Сглаживание аналоговых сигналов апертурным алгоритмом нерегулярной дискретизации

Сарычев В.В. СГЛАЖИВАНИЕ АНАЛОГОВЫХ СИГНАЛОВ АПЕРТУРНЫМ АЛГОРИТМОМ НЕРЕГУЛЯРНОЙ ДИСКРЕТИЗАЦИИ

Подавляющее преимущество цифровой электроники во многом определяет характер шумовой составляющей в первичных аналоговых сигналах. Потоки цифровых данных, служебной информации, результатов обработки, управляющих воздействий в основном концентрируются в единой среде обмена сигналами - шине. Шумовое напряжение от множества импульсов можно представлять в виде случайного процесса, образованного флуктуациями мгновенного значения относительно среднего значения амплитуды импульса. Если известен механизм образования случайного процесса, то можно говорить о полосе частот распределения мощности процесса или спектральной плотности среднего (по времени) квадрата случайной функции.

Получившие заметное развитие процедуры сглаживания сигналов с помощью полиномов, на наш взгляд, имеют ряд ограничений на пути к достижению оптимальных показателей.

Прежде всего, это касается процедуры определения отсчетов сигнала, которые могут быть узлами сглажи-

вающего полинома (интерполяции). При регулярной дискретизации всегда остаются вопросы выбора частоты взятия отсчетов и степени интерполирующего полинома. Математически С.Н. Бернштейном было установлено, что последовательность интерполяционных многочленов, построенных для непрерывной функции на отрезке по равностоящим узлам, с ростом степени многочленов не стремится к аппроксимируемой функции.

Далее, имеет место явление «раскачки», которое обусловлено постановкой первоначальной задачи прибли-

женного задания функциональной зависимости простым аналитическим выражением по методу наименьших квадратов. По этому методу коэффициенты многочлена приближения находятся из условия минимальности расстояния между значением отсчета и значением многочлена приближения только в точках аппроксимации. Между узлами интерполяции отклонение полинома от сигнала может приводить к значительному искажению формы восстановленного сигнала.

И последнее - интерполяция кусочными многочленами не обеспечивает гладкого перехода от одного звена к другому. Такая интерполяция обладает свойствами ограниченной гладкости (имеет ограниченное количество отличных от нуля производных на отрезке интерполяции) и свойством скачкообразного изменения производной в узлах интерполяции. Для гладкого восстановления дополнительно должна проводиться процедура определения сплайнов, заключающаяся в повышении степени многочлена. Это требует заметного увеличения вычислительных ресурсов при ограниченном масштабе времени.

В данном докладе проводится синтез алгоритма шумоподавления в рамках теории приближения при оценке близости аппроксимирующей и аппроксимируемой функции с использованием критерия равномерного приближения или максимальной ошибки. По мнению автора, при таком подходе задача подавления шума, распределенного и в области спектра сигнала, может быть решена для условий реального масштаба времени.

За основу синтеза нового алгоритма возьмем следующие известные утверждения.

1. Математическая теория аппроксимации и интерполяции функций не предполагает в качестве обязательного условия равномерность отсчетов. [1]

2. Количество коэффициентов интерполяционного многочлена зависит от количества выбранных узлов интерполяции, а последнее прямо пропорционально степени аппроксимирующего многочлена. Одно из следствий основной теоремы алгебры состоит в том, что многочлен, степень которого не больше п, принимает наперед заданные значения при п+1 заданных значениях аргумента. Следовательно, если нам заранее известно, что на данном промежутке времени аналитическое выражение сигнала представляется многочленом степени не больше п, то нет необходимости брать на этом промежутке количество узлов аппроксимации интерполирующего полинома больше, чем (п+1).

3. Для аппроксимации без скачков производных необходимо использовать куски функций с переменной кривизной, располагая их между смежными отрезками кусочно-многочленных функций с разнородной структурой, составленных из многочленов разной степени. [2]

4. Для гладкого сопряжения кусков аппроксимации узлы должны выбираться на участках сигнала с минимальными значениями первой и второй производной.

Критерий равномерного приближения необходим для решения задач в реальном масштабе времени, но его недостаточно для задачи шумоподавления. Вторым критерием оптимизации должен стать критерий равномерного распределения погрешности аппроксимации на участке сигнала. Этот критерий также необходим и в то же время, он и достаточен для оптимального сглаживания сигнала, т.е. шумоподавления.

В докладе метод подавления аддитивных помех рассматривается как адаптированный к сигналу отбор существенных отсчетов, по которым возможен следующий процесс восстановления сигнала:

- восстановление формы сигнала с использованием полинома нулевой степени для постоянного участка (усреднение).

- восстановление формы сигнала с использованием полинома первой степени для линейного участка (линеаризация);

- восстановление формы сигнала с использованием полинома второй степени для нелинейного участка (аппроксимация) .

За основу предлагается взять апертурный алгоритм адаптивной дискретизации нулевого порядка (НП), получивший широкое распространение за счет предельной простоты и имеющий высокую эффективность при обработке сигналов с низкой динамичностью. Неравенство, при выполнении которого отсчет сигнала в момент времени ^ признается существенным, записывается следующим образом:

I х(() - )1> Ев,

где Е0 - величина апертуры, составляющая десятки процентов от динамического диапазона сигнала. Участок сигнала между существенными отсчетами ^-1 и ^ при восстановлении аппроксимируется линией и составляющие шума в пределах Е0 таким образом подавляются. (рис.1).

Свойство подавления шума для алгоритма нулевого порядка теряется на наклонных и нелинейных участках сигнала. Синтезируя дополнительные условия, которые бы следили за уклонением сигнала от аппроксимирующей наклонной прямой, можно распространить эффект шумоподавления и на участки сигнала, где есть первая производная (рис. 2).

Рис.2. Слежение за сигналом на линейном участке

Сформированные алгоритмом НП отрезки времени tj - tj-1 называются адаптивными интервалами Taj в терминах нерегулярной дискретизации. Эти интервалы содержат информацию о первой производной в сигнале (косвенно, как Е0/Та). На линейных участках сигнала адаптивные интервалы должны быть равны между собой. Устанавливая допуск на неравенство интервалов Taj, тем самым устанавливается допуск на линейность участка. Если решение о существенности отсчета принимается путем поочередного сравнения одного из адаптивных интервалов (назовем его базовым Тб, сформированный алгоритмом НП) с последующими интервалами, то получим апертурный алгоритм первого порядка (ПП) . Определим интегральный допуск на разности указанных интервалов следующим условием:

< n

I j=1

Иными словами, участок сигнала можно считать линейным, пока модуль суммы разностей Taj и Тб не превысит кТб, где к задает величину апертуры на линейном участке и лежит в пределах от 0,1 до 1,5. Определение величины к возможно на этапе схемной реализации алгоритма с учетом критерия равномерного распределения ошибок аппроксимации.

Система неравенств подчеркивает тот факт, что существенные отсчеты НП (1) исключаются из потока по условию (2). Следовательно, предлагаемое ступенчатое наращивание действий с отсчетами сигнала по эффективности не может быть хуже алгоритма НП. Величина кТб выбрана в качестве ограничения условия (2) по соображениям равенства величины допустимого уклонения сигнала от аппроксимирующей прямой для НП и ПП.

Дополняя систему неравенств новыми условиями учета нелинейности, получаем алгоритм второго порядка (ВП) , как следующую дополнительную ступень. Обработку нелинейного участка предлагается вести по двум направлениям в зависимости от знака первой производной в сигнале.

При смене знака первой производной в сигнале отсчет ^ признается существенным и вместе с базовыми отсчетами НП составляет опорную выборку для проведения через них параболической кривой. Система неравенств дополняется контролем знака производной в сигнале:

\х

п

•\£

]=1

) - х

Выполнение неравенства (3) свидетельствует о нелинейности участка сигнала. При этом новый базовый интервал не измеряется и продолжается слежение за линейностью сигнала.

В случае заметного увеличения первой производной в сигнале предлагается вести слежение за смежными адаптивными интервалами Та. На крутых участках составляющие шума сливаются с сигналом и величина допуска на уклонение сигнала от аппроксимирующей кривой может быть уменьшена без снижения эффекта шумоподавления при снижении ошибки аппроксимации. Система условий для алгоритма ВП в этом случае может быть представлена следующим образом:

\х(0 - х(1]) \ > Ео

Т < Т < 2кТ

2 а1~1

С учетом утверждения 3, в начале участка, где первая и вторая производные равны нулю, алгоритм ПП или ВП дополнительно без выполнения неравенства (1) должны формировать существенный отсчет. Условие определения такого участка для ступени ПП:

Г -пТб > 2кТб ,

для ступени ВП:

Та > 2кТа .

а1 а1-1 '

При восстановлении сигнала по существенным отсчетам интерполяционным полиномом второй степени составляющие шума в пределах 2Е0 подавляются.

Реализацию устройства предлагается сделать в виде последовательно соединенных ступеней обработки сигнала (рис. 4.).

Рис. 4. Устройство по алгоритму второго порядка.

В результате многоступенчатости удается сохранить преимущества каждой ступени алгоритма, так как последующая ступень осуществляет дополнительное "просеивание" входного потока выборок. Следовательно, трехступенчатый алгоритм второго порядка не может быть хуже алгоритма первого порядка по эффективности сокращения числа существенных отсчетов в единицу времени при любых условиях. При этом апертура допуска на отклонение сигнала от аппроксимирующей кривой остается постоянной на горизонтальных, линейных и нелинейных участках сигнала, что исключает составляющие шума в сигнале в пределах Е0 при восстановлении исходной формы.

Алгоритм не содержит сложных операций, в том числе операций с аналоговым сигналом на ступенях ПП и ВП, что выгодно отличает его от известных алгоритмов второго порядка в плане технической или программной реализации.

Реализацию второй и третьей ступеней алгоритма можно свести к разработке цифрового автомата с жесткой программой при k=1. При этом можно достичь минимальных аппаратных затрат и высокого быстродействия. Если неравенства (2) и (5), являющимися условием постоянства величины первой производной сигнала, записать как:

-Тб <t - пТб < 2Тб=

то в этом случае реализация может быть следующая. После измерения Тб генерируется последовательность импульсов с периодом, равным Тб. Узел вычитания частот определяет расхождение между генерируемой последовательностью и выборками, поступающими со ступени НП. Если за время Тб зафиксируется две и более выборки НП, то фиксируется существенный отсчет и включается третья ступень алгоритма, или же если за промежуток времени 2Тб не зафиксируется ни одной выборки НП, то фиксируется существенный отсчет входного сигнала. Функциональная схема, реализующая ступень ВП представлена на рис. 5. В ее состав входят:

блок определения смены знака приращения (СЗП);

преобразователь временных интервалов (ПВИ);

счетный блок (СБ);

блок сравнения смежных временных интервалов (ССВИ);

логические элементы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Лоран П.Ж. Аппроксимация и интерполяция. М.: Мир, 1975.

2. Победоносцев В.А. Основания информметрии. - М.: Радио и связь, 2000.