Численный анализ некоторых задач определения оптимальных параметров страховой компании в условиях ее инвестиционной деятельности

УДК 519.22

Н.В. ГИБКИНА, С.В. ВОЛКОТРУБ

ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ СТРАХОВОЙ КОМПАНИИ В УСЛОВИЯХ ЕЕ ИНВЕСТИЦИОННОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ

Рассматриваются гибкие и традиционные схемы страхования. Проводится анализ изменения величины нетто-премий при изменении процентной ставки, волатильности процесса цен рискового актива, величины гарантированной выплаты, а также при изменении начальных взносов в безрисковые и рисковые активы.

1. Введение

Страховщик обеспечивает защиту имущественных интересов страхователя при наступлении страхового случая за счет денежных фондов, которые формируются путем получения страховых премий и доходов от размещения средств этих фондов. Особенностью страхового бизнеса является то, что размер страхового тарифа необходимо определить до наступления момента возможных выплат.

В данной работе рассматривается задача определения оптимальных размеров нетто-премий страховой компании в условиях ее инвестиционной деятельности. Эта задача актуальна на современном этапе развития финансового и страхового рынка, поскольку для привлечения большего количества клиентов страховые компании сталкиваются с необходимостью внедрять новые схемы страхования, способствующие уменьшению страховых тарифов. Одной из таких схем является инвестирование страховой компанией собранных средств на финансовом рынке, вследствие чего появляется возможность увеличения размера страховых выплат.

Целью данной работы является сравнительный анализ существующих методов расчета параметров страхования в условиях инвестиционной деятельности страховой компании. В работе рассматриваются традиционные и инновационные схемы расчета нетто-премий в долгосрочном страховании жизни, когда страховая компания в целях повышения своей конкурентоспособности инвестирует собранные средства на финансовом рынке. 100

2. Задачи определения оптимального размера нетто-премий в инновационных и традиционных схемах страхования

Рассмотрим договор страхования на дожитие сроком на т лет для супругов в возрасте х и у лет соответственно и заключающийся в обеспечении страховой выплаты в случае, когда оба они или хотя бы один из них проживет т лет с момента заключения договора. Вероятность страховой выплаты в этом случае будет равна

тРху = тpxтqy + тpyтqx + тРхТРу,

где тРх и тРу - вероятности прожить еще т лет для каждого из супругов; тЧх = 1-тРх и

тЧу = 1- тРу - вероятности смерти для каждого из супругов в течение т лет с момента заключения договора.

Величина страховой выплаты для страхового договора на дожитие сроком на п лет имеет вид:

2 = 1 0 ^ тх < п,

[Кутх ^ тх > п,

где тх - случайная величина, определяющая количество прожитых лет с момента подписания договора для человека в возрасте х лет до момента его смерти; К - страховая

т

сумма; п - продолжительность страхования; V - дисконтный множитель по принятой норме доходности.

Традиционные схемы накопительного страхования гарантируют страхователю лишь минимальную доходность его вложений, поскольку страховая компания для обеспечения максимальной надежности заинтересована в фиксированной доходности инвестиций. В традиционных страховых контрактах используется принцип эквивалентности, согласно которому размер кумулятивной нетто-премии равен математическому ожиданию дисконтированных кумулятивных выплат.

Размер нетто-премии в традиционной схеме страхования на дожитие равен

т

тЕху =KTpxyV ,

где к - размер страхового возмещения; ^ - дисконтный множитель по принятой норме

доходности; тРху - вероятность дожития обоих супругов до возраста х + т и у + т лет соответственно или дожитие только одного из них до оговоренного возраста.

Развитие рыночных отношений и конкуренции на страховом рынке приводят к необходимости адаптации страхования к изменяющимся условиям развития финансовой системы. Это приводит к созданию гибких схем страхования, в которых при наступлении страхового случая размер выплаты зависит от рыночной цены портфеля ценных бумаг. В отличие от традиционных схем страхования, выплата по таким контрактам является случайной величиной.

Введем обозначения: g(S) - функция, определяющая размер выплаты по страховому обязательству, S - цена единицы выбранного рискового актива.

В работе [1] рассмотрены два типа гибких контрактов: «чистый» контракт:

= S

и контракт с «гарантией»

g(S) = шах^,К),

где К = Во ехР(гт) - положительная постоянная величина, обеспечивающая страховые выплаты за счет инвестирования средств только в безрисковые активы; Во - размер вклада в безрисковые активы в начальный момент времени; г - процентная ставка; т -продолжительность страхования.

Согласно методике, приведенной в [1], можно рассчитать нетто-премии для задачи страхования на дожитие супружеской пары сроком на т лет в условиях гибких схем страхования. Нетто-премия «чистого» контракта будет равна

ТЕху -тРху^О,

где 8о - рыночная цена рискового актива в начальный момент времени;

тРху - тРхтЧу + тРутЧх + тРхтРу - вероятность того, что оба супруга в возрасте х и у лет или хотя бы один из них проживет т лет с момента заключения контракта. Нетто-премия контракта «с гарантией» будет равна

тЕху-тРху [КехР(-гт)Ф (^(т)) +ЯоФ (¿1 (т))],

1 х

где т - продолжительность страхования; ст - волатильность; Ф(х)- — | ехР

\2п -а

(.. 2 ^

¿и -

функция стандартного нормального распределения,

¿1 (т ) = -

1 ^о 1п— +

К

(

.2 ^

Г + -

ст

т

тл/т

¿2 (т) =

1 ^0 1п— +

К

(

Л \

г--

т

ст

л/т

3. Численный анализ параметров страхования в инновационных и традиционных схемах страхования

Исследуем влияние некоторых параметров финансового рынка, таких как процентная ставка, волатильность процесса цен рискового актива, величина гарантированной выплаты, а также влияние величины и соотношения начальных взносов в безрисковые и рисковые активы, на размер нетто-премии страховой компании, участвующей в инвестиционной деятельности на этом рынке.

Проведем анализ изменения размера нетто-премии контракта с «гарантией» при изменении волатильности процесса цен рискового актива (рисунок).

Из рисунка очевидно, что при увеличении волатильности процесса цен рискового актива размер нетто-премии контракта с «гарантией» увеличивается. Это объясняется тем, что увеличение волатильности цен ведет к увеличению колебаний уровня цен относительно среднего значения, что увеличивает риск убытков страховой компании при инвестировании средств. Для того чтобы застраховать себя от больших убытков, страховая компания увеличивает размер нетто-премии.

Гарантия

40 30 20

10

10

15

20

25 Нетто-премия

Изменение размера нетто-премии контракта с „гарантией" при изменении волатильности

Проанализируем изменение размера нетто-премий при изменении процентной ставки. В табл. 1 приведены результаты вычислений.

Как видно из табл. 1, при заданных начальных условиях (В0 - размер вклада в безрисковые активы в начальный момент времени, ст - волатильность процесса цен рискового актива, 80 - цена портфеля ценных бумаг в начальный момент времени) изменение процентной ставки не влияет на размер нетто-премии ни традиционного контракта, ни

2

2

2

5

контракта с „гарантией". В этом случае происходит изменение только величины гарантированной выплаты, которая при постоянной величине вклада в безрисковый актив (и, таким образом, при постоянной нетто-премии) будет тем больше, чем больше процентная ставка.

Таблица 1

Изменение размера нетто-премий при изменении процентной ставки

Процентная ставка Вклад в рисковые активы Размер гарантии Нетто-премия традиционной схемы Нетто-премия контракта с «гарантией»

0.04 100 182.212 133.885 97.6048

0.06 100 245.96 133.885 97.6048

0.08 100 332.012 133.885 97.6048

Далее рассмотрим «чистый» контракт страхования. При к = 0 размер нетто-премии контракта с «гарантией» и «чистого» контракта совпадает, поскольку в первом случае страховая компания формирует резерв для выплат гарантированных сумм при длительном неблагоприятном состоянии финансового рынка. В этом случае формулы для вычисления нетто-премий «чистого» контракта и контракта с «гарантией» совпадают. Размер нетто-премии контракта с «гарантией» при увеличении к увеличивается по сравнению с «чистым» контрактом. Это объясняется тем, что страховой компании требуются дополнительные средства для накопления гарантированных выплат.

Проведем анализ изменения размера нетто-премии контракта с «гарантией» при изменении начальных взносов в безрисковые и рисковые активы. Результаты будем сравнивать с размерами нетто-премий, рассчитанных по традиционной схеме. В табл. 2 приведены результаты вычисления нетто-премий в различных схемах страхования.

Таблица 2

Изменение размера нетто-премии контракта с «гарантией» при изменении начальных взносов в

безрисковые и рисковые активы

Начальный Начальный Нетто- Нетто- Нетто-

взнос в взнос в Размер премия премия премия

безрисковые рисковые гарантии контракта с «чистого» традиционно

активы активы «гарантией» контракта го контракта

60 100 147.576 110.661 97.6048 156.168

80 100 196.768 121.29 97.6048 175.689

100 100 245.96 133.885 97.6048 195.21

140 100 344.344 163.039 97.6048 234.252

100 0 245.96 97.6048 0 97.6048

100 5 245.96 97.61 4.88 102.485

100 10 245.96 97.6837 9.76048 107.365

100 60 245.96 110.661 58.5629 156.168

100 100 245.96 133.885 97.6048 195.21

Как видно из табл. 2, для контракта с «гарантией» при увеличении начального вклада в безрисковые активы различие в величине нетто-премии гибких и традиционных схем страхования становится незначительным, и в случае вложения начальных средств только в безрисковые активы размер нетто-премии контракта с «гарантией» равен нетто-премии традиционного контракта. Если размер гарантированной выплаты к = 0, то контракт с «гарантией» преобразуется в «чистый» контракт (размеры нетто-премий указанных контрактов совпадают), что соответствует выражениям (1), (2).

4. Выводы

Рассмотрена задача определения оптимальных параметров страховой деятельности в инновационных схемах страхования.

Проведено сравнение традиционных и гибких схем страхования, «чистого» контракта и контракта с «гарантией» для супружеских пар. Проведен анализ зависимости размера нетто-премий от процентной ставки, процесса цен рискового актива, величины гарантированной выплаты, начальных взносов в безрисковые и рисковые активы.

Научная новизна результатов исследования заключается в установлении условий, в которых выгодным является заключение каждого из рассмотренных типов контрактов страхования.

Данная задача может быть обобщена на случай других типов финансовых рынков, в частности, неполного финансового рынка.

Практическая значимость результатов исследования состоит в возможности применения предложенных расчетов для обеспечения актуарной деятельности в страховых компаниях, заинтересованных во внедрении инновационных схем страхования в целях повышения конкурентоспособности на развивающемся страховом рынке.

Список литературы: 1. Мельников А. В. Риск-Менеджмент: стохастический анализ рисков в финансах и страховании. М: АНКИЛ, 2001. 345с. 2. Мельников А. В. Финансовые рынки: Стохастический анализ и расчет производных ценных бумаг. М: ТВП, 1997. 354с. 3. Шоломицкий А.Г. Теория риска. Выбор при неопределенности и моделирование риска. М: ГУ ВШЭ, 2005. 400с. 4. Четыркин Е.М. Актуарные расчеты в негосударственном пенсионном и медицинском страховании. М.: Дело, 2002. 267с.

Поступила в редколлегию 25.05.2009

Гибкина Надежда Валентиновна, доцент кафедры прикладной математики ХНУРЭ. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина,14.

Волкотруб Светлана Владимировна, студентка ХНУРЭ. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина,14, e-mail: dmitrenko_sv@mail.ru.