К построению квадратурных и кубатурных формул вычисления гиперсингулярных интегралов

УДК 519.64

DOI 10.21685/2072-3040-2018-1-8

И. В. Бойков, В. А. Есафьева, П. В. Айкашев

К ПОСТРОЕНИЮ КВАДРАТУРНЫХ И КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛ ВЫЧИСЛЕНИЯ ГИПЕРСИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ1

Аннотация.

Актуальность и цель. Существует большое число проблем, как в физике и технике, так и непосредственно в различных разделах математики, при решении которых возникает необходимость в вычислении гиперсингулярных интегралов. Так как непосредственное вычисление таких интегралов возможно лишь в исключительных случаях, возникает необходимость в разработке приближенных методов. Статья посвящена построению приближенных методов вычисления гиперсингулярных интегралов. Особое внимание уделяется исследованию связи между методами вычисления сингулярных и гиперсингулярных интегралов.

Материалы и методы. В работе исследуется связь между методами вычисления сингулярных и гиперсингулярных интегралов. Предложен метод оценки сверху квадратурных формул вычисления гиперсингулярных интегралов и кубатурных формул вычисления полигиперсингулярных интегралов.

Результаты. Построены оптимальные по точности (по порядку) квадратурные и кубатурные формулы вычисления гиперсингулярных и полигипер-сингулярных интегралов с особенностями второго порядка. Рассматриваются гиперсингулярные и полигиперсингулярные интегралы с периодическими ядрами и на классах периодических функций.

Выводы. Предложены оптимальные по порядку методы вычисления гиперсингулярных и полигиперсингулярных интегралов, которые могут быть использованы при решении задач физики, техники и вычислительной математики.

Ключевые слова: гиперсингулярные интегралы, полигиперсингулярные интегралы, квадратурные формулы, кубатурные формулы, оптимальные методы.

I. V. Boykov, V. A. Esafeva, P. V. Aykashev

ON BUILDING OF QUADRATURE AND CUBATURE FORMULAS FOR COMPUTING OF HYPER-SINGULAR INTEGRALS

Abstract.

Background. There are a large number of problems, both in physics and technology, and directly in various sections of mathematics, the solution of which requires to calculate hypersingular integrals. Since direct computation of such integrals is possible only in exceptional cases, it becomes necessary to develop approximate methods. The article is devoted to the construction of approximate methods for calculating hypersynchial integrals. Particular attention is paid to the investigation of the connection between the methods for calculating singular and hypersingular integrals.

Materials and methods. In this paper, we investigate the relationship between the methods for calculating singular and hyper-singular integrals. A method is proposed

1 Работа поддержана РФФИ. Грант 16-01-00594.

for estimating from above quadrature formulas for calculating hypersingular integrals and cubature formulas for calculating polyhyper-singular integrals.

Results. The quadrature and cubature formulas optimal in precision (order) of the calculation of hypersingular and polyhyper-singular integrals with singularities of the second order are constructed. We consider hypersingular and polyhypersingu-lar integrals with periodic kernels and on classes of periodic functions.

Conclusions. The work proposes precision-optimal methods for calculating hypersingular and polyhyper-singular integrals that can be used for problem solving in physics, engineering and computational mathematics.

Key words: hypersingular integrals, poly hyper-singular integrals, quadrature formulas, cubature formulas, optimal methods.

Введение

Гиперсингулярные интегралы, введенные в математику Ж. Адамаром в 1903 г. [1, 2], в настоящее время находят все большее применение в различных разделах аэродинамики, теории упругости, теории композитных материалов, электродинамики и многих других областях естествознания и техники.

Вычисление гиперсингулярных интегралов в замкнутой форме возможно лишь в исключительных случаях. Поэтому активно развиваются приближенные методы их вычисления. Подробное изложение основных результатов, полученных в данном направлении, и обширная библиография содержатся в монографии [3]. Несмотря на активное развитие исследований по приближенным методам вычисления гиперсингулярных интегралов, приближенные методы вычисления сингулярных интегралов развиты значительно шире [4].

В данной работе излагается один из методов построения квадратурных и кубатурных формул вычисления гиперсингулярных интегралов, основанный на использовании квадратурных и кубатурных формул вычисления сингулярных интегралов.

Статья построена следующим образом. В первом разделе приводятся определения гиперсингулярных интегралов. Во втором разделе даны определения оптимальных алгоритмов вычисления гиперсингулярных интегралов. В третьем разделе построены оптимальные по порядку квадратурные и куба-турные формулы вычисления одного класса гиперсингулярных и бигипер-сингулярных интегралов.

1. Определения гиперсингулярных интегралов

Напомним определения сингулярных и гиперсингулярных интегралов.

Рассмотрим интеграл

J<$ =f ^^ dх, a < t < b.

J x-t

a

Известно, что этот интеграл не существует ни в смысле Римана, ни в смысле Лебега. Для того чтобы придать интегралу (1) смысл, Коши ввел новый тип интегралов (так называемые интегралы в смысле главного значения по Коши). Исторически введение интегралов в смысле главного значения

по Коши является одним из первых методов регуляризации расходящихся интегралов.

Определение 1.1. Главным значением по Коши особого интеграла

г.

Ф

ГФ(т) ,

I-а т, а < с < Ь, называется предел

т-с

d х =llm

ф

d х +

ф

d х

х-с

х-с

В работе [1] Ж. Адамар ввел новый тип особых интегралов. Определение 1.2. Интеграл вида

Ь А(х)ах

а (ь - х) р+а

при целом р и 0< а <1 определяет величину («конечную часть») рассматриваемого интеграла как предел при х ^ Ь суммы

• A(t)dt

,(b -1) p+a

B

- x)p+«-l

если предположить, что А(х) имеет р производных в окрестности точки Ь. Здесь В(х) - любая функция, на которую налагаются два условия:

а) рассматриваемый предел существует;

б) В(х) имеет по крайней мере р производных в окрестности точки

х = Ь .

Произвольный выбор В(х) никак не влияет на значение получаемого предела: условие (а) определяет значения (р -1) первых производных от В(х) в точке Ь, так что произвольный добавочный член в числителе есть

бесконечно малая величина по меньшей мере порядка (Ь - х)р .

В статье [5] Л. А. Чикин ввел понятие интеграла в смысле главного значения по Коши - Адамару.

Определение 1.3. Интегралом

Ь ф(т)а т

,(х-с)p

a < с < b,

в смысле главного значения Коши - Адамара называется следующий предел:

• ф(х) d х (х-с)p

= lim

v^0

ф(х) d х (х-с)p

,(х-с)p

,p -1

а 4 " с+у

где ^(у) - некоторая функция, выбранная так, чтобы указанный предел существовал.

Распространим приведенное выше определение на полигиперсингуляр-ные интегралы. Для простоты обозначений ограничимся бигиперсингуляр-ным интегралом

YiY 2

ф(ть %2)d i\d Т2 (Xi - ii)/'1(Х2 - h)P2

где у,- - замкнутый ограниченный контур в плоскости комплексной переменной zi, / = 1,2. Будем считать, что у,-, - = 1,2, - гладкие контуры, удовлетворяющие условиям Ляпунова.

Построим окружность с центром в точке ¿1 столь малого радиуса Р1, что она пересекает контур У1 только в двух точках и Меньшую часть контура У1, заключенную между точками и обозначим через /1.

Аналогичное построение проведем и на контуре у2, меньшую часть контура у 2, расположенную между точками ¿2 и ¿2, обозначим через /2.

Интеграл Вф определяется выражением

Вф = lim

I I

Ф

-1 Po -1

/2(Xi - ^ - .2)Pf1-1P?

_ У1\/1У 2^2

где Г(Р1, Р2) - функция, имеющая непрерывно дифференцируемые производные до (Р1 -1) порядка по переменной Р1 и до (Р2 -1) порядка по переменной Р2.

Функция Г(Р1, Р2) выбирается таким образом, чтобы предел существовал и был единственным.

Отметим, что в соответствии с принятым в работе способом определения гиперсингулярных интегралов для нахождения функции Г(Р1, Р2) нужно вычислить по частям интеграл в правой части формулы (2) и из результата вычесть слагаемые, стремящиеся к бесконечности, когда Р, ^ 0, / = 1,2.

Согласно этой технологии имеем

2л

'ф 41-

t —d а = lim

2л 0 Sin2

I+ I

ф

-d а-

8ф

а-5

81И

2. Определения оптимальных алгоритмов

Постановка задачи построения наилучшей квадратурной формулы (к.ф.) принадлежит А. Н. Колмогорову и заключается в следующем. Пусть V -некоторый класс интегрируемых на сегменте [0,1] функций. Рассмотрим к.ф.

i и

If (x)dx = ^Pif(x) + Rn (f, Pi, x), 0 i=i

где коэффициенты p{ и узлы 0 < xj <... < xn < 1 произвольны. Погрешность к.ф. (3) на классе функций Y равна

Rn(Y Pi, xi) = sup I Rn(f, Pi, xi )|. feY

Введем величину £n [Y]= inf Rn (Y,Pi, xi). Если существуют коэффи-

Pi, xi

»¡с »¡с sj« sj«

циенты Pi и узлы xi (i = 1,2,.,n), при которых £n(Y) = Rn(Y,Pi,xt), то

* *

к.ф. (3) с весами Pi и узлами xi называется наилучшей (или оптимальной) на классе Y.

Н. С. Бахваловым введены [6] понятия асимптотически оптимальных и оптимальных по порядку пассивных алгоритмов решения задач численного анализа. Другие подходы к определению оптимальных пассивных алгоритмов предложены в книгах [7-9].

**

Следуя [6], к.ф. (3) с весами Pi и узлами xi назовем асимптотически оптимальной или оптимальной по порядку на классе Y, если

Rn (Y, P*, x*)~£n (Y) или Rn (Y, p*, x*) = £n (Y) (напомним, что an ~ ßn означает, что lim (an / ßn) = 1, а an = ßn означает, что A < (an / ßn) < B, где

n—^^

A, B = const, 0 < A, B <

Перейдем к определению оптимальных алгоритмов вычисления сингулярных интегралов с переменной сингулярностью.

Ограничимся рассмотрением интеграла с ядром Гильберта:

1 2л ^ ^

Рф = — J<9(v)ctg-j-d-, [0,2л].

0

Этот интеграл будем вычислять по к.ф.

n

F

k=1

с произвольными весами Pk (-) и узлами tk (0 < tk < 2л).

Под погрешностью к.ф. (4) будем понимать величину

Rn(Pk, tk, Ф) = max1 Rn(-, Pk C^ tk, Ф)|. -

Отметим, что если из контекста ясно, о каком векторе узлов и весов идет речь, то вместо обозначений Rn (-, Pk, tk, ф) и Rn (Pk, tk, ф) будем писать соответственно Rn (-, ф) и Rn (ф).

Если Y - некоторый класс заданных на сегменте [0,2л] функций, то

положим Rn(Pk, tk, Y) = sup Rn(Pk, tk, Ф).

фeY

Обозначим через £п [V] величину £п [V] = inf Кп (Рк, ¿к, V), в которой

Рк *к

нижняя грань берется по всевозможным п узлам ^ (0 — ^к — 2л) и весам Рк (-), к = 1,2,..., п.

* *

Квадратурную формулу (4), построенную на узлах (к и весах Рк (-), будем, следуя [6], называть оптимальной, асимптотически оптимальной, оптимальной по порядку, если К (р*,V) = £п [V], К (Р*,(*, V)~£п [V],

К (Рк, (*, V) = £ п [ V ] соответственно.

Аналогичным образом вводится понятие оптимальных, асимптотически оптимальных и оптимальных по порядку к.ф. для вычисления гиперсингулярных и бигиперсингулярных интегралов.

3. Приближенное вычисление гиперсингулярных интегралов на гладких контурах интегрирования

Рассмотрим гиперсингулярный интеграл

2л

ф

-3 а.

=± 7 ф

2л J .

sin —

2

2л J . 2 СТ- 5 0 sin -

Эти интегралы возникают в аэродинамике при исследовании задач обтекания крыла потоком газа.

Нетрудно видеть, что интеграл Jф связан с сингулярным интегралом с ядром Гильберта формулой

3 1 2л а_ J Ф = — [ ф

3- л J 2

0

Приближенным методам вычисления сингулярных интегралов с ядром Гильберта посвящена обширная литература. В монографии [4] содержится обзор методов приближенного вычисления сингулярных интегралов и подробная библиография.

Построим, используя формулу (5), квадратурные формулы интерполяционного типа для вычисления интеграла Jф .

Рассмотрим следующую квадратурную формулу, предназначенную для вычисления сингулярного интеграла:

1 2л а •

Н ф = — | ф(а)^ а.

о

Введем узлы -к =2кл / N, к = 0,1,..,2N.

Интеграл Н ф будем вычислять по квадратурной формуле

1 2л ^ ^

Hф = — J ФN

0

где фn (ф) - полином, интерполирующий функцию ф(^) по узлам tk. Очевидно,

. 2 N + 1.

2N i sin—2—

k=0 2N + 1 sin

2

Известно [4] следующее утверждение.

Теорема 1. Пусть Y = Wp (1), 1 < p < 2. Тогда погрешность квадратурных формул (6) на классе Y оценивается неравенством

Rn [Y] < Enq (Dr (x))(2q + n~r ln N),

где Dr (x) = ^ C0s(kx—ПГ /2) - функция Бернулли, 1/p + 1/ q = 1, En q (f) -

k=1 k

наилучшее приближение функции f тригонометрическими полиномами степени n в метрике пространства Lq [0,2л].

Будем считать, что квадратурные формулы (6) определены на классе функций WrHa(1), r = 1,2,., 0<а<1.

Из теоремы Привалова [10] следует, что сопряженная функция ф(s) = Hф также принадлежит классу WrHa (M) с некоторой константой M, 0<M <~.

Из теоремы 1 следует, что

где ф n (s) = Нф n .

Здесь и ниже через C обозначаются константы, независящие от N. Подставив сумму (7) в интеграл (6), имеем

2 2 N sin( N + 1) -—— sin Ns——

H ф=- 2NTT )-i"bk--+Rn

k=0 sin-k

2

Замечание. Отметим что эта к.ф. (9) может быть представлена [11] в виде

2 2 N N

H ф = - 2лТ~Т ^

2 N + 1 k=0 l=1

Несмотря на более громоздкий вид этой формулы по сравнению с формулой (9), она может быть более удобной в дальнейшем. Интеграл £ф будем вычислять по к.ф.

J ф = J ф^ + Rn (ф) =

2 N

2 N +

т £ф(*) ds

k=0

sin( N +1)sin Ns—^

• s-sk sin--

+ Rn

Оценим норму разности

d

ds

Повторяя доказательство второй теоремы С. Н. Бернштейна о структурных свойствах функций [12], можно показать, что

d

Следовательно,

ds

\Rn (ф)!< с

< с

r -1+а

ln N.

N

r -1+а

ln N.

Так как ф - произвольная функция из класса функций ЖгИа (1), то окончательно имеем

! Rn (WrH а (1))|< с

r -1+а

ln N.

Известна [3, с. 105] следующая оценка:

(2 + о(1)) Кг

QWr (1)] >-

kN'

r 1

где Кг - константа Фавара.

Небольшая модификация доказательства этого неравенства позволяет получить оценку

rHа (1)] >-

с

r -1+а '

N

Таким образом, доказано следующее утверждение.

Теорема 2. Среди квадратурных формул, использующих N значений подъинтегральной функции, оптимальной по порядку на классе функций ЖгИа (1) является формула (11). Ее погрешность равна

Rn [W rH а (1)] = -

с

N'

r-1+а '

Замечание. При построении квадратурных формул для вычисления гиперсингулярных интегралов более удобно использовать формулу

Л2 Ф = -12 Ф^ +КМ (Ф) =

4 2 N N ^

= §1п 1

к=0 1=1

Здесь через Jpф обозначен интеграл

г Ф 1 Í Ф

JPФ = ^ J

2л J . p CT-5

-d ст.

0 sinp-

2

Продемонстрируем изложенный выше прием на примере вычисления полигиперсингулярных интегралов на замкнутых контурах интегрирования.

Для определенности ограничимся рассмотрением бигиперсингулярных интегралов следующего вида:

2л2л

*2,2Ф = -Т J J

' 4^2 0 0 srn2-^sin2-(X2-2) 2 2

Интегралу В22Ф поставим в соответствие интеграл

1 2^2л х i х t

Н11Ф =—Г J JФ(Х1,X2)ctgxl—1ctg X2- 2dXidX2.

4л2 J J 2 2

4л 0 0

Обозначим через

4,1 =(Ч,У1), xk =2kK/(2N + 1), k = 0,1,...,2N, y¡ = 21л/(2M + 1), l = 0,1,..,2M,

узлы кубатурной формулы.

Функцию ф(11 , I2) будем аппроксимировать интерполяционным полиномом

2 N 2M

ФNN

k=0k=0

Подставляя ФNN (I1, I2) в интеграл Вф и используя известные формулы

, 2л , 2л

1 Г . CT-5 , 1 f CT-5 ,

— sin пст ctg-d ст = cos ns, — cos пст ctg-d ст = -sin ns,

2л J 2 2л J 2

00

получаем

2 2 2N 2 M

H 1ф =--"У"Уф( xk, yl) X

1,1 2 N + 12M +

k=0l=0

N M

xYLsin% - xk)sin j

i=1 j=1

Используя формулу (15), приходим к следующей кубатурной формуле вычисления гиперсингулярного интеграла B 2ф :

„ 42N2M

B2 2Ф =--У Уф(Xk, y¡ ) х

2,2 2 N +1 2M + 1 ~ ГТГ

k=0l=0

X-

g2 N M

уу sin% - Xk) sin j

St1St2 /=1 j=1

Для кубатурных формул (16) известны [3] следующие оценки:

Rnm (wr ,s (1)) =

( 1 1 > — + —

V N M y

In N ln M.

Повторяя в многомерном случае рассуждения, приведенные в доказательстве обратных теорем С. Н. Бернштейна [12], получаем следующую оценку погрешности кубатурной формулы (16):

Rnm (wr ,s (1)) =

1 1

л

Nr-1 Ms -1

ln N ln M.

Таким образом, доказано следующее утверждение.

Теорема 3. Среди всевозможных кубатурных формул, использущих ИМ узлов подынтегральной функции, оптимальной по порядку является формула (16). Ее погрешность равна

2 ( 1 1 ^ 32 ШГгs (1)) ^ 1 + 1

I Nr-1 Ms -1 y

Rnm (wr'a (1)) =

ln N ln M.

Библиографический список

1. Hadamard, J. Leçons sur la Propagation des Ondes et les Equations de l'Hydrodynamique. Herman / J. Hadamard. - Paris, 1903. - 320 p. - (reprinted by Chelsea. - New York, 1949).

2. Адамар, Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа / Ж. Адамар. - М. : Наука, 1978. - 351 с.

3. Бойков, И. В. Приближенные методы вычисления сингулярных и гиперсингулярных интегралов. Часть вторая. Гиперсингулярные интегралы / И. В. Бойков. -Пенза : Изд-во ПГУ, 2009. - 252 с.

4. Бойков, И. В. Приближенные методы вычисления сингулярных и гиперсингулярных интегралов. Часть первая. Сингулярные интегралы / И. В. Бойков. - Пенза : Изд-во ПГУ, 2005. - 360 с.

5. Чикин, Л. А. Особые случаи краевой задачи Римана и сингулярных интегральных уравнений / Л. А. Чикин // Ученые записки Казанского государственного университета. - 1953. - Т. 113, кн. 10. - С. 57-105.

6. Бахвалов, Н. С. О свойствах оптимальных методов решения задач математической физики / Н. С. Бахвалов // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1970. - Т. 10, № 3. - С. 555-568.

7. Сухарев, А. Г. Минимаксные алгоритмы в задачах численного анализа / А. Г. Сухарев. - М. : Наука, 1989. - 304 с.

8. Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов задач математической физики / под ред. К. И. Бабенко. - М. : Наука, 1979. - 196 с.

9. Трауб, Дж. Общая теория оптимальных алгоритмов / Дж. Трауб, Х. Вожьня-ковский. - М. : Мир, 1983. - 382 с.

10. Гахов, Ф. Д. Краевые задачи / Ф. Д. Гахов. - М. : ГИФМЛ, 1963. - 639 с.

11. Корнейчук, А. А. Квадратурные формулы для сингулярных интегралов / А. А. Корнейчук // Численные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений и квадратурные формулы. - М. : Наука, 1964. - С. 64-74.

12. Натансон, И. П. Конструктивная теория функций / И. П. Натансон. - М. ; Л., 1949. - 688 с.

References

1. Hadamard J. Lecons sur la Propagation des Ondes et les Equations de l 'Hydrodynamique. Herman [Lessons on the Propagation of Waves and the Equations of Hydrodynamics. Herman]. Paris, 1903, 320 p. (reprinted by Chelsea. - New York, 1949).

2. Adamar Zh. Zadacha Koshi dlya lineynykh uravneniy s chastnymi proizvodnymi giper-bolicheskogo tipa [The Cauchy problem for nonlinear equations with partial derivatives of hyperbolic type]. Moscow: Nauka, 1978, 351 p.

3. Boykov I. V. Priblizhennye metody vychisleniya singulyarnykh i gipersingulyarnykh in-tegralov. Chast' vtoraya. Gipersingulyarnye integraly [Approximate methods for calculating singular and hyper-singular integrals. Part two. Hyper-singular integrals]. Penza: Izd-vo PGU, 2009, 252 p.

4. Boykov I. V. Priblizhennye metody vychisleniya singulyarnykh i gipersingu-lyarnykh integralov. Chast' pervaya. Singulyarnye integraly [Approximate methods for calculating singular and hyper-singular integrals. Part one. Singular integrals]. Penza: Izd-vo PGU, 2005, 360 p.

5. Chikin L. A. Uchenye zapiski Kazanskogo gosudarstvennogo universiteta [Proceedings of Kazan State University]. 1953, vol. 113, bk. 10, pp. 57-105.

6. Bakhvalov N. S. Zhurnal vychislitel'noy matematiki i matematicheskoy fiziki [Journal of calculus mathematics and mathematical physics]. 1970, vol. 10, no. 3, pp. 555-568.

7. Sukharev A. G. Minimaksnye algoritmy v zadachakh chislennogo analiza [Minimax algorithms in problems of numerical analysis]. Moscow: Nauka, 1989, 304 p.

8. Teoreticheskie osnovy i konstruirovanie chislennykh algoritmov zadach matematicheskoy fiziki [Theoretical bases and building of numerical algorithms in problems of mathematical physics]. Ed. by K. I. Babenko. Moscow: Nauka, 1979, 196 p.

9. Traub Dzh., Vozh'nyakovskiy Kh. Obshchaya teoriya optimal'nykh algoritmov [General theory of optimal algorithms]. Moscow : Mir, 1983, 382 p.

10. Gakhov F. D. Kraevye zadachi [Boundary problems]. Moscow: GIFML, 1963, 639 p.

11. Korneychuk A. A. Chislennye metody resheniya differentsial'nykh i integral'nykh uravneniy i kvadraturnye formuly [Numerical methods for solving differential and integral equations and quadrature formulas]. Moscow: Nauka, 1964, pp. 64-74.

12. Natanson I. P. Konstruktivnaya teoriya funktsiy [Constructive theory of functions]. Moscow; Leningrad, 1949, 688 p.

Бойков Илья Владимирович

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей и прикладной математики, Пензенский государственный университет

E-mail: boikov@pnzgu.ru

Boykov Il'ya Vladimirovich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of sub-department of higher and applied mathematics, Penza State University

Есафьева Виктория Александровна аспирант, Пензенский государственный университет

E-mail: viktoriya.esafieva@gmail.com

Esafeva Viktoriya Aleksandrovna Postgraduate student, Penza State University

Айкашев Павел Владимирович

аспирант, Пензенский государственный университет

Aykashev Pavel Vladimirovich

Postgraduate student, Penza State University

E-mail: math@pnzgu.com

УДК 519.64 Бойков, И. В.

К построению квадратурных и кубатурных формул вычисления гиперсингулярных интегралов / И. В. Бойков, В. А. Есафьева, П. В. Айкашев, // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2018. - № 1 (45). - С. 94-105. - Б01 10.21685/20723040-2018-1-8.