Идентификация тепловых процессов при электроконтактном напекании металлических порошков

УДК 536.24

О.Г. Бельчикова, В.Н. Чижов, В.П. Шерышев

Идентификация тепловых процессов при электроконтактном напекании металлических порошков

При осуществлении процесса электроконтактного напекания (ЭКН) формирование напеченного покрытия происходит в результате совместного действия электрических, диффузионных и тепловых процессов. Определяющими в данном случае являются тепловые процессы. Поэтому для качественного осуществления процесса контроль и управление температурой, достигаемой в зоне спекания, имеет первостепенное значение. Измерение температуры нагреваемого порошка осуществляется с помощью термопар, что при наличии высокой температуры (свыше 1200 ° С) является достаточно сложной задачей. Кроме того, при контактном способе измерения температуры происходит нарушение первичного температурного поля исследуемой системы. Поэтому на практике вместо непосредственных измерений температуры на исследуемой поверхности используют данные термометрирования, полученные путем помещения горячего спая термопары на некоторое расстояние от нее. Далее путем решения граничных обратных задач теплопроводности (ОЗТ) производится пересчет полученных экспериментальных данных в температуру поверхности и плотности теплового потока. Известно, что такие задачи являются некорректно поставленными, и для их решения требуется разработка специальных регуляризующих алгоритмов [1]. В данной работе для идентификации тепловых процессов при ЭКН МП разработан алгоритм, основанный на применении метода квазиобращения [1; 2]. Представим восстанавливаемую деталь (стальной стержень) в виде двухслойной системы и введем систему координат, как показано на рисунке 1. Деталь подвергается нагреву тепловым потоком q0 со стороны полупространства х<0.

Требуется по результатам измерений температур Т1 ) на глубине х=1 и 72 ) на глубине х^ соответственно определить

температуру Т0 () и тепловой поток q 0 (^ на

поверхности (х=0). Математическая модель процесса теплопереноса в рассматриваемой двухслойной системе может быть представлена в следующем виде:

Т

г,

1 4о о !

1^1 Т, 1 /

^ 2 Т 2 L

г~

Х

Рис. 1. Схема расчетной области

с> Р1 дт=д л °ТЬ-о < * < 1,1 > ^

д1 дх дх

дТ2 д дТ2 г

с2р2 —- = — (Л2 —-), I < х < L, t > 0, (2) д дх дх

тi*=о = т>

т\х=, = Т1 (t), х = I,t > 0,

т

= Т2^), х = Ь, t > 0,

т =Т0,0 < х < 1;Т2 =Т0,1 < х < Ь t = 0,

где С - удельная массовая теплоемкость; р . -плотность; Л. - теплопроводность; Т. - температура ^=1,2); х - координата; t - время; I - толщина первого слоя; Ь - толщина второго слоя; Т0 - начальная температура

системы. Решение поставленной задачи осуществляем путем последовательного решения

Идентификация тепловых процессов при электроконтактном напекании ...

двух граничных обратных задач теплопроводности (ОЗТ).

Первая граничная ОЗТ: по результатам измерения температур Т1 ) и Т2 ) вычислить тепловой поток (градиент температуры) q1 на глубине х = I. Сформулированная задача является псевдообратной задачей теплопроводности и ее решение осуществляется путем пересчета граничных условий первого рода в граничные условия второго рода [3]. Первым этапом решения поставленной задачи является расчет температурного поля Т (X, t), вторым - определение искомого теплового потока. Воспользовавшись записью производных в уравнениях (1)-(2) в виде отношений конечных разностей, запишем явную схему решения поставленной задачи:

с1р1

k+1 k k г\ £ , £

и. — и. . п^+1 — 2и + и 1

г г л г+1 г г —1 =

т

к

С2 Р2

0 < г < N;k = 0,1,2,...

иг — иг _ 3 иг+1 — 2иг + иг—1

- = Я2 -Т^-

т

к

2

и,

N <г < М; k = 0,1,2,..

0£+1 = Т0+1, г = 0; k = 0,1,2,...

N+1 = Т1k+1,/ = N; £ = 0,1,2,...,

иМ1 = Т2£+1; £ = 0,1,2,...,

и 0 = т ,0 <г< м, £ = 0,

N = [^ ], К1

Т — 1

м = N + [ Т—1 ];

К

где М, N - номера узлов; кг, к2 - шаги сетки по пространству; т- шаг сетки по времени.

Разрешая уравнения (7)-(8) относительно значений искомой сеточной функции и£+1, получим:

= (1 — 2*1,г )и£ + Хч (и£+1 + и£—1), хи =

и,

£+1

тХ1

с1р1К

0 < г < N;£ = 0,1,...

и£+1 = (1 — 2Х2,г )и£ + Х2,г (и£+1 + и£—1 ), Х2,г =

N < г < М;£ = 0,1,...

С2 Р2 К2

Уравнения (9)-(14) представляют собой расчетные формулы для вычисления температурного поля.

Вторая граничная ОЗТ: по результатам измерений температуры Т1 (^) и рассчитанному тепловому потоку q1 определить температуру и тепловой поток на поверхности х = 0. Данную задачу ставим в форме задачи Коши:

дТ да ^

— = — а — ,0 < х < 1,0 < t < tI:

дt дТ

дх

— = —а,0 < х < 1,0 < t < tF, дх

Т(0, г) = Т1(г), — = —а^), X = 0,0 < г < г„

дх

где Т (^ х) - искомое температурное поле,

Ч(1, х) - градиент температуры, ^^ и Ч1^(^ - заданные функции, tF - время протекания исследуемого процесса, а - температуропроводность.

Применяя метод квазиобращения (МКО), от (15)-(17) переходим к следующей регуля-ризованной задаче:

дЧа

1 дТ

дх а дt

да = — а дТ дх

а а а

qа,

а2 дл2

Ча =—qo, Та = Т0.

Для нахождения приближенного решения задачи (18)-(20) воспользуемся методом конечных разностей. Имеем:

Ч+1 =

а г+1 =

к

ат

2 ат

Т/+1 — Т

]—1

—

] = 1,..., М — 1

=

] = м

к

ат

(Тм — Тм) — (ак — 1)чм,

Т7 =

г+1

ак

2 2 а т

(Т/+1 — 2Т/ + Т/—1) + Т/ — кч!,

7 = 2,..М — 1

Производя вычисления по формулам (21) -(24) последовательно для каждого ^ находим регуляризованное решение, зависящее от шагов сетки т, h и параметра регуляризации а . Разработанный алгоритм реализован в виде комплекса программ для 1ВМ-совместимых компьютеров в среде MATHCAD. Проведена серия вычислитель-

и

к

ных экспериментов. В качестве исходных данных для решения рассматриваемых ОЗТ использованы результаты натурного эксперимента измерений температуры в стальной детали на глубине 2 мм и 4 мм. На рис. 2 приведены результаты восстановления температуры поверхности (а) и градиента температуры (б) в зависимости от времени. Шаг по времени принимался равным 0.03с, по пространству - 0.02мм. Параметр регуляризации выбирался экспериментально.

На рисунке 2(а) представлены следующие графики: Т1 и Т2 - температуры, измеренные на глубинах 2 мм и 4 мм соответственно; Т - восстановленная с помощью разработанного алгоритма температура поверхности и Т0 - измеренная температура поверхности. Анализ полученных результатов позволяет сделать вывод о том, что восстановленная температура поверхности Т достаточно хорошо повторяет ход измеренной -Т0 до температуры точки Кюри, а затем при

увеличении значения температуры видно существенное расхождение расчетных и натурных данных. Это расхождение связано с тем, что в поставленной задаче не была учтена зависимость теплофизических характеристик (ТФХ) стальной детали от изменения температуры. Поэтому целесообразно проведение дальнейших исследований и разработка алгоритма решения задачи с учетом зависимости ТФХ от температуры. График на рисунке (б) дает представление о характере изменения градиента температуры поверхности детали, в зависимости от времени.

Заключение

На основе МКО разработан алгоритм идентификации тепловых процессов при ЭКН МП, позволяющий определять температуру и тепловой поток (градиент темпера туры) на поверхности стальной детали по

31500 ,1.419x10,

1300

1100

900

700

500

300

100

- 100

-300

.-19.04500

т

Т0

- Т1

У т 2

и'"'4.

0

А

).6 0.9 1.2 1.5 1.8 2.1 2.4 2.7 3

а) t ,2. 6 1 1

.6.09X10. , 1-106

"1-10 -2-106 q -3-106 -4-106 -5-106 -6-106 -7-106 ,-7.77»1(68-106

0 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5 1.8 2.1 2.4 2.7 3 t ,2.61]

б)

Рис. 2. Результаты численного эксперимента: а) - зависимость температуры от времени; б) - зависимость градиента температуры от времени

2-10

0

Идентификация тепловых процессов при электроконтактном напекании .

температурам, измеренным внутри детали на двух различных глубинах. Разработанный алгоритм реализован в виде комплекса программ на алгоритмическом языке

MATHCAD. Сопоставление результатов численного и натурного экспериментов показывает счетную устойчивость разработанного алгоритма.

Литература

1. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишат-ский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М., 1980.

2. Латтес Р., Лионс Ж. Л. Метод квазиобращения и его приложения. М., 1970.

3. Султангазин У.М., Мацевитый Ю.М.,

Шерышев В.П. Об одной пседообратной задаче теплопроводности // Труды второй Международной конференции: Идентификация динамических систем и обратные задачи. Санкт-Петербург, 1994. Т. 2.