Прочность и деформации древесно-цементного композита

ХИМИЧЕСКИЕ ТЕХНОЛОГИИ

ПРОЧНОСТЬ И ДЕФОРМАЦИИ ДРЕВЕСНО-ЦЕМЕНТНОГО КОМПОЗИТА

A. С. ЩЕРБАКОВ, проф., зав. каф. безопасности жизнедеятельностиМГУЛ, д-р техн. наук,

B. И. ЗАПРУДНОВ, проф., зав. каф. геодезии и строительного дела МГУЛ, д-р техн. наук

Свойства древесно-цементного материала, сочетающие такие качества, как высокая прочность, низкая деформированность, малая средняя плотность, трещиностойкость и другие, определяются его структурой.

Прогнозирование физико-механических свойств древесно-цементного композита позволяет свести к минимуму экспериментальные работы по выбору оптимального состава компонентов и геометрических параметров структуры. Для этого модель механической смеси древесно-цементного композита представляется как многокомпонентное образование, на границе компонентов которого выполняется условие непрерывности усилий и перемещений. Если свойства каждого компонента известны, то, пользуясь уравнениями механики деформируемого твердого тела, можно в принципе определить распределение напряжений и деформаций в древесно-цементном материале и его эффективные или макроскопические свойства. Однако практическое решение указанной задачи связано с серьезными математическими трудностями.

Древесно-цементный композит имеет случайную или стохастическую структуру, характерными особенностями которой являются - дискретность включений частиц древесного заполнителя, цементного камня и пор, их хаотичное расположение в пространстве, а также случайная форма. Поэтому для адекватного описания напряженно-деформированного состояния в древесно-цементном материале необходимо привлекать методы теории случайных функций [1-3].

Определить эффективные линейно-упругие постоянные древесно-цементного композита с учетом геометрических параметров, формы поперечного сечения органического заполнителя и его расположения позволяет применение метода условных моментов [1].

scherb@mgul.ac.ru, zaprudnov@mgul.ac.ru

Ниже дается формулировка и приводится решение задач о прогнозировании напряженно-деформированного состояния древесно-цементных материалов с минеральным наполнителем, трансверсально-изотропным заполнителем и изотропным вяжущим с учетом пористости вяжущего вещества, базирующаяся на модели стохастической неоднородной упругой среды. Схемы механических моделей их структуры представлены на рисунке.

Исследовано влияние пористого цементного камня на свойства древесно-цементных материалов и проведена оценка их прочности по разрушению одного компонента или по полному разрушению композита.

Исходные представления. Точное описание механического поведения упругого тела из древесно-цементного материала в линейной постановке сводится к уравнениям сохранения импульса

о + F = р-й;

соотношениям упругости

о = -в ;

ij ijmn тп

и Коши

Bj = u

где olJ - тензор напряжений, Па;

в.. - тензор деформаций;

X.jmn - тензор упругих модулей четвертого ранга, Па;

F - вектор объемных сил, Н/м3; ui - вектор перемещений; р - плотность, кг/м3.

Уравнения (1) - (3) и входящие в них параметры относятся к микроточкам, т. е. элементарным объемам и площадкам, размеры которых значительно меньше характерных размеров структурных параметров. Характеристики А, , р древесно-цементного матери-

ала являются регулярными или случайными функциями координат в зависимости от характера расположения структурных элемен-

200

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 5/2013

ХИМИЧЕСКИЕ ТЕХНОЛОГИИ

тов. При этом внутренняя энергия в микроточке определяется выражением

U = (1/2) a s = (1/2) X.. ss =

=

ijmn ij mn

где s.. = X.. _1 - тензор упругих податливое-

i mn i mn

тей.

Решение уравнений (1) - (3) в общем случае связано с серьезными математическими трудностями. Однако для практической задачи, в которой изучается изменение напряжений и деформаций в древесно-цементном материале на расстояниях, значительно превышающих размеры структурных элементов, но достаточно малых в сравнении с размерами тела, можно ввести макронапряжения, макродеформации и макроперемещения, т.е. средние по элементарным макрообъемам и макроплощадкам от соответствующих параметров. При этом исходим из того, что размеры элементарных макрообъемов и макроплощадок значительно больше размеров структурных элементов и их можно рассматривать как микроточки. Тогда соответствующие уравнения относительно макроскопических параметров имеют вид

<. + <F> = <p><u>;

<°j> = Xijmn <Smn>';

<Sj> = <Uj>.

При этом внутренняя энергия в микроточке определяется формулой

<U> = (Ш) <aij><Sij> = (1/2) Xjm:<sj><sj =

=

где X.. , s = X .. - соответственно тензо-

ijmn ijmn ijmn

ры эффективных модулей упругости

и упругих податливостей.

Согласно уравнениям (5) - (8) эффективные постоянные упругого древесноцементного композитного материала могут быть определены на основе решения простейшей задачи о напряженно-деформированном состоянии в микроточках макрообъема при условии, что он находится в условиях однородного статического нагружения, т.е. <о.) = const, <sij> = const.

В этом случае уравнение сохранения импульса (5) удовлетворяется тождественно, а при условии, что жесткое перемещение и вращение равны нулю, из соотношений Коши (7) следует

<и> = ...

Постановка задачи. Пусть макрообъем линейно-упругого древесно-цементно-

весно-цементного материала: а - с минеральным наполнителем; б - с разориентированными частицами; в - с однонаправленными (ориентированными) частицами

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 5/2013

201

ХИМИЧЕСКИЕ ТЕХНОЛОГИИ

го композитного материала стохастической структуры находится в условиях заданных однородных макронапряжений (о.) или макродеформаций (в). Задача о напряженно-деформированном состоянии в микроточках тела сводится к уравнениям равновесия

о... = 0;

соотношениям упругости

о = X.. в ;

ij ij mn mn7

и соотношениям Коши

в = и..

у (.

где тензор упругих модулей X..mn является заданной случайной функцией координат.

В уравнениях (10) - (12) по повторяющимся индексам ведется суммирование, а индекс после запятой означает дифференцирование по соответствующей координате.

Подставляя (11), (12) в (10), приходим к стохастическим дифференциальным уравнениям относительно перемещений

при этом граничные условия на поверхности макрообъема при условии, что жесткое перемещение и вращение равны нулю, имеют вид и ,| =

Из соотношений Коши (2.3) следует уравнение совместности микродефомаций

ее в. = 0,

где e.p - единичный антисимметричный тензор [1].

Если соотношения

ijp mnq 4 jnrs rs ,pq 7 4 '

удовлетворяющим граничным условиям

оЛ=j,

где nj - направляющие косинусы нормали к поверхности.

Тензорное поле модулей упругости X принимаем статистически однородным,

поэтому микронапряжения о, и микроде-

ij

формации в . будут также статистически однородными. Так как масштаб корреляции случайных полей X.. , о , в пренебрежимо мал, по сравнению с размерами макрообъема, то они удовлетворяют свойству эргодичности, т. е. осреднение случайных полей по области определения совпадает со

статистическим осреднением по ансамблю реализации. В этом случае выполняются равенства

(XUmn(1)) = (Xjmn); j = (оу);

(s.. (1)о (1)) = (s.. о ).

ijmn pq ijmn pq

Здесь слева - статистические средние в точке, справа - статистические средние по макрообъему. Следует отметить, что ансамбль реализаций представляет собой совокупность полей для большого количества макрообъемов, находящихся в одинаковых условиях внешнего воздействия и имеющих один и тот же вид структуры.

Методы решения краевых задач (13),

(14), (16) - (18) идентичны, поэтому рассмотрим задачу в перемещениях. Представим случайные поля X.. , о , в в виде сумм матема-

ijmn ij ij

тических ожиданий и флуктуаций:

X.. = (X.. ) + X.. 0, о- = (о-) + о.0,

i mn i mn i mn i i i

вij =

Тогда, проводя статистическое осреднение соотношений упругости (11) и учитывая равенства (18), получаем

(о.) = (X.. (1)в (1)) =

ij ijmn mn

=

Из (20) следует, что для определения эффективных упругих постоянных необходимо из краевой задачи (13), (14) найти одноточечные моменты второго порядка (X.. (1)в (1)) = (X.. в ) или (X.. 0(1)в 0(1)) = (X.. в 0) как

' ijmn mn ' ijmn mn ' ' ijmn mn '

функции математических ожиданий деформаций

Представляя вектор перемещений в виде суммы математического ожидания и

флуктуации

и. = (и) + и0,

7 '7' 7 “

и учитывая, что для статистически однородных деформаций имеет место равенство,

получаем

и. =

Подставляя (23) в уравнение (13), приведем его к виду

X.. си 0 + [

ijmn m,nj LV ijmn ijmn y mnj:>j v y

Здесь X..mnc - некоторый тензор модулей упругости с независящими от координат компонентами, называемый тензором модулей упругости тела сравнения.

202

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 5/2013

ХИМИЧЕСКИЕ ТЕХНОЛОГИИ

Из соотношений (14), (23) следует, что на границе макрообъема флуктуации перемещений должны обращаться в нуль

«а=°.

Поскольку макрообъем древесно-цементного композитного материала существенно превосходит размеры структурных элементов, то занимаемую им область можно рассматривать как бесконечную. Поэтому задача о напряженно-деформированном состоянии макрообъема древесно-цементного композитного материала сводится к решению стохастического дифференциального уравнения (24) для бесконечной области при условии, что на бесконечности выполняется условие

и\ = 0.

Если воспользоваться тензорной функцией Грина, удовлетворяющей дифференциальному уравнению

к.. G t (x- x) + 5(x- x(2))5.. = 0, (27) то, подставляя (25), (27) в соотношение взаимности Бетти, приходим к интегральному соотношению

и

0(1) = \g (хЯ> - х)(к (2)’ е (2)) du(2);

* гp4 г г /v pqmn mn /,q 5

к

Подставим (28) в соотношения Коши (12) и проведем интегрирование по частям. Тогда получим стохастические интегральные уравнения относительно деформаций

е.

j j jpq pqmn mn

pqmn

или флуктуаций деформаций

е,0

ij ijpq i i ij mn

Здесь действие интегрального оператора K определяется равенством

K (x(1) - x(2))ф(2) = G л (х(1) - х(2))ф(2)х ijPqK г г у т •?. (iv.i)qK г г у т

X du

/г> (lVJ) 1 1 q

где s - бесконечно удаленная граница области и; nq - направляющие косинусы нормали к ней.

Если учесть, что интегрирование по бесконечно удаленной границе вследствие эргодичности поля деформаций эквивалентно статистическому осреднению, то соотношение (31) можно привести к виду

K

г ipq' г г ' ' (iv.i)q' г г ' т

(2) (ipj)qv г

xdu

Библиографический список

1. Хорошун, Л.П. Вычисление упругих свойств арболита / Л.П. Хорошун, А.С. Щербаков // Научные тр. Московский лесотехнический институт. - 1976. - Вып. 93 - С. 161-166.

2. Щербаков, А.С. Арболит / А.С. Щербаков, Л.П. Хорошун, B.C. Подчуфаров. - М.: Лесная пром-сть, 1979. - 200 с.

3. Запруднов, В.И. Прочность и деформации древесно-цементных материалов и трехслойных конструкций на их основе / В.И. Запруднов. - М.: МГУЛ, 2004. - 283 с.

ЭФФЕКТИВНЫЕ СВОЙСТВА ДРЕВЕСНО-ЦЕМЕНТНЫХ КОМПОЗИТОВ

В.И. ЗАПРУДНОВ, проф., зав. каф. геодезии и строительного делаМГУЛ, д-р техн. наук.

zaprudnov@mgul.ac.ru

Используемый в трехслойных конструкциях [1] древесно-цементный материал представляет собой трехкомпонентный композит n = 3, состоящий из цементного камня, древесного заполнителя и пор. Состав такого композита характеризуется следующими объемными концентрациями компонентов и тензорами модулей упругости соответственно ck = Аик / Аи, кк (к = 1, 2, 3). Одноточечная плотность распределения

Статистическая нелинейность уравнений в дифференциальной (1) или интегральной (2), (3) формах не позволяет построить их решения в замкнутом виде в общем случае [1]. Поэтому для упрощения решения задачи воспользуемся методом приближенного решения - методом условных моментов [2].

0 + [(к - к.. с)-е ]. = 0.

LV nmn umn s mn-1,j

(2) е (2).

к cu L4.... .... . - .

гJmn m,nj LV ijmn ijmn ' mn

ег(1) = {е.> + K (x(1) - х(2))к U) е

ij ' гу ijpqX г г ' pqmn mn

е 0(1) = K (x« - x (2))«е > + е 0(2)).

ij ijpqK г г y v \ mn' mn '

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 5/2013

203