Философия математики в Москве

ЭПИСТЕМОЛОГИЯ & ФИЛОСОФИЯ НАУКИ, Т. XV, № 1

i

илософия математики в Москве

1

С. Л. КАТРЕЧКО, Е. В. КОСИЛОВА, А. Н. КРИЧЕВЕЦ, В. А. ШАПОШНИКОВ

Обзор конференции «Философия математики: актуальные проблемы»

В конференции по философии математики 2007 г. в Москве наряду с философами принимали участие профессиональные математики, преподаватели математики, историки математики, психологи, специалисты в области программирования и computer science, - всего около 130 участников из различных городов России, а также гости из США, Франции, Сербии и Греции . Не лишена интереса предыстория конференции. В МГУ им. М. В. Ломоносова с 1987 г. по настоящее время работает научный семинар по философии математики, с 1989 по 2005 гг. им проводились ежегодные конференции по этой тематике, на основе которых в последние десять лет были выпущены сборники работ (под редакцией А. Г. Барабашева) «Бесконечность в математике» (М., 1997), «Стили в математике» (СПб., 1999) и «Математика и опыт» (М., 2003). В настоящее время в печати находится еще один сборник из этой серии - «Число» (под редакцией А. Н. Кричевца). Однако предыдущие конференции имели «камерный» характер; в этом же году конференция впервые проводилась на философском факультете МГУ и в таком широком масштабе.

Пленарное заседание началось краткими приветственными словами декана философского факультета МГУ В. В. Миронова, декана механико-математического факультета МГУ В. Н. Чубарикова, декана факультета педагогического образования МГУ Н. X. Розова.

-;--X

* Конференция проводилась при поддержке РФФИ

Затем слово было предоставлено профессору университета Северная Каролина (США) Майклу Резнику - одному из основоположников математического структурализма. После краткого представления, сделанного переводчиком доклада В. А. Бажановым, профессор Резник прочитал доклад на тему «Структурализм и идентичность математических объектов». Он напомнил слушателям основной тезис своей концепции, согласно которому математика изучает не отдельные объекты, а «структуры», или, как предпочитает говорить профессор Резник, «паттерны». Математические объекты в традиционном понимании предстают, в этом случае, как «позиции» в паттерне. В каком смысле можно говорить об «идентичности» тех позиций, которые неразличимы в рамках структуры (как, например, вершины равностороннего треугольника)? Профессор Резник сформулировал в этой связи идею «структурной релятивности», связанную с неоднозначностью включения паттернов друг в друга (близкую к рассуждениям его учителя У. Куайна об «онтологической относительности»). Вывод профессора Резника был такой: невозможно говорить об абсолютной идентичности и различимости (в духе Лейбница), о наличии идентичности или о ее отсутствии можно говорить только в рамках конкретных паттернов. Доклад М. Резника не вызвал бурного обсуждения, поскольку весьма популярное в англоязычной философии математики направление, которое представлял докладчик, у нас в стране мало известно. Содержательный вопрос докладчику был задан лишь A.B. Ро-диным, последние годы работающим в Париже и разрабатывающим близкую проблематику.

Со следующим пленарным докладом выступил академик А.Т. Фоменко. Его доклад, озаглавленный «О перспективах развития математического знания», был посвящен жизни математических идей, изученной на материале динамики цитирования работ в области геометрии и топологии за последние 100-200 лет. Изучалось поведение во времени ссылок на статью, на автора, на теорему. В усредненном графике, согласно проведенному исследованию, максимум цитирования приходится на годы близкие к выходу работы в свет, затем кривая цитирования идет вниз. Обычно результат окончательно забывается, идея «гибнет» в интервале 20—40 лет, но если в течение 60 лет работу не забыли, ее цитирование затем сохраняется на постоянном уровне; из таких работ формируется «золотой фонд идей», не подверженный забвению. В обсуждении доклада был поднят вопрос о том, насколько подобное статистическое исследование позволяет делать реальные выводы о «жизни» и «смерти» математических идей: ведь оно не учитывает сохранение идей в «снятом», «переваренном» виде, при котором конкретные ссылки, формулировки и имена утрачиваются; не учитывает оно и обратный эффект - имя сохраняется, но связываемый с ним набор представлений изменяется порой до неузнаваемости (что очень характерно именно для математики).

Затем выступил с докладом профессор философского факультета МГУ В. Я. Перминов. Его выступление было посвящено математическому априори. В первой части своего выступления докладчик остановился на различных подходах к критике априори и указал на то, что

ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ В МОСКВЕ

эта критика не достигает цели. Проблема обоснования математики -не псевдопроблема, как многие сейчас считают; она просто еще не решена удовлетворительно. Это задача для философов на будущее. Затем докладчик представил собственную теорию деятельностного происхождения априори (праксеологический априоризм). В решении проблемы обоснования, с точки зрения В. Я. Перминова, следует исходить из включенности человека в деятельность. Высшие нормы познания продиктованы практикой. Существует абсолютная праксео-логическая нормативность. Не вся математика априорна, но у нее есть априорный центр. Обоснование математики и состоит в редукции к этому центру. По мнению докладчика, в выборе философских ориентиров следует соединить Канта с Марксом. Как весьма перспективную оценил докладчик идею позднего Фреге: сделать ставку в обосновании математики на геометрию. Докладчику задавали много вопросов, главным образом связанных с тем, что он относит к априорному ядру математики. Высказывались сомнения в возможности отличить изложенную позицию от взгляда эволюционной эпистемологии. Понимание докладчиком «практики» опирается на признание объективной и, в определенном смысле, неизменной реальности, с чем и связана «эк-вифинальность» априорных структур, которые во все времена и у всех народов оказываются в итоге одними и теми же. Нет ли в этих рассуждениях слишком сильной и необоснованной предпосылки?

После окончания пленарной части участники конференции распределились сначала по шести секциям, а затем - по трем круглым столам. Ниже мы остановимся только на нескольких секционных докладах, которые представляются нам наиболее интересными.

B. А. Бажанов (Ульяновск) проанализировал возможные подходы к философии математики, предложив разделить их на стандартные, традиционные (платонизм, интуиционизм, логицизм, формализм, конструктивизм, финитизм, эмпиризм) и нестандартные, нетрадиционные, которые возникли сравнительно недавно и которые ныне во многом и определяют лицо современной философии математики. К ним можно отнести натурализм, социальный конструктивизм, структурализм, контекстуализм (уделяющий особое внимание фолк- и этнома-тематике), фикционализм, квази-эмпиризм, (нейро-)физиологическое истолкование математики, а также «негёделеву философию математики», для которой на первый план выходят понятия тривиализуемости и параполноты. Особого внимания, на взгляд докладчика, заслуживает изучение эстетических особенностей математических процедур. При обсуждении доклада А. В. Родин обратил внимание на то, что приведенная классификация соответствует ситуации в англоязычной философии математики и отнюдь не охватывает все, что происходит в этой области, например, во Франции или в России.

C. Л. Катречко (Москва) предложил концепцию трансценденталь- X ного конструктивизма, в рамках которой математические объекты и ф операции с ними должны соотноситься с познавательными действия- с ми субъекта. С именем Канта связываются традиции априоризма и трансцендентализма, которые следует различать, т.к. трансцендентальный метод не сводится к идее априори. Суть трансцендентального

X

т

Шй

метода в том, что необходимо предлагать конструктивные схемы рассудочных (математических) абстрактов. Если же учесть то, что математические объекты состоят из некоторой трансцендентальной материи (кантовская идея из посмертно изданной рукописи «Opus postu-mum»), то это накладывает дополнительные ограничения на введение математических объектов и операций с ними.

А. В. Родин (Париж-Москва) сделал попытку истолковать некоторые философские вопросы математики в терминах теории категорий. Он обратил внимание на аналогии между возникающими при этом представлениями и герменевтикой. «Категорификация», т.е. реконструкция математических понятий в терминах теории категорий, рассматривалась А. В. Родиным как альтернатива и, в то же время, как обобщение формального аксиоматического метода. Теория категорий, полагает он, позволяет трактовать интерпретации в математике в общем случае (в отличие от метода Гильберта) и может рассматриваться как математическая версия герменевтики. Свой подход он принципиально противопоставил математическому структурализму, полагая, что теория категорий не дает аргументов в поддержку последнего.

В докладе В. И. Моисеева (Москва) «Ментальные экраны в математическом мышлении» была изложена концепция, рассматривающая теоретическую способность разума как деятельность по образованию «ментальных изображений в экранах сознания». Работа с математической структурой, построение логической теории, анализ той или иной системы смыслов, — во всех подобных случаях предполагается существование некоторых экранов, с которыми работает сознание и на которые оно проецирует свои состояния. Автор предложил несколько примеров. Так, формальная аксиоматическая теория может описываться в терминах ментальных экранов. Синтаксическая выразимость задает первый экран теории. Следующий экран - логический, изображениями которого являются все теоремы теории Т. «Нулем» этого экрана будет конъюнкция всех теорем Т, «единицей» - дизъюнкция. Подобным же образом можно рассмотреть конструкции парадокса Рассела. Парадокс Рассела возникает в том случае, если мы пытаемся рассмотреть некоторое множество как максимальный экран («единицу») сознания, за пределы которого невозможно выйти.

Следует заметить, что новая математика, родившаяся в результате узаконивания идеи актуальной бесконечности (Лейбниц, Кантор), работает с существенно полиэкранными образованиями и может быть названа полиэкранной математикой. Например, уже идея бесконечности натурального ряда предполагает два экрана: 1) экран Еь в котором «видны» конкретные натуральные числа, но число Ко невыразимо Ь" (здесь множество натуральных чисел дано как потенциально беско-М нечное), и 2) экран Е2, в котором бесконечность натурального числа О видится «извне», т.е. дается как собственное изображение (множество натуральных чисел как актуальная бесконечность). Таким же полиэк-X ранным образованием является важнейшее для новой математики по-(•' нятие предела. Живое мышление, замечает в заключение автор, постоянно полагает экраны и трансцендирует их. Если не различать от-

ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ В МОСКВЕ

I

11

™1 "'Шн

И

И

дельные кванты полагания, связанные с фиксированными экранами, мы рискуем впасть в разного рода парадоксы и противоречия.

С. Н. Жаров (Воронеж) отмечал, что математическая теория не исключает онтологической трансценденции, как показала теорема Гёделя о неполноте. Трансцендентное обнаруживает себя в математике, как «нетематизированный горизонт первичных онтологических интуиций» (примеры его концептуализации - «жизненный мир» Гуссерля и «бытие» Хайдеггера), в котором и кроется тайна применимости математики в естествознании. Математические (как и естественнонаучные) теории имеют два уровня - предметная структура и непредметный горизонт. Последний «открыт моей экзистенции до всякой рефлексии», это «изначальный онтологический опыт». В основе творческой интуиции в математике лежит выход к изначальным «непредметным онтологическим глубинам, из которых рождаются новые математические формы». Таким образом, изначальная онтоло-гичность математики связана, согласно С. Н. Жарову, не с идеями-формами, а с более глубоким уровнем (до формы, до предмета).

Г. Б. Гутнер (Москва) говорил о неявном знании и новизне в математике. Традиционно математики придают большое значение точной экспликации правил рассуждения. Однако и в математике, как и во всех областях человеческой деятельности, громадную роль играет то, что М. Полани назвал неявным знанием. Л. Витгенштейн и С. Крипке показали, что невозможно следовать правилу, если оно существует лишь в качестве формальных предписаний. Правило «работает» лишь тогда, когда оно освоено на уровне коммуникативного навыка, который не формулируется и не формализуется. Передача математических знаний человеку, не владеющему соответствующими привычками, невозможна. Опираясь на сформулированные утверждения, докладчик указал на то, что навыки математической деятельности как социально обусловленные автоматизмы не контролируются полностью их обладателем. Поэтому новые математические знания могут быть обязаны своим появлением не реально новаторским изобретениям, а действиям навыков, которые представляют собой чрезвычайно богатый ресурс для решения математических проблем, возникая на протяжении длительного времени в результате труда многих поколений математиков. В неявном знании аккумулирован опыт сообщества. Индивид, осваивая этот опыт, приобретает богатство, намного превосходящее его собственные явные знания. По-видимому, существует возможность описать всякую новизну как результат реактивации и комбинирования ранее существующих навыков, хотя и не исключено, что знания принципиально новые, т.е. никак не сводимые к уже сформированному неявному знанию, все же появляются в математике. ^

В. А. Шапошников (Москва) предложил рассматривать филосо- х фию математики через призму трех философских парадигм - онтологической, гносеологической и антропологической. Первая из них делает акцент на вопросах онтологического статуса в рамках единой 3;

«вертикальной» иерархии, вторая - все рассматривает в рамках системы «горизонтальных» связей в поле сознания, третья - исходит из

Г

темы уникальности человеческой личности и «горизонтальную» систему координации укореняет в истории и географии культуры. В рамках каждой из парадигм философия математики приобретает свою специфику: для первой парадигмы математика - это особый вид существующего, для второй - система утверждений и теорий, для третьей - математическое сообщество. Если онтологическая парадигма господствовала от античности до начала Нового времени, то в Новое время сначала выдвигается гносеологическая парадигма (начиная с Декарта), затем с ней начинает конкурировать антропологическая (XIX в.). К 60-м гг. XX в. антропологическая парадигма начинает доминировать, что, впрочем, не приводит к полному исчезновению гносеологической, а отчасти и онтологической, парадигм. На фоне доминирования третьей парадигмы возникает тенденция к социокультурному релятивизму, а в качестве реакции — попытки отстоять, в условиях принятия антропологической парадигмы, ценности, характерные для парадигмы гносеологической: единство математики, рациональность наших выборов, реализм. Основная полемика в наше время идет не между сторонниками фундаментализма (т.е. второй парадигмы) и социокультурного подхода (т.е. третьей парадигмы), а между различными версиями восстановления реализма, рационализма и трансцендентализма в новых условиях, т.е. в условиях принятия антропологической парадигмы. Затем докладчик сделал попытку проиллюстрировать последний тезис на двух более узких темах - на современных спорах о проблеме универсалий и на априоризме в связи с философией математики.

Участники конференции составили достаточно представительный срез сообщества людей, занимающихся профессионально или интересующихся философией математики в современной России, выявив как его достоинства, так и недостатки. К недостаткам следует отнести немногочисленность профессионального ядра сообщества, низкий уровень осведомленности в отношении современной мировой ситуации и взаимодействия с международным сообществом философов математики. К достоинствам - наличие ряда примечательных идей и оригинальных теорий. Тематика конференции очертила область основных интересов. Была представлена разнообразная палитра мнений и подходов - от классической онтологии числа до современных социально-коммуникативных стратегий в обосновании математического знания.

Особо следует подчеркнуть, что участники обращали большое внимание на проблемы преподавания математики в современной школе и вузе (этой теме был посвящен специальный «круглый стол»). Указывалось, что анализ образовательной ситуации в целом, выявление философско-методологических оснований, определяющих те или го иные подходы к преподаванию математики, играют важную роль

X

0 С

1 X

щ

в развитии математического образования в современных условиях.