Анализ степенных автомодельных решений задачи о формировании трещины гидроразрыва

УДК 539.3

АНАЛИЗ СТЕПЕННЫХ АВТОМОДЕЛЬНЫХ РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ О ФОРМИРОВАНИИ ТРЕЩИНЫ ГИДРОРАЗРЫВА

Н. Н. Смирнов, В. Р. Тагирова

Настоящая работа посвящена исследованию задачи о распространении трещины гидроразрыва в пористой среде. Процесс формирования трещины описывается в предположениях, что ширина трещины много меньше ее высоты и длины, жидкость гидроразрыва несжимаемая, ньютоновская, инерцией течения жидкости гидроразрыва внутри трещины пренебрегаем. В работе представлены случаи асимптотически малого и большого просачивания жидкости через стенки трещины в окружающий пласт. Предъявлено однопараметрическое семейство автомодельных решений для определения эволюции ширины и длины трещины, скорости жидкости в трещине и глубины просачивания в случае, когда на входе в трещину задан расход жидкости как степенная функция времени. Проведен анализ степенных автомодельных решений, полученных численно, для асимптотически большого и малого просачивания жидкости в пласт.

Технология гидроразрыва получила широкое распространение в индустрии нефтедобычи. Формирование трещины гидроразрыва в нефтесодержащем пласте — один из способов эффективного повышения нефтеотдачи скважины. Основной задачей теории гидравлического разрыва является исследование распространения трещины под напором заполняющей ее жидкости. Этой задаче посвящен ряд теоретических работ [1—8], в которых построены различные модели формирования трещины в зависимости от величины коэффициента интенсивности напряжений породы, асимптотической величины оттока жидкости сквозь стенки трещины и реологии жидкости.

1. Постановка задачи. Опишем процесс распространения трещины гидроразрыва в пористой среде в рамках модели [7]. Примем следующие предположения: характерная ширина трещины 5 много меньше ее высоты h и характерной длины L (5 ^ h ^ L), инерционные силы пренебрежимо малы, жидкость гидроразрыва несжимаема. Вертикальная трещина имеет постоянную высоту h = const. Предположение о малом раскрытии трещины позволяет принять гипотезу плоских сечений [1], согласно которой напряженные состояния двух сечений, перпендикулярных линии распространения трещины, независимы. Таким образом, связь между напряжениями и деформациями в сечениях yOz можно считать такой же, как для однородной в направлении Ox плоской трещины (рис. 1). Упругопористая среда изначально пропитана жидкостью, вязкость которой меньше, чем вязкость жидкости гидроразрыва. Предполагаем, что направление фильтрации жидкости гидроразрыва из трещины в проницаемый пласт перпендикулярно вертикальной плоскости xOz. Движение жидкости и фильтрация в пласте описываются следующими уравнениями [7]:

Рис. 1. Схема трещины гидроразрыва: 3(1, х) — ширина трещины, осредненная по высоте трещины; Г(Ь,х) — глубина просачивания жидкости гидроразрыва в грунт; Ъ(Ь) — длина трещины

dS_ d(Su) _ _v 2h dt dx '

дР 12а

s; =

дРг а

Ж =

где S — площадь поперечного сечения, 5 = S/h — осредненная по высоте толщина трещины, v = v(t, x) — скорость жидкости по нормали к берегам трещины, u = u(t, x) — скорость жидкости вдоль трещины, P — избыточное давление в трещине над давлением в грунте, Pr — давление жидкости гидроразрыва в грунте, а — вязкость жидкости, к — проницаемость грунта.

В конце трещины x = L(t) заданы следующие граничные условия:

Г(Ь) = 0, 5(L)= 0, ^ = 00,

где Г(t,x) — глубина просачивания жидкости гидроразрыва в пласт. В начале трещины x = 0 можно задать: 1) расход жидкости Q(0, t) = hu5 либо 2) давление жидкости Р(0, t) = b5. В настоящей работе рассмотрен пример, когда на входе в трещину задан расход, однако результаты анализа автомодельных решений справедливы и в том случае, когда на входе в трещину задано давление.

Гипотеза плоских сечений позволяет свести соотношение между шириной трещины и давлением жидкости к локальному оператору. Тогда, используя соотношение между шириной трещины и давлением в жидкости для плоской трещины [9], приходим к формуле [7]

Р = Ъ8, b=

п(! - va

где va — коэффициент Пуассона, fxa — модуль сдвига материала.

Преобразуем систему уравнений (1)—(3). Выражая давление жидкости в трещине P и площадь поперечного сечения S через ширину трещины 5, интегрируя уравнения Дарси для скорости фильтрации жидкости (3), получим систему уравнений для ширины трещины, глубины просачивания и скорости движения жидкости [7]

е2 д5 b дГ2 kb .

и=~К6Ш' K = m=const' -дГ = 2а6>

дХ до Li

д5 _д5\2 3 д25 . nkb 5

__( _ ) Кб _2___О

сМ \дх ) дх2 /л Г

2. Анализ безразмерной системы уравнений. Введем безразмерные переменные:

~ 5*' и*' Х ~ I*' У ~ у*' <2*'

где 6* = ^*Ь*/(ЬК))1/4 — характерная ширина трещины, Q* = Ь6*и* — характерный расход жидкости

на входе, Ь* — характерная длина трещины, и* = (К^*)3/(Ь3Ь*)^1/4 — характерная скорость жидкости

вдоль трещины, у* = (кЫ*6*/ц)1/2 — характерная глубина пропитки, Ь* — характерное время процесса. В пренебрежении просачиванием через стенки трещины характерное время процесса равно времени раскрытия трещины Ь* = Ь*/и*. В случае когда просачивание существенно, Ь* ^ Ь*/и*. Система (4) в безразмерных переменных примет вид

« =

=

дЬ \дх ) дх2 В у'

В системе уравнений присутствуют два параметра подобия [7]: БЬ = Ь*/(и*Ь*) и В = ¡лу*и*/(кЬЬ*). Параметр БЬ = Ь6*Ь*/(Ь6*и*Ь*) можно представить как отношение объема трещины к объему жидкости,

втекающей в трещину за характерное время процесса. Интегрируя уравнение (3) на отрезке [0, Г] и выражая характерную глубину просачивания у* через характерную скорость жидкости V*, перпендикулярную берегам трещины, получим равенство В = Н5*п*/(НЬ*V*). Таким образом, параметр В равен отношению объемного расхода жидкости, втекающей в трещину, к характерному объемному расходу жидкости, уходящей через стенки в пористую среду.

В зависимости от порядка величины параметров подобия В и БН задачу можно разбить на три случая.

I. Малое просачивание жидкости в грунт: В ^ 1, БН ~ 1. Следовательно, в уравнении (7) отсутствует слагаемое с В в знаменателе, что исключает глубину просачивания у(Х, из рассмотрения. При этом глубина просачивания остается конечной и определяется из (6).

II. Интенсивное просачивание жидкости в грунт: БН ^ 1, В ~ 1. В этом случае последнее уравнение системы содержит только производные по координатам.

III. Конечное просачивание: В ~ 1, БН ~ 1. В этом общем случае все члены уравнений системы (5)—(7) порядка единицы.

Решения полученных систем уравнений для трех различных режимов просачивания подробно исследованы на наличие автомодельных решений в работе [10]. В результате анализа было установлено, что асимптотические случаи малого и интенсивного просачивания имеют автомодельные решения только двух типов: степенные и экспоненциальные. При этом в асимптотических случаях существует однопа-раметрическое семейство автомодельных решений, где в качестве параметра выступает показатель а в степенном или экспоненциальном законе изменения расхода (или давления) жидкости со временем на входе в трещину. В общем случае умеренного протекания существуют только два точных решения по одному для каждого граничного условия на входе [10], поэтому в дальнейшем ограничимся рассмотрением предельных случаев I, II.

3. Построение автомодельных решений. Для каждого предельного случая существуют два типа автомодельных решений — степенной и экспоненциальный. В свою очередь для каждой системы автомодельных решений можно поставить два различных условия на входе в трещину — расход или давление жидкости. В настоящей работе будут представлены две постановки задачи из восьми возможных, а именно степенные автомодельные решения в случаях малого и интенсивного просачивания при заданном расходе.

I. Малое просачивание жидкости в грунт. Степенные автомодельные решения. Ищем решения системы (5)—(7) в автомодельном виде при степенном законе изменения со временем:

Получим

и

¡(У 2

т£ —— - 2§Г2 + Б = 0,

ас,

а2 б о/ (Ш\2 гю

1Г-—+ + т£—-п£> = 0.

Граничные условия в конце трещины £ = £о запишутся следующим образом:

¡(В

о) = 0, £>

Постоянная величина £о, соответствующая координате конца трещины, определяется численно. В качестве граничного условия на входе в трещину £ = 0 задан расход жидкости

Ш) = ГЯ0,

где а и — известные константы. Расход жидкости в безразмерных переменных по определению равен СЦ = ¡гиб. Подставляя степенную замену (8) в данное определение и используя (13), получим соотношение для функции В(£) в начале трещины

ав

Ва

Граничное условие (13) позволяет определить зависимость степеней п, т, г, в от параметра а:

2а + 1 3а — 1 3а + 4 а + 3

п = —-—, г = —-—, т = —-—, 5 = ^—.

5 5 5 5

Асимптотическое поведение границы трещины в окрестности носика подчиняется следующему степенному закону: Б(£) & (3т£о(£о — £))^3•

Скорость жидкости в окрестности конца трещины асимптотически приближается к константе:

и

II. Интенсивное просачивание жидкости в грунт. Степенные автомодельные решения. Решения ищем в виде (8). Система уравнений (5)—(7) в автомодельных переменных соответствует уравнениям (9), (10) и

->з ^ , , |-ч2 (¿Б V „.Б

Граничные условия в конце трещины £ = {о имеют вид (12). На входе в трещину £ = 0 задан расход жидкости (13). Граничное условие для системы (9), (10), (17) аналогично (14).

В случае интенсивного просачивания жидкости в грунт условия на входе £ = 0 отличаются соотношениями для степеней п, т, г, в. Зависимость показателей степеней от параметра а примет вид

4а + 1 5а — 1 7а + 4 2а + 5

п =-, г =-, т =-, в =-.

9 ' 9 ' 9 ' 9

Соотношения (15) и (18) позволяют проанализировать зависимость искомых функций в автомодельных переменных от параметра а. Из табл. 1 видно, что значения параметра а в первых двух столбцах не соответствуют условиям задачи о росте трещины и из рассмотрения исключаются.

Таблица 1

Изменение основных характеристик трещины со временем в зависимости от параметра а в случае малого и интенсивного просачивания жидкости в грунт при степенной автомодельной

замене и заданном расходе на входе в трещину

Малое просачивание

а < —3 -3 < а < -4/3 -4/3 < а < -1/2 -1/2 < а < 1/3 1/3 < а

Интенсивное просачивание

а < -5/2 -5/2 < а < -4/7 -4/7 < а < -1/4 -1/4 < а < 1/5 1/5 < а

т,п,г, в <0 то, п, г < 0; 0 ^ в 0 < в; 0 ^ то; п, г < 0 0 < то, в; 0 ^ п; г < 0 0 < то, п, в; 0 ^ г

Длина, ширина Длина, ширина Длина трещины Длина, ширина Длина, ширина

трещины, трещины и и глубина трещины и трещины,

скорость скорость жидкости просачивания глубина скорость

жидкости и убывают, а возрастают, а просачивания жидкости и

глубина глубина ширина трещины возрастают, а глубина

просачивания просачивания и скорость скорость жидкости просачивания

убывают со возрастает со жидкости убывают убывает со возрастают со

временем временем со временем временем временем

Таким образом, задача о формировании трещины гидроразрыва в пористой среде сведена к решению систем обыкновенных дифференциальных уравнений (9), (10), (11) или (17).

Три граничных условия на конце трещины и одно граничное условие на входе в трещину превышают необходимое количество краевых условий. Лишнее граничное условие позволяет численно найти величину £о. Поскольку величина £о указывает на конец трещины в автомодельных переменных, то она войдет в краевые условия дифференциальной системы уравнений для каждого отдельного случая I, II. При этом для каждой системы уравнений величина £о будет своей.

Итак, системы (9), (10), (11) или (17) с граничными условиями (12), (14) и с условиями на входе (15) или (18) сведены к задаче Коши. Этот метод перехода от краевой задачи к задаче Коши значительно облегчает численный расчет и позволяет найти величину £о.

Изложим данный метод для случая интенсивного протекания жидкости гидроразрыва в грунт. Полученную краевую задачу (9), (10), (17) при условиях (12), (14) и (18) сведем к задаче Коши следующей заменой. Представим искомые функции В(С) и У(С) в виде

В(С) = С4/7 р

4/7 „( Со ~С

Со

У (С) = Со^т

2/7гг( Со ~ С

Со

Чтобы функции В(С) и У(£) в таком виде удовлетворяли уравнениям (10) и (17), необходимо и достаточно, чтобы новые функции Р(ц) и Т(ц), где ц = (Со — С)/Со, являлись решением системы

при начальных условиях

(Т 2

т(г] - 1) — - 2зТ2(г]) + Р(г?) = 0,

Т

Решая задачу Коши (20), (21) численно, найдем значение Р(1), с помощью которого определим Со из

соотношения £о = (Р3(1)Р'(1))-7/9.

Функции В(£) и У(£) вычисляются из соотношений (19). Функция и(С) находится непосредственно из уравнения (9).

Для случая интенсивного просачивания жидкости гидроразрыва асимптотическое поведение границы трещины в окрестности носика представится в виде В(£) ~ 3,659(т£о)1/7(Со — С)3/7.

При этом граница области просачивания и скорость движения жидкости в окрестности конца трещины имеют следующие асимптотические приближения:

У (С) » 1,6004(тСо )-3/7 (Со - С)5/7, и (С) » 20,9946(тСо )3/7(Со - С)2/7.

4. Анализ результатов. В результате численных расчетов были получены графики зависимостей основных характеристик течения от продольной координаты в автомодельных переменных. В качестве примера выбраны значения параметра а = -1/4, 0,1/4, соответствующие четвертому столбцу табл. 1.

Не теряя общности, рассмотрим график функции ширины трещины В (С) для случая интенсивного просачивания жидкости в пласт (рис. 2) и график глубины просачивания У (С) — для режима малого просачивания (рис. 3), поскольку в обоих предельных режимах пропитки функции имеют качественно одинаковый характер зависимости от продольной координаты.

Функция В(С) убывает на отрезке [0, Со], что соответствует ожидаемому результату: ширина трещины в начале больше, чем вблизи ее конца. График функции В (С) расположен под прямым углом к координатной оси в точке Со. Это является следствием условия существования асимптотического приближения решения для систем уравнений (9), (10), (11) или (17). Согласно теории трещин в упругой среде [11], затупленный профиль конца трещины соответствует ненулевому коэффициенту интенсивности напряжений. В нашей постановке задачи модель упругой среды применяется лишь в вертикальных сечениях трещины. В силу гипотезы плоских сече-

Рис. 2. Зависимость ширины трещины от продольной координаты в автомодельных переменных В (С) при следующих значениях параметра а: 1 — а = -1/4, 2 — 0, 3 — 1/4. Случай интенсивного просачивания жидкости в грунт при степенной автомодельной замене и заданном расходе на входе в трещину

ний напряженные состояния в соседних сечениях друг от друга не зависят. Следовательно, в горизонтальной плоскости хОу для плоской трещины коэффициент интенсивности напряжений не существует и полученный профиль трещины не противоречит постановке задачи.

В рамках одного предельного случая значение Со, так же как и максимум функции В(С), больше при отрицательных значениях параметра а, чем при положительных (табл. 2):

С+о < Со < С-с

В+ < Во <В_.

Неравенство (22) для В(С) является следствием того, что график В (С) соответствует времени, при котором объем закачанной жидкости в начало трещины также больше при отрицательных а, чем при положительных [10].

Рассмотрим изменение глубины пропитки У(С) вдоль трещины (рис. 3). Глубина просачивания жидкости убывает в продольном направлении трещины аналогично изменению границы трещины В(С). Предположение о том, что вязкость жидкости, изначально пропитывающей грунт, меньше вязкости жидкости гидроразрыва, объясняет устойчивость вытеснения в процессе фильтрации и позволяет считать поверхность пропитки гладкой.

В отличие от ширины трещины и глубины просачивания скорость жидкости и (С) для двух предельных режимов просачивания имеет различный характер зависимости от продольной координаты (рис. 4, а, б).

Скорость и (С) соответствует продольной составляю-

Рис. 3. Зависимость глубины пропитки от продольной координаты в автомодельных переменных У (С) при следующих значениях параметра а: 1 — а = -1/4, 2 — 0, 3 — 1/4. Случай малого просачивания жидкости в грунт при степенной автомодельной замене и заданном расходе на входе в трещину

щей скорости жидкости внутри трещины. При интенсивном режиме просачивания большая часть жидкости отфильтровывается в стенки трещины и движение жидкости в продольном направлении трещины замедляется к ее концу. Скорость жидкости убывает в направлении распространения трещины (рис. 4, б), не достигая нуля.

Таблица 2

Зависимость автомодельной координаты конца трещины Со от параметра а в случае малого (I) и интенсивного (II) просачивания жидкости в грунт при степенной автомодельной .замене и заданном расходе на входе в трещину

а I II

-1/4 £_о « 1,247931 ~ 0,05239

0 « 1,002625 « 0,044887

1/4 £+0 « 0,844714 £+0 « 0,04002

В случае малого просачивания стенки трещины почти непроницаемы, следовательно, трещина распространяется практически с той же скоростью, что и жидкость. Функция и (С) медленно изменяется вдоль трещины и вблизи ее конца стремится к константе (рис. 4, а). Постоянство скорости жидкости в окрестности конца трещины следует из асимптотического приближения (16).

Поскольку длина трещины равна Ь = Сото скорость носика трещины также можно вычислить по формуле и (Со) = шСо^-г-1. Следовательно, для случая малого просачивания скорость конца трещины равна и (Со) = Со (3а + 4)/5, что также соответствует асимптотическому приближению скорости жидкости в окрестности трещины (см. (16)).

Так как и (Со) зависит не только от значения Со, подчиняющегося неравенству (22), но и от параметра а, то соотношение для скоростей носика трещины при различных по знаку а будет выглядеть следующим образом: ио < и+о < и-о. В случае интенсивного просачивания верна формула и (Со) = СоЬ(2а-4)/9(7а + 4)/9. И при Ь = 1 получим неравенство и-о < ио < и+о. Вследствие соотношения (22) для Со, а также полученных неравенств для и (Со) при различных а можно наблюдать пересечения графиков функций на рис. 4, а, б.

5. Заключение. Рассмотрена задача о распространении трещины гидроразрыва в пористой среде. Система уравнений этой задачи имеет автомодельные решения только двух типов — степенные и экспоненциальные. В приближении малого или интенсивного протекания жидкости сквозь стенки трещины существует однопараметрическое семейство автомодельных решений обоих видов. В качестве параметра а выступает показатель в степенном (или экспоненциальном) законе изменения расхода (или давления) со временем на входе в трещину.

Рис. 4. Зависимость скорости жидкости в трещине от продольной координаты U(£) при следующих значениях параметра а: 1 — а = —1/4, 2 — 0, 3 — 1/4 в случае малого (a) и интенсивного (б) просачивания жидкости в грунт при степенной автомодельной замене и заданном расходе на входе в трещину

В работе в качестве примера рассмотрены два из восьми возможных случаев постановки задачи — режимы малого и интенсивного протекания для степенной автомодельной замены при заданном расходе. Предложен метод, сводящий полученную краевую задачу к задаче с начальными условиями. В результате численных расчетов определено изменение раскрытия трещины, глубины пропитки жидкости в грунт и скорости жидкости в зависимости от продольной координаты. Найдено асимптотическое поведение границы трещины, глубины просачивания и скорости жидкости в окрестности носика трещины.

Проведен сравнительный анализ результатов для режимов интенсивного и малого протекания жидкости в грунт в случае степенных автомодельных решений при заданном расходе жидкости как функции от времени. Выявлено, что скорость конца трещины зависит от параметра семейства автомодельных решений а и от автомодельной координаты конца трещины. В приближении малого протекания жидкости гидроразрыва в грунт скорость конца трещины в автомодельных переменных не зависит от времени.

Работа выполнена в рамках программы "Ведущие научные школы" (проект НШ-8270.2006.1) и грантов РФФИ № 05-08-01435, 06-08-00009.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Perkins T.K., Kern L.R. Widths of hydraulic fractures //J. Petrol. Technol. 1961. 13, N 9. 937-949.

2. Nordgren R. Propagation of vertical hydraulic fractures // Soc. Petrol. Eng. J. 1972. 12, N 4. 306-314.

3. Khristianovich S.A., Zheltov Y.P. Formation of vertial fractures by means of highly viscous liquid // Proc. 4th World Petrol. Congr., Rome. Vol. 2. 1955. 579-586.

4. Lister J.R. Buoyancy-driven fluid fracture: the effects of material toughness and of low viscosity precursors //J. Fluid Mech. 1990. 210. 263-280.

5. Adachi J.I., Detournay E. Self-similar solution of a plane-strain fracture driven by a power-law fluid // Int. J. Numer. Anal. Methods Geomech. 2002. 26. 579-604.

6. Garagash D.I. Evolution of a plane-strain fracture driven by a power-law fluid // Proc. ASCE Eng. Mech. Conf. Washington, 2003.

7. Ивашнев О.Е., Смирнов Н.Н. Формирование трещины гидроразрыва в пористой среде // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2003. № 6. 28-36.

8. Hu J., Garagash D.I. Plane-strain fluid-driven fracture propagation in a permeable rock of finite toughness // Proc. ASCE Eng. Mech. Conf. (on CDROM). Delaware, 2004. 1-8.

9. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975.

10. Смирнов Н.Н., Тагирова В.Р. Автомодельные решения задачи о формировании трещины гидроразрыва в пористой среде // Изв. РАН. Механ. жидкости и газа. 2007. №1. 70-82.

11. Седов Л.И. Механика сплошных сред. Т. 2. М.: Лань, 2004.

Поступила в редакцию 10.05.2006