О дифферециальных методах расчета радиационного теплообмена

УДК 536.3

О ДИФФЕРЕЦИАЛЬНЫХ МЕТОДАХ РАСЧЕТА РАДИАЦИОННОГО ТЕПЛООБМЕНА

В.А. КУЗНЕЦОВ, О.А. РЯЗАНЦЕВ

Белгородский государственный технологический университет им. В.Г. Шухова,

г. Белгород

Выполнено последовательное улучшение и развитие метода диффузионного приближения. Рассмотрены закономерности радиационного переноса теплоты в неограниченной поглощающей среде, обоснованы условия их применения в ограниченном объеме газов. Уточнены дифференциальные уравнения радиационного переноса. Результаты расчетов сопоставлены с экспериментальными данными.

Ключевые слова: радиационный перенос теплоты, поглощающая среда, дифференциальные уравнения, граничные условия.

Введение

Радиационный теплообмен является основным в промышленных печах и топках, но методы его расчета с достаточной инженерной точностью в настоящее время еще не определены. Известно, что перенос излучения в общем виде описывается интегро-дифференциальными уравнениями, которые решаются, например, зональными методами. Сложность задачи состоит в ее многомерности, так как необходимо принимать во внимание не только собственное селективное излучение газов в отдельных участках спектра, но и частичное поглощение энергии лучей, проходящих через каждый элемент среды по всем направлениям в пределах сферического телесного угла. Одновременно от ограждающих поверхностей и технологического материала исходит излучение, распределенное, как правило, по всему инфракрасному спектру. Чтобы корректно учесть испускание, перенос и поглощение лучистой энергии, расчет зональными методами обычно выполняют в узких частях спектра. В итоге, задача радиационного теплообмена становится чрезмерно трудоемкой и плохо сочетается с алгоритмами численного решения дифференциальных уравнений движения газов и конвективного теплопереноса.

Дифференциальные методы расчета радиационного теплообмена удачно вписываются в алгоритмы математических моделей тепловых процессов, но обычно дают лишь приближенные результаты. Интерес к ним усилился после опубликования Росселандом [1] градиентного представления вектора плотности результирующего потока излучения. Однако разработанный на такой же теоретической основе метод диффузионного приближения не гарантировал необходимой точности результатов. В последнее время получил практическое применение метод дискретных ординат, предусматривающий расчет радиационного переноса в каждом узле расчетной сетки по ограниченному числу произвольно выделенных направлений [2, 3]. Однако такой усложненный подход также не решает основных проблем, свойственных дифференциальным методам.

© В.А. Кузнецов, О.А. Рязанцев Проблемы энергетики, 2012, № 1-2

3

Более целесообразным представляется выполнить комплексное уточнение диффузионного метода, устранив основные причины возможных погрешностей. Основной особенностью градиентной формулы Росселанда является то, что она получена и может применяться без каких-либо поправок только в условиях неограниченной поглощающей среды. Поэтому необходимо сначала рассмотреть перенос излучения в гипотетической неограниченной среде, эквивалентной реальной поглощающей среде, а затем учесть особенности теплообмена в ограниченном объеме печи или топки. Чтобы упростить изложение, рассеивание лучистой энергии здесь не рассматривается.

Радиационный перенос в неограниченной среде

Предполагается, что гипотетическая неограниченная среда имеет то же распределение термодинамической температуры Т и такие же радиационные свойства, что и реальная газообразная среда. Единственное отличие состоит в том, что температурное поле неограниченной среды плавно продолжают за пределы ограниченного объема печи или топки. Так как неограниченная среда извне излучает иначе, чем ограждающие поверхности ограниченного объема, сохранение идентичности температурного поля возможно, если предположить, что на поверхности расчетного объема имеется источник дополнительного излучения.

Даже в неограниченной среде градиентная формула Росселанда [1] является приближенной. Поэтому рассмотрим проблему, записав дифференциальное уравнение переноса интегрального излучения по направлению луча:

л т

= ап 10 -а//,

д!

где // - локальная интенсивность излучения по направлению ! ; /0 — интегральная по спектру интенсивность равновесного излучения при локальной температуре поглощающей среды; ап — планковский коэффициент поглощения (средний по черному спектру); а — локальный коэффициент поглощения.

Первое слагаемое в правой части уравнения (1) выражает количественно энергию собственного излучения среды, второе слагаемое — поглощаемую лучистую энергию (за единицу времени на единичной длине луча). Интегрирование уравнения (1) по сферическому телесному углу приводит к дифференциальному уравнению сохранения лучистой энергии [4]:

^ = 4а

где qл — вектор плотности результирующего потока излучения; ст — постоянная

Стефана—Больцмана; Т — термодинамическая температура; Тл — лучистая температура, характеризующая величину локального падающего излучения в пределах сферического телесного угла га = 4п,

Т4 = — Г /¡ёга .

л 4П ^

N

В работе [5] было показано, что в неограниченной среде уравнение (1) можно представить в форме ряда:

/ =Оп

а

О - + 1 д2/о - 1 д3/о + '

о ад/ а2 д!2 а3 д!ъ "'

V

© Проблемы энергетики, 2012, № 1-2

4

Ряд сходится при конечных коэффициентах поглощения и ограниченных по величине производных от интенсивности излучения // , что соответствует условиям в неограниченной среде при отсутствии резко выраженных точечных источников излучения. Он легко интегрируется по телесному углу, если длину луча l связать с расстояниями по осям координат с помощью угла ф между ними.

Математическое выражение для /-ой составляющей вектора плотности

результирующего потока излучения дло в неограниченной среде, полученное в результате преобразования ряда (3), отличается от формулы Росселанда остатком ряда, члены которого содержат старшие производные от термодинамической температуры T в четвертой степени:

__4а< _4стап N 3 _d3T4_+ V_i5Tl + 1

3а дх/ а[45а3 дх> дх2 105а5 j_1 дх> дх4 "]'

Здесь применены координаты с индексами (/ = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3), заменяющие обозначения осей декартовой системы координат: х1 = х, х2 = у, х3 = z, а также

обозначение лучистой температуры Тло в неограниченной среде.

Оценку остатка ряда в фигурных скобках равенства (4) можно получить, принимая во внимание, что численные коэффициенты перед старшими производными, близкие к указанным в фигурных скобках, дает интегрирование по сферическому телесному углу ряда (3) после умножения его на cos ф, и полагая

J Iic°s% da - ^ тл4о .

N

Итогом будет уточненное градиентное выражение для вектора плотности результирующего потока излучения в неограниченной поглощающей среде:

Яло _ _^Г §radT4 ,

3а

т 4

содержащее расчетную величину , которую для краткости можно назвать определяющей температурой:

г4 _ т4 , 1 (^4 ап ^4

# - с + з ^с т ^.

Она придает расчетной формуле (5) более простой вид, свойственный диффузионному приближению, но в отличие от него позволяет учитывать суммарное влияние полей как лучистой, так и термодинамической температуры на результирующий поток излучения. Повышенная точность формулы (5) заметно проявляется вблизи стен печи и поверхности слоя технологического материала, где градиенты лучистой и термодинамической температур не одинаковы.

Дифференциальное уравнение сохранения лучистой энергии (2) в неограниченной среде после введения в него определяющей температуры (6) принимает следующий вид:

ло = 3ст

Подстановка в него градиентной зависимости (5) приводит к дифференциальному уравнению радиационного переноса в неограниченной поглощающей среде:

© Проблемы энергетики, 2012, № 1-2

5

д_

дх

(дт4 ^

адх

\ у

(Т4 ^

ду

аду

(Т4 ^

дг

адг

\ у

-9(

4\

апТ4 -аТ4

= 0.

При формулировке граничных условий к дифференциальному уравнению (8) допустима некоторая произвольность с учетом того, что изменение определяющей температуры на поверхности расчетного объема компенсируется соответствующей величиной дополнительного излучения. Например, полезно установить на поверхности

стен равенство определяющей Т^^и термодинамической Тст температур, возведенных

в четвертую степень и умноженных на соответствующие коэффициенты поглощения:

аТЕгр = апГст .

В этом случае, умножив ряд (3) на ео8ф и интегрируя его почленно по полусферическому телесному углу, можно получить выражение в форме ряда для поверхностной плотности падающего потока излучения:

Епад — ст

ап

(

а

Т4 -

ст

2_ дТт

3а ду

д3Тс4т

Л

5а3 ду3

V у

где у - координата, направленная по нормали к стенке.

Сравнивая результат с разложением в ряд плотности результирующего потока

излучения ^лЮ на граничной поверхности, получим формулу для расчета

поверхностной плотности потока излучения, падающего из расчетного объема на поверхность стенки:

^ аГс4. а

г^лр.

^пад ~ а ^ ч^ 2 4 ло •

Можно полагать, что при одинаковом температурном поле в расчетном объеме плотность потока излучения £пад, падающего на поверхность стен, мало зависит от

того, какая среда рассматривается - ограниченная или неограниченная. Так как падающий поток излучения определяется практически только температурным полем и радиационными свойствами среды, то его значение, найденное по формуле (10) в неограниченной среде, должно быть справедливым также и для ограниченного объема газов.

Радиационный перенос в ограниченном объеме

Проблема заключается в том, чтобы обеспечить приемлемую точность расчета радиационного переноса в ограниченном объеме поглощающей среды с помощью уравнений, справедливых для неограниченной среды. В ее разрешении ключевая роль отводится выражению (10), позволяющему скорректировать величину результирующего потока излучения на поверхности ограждающих стен, то есть в той области, где формулы диффузионного приближения дают наибольшую погрешность.

На поверхности ограждающей серой стенки плотность эффективного потока излучения, состоящего из собственного и отраженного потоков, определяется в пределах полос поглощения известной формулой [4]:

Е -Оп„Т 4

Лэф — и./рт

(

а

1

Л

-1

уест

где ест - степень черноты непрозрачной стенки;

4?

плотность результирующего

потока излучения от ограниченного объема газов к стенке.

© Проблемы энергетики, 2012, № 1-2

6

Разность поверхностных плотностей падающего Епад и эффективного Еэф

потоков излучения (10) и (11) дает расчетную формулу для плотности результирующего потока излучения на стенке в пределах полос поглощения:

= ^ ест/2,

где ^ло - плотность результирующего потока излучения в неограниченной среде на поверхности расчетного объема, вычисленная по градиентной зависимости (5).

Введем понятие определяющей температуры в ограниченном объеме, применив формулу, аналогичную определению (6):

Т4 = Тл4 + 3 [Тл4 Т4 ] ,

где Тл - лучистая температура в ограниченном объеме среды.

При расчете плотности потока результирующего излучения в ограниченном объеме поглощающей среды применим градиентное выражение по аналогии с формулой (5):

Члз = - ^Гёгайт4 .

3а

Строго говоря, оно справедливо лишь для неограниченной среды и дает заметную ошибку вблизи стен, ограждающих расчетный объем, завышая расчетный поток излучения. Поэтому для ограниченного объема печей и топок следует ввести поправку 8дл в дифференциальное уравнение сохранения лучистой энергии, которое записывается по аналогии с формулой (7):

ёгё+8<?л) = 3ст

На поверхности стенки поправка 8^лт равна разности плотностей потоков

излучения газообразной среды: результирующего потока , определенного по

уточненному выражению (12), и его приближенного значения длт - по формуле (14). На расстоянии Ау от стен поправка может быть найдена, как правило, с достаточной точностью, например, с помощью экспоненциального закона поглощения лучистой энергии:

8дл = 8^лт • ехр (-каАу) , где коэффициент к выбирается от 1 до 2 в зависимости от конфигурации расчетного объема.

Дифференциальное уравнение переноса излучения в ограниченном объеме является результатом подстановки градиентного выражения (14) в уравнение сохранения лучистой энергии (15):

9/а -И „^ 4

д [1 дТ4' д [Ч4' д ГдТ4 ^

дх а дх V / + ду аду ^ + дх адг V /

+ 4

Чтобы исключить из расчета дополнительное излучение, граничные условия к этому уравнению следует максимально приблизить к реальным, например, вычисляя значения лучистой температуры на границе Тл гр с учетом эффективного излучения стен по равенству, предложенному в [6]:

© Проблемы энергетики, 2012, № 1-2

7

гр тэф Еэф + тпад Епад ,

где тэф и тпад - соотношение интегралов по полусферическому телесному углу, определяющих объемную и поверхностную плотность лучистой энергии:

Для диффузно излучающей и отражающей поверхности соотношение тэф = 2. В

случае падающего излучения величина т'пад = 2 справедлива только для первого слагаемого в правой части формулы (10) для Епад. Неопределенным остается множитель т"пад для второго слагаемого.

Подставив выражения (10) и (11) для Епад и Еэф в равенство (17), получим

уравнение для расчета определяющей температуры на границе расчетного объема:

ст?;4Ст = стГ4 гр +

где к - эмпирический корректирующий коэффициент, зависящий от величины т"пад . Например, при т"пад= 4/3 он имеет значение к = 5/9.

Преимущество формулировки граничных условий (18) состоит в том, что она дает возможность выбирать различный корректирующий множитель к для разных условий теплообмена. Можно подобрать, например, такое значение множителя ктах, при котором поправка 8дл станет равной нулю и выпадет из расчетных уравнений.

Второй способ формулировки граничных условий станет возможным, если приравнять выражения (12) и (14) для плотности результирующих потоков на поверхности стен. Подставив градиентную зависимость (5) в формулу (12), получим равенство, выражающее граничные условия второго рода,

где индекс "гр" обозначает одностороннюю производную на поверхности стенки.

Граничные условия (19) не требуют ввода экспоненциальной поправки в дифференциальное уравнение переноса излучения (16), так как они сохраняют равенство потоков результирующего излучения на поверхности стен по формулам (12) и (14). Следует иметь в виду, однако, что граничные условия второго рода обеспечивают стабильность решения задачи только в сочетании с граничными условиями первого или третьего рода. Поэтому равенство (19) следует вводить в расчет лишь в случае, когда результирующий поток излучения направлен от стенки к газовой среде или, если поправка 8дл превышает заранее заданную величину, например

0,02 .

Коэффициенты поглощения в расчете радиационного переноса

Для расчетной характеристики селективного излучения неограниченной поглощающей среды в наибольшей мере подходит модель антисерого спектра [7], состоящего из полос поглощения, в которых спектральная интенсивность излучения достигает равновесных значений. При таком подходе появляется возможность включить часть излучения стен и технологического материала в печах в полосы поглощения неограниченной среды, как это сделано, например, в уравнении (11).

В то же время необходимо, чтобы при адекватной постановке задачи радиационные свойства гипотетической антисерой и реальной поглощающей среды

© Проблемы энергетики, 2012, № 1-2

8

совпадали в пределах расчетного объема, то есть поглощательные способности (или степени черноты) ограниченного объема газов Аг и гипотетической неограниченной

среды А» были одинаковыми.

В большинстве случаев степень черноты слоя газов находится с помощью экспонентной формулы

Аг =1 - ехр

где аг - коэффициент поглощения трехатомных газов; /эф - эффективная толщина

излучающего слоя. Для реальной изотермической неограниченной среды степень черноты представляет собой долю энергии черного спектра, приходящуюся на полосы поглощения, и может быть представлена как соотношение планковского и локального коэффициентов поглощения, откуда следует уточнение граничных условий (9) к дифференциальному уравнению радиационного переноса (8):

Тар = АрТт .

Здесь степень черноты Аг рассматривается как доля энергии черного спектра, приходящаяся на полосы поглощения антисерой среды. В результате появляется возможность выделить долю энергии черного спектра (1- Аг), приходящуюся на "окна" спектра антисерой среды, что позволяет приближенно учитывать прямое излучение стен печи на технологический материал [8] в "окнах" спектра.

Планковский средний коэффициент поглощения трехатомных газов в дифференциальных уравнениях радиационного переноса может быть определен по экспериментальным данным [9]. Более сложным и проблематичным является вычисление локального коэффициента поглощения а, так он зависит не только от параметров среды, но и от локального спектрального состава лучей, который в дифференциальных методах остается неопределенным. Чтобы при численном решении дифференциальных уравнений радиационного переноса приближенно учесть в узлах сетки средний спектральный состав лучей, зависящий от их длины, предлагается в расчет коэффициентов поглощения по локальной температуре и составу газов вводить также и эффективную толщину излучающего слоя газов.

В настоящее время радиационные параметры газов определяются в изотермических условиях, хотя и применяются в дальнейшем для расчета переноса излучения в неизотермической среде. Радиационные свойства изотермических трехатомных газов изучены достаточно полно [9], что дает возможность вычислять коэффициенты поглощения аг по отношению к черному излучению, падающему на слой газообразной среды [10].

Применяя коэффициенты поглощения, надо учитывать, что величина падающего излучения в антисером спектре по сравнению с черным спектром той же температуры пропорциональна степени черноты газообразной среды. Чтобы сохранить равенство поглощаемой энергии в гипотетической неограниченной среде и в реальных газах, представляется необходимым коэффициент поглощения трехатомных газов аг перед подстановкой его в дифференциальные уравнения переноса поделить на локальное значение степени черноты:

а = а^Аг .

По-видимому, возможны и другие способы учета радиационных свойств поглощающей среды.

© Проблемы энергетики, 2012, № 1-2

9

Математическая модель радиационно-конвективного теплообмена

Уравнения математической модели радиационного теплообмена применяются в следующей последовательности. Сначала численно решается дифференциальное уравнение (8) переноса лучистой энергии в неограниченной поглощающей среде при граничных условиях (20). На этом этапе на поверхности стен печи или топки

ст

вычисляется плотность потока излучения гипотетической неограниченной среды дло по

дискретному аналогу формулы (5) и плотность результирующего потока излучения д^ по соотношению (12). Затем численно решается дифференциальное уравнение (16) переноса лучистой энергии в ограниченном объеме поглощающей среды при

граничных условиях (18) и (19) с целью найти определяющую температуру т£ .

Вычисленные значения Т^ используются для нахождения полей термодинамической температуры Г и энтальпии газообразной среды Н в печи или топке посредством численного решения дифференциального уравнения радиационно-конвективного переноса энергии:

дрН + дриН + ЗруН дрм>Н дт дх ду дг дх ^ эф дх у

|)_|(*>фдТ) + 3"( а-Т4 _аТ*) = со • ™

где т - время, и, V, м> - компоненты скорости; р - плотность газообразной среды; А,эф -

эффективный коэффициент теплопроводности, учитывающий молекулярный и турбулентный перенос; со - тепловыделение в факеле горящего топлива в единице

объема за единицу времени.

Граничные условия к дифференциальному уравнению (21) в турбулентном потоке газов аналогичны выражению, обоснованному в работе [11]:

и2

дст — л/РстРтт^(( _ Нст), Ргти

где дст - плотность конвективного потока теплоты на стенке; и* - динамическая скорость для неизотермического пограничного слоя; и, Н - скорость и энтальпия в ближайшем к стенке узле сетки; Нст - энтальпия газов на стенке. В формулу введена средняя плотность среды в пристенной области в виде корня из произведения плотностей рст при температуре стенки и р в ближайшем к стенке узле сетки. Турбулентное число Прандтля Ргт выступает здесь отчасти в качестве корректирующего множителя, величина которого соответствует принятому способу усреднения плотности.

Проверка адекватности математической модели теплообмена

Уточненные уравнения и теоретические положения дифференциального метода расчета радиационного теплообмена прошли проверку сопоставлением результатов численного математического моделирования с экспериментальными данными Тамониса [12], представленными на рисунке. В экспериментальной трубе диаметром 150 мм, длиной 4 м охлаждался высокотемпературный поток газов, содержащий до 9 % СО2 и 18 % Н20, так что его температура по длине трубы зависела от интенсивности радиационно-конвективного переноса.

© Проблемы энергетики, 2012, № 1-2

10

В связи с тем, что условия движения перед экспериментальным участком в [12] строго не определены, в расчетах предусмотрена частичная стабилизация параметров потока газов в двухметровой трубе. Турбулентное число Прандтля для граничных условий принято равным единице, в расчетном объеме Ргт = 0,85. Сетка делит радиус трубы на 150 частей.

Положение кривых 1 и 2 на рисунке относительно экспериментальных точек соответствует небольшому расчетному завышению конвективной теплоотдачи. Следовательно, кривые 3 и 4, несмотря на их хорошее совпадение с экспериментом, несколько занижают радиационную составляющую, что свойственно диффузионному методу при малой оптической толщине слоя газов.

2200

1000 |,|.______._

0 1 2 3 4 Длина, м

Рис. 1. Измеренная [12] (точки) и расчетная (линии) температура на оси экспериментальной трубы при массовом расходе газов: 1 - 4734; 2 - 570; 3 - 627; 4 - 839 кг/ч

Выводы

1. Дифференциальные методы расчета радиационного теплообмена обладают определенными преимуществами при решении инженерных задач, но обычно дают приближенные результаты.

2. Выполнено последовательное улучшение и развитие метода диффузионного приближения, что позволило устранить свойственные ему ограничения и заметно повысить достоверность расчетных результатов.

Summary

A successive improvements and development of the diffusive approximation method have been realized. Radiative heat transfer rules for an infinite absorption medium has been considered, and their application conditions in a confined gas volume substantiated. Radiative transfer differential equations became more accurate. Computing results are compared with experimental data.

Keywords: radiative heat transfer, absorption medium, differential equations, bound conditions.

Литература

1. Росселанд С. Астрофизика на основе теории атома. М.-Л.: ОНТИ, 1936. 302 с.

© Проблемы энергетики, 2012, № 1-2

11

2. Герман М.Л., Бородуля В.А., Ноготов Е.Ф. Тепловой расчет топочной камеры жаротрубного котла с тупиковой топкой // ИФЖ. 2000. Т. 73, № 6. С. 1191 - 1201.

3. Вафин Д.Б., Абдуллин А.М. Анализ эффективности работы технологических трубчатых печей при разных режимах сжигания топлива // Известия вузов. Проблемы энергетики. 2009. № 3-4. С. 54 - 58.

4. Шорин С.Н. Теплопередача. М.: Высшая школа, 1964. 490 с.

5. Кузнецов В.А. К расчету теплообмена излучением в поглощающей среде // ИФЖ. 1980. Т. 38, № 1. С. 134 - 139.

6. Адрианов В.М., Поляк Г.Л. Дифференциальные методы исследования теплообмена излучением // ИФЖ. 1964. Т. 7, № 4. С. 74 - 80.

7. Детков С.П., Еринов А.Е. Тепловые процессы в печных агрегатах алюминиевой промышленности. Киев: Наук. думка, 1987. 272 с.

8. Кузнецов В.А., Рязанцев О.А. Математическая модель теплообмена во вращающейся печи с учетом переизлучения // Математические методы в технике и технологиях ММТТ-23. Саратов, Изд-во СГТУ, 2010. Т. 8. С. 87 - 89.

9. Handbook of Infrared Radiation from Combustion Gases / R. Goulard, J.A.L. Thomson. Washington: NASA, 1973.

10. Кузнецов В.А., Рязанцев О.А. Расчет радиационных параметров водяного пара // Научные исследования, наносистемы и ресурсосберегающие технологии в промышленности строительных материалов. Белгород: БГТУ, 2010. Ч. 2. С. 120 - 124.

11. Кузнецов В.А., Кожевников В.П. Математическая модель свободной конвекции воздуха в комнате // Известия вузов. Проблемы энергетики. 2008. № 7-8. С. 15 - 27.

12. Тамонис М. Радиационный и сложный теплообмен в каналах. Вильнюс: Мокслас, 1981.

252 с.

Поступила в редакцию 17 октября 2011 г.

Кузнецов Валерий Алексеевич - д-р техн. наук, профессор кафедры энергетики теплотехнологии Белгородского государственного технологического университета им. В.Г. Шухова. Тел.: 8 (4722) 5504-86, 8 (4722) 55-26-28. E-mail: kouzn@intbel.ru

Рязанцев Олег Александрович - аспирант кафедры энергетики теплотехнологии Белгородского государственного технологического университета им. В.Г. Шухова. Тел.: 8 (4722) 55-04-86, 8 (4722) 31-58-56.

© Проблемы энергетики, 2012, № 1-2

12