Применение теории оптимального управления для решения многокритереальной задачи сетевого планирования с нечеткими ограничениями по ресурсам

УДК 519.2 Н.П. Воробович

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ РЕШЕНИЯ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ СЕТЕВОГО ПЛАНИРОВАНИЯ С НЕЧЕТКИМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ ПО РЕСУРСАМ

В статье приводится анализ методов решения многокритериальных задач сетевого планирования с нечеткими ограничениями по ресурсам с точки зрения математической теории оптимального управления. Построена математическая модель задачи. Предложен алгоритм решения задачи.

Ключевые слова: оптимальное управление, многокритериальность, задача, сетевое планирование, нечеткие ограничения, математическая модель, алгоритм, календарный план.

N.P. Vorobovich

APPLICATION OF THE THEORY OF OPTIMUM CONTROL FOR SOLUTION OF THE MULTICRITERION TASK OF NETWORK PLANNING WITH THE RESOURCES VAGUE LIMITATIONS

The analysis of the techniques of solution of the multicriterion tasks of network planning with the resources vague limitation from the point of view of the mathimatical theory of optimum control is given in the article. The ma-thimatical model of the task is designed. The algorithm of the task solution is offered.

Key words: optimum control, multicriterionness, task, network planning, vague limitations, mathematical model, algorithm, planned schedule.

1. Формулировка проблемы. При формировании календарных планов для строительно-монтажных организаций возникает необходимость решения многокритериальной задачи сетевого планирования. Анализ методов решения задач такого рода показывает, что эти методы (например, [1-3]) носят эвристический характер и недостаточно обоснованы с научной точки зрения. В данной работе проводится анализ методов решения задач этого класса с точки зрения математической теории оптимального управления и предлагается алгоритм поиска локального экстремума.

Рассматриваемая задача состоит в следующем.

Имеется множество сетевых графиков {А/,/ = 1,2,...,Р}, отражающее работы, выполняемые в плановом периоде t = 0,1,...,Т. Обозначим ^ множество всех работ, входящих в сетевые графики А/. Относительно работ соеО считаем, что они должны выполняться непрерывно. По некоторым работам о могут быть заданны директивные сроки начала Т(а>\) или окончания Тг(а). На некоторых промежутках времени длины Те объем потребляемого /-го ресурса не должен превосходить величину Ое/.

В частности, Те может быть единичным промежутком времени или всем интервалом планирования. При этом по одному виду ресурса может быть задано несколько ограничений такого вида.

Для формирования математической модели задачи аналогично [4] вводим упорядоченные наборы множеств Х^)=(Х1А),...,ХТ(ф, где Х. - множество работ, выполняемых в промежуток времени [И, ^ для Ы и х'() пустое множество при М. Эти наборы множеств отражают фазовое состояние системы.

При .=0

х

где 0 - пустое множество. Множества и() . = 0,...,Т-1 содержат номера работ, которые должны выполняться в период [., .+ 1], они являются управляющими воздействиями. Уравнения движения имеют следующий вид:

Х

Здесь знак и обозначает покомпонентное объединение упорядоченных наборов множеств.

Общие ограничения на выбор управляющих воздействий состоят в следующем:

и

Дальнейшие ограничения связаны с фазовым соответствием системы в момент времени . и формируется с помощью множеств й, / = 1,...,5, элементами которых являются пары (х($, и(ф.

Множество Di(t) состоит из таких пар x(t) и U(t), которые обеспечивают непрерывность выполнения работ. А именно, если заявка не входит в t-е множества набора x(t) и количество ее вхождений в элементы x(t) меньше, чем время ее выполнения t(a>), «должна входить в множество u(t).

Для того чтобы описать множество Di(t), введем множество Y(x(t)) уже выполненных работ. То есть это множество работ о, которые последовательно входили в элементы набора x(t) равно t(a>) раз. Множество Di(t) состоит из таких пар x(t) и u(t), для которых из условия aeY(x(t)) следует, что о & u(t). Это условно обеспечивает окончание процесса включения работ в план по прошествии их нормативного срока выполнения.

Третье множество De(t) связано с наличием директивных сроков выполнения для некоторых работ « и состоит из пар x(t) и u(t), для которых справедливы условия:

а) со &u(t) при t<Ti(o);

б) со0 u(t) при t>T2(o) - t(o).

Четвертое множество D4(t) связано с наличием ограничений по /-му виду ресурса Oej на всех интервалах времени длительности Te. По вектору фазового состояния x(t) и управляющему воздействию u(t) определяем функцию потребности в ресурсах W(t) под работы, уже включенные в план, т.е. о eXi(t), i<t, или со е u(t). Эта функция задана для k = 0,...,t+5, где t+5 - число, определяющее самое позднее время окончания уже включенных заявок. Ресурсные ограничения проверяются для всех промежутков (ti, T2)e[O, t+s], длина которых равна Te при некотором e. Если для некоторого e0 т больше всего интервала [O, t+s], то объем потребления /'-го ресурса на интервале [O, t+s] также не должен превосходить заданного объема о . Множество D4(t) состоит из таких пар (x(t), u(f)), которые удовлетворяют всем ресурсным ограничениям.

Пятое множество D5(t) служит для формализованного представления ограничений, порожденных структурой сети. Пусть k(a>) - множество работ, которые непосредственно предшествуют работе о (т.е. о -не может быть начата пока не завершатся все работы из R(a>)), тогда в множество Db(t) входят такие пары, как (x(t), u(t)}, для которых справедливо условие aeu(t), если существует такая работа aeR(a), что aeY(x(t)). Здесь Y(x(t)), как и ранее, множество работ уже выполненных к моменту t.

Обозначим D(t) пересечение всех множеств D(t), i = 1,...,5.

Тогда совместные ограничения на фазовые переменные и управляющие воздействия запишутся в

виде

Ш u

При анализе календарных план-графиков расписания с искусственными простоями, как правило, отвергаются ЛПР. Поэтому наряду с ограничением (4) вводим следующие ограничения на пары x(t) и u(t). По множеству x(t) формируем множество подмножеств u(t)eQ, таких, что (x(t), u(t))eD(t). Среди этих множеств выбираем максимальные по включению и обозначаем совокупность этих множеств через D(x(t)). Ограничения на отсутствие искусственных простоев записывается следующим образом:

u

В силу построения, фазовое состояние x(T) в конечный момент времени T содержит информацию о всех выполненных работах за период [0,T], поэтому все технико-экономические показатели деятельности

могут быть представлены в виде функции от этого состояния, т.е. Cm= Cm(x(T)), m = 1,2,...,M. Здесь Cm - тех-

нико-экономические показатели.

Пусть Р(С1,С2,...,См) - функция полезности [5], отражающая предпочтение эксперта на множестве значений показателей качества.

Тогда общий критерий задачи можно записать в виде:

P

Отметим, что, в силу большого количества вариантов плана, функция Р(С1,С2,...,См) не может быть восстановлена в полном объеме. Однако ее можно восстановить в окрестности любого наперед заданного решения.

Таким образом, задача (1)-(6) является задачей теории дискретного оптимального управления, в которой для отображения фазового состояния системы используются упорядоченные наборы множеств и управляющие воздействия являются допустимыми множествами работ.

2. Решение проблемы многокритериальности. Решение многокритериальной задачи с локально определяемой функцией предпочтения Р(С1,С2г..,См) ищем в виде решения однокритериальной задачи вида:

м

Р = ^ат • Ст

т=\

при ограничениях (1)—(5).

Значения весовых коэффициентов ат сначала задаются экспертом, а затем последовательно уточняются в ходе реализации алгоритма на основе локальной оптимизации функции предпочтения Р.

На первом этапе диалоговой процедуры решаем задачу (1)-(5), (7) при заданных экспертом значениях коэффициентов т =

Найденный X принимаем в качестве опорного решения.

На каждом следующем этапе диалоговой процедуры решаем М однокритериальных задач. Пусть

к

ат , т = 1,2,...,М - значения весовых коэффициентов, соответствующих опорному решению предыдущего этапа. Тогда значения весовых коэффициентов для этих М задач определяем по формулам:

(а{ ,а[ ,...,а1м ) = (1 -р)(ак ,ак ,...,акм ) + р(0,...0,1Д...,0), 1 = 1,2,..., М,

I = 1,...,М,

где р-число из интервала (0,1), задаваемое заранее; I - изменяемый индекс, позволяющий получить нужные М наборов весовых коэффициентов. Решения этих М однокритериальных задач образуют окрестность опорного решения. В этой окрестности, используя ЛПР, восстанавливаем значения функции предпочтения Р и находим наиболее предпочтительный вариант. Если он совпадает с опорным решением предыдущего этапа, то алгоритм закончен, иначе переходим к следующему этапу диалоговой процедуры.

Описанный алгоритм позволяет получить локально-оптимальное решение задачи (1)-(6). В случае выпуклости и одноэкстремальности функции Р, он приводит в точку глобального оптимума с точностью, определяемой величиной р.

3. Особенности учета нечетких ограничений по ресурсам. Основное ограничение, учитываемое в задачах календарного планирования, состоит в следующем. Если весь плановый период разбит на интервалы I = 0,...,Т, то в каждый промежуток времени [I t+1] потребность в ресурсах, необходимых для выполнения запланированных на этот период времени работ, не должны превосходить прогнозируемое наличие (т.е. пара <х($,и($> входит в й().

В силу того, что точность прогнозных оценок может быть очень велика, а также в силу того, что оценки потребности в ресурсах, рассчитанные на основе показателей выработки, заведомо имеют погрешность по сравнению с реальными затратами, использование ресурсных ограничений в традиционной математической форме представляется нецелесообразным. Возможность организации определенного количества сверхурочных работ также позволяет нарушать жесткое ограничение по ресурсам в некоторые периоды времени. Сделанные замечания показывают, что оценка графиков наличия потребности ресурсов при календарном планировании является сложным процессом и может быть адекватно выполнена только ЛПР на основе качественного представления информации в графическом виде и учета его субъективных мнений об удовлетворительном соответствии этих графиков. Таким образом, ограничения по ресурсам, входящие в группу (4), являются нечеткими и требуют уточнения в диалоговом режиме.

Степень удовлетворенности ЛПР зависит от величины пиков превышения потребности в ресурсах над их наличием. Выявление мнения ЛПР о допустимых превышениях целесообразно проводить в диалоговом режиме путем его неявной идентификации. Этот процесс совершенно аналогичен процессу неявного уточнения весовых коэффициентов, изложенному выше. При практической реализации оба эти процесса должны проводиться одновременно.

На каждой итерации анализа календарного плана X ЛПР, ответственный за его реализацию, отмечает участки, на которых превышение потребности в ресурсах над прогнозным наличием он считает недопустимым.

Во всех последующих итерациях при формировании календарных план-графиков добавляются ограничения, запрещающие подобные превышения.

4. Алгоритм численного решения. Как показано выше, решение многокритериальной задачи с нечеткими ресурсными ограничениями сводится к решению серии обычных однокритериальных задач. Для поиска локально-оптимальных решений задач дискретного оптимального управления в работе [6] предложен следующий подход: сначала формируется опорное решение, затем проводится его оптимизация методом покомпонентного варьирования. Формирование опорного решения для задачи (1)-(6) осуществляется методом последовательного включения работ в план [1] или же методами, предложенными в работах [7-8]. На этапе оптимизации возникает сложная с вычислительной точки зрения задача по выбору оптимальной ло-

кальной вариации. В работах [7-9] предложено несколько алгоритмов решения этой задачи, основанных на применении эвристических методов и метода "ветвей и границ".

Предложенный алгоритм был апробирован на задачах по расчету годовых календарных планов СМР в ряде строительных организаций г. Красноярска. По сравнению с алгоритмами [1-3] этот алгоритм обеспечивает лучшие значения основных технико-экономических показателей при одинаковых затратах машинного времени.

Литература

1. Календарное планирование. - М., 1966. - 482 с.

2. Воропаев, В.И. Методы и модели календарного планирования в автоматизированных системах управления строительством / В.И. Воропаев. - М.: Стройиздат, 1975. - 232 с.

3. Голуб, Л.Г. АСУ строительного треста / Л.Г. Голуб, Е.М. Ляшенко. - М.: Стройиздат, 1976. - 88 с.

4. Герасимов, В.А. Календарное планирование работы производственного участка на основе теории оптимального управления / В.А. Герасимов. - Деп. в ВИНИТИ. - № 1660-В86. - 28 с.

5. Фишберн, П. Теория полезности для принятия решений / П. Фишберн. - М.: Наука, 1978. - 352 с.

6. Герасимов, В.А. Оптимизация управления на дискретных множествах / В.А. Герасимов. - Деп. в ВИНИТИ. - № 316-82 ДЕП. - 17с.

7. Воробович, Н.П. Формирование годового календарного плана строительно-монтажных работ генподрядного строительного треста с применением идей метода "ветвей и границ" / Н.П. Воробович // Автоматизация разработки плановых решений и управления строительством: сб. науч. тр. НИИЭС Госстроя СССР. - М.,1984. - С.30-37.

8. Воробович, Н.П. Алгоритм решения многокритериальных задач сетевого планирования с нечеткими ограничениями по ресурсам / Н.П. Воробович, В.А. Герасимов // Разработка комплексно-блочного метода строительства промышленных обьектов в районах Урала и Западной Сибири: сб. науч. тр. КПСНИИП. - Красноярск, 1988. - С.116-123.

9. Воробович, Н.П. К вопросу о создании автоматизированной системы поддержки управления инвестиционными проектами в условиях рыночной экономики / Н.П. Воробович // Проблемы информатизации региона: сб. науч. тр. - Красноярск, 1995. - С.133-134.