Основные уравнения континуальной теории уплотнения порошков с особыми свойствами

УДК 621.336.322.002.3

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ КОНТИНУАЛЬНОЙ ТЕОРИИ УПЛОТНЕНИЯ ПОРОШКОВ С ОСОБЫМИ СВОЙСТВАМИ

М.Н. Самодурова, Л.А. Барков, В.А. Иванов, Б.А. Яров

Представлен анализ опыта применения известных базовых уравнений континуальной теории для описания процессов уплотнения порошков с особыми свойствами.

Ключевые слова: континуальная теория, основные уравнения, определяющие соотношения, уплотнение, порошки.

Введение

Одной из важных технологических операций в порошковой металлургии является операция формования заготовок или изделий, выполняемая путем уплотнения порошков и позволяющая получить необходимый комплекс механических, физических и специальных свойств изделий.

С середины прошлого века для установления зависимостей плотности заготовок от усилий их формования использовалась дискретно-контактная теория формования порошков [1-3], а начиная с 70-х годов для построения математических моделей уплотнения порошков все чаще используется континуальная теория, в которой порошок рассматривается как квазисплошная уплотняемая среда с заданными реологическими свойствами [4-6]. Следует отметить, что дискретно-контактная теория формования порошков не утратила своего значения и в настоящее время. Так, авторами данной статьи в публикации [3] представлены результаты проверки в промышленных условиях теоретических зависимостей плотности от усилий уплотнения порошков целого ряда ученых, полученных на основе этой теории. Оказалось, что зависимость, предложенная еще в 1948 году известным русским ученым М.Ю. Бальшиным [1], дает достоверные результаты при описании процесса уплотнения таких порошков с особыми свойствами, как порошки молибдена и вольфрама. Безусловно, континуальная теория открывает более широкие возможности для построения теории и математических моделей, позволяющих определять геометрические, кинематические и энергосиловые параметры процесса формования из порошков заготовок и изделий. В мире имеется богатейший опыт применения этой теории для построения математических моделей процессов обработки материалов давлением [7,8].

Дифференциальные уравнения механики в теории уплотнения квазисплошных порошков

Еще в 1822 году всемирно известный французский ученый О.Л. Коши первым опубликовал дифференциальные уравнения механики при деформации упругой сплошной среды. Силовые уравнения О.Л. Коши получил упрощением диф-

ференциальных уравнений движения, полученных Л. Эйлером в 1755 году, пренебрегая уплотнением среды и считая массовые силы и ускорения среды незначительными. В качестве физического уравнения О.Л. Коши использовал известное уравнение, выведенное Р. Гуком в конце XVII века. Применяя указанные уравнения, а также полученные закономерности для напряженного и деформированного состояний, О.Л. Коши заложил основы новой науки - теории упругости.

Получение в конце XIX - начале XX века условий перехода от упругого к пластическому состоянию деформируемых тел послужило началом создания науки по теории пластичности. Основными уравнениями этой теории были также дифференциальные уравнения равновесия, полученные О.Л. Коши

ъи = 0,

где <5у - компоненты тензора напряжений.

Эти же уравнения положены в основу создаваемой в настоящее время теории деформации порошковых уплотняемых материалов [5, 6, 9]. В этой теории в качестве кинематического уравнения используется дифференциальное уравнение неразрывности деформации, полученное на основе одного из фундаментальных законов механики о постоянстве массы [9]

5+Р^ = 0,

где р = р(х.у.г.Ь) - массовая плотность; ^ -компоненты скорости частиц деформируемой среды.

В качестве примера построения этой теории на основе уравнений (1) и (2) можно привести материалы докторской диссертации Ю.Н. Логинова, посвященной исследованию процессов деформации некомпактных материалов с особыми свойствами [10]. Для получения замкнутой системы уравнений Ю.Н. Логинов, кроме уравнений механики (1) и (2), использует физические уравнения связи между компонентами напряжений и скоростями деформаций, полученные на основе гипотезы о пропорциональности компонентов девиато-ров напряжений и скоростей деформации

2Т г

5У = н ?у,

где - компоненты девиатора напряжений;

- компоненты девиатора скорости деформации;

Т - интенсивность касательных напряжений; Н -интенсивность скорости деформации.

Но так как из девиатора напряжений исключена «гидростатическая» составляющая нормальных напряжений, без которой невозможно сформировать из порошка заготовку и уплотнить ее, то Ю.Н. Логинов находит функции Т и среднего нормального напряжения с из опытов по осадке пористых образцов и их прессованию в замкнутом контейнере в виде

Т _ Т(Н,Л,£,р0,0); а = а(Н,Л, е, р0,0), где Л - степень деформации сдвига; е - степень объемной деформации; р0- плотность порошка перед формованием; 0 - гомологическая температура порошка при формовании.

В последнее время в теории пластичности и теории деформации порошковых уплотняемых материалов вместо уравнений связи (3) широко используется так называемый ассоциированный закон течения [11, 12], записываемый уравнениями

ы},

где Ф - функция текучести.

Причем этот закон течения выполняется только в случае, когда напряжения а^ удовлетворяют принятому условию текучести.

В наибольшей мере уплотняемые порошковые материалы отвечают эллиптическому условию текучести Р.Дж. Грина [13], когда функция текучести принимает вид

_2

Ф= Ф(ай)_ + ^,

где токт - октаэдрическое напряжение.

Условие текучести (6) можно модернизировать [12], если константы а и Ь определить из простейших опытов на чистый сдвиг и на сжатие.

В условиях чистого сдвига аг1 _ -а33 _ тх , а22 = 0, откуда а _ тх. В условиях всестороннего сжатия аХ1 = а22 = а33 = а5.

С учетом полученных значений констант условие (6) примет вид

^ + £=1,

где тх = тх(р), ах = ах(р).

В первом приближении значения функций т/р) и с8(р) можно представить зависимостями

т5(Р) = т* (1 +Л 1п-М ;

V Рк/

Рк'

Р чп

а5(р)_а*(1+Л 1п£)",

где А и п - физические константы обрабатываемых материалов; индекс k показывает, что величина характеризует компактный материал.

Подставляя в уравнение (7) значения токт и с, получим условие текучести, записанное в главных напряжениях

(СТц-0 22)2 + (ст22_стЗз)2 + (стЗЗ_сти)2

+

В общем случае функция текучести и условие текучести имеют вид

Ф

__ (°хх~0уу)2 + (0уу~0гг)2+(0гг~°хх)2 +

= 9т?

+

После выполнения вычислений в уравнениях (5) с учетом значений функций текучести (10) и преобразований получим уравнения связи напряженного и деформированного состояний для уплотняемых сред

_ (. — т|\ + 2Г р ;

ахх I 1 ~^2) а + ~?ХХ;

_ (л — 11^ + ? •

аУУ _ — ’о?) а + ~?УУ

а22_

_ 27 Г /

аху ~ ?ху;

_ 27 г .

ауг _ ~Ъуг;

— 2ТТ

агх ~ ?гх.

В этих уравнениях среднее нормальное напряжение с связано со скоростью относительного изменения объема £ следующей зависимостью

2г ^

а _--------------7?.

Н т? ’

+ (ст11 + ст22 + стЗЗ) _ 9

Интегральные уравнения механики в теории уплотнения квазисплошных порошков

На деформируемый объем порошка V, ограниченный поверхностью £, действуют активные поверхностные силы р„ и частицы порошка при этом перемещаются со скоростями Откуда мощность поверхностных сил определится интегралом

/ _ 0.

Используя известную формулу Остроградского - Гаусса [14], преобразуем поверхностный интеграл в объемный, выражающий мощность, развиваемую внутренними напряжениями а^ при скоростях деформации

/ аи^У _ 0.

Уравнения (13) и (14) позволяют записать условие сохранения механической энергии, часто называемое основным энергетическим уравнением [15]

/ — / а0?0^7 _ 0.

Другим интегральным уравнением механики является вариационное уравнение принципа наименьшей полной энергии деформации [9]

/ аи?^У — / > 0 ,

где и - компоненты тензора скоростей деформации, соответствующие действительному и кинематически возможному состояниям; ^ и V* -составляющие поля скоростей течения, соответствующие действительному и кинематически возможному состояниям.

Основное энергетическое уравнение (15), записанное для действительного напряженно-дефор-

мированного состояния, можно представить в следующем виде, если пренебречь мощностью сил инерции (Ии) и массовых сил (Их) [16, 17],

N. - ^ _ 0,

где N. - мощность внутренних напряжений; Мр -мощность поверхностных сил.

Для уплотняемых материалов мощность внутренних напряжений затрачивается как на формоизменение (Л/ф), так и на объемное уплотнение (Л^) материала

N. _ Мф + Му _

_Шу ТНМ+ЗМу а^7.

Мощность поверхностных сил, в свою очередь, складывается из мощности нормальных (Ы„) и касательных (Ыт) напряжений

Мр _ _

_ Я5 апу„^5 + ^Тт„^5.

Если пренебречь мощностью сил инерции и мощностью массовых сил ввиду их малости, то основное энергетическое уравнение для уплотняемых материалов запишется так

Шу ТНйУ + ЗМу а^7 —

— Я5 а„^5 + ^Тт„^5 _ 0.

На основе этого уравнения А.И. Рудской в докторской диссертации построил свою теорию уплотнения порошковых материалов со специальными свойствами [18].

Приведенные выше дифференциальные и интегральные уравнения механики достаточно часто используются для построения математических моделей доуплотнения пористых скомпактирован-ных из порошков заготовок [5, 6, 19-22]. К сожалению, по применению этих уравнений для построения математических процессов уплотнения порошков имеются лишь отдельные публикации [23, 24].

Стадии процесса уплотнения порошков

с особыми свойствами

Экспериментально изучать процесс уплотнения порошков, а затем теоретически его описывать ученые начали еще в первой половине ХХ века [1, 2, 4, 5]. Уже в первой своей монографии по порошковой металлургии [1] М.Ю. Бальшин весь процесс уплотнения порошка в пресс-формах делит на три стадии. Дальнейшими исследованиями отечественных и зарубежных ученых [3, 26-28] установлено, что на первой стадии процесса уплотнения порошков, названной структурным уплотнением, деформации осуществляются за счет более рациональной структурной укладки частиц и их взаимной упругой деформации, на второй стадии за счет возникновения и роста поверхностей взаимного контакта частиц, а на третьей - за счет пластической деформации частиц порошка.

Исследованиями последних лет [10, 29] установлено, что стадия структурного уплотнения для порошков на основе железа, меди и других метал-

лов с обычными свойствами преобладает на начальной стадии уплотнения и часто совмещается со второй стадией. Для порошков металлов и сплавов с особыми свойствами, к которым относятся, прежде всего, порошки таких тугоплавких металлов как вольфрам и молибден, а также суперсплавы на основе никеля, кобальта и титана, содержащие интерметаллиды, оксидную, карбидную, нитридную, боридную и другую керамику, стадия структурного уплотнения является продолжительной и часто единственной. Усилие уплотнения таких порошков с особыми свойствами может быть рассчитано на основе дискретноконтактной теории формования, что подтверждено авторами статьи в публикации [3].

Исследование выполнено в рамках ФЦП «Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития научно-технологического комплекса России на 2007-2013 годы» Государственный контракт № 14.513.11.088 от 21.06.2013

Литература

1. Бальшин, М.Ю. Порошковая металлургия / М.Ю. Бальшин. - М.: Машгиз, 1948. - 254 с.

2. Жданович, Г.М. Теория прессования металлических порошков /Г.М. Жданович. - М.: Металлургия, 1969. - 264 с.

3. Теоретические и экспериментальные зависимости плотности от усилий компактирования порошковых заготовок /М.Н. Самодурова, Л.А. Барков, СА. Мымрин и др. //Вест. Юж.-Урал. гос. ун-та. Сер. «Металлургия». - 2013. - Т. 13, № 1. - С. 150-153.

4. Кипарисов, С.С. Закономерности уплотне-ниня порошковых материалов / С.С. Кипарисов,

В.Е. Перельман, О.В. Роман // Порошковая металлургия. - 1977. - № 12. - С. 39-44.

5. Перельман, В.Е. Формование порошковых материалов /В.Е. Перельман. - М.: Металлургия, 1979. - 232 с.

6. Феноменологические теории прессования порошков /М.Б. Штерн, Г.Г. Сердюк, Л.А. Максименко и др. - Киев: Наукова думка, 1982. - 140 с.

7. Гун, Г.Я. Математическое моделирование процессов обработки металлов давлением / Г.Я. Гун. - М.: Металлургия, 1983. - 352 с.

8. Гуляев, Ю.Г. Математическое моделирование процессов обработки металлов давлением / Ю.Г. Гуляев, С.А. Чукмасов, А.В. Губинский. -Киев: Наукова думка, 1986. - 240 с.

9. Колмогоров, В.Л. Механика обработки металлов давлением / В.Л. Колмогоров. - Екатеринбург: Изд-во УПИ, 2001. - С. 85-87.

10. Логинов, Ю.Н. Исследование процессов деформации некомпактных материалов с особыми свойствами: автореф. дис. ... д-ра техн. наук / Ю.Н. Логинов. - Екатеринбург: Изд-во УПИ, 2002. - 36 с.

11. Друянов, Б.А. Прикладная теория пластичности пористых тел / Б.А. Друянов - М.: Машиностроение, 1989. - 168 с.

12. Каменщиков, Ю.И. Теория деформируемости материалов /Ю.И Каменщиков, Л.А. Барков. -Челябинск: Изд-во ЧГТУ, 1995. - 123 с.

13. Грин, Р.Дж. Теория пластичности пористых тел /Р.Дж. Грин //Механика: сб. пер. - 1973. -№ 4. - С. 109-120.

14. Колмогоров, В.Л. Напряжения, деформации, разрушение / В.Л. Колмогоров. - М.: Металлургия, 1970. - 229 с.

15. Гун, Г.Я. Теоретические основы обработки металлов давлением / Г.Я. Гун. - М.: Металлургия, 1980. - 456 с.

16. Основные уравнения теории уплотняемых материалов / Л.А. Барков, Ю.И. Каменщиков, Б.А. Чаплыгин и др. // Проблемы развития металлургии Урала рубежа XXI века: сб. науч. тр. -Магнитогорск, 1996. - С. 113-118.

17. Барков, Л.А. Прокатка малопластичных металлов с многосторонним обжатием / Л.А. Барков, 1988. - 304 с.

18. Рудской, А.И. Разработка новых порошковых материалов и развитие теории их пластического деформирования с целью получения изделий со специальными физико-механическими свойствами: автореф. дис. ... д-ра техн. наук /А.И. Рудской. - СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1998. - 31 с.

19. Сегал, В.М. Пластическая деформация пористых тел / В.М. Сегал // Пластическая деформация легких и специальных сплавов. - 1982. -№ 2. - С. 37-42.

20. Григорьев, А.К. Энергетические методы решения технологических задач пластичности пористых тел / А.К. Григорьев, А.И. Рудской // Порошковая металлургия. - 1988. - № 5. -

С. 6-10.

21. Моргун, Г.Н. Обработка порошковых материалов давлением /Г.Н. Моргун //Итоги науки и техники. Сер. «Порошковая металлургия». - М.: ВИНИТИ, 1989. - Т. 3. - С. 67-124.

22. Григорьев, А.К. Деформация и уплотнение порошковых материалов /А.К. Григорьев, А.И. Рудской. - М.: Металлургия, 1992. - 192 с.

23. Shima, S. Plasticity theory for porous metals /

S. Shima, M. Oyane // Int. J. Mech. Sci. - 1976. -Vol. 18, no. 6. - Р. 285-291.

24. Барков, Л.А. Математическое моделирование процесса прессования изделий типа втулки из порошковых магнитных материалов /Л.А. Барков, П.А. Ческидов, М.Н. Самодурова // Вест. Юж.-Урал. гос. ун-та. Сер. «Машиностроение». -2004. - Вып. 5, № 5 (34). - С. 149-153.

25. Barkov, L.A. Consolidation model of powder materials /L.A. Barkov, P.A. Cheskidov // Jr. of World Congress. - Paris, 1994. - P. 561-566.

26. Экспериментальное исследование процесса холодного прессования штабиков из порошков вольфрама / С.А. Мымрин, В.Э. Кузнецов, Л.А. Барков и др. // Кузнечно-штамповочное производство. -1990. - № 9. - С. 15-18.

27. Андреева, Н.В. Исследование уплотняемо-сти порошков / Н.В. Андреева, И.Д. Радомысель-ский, Н.И. Щербаков // Порошковая металлургия. -1975. - № 6. - С. 32-42.

28. Shima, S. A study offorming of metal powders // Doct. Eng. Thesis. - Kyoto, 1975. - 200 p.

29. Александров, А.Э. Разработка методов математического моделирования технологий обработки давлением порошковых и пористых материалов: дис. ... канд. техн. наук: 05.16.05 / А.Э. Александров. - СПб., 2009. - 163 с.

Самодурова Марина Николаевна, кандидат технических наук, доцент кафедры машин и технологий обработки материалов давлением, Южно-Уральский государственный университет. 454080, г. Челябинск, пр. Ленина, 76. Тел.: (351)2679224. E-mail: samodurovamn@susu.ac.ru.

Барков Леонид Андреевич, доктор технических наук, профессор кафедры машин и технологий обработки материалов давлением, Южно-Уральский государственный университет. 454080, г. Челябинск, пр. Ленина, 76. E-mail: barkovla@susu.ac.ru.

Иванов Василий Александрович, старший преподаватель кафедры машин и технологий обработки материалов давлением, Южно-Уральский государственный университет. 454080, г. Челябинск, пр. Ленина, 76. E-mail: Vasilij.A.Ivanov@gmail.com.

Яров Булат Ажуватович, аспирант кафедры машин и технологий обработки материалов давлением, Южно-Уральский государственный университет. 454080, г. Челябинск, пр. Ленина, 76. E-mail: bulatyarov@ gmail.com.

Bulletin of the South Ural State University

Series “Metallurgy" ______________2013, vol. 13, no. 2, pp. 65-70

PHASE BALANCE IN LIQUID STEEL AT CERIUM INTRODUCTION

M.N. Samodurova, South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation, samodurovamn@susu. ac. ru,

L.A. Barkov, South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation, barkovla@susu. ac. ru

V.A. Ivanov, South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation, Vasilij.A. Ivanov@gmail. com

B.A. Yarov, South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation, bulatyarov@gmail. com

The paper presents an analysis of the experience of application of the known basic equations of continuum theory to describe the compaction of powders with special properties.

Keywords: continuum theory, basic equations, constitutive relations, densification, powders.

References

1. Bal'shin M.Yu. Poroshkovaya metallurgiya [Powder metallurgy]. Moscow, Mashgiz, 1948. 254 p.

2. Zhdanovich G.M. Teoriyapressovaniya metallicheskikhporoshkov [Theory of Pressing of Metal Powders]. Moscow, Metallurgiya, 1969. 264 p.

3. Samodurova M.N., Barkov L.A., Mymrin S.A., Ivanov V.A., Dzhigun N.S. Theoretical and Experimental Dependences of Density on the Force of Compaction of Powder Blanks [Teoreticheskie i eksperimental'nye zavi-simosti plotnosti ot usiliy kompaktirovaniya poroshkovykh zagotovok]. Bulletin of the South Ural State University. Series “Metallurgy”, 2013, vol. 13, no. 1, pp. 150-153.

4. Kiparisov S.S., Perel'man V.E., Roman O.V. Laws of Compaction of Powder Materials [Zakonomernosti uplotneniya poroshkovykh materialov]. Poroshkovaya metallurgiya, 1977, no. 12, pp. 39-44.

5. Perel'man V.E. Formovanieporoshkovykh materialov [Forming of Powder Materials]. Moscow, Metallurgiya, 1979. 232 p.

6. Shtern M.B., Serdyuk G.G., Maksimenko L.A. et al Fenomenologicheskie teorii pressovaniya poroshkov [Phenomenological Theories of Powder Pressing]. Kiev, Naukova Dumka, 1982. 140 p.

7. Gun G.Ya. Matematicheskoe modelirovanie protsessov obrabotki metallov davleniem [Mathematical Modeling of Metal Forming Processes]. Moscow, Metallurgiya, 1983. 352 p.

8. Gulyaev Yu.G., Chukmasov S.A., Gubinskiy A.V. Matematicheskoe modelirovanie protsessov obrabotki metallov davleniem [Mathematical Modeling of Metal Forming Processes]. Kiev, Naukova Dumka, 1986. 240 p.

9. Kolmogorov V.L. Mekhanika obrabotki metallov davleniem [Mechanics of Metal Forming]. Ekaterinburg, USTU Publ., 2001. 836 p.

10. Loginov Yu.N. Issledovanie protsessov deformatsii nekompaktnykh materialov s osobymi svoystvami. Dokt. diss. [Investigation of the Processes of Deformation of Non-Compact Materials with Special Properties. Doct. diss.]. Ekaterinburg, 2002. 394 p.

11. Druyanov B.A. Prikladnaya teoriya plastichnosti poristykh tel [Applied Theory of Plasticity of Porous Bodies]. Moscow, Mashinostroenie, 1989. 168 p.

12. Kamenshchikov Yu.I., Barkov L.A. Teoriya deformiruemosti materialov [Theory of Materials Deforma-bility]. Chelyabinsk, ChSTU Publ., 1995. 123 p.

13. Green R.J. A Plasticity Theory for Porous Solids. Int. J. Mech. Sci., 1972, vol. 14, no. 4, pp. 215-224. doi: 10.1016/0020-7403(72)90063-X.

14. Kolmogorov V.L. Napryazheniya, deformatsii, razrushenie [Stresses, Strains, Fracture]. Moscow, Metallurgiya, 1970. 229 p.

15. Gun G.Ya. Teoreticheskie osnovy obrabotki metallov davleniem [Theoretical Bases of Metal Forming]. Moscow, Metallurgiya, 1980. 456 p.

16. Barkov L.A., Kamenshchikov Yu.I., Chaplygin B.A. et al. Osnovnye uravneniya teorii uplotnyaemykh materialov [The Basic Equations of the Theory of Compacted Materials]. Problemy razvitiya metallurgii Urala

rubezha XXI veka [Problems of Development of Metallurgy of the Ural on the Threshold of the XXI Century]. Magnitogorsk, 1996, pp. 113-118.

17. Barkov L.A., Vydrin V.N., Pastukhov V.V., Chernyshev V.N. Prokatka maloplastichnykh metallov s mnogostoronnim obzhatiem [Rolling Low-Plastic Metals with a Multilateral Compression]. Chelyabinsk, Metal-lurgiya, 1988. 304 p.

18. Rudskoy A.I. Razrabotka novykh poroshkovykh materialov i razvitie teorii ikh plasticheskogo deformiro-vaniya s tsel'yu polucheniya izdeliy so spetsial'nymi fiziko-mekhanicheskimi svoystvami. Avtoref. dokt. diss. [Development of New Powder Materials and the Theory of Their Plastic Deformation to Obtain Products with Specific Physical and Mechanical Properties. Abstract of doct. diss.]. St. Petersburg, 1998. 31 p.

19. Segal V.M. Plastic Deformation of Porous Bodies [Plasticheskaya deformatsiya poristykh tel]. Plasti-cheskaya deformatsiya legkikh i spetsial'nykh splavov. T. 2. [Plastic Deformation of Light and Special Alloys. Vol. 2]. Moscow, Metallurgiya, 1982, pp. 37-42.

20. Grigor'ev A.K., Rudskoy A.I. Energy Methods for Solving Technological Problems of Plasticity of Porous Bodies [Energeticheskie metody resheniya tekhnologicheskikh zadach plastichnosti poristykh tel]. Poroshkovaya metallurgiya, 1988, no. 5. pp. 6-10.

21. Morgun G.N. Obrabotka poroshkovykh materialov davleniem [Handling of Powder Materials by Pressure]. VINITI. Seriya “Poroshkovaya metallurgiya”. T. 3. [VINITI. Series “Powder Metallurgy”. Vol. 3]. Moscow, VINITI, 1989, pp. 67-124.

22. Grigor'ev A.K., Rudskoy A.I. Deformatsiya i uplotnenie poroshkovykh materialov [Deformation and Compaction of Powder Materials]. Moscow, Metallurgiya, 1992. 192 p.

23. Shima S., Oyane M. Plasticity Theory for Porous Metals. Int. J. Mech. Sci., 1976, vol. 18, no. 6, pp. 285291. doi: 10.1016/0020-7403(76)90030-8.

24. Barkov L.A., Cheskidov P.A.. Samodurova M.N. Matematicheskoe modelirovanie protsessa pressovaniya izdeliy tipa vtulki iz poroshkovykh magnitnykh materialov [Mathematical Modeling of the Compression of Products Such as Sleeve from Powdered Magnetic Materials]. Bulletin of the South Ural State University. Series “Mechanical Engineering Industry”, 2004, no. 5 (34), issue 5, pp. 149-153.

25. Barkov L.A., Cheskidov Р.А. Consolidation Model of Powder Materials. J. of World Congress. Paris, 1994, pp. 561-566.

26. Mymrin S.A., Kuznetsov V.E., Barkov L.A. et al Eksperimental'noe issledovanie protsessa kholodnogo pressovaniya shtabikov iz poroshkov vol'frama [An Experimental Study of the Process of Cold Pressing of Rods from Tungsten Powders]. Kuznechno-shtampovochnoe proizvodstvo, 1990, no. 9, pp. 15-18.

27. Andreeva N.V., Radomysel'skiy I.D., Shcherbakov N.I. Issledovanie uplotnyaemosti poroshkov [Investigation of compactibility of powders]. Poroshkovaya metallurgiya, 1975, no. 6, pp. 32-42.

28. Shima S. A Study of Forming of Metal Powders. Doct. eng. thesis. Kyoto, 1975. 200 p.

29. Aleksandrov A.E. Razrabotka metodov matematicheskogo modelirovaniya tekhnologiy obrabotki davleniem poroshkovykh i poristykh materialov. Kand. diss. [Development of Methods of Mathematical Modeling of Technologies of Forming Powder and Porous Materials. Cand. sci. diss.]. St. Petersburg, 2009. 163 p.

Поступила в редакцию 2 октября 2013 г.