О нестационарных полях излучения в бесконечной одномерной среде

УДК 52-64 МЯО 8Щ99

Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. Т. 4 (62). 2017. Вып. 1

О НЕСТАЦИОНАРНЫХ ПОЛЯХ ИЗЛУЧЕНИЯ В БЕСКОНЕЧНОЙ ОДНОМЕРНОЙ СРЕДЕ

А. К. Колесов, Н. Ю. Кропачева

Санкт-Петербургский государственный университет,

Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7—9

В работе рассматривается нестационарный перенос монохроматического излучения в бесконечной однородной одномерной среде. Считается, что среда освещена мгновенным точечным источником энергии. Она характеризуется следующими оптическими параметрами: коэффициентом поглощения а, альбедо однократного рассеяния Л, средним временем t\, затрачиваемым фотоном непосредственно на акт рассеяния, и средним временем t2 между двумя последовательными рассеяниями. Получено точное решение уравнения нестационарного переноса излучения в случае tl = t2. Выведены более точные, чем ранее известные, асимптотические выражения для функции источников, средней интенсивности и потока излучения на больших оптических расстояниях от источника энергии (|т| ^ 1) при малом истинном поглощении света в среде (1 — Л ^ 1) в случаях, когда tl ^ t2, tl ^ t2, tl = t2. Библиогр. 13 назв.

Ключевые слова: нестационарный перенос излучения, одномерная среда, точечный источник энергии, функция источников, средняя интенсивность излучения, поток излучения, асимптотические формулы.

1. Введение. В современной астрофизике важное место занимает изучение зависящих от времени процессов, протекающих в различных нестационарных небесных объектах. В качестве примера такого процесса можно указать на свечение пылевых туманностей под действием излучения вспыхнувшей новой звезды.

В 1923 г. Комптон [1] предложил для расчета нестационарных полей излучения использовать диффузионное приближение, состоящее в замене уравнения нестационарного переноса излучения уравнением теплопроводности. Однако в 1926 г. Милн [2] показал, что это приближение может приводить к физически необоснованным результатам.

Систематическое развитие теории нестационарных полей излучения было начато в работе В. В. Соболева [3], опубликованной в 1952 г. Основы этой теории изложены в монографиях В.В.Соболева [4], Кейза и Цвайфеля [5] и И.Н.Минина [6]. Некоторые математические проблемы этой теории изучались в книге Винга [7]. Обзоры результатов работ по теории нестационарного переноса излучения приведены в статьях Д. И. Нагирнера [8] и В. П. Гринина [9].

В работах [3, 4] использовалась наиболее простая модель нестационарного поля излучения в одномерной однородной среде с источниками энергии, зависящими от времени. В частности, исследовался случай, когда эта среда освещена мгновенным изотропным точечным источником светимости Ь, расположенным в начале координат и вспыхивающим в некоторый начальный момент времени. Рассматривалась среда, характеризуемая коэффициентом поглощения а и альбедо однократного рассеяния Л.

В процессе нестационарного переноса излучения важную роль играют две причины, обусловливающие длительность пребывания кванта в среде. Во-первых, световой квант затрачивает некоторое время на акт рассеяния. Обычно предполагается, что вероятность излучения кванта в интервале времени от £ до £ + Л после поглощения

(¡5 Санкт-Петербургский государственный университет, 2017

равна величине е-1/11 ¿¿/¿1, где ¿1 —средний промежуток времени нахождения кванта света в поглощенном состоянии. Во-вторых, квант света, распространяющийся в среде с конечной скоростью с, находится в пути между последовательными рассеяниями в среднем в течение промежутка времени ¿2 = 1/(ас). Часто в астрофизических объектах значения ¿1 и ¿2 сильно отличаются друг от друга, поэтому В. В. Соболев [3] предложил выделить рассмотрение двух предельных случаев: случай А, когда ¿2, и случай В, когда ¿2 ^ ¿1. Однако ¿1 и ¿2 могут быть величинами одного и того же порядка, поэтому можно рассмотреть и простой промежуточный случай С, когда ¿1 = ¿2.

При использовании модели одномерной среды находятся интенсивности излучения /1 (г, ¿) и /2 (г, ¿), распространяющегося на расстоянии г от источника в момент времени £ в сторону возрастающих и убывающих значений координаты г соответственно. При замене переменных г и и параметров ¿1 и ¿2 соответствующими безразмерными величинами т = аг, и = ¿/(¿1 + ¿2), в1 = ¿1/(^1 + ¿2) и в = ¿2/(^1 + ¿2) уравнения переноса записываются в виде

д/1

-тг^ + &-+ А (г, и) = В т, и),

дт ди

д/2 (т, и) „ д/2 (т, и) _ . . „ . п ' + & ^ ' ; + /2 (г, и) = В (г, и),

дт ди

где В (т, и) — функция источников, описываемая уравнением лучистого равновесия

Л [и , , и —и' ¿и'

В

К этим уравнениям добавляется начальное условие, учитывающее тот факт, что энергия выделяется под действием мгновенного точечного источника при т = 0 и и = 0. Зная интенсивности излучения /1 (т, и) и /2(т, и), можно вычислить среднюю интенсивность J(т, и) и поток излучения Н(т, и), определяемые соответственно соотношениями

.7

Н

Вследствие изотропности точечного источника и его расположения в начале координат выполняется соотношение /1 (т, и) = /2( —т, и), т. е. функция J(т, и) является четной, а функция Н(т, и) — нечетной.

Представляют интерес асимптотические формулы для характеристик поля излучения, в частности, для функций В(т, и), J(т, и) и Н(т, и), справедливые на больших оптических расстояниях от источника излучения (|т| ^ 1) в случае малого истинного поглощения (1 — Л ^ 1). Для случаев А и В такие асимптотические формулы были получены в работе А. К. Колесова и В. В. Соболева [10] из точных выражений для указанных величин. Простая методика вывода этих формул на основе свойств преобразования Лапласа по времени предложена И. Н. Мининым [6, 11].

Настоящую статью можно рассматривать как продолжение работы [10]. В статье получено точное решение уравнения нестационарного переноса излучения для случая С, а также более точные, чем в [10], асимптотические выражения для функций В(т, и), J(т, и) и Н(т, и), определяющие их с точностью порядка 1/и2 для случаев А, В и С.

2. Точные решения уравнения переноса излучения. Из уравнений (1) и (2) следует, что функции В(т, и), J(т, и) и Н(т, и) связаны следующими соответствиями:

дВ(т,и) + в = и ди

1 дН

2-

+ Н (т, и) = 0.

дт ди

В работе [10] получены точные выражения для функции источников В(т, и), средней интенсивности излучения J(т, и) и потока излучения Н(т, и) в одномерной бесконечной среде, освещенной мгновенным точечным источником. Для случая А эти

выражения имеют вид

В (т, и) =

Ь

4п

- 1-,

' еов(хт )dx,

софт)

п .¡о

для случаев В —

п Jо 1 + х2

В (т, и) = AJ (т, и),

+

А Ь

А

1о (-л/и2-т2 ] +

\/и2 — т2

1\ ( — \/и2 — т5

©

оо

А

е

о

и

8

Я (г, и) = ^е-(1-$)и6(и-\т\) +

+

где ./о(г) и /1(2:) — модифицированные функции Бесселя, 6 (г) —дельта-функция, а © (г) —функция со значениями © (г) = 1 при г ^ 0, © (г) = 0 при г < 0. Наличие множителей © (и — |т|) в выражениях (12) и (13) отражает тот факт, что вследствие конечности скорости распространения света до точек среды, находящихся на оптических расстояниях |т | > и от источника света, излучение этого источника не доходит, так что в этих точках имеем J (т, и) = 0 и Н (т, и) = 0. При выводе формул (8)—(13) учитывалась полная интенсивность излучения, т. е. сумма интенсивности диффузного излучения и прямого излучения, приходящего в данную точку среды непосредственно от источника излучения.

Рассмотрим теперь случай С (в = в = 0.5). Введем вспомогательные функции

Ь

связь между которыми в соответствии с формулами (5)—(7) дается следующими равенствами:

дб

ди

= (т, и),

дз{т,и) д1г

— ¿0 (т, и) = — -

ди

дт

дЪ,

ди

дт

Исключая из этих равенств функции Ь(т, и) и Л(т, и), находим, что функция (т, и) является решением телеграфного уравнения

д2з(т,и) д2Лт,и) ди2 ~4 с>т2 +

Такому же уравнению удовлетворяет и функция Л(т, и):

д2Л

ди2

4-

дт 2

+ 4АЛ (т,и).

Дополним эти дифференциальные уравнения соответствующими начальными условиями. Очевидно, что выполняются равенства

Мт,0)=Я(т,0) = !<*(т).

Из работ И.Н.Минина (см. [6]) следует, что функция 7(т,и) при малых значениях и в случае С пропорциональна поэтому имеют место соотношения

д7

ди

д^

ди

-Ь (1 - Л/А) <5(Т), = Ьу/\6(Т).

Вследствие изотропности точечного источника и равенства /1 (0, и) = /2(0, и) имеем

дЛ

ди

дН

м=0

ди

0.

м=0

При начальных условиях (20), (21), (23) и (24) решения телеграфных уравнений (18) и (19) выражаются через модифицированные функции Бесселя /0(2) и /1(2) (см., например, [12, §199]). Для 7(т, и) = ](т, и)е-2и и Н(т, и) = Л(т, и)е-2и получаются следующие выражения:

+

А(4и2 - т2) +

2и

\/4м2 - г2

А

0 и-

_-2м

0

и

0

и

0

1

4

2

1 * Л. 1 ,,Л , ^А Г / / 2 ^ / |г| \ ,

Я (г, „) = - - И) + ^^ 0 ^ " Т ' >6

Отметим, что в рассматриваемом случае С (как и в случае В) вследствие конечности скорости распространения света имеем 7 (т, и) = 0 и Н (т, и) = 0 при условии и < \ |т|.

Средняя интенсивность 7* (т, и) и поток Н* (т, и) диффузного излучения даются следующими выражениями:

7* (т,и) =

А

х©и-№е-2",

т г т2Л « Л, _ М Ь-2«

я* (т>и) = IV^ е ' <28>

отличающимися от выражений (25) и (26) отсутствием слагаемого, содержащего дельта- функцию.

Мы видим, что значения функций 7* (т, и) и Н* (т, и) при произвольных А связаны со значениями этих функций при А = 1 известными (см. [6]) соотношениями

Г

Н*

где 0< А < 1.

3. Асимптотические выражения для характеристик нестационарного поля излучения. Получим асимптотические формулы для функций В(т, и), 7(т, и) и Н(т, и), выполняющиеся при условиях и ^ |т| ^ 1, 1 — А ^ 1.

Рассмотрим сначала случай А, когда в = 1, в =0. Интеграл, входящий в выражение (8), можно приближенно представить в виде

+ оо +оо

[ е-

2 Аи

—^

(см. [12, § 84]), т. е. в соответствии с формулой (8) в случае А для функции источников получается асимптотическое выражение

т 2

4\пАи

Используя формулу (32), а также соотношения (5)—(7) и ограничиваясь в разложениях исследуемых функций по степеням 1/и членами порядка 1/и2, находим для средней интенсивности 7(т, и) и потока излучения Н(т, и) следующие асимптотические формулы:

+ (33>

X

0

4

НГ

Ь

4 у/тгХи Ам

е

1-—V

2 Лм I

Рассматривая случаи В и С, используем асимптотику для модифицированных функций Бесселя, выполняющуюся при больших значениях аргумента (см. [13]):

/о

1

— 9

+ 8,г + 128^2

/1

15

8г 128,г2) '

1-1-

При этом в точках среды, удаленных от источника излучения, можно пренебрегать интенсивностью прямого излучения, приходящих в эти точки непосредственно от источника излучения, т. е. можно считать, что полная интенсивность равна интенсивности диффузного излучения.

В случае В из соотношений (5)—(7) при в = 0, в = 1 получаются с указанной точностью следующие асимптотические выражения для функций В(т, и), J(т, и) и Н(т, и):

Л2Ь Л _ ^ + ^ _

В-

4и

1 - — —

4 Лм + 2м2

Jas

4л/ 7ГЛМ

АЬ ("1 )Л,, Лт2 / 1 г

— 1---1--

4лДЛ^ V 4Лм 2м2

2

32А2и2 3

32А^

Навэ

АЬ

4 л/ 7ГЛм И

-е

4 Лм У

В случае С, когда в = в = 0.5, соответствующие асимптотические выражения для этих функций получаются в виде

ВС (т,и

АЬ

4^

+

69

16лДм ' 512Лм2)'

Jacs

4У7П/АМ

НасЧт,и)

-2

4г1

1__^ + ^__^

и

16А/Лм 8М2 512ЛМ2;

г ( 3

4у71

1 +

16л/Аь

Отметим, что если в формулах (33), (34), (38) и (39) учитывать только первые члены разложений по степеням 1/и, они совпадут с соответствующими формулами, полученными в работе [10].

4. Заключение. В результате проведенного в настоящей работе исследования показано, что при интерпретации наблюдений астрофизических объектов следует учитывать зависимость их светимости Ь от безразмерного времени и, а также длительность ио вспышки. Для этого в выведенных в статье выражениях для характеристик поля излучения следует вместо постоянного значения Ь взять функцию Ь(и) и проинтегрировать эти выражения по и в пределах от и = 0 до и = ио.

£

е

1

£

е

1

е

и

е

е

и

Отметим, что использованную в настоящей статье методику вывода асимптотических выражений для функции источников, средней интенсивности и потока излучения можно использовать и в случаях мгновенных плоского, точечного и осевого источников излучения в трехмерной бесконечной однородной среде.

Литература

1. Compton K. T. Some properties of resonance radiation and excited atoms // Phil. Mag. 1923. Vol.45, N268. P. 750-760.

2. Milne E. A. The diffusion of imprisoned radiation through a gas // London Math. Sci. 1926. Vol. 1, N1. P. 40-51.

3. Соболев В. В. К теории нестационарного поля излучения // Астрон. журн. 1952. Т. 29, №4-5. С. 406-414. С. 517-525.

4. Соболев В. В. Перенос лучистой энергии в атмосферах звезд и планет. М.: Гостехиздат, 1956.

5. Кейз К., Цвайфель П. Линейная теория переноса. М.: Мир, 1972. 384 с.

6. Минин И.Н. Теория переноса излучения в атмосферах планет. М.: Наука, 1988. 264 с.

7. Wing G. M. An Introduction to Transport Theory. New York, London: J. Willey Publ. Co., 1962.

8. Нагирнер Д. И. Теория нестационарного переноса излучения // Астрофизика. 1974. Т. 10, №3. С. 445-469.

9. Гринин В. П. Теория нестационарного переноса излучения // Труды Астрон. обс. СПбГУ. 1994. Т. 44. С. 236-249.

10. Колесов А. К., Соболев В. В. О нестационарном поле излучения // Труды Астрон. обс. ЛГУ. 1991. Т. 43. С. 5-27.

11. Минин И. Н. К теории нестационарного переноса излучения // Звезды, туманности, галактики / под ред. В. В. Соболева. Ереван: Изд. АН Арм. ССР, 1969. С. 51-55.

12. Смирнов В. И. Курс высшей математики: в 5 т. М.: Наука, 1974. Т. 2. 655 с.

13. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами / под ред. М. Абрамовица и А. Стиган. М.: Наука, 1979. 832 с.

Статья поступила в редакцию 30 августа 2016 г.; рекомендована в печать 6 октября 2016 г. Сведения об авторах

Колесов Александр Константинович — доктор физико-математических наук, профессор; a. kolesov@spbu. ru

Кропачева Наталия Юрьевна — кандидат физико-математических наук, доцент; NK@NK11595.spb.egu

ON NON-STATIONARY RADIATION FIELDS IN AN INFINITY ONE-DIMENSIONAL HOMOGENEOUS MEDIUM

Aleksandr K. Kolesov, Natalia Yu. Kropacheva

St. Petersburg State University, Universitetskaya nab., 7-9, St. Petersburg, 199034, Russian Federation; a.kolesov@spbu.ru, NK@NK11595.spb.egu

This paper considers the non-stationary monochromatic radiative transfer in an infinite one-dimensional homogeneous medium. It is believed that the medium is illuminated by a momentary isotropic point energy source. Optical properties of the medium are characterized by the absorption coefficient a, the single-scattering albedo A, the mean time ti of the stay of a photon in the absorbed state and the mean time ¿2 of its stay on the path between two consecutive scatterings. The exact solution of the non-stationary radiative transfer equation was derived for the case t = ti. Asymptotic expressions were found for the source function of average intensity and flux when points of the medium located on the large optical distances from the power source |т| ^ 1 and scattering close to the light conservative (1 — A ^ 1) assuming that ti ^ ¿2, ti ^ ¿2, or ti = ¿2. These expressions are more precise than previously known. Refs 13.

Keywords: non-stationary radiative transfer, one-dimensional medium, point energy source, source function, mean radiation intensity, radiation flux, asymptotic expressions.

References

1. Compton K. T., "Some properties of resonance radiation and excited atoms", Phil. Mag. 45(268), 750-760 (1923).

2. Milne E. A., "The diffusion of imprisoned radiation through a gas", London Math. Sci. 1(1), 40-51 (1926).

3. Sobolev V.,V., "On the theory of the non-stationary radiation field", Astron. Zh. 29, 406-414, 517-525 (1952) [in Russian].

4. Sobolev V. V., A Treatise on Radiative Transfer (Van Nostrand, Princeton, New Jork, 1963).

5. Case K.M., Zweifel P. F., Linear Transport Theory (Addison-Wesley Pub. Co., Reading, Massachusetts, 1967).

6. Minin I. N., Theory of Radiative Transfer in Planetary Atmospheres (Nauka, Moscow, 1988, 264 p.) [in Russian].

7. Wing G. M., An Introduction to Transport Theory (J. Willey Publ. Co., New York, London, 1962).

8. Nagirner D.I., "Theory of non-stationary transfer of radiation", Astrophysics 10(3), 274-289 (1974).

9. Grinin V. P., "Non-stationary radiative transfer theory", Trudy Astron. Obs. 44, 236-249 (1994).

10. Kolesov A.K., Sobolev V. V., "On non-stationary radiative transfer", Proc. Astron. Observ. 43, 5-27 (1991) [in Russian].

11. Minin I. N., "On the non-stationary radiation fields theory", Stars, nebulae, galaxies, 51-55 (ed. V. V. Sobolev. Yerevan, Izd. Akad. Nauk Armen. SSR, 1969).

12. Smirnov V. I., Course of Higher Mathematics In 5 volums (Nauka, Moscow, 1974, 2, 655 p.) [in Russian].

13. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs and Mathematical Tables (eds. M. Abramowitz, A. Stegun, National Burean of Standards, New York, 1964).

Для цитирования: Колесов А. К., Кропачева Н. Ю. О нестационарных полях излучения в бесконечной одномерной однородной среде // Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2017. Т. 4 (62). Вып. 1. С. 159-166. DOI: 10.21638/11701/spbu01.2017.118

For citation: Kolesov A. K., Kropacheva N. Yu. On non-stationary radiation fields in an infinity one-dimensional homogeneous medium. Vestnik SPbSU. Mathematics. Mechanics. Astronomy, 2017, vol. 4(62), issue 1, pp. 159-166. DOI: 10.21638/11701/spbu01.2017.118