Самоорганизованная критическая динамическая система на основе BTW-механизма

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

Самоорганизованная критическая динамическая система на основе

BTW-механизма Лапаев М. А.

Лапаев Михаил Андреевич /Lapaev Mikhail Andreevich - студент магистратуры, кафедра прикладной математики, факультет прикладной математики и информационных технологий, Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации, г. Москва

Аннотация: в данной статье будет рассмотрена модель самоорганизованной критичности, а также будет проверена гипотеза о степенном распределении размеров событий в системе на основе BTW-механизма.

Ключевые слова: степенное распределение, самоорганизованная критичность, динамические системы.

Термин «самоорганизованная критичность» впервые был использован в работе Бака, Танга и Визенфельда, вышедшей в 1987. Было замечено, что системы в процессе их естественного функционирования приходят в состояние на границе между стабильным и нестабильным.

Самоорганизованная критичность представляет собой характеристику динамических систем. В общем виде она описывает существование некоторого критического значения основных физических показателей системы [2]. Базовой моделью самоорганизованной критичности является «песчаная куча», представляющая собой простейшую реализацию механизма Бака-Танга-Визенфельда (BTW-механизма).

Для данной модели на основании самоподобной карты элементов определяется множество WL, на котором функционирует данная динамическая система. Предположим, что S0L - квадрат с L2 ячейками, где L = Zn. Этот квадрат разбивается на Z2 идентичных квадратов. Из Z2 полученных квадратов некоторые остаются неизменными. Какие именно квадраты остаются неизменными, зависит от конкретной модели. Каждый из этих квадратов содержит Zn_1 элементов в грани. Далее квадраты, не принадлежащие множеству неизменных, подвергаются аналогичной процедуре разбиения на более мелкие. На каждом шаге определяется множество квадратов ЯьЛ = 0,... ,п — 1, которые подлежат дальнейшему разбиению. Множество квадратов, лежащих в 5n_1L, является неделимым и обозначается как Sn,L. Аналогично на каждом шаге множество неделящихся квадратов обозначается как Sr,L,г = 1, ...,п. Множество всех неделимых квадратов Sr,L,г = 1, ...,п образует WL. Каждый квадрат, находящийся в данном множестве, называется ячейкой. Площадь, занимаемая каждой ячейкой, считается как число квадратов минимального размера в грани данной ячейки, возведённое во вторую степень [1].

Критический предел H определяется как число соседей данной ячейки. Соседом называется ячейка, граница с которой состоит более чем из 1 точки. Для определения числа соседей у граничных ячеек необходимо представить карту решётки в виде тора, соединив противоположные границы квадрата, друг с другом.

Физическая характеристика каждой ячейки системы определяется количеством «песчинок», содержащихся в данной ячейке. Пусть ft - число песчинок в i-ой ячейке, где i = 1, ...,|WL| - порядковый номер ячейки. Тогда последовательность {ft}'^' определяет конфигурацию решётки. Ячейка i называется стабильной, если число песчинок ft, содержащихся в этой ячейке, меньше, чем критический предел H

данной ячейки. Конфигурация решётки называется стабильной, если неравенство

И < Н выполняется для всех / = 1 .(), I.

/ ^ / ь I

Процесс функционирования модели заключается в следующем [3]: в каждый

момент времени из множества выбирается случайная ячейка. Вероятность

выбора каждой конкретной ячейки прямо пропорциональна площади данной ячейки. В выбранную ячейку добавляется одна песчинка. Если после добавления песчинки конфигурация остаётся стабильной, процесс переходит в следующий момент времени. В противном случае, выполняется следующее:

1. Для ^ой нестабильной ячейки определяется множество М(к) соседей данной ячейки;

2. Число песчинок в ячейке уменьшается на критический предел данной ячейки:

Ьк ^ Ьк ~Нк;

3. Число песчинок в ячейках, принадлежащих множеству М(к), увеличивается на единицу: ^ ^ Щ + !,] 6 И(к).

Зафиксируем решётку с гранью длины L. Процесс перекладывания песчинок в каждый момент времени называется лавиной. Размер события определяется как число песчинок, перемещённых в соседние клетки в процессе лавины, причём каждая ячейка считается с учётом кратности. Обозначим вероятность события размера s как /(£ ,Ь). Вероятности всех возможных событий для заданной системы являются

основной характеристикой функционирования системы.

Рассматривается решётка с длиной грани, равной 81 ячейке. В данном примере решётка определяется следующим образом: не подлежат разбиению 4 элемента по центру рёбер. Общий вид решётки в таком случае будет следующим:

Рис. 1. Решётка №1, образец модели

- - -iT -Q(S| --1/5

IBiLL..

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

Рис. 2. График частот Q

Для анализа результатов, получаемых на данной модели, построим график следующей величины:

Q(s) = 0.25JV(/(s) + /(s - 1) + /(s - 2) + /(s - 3)), где N - число добавленных к модели песчинок, а s = 4k + 3. Для более явного сравнения со степенным законом построим также на графике функцию 1/s.

Основываясь на том факте, что примерный наклон графика Q(s) составляет -

0.91468. можно предположить, что /(s)~x_0-91468.

Таким образом, в данной работе была рассмотрена модель самоорганизованной критичности. Основным выводом работы является подтверждение гипотезы о степенном распределении частот событий данной модели. Также было выявлено, что на наклон прямой (при логарифмированных осях) влияние оказывает не только число клеток, не подлежащих делению, но и общая структура решётки. В качестве параметра, характеризующего общую структуру решётки, можно выделить математическое ожидание длины случайного блуждания для данной конфигурации.

Литература

1. Shapoval A. B. The BTW mechanism on a self-similar image of a square: A path to unexpected exponents / A.B. Shapoval, M. G. Shnirman // Physica A. - 2012 - Volume 391 - pages 15 - 20.

2. Dhar D. Theoretical studies of self-organized criticality / Deepak Dhar // Physica A. -2006 - Volume 369 - pages 29 - 70.

3. Bak P. Self-Organized Criticality: An Explanation of 1/f Noise / P. Bak, C. Tang, K. Wiesenfeld // Physical Review Letters. - 1987 - Volume 59 - pages 381 - 384.