравнения, то есть дается описание характера поведения решения уравнения при больших значениях независимой переменной.

Ключевые слова: функционально-дифференциальный, отклонение аргумента, гильбертово пространство, операторные коэффициенты, резольвента, норма, распределенные запаздывания.

ON SOME SOLUTIONS OF FUNCTIONAL DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH CONCENTRATED AND DISTRIBUTED DELAYS IN THE HILBERT SPACE

Emirova I.S.

Emirova Irina Sultanovna - Associate professor, Candidate of Physical and Mathematical Sciences

DAGESTAN STATE UNIVERSITY, MAKHACHKALA

Abstract: solutions of functional-differential equations with lumped and distributed delay in the Hilbert space are being considered in the work. The theorem on existence of the solution, connected with multiple poles of resolvent, generated by the given equation is being proved. It is urgent to set a question on asymptotic development of the solutions of the given equation.

Keywords: functional-differential equation, argument deviation, Hilbert space, operator coefficients, resolvent, norm, characteristic exponent.

В [1, с. 11] рассматриваются решения уравнения с сосредоточенными и распределенными запаздываниями вида

m

Lu

J=o j ,,

0

с неограниченными операторными коэффициентами Л,-, Л(т): У ^ У , причем

Л-и|| < с\и\х , X,У - гильбертовы пространства, X С У, Ц^ > |и||у, =---,

I

8Ии() = и{V - И).

Известно, что линейное уравнение с сосредоточенными отклонениями аргумента ^^ и()-

т

^ Л- (?(()и() = /(?) является частным случаем уравнения с распределенными запаздываниями

-=0 -

да

Ци()- | 8Ти(гКг(V,т) = /(V),

к

когда функция Г (? ,т) имеет специальный вид

rM= tAj (t) hj (t)) /(0 = {° [ < 0'

j = о I1, t > 0-

dA

P + ^^ +... +1 ^^P0 = 0, k = 1,2,..., n -1,

1 = 0

В дальнейшем нам понадобятся следующие определения. Определение 1. Ненулевой элемент (Ро £ X, удовлетворяющий условию

т , \ ю

ЛоЕ - X А ехр

V 1=0 'о ,

назовем собственным элементом оператора

т ю

А = Х АХ - | ТА(т): X ^ У,

1=° 'о

соответствующего собственному значению Ло этого оператора. Определение 2. Элементы (, (2,..., (П-1 £ X, удовлетворяющие соотношениям

) Р + +1 йкЬ(Ао) Л _

йА Рк-1 ... к! йАк

назовем присоединенными к собственному элементу (. Число П называется кратностью собственного элемента Ло .

Теорема. Если Ао - П - кратный полюс резольвенты Кр (А) = Ь 1 (А), то функция

п-1 (¡')--к-1

ио(')= ехр(А)?-\Г Рк, где ( - собственный элемент оператора А,

к=о

соответствующий собственному элементу А, а ( ____, Ри-1 - присоединенные к ( элементы,

является решением уравнения )= о.

Доказательство. Действуя по частям оператора Ь на функцию Ид ('), получим

Г П-1 (¡' )П-к-1 П-1 (¡')П-к - 2

ДИо(')= ехр(Ао' 1 ^ ч-(к + Ет^Л—V« Рк

|_ к=о(п - к - 1)! к=о(п - к - 2)!

Выделяя в первой сумме в скобках слагаемые при

к = о, а во второй сумме к изменяя с 1, имеем

А Ио

(п -1)! к=1(п - к -1)!

.

Далее, используя формулу числа сочетаний из (n — k — 1)элементов по V элементов, получим

m ( \ , Л—1 (i(t — h ))n—k—1

t Aj exp(— ^hj)exp(— i^t)t—(—j <Pk =

j=0 k=0 (n — k —1)!

, - n—1n—k—1 (it)n — k—V—1 (— h )V

= exp

j=0 k=0 v=0 (n — k — V — 1)!

| Б и ( Щг) =

п - к-у-1

п-1 п - к-1 ' )'

= ехр(/^о?2 тМ-

к=0 у=0 (п - к -у

да (- т)у

^к |ехР(- 'Лт) т/ ¿Л(?) •

Используя

Ь и0

равенства (4)-(6),

' (и )п-1 п-1 ' )п - к - 2 (7 ч

Л) Р0 + -^ИвРк + Рк-1)

(п -1)! к=1(п - к - 2)!

п-1п-к-1 (¡¿)п-к-у-1 к20 (п-к-у- 1)!

2 Л- ехр(- Л И-

-=о у!

+

+

да

у!

Рк

Заменив далее V на I - к , получим окончательно

')п-1 ^ ')п - к-1

Ь и0

получим

Л Ро + 2(п - к -1)!

_п-1 п-к-1 ')п- -1 к=о 1=к (п -1 -1)!

2Л- ехр

-к

- = 0

(I - к)!

+

+

да (-'т)1

V!

Рк

Лп-у-1

Далее, собирая члены содержащие

(п -V-1)!'

V = 0, п -1,

имеем

у = а ЛР0 - 2 Л- ехр(- 'ЛИ- )(0 - | ехр(- Л^тр = Ь(Л )р0

-=0 V 0

у = 1,

т / V - 'И-

Л0Р1 + Р0 - 2Л- ехр(- 'ЛИ 1 -

-=0

1!

Р0 +Р1

-1 ехр(-'Лт)( -тР0 +(1

т ( ч (- 'И/ г - п. У = 2, ^0(2 + Р1 - 2 Л- ехр(- ') -Р0 Р1 + Р2

И

-=0

2!

1!

г

0

>

0

0

г

0

— Jexp(— Ц^-<P0 + —pP + P2

t0

dA(r\

m k (— lh )—V

V = k, A)Pk +Pk—1 — t Aj exp(— lA0hj )t Л ^ 4, Pv

j=0 k (  \k—v

v=0

(k — v)!

— J exp(— lA0*)t (l 4, Pv

l v=0 (k — v)!

№(r\

Таким образом,

L u0

^

4р + dLMPv—!+1 d-LMл

v=1(n — V — 1)!

dA

v! dAV

+

()n—1

Отсюда и из определения элементов р, P2,..., Pn—1, связанных соотношениями (2) и (3) следует утверждение теоремы.

Используя доказанную теорему, можно поставить вопрос об асимптотическом разложении решений исследуемого уравнения (1), другими словами, описание характера поведения решения уравнения (1) при больших значениях независимой переменной.

Список литературы /References

1. Алиев Р.Г. Функционально-дифференциальные уравнения в гильбертовом пространстве. Махачкала, издательство ДГУ, 2010.