О возможности определения сил анизотропного взаимодействия между микрочастицами в плазме

УДК 533.9.082

О ВОЗМОЖНОСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СИЛ АНИЗОТРОПНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ МЕЖДУ МИКРОЧАСТИЦАМИ В ПЛАЗМЕ

Е.А. Лисин1, И. И. Лисина1'2, О. С. Ваулина1'2, О. Ф. Петров1'2,

С. А. Майоров3

В данной работе впервые рассматривается возможность экспериментальной диагностики сил анизотропного взаимодействия между пылевыми частицами в плазме. Для этого представлена модификация метода, основанного на решении обратной задачи Ланжевена, для систем с анизотропным межчастичным взаимодействием. Выполнена его проверка на результатах численного моделирования цепочечных структур частиц с квазидиполь-дипольным взаимодействием, аналогичным взаимодействию, возникающему между пылевыми частицами в приэлектродных слоях газовых разрядов.

Ключевые слова: пылевая плазма, кильватерный потенциал, межчастичное взаимодействие, обратная задача, методы диагностики плазмы.

Введение. В последние два десятилетия значительно вырос интерес к процессам, происходящим в пылевой (комплексной) плазме, которая представляет собой ионизованный газ, содержащий заряженные частицы вещества микронных размеров (пылевые частицы) [1, 2]. Интерес к пылевой плазме обусловлен, с одной стороны, ее широкой распространенностью в природе. С другой стороны, пылевая плазма создается в различных опытах по изучению свойств вещества в экстремальных состояниях и является объектом интенсивного исследования.

В лабораторных условиях пылевую плазму обычно создают путем добавления микрочастиц в газоразрядную плазму. Парное взаимодействие микрочастиц в централь-

1 ОИВТ РАН, 125412 Россия, Москва, Ижорская, 13, стр. 2.

2 МФТИ, 141700 Россия, г. Долгопрудный МО, ул. Институтский пер., 9.

3 ИОФ РАН, 119991 Россия, Москва, ул. Вавилова, 38; e-mail: mayorov_sa@mail.ru.

ной области разряда обычно описывается экранированным кулоновским потенциалом Дебая-Хюккеля (потенциалом Юкавы), причем лишь на небольших расстояниях между частицами [1, 2]. В приэлектродной области разряда такое приближение уже неприменимо, поскольку сильные электрические поля в пристеночной плазме делают взаимодействие пылевых микрочастиц существенно анизотропным [3-10]. Экспериментальное исследование особенностей такого взаимодействия является сложной и не до конца решенной на сегодняшний день задачей.

На сегодняшний день экспериментальное определение сил взаимодействия между пылевыми частицами в плазме проводилось для изолированной пары частиц и для частиц квазидвумерного монослоя, левитирующих в приэлектродном слое емкостного ВЧ-разряда [11-14], а также в пылевом облаке, образующемся в диффузном крае индукционного газового разряда [15]. Поскольку в работах [11-14] пылевые частицы взаимодействовали только в горизонтальной плоскости (параллельной нижнему электроду), то во всех упомянутых выше случаях межчастичное взаимодействие может быть описано в изотропном приближении.

В данной работе проанализирована возможность экспериментальной диагностики анизотропного потенциала взаимодействия между пылевыми частицами в плазме с помощью усовершенствованного метода, основанного на решении обратной задачи о движении взаимодействующих частиц в открытых системах [12, 16].

Процедура определения сил взаимодействия (обратная задача). Движение частиц обусловлено силами их взаимодействия между собой, внешним силовым полем, а также силами трения. В работе [16] впервые было показано, что если искомые силы в системе заданы какими-либо параметрическими функциями, то при определенных условиях анализ динамики исследуемой системы частиц в течение определенного (достаточно длительного) интервала времени т и усреднение по ансамблю частиц позволяют устранить случайные ошибки, связанные со стохастическим (тепловым) движением частиц. Таким образом, если в пылевой подсистеме, состоящей из N частиц, известны траектории всех частиц /к (г), то для корректного определения неизвестных параметров внутренних (межчастичных) и внешних сил (Flnt,Fext) необходимо решить сильно переопределенную систему уравнений движения частиц

к — Ь) + ^ех^к Л >

- 3

состоящую из ~ N х (т/Дг) уравнений, где Дг - шаг по времени, связанный с часто-

А _ _ <Мк + др У/г Дг + м

той кадров системы регистрации движения частиц, M - масса пылевых частиц, Vfr -обратное время торможения.

Пространственный диапазон (lmin < l < lmах) корректного восстановления силы межчастичного взаимодействия Fint(l) определяется следующими полуэмпирическими

¿min

условиями: J g(l)dl = 0 и Fint(lp)/Fint(lmax) < 100 — 200, где g(l) - парная корреля-0

ционная функция, lp - наиболее вероятное межчастичное расстояние [12]. В пределах этого пространственного диапазона методическая ошибка определения функции Fint(l) не превышает 5%.

Подчеркнем, что при восстановлении силы мы не опираемся на какое-либо теоретическое представление о распределении поля вокруг заряженной микрочастицы в плазме. Искомые силы могут быть аппроксимированы кусочно-постоянными функциями, сплайнами или различными комбинациями степенных и экспоненциальных функций.

Для восстановления силы парного межчастичного взаимодействия в анизотропном случае используем предположение об осевой симметрии искомой силы взаимодействия и внешнего поля. Пусть ось z параллельна выбранной оси симметрии. Обозначим в -угол между направлением оси z и вектором lkj = Ik — kj, соединяющим любую пару взаимодействующих частиц: k-ую (рассматриваемую) и j-ую. Разобьем диапазон изменения угла в £ [0; 180°] на интервалы [в8; в5+1), s = 1, 2 ... S (здесь S - число интервалов разбиения). Тогда искомые параметры аппроксимирующих функций для сил межчастичного взаимодействия будут представлять собой набор кусочно-постоянных функций, зависящих от номера интервала разбиения s. Отметим, что вектор силы взаимодействия Fint (lkj) в общем случае может быть не параллелен вектору lj.

Для простоты экспериментальной диагностики предлагается изучить взаимодействие пылевых частиц в уединенной вертикально упорядоченной пылевой цепочке. Для тестирования предлагаемого метода было выполнено численное моделирование динамики пылевых частиц, взаимодействующих с различными анизотропными парными потенциалами и образующих линейную цепочку во внешнем электрическом поле.

Моделирование. Для моделирования анизотропного взаимодействия вдоль оси z на фиксированном расстоянии d под каждой частицей c зарядом Q был размещен виртуальный заряд q с противоположным знаком и нулевой массой (см. рис. 1). При этом виртуальный заряд участвовал во взаимодействии только с окружающими частицами с зарядом Q, а взаимодействие с "собственной" частицей и виртуальными зарядами других частиц не учитывалось.

Рис. 1: Иллюстрация процедуры моделирования цепочки частиц с квазидипольным взаимодействием, расположенных вертикально в электрическом поле ловушки с цилиндрической симметрией Е = Е(г, г).

В нашей модели сила , действующая на ]-ую (некоторую рассматриваемую) частицу с зарядом Qj в электрическом поле, создаваемом к-той частицей с зарядом Qk совместно с ее виртуальным зарядом , может быть представлена в следующем виде:

Vk

Qki

1,2]

lki,2j

exp — к

ki,2 j

+

C

im-1

lki,2j

где Qki = Qk, Qk2 = qk, Ikij = |lk — lj | = (Zfcj + xkj + vtj)1/2 - расстояние между k-той и j-той взаимодействующими частицами (lj > d),lk2j = \lk + d — lj| - расстояние между виртуальным зарядом qk k-той частицы и основным зарядом Qj j-той частицы, к - параметр экранирования, а C - некоторый коэффициент. Таким образом, если q = 0 и Zkj = 0, то |Fkj| = |Fjk| . Потенциал электрического поля (3) вокруг каждого из зарядов имеет как экранированную кулоновскую часть, наиболее часто используемую при моделировании взаимодействия между пылевыми частицами в плазме, так и дальнодействующую степенную часть (m = 2 или 3).

Чтобы промоделировать изменение зарядов частиц с высотой, функция заряда задавалась в виде Q(z) = Q0(1 + Yzz) с коэффициентом Yz таким, что в пределах моделируемой квазиодномерной цепочки изменение заряда частиц AQ/Q0 не превышало 30%.

l

p

Моделирование движения частиц в цепочках проводилось методом молекулярной динамики Ланжевена. Рассматривались конечные цепочки частиц массой М = 10-10 г со следующими параметрами взаимодействия [17, 18]: д,/1р = 1/6 — 1/2,д = -(0.1-0.3)^, к = 0.5 — 2. Система частиц находилась в электрическом поле ловушки с цилиндрической симметрией: в радиальном направлении была ограничена электрическим полем Ег = аг, а в вертикальном направлении г находилась в поле силы тяжести Ед = Мд, скомпенсированном действием линейного электрического поля Ех = ЕО + @г, где ЕО = g/Q0. Число частиц Мр варьировалось от 2 до 16.

Во всех расчетах контролируемая с помощью флуктуационно-диссипативной теоремы [19] кинетическая энергия частиц обеспечивала величину эффективного параметра

неидеальности системы Г = 1ри|2)/(2К) ~ 3Г*, где Г* ^ 100 - точка плавления систем

с изотропными парными потенциалами [20], и1 ' - усредненная величина второй производной первого члена в выражении (3) в точке среднего межчастичного расстояния 1р, а К - средняя кинетическая энергия частиц.

В ходе моделирования траектории частиц записывались в течение времени т ~ 100/шт ; ш*], необходимого для корректного решения обратной задачи, здесь ш* = (Ц"12) /пМ)1/2 - собственная пылевая частота. Рис. 2 иллюстрирует парную пространственную корреляцию частиц д(1,в) в цепочке, состоящей из 16 частиц и расположенной во внешнем электрическом поле ловушки с цилиндрической симметрией.

Результаты и их обсуждение. Результаты решения обратной задачи по восстановлению силы анизотропного межчастичного взаимодействия в цепочечной структуре представлены на рис. 3 для различных углов в = (в8 + в5+1 )/2. Неизвестная сила межчастичного взаимодействия задавалась в виде комбинации степенных функций:

Е« = £

г=1

для каждого углового интервала [в8; в8+1), в котором / д(1,в)йМв = 0. Здесь - искомые коэффициенты разложения. Ошибка определения значений силы межчастичного взаимодействия на малых расстояниях (I < 0.751р) в основном связана с отклонением вектора силы Рш^^) от направления вектора lkj , которое не учитывается при решении обратной задачи (1), а также с недостаточным количеством накопленных данных об ускорениях частиц, необходимых для устранения случайных ошибок, связанных со стохастическим движением частиц.

Оценим максимальное относительное пространственное изменение заряда частиц в анализируемой системе ДQ/Q, при котором возможно решение обратной задачи

о о

3

2

1

/, СШ

10 О

Рис. 2: Пространственная парная корреляционная функция д(I, 9) квазиодномерной цепочечной системы из 16 частиц с параметрами квазидиполь-дипольного взаимодействия = 0, д = —0.2Q, ¿1/1р = 0.3, к =1 и С = 0.

в предположении о постоянстве величины заряда. На рис. 4 представлены результаты решения обратной задачи (1) для цепочечной системы заряженных частиц с градиентом величины заряда таким, что в пределах цепочки изменение заряда частиц ДQ/Qo не превышало 30%. Для цепочек с ДQ/Q0 < 15% отклонение восстановленной силы от представленной на рис. 4 заданной силы с Q(z) = Q0 не превышало 10%.

Обратная задача (1) с учетом дополнительной неизвестной функциональной зависимости Q(z) может быть решена только в предположении простого экранированного ку-лоновского взаимодействия частиц между собой. Поиск более сложной пространственной зависимости силы межчастичного взаимодействия приводит к неоднозначному решению системы уравнений (1). В этом случае для решения такой системы необходима дополнительная информация, например, о значении собственной частоты колебаний для каждой частицы, содержащей информацию о первой производной сил, действующих со стороны ближайших соседей.

Дополнительно проанализируем влияние флуктуаций зарядов на результаты решения обратной задачи. Случайные флуктуации заряда приводят к флуктуациям сил межчастичного взаимодействия и электрической силы, действующей на частицу во

Рис. 3: Восстановленная сила анизотропного взаимодействия |/М в цепочечной системе из 16 частиц (символы) о и */vfr = 1. Линией обозначена заданная сила с параметрами = 0^ = —0.2^, ¿/¡р = 0.3, к = 1 и С = 0.

внешнем электрическом поле. Для количественной оценки влияния эффекта случайных флуктуаций зарядов пылевых частиц на процедуру определения действующих в системе сил необходима информация об основных характеристиках флуктуаций. К ним относятся амплитуда ¿Z и характерное время тс корреляции флуктуаций. В работах [21, 22] было установлено, что SZ = а|^)|1/2, где ^) - равновесный стационарный заряд пылевой частицы в единицах заряда электрона е, а - коэффициент, зависящий от параметров плазмы. Для частиц размером от 1 до 10 мкм, левитирующих в приэлектродном слое ВЧ-разряда, характерная величина заряда ) может быть 103 —104 [1], значения а находятся в диапазоне от 0.4 до 0.6 [21, 22], а характерное время корреляции флуктуаций тс может изменяться от 10-4 до 10-5 секунд [22]. При таких параметрах характерные флуктуации сил межчастичного взаимодействия /F^шt ~ 2¿Z/Z = 2а/л/^, вызванные случайными флуктуациями зарядов частиц, будут меньше или порядка 1%. Сравним амплитуду флуктуаций (1Р) с характерной возвращающей силой , возникающей при тепловом смещении частицы вдоль цепочки на величину Д1 ~ -\JKX3/eZ. Поскольку частицы микронных размеров, левитирующие в приэлектродном слое, обыч-

100

0,5 1,5 2,5

Шр

Рис. 4: Восстановленная сила (1/1р)|/М в цепочечной системе из 16 взаимодействующих частиц с градиентом заряда: AQ/Q = 5%(0); 10%(^); 15%(П); 25%(Д). Линиями обозначены заданные парные силы, рассчитанные для Q(z) = Qo и д = 0.

но приобретают кинетическую энергию К — 0.1 — 1 эВ, а среднее расстояние между ними 1р - 0.1 см, то 6Е^/А^ - (SZ/Z)(l/Al) - а^е^/Кр - 0.01 — 0.1. Так как время корреляции флуктуаций тс ^ А£, то измеренные в эксперименте и используемые при решении обратной задачи (1) ускорения частиц с121к /А£2 соответствуют усредненным по времени зарядам частиц и силам взаимодействия между ними. Таким образом, флуктуации зарядов пылевых частиц не должны оказывать заметного влияния на результаты восстановления силы межчастичного взаимодействия при рассматриваемых экспериментальных условиях.

Выводы. Рассмотрена возможность экспериментальной диагностики анизотропного взаимодействия между пылевыми частицами в плазме, возникающего за счет эффектов ионной фокусировки. Для этого был модифицирован метод, основанный на решении обратной задачи Ланжевена, для систем с анизотропным межчастичным взаимодействием. Для простоты экспериментального определения пространственной зависимости сил анизотропного взаимодействия мы предлагаем применить этот метод для анализа взаимодействия пылевых частиц в одномерной пылевой цепочке.

Выполнено численное моделирование динамики пылевых частиц с различным анизотропным взаимодействием для цепочечных структур в поле ловушки с цилиндрической симметрией. Рассмотрены вопросы, связанные с влиянием пространственной неоднородности и флуктуаций зарядов на результаты определения сил, действующих в системе. Показано, что для цепочечных систем, в пределах которых изменение заряда частиц не превышает 15%, предложенный метод может использоваться без учета пространственной зависимости зарядов частиц.

Результаты настоящего исследования могут быть полезны для плазменно-пылевых систем с другими типами анизотропных взаимодействий, например, для изучения свойств пылевой плазмы с несферическими пылевыми частицами.

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект N14-12-01440).

ЛИТЕРАТУРА

[1] В. Е. Фортов, А. Г. Храпак, С. А. Храпак и др., УФН 174, 495 (2004).

[2] А. М. Игнатов, Физика плазмы 31, 52 (2005).

[3] S. V. Vladimirov and M. Nambu, Phys. Rev. E. 52, 2172 (1995).

[4] V. A. Schweigert, I. V. Schweigert, A. Melzer, et al., Phys. Rev. E. 54, 4155 (1996).

[5] M. Lampe, G. Joyce, and G. Gunguli, Phys. Plas. 7, 3851 (2000).

[6] S. V. Vladimirov, S. A. Maiorov, and N. F. Cramer, Phys. Rev. E 67, 016407 (2003).

[7] С. А. Майоров, Физика плазмы 31(8), 749 (2005).

[8] С. А. Майоров, Краткие сообщения по физике ФИАН, № 6, 37 (2006).

[9] С. А. Майоров, Физика плазмы 32(9), 802 (2006).

[10] С. А. Майоров, Б. А. Клумов, Краткие сообщения по физике ФИАН, 40(10), 19 (2013).

[11] U. Konopka, G. E. Morfill, and L. Ratke, Phys. Rev. Lett. 84, 891 (2000).

[12] О. С. Ваулина, Е. А. Лисин, А. В. Гавриков и др., ЖЭТФ 137, 751 (2010).

[13] E. A. Lisin, O. S. Vaulina, O. F. Petrov and V. E. Fortov, EPL 97, 55003 (2012).

[14] E. A. Lisin, R. A. Timirkhanov, O. S. Vaulina, et al., New J. Phys. 15, 053004 (2013).

[15] V. E. Fortov, O. F. Petrov, A. D. Usachev, and A. V. Zobnin, Phys. Rev. E 70, 046415 (2004).

[16] О. С. Ваулина, Е. А. Лисин, Физика плазмы 35, 636 (2009).

[17] I. I. Lisina and O. S. Vaulina, EPL 103, 55002 (2013).

[18] И. И. Лисина, О. С. Ваулина, Физика плазмы 40, 815 (2014).

[19] Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский, Статистическая физика. Часть 2 (М., Физматлит, 2001).

[20] O. S. Vaulina and S. V. Vladimirov, Plasma Phys. 9, 835 (2002).

[21] T. Matsoukas and M. Russell, J. Appl. Phys. 77, 4285 (1995).

[22] S. A. Khrapak, A. P. Nefedov, O. E. Petrov, and O. S. Vaulina, Phys. Rev. E 59, 6017 (1999).

Поступила в редакцию 10 декабря 2014 г.