Алгоритм интервального прогнозирования динамических показателей на основе вероятностной нейросетевой модели

Заключение

Подчеркнем основные результаты этой работы.

1. Введено обобщение регрессии Деминга -линейная модель множественной регрессии со стохастическими переменными.

2. Разработан численный метод для оценивания линейной модели множественной регрессии со стохастическими переменными.

3. Предложена методика прогнозирования по регрессионным моделям со стохастическими переменными.

4. Проведен модельный эксперимент, доказывающий несмещенность оценок параметров линейной модели множественной регрессии со стохастическими переменными.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИИ СПИСОК

1. Доугерти К. Введение в эконометрику. М. : ИНФРА-М, 2009. 465 с.

2. Тимофеев В.С., Щеколдин В.Ю., Тимофеева А.Ю. Идентификация зависимостей признаков стохастической природы на основе регрессии Деминга // Информатика и её применения. 2013. Т. 7. Вып. 2. C. 60-68.

3. Deming W.E. Statistical adjustment of data. New York, Dover Publications. 2011. 288 p.

4. Базилевский М.П. Аналитические зависимости между коэффициентами детерминации и соотношением дисперсий ошибок исследуемых признаков в модели регрессии Деминга // Математическое моделирование и численные методы. 2016. № 2 (10). С. 104-116.

УДК 519.688 Краковский Юрий Мечеславович,

д. т. н., профессор кафедры «Информационные системы и защита информации», Иркутский государственный университет путей сообщения,

e-mail: kum@stranzit.ru Лузгин Александр Николаевич, к. т. н., заместитель начальника управления специального обеспечения

администрации города Иркутска, тел. +79025159719, e-mail: alexln@mail.ru

АЛГОРИТМ ИНТЕРВАЛЬНОГО ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ на основе вероятностной неИросетевоИ модели

Y. M. Krakovsky, A N. Luzgin

INTERVAL FORECASTING ALGORITHM FOR DYNAMIC INDICATORS BASED ON PROBABILISTIC NEURAL NETWORK MODEL

Аннотация. Апробирован алгоритм интервального прогнозирования динамических показателей на основе вероятностной нейросетевой модели по данным среднесуточной солнечной радиации. Интервальное прогнозирование динамических показателей заключается в определении принадлежности их будущих значений заранее введённым интервалам на основе оценок вероятностей. Так как при таком прогнозировании оценивается не само будущее значение показателя, а то, в каком интервале оно будет находиться, такое прогнозирование названо интервальным. Данные по среднесуточной солнечной радиации были получены из общедоступного научного интернет-проекта Solar Energy Services for Professionals. Для апробации алгоритма был использован ранее разработанный программный комплекс «Интервальное прогнозирование нестационарных динамических показателей», реализованный на языке программирования для статистической обработки данных R. Результаты апробации для выбранного показателя подтвердили состоятельность и практическую значимость разработанного алгоритма.

Ключевые слова: интервальное прогнозирование, динамические показатели, вероятностная модель, нейронная сеть.

Abstract. Interval forecasting algorithm for dynamic indicators based on probabilistic neural network model using the dataset of average values of daily solar radiation was approbated. Given that by the forecasting is estimated not the actual future value, but in which interval the value will be, the forecasting was called an "interval forecasting". The dataset of average values of daily solar radiation was obtained from public scientific Internet-project "Solar Energy Services for Professionals". For approbation the algorithm, the previously created software package "Interval forecasting of non-stationary dynamic indicators" was used. The software package was created using the programming language for statistical analysis "R". The approbation results for selected indicator have proved the possibility ofpractical application the of algorithm.

Keywords: interval forecasting, dynamic indicators, probabilistic model, neural network.

Введение

В настоящее время большинство организаций и предприятий осуществляют свою деятельность в условиях неопределённости, где принятие эффективных решений по управлению производственными, технологическими и финансовыми процессами зависит от точности прогнозирования различных динамических показателей, являющих-

ся по своей природе случайными величинами. Именно для таких показателей разработка новых и совершенствование существующих методов прогнозирования является актуальным исследовательским направлением [1-3].

Существует множество распространённых методов и математических моделей прогнозирования динамических показателей [1]. К наиболее

Информатика, вычислительная техника и управление

перспективным методам прогнозирования таких показателей следует отнести кластерные и нейронные методы [4-12].

Особенностью прогнозирования в процессе принятия управленческих решений является отсутствие постоянной необходимости знать фактическое будущее значение показателя. Часто достаточно знать, превысит оно некоторое заранее заданное пороговое значение или нет.

В работах [13, 14] были предложены и протестированы алгоритмы интервального прогнозирования (ИП) динамических показателей на основе вероятностной кластерной модели и на основе вероятностной нейросетевой модели (ВНМ), где в качестве общедоступных примеров динамических показателей были выбраны валютные курсы.

В данной работе, в отличие от работы [14], авторами проводится апробация алгоритма интервального прогнозирования динамических показателей на основе ВНМ по данным среднесуточной солнечной радиации. ИП динамических показателей заключается в определении принадлежности их будущих значений заранее введённым интервалам на основе оценок вероятностей. Так как при таком прогнозировании оценивается не само будущее значение показателя, а то, в каком интервале оно будет находиться, такое прогнозирование названо интервальным.

Исходные данные и постановка задачи интервального прогнозирования на основе ВНМ

Формализуем понятие показателя в виде временного ряда:

д = {д,:Г е Т}.

Здесь я - значения прогнозируемого показателя, доступные в дискретные моменты времени !, где ! принимает значения из множества Т = {0,...,п-1}, а п - количество доступных значений.

Формализуем ИП показателя, описываемого рядом (1).

Введем интервал возможных значений динамического показателя (с; с2) и внутреннюю точку с : с < с < с2. Это позволяет создать два интервала:

1;=

Значение внутренней точки для введённых интервалов (2) предлагается вычислять следующим образом:

С = Яп—1 + А

( п—1

А = а-

Л

2 к— я—1 /(п—1)'

V!=1 У

где а е [—1,1] - коэффициент, который задается заранее.

При ИП в момент времени ! = п — 1 необходимо провести оценку вероятности р+ того, что

будущее значение р > с, или оценку вероятности р—+ того, что будущее значение р ^ с, где р = 1,...,г есть время упреждения, а р++ + р+ = 1. Прогнозирование проводится по правилу: будущее значение я е I , если Р++ р > Р—+ р ; будущее значение я+р е , если Р—+ р < Р++р ; если оценки вероятностей рр+ р = р—+р

(ситуация неопределённости), то прогнозирование не делается.

Расчет оценок вероятностей р++ и р—р

осуществляется на основе ВНМ.

Рассмотрим алгоритм построения и обучения ВНМ.

Алгоритм построения и обучения ВНМ

Архитектура ВНМ была предложена в 1988 г. Д. Спехтом [15] для проведения классификации векторов (образов) с неизвестной классификацией. Перед проведением такой классификации ВНМ должна быть обучена на множестве векторов с известной классификацией. Достоинством ВНМ является не только простота построения и высокая скорость обучения [16], но и возможность применения для решения задачи ИП [14].

Под вектором ВНМ понимается набор

значений V =

v = {у;, у е а}, где у принимает

значения

из множества 3 = {0,...,т — 1}, при этом т > 0 (необходимо, чтобы в векторе был хотя бы один элемент).

Определим множество обучающих векторов О = {V, г е Z} с известной классификацией, где V = {уг у е з}, г принимает значения из множества Z = {0,...,и — 1}, при этом и > 0 (необходимо, чтобы существовал хотя бы один обучающий вектор). Пусть все обучающие векторы классифицированы по двум классам А и В.

Для всех обучающих векторов ВНМ должно выполняться условие

2 = 1

Уе3

Алгоритм построения и обучения ВНМ (А-1) содержит следующие этапы:

1) подготовка обучающего множества векторов О согласно условию (4);

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

2) создание входного слоя ВНМ с количеством входов, равным т ;

3) создание во втором скрытом слое ВНМ для каждого вектора У из множества О нейрона с количеством входов т и синаптическими весами

М = V '

4) установление связей между всеми выходами входного слоя и входами нейронов первого скрытого слоя ВНМ;

5) создание во втором скрытом слое двух нейронов-сумматоров для классов А и В соответственно;

6) установление связей между выходом нейрона первого скрытого слоя, созданного для вектора У2 определённого класса, и входом нейрона второго скрытого слоя, созданного для того же самого класса;

7) создание выходного нейрона-компаратора и установление его связи с двумя нейронами второго скрытого слоя.

Далее можно приступать к классификации векторов с неизвестной классификацией посредством ВНМ.

Рассмотрим алгоритм классификации векторов с неизвестной классификацией посредством ВНМ, а также формализуем вид активационных функций нейронов каждого слоя ВНМ.

Алгоритм классификации векторов

с неизвестной классификацией

посредствам ВНМ

Пусть имеется произвольный вектор У = V ., ] е ^ с неизвестной классификацией,

для которого выполняется условие

I  = 1.

}еЗ

Построим и обучим ВНМ по алгоритму А-1. Далее с помощью этой ВНС классифицируем вектор УИ.

Подадим на входы входного слоя ВНМ значения вектора У . Каждый нейрон первого скрытого слоя вычислит сумму

* м =1

К  • М

И, } 2,}

]еЗ

и преобразует ее с помощью нелинейной активационной функции вида

= ехр

где а - параметр обобщения ВНМ. Нейроны второго скрытого слоя реализуют функции:

И, 2 1%

]А _ геМА 1И =

1В _ геМ°

1И =

Здесь ма - множество номеров нейронов первого скрытого слоя, созданных для векторов класса А, мв - множество номеров нейронов первого скрытого слоя, созданных для векторов класса В (эти множества определяются на этапе обучения), пА - количество векторов класса А, пВ - количество векторов класса В во множестве обучающих векторов О .

Выходной нейрон ВНМ реализует функцию

П И =

1, еА • йА • ¡А > еВ • йВ • ¡В,

-1, еА • йА • ¡А < ев • йВ • ¡в.

Здесь вероятностей

d - оценки априорных принадлежности вектора

А В - ошибки

к определённому классу, е , е классификации, ¡ИА , ¡ИВ - значения, вычисленные по формуле (8), ОИ - признак. Если значение признака = 1, то вектор УИ принадлежит к классу А, а если ии =-1, то УИ принадлежит к классу В .

На практике, как правило, значения еА и еВ полагаются равными. Значения dA и dв либо полагаются равными, либо рассчитываются по формулам:

dA = пА1 (пА + пВ), dв = пВ/(пА + пВ).

Алгоритм классификации вектора УИ (А-2) содержит следующие этапы:

1) обучение ВНС по алгоритму А-1;

2) подготовка вектора УИ , согласно условию (5) для классификации посредством ВНМ;

3) подача вектора УИ на входы входного слоя ВНМ;

4) расчет нейронами первого скрытого слоя значений \г (6) и %К2 (7);

5) расчет нейронами второго скрытого слоя значений ¡А и ¡В (8);

6) расчёт признака ОИ (9) и проведение классификации вектора УИ : если значение признака = 1, то вектор УИ принадлежит к классу А, а если = 0, то УИ принадлежит к классу В.

Алгоритм интервального

прогнозирования на основе ВНМ

Определим понятие кластера: под кластером

Q[ = {дг,...,дг+^-1} будем понимать выборку последовательных значений из Q (1) с позиции г е т и с количеством значений / = 1,...,п, так чтобы

А

В

п

п

Информатика, вычислительная техника и управление

(1 + / — 1) е Т. Кластер = {я1,...,я1+/—1} при 1 = п — /, / е [1; п] назовем базовым.

Все кластеры О| = {як,...,як + —1}, для которых выполняется условие к < п — g — р, будем рассматривать в качестве обучающих векторов, при этом g = /.

При выполнении условия

Як+g—1+р >

кластер О к относится к классу А, иначе к классу В. Здесь А определяется по формуле (3).

Для обучения ВНМ необходимо преобразовать кластеры О к так, чтобы выполнялось условие (4). В ходе предварительных экспериментов было установлено, что для выполнения условия (4) и получения лучшей точности ИП необходимо

преобразовывать кластер О к в два этапа.

Первый этап преобразования проводится по формуле

о к =

Як

а т1п

а тах аg ,к

Я т1п

аg ,к

Я тах ф Я т1п

(ig,к ф Чg,к ,

к{?к= ак+£ Ят,к\

где як- значения кластера Ок, ~к+| - преобра-

02 ^т1п

к, к - минимальное значение кластера О к, а^Г - максимальное значение кластера О к, 0 <%< g +1.

Затем проводится второй этап преобразования кластера О к (12) по формуле

„тах _ тт аg,к = аg,к ,

к =

к

Як+С

а'я* ф 0

1к+£ = ак+Л ,к = 0.

Здесь ~к- значения кластера Ок, Як+£ -преобразованные значения кластера Ок,

ая* =

И—Т 2 а2

£=0

, 0 <£< g +1.

Полагая значения еА и еВ.

йА и ^ равны-

ми, функцию (9) можно переписать так:

1,

1А > 1В 1Н > 1Н'

а =

— 1 1А < г

Далее запишем функцию (14) в виде:

'1, 1А/ к + 1В )> 1Ц1

НА + 1В),

I— 1, + 1В )< 1В № + 1В).

Или

а =•

р++ р > p,

1 р+ р + р. Здесь РР+ р = 1Ц

сти р

! + р-

а величина р+р =1ВI {¡В +1В)

оценка вероятно- оценка

вероятности р++ .

С учетом изложенного для осуществления

ИП модифицируем функцию (16):

1 р++ р > p,

а н =

0,

Таким образом, полученный кластер (О к соответствует условию (4).

Базовый кластер О[ = {а1,...,а1+^—х} рассматривается в качестве вектора с неизвестной классификацией. Перед проведением его классификации построенной и обученной ВНМ он также предварительно преобразовывается по формулам (12) и (13).

р!+р р!+р , — 1 р+р <рГ+ р.

Построив и обучив ВНМ по алгоритму А-1, классифицируем базовый кластер по алгоритму А-2, применив функцию (17).

ИП посредством ВНМ будет заключаться в

следующем: а) будущее значение аt+р е I , если = 1; б) будущее значение а!+р е , если = — 1; в) прогноз не делается, если а н = 0 . Алгоритм ИП на время упреждения р (А-3):

1) подготовка исходных данных: О (1), задание а, а , р, f ;

2) подготовка вспомогательных данных: расчет А (3);

3) определение базового кластера О[ и его

преобразование (12-13) в кластер О[;

4) выбор начального значения к = 0 ;

5) выделение кластера Ок (g = f), определение его класса (11), преобразование (1213) в кластер О к, добавление этого кластера в обучающее множество;

6) если к < п — g — р, то к = к +1 и возвращаемся на этап 5; иначе этап 7;

7) построение и обучение ВНС по алгоритму (А-1);

1,

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

8) классификация преобразованного базового кластера (([, согласно алгоритму (А-2);

9) проведение прогноза: а) будущее

б) будущее

е i

t

если Q h = 1;

значение ^

значение ^ е I^, если Q h =-1; в) прогноз не делается, если Qh = 0 .

Таким образом, алгоритм имеет четыре параметра а, p, f , а . Их значения влияют на точность ИП и подбираются эмпирически или на основании экспертного оценивания.

Апробация алгоритма ИП на основе ВНМ В качестве общедоступного примера динамического показателя были выбраны данные по среднесуточной радиации от солнца (NASA-SSE, Вт/м2), полученные из проекта Solar Energy Services for Professionals [17]. Этот ресурс предоставляет временные ряды по средней суточной солнечной радиации с 1.07.1983 по 30.06.2005. Количество ретроспективных значений в исходной выборке показателя n = 8036 . Для проведения экспериментов данная выборка была сокращена до n = 2500 (т. е. использовалось только 2500 последних значений исходной выборки).

На рис. 1 приведен пример последних 500 значений выбранного показателя.

PPS = PS х 100 /(L + M + PS) , где PPS - процент случаев, когда прогноз не делался; PS - число случаев, когда прогноз не делался.

Чем выше процент оправдавшихся прогнозов PL, тем адекватнее ВНМ и точнее ИП. Если PL < 50, ВНМ нужно признать неадекватной. Вместе с тем желательно, чтобы PPS ^ 0 .

Приемлемой точностью ИП будем считать PL > 60 .

Для апробации алгоритма был использован программный комплекс «Интервальное прогнозирование нестационарных динамических показателей» [18, 19], реализованный на языке программирования для статистической обработки данных «R» [20].

В табл. 1 приведены результаты тестирования ВКМ при заданных значениях параметров: = 0,9; а = 0; p = 1; значение параметра f варьировалось.

Т а б л и ц а 1

f 2 3 4 5 6

PL (%) 63,8 65,0 65,0 65,4 66,6

PPS (%) 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

Из табл. 1 видно, что во всех случаях получена приемлемая точность ИП. Наилучшая точность ИП обеспечивается при числе элементов в кластере f = 6. При этом во всех случаях PPS = 0,0 % . Поэтому значение f = 6 было выбрано для дальнейших экспериментов.

В табл. 2 приведены результаты тестирования ВКМ при заданных значениях параметров: f = 6, а = 0, p = 1; значение параметра а варьировалось.

Т а б л и ц а 2

Рис. 1. График ретроспективных значений выбранного показателя

Проверка точности ИП проводилась для w последних значений ряда (1) при w = 250 . При этом предыдущие значения временного ряда в объеме, равном п — j, ] = w, ...,1, использовались для построения и обучения ВНМ.

Для апробации алгоритма были использованы следующие показатели:

PL = L х 100 /(L+M), где PL - процент оправдавшихся прогнозов, L -число оправдавшихся прогнозов; M - число ошибочных прогнозов;

а 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9

PL 67,4 66,8 66,8 66,6 64,6

PPS 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

Из табл. 2 видно, что во всех случаях получена приемлемая точность ИП. Наилучшая точность ИП обеспечивается при а = 0,1. При этом во всех случаях PPS = 0,0 % . Для дальнейших экспериментов было выбрано значение а = 0,1.

В табл. 3 приведены результаты тестирования ВКМ при заданных значениях параметров:

Информатика, вычислительная техника и управление

f = 6 , а = 0, а = 0,1; значение параметра p варьировалось.

Т а б л и ц а 3

p 1 2 3 4 5 6 7

PL 67,4 68,8 70,2 62,8 65,0 63,8 69,8

PPS 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

Из этой таблицы видно, что во всех случаях получена приемлемая точность ИП.

Заключение

1. Предложенный алгоритм интервального прогнозирования на основе вероятностной нейросетевой модели подтвердил свою состоятельность и возможность практического применения.

2. При различных значениях параметров алгоритма для выбранного показателя точность интервального прогнозирования оставалась приемлемой.

3. В дальнейшем целесообразно провести апробацию алгоритма других показателей с другими статистическими свойствами.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Краковский Ю.М., Лузгин А.Н. Прогнозирование стохастических нестационарных динамических показателей на основе математических моделей // Вопросы естествознания. 2014. № 2(3). С. 42-50.

2. Gooijer J. G., Hyndman R.J. 25 years of time series forecasting // International Journal of Forecasting. 2006. Vol. 22. Issue 3. P. 443-473.

3. Shumway R.H., Stoffer D.S. Time Series Analysis and Its Applications: With R Examples // Springer Science+Business Media, 2011. 202p.

4. Azimi R., Ghayekhloo M., Ghofrani M. A hybrid method based on a new clustering technique and multilayer perceptron neural networks for hourly solar radiation forecasting // Original Research Article Energy Conversion and Management. 2016. Vol. 118. P. 331-344.

5. Flores J., Graff M., Rodriguez H. Evolutive design of ARMA and ANN models for time series forecasting // Renewable Energy. 2012. Vol. 44. P. 225-230.

6. Gosasang V., Chandraprakaikul W., Kiattisin S. A Comparison of Traditional and Neural Networks Forecasting Techniques for Container Throughput at Bangkok Port // The Asian Journal of Shipping and Logistics. 2011. Vol. 27, Issue 3. P. 463-482.

7. Jiménez-Pérez P.F., Mora-López L. Modeling and forecasting hourly global solar radiation using clustering and classification techniques // Orig-

inal Research Article Solar Energy. - 2016. Vol. 135. P. 682-691.

8. Mitrea C. A., Lee K. M., Wu Z. A Comparison between Neural Networks and Traditional Forecasting Methods: A Case Study // International Journal of Engineering Business Management. 2009. Vol.1, no.2. P. 19-24.

9. Panapakidis I.P. Clustering based day-ahead and hour-ahead bus load forecasting models // International Journal of Electrical Power & Energy Systems. 2016. Vol. 80. P. 171-178.

10. Surajit C., Deepak J., Goutami C. Trend estimation and univariate forecast of the sunspot numbers: development and comparison of ARMA, ARIMA and autoregressive neural network models // Comptes Rendus Geoscience. 2011. Vol. 343. P. 433-442.

11.Valipour M., Banihabib M.E., Behbahani M R. Comparison of the ARMA, ARIMA, and the autoregressive artificial neural network models in forecasting the monthly inflow of Dez dam reservoir // Original Research Article Journal of Hydrology. 2013. Vol. 476. P. 433-441.

12. Singh S. Pattern Modelling in Time-Series Forecasting // Cybernetics and Systems-AnInternational Journal. 2000. Vol. 31. No.1. P. 49-65.

13. Краковский Ю.М., Лузгин А.Н. Адаптивная вероятностно-статистическая кластерная модель интервального прогнозирования нестационарных динамических показателей // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2015. № 1 (45). С. 80-84.

14. Краковский Ю.М., Лузгин А.Н. Интервальное прогнозирование нестационарных динамических показателей на основе модели вероятностной нейронной сети // Научная мысль. 2016. № 1. C. 116-122.

15. Spetch D. F. Probabilistic Neural networks // Neural Networks. 1990. Vol. 3. P. 109-118.

16. Мартынов И.Э. Оценка виброакустики буксовых узлов // Мир транспорта. 2013. № 3 (47). С. 52-57.

17. Solar Energy Services for Professionals [Электронный ресурс]. URL: http://www.soda-is.com (дата обращения: 22.08.1983).

18. Краковский Ю.М., Лузгин А.Н. Программное обеспечения интервального прогнозирования нестационарных динамических показателей // Вестник ИрГТУ. 2015. Т.1. № 4. С. 12-16.

19. Свидетельство №2015617751 Программный комплекс «Интервальное прогнозирование нестационарных динамических показателей» : свидетельство о государственной регистрации

программы для ЭВМ / А.Н. Лузгин ; зарегистр. URL: http://www.r-project.org (дата обращения:

22.07.2015. 17.02.2016). 20.Язык программирования для статистической обработки данных «R» [Электронный ресурс].

УДК 004.942:51-73: Павельчук Анна Владимировна,

аспирант,

кафедра «Математический анализ и моделирование», Амурский государственный университет, Благовещенск

тел. 8-924-672-59-20, e-mail: AP.9.04@mail.ru.

КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОННО-ИНДУЦИРОВАННОЙ ЗАРЯДКИ СЕГНЕТОЭЛЕКТРИКОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ИНСТРУМЕНТАРИЯ

COMSOL MULTIPHYSICS

A. V. Pavelchuk

FINITE ELEMENT SIMULATION OF ELECTRON-INDUCED CHARGING OF FERROELECTRICS WITH USE OF COMSOL MULTIPHYSICS SOFTWARE

Аннотация. В статье представлены результаты численного моделирования процесса зарядки, возникающего в диэлектрических материалах при облучении электронными пучками средних энергий, в условиях стационарного режима. Модель реализована методом конечных элементов с применением инструментальных возможностей пакета COMSOL Multiphysics. Для симуляции использованы результаты стохастического расчета методом Монте-Карло транспорта электронов в облученном материале. Проведен вычислительный эксперимент по определению характеристик процесса электронно-стимулированной зарядки диэлектрика при диагностике методом растровой электронной микроскопии на примере сегнетоэлектрического кристалла танталата лития.

Ключевые слова: электронное облучение, электронный пучок, сегнетоэлектрик, процесс зарядки, стохастическая модель, метод Монте-Карло, математическая модель, вычислительный эксперимент, характеристики зарядки.

Abstract. The article presents results of numerical simulation of the charging process arising in dielectrics irradiated by intermediate-energy electron bunches under the conditions of stationary mode. The model was realized by finite element method with application of resources of COMSOL Multiphysics software. The results of electron transport calculated by Monte-Carlo method were also used for simulation. The computing experiment was performed to simulate electron-stimulated charging characteristics in dielectrics at diagnostics with scanning electron microscopy technique by the example of lithium tantalate.

Keywords: electron irradiation, electron beam, ferroelectric, charging process, stochastic model, Monte-Carlo method, mathematical model, computing experiment, charging characteristics.

Введение

В последние годы эффект зарядки диэлектрических мишеней под воздействием электронного облучения становится объектом многочисленных фундаментальных и прикладных исследований. Интерес к изучению механизмов и законов, определяющих процесс электронно-индуцированной зарядки функциональных диэлектриков, во многом обусловлен решением актуальных научных и практических задач в космонавтике, электронной литографии, микроскопии, нанометрии, ядерной энергетике, микроэлектронике, и в других областях, связанных с использованием подобных материалов в технологических процессах и приборах, находящихся в условиях воздействия радиации [1-3]. Однако множество сторон этого многоаспектного явления всё ещё не до конца изучены.

Одним из важнейших классов полярных диэлектриков являются сегнетоэлектрики. Практический интерес к этим материалам не случаен -наличие спонтанной поляризации в определенном диапазоне температур, ограниченном температурой Кюри, и нелинейная гистерезисная зависимость поляризации от поля определяют особое

положение сегнетоэлектриков среди других диэлектриков [4]. Многие сегнетоэлектрики представляются весьма перспективными для современной микроэлектроники. При этом создание современных технических устройств на основе сегнетоэлектриков и их применение в неравновесных внешних условиях предъявляют жесткие требования к используемым материалам.

Диагностика сегнетоэлектриков возможна с применением методик растровой электронной микроскопии (РЭМ), позволяющих всесторонне исследовать материалы, в которых электронное облучение инициирует сопутствующие инжекци-онные, зарядовые, тепловые, радиационно-стимулированные эффекты. Эффект зарядки при исследовании сегнетоэлектриков в РЭМ долгое время рассматривался как паразитный: для уменьшения его роли использовали невысокие значения ускоряющих напряжений (до 2-5 кВ). Однако на современном этапе методы РЭМ широко используют не только для визуализации потенциального контраста сегнетоэлектриков, но и для модификации их электрических свойств, создания