Двухэтапное оперативное прогнозирование развития марковских систем

У

ТЕХНОЛОГИИ

Двухэтапное оперативное прогнозирование развития марковских систем

Широкий класс стохастических марковских систем может быть адекватно описан эволюционными уравнениями (например уравнением Фоккера-Планка-Колмогорова), с использованием которых, эффективно решаются задачи анализа нелинейной статистической динамики различного рода динамических систем, а также синтеза алгоритмов прогнозирования их стохастических характеристик (СХ) (например, вероятности безотказной работы, наработки на отказ, среднего времени достижения границ допустимой области и т.д.) [1, 2]. При этом набор оцениваемых СХ представляется в виде совокупности некоторых ограниченных непрерывных функционалов от плотности вероятности многомерного марковского процесса, удовлетворяющей используемому многомерному эволюционному уравнению. Чрезвычайная сложность как численного, так и аналитического решения указанных эволюционных уравнений не позволяет применять на практике марковскую теорию анализа и синтеза стохастических систем. Данная ситуация усугубляется, если рассматриваются параметризованные эволюционные уравнения, которые задаются с точностью до вектора вещественных параметров, в качестве которых могут выступать начальные или граничные условия соответствующего уравнения, а также априорно неизвестные константы, характеризующие условия функционирования стохастической системы. Поскольку в большинстве случаев предъявляются жесткие требования относительно оперативности прогнозирования СХ, то целесообразно этот процесс разбить на два этапа. На первом этапе необходимо оценить предварительные характеристики (коэффициенты сноса и диффузии) исследуемой системы и сформировать аналитико-параметрическое решение соответствующего ПЭУ. На втором этапе в зависимости от конкретных значений Ключевые слова: стохастические вектора параметров, выдаваемой системой идентификации высшего уровня, должны вычисляться искомые СХ.

характеристики, эволюционное уравнение, Такое рассмотрение задачи прогнозирования позволяет вынести основные вычислительные затраты на первый марковские параметрические системы, этап. Применительно к марковско-параметрическим системам дается теоретическое обоснование двухэтап-интерполяция, метод редукции. ного метода оперативного оценивания СХ с заданной точностью.

Булычев Ю.Г.,

ОАО "ВНИИ "Градиент", г. Ростов-на-Дону,

начальник научно-исследовательской лаборатории, д.т.н., профессор, заслуженный деятель науки РФ, ProfBulychev@yandex.ru

Насенков И.Г.,

ОАО "Концерн Радиоэлектронные технологии", первый заместитель генерального директора, nasenkov@retechn.ru

Николас П.И.,

ОАО "ВНИИ "Градиент", г. Ростов-на-Дону, и.о. начальника сектора, gradienl@aaanet.ru

I [усть марковская система описывается в пространстве 1Уа ПЭУ в частных производных '/;(А"-/) _ ¿и т / л},

р{х^)едтеХсй', /еГс/!1, где ¿М( - оператор 11ЭУ

(например, оператор Фоккера-Планка-Ксшмогорова ФПК), зависящий от вещественного векторного параметра

ав 6 с: - Пусть искомое решение р{х,/) данного уравнения подчинено дополнительным условиям вида

линейный непрерывный оператор, действующий в^ и зависящий от вещественного векторного параметра щ £ с Я'"', - некоторое многообразие в области X хТ, р (5 ) - заданная функция, определенная на и зависящая от а>..

По аналогии с [3-5] данную задачу можно представить в виде одного операторного уравнения (которое называют

точным) р(х,а>,{)-ЛГ((у)р(дг,й)/)= /(х,Ф,(), /(.V,(о,/)е IV, где Рш) — линейный непрерывный оператор, действующий в пространстве IV Л - некоторая постоянная, не яв-

ляющаяся характеристическим значением оператора г(<у) для с/?" =/?''>

/(х,го,г) - заданная функция из №'. Полагаем, что на первом

этапе прогнозирования развития системы может быть по*

строено а на лиги ко-п ара метр и чес кое решение р(х,ю,/) операторного уравнения, а на втором этапе — совокупность искомых С X: 1 = 1К> где -

ограниченные непрерывные функционалы. Поскольку вместо р(х,ю,/) можно найти лишь приближенное решение

р(х,со,г), то и вместо |г;(ю)| ~ лишь семейство {^(¿у )},'''

приближенных СХ. Требуется с учетом принятых моделей и Ограничений разработать двухэтапный численно-аналитический метод высокоточного оперативного прогнозирования СХ марковско-параметрических систем (МПС),

Реализация первог о этапа осуществляется на базе теории опорно-проективных вычислений |4, 5]. На втором этапе с

учетом найденного решения р

, 1 = 1,м0- Очевид-

но, что точность оценки складывается из двух составляющих: точности получения л),/1) - решения ПЭУ и точности вычисления СХ, определяемой свойствами функционалов 1 = \,м0.

Т-Сотт #10-2014

13

т

ТЕХНОЛОГИИ

Соотношения для искомых СХ представим в виде

/э

p(jr,tf>:i)l = У,

С учетом этого получим оценку ду^)

=Yl(a)+AYl(a>y

где Ы| - норма функционала р,, ||Др(л:,й),г)|| - норма погрешности интегрирования ПЭУ.

Сравнительный показатель оперативности разработанного и традиционного методов прогнозирования СХ определя-

ла л4 f

, где Тэу,

ется выражением ^(д/,)^-ь^^т;

Т7е, Т/' - время, затрачиваемое на интегрирование ПЭУ и

на вычисление /-ой СХ традиционным и разработанным методами соответственно. Поскольку время решения соответствующего ПЭУ значительно больше времени, затрачиваемого на вычисление конкретной СХ, то справедливы соот-

м„ м„

ношения: у »у,7'">. т >>^ТР • Полагая, что

ЗУ ^^ I ЗУ ^^ /

-¿у]? _ = Тм приходим к оценке я ТЭУ\ГМ - Таким

¿=1 1=1

образом, применительно к разработанному опорно-параметрическому методу, выигрыш в оперативности прогнозирования по сравнению с одноэтапным методом в основном определяется отношением времени на решение ПЭУ

к времени вычисления всех СХ. При этом для многомерных марковско-парамстрических систем с учетом выполнения условия Тэу » Тм указанный выигрыш может достигать нескольких порядков.

Наиболее эффективным является использование разработанного метода для получения оперативного прогнозирования совокупности СХ, например, в задачах, связанных с возникновением чрезвычайных ситуаций техногенного или природного характера, катастроф и т.д., которые достаточно эффективно моделируются в рамках теории марковских динамических систем.

Лнтературя

1. Пугачев B.C., Синицын И.Н. Стохастические дифференциальные системы. - М,: Наука, 1985. - 560 с.

2. Острейковсюш В.А., Сальников Н.Л. Вероятностное прогнозирование работоспособности ЯЭУ. - М.: Энергоатомиздат, 1990. -416 с.

3. Красносельский М.А. и др. Приближенное решение операторных уравнений. — М.: Наука, 1969, - 456 с.

4. Булычев ЮГ. Теория опорно-проективных вычислений в задачах оптимального управления // Автоматика и телемеханика. 1998. №2.-С. 33-49.

5. Булычев Ю.Г. Нелинейная теория опорно-проективных вычислений в задачах оптимального управления // Автоматика и телемеханика, 1999. №4. - С. 14-27.

Two-stage Efficient Prediction of Markov Systems

Bulychev Yu.G., All-Russian Research Institute "Gradient", ProlBulychey@yandex.ru Nicholas P.I., All-Russian Research Institute "Gradient", nasenkoy@retechn.ru Nasenkov I.G., Concern "Radio-Electronic Technologies", gradient@aaanet.ru

Abstract

A wide class of stochastic Markov systems can be equally described by evolution equa-tions (eg. Fokker-Planck-Kolmogorov equation), using which effectively solved the problem of analysis of nonlinear statistical dynamics of various kinds of dynamical systems, as well as the syn-thesis of algorithms for predicting their stochastic characteristics (SH) (e.g. the probability of fail-ure-free operation, MTBF, mean time of reaching the limits of legitimate range, etc.) [1, 2]. Along with this set of estimated SH is represented as a set of some bounded continuous lunctionals of the probability density of a multidimensional Markov process satisfying used multivariate evolution equation. Extreme complexity, both numerical and analytical solutions of this evolution equations can not practice the Markov theory of analysis and synthesis of stochastic systems. This situation is exacerbated if we consider the parameterized evolution equations, which are given up to a vector of real parameters like an initial or boundary conditions of the corresponding equations or a priori unknown constants characteriang the conditions for the functioning of the stochastic system. Since in most cases SH forecasting requires high speed of operation, it is advisable lo split the process into two stages. The first stage is to evaluate the prior characteristics (drift and diffusion coefficients) of the studied system and form a solution of the corresponding parametric evolution equation. In the second stage, depending on the specific values of the parameter vector obtained previously, desired SH must be calculated. This solution allows to put the main computational cost of forcasting to the first stage. In this paper, with respect to the Markov-parametric systems, provides a theoretical justification of the two-stage method of fast SH estimation with a given accuracy.

Keywords: stochastic characteristic, evolution equation, markoy parametric systems, interpolation, reduction method. References

1. Pugachey, VS., 1985. Stochastic differential systems. Moscow: Science.

2. Ostreikoyskaya, VA., 1990. Probabilistic forecasting performance NPI. Mos-cow: Energoatomizdat.

3. Krasnosel'skii, MA. et al., 1969. Approximate solution of operator equations. Moscow: Science.

4. Bulychey, Yu.G., 1998. The theory supporting projective calculations in opti-mal control problems. Automation and Remote Control, no. 2, pp. 33-49.

5. Bulychey, Yu.G., 1999. Nonlinear theory of support-projective calculations in optimal control problems. Automation and Remote Control, no. 4, pp. 14-27.

14 T-Comm #10-2014

Л