Применение метода дискретных элементов при анализе гравитационного движения гранулированного материала в сходящемся канале

УДК 622.272:622.023.6 С.В. Клишин

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ДИСКРЕТНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ПРИ АНАЛИЗЕ ГРАВИТАЦИОННОГО ДВИЖЕНИЯ ГРАНУЛИРОВАННОГО МАТЕРИАЛА В СХОДЯЩЕМСЯ КАНАЛЕ

На основе метода дискретных элементов исследуется выпуск сыпучего материала из сходящегося канала в двумерной постановке. Реализован несимметричный режим течения, продемонстрировано функционирование линий скольжения, показано, что процесс выпуска может приобретать периодический характер. Ключевые слова: сыпучая среда, структура материала, линии скольжения, механизм деформирования.

Семинар № 3

S. V. Klishin

IMPLEMENTATION OF DISCREET ELEMENT TECHNIQUE DURING THE ANALYSIS OF GRAVITATION MOVE-MENT OF GRANULAR MATERIAL IN THE CONVERGENT CHANNEL

The output of granular material from convergent channel at two-chambers is studied on the basis of discreet element technique. The asymmetrical regime of flow is achieved, the functioning of stretcher strains is demonstrated, it was shown that the fact that the output process can bear periodic character.

Key words: granular media, material structure, stretcher strains, deformation mechanism.

^Эадача о движении сыпучей среды Зпод действием собственного веса является одной из классических в механике горных пород. Такой вид движения имеет большое значение при выпуске сыпучего материала из камер и бункеров, а также является важным звеном многих технологических процессов в горнодобывающей отрасли промышленности. Самообрушение горной породы — наиболее низкозатратный и высокопроизводительный метод подземной

добычи руды и угля, поэтому он представляет большой интерес, как для теоретического, так и экспериментального изучения.

В представленной работе исследуется выпуск сыпучего материала из сходящегося симметричного канала. Во многих теоретических исследованиях обычно предполагается, что движение в симметричных каналах также носит симметричный характер. Однако экспериментальные исследования показали, что при определенных условиях режим течения становится неустойчивым — при достаточно больших смещениях образуются линии скольжения, разбивающие материал на дискретные блоки, которые движутся практически как жесткие целые [1—2].

Отметим, что и в натурных условиях также подтверждается существование несимметричного режима течения сыпучего материала в радиальных каналах. Так, например, для расчета бункеров рекомендуются формулы, основанные на предположении о том, что нагрузки внутри материала симметричны относительно оси бункера. Однако эти формулы основаны

на континуальных моделях и в настоящее время делаются поправки на тот факт, что натурные наблюдения показывают значительную асимметрию давления в поперечных сечениях бункера.

Большие трудности в описании напряженно-деформированного состояния этих процессов в рамках классической механики сплошной среды вызвано нарушением континуальности материала. С другой стороны, в настоящее время общепринятым является положение о чрезвычайно высокой роли именно внутренней структуры материала.

В этой связи для моделирования механического поведения твердых тел, составляющих горную породу (в том числе сыпучий материал), весьма большие перспективы связаны с использованием метода частиц, или метода дискретных элементов (МДЭ) [3]. Как принципиально дискретный метод, основанный на приложении законов Ньютона и контактной механики, он не имеет недостатков континуальных моделей, проявляющихся при нарушении сплошности вещества или в результате дискретности его внутренней структуры. Высокая эффективность этого метода обусловлена его универсальностью, относительно невысокой стоимостью вычислительных экспериментов по сравнению с натурными и практически неограниченными возможностями диагностики моделируемых явлений.

Определяющие соотношения

В представленном исследовании гранулированный материал представляет собой совокупность из N обособленных упругих частиц сферической формы радиуса (рис. 1, а).

Согласно законам классической Ньютоновской механики, движение каждой г-й частицы полностью определяется координатами ее центра тяжести хг

и углом поворота вг вокруг центра тяжести как жесткого целого (г = 1,..., Щ.

Система уравнений движения для каждого элемента в прямоугольной декартовой системе координат имеет следующий вид:

ё2 х.

т

‘ Ж1

= я

= М (I = \...м

Здесь t — время, тг — масса частицы, 1г — момент инерции, векторы Ьг представляют собой сумму сил, действующих на контактах г-й и ]-й частиц (включая силу тяжести):

N

я = Е я+т&

=1,1 * \

Вектор Мг — момент сил ¥ц относительно центра г-й частицы:

N N

М =Е ми =Е

Поверхностные силы Ьу состоят из сил отталкивания Ьп^ и сил трения Ьщ. Сила отталкивания возникает между частицами при условии дц > 0 (рис. 1, а) и направлена по нормали щ в направлении центра г-й частицы (рис. 2, б). Для ее определения выберем вязкоупругою модель соударения [4]: Ьп^ = + ЬП’ц,

гр е ГР ’

где Ь м — упругая, Ьп ,ц — вязкая составляющие.

Согласно Дж. Герцу, упругая часть силы ЬПд равна [5]:

л ЕЕ, ГяГ 3

Ее- = 4---------д2

3

где V — коэффициент Пуассона, Ег — модуль упругости частицы. В случае соударения частицы и прямолинейной границы, в формуле (5) достаточно положить один из радиусов равным бесконечности.

Рис. 1. Задание параметров для описания контакта, 8 у — величина перекрытия частиц: а) — геометрия модели; б) — силы, действующие на контакте

Вязкая составляющая силы отталкивания определяется из соотношения:

Пч = -г№^,

здесь Му — приведенная масса частиц, иПд — проекция относительной скорости точки соударения на ось игу, у„ — коэффициент демпфирования, оказывающий основное влияние на коэффициент восстановления скорости после удара [4].

Сила трения направлена против движения г-й частицы относительно у-й, а ее величина определяется соотношением:

р,.< = -я&<и„ж,1  гт,

-ь V г у/ п,у

где Щц — проекция скорости точки контакта Сг относительно скорости точки Су на ось у ф — угол контактного трения между частицами.

Таким образом, система дифференциальных уравнений второго порядка (1)-(2) относительно неизвестных х1, 01 и соотношения (3)—(7) полностью определяют движение и соударение совокупности упругих частиц, моделирующих дискретную среду.

Интегрирование уравнений движения

Численное решение системы дифференциальных уравнений (1)-(2) для каждой г-й частицы за время t + Д t (где Д t — шаг интегрирования) может быть проведено при помощи ряда разностных схем, отличающихся различной точностью, устойчивостью и порядком сходимости. В представленном исследовании используется схема предиктор-корректор 5-го порядка, которая наряду с высокой точностью обеспечивает также и высокую сходимость численного метода [6].

В численной модели точность решения зависит, главным образом, от выбора временного интервала. Для выбора оптимального шага был проведен ряд экспериментов, которые показали, что шаг интегрирования может быть выбран в интервале Тс /50...ТЛ0, где Тс — время соударения двух частиц. Это время приближенно оценивается как:

Т и 2.94

здесь М — приведенная масса, V— приведенная скорость г-й и у-й частиц:

0.2

Рис. 2. Стадии движения гранулированного материала в различные моменты времени Ґ: а)

начальная упаковка частиц: 1 = 0; б) 1 = 2 с; в) 1 = 6 с; г) 1 = 9 с

I тт. I им.

М = , V = .—^ ,

\Щ + ту \Ч + м

коэффициент к зависит от коэффициентов Пуассона, модулей упругости и радиусов частиц [5].

Численный эксперимент

Для численного исследования прикладных задач в двумерной постановке на основе сформулированных выше принципов с использованием языка программирования С++ разработано программное обеспечение, позволяющее моделировать движение сыпучих сред при различных режимах течения и граничных условиях.

Рассмотрим следующую плоскую задачу. Пусть имеется сходящийся канал высотой 1 м с углом раствора 45°. Стенки канала представляют собой упругий материал с коэффициентом Пуассона равным 0,2 и модулем упругости 5-104 МПа. Гранулированный материал представлен совокупностью из N = 1720 частиц с равными радиусами Я, = 0,01 м и плотностью р, = 2 500 кг/м3. Упругие

константы материала: Vі = 0,2, Еі = 5-104 МПа, угол контактного трения ф = 25°. Масса частицы вычисляется по заданному радиусу и плотности по известной формуле: ті = 4/3рг-Лг3, как в случае двух, так и в случае трех измерений.

Первоначальная упаковка осуществлялась путем простой засыпки материала с небольшой высоты под действием силы тяжести. После засыпки для лучшей визуализации частицы раскрашивались в зависимости от их положения в канале (рис. 2, а). Затем нижняя граница удалялась, и материал начинал движение. Интервал интегрирования на каждом шаге выбирался равным ТС/50. Время, прошедшее с начала эксперимента до полного высыпания, составило 15 секунд. На рис. 2, б—г представлены стадии движения в различные моменты времени.

Численные эксперименты показывают, что в начале гравитационного выпуска материал деформируется без образования линий скольжения. Далее, в процессе движения материала, локали-

Среднегодо-

вая

зация деформаций происходит по дискретной системе, образуя глобальные линии скольжения, разбивающие материал на отдельные блоки. Из рисунков видно, что линии скольжения проявляются сначала в нижней части канала, а затем распространяются выше и выходят на свободную поверхность. На конечных стадиях выпуска материал сильно перемешивается вблизи выпускного отверстия.

Выводы

Таким образом, представленный на основе соотношений (3)-(7) механизм деформирования приводит к тому, что гравитационное течение материала становится несимметричным, причем вид несимметрии зависит от случайных факторов и может меняться от опыта к опыту.

Следует отметить, что в численном эксперименте, представленном в на-

1. Ревуженко А.Ф., Стажевский С.Б., Шемякин Е.И. О несимметрии пластического течения в сходящемся симметричном канале // ФТПРПИ. — 1977. — №3.

2. Ревуженко А.Ф. Механика сыпучей среды. — Новосибирск: ЗАО ИПП «Офсет», 2003. — 373 с.

3. Хокни Р., Иствуд Дж. Численное моделирование методом частиц: Пер. с англ. — М.: Мир, 1987. — 640 с.

стоящей работе, наблюдается прерывистый режим течения материала. Частицы при движении в нижней части канала периодически закупоривают выпускное отверстие, вызывая «зависание» всего материала, а затем совокупность вышележащих частиц под действием силы тяжести продавливает образовавшийся затор и продолжает движение с образованием полостей внутри области деформирования. Полученный эффект объясняется относительно малым размером выпускного отверстия, который равен примерно пяти диаметрам одной частицы. Этот результат может служить для обоснования методик при разработке технологических схем, связанных с выпуском руды и угля в процессах самооб-рушения при подземной добыче полезных ископаемых.

--------------- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

4. Kruggel-Emden H. et al. Review and extension of normal force models of the Discrete Element Method // Powder Technology. — 2007. — № 171.

5. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости: Пер. с англ. — М.: Наука, 1975. — 576 с.

6. Engeln-Mullges G., Uhlig F. Numerical algorithms with Fortran. — Springer, 1996. —

602 p. EE

|- Коротко об авторе

Клишин С.В. - кандидат технических наук, старший научный сотрудник лаборатории механики деформируемого твердого тела,

Институт горного дела СО РАН, Новосибирск, yge@ngs.ru