Исследование совместности переопределенной системы для многомерного уравнения нелинейной теплопроводности

Математические заметки СВФУ Январь—март, 2018. Том 25, № 1

УДК 517.946

ИССЛЕДОВАНИЕ СОВМЕСТНОСТИ ПЕРЕОПРЕДЕЛЕННОЙ СИСТЕМЫ ДЛЯ МНОГОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ (ОБЩИЙ СЛУЧАЙ) Г. А. Рудых, Э. И. Семенов

Аннотация. Исследуется многомерное параболическое уравнение второго порядка с неявным вырождением и с конечной скоростью распространения возмущений. Рассматриваемое уравнение представляется в виде переопределенной (число уравнений превосходит число искомых функций, подлежащих определению) системы дифференциальных уравнений с частными производными. Ясно, что у переопределенной системы дифференциальных уравнений может вообще не существовать решений. Поэтому для установления факта существования ее решений и степени их произвола проводится исследование, связанное с анализом совместности введенной переопределенной системы дифференциальных уравнений. В итоге проведенного исследования получены как достаточные, так и необходимые и достаточные условия совместности переопределенной системы дифференциальных уравнений с частными производными. На основе этих результатов с использованием уравнения Лиувилля и теоремы о потенциальных операторах конструктивно строятся новые точные неотрицательные решения многомерного уравнения нелинейной теплопроводности. Помимо этого получены новые точные неотрицательные решения нелинейных эволюционных уравнений Гамильтона — Якоби, нелинейной теплопроводности и волны Римана, не являющиеся инвариантными с точки зрения групп точечных преобразований и групп Ли — Беклунда. Наконец, получены преобразования Беклунда, связывающие решения исследуемого многомерного уравнения теплопроводности с родственными нелинейными эволюционными уравнениями.

Б01: 10.25587/8УРи.2018.1.12768 Ключевые слова: многомерное уравнение нелинейной теплопроводности, нелинейное эволюционное уравнение, конечная скорость распространения возмущений, точное неотрицательное решение, преобразование Беклунда.

1. Введение

В работе с использованием уравнения Лиувилля [1,2] и теоремы о необходимом и достаточном условии потенциальности векторного поля [3, 4] излагается подход, позволяющий в ряде случаев конструктивно строить новые точные

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (проект № 15-08-06680) и Совета по грантам Президента Российской Федерации для государственной поддержки ведущих научных школ (НШ-8081.2016.9).

© 2018 Рудых Г. А., Семенов Э. И.

неотрицательные решения многомерного уравнения нелинейной теплопроводности с конечной скоростью распространения возмущений [5-7], часть из которых не являются инвариантными с точки зрения групп точечных преобразований и групп Ли — Беклунда [8, 9].

2. Многомерное уравнение нелинейной теплопроводности с неявным вырождением

Рассмотрим многомерное уравнение нелинейной теплопроводности

щ = V • {К{и)Уи), и = и

где х е К"; О С К" - область; М+ = (0, +оо); Ж+ = [0, +оо); > 0 — тем-

пература среды; К (и) — функция, определенная при всех и £ И+; К (и) > 0 при и > 0, причем К(0) = 0; К(и) £ С2(М+) П С(М ) — коэффициент нелинейной теплопроводности. Уравнение (1) возникает во многих прикладных задачах и принадлежит к классу так называемых неявно вырождающихся параболических уравнений. Строгая математическая теория этих уравнений берет свое начало в сравнительно недавних работах [5,10-12]. Всюду в этой работе относительно функции К (и) будем предполагать, что

1

и

о

Известно [13-15], что сходимость интеграла (2) является необходимым и достаточным условием конечной скорости распространения возмущений в процессах, описываемых уравнением (1). Кроме того, если К (и) £ С2(И+) ПС(1 ) и выполняется неравенство (2), то уравнение (1) помимо процессов нестационарной фильтрации описывает диффузию и распространение тепла в сплошной среде с большими температурными перепадами [5].

Теперь представим исследуемое уравнение (1) в виде следующей системы:

и + V-

=

и

Система уравнений (3), (4) является переопределенной (число уравнений превосходит число искомых функций, подлежащих определению) относительно и(х, Ь). При этом вектор-функция Г(х, Ь) £ К" удовлетворяет включению Г(х,Ь) £ С1(С ^ К"), где С С М"+1 — открытое множество; С = £ х I; I = {Ь : 0 < Ь < +<»}; £2 — проекция С в К". Очевидно, что у переопределенной системы уравнений (3), (4) может вообще не существовать решений. Поэтому для установления факта существования решений и степени их произвола необходимо провести исследование и анализ совместности переопределенной системы (3), (4). Методы исследования совместности переопределенных систем дифференциальных уравнений с частными производными изложены в [16-19].

Отметим, что уравнение нелинейной теплопроводности (1) и линейное дифференциальное уравнение с частными производными первого порядка (3) можно рассматривать как систему уравнений с дифференциальной связью (4). При этом метод дифференциальных связей [17-19] существенно использует теорию совместности систем дифференциальных уравнений. В [20, 21] рассматривалось приложение этого метода для уравнения (1) со степенным коэффициентом теплопроводности.

Предположим, что Г

* = г), хег, х = -х(й

аЬ

В силу формулы (2) имеет смысл функция

и

= ф

о

Помимо этого ввиду монотонности Ф(и) существует обратная функция Ф-1(п), причем 0 < п < Ф(го) <

Замечание 1. В работе [22] проведено исследование совместности переопределенной системы уравнений (3), (4) в важном частном случае Г(х, Ь) = —А(Ь)х —В(Ь), где А(Ь) = [а^ (Ь)] —вещественная симметричная (п х п)-матрица; В(Ь) = (Ь1(Ь),... ,Ьп(Ь))' —вектор-столбец; ау-(Ь), Ьг(Ь) € С1(М+); I,] = 1, 2,... , п.

Перейдем к рассмотрению общего случая, когда вектор-функция Г(х, Ь) € Мп удовлетворяет включению Г(х, Ь) € С 1(С ^ Мп).

3. Исследование совместности переопределенной системы уравнений

В этом разделе при определенных предположениях относительно вектор-функции Г(х, Ь) € С1 (С ^ Мп) и с использованием теоремы о потенциальных операторах [3, 4, 23] устанавливается, что скалярная функция и(х, Ь), определяемая из соотношения (4) и удовлетворяющая уравнению Лиувилля (3), является точным решением многомерного уравнения нелинейной теплопроводности (1) с конечной скоростью распространения возмущений.

Имеет место следующий основополагающий результат для всех дальнейших исследований.

Теорема 1. Пусть выполнены условия (2), (5) и компоненты векторного поля Г(х, Ь) € С1 (С ^ Мп) связаны соотношениями

д д _

Тогда функция

( (х,г)) в области ^(х, г) > 0,

и

[0 в области ^(х, г) < 0,

1

^

о

определяемая из (4) и удовлетворяющая уравнению Лиувилля (3), является точным неотрицательным решением уравнения нелинейной теплопроводности (1). При этом выполняются соотношения

^ = )А^ + |2,

= <10>

) = К

Г = У

Кроме того, уравнение (9) (соответственно (12)) является достаточным (необходимым и достаточным) условием совместности переопределенной относительно функции и(х,г) системы (3), (4).

Доказательство. Прежде всего отметим [23], что для потенциальности векторного поля Г(х, г) € К", определяемого формулой Г(х, г) = Уи(х, г), необходимо и достаточно, чтобы его компоненты удовлетворяли соотношению (6). При этом соответствующий потенциал и(х, г) определяется согласно теореме о потенциальных операторах по формуле

1

и (х,г) = уг (т х,г), х) ¿т + %т(г),

0

где — произвольная функция, зависящая от переменной г. С учетом формулы (5) уравнение (4) может быть записано в виде

УФ

С другой стороны, так как выполняются равенства (6), согласно теореме о потенциальных операторах из соотношения (13) следует, что

1

Ф

о

где (•, •) — скалярное произведение в К". Соотношение (14) приводит к справедливости формулы (7), в которой Ф-1 — функция, обратная к Ф, существующая в силу монотонности последней. Из формул (13), (14) имеем

У^

Подставляя функцию (7) в уравнение Лиувилля (3) и принимая во внимание формулы (5), (14), приходим к нелинейному эволюционному уравнению типа нелинейной теплопроводности (9) и соотношению (10). При этом уравнение (9) является достаточным условием совместности

переопределенной относительно функции и = и(х, Ь) системы

иг

А^Р +

К {и) _

получаемой из (3), (4) с учетом формулы (15). Действительно, расписывая условие совместности системы (16), (17) и учитывая, что и(х, Ь) = 0, получим д д и

При этом формулы (7), (10) приводят к цепочке равенств

И

Кроме того, из соотношения (10) с учетом формул (5), (7), (14) следует справедливость функционального соотношения (11). Отметим, что система уравнений (3), (4) имеет также другое представление

иг =

-УГ +

К (и)_

К

Покажем, что уравнение (12) на вектор-функцию Г € Мп, в котором ^ определяется посредством формулы (8), является необходимым и достаточным условием совместности переопределенной относительно функции и = и(х, Ь) системы (19), (20). В самом деле, расписывая условие совместности системы (19), (20) и исключая из рассмотрения тривиальное решение и(х, Ь) = 0, имеем д д и

Итак, если система уравнений (19), (20) совместна, то вектор-функция Г = Г(х, Ь) удовлетворяет уравнению (12), и наоборот, если Г(х, Ь) удовлетворяет уравнению (12), то система (19), (20) совместна. При этом соотношения (16), (17) и (19), (20) являются преобразованиями Беклунда [24], связывающими соответственно решения и(х, Ь), -Р(х, Ь) и и(х, Ь), Г(х, Ь) уравнений (1), (8) и (1), (12). Легко проверить, что функция (7) является решением уравнения (1). Действительно, подставляя (7) в (1) и используя формулы (9)—(11), (18), нетрудно убедиться, что уравнение выполняется тождественно. Теорема доказана.

Отметим, что при п = 3 условие (6) означает, что V х Г(х, Ь) = 0, т. е. векторное поле Г(х,Ь) безвихревое.

и

Следствие 1. Если R(F) = a > 0, то уравнения (9), (12) запишутся так:

ft = aV

и являются многомерными аналогами [25, 26] одномерного уравнения Бюргерса

Ut + UUX = ^Uxx где ^ G R+ — коэффициент диффузии.

Одномерное уравнение Бюргерса знаменито по нескольким причинам. Во-первых, оно включает в себя типичную нелинейность с типичной тепловой диффузией и поэтому может рассматриваться как нелинейная версия линейного уравнения теплопроводности. Во-вторых, это уравнение можно считать одномерной редукцией не менее известных уравнений Навье — Стокса, так как оно в простейшей из возможных форм описывает баланс между нелинейным конвективным (член uux) и диссипативным (член процессами. В-третьих, что гораздо замечательнее, данное уравнение может быть линеаризовано при помощи известного преобразования Коула — Хопфа. Кроме того, в этих работах показано, что общее решение уравнения Бюргерса можно получить в явном виде.

Решения уравнений (21), (22) связаны формулой (15). Помимо этого в рассматриваемом случае соотношения (19), (20) принимают вид

Щ=

aa

и представляет собой преобразование Беклунда — Хопфа, связывающее решения уравнения Бюргерса (22) и линейного уравнения теплопроводности

ut = aAu, a G R, a > 0.

C другой стороны, из формулы (18) имеем

u

a

причем

F(x,t) = -J хг/г(тх,4Н dr + в, в G R,

где F(x, t) — функция, удовлетворяющая уравнению (21). Так как общее решение уравнения (24) хорошо известно, по формулам

F

можно найти точные решения уравнений (21), (22). Пусть R(F) = a > 0, тогда функция

и(х; t) = 7exp I (Ys^M™,^ dT j . 7 G R+,

является точным положительным решением уравнения (24). Кроме того, вектор-функция Г(х, £) € К" удовлетворяет уравнению Бюргерса (22), а второе из соотношений (23) — преобразование Коула — Хопфа, связывающее решения {(х,£), и(х,£) уравнений (22), (24).

Следствие 2. Пусть ) = АР, тогда (9), (12) принимают соответственно вид уравнения нелинейной теплопроводности

Р = АР АР + IV-12, А € К+,

и нелинейного интегродифференциального уравнения

{ = V ^-А £

относительно вектор-функции { = {(х, £) € К". При этом уравнение нелинейной теплопроводности (1) согласно формуле (18) конкретизируется и запишется в форме

щ = У-

где х € К"; П С К" — область; А € К+.

Тем самым из теорем 1, 2 работы [22] и теоремы 1 данной статьи следует, что уравнения (9'), (12') обладают явными точными решениями

А

При этом и(х, £) — неотрицательное решение уравнения пористой среды (нестационарной фильтрации) (1'), полученное в работе [22].

Теорема 2. Пусть выполнены условия (2), (5), (6) и компоненты векторного поля {(х, £) € С1 (С ^ К") удовлетворяют соотношению

" д

у-Г

¿=1 1

Тогда функция и(х, £) вида (7), (8), определяемая из (4) и удовлетворяющая уравнению Лиувилля (3), является точным неотрицательным решением многомерных нелинейных эволюционных уравнений типа Гамильтона — Якоби и теплопроводности

=

K

где K'(u) = , K(u) ^ ju, 7 G R+, причем выполняются соотношения

^.Р

Ф-1(^) = 0.

К (Ф-1(^)):

Кроме того, уравнение (28) (соответственно (29)) является достаточным (необходимым и достаточным) условием совместности переопределенной относительно и(х, Ь) системы уравнений (3), (4).

Доказательство. Рассуждая, как при доказательстве теоремы 1, приходим к справедливости формул (7), (8) и (13)—(15). При этом соотношения (6) являются необходимыми и достаточными условиями для того, чтобы векторное поле Г(х, Ь) € К" было потенциальным. При этом соответствующий потенциал Р1(х, Ь) определяется согласно (8). С другой стороны, в силу условия (25) векторное поле Г(х,Ь) € К" соленоидально (несжимаемо). В связи с этим из формул (15), (25) следует, что функция Р1(х,Ь) является гармонической, т. е.

др1(х,г) = о, х € п с К", ь € к+

Так как из рассмотрения исключается тривиальное решение и(х, Ь) = 0, уравнение (31) запишется в виде

К (и)Ди :

К

- К'

или, что то же самое,

Ди +

К '

К

|Уи|2 = 0, К (и) = 0.

Подставляя функцию (7) в уравнение Лиувилля (3) и принимая во внимание формулу (31), получим уравнение (28). Соотношения (5), (7), (14) приводят к справедливости равенства (30). Из формул (13), (28) следует уравнение (29). Долее уравнение нелинейной теплопроводности (1) с учетом соотношения (32) может быть преобразовано к нелинейным эволюционным уравнениям (26), (27). Легко проверить, что функция и(х,Ь), определяемая согласно (7), (8), удовлетворяет уравнениям (26), (27). Наконец, аналогично, как и в теореме 1, доказывается, что уравнение (28) является достаточным, а уравнение (28) — необходимым и достаточным условием совместности переопределенной системы (3), (4). Теорема доказана.

Замечание 2. Отметим, что уравнения (28), (29) являются соответственно известными многомерными нелинейными эволюционными уравнениями Гамильтона — Якоби и волны Римана.

Следствие 3. Пусть выполнены условия теоремы 2. Тогда функция (7), (8), удовлетворяющая условию (31), определяет класс точных неотрицательных решений нелинейного эллиптического уравнения (33), отыскиваемых из квадратуры

и

К

ФН = /

С

= Р, и>0,

1

и

где Р — гармоническая функция.

Доказательство. В справедливости этого результата убедимся непосредственной подстановкой функции (7) в исследуемое уравнение (33). Итак, подставляя (7) в (31), приходим к уравнению

" К'(Ф-1(Р)) 1

ДФ-1(Р) +

К (Ф-1(Р)) Ф-1(Р) Так как имеет место зависимость

уф-1^) = ^Пуг

и функция Р = Р (х, Ь) гармоническая, т. е. удовлетворяет уравнению (31), то справедливы соотношения

АФ-^Р1) = V • (УФ-1^)) = ^ з V*1!2,

Далее, пользуясь определением функции, удовлетворяющей соотношению (30), находим, что

¿Ф-1

¿Р К

(Ф-1(Р ))2.

¿Р2 К 2(Ф-1(Р)) К 3(Ф-1(Р)) Тем самым, используя полученные формулы, нетрудно убедиться, что уравнение (35) выполняется тождественно. Наконец, из цепочки равенств (34) следует справедливость формулы (7). Следствие доказано.

Пример 1. Пусть К (и) = иА, А € К+. Тогда нелинейное эллиптическое уравнение (33) запишется как

и

Из квадратуры (34) получим, что уравнение (36) обладает точным неотрицательным решением

/ х ( (АР(х))1/А в области Р(х) > 0,

и( х) =

[0 в области Р(х) < 0,

где Р(х) — произвольная гармоническая функция. При этом Р(х) связана с функцией /(х) формулой (15). Пусть п = 2, возьмем гармоническую функцию вида Р(ж1; ж2) = 3ж2ж2 — ж2. Тогда функция

, . Г (3Аж2ж2 — Аж2)1/А в области 3ж2ж2 — ж; > 0, и(Ж1, Ж2) = < 4 1 2 1

[0 в области 3ж2ж2 — ж; < 0

является точным решением уравнения (36) в двумерном координатном пространстве.

Замечание 3. Точные решения некоторых классов нелинейных эллиптических уравнений вида (33) строились в [27,28]. В частности, в этих исследованиях показано, что точное решение уравнения

д . 1 dg(u) 2

'2g{u)~dv~ = °

определяется из квадратуры

u

|(g(C))1/2dC = v,

о

где v — произвольная гармоническая функция.

ЛИТЕРАТУРА

1. Kaplan W. Some methods for analysis of the flow in phase space // Proc. of the symposium on nonlinear circuit analysis. New York, 1953. P. 99—106.

2. Steeb W. H. Generalized Liouville equation, entropy and dynamic systems containing limit cycles // Physica A. V. 1979. V. 95, N 1. P. 181-190.

3. Вайнберг М. М. Вариационные методы исследования нелинейных операторов. М.: Гостех-теориздат, 1956.

4. Berger M. S. Perspectives in nonlinearity. New York; Amsterdam, 1968.

5. Калашников А. С. Некоторые вопросы качественной теории нелинейных вырождающихся параболических уравнений второго порядка // Успехи мат. наук. 1987. Т. 42, вып. 2. С. 135-176.

6. Галактионов В. А., Дородницын В. А., Еленин Г. Г., Курдюмов С. П., Самарский А. А. Квазилинейное уравнение теплопроводности: обострение, локализация, симметрия, точные решения, асимптотика, структуры // Современные проблемы математики. Новейшие достижения. Итоги науки и техники. М.: ВИНИТИ АН СССР, 1987. Т. 28. С. 95-205.

7. Самарский А. А., Галактионов В. А., Курдюмов С. П., Михайлов А. П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. М.: Наука, 1987.

8. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978.

9. Ибрагимов Н. Х. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука, 1983.

10. Антонцев С. Н. Локализация решений вырождающихся уравнений механики сплошной среды. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО АН СССР, 1986.

11. Aronson D. G. The porous medium equation. Some problems in nonlinear diffusion. Berlin: Springer-Verl., 1986. (Lecture Notes in Math.; V. 1224).

12. Aronson D. G. Regularity of flows in porous medium: a survey // Nonlinear diffusion equations and their equilibrium states. New York: Springer-Verl., 1988. V. 1, N 1. P. 3549.

13. Олейник О. А. Задача Коши и краевые задачи для уравнений типа нестационарной фильтрации // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1958. Т. 22, № 5. С. 667-704.

14. Калашников А. С. О возникновении особенностей у решений уравнения нестационарной фильтрации // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1967. Т. 7, № 2. C. 440-443.

15. Калашников А. С. Об уравнениях типа нестационарной фильтрации с бесконечной скоростью распространения возмущений // Вестн. МГУ. Сер. математика, механика. 1972. № 6. С. 45-49.

16. Яненко Н. Н. Теория совместности и методы интегрирования систем нелинейных уравнений в частных производных // Тр. IV Всесоюз. мат. съезда. Т. 2. Л.: Наука, 1964. С. 613-621.

17. Рождественский Б. Л. Системы квазилинейных уравнений. М.: Наука, 1978.

18. Сидоров А. Ф. Метод дифференциальных связей и его приложения в газовой динамике. Новосибирск: Наука, 1984.

19. Шапеев В. П. Метод дифференциальных связей и его приложение к уравнениям механики сплошной среды. Дис. ... докт. физ.-мат. наук. Новосибирск, 1987.

20. Капцов О. В. Линейные определяющие уравнения для дифференциальных связей // Мат. сб. 1998. Т. 189, № 12. С. 103-118.

21. Капцов О. В. Методы интегрирования уравнений с частными производными. М.: Физ-матлит, 2009.

22. Рудых Г. А., Семенов Э. И. Исследование совместности переопределенной системы для многомерного уравнения нелинейной теплопроводности (частный случай) // Изв. ИГУ. Сер. Математика. 2016. Т. 18. С. 93-109.

23. Вайнберг М. М. Функциональный анализ. М.: Просвещение, 1979.

24. Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. М.: Мир, 1989.

25. Богоявленский О. И. Опрокидывающиеся солитоны. М.: Наука, 1991.

26. Holden H. The Burgers equation with a noisy forse and the stochastic heat equation // Commun. Part. Diff. Equ. 1994. V. 19, N 1-2. P. 119-141.

27. Бицадзе А. В. Точные решения некоторых классов нелинейных уравнений в частных производных // Дифференц. уравнения. 1981. Т. 17, № 10. С. 1774-1778.

28. Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981.

Статья поступила 15 декабря 2017 г.

Рудых Геннадий Алексеевич Иркутский гос. университет,

Институт математики, экономики и информатики, б. Гагарина, 20, Иркутск 664003 rudykhga@gmail•com

Семенов Эдуард Иванович

Институт динамики систем и теории управления СО РАН им В. М. Матросова, ул. Лермонтова, 134, Иркутск 664033 edwseiz@gmail.com

Математические заметки СВФУ Январь—март, 2018. Том 25, № 1

UDC 517.946

RESEARCH OF COMPATIBILITY OF THE REDEFINED SYSTEM FOR THE MULTIDIMENSIONAL NONLINEAR HEAT EQUATION (GENERAL CASE) G. A. Rudykh and E. I. Semenov

Abstract: We study the multidimensional parabolic second-order equation with the implicit degeneration and the finite velocity of propagation of perturbations. This equation is given in the form of an overdetermined system of the differential equations with partial derivatives (the number of the equations exceeds the number of the required functions). It is known that an overdetermined system of the differential equations may not be compatible as well as may not have any solutions. Therefore, in order to determine the existence of the solutions and the degree of their arbitrariness the analysis of this overdetermined system is carried out. As a result of the research, the sufficient and the necessary and sufficient compatibility conditions for the overdetermined system of the differential equations with partial derivatives are received. On the basis of these results with the use of the equation of Liouville and the theorem of the potential operators, the exact non-negative solutions of the multidimensional nonlinear heat equation with the finite velocity of propagation of perturbations are constructed. In addition, the new exact non-negative solutions of the nonlinear evolution of Hamilton—Jacobi equations are obtained; the solutions of the nonlinear heat equation and the solutions of Riemann wave equation are also found. Some solutions are not invariant from the point of view of the groups of the pointed transformations and Lie—Backlund's groups. Finally, the transformations of Backlund linking the solutions of the multidimensional nonlinear heat equation with the related nonlinear evolution equations are obtained.

DOI: 10.25587/SVFU.2018.1.12768 Keywords: multidimensional nonlinear heat equation, nonlinear evolution equations, finite velocity of propagation of perturbation, exact nonnegative solutions, Baacklund transformation.

REFERENCES

1. Kaplan W., "Some methods for analysis of the flow in phase space," in: Proc. Symp. Nonlinear Circuit Analysis, pp. 99-106, New York (1953).

2. Steeb W. H., "Generalized Liouville equation, entropy and dynamic systems containing limit cycles," Physica A, 95, No. 1, 181-190 (1979).

3. Vainberg M. M., Variational Methods for Nonlinear Operators Study [in Russian], Gostekh-teorizdat, Moscow (1956).

4. Berger M. S., Perspectives in Nonlinearity, New York; Amsterdam (1968).

5. Kalashnikov A. S., "Some problems of the qualitative theory of nonlinear degenerate second-order parabolic equations," Russ. Math. Surv., 42, No. 2, 135-176 (1987).

6. Galaktionov V. A., Dorodnitsyn V. A., Elenin G. G., Kurdyumov S. P., and Samarskii A. A., "A quasilinear equation with a source: Peaking, localization, symmetry exact solutions, asymptotics, structures," J. Sov. Math., 41, No. 5, 1222-1292 (1988).

© 2018 G. A. Rudykh, E. I. Semenov

7. Samarskij A. A., Galaktionov V. A., Kurdyumov S. P., and Mikhajlov A. P., Peaking Models in Problems for Quasilinear Parabolic Equations [in Russian], Nauka, Moscow (1987).

8. Ovsyannikov L. V., Group Analysis of Differential Equations [in Russian], Nauka, Moscow (1978).

9. Ibragimov N. H., Transformation Groups in Mathematical Physics [in Russian], Nauka, Moscow (1983).

10. Antontsev S. N., Localization of Solutions to Degenerate Equations of Continuum Mechanics [in Russian], Lavrentiev Hydrodyn. Inst., Novosibirsk (1986).

11. Aronson D. G., The Porous Medium Equation. Some Problems in Nonlinear Diffusion, Springer-Verl., Berlin (1986) (Lect. Notes Math.; V. 1224).

12. Aronson D. G., "Regularity of flows in porous medium: a survey," in: Nonlinear Diffusion Equations and Their Equilibrium States, 1, No. 1, pp. 35—49, Springer-Verl., New York (1988).

13. Olejnik O. A., Kalashnikov A. S., and Zhou Yu-lin, "The Cauchy problem and boundary problems for equations of the type of non-stationary filtration [in Russian]," Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat., 22, No. 5, 667-704 (1958).

14. Kalashnikov A. S., "The occurrence of singularities in solutions of the non-steady seepage equation [in Russian]," Zh. Vychisl. Mat. Mat. Fiz., 7, No. 2, 440-443 (1967).

15. Kalashnikov A. S., "On equations of the type of non-stationary filtration with infinite velocity of perturbation propagation," Vestn. Moskov. Univ., Ser. I, No. 6, 45-49 (1972).

16. Yanenko N. N., "Compatibility theory and integration methods for systems of partial differential equations [in Russian]," in: Tr. Vsesoyuz. Mat. S'ezda, 2, pp. 613-621, Nauka, Leningrad (1964).

17. Rozhdestvenskii B. L., Systems of Quasilinear Equations, Nauka, Moscow (1978).

18. Sidorov A. F., Metod Differentsialnyh Svyazey i Ego Prilozheniya v Gazovoy Dinamike [in Russian], Nauka, Novosibirsk (1984).

19. Shapeev V. P., Metod Differentsialnyh Svyazey i Ego Prilozheniya k Uravneniyam Mekhaniki Sploshnoy Sredy [in Russian], Diss. Dokt. Fiz.-Mat. Nauk, Novosibirsk (1987).

20. Kaptsov O. V., "Linear determining equations for differential constraints," Sb. Math., 189, No. 12, 1839-1854 (1998).

21. Kaptsov O. V., Integration Methods for Partial Differential Equations [in Russian], Fizmatlit, Moscow (2009).

22. Rudykh G. A. and Semenov E. I., "Research of compatibility of the redefined system for the multidimensional nonlinear heat equation (special case) [in Russian]," Izv. Irkutsk. Gos. Univ., Ser. Mat., 18, 93-109 (2016).

23. Vainberg M. M., Functional Analysis [in Russian], Prosveshchenie, Moscow (1979.

24. Newell A. C., Solitons in Mathematics and Physics, SIAM (1989).

25. Bogoyavlenskii O. I., Overturning Solitons [in Russian], Nauka, Moscow 1991.

26. Holden H., "The Burgers equation with a noisy forse and the stochastic heat equation," Commun. Partial Differ. Equations, 19, No. 1-2, 119-141 (1994).

27. Bitsadze A. V. "Exact solutions of some classes of nonlinear partial differential equations," Differ. Equations, 17, No. 10, 1774-1778 (1981).

28. Bitsadze A. V., Some Classes of Partial Differential Equations [in Russian], Nauka, Moscow (1981).

Submitted December 15, 2017 Gennadii A. Rudykh

Institute of Mathematics, Economics and Information Science,

Irkutsk State University (ISU),

20 Gagarin Boulevard, Irkutsk, 664003, Russia

rudykhga@gmail•com

Eduard I. Semenov

Matrosov Institute for System Dynamics and Control Theory, 134 Lermontov Street, Irkutsk 664033, Russia edwseiz@gmail.com