Использование нейросетевых технологий в задаче оптимизации формы летательного аппарата

Том XXXV

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

20 04

№ 3—4

УДК 629.782.015.3

532.526.011.55.011.6

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ НЕЙРОСЕТЕВЫХ ТЕХНОЛОГИЙ В ЗАДАЧЕ ОПТИМИЗАЦИИ ФОРМЫ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА

С. Д. ЖИВОТОВ

Приведены примеры построения нейронных сетей, обеспечивающих с приемлемой точностью оценку характеристик ламинарного пограничного слоя на режиме вязко-невязкого взаимодействия с учетом эффектов скольжения скорости и скачка температуры, а также влияния физико-химических процессов. Данные подходы были использованы для решения задачи поиска оптимальной формы летательного аппарата (ЛА), обеспечивающей максимум аэродинамического качества.

Значительная часть режимов полета космических транспортных средств лежит в области умеренных и малых значений чисел Рейнольдса, т. е. на режимах, когда возникает необходимость учитывать ряд эффектов, связанных с взаимодействием пограничного слоя и поля течения невязкого газа, в том числе и эффекты разреженности (скольжение скорости и скачок температуры), кроме того, на этих режимах становится существенным влияние эффектов, связанных

с влиянием физико-химических процессов в газе. Точное рассмотрение задачи для всей области высот связано с решением полной системы уравнений Навье — Стокса и кинетического уравнения Больцмана. Областью применения этих подходов является, в основном, проведение единичных расчетов обтекания тел, выяснение физических особенностей обтекания, детальное изучение структуры всей возмущенной области течения, кроме того, они могут использоваться для тестирования других методов расчета. С другой стороны, проектирование ЛА, нахождение оптимальных форм, моделирование в аэродинамических трубах и другие прикладные исследования ставят задачи проведения массовых расчетов по определению влияния различных параметров подобия на характеристики ЛА. В этой области достаточно эффективным является применение приближенных алгоритмов. Целью данной статьи и было создание такого приближенного метода расчета, а также применение его к задаче поиска оптимальной формы ЛА.

Общий алгоритм расчета. Большинство приближенных численно-аналитических методов расчета сводится к определению функциональных зависимостей между параметрами, определяющими течение и геометрию летательного аппарата, и параметрами, характеризующими аэродинамические силы и моменты. Например, аэродинамическую

характеристику С можно представить в виде С=Схкгкс, где Сх определяет значение С при невязком обтекании летательного аппарата термодинамически совершенным газом, кг и кс представляют собой поправки, первая из которых учитывает влияние вязкости и разреженности, а вторая — влияние физико-хими-ческих процессов. В соответствие с законами подобия и в рамках принципа локальности каждый из этих сомножителей будет зависеть от следующих

критериев: для С — это число Маха набегающего потока М^ и местный геометрический угол атаки ае; для кг — М^, ае, число Яео, вычисленное по скорости и плотности набегающего

потока и коэффициенту вязкости при температуре торможения совершенного газа, температурный фактор (отношение температуры стенки

к температуре торможения совершенного газа); для кс — это размерные параметры: ре, Те, ие — давление, температура и скорость на внешней границе пограничного слоя, Тм, — температура стенки. В принятой постановке задачи определение значений аэродинамических характеристик летательного аппарата сводится к определению их предельных значений С и функциональных зависимостей поправок кг и кс от критериев подобия.

При невязком обтекании предельные значения Сх для совершенного газа могут быть получены либо путем численного интегрирования уравнений Эйлера, либо с использованием приближенных подходов.

Значительный объем информации необходим при определении поправок, учитывающих влияние вязкости, разреженности и физико-химических процессов в воздухе. Прежде всего, это экспериментальные исследования, проводимые в различных аэродинамических установках, а так же результаты численных решений уравнений Навье — Стокса, Больцмана и их асимптотических моделей. Непосредственное определение вида функциональной зависимости в этом

случае практически невозможно. Поэтому в последние годы активно разрабатываются и другие подходы, в том числе основанные на использовании технологии нейронных сетей [1].

Универсальные аппроксимационные и интерполяционные свойства нейронных сетей основаны на двух фундаментальных теоремах: на теореме Колмогорова о том, что любая непрерывная функция многих переменных может быть точно представлена с помощью операций сложения и суперпозиции из непрерывных функций одного переменного [1]; на обобщении теоремы Стоуна о том, что с помощью линейных операций и суперпозиции можно из произвольных нелинейных функций одного переменного получить аппроксимацию любой непрерывной функции многих переменных с любой наперед заданной точностью [1].

К преимуществу использования нейронных сетей можно отнести и то, что помимо универсальных способностей аппроксимации, которые имеют многочлены и ряды Фурье,

входной скрытые слои выходной

слой слой

Рис. 1. Структура нейронной сети

существуют эффективные алгоритмы настройки (обучения) нейронных сетей, в частности,

генетические

алгоритмы.

В данной статье будем рассматривать только слоистые нейронные сети, состоящие из нейронов, преобразующих входные сигналы в выходной сигнал. Нейрон (рис. 1) состоит из элементов трех типов: умножители (синапсы), сумматор и нелинейный преобразователь. Синапсы осуществляют связь между нейронами, умножают входной сигнал на число - вес синапса. Сумматор

выполняет сложение сигналов, поступающих по синаптическим связям от других нейронов, и внешних входных сигналов. Нелинейный преобразователь реализует нелинейную функцию одного аргумента - выхода сумматора. Нейрон в целом реализует скалярную функцию векторного аргумента. Сигналы х1 поступают на неоднородный сумматор Е с весами wi: а=х1м>1 +w0,

затем сигнал поступает на нелинейный преобразователь у=/(с) и, наконец, на точку ветвления для рассылки сигнала у по нескольким адресам. Обычно для всех нейронов сети выбирается

одна и та же нелинейная функция (в статье / (с)=

с

0.2 + с

см. рис. 1).

Отдельные нейроны объединяются в сети, состоящие из входного слоя (который представляет собой только точки ветвления), нескольких скрытых слоев и выходного слоя (рис. 1). К преимуществам нейронных сетей относится и то, что одна сеть может одновременно вычислять

несколько функций, т. е. дает отображение X^У. Работа нейронной сети с двумя скрытыми слоями можно описать следующими формулами:

(

У1 = / У2 = /

N

I

т=1

N2

I

т=1

( N

w

т13

/

( N

1^кт2/ IЩЛ + Щк1

к=1

( N1

V 1=1

>+w,

0т2

Л

+

013

w

т23

/

( N

1^кт2/ I

^к1Х + ^

0£1

0т2

к=1

1=1

+ wl

023

где Ж=wjjk — тензор весовых коэффициентов 1 входа нейрона у в слое к; w0д —

неоднородность нейрона у в слое к ; N — размерность входного вектора, N1; N2 — число нейронов

в первом и втором скрытых слоях. Аналогично можно записать формулы для любого числа скрытых слоев.

Для того чтобы сеть стала работоспособной, ее необходимо настроить, т. е. определить тензор Ж таким образом, чтобы научить сеть давать правильное отображение X ^У. Алгоритмически это означает настройку внутренних параметров с целью минимизации среднеквадратичной ошибки обучения

^ (Ж)=

-1

N ^

Т ШТ

У( х1) - У

У

где X еX , у1 еУ , у(X) — ответ сети при подаче на вход вектора X еX ; 1Ь сI — множество индексов обучающей выборки; NL — число элементов множества 1Т ; I — множество индексов всех имеющихся пар векторов (X, у1). Проверка аппроксимационных свойств сети определяется среднеквадратичной ошибкой обобщения

Во Ж)=4

- 2

0 1е1п

У (х) - у'

У

где 1о сI — множество индексов тестовой выборки, которая не использовалась при обучении (1Ь П 1о =0), Nо — число элементов множества 1С . Малая ошибка обучения соответствует прямому запоминанию обучающей информации, а малая ошибка обобщения — формированию навыков, позволяющих распространить ограниченный опыт обучения на новые условия.

Таким образом, задача обучения нейронной сети сводится к задаче безусловной оптимизации гь (Ж) ^min . Для поиска экстремума можно использовать разные методы, но лучшие результаты показывает применение комбинированных методов оптимизации. Для быстрого определения градиента целевой функции используется метод обратного распространения ошибки [1]. Обученная нейронная сеть позволяет строить функциональные зависимости для неструктурированных массивов данных.

Учет эффектов разреженности и взаимодействия. В качестве алгоритма расчета аэродинамических характеристик летательного аппарата в рамках модели совершенного газа с постоянным отношением удельных теплоемкостей (у=1.4) можно принять приближенный метод

[2],

основанный на принципе локальности, согласно которому воздействие среды на каждый элемент поверхности ЛА осуществляется независимо и определяется только ориентацией этого элемента в потоке, длиной местной линии тока и параметрами, характеризующими среду и ее движение. Этот метод учитывает влияние эффектов разреженности, связанных с граничными условиями скольжения и температурного скачка на теле, и эффектов, связанных с произвольным вязко-невязким взаимодействием, т. е. взаимодействием невязкой области течения с пограничным слоем. Для формирования на базе этого алгоритма обучающей выборки были проведены многопараметрические расчеты обтекания плоской пластины (конуса) в широком диапазоне изменения параметров: угла атаки ае, числа Re0, температурного фактора ^ и числа Mк,. В результате расчетов был получен массив данных, связывающий входные параметры

сг ср

ае, Re0, ^, Mк, с выходными , где с^ — локальный коэффициент трения пластины

С[ 0 Ср0

(конуса); с^ 0 — коэффициент трения, рассчитанный по модифицированному методу

характерной температуры [3];

Ср — локальный коэффициент давления пластины

(конуса); Ср0 — коэффициент давления,

рассчитанный без учета влияния вязко-невязкого взаимодействия. При больших значениях угла атаки коэффициент трения определялся по методу характерной температуры. Объем банка данных составил порядка 2500 расчетных случаев (множество I), причем множество 1Ь содержало 2200 случая, а множество 1С — 300. Для обработки массива применялись нейронные сети. Среднеквадратичная ошибка обучения составила гь ~0.5% как для коэффициента трения, так и для коэффициента давления, ошибка обобщения — Во~4.6% для коэффициента давления и 3.2% для коэффициента трения. Таким образом, сформирована сеть, позволяющая получить функциональную зависимость поправки кг от критериев подобия.

Рис. 2. Зависимость аэродинамичекого качества ЛА от угла атаки:

--настоящий метод (произвольное взаимодействие);

......настоящий метод (слабое воздействие); • • • [4]

Разработанный метод позволяет организовать относительно простой алгоритм расчета, который можно успешно использовать для оценок аэродинамических характеристик некоторых тел, которые по своей форме близки к гиперзвуковым ЛА, например, тел типа полуконус-крыло. На рис. 2 даны некоторые

результаты расчетов ЛА, представляющего собой

затупленный полуконус с углом раствора 29 = 17°

и относительным радиусом затупления сферического носка 0.02 длины модели. Передняя кромка всех плоских треугольных крыльев выполнена цилиндрической с радиусом затупления 0.007 длины модели, стреловидность крыла по передней кромке равнялась х = 64.5°. Экспериментальные исследования [4] были проведены в импульсной аэродинамической трубе при Мш = 12.5, Re0 = 6• 103, ^ = 0.33. Относительная погрешность измерений не превышала ±3%. При

определении силовых характеристик за характерную площадь была принята площадь модели в плане.

Теоретические расчеты проведены для двух схем

обтекания: в рамках слабого вязко-невязкого взаимодействия и в рамках произвольного взаимодействия. Экспериментальные значения коэффициента сопротивления сх превышают

расчеты сх , выполненные в рамках модели слабого взаимодействия, на 20 — 30%, в то время как

расчеты, выполненные с учетом произвольного взаимодействия, отличаются от экспериментальных данных на 2 — 3% в области углов атаки до 15° и на 7% при а до 25°, что находится в хорошем согласовании с точностью эксперимента. Отметим, что оба подхода дают приблизительно одинаковые результаты при расчетах коэффициента подъемной силы Су (~

10%). Наиболее значительные различия в сравниваемых методах наблюдаются в зависимости аэродинамического качества от угла атаки.

Учет влияния физико-химических процессов. В качестве алгоритма расчета аэродинамических характеристик летательного аппарата с учетом влияния физико-химических процессов можно также использовать метод, основанный на принципе локальности. В данной статье ограничимся рассмотрением равновесных течений диссоциирующего газа около непроницаемой

поверхности. Газ представляет собой «-компонентную смесь совершенных газов. Состояние газовой среды при таких предположениях может быть описано следующей группой параметров: р — давление, р — плотность, Т — температура, С' — массовая концентрация '-го компонента смеси. Значения давления, плотности и температуры связаны между собой уравнением состояния, которое при сделанных предположениях имеет вид:

Я т Р=РТ7 Т,

М

где Я — универсальная газовая постоянная, М =

-1

2—

£ м

; М' — молекулярный вес '-го ком-

понента.

Удельная теплоемкость Ср' и энтальпия к компонентов смеси, а также константы

равновесия химических реакций КС]- (/ = 1... т, где т — число химических реакций, протекающих

в рассматриваемой газовой среде) определяются через приведенный термодинамический потенциал, используя термодинамические данные из пакета прикладных программ «1УТА1ЧТНЕИМО» и справочника [5].

При построении модели переносных свойств газовой смеси предполагается, что неупругие столкновения молекул с обменом внутренней энергии слабо возмущают функции распределения

компонентов смеси, так что при расчете молекулярных переносных свойств можно использовать результат теории, развитой для одноатомных газов. Кроме того, не учитываются эффекты термо-и бародиффузии, поскольку в рассматриваемых условиях они незначительны по сравнению с концентрационной диффузией. В настоящей работе для вычисления коэффициентов вязкости и теплопроводности смеси используются аппроксимационные зависимости типа Уилке — Васильевой, приведенные в [6].

Теперь конкретизируем модель газовой среды. Будем считать, что газ находится в состоянии термохимического равновесия, т. е. его состав полностью определяется локальными значениями температуры и давления. Для атмосферы Земли в диапазоне температур от 2000 до 8000 К основными химическими реакциями являются следующие шесть реакций (т = 6):

02 + X 20+X, N2 + ХП 2К+X, N+О+X N0+X, 02 + N N0+О, N + О N0+N, 02 + N 2Ш .

Здесь Х — любая из присутствующих в газовой смеси частиц. Таким образом, в модель газовой среды включены 5 компонентов: 0, 02, N N2, N0 (п = 5).

В качестве независимых соотношений, связывающих концентрации компонент с температурой и давлением, примем даваемые законом действующих масс условия равновесия трех

первых указанных выше реакций диссоциации:

=К

RT И,

0

С0

РИИ02

=К

RT И

N

CN

^N9

рИ ИN

% С0

"N0

=К

С^

RT И^Ис

рИ ИN0

где

И0, И02 , ИN, ИЩ , ИN0 —

молекулярные веса компонентов 0, 02, N, N2, N0

соответственно.

Отметим, что в данном случае использование оставшихся реакций обмена не дает никакой дополнительной информации, так как оставшиеся константы равновесия КС] (] = 4, 5, 6) выражаются через независимые КС] . Для замыкания системы уравнений добавим очевидное для

невязкого газа условие постоянства концентрации химических элементов (кислорода и азота):

С0 +

2И0 И0 *

0 Сэ2 сМ0 = С0 = со^=0.21,

И

2

И

N0

2И

И

N

ИМ2 ' Иш

сМ0 = см = со^=0.79.

Эти же соотношения будем использовать и для расчета течений вязкого газа. Таким образом, получена система (1) — (2) из пяти уравнений с пятью неизвестными, которая позволяет при заданных значениях температуры и давления определить химический состав газовой смеси.

Для формирования обучающей выборки было проведено численное интегрирование уравнений ламинарного пограничного слоя для плоской пластины (конуса) в широком диапазоне

Рис. 3. Зависимость коэффициента поверхностного трения от расстояния я/г вдоль поверхности сферы:

М„ =14, Н=65 ё! , г=5 т

- настоящий метод,

[7]

С

изменения параметров: давления, температуры и скорости на внешней границе пограничного слоя ре, Те, ие, температуры стенки Т^. В результате расчетов был получен массив данных,

сг

связывающий входные параметры ре, Те, ие, с выходным -, где с^ — локальный

СГ 0

коэффициент трения пластины (конуса); с^0 — коэффициент трения, рассчитанный по

модифицированному методу характерной температуры [3]. Объем банка данных составил порядка 3500 рас-

четных случаев (множество I), причем множество 1Ь содержало 2700 случая, а множество — 800. Для обработки массива применялись нейронные сети. Среднеквадратичная ошибка обучения составила гь 01.5%, ошибка обобщения — г0  2%. Максимальная ошибка — 4% и 5% соответственно. Таким образом, сформирована сеть, позволяющая получить функциональную зависимость поправки кС от критериев подобия.

Разработанный метод позволяет организовать относительно простой алгоритм расчета. На рис. 3 представлены результаты расчета обтекания лобовой части затупленного тела по настоящему методу и на основе полных уравнений Навье — Стокса [7].

Задача оптимизации. В качестве примера решения задачи оптимизации рассмотрим крыло трапециевидной формы в плане с отношением концевой хорды к корневой, равным ¿1 /Ь 2 = 0.25 . Угол стреловидности по передней кромке х=55°, при этом задняя кромка крыла перпендикулярна плоскости симметрии. Передние кромки крыла затуплены с постоянным радиусом затупления Яг. Задача состоит в определении формы срединной поверхности крыла, при которой аэродинамическое качество максимально. Распределение толщины крыла не менялось при варьировании срединной поверхности. В связанной системе координат это распределение описывается формулой:

У =у1 2Яг (х - 2 Х)соз х

г х-2 ге х ^

1-

¿0 + (Ь 1 -Ь 0)2/21

где 2 — координата 2 корневой хорды. При выбранной форме уг задние кромки крыла являются

острыми, а радиус затупления и относительная толщина крыла т (отношение толщины корневого сечения крыла к корневой хорде) связаны между собой соотношением

$ _ 27т2

Ь0 32ео8х

Форма срединной поверхности описывается полиномами от двух переменных х, 2 специального вида. Коэффициенты полиномов подбираются в процессе решения вариационной задачи прямым методом Ритца. Еще одним варьируемым параметром является угол атаки. Форма верхней и нижней поверхности крыла определяется заданным распределением уг и определяемым при решении задачи распределением :

У=У* ± Уг.

Расчет параметров невязкого течения можно разбить на три этапа: расчет параметров потока за прямой ударной волной; адиабатическое торможение газа вдоль нулевой линии тока до критической точки; расчет параметров потока вдоль по обводу тела. В качестве алгоритма расчета коэффициента давления при невязком обтекании в настоящей статье используется модифицированный метод Ньютона для наветренной части летательного аппарата и метод Прандтля — Майера для подветренной части. Остальные характеристики, такие как температура и состав газа, определяются с помощью системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающей течение вдоль струйки тока невязкого потока:

due dx

dx '

( n

V i=i

\

ue

I--=const.

где индекс e относится к характеристикам на теле (внешней границе пограничного слоя), значения cie определяются из системы (1) — (2). n— число компонентов смеси. В случае обтекания тела совершенным газом с постоянным отношением удельных теплоемкостей имеем cie = const. Для решения полученной системы необходимо задать условия в начальном сечении трубки тока. При расчете затупленных тел в качестве таких условий можно использовать параметры потока в критической точке.

Давление на теле определяется следующими формулами:

| Ре = Рю + (Р0 - Рю ) sin ae 1 Qe l«e =V( Ре ) -V( Рю ) i'Se

ae > 0

a <0'

где

dp

P

^Р) = I' , 42

0 i+(fP)2

arctg p; P^ M2-1

F=

1

Y*-1 .

Y*+1

Y* =

^ Spa2 ^

дР

js

индекс «0» относится к параметрам потока в точке торможения, «да» — к параметрам на бесконечности; I й — число Маха на теле; а, Б — скорость звука и энтропия соответственно. В случае обтекания тела совершенным газом с постоянным отношением удельных теплоемкостей (у* =у=1.4) выражение для v(р) может быть проинтегрировано и дает обычную форму соотношения Прандтля — Майера

e

v(p)=F 1arctg ( Fp)-arctg p

Данный подход позволяет определить Сх — предельное значение аэродинамических характеристик при невязком обтекании как в случае течения с постоянным отношением удельных теплоемкостей ( у=1.4 ), так и в случае течения с учетом физико-химических реакций. Пригодность данного подхода иллюстрируется на рис. 4 и 5, где представлены результаты расчета невязкого обтекания сферы (рис. 4) и клина (рис. 5) по настоящему методу и на основе уравнений Эйлера [7]. Учет эффектов взаимодействия, разреженности и влияния физико-химических процессов в воздухе в случае вязкого обтекания осуществляется с помощью нейронных сетей согласно изложенной выше концепции.

Решение оптимизационной задачи было проведено в широком диапазоне параметров: высота полета H изменялась от 10 до 70 км, число Маха — от 5 до 15, относительная толщина крыла т — от 0.01 до 0.07, температура поверхности ЛА Tw =1000 K. На рис. 6 представлена зависимость максимального аэродинамического качества от высоты полета для Мх =10 , т=0.05 . На рисунке продемонстрировано влияние всех эффектов (разреженности, вязко-невязкого взаимодействия и физико-химических реакций) на значения максимального аэродинамического качества.

На рис. 7 показана обработка результатов решения задачи в параметрах

/.тг (Kmax Kmax<ю ) Kmaxх гот тг

AK =--- и ст= [8], где Kmaxx — максимальное аэродинамическое качество

Kmax х VRe0

крыла при невязком обтекании с учетом деформаций срединной поверхности. Это позволило

Рис. 4. Распределение давления, скорости и температуры по сфере при невязком обтекании с учетом физико-химических

процессов:

а) и б) высота полета Н = 61 км, скорость ысо = 4500 м/с, радиус сферы г = 30 см; в) Н = 30 км, иш=6000 м/с, г = 2.5 см;

--настоящий метод, • • • • [7]

Рис. 5. Зависимость коэффициента давления на клине от полуугла раствора при невязком обтекании с учетом физико-химических процессов:

Н = 61 км, скорость и^,=6000 м/с;--настоящий метод, • • • • [7]

Рис. 6. Зависимость максимального аэродинамического качества от высоты полета для Мда =10, т=0.05:

-расчет без учета влияния эффектов взаимодействия и физико-химических реакций;----расчет с учетом

эффектов взаимодействия; ......расчет с учетом физико-химических реакций, но без учета влияния эффектов

взаимодействия; — • — • — расчет с учетом влияния всех эффектов

получить близкую к универсальной зависимость потерь аэродинамического качества как с учетом эффектов взаимодействия АК=^(с), так и с учетом влияния физико-химических

процессов в воздухе АК = ^ (с) во всем исследованном диапазоне изменения геометрических и аэродинамических параметров задачи.

Для определения величины приращения Ктах за счет деформаций срединной поверхности крыла по сравнению с плоской поверхностью (у8 = 0) проведены расчеты оптимизационной задачи при уя = 0 (варьировался только угол атаки корневого сечения). С ростом числа Маха

к

0.2

0 3

0.4

V

*

I'

относительный выигрыш аэродинамического качества увеличивается с 2 — 3% при М00=5 до 8 — 14% при Мю =15 (т=0.05). Рост

толщины крыла т также приводит к увеличению относительного выигрыша, например, при т=0.07

и М00=15 выигрыш составляет 14— 18%.

Выводы. Показана принципиальная возможность использования нейронных сетей для оценки характеристик ламинарного пограничного слоя на режиме умеренного вязко-невязкого взаимодействия с учетом влияния физико-химических процессов в воздухе. Точность оценок локальных характеристик с помощью сети составляет порядка 5%. Время расчета по сравнению с методом [2] сокращается в 3 раза, кроме того, следует отметить простоту программной реализации нейронной сети, в отличие

от сложного комплекса программ,

реализующего метод [2]. Решена задача поиска оптимальной формы изолированного крыла, обеспечивающей максимум аэродинамического качества. Получены зависимости, позволяющие учитывать влияние вязкости и физико-химических процессов

в воздухе на оптимальные формы. Проанализированы возможные резервы улучшения аэродинамических характеристик за счет деформации срединной поверхности крыла в зависимости

от числа Маха и высоты полета.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 01-01-00633).

АК

Рис. 7. Зависимость параметра аК от с:

- учет эффектов взаимодействия; 2 — учет всех эффектов;  — т = 0.03; • — т = 0.05;  — т = 0.07

ЛИТЕРАТУРА

1. Горбань А. Н., Дунин-Барковский В. Л., Кирдин А. Н., Мир -кес Е. М., Новоходько А. Ю., Россиев Д. А., Терехов С. А., Сена -шова М. Ю., Царегородцев В. Г. Нейроинформатика.— Новосибирск: Наука. — 1998.

2. Животов С. Д., Николаев В. С. Метод расчета локальных аэротермодинамических характеристик плоских тел в сверхзвуковом потоке с учетом влияния вязкости и граничных условий скольжения // Ученые записки ЦАГИ. — 1998. Т. XXIX, № 1 — 2.

3. Животов С. Д., Николаев В. С. Крыло максимального качества в сверхзвуковом потоке на режиме вязко-невязкого взаимодействия // Ученые записки ЦАГИ.

— 2002. Т. XXXIII, № 1 — 2.

4. Горенбух П. И., Смирнов В. И. Расчетно-экспериментальное исследование аэродинамических характеристик полуконуса с крылом в гиперзвуковом потоке // Труды ЦАГИ. — 1997. Вып. 2580.

5. Термодинамические свойства индивидуальных веществ. Справочное издание. — М.: Наука. — 1979.

6. Афонина Н. Е., Громов В. Г. Применение метода конечного объема для численного моделирования на основе уравнений ВУС гиперзвукового обтекания затупленных тел с учетом термохимического разрушения ТЗП / Сб. «Исследование физико-газодинами-ческих явлений при обтекании тел сверхзвуковым потоком». — М.: Изд. МГУ.

— 1998.

7. Влияние свойств реального газа на аэродинамические и тепловые характеристики гиперзвуковых летательных аппаратов // Обзор ОНТИ ЦАГИ, № 676. — 1987.

8. Животов С. Д. Оптимальные формы изолированного крыла в вязком гиперзвуковом потоке// Ученые записки ЦАГИ. — 1998. Т. XXIX, № 1 — 2.

Рукопись поступила 22/VIII 2002 г.