Сравнительный анализ аналитического и численного методов решения плоской задачи о контакте упругих цилиндров

Международный научный журнал «Инновационная наука»

Fig.3. Magnetic susceptibility mining ores (gabbro) in weak magnetic fields.

This suggests that the magnetic susceptibility of mining ores (gabbro) in magnetic fields depends on the number and sizes of the ferromagnetic grains.

Thus, for the first time experimentally investigated the magnetic properties of mining ores (gabbro) in magnetic fields up to 6 kE room temperature and obtained:

• the saturation magnetization Is is achieved in magnetic fields H= 5 kE;

• remanence - A proportional to the coercive force - Hc = +0,8 kE;

• demagnetizing factor N=2;

• magnetic susceptibility lies in the interval from 0,6 to 0,8- 103 CGSM/cm3;

• magnetic susceptibility in weak magnetic fields depends on the number and sizes of the ferromagnetic grains.

The list of used literature

1. O. S. Galkin, B. I. Urusov, V. F.. "Magnetic properties of alloys But - Pr, FMM, No. 56, vol.2, 1983.With.-398-401.

© 2015 , B. I. Urusova, C. Y. Of Djatdoeva

УДК 539.3

А.Д. Азаров

Зав. лаб., к.ф-м.н., Г.А. Журавлев

В.н.с., доцент, к.т.н.,

А.С. Пискунов,

Студент-магистр

Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И.Воровича,

Южный федеральный университет, г. Ростов-на-Дону, Российская Федерация

СРАВНИТЕЛЬНЫЙ анализ аналитического И ЧИСЛЕННОГО МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ О КОНТАКТЕ УПРУГИХ ЦИЛИНДРОВ

Аннотация

Рассмотрена задача о контакте цилиндров с параллельными осями, имеющая несколько подходов к аналитическому решению на основе работ Н.И.Мусхелишвили. Для интенсивности касательных напряжений и шаровой части тензора напряжений выполнено сравнение этих подходов с решением, полученным методом конечных элементов. С целью анализа роли кривизны в формировании напряженно-деформированного состояния рассмотрены контактирующие тела с различной кривизной.

Ключевые слова:

контакт упругих цилиндров, напряженное состояние, деформирование, кривизна, метод

конечных элементов

5

№ 1 - 2/ 2015

Введение

Исследование влияния кривизны контактирующих тел на напряженнодеформированное состояние (НДС) имеет большое значение для теории и практики расчетов контактных и трибоконтактных узлов в машиностроении. Хотя каждый метод решения контактных задач (как численный, так и аналитический) имеет ограниченную точность, сравнительный анализ таких методов, как показывает опыт, чаще всего дает близкую к достоверной оценку точности аналитического метода. В качестве аналитического метода здесь рассмотрена группа подходов (в той или иной степени построенных на точном аналитическом решении задачи Н.И. Мусхелишвили [1] о сжатии отдельно взятого цилиндра противоположно направленными силами) к решению задачи для упругого цилиндра, находящегося под действием контактной нагрузки [2-5]. Здесь выполнено сравнение такой группы подходов [2-5] с численным методом конечных элементов (МКЭ) при решении задач МКЭ с контролируемой точностью.

В настоящей работе рассмотрена модельная задача МКЭ о контактирующих цилиндрах с параллельными осями в плоской постановке, имеющая аналитическое решение, что позволяет выявить условия обеспечения точности вычислений МКЭ. Решены задачи о контактирующих телах с различной кривизной, что дает оценку представлений [2-5] (в рамках решений МКЭ) о роли кривизны в формировании НДС.

Основным для расчетов различных контактирующих элементов конструкций и изделий в технических приложениях является решение задачи Герца, где используются предположения о малости зоны контакта и замене тела с кривизной на полупространство. Более корректно кривизна контактирующих тел учтена Loo и Troy [2]. Аналитическое решение задачи о контакте двух цилиндров с параллельными осями подробно рассмотрено в статьях [3-5]. В статье [3] на примере анализа плоского состояния упругого цилиндра, нагруженного контактным давлением, показано, что величины максимальных касательных напряжений и глубины их залегания существенно зависят от радиуса этого цилиндра и ширины площадки контакта взаимодействующих тел. Такой результат исправляет классическое представление о зависимости величины максимальных касательных напряжений и глубины их залегания только от формы площадки контакта. Этим показано, что универсальное использование в теории и практике контактных расчетов решений Буссинеска-Черутти (с моделированием контактирующих тел полупространством) может приводить к значительным погрешностям при расчетах глубинных напряжений в зоне контакта.

В работе [5] показано, что разница между решениями задач Герца и Loo-Troy

возникает при больших контактных давлениях. Тем не менее, несмотря на очевидное уточнение роли кривизны контактирующих тел в решении [1] и в статьях [3-5], эти решения не являются полностью корректными для всех вариантов параметров контактной задачи. Для некоторых случаев повышение точности расчетов требует учета характера сопряжения контактирующих тел, ориентации контактных давлений и соответствующего изменения контактных условий.

Имеющиеся в литературе решения задач о контакте тел сложной формы с помощью МКЭ имеют определенную практическую направленность на технические приложения. При этом не всегда ставится задача прецизионных расчетов, и нет возможности получить надежные оценки точности решений. В этом случае, делаются сравнения параметров НДС в зоне контакта с решением Герца, а отклонения от этого решения относят, исключительно, к погрешности решения МКЭ.

6

Международный научный журнал «Инновационная наука»

Постановка задачи контакта упругих цилиндров при их сжатии

В настоящей работе, чтобы показать роль кривизны контактирующих тел, рассмотрен случай, когда цилиндр малого радиуса контактирует с цилиндром очень большого радиуса, фактически с полупространством. В расчете МКЭ рассмотрена четверть цилиндра радиуса Ri и четверть полупространства, которые с граничными условиями МКЭ изображены на рис. 1. Касательные силы всюду равны нулю. На оси симметрии горизонтальные смещения равны нулю (вследствие симметрии полной задачи). Нагружение осуществляется путем задания удельной силы сжатия q/2 и условия равенства смещения всех точек на линии L2. В основании L6 использованы условия опирания на жесткую поверхность. При контакте эти тела находятся в плоско-деформированном состоянии. В зоне контакта возникают контактные давления.

В результате расчетов получены напряжения в соответствии с выбранной системой координат х, у. Здесь использованы обозначения:

Sx, Sy, Sz - нормальные напряжения, Sxy - касательные напряжения. Sz=v(Sx+ Sy), где v -коэффициент Пуассона.

Ux и uy - смещения точек по направлениям х, у при деформировании.

инвариантные характеристики НДС: Sm=(Sx-Sy)/2 - интенсивность касательных напряжений (ИКН) и S= (Sx+Sy+Sz)/3 - шаровая часть тензора напряжений.

Рисунок 1 - Общий вид контактирующих тел в постановке МКЭ

Обозначения напряжений с символом S будем относить к цилиндру. Для полупространства напряжения обозначим аналогично с заменой символа S на о: Ox, Oy, Oz,

Oxy, O= (Ox+Oy+Oz)/3, Om=(Ox-Oy)/2.

На рис. 1 на оси у отмечены линии L^ L7, в точках которых выполнен сравнительный анализ инвариантных характеристик НДС: ИКН Sm и шаровой части тензора напряжений S .

В настоящей работе (см. таблицу) рассмотрено три варианта цилиндров Ri= 50, 10, 2 мм. Зависимость от радиуса исследована при постоянной силе нагружения (т.е. при

7

№ 1 - 2/ 2015

одинаковой нагрузочной способности контактирующих тел), что соответствует разным уровням максимальных напряжений. Высокий уровень напряжений выбран для более явной демонстрации эффектов кривизны.

Таблица - Варианты расчетов, выполненных по формулам Loo-Troy [1, 5] q - удельная сила сжатия (на единицу длины) равная 2*107 Н/м

Варианты А Б В

Ri -радиус цилиндра 1 мм 50 10 2

A=Ri/N - шаг разбиений при расчете МКЭ мм 0,78i2 0,i562 0,03i2

R2 - радиус цилиндра 2 м i0000 i0000 i0000

q/Ri - отношение силы сжатия к радиусу Н/мЛ2 4,0E+08 2,0E+09 i,0E+i0

bL - полуширина зоны контакта мм 3,402 i,5i8 0,67i

Зона контакта в решении МКЭ мм 3,i25 i,563 0,687

Разница мм 0,277 -0,044 -0,0i6

Относительная разница % 8,i -2,9 -2,5

Параметр bL /(n*Ri/2) % 4,3 9,7 2i,4

Параметр bL/A 4,3 9,7 2i,5

Pmax - максимальное контактное давление МПа 3743 8388 i8972

Максимальное контактное давление МКЭ МПа 3750 8550 i9500

Относит.разница с аналитическим решением % 0,4 2,2 4,i

р - уменьшение радиуса цилиндра 1 по вертикали при контакте мм 0,207i 0,i606 0,ii46

Параметр p/Ri % 0,4i i,6i 5,73

Уменьшение радиуса цилиндра 1 по МКЭ мм 0,2i0i 0,i622 0,ii58

Относит.разница с аналитическим решением % -i,5 -i,0 -i,003

В качестве материала для контактирующих тел выбрана сталь. При вычислении параметров контакта использован цилиндр с большим значением радиуса R2=10000 м (цилиндр рассматривается как полупространство). В расчетах МКЭ берется область квадратного сечения с размером 3*Ri (имитация полупространства). Параметр b\J А - это отношение полуширины зоны контакта к шагу разбиений (количество элементов в зоне контакта).

Относительной характеристикой малости зоны контакта (т.е. и применимости решения Герца) являются следующие параметры:

bL/(n*Ri/2) - отношение полуширины зоны контакта к четверти длины профиля цилиндра R1 (параметр, характеризующий малость зоны контакта);

p/Ri - относительное сжатие радиуса цилиндра (параметр, характеризующий степень сжатия).

Анализ результатов расчетов

Далее выполнен сравнительный анализ основных инвариантных характеристик НДС в цилиндре и полупространстве при аналитическом и численном решениях. В результате расчетов МКЭ получены все основные показатели контакта (данные в таблице выше) и напряжения в сечении цилиндра и полупространства (графики и диаграммы). Расчеты выполнены с помощью программы ANSYS версия 11. При разбиении на конечные элементы цилиндра использованы элементы типа PLANE 182.

Обычно показателем точности решения МКЭ является сравнение решений при разных размерах элементов. Выполненные расчеты с разным числом разбиений N=32, 64, 128 радиуса

8

Международный научный журнал «Инновационная наука»

цилиндра Ri показывают, что для технических оценок НДС достаточно число разбиений N=64. Для постановки прецизионных вычислений необходимо учитывать особенности расчетов МКЭ в зоне контакта. Точность размера зоны контакта напрямую определяется дискретностью шага разбиений - значением отношения «радиус/число разбиений».

Общее пространственное распределение НДС наглядно демонстрируют рис. 2 и 3, полученные из «цветных диаграмм напряжений» ANSYS. Эквивалентные напряжения Мизеса также вычисляются в МКЭ и имеют внешний вид распределения по сечениям контактирующих тел аналогичный ИКН.

Для сравнительного анализа надо обеспечить эквивалентность граничных условий для аналитической и численной постановок задач. Точки на горизонтальной линии L2 имеют одинаковое вертикальное смещение %, что соответствует аналитическому решению. При этом надо обеспечить и соответствующее распределение давления по верхней границе четверти цилиндра, вызванного силой сжатия q/2. Сравнение с аналитическим решением показывает удовлетворительную близость напряжений: максимальное относительное отклонение

напряжения Sy для среднего варианта Б составляет 1,6 % от аналитического решения.

Анализ ИКН и шаровой части напряжений на оси Y. Сравнение напряжений в цилиндре и полупространстве друг с другом и с аналитическим решением.

На линии L^ra вертикальной оси) выполнен анализ ИКН, что представляет основной интерес при расчетах прочности. Касательные напряжения Sxy по МКЭ на границе строго не равны нулю, наибольшие отклонения наблюдаются в точках близких к зоне контакта, а далее они стремятся к нулю. Сравнение нормальных напряжений МКЭ с аналитическим решением показывает на графиках внешне незначительные отклонения. Максимальные значения относительных отклонений в процентах для варианта Б достигают: для Sx - 12 %, Sy - 6 %, S -

9 %.

Рисунок 2 - Вид распределения интенсивности касательных напряжений

Рисунок 3 - Вид распределения шаровой части тензора напряжений

9

№ 1 - 2/ 2015

ИКН может быть представлена в двух формах. Расчет Sint в МКЭ выполняется на основе главных напряжений: Sint=Si-S3. Для сопоставления с решениями [3] на оси y рассчитаны значения Sm=(Sy-Sx)/2. Для варианта Б отличие Sm от аналитического Sma составляет в точке максимума 2,5 %, но в начальной точке порядка 9 %. С уменьшением радиуса разница растет и для случая радиуса 2 мм в точке максимума составляет 6,7 %. Между решениями МКЭ при разбиениях 64 и 128 разница на графиках незаметна. По оси абсцисс на графиках откладывается безразмерная координата у/Д (уотсчитывается от первой точки контакта вверх для цилиндра, и вниз для полупространства). Расчеты выполнены до уровня y=Ri.

Рисунок 4 - ИКН в цилиндре. Сравнение МКЭ с аналитическим решением (индекс а). Вариант Б: R1=10 мм.

На линии L7 в полупространстве, как и в цилиндре на линии L1, значения ИКН представляют основной интерес при расчетах на прочность. Полупространство представляет пример тела с нулевой кривизной. Приведенные на рис. 6, 7 результаты расчета относятся к случаю цилиндра с радиусом 10 мм. При контакте цилиндра с радиусом 10 мм наблюдается заметная разница между значениями ИКН в цилиндре и полупространстве. Сравнение напряжений на вертикальной оси y показывает, что напряжения в цилиндре больше, чем в полупространстве. При этом напряжения МКЭ и в цилиндре и в полупространстве отличаются от аналитического решения. Для радиуса 50 мм напряжения в цилиндре и полупространстве ближе друг к другу, чем при радиусе 10 мм.

Рисунок 5 - ИКН в цилиндре. Сравнение МКЭ с аналитическим решением. Вариант В: R1=2 мм.

10

Международный научный журнал «Инновационная наука»

Рисунок 6 - ИКН в полупрострнстве. Сравнение МКЭ с аналитическим решением. Вариант Б: R1=10 мм.

Рисунок 7 - Сравнение ИКН МКЭ и аналитического решения для цилиндра и полупространства. Вариант Б: R1=10 мм.

На графиках рис. 8 приведена картина распределения ИКН, вызванная вдавливанием в полупространство цилиндра малого радиуса Ri= 2 мм. В этом случае в сравнении с Ri=10 мм больше и величина контактного давления потому, что для цилиндров разных размеров сила сжатия одинакова (см. таблицу). С уменьшением радиуса возрастает разница между максимумами в цилиндре и полупространстве, но существенно возрастает и погрешность расчета (разница между аналитическим решением и МКЭ).

Рисунок 8 - Сравнение ИКН МКЭ и аналитического решения для цилиндра и полупространства. Вариант В: R1=2 мм.

11

№ 1 - 2/ 2015

Надо обратить внимание на то, что для зоны наибольших значений ИКН в полупространстве и в цилиндре заметно отличаются по уровню (сравнить на диаграммах рис. 2 уровни значений напряжений в зонах 8 и 9).

В статье анализируется зависимость НДС при уменьшении радиуса цилиндра R1 при фиксированном значении силы сжатия, что приводит к разным размерам контактных зон и разным контактным давлениям. Но при этом все сравниваемые цилиндры обеспечивают одинаковую нагрузочную способность. Выполнен также численный анализ зависимости НДС от Ri при фиксированном максимальном контактном давлении. При одинаковом контактном давлении параметры контакта одинаковы, но силы сжатия разные, т.е. разные и несущие способности контакта. Из теории следует, что напряжения в цилиндрах разных размеров будут совпадать в одинаковых точках безразмерной системы координат x=x/ R, y=y/R. Эту закономерность подтвердили расчеты МКЭ.

Анализ формы контакта и распределения напряжений в цилиндре и полупространстве показывает роль кривизны тела в НДС. Цилиндр при давлении только сплющивается, а полупространство испытывает более сложную деформацию. Здесь происходит изгиб поверхностного профиля полупространства вблизи зоны контакта.

Далее приведены графики ИКН и абсолютного значения шаровой части при разных значениях радиуса. Здесь видны области, в которых шаровая часть превышает по величине ИКН и показан характер изменения напряжений с убыванием радиуса.

Рисунок 9 - ИКН и абсолютное значение шаровой части тензора напряжений при разных значениях радиуса.

С ростом кривизны (с уменьшением радиуса при постоянной силе сжатия q ) происходит рост всех напряжений. ИКН в цилиндре больше, чем в полупространстве, но зато точка экстремума ИКН в цилиндре находится глубже, чем в полупространстве. Максимальные значения шаровой части тензора напряжений наблюдаются на поверхности в центральной точке контакта (см. также рис. 3).

Общее представление об относительной роли кривизны дает график с отношениями Sm/S. С уменьшением радиуса это отношение становится меньше, и в областях со значением меньшим 1 давление преобладает над ИКН.

12

Международный научный журнал «Инновационная наука»

Рисунок 10 - Отношение ИКН к шаровой части тензора напряжений при разных значениях радиуса.

Выводы:

1. Основные отличия решения МКЭ от аналитического решения возникают в области близкой к зоне контакта. Эти отличия тем больше, чем меньше радиус контактирующего цилиндра и больше нагрузка.

2. Влияние кривизны на НДС более существенно, если речь идет о малых значениях радиусов контактирующих тел и больших уровнях нагрузок.

Список использованной литературы:

1. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М., 1966. 707с.

2. Loo T.T., Troy N.Y. Effect of curvature on the Hertz theory for two circular cylinders in contact //

J.Appl. Mech. 1958, 25. P. 122-124.

3. Журавлев Г.А., Азаров А.Д., Бабенко И.С. К определению глубинных напряжений в области контакта упругих цилиндров // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки, 2013, № 1 (173),

С. 26-30.

4. Азаров А.Д., Журавлев Г.А., Бабенко И.С. Анализ влияния кривизны контактирующих упругих цилиндров на их напряженное состояние // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки, 2013, № 2 (174), С. 21-26.

5. Азаров А.Д. Деформирование контактирующих упругих круговых цилиндров с параллельными осями вблизи зоны контакта // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки, 2014 (179), № 1. C. 26-30.

© А.Д. Азаров, Г.А. Журавлев, А.С. Пискунов, 2015

13