Особенности накопления свидетельств при неточном выводе с использованием векторных логик

Принятие и выполнение плана производства ПС подразумевает активное участие управленческого персонала в анализе и обсуждении модельного варианта плана и его последующем претворении. На этом этапе привлекаемый персонал выступает в роли «неформального компенсатора» помех и прежде всего тех трудно формализуемых возмущений, которые остались за рамками моделирования и потому не учитывались на предыдущих этапах планирования.

Учет, контроль, анализ и регулирование выполнения плана производства ПС обеспечивают реализацию принятого плана и поскольку отклонения от него в ходе осуществления практически неизбежны из-за действия помех или по иной причине (низкая точность прогнозирования или имитации работы ПС, ошибки в задании параметров и др.), нельзя исключать возвращения на этап формирования плана производства ПС для его частичного или полного изменения. При малом отклонении от плана необходимость в этом обычно не возникает, т.к. оно может быть погашено в оперативном порядке без корректировки плана, в связи с чем происходит подтверждение его и выполнение в следующем плановом периоде.

Чем примечательна обсуждаемая адаптивная система управления ПС?

Во-первых, она открыта для любых параметров независимо от их характера. Среди них могут быть представлены материально-технические, трудовые, организационные, управленческие, экономические, * финансовые и другие, что позволит комплексно анализировать поведение предприятия, оценивать и сохранять его устойчивость.

Во-вторых, адаптивная система обладает достаточной гибкостью, поддерживаемой широким набором моделей планирования производства и имитации работы ПС и их настройкой на параметры внешней и внутренней среды.

В-третьих, функционирование адаптивной системы предусматривает диалоговый режим работы, т.е. регулярный обмен информацией между ЭВМ и человеком, что дает возможность обогащать расчетные результаты неформальными сведениями и тем самым последовательно повышать информативность управления ПС.

В-четвертых, успешная работа системы достигается благодаря высокой наукоемкости ее структурных компонентов (информационной технологии, алгоритмов моделей, технических средств и др.), которые допускают встраивание в систему эвристических процедур, созданных на базе методов искусственного интеллекта.

Наконец, заслуживает быть отмеченным то обстоятельство, что адаптивная система как современное средство управленческого труда является не только потребителем информации, но и производителем ее. Она вырабатывает ценную информацию, которая способствует сохранению устойчивости предприятия и «берет на себя» функции советника его руководящего персонала. Тем самым ПС инициируют повышение интеллектуализации и роли орудий управленческого труда, и в этом - впечатляющая особенность нынешнего этапа развития производства.

Подводя черту, следует сказать, что представленный в статье анализ организации и функций адаптивного управления ПС, разумеется, далек от завершения и ожидает приложения усилий со стороны экономистов, менеджеров, информационных технологов и других специалистов, совместным трудом которых будет осмыслен механизм обеспечения устойчивой деятельности предприятий в подвижной рыночной среде.

Библиографический список

1, Скурихин В,И„ Забродский В.А., Копейченко Ю.В. Адаптивные системы управления машиностроительным производством. - М.: Машиностроение, 1989, - 208 с,

Л.В.Аршинский

Особенности накопления свидетельств при неточном выводе с использованием векторных логик

Введение. Как известно, неточный вывод является не более чем правдоподобным выводом и в отличие от классического логического вывода не обладает «абсолютной» дедуктивной силой: полученные с его помощью заключения верны лишь в некоторой степени. Степень уверенности (в нашей терминологии - истинность) вычисляется на каждом шаге такого вывода, превращая его тем самым в две параллельные и взаимосвязанные процедуры: собственно вывод и вычисление истинности для каждого из заключений. В литературе подобный вывод получил название «присоединенного» [1] и именно для него характерна рассматриваемая здесь процедура накопления свидетельств. Отличие данной работы от аналогичных работ по неточному выводу заключается в особенности представления истинности в обсуждаемом классе логик. А именно, здесь обсуждаются т.н. логики с векторной семантикой, в которых истинность произвольного суждения а описывается в общем случае п-компонентным вектором [а] = (а1 ; а2; ,,,; а"), где компоненты с/ - это значения т.н. «категорий истинности»._

Под категориями истинности понимаем такие характеристики соответствия между суждениями и объектами -предметами суждений, которые могут быть применимы мя оценки любых суждений,

Примерами подобных категорий служат Истина и Ложь. Логики только с этими двумя категориями называем логиками, Вектор истинности в них записываем как [а] = <а+ ; о"), где а+ - мера того, что суждение есть Истина, а а' - мера того, что оно Ложь [2].

Считаем, что все de [0, 1]. При этом 0 означает отсутствие соответствия по данной категории, а 1 - его максимальную реализацию. В логиках рассматриваемого типа величина соответствия, т.е. значение числа d, не вычисляется через значения других категорий, а устанавливается исключительно на основе тех или иных (прямых или косвенных) свидетельств.

{Примечание. В классической логике или скалярных неточных логиках недостаток ли отсутствие Истины автоматически рассматривается как соответствующее значение Лжи и наоборот).

В логиках рассматриваемого типа в максимальной степени выражен принцип достаточного основания (каждая категория требует своего собственного обоснования), но целиком отсутствуют принципы противоречия и исключения третьего [2].

Перейдем к обсуждаемому вопросу. Как известно, невозможность получить гарантированный результат на основе неточного вывода является следствием попытки рассуждать о предметных областях, сведения о которых верны лишь отчасти (например, неполны, противоречивы, полисемичны и т.п.). Считается, что подобную задачу легко перевести в классическую, введя некоторый порог уверенности в исходных посылках. Для нечетких логик с мерой истинности, принадлежащей интервалу [0, 1], это, скажем, может быть величина, равная 0.5. Далее суждение с мерой уверенности, скажем, > 0.5 объявляют истинным (в классическом смысле), а при < 0.5 - ложным. Однако такой прием хотя и позволяет нам пользоваться надежным математическим аппаратом классической символической логики, все же является не более чем попыткой «спрятаться» от по-прежнему существующей проблемы неточного знания. Незнание «уходит» в величину порога (к примеру, почему 0.5, а не 0,51 или 0.49), выбор которого остается произвольным, в невозможность различить степень надежности суждений, «записанных» в группу истинных или ложных и т.п. Следует отметить также, что неточность может быть изначально присуща некоторым знаниям (полисемичность, многофакторность суждений [2]) и требование применения классической логики здесь выглядит примерно как требование рассуждать в терминах натуральных чисел о вещах, которые описываются числами вещественными: можно, но с содержательными потерями, размеры и смысл которых еще надо оценить. Люди, будучи вынужденными рассуждать правдоподобным образом, нередко подкрепляют выдвигаемый тезис различными свидетельствами. Нечто подобное используется и в символическом неточном выводе: как правило разработчики соответствующих формализмов предлагают процедуры, позволяющие уточнять степень достоверности заключений по мере получения все новых и новых свидетельств.

(:Примечание. Как известно, в классическом выводе процедура уточнения излишня. Один раз полученный результат «более» или «менее» истинным уже не становится).

В развиваемом формализме, относящемся к классу неточных, также следует ввести процедуру накопления свидетельств, особенности которой мы рассмотрим далее.

Рассмотрим произвольный аспект вектора истинности [а] суждения а, Его значение d может быть получено либо непосредственно с помощью прямых измерений, экспертно, на основе доказательных рассуждений и т.п., либо вычислено из других значений на основе каких-либо эвристических приемов. Примерами более-менее объективных (непосредственных) значений истинности, получаемых «напрямую», являются статистическая оценка вероятности того или иного события, оценка знаний ученика по результатам компьютерного тестирования и т.п. Сюда же, в принципе, можно отнести и экспертные оценки, ибо они являются обобщением профессионального опыта эксперта. Подобные значения истинности мы будем называть обоснованными.

Еще одним способом определение истинности может быть ее вычисление из обоснованных значений с помощью тех или иных эвристик. Качество такой оценки ниже, поскольку здесь ограниченная надежность первоначальной оценки складывается с ограниченной надежностью эвристики. Тем не менее, для неточных предметных областей их тоже приходится принимать во внимание. Такие значения истинности будем называть условно-обоснованными.

Независимо от того, обосновано данное значение d непосредственно, или оно является условно-обоснованным, за ним скрывается некая система аргументов, свидетельств, доводов (прямых или косвенных, более достоверных или менее), дающая основание принять это значение. Эту особенность следует учитывать, если мы собираемся накапливать свидетельства об истинности суждения а, полученные разными путями. В частности, если для /-го аспекта получено значение d, равное dь и значение, равное d2, это означает, что мы имеем дело с двумя группами свидетельств, которые при этом только дополняют (усиливают) друг друга

[Примечание. По «духу и букве» развиваемой теории подкрепляющие и опровергающие свидетельства следует накапливать в различных аспектах истинности).

В развиваемой теории это хорошо формализуется операцией композиционного сложения. Последнее означает, что совмещение можно производить по правилу

а' = а\ Ф с/2

иди в более общем случае п значений по правилу

с/ = с/1 © с/г Ф...Ф а'п.

(]Примечание. Здесь и далее композиционным умножением и сложением называем соответственно триангулированную норму и ко-норму, которые помимо обычных аксиом триангулированных норм [2, 3]:

1. х • у = у • X]

2. х' • у < х" • у, при х* < х";

3. х • 1 = х;

4. х • [у • z) = [х • у) • i\ удовлетворяют свойствам

и

(1 - х) © (1

В частности, для Ир-логик таким образом получаем:

[а] = < a+i 0 а+2 е.,

х Ф у = у © х;

х' © у < х" Ф у, при Xй < х";

х © 0 = х;

х Ф [у Ф z) = (х Ф у) Ф z, (1 - х) • (1 - у) = 1 - (х Ф у) у) = 1 - (X • к).

Ф а „; a~i Ф а~2 Ф...Ф а"п>.

ы

Соотношения (1) и (2) называем накоплением свидетельств по схеме "раз -композиции (11 -композиции для логик

Ир).

[Примечание. Справедливости ради нужно заметить, что иногда, как представляется, вместо накопления по схеме композиционного сложения (1) более уместным может оказаться накопление по схеме композиционного умножения

d = d\ • d2 •...• а'п.

В частности для Ир-логик:

[а] = < o+i • а+2 а+п; • а_2 •...• а"п>.

Различие между (1)-(2) и последними двумя выражениями заключается в том, что в первом случае новые свидетельства только усиливают доверие к уже имеющимся, а во втором мы верим свидетельствам настолько, насколько они убедительны совместно. Т.е. слабые по степени аргументированности свидетельства будут уменьшать наше доверие и ко всему их комплексу. Таким образом в первом случае встреча векторов <1; 0> и <0; 1) дает вектор <1; 1> -полное противоречие, тогда как во втором - вектор (0; 0> - неопределенность. В принципе и то и другое содержательно, надо только придерживаться единой схемы накопления на протяжении всего вывода).

И обоснованные и условно-обоснованные значения истинности в рассматриваемых логиках представляют собой

[0Д]х[0Д]х„.х[0Д]

V

точки так называемого логического объема Л" = "раз (в Утр-логиках данный объем обозначаем

как у1тр = [0,1]х[0,1]) [2]. Точками отрезка [0,1] изображаются и конкретные значения аспектов истинности. В результате накопления свидетельств по указанному правилу эти точки в общем случае смещаются к вектору <1, 1, 1), который, в частности для У^-логик характеризует полное противоречие. Этот результат может показаться несколько неожиданным, однако выглядит вполне естественно в случае, когда свидетельства поступали в пользу всех аспектов истинности. Если же они поступали лишь в пользу части из них (например, в пользу только аспекта Истина или только аспекта Ложь в 1/тр-логиках), то противоречия не возникает,

Дополнительно заметим, что частным случаем 1 ¡-композиционного'совмещения является и операция усреднения значений по среднему арифметическому. Так, если у нас имеются два значения вектора [а], а именно вектор [ají = <а+ь a~i) и вектор [а]2 = <а+2; cf2>, то привлекательным способом их совмещения выглядит вектор

а+ ао аГ + al \

Ы=

\ z z /

который на первый взгляд никакого отношения к правилу (2) не имеет. Однако на самом деле такое усреднение есть ни что иное как композиционное сложение, если сумму х Ф у рассматривать как х Ф у = ш/'л(1, х + у), а конкретные значения аспектов умножать на весовой коэффициент, равный Ш, где N - число поступивших значений вектора [а] (в данном случае их два). Иначе говоря, данный прием является частным случаем более общего способа (2). То же самое справедливо и для логик с произвольным числом аспектов истинности.

Более сложные процедуры накопления приходится использовать, когда истинность представлена не точкой, а интервалом: de [c/mm, dmaxl В таком случае «реальное» (но не известное нам) значение аспекта истинности оказывается «где-то» внутри данного интервала. Подобное возникает, в частности, при выводе по правилу modus ponens (МР) для 1/тр-логик. Разберем этот вопрос подробнее.

В присоединенном выводе в Ир-логиках используется два варианта правила МР: содержательный modus ponens (С-МР) и нестрогий modus ponens (Н-МР). В случае первого из них истинность заключения рассчитывается по правилу:

о, а -» Ь|- Ь: [Ь] =

где через двоеточие указано правило расчета истинности заключения. При этом а+ и а~ - значения аспектов истинности малой посылки а, /+ и Г - большой посылки /' = а-»Ь, Ь+ и Ь~ - значения аспектов истинности заключения Ь. Правило Н-МР выглядит так:

а, а Ь\- Ь: [Ь] = [а],

где запись а => Ь означает, что между суждениями а и Ь существует отношение нестрогой импликации, когда а+ < Ь+ (так, например, а => а V Ь, или а а \/2 Ь, где V и у2 - первая и вторая форма дизъюнкции: [а V Ь] = <а+ • Ь+; а- © Ь">, [а V;, Ь] = <а+ ФЬ+;а'Ф Ь~) [2]),

И в формуле (3), и в формуле (4) в качестве рекомендуемого значения истинности [Ь] предлагается некоторое наихудшее, но гарантированное ее значение, Реальное же значение [Ь] находится внутри прямоугольника [Ь+, 1]х[0, Ь"3, когда мы пользуемся правилом С-МР или правилом Н-МР, при => интерпретируемом как отношение правдоподобия, и внутри [Ь+, 1 ]х[Ь~, 1], когда пользуемся правилом Н-МР, при => интерпретируемом как доминирование.

(Примечание. Между суждениями а и Ь существует отношение правдоподобия, если а+ < Ь+ и а" > Ь~, и отношение доминирования, если а+ < Ь+ и а" < Ь" (2]).

Принадлежность истинности суждения Ь прямоугольнику [Ь+ь Ь+2]х[ Ь~ь Ь"2] будем обозначать как [Ь] = [Ь]1ч-[Ь]2, или, если нужно указать значения аспектов истинности, как [Ь] = <Ь+Ь~\) -г <Ь+2; Ь~2).

Интервальные значения аспектов истинности возникают и в случае уточнения выражения (3) по следующей схеме

[2]:

а, а -> Ь| - Ь: [Ь] = <а+ • /+; а" © Г) + <а~ Ф /+; а+ • Г).

В случае интервалов можно поступать двояко. Первый и наиболее простой путь - перейти от интервального к точечному представлению истинности, например, заменяя интервалы средним арифметическим или средним геометрическим:

[Ь>] = <-1—' 2 >

2 2

или

после чего, рассматривая (6} или (7) как условно-обоснованное значение [Ь], пользоваться правилом совмещения по схеме 11-композиции (2),

Переход от интервального к точечному представлению истинности достаточно эффективен, когда соответствующие интервалы не пересекаются. Например, в случае вывода по следующим двум группам посылок:

а, а -* Ь|- Ь;

и

а, а -> —¡Ь | - —.Ъ,

мы в ^-логиках получаем вектор близкий к <1; 1> - полному противоречию (в классической логике эта ситуация рассматривается как противоречивая и вывод на этом прекращается). Действительно, если воспользоваться рассмотренным выше правилом С-МР в форме (3), для значений позитивного Ь+ и негативного Ь~ аспектов истинности получаем два непересекающихся интервала: [О, Ь"М и [Ь+2, 1] для Ь+, а также [0, Ъ~х] и [Ь~2, 1) для Ь~, причем Ь^ < Ь\. Т.к. средние значения в обоих случаях оказываются близкими к 0 и 1, в результате суммирования по правилу (2) мы и получаем вектор близкий к <1; 1).

Переход от интервальных к точечным значениям аспектов истинности дает весьма грубые приближения к их «реальным» значениям (которых мы, впрочем, все равно не знаем). Именно поэтому подобные значения и названы «условно-обоснованными». Тем не менее, в некоторых случаях можно в процессе накопления интервальных значений получить более точные оценки истинности, Речь идет об одном случае пересечения интервалов, когда неизвестное значение с{ е [аь 1] п [Ог, 1] или в е [0, с/{\ гл [0, с/2], где с!\ < а,2 (подобная ситуация возникает при выводе по формуле (3)). В этом случае можно для накопления предложить следующую схему.

Пусть с/ € [Оь 1] п [а'г, 1]. Тогда реальное значение с/ расположено «где-то выше» как значения Оь так и значения с/2. Иначе говоря, справедливо с/ > тах[с/ь с/2). В силу аксиомы 2) для композиционного сложения это дает основания оценивать искомое с/ как

с/ = 0*1 © с/2.

Если, далее а* е [0, п [0, с/?], то в силу аксиомы 2) композиционного умножения это дает основания оценивать с/ как

с/ = а1! • с/2.

В частности, для У^-логик, когда в результате вывода по неуточненному С-МР получены два значения вектора истинности: первое [o]i = (а+a"i> и второе [а]2 = <а+2 ; а~2>, - мы можем записать результат их совмещения как

[а] = <a+i © а+2; a"i • а~2>. Именно эта особенность и послужила основанием для следующего способа более качественного определения истинности b [2]: если имеются две группы посылок а, а b и ->а, -iO -> b так, что

а, а -> b|- b: [b]i = <а+ • /+ ; а~ Ф Г); -,а, -па Ь|- b: [Ь]2 = <а~ • /+ ; а+ Ф Г), то истинность суждения Ь может быть представлена как

[Jb] = <а+ • /+ Ф а" • /+; а~ Ф Г • а+ Ф Г). Заключение. Таким образом нами рассмотрены способы совмещения значений истинности, получаемых из различных источников (по разным цепочкам вывода, от различных свидетелей и т.п.). В случае, когда эти значения точечные, разумно пользоваться правилом l...l-композиционного совмещения. Если они интервальные, то

1. В случае пересечения интервалов с единичными правыми или нулевыми левыми границами целесообразно искать решение на пересечении этих интервалов.

2. Если интервалы не пересекаются, то сразу перейти к точечным значениям, как сказано выше.

Библиографический список

1. Искусственный интеллект.- В 3-х кн. Кн, 2. Модели и методы: Справочник / Под ред. Д.А.Поспелова. - М.: Радио и связь, 1990. -304 с.

2. Многозначные логики с векторной семантикой / Аршинский AB. - ВСИ МВД России. - Иркутск, 2003. - 46 е.: Рус. - Деп. в ВИНИТИ 13.02.03, № 281-В2003.

3. Menger К. Statistical metrics II Proc, Nat. Acad. Sei. USA 8. - 1942, p. 535-537.

Н.Н.Бендич, В.Г.Кирий, С.А.Сенотова

Исследование устойчивости амбивалентных систем

Рассматривается бинарная система, в которой одна противоположность А переходит в другую А с некоторой интенсивностью Л. В свою очередь А обратно переходит в противоположность А с интенсивностью /./. Введем

количественные оценки значений этих противоположностей Р(А) и Р(А) (например, количество тепла и количество холода, количество положительных и отрицательных зарядов и т.д.).

С течением времени в такой бинарной системе происходят процессы взаимного превращения одной противоположности в другую и обратно, что в конечном итоге приводит ее в состояние равновесия или гомеостаза, характеризующегося наличием в ней двух противоположностей.

Можно высказать предположение о том, что процесс взаимного преобразования А<=> А в такой системе зависит от большого количества факторов и носит случайный характер, в связи с чем его можно описать вероятностной моделью, в частности, известными дифференциальными уравнениями Колмогорова для марковских систем.

Если в системе имеет место свойство А, то значит система в этот момент времени находится в состоянии А,

аналогично - для состояния А , тогда вероятности этих состояний Р(А), и Р(А), будут в статистическом смысле соответствовать количественным оценкам значений этих противоположностей, а параметры X и ¡л - интенсивностям перехода системы из одного состояния в другое.

С учетом высказанного предположения можно предложить для бинарной системы с противоположностями систему дифференциальных уравнений Колмогорова [1]:

Р\А),=-ХР(А),\цРСА), Р\А), =-¡uP(A), +ЛР(А), Р(А),+Р(Я),=ША)0=1.

Интерес представляет состояние гомеостаза, которое устанавливается при достаточно большом времени функционирования, когда Р (А)1 = 0.

Для такого установившегося режима получаем_