Математическая модель нестабильности позвоночника при углообразной деформации позвонков

54

аэрономия. 1980. № 4. С. 753 — 756.

4. Medvedev V.V. Numerical model of the heat budget of the Earth's upper atmosphere II Physics of Auroral Phenomena 29th Annual Seminar Polar Geophysical Institute. Apatity, 2006. P. 66.

5. Ishanov S.A., Medvedev V.V., Zalesskaya V.A. Mathematical model of the metastable species in the ionosphere and thermosphere II Избранные вопросы современной математики. Калининград: Изд-во КГУ, 2005. С. 139 — 140.

6. Ишанов С.А., Латышев К.С., Медведев В.В. Моделирование возмущений Б2-области ионосферы при антропогенных воздействиях II Модели в природопользовании: Сб. науч. тр. / Калинингр. ун-т. Калининград, 1989.

7. Медведев В.В., Ишанов С.А., Зенкин В.И. Влияние колебательно-возбужденного азота на рекомбинацию в ионосферной плазме II Геомагнетизм и аэрономия. 2003. Т. 43. № 2. С. 248 —255.

8. Evans J.V. J. Atmos. Terr. Phys. 1973. Vol. 35. P. 593.

9. Беликович В.В., Вяхирев В.Д., Калинина Е.Е. и др. Исследования ионосферы D-области ионосферы методом частичных отражений весной 2004 г. на средних и высоких широтах II Геомагнетизм и аэрономия. 2006. Т. 46. № 2. С. 229 — 233

10. Они же. Исследования ионосферы D-области ионосферы методом частичных отражений на средних широтах и в авроральной зоне Изв. вузов. Сер. Радиофизика. 2003. Т. 46. № 3. С. 181—191.

Об авторах

Ю.С. Жаркова — асп., РГУ им. И. Канта.

С. А. Ишанов — канд. физ.-мат. наук, доц., РГУ им. И. Канта.

В.В. Медведев — канд. физ.-мат. наук, доц., РГУ им. И. Канта.

В.Г. Токарь — канд. физ.-мат. наук, доц., РГУ им. И. Канта.

УДК 556.324:517.9

К.С. Латышев, С.В. Орлов, Н.Д. Бобарыкин, А.А. Иванов, И.М. Кожуров

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ НЕСТАБИЛЬНОСТИ ПОЗВОНОЧНИКА ПРИ УГЛООБРАЗНОЙ ДЕФОРМАЦИИ ПОЗВОНКОВ

Рассчитаны динамические нагрузки для элементов позвоночника.

Dynamic strains for the vertebral column elements has calculated.

Понятие нестабильности позвоночника является ключевым в хирургии позвоночника, так как данное состояние может приводить к сдавлению спинного мозга со всеми вытекающими последствиями. Сложная организация структур позвоночного столба, нахождение в позвоночном канале спинного мозга и корешков, сверхчувствительность тканей спинного мозга к гипоксии обусловливает строго ограниченный: объем движения в позвоночно-двигательном сегменте. Избыточная подвижность между позвонками, превышающая физиологические нормы,

Математическая модель нестабильности позвоночника

создает неблагоприятные условия для функционирования высокоэнергетических тканей спинного мозга и может приводить к травмированию нервных структур. Если данное состояние сопровождается потерей способности сохранять среднефизиологическое положение позвонков относительно друг друга, то возникает нестабильность позвоночника [7].

Немалую роль в развитии нестабильности позвоночника играют изменения геометрических параметров тела позвонка. Часто встречающиеся клиновидные деформации тела позвонка являются важной причиной развития нестабильности. Выяснить влияние клиновидной деформации на стабильность опорных структур позвоночника — задача нашего исследования.

Клиновидная деформация тела позвонка возникает при воздействии на него избыточных аксиальных нагрузок (исключение составляют врожденные клиновидные позвонки), причиной которых могут быть как травма (действующий момент силы, превышающий предел прочности губчатой кости), так и процессы, разрушающие структуру губчатой кости, приводящие к уменьшению модуля Юнга опорных элементов (остеопороз, опухоли, остеомиелит).

Влияние степени клиновидной деформации позвонка на поведение трехпозвонкового комплекса при вертикальных нагрузках изучалось при помощи математической модели трехпозвонкового комплекса.

За основу был принят принцип стабильности позвоночного столба, изложенный L. Rene [2], где стабильность позвоночника представлена в вертикальной, горизонтальной и аксиальной плоскостях (ротация), что обеспечивается телами позвонков с дугоотростчатыми суставами, которые связаны между собой упругодемпфирующими элементами (межпозвоночные диски, мышечно-связочный аппарат).

Учитывались следующие параметры трехпозвонкового комплекса:

1. Механическая система является диссипативной.

2. Распределение нагрузок соответствует трехстолбовой концепции F. Denis [3].

3. Предел прочности тел позвонков и упругодемпфирующих элементов, а также их упругая деформация и плотность считались условно установленными по данным работы [4].

4. Изменение геометрических характеристик трехпозвонкового комплекса соответствовало типичным статико-динамическим нарушениям стабильности позвоночника [5; 6].

Расчетная схема фрагмента позвоночника человека, состоящая из трех позвонков с клиновидным средним позвонком и стабилизирующими конструкциями, представлена на рисунке 1, где Ji, Мі, Xi — момент инерции, масса, координата i-го позвонка (i = 1, 2, 3) соответственно; Ссті, Сор) — коэффициенты жесткости j-й стабилизирующей пластины и j-й опоры (j = 1, 2); di = 25 мм, d2 = 20 мм, d3 = 5 мм, d4 = 30 м; d1 = = 8,5 мм, d2 = 26,5 мм, d3 = 17 мм; l1 = 32 мм, l2 = 10 мм, l3 = 25 мм, l4 = 10 мм, І5 = 50 мм; m.1 = Ш2 = Шэ = 0,1 кг; J1 = J2 = J3 = 35 кг • мм2; Уц =17,2 мм; S = =13,25 см2.

Координаты Хц и Уц центра тяжести и момента инерции J плоского позвонка определяются формулами

55

- ; К.С. Латышев, C.B. Орлов, Н.Д. Бобарыкин, А.А. Иванов, И.М. Кожуров

I ^ • 7 IX,- • ¥г хг

Хц = ^----; ¥ц = ----- ; 3 = 2-у\\\Х 2 + 7 2 ) • й7 ,

17, IX, оо

г= 1 г=1

где индекс г определяет число элементарных фигур, составляющих плоский позвоночник, у — удельная поверхностная масса позвонка, кг/мм2.

56

Рис. 1. Расчетная схема трехпозвонкового комплекса человека с вариантом клиновидной деформации среднего позвонка и двумя стабилизирующими конструкциями

Предел прочности, упругая деформация и коэффициенты жесткости различных участков позвоночника по А.П. Громову [4] представлены в нижеследующей таблице.

Предел прочности, упругая деформация и коэффициенты жесткости различных участков позвоночника

№ Наименование комплекса Предел прочности кг/ см2 Упругая деформация Х, мм Коэффициенты жесткости С, н/мм

1 Шейный отдел 120-170 4-5,2 (2,3-5,52) 103

2 Грудной отдел 190 5,3 4,66 • 103

3 Поясничный отдел 420 5-8,5 (6,4-11) • 103

4 Целая грудная клетка 240 33 944,4

Разработанная математическая модель позволяет на основе вычисления внутренних нагрузок опорных комплексов каждого позвонка трехпозвонкового комплекса рассчитывать варианты переломов и нестабильности позвонков в различных зонах при их патологии. Кроме этого, можно произвести расчет смещения позвонков по оси У под воздействи-

Математическая модель нестабильности позвоночника

ем силы Q2y, что чаще всего является причиной стеноза позвоночного канала и может приводить к сдавлению дурального мешка. Выбранная динамическая модель трехпозвонкового комплекса человека (рис. 1) является механической системой с уравнением Лагранжа II рода:

dt

дТ дх k

дП дФ , . _

+-------+--------= Qk ; k = 1,...,7,

дхк дхk

где Т, П — кинетическая и потенциальная энергия системы; Ф — диссипативная функция, определяемая спинными мышцами; Qk — внешние воздействия.

В качестве обобщенных координат Хк принимаются координаты

Xi; Х2; хз; Х4 ( а і — -

Di

-; а 2 =

X 4 X з

D2

' ); X5; X6 ( а з —

Хб - Хз

D,

); у,

где Di = di + d2, i = 1, 2, 3.

57

Рисунок 2 отображает нормальное распределение аксиальных сил по осям при воздействии Р = 400 Ы, полученное в результате математического моделирования, что почти точно соответствует экспериментальным данным, полученным на биоманекенах [5].

д

X 2 X

1

Рис. 2. Распределение нагрузок по «столбам» по данным математического моделирования и схеме Denis F. [3]

Влияние клиновидной деформации тела позвонка на стабильность трехпозвонкового комплекса при различных ситуациях изучалось при помощи схемы (рис. 3), по данным которой производилось моделирование.

Рис. 3. Распределение сил, действующих на средний клиновидно измененный позвонок

58

К.С. Латышев, С.В. Орлов, Н.Д. Бобарыкин, А.А. Иванов, И.М. Кожуров

Итак, математическое моделирование показывает, что клиновидная деформация — неблагоприятный фактор, вызывающий нестабильность позвоночника. При подобных изменениях происходит перераспределение сил так, что вертикальные нагрузки опосредованно вызывают смещение клиновидно измененного среднего позвонка в сторону позвоночного канала (нестабильное повреждение). Степень и сила смещения увеличиваются по мере увеличения угла клиновидной деформации. Если перелом позвонка является компрессионно-оскольчатым, то любые вертикальные нагрузки приводят к смещению отломков в полость позвоночного канала и сдавлению дурального мешка и спинного мозга.

Список литературы

1. Ulrich A. Wagner. Unter mitarbeit von Ottmar Schmitt, Hans-Martin Schmidt, Thomas Wallny: Atlas der Pedikelschraubenimplantate. Georg Thieme Verlag Stuttgart, 1998. P. 1 — 2.

2. Reno L. Surgery of the Spine. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1983. P. 55-58.

3. Denis F. Spinal instability as defined by the three column spine concept in acute spinal trauma. // Clin Orthop. 1984. Vol. 189. P. 65.

4. Громов А.П. Биомеханика травмы. М.: Медицина, 1979. C. 179 — 210.

5. Fergusson R., Tencer A., Woodard P., Allen A. Biomechanical comparison of spinal fracture models and the stabilizing effects of posterior instrumentations. Spine, 1988. Vol. 13: P. 453.

6. Haher T.R., Felmly W.T., O'Brien M. Thoracic and Lumbar Fractures: diagnosis and management // Spinal Surgery. Vol. 2. J.B. Lippincott Company, 1991. P. 857—910.

7. Ульрих Э.В., Мушкин А.Ю. Вертебрология в терминах, цифрах, рисунках. СПб., 2004. C. 20.

Об авторах

К.С. Латышев — д-р физ.-мат. наук, проф., РГУ им. И. Канта.

С.В. Орлов — канд. мед. наук, Калининградская больница скорой помощи.

Н.Д. Бобарыкин — канд. техн. наук, доц., КГТу.

А. А. Иванов — канд. мед. наук, Клинический санаторий, г. Советск Калининградской обл.

И.М. Кожуров — асп. РГУ им. И. Канта.

УДК 550.510.535

И.Е. Захаренкова, А.Ф. Лаговский, И.И. Шагимуратов

ИССЛЕДОВАНИЕ ИОНОСФЕРНЫХ ЭФФЕКТОВ, АССОЦИИРОВАННЫХ С ЗЕМЛЕТРЯСЕНИЯМИ В ЯПОНИИ, ПО ДАННЫМ СРБ-ИЗМЕРЕНИЙ

Рассмотрено влияние тектонической активности на пространственно-временные вариации полного электронного содержания ионосферы. Исследованы основные особенности и динамика во времени сейсмо-ионосферных эффектов. Параметры ионо-