Применение модифицированного метода дискретных источников к расчету характеристик закрытых и открытых волноводов

ПРИМЕНЕНИЕ МОДИФИЦИРОВАННОГО МЕТОДА ДИСКРЕТНЫХ ИСТОЧНИКОВ К РАСЧЕТУ ХАРАКТЕРИСТИК ЗАКРЫТЫХ И ОТКРЫТЫХ ВОЛНОВОДОВ

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований

Маненков Сергей Александрович,

Московский технический университет связи и информатики, Москва, Россия, mail4447l@mail.ru

Ключевые слова: трехмерные волноводы, метод дискретных источников, аналитическое продолжение волнового поля, метод Галеркина.

Рассмотрена задача нахождения характеристик собственных мод трехмерных волноводов произвольного поперечного сечения. Рассматриваются волноводы с импеданс-ным краевым условием на границе и диэлектрические волноводы с проницаемой границей, точнее слабонаправляющие волноводы различного поперечного сечения. Математическая постановка задачи сводится к нахождению собственных функций двумерного уравнения Гельмгольца с импедансными условиями на границе волновода, либо с условиями сопряжения. Решение задачи основано на применении модифицированного метода дискретных источников (ММДИ). С помощью введения некоторой комплексной переменной производится построение вспомогательных контуров, являющихся носителями дискретных источников. Предложен эффективный алгоритм нахождения собственных мод волноводов различного поперечного сечения, основанный на решении вспомогательной задачи дифракции поля нитевидного источника, расположенного на оси волновода. Для решения задачи нахождения собственных мод эллиптического импедансного волновода наряду с ММДИ использован метод Галеркина. В качестве базисных функций применялись функции Матье. Для тестирования метода решена задача нахождения поперечных волновых чисел круглого и эллиптического импедансных волноводов. Для волновода кругового сечения предлагаемый алгоритм на основе ММДИ сравнивался с точным решением задачи. В случае эллиптического импедансного волновода метод на основе ММДИ сравнивался с методом Галеркина. Во всех случаях продемонстрирована высокая точность предлагаемого подхода. Получены также результаты расчета внешних поперечных волновых чисел слабонаправляющих диэлектрических волноводов кругового и эллиптического сечения. Результаты расчета, полученные при помощи ММДИ сравнивались с результатами, полученными методом конечных элементов (МКЭ) и методом интегрального уравнения по сечению волновода (МИУ). Показано хорошее совпадение результатов, полученных при помощи ММДИ и результатов, полученных при помощи МИУ. Проиллюстрировано существенное преимущество ММДИ перед МКЭ. Построены зависимости поля низшей моды и приведены дисперсионные зависимости для диэлектрических волноводов кругового, эллиптического сечения, а также волновода с сечением двулистника.

Информация об авторе:

Маненков Сергей Александрович, доцент каф. Мат. анализа, к.ф.-м.н., Московский технический университет связи и информатики (МТУСИ), Москва, Россия

Для цитирования:

Маненков С.А. Применение модифицированного метода дискретных источников к расчету характеристик закрытых и открытых волноводов // T-Comm: Телекоммуникации и транспорт. 2017. Том 11. №5. С. 45-52.

For citation:

Manenkov S.A.

7T>

Введение

Волноводные структуры представляют большой ин терес в различных областях, например, в акустике, оптике, радиофизике и других. В частности, широко применяются диэлектрические волноводы различного поперечного сечения. Как известно ¡1,3], при небольшом значении скачка диэлектрической проницаемости в сердцевине и оболочке диэлектрического волновода задача нахождения собственных мод волновода сводится к решению двумерного уравнения Гельмгольца с условиями сопряжения на границе волновода. Существует большое число методов решения данной задачи, таких как метод разделения переменных [2], метод конечных элементов (МКЭ) 11 ], [3], метод интегральных уравнений по сечению волновода (МИУ) [i], [3] и т.д.

Ранее в работах [4-11] был разработан модифицированный метод дискретных источников (ММДИ) для решения двумерных и трехмерных задач дифракции электромагнитных и акустических волн, В частности, при помощи ММДИ были решены задачи дифракции на одиночном теле [4, 5], группе тел [6], теле вращения, расположенном в круглом диэлектрическом волноводе [7|. а также дифракция на многослойном диэлектрическом теле вращения [8]. В литературе существует много вариантов метода дискретных источников (МДИ). Основное отличие ММДИ от других вариантов МДИ состоит, во-первых, в том, что вспомогательная поверхность, являющаяся носителем дискретных источников, должна охватывать особенности продолжения волнового поля внутрь (при решении внешних задач) либо вне (при решении внутренних задач) исходной поверхности тела. Во-вторых, для построения эффективных численных алгоритмов необходимо выбирать вспомогательную поверхность при помощи аналитической деформации границы тела (см, [4-11]), Кроме того, как показано в работах [1(1, 11], с целью ускорения работы численных алгоритмов на основе ММДИ построение носителя вспомогательных источников необходимо осуществлять, используя подходящую систему координат. В настоящей работе применяются полярные и эллиптические координаты.

До настоящего времени ММДИ применялся в основном к задачам дифракции волн, но не использовался для расчета характеристик волноводов. Поэтому представляет интерес распространить ММДИ на задачи расчета полноводных структур, в частности на задачи нахождения собственных мод акустических волноводов с импсдансными условиями на границе волновода и диэлектрических слабонаправляющих волноводов.

При применении ММДИ к расчету вол ново дных структур возникает существенная трудность, которая заключается в следующем. Основная идея метода (как и других близких подходов), основанного на ММДИ, состоит в сведении задачи поиска постоянных распространения мод к решению дисперсионного уравнения относительно некоторого параметра у (предполагаем, что поле моды пропорционально множителю ехр(— iyz), где ось z совпадает с осью волновода). При этом дисперсионное уравнение представляет собой равенство нулю детерминанта матрицы линейной однородной системы относительно амплитуд дискретных источников, описанных выше. Для нахождения определителя используется стандартный метол Гаусса. При таком подходе наряду с правильными значениями постоянных распростра-

нения мод возникают дополнительные корни дисперсионного уравнения, не имеющие физического смысла. Данные корни обусловлены численной неустойчивостью задачи нахождения детерминанта матрицы системы. Тем не менее, как было указано выше, ММДИ позволяет решать задачи дифракции волн с высокой точностью, гак как ошибки вычислений не сказываются существенным образом на значение волнового поля.

Для преодоления указанной трудности в работе предложен подход, основанный на решении вспомогательной задачи дифракции поля нитевидного источника, расположенного в центре волновода Предполагается, что падающее иоле пропорционально ехр(— 1ух)  Исходная задача нахождения

постоянных распространения мод сводится к нахождению точек максимума модуля рассеяного поля в центре волновода. 11ри этом расееяное поле в центре волновода является функцией параметра у.

В качестве примера в работе рассмотрена модельная задача расчета акустического волновода эллиптического сечения с импедансным краевым условием на границе волновода. Задача решалась двумя методами: при помощи ММДИ и при помощи метода Галеркина. В последнем случае поле моды представлялось в виде разложения по базису из решений уравнения Гельмгольца в эллиптических координатах, то есть функций Матье. Поле в виде разложения по указанным функциям подставляли в граничное условие на контуре сечения волновода и затем проектировали полученное равенство на базис из угловых функций Матье, В результате дисперсионное уравнение представляет собой равенство нулю определителя матрицы линейной системы, к которой сводится исходная краевая задача, В случае идеальных граничных условий (то есть, условий Дирихле или Неймана) дисперсионное уравнение можег быть выписано в явном виде. В случае произвольного импеданса приходится решать задачу численно с помощью метода Галеркина.

Проведены расчеты постоянной распространения низшей моды импедансного волновода кругового, эллиптического сечения и волновода с сечением в виде двулистника, как для нулевого, так и для ненулевого значения импеданса па границе волновода. В случае решения задачи при помощи ММДИ для построения вспомогательного контура использовались полярные (для круглого волновода и волновода е сечением двулистника) и эллиптические координаты (для эллиптического волновода).

Приведены также результаты расчета мод слабонаправляющих диэлектрических волноводов различного поперечного сечения. Рассмотрены волноводы кругового, эллиптического сечения и волновод с сечением двулистника. В случае волноводов кругового сечения результаты расчета постоянной распространения основной моды сравнивали с точным решением задачи, а при нахождении постоянной распространения моды эллиптического волновода с результатами, приведенными в работе [11.

Постановка задачи и вывод основных соотношений

Рассмотрим математическую постановку задачи. Введем декартову систему координат, причем ось г направим вдоль оси волновода (будем считать, что сечение волновода, перпендикулярное оси симметрично относительно осей .V и у)-Обозначим через 5 - контур сечения волновода (см. рис. 1).

7Т>

1т1Ц=0, г-^]х2 +у2

Рис. I. Геометрия диэлектрического волновода м выбор вспомогательных контуров

Тогда в случае импеданс но го акустического волновода (ИВ) будем иметь следующую задачу. Требуется найти решение уравнения Гельмгольца

Аи+(к2-г)и = 0, А = ~ +

ох ду~

с учетом краевого условия па контуре 5

IV ди

(О

к дп

ди,

дп

ди,

дп

Будем решать обе задачи при помощи ММДИ. Рассмотрим в начале стандартную схему решения задачи при помощи ММДИ. С этой целью запишем волновое поле внутри ИВ в виде

где С(г,г')=У0(^\г- г'\) - функция Грина (УДх)-

функция Неймана) и /(?"') — неизвестная функция, заданная

на вспомогательном контуре Е, который расположен внутри

контура 5. Параметр g = у]к1 - у2 - В случае расчета ДВ мы

записываем волновое поле вне и внутри сердцевины волновода в виде

и2(г)= ¡в2(г,г')Мг')^"

где дифференцирование производится по нормали к границе волновода, IV- импеданс стенки волновода и к - волновое число среды внутри волновода. При этом предполагаем, что зависимость ноля моды от координаты z имеет вид ехр(-^г), то есть у - неизвестное продольное волновое

число моды, которое находится в интервале [0, А). Для определенности будем считать, что поле моды является четной функцией координат х и у, то есть будем искать поле, так называемой, четно-четной моды волновода. Другие случаи рассматриваются аналогично,

В случае слабонаправляющего диэлектрического волновода (ДВ), как известно, постановка задачи выглядит следующим образом. Поперечная компонента электрического поля удовлетворяет уравнениям

Аи,+

вне сердцевины волновода, ограниченной контуром 5, и

А £/2+

внутри контура 5. Здесь к, И к-, - волновые числа среды вне и внутри сердцевины волновода, причем к^—СО^е^ и к2 =  В этих формулах е1 и ¿2 - диэлектрические

проницаемости сред вне и внутри волновода (предполагается, что магнитная проницаемость всюду равна единице), СО - круговая частота. Будем считать, что ех = £4

(£\ < £-,), то есть можно рассматривать скалярную постановку задачи [1|, [3|. Отметим, что для ДВ у На контуре 3 выполнены условия сопряжения

Предполагаем, что на бесконечности (при удалении от оси волновода) поле моды стремится к пулю:

где С?1(г>г') = А"0(р|г-Г|), С2(г,г') = У0(ё ¡г-П) (Кп(х)~ функция Макдональда), причем g = ,

р - - , (г') и У2(г') - неизвестные функции,

заданные па вспомогательных контурах V | и У , (ем. рис. I).

Для упрощения записи мы будем использовать одно и то же обозначение g для внутреннего поперечного числа ИВ и ДВ.

Рассмотрим вопрос о выборе вспомогательных контуров и X. (или X). Ьудем предполагать, что контур 5 задан

в какой либо ортогональной системе координат (ег, 0\, причем а-а{Р) - уравнение контура 5 в данной системе координат. Тогда для вспомогательных контуров X, и I, будут выполнены следующие соотношения [4 - 11]

= (11) где величина £ — это некоторая функция комплексной переменной Г] = а(р ± ¡8±) •+ /(/? ± • Здесь 3+ и 5 -положительные параметры отвечающие за степень деформации контуров 2] и соответственно. Выбор этих параметров подробно описан в работах [4] - [II]. Отметим, что если 5+ = 0 или 5_ = 0, то переменная ( б С(|, где С„

контур на комплексной плоскости геометрически совпадающий с контуром 5 волновода. При увеличении параметров 5 и £ контур будет сжиматься, а Контур Х-, будет расширяться, причем точки на этих контурах будут двигаться по ортогональным к контуру 5 траекториям (9]. В работе используются полярные и эллиптические координаты, в которых имеется следующая зависимость между переменными ^ и ту-

£ = ехр

для полярных координат и

4 = /?е[0,2л-],

для эллиптических координат. Здесь для единообразия в случае полярных координат мы обозначили а — 1п г, р — (р

T-Comm 1 1. #5-201 7

Подставим далее соотношение (8) в формулу (2) и представления (9) и (10) в формулы (5) и (6). В результате в случае ИВ получим интегральное уравнение вида

где ядро К{г,г') = С{гдС(/у а в случае дц

к дп

получим систему интегральных уравнений

1/<и(г,г'у\(г')Ж'+ \кп(г,Щ]г<г')<& = 0,

Щ

\К2х(г ,Г)]х{г')сМ+ \К22(г,г'У1{?)с1з' = 0,

в которой Ки(г,г') = К.г(г,Г) = -в2(гуг'),

50,

дп " дп

Очевидно, что контурные интегралы в формулах (14) и (15) могут быть заменены определенными интегралами по переменной /3 по отрезку [0,2/г]- Соответствующие формулы не приводим. Для дальнейшего решения задачи введем се тку на интервале изменения параметра р

и заменим интегралы в формулах (14) и (15) суммами Рима-на. Затем приравняем левые и правые части данных формул в точках коллокатши, которые выберем в точках (й(Д,), Д,) на контуре 5. В результате придем к однородной линейной алгебраической системе

л-1

в случае ИВ, либо к системе

л=1

рассматриваемого волновода нитевидным источником, расположенным в центре волновода. При этом "падающее" поле имело вид

и0 т У0

при рассмотрении ИВ и

и°2 = К0

для ДВ. В результате вместо однородных интегральных уравнений (14) и (15) мы решали уравнения вила

г

либо

г, %

где Г(г) = - I Г0(^)-

к дп

— ( - Уравнение (21) относится к задаче расчеши

та ИВ, а уравнения (22) - к расчету ДВ. Для нахождения продольных волновых чисел мы искали максимум квадрата модуля "рассеяного" поля в центре волновода, то есть величину

F(r) =

либо Г(у) =

¡Сг(0,?)Мг')Ж'

в случае ДВ. Здесь " {с,{п=|, {с,;}П!И - неизвестные

амплитуды дискретных источников, расположенных в точках либр !>;'> Для нахождения продольных волновых чисел моды волновода необходимо приравнять определители полученных систем к нулю. В результате получим дисперсионные уравнения относительно параметра у. Как показывают вычисления при таком подходе наряду с правильными корнями возникаю т дополнительные корни, не имеющие физического смысла. Данные "парази тные" корни обусловлены численной неустойчивостью предлагаемого алгоритма, так как операция нахождения определителя очень "чувствительна" к ошибкам округления.

Для того, чтобы преодолеть указанную трудность мы использовали тот факт, что задачи дифракции решаются при помощи ММДИ с высокой точностью. Поэтому вместо сведения краевой задачи к равенству нулю определителя соответствующей системы, мы рассмотрели задачу возбуждения

соответственно в случае расчета ИВ либо ДВ. Заметим, что при значениях параметра у, соответствующих продольным волновым числам моды, функция (23) или (24) обращается в бесконечность. Однако при практических расчетах величина у не может совпасть с точным значением продольного волнового числа (так как вычисления ведутся с конечной точностью), то есть рассматриваемые функции принимают конечные значения. Как показывают вычисления предлагаемый подход позволяет вычислять волновые числа моды с высокой точностью.

Численные результаты

Для тестирования метода была рассмотрена задача нахождения внутреннего волнового числа моды круглого ИВ, для которого имеется точное решение задачи. В таблице 1 приведены результаты расчета величины ga низшей моды волновода в зависимости от безразмерного параметра V =ка, где а - радиус волновода. Значение импеданса было выбрано равным № = —2.

В таблице I приведены результаты расчета поперечного волнового числа, полученные двумя методами: при помощи ММДИ и при помощи точного решения задачи (ряда Рэлея).

Отметим, что первое значение параметра V близко к критическому значению (У= 0,9).

_

Т-Сотт Том 1 1. #5-20 1 7

Таблица 1

Поперечные волновые числа низшей моды круглого ИВ, полученные двумя методами

V

ММДИ Точное решение

0,9 0,897833523 0,897833524

2 1,25578371 1,25578371

3 1,45694869 1,45694870

4 1,59944920 1,59944921

5 1,70602045 1,70602045

н=0

где

^ и г

1

-

V а -1

1ч

н=0

а =0>

тп п

в которой

IV

с„,„ = К2л1 С&2т(а0,фтп —— Се;„(а0,4)х

к/

с!(3, т,п = 0,1,2,...

о «0 ¡3

В формуле (28) N2т ~ норма угловых функций Матье,

Зт11 - символ Кронекера. Для дальнейшего решения задачи

необходимо приравнять определитель матрицы системы к нулю. При этом определитель находится методом редукции, то есть сведением бесконечной системы к конечной [12].

Как видно из таблицы I, относительная разность результатов расчета, полученных двумя методами, не превышает

) 0 й. Данный факт подтверждает корректность предлагаемого алгоритма.

С целью проверить разработанный алгоритм для расчета волноводов некругового сечения мы рассмотрели эллиптический ИВ. Как известно, дтя импедансных граничных условий на границе волновода не удастся решить задачу в явном виде. Поэтому мы решили эту задачу, используя метод Галеркпна. С этой целью представим волновое поле внутри волновода в виде ряда по функциям Матье:

В таблице 2 приведены волновые числа эллиптического ИВ, полученные при помощи ММДИ и подхода на основе метода Галеркина, описанного выше. Параметр V — к а, где а - большая полуось сечения волновода. Отношение полуосей сечения ИВ равнялось 10, то есть было достаточно большим. Как видно из таблицы 2 относительная разность результатов, полученных двумя методами не превосходит

5  10-7, то есть очень мала. Как показывают вычисления, в случае нулевого импеданса порядок указанной величины остается таким же.

Таблица 2

Поперечные волновые числа низшей моды эллиптического ИВ, полученные двумя методами

V Яа

ММДИ Метод Галеркпна

5,3 5,2895406 5,2895417

6 5,5810928 5,5810946

7 5,9610839 5,9610855

8 6,3060095 6,3060109

9 6.6221564 6,6221577

10 6,9141049 6,9141061

где / = у/а2 —Ь1 - межфокусное расстояние сечения волновода (ни/) - полуоси эллипса, а>Ь), ап - неизвестные коэффициенты, Се,„(а,</) и се2п(а- радиальные и

угловые функции Матье. При использовании эллиптических координат контур сечения волновода задается в виде х = /сЬ а0 соб/?, у- /бИ а

и

_. Очевидно, что ряд (25) удовлетворяет Ь

уравнению (I), поэтому необходимо лишь удовлетворить г раничному условию (2). Для этого подставим выражение (25) в граничное условие (2) и спроектируем полученное равенство на базис из угловых функций Матье. В результате получим следующую однородную систему линейных алгебраических уравнений

На рисунке 2 изображены дисперсионные зависимости для ИВ с круговым сечением

4,5 4,03,53.02.52,01.51.0-

2 А 6 в 10

Рис. 2. Дисперсионные зависимости для ИВ различного сечения

Параметр V = кё на рисунке, где й - половина максимального размера волновода (в случае волновода с сечением двулистника с! — а{\ + г))- Параметры геометрии волновода

были следующие: отношение полуосей эллиптического волновода а / Ь = 4, параметр г = 0.5 для ИВ с сечением в виде двулистника. Как видно дисперсионные зависимости монотонно возрастают с увеличением параметра V волновода. Видно также, что критические значения параметра У, ниже которых мода становится затухающей, соответствуют

Представляет интерес сравнить результаты расчета характеристик основной моды слабонаправляющего ДВ с кру-

T-Comm 1 1. #5-201 7

Т-Сотт Том 1 1. #5-20 1 7

Рис. 5. Распределение моды по оси ОХ ДВ с сечением двулистника

Рис. 6. Распределение моды по оси 0)'ДВ с сечением двулистника pd

Рис. 7. Дисперсионные зависимости для ДВ различного сечения

На рисунке 7 изображены дисперсионные зависимости для ДВ с круговым сечением (кривая 1), с сечением в виде двулистника (кривая 2) и эллиптическим сечением (кривая 3). Отношение полуосей эллиптического ДВ составляло а / Ь = 4, параметр г = 0.5 для ДВ с сечением двулистника. Как видно дисперсионные зависимости монотонно возрастают с увеличением параметра V.

1. Manenkov А.В.. Rozhnev A.G. Optical dielectric waveguide analysis, based on the modifed fniie element and integral equation methods/Optical and Quantum Electronics, No 61, 1998. Pp. 61-70.

2. Bawtuuneim Л.А, Электромагнитные волны. M.: Радио и связь, 1988.440 с.

3. Eliseev M.V., Rozhnev A.G., and Manenkov А.В. Calculation of characteristics of a dielectric waveguide with an elongated cross section / Journal of Communications Technology and Electronics, No 6, 2004. Pp. 612-620.

4. Кюркчан А.Г.. Минаев С.А.. Соловейчик А.Л. Модификация метода дискретных источников на основе априорной информации об особенностях дифракционного поля // Радиотехника и электроника,№6, 2001, С. 666-672.

5. Кюркчан А,Г.. Маненков С,А,, Негорожина Е.С. Решен не задачи дифракции электромагнитного поля на телах вращения при помощи модифицированного метода дискретных источников // Радиотехника и электроника, №11, 2006. С. 1285-1293.

6. Кюркчан А.Г., Маненков С.А., Негорожина Е.С. Моделирование рассеяния волн группой близко расположенных тел // Радиотехника и электроника, №3, 2008. С. 276-285.

7. Маненков С.А. Дифракция моды круглого диэлектрического волновода на компактном препятствии внутри волновода II Радиотехника и электропика, №7, 2008. С. 789-799.

8. Kyurkchan A G.. Manenkov S.A. Application of modified method of discrete sources for solving a problem of wave diffraction on a multi-layered body of revolution / Journal of Quantitative Spectroscopy & Radiative Transfer, No 10, 2014. Pp. 295-303.

9. Кюркчан А.Г.. Смирнова Н.И. Математическое моделирование в теории дифракции с использованием априорной информации об аналитических свойствах решения. М: ООО «ИД Медиа Паблишер», 2014. 226 с,

10. Маненков С.А. Новая версия модифицированного метода дискретных источников применительно к задаче дифракции на теле вращения // Акустический журнал, № 2, 2014. С. 129-136.

11. Маненков С.А. Применение модифицированного метода вспомогательных токов к задаче дифракции на теле вращения, имеющем изломы границы // Радиотехника и электроника, №5, 2014. С. 429-436.

12. Канторович Л.В., Акнлов Г.П. Фу нкциональный анализ. М: Наука, 1984. 752 с.

Литература

T

MATHEMATICS

APPLICATION OF THE MODIFIED METHOD OF THE DISCRETE SOURCES TO CALCULATION OF THE CHARACTERISITCS OF CLOSED AND OPEN WAVEGUIDES

Sergey A. Manenkov, Moscow Technical University of Communications and Informatics, Moscow, Russia,

mail4447l@mail.ru

Abstract

The problem of finding of eigenmodes characteristics of arbitrary cross section three-dimensional waveguides is considered. Waveguides with an impedance boundary condition on their border and dielectric waveguides with permeable border, more precisely weak guidance waveguides of various cross section are considered. Mathematical definition of the problem reduces to finding of eigenfunctions of two-dimensional Helmholtz equation with impedance condition on waveguide cross-section border, or with continuity conditions. The solution of the problem is based on the modified method of discrete sources (MMDS). By introducing some complex variable one can construct the auxiliary contours which are the carriers of discrete sources. The effective algorithm for finding of the eigenmodes of different cross-section waveguides is developed. The algorithm is based on the solution of the auxiliary problem of diffraction of the field produced by the fiber source which is located at the axis of the waveguide. For solution of the problem of the elliptical impedance waveguide eigenmodes finding the Galerkin method is used along with MMDS. As the basis functions we used the Mathieu functions. To test the method the problem of finding of the transverse wave numbers of the circular and elliptic impedance waveguides is solved. In the case of circular waveguide the proposed algorithm is compared with the exact solution. In the case of elliptic waveguide the method based on MMDS is compared with the Galerkin method. In all cases the high accuracy of the proposed method is demonstrated. The results of calculations of external transverse wave numbers of the dielectric weak guidance waveguides with circular and elliptic cross-section are also obtained. The results obtained by use of MMDS are compared with the results which are derived by the finite element method (FEM) and the method of integral equation by the cross-section of the waveguide (MIE). It has been shown very good coincidence of the results obtained by MMDS and MIE. Essential advantage of MMDS over FEM is demonstrated. The dependences of the lowest mode field and the dispersion dependences for the circular, elliptic waveguides as well as the waveguide of the double-lobe cross-section are plotted.

Keywords: three-dimensional waveguides, Method of discrete sources, Analytical continuation of the wave field, Galerkin method. References

1. Manenkov A.B., Rozhnev A.G. (1998). Optical dielectric waveguide analysis, based on the modifed fnite element and integral equation methods. Optical and Quantum Electronics, no. 61, pp. 61-70.

2. Vainshtein L.A. (1988). Electromagnetic waves. Moscow. 440 p.

3. Eliseev M.V., Rozhnev A.G., and Manenkov A.B. (2004). Calculation of characteristics of a dielectric waveguide with an elongated cross section. Journal of Communications Technology and Electronics, no. 6, pp. 612-620.

4. Kyurkchan A.G., Minaev S.A., Soloveitchik A.L.

5. Kyurkchan AG, Manenkov S.A,, Negorogina E.S.

6. Kyurkchan AG, Manenkov S.A,, Negorogina E.S.

7. Manenkov S.A.

8. Kyurkchan A.G., Manenkov S.A. (2014). Application of modified method of discrete sources for solving a problem of wave diffraction on a multilayered body of revolution. Journal of Quantitative Spectroscopy & Radiative Transfer, no. 10, pp. 295-303.

9. Kyurkchan A.G., Smirnova N.I.

10. Manenkov S.A.

11. Manenkov S.A.

12. Kantorovich L.V., Akilov G.P.

Information about author:

Sergey A. Manenkov, Moscow Technical University of Communications and Informatics, Docent of the Mathematical Analysis Department, Moscow, Russia

w

T-Comm Tom 1 1. #5-20 1 7