О школьных математических определениях

9. Поляков, С. Д. Психопедагогика воспитания [Текст] / С. Д. Поляков. - М., 1996. - 160 с.

10. Сенько, Ю. В. Педагогика понимания [Текст] / Ю. В. Сенько, М. Н. Фроловская. - М., 2007. - 189 с.

УДК 378,01: 078

С. А. Владимирцева О ШКОЛЬНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОПРЕДЕЛЕНИЯХ

Для того чтобы правильно организовать работу по введению и дальнейшему изучению нового понятия, построить оптимальную систему упражнений, которая эффективна и для усвоения определения, и для формирования умений по его применению, учителю необходимо иметь соответствующие знания об определениях математических понятий.

К сожалению, ни одна из математических дисциплин в вузе и школе таких знаний в настоящее время в явном виде не даёт. В учебных пособиях по методике обучения математике, как правило, определение рассматривается как логическая операция, при помощи которой раскрывается содержание вводимого в рассмотрение понятия.

Традиционно предлагается классификация определений, принятая в логике (определения явные, неявные, генетические, остенсивные и пр.), анализируется структура определения через род и видовые отличия.

На наш взгляд, изложение в таком плане теоретических основ определения остаётся невостребованным при разработке методических рекомендаций по их изучению. Хотя стоит отметить, что такие попытки предпринимались. Например, в работе [1] рассмотрены методические рекомендации по изучению остенсивных определений.

Но, к сожалению, надёжных критериев, по которым то или иное определение можно отнести к тому или иному виду, не разработано. Понимая это, методисты пытаются ликвидировать недостатки классификации определений. Так, в учебном пособии [3] все определения делятся только на два класса: конструктивные и дескриптивные (описательные). К первым относятся определения, в которых указан «... способ построения определённых объектов. Тем самым решается вопрос о существовании объектов. В описательных определениях лишь перечисляются свойства нового понятия. При изучении описательных определений необходимо рассматривать доказательство существования определённых понятий» [3, с. 12].

Рассмотрим определение смежных углов из учебника геометрии [7]: «Два угла называются смежными, если они имеют общую сторону, а две другие

стороны являются дополнительными полупрямыми» (7-й класс). Это определение можно отнести, следуя [3], к дескриптивным (описательным), но его можно сформулировать и как конструктивное: «Если провести прямую линию, выбрать на ней некоторую точку, провести из этой точки луч в одну из полуплоскостей, то получатся два угла, которые называются смежными». Таким образом, и разбиение определений на конструктивные и дескриптивные оказывается ущербным.

Так как понятия развиваются, теории, в которых раскрывается их содержание, уточняются, более того, могут быть построены разные теории одного и того же понятия, то рассмотрение классификаций определений математических понятий на основе анализа их словесной конструкции в методике обучения математике не имеет дидактической ценности. Известный матема-тик-методист А. А. Столяр также считал, что нет надобности пользоваться терминологией традиционной логики для разъяснения структуры определения «через ближайший род и видовое отличие». Он предложил конструкцию определения на теоретико-множественном языке [8]. Однако в практике обучения математике в вузе и школе развиваются совершенно другие тенденции в организации изучения определений. В данной статье мы рассмотрим теоретические основы изучения определений в школе, которые в большей степени, чем те, которые заимствуются в традиционной логике, соответствуют математической сущности определений.

Структура определений школьного курса математики. В дальнейшем изложении будут использоваться термины «высказывание» и «предикат» в том значении, как это принято в математической логике.

Под определением математического объекта (понятия) будем понимать математическое предлолсение, в котором вводится термин для обозначения этого объекта и раскрывается значение этого термина.

Таким образом, определение - это не операция, а лишь предложение, смысл которого состоит в разъяснении значения нового термина.

Цель учителя при изучении определений (и любой другой «информации»!) добиться того, чтобы информация, представленная в определении, в процессе совместной учебно-познавательной деятельности с учащимся превратилась в соответствующие знания, была бы включена в ментальный опыт ученика не как простая копия познаваемых объектов, а превратилась бы сама в средство познания. Определение изучается не само по себе, а в связи с формированием соответствующего понятия.

Каждое определение школьного курса математики имеет следующую логическую структуру:

опр.

Разъяснительная часть: Ввод термина <=> Определяющий признак

Формализованная запись определения: Пусть х - некоторый математи-

опр.

ческий объект. Тогда Т(х) ^ Р(х).

«Пусть х - некоторый математический объект» - разъяснительная часть.

Т(х) означает «х называется термином Т» - ввод термина.

Р(х) - одно из таких свойств понятия Т, которое является одновременно его признаком. Назовём его определяющим признаком понятия Т.

Пример 1. Рассмотрим структуру определения параллелограмма. Определение: «Параллелограммом называется четырёхугольник, противоположные стороны которого параллельны».

Разъяснительная часть данного определения: «пусть X - четырёхугольник». Ввод термина: «X есть параллелограмм». Определяющий признак: «противоположные стороны X параллельны». Определение можно прочесть следующим образом: «Пусть X-четырёхугольник. Четырёхугольник X есть параллелограмм тогда и только тогда по определению, когда противоположные стороны четырёхугольника параллельны».

Пример 2. Рассмотрим структуру определения нулевой степени числа

а. Определение: «Ненулевое число а в нулевой степени, по определению, равно единице».

Разъяснительная часть: пусть а - произвольное число, отличное от нуля; х

- произвольное число. Ввод термина: х есть нулевая степень числа а. Определяющий признак: х = 1.

Введём обозначение х = а0. Можно сделать следующую символическую запись определения: «Пусть а, х - произвольные числа, причём а Ф о. Тогда

опр.

(х=а° <=> х = 1)».

Как следует из примеров 1 и 2, по своей структуре эти определения мало отличаются друг от друга, хотя в содержательном плане они имеют существенные различия. Определением параллелограмма фиксируется новый математический объект, который в дальнейшем будет изучаться. В формальной логике определения, подобные определению параллелограмма, где один математический объект определяется через другой, ранее изученный, называются определениями через род и видовые отличия. Определением нулевой степени вводится лишь символ для обозначения математического объекта: числа 1. Такие определения в логике называют номинальными. Но, как видно, структура этих определений одна и та же.

Определяющий признак, его структура. Нетрудно заметить, что определяющий признак - это предикат (высказывательная форма), причём с одной переменной, когда определяется объект, и с двумя и более переменными, если определяется отношение между объектами. Определяющий признак может как простую структуру, так и содержать логические связки.

Формализованная запись определения приемлема не для всех учащихся.. Но умение учителя правильно выполнить формализованную запись поможет

ему продумать краткую запись определения. Краткая запись - это один из способов предъявления информации, представленной в определении понятия, непосредственно учащимся. Краткая запись, как правило, не содержит логических символов, но она в полной мере отражает структуру определения. Например, краткая запись определения прямой, перпендикулярной плоскости: Пусть аи Ь- прямые, а - плоскость.

опр.

а_!_ а о (6 с: а) => (а _16).

При выполнении краткой записи определения нецелесообразно включать разъяснительную часть в состав определяющего признака. Например, в учебных пособиях по методике приводится следующая запись определения биссектрисы угла: биссектриса - это 1) луч; 2) выходит из вершины угла; 3) делит угол пополам. В соответствии со структурой определения правильнее было бы записать: биссектрисой угла называется луч, который: 1) выходит из вершины угла; 2) делит угол пополам. Начало такому подходу при выполнении краткой записи должен положить такой способ введения понятия, при котором явно указывается объект, составляющий основу образо-

опр

вания нового понятия. Начиная с 7-го класса можно использовать знак «, который помогает ученикам отличить определение от теоремы.

Следствия из определения. Определения не являются высказываниями.

Поэтому при проведении рассуждений в математике используются следствия из определений. Эта особенность функционирования определений должна учитываться в процессе обучения. Следствие из определения - это истинное высказывание, причём истинность его может быть обоснована только определением. Например, предложение «Если в треугольнике две стороны равны, то он является равнобедренным» является истинным высказыванием по определению равнобедренного треугольника. Различают тривиальные и нетривиальные следствия из определения.

Пусть определение имеет следующую логическую форму:

опр

Пусть х - некоторый математический объект. Т(х) <^>Р(х).

Т(х) означает «х называется термином Т», а Р(х) - определяющий признак.

Тогда к тривиальным относятся следующие три следствия:

1) (УхеМ) (Т(х) —> Р(х));

2) (УхеМ) (Р(х) -» Т(х));

3) (УхеМ) (Т(х) Р(х)).

Пример 3. Тривиальными следствиями из определения параллельных прямых в пространстве являются: а) если две прямые лежат в одной плоскости и не пересекаются, то они параллельны; б) если две прямые параллельны, то они лежат в одной плоскости и не пересекаются; в) две прямые

параллельны тогда и только тогда, когда они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Кроме тривиальных следствий можно получить и нетривиальные следствия из определения. Для определения параллельных прямых нетривиальными являются следующие следствия: а) если две прямые параллельны, то они лежат в одной плоскости; б) если две прямые параллельны, то они не пересекаются. К нетривиальным следствиям из определения смежных углов можно отнести наличие у них общей вершины. Это следует только из определения, хотя явно об общей вершине в определении речи нет.

Отрицание определения. Отрицанием определения (1) называют высказывание: (Vxe М) Т (х)<-> Р (х).

Отрицание определения также является следствием из определения, а потому оно всегда истинно. Нетрудно заметить, что при построении отрицания определения разъяснительная часть остаётся неизменной. При построении отрицания определения полезно использовать следующие правила построения отрицаний, известные из математической логики:

1. При построении отрицания простого предложения частица «не» ставится перед сказуемым.

2. При построении отрицания конъюнкции или дизъюнкции применяются законы де Моргана:

а) А л В <=> Л v В; б)А v В <=> А д В.

3. При построении отрицаний импликации надо пользоваться правилом:

А —> В <=> А л В.

4. При построении отрицаний высказываний с кванторами квантор общности заменяется квантором существования, а квантор существования

- квантором общности, отрицание же переносится на предикат.

5. При построении отрицания определения разъяснительная его часть остаётся неизменной.

Пример 4. Построим отрицание определения прямой, перпендикулярной к плоскости.

Выполним формализованную запись определения.

опр

Пусть а - плоскость, а иЬ- прямые: (a _L а) <=> (Vb) (b с: а—* а А. Ь).

Формализованная запись отрицания будет иметь вид:

----- опр ----

(\/о) (уа) (а 1а) « (3Ь) ф a a a alb).

Ha естественном языке это высказывание читается следующим образом: прямая а не является перпендикулярной к плоскости а, если в плоскости а найдётся хотя бы одна такая прямая Ь, которая не перпендикулярна прямой а.

Отрицание определения полезно строить на этапе введения нового математического объекта. Отрицание определения помогает ученику точнее

«определить контуры» нового понятия, а учителю - построить всевозможные контрпримеры, которые включаются в систему упражнений на этапе организации усвоения определения. Кроме того, контрпримеры необходимы как средство исправления ошибок, которые допускают в определениях ученики.

Определения рабочие и нерабочие. Определения, наравне с аксиомами, неопределяемыми понятиями, служат фундаментом, на котором строится здание математической теории. В зависимости от той роли, которую играют школьные определения в теории понятия, по нашему мнению, их можно разбить на 2 класса: рабочие и нерабочие.

К рабочим определениям отнесём все те, которые постоянно используются в рассуждениях, например, при решении задач, доказательстве теорем. Как правило, такие определения учащиеся помнят наизусть. К таким определениям можно отнести определения параллелограмма, равнобедренного треугольника, определение прямой, перпендикулярной плоскости, арифметического корня /7-ой степени и др.

К нерабочим относятся определения смежных и вертикальных углов, треугольника, четырёхугольника, призмы, цилиндра, многочлена, алгебраической дроби и др. Основная роль подобных определений заключается в формировании общего представления о математическом объекте, которое базируется на «наглядном» его образе. В процессе формирования понятий в явном виде они практически не используются, понятие формируется на основе «наглядного» образа и следующих из определения свойств данного объекта. Нерабочие определения немногие из учащихся помнят наизусть, что не мешает им успешно применять соответствующие понятия в деятельности.

В книге М. Б. Воловича «Наука обучать» [6] описывается следующий эксперимент. Учащихся попросили ответить на вопрос: «Какие углы называются смежными?». Только единицы сумели это сделать. Остальные начертили эти углы и написали, что их сумма равна 180°. Аналогичный пример с определением вертикальных углов приводит Н. Ф. Талызина [9]. Авторы считают, что над этими определениями была проведена недостаточная работа, сокрушаются по поводу того, что ученики не помнят эти определения. По нашему мнению, итог опроса закономерен. Он подтверждает тот факт, что определения и смежных углов, и вертикальных углов нерабочие. В школьном учебнике нет ни одной задачи, где бы пришлось, опираясь на определение, доказывать, что углы являются смежными или вертикальными. Учащиеся при решении задач используют чертёж, то есть опираются на наглядный образ объекта. Вряд ли нужно добиваться запоминания определений, подобных определению смежных углов, любыми средствами. При изучении понятий, определения которых не являются рабочими, больше внимания нужно уделять созданию правильного знакового (например, наглядного) образа изу-

чаемого объекта, так как именно он используется учениками в практической деятельности. Добиться этого можно с помощью примеров изучаемого объекта и контрпримеров. Вместо заучивания нерабочего определения необходимо учить учащихся выводить следствия из определения и обучать их применению при рассмотрении новых свойств объекта. Именно они будут использоваться при решении задач.

Эквивалентные определения. Термин «эквивалентные определения» мы используем в случае, когда в каждом из них вводится один и тот же термин (понятие, математический объект). Заметим, что иногда различные определения одного и того же объекта делят на «эквивалентные» и «разные». Вряд ли это деление важно для учеников. Потому в обоих случаях мы используем один термин - эквивалентные определения.

Пусть даны

опр

определение (1), которое имеет вид: «Пусть хе М. (Т(х) *=> Р(х))»,

опр

и определение (2), которое имеет вид: «Пусть хе М,. (Т(х) <=> (К*))»

Определение (2) называется эквивалентным определению (1), если выполняются следующие условия:

В каждом из них вводится один и тот же термин Т.

Множества М и Мр из которых выбираются определяемые объекты, должны быть связаны отношением включения, то есть МсМ, или М,сМ.

Определяющие признаки Р(х) и (Х*) должны быть равносильны, то есть Р(х)<=>(Х.г) на множестве МП М,, то есть Р(х)=^> СКх) и (3(х)=> Р(х).

Пример 5. Покажем, что следующие определения ромба эквивалентны.

Определение 1: Параллелограмм, у которого смежные стороны равны, называется ромбом.

Определение 2: Выпуклый четырёхугольник, у которого все стороны равны, называется ромбом.

Для доказательства эквивалентности данных определений нужно рассмотреть две взаимообратные теоремы.

Теорема 1. Дано: АВСБ - параллелограмм, АВ = АЭ.

Доказать: все стороны АВСЭ равны между собой.

Теорема 2. Дано: в четырёхугольнике АВСЭ все стороны равны.

Доказать: АВСБ - параллелограмм, АВ = АБ.

Доказательство их тривиально.

Из этих теорем следует, что определения 1 и 2 эквивалентны.

Кроме изложенных фактов, в которых раскрывается сущность определения, учителю полезно знать требования, которые предъявляются к словесным определениям. Их знание позволяет учителю корректировать ошибки учащихся в определениях. Главным из них является следующее требование: определение не должно содержать порочного круга. Новое понятие должно быть уже, чем то, через которое оно вводится. Это требование должны знать

и учащиеся. Другие же требования к определениям математических понятий, которые традиционно излагаются в учебных пособиях по методике, при рассматриваемом подходе к изучению определения, а не к открытию его, становятся неактуальными. Требования к определениям должен знать учитель для того, чтобы грамотно организовать коррекцию ошибок учащихся. Коррекция ошибок учеников должна проводиться приведением соответствующих контрпримеров. Причиной того, что учащиеся относят к понятию объекты, которые лишь в некоторой степени «похожи» на него, на наш взгляд, является недостаточный опыт применения данного понятия. Чаще всего в этом повинен учитель, который рассмотрел не все контрпримеры, которые необходимо было бы рассмотреть в процессе изучения данного определения. Например, к смежным ученики относят углы, которые в сумме составляют 180°. Такая ошибка является следствием того, что при изучении смежных углов не рассмотрен был случай, когда даны два прямых угла, у которых нет общей стороны.

О методике изучения определений в школе. Этап работы над определением в методике обучения математике разработан наиболее подробно. Исходя из объектных представлений об образовании понятий (см. статью [4]) и трактовки определения как логической операции, методисты явно или неявно используют схему обучения учащихся «открывать» определения, предложенную Н. Ф. Талызиной. Рассматриваются различные примеры нового математического объекта. При этом учащимся предлагаются следующие задания:

1. Перечислите все известные существенные признаки определяемого понятия.

2. Подчеркните те признаки, которые являются общими для данного понятия и других родственных ему понятий.

3. Укажите, частным видом какого более широкого родового понятия оно является.

4. Назовите все остальные виды найденного родового понятия.

5. Проверьте, не подходят ли к этим понятиям признаки, найденные в определяемом и укажите только те из них, которые присущи определяемому понятию и не присущи ни одному родственному понятию.

6. Сформулируйте определение» [2, с. 47-48].

Методическая концепция, лежащая в основе методики изучения определений с логико-информативной точки зрения на сущность и структуру понятия, включает следующие положения:

определение математического понятия понимается не как логическая операция, а как некоторое математическое предложение определённой структуры, в котором вводится термин для обозначения нового понятия и только его и раскрывается его значение;

определения математических понятий играют двоякую роль в математике: с одной стороны, они помогают распознать объект, отличить его от

другого; с другой, определения служат начальным звеном в построении теории соответствующего понятия;

определение для школьника есть не что иное, как подлежащая усвоению, существующая вне него, объективная информация;

с точки зрения современной психологии усвоение информации, содержащейся в определении математического объекта, представляет собою овладение совокупностью следующих действий: свободный переход с одной формы представления информации на другую; построение образа данного объекта (обобщение на основе усвоенного содержания определения); придание смысла обозначению нового объекта; грамотное использование различных знаковых систем; рефлексия приобретённого опыта работы с информацией и сравнение его с имевшимся ранее опытом; чётко сформулированная цель, принятая учащимися; включение нового знания в личностный образовательный (интеллектуальный) опыт.

Мы предлагаем схему изучения определения математического объекта, исходя из тех методологических положений о сущности математических понятий и их определений, которые сформулированы выше. Она призвана служить ориентировочной основой деятельности учителя на начальных этапах формирования понятия.

Схема изучения определения Цель: формирование нового понятия

1. Подготовительный этап:

а) актуализация знаний учащихся, необходимых для усвоения нового определения;

б) мотивация изучения нового объекта;

в) постановка цели (проблемы) урока (или этапа урока).

2. Введение нового объекта (заканчивается его определением).

3. Краткая запись определения, работа над созданием или уточнением наглядного образа нового объекта (примеры, контрпримеры).

4. Выведение тривиальных следствий из определения, применение их в простейших рассуждениях.

5. Обучение использованию нового термина и его обозначения (символа) в устной и письменной речи. Обучение применению определяющего признака в простейших рассуждениях (примеры, контрпримеры, простейшие упражнения, контроль понимания определения).

6. Рассмотрение эквивалентных определений (если это целесообразно).

В данной схеме отражена только внешняя, наблюдаемая деятельность учителя и учащихся. В ней нет заимствования терминологии из психологии. Но вместе с тем представленная схема отражает те условия, которые с точки зрения психологов способствуют усвоению информации, содержащейся в определении. Несмотря на то, что в формулировке этапов явно не отражены мыслительные операции, например, такие как подготовка к восприятию; восприятие; осознание, осмысление и пр., нетрудно заметить,

что на этапе введения понятия выявляется определяющий признак, вводится термин, конструируется определение, вводится символ, то есть осуществляется восприятие нового объекта. На последующих этапах основной целью работы является «осознание, осмысление» сущности нового объекта через применение определения. При выполнении краткой записи происходит осознание логической структуры определения. Ученики учатся изображать новый объект, приводить примеры, то есть на этом этапе осуществляется доказательство существования объекта, если этого не было сделано на этапе его введения. Понимание смысла определения осуществляется в процессе рассмотрения контрпримеров. На этапе выведения следствий учащиеся знакомятся с теми следствиями из определения, которые необходимы при его применении в рассуждениях.

Обучение применению определения в практической деятельности осуществляется с помощью специальных упражнений, которые закладывают основы решения задач с использованием нового понятия. Решение таких упражнений состоит не более чем из одного - двух рассуждений, чаще всего они выполняются устно, при этом широко используется наглядность. В этих упражнениях рассматриваются практически все ситуации, которые могут в дальнейшем встретиться ученикам при решении более сложных задач. Учитель обязан составить такую систему упражнений, которая будет способствовать применению определения и его символа в устной и письменной речи учащихся, включая и такие упражнения, которые не предполагают опоры на наглядный образ объекта. Уже на данном этапе предполагается, что в сознании учащихся должен формироваться некоторый знаковый образ нового объекта. Данный этап помогает запомнить определение, понять его смысл. Примеры изучения определений в процессе формирования конкретных понятий приведены в книге [5].

Далеко не всегда целесообразно применение приведённой выше схемы в полном объёме. При проектировании реального учебного процесса необходимо учитывать наличие житейских представлений учащихся об изучаемых объектах, роль определения в теории соответствующего понятия, сложность логической структуры определения, возможность наглядной иллюстрации объекта и многое другое. Но последовательное следование данной схеме на первых уроках геометрии, знакомство учащихся с порядком изучения определения способствует качественному усвоению определения.

Библиографический список

1. Артёмова, М. А. Упражнения с математическими понятиями [Текст]: Учеб.-метод. пособие для студентов физ.-мат. фак-та. / М. А. Артёмова - Пенза, 1998. -24 с.

2. Буткин, Г. А., Володарская, И. А., Талызина, Н. Ф. Усвоение научных понятий в школе: [Текст] Учеб. пособие./ Г. А. Буткин, И. А. Володарская, Н. Ф. Талызина - М.: «Академия», 1999. - 111с .

3. Виноградова, JI. В. Методика преподавания математики в средней школе: [Текст] Учеб. пособие. / J1. В. Виноградова - Ростов н/Д.: Феникс, 2005. - 252 с.

4. Владимирцева, С. А. Новая методология теории формирования математических понятий в средней школе [Текст] / С. А. Владимирцева / Сибирский педагогический журнал, - 2008, - № 4; - С. 256-265.

5. Владимирцева, С. А. Формирование математических понятий в средней школе [Текст]: логико-информативная теория: монография. / С. А. Владимирцева - Барнаул, 2007. - 225 с.

6. Волович, М. Б. Наука обучать: технология преподавания математики. / М. Б. Волович - М.: LINKA - PRESS, 1995. - 280 с.

7. Погорелов, А. В. : Учеб. для 7-11 кл. ср. шк. - 3-є изд.[Текст] / А. В. Погорелов - М.: Просвещение, 1992. - 383 с.

8. Столяр, А. А. Педагогика математики. Изд. 2-е. [Текст] / А. А. Столяр -Минск: «Выш. Шк.», 1974. - 382 с.

9. Талызина, Н. Ф. Педагогическая психология. [Текст] / Н. Ф. Талызина - М.: «Академия», 1998.-288 с.