Исследование демпфирующих свойств водной пены под воздействием сферической ударной волны

УДК 532.529:5

DOI 10.21685/2072-3040-2017-2-9

Р. Х. Болотнова, Э. Ф. Гайнуллина

ИССЛЕДОВАНИЕ ДЕМПФИРУЮЩИХ СВОЙСТВ ВОДНОЙ ПЕНЫ ПОД ВОЗДЕЙСТВИЕМ СФЕРИЧЕСКОЙ УДАРНОЙ ВОЛНЫ1

Аннотация.

Актуальность и цели. Изучено поведение водной пены в условиях взрывного воздействия с целью улучшения ее демпфирующих свойств, проводимого на основе построения математической модели, учитывающей структурные особенности пены, ее компьютерную реализацию и сравнение полученных решений с новыми экспериментальными данными, что является весьма актуальным и важным научным направлением.

Материалы и методы. Разработана двухфазная модель поведения водной пены при воздействии мощной сферической ударной волны, описываемая уравнениями сохранения импульса смеси, массы и внутренней энергии каждой фазы в лагранжевых переменных с учетом объемной вязкости и межфазного теплообмена. Численная реализация модели проведена методом сквозного счета с использованием вязкости Неймана - Рихтмайера и условием устойчивости Куранта. Сферический взрыв моделировался в виде ударной волны, обладающей энергией заряда взрывчатого вещества, используемого в экспериментах.

Результаты. Получено удовлетворительное согласование численных решений и экспериментальных данных по сферическому взрыву в газе и водной пене. Детально исследованы причины, приводящие к значительному снижению амплитуды и скорости ударной волны в изучаемых средах.

Выводы. В результате численного исследования по предлагаемой модели водной пены, учитывающей межфазный контактный теплообмен и вязкость, установлено, что ударное сжатие пены приводит к ее уплотнению, существенно снижает амплитуду и скорость распространения ударной волны и, как следствие, сопровождается значительной диссипацией энергии взрыва по сравнению с газовой средой.

Ключевые слова: сферическая ударная волна, модель водной пены, численное исследование.

R Kh. Bolotnova, E. F. Gaynullina

A RESEARCH OF DAMPING PROPERTIES OF AQUEOUS FOAM UDER THE IMPACT OF SPHERICAL SHOCK WAVES

Abstract.

Background. The study is aimed at analyzing the behavior of aqueous foam under the conditions of explosive impact in order to improve its damping properties. For this purpose the authors have constructed a mathematical model that takes into account the foam's structural features, its computer realization and comparison of

1 Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ (р_а 17-41-020582), Совета по грантам Президента Российской Федерации для государственной поддержки ведущих научных школ РФ (грант НШ-6987.2016.1).

obtained solutions with new experimental data, which is a very relevant and important scientific direction.

Materials and methods. The authors have developed a two-phase behavioral model of aqueous foam under strong spherical shock wave impact, described by equations of momentum conservation for mixture, mass and internal energy of each phase in Lagrangian variables, taking into account bulk viscosity and interphase heat exchange. The numerical realization of the model was carried out by the counting method, using the Neumann-Richtmayer viscosity and the Courant stability condition. A spherical explosion was modeled in the form of a shock wave, which has the energy of explosive charges used in experiments.

Results. The authors have achieved a satisfactory agreement between the numerical solutions and new experimental data on spherical explosions in gas and aqueous foam. The causes leading to a significant decrease in amplitude and shock wave velocity in the studied media have been investigated in detail.

Conclusions. As a result of the numerical study using the proposed model of aqueous foam, taking into account interfacial contact heat exchange and viscosity, it has been established that shock compression of the foam leads to its compaction, greatly reduces the amplitude and propagation velocity of shock waves and, consequently, is accompanied by a considerable dissipation of explosion energy in comparison with the gas medium.

Key words: spherical shock wave, aqueous foam model, numerical investigation.

Введение

Ударные волны (УВ), инициируемые мощными взрывами, способны вызывать широкомасштабные разрушения, приводящие к человеческим жертвам, значительному материальному и экологическому ущербу. Использование пенообразующих водных растворов относится к широко распространенным современным технологиям защиты, таким как пыле- и шумоподавление, пожаро- и взрывобезопасность, предупреждение загрязнений окружающей среды. Высокая сжимаемость водной пены является основной причиной значительного снижения скорости распространения акустических и УВ и, как следствие, приводит к уменьшению интенсивности давления на фронте УВ. Дополнительное снижение давления в УВ происходит за счет межфазного теплообмена между жидкой и газовой дисперсными фазами, из которых формируется структура пены.

В связи с важностью исследования проблемы ослабления интенсивности УВ с помощью барьеров из водной пены построение математических моделей многофазных пенных структур, учитывающих эффекты межфазных взаимодействий, их компьютерная реализация и апробация найденных решений путем сравнения с новыми экспериментальными данными, полученными на основе современных методов измерений, являются весьма актуальными научными направлениями.

В экспериментальных работах [1-5] изучалось прохождение одномерных плоских [1-3] и сферических [4, 5] УВ в водной пене для различных ин-тенсивностей УВ и исходных значений водосодержания. Было показано, что амплитуда УВ в таких пенах снижается на порядок относительно газовой среды. В отмеченных экспериментах наблюдалось также замедление скорости распространения УВ. За счет уплотнения пены в УВ происходило разру-

шение жидких мостов и формирование газокапельной смеси в отсутствие процессов осаждения капель [3].

Теоретические исследования распространения УВ в газожидкостной среде с привлечением вычислительных методов проводились в [4, 6-10]. В статье [6] на основе разработанной модели газожидкостной смеси исследовались плоские одномерные ударные волны в пузырьковых средах с высоким газосодержанием. В работе [7] изучалось влияние процесса синерезиса на распространение УВ в водной пене на основе газокапельной модели с использованием модифицированной схемы Годунова. Для анализа степени затухания УВ в релаксирующих средах [4] применялась смесевая модель водной пены. Численное моделирование взрыва заряда взрывчатого вещества (ВВ) в пене рассмотрено в работе [8] также с помощью смесевой модели и с учетом межфазного теплообмена. В работах [9, 10] исследовались особенности взаимодействия ударно-волнового импульса с пенным слоем в условиях пространственной осевой симметрии с использованием двухфазной модели газожидкостной смеси. В работе [11] численно исследованы явления затухания ударных волн в водных пенах в результате сферического взрыва, основанные на модели газожидкостной смеси без учета межфазных теплообмен-ных процессов. Проведен сравнительный анализ полученных результатов с экспериментальными данными работы [5].

Целью настоящего исследования является более детальный, по сравнению с [11], анализ процессов затухания сильных УВ в водной пене, учитывающий объемную вязкость среды и процесс тепловой межфазной релаксации за счет контактного теплообмена в условиях экспериментов [5].

1. Постановка задачи

Рассмотрим однородную газожидкостную пенную среду с начальным объемным водосодержанием Ою, соответствующим условиям эксперимента [5] (рис. 1), в центре которой происходит взрыв заряда ВВ, моделируемый в виде исходного импульса давления p(x):

p

Избыток энергии AE в объеме, охваченной УВ, в сферической системе координат определяется по аналогии с [4]:

2 21

*

где е - аддитивная по массе внутренняя энергия смеси [12]:

ре = р0е101 + р2е202 .

Предположим, что скорости газовой и жидкой фаз пены одинаковы, справедлива однодавленческая модель с индивидуальными температурами фаз и теплообмен между фазами происходит только на контактной межфазной поверхности. Для таких допущений поведение водной пены при воздействии мощного импульса давления описывается уравнениями модели двух-

фазной среды в лагранжевых переменных в случае сферической симметрии, включающей законы сохранения массы каждой фазы, импульса смеси и внутренней энергии каждой фазы [12]:

- сохранение массы первой и второй фазы:

Ро Э^Щ) | Pitt! (V-1) У Pitt! Э/Х^ 1 = 0

Р

Эt

Р

х

Ро Эг

Р0 Э(Р°«2) ^ Р2«2 (V-1) У Р2«2 Э и

о

- +

р дt р сохранение импульса смеси:

д V

р0 э7 =

Ро Эг

х

v-1

-I = 0;

r

,V-1 -Л

x\ Эр;

Эг '

- сохранение внутренней энергии для каждой фазы в случае двухтем-пературного приближения:

Ро о Эв1 а1Р!ЗТ = а1

Р Эt

( V-1 , (V-1)(V-2) 1

p(х| Э^ p(v 1) иЭх(x I r I Эг r Эг I r

(

Ро о Эе2 —tt 2Р2 "дТ" = tt 2

Р Эt

/ \V-1 -N

( х 1 Э v

p t r

_-p(v-1) Щ x

Эг r Эг t r

(v-1)(V-2) 1

Условие равенства давлений фаз р1

форме:

( dpL 1 ЭРо

ЭРо Эt

о (

др^ ЭТ1

\

'Р1

щ

Эt

^ > - о \

ЭР2

Эр2

JT

М

Эt

р в дифференциальной

ЭР21 ЭТ2

ЭТ2

Ро Эt

р2

= о,

где аг-, рг- - объемное содержание и текущая плотность; Т - температура; е^ (р0,Т), р^ (р0,Т)- внутренняя энергия и давление; 7 =1, 2 - соответствуют жидкой и газовой фазе; ро, р = р0« + р2?^2 - начальная и текущая средние

плотности смеси; v - массовая скорость частиц; г, х - лагранжева и эйлерова координаты; V = 1, 2, 3 принимается в случае плоской, цилиндрической и сферической симметрии.

Рассмотрим зависимость поведения водной пены в УВ от интенсивности межфазного теплообмена д. В силу особенностей ячеистой пенной структуры, состоящей из жидких пленок толщиной 5, за фронтом сильной УВ происходит разрушение пены на микрокапли диаметром й0 ~ 5. Процесс разрушения жидких пленок оценивается в [13] временными интервалами ~10 мкс при толщине жидких пленок 5 = 10-5 м. В связи с вышеизложенным в предлагаемой модели положим, что за фронтом сильной УВ водная пена разрушена

2

и жидкая составляющая смеси состоит из монодисперсных микрокапель диаметра С, равномерно распределенных в объеме газа. В таком случае интенсивность теплообмена фаз я в (5) имеет вид, аналогичный [8]:

Я = 212Л°'У2Д

С2Рг(у2 - 1)^2

Здесь л - коэффициент динамической вязкости газа, который задается

(t

степенной функцией л = Л*

2

v T* у

-5

, где л* =1,71-10 кг/м-с, T* = 273 К - ди-

намическая вязкость и температура при начальных условиях; е = 0,85 , у2 -показатель адиабаты газа; Я - универсальная газовая постоянная;

*0

( >1/3 Р10

Р1

0

- текущий диаметр капли, do = 3 -10 5 м, ^ - молекулярная

/

4у 2

масса воздуха; Pr =----число Прандтля.

9у 2 " 5

В качестве уравнения состояния воды используется соотношение [14], в котором давление и внутренняя энергия представлены в виде суммы потенциальной (холодной) и тепловой составляющих (в форме Ми-Грюнайзена):

p1 = p + p , ex = e + e .

Для описания свойств воздуха принимается уравнение состояния совершенного газа:

p = pRT = р

где cv = 717 Дж/K - удельная теплоемкость воздуха при постоянном объеме.

Начальные и граничные условия для поставленной задачи соответствуют схеме проведения эксперимента [5] (рис. 1), в котором с использованием взрывчатого вещества PLANP массой ~145 г, помещенного в пластиковый шар диаметром 60 мм, производился сферический взрыв в газе или водной пене.

Для измерения давления в УВ, производимого сферическим взрывом, использовались датчики, расположенные на фиксированных расстояниях li (i = 1,...,4) от места взрыва. Полученные в эксперименте осциллограммы давления представлены в [5] в системе масштабирования расстояний по шкале Гопкинсона [15]:

x = ХЛП =—Х— м/кг ,

W1/3 0,5689

где x - расстояние от центра взрыва; W = m л = 0,184 кг - масса взрывчатого вещества в тротиловом эквиваленте; m = 0,145 кг, л = 1,27 - масса заряда и коэффициент перевода в тротиловый эквивалент рассматриваемого взрывчатого вещества PLANP, основной компонентой которого является тринитротолуол. Энергия взрыва AE определяется таким образом [16]:

ДЕ = QW = 7,7 • 105 Дж,

где () = 4184 кДж/кг - удельная энергия взрывного разложения тринитротолуола.

Система уравнений (3)-(7) с замыкающими соотношениями для давления и внутренней энергии (8), (9), начальными и граничными условиями, соответствующими экспериментам [5], представляет собой задачу Коши, которая решалась численно на явной разностной сетке с использованием искусственной вязкости Неймана - Рихтмайера, как добавки к давлению, являющейся аналогом объемной вязкости [12, 17]. Устойчивость решения обеспечивалась условием Куранта [12].

В процессе численного исследования на основе разработанной математической модели были проведены три серии расчетов для условий экспериментов [5]. На первом этапе моделировался сферический взрыв в воздухе. Согласование энергии взрыва ВВ, контролируемой в ходе расчетов по (2), и ее экспериментальным значением (11) достигнуто при следующих значениях амплитуды и ширины начального импульса давления в газе (1): Др = 2 • 10 МПа, a = 0,158 м. Поскольку степень диссоциации молекулы азота, как основной составляющей воздуха, по данным [18] в рассматриваемом диапазоне начальных давлений и температур составляет лишь доли процента, то диссоциация воздуха в настоящей работе не учитывалась. На рис. 2 представлены расчетные и экспериментальные данные по зависимости давления от расстояния до центра взрыва в газе, формирующиеся вследствие сферического взрыва в указанные моменты времени (мс).

Здесь же приведены экспериментально фиксируемые пики максимальных давлений [5], и обобщенные в аналитической форме результаты экспериментальных данных G. Kinney, K. Graham [19] (штриховая линия).

3

Рис. 1. Схема экспериментальной установки: 1 - датчики давления; 2 - заряд ВВ; 3 - загрузка пены

2. Результаты расчетов

Рис. 2. Зависимость давления в газе от расстояния до точки взрыва в указанные моменты времени (мс): 1 - результаты расчетов; 2 - обобщение экспериментов по максимальным давлениям УВ в газе [19]; 3, 4 - экспериментальные точки [5] максимальных давлений УВ; 4 - в положениях датчиков /ь ..., 14

На рис. 3 приведены зависимости давления от времени в местоположениях датчиков в логарифмической шкале расстояний ^ = 0,55; 12 = 0,66; 13 = 0,77; 14 = 1,43 (м) до центра взрыва. Как в экспериментах, так и в расчетах (см. рис. 2 и 3) начиная с момента времени ^ = 1 мс за первым (основным) импульсом давления следует второй пик давления, который образуется в результате взаимодействия первой волны разгрузки с центром рассматриваемой сферической области. Теоретический анализ особенности формирования вторичных пиков давления при сферическом взрыве рассмотрен в [20].

В следующей серии расчетов было проведено численное исследование процесса формирования и распространения сферической УВ в водной пене для условий экспериментов [5] с начальными параметрами импульса давления Ар = 6 -10 МПа, а = 0,07 м и объемным водосодержанием аю = 0,0043, заниженным по сравнению с данными эксперимента [5]. Уменьшение аю в модельных расчетах связано с учетом влияния синерезиса (осаждения) пены в растянутом по времени процессе ее генерации с небольшой скоростью, варьируемой от 0,150 до 1 м3/мин с коэффициентом расширения 1:120 [5]. На рис. 4 для сравнительного анализа представлены расчетные зависимости давления от расстояния до центра взрыва в условиях эксперимента [5], которые

соответствуют расчетам как без учета (пунктир), так и с учетом (сплошная линия) теплообмена (7) и вязкости [17] в указанные моменты времени (мс).

Рис. 3. Зависимость давления от времени в газе в местоположениях датчиков на расстояниях /ь ..., 14 от точки взрыва: 1 - результаты расчетов; 2 - экспериментальные данные [5]

Максимальные значения давлений, соответствующие экспериментам [5], отмечены на рис. 4 точками 5. Обобщение в аналитической форме базы данных G. Kinney, K. Graham [19] для газа и экспериментов национальной лаборатории Sandia [21] для пены и показано линиями 3 и 4. Начиная с момента времени t ~ 1,0 мс в расчетах фиксируется скачок давления, что является следствием отражения волны сжатия от центра взрыва. Формирование вторичных пиков давления в пене происходит аналогично вышеописанному процессу взрыва ВВ в воздухе.

На рис. 5 представлены расчетные временные зависимости давления (линии 1, 2) и экспериментальные осциллограммы давления в пене в местоположениях датчиков, находящихся на расстояниях l1 = 0,41; l2 = 0,53; l3 = 0,67; l4 = 0,93 (м) от точки взрыва в логарифмической шкале расстояний. Сплошные линии 1 для профилей давления в водной пене рассчитаны с учетом межфазного теплообмена и вязкости. Полученные в расчетах пиковые значения давления на рис. 4 и 5 без учета межфазного теплообмена и вязкости имеют превышение экспериментальных величин, что становится заметным при х > 0,5 м. Добавление в уравнения сохранения внутренней энергии каждой фазы (5) слагаемого, определяющего интенсивность теплообмена q, приводит к дополнительному снижению амплитуды давления за счет пони-

жения температуры газовой фазы и, как следствие, к замедлению скорости фронта УВ по сравнению c расчетами без учета теплообмена. Влияние дисси-пативных процессов (вязкости) на фронте УВ по мере ее удаления от центра взрыва приводит к дополнительному «размазыванию» длительности УВ импульса.

Рис. 4. Зависимость давления в пенной среде от расстояния до точки взрыва в указанные моменты времени (мс): 1, 2 - результаты расчетов с учетом и без учета теплообмена (7) и вязкости [17]; 3, 4 - обобщение экспериментов по максимальным давлениям УВ в газе [19] и пене [21]; 5, 6 - экспериментальные точки [5] максимальных давлений УВ в пене; 6 - в положениях датчиков /ь ..., 14

В ходе вычислительного эксперимента проводился также контроль динамики объемного водосодержания пены при прохождении УВ. На рис. 6 показаны полученные в расчетах профили объемного содержания жидкости в пене для указанных моментов времени (мс). Процесс уплотнения пены за фронтом УВ приводит к росту объемного водосодержания до значения «1= 0,02 в момент времени ( = 0,05 мс, что сопровождается уменьшением скорости распространения УВ и снижением ее амплитуды по сравнению с аналогичными расчетами в газовой среде (ср. рис. 2 и 4).

Заключение

Представлены результаты численного моделирования процесса распространения сферической УВ, инициируемой взрывом заряда ВВ в газе и вод-

ной пене с использованием предложенной модели газожидкостной пены, учитывающей межфазный контактный теплообмен и вязкость. Программная реализация модели осуществлена в среде разработки Lazarus. При моделировании сферического взрыва в виде начального импульса давления оценивался избыток полной энергии сформировавшейся УВ с тем, чтобы получить ее согласование с энергией заряда ВВ, используемого в рассматриваемых экспериментах.

Рис. 5. Зависимость давления от времени в пене в местоположениях датчиков на расстояниях /ь ..l4 от точки взрыва: 1, 2 - результаты расчетов с учетом и без учета теплообмена и вязкости; 3 - экспериментальные данные [5]

Полученные при расчетах зависимости давления от времени и расстояния от точки взрыва и экспериментальные данные по сферическому взрыву в газе и пене в виде профилей давления имеют удовлетворительное согласование по амплитуде, длительности и скорости распространения ударного импульса. Установлено, что сжатие пены в УВ приводит к ее уплотнению и сопровождается уменьшением скорости ее распространения. Увеличение начальной плотности пены усиливает ее демпфирующие способности [22]. Использование пены даже с небольшим водосодержанием аю ~ 0,004 способно уменьшить амплитуду УВ до 6 раз и снизить скорость ее распространения в 2 раза по сравнению с газовой средой. Анализ динамики объемного водосодержания aj показал, что в процессе распространения УВ на начальной стадии процесса происходит увеличение а1 в 5 раз, что приводит к замедлению скорости УВ и снижению ее амплитуды, и к значительной диссипации энергии взрыва.

5

4

Рис. 6. Расчетная зависимость объемного содержания воды в пене от расстояния для указанных моментов времени

Библиографический список

1. Shock waves in water foams / A. A. Borisov, B. E. Gelfand, V. M. Kudnov, B. I. Pala-marchuk, V. V. Stepanov, E. I. Timofeev, S. V. Khomik // Acta Astronautica. - 1978. -Vol. 5, № 11. - P. 1027-1033.

2. Analysis of shock-wave propagation in aqueous foams using shock tube experiments / G. Jourdan, C. Marian, L. Houas, A. Chinnayya, A. Hadjadj et. al. // Physics of Fluids. -2015. - Vol. 27. - P. 056101.

3. Britan, A. Drainage effects on shock wave propagating through aqueous foams / A. Britan, G. Ben-Dor, H. Shapiro, I. Shreiber // Colloids and Surfaces A: Physico-chemical and Engineering Aspects. - 2007. - № 309. - P. 137-150.

4. Вахненко, В. А. К вопросу о затухании сильных ударных волн в релаксиру-ющих средах / В. А. Вахненко, B. M. Кудинов, Б. И. Паламарчук // Физика горения и взрыва. - 1984. - № 1. - С. 105-111.

5. Blast Wave Mitigation by Dry Aqueous Foams / E. Del Prete, A. Chinnayya, L. Domergue et al. // Shock Waves. - 2013. - Vol. 23, № 1. - P. 39-53.

6. Болотнова, Р. Х. Моделирование процессов взаимодействия сильных ударных волн в газожидкостных смесях / Р. Х. Болотнова, М. Н. Галимзянов, У. О. Агишева // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2011. - № 2 (18). - С. 3-14.

7. Васильев, Е. И. Численное моделирование и экспериментальное исследование влияния процесса синерезиса на распространение ударных волн в газожидкостной пене / Е. И. Васильев, С. Ю. Митичкин, В. Г. Тестов, Ху Хайбо // Журнал технической физики. - 1997. - № 11. - С. 1-9.

8. Ждан, С. А. Численное моделирование взрыва заряда ВВ в пене / С. А. Ждан // Физика горения и взрыва. - 1990. - Т. 26, № 2. - С. 103-110.

9. Болотнова, Р. Х. Пространственное моделирование динамики газожидкостной пены на подвижных лагранжевых сетках в условиях ударно-волнового воздействия / Р. Х. Болотнова, У. О. Агишева // Вычислительные методы и программирование: новые вычислительные технологии. - 2014. - Т. 15, № 3. - С. 427-440.

10. Агишева, У. О. Особенности вихреобразования при воздействии импульса давления на газовую область, ограниченную пенным слоем / У. О. Агишева, Р. Х. Болотнова, Э. Ф. Гайнуллина, В. А. Коробчинская // Известия Российской академии наук. Механика жидкости и газа. - 2016. - № 6. - С. 47-55.

11. Болотнова, Р. Х. Численное моделирование сферического взрыва в пене / Р. Х. Болотнова, Э. Ф. Гайнуллина // Труды Института механики им. Р. Р. Мавлю-това Уфимского научного центра РАН. - 2016. - Т. 11, № 1. - С. 60-65.

12. Нигматулин, Р. И. Динамика многофазных сред / Р. И. Нигматулин. - М. : Наука, 1987. - Ч. 1. - 464 с.

13. Кудинов, В. М. Ударные волны в газожидкостных средах пенистой структуры / В. М. Кудинов, Б. И. Паламарчук, Б. Е. Гельфанд, С. А. Губин // Прикладная механика. - 1977. - Т. 13, № 3. - С. 92-97.

14. Нигматулин, Р. И. Широкодиапазонное уравнение состояния воды и пара. Упрощенная форма / Р. И. Нигматулин, Р. Х. Болотнова // Теплофизика высоких температур. - 2011. - Т. 49, № 2. - С. 310-313.

15. Baker, W. E. Explosions in Air / W. E. Baker. - Austin : University of Texas Press, 1973. - 268 p.

16. Бесчастнов, М. В. Промышленные взрывы: оценка и предупреждение / М. В. Бесчастнов. - М. : Химия, 1991. - 432 с.

17. Neumann, J. A method for the numerical calculation of hydrodynamical shocks / J. Neumann, R. Richtmyer // Journal of Applied Physics. - 1950. - Vol. 21, № 3. -P. 232-237.

18. Щукарев, С. А. Лекции по общему курсу химии / С. А. Щукарев. - Л. : Изд-во Ленингр. ун-та, 1964. - T. 1. - 407 c.

19. Kinney, G. Explosives shocks in Air / G. Kinney, K. Graham. - 2nd ed. - Berlin : Springer, 1985. - 282 p.

20. Brode, H. L. Blast wave from a spherical charge / H. L. Brode // Physics of Fluids. -1959. - Vol. 217, № 2 (2). - P. 217-229.

21. Hartman, W. Blast mitigation capabilities of aqueous foam / W. Hartman, B. Boughton, M. Larsen / Technical Report. SAND2006-0533. - Sandia : Sandia National Laboratories, 2006. - 98 p.

22. Агишева, У. О. Параметрический анализ режимов ударно-волнового воздействия на газожидкостные среды / У. О. Агишева, Р. Х. Болотнова, В. А. Бузина, М. Н. Галимзянов // Известия Российской академии наук. Механика жидкости и газа. - 2013. - № 2. - C. 15-28.

References

1. Borisov A. A., Gelfand B. E., Kudnov V. M., Palamarchuk B. I., Stepanov V. V., Timofeev E. I., Khomik S. V. Acta Astronautica. 1978, vol. 5, no. 11, pp. 1027-1033.

2. Jourdan G., Marian C., Houas L., Chinnayya A., Hadjadj A. et. al. Physics of Fluids. 2015, vol. 27, p. 056101.

3. Britan A., Ben-Dor G., Shapiro H., Shreiber I. Colloids and Surfaces A: Physico-chemical and Engineering Aspects. 2007, no. 309, pp. 137-150.

4. Vakhnenko V. A., Kudinov B. M., Palamarchuk B. I. Fizika goreniya i vzryva [Combustion and explosion physics]. 1984, no. 1, pp. 105-111.

5. Del Prete E., Chinnayya A., Domergue L. et al. Shock Waves. 2013, vol. 23, no. 1, pp. 39-53.

6. Bolotnova R. Kh., Galimzyanov M. N., Agisheva U. O. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2011, no. 2 (18), pp. 3-14.

7. Vasil'ev E. I., Mitichkin S. Yu., Testov V. G., Khu Khaybo Zhurnal tekhnicheskoy fiziki [Journal of engineering physics]. 1997, no. 11, pp. 1-9.

8. Zhdan S. A. Fizika goreniya i vzryva [Combustion and explosion physics]. 1990, vol. 26, no. 2, pp. 103-110.

9. Bolotnova R. Kh., Agisheva U. O. Vychislitel'nye metody i programmirovanie: novye vychislitel'nye tekhnologii [Numerical methods and programming: new computing technologies]. 2014, vol. 15, no. 3, pp. 427-440.

10. Agisheva U. O., Bolotnova R. Kh., Gaynullina E. F., Korobchinskaya V. A. Izvestiya Rossiyskoy akademii nauk. Mekhanika zhidkosti i gaza [Proceedings of RAS. Mechanics of fluids]. 2016, no. 6, pp. 47-55.

11. Bolotnova R. Kh., Gaynullina E. F. Trudy Instituta mekhaniki im. R. R. Mavlyutova Ufimskogo nauchnogo tsentra RAN [Proceedings of Institute of Mechanics named after R.R. Mavlyutov of Ufa Reserch Center of RAS]. 2016, vol. 11, no. 1, pp. 60-65.

12. Nigmatulin R. I. Dinamika mnogofaznykh sred [Dynamics of multiphase media]. Moscow: Nauka, 1987, part 1, 464 p.

13. Kudinov V. M., Palamarchuk B. I., Gel'fand B. E., Gubin S. A. Prikladnaya mekhanika [Applied mechanics]. 1977, vol. 13, no. 3, pp. 92-97.

14. Nigmatulin R. I., Bolotnova R. Kh. Teplofizika vysokikh temperatur [Thermal physics of high temperatures]. 2011, vol. 49, no. 2, pp. 310-313.

15. Baker W. E. Explosions in Air. Austin: University of Texas Press, 1973, 268 p.

16. Beschastnov M. V. Promyshlennye vzryvy: otsenka i preduprezhdenie [Industrial explosions: estimation and prevention]. Moscow: Khimiya, 1991, 432 p.

17. Neumann J., Richtmyer R. Journal of Applied Physics. 1950, vol. 21, no. 3, pp. 232237.

18. Shchukarev S. A. Lektsiipo obshchemu kursu khimii [General chemistry lectures]. Leningrad: Izd-vo Leningr. un-ta, 1964, vol. 1, 407 p.

19. Kinney G., Graham K. Explosives shocks in Air. 2nd ed. Berlin: Springer, 1985, 282 p.

20. Brode H. L. Physics of Fluids. 1959, vol. 217, no. 2 (2), pp. 217-229.

21. Hartman W., Boughton B., Larsen M. Blast mitigation capabilities of aqueous foam. Technical Report. SAND2006-0533. Sandia: Sandia Na-tional Laboratories, 2006, 98 p.

22. Agisheva U. O., Bolotnova R. Kh., Buzina V. A., Galimzyanov M. N. Izvestiya Rossiyskoy akademii nauk. Mekhanika zhidkosti i gaza [Proceedings of RAS. Mechanics of fluids]. 2013, no. 2, pp. 15-28.

Болотнова Раиса Хакимовна

доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник, главный научный сотрудник лаборатории «Механика многофазных систем», Институт механики имени Р. Р. Мавлютова Уфимского научного центра РАН

E-mail: bolotnova@anrb.ru

Bolotnova Raisa Khakimovna Doctor of physical and mathematical sciences, senior staff scientist, "Mechanics of mutliphase systems" laboratory, Institute of Mechanics named after R. R. Mavlyutov of Ufa research Center of RAS

Гайнуллина Элина Фанилевна стажер-исследователь лаборатории «Механика многофазных систем», Институт механики имени Р. Р. Мавлютова Уфимского научного центра РАН

Gaynullina Elina Fanilevna Trainee researcher, "Mechanics of mutliphase systems" laboratory, Institute of Mechanics named after R. R. Mavlyutov of Ufa research Center of RAS

E-mail: elina.gef@yandex.ru

УДК 532.529:5 Болотнова, Р. Х.

Исследование демпфирующих свойств водной пены под воздействием сферической ударной волны / Р. Х. Болотнова, Э. Ф. Гайнуллина // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2017. - № 2 (42). - С. 108-121. DOI 10.21685/2072-30402017-2-9