О точности БГК модели для дрейфа ионов в собственном газе

УДК 533.9

О ТОЧНОСТИ БГК МОДЕЛИ ДЛЯ ДРЕЙФА ИОНОВ

В СОБСТВЕННОМ ГАЗЕ

С. А. Майоров, В.Н. Цытович

Построена модель столкновений ионов с атомами газа, учитывающая резонансную перезарядку ионов, поляризационное взаимодействие и упругое (газокинети-чесое) взаимодействие. Выполнены расчеты, характеристик дрейфа ионов в постоянном электрическом поле, проведено сравнение с результатами на основе модельного интеграла столкновений Бхатнагара, Гросса, К рука (интеграл, БГК). Показ а,но, что в силу специфики ион-атомных столкновений использование интеграла столкновений БГК приводит к большим ошибкам.

Ключевые слова: дрейф ионов; модель БГК.

Характеристики ионного потока могут быть определены путем решения кинетического уравнения Больцмана для функции распределения ионов f (v):

f + wf + = U

dt m dv

где e - заряд, m - масса ионов, Ist(f ) _ интеграл столкновений.

В слабоионизованной плазме часто можно пренебречь упругими столкновениями ионов с атомами, электронами и ионами. Поскольку в случае столкновений ионов с атомами сооственного газа обычно наибольшим является сечение резонансной перезарядки иона, то рассмотрим кинетическое уравнение (1) в пространственно-однородном случае при постоянном электрическом поле, учитывая только резонансную перезарядку ионов:

— 7Г = i[%

m ou J

где u - компонента скорости вдоль направления электрического поля, ares - сечение резонансной перезарядки, na - плотность атомов, функции распределения ионов и атомов

Учреждение Российской академии наук Институт общей физики им. A.M. Прохорова РАН, 119991 Москва, ул. Вавилова, 38, Россия; e-mail: mayorov_sa@mail.ru + may@fpl.gpi.ru.

нормированы на единицу: / /(у)Ну = / ^>(у)Ну = 1. Уравнение (2) описывает процесс переноса ионов, который носит эстафетный характер эта модель предложена Л. А. Сена [1. 2]. Согласно этой модели, скорость иона после столкновения равна скорости того атома, с которым он столкнулся. Эта модель не учитывает изменение скорости атома в процессе столкновения.

Рассмотрим простую, но важную модель движения ионов в случае выполнения двух условий: 1) скорость дрейфа значительно превышает тепловую скорость атомов у( >> (Тг/т)1^2; 2) происходят столкновения только одного типа - с резонансной перезарядкой ионов на атомах сооственного газа. При выполнении этих условий можно пренебречь тепловым движением атомов и полагать, что ионы движутся равноускоренно в постоянном электрическом поле Е > 0, останавливаясь после каждого акта столкновения.

Условие У( >> (Тг/т)1/2 может быть выполнено с хорошей точностью либо в случае большой напряженности электрического поля, либо при низкой температуре газа. Хотя столкновения с перезарядкой играют обычно наиболее важную роль, столкновения другого типа оказывают существенное влияние на характеристики распределения ионов по скоростям. Помимо столкновений с перезарядкой существенную роль могут играть поляризационные и газокинетические столкновения. В случае таких столкновений ион не останавливается, а рассеивается на неподвижном центре в системе центра масс атом ион. Хорошим приближением такого вида столкновений является модель твердых сфер. т.е. изотропного рассеивания. Без учета этих столкновений нельзя учесть разогрев ионов в поперечном направлении.

В пренебрежении тепловой энергией атомов и при учете только столкновений с перезарядкой кинетическое уравнение Больцмана имеет вид [1. 2]:

Если сечение резонансной перезарядки зависит от скорости, то функция распределения ионов имеет вид [1. 2]:

/(и < 0) = 0,

/ (0) = С1.

где 0(и) - функция Хэвисайда, с1 - константа, определяемая из условия нормировки.

Если сечение резонансной перезарядки и средняя длина свободного пробега иона А^ = 1/а0иа не зависят от скорости, то решение (3) имеет вид:

'

где ТЕ = вЕА^. Распределение (5) является половинкой распределения Максвелла с температурой, равной энергии, набираемой ионом на средней длине свободного пробега. Следовательно, средняя кинетическая энергия ионов, обусловленная движением в направлении поля, равна ^т(и2) = ТЕ = ^еЕА^. Плотность потока ионов для этого распределения равна ^ = П1(1еЕА^/пт)1/2, средняя скорость ионов (скорость дрейфа) равна иа = (2eEАst /пт)1/2 = (2Те/пт)1/2.

По аналогии с гидродинамическим приближением часто полагается, что дрейф ионов в сильном поле описывается сдвинутой функцией распределения Максвелла:

т \3/2 / т[(и — па)2 + V2 +

ш= \ш,) —^—ы—1;

Это распределение имеет два параметра - среднюю скорость ионов иа (скорость дрейфа) и температуру ионов Т^, которая определяет тепловой разброс скоростей ионов Ут = (Тг/т)1/2, здесь направление поля и дрейфа совпадает с осью х.

Для учета влияния столкновений часто используется модельный интеграл столкновений Бхатнагара, Гросса, Крука (интеграл БГК) [1, 3, 4]:

4. = ,

То

который описывает релаксацию функции распределения ионов / к равновесной функции распределения атомов ' с характерным временем релаксации т0, которая полагается константой. Интеграл БГК качественно верно описывает процесс релаксации плазмы к равновесию в случае незначительного отклонения от него. Но он неприменим, если частота столкновений ионов с атомами зависит от их относительной скорости, или отклонение от равновесия велико.

Уравнение переноса ионов в пространственно-однородном случае имеет вид: УЕд//ди = '(и) — /(и), оде УЕ = вЕт0/т. Его решение имеет вид:

и

/Е

В случае субтепловой скорости потока, когда иа < (Т/ш)1/2, и максвелловского распределения атомов р(и) = (ш/2пТ0)1/2 ехр(—ши2/2Т0) решение (1) с интегралом столкновений (7) имеет вид:

f

Это распределение совпадает с разложением сдвинутого максвелловского распределения (6) при VE = иа << (Т/ш)1/2. Как и следовало ожидать, в случае малого отклонения от равновесия использование модельного интеграла БГК дает разумный результат.

В случае большой скорости ионного потока иа >> Цг = Т0/ш и максвелловского распределения атомов распределение (8) имеет асимптотику:

fи^ехР

Это распределение описывает равноускоренное движение ионов в постоянном электрическом поле Е > 0, которые останавливаются после каждого акта столкновения, вероятность которого не зависит от скоростей иона и атома. Эта противоестественная гибридная модель (взявшая свойства поляризационных и резонансных столкновений) является следствием структуры интеграла БГК при больших полях, когда иа >> (Т/ш)1/2. Она не учитывает отличие скорости иона от нуля после столкновения.

Если пренебречь тепловым движением атомов по сравнению со скоростью потока и представить функцию распределения атомов в виде р(и) = 8(и), то прибыль частиц в интеграле БГК имеет вид /+ск = р/т0, убыль - ^вск = f/т0 Для столкновений с резонансной пререзарядкой при постоянном сечении прибыль и убыль частиц имеет, соответственно, вид 1+ = р/т0, убыль - /г-8 = I70nauf. Следовательно, интеграл БГК даже на качественном уровне неправильно передает характер убыли частиц, именно этим обстоятельством объясняется радикальное отличие распределения (10) от физически разумных распределений (5) и (6).

Для поляризационных столкновений, которые характеризуются постоянным средним временем свободного пробега, убыль частиц в интеграле БГК может быть приведена к виду 1~о1 = f/т0. Но прибыль частиц в интеграле столкновений зависит от всей функции распределения и никоим образом не может быть аппроксимирована величиной 1+ск = р/т0. Эта форма означает, что независимо от вида f (у) число ионов, рассеянных вследствие столкновений в группу со скоростями у, равно числу ионов, которые рассеялись бы из этой группы в случае равновесного распределения при частоте столкновений, не зависящей от скорости [3].

Интеграл БГК не позволяет учесть следующие факторы: 1) для столкновений, характеризующихся постоянным сечением (перезарядка, газокинетические) он не учитывает зависимость вероятности столкновения от скорости; 2) для столкновений, характеризующихся постоянным средним временем свободного пробега (поляризационные столкновения) он не учитывает отличие скорости иона после акта рассеяния от нуля. Эти факторы являются определяющими при скорости дрейфа, сравнимой с тепловой скоростью атомов. Следовательно, интеграл БГК неприменим для задачи определения характеристик дрейфа ионов в собственном газе.

8х105

6х105

£

о 4х105 >

<д

'С с

~ 2х105 О

О 200 400 600 800 1хЮ3

ш9 та

Рис. 1: Результаты расчета скорости дрейфа иона в собственном газе в зависимости от приведенной напряженности электрического поля.

На рис. 1 для всех инертных газов представлены результаты расчета скорости дрейфа иона в собственном газе в зависимости от напряженности электрического поля [5]. На рис. 2 представлены те же результаты, в которых скорость дрейфа нормирована на величину тепловой скорости (скорость иона с энергией, равной температуре) W = /Ут, а поле нормировано на величину характерного "разогревающего поля": р = Е/Ет, в котором на средней длине свободного пробега набирается энергия, равная температуре атомов - еЕт (А81) = Та. Штрихованная кривая представляет решение

Ion drift velocity in parent gas

1 He MNe Ar Rr Xe

Рис. 2: Результаты расчета скорости дрейфа иона в собственном газе в зависимости от напряженности электрического поля в безразмерных единицах. Скорость дрейфа нормирована на величину тепловой скорости (скорость иона с энергией, равной температуре атомов), поле нормировано на величину характерного "разогревающего поля", в котором на средней длине свободного пробега набирается энергия, равная температуре атомов. Штрихованная кривая - решение уравнения Больцмана с интегралом столкновений БГК.

уравнения Больцмана с интегралом столкновений БГК из работы [6]:

^ = у

П1/2

Анализ показал, что отличие примерно в два раза обусловлено тем фактом, что даже в сильном поле столкновения с рассеянием назад не являются доминирующими.

На рис. 3 в зависимости от приведенной напряженности поля показана доля столкновений с рассеянием назад в системе центра масс по отношению к общему числу столкновений (в число столкновений не включены столкновения с рассеянием на малые углы).

Приведенные графики позволяют сделать следующие выводы:

а

'сл

1 0.8

§

а о.б

'Ел

В 0.4

Е?

•с

<и

I 0.2

сл

^

о

рр 0

1 10 100 103 Ш, Тс!

Рис. 3: Доля столкновений с рассеянием назад по отношению к общему числу столкновений в зависимости от приведенной напряженности поля.

1) Введение безразмерных единиц позволяет свести характеристики для различных газов к универсальным кривым;

2) Интеграл столкновений БГК для задачи о дрейфе ионов в собственном газе приводит к значительным ошибкам, что не позволяет даже на качественном уровне описывать реальные процессы (см., например, [7-9]);

3) Имеет место неожиданный и нетривиальный факт: хотя сечения с перезарядкой и являются наибольшими, столкновения с рассеиванием назад составляют лишь 15-45 процентов для благородных газов при 300 К (в связи с этим см. [10], где сделана попытка аппроксимации столкновений в виде суммы столкновений с изотропным рассеиванием и рассеиванием назад).

He

Ne\ <

Ar

Xe Kr

ЛИТЕРАТУРА

[1] Б. М. Смирнов, Физика слабоионизованного газа в задачах с решениями (М., Наука, 1988).

[2] Л. А. Сена, ЖЭТФ 16, 734 (1946); Столкновения электронов и ионов с атомами газа (М., Гостехиздат, 1948).

[3] Г. Бёрд, Молекулярная газовая динамика (М., Мир, 1981).

[4] D. Else, R. Kompaneets, and S. V. Vladimirov, Phys. Plasm. 16, 062106 (2009).

[5] С. А. Майоров. Физика плазмы 35(9), 869 (2009).

[6] V. X. Tsytovich, S. V. Vladimirov and Yu. Tyshetskiy (in press).

[7] S. A. Maiorov. T. S. Ramazanov. Iv. X. Dzhumagulova, et al., Phys. Plasm. 15. 093701 (2008).

[8] С. H. Антипов. Э. И. Асиновский, А. В. Кириллин и др.. ЖЭТФ 133(4). 948 (2008).

[9] С. Н. Антипов. М. М. Васильев. С. А. Майоров и др.. ЖЭТФ 139(3), 554 (2011). [10] D. Piscitelli, А. V. Phelps, J. Urqui.jo, et al., Phys. Rev. E 63, 046408 (2003).

Поступила в редакцию 7 ИЮНЯ 2011 Г.