КРАТНЫЕ РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ С НЕРАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ

УДК 517.44

DOI 10.21685/2072-3040-2020-2-3

О. Э. Яремко, Н. Н. Яремко, Е. С. Могилева

КРАТНЫЕ РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ С НЕРАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ

Аннотация.

Актуальность и цели. Интегральные преобразования функций нескольких переменных - активно развивающееся направление математического анализа. Многочисленные применения метода интегральных преобразований для решения уравнений математической физики при обработке сигналов в технике требуют совершенствования теоретического аппарата интегральных преобразований. В статье предлагается отступить от концепции симметричных интегральных преобразований, т.е. таких, в которых обратное преобразование имеет эрмитово сопряженное ядро к ядру прямого преобразования. В статье найдено разложение функции двух переменных для интеграла Фурье с группировкой гармоник по спектрам на концентрических окружностях. Аналогичная идея реализована в статье для теории кратных рядов Фурье, когда частоты гармоник группируются по границе квадрата или ромба.

Материалы и методы. Представлен вывод интегральных преобразований с неразделенными переменными на основе теоремы разложения. При этом вычисление интегралов по спектральным параметрам осуществляется переходом к полярной системе координат или к ее обобщению. В таком случае интеграл по многообразию размерности (n - 1) удается вычислить аналитически. Таким образом, в формуле обращения остается один интеграл по полярной оси.

Результаты. Сконструированы формулы обращения кратного интеграла Фурье. Их особенность состоит в том, что интегрирование ведется по полярной оси, тогда как в классической формуле обращения интегрирование ведется по многообразию размерности n. Аналогично, в теории кратных рядов Фурье получено разложение в ряд, в котором гармоники сгруппированы определенным образом и затем просуммированы в замкнутом виде. В статье предложены различные способы группировки гармонических компонент кратного ряда Фурье, что позволило получить новые формулы обращения.

Выводы. Доказаны новые формулы обращения кратного ряда Фурье и кратного интеграла Фурье; эти формулы могут быть использованы при выводе дискретных аналогов кратных интегралов Фурье с целью их применения при обработке 2D- и 3D-сигналов.

Ключевые слова: кратные интегралы Фурье, кратные ряды Фурье, формула разложения.

O. E. Yaremko, N. N. Yaremko, E. S. Mogileva

MULTIPLE FOURIER SERIES AND FOURIER INTEGRALS WITH NON-SEPARABLE VARIABLES

© Яремко О. Э., Яремко Н. Н., Могилева Е. С., 2020. Данная статья доступна по условиям всемирной лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/), которая дает разрешение на неограниченное использование, копирование на любые носители при условии указания авторства, источника и ссылки на лицензию Creative Commons, а также изменений, если таковые имеют место.

Abstract.

Background. Integral transforms for functions of several variables are an actively developing area of mathematical analysis. Numerous applications in integral transforms method for solving equations of mathematical physics, in signal processing of engineering require improvement of the theoretical apparatus of integral transforms. The article proposes to depart from the concept of symmetric integral transforms, the inverse transform of which has a Hermitian conjugate kernel to the kernel of the direct transform. In this paper, we find a decomposition of a function of two variables for the Fourier integral with a grouping of harmonics by spectra on concentric circles. A similar idea is implemented in the article for the theory of multiple Fourier series, when the harmonic frequencies are grouped along the border of a square or rhombus.

Materials and methods. The paper presents the proof of integral transforms with non-separable variables based on the decomposition theorem. In this case, the calculation of integrals with respect to spectral parameters is carried out by carried out to the polar coordinate system or to its generalization. In this case, the integral of (n - 1)-dimension can be calculated analytically and it leaves one integral on the polar axis in the reversal formula.

Results. Formulas for inversion of the multiple Fourier integral are constructed. Their peculiarity is that integration is carried out along the polar axis, whereas in the classical inversion formula integration is carried out along n- dimensions manifold. Similarly, in the theory of multiple Fourier series, a series expansion is obtained in harmonics are grouped in a certain way and then summed in a closed form. The article suggests various ways of grouping the harmonic components of a multiple Fourier series, which allowed us to obtain new formulas for inversion.

Conclusions. New inversion formulas for the multiple Fourier series and the multiple Fourier integrals are proved. These formulas can be used in the obtaining of discrete analogs of multiple Fourier integrals for the purpose of their application in the processing of 2D- and 3D-signals.

Keywords: multiple Fourier integrals, multiple Fourier series, decomposition formula.

Введение

Для функции двух переменных z = f (x,y) c областью определения

2

R справедлива формула разложения

f (xi'x2) =4П2 í í

eikixi x

—^ —^

xeik2 x2

4П

f ^ ^ ^ í í e"^1 e~ik¿2 f (b^ )¿«2

—^ —^

dkidk2.

На основании формулы разложения (1) можно определить прямое преобразование Фурье по формулам: - прямое:

Ф

—^ —^

- обратное:

те те

f

4п2 J J

—те —те

Обоснование формул можно найти в современных обзорах по кратным интегралам и рядам Фурье [1-3]. Многочисленные применения интегралов и рядов Фурье находим в [4, 5].

1. Разложение функции двух переменных с группировкой гармоник по спектрам на концентрических окружностях

Перейдем к полярной системе координат в формуле разложения (1):

ki = rcosф,k2 = rsinф,r е [0,те),фе [—п,п]. Рассмотрим правую часть формулы (1):

^ те те ^

— f [eikixi eik2 x2 J2 JJ

4П2 tf

J J e"ik1^1 e"^2 f ((i,(2)d(id(2

dkidk2.

Перейдем к полярной системе координат dkidk2 = rdrdф . Значит,

^ те те ^

JJ eikixi eik2x2

4П2 Д+.

J J e"iki(ie~ik2(2 f ((i,(2)d(id(2

i те П

=4П2 JJ

у—те —те ( те с

dkidk2 =

eir cos фXl eir Sin фХ2

J J e~ir(i cos^srnфf ((i,(2 )d(id(2

—те —те

0 — п

Положим также

Xi —(i =pcosX2 —(2 =psinре [0,те), уе[—п,п],

rdrd ф.

'=V(xi —(i )2 +(X2 —(2 )2 .

Считая возможным перестановку интегралов, получим

те тете f п ¿JrifJ

eirp cos фcos Veir sin фsin Vdф

0 —те—те ^ — п

те те те п

4п'">

f ((i, (2 )d (id (2 dr =

те те те п

= A Jr J J J eirpC0S(ф—V)dфf ((i,(2 )d(id(2dr.

0 —те—те—п

Заметим, что формула для функции Бесселя нулевого порядка [5] позволяет переписать внутренний интеграл в виде

п 3п/2 п

J e*>p C0S(9-V)dф = J ^ COS оd0 = J g,>p sin Оd0 = 2nJ0 ( r p ). -п -п/2 -п

В итоге установим теорему разложения:

f

2п

0 —^ —^

Формула (4) представляет разложение функции двух переменных по сферически средним [6, 7]. На основании формулы (4) прямое преобразование Фурье с неразделенными переменными определим формулой

Р

—^ —^

Тогда формула обращения имеет вид

1 ^

/

0

Иной способ вывода формул (4), (5) предложен одним из авторов в работе [8]. Похожий подход в изучении кратных интегралов и рядов Фурье применялся в работах [9-11].

2. Формула обращения интеграла Фурье с группировкой гармоник по спектрам на гомотетичных ромбах

С помощью прямых у = х, у = — х разобьем область интегрирования на четыре части Я2 = Я2 и Я2 и Я2 и Я2: Я2 - область, содержащая точку (1,0); р2 - область, содержащая точку (0,1); Я2 - область, содержащая

точку (—1,0); Я2 - область, содержащая точку (0,—1).

В каждом из возникших четырех интегралов выполним замену переменных:

к1 = г(1 — т),к2 = гт .

2

Для примера возьмем область R++ . Рассмотрим интеграл

1 JJ е*2Х2 J J f ((i,^2 )d$id(2

4п2 ü J J

n++ \

Тогда dkidk2 = rdrdт и, значит,

Л

dkidk2.

^ ^ Л

JJ ^eik2Х2 J J e-ki(ie"^2f ((b(2 )d(A

п R+

4п т-,2

—^ —^

dkidk2 =

= J J<

0 0

i í те те

ir(i—x)xi eirTX

J J e-ir(i—T)(ie-irT(2 f ((i,(2 )d(id(2

Л

—те —те

rdrd т.

Считая возможным перестановку интегралов, получим

(1 >

те те те

^Т Jr J J Jeir(i—T)(Xi—(i)ei>T(X2—(2)dт

0 —те —те ^ 0

те те те eir

= J r J J

f ((i,(2 )d(id(2dr = f ((i, (2 d id (2 dr.

4п2 0 ' '

0 —те —те

Аналогично вычисляются другие три интеграла. Как итог, получаем теорему разложения по гармоникам, группированным на границе ромба:

те тете

f <X" X2 )=¿ Ш\т

,ir

+ -

f ((i, (2 )d (id (2 dr.

+

0 —те —

eir( X2 —(2) — e~ir( Xi —(i) e~ir( X2 —(2) — e~ir( Xi —(i) ^

+

1Г ((Х2 Ч2) + (Х1 Ч1)) ¿Г (—(Х2 Ч2) + (Х1 Ч1)) Переход к действительной части дает теорему разложения:

те / ^ ^

/

2п2 '

0 R2

+

sin r

f ((i, (2 )d (id (2 dr.

(Х2 Ч2) + (Х1 Ч1) Прямое преобразование Фурье определим формулой:

р ( Х2 )= Г( 51П Г (Х2 —^2) — Г (Х1 —^1) ^ Ь 21 I1 (Х2 —^2) — (Х1 —Ы

+

+

sin r (Х2 -^2) + sin r (Xi -5i) (X2 -^2) + (Xi 4i) .

Тогда формула обращения имеет вид

f ((i, (2 )d (id (2.

i те

f (Xi,X2) = — JF(r,Xi,X2)dr .

Замечание. Будем предполагать, что спектральная функция из формулы (2) имеет вид Ф(&!,£2) = /(( +1&21). Это значит, что спектральная функция постоянна на границе ромба ^ | +| = г. Тогда в интегральном разложе-

нии возможно разделение переменных. Для доказательства нужно повторить проведенные выше рассуждения. В итоге получим новую формулу обращения двойного интеграла Фурье:

^ í \ rí ч 1 г I sin rx2 - sin rx1 sin rx2 + sin rx1 , , f (xi,x2) = -T II-2-1 +--1 f (r)dr ,

2П2 01 x2 - x1 x2 + x1 )

где Ф(ь k2 ) = f (( + \k21).

3. Формула обращения интеграла Фурье с группировкой гармоник по спектрам на гомотетичных квадратах

С помощью прямых x = r, x = -r, y = r, y = -r разобьем область интегрирования на четыре части R2 = R++ u R+- и R-+ и R-_ . Здесь, например, 2

R++ — отрезок прямой x = r . В каждом из четырех интегралов выполним замену переменных

k1 =±r,k2 =±rт,те [-1,1],

где знаки выбираются в соответствии с обозначением стороны квадрата. Для

2

области R++ рассмотрим правую часть формулы разложения (1):

( ^ ^ Л

¿ RJ'

,ikixi eik2x2

J J e"iki(ie~k(2 f ((i,(2)d(id(2

—^ —^

dkidk2.

Тогда формула замены в двойном интеграле дает равенство ёк^2 = гёгё т, значит,

^ Í

»ikixi eik2 x2

^ ©о ^

J J e"iki(if ((i,(2)d(id(2

i ^ i =JJ

( —^ —^ ( ^ ^

dkidk2 =

irxi ггтх9 e i e 2

0 -i

Л

J Je"ir(ie"^2f((i,(2)d(id(2

—^ —^

rdrd т.

Считая возможным перестановку интегралов, получим

сю ^ ^

I 1 ^

-П— Ir I I I eir(x1 ^eirT(x2dT

4Г

0 (—i

= ^Jr J J e'r

eir

0 —^ —©

ir

f ((i,(2 )d(id(2dr = -f ((i,(2 Wid(2dr.

Аналогично вычисляются оставшиеся три интеграла. Как итог, имеем формулу обращения:

тете те

1 I ir

f (X,. X2 ) = Л J J J I eir (X e <2 -'-e +

4п2 0 3 J l ir

0 —те —те V

. , s ч eir(X2 —(2) — e~ir(X2 —(2) . , s ч eir(Xi—(i) — e~ir(Xi —(i) +e(Xi—(i ) I_e_+ eir(X2 —(2) 1_e_+

ir

+e'

ir( X2 —(2) e

ir (Xi —(i) — e~ir (Xi —(i) ^

f ((i, (2 )d (id (2 dr.

ir

Переход к действительной части дает итоговую формулу:

те те те

Л

f (Xi, X2 )=Л JJ JI cos r (Xi -y3"; ' (X2-i)2) + cos r(X2 -fe) ^^(í X п20 J J l (X2 —(2) (X1J

0 —те —те 4 y

Xf ((i,(2 )d(id(2dr .

Примем обозначение

F (r, Xi, X2 )= JJf cos r (Xi — (i) sil( X2 X2 (2(2) +

—те —те

+ cos r

Тогда формула обращения двойного преобразования Фурье преобразуется к виду

i те

f (xi, X2 )= — J F (r, x,, X2 )dr.

п 0

Замечание. Если спектральная функция имеет вид Ф(,,k2) = f (Hk||), ||k|| = max{|k, I,|k21} , т.е. спектральная функция постоянна на границе квадрата ||k|| = r, то в интегральном разложении возможно разделение переменных.

Для вывода формул повторим рассуждения, проведенные выше. В итоге получим формулу обращения

те

rt \ 1 ff sin rx2 sin rx, , , f (Xi, X2 )= — JI cos rx,-á- + cos rx2-L f (r )dr,

^ 01 x2 X1

где

те те

Ф

(ki,k2)f (||k|)= J J e"ikl(le"^2f ((,,(2)d(,d(2.

—те —те

4. Кратные ряды Фурье с группировкой гармоник по спектрам на гомотетичных ромбах

Пусть функция у = / (х1, Х2) определена в квадрате (хь Х2 )е [—п, п]х х[—п, п] и ее разложение в двойной ряд Фурье имеет вид

re re

f(i,x2)= Z Z e'klXlX2

kj =—re k2

где /к к2 - коэффициенты ряда Фурье:

ДА = £ £ «вА«ЙА / ( «2) «2.

Перепишем формулу обращения в следующем виде:

- ге ге

/ (х1, х2 )=Л ЕППЕ Е —«2)/(«1,«2 КА

4п 1=0 п п/=0а|+к2|=/ Сгруппируем частоты по границе ромба |кц | + |к21 = I, тогда

Е е~'к1( х1—«1) е_гк2( х2 —«2) = Е е~ги1( х1—«^ е~«'п2( х2 —«2) +

l-^1=/ «j +«2 ='

+ Е е_гИ1( х1—«1) егИ2( х2 —«2) + Е егИ1( х1—«1) е~'"2( х2 —«2) +

П +п2 =1 п1 + и2 =1

+ Е егП1( х1—«1) е'П2( х2 —«2) — ^ (х1 —«1) — е'! (х1 —«1) —

П1+П2 =1

—е~И(х2 —«2) — е'кКх2 —«2); I > 1, п1,п2 = 0,1,2,...

Применим формулу для конечной геометрической прогрессии и в итоге получим

7 ( « ) 7 ( « ) е"г'('+1)(х1 —«1) — е"г'('+1)(х2 —«2) Е е-'к1(х1—«1)е-'к2(х2 —«2) = £_е_+

|к1к2| =1 е К 1 — е ^ 2 ^

е-г([+1)( х1 —«1) — е/(/+1)( х2 —«2 ) е«(/+1)( х1—«1) — е-!'(/+1)( х2 —«2) + —«( х1 —«1) — е-«'( х2 —«2) + е«( х1—«1) — е~«( х2 —«2) +

e v j - е \ 2 e v j ч/ - e

i((+i)(Xj-^i) - ei((+i)(X2Ч2) e

e \ ^ i - e

+-i{Xj_^j)-_i(X2-^2)--2cosl(x1 -2cosl(x2 «1, «2 = 0Л,2,--

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион Упрощая, получим

k

у e"iki(X1—(i)e"ik2(x2—(2) = 2Ree-, е ч e , е ч-+

++Й=/ e"i

e-i(l+1)( X,— (1) — ei(l+1)( x2 — (2) +2Re-_i( x, — (,)-_i( X2 — (2)--2cos l ( X1 —(1) —2cos l( x2 —(2);

n,, «2 = 0,1,2,... Вычислим действительные части в полученной формуле:

у e-ik,(x, —(1)e-ik2(x2 —(2) = 2cos(X1 — (1) + (X2 — (2) X

sin

X 1 ( ' ( ) (2 ( ) + 2cos(Xi — (i) — (X2 — (2)X

sin (Xi — (1) — (X2 — (2) 2

sin

2

X-(x, — (,) + (X2 — (2)--2cosl(x1 —(1)—2cosl(x2 —(2) .

sin 2 Примем обозначение

G ((, xi —(1, X2 —(2 ) = 2cos( Xi —(i) +2( X2 —(2) X

sin

sin

X---p———2——-+ 2cos 1 v 2 Ъ2' X

sin (Xi — (1) — (X2 — (2) 2

sin

2

где

X-(x, — (,) + (X2 — (2)--2cos l(X1 —(1) —2cos l (x2 —(2) +1

sin 2

Тогда получим интегральное представления для f (x,, X2):

те

f (x1,x2 ) = У fl (xbx2 ), l=0

fl ( X1, x2 ) = J^ J_Пп G ( (, X1 — (b x2 — (2 ) (((b (2 ) d(1d(2.

В итоге получено разложение функции у = / (х^ х2) в ряд Фурье с неразделенными переменными. В таком ряде частоты группируются по границе ромба + |к21 = /.

Замечание. Пусть коэффициенты Фурье /к1 к2 = /к11+| к2| постоянны на

границе ромба |к1 + |к2| = /, тогда переменные в ряде Фурье разделяются: справедлива формула разложения:

/(хЪ х2 ) = Е °((, X1, х2 ))/, /=0

в которой коэффициенты вычисляются по формуле

/ = А Г Г е«к1«1 е«к2«2/(«1,«2КА

5. Кратные ряды Фурье с группировкой гармоник по спектрам на гомотетичных квадратах

Перепишем формулу для кратного ряда Фурье в виде

- ге ге

f (xb x2 )=> ^ j^z ((b

2n /=0 " '7=01 Ikl 1=/

= maxi

Вычислим внутреннюю сумму

/—1

Е е"«к1(х1 «1)е «к2(х2 —«2) = Е е~«1 (х1—«1)е"«'к2(х2 —«2) + 1711=' 72 =—/

/—1 /—1

+ Е е«'(х1 «1)е «к2(х2 —«2) + Е е~«к1(х1—«1)е«'(х2 —«2) +

72 =—/ к1 =—/

/—1

+

> eik1 (x14l)eil(x2 Ч2Х / > l.

k1=/

Применим формулу для конечной геометрической прогрессии:

z

Ikl 1=/

e-iki

K4ei/(x2)_ e~i/(x2Ч2 ) K4e"i/(x2Ч2 )- ei/(x2Ч2 ) = e"il(x1 -il) £_e_+ eil(x1-il) £_e_+

l - e~i

и t^eil(x1—(1 ) —e~il(x1—(1 ) Í4e"il(x1—(1 ) —eil(x1—(1 ) —il(x2 — (2) £_f_+ eil(x2 —(2^ £___

+e 1— e"i(x1—(1 ) Упрощая, получим

1 — ei

—ik1( X1—(1)e-ik2( x2 —(2) =

У e -14"1 llkl |=l

Re

-il( X, —(i) e

il(x2 — (2 ) — e-il(x2 —(2 ) ^

+ Re

e—il (X2—(2) e

1 — e"i(x2 —(2 ) il(x1—(1) — e"il(x1—(1) ^

+

\ У

Вычислим действительные части в полученной формуле, тогда

X1 - ^

cos| l (x2 -S2 ) +

= sin l ( Xi -^1)-

cos I l ( X2 —(2 ) + -

—ik1(X1 (1)e ik2(x2—'(2) • " > 4 l 2

у e "1V--1 ^i'e llkl |=l

• X, —(1

sin—1——

+

2

cos

+sin l (X2 — (2)-

l (x, —(1) +

x2 —(2

• x2 —(2 sin ——

Примем обозначение

cos

G (l, x, —(1, X2 —(2 ) = sin l (x, —(1)-

11(X2 —(2 ) + ^ j

• X, —(1

sin —-——

+

cos

+sin l (X2 — (2)-

11 (xi —(1) +

x2 —(2

• x2 —(2 sin-2 2

2

Тогда получим разложение функции у = / (Х1, Х2) в ряд Фурье с частотами, группированными по границе квадрата

те

/(ХЪХ2 ) = /о (x1,Х2 ) + У /1 (x1,Х2 ).

I=1

При этом члены ряда вычисляются по формулам

/1 (ХЪХ2 ) = ^Лу ^(( Х1 — (ьХ2 — (2 ))( ((2 )^^ /0 ( ХЬХ2 ) = 4Л2 Ц/('(Ь(2 )^&

2

2

В итоге получено разложение функции у = / (х^ х2) в ряд Фурье с неразделенными переменными. В таком ряде частоты группируются по границе

Замечание. Пусть коэффициенты Фурье /к1 к2 = /щ постоянны на

границе квадрата ||к|| = /, тогда переменные в ряде Фурье разделяются, т.е.

разложение ведется по гармоникам с частотами, группированными по сторонам квадрата

ге

/(хЪ х2 ) = Е°((, X1, х2 ))/ /=0

с коэффициентами, вычисляемыми по обычным формулам:

// = А Г Г е«71«1 е«72«2/(«1,«2)<М«2.

4п2 -,—п-'—п Библиографический список

1. Голубов, Б. И. Кратные ряды и интегралы Фурье / Б. И. Голубов // Итоги науки и техники. Сер.: Математический анализ. - 1982. - Т. 19. - С. 3-54.

2. Алимов, Ш. А. Кратные ряды и интегралы Фурье. Коммутативный гармонический анализ / Ш. А. Алимов, Р. Р. Ашуров, А. К. Пулатов // Итоги науки и техники. Сер.: Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. -1989. - Т. 42. - С. 7-104.

3. Янушаускас, А. И. Кратные ряды Фурье / А. И. Янушаускас. - Новосибирск : Наука, Сибирское отделение, 1986. - 272 с.

4. Снеддон, И. Преобразование Фурье / И. Снеддон. - Москва : Иностранная литература, 1955. - 668 с.

5. Бейтмен, Г. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены / Г. Бейтмен, А. Эрдейи. - Москва : Наука, 1974. - Т. 2. -296 с.

6. Попов, Д. А. О сферической сходимости интеграла Фурье индикатора Ж-мерной области / Д. А. Попов // Математический сборник. - 1998. - Т. 189, № 7. - С. 145-157.

7. Голубов, Б. И. О сходимости сферических средних Рисса кратных рядов Фурье / Б. И. Голубов // Математический сборник. - 1975. - Т. 96, № 2. - С. 12541278.

8. Баврин, И. И. Интегральные преобразования Фурье на компактах из Rn и их приложения к проблеме моментов / И. И. Баврин, О. Э. Яремко // Доклады РАН. -2000. - Т. 374, № 2. - С. 154-156.

9. Дьяченко, М. И. Некоторые проблемы теории кратных тригонометрических рядов / М. И. Дьяченко // Успехи математических наук. - 1992. - Т. 47, № 5. -С. 97-162.

10. Левитан, Б. М. О суммировании кратных рядов и интегралов Фурье / Б. М. Левитан // Доклады АН СССР. - 1955. - Т. 102, № 6. - С. 1073-1076.

11. Бахбих, М. О достаточных условиях сходимости двойных рядов по прямоугольникам / М. Бахбих // Математические заметки. - 1974. - Т. 15, № 6. - С. 835838.

References

1. Golubov B. I. Itogi nauki i tekhniki. Ser.: Matematicheskiy analiz [Results of science and technology. Series: Mathematical analysis]. 1982, vol. 19, pp. 3-54. [In Russian]

2. Alimov Sh. A., Ashurov R. R., Pulatov A. K. Itogi nauki i tekhniki. Ser.: Sovremennye problemy matematiki. Fundamental'nye napravleniya [Results of science and technology. Series: Modern mathematical issues. Fundamental directions]. 1989, vol. 42, pp. 7104. [In Russian]

3. Yanushauskas A. I. Kratnye ryady Fur'e [Multiple Fourier series]. Novosibirsk: Nauka, Sibirskoe otdelenie, 1986, 272 p. [In Russian]

4. Sneddon I. Preobrazovanie Fur'e [Fourier transform]. Moscow: Inostrannaya literatura, 1955, 668 p. [In Russian]

5. Beytmen G., Erdeyi A. Funktsii Besselya, funktsii parabolicheskogo tsilindra, ortogo-nal'nye mnogochleny [Bessel functions, parabolic cylinder functions, orthogonal polynomials]. Moscow: Nauka, 1974, vol. 2, 296 p. [In Russian]

6. Popov D. A. Matematicheskiy sbornik [Mathematical collection]. 1998, vol. 189, no. 7, pp. 145-157. [In Russian]

7. Golubov B. I. Matematicheskiy sbornik [Mathematical collection]. 1975, vol. 96, no. 2, pp. 1254-1278. [In Russian]

8. Bavrin I. I., Yaremko O. E. Doklady RAN [Reports of the Russian Academy of Sciences]. 2000, vol. 374, no. 2, pp. 154-156. [In Russian]

9. D'yachenko M. I. Uspekhi matematicheskikh nauk [Advances in mathematical sciences]. 1992, vol. 47, no. 5, pp. 97-162. [In Russian]

10. Levitan B. M. Doklady AN SSSR [Reports of the Academy of Sciences of USSR]. 1955, vol. 102, no. 6, pp. 1073-1076. [In Russian]

11. Bakhbikh M. Matematicheskie zametki [Mathematical notes]. 1974, vol. 15, no. 6, pp. 835-838. [In Russian]

Яремко Олег Эмануилович доктор физико-математических наук, профессор, кафедра компьютерных технологий, Пензенский государственный университет

E-mail: yaremki@mail.ru

Яремко Наталия Николаевна

доктор педагогических наук, профессор, кафедра математического образования, Пензенский государственный университет

E-mail: yaremki@yandex.ru

Могилева Елена Сергеевна аспирант, Пензенский государственный университет

E-mail: elenasergivan@yandex.ru

Yaremko Oleg Emanuilovich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, sub-department of computer techologies, Penza State University

Yaremko Nataliya Nikolaevna Doctor of pedagogical sciences, professor, sub-department of mathematical education, Penza State University

Mogileva Elena Sergeevna Postgraduate student, Penza State University

Образец цитирования:

Яремко, О. Э. Кратные ряды Фурье и интегралы Фурье с неразделяю-щимися переменными / О. Э. Яремко, Н. Н. Яремко, Е. С. Могилева // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2020. - № 2 (54). - С. 24-37. - DOI 10.21685/2072-30402020-2-3.