Стохастическая модель взвеси пыли и капель во влажном воздухе

Д. А. Петров, В. А. Цибаров

СТОХАСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ВЗВЕСИ ПЫЛИ И КАПЕЛЬ ВО ВЛАЖНОМ ВОЗДУХЕ

Введение. Основоположником математических исследований процессов испарения и конденсации можно считать К.Дж.Максвелла, который в 1877 г. дал решение задачи стационарного испарения крупной сферической капли, неподвижной по отношению к бесконечно протяженной однородной среде, став основоположником теории конденсационного роста капель. На основе представлений статистической механики впоследствии была построена теория гомогенной конденсации Фольмера—Вебера—Бек- кера— Дёринга (см., например, [1]). В дальнейшем было показано, что без участия ядер конденсации этот процесс невозможен. На основе подходов статистической механики строились и модели гетерогенной конденсации на крупных частицах и ионах (см. [2]). Первые попытки описания испарения и конденсации с помощью стохастического подхода были предприняты к конце 1950-х, а в конце следующего десятилетия были получены решения уравнения Больцмана для описания испарения и конденсации при различных скоростях испарения [3]. Эти исследования касались рассмотрения испарения с отдельной поверхности раздела фаз, а среда в целом не рассматривалась. Уравнения многоскоростной среды для описания неоднофазных систем использовались И. Пригожиным, П. Мазуром, Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшицом, Я. И. Френкелем и др. Этот подход не увязывался с исследованиями в области кинетической теории, системы уравнений записывались феноменологически, не давалось обоснования выбора тех или иных замыкающих соотношений на основе рассмотрения взаимодействий на микроуровне. А.Эйнштейном, М.Смолуховским, П.Ланжевеном и С.Чандрасекаром были разработаны модели процесса коагуляции в результате броуновского движения частиц.

В данной статье излагается модель гетерогенной многофазной среды (по размерам частиц — 2 фазы; по физическому состоянию вещества — 3) с учетом процессов испарения и конденсации, слипания и распада взвешенных в потоке частиц. Все фазы описываются стохастически.

Постановка задачи. Рассматривается взвесь твердых частичек пыли и капель воды во влажном воздухе. Возможны конденсация и испарение. Эти процессы могут приводить к обводнению взвешенных твердых частиц и сушке обводненных включений. Взвешенные частицы, проявляющиеся при столкновениях с частицами сопоставимого размера свойства которых соответствуют свойствам капель, будем считать каплями. Как твердые частицы, так и капли могут слипаться при столкновениях и самопроизвольно распадаться, например, от действия набегающего потока воздуха. Наконец, при столкновениях твердых частиц с каплями может получиться как капля (если, например, величина взвешенной твердой частицы много меньше величины капли), так и твердая частица (конечно, покрытая слоем жидкости, но по свойствам еще относящаяся к твердым частицам). При этом вода в каплях — несжимаемая жидкость.

Таким образом, при описании рассматриваемой среды следует учитывать процесс конденсации пара на включениях (как твердых, так и жидких) и обратный ему процесс испарения, процессы «самопроизвольного» перехода твёрдых включений в жид© В. А. Цибаров, Д. А. Петров, 2007

кие и обратно, процессы агрегирования и распада включений в процессе столкновения, процессы рассеяния при столкновениях.

Рассматривать ли капли и твердые взвешенные частицы в качестве разных фаз или в качестве одной — вопрос, в основном, терминологический. Будем считать капли и твердые включения одной взвешенной фазой, а все газовые компоненты (воздух, расматриваемый как простой газ, и водяной пар) — несущей.

Четырехкомпонентная стохастическая модель. Строим математическую модель двухфазной четырехкомпонентной среды с испарением — конденсацией, агрегированием— диссоциацией и «спонтанными» переходами взвешенных компонент. Компоненты среды обозначаем индексами следующим образом: д — воздушная, V — паровая, б — пылевая (компонента твердых включений), d — капельная. Фазы обозначаем индексами f (несущая) и р (взвешенная).

В атмосферных условиях среда достаточно разрежена, чтобы считать столкновения между ее элементами исключительно парными. Несущая фаза может быть описана с помощью локальных одночастичных функций распределения и (*, подчиняющихся уравнениям больцманова типа. В этих условиях можем воспользоваться результатами работы [4] и сразу выписать систему стохастических уравнений в безразмерном виде:

Здесь и далее р,и О {б, d}, I О {д, V}, е —пористость среды (доля объема, приходящаяся на несущую фазу). Части оператора Фоккера—Планка, описывающего «полевое» взаимодействие включений с газом: хаотическое движение частиц из-за столкновений с молекулами (типа броуновского движения) и изменение случайных параметров включений из-за испарения и конденсации, — определяются выражениями

Тензоры В| описывают влияние притягивающего фона частиц примеси при больших ее концентрациях. В атмосферных условиях В| =0. Тензорные коэффициенты С| определяются по УЛед из условия удовлетворения наиболее вероятного распределения системе стохастических уравнений. Оператор Фоккера — Планка действует на функции распределения, сглаженные согласно описанной в [4] процедуре. При этом ( — функции переменных (Х\,Ь), где р О {б, d}, X1 = {г, Ул} , г — радиус-вектор, У1 = {Ц|, ша,ша, Та} — вектор случайных переменных и и тм —вектора скорости и углового момента, а ша и Т1 — масса и объем «элементарного» объекта. Сглаженные функции распределения компонентов несущей фазы имеют вид (1(т, VI, Ь). Буквами а обозначены безразмерные параметры, характеризующие относительный вклад различных частей соответствующих операторов.

Оператор переноса газа через границу фаз <Ы появляется из-за того, что часть объема занята взвешенной фазой [4].

где и — величина относительной скорости сталкивающихся молекул, О) — дифференциальное сечение рассеяния в телесный угол d.wri, а индексы обозначают сорт (д или V). Векторы иі и и) выражаются через и и и) в соотвествии с законом соударения элементарных объектов [4]. Операторы межфазовых взаимодействий ЛА и ^ вида

описывают «мгновенное» взаимодействие молекул газа с поверхностями включений, в том числе испарение и конденсацию молекул пара. Здесь а(А = 2кТА/ш1, к — постоянная Больцмана, Ш1 — масса молекулы, р^м = 0, а р№ = рУА — Pv°n для учета испарения и конденсации, рУА и рА — вероятности испускания и поглощения молекулы воды поверхностью частицы сорта ('],, wp —скорость точки поверхности включения. Теория испарения Френкеля дает рУА = 0, 5exp{Eav(T—1 — Т-1)/к}, где Еа — энергия необходимая для отрыва молекулы пара от жидкой поверхности (может быть определена по температурной зависимости константы испарения), Та и Тз —температура включения и температура, соответствующая давлению насыщения рэ. Выражение для скорости испарения с поверхности жидкости, вычисленной по нашей рУА, согласуется с традиционным [7], если условия близки к атмосферным. Оператор *1Аи —аналог оператора Энскога из [4], описывающий парные не вполне упругие соударения включений без учета агрегирования — распада.

Рассмотрим оператор агрегирования и распада взвешенных частиц

Плотность вероятности агрегирования Та1(г, УI, У 2; Ул) может быть представлена в виДе Т21 = иь20Т1 2Радг’ Обычно для капель считают Радг = 1. Для твердых частиц можно брать эту величину равной функции агрегирования [4]. При СТ12 = 0, 25А(^ + d2)2, где и й2 —диаметры вступающих во взаимодействие включений, величина Т2 1 совпадает с ядром интегрального оператора в уравнении Смолуховского [8]. Для учета влияния несущей среды на процесс столкновения можно брать оу2 = 0, 25А^ + d2)2Eff 12. Величина Е£ё2 — эффективность захвата. Она может быть вычислена при помощи полуэмпирической интерполяции Лэнгмюра— Блоджетта [8]. Вероятность получения капли сорта У в результате столкновения можно моделировать, например, ступенчатой

функцией Н(тк), где Н(т) —функция Хевисайда, тк —критический объем капли, при котором она, обволакивая твердую частицу, делает ее каплей.

Наконец, оператор «спонтанных» переходов задается выражением

JdTs = РиА1 ((0 - (\), Ш = п\ (г, Ь)(0, ( (0ёХ\ = 1.

Здесь РиАг — вероятность процесса «спонтанного» перехода включений из одного сорта в другой. Кроме того, если ввести константу равновесия К = РвА3/Р3 а^ , то п = Кпр/(К + 1), ^ = пр/(К + 1). Этот оператор необходимо включать для описания качественного изменения свойств включений при накоплении количественных изменений за счет процессов испарения и конденсации. Сами процессы испарения и конденсации на масштабах уравнений компонент несущей фазы описываются операторами ^и, а на масштабах компонент взвешенной фазы — операторами Фоккера — Планка.

К стохастическим уравнениям необходимо добавить соотношения для скоростей изменения случайных величин по траектории движения элементов среды между столкновениями. Для обеих фаз г = Ц-. Здесь и далее 7 б {д, V, б, d}. Для несущей фазы также И; = Еь В нашем случае рассматривается только сила тяжести, так что Е1 = -дк, где £ — ускорение сил тяжести, к — орт, направленный против силы тяжести. В общем случае объемная сила шгЕ м содержит силы тяжести и электромагнитные силы [4, 5]: шгР\ = -шщк + Сг(Е + И х В), где Е и В —векторы электрической напряженности и магнитной индукции, ем — заряд. Вектор электромагнитных сил приводит к тензору магнитных напряжений [6], но в нашей задаче ими можно пренебречь. Для взвеси имеем Л>а« = тГ^Иг + тгИг = шгЕг + Тг V • П + К.

Через П обозначен тензор напряжений в несущей среде. Для силы аэродинамического сопротивления воспользуемся выражением из [4]:

Ш = 3пА((АаАКеЛ( (^ - И1) + Ар(Тг (Мг - М0) х ^ - И), где (а — коэффициент формы, Кс — коэффициент стесненности, Af — коэффициент нестоксова характера обтекания частиц, М0 = 0, 5 го^ — средняя угловая скорость несущей фазы, М1 — мгновенная угловая скорость частицы. Далее имеем

Т\У  7Tf + Т\С (г10 + Н\, т А =pv А§р у(, (А = KvАpv

т

" где С(П) = а2 ек х (ек • П), аУ = 2kT/шv, Уг — величина площади поверхности взвешенной частицы, вычисленная по Тг, pv = eАv, mv и Yv — масса

молекулы и табличная плотность пара, п( и Т — тензор моментных напряжений и температура в несущей среде, & = pv/pc, pc —табличная плотность воды, а Ь1 — аэродинамический момент, приложенный к включению [4]. Здесь ТАев = Та^в — гмУ • pv = —pvг, а Df —вектор диффузии в несущей среде.

Поскольку тензорные коэффициенты определяются по локально равновесному распределению, для которого Тпг = 0 и Тг = 0, то для тензорных коэффициентов В1 и С 1 можно воспользоваться выражениями из [4, 5].

Хотя здесь выписана стохастическая система с учетом корреляционных функций, для атмосферных условий их можно считать близкими к единице, что позволяет упростить задачу, отказавшись от рассмотрения уравнений для двухчастичных функций распределения.

Асимптотика. Оценки показывают, что для включений среднего диаметра dp < 10~4 м существует область концентраций взвешенных частиц, для которых af А ap А afp А 1. Область размеров dp < 10~4 м охватывает мелкие капли, частицы тумана, мелкие пылинки и частицы дымов. В указанной области величин малых параметров можно рассматривать следующие приближения для описания течения: первое — термодинамически равновесное пространственно неоднородное; второе — приближение с медленными процессами межфазового взаимодействия («релаксационное»); третье — вязкое течение взвешенных частиц на фоне гидродинамически идеальной несущей среды; четвертое — вязко-теплопроводная смесь невзаимодействующих сред.

Кроме того, внутри оператора столкновений включений, согласно [2], аА а ass. Поскольку не знаем вероятностей агрегирования, рассмотрим 2 случая: при быстрых агрегировании и распаде aA а add ~ aA = adS < add ~ ass ~ asd = ads, а при медленных — ал1 л add (остальные соотношения сохраняются), ajs < app ~ 10~6ap.

В случае медленного агрегирования функцию распределения находим из решения системы уравнений вида^ Jap = 0, где а,@ G {g, v, d, s}. Решением для взвешенной фазы будут функции распределения

а7 = 2k©/шь, О'1а = 2к©/Ь, I), в и V — момент инерции и число возбужденных поступательных и вращательных степеней свободы включения, © — псевдотемпература примеси, п и Zj —безразмерные пульсации линейных и угловых скоростей. Если агрегирование идет быстро, тоА; = 0,5Аv (Jjv + Jj У"2) =

0 и

,U ~ т/т-р :ехр(-£;,. - х,,);

S{1 *'}!

где Шр и Тр — средние масса и объем включений.

Континуальный уровень. Запишем общий вид уравнений переноса. Здесь и далее к б {£ p}, 7 б ^, v, б, d}. Уравнения диффузии и уравнения неразрывности выписываются в виде

,/jdiss _____

-> ((( U bt. > 0 л: р (г У12'i (т 1, 7з; 7р.) drf I di-2 drf,l ,

= о Ш ЛД71,0//.(72^)А'р(г)^21(71,72;7/1) ^71^72^, ^ Л-(7; Охр (г)Г^1 (7,,. 7„; 7) >Ь,.>Ь>Ь... м / *л

,ОС1145

- /.Д'Т^: ОЛ/.(7Я: ОХр(г)Г21'1(7л! 7,,; 7) <*7^7<*7„., М / ",

;|г II >' т!':,‘П:.-

/д - /. /•>.. •

Уравнения движения будут иметь тот же вид. что и в работе [1]:

^ (/^Л:) + V - (рг,^к^1, ~ Щ) -/адк + (-1 )* (с\7 • П, + Г).

Для краткости записи пыбратго Г - 1 и р — 2. Межфа:юття сила определяется выражением Г — 5^ / Пм/м ^7;/: р1 — р& + рч. рр - ръ + ра- Уравнения энергии

д

т

(ркЕк) + V  [ркЕк^к ~ Щ  V/;. - Рй;) — +

V. • ^ ; П; ,г\ -II • Гч. Ек- Е^п + Е]}1\

где Е“" ~ 0,б«>г2, Е\п1 - с[Т, /?р”’ - 0. 5(г>р + со»  М„), Я"'1 - ^кв/(2тр), 4 и Мг>-

1 фазы и угловс

скорость примеси, ^десь учтено соотношение

удельные теплоемкость несущей фазы и угловой момент примеси, а?р средняя угловая

Ц -рг,кп»<1т» ~ 1 >

являющееся обобщением известного в статистической физике.

Изменение массы и объема включений за счет конденсации и испарения с их поверхности приводят к следующей (по сравнению с [4, 5]) поправке в уравнения количества движения взвешенной фазы:

дРуР-Ц / “Г

.) -у7* к 1

Здесь угловые скобки означают средние значения величин,

Источник в уравнении энергии примеси определяется выражением

17ч п1. а 77тк11 ь7. — — "р

А*рар

Рх'Чх'О'р I ( *'р 3 2 1/ 2/3— \ , -‘Р'-'Р ; 4/д . 11Г> \—

»в , + —ар \ (х/ ру/1) +  <х,/ “>0 +

.л '2

л +

+», • \ 'х,; + + гад?.,,!-

Кроме выписанной выше системы остаются еще стохастические уравнения для сортов взвешенной фазы, проинтегрированные по скоростям и вращательным моментам:

^ + V  (п^ - Б'() + . + -^-{пцТц) - Дид.

г.п, ' дшр дт^

где БА = -пм(Ум). Решения этих уравнений дадут объемные доли компонент взвешенной фазы, средний объем включения

того или иного сорта. Источники в них имеют вид

Замыкающими соотношениями для всех невязких приближений будут выражения для тензоров напряжений П& = —рк1. В этом приближении среда нетеплопроводна: Qf = Qp = 0. Вообще говоря, рь = р°ь + р&е1, Рг = Р£К(Т и рр = ррКрО, но релаксационные давления малы по сравнению с гидростатическими [4]. Учет электромагнитных сил приводит к поправке АП = —В21/(8п) + ББ/(4п) [6].

Трехкомпонентная модель. Можно несколько упростить стохастическое описание, если рассмотреть модель двухфазной трехкомпонентной среды с испарением — конденсацией и агрегированием — диссоциацией включений. Компоненты среды обозначаем индексами следующим образом: д — воздушная, V — паровая, р — капельнопылевая. Индекс р будет также обозначать величины, относящиеся к взвешенной фазе. Несущая фаза будет обозначаться индексом £ Набор случайных переменных и процедура сглаживания функций распределения останутся прежними. Система стохастических уравнений запишется в виде

а( (01(1 — JA)= вЛ + afpJip, I а{д, V}, ар°р1р ^р + Лрр •

Вид оператора Jpp2 получаем из ЛрР2 заменой индекса р на р. Аналогичным образом, вид замыкающих соотношений для этой системы получаем из замыкающих соотношений стохастических уравнений для четырехкомпонентной модели. То же касается и функций распределения.

В этой модели не требуется учета «спонтанных» переходов внутри взвешенной фазы, становится проще описание столкновений внутри взвешенной фазы. Упрощается и нахождение замыкающих соотношений для системы уравнений континуального уровня описания, общий вид которой будет соответствовать виду уравнений для четырехком- понентной модели. Это связано с меньшей детализацией описания среды.

Источники в уравнениях диффузии и уравнении для распределения включений по массам и размерам будут иметь вид

\ 11Ц 1рПр: *)Хр(г)71> I (7 1: 72 ; 7р)^71^7р^«‘-'Лт12

Для слабо неравновесного вязко-теплопроводного приближения замыкающие соотношения для несущей фазы останутся теми же, что и в невязком приближении, а вот взвешенная фаза станет вязкой, и ее тензор напряжения примет вид

где пр — антисимметричная часть тензора напряжений, Аре1 — релаксационное давление (см. [4]). Антисимметричные напряжения могут давать существенный вклад в течение вращающейся газовзвеси. Вектор потока теплоты во взвешенной фазе имеет структуру Qp = АрУе. _

Если коэффициенты лШээ и Ладг можно считать приближенно постоянными, а для Пр ограничиться пространственно однородным или сглаженным по объему течения газовзвеси приближением, то для определения Пр получим логистическое уравнение [6]

Это решение справедливо на любом интервале времени. При t А ж решение x А 1, т. е. числовая концентрация np стремится к равновесному значению, равному pdlss /pagI. Это приводит к иной скорости убывания частиц, нежели при традиционном подходе [8— 11]. На малых интервалах времени асимптотически оно переходит в известное решение из этих работ.

Заключение. В работе предложены физически более точные чем традиционные стохастические двухфазные трех- и четырехкомпонентные модели взвеси пыли и капель во влажном воздухе, позволяющие учесть процессы испарения и конденсации, агрегирования и распада включений. Такой подход приводит к иной по сравнению со встречающейся в литературе зависимости убывания плотности пространственно однородной агрегирующей примеси. При этом в условиях малой вероятности агрегирования и на конечном интервале времени зависимость асимптотически переходит в приводи -мую в научно-учебной литературе.

Построена замкнутая система уравнений газовой динамики для невязкого и (для трехкомпонентной модели) слабо неравновесного вязко-теплопроводного приближения для случаев медленных и быстрых процессов агрегирования и распада включений.

Хотя в работе рассматривается случай достаточно больших интервалов времени, когда у функций распределения включений можно исключить случайную внутреннюю энергию Am, вариант с Am = const нетрудно получить на основе [4] и настоящей работы.

Summary

D. A. Petrov, V. A. Tsibarov. The stochastic model of dust and droplets dredge in humid air.

The four-component and more simple three-component stochastic models of dust and droplets dredge in humid air are written. The processes of evaporation and condensation of vapour, aggregation and dissociation of suspended particles are taken into account. New results for numerical concentration of aggregating particles are obtained.

Литература

1. Хирс Д., Паунд Г. Испарение и конденсация. М., 1966. 196 с.

2. Ивлев Л. С. Физика атмосферных аэрозольных систем. СПб., 1999. 256 с.

3. Крюков П. А. Кинетический анализ процессов испарения и конденсации на поверхности // Кинетическая теория процессов переноса при испарении и конденсации: Материалы международной школы-семинара. Минск, 1991. C. 3-21.

4. Цибаров В.А. Кинетический метод в теории газовзвесей. СПб., 1997. 192 с.

5. Цибаров В. А. Стохастические законы сохранения в теории неньютоновских сред // Аэродинамика. СПб., 2000. С. 93-119.

6. Дулов В. Г., Цибаров В. А. Математическое моделирование в современном естествознании. СПб., 2001. 244 с.

7. Краткий справочник химика. М.; Л., 1951. 675 с.

8. Стасенко А. Л. Физическая механика многофазных потоков. М., 2004. 136 с.

9. Волощук В. М. Кинетическая теория коагуляции. Л., 1984. 284 с.

10. Веригин А. Н., Щупляк И. А., Михалев М. Ф. Кристаллизация в дисперсных системах. Л., 1986. 248 с.

11. Тодес О. М. Кинетика коагуляции и укрупнения частиц в золях // Проблемы кинетики и катализа. Статистические явления в гетерогеных системах. М.; Л., 1949. С. 137-172.

Статья поступила в редакцию 17 мая 2007 г.