Исследование равновесных ситуаций в игровой задаче двух лиц с векторными выигрышами

УДК 519.833

В.А. Матвеев

ИССЛЕДОВАНИЕ РАВНОВЕСНЫХ СИТУАЦИЙ В ИГРОВОЙ ЗАДАЧЕ ДВУХ ЛИЦ С ВЕКТОРНЫМИ ВЫИГРЫШАМИ

Проблема принятия решений является одной из основных для человечества. Качество принятых решений определяет качество жизни. Повседневно сталкиваясь с необходимостью выбирать тот или иной способ действий, человек использует при этом имеющиеся в его распоряжении логические возможности, проводя различные рассуждения; применяет ассоциации; вспоминает аналогичные случаи; высказывает прогнозы, предположения, догадки; прибегает к интуиции, производит расчеты. При этом стремится к решениям, которые приводят к наилучшим результатам. Такой выбор принято называть оптимальным.

Особенно сложные управленческие проблемы возникают в сфере социально-экономических отношений. Такие явления имеют особенности, усложняющие их изучение. Обычно развитие социально-экономического явления зависит от действий нескольких лиц, каждое из которых лишь частично контролирует ситуацию. Лица, принимающие решения (ЛПР), имеют свои интересы, часто не полностью выявленные и представленные с определенной долей неопределенности. Эти интересы могут совпадать (возможно, частично), что ведет к сотрудничеству и кооперации. Но они могут и противоречить друг другу (возможно, частично), что ведет к соперничеству и конфликту. Важная задача при выработке решения - согласование интересов сторон.

В статье представлена математическая модель, учитывающая приведенные выше особенности. Это модель взаимодействия (сотрудничества и соперничества) двух лиц, каждое из которых имеет свой набор действий X и У, соответственно. Особенностью модели является то, что результат взаимодействия для каждого лица представлен не одним показателем, а конечным набором критериев. Для простоты изложения рассматривается задача с двумя критериями у каждой стороны. Случай произвольного конечного набора критериев с соответствующими изменениями изучается по аналогичной схеме. Лица принимают решения независимо, так, чтобы получить по каждому

критерию наилучший для себя результат. Определение оптимального решения в представленной модели, изучение свойств и создание алгоритмов для вычисления составляют основное содержание статьи.

Ситуации принятия решения более чем одним лицом и конечным набором целей (по крайней мере, у одной стороны их две или более) может быть представлена многокритериальной игрой или - альтернативное название - игрой с векторными выигрышами. Игровые задачи с векторными выигрышами изучаются уже давно [1, 2]. Краткий исторический обзор и последние результаты представлены в [3]. В этой работе отмечается, что «многокритериальные игры могут быть использованы при моделировании различных явлений, когда в расчет приходится брать несколько различных критериев, например, при моделировании политики или менеджмента».

Математическая постановка задачи

Рассматривается бескоалиционная игра двух лиц с векторным двухкритериальным выигрышем у каждого из игроков:

Здесь множество Xс Як (У с Я') состоит из стратегий первого (второго) игрока. Набор из стратегий двух игроков (х, у)е X х У называется ситуацией и множество всех ситуаций X х У. Задана векторная функция/(1): X х У ^ Я2 (/(2): X х х У ^ Я2), которая каждой ситуации ставит в соответствие вектор выигрышей первого (второго) игрока /(1)(х, у) = (/((1)(х, у), /21)(х, у)) (/(2)(х, у) = = (/Дх, у), /22)(х, у))). Рассмотрим случай двух-критериального выигрыша у каждого игрока, случай большего числа критериев рассматривается аналогично.

Партия игры развивается следующим образом: каждый из двух игроков выбирает свою

стратегию, в результате чего складывается ситуация (х, у) е X х 7. После этого игроки получают свои выигрышы /(1)(х, у) = (/(1)(х, у), /21)(х, у)) и /(2)(х, у) = (/1(2)(х, у), /22)(х, у)), равные значению своей векторной функции в сложившейся ситуации. Цель обоих игроков состоит в выборе такой своей стратегии, чтобы достичь возможно большего значения каждой из двух компонент своей векторной функции выигрыша, учитывая при этом выбор другого игрока.

В задаче (1) каждый игрок решает многокритериальную задачу при фиксированном выборе другого игрока. В [4, с. 58-59] отмечено, что «кандидатом» на оптимальное решение в многокритериальной задаче может являться только Парето-оптимальный исход. Однако Парето-оптимальных решений в задаче (1) может быть несколько, а в непрерывном случае даже бесконечное множество. Это связано с эффектом несравнимости исходов в векторном критериальном пространстве. Несравнимость исходов является формой неопределенности, именно, ценностной неопределенностью. Она обусловлена тем, что в условиях неполной информированности игрок стремится достичь нескольких, часто противоречивых целей. Эта проблема сохраняется и для игровой задачи с векторными выигрышами.

Достаточно общий подход к определению оценочной структуры в задачах с векторным выигрышем предлагают конусные отношения. В многокритериальных задачах такой подход представлен в [5, 6]. Будем рассматривать выпуклый, острый, многогранный (полиэдральный) пространственный конус К с Я2 [7, с. 235-255]. Конус порождает в векторном пространстве отношение порядка (векторную упорядоченность) > по правилу:

/

Такой конус К называют конусом доминирования в Я2. Часто рассматривается многогранный конус, который можно задать матрицей:

К = {/еЯ2 | А/> 0

Здесь представлена система двух однородных неравенств и 0(2) - нулевой вектор в Я2. Зафиксирована А - квадратная матрица второго порядка. Будем считать, что матрица А является неотрицательной, т. е. а.. > 0 Кроме того, полагаем, что матрица А является невырожденной и, в специально оговорённых случаях, неразложимой [8, с. 352].

Важными примерами многогранных конусов являются

Я2 = {хеЯ2 | Ех> 0(2)} = {хеЯ2 | х> 0,/ = 1,2} (4) и его внутренность

Я2> = {хеЯ2 | Ех > 0

где Е - единичная матрица в Я2. Здесь и далее будем считать, что многогранный конус не содержит нулевой вектор. Использование векторной упорядоченности (2) позволяет определить в задаче (1) исходы, оптимальные по конусу К.

Определение 1. Ситуация (х*, у*)ЕXх 7 называется равновесием по конусу К в игре двух лиц с векторным выигрышем (1) , если выполнены два условия:

Ухе X / (х*, у*) -/(х, у*)е К, УуЕ 7 /(х*, у*) -/(х*, у)£ К.

Множество таких решений будем обозначать

Бк(Х, 7).

Определение равновесия по конусу в игровой задаче (1) является достаточно общим. Оно включает в себя, как частный случай, равновесие Нэша-Парето (Нэша-Слейтера ) [9, с. 233]. Действительно, такие решения получаются в определении 1, если в качестве конуса доминирования использовать конус Я2> из (4) (конус Я2> из (5)). Множество равновесий Нэша-Парето (Нэша-Слейтера) будем обозначать £р(Х, 7) ^3(Х, 7)).

Как правило, игровая задача с векторными выигрышами имеет бесконечное множество равновесий по Нэшу-Парето. Так, в [1, пример 2.3] (игра «производство - инспекция») исследуются бескоалиционные игры двух лиц с векторными выигрышами. Эта игра имеет бесконечное множество равновесных по Парето решений. Сокращение множества равновесных решений, а тем более выбор единственного наилучшего решения, является важной задачей.

Оптимальность по конусу в многокритериальной задаче

В задаче (1) каждый игрок решает многокритериальную задачу при фиксированном выборе другого игрока. Используем терминологию и обозначения из [10, 11]. Моделью является многокритериальная задача. Это система

Задано множество допустимых альтернатив хеXсЯк, среди которых ЛПР делает свой выбор. Выделен конечный набор желаемых свойств или критериев.

Обычно информацию о всех критериях объединяют в одну векторную функцию выигрыша, в рассматриваемом случае/(1) : Як ^ Я2. Значения этой функции каждому исходу ставят в соответствие количественную оценку для двух свойств /(1)(х) = /(^(х), /21)(х)). Не уменьшая общности, считаем, что критерии/(1)(х, у),/21)(х, у) являются позитивными [4, с. 55]. Тогда, на содержательном уровне, цель ЛПР состоит в выборе такого исхода, что доставляет возможно большие значения одновременно двум компонентам векторной функции выигрыша /(1)(х).

Определение конусного оптимума основано на векторной упорядоченности (2) и многогранный конус определен посредством матрицы (3). Именно [6, с. 170], оптимальное по конусу решение в многокритериальной задаче (6) есть стратегия х*е X выполненения условия

УхеX /(х*) -/(х)£ К.

Свойства такого решения представлены в [6, с. 170-171]. Так, если в многокритериальной задаче (6) множество альтернатив Xс Як компактно, векторная функция выигрыша /(1) : Як ^ Я2 непрерывна, конус доминирования К в критериальном пространстве Я2 является выпуклым, острым, то существует альтернатива, оптимальная по конусу К. Пусть в многокритериальной задаче (6) заданы конусы доминирования К1 и К2 и X!сX, X2сX множества альтернатив, оптимальных по конусу К1, К2 соответственно. Тогда из К1 с К2 следует включение X 2 с X*

Многокритериальная задача (6) является задачей в условиях неопределенности, именно в условиях неопределенности цели. Для уточнения решения (уменьшения степени неопределенности) можно использовать дополнительную информацию. Это могут быть мнения экспертов. В качестве примера рассмотрим случай, когда два эксперта оценили важность (вес) критериев, причем, например, первый эксперт указал отношение 7:3, а второй эксперт - 1:1. Эти отношения важности критериев верны для первого и второго игроков. Такая информация позволит определить матрицу и соответствующий двухгранный конус:

Пример. Рассмотрим первую двухкритери-альную задачу, в которой множество стратегий X = {хеЯ2 | 2х1 + 5х2 < 10, х. > 0,/ = 1,2}. Оно представлено на рис. 1 треугольником ОТР. Задан векторный двухкритериальный выигрыш /(1)(х) = /((1)(х), /21)(х)) = (хр х2). В такой задаче максимальных по Слейтеру (и по Парето) решений бесконечно много и их множество X* = {х*е Я2 | 2х; + 5х2 < 10, х* > 0,/ = 1,2}. Оно представлено отрезком ТР. В то же время оптимальным по конусу К из (7) является единственный исход /(1)*(х) = / (1)*(х), / 21)*(х)) = (5,0). По условию многокритериальной задачи оптимальной по конусу К стратегией будет такая же пара х* = (х*, х2) = (5,0) .

Рассмотрим вторую двухкритериальную задачу (6), в которой множество стратегий

Рис. 1. Множество стратегий для первой двухкритериальной задачи

К = {хе Я2 | Ах =

Г 7 3 У х ^

1 1

V х2 )

> 0(2) } .

Рис. 2. Множество стратегий для второй двухкритериальной задачи

7 =

решений бесконечное множество:

у* = у1* у у2* = у* = у1* у у2*=

= {уе Д21у1+2у2= 6, (><^<2, 1 = 1,2}и {уе Я2 12у1 + у2=6, 2<У1<3, / = 1,2}.

Множество всех таких решений представлено ломаной линией AQB на рис. 2. Оптимальными по конусу К из (7) являются стратегии, представленные отрезком АО, т. е. Ук = (уе Я2 | 2у1 + у2 = 6, 2 < у1 < 3, / = 1,2}. Таких решений бесконечно много.

Уточнение оптимального по конусу решения

Оптимальных по конусу решений в игровой задаче (1) может быть много. Тогда уточнение по конусу можно применить несколько раз, последовательно уточняя (улучшая) решение. Такой метод в многокритериальной задаче приведен в [6]. Соответствующий подход для игровой задачи можно представить в матричной форме. Рассмотрим следующую последовательность квадратных, невырожденных, неразложимых, стохастических матриц [8, с. 352; с. 381]. Отметим, что это матрицы второго порядка

А1, А2 , ..., Л1 /еN.

Все элементы стохастической матрицы неотрицательны и сумма элементов каждой строки равна единице [8, с. 381]. По последовательности матриц построим новую последовательность

В1 = В2 = А2А1 = А2ВГ В3 = А3-А2*А 1 = АВ ...,

В = A •А , •, ..., A, = A В „ ..., neN.

n n n—1 7 7 1 n n—17 7

Каждая матрица из последовательности (9) будет определять многогранный конус аналогично (3). Обозначим конусы этой последовательности как К, / е N. Полученная последовательность конусов позволит построить уточнённое по конусу решение в игровой задаче (1).

Утверждение 1. Рассматривается игровая задача (1). Пусть матрицы А., /еN из последовательности (7) являются неотрицательными, невырожденными, неразложимыми, стохастическими. Тогда для любого натурального п:

матрица Bn = An • An_1-, ...,• A1 из последовательности (9) является неотрицательной, невырожденной, неразложимой, стохастической;

для соответствующих конусов имеет место включение Kn с Kn+1;

для соответствующих множеств оптимальных по конусу решений в игровой задаче (1) имеет место включение SK (X, Y) з SK (X, Y).

Kn Kn+1

Каждая матрица В., ie N из последовательности (9) является стохастической и для нее верны условия теоремы Фробениуса [8, с. 355]. У такой матрицы максимальное собственное значение X. = 1. Каждому собственному значению однозначно можно выбрать левый собственный вектор:

a

Учитывая вышеизложенное, для последовательности матриц (9) верно.

Утверждение 2. Пусть матрицы A ie N из последовательности (8) являются неотрицательными, невырожденными, неразложимыми, стохастическими. Тогда существует предел последовательности матриц (9), т. е.

limВ = limA • A • ...,• A, = A,..

i ^ n n-1 ' ' 1 0

n—Ж> n—^OT

Матрица A0 является положительной, вырожденной с рангом равным 1, обе строки матрицы равны

lim a(n) = a(0) = (a(0), a20)), a(0)+ a20) = 1, a(0) > 0, a20) > 0,

где левый собственный вектор a(n) из (10).

Последнее утверждение является основанием для уточнения оптимального по конусу решения игровой задачи (1).

Определение 2. Рассматривается игровая задача (1) и последовательность неотрицательных, невырожденных, неразложимых, стохастических матриц (8). Пусть набор чисел

a(0) = (a(0), a20)), a(0)+ a20) = 1, a(0) > 0, a20) > 0

представляет строку предельной матрицы A 0 из утверждения 2. Тогда равновесное решение бескоалиционной игры двух лиц со скалярными выигрышами

< X, Y, f «

.-„«»/(O

(0) r(1)/

f (1)(x,y) =a(0)f1(2)(x,y) + a20)f2(2)(x,y) >

будем называть уточнённым по последовательности матриц (8) решением игровой задачи с век-

торными выигрышами (1) и множество таких решений будем обозначать SO(X, Y).

Утверждение 3. Пусть в игровой задаче (1) множество стратегий Xc Rk и Yс Rl компактны, векторные функции выигрыша /(1) : X х Y ^ R2, f(2) : X х Y ^ R2 непрерывны, квадратные матрицы второго порядка в последовательности (8) являются неотрицательными, невырожденными, неразложимыми, стохастическими. Тогда в задаче существует уточненное по последовательности матриц (8) решение, возможно, в смешанном расширении игры.

Существование уточненного по последовательности матриц решения в задаче

f(1) (х, у) = а/0)f((1) (х, у) + а2(0)f 21) (X, у),

f

и теоремы о существовании ситуации равновесия в бескоалиционной игре двух лиц со скалярными выигрышами [12, с. 132-133].

Утверждение 4. Уточненное по последовательности матриц (8) решение в игровой задаче (1) является оптимальным (максимальным) по Парето решением, более того, оно является оптимальным (максимальным) по любому конусу, определенному матрицей из последовательности (9).

Уточнение оптимального по Парето (по конусу) решения игровой задачи (1) определяется последовательностью матриц (8). В частности такая последовательность может состоять из постоянных матриц, т. е. в (8) A , i е N, где A - произвольная неотрицательная, невырожденная, неразложимая, стохастическая матрица. В этом случае последовательность матриц (9) составляют натуральные степени матрицы A. Суммируя результаты для данного частного случая, получаем

Утверждение 5. Пусть квадратная матрица A второго порядка является неотрицательной, невырожденной, неразложимой, стохастической. Тогда

существует предел последовательности матриц lim An = A0 ;

предельная матрица A0 является неотрицательной, невырожденной, неразложимой, стохастической, и все строки этой матрицы равны левому собственному вектору, относящемуся к максимальному собственному значению матрицы А, т. е.

к = 1, а(0) = (а(0), а20)), а(0)+ а20) = 1, а(0) > 0, а20) > 0;

для последовательности матриц Ап, п = 1, 2, ..., соответствующая последовательность многогранных конусов Кп, п = 1, 2, ... , определенная аналогично (3), удовлетворяет цепочке включений К1 с К2 с К3 с ... с К,;

соответствующая последовательность оптимальных по конусу решений игровой задачи (1) удовлетворяет включениям

У)з У)з Sкз(X, У) з ...

... з У)з ... з ^ У).

Если в определении 2 уточнение оптимального по конусу решения в игровой задаче (1) проводится по последовательности многогранных конусов, определенных степенями неотрицательной, невырожденной, неразложимой, стохастической матрицы А, то полученное решение будем называть уточненным по конусу К решением многокритериальной задачи (1).

Рассмотренные выше методы уточнения оптимального по конусу (по Парето) решения существенно зависят от дополнительной информации, связанной с критериями задачи (1). Если такая информация отсутствует, то решением в (1) может быть только Парето-оптимальный исход. Причем все такие решения равноправны, как решения задачи (1). В то же время информация о важности критериев может возникать из оценок экспертов или из отношения ЛПР к критериям. Такая информация позволяет уточнить оптимальное по Парето решение.

Оценка относительной важности критериев может быть представлена весовыми коэффициентами, т. е. набором положительных (неотрицательных) чисел, отношение между которыми представляет отношение важности соответствующих критериев для эксперта (для ЛПР). Набор положительных чисел можно нормировать так, что сумма коэффициентов равна единице, при этом отношение чисел не изменится. Такое преобразование не только приводит различные мнения экспертов к единой форме, но и позволяет представить информацию от всех экспертов в форме стохастической матрицы. Последнее допускает построение последовательности уточнений.

Если процесс выработки решения в задаче (1) развивается во времени, т. е. информация о важности критериев поступает дискретными порциями, то возникает последовательный процесс уточне-

ния решения. Если на очередном шаге новая информация о критериях отсутствует, то последняя матрица Вк=Ак • Ак1% ...,• А1 уточняет оптимальное по Парето решение. Далее, в условиях отсутствия новой информации, решение уточняется последовательностью конусов, определяемых степенями последней матрицы Вк. Но такую последовательность уточнений, начиная с к + 1 шага, можно не выполнять, а сразу перейти к предельной матрице, как она определяется в утверждении 2. Таким образом, применив конечное число уточнений (именно, к), решение задачи (1) может быть сведено к бескоалиционной игровой задаче со скалярными выигрышами.

Модельный пример

Рассматривается игровая задача двух лиц с векторными выигрышами у каждого игрока (1). Множества стратегий первого и второго игрока заданы

X = {хеК2 | 2х1 + 5х2 < 10, х. > 0,/ = 1,2},

У = {уе К2 | 2у + >2 < 6, у + 2^2 < 6, у. > 0,/ = 1,2}

и представлены на рис. 1 и рис. 2 соответственно. Стратегиями игроков в этой игре являются пары: для первого игрока х = (х х2) е Xс К2, для второго игрока у = (у1, у2)е Xс К2 . Пара стратегий (х, у) = ((х1, х2) (у1, у2)) е X х У с К4 составляет ситуацию. Векторные функции выигрыша являются двухкритериальными:

Р(х, У) = (/ 1(х, >) + / 2(х, у), /2(х, у) + Д2(х, у) =

= х + у1, х2 + у2) = (х1, х2) + (у, у2) = / (1)(х) + / (2)( у).

Цель первого (второго) игроков состоит в выборе своей стратегии, что доставляет возможно большие значения своей векторной функции выигрыша /(1)(х) = (/((1)(х), /21)(х)) = (х1, х} (/(2)( у) =

(/ (2)( у), / 22)( у)) = ( уР у2)).

Задан двухгранный конус (7), который можно определить с помощью стохастической матрицы. Эту матрицу обозначим также А. Тогда конус

К = {хе R2 \ Ах — = {хе R2\Ax =

'7 3N / \ *

К \X2j

'0,7 0,3Y х л

0,5 0,5Ах

- 0(2) } =

2 /

Учитывая сепарабельный характер векторных выигрышей ^(х, у) в игровой задаче, нахождение равновесных ситуаций в (1) сводится к решению

двух двухкритериальных задач для первого и второго игроков:

X /

X /

Решение многокритериальных задач приведено в разделе «Оптимальность по конусу в многокритериальной задаче». Учитывая вышеизложенное, получаем, что множество равновесных по Нэшу-Парето ситуаций:

SP(X,Y) = XpxYp ={х*е R2\2x{ +

+ 5*2 =Ю,х* > 0,i = 1,2} х

х{уеЯ21у+2у2=6, 0<у<2, ¿ = 1,2}U

U {уеЯ212у + у2=6, 2< у1 <3, i = 1,2}).

Среди них выделяется множество равновесных по конусу K (7) ситуаций:

SK(X,Y) = XKxYK - (5,0)х х{уеЯ212у1+у2=6, 2 < ух < 3}.

Найдем уточненные по конусу K ситуации. Это решение будет подмножеством SK(X, Y) . Конус определяется стохастической матрицей A из (12). Найдем предел последовательности матриц

lim An = A Наибольшее собственное значение матрицы A есть X = 1. Тогда соответствующий левый собственный вектор можно выбрать c = (^, По утверждению 2 предельная матрица

А) =

. В соответствии с определением

f Ъ/ 3/л /8 /8 5/ 3/

v/8 /8,

2, уточненным по конусу K максимальным решением многокритериальной задачи (13) будут решения задачи математического программирования:

f (x) = 5x1 + 3x2 ^ max, (x1, x2)eX = {xeR2 | 2x1 + 5x2 < 10, x.> 0,/ = 1,2}. Аналогично для второго игрока:

f ( y) = 5У1 + 3y2 ^ max, (у,У2) e Y = {yeR2 | 2y1 + У2 < 6, y + 2y2 < 6,

y > 0,/ = 1,2}.

В первой задаче максимум достигается в единственной точке x# = (x1#, x2#) = (5,0) eX, что доставляет векторный исход f(1)(x#) = ( f ((1)(x#), f 21)(x#)) = (5,0) = f(1)(X ). Во второй задаче максимум достигается в единственной точке

У* = ( У*, У2#) = (2,2)е У , что доставляет векторный исход /(2)(у#) = (/((2)( у#), / 22)( у#)) = (2,2) = /(2)(У ).

Таким образом в представленной игровой задаче двух лиц с векторными двухкритериальными выигрышами у обоих игроков имеется единственная уточненная по конусу К из (7) ситуация:

80(Х, У) = ((5,0), (2,2)).

В этой равновесной ситуации первый и второй игроки получают векторные выгрыши /(1)#(х) = = ( / (1)#(х), /21)#(х)) = (5,0) и /(2)#( У) = ( / (2)#( У), / 22)#( У)) = (У1, У2) соответственно.

В данной статье векторное равновесие уточняется посредством расширения отношения предпочтения в К, г е Ж Тогда, согласно утверждению 1, множество максимальных стратегий сужается, что приводит к уточнению векторного равновесия. Это уточненное решение называется Нэш-А равновесием. Приводится пример, который показывает, что предложенная процедура позволяет выделить единственное векторное равновесное решение в задаче (1).

В статье рассмотрена игровая задача двух лиц с двухкритериальным выигрышем у каждого игрока (1). Для такой задачи имеются общепринятые подходы к определению решения. Они реализованы в концепции равновесной ситуации по Нэшу-Парето [9, с. 233].

Но, как правило, в игровой задаче с векторными выигрышами имеется бесконечное множество таких решений. Все они равноправны относительно определения равновесия по Нэшу-Парето. Возникает проблема уточнения равновесия. Решение следует уточнить так, что с новых уточненных позиций удастся выделить единственное наилучшее решение или, по крайней мере, сократить множество кандидатов на наилучший выбор.

Предложен подход к проблеме уточнения решения в игровой задаче с векторными выигрышами, основанный на расширении отношения

предпочтения. В векторном критериальном К2 пространстве выделяется конус доминирования К и определяется векторная упорядоченность.

Конусное решение указывает приемлемый компромисс между критериями по мнению экспертов при принятии решения. Если исход оптимален по конусу и от него возможен переход к другому исходу, выигрыш по одному критерию будет большим, то найдется другой критерий и проигрыш по нему будет недопустимо большим.

Конусные решения в многокритериальной задаче имеют важное свойство: если первый конус включает второй конус как подмножество, то множество оптимальных по первому конусу решений является подмножеством решений, оптимальных по второму конусу. На этом свойстве построена процедура уточнения решения.

Конусные отношения можно задавать в форме стохастических матриц. В этом случае последовательное уточнение конусной упорядоченности соответствует умножению стохастических матриц. Предлагается следующий алгоритм: на основании мнения экспертов строится последовательность расширяющихся конусов, которой соответствует последовательность вложенных множеств конусных решений. Решение по предельному конусу называется уточненным по последовательности конусов оптимальным решением многокритериальной задачи.

На основании свойств оптимальности в многокритериальной задаче предложена концепция уточнения по конусу равновесной ситуации в игровой задаче двух лиц с векторными выигрышами у каждого игрока. Проведено обоснование алгоритма уточнения решения. Указаны свойства последовательности стохастических матриц, которые гарантируют существование предельного конуса. Рассмотрен модельный пример, в котором вычисляется единственная уточненная по конусу ситуация.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Blackwell, O. An analog of the Minimax Theorem for Vector Payoff [Текст]/0. Blackwell//Pacific Journal of Mathematics. -1956.-Vol. 6.-P. 1-8.

2. Shaplay, L.S. Equilibrium Points in Games with Vector Payoffs [TeKCT]/L.S. Shaplay//Naval Research Logistics Quarterly. -1959. - Vol. 6. - P. 57-61.

3. Megen, F. A preference concept for multicriteria game. [Текст] / F. Megen, P. Borm, S. Tijs // Mathematical

Methods of Operation Research. -1999. - Vol. 49. - № 3. P. 401-412.

4. Розен, В.В. Математические модели принятия решений в экономике. [Текст] / В.В. Розен - М.: Высш. шк., 2002.

5. Yu, P.L. Cone convexity, cone extreme points and nondominated solutions in decision problems with multiobjectives [Текст] / P.L. Yu // Journal of optimization

theory and application. -1974. Vol. 14. - № 3. - P. 319-377.

6. Матвеев, В.А. Исследование оптимальности по конусу в многокритериальной задаче [Текст] / В.А. Матвеев // Научно-технические ведомости СПбГПУ -2009. - № 4. - С.169-176.

7. Беклемишев, Д.В. Дополнительные главы линейной алгебры [Текст] / Д.В. Беклемишев. -М.: Наука, 1983.

8. Гантмахер, Ф.Р. Теория матриц [Текст] / Ф.Р. Гантмахер. -М.: Наука, 1967.

9. Жуковский, В.И. Линейно-квадратичные дифференциальные игры [Текст]/В.И. Жуковский, А.А. Чикрий. -Киев: Наукова думка, 1994.

10. Подиновский, В.В. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач [Текст] / В.В. Подиновский, В.Д. Ногин. -М.: Наука, 1982,

11. Ногин, В.Д. Принятие решений в многокритериальной среде: количественный подход [Текст] / В.Д. Ногин. -М.: Физматлит, 2002.

12. Петросян, Л.А. Теория игр [Текст] / Л.А. Пе-тросян, Н.А. Зенкевич, Е.А. Семина. -М.: Высш. шк. Книж. дом «Университет», 1998.

13. Васильев, Ф.П. Численные метода решения экстремальных задач [Текст] / Ф.П. Васильев. -М.: Наука, 1980.

УДК 658

Е.В. Бабкова, С.С. Шерстюк

МОДЕЛЬ И АЛГОРИТМ КАЛЕНДАРНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЗАИМОЗАМЕНЯЕМЫХ РЕСУРСОВ С УЧЕТОМ ФРОНТА ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТ

Календарное планирование является конечным этапом оперативной деятельности сложной системы и поэтому в значительной мере определяет уровень использования ресурсов и время выполнения работ. Учет в одной задаче исследования этих двух элементов, а именно, затрат ресурсов и время выполнения работ, приводит к появлению понятия «фронта работ». Изначально оно связывалось только со строительной отраслью, поскольку здесь требовалось специальное оснащение и подготовка рабочего места к выполнению работ. В настоящее время во многих сферах деятельности используется понятие «фронта работ», например:

по отраслям деятельности (полевой, аграрной, машиностроения, строительства, дорожной и проч.);

в различных сферах деятельности - подразумевается объем работ, который необходимо выполнить в физическом выражении (количество единиц работы, квадратные метры покрытия и т. п.);

в организационной и управленческой деятельности (фронт управления, фронт работ министрам, фронт контроля и т. п.) [2, 4, 7-10].

Различают фронт работ, рассчитанный на этапе объемно-календарного планирования с целью формирования укрупненных планов работы объекта по календарным периодам. В данной статье будет применяться более узкое понимание «фронта работ»: текущий фронт выполнения работ - это множество работ, которые могут быть начаты в какой-то период времени с учетом работ, начатых ранее, но еще не законченных к настоящему моменту (предполагается, что работы не могут быть прерваны).

В статье рассматривается постановка задачи и модель календарного распределения взаимозаменяемых ресурсов. Кроме того, приводится эвристический алгоритм решения поставленной задачи.

Рассмотрим задачу календарного распределения взаимозаменяемых ресурсов с учетом фронта выполнения работ [1, 3, 5, 6].

Постановка задачи исследования

Имеется фронт работ, сформированный на этапе объемно-календарного планирования Ф1, Ф2, ..., Фга, I = 1, 2, ..., m. Пусть при выполнении какого-то вида работ на отрезке времени [} t2] используется г ресурсов. Ежедневное наличие ресур-