Численный метод решения задачи дифракции электромагнитных волн на неплоских экранах сложной формы

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

УДК 517.3

М. А. Москалева

ЧИСЛЕННЫЙ метод решения задачи ДИФРАКЦИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН НА НЕПЛОСКИХ ЭКРАНАХ СЛОЖНОЙ ФОРМЫ1

Аннотация.

Актуальность и цели. Математическое моделирование процесса дифракции акустических и электромагнитных волн на экранах и телах различной формы играет важную роль в электродинамике и других областях науки и техники. Целью данной работы является исследование задачи дифракции электромагнитных волн на неплоских экранах сложной формы численным методом.

Материалы и методы. Задача дифракции электромагнитной волны на бесконечно тонком идеально проводящем неплоском экране сведена к интегро-дифференциальному уравнению. Для дискретизации задачи введено понятие канонической фигуры. Для данной фигуры определена расчетная сетка и ее основные элементы. На носителях данной сетки определены базисные функции «Rooftop». В качестве проекционного метода для перехода от интегро-дифференциального уравнения к системе линейных алгебраических уравнений использован метод Галеркина. Для получения численных результатов на экранах различных форм использован субиерархический метод.

Результаты. Математическим моделированием получено графическое и числовое распределение поверхностных токов на экранах сложных форм, таких как «крест», «уголок», «цилиндр». Разработаны программа и алгоритм, позволяющие определять модули решения интегродифференциального уравнения, к которому сведена задача дифракции электромагнитной волны.

Выводы. Разработанные программы и алгоритмы могут быть использованы при решении векторных задач электродинамики и при математическом моделировании сложных электродинамических процессов и объектов, например, при решении задач дифракции в СВЧ диапазонах.

Ключевые слова: электромагнитная задача дифракции, интегродифферен-циальное уравнение, проекционный метод, субиерархический метод.

M. A. Moskaleva

THE NUMERICAL METHOD OF MICROWAVE DIFFRACTION PROBLEM SOLUTION ON THE NONPLANAR IRREGULAR SHAPE SCREEN

Abstract.

Background. Mathematical modeling of the electromagnetic and acoustic wave diffraction process on the screens and bodies of different shapes is important in electrodynamics and other branches of science and technology. The objective of this work is to research a microwave diffraction problem on the nonplanar irregular shape screen by the numerical method.

Materials and methods. The problem of diffraction of electromagnetic waves on the infinitely thin and perfectly conducting screen is reduced to an integro-

1 Работа выполнена при поддержке гранта Российского научного фонда, проект № 14-11-00344.

56

University proceedings. Volga region

№ 3 (31), 2014

Физико-математические науки. Математика

differential equation. The concept of “canonical figure” has been introduced for task digitization. For this figure a computational grid and its core elements were defined.

On the supports of this grid the basis “Rooftop” functions were given. The Galerkin method was used as a projection method to transfer from an integro-differential equation to a combined linear algebraic equation. The subhierarchical method was used to produce numerical results on the screens of different shapes.

Results. Through mathematical modeling the author obtained graphic and numerical distributions of surface currents on the different shapes of screens such as “a cross”, “a corner” and “a cylinder”. The worked out program and algorithm allow to define an integro-differential equation solution modulus to which the electromagnetic wave diffraction problem is reduced.

Conclusions. The developed program and algorithm can be used for solution of vector problems of electrodynamics and mathematical modeling of electrodynamic process and objects, for example, a diffraction problem solution in the microwave range.

Key words: electromagnetic problem of diffraction, integro-differential equation, projection method, subhierarchical method.

Введение

В настоящее время решение трехмерных векторных задач дифракции на экранах является одним из самых востребованных аспектов электродинамики. Одним из распространенных подходов к решению данной задачи является метод конечных элементов, который является простым в реализации. Однако при использовании данного метода существуют принципиальные трудности: область, в которой решается задача, должна быть сделана конечной. Такое ограничение приводит к появлению неконтролируемой ошибки, причем размеры области для ее уменьшения должны быть достаточно велики. Конечно-разностные методы и методы конечных элементов в такой ситуации обычно приводят к очень большим, но разреженным матрицам (порядка 109 и более).

В отличие от метода конечных элементов, метод поверхностных интегральных уравнений позволяет решать интегродифференциальное уравнение в области неоднородности, которая по размерам существенно (на порядки) меньше области решения задачи, в случае применения конечно-разностных методов и методов конечных элементов. После дискретизации получается конечномерная система уравнений с плотной (заполненной) матрицей. Таким образом, второй путь приводит к необходимости решать системы уравнений с плотными матрицами, но существенно меньших порядков.

Постановка задачи

Рассмотрим векторную задачу дифракции стороннего электромагнитного поля на идеально проводящем тонком ограниченном экране.

Сведем поставленную задачу к векторному интегродифференциально-му уравнению [1]

Lu :=

где A - интегральный оператор вида,

Physical and mathematical sciences. Mathematics

57

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

exp

Iх - y\

u (y)ds,

Q - ограниченная область с кусочно-гладкой границей dQ, состоящей из

, сходящихся под углами, отличными от нулевого, Div - касательная дивергенция на Q; т - тангенциальный вектор; и - поверхностная плотность тока; k - волновое число, правая часть

уравнения принадлежит пространству C(Q) и определяется следующим образом:

f = 4nikE0 |n .

В качестве правой части будем использовать падающее поле, имеющее гармонический вид [2]. Направляющий вектор поля расположен в плоскости z. Поведение падающей волны представлено на рис. 1.

Рис. 1

Дискретизация задачи и ее решение

Разработаем алгоритм численного решения интегрального уравнения. Для удобства будем использовать фигуру канонической формы (при этом на решение уравнения не накладываются дополнительные ограничения). Под фигурой канонической формы мы понимаем фигуру, на которой удобно строить расчетную сетку и которую удобно описывать граничными условиями краевой задачи. В двумерном случае это прямоугольник [3, 4]. Для рассматриваемой задачи каноническая фигура - это прямоугольный параллелепипед.

Рассмотрим фигуру канонической формы, представленную на рис. 2.

Данная фигура является «открытой» и состоит из пустых элементарных прямоугольных параллелепипедов, у которых отсутствуют грани, принадлежащие лицевым (внешним) сторонам фигуры.

Построим на данной фигуре канонической формы расчетную сетку ю. Данная расчетная сетка состоит из элементарных ячеек вида

58

University proceedings. Volga region

№ 3 (31), 2014

Физико-математические науки. Математика

x :kihi < Xi < (ki + i = 1,2,..,N

< y '.kh < Уі < (ki + 1)h2, i = 1,2,..,N >

0

x' ki hi < Xi < (ki + 1)hi, i = 1,2,.., N

< 0

z'kih3 < Zi < (ki + 1)h3, i = 1,2,.., N 0

= У 'kh < Уі < (ki + 1)h2, i = 1,2,..,N > z'kih3 < Zi < (ki + 1)h3, i = 1,2,.., N

где k, - целые числа, h1, h2, h3 > 0 - шаги расчетной сетки по осям Ox, Oy, Oz

соответственно; N - количество элементарных ячеек вдоль координатной оси. Подобные элементарные ячейки будем называть конечными элементами расчетной сетки. Таким образом, размер конечного элемента определяется как

А А

N N *

Вершины элементарных ячеек сетки назовем узлами сетки.

Расчетную сетку, шаги которой h1 = h2 = h3 = const, будем называть равномерной расчетной сеткой.

Далее введем базисные функции ф для аппроксимации решения. Базисные функции определяются на одном или нескольких конечных элементах. Совокупность конечных элементов Wh, на которых определена базисная

функция ф, называется носителем supp ф = ^ Wh .

h

Носители в такой сетке Wh занумерованы следующим образом. Сначала нумеруются ребра носителей, лежащие в плоскости, параллельной оси Ox,

Physical and mathematical sciences. Mathematics

59

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

затем ребра, принадлежащие плоскости, параллельной оси Oy, затем -в плоскости, параллельной оси Oz. Каждому ребру соответствуют шесть типов носителей.

Таким образом, количество ребер в расчетной секте равно 3N  (N —1), а количество носителей в сетке равно 18N  (N — 1), количество типов носителей равно 18.

Совокупность всевозможных типов носителей базисных функций будем называть шаблоном носителей.

В качестве сеточных базисных функций будем использовать функции Rooftop, которые определяются для пар смежных прямоугольных ячеек сетки, разбитой на прямоугольники, как изложено ниже.

Нами используются базисные функции, введенные в статье [5] и представленные на рис. 3. Здесь базисная функция ф = ф1 в П , ф = ф2 в П2, П и П2 прямоугольники ACQA1 и CBB1C1, имеющие общее ребро CQ . Далее ф1 =ф(М1), ф2 =ф(М2), M1 ЄП1, M2 ЄП2 . Функции ф1 и ф2 определяются как ф1 = PM1, PM1 || AC , р є AA1 и ф2 = P2M2 , M2р || CB, р є BBj.

C1

B1

P2

B

Направление в базисных функциях выбрано так, как показано на рис. 4.

Метод Галеркина

Для того чтобы перейти от векторного интегродифференциального уравнения (1) к системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), можно использовать проекционные методы, суть которых заключается в проектировании неизвестного вектора на подпространства, которые из практических соображений будем полагать конечномерными.

В данном случае будем использовать метод Галеркина. Данный метод позволяет аппроксимировать и элементами un єУп, где Vn с V (пространство V определяется задачей). Найдем ип из системы уравнений

/ /

где An - конечномерный оператор, такой что An : Vn ^ Vn , где Vn - антидуальное пространство к Vn . Допустим, что подпространство Vn является ли-

60

University proceedings. Volga region

№ 3 (31), 2014

Физико-математические науки. Математика

нейной оболочкой базисных функций Vn = span^..^n). Представим un в виде линейной комбинации базисных функций:

П

un = 2 Уk фк k=1

и подставим это выражение в формулу (4). В результате получим эквивалентную систему линейных алгебраических уравнений порядка n

n

2 Y к

k=1

относительно неизвестных коэффициентов Yк .

Рис. 4

В общем случае сходимость метода Галеркина можно ожидать только в случае аппроксимации базисных функций, т.е. только тогда, когда подпространства Vn предельно плотны в V :

фЄVn

для всех фє V (произвольный элемент из V может быть аппроксимирован элементами из подпространств Vn с любой точностью в норме V).

Субиерархический метод

Применяя проекционный метод к решаемой задаче, сведем ее к решению СЛАУ, в которой матрица и вектор являются многоиндексными. Каждый элемент этой матрицы получается путем вычисления четырехкратного интеграла вида

Physical and mathematical sciences. Mathematics

61

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

Li, j = { G( x, У) z( x)v( y)ds. Q

Здесь x = (xj,X2,X3), y = (уі,У2,Уз) - мультипеременные, і и j -мультииндексы; G(x, у) - известная функция Грина; z(x),v(у) - базисные и тестовые функции метода Галеркина.

Правая часть матричного уравнения описывает поведение падающего поля [6]:

E0 = (Ee0Q + £фФоУкг,

где Ее, Еф - орты; к = k(sineocosфо, sineosinфо,со8Єо) - волновой вектор; r = (x, у, z); (Єо, фо) - угол падения плоской волны в сферических координатах. Единичные векторы Єо и фо - постоянные векторы, которые соответствуют единичным векторам сферических координат только в точках линии из нуля в направлении к .

Система алгебраических уравнений решается с помощью метода сопряженных градиентов.

Выше описан метод построения решения интегрального уравнения для фигуры канонической формы. На основе субиерархического метода [4, 7] можно решать задачи на фигурах сложной геометрической формы. Пусть фигура G состоит только из внутренних носителей i\...in, тогда ее можно записать следующим образом: G = ^supp фг- . Здесь фг- - базисные функции,

і

определенные на носителе supp фг-. Для задания геометрии фигуры сложной геометрической формы будем использовать вектор геометрии W. Вектор геометрии W вводится таким образом, чтобы его длина была равной количеству носителей, которые могут быть построены на сетке для фигуры канонической формы.

Заполним элементы вектора геометрии W нулевыми или единичными значениями: нуль, если шаблон носителей не определен на новой фигуре G , и единица, если определен:

U1,...,1 U1,...,1 -W1,...,1

U1,...,2 Ui,...,2 -Wi,...,2

U...,q-1,... U...,q-1,... -W...,q-1...

U ...,q,.. U...,q,... -W...,q...

U..,q+1,... U...,q+1,... W...,q+U

v Un,...,n J U -W ^ ^n,...,n rrn,...,n J

W

.q

1, supp f...,q,...

° supp f..,q,... *G.

62

University proceedings. Volga region

№ 3 (31), 2014

Физико-математические науки. Математика

Выбор носителей будем производить так, чтобы ребра, образующие носитель, не являлись пересекающимися и не существовало двух носителей

supp фк , образованных одним ребром, лежащих в попарно одинаковых плоскостях. Выделенная фигура G должна умещаться внутри канонической фигуры, т.е. G еП , и фигура G должна описываться комбинацией носителей. Данную процедуру будем называть выделением фигуры.

При решении СЛАУ методом итерационным каждый раз умножаем матрицу A на вектор B и поэлементно перемножаем полученный вектор U на вектор геометрии W .

В результате решения системы линейных уравнений подобным образом мы получим решение только на интересующей нас фигуре G .

Численные результаты

В качестве примера рассмотрим значения модулей решения интегрального уравнения, полученных на нескольких вырезках из фигуры канонической формы с использованием субиерархического метода.

Размеры фигуры канонической формы составляют ХхХхХ. Волновое число k = 2п . Размер сетки, построенной на фигуре, 32^32x32.

На рис. 6 представлены значения модулей решения на одной из плоскостей фигуры «крест». Значение модулей решения для других плоскостей идентичны с представленной в силу симметрии задачи.

0-2 |2-4  4-6 іб-3  В-10

Рис. 5

Physical and mathematical sciences. Mathematics

63

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

Рис. 6

На рис. 7 представлены значения модулей решения интегрального уравнения на фигуре «уголок».

10-0.02  0.02-0.04  0.04-0.06  0.06-0.03  0.03-0.1 i0.l-0.12 10.12-0.14

Рис. 7

64

University proceedings. Volga region

№ 3 (31), 2014

Физико-математические науки. Математика

На рис. 8 представлены значения модулей решения на одной из плоскостей фигуры «цилиндр». Значение модулей решения для других плоскостей идентичны с представленной в силу симметрии задачи.

0-0.5 *0 5-1  1-1.5  1.5-2

Рис. 8

Список литературы

1. Ильинский, А. С. Дифракция электромагнитных волн на проводящих тонких экранах / А. С. Ильинский, Ю. Г. Смирнов. - М. : Радиотехника, 1996. - 173 с.

2. Колтон, Д. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния / Д. Колтон,

Р. Кресс. - М. : Мир, 1987. - 312 с.

3. Смирнов, Ю. Г. Решение задачи дифракции электромагнитной волны на экранах сложной формы / Ю. Г. Смирнов, М. Ю. Медведик, М. А. Максимова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физикоматематические науки. - 2012. - № 4 (24). - С. 59-72.

4. Медведик, М. Ю. Применение субиерархического метода в задачах электродинамики / М. Ю. Медведик // Вычислительные методы и программирование: новые вычислительные технологии. - 2012. - Т. 13, № 1 (25). - С. 87-97.

Physical and mathematical sciences. Mathematics

65

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

5. Hanninen, I. Singularity subtraction integral formulae for surface integral equations with RWG, rooftop and hybrid basis functions / I. Hanninen, M. Taskinen, and J. Sar-vas // Prog. Electromagn. Res. PIER. - 2006. - Vol. 63. - P. 243-278.

6. Rao, S. M. / S. M. Rao, D. R. Wilton, A. W. Glisson // IEEE Trans. - 1982. - Vol. AP-30, № 5. - P. 409.

7. Медведик, М. Ю. Расчет поверхностных токов в электромагнитной задаче дифракции на экранах сложной геометрической формы / М. Ю. Медведик // Журнал вычислительной математики и математическо физики. - 2013. - Т. 53, № 4. -

С. 615.

References

1. Il'inskiy A. S, Smirnov Yu. G. Difraktsiya elektromagnitnykh voln na provodyashchikh tonkikh ekranakh [Diffraction of electromagnetic waves on conducting thin screens]. Moscow: Radiotekhnika, 1996, 173 p.

2. Kolton D., Kress R. Metody integral'nykh uravneniy v teorii rasseyaniya [Method of integral equations in the diffraction theory]. Moscow: Mir, 1987, 312 p.

3. Smirnov Yu. G., Medvedik M. Yu., Maksimova M. A. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2012, no. 4 (24), pp. 59-72.

4. Medvedik M. Yu. Vychislitel'nye metody i programmirovanie: novye vychislitel'nye tekhnologii [Computational methods and programming: new computing technologies]. 2012, vol. 13, no. 1 (25), pp. 87-97.

5. Hanninen I., Taskinen M. and Sarvas J. Prog. Electromagn. Res. PIER. 2006, vol. 63, pp. 243-278.

6. Rao S. M., Wilton D. R., Glisson A. W. IEEE Trans. 1982, vol. AP-30, no. 5, p. 409.

7. Medvedik M. Yu. Zhurnal vychislitel'noy matematiki i matematichesko fiziki [Journal of calculus mathematics and mathematical physics]. 2013, vol. 53, no. 4, p. 615.

Москалева Марина Александровна аспирант, Пензенский государственный университет

E-mail: m.a.moskaleva1@gmail.com

Moskaleva Marina Aleksandrovna Postgraduate student, Penza State University

УДК 517.3 Москалева, М. А.

Численный метод решения задачи дифракции электромагнитных волн на неплоских экранах сложной формы / М. А. Москалева // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2014. - № 3 (31). - С. 56-66.

66

University proceedings. Volga region