Усреднение характеристик рассеяния в задачах дифракции волн на нескольких импедансных телах на основе метода диаграммных уравнений

Усреднение характеристик рассеяния в задачах дифракции волн на нескольких импедансных телах на основе метода диаграммных уравнений

Для простоты изложения рассмотрена двумерная задача дифракции на группе тел. В качестве метода решения поставленной задачи использовался метод диаграммных уравнений (МДУ). Ранее этот метод уже был успешно применен к решению двумерных и трехмерных задач дифракции волн, как в скалярном, так и в векторном случае. До недавнего времени в рамках МДУ не рассматривалась процедура усреднения характеристик рассеяния тел, таких как диаграмма рассеяния, полный поперечник рассеяния и др. Отметим, что в настоящее время для этих целей используется метод Т-матриц (МТМ), который применяется для получения усредненных характеристик рассеяния одиночного тела и группы тел. Сравнительно недавно было получено обобщение МДУ, позволяющее выполнять усреднение характеристик рассеяния волн в двумерной задаче дифракции на одиночном теле с импедансным краевым условием на границе [1 ]. Было проведено сравнение двух методик усреднения - в рамках МДУ и МТМ, а также численных результатов расчета усредненных характеристик, полученных обоими методами. Приводится методику усреднения характеристик рассеяния по углам облучения в МДУ для двумерной задачи дифракции волн на нескольких телах с импедансными краевыми условиями на границе. Проводились исследования усредненных характеристик рассеяния для конечной группы тел одинакового сечения (круг, эллипс, суперэллипс, многолистник) при различном их расположении друг относительно друга и различных размерах тел. Результаты расчетов показали, что усредненная диаграмма рассеяния нескольких тел, произвольно расположенных вокруг центрального тела при определенных условиях близка к усредненной диаграмме рассеяния центрального тела. Получено численное подтверждение того факта, что усредненный интегральный поперечник рассеяния группы тел должен равняться сумме усредненных интегральных поперечников рассеяния отдельных отражателей, входящих в эту группу, когда расстояния между рассеивателями много больше их размеров и длины волны, т.е. если между рассеивателями практически отсутствует взаимодействие.

Кюркчан А.Г., Демин Д.Б., МТУСИ

1. Введение

Задача рассеяния волн группой тел представляет большой научный интерес в теории дифракции, радиоастрономии, оптике, метеорологии. Среди наиболее известных методов ее решения отметим метод Тверского [2], метод разделения переменных [3], метод дискретных источников [4], а также метод Т-матриц (МТМ) [5].

Рассматривается алгоритм усреднения характеристик рассеяния по углу облучения в рамках метода диаграммных уравнений (МДУ) на примере двумерной задачи дифракции волн на нескольких импедансных цилиндрических телах. Математическая формулировка МДУ на случай нескольких тел впервые была приведена в работе [6]. Впервые алгоритм усреднения был получен в рамках МТМ [5]. Было показано, что эти характеристики можно легко получить из значений гак называемой Т-матрицы, связывающей между собой коэффициенты разложения падающего и рассеянного полей. В МДУ алгоритм усреднения был получен не так давно применительно к двумерной задаче дифракции волн на одиночном импсдансном рассеивателе [!|. Приводится обобщение полученного ранее алгоритма усреднения характеристик рассеяния на основе МДУ для группы тел.

На практике очень часто приходиться изучать характеристики рассеяния группы хаотически расположенных рассей вате л ей, занимающих некоторую область. При этом в большинстве случаев эти характеристики слабо зависят от поляризации падающего поля и определяются главным образом размерами и физическими свойствами рассей вате л ей. По сути, изучаемые характеристики уже являются усредненными, поэтому для их точного матема-

Ключевые слова: двумерная задача дифракции, метод диаграммных уравнений, рассеяние на нескольких телах, усредненная диаграмма рассеяния, усредненный поперечник рассеяния.

тического описания и требуется процедура усреднения. Причем усреднять можно как по углам облучения (падения) первичного поля, так и по другим параметрам:; по ориентации частиц в пространстве, по их геометрическим и физическим свойствам [5]. В данной работе мы рассматривали усреднение по углам облучения первичного поля основных характеристик рассеяния частиц одинаковой формы и с одинаковыми физическими свойствами.

II. Постановка задачи и краткая формулировка МДУ

Рассмотрим двумерную задачу дифракции первичного (падающего) волнового поля а" на N цилиндрических телах с направляющими 5" , / = 1, N {см. рис. 1) [б]. Полное полем вне границ 5 представим в виде: и = и" +«'+«1 +„. + 11„ , (О

где и\ — вторичное (дифракционное) ноле /-го тела

(j-\,N), которое всюду вне границы 5 удовлетворяет

однородному уравнению Гельмголыи и условию излучения Зоммерфельда на бесконечности. По аналогии с одиночным рассей вателем, для величин ¡/' имеют место

следующие интегральные представления ¡1,6, 7]:

- *.

2

где ~ полярные координаты точки наблюдения в

системе координат, связанной с |-м телом, £((а) - диаграмма рассеяния /-го тела.

А (У

Рнс.1. Геометрия задачи

Для диаграммы рассеяния имеет место следующее соотношение [7]

г г{ ди д

= — П — -и— \е

4Дш дп

где г = р((р) - уравнение границы 5 рассей вателя в полярной системе координат.

В случае штедансных рассей Баге лей на фан щах $р

) - 1, N будут иметь место следующие краевые условия:

щ а»,

к

где 21 = ¡¿ЗУ . - импеданс на границе ; и 1 = и" + и. - полное иоле вне ] -го тела; п. - внешняя нормаль к границе

Из уравнения (3), используя соотношения дп дг р{ср) д(р

к

можно получить №

«<«) = [Чрк 1 —'-—{р(<р)т(<х ~ Ч>) -р'Ы 5т(а-$>)) е 1 I к(<р) I

^ШгШ)

Подставим формулы (2) и соотношения (10) для V«. Тогда

/ \ , / ( / \ди) р'\(Р,} ди\ ^

1

Ч^^О^^О^Ыщ+УУ^С^- У//.

Я р

Контур Г в(11)-(12) такой же, как и в интеграле (2). Подставляя функцию V, \(р,), записанную через (11)-(12)в уравнение (8), получим:

~ (?» ЬО3//- Д (й >51П^.[(р; +Й"

О Г

I

Если первичное поле - плоская волна, тогда

у0 _

1-

дг р{(р) д(р Таким образом, д'ш j -го тепа на основании (4)-(7) имеем:

N

где кгй]=кгй]СО${фй~%}%* и" - первичное поле ы°, записанное в координатах /-го тела. Подставляя (15) в (14), с учетом {10) будем иметь;

¿¡(а) = ' У, )со5((л,. - %) + р){(р! ^¡п^ -«з0)]- е*^''"""""'''

4 о

^(д У СОИЙ-Р^-ЖМТФ-Ъ ^ Ч-

Для сведения исходной краевой задачи к алгебраической системе, воспользуемся разложениями функций §,(а) и в ряды Фурье:

ос ос

Подставляя ряды (17) в интегро-дифференциальное уравнение (13М14) и используя известные разложения и интс-гральные представления для специальных функций, придем к следующей алгебраической системе МДУ (см, [6]):

/=1 т=—х>

где

- г

4 J

кр.ар^ну

Л*Р№))—Р'ЛкрМ)) {<Р,)) к""""' Ф,;

/рр

Хн^У"-"* I

г—*> о

! . ¡пр'\ч>,)

./„(кр (у>» —-1-А Р/Р,КШъу--; •'МРМП 4 ,Т

4

м

Ш. Алгоритм усреднения в МДУ

Укажем один и:! способов вычисления усредненных характеристик рассеяния. По аналогии с одиночным рассейва-телем, рассмотрим облучение цилиндра плоской волной под углом <р1Г равномерно распределенным на отрезке

[0,2тт] с плотностью распределения );= 1/(2тт). Тогда

усредненная диаграмма рассеяния может быть вычислена по формуле [1]:

У=1

Коэффициенты (а^, усредненные по углу облучения (р^, могут быть найдены из системы (18), если в ней предварительно усреднить по углу фп коэффициенты

о

Аналитическое вычисление интеграла в (29) можно осуществить только для круговых цилиндров. В этом случае имеем

К} = ("0" (ка,)Ц(ка,(ка,)}<Г 3„(кгч).

В общем случае для цилиндров произвольного сечения, отличного от круга, нахождение величины сопряжено с вычислением двойного интеграла.

Приведем основные соотношения для вычисления интегральных характеристик рассеяния.

Для вычисления интегрального сечения (поперечника) рассеяния и используется формула

1

2л

Рассмотрим частный случай, когда все цилиндры являются круговыми. Тогда

р1

В этом случае система (18) останется прежней, а формулы (19)-(21) примут вид:

4.=^ у;дч)к

Вычисление диаграммы рассеяния g{(p) всей группы из N тел нужно проводить по формуле

Согласно оптической теореме для поглощающих рас-сеивателей должно выполняться следующее соотношение:

где

4 ^ дп

— интегральное сечение поглощения внутри тела.

Соотношение (32) используется при анализе сходимости численного алгоритма МДУ.

Для усреднения характеристики (31) потребуется вычисление двойного интеграла от квадрата модуля диаграммы рассеяния, что является достаточно трудоемкой задачей. Отметим, что для одиночного раесеивателя ранее была получена боле удобная формула вычисления ^О",} через матричные элементы и коэффициенты правой части системы МДУ |1 ].

IV. Асимптотическое решение

Рассмотрим асимптотическое решение системы

при условии, что кг,, 1.

Подставляя в формулу (21) разложения вида

С05<>» - <ра )е

-:кр)\1р1 )сОв(Р/ -<7>Л) _ -

г!кр/ -И, 1 _ 1

ът(<р1~<рп)е получим

и

кр,

кр, ^)) -'г^^г^М »

кр,

Из(34) имеем:

а%М)= Ъ-'ГЛ,^,

где

кр^^кр,^,))-'^Щ.Цкр^))

и

Используя (35), из (20) получим

При Ь). 1

лкГц

Тогда из (34а), (35)-(37) следует, что

I¡одставляя (34) и (38) в систему (18), получим:

ак ~ £ =е"1г"  а%М>)+

а%Л<Р<,У>

или в векторно-матричных обозначениях: С  Ц(<р0) = е'*"  а%{%) + ¿(1 - б, )  а%(р,),

Умножая (43) на е""р и суммируя по п, придем к со-отношениЕо:

А

^¡

а величины %,({<рц\(ръ) в (44) найдем из N систем по N уравнений вида

N

м

=

Величины £*{<р\<рК]) и ¿^(<р\<рц) в (43)-(45) - это диаграммы рассеяния уединенного (одиночного) У-го рассейвателя.

Отдельно рассмотрим здесь случай круговых цилиндров. Тогда

V. Результаты численных расчетов

Приведем несколько результатов расчета обычных и усредненных характеристик рассеяния для различных геометрий сечений цилиндров.

Наиболее просто найти такие характеристики для круговых цилиндров, В качестве первого примера рассмотрим задачу дифракции на группе из 9 круговых цилиндров одинакового радиуса а, среди которых один

помещен в начало координат, а другие расположены на окружности радиуса я, (т.е. а] - это расстояние между

центром первого тела, помещенного в центр лабораторной системы координат, и центрами остальных восьми тел) (см. рис. 2).

Рис.2

V

где

При кг{. 1 имеем:

ь), т.е. = (Г^щ),

где а* (<р0) — это решение для одиночного рассеивателя, поэтому Из (39)-(40) с учетом (42) получим:

) = е"  <>о) + ъС -')• а%<#9)

<Р»

а

Ж*&<П>)= Л / "А )

<><=->- н™ оц)- ) '

Усредняя формулу (44) по углу <рп с использованием (46), будем иметь

¿я л

При численной реализации МДУ ряды в формуле (17) усекаются, и решается конечная алгебраическая система (18). Законность такого усечения и обоснование сходимости приведено в работе [6]. Обозначим через N максимальное число гармоник в (17).

На рис.3 приведена диаграмма рассеяния (обычная и усредненная) (кривые 1 и 2) для девяти круговых цилиндров радиуса ка. =3 ( / = 1,9) при Щ =0, Щ = я/2, а{ = 6. При таком значении параметра а1, все 9 кругов будут касаться друг друга и, фактически, окажутся вписанными в круг радиуса 9. Поэтому на рис.3 приведены также обычная и усредненная диаграммы рассеяния (кривые 3 и 4 соответственно) для одиночного кругового цилиндра радиуса ¿£7 = 9 при IV = 0, = л/2 и числе

гармоник Л' = 14.

Если увеличивать величину а, и соответственно расстояние между центрами кругов, то диафамма рассеяния будет иметь вид сильных осцилляции (см. рис. 4). Кривая 1 соответствует £{<р) \ группы из 9 круговых цилиндров

при «, =1000, а кривая 2 - диаграмме одиночного кругового цилиндра радиуса ка = 9. Кривая 3 соответствует |< £(<р) >| группы цилиндров при о, = 1000, а кривая 4 - усредненной диаграмме одиночного кругового цилиндра радиуса ка = 3. Как видно из рис. 4 кривые 3 и 4 выглядят как прямые линии и практически сливаются. Для наглядности па рис. 5 приведены только усредненные диаграммы рассеяния: кривая 1 -для группы из 9 цилиндров при щ = 1000, а кривая 2 - для одиночного кругового цилиндра радиуса ка = 3. Значения интегральных характеристик рассеяния (обычных и усредненных) приведены в табл.1. Были приняты следующие обозначения: <у' - поперечник рассеяния для девяти тел, ст' - поперечник рассеяния для одиночного цилиндра. Из табл.1 следует, что сечение рассеяния ст'9' группы из 9 одинаковых тел, расстояние между которыми много больше их

Таблица 2

Интегральные нарактеристики рассеяния для 9 круговых цилиндров

и ОДИНОЧНОГО цилиндра

Параметры значение параметры значение

Я, =100 34.504424 а, =100 2.323979

я, = 1000 3! .736764 я, = 1000 2.980927

о, = 10000 35.450486 о, = ¡0000 3.541783

и, = 40000 36.867384 я, = 40000 3.588300

К1} о, =40000 43.462644 К') я, =40000 3.708934

tr;-' <| 3.706695 fel £я = 3 3.706695

Таблица 3

Kinvi ральные характеристики рассеяния для 9 круговых цилиндров ( ЦТ, = -V - 'Ра = /г/2 > N, - 9 ) и одиночного

кругового цилиндра

параметры значение параметры значение

а, =100 24.379168 а, =100 1.072835

л"1 а, =1000 18.445209 „14 а, = 1000 1.438392

я, = 10000 1 К.247531 я, = 10000 1.573111

я, = 40000 20.804021 я, = 40000 1.613553

и а, =40000 23.420255 К1} а, =40000 1.652348

ка-3 1.647996 Н*) ка = 3 1.647996

Ф

Рис. 6. Диаграммы рассеяния круговых цилиндров при W. =0, (ра = Ttjl

Ф,

Рис. 8, Диаграммы рассеяния круговых цилиндров при IV =-fj = гг/2

0 42 0415

О 45 ВО 135 130 225 270 315 360

Ф0. град

Рис. 9. Усредненные диаграммы рассеяния круговых цилиндров при IV =—i

100, 1000, 10000 и 40000 (учитывается взаимодействие этого тела с остальными) при Ц? = —I, N = 12 - При

этом, в сечении всех девяти цилиндров лежит эллипс с полуосями к а =1.5, кЬ =6 { / = 1,9). В табл. 4 приведены интегральные характеристики рассеяния для группы из девяти эллиптических цилиндров и одиночного эллиптического цилиндра. Полученные расчеты подтверждают те выводы, которые были сделаны в случае группы тел, состоящей из круговых цилиндров. Отметим, что в рамках МТМ было бы невозможно выполнить аналогичные расчеты [1].

Таблица 4

Интегральные характеристики рассеяния для 9 эллиптических цилиндров (= —¡ра = тг/2.

N. = 9) и одиночного эллиптического цилиндра

параметры значение параметры значение

я, = 100 18.504481 о, =100 1.030738

<T¡" и, =1000 14,464497 .т"1 и, = 1000 1,266567

и, = 10000 13.882114 а, =10000 1.348627

о, = 40000 15.743458 о, = 40000 1.395679

К') Oj =40000 32,817931 К1) а, =40000 2,207458

О? ka 5, kb = b 1.421324 и to = 1.5, i№ = 6 2,200017

Рис. 10. Диаграммы рассеяния эллиптических цилиндров при = (pfí = тг/2

Ф„. град

Рис, 11. Усредненные диаграммы рассеяния эллиптических цилиндров при w =-í

VI. Заключение

Выполнены исследования, показывающие, что в рамках МДУ можно достаточно эффективно осуществлять усреднение характеристик рассеяния тел по углам ориентации (или углам облучения падающей волной). Разработанный подход применим к исследованию характеристик рассеяния тел достаточно широкого класса геометрии.

Предложенная методика усреднения характеристик рассеяния в МДУ может быть обобщена на случай диэлектрических рассеивателей как в двумерной, так и в трехмерной задаче рассеяния.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда

фундаментальных исследований (проект № ¡2-02-00062).

Литература

1. Демин Д.Б., Кюркчан А.Г., Смирнова НИ Усреднение по углам облучения в двумерной скалярной задаче дифракции // T-Comm: Телекоммуникации и транспорт, 2012, №11. - С. 15-21.

2. Twersky II i. Math. Phys. 1962 v. 3, №1, p. 83-91.

3. Иванов E.A. Дифракция электромагнитных волн на двух телах. - Минск: Наука и техника, 1968.

4. Кюркчан А.Г.. Маненков С.А. Негорожина Е.С. Моделирование рассеяния волн группой близко расположенных тел // Радиотехника и электроника", 2008, т.53, №3. - С. 276-285.

5. Mishchenko M.I. Light scattering by randomly oriented axialty symmetric particles. J. Opt Soc.Am.A. Vol 8. № 6.1991, pp. 871-882.

6. Кюркчан А.Г. К решению задачи рассеяния волн на нескольких телах. ДАН, 1996, т. 348, №5. - С. 603-607.

7. Апеяъщт В.Ф.. Кюркчан А.Г. Аналитические свойства волновых полей. - М.: Изд. МГУ, 1990. -208 с.

8. Уфимцев П.Я. Теория дифракционных краевых волн в электродинамике. - М.: Бином, 2007.