Применение пакета MathCAD для расчёта и изображения векторных полей

МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №11-4/2016 ISSN 2410-700Х

Преимущества данной схемы заключаются в раздельном окислении очищенных сточных вод от взвешенных веществ. При этом тратится меньше энергии по сравнению с известными способами очистки воды в очистных сооружениях.

С развитием отраслей АПК и, в первую очередь животноводства и птицеводства, все более остро встает вопрос утилизации и переработки отходов, образующихся в результате хозяйственной деятельности. Наиболее целесообразно подвергать эти отходы биотехнологической переработке, в результате которой получают биогаз и органические удобрения, что уже делается в ряде стран. Так, например, в Германии работает более 8000 биогазовых установок различной производительности. По оценкам экспертов для этой страны необходимо строительство 220 тысяч биогазовых установок, из которых 86 % должны перерабатывать помет и навоз. При реализации этих планов доля биогаза может достичь 11 % общего объема потребления газа в Германии [2].

Основное преимущество биогаза состоит в том, что он является возобновляемым источником энергии. Его производство будет так же длительно, как существование жизни на Земле.

Агропромышленный комплекс России сталкивается с проблемой утилизации огромного количества отходов - чаще всего они просто вывозятся с территорий ферм и складируются. Это приводит к проблемам окисления почв, отчуждению сельскохозяйственных земель, загрязнению грунтовых вод и выбросам в атмосферу метана - парникового газа. Если на государственном уровне ставится задача интенсивного развития сельского хозяйства, с высоким уровнем эффективности и глубины переработки, эту проблему необходимо решать сейчас, не откладывая ее на будущее.

Список использованной литературы:

1.Е. В. Кузнецов, А. Е. Хаджиди. Сельскохозяйственный мелиоративный комплекс для устойчивого развития агроландшафтов. Краснодар, 2014 год.

2. Стребков Д.С., Ковалев А.А. Биогазовые установки для обработки отходов животноводства. // Техника и оборудование для села - 2006. - №11. - С.28-302.

© Борисенко В.Е., Сивков В.В., Мещеряков П.П., 2016

УДК 51-7

Ершова Ирина Валерьевна

старший преподаватель кафедры математики САФУ имени М.В. Ломоносова, г. Северодвинск, Российская Федерация E-mail: Irina-124@yandex.ru Минеева Татьяна Алексеевна кандидат педагогических наук, доцент, заведующая кафедрой математики САФУ имени М.В. Ломоносова, г. Северодвинск, Российская Федерация E-mail: mineeva7@yandex.ru

ПРИМЕНЕНИЕ ПАКЕТА MATHCAD ДЛЯ РАСЧЁТА И ИЗОБРАЖЕНИЯ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ

Аннотация

В статье приведены некоторые применения программного продукта MathCAD для расчёта и изображения векторных полей. Представлены примеры и определена последовательность этапов хода решения поставленной задачи при отображении средствами MathCAD.

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №11-4/2016 ISSN 2410-700Х_

Ключевые слова

Программный продукт MathCAD, векторное поле, векторные линии, ротор векторного поля,

дивергенция векторного поля.

Для расчёта огромного количества реальных вещей используется такая математическая модель как векторное поле. Достаточно вспомнить об электричестве - ведь все электродинамические расчёты основаны именно на математической теории векторного анализа, оперирующей векторными и скалярными полями. Обширно применяется эта теория и в других отраслях физики - например, в гидродинамике [1]. Также «физическими примерами векторных полей являются поля электрической и магнитной напряжённостей, поля скоростей движущейся жидкости или газа, гравитационное поле и др.» [2].

В отличие от скалярного поля, которое в каждой своей точке определяется одним числом - скаляром, векторное поле определяется в каждой точке тремя числами, т.е. вектором. Из этого следует, что векторное поле устроено более сложно, чем скалярное.

Векторным полем называется часть пространства, каждой точке которого поставлен в соответствие

вектор я(М):

а(М) = P(x,y,z)i + Q(x,y,z)j + R(x,y,z)k .

Для изображения векторных полей служат векторные линии, т.е. такие кривые, касательные к которым в каждой точке имеют направление векторного поля в этой точке. Они определяются системой дифференциальных уравнений

dx _dy _ dz

~P ~Q ~R

Источником векторных линий называется точка пространства, в которой векторные линии начинаются. Стоком называется точка пространства, в которой векторные линии заканчиваются.

Важнейшими локальными характеристиками векторного поля являются ротор и дивергенция. Их также называют дифференциальными характеристиками.

Ротором векторного поля й^М^ называется вектор, вычисляемый по формуле:

rota =

^Л rdQ 8РЛ

3R_dQ dy dz

i +

;

dP__8R dz dx

J +

V

dx dy

k-

Ротор rot Ü характеризует вращательную способность поля U (М). т.е. наличие у этого поля

«закрученных» векторных линий или «вихрей». В технической литературе ротор векторного поля часто называют вихрем этого поля. Векторное поле, ротор которого равен нулю в любой точке, называется безвихревым и является потенциальным.

Дивергенцией векторного поля й^М^ называется скалярная величина di V 6/. вычисляемая по

формуле:

_ дР дО 8R diva = — + — + —.

dx dy dz

Если дивергенция положительна, то мощность источников векторных линий превосходит мощность стоков. Если дивергенция отрицательна, то стоки мощнее источников. Если дивергенция равна нулю, то либо нет источников и стоков, либо их мощности одинаковы и тем самым компенсируют друг друга.

Познакомимся с возможностями, которые предоставляет MathCAD для построения векторных линий. Пример 1.

Найдите векторные линии поля а(М) = xi + 2у / . Постройте векторное поле.

МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №11-4/2016 ISSN 2410-700Х Решение.

Р(х.у) := х Q(ij) := 2у {введём координаты векторного поля}

В данном примере дифференциальное уравнение векторных линий является уравнением с разделяющимися переменными:

dx dv

1

Q

Р

dx — Ь

f(x;y):=lD(x)-

Ь

{задаём функцию, которая определяет решение дифференциального уравнения, т.е. векторные линии}

1 := 1,2.. 15 Xi -= -2 + \ -0.3

ZU := Ф^ч)

-1 " М -13 {определяем в плоскости

= —2 + j -0J прямоугольную сетку}

{формируем матриц;' значений функции f на сетке}

Построим векторное поле, выбрав «Векторное поле» на панели графиков и введя в полученной позиции имя матрицы z.

В примере 2 рассмотрим возможности пакета MathCAD для расчёта дифференциальных характеристик векторного поля. Пример 2.

Найдите дивергенцию и ротор векторного поля

а

2т , ..27 , 2,

Решение.

2 2 1 P(x,y,z) := i Q(x;y,z) := у R(x;y,z) := z

divF(x,yiz) := — Р(х ,у,z) + — Q (х. у, z) + — R(x. у, z) dx dy dz

djvF(x.y,z) -> 2-x + 2-y+2-z

dy dz

-P<x,y,z)-lR(x,y,z) dz dx

lQ(x;y,z)-lp(x;y,z) dx dy

{задаём координаты вектора поля}

{задаём формулу для вычисления дивергенции и вычисляем её}

roff(x;y,z) :=

{задаём формулу для вычисления ротора и вычисляем его}

roff(x;y,z) ->

vOy

МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №11-4/2016 ISSN 2410-700Х

В примере 2, как видим, ротор векторного поля равен нулю, поэтому данное поле является безвихревым. Если вычислять дивергенцию в конкретной точке, то можно делать вывод о наличии в этой точке источника или стока поля.

К рассмотрению векторных полей приводят многие задачи физики, электротехники, математики, механики и других технических дисциплин. Поэтому важно уметь применять программные продукты, например, MathCAD, для облегчения расчётов характеристик векторных полей и их наглядного изображения. MathCAD - система, позволяющая решать задачи, поставленные перед студентами в рамках технических дисциплин.

Список использованной литературы:

1. MathCAD — это просто! Часть 8. Графики векторных полей и анимированные графики: [Электронный ресурс] // URL: http://www.nestor.minsk.by/kg/2008/20/kg82007.html. (Дата обращения: 23.11.2016).

2. Волченко Ю.М. Работа и циркуляция: [Электронный ресурс] // URL: http://yura.volchenko.com/Education/WorkCirc.pdf. (Дата обращения: 22.11.2016).

© Ершова И.В., Минеева Т.А., 2016

УДК 517.968

Каденова Зууракан Ажимаматовна - к.ф.-м.н., доцент, Заместитель министра труда, миграции и молодежи

Кыргызской Республики e-mail: Kadenova71@mail.ru

УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО РОДА С ДВУМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ

Аннотация

В настоящей статье доказана теорема о оценки устойчивости решений систем линейных интегральных уравнений первого рода с двумя независимыми переменными в неограниченных областях.

Ключевые слова

Линейные интегральные уравнения, первого рода, с двумя независимыми переменными, единственность.

Kadenova Zuurakan Ajimamatovna

the candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, Deputy ministry of labor, migration and youth of the Kyrgyz Republic

STABILITY OF THE SYSTEMS LINEAR INTEGRAL EQUATIONS OF THE FIRST KIND WITH TWO VARIABLES

In the present article the theorem about an assessment of stability of solutions of systems of the linear integral equations of the first t with two independent variables in unlimited areas is proved.

Key words and phrases linear integral equations, first kind, two variables, solution and uniqueness.

Постановка задач. В настоящей статье на основе метода неотрицательных квадратичных форм для систем линейных интегральных уравнений первого рода с двумя независимыми переменными в