Смешанная задача для интегро-дифференциального уравнения с псевдопараболическим оператором кубической степени

13. Джураев Т. Д., Сопуев А. Об одной пространственной задаче для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа // Дифференц. уравнения. - 1981. - Т. 17. -№: 1. - С. 50-57.

14. Моисеев Е. И. О разрешимости одной нелокальной краевой задачи // Дифференц. уравнения. - 2001. - Т. 37. - № 11. - С. 1565-1567.

15. Репин О. А. Аналог задачи Нахушева для уравнения Бицадзе-Лыкова // Дифференц. уравнения. - 2002. - Т. 38. - №10. - С. 1412-1417.

16. Сабитов К. Б. К теории уравнений смешанного типа. - М.: Физматлит, 2014. -

301 с.

17. Уринов А. К., Нишонова Ш. Т. Задача с интегральными условиями для эллиптико-параболического уравнения // Мат. заметки. - 2017. - Т. 102. - № 1. - С. 81-95.

18. Рузиев М. Х. О краевой задаче для одного класса уравнений смешанного типа в неограниченной области // Мат. заметки. - 2012. - Т. 92. - №1. - С. 74-83.

19. Сопуев А., Джураев Дж. Т. Краевые задачи для вырождающегося параболо-гиперболического уравнения // Дифференц. уравнения. - 1989. - Т. 25. - № 6. - С. 10091015.

20. Юлдашев Т. К. Смешанное дифференциальное уравнение типа Буссинеска // Вестник ВолГУ. Сер. 1. Математика. Физика. - 2016. - № 2(33). - С. 13-26.

21. Юлдашев Т. К. Об одном смешанном дифференциальном уравнении четвертого порядка // Изв. ИМИ УдГУ. - 2016. - Т. 47. - № 1. - С. 119-128.

22. Юлдашев Т. К., Багрова А. В. Нелокальная задача для смешанного дифференциального уравнения четвертого порядка в трехмерной области // Журнал СВМО. - 2016. - Т. 18. - № 3. - С. 70-79.

23. Моисеев Е. И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром. - М.: МГУ, 1988. - 150 с.

24. Салахитдинов М. С., Уринов А. К. Краевые задачи для уравнений смешанного типа со спектральным параметром. - Ташкент: Фан, 1997. - 165 с.

25. Юлдашев Т. К. О разрешимости одной краевой задачи для дифференциального уравнения типа Буссинеска // Дифференц. уравнения. - 2018. - Т. 54. - №10. - С. 14111419.

26. Юлдашев Т. К. Об одной нелокальной краевой задаче для нелинейного интегро-дифференциального уравнения Фредгольма с вырождением ядра // Дифференц. уравнения. - 2018. - Т. 54. - № 12. - С. 1687-1694.

УДК 517. 956.6

Б01 10.24411/2409-3203-2018-11681

СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКИМ ОПЕРАТОРОМ КУБИЧЕСКОЙ СТЕПЕНИ

Юлдашев Турсун Камалдинович

к. ф.-м. н., доцент, доцент кафедры высшей математики Сибирский государственный университет науки и технологии Красноярск, Россия

Аннотация: Рассмотрены вопросы обобщенной разрешимости смешанной задачи для линейного интегро-дифференциального уравнения с псевдопараболическим

оператором кубической степени и вырожденным ядром. Использован метод Фурье, основанный на разделение переменных. Получена счетная система интегральных уравнений. Установлен критерий однозначной разрешимости поставленной задачи. При доказательстве однозначной разрешимости счетной системы применены: метод последовательных приближений и метод интегральных неравенств.

Ключевые слова: Смешанная задача, интегро-дифференциальное уравнение, уравнение высшего порядка, метод Фурье, обобщенная разрешимости.

MIXED PROBLEM FOR AN INTEGRO-DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH PSEUDOPARABOLIC OPERATOR OF CUBIC DEGREE

Tursun K. Yuldashev

PhD, Associate professor of the Higher Mathematics Department, Siberian State University of Sciences and Technology Krasnoyarsk, Russia

Abstract: The problems of the generalized solvability of a mixed problem for a linear integro-differential equation with a pseudoparabolic operator of cubic degree and a degenerate kernel are considered. The Fourier method based on the separation of variables is used. A countable system of integral equations is obtained. The criterion for the unique solvability of the problem is established. In proving the unique solvability of a countable system the following methods were applied: the method of successive approximations and the method of integral inequalities.

Key words: Mixed problem, integro-differential equation, higher order equation, Fourier method, generalized solvability.

Задачи, с которыми сталкиваются в механике сплошных сред, часто оказываются начальными и краевыми. Смешанные задачи в теории упругости возникают при расчете различных деталей машин и элементов конструкций, находящихся во взаимодействии, при расчете фундаментов и оснований сооружений. Смешанными задачами также являются многие задачи концентрации напряжений в окрестности всевозможных трещин, инородных включений, подкрепляющих стрингеров и накладок [1]. Много смешанных задач и в гидродинамике. Это и нелинейные задачи теории крыла и глиссирования, теория струйных течений, теории качки корабля и удара тел о поверхность жидкости, фильтрации, теории взрыва, ряд задач гидроупругости.

В работах [2 , 3] изучены смешанные задачи для линейных дифференциальных уравнений второго порядка параболического и гиперболического типов. В работах [4, 5] изучены смешанные задачи для нелинейных дифференциальных уравнений. Интегро-дифференциальные уравнения в частных производных при других условиях рассматривались в [6-12].

В прямоугольной области О рассматривается уравнение

1. Постановка задачи

с начальными

а1 -1

и

а tj

и граничными условиями Бенара

а 2

U (t, x)| x=0 = Uxx (t, x) x=0 = •• • = ^ 2(6 m-1) U (t, x)| x=0 =

а 2

= U

где ф j (x) б С12m+1 (q i), Ф j (x)| x=0 = Ф" (x) x=0 =

= • • • = Ф f m-2) (x) x=0 = ф j (x)\ x= Ф" (x) x=/ = • • • = ф j12 m-2) (x) x=/ = 0 , j = Ü ,

k

K(t,s) = Xa¿ (t)bi (s), ai (t),bi (s) e С(QT), a (t) e С(QT),

i=1

Ц — действительный спектральный параметр, Q = Q t xQ i , Q t = [ 0, T ], Q / = [ 0, l ], 0<l <да,0<T <да , m — фиксированное натуральное число. Здесь предполагается, что

система функций a¿ (t), i = 1, k, и система функций bt (s), i = 1, k, являются линейно независимыми.

Воспользуемся методом ряда Фурье разделения переменных, основанным на поиске решения смешанной задачи (1)-(3) в виде

да

U

i =1

¡2 .

где функции & i (x) = J — sin X ix определены как собственные функции спектральной ti 2

задачи У(x) + X2 а(x) = 0, а(0) = а(l) = 0, 0 <X и образуют полную систему

ортонормированных функций (x) в L2 (Q¡), а Лг = — — соответствующие

i=1 l

собственные значения.

Определение. Функция U (t, x) eW23 (Q) называется обобщенным решением смешанной задачи (1)-(3), если она удовлетворяет интегральному тождеству

T l

№u

0 0

^3 Q 4 m+3 q 8 m+3

— Ф + 3—.-+ 3—.-Ф +

а t3 а t3 а y4 m а t3 а y8 m

а 12 m+3 а 4 m+2 ^8 m+2

+--Ф + 3 -Ф + 6-Ф +

а t3 а y12 m а t2 а y4 m а t2 а y8 m

q 12 m+2 q 8 m+1 ^12 m+1 ^12 m

+ 3 —o-^Ф + 3-^Ф + 3-^Ф+—^Ф

а t2 а y12 m а t а y8 m а t а y12 m а y12 m

F ф!> dydt =

í Ф 1

^2 m+2 ^8 m+2

Ф + 3 —--— Ф + 3---— Ф +

а t2 а t2 а y4 m а t2 а y8 m

^12 m+2 ^4 m+1 ^8 m+1

+--Ф + 3 -Ф + 6-Ф +

а t2 а y12 m а t а y4 m а t а y8 m

+ 3

а

12 т+1

n8 т

\ 12 т

а г а у

12т

Ф + 3

ау

8т

Ф+3

ау

12т

Ф

dy -

+ -

а

0

12 т+1

а ^ . а

—Ф + 3

а г

4 т+1

а г а у

4т

Ф + 3

а

г=0

8 т+1

а г а у

8т

ф+

а г а у

12т

Ф + 3

а

4 т

ау

4т

Ф + 6

а

8т

12т

ау

8т

Ф + 3

ау

12т

Ф

d у +

г=0

+

1 4 т

Ф + 3

а у

4т

Ф + 3

а

8т

112 т

ау

8т

Ф + -

ау

12т

Ф

dy

г=0

для любой функции Ф (г, х) е С 3'12т (о), подчиненной следующим условиям

ф (г, ху х=0 =ф хх (г, х^ х=0 =... =

а 2

а х2

Ф (г,х)| х=0 =

а 2

= Ф (г, х^ х=1 =Ф хх (г, х) х=/ =... = ^ 2(6 т-1) Ф (г, х) х=/ =

/

,• г^, л 7 ,• г аФ (г, у) , / а2 Ф (г, у), л 11Ш Г Ф(г,у)dy = 11Ш Г-^^dy = 11Ш Г-dy =0,

г^Т^ г ^Т^ а г г^Т^ а г2

где

^ Ф =

к

Ф (г, х).

2. Счетная система интегральных уравнений

В интегральном тождестве учтем разложение (4). Тогда, в силу того, что

Ф (г, х) = И (г) 9, (х) е С 3'12 т (О) и функции $ , (х) образуют полную систему ортонормированных функций в (Ог ), из определения обобщенного решения смешанной задачи (1)-(3) следует, что

т г

Г И (г) [< (г) + 3 Х4 т< (г) + 3 Х8 т< (г) + Х12 ти'Г (г) + 3 Х4 т< (г) +

+ 6х8т< (г) + 3 хг(г) + 3 Х8ти (г) + 3 Х^ти\ (г)+и, (г) -т '

ц|к(г,5)и1 (5)ds-а(г)и1 (г) dг = 0.

12 т

8 т ,

12т

Так как и, (г) имеют обобщенные производные третьего порядка по г в смысле Соболева на отрезке о Т и И (г) ^ 0 для всех г еО Т, то из (5) следует

< (г) + 3 Х4 (г) + 3 Х8т< (г) + Х^2 (г) + 3 х4 (г) + + 6Х8ти\ (г) + 3Х12т и] (г) + 3Х8т и\ (г)+3Х1,2т и\ (г) + и,(г) =

Т

0

С учетом вырожденности ядра уравнение (6) перепишем в следующем виде

0

0

0

0

(l + Х4гm ) — + Х4гm V 1 ' dt 1

T k

и.

0 7=1

Решая счетную систему (7) методом вариации произвольных постоянных, с помощью обозначения

т

из (7) получаем

ui (t) = (Cu + С2 it + C3it2 )exp {- e lit}+

+

iZ aj

j=1

P(t,s)ds , t eQr,

где

р.(г,8) = .ехр{-е(г-8)},0<е 1 < 1, е3ог =(1+А4;)3.

е о. е о I

Для определения коэффициентов С (7 = 1,п) в (9) воспользуемся условиями

и(0) = ф 1., и\ (0) = ф2., и'; (0) = ф 3. •

Тогда из

к * г

(t) = w, (t) + cji j Pi (t, s) aj (s ) ds +j Pi (t, s) a (s) ui (s) ds, j=i 0 0

где w(t) = Z ф

t

k-1 3

¿=1

Ze j

j-k

t

j-k

• exp {-e ilt}

где

k —

Cj + Aj Л iC л! = БЛ , j = 1'k Л=1

Aj л= -j bj (s) j Pi (s, Q) a л (Q ) d Q ds,

Bjt

w (s) + jP, (s,Q)a(Q)u, (Q)dQ

ds, j = 1, k

СССАУ (11) однозначно разрешима при любых конечных Bj., если выполняется следующее условие

1 + 1 A11i I A |A21i 1 + |A22! . . . IA2ki

A i (I) =

* 0.

1 Ак 1. 1 Ак 2. • • • 1 + 1 Акк. Определители А. (1) в (13) есть многочлены относительно |1 степени не выше к • Каждая из счетной системы уравнений А. (1) = 0 имеет не более к различных корней. Эти

3

0

t

0

0

0

0

0

корни являются собственными числами ядра интегро-дифференциального уравнения (1). Через Л обозначим множество корней счетной системы алгебраических уравнений А, (ц) = 0. Ясно, что это множество имеет счетное число элементов. При других значениях це(-да;да)\Л условие (13) выполняется. Следовательно, для таких значений Ц система (11) имеет единственное решение при любой конечной правой части. Тогда решения СССАУ (11) записываются в виде

сл =

aj

, j = 1, k ,

где A ц (Ц, ui) =

1+ цaw ... ц^i(j_i)i вЦ (ui) ц\j+i)i ... цaiki цa21i ... цa2(j_1)i b2i (ui ) цa2(j+1)i ... цa2ki

ЦAkli ... ЦAk(j_i)i Bki (ui) ЦAk(j+1)i ... 1+ ЦA

kki

] = 1, к.

Среди элементов определителей А ji (ц, и,) находятся Б]1. В свою очередь, в

составе находятся неизвестные функции и, (г). Подставляя (14) в (10), имеем

следующую ССЛИУ

u,

к A (Ц , u.) (t) = 3 (t;ut) - Wi (t) + Ц£ Gjt (t) +

j=1 A i (Ц) t

+ J P (t, s) a (s) ut (s) d s,

где (г) = | Р, (г, 5) ау (5) ds.

0

3. Однозначная разрешимость ССЛИУ (16) Теорема 1. Пусть выполняются следующие условия: 1). Числовые последовательности , j = Г^й, такие, что

W

В 2(T) ' 1

= у 1 <да;

2). Спектральный параметр Ц такой что

1

A

= Ро <да; Aj

< да;

3). Р = У 2 у з

где

1 + Р о У 2 МЁР 2 j| |A j

j=1

В 2

< 1,

у 2 = m

Ё^г <да,о<M = const < да, у з = max J| a (s) |d

• ' " teQ t

i=1 0 0 i

s < да,

Р 2j = max J a j (s) |ds < да , В j = J b j (s)ds, j = 1, k,

о

i

2

i

2

да

0

0

0

Aj i (|) =

1 + | a11i ... 1 a1( j-1) i B1 1 a1(j+1) i ... 1 a1ki 1 a21i ... 1a 2( j-1) i B 2 1a 2( j+1) i ... 1a2 ki

1 Ак 1г ••• 1 Ак (7-1) I Вк 1 Ак (7+1) I ••• 1 + 1 АккI

Тогда ССЛИУ (16) имеет единственное решение в пространстве В 2 (Т) •

Доказательство. Применяем метод сжимающих отображений. При этом последовательные приближения определим следующим образом:

u0(t) = Wj (t), t eQr ,

и ;+1(г) = 3 (г; и ; ), т = 0,1,2,3,_, г еОГ • В силу первого условия теоремы, из (17) видно, что справедлива оценка

u 0

= y 1.

В 2

Для оценки по норме первой разности из (17) с помощью неравенства Коши Буняковского получаем оценку

u 1

B 2

ФИ

j=1

A,

+

t

ja (s) d

B 2

j B

1В 2

В силу постановки задачи и условий теоремы, справедливы оценки

B 2 (T) t

\

z = y 2 <да> 0 < w = comt <да, i=1 e 0 i

ja (s) ds

0

< max f|a(s) |ds = y3 < да,

teQ -

A j

<

B 2

A j

<

Gj

A t

= P 1j <да,

b 2

b 2

j a j (s) ds

<

<Y 2 max j a, (s) ds = y 2 P 2 ; <да.

teQ t ¿' 71 7

Подставляя эти оценки в (19), получим

u 1(t) - u 0(t) <

B 2

Y 2

||ZP 1j P2j +Y1Y3 j=1

u 2

j=1

B 2

B 2

+

+ y 2 y 3

u 1

B 2

С учетом предыдущих оценок по норме для второй разности получим оценку

0

с

1

2

2

0

с

Для разности Аji (ц,и1)-Аи (ц,и0) из (15) с учетом (12) справедлива оценка по

норме

где

А

В 2

<у 2 у 3

и 1

В 2

Аjl (ц) =

1 + ц Ли ц а211

цАю-1)1 в1 цА ц А 2( 1 -1)' В 2 ц А

1( 1+1)' 2( 1 +1)'

|А 1 (ц) II

ц а1к'

ц а2 к'

В 2

ц Ак 11

В} = { Ъ} (5) ds, 1 = 1, к.

цА

к (1 -1)' В к

Вк цА

к (1+1)'

1 + ц А

кк1

Подстановка (22) в (21) и учет (20) при этом дает

и 2

<

РУ 2

В 2

к

<р

и 1

<

В 2

1=1

< да,

где Р = У 2 У 3

1+ Р0У2 |ц|ЁР21 А1

1=1

В 2

Теперь для произвольного натурального числа Т, подобно (23) получаем

и х+1

В 2

<Р

их

В 2

В силу последнего условия теоремы, из оценки (24) следует, что оператор в правой части (16) является сжимающим. Из оценок (18), (20), (23) и (24) заключаем, что для оператора в правой части (16) существует единственная неподвижная точка.

Следовательно, в пространстве В 2(Т ) ССЛИУ (16) имеет единственное решение и (г) е В2(Т).

4. Сходимость ряда Фурье

Подстановка ^ЛИУ

и (г, х) = у

' =1

* А п (ц, и') wi (г) + цУ (г) +

'

+

г

Г Р (г, 5) а (5) щ (5) ds

$ I

Теорема 2. Пусть выполняются условия теоремы 1. Если и (г) е В 2(Т) является

единственным решением ССЛИУ (16), то (25) будет обобщенным решением смешанной задачи (1)-(3).

Доказательство. Рассмотрим последовательность функционалов:

т /

Ум = т иИ

0 0

а г

Ф+3

а

4 т+3

а г3 а у4 т

Ф + 3

а

8 т+3

а г3 а у8 т

ф+

0

3

0

112 т+3

+ 3

+

а

а г3 а у12 т

Ф + 3

а

4 т+2

а г2 а у4 т

ф+6

а

8 т+2

а г2 а у8 т

ф+

12 т+2

, 2 я ..12т

Ф + 3

а

8 т+1

а г а у

8т

Ф + 3

а

12 т +1

а г2 а у

Т

ц Г к

Ф+

а

12т

Ф

а г а у12т а у12т ФI dydг -

а -

а г

Ф + 3

а

4 т+2

а г2 а у4 т

Ф + 3

а

8 т+2

а г2 а у8 т

ф+

512 т+2

+ -

2 а,.12т

а г2 а у

Ф + 3

а

4 т+1

аг а у

4т

Ф + 6

а

8 т+1

аг а у

8т

Ф +

+3

а

12 т +1

8т

12т

а г а у

12т

Ф+3

ау

8т

Ф+3

ау

12т

Ф

dy +

г=0

+

+-

а

0

12 т+1

агау

/

12т

Ф + 3

а ^ . а

—Ф + 3 —

а г

а4

4 т+1

ау

4т

Ф + 6

агау

а8

4т

Ф + 3

а

8 т+1

аг а у

8т

Ф +

12т

ау

8 т

Ф + 3

ау

12т

/ф N

Ф + 3

а

4 т

ау4т а уьт ау

Интегрируя по частям отдельные слагаемые в (26) и учитывая условия теоремы и начальные условия

и, (0) = ф 1', и\ (0) = ф2' , и' (0) = ф3',

получаем:

Ф + 3

а

8 т

.8 т

Ф +

а

12 т

. 12 т

Ф

Ф

d у -

г=0

dy.

г=0

N

= /1 ф 1

0 V '

а

1=1 12т+2

а2

а г

Ф + 3

а

4 т+2

а г2 а у4 т

Ф + 3

а

8 т+2

а г2 а у8 т

ф+

+

а г2 а у12 т

Ф + 3

а

4 т +1

аг а у

4т

ф+6

а

8 т +1

+3

а

12 т +1

8т

аг а у

12т

Ф+3

ау

8т

Ф+3

а

аг а у

12 т

Ф

8т

Ф +

12т

/ Г N

2

0 V '=1

\ 12 т+1

а л . а

—Ф+3

а г

ау

4 т+1

dy -

г=0

5 8 т+1

ага у

4т

Ф + 3

аг а у

8т

Ф+

+-

а1

а г а у

N

12т

Ф + 3

а

4 т

ау

\

4т

Ф + 6

а

8 т

12т

ау

8т

Ф + 3

ау

12т

Ф

d у +

+ П ф 3

0 V '=1

i=1

Т /

Ф + 3

а

4 т

ау

4т

Ф + 3

а

8 т

а у8т а у

Ф +

а

г=0

12 т

12 т

Ф

dy +

г=0

Т

+ И Ф

0 0 1 0

0

0

N

"I

i=1

T

^jK

_ о _

Очевидно, что интегралы в (27) стремятся к нулю при N ^да, так как Ф 7 (x )е L 2 (Q 7), j = 1,3, и U (t, x)e L 2(Q). Отсюда ясно, что lim VN = 0. Это и

j N ^-да

доказывает теорему.

Список литературы:

1. Александров В. М., Коваленко Е. В. Задачи механики сплошных сред со смешанными граничными условиями. - М.: Наука, 1986. - 336 с.

2. Ильин В. А. О разрешимости смешанных задач для гиперболического и параболического уравнений // УМН. - 1960. - Т. 15. - № 2. - С. 97-154.

3. Чернятин В. А. Обоснование метода Фурье в смешанной задаче для уравнений в частных производных. - М.: МГУ, 1992. - 111 с.

4. Вагабов А. И. Обобщенный метод Фурье решения смешанных задач для нелинейных уравнений // Дифференц. уравнения. - 1996. - Т. 32. - № 1. - С. 90-100.

5. Юлдашев Т. К. Смешанная задача для нелинейного дифференциального уравнения четвертого порядка с малым параметром при параболическом операторе // Ж. вычисл. мат. и матем. физ. - 2011. - Т. 51. - № 9. - С. 1703-1711.

6. Аширбаева А. Ж. Применение метода дополнительного аргумента к нелинейным интегро-дифференциальным уравнениям гиперболического типа высшего порядка // Исследов. по интегро-дифференц. уравнениям. - Бишкек: Илим, 2004. - Вып. 33. - С. 8387.

7. Булатов М. В., Чистякова Е. В. Об одном семействе вырожденных интегро-дифференциальных уравнений // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. - 2011. - Т. 51. -№ 9. - С. 1665-1673.

8. Зарипов С. К. Построение аналога теоремы Фредгольма для одного класса модельных интегро-дифференциальных уравнений первого порядка с сингулярной точкой в ядре // Вестник ТомГУ. Математика и механика. -2017. - №46. - С. 24-36.

9. Зарипов С. К. Построение аналога теоремы Фредгольма для одного класса модельных интегро-дифференциальных уравнений первого порядка с логарифмической особенностью в ядре // Вестник СамГТУ. Сер. Физ.-мат. науки. - 2017. - Т. 21. - №2. -С.236-248.

10. Иманалиев М. И., Алексеенко С. Н. К теории систем нелинейных интегро-дифференциальных уравнений в частных производных типа Уизема // Доклады РАН. -1992. - Том 325. - № 6. - С. 1111-1115.

11. Юлдашев Т. К. Смешанная задача для нелинейного интегро-дифференциального уравнения с параболическим оператором высокой степени // Ж. вычисл. мат. и матем. физ. - 2012. - Т. 52. - №1. - С. 112-123.

12. Юлдашев Т. К. Смешанная задача для псевдопараболического интегро-дифференциального уравнения с вырождением ядра // Дифференц. уравнения. - 2017. - Т. 53. - №1. - С. 101-110.

♦