Построение решений полевой теории дефектов в форме бегущей волны

Построение решений полевой теории дефектов в форме бегущей волны

Н.В. Чертова, Ю.В. Гриняев

Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634021, Россия

Рассмотрены автомодельные решения нелинейной системы уравнений полевой теории дефектов в форме бегущей волны. На основе уравнения динамического равновесия, представляющего условие совместности данной системы уравнений, получено условие существования решений в виде бегущей волны. Рассмотрены частные случаи автомодельных решений полевой теории дефектов при заданных внешних воздействиях и отсутствии диссипации энергии.

Derivation of traveling wave solutions in the field theory of defects

N.V. Chertova and Yu.V. Grinyaeva Institute of Strength Physics and Materials Science SB RAS, Tomsk, 634021, Russia

We consider self-similar solutions for a nonlinear system of equations of the field theory of defects in the form of a traveling wave. Based on the dynamic equilibrium equation which is a consistency condition for this system of equations, we derive an existence condition for the traveling wave solutions. Particular cases of self-similar solutions of the field theory of defects are considered at given external forces and in the absence of energy dissipation.

1. Введение

В последние годы интенсивно развиваются математические модели пластичности, учитывающие, наряду с механическими аспектами деформирования, физику процессов, связанную с изменением внутренней структуры материала. Выделяют геометрический, калибровочный и обобщенно-термодинамический подход к построению таких моделей [1-4]. Относительно калибровочного подхода следует отметить, что динамические уравнения калибровочной теории дефектов не только являются основой модели упругопластического деформирования материалов [1, 5], но и образуют систему уравнений полевой теории дефектов, описывающих динамику континуума дефектов [6]. На основе уравнений полевой теории дефектов, феноменологически дополненных членами, учитывающими диссипацию энергии и самодействие дефектов, были рассмотрены в инженерном приближении некоторые процессы нагружения материалов [7-10]. Анализ общих решений нелинейной системы уравнений полевой теории дефектов

до настоящего времени не проводился. Целью данной работы является исследование существования автомодельного решения указанной системы уравнений в виде бегущей волны. Термин «бегущая волна» по сути означает смещающийся профиль какого-либо распределения. В этой работе нас будет интересовать возможность распространения первоначально возникшей флуктуации поля дефектов, определяемого макроскопической плотностью и плотностью потока дислокаций, по однородной недеформированной среде.

2. Математическая формулировка задачи

Система уравнений полевой теории дефектов состоит из двух групп уравнений, одной из которых являются кинематические тождества континуальной теории дефектов [11]:

Ух I = да^,

© Чертова Н.В., Гриняев Ю.В., 2007

другой — динамические уравнения, полученные в рамках калибровочного подхода [3, 6]:

БЧ-1 = -Р, 5Уха= -Бд1/дt-ст.

В индексной форме записи уравнения (1), (2) примут вид:

Эх,-

1ік Рк > Беіі

ікі

Ъхк~'11

а,, = -1

'э/у °іу'

Здесь а,, 1, — компоненты тензора плотности дислокаций и тензора плотности потока дислокаций; с,, р — эффективные напряжения и импульс; В и 51— константы теории. Данная система уравнений позволяет исследовать динамику ансамбля дислокаций, определяемого макроскопической плотностью и плотностью потока дефектов, в зависимости от эффективных напряжений и импульса. Макроскопическая плотность и поток характеризуются тензорами второго ранга

d

, 1, =----,

где компонента у тензора плотности дислокаций равна j-й компоненте суммарного вектора Бюргерса Ь всех дислокаций, пересекающих единичную площадку s, перпендикулярную оси i. Соответствующая компонента тензора плотности дислокаций равна у-й компоненте суммарного вектора Бюргерса всех дислокаций, пересекающих в единицу времени единичный отрезок контура I, касательный вектор к которому параллелен оси i. Эффективные напряжения и импульс определяются в виде суммы двух слагаемых, обусловленных внешними воздействиями и дефектами материала:

Р = Р.ех + Р“‘ О.. = оеХ‘ + оіп‘

Р рі тР , і і і •

Представления (5) являются результатом процедуры минимальной замены калибровочной теории [3, 5, 6], в рамках которой получены уравнения (2). В работе [12] внутренние напряжения и импульсы, определяемые дефектами материала, были выражены через характеристики поля дефектов — тензор плотности дислокаций и тензор плотности потока дислокаций:

рШ - ВеікІ акт11ш,

^.іпі

=

5у 5у

= S

При учете диссипации энергии, наблюдаемой при пластических деформациях [5, 13], эффективные напряжения (4) будут содержать дополнительный член

имеющий смысл вязких напряжений

о 7 =л1у,

где "Л — коэффициент вязкости. Величины а у, р удовлетворяют уравнению динамического равновесия

ЭР _ Эстй

дt дхк’

которое является условием совместности

3. Построение и анализ решений при отсутствии внешних воздействий

Рассмотрим случай Рех* = аех* = 0. Подставляя (10) в (1), (2), получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений:

Э^а хк = 0

ад^аук =-Э| 12к, а^а2к =^11ук>

1хк = - рТ ,

аВд, 1хк + еХк + Л4к = 0

*хк^ихк т '\1хк

Sук = -аЩЬк - о“к -Ч^к,

Я д^к = аБ^11ук +°У1^ +Ч1ук, где индекс к принимает значения х, у, z. Полагая постоянные интегрирования равными нулю, из (11), (12) получим, что

«хк = 0,

аук =-Ьк/а, «гк = 1ук/а.

При условиях (16) два последних равенства (14) преобразуются таким образом:

аБ(^Ба2 -1)3^ 1гк =&1 + Ш,

аБ(Я/Ба2 - 1)^ 1ук = +Ц1ук.

Выражения для внутренних напряжений и импульсов (5), (6), учитывая (15), (16), можно записать в виде:

РХП1 = Б (аук1 гк -«гк1ук ) =

= - Б (1| + 12к )/ а,

Р1Ш = Вп,Т^ = ВТ,,Т

zk хк В ук1 хк

/а,

рШ‘ - В(Хук1хк ~ВЬк1хк1а,

°хх‘=- ^ («2ук+«2к V2+

+ В (12к - 1І - 12к )/2 =

= В[ 12л - (Б/Ва2 +1)( 12л + 12к)],

= Б(а2ук - а2л )/2 + В( 1% - 12л - 12л )/2 =

= 1Ік -V (12л -12ук)],

аЧ = Я(а^ - «2к V2 + Б( 11 - 4 - 1% V2 =

=~[ 1Хк+г (11 -1%)],

/г*! — /г*! — ТЗТ Т

а ху _а ух - Б хк ук,

а“‘ =<* = Б1хк1гк,

^ Яа ук а гк + Б1 ук1 2к = - Шук1*,

где V = ^Ба2-1 и а2 Ф Я/Б.

Рассматривая совместно первое уравнение (14) и (13), можно получить выражения условий совместности (9) в виде:

РТ* = К? +Ч1хх )/а,

Ру* =

Р“‘ = (а“‘ +Л1хг)/а, из которых с учетом формул для внутренних напряжений (19) и импульсов (18) следует, что

V

1ху = 0, 1хг = 0.

На основе двух последних равенств, согласно (13),

Р“‘ = Б1ук1хк/а = Б (1ух1хх + 1 уу1 ху + 1уАг)/а = 0, Р“‘ = Б12к1хк/а = Б (1 гх1 хх + 1 гу1 ху + ^ )/а = 0,

откуда следует, что

1ух = 0 1 гх = 0 1хх * 0

либо

1ух * 0 1гх * 0, 1хх = 0

Предположим, что выполняются равенства (24). Для компоненты 1хх(£), учитывая (22) и (23), из (13) получим уравнение

1хх = (11с + 1хх )/аУ,

решение которого имеет вид:

= С ехр[(2"п/аУБ)'с\.

1хх + 2Л/Б

Это равенство

при 1хх > 0 1хх + 2Л/Б > 0 и

при 1хх < 0 1хх + 2Л/Б < 0

приводит к выражению

(Е) = Ж/В

ехр(-г?) - С

которое не удовлетворяет условиям (28).

При 1хх < 0, 1хх + 2Л/Б > 0 и

при 1хх > 0 1хх + 2Л/Б < 0

решение (27) определяет функцию -2л С/Б

1хх © =

ехр(-и^) + С ’

Рис. 1. Распределение продольной компоненты тензора плотности потока при 2^/Б = 1, т = 1

которая удовлетворяет первой паре неравенств (30) и имеет вид, представленный на рис. 1 при различных значениях 2ц/Б, т и С = 1. В формулах (29), (31) приняты обозначения т = 2ц/aVБ, С — константа. Значение С может быть определено из начального условия 1хх (0) = -2цС/ (Б(1 + С)) = -ц/Б.

Для определения компонент 1ук (£), 1гк (£) (где индекс к принимает значения у, z) обратимся к уравнениям (17), из которых следует, что

aБVЭ£ 1уу =оуу +Щуу,

aБV1уг = о™ +ц1у2, aБV1у = &% +Ц1гу, aБV д51гг =&! +Шгг.

Данная система уравнений с учетом выражений (19) для внутренних напряжений может быть преобразована к виду:

aБVд^ X = - Б12ш + ^Х ,

aБV д^У = БХУ + цУ,

aБV д^ г = - БVXZ + лZ

при

X = 1уу + 1гг, У = 1уу - 1В, г = 1 у, = 1у.

Последние равенства (34) являются следствием ограниченности решения уравнения

aБVдI

которое также может быть получено из (32). Зная 1хх, из первого уравнения (33) находим, что

X © = 2ц/Б

ехР

1 + ехр

+аг^[ехр(-т^/ 2)] + С0

ехр(и^/ 2),

где С0 — константа. Из второго и третьего уравнения (33) можно определить Y(^) и Z(t). Однако прежде обра-

= ад^ш © =- 2

тимся к первому условию совместности (22), которое с учетом (24), (26) преобразуется к виду:

V (4 + 12ук) = 4 + (2л/Б) 1хх = Уад^ 1„.

Используя обозначения (34), это равенство можно преобразовать таким образом:

(X 2© + У 2©)/2 + 2г 2£) =

-4^1.

ch

Анализ поведения функции в правой части равенства (37) показывает, что при ^^±оо 1хх ^ 0 и все три

величиныX, Y, Zв левой части (37) также должны стремиться к нулю. Однако исследование выражения (36) при С0 = 0 показывает, что при £ ^ X© ^ 2л/Б,

а при £ ^ -оо Х(£) ^ 0, то есть решение полевой теории дефектов в форме бегущей волны, полученное при допущениях (24), не удовлетворяет условию совместности. Решения, найденные при допущениях (25), тождественно равны нулю и, таким образом, при отсутствии внешних воздействий не существует решений полевой теории дефектов в виде бегущей волны.

4. Нахождение решений при внешних воздействиях

Существует ли решение системы уравнений полевой теории в форме бегущей волны при ненулевых внешних воздействиях? Как следует из анализа предыдущего раздела, при любых значениях внешних воздействий утвердительный ответ не возможен. Однако можно показать, что в частном случае такие решения существуют. Например, предположим, что диагональные компоненты уу и гг внешне приложенных напряжений (7) отличны от нуля и определяются выражением

оуу^ = <© =

= 2

При этом предположении система уравнений (32) примет вид:

aБV Э£ 1уу = &уу +ц1уу + аеуу‘,

11УУ

aBV д11у2 =&У1 +л/у2,

УУ

aBV Іу =оіП‘ +Ш2у,

ext ^22 ’

аШ д% 122 = а£ + Л4г + ^ а с учетом (33) преобразуется таким образом:

aБVX = nX - Б12ш + 2f ©,

aБV д^У = БXY + цУ,

aБV д^ г = - БVXZ +

Решение первого уравнения

Рис. 2. Распределение функции, определяющей распространение

Іуу ©, І22©, а2у ©, ау2 © при 2л/в = 1, Т = 1 (1); 2ц/Е = 2, т = 2

X (£) = 2л/В х ехр(-т^/ 2) 1 + ехр(-х^) X ехр(х^/ 2),

- аг^[ехр(-х£/2)] + С0

определяющее сумму диагональных компонент, представлено на рис. 2 при различных значениях параметров и С0 = 0. Можно показать, что при Х(^)^0,

что соответствует условию совместности

Y(£) = С[ ехр(х^/2 - 2ехр(т£/2)аг^[ехр(-х£/2)]),

Z(£) = С2 ехр(х^/2 + 2¥ ехр(х^/2)аг^[ехр(-х^/ 2)]) конечны и удовлетворяют (37) лишь при нулевых значениях Y(E>) = Z(t) = 0, которые имеют место при С1 = = С2 = 0. В итоге получим, что

а не равные нулю компоненты тензора плотности дислокаций на основе (16) будут равны:

«2у © = -« у2 © = X ©/2а.

СС2у

4

2

4 л 4 5

-2

-4

Рис. 3. Вид автомодельных решений полевой теории дефектов при нулевой диссипации

Рис. 4. Схемы дислокационного строения малоугловых полос переориентации: образец с полосой из краевых дислокаций

5. О решениях полевой теории дефектов в форме бегущей волны при отсутствии диссипации энергии

В рассматриваемой модели диссипация энергии отсутствует при нулевой вязкости среды [5, 13]. В случае Л = 0 из уравнения (26) получим, что

Ixx © = -aVl

На основе (33) могут быть найденыX, Y, Z:

X © = aV/(l + Co), Y © = 0,

Z © = q/(£ + Co)a, удовлетворяющие условиям X©, Y©, Z© ^ 0 при \ ^ ±°°, которые следуют из выражения (22), принимающего в данном случае вид:

(X 2© + Y 2©)/2 + 2Z 2© =

= ad^IxX © = a2v/ & + Co)2.

Здесь Co, Ci —константы, определяемые из начальных условий. Учитывая (34), на основе (45) и (16) можно определить ненулевые компоненты тензора плотности дислокаций и тензора плотности потока дислокаций, для которых существует решение в форме бегущей волны при отсутствии диссипации энергии:

Iyy © = Izz © = aV/

Vzy © = -a yZ © = V/

IyZ© = Iy © = Q/& + Co)a,

a zz © = -a yy © = Cj

6. Обсуждение результатов

Проведенные исследования показали, что система нелинейных уравнений полевой теории дефектов при

отсутствии внешних воздействий не имеет решений в виде бегущей волны. Это вывод сделан на основе того, что полученное решение (41), определяющее сумму диагональных компонент 1 © +122 ©, не удовлетворяет условию совместности динамических уравнений полевой теории дефектов (9), преобразованному в ходе нахождения решения к виду (37). В частном случае, при определенно заданной системе внешних напряжений, решение в виде бегущей волны указанной системы уравнений существует. Полученные решения (31), (42) определяют распространение первоначально возникшей флуктуации поля дефектов в виде волн, сохраняющих неизменной свою форму и скорость, и представляют соответственно антикинк в случае 1ххх ©, антисо-литон в случаях 1 ©, 1гг ©, а^ © и солитон в случае а уг © [14]. Совокупность внешних напряжений (38) подбиралась таким образом, чтобы обеспечить выполнение условия совместности исходной системы уравнений (37). При внимательном рассмотрении оказалось, что найденное распределение (38), задающее оеуу © = = аух © = f ©, связано с ранее полученным решением (31), определяющим 1хх © таким образом:/© = = -\\1хх©. Таким образом, внешние напряжения а уу ©, о гг ©, распространяющиеся в форме кинка, представляющего границу между различными фазами (в данном случае напряженной и ненапряженной областями материала), обеспечивают распространение уединенных волн локализации 1 ©, 1гг ©, а^ ©, ау2 © и волны «перегиба» 1хх ©.

Автомодельные решения в форме бегущей волны уравнений полевой теории дефектов при отсутствии диссипации энергии (44), (47)-(50) удовлетворяют условию совместности и имеют особенность, равную бес-

конечности, в точке С0, определяемой из начального распределения величин. Значения плотности и потока дислокаций, равные бесконечности, не имеют физического смысла и означают, что соответствующая точка, в данном случае £ = -С0, является особой. В этой точке рассматриваемая модель не корректна и полученное решение является лишь некоторым приближением. Например, аналогичная ситуация имеет место при расчете напряжений по формулам линейной теории упругости в вершине трещины [15]. В работе [16] распределение краевых дислокаций, определяемое выражением (48) при 1 = 0 (рис. 3), было сопоставлено со структурой границ полос сброса, моделируемой в области малых углов дислокационной моделью (рис. 4, а) [17]. Точно так же распределение (50) может соответствовать винтовой полосе [17], состоящей из винтовых дислокаций противоположного знака (рис. 4, б). В реальном материале границы полос переориентации состоят из конечного числа дислокаций, то есть имеют конечную плотность. Можно предположить, что в рассматриваемой континуальной модели (макроскопического уровня описания) не учитывается толщина полос сброса, как и толщина их границ, размеры которых конечны и принадлежат другим масштабным уровням. Полученные результаты позволяют качественно оценить толщину полос сброса по заданной плотности дислокаций в их границах или, наоборот, определить плотность дислокаций по известной толщине полос. На основе (16) и

(40) можно заключить, что перемещение полос сброса, состоящих из краевых дислокаций, связано с распространением диагональных компонент тензора плотности потока дислокаций. Динамика винтовых полос переориентации сопровождается распространением волн сдвиговых компонент тензора скорости пластической дисторсии или плотности потока дислокаций [11].

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 05-01-00303).

Литература

1. Киселев С.П. Модель упругопластического деформирования мате-

риалов на основе калибровочной теории дефектов с учетом диссипации энергии // ПМТФ. - 2004. - Т. 45. - № 2. - С. 177-187.

2. Мясников В.П., Гузев М.А. Геометрическая модель дефектной структуры упругопластической сплошной среды // ПМТФ. -1999. - Т. 40. - № 2. - С. 163-173.

3. Кадич А., Эделен Д. Калибровочная теория дислокаций и дискли-наций. - М.: Мир, 1987. - 168 с.

4. Годунов С.К., Гордиенко В.М. Усложненные структуры галилеево-

инвариантных законов сохранения // ПМТФ. - 2002. - Т. 43. -№2. - С. 3-21.

5. ПоповВ.Л., СлядниковЕ.Е., Чертова Н.В. Динамическая калибро-

вочная теория волн в упругопластических средах // Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов / Под ред. В.Е. Панина. - Новосибирск: Наука, 1995. - Т. 1. - С. 113129.

6. Гриняев Ю.В., Чертова Н.В. Полевая теория дефектов. Часть I // Физ. мезомех. - 2000. - Т. 3. - № 5. - С. 19-32.

7. Гриняев Ю.В., Чертова Н.В. Полевая теория дефектов и ползучесть

твердых тел // Письма в ЖТФ. - 2000. - Т. 26. - № 16. - С. 57-62.

8. Chertova N. V Dynamic field of defects for creep under monotonically changing stress // Theor. Appl. Fract. Mechanics. - 2000. - V. 34. -Ш. 3. - P. 205-210.

9. Чертова Н.В., Гриняев Ю.В. Анализ эволюции пластической деформации при циклическом нагружении на основе уравнений полевой теории дефектов // ПМТФ. - 2006. - Т. 47. - № 3. - С. 112-118.

10. Гриняев Ю.В., Чертова Н.В., Чертов М.А. Анализ влияния скорости деформирования на характер диаграмм о-е // ПМТФ. -2002. - Т. 43. - № 4. - С. 150-154.

11. Косевич А.М. Дислокации в теории упругости. - Киев: Наукова думка, 1978. - 256 с.

12. Гриняев Ю.В., Панин В.Е. Полевая теория дефектов на мезоуровне // Докл. РАН. - 1997. - Т. 353. - № 1. - С. 37-39.

13. Popov V.L., Chertova N.V Gauge theory of «plastically incompressible» medium. II. Dispersion relations with dissipation // Int. J. Engng. Sci. - 1992. - V. 30 - No. 3. - P. 335-340.

14. Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. - М.: Мир, 1989. -326 с.

15. СедовЛ.И. Механика сплошной среды. - М.: Наука, 1976. - Т. 2. -

584 с.

16. Панин В.Е., Гриняев Ю.В. Физическая мезомеханика — новая парадигма на стыке физики и механики деформируемого твердого тела // Физ. мезомех. - 2003. - Т. 6. - № 4. - С. 9-36.

17. Владимиров В.И., Романов А.Е. Дисклинации в кристаллах. -М.: Наука, 1968. - 223 с.

Поступила в редакцию 07.08.2007 г.