Уменьшение частоты дискретизации цифрового сигнала

УДК 621.391

А.С. Мухамбетжанов

УМЕНЬШЕНИЕ ЧАСТОТЫ ДИСКРЕТИЗАЦИИ ЦИФРОВОГО СИГНАЛА

Рассматривается уменьшение частоты дискретизации (децимация) цифрового сигнала. Даны общие сведения и основные понятия цифровой децимации сигналов с целочисленным коэффициентом М. Приведено описание компрессора частоты дискретизации, осуществляющего уменьшение частоты дискретизации в целое число раз М. Показаны модули спектра входного сигнала и составляющих спектра выходного сигнала КЧД. Также в статье приводятся уравнения и принцип простейшей системы децимации с целочисленным коэффициентом.

A.S. Muhambetzhanov DIGITIZATION FREQUENCY REDUCTION OF A DIGITAL SIGNAL

This paper describes the diminution of sampling rate (sub sampling) a digital signal. Common information and the basic concepts of digital sub sampling of signals with integer factor M are given here. The studies resulted in the description of the compressor of frequency of the digitization (CFD), carrying out reduction of frequency of digitization in an integer of times in M.

Modules of a spectrum of an entrance signal and components of a spectrum of target signal (CFD) are shown here. And also the article shows the equations and a principle of the elementary system of sub sampling with integer factor.

Рассмотрим аналоговый сигнал x(t), показанный на рис. 1. Спектр X(jш) этого сигнала занимает полосу частот [0, штах], модуль его спектра показан на рис. 2, а. Осуществим дискретизацию этого сигнала с интервалом дискретизации T (частотой Шд=2пгГ). Соответствующий дискретный сигнал x(nT), n=0, 1, 2, ... показан на рис. 1. Теперь осуществим дискретизацию того же x(t) сигнала интервалом T' =MT (частотой ш'_^=2n/(M7)). Соответствующий дискретный сигнал x(XT') А=0, 1, 2, ... показан на рис. 1 (для случая T' =MT=2T).

Рис. 1

Рис. 2

Случай 1. При дискретизации с частотой юд1 выполнялось условие юд1 >2Мютях (в нашем случае юд1>4ютах). Модуль спектра сигнала х(пТ) показан на рис. 2, б. Он периодичен (по оси частот) с частотой юд1. Очевидно, что величина частоты дискретизации является излишней, поскольку в соответствии с теоремой Котельникова должно выполняться условие юд1>2ютах. Модуль спектра сигнала х(ХТ') показан на рис. 2, в. Он периодичен (по оси частот) с частотой ю'д 1 = юд1 /М = юД1/2. Поскольку в

интересующей полосе частот [0, ютах] спектр не изменился как по сигналу х(пТ), так и по сигналу х(ХТ '), можно восстановить исходный аналоговый сигнал х(ґ).

Вернемся теперь к рис. 1. Очевидно, что сигнал х(ХТ') можно получить из сигнала х(пТ) путем прореживания последнего, т.е. путем взятия только каждого М-го (в нашем примере каждого второго) отсчета сигнала х(пТ). Эта операция называется децимацией сигнала с целочисленным коэффициентом.

Случай 2. При дискретизации с частотой юд не выполнялось условие юд>2ютах. Модули спектров сигналов х(пТ) и х(ХТ'), периодичные с частотами юд2 и ю'д2 = юд2 / М ,

показаны на рис. 2, г и д соответственно (М=2). Из рис. 2 видно, что на основной спектр в полосе [0, ютах] наложился дополнительный спектр, расположенный около центральной частоты ю'дг. Следовательно, спектр сигнала (и сам сигнал) оказался искаженным. Если по сигналу х(пТ) можно восстановить сигнал х(ґ), то по сигналу х(ХТ') этого уже сделать невозможно.

Таким образом, для выполнения операции децимации в целое число раз М необходимо, чтобы частота дискретизации юд сигнала х(пТ), подлежащего децимации,

удовлетворяла условию сод>2сотах, где <этах -

граничная частота спектра децимируемого сигнала.

Операция децимации выполняется с помощью компрессора частоты дискретизации (КЧД). Условное изображение КЧД,

осуществляющего уменьшение частоты

дискретизации в целое число раз М, показано на рис. 3, а. Компрессор частоты дискретизации представляет собой ключ, который замыкается в моменты і=пМТ=ХТ’ (п=0,1,2,...), т.е. из входного сигнала х (пТ) с интервалом дискретизации Т берется только каждый М-й отсчет и формируется выходной сигнал х(ХТ ')=х (ХпТ) с интервалом дискретизации Т=МТ. Иными словами, выходная последовательность х(кТ ’ ) ЭЧД формируется путем прореживания входной последовательности х (пТ) по алгоритму

•*

х

—;; х Ш J X(Zn)W

а

*(пТ) l-t'h мІІІ llii. _

й г 5 to /5 n

кТ і r"=flT

1

0 t і > J X

б

Рис. 3

х

где Х=0,1,2,...; п=ХМ+к, а к - целое фиксированное число (0<к<М). Операция,

выполняемая КЧД, называется прореживанием, а последовательность х(ХТ') -прореженной. На рис. 3, б показаны последовательности х (пТ) и х(ХТ ') на входе и выходе КЧД при уменьшении частоты дискретизации в 4 раза (М=4, к=2).

Рассмотрим связь между г-преобразованиями входной и выходной

последовательностей ЭЧД. Представим г-преобразование Х(гм) сдвинутой

последовательности хк (ХТ'+кТ) в виде

Хк ( 2м ) = г ~к X х (ХТ+кТ) г ~ш,

Х=0

а г-преобразование X(г) входной последовательности х*(пТ) в виде

ад

X *(г) = £ х *(пТ) г-.

п=0

Рассмотрим теперь с учетом (3) сумму

М

М_1 ] 2п—к ( ] 2 п—к ^

X е М X ге "

х=0 у

Поскольку

М- 1 “ ] 2п—к

= ХХе М х*(пТ)е М г п = X Хе

М ,1 -] 2л—(п-к ) ^

х=0 п=0

М

п=0V х=0

х *

X е

М1 -]2птт(п-к) (М, п = к + ХМ, Х = 0,1,2к

М

х=0 [0, п Ф к + ХМ, Х = 0,1,2...

из (4), заменив п ^ к + ХМ , получим

М-1 ] 2п— ( ] 2п—

Xе МХ* ге М 1= МXх*

Х=0

Х=0

Окончательно с учетом (1) и (2) из (5) получаем

м 1 М-1 ] 2п—к ( ] Л

хк ( 2м ) = 7^ е М X *

М

х=0

] 2п-

ге т

У

Уравнение для спектров на нормированной шкале частот получаем из (6) при подстановке г = ехр(у 2пн) = ехр(у 2 пн'/М) :

1 М 1 У2п—к С у2п(н+—) ^

Хк (е] 2™') = — X е М х

М

х=0

М

где Н = Н /М .

На практике часто используется случай к=0. Тогда (6) и (7) преобразуются в (8), (9) соответственно:

1 М-1 С у 2п— ^

X ( 2м ) = ^-X X *

М х =0

ге

М

1 М-1 ( ] 2п( н+—) Л

X(е]2™') = — X X * ^

М х=0 Л V Л * \ Хг \ X, I х„

Из (9) видно, что спектр X (е] 2пн') | | ^

выходного сигнала есть сумма спектров | 1

входного сигнала, сдвинутых один

относительно другого по оси частот н на величину 1/М. Таким образом, если

основной спектр входного сигнала КЧД (в полосе [0;0,5]) разбить условно на М

о !/(гп) 1/п

х=0

є

Рис. 4

составляющих, занимающих М полос на оси частот шириной 1/(2М), то после

уменьшения частоты дискретизации в М раз в основную полосу частот [0,1/(2М)]

выходного сигнала попадает каждая х-я составляющая спектра входного сигнала из

х х -11 Л _ , , ,

полосы ------,---- , х=0,1,2,...М-1.

_ 2М 2М ]

На рис. 4 показаны модули спектра входного сигнала и составляющих спектра выходного сигнала КЧД при уменьшении частоты дискретизации в М=3 раза. Из рис. 4 видно, что если основной спектр входного сигнала КЧД условно разбить на М составляющих X*, х=0,1,.. М-1 (в примере М=3), занимающих по оси частот М полос шириной 1/(2М), то после уменьшения частоты дискретизации в М раз в основную полосу частот [0,1 /(2М)] выходной последовательности попадают прямые спектры X*x(єJ2пн) четных составляющих

(х=0,2,...) и инверсные спектры X.*(є;2пн) нечетных составляющих (х=1,3,...) спектра входной последовательности. В нашем примере спектр входной последовательности условно разбит на три составляющие (X*, X*, X*). После уменьшения частоты дискретизации в 3

раза в основную полосу частот [0,1/

при х=0,2 и X* (е] 2пн ) при х=1.

Рассмотрим теперь условия, накладываемые на ширину и положение спектра входной последовательности на оси частот, при которых уменьшение частоты дискретизации не приводит к наложению спектров. Как видно из (9) и рис. 4, наложение спектров отсутствует, если спектр входного сигнала занимает не весь частотный диапазон [0;0,5], а лишь одну из полос частот

1

' ІІГ-;---------- ------ ------ ——

\і/М № > 11 і

г

<т

1 і - — '

2М 2М

где г=0,1,...М-1, или часть этой полосы. Условие (10) соответствует обобщенной теореме Котельникова, устанавливающей связь между шириной спектра и частотой дискретизации сигнала.

Простейшая система уменьшения частоты дискретизации (децимации) в целое число раз М показана на рис. 5, а. Принцип работы схемы поясняется на рис. 5, б (для М=4). Предполагается, что спектр входного сигнала ~ (пТ) занимает полосу

нормированных частот [0;0,5] (рис. 5, б,

график 1).

Задачей схемы является уменьшение частоты дискретизации сигнала в М раз с сохранением спектра, расположенного в полосе [0,Нтах].

Собственно операция уменьшения частоты дискретизации в М раз

осуществляется с помощью КЧД, формирующего сигнал у

путем взятия только каждого М-го отсчета из последовательности у (пТ), т.е. у(ХТ ')=у (ХМТ), Х=0,1,2,... Для предотвращения

явления наложения спектров операции, выполняемой КЧД, предшествует операция фильтрации децимируемого сигнала. Входной сигнал х(пТ) обрабатывается фильтром, назначение которого состоит в подавлении составляющих спектра в частотных

диапазонах [г/2М,(г + 1)/2М] (г=1,2,...М-1), которые при последующем уменьшении частоты дискретизации в М раз попадут в частотный диапазон [0;1/(2М)].

\ I

І I

Рис. 5

Идеализированная АЧХ фильтра нижних частот схемы должна удовлетворять требованиям

А

4 ’ I 4 [0 при н є [0;0,5], v ’

где н <0< —— н0=нГЗ - граничная частота полосы задерживания фильтра.

М

Амплитудно-частотная характеристика показана на рис. 5, б (график 2) для случаев 0=1/(2М) (I, график 2, рис. 5, б) и 0=1/М-нтах (II, график 2, рис. 5, б) (1/10<нтах<1/8, М=4). Спектр сигнала у (пТ) на выходе фильтра равен

у) = X(е1)Н(е]) .

Следовательно, спектр выходного сигнала у(ХТ ') схемы децимации в основной полосе частот н'є[0;0,5] (что соответствует частотному диапазону нє[0;1/(2М)] с учетом (9) определяется как

1 М-1

М

/ „ , , ч I _* /2п| І /2ЯІ I

у

Є

V 1

( /„(

/2п| н+-

е

V 1

Если АЧХ фильтра |И(в12™)| удовлетворяет условию (11), то в полосе частот

[0,^тах] спектр выходного сигнала равен спектру входного сигнала. В полосе [^тах,1/(2М)] может отсутствовать наложение спектров (при 9<1/2М)), рис. 5, б, график 3) либо могут иметь место наложения спектров (при 1/(2М)<9<1/М'-^тах), рис. 5, б, график 4). Оба случая допустимы, поскольку от схемы требуется только сохранение спектра в полосе

[0,^тах].

В реальных фильтрах, используемых для децимации, амплитудно-частотная характеристика аппроксимирует (11) с определенной степенью точности. В полосе пропускания АЧХ имеет неравномерность ДАП, а в полосе задерживания - отклонение от нуля ДАЗ. При уменьшении частоты дискретизации имеет место наложение спектров. Спектр выходного сигнала определяется по формуле (12). Первое слагаемое в правой части (12) при х=0 для »е[0,№шах] можно рассматривать как спектр полезного сигнала, равный спектру входного сигнала в данной полосе, измененного в соответствии с АЧХ фильтра в полосе пропускания. Слагаемые для х=1,2,...М и |^| е [0,^тах] следует рассматривать как спектры помех, искажающие спектр полезного сигнала в полосе

[0,^тах].

Выбор величин ДАП и ДАЗ при решении аппроксимационной задачи основывается на требованиях конкретной проектируемой системы и аналогичен выбору соответствующих величин в системах интерполяции.

Требования к АЧХ (11) могут быть заметно облегчены, если ^тах<<1/(2М):

Г1, ™ е [0, ^тах ] ,

М

А

г г

-----н ,---------+ н

М тах М п

г = 1,2,...,

2

Рассмотрим теперь особенности использования фильтров с конечной импульсной и фильтров с бесконечной импульсной характеристиками (КИХ- и БИХ-фильтров) при децимации. Передаточная функция Н(£) фильтра (как КИХ, так и БИХ) и его частотная характеристика определяются «высокой» (входной) частотой дискретизации.

Однако КИХ-фильтр работает фактически на «низкой» (выходной) частоте, поскольку нет необходимости рассчитывать М-1 отсчет выходной последовательности у(пТ) фильтра (рис. 5, а), которые будут отброшены КЧД.

БИХ-фильтр, используемый в схеме децимации, работает на «высокой» (входной) частоте дискретизации, поскольку при вычислении любого отсчета последовательности у (пТ) необходимо иметь значения всех предыдущих отсчетов (и тех, которые далее будут отброшены КЧД).

Использование БИХ-фильтра может оказаться более предпочтительным при минимизации емкости оперативной памяти или объема оборудования.

Число операций умножения в единицу времени для БИХ-

равно:

VБ = (NБ + МБ -1) fд , Vк = Nк (fд. М),

где NБ и МБ - количество коэффициентов в числителе и знаменателе передаточной функции БИХ-фильтра; Nк - количество коэффициентов передаточной функции КИХ-фильтра; ^ - частота дискретизации входного сигнала; М - коэффициент децимации.

Применение БИХ-фильтра оказывается предпочтительным (по критерию минимума операций умножения в единицу времени) при условии Nк > М (NБ + Мб - 1).

При требовании сохранения фазовых соотношений между составляющими спектра входного сигнала в полосе частот [0,^тах] в схеме децимации целесообразно использовать КИХ-фильтр с линейной фазовой характеристикой.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гольденберг Л.М. Цифровая обработка сигналов / Л.М. Гольденберг, Б.Д. Матюшкин, М.Н. Поляк. М.: Радио и связь, 1990. 256 с.

2. Кей С.М. Современные методы спектрального анализа / С.М. Кей, С.Л. Марпл // ТИИЭР. 1981. Т. 69. № 11. С. 5-51.

Мухамбетжанов Арман Сулейманович -

аспирант кафедры «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем»

Саратовского государственного технического университета