Решение основных краевых задач для одного вырождающегося эллиптического уравнения методом потенциалов

____________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Том 157, кн. 1 Физико-математические науки

2015

УДК 517.95

РЕШЕНИЕ ОСНОВНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОДНОГО ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ МЕТОДОМ ПОТЕНЦИАЛОВ

Р.М. Асхатов, Р.Н. Абайдуллин

Аннотация

Найдены фундаментальные решения вырождающегося эллиптического уравнения. С помощью фундаментальных решений построены потенциалы типа двойного и простого слоев. Основные краевые задачи для одного вырождающегося эллиптического уравнения сведены к эквивалентным интегральным уравнениям Фредгольма второго рода и доказана их разрешимость.

Ключевые слова: вырождающееся эллиптическое уравнение, метод потенциалов, потенциал двойного слоя, потенциал простого слоя, уравнение Фредгольма, оператор обобщенного сдвига.

К числу первых работ по вырождающимся эллиптическим уравнениям второго рода относится работа М.В. Келдыша [1], где указаны случаи, когда характеристическая часть границы области может освобождаться от граничных условий и заменяется условием ограниченности решений. По этой тематике были опубликованы статьи А.В. Бицадзе, С.А. Терсенева, О.А. Олейник, М.М. Смирнова и др. [2-6]. В настоящей работе построены и применены потенциалы типа двойного и простого слоев к исследованию краевых задач для одного вырождающегося эллиптического уравнения, когда вырождение имеет логарифмический характер, методом потенциалов. Отметим, что в [7] методом потенциалов были получены решения для вырождающегося эллиптического уравнения второго рода со степенной особенностью.

Пусть E+ - полуплоскость у > 0 евклидовой плоскости E2, D - конечная область, симметричная относительно оси Ox и ограниченная кривой Г. Обозначим через D+ часть области D в E+, ограниченную отрезком Г(0) = [a, b] оси Ox и кривой Г+; D + = D+ U Г+, D + = D + U Г(0), D+ = E2+ \ D +, через Г^ -отрезок прямой у = 5, заключенный внутри области D+, а через D+ - область, ограниченную кривой Г+ и отрезком Г^° ; Г+ - часть кривой Г+ , расположенная выше прямой у = 5. Ясно, что D+ ^ D+, а Г+ ^ Г+ при 5 ^ 0.

Рассмотрим вырождающееся эллиптическое уравнение

та2

д2и

дх2

д2и

ду2

2 2 д и о

+ а у -—7 + а у —

ди

ду

0, 0 < а < 1.

С помощью замены независимых переменных по формулам

С = x, П

-ln у

а

5

6

Р.М. АСХАТОВ, Р.Н. АБАЙДУЛЛИН

уравнение (1) приводится к уравнению вида

д2и д 2п о ди

аё + ап + <° -о)д.

0.

Ищем решение уравнения (2) в виде

и = e(a-a2)(v-Vo)/2v,

где v - новая неизвестная функция.

После подстановки этого представления в (2), получаем

д2и д2и дС2 + дц2

22

v = 0.

Известно [8], что общее решение уравнения (3), зависящее от

Р = V(c — Со)2 + (П — По)2,

4

имеет вид

, . АТ (о — о2 \ л (о — о? \

Ар) = Aiol —2— р ) + вко[ —2— р )

где A, B - произвольные постоянные, Io, Ко - функции Бесселя мнимого аргумента и Макдональда соответственно [8]. Функция Макдональда определяется с помощью функции Ханкеля мнимого аргумента

ко

о — а2

Р

niH

о — а2

Р

Функция Макдональда экспоненциально убывает при стремлении аргумента к бесконечности. Известно также [8, 9], что при С = Со, П = По данная функция имеет логарифмическую особенность

ко

о — о2

Р

ln —+ • • • .

Р

Полагая B = 0, а затем A = 0, получим решения уравнения (3). Подставляя в (2), находим

по = Ae(“-“2)(v-vo)/2iJ о — о

ui = Вв(«-«2)(п-п°)/2Ко(о—о- А .

Р

Переходя к старым переменным х, у, имеем

«о = Ау<оа-1»\(1-°У21о( р^

wi = Вуоа-1)/2у

где r = \J(x — хо)2 + 1/о2 1п2(у/уо). Функция wi, определенная формулой (4), является фундаментальным решением уравнения (1), так как имеет логарифмическую особенность. Если фундаментальное решение уравнения ограничено, то оно при стремлении у к нулю убывает экспоненциально. Аналогичное требование можем накладывать и на регулярное решение уравнения (1).

РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ УРАВНЕНИЯ 7

Определение 1. Регулярное решение и уравнения (1) в области D+, обращающееся в нуль при у ^ 0, называется Ti2 -гармонической функцией в этой области.

Множество всех Т( -гармонических в D+ и непрерывных в D функций обозначим через Ta\D +).

Пусть и, v е C(2) (D+) р C(1)(D +). Тогда

vT

д I ди дх \ дх

2

+ а у

2- а

д

ду

vy

ди

ду

ди дv 22 ди дv дх дх + У ду ду

Интегрируя обе части последнего тождества по области D+, предварительно умножив на весовую функцию, получим

хрыг- ^лу = JJ (д. („ dp + °у-« ILL» |уУ) уа-2 лхЛу-

D+

( ди dv

дх дх

D+

----- 2 2 ди dv\ 2

— — + а у -к--к- у Лхв,у,

ду ду

откуда в силу формулы Остроградского

..а-2

jf -2 ,Ы„ + JJ (^хдх + а2у2 ду дуУ-2 <Шу =

+ D+

D

ди 2 2 ди 2

J vl ео8(х, v) д---+ а у 81п(х, v) — Jy ds+

-у • 6

ди 2 2 ди 2

+ J vl cos^, v) д—+ а у в1п(х, v) — \у ds.

Так как cos (х, v) = 0, sin (х, v) = 1 на Г^ , то

JJ vT^yyа 2 ахау + JJ

ди dv дх дх

D+

где

D+

i0) >то

22 ди dv'

а2у2 ду ду

=/

Г+

уа 2 хау =

2

2 ди «

Г

ду

ди 2 2 ди

Л|и| = cos(x, v) — + а у slп(x, v) ,

дх ду

v - единичный вектор внешней нормали к dD+ в точке P(х, у). Аналогично,

!!uT(-' (v)r - ахау+Ц (ё ё+а‘у ду дуУ- ахЛу=

+ D+

D

= j иЛ[и\уа 2 ds + j ио? ду— уа ds.

г

6

г

6

6

6

6

8

Р.М. АСХАТОВ, Р.Н. АБАЙДУЛЛИН

Вычитая (6) из (5), приходим к соотношению

(vT^iu) — uT02){v))ya 2 dxdy

D+

J (vA[u] — uA[v])ya 2 ds + j a2 (^v dy-u~Q~^jya ds,

Г + r

откуда при S ^ 0 получаем JJ vT02 (u)ya-2 dxdy+

D+

+//

D+ v 7 Г+

JJ Jt02')

D+ Г+

Формулы (7) и (8) представляют собой соответственно первую и вторую формулы Грина для оператора T(2.

Пусть Mo € D+. Рассмотрим контур Cm0e с центром в точке Mo и радиусом е такой, что Cm0e С D+. Обозначим через De часть области D+, заключенную между контуром См0£ и границей 3D+.

Применим вторую формулу Грина для оператора Ta 7 к функциям wi и u в области De:

JJ (wi(r)T0\u) — uT^ (wi(r))) ya 2 dxdy = j (wi(r)A[u] — uA[wi])ya 2 ds+

d£ Г+

+ J

Так как T°\u) =0 в D+, T°f) (wi(r)) =0 в De, то равенство (9) принимает вид

У2)

L а.

J

Г+

Имеем

лг i , N dwi 22 dwi

A[wi] = cos(x, v) —---+ a y sm(x, v) ——.

d x d y

На контуре Cm0e справедливы следующие соотношения:

a2y

cos(x, v) = —p

\Ja4y2

Отсюда и из формулы (11) следует, что

sin(x, v) =

ln

a4y2

—a2By0a-i)/2y(3-a)/2

A[wi] = + <b(x, y; xo, yo).

\J a4y2

CM0E

РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ УРАВНЕНИЯ 9

Теперь в формуле (10) перейдем к пределу при е ^ 0. Первый интеграл не зависит от е. Представим второй интеграл в виде

j wi(r)A[u]ya-2 ds + j u(-A[wi\)ya-2 ds = Ii + 12.

CMq£ CMq£

Ясно, что Ii ^ 0 при е ^ 0. Интеграл I2 представим в виде

ton I, = lim b ( ( , ‘-yA^y^2,.

cM„A AVI* - xo)2 +ln2

+ Ф(х, y; xo,yo) )ya 2 ds =

lim B

£— 0

2 (.a-V)/2 y(3-a)/2.

MQE

^Ja4y2

+ Ф(х, y; xo, yo) ya 2 ds+

2y0a-1)/2y(3-a)/2

a yo

u

+ lim B . , __________________________

^ ' \/a4y2

Xo+£

C

MQE

= a2Bya 1 u lim

e^o> J \Je2 — (x — xo)2

+ ^(x,y; xo, yo) )ya 2 ds =

dx = a2nBya Vu

1

где C'm и C'M0e - верхняя и нижняя части Cm0e . Находим нормирующую константу

B

1-а

Vo__

2па

Из

u

r+

Теорема 1. Если u(x, y) G T(2^ (D +) и тождественно не равна нулю, то функция u принимает наибольшее положительное и наименьшее отрицательное значения на границе Г+ .

Доказательство. Обозначим через M наибольшее положительное значение функции в D +, а через N наибольшее положительное значение функции u на границе области.

Предположим, что M > N, и функция достигает положительного наибольшего значения во внутренней точке Mo(xo,yo) области D+ .

Введем в рассмотрение вспомогательную функцию

v

u +

MN

4l2

T X0yyo (x2 + y2),

где l - наибольшее расстояние между двумя точками границы области D+, T Х°уУ0 - оператор обобщенного сдвига [10].

Ясно, что v(Mo) = M. Оценим значение v на границе:

v < N +

M - N

4

M + 3N

4

<

M + 3M

~4

M.

10

Р.М. АСХАТОВ, Р.Н. АБАЙДУЛЛИН

Значит, v принимает наибольшее положительное значение во внутренней точке D+.

Пусть - та точка области D+, где v принимает наибольшее поло-

жительное значение. Тогда

Та2

Mi

д 2и дх2

д2и

ду2

2 2 д и о

+ а у -—г + а у —

ди

ду

< 0.

Mi

С другой стороны, подставляя v в уравнение (1), получаем

д2и 2 2 д2и 3 ди

трт + а у ттм + а у ~х~ дх2 ду2 ду

> 0.

Mi

Полученное противоречие доказывает, что функция и не может принимать наибольшее положительное значение во внутренних точках области D+. Поэтому по теореме Вейерштрасса она достигает наибольшего положительного значения на границе. Второе утверждение доказывается аналогично.

Рассматриваются следующие краевые задачи.

Внутренняя задача (Ei). Требуется найти функцию и(х,у), Та -гармоническую в области D+, непрерывную в D + и удовлетворяющую граничному условию

и1г+ = ¥(Р), Р е г+,

где р(Р) - непрерывная функция.

Внешняя задача (Ee). Требуется найти функцию и(х,у), Т( ) -гармоническую

в области D+, непрерывную в De , равную нулю на бесконечности и удовлетворяющую граничному условию

и1г+ = <f(P), Р е г+,

где р(Р) - непрерывная функция.

Внутренняя задача (Ki). Требуется найти функцию и(х,у), Та -гармоническую в области D+, один раз непрерывно дифференцируемую в D + и удовлетворяющую граничному условию

А[и]\г+ = ф(Р), Р е Г+,

где ф(Р) - непрерывная функция.

Внешняя задача (Ke). Требуется найти функцию и(х,у), Та -гармоническую

в области D+, один раз непрерывно дифференцируемую в De , равную нулю на бесконечности и удовлетворяющую граничному условию

А[и]\г+ = ф(Р), Р е Г+,

где ф(Р) - непрерывная функция.

Имеют место следующие теоремы единственности.

Теорема 2. Задачи Ei, Ee, Ki, Ke не могут иметь более одного решения.

Доказательство. Справедливость утверждений теоремы устанавливается по аналогии с техникой, предложенной при доказательстве соответствующих теорем в [11]. Например, приведем доказательство единственности задачи Ki.

РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ УРАВНЕНИЯ 11

Пусть п\ и U2 - два решения задачи Ki. Тогда их разность и = u\ — и удовлетворяет условию A[u] =0 на Г+, Tja2 -гармонична в области D+ и непрерывно дифференцируема в D +. Согласно первой формуле Грина при v = и, Т() = 0 получаем

ди \ 2 2

+ “V

ди

ду

2

уа-2dxdy

0.

D+

Отсюда находим

ди

дх

ди

°’ дУ

0,

а значит, и = C. Согласно граничным условиям задачи имеем, что C вательно, и = 0, то есть ui = и2 .

0 , следо-

Координаты переменной точки на кривой Г+ будем обозначать через P = = P(X п). Считаем, что Г является кривой Ляпунова.

С помощью фундаментального решения wi строим потенциалы типа двойного и простого слоев. Они имеют соответственно вид

W(M) = J a(P)A[w1] пк-2 dsP = 0, V(M) = J p(P)w1 цк-2 dsP = 0,

г+ г+

где a(P) и ц(Р) - плотности этих потенциалов.

Рассмотрим потенциал типа двойного слоя

W(o)(M) = у A[wi] пк-2 dsp = 0, г+

плотность которого равна единице. Справедлива

Теорема 3. Если Г - кривая Ляпунова, то значения интеграла типа Гаусса для фундаментального решения wi уравнения (1) определяются формулой

(—1, M е D+,

W(0)(M) = [0, M е D +,

[—1/2, M е Г+.

Доказательство теоремы проводится аналогично схеме, предложенной при доказательстве соответствующей теоремы в [11].

Потенциалы типа двойного и простого слоев на границе ведут себя так же, как и их аналоги для уравнения Лапласа.

Теорема 4. Если Г - кривая Ляпунова и а(Р) - непрерывная функция на Г+, то для потенциала типа двойного слоя справедливы следующие предельные соотношения

Wi(Po) = — ^ + ЩЩ,

We

где Wi(Po) и We(Po) означают соответствующие предельные значения потенциала типа двойного слоя в точке Po е Г+, когда P ^ Po изнутри и извне Г+, а W(Po) - прямое значение потенциала типа двойного слоя.

12

Р.М. АСХАТОВ, Р.Н. АБАЙДУЛЛИН

Доказательство. Потенциал типа двойного слоя можем записать следующим образом:

W

где W(0)(M) - интеграл типа Гаусса, а

Wi(M) = J[a(P) - a(Po)]A[wi}Vk-2 dsp.

г+

Из точки Po как из центра опишем круг радиуса Ri, тем самым кривая разобьется на две части: Г+ = Г^| Г", из которых Г' лежит внутри круга, а Г" - вне ее. Тогда потенциал также разобьется на

W1 (M) = Wl (M) + W['(M), где

Wl(M) = J[a(P) - a(Po)]A[wi]Vk-2 dsp,

Г

W”(M) = J[a(P) - a(Po)]A[wi]Vk-2 dsp.

Г"

Нетрудно доказать, что

\Wi(P) - Wi(Po)\ <£.

Отсюда следует существование и равенство значений Wu(Po) = Wie(Po) = Wi(Po). Предельные значения интеграла типа Гаусса существуют и равны W(0\Po) = -1, W(0)(Po) = 0, W (o)(Po) = -1/2. Находя из (15) пределы Wi(Po), We (Po), W(Po) и исключая из полученных соотношений равные значения Wii(Po), Wie(Po), Wi(Po), приходим к (14).

Теорема 5. Пусть Г - кривая Ляпунова и p(P) - непрерывная функция на Г+ . Потенциал типа простого слоя имеет конормальную производную как изнутри, так и извне Г+ . Тогда предельные значения конормальной производной потенциала типа простого слоя выражаются формулами

A(V (Po))i = ^+ A(V (Po)),

A

где A(V(Po))i и A(V(Po))e означают соответствующие предельные значения потенциала типа простого слоя в точке Po G Г+, когда P ^ Po изнутри и извне Г+, а A(V(Po)) - прямое значение потенциа,ла типа простого слоя.

Доказательство этих теорем проводится по схеме, предложенной при доказательстве соответствующих теорем, например, в [12].

Решение задачи (Ej/) ищем в виде потенциала двойного слоя

u(M) = J a(P)A[wi]nk-2 dsp.

г+

РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ УРАВНЕНИЯ 13

Неизвестную плотность а найдем из требования, чтобы эта функция удовлетворяла граничному условию u|r+ = ф(Р). С этой целью подставим ее в это граничное условие. В результате имеем

Jim u(M) = -+ J а(Р)A[w1}Vk-2 dsp = v(P0).

г+

Отсюда получим эквивалентное интегральное уравнение Фредгольма второго рода для неизвестной функции а

а(Ро) - 2 J а(Р)A[w1}Vk-2 dsp = -2^(Ро), Р0 е Г+.

г+

Используя формулы (14) и (16) для предельных значений, а также граничные условия основных краевых задач, получим эквивалентные интегральные уравнения для трех остальных задач. Таким образом, имеем

г+

г+

г+

г+

В уравнениях (17)—(20) точка Ро принадлежит границе Г+.

Уравнения (17)—(20) - интегральные уравнения со слабой особенностью, причем уравнения (17), (20) и (18), (19) являются попарно сопряженными. Для этих интегральных уравнений, как и в случае уравнения Лапласа, справедливы теоремы Фредгольма.

Исследование первой и второй пары сопряженных уравнений проводится по схеме, предложенной, например, в [12].

Summary

R.M. Askhatov, R.N. Abaydullin. Solution of the Basic Boundary Value Problems for a Degenerate Elliptic Equation by the Method of Potentials.

Fundamental solutions to a degenerate elliptic equation are found. Using these fundamental solutions, simple and double layer potentials are built. The basic boundary value problems for a degenerate elliptic equation are reduced to the equivalent Fredholm integral equations of the second kind. Their solvability is proved.

Keywords: degenerate elliptic equation, method of potentials, double layer potential, simple layer potential, Fredholm equation, generalized translation operator.

Литература

1. Келдыш М.В. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе области // Докл. АН СССР. - 1951. - Т. 77, № 2. - С. 181-183.

14

Р.М. АСХАТОВ, Р.Н. АБАЙДУЛЛИН

2. Бицадзе А.В. Уравнения смешанного типа. - М.: Изд-во АН СССР, 1959. - 164 с.

3. Олейник О.А. Задача Коши и краевая задача для гиперболических уравнений второго порядка, вырождающихся в области и на ее границе // Докл. АН СССР. -1966. - Т. 169, № 3. - С. 525-528.

4. Олейник О.А. О гиперболических уравнениях второго порядка, вырождающихся внутри области и на ее границе // Усп. матем. наук. - 1969. - Т. 24, № 2. - С .229230.

5. Смирнов М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. - М.: Наука, 1966. - 292 с.

6. Терсенов С.А. К теории уравнений эллиптического типа, вырождающихся на границе области // Сиб. матем. журн. - 1965. - Т. 6, № 5. - С. 1120-1143.

7. Мухлисов Ф.Г., Нигмедзянова А.М. Решение краевых задач для вырождающегося эллиптического уравнения второго рода методом потенциалов // Изв. вузов. Матем. -2009. - № 8. - С. 57-70.

8. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1972. - 736 с.

9. Кузнецов Д.С. Специальные функции. - М.: Высш. шк., 1962. - 248 с.

10. Мухлисов Ф.Г. Потенциалы, порожденные оператором обобщенного сдвига, и краевые задачи для одного класса сингулярных эллиптических уравнений: Дис. . . . д-ра физ.-матем. наук. - Казань, 1993. - 324 с.

11. Асхатов Р.М. Решение основных краевых задач для одного сингулярного эллиптического уравнения методом потенциалов // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. - 2013. - Т. 155, кн. 4. - С. 5-15.

12. Михлин С.Г. Курс математической физики. - М.: Наука, 1968. - 576 с.

Поступила в редакцию 15.12.14

Асхатов Радик Мухаметгалеевич - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математической статистики, Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань, Россия.

E-mail: Radik.Ashatov@kpfu.ru

Абайдуллин Равиль Нуралиевич - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры системного анализа и информационных технологий, Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань, Россия.

E-mail: Ravil.Abaydullin@kpfu.ru