Скомпонованные гиперплоскостные распределения аффинного пространства

МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА

УДК 514.75

Ю. И. Попов

СКОМПОНОВАННЫЕ ГИПЕРПЛОСКОСТНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА

Определено скомпонованное гиперплоскостное распределение аффинного пространства An (SH-распределение) и доказана его теорема существования. Построены внутренние нормализации основных структурных подрасслоений SH-распределения в дифференциальных окрестностях 1-го и 2-го порядка. Введены нормальные и касательные аффинные связности основных структурных подрасслоений данного SH-рас-пределения.

In this article, I determine the grouped hyperplane distribution of the affine space An (SH-distribution) and prove the relevant existence theorem. I perform internal normalizations of the main structural subbundles of the SH-distribution in first and second-order differential neighbourhoods. Normal and tangent affine connections of the main structural subbundles of the SH-distribution are introduced.

5

Ключевые слова: distribution, subbundle, нормализация, нормальная аффинная связность, касательная аффинная связность, соответствие Бомпьяни — Пантази.

Keywords: geometric object, distribution, subbundle, normalization, normal affine connection, tangent affine connection, Bompiani-Pantazi correspondence.

Во всей работе использована следующая схема индексов: K, L = 1, n; i, j, k, l = 1, m; a, p, у = m +1, n -1; a, p, x = 1, n -1.

Знак = означает сравнение по модулю базисных форм raK.

1. Задание скомпонованного гиперплоскостного распределения в аффинном пространстве. Теорема существования

Определение 1. Гиперплоскостное Н-распределение (распределение гиперплоскостей Нп1) аффинного пространства Ап, в каждом центре А которого выполняются соотношения

[ К( А); ^п-т-1( А)] = А), Лт( А) п А) = А,

называется скомпонованным распределением, или кратко - БН-распределе-нием [1 — 3].

© Попов Ю. И., 2018

Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. Сер.: Физико-математические и технические науки. 2018. № 2. С. 5-17.

ае£

Распределение т-плоскостей Лт( А) = Л( А) и распределение

ае£

(п - ш - 1)-плоскостей Ьп-т-1(А) = Ь(А) назовем соответственно Л-под-расслоением и Ь-подрасслоением данного БН-распределения.

Изучение скомпонованных БН-распределений аффинного пространства актуально потому, что эти образы являются обобщениями регулярных гиперполос, гиперполос специальных типов и тангенциально вырожденных гиперповерхностей. Например:

а) если Л-подрасслоение голономно, то пространство Ап расслаивается на (п - ш)-параметрическое семейство гиперполос Нт(Ь), оснащенных полем плоскостей Ь;

б) если Л-подрасслоение голономно и в каждом центре А плоскость Ь(А) является характеристикой семейства касательных гиперплоскостей, то в этом случае пространство Ап расслаивается на (п - тетраметрическое семейство гиперполос Нт [4];

в) если Н-подрасслоение голономно, то пространство Ап расслаивается на однопараметрическое семейство гиперповерхностей, оснащенных полями Л-, Ь-плоскостей.

Присоединим подвижный репер Я = {М; ^} пространства Ап к

БН-распределению следующим образом:

М - А,{е,} с Л(А), {еа} с ДА), еп € Н^А).

В выбранном репере нулевого порядка Я скомпонованное распределение БН задается следующим образом:

„п _ Л п К _ д п „К

Ю,- = ЛКю , Юо = Л

„а _ Л а ,-.К , _ а , К

Ю, =Л,КЮ , Юа=ЛаКЮ

Ь

где

УЛК =Л-КьЮ, УЛ^ = ЛаКьЮ УЛОК +Лпкюа = Л^.Юь, УЛОК +Л"аКюп = Л,аК1юЬ,

= {Л"к, ЛОк, ЛК, ЛОк}, = {Г1, Л,Кь, ЛОкь, Л°сь, ЛОкь}, ••• '

последовательность фундаментальных геометрических объектов БН-рас-пределения [5].

Имеет место теорема существования БН-распределения.

Теорема 1. В п-мерном аффинном пространстве Ап скомпонованное гиперплоскостное распределение (БН-распределение) существует с произволом т + (2ш + 1)(п - т - 1) функций п аргументов.

Доказательство. Действительно, чистое замыкание (2) системы (1) представим в виде

УЛК л юК = 0, УЛОК л юК = 0, УЛОК л юК = 0, УЛОК люК = 0.

6

Полагая, что т + (2т + 1)(п - т - 1) = Л, находим характеры [6] систем^! (3):

Б1 = Б2 = Бз = ... = Бп = Л.

Найдем далее число Картана [6] системы (3):

0 = Б1 + 2Б2 + 3Б3 + ... + пБп = п(п2+1) Л. Разрешая систему (3) по лемме Картана [6], находим:

улк =лпК1р1, УЛ" =Л"р1,

ЧК ~ 2 ЧКЬШ ' у "К ~ 1аК1и

С =Л КУ, УЛ "к =л ^

Число линейно независимых функций Ы, стоящих в правых частях си-п

стемы (4), равно N = —2— Л. Следовательно, 0 = N и система (2) находится в инволюции [6].

Произвол системы (2) определяется характером Бп.

2. Поля нормализаций Нордена основных структурных подрасслоений 5Н-распределения в окрестности 1-го порядка

1. Из уравнений (1), (2) следует, что совокупности функций {Л}, {Лп}, {Л "р} образуют невырожденные тензоры 1-го порядка:

УЛар = Л 1рк«К, УЛп = Л"кюК, УЛ"р = Л"аркюК,

которые являются соответственно основными (главными) фундаментальными тензорами 1-го порядка Н-, Л-, Ь-подрасслоений данного распределения БН с Ап.

Так как тензоры {Лар}, {Лп}, {Л"р} невырожденные, то для них рассмотрим соответственно обращенные фундаментальные тензоры 1-го порядка {Лар}, {Лп}, {Л"р}, удовлетворяющие соотношениям

Л^Л^, Лп Л* = 5?, Л"рЛ*=5", (6) ЛпсЛпР=5а, ЛпЛЩ=8\, ЛпаЛп = 8""

и уравнениям

УЛ^ = Л^, УЛ п = Л 'К юк, УЛ = Л "рюк.

Определение 2. Всякую инвариантную прямую А) в данном центре А распределения БН назовем нормалью 1-го рода плоскости Н(А), если Ы1(А) £ Н(А), а инвариантную (п - 2)-плоскость Ып-2(А) с Н(А), А £ Ып-2(А) назовем нормалью 2-го рода плоскости Н(А).

7

Таким образом, нормализацию Нордена Мп-2) Н-подрасслоения [7] данного БН-распределения зададим полями объектов {уП } и {уа}:

У< +юп = УПКюК, Ууа = уакюК.

Введем, учитывая (8), (2), соответствие Бомпьяни — Пантази [8] между нормалями 1-го рода {уП } и 2-го рода {уа} Нордена Н-подрас-слоения:

ар n •'а

где

va=A "v, + ta,

def

ta = Ain, Vta=AПр^П + taK•

vn = A iPVp+ ti •

Учитывая (6), разрешим уравнения (9) относительно {уП }:

=Л °ру +

п п р

Здесь в силу формул (10), (7г) имеем ае£

=-Лп%, У£ +юп = КкЮК.

Установим соответствие Бомпьяни — Пантази [8] между нормалями 1-го и 2-го рода Л-, Ь-подрасслоений данного БН-распределения. Прежде всего, учитывая (1), (2), (6), (10), непосредственной проверкой убеждаемся, что функции

ае£ ае£

Ы ~ ^п1] п 1а' Ы ~ п 1Р п Н

удовлетворяют уравнениям

Vtn +< = tl„KK, = t"KmK•

Предварительно построим ряд функций 1-го порядка, дифференциальные уравнения которых найдем, используя (5 — 8), (10), (12):

def

T = t, +A nptP, vt = Ai m ;

def

T = t + An t> VT = An mp •

Ta= ta+Aajtn, VTa=Aapmn;

def

T1 = — A iT VT1 +m! = T

1 ¡-n^j ' y ^n ^ "Jn ~ nK

1 „K.

m

def

Tn=— A "PTp, VT>< = T" mK •

Соответствие Бомпьяни — Пантази между нормалями 1-го и 2-го рода Нордена Л-, Ь-подрасслоений согласно соотношениям (5), (6), (8), (13), (14) принимает следующий вид:

уп = Лп У 9 + Т, У, =Л" УП + Т,

n j 1 1j n

. pv + ta v = An vp + T

n vp + Tn ' va _ yvapvn + Ta-

vI = A n PvB+ Tn, va = A " V, + T •

8

2. Поля (14) квазитензоров (Т}, (Т™) и поле

УТХ= Тк юк

ае£

квазитензора {Т^} = (Т; Т") задают поля нормалей 1-го рода (Тп-т; Тт+1; Т1) соответственно Л-, 1-, Н-подрасслоений БН-распределения. В силу биекций (9), (15) Бомпьяни — Пантази находим поля нормалей 2-го рода Л-, Ь-, Н-подрасслоений:

ае£

Л г

ае£

*п-т-2 : & = Л«рТП5 + Та, У£а = £аКюк,

ае£

^п-2 : ^а =ЛПрТпР+ íа, .

^ Ъ = Л" Т + Т, = ^юк,

Согласно (2), (7) охваты [5]

1 р

уп =Лп = 7ЛаВЛп ,

п - т -1 ае£ 1

Vя = Л а = — Ла Л >',

п п I! п '

т

ае£

Vе = Ла = (Л1; Ла}

'п -1 *-п I-1 *-п> 1 п I

удовлетворяют уравнениям

УЛп + ю'п = Лпкюк, УЛ£ + = Л^кюк, УЛ^ = юк,

которые задают поля нормалей 1-го рода (Лп-т; Лт+1; Л1) в смысле Нордена соответственно Л-, Ь-, Н-подрасслоений данного БН-распре-деления.

В силу биекций (9), (15), (16) построим поля нормалей 2-го рода (Хт-1; Хп-т-2; Хп-2) соответственно Л-, Ь-, Н-подрасслоений:

ае£

Хт-1:=ЛпЛп + Т, УХ; = ХЖVх,

ае£ п р к

Хп-т-2 : Ха = ЛарЛп + Та, УХа = Хакю , ае£

к

Xп-2 : Ха = Л"рЛп + , УХа=ХП

п-2' а ар п ""а' а ак

Таким образом, справедлива

Теорема 2. В дифференциальной окрестности 1-го порядка распределение БН е Ап порождает внутренним инвариантным образом поля нормали-

заций (Тп-т; ^т-1)' (Тт+1; ^п-т-2)' (Т1; ^п-2) и (Лп-т; Хт-1), (Лт+1; Хп-т-2),

(Л1; Хп-2) в смысле Нордена соответственно Л-, Ь-, Н-подрасслоений.

9

10

3. Построение нормализаций основных структурных подрасслоений SH-распределения в дифференциальной окрестности 2-го порядка

1. Рассмотрим построение нормализации Нордена Л-, L-, H-под-расслоений SH-распределения в дифференциальной окрестности 2-го порядка исходя из найденных ранее полей объектов 1-го порядка {tn} (12), {ЛП }(19з), {Тр} (17).

Продолжая уравнение (12) и полагая K = р и K = n, получим следующую систему уравнений:

vtnV (tn Л Пр + ^л ^ к - 0, vtnan - (tn,-tn лПп - ^ЛПХ к - о.

Введем а рассмотрение функции 2-го порядка

Hр = ta - Л п tЧр

±J-np 1пр 5р nln> \ >

которые в силу (5), (12), (20) удовлетворяют уравнениям

vHp- о.

В общем случае тензор {НЩр} 2-го порядка (21) невырожден и, следовательно, для него существует обратный тензор {ДПР}:

Hf =5р, нПрH-=5ра, VHпр -0.

Далее построим квазитензор 2-го порядка

An = -нрр HPn, van +< = Арпк Г,

где

Hр = tр -t tр^Р VHр = Hр Г

^n^ ~ 'nn Lp^n ln ' vrJnn ~ ^пр^n •

Непосредственной проверкой убеждаемся, что функции (A'n}, (A™} удовлетворяют уравнениям

van + Г = A'nKГк, VA™ + < = A"KrK,

то есть являются подобъектами объекта (An} = (A'n; A™}. Поля квазитензоров (an }(22), (An }(24), (A™ }(24) задают соответственно поля нормалей (A 1; An-m; Am+1) 1-го рода H-, Л-, L-подрасслоений SH-распределения в дифференциальной окрестности 2-го порядка.

В силу биекций Бомпьяни — Пантази (9), (15), (16) находим поля нормалей 2-го рода H-, Л-, L-подрасслоений SH-распределения, соответствующие полям нормалей 1-го рода этих подрасслоений:

ае£

К

Д_2: Аа=А" А + ^, = Л^

ю

ар

ае£

А-1: Д = АП АП + %, УД = Лкюк,

ае£

А-т-2 : Л = АХр АП + %а' УЛ = ЛкЮК.

Резюмируя результаты этого пункта, приходим к выводу:

Теорема 3. Поля нормализации (Ах; Л„_2), (Ап-т; Лт_1), (Ат+Х; Лп-т-2) Нордена Н-, А-, Ь-подрасслоений БН-распределения внутренним инвариантным образом определены в дифференциальной окрестности 2-го порядка.

2. Пусть задано поле (19з) нормалей 1-го рода А Н-подрасслоения. Следуя построениям (18 — 25) (см. п. 1) последовательно получаем:

уа ар+( а„Хр+ап А^а к- о, УАа„ - ( а ар-а а*р- ^а к - о, ва,=Апр-Аа,АПА п, увар- о,

В„а^ = 5ра, ВПрвпа = 5а, УВр"а - 0,

ВПп = А Пп- *рК АП,УВПП - ВПрюП.

Согласно уравнениям (26), (27) определяем, что совокупность функций

В = -В^, УВП +юрп = ВрпкюК

образует квазитензор 2-го порядка. Из (28) следует, что величины {Вгп},

{ВХ} также являются квазитензорами 2-го порядка. В силу биекций

Бомпьяни — Пантази (9), (15), (16) квазитензорам {ВП}, {В'п}, {ВХ} поставим в соответствие тензоры 2-го порядка

ае£

Аар'^п т 1а> УВа~ ВаКи

Ва=АПЖ, + ¿а , У^а= аК ,

ае£ к

В1 =АП©П + %, УВ, = Вкюк,

ае£

Вх = АХрВП + %х, УВх= ВакЮК,

поля (29) которых задают поля нормалей 2-го рода (Вп-2; Вт-1; Вп-т-2) Нордена соответственно Н-, А-, Ь-подрасслоений БН-распределения. Следовательно, имеет место

Теорема 4. БН-распределение внутренним инвариантным образом порождает поля нормализаций (В1; Вп-2), (Вп-т; Вт-1), (Вт+1; Вп-т-2) Нордена его структурных Н-, А-, Ь-подрасслоений в дифференциальной окрестности 2-го порядка.

11

12

3. Аналогично (см. п. 1 и 2 этого раздела) проведем построение нормализации Нордена Н-, Л-, Ь-подрасслоений, исходя из задания поля нормалей 1-го рода (17) Н-подрасслоения. Таким образом, получаем следующую последовательность уравнений:

(тхР+лплЧа К = о,

п - (%пт - %п ^т - ^т )юп = ° ае£

Ст = %т - Лт %= о

^пр ''•пр •"^р^п ' Чпр _

сП|срп4 = 8Т, СТАпт = §т, = о,

ае£

Ст = %т - + %VСa = Ст ^р

^пп ^пп '^п^п' у ^пп Упршп'

ае£ _

С =-СС, vCnp+юn = Ок,

сп +юп = СкюК, VCna + < = СюК.

Поля (30), (31) объектов (Спа}, (Сп!}, (Спа} задают соответственно поля нормалей 1-го рода (С1; Сп-т; Ст+1) Н-, Л-, Ь-подрасслоений, которым в биекции Бомпьяни — Пантази соответствуют поля нормалей 2-го рода Н-, Л-, Ь-подрасслоений:

ае£

Сп-2 : Са =ЛпарСпР+1 т, VСa = Сакюк, ае£ п . к

Ст-1 : С1 = Л 1]Сп + %, = СКю ,

ае£ п р к

Сп-т-2 : Са = ЛарСп + %а, VСa = Сакю .

В результате приходим к выводу.

Теорема 5. Нормализации (С1; сп-2), (Сп-т; ст-1), (Ст+1; сп-т-2) Нордена

Н-, Л-, Ь-подрасслоений внутренним инвариантным образом определены в дифференциальной окрестности 2-го порядка элемента БН-распределения.

4. Задание нормальных и касательных аффинных связностей на оснащенном 5Н-распределении

1. Адаптируем репер Яо полю нормалей А) 1-го рода Н-подрасслоения данного БН-распределения, выбирая вектор еп || Ы1(А). В этом случае

<=Лпк к, а=Лак к,

а поле нормалей 1-го рода А) Н-подрасслоения определяется уравнениями

vлnк = о, ^ак = о.

Репер, в котором выполняются условия (32), (33), является репером 1-го порядка Я1 [5]. Относительно репера Я1 уравнения (1), (2), (32), (33) задают скомпонованное распределение БИ с Ап, оснащенное полем нормалей 1-го рода Ы1(А) порядка Ь > 2.

ае£

При фиксации точки А = х (центра БИ-распределения) плоскости

ае£ ае£ ае£

Тп_1(х) = Ип_1(x), тт(х) = Лт(x), Тп_т_1(х) = Ьп_т_1(x), ае£ ае£

х) Мп_т(х) = [N1; 1п_т_1], Мт+1(х) = [N1; Лт ]

остаются неподвижными. Следовательно, БИ-распределение порождает нормальные

Ап )/ Nn-m

и касательные

Тп-1

подрасслоения [9].

Структурные уравнения касательного расслоения Тп1(Ап) в силу формул (1), (2), (32), (33) имеют следующий вид:

йюк = ю' ЛЮ^, ¿ю/ = ю^ лю[ + 0/, ¿ю" = ю" люр + 0", ¿ю" =ю°лю' + °" , ¿ю" = ю? лю" + ,

где

О/ =(ЛпЯьЛ|^к] + Л"р.Лук])ю' люк = К)ькю' люк,

=ю"люп +ю"лю,Р =

=

0" = ЛЛ]ю" люк = ю1 люк, О" = Лп[ьЛ"п|кю люк = «"кю' люк,

«Дк = Л"[' Л\п\к ] +Л"[' ЛI" к ],

Пр — Л п Др + Л 1 др

«аЬк - 1 а[' |п|к] М],

П = Лп Л1 «а'к =Ла[ 'Л| п\к ],

па = лп да

= Л 1[ I/Д п\к ].

Определение 3. Следуя работам [5; 9], делаем вывод, что в касательном расслоении Тп_1(Ап) (И-подрасслоении) возникает аффинная

связность у без кручения с формами связности {юк; ю?}. Эту связность

назовем касательной аффинной связностью у оснащенного БИ-распреде-ления.

13

Теорема 6. В дифференциальной окрестности порядка Ь > 2 в касательном расслоении Тп-1(Ап) (в Н-подрасслоении) оснащенное БН-распределение индуцирует касательную аффинную связность у с формами связности (юк; } и 2-формами кривизны (34). Компоненты тензора кривизны

ЯТЬк = (^Ьк; Цьк; ^аьк; Щк} касательной аффинной связности у имеют строение (35).

Структурные уравнения нормального расслоения Ап) (расслоения нормалей 1-го рода А) Н-подрасслоения) с учетом уравнений 14 (1), (2), (32) можно представить в виде

=^п,

где

п =п Люп + <л< =

= ( Л п[Ь Л ¡¡¡к ] + Лф Л"а| к ])ю ЛЮ = Кьк ю л

^Чьк = Л п [Ь Л п\к ] + Лп[Ь Л "а| к ].

Определение 4. Согласно работе [9] в нормальном расслоении МХАп) возникает центроаффинная связность у1 с формой связности (п} и 2-формой кривизны Ппп (36), которую назовем нормальной аффинной связностью у1.

Теорема 7. В дифференциальной окрестности порядка Ь ^ 2 оснащенное БН-распределение индуцирует в расслоении Ы1(Ап) нормалей 1-го рода Ы1( А) Н-подрасслоения нормальную аффинную связность у1 с формой связности (п} и 2-формой кривизны (36), компоненты тензора кривизны япЬк которой имеют строение (37).

2. Аналогично (см. предыдущий п. 1) можно построить нормальную аффинную связность (центроаффинную связность) в расслоении Мп-т( Ап) нормалей 1-го рода базисного Л-подрасслоения БН-рас-пределения.

Структурные уравнения нормального расслоения Мп-т(Ап) имеют следующий вид:

^а=»ал<+оа, йа=лп+а лп +а лп=а лп +^а, йа=п ла+^а, =,

где

°а=<люп+ю"люР=

= (Л"р.Л,п,к] +Л"р.Л|Р|к])ю' люк = Я"*ю' люк, О" = Л"['Л|"к]ю' люк = Я"*ю' люк, О" = ЛЛю люк = «"'кю' люк,

°п =(Л'п[1 Л|1|к ] + Лí7[L Л|"| к ])ю лю = Кьк ю лю ,

пр — дп др +д1 др

Я

п'к

= Лп['], «"тк = ЛЛ1

Я

п'к

= д1 дп + д" дп

= Л п[' Л| 1\к ] +Л п[' Л|"| к ].

Теорема 8. В дифференциальной окрестности порядка Ь ^ 2 оснащенное БИ-распределение индуцирует в расслоении Nn_m(An) нормалей 1-го рода Л-подрасслоения нормальную (центроаффинную) связность с формами связности {ю"} и 2-формами кривизны (38). Компоненты тензора кривизны Я"к связности имеют строение (39).

Структурные уравнения касательного расслоения Тт(Ап) (Л-подрасслоения) с учетом уравнений (1), (2), (32) можно представить в вице

йюк = ю' лю[, йю) = ю^ люк + О),

15

где

О = (Л"['Л и к ] +Л Я' Л\п\к ])ю' люк =

= ю' люк,

я1 = д" д 1 + дп д1 Я'к =Л )[ к ] +Л )[' Л| п\к ].

Теорема 9. Оснащенное БИ-распределение в дифференциальной окрестности порядка Ь ^ 2 индуцирует внутреннюю нормальную аффинную связность - в касательном расслоении Тт(Ап) с формами связности {юк, ю)} и 2-формами кривизны (40). Компоненты тензора кривизны Я1^к связности л имеют строение (41).

3. Построим связность Э1 в расслоении Nm+l(Ап) нормалей 1-го рода '-подрасслоения данного БИ-распределения. Структурные уравнения нормального расслоения ^^^Ап) имеют следующий вид:

йю) =юк: лю'к + О) , йюп = Оп ,

йю1п = юп лю1- +Оп, йюп = ю1 люп +Оп,

п п ) п' 1 1 ) 1 '

где

" -Л"[ГА\пК] + Л«[Г Л|а|КАЮК = ЛЮК,

"П = Л«р. ЛклюК = ^гкюГ лК, "П =Л лпкл»к = ЩкюГ л»К,

"П = (ЛП[ЬЛ[]|К] + Л«[ГЛ"а|к])юГ люК = ЯППькюГ лК,

Щьк - Л "[ГЛ |п|к ] +Л "[ ГЛ\п\К ],

16 К-Птк - ЛП[ГЛ"К] +Л«[ГЛ"

КгК - Л«[ГЛ|а|К], ^Ггк - Л¿[ГЛ"«|К],

п - л \ Л п + Л « Л п пГК - п[Г |\|К] + уЧ[ГЛ|а|К]•

Теорема 10. Оснащенное БИ-распределение индуцирует внутреннюю нормальную аффинную связность 9х в расслоении Ыт+1(Ап) нормалей 1-го

рода Г-подрасслоения с формами связности {ю--} и 2-формой кривизны } (42). Компоненты тензора кривизны Я-.ГК имеют строение (43).

Структурные уравнения касательного расслоения Тп_т_1( Ап) (Г-подрасслоения) имеют вид

йюк - юГ люК, ¿ю« - ю« лю| + "« ,

где

-

Теорема 11. В дифференциальной окрестности порядка Ь ^ 2 оснащенное БИ-распределение индуцирует внутреннюю аффинную связность 9 в касательном расслоении Тп_т_1(Ап) (Г-подрасслоении) с формами связности

{юК, ю«} и 2-формами кривизны (44). Компоненты тензора кривизны связности 9 имеют строение (45).

Список литературы

1. Попов Ю. И. О проективно-дифференциальной геометрии двухсоставно-го гиперполосного распределения Игт п_1 // Тез. докл. 7-й Всесоюзной конф.

по современным проблемам геометрии. Минск, 1979. С. 160.

2. Попов Ю. И. Скомпонованные трехсоставные распределения проективного пространства // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 1989. Вып. 20. С. 73 - 96.

3. Попов Ю. И. Основы теории трехсоставных распределений проективного пространства. СПб., 1992.

4. Попов Ю. И. Регулярные гиперполосы аффинного пространства : учебное пособие. Калининград, 2011.

5. Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований // Тр. Московского математического общества. 1953. Т. 2. С. 275—382.

6. Фиников С. П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии. М. ; Л., 1948.

7. Норден А. П. Пространства аффинной связности. М., 1976.

8. Лаптев Г. Ф., Остиану Н. М. Распределения га-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности. I // Тр. Геом. семинара. ВИНИТИ АН СССР. М., 1971. Т. 3. С. 49 — 94.

9. Чакмазян А. В. Нормальная связность в геометрии подмногообразий. Ереван, 1990.

Об авторе

Юрий Иванович Попов — канд. физ.-мат. наук, проф., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Россия.

E-mail: yurij.popoff2015@yandex.ru

The author

17

Prof. Yuri I. Popov, I. Kant Baltic Federal University, Russia. E-mail: yurij.popoff2015@yandex.ru