О влиянии температуры поверхности на течение около треугольного крыла для режима сильного взаимодействия

Том ХЬЇ

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ 2010

№ 3

УДК 532.526.011.55.011.6

О ВЛИЯНИИ ТЕМПЕРАТУРЫ ПОВЕРХНОСТИ НА ТЕЧЕНИЕ ОКОЛО ТРЕУГОЛЬНОГО КРЫЛА ДЛЯ РЕЖИМА СИЛЬНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

Г. Н. ДУДИН, К. Т. МЬИНТ

Исследовано влияние температурного фактора на характеристики и структуру течения в пространственном пограничном слое на треугольном крыле с острыми передними кромками при больших сверхзвуковых скоростях полета. Рассмотрен режим сильного вязконевязкого взаимодействия пограничного слоя с внешним невязким потоком на полубеско-нечном крыле с удлинением порядка единицы. Изменение толщины крыла в поперечном направлении имеет степенной характер. Изучено влияние параметра, характеризующего отношение толщины крыла к характерной толщине пограничного слоя, на локальные характеристики течения и аэродинамические коэффициенты. Представлены результаты численного расчета характеристик течения пограничного слоя как в закритической, так и в докритиче-ской областях течения.

Ключевые слова: треугольное крыло, пограничный слой, сильное вязко-невязкое взаимодействие, гиперзвуковой поток.

Исследование течения в пространственном пограничном слое на нехолодных плоских треугольных крыльях, обтекаемых гиперзвуковым потоком вязкого газа, показало, что на режиме сильного вязкого взаимодействия [1] разложение решения в окрестности передней кромки не единственно и содержит произвольную константу. Соответствующий выбор ее в принципе позволяет удовлетворить условиям в плоскости симметрии полубесконечного треугольного крыла. При этом только на самой кромке крыла решение совпадает с решением, соответствующим обтеканию полубесконечной скользящей пластины. Более сложный характер течения реализуется при обтекании полубесконечных треугольных крыльев, имеющих толщину. В этом случае характер течения в пограничном слое изменяется [2] и в значительной степени зависит как от распределения толщины крыла в поперечном направлении, так и от отношения характерной толщины крыла к толщине пограничного слоя. В частности, возможно образование развитых зон возвратного вторичного течения и, как следствие, локальных зон с повышенным тепловым потоком не только в окрестности плоскости симметрии крыла. При обтекании холодных крыльев, когда температура поверхности намного меньше температуры торможения, на режиме сильного вязкого взаимодействия характер течения существенно меняется. Так, при углах стреловидности плоского треугольного крыла меньше критического в пограничном слое образуются области закритического и докритического течения [3, 4]. В первой из них возмущения не распространяются вверх по потоку и реализуется автомодельное течение, соответствующее обтеканию полубесконечной скользящей пластины. Если угол стреловидности крыла больше критического, то на всем крыле реализуется докритический режим обтекания, в котором возмущения распространяются от плоскости симметрии крыла вплоть до передних кромок. Исследования условий возникновения областей с закритическим режимом течения показали, что задание толщины крыла, естественно, влияет на характеристики течения в пограничном слое, а следовательно, будет влиять и на значение координаты перехода от закритического течения к докритическому режиму течения и изменять размеры соответствующих областей. При этом в закритической области течения могут уже и

не описываться автомодельными решениями. Таким образом, исследование влияния температурного фактора на характеристики течения является чрезвычайно важным, так как реальный температурный фактор в полете и моделируемый в аэродинамических трубах могут существенно отличаться.

1. Рассматривается симметричное обтекание под нулевым углом атаки полубесконечного треугольного крыла на режиме сильного вязко-невязкого взаимодействия в предположении, что характерная толщина крыла порядка толщины вытеснения пограничного слоя. Газ считается совершенным с отношением удельных теплоемкостей у = сpjcv и вязкостью, линейно зависящей

от температуры ц,( Vц„ = С„Т VТ„, где Сда = const, а индекс да обозначает параметры в невозмущенном потоке. Компоненты вектора скорости и0, v0, w0 направлены соответственно вдоль осей х0, y0, z0 декартовой системы координат, начало которой расположено в вершине крыла с полууглом 0. Толщина крыла задается уравнением у0 = 5W (х0, z0 ) с характерной безразмерной толщиной т 1. Предполагается, что удлинение крыла s = tg 0 является величиной порядка единицы. В невозмущенном потоке ида — скорость, рда — плотность и gx — энтальпия торможения стремятся к постоянным значениям, когда число Маха MOT ^ да. При таком предельном переходе рда — давление, ада — скорость звука и Тда — температура в набегающем потоке стремятся к нулю.

Согласно гиперзвуковой теории малых возмущений [5] при Mда »1 и характерной безразмерной толщине ламинарного пограничного слоя 5 1, в случае выполнения предположения

о сильном скачке MOT (5 + т) »1 индуцированное давление имеет порядок р0 ~ рдаида (5 + т)2 .

Статическая энтальпия в пограничном слое h0 ~ u^j2. Тогда для плотности газа в пограничном

слое получаем оценку р0 ~ рда (5 + т)2 .

Для оценки толщины 5, приравнивая порядки главных вязких и инерционных членов, получаем 5 ~ (5 + т) 1 s12Re012. Здесь Re0 = рдаида1/^0 — число Рейнольдса; ^0 — динамический коэффициент вязкости, вычисленный при температуре торможения Ть l — характерный размер, который при рассмотрении обтекания полубесконечного крыла из конечных результатов выпадает. Для крыльев с удлинением порядка единицы характерный поперечный компонент скорости

в пространственном пограничном слое имеет порядок скорости набегающего потока w0 ~ ида [6], что связано с малой плотностью газа в нем, а вне пограничного слоя справедлива теория полос и W0 ~ ида(5 + т)2/s ида [7]. Для тонких крыльев переменные, связанные с обтекаемой поверхностью, могут быть введены в следующем виде [6]:

При этом уравнения пространственного пограничного слоя не меняют своего вида, если

В соответствии с оценками для пограничного слоя в гиперзвуковом потоке на режиме взаимодействия [5, 6] вводятся безразмерные переменные

всюду вместо

поставить

Здесь g0 — энтальпия торможения, 5° — толщина пограничного слоя, параметр 0 = т — для слабого и умеренного взаимодействия, 0 = 5 — для сильного взаимодействия. Далее предполагается линейная зависимость коэффициента вязкости от температуры, и вводятся переменные Дородницына:

* г*»* * * * дЛ

Л = | р ау , V* =р V + 8П------------+

* дг.

дЛ дЛ м-

дх дг

При рассмотрении обтекания полубесконечных треугольных крыльев с толщиной

34 А*м (/ х) на режиме сильного вязкого взаимодействия краевая задача может быть приведена к двумерной задаче, так как в этом случае интенсивность взаимодействия оказывается равномерной по продольной координате. Для преобразования системы уравнений трехмерного пограничного слоя к автомодельному виду вводятся переменные подобия:

= хг, Л* = х14Л, р = х 12р* (г),

5! = х3/4* , V: = х~34

= х 1/2р(г, Л),

р = х

дЛ

дх

При подстановке этих переменных в уравнения пространственного пограничного слоя координата х выпадает из краевой задачи, и получающаяся система уравнений зависит только от двух независимых переменных г и X и описывает течение в поперечном направлении. Ограничиваясь рассмотрением обтекания крыльев с поперечным сечением Д№ (г) = ( - г2 ) А№ (г), где функция А№ (г) не имеет особенностей на кромках, для учета особенностей поведения искомых функций течения в окрестности острых передних кромок треугольного крыла (г =±1^ вводятся переменные

П =

I-—-—і=^=, р(г) = >/1 - г2р* І 2у 4/117 ^

Ле (г ) = (1 - г2 ) 3 5Є , V ( г ) = —— [( - Ш2))дп + )1 1 V:

дг V 2У 41 - г2

Окончательно система уравнений пространственного пограничного слоя и граничные условия на треугольном крыле с учетом (1.1) — (1.4) принимает вид:

/ = (м - suz)(l - г2)р 1,

.да ди у -1/ 2 2

— + V— = 5--------------(? - и - м

дг дп 2ур '

1,2 , 2

1 + г 1 - г

_дм дм у-1/ 2 2

(— + V— = ---------(? - и - м

дг дп 2ур '

2

(

1 - г

д 2и 5п2

дп

2

д? + v д? =_д_ дг 5п дп

1 5? 1 -с

}

с 5п с 5п

*

П = 0: и = w = v = 0, g = g,

Здесь с — число Прандтля, а — температурный фактор. Для решения краевой задачи (1.5) необходимо знать распределение давления, которое создается как за счет толщины крыла, так и толщины вытеснения пограничного слоя и является неизвестной функцией. В принципе, оно может быть определено в процессе совместного решения системы (1.5) и системы уравнений, описывающей внешнее невязкое течение. В настоящей работе для определения давления используется формула «касательного клина» в форме, справедливой при условии, что М^ (8 + х) »1 [5], которая после введения переменных (1.1) — (1.4) приводится к виду:

где Х = т/^ — параметр, характеризующий отношение толщины крыла к толщине пограничного слоя, Де — толщина вытеснения пограничного слоя. Соотношения (1.6) позволяют замкнуть систему (1.5). Следует отметить, что после подстановки выражения для давления (1.6) в систему уравнений (1.5) в последней, из-за наличия члена dp|dz, появляется вторая производная

ложенное вниз по потоку, например, условие непротекания в плоскости симметрии крыла. Заметим, что при решении краевой задачи (1.5), (1.6) в указанных переменных, даже для случая х = 0 (треугольная пластина), функции течения оказываются зависящими от значения поперечной координаты не только в области докритического, но и в области закритического течения. Это означает, что в этих переменных система уравнений пограничного слоя в области закритического течения не приводится к автомодельному виду, соответствующему течению около полубеско-нечной скользящей пластины. Следует отметить, что на передних кромках треугольного крыла система уравнений в частных производных вырождается в систему обыкновенных дифференциальных уравнений, а ее решение позволяет определить краевые условия на кромках для решения системы (1.5), (1.6).

2. Для решения полученной краевой задачи используется метод расчета пограничного слоя [8, 9], который позволяет учесть передачу возмущений вверх по потоку и возможность возникновения развитых возвратных вторичных течений. В качестве примера рассматривается обтекание

треугольного крыла, для которого функция А№ (г) = (1 - г2) , где показатель степени р>0. Как

отмечалось в [10], при рассмотрении обтекания холодных крыльев автомодельные решения в за-

критической области могут получиться, если толщина крыла задается в виде А№ (г) = (1 + |г|) 34,

а результаты расчетов представлять в виде:

й2Ае/ёг , что изменяет тип системы уравнений и позволяет учитывать краевое условие, распо-

При произвольном задании функции Дм (г) автомодельных решений в областях закритиче-ского течения, как правило, уже нет, но, тем не менее, результаты расчетов для наглядности удобно представлять именно в виде (2.1), что и будет сделано ниже. Координата перехода гк, при которой происходит переход от закритического режима течения в пограничном слое на холодном крыле к докритическому, определяется из условия обращения в ноль интеграла [10, 11]:

'=1

0

у-1

(

2 2 -и - м

2

иsin

- я + и2 + м2

где г£ =

а угол 1 отсчитывается от кромки крыла г = 1.

Заметим, что в соотношение (2.2) входят текущие значения функций я, и, м при г = гк, а не на кромке крыла, так как в рассматриваемом случае автомодельных решений в закритиче-ской области нет. При представлении результатов численных расчетов критические значения координаты гк, полученные при выполнении данного условия, будут обозначены звездочкой на соответствующих кривых.

Далее приведены результаты численных расчетов обтекания крыла с удлинением 5 = 1 (угол стреловидности 45°) и параметром, определяющим форму крыла в поперечном направлении, р = 9.25 при значениях у = 1.4 и числе Прандтля с = 1.

На рис. 1—3 представлены профили компонент скорости в продольном и и поперечном м направлениях, а также полной энтальпии я на передних кромках крыла при параметре х = 05 и различных значениях температурного фактора. Указанные профили получены в результате решения системы уравнений (1.5), (1.6) при значениях поперечной координаты г = ±1, где указанная система вырождается в систему обыкновенных дифференциальных уравнений. В численных расчетах размер шага по координате п, нормальной к поверхности крыла, равнялся Дп = 0.05, а число

Рис. 1. Профили продольной компоненты скорости и „ ,Т

^ узлов = 200. Уменьшение температуры пона кромке крыла при х = 0.5 и = 0; 0.5; 0.9 'I

(кривые 1 — 3) верхности крыла с ям = 0.9 (кривая 3) до нуля

Рис. 2. Профили поперечной компоненты скорости м на кромке крыла при х = 0.5 и = 0; 0.5; 0.9

Рис. 3. Профили полной энтальпии я на кромке крыла при х = 0.5 и = 0; 0.5; 0.9

со

(кривая 1) приводит к уменьшению толщины пограничного слоя примерно на 40% и компоненты скорости в поперечном направлении в два с половиной раза, что связано с ростом плотности газа в пограничном слое.

Результаты исследования влияния температурного фактора на распределения давления р1 , толщины вытеснения Д\, коэффициентов напряжения трения в продольном ти и поперечном тм направлениях, а также теплового потока т по размаху крыла для -1 < г < 0 при х = 0.5 представлены на рис. 4—8. Увеличение температуры поверхности крыла с = 0 до = 0.9 приводит к возрастанию давления р почти в три с половиной раза (см. рис. 4), а толщины вытеснения

пограничного слоя Д^ — почти в два раза (см. рис. 5), причем поведение функции Д^ является немонотонным в области окрестности плоскости симметрии крыла при значениях поперечной координаты (г — ±0.13) . Увеличение температурного фактора приводит к уменьшению коэффициента напряжения трения ти (см. рис. 6) и теплового потока т (см. рис. 8) и к увеличению коэффициента напряжения трения тм (см. рис. 7). Характер распределения указанных функций существенно немонотонный при -0.4 < г < 0. В окрестности плоскости симметрии крыла при

Рис. 4. Распределение давления р1 по размаху крыла при X = 0.5 и = 0; 0.1; 0.2; 0.3; 0.4; 0.5; 0.6; 0.7; 0.8; 0.9 (кривые 1—10); * — координата перехода от закритич-ского режима течения к докритическому на кривой при

Рис. 5. Распределение толщины пограничного слоя Де по размаху крыла при х = 0.5 и = 0; 0.1; 0.2; 0.3; 0.4; 0.5; 0.6; 0.7; 0.8; 0.9 (кривые 1—10); * — то же, что и на рис. 4

Рис. 6. Распределение коэффициента ти по размаху крыла Рис. 7. Распределение коэффициента тм по размаху кры-при х = 0 5 и = 0; 0.1; 0.2; 0.3; 0.4; 0.5; 0.6; 0.7; 0.8; 0.9 ла при х = 0.5 и = 0; 0.1; 0.2; 0.3; 0.4; 0.5; 0.6; 0.7; 0.8;

(кривые 1—10); * — то же, что и на рис. 4

0.9 (кривые 1—10); * — то же, что и на рис. 4

Ям = 0

Рис. 8. Распределение коэффициента тя по размаху крыла при х = 0.5 и = 0; 0.1; 0.2; 0.3; 0.4; 0.5; 0.6; 0.7; 0.8; 0.9 (кривые 1—10); * — то же, что и на рис. 4

г «±0.18 возникают зоны повышенного продольного трения ти, а также теплового потока , по

крайней мере, для значений < 0.5. Это связано

с возникновением областей с отрицательными значениями напряжения трения в поперечном направлении т№, т. е. с возникновением в пограничном слое около поверхности крыла областей с отрицательными значениями w. Уменьшение значений приводит к существенному увеличению по модулю этой компоненты скорости, а также к увеличению поперечного размера этой области. Образование этих областей и объясняет немонотонность в поведении толщины вытеснения (см. рис. 5). На кривых, полученных в результате решения краевой задачи (1.5), (1.6) при температурном факторе gw = 0, точками отмечены значения координаты перехода «-0.545, полученной из условия (2.2). В этом случае в пограничном слое при -1 < г <-0.545 реализуется область закритического течения, а ближе к плоскости симметрии крыла расположена область докритического течения, в которой возмущения от плоскости симметрии распространяются вверх по потоку. Как уже отмечалось, из-за наличия толщины крыла (= 0.5) в области

закритического течения автомодельные решения не реализуются.

Результаты численных расчетов обтекания треугольных крыльев при значении температурного фактора gw = 0.5 и различных отношениях толщин х = 0.1 1 представлены на рис. 9—13. В связи с тем, что параметр, характеризующий форму крыла в поперечном направлении р = 9.25, достаточно большой по величине, то фактически при -1 < г <-0.75 крыло представляет собой пластинку, поэтому и влияние величины параметра х = т/^ проявляется только ближе к плоскости симметрии крыла. Распределение давления р1 по размаху крыла представлено на рис. 9. Увеличение параметра х естественно приводит к значительному увеличению давления более чем в два раза. В то же время толщина пограничного слоя в области окрестности плоскости симметрии ведет себя немонотонно и при увеличении значений х уменьшается (см. рис. 10). Характер распределения функций течения ти , т^, и т, по размаху крыла, по крайней мере при х > 0.2,

Рис. 9. Распределение давления р1 по размаху крыла при = 0.5 и х = 0.1; 0.2; 0.3; 0.4; 0.5; 0.6; 0.7; 0.8; 0.9; 1

Рис. 10. Распределение толщины пограничного слоя АЄ по размаху крыла при = 0.5 и х = 0.1; 0.2; 0.3; 0.4; 0.5; 0.6; 0.7; 0.8; 0.9; 1

Рис. 11. Распределение коэффициента ти по размаху крыла при = 0.5 и х = 0.1; 0.2; 0.3; 0.4; 0.5; 0.6; 0.7; 0.8; 0.9; 1

Рис. 12. Распределение коэффициента тм по размаху крыла при = 0.5 и х = 0.1; 0.2; 0.3; 0.4; 0.5; 0.6; 0.7; 0.8; 0.9; 1

-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0

Рис. 13. Распределение коэффициента тя по размаху крыла при = 0.5 и х = 0.1; 0.2; 0.3; 0.4; 0.5; 0.6; 0.7; 0.8; 0.9; 1

становится существенно немонотонным. В области при -0.2 < г <-0.13 появляются локальные максимумы продольного трения ти (см. рис. 11) и теплового потока т^ (см. рис. 13). Причем с увеличением х эти локальные максимумы увеличиваются. Согласно результатам, приведенным на рис. 12, в случае, когда х < 0.3, значения напряжения трения в поперечном направлении всюду положительны вплоть до плоскости симметрии крыла. При больших значениях х в нижней части пограничного слоя появляются области с противоположным знаком компоненты скорости м, что приводит к появлению на части поверхности крыла отрицательных значений тм.

С увеличением параметра х = т/5 размер этой области по поперечной координате увеличивается, а также увеличивается модуль тм. Как уже отмечалось, достаточно сложный характер поведения локальных характеристик связан с образованием поперечного течения. Профили поперечной компоненты скорости для различных значений поперечной координаты -1 < г <-0.005 при

= 0.5 и х = 0.5 приведены на рис. 14. Эти профили более подробно для значений

-0.21 < г < 0.005 приведены на рис. 15. Согласно приведенным данным, в диапазоне

-1 < г <-0.52 эта компонента скорости для всех значений координаты, нормальной к поверхности, является положительной и направленной от кромки к плоскости симметрии крыла. При г « -0.52 около поверхности крыла возникает область с отрицательными значениями компоненты скорости м , т. е. направленными к кромке (см. рис. 14). При увеличении г толщина этой области по координате п увеличивается, достигая максимального значения « 38% от толщины вытеснения пограничного слоя при г «—0.25. Эта скорость течения сначала возрастает, достигая максимального значения при г « -0.37, а затем ближе к плоскости симметрии уменьшается. При г « -0.21 нижняя граница этой области, с отрицательными значениями скорости м, отодвигается от поверхности крыла, так как при г > -0.21 около поверхности крыла снова реализуется течение с м, направленными к плоскости симметрии (см. рис. 15). При этом верхняя граница области с отрицательными значениями компоненты скорости м уменьшается незначительно. При значениях г « —0.19 эта область исчезает (см. рис. 15). Далее ближе к плоскости симметрии снова, как

Рис. 15. Профили поперечной компоненты скорости w на крыле при gw = 0.5 и х = 0.5 при значениях координаты z = -0.005; -0.05; -0.1; -0.15; -0.175; -0.195; -0.2; -0.21

и на кромке крыла, реализуется профиль с положительными значениями w. Максимальные значения w в области сначала растут, а затем уменьшаются, и в плоскости симметрии крыла реализуется условие непротекания.

3. Выводы, которые могут быть сделаны по результатам работы, заключаются в следующем.

Температурный фактор и параметр, характеризующий отношение толщины крыла к толщине пограничного слоя, сильно влияют на характеристики течения около крыла, обтекаемого на режиме сильного взаимодействия.

При определенных значениях этих параметров возможно образование локальных областей повышенных тепловых потоков, причем тепловые потоки в них могут примерно в два раза превышать тепловые потоки в соседних областях поверхности крыла.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 07-01-00349) и ФЦП ННПКИР ГК № 02.740.11.0203.

ЛИТЕРАТУРА

1. Козлова И. Г., Михайлов В. В. О сильном вязком взаимодействии на треугольном и скользящем крыльях // Изв. АН СССР. МЖГ. 1970. № 6.

2. Дудин Г. Н. Особенности теплообмена на поверхности треугольного тела при обтекании гиперзвуковым потоком вязкого газа // Изв. АН СССР. МЖГ. 1988. № 1.

3. Нейланд В. Я. К теории взаимодействия гиперзвукового потока с пограничным слоем для отрывных двумерных и пространственных течений. Ч. 1. Пространственные течения // Ученые записки ЦаГи. 1974. Т. 5, № 2.

4. Дудин Г. Н. О закритических режимах гиперзвукового обтекания плоского треугольного крыла при наличии угла скольжения // Изв. АН СССР. МЖГ.1995. № 4.

5. Хейз У. Д., Пробстин Р. Ф. Теория гиперзвуковых течений. — М.: Изд. иностр. лит., 1962.

6. Дудин Г. Н. Взаимодействие гиперзвукового потока с пограничным слоем на тонком треугольном крыле // Труды ЦАГИ. 1978, вып. 1912.

7. Черный Г. Г. Течения газа с большой сверхзвуковой скоростью. — М.: Физмат-гиз, 1959.

8. Башкин В. А., Дудин Г. Н. Пространственные гиперзвуковые течения вязкого газа. — М.: Наука. Физматлит, 2000.

9. Ду дин Г. Н., Лыжин Д. О. Об одном методе расчета режима сильного вязкого взаимодействия на треугольном крыле // Изв. АН СССР. МЖГ. 1983. № 4.

10. Нейланд В. Я., Боголепов В. В., Дудин Г. Н., Липатов И. И. Асимптотическая теория сверхзвуковых течений вязкого газа. — М.: Физматлит, 2004.

11. Дудин Г. Н. К вопросу существования автомодельных решений в закритической области при гиперзвуковом обтекании треугольного крыла // Изв. РАН. МЖГ. 1997. № 2.

Рукопись поступила 9/Х 2009 г.