Анализ использования показательного распределения в теории надежности технических систем

Труды Международного симпозиума «Надежность и качество», 2016, том 1 УДК 62 -192, 519.248

Литвиненко Р.С., Идиятуллин Р.Г., Аухадеев А.Э,

ФГБОУ ВПО «Казанский государственный энергетический университет», Казань, Россия

АНАЛИЗ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ПОКАЗАТЕЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ В ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

В статье представлен анализ практического использования экспоненциального (показательного) закона распределения в теории надежности технических объектов. Представлены зависимости, позволяющие провести оценивание основных показателей надежности, а также показаны особенности их применения в различных условиях. В основе изложенного материала лежит систематизация информации опубликованной в литературе, и представляющая анализ результатов модельных и экспериментальных исследований надежности техники, а также статистические данные полученные в ходе эксплуатации. Статья может быть полезна исследователям на ранних этапах разработки технической системы, в качестве априорной информации для построения моделей и критериев, используемых для обеспечения и контроля надежности.

Ключевые слова:

надежность, распределение, наработка, вероятность, плотность, этап, математическое ожидание

Для описания отказов системы могут быть предложены модели, предназначенные для решения различных задач надежности и по-разному учитывающие комплекс факторов, присущих характеру отказов.

Случайный характер возникновения отказов в процессе эксплуатации технических систем и их элементов позволяет применять в их описании вероятностно-статистические методы. Наиболее распространенными являются модели отказов, основанные на распределении соответствующих случайных величин - наработок до отказа невосстанавливае-мых объектов и наработок между отказами восстанавливаемых объектов.

В качестве основных видов распределения наработок изделий до отказа следует выделить [1]:

- экспоненциальное;

- Вейбулла-Гнеденко;

- гамма;

- логарифмически-нормальное;

- нормальное.

В результате обзора отечественной и зарубежной литературы дана оценка практического применения экспоненциального закона распределения в области надежности технических систем.

Экспоненциальное распределение хотя и является частным случаем распределения Вейбулла-Гне-денко (при а = 1), но представляет большой самостоятельный интерес, так как оно адекватно описывает распределение длительности работы элемента в период нормальной эксплуатации. Прикладная популярность экспоненциального закона объясняется не только разнообразными возможностями его естественной физической интерпретации, но и исключительной простотой и удобством его модельных свойств. Ниже представлены формулы для определения плотности и вероятности безотказной работы в течение времени Ь, соответствующей этому закону:

/ () = X  е

-И

Р(1) = е

-X

где X - интенсивность отказов.

Математическое ожидание т и среднее квадра-тическое отклонение а для показательного распределения выражаются через его параметр:

т = 1

а = 1

а' а=/х •

Средняя наработка до первого отказа равна

- т =

1

-ер = т =/Х

Экспоненциальное (показательное) распределение часто используют на стадии разработки, когда информация о надежности элементов создаваемой системы ограничена либо полностью отсутствует, поэтому его часто называют основным законом надежности [2]. Ограничением для применения этого закона является необходимость, чтобы потоки отказов и восстановлений были простейшими (обладали свойствами ординарности, стационарности и отсутствия последействия) [3].

Согласно [4 - 12, 18] экспоненциальное распределение хорошо описывает надежность техники, эксплуатируемой после окончания приработки и до существенного проявления постепенных отказов, т.е. в период нормальной эксплуатации, когда преобладают внезапные отказы. В [2,7] сказано, что, время безотказной работы технических систем с большим числом последовательно соединенных

элементов может быть описано этим распределением, если каждый из элементов в отдельности не оказывает большого влияния на отказ системы. В этом случае, если отказы последовательно соединенных элементов будут иметь экспоненциальное распределение, то и отказы самой системы будут подчинены этому же закону, а ее интенсивность отказов будет равна сумме интенсивностей отказов элементов. Необходимо обратить внимание на то обстоятельство, что системы, содержащие непоследовательно соединенные в смысле надежности элементы, уже не будут обладать экспоненциальным распределением, несмотря на экспоненциальность вероятностей безотказной работы входящих в ее состав элементов [3].

Поскольку каждый элемент системы в свою очередь сам является подсистемой, состоящей из нескольких, а часто и большого числа элементов, суммарная интенсивность отказов элементов системы зависит только от числа неисправных элементов, а время ремонта каждого отказавшего элемента имеет показательное распределение. Отказ такой подсистемы есть отказ одного из ее элементов, который при восстановлении заменяется новым. Чистое время работы подсистемы определяет, что её поток отказов будет суммой большого числа потоков, и согласно предельной теореме Хинчина он асимптотически будет пуассоновским потоком. Отсюда можно сделать вывод, что интервал времени между соседними отказами будет иметь показательное распределение [13, 14].

Экспоненциальный закон следует применять для тех сложных технических систем, в которых может одновременно происходить много различных разрушающих процессов, протекающих с различными скоростями. Однако по мере уменьшения разнородности скоростей процессов распределение приближается к нормальному, а при преобладании однотипных процессов разрушения - в точности соответствует нормальному [11].

Авторы работ [2, 4, 6, 15] считают, что при решении проблем, связанных с обслуживанием сложных систем, если поток восстановления является простейшим, экспоненциальный закон применяется при описании интенсивности восстановления, трудоемкости текущего ремонта и устранения отказов. В задачах массового обслуживания интервалы между моментами поступления техники в ремонт также хорошо описываются экспоненциальным законом [3].

Поскольку в период нормальной эксплуатации внезапный отказ возникает лишь как следствие внешних воздействий, то замена старого элемента на новый не может повлиять на причину отказа. По этой причине при экспоненциальном законе распределения времени безотказной работы нет смысла прибегать к профилактическим мерам, например, предварительной замене элементов или их периодическому ремонту [16].

Есть мнение [2, 3, 19], что если рассматривать физическую сущность внезапных отказов, то показательным законом можно аппроксимировать вероятности безотказной работы большого числа технических объектов, в первую очередь элементов радиоэлектронной аппаратуры, электрических и электронных аппаратов, аппаратно-программных комплексов и др.

Однако, несмотря на всю простоту и универсальность, экспоненциальный закон обладает рядом

Труды Международного симпозиума «Надежность и качество», 2016, том 1

ограничений. Данному распределению характерно свойство «отсутствия памяти», обладающее большим недостатком, а именно противоречием естественным физическим представлениям. Это свойство означает отсутствие старения, то есть технический объект не стареет или, проработав какое-то время, будет иметь одинаковое с новым объектом распределение отказов, что неправомерно при эксплуатации многих технических объектов, особенно на больших временных интервалах [3, 13]. По-видимому, экспоненциальное распределение будет несправедливым и для времени восстановления, так как продолжительность ремонта ограничена и выражается дробным или целым числом, поэтому время, которое осталось затратить на окончание восстановления будет зависеть от уже затраченного времени восстановления [17].

В [3] не без оснований утверждается, что экспоненциальный закон распределения к сложным техническим системам не применим, так как неодновременность работы элементов и наличие последействия отказов обуславливают, что интенсивность отказов сложной системы не может быть постоянной, даже при условии постоянства интенсивностей отказов ее элементов. Следовательно, использо-

вание этого закона для анализа надежности реальных технических систем длительного функционирования - неправомерно, а исходные предпосылки в моделях не адекватны физическим процессам, протекающим в системах.

Все это говорит о том, что надо иметь достаточные основания для применения экспоненциального распределения, как и для любого другого. Тем не менее это распределение является одним из распространенных, что объясняется следующими причинами:

- простотой и зависимостью только от одного параметра X . Это обстоятельство вместе со свойством отсутствия последействия позволяет решать многие задачи теории надежности и представлять решение в явном аналитическом виде;

- доказано, что время безотказной работы сложных высоконадежных восстанавливаемых систем при определенных условиях (например, возможность пренебречь влиянием «старения» материалов) хорошо описывается показательным распределением;

- применение экспоненциального закона в тех случаях, когда оно несправедливо, позволяет при определенных условиях получать заниженные результаты показателей надежности, то есть оценки снизу, что зачастую является приемлемым.

ЛИТЕРАТУРА

1. ГОСТ Р.27.001-2 00 9. Надежность в технике. Модели отказов.

М.: Стандартинформ, 2010. - 16

2. Труханов В. М. Надежность технических систем типа подвижных установок на этапе проектирования и испытания опытных образцов: научное издание - М.: Машиностроение, 2003. - 320 с.

3. Половко А. М., Гуров С. В. Основы теории надежности: уч.пособие - 2-е изд., перераб. и доп.

- СПб.: БХВ-Петербург, 2006. - 704 с.

4. Лисунов Е. А. Практикум по надежности технических систем уч.пособие - 2-е изд., перераб. и доп. - СПб : Лань, 2015. - 240 с.

5. Павлов И. В. Статистические методы оценки надежности сложных систем по результатам испытаний.

- М.: Радио и связь, 1982. - 168 с.

6. Электроподвижной состав. Эксплуатация, надежность и ремонт: учебник / под ред. А. Т. Голова-того и П. И. Борцова. - М.: Транспорт, 1983. - 350 с.

7. Хазов Б. Ф., Дидусев Б. А. Справочник по расчету надежности машин на стадии проектирования.

- М.: Машиностроение, 1986. - 224 с.

8. Гнеденко Б. В., Беляев Ю. К., Соловьев А. Д. Математические методы в теории надежности. Основные характеристики надежности и их статистический анализ. - М.: Либроком, 2013. - 584 с.

9. Гнеденко Б. В. Вопросы математической теории надежности. - М.: Радио и связь,1983. - 376 с.

10. Машиностроение: энциклопедия в 40 т. Т. IV-3: Надежность машин / В. В. Клюев, В. В. Болотин, Ф. Р. Соснин и др.; под общ. ред. В. В. Клюева. - М.: Машиностроение, 2003. - 592 с.

11. Комаров А. А. Надежность гидравлических систем. - М.: Машиностроение, 1969. - 236 с.

12. Венников Г. В. Надежность и проектирование. - М.: Знание, 1971. - 96 с.

13. Надежность в технике: справочник / в 10 т. Т. 2: Математические методы в теории надежности и эффективности / под ред. Б. В. Гнеденко. - М.: Машиностроение, 1987. - 280 с.

14. Айвазян С. А., Мхитарян В. С. Прикладная статистика и основы эконометрики: учебник для вузов. - М.: ЮНИТИ, 1998. - 1022 с.

15. Беляев Ю. К., Богатырев В. А., Болотин В. В. и др. Надежность технических систем: справочник / под ред. И. А. Ушакова. - М.: Радио и связь, 1985. - 608 с.

16. Герцбах И. Б., Кордонский Х. Б. Модели отказов / под ред. Б. В. Гнеденко. - М.: Советское радио, 1966. - 166 с.

17. Каштанов В. Н., Медведев А. И. Теория надежности сложных систем: уч.пособие - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010. - 609 с.

18. Pugh E.L., The best estimate of reliability in the exponential case, Operations res., 11, 57 (1963).

19. Epstein B., Tests for the assumption that the underlying distribution of life is exponential, Technometrics, 2, 8 3 (Febr. 1960); 2, 167 (May 1960).

УДК 629.396.61

Асылбекова. А. О., Ашуров А.Е., Ергалиев Д. С.

Евразийский Национальный университет им. Л.Н. Гумилева, Астана, Казахстан

ИССЛЕДОВАНИЕ ТОЧНОСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОРБИТЫ ГЕОСТАЦИОНАРНОГО СПУТНИКА ЗЕМЛИ С ДВУХ ПУНКТОВ НАБЛЮДЕНИЯ

Для определения параметров орбиты геостационарного спутника двумя пунктами наблюдения используются оптические средства. Точность определения орбиты зависит от систематических, методических и погрешностей оборудования. В данной статье погрешность определения орбиты спутника рассчитывается методом среднеквадратических отклонений. Были исследованы погрешности оптических средств, погрешности геоцентрических систем координат ПЗ-90 и ЖОЗ-84. Была учтена погрешность поверхности геоида. Было получено аналитическое уравнение погрешности определения орбиты геостационарного спутника. Ключевые слова:

геостационарный спутник, оптические средства, геостационарная орбита

Введение

Существует практическая проблема безопасного размещения спутников на геостационарных орбитах в условиях постоянного роста населенности таких орбит, в том числе за счет расширения области

задач, решаемых с помощью геостационарных спутников. Геостационарные искусственные спутники Земли считаются спутники имеющие период обращения вокруг Земли, равный звездным (сидерическим) суткам - 23 часа 45 минут и 4.09 секунд. Проблема загрязнения геостационарной орбиты космическим