Об одном подходе к расчету балочных пролетных строений как слоистых стержней диаграммными методами

УДК 624.21

Г. М. Власов, Ю. В. Немировский, Л. Ю. Соловьев

ОБ ОДНОМ ПОДХОДЕ К РАСЧЕТУ БАЛОЧНЫХ ПРОЛЕТНЫХ СТРОЕНИЙ КАК СЛОИСТЫХ СТЕРЖНЕЙ ДИАГРАММНЫМИ МЕТОДАМИ

Рассматривается подход к построению определяющих соотношений для расчета балочных пролетных строений мостов как слоистых стержней на основе диаграмм деформирования материалов.

Балочные конструкции пролетных строений мостов в области малых и средних пролетов являются наиболее массовым типом мостовых сооружений, выполняемым, как правило, из обычного или предварительно напряженного железобетона и сталежелезобетона. В практике проектирования для балок из разных материалов принята своя система определяющих соотношений, что вынуждает выполнять расчеты однотипных по статической работе конструкций по различным методикам. Например, железобетонные балки рассчитывают как композитные при сохранении единого поперечного сечения, а сталежелезобетонные - как составные стержни.

Предлагаемый метод расчета балок как слоистых стержней позволяет устранить указанные противоречия и построить относительно простые унифицированные определяющие зависимости для расчета конструкций из различных материалов, особенности деформирования которых учитываются диаграммами деформирования.

Диаграммные методы нашли широкое применение как в зарубежных (например, в работе [1]), так и в отечественных нормах проектирования конструкций общегражданского назначения. Естественно, исследования в этом направлении не закончены. Из последних работ, посвященных расчету изгибаемых железобетонных балок на основе диаграмм деформирования, можно отметить работы [2 - 4]. К сожалению, для мостовых конструкций этот вопрос остается открытым, несмотря на то, что рядом специалистов [5, 6] была показана эффективность оценки технического состояния и несущей способности эксплуатируемых конструкций на основе расчетов железобетонных сечений диаграммными методами.

Предлагаемый метод расчета слоистых конструкций основан на принципе разбиения расчетной модели балки на слои по высоте и участки по длине, в пределах которых механические свойства определяются на основании диаграмм деформирования материалов, а геометрические характеристики балки остаются неизменными по крайней мере в пределах одного этапа расчета.

Определяющие выражения представляются в виде системы уравнений, связывающих между собой внешнюю нагрузку, жесткость и деформацию каждого слоя на некотором заданном участке балки. Разрешая систему уравнений относительно каждой составляющей, можно получать деформации и прогибы балки при известных жесткостных параметрах и заданной нагрузке, жесткостные параметры слоев на отдельных участках при известных деформациях или функции прогиба балки, а также, при известных законах деформирования материалов соответствующих слоев, можно найти параметры предельной нагрузки для конструкции в целом.

В качестве примера, иллюстрирующего принципы построения определяющих зависимостей, рассмотрим сталежелезобетонное балочное железнодорожное пролетное строение, загруженное равномерно распределенной нагрузкой [7] (рисунок 1). Схема разбивки такой балки на участки по длине показана на рисунке 2, а поперечного сечения на слои - на рисунке 3.

Рисунок 1 - Схема конструкции типового пролетного строения: а - поперечный разрез; б - продольный разрез с омоноличиваемыми стыками; 1 - стальная балка; 2 - железобетонная плита; 3 - поперечный шов, омоноличиваемый на монтаже; 4 - закладная деталь объединения плиты и балки

Рисунок 2 - Разбивка расчетной схемы балки на участки по длине: А, Ьл - расстояние от начала балки до начала и конца /-го участка; х - положение рассматриваемого поперечного сечения

Особенностью предлагаемых соотношений является то, что количество слоев на одном участке расчетной схемы может отличаться от количества слоев на другом, т. е. п в общем случае может не равняться п1+1. Это позволяет изменять подробность разбивки в необходимых зонах балки.

Внутренние усилия в поперечном сечении составной балки для /-го участка запишем в виде:

т • ^-1 щ

N =Е + Е .М^;

/=1 к=1

т1 21, j -1 п1 г/ ,к

м/ = Е НЧ^+Е ,

j=1 г+ к=1 г -

г г ь-л

где я, т/ - количество слоев в поперечном сечении /-го участка выше и ниже принятого начала координат; а^ , а^ - нормальное напряжение ву'-м и к-ш слоях сечения /- го участка; Ц

и Ьтк - ширина соответствующих слоев.

Напряжение в материале каждого слоя следует определять на основании диаграмм деформирования, которые будем конструировать из условий соблюдения единой формы диаграммы для различных материалов, удобства интегрирования соотношений (1) и относительной простоты нахождения корней получающихся уравнений. В рамках поставленной задачи указанным условиям удовлетворяет форма диаграммы деформирования в виде кубического полинома:

^ = Е + Ег + Е3 ^,

где Е1, Е2, Е3 - коэффициенты полинома, определяемые из условия наилучшего соответствия эксперименту; г- - продольные деформации'-го слоя в рассматриваемом сечении /-го участка.

г?

ЛЧ'Л'Х'' 'Л1, А1. *ЛЧ \Ч'  \\\ 'ОЛ^- \ Ч\' \\\ .

«Г

Щ

Ччу

ЧЧЧ-ЛЛ.Ч^ л Л^ЛА.ч V. > ЧЧ' ^ ^ \\\ V V

лч- ч^ч-у^^у ччч-  - •••-лч-чху

г

Рисунок 3 - Поперечное сечение расчетной схемы составной балки:

+ -

7 , 7 - расстояние от начала координат соответственно до верха и низа рассматриваемого слоя

В качестве примера допустимости применения полинома третьей степени рассмотрим аппроксимацию диаграммы «растяжение - сжатие» тяжелого бетона кубическим полиномом, коэффициенты которого подобраны из условий прохождения диаграммы через точку {ад, вд}, соответствующую пределу прочности на одноосное сжатие, точку {ао, Во}, соответствующую пределу упругого сопротивления материала, и наличия горизонтальной касательной к диаграмме в вершине диаграммы (в точке {ад, вд}). Экспериментальные данные принимались следующими [8]: ад = 42,6 МПа, гя = 0,002; ао = 21,3 МПа, Во = 0,00055. Коэффициенты полинома, полученные согласно этим данным, таковы Еу = 39000 (что удовлетворительно соответствует модулю упругости рассматриваемого бетона), Еу = 7047574, Е3у = -900606430. Расчетные параметры контрольных точек при этом: ад = 42,6 МПа при гд = 0,002; а0 = 19,14 МПа при в0 = 0,00055. Общий вид полученной диаграммы представлен на рисунке 4.

Безусловно, увеличение степени полинома (например, в работах [9, 10] принят полином 5-й степени) приведет к несколько более точной аппроксимации диаграммы деформирования бетона и, в том числе, - к учету ниспадающей ветви диаграммы [5]. Однако целью настоя-

щей работы не является изучение вопроса точности диаграммы деформирования, тем более что предлагаемые соотношения легко перестраиваются под полином любой степени, хотя такая перестройки ведет к их значительному усложнению и невозможности решить задачу аналитически.

42 МПа 32 27 22 17 12

ч- о ч- с^ со

о о о о о

о о о о о

о о о о о

о" <э <э <э <э

Ю СО Г^ 00 СТ>

о о о о о о

о о о о о о

о о о о о о

<э <э <э <э <э о"

о о о о о о о о о о <э <э <э <э <э

Относительные деформации

Рисунок 4 - Диаграмма деформирования бетона

Предполагаем, что распределение деформаций по высоте сечения подчиняется закону плоских сечений, т. е.

£у - £01 + гг Хг ;

ЕШ -

Сиог СХ

Хг=-

С2 ж

СХ 2

где иог, - продольные и вертикальные перемещения в рассматриваемом сечении 1-го участка.

Здесь следует особо отметить, что величины 801 и и0 определяются на уровне некоторой произвольной оси, выбранной за начало координат. В общем случае эта ось может не совпадать с нейтральной осью балки.

Далее, подставляя уравнения из системы (3) в уравнения (2) и (1), получим выражения для внутренних усилий для 1-го участка в виде:

N = в А + в2/4 + вз/4 + в4/Хг + в„ео, Хг + х, + в7/жг2 + вы£о, х- + В9/х];

I Мг = Аг^ог + Аг4 + Дг4 + ^4/+ Аг^ог Хг + Аг4 Хг + Аг Х- + Аг^ог X? + Аг X)

7

2

где

mi z 2IX j=j i, j-1 И,- zi ,k j + 2^ jMz; B2i = mi zi ,j-1 п. zi ,k :2EE2j Jbjdz + 2EE2k jMz; j=1 z+ k=1 z- J zi,j zi,k-1

mi 2Y.E3 j j=J i ,j-1 Щ zi,k J b;dz + 2^ jbikdz; B4i <j k~1 zlk-1 mt zi, j-1 п. zi ,k = 2EE1j ibjzdz + 2£E1k jKzdz; j=1 z + k=1 z- zi ,j zi,k-1

mi 4IE 2j j = 1 zi, j-1 И,- zi ,k Jbjzdz + 4£ E2k jKzfc; B6 zi'; j k_1 za-1 mt zi, j-1 nt zi ,k u = 6^E3j Jbjjzdz + 6£E3k Jb~kzdz j=1 z+ k=1 z - zi ,j zi,k-1

mi 2IE 2j j = 1 zi, j-1 И,- zi ,k Jbtz2dz + 2£E2k jb^z2dz; </ k_1 za-1 mt zi ,j-1 nt zi,k b8. = 6^; E3j J b;z2 dz + 2 ^ | b;k j=1 z + k=1 z- zi, j zi ,k-1

mi 2IE3, j=1 zi, j-1 И,- zi,k Jbjz3dz + 2^ jbkz3dz; <j k_1 za-1

B4; D - 1 B  D - 1 B  2i 2 i' 3i 3

mt 2IEV j=1 zi ,j-1 И,- zi,k Jbtz2dz + 2^ jb^z2dz; <j k_1 za-1 D5i = 2 B7i; D6i = B8i;

mi 2IE2j j =1 zi, j-1 И,- zi, k J bjz3 dz + 2 ^ k j biz3 dz; </ k_1 za-1

mi j=1 zi, j-1 nt zi, k Jbjz3dz + 6^ jb^z3dz; <j k_1 za-1

mi 2IE3, j=1 zi ,j-1 п. zi,k Jbjz4dz + 2 jE3k jb"z4dz. <j k=1 za-1

3

5

7

9

4

7

8

Как правило, в мостовых балочных конструкциях внешние касательные нагрузки отсутствуют, поэтому примем для удобства изложения N = No = const или N - N0 = 0.

Отсюда из выражения для расчета N из системы (4) получим кубическое относительно 80/- уравнение вида:

a е0i + b в2г. + с в ог. + d = 0,

где a = B3i; b = B2i + B6iX.; с = Bu + B5i X. + B,x2; d = BAi X. + ^X2 + Д,X3 - N0. Уравнение (5) приводится к каноническому виду:

y3 + 3ry + 2q = 0,

b _ 3ae - b2 _ 2b2 be d

где y = 8 0. + — ;3r =-2—;2q = + ~

3a a 27a 3a a

При решении уравнения (6) следует принимать в расчет только действительный корень,

который может быть определен по формуле Кар дано как 80i = y1 ,

3a

где y1 = v1 + v2, v1 = ^- q + 4D, v2 = , D = q2 + r2.

Решением уравнения (6) определяется зависимость 80/ от Подставляя полученную величину £0/ в выражение для расчета М, из системы (4), получим нелинейную зависимость М/= /(%).

Подставляя затем зависимость М, = /(%,) в уравнение

а2м -аг1 к)-_дх\

ахг ~ схг ~ дА'

где д, (х) - внешняя распределенная нагрузка на ,-м участке), получим нелинейное дифференциальное уравнение вида:

8/ (х,Ц5 У <Х,) = _д (х).

1х Эх

^ 1X J

2

Решить уравнение (8) можно только приближенно пошаговым методом. Для этого перепишем уравнение (8) следующим образом:

С л4 Л а щ

_I

^ а х J

1

(д- (х ))я -

Г л3 Л V ^2

а щ

^ а х J

ъ 2Цх)

У п-1

(х)). (Г). '

/п-1

где индекс п относится к величинам текущего (я-го) шага нагружения, а индексы п - 1 - к величинам, определенным на предыдущем шаге.

Величина д] (х) по сути является величиной трансформированной нагрузки

(д'(х)).=( д- (х)). -

и3 ж у ^2

\ а х 1

V У п-1

82/

8Х:

У п-1

В целом решать уравнение (8) будем в следующем порядке.

(х,Л ,, Га2/ (х,У

1. На первом шаге (п = 1) в производных

дХ

и

Уо V

^х2

можно отбросить сла-

/0

гаемые, содержащие х к^к величину высокого порядка малости (здесь следует учесть зависимость во, от X/, как было указано выше). При этом первая производная станет постоянной

величинои:

= (Г )0, а вторая будет равна нулю:

5х2

/ о

= 0. Отсюда получаем

/ о

известное выражение для изгибаемой балки при упругом нагружении:

а 4 Щ = _ д,

1х 4

2. Величина нагрузки на первом шаге будет определена как

(д'(х ))0 =( дг (х ))0+Ад, = Ад,,

где Ад, - приращение нагрузки.

3. Интегрируя уравнение (9), получим уравнения для каждого участка:

Qi =

f dM.. ^ Г d3 w Л

M.. =

V dx У о dw

V dx У о

ta )о

J

V 'i-1

dx 2

V У о

dw

V dx У о

T^J JtóWX dx dx +(Cii )о (x - h-1 )+(C 2i L

v^J о /i _1 J

/

x x

J Jfe(x))о dx

1

h-1

V u

1 x

i¿

X

J

\ \ia'Xx))о dx

i-1\ii-1

+ (C3i )о (x - h-1 )+(C4¿ )о;

Л "

dx У _ dx

dx +

•dx +(C, )о ^^ +(C 2i )о ^^ +

где x - положение текущего сечения в пределах рассматриваемого участка (lt_1 < x < lt);

См, Сц, C3l, C4i - постоянные интегрирования.

Для определения постоянных интегрирования запишем условия неразрывности на границах каждого участка в виде:

_1 fe) - Wife) = о; dwi_1 fe) _ dwi fe) = о.

dx dx

dMi _1

dx dx

Mi-1 fe )- Mt fe ) = о,

= о;

где 1г - граница рассматриваемого участка (см. рисунок 2).

Подставляя уравнения системы (13) в (14) и учитывая граничные условия для первого и последнего участков (при х = 0 и х = Ь) при шарнирном опирании балки в виде М (х) = 0, м? (х) = 0, получим систему уравнений в матричной форме, пример которой для случая разбивки балки на четыре участка приведен в выражении (15), где индексы шагов и нулевые элементы опущены.

1

1 li ¡i

Остальные обозначения следующие. P1i J q-(x) dx; P2i = j j

( Fi) ¡i-1 (Fi) ¡i-1 ¡i -1

J J q'i (x) dx dx;

1 li li li li

í í í í q'í{ x) dxdxdxdx; lu_1 = lt - li_1.

1 1г 1г 1г

Р3г 1 1 1 Х) ЛхЛхЛх'; Р4г = / „ ч j j j

V^г) к-1 к-1 к-\ о Ц-1 к-1 к-11г-1

Разрешая эту систему (например, методом Гаусса), получим постоянные интегрирования

Си, Съ, С3г, См, а следовательно, величины прогибов (м?г)\, углов поворота (хг)ь деформации

(8ог)1 и т. д. для каждого участка балки на рассматриваемом шаге нагружения.

/

И

4. По вновь полученным значениям

8г h

= (F, )1

v ^Х2 .1

которые в пределах следующего шага наружения будем считать постоянными.

5. Определив (дг(х))2 как (дг(х))1 + Ддг, из выражения (12) найдем (д' (х))2 и далее из решения систем (13) и (14) снова определим М)2, (%г)2 и (вог)2.

Решение продолжается до тех пор, пока не будет достигнута заданная величина нагрузки дг(х) или в слоях по высоте балки не будут зафиксированы предельные деформации для материала какого-либо слоя.

'Pu' " 1 0 0 0 - 1 Сц'

P21 ¡10 1 0 0 0 -1 С 21

P31 (/10 )2 / 2 ¡10 1 0 0 0 -1 С 31

P41 {¡10 )3/6 1 ¡10 1 0 0 0 -1 С 41

P12 1 0 0 0 - 1 С 12

P 1 22 ¡21 1 0 0 0 - 1 С 22

P 1 32 (¡21 )2 / 2 ¡21 1 0 0 0 -1 С 32

P 42 (¡21 )3/6 (¡21 )2 / 2 ¡21 1 0 00 - 1 С 42

P13 1 00 0 - 1 С 13

P 23 ¡32 10 0 0 - 1 С 23

P 1 33 (¡32 )2 /2 ¡32 1 0 0 0 -1 С 33

P43 (¡32 )3 /6 (¡32 ) / 2 ¡32 1 0 0 0 -1 С 43

P14 1 0 0 0 С 14

P 1 24 ¡43 1 0 -1 С 24

P34 (¡43 )2 / 2 ¡43 1 0 С 34

P 1 44 (¡43 )3/6 (¡43 )2 / 2 ¡43 1 С 44 J

Для сталежелезобетонных балок такой расчет прямо дает предельное состояние, если заданные предельные деформации достигаются в одном из поясов стальных балок или посередине высоты железобетонной плиты (если толщина ее удовлетворяет понятию «тонкой плиты» [7]).

Для железобетонных балок этот подход требует своего развития в части методики фиксации предельного состояния и определения несущей способности всего сечения.

Рассмотрение балок как слоистых стержней в принципе позволяет учитывать различные конструктивные особенности балок. В частности, армирование железобетонных балок может быть задано жесткостными свойствами соответствующих слоев балки, например, может быть выделен монослой, целиком занятый арматурой, или жесткостные свойства армированного слоя могут быть определены по закону смесей [11]:

E = Eb

где Eb, Es - модули упругости бетона и арматуры соответственно; а - коэффициент армирования, равный отношению площади арматуры к площади слоя.

При этом для модулей упругости бетона и арматуры могут быть заданы свои диаграммы деформирования (в этом случае такие модули правильнее называть мгновенными модулями упругости).

Образование трещин в бетоне может быть зафиксировано при достижении деформациями в слое предельных деформаций бетона на растяжение. Такой слой просто выключается из работы за счет зануления его жесткостных характеристик.

Список литературы

1. Eurocode 2: Design of concrete structures - Part 1: General rules for buildings // Brussels. -1992. P. 253.

2. Карпенко, С. H. Построение общей методики расчета железобетонных стержневых конструкций в форме конечных приращений / С. Н. Карпенко // Бетон и железобетон. - 2005. -№ 1. - С. 13 - 18.

3. Карпенко, С. Н. Модели деформирования железобетона в приращениях и методы расчета конструкций: Автореф. дис... д-ра техн. наук. - М., 2010. - 375 с.

4. Байрамуков, С. X. Расчет железобетонных конструкций с предварительно напряженной и ненапрягаемой арматурой с использованием диаграммы «момент - кривизна» / С. X. Байрамуков // Бетон и железобетон. - 2003. - № 2. - С. 13 - 15.

5. Чайка, В. П. Эффективность диаграммных методов расчета при оценке состояния эксплуатируе-мых железобетонных конструкций / В. П. Чайка // Транспортное строительство. - 2000. - № 1. -С. 14, 15.

6. Егорушкин, Ю. М. Оценка предельных состояний сечений железобетонных элементов мостов с использованием диаграмм деформирования материалов / Ю. М. Егорушкин // Бетон и железобетон - пути развития: Науч. тр. 2-й всерос. (междунар.) конф. по бетону и железобетону. - М., 2005. - Т. 5. - С. 31 - 37.

7. Стрелецкий, Н. Н. Сталежелезобетонные пролетные строения мостов/ Н. Н. Стрелецкий. - М.: Транспорт, 1981. - 360 с.

8. Некоторые предложения по описанию диаграммы деформаций бетона при загружении /

B. В. Михайлов, М. П. Емельянов и др. // Известия вузов. Строительство и архитектура. -1984. - № 2. - С. 23 - 27.

9. Бамбура, А. Н. К оценке прочности железобетонных конструкций на основе деформационного подхода и реальных диаграмм деформирования бетона и арматуры / А. Н. Бамбура // Бетон на рубеже третьего тысячелетия: Материалы 1-й всерос. конф. по проблемам бетона и железобетона. - М.: Железобетон, 2001. - Т. 2. - С. 750 - 757.

10. Бамбура, А. Н. Деформационный метод расчета железобетонных конструкций с учетом фактора времени/ А. Н. Бамбура, А. Б. Гурковский // Бетон и железобетон - пути развития: Науч. тр. 2-й всерос. (междунар.) конф. по бетону и железобетону. - М., 2005. - Т. 2. -

C. 319 - 327.

11. Карпенко, Н. И. Нелинейное деформирование бетона и железобетона / Н. И. Карпенко, В. М. Круглов, Л. Ю. Соловьев / Сибирский гос. ун-т путей сообщения- Новосибирск, 2001. - 276 с.

УДК 625.12:624.131.55

К. В. Востриков, Ю. П. Смолин

ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЧНОСТИ ОТКОСОВ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНЫХ НАСЫПЕЙ, ЗАКРЕПЛЕННЫХ НАПОРНОЙ ИНЪЕКЦИЕЙ, ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ ПОЕЗДНОЙ НАГРУЗКИ

Исследованы параметры динамического воздействия поездной нагрузки на железнодорожную насыпь, закрепленную напорной инъекцией. Описаны методика проведения полевых экспериментов, примененное для исследований оборудование, средства и процесс обработки записанных данных. Установлен закон распространения ускорений колебаний по откосу насыпи при прохождении поездов. Дано описание установки для получения параметров прочности грунтов при динамическом испытании их в'условиях трехосного сжатия.

В соответствии со стратегией развития сети железных дорог и железнодорожного транспорта запланировано повышение длины, осевых нагрузок и скорости движения поездов. Все это приведет к повышению динамического воздействия подвижного состава на грунты зем-ляного полотна, что в свою очередь окажет влияние на его прочность, стабильность и устойчивость.

Ранее установлено, что основное влияние при движении поездов оказывается на устойчивость откосных частей насыпей, в связи с чем потребуется производить прогноз возможных потерь их устойчивости. Для этой цели необходимо разработать теоретическую модель