Формирование распределения суммирующих вейвлет-функций для моделирования продольного распределения магнитного поля магнитных периодических фокусирующих систем

УДК 621.385

Е.Р. Кожанова, А.А. Захаров ФОРМИРОВАНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СУММИРУЮЩИХ ВЕЙВЛЕТ-ФУНКЦИЙ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРОДОЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ МАГНИТНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФОКУСИРУЮЩИХ СИСТЕМ

Рассматриваются два способа формирования аппроксимирующей функции для продольного распределения магнитного поля в магнитных периодических фокусирующих системах. На основании проведенного анализа обоснован выбор первого способа формирования аппроксимирующей функции как соответствующего реальному распределению магнитного поля в данных системах.

Магнитное поле, распределение, магнитная периодическая фокусирующая система, вейвлет

E.R. Kozhanova, A.A. Zakharov DISTRIBUTION OF THE SUMMARIZING WAVELET-FUNCTIONS FOR MODELLING OF LONGITUDINAL DISTRIBUTION MAGNETIC FIELD OF MAGNETIC PERIODIC FOCUSING SYSTEMS

Two ways of formation of the approximating function for longitudinal distribution of a magnetic field in magnetic periodic focusing systems are considered. On the basis of the analysis the choice of the first approximating function as corresponding to corresponding to the real magnetic field distribution in the given systems is proved.

Magnetic field, distribution, magnetic periodic focusing system, wavelet

Магнитные периодические фокусирующие системы (МПФС) применяются для удержания электронных пучков большой протяженности в приборах сверхвысоких частот О-типа, в первую очередь в лампах бегущей волны (ЛБВ). Система периодической магнитной фокусировки представляет собой последовательность расположенных вдоль оси движения электронов магнитных линз (рис. 1), образованных постоянными магнитами 1 и разделенных полюсными наконечниками 2. При этом магнитные поля в соседних линзах направлены встречно, то есть линзы имеют противоположную полярность, а в приосевой области создают знакопеременное периодическое магнитное поле 4.

Рис. 1. Внешний вид МПФС и структура магнитного поля:

1 - кольцевой магнит, 2 - полюсный наконечник, 3 - электронный поток, 4 - магнитное поле

Магнитная индукция в осесимметричной системе изменяется как вдоль оси, так и по радиусу:

В = B(z, r) ,

где r - радиус пучка, z - продольная координата.

Если радиус пучка r значительно меньше внутреннего радиуса полюсных наконечников линз, то с достаточной для практических целей степенью точности в области, занятой пучком, можно пренебречь зависимостью В от r [1, 2]. Следовательно, магнитную индукцию (1) можно рассматривать как функцию от z - B(z).

В литературных источниках [1, 2] известно, что приосевое распределение магнитного поля для удобства вычисления описывают периодическими функциями (линия 4, рис. 1):

B

где Bo - амплитуда основной гармоники; L - период системы; ki - относительный уровень высших гармоник, i = 1, 3, 5, 7..- порядковый номер гармоники.

2z + L

2z - L

2 z + L

---------------, --------------------------------------------- +--------------------------------------------

VD2 +

2z - L

Приосевое распределение магнитного поля МПФС представляет собой сумму приосевых распределений чередующих линз (магнитов). На рис. 2 а и в показаны приосевые распределения магнитного поля Вх линз с разной полярностью.

а б в г

Рис. 2. Распределения магнитного поля Бг магнитов с продольной намагниченностью противоположного направления

Распределение магнитного поля Вх магнитов по форме практически совпадает с ртг-функцией вейвлета Гаусса 2-го порядка (3) (рис. 2 г) и функцией, обратной ей (4) (рис. 2 б), которые описываются формулами:

у

у

Для функции (3) точка максимума хтах = 0, _уШаХ(х) = 1, точки минимума хш;п= + л/3 , уш;п(х) = = -0,446 и точки пересечения с осью 0х х = 1.

2

Для функции (4) точка минимума хш1п = 0, ,утах(х) = 1, точки максимума хшах= + л/3, ;ут;п(х) = = 0,446 и точки пересечения с осью 0х х = 1.

Выражение (1) не позволяет полностью описать реальное распределение магнитного на концах МПФС, поэтому возникла необходимость подобрать такую функцию или совокупность функций, которые аппроксимировали данное распределение магнитного поля, максимально учитывая все его особенности. Схожесть распределений магнитного поля и данных вейвлет-функций (рис. 2) позволяет использовать последние в качестве аппроксимирующей функции.

Для формирования аппроксимирующих функций авторы предлагают два способа.

Первой способ формирования аппроксимирующей функции основан на суммировании функций (3) и (4), которые поочередно чередуются. При этом смещении каждой следующей функции равно величине —</3 (рис. 3). Линией 3 на рис. 3 а показаны графики суммирование двух функций ((3)+(4)), а на рис. 3 б - сумма трех функций ((3)+(4)+(3)). Как видно из рисунков, суммирующая функция имеет боковые колебания, сильно различающиеся по амплитуде с центральными амплитудами, что соответствует реальному приосевому распределению магнитного поля МПФС.

Дальнейшее формирование аппроксимирующей функции в зависимости от количества составляющих функций (до 6) представлено в табл. 1.

а б

Рис. 3. Формирование новой аппроксимирующей функции, состоящей из суммы 2 функции (а) и из суммы 3 функции (б): 1 - функция (3); 2 - функция (4); 3 - суммирующая

Таблица 1

Значения амплитуд аппроксимирующей функции и ее формирование

Окончание табл. 1

При дальнейшем увеличении числа слагаемых будет увеличиваться количество центральных амплитуд со значением |1,892| (значения подчеркнуты, столбец 3 табл. 1), что соответствует реальному распределению.

Для нечетного количества слагаемых крайние амплитуды будут равны

-0.446 1,446 ........ 1,446 -0.446 (п. 1, 3, 5 табл. 1),

а для четного количества слагаемых - противоположны по знаку, но равны по модулю:

-0.446 1,446 ........ -1.446 0.446

На основании проведенного анализа записывается в виде

П = 1

п + 1

•[

1 -

л/3)2 ]•

ехр

- (х - (п - 1) •Уэ) 2

где п - порядковый номер слагаемого.

Общий вид уравнения аппроксимирующей функции, учитывающей коэффициент сжатия / растяжения к:

Г1 = 21

п =1

п +1

• [1 - [к •

1 - [к •

•л/3 / к) ]2 ]•

ехр

- [к • (х - (п - 1) •У3 / к ) ] 2

со

Второй способ формирования аппроксимирующей функции состоит в суммировании только функций (3), сдвинутых относительно друг друга таким образом, чтобы «хвосты» предыдущей функции совпадали с «хвостами» последующей функции, а максимумы были разнесены относительно друг друга на величину, равную периоду (2 >/3) (рис. 4). Линией 3 на рис. 4 показаны графики суммирование двух функций ((3)+(3)).

0.5

у1(Ю

уад 0

у22

-0.5

2 1

1 1 ^*г

V 3

- 10 - 5 0 5 10

я

Рис. 4. Формирование второй аппроксимирующей функции, состоящей из суммы 2 функций: 1, 2 - функция (3); 3 - суммирующая

Дальнейшее формирование второй аппроксимирующей функции в зависимости от количества составляющих функций (до 4) представлено в табл. 2.

Таблица 2

Значения амплитуд аппроксимирующей функции и ее формирование

Стоит заметить, что начинается и заканчивается вторая аппроксимирующая функция всегда со значения (-0.446), а остальные амплитуды (1 и (-0,892)) чередуются, начинаясь и заканчиваясь единицей. Количество единичных амплитуд совпадает с количеством функций (3), а количество амплитуд со значением (-0.892) на единицу меньше, чем количество функций, участвующих в формировании данной аппроксимирующей функции. На основании проведенного анализа аппроксимирующая функция записывается в виде

[ 1 -

V3)2 ]•

exp

(- (х - 2(n -1) • л/3)2

2

где п - порядковый номер слагаемого.

Общий вид уравнения аппроксимирующей функции, учитывающей коэффициент сжатия / растяжения к:

1 -[к • (х - 2(n -1) • л/3 / к)]:

(

• exp

[к • (х - 2(n -1) •УЗ/к)] 2

2

Анализ функций (6, 7) не удовлетворяет требованию, предъявляемому к аппроксимирующей функции, которая должна представлять собой гармоническое колебание с одинаковой амплитудой. Данному требованию соответствует первый способ формирования аппроксимирующей функции (4, 5) (см. табл. 1).

Выводы

1. Использовать рзьфункцию вейвлета Гаусс 2-го порядка и обратную ей функцию как элементарные чередующиеся составляющие для формирования аппроксимирующей функции.

2. При сопоставлении двух способов формирования аппроксимирующей функции для аппроксимации распределения магнитного поля (4-7) был выбран первый (4, 5) как содержащий гармонические периодические колебания (см. табл. 1), что соответствует реальному распределению магнитного поля МПФС.

ЛИТЕРАТУРА

1. Царев В. А. Магнитные фокусирующие системы электровакуумных микроволновых приборов О-типа: учеб. пособие / В.А. Царев, Р.В. Спиридонов. Саратов: Новый ветер, 2010. 352 с.

2. Мельников Ю.А. Постоянные магниты электровакуумных СВЧ приборов / Ю.А. Мельников. М.: Сов. радио, 1967. 183 с.

Кожанова Евгения Романовна -

аспирант кафедры

«Электронные приборы и устройства» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Захаров Александр Александрович -

доктор технических наук, профессор кафедры «Электронные приборы и устройства» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Evgeniya R. Kozhanova -

Postgraduate, Department of Electronic Instruments and Devices,

Yu. Gagarin Saratov State Technical University

Alexander A. Zakharov -

Dr. Sc., Professor

Department of Electronic Instruments and Devices,

Yu. Gagarin Saratov State Technical University

Статья поступила в редакцию 18.10.11, принята к опубликованию 15.11.11

П=1

n=1