Необходимое условие модальной управляемости системой нейтрального типа третьего порядка

14 ТРУДЫ БГТУ. 2012. № 6. Физико-математические науки и информатика. С. 14-16

УДК 517.977

А. А. Якименко, кандидат физико-математических наук, доцент

НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ МОДАЛЬНОЙ УПРАВЛЯЕМОСТИ СИСТЕМОЙ НЕЙТРАЛЬНОГО ТИПА ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА

Рассматривается проблема модальной управляемости для линейных стационарных динамических систем с запаздывающим аргументом нейтрального типа третьего порядка с одним запаздыванием по состоянию. В определенном классе регуляторов для таких систем получено необходимое условие модальной управляемости, что существенно упрощает задачу нахождения указанных регуляторов.

The paper considers the problem of modal control for 3rd order linear stationary dynamic time-delay systems of neutral type with one constant delay. Regulators which solving the problem of modal control for considering systems are regulators of integral type. In this class of regulators necessary condition of modal controllability is obtained. This condition allows mach more simplify constructing such regulators.

Введение. Задача модального управления для линейных стационарных систем с одним входом впервые была рассмотрена Ф. М. Кирилловой [1] в 1961 г., для многовходных систем - М. Уонэмом [2] в 1967 г. С тех пор данная задача изучалась многими авторами и для систем без запаздывания теория модального управления близка к своему завершению. Для систем с запаздыванием и систем с запаздыванием нейтрального типа изучение этой задачи существенно усложняется, что обусловлено тем, что пространство состояний таких систем, как правило, бесконечномерно. Модальное управление запаздывающими системами и системами нейтрального типа исследовалось многими авторами (см., например, [3], [4]), однако многие вопросы до сих пор остаются открытыми.

Основная часть. Рассмотрим трехмерную линейную стационарную систему с запаздывающим аргументом нейтрального типа с одним входом вида

" x (t )"

x2 (t) =

_x3 (t)_

221

231

121

*131

222

232

122

132

223

233

123

133

С1

x1

X2

a311 a312 a313 x1 (t - h У "0"

+ a321 a322 a323 x2

_a331 a332 a333 _ x3 (t - h ) 1

где к > 0 - постоянное запаздывание.

Характеристический квазиполином системы (1) имеет вид

Ц с].]

1 =0 ] =0

где aij е

- числа, зависящие от коэффициентов системы (1), а30 = 1. Задача модального управления состоит в том, чтобы для любых наперед заданных чисел в], где 1 = 1, 2, 3, ] = 1, 2, 3, Р30 = 1, найти такой линейный регулятор, что система (1), замкнутая этим регулятором, имеет характеристический квазиполином вида

i =0 j =0

- Ah

Регулятор будем искать в форме

L N

и (t) = q0ox(t) + II q' jx (t - jh) +

i =0 j=1

j q(s)x(t + s)ds

где е М3, штрих (•) означает транспонирование, Ь, Ые К, х(г) = [х (г) х2 (г) х3 (г)],

*й(0-^ х (0,(-) = х (•).

В частотной области регулятор (2) примет вид

Ь м

и

1 =0 ]=1

Если ядро интегральной части регулятора G/(A) = 0, то регулятор (4) примет наиболее простой дифференциально-разностный вид. Однако задача модального управления при этом решается лишь в исключительных случаях. Пусть теперь О'(Х) = 0 и имеет вид

где

G'(^) = [ & g 2 &3 ],

gt = IP

j=1

(^У

Необходимое условие модальной управляемости системой нейтрального типа третьего порядка

15

^еС; аг (А, е Ай ), г = 1, S, выбираются так,

а

чтобы функции —--— были целыми и

(АЧУ

удовлетворяли условиям теоремы Винера - Пэли,

например а1 (А, е"Ай ) = е"|й - е"Ай. Пусть 5 = 1,

тогда характеристический квазиполином замкнутой этим регулятором системы (1) имеет вид

11 ()-А

12

а21

¿^31

11

а21 (•) а22 ()-А а23 (•) а31 (•) а32 (•) а33 ()-А

а11

где

в„

(•) = % + а2у-е-Хк + %Ае~х\ . = 1, 2, ] = 1, 2, 3, а3, (•) = qJ (А, е"АА) + ав, + ай]е"АА + + а33;Ае"Яй, а1]к, г = 1, 2, 3, ] = 1, 2, 3, к = 1, 2, 3 заданы в (1); qj (А, е_Ай) - квазиполиномы, определяемые дифференциально-разностной ча-

а1

стью регулятора (5); в (•) = в л", 7 =

= 1, 2, 3, в ;1 заданы в (6).

Второе слагаемое в правой части (7) перепишем в виде

11 (-)-А а12 (•) а13 (•) а21 () а22 ()-А а23 ()|

в11

в2

в3

е"|й - е"Ай

А -I

.

Обозначим т = е~Хк. Представим элементы матрицы, определитель которой записан в (8) в следующем виде:

а7 (•)= аЩ + а2г]т + а3гАт = = а1у + а2ут + а3г£т + а3у (А - 1)тт гФ а гг (•) = а1гг + а2ггт + а3ггАт - А = = а1гг + а2ггт + а3гг^П -|+ а3гг (А - £)т -(А -

г = 1, 2, 7 = 1, 2,3.

Тогда выделим слагаемые, которые содержат множители (А-|), и воспользуемся сле-

дующим свойством определителей: определитель, в каждом элементе строки которого есть сумма двух слагаемых, равен сумме двух определителей, в соответствующих строках которых стоят эти слагаемые. Тогда определитель, который вычисляется в (8), перепишется в виде

е"|й - е"Ай

+ т

(А, е_Ай, I )+

+ аш а112 а113

а121 -| + а122 а123

в11 в21 в31

а112 а113

а221 + |а321 а222 + |а322 а223 + |а:

+ т

в11 в21

а211 + |а311 а212 + |а:

а121 -| + а122

в11 в 21

а211 + |а311 а212 + |а312

а221 + |а321 а222 + |а322

в11 в21

223 323

31

в

а123 в31

Л

/

213 313

223 + |а323 в

31

,

где с (А, е~)л, |) - некоторый квазиполином, однозначно определяемый соотношением (8).

Из того, что характеристический квазиполином (3) замкнутой системы не содержит сла-

гаемые, умножаемые на функцию

е~1к - е~Ай

следует, что второе слагаемое в (9) должно быть тождественно равно нулю. Для этого нужно, чтобы многочлен относительно т в скобках правой части (9) был бы нулевым. Поскольку из условия С'(А).^ 0 вытекает, что

вп + в21 + вз1 ^ 0, то отсюда с учетом (9) следует, что система линейных алгебраических уравнений

У11 У12 У13 " "вп" "0"

У 21 У 22 У 23 в21 = 0

У 31 У 32 У 33 _ в31 0

где

Уп =

а112 -| + а1.

У13 =

У 21 =

У12 =

-| + а111 а11

121

1 + а111

112

-413

16

А. А. Якименко

Y 22 =

«212 + £«312 «213 + £«313

-£ + «122 «123

-£ + «111 «113

221 + £«321 «223 + £«323

«211 + £«311 «213 + £«313

«

121

«

123

Y23 =

-£ + «111

«

112

+

221 1 ^"321 "222 + £«322 «211 + £«311 «212 + £«312

«

121

-£ + «

122

Y 31 = Y32 =

Y 33 =

212 222

+ £«

«

312 322

213 223

+ £«;

«223

«211 +£«311 «213 + £«3

221

321

223

+ £«.

«211 +£«311 «212 +£«;

323

312

+ £«3

+ £«3

имеет нетривиальное решение. Значит, определитель матрицы системы (10) должен быть равен нулю. Очевидно, что определитель матрицы системы (10) представляет собой многочлен относительно переменной | степени не выше, чем пятой.

Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема. Пусть система (1) модально управляема регулятором (4) ((5)), причем в (5) О'(А) ^ 0 имеет вид (6). Тогда | будут корнями многочлена степени не выше пятой, который является определителем матрицы системы (10).

Заключение. Полученная теорема дает одно необходимое условие модальной управляемости системы (1) в классе регуляторов (4) ((5)). Вопрос о том, достаточно ли регуляторов (4) ((5)) для решения задачи модальной управляемости, остается открытым. Доказано [5], что для аналогичной системы второго порядка такие регуляторы решают задачу модального управления. Условие теоремы позволяет свести бесконечномерную вариационную задачу нахождения регуляторов к конечномерной задаче нахождения коэффициентов регулятора (4), что существенно упрощает решение задачи модального управления.

Литература

1. Кириллова, Ф. М. К задаче об аналитическом конструировании регуляторов / Ф. М. Кириллова // Прикл. мат. и мех. - 1961. - № 3. -С. 433-439.

2. Wonham, W. M. On pole assignment in multi-input controllable systems / W. M. Wonham // IEEE Trans. Automat. Contr. - 1967. - Vol. AC-12, № 6. - P. 660-665.

3. Задачи управления конечномерными системами / И. К. Асмыкович [и др.] // Автоматика и телемеханика. - 1986. - № 11. - С. 5-29.

4. Марченко, В. М. О модальном управлении многовходных систем с запаздывающим аргументом нейтрального типа / В. М. Марченко, А. А. Якименко // Дифференциальные уравнения. - 2008. - Т. 44, № 11. - С. 1534-1543.

5. Марченко, В. М. Модальное управление в системах с распределенным запаздыванием нейтрального типа / В. М. Марченко, А. А. Якименко // Проблемы управления и информатики. -2002. - № 5. - С. 45-51.

Поступила 09.03.2012

+

+