Стабилизация волны детонации в сверхзвуковом потоке

Механика

УДК 534.222.2

СТАБИЛИЗАЦИЯ ВОЛНЫ ДЕТОНАЦИИ В СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ

В. А. Левин1, И. С. Мануйлович2, В. В. Марков3

В рамках модели бесконечно тонкой волны детонации в квазиодномерном приближении рассматривается сверхзвуковое течение в канале переменного сечения. Разработан аналитический метод, с помощью которого в специальных координатах проведено исследование условий существования стационарного потока за волной детонации, а также на основании численных экспериментов показана возможность стабилизации волны детонации. Выполнен анализ устойчивости стационарного состояния по отношению к малым возмущениям тепловыделения, позволяющий провести отбор реализующейся структуры течения.

Ключевые слова: сверхзвуковой поток, детонация, канал, стабилизация.

A supersonic flow in a channel of variable cross-section is studied in a quasi-one-dimensional approximation in the framework of a model of infinitely thin detonation waves. An analytical method is developed to analyze the conditions for the existence of steady flow behind a detonation wave using special coordinates. On the basis of numerical experiments, it is shown that the detonation wave can be stabilized. A stability analysis of the steady state is performed with respect to small heat release disturbances. This analysis allows one to make a selection of the emergent flow pattern.

Key words: supersonic flow, detonation, channel, stabilization.

Введение. Постоянно возрастающий в последнее время интерес к расчету течений в каналах с детонационными волнами объясняется возможностью применения их результатов при разработке детонационных двигателей и других энергетических устройств, которые превосходят по эффективности агрегаты, использующие обычное сжигание топлива [1], имеют простую конструкцию с минимальным количеством движущихся частей и предназначаются для летательных аппаратов в широком диапазоне скоростей — от дозвуковых до гиперзвуковых. Предлагались различные варианты детонационных двигателей [2-7], как прямоточных с непрерывной детонацией, так и пульсирующих с ее циклическим повторением. Моделирование детонационных двигателей представляет собой непростую задачу. Детонация является сложным процессом, для описания которого в общем случае необходимо использовать нестационарные уравнения газовой динамики совместно с уравнениями химической кинетики для многокомпонентной смеси. Численное моделирование течений с детонационными волнами требует большого объема вычислений и больших затрат машинного времени. Однако еще на ранней стадии изучения детонации была предложена простая модель бесконечно тонкой детонационной волны [8], явно не использующая уравнения химической кинетики. В этой модели предполагается, что в скачке уплотнения газ мгновенно приобретает дополнительную энергию, равную энергии экзотермических реакций. Во многих случаях с помощью модели бесконечно тонкой детонации можно удовлетворительно описывать процесс, получая решения либо близкие к экспериментальным данным, либо соответствующие оценочному предельному случаю мгновенного сгорания топлива в смеси. Модель бесконечно тонкой детонационной волны отличается простотой, необходимой для понимания происходящего процесса в целом, и поэтому имеет весьма широкую область применения. Неохваченными являются процессы инициирования и затухания детонации, описание которых требует учета в той или иной форме конечной скорости химических превращений и соответствующего им тепловыделения за лидирующей ударной волной.

В настоящей работе модель бесконечно тонкой волны детонации используется для анализа возможности стабилизации детонации в канале переменного сечения, который можно рассматривать как камеру сгорания детонационного типа. Сверхзвуковые течения с ударной волной в канале переменного сечения подробно изучались в [9-11].

1 Левин Владимир Алексеевич — академик РАН, доктор физ.-мат. наук, проф., зам. директора Ин-та автоматики и проблем управления Дальневосточ. отд-я РАН, e-mail: levin@imec.msu.ru.

2 Мануйлович Ивам Сергеевич — мл. науч. сотр. НИИ механики МГУ, e-mail: ivan.manuylovich@gmail.com.

3 Марков Владимир Васильевич — доктор физ.-мат. наук, вед. науч. сотр. Матем. ин-та РАН, e-mail: markov@mi.ras.ru.

Постановка задачи. Исследуется задача о распространении волны детонации в сверхзвуковом потоке горючей газовой смеси в канале переменного сечения. Интересным и важным с практической точки зрения является вопрос о возможности существования такого течения, при котором детонационная волна неподвижна относительно стенок канала. Такую волну назовем стабилизированной, а определение условий ее реализации — стабилизацией. Газ считается идеальным и совершенным с уравнением состояния £ = p/[(Y — 1)р], где Y — показатель адиабаты, а детонационная волна — бесконечно тонкой с постоянным тепловыделением при сгорании единицы массы газа. Используется квазиодномерное приближение. При этом форма канала может быть задана зависимостью площади сечения S (х) от единственной в задаче декартовой координаты x.

Уравнения газовой динамики в области непрерывного изменения параметров при этих упрощениях имеют вид

cj

dt

+

дх

0,

d(puS) д(р + pu2)S _ d,S dt дх ^ dx'

др(£ + u2/2)S д [pu(£ + u2/2) + pu]S

et

+

дх

0.

Пусть ось х направлена против скорости потока, а функция 5(х) неубывающая (рис. 1). Параметры набегающего потока задаются в некотором сечении с площадью 5о и обозначаются индексом 0: ро — давление, ро — плотность, ио — скорость, Мо — число

Рис. 1. Схема, иллюстрирующая постановку задачи: 5* — минимальная площадь сечения канала, вр — площадь сечения канала в месте расположения детонационной волны

Маха. В указанном канале стационарный сверхзвуковой поток тормозится или сохраняет скорость.

Для выяснения вопроса о существовании потока с неподвижной детонационной волной рассмотрим класс стационарных течений и воспользуемся следующими известными соотношениями для квазиодномерных установившихся течений совершенного газа, вытекающими из (1):

M = g-M q

u = u0

М

So

2 +

P = Po

q(M) =

M

2 +

2 +

7-1

p = Po

2 +

7 7-1

На стационарной детонационной волне должны выполняться законы сохранения массы, импульса и энергии вида

р2и2 = ри,

2

«2 2

+

P2 + Р2Щ YP2

2

Pi + Piu2,

YPi

(Y— 1)p2 2 (Y— 1)Pi

где Q — удельное тепловыделение, нижний индекс 1 соответствует области перед фронтом волны, а индекс 2 — за ним.

Волна детонации может находиться в сечении площади 5(х), где скорость газа перед ней, определяемая по формуле (2) как и1 = и\(Ы(5)), не меньше скорости волны Чепмена-Жуге DJ, т.е. и1 ^ DJ. Эквивалентное неравенство, выраженное через известные значения параметров перед волной, получается

преобразованием системы (3) к квадратному уравнению относительно — для точки пересечения прямой

Р2

Михельсона с адиабатой Гюгонио:

М Р1 2 . (2Q л

7 + 772 )- + 772+(7-1)(Т1 + 1

Mi У р2

Mi

u2

1

2

Дискриминант уравнения (4) должен быть неотрицательным:

М?

щ

т.е. должно выполняться неравенство

2(72 - 1) V М2

1 -

п\ > Я-

В общем случае, при строгом неравенстве в (5), стационарная детонационная волна является пересжатой, что соответствует меньшему корню уравнения (4). При этом течение за волной с М < 1 будет ускоряться вниз по потоку за счет уменьшения площади сечения и число Маха может достигнуть единицы.

Режим Чепмена-Жуге возможен только при выполнении равенства в (5). В этом случае детонационная волна распространяется по продуктам детонации со скоростью звука, т.е. непосредственно за ее фронтом имеется звуковая линия. За такой волной канал не может сужаться из-за невозможности реализации как дозвукового, так и сверхзвукового течения, даже если допустить существование дополнительных скачков внутри области течения. Таким образом, стационарное течение с неподвижной детонационной волной Чепмена-Жуге возможно лишь тогда, когда она располагается в минимальном сечении

Анализ течения с пересжатой детонационной волной показывает, что поскольку поток за ней дозвуковой, то при уменьшении площади поперечного сечения вниз по потоку число Маха возрастает. Как и для волны Чепмена-Жуге, в случае пересжатой волны детонации поток за ней может стать звуковым только в минимальном сечении.

Подчеркнем, что случай уменьшения площади сечения вниз по потоку рассматривается с целью выявления ограничений на положение детонационной волны и форму канала. Для расширяющегося по потоку канала такие ограничения отсутствуют в связи с тем, что расширяющийся сверхзвуковой поток ускоряется, а дозвуковой за детонационной волной — тормозится. Кроме этого также очевидно, что немонотонность функции Б{х) не влечет появления новых стационарных решений, поскольку в квазиодномерном приближении на концах любого отрезка немонотонности (х?,х2) с 5(х?) = 5(Ж2) все газодинамические параметры стационарного потока одинаковы. Однако, как будет показано ниже, с точки зрения устойчивости решений положения детонационной волны х1 и х2 неравноправны.

Для дальнейшего анализа различных картин течения введем в рассмотрение плоскость параметров (5, М), на которой будем отмечать точки, соответствующие всевозможным координатам х (рис. 2).

Из условий (3) значения параметров течения за фронтом волны выражаются в следующем виде:

Рис. 2. Диаграмма параметров 5, М

М2 =

\

+ 7

М2^

к

1

Р2 =

Р1 ЦМг)''

а2 = сц ^(М1)(1-7М2(й(М1)-1)),

Р2 = Р1

где

к(М?) =

и2

7 + 1

^ 1.

Соотношения (6) позволяют для заданного положения детонационной волны представить значения параметров и, р, р, М как функции 5 вплоть до минимального сечения площади 5СГ^, определяемой из условия М = 1.

2

1

1

1

1

1

Области течения перед детонационной волной, расположенной в сечении с координатой хв и площадью 5в, будет соответствовать участок кривой 5 > 5в, М > 1, описываемой выражением для М в(2). При 5 = 5в течение становится дозвуковым (или звуковым при 5в = 5J), а число Маха изменяется скачком с М? > 1 на М2 ^ 1 согласно выражению для М в (5). Варьируя значение 5в, можно получить различные точки (5в, М2) под осью М = 1, лежащие на кривой, показанной на рис. 2 пунктиром и заканчивающейся точкой (5 = 5J, М = 1). При сужении канала вниз по потоку точка (5, М) будет двигаться по участку кривой 5 < 5в вплоть до точки 5 = 5СГ^, где М = 1. Если минимальное сечение на выходе 5* > 5СГ^, то участок кривой в плоскости (5, М), соответствующий дозвуковому течению за детонационной волной, закончится до точки (5 = 5СГ^, М = 1) и параметры дозвукового течения сохранятся постоянными вдоль всего участка с 5 = 5*. Отсюда следует, что стационарная детонационная волна может находиться только в сечениях с площадью 5в, большей некоторой критической 5J, а минимальное значение площади сечения 5 должно быть больше другого критического значения 5сг^:

Отметим, что критическое значение 5СГ^ зависит как от величины Я, так и от значения 5в, а поэтому и от положения детонационной волны хв. Величина 5J определяется только удельным тепловыделением Я, а при Я = 0 конечные точки пунктирных линий на рис. 2 будут совпадать. Если зафиксировать форму канала 5(х) и величину Я, то значения 5J, 5* будут строго определенными. При этом различным значениям параметра 5в соответствуют различные значения 5СГ^. Требование выполнения неравенства 5СГ^ ^ 5* приводит к неравенству 5J ^ 5* ^ 5в ^ 5всгЛ, эквивалентному (7) и накладывающему ограничение на положение стационарной волны детонации.

Подчеркнем, что анализ кривых на плоскости (5, М) позволяет определить диапазон возможных положений стационарной волны детонации в канале с заданным законом изменения площади поперечного сечения. В частности, при достаточно малой минимальной площади сечения 5* в канале не существует стационарного течения с волной детонации. В качестве иллюстрации возможностей описанного подхода при анализе существования стационарного течения рассмотрим канал, изображенный на рис. 1. Пусть задана определенная величина Я. Тогда сразу можно утверждать, что стационарного течения не будет, если минимальная площадь сечения меньше того значения 5J, которое определяется по формулам (6) при М2 = 1. В противном случае стационарное течение возможно, но лишь тогда, когда детонационная волна находится правее критического сечения с площадью 5всгЛ.

Таким образом, показано, что при выполнении неравенств (7) возможно стационарное течение с неподвижной относительно стенок канала детонационной волной, однако остается невыясненным вопрос об устойчивости решения.

Численная проверка устойчивости. Исследование устойчивости течения проводилось численно конечно-разностным методом С.К. Годунова [12] на подвижной расчетной сетке. При этом детонационная волна выделялась в качестве правой границы расчетной области, а ее параметры определялись из решения автомодельной задачи о распаде разрыва, разделяющего продукты детонации и горючую смесь. Метод Годунова хорошо зарекомендовал себя при расчетах разнообразных течений с ударными и детонационными волнами [13-15].

Следует отметить, что в рассмотренной в предыдущем пункте задаче течение в выходном сечении дозвуковое. Однако в случае, когда на выходе из канала скорость газа достигает скорости звука, течение за сечением площади 5* можно разогнать до сверхзвукового в сопле Лаваля. При этом расширяющаяся часть сопла создает тягу, что позволяет рассматривать всю конструкцию как двигательную установку. Более того, наличие на выходе из канала участка со сверхзвуковым течением избавляет от необходимости использовать при численном исследовании специальные неотражающие граничные условия. В проведенных расчетах левой границей расчетной области служило фиксированное выходное сечение сопла Лаваля, газодинамические параметры в котором принимались равными известным мгновенным значениям параметров этого сверхзвукового потока. Как показало исследование, для получения полной информации по вопросу об устойчивости необходимо усложнить форму канала. Для этого к сечению канала с площадью 5о была добавлена секция с монотонно увеличивающейся вниз по потоку площадью, в которую через входное сечение 50 втекал однородный сверхзвуковой поток с параметрами р0, р0, и0, М0. Эти параметры задавались так, чтобы при 5 = 5о газ имел те же значения параметров, что и на входе канала при проведенном выше анализе существования стационарного течения: р0, р0, ЗД, М0. Площадь канала усложненной формы задавалась в расчетах как

5J ^ 5стй ^ 5* ^ 5в -

5(х) =

1,2 + 0,8ео82(пх/2), 0 <х< 2; 1+ео82(пх/2), 2 < х < 3,

где константы получены при условии, что все размеры отнесены к трети длины канала.

Ниже приведены результаты исследования устойчивости для двух характерных случаев, когда волна располагается в точках х = 1,5 и х = 2,5, находящихся в сужающейся и расширяющейся в направлении потока секциях соответственно.

Расчеты выполнялись при значении показателя адиабаты 7 = 1,3. Для получения начального распределения параметров, необходимого при численном иссле-Рис. 3. Схема канала усложненной ф°рмы: довании, использовалось аналитическое решение, опре-

I - неустойчивое положение детонационной деляемое соотношениями (2), (6) при заданной постоян-

волны, 11 — устойчивое ной величине удельного тепловыделения Q = Qo. Воз-

мущение течения осуществлялось небольшим изменением величины удельного тепловыделения на детонационной волне Q = Qo + 5Q. Следует отметить, что все результаты качественно, а с точностью до масштабов и количественно не зависят от конкретного значения Qo, поскольку весь анализ может быть осуществлен при любой фиксированной величине тепловыделения на детонационной волне. Ввиду этого все численное исследование проводилось в безразмерных переменных, в которых Qo = 1.

На рис. 4 представлены в безразмерных переменных графики зависимости координаты детонационной волны X от времени Ь для двух указанных выше начальных положений волны и различных значений 5Q. Согласно расчетам, в сужающейся секции волна неустойчива. Даже при 5Q = 0 она постепенно, без остановки отходит от своего начального положения из-за возмущений, вносимых вследствие погрешностей вычислений на уровне машинной точности. Оказалось, что от знака 5Q зависит направление распространения детонационной волны, что хорошо иллюстрирует рис. 4, где пунктирные линии соответ-

Рис. 4. Графики зависимости координаты волны X от времени £ ствуют неустойчивому слу-

чаю для двух малых значений 5Q разного знака и значения 5Q = 0.

Полученные результаты наводят на мысль о возможности стабилизации детонационной волны в камере сгорания за счет переменного тепловыделения, которое может быть реализовано при переменном составе горючей смеси. Очевидно, что практическое воплощение данной идеи связано с мониторингом поведения волны детонации и наличием положительной обратной связи.

Расчеты для точки х = 2,5 показывают, что в расширяющейся по потоку секции канала детонационная волна оказывается устойчивой, о чем свидетельствуют сплошные линии на рис. 4. При 5Q = 0 волна не меняет своего положения относительно канала из-за возмущений, связанных с ошибками округления, а при 5Q = 0 смещается относительно начального положения, причем направление смещения зависит от знака 5Q. При 5Q > 0 волна смещается против потока, а при 5Q < 0 — по потоку. Интересно отметить, что детонационная волна, стремясь занять относительно канала определенное положение, может сначала перескочить его.

Заключение. Аналитическим и численным методами показана возможность стабилизации детонационной волны в сверхзвуковом потоке в канале переменного сечения, т.е. существование устойчивого стационарного течения со скачком уплотнения, на котором происходит тепловыделение заданной постоянной величины. Аналитический анализ, основанный на введении плоскости переменных "площадь сечения-число Маха", позволяет выделить целый спектр положений волны детонации в канале, при которых реализуется стационарное течение. Устойчивость стационарного потока по отношению к малому

вестн. моск. ун-та. сер. 1, математика. механика. 2011. №4

33

возмущению величины тепловыделения проанализирована численно. Показано, что волна устойчива и процесс стабилизируется, если она находится в расширяющейся по потоку части канала.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты № 08-08-00297, 08-01-00032), Федерального агентства по науке и инновациям (НШ 319.2008.1), Программ фундаментальных исследований президиума РАН и ОЭММПУ РАН.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Зельдович Я.Б. К вопросу об энергетическом использовании детонационного горения // Журн. техн. физ. 1940. 10. 175-186.

2. Levin V.A., Nechaev J.N., Tarasov A.I. A new approach to organazing operation cycles in pulsed detonation engines // High-speed deflagration and detonation: Fundamentals and control. Moscow: Elex-KM Publ., 2001. 223-238.

3. Митрофанов В.В., Ждан С.А. Тяговые характеристики идеального пульсирующего детонационного двигателя // Физ. горения и взрыва. 2004. 40, № 4. 380-385.

4. Canteins G., Franzetti F., Zitoun R., Desbordes D., Daniau E. PDE — possible ways for specific impulse improvement // Confined detonation and pulse detonation engines. Moscow: Torus Press, 2003. 177-190.

5. Александров В.Г., Крайко А.Н., Реент К.С. Математическая модель сверхзвукового пульсирующего детонационного прямоточного двигателя // Хим. физ. 2001. 20, № 6. 84-89.

6. Wilson D.R., Lu F.K., Kim H, Munipalli R. Analysis of a pulsed normal detonation wave engine concept // AIAA. 2001. 1784-2001.

7. Kailasanath K. On the performance of pulse detonation engines // Confined detonation and pulse detonation engines. Moscow: Torus Press, 2003. 191-202.

8. Chapman D.L. On the rate of explosions in gases // Phil. Mag. 1899. 47. 90-104.

9. Черный Г.Г. Неустановившиеся движения газа в каналах. Устойчивость замыкающего скачка // Тр. ЦИАМ им. П.И. Баранова. 1953. № 244.

10. Гринь В.Т., Крайко А.Н., Тилляева Н.И. Устойчивость течения идеального газа в квазицилиндрическом канале // Прикл. матем. и механ. 1975. 39, вып. 3. 473-484.

11. Гринь В.Т., Крайко А.Н., Тилляева Н.И. Устойчивость течения в канале при отражении от сечения выхода акустических и энтропийных волн // Прикл. матем. и механ. 1976. 40, вып. 3. 469-478.

12. Годунов С.К., Забродин А.В., Иванов М.Я., Крайко А.Н., Прокопов Г.П. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М.: Наука, 1976.

13. Левин В.А., Марков В.В. О возникновении детонации при концентрированном подводе энергии // Изв. АН СССР. Механ. жидкости и газа. 1974. № 5. 89-93.

14. Левин В.А., Марков В.В., Осинкин С.Ф., Журавская Т.А. Определение критических условий инициирования детонации в ограниченном объеме сходящейся к центру ударной волной // Физ. горения и взрыва. 2002. 38, № 6. 96-102.

15. Левин В.А., Марков В.В., Журавская Т.А., Осинкин С.Ф. Нелинейные волновые процессы при инициировании и распространении газовой детонации // Тр. Матем. ин-та РАН. 2005. 251. 200-214.

Поступила в редакцию 12.03.2010

УДК 539.3

РАСКЛИНИВАНИЕ УПРУГОЙ СРЕДЫ С ОБРАЗОВАНИЕМ

ОТРЫВНЫХ ЗОН

А. В. Звягин1, Г. А. Ромашов2

В работе получено аналитическое решение и проведено исследование задачи движения твердого тела в упругой среде при наличии возможной зоны отрыва среды в носовой части из-за наличия асимметрии. Во всем диапазоне рассматриваемых скоростей определена схема обтекания тел клиновидной и оживальной формы. Показано, что при движении

1 Звягин Александр Васильевич — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. газовой и волновой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: zvsasha@rambler.ru.

2 Ромашов Григорий Александрович — асп. каф. газовой и волновой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: romashovg@mail.ru.