Применение методов Рунге-Кутты-Нюстрёма для решения уравнения Хилла

Применение методов Рунге-Кутты-Нюстрёма для решения уравнения хилла

Ключевые слова: волновод, слоистая среда, численные методы, уравнение Хилла, метод Рунге-Кутты-Нюстрема.

В задачах электродинамики, связанных с движением электромагнитной волны в периодической среде (волновод), возникает обыкновенное однородной дифференциальное уравнение с периодическими коэффициентами, называемой уравнением Хилла. Для его решения используюттаорему Флоке, позволяющую найти решение в виде бесконечных рядов. Однако на практике чаще применяются численные методы, а именно метод связанных волн и модифицированный метод связанных волн. Описываются другие численные методы (Рунге-Кутты-Нюстрёма), специально приспособленные для решения ОДУ 2-ого порядка. Эти методы обладают рядом преимуществ. Во-первых, хотя методы Рунге-Кутты-Нюстрёма являются частным случаем разд ельных метод ов Рунге-Кутты, но в отличие от послед них облад ают меньшей стадийностью, что положительно сказывается на производительности метода. Во вторых, существуют симп-лектические методы Рунге-Кутты-Нюстрёма. Симплектичность метода означает, что метод сохраняет некоторую геометрическую структуру, называемую симплектической формой. На практике сохранение этой структуры обеспечивает сохранение полной энергии системы и других инвариантов. Такие методы находят применение при моделировании процессов продолжительных по времени. Некоторые классические методы могут давать большую локальную точность, но искажать качественную картину процесса.

Геворкян М.Н.,

аспирант кафедры систем телекоммуникаций РУДН mngevorkyan@sci.pfu.edu.ru

1. Введение

Впервые возникнув и небесной механике, уравнение Хилла привлекло внимание физиков и математиков. Кще в начале XX в, были разработаны аналитические методы, позволяющие находить его решение в виде рядов. На сегодняшний день существует множество методов решения этого уравнения (см, [1]). Однако все эти методы разрабатывались специально для уравнении Хилла. В данной работе предлагается использовать универсальный метод Рунге-Кутты-Нюстрёма,

Статья состоит из двух логических частей. В первой части дается вывод уравнения Хилла из волнового уравнения для плоской монохроматической линейно поляризованной электромагнитной волны, распространяющейся в одномерной периодической среде. Во второй части дается определение метода Рунге-Кутты-Нюстрема и сопутствующих ему понятий.

2. Комплексные обозначения для уравнений

Максвелла

При исследовании электромагнитных колебаний и волн большое значение имеют электромагнитные поля, изменяющиеся во времени по синусоидальному закону, т е. колеблющиеся е вполне определенной частотой, Такие поля называются монохроматическими или гармоническими. 1 [ри математическом исследовании монохроматических процессов, подчиняющихся линейным ОДУ, целесообразно ввести комплексные обозначения [2]

Вектору напряженности электрического поля Е(г,г) с компонентами Е ,Е ,Ег и вектору напряженности магнитного поля Н(г,/) с компонентами Н,,Н ,Нг в данной точке ставится к соответствие комплексные векторные амплитуды которые будем обозначать как вектор Е(| с компонентами Е1Л,Еаг,Еа. и Н(| с компонентами Им,Н0:/,И,-]., где г —радиус вектор.

Е(г>0 = Мео(0 ехр(“ ifOf)}

Н(лО = Re{H0(>) exp(-iVuf)}

Уравнения Максвелла при этом преобразуются к виду f rot E0 -г£(|В„ =0 I rot Н+йЛХ

О

Г I ев

rot Е +

с dl „ 16D 4*,

rot Е +---------= — т

с dl с

4лт.

: Jo

С

где ^ ^

с

Обычно, при математических преобразованиях, используют только комплексный вид, возвращаясь к действительному только при финальный вычислениях. Формально мы совершили замены векторных величин на векторные комплексные амплитуды и оператора дифференцирования на умножение на множитель - ico.

Воспользовавшись материальными уравнениями получим окончательные выражения для уравнений; rot Е„ =wt0jU(,H„ rot II,, = ~iklte£..

Мы получили комплексное уравнение для монохроматических электромагнитных полей, в которые входит комплексная диэлектрическая проницаемость е . Заметим, что на практике в волноводах применяются парамагнитные и диамагнитные вещества, для которых можно положить fj = 1

3. Вывод уравнения Хилла

из волнового уравнения

Будем рассматривать падение плоской монохроматической линейно-поляризованной волны в плоскости хОу. ТЕ-мода:Яs=.(0,Ех,0), Н = (Н, 0 //__), ТМ-мода:

Е = {ЕХ 0 Ег)> Н = (о Нг О). Будем рассматривать неоднородную среду, в которой коэффициент диэлектрической проницаемости является периодической функцией, а коэффициент равен единицы.

Известно [3], что из уравнений Максвелла можно получить волновое уравнение с дополнительным членом:

V-E-^' - у+(7(7Ш,Е) + с~ дг

+ V In fj х rot Е) = О

В нашем случае j_i = const, следовательно второе слагаемое дополнительного члена равно нулю. В нашем случае е зависит только от координаты z, поэтому Ve

Ф)

ufo о £,

ік%ф)Еь, = О

Кроме того, в случае ТЕ моды весь дополнительный член обращается в ноль:

№,Е| = 0£,+0£ +£ =0

' Ф)

и волновое уравнение принимает вид:

у>е-^!!?=о

с~ 81

Перейдя к комплексному виду для ТЕ моды получим уравнение:

д2 Н(х,7.) дгЕ( х,г) дх2

решение которого будем искать в виде £„,(*.= у{*)м(г)  В таком случае уравнение распадется

на два ОДУ:

(1 ' ^ * -сфг) = 0 а "(пг) - (с + к1ф))и(г) = 0 ал" аг"

где с - константа интегрирования. Первое из этих ОДУ линейное с постоянными коэффициентами, а второе как является уравнением Хилла.

4. Уравнение Хилла

Определение. Линейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка вида и"(г) + £'<г}и(г) = 0,

где £

называется уравнением Хилла [4,5]. Через сі обозначен период изменения диэлектрической проницаемости среды.

Первоначально данное уравнение было получено Хиллом в работах по небесной механике, но также нашло применение в области электродинамики. Основная теорема, на которую опирается аналитическое решение уравнения Хилла, это теорема Флоке-Ляпунова. Подробное изложение теории Флоке можно найти в 14,5]. Существует несколько подходов к решению, однако во всех случаях решение ищется в виде ряда Фурье н для определения коэффициентов этого ряда на определенном этапе решения Приходится вычислять или бесконечный определитель (называемый определителем Хилла) или бесконечную цепную дробь.

5. Методы Рунге-Кутгы-Нюстрема

Кроме способов получения аналитического решения д.!я уравнения Хилла разработано большое количество численных методов, наиболее известным из которых является метод связанных воли [1]. Все эти методы разработаны специально для данного уравнения и редко используются где-то еще. В этом можно увидеть, как достоинство, так и недостаток. Метод решения, разработанный специально для конкретной задачи, учитывает ее специфику, а значит, является более эффективным (выше точность и скорость вычисления), С другой стороны такие методы требуют написания дополнительных про-

грамм и их отладки. Исходя из этого, в некоторых случаях разумно использовать более универсальные методы, для которых уже разработаны эффективные и проверенные алгоритмы.

Одним из таких универсальных методов является метод Рунге-Кутты-Нюетрсма. Он является частным случаем раздельного метода Рунге-Купы [6-10].

Определение. Рассмотрим уравнение вида К"(2)-/(и(2» = 0 где и(~) и Діі(г)) достаточно гладкие функции. Пусть заданы начальные условия и(г0) = ч„ и н'(г(|) = и-(1, где через № мы обозначили первую производную от функции и в точке 70. Через /? обозначим шаг сетки. Численная схема, записанная как

U, = к„ + hcwB +£А2а/ Щ)

/=1

= н0+К+ I>V/

j= I

иї + f

называется численным методом Рунге-Кутты-НШстрёма.

Данный метод является s-стадийным одношаговым методом. Стадийность равная s означает, что на каждом шаге для вычисления непосредственно сеточной функции и необходимо вычислить S промежуточных величин

Ur Численная схема записана для первого шага во избежание введения новых индексов. Обычно z несет физический смысл времени, но для нашего случая эта переменная имеет смысл координаты. Для упрощения восприятия все коэффициенты метода сводят в единую таблицу, называемую таблицей Батчера (Batcher) (см. рис. 1.).

Для практического применения, прежде всего, важны явные численные схемы. Явность схемы Рунге-Кутты-Пюстрема означает, что на главной диагонали матрицы qf, а также выше главной диагонали, все элементы равны нулю.

-і -2 —Я — 3 — 1

Cl а| а{ й1   а\

сг “г 4 !   «Г1 С;

Сз “І аз йз  . йг‘

с, “І « • • ЙГ* К

г.1 Ь2 ь3 . y,-i Ь‘

ь1 ь2 & . . Ь-' V

1’не. 1. Таблица Батчера для метода Рукге-Кутты-1 [юстрёма

Приведем в качестве примера коэффициенты для метода 2-го:

0 0 0

і 1/2 0

1/2 0

1/2 1/2

Заметим, что задача нахождения коэффициентов метода Рунге-Кутгы-Нюстрёма сходна с аналогичной задачей для методов Рунге-Купы но сложности. Уравнения порядка (уравнения, из которых находятся коэффициенты) это нелинейные алгебраические уравнения. Для их получения разработаны наглядные графические методы, основанные на помеченных деревьях 1101- Для их решения используют численные методы.

Таблицы коэффициентов для методов высоких порядков можно найти в статьях [6,7]. Программы на языке Фортран, реализующие методы 4, 5 и 7-го порядков можно найти по адресу 1іИр://'с0«1е.ь5Оод;1е.сот/р/ зутрІесЙс-питеЙіоск/їоигсе/Ьтстзе,

6, Заключение

В заключение отметим преимущества в производительности методов Рунге-Кутты-Нюстрйма перед раздельными методами Рунге-Кутты. В раздельных методах Рунге-Кутгы на каждом шаге вычисляется 2?, промежуточных величин, а в методе Рунге-Кутты-Нюстрёма того же порядка 5 величин. Кроме того, метод Рунге-Кутты-Нюстрёма можно применять к линейному ОДУ 2-го порядка не переписывая его в виде системы ОДУ первого порядка.

Литературка

1. Карпов С.Ю.. Столяров С.Н. Распространение и преобразование волн в средах с одномерной периодичностью. УФН 163 (1)63-89(1993).

2. Вайнштейн Л.А. Электромагнитные волны. - М.: Радио и связь, 1988. - С. 440.

3. Боры М.. Вольф Э. Основы оптики. - М.: Наука, I970. -856 с.

4. Уиттекер Э, Т., ВатсонДж. Н. Курс современного анализа. -4-е издание, - М.: УРСС,2006. - ISBN 5-354-01150-7, 856 с.

5. Бриялюэн Л.. Породи М. Распространение волн в периодических структурах. - М.: Иностранная литература, 1959. -457 с.

6. Okwibor D. /., Lit Е J. Eighth-order Explicit Symplectic Runge-Kiitta-Nystrom Integrators, 1994.

7. Okunbor D.. Skeel R. Canonical Rimge-Kutta-Nystrom Methods of Orders 5 and 6 / J. Comput, Appl. Math. 1994. - Vol. 51, No 3,-Pp. 375-382.

8. Hairer £.. Lubich C. Warmer G. Geometric numerical integration: structure-preserving algorithms for ordinary differential equations. Springer series in computational mathematics. - Springer, 2006.

9. Hairer E„ 2010. Symplectic integrators. -www.unige.ch/~hairer/polyjjeoint/week2.pdf. - TU Munchen.

10. Hairer E., Nersett S. P.. G.Wanner. Solving Ordinary Differential Equations 1.-2 edition. - Berlin: Springer, 2008 -ISBN 978-3-540-56670-0, 528 p.

Application of the runge-kutta-nystrem for hill equation solution Gevorkyan Migran Nelsonovich, postgraduate, telecommunication systems department, PFUR. mngevorkyan@sci.pfu.edu.ru Abstract

In the electrodynamical problem of the movement of an electromagnetic wave in a periodic medium (waveguide), a homogeneous ordinary differential equation w'th periodic coefficients is used. This equation is often called the Hill equation. Floquet theory is used to find the solution in the form of infinite series. However, in practice, numerical methods are more useful, namely the method of coupled waves and the modified method of coupled waves. This paper describes other numerical methods (Runge-Kutta-Nystrem), specially adapted to solve ODEs of second order. These methods have a number of advantages. First, while the Runge-Kutta-Nystrem are a special case of separation of the Runge-Kutta methods, but is faster, which positively affects the performance of the method. Second, there are symplectic Runge-Kutta-Nystr?m methods. "Symplectic methods" means that the method retains some geometric structure called the symplectic form. In practice, the preservation of this structure ensures that the total energy and other invariants are also preserved. Such techniques are used for the modeling of long time processes. Some classical methods can produce a large local accuracy, but distort the qualitative picture of the process.

Keywords: waveguide, layered medium, numerical methods, symplectic, Hill's equation, Runge-Kutta-Nystrem Method.