Применение сплайн-вейвлетов для решения интегро-дифференциальных уравнений

УДК 519.6

Д.А. Турсунов

Применение сплайн-вейвлетов для решения интегро-дифференциальных уравнений

D.A. Tursunov

Application of Spline Wavelets to Solve the Integro-Differential Equations

В данной работе используется новый тип эрмитовых кубических сплайн-вейвлетов для построения приближенного решения интегро-дифференциальных уравнений. Вейвлеты построены в базисе эрмитовых кубических сплайнов. Численные результаты демонстрируют эффективность построенных базисных вейвлетов.

Ключевые слова: вейвлет, эрмитовый кубический сплайн, интегро-дифференциальное уравнение.

In this paper, the author brings into use the wavelet bases of Hermite cubic splines to solve the integro-differential equations. The wavelets are constructed on the basis of Hermite cubic splines. The computational results demonstrate the advantage of the wavelet basis. Key words: wavelet, Hermit cubic spline, integro-differential equation.

Введение. Недостатками построенных ранее вейвлетов является то, что они либо не имеют аналитического представления, либо расположены на достаточно широком носителе. И то, и другое бывает чрезвычайно важно при их использовании для приближенного решения интегро-дифференциаль-ных уравнений. Все обозначения те же, что и в работе [1].

Пусть ф1 и ф2 - кубические сплайны вида: ф1(х) = (х+1)2(1 - 2х) %[-1,0](х) + (1-х)2(1 + 2х)Х[0,1](х) и Ф2М = (х + 1)2ххи,0](х) + (1 - х)2хХ[0,1](х), где Х[а,Ь](х) - характеристическая функция, Х[а,Ь](х) = 1, при x е [а,Ь] и Х[а,Ь](х) = 0, при x £ [а,Ь].

В работе [2] Дамен и соавторы построили би-ортогональные мультивейвлеты в базисе эрмитовых кубических сплайнов ф1 и ф2. Отметим, что их конструкция базисных вейвлетов выглядит слишком сложно [3].

В [1] предложен новый подход к построению базисных вейвлетов на пространстве эрмитовых кубических сплайнов, т. е. наши вейвлеты ортогональны со скалярным произведением (и', у'), а не (и, у). Это требование ортогональности лучше подходит для применения вейвлетов к численному решению ин-тегро-дифференциальных уравнений второго порядка. Вдобавок эти вейвлеты имеют меньший носитель.

Нетрудно заметить, что множество

Фи:=

является базисом для У„ (¥„ - пространство кубических сплайнов, удовлетворяющих условиям: п > 0, у е С[0,1] п С' [0,1]; у(0) = у(1) = 0). Элементы Фп обозначим через {у1 ,., у2„+1 }.

Пусть Тп множества вейвлетов, которые пока не конкретизируются:

Т : = {^(2п - 7): ] = 1,...,2п - 1} и

и{^

и Wn - линейное пространство, натянутое на Тп, очевидно, что dim(Wn) = 2п+1. В работе [1] доказано равенство:

}w'

0

Из этого следует, что Уп п Wn = {0}. Кроме того, ниже будет показано, что ¥п+1 з ¥п + Wn и dim(Vn+1) = dim(Vn) + dim(Wn). Это означает, что ¥п+1 = Уп © Wn. Следовательно, мы получим разложение Н (0,1):

Н 0 (0,1) = V © W1 © W2 ©....

Элементы Тп обозначим через {^2„+1+1,...,^2„+2},

п е N.

Пусть gk: = ук1\\у’к||2 при к = 1, 2, 3, 4 и gk: = = ^к/\Кк\\2 при к> 4. Тогда \\я' к\\2 = 1 при п е N.

Сплайн-вейвлеты. Нетрудно показать, что ф1 и ф2 - кубические сплайны, определенные во введении, удовлетворяют условиям: ф1, ф2 е С1, ф1(0) = 1, ф ' 1(0) = 0, ф2(0) = 0 ф ' 2(0) = 1.

Следовательно, эрмитова интерполяция для функции И е С1 (*), имеет следующий вид:

ы = X И ( 7 ) ф ( - 7 ) + И ) ф2 (- 7) ,

Зе

У/ е 2: и() = И(/), ы(/) = И '(/).

Пусть 5” представляет собой инвариантное пространство сдвигов, порожденное ф1 и ф2. Функция g принадлежит пространству 5 тогда и только тогда,

Применение сплайн-вейвлетов для решения ... уравнений

когда существуют две последовательности Ь1, Ь2 на Z, для которых выполняется равенство:

g = X [Ь1 () ф1 (- 7) + Ь2 () ф2 ( - 7)].

Пусть 51 = {g(2•): g е 5}, тогда 5 с 51. Мы ищем пространство вейвлетов W, для которого 51 = 5 © W. При этом хотим найти два вейвлета уь у2, так что их сдвиги порождают W. Кроме того, потребуем выполнения равенств

Отсюда имеем два материнских вейвлета уь у2:

у1(х) = -2ф1(2х + 1) + 4ф1(2х) - 2ф1(2х - 1) -- 21ф2(2х + 1) + 21ф2(2х - 1),

у2(х) = ф1(2х + 1) - ф1(2х - 1) + 9ф2(2х + 1) +

+ 12ф2(2х) + 9ф2(2х - 1).

Носителями построенных вейвлетов у, у2 является отрезок [-1, 1], они удовлетворяют условию (4), и их сдвиги генерируют пространство вейвлетов W, так что 51 является прямой суммой 5 и W. Кроме того, у - симметричен, а у2 - антисимметричен.

Вейвлеты на отрезке. В данном разделе мы используем сплайн-вейвлеты из предыдущего раздела для построения вейвлет-базиса в пространстве Н (0,1). Пусть Фп, Тп будут множествами, определенными в (1) и (2) соответственно. Тогда Фп -базис для Уп, а Wn пусть будет линейным пространством, натянутым на Тп. Нетрудно доказать, что Уп е N (у', w'п) = 0, (^ 'т, w'п) = 0, т Ф п (доказательство можно найти в [1]). Отсюда

>'+У w ’

n

n=i L2 (0,i

Пусть 4'n- j(x )^v7s:

Il2 (0,i i

+ZI lw'

n=i

,2-n l2^i

IIl2(0,i) .

Wn,j (x) =

при j = 2,4,...,2 -2,

i 2-nlV2 12nx-

л/15З.б

при j = З,5,...,2«+і -1 i

y«i (x >=ж (x ) =

2-nlV2 (2nx),

i

л/Тб.

r2-nI2w2 (2nx - 2n ).

^1,1 (x) = ^24^1 (2x - ^ Фі,2 (x) = у15ф2 (2x),

ф,З (x) = ^^ (2x - 1) , ф,4 (x) = ijj-A (2x - 2) .

при «єN и хє(0,1).

Ясно, что Vi разлагается на ф1, j, j = 1, 2, З, 4. Следовательно, Hj(0,l) разлагается на gj,j = 1, ...,

2n , где gj = ф1, j , при j = 1 ..., 4, и g2n+i +j =y„j,

n e N, j = 1, ..., 2n+1.

В работе [1] доказано, что (' ) +1 яв-

V >J 'neN,1<j<2n

ляется базисом Рисса в L2(0,1).

Аналогично доказывается, что (g' tj) eN - базис Рисса в L2(0,1).

Применение. В этом разделе мы используем построенные вейвлеты для решения интегро-диффе-ренциальных уравнений вида:

d и / ч du / ч / ч

+ p (x )—+ q (х )и (х) +

dx dx

х

+| K (х, s)u (s)ds = f (x), 0 < x < 1,

0

с граничными условиями

u

где p(x), q(x), fx), K(x,s) - заданные непрерывные функции.

Коэффициенты и ядро K(x,s) уравнения (6) удовлетворяют условиям:

0 < p(x) < c3, 0 < q(x) < c4, 0 < K(x, s) <c5,

x e [0, 1], s e [0, 1].

Отметим, что если граничные условия являются неоднородными т.е. u(0) = a u(1) = в, то с помощью преобразования u(x) = U(x) + a + x(fi - a) можно привести их к однородным U(0) = U(1) = 0.

Пусть a(u,v) обозначает билинейную форму,

u, v e H (0,1):

a (u, v) = j ^u '(x)v' (x)dx +| ^ p (x)u' (x)v (x)dx+

1 1 x

+j q(x)u(x)v(x)dx+jjK(x,s)u(s)v(x~)dsdx.

0 0

Тогда вариационная запись (6)-(7) имеет следующий вид:

a(u, v) = (f,v), Vv e H (0,1).

Соответствующая задача аппроксимации Галер-кина: найти un e Vn, при котором

a(un,v) = <fv> Vv є Vn.

По лемме Лакса-Милграмма (см. [4, с. 60]) задача (9) имеет единственное решение. Мы предлагаем использовать найденное выше множество вейвлетов О = •••, g2n+l } как базис для У„. С этим базисом

для Уп задача (9) может быть дискретизирована следующим образом:

Е а (, = ^, /), І = 1,...,2п+1.

к =1

Число обусловленности матрицы Ап равномерно ограничено, А п = (а(gi,gk))і <і,к<2п + 1.

К задачам типа (6)-(7) сводятся задачи для различных уравнений, например, дифференциальное уравнение третьего порядка:

4З

- у'' + р

с начально-граничными условиями:

У

Введем обозначение у (х) = ы(х), тогда из (10) имеем (6), при К(х, я) = И(х), а из (11) получим (9). Решение задачи (10)-(11):

X

у(х) = | и (я.

0

Рассмотрим примеры.

г

1. -и "+ СОБ(г)| и (я=

0

= П2 8Ш(П) - СО^г(С08(П) -1), и(0) = и(1) = 0. п

Точное решение и(г) = 57п(П).

\\и(г) - и4(г)\\2 = 2,389 х 10-3, \\и(г) - и8(г)\\2=

= 2,092 х 10-4, \\и(г) - и16(г)\\2 = 1,291 х 10-5,

С(А4) = 1,667; С(А8) = 2,342, С(А16) = 3,205.

г 9 7 5

2. -и"+ \(г + я)и (я)ds = — г5 — г4 +—г3 -6г+4,

0 20 6 6

и (0) = и (1) = 0.

Точное решение u(t) = t - 2t2 + t,

= 3,894 x 10-8,

C(A4) = 1,672; C(A8) = 2,342.

3. y' ' + 2y ' + xy' + 3y = 4x - 5x2/2,

y(0) = y (0) = y (1) = 0.

Точное решение y(x) = x2(2x - 3)/6, u(x) = x2 - x. ||u(t) - u4(t)||2 = 4,209 X 10-8, ||u(t) - u8(t)||2 =

= 1,02 x 10-8,

C(A4) = 1,667; C(A8) = 2,342.

4. y'' + xn2y' - n2xy’ + n4xy = 2ncos(nx),

y(0) = y (0) = y (1) = 0.

Точное решение y(x) = sin(nx)/n2 - xcos(nx)/n, u(x) = xsin(nx).

= 1,202 x 10-4, ||u(t) - u16(t)||2 = 1,101 x 10-5,

C(A4) = 1,867; C(A8) = 2,342, C(A16) = 3,205.

В примерах ||u (t)- un (t)||2 = ^ j (u (t)- un (t))2 dt -

норма разностей; C(An) - число обусловленности матрицы Ап.

Библиографический список

1. Турсунов Д.А., Губская М.М. Построение новых типов эрмитовых кубических сплайн вейвлетов // Молодежная научная конференция. - Томск, 2009.

2. Dahmen W., Han R.Q. Jia and A. Kunoth. Biorthogonal

multiwavelets on the interval: Cubic Hermite splines, Constr.

Approx. - 2000. - V. 16.

3. Heil C., Strang G., Strela V. Approximation by translates of refinable function // Numer. Math. - 1996. - V. 73.

4. Brenner S.C., Scott L.R. The Mathematical Theory of Finite Element Methods. - New York, 1994.