Использование методов вероятностного потокораспределения для решения задач в электроэнергетике

УДК 621.311.016

Е.В. Болоев, И.И. Г олуб

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДОВ ВЕРОЯТНОСТНОГО ПОТОКОРАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ В ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИКЕ

Линейные и нелинейные аналитические методы вероятностного потокораспределения используются для определения среднеквадратических отклонений переменных режима и построения функций плотностей вероятности на основе разложения Грамма-Шарлье. Предложен алгоритм увеличения вероятности нахождения переменных в допустимых границах.

Сингулярный анализ, сенсорные переменные, вероятностное

потокораспределение

E.V. Boloev, I.I. Golub

USE THE PROBABILISTIC LOAD FLOW METHODS FOR SOLUTION OF PROBLEMS

IN ELECTRIC POWER SYSTEMS

The linear and non-linear analytical methods of probabilistic load flow are used to determine standard deviations of state variables and construct the probability density functions with the use of Gram-Charlier series expansion. The algorithm is proposed to increase the probability of sensor variables lying within the feasible region.

Singular analysis, sensor variables, probabilistic load flow

В процессе функционирования электроэнергетическая система (ЭЭС) подвергается большим и малым внешним возмущениям и реагирует на них изменением переменных режима. Такая реакция зависит как от состава и величины возмущений, так и от таких инвариантных к режиму факторов, как топология и параметры элементов схемы сети. Возмущения, локализуемые в разных местах ЭЭС, как правило, вызывают заметную реакцию модулей и фаз напряжений, перетоков мощности и потерь напряжений в одних и тех же узлах и связях. Такие элементы схемы сети, переменные режима которых в наибольшей степени изменяются при случайных внешних возмущениях, называются сенсорами [1].

Сенсорные переменные часто определяют критические состояния ЭЭС, их знание необходимо для усиления сети при проектировании и управлении, определении наиболее ответственных точек контроля и ускорения процедуры оценки их допустимости в реальном времени, синтезе законов управления. Прежде, чем определять значимость реакций сенсоров на критерии управления, какими являются допустимость режима, статическая и динамическая устойчивость, оперативная надежность и экономичностьнеобходимы способы выявления сенсорных переменных не столь громоздких, как метод Монте Карло, а также способы выявления порождающих сенсоры элементов сети, названных слабыми местами, чтобы целенаправленно воздействовать на них как при эксплуатации, так и при развитии ЭЭС.

Для этой цели в [1] используется метод сингулярного анализа. Однако этот метод не позволяет одновременно с идентификацией сенсорных переменных оценить возможные диапазоны их изменения и вероятности нахождения переменных в допустимых границах, вы-

брать управляющие воздействия для получения требуемых вероятностей с учетом допустимых диапазонов изменения переменных.

Совместное решение всех перечисленных задач привело к необходимости поиска методов выделения сенсорных переменных и слабых мест в ЭЭС не менее эффективных, чем метод сингулярного анализа. Такими являются аналитические методы вероятностного пото-кораспределения. В них внешние возмущения представляются случайными изменениями нагрузок, а реакция ЭЭС на возмущения определяется числовыми характеристиками и плотностями вероятности, позволяющими оценить возможные диапазоны изменения значений переменных и вероятности их нахождения в допустимых границах.

Задачами проведенного исследования являются разработка методов вероятностного потокораспределения для выделения сенсорных переменных в ЭЭС, определение вероятностных характеристик переменных, оценка вероятности нахождения переменных в допустимых границах и выбор управляющих воздействий, повышающих такую вероятность.

Методы вероятностного потокораспределения, которые рассматривались в данной работе, могут быть разбиты на две группы, к первой относится численный метод Монте-Карло, ко второй группе - линейные и нелинейные аналитические методы моментов [2-5].

Определение математических ожиданий и ковариаций модулей и фаз узловых напряжений, в методе, который называется линейным методом моментов, может быть получено с использованием выражения

(дP дP V1

Г AS Л AU

3S дU dQdQ

Г AP Л Г AP Л

= J -1 ,

aqJ IaqJ

SU

связывающего в системе линеаризованных уравнений изменения фаз AS и модулей AU узловых напряжений с изменениями активных A P и реактивных A Q мощностей, J— - об-

ратная матрица Якоби.

Математические ожидания цASAU и ковариации l2ASAU изменений модулей и фаз

напряжений определятся через математические ожидания lAPAQ и дисперсии нагрузок l2AP Aq в точке решения нелинейной системы уравнений установившегося режима ЭЭС как

lAS,AU = J lAP,AQ ,

l2AS,AU = J l2AP,AQ

Предположение о нормальном законе распределения нагрузок позволяет определить их дисперсии с использованием функции Лапласа, называемой также функцией ошибок. Для заданной вероятности P отклонения нормально распределенной случайной величины X от математического ожидания m на величину, не большую заданной точности Ае,

P

может быть вычислено среднеквадратическое отклонение (СКО) - а. Значения Ае определяется погрешностью прогноза нагрузок или оценок нагрузок.

Числовых характеристик переменных могут быть получены также с использованием линейного метода обобщенного возмущения, в основе которого лежит сингулярное разложения несимметричной матрицы Якоби

n

J=W IVТ = 2 w; aj vT ,

j=1

где W=(w1, w2,..., wn) и V =(v1,v2,...,vn) - ортогональные матрицы, столбцы которых являются левым и правым сингулярными векторами, а I - диагональная матрица упорядоченных по возрастанию сингулярных значений а1 <а2 <a3 < . <an .

С учетом разложения (5) выражение (1) может быть представлено в виде

(АЗЛ /АРЛ » / т /АР%

А и

= ]

-і

А б) 1=1 \ А б у !=1

Если первое сингулярное значение <г1 =&тп существенно меньше остальных сингулярного значений, то, наибольший вклад в изменение фаз и модулей узловых напряжений вносит первое слагаемое суммы (6), где компоненты первого правого сингулярного вектора распределяют скалярную величину А£ ^ - первого обобщенного возмущения [1], между узлами сети.

Математические ожидания и ковариаций модулей и фаз напряжений, с учетом первого обобщенного возмущения могут быть выражены через скалярные значения математического ожидания /иА 5 и дисперсии /и2А 5 обобщенного возмущения как

^

Аи =У1 </ах 12АР,Аб [у1 Ч/а1 Г =у1 1*8?! .

Количество вариантов возмущений бесконечно, они могут отличаться по составу и величине возмущения. Такой подход не требует задания сценария изменения узловых мощностей, а позволяет по заданной величине обобщенного возмущения оценить множество сценариев возмущений по одному критерию.

Выражения для числовых характеристик переменных, аналогичные (2), (3), (7), (8), могут быть записаны и для других переменных режима. Сравнение СКО переменных режима, полученных на основе линейного аналитического подхода и метода Монте Карло показало, что во многих случаях метод Монте Карло дает большие значения СКО, чем линейный метод. Снижение ошибки, связанной с линеаризацией, может быть получено с использованием нелинейных методов. Квадратичная аппроксимация Тейлора уравнений установившегося режима в общем виде может быть представлена как

і т

АУ = /АХ + -АХтНАХ ,

2

где АГ = (АР Аб)т , АХ = (АЗ Аи)т , Н - кубическая матрица, размера к3, называемая матрицей Гессе, состоит из к слоев, запись слоев Н в виде прямоугольной матрицы с к строками и к 2 столбцами

2 Э 2 Р

Н =

д2 р д2 р

д2 р _________ ________ ________

дЗдЗ дЗди дидЗ д иди д 2й д 2й д 2й д2 й

дЗдЗ дЗди дидЗ диди

Л

позволяет представить (9) в виде

АУ = /АХ + - НАХ АХ 2

Математические ожидания и дисперсии узловых мощностей на основе (11) запишутся

+ Мах  Мах ),

)нт,

Мау = ^Мах + 2 Н (ь

М2 АХ

М2АУ = •М

2 АХ

3АХ

Нт + 2НмТахЗ + 4Н(М4АХ -Ь

где Мъах и м4АХ - матрицы совместных центральных моментов третьего и четвертого порядков, размеров (к2 хк) и (к2 х к2) соответственно, Ь - вектор, составленный из к2 строк матрицы м2АХ •

Система (12), (13) недоопределенная, поскольку в два ее уравнения входят четыре неизвестные матрицы моментов 1-4 порядков, для получения единственного решения можно использовать различные формы представления уравнения (13).

В предложенном в [3] методе статистической линеаризации уравнение для ковариаций включает только первое слагаемое - 112АХ1т.

В [4] для получения единственного решения не учитываются моменты третьего порядка, что позволяет записать это уравнение в виде

Аа, = 14 !,ах - аНЬ^ЛхХ 14]) -,Т,

где а - коэффициент, значение которого определяется видом плотности распределения.

Предположение о близости закона распределения переменных режима к нормальному закону позволяет выразить моменты третьего и четвертого порядков через кумулянты, равные нулю. Такой метод назван методом двух моментов, уравнение (13) в нем имеет вид

12АУ = )12АХ1 + Н

Итерационный процесс получения решения (12), (15) в общем виде может быть представлен следующим образом.

Задаются математические ожидания и дисперсии нагрузок, а также исходные приближения математических ожиданий и нулевые значения дисперсий параметров состояния. Формируются матрицы Якоби и Гессе. Из системы (12) определяются 1АХ , а в соответствии с выражением (3) - исходное приближение матрицы 12АХ и вычисляемые на ее основе ЪЦг и 14АХ . Далее из (12) находится уточненная матрица 1АХ, а из (15) - 12АХ . Итерационный процесс повторяется до тех пор, пока небаланс в системе (12) не превысит заданного значения.

Для дальнейшего повышения точности решения задачи вероятностного нелинейного потокораспределения предлагается использовать метод трех моментов, в котором система (12), (13) дополняется уравнением для моментов третьего порядка

ц3Д, = 1  1^3ДХ1 т + 2 Н 1 (ц4дх — Ъц2ДХ  Ъц2ДХ )) т + ^1  Н (ц4дх — Ц2ДХ  Ъ ц2ДХ )) т +

+ 21  1 (ц 4ДХ — Ъ Ц2ДХЪ^2ДХ )Н Т + ^ Н  Н (^5ДХ — Ъ Ц2ДХ  Ц 3ДХ — Ц 3ДХ  Ъ ц2х )1 ^ +

+ 4 Н  1 (^5дх — Ъ ^2дх  Ц ТДХ — Ъ Ц3дхЪ^2дх )Н Т + 41  Н (ц 5ДХ — Ц ТДХ  Ъ Ц2дх ~ Ъ )Н Т +

+1Н  Н

где 14АХ , 15АХ , 15ах , 16АХ - матрицы совместных центральных моментов четвертого, пятого и шестого порядков, имеющие размеры (к3 хк), (к3 хк2), (к4 х к), (к4 хк2). Элементы матриц

14аХ , 15аХ , 1бАХ и 14АХ , 15АХ , 1бАХ оДинаковые, но расположены по-разному; Ъ ц3дх , Ъ ц4дх -

векторы, составленные из элементов столбцов матриц центральных моментов 13АХ и 14АХ .

Система трех уравнений (12), (13), (16) из-за наличия в ней неизвестных матриц моментов четвертого, пятого и шестого порядков является недоопределенной. Для получения единственного решения эти моменты представляются через кумулянты, которые полагаются равными нулю. Алгоритм итерационного решения задачи вероятностного потокораспреде-ления методом трех моментов аналогичен алгоритму для метода двух моментов.

В [5] предложен наименее трудоемкий, названный здесь безитерационным, метод расчета вероятностного нелинейного потокораспределения, не предполагающий проведения итерационного уточнения решения, а позволяющий только уточнить математические ожидания и моменты второго порядка, полученные на основе линейной аппроксимации, с исполь-

зованием матрицы Г ессе. Слои матрицы Г ессе в этом методе записываются один под другим, что позволяет представить решение (9) относительно вектора состояния как

( АГт (1 -1)ТН1Г'АУЛ АГТ (1 -1)ТН2 1аЛУ

ЛХ=1ЛАУ—0.51—

=ЛХ —АХ

Мг1)ТНк1 _1ЛГ^

где второй член решения АХ корректирует переменные АХ', полученные на основе линейной аппроксимации.

Повышение точности вероятностных оценок получено включением в алгоритм [5] процедуры итерационного уточнения решения при представлении матрицы Гессе в прямоугольной форме (10) , позволяющей записать (17) в виде

АХ = 1 "1АГ — 11 ~1Н

Математическая формулировка такого, названного модернизированным, метода вероятностного потокораспределения, записанная для трех моментов, будет иметь вид

МлХ = 1 + В

12АХ = ЛМ2ЛУЛ + ЛМ3ЛУВ + В

13АХ = А  Л13АуЛТ + А  Л14АуЛТ + А  Б1'4ЛУАТ + В  Л1'4Л,ЛТ + А  В15ЛУВТ +

+ В  Лм5л,Вт + В  В15ЛГЛТ + В  В16АГВТ) ,

где Л = 1 В = —0.51 _1Н (1 -1  1—).

Точность числовых характеристик переменных, полученных линейными и нелинейными методами, может быть оценена при их сравнении с характеристиками, полученными методом Монте Карло. Этот метод, признан наиболее точным и является тестовым при оценке точности упрощенных методов вероятностного потокораспределения. Главной проблемой метода является необходимость выполнения большого количества экспериментов.

Если в результате расчета вероятностного потокораспределения окажется, что вероятность нахождения контролируемых переменных, к которым в первую очередь относятся сенсорные, в допустимых границах, ниже требуемой, то для увеличения такой вероятности осуществляется выбор управляющих воздействий. Для решения указанной проблемы в работе предлагается используется метод, аналогичный методу детерминированного эквивалента [6], заключающемуся в последовательном итерационном решении детерминированной и вероятностной задач. Однако процедура ввода контролируемых параметров в допустимую область отличается от процедуры, используемой в методе детерминированного эквивалента, и заключается не в сужении допустимого интервала для случайного контролируемого параметра, а в перемещении математического ожидания в точку, являющуюся медианой его плотности распределения, усеченной ограничениями.

В детерминированной задаче расчета потокораспределения с учетом ограничений для обеспечения требуемой вероятности нахождения контролируемых переменных в допустимых границах должны быть выработаны соответствующие управляющие воздействия. Среди них для каждой контролируемой переменной с низкой вероятностью нахождения в допустимых границах, надо найти управления, к которым она является наиболее чувствительной.

Другими словами, минимальное изменение управляющего параметра должно привести к максимальному изменению контролируемой переменной, позволяющему увеличить вероятность ее нахождения в допустимых границах. Такая задача успешно решается при сочетании методов приведенного градиента и задачи квадратичного программирования, решаемой на каждом шаге последовательной линеаризации [6].

Проанализируем проблему определения желаемых вероятностных характеристик контролируемых переменных, обеспечивающих необходимую вероятность их нахождения в допустимой области. Будем считать, что в результате расчета вероятностного потокораспреде-ления для контролируемой сенсорной переменной g найдены ее математическое ожидание

ßg, СКО - (7g, моменты до четвертого порядка ß2 g, ß3 g, ß4 g и пусть известен допустимый интервал ее изменения (g min, g max).

Вероятность попадания переменной в допустимый интервал может быть определена либо по информации о математическом ожидании и СКО, либо на основе разложения Г рама -Шарлье [7].

Если вероятность нахождения переменной в заданном интервале ниже, чем требуемое значение вероятности, то существует две возможности ее увеличения. Первая заключается в поиске подходов к снижению СКО, что может быть достигнуто, например усилением слабых мест или выбором управлений, приводящих к уменьшению потери напряжения в связи. И вторая может быть достигнута совмещением медианы mc усеченной ограничениями кривой плотности распределения со значением математического ожидания.

Вторая возможность наиболее очевидна для нормального распределения, поскольку ее кривая плотности вероятности симметричная, то максимальная вероятность попадания контролируемой переменной в интервал будет при совмещении ее математического ожидания с медианой, расположенной в центре допустимого интервала

mc =

Если кривая плотности распределения получена для нескольких моментов с использованием разложения Г рамма-Шарлье, то задача поиска ее рационального смещения усложняется.

В результате реализации управляющего воздействия, связанного со смещением математического ожидания контролируемой переменной, происходит изменение и других переменных, что может привести к увеличению СКО контролируемой переменной, а, следовательно, не к увеличению, а к снижению вероятности ее попадания в допустимую область. Кроме того, могут увеличиться вероятности выхода и других контролируемых переменных за допустимые границы.

Основные этапы алгоритма заключаются в следующем.

1. Расчет установившегося режима ЭЭС. Индекс итерации к = 0 .

2. Расчет вероятностного потокораспределения, включающего определение вероятностных характеристик контролируемых параметров, выделение сенсорных контролируемых

к • т т

переменных g{ , I е Ic, где Ic - множество индексов сенсорных переменных.

3. Определение вероятности нахождения сенсорных переменных в допустимых границах. Завершение работы алгоритма, если требуемая вероятность для всех сенсоров обеспечена. Если нет, то определение для каждого сенсора gk , j е Icv, где Icv с Ic - множество индексов сенсорных переменных, для которого заданная вероятность соблюдения ограничения (gjmin, gjmax) не выполняется. Определение для каждого сенсора gk , j е Icv желаемого сме-

к

щение A j его математического ожидания.

4. Определение из решения детерминированной задачи вектора управляющего воздействия AY = Y - Yk, при котором сенсорные переменные gk, j е Icv принимают значения

gk + Akj. Если такое решение не может быть найдено, то ищется решение, при котором вероятность нахождения в допустимых границах будет наибольшей.

Целевая функция детерминированной оптимизационной задачи может быть записана в виде выражения

которое должно быть дополнено ограничениями на контролируемые переменные и параметры управления.

Пример. В качестве тестовой схемы при сравнении методов вероятностного потоко-распределения использовалась схема ЭЭС, содержащая 14 узлов и 15 связей. Исходная информация о математических ожиданиях, дисперсиях и моментах более высоких порядков для нагрузок, которые задавались во всех узлах расчетной схемы, была получена с использованием функции Лапласа и датчика случайных чисел с нормальным законом распределения. Дисперсии узловых мощностей полагались равными 12 % от их математических ожиданий, что соответствует 20 % погрешности прогноза нагрузок для вероятности отклонения случайной величины от математического ожидания, равной 0,9. Для имитации реальных условий функционирования ЭЭС с законом изменения нагрузок отличным от нормального закона с помощью датчика случайных чисел для принятых математических ожиданий и дисперсий, была получена небольшая числовая последовательность изменения нагрузок, в результате статистической обработки которой получены моменты высоких порядков. О достижении поставленной цели свидетельствовали как моменты высших порядков, так и кривые плотностей вероятности для нагрузок, рис. 1, построенные на их основе, с использованием разложения Грама-Шарлье [7].

---•--8---о---100 --о--200 --«---201 -Д---202 -*---203

Рис. 1. Нагрузки в 14 узловой тестовой сети: а — активные; б — реактивные

Проведенное исследование показано, что СКО переменных выделяют те же самые сенсорные переменные, что и сингулярный анализ; те же самые, что и сингулярный анализ, слабые связи, к каким относятся связи, неудачный выбор параметров которых является причиной существования в ЭЭС сенсорных переменных. В качестве критерия при выделении слабых связей выступали максимальные значения СКО изменений разностей модулей и фаз напряжений.

Сравнение методов вероятностного потокораспределения проиллюстрировано на примере модулей узловых напряжений. На рис. 2 приведены полученные на основе соответствующих ковариационных матриц СКО изменений модулей напряжений в узлах тестовой схемы для: двух линейных методов, пяти нелинейных методов и метода Монте Карло. Все методы выделили узлы 8, 5 и 200 как узлы с сенсорными модулями напряжений, а узел 8, как наиболее сенсорный. Сравнение СКО, полученных для метода Монте Карло, и СКО для линейных и нелинейных методов, позволившие сделать вывод о несомненном преимуществе метода трех моментов с точки зрения точности получаемого решения.

В Ш2В3Ш4П5И6117

2 4 5 6 8 100 200 202

номера узлов

Рис. 2. СКО изменений модулей узловых напряжений, полученные на основе методов:

1 - обобщенного возмущения; 2 - линейного; 3 - безитерационного; 4 - двух моментов;

5 - статистической линеаризации; 6 - модернизированного метода;

7 - трех моментов; 8 - Монте Карло

Преимущество метода трех моментов подтверждается и сравнением кривых плотностей вероятности, рис. 3а и близостью между собой функций распределения для метода трех моментов и метода Монте Карло, рис. 3б.

а б

Рис. 3. Графики построенные на основе разложения Грама-Шарлье для модуля напряжения в сенсорном узле 8: а - плотностей вероятности для всех аналитических методов

и метода Монте Карло

В табл. 1 приведены математические ожидания и СКО изменений модулей напряжений в узлах тестовой сети, полученные линейным методом, записаны принятые допустимые диапазоны изменения напряжений и вероятности попадания модулей напряжения в допустимые интервалы, вычисленные на основе математических ожиданий - I и СКО - 7я.

Из сравнения СКО изменений модулей напряжений, приведенных в табл. 1, следует, что модуль напряжения 8-го узла в большей степени реагирует на изменения нагрузок, чем 200-го узла, а разность математического ожидания и номинального напряжения, равного 500кВ, для 200-го узла существенно выше, чем такая разность для 8-го узла. Близость математического ожидания модуля напряжения 200-го узла к граничному значению является причиной того, вероятность нахождения напряжения этого узла в допустимых границах, ниже вероятности для 8-го узла с сенсорным напряжением.

Таблица 1

Вероятностные характеристики модулей напряжений в узлах тестовой схемы

для исходного режима

Узлы 0Q S (Ги ,кВ AU ,кВ AU ,кВ P

2 522,340 3,482 -30 30 0,9861

4 231,497 1,201 -25 25 1,0000

5 512,056 6,972 -30 30 0,9950

6 225,172 1,874 -25 20 1,0000

8 508,447 17,203 -30 30 0,8822

100 229,241 2,054 -25 25 1,0000

200 528,159 4,935 -30 30 0,6454

202 233,627 2,082 -25 25 1,0000

Таблица 2

Вероятности нахождения модулей напряжений в допустимых границах, полученные различными методами для исходного режима

Узлы Методы вероятностного потокораспределения

2 3 4 5 6 7 8

2 0,991 0,991 0,995 0,994 0,994 0.99 0.991

4, 6, 100, 202 1 1 1 1 1 1 1

5 0,995 0,995 0,997 0,996 0.996 0.994 0.994

8 0,882 0,882 0,901 0,893 0.893 0.868 0.87

200 0,645 0,645 0,708 0,705 0.704 0.697 0.691

Таблица 3

Вероятности нахождения модулей напряжений в допустимых границах, полученные различными методами для конечного режима

Узлы Методы вероятностного потокораспределения

2 3 4 5 6 7 8

2, 4, 6, 200, 202 1 1 1 1 1 1 1

5 0.999 0.999 0.999 0.999 0.999 0.998 0.998

8 0.928 0.928 0.92 0.913 0.913 0.889 0.89

100 0.987 0.987 0.993 0.991 0.991 0.987 0.988

Примечание * номера методов аналогичны на рис. 2

Такие низкие вероятности нахождения модуля напряжения 200-го узла в допустимых границах для исходного режима получены для аналитических методов, номера которых указаны в табл. 2, и метода Монте Карло.

В табл. 3 приведены значения вероятностей, полученные в результате управляющих воздействий. Полученное значение вероятности нахождения модуля напряжения 8-го сенсорного узла в допустимых границах для всех методов составило в среднем 0,9.

Выводы

1. Методы вероятностного потокораспределения позволяют обнаружить сенсорные переменные в ЭЭС, которые могут быть выделены на основе сингулярного анализа.

118

2. Предложено использовать сочетание аналитического вероятностного метода и скалярной величины первого обобщенного возмущения для получения вероятностных показателей переменных в неоднородной сети.

3. Предложены модификации методов вероятностного нелинейного потокораспределения, включающие методы двух и трех моментов с использованием кумулянтов и модификация безитерационного метода, заключающаяся в коррекции матриц Якоби и Г ессе в процессе итераций.

4. Проведено экспериментальное сравнение аналитических методов вероятностного потокораспределения, показавшее несомненное преимущество метода трех моментов по точности получаемого решения по сравнению с другими методами.

5. Предложен подход для решения проблемы выбора управляющих воздействий, обеспечивающих требуемую вероятность нахождения контролируемых параметров в допустимых границах.

ЛИТЕРАТУРА

1. Войтов О.Н., Воропай Н.И., Гамм А.З. и др. Анализ неоднородностей электроэнергетических систем. Новосибирск: Наука. Сибирская издательская фирма РАН, 1999. 256 с.

2. НГТУ. Библиографический указатель публикаций профессора Манусова В.З. http://rudocs.exdat.com/docs/index-163024.html

3. Манусов В.З., Лыкин А.В. Вероятностный анализ установившихся режимов электрических систем // Электричество. 1981. № 4. С.7-13.

4. Манусов В.З., Шепилов О.Н. Использование вероятностных свойств ретроспективной диспетчерской информации для планирования нормальных режимов ЭЭС // Алгоритмы обработки данных в электроэнергетике. Иркутск: СЭИ, 1982. С. 163-170.

5. Li X., Chen X., Yin X., Xiang T., Liu H. The Algorithm of Probabilistic Load Flow Retaining Nonlinearity // Proceedings of 2002 Power Con, Int. Conf. on Power System Technology. Kunming. V.4. 2002. P. 2111-2115.

6. Мурашко Н.А., Охорзин Ю.А., Крумм Л.А. и др. Анализ и управление установившимися состояниями электроэнергетических систем. Новосибирск: Наука, 1987. 317 c.

7. Федорченко В.А. Теория многомерных распределений. М.: Русь, 2003. 576 с.

Болоев Евгений Викторович -

доцент кафедры «Электроснабжения промышленных предприятий» Ангарской государственной технической академии.

Голуб Ирина Ивановна -

доктор технических наук, профессор, ведущий научный сотрудник Института систем энергетики им. Л.А. Мелентьева.

Статья поступила в редакцию 9.02.12, принята к опубликованию 12.03.12