Исследование четырехмерных локально однородных (псевдо)римановых многообразий с изотропным тензором Схоутена - Вейля

Исследование четырехмерных локально однородных...

УДК 514.764.323

Исследование четырехмерных локально однородных (псевдо)римановых многообразий с изотропным тензором Схоутена — Вейля*

П.Н. Клепиков1, С.В. Клепикова1, К.О. Кизбикенов2, И.В. Эрнст1

1 Алтайский государственный университет

2 Алтайский государственный педагогический университет

Investigation of four-dimensional locally homogeneous (Pseudo)Riemannian Manifolds with an isotropic Schouten — Weyl Tensor

P.N. Klepikov1, S.V. Klepikova1, K.O. Kizbikenov2, I.V. Ernst1

1 Altai State University

2 Altai State Pedagogical University

Локально однородные (псевдо)римановы многообразия изучались в работах многих математиков. Их обобщением являются локально конформно однородные (псевдо)римановы пространства, на которых транзитивно действуют конформные преобразования. Такие многообразия также ранее исследовались как в римановом случае, так и в псевдоримановом.

В работе Е.Д. Родионова, В.В. Славского и Л.Н. Чибриковой было доказано, что из локально конформно однородного (псевдо)риманова пространства можно с помощью конформной деформации получить локально однородное пространство, если тензор Вейля (или тензор Схо-утена — Вейля в трехмерном случае) имеет ненулевой квадрат длины. Таким образом возникает задача об изучении (псевдо)римановых локально однородных и локально конформно однородных многообразий, тензор Схоутена — Вейля которых имеет нулевой квадрат длины, а сам не равен нулю.

В данной работе приводится алгоритм, с помощью которого можно решить задачу о классификации четырехмерных локально однородных (псевдо)римановых многообразий с нетривиальной подгруппой изотропии и изотропным тензором Схоутена — Вейля.

Ключевые слова: (псевдо)римановое многообразие, изотропный тензор Схоутена — Вейля, системы компьютерной математики.

ОМ 10.14258/izvasu(2018)4-14

Locally homogeneous (pseudo)Riemannian manifolds were studied by many mathematicians. Their generalization is a locally conformally homogeneous (pseudo)Riemannian manifolds on which a conformal transformations act transitively. Such manifolds were previously studied both in the Riemannian case and in the pseudo-Riemannian case.

In the paper of E.D. Rodionov, V.V. Slavsky and L.N. Chibrikova it was proved that a locally homogeneous manifold could be obtained from a locally conformally homogeneous (pseudo)Rieman-nian manifolds by a conformal deformation if the Weyl tensor (or the Schouten — Weyl tensor in the three-dimensional case) has a nonzero squared length. Thus, the problem arises of studying (pseudo)Riemannian locally homogeneous and locally conformally homogeneous manifolds, the Schouten — Weyl tensor of which has zero squared length, and itself is not equal to zero.

In this paper, we present an algorithm that can solve the classification problem of four-dimensional locally homogeneous (pseudo)Riemannian manifolds with a nontrivial isotropy subgroup and an isotropic Schouten — Weyl tensor.

Key words: (pseudo)Riemannian manifold, isotropic Schouten — Weyl tensor, systems of computer mathematics.

1. Введение, определения и постановка задачи. (Псевдо)римановы многообразия с изотропным тензором Схоутена — Вейля естествен-

* Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 1831-00033 мол_а).

ным образом возникают при изучении локально конформно однородных (псевдо)римановых пространств [1]. Ранее данные многообразия в случае трехмерных групп Ли с левоинвариантной лорен-цевой метрикой изучались в работах [2,3]. В них

была получена полная классификация метрических групп Ли, тензор Схоутена — Вейля которых является изотропным. Данная работа продолжает исследования многообразий с изотропным тензором Схоутена — Вейля в случае четырехмерных локально однородных (псевдо)римановых многообразий с нетривиальной подгруппой изотропии.

Пусть (М, д) — (псевдо)риманово многообразие размерности п; X, Y, Z,V — векторные поля на M. Обозначим через V связность Леви-Чивита и через R(X, Y)Z = [VY, Vx^ + V[XY]Z тензор кривизны Римана. Тензор Риччи г и скалярную кривизну s определим как

т(Х,У) =^ — R(X,V)У), s = Ъд(т).

Тензор Вейля W определим равенством: W = R - д,

где А = п-2 (т - Щи—Г)), (Ад)(Х^^^) = А(Х, Z)g(Y, V)+А(У, V)д(Х, Z)-A(X, V)д(У, Z)-А(У^)д(Х,У).

Тензор Схоутена — Вейля определяется следующим равенством:

SW(X, У, Z) = VZА(Х, У) - VYА(Х, Z).

При размерности многообразия п ^ 4 тензор Схо-утена — Вейля связан с дивергенцией тензора Вейля следующим равенством [4]:

SW = -(п - 3^ Ж.

Если скалярная кривизна (псевдо)риманова многообразия является константой (например, в случае локально однородного пространства), то формула для вычисления тензора Схоутена — Вейля упрощается:

SW :

1

и- 2

(Vz r(X,Y ) -Уу r(X, Z)).

Определение 1 [2]. Векторное поле V определяет инфинитезимальное изометричное преобразование (псевдо)риманова пространства и называется киллинговым, если

vi ,j + vj ,i = 0.

i,j + vj,i = 2wgik,

Соответственно, векторное поле V определяет инфинитезимальное конформное преобразование (псевдо)риманова пространства и называется конформно-киллинговым, если

где w = Vkigik/п.

Определение 2 [2]. Пусть (М,д) — связное (псевдо)риманово многообразие, для любой

точки x0 которого и любого касательного вектора vo G Tx0 M существует векторное поле v(x) в окрестности точки x0, удовлетворяющее уравнению (1) такое, что v(x0) = v0. Многообразие в этом случае назовем локально однородным пространством. Соответственно, если векторное поле v(x) удовлетворяет системе уравнений (2), то многообразие назовем локально конформно однородным пространством.

Ранее локально конформно однородные пространства изучались, например, в статьях [5-8]. В работе [2] доказана

Теорема 1. Пусть (M, g) — локально конформно однородное связное пространство, и пусть хотя бы в одной точке имеем \\W||2 = 0 (]|SW||2 = 0 при dim M = 3). Тогда (M, g) конформно эквивалентно локально однородному пространству.

Таким образом, возникает задача об изучении (псевдо)римановых локально однородных и локально конформно однородных многообразий, тензор Схоутена — Вейля которых имеет нулевой квадрат длины, а сам не равен нулю.

Определение 3. Тензор Схоутена — Вейля SW будем называть изотропным, если квадрат его длины равен нулю (||SW||2 = 0), а сам тензор не равен нулю (SW = 0).

Замечание. Отметим, что в случае римано-вых многообразий из равенства нулю квадрата длины тензора Схоутена — Вейля следует, что сам тензор равен нулю. Действительно, в ортонор-мированном базисе из векторов в касательном пространстве произвольной точки многообразия квадрат длины тензора Схоутена — Вейля представляет собой сумму квадратов всех компонент, а значит, равен нулю тогда и только тогда, когда каждая компонента тензора равна нулю.

При достаточно малой размерности локально однородного (псевдо)риманова пространства становится возможным применение систем компьютерной математики для изучения локально однородных (псевдо)римановых многообразий с изотропным тензором Схоутена — Вейля. Далее приведем математическую модель, позволяющую вычислять квадрат длины тензора Схоутена — Вейля на локально однородном (псевдо)римановом пространстве (подробнее см. [9,10]).

Пусть (M = G/H,g) — однородное (псевдо)ри-маново многообразие размерности m, g — алгебра Ли группы G, h — подалгебра изотропии, m = g/h — (необязательно редуктивное) дополнение к h в g, h = dim h.

Пусть {ei,e2,.. .,eh,ui,u2,.. .,um} — базис g, где {ei} и {ui} — базисы h и m соответственно. Положим

[ui ,uj] m = Cij [ui,uj] h = Cij ek,

[hi ,Uj l

C^j Uk,

v

Исследование четырехмерных локально однородных.

где ск, ССк и с- — массивы соответствующих размеров.

Первым шагом вычислим представление изотропии ф на базисных векторах

ШЧ = (Ф (ei)j = Cj

и запишем условие инвариантности метрического тензора д:

где (ф ) — транспонированная матрица.

Далее, с помощью уже известных структурных констант и матрицы метрического тензора, найдем компоненты связности Леви-Чивита V:

1

rj = ö (сЧ+gSk clj9ii+gsk cSi gj),

мат-

гк = 1 ск _ ^. г ц = 2 2д Cisgjl .

где Vuíщ = Гкик, Vhíщ = Гкик и —

рица, обратная к матрице {gij}.

Следующим шагом является вычисление компонент тензора кривизны R и тензора Риччи г:

rijks = кГр1 ГкГР + cijГРк + cijГРк) gps,

rik rijksgj .

Далее, находятся компоненты ковариантной производной тензора Риччи

rij,k = 'rsj гki + 'risгkj ,

вычисляется тензор Схоутена — Вейля

SWijk = —Цг (г^,к - г^кк^),

п - 2

а также квадрат его длины

\\sIw ||2 = sWijk swapy giagjвgkY.

2. Пример вычислений. В качестве примера рассмотрим четырехмерное локально однородное псевдориманово пространство 1.11.3 (по классификации [11]). В алгебре Ли 0 существует базис {е1,и1,и2,и3,и4} — базис 0, где {е1} и {щ} базисы ^ и т соответственно. Скобки Ли на базисных векторах имеют вид:

[е1,и1] = и1, [е1,из] = -из, [и1,из] = е1 + и2.

Вычислим представление изотропии (3):

Ф1

1 0 0 0

0 0 0 0

0 0 -1 0

0 0 0 0

и запишем условие (4) инвариантности метрического тензора:

а12 = 0, а14 = 0, ац = 0,

а23 = 0, азз = 0, «34 = 0.

Решая данную систему уравнений относительно компонент метрического тензора, получаем, что инвариантное скалярное произведение обязано иметь вид

g =

и иметь либо лоренцеву (+, +, +, -), либо нейтральную (+, +, -, -) сигнатуру.

Далее, используя вышеприведенные формулы, вычисляем компоненты тензора Схоутена — Вей-ля

0 0 а1з 0

0 а22 0 а24

а1з 0 0 0

0 а24 0 а44/

SW132 = -SW123 = SW231 : SW134 = -SW143 = SW341

a22

4а2з

a24

4а2з

и квадрат его длины

WSW у2 = -

3022(013—022)2

4а?з

Решая уравнение WSWW2 = 0, получим два решения

а22 = 0 или а22 = а1з,

однако во втором случае тензор Схоутена — Вейля будет тривиальным. Таким образом, получим следующую теорему

Теорема 2. Четырехмерное локально однородное псевдориманово пространство 1.11.3 имеет изотропный тензор Схоутена — Вейля тогда и только тогда, когда инвариантная метрика g имеет вид

g=

где «13 = 0, а24 = 0. В этом случае инвариантное скалярное произведение обязано иметь нейтральную (+, +, —, —) сигнатуру.

3. Заключение. В результате проведенных исследований построена математическая модель, которая позволяет получить полную классификацию четырехмерных локально однородных (псевдо)римановых многообразий с нетривиальной подгруппой изотропии и тривиальным тензором Схоутена — Вейля.

0 0 а1з 0

0 0 0 а24

а1з 0 0 0

0 а24 0 а44/

Библиографический список

1. Rodionov E.D., Slavskii V.V. Conformal deformations of the Riemannian metrics and homogeneous Riemannian spaces // Comment. Math. Univ. Carolin. - 2002. - Vol. 43, № 2.

2. Rodionov E.D., Slavskii V.V., Chib-rikova L.N. Locally conformally homogeneous pseudo-Riemannian spaces // Siberian Advances in Mathematics. - 2007. - Vol. 17, № 3.

3. Khromova O.P., Klepikov P.N., Klepi-kova S.V., Rodionov E.D. About the Schouten-Weyl tensor on 3-dimensional Lorenzian Lie groups // arXiv:1708.06614, 2017.

4. Besse A. Einstein manifolds — Springer — Verlag, Berlin — Heidelberg, 1987. DOI: 10.1007/978-3-540-74311-8

5. Salimi Moghaddam H.R. On Ricci Soliton metrics conformally equivalent to left invariant metrics // arXiv:1401.0744, 2016.

6. Podoksenov M.N. Conformally homogeneous Lorentz manifolds. II // Siberian Mathematical Journal. - 1992. - Vol. 33, № 6.

7. Liimatainen T., Salo M. Nowhere conform-ally homogeneous manifolds and limiting Carleman

weights // Inverse Problems and Imaging. — 2012. — Vol. 6, № 3. DOI: 10.3934/ipi.2012.6.523

8. Alekseevsky D. Lorentzian manifolds with transitive conformal group // Note di Matematica. — 2017. — Vol. 37, № 1. DOI: 10.1285/i15900932v37suppl1p35

9. Клепиков П.Н., Родионов Е.Д. Применение пакетов символьных вычислений к исследованию алгебраических солитонов Риччи на однородных (псевдо)римановых многообразиях // Известия АлтГУ. — 2017. — № 4 (96). DOI: 10.14258/izvasu(2017)4-19

10. Хромова О.П. Применение пакетов символьных вычислений к исследованию оператора одномерной кривизны на нередуктивных однородных псевдоримановых многообразиях // Известия АлтГУ. — 2017. — № 1 (93). DOI: 10.14258/izvasu(2017)1-28

11. Komrakov B.B. Einstein-Maxwell equation on four-dimensional homogeneous spaces // Lobachevskii J. Math. — 2001. — Vol. 8.