Метод разбиения функции на отдельные уравнения при построении графиков многозначных линейных функций, содержащих знак модуля

Ахметова Ф. Х., Головина А. М. Метод разбиения функции на отдельные уравнения при построении графиков многозначных линейных функций, содержащих знак модуля // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2018. - № V9. - 0,4 п. л. - URL http://e-kon-cept.ru/2018/186090.htm.

ДРТ 186090 УДК 378.147

Ахметова Фания Харисовна,

кандидат физико-математических наук, доцент ФГБОУ ВО «Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана», г. Москва dobrich2@mail.ru

Головина Анастасия Михайловна,

кандидат физико-математических наук, доцент ФГБОУ ВО «Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана», г. Москва nastya gm@mail.ru

Метод разбиения функции на отдельные уравнения при построении графиков многозначных линейных функций, содержащих знак модуля

Аннотация. Свободное владение техникой построения графиков часто помогает решать сложные задачи, а порой является единственным средством их решения. В статье предложен один из методов построения графиков многозначных линейных функций, содержащих знак модуля, а именно метод разбиения функции на отдельные уравнения. Приведены краткие теоретические сведения в области функциональной зависимости многозначных функций. Продемонстрированы практические приемы построения графиков различного уровня сложности методом разбиения функции на отдельные уравнения. Цель работы - систематизировать и углубить знания обучающихся, дать алгоритм построения графиков многозначных функций методами и приемами, выходящими за пределы школьного учебника математики. Содержание статьи будет полезно студентам, а также преподавателям первого курса.

Ключевые слова: однозначные и многозначные функции, модуль, метод разбиения функции на отдельные уравнения, график функции. Раздел: (01) отдельные вопросы сферы образования.

Во многих случаях, особенно при решении комплексных задач, наилучшим способом является графическое решение. Его главное преимущество - наглядность и простота восприятия представляемой информации.

Ранее в статьях [1, 2] была изложена методика построения графиков линейных однозначных функций, содержащих знак модуля. В этих работах нами были рассмотрены общие методы построения графиков некоторых лишь однозначных функциональных зависимостей. Напомним, что функциональная зависимость у = /(х) называется однозначной, если каждому значению аргумента х соответствует единственное значение зависимой переменной у .

Тем не менее на практике часто приходится сталкиваться с такими зависимостями, в которых каждому значению независимой переменной х может соответствовать несколько значений переменной у. Напомним определение неоднозначной (многозначной) функции, введённое ранее в [3, 4].

Определение. Многозначной функцией называется закон (соответствие или правило) /, по которому хотя бы одному элементу х из множества X ставится в соответствие более одного значения у из множества У.

Геометрическое место точек (далее - ГМТ), удовлетворяющих аналитическому заданию многозначной функциональной зависимости, называется её графиком.

Определение. ГМТ, удовлетворяющих какому-либо свойству, называется множество, в которое входят все те и только те точки, которые удовлетворяют этому свойству.

ISSN 2304-120Х

ниепт

научно-методический электронный журнал

ниегп

15Б1\12зо4-12ох Ахметова Ф. Х, Головина А. М. Метод разбиения функции на отдельные уравнения при построении графиков многозначных линейных функций, содержащих знак модуля // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2018. - № V9. - 0,4 п. л. - URL http://e-kon-cept.ru/2018/186090.htm.

научно-методический электронный журнал

При решении практических задач довольно часто приходится сталкиваться с необходимостью представления результатов решения какой-либо сложной задачи или некоторого научного исследования в удобном для восприятия человека виде. На сегодняшний день существует множество путей достижения этой цели. В работах [5, 6] были разобраны некоторые методы и приемы построения графиков функций, содержащих знак модуля. Разберем еще один из методов исследования таких функций.

Метод разбиения функции на отдельные уравнения

Продемонстрируем практические приемы построения графиков функций различного уровня сложности методом разбиения многозначной функции на отдельные уравнения.

На практике часто встречаются выражения вида | /(х, у)|= а , где а > 0 - некоторая константа. Хорошо известно, что данное выражение можно представить в виде:

| /(х у) = a, V(х у) = -а

Таким образом, построение графика функции | /(х,у) |= а сводится к построению графиков двух функций /(х,у) = а и /(х, у) = -а. Рассмотрим примеры построения графиков с использованием метода разбиения подобных функций на отдельные уравнения.

Пример 1. Построить ГМТ, удовлетворяющих уравнению || х-11 -1 у + 2||= 1.

Перейдем от системы координат ХОУ к системе координатхр1У1, сдвинув ось абсцисс на две единицы вниз, а ось ординат на одну единицу вправо. Таким образом, начало О новой системы координат Ххоух имеет координаты (1,-2).

В новой системе координат Ххоух построим график функции || х | -1 у ||= 1. Заметим, что функция, стоящая в левой части последнего выражения, является четной по обеим переменным (и по х, и по у1). Поэтому достаточно провести построение при х > 0, у > 0 , где уравнение имеет вид | х - у |= 1. А далее полученный график отразим относительно обеих координатных осей и начала координат.

Итак, уравнение | х - у |= 1 эквивалентно двум уравнениям:

| х1 - у = 1 | х1 - у1 =-1.

Строим график каждого из этих уравнений при х > 0, у > 0 . Первое уравнение после элементарных преобразований примет вид у = х -1, а второе - у = х +1.

Строим полученные прямые, а потом отражаем эти прямые относительно обеих осей координат.

Результат построения показан ниже на рис. 1. В итоге получаем, что ГМТ, удовлетворяющих уравнению || х-1| -1 у + 2||= 1, является крест, который образуется при

пересечении двух пар параллельных прямых. Центр креста - это точка О (1,-2).

Замечание 1. При построении графиков функций вида /(| х |,| у |) = а удобно пользоваться симметричностью относительно обеих координатных осей (что мы и сделали).

ISSN 2304-120X

ниепт

научно-методический электронный журнал

Ахметова Ф. Х., Головина А. М. Метод разбиения функции на отдельные уравнения при построении графиков многозначных линейных функций, содержащих знак модуля // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2018. - № V9. - 0,4 п. л. - URL: http://e-kon-cept.ru/2018/186090.htm.

Рис. 1. ГМТ, удовлетворяющих уравнению || х-11 -1 у + 21|= 1

Усложним задачу, рассмотрим функцию, содержащую общий модуль от трех слагаемых.

Пример 2. Изобразить ГМТ, удовлетворяющих уравнению

Вновь сначала перейдем от обычной прямоугольной декартовой системы координат ХОУ к новой системе координат Хру, перенеся ось Ох на единицу вниз, а ось Оу - на две единицы вправо. Таким образом, начало новой системы координат ХОУ - точка О - имеет координаты (2,-1).

В системе координат ХхОу построим график функции || х | +1 у | -31= 1. Для построения последнего графика вновь воспользуемся двойной симметричностью относительно координатных осей. Построим график данной функции только при х > 0, у > 0 , а затем отразим построенный график относительно обеих координатных осей.

Итак, при х > 0, у > 0 уравнение || х | +1 у | -31= 1 примет вид | х + у - 31= 1.

Затем построим графики функций х + ^ -3 = ±1. Таким образом, получаем кусочную функцию:

Ух ='

- x + 4,

- x + 2.

Строим график этой функции. Затем отражаем построенный график относительно координатных осей О Х и О У .

Результат построения показан ниже на рис. 2.

В итоге ГМТ, удовлетворяющих уравнению || х- 2| +1 у +1| -3|= 1, являются два квадрата с центрами в точке О (2,-1).

Замечание 2. Построить ГМТ функции || х - 2| +1 у +1| -3|= 1 можно было и не используя метод разбиения функции на отдельные уравнения, а именно поступить следующим образом:

- перейти к новой системе координат ХОУ и к уравнению | х + у - 31= 1;

- построить графики функций х + у - 3 = ±1;

- отразить эти графики относительно обеих осей координат ОхХх и оу.

ББГ»! 2Э04-120Х

ниепт

научно-методический электронный >курнал

Ахметова Ф. Х., Головина А. М. Метод разбиения функции на отдельные уравнения при построении графиков многозначных линейных функций, содержащих знак модуля // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2018. - № V9. - 0,4 п. л. - URL http://e-kon-cept.ru/2018/186090.htm.

-2

-3

1 \у

\ X

\

/

\ /

\

У\ = + 4

отражение У\ = + 4 относительно оси ординат отражение " у\ = -хх+ 4 относительно оси абсцисс - у1 = -х1 + 2.

отражение У1 = -хЛ + 2. относительно оси ординат

отражение уу = -х1 + 2, относительно оси абсцисс

-2 -1 О -I

Рис. 2. ГМТ, удовлетворяющих уравнению || х - 21 + | у +11 -3|= 1

Как видим, существует множество путей достижения цели.

Итак, можно сказать, что предложенный в статье метод разбиения многозначной функции, содержащей знак модуля, на отдельные уравнения при построении графиков позволяет достаточно быстро сформировать навыки исследования функций. Наглядно видна эффективность и простота построения графиков на примере указанного метода.

Подводя итог, еще раз сформулируем основные положения и этапы исследования многозначной функции | /(х,у)|= а, которую разбиваем на два уравнения и сводим к построению графиков двух функций /(х, у) = а и /(х,у) = -а:

- сначала переходим от обычной прямоугольной декартовой системы координат ХОУ к новой системе координат Х1Оу;

О X О У

определяем начало О1 новой системы координат ХО1У;

- проводим построение при Х1 - 0 , У1 - 0 ;

- полученный график отражаем относительно обеих координатных осей

ОхХ 1

ОУ

и начала координат;

- определяем результирующий график функции.

Овладение методом разбиения на отдельные уравнения при исследовании многозначных функций будет полезным при выполнении целого спектра задач.

Более того, геометрическая интерпретация удобна и доступна для понимания некоторых алгебраических задач, которые перестают быть абстрактными и отвлеченными. Основным преимуществом графического решения задачи исследования функции является наглядность и простота восприятия представляемой информации.

Работа основана на личном опыте авторов преподавания дисциплины «Математический анализ» и ориентирована на студентов первого курса. Структурированная форма представления материала позволит сформировать у студента необходимые компетенции. Содержание статьи будет полезным преподавателям и студентам при подготовке к занятиям.

ISSN 2304-120X

ниепт

научно-методический электронный журнал

Ахметова Ф. Х., Головина А. М. Метод разбиения функции на отдельные уравнения при построении графиков многозначных линейных функций, содержащих знак модуля // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2018. - № V9. - 0,4 п. л. - URL: http://e-kon-cept.ru/2018/186090.htm.

Ссылки на источники

1. Ахметова Ф. Х., Головина А. М. Методика построения графиков линейных функций, содержащих знак модуля // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2017. - № 5 (май). - С. 159— 170. - URL: http://e-koncept.ru/2017/170117.htm.

Ахметова Ф. Х., Головина А. М. Линейная комбинация функций, содержащих знак модуля и методика построения их графиков // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2017. - № V6. - С. 49-54. - URL: http://e-koncept.ru/2017/170138.htm.

Ахметова Ф. Х., Головина А. М. Методика построения графиков линейных функций ... Ахметова Ф. Х., Головина А. М. Линейная комбинация функций ... Ахметова Ф. Х., Головина А. М. Методика построения графиков линейных функций ... Ахметова Ф. Х., Головина А. М. Линейная комбинация функций ...

2.

Faniya Akhmetova,

Candidate of Physical-Mathematical Sciences, Associate Professor, Moscow State Technical University named after N. E. Bauman, Moscow dobrich2@mail.ru Anastasiya Golovina,

Candidate of Physical-Mathematical Sciences, Associate Professor, Moscow State Technical University named after N. E. Bauman, Moscow nastya gm@mail.ru

The method of partitioning a function into separate equations when constructing curves of multivalued linear functions containing the modulus sign

Abstract. Free knowledge of charting techniques often helps to solve complex problems, and sometimes is the only way to solve them. In the article, the authors propose one of the methods for constructing curves of multivalued linear functions containing the modulus sign, namely, the method of splitting a function into separate equations. Brief theoretical information is given in the field of the functional dependence of multivalued functions. Practical methods of constructing curves of various complexity levels by the method of splitting a function into individual equations are demonstrated. The aim of the work is to systematize and deepen the knowledge of students, to give an algorithm for constructing curves of multivalued functions by methods and techniques that go beyond the school textbook of mathematics. The content of the article will be useful for students, as well as for teachers working with first-year students.

Key words: single-valued and multivalued functions, modulus, method of partitioning a function into separate

equations, function curve.

References

1. Ahmetova, F. H. & Golovina, A. M. (2017). "Metodika postroenija grafikov linejnyh funkcij, soderzhashhih znak modulja", Nauchno-metodicheskijjelektronnyj zhurnal "Koncept", № 5 (maj), pp. 159-170. Available at: http://e-koncept.ru/2017/170117.htm (in Russian).

2. Ahmetova, F. H. & Golovina, A. M. (2017). "Linejnaja kombinacija funkcij, soderzhashhih znak modulja i metodika postroenija ih grafikov", Nauchno-metodicheskij jelektronnyj zhurnal "Koncept", № V6, pp. 4954. Available at: http://e-koncept.ru/2017/170138.htm (in Russian).

3. Ahmetova, F. H. & Golovina, A. M. (2017). "Metodika postroenija grafikov linejnyh funkcij, soderzhashhih znak modulja".

4. Ahmetova, F. H. & Golovina, A. M. (2017). "Linejnaja kombinacija funkcij, soderzhashhih znak modulja i metodika postroenija ih grafikov"Ahmetova, F. H. & Golovina, A. M. (2017). "Metodika postroenija grafikov linejnyh funkcij, soderzhashhih znak modulja".

5. Ahmetova, F. H. & Golovina, A. M. (2017). "Linejnaja kombinacija funkcij, soderzhashhih znak modulja i metodika postroenija ih grafikov".

Рекомендовано к публикации:

Горевым П. М., кандидатом педагогических наук, главным редактором журнала «Концепт»

Поступила в редакцию Received 26.06.18 Получена положительная рецензия Received a positive review 30.07.18

Принята к публикации Accepted for publication 30.07.18 Опубликована Published 30.09.18

www.e-koncept.ru

Creative Commons Attribution 4.0 International (CC BY 4.0) © Концепт, научно-методический электронный журнал, 2018 © Ахметова Ф. Х., Головина А. М., 2018

9772304120180