Приведение нелинейных дискретных систем к форме Крылова-Луенбергера

Раздел I

Математические методы синтеза систем

А.Р. Гайдук, С.В. Василенко

ПРИВЕДЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ К ФОРМЕ КРЫЛОВА-ЛУЕНБЕРГЕРА

Преобразование переменных состояния часто позволяет привести уравнения системы к простым каноническим формам, что значительно упрощает решение задач анализа и синтеза [1, 2].

Широкое применение получило преобразование, предложенное Луенбергером для приведения уравнений линейных систем к канонической управляемой (КУФ) или наблюдаемой (КНФ) формам [1]. Если правые части уравнений нелинейной непрерывной системы дифференцируемы и управление входит в них линейно, то модель системы с одним входом и одним выходом можно представить [3] в квазилинейной форме

x = A

y = cT

где A(x), b(x), cT(x)- функциональные матрица и векторы, u(x)-скалярное управление, y - управляемая переменная.

При определенных условиях эти уравнения можно привести к такому виду, когда матрица A и вектор b или c совпадают по форме с матрицей и вектором канонических управляемой или наблюдаемой форм систем с постоянными параметрами. Однако имеются и существенные отличия. Во-первых, в процессе приведения необходимо двукратное последовательное преобразование переменных состояния, так как элементы матрицы второго преобразования определяются по результатам первого преобразования. Причем преобразование к той или иной форме осуществляется по сути одними и теми же матрицами, только в различной последовательности. Во-вторых, что наиболее существенно, в общем случае коэффициенты канонических форм оказываются функциями переменных состояния и часто зависят от производных по времени переменных состояния системы. Это приводит к зависимости от производных найденного таким путем управления, и, следовательно, правых частей уравнений синтезируемой системы. Однако условия существования и устойчивости решений таких дифференциальных систем до сих пор неизвестны, что сужает область применения подобного подхода.

Покажем, что аналогичные преобразования можно провести и в случае нелинейных дискретных систем. Для большей ясности выкладок рассмотрим указанный переход на примере одномерной системы третьего порядка.

Уравнения нелинейной одномерной дискретной системы в квазилинейной форме [3] имеют вид

X

к +1

= Акхк + ькик,

кк

Ук = С1Хк , к = 0,12,...,

где хк = х(кТ) ; Т- период квантования; Лк = А(хк), Ък = Ъ(хк) , ек = с(хк) - функциональные матрица и векторы; ик - скалярное управление; ук - управляемая переменная.

Приведение системы уравнений (3), (4) к каноническим формам можно осуществить с помощью преобразования Крылова-Луенбергера по входу или по выходу.

Предположим, существуют матрицы 8к = Б(хк), ограниченные и неособенные при всех к = 0,1,2,____Положим

хк = 8к-іхк.

Хк+1 = 8 кХк+1

где хк - новый вектор переменных состояния.

В новых переменных состояния система (3), (4) описывается

уравнениями вида

~к+і = Акхк + ,

где х х

Ак = 8к Ак8к-1 , Ь к = 8к Ьк , ~ к = Ск8к-1 .

Здесь - матрица, обратная к 8к , т.е. такая, что 8-18к = Е .

Определение 1. Система уравнений (7), (8) имеет каноническую форму Крылова по входу, если

1 0 1 1 ~ 1 1 ?г 1

N 1 0 1 ?г ?Г *• II 0 , ск =

0 1 1 гч 1 1 0 1 1 ?г 1

0°)

Сх -

где = Х1(хк,хк_1,хк_2,хк_3) - некоторые нелинейные функции,

некоторые функции.

Определение 2. Система уравнений (7), (8) имеет каноническую форму Крылова по выходу, если

~ 0 1 0 ~

Ак = 0 0 1 , Ск =1 1 0 0], Ък = Ь2к

_-а0 — &1 -а2 _ Ь3к

к+2>Хк+1,Хк,Хк-1) - некоторые нелинейные функции, Ьік -

где ак =а(х,

некоторые функции.

Приведенные названия указанных канонических форм связаны с тем, что они получены с помощью преобразования Крылова-Луенбергера.

Причем в первом случае “каноническую форму” имеет вектор входа Ък, а во втором - вектор выхода ск .

В данной работе рассматривается задача построения матриц перехода к каноническим формам Крылова.

Приведение к канонической форме по входу. Обозначим Рк -матрицу перехода к канонической форме по входу.

Положим Рк = [Р1 Рк Рк ], где Рк - столбцы матрицы Рк , определяемые соотношениями

Рк = Ък.Р! = АкР-4. Р3 = АкРк2-4.

где 4 . 4 - неизвестные пока составляющие.

Таким образом. для определения матрицы перехода достаточно найти эти составляющие.

Полагая в (9) Sk-1 = Рк-1. а Sк = Рк. с учетом (12) получим

A = P^AA-i =

P

i

P

2k

P

3k

[APA AkP’-i Akp-i ]

P A P1 P A P2 P A P3

ik k k -i ik k k -i ik k k -i

P2kAkPk-1

P A P2

2k k k-1

P A P1 P A P2

3k k k-1 3k k k-1

P A P3

2k k k-1

P A P3

3k k k-1

где Рк- ¡-я строка матрицы Рк 1.

Так как мы считаем, что Рк - матрица перехода к канонической форме

по входу, то, согласно (10) и (13), должно выполняться следующее равенство:

P1kAkPk-1 P A P2 1 M^-k1 k-1 P A P3 1k k k-1 ~0 0 -X0

P2kAkPk-1 P A P2 1 2k k k-1 P A P3 1 2k k k-1 = 1 0 - %1

P3kAkPk-1 P A P2 3k k k-1 P A P3 1 3k si-k1 k-1 0 1 - X2 _

С другой стороны, произведение Рк1Рк с учетом (12) принимает следующий вид:

1 Р1 1 1 1Р ?г 1

р ~1р = 1 к 1 к Р2к А1 р2 р3 ]= Р2к

1 ?Г 1 1 А» Р3 1

А1 Ар-4 Ар-4]

'рр Р„

= Е.

Отсюда следует равенство

Р Р1

1 п1 к

Р,к

~1 0

= 0 1 0

0 0 1

Видно, что первые два столбца правой части равенства (14) совпадают со вторым и третьим столбцами правой части равенства (16). Следовательно, для обеспечения требуемого преобразования должны выполняться следующие равенства:

Акр-, = Ар - 4, АРр- = АР, - 4

к к

Р,

Р -1

к к

Отсюда получим

4 = Ак

Подставим (18) в (12) с учетом того, что Рк = Ък. В результате получим

Рк = АкРк - Ак

р = Ар3 - А

С учетом выражений (18), (19) переходная матрица Рк при п = 3 примет вид

Рк [ АкЪк-1 АкАк-1Ък-2]

Теперь мы можем найти значения функций хк из (10). Сравнивая последние столбцы матриц в (14), получим, с учетом (21), равенства

Х0 = -Р1кАкРк-1 = -Р1кАкАк ’А -Ъ

к к-1 1к к к-1 к-2 к-3 1

3

Х1 = Р2кАкРк-1 = Р2кАкАк-1Ак-2Ък-3 ’ Х3 = -Р3кАкРк-1 = Р3кАкАк-1 Ак-2Ък-3

На основании (9) с учетом (16) найдем

Ъ = р ~‘Ъ = р-‘р1 = ик 1 к ик 1 к 1 к

1 Ор к Р1 1 ' 1

Рк к ор = 0

1 р к р 1 1 0 1

Из выражений (22) и (23) видно, что если столбцы матрицы Рк

выбраны согласно (18), (19), то матрицы А , Ь в выражении (7) полностью

совпадают по форме с матрицами (10). Другими словами, найденная матрица Рк (21) и есть искомая матрица перехода к канонической форме

по входу при п = 3. Отметим, что матрица перехода и результат преобразования зависят здесь не от производных по времени переменных состояния, как в случае непрерывных систем, а от их предыдущих значений, что значительно упрощает синтез регулятора. Строго говоря, предыдущие значения являются здесь эквивалентом разностей

переменных состояния, т. е. физический смысл преобразования в

дискретном случае тот же, что и в непрерывном.

В общем случае выражения (21) и (22) примут вид

п-2

АкЬк-1 АкАк-1Ьк-2 ••• ( Ак - 1 )Ьк

1=0

Рк =

Ъ„

к-п+1

п-1

х = Р(і+1)к( Ак - 1 )Ък-п

1=0

Приведение к канонической форме по входу. Пусть Тк- матрица перехода к канонической форме по выходу. Положим,

V = Т

Т2к Т3к

где Тк - столбцы матрицы Тк1, определяемые

соотношениями

Т1к = сТ ; Т2к = Т1кАк - А ; Т3к = Т2к Ак - А ,

где , А3к - также неизвестные пока составляющие. Найдем их, действуя

аналогично предыдущему случаю.

Подставив (26) в (9), получим

Ак = Тк АкТк-1 =

т,

1к

Т-

2к

Т

3к

Т1кАкТк-1 Т2кАкТк-1 Т3кАкТк-1

Т А Т2

1к к к-1

Т А Т2

2к к кТ А Т2

3к к к -1

Т А Т3

к к кТ А Т3

2к к к-1

Т А Т3

3к к к-1

где Ткг-1 - /-я строка матрицы Тк-1.

Так как мы считаем, что Тк - матрица перехода к канонической форме

по входу, то, согласно (11) и (27), должно выполняться следующее равенство:

T1kAkTk_1 т а т2 11 к к к_ 1 Т А Т3 1к к к _1 ' 0 1 0 "

T2kAkTk_ 1 Т А Т2 1 2^И к_1 Т А Т3 2к к к _1 = 0 0 1

Т3кАкТк_1 Т А Т2 3к к к _1 Т А Т3 3к к к _1 __а0 _ а1 а 2 _

-1

Произведение Тк_1Тк-1равно:

Т ~1Т

1 к _1 к _1

Т

1 к _1

Т

2 к _1

Т

3 к _1

[т1 Т2 Т3 ]

к _1 1 к _1 1 к _11

Т Т1 Т ГГ2 Т т'3

11к_11к_1 11к_11к_1 11к_11к_1

Т 'Т'1 Т Т2 Т Т'3

12 к-11 к _1 12 к _11к _1 12к_11к_1

Т Т'1 Т Т2 Т Т3

1 3 к-11 к _1 13 к _11к _1 13 к _11к _1

= Е.

Из (29) следует равенство

Т 1 к Т1 -11 к _1 ч 1 к Т1 Т Т3 1 к _1 к _1 ~1 0 0

Т 2к Т1 А1 к _1 Т Т2 1 2 к _1 к _1 Т Т3 1 2 к _1 к _1 = 0 1 0

Т 3к Т1 -1 к _1 Т Т2 3 к _1 к _1 Т Т3 3 к _1 к _1 0 0 1

Видно, что первые две строки правой части равенства (28) совпадают со второй и третьей строками правой части равенства (30). Следовательно, для обеспечения требуемого преобразования должны выполняться следующие равенства:

1 1 А

2к _1 1к к ’

Сместившись на один шаг вправо, получим

1 1 А

2к 1 к+1 к+1

Подставив (26) в (32), получим

Т1кАк Отсюда получим

Т1кАк А = 11к+1Ак+1

1 1 А

3 к к+1 к+1

Т2кАк А = Т2к+1Ак+1

А = Т1кАк Т1к+1Ак+1 '

А = Т2кАк Т2к+1Ак+1  Подставим (34) в (26), с учетом того, что Т1к = етк ,

Т2к = Т1кАк _ А = СкАк _ СкАк + Ск+1Ак+1 = Ск+1Ак+1 Т3к = Т2кА _А = с'т+,Л,

2к к

Ск+1Ак+1Ак Ск+1Ак+1Ак + Ск+2Ак+2Ак+1

= ст А А

~ к+2 к+2 к+1 •

С учетом (35), (36) матрица Тк 1 примет вид

т- =

г1 А

ик+1^к+1

г1+ А + А

к+2 к+2 к +1

Подставив (37) в (28), мы найдем значения функций а{

а - -гт А А АТ1

“О _ к+2 к+2 к+1 к к-1 >

а = -гт А А АТ2

Ы1 к+2 к+2 к+1 к к-1 ’

а = -гт А А АТ3

2 к+2 к+2 к+1 к к-1

В общем случае выражения (37) и (38) имеют вид

гт А

к+1 к+1

Т-1 =

гт А А

ик +2 к+2 к +1

п-1

- П А

г'к+п-1±± к+( п-]) І=1

аа = -г

т

к+

(П А

к+

)Тк

І+1 к-1

І=1

Таким образом, из (26) видно, что Тк - матрица являющаяся обратной к матрице (37), есть искомая матрица перехода к канонической форме по входу при п — 3. При этом необходимо отметить, что выражения (38), а следовательно и преобразованная каноническая модель нелинейной динамической системы, зависят от будущих значений переменных состояния.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. А.А.Красовского. -М.: Наука, 1987.

2. Подчукаев В.А. Аналитические методы теории автоматического управления. -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002.

3. Гайдук А.Р. Полиномиальный синтез нелинейных систем управления // АиТ. 2003.-№10: С. 144-148.

4. Краснощеченко В. И., Крищенко А. П. Нелинейные системы: геометрические методы анализа и синтеза.-М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана,2005.

т

г

к

т

Г

к

т

Л.Ж. Шугунов, Куповых Г.В.

МЕТОД РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ЛАГОВ В АНАЛИЗЕ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ МЕТЕОПАРАМЕТРОВ