Статистические свойства фракталов сечений Пуанкаре в задачах нелинейной динамики

А. В. Ляпцев

СТАТИСТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ФРАКТАЛОВ СЕЧЕНИЙ ПУАНКАРЕ В ЗАДАЧАХ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКИ

Исследуются свойства фракталов, возникающих в сечениях Пуанкаре в задачах нелинейной динамики при параметрах, соответствующих хаотическому движению. В качестве примеров рассмотрены модель Лоренца и модель одномерного ротатора во внешнем периодическом поле. Численными методами получены значения обобщенных размерностей на основе вычисления обобщенных энтропий Реньи. Показано, что факт совпадения численных значений различных размерностей можно объяснить, исходя из статистических свойств фракталов, для описания которых может быть применено распределение Гиббса, что подтверждается численными расчетами.

Ключевые слова: нелинейная динамика, динамический хаос, фрактал, сечение Пуанкаре, странный аттрактор.

A. Liaptcev

THE STATISTICAL PROPERTIES OF FRACTALS OF POINCARE SECTIONS IN THE PROBLEMS OF NONLINEAR DYNAMICS

The properties offractals arising in the Poincare sections in the problems of nonlinear dynamics with parameters corresponding to chaotic motion have been investigated. The Lorenz model and the model of one-dimensional rotator in an external periodic field are considered as examples. Numerical methods are used for calculation generalized dimensions by means of the computation of generalized Renyi entropies. It is shown that the fact of the coincidence of the numerical values of different dimensions can be explained on the basis of the statistical properties offractals that can be described with the help of the Gibbs distribution, which is confirmed by numerical calculations.

Keywords: nonlinear dynamics, dynamic chaos, fractal, Poincare section, strange attractor.

Характерной особенностью систем, описываемых уравнениями нелинейной динамики, является существование странных (хаотических) аттракторов — предельных множеств, к которым стремятся траектории в фазовом пространстве. Размерность таких аттракторов является дробным числом, меньшим размерности фазового пространства системы. Классическим примером является аттрактор Лоренца (см., например, [2]). Соответствующая система дифференциальных уравнений была получена Е. Н. Лоренцем путем упрощения уравнений, описывающих конвективные потоки в атмосфере:

X = -sX + sY,

Y = -XZ + rX - Y,

Z = XY - bZ.

В зависимости от параметров задачи s, r, b аттрактором может быть либо замкнутая кривая с размерностью, равной единице, либо странный аттрактор, являющийся фракталом с дробной размерностью. Дробная размерность аттрактора Лоренца, как и для других подобных систем, может быть определена лишь в результате численного эксперимента. Расчеты, проведенные для аттрактора Лоренца [1], дают значение, равное 2,06.

Фракталами являются также множества точек сечений Пуанкаре, полученных как пересечение фазовой траекторией некоторой двумерной поверхности в фазовом пространстве при хаотическом движении системы. Так, если фазовая траектория в трехмерном фазовом пространстве регулярно пересекает некоторую поверхность, то размерность множества точек сечения Пуанкаре на единицу меньше, чем размерность странного аттрактора. Естественно, численно проще вычислять размерности сечений Пуанкаре, чем размерности самих странных аттракторов.

Другой численной характеристикой хаотического аттрактора может служить энтропия соответствующей системы, определение которой близко к определению энтропии систем, описываемых в рамках статистической физики [6]. Обобщением понятия энтропии являются так называемые энтропии Реньи [6]. В данной работе мы покажем, что для аттракторов сечений Пуанкаре простейших систем, в которых при определенных параметрах задачи имеются странные аттракторы, в предельном случае между размерностью фракталов и энтропиями Реньи существует довольно простое соотношение, которое достаточно хорошо подтверждается численным экспериментом.

Сечение Пуанкаре аттрактора Лоренца

В качестве одного из сечений Пуанкаре будем рассматривать сечение в фазовом пространстве для системы Лоренца (1) при следующих параметрах задачи: Ь = 8/3, а= 10, г = 28, и в качестве поверхности сечения выберем сечение на плоскости 2 = 27. На рисунке 1 приведен график зависимости 2(г), а на рисунке 2 — сечение Пуанкаре, вычисленное на интервале г е [0,950].

Рис. 1 Рис. 2

Как видно из рисунка 1, фазовая траектория регулярно пересекает плоскость с 2 = 27 (горизонтальная линия на рисунке), из чего можно предположить, что размерность фрактала сечения Пуанкаре, изображенного на рисунке 2, должна быть на единицу меньше размерности странного аттрактора.

Сечение Пуанкаре одномерного ротатора

Движение одномерного ротатора, находящегося под воздействием внешнего периодического поля, описывается дифференциальным уравнением

в + ув = /соъвсоъг,

где параметр дописывает величину диссипации, а параметр f — величину взаимодействия с внешним полем. В зависимости от параметра f движение может быть регулярным (периодическим) с периодом, кратным периоду внешнего поля, либо хаотическим [3; 5]. Дифференциальное уравнение 2-го порядка (2) можно преобразовать к системе трех автономных уравнений 1-го порядка:

в=w,

W = f cosacos p-goo,

(о=1.

При регулярных движениях траектория в трехмерном фазовом пространстве, соответствующем системе уравнений (3), представляет собой замкнутую кривую, а при хаотическом движении — странный аттрактор. В силу того, что координаты в и ф являются циклическими, для наглядности изображения траектории удобно рассматривать трехмерное пространство с координатами X, Y, Z, связанными с переменными в, ф, со соотношениями

X = (R + w cos в) cos p, Y = (R + wcos в) sin p, Z = wsine,

где значение постоянной R выбирается так, что

R >WL

. При регулярном движении фазовая траектория будет представлять собой замкнутую кривую в этом пространстве, а при хаотическом движении странный аттрактор будет похож на тороидальную поверхность. В качестве сечения Пуанкаре удобно выбрать плоскость, проходящую через ось Z с заданным значением ф (рис. 3).

При выборе такого сечения фазовая траектория регулярно с временным интервалом 2p проходит через данное сечение. Фрактал сечения Пуанкаре в сечении с ф = 0, рассчитанный при значениях параметров g= 0,1, f = 3, приведен на рисунке 4.

Рис. 3 Рис. 4

Вероятностная размерность фрактала, информационная размерность и обобщенные размерности

Для вычисления вероятностной размерности фрактала [1] часть плоскости сечения Пуанкаре, которая содержит фрактал, разобьем на прямоугольники со стороной е. Тогда размерность фрактала можно определить как предел (мы не останавливаемся на тонкостях в определении различных типов размерностей, см., например, литературу [2, 6]):

Д = Нш

е0

1п

где Ы(е) — число прямоугольников, в которых содержится множество точек фрактала. Для краткости будем называть такие прямоугольники фрактальными клетками.

Для вычисления информационной размерности определим вероятность Wi того, что при данном разбиении фазовая траектория проходит через /-ю фрактальную клетку. При численном расчете это число пропорционально числу точек щ, попавших в /-ю клетку:

w.

' М

где М — полное число точек в сечении Пуанкаре, полученное при расчете. Определенная таким образом вероятность позволяет определить энтропию (обозначим ее через Н1), используя обычное определение:

ы.

И(е, М) = -£ ^ 1п(^.).

/=1

Информационная размерность может быть определена как предел:

Д

Нш

е0, М

1п

Обобщенные энтропии Реньи также определяются через вероятности wг:

1

И

1 - Ч

1п

I wq

Число ч может быть, вообще говоря, любым вещественным числом. Обобщенные размерности определяются аналогично выражению (7):

Д = Нш

е0, М

1п

Из определений следует, что при 4 = 0 обобщенная размерность есть просто размерность фрактала, а при 4 ^ 1 величина ИЧ есть обычная энтропия и обобщенная размерность ДЧ есть информационная размерность.

Имеет место общая закономерность (см. работу [6]): р > Ч ^ Др < Д . В частном

случае, например при однородной мере на множестве Кантора, все размерности оказываются равными [6].

В численных расчетах обычно производят вычисления энтропии при некотором заданном значении А^ и различных значениях е, и по графику логарифмической зависимости 1п(ИЧ (1п(е)), который при малых е близок к прямой линии, вычисляют значения ДЧ. В

данной работе расчет размерностей проводится следующим образом. Все сечение Пуанкаре разбивается на прямоугольники со сторонами АХ/Ы и АУ/Ы, где АХ и АУ — размеры прямоугольника, ограничивающего фрактал, которые вычисляются предварительно. Путем численного решения систем дифференциальных уравнений вычисляется количество точек пересечения фазовой траектории и поверхности сечения Пуанкаре для каждой из N клеток. При этом время расчета контролируется таким образом, что полное число полученных точек фрактала М во много раз превосходит число фрактальных клеток Ы,. В приведенных далее расчетах значение М/Ы, выбиралось равным 100.

В результате формулы (6) и (8) будут иметь вид

"/ 1 " /

Н(Ы,М) = -1 ^ 1n(wг), Ич(N,М) = --1п IwЧ

1=1 1 - Ч 1^1=1

г\

fwЧ

а размерности ДЧ определяются из графиков зависимости 1п(Ич (1п(N, М)) .

Результаты численных расчетов

Расчет для модели Лоренца проводился при значениях параметров Ь = 8/3, <г= 10, г = 28, и в качестве поверхности сечения выбиралось сечение на плоскости Z = 27. На рисунке 5 приведены графики зависимости И0(Ы) (число фрактальных точек) и И\(Ы) (энтропия) в логарифмическом масштабе. Расчеты проведены для значений N = 50, 100, 200, 500, 1000, 2000 (точки на графиках). Сплошная линия проведена методом наименьших квадратов. Исходя из метода наименьших квадратов, получены величины Д0 (размерность фрактала) и Д1 (информационная размерность). Следует заметить, что результаты вычислений Д0 и Д\ зависят от количества точек, выбираемых для построения прямой линии. С одной стороны, прямолинейная зависимость реализуется только при больших значениях Ы, и учет точек с малым N ухудшает точность расчета. С другой стороны, уменьшение количества точек в методе наименьших квадратов также может уменьшить точность. В данном случае наилучшую точность дает учет 4 точек с максимальным значением N. Полученные таким образом значения приведены под графиками.

Из расчетов видно, что с точностью до погрешности значения Д0 и Д1 совпадают. Размерность фрактала в сечении Пуанкаре на единицу меньше размерности фрактала соответствующего странного аттрактора. Можно сделать вывод, что с точностью до погрешности вычислений полученное значение размерности странного аттрактора 2,07 совпадает со значением, приведенным в литературе [1].

10

10

10 N

10

А, = 1,066 ± 0,002

ю 10

10'

10 N

10'

А = 1,068 ±0,003

10'

Рис. 5

Расчет для модели ротатора проводился при значениях параметров у= 0,1, /= 3 и в качестве поверхности сечения выбиралось сечение на плоскости с ф = 0. На рисунке 6 приведены графики зависимости И0(И) (число фрактальных точек) и И1(И) (энтропия) в логарифмическом масштабе. Точки на графиках соответствуют значениям N = 10, 20, 50, 100, 200, 500. Сплошная линия проведена методом наименьших квадратов с учетом трех точек с наибольшим значением N. Исходя из метода наименьших квадратов, получены величины А0 и А1. Соответствующие значения приведены под графиками.

Е 6

А = 1,73±0,01

А = 1,700±0,005

Рис. 6

Как видно из расчетов и в данной модели различие значений размерности А0 и А1 выходит за погрешности, которые получаются из метода наименьших квадратов. Следует отметить, однако, что сами вычисления значений ИИ) и И1(И) ограничены относительной точностью порядка И^Ы, которая составляет 1%. С учетом этого можно говорить о практическом совпадении размерностей А0 и А1.

Статистика фрактальных клеток

Совпадение размерностей наводит на мысль о существовании некоторой закономерности. Чтобы обосновать совпадение размерностей, заметим, что в выражениях (10) суммы не зависят от того, где расположена каждая из фрактальных клеток, а зависят только от числа точек в каждой из клеток. Поэтому суммы можно сгруппировать так, чтобы суммировать по клеткам с одинаковым количеством точек. Обозначим число точек в клетке через к, а количество клеток с данным значением точек — через тк. Тогда выражение для энтропии можно записать в виде:

И1

Л ' ' ГМ ^ М)

Можно считать, что в сумме (11) индекс к пробегает все натуральные значения до ¥, но для некоторых значений тк = 0. Очевидно, что имеют место равенства

I тк = Nf, I ктк = М.

к к

Последовательности

Л = т

к ^

можно сопоставить некоторую функцию распределения. Для этого в качестве системы следует рассмотреть совокупность фрактальных клеток, в которой они являются частицами. Энергия одной частицы может принимать целочисленное значение к. Второе из равенств (12) в этом случае определяет полную энергию системы. Естественно, в данной системе отсутствует уравнение движения, определяющее эволюцию системы. Однако если рассматривать вычислительный эксперимент, проводя его до заданного большого значения М >> N, то совокупность таких экспериментов будет эквивалентна наблюдению за эволюцией системы реальных частиц в некоторые дискретные значения времени.

Определенная таким образом система абстрактных частиц, которую для краткости будем называть системой фрактальных клеток, обладает всеми свойствами системы реальных частиц, необходимыми для вычисления функции распределения. Дополнительным предположением в этом случае является предположение об эквивалентности всех частиц (фрактальных клеток). Вопрос о том, насколько справедливым является это предположение, остается открытым и может быть в определенной степени обоснован результатами вычислительного эксперимента.

Функция распределения системы фрактальных клеток соответствует каноническому распределению и определяется выражением

Лк = С ехр

где С — нормировочная константа, а параметр Т эквивалентен температуре в реальной системе частиц. Поскольку мы учитываем только фрактальные клетки, значение к считаем положительным. Максимальное значение этой переменной равно М. Вычисление нормировочной постоянной сводится к суммированию геометрической прогрессии:

С = I I ехр

1 - ехр

. к=1

ехр

Будем далее рассматривать «высокие температуры», то есть Т >> 1, и в то же время систему с большим числом частиц, так что N, >> 1 ^ М >> Т . Тогда выражение для

нормировочной константы упрощается: С = 1 / Т . Таким образом, функция распределения принимает вид

Л = 1ехр(-к / Т).

Используя равенства (12), (13), можно найти связь введенной температуры со средней энергией частиц:

М 1

М

д

М

- = -1 к ехр

"/ Т к=1 дТ V к=0

Л

=Т—

дТ

1 - ехр

Л

Т.

Таким образом, в нашем случае «высоких температур» температура равна средней энергии частицы.

В соответствии с формулой (11) вычисление энтропии И\ сводится к сумме:

М

^^ ( к Л 1 М ( (к Л Л 1 М (к Л

И^М) = к/к 1п к =- -1 к,к I 1п - - 1п( Nf) = 1п( N,) - -1, 1п

Т к=1 V VТ / У Т к=1

к=1 м

V м У

V Т у

Учитывая зависимость числа фрактальных клеток от полного числа клеток, получим, таким образом:

И1( N, М) = Ц,1п( N) + 51,

где

1 М

51 =- -1 к,к 1п 1 к=1

Г 7, Л

V Т у

Величина 51 формально равна энтропии при N = 1, что соответствует полностью упорядоченному движению (для любой точки в сечении Пуанкаре вероятность нахождения в данной области фазового пространства равна нулю). Однако равенство (16) имеет смысл

-1

лишь при N >> 1, и, для того чтобы выражение (16) было корректным, достаточно, чтобы величина 50 была ограниченной при N¥. Для оценки этой величины введем дискретную переменную хк = к/Т, тогда

1 Nf

51 =-т I Хк ехр(-хк)1п(хк).

Т хк =1/Т

Учитывая, что Т >> 1, можно перейти от суммирования к интегрированию по непрерывной переменной, при этом величина 1/Т может рассматриваться как dx. Таким образом, получим

Nr

5 = -1 х ехр(-х) 1п(х)ох.

1/Т

Учитывая далее, что N >> 1 и Т >> 1, получим

5 »1п(1/Т)-1 -£1(1/Т),

где Е1 — интегральная показательная функция, которая может быть представлена в виде разложения:

/ 1 \п п

И) 2

£,( 2) =-у- 1п 2 - I-

п=1

пп!

где у= 0,5772156649... Т >> 1, получим:

— постоянная Эйлера. Таким образом, в приближении N >> 1 и

5 = у-1 »-0,423.

Аналогичным образом могут быть вычислены энтропии Реньи для других значений д:

(к Л

1 ( Ъ- \ 1

И9(N,М) = --1пI тк — = --1пI

д 1 - д к V М У 1 - д V

т

V V М У ,

V 4 у У

^ ЛТ-1-.

д к

N1"' ( к Лд ( к Л

Л

Т

Т

ехр

м у

Т

V 1 у

Повторяя действия, проведенные при вычислении энтропии, получим

Ид (N, М) = Д,1п( N) + Я ,

где

5 = _!_ ^ = 1 - д

( N,

1п

| хд ехр(-х)ёх

1/Т

Входящий в выражение (20) интеграл вычисляется в явном виде в пределе, для которого вычислялось значение 51, то есть И/ >> 1 и Т >> 1 получим при целых положительных значениях д:

^ = —— 1п

1 - д

Таким образом, для любых значений д справедливо соотношение (19), из которого следует равенство всех размерностей в пределе «высоких температур» (Т ^ ¥). Заметим, что выражение (18) для 51 можно также получить предельным переходом д ^ 1, воспользовавшись разложением в ряд гамма-функции, к которой сводится интеграл (20) при вещественном значении д.

Полученное здесь распределение фрактальных клеток (15) математически эквивалентно реальному распределению, которое имеет место при рассмотрении квантовой статистики двухатомных молекул газа (см., например, литературу [4]). Колебательная структура уровней подобна «энергии фрактальной клетки», принимающей целочисленные значения. Приведенные в работе [4] формулы для термодинамических величин без изменения могут быть перенесены для описания свойств распределения фрактальных клеток.

Численные расчеты распределений /

Соответствующие распределения можно оценить по графикам зависимости шк. На рисунке 7 точки — численный эксперимент — значения шк для расчета ротатора с N = 500. Расчет проводился до значения М = 100И/, что соответствует Т = 100. В предположении, что полученные данные могут быть описаны экспоненциальной зависимостью

шк = С ехр

методом наименьших квадратов находятся константы С и в, соответствующая функция (22), построенная с этими параметрами, изображена на графике сплошной линией. В случае, когда последовательность (22) соответствует функции распределения /к (выражение (15)), параметры Сив должны быть связаны с температурой соотношениями Т = 1 / / = И/ / С . Чтобы оценить, насколько численный эксперимент соответствует теории, исходя из полученных численным расчетом параметров С и в, находим величины

Т = 1//, Т2 = Иг / С,

которые в идеальном случае должны совпадать со значением Т, заданным в численном эксперименте.

Результаты расчетов дают значения Т1 = 102,4, Т2 = 101,4. Для относительно небольших величин И/ = 500 и Т = 100 отличие Т1 и Т2 от Т на два процента можно считать неплохим соответствием численного эксперимента и построенной теории.

Для модели Лоренца (см. графики, показанные далее) точки хуже ложатся на экспоненту. Ниже приведены расчеты для N = 2000. Рисунок 8 содержит полученные численным экспериментом точки и построенную по ним зависимость вида (22).

Как видно из рисунка, сама кривая выглядит «неубедительно» в сравнении с точками на графике. Кроме того, полученные значения Т1 = 20, Т2 = 36 не согласуются со значением Т = 100. Однако если при построении графика и вычислениях ограничиться точками с к > 15 (рис. 9), то соответствие между точками на графике и проведенной линией явно лучше, а полученные таким способом значения Т1 = 101, Т2 = 126 ближе к значению Т = 100.

601-1-1-1-1-1-1-1-1-1-

50 -40

О1-1-1-'-1--• т— I I

О 60 100 150 200 250 300 350 400 450 500

Рис. 9

Таким образом, в данном случае оказывается чрезмерно большим число фрактальных клеток, содержащих небольшое число точек.

Объяснить на качественном уровне более худший эффект для модели Лоренца по сравнению с моделью ротатора можно следующим образом. Рассмотрим в качестве примера обычный ромб (рис. 10).

Рис. lO

Очевидно, что размерность фигуры равна двум, а размерность границы фигуры — единице. Несомненно, эти значения мы можем получить, определяя их подобно размерности фрактала, то есть разбивая фигуру на одинаковые клетки и переходя к пределу нулевого размера клетки. Однако если мы возьмем малый конечный размер клетки и будем изменять угол a (вытягивая ромб), то отношение числа граничных клеток к числу полных клеток будет уменьшаться, поскольку при том же периметре фигуры уменьшается ее площадь. Сравнивая изображения фракталов сечения Пуанкаре модели Лоренца (рис. 2) и сечения Пуанкаре ротатора (рис. 4), несложно заметить, что для модели Лоренца соответствующий фрактал «вытягивается» в две линии. Можно ожидать, таким образом, что для фрактала модели Лоренца граничные клетки, содержащие малое число точек, будут давать большой вклад, который, по-видимому, будет уменьшаться с ростом значения N.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Берже П., Помо И., Видаль К. Порядок в хаосе. О детерминистическом подходе к турбулентности. М.: Мир, 1991.

2. Гритченко В. Т., Мацтпура В. Т., Снарский А. А. Введение в нелинейную динамику. М., 2007.

3. Кондратьев А. С., Ляпцев А. В. Динамический хаос в динамических и оптических системах II Известия РГПУ им. А. И. Герцена: Естественные и точные науки. 200б. № б (15). С. 2б2-27З.

4. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика. М.: Наука, 197б. Ч. 1.

5. Ляпцев А . В. «Квантование» в задачах нелинейной динамики. Численный эксперимент и интерпретация II Известия РГПУ им. А. И. Герцена. 2012. № 147. С. 1б1-175.

6. Малинецкий Г. Г., Потапов А. Б. Современные проблемы нелинейной динамики. М.: Эдитори-ал УРСС, 2000.

REFERENCES

1. Berzhe P., Pomo I., Vidal' K. Porjadok v haose. O deterministicheskom podhode k turbulentnosti. M.: Mir, 1991.

2. Gritchenko V. T., Matstpura V. T., Snarskij A. A. Vvedenie v nelinejnuju dinamiku. M., 2007.

3. Kondrat'ev A. S., Ljaptsev A. V. Dinamicheskij haos v dinamicheskih i opticheskih sistemah II Izvesti-ja Rossijskogo gosudarstvennogo universiteta im. A. I. Gertsena: Estestvennye i tochnye nauki. 200б. № б (15). S. 2б2-27З.

4. Landau L. D., Lifshits E. M. Statisticheskaja fizika. Chast' 1. M.: Nauka, 197б.

5. Ljaptsev A. V. «Kvantovanie» v zadachah nelinejnoj dinamiki. Chislennyj jeksperiment i interpretatsi-ja II Izvestija Rossijskogo gosudarstvennogo universiteta im. A. I. Gertsena. 2012. № 147. S. 1б1-175.

6. Malinetskij G. G., Potapov A. B. Sovremennye problemy nelinejnoj dinamiki. M.: Editorial URSS,

2000.