Полевая теория дефектов. Часть i

Полевая теория дефектов. Часть I

Ю.В. Гриняев, Н.В. Чертова

Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634021, Россия

Проведен сравнительный анализ составляющих полной деформации в рамках представлений механики сплошной среды и континуальной теории дефектов. Определены параметры состояния деформируемого тела, характеризующие упругое и структурное состояния в общем случае упруго-вязкопластических процессов деформирования. На основе данных параметров записан лагранжиан, получены динамические уравнения полевой теории дефектов. Рассмотрены законы сохранения и величины, определяющие самодействие дефектов. С учетом последних проанализировано условие зарождения дефектов.

1. Введение

Развитие теоретических представлений о деформации и разрушении нагруженного твердого тела имеет большое практическое значение. Это диктует необходимость создания теории, пригодной для решения инженерных задач и, в то же время, учитывающей реальные физические процессы, происходящие при деформации и разрушении. Требования, предъявляемые к теории, до недавнего времени решались двумя практически несвязанными подходами в рамках классической механики деформируемых сред и физической теории пластичности и разрушения. Первая, являясь инженерной теорией, описывает три основных свойства, присущих в той или иной мере всем материалам: упругость, вязкость, пластичность. В линейном приближении полную деформацию обычно представляют в виде трех составляющих [1, 2]

г™ = ге1 +е" + гр1,

где ге1, г4, гр1 — тензоры упругой, вязкой и пластической деформаций. Совместное рассмотрение пластических и вязких процессов представляет значительные трудности. Учет вязких свойств неизбежно приводит к зависимости напряженно-деформированного состояния от времени, то есть временной фактор играет определяющую роль. Пластические свойства твердых тел проявляются при кратковременных квазистатических про-

цессах, в которых временной фактор не успевает проявиться [2, 3]. Вследствие этого в механике деформируемого твердого тела существует две теории: вязкость, изучающая зависимость процессов деформации от времени, и пластичность, рассматривающая взаимную зависимость напряжений и деформаций. При этом постулаты одной теории не согласуются с положениями другой. Так, постулат Друкера, согласно которому продолжение деформации упрочняющегося тела требует приложения дополнительных усилий, не выполняется при вязких процессах. В рамках этих теорий пластические и вязкие составляющие деформации рассматриваются как совершенно самостоятельные и, следовательно, обусловленные различными механизмами. Однако уже в классической механике деформируемого тела проявляется противоречие в истолковании этих составляющих как самостоятельных, поскольку и те, и другие процессы в итоге приводят к необратимому изменению формы. Особенно наглядно это проявляется при анализе полной деформации в рамках континуальной теории дефектов [4, 5]. Хорошо известно, что основные свойства реальных материалов — пластичность, вязкость, упрочнение обусловлены дефектами различной природы. В частности, трансляционными дефектами, рассматриваемыми в данной работе. Под дефектом трансляционного типа далее понимается линия заторможенного сдвига, мощность которого характеризуется скачком

© Гриняев Ю.В., Чертова Н.В., 2000

смещений. При таком определении дефекта важен не конкретный механизм деформации, а порождаемый им сдвиг, который в конечном счете приводит к необратимому формоизменению материала. Целью данной работы является совместное описание упруго-вязкопластических процессов деформирования в рамках континуальной теории дефектов. Для решения поставленной задачи деформируемое тело представляется в виде смеси двух континуумов — материального и континуума дефектов. Материальный континуум характеризует на-пряженно-деформируемое состояние, а континуум дефектов — структурное. Понятие структурного состояния чуждо для классической механики деформируемого тела. Для характеристики структурного состояния необходимо определение соответствующих параметров, которые называются структурными или внутренними. В континуальной теории дефектов для материального континуума в линейном приближении можно записать

У и“ = Уие1 +ре1'и +р р1'и + Уи или, симметризуя это выражение,

г “ =ге1 + геШ + грШ + гр1с, где и1о1, ие1 — векторы полных и упругих смещений; веШ, врШ — упругие и пластические дисторсии от дефектов; У и р1с — совместная пластическая деформация. Последняя величина определяет необратимое изменение формы, поскольку не связана с внутренними напряжениями. Для дисторсии от дефектов можно записать

Уи ° =реШ +ррШ.

Отсюда следует важное следствие. Релаксация упругих дисторсий от дефектов феШ ^ 0) переводит пластическую дисторсию от дефектов в разряд совместной (врш ^ Уи °). Для сравнения выражений полной деформации в рамках представлений механики деформируемого тела и континуальной теории дефектов можно записать

г “ = ге1 + г" + гр1,

г “ = ге1 + г ° +гр1с.

Сопоставление двух последних выражений и вышеизложенного следствия показывает, что в теориях пластичности, предполагающих

г “ = ге1 + гр1, исчезают источники совместной пластической деформации, а в теориях вязкости, учитывающих

г “ = ге1 + г",

источники приводят к совместной пластической деформации, которая не рассматривается. Последовательное описание поведения деформируемого тела должно учитывать все три составляющие.

2. Определение параметров состояния деформируемого тела

Введем понятие дефекта, используя свойства сплошности деформируемого тела [6] и представление Э. Кре-нера [7], согласно которому рассматриваются три состояния тела. В исходном состоянии тело свободно от напряжений. Затем оно разбивается на некоторые структурные элементы, малые относительно размеров тела, но все же макроскопические. Каждому элементу придается некоторая пластическая дисторсия Ар1, не вызывающая напряжений в элементе. Поскольку пластическая дисторсия изменяется от элемента к элементу, то элементы уже нельзя присоединить друг к другу без зазоров и перекрытий. Рассматривая структурные элементы как материальные точки, а дисторсии как непрерывные функции, имеющие производные до второго порядка, можно записать связь между векторами, соединяющими две бесконечно близкие точки в идеальном состоянии Ж и в пластически деформированном теле dr

dr = й • Ар1.

Поскольку условие сплошности не выполняется, то тензор пластической дисторсии Ар1 не является полным дифференциалом, что можно записать как

а = -У х Ар1 Ф 0,

приняв а за некую меру нарушения связности при чисто пластической деформации. Эту величину принимают за определение тензора плотности трансляционных дефектов. В линейном приближении Ар1 =8 + Рр1, поэтому тензор плотности дефектов определяется так

а = -Ухвр1,

где 8 — единичный тензор.

Для того чтобы из пластически деформированных элементов сложить сплошное тело, возможны два способа, которые описываются методом калибровочных полей и геометрическим подходом. Согласно последнему, пластически деформируемые элементы можно соединить в сплошное тело без зазоров в некотором неевклидовом пространстве, характеризуемом коэффициентом связности, который содержит сведения о дефектах и упругих деформациях среды [8, 9]. Геометрические теории не содержат динамического описания. Метод калибровочных полей предполагает, что тело остается евклидовым, поэтому для ликвидации зазоров необходимо на пластическую дисторсию Ар1 наложить упругую Ае1. В этом случае в материале появляются реальные поля дефектов и внутренних напряжений (калибровочные поля) [10, 11]. В статике калибровочный и геометрический подходы идентичны, поскольку так называемые потенциалы калибровочных полей есть ничто иное, как коэффициенты связности неевклидового пространства.

Таким образом, на тело налагается некоторая общая дисторсия

А = Ар1 • Ае1,

которая удовлетворяет условию сплошности

Ух А = У х

В линейном приближении Ар1 = 8 + рр1, Ае1 = 8 + ре1, А = 8 + в, поэтому, отбрасывая квадратичные члены, из (4) получим

А = 8 + вр1 + ре1, р = рр1 + ре1.

Подставляя (6) в (5), получим У хрр1 + У хре1 = 0, отсюда следует другое определение тензора плотности дислокаций в линейном приближении

а = Ухре

Таким образом, дефекты в теле обуславливают упругие и пластические дисторсии, которые порознь не удовлетворяют условию совместности, то есть не являются градиентами некоторых векторных функций (полей смещений).

На тело с дефектами можно наложить упругую дис-торсию, обусловленную внешним воздействием. Такая дисторсия Аех1, как известно, удовлетворяет условию совместности

Ух АеХ = 0.

Кроме того, можно рассмотреть случай, когда пластические дисторсии структурных элементов Ар1 таковы, что структурные элементы составляют тело без зазоров (без наложения упругих дисторсий). В этом случае пластическая дисторсия удовлетворяет условию совместности — совместной пластической деформации, которая не вызывает в материале упругих деформаций и, следовательно, внутренних напряжений. При наложении четырех видов дисторсий будем иметь общую дис-торсию, удовлетворяющую условию совместности

А = Ар1 • Ае1 • Ар1с • Аех

В линейном приближении (9) запишется так:

р = рр1 + ре1 + рр1с + рех

Учитывая условия совместности для составляющих полной дисторсии, это выражение можно переписать как

У и ™ = УиеХ +ре1 + рр1 + Уир1с.

Согласно [1] полная деформация в вязко-упругопластическом теле представлена в виде трех слагаемых

Е™ = Ее1 + е" + ер1,

где Ее1, е¥ , Ер1 — тензоры упругой, вязкой и пластической деформации. В механике сплошных сред под упругой деформацией Ее1 понимают деформацию, которая

практически мгновенно исчезает после снятия внешней нагрузки и определяется симметричной частью рех выражения (10). Пластическая деформация Ер1 соответствует симметричной части полной пластической дисторсии Р1о1р1 = рр1 + Уир1с, а вязкая е ¥ — симметричной части упругой дисторсии, обусловленной дефектами. Выражение для полной дисторсии (11) можно записать как

Уи ** = Уиех + ре1 + р“р1

или в координатной записи

3/ К tOt ’Л/ І\ е

д

Эх„ Эх„

-+

tot.pl

Здесь индексы і, а, принимающие значения 1, 2, 3, обозначают пространственные координаты. Распространим определение полной дисторсии на временную координату, положив, что а принимает значение времени:

Г диІ Л tot Г диІ)

дt дt

р1

+

Здесь (р0)е1, (рго)“р1 имеют смысл упругих и полных пластических скоростей материальных точек деформируемого тела, обусловленных движением дефектов; i = = 1, 2, 3; а = 0, 1, 2, 3; Э/Эх0 = д|дt.

Введем характеристики дислокационных структур, в качестве которых рассмотрим тензор плотности дефектов а и тензор плотности потока дефектов j [12]. Воспользуемся определением

а = -Ухр‘о1р1,

которое эквивалентно (3), поскольку совместная пластическая деформация не дает вклада в плотность дислокаций. При наличии несовместной пластической деформации интеграл по замкнутому контуру не обращается в нуль

| dr -вр1 = [Ли],

а равен скачку смещений [Ли], то есть сумме всех невязок между структурными элементами, которые пересекает линия интегрирования. Переходя в (15) к интегралу по поверхности 51, ограниченной замкнутым контуром с, получим

[Ли] = | dS •

Выражение (15) представляет определение суммарного вектора Бюргерса всех дислокаций, пересекающих ориентированную площадку dS, В = [Ли]. Из (16) следует другое определение тензора плотности дислокаций:

dB d [Ли]

а = --

d8

d 8

как числа скачков смещений, пересекающих единицу поверхности. При континуальном описании упругого тела с дефектами наряду с упругими полями смещений можно рассматривать поля скачков смещений (векторов Бюргерса), обусловленных пластической дисторсией.

Поскольку в (17) определяется поверхностная плотность дислокаций (полей векторов Бюргерса), тем самым предполагается, что эти дефекты связаны с некоторой поверхностью (плотностью скольжения). Рассмотрим условие неразрывности векторов Бюргерса относительно некоторой поверхности 51, ограниченной замкнутым контуром с. Согласно (16), изменение полного вектора Бюргерса можно записать так

ЭБ

дt

д

'дt

| dS-а.

£ dc - j.

С другой стороны, это изменение вектора Бюргерса обусловлено потоком дефектов через границу с. Введем тензор плотности потока дефектов j таким образом, чтобы выполнялось условие

ЭБ

дt

Из (19) для произвольного отрезка с будем иметь дБ г . дБ

— = I ^ • ], отсюда ] = —. дt •’ дс

Приравнивая (18) и (19), получим [ dS • (да/д^ = [ dc •}.

5

Переходя в правой части равенства к интегралу по поверхности и учитывая, что поверхность выбирается произвольным образом, получим уравнение неразрывности для поля векторов Бюргерса в дифференциальной форме

да

эТ ’

которое является одним из основных уравнений континуальной теории дефектов. Учитывая (14), последнее равенство можно записать следующим образом

(

Ух

і +

др

tot.p1 Л

дt

= 0.

Отсюда тензор плотности потока дефектов определяется как

і=

др

tot.p1

ді

- + УУ,

где V—векторная функция, имеющая размерность скорости. Еще одно уравнение континуальной теории дефектов, следующее из (14), имеет вид

У-а = 0.

Выясним смысл этого выражения. Для этого запишем выражение суммарного вектора Бюргерса всех дефектов, пересекающих замкнутую поверхность,

Б

dS •

а.

Переходя в (24) от поверхностного интеграла к интегралу по объему Ж, заключенному внутри поверхности,

Б

dW(У-а),

ж

получим, что суммарный вектор Бюргерса всех дефек тов внутри объема равен нулю

дБ

дW

= У - а = 0.

Уравнение (23) есть выражение закона отсутствия механического заряда в любом объеме материала. Если в качестве физического объема рассмотреть зерно, то (23) будет означать, что скольжение должно проходить таким образом, чтобы суммарный вектор Бюргерса всех дислокаций во всех системах скольжения равнялся нулю. По-видимому, это есть отражение множественного скольжения в зернах поликристаллов.

К недостатку определения тензора плотности а в качестве характеристики дислокационной структуры следует отнести то, что рассматривается только зарядовая плотность дефектов (то есть дефекты одного знака). По нашему мнению, это не является недостатком, поскольку по определению под а подразумевается поверхностная зарядовая плотность, а не объемная. Поверхностную зарядовую плотность рассматривать вполне оправдано, поскольку под действием напряжений в плоскостях скольжения движутся дефекты одного знака. В работе [13] сказано, что на стадии неразориентиро-ванных структур избыточная объемная плотность рт равна нулю

Р+ =Р+-Р- = 0, что соответствует условию равенства нулю суммарного вектора Бюргерса в объеме (25).

При динамическом описании в качестве характеристик дислокационной структуры предпочтительнее выбрать вместо скалярной плотности р тензоры плотности дислокаций а и плотности потока дислокаций j. Это следует из того, что в динамике на первый план выступают напряжения от коллектива дефектов, которые, в первую очередь, определяются суммарным вектором Бюргерса, а не общей длиной дефектов. Кроме того, с помощью тензора а естественным образом описываются краевые и винтовые компоненты и взаимодействия между ними.

Запишем выражения тензора плотности дефектов а и плотности потока дефектов j в координатном виде, исходя из полной пластической дисторсии ва (і = 1, 2, 3 и а = 0, 1, 2, 3),

а! = вг -В;

ау На, у Н

а, у

-'у, а’

где запятая обозначает дифференцирование. Если а = = 0 — временная компонента, то у будет только пространственной, у = п (п = 1, 2, 3). Из (26) имеем выражение

а,

Эрг„ д¥г

0у “Ро,т-Ру,0 = +

Эхи

которое совпадает с определением тензора плотности потока дефектов (22) и раскрывает смысл скорости V. В случае, когда индексы а и у обозначают пространственные координаты, переобозначив их как п и т, имеем

а„

- в - в

Ни, Ж К»

Поскольку тензор а антисимметричен по нижним индексам, рассмотрим ассоциированный вектор поворота

ак = 2 екптапт = ^ екпт (вп, т Рт, п ) — екптРп, т *

Отсюда следует равенство

а = -УхР‘°1р1,

совпадающее с определением (14). Исходя из (12) можно записать

и)«- (ва гр1 - ы )а+(ва )е1.

В качестве параметров упругого состояния среды можно выбрать как левую, так и правую часть тождества (27). Структурное состояние среды будем характеризовать параметрами дефектной структуры а и j. В данном случае при введении дефектов не конкретизировались физические механизмы, приводящие к скачку смещений и обуславливающие остаточную деформацию. Скачок смещений может быть результатом мартенситного превращения, зернограничного проскальзывания, зарождения дислокации, двойника. При континуальном описании эти механизмы в общем случае можно характеризовать скачком смещений и поворотов [14], то есть движением дефектов трансляционного и ротационного типов.

3. Полевые уравнения трансляционных дефектов

В предыдущем разделе для описания поведения деформируемого тела, учитывающего разнообразные свойства материалов (упругие, вязкие, пластические), были введены параметры, характеризующие упругое

и структурное а, j состояния. Описание поведения деформируемого материала на основе выбранных параметров относится к компетенции континуальной теории дефектов, которая до недавнего времени (появления калибровочных теорий) позволяла описать лишь динамику упругого поля с заданным распределением дефектов [12]. Отметим, что тензор плотности потока дефек-

тов, определенный в (22), отличается от обычно вводимого в континуальной теории дефектов

] =

дв

tot.pl

дt

= УУ™ - дв

tot.e1

дt

Основными уравнениями континуальной теории дефектов [12, 15] являются соотношения

V • а = 0,

V, да

Ух } =—, ' дt

которые не замкнуты относительно параметров структурного состояния а, j и не содержат величин, приводящих к их изменению. Из теории потенциалов хорошо известно, что для однозначного определения тензорной функции (рангом выше нулевого) необходимо задать ее дивергенцию и ротор. Отсюда следует, что для однозначного определения а, j необходимо получить недостающие уравнения вида

Vха = ?, V• j = ?*

Оказывается, лагранжев формализм позволяет получить именно эти уравнения.

В настоящее время известен целый ряд полей, которые существенно отличаются по своим свойствам, но несмотря на эти различия законы их движения могут быть сформулированы на основе вариационного принципа. Рассмотрим в качестве таких полей поля упругих деформаций и скачков смещений дефектов. Предположим, что эти поля представляют некоторую динамическую систему, характеризуемую локальной плотностью лагранжиана, зависящей от координат и времени через компоненты этих полей и их производные. Такое предположение связано с тем, что деформируемое тело является однородным и изотропным. Плотность лагранжиана определяется разностью кинетической и потенциальной плотностей энергии. Потенциальная энергия является суммой упругой энергии материальной точки и потенциальной энергии поля дефектов. Упругая энергия материальной среды может быть записана следующим образом

П1 =та*,

где % — тензор упругих деформаций, имеющий, согласно (27), двоякое представление,

=

1 ( ди,

удхк

дщ_

Эх,

Г

-1

или

1 ( Эи,-

_____+ дик

дхк Эх

Ае1 і

+ 2 (

+

еШ

Тензоры напряжений находятся по закону Гука: Е ( V

1 + V

Е,к + -

1 - 2v

где Е — модуль Юнга; V — коэффициент Пуассона. Из (29) следует, что егк = - е“'р1, а значит и (31) фор-

мально можно записать как

а,к - а* - а,

tot.p1

Здесь введены фиктивные напряжения и а

tot.p1

Чк ,

которые в действительности не реализуются в материале. Напряжения ст*к*'р1 можно рассматривать как срелак-сированные, поскольку они определяют, на какую величину уменьшаются определяемые по закону Гука через полные деформации. Если воспользоваться определением (30), эффективные напряжения можно представить так:

~ ^е1 і „_e1.p1

а,к = а,к + а,к ,

где ^ге1^1 реальные напряжения от внешних воз-

действий и от дефектов материала. Упругую энергию через фиктивные напряжения можно записать следующим образом:

2Е

- V

_tot.p1 У

\аии - аии )

Потенциальную энергию дефектов запишем как квадратичную функцию тензора плотности

где 51 — константа взаимодействия, имеющая размерность силы. В дальнейшем будем рассматривать 51 как подгоночный параметр.

Определение потенциальной энергии на стадиях однородного распределения дефектов и неразориенти-рованных структур в виде суммы двух слагаемых (34) и (35) является существенным отличием от описания деформации при дискретном распределении дефектов. Хорошо известно, что дефект проявляется в двух качествах. Во-первых, он является источником внутренних напряжений, что учитывается при определении упругой энергии (34). Во-вторых, дефект как локальная неоднородность (ядро дефекта) обладает собственной энергией, которая определяется согласно (35). Когда число дефектов мало, собственная энергия П2 обычно не учитывается, поскольку полагается, что последняя мала по сравнению с упругой энергией от дефектов.

Проанализируем полную потенциальную энергию П = П1 + П2* Если материал деформируется только упруго и дефекты отсутствуют, то его потенциальная энергия определяется как

1

2Е

и при увеличении деформации будет возрастать. В этом случае стк представляют реальные напряжения. Появление дефектов или пластической деформации приводит к появлению фиктивных напряжений ст“'р1, которые уменьшают напряжения стк до величины стк --ст“р1, а следовательно, и упругую энергию. Таким образом, появление дефектов энергетически выгодно, поскольку приводит к снижению упругой энергии по сравнению с упругим деформированием. С другой стороны, уменьшение потенциальной энергии П1 при увеличении плотности дефектов сопровождается ростом собственной энергии дефектов П2* При некоторой плотности дефектов уменьшение упругой энергии П1 полностью компенсируется ростом собственной энергии дефектов П 2, так что дальнейшее увеличение плотности дефектов становится энергетически невыгодным. В этом случае собственная энергия может быть значительно больше упругой энергии дефектов и определять состояние деформируемого тела, что свидетельствует

о необходимости ее учета.

Запишем кинетическую энергию, которая, как и потенциальная, представляет сумму двух частей. Из (27) следует, что скорость упругих смещений может быть определена как (Эщ/ Э^ш - V^°x''p или (Эщ/ Эt )е1 + Уео, поэтому кинетическая энергия материальной среды запишется так:

дщ

дt

- V

tot.p1

где р — плотность материальной среды. Кинетическую энергию поля дефектов определим в виде квадратичной функции тензора плотности потока дефектов

где В — константа, характеризующая инерционные свойства поля дефектов и являющаяся вторым подгоночным параметром в данной модели. Предыдущие выкладки (14), (22), (29), (31) позволяют записать плотность лагранжиана L = Т1 + Т2 - П1 - П2 как функцию величин Ц°\ Р5,°1'р1, Vfat'pl, верхние индексы которых далее писать не будем,

і-£(«* - V1 + В

21 дt г I 2

(Щ -ЭРк, 12

дхк дt

2

( диг

дхи

V

1 - 2v

ди, + дик дхк дх,

-ви

- вкі - вік

еіки '

дв

'кт

дх

+

Согласно интегральному принципу Гамильтона, истинное движение системы в некотором промежутке времени таково, что интеграл

Ч

J = Ц LdWdt

Ч

имеет экстремум, то есть его вариация равна нулю. Отсюда уравнения Лагранжа относительно независимых переменных, входящих в плотность лагранжиана, имеют вид

ЭL Э ЭL

д6 дха д0,а

- о,

где 0 принимает значения ип, впт, Уп * Подставляя значение L из (38) и полагая 0 равным ип, находим динамические уравнения относительно полных смещений

д

дхт

I Е ' 1I

1IV 1 2

1- V.

дии + дит

дхт дхи

-в -в

ти ит

V

1 - 2v

ди,

дх,

- в,і

8„

- р д ( дии -

-р17І1Г -1’-[

Последнее уравнение, учитывая (31) и (29), можно записать следующим образом

V.a = р|-(ЭU- V )-

Эt ^ Эt )

Уравнение Лагранжа относительно V имеет вид

В

дх.

дх.

дї

+ р| д? ^ 1 0.

Используя определение (22), предыдущее равенство можно переписать так

ВУ • ] --р|^ - у дї

Таким образом, получили одно недостающее уравнение, о котором говорилось в начале данного параграфа.

Динамическое уравнение относительно Рпт в явном виде запишется следующим образом:

В дї

д(дVi двк12

дхк

Е

дї

+ Sekитejln

д%

дх] дхт

2(1 + V) 2v

ди, | дик-в -в +

з + з вкі вік +

дхк дх,

1 - 2v

(дии -в "1 ви

дхи

1

8к

Используя определение тензора плотности дефектов (14), потока дефектов (22) и напряжений (31) это выражение можно представить так:

SVxa = -B — -а. дї

Выражение

ВУ • ] --р| — - у І V • а - 0,

V / _

Ух ] -,да, БУха--В — -а. дї дї

Уравнение динамического равновесия (40) представляет условие совместности (45), которое можно получить, взяв дивергенцию от четвертого уравнения системы и учитывая первое.

Запишем выражение для силы, действующей на единичный объем, в котором сосредоточены напряжения ст и который обладает импульсом рV, в поле дефектов с плотностью а и потоком j. С этой целью обобщим выражение для силы £ действующей на единицу длины дислокации [15],

f = т х ст • Ь + р^ • Ь)(т х V),

где т — единичный вектор, касательный к линии дислокации; Ь — вектор Бюргерса; V — скорость среды; V — скорость дислокационного отрезка. Континуальное обобщение этого выражения дает необходимое выражение для объемной силы

F = стха+ у •рV,

где знак (х) обозначает, что верхняя тензорная операция относится к первым индексам, а нижняя — ко вторым. Уравнение (45), совместно с уравнением равновесия (40) и выражением для силы (46) представляют динамическую систему, описывающую эволюцию дефектов без учета диссипации энергии. Вопросы рассмотренные выше изложены в работах [16-19].

4. Аналогия динамической теории дефектов с электродинамикой

Во многих работах [7, 20] аналогия между электромагнитными явлениями и теорией дислокаций, отчасти обусловленная общностью свойств вектора и тензора, использовалась для вывода уравнений теории дислокаций, что не всегда приводит к корректным результатам. В дальнейшем сходство электродинамики и теории дислокаций анализируется на основе полученных динамических уравнений (40), (45), (46). По форме записи система уравнений (45) аналогична уравнениям Максвелла в электродинамике, а выражение для силы (46) — силе Лоренца. Запишем систему уравнений Максвелла

V-Е = 4пр1, V-Н = 0,

V х Е --1“,

с дї

„ __ 1 дЕ 4п.

УхН ----------+ — і

с дї с

+

+

и выражение для силы Лоренца

Е +1

с

где Е и Н — напряженности электрического и магнитного полей, соответственно; р1 — плотность заряда; i — плотность тока; с — скорость распространения электромагнитного поля. Сопоставив системы уравнений

(45) и (47), установим следующие соответствия

Е ^ у > Н ^а,

Рассмотренная аналогия позволяет назвать тензоры плотности а и потокау напряженностями поля дефектов. Если лагранжиан (38) строить, используя метод калибровочных полей [10, 16], которыми являются в и V, то а и у выступают в качестве напряженностей этих полей. Механическим зарядом является импульс -р(ди/Эt -

- V), а механическими плотностями токов — напряжения СТ.

Рассмотрим некоторые виды напряжений, которые возможны в деформируемых телах в зависимости от свойств последних. В гидродинамике [21] тензор напряжений определяется как тензор плотности потока импульса, так что напряжения можно представить в виде диадного произведения

ст1 = -р1У.

Аналогичная связь токов с плотностью зарядов имеет место в электродинамике

i = р^,

где V — скорость движения зарядов. Для жидкости основным полем является поле скоростей, поэтому положим и = 0. В зависимости от свойств жидкости помимо напряжений (49) могут иметь место и другие виды напряжений, которые обозначим как ст. В этом случае динамические уравнения равновесия примут вид

V- (а-рУУ) -— (рУ).

дї

Запишем уравнение (50), полагая что плотность р является функцией координат и времени,

У • Ур + рУ • У +

др

дї

дУ

+------+

дї

+ У •УУ У^а- 0.

р

Выражение в квадратных скобках есть условие непрерывности

а оставшаяся часть Э1 1

— + V •VI = - V • ст

дt р

представляет уравнение Эйлера, если положить, что тензор напряжений имеет шаровой вид ст = -Р8, где Р — давление; 8 — единичный тензор. Уравнения (52) и (53) описывают поведение идеальной жидкости. Обычно ее описание проводится с помощью скоростей V(x, у, z, Ь), давления Р(х, у, z, 1) и плотности р(х, у, z, ^. Понятия упругих смещений и дисторсий не используются при описании жидкости. Полагая их равными нулю в (44), получим следующую систему уравнений для жидкости

ВУ • ] -рУ, Ух ] - 0,

В — + а + а! - 0, а! - рУУ, дї і і н

условие совместности которой по-прежнему имеет вид (50). Из двух первых соотношений (54) следует уравнение

ДУ-— У.

в

Система уравнений (52), (53) и (55) является переопределенной при ст = -Р8, поскольку число неизвестных меньше числа уравнений. Для того чтобы сделать систему определенной, необходимо увеличить число неизвестных. Увеличение числа неизвестных возможно только за счет компонент тензора напряжений. Такой тензор напряжений должен иметь не более трех компонент независимо от выбранной системы координат. Таким свойством обладает антисимметричный тензор второго ранга ст!к = -стк , который можно представить ассоциированным вектором поворота СТ с компонентами

СТп = 2еп1кСТ 1к, а СТ1к = е1к} СТу *

Подставляя (56) в (53), получим Э1 1

---+ V •VI = — Vхст*

Эt р

В итоге относительно независимых переменных р, V, ст имеем замкнутую систему уравнений (52), (55) и (57).

Рассмотрим силу, действующую на твердое тело с импульсом рv, внесенное в движущуюся жидкость. Если движение жидкости описывается скоростью V, то по нашим представлениям у = VI является потоком дефектов. Согласно (46), твердое тело с импульсом рv в потоке дефектов у испытывает действие силы

F = у ^ = VI

Разложим тензор плотности потока дефектов на симметричную и антисимметричную части:

у = !(^у + IV)+-2-^ - IV).

Запишем последнюю в координатной форме, обозначив как mik = V2(/д^ -д^/д^)• Свернув это выражение с тензором Леви-Чевиты, получим eiin(Oik = = eikn д Vklдxi = 2юп или ю = 1/2 (V x V), где ю, — компоненты вектора поворота, ассоциированного с антисимметричным тензором ю,к. Взяв еще одну свертку

ejlnean^ik = 2ejln Юп и учитывая тождество ejlneikn = = SjtSlk -SjkSi, , окончательно получим

ik = eiknn •

Вектор ю = 1/2 (V x V) называется завихренностью течения жидкости в данной точке [21]. Если вектор ю отличен от нуля, то это значит

SS

то есть при обходе по замкнутому контуру вектор скорости претерпевает скачок. Если сравнить (60) с определением тензора плотности дефектов

| dl-6 = J dS • (Vx6) = | dS •

хр) ^ аъ•а,

то вектор завихренности ш можно истолковать как плотность дефектов в жидкости, обусловленных скачком скорости

dconst

ю =

dS

Рассмотрим подъемную силу, обусловленную завихренностью,

F2 = 2^ - IV) • рv.

Вместо антисимметричного тензора ш можно подставить его выражение через ассоциированный вектор

F2 =рv х ю.

Отсюда следует, что сила F2 перпендикулярна плоскости, в которой лежат вектора скорости тела V и завихренности течения жидкости ш. Увеличение “плотности дефектов” — завихренности — приводит к увеличению подъемной силы. Обычно в гидродинамике в качестве подъемной силы рассматривают величину

ц = 2^ + IV) • рv.

В рамках данной модели свойства и состояния деформируемого тела определяются возникающими в нем напряжениями — “плотностями тока” — и параметрами описания. Движение жидкости описывается скоростью V. Для твердого тела, не проявляющего гидродинамического поведения, параметрами состояния будут полные смещения и полные пластические дисторсии, скорость V равна нулю. При этом система уравнений (45),

(46) по виду останется без изменений. Изменения кос-

нутся лишь определения тензора плотности потока дефектов

J =

Э6

дt

и импульса среды ди

Р =p-

дt ’

входящего в первое уравнение (45) и уравнение динамического равновесия. Твердое тело, проявляющее гидродинамическое поведение, будет описываться полным набором параметров и, Р, V.

5. Законы сохранения

5.1. Теорема живых сил [22]

Получим выражение работы внешних сил, используя уравнение динамического равновесия (40). Для этого (40) скалярно умножим на (Эи/Эt - V) и проинтегрируем по объему W, занятому твердым телом,

|(V-а)-f ди-V IdW =

W

дt

InpPu - V I dW• 21 ^

Выражение (63) легко приводится к виду

IT ’(ди - V jdS = Iа: “ V IdW I

д f p f ди

где T = n • ст — напряжения на поверхности; n — внешняя единичная нормаль к поверхности S, ограничивающей объем W. Согласно ранее принятому соглашению у величин (ди/dt)tot, Vtotpl верхние индексы опущены. Интеграл в левой части (64) представляет приращение работы внешних сил, которая расходуется на работу эффективных напряжений ст на скоростях упругих смещений (первый член в правой части) и изменение кинетической энергии. Рассмотрим выражение ст: V((du/dt)tot - Vtotpl). Согласно (13) полную дистор-сию можно представить в виде:

— VUtot = — Rtotel | д Qtot.pl

dt dt dt или

dj-tot

V U = VVtotel + VVtotpl dt '

Поменяв порядок дифференцирования

!vu“ =Vdu^,

dt dt

преобразуем интересующее выражение следующим образом:

д

д

а: | _в +_в“р1 -УУ дї дї

д дї д дї

7-tot.pl 1 -

- а: | А в“-е1 У а:( УУ “р1 в“р1

-

-а:| Ав“.е1

а:у.

Последнее равенство получено с учетом определения тензора плотности потока дефектов (22). Представляет интерес рассмотреть элементарную работу эффективных напряжений на скоростях пластических дисторсий или потоках дефектов ст : у. В теориях пластичности работа напряжений на скоростях пластических деформаций рассматривается как мощность рассеянной энергии [23], а величину

А - а

принимают за меру упрочнения материала [2]. В феноменологических теориях пластичности физический смысл А не может быть выяснен. Для выяснения этих понятий запишем выражение ст : у следующим образом:

а: У--5 (Уха): у - В ^: у.

При этом было использовано последнее уравнение системы (45). К правой части (67) прибавим выражение, тождественно равное нулю, согласно второму уравнению (45),

"Л

5^ху): а-5-а: а.

Эt

Используя тождество

V • (аХу) = (Vха): у - (V ху): а, уравнение (67) можно записать следующим образом:

. д 5а2 + Ву2 т,х,

а:У - —------ -----(аху).

дї 2

Проинтегрируем (68) по объему, занимаемому телом, и переходя к поверхностному интегралу в последнем члене правой части, получим выражение работы эффективных напряжений на скоростях пластических дистор-сий через напряженности поля дефектов:

[ (а: у )Ш---|

д Г5а2 + В]2

-

W

-51dS • (аху).

Полученное уравнение показывает, что эта работа идет на изменение кинетической и потенциальной энергии

дефектов (первый интеграл в правой части) и на поток энергии через поверхность тела (второй интеграл). Из (69) следует, что мера упрочнения материала определяется изменением полной энергии поля дефектов

А =-------|

дї

д г 5а + Ву

Окончательно, выражение теоремы живых сил с учетом (65) и (69) запишется в виде

д г 5а + Ву

+

ш V дв

[а: + 51 йЪ • (ах у),

дї

где Тй5 - йТ. Таким образом, мощность поверхностных сил идет на изменение кинетической энергии материальной среды, на изменение энергии поля дефектов, упругой энергии среды и потока энергии поля дефектов через поверхность твердого тела. Выражение (70) можно переписать в ином виде

|йТ •[ - У \й5 -

дї

Эт

дї

р (ди ЛЛ2 5а2 + Ву1 а

—|---------У \ +--------------— + а: в

21 дї I 2

-

Ш _

[(£: в + 51 • (ах у).

Левая часть двух последних равенств может обратиться в нуль в двух случаях. При dT = 0, что предполагает постоянство нагрузки в точках граничной поверхности, и при нулевой скорости смещений точек поверхности Эи/Эt - V = 0. Если предположить дополнительно, что в объеме среды Эст|Эt = 0 при </Г = 0, что соответствует ползучести под действием постоянных напряжений, то из (71) следует равенство

д

дї

р (ди 12 5а2 + Ву2

—|---------У \ +-------------— + а: в

21 дї I 2

-

-5 [ • (ах у),

означающее, что поток энергии через поверхность происходит за счет изменения полной энергии.

При ди/дї - У - 0 будем считать, что дв/дї - 0, что соответствует релаксации напряжений, заданных на гра-

+

нице. Согласно (71), процесс релаксации происходит за счет изменения кинетической энергии материальной среды и энергии поля дефектов

э_[

дї

р| ди - У? + 5а2 + Ву2

21 дї I 2

--51 йЪ • (ах у).

ды, характеризующие поле дефектов Р и V. Авторы [10] считают, что независимые внутренние переменные определяют каналы диссипации энергии и, следовательно, полевые уравнения Лагранжа моделируют диссипативные процессы. По-видимому это не так, поскольку противоречит закону сохранения энергии-импульса.

5.2. Законы сохранения тензора энергии-импульса

Определив плотность лагранжиана (38), можно записать выражение тензора энергии-импульса

ЭL ЭРп„ ЭL ЭVm

_____________дв«т +__________________

д(двят/дха) дху д(дVm/дxа) дху

дL

ди

д(дит/дха) дх

т -8aL,

где а, у = 0, 1, 2, 3; п, т = 1, 2, 3. Закон сохранения тензора энергии-импульса имеет вид

Та - 0.

дха у

При у = 0 имеем закон сохранения энергии. Подставив в предыдущие выражения значение плотности лагранжиана (38) и выполнив необходимые вычисления, получим следующее выражение закона сохранения энергии:

д ( ди 1] ди

-У •а!—| р------У \-----

дї Гдї I дї

5Уха + В 1 + а : дв-дї _ дї

ВУ • у + —(р— - У

дї Гдї

дУ

дї

- 0.

Если у принимает значения пространственных координат, то (73) представляет закон сохранения импульса, который имеет вид

д ( ди -У^а + —| р-----У

дї Гдї

5Уха + В — +а дї

иУ +

: вУ-

ВУ • у +— (р— - У

дї Гдї

УУ - 0.

Поскольку поля и, Р и V независимы, то законы сохранения (74) и (75) выполняются, если выражения в квадратных скобках равны нулю. Последние представляют динамические уравнения Лагранжа (40), (42), (44). Таким образом, все решения динамических уравнений удовлетворяют законам сохранения энергии-импульса. Из теоремы живых сил следует, что работа внешних нагрузок перераспределяется во внутренние степени свобо-

5.3. Полевые напряжения и импульс [24]

Согласно (45), при отсутствии внешних воздействий напряжения и импульс обусловлены полями дефектов в материальной среде. Если заданы поля дефектов а, у, то определение импульса и напряжений сводится к операциям дифференцирования известных величин (а,у). Система уравнений традиционной теории дефектов, описывающая динамику упругого тела с заданными а,у [12], имеет вид

а

- -Ухвр1, У^а-р

д2 и дї2 ,

где и — вектор полных смещений; Рр1 — пластическая дисторсия. Напряжения могут быть найдены по закону Гука

а

- С(Уи-вр1),

где С—тензор упругих модулей четвертого ранга. Подставляя выражение закона Гука в уравнение динамического равновесия

д и

У • (СУи) -р—г - У • (Свр1), дї2

получим возможность определить полные смещения при заданном распределении пластической дисторсии. По известным Рр1, используя (76), можно определить некоторое распределение дефектов. Таким образом, традиционная континуальная теория дефектов описывает динамику упругого тела с заданным распределением

а,у.

Поля дефектов (а, у) создают в материальной среде напряжения и импульс (45). В то же время, дефекты, погруженные в материальную среду, испытывают воздействия, обусловленные этими напряжениями и импульсами. Выразим эти воздействия, используя выражение (46),

F = ст?а + у ф!.

В этом случае сила F описывает самодействие поля дефектов, которое осуществляется через материальную среду. Поскольку ст, рV обусловлены полями а, у, воспользуемся полевыми уравнениями (45). Подставляя значения ст, рV из (45), получим

5 (Уха) + В д-дї

ха + Ву • (У^ у).

+

+

+

+

В правую часть прибавим два тождественно равных нулю члена

Ву ^ ^х у ^+а^ (V • а), выражение для силы запишется следующим образом: F = 5 (ха) Ха + а^ ^а))+

+ в( х () ( у + у • (V • у))- в) X у + ах-| Учитывая тождества

1 2

(Vха)ха = а:(Vа)-—Vа ,

а • (V • а) = а • (а • V) + а: ^а),

первое выражение в фигурных скобках можно представить как

1 2

^ха)Ха + а^(V•а) = V• (а^а)- — Vа .

Подобным образом преобразуем второе выражение в фигурных скобках относительно у. Учитывая эти преобразования, получим следующее выражение для силы:

F = V • |( 5а • а + Ву • у) -1 (5а2 + Ву2) -- В-(аху). Эt

При отсутствии посторонних воздействий поля дефектов должны быть самоуравновешены, то есть F = 0, отсюда следует

V • |( 5а • а+Ву • у) -1 (5а2 + Ву2) =

Э

= В-(ах у). Эt

В результате самодействия дефектов возникают полевые напряжения

8 2 2 аf -

и импульс

Р - В(аху).

Таким образом, континуум дефектов является самостоятельной подсистемой, которая обладает энергией

и в которой возникают напряжения (80) и импульс (81). Это дает основание рассматривать континуум дефектов как поле с напряженностями а, у, то есть как физический объект. В нашем случае континуум дефектов можно трактовать как непрерывное распределение локальных неоднородностей, характеризуемых векторами скачков смещений (векторами Бюргерса). Другими словами, континуум дефектов есть поле векторов смещений Ь, характеризуемое напряженностями

аь аь

а = — и у =—. а5 у м

Полевой импульс (81) и вектор потока энергии (83) связаны соотношением

Ь = 5 р = С2 р,

В

где величина 5/В, имеющая размерность скорости, определяет скорость распространения дефектов С в материальной среде. Можно ввести понятие эффективной плотности покоя поля дефектов р*:

Е = р*С1 .

отсюда

Вопросы полевой природы дефектов, уравнений движения и массы обсуждаются достаточно давно в литературе (например в работе [15]). Учитывая полевые выражения напряжений (80) и импульса (81) в уравнениях (45), получим нелинейную систему динамических уравнений

BV• у = -р( ^ - V) + В(ах у),

Эt

V•а = 0, V х у = —,

' Эt

5Vха = -B-ст+5^а•а-—а2 |+ дt

+ В( у у - | / описывающих динамику дефектов и удовлетворяющих уравнению равновесия

Е -

5а2 + Ву 2

+ В| у •у - 8 у2

а+5| а^а--8а2 \ +

может переносить энергию, характеризуемую вектором потока

Ь - 5 (ах у),

5.4. Напряжения зарождения дефектов

Для определения напряжений запишем потенциальную энергию деформируемого тела с учетом полевых

напряжений (80). Появление напряжений в ансамбле дефектов обуславливает напряжения с обратным знаком в материальной среде. С учетом этого эффективные напряжения (33) можно записать следующим образом:

_е1 _ех^ _еШ _ _ ,_.т СТ = СТ +СТ - СTf = СТ - СTf*

Для простоты оценок предложим, что в деформируемом теле плотность дефектов определяется только одной компонентой (винтовой или краевой). В этом случае нет необходимости писать координатные индексы. Как следует из (80) полевые напряжения можно оценить следующим образом

5 2 стг = — а ,

1 2

а для потенциальной энергии записать приближенное равенство

2

П

1

2Е

стт —а2 | +—а'

Исследуем потенциальную энергию на экстремум по плотности дефектов

ЭП

Эа

5

-5а2 |а+ 5а = 0.

Из (87) следует, что экстремальное значение потенциальной энергии при а = 0 представляет чисто упругую энергию материальной среды. Второе значение а, при котором существует экстремум, определяется выражением

а =

2Е

Л

А

--1

Действительные значения плотности дефектов имеют место при

стт > Е или стеХ > Е - стеШ.

В совершенном материале без внутренних напряжений стеШ = 0 и зарождение дефектов будет происходить при достижении стеХ критической прочности материала, определяемой упругими константами. Таким образом, внутренние напряжения понижают порог зарождения дислокаций, что является хорошо известным результатом.

6. Заключение

Сравнительный анализ составляющих полной деформации на основе представлений механики сплошной среды и континуальной теории дефектов позволил определить параметры описания деформируемого тела, характеризующие напряженно-деформированное и структурное состояния. В качестве величин, определяющих структурное состояние, рассмотрены тензоры плотности и потока дефектов. Определение тензора плотнос-

ти потока трансляционных дефектов, используемое в данной работе, несколько отличается от общепринятого в континуальной теории дефектов [12]. Получены динамические уравнения полевой теории дефектов. В частном случае последние переходят в уравнения гидродинамики. В целом, в рамках развиваемой модели может быть рассмотрено поведение жидкости, деформируемого твердого тела, проявляющего гидродинамические свойства и не обладающего таковыми.

Рассмотрена завихренность течения жидкости. Следует отметить, что завихренность течения жидкости, не равную нулю в некоторой точке, можно истолковать как некоторую плотность дефектов жидкости, обусловленных скачком вектора скорости, по аналогии с определением тензора плотности дислокаций. Таким образом, в деформируемом твердом теле, проявляющем гидродинамическое поведение, наряду с дефектами трансляционного типа, обусловленными полем скачков упругих смещений, могут существовать динамические дефекты (завихренности), определяемые полем скачков скоростей.

Анализ полей дефектов позволил установить, что поля дефектов обладают импульсом, энергией и осуществляют взаимодействия между эффективными напряжениями среды и импульсом. Поля дефектов следует понимать не просто как заданные непрерывные функции в некоторой области материального тела, а как физический объект, характеризуемый напряженностями — тензором плотности а и плотности потока у. Это вывод следует также из аналогии полевых уравнений дефектов и уравнений электродинамики.

Авторы благодарны профессорам В.И. Данилову и С.Г. Псахье за обсуждение работы, академику В.Е. Панину и профессору Ю.А. Хону за конструктивные замечания.

Литература

1. Пэжина П. Основные вопросы вязкопластичности. - М.: Мир, 1968. - 176 с.

2. Качанов Л.М. Основы теории пластичности. - М.: Наука, 1969. -420 с.

3. СедовЛ.И. Механика сплошной среды. - М.: Наука, 1976. - Т. 2. -

573 с.

4. Гриняев Ю.В., Чертова Н.В. О структуре полной деформации в рамках континуальной теории дефектов // Письма в ЖТФ. -1996. - Т. 22. - Вып. 10. - С. 10-13.

5. ГриняевЮ.В., Чертова Н.В. Анализ полной деформации в конти-

нуальной теории дефектов // Изв. вузов. Физика. - 1996. - № 2. -С. 113-114.

6. Хан Х. Теория упругости. - М.: Мир, 1988. - 343 с.

7. Кренер Э. Общая континуальная теория дислокаций и собственных

напряжений. - М.: Мир, 1965. - 104 с.

8. Онами М., Ивасимидзу С., Гэнка К. и др. Введение в микромеханику. - М.: Металлургия, 1987. - 280 с.

9. Мясников В.П., Гузев М.А. Неевклидова модель деформирования материалов на различных структурных уровнях // Физ. мезомех. -2000. - Т. 3. - № 1. - С. 5-16.

10. Кадич А., Эделен Д. Калибровочная теория дислокаций и дис-клинаций. - М.: Мир, 1985. - 168 с.

СТ

11. Edelen D.G.B., Lagoudas D.C. A gauge theory and defects in solids. -Amsterdam: North Holland, 1988. - 189 p.

12. ЛандауЛ.Д., ЛифшицE.M. Теория упругости. - М.: Наука, 1987. -

248 с.

13. Конева Н.А., Козлов Э.В. Физическая природа стадийности пластической деформации // Изв. вузов. Физика. - 1990. - № 2. - С. 89106.

14. Лихачев В.А., Волков А.Е., Шудегов В.Е. Континуальная теория дефектов. - Л.: Изд-во Ленинград. ун-та, 1986. - 230 с.

15. Косевич А.М. Дислокации в теории упругости. - Киев: Наукова думка, 1978. - 220 с.

16. Гриняев Ю.В., Чертова Н.В. Калибровочные теории пластической деформации в механике сплошных сред // Изв. вузов. Физика. -1990. - № 2. - С. 36-50.

17. Гриняев Ю.В., Чертова Н.В. Механические свойства материалов и предмет описания калибровочной теории // ЖТФ. - 1998. -Т. 68. - № 7. - С. 70-74.

18. Grinyaev Yu. V, Chertova N.V Gauge theory applied to medium with internal structure and defects // Theor. Appl. Fract. Mech. - 1998. -V. 28. - P. 231-236.

19. Гpuняeв Ю-B., Чepmoвa H.B. Физическое содержание калибровочной модели, описывающей среды со структурой и дефектами // ПМТФ. - 1999. - Т. 40. - № 6. - С. 163-168.

20. Aкyлoв H.C. Дислокации и пластичность. - Минск: Изд-во АН БССР, 1961. - 110 с.

21. Лaндay Л.Д., Л^ф-Mu^ E.M. Гидродинамика. - М.: Наука, 1986. -736 с.

22. Гpuняeв Ю-B., Чepmoвa H.B. Теорема живых сил в упругом континууме с дефектами // ЖТФ. - 1998. - Т. 68. - № 3. - С. 82-83.

23. Pa6om^e Ю-H. Механика деформируемого твердого тела. -М.: Наука, 1979. - 744 с.

24. Гpuняeв Ю-B., Пнт B.E. Полевая теория дефектов на мезоуровне // ДАН. - 1997. - Т. 353. - № 1. - С. 37-39.