Представление функции вейерштрассаи её производной цепными дробями

УДК 517.524

И.И. Левин, В.В. Селянкин, В.И. Шмойлов

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ВЕЙЕРШТРАССА И ЕЁ ПРОИЗВОДНОЙ

ЦЕПНЫМИ ДРОБЯМИ*

Рассматривается подход к изучению недиффиринцируемых функций, базирующийся на методах теории непрерывных дробей. Установлено, что функция Вейерштрасса в рациональных точках x0 точно представляется конечными цепными дробями. Цепные дроби для функции Вейерштрасса устанавливаются из исходных тригонометрических рядов посредством рекуррентного алгоритма Рутисхаузера. Значения расходящихся рядов находятся построением, так называемых, соответствующих цепных дробей. Этот прием используется при определении производной функции Вейерштрасса, которая может быть записана расходящимся тригонометрическим рядом. Суммированием расходящихся рядов были установлены значения производной функции Вейерштрасса в рациональных точках xa причем, производные определяются конечными цепными дробями, содержащими то же число звеньев, что и цепные дроби, определяющие значения функции Вейерштрасса в тех же точках. При помощи соответствующих цепных дробей найдены значения расходящихся в классическом смысле функций Вейерштрасса. Приводятся результаты численных экспериментов, связанных с изучением свойств функции Вейерштрасса. В частности, показано, что непрерывность функции Вейерштрасса проявляется в чрезвычайно малой окрестности выбранной точки x0. Также установлена зависимость точности вычисления функции Вейерштрасса от числа членов ряда, представляющего эту функцию.

Функция Вейерштрасса; суммирование расходящихся дробей и рядов; производная функции Вейерштрасса.

I.I. Levin, V.V. Selyankin, V.I. Shmoylov

PRESENTATION OF THE WEIERSTRASS FUNCTION AND ITS DERIVATIVE CONTINUED FRACTIONS

It is considered the approach to the study of nondifferentiable functions, based on the methods of thecontinued fractions theory. It was found that the Weierstrass function at rational point x0 accurately represented by terminating continued fractions. Continued fractions for the Weierstrass function are set from the original trigonometric series by means of recursive Rutiskhauzer's algorithm. The values of divergent series are found byconstruction of the so-called corresponding continued fractions. This method is used in determining the derivative of the Weierstrass function, which can be written as divergent trigonometric series. The values of the derivative of the Weierstrass function at rational points x0 was set by the summation of divergent series. Besides the derivatives are determined by terminating continued fractions containing the same number of units as continued fractions, which determine the values of the Weierstrass function at the same points. The values of divergent in classical sense function of the Weierstrass were found by means of corresponding continued fractions. The results of numerical experiments connected with the study of the properties of the Weierstrass function are listed. In particular, it is shown that the continuity of the Weierstrass function is appeared in extremely small neighborhood of the selected point x0. Also, the dependence of the accuracy of calculation of the Weierstrass function on the number of members of the series which represent this function was set.

Weierstrass function; summation of divergent fraction and series; the derivative of Weierstrass function.

Введение. "Негладкий анализ" - интенсивно развивающийся раздел математики, в котором изучаются недифференцируемые функции. Быстрому становлению этого направления способствовали как потребности современной науки, так и

* Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ, НИР №2257 базовой части государственного задания № 2014/174.

возросшие возможности вычислительной техники. Сформировались направления негладкого анализа, такие как недифференцируемая оптимизация, негладкие задачи вариационного исчисления и другие [1]. Одним из перспективных подходов в изучении недифференцируемых функций рассматривается подход, связанный с использованием фрактального анализа [2]. В [3] с помощью средств фрактального анализа изучаются свойства непрерывной недифференцируемой функции, весьма близкой к знаменитой функции Вейерштрасса. В [4-6] был рассмотрен подход к изучению недифференцируемых функций, основные идеи которого связаны с т/ф-алгоритмом, предложенным для суммирования расходящихся непрерывных дробей. Была введена модификация функции Вейерштрасса, названная «функцией Вейерштрасса на интервале», и определены для этой функции т/ф -характеристики.

В работе предлагается несколько необычный приём к изучению свойств функции Вейерштрасса, связанный с построением для рядов, так называемых, соответствующих непрерывных дробей [7]. Следует отметить, что непрерывные или цепные дроби получили в последнее время в вычислительной математике разнообразные применения [8-12]. Одна из важных особенностей цепных дробей - возможность их использования для суммирования расходящихся рядов - степенных и тригонометрических, имеющих чрезвычайно широкое распространение при решении современных научных и технических задач. Суммированием расходящихся тригонометрических рядов, формально представляющих производные функции Вейерштрасса, в рациональных точках получены конечные цепные дроби, значения которых можно рассматривать как значения производной функции Вейерштрасса. Для суммирования расходящихся в классическом смысле непрерывных дробей используется г/ф-алгоритм [13], существенно расширивший область использования непрерывных дробей [14-20].

1. Представление функции вейерштрасса цепными дробями. Функция Вейерштрасса определяется рядом

^(а, Ь, х) = ^ Ъп со^(а"лх),

п=0

где 0 < Ь < 1, а - нечетное натуральное число.

Ряд (1) равномерно сходится в любом интервале, так что функция Вейершт-

, Ъп .

расса всюду непрерывна. К. Вейерштрасс доказал [21], что если аЬ > + 1, то

функция (1) не имеет конечной производной ни при каком значении х.

Функция Вейерштрасса имеет период равный 2. На рис. 1 представлен график функции Вейерштрасса на интервале - 2 < х < 2 при а = 7 и Ь = 0,9.

ж

Рис. 1. График функции Вейерштрасса

В табл. 1 показана точность, достигаемая при вычислении функции Вейер-штрасса с учетом различного числа членов ряда.

Таблица 1

Вычисление функции Вейерштрасса при различном числе членов ряда

Число членов ряда,« Значения отрезка ряда, представляющего функцию Вейерштрасса Погрешность

2 4.2204978923192775586460397420421665166781144024692e-01 1.89e-01

4 8.0189459954066273614274755098801163816884173646915e-02 1.53e-01

8 1.3280176462992915573260042191912460739714187997666e-01 1.00e-01

16 1.8996856973325144189846843158747302278573490702436e-01 4.32e-02

32 2.2517012922955381321127980074052478742166044585789e-01 8.01e-03

64 2.3290175952504074389342519523909093248589396724251e-01 2.75e-04

128 2.3317635499836877544784036173119612917618731038072e-01 3.24e-07

256 2.3317667913321116811724129275538570577751743695572e-01 4.51e-13

512 2.3317667913366174357160353497497570773161651672808e-01 8.71e-25

1024 2.3317667913366174357160440563768875782752013272985e-01 3.25e-48

Рассмотрим характер значений функции Вейерштрасса на экстремально малом интервале Д, а именно, при Д = 10-300. На рис. 2 показан график функции Вейерштрасса с параметрами а = 7; Ь = 0,9 на интервале Д = Ю-3"".

Рис. 2. График значений функции Вейерштрасса на интервале 0,1 +(0,1+10-300), u = 2.3317667913366195134e-01, d= 2.3317667913366137302e-01

Функция Вейерштрасса непрерывна в классическом смысле, так как существует предел lim f (x) = f (a) . Из табл. 2 видно, однако, что значения функции

x^a

Вейерштрасса в точках x0 + Д становятся «близкими» к значению функции Вейерштрасса в точке x0 при чрезвычайно малых значениях Д.

Таблица 2

Значения функции Вейерштрасса w ( 7 ; 0 ,9 ; 0 , 1 + Д ) при различных Д

Значение Д Значение функции Вейерштрасса в точках х0+Д \W(x0)~ W(x0+A)\

10-8 7.03572868503591089731662656211376043098531727582289028119593e-01 4.70e-01

10-16 3.20733180632571301134540019606572188653878229737862341637813e-01 8.76e-02

10-32 2.56180928511730305513974903805138604459611382716200133685240e-01 2.30e-02

10-64 2.33541303271725083375936916633689033437185591321161407388559e-01 3.65e-04

10-128 2.33176322692160345779285021926333847664419161660568200330212e-01 3.56e-07

10-256 2.33176679133625844502873812089507021787307127291212906598672e-01 3.59e-14

10-512 2.33176679133661743571604406042422476731687042776296698327206e-01 4.05e-28

10-1024 2.33176679133661743571604405637688757827520132733104326271496e-01 3.82e-56

В табл. 3 приведены значения функции Вейерштрасса в различных точках х, полученные вычислением ряда (1) при а = 7; Ь = 0,9.

Таблица 3

Значения функции Вейерштрасса, установленные при помощи ряда для различных значений х

Аргументах Значение функции Вейерштрасса

0,1 2.3317667913366174357160440563768875782752013273310е-1

0,2 2.7942194707236565390012070616751679257158708367909е+0

0,3 7.9764426351276869838314991971299265064242055710293е-1

0,4 -2.2057805292763434609987929383248320742841291632091е+0

0,6 2.2057805292763434609987929383248320742841291632090е+0

0,7 -7.9764426351276869838314991971299265064242055710294е-1

0,8 -2.7942194707236565390012070616751679257158708367910е+0

0,9 -2.3317667913366174357160440563768875782752013273311е-1

1,0 -1.0000000000000000000000000000000000000000000000000е1

1,1 -2.3317667913366174357160440563768875782752013273311е-1

Построим по ряду Вейерштрасса, так называемую, соответствующую цепную дробь. В [22] были рассмотрены многочисленные соответствующие непрерывные дроби для элементарных и специальных функций. Соответствующие цепные дроби, как правило, представляют функции в более широкой области, нежели ряды, а также имеют более высокую скорость сходимости. Соответствующие цепные дроби могут быть установлены по степенным рядам, которыми представляются функции. Помимо формул Хейлерманна - Стилтьеса и формул Хлопонина [23], известны рекуррентные алгоритмы для определения коэффициентов соответствующих непрерывных дробей, например, алгоритмы Висковатова, Никипорца, Рутисхаузе-ра. Запишем алгоритм Рутисхаузера [24]и приведем граф этого алгоритма. Определим для ряда:

а0 о + + «1 1 + «12 + ' ' ' + а1п _ ! + • • •

коэффициенты ап0 соответствующей цепной дроби:

, а10 а20 а30 а40 а50 а2П,0 а2П+1,0

с1пп Т

1 1 + 1 — 1 + 1 — ... —

40 1 —

1 + 1

Коэффициенты цепной дроби (3) находятся по рекуррентным формулам

а

а2у =

1у+1

а

1у

аЪу = - а2у+\+а2.

а 4у =

а2у+\ ' аЪу+\

а

Ъу

а5у — азу+1 -а4у+1 + а4у

а2 пу =

а2и-2у+1 " а2и-1у+1

а

2п-1у

а2п + 1,у = а2п - 1,у + 1 —а2п,у + 1 + а2п,у .

Элемент таблицы Рутисхаузера определяется по формулам (4) всего за две операции: при нахождении элемента нечетной строки нужна одна операция сложения и одна операция вычитания, при нахождении элемента четной строки используется одна операция умножения и одна операция деления.

Схема Рутисхаузера, определяемая формулами (4), показана на рис. 3.

Рис. 3. Схема алгоритма Рутисхаузера

Коэффициенты цепной дроби ап0 будем обозначать символом с одним индексом, то есть, положим, ап0 = юя.

Вычислим функцию Вейерштрасса (1) при а = 7; b = 0,9; х0 = 0,1 преобразованием ряда в соответствующую цепную дробь. Разрядность переменных 5000 бит. В табл.4 приведены коэффициенты соответствующей цепной дроби для функции Вейерштрасса .

Таблица 4

Значения коэффициентов цепной дроби, представ-ляющей функцию Вейерштрасса w

Номер звена Значения Значения

дроби, n коэффициентов подходящих

цепной дроби, œn дробей, Pn/Qn

0 0.951056516295 0.951056516295

1 -0.529006727063 0.422049789232

2 1.456230589874 2.110572644331

3 2.012461179749 -0.072964113728

4 0.556230589874 0.233176679133

5 -2,52539е-1202 0.233176679134

Так как , то полученная соответствующая цепная

дробь конечная. Подставляя коэффициенты цепной дроби, приведенные во второй колонке табл. 4, в цепную дробь вида (3), получим конечную цепную дробь, представляющую функцию Вейерштрасса:

w (7 ;0, 9 ;0,1) = 0,9 5 1 05 7- ^^ ^^ M12ÎÉ1 = 0,2 3 3 1 77.

v y 1 — 1 + 1 — 1

В табл. 5 приведены результаты определения значений функции Вейерштрасса через соответствующие цепные дроби, построенные из исходных рядов (1), представляющих функцию Вейерштрасса с параметрами a = 7; b = 0,9 в тех же рациональных точках х, что использовались при вычислении функции Вейершт-расса рядами.

Таблица 5

Значения функции Вейерштрасса, установленные через цепные дроби для

различных значений х

Аргумент, х Значения функции Вейерштрасса Значения конечныхзвеньев цепной дроби Номер конечного звена дроби

0,1 2.3317667913366174357160440563768875782752013273310e-1 -2.525398e-1202 5

0,2 2.7942194707236565390012070616751679257158708367909е+0 -1.134888e-1201 5

0,3 7.9764426351276869838314991971299265064242055710293e-1 2.804776e-1201 5

0,4 -2.2057805292763434609987929383248320742841291632091е+0 9.606652e-1201 5

0,6 2.2057805292763434609987929383248320742841291632090е+0 -1.254503e-1200 5

Из колонки 3 табл. 5 видно, что цепные дроби, представляющие функцию Вейерштрасса в рациональных точках x = 0,1; 0,2;0,3; ... конечны, так как пятые частные числители цепных дробей близки к нулю. Сравнивая вторые колонки 2 табл. 3 и табл. 5можно заключить, что значения функций Вейерштрасса, определенные рядами и цепными дробями, совпадают. Причем, как было установлено выше, для вычисления функции Вейерштрасса w (7 ; 0, 9 ; 0, 1 ) с точностью 45 десятичных знаков требуется 1024 членов ряда, в то время как при "точном" вычислении этой же функции соответствующая цепная дробь имеет всего четыре звена. Очевидна вычислительная эффективность цепных дробей в сравнении с рядами.

Соответствующие цепные дроби для функции Вейерштрасса будут конечными в произвольных рациональных точках х. В колонке 2 табл. 6 даны коэффициенты конечной соответствующей цепной дроби, построенной для функции Вейершт-расса w ( 7 ; 0 , 9 ) в точке х = 0,111.

Таблица 6

Значения коэффициентов цепной дроби, представляющей функцию Вейерштрасса

Номер Значения Значения

звена коэффициентов подходящих

дроби, п цепной дроби, œn дробей, Pn/Qn

0 0.939811951086 0.939811951086

1 -0.688024378281 0.251787572805

2 0.224232938784 0.052916370340

3 4.825758794111 0.224245482975

4 4.357264191278 0.484961931198

5 -0.255710922537 0.958313937066

6 -0.632347972870 0.655206265521

7 -1.259740552426 0.404111153452

8 0.113007377463 0.338717259379

31 -19.071794834810 -0.093790187744

32 -18.717927452156 -0.131787400445

33 0.37484e-9004 -0.131787400445

В табл. 7 приведены результаты определения значений функции Вейершт-расса через соответствующие цепные дроби, построенных из исходных рядов (1) с параметрами а = 7;Ь = 0,9. Переменные х имеют три десятичных разряда: х = 0,111; х = 0,222; х = 0,333; ... .

Таблица 7

Значения функции Вейерштрасса, установленные через цепные дроби при

различных значениях х

Аргумент, х Значения функции Вейерштрасса Значения конечныхзвеньев цепной дроби Номер конечного звена дроби

0,111 -0.13178740044527398465251730720275125621353806388048e0 0.37484e-9004 33

0,222 -0.15305697701945242175597340196125622249561303780315e0 0.10853e-9004 33

0,333 0.12088194190984092396183752849618202289767355036999e1 0.19338e-9005 33

0,444 0.11463808279503072984087704261067381461554953650901e1 0.23072e-9018 17

0,555 0.89346677457495307448235913713774064983326545878941e0 0.32041e-9024 9

0,666 -0.91640911464394759464966790471497918715013956258459e0 -0.18714e-9004 33

0,777 -0.11906659461462151749232755614076083542631789559789e1 -0.66182e-9005 33

0,888 0.10228533583044874671171509840906433675584922794537e0 0.195129e-9017 17

0,999 -0.23351462022290565773815456526942209194487978931051e1 -0.58527e-9005 33

1,111 0.13178740044527398465251730720275125621353806388048e0 -0.48127e-9005 33

Из четвертой колонки табл. 7 видно, что функцию Вейерштрасса в различных точках х представляют конечные цепные дроби.

В табл. 8 помещены значения функции Вейерштрасса ^(7; 09), определенные при помощи ряда (1) в тех же точках х, в которых значения функции устанавливались конечными цепными дробями.

Таблица. 8

Значения функции Вейерштрасса, установленные при помощи ряда для

различных значений х

Аргумент, х Значения функции Вейерштрасса

0,111 -0.13178740044527398465251730720275125621353806388048e0

0,222 -0.15305697701945242175597340196125622249561303780315e0

0,333 0.12088194190984092396183752849618202289767355036999e1

0,444 0.11463808279503072984087704261067381461554953650901e1

0,555 0.89346677457495307448235913713774064983326545878941e0

0,666 -0.91640911464394759464966790471497918715013956258459e0

Сравнивая вторые колонки табл. 7 и табл. 8 можно отметить совпадение с точностью до 50 десятичных разрядов значений функций Вейерштрасса, вычисленные по различным алгоритмам,-при помощи рядов и цепных дробей.

2. Определение производной функции Вейерштрасса цепными дробями.

Зтт

Как уже отмечалось, установлено, что при аЪ > — + 1 функция Вейерштрасса

да

Ь,х) = ^Ьп сов

п=0

не имеет производной в классическом смысле, т.е. не существует предела

] ¡ш /

ПГПд^о ^

ни при каком значении х. 66

Определим производную функции Вейерштрасса из расходящегося ряда, которым производная функции Вейерштрасса может быть представлена:

ад

w '

п=0

Построим для расходящегося ряда (6) с параметрами а = 7; Ь = 0,9; х = 0,1 соответствующую цепную дробь. Была получена конечная цепная дробь, причем, число звеньев этой цепной дроби такое же, как и в случае цепной дроби, построенной по сходящемуся ряду (1), представляющему функцию Вейерштрасса. В табл. 9 приведены значения коэффициентов конечной цепной дроби, найденной для производной функции Вейерштрасса с параметрами а = 7; Ь = 0,9 в точкех =0,1.

Таблица 9

Значения коэффициентов цепной дроби, представляющую производную функции Вейерштрасса в точке х=0,1

Номер Значения Значения

звена коэффициентов подходящих

дроби, п цепной дроби, юп дробей, Рп/Оп

0 -0.970805519363 -0.970805519363

1 -16.012091630793 -16.982897150156

2 2.406385870876 10.414470714125

3 -14.087228258249 -14.495984106989

4 -16.493614129124 0.438947974933

5 1,30211е-1501 0.438947974933

В табл. 10 показаны значения производной функции Вейерштрасса с параметрами а =7; Ь =0,9 в серии рациональных точек:х =0,1; х =0,2; х=0,3;... .

Таблица 10

Значения производной функции Вейерштрасса, установленные через цепные

дроби в различных точках х

Аргумент, х Значения производной функции Вейерштрасса Значения "конечных"звеньев цепных дробей Номер "конечного" звена дроби

0.1 4.3894797493294912660825500663464136289965439960118е-1 1.30211е-1501 5

0.2 4.1722194169037467909295703 8 80070490957108237720457е-1 1.16618е-1501 5

0.3 2.2377039591994958972725203517714116535190307087685е-1 -1.06706е-1501 5

0.4 -3.5933393209219546608880051921507245501679515153942е-1 -5.53924е-1502 5

0.5 -4.3035515802599907376200594291500039509550265744865е-1 -3.39830е-1504 3

0.6 -3.5933393209219546608880051921507245501679515153942е-1 9.51526е-1502 5

0.7 2.2377039591994958972725203517714116535190307087685е-1 2.279132е-1501 5

0.8 4.1722194169037467909295703 8 80070490957108237720457е-1 -4.66134е-1501 5

0.9 4.3894797493294912660825500663464136289965439960118е-1 -1.10445е-1500 5

1.1 -4.3894797493294912660825500663464136289965439960119е-1 1.761655е-1500 5

1.2 -4.1722194169037467909295703880070490957108237720458е-1 8.08202е-1501 5

Найдем цепные дроби для производной функции Вейерштрасса в других рациональных точках. Во второй колонке табл. 11имеются коэффициенты конечной цепной дроби, значение которой определяет производную функции Вейерштрасса с параметрами а = 7; Ь = 0,9 в точке х = 0,111.

Таблица 11

Значения коэффициентов цепной дроби, представляющей производную функции Вейерштрасса в точке х = 0,111

Номер Значения Значения

звена коэффициентов подходящих

дроби, п цепной дроби, Год дробей, Рп/рп

0 -1.073457415941 -1.073457415941

1 -12.759082751230 -13.832540167172

2 -9.593730933009 -2.277856775517

3 -8.134837372902 35.948877318004

4 -5.228667081790 -0.653042714684

5 -2.259478771726 -4.541690470137

28 -4.364340785423 -2.798291065816

29 -44.145082382365 34.970282748019

30 -44.368483683669 -26.636513449076

31 3.633816638510 82.596798624171

32 3.980892708365 0.152651178956

33 -4.25646е-1479 0.152651178956

В табл. 12 приведены значения производной функции Вейерштрасса с параметрами а = 7; Ь = 0,9 в серии рациональных точек: х = 0,111;х = 0,222;х = 0,333; ... .

Таблица 12

Значения производной функции Вейерштрасса, установленные через цепные

дроби в различных точках х

Аргумент, x Значение производной функции Вейерштрасса Значения конечныхзвень-ев цепных дробей Номер конечного звена дроби

0.111 1.5265117895643695651893300367688522926574754014192е-1 -4.25646е-1479 33

0.222 -4.2807511367387880114435151288631239346406015660738е-1 -5.66595е-1479 33

0.333 3.8168174156937645757911787896376217070351479656766е-1 -1.79850е-1478 33

0.444 -5.7206810595214165787580600646832446019812785358066е-1 -3.14017е-1492 17

0.555 4.0675357188496212279603999890764278713237363256503е-1 -3.87306е-1498 9

0.666 -3.5132007233052424871125997731754409216990406442564е-1 -1.11563е-1478 33

0.777 1.9462041188856063108295407652369018827207837280964е-1 -4.23894е-1478 33

0.888 7.8454993784100843004813091816480145881840379645092е-2 -1.75835е-1491 17

0.999 -1.4795282818702000107503819762713296954223265028076е-1 1.29550е-1477 33

1.111 -1.5265117895643695651893300367688522926574754014193е-1 3.67141е-1479 33

Функция Вейерштрасса (1), как известно, определена при Ь < 1.При Ь > 1 ряд (1) - расходящийся. Значения расходящегося ряда (1) при Ь > 1 можно установить через соответствующие цепные дроби.

Определим обобщённую функцию Вейерштрасса Ща, Ь, х) как соответствующую цепную дробь вида (3), построенную для ряда

да

X Ьп со$>

п=0

где |Ь| > 0, а - нечетное натуральное число,

При 0 < Ь < 1 имеем, как частный случай, классическую функцию Вейершт-расса, представленную сходящимся рядом (1), или соответствующей цепной дробью (3), построенной по коэффициентам этого ряда.

Если точка х, в которой определяется значение обобщённой функции Вейер-штрасса, представлена рациональным числом, то соответствующая цепная дробь (3), которая собственно определяет эту функцию, будет конечной, как то имело место при представлении цепной дробью классической функции Вейерштрасса (1).

Во второй колонке табл. 13 помещены коэффициенты цепной дроби, представляющей обобщённую функцию Вейерштрасса с параметрами а = 7; Ь = 1,9 в точке х = 0,1.

Таблица 13

Значения коэффициентов цепной дроби, представляющей обобщённую функцию Вейерштрасса в точке 0,1

Номер Значения Значения

звена коэффициентов подходящих

дроби, п цепной дроби, юп дробей, Pn/Qn

0 0.951056516295 0.951056516295

1 -1.116791979541 -0.165735463060

2 3.074264579213 1.489460339445

3 4.248529157256 -1.744804568807

4 1.174264579351 -0.035951293506

5 0.108462e-1501 -0.035951293506

Четвертая подходящая дробь определяет значение обобщённой функции Вейерштрасса, полученное суммированием расходящегося ряда (7) при а = 7; Ь = 1,9; х = 0,1 через соответствующую цепную дробь, найденную по алгоритму Рутисхаузера, описываемому формулами (4). Производная обобщённой функции Вейерштрасса Ш (7 ; 1 ,9 ) в точке х = 0,1 равна 0.19770373570561. Пятый коэффициент цепной дроби для производной функции Ш(7; 1,9) в точке х = 0,1 равен -0.398e-1501.

В табл. 14 даны коэффициенты соответствующей цепной дроби для функции Ш ( 7 ; 1 , 9 ) в точке х = 0,111. Последняя, тридцать вторая, подходящая дробь, определяет значение обобщённой функции Вейерштрасса Ш ( 7 ; 1 , 9 ) в точке х = 0,111.

Таблица 14

Значения коэффициентов цепной дроби, представляющей обобщённую функцию Вейерштрасса в точке х=0,111

Номер Значения Значения

звена коэффициентов подходящих

дроби, п цепной дроби, ю дробей, Pn/Qn

0 0.939811951086 0.939811951086

1 -1.452495912658 -0.512683958618

2 0.473380648575 -1.818339464525

3 10.187713011258 -0.576858135091

4 9.198668848963 0.447646380374

5 -0.539834169878 69.213058376730

28 6.351799878789 -0.249475671627

29 -0.725494238896 -7.407455641224

30 -0.034855245524 -8.850496019138

31 -40.262677968236 -7.376998634760

32 -39.515624614879 0.027178664886

33 0.71063e-1480 0.027178664886

Значение производной обобщённой функции Вейерштрасса с параметрами a = 7; b = 1,9 в точке x = 0,111 равно 0.08297651645874. Пятый коэффициент конечной цепной дроби, представляющий производную обобщённой функции Вейерштрасса w( 7 ; 1 , 9 ) в точке x = 0,111, равен -0.651e-1478.

Заключение. В настоящее время значительно расширяются области применения негладких функций при математическом моделировании реальных процессов, что вызывает закономерный интерес специалистов к созданию математического аппарата для работы с недифференцируемыми в классическом смысле функциями.

В работе показано, что цепные дроби могут эффективно применяться в негладком анализе для решения различных практических задач оптимизации и управления. Предложенный метод позволяет установить значения производной функции Вейерштрасса в рациональных точках в результате суммирования расходящихся рядов построением, так называемых, соответствующих дробей. Этот метод можно использовать также при изучении других быстро осциллирующих функций, которые не имеют производных в классическом смысле. Представляет интерес также изучение обобщённой функции Вейерштрасса, полученной преобразованием в соответствующие цепные дроби расходящихся рядов Вейерштрасса.

Перспективным подходом к изучению быстро осциллирующих функций является метод, связанный с r/ф-алгоритмом, получившем, как уже отмечалось выше, разнообразные применения в вычислительной математике. Этот алгоритм дает возможность установить комплексные значения расходящихся в классическом смысле цепных дробей, имеющих вещественные звенья. Следует особо подчеркнуть, что именно r/ф-алгоритм позволяет подойти к изучению производных быстро осциллирующих функций с принципиально новых позиций.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Демьянов В. Ф. Рубинов А.М. Основы негладкого анализа и квазидифференциальное исчисление. - М.: Наука, 1990. - 431 с.

2. Потапов А.А. Колебания, волны, структуры и системы на примерах глобального фрак-тально-скейлингового метода // Нелинейный мир. - 2014. - Т. 12, № 4. - С. 3-34.

3. Ерофеева Л.Н. Фрактальная размерность недифференцированных функций // Труды Нижегородского государственного технического университета. - 2011. - № 3 (90). - С. 353-357.

4. Левин И.И., Хисамутдинов М.В., Шмойлов В.И. Функция Вейерштрасса и r/ф-характеристики // Известия ЮФУ. Технические науки. - 2014. - № 1 (150). - С. 144-158.

5. Шмойлов В.И., Хисамутдинов М.В., Кириченко Г.А. Интервальные и предельные r/ф-характеристики функции Вейерштрасса // Вестник НИЯУ МИФИ. - 2014. - Т. 3, № 3.

- С. 301-310.

6. Хисамутдинов М.В., Шмойлов В.И. Предельные r/ф-характеристики функции Вейерштрасса // Нелинейный мир. - 2015. - Т. 13, № 3. - С. 39-52.

7. Джоунс У., Трон В. Непрерывные дроби. Аналитическая теория и приложения: пер. с англ. - М.: Мир, 1985. - 414 с.

8. Скоробогатько В.Я. Теория ветвящихся цепных дробей и ее применение в вычислительной математике. - М.: Наука, 1983. - 312 с.

9. Cuyt A., Petersen V., Verdonk B., Waadeland H., Jones W. Handbook of Continued Fractions for Special Functions. - Springer Science, 2008. - 431 p.

10. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби. В 3-х т. Т. 1. Периодические непрерывные дроби.

- Львов, 2004. - 645 с.

11. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби. В 3-х т. Т. 2. Расходящиеся непрерывные дроби.

- Львов, 2004. - 558 с.

12. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби. В 3-х т. Т. 3. Из истории непрерывных дробей.

- Львов, 2004. - 520 с.

13. Шмойлов В.И. Периодические цепные дроби. - Львов: Академический экспресс, 1998.

- 219 с.

14. Шмойлов В.И., Слобода З.И. Расходящиеся непрерывные дроби. - Львов, 1999. - 820 с.

15. ШмойловВ.И., Чирун Л.В. Непрерывные дроби и комплексные числа. - Львов, 2001. - 564 с.

16. Гузик В.Ф., Ляпунцова Е.В., Шмойлов В.И. Непрерывные дроби и их применение. - М.: Физматлит, 2015. - 298 с.

17. Шмойлов В.И. Расходящиеся системы линейных алгебраических уравнений. - Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2010. - 205 с.

18. Шмойлов В.И., Коваленко В.Б. Некоторые применения алгоритма суммирования расходящихся непрерывных дробей // Вестник Южного научного центра РАН. - 2012. - Т. 8, № 4. - С. 3-13.

19. Кириченко Г.А., Шмойлов В.И. Алгоритм суммирования расходящихся непрерывных дробей и некоторые его применения // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2015. - Т. 55, № 4. - С. 558-573.

20. Селянкин В.В., Шмойлов В.И. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом суммирования расходящихся рядов // Известия ЮФУ. Технические науки.

- 2015. - № 6 (167). - С. 82-94.

21. Weierstrass K. Math. Werke. Bd.2. Berlin 1895. Abh.6.

22. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби и r/^-алгоритм. - Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2012.

- 608 с.

23. Шмойлов В.И., Редин А.А., Никулин Н.А. Непрерывные дроби. Lap Lambert Academic Publishing. - Saarbruken, Germany, 2015. - 336 с.

24. Рутисхаузер Г. Алгоритм частных и разностей. - М.: ИИЛ, 1960. - 93 с.

REFERENCES

1. Dem'yanov V.F. Rubinov A.M. Osnovy negladkogo analiza i kvazidifferentsial'noe ischislenie [The foundations of nonsmooth analysis and quasidifferential calculus]. Moscow: Nauka, 1990, 431 p.

2. Potapov A.A. Kolebaniya, volny, struktury i sistemy na primerakh global'nogo fraktal'no-skeylingovogo metoda [Oscillations, waves, structures and systems on the examples of global fractal-scaling method], Nelineynyy mir [Nonlinear World], 2014, Vol. 12, No. 4, pp. 3-34.

3. Erofeeva L.N. Fraktal'naya razmernost' nedifferentsirovannykh funktsiy [Fractal dimension of undifferentiated functions], Trudy Nizhegorodskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta [Proceedings of Nizhny Novgorod state technical University], 2011, No. 3 (90), pp. 353-357.

4. Levin I.I., Khisamutdinov M.V., Shmoylov V.I. Funktsiya Veyershtrassa i г/ф-kharakteristiki [The weierstrass function and R/ф -features], Izvestiya YuFU. Tekhnicheskie nauki [Izvestiya SFedU. Engineering Sciences], 2014, No. 1 (150), pp. 144-158.

5. Shmoylov V.I., Khisamutdinov M.V., Kirichenko G.A. Interval'nye i predel'nye r/ф-kharakteristiki funktsii Veyershtrassa [Interval and the limit r^-features of Weierstrass functions], Vestnik NIYaUMIFI [Vestnik natsional'nogo issledovatel'skogo yadernogo universiteta "MM"], 2014, Vol. 3, No. 3, pp. 301-310.

6. Khisamutdinov M.V., Shmoylov V.I. Predel'nye г/ф-kharakteristiki funktsii Veyershtrassa [Ultimate r^-features of Weierstrass functions], Nelineynyy mir [Nonlinear World], 2015, Vol. 13, No. 3, pp. 39-52.

7. Dzhouns U., Tron V. Nepreryvnye drobi. Analiticheskaya teoriya i prilozheniya: per. s angl [Continuous fractions. Analytic theory and applications: translation from English]. Moscow: Mir, 1985, 414 p.

8. Skorobogat'ko V.Ya. Teoriya vetvyashchikhsya tsepnykh drobey i ee primenenie v vychislitel'noy matematike [The theory of chain branching fractions and its application in computational mathematics]. Moscow: Nauka, 1983, 312 p.

9. Cuyt A., Petersen V., Verdonk B., Waadeland H., Jones W. Handbook of Continued Fractions for Special Functions. Springer Science, 2008, 431 p.

10. Shmoylov V.I. Nepreryvnye drobi [Continuous fractions]. In 3 vol. Vol. 1. Periodicheskie nepreryvnye drobi [Periodic continued fractions]. L'vov, 2004, 645 p.

11. Shmoylov V.I. Nepreryvnye drobi [Continuous fractions]. In 3 vol. Vol. 2. Raskhodyashchiesya nepreryvnye drobi [Divergent continued fraction]. L'vov, 2004, 558 p.

12. Shmoylov V.I. Nepreryvnye drobi [Continuous fractions]. In 3 vol. Vol. 3. Iz istorii nepreryvnykh drobey [From the history of continued fractions]. L'vov, 2004, 520 p.

13. Shmoylov V.I. Periodicheskie tsepnye drobi [Periodic continued fractions]. L'vov: Akademicheskiy ekspress, 1998, 219 p.

14. Shmoylov V.I., Sloboda Z.I. Raskhodyashchiesya nepreryvnye drobi [Divergent continued fraction]. L'vov, 1999, 820 p.

15. Shmoylov V.I., Chirun L.V. Nepreryvnye drobi i kompleksnye chisla [Continued fractions and complex numbers]. L'vov, 2001, 564 p.

16. Guzik V.F., Lyapuntsova E.V., Shmoylov V.I. Nepreryvnye drobi i ikh primenenie [Continued fractions and their application]. Moscow: Fizmatlit, 2015, 298 p.

17. Shmoylov V.I. Raskhodyashchiesya sistemy lineynykh algebraicheskikh uravneniy [Divergent systems of linear algebraic equations]. Taganrog: Izd-vo TTI YuFU, 2010, 205 p.

18. Shmoylov V.I., Kovalenko V.B. Nekotorye primeneniya algoritma summirovaniya raskhodyashchikhsya nepreryvnykh drobey [Some applications of the algorithm of summation of divergent continued fractions], Vestnik Yuzhnogo nauchnogo tsentra RAN [Bulletin of the southern scientific center of RAS], 2012, Vol. 8, No. 4, pp. 3-13.

19. Kirichenko G.A., Shmoylov V.I. Algoritm summirovaniya raskhodyashchikhsya nepreryvnykh drobey i nekotorye ego primeneniya [The algorithm of summation of divergent continued fractions and some applications], Zhurnal vychislitel'noy matematiki i matematicheskoy fiziki [Computational Mathematics and Mathematical Physics], 2015, Vol. 55, No. 4, pp. 558-573.

20. Selyankin V.V., Shmoylov V.I. Reshenie sistem lineynykh algebraicheskikh uravneniy metodom summirovaniya raskhodyashchikhsya ryadov [Solution of systems of linear algebraic equations by the method of summation of divergent series], Izvestiya YuFU. Tekhnicheskie nauki [Izvestiya SFedU. Engineering Sciences], 2015, No. 6 (167), pp. 82-94.

21. Weierstrass K. Math. Werke. Bd.2. Berlin 1895. Abh.6.

22. Shmoylov V.I. Nepreryvnye drobi i r/^-algoritm [Continued fractions and r^-algorithm]. Taganrog: Izd-vo TTI YuFU, 2012, 608 p.

23. Shmoylov V.I., Redin A.A., Nikulin N.A. Nepreryvnye drobi [Continued fraction]. Lap Lambert Academic Publishing. Saarbruken, Germany, 2015, 336 p.

24. Rutiskhauzer G. Algoritm chastnykh i raznostey [The algorithm private and differences]. Moscow: IIL, 1960, 93 p.

Статью рекомендовал к опубликованию д.т.н., профессор Н.И. Витиска.

Левин Илья Израилевич - Научно-исследовательский институт многопроцессорных вычислительных систем им. А.В. Каляева (НИИ МВС); e-mail: levin@mvs.tsure.ru; 347922, г. Таганрог, ул. Чехова, 2; тел.: 88634319092; д.т.н.; профессор; зав. отделом.

Шмойлов Владимир Ильич - 347902, г. Таганрог, ул. Свободы, 27-6, кв. 6; тел.: 89185987073; научный сотрудник.

Селянкин Владимир Васильевич - Южный федеральный университет; e-mail: selyankin@tgn.sfedu.ru; 347902, г. Таганрог, ул. Свободы, 24-2, кв. 1; тел.: 89043460540; кафедра МОП ЭВМ; к.т.н.; с.н.с.; доцент.

Levin Il'ya Izrailevich - Academician A.V. Kalyaev SRI multiprocessor computer system at Southern Federal University; e-mail: levin@mvs.tsure.ru; 2, Chekhov street, Taganrog, 347922, Russia; phone: +78634319092; dr. of eng. sc.; processor; head of department.

Shmoylov Vladimir Il'ich - 27-6, Svoboda street, ap. 6, Taganrog, 347902, Russia; phone: +79185987073; research assistant.

Selyankin Vladimir Vasil'evich - Southern Federal University; e-mail: selyankin@tgn.sfedu.ru; 24-2, Svoboda street, ap. 1, Taganrog, 347902, Russia; phone: +79043460540; the department of software engineering; cand. of eng. sc.; senior research; associate professor.