Определение рейтинговых оценок объектов на основе нечеткой исходной информации

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕЙТИНГОВЫХ ОЦЕНОК ОБЪЕКТОВ НА ОСНОВЕ НЕЧЕТКОЙ ИСХОДНОЙ ИНФОРМАЦИИ

О.М. ПОЛЕЩУК, проф. каф. высшей математики МГУЛ, д-р техн. наук,

Е.Г. КОМАРОВ, зав. каф. ЭМТМГУЛ, канд. техн. наук

Основная проблема при построении рейтинговых оценок объектов, как известно, состоит в том, что для оценивания состояний объектов используются разнородные характеристики, одни из которых качественные (нечисловые), а другие количественные (числовые). Многие качественные характеристики описываются с помощью вербальных шкал, элементами которых являются слова естественного языка. Это приводит к тому, что исходная информация о состояниях объектов содержит много нечетких данных, которые могут возникать в результате процесса искусственного размывания четких данных. Этот процесс имеет место, например, при использовании вербальных шкал для описания физических значений количественных характеристик. Например, в [1] для описания параметра «давление пара на входе» (с областью изменения [1,1, 6,7]) изделие «подогреватель высокого давления», которое предназначается для повышения КПД турбоустановки, используется вербальная шкала с уровнями «малое давление пара», «давление близкое к 4», «большое давление пара». Другим примером является вербальная шкала для описания вероятностей наступления события. Как известно, вероятность события выражается обычной числовой величиной и изменяется от нуля до единицы. Однако когда речь идет, например, о вероятности банкротства предприятия, то руководителя этого предприятия интересует не конкретное число, которое для него, скорее всего, мало информативно, а определение одного из вербальных уровней вероятности банкротства: «очень малая», «малая», «средняя», «высокая», «очень высокая».

Если известна область определения (универсальное множество) количественной характеристики и уровни вербальной шкалы, то эксперт разбивает эту область на непересекающиеся множества, которые соответс-

komarov@mgul.ac.ru

твуют вербальным уровням. Однако при таком подходе есть существенный недостаток, состоящий в том, что при описании объектов с пограничными значениями показателя эксперт испытывает трудности в связи со скачкообразным переходом от одного значения к другому.

Устранить этот недостаток позволяет аппарат теории нечетких множеств. С позиции этого аппарата вербальным уровням количественной характеристики в соответствие ставятся не четкие интервалы значений, а нечеткие множества. Полученная при этом вербально-нечеткая шкала получила название лингвистической шкалы [2-3], применяемой для описания количественных характеристик. В результате таких построений количественная характеристика, с одной стороны, имеет физические значения, измеренные техническим прибором, и, с другой стороны, имеет лингвистические значения, измеренные экспертом. Каждое физическое значение принадлежит некоторому лингвистическому значению с определенной степенью уверенности в этом эксперта.

Будем предполагать, что оценивание качественной характеристики X осуществляется в рамках вербальной шкалы с уровнями Xl ,l=1,m , m > 2, упорядоченными по возрастанию интенсивности проявления. В качестве формализаций уровней Xl ,l=1,m , m > 2 будут использоваться нечеткие переменные, составляющие в совокупности полное ортогональное семантическое пространство [4].

Нечеткой переменной называется

тройка

{X, U, A },

где X - название переменной;

U - область ее определения (универсальное множество);

A - нечеткое множество универсального множества, описывающее возможные значения нечеткой переменной.

180

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 6/2008

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Лингвистической переменной называется пятерка

{X, T(X), U, V, S}, где X- название переменной;

T (X)={X ,i=1,m} - терм-множество переменной X, то есть множество термов или названий лингвистических значений переменной X (каждое из этих значений - нечеткая переменная со значениями из универсального множества U);

V - синтаксическое правило, порождающее названия значений лингвистической переменной X;

S - семантическое правило, которое ставит в соответствие каждой нечеткой переменной с названием из T(X) нечеткое подмножество универсального множества U.

Семантическим пространством называется лингвистическая переменная с фиксированным терм-множеством {X, T(X), U, S}.

Полным ортогональным семантическим пространством (ПОСП) называется семантическое пространство, функции принадлежности термов которого м, (x),l=1,m удовлетворяют следующим требованиям:

1. Для каждого понятия Xl ,l=1,m существует U Ф Ш, где U ={xeU :pl (x)=1} есть точка или отрезок.

2. Пусть Ut = {xеU: m, (x)=1}, тогда M, (x),l=1,m не убывает слева от Ul и не возрастает справа от _UL.

3. m, (x),l=1,m имеют не более двух точек разрыва первого рода. m

4. Для каждого x е U 2m, (x)=1. Рассмотрим данные, полученные в результате оценивания качественной характеристики X у некоторой совокупности объектов. Уровни используемой вербальной шкалы однозначно задают терм-множество ПОСП - T(X) = {Xj, X2, ..., Xm}. В качестве универсального множества ПОСП с названием X выбирается U = [0, 1]. Точка x = 0 соответствует полному отсутствию проявления качественной характеристики X , и поэтому считается типичной точкой терма X точка x = 1 соответствует полному присутствию проявления качественной характеристики X , и поэтому считается типичной точкой терма X .

В качестве нечетких чисел, формализующих термы ПОСП, предлагается использовать треугольные числа и числа T-типа (T-числа) [4]. Их функции принадлежности будут построены таким образом, чтобы ограниченные ими и осью абсцисс площади треугольников или трапеций равнялись al ,l=1,m (аналог геометрических вероятностей).

Обозначим min(at, a2) через Ъ1, min(a{ v a,, al+1), l=2,m-2 через b ,l=2,m-2, а min(am_

1, am) через bm-1. Тогда

1,0 < x < al-

ц( x) =

1-x - (a- (b/2)), Ъ < x < <,+

0, al+ (b/2) < x <1

l-1 Ъ

0,0<x<2a, -—

i=1 2

l-1 Ъ

x-(Ha, + -f) l-1 Ъ l-1 b

----—,2a, -—< x < 2]ai + bd-

1+

°7-1

l-1 b-

i=1

2

2

Ъ ,ъ

Ml (x)= 1,2a, +^ < x <2 a, —

i=1 2 i=1 2

1-

l Ъ

x - (2a - 2) l Ъ l Ъ

,=1 2 2a —-<x<2a+—

l

2

S' 2

l Ъ

0,2a. +—< x <1 =1 2

l=2,m-2

m-2 Ъ

0,0 < x <2 a -—

i=1 2

1+-

-2 Ъ

x- (2 a- + f) m-2 Ъ

Mm-1(x)  1,m2 a+A»-2 < x <1-am - bm-i

''I'm-2 Ъ . m-2 Ъ .

—, 2 a, -— < x < 2 a +-m2

i=1 2 ,=1 2

Ъ

,=1

2

2

Ъ

x-(1-am -2fo ъ ъ

1------7---~,1-am-Jmr < x <1-am +-mr1

bm-1 2 2

,0,1-0* + (bm-1/2) < x <1

Mm ( x) =

0,0<x<1-°m -

x -

1+-

b

^,1-a -—< x <1-a + ^4-

m-1

U-am + (bm-1 /2) < x <1

,=1

Ъ

m-2

2

2

Подобное представление элементов шкал, используемых для оценивания качественных характеристик объектов, позволяет привести все данные к единому виду незави-

ЛЕСНОИ ВЕСТНИК 6/2008

181

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

симо от того, какие шкалы были использованы для их оценивания.

Рассмотрим совокупность N объектов, у которых оцениваются количественные характеристики X, j = 1,/ и интенсивности проявления качественных характеристик X, v=/+1,к . В совокупности оцениваемые характеристики оказывают существенное влияние на характеристику Y - успешность функционирования объектов, которая оценивается в рамках вышеприведенной шкалы. Областями значений количественных характеристик X, j=1,/ могут являться несчетные множества точек действительной прямой - R j=1,/ .

Построим на R j=1,/ / ПОСП с названиями X, j=1,/, термами «очень малое значение характеристики X», «малое значение характеристики X», «среднее значение характеристики X», «большое значение характеристики X», «очень большое значение характеристики X» и Функциями принадлежности

jX i=1,5,j = 1,/ . ___ _

Обозначим через х” ,n=1, N, j=1,/ значения характеристик X, j=1,/ у_п-го объекта, n=1,N, а через MjXj”), i=1,5,j=1,/,n=1,N степени принадлежности этих значений к термам ПОСП с названием X, j=1,/ .

Пусть Xlv,/=1,mv - уровни вербальных шкал, применяемых для оценивания соответственно характеристик Xv, v=/+1,к . Уровни расположены в порядке возрастания интенсивности проявления этих характеристик. Построим к - / ПОСП с названиями Xv, v=/+1,k, терм-множествами соответственно Xv

/=1,mv ,v=/+1,к и функциями принадлежности мДх), /=1,mv, v=/+1,к . В качестве универсальных множеств ПОСП выбирается U = [0, 1]. Будем называть оценками объектов нечеткие числа Xlv, /=1,mv ,v=/+1,k или их функции принадлежности мДх), /=1,mv, v=/+1,k . Обозначим через X"v и m”

, n=1,N, v=/+1,k, оценку n-го объекта в рамках характеристики X v=/+1,к . Нечеткое число X” с функцией принадлежности м”(х) равно одному из нечетких чисел Xlv, /=1,mv, v=/+1,к . ___ _______

Дефаззифицируем X”, ”=1,N, v=/+1,к по методу центра тяжести и обозначим полученные числа через xv”, n=1,N, v=/+1,k, а степени их принадлежности к термам ПОСП

с названием Y (к нечетким числам ~,i = 1,5 с функциями принадлежности рДх)) через Д(хД ”=1,N, v=/+1,k,i=1,5 . __ к

Обозначим через ш,,j=1,к, 2 =1 весовые коэффициенты оцениваемых7 Характеристик, а через 5}, j=1,k функцию, которая принимает значение 1, если рост характеристики X,, j = 1,к сопровождается ростом Y, и -1, если рост характеристики X,, j=1,k сопровождается уменьшением Y.

Вычислим следующие коэффициенты

25jMij (X ) + 2 v5vM (X” ) _ ___

X” = ^---------------------,i=1,5,”=1, N.

2,5 ;

j=1

Нечеткая рейтинговая оценка n-го объекта, ”=1,N в рамках характеристик X, , j = 1,k определяется в виде нечеткого числа

A =x” y0...0X y.

с функцией принадлежности

m (x) - (2 X4,2 Ха 2,2 Х4 ,2 \naR), n=1N,

i=1 i=1 i=1 i=1

где Y - (a-1,a 2,Xl x),i=1,5

Определим доверительный интервал для четкой рейтинговой оценки у При уровне доверия м(У”) ^ а, 0 < а < 1 рейтинговая оценка yn n-го объекта, n=1, N лежит в интервале

1X4

i=1

(1-а)2Ка,ь<yn<2Ха,2+(1-а)2KaR .

i =1 i =1 i =1

Дефаззифицируем нечеткое число An ,n=1,N, по методу центра тяжести, полученное четкое число обозначим через An ,n=1, N.

Для распознавания успешности функционирования объектов необходимо идентифицировать нечеткое число с функцией принадлежности m,” (х), n=1, N с одним из термов ПОСП с названием Y (с одним из нечетких чисел Y 1,5 с функциями принадлежности M (х), i=1,5). Для этого вычислим идентификационные показатели

1

J min(Mi( х),М” (х))^х _ ___

en = 1---------------, i = 1,5, n=1,N .

J max(M ( х),М” (х))Ох

0

Если вр = maxPn , то состояние n-го объекта определяется р-м уровнем шкалы Yx = «предельно неуспешно», Y2 = «неуспешно», Y3 = «средне успешно», Y4 = «относительно успешно», Y5 = «предельно успешно», р=1,5 .

182

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 6/2008