∑δ-ацп: синтез структур высоких порядков

ЭЛЕКТРОНИКА, ИЗМЕРИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И РАДИОТЕХНИКА

УДК 621.3.087.92

Б. В. Чувыкин, Э. К. Шахов, В. Н. Ашанин ХА-АЦП: СИНТЕЗ СТРУКТУР ВЫСОКИХ ПОРЯДКОВ

Во второй из серии статей, посвященных синтезу структур £Д-АЦП, приводятся примеры синтеза структур £Д-АЦП высоких порядков по методике, изложенной в первой статье [1]. Для понимания материала данной статьи полезно ознакомиться с упомянутой первой статьей серии.

Введение

В статье [1] кратко изложены концепции построения £А-АЦП - нового класса интегрирующих АЦП (ИАЦП), рассматриваемого как последовательно включенные малоразрядный ИАЦП (МИАЦП) и цифровой фильтр-дециматор. Там же изложена методика синтеза замкнутых структур непрерывно-дискретных систем (НДС) и приведен пример синтеза структуры, реализующей весовую функцию (ВФ) в виде сплайна нулевого порядка (прямоугольную ВФ). Конечной целью методики является синтез структуры £А-АЦП (т.е. сугубо нелинейной системы), что исключает возможность использования математического аппарата линейных импульсных систем и правил эквивалентных топологических преобразований. Поэтому первоначальным результатом синтеза является получение структуры линейной НДС, эквивалентной синтезируемому £А-АЦП, т.е. реализующей ту же самую ВФ, что и в £А-АЦП. Для перехода от полученной линейной НДС к £А-АЦП в структуру НДС вводится квантователь. При достаточно малом значении ступени квантования (высокой разрядности МИАЦП), очевидно, эквивалентность синтезированной НДС и соответствующего ей ^А-АЦП сохраняется. По мере увеличения ступени квантования (снижения разрядности МИАЦП) их динамические свойства начинают отличаться вплоть до потери устойчивости ^А-АЦП, когда МИАЦП становится одноразрядным. Изменение динамических характеристик ^А-АЦП по мере увеличения ступени квантования исследуется с использованием их 81шиНпк моделей. Моделирование позволяет также найти параметры элементов структуры, при которых замкнутая структура становится устойчивой.

1. Синтез замкнутой структуры НДС, реализующей весовую функцию в виде сплайна второго порядка

Рассмотрим процесс синтеза замкнутой структуры НДС, реализующей ВФ в виде сплайна второго порядка. Подобная ВФ получается путем свертки трех простейших прямоугольных ВФ. Передаточную функцию (ПФ), соот-

ветствующую сплайну второго порядка, получим возведением в куб передаточной функции Н (р) = (1 - в~рТ)/рТ , полученной нами в статье [1] для простейшей прямоугольной ВФ, поскольку свертке ВФ во временной области соответствует умножение ПФ в области изображений,

Н (р) =

1 - е

~рТд

Ртд

1 - 3е

-рТд + 3е“2ртд - е"3ртд

(рТд )3

Передаточной функции (1) соответствует разомкнутая структура НДС, представленная на рисунке 1.

Заменим разомкнутую дискретную часть структуры (рис. 1) эквивалентной замкнутой структурой. Как и ранее [1], передаточную функцию Ндз (г) звена обратной связи замкнутой структуры найдем из условия эквивалентности:

Н д (г) =

1

1 + Н дз

—1 —2 —3

откуда с учетом того, что в данном случае Н д (г) = 1 — 3г + 3г — г , найдем

Н дз (г) =

1 - Нд (г) 3г_1 - 3г “2 + г “3

Н д

(1 - г-1)3

Согласно таблице 1, приведенной в статье [1], при т = 3 передаточной функции йъ(рр) = 1.ДрТД)3 соответствует передаточная функция эквивалентной дискретной системы

2з(г)=

г 1(1 + 4г 1 + г 2) 3!(1 - г_1)3

Как видно

совпадает (с точностью до числового множителя) только знаменатель. Поэтому для полного совпадения рассмотрим более общий случай передаточ-

ной функции О( р) = ^з01(р) + ^2Й(Р) + ^1Йз(Р)- Ей, согласно упомянутой таблице, соответствует передаточная функция

-1

й( г) = ^3

+ Х

г 1(1 + 2 1) 2!(1 - г_1)2

+ Хі

г 1(1 + 4г 1 + г 2) 3!(1 - г_1)3

Из условия полного совпадения Ндз (г) и О( г) найдем значения коэффициентов ^1, X2, ^з . Получим следующую систему уравнений:

Х3 +^2 +Ь = 3;

3 2 6

2Х3 + о-^2 - ^ = 3;

х3-Ъ.+^=1.

Решением этой системы уравнений являются значения Х3 = 116, Х2 = 2, Х = 1. В соответствии с этим структуру (рис. 1) преобразуем к следующему виду (рис. 2). Пользуясь правилами переноса звеньев через суммирующий элемент, объединим интеграторы в трактах прямого и обратного преобразования, после чего структура (рис. 2) приводится к окончательному виду, представленному на рисунке 3.

Рис. 2

X

кХо

'11/6

1 1 1 —» 1

ртя ртя ртя

1-е

к

рТ„

Рис. 3

81тиНпк модель структуры (рис. 3) приведена на рисунке 4, осциллограмма процессов в характерных точках модели - на рисунке 5-

2

Рис. 4

Рис. 5

Заметим, что условие физической реализуемости (сигналы на входах и выходах всех интеграторов ограничены) сохраняется. Входной и выходной

сигналы модели полностью совпадают с таковыми на входе и выходе эквивалентной разомкнутой системы. В то же время в промежуточных точках системы сигналы существенно отличаются, и объясняется это тем, что в рассматриваемой системе за счет локальных обратных связей на вход каждого интегратора поступает как сигнал цепи прямого, так и сигнал цепи обратного преобразования.

Схемная реализация структуры (рис. 3) представлена на рисунке 6. Ее описание и расчет параметров элементов приведены в работе [2].

Я2

Для расчета параметров элементов, исходя из полученных ранее значений коэффициентов , можно составить следующую систему уравнений:

Тд /Я2Л3Я6С1С2С3 =^1 =1;

Тд2к/ЯзЯбС2Сз =^2 =2; >

Тд к/ЯбСз =Аз =11/6;

к = Я4/( Я4 + Я5).

Коэффициент передачи схемы по постоянному току равен К0 = Л2 /Л .

2. Синтез замкнутой структуры НДС с дискретными звеньями в цепях прямого и обратного преобразования

Рассмотренный выше вариант НДС является одним из частных случаев, причем решение получено без использования дискретных звеньев. В соответствии с обобщенной структурой замкнутой гетерогенной системы (рис. 3,г в статье [1]) в общем случае замкнутую структуру НДС третьего порядка (рис. 3) следует представить в виде, показанном на рисунке 7, где в цепи прямого и обратного преобразования введены дискретные звенья Н1дз (г) и Я2дз (г). Звено Я (г) в обобщенной структуре (рис. 3,г в статье [1]) в данном случае представлено в виде последовательно включенных звеньев, т.е. Н(г) = (г)Н2дз (г).

С учетом введенных дискретных звеньев Я1дз (г) и Я2дз (г) условие

эквивалентности разомкнутой (рис. 1) и замкнутой (рис. 7) структур можно записать в следующем общем виде:

-X-

Н1дз

1

(РТд )3

-х(1 - г-1 )3

Рис. 7

При этом мы использовали известное правило теории автоматического регулирования, согласно которому общая передаточная функция многоконтурной системы с отрицательными неперекрестными обратными связями равна передаточной функции прямого тракта, деленной на единицу плюс сумма передаточных функций всех разомкнутых контуров. Включение в структуру дискретных звеньев позволяет уменьшить количество замкнутых контуров в системе. Например, в одноконтурной системе (когда ^2 = 0 и Х3 = 0) эквивалентность замкнутой и разомкнутой структур достигается подбором не только значения ^1, но и значений параметров дискретной части структуры. Все разомкнутые контуры структуры (рис. 7) содержат непрерывные звенья. Их передаточные функции в формуле (6) заменены передаточными функциями Ц (г) эквивалентных дискретных звеньев в соответствии с таблицей 1, приведенной в статье [1]. После очевидных преобразований с учетом выражений для Ц (г) равенство (6) можно привести к следующему виду:

Н1дз

= 1,

где

Е

Передаточные функции дискретных звеньев Н1дз (г) и Н 2дз (г) можно представить в следующем общем виде:

Н1дз

Н 2дз

1 + ¿1г 1 + ¿2г 2 +... + Ьпг

-1 -2 -

1 + ^1 г + ^2 г +... + апг

—1 —2 -

1 + й1г + ^2 г +... + &пг

1

Поскольку выполнение равенства (7) предполагает, что коэффициенты при всех степенях оператора г в числителе и знаменателе должны быть равны нулю, можно составить соответствующие системы уравнений и определить искомые коэффициенты X}, а , Ь , С , й} .

В общем случае возможны различные варианты структуры (рис. 7) системы в зависимости от числа обратных связей (определяемых числом ненулевых коэффициентов Лг-) и от порядка передаточных функций Н1дз (г) и

Н2дз (г) дискретных звеньев и точек съема выходного сигнала. При выборе

вариантов дискретной части предпочтительны варианты с минимальным порядком п передаточных функций, а варианты выбора значений коэффициентов Лг- подбирают из соображений особенностей физической реализации непрерывной системы.

На рисунке 8 приведена одноконтурная (X2 = Х3 = 0) структура в общем виде, в рамках которой возможны три варианта точек съема выходного сигнала, обозначенные цифрами 1, 2, 3.

1

Рис. 8

Структуре на рисунке 8 соответствует 81ши1шк модель на рисунке 9, в которой порядок передаточных функций дискретной части равен 3.

В модели состояние ключей коммутатора соответствует варианту 2 точки съема выходного сигнала.

Покажем расчет приведенной структуры согласно изложенной выше методике для каждого варианта точек съема выходного сигнала.

Очевидно, что для варианта 1 имеем: Н1дз (г) = 1. Тогда из условия равенства передаточной функции цепи обратной связи структуры (рис. 8) и передаточной функции Ндз (г) (2) коэффициенты передаточной функции

Н 2дз (г) найдем, как и ранее:

Х1Н з( г) Н 2дз (г) = Н дз (г);

х г~1

6 (1- г_ 1 )3 1+Ьг -+ь2г —2 (1- г)3

Из последнего равенства следует

- 1 + а1г 1 + а2 г 2 10 1- г 1 + (1/3) г 2

Х1 —1 —2 = 18 —1 —2 ,

1 + Ьг + ^2 г 1 + 4 г + г

т.е. Х1 = 18, а1 = —1, а2 = 1/3, Ь = 4, Ь 2 = 1.

Для варианта 3 структуры на рисунке 8 имеем Н2дз (г) = 1 и согласно формулам (6) и (8) получим

Н1дз

= 1.

Решив это уравнение относительно Н1дз (г), найдем

1 — 3 г”1 + 3г_2 — г_3 Н,дз

1—^

В выражении (11) неопределенным является коэффициент Х1. Зададим значение Х1 = 6, тогда

Х1 = 6, а! = —3, а2 = 3, а3 = —1, Ь^ = —1, Ь2 = —4, Ь3 = —1.

Для варианта 2 структуры на рисунке 8 имеем

Н1дз(г) = —1 —2 ~;

1 + Ь^г + Ь2 г +... + Ьпг

Н2д3(г) = 1 + а1 г 1 + а2г 2 +... + апг п .

И согласно формулам (7) и (8) получим

(1_ г 11 ( + Ь1г 1 + Ь2г 2 +... + Ьпг п) +

+ ^1г 1

1

= 1.

Это уравнение приведем к виду

1

= 1,

1 I —1 I —2 I I —

1 + ^г + ^2 г +... + щ+пг где для п = 2 коэффициенты qi равны:

ql = —3 + Ь + Х1 / 6; q2 = 3 + Х1а1 / 6 — 3Ь1 + Ь2 + 2X1 / 3; qз = —1 + 2Х1а1/3 + Х1а2 / 6+ 3Ь1 — 3Ь2 +Х1/6; q4 = Х1а1 /6 + 2Ха /3 — Ь + 3Ь2; q5 = Ха / 6 — Ь2.

Очевидно, что равенство (12) имеет место при условии q1 = q2 =... = q5 = 0, из которого находим искомые значения коэффициентов:

Хх = 35/6; а1 = —46/35; а2 = 17/35; Ь1 = 73/36; Ь2 = 17/36.

На рисунках 10-12 для каждого из вариантов при входном ступенчатом воздействии приведены осциллограммы процессов на входах и выходах интеграторов и в точках съема выходного сигнала системы. Видно, что во всех случаях переходный процесс на выходе имеет конечную длительность, равную трем шагам дискретизации Тд (соответственно порядку системы). Сравнение осциллограмм на рисунках 10-12 и рисунке 11 (см. статью [1]) показывает полное совпадение выходных и входных сигналов в рассматриваемых вариантах замкнутой структуры и эквивалентной ей разомкнутой.

Рис. 10

Рис. 11

Рис. 12

Условию физической реализуемости отвечают варианты 1 и 2 (временные диаграммы на рисунках 10 и 11).

Что касается варианта 3 (временная диаграмма на рисунке 12), то, как и в случае простейшей структуры (см. рис. 6 и 8 в статье [1]), рассматриваемый вариант структуры, хотя и отвечает условию эквивалентности исходной разомкнутой (следовательно, абсолютно устойчивой) структуре (рис. 1), но является физически нереализуемым. Действительно, из осциллограмм (рис. 12) видно, что при конечном по амплитуде входном воздействии выходные сигналы всех трех интеграторов неограниченно возрастают. Это объясняется тем, что в цепи прямого преобразования присутствует дискретное звено с передаточной функцией

(1 - г_ 1/ , которой соответствует АЧХ (ш(,5юТд /2/ . Непрерывная часть в

виде трех последовательно включенных интеграторов имеет передаточную

3 3

функцию и АЧХ соответственно (/рТД/ и (/юТд/ . Таким образом, АЧХ

этих двух частей структуры равна (ш(,5юТд //(2юТд / , т.е. имеет место неопределенность вида 0 -го = 1, что корректно математически, но нереализуемо физически (реальные интеграторы не могут иметь бесконечный динамический диапазон).

3. Синтез замкнутой структуры НДС с неоднородными сигналами обратной связи

Возвратимся к многопетлевой структуре на рисунке 7. Ее особенностью является однородность сигналов обратной связи для всех трех контуров. Однако на практике бывает так, что по мере прохождения звеньев прямой цепи входная величина изменяет свою размерность, например, при преобразовании ускорения выходным сигналом первого интегратора является скорость, а второго - перемещение. Естественно, что в этом случае соответствующую размерность должны иметь и сигналы обратной связи. Это означает, что в структуре на рисунке 7 последовательно соединенные формирующий

элемент (1 — е рТд)/р и дискретное звено Н2дз (г) должны быть разделены

на три независимых цепочки, параметры которых в числе прочего определяются размерностью сигналов обратной связи. После такого разделения структура приобретает вид, показанный на рисунке 13.

Рис. 13

С учетом введенных дискретных звеньев Н 21 дз (г), Н 22дз (г), Н 23дз (г) условие эквивалентности разомкнутой (рис. 1) и замкнутой (рис. 13) струк-

тур можно записать в следующем общем виде, отличающемся от выражения (6) только знаменателем:

х

X'

№ )3

Я1дЗ

1 + Я1дз

- X (1 - 2

=

Рассмотрим частный случай, соответствующий X2 = 0, Л} Ф 0, А3 Ф 0. В соответствии с выражением (10) для передаточных функций Н21дз (г), Н 2здз (г) получим

Я 21 дз

Я 23 дз

—1 —2 —

1 + йц2 + Й12 2 + ... + ^1^2

—1 —2 —

1 + йц2 + йуі 2 + ... + й[п2

—1 —2 -

1 + 0-312 + Й32 2 + ... + азп2

—1 —2 -

1 + ^312 + й32 2 + ... + йзп2

Подставляя выражения (14) и (15) в соотношение (13), по аналогии с расчетом варианта 2 получим следующие числовые значения искомых коэффициентов: Л = 1, Х3 = 3 ; Ь = 3/2, йц = 11/6, «31 = -2/3, йц = 0, ^ = 0.

На рисунках 14 и 15 приведены соответственно 81шиНпк модель и осциллограммы процессов в точках, к которым в модели подключены входы виртуального осциллографа. Нетрудно убедиться, что осциллограммы (рис. 11 [1] и 15) входных и выходных величин эквивалентной разомкнутой (рис. 10 [1]) и замкнутой (рис. 14) систем полностью совпадают. Замкнутая система физически реализуема, т.к. процессы во всех точках структуры финитны и ограничены по значению.

Рис. 14

Рис. 15

Изложенная методика позволяет производить синтез любых вариантов замкнутых структур НДС с интеграторами в прямой цепи преобразования. Основным условием расчета коэффициентов передаточных функций дискретной части является финитность импульсных переходных характеристик и условие физической реализуемости. Все многообразие подобных структур до пятого порядка включительно исследовано в работе [3]. Полные справочные данные приведены в работе [4].

Заключение

Наиболее важными положениями, лежащими в основе изложенной методики синтеза замкнутых структур НДС, являются следующие:

1. Основой методики является условие эквивалентности синтезируемой замкнутой структуры и исходной разомкнутой структуры, которая имеет требуемые динамические свойства, которые могут быть заданы в виде весовой или передаточной функции.

2. Используемые в процессе синтеза математические преобразования и формулы перехода от непрерывной части исходной структуры к эквивалентной дискретной части корректны только при условии выполнения теоремы отсчетов.

3. Исходный вариант замкнутой структуры всегда получается избыточным по количеству интеграторов. В окончательный вариант замкнутой структуры он должен быть преобразован путем применения эквивалентных топологических преобразований с тем, чтобы количество интеграторов совпадало с их количеством в исходной разомкнутой структуре.

4. Промежуточным результатом синтеза является определение параметров дискретного звена обратной связи, при этом критерием синтеза является математическое условие эквивалентности дискретизированной импульсной характеристики непрерывного звена обратной связи и импульсной характеристики дискретного звена обратной связи.

5. В общем случае финитность импульсной характеристики исходной разомкнутой структуры не всегда гарантирует сохранение этого свойства для эквивалентной замкнутой структуры. Поэтому на заключительном этапе синтеза необходимо провести анализ переходных процессов на входах и выходах всех звеньев структуры на предмет проверки выполнения условия финитно-сти. Одновременно это означает выполнение условия физической реализуемости системы.

Список литературы

1. Чувыкин, Б. В. £Д-АЦП: синтез одноконтурных структур / Б. В. Чувы-кин, Э. К. Шахов, В. Н. Ашанин // Известия вузов. Поволжский регион. - 2007. - № 1. -С. 91-106. - (Технические науки).

2. Михотин, В. Д. Методы синтеза весовых функций для эффективной фильтрации измерительных сигналов / В. Д. Михотин, Б. В. Чувыкин, Э. К. Шахов // Измерения, контроль, автоматизация. - 1981. - № 5 (39). - С. 3-12.

3. Балыкова, А. Ю. Аналого-цифровые фильтры в задачах преобразования и обработки измерительных сигналов : дис. ... канд. техн. наук / А. Ю. Балыкова. -Пенза, 2005.

4. Руководство по расчету и проектированию аналого-цифровых фильтров замкнутой структуры / А. Ю. Балыкова. - Пенза : ПГУ, 2004. - 91 с. - Деп. в ВИНИТИ 09.06.04, № 982 - В2004.