КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ В КОСТНЫХ ТКАНЯХ И ВИНТОВЫХ ДЕНТАЛЬНЫХ ИМПЛАНТАТАХ

Перельмутер М.Н. Концентрация напряжений в костных тканях и винтовых дентальных имплантатах. Российский журнал биомеханики, 2023, № 2, С. 18-29. DOI: 10.15593/RZhBiomech/2023.2.02

РОССИИСКИИ ЖУРНАЛ БИОМЕХАНИКИ № 2, 2023

RUSSIAN JOURNAL OF BIOMECHANICS

https://ered.pstu.ru/index.php/rib

Научная статья

Б01: 10.15593/К2ЬБ1ошесЬ/2023.2.02 УДК 531/534: [57+61]

КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ В КОСТНЫХ ТКАНЯХ И ВИНТОВЫХ ДЕНТАЛЬНЫХ ИМПЛАНТАТАХ

М.Н. Перельмутер

Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН, Москва, Россия

АННОТАЦИЯ

Исследование концентрации напряжений в костных тканях и винтовых дентальных имплантатах выполнено на модели винтового соединения имплантата и окружающих костных тканей при действии нормальных и касательных нагрузок. Расчеты выполнены методом граничных элементов в постановке плоской деформации. Полагалось, что углубления в губчатой кости, образующиеся при внедрении имплантата в костную ткань, соответствуют резьбе на имплантате. Костная ткань рассматривается как изотропный и однородный линейно-упругий материал. Установлено, что при увеличении модуля упругости губчатой костной ткани максимальные эквивалентные напряжения в этой костной ткани возрастают. Напряжения в кортикальной костной ткани при увеличении модуля упругости губчатой кости снижаются за счет уменьшения нагрузки, передаваемой на эту часть кости. Напряжения в губчатой кости снижаются при увеличении модуля упругости кортикальной кости. Уровень максимальных напряжений в кортикальной кости возрастает при увеличении модуля упругости этой костной ткани. Максимальные напряжения в кортикальной костной ткани наблюдаются вблизи шейки имплантата.

©ПНИПУ

О СТАТЬЕ

Получена: 6 марта 2023 Одобрена: 10 апреля 2023 Принята к публикации: 12 апреля 2023

Ключевые слова:

винтовой имплантат, костные ткани, концентрация напряжений, метод граничных элементов.

Введение

Винтовая форма стоматологических имплантатов позволяет увеличить площадь контакта между импланта-том и костной тканью, оптимизировать передачу нагрузок в зоне контакта кость-имплантат. В сочетании со специальной обработкой поверхности имплантата винтовые имплантаты повышают эффективность остеоинтеграции на границе соединения имплантат-костная ткань. Винтовой имплантат позволяет ограничить микросдвиги во время начального этапа заживления и уменьшить сдвиговую нагрузку за счет увеличения областей сжатия вдоль имплантата [15; 26]. Наличие винтового соединения имплантата и костной ткани приводит, как и в машиностроительных конструкциях [2], к возникновению

концентрации напряжений в областях с резким изменением формы поверхности соединения. Помимо прочих факторов [6], эффективность дентальной имплантации зависит также от плотности костной ткани, которая изменяется в широком диапазоне [12; 25]. Изменение плотности костной ткани является основным параметром, определяющим изменение её модуля упругости и прочности [33]. Таким образом, анализ напряженно-деформированного состояния костных тканей при изменении модуля упругости кости позволяет оценить влияние плотности костных тканей на распределение напряжений вблизи имплантата. Для моделирования напряженного состояния стоматологических имплантатов и костных тканей в последние десятилетия используются численные методы. Наибольшее распространение получил

© Перельмутер Михаил Натанович -д.ф.-м.н., ведущий научный сотрудник лаборатории механики прочности и разрушения материалов и конструкций, e-mail: perelm@ipmnet.ru : 0000-0002-8430-5412

Эта статья доступна в соответствии с условиями лицензии Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License

метод конечных элементов (МКЭ) [9; 10; 13; 21; 25], также обзорные работы [3; 11]. Метод граничных элементов (МГЭ) в задачах стоматологической биомеханики используется не так широко. Одно из первых применений этого метода было выполнено для анализа напряженного состояния соединения цилиндрического имплантата и костной ткани [32]. МГЭ также применялся для исследования влияния винтовых имплантатов на напряженное состояние вблизи нижнечелюстного канала [27], а также анализа напряженного состояния костных тканей и винтовых стоматологических имплантатов, изготовленных из различных материалов (титана или керамики) [7]. Сравнительный анализ применения МКЭ и МГЭ для анализа напряженного состояния имплантатов и костной ткани был выполнен в [24]. В зонах с высокими градиентами напряжений применение МГЭ, ввиду независимого моделирования перемещений и напряжений на поверхности тела, дает результаты, сопоставимые с получаемыми с помощью МКЭ, но без существенного измельчения сетки элементов. При решении задачи МГЭ выполняется дискретизация только поверхности (границы - в двумерном случае) расчетной модели, что является одним из основных преимуществ данного метода перед МКЭ, при использовании которого необходимо разбиение на элементы всего объема тела.

Систематические исследования концентрации напряжений в винтовых дентальных имплантатах и окружающих костных тканях начались в последние десятилетия. Влияние геометрических параметров имплантатов - длины, диаметра и формы винтового соединения на напряженное состояние рассматривалось в работах [14; 16; 17; 20; 28; 31]. Отметим, что во всех указанных работах для расчетов использовался МКЭ и специального внимания моделированию концентраторов напряжений в имплантатах и костной ткани не уделялось. В данной работе исследование влияния механических свойств костных тканей на распределение напряжений с учетом зон концентрации напряжений в винтовом соединении с дентальными имплантатами выполнено МГЭ, который является наиболее эффективным методом решения таких задач

Материалы и методы

Методика численного исследования

Для численного анализа напряженно-деформированного состояния в работе используется прямой вариант метода граничных интегральных уравнений. Без учета массовых сил и тепловых воздействий граничное интегральное уравнение (ГИУ) теории упругости для каждой однородной подобласти конструкции имеет вид:

сч (Р) и ( Р ) = !

^Г

^ ( р, д) ^(д)-(р, д)и (д)_

где т = 2 или т = 3 для двумерных или трехмерных задач; точки Р и д принадлежат границе подобласти Г ; и (д) - перемещения и ? (д) - усилия на границе подобласти; (р) - функции, зависящие от локальной геометрии в точке Р ; для гладкой границы еу (р) = 0,58гу.. Функции (р, д) и ^ (р, д) являются

фундаментальными решениями Кельвина для задачи теории упругости [1].

На участках идеального контакта подобластей полагаем, что выполняются условия непрерывности для перемещений и равновесия для усилий (к и п - номера соседних подобластей):

чк (Р ) = ип (Р), гк (Р) = - е (Р).

Для численного решения ГИУ используем изопара-метрические квадратичные граничные элементы. Дискретизация границ подобластей и аппроксимация переменных позволяет заменить вычисление интегралов по всей поверхности подобласти в ГИУ (1) суммой интегралов по совокупности граничных элементов, представляющих поверхность подобласти, и получить для каждой точки коллокации р дискретное представление ГИУ. Сингулярное поведение фундаментальных решений в ГИУ (1) необходимо учитывать при вычислении интегралов по элементам, содержащим точку коллокации р . Ввиду этого рассматриваются два случая расположения точки р : а) р £ е , б) р е е , здесь е - граничный элемент, по которому выполняется интегрирование. В первом случае интегрирование выполняется по квадратурным формулам Гаусса-Лежандра с учетом сгущения точек интегрирования в направлении точки коллокации. При р е е фундаментальное решение плоской задачи

теории упругости для перемещений (Р, д) содержит

слабую логарифмическую особенность и интегралы в дискретном представлении ГИУ, содержащие эту функцию, вычисляются с использованием квадратурной формулы с логарифмической весовой функцией. Фундаментальное решение для поверхностных усилий

содержит сильную особенность, и вычисление суммы соответствующих интегралов и параметра су (р) выполняется косвенным путем исходя из смещения тела как жесткого целого (см. описание алгоритма численного интегрирования для двумерных и пространственных задач в [8]).

Обходя последовательно узловые точки границ всех подобластей, получаем дискретное представление ГИУ.

Учет граничных условий на внешних частях подобластей и дополнительных условий (2) позволяет получить из системы дискретных ГИУ для всех подобластей конструкции систему линейных алгебраических уравнений для определения узловых неизвестных задачи. Методика численного решения ГИУ реализована в комплексе программ "МЕГРЭ" (Метод Граничных Элементов) [7; 8; 22; 23], который использован для получения результатов, приведенных в данной статье.

Исследование зависимости напряженного состояния от модулей упругости костных тканей выполнено на модели винтового соединения дентального имплантата и костных тканей в постановке плоской деформации при допущении, что костная ткань является изотропным и однородным линейно-упругим материалом и на границе имплантата и кости выполняются условия идеального соединения, что соответствует полной остеоинтеграции в системе кость-имплантат. Внешняя часть конструкции имплантата (коронка и абатмент) была отсечена, и нагрузка прикладывалась непосредственно к корню им-плантата. Раздельно рассмотрено влияние на напряженное состояние конструкции действия нормальной и касательной нагрузок.

Полагалось, что углубления в губчатой кости, образующиеся при внедрении имплантата в костную ткань, соответствуют резьбе на имплантате. Форма поперечного сечения выступов винтового соединения, впадин между витками резьбы на имплантате и форма углублений в кости моделировались как равносторонний треугольник со стороной а = 0,93 мм (при 12 зубцах по длине Ь = 14 мм корня имплантата). Радиус закругления вершин выступов и впадин между витками г принимался равным половине радиуса окружности Я, вписанной в равносторонний треугольник со стороной а, Я = 0,5а^(30), г = 0,5Я. Мелкая резьба в верхней части имплантата на участке контакта с кортикальной костью не моделировалась, участок контакта рассматривался как плоский с наложением условий (2).

Значения модулей упругости кортикальной и губчатой костных тканей изменяются в достаточно широком диапазоне [19; 30]. При выполнении данного исследования полагалось, что модуль упругости губчатой костной ткани изменяется в интервале Ея = 0,5.. .8 ГПа, модуль упругости кортикальной костной ткани - Ес = 6.18 ГПа, а имплантат изготовлен из титана. Расчеты выполнялись при фиксированном модуле упругости костной ткани одного типа и вариации модуля упругости костной ткани другого типа. Базовые механические свойства костных тканей и имплантата и приведены в таблице по данным работ [5; 19].

Эквивалентные напряжения (напряжения по Мизесу, интенсивность напряжений), используемые в биомеха-Характеристики материалов расчетной модели

Материал Модуль упругости Е, ГПа Коэффициент Пуассона Предел текучести (а), предел прочности (б), МПа

Титан 110 0,3 880

Кортикальная кость 18 0,3 130

Губчатая кость 0,5 0,35 10 - 20

нике для характеристики напряженного состояния, для состояния плоской деформации определяются следующим образом:

(СТ1 -СТ2)2 + (СТ2 -СТ3)2 + (СТ3 -СТ1)2

2

где С[ 2 3 - главные напряжения. Значения напряжений,

приведенные на рисунках и графиках, нормированы величиной внешней нагрузки а0.

Результаты

Нормальная нагрузка на имплантат

Моделирование действия нормальной сжимающей нагрузки на имплантат выполнено при допущении, что сечение челюсти с имплантатом является симметричным относительно оси приложения нагрузки, и для расчетов использована модель половины конструкции имплантата в постановке плоской деформации. Модель содержит 4 подобласти с общим числом узлов 1126 (рис. 1). Подобласть 1- корень имплантата длиной Ь = 14 мм и диаметром Б = 5,5 мм, три подобласти моделируют костные ткани: подобласть 2 - губчатая кость - основная часть костной ткани челюсти, подобласть 3 - внешний слой кортикальной кости (средняя толщина слоя 1,7 мм), подобласть 4 - слой кортикальной кости толщиной t = 1 мм формирующий стенку нижнечелюстного канала диаметром ё = 3 мм. На оси симметрии конструкции (линия МЫ) полагались равными нулю перемещения вдоль оси ОХ и усилия вдоль оси О У. На большей части внешней поверхности кортикальной кости (за исключением последнего сегмента, примыкающего к пришеечной области) полагались равными нулю перемещения по направлениям осей координат (тонкая заштрихованная зона на рис. 1 показывает область заданных перемещений по внешней границе модели, это обозначение только на рисунке, оно не является частью модели). Равномерно распределённая сжимающая нагрузка ст0 прикладывалась к верхнему сечению имплантата. Зависимость нормированного внешней нагрузкой ст0 максимального

а б в г

Рис. 1. Модель соединения имплантата и костной ткани, 4 подобласти, 1126 узлов: а - имплантат

ао

0,9

л и

о о и

3 0,8 •

ю

и

К

2 0,7.

0,6

/

( 1 -Ес = 6 ГПа

2-Ее = 10 ГПа 3 Ес- 18 ГПа

0 2 4 6 Ее ГПа

Рис. 2. Зависимость коэффициента концентрации эквивалентных напряжений (ККН) в губчатой костной ткани от её модуля упругости, сжатие

значения эквивалентных напряжений (коэффициента концентрации напряжений, ККН) в губчатой кости от модуля упругости этой костной ткани приведена на рис. 2. При изменении модуля упругости губчатой костной ткани в интервале 0,5 ГПа < Е$ < 2 ГПа максимальные напряжения возрастают за счет увеличения части нагрузки, передаваемой на эту костную ткань, достигая абсолютного максимума. При возрастании модуля упругости кортикальной кости Ес величина ККН снижается, а положение абсолютного максимума напряжений

наблюдается при больших значениях модуля упругости губчатой кости Е . Снижение ККН при Е$ > 2 ГПа связано с уменьшением различия между модулями упругости губчатой костной ткани и имплантата. Распределение эквивалентных напряжений является неравномерным вдоль всей поверхности полости в губчатой кости, образованной при внедрении имплантата (рис. 3, эпюра напряжений вдоль контура губчатой кости), с локальными максимумами во впадинах, соответствующих выступам на имплантате, причем абсолютный максимум

Рис. 3. Распределение эквивалентных напряжений вдоль контура модели губчатой кости, сжатие, а™/а0 = 0.98, ЕБ = 1ГПа, £с = 6ГПа

Рис. 4. Зависимость максимальных эквивалентных напряжений (ККН) в кортикальной кости от модуля упругости губчатой кости, сжатие

напряжений наблюдается в нижней части полости при всех рассмотренных значениях механических параметров костных тканей. Эти значения максимальных напряжений для различных значений модуля кортикальной кости нанесены на графики рис. 2. Зависимости максимальных эквивалентных напряжений в кортикальной кости от модуля упругости губчатой костной ткани приведены на рис. 4. В слое кортикальной кости максимальные напряжения наблюдаются на участке контакта с имплантатом (в пришеечной зоне, рис. 1). При увеличении модуля упругости губчатой кости (и значительном увеличении жесткости, т.к. объем губчатой кости много больше объема кортикальной кости) уменьшается часть нагрузки, передаваемая на кортикальную кость, и напряжения в этой костной ткани снижаются. С другой

стороны, уровень максимальных напряжений в кортикальной кости возрастает при увеличении модуля упругости этой костной ткани.

Распределение напряжений в имплантате вдоль границы контакта с костными тканями также является существенно неоднородным, причем положение абсолютного максимума эквивалентных напряжений при значении модуля упругости губчатой кости Е$ < 1 ГПа наблюдается на участке контакта с кортикальной костью (рис. 5, а). При увеличении модуля упругости губчатой кости положение максимума напряжений смещается к нижней части имплантата (рис. 5, б). Зависимость ККН в модели имплантата от модуля упругости губчатой кости при различных значениях

Рис. 5. Распределение эквивалентных напряжений вдоль контура модели имплантата, сжатие, Ес = 18 ГПа: а - о^/ос = 7,8 , Е8 = 0,5 ГПа; б - о™*/^ = 2>3 , Е8 = 3 ГПа

Со

£ ез

Н 4-

\ 1 -Ес = 2-Ес = 6 ГПа 10 ГПа

\\ 3 - Ее ^ 18 ГПа

* \ 2 \

\ \ \ 1 \ \

1 % 1 1

0 2 4 6 £с ГПа

Рис. 6. Зависимость коэффициента концентрации эквивалентных напряжений (ККН) в имплантате от модуля упругости губчатой кости, сжатие

О 5 10 15

Длина дуги вдоль контура имплантата. мм

Рис. 7. Распределение эквивалентных напряжений вдоль поверхности контакта имплантата и губчатой кости, сжатие; Е$ = 5 ГПа, ЕС = 18 ГПа

модуля упругости кортикальной кости приведена на рис. 6. При Ез < 1 ГПа на график нанесены значения эквивалентных напряжений в пришеечной зоне, а при больших значениях модуля упругости губчатой кости -значения максимальных эквивалентных напряжений в нижней части имплантата, контактирующей с губчатой костью. При увеличении модуля упругости губчатой кости (Ез > 2 ГПа), ввиду сокращения различия между модулями упругости губчатой костной ткани и имплантата, ККН незначительно снижается и практически не зависит от модуля упругости кортикальной кости. Распределения эквивалентных напряжений по поверхностям им-

подобластей от точки А (рис. 1, подобласть 1) до тройной точки контакта «имплантат-губчатая-кортикальная костные ткани» (точка В) приведены на рис. 7 для одного из вариантов расчета. Значения ККН вдоль имплантата (К и 1,5...2) и вдоль губчатой кости (К ~ 0,5...0,75) изменяются слабо.

Касательная нагрузка на имплантат

При действии касательной нагрузки, приложенной к верхнему сечению имплантата, расчеты выполнены для модели винтового соединения имплантата и костной

плантата и губчатой кости на участке контакта этих ткани, состоящей из трех подобластей. Канал в нижней

Рис. 8. Модель соединения имплантата и костной ткани, 3 подобласти, 1868 узлов, касательная нагрузка; 1 - имплантат

Рис. 9. Зависимость максимальных эквивалентных напряжений (ККН) в кортикальной кости от модуля упругости губчатой кости, касательная нагрузка

части сечения челюсти не моделировался, т.к. эта зона является малонагруженной, а также для сокращения размерности модели (рис. 8). Граничные условия (зоны закрепления) показаны тонкой штриховой полосой, так же как на рис. 1 . Между имплантатом и костной тканью предполагалось идеальное сцепление. Максимальные напряжения в кортикальной кости при касательной нагрузке (рис. 9) снижаются с увеличением модуля упругости губчатой кости. Во всем рассмотренном диапазоне изменения модулей упругости ККН значительно ниже, чем при сжатии (см. рис. 4). В отличие от результатов при сжатии, уровень ККН при возрастании модуля упругости кортикальной кости заметно изменяется. Положение максимума напряжений наблюдается (как и при сжатии) в пришеечной зоне на участке контакта кортикальной кости с имплантатом. Зависимость максимальных эквивалентных напряжений в имплантате от модуля упругости губчатой костной ткани приведена на рис. 10. При увеличении модуля упругости губчатой костной ткани максимальные эквивалентные напряжения в имплантате снижаются, так как при этом большая часть нагрузки передается на губчатую кость. При значительном различии между модулями упругости кортикальной и губчатой костных тканей максимальные эквивалентные напряжения в имплантате наблюдаются в верхней зоне контакта имплантата с кортикальной костной тканью (рис. 11, а). При увеличении модуля упругости кортикальной костной ткани напряжения в имплантате также возрастают (см. рис. 10). Если модули упругости костных тканей сравнимы по величине, то положение максимума напряжений в имплантате смещается на винтовую поверхность к тройной точке контакта костных тканей и имплантата (рис. 11, б) и величина напряжений возрастает (рис. 10, графики 2 и 3).

Максимальные эквивалентные напряжения в губчатой кости при действии касательной нагрузки (рис. 12) возрастают во всем рассмотренном диапазоне изменения модулей упругости, и при Ез > 4 ГПа уровень максимальных напряжений выше, чем при сжатии (см. рис. 2). Это связано с действием касательной нагрузки, приводящей к возникновению изгибающего момента. Как и при сжатии, напряжения в губчатой кости снижаются при увеличении модуля упругости кортикальной кости .

В отличие от случая сжатия (см. рис. 3), максимальные эквивалентные напряжения в губчатой кости наблюдаются в пришеечной зоне контакта с имплантатом и кортикальным слоем кости при всех рассмотренных значениях механических параметров костных тканей. Распределение эквивалентных напряжений в губчатой кости от точки А вдоль поверхности контакта с имплантатом до тройной точки В контакта «имплантат-губчатая ткань-кортикальная

ткань» (рис. 8, подобласть 3) приведено на рис. 13. В губчатой кости наблюдается невысокий уровень концентрации напряжений, при Ез = 2 ГПа в верхней части костной ткани ККН ~ 0,5. На рис. 14 приведены эпюры эквивалентных напряжений в моделях имплантатата и губчатой кости на стороне сжатия на участках А - В (см. рис. 8). При меньшем, чем для результатов, представленных на рис. 13, относительном различии модулей упругости костных тканей ККН в губчатой костной ткани незначительно повышается. В имплантате при Ез = 1 ГПа, ЕС = 6 ГПа максимальные эквивалентные напряжения наблюдаются в пришеечной зоне контакта с кортикальной костью (а™ /а0 = 3,8,

см. рис. 10), а на участке А - В концентрация напряжений во впадинах витков резьбы на имплантате значительно меньше, чем в пришеечной зоне.

Заключение

Исследование зависимости эквивалентных напряжений от модулей упругости кортикальной и губчатой костных тканей с учетом концентрации напряжений выполнено для модели соединения цилиндрического винтового имплантата и костных тканей при действии нормальной и касательной нагрузок. Полученные результаты качественно (ввиду различия геометрических параметров моделей и механических свойств) согласуются с результатами работ [9; 10; 25; 29]. Ввиду ряда упрощений при моделировании напряжения, полученные расчетным путем, отличаются от наблюдаемых в клинической практике, но относительные изменения напряженного состояния позволяют оценить влияние вариации модулей упругости костных тканей на напряженное состояние вблизи винтовых дентальных импланта-тов.

При увеличении модуля упругости губчатой костной ткани возрастает часть нагрузки, передаваемая на эту костную ткань. Ввиду этого максимальные эквивалентные напряжения в губчатой костной ткани возрастают, что стимулирует процесс остеоинтеграции имплантата, сопровождающийся ростом плотности костной ткани [18]. Напряжения в кортикальной костной ткани при увеличении модуля упругости губчатой кости снижаются за счет уменьшения нагрузки, передаваемой на эту часть кости, что приводит к более однородному распределению напряжений в костных тканях при нагружении им-плантата. С другой стороны, наличие слоя кортикальной кости с большим модулем упругости приводит к снижению напряжений в губчатой кости, что позволяет повысить надежность имплантации при ослабленной губчатой кости. При этом уровень максимальных напряжений в кортикальной кости возрастает, и область максималь-

О 2 4 6 Ес ГПа

Рис. 10. Зависимость коэффициента концентрации эквивалентных напряжений (ККН) в имплантате от модуля упругости губчатой кости, касательная нагрузка

Рис. 11. Распределение эквивалентных напряжений вдоль контура модели имплантата:

а - отах/о = 3,3, Es =5 ГПа, Ее = 18 ГПа; б - отах/о0 = 3,1, Es = 5 ГПа, Ее = 6 ГПа

0,0-|-,--,--,--,-

О 2 4 6 Ее ГПа

Рис. 12. Зависимость коэффициента концентрации эквивалентных напряжений (ККН) в губчатой костной ткани от её модуля упругости, касательная нагрузка

Рис. 13. Распределение эквивалентных напряжений в губчатой кости вдоль поверхности контакта c

имплантатом, Ее = 18 ГПа, касательная нагрузка

Рис. 14. Распределение эквивалентных напряжений вдоль линии А - В расчетной модели, касательная нагрузка, Ея = 1 ГПа, Ее = 6 ГПа: а - имплантат, о™1* /о0 = 1,67; б - губчатая кость, о™/о0 = 0,63

ных напряжений наблюдается вблизи шейки имплан-тата.

Полученные значения коэффициентов концентрации эквивалентных напряжений могут быть использованы для оценки фактических напряжений при наличии информации об уровне внешней нагрузки. Например, нормальная нагрузка, соответствующая усилию жевания [4], р = 6 МПа, приложенная к окклюзионной поверхности коронки с площадью контактной поверхности Я ~ 0,25 см2 соответствует действующей силе ^ ~ 150 Н.

Коэффициент концентрации напряжений в губчатой кости при нормальной нагрузке ККН < 1 (см. рис. 2), а при касательной - ККН < 1,5 (см. рис. 9). Учитывая, что касательная нагрузка на имплантат в 3-5 раз меньше нормальной [29], получаем максимальные эквивалентные напряжения в губчатой кости о™1* < 9 МПа, что не превышает предела прочности этой костной ткани (см. таблицу). Аналогично можно оценить максимальные эквивалентные напряжения в кортикальной костной ткани и имплантате (рис. 14).

Список литературы

1. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Метод граничных элемен- 14. тов в прикладных науках. - М.: Мир, 1981. -

494 с.

2. Биргер И.А., Иосилевич Г.Б. Резьбовые и фланцевые соединения. - М.: Машиностроение, 1990. - 368 с. 15.

3. Дьяченко Д.Ю., Дьяченко С.В. Применение метода конечных элементов в компьютерной симуляции для улучшения качества лечения пациентов в стоматологии: систематический обзор // Кубанский научный медицинский вестник. - 2021. - Т. 28, № 5. - С. 98-116. 16.

4. Король Д.М., Николов В.В., Онипко Е.Л., Ефименко А.С. Определение интенсивности окклюзи-онного давления у пациентов на ортопедическом приеме // Современная медицина: актуальные вопросы. - 17. 2015. - № 46-47. - С. 40-46.

5. Олесова В.Н. и др. Напряженно-деформированное состояние в протезной конструкции на дентальном им-плантате при цементной фиксации искусственной коронки // Российский журнал биомеханики. - 2016. - 18. Т. 20, № 4. - С. 311-315.

6. Параскевич В.Л. Дентальная имплантология: Основы

теории и практики. - М.: «Медицинское информацион- 19.

ное агентство», 2011. - 400 с.

7. Перельмутер М.Н. Исследование напряженно-деформированного состояния стоматологических импланта-тов методом граничных интегральных уравнений // Вестник Пермского национального исследовательского 20. политехнического университета. Механика. - 2018 -

№ 2. - С. 83-95.

8. Перельмутер М.Н. Применение метода граничных элементов при исследовании пространственного напряженного состояния составных конструкций // Проблемы 21. прочности и динамики в авиадвигателестроении -

1989. - № 1237, Т. 4 - С. 74-99.

9. Рогожников Г.И., Конюхова С.Г., Няшин Ю.И., Черно-

пазов С.А., Еремина С.В. Влияние модуля упругости 22.

губчатой и кортикальной кости на напряженное состояние в области пластинчатого имплантата при окклюзи-онной нагрузке // Российский журнал биомеханики. - 23.

2004. - Т. 8, № 1. - С. 54-60.

10. Федорова Н.В. Исследование напряжённо-деформированного состояния стоматологических имплантатов из 24. керамики в зависимости от их формы и степени минерализации кости // Российский журнал биомеханики. -

2019. - Т. 23, № 3. - С. 451-459.

11. Buyuk F.N., Savran E., Karpat F. Review on finite element 25. analysis of dental implants. // Journal of Dental Implant Research. - 2022. - Vol. 41, No. 3. - P. 50-63.

12. Chugh T., Jain A.K., Jaiswal R.K., Mehrotra P., Mehrotra R. Bone density and its importance in orthodontics // Journal

of Oral Biology and Craniofacial Research. - 2013. - 26.

Vol. 3, No. 2. - P. 92-97.

13. Clift S.E., Fisher J., Watson C.J. Finite Element Stress and Strain Analysis of the Bone Surrounding a Dental Implant: Effect of Variations in Bone Modulus // Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part H: Journal of En- 27. gineering in Medicine. - 1992. - Vol. 206, No. 4. -

P. 233-241.

Eraslan O., Inan O. The effect of thread design on stress distribution in a solid screw implant: a 3D finite element analysis // Clinical Oral Investigations. - 2010 - Vol. 14, No. 4 - P. 411-416.

Haiat G., Wang H.-L., Brunski J. Effects of biomechanical properties of the bone-implant interface on dental implant stability: from in silico approaches to the patient's mouth // Annual Review of Biomedical Engineering. - 2014. -Vol. 16, No. 1. - P. 187-213.

Lee C.-C., Lin S.-C., Kang M.-J., Wu S.-W., Fu P.-Y. Effects of implant threads on the contact area and stress distribution of marginal bone // Journal of Dental Sciences. -2010. - Vol. 5, No. 3 - P. 156-165. Lee H., Jo M., Noh G. Biomechanical effects of dental implant diameter, connection type, and bone density on microgap formation and fatigue failure: A finite element analysis // Computer Methods and Programs in Biomedicine. -2021. - Vol. 200. - P. 863-869.

Lin D., Li Q., Li W., Duckmanton N., Swain M. Mandibular bone remodeling induced by dental implant // Journal of Biomechanics. - 2010. - Vol. 43, No. 2. - P. 287-293. Misch C.E., Qu Z., Bidez M W. Mechanical properties of trabecular bone in the human mandible: implications for dental implant treatment planning and surgical placement // Journal of Oral and Maxillofacial Surgery. - 1999. -Vol. 57, No. 6. - P. 700-706.

Niroomand M.R., Arabbeiki M., Rouhi G. Optimization of thread configuration in dental implants through regulating the mechanical stimuli in neighboring bone // Computer Methods and Programs in Biomedicine. - 2023. -Vol. 231. - P. 376-388.

Nutu E., Ahmad S., Pastrama S. Influence of bone elastic properties on the predicted stress distribution in the dental implant vicinity // Materials Today: Proceedings. - 2017. -Vol. 4, No. 5. - P. 5904-5908.

Perelmuter M. Analysis of interaction of bridged cracks and weak interface // International Journal of Mechanical Sciences. - 2018. - Vol. 149, No. 4. - P. 349-360. Perelmuter M. Boundary element analysis of structures with bridged interfacial cracks // Computational Mechanics. -2013. - Vol. 51, No. 4. - P. 523-534. Perrella M., Franciosa P., Gerbino S. FEM and BEM stress analysis of mandibular bone surrounding a dental implant // The Open Mechanical Engineering Journal. - 2015. -Vol. 9. - P. 282-292.

Premnath K., Sridevi J., Kalavathy N., Nagaranjani P., Sharmila M. R. Evaluation of stress distribution in bone of different densities using different implant designs: a three-dimensional finite element analysis // J. Indian Prosthodont Soc. - 2013. - Vol. 13, No. 4. - P. 555-559. Ryu H.-S., Namgung C., Lee J.-H., Lim Y.-J. The influence of thread geometry on implant osseointegration under immediate loading: a literature review // The Journal of Advanced Prosthodontics. - 2014. - Vol. 6, No. 6. -P. 547-554.

Sammartino G., Wang H.-L., Citarella R., M. Lepore, Marenzi G. Analysis of occlusal stresses transmitted to the

inferior alveolar nerve by multiple threaded implants // 31.

J. Periodontal. - 2013. - Vol. 84, No. 11. - P. 1655-1661.

28. Shimada J, Tajima K, Kitagawa H. Three-dimensional FEM analysis of implant for controlling stress concentration on surrounding bone // The Journal of the Kyushu Dental Society. - 2001. - Vol. 55, No. 1 - P. 87-104.

29. Van Oosterwyck H., Duyck J., Van der Sloten J., et al. The 32. influence of bone mechanical properties and implant fixation upon bone loading around oral implants // Clinical Oral Implants Research. - 1998. - Vol. 9, No. 6. - P. 407-418.

30. Van Staden R.C., Guan H., Loo Y.C. Application of the fi- 33. nite element method in dental implant research // Computer Methods in Biomechanics and Biomedical Engineering. -

2006. - Vol. 9, No. 4. - P. 257-270.

Vootla N.R., Barla S.C., Kumar V.H.C., Surapaneni H., Balusu S., Kalyanam S. An evaluation of the stress distribution in screw retained implants of different crown implant ratios in different bone densities under various loads-A FEM study // Journal of Clinical and Diagnostic Research. -2016. - Vol. 10, No. 6 - P. ZC96-ZC101. Wolfe L.A. Stress analysis of endosseous implants using the Boundary Integral Equation (BIE) method. // Journal of Biomedical Engineering. - 1993. - Vol. 15, No. 4. -P. 319-323.

Zioupos P., Cook R. B., Hutchinson J. R. Some basic relationships between density values in cancellous and cortical bone // Journal of Biomechanics. - 2008. - Vol. 41, No. 9. - P. 1961-1968.

Финансирование. Работа выполнена по программе госзадания № 123021700050-1. Конфликт интересов. Автор заявляет об отсутствии конфликта интересов.

STRESS CONCENTRATION IN BONE TISSUES AND SCREW DENTAL IMPLANTS

M.N. Perelmuter

Ishlinsky Institute for Problems in Mechanics RAS, Moscow, Russia

ARTICLE INFO

ABSTRACT

Received: 06 March 2023 Approved: 10 April 2023 Accepted for publication: 12 April 2023

Key words:

screw implant, bone tissue, stress concentration, boundary element method.

Analysis of stress concentration in bone tissues and screw dental implants was performed on a model of screw join of the implant and surrounding bone tissues under the action of normal and tangential loads. The computations were performed by the boundary element method for the plane strain state. It was assumed that those hollows in the spongy bone, which had formed in the bone after the implant insertion, are conformed to the screw thread on the implant. Bone tissues are considered as an isotropic and homogeneous linear-elastic materials. It has been found that with the increasing in the spongy bone tissue elastic modulus, the maximum equivalent stresses in this bone tissue increase. Stresses in the cortical bone tissue decrease with the increasing in the spongy bone elastic modulus due to the decreasing in the load transferred to this bone part. Stresses in the spongy bone decrease with the increasing of the cortical bone layer elasticity modulus. The level of maximum stress in the cortical layer of the bone increases with the increasing of this bone tissue elastic modulus. The maximum of stresses in the cortical bone tissue are observed near the implant neck.

©PNRPU