Методика синтеза структурной схемы надёжности системы с применением модифицированного градиента в процедуре наискорейшего спуска

2013 Электротехника, информационные технологии, системы управления № 7 УДК 519.6: 629.7.036.3

А.Р. Яматов

Пермский военный институт внутренних войск МВД России, Пермь

МЕТОДИКА СИНТЕЗА СТРУКТУРНОЙ СХЕМЫ НАДЁЖНОСТИ СИСТЕМЫ С ПРИМЕНЕНИЕМ МОДИФИЦИРОВАННОГО ГРАДИЕНТА В ПРОЦЕДУРЕ НАИСКОРЕЙШЕГО СПУСКА

Предложена новая методика применения модифицированного градиента процедуры наискорейшего спуска для построения структурной схемы надежности системы. Проведен сравнительный анализ с данными, полученными другими методами. Проведено исследование эффективности методов с применением процедуры наискорейшего спуска при синтезе структурной схемы надежности (ССН) системы. Определены дополнительные этапы к методу наискорейшего спуска, повышающие качество ССН-системы, а в большинстве случаев приводящие ССН-системы к оптимуму. Применение предлагаемого метода, а также процедуры адаптации градиента обеспечивает существенное снижение информационной сложности алгоритма поиска оптимального решения. Включая либо заменяя в градиенте различные параметры, методику возможно применять для расчета иных систем, используя другие критерии (вес, площадь или объем оборудования и т.д.).

Ключевые слова: наискорейший спуск, модифицированный градиент, динамическое программирование, проектирование структурной схемы надежности, оптимизация, резервирование.

A.R. Yamatov

Perm Military Institute of Internal Troops under Domestic Affairs Ministry

SYNTHESIS APPROACH TO THE STRUCTURAL SYSTEM RELIABILITY USING MODIFIED GRADIENT IN THE QUICKEST DESCENT PROCEDURE

There has been suggested a new approach to using modified gradient in the quickest descent procedure in order to create the structural system reliability. In the course of the research there has been conducted comparative analisis of data obtained with the help of other methods. Efficiency of the methods has been studied by means of the quickest descent procedure when synthesizing the structural system reliability. Some additional stages for the quickest descent approach have been specified which increase the structural system reliability quality and, in most cases, optimize the system performance. Using the given approach and gradient adaptation procedure leads to considerable decrease of information-based complexity in optimal solution search algorithm. By adding or replacing gradient parameters, the new approach can be applied to calculate other systems using various measures (weight, area, equipment size, etc).

Keywords: the quickest descent, modified gradient, dynamic programming, structural system reliability design, optimization, redundance.

Обеспечение требуемой надежности устройства связано со всеми этапами его жизни: проектированием, созданием и практическим использованием. На этапе проектирования обеспечение требуемой надежности достигается методами, не требующими резервирования [1].

В тех случаях, когда такие способы повышения надежности устройства исчерпаны, но не обеспечивают получения заданных параметров, например заданного времени наработки на отказ, с целью дальнейшего повышения надежности прибегают к резервированию.

Актуальной проблемой при проектировании оптимальных систем управления и структурных схем надежности (ССН) является обеспечение высокой надежности при ограниченных ресурсах. Поэтому актуальной научной проблемой является разработка новых эффективных математических методов и алгоритмов построения оптимальной системы по критерию надежности, когда заданная надежность достигается при минимально возможном количестве или минимальной стоимости резервного оборудования, или при заданном объеме или стоимости резервного оборудования достигается максимально возможная надежность.

Государственный стандарт [2] устанавливает общие правила расчета надежности технических объектов, требования к методикам и порядок представления результатов расчета надежности, но не определяет методы проектирования ССН-системы.

Задачу проектирования оптимальной ССН-системы возможно решить методом Беллмана (динамическое программирование) [3, 4], методом наискорейшего спуска [5, 6, 7] и методом с применением генетического алгоритма [8]. Часто такие решения имеют близкие к оптимальным параметры в связи с особенностями их применения.

Целями данной статьи являются доказательство преимущества новой методики применения наискорейшего спуска с модифицированным градиентом и определение путей дальнейшей оптимизации ССН-системы (проверка на наличие более оптимальной системы).

Определение градиента для реализации наискорейшего спуска

Упрощённая методика синтеза ССН-системы на основе процедуры наискорейшего спуска описана в [6, 7]. В методике использовался градиент

(5/)* = max{5г;} для I = 1,5,

§; = Р^ЬРШ

г щ  Р/+1(0 '

где ] - номер итерации, начинающийся с 0, это ССН, полученная на первом этапе; Рг - вероятность безотказной работы (ВБР) подсистемы; Щ - стоимость подсистемы.

Градиент (1) не учитывает применения мажоритарного резервирования, и в методике не рассмотрены методы по дальнейшей оптимизации полученных результатов.

В подразделе 8.8.4 [4] и источнике [9] для вычисления градиента, если переменные имеют разные единицы измерения, предлагается перейти к относительным переменным у, используя минимально и максимально возможные значения переменных хг:

.mm

= _XL_Xj_mn_ .

s ' -..max min v y

xi _ xi

На этой основе предлагаются модифицированный градиент, позволяющий получить ССН-системы с близкими к оптимальным параметрами, и методика дальнейшей оптимизации ССН-системы:

(Sj)* = max{Sj} для i = 1,5,

5' = ÖibW.

Методика синтеза ССН системы с применением модифицированного градиента и этапы ее оптимизации

Пусть система включает в свой состав n подсистем. Известны значения ВБР P' и стоимости W' (где i = 1,..., n) каждой из подсистем.

Модель задачи будет иметь вид

P

j=i

где Pc(t) - вероятность безотказной работы искомой (полученной) системы; фу (ту) - вероятность безотказной работы j-го блока с mj дубли-

jj

рующими элементами.

N

Wc = X W]m] < Q, Vm}. > 0, int,

j=i

где Wc - стоимость искомой (полученной) системы.

Две постановки задачи оптимизации ССН системы выглядят следующим образом:

1) построить систему с резервированием элементов по критерию

Wc ^ min при Pc

где Pcz (t) - заданная ВБР системы.

2) построить систему с резервированием элементов по критерию

Pc

где Wcz - заданная стоимость системы.

На первом этапе оптимизации по первому критерию добиваются выполнения условия р (t) > PZ (t), то есть ВБР каждой из подсистем

должна быть не хуже заданной.

На втором этапе итеративно увеличивают резервы по наибольшему приращению ВБР на единицу (8/)* = max{8/} .

Если условие Pc(t) > Pz (t) не выполняется, повторяют 2-й этап.

Далее находим стоимость реализации системы Wn™n при

достигаемой Pc (t) > Pcz (t).

При применении методики с модифицированным градиентом (3) для расчета систем с ограничением по стоимости и МР первого элемента, ССН оптимальны в 44 % случаев (с градиентом (1) 36 %). Методы дальнейшей оптимизации, описанные ниже, приводят к 95%-ному совпадению ССН с оптимальной.

При применении мажоритарного резервирования (МР) первого элемента при некоторых исходных данных решение приводит к резервированию 3 из 5, хотя резервирования 2 из 3 уже было достаточно [10]. В таких случаях предлагается повторить расчеты с шага, где МР 2 из 3 уже применено, игнорируя 8(.

Данная методика также была адаптирована для синтеза ССН с ограничением стоимости, и результаты эксперимента в большинстве случаев оптимальны или близки к ним (отклонения стоимости не более 8 %). Дополним метод этапами, повышающими качество ССН системы.

На третьем этапе, если результат близок к оптимальному, а для одного или нескольких блоков выполняется условие

Wcz - Wc > Wt,

тогда из них выбирается блок с минимальной достигнутой вероятностью ф(mj) для дальнейшего резервирования.

Не более чем в 5 % случаев метод приводит к экстремально близкому решению (ССН), а условие Wcz - Wc > Wi не выполняется. Данные

решения встречаются при применении МР первого элемента. Попытка исключить такие «неоптимальные» решения осуществляется на четвертом этапе. На нем предлагается произвести повторный расчет, используя модифицированный градиент (3), приведенный к виду

= ^

г w

т.е. как и для блоков с резервированием замещением. После этого при условии (8) выполняем третий этап.

Третий и четвертый этапы в 95 % случаев приводят к оптимальной ССН, совпадающей с решением, найденным методом перебора, а оставшиеся 5 % полученных ССН экстремально близки к оптимальным. Использование предложенной методики позволит сократить вычислительную сложность синтеза ССН до нескольких итераций и получить систему с оптимальными значениями искомых параметров.

Пример применения методики

Решим задачу для критерия Рс(!) с целью определении оптимальной стратегии дублирования в указанных пределах.

Пусть система автоматизации включает в свой состав пять подсистем при известных значения ВБР Pi и стоимости Wi , где i = 1,5 каждого из устройств.

При синтезе оптимальной ССН допускается: мажоритарное резервирование подсистемы 1 на начальном шаге оптимизации и резервирование замещением с нагруженным режимом работы элементов на других шагах. В случае необходимости возможна замена мажоритарного резервирования на резервирование замещением с нагруженным режимом работы элементов уже на начальном шаге либо использование МР 3 из 5; резервирование замещением с нагруженным режимом работы элементов для подсистем 2,3,4; резервирование замещением с нагруженным либо ненагруженным режимом работы резервных элементов для подсистемы 5. Ненадежностью и стоимостью мажоритарных элементов и переключающих устройств можно пренебречь.

Заданные значения ВБР подсистем: P1 = 0,9; P2 = 0,75; P3 = 0,82; P4 = 0,8; P5 = 0,9; их стоимости Wi = 16; W2 =11; W3 = 13; W4 = 12; W5 = 15 соответственно. Заданное значение ВБР системы P* (t) = 0,94;

заданное (допустимое) значение стоимости системы Wcz = 120. Решение

Найдем Wc ^ min при Pc (t) > Pcz (t).

Для начала проверим выполнение такого условия р (t) > Pcz (t) для каждого i от 1 до 5.

Видно, что ни для одного из участков системы это условие не выполняется, поэтому необходимо введение резервных элементов.

На первом этапе оптимизации получим следующую ССН -3,3,2,2,2 (опорная схема), где

Р(t) = зр2 - 2р3 = 0,972 > Pz(t) • P2(t) = 1 - (1 - Р2)3 = 0,9844 > Pz(t). Рз(t) = 1 - (1 - P3)2 = 0,9676 > PZ(t). P4(t) = 1 - (1 - P4)2 = 0,96 > PZ (t). P5(t) = 1 - (1 -P5)2 = 0,99 > PZ(t). Найдем ВБР системы и ее стоимость на 0-шаге.

Р° = 0,972 • 0,9844 • 0,9676 • 0,96 • 0,99 = 0,8799 < PZ (t),

n ' ' ' 11 1 nv/'

W„0 = 3 • 16 + 3 • 11 + 2(13 +12 +15) = 161.

Теперь, когда каждая подсистема обладает ВБР большей либо равной заданной, перейдем ко второму этапу - начнём увеличивать ВБР всей системы.

Попробуем увеличить ВБР для 1 подсистемы. Поскольку разрешено использовать неадаптивное мажоритарное резервирование то теперь придётся вводить 5 каналов и осуществлять выбор 3 из 5:

P11(t) = P5 + 5P4(1 - P) + 10P3(1 - P)2. На остальных участках - резервирование замещением с нагруженным режимом работы резервных подсистем, т.е. P/(t) = 1 - (1 - Pi)n - работает хотя бы один канал из имеющихся.

Получим:

P1 (г) = p5 + 5P4 (1 - P) + 10P3 (1 - P)2 = 0,99144;

P2(t) = 1 -(1 -P2)4 = 0,996; P3(t) = 1 -(1 -Pз)3 = 0,994;

P4(t) = 1 - (1 -P4)3 = 0,992; P5(t) = 1 - (1 -P5)3 = 0,994.

Используя модифицированный градиент (2) определим (5/)* = тах{8/}. (5/)* =84, значит, очередной элемент надо добавить на 4-м участке. Следовательно, ССН для шага / = 1 будет иметь вид 3,3,2,3,2.

Р = 0,972 • 0,9844 • 0,9676 • 0,992 • 0,99 = 0,909 < Рг, ^),

п 1 1 1 1 1 1 и V

Ж = Ж + Ж = 173.

Таким образом, увеличиваем резерв только на четвертом участке, остальные без изменений.

Шаг за шагом, резервируя элементы, указанные модифицированным градиентом (3), получим ССН 3,4,3,3,4, для которой

Р3 = 0,972 • 0,9961 • 0,994 • 0,992 • 0,99 = 0,945.

Стоимость реализации системы на третьем шаге оптимизации:

= + Ж2 = 197.

Таким образом, минимальная стоимость реализации системы Ж™™ = 197 при достигаемой Рс(£) = 0,945 больше заданной 0,94.

Решение этой задачи с применением градиента (1) привело к ССН 5,3,3,3,2 с Рс(^ = 0,953 при Ж„тт = 218.

Результаты анализа частоты и величины подобных отклонений были приведены выше.

Далее приводятся результаты экспериментального решения поставленной задачи методом наискорейшего спуска с градиентами (1), (3) и методом Беллмана.

Результаты эксперимента по применению процедуры наискорейшего спуска

Алгоритмы, реализующие методы перебора и наискорейшего спуска, были реализованы в программном продукте.

Было проведено исследование на применение модифицированного градиента для синтеза ССН различной размерности. Большая часть ССН совпала с найденными методом перебора - 95 % случаев. Результаты с отклонениями при применении методики без МР представлены в табл. 1.

Результаты расчета при применении методики с МР первого блока представлены в табл. 2. Результаты с отклонениями от найденных методом перебора выделены курсивом. Строки с решениями представлены в порядке, указанном в заголовке табл. 1 и 2.

При попытке применить МР первой подсистемы с ограничением по стоимости процедура не может построить систему из-за нехватки ресурсов. В этом случае осуществляем построение системы, не используя МР.

Таблица 1

Результаты применения методики без МР

Заданная ВБР и стоимость системы Перебор Наискорейший спуск с градиентом

Wc ^ тт при Рс(0 > Р/(0 Рс(0 ^ тах при Wc < Wcz

ССН Рс(0 Wc ССН Р() Wc

1 0,93 100 22322 0,9323 120 22212 0,7846 96

22322 0,9323 120 22212 0,7846 96

22322 0,9323 120 22211 0,7264 87

2 0,92 100 32224 0,9252 136 22212 0,7661 96

33222 0,9394 139 22212 0,7661 96

33223 0,9394 139 22212 0,7661 96

3 0,94 115 32332 0,9514 170 31221 0,7406 114

32332 0,9514 170 31221 0,7406 114

32332 0,9514 170 21221 0,7053 103

4 0,92 110 43222 0,9267 103 33223 0,9442 105

33223 0,9442 105 33223 0,9442 105

33223 0,9442 105 33223 0,9442 105

5 0,93 60 32324 0,9393 82 22214 0,7915 60

32324 0,9393 82 22214 0,7915 60

32324 0,9393 82 22213 0,7764 57

Таблица 2

Результаты применения методики с МР первого блока

Заданная ВБР и стоимость системы Перебор Наискорейший спуск с градиентом

Wc ^ тт при Р() > Р/(0 рс(0 ^ тах при Wc < Wcz

ССН Р() Wc ССН Р() Wc

1 0,93 100 33322 0,9333 142 22212 0,7846 96

33322 0,9333 142 22212 0,7846 96

33322 0,9333 142 22211 0,7264 87

2 0,94 120 33323 0,9458 129 23323 0,9633 119

33323 0,9458 129 23323 0,9633 119

53322 0,9462 139 23323 0,9633 119

3 0,93 105 53344 0,9321 149 32233 0,8444 101

53344 0,9321 149 32233 0,8444 101

53344 0,9321 149 32232 0,8122 94

4 0,92 110 55334 0,9202 160 53222 0,8597 109

54434 0,9217 162 53222 0,8597 109

54434 0,9217 162 53222 0,8597 109

5 0,93 60 53424 0,9322 106 22214 0,7915 60

53424 0,9322 106 22214 0,7915 60

53424 0,9322 106 22213 0,7764 57

Анализ результатов позволяет судить о достаточной точности метода наискорейшего спуска с применением модифицированного градиента. Даже если обратить внимание на отклонения в задачах 2 и 7 (см. табл. 2), то мы увидим прирост ВБР за минимальную стоимость.

Проведен анализ эффективности различных методов оптимизации при синтезе структурной схемы надежности системы.

При применении МР качество ССН системы выше при применении градиента (3). А выполнение 3-го и 4-го этапов оптимизации в 95 % приводит показатели ССН системы к оптимальным параметрам.

В процедуре наискорейшего спуска для задач без МР, использование градиентов (1), (3), (9) приводит к одинаковым результатам.

Библиографический список

1. Золотова ТМ., Кербников Ф.И., Розенблат M.A. Резервирование аналоговых устройств автоматики. - 2-е изд. - M. : Энергоатомиз-дат, 1986. - 128 с.

2. ГОСТ 27.301-95. Надежность в технике. Расчет надежности. Основные положения (взамен ГОСТ 27.410-87 (в части п. 2); введ. 01.01.1997). - M.: Изд-во стандартов, 1996. - 9 с.

3. Надежность и эффективность в технике: справочник: в 10 т. / ред. совет: В.С. Aвдуевский (пред.) [и др.] Т. 2: Mатематические методы в теории надежности и эффективности / под ред. Б.В. Гнеденко. -M.: Mашиностроение, 1987. -280 с.

4. Гольдштейн A^. Теория принятия решений. Задачи и методы исследования операций и принятия решений: учебное пособие. -Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2002. - 357 с.

5. Luenberger D.G., Yinyu Ye. Linear and Nonlinear Programming. -3 rd ed. - Springer, 2008. - 550 p.

6. Основи надшносп цифрових систем: тдручник / за ред. В.С. Харченко, В.Я. Жихарева / Miнiстерство освгги та науки. - Ха-рмв, 2004. - 572 с.

7. Надежность, контроль и диагностика ЭBM: метод. пособие / сост. В.С. Харченко, И.В. Лысенко. - Харюв: Изд-во XA^ 2001. - 65 с.

8. Cao Dingzhou, Kan Shaobai, Sun Yu. Design of Reliable System Based on Dynamic Bayesian Networks and Genetic Algorithm [Электронный ресурс] // Reliability and Maintainability Symposium, 23-26 January, 2012. - P. 1-6. - URL: http://www.reliasoft.com/pubs/2012_RAMS_ design_ of_reliable_system.pdf

9. Mетодические указания к лабораторной работе «Mоделирова-ние систем сетевого планирования и управления» по курсу «Экономико-математические модели и методы» / сост. Т.В. Aлесинская. - Таганрог: Изд-во ТРТУ, 1999. - 36 с.

10. Aнализ методов обеспечения пассивной отказоустойчивости цифровых устройств и систем / С.Ф. Тюрин, ОА. Громов, A.A. Сулей-манов, A3. Греков // Вестник ПГТУ. Электротехника, информационные технологии, системы управления. - Пермь, 2011. - № 5. - С. 144-153.

Сведения об авторе

Яматов Айдар Русланович (Пермь, Россия) - старший преподаватель кафедры программного обеспечения вычислительной техники и автоматизированных систем Пермского военного института внутренних войск МВД России (614108, г. Пермь, ул. Гремячий Лог, д. 1, e-mail: yamatov@mail.ru).

About the author

Yamatov Aidar Ruslanovich (Perm, Russian Federation) is Senior Lecturer at the Computer Software and Automated Systems Department, Perm Military Institute of Internal Troops under Domestic Affairs Ministry, (614108, 1, Gremyachy Log, Perm, e-mail: yamatov@mail.ru).

Получено 06.09.2013