Унифицированная математическая многомассовая модель движения многоосного автомобиля

№ 8 ^007

621.430

УНИФИЦИРОВАННАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МНОГОМАССОВАЯ МОДЕЛЬ ДВИЖЕНИЯ МНОГООСНОГО АВТОМОБИЛЯ

Д-р техн. наук, проф. C.B. БАХМУ ТО В, ас п. Д.Н. ГУСАКОВ

При составлении системы уравнении, представляющей собой математическое описание автомобиля, определяющим фактором является число переменных. Оно, в свою очередь, суммируется, исходя из количества масс системы и числа степеней свободы каждой из них. При исследовании управляемости и устойчивости автомобиля рассматривается оби fan схема движения, в которой основными массами являются кузов (подрессоренная масса) и колеса (неподрессоренные массы).

Defining a set of equations thai represent the mathematical model of the car, the major factor is a number of variables. This number, in its turn, is being summarized from system mass number and each degree of freedom. At steering and car stability tests the common traffic diagram is examined in which the basic mass is the car body (sprung weight) and sprockets (unsprung weight).

Главная задача — координатное согласование всех масс, входящих в систему, другими словами, выбор системы координат, единой для всех масс (только в этом случае возможно совместное решение уравнений, входящих в математическое описание автомобиля). Как известно, наибольшее удобство представляет собой подвижная система координат, привязанная к какой-либо массе. Такой подход позволяет вычислять координаты подвижной системы относительно неподвижной (базовой), которые, в свою очередь, используются для вычисления перемещений автомобиля. Удобство состоит в том, что моменты инерции массы, с которой жестко связана система координат, остаются постоянными.

В случае многомассовой системы возникает проблема, обусловленная вычислением моментов инерции масс, центр которых не совпадает с центром выбранной подвижной системой координат. Логично привязать подвижную систему координат к кузову автомобиля (нсподрессоренной массе), в центре масс автомобиля. Но остается задача вычисления моментов инерции неподрессоренных масс, которая может быть решена двумя способами. В первом случае координаты неподрессоренных масс (колес) остаются независимыми, к ним привязываются индивидуальные системы координат, а связь систем осуществляется посредством углов Брайнта. Данный вариант неудобен тем, что на каждом шагу интегрирования необходимо пересчитывать все силовые и координатные факторы, входящие в уравнения, с учетом изменяющегося взаимного положения систем координат. Кроме того, несвязанные системы при определенной погрешности интегрирования могут «разойтись», т.е. после возвращения системы в состояние покоя взаимные линейные и угловые координаты систем могут не соответствовать начальным. Второй вариант предполагает использование единой системы координат. В этом случае силовые факторы, как внешние, так и внутренние, входят во все уравнения системы в едином виде. Однако в таком случае моменты инерции неподрессоренных масс являются переменными и должны некоторым образом перссчитываться на каждом шаге интегрирования.

Очевидно, что в целях упрощения моделирования моменты и произведения инерции неподрессоренных масс рациональнее приводить к центру пятна контакта колес с дорогой. Тогда внешние силовые факторы, действующие на автомобиль со стороны дороги, будут приложены в точках, к которым приведены инерционные характеристики непод-

МЯ

рессоренных масс, и появляется возможность избежать дополнительных вычислений, связанных с переносом внешних сил.

Для вычисления приведенных инерционных характеристик колес воспользуемся формулами для переноса моментов и произведении инерции в параллельную и повернутую системы координат.

Для переноса моментов и произведений инерции в параллельную систему координат из главной используются сокращенные формулы'

1х. = 1х+т{уа+;%

/ -/ +,„

Когда производится перенос моментов и произведении инерции в повернутую систему координат с началом, совпадающим с началом исходной системы координат, целесообразно использовать направляющие косинусов, связывающих оси. В таблице связь координат представлена при помощи коэффициентов (оси х , у ,2 — первоначальные, а х\ у* ,г' —повернутые).

Таблица

Новые координаты Первоначальные координаты

X V 2

х' а, ß, У.

ß2 \

z' а, Р, Ъ

Новые координаты выражаются через первоначальные при помощи коэффициентов в горизонтальных строках

х' = ос | х + ß j у + у j z

Обратный переход осуществляется при помощи коэффициентов в вертикальных строках

X — ОС | X'+ ОС 2 уOC3Z1. Моменты инерции в повернутой системе координат в общем виде выразятся так:

I, = сс?/, + ß?/, + -2ßlYl/>„ -2аД^. ,

/,, = оф, + ß;/v + у2/_ -2ß2y2/Jv, - 2a2ß2/Jtv - 2a2y2Pv,,

* I IpMwiTMC обозначения см. в приложении 1, которое разметено актором в Интернете но алрееу hüp://muhimass-model.narod.ru/articles/unitied-model/articiel.htm.

№8

2007

/., = щ1х + Рз2/Г + Уз/. - 2РзУ.,Р,- - 2азрз^. - 2а3у3Р

Произведения инерции относительно повернутых осей

РхУ = -а,а2/Л. -Р1Р2/Г-У1У2/. + (а,р2 + а2Р,) + (а,У2 + а2у,)+ (Р,У2+Р2У,), = -а,а3/д. -Р,РЛ -у,у3/. + Рху (а,р3 +а1р,) + +Рхг (а,у3 + а3у,) + Ру. (Р,У3 + Р3У,), Ру.г, = -а2а3/г -Р2Р3/„ -у2у3/. +Рху (а2рз + азр2) + + («2Уз + «372 ) + Ру; (Р2У3 + РзУ2 )•

Пусть О'X'У'I' — неподвижная система координат. Зафиксируем подвижную систему координат 0ХУ2 в центре масс автомобиля, связав ее линейные и угловые перемещения с соответствующими перемещениями подрессоренной массы, что обеспечивает постоянство моментов инерции и произведений инерции кузова как основной массы независимо от его положения в пространстве. Примем, что в начальный момент оси подвижной и неподвижной систем координат совпадают, причем плоскости ХОУ и Х'О'У параллельны поверхности дороги.

Для описания движения принятой расчетной модели как системы взаимосвязанных масс воспользуемся уравнениями Лагранжа в независимых координатах, которые в общем виде могут быть представлены следующим образом*

л

эЛ_эт;+эг/ + эл

дд,) Э<7, дд1 дд,

Из теоретической механики известно, что абсолютные скорости произвольной точки жесткого тела с координатами в подвижной системе х], у., имеют вид

у. = Уу-р2;+щ],

¿. = У2-гх.+ру..

Соответственно кинетическая энергия произвольной массы будет

Т = \ЪЬт,

Т — ~ V 5/77

2 7

+

Согласно выбранному в модели расположению осей координат (рис. 1), кинетическая энергия подрессоренной массы

Поскольку подвижная система координат связана с подрессоренной массой, в целях определения кинетической энергии неподрессоренных масс требуется установить связи между скоростями перемещений подрессоренных и неподрессоренных масс, определя-

* Расшифровку обозначений см. в приложении 1, там же.

№ 8 2007

емые кинематическими характеристиками подвески, под которыми понимается отношение абсолютных скоростей перемещения пеподрессорепных масс к скоростям подрессоренной массы в направлении возможных перемещений

«Ч:

Рис. 1. Расчетная схема трехосного автомобиля и внешние силовые факторы,

действующие па пего

Таким образом, перемещение каждой неподрессоренной массы определяется шестью кинематическими характеристиками подвески, соответствующими возможным перемещениям в пространстве.

Абсолютные скорости элементарной неподрессоренной массы 8/гг по направлению осей х, у, г найдем в соответствии с общими формулами

X= V + гг - (у + к?V. - к'рр - к';г) у ) + к?К + к';г + к*р,

;Л = Уу-(к^р-к^-к^г^ + к^-к^р^^Х^-

-Гг-кГр к?К,

1 . = А; т; - гх <. +

№ 8

2007

Проанализировав характер полученных производных подвески, отметим, что координаты произвольной точки неподрессоренной массы не являются постоянными, а зависят от текущих значений г,р,г. Получим следующие выражения для хУ, у У , г'у :

Т. = -Т8т

1

г \

+

у*г у'^-Гг-кГр-к-:,

Подставляя (9) в (8), получим

х= V + г (г \-0+к"г + к?р + к;г) - (у + к+К - к?р - к?г) х

х (у '/0 - к]г - кп> р - Щг) + к?К + к]г + к?р, у = Уу - (И"р - к?К - к* г) (г \-о+к':г + к?р + к*г) + + (V + к?К - к™р - кг;г) (л- + к';хр + к™г) - /с/г - к?р - к/К.

¿'1=к;У:-г(х'у0+к™г + Ихр + к}хг) + (к?"р-к?Г:-к]'г)х

Следовательно, кинетическая энергия неподрессоренной массы будет

Ух + г (г У0+к'гг + к^р + куг) - (у + к^У2 - к™р - к?г) х х(у '/0- к]г - к?р - к*г) + к-У2 + к?г + крхр

Уу -(к»р-к*У,,-к]'г){гУ0+к-г + к';:Р + куг) + + (V + к*»у2 - крр - к'?г) (х Уа+кгхг + к'.хр + к:хг) -

/

куУ: - г (х' ¡0+кг* г + крхр + к* г) + (кЧр р - к*рУх - к]рг) х х (з' 'уо_ к] г — крур - к?г) + к"г

Решение уравнений (6) и (11) относительно каждой из обобщенных координат дает левые части уравнений Лагранжа второго рода для подрессоренной и неподрессоренных масс соответственно.

При составлении уравнений движения многомассовой системы, очевидно, необходимо исходить из того, что связь элементов системы однозначно определяется кинематическими либо силовыми факторами. В рассматриваемом случае кинематическая связь задается направляющим аппаратом подвески (математически выражается при помощи коэффициентов кинематических характеристик подвески). Неизвестным фактором является силовое взаимодействие подрессоренной и неподрессоренных масс системы. Поэтому при разработке математической модели предлагается в качестве независимых переменных, описывающих влияние неподрессоренных масс на движение автомобиля, использовать эквивалентные силовые факторы, вводимые при «разрыве» подвески. Для определения силового взаимодействия масс системы условно «разрежем» автомобиль на подрессоренные и неподрессо-

+

\2

№ 8

2007

репные массы. Очевидно, что границы такого раздела пройдут но элементам подвески (в нашем случае — двухрычажной независимой каждого из колес). Из курса сопротивления материалов известно, что две системы являются эквивалентными при равенстве силовых факторов, действующих па систему и вызываемых ими перемещениях. Таким образом, при разрыве связей необходимо ввести заменяющие их силовые факторы (схемы рис. 2 и 3).

Очевидно, что па подрессоренную и пеподрессореппую массы при этом будут действовать равные по величине и противоположные но направлению силы (таким образом, при суммировании они взаимно сокращаются, что подтверждает внутренний характер этих сил по отношению к системе). Также логично предположить, что силовые факторы, вводимые при разрыве подвески, будут каким-то образом приложены вдоль ее рычагов (в случае линейных сил) или представлять собой скручивающие и изгибающие моменты, действующие на рычаги подвески. В любом случае величина и направление приложения данных силовых факторов будут зависеть от направляющего аппарата подвески, что не слишком удобно при расчетах необходимо учитывать геометрию подвески. Поэтому целесообразно указанные силовые факторы привести к центру подрессоренных масс, тогда при составлении уравнений движения подрессоренной массы каждый из указанных силовых факторов будет главной и единственной силой (моментом), действующей на каждом из линейных (угловых) перемещений системы. Очевидно, что приведенные силы и моменты не являют собой реакции в пятне контакта колеса с дорогой по соответствующему направлению в чистом виде, а учитывают влияние каждой реакции через кинематические характеристики подвески, а также инерционной составляющей от движения нсподрессорепной массы. Поэтому при составлении уравнений движения неподрессоренной массы необходимо в качестве внешних сил принимать каждую из приведенных сил (моментов), введенных при разрыве подвески, противоположную по направлению действующей на кузов автомобиля, с учетом кинематических характеристик подвески (поскольку приведенные силовые факторы приложены в центре подрессоренной массы).

Полная потенциальная энергия системы определяется суммой потенциальных энергий от продольного и поперечного крена и вертикального перемещения подрессоренной массы

14

Щ

Рис. 2. Силовые факторы, возникающие при разрыве подвески

№ 8 2007

Поскольку расчетная модель автомобиль не является консервативной системой, т. е. сумма кинетической и потенциальной энергий изменяется при движении системы, необходимо определить диссипативную функцию Релея.

Принимая пропорциональность между силой сопротивления амортизатора и скоростью относительного перемещения его поршня и допуская линейную зависимость между последней и обобщенной скоростью qi, определим диссипативную функцию Релея при вертикальном перемещении подрессоренной массы

К = К>0

K =

Для поперечного крена

rp=\[к,Ли+кл2+к А+КнК»++КЛ» )р2-

Аналогично для продольного крена подрессоренной массы

г> О

Лг=

Далее определим частные производные потенциальной энергии для подрессоренной и нсподрессорснных масс по обобщенным координатам и диссипативной функции по обобщенным скоростям.

Обобщенные силы уравнений Лагранжа определим как отношения работ внешних сил dA¡ к соответствующим возможным перемещениям dq¡. Согласно внешним силам, показанным на рис. 1 и внутренним силам, динамически связывающим подрессоренную и неподрессоренные массы

Qx - ¿ Fx¡ ~ К >

где 9. — угол поворота колеса (равен 0 для колес средней оси, отрицателен для колес задней оси); Pw — сила аэродинамического сопротивления.

Обобщенная сила Qy на возможном перемещении dy равна

Для перемещения dz

Аналогично для остальных перемещений

а. = I к,, d6v)

а = + Кг)Leosе12 -(R,5 + Rn6)Leos056 + {Rii2 -Rn])|sin912 +

+ {Ks ~ Kb)~ sin 056 + (Rtx - Ri2 ) 1 eos 0I2 + (R„-Ri4)l + (Ri5-Rib)L eos 056 + (16VI) z z Z 2

+У 7?.,--sin е.-У F ..

Z-j o 9 J Z-I VJ

V*

к

Рис. 3. Силовые факторы, возникающие при разрыве подвески (вид сверху, схематично).

Для неподрессоренной массы

=

^^созе^зтЭ,-^,

а = - Л',>

-к (к""р-к4'У -к'-"г),

Ч> \ ] * ] ) )'

а, = к7р.у~к7^+к7^ - ^

где кср —коэффициент сопротивления развалу, кср [к™ р - к? г - к]'?} ~ ксрРу —момент сопротивления развалу, Мск. — момент сопротивления качению у -го колеса, МЬ} — момент сопротивления повороту / -го колеса, Ру , Р}1, Т7., Рр/., Рг}, Р^ — силовые факторы, заменяющие связи подвески, приведенные к центру масс кузова.

Запишем уравнения Лагранжа в окончательном виде. Для подрессоренной массы* уравнение движения по обобщенной координате х {д])

* Для подрессоренной массы приведено уравнение движения по первой обобщенной координате, остальные уравнения см. в приложении 2, там же.

№8

2007

т,.

ух _ [/ + гУ: - (у2 + г) ,Х0 + (гр - 1|>) Л + (г + #)20

+

'2Л

-Р

(потенциальная энергия и диесипативная функция на данном перемещении равны нулю). Для неподрессоренной массы* уравнение движения по обобщенной координате

х

' Ух + п + крг + кгуг + кр2гр + крЧр + к/г г + +куг У2 - \|)у + к'? у г + к] у г + к>'у\\гр +

+к^круУ р + к?круУЬ + к?к?У2  г + к*Ч?У22 +

) } 2 Г ] ] ) ) ~ J J *

+*ГРУ 'о; - к™к']рг - к'^кург - к'^к/рр --кЧЧ'/р2-крЧург-крЧурУ2 +к?гу\г -к'Чу'гг - к^к'/г2 - к^крр - к^крр --к'4 к? г? - к'Уку г У. + к"К + Кг + кр.хр

т:

—т

./ у

К + КУг\Лк]'кг;У2г +

+к:ркр:У:р + к]'куУ2г - кррг 'оу р -кррк'ург -кррку рр -—крркург + к!* г \} г + к/к';¡г + к'ркрггр + кгркр-г + +щ + к'::\цг + крхцгр + к2Хщ + к^У2х + к^к,хУ2г + +ИЧрхУ2р + к:Ук"Ухг - к™ рх - крЧ'хрг - ИЧрхрр --крЧ2Хрг - к'^гх '„. - к^к'угг - к'?крхгр - к'^крг х{у\1 + к^У2-кр"р-к'^г) +

х

+ /77,

к "У -

ГХ\- кГХЬ-крХ Гр-к/Г2-

-к?У2у '0/ + к'У'к уУг + кукруУ2р + к]'к?У2г -—к^гу '„,+кр]п + кг!'кугр + кукуп + кррру '0. -

-к'у'к'у рг - к'у'крурр - кр"куРг + кгуг

г =

= л. сове.

-Л^тв,

Л-

Таким образом, мы получаем систему, состоящую из шести уравнений движения для каждой из масс — уравнения (18) для подрессоренной массы и группа уравнений (19) для каждой из неподрессоренных масс у ). Совместное решение уравнений этой системы представляет собой математическую модель движения автомобиля.

* Для нсподрсссорснной массы приведено уравнение движения по первой обощенной координате, остальные уравнения см. в приложении 2, там же.