Математическая модель процесса вычисления угловых и линейных координат малогабаритного управляемого летательного аппарата с малым временем полета, двигающегося в начальный период по баллистической траектории

ПРИБОРОСТРОЕНИЕ

УДК 681.2

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА ВЫЧИСЛЕНИЯ УГЛОВЫХ И ЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТ МАЛОГАБАРИТНОГО УПРАВЛЯЕМОГО ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА С МАЛЫМ ВРЕМЕНЕМ ПОЛЕТА, ДВИГАЮЩЕГОСЯ В НАЧАЛЬНЫЙ ПЕРИОД ПО БАЛЛИСТИЧЕСКОЙ ТРАЕКТОРИИ

М.Б. Богданов, В.В. Савельев

В статье приведены математические выражения, положенные в основу алгоритмического обеспечения функционирования бесплатформенной инерциальной навигационной системы. Указанная система применяется на борту малогабаритного управляемого летательного аппарата с малым временем полета, двигающегося на начальном этапе по баллистической траектории.

Ключевые слова: бесплатформенная инерциальная навигационная система, математическая модель, параметры ориентации и навигации.

Управление полетом малогабаритного летательного аппарата (МЛА) осуществляется системой управления, в состав которой входит навигационная система (НС), позволяющая во время движения определять угловые и линейные координаты МЛА относительно выбранной за базовую систему координат (СК), а также параметры его движения (угловые и линейные скорости и ускорения). Информационным ядром НС является бесплатформенная инерциальная навигационная система (БИНС) [21], состоящая из трех датчиков угловой скорости (ДУС), трех акселерометров (АКС) и вычислительного устройства. Первые измеряют проекции вектора скорости вращения на оси связанной с ЛА СК, вторые - вектора кажущегося линейного ускорения на те же оси. В вычислительном устройстве производится обработка сигналов датчиков и вычисление требуемых координат и параметров движения ЛА.

Задаче построения НС для аппаратов, движущихся по баллистической траектории, посвящены работы [10, 20 и др.], однако, «перенос» готовых решений в БИНС малогабаритного объекта нерационален, т.к. приводит к увеличению стоимости НС и её габаритов, а также не позволяет добиться требуемой точности определения координат в характерных условиях эксплуатации. Грамотно проработанная математическая модель процесса вычисления параметров ориентации и навигации является компромис-

8

сом между затратами вычислительных ресурсов и требуемой точностью вычислений. Такая модель позволяет значительно уменьшить влияние погрешностей ДУС и АКС на точность вычисления координат, обосновать требования к структуре БИНС, к её вычислительному устройству и устройствам преобразования сигналов. В связи с изложенным, логичным является тот факт, что стоимость разработки математической модели превышает стоимость вычислительного устройства [13], в котором её предполагается реализовывать в виде программного обеспечения.

Целью статьи является разработка математической модели процесса вычисления угловых и линейных координат, учитывающей особенности эксплуатации БИНС на борту малогабаритного управляемого летательного аппарата с малым временем полета, двигающегося в начальный период по баллистической траектории.

Адекватность предлагаемой математической модели подтверждена экспериментальным путем. По предлагаемой модели разработано алгоритмическое и программное обеспечение для БИНС, чувствительным элементом которой является малогабаритный микромеханический инерциальный измерительный блок АИСТ-350Т [22] (далее по тексту экспериментальная БИНС).

Параметры Земли и системы координат.

Так как решение задач ориентации и навигации происходит относительно Земной поверхности, то необходимо определиться с её моделью. В соответствии с документами [19] воспользуемся параметрами общеземного эллипсоида (ОЗЭ) ПЗ-90.02 [9]: большая полуось а = 6378136 м, сжатие а = 1/298,25784, квадрат первого эксцентриситета

2 2

е = 2а-а » 0,006694366, малая полуось Ь = а-а-а » 6356751 м. Также необходимо знать величину ускорения свободного падения на экваторе ge = 9,7803284 м/с и угловую скорость вращения Земли

^ = 7,292115 -10-5 рад/с. Числовые значения взяты из [8].

С общеземным эллипсоидом связана одноименная геоцентрическая СК ПЗ-90.02 OпЗXпЗYпЗZпЗ (рис. 1), начало OпЗ которой находится в центре Земли, ось OпЗ ZпЗ направлена вдоль оси суточного вращения Земли к северному полюсу, ось OпЗXпЗ лежит в плоскости экватора и направлена так, что плоскость XпЗOпЗZпЗ совпадает с плоскостью Гринвичского меридиана, а ось OпЗYпЗ перпендикулярна осям OпЗXпЗ и OпЗZпЗ и дополняет их до правой СК.

Положение МЛА в СК OпЗXпЗYпЗZпЗ задается углами долготы 1, географической широты ф и высотой Н над средним уровнем успокоенного моря. За базовую систему координат (рис. 2 и рис. 3), относительно которой вычисляются углы рыскания, тангажа и крена, примем горизон-

тальную географическую СК OXgYgZg, начало O которой совмещено с центром масс МЛА, ось OXg направлена по касательной к меридиану на Cевер, ось OYg по линии местной вертикали вверх, а ось OZg по касательной к параллели на восток. Стартовая система координат OXgпсYgZgпс развернута относительно базовой СК OXgYgZg на начальный угол курса ¥ (0). По осям симметрии МЛА направлены оси связанной СК OXсYсZс,

начало которой помещено в центр масс и совпадает с началом горизонтальной географической СК OXgYgZg, ось OXс направлена по продольной оси, ось OYс - по нормальной оси, а ось OZс - перпендикулярна осям OXс и OYс так, что дополняет их до правой СК (рис. 2). На рис. 2 показана ориентация МЛА, заданная четырьмя углами: углом курса ¥, рыскания у, тангажа и и крена у. По сложившейся традиции угол курса откладывается от направления на Север по часовой стрелке. Угол рыскания характеризует отклонение МЛА от плоскости баллистического участка траектории и отсчитывается в той же плоскости, что и угол курса, но положительным направлением является отклонение против часовой стрелки. БИНС расположена в носовой части МЛА (рис. 3), на расстоянии d 0 от центра масс. Оси чувствительности ДУС и АКС направлены вдоль осей ОХс и осей Yб и Zб параллельных осям связанной СК.

Рис. 1. К пояснению систем координат ОпХпзУпЗЯт и OXgYgZg

Рис. 2. К пояснению систем координат OXgпсYgZgпс и ОХ^^а а такжеуглового положения относительно плоскости горизонта

и направления на Север

Рис. 3. К пояснению места расположения БИНС в носовой части МЛА

Схема прохождения основных сигналов в БИНС. На рис. 4 показана схема вычислений угловых и линейных координат по исходным данным и сигналам ДУС и АКС.

Рис. 4. Схема процесса вычислений координат в БИНСМЛА: ю , ю , ю , ах , аУ , а2 - сигналы ДУС и АКС, ґнв - время, требуемое

Хс ,У с ^с с с с

для решения задачи начальной выставки, ¥(0), ф(0), 1(0) и Н(0) - начальные значения угла курса, широты, долготы и высоты

над уровнем моря, И - шаг интегрирования, равен такту получения сигналов от ДУС и АКС, - радиус кривизны нормального

к ОЗЭ сечения, касательного параллели, Яф - радиус кривизны

меридиального сечения ОЗЭ, Я и Я2 - вспомогательные величины, характеризующие кривизну ОЗЭ, g0 - ускорение нормальной силы тяжести для ОЗЭ, 10, 1, 12, 13 - параметры Родрига-Гамильтона

(элементы кватерниона), о>0 , У , ю° - нулевые сигналы ДУС,

Ус

Аю , Аю , Аю - сигналы ДУС после устранения из них нулевых

хс ус 2с

сигналов, у, и, у - рысканье, тангаж и крен, Б, Н, Е - координаты МЛА в стартовой СК

Применяемые в БИНС ДУС и АКС в большей или меньшей степени чувствительны к внешним возмущениям, таким как, температура и перекрестные угловые скорости и линейные ускорения. Более того, ДУС чувствительны к ускорениям, действующим вдоль измерительной оси, а АКС -к угловым скоростям. Методика анализа указанного влияния, а также математическая модель метода его уменьшения изложены в статье [3]. Сам метод защищен патентами РФ на изобретение [14 и 15]. Первый патент применим если используются двухстепенные гиротахометры, второй - без ограничений на принцип функционирования ДУС и АКС.

Многие осесимметричные МЛА совершают во время полета угловые колебания по углам рыскания и тангажа с равными или близкими частотами. Анализ влияния таких колебаний на точность БИНС [4] выявил

с

значительный дрейф в определении угловых координат (сотни градусов в час). Есть два пути уменьшения дрейфа. Первый, подбор ДУС, мультипликативные и фазовые погрешности которых удовлетворяют определенным условиям [4], либо калибровка имеющихся ДУС по специальной методике [5]. Второй, применение схемотехнических решений, позволяющих выровнять фазовые сдвиги в ДУС [16] и уменьшить влияние неидентичности мультипликативных погрешностей на точность БИНС [17].

После уменьшения указанных выше погрешностей, сигналы ДУС и АКС поступают в блок решения задачи начальной выставки, который позволяет определить матрицу начальной ориентации, записанную через элементы кватерниона (1 о(0), А-1 (0), 12(0), 1 з(0)), нулевые сигналы

ДУС ю0 , ю0 , ю0 , величину ускорения нормальной силы тяжести для

хс Ус 2С

ОЗЭ (g0) и вспомогательные величины , Яф и Л^, характеризующие

радиусы кривизны указанного эллипсоида. Исходные данные вводятся в вычислитель в процессе предстартовой подготовки: начальный угол курса ¥(0), начальные широта, долгота и высота места старта над уровнем моря ф(0), 1(0) и Н(0). К величине времени 1нв предъявляются противоречивые требования. С одной стороны, оно должно быть как можно меньше, так как определяет время готовности всей системы к работе. С другой стороны, в течение 1нв определяются нулевые сигналы ДУС и начальные углы крена и тангажа, а для этого необходимо осреднение сигналов на большом промежутке времени. Опыт показывает, что при проектировании БИНС найти оптимальное значение 1нв помогает вариация Алана сигналов АКС и ДУС [12]. Например, для экспериментальной БИНС 1нв = 20 с.

По истечении времени 1нв сигналы ДУС и АКС начинают подаваться в блок решения задач ориентации и навигации, туда же подаются результаты решения задачи начальной выставки. С этого момента может производиться старт и полет МЛА. Во время движения выходные сигналы БИНС передаются в систему управления полетом: проекции абсолютной угловой скорости вращения МЛА на оси связанной СК ДюХс, Дюус, Дю^,

проекции линейного ускорения на оси связанной СК ах^, аус и аг , вычисленные углы рысканья у, тангажа и и крена у, а также координаты движения МЛА в стартовой системе координат В, Н и Е (дальность, высота и боковое отклонение соответственно).

Математическая модель решения задачи начальной выставки системы.

На рис. 5 показана схема решения задачи начальной выставки.

Радиусы кривизны ОЗЭ, проекции угловой скорости вращения Земли на оси базовой и связанной СК вычисляются по известным формулам

[1, 11]:

а

1 - е2 бій2 ф

Я

ф

а

22

1 - е бій ф

а2 (1 - е 2

бій2 ф

; Я22 = Я12 + Н

О х = О соб ф(0); Оу = О бій ф(0); О % = 0;

g

ОXс = охг

Оу = 2ОхП

g

О= 2Ох„

Рис. 5. Схема решения задачи начальной выставки:

а-

х„

а

Ус'

а.

юх , юУ , ю У - математическое ожидание сигналов

Ус Ус

АКС и ДУС, О х , Оу , О % , О х с, Оу с, О % с - проекции угловой ско-

§ § §

рости вращения Земли на оси базовой и связанной СК, gу - проекция

g

ускорения свободного падения на вертикальную ось базовой СК

Проекция ускорения свободного падения на вертикальную ось базовой СК вычисляется по формуле [11]:

2

с

gYg (0) - g0

g

W cos j(0) •

H(0) cos j(0) + Ri cos(j(0)) •

R

2 J

где ускорение нормальной силы тяжести вычисляется по формуле, коэффициенты которой найдены для ОЗЭ ПЗ-90.02 [2]:

g0 - ge • (i + 0,0053024• sin2 j(0) - 0,0000059• sin2(2j(0))).

Нулевые сигналы ДУС вычисляются по выражениям:

w

0

w

Xs,

W

хс; w

0

I

Ус

w

Ус

W

Yc ; w

0

W

zc

Начальные углы тангажа и крена находятся по осредненным сигналам АКС:

u(0) - arcsin

gYg

о

Л /

; g(0) - arctan

a

Ус

Затем полученные углы используются для расчета элементов кватерниона начальной ориентации [6]:

Y

cos—^^cos cos-

2

2

wm Y

1l (0) - cos —— sin —-—— cos

2

2

Y(0) u(0) .

cos—— cos sin

2 g

. Y (0) . u(0) . g(0) sin—— sin sin

2

2

Y

sin —— cos—sin

2

2

2

2

wm Y

13 (0) - cos —— sin —-—— sin

2 g

Y

+ sin —— sin — — cos

2

2

Y

+ sin —— cos—-— cos

2

1(0). 2 ;

g

2 2 2 2 2 2 Особенностью предлагаемой модели процесса начальной выставки является то, что, во-первых, учтены параметры ОЗЭ ПЗ-90.02, а, во-вторых, радиусы кривизны ОЗЭ Я^, Яф и Я^ рассчитываются для точки

старта и используются затем в основном алгоритме решения задачи навигации. Это позволяет снизить вычислительные затраты при сохранении требуемой точности определения координат.

На рис. 6 показана вероятность дрейфа экспериментальной БИНС в вычислении углов.

Видно, что использование информации о вычисленных в процессе начальной выставки нулевых сигналов ДУС позволяет значительно снизить погрешности БИНС: математическое ожидание погрешности в вычислении углов снижается в три раза (с 600/ч до 200/ч). Причиной оставшейся ошибки является нестабильность нулевых сигналов ДУС в запуске.

2

2

i

2

2

с

с

с

с

с

Рис. 6. Вероятность погрешности БИНС в вычислении углов:

1 - без вычисления и устранения нулевых сигналов ДУС,

2 - с вычислением и устранением нулевых сигналов ДУС

Проведенные экспериментальные исследования в широком диапазоне изменения высоты, широты и долготы показали, что погрешность вычисления начальных углов тангажа и крена по предлагаемой модели не превышает величины 0,20.

Математическая модель решение задач ориентации и навигации. На рис. 7 показана схема решения задач ориентации и навигации. Устранение нулевых сигналов ДУС и вычисление проекций угловой скорости вращения Земли на оси базовой СК производится по выражениям:

Dw = wx - w0 ; Dw = w y - w0 ; Dw = w 7 - w0 ;

Xc xc xc’ yc yc yc* zc zc Zc

W x =(w + l)-cos j; Wy =(w + í)-sin j; Wz = -j,

где проекций угловой скорости вращения Земли на оси связанной СК вычисляются по выражениям (2) с заменой элементов начального кватерниона 1i (0) i = 0,1,2,3 на элементы кватерниона 1¡, рассчитанного для текущего момента времени полета:

10 =10(0) + “ ' Í (- 1 (dwzc _ WZ )-12 (Dwxc - WX )- 13 (Dwyc - WY ))dt;

2 0

1 = ^1(0) + 2 ' í (l0 (dwzc ~ WZ )+ 12 (Dwyc _ WY )- 13 (Dwxc _ WX ))dt;

20

12 = 12(0) + 2' í (10 (Dwxc “ WX )+ 13 (Dwzc _ WZ )-1(Dwyc - WY ))dt;

20

13 = 13(0) + 2' í (10 (Dwyc - WY )+ ^1(Dwxc - WX )-12 (dwzc - WZ ))dt.

20

Рис. 7. Схема решения задач ориентации и навигации:

ацм ацм ацм ах , хс Ус *С

ау , а% - проекции

£~> §

линейного ускорения центра масс МЛА на оси связанной и базовой

СК, ах§ к, ау§ к, а1§ к -

проекции «вредного» ускорения на оси базовой СК, У N, Ун ,

уе , Уы, Ун,

УЕ - ускорения

и скорости центра масс МЛА в направлении на Север, вертикаль и Восток, Уыпс, УЕпс - проекции линейной скорости МЛА на оси стартовой СК

Приведенные уравнения интегрируются численным методом Пикара, так называемым, одношаговым модифицированным методом Эйлера третьего порядка точности [6] с последующим нормированием.

Углы курса, тангажа, крена и рысканья вычисляются по выражениям, позволяющим определять курс и крен в диапазоне ±1800, а тангаж ±900:

¥ = 2аг^

10^3 -1112 12 +12 - 2+К і

и = агевіп[2(1 2І з +10^1)];

у = 2аг^

1012 -1113 і20 + 12 - 2 + К1

у = ¥ - ¥ (0),

где вспомогательный коэффициент К1 = у 1 - (12^3 +10^1 )2 •

Так как АКС стоят не в центре масс, вокруг которого происходят угловые колебания МЛА, а в его носовой части (рис. 3), то показания АКС

пересчитываются в ускорения центра масс МЛА ацм, ацш, ацш по выра-

цм цм

Iі /у > 1

Ус

жениям:

цм а’ = а

цм а’ = а

Ус

цм а’ = а

+ й0 ((ЛЮус - Пу У + (л^с - 0.2 У);

Ус й0 (wzc + (люхс - 0X)' (люус - ПУ)); + й0 (юус - (люхс - 0X)- (л^с - 02)),

где угловые ускорения wZc и юус получаются путем численного дифференцирования соответствующих угловых скоростей. Так как численное дифференцирование приводит к появлению значительной шумовой составляющей в сигналах об ускорении, то сигналы Юус и ю ^ фильтруются

цифровым фильтром, тип и параметры которого подбираются при проектировании БИНС.

Ускорения центра масс МЛА в базовой СК ах , ау , а% вычис-

8 8 8

ляются на основе данных об угловой ориентации:

ах,

а

цм и 2

1о - 1і +12 - 1з)+ 2ацм (1213 -1011) + 2ацм (1211 +1013);

Ус

ау8 = 2ацм (1312 + 10І-1) + ацм (10 - 1? - 12 + 1-3 )+ 2ацм (1311 - 1012 ); а2я = 2ацм (1112 -1013 )+ 2ацм (1113 +1012 )+ аЦцМ (10 +1^ -12 -13

Показания акселерометров соответствуют кажущимся ускорениям,

18

с

с

с

X

с

содержащим ускорение центра масс МЛА и так называемые «вредные» ускорения [1], которые в проекциях на оси базовой СК имеют вид:

2

%* = jH+-ÍEHtj v w sin j;

j

V 2 V 2

ay к =----—--------—-----2WV—cos ф + gy ;

yg Rj + H R^ + H — g

а7 к = 2WVh cos j + V/'Vh-VEVN tgj + 2WVn sin j,

Zg H R1+ H Rx+ H N

где Vn , Ve , Vh - проекции относительной линейной скорости МЛА в направлении на Север, Восток и вертикаль места, а проекция ускорения свободного падения на вертикальную ось базовой СК gy определяется по

g

2

формуле (3) после вычисления вспомогательной величины R2 по выражению (1) с заменой начальной высоты H (0) на рассчитанную системой для текущего момента времени.

После вычисления «вредных» ускорений рассчитываются линейные ускорения и скорости движения центра масс МЛА в направлении на Север, Восток и вертикаль (в предположении, что старт производится с неподвижного основания):

• к т V К т V к

VN = aXg - aXg ; V Н = ayg - ayg ; V E = aZg - aZg ; t t t

Vn = i (Vn )dt; Vh = J (Vh )dt; Ve = J (VE )dt.

0 0 0

Так как требуется вычислять линейные координаты МЛА в стартовой СК, то необходимо пересчитать скорости в эту СК:

Vn,,c = Vn cos(Y(0)) - Ve sin(y(0)); Ve„c = Ve cos(T{0))+ Vn sin(Y(0)) . По которым, затем, вычисляются сами координаты: t t t D = J (Vn„c )dt; H = J (Vh )dt; E = J (V’e„c )dt.

0 0 0 Опыт показывает, что при частоте получения сигналов от ДУС и АКС сотни Гц, интегрирование приведенных выше выражений возможно численным методом трапеций.

Широта и долгота МЛА вычисляются путем интегрирования выражений для соответствующих скоростей [1]:

j = VN 1= VE

Rj+ H’ R + H )• cos j

Очевидно, что погрешности в определении угловых координат в первую очередь зависят от точности используемых ДУС, чем точнее ДУС,

тем меньше погрешности. Однако применение точных ДУС на борту МЛА не всегда оправдано экономически, и не всегда возможно из-за ограничений на массу и габариты БИНС. Поэтому актуальной является задача поиска методов, позволяющих уменьшить погрешности в определении угловой ориентации системы, построенной на грубых, малогабаритных ДУС малой стоимости.

Применение на борту МЛА, двигающегося по баллистической траектории, известных методов, использующих принцип построения аналитической вертикали места при совместной обработке сигналов ДУС и АКС, например [18], неэффективно. Это обусловлено тем, что проекции вектора кажущегося ускорения центра масс МЛА практически отсутствуют [10]. Т.е. показания АКС, установленных на МЛА, двигающегося по баллистической траектории близки к нулю. В таких условиях для коррекции сигнала об угле крена предлагается метод, поясняющийся рис. 8.

Поясним суть предлагаемого метода. При полете по баллистической траектории можно принять у » 0 и у » 0. Тогда проекции абсолютной угловой скорости на оси связанной СК имеют вид:

где юх, юу, ю2 - проекции абсолютной угловой скорости МЛА на оси связанной СК, указанным проекциям соответствуют показания ДУС

У

\ ^(0)=0

' ф=0

Рис. 8. К пояснению метода оценки угла крена МЛА, двигающегося по баллистической траектории

Юх = 7 , Юу =иБ1П 7 , ю2 =иСОБ7,

2 2

Очевидно, что ю +ю = и0, где и0 »и - оценка угловой ско

\/ УГ % г

рости тангажа, полученная на основе сигналов ДУС.

Оценку угла крена можно получить по выражению:

g0 = arcsin

w Ус

= arcsin

1 u о J

w

Ус

2 2

w2 + w2

Ус z

c J

В результате, можно получить информацию об угле крена без использования операции численного интегрирования угловых скоростей, а также без использования сигналов АКС.

Таким образом, имеется сигнал об угле у, полученный при решении задачи ориентации и сигнал оценки этого угла уо. Спектр погрешности первого - низкочастотный, второго - высокочастотный. Разница в спектрах обусловлена тем, что у получается путем численного интегрирования сигналов об угловой скорости, а уо - алгебраических операций сложения, возведения в квадрат и извлечения корня квадратного из тех же сигналов. Для совместной обработки сигналов применим известный метод комплексирования сигналов измерителей имеющих различный спектр погрешностей [7]. Применительно к решаемой задачи схема метода комплексирования показана на рис. 9. В результате из обоих сигналов «вырезаем» полезную составляющую.

Рис. 9. Схема комплексирования сигналов об угле крена и его оценки: ФНЧ - фильтр низкой частоты с передаточной функцией Ж(р), уф, уф - результат фильтрации соответствующих сигналов,

g 0

(1-ф) _

результат фильтрации сигнала уо фильтром с передаточной

функцией (1 - W(р)), g

комплекс

- результирующий сигнал об угле крена

V

Далее задача коррекции сигнала об угле крена сводится к выбору параметров фильтра, обеспечивающих с одной стороны эффективное подавление погрешностей, а с другой - малое время переходного процесса. Математическое моделирование для условий эксплуатации характерных для бортовой аппаратуры МЛА, показало, что при применении в качестве ФНЧ цифрового фильтра Баттерворда 4-го порядка с бесконечной импульсной характеристикой можно обеспечить погрешность в определении угла крена менее 2 .

Заключение.

Приведенная в статье математическая модель позволяет решить следующие задачи: начальная выставки БИНС, определение угловой ориентации МЛА, определение его координат в стартовой СК. Помимо этого в модели учтены разработанные методы уменьшения различных погрешностей ДУС и АКС, а также метод повышения точности вычисления угла крена. Адекватность предлагаемой математической модели подтверждена моделированием на ПЭВМ и экспериментальным путем.

Модель обеспечивает требуемую точность с минимально требуемой вычислительной сложностью и может быть рекомендована для БИНС, эксплуатируемых на борту управляемого МЛА с малым временем полета, движущихся в начальный период по баллистической траектории, построенной на базе ДУС класса точности 1000/ч и АКС класса точности 10-3 м/с2.

Список литературы

1. Анучин О.Н., Емельянцев Г.И. Интегрированные системы ориентации и навигации для морских подвижных объектов /Под общей ред. чле-на-корреспондента РАН В.Г. Пешехонова. СПб.: ЦНИИ «Электроприбор», 1999. 356с.

2. Богданов М.Б. Вычисление ускорения силы тяжести в бесплат-форменной навигационной системе летательного аппарата // Известия ТулГУ. Технические науки. Вып. 6. Тула: Изд-во ТулГУ, 2013. Ч.1. С. 204213.

3. Богданов М.Б., Прохорцов А.В., Савельев В.В., Сухинин Б.В., Гаськова Н.Д. Способ уменьшения погрешностей бесплатформенной инерциальной навигационной системы // Известия Российской Академии ракетных и артиллерийских наук. Вып. 2 (60). Москва - Санкт-Петербург: Российская Академия ракетных и артиллерийских наук, 2009. С. 31 - 34.

4. Богданов М.Б., Прохорцов А.В., Савельев В.В., Смирнов В. А. Анализ совместного влияния условий эксплуатации и погрешностей измерительных каналов на точность бесплатформенной системы ориентации // Гироскопия и навигация. №3 (62). Санкт-Петербург: ЦНИИ «Электроприбор», 2008. С. 53 - 59.

5. Богданов М.Б., Савельев В.В. Метод определения мультипликативных погрешностей измерительных каналов бесплатформенной инерци-альной навигационной системы, содержащих датчики угловой скорости // Известия тульского государственного университета. Технические науки. Вып. 11. Ч. 2. Тула: ТулГУ, 2012. С. 130-137.

6. Бранец В.Н., Шмыглевский И.П. Введение в теорию бесплат-форменных инерциальных навигационных систем. М.: Наука, 1992. 280 с.

7. Браславский Д.А., Петров В.В. Точность измерительных уст-

ройств. М.: Машиностроение, 1976. 312 с.

8. Глобальная навигационная спутниковая система. ГЛОНАСС.

Интерфейсный контрольный документ. Навигационный радиосигнал в диапазонах Ь1 и Ь2 (редакция 5.1). М: Российский научно-

исследовательский институт космического приборостроения. 2008. 74 с.

9. ГОСТ Р 51794-2008. Глобальные навигационные спутниковые системы. Системы координат. Методы преобразования координат определяемых точек. М.: Стандартинформ, 2009. 19 с.

10. Емельянцев Г.И., Блажнов Б. А., Коротков А.Н., Несенюк Л.П., Степанов А.П. Об особенностях построения интегрированной инерциаль-но-спутниковой системы для объектов, двигающихся в начальный период по баллистической траектории // Гироскопия и навигация. 2009. №1. С. 9-

21.

11. Захарин М.И., Захарин Ф.М. Кинематика инерциальных систем навигации. М.: Машиностроение, 1968. 236 с.

12. Мезенцев, А.П. Среднеточная ИНС «АИСТ-320» с кориолисо-вым вибрационным гироскопом «АИСТ-100». Идеология и результаты разработки, производства и испытаний / А.П. Мезенцев [и др.] // Гироскопия и навигация. 2007. №3 (58). С. 3-19.

13. Панов А.П. Математические основы теории инерциальной ориентации. - Киев: Наукова думка, 1995. 280 с.

14. Пат. 2140088 РФ, МКИ 6 О 01 Р9/02. Трехкомпонентный измеритель угловой скорости / В.В. Савельев, А.Е. Яковлев, М.Б. Богданов / Опубл. 20.10.99. Бюл. №29. Приоритет 04.12.98.

15. Пат. 2337316 РФ, МПК О 01 С 21/16. Бесплатформенная инер-циальная система / Богданов М.Б., Савельев В.В., Сухинин Б.В., Прохор-цов А.В. / Опубл. 27.10.2008, Бюл. №30. Приоритет 11.12.2006.

16. Пат. 2282199 РФ, МПК О 01 Р 9/02. Бесплатформенная система ориентации / Богданов М.Б., Прохорцов А.В., Савельев В.В., Аверчева А.Ю. / Опубл. 20.08.2006. Бюл. №23. Приоритет 28.03.2005.

17. Пат. 2456546 РФ, МПК О 01 С 21/00. Бесплатформенная система ориентации / Богданов М.Б., Прохорцов А.В., Савельев В.В., Юдакова Н.Д. / Опубл. 12.07.2012. Бюл. №20. Приоритет 16.12.2010.

18. Пат. 2244262 РФ, МПК О 01 С 21/00. Система измерения угловых положений летательного аппарата / Петров В.М. [и др.] / Опубл. 20.06.2004. Приоритет 27.12.2002.

19. Постановление Правительства РФ от 28.07.2000 №568 [Электронный ресурс] // Консультант плюс: [сайт]. иКС:

http://base.consultant.ru/cons/cgi/online.cgi?req=doc;base=LAW;n=28045 (дата обращения: 04.07.2013). и распоряжением Правительства РФ от 20.06.2007 №797-р [Электронный ресурс] // Нью Сити: [сайт]. иКС: http://news-city.info/akty/legalsystem-17/tekst-wo-civil-rossiya.htm (дата обращения:

04.07.2013).

20. Разоренов Г.Н., Бахрамов Э.А., Титов Ю.Ф. Системы управления летательными аппаратами (баллистическими ракетами и их головными частями). М.: Машиностроение, 2003. 583 с.

21. Современные информационные технологии в задачах навигации и наведения беспилотных маневренных летательных аппаратов / под ред. М.Н. Красильщикова, Г.Г. Себрякова. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009. 556 с.

22. Технические характеристики инерциального измерительного

блока АИСТ-350Т [Электронный ресурс] // [сайт]. URL:

http://isense.ru/ru/index/ (дата обращения: 04.07.2013).

Савельев Валерий Викторович, д-р техн. наук, проф., Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Богданов Максим Борисович, канд. техн. наук, доц., Россия, Тула, Тульский государственный университет

MA THEMA TICAL MODEL CALCULA TION OF COORDINA TES SMALL-SIZED GUIDED AIRCRAFT WITH A SMALL TIME FLIGHT MOVE IN THE INITIAL PERIOD A BALLISTIC TRAJECTORY

V. V. Savelev, M.B. Bogdanov

The article presents the mathematical equations underlying algorithmic software strapdown inertial navigation system. The above system is used on board the aircraft managed small-sized, low-flying, moving initially on a ballistic trajectory.

Key words: strapdown inertial navigation system, a mathematical model, the parameters of orientation and navigation.

Savelev Valeriy Viktorovich, doctor of technical sciences, professor, Russia, Tula, Tula State University,

Bogdanov Maksim Borisovich, candidate of technical science, docent, Russia, Tula, Tula State University