Метод гидродинамического расчета упорного подшипника с учетом зависимости вязкости слоистой смазочной жидкости от температуры

Метод гидродинамического расчета упорного подшипника с учетом зависимости вязкости слоистой смазочной жидкости от температуры

К.С. Ахвердиев, И.В. Колесников, С.В. Митрофанов, Б.Е. Копотун Ростовский государственный университет путей сообщения

Аннотация: В работе дается метод гидродинамического расчета упорного подшипника скольжения работающего на двухслойной смазке, с учетом зависимости вязкости смазочной жидкости от температуры. Найдено поле скоростей и давлений в смазочных слоях и с использованием выражения для скорости диссипации энергии получены аналитические выражения для вязкостей смазочных слоев. Дана оценка влияния параметров, характеризующих адаптированный к условиям трения опорного профилем подшипника, а также температурного параметра, вязкостного отношения стратифицированных слоев и их протяженностей на рабочие характеристики рассматриваемого подшипника слоистых смазочных материалах. Установлены оптимальные значения этих параметров, обеспечивающих их устойчивый жидкостный режим смазывания и повышенную несущую способность рассматриваемого упорного подшипника.

Ключевые слова: адаптированный профиль, стратифицированное течение, несущая способность, сила трения, течение Куэтта.

Введение. Гидродинамическому расчету упорных и радиальных подшипников скольжения, работающих на слоистых смазочных материалах, посвящено большое количество работ [1-6]. Анализ работ в показывает, что практически во всех этих работах вязкость смазочного материала считается постоянной или зависящей только лишь от давления. Общеизвестно, информативность и практическая ценность гидродинамических расчетов узлов трения, работающих на слоистых смазочных материалах существенно зависит от адекватности используемой в ней физической модели смазочного материала [7-9]. Учет зависимости вязкости от температуры является одним из необходимых факторов, определяющих надежное функционирование трибосистем [10-12]. Основной целью данной работы является разработка расчетной модели подшипников скольжения, работающих на слоистых смазочных материалах, учитывающей вышеуказанный фактор. Постановка задачи. Рассматривается установившееся стратифицированное течение двухслойного вязкого несжимаемого смазочного материала в зазоре

упорного подшипника (система «ползун-направляющая») с адаптированным к условным трениям опорного профиля [5].

У'

2 3

w

Рис. 1 - Расчетная схема двухслойной стратификации упругодеформируемого подшипника: 1 - контур ползуна, прилегающий к смазочному слою; 2 - граница раздела смазочных слоев; 3 - направляющая

Предполагается, что ползун неподвижен, а направляющая движется в сторону сужения зазора со скоростью u* (рис. 1). Также предполагается, что вязкость смазочных слоев зависит от температуры. В декартовой системе координат х 'О 'y ' уравнение адаптированного контура ползуна, границы раздела, а также направляющей можно записать в виде [8] y' = h0 + x'tga' - a' sin ю 'x' = h'(x'), y' = ah'(x'), y' = 0.

Здесь ae[0,1], ho - начальный

зазор,

tga _

угловой коэффициент

линейного контура, а и  соответственно амплитуда и частота контурных

возмущений. Предполагается, что и а одного порядка малости,  =  1 в дальнейшем определяется из условия максимума несущей способности подшипника [5].

Для получения аналитических решений сделаем ряд предположений и упрощений.

1. Зависимость вязкости смазки от температуры можно представить в виде

Ц1 = Мог ехр [-а(Т '- То)], I =1,2

?

ГТ1

где Мог - характерная вязкость в смазочных слоях, 0 - характерная

Т

температура, а - экспериментальная постоянная величина, 1 - температура в смазочных слоях.

2. Количество утечки смазки пренебрежимо мало. Это соответствует отношению ширины вкладыша к его длине не более 1,5.

3. Пренебрегаем концевыми утечками.

4. Пленка смазки является адиабатической.

5. Рассматриваются только течении Куэтта.

6. Инерционные эффекты жидкости не учитываются.

Исходные уравнения и граничные условия

Исходные уравнения, описывающие движение вязкой несжимаемой жидкости в приближении «тонкого слоя», для безразмерных переменных с учетом зависимости вязкости от температуры и уравнение неразрывности.

д Ч = 1 СРг + = 0

ду2 в~°То(Т-1) сх' ду дх ' 1 , ).

х у и и Р М Т' Размерные величины ' у' 1' 1' ^' 1 связаны с безразмерными

y, и, иг, Рг, , Т следующими соотношениями

, = Н0 * = ^ Ог11

г 1 , 1 г * и. =-иг, , * /г г

У = Кy, х = I  х, иг = ииг, 1 I 1 Р'= р*Рг, \ Ц. ^Ц-,

Т = То  Т .

и' и' Р'

Где " ' - компоненты вектора скорости смазочной среды, -

коэффициент

гидродинамическое давление в смазочных слоях, динамической вязкости смазочных слоев.

Граничные условия на поверхности ползуна и направляющей записываются в виде

и,

у=0

0, и у=0 = 1, Р (0) = Рг (1) = 0, и

к( ) = 0, и2

у=к (х) ' 2

у=п

0.

На границе раздела слоев граничные условия записываются в виде:

и

у=аП = и2

у=ак , и1

у=ак и2

ди1

у=ак '

ду

Ц02 ди2

у=ак

Ц 01 ду

у=ак , р1 р2,

Ц01

-— = ак'(х), к(х) = 1 + цх -гцвтюх, п= , П1 = ~,  =  'I.

и К К

Граничные условия (5) означают прилипание смазки к поверхности ползуна и направляющей. Граничные условия (6) означают: равенство скоростей, касательных и нормальных напряжений на границе раздела слоев, а также условие существования слоистого течения смазки, т.е. требуется, чтобы скорость точек границы раздела слоев в каждой точке была направлена по касательной к контуру раздела слоев. Точное автомодельное решение задачи.

Формирование точного автомодельного решения системы дифференциальных уравнений (3), соответствующих граничным условиям (5) и (6) будем искать с помощью функции тока

и + и(х,у), + ¥,(х,у), у. и(х,у) = — ©к'(х),

дх ду '

V (х, у) = и 1 ^ = ^,

у 1 сР1 = С1 с2 1 СР2 = С1 с2

__1 I __1 I

_ „2 (.3 ' 1 ~ 7 2 7 3

К м1 Сх К К ц 2 Сх К К Подставляя (7) в (3) в (5) и (6), получим

уТ = ¿2, и = ¿1, и+ВД = о, =С2, и2 = С1, и2+зд = о ДО) = о; Й1(о) = о, и 1(о) = 1, у2(1) = о, и(1) = о,

и2(1) = о, \рт 1(а) = \рт'2(а), и 1(а) = и2(а), г/1(а) = и2(а),

и, 1

и 1(а) = ^ЭД, ^(а) = ^у'2(а), р = Ь2Р2, |и+ |г^С = о.

Ь о1

Ь о

Ь о

1 о

Учитывая, что расслоение смазочного материала происходит вблизи неподвижной твердой поверхности, т.е. при значениях а, близких к единице,

-Кщ

и2

аК '

условие раздельного течения в принятом нами приближении

удовлетворяется. На самом деле из граничного условия

и

1

,(а) + аи 2(а) +1 и 2(£ С = о

и 2

следует и2(а) + а+1

и2

Используем теорему о среднем значении,

Щ2

= о.

и 2

+ а+-

и 2

, а* е (а, 1).

а

0

и 2

Исходя и2(а ) <и2(а^ (1 а) <<1, с точностью до членов V

а 1

|и^ « 0, |и« 0. получим 0 а

Интегрируя уравнения (8) - (9) получим:

12 12 ~ 12 ~ £2 = с2~ + ^ + С3 , и1 = с1 — + ^ + С7, ^2 = с2~ + с£ + С5 , и 2 = с1 — + с8^ + C9,

£3 . £2

^ ^2

и1 С1 3 С6 2 +С10, и2 С1 3 С8 2 + С11,

* р1 — С1 2( х) + С2 ^3( х), ~ Р2 — С1 ^ 2( х) + С2 ^3( х),

М1 М- 2

х

Л (х) = |

ёх

Нахождение постоянных С'( ' 2,3,...13) С

системе с 16 неизвестными:

приводит к

С7 = 1, С10 = 0, С3 = 0, - С113 - С8^2 + С11 = 0, ^ + С8 + С9 = 0,

С2^ + С4 + С5 = 0, С1 = —^ С2 = —К С2 =-^ТТ^ 2 Ц 01 Ц 01 -13

с1а + с6

. Ц 02 (

Ц 01

(( + С8 ),

с2 а + с2 = (с2 а + с4),

Ц 01

2 2 2 2 а ~ а а ~ а

С2~ + с2а + с3 - С2 — - с4а - с5 = 0; с — + с6а + с7 - с — - с8а - с9 = 0,

а3 а2 ~ а3 а2 ~ 1 1

+ с6^ + с7а - - ^ - с9а + с17 + + с9 = 0. 6 2 6 2 6 2

Полученную систему (11) решим матричным способ

М  X = Ь,

X

где

= {сх;с4;С5;^8;с9}, Ь = {0;0;-6а;0;- 2}

М

12(1) 13(1) 2 2 0 0

1 0 0 2 2

ка3 - а3 +1 0 0 3ка2 - 3а1 + 3 6 - 6а

(1 к) а2 ^ ^3(1) 2а(к -1) -2 0 0

а 2(к -1) 0 0 2а(к -1) -2

В результате имеем:

с,

6 + 6ка2 - 6а2 А

С4 =

мп_:

(ак - а + 1)А

С5 =

^^а

ла)1__

(ак - а + 1)А -4а3 + 4ка3 - 3ка2 + 3а2 +1

4 - 4а3 + 4ка3

с

А * А

А = -4а3 +1 + а4 - 6ка2 + 4ка3 + к2а4 + 4ка - 2ка4 - 4а + 6а2,

12(1) = 1 + — п + —(собю-1), С2 = -С 1 +1 п + П1(собю-1) /3(1) 2 ю V 2 ю

С2 кс4, С6 кС8

~ ~ 1 С = к51, С2 =-£1 1 + — п + п1(СОБ ю -1) V 2

к =

М-02 ^01

Для определения безразмерного гидродинамического давления р' в смазочных слоях, вязкость ^ заменим ее средним арифметическим

с

8

значением соответствующим начальному и конечному сечению, т.е.

М' = (м' (0) + М (1)) /2. Для этого необходимо определить безразмерную

вязкость М' как функцию от х. Воспользовавшись выражением для скорости диссипации энергии под действием сил сдвига, будем иметь:

анх = 2м ^¡Н} Г у 1 (£) + и

ёх

к

К

00

к"

к

С

ёН2 = 2М02М2/к 1Г К22 (О + и2ДУ

ёх

к

I

0а

V к2

к

Для определения повышенной температуры получим следующее выражение:

1 2ц01М1/каг Г КВД) +

[1

ёх С Охёх СДХ к 0 0 V к

к

1 2М02М 2/к г Гу 2'+ и 2ДУ

р^ 2

к 0 Ч кх

0 а^

к

Й,

О С

где - расход смазочного материала в единицу времени; р - теплоемкость

при постоянном давлении

IX 1

<2Х = и\1у'02 = и\1у

М = е-°Т>(Т -1) Интегрируя по х

ё М' т ёТ' — = -аТ0М —

ёх

ёх

Комбинируя (15) и (17) с учетом (16) будем иметь

_ ?г Щ + ц. й

йц = -2ц01и"стц2 { v И2 И / '

йх

И2С

"0° р

^ 11Г + ЦЩ'

йЦ 2 {V И И -

йх

И2С

п0ь р

Г (да^

Обозначим

К =

2ац01и

К 2 =

2ац02и

Г (км

И2срГ(;(ЮЪ И2срГ(2(^й А1 = ^))2 А2 = Г2(61

А3 = |(и 1(^))2 = }(Ш)2 АА2 = Г2м/22ид№ А3 = )2

0 а а а

С учетом (18) и (19) для Ц и Ц2 получим: 1 й ц

-к1

А, А2 А3 —1 +—2 +—3

И3 И2 И

ц йх V И И И /

1 й Ц 2 = ,

ц2 йх

ГА. А 2 А 3Л — +—- +—3

чИ3 И2 И ,

^(0) = Ц 2(0) = 1.

Решая уравнения (20) с граничными условиями (21) получим

1

Ц =

1 + К1 (А113( х) + А 212( х) + А 311( х))'

Ц 2 =

1 + К2

а

а

а

1

Используя формулы (22) для М' будем иметь

М'

М' =

2

где

* 1 1

М* = т + т"

1

* 1 1

М2 = т + т"

2 2 1 + К (А1 /3(1) + А 2^2(1) + А3 ^1(1)) 1

2 2 1+ К2

С учетом (23) для определения безразмерного гидродинамического давления в смазочном слое, прилегающем к подвижной поверхности подшипника будем исходить из уравнения

Ф1 ёх

М1

С1 . + . С2

к

С

Для определения постоянной интегрирования и константы 2 воспользуемся граничными условиями Р1(0) = Р1(1) = 0.

Решение задачи (24) - (25) с точностью до членов 0(п ) и 0(п2) запишем виде

в

Р1 = М1«^1

1

1 п , П

—Пх —пх +—^

2 2 ю ю

Из полученных формул (23) и (26) следует, что безразмерная вязкость

каждого смазочного слоя М и безразмерное гидродинамическое давление Р

К

существенно зависит от теплового параметра . С увеличением значения

этого параметра значение безразмерного коэффициента вязкости и безразмерного гидродинамического давления в смазочном слое, прилегающем к подвижной поверхности направляющей резко уменьшаются. С учетом (26) и (10) для несущей способности и силы трения получим:

Я

Яу = *7 = -1 Р1( х)ёх = -М*С1 Р 1 0

1 1 Пи 14 п^ П1

—П - ~п - тм^вю -1) + —^бШ ю--1

2ю

ю

ю

4рк0 = 1 Г.^(0) , и'(0)'

тр .. „.*/ [I 7-2,

=

М01и

+ •

к

=

М1

кСл

1 -п

2П1

ю

+ кс0

Г1 -Л-^!^ ю-1) Л

2ю

Для проведения численного анализа полученных аналитических

( ) Я ь

выражений для М'

~2 3

. с2 а ~ 2 2 А= 2 А1 = —--+ С2С2а + С а;

2

~ ~ 3 ~ 2 ~ 2

с^л Сл а с^л с а с^с^ а

— + -и1— + -кл— + с 2с 66

. а ^ 2 2 А3 = с1 —+c1c6а +c6а;

х 2 п п п

/1(х) = х - п---L(coБюх -1); /1(1) = 1----^шбю -1);

2 ю 2 ю

2п

/2(х) = х - пх2---(coБюх -1); /2(1) = 1 -п- —1 (coБю -1);

2п1

ю

ю

/3 (х) — х пх

3 3п

(coБ юх -1); /3(1) = 1 —п--(^б ю-1).

ю 2 ю

Численный анализ проводился при следующих значениях параметров:

М02

п = п1 =0.01; 0.05; 0.08; а = 0.95; 0.96; 0.97; 0.98; м01

0.5; 0.8; 1.1; 1.5; 2;

ю = 1; 1.5; 2; 2.5; 3; 3.5; 4; 4.5; 5; К, = 0.5; 0.8; 1.5. к = 1.5

?

Результаты численного анализа приведены на рис. 2-4.

Рис. 2 - Зависимость безразмерной Рис. 3 - Зависимость безразмерной несущей способности от параметров силы трения от параметров ю и п

П1 =П- а = 0.95- к = 1.5-

ю и п

П1 = П; а = 0.95; к = 1.5; 1 - К1 = 1.5, 2 - К1 = 0.8, 3

К1 = 0.5

1 - К1 = 1.5; 2 - К1 = 0.8; 3 К1 = 0.5

£ Инженерный вестник Дона. №3 (2015) ВЦ ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/n3y2015/3084

0.57 0.56

о.;;

0.54

0.53 0.52-

Ь—I—I—I—I—|—I—I—I—I—|—I—I—I—I—|

0.5 1 1.5 2

К1

Рис. 4 - Зависимость вязкости от температурного параметра при х = 05 и

х = 1

Полученные аналитические выражения их графики позволяют сделать ряд выводов:

1. Рабочие характеристики подшипника зависят от вязкостных отношений слоев и их протяженности, вязкостного параметра а; параметра адаптированного профиля и температурного параметра К .

3

ю =— п

2. При 2 нагрузочная способность подшипника увеличивается примерно в 2 раза по сравнению со значением ю=0.

3. С увеличением значения температурного параметра К несущая способность и сила трения снижаются.

4. С увеличением значения температурного параметра К вязкость смазочной жидкости снижается, особенно резкое снижение наблюдается при

значениях К е[0 5, 1].

Литература

1. Ахвердиев К.С., Александрова Е.Е., Кручинина Е.В., Мукутадзе М.А. Стратифицированное течение двухслойной смазки в зазоре упорного подшипника, обладающего повышенной несущей способностью // Вестник Донского государственного технического университета, 2010. - Т. 10. -№2(45) - С. 217-222.

2. Ахвердиев К. С. Александрова Е. Е., Мукутадзе М. А. Стратифицированное течение двухслойной смазки в зазоре сложнонагруженного радиального подшипника конечной длины, обладающего повышенной несущей способностью // Вестник Ростовского государственного университета путей сообщения, 2010. - №1(10). - С. 132137.

3. К.С. Ахвердиев, М.А. Мукутадзе, Е.Е. Александрова, А.Ч. Эркенов Математическая модель стратифицированного течения двухслойной смазочной композиции в радиальном подшипнике с повышенной несущей способностью с учетом теплообмена // Вестник Ростовского государственного университета путей сообщения, 2011. №1(41). - С. 160-165.

4. Мукутадзе, М.А. Стратификация смазочного материала в радиальных подшипниках скольжения // Инженерный вестник Дона, 2015, №1 - Режим доступа: http://ivdon.ru/ru/magazine/archive/n1y2015/2735.

5. Мукутадзе, М.А. Поведение стратифицированных смазочных материалов в упорных подшипниках скольжения // Вестник Ростовского государственного университета путей сообщения, 2015. №1 - С. 140-146.

6. Мукутадзе, М.А. Стратификация смазочного материала в радиальных подшипниках при его осевой подаче и зависимости вязкости от давления // Вестник Донского государственного технического университета, 2015. Т.15, №1 (80) - С. 103-113.

7. Мухортов И.В., Усольцев, Н.А., Задорожная Е.А., Леванов И.Г. Усовершенствованная модель реологических свойств граничного слоя смазки // Трение и смазка в машинах и механизмах, 2010. - №5. - С. 8-19.

8. К.С. Ахвердиев, М.А. Мукутадзе, Е.О. Лагунова, К.С. Солоп Расчетная модель упорного подшипника скольжения с повышенной несущей способностью, работающего на неньютоновских смазочных материалах с адаптированной опорной поверхностью // Инженерный вестник Дона, 2013. - №4. - Режим доступа: http://ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4y2013/2200.

9. Мукутадзе, М.А. Стратифицированные слои смазочного материала с различными физико-механическими свойствами // Инженерный вестник Дона, 2014. №4 - Режим доступа: http://ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4p2y2014/2746.

10. Уилкок Д.Ф. Расчет упорных подшипников с эффективной работой в турбулентном режиме // Проблемы трения и смазки: Труды Американского общества инженеров-механиков. - 1977. - №1. - С. 118-126.

11. Задорожная Е.А., Караев В.Г. Расчет теплонапряженности сложнонагруженного подшипника с учетом неньютоновских свойств смазочного материала // Трибология и надежность: сб. науч. тр. XI Междунар. науч. конф. СПб. - 2011. - С. 226-240.

12. Задорожная Е.А., Караев В.Г. Оценка теплового состояния сложнонагруженного подшипника с учетом реологических свойств смазочного материала // Двигатели внутреннего сгорания. Всеукраинский научно-исследовательский журнал. Харьков: Изд-во «Харьковский Политехнический Институт». - 2012. - №2. - С. 66-73.

References

1. Akhverdiev K.S., Aleksandrova E.E., Kruchinina E.V., Mukutadze M.A. Vestnik DGTU. 2010. T.10. №2 (45). pp. 217-222.

2. Akhverdiev K.S. Aleksandrova E.E., Mukutadze M.A. Vestnik Rostovskogo gosudarstvennogo universiteta putey soobshcheniya. 2010. №1 (10). pp. 132-137.

3. K.S. Akhverdiev, M.A. Mukutadze, E.E. Aleksandrova, A.Ch. Erkenov. Vestnik. 2011. №1 (41). pp. 160-165.

4. Mukutadze, M.A. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2015. №1. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n1y2015/2735.

5. Mukutadze, M.A. Vestnik Rostovskogo gosudarstvennogo universiteta putey soobshcheniya. 2015. №1. pp. 140-146.

6. Mukutadze, M.A. Vestnik Donskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta, 2015. T.15, №1 (80). pp.103-113.

7. Mukhortov I.V., Usol'tsev, N.A., Zadorozhnaya E.A., Levanov I.G. Trenie i smazka v mashinakh i mekhanizmakh. 2010. №5. pp. 8-19.

8. Akhverdiev, K.S. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2013. №4. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4y2013/2200.

9. Mukutadze, M.A. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2014. №4. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4p2y2014/2746.

10. Uilkok D.F. Problemy treniya i smazki: Trudy Amerikanskogo obshchestva inzhenerov-mekhanikov. 1977. №1. pp. 118-126.

11. Zadorozhnaya E.A., Karaev V.G. Tribologiya i nadezhnost': sb. nauch. tr. XI Mezhdunar. nauch. konf. SPb. 2011. pp. 226-240.

12. Zadorozhnaya E.A., Karaev V.G. Dvigateli vnutrennego sgoraniya. Vseukrainskiy nauchno-issledovatel'skiy zhurnal. Khar'kov: Izd-vo «Khar'kovskiy Politekhnicheskiy Institut». 2012. №2. pp. 66-73.