Численное моделирование и анализ нагрузочных характеристик лепесткового подшипника с газовым слоем

УДК 62-50

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И АНАЛИЗ НАГРУЗОЧНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ЛЕПЕСТКОВОГО ПОДШИПНИКА С ГАЗОВЫМ СЛОЕМ

Г.А. Левина, В.В. Дрокин

NUMERICAL SIMULATION AND ANALYSIS OF GAS LUBRICATED MULTI-LEAF JOURNAL BEARING LOAD CHARACTERISTICS

G.A. Levina, V.V. Drokin

Реакции лепесткового подшипника с газовым смазочным слоем определяются на основе численного решения задачи гидроупругости. Выполнен анализ нагрузочных характеристик радиального подшипника, содержащего упругую систему оболочек-лепестков, при различных конструктивных параметрах. Представлена методика оценки предельной несущей способности подшипника на основе упругогидродинамической модели.

Ключевые слова: лепестковый газодинамический подшипник, нагрузочная характеристика, задача гидроупругости.

The reactions of a multi-leaf bearing with gas lubrication are defined on the basis of the hydro elasticity problem’s numerical solution. The analysis of the load characteristics of journal bearings with different design factors is done. The methodology of estimation of the ultimate bearing capacity based on hydro elastic model is presented.

Keywords: multi-leaf gas bearing, load characteristic, hydro elasticity problem.

Введение

Одной из проблем создания высокоскоростных турбомашин (турбохолодильников, турбокомпрессоров, турбогенераторов и др.), роторы которых вращаются со скоростями 20...100 тысяч оборотов в минуту, является обеспечение надежной работы их опор. Основные трудности связаны с переменными динамическими нагрузками, а также со сложными температурными условиями в роторном узле машины. Отмеченные обстоятельства имеют место, например, при эксплуатации турбомашин в составе транспортных систем кондиционирования или энергетики. В указанных условиях газодинамические опоры с твердыми поверхностями могут оказаться неработоспособными.

Лепестковые опоры представляют собой разновидность газодинамических опор, в которых газовый смазочный слой заключен между твердой поверхностью вращающегося вала и тонкими упругими металлическими оболочками-лепестками, перекрывающими или не перекрывающими друг друга. Лепестки подшипника закреплены по одному краю на втулке, жестко связанной с корпусом машины (рис. 1). Податливость и малая масса лепестков позволяют им отслеживать поверхность вала при сохранении газового слоя в опорном узле. На рабочие поверхности лепестков наносится износостойкое антифрикционное покрытие.

Несущая способность лепесткового газодинамического подшипника (ЛГП) в стационарных условиях работы зависит от

скорости вращения вала, параметров состояния окружающей газовой среды, геометрических параметров. Оценить несущую способность опоры можно по ее нагрузочным характеристикам -зависимостям результирующей реакции (поддерживающей силы) и минимального зазора от радиального смещения вала.

Первичную оценку нагрузочной характеристики лепестковой опоры можно получить с помощью статического расчета, когда поддерживающая сила определяется как результирующая контактных реакций лепестков, приложенных к неподвижному валу [1]. Нагрузочные характеристики при вращении вала определяются с помощью решения упругогидродинамической (УГД) задачи, из которого определяются конфигурация зазора и распределение давления в газовом слое опоры. По значению минимального зазора между поверхностями вала и лепестков, при условии уравновешивания заданной внешней нагрузки реакцией слоя, можно получить представление о работоспособности подшипника. Заметим, что при умеренных нагрузках характеристики подшипника, полученные для различных скоростей вращения, оказываются близкими к статической, что отражает то обстоятельство, что величина результирующей реакции опоры при таких нагрузках слабо зависит от скорости вращения вала. В то же время численный анализ решений УГД задачи позволяет установить, что распределение давления слоя на поверхности вала и минимальные зазоры в опоре существенно зависят от скорости вращения. Таким образом, для оценки работоспособности опорного узла недостаточно статической упругой характеристики, но необходимы результаты решения УГД задачи [2].

1. Постановка и решение задачи гидроупругости

Настоящая работа является продолжением исследований, представленных в статьях [3-6].

Рассматривается плоская модель подшипника с перекрытием лепестков (рис. 2). Построение математической модели опирается на следующие предпосылки и допущения: лепесток рассматривается как тонкая упругая цилиндрическая оболочка, для которой справедливы гипотезы Кирхгофа-Лява; средняя линия лепестка принимается нерастяжимой, упругие перемещения лепестка считаются малыми - задачу о прогибах рассматриваем как геометрически линейную. Поверхности лепестков и цапфы принимаются гладкими, без трения. Для газового смазочного слоя опоры принимаются справедливыми допущения приближенной теории газовой смазки.

Рис. 2. К описанию математической модели ЛГП

УГД задача решается для условий стационарного нагружения подшипника путем прямых итераций «прогиб-давление-прогиб...». Определение равновесной конфигурации деформированного упругого пакета, размещенного в зазоре между поверхностями цапфы и втулки, выполняется на основе численного решения вариационной задачи о минимуме потенциальной энергии системы лепестков при ограничениях, выражающих краевые условия и естественные условия неврезания лепестка в соседние лепестки, в цапфу и втулку.

Потенциальная энергия П упругого пакета рассматривается как функционал от распределения прогибов лепестков W.(ф*), i = 1,N , где i - номер лепестка, N - количество лепестков опоры. Прогиб Wi (ф*) отсчитывается от средней линии недеформированного лепестка и определяется приближенно по направлению полярного радиуса, проведенного из центра втулки О1 (см. рис. 2).

Вариационная задача формулируется:

N

П = £ П

i=1

Ф* Ф*

т j R-(W"+ W. )2 dф* - Ял j Q,w,dф*

W (ф* )е С 2, ф* е[°;Ф* ];

п, = ь

при ограничениях:

Ж,-

( *) I^-50/2-Г(Ф*); ф* е[0;2тг/^);

щ (ф, ) = <

{Явт -350 /2-5П -г(ф*); ф* е[2^/Ы;ф*];

ж- ( *)=1Кц + Ят1П + 35о/2+25п - г (ф*); ф*е [0; ф2);

' Фг | *ц + Нт1П +5о/2 + 5п - Г (ф*); ф* е [Ф2;Ф*];

при краевых условиях:

Щ

Здесь Ь - длина подшипника в осевом направлении; Б = ——0—г- - коэффициент цилиндриче-

12

ской жесткости лепестка, Е - модуль упругости 1-го рода материала лепестка; 5 0 - толщина лепестка без покрытия; V - коэффициент Пуассона; Ял - радиус средней линии недеформированного лепестка; Qi = р - Ра - избыточное давление в смазочном слое, ограниченном лепестком с номером ,, р - давление в смазочном слое с номером ,, Ра - давление окружающей газовой среды; 5п - толщина покрытия лепестка; ф, - полярный угол точки средней линии ,-го лепестка в системе координат, связанной с втулкой; пределы интегрирования соответствуют расчетной схеме, представленной на рис. 2. При описании ограничений учитывается толщина покрытия лепестков 5п и величина минимального допустимого зазора Нт1П .

Решение вариационной задачи (1)-(3) выполняется путем дискретизации с последующим применением метода проекций градиента.

Распределение давления в слое смазки описывается уравнением Рейнольдса

d

( Л

d h3Pidr -Ap'h'

й'ф. i dфг

= 0

)

с краевыми условиями для границ, открытых в окружающую среду:

Р,

где И, = И,(ф,)= Н(ф,) - функция зазора; pi = pi(ф,) = Р,(ф,)/Ра - безразмерное давление; Hi -

Н *

зазор между цапфой и лепестком; Н* - характерный зазор; Л =---------- - газодинамический па-

— гц2

PaH

раметр подшипника (Ц - динамический коэффициент вязкости газовой среды, ю - угловая скорость вращения вала, Яц - радиус цапфы вала).

Заметим, что в области правой (в направлении скольжения) кромки лепестка имеет место резкое ступенчатое изменение зазора («большая ступенька»), что приводит к возможности проявления инерционных эффектов при движении вязкого газа в этой локальной области. Однако дополнительные исследования показывают, что влияние таких эффектов на распределение давления по рабочей поверхности вала весьма мало. Поэтому с учетом большой величины зазора в области «ступеньки» справа (порядка толщины лепестка) принимаются приближенно краевые условия вида (5).

Численное решение краевой задачи (4), (5) выполняется в виде итерационного процесса Ньютона-Канторовича, на каждом шаге которого соответствующие линейные уравнения аппроксимируются разностной схемой по методу баланса с последующим применением немонотонной прогонки и процедуры поправок приращений давления (регуляризации):

р

где Др. - разности сеточных значений давления при входе в итерационный шаг с номером п и

значений, полученных после решения сеточных уравнений этой итерации [4].

Параметр р определяется по условию минимума нормы вектора невязки нелинейных разностных уравнений, соответствующих (4), после подстановки в них (б):

ст

Итерационный процесс завершается по достижении условия |р(п+1) - р(п)|

^ Рг] и 8*,

р

где 8 * - заданная величина порядка 10-12...10-8.

Краевая задача для давления решается на сгущенной, по сравнению с решением задачи упругости, сетке. Переход от сетки прогибов к сетке давлений выполняется с помощью линейной интерполяции, обратный переход - через осреднение найденных значений давления по ближайшим узлам.

Условие завершения вычислительного УГД процесса формулируется аналогично (8): вычисляется относительная разность сеточных значений давления на двух соседних итерациях и ее наибольшее значение сравнивается с малой предустановленной величиной.

По результатам решения 'У ГД задачи определяем приложенную к валу результирующую силу давления смазочного слоя Р = (; Ру ):

N ф N Ф*

Рх=-Е ькц IР

,=1 ф*2 ,=1 ф2

Предельная несущая способность Рпр при заданной скорости вращения определяется по дос-

тижении для некоторого фе [0; 2л] допустимого минимального зазора Нт1п . Выбор величины минимального допустимого зазора при моделировании в вычислительной программе процесса нагружения опоры связан с той особенностью, что лепестки «отслеживают» поверхность пяты с весьма малыми зазорами. С другой стороны, исходные положения теории газовой смазки требуют, чтобы величина Н т1п превышала высоту микронеровностей, ограничивающих слой поверхностей, и приближенно соответствовала условию Нт1п > 100/р, где I - длина свободного пробега молекул смазывающего газа. При численном моделировании ЛГП величину Нт1п рассматриваем как варьируемый параметр и учитываем указанные ограничения при анализе результатов расчета.

Метод реализован в алгоритмах авторской программы расчета нагрузочных характеристик радиальных лепестковых газодинамических подшипников, созданной в среде программирования Бе1рЫ [7]. В программе для каждого положения вала, задаваемого вектором радиального смещения, решается УГД задача. Использование средств визуализации Бе1рЫ позволило создать удобный

Левина Г.А., Дрокин В.В.

интерфейс: с помощью отображения на дисплее деформированной конфигурации упругого пакета и эпюр давления через равное число итерационных шагов пользователь получает представление о ходе вычислительного процесса. Такая реализация дает возможность делать выводы об эффективности настройки решателя УГД задачи в целом и подзадач расчета прогибов и давлений и изменять такие параметры вычислительной схемы, как число итераций в каждой из подзадач, шаг *

сетки, параметры е завершения итерационных циклов и другие.

Приводим результаты выполненных в программе вычислений нагрузочных характеристик подшипников турбогенератора (рис. 3-5). Представлены графики зависимости результирующей реакции опоры, наибольшего избыточного давления в газовом слое и его минимальной толщины от относительного радиального смещения вала при различных конструктивных параметрах на номинальной скорости вращения вала (рис. 3-5).

В этом расчете неизменяемые параметры подшипников: Яц = 30,5 мм; Ь = 54 мм; 5 0 = 0,15 мм;

5п = 20 мкм. Параметры работы опорного узла: ю = 60 тыс. об/мин; Ра = 0,4 МПа; температура газа ^ = 500 °С. Масса вала в сборе составляет т = 10 кг, вал опирается на три одинаковых подшипника (согласно схеме ротора турбогенератора [8]); несущая способность одного подшипника в случае вала с горизонтальной осью должна быть не менее mg/3 ~ 33 Н. В большинстве расчетов минимальный допустимый зазор Нт;п = 1 мкм. Температурные условия учтены выбором значений модуля упругости Е материала лепестка и динамического коэффициента вязкости воздуха.

Варьируемые параметры конструкции: число лепестков N; относительная длина средней линии лепестка Ьл = (2тсЯц ); относительный радиус лепестка Ял = Ял/Яц ; угол установки

лепестка во втулке подшипника а ; монтажный зазор подшипника Нм = Явт - Яц - 2 (50 +5п) ; Явт - внутренний радиус втулки подшипника (см. таблицу).

Параметры конструкций ЛГП

№ вар. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

N 8 12 10

К 1,5 1,44 1,3 1,6 1,65

*л 1,2 1,21 1,4 1,5

а,град 4 5 6 7 7 4 5 4 5 6 5 6 4 5 6

Н м, мм м ’ 0,12 0,2 0,1 0,12 0,2 0,12

2. Анализ результатов

В случае вариантов 6 и 12, конструктивные параметры которых различны, нагрузочные характеристики практически совпадают (рис. 3). Однако максимальные давления и минимальные зазоры в опорах существенно различаются (рис. 4, 5). При заданной нагрузке максимальные избыточные давления слоя в опоре 12 оказываются меньше, чем в опоре 6, а минимальные зазоры при равных смещениях вала - больше. Следовательно, диапазон допустимых смещений вала для опоры 12 шире, чем для 6, и предельная несущая способность выше, поэтому при одинаковой внешней нагрузке вариант 12 оказывается более надежным.

Весьма близки нагрузочные кривые для вариантов 1 и 8. Подшипники имеют различные длины и радиусы средних линий лепестков: вариант 1 с более длинными лепестками, но с радиусом недеформированного лепестка, близким к радиусу цапфы. В варианте 1 минимальные зазоры оказываются в 1,5-2 раза больше, чем для варианта 8 (см. рис. 5). Диапазон допустимых смещений вала для варианта 1 шире, а надежность работы при равных нагрузках выше.

Достаточно близка к вариантам 1 и 8 характеристика 14, хотя при больших смещениях вала результирующая реакция этой опоры несколько выше. Максимальные избыточные давления и минимальные зазоры в опоре оказались средними между значениями для опор 1 и 8.

Близкими оказываются значения максимального давления и минимального зазора для вариантов 5 и 6, но несущая способность подшипника 5 оказывается примерно на 20 % выше. Эффект объясняется тем, что конфигурация зазора в опоре 5 ближе к оптимальной - протяженность слоя с избыточным давлением больше.

Аналогичная ситуация наблюдается при сравнении вариантов 6 и 7, для которых значения минимального зазора достаточно близки. Максимальное избыточное давление в варианте 6 немного больше, чем в варианте 7, но несущая способность 7 существенно выше, чем у подшипника 6. Вариант 7 по сравнению с 6 является предпочтительным.

Характеристики варианта 9 существенно отличаются от остальных вариантов. Ближайшим к нему по значениям параметров является вариант 8. Разница между ними только в величине монтажных зазоров. Увеличение монтажного зазора с 0,12 до 0,2 мм приводит к существенному снижению жесткости - крутизны нагрузочной характеристики.

Р, н

О 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Рис. 3. Нагрузочные характеристики подшипников 1-16

Нагрузочные характеристики 4, 11, 13 и 16 имеют значительную крутизну, однако диапазон возможных относительных смещений вала для них ограничен величиной 0,18 (см. рис. 5). Уже в центральном положении вала минимальный зазор для них, согласно вычислениям, мал: не более 2,5 мкм. Это обстоятельство делает нецелесообразным их применение в турбогенераторе, так как велика вероятность контакта лепестков с валом и истирания покрытия лепестков. Немного больше значения минимальных зазоров в опоре 3, но и такая опора не отвечает требованиям работоспособности.

Варианты 7 и 10 отличаются радиусами средней линии лепестков: для варианта 7 имеем Ял = 1,4, а для варианта 10 - Ял = 1,5. Их нагрузочные характеристики оказались близкими, но минимальные зазоры в опоре 7 больше.

о 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Рис. 4. Максимальные избыточные давления в опоре

Рис. 5. Минимальные зазоры в опоре

Варианты 12 и 15, а также 13 и 16 различаются попарно только числом лепестков, но в паре 12, 15 угол установки составляет 5°, а для вариантов 13, 16 - 6°. Различие между характеристиками 12 и 15 больше, чем между 13 и 16, и поэтому можно заключить, что увеличение угла установки лепестков до 6° значительно повышает жесткость упругого пакета, но вместе с тем сужает диапазон смещений вала, при которых сохраняется допустимый зазор между лепестками и валом.

В результате численного моделирования нагрузочных УГД характеристик подшипника при различных скоростях вращения определяется скорость «всплытия» вала на смазочном слое -наименьшая скорость, при которой поддерживающая сила слоя уравновешивает нагрузку при минимальном допустимом зазоре. Так, для вала ротора с указанными выше параметрами расчетная скорость «всплытия» оказывается равной ~10 тыс. об/мин для всех приведенных вариантов, кроме 3, 4, 11, 13, 16 (для них минимальный гарантированный зазор при нагрузке 34 Н не превышает 1 мкм).

Заключение

Сформулируем основные выводы по результатам вычислений характеристик ЛГО с перекрывающимися лепестками: расчеты, выполненные при допущении о стационарных условиях работы опор, подтверждают возможность достижения достаточной несущей способности рассмотренных конструкций радиальных лепестковых подшипников. Нагрузочные характеристики подшипника существенно зависят от величины радиуса средней линии недеформированного лепестка, длины средней линии, угла установки лепестка и монтажного зазора. Угол установки лепестков рекомендуется выбирать равным 4,5-5,5°. Назначение монтажного зазора выполняется с учетом толщины лепестка и выбранного значения угла а (при увеличении а монтажный зазор увеличиваем). Выявленное на основе расчетов существенное влияние величины монтажного зазора на нагрузочные характеристики ЛГП диктует актуальность исследования влияния температурных деформаций элементов конструкции на работоспособность подшипника. Выполненный анализ подтверждает необходимость численного моделирования упругогидродинамических взаимодействий в лепестковом подшипнике.

Литература

1. Брагин, А.Н. Экспериментальные исследования упругой податливости лепестковых газодинамических подпятников / А.Н. Брагин, Н.Е. Захарова // Машиноведение. - 1984. - № 3. -С. 99-105.

2. Дрокин, В.В. Моделирование статических упругих взаимодействий в лепестковом радиальном подшипнике /В.В. Дрокин //Вестник ЮУрГУ. Серия «Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника». - 2011. - Вып. 13. - № 2 (219). - С. 40-45.

3. Левина, Г.А. Решение упругогидродинамических задач и анализ нагрузочных характеристик лепесткового газодинамического подпятника с профилированными лепестками /Г.А. Левина, А.К. Бояршинова //Машиноведение. - 1989. - № 4. - С. 88-94.

4. Левина, Г.А. Численное решение краевой задачи о распределении давления в слое сжимаемой смазки / Г.А. Левина, В.В. Смирнов // Информационные и робототехнические системы. -Челябинск: ЧПИ. - 1985. - С. 87-90.

5. Левина, Г.А. Определение реакций лепесткового газодинамического подшипника / Г.А. Левина, В.В. Смирнов. - Челябинск: ЧПИ, 1984. - Деп. в ВИНИТИ 2.10.84, №7211-84.

6. Смирнов, В.В. Решение пространственной задачи гидроупругости для лепесткового газодинамического подшипника /В.В. Смирнов // Трение и износ в опорных узлах машин: сб. науч. тр. -Свердловск: УрО АН СССР, 1990.

7. Свидетельство о гос. регистрации программы для ЭВМ. 2009616105 Российская Федерация. Упругогидродинамический расчет нагрузочных характеристик лепесткового газодинамического подшипника, v.1.0 /Г.А. Левина, В.В. Дрокин; заявители и патентообладатели: Общество с ограниченной ответственностью «ЭкоТурбо» и Южно-Уральский государственный университет. - № 2009614875; зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ5.11.2009.

8. Микротурбодетандерный генераторМДГ-20. - http://www.stc-mtt.ru/files/MDG-20.pdf, free

Поступила в редакцию 16 июня 2011 г.

Левина Галина Абрамовна. Кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры «Приборостроение», Южно-Уральский государственный университет. Область научных интересов - гидродинамическая теория смазки, аналитическая и общая механика, математическое моделирование. E-mail: galinalevina@mail.ru

Galina A. Levina. The candidate of engineering science, associate professor, the associate professor of «Instrument Engineering» department of the South Ural state university. The area of scientific interests -hydrodynamic theory of lubrication, analytical and general mechanics, mathematical simulation. E-mail: galinalevina@mail.ru

Дрокин Виталий Вадимович. Аспирант кафедры «Приборостроение», Южно-Уральский государственный университет. Область научных интересов - математическое моделирование, программирование в прикладных исследованиях. E-mail: Vit-drokin@ya.ru

Vitaly V. Drokin. The post-graduate student of «Instrument Engineering » department of the South Ural state university. The area of scientific interests - mathematical simulation, programming for applied researches. E-mail: Vit-drokin@ya.ru