Рассеяние звука упругой цилиндрической оболочкой с неоднородным покрытием и неконцентрической эллиптической полостью

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2014. Вып. 2. С. 146-163

Механика

УДК 539.3:534.26

Рассеяние звука упругой цилиндрической оболочкой с неоднородным покрытием и неконцентрической эллиптической полостью *

Н. В. Ларин

Аннотация. Рассматривается задача о рассеянии плоской звуковой волны однородной изотропной упругой бесконечной круговой цилиндрической оболочкой. Оболочка имеет неконцентрическую эллиптическую полость и радиально-неоднородное упругое покрытие постоянной толщины. Получено аналитическое выражение, описывающее рассеянное акустическое поле.

Ключевые слова: рассеяние, звуковые волны, упругий цилиндр, эллиптическая полость, неоднородное упругое покрытие.

Введение

В современных промышленных технологиях все большее практическое применение находят структуры, построенные из материалов, имеющих различные физико-механические свойства. Таковыми являются, например, композитные материалы, свойства которых могут существенно отличаться от свойств составляющих их компонентов.

Слоистые структуры являются технологически наиболее простыми и, как следствие, наиболее широко используемыми в различных прикладных областях. В гидроакустике слоистые композиты могут использоваться, например, в качестве покрытий отражающих экранов.

Определение состава компонентов для изготовления композиции покрытия с заданными звукоотражающими свойствами может оказаться задачей трудоемкой. Один из способов ее решения - компьютерное моделирование, которое позволяет исследовать теоретический аналог изготовленного в будущем изделия - покрытие из непрерывно неоднородного материала. В результате исследования определяется аналитический вид функций, описывающих изменение физико-механических свойств материала

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 13-01-97514-р_центр_а) и Министерства образования и науки РФ (госзадание № 1.1333.2014К).

аналога по толщине покрытия. Найденные непрерывные функции с требуемой точностью аппроксимируются кусочно-постоянными функциями. Зная последние, можно определить толщину и физико-механические свойства материалов компонентов, из которых можно изготовить слоистое покрытие с заданными звукоотражающими свойствами.

Задачи дифракции звука на непрерывно неоднородных круговых цилиндрических оболочках, вне и внутри которых находятся жидкости с разными физическими свойствами, решены ранее [1-9]. При этом рассматривались оболочки из материалов, упругие и термоупругие свойства которых по-разному зависят от направления.

Основным отличием работ [11, 15, 16] от указанных выше является то, что в них рассматривались оболочки, заполненные твердыми средами. Такие оболочки, по сути, являются покрытиями.

В работе [17] рассматривалось покрытие, которое уже не является непрерывно неоднородным, а представляет собой слоистую пространственную конструкцию, материал каждого слоя которой, характеризуется своими материальными константами.

Основной отличительной особенностью работы [10] от работ [1-9] является расположение полости в оболочке, а работы [12] - и форма, и расположение полости.

Отдельно следует выделить работы [13, 14], в которых решены

задачи дифракции звуковых волн на упругих эллиптических цилиндрах с малым эксцентриситетом. Причем в [13] цилиндр имеет одну круговую цилиндрическую полость, а в [14] - несколько полостей.

В данной работе решена задача о рассеянии звука оболочкой рассмотренной в [12] для случая, когда оболочка имеет непрерывно неоднородное покрытие.

1. Постановка задачи

Рассмотрим однородный изотропный упругий бесконечный круговой цилиндр радиуса а, материал которого характеризуется плотностью р и упругими постоянными Ламе Л и ^. Внутри цилиндра имеется полость с вакуумом. Полость имеет форму бесконечного эллиптического цилиндра с полуосями а2 и Ь2 (а2 > 62). Оси кругового и эллиптического цилиндров параллельны. Внешняя поверхность описанной цилиндрической оболочки имеет покрытие в виде непрерывно неоднородного изотропного упругого слоя, внешний радиус которого равен Ь.

Свяжем с круговым цилиндром и его полостью соответственно прямоугольные декартовы системы координат х\, у\, и х2, у2, х2, оси которых одинаково ориентированы. При этом оси г\ и %2 совпадают с осями цилиндров. Кроме того, будем считать, ось х2 направлена вдоль полуоси а2.

Обозначив координаты z\ = z2 = z, свяжем с системами координат xi, y 1, z и Х2, У2, z соответственно круговую цилиндрическую систему координат r, p, z и эллиптическую цилиндрическую систему координат £, n, z.

Неоднородность материала покрытия проявляется в том, что его модули

Л Л

упругости Л и № описываются непрерывно дифференцируемыми функциями

Л

координаты г, а плотность р — непрерывной функцией координаты г.

Полагаем, что внешняя поверхность покрытия граничит с идеальной однородной жидкостью с плотностью Р1 и скоростью звука Cl.

Пусть из внешнего пространства в направлении p = 0° на цилиндрическую оболочку с покрытием падает плоская звуковая волна, волновой вектор которой ортогонален оси z. Потенциал скоростей звуковой волны равен Фр = Ap exp [i (k1 r — ut)], где Ap — амплитуда падающей волны, k1 — волновой вектор, r — радиус-вектор, u — круговая частота. Временной множитель exp(—iut) в дальнейшем опускаем.

В круговой цилиндрической системе координат потенциал скоростей падающей волны представим в виде [18]

ГО

Е-

AnJn

n= — ro

где Jn(x) — цилиндрическая функция Бесселя порядка n, k1 = Т — волновое

c1

число звуковых волн, An = Apin.

Определим рассеянную цилиндрическим телом звуковую волну.

2. Решение задачи

Поскольку возбуждающее волновое поле не зависит от координаты z, то возбуждаемые в жидкости и в упругом рассеивателе волновые поля также не будут зависеть от координаты z. Кроме того, в цилиндрическом теле будут отсутствовать смещения частиц однородной и неоднородной упругих сред в направлении оси z.

Скорость частиц окружающей идеальной жидкости представим в виде

v = grad (Фр + Фs).

Потенциал скоростей отраженной Фs звуковой волны - решение уравнения Гельмгольца [19]:

ДФs + k2Фs = 0.

Отраженная звуковая волна должна удовлетворять условиям излучения на бесконечности. Поэтому функцию Ф, будем искать в виде

ГО

Ф, = ^2 AnHn

n=—ro

где Hn (ж) — цилиндрическая функция Ханкеля первого рода порядка п.

Рассмотрим теперь уравнения, описывающие распространение малых возмущений в однородном и неоднородном материалах упругого рассеивателя.

Представляя вектор смещения и частиц однородной изотропной упругой цилиндрической оболочки в виде

и = grad Ф + rot Ф,

где Ф и Ф — скалярный и векторный потенциалы смещения соответственно, из уравнения движения Ламе получаем два волновых уравнения [20], которые для установившегося режима движения переходят в уравнения Гельмгольца

ДФ + к2Ф = 0,

ДФ + х2Ф = 0,

где к = Су и х = СТ — волновые числа продольных и поперечных упругих

волн соответственно, ci = , cT = — скорости распространения

продольных и поперечных упругих волн соответственно.

В силу независимости поля смещений от координаты z представим Ф в виде

Ф = Ф

где iz — орт оси z.

Подставляя выражение (6) в уравнение (5) получим скалярное уравнение Гельмгольца

ДФ + х2Ф = 0.

Будем искать решения уравнений (4), (7) с учетом условий

ограниченности и излучения на бесконечности в виде

Ф = ф

Здесь

оо го

Ф

n=—o n=—o

Ф

”0=° '

Ф(2) = E Cm Me” (£, q) cem (n,q) + C”Ne(£,q) sem (n,q) ,

m=° L J

где

f2k2 f2x2 P = J k q = J X f2 = a2 b2 p = 4 , q = 4 , J = a2 — b2,

Мвт (£,p) И Nem (£,Р) — четная и нечетная радиальные функции Матье третьего рода соответственно, cem (n,p) и sem (n,p) — четная и нечетная угловые функции Матье первого рода соответственно. То же можно сказать и о функциях с параметром q. Заметим, что так как функция seo (п,Р) = 0, то коэффициенты В)3)и с03) в разложениях (10) полагаем равными нулю.

В упругом материале при малых деформациях компоненты тензора напряжений аТк связаны с компонентами тензора деформаций етк законом Гука.

В круговой цилиндрической системе координат закон Гука имеет вид [21]

dur dr ’

& r

-pp

-- 2^6rr +

1 ( ди

r

+ Zipip)

dp

+ и

-rp

&

1

2

rp

rp

- 2^є,

1 ( dur r \ dp

- up

+

dup

dr

где иг и п<р — радиальная и угловая составляющие вектора смещения и.

В эллиптической цилиндрической системе координат закон Гука имеет вид [22]

— 2^єЦ + ^(є55 + єпп)’ h'n

1 дщ • »n

єІп

h дї 1 2

єпп — ’

д_

дп

1

-щ

д1 + 0^\hUv

где

h — f (ch2({) — cos2(n)) 2

щ, Щ — составляющие вектора смещения и по осям координат.

Используя представления (3), (6), выразим компоненты вектора

смещения и через функции Ф и Ф в разных системах координат:

ur

д Ф 1 д Ф

дг r др’ 1 (дФ дФ

up

Un — h

1 д Ф дФ r др дr 1 ( дФ дп

д Ф\

~дї)

є

Подставляя выражения (13) в соотношения (11), (12), выразим

компоненты тензора напряжений атк через функции Ф и Ф в разных системах координат:

а г

= - (Л + 2ц) к2Ф — ^ т^ + -

2ц /дФ 1 д2Ф 1 дФ д2Ф

т \ дт

+---------

т др2 т др дтдр

а,

2ц /дФ 1 д2Ф 1 дФ д2Ф \

тр

цх Ф + т у дт + т др2 т др + дтдр) ’ а^ = — (Л + 2ц) к2Ф — х

Н дФ Н' дФ

—-------+ —------+

Н д£ Н д£

д2Ф дФ Не дФ д2Ф \

дг)2 Н дп + Н дп д^дп) ’

2ж 2ц а^ = цх2Ф + Н2 х НЄ дФ Н'п дФ д2Ф Н'п дФ Н'е дФ д2Ф \

Н д£ Н д£ дп2 Н дп Н дп д^дп) '

Уравнения движения частиц неоднородного изотропного упругого материала покрытия в случае установившихся колебаний в круговой цилиндрической системе координат имеют вид [21]

д атт 1 да

дт +

тр

яЛ

да

тр

т др 1 д аЛ

+

атт атр 2 Л Л

--------------- = — № Р Нт,

2Л

ЛЛ

дт

рр Л 2 +-----ТГ----1 атр = — № рир,

т др т

Л

где атк

ЛЛ

компоненты тензора напряжений в покрытии, ит и Нр — компоненты вектора смещения частиц в покрытии.

Соотношения между компонентами тензора напряжений и компонентами вектора смещения в неоднородном покрытии найдем из закона Гука, который имеет вид аналогичный виду (11). Только упругие постоянные Л и

Л Л Л Л

ц следует заменить на функции Л = Л (т) и Ц = Ц (т). Получим

л (Л л\ ди атт = (Л +2 ц

Л Л Л

т Л д ир Л Л

я + я-----------------+ ит >

дт т др т

Л Л 1 д иЛ т д иЛ

атр = ц I „

у т др дт

р

Л

Л д ит

рр = Л ~дг

+ Л +2ц —

иЛ

т I

Л

1 д ир

Л\ 1 Л

+ (Л +2 ц 1 — ит.

т др т

Компоненты вектора смещения в покрытии являются периодическими функциями координаты р с периодом 2п. Поэтому функции пг (т,р) и Пу (г, р) будем искать в виде

х

Л

Л

Л

Л

Л

лг

Подставляя выражения (16), (17) в уравнения (15) и используя условие ортогональности для функций ехр(тр), получим следующую систему линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно неизвестных функций и1п (г), и,2п (г) для каждого индекса п = 0, ±1, ±2,...:

РИ" + Яи' + ВЦ = 0.

Здесь

и = (и1п, и2п)Т , Р = diag {рП1,рП2} :

а,в = 1,2,

Рп = А +2 V, рп2 = V,

л, л, 1 /л л\ 1 /л л\ л, 1 л

9п1 = А +2 V +— +2 ^ , 9п2 = ^21 = ш— ^А + ^ , 922 = V +— V

1л

1л

1 л 1

— _ А' —2 А —2 (2 + п2)V +^2 р,

11 А 2 А 2

— —2 —2

12

- А' - ^

— —2

лл А +3 V

21

г

лл А +3 V

1 л п2 л 1 л л

—п2 = - — V' - —2 А - —2 (1 + 2п2) V +^2 Р.

Штрихом обозначена производная по —.

Коэффициенты Ап, Д^, С^, , От (з =2,3) разложений (2), (9),

(10) подлежат определению из граничных условий. Кроме того, граничные условия необходимы для нахождения частного решения системы (18).

На внутренней поверхности цилиндрической оболочки £ = £о (на границе с вакуумом), граничные условия заключаются в отсутствии напряжений. При переходе через границу — = а раздела упругих сред (однородной оболочки и ее неоднородного покрытия) должны быть непрерывны: составляющие вектора смещения частиц, нормальные и тангенциальные напряжения. На внешней поверхности покрытия — = Ь (на границе с идеальной жидкостью) граничные условия заключаются в равенстве нормальных скоростей частиц упругой среды и жидкости, равенстве на ней нормального напряжения и акустического давления, отсутствии касательных напряжений. Имеем

п= — ГО

п= — ГО

п

п

С = Со : = О,

Л Л л л

r — а : Ur — Ur, Up — Up, Orr — о'rr, Orp — Orp,

Л Л Л

r — b : -lUUr — Vr, Orr — — pi, Orp — 0.

Здесь

d b

— (Фр + Ф.3), Pi — iupi (Фр + Ф.3), Со — arth —. dr а2

где уг — нормальная компонента скорости частиц жидкости в круговой цилиндрической системе координат, р1 — акустическое давление.

Используя условие ортогональности для функций ехр(тр), из граничных условий на внешней поверхности покрытия г = Ь для каждого индекса п = = 0, ±1, ±2,... находим выражение для коэффициента Ап:

А = Апк1,1'п

п = к1нп

и условия для нахождения частного решения системы (18):

Здесь

G — (gn, 0)T , E — \\еав II; а, в — 1,2,

!f; — ^ f", е?1 — 1Л (b) + ‘Л'1Н"(ВД

пк1ЬНП (k1 bY b k1H!n (k1b) ’

1 л l л 1 Л

e?2 — in~b Л (b), e& — in~b^ (b), еП2 — — (b),

где J'n (x) и H'n (x) — производные функций Jn (x) и Hn (x) по x.

Поскольку граничные условия на внешней (внутренней) поверхности однородной упругой оболочки записаны в круговой цилиндрической (эллиптической цилиндрической) системе координат, необходимо представить базисные волновые функции в выражениях (10) ((9)) в круговой цилиндрической (эллиптической цилиндрической) системе координат. Для этого воспользуемся теоремами сложения [23].

Разложение решений эллиптического цилиндра в ряд по цилиндрическим решениям имеет вид [23]

Mem (С,р) cem (n,p) — EmnKn (ikr) exp (imp) ,m — 0,1,2,...,

n=-~

(1) ^

Nem (С, p) sem (n, p) — J2 DmnKn (ikr) exp (imp), m — 1, 2,....

n=-ro

Здесь

Emn = Emn (1, р0; f) , Dmn = Dmn (7, p0; f) ,

где l — расстояние между осями кругового цилиндра и полости, р0 — полярный угол начала системы координат Х2, У2, ¿2 в системе координат х1, yi, ¿1, а функции Emn, Dmn, Kn (х) определены в [23]. Заметим, что разложения (22) справедливы для r > l + f.

С учетом разложений (22) функции (10) в круговой цилиндрической системе координат после некоторых преобразований имеют вид

оо СО

ф(2) = ^2 ^2 [B^Emn + (1 - ¿0m)B$Dmn Kn (ikv) exp (imp) ,

n=-o m=0 , ч

О О

Ф ( 2) = ^ S^2\c(m)Emn + (1 - ¿0m) C3 Dmn Kn (iXr) exp (imp) ,

n=—o m=0

где ¿0m — символ Кронекера.

Последовательное применение разложений круговых цилиндрических решений в ряд по решениям эллиптического цилиндра и решений эллиптического цилиндра в ряд по решениям эллиптического цилиндра в сдвинутой системе координат [23] приводит базисные волновые функции в выражениях (9) к следующему виду:

со /о

Jn(kr) exp(inp) = AnmiYl AmsCes (£,p) CCs (П,Р) +

m=0 \s=0

+ Z (1 - ¿0s)BmsSes (£,p) Ses (V,P)) +

s=0

о

+ S (1 - ¿0 m)Bnm X

m=0

оо

X

s=0 s=0

n = 0, ±1, ±2,...,

где Сез (£,р), Звз (£,р) — радиальные функции Матье первого

рода, а Апт = Апт (0,к) = Апт (к), Впт = Впт (0,к) = Впт (k),

Атз = Атз (1, Р0; /,/) Втз = Втз (1,р0; /,/^ Сте = Стз (1,р0; /,/^

Ктз = Ктз (1,ро; /,/) определены в [23]. Кроме того, каждый из коэффициентов Атз, Втз, Стз, Ктз зависит от волнового числа. Поэтому в дальнейшем будем обозначать, от какого именно, например, Атз = Атз(к).

о

С учетом разложения (24) функции (9) в эллиптической цилиндрической системе координат имеют вид

п=-го

го

У, Апт (к) ^ Атз (к) Свз (С, р) Свз (ц, р) +

_т=0 \з=0

+ ^(1 - 50з)Втз (к) Бвз (С,р) ввз (п,р) \ +

з=0

го /го

+ ^ (1 - 5 0т) В пт (к) I ^ С тз (к) Сбз (С, р) СЄз (п, р) +

т=0 з=0

го

+ ^

з=0

п= -го го

Е Апт (х) ^ Атз (Х) Свз (С, О) Свз (п, О) +

т=0 з=0

+ Е(1 - 50з)Втз (х) Явз (С, о) ввз (п, О) ) +

з=0

гого

+ £(1. - 50т)Впт (Х) Е С тз (х) Свз (С, О) Свз (п, О) +

т=0 з=0

го

+ £<1 - 50з)К

тз

з=0

Подставляя выражения (8), (9), (13), (14), (16), (17), (23) в граничные условия (19) на внутренней поверхности покрытия г = а и используя условие ортогональности для функций ехр(тр), для каждого индекса п = 0, ±1, ± ±2,... получим систему уравнений

N

N

аПіВП1) + £ ¿¡ТВ!;!1 + £ атпвт + С<1) +

т=0 т=0

N N

+ Е ат5пСт2) + Е отпС(т) = иы и,

т=0 т=0

N N

а2іВ<1) + £ а!т‘В% + £ а’2'3“Втз) + а21С<1) +

т=0 т=0

N N

+ Е ат5пСт2) + Е атвпСтз) = и2п (а),

т=0

т=0

го

го

го

го

Іиш3

V V

‘ И) и,г ічщ) ^ + И) иг (щ) ffz~ = llv

V — = 6?,V ‘—^-7- = ‘ ((v) Ti z + (o) y) - =

V V V/

(v)\m u (v)\ u V v vv

V ’ V

лша (ш0? _ T) ^(оХг) (Хм) + (vXl) их (иг) ^0 = 1иш3 ^(vXi) (Xu) ^ + (vXi) ия (щ) f¡^j =

‘ (рХ) и,Г (*Щ) ^ - (Vх) иГ (Щ) ^ ^

1иша(ш°9-1) ( (щг)и,л(т) ^+(гт)ия^^-(гщ)(riz+x)^j = ^ 1иш3 ( (щг) > (щ) ¿ + (щг) Uyizu^~ - (щг) u^z4 Wz + V) ) = і

riz z riz

V V

^ (Vif) y4^ + И) Ufzuf^ - (щ) ufz4 (riz + Y) = T£ö ‘““(J (vXl) utyiXl (ш0д — -[)— = 'SZp Іишц (vXl) V¡y[Xl— = £Zp ‘ (VX) yX— = f%v Іиша (pw) иЯ^~ (ш°9 - I) = г$Щр Іишз (щг) иЯ^- = ‘ (юц) uf^~ = Ър

(Al (Al (Al

1иша (рхг) ия^~ (ш°9 -1) = ы9> Іишз (рхг) ия^~ = ‘ (vX) VT^~ =

(Ail (Al (Al

Іиша (щг) “ж? (ш°9 - I) = г$ІР іиш3 (щг) “ж? = JÙP ‘ (щ) и,ГЧ = т>

чоаїґ£

‘гт‘іт‘о = и

0=ш

(V) uZn^V + (V) “Тп> + (V) uznivv = 2 +

N

0=ш 0—ш 0—ш

+ $Эг?> 2 + (1)D2 + (г)^«шю 2 + il)3 N N N

о=ш

‘ (о) “гП680 + (V) «ТП880 + (О) “Тп^ю = 2 +

N

О=ш О—ш О—ш

(92) + 2 + (тр + (T)SuIv 2 + 2 + (і“9-

W N N

undv[f •g •ff

931

¿¡Зп = ( -(іп) Кп (Іка) - — (пк) К'п (ікай (1 - 50т) Отп, аа

-м = Р-Х2^ (ха) - п23п (ха) + ^Х^П (х-) ,

—¡г = (рх2Кп (ІХ-) - ^п2Кп (ІХ-) + — (іх) КП (ІХ-А Етп,

аа

аЦГ = (рХ2Кп (іха) - ^п2Кп (іх-) + — (іх) КП (іх—)) (1 - 50т) Отп,

аа

Л Л

— П =Л — П = іпр

а47 = Р (а) ) а48 = -а------, а49 = ———

Подставим выражения (8), (10), (14), (25) в граничные условия (19) на границе С = С0- Процесс ортогонализации полученной системы уравнений можно проводить используя либо полную систему ортогональных функций свТ (п,р) (т = 0,1, 2,,N) и ввт (п,р) (т = 1, 2,,N), либо систему функций свт (п,о) и ввт (п,0)- Выберем систему угловых функций Матье первого рода с параметром р. В результате получим бесконечную систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов вП1), сП1, в1\ сЦ1 (і = 2,3), которая после применения

к ней метода редукции с выбранным с необходимой степенью точности

порядком усечения N, имеет вид

NN N N

£ £ ьтпт вП11 + £ ьщ Вт + £ ьтт Вт+

п=—N т=0 т=0 т=0

NN N N

+ £ £ ьт4ПтсП11 + £ ьтцс(2) + £ ьтцсі = о,

п=—N т=0 т=0 т=0

NN

„тпт тэ(1) і V'' ~тт тэ(2) і V'' ~тт тэ(3)_і_ 4 '

/ у С71 Вп + 2^ су2 Вт + 2^ су3 Вт +

п=—N т=0 т=0 т=0

NN N N

і „тптг1 (1) і ^ г^ттГ1 (2) і ^ ^ттГ1 (3) _ П

+ 2^ 2^ С74 сп +2^ С75 Ст + 2^ с^6 Ст = 0,

п=—N т=0 т=0 т=0

т = 0,1, 2,    ^ при 7 = 1; т = 1, 2,   , N при 7 = 2.

Здесь

ьппт = - (д + 2р) к,2Свт (С0,р) 1’т+12(1— 1)атп (к) -

- (А + 2Ц) к2 (1 - 50т) ввт (С0,р) 12+12(7—1)втп (к) -

2цН'(:

Свт (С0,р) 11?+12(7— 1)атп (к) -

2цН'(:

(1 - 50т)^вт (С0,р) 12+12(7—1)втп (к) -

— 12Cem (С0,p) 19+712(7-1) amn (k) —

— |2 (l — ¿Qm) Sem ^0^) Ilm+l2(~i-1)ßmn (k) +

2ah'„

+ _3“Cem (С0 , p) 15+12(7-1)amn (k) +

2ah'

+ _3~ (l — ¿Qm) Sem (С0, p) 16+12(7-1)ßmn (k) ,

ъ22>Т = — (Л + 2ß) eMém (СQJ p) 1mT12(7-1)----------Mem(1) (СQJP) і2+12(7-1) —

— |2 мє22) (£o,p) r,+Tl2(7-l) + ^ мє22) (&,p) i'5'+i-2(y-i) ,

^ = (l — ¿Qm) x

x (Л + k2^"^ (Í0,p) 12+Tr2(7-l)---h3^ Ne'm(l) /2'+l2(7-l)-

— 21 Neml) (io,p) 1"0+l2(7—l) + ^ ^ (Í0,p) JmTl2(7-l^

2u!t

щтт = __Cem (СQJ q) /7+12(7-1)amn (x) —

2ah'¿

----_-33— (l — ¿Qm)Sem (СQJ q) /8+12(7-1)ßmn (x) +

+ J_2 Ce'm (СQJ q) /7+12(7-1)amn (x) +

+ 2_2 (l — ¿Qm) Se'm (СQJ q) /8+12(7-1)ßmn (x) —

Ce'm (С0, q) /3+12(7-1)amn (x) —

(l — ¿Qm) Se'm (С0, q) /4+12(7-1)ßmn (x) ,

ъ?5т = — ^ Mem(l) (Со, q) /3+12(7-1) — ^ Мє21) (Со, q) /7+12(7-1)+

+ f Mem(l) (Со,«) /7+Tl2(7-l),

ъ76т =(l — ¿0m) x f NefJ ) (io,q) /4+r2(7-l) —

— ^Neml) (Со, «) /8+12(7-1) + 21 Nem(l) (Со, q) /8m+rl2(7-l^ ,

Рассеяние звука упругой цилиндрической оболочкой с неоднородным покрытием

2uh't

cmrT = h3~ Cem (^0,p) 15+12(7-1)amn (k) -

2nh't

----h>~ (1 - ¿0m)Sem (^0,p) 16+i2(7-1)emn (k) +

+ 2h2 Ce'm (&,p) 15+12(7-1)amn (k) +

+ 2h2 (1 - ¿0m) Sem (^0,p) 16+12(7-1)emn (k) -

h^nCe'm (^0,p) I’m+12(1-1)amn (k) -2nhL

-^T (1 - ¿0m) Se'm (&,p) I2+r12(7-1)emn (k) ,

C?2T = - Mem(1) (&,p) 1T+12(Y-1) - ^ Me!-1) (&.p) /+12(7-1) +

+ 2£ Mem(1) (i0,p) /5+12(7-1).

cm = (1 - ¿0m) (- 2hr Nem(1) (i0,p) /2+12(7-1)“

- ^ Ne<1)

cmrT =VX2<Cem (C0J q) /3+12(7-1)amn M +

+ (1 - ¿0m) Sem (&, q) /4+12(Y-1)emn (x) +

2uh'c

+ h3~Cem (^0, q) /3+12(Y-1)amn (x) +

2uh'c

+ h^ (1 - ¿0m)Sem (C0J q) /4+12(7-1)^mn (x) +

+ |Cem (i0,q) /1,1+12(7-1)am.n (X> +

+ 2h2 (1 - ¿0m) Sem (C0J q) /i’2+12(7-1)emn (x) -h^nCem (^0, q) /7+12(7-1)amn (x) -

2nhL

----h^ (1 - ¿0m) Sem (C0J q) /8+12(y- 1)Pmn (X) ,

<m =^x2M

+ pMe£ (&, q) /¡++12(7-1) - ^Me<1) (&, q) /7m+T12(7-1).

= (1 - ¿0m) ((Со, q) /¡+12(7-1)+ ^ Ne'm{1) (Cü, q) I4¡+12(1-1) +

лт „(1Wt „\ ттт 2^К

+ рNe<1) (Со, q) ÍB+12(,-1) - ijínNe<1) (Со,q) ^+2(^1)) .

N

amn (k) 'У y (Ans (k) Asm (k) + (1 Óüs)Bns (k) Сsm (k)) ,

s=0

N

amn (x) 'У \ (Ans (x) Asm (X) + (1 — $0s)Bns (X) Csm (X)) ,

s=0

N

fímn (k) У y (Ans (k) Bsm (k) + (1 $üs)Bns (k) K sm (k)) j

s=0

N

fímn (x) ^ ' (Ans (x) Bsm (x) + (1 — §üs)Bns (x) Ksm (x)) j

s=0

2n 2n

Jí+ri2(7-1) ^ У cem (П,р) fl (П) dr¡, I2+12(7-1) = J sem (V,P) fY (П) dr¡,

оо

2n 2n

/3+12(7-1) = У cem (n О) fY (П) dr¡, imT12(7-1) = J Sem (V, 0) fY (П) dr¡,

оо

2n 2n

I¡m+12(j-1) = J ce'm (П,Р) fY (П) dV, /6+12(7-1) = У Sem (П,р) fY (П) dV,

оо

2n 2n

/7+12(7-1) = У cem (n q) fY (n) dn, /8+12(7-1) = У sem (n q) fY (n) dn,

оо

2n 2n

J9T12(7-1) ^ У cem (n,p) f7 (n) dV, ^^5+12(7-1) = j Se”m (V,P) fY (П) dV,

0 o

2n 2n

/Г1+12(7-1) = У cem (n q) fy (n) dn, imm+12(7-1) = У sem (n q) f7 (n) dn,

o o

f1 (n) = cer (n, p), f2 (n) = ser (n, p).

Штрихом обозначены производные по r, С, n-

Для порядка усечения N система уравнений (26) примет вид

MX = Y.

Здесь

х ( в(1) в(1) д(2) д(2) д(3) с(1) с(1)с(2) с(2)сс

х _ уп-МпМ в0 пМ в1 пм с-МсМ с0 сМ с1 см ) ,

У _ (и 1;—N(а),П2;-м(а),а-7мп'1.-И(а) + а-^П1—м(а) + а-9мП2—м(а),

а-^ и2;—N (а) + а—^ и1 ;—N (а) + а—и2 ;—N ^щ ; N (а),и2 ; N (а),

аз7и1;М (а) + азgUl;N (а) + а^и^^ (а), а^^^ (а) + а^и!^ (а) + а^и2^ (а)) ,

где X и У — вектора, состоящие из 8Ы + 4 компонентов, М — матрица,

размерность которой равна (8М + 4) х (8М + 4).

Систему уравнений (27) представим в виде

ЫХ _ 0,

где N — матрица, размерность которой равна (4Ж + 2) х (8М + 4).

Выражая из системы (28) вектор X и подставляя полученное выражение в систему (29), для п _ 0, ±1, ±2,   , ±Ы получим систему 4Ы + 2 уравнений относительно неизвестных и1п (а), и2п (а), и;1п (а), и'2п (а) :

ЫМ—1У _ 0-

Для порядка усечения N необходимо совместно решать 4Ы + 2 линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка системы (18). Для нахождения частного решения системы дифференциальных уравнений такой размерности необходимо задать 8Ы + 4 граничных условий. Система (30) представляет собой 4Ы + 2 граничных условий. Оставшуюся половину граничных условий можно получить из системы (21).

Решая краевую задачу каким-либо методом, например, предложенным в [1], [9], [11], найдем значения Ul;—N (Ь),   , и^ (Ь). Подставив найденные значения в выражение (20), можем исследовать рассеянное цилиндрическим препятствием звуковое поле по формуле (2).

Список литературы

1. Скобельцын С.А., Толоконников Л.А. Рассеяние звуковых волн трансверсаль-но-изотропным неоднородным цилиндрическим слоем // Акуст. журн. 1995. Т. 41. № 1. С. 134-138.

2. Толоконников Л.А. Дифракция звуковых волн на неоднородном анизотропном полом цилиндре // Оборонная техника. 1998. № 4-5. С. 11-14.

3. Толоконников Л.А. Дифракция цилиндрических волн на неоднородной трансверсально-изотропной цилиндрической оболочке // Оборонная техника. 1998. № 4-5. С. 9-11.

4. Толоконников Л.А. Резонансное рассеяние звука трансверсально-изотропной неоднородной цилиндрической оболочкой // Изв. ТулГУ. Сер. Геодинамика, физика, математика, термодинамика, геоэкология. 2006. № 3. С. 106-114.

5. Толоконников Л.А., Романов А.Г. Рассеяние звука неоднородной анизотропной термоупругой цилиндрической оболочкой в вязкой теплопроводной среде //

Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2006. Т. 12. Вып. 3. С. 212-218.

6. Ларин Н.В. Дифракция цилиндрических звуковых волн на неоднородной трансверсально-изотропной термоупругой цилиндрической оболочке // Вестник ТулГУ. Сер. Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. 2007. Вып. 1. С. 58-64.

7. Толоконников Л.А., Романов А.Г. Дифракция цилиндрических звуковых волн на неоднородном полом цилиндре в вязкой жидкости // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2008. № 2. С. 151-160.

8. Романов А.Г., Толоконников Л.А. Рассеяние плоской звуковой волны неоднородным упругим полым цилиндром в вязкой жидкости // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2009. Вып. 1. С. 62-70.

9. Ларин Н.В., Толоконников Л.А. Дифракция плоской звуковой волны на неоднородном термоупругом цилиндрическом слое, граничащем с невязкими теплопроводными жидкостями // Прикладная математика и механика. 2009. Т. 73. Вып. 3. С. 474-483.

10. Толоконников Л.А., Филатова Ю.М. О дифракции плоской звуковой волны на упругом цилиндре с неконцентрической полостью // Изв. ТулГУ. Технические науки. 2009. Вып. 1. Ч. 2. С. 11-17.

11. Романов А.Г., Толоконников Л.А. Рассеяние звуковых волн цилиндром с неоднородным упругим покрытием // Прикладная математика и механика. 2011. Т. 75. Вып. 5. С. 850-857.

12. Ларин Н.В., Скобельцын С.А. Дифракция звуковых волн на упругом цилиндре с неконцентрической эллиптической полостью // Вестник ТулГУ. Сер. Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. 2011. Вып. 1. С. 38-48.

13. Толоконников Л.А., Лобанов А.В. Дифракция плоской звуковой волны на неоднородном упругом эллиптическом цилиндре с полостью // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2011. Вып. 3. С. 126-136.

14. Толоконников Л.А. О рассеянии плоской звуковой волны упругим цилиндром с несколькими полостями // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2012. Вып. 2. С. 157-164.

15. Толоконников Л.А. Рассеяние наклонно падающей плоской звуковой волны упругим цилиндром с неоднородным покрытием // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2013. Вып. 2. Ч. 2. С. 265-274.

16. Толоконников Л.А. Дифракция цилиндрических звуковых волн на цилиндре с неоднородным упругим покрытием // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2013. Вып. 3. С. 202-208.

17. Ларин Н.В. Рассеяние звука упругим дискретно-слоистым цилиндром при нормальном падении плоской звуковой волны // Вестник ТулГУ. Сер. Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. 2013. Вып. 1. С. 58-62.

18. Skudrzyk E. The Foundations of Acoustics. N. Y. etc.: Springer, 1971.

19. Шендеров Е.Л. Волновые задачи гидроакустики. Л.: Судостроение, 1972. 352 с.

20. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 2. М.: Наука, 1973. 584 с.

21. Nowacki W. Teoria sprezystosci. Warszawa: PWN, 1973.

22. Григоренко Я.М., Василенко А.Т., Панкратова Н.Д. Статика анизотропных

толстостенных оболочек. Киев: Вища шк., 1985. 190 с.

23. Ерофеенко В.Т. Теоремы сложения. М.: Наука и техника, 1989. 255 с.

Ларин Николай Владимирович (larinaelen@mail.ru), к.ф.-м.н., доцент, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.

Scattering of sound by an elastic cylindrical shell with a non-uniform covering and non-concentric elliptical cavity

N. V. Larin

Abstract. The problem of the scattering of a plane acoustic wave by uniform isotropic elastic an infinite circular cylindrical shell is considered. The shell have non-concentric elliptical cavity and a radially non-uniform elastic coating with uniform thickness. An analytical expression describing the scattered acoustic field is obtained.

Keywords: scattering, sound waves, elastic cylinder, elliptical cavity, nonuniform elastic coating.

Larin Nikolay (larinaelen@mail.ru), candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.

Поступила 27.05.2014