Алгоритм расчета тензорной модели сети на основе симплексного метода Данцига

УДК 621.391

АЛГОРИТМ РАСЧЕТА ТЕНЗОРНОЙ МОДЕЛИ СЕТИ НА ОСНОВЕ СИМПЛЕКСНОГО МЕТОДА ДАНЦИГА

© К.А. Литвинов, И.И. Пасечников

Ключевые слова: информационная сеть; кибернетическая мощность информационной сети; симплексный метод Данцига; ортогональная модель информационной сети.

Статья посвящена поиску и исследованию способов маршрутизации, построенных на новых математических принципах. Ее актуальность обусловлена необходимостью разработки эффективных способов распределения потоков в нагруженных телекоммуникационных сетях в условиях их динамики и определения их мощностных характеристик в информационном смысле. Целью проделанного исследования является поиск возможности создания алгоритма маршрутизации в предельно нагруженной кибернетической сети, построенной на основе тензорного анализа Г.Р. Крона с использованием симплексного метода Дж. Данцига. Авторами проведен анализ тензорной методологии Г.Р. Крона на предмет возможности применения ее в телекоммуникационных сетях передачи данных. В результате представлена теоретическая база, показывающая, что существует возможность практического применения тензорного анализа для расчета маршрутизации в предельно нагруженных сетях. В ходе исследования использовалось понятие полной кибернетической мощности сети и симплексный метод Данцига, на основе которых был разработан алгоритм, позволяющий повысить эффективность работы сети за счет перераспределения информационных потоков. Приведен пример использования алгоритма с целью повышения КПД сети в информационном смысле.

Тензорная методология Г. Крона [1] позволяет на основе формул поведения и преобразования сети рассчитать основные характеристики сети в зависимости от ее структуры. В работе [1] задача расчета представлена на основе применения симплексного метода Дж. Данцига. В качестве модели используется тензорная ортогональная модель сети.

Соединенным цепям электрической сети соответствуют определенные возбуждающие значения токов I и источников э.д.с. е, а также определяемые напряжения Е и токи і, причем I и Е относятся к узловым величинам, а е и і - к контурным. Так, в соединенной цепи одновременно присутствуют как узловые, так и контурные токи, то в каждой катушке имеют место полные токи і + I («+» специальное обозначение, введенное Г. Кроном, для обозначения одновременного присутствия узловых и контурных величин вместе) и им соответствующие е + Е. Г. Крон показал, что если в цепи воздействия е и I известны, то, основываясь на законе Ома и правилах Кирхгофа, можно определить реакцию цепи, а именно, і и Е, соответственно. При этом используется ортогональная тензорная модель расчета.

Симплексный метод Данцига эквивалентен последовательности ортогональных преобразований систем координат [1]. Все пары узлов и контуры постепенно перестраиваются с помощью квадратной матрицы преобразования.

Изменению подвергаются величины і и Е, при этом величины I + і, е + Е, I и е остаются неизменными для соответствующих элементов. То есть в то время как полный ток і + I в каждой катушке остается неизменным, от системы координат зависит, какую часть полного тока следует отнести к і и какую к I, аналогичная ситуация складывается для е + Е. Когда одна из составляющих токов I (полностью или частично) проходит

через любую горизонтальную катушку к (соответствующую контуру с катушкой к), то полная мощность цепи возрастает на АР = 1кек, где ек - напряжение последовательно включенного генератора.

Рассмотрим данный метод применительно к информационной сети (ИС). Будем считать, что ее кибернетические элементы [2] - одноканальные системы (ОС) - являются стационарными и не меняются на интервале рассмотрения.

Симплексный метод Данцига дает способ последовательного изменения суммы отдельных мощностей элементов сети [1], в нашем случае кибернетических мощностей ОС, являющихся составными элементами как узловых пар, так и каналов передачи информации в модели ИС [2]. Когда кибернетическая мощность ИС становится максимальной, по всем возможным способам распределения потоков процедура заканчивается. В последней системе координат распределение возбуждающих потоков в различных ОС по сумме будет таким же, как и в начальной системе координат [3].

Прямоугольные таблицы симплексного метода представляют собой преобразование от эталонной системы координат, соответствующей примитивной системе, состоящей из одиночных ОС, к некоторой другой системе координат соединенной цепи.

При переходе от одной ортогональной соединенной системы координат к другой преобразуются как контуры, так и пары узлов. Вследствие специального выбора систем координат в данной задаче достаточно преобразовывать только координаты, соответствующие парам узлов, с помощью матриц преобразований.

Рассмотрим симплексный метод Данцига на упрощенном примере сети с топологией, представленной на рис. 1, где А, В, С, Б - узлы коммутации; а, Ь, с, (1, е -каналы связи.

3370

Рис. 1. Топология сети

Таблица 1

Матрица соединения А

а Ь с а е

А -1 1

В -1 1 -1

С -1 1

Б 1 -1 1

Под упрощением будем понимать представление основных элементов сети - каналов связи и узловых пар с использованием ОС разомкнутого и замкнутого типа. Узловая пара представляет собой узел коммутации со свойствами накопления информации [2]. Эталонная модель ИС изображена на рис. 2.

Ортоганальная примитивная (идеальная) ИС состоит их совокупности моделей ОС, каждая из которых одновременно может быть представлена разомкнутой и замкнутой ОС. При этом И11...й„„, У11... Упп - кибернетические сопротивления и проводимость, соответственно; - узловые накопления; Л1 ...Ап - кон-

турные потоки.

Определим ориентированный граф, который будет описывать распределение информационных потоков и

накоплений (рис. 3), где у1 соответствуют внешним потокам и являются воздействующими величинами.

На основе данного графа можно построить матрицу соединения А (табл. 1), которая составляется на основе анализа потоков [1].

В табл. 1 значение «1» характеризует сонаправлен-ность двух величин рис. 4а, а «-1» - противоположное направление потоков 4б.

На основе матрицы соединения можно построить расширенную матрицу соединения А [1] (табл. 2), которая необходима для расчета модели ортогональной сети. Данная матрица имеет вид:

Е А

0 Е

Здесь Е - единичная матрица; 0 - нулевая матрица, А -расширенная матрица соединения.

Для стационарной ИС с неменяющимися на интервале рассмотрения сетевыми характеристиками (величинами) в качестве формулы поведения используется формула Литтла [2]. В матричной форме формула Литтла для сети имеет вид:

V = тл,

где V = N + п - вектор среднего числа заявок в системе, элементы которого соответствуют средним количествам заявок (при условии стационарного состояния сети) в ОС; Т - матрица усредненных временных задержек заявок, происходящих в процессе обслуживания, передачи и ожидания; Л = у + X - вектор интенсивностей потоков.

Понятие кибернетической мощности информационной сети [2] отражает как передающиеся, так и накапливающаяся в устройствах хранения информация при заданном ограничении на время ее доведения:

Рис = УЛ|Т.

Это же понятие относится и к ОС, которая характеризует один канал передачи информации с памятью (т. е. имеет накопительное устройство для хранения информации).

Рис. 2. Эталонная модель ИС

3371

Рис. 3. Граф информационной сети

Так как рассчитываемые величины могут соответствовать разным системам координат, а нижние и верхние индексы справа означают ковариантность и контравариантность, соответственно, то рассматриваемые системы координат будем обозначать скользящим индексом в зависимости от ее вариантности, например, ковариантную величину А в системе координат а будем обозначать Аа, контвариантность будем обозначать Аа.

Цель работы: разработка алгоритма повышения информационной эффективности ИС на основе перераспределения потоков используя симплексный метод Данцига.

Алгоритм перераспределения потоков должен иметь следующие функциональные особенности:

- позволяет изменять нагрузку в ИС;

- осуществляет преобразование основных величин при переходе от одной системы координат к другой;

- позволяет определить новые системы координат сети с увеличением кибернетической мощности ИС (и, как следствие, КПД в смысле передачи информации) [2] на каждой последующей итерации;

- позволяет применять метод Данцига для планомерного повышения кибернетической мощности ИС.

Блок схема алгоритма приведена на рис. 6.

Описание алгоритма перераспределения потоков в ИС. Алгоритм расчета представляет собой последовательное выполнение следующих шагов.

1. Определить эталонную ИС, состоящую из п ОС. Для эталонной ИС рассчитать максимальную кибернетическую мощность ИС: Ршах = £ ^=1 ^Л1. Данное утверждение подтверждается исследованиями [2-3, 5-6].

2. Перед перераспределением потоков проверить два возможных состояния ИС: в сети есть информационные потоки (ситуация А £ Л ф 0) и в сети нет информационных потоков (ситуация В £ Л = 0). В ситуации А все потоки переводятся в режим хранения информации, т. е. в узловые накопления. В ситуации В-алгоритм переходит к следующему шагу.

3. Вместо каждого узла информационной сети необходимо добавить ОС, соответствующую узловой паре, - аналог «висячего» узла Г. Крона.

4. Для текущего состояния сети строится ориентированный граф и строится матрица соединения.

5. На основе матрицы соединения строится система уравнений для применения симплексного метода Данцига.

6. Оптимизация параметров системы на основе симплексного метода Данцига. Алгоритм выполняется итерационно до достижения максимального возможного параметра мощности при данной нагрузке и топологии сети. Каждая итерация симплексного метода Данцига включает в себя следующие этапы:

A) формирование нового базиса. Расчет величин, получившихся после преобразования базиса. Расчет информационных потоков. Построение матрицы перехода от г-1 к г итерации алгоритма. Получение параметров Трр - временные задержки и Ур - накопления в узлах коммутации для г-й итерации алгоритма;

Б) перераспределение потоков на основе симплексного метода Данциг;

B) вычисление кибернетической мощности ИС путем суммирования кибернетических мощностей всех элементов, из которых состоит ИС;

Г) проверка возможность повышения мощности (на основе параметров симплексного метода Данцига) ИС или целесообразность дальнейшего ее повышения. Если повышение мощности возможно, то осуществляется переход к новой итерации симплексного метода Данцига.

а б

Рис. 4. а - сонаправленность потоков; б - противоположная направленность потоков

3372

Таблица 2

Расширенная матрица соединения А

А В С Б а В с а е

А 1 -1 1

В 1 -1 1 -1

С 1 -1 1

Б 1 1 -1 1

а 1

Ь 1

с 1

а 1

е 1

Рис. 5. Блок-схема алгоритма. * метода Данцига

Можно ли увеличить мощность? Данная проверка осуществляется на основе симлексного

Пример расчета показателей сети на основе тензорной методологии. Рассмотрим сеть (М), топология которой приведена на рис. 1. Для данной сети используется модель с распределенными потоками [5]. То есть предполагается, что полная кибернетическая мощность ИС является инвариантом и выполняются постулаты Г. Крона.

На рис. 3 стрелками показаны направления потоков у1 ...у4 и X1 „.Л5. У1 ...К, и векторы информационных потоков Л1 ...Л9 совпадают по направлению с вектора-

ми графовых потоков у1 ...у4 и Л1 ...Л5. Для удобства расчетов предположим, что узловое накопление измеряется в информационных пакетах (пак), а пропускная способность каналов измеряется в информационных пакетах в секунду (пак/с). Предположим, что общие накопления равны: У1 = 2 пак , У2 = 3 пак, У3 = = 4 пак, У4 = 5 пак, У5 = 6 пак, У6 = 7 пак, У7 = = 8 пак, Ув = 9 пак, Уд = 10 пак. Входные потоки равны: Л1 = 1 пак/с, Л2 = 2 пак/с, Л3 = 3 пак/с, Л4 = = 4 пак/с. Так как в каналах связи в начальный момент

3373

времени не протекают потоки, поэтому мощность данной сети равна:

Р-і = £ '1=1УІХ1 = 40 пак/с2.

Рассмотрим элементарную (эталонную) сеть (ЛЮ), составленную из элементов сети (N1) (рис. 2): сеть N1 состоит из 5 каналов связи и 4 узлов коммутации. Предположим, что ЛШал = ••• = лЩШж = 20 пак/с, ^1шах = •" = ^9шах = 20 пак (для сетей N0 и N1). Тогда предельная мощность всех сетей, построенных из данных элементов, определяется суммой мощностей узлов коммутации и каналов связи сети N0 (предельная мощность элементарной сети):

Рис. 6. Потоковая ситуация N1

Р = Р^' + Р' = > V. Л' +

1 тах 1 тах ' 1 тах / у іЛ •

і =1

+ £ 9=5 ЦЛ1 = 3600 пак/с2 .

Для сети Л 1 можно рассчитать КПД данного режима работы:

^=-^=1,1 %.

Как видно из расчетов, мощность сети, которая ничего не передает, крайне мала (1,1 %).

Для определенности предположим, что информационная сеть в начальный момент времени имеет только внешние потоки, внутренние потоки отсутствуют. Предположим, что перевод потока, входящего в узел с, на канал связи Е даст максимальный прирост мощности на данной итерации алгоритма. Рассчитаем изменения в состоянии сети и матрицы переходов между состояниями.

Таблица 4

Матрица соединения сети

а Ь с а е

А -1 1

В -1 1 -1

С -1 1

Б 1 -1 1

Таблица 5

Расширенная матрица перехода

А В С Б а Ь с а е

А 1 -1 1

В 1 -1 1 -1

С 1 -1 1

Б 1 1 -1 1

а 1

Ь 1

с 1

а 1

е 1

Рис. 7. Потоковая ситуация N2

Необходимо построить матрицу соединения (А1) (табл. 4). Как видно из схемы сети (рис. 3), матрица (А1) имеет вид (пустые клетки в матрице обозначают нули).

Построим расширенную матрицу ортогональных преобразований (С1) (табл. 5).

Рассмотрим изменение потоковой ситуации в сетях N1 и N2 (рис. 6-7).

Стрелками показаны направления потоков в каналах, а сплошной плавной линией показано распределение общих (суммарных потоков в каналах). В потоковой ситуации N2 информационные потоки перенаправляются из узла Б в канал е. Так как поток из узла Б полностью переходит в поток по каналу связи е, то поток выполняется равенство Л9 = Л4. То есть потоки, циркулирующие в сети и проходящие через узел Б, будут перенаправлены в узел В.

Рассмотрим узел В и запишем для него, по аналогии с электрической сетью, правила Кирхгофа для информационной системы: Л2 + Л4 = Л'2. Перепишем для простоты (Л2 = Л2 + Л4).

Рассмотрим узел Б и составим для него уравнение закона Кирхгофа для информационной системы: Л5 + Из этого следует Л4 = Л5 +

+ Л9 = Л4 + Л4 + Л8.

+ Л9 - Л4 - Л8.

На основе этих данных можно составить матрицу перехода А21. Данная матрица составляется на основе самой структуры ортоганальной матрицы, где каждая строка показывает взаимозависимости каждого тока от всех остальных. Поэтому матрица перехода примет вид табл. 6.

4

3374

Таблица 6

Матрица перехода

A B C D a b c d e

A 1

B 1 1

C 1

e 1

a 1

b 1

c 1

d 1

D -1 1 -1 1

Далее составим матрицу переходов от системы координат N0 к системе координат N2.

А2о — А10 • A2i —

A B C D a b c d e

A 1 -1 1

B 1 1 1 -1 1 -1

C 1 -1 1

e 1 1 -1 1

a 1

b 1

c 1

d 1

D -1 1

логичным образом можно многократно итерационно повнішать мощность сети.

Таким образом:

- использование двойственной сети [3, 6] позволяет использовать утверждение Г. Крона об инвариантности мощности;

- использование понятия «полная кибернетическая мощность сети» позволяет ввести единый критерий для оценки эффективности работы сети;

- совместное использование модернизированного метода Данцига и тензорной методологии Крона позволяет разработать алгоритм повышающий эффективность работы сети. Данный метод способен перестраивать потоковую ситуацию так, чтобы увеличить мощность сети, и, как следствие, КПД в смысле передачи информации.

ЛИТЕРАТУРА

1. Крон Г. Исследование сложных систем по частям - диакоптика. М.: Наука, 1972. 544 с.

2. Пасечников И.И. Методология анализа и синтеза предельно нагруженных информационных сетей. М.: Изд-во Машиностроение-1, 2004. 216 с.

3. Петров А.Е. Тензорная методология в теории систем. М.: Радио и связь, 1989. 152 с.

4. Межуев А.М., Пасечников И.И., Пономаренко А.В., Стуров Д.Л. Способ оценки информационной эффективности системы связи. Патент № 2477928. Ы04Ь29/00. 20.03.2013.

5. Веревкина Е.В., Корякина О.А., Петров М.Н. Тензорная методология исследования нагрузки в информационных сетях / под ред. М.Н. Петрова. Красноярск: НИИ СУВПТ, 2004. 105 с.

6. Петров А.Е. Тензорный метод двойственных сетей и управление

устойчивым развитием / Международный университет природы, общества и человека «Дубна». М.: РГБ, 1997. иЯЬ:

Ьир://шшш.ипі-аиЬпа.ги////іта§е$/да1а/§а11егу/108_836_Ре1;гоу-Теп-2отуі_те1од_ауоі$^еппуЬ_$е1еі.дос, свободный. Загл. с экрана.

Аналогичным образом можно рассчитать матрицу

Т2 = Т-! • а21.

Рассчитаем изменение мощности при преобразовании сети от N1 до N2. При изменении потоковой ситуации появляется поток через канал связи Е и происходят изменения в узле Ь. В узле Ь происходит изменение накопления с 4 до 10 пак и появляется поток, равный 4 пак/с. Соответственно, кибернетическая мощность сети увеличивается на ДР = ДК • Л = 24 пак/с2 в канале Е.

В узле Ь поток увеличивается с 2 до 6 пак/с при неизменном накоплении 3 пак. Следовательно, изменение мощности в узле Ь равно ДР = V • ДЛ = 12 ^у. Поэтому общая кибернетическая мощность сети увеличилась

на ДР — 36 паК

Р2 — ДР + Pi —

— 40 + 36 — 76 пак/с2.

Рассчитаем КПД в смысле передачи информации:

«2 — — 2,1 %.

В данном примере показана одна итерация алгоритма расчета сети на основе тензорного анализа. Ана-

Поступила в редакцию 11 сентября 2013 г.

Litvinov K.A., Pasechnikov I.I. ALGORITHMS FOR CALCULATING OF TENSOR MODELS BASED ON NETWORK SIMPLEX DANZIG METHOD

The article is devoted to the research and routing methods, built on a new mathematical principles. Its relevance is due to the need to develop effective ways of flow distribution in loaded telecommunication networks in terms of their dynamics and determine their power characteristics in the information sense. The aim of the research is done by searching the possibility of creating a routing algorithm in a very loaded cyber network built based on tensor analysis of G.R. Crohn using the simplex method of J. Danzig. The authors analyzed the tensor methodology of G.R. Crohn for the possibility of its application in tele-communication data networks. The result is the theoretical base showing that there exists a possibility of practical application of tensor analysis to calculate routing for maximum-loaded networks. The study used the concept of the full capacity of the network and cyber simplex method of Danzig, which was based on an algorithm that allows to increase the efficiency of the network due to the redistribution of information flows. An example of using the algorithm to improve the efficiency of the network in terms of information.

Key words: information network; cybernetic power information network simplex method of Danzig; orthogonal model information network.

и

3375