Теория инверсного магнитоэлектрического эффекта в феррит-пьезоэлектрическом диске

УДК 537.9

ТЕОРИЯ ИНВЕРСНОГО МАГНИТОЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ЭФФЕКТА В ФЕРРИТ-ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ДИСКЕ Д.А. Филиппов, Т.А.Галкина, Г.Сринивасан*

Научно-исследовательский центр НовГУ, Dmitry.Filippov@novsu.ru *Оклендский университет, Рочестер, Мичиган, США

Представлена теория инверсного магнитоэлектрического эффекта в области электромеханического резонанса (ЭМР) для образцов в форме диска. На основе метода эффективных параметров получено выражение для коэффициента инверсного магнитоэлектрического преобразования. Показано, что на частоте ЭМР имеет место пиковое увеличение эффекта.

Ключевые слова: инверсный магнитоэлектрический эффект, электромеханический резонанс

Inverse magnetoelectric effect theory for the disk samples at the electromechanical resonance region is presented. The expression for the coefficient of inverse ME-conversion by effective parameter method is derived. It is shown that observed the peak increase of effect at the electromechanical resonance.

Keywords: inverse magnetoelectric effect, electromechanical resonance

1. Введение

Магнитоэлектрический (МЭ) эффект относится к перекрестным эффектам и заключается в возникновении поляризации под действием магнитного поля (прямой МЭ-эффект) и, наоборот, в возникновении намагниченности под действием электрического поля (инверсный или обратный МЭ эффект). Этот эффект, предсказанный в [1] и впервые экспериментально обнаруженный в [2,3], представляет интерес уже сам по себе, поскольку связывает между собой величины, имеющие разную тензорную размерность: поляризацию (полярный вектор) с напряженностью магнитного поля (аксиальный вектор) и, наоборот, намагниченность (аксиальный вектор) с напряженностью электрического поля (полярный вектор). В монокристаллах существование МЭ эффекта непосредственно связано с симметрией кристалла [4], и его возникновение обусловлено совместным действием спин-орбитального взаимодействия, нечетной части потенциала внутри-кристаллического поля и внешнего электрического поля [5]. В феррит-пьезоэлектрических композитах МЭ эффект отсутствует по отдельности и в феррито-вой и в пьезоэлектрических фазах. Его возникновение обусловлено механическим взаимодействием ферри-товой и пьезоэлектрической подсистем. Во внешнем магнитном поле вследствие магнитострикции в ферри-товой компоненте возникают механические напряжение, которые передаются в пьезоэлектрическую фазу, где вследствие пьезоэффекта возникает поляризация. И, наоборот, при инверсном эффекте под действием электрического поля в пьезоэлектрической компоненте возникают механические напряжения, которые передаются в магнитострикционную фазу, вследствие чего происходит возникновение намагниченности.

В настоящее время прямой МЭ эффект изучен достаточно подробно [6], однако инверсный МЭ эффект изучен еще недостаточно. Имеется всего несколько публикаций [7-11], посвященных инверсному МЭ эффекту. В этих работах экспериментально исследовался инверсный МЭ эффект для образцов в

форме пластинки, где в качестве пьезоэлектрика использовалась пьезокерамика цирконат-титаната свинца (PZT), а в качестве феррита — материалы с большим коэффициентом магнитострикции, а именно: в [7] — D-терфенол (трехслойная структура D-Terfenol-PZT-D-Terfenol), в [8] — никель (трехслойная структура PZT-Ni-PZT) и в [9,10] — галфенол (двухслойная структура галфенол-PZT). В данных работах проведено измерение частотной зависимости коэффициента инверсного МЭ преобразования и экспериментально обнаружено, что эта зависимость имеет резонансный характер, аналогично частотной зависимости МЭ коэффициента по напряжению при прямом эффекте. Однако детального теоретического описания инверсного МЭ эффекта в этих работах не было. В работе [11] представлено теоретическое описание инверсного МЭ-эффекта для образцов в форме пластинки. На практике гораздо чаще используются образцы в форме диска, а не пластинки. Напрямую применить результаты работы [11] для образцов в форме диска не представляется возможным. В данной работе дано детальное теоретическое описание инверсного МЭ эффекта и представлены результаты расчетов частотной зависимости коэффициента инверсного МЭ преобразования для дискообразных образцов из объемных композиционных материалов состава феррит-никелевая шпинель — цирконат-титаната свинца.

2. Продольный эффект

При описании физических явлений в феррит-пьезоэлектрических композитах широкое распространение получил метод эффективных параметров [12,13]. Этот метод заключается в том, что композиционный материал с макроскопической точки зрения рассматривается как однородная среда с некоторыми эффективными параметрами, которые находятся путем совместного решения уравнений эласто- и электродинамики для ферритовой и пьезоэлектрической фаз с последующим усреднением. Очевидно, что этот метод применим тогда, когда характерные размеры

Ю6

структурных единиц композита много меньше длины звуковой волны. Так как характерные размеры структурных единиц в типичных композиционных материалах порядка десятков микрон, то этот метод описания можно применять вплоть до частот порядка сотен МГ ц.

В качестве модели рассмотрим образец из композиционного феррит-пьезоэлектрического материала в форме тонкого диска радиуса R и толщиной d, на нижнюю и верхнюю поверхности которого нанесены тонкие металлические контакты, а на боковые поверхности намотана катушка индуктивности, содержащая N витков (рис.1). Пусть образец поляризован по нормали к плоскостям контактов (ось Т). Постоянное (подмагничивающее) магнитное поле направлено параллельно поляризации образца (продольный эффект).

Рис.1. Схематичное изображение структуры. 1 — образец, 2 — металлические контакты, 3 — катушка из N витков

Переменное электрическое поле с частотой ю, подаваемое на образец, вызывает в нем колебания, которые распространяются как вдоль поверхности образца — радиальные колебания, так и по толщине образца — толщинные колебания. В дальнейшем ограничимся рассмотрением наиболее низкочастотных радиальных колебаний. Будем считать диск тонким, т.е. d << R. Так как поверхности диска свободные, то, следовательно, нормальные составляющие тензора механических напряжений на них равны нулю. Для тонкого диска можно считать, что компонента тензора напряжений Т3 равна нулю не только на поверхности, но и во всем объеме. С учетом этого интересующие нас уравнения для тензора деформаций ,% и 2-проекции вектора магнитной индукции В3 при продольной ориентации полей имеют вид

= 511Т1 + 512Т2 + d31E3 + д31Н 3,

$2 = 512Т1 + 511Т2 + d31E3 + д31Н 3,

Вз = Дзз Н з + Ч31

Здесь — эффективные податливости композита; d1j и ду — эффективные пьезоэлектрический и пьезомагнитный модули соответственно; Е,у — эффективная

диэлектрическая проницаемость; Ei и H — проекции векторов напряженности переменных электрического и магнитного полей. Методика расчета эффективных параметров композиционного материала представлена в [14,15].

Для дальнейших расчетов удобно воспользоваться симметрией задачи и перейти к цилиндрической системе координат z, r и 9, используя преобразования, представленные в [16]. C учетом осевой симметрии задачи в цилиндрической системе координат отличными от нуля компонентами тензора напряжений и деформаций будут Trr, T00, Srr и S00. Остальные компоненты тензоров напряжений и деформаций равны нулю. Кроме того, из осевой симметрии следует, что компонента смещения и0 равна нулю. С учетом этого уравнения (1)-(3) примут вид

Srr = S11Trr + S12T00 + d31E3 + q31H 3,

S00 = s12 Trr + S11T00 + d31E3 + q31H 3,

B3 = ^33H3 + q31

Уравнение движения среды для радиальных колебаний диска имеет вид

3T,

ГГ + —(Trr - T00 ) + р 2ur = 0

dr r

где р — плотность композита.

Выразим из уравнений (4), (5) компоненты тензора напряжений через компоненты деформаций, в результате получим:

Тгг = 2ч

5ц

T00 =

1

s„

где v = — s12/ sjj — коэффициент Пуассона.

Для того чтобы получить уравнение для радиальных смещений, подставим (8), (9) в уравнение движения среды (7). После преобразований оно сводится к уравнению Бесселя

8^ + Ldu_—+ k 2 = о,

dr r dr r

где к = >]р^11(1 -V2)ю . Общее решение уравнения (10) представляет линейную комбинации функций Бесселя первого и второго рода

иг = е^1

Постоянные интегрирования с1 и с2 определяются из следующих граничных условий: в центре диска смещения отсутствуют, т.е. при г = 0 смещение иг = 0, а на свободных боковых поверхностях нормальные напряжения равны нулю, следовательно, при г = Я напряжение Тгг = 0 . Это дает для постоянных интегрирования следующие выражения [17]:

С2 = 0,

(1 + v) R

kJ о

(q31H3 + d31E3)-

Здесь введена безразмерная переменная к = кЯ, значения которой зависят от частоты, радиуса диска и скорости распространения упругих колебаний.

Подставляя значения постоянных интегрирования с1 и с2 в (11) и выражая деформации через

сі =

смещения среды, для компонент тензора напряжений получим следующие выражения:

Т =-

1

к/ 0 (кг) — (1 —V) RJ1 (кг) ___________________г_______

к/ о

—1

х

Тее =

1

%

vк/0 (кг) + (1 — V) ^ /1 (кг) ____________________г

к/ о

—1

х(Чз1Нз + аз1Ез). (13) Намагниченность, возникающую в образце вследствие магнитострикции в результате механических деформаций среды, определим из уравнения (6). Подставляя выражения (12) и (13) в уравнение (6), имеем:

Вз = ^33 Н з +

Чз1

5П

_к/о

- — 2

При экспериментальном исследовании инверсного МЭ эффекта измеряют ЭДС индукции, возникающую в катушке вследствие изменения магнитного потока. Как правило, в эксперименте сопротивление измерительного вольтметра много больше сопротивления катушки, поэтому можно считать, что выполняется условие разомкнутой цепи, т.е. ток, текущий через катушку, можно считать равным нулю. Тогда и создаваемая им напряженность магнитного поля Н3 = 0 . С учетом этого выражение (14) для индукции магнитного поля приобретает вид

Вз =

Чз1аз

5П

_ к/ 0

2

• Ез

Коэффициент инверсного МЭ преобразования при продольном эффекте определим как

< В3 >

аВ ь =-------------, где среднее значение индукции маг-

Ез

2 п Я

нитного поля < В3 > =------— • ^0 B3гdг .

3 пЯ2 1 1 3

0 0

Вычисляя интеграл, для коэффициента инверсного МЭ преобразования получим выражение

а в г =

2Чз1^з1

5„

А г

—1

где введено обозначение Д г = 0 (к) - (1 - V) J1( к).

ЭДС, индуцируемая в катушке переменным магнитным потоком, выражается равенством

дФ

є = —

ді

^ =— Nд ді

^ае ^Взгёг = /юNпR2 аВ ь • Ез.

Полагая, что все падение напряжения происходит на измерительном вольтметре, а напряженность электрического поля в образце связана с входным

¥

напряжением соотношением Ез = ——, для коэффи-

а

циента преобразования напряжения кь = °ш при

V—

продольном эффекте получим выражение

і ыПК2

кь = Г-аВ,1 •

а

Таким образом, указанная структура может использоваться в качестве трансформатора, имеющего в отличие от традиционных всего одну обмотку.

3. Поперечный эффект

В случае поперечного МЭ эффекта постоянное магнитное поле Н 0 направлено в плоскости образца,

перпендикулярно направлению поляризации Р . Приложенное к контактам переменное электрическое поле вызывает механические колебания среды, в результате чего возникает намагниченность, вектор которой лежит в плоскости образца. При экспериментальном исследовании поперечного МЭ эффекта используется структура, изображенная на рис.2.

Рис.2. Схематичное изображение структуры. Поперечный эффект. 1 — образец, 2 — металлические контакты, 3 — катушка из N витков, t — толщина катушки

В случае поперечного эффекта уравнения (1)-(3) для тензора деформаций ,% и х-проекции вектора магнитной индукции В1 примут вид

$1 = 511Т1 + 512Т2 + d31E3 + д11Н 1,

$2 = 512Т1 + 511Т2 + d31E3 + д12Н1,

В1 = ^11Н1 + д11Т1 + д 12 Т2 •

При переходе к цилиндрической системы координат выражения для компонент тензора деформаций усложняются вследствие того, что возникающее переменное магнитное поле Н1 нарушает осевую симметрию системы. Однако с учетом того, что в эксперименте используется условие разомкнутой цепи и напряженность переменного магнитного поля равна нулю, а колебания среды, как и при продольном эффекте, возбуждаются переменным электрическим полем, направленным вдоль оси Х3, уравнение движение среды для радиальных колебаний сводится

х

х

X

к уравнению (10), решение которого дает для компонент тензора напряжений следующие выражения:

Т = -

1

s„

T00 = '

1

^ll

kJo (kr) - (1 - v) RJ1 (kr) __________________r______

kJo

vkJo (kr) + (1- v) RJ1 (kr) ___________________r

kJo

-1

-1

d3E3.

Строго говоря, в уравнениях (16) и (17) вместо коэффициента sn должен стоять коэффициент

s* = 5и - 9iV^n — податливость композита с учетом пьезомагнитного эффекта. Однако отличие s* от

511 составляет величину порядка процента. Например, для чистой феррит-никелевой шпинели значения параметров равны [14]: sn = 6,5 10-12 м2/Н,

q11 = -680-10-12 м/А, ц11/ц0 = 3 . Это дает для относительного изменения величину (511 -5*1)/511 = 0,018.

Для композита состава феррит-никелевая шпинель — цирконат-титаната свинца значение этой величины будет еще меньше, поэтому в дальнейшем отличием

будем пренебрегать и считать, что s* « sn. На практике это подтверждается тем, что резонансные частоты при продольном и поперечном эффектах совпадают.

Компоненты тензора напряжений T1 и Т2 связаны с компонентами Trr и T00 соотношениями:

Т = Trr cos2 0 + Т00 sin2 0,

Т2 = Trr sin2 0 + Т00 cos2 0,

Используя эти соотношения, для индукции магнитного поля в цилиндрической системе координат получим уравнение

В = Trr (q11cos2 0 + q12sin2 0) +Т00 (q11sin2 0+q12cos2 0). (18) Аналогично продольному эффекту при поперечном эффекте коэффициент инверсного МЭ преоб-

< в1 > ^

разования определим как аВТ =-----------. Подставляя

Е3

выражения (16) и (17) в уравнение (18) и вычисляя среднее значение индукции магнитного поля < В1 > ,

для коэффициента инверсного МЭ преобразования при поперечном эффекте окончательно получим выражение в следующем виде:

аВ,Т =

(q11 + q12 )d3

s„

A r

-1

где Д г обозначает то же, что в (15).

При определении ЭДС индукции, возникающей в катушке, ограничимся случаем, когда толщина катушки / меньше радиуса диска Я . В этом приближении можно считать, что магнитный поток, пронизывающий катушку равен ФТ = N • 2Я • d и для коэффициента трансформации напряжения имеем: кТ = юN • 2Я • а в т .

Таким образом, в отличие от случая продольного эффекта коэффициент трансформации определяется только радиусом диска и не зависит от его толщины.

4. Обсуждение результатов

Как следует из выражений (15) и (19) для коэффициента инверсного МЭ преобразования, его величина прямо пропорциональна произведению значений пьезоэлектрического d31 и пьезомагнитного дп модулей и обратно пропорциональна значению модуля податливости 511. Однако при поперечном эффекте величина коэффициента аВ,Т пропорциональна произведению (д11 + д12^31, а при продольном значение аВ ь пропорционально произведению д3^31. Поскольку (д11 + д12) > д31, то и величина поперечного эффекта больше, чем продольного.

Частотная зависимость коэффициента инверсного МЭ преобразования, как и частотная зависимость МЭ коэффициента по напряжению аЕ при прямом эффекте, имеет резонансный характер. В области низких частот, когда параметр к << 1 величина инверсного коэффициента МЭ преобразования практически не зависит от частоты, однако на частоте, соответствующей условию Д г = 0, наблюдается пиковое увеличение коэффициента. Корни этого уравнения получили название резонансных частот /г. Для образцов из феррит-никелевой шпинели — ЦТС радиусом около 1 см значение нижней резонансной частоты составляет примерно 300 кГц. Следует отметить, что резонансное увеличение МЭ коэффициента по напряжению аЕ = < Е > / Н, характеризующего прямой МЭ эффект, наблюдается на частотах антирезонанса /аг, удовлетворяющих условию Д а = 0 , где

Д а = 1-К2р + *2(^) Jl( К)/Д г .

Здесь к p=е :tv) 633 s11

— коэффициент электроме-

ханической связи для радиальных колебаний.

Частоты резонанса и антирезонанса имеют хоть и близкие, но экспериментально различимые значения.

По их разности можно определить пьезомодуль d31,

аналогично тому, как это делается при пьезоэлектрическом эффекте методом резонанса-антирезонанса.

Работа выполнена при частичной поддержке Аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 годы)» проект № 2.1.1/3143.

1. Дзялошинский И.Е. // ЖЭТФ. 1959. Т.37 С.881-882.

2. Астров Д.Н. // ЖЭТФ. 1961. Т.40. С. 1035-1041.

3. Folen V.J., Rado G.T., Stalder E.W. // Phys. Rev. Lett. 1961.

V.6. №11. P.607-608.

4. Туров Е. А. // УФН. 1994. Т.164. №3. С.325-332.

5. Antonenkov O.V., Nikiforov I.S., Filippov D.A. // Ferroelec-trics. 2002. V.279. C.57-65.

6. Fiebig M. // J. Phys. D: Appl. Phys. 2005. V.38, R1-R30.

7. Dong S., Li J.F., Viehland D., Cheng J., Cross L.E. // Appl. Phys. Lett. 2004. V.85. №16. P.3534-3536.

8. Fetisov Y.K., Petrov V.M., Srinivasan G. // J. Mater. Res. 2007. V.22. №8. P.2074-2080.

9. Буш А.А., Каменцев К.Е., Мещеряков В.Ф., Фетисов Ю.К., Чашин Д.В., Фетисов Л.Ю. // ЖТФ. 2009. Т.79. №9. С.71-77.

10. Fetisov Y.K., Kamentsev K.E., Chashin D.V., Fetisov L.Y., Srinivasan G. // J. Appl. Phys. 2009. V.105. P.123918 (1-4).

11. Филиппов Д.А., Галкина Т.А., Srinivasan G. // Письма в ЖТФ. 2010. Т.36. №21. С.23-28.

/

12. Harshe G., Dougherty J.O., Newnham R.E. // Int. J. Appl. Electromagn. Mater. 1993. V.4. P.145-159.

13. Harshe G., Dougherty J.P., Newnham R.E. // Ibid. P.161-171.

14. Bichurin M.I., Petrov V.M., Srinivasan G. // Phys. Rev. B. 2003. V.68. P.054402 (1-13).

15. Бичурин М.И., Петров В.М., Филиппов Д.А., Лалетин В.М., Сринивасан Г. // Перспективные материалы. 2004. №6. C.5-12.

16. Mazon W.P. // Phys. Rev. 1948. V.74. №9. P.1134-1147.

17. Филиппов Д.А., Бичурин М.И., Петров В.М., Лалетин В.М., Srinivasan G. // ФТТ. 2004. Т.46. №9. С.1621.