Теория турбулентного нагрева токовой DT-плазмы

УДК 533.9

ТЕОРИЯ ТУРБУЛЕНТНОГО НАГРЕВА ТОКОВОЙ DT-ПЛАЗМЫ

В.Ю. Попов1, В. П. Силин2

Для плазмы с равными концентрациями ионов дейтерия и трития развита теория турбулентного нагрева в режиме горячих ионов дейтерия и холодных ионов трития. Показана возможность нагрева электронов и ионов дейтерия в тысячи раз.

Ключевые слова: незатухающие волны, ионно-звуковые волны, ионно-звуковая турбулентность.

1. Введение. Настоящее сообщение посвящено теоретическому поиску оптимальных условий турбулентного нагрева токовой плазмы. Экспериментальные исследования в этой области привели, как известно, к открытию № 112: Явление турбулентного нагрева и аномального сопротивления плазмы, авторами которого являются М. В. Бабыкин, Е. Д. Волков, П. П. Гаврин, В. А. Демидов, Е. К. Завойский, Л. И. Рудаков, В. А. Ско-рюпин, В. А. Супруненко, Е. А. Сухомлин, Я. Б. Файнберг, С. Д. Фанченко (см. об этом [1]). В определенном смысле итоговой работой для нас представляется экспериментальная работа [2]. Основу нашего теоретического рассмотрения составляют работы [3, 4], в которых предложена модель теории ионно-звуковой турбулентности (ИЗТ) с ионами, отношение заряда которых к их массе различно. Соответствующая теория ИЗТ, с одной стороны, исходила из изотропного максвелловского распределения по скоростям ионов, а с другой стороны, предсказывала сильноанизотропное би-максвелловское ионное распределение по скоростям. Это затрудняло применение такой теории к пониманию явления турбулентного аномально сильного нагрева ионов, что замедлило развитие теории. Такая трудность была снята в огрубленной модели ИЗТ плазмы [5], в которой продольная ионная температура Ту вдоль направления греющего плазму постоянного

1 Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, 119991 Россия, Москва, Ленинские горы, 1; e-mail: masterlu@mail.ru.

Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации (Финуниверситет).

2 ФИАН, 119991 Россия, Москва, Ленинский пр-т, 53; e-mail: silin@sci.lebedev.ru.

Национальный исследовательский ядерный университет "МИФИ", 115409 Россия, Москва, Каширское шоссе, д. 31.

электрического поля Е считается пренебрежимо малой по сравнению с поперечной Т±. Именно огрубленная модель [5] позволила описывать сильный турбулентный нагрев ионов. При этом оказалось возможным обнаружить конкуренцию нагрева электронов и ионов. В частности, были установлены условия, в которых ионы нагреваются быстрее электронов [5-7]. Последнее позволило поставить вопрос о времени жизни ИЗТ как состояния плазмы с температурой электронов, много большей температуры ионов. Результаты теории такой модели мы используем ниже. При этом следует подчеркнуть то, что в работе [3] первоначально была высказана претензия на теорию ионно-звуковой турбулентности "плазмы с горячими электронами и холодными ионами двух сортов". Однако в действительности теория работы [3] содержала в себе возможность описания "плазмы с горячими электронами и горячими ионами одного сорта, когда ионы второго сорта являются холодными". О таком объекте теории, возникающем в результате простого решения уравнения, связывающего температуры двух сортов ионов, было указано в работах [6, 7]. В самое последнее время в нашей работе [12] нами начато количественное обсуждение турбулентного нагрева плазмы в режиме нагрева плазмы с горячими и холодными ионами на примере водородно-дейтериевой плазмы. Настоящее сообщение нацелено на обсуждение возможностей такого режима нагрева частиц плазмы применительно к плазме, могущей представлять практический интерес. Наконец, имея в виду, что наша теория ИЗТ является квазистационарной, а основное в такой теории уравнение представляет собой равенство нулю инкремента (декремента) ионно-звуковых волн, пульсации которых в турбулентном состоянии аномально велики, мы используем для описания спектра таких волн представление работы [8] о стационарных модах Власова [9-11].

Этот арсенал теории ИЗТ мы используем для рассмотрения сильного турбулентного нагрева плазмы с горячими и холодными ионами на примере представляющей практический интерес дейтерий-тритиевой плазмы. Стимулом для подробного текста является то, что в нашей работе [12] на учебном примере водород-дейтериевой (ИВ) полностью ионизованной плазмы с равной концентрацией горячих водородных и холодных дейтериевых ионов обнаружено, что время турбулентного сильного нагрева и эффективность нагрева горячих водородных ионов весьма превышают подобные характеристики нагрева ИВ плазмы в изучавшемся до сих пор турбулентном режиме нагрева плазмы с равными температурами ионов, полученные, например, в [8].

2. Уравнения турбулентного нагрева частиц дейтерий-тритиевой плазмы. Этот раздел мы посвятим уравнениям турбулентного нагрева частиц конкретного приме-

ра полностью ионизованной дейтерий-тритиевой (ВТ) плазмы с равной концентрацией разных ионов. При этом речь пойдет о нагреве в сильном поле. Согласно работе [5] для характеристики условий турбулентного нагрева будем использовать турбулентное число Кнудсена

к 2\е\ЕНеи1е + ш|2г12) ( в! е2\2 _ Е

КМ2 = бтг - х - 2 + г2 )2— т - тг) =

шь Тве (Т±1 + г±2) \Ш1 Ш2/ ЕмЪ

позволяющее ниже определять условия интересующего нас в этом сообщении режима сильного греющего плазму электрического поля. Обозначение (1) отвечает рассматриваемому здесь случаю плазм с двумя сортами ионов, отношения заряда к массе которых не равны

вт/тт = в2/т2.

В формуле (1) в - заряд и те - масса электрона, тВе = л/Ое/4'кв2Ме - электронный радиус дебаевского экранирования, N - плотность числа электронов, ве = к в Те, где кв - постоянная Больцмана, Те - электронная температура, ш^е = л/4пв2Ме/те - электронная ленгмюровская частота. Для ионов в формуле (1) используются обозначения: ва и та - заряд и масса ионов сорта а =1, 2, шЪа = - ленгмюровская ча-

стота ионов сорта а, N - плотность числа ионов, т±а = \/ва/4пв'аМа, где ва = квТ±а и Т±а - поперечная температура ионов сорта а, наконец = ш^ + ш^2. Итак, ниже интересующий нас нагрев частиц плазмы в режиме сильного поля Е >> Емь имеет место при

Км2 >> 1.

В этом случае электроны нагреваются благодаря турбулентному джоулеву нагреву, когда для турбулентного закона Ома имеем следующее соотношение [4, 5]:

3 = И^е^ 1.7УКМГ,

где Vs = ш^Т'ве - скорость длинноволнового ионного звука. Соответственно изменение во времени электронной температуры пространственно-однородной плазмы описывается уравнением

о АСЛ

3 N -в = 3Е = \в\ЕМеУя 1.7^КмГ.

Для временной эволюции поперечной температуры ионов в условиях

-в = 12\в\ЕМеУя х ш\аТ4

. ^а Ш!1Т±1 + ШЬ2Т± 2

1.2 ЛГ Х . .2 ^ , , ,2 „4 .

Уравнений (5) и (6) достаточно для определения временной зависимости температур частиц плазмы. Используем их для случая полностью ионизованной плазмы с равной концентрацией дейтериевых и тритиевых ионов N0 = Nт = (1/2)Д= и, когда, например, ~ 1.5 • 10-2шЬе. Для такого случая из уравнений (6), в частности, следует

^ = 2 х ©0

dвD = з х ©^.

При начальном условии ©т(¿о) = ©о (¿о) = ©о отсюда, в частности, имеем

©т

Соотношение (7) показывает, что в случае сильного нагрева ионов дейтерия, когда ©о(¿) >> ©о, температура ионов трития увеличивается лишь в три раза. Именно это позволяет надеяться на реализацию режима нагрева горячих и холодных ионов. Для случая рассматриваемой дейтерий-тритиевой плазмы турбулентное число Кнудсе-на имеет вид

К т = 562 4 / Е2 ©0

Согласно (8), в начале турбулентного нагрева, когда температуры ионов принимаются равными, имеем KN2(£о) = (234.25)у/Е2/(Жве~(£о)У. При сильном нагреве ионов дейтерия, когда ©0 (¿) >> ©т (¿), имеем

к*2

С ростом температуры электронов и ионов выражение (8) становится убывающим. Соответственно этому ко времени tf окончания сильного нагрева в режиме сильного поля можем записать соотношение ©e(tf)/©е^о) = (144/25)(КМ2(^)/КМ2(^)).

Обсудим как при сильном нагреве изменяется турбулентное число Кнудсена. Если предположить, что сильный нагрев осуществляется в условиях (3), то время окончания применимости излагаемого описания такого нагрева можно с запасом связать с условием К^2(^) = 10, а для предельных высказываний с условием К^2(^) = 5. Тогда для температуры электронов во время окончания нагрева с запасом можно записать следующее оценочное соотношение

©е

Приняв в начале турбулентного нагрева в сильном поле К^2(0) = 120, видим из соотношения (9) возможность роста температуры электронов примерно в 830 раз. Теперь пора

перейти к уравнениям временной эволюции температур частиц ВТ плазмы для того, чтобы понять какой рост температуры частиц они могут обеспечить. После подстановки (8) в уравнение (5) получаем первое из необходимых нам уравнений

¿©е3/4 _ 6 7 /Е2) 3/4 У©Р +

dт ©т + ©о

или

d©3/47dr = 6.7

Здесь и ниже т = ш^. Второе уравнение запишем для сильно греющихся ионов дейтерия ВТ-плазмы, когда согласно (6) имеем

^ = 0 68^]Е/^)^

dт 0 . 681 +

или

d©D7dт = 0 . 68 х ©1/2(Е2/^)1/2 при ©т << ©о . (11а) Решение уравнений (10) и (11) в приближении ©т << ©о запишем в виде

©е

©о

Прежде чем переходить к обсуждению полученных формул, имея в виду опыт работы [8], для определения связи начальных температур частиц и для того, чтобы убедиться в существовании ионно-звуковых волн к окончанию рассматриваемого нами нагрева, обратимся к дисперсионному уравнению ионно-звуковых волн.

3. Ионно-звуковые волны как моды Власова и начальные условия нагрева. Вслед за нашей работой [8] спектральные свойства используемых нами в теории ИЗТ стационарных ионно-звуковых (ИЗ) волн будем рассматривать как моды Власова. При этом традиционно используем приближение самосогласованного поля, пренебрегая анизотропией распределения ионов по скоростям. Напомним, что только при рассмотрении нелинейных проявлений механизма Кадомцева-Петвиашвили анизотропия нагрева ионов нами используется как упрощающая огрубленную модель ИЗТ. В соответствии с этим подобно [8] дисперсионное уравнение мод Власова для ионно-звуковых волн для нашего случая ВТ-плазмы с равными концентрациями разных сортов ионов используем в следующем виде

А=2 м> -1]+[Л/Зт <« -1] • <14>

где

вт(т) =

V? (т )У3

у/От (т)/тн'

вв (т ) =

V? (т

(т )/тн'

А(*) =

ве (¿) Од (*);

Лв) =

в

У2П

в - ж

ехр

В формуле (16) Р - означает понимание интеграла в смысле главного значения Коши, а сама формула (16), как ив [8], отвечает максвелловскому распределению ионов.

В начальный момент времени, когда температуры ионов разных сортов принимаются равными, это дисперсионное уравнение (14) благодаря вТ(0) = д/3/2вв (0) имеет вид

1 1 ] 1 г^^ л

А

2 Щвп(0)) -1] +1 [.7(^3/2ви(0)) -1

Решение уравнения (17) представлено кривой рис. 1, которая характеризует зависимость ви (0) от начальной степени неизотермичности А(0) и указывает на две ветви такого решения, согласно рисунку называемые верхняя и нижняя. Это свойство сохраняется и при больших временах. Следуя работе [8], мы ограничиваемся рассмотрением эффектов, связанных с верхней ветвью, которая в определенных условиях близка к ионно-звуковым волнам обычной задачи Коши (задачи о релаксации плазменных волн).

Рис. 1: Зависимость величины безразмерной скорости звука в в (0) от безразмерного отношения начальной температуры электронов к начальной температуре сильно турбулентно нагревающихся ионов дейтерия: А(0) = Ое(0)/©в (0).

Рис. 2: По оси ординат отложено 2 (т), а по оси абсцисс - безразмерное время т.

2

Рисунок 1 требует от нас уточнить в изложении нашей статьи понятие начала турбулентного нагрева плазмы. До рис. 1 с таким понятием мы связывали только равенство температур двух сортов плазмы, что связывалось лишь с упрощением нашего рассмотрения. Кривая рис. 1 заставляет нас напомнить о том, что до возникновения ИЗТ в плазме нагрев частиц токовой плазмы предполагается обусловленным кулонов-скими столкновениями, когда электроны нагреваются быстрее ионов. Соответственно этому в ламинарной плазме благодаря столкновениям растет степень неизотермично-сти плазмы А(т). Согласно рис. 1 наименьшее значение степени неизотермичности, при котором в нашем случае возможно существование стационарных ИЗ волн, равно Ао = minА(0) = 3.6788, когда ßD(0) = 1.936. От времени т = 0 столкновительно-го достижения степени неизотермичности плазмы, допускающей в ней стационарные ионно-звуковые моды Власова, мы далее будем отсчитывать турбулентный нагрев частиц в ней. Это означает то, что в нашей теории мы пока не затрагиваем начальный этап установления режима сильного поля ИЗТ.

Для дальнейшего описания результатов решения задачи турбулентного нагрева ионов трития и дейтерия, а также электронов D-T плазмы, как задачи Коши нелинейной системы уравнений (7), (11) и (10), согласно изложенному будем использовать следующее начальное условие: 0T(0) = 0D(0) = 6о(0) = (6e(0)/3.6788). Для всех трех сортов частиц начальные условия характеризуются одним начальным параметром. В качестве такового ниже мы используем ве(0) - начальную температуру электронов.

Заметим здесь, что в асимптотическом пределе сильного нагрева, когда 0д(т) >> вD(0) = в0(0) = (ве(0)/3.6788), уравнения нагрева частиц согласно (10а) и (11а) сильно упрощаются, а их решения для электронов имеют вид (12). Для ионов трития имеем 0Tas = 3(0e(0)/3.6788), то есть она близка к начальной температуре электронов, а для температуры ионов дейтерия имеем

Формулы (12) и (18) благодаря их простоте полезны. Наконец, не следует забывать об интегральном уравнении (14), поскольку только в условиях существования его решений можно говорить о существовании стационарных ионно-звуковых волн как мод Власова.

4. Картина турбулентного нагрева частиц плазмы. В этом разделе мы сосредоточим внимание на таком прикладном свойстве теории ИЗТ, каким является описание аномального турбулентного нагрева электронов и ионов полностью ионизованной плазмы. Однако прежде чем переходить к существу результатов такого описания следует подчеркнуть, что, во-первых, речь идет о повышении температуры сильно нагреваемых

0D (т) = (0e(0)/3.6788) + 1.45(E2/Ne)T5/3.

частиц не на один порядок величины, а во-вторых, теория не всегда может претендовать на численное значение предсказываемых величин после первой значащей цифры. Именно такова цена того, что в нашем подходе мы используем результаты первоначальных работ [3-7], например, для количественной характеристики спектра ионно-звуковых волн, а не численные следствия подхода мод Власова. Напротив, в таких качественных вопросах как существование мод Власова, как это уже было показано выше в разделе 3 при обсуждении начальных условий, так и далее в этом разделе мы базируемся на подходе работы [8]. Имея в виду роль турбулентного числа Кнудсена (1), запишем здесь соотношение между температурой электронов и таким числом в начале турбулентного нагрева

В частности, для использовавшегося во втором разделе значения Км2(0) = 120, из (19) имеем ©е(0) = 3.8(Е2/Де). Это выражение в качестве начального значения используется при получении представленного ниже материала.

Мы претендуем на описание сильного нагрева частиц плазмы, когда согласно (8а) Км2 (^ с ростом температуры электронов убывает. Однако наше рассмотрение мы относим к случаю сильного поля, что требует выполнения неравенства (3). Примем поэтому для безразмерного времени ограничения сильного нагрева два оценочных условия

Используя соотношения (7) и (8), с помощью решения уравнений (10) и (11) на рис. 2 изображена зависимость Км2(т) на интервале безразмерного времени 0 < т < 211. Рис. 2 показывает, что безразмерное время турбулентного нагрева частиц рассматриваемой дейтерий-тритиевой плазмы, в течение которого Км2(т) убывает от 120 до 10, составляет Tf = 75. Соответственно безразмерное время турбулентного нагрева, в течение которого Км2(т) убывает от 120 до 5, составляет Tf = 211. Иными словами, время более долгого нагрева примерно в 2.8 раза превышает время более краткого нагрева. Так мы теперь определили краткий и долгий интервалы времени нагрева.

Поэтому теперь приведем результаты рассмотрения нагрева частиц, отвечающего нашим решениям уравнений (7), (10) и (11), называемых ниже уравнениями нагрева частиц плазмы, с принятыми начальными условиями и интервалами времени нагрева. Они приведены на рис. 3-5. При этом все температуры даны в единицах Е2/Ме.

Обсуждение результатов, представленных рис. 3-5, начнем с результатов краткого нагрева на интервале 0 < т < 75. Численное решение системы дифференциальных

©е(0) = (23Л.24/Кт(0))2(Е2/^).

Км2(т/) = 10 и КИ2(тf) = 5.

Рис. 3: По оси абсцисс отложено безразмерное время т, а по оси ординат ©е(т) -температура электронов в единицах Е2/Ые.

Рис. 4: По оси абсцисс отложено безразмерное время т, а по оси ординат ©в (т) -температура ионов дейтерия в единицах Е2/Ые.

Рис. 5: По оси абсцисс отложено безразмерное время т, а по оси ординат ©т(т) -температура ионов трития в единицах Е2/Ые.

Рис. 6: По оси абсцисс отложено безразмерное время т, а по оси ординат отложено значение решения дисперсионного уравнения вв (т).

уравнений позволило, в частности, установить, что в конце нагрева на этом интервале температура электронов составляет ©е (75) = 3140(Е2/Ие), то есть будучи в начале нагрева равной ©е(0) = 3.813Е2/Ие возрастает примерно в 823.5 раза; температура ионов дейтерия соответственно составляет ©в (75) = 1693(Е2 /Ие), то есть возрастает примерно в 1633 раза, наконец, температура ионов трития возрастает примерно в 3 раза.

Продолжим это обсуждение результатами долгого нагрева на интервале 0 < т < 211. Легко понять, что увеличение времени турбулентного нагрева ведет к увеличению тем-

пературы сильно греющихся частиц плазмы. Количественное представление о таком увеличении дают приведенные выше рис. 3-5, полученные с помощью численного решения системы дифференциальных уравнений нагрева частиц. Рис. 3 и 4 отвечают в конце нагрева, то есть при Tf = 211, следующие значения температур сильно нагревающихся электронов и ионов дейтерия 6е(211) = 12640Е2/Же и вд(211) = 9597Е2/Ме соответственно. Это, в частности, означает, что температура электронов, будучи в начале равной ве(0) = 3.813Е2/Ме, в конце нагрева возрастает примерно 3315 раз, а температура ионов дейтерия, будучи в начале нагрева равной вд(0) = 1.037Е2/Лге, в конце нагрева возрастает примерно в 9255 раз. Вот в каком смысле турбулентный нагрев ионов дейтерия оказывается более эффективным, чем нагрев электронов. Что же касается нагрева ионов трития, то согласно рис. 5 он и на долгом интервале нагрева оказывается, естественно, около трех раз.

Теперь настало время удостовериться в том, что на всем рассматриваемом нами интервале времени сильного турбулентного нагрева интегральное дисперсионное уравнение Власова (14) обладает решениями. Это позволяют увидеть рис. 6 и 7, на которых приведены так называемые верхние кривые, которые в определенных условиях оказываются похожими на получаемые при решении релаксационной начальной задачи.

Рис. 7: По оси абсцисс отложено безразмерное время т, а по оси ординат отложено значение решения дисперсионного уравнения вт(т).

Рис. 8: По оси абсцисс отложено ве - температура электронов в единицах Е2/Ые, а по оси ординат отложено значение решения дисперсионного уравнения вТ(т). Пунктирная кривая соответствует аппромаксионной теоретической зависимости 0.35^/ве.

Непрерывные (без каких-либо разрывов) кривые рис. 6 и 7 свидетельствуют о том, что на всем рассматриваемом нами интервале времени нагрева 0 < т < 211 решения

дифференциальных уравнений турбулентного нагрева совместимы с дисперсионным уравнением (14) Власова. Иными словами дисперсионное уравнение (14) запретов на описание дифференциальными уравнениями турбулентного нагрева частиц плазмы в теории ИЗТ не порождает.

Относительно рис. 6 помимо того, что сказано о связанном с демонстрацией существования решения дисперсионного уравнения Власова, следует заметить, что вне области малых времен дисперсионная кривая этого рисунка схожа с дисперсионной кривой ионно-звуковых волн задачи Коши плазмы с постоянной температурой ионов и растущей со временем температурой горячих электронов. Это связано с практически не меняющейся в области больших времен температурой ионов трития.

Т а б л и ц а 1

Приближенные значения используемых в статье параметров

Типы плазмы Ме, м-3 — 1 ШЬв, С 1 1 шь, С 1 75/шь, с 211/шь, с

Разреженная горячая плазма 1018 6  1010 9  108 8.3  10-8 2.34  10-7

Газовый разряд и горячая плазма 1020 6  1011 9  109 8.3  10-9 2.34  10-8

Плотная горячая и термоядерная плазма 1022 6  1012 9  1010 8.3  10-10 2.34  10-9

Сравним примеры краткого и долгого нагревов плазмы. Итак, наше рассмотрение позволило увидеть возможность того, что за время краткого нагрева шьtf = Tf = 75 температура электронов рассматриваемой ВТ-плазмы возрастает примерно в 823 раза, а температура сильно греющихся ионов дейтерия увеличивается примерно в 1633 раза. Соответственно за время долгого нагрева шьtf = Tf = 211 температура электронов возрастает примерно в 3313 раз, а температура ионов дейтерия возрастает в 9528 раз. Сравнивая свойства двух различных по длительности режимов турбулентного нагрева, можно видеть у них общее в том, что средняя скорость роста относительной, то есть отнесенной к начальному значению температуры ионов дейтерия, в обоих случаях оказывается большей средней скорости роста температуры электронов, отнесенной к ее начальному значению. Однако, если в случае более короткого режима нагрева (тf = 75) средняя скорость во времени нагрева ионов дейтерия больше средней скорости нагрева электронов примерно в два раза, то для режима более долгого нагрева ^ = 211) превышение скорости нагрева ионов дейтерия по сравнению со скоростью нагрева электронов

достигает примерно трех раз. Это означает, что с ростом времени "обгон нагрева электронов нагревом ионов" растет, а наше рассмотрение отвечает, как это было сказано во Введении статьи условиям, когда ионы нагреваются быстрее электронов.

Заключение. Еще Е. К. Завойский размышлял о турбулентном нагреве дейтерий-тритиевой плазмы. Если говорить о теории ИЗТ того времени, то ясно, что тогда не существовало адекватной физической модели для понимания такого нагрева, поскольку модель Кадомцева-Петвиашвили ИЗТ возможно годилась для понимания нагрева дейтериевой плазмы, или более обще, для плазм с ионами, имеющими одинаковое отношение заряда к массе. К пониманию этого пришли в 1992 году [3]. Помимо этого во Введении перечислены другие усовершенствования модели работы [3], среди которых использование в нашей работе в теории ИЗТ режима турбулентного нагрева плазмы с горячими электронами и горячими ионами одного сорта, и с холодными ионами другого сорта [6, 7]. Такой режим до сих пор экспериментально не изучался. Кроме этого в нашей работе намечен путь использования введенных в теорию ИЗТ в нашей недавней работе [8] стационарных мод Власова [9, 10]. Заметим, что подобные волны еще в 1957 году были поддержаны Ван Кампеном в работе [13], привлекшей к себе внимание за рубежом. В нашей стране все еще бытует миф о стационарных модах Власова как об ошибке [11]. Наконец, остановимся на прокламируемом в нашей работе турбулентном нагреве ионов дейтерия в сотни и даже тысячи раз, который является сильным и быстрым (ср. табл. 1). Сравнение с [2] позволяет полагать этот результат экспериментально реализуемым. Подчеркнем, что такой нагрев получен в огрубленной теории ИЗТ [5]. Поэтому изложенное здесь может быть предметом экспериментального количественного исследования, как на пути практического использования свойств турбулентной плазмы, пути Е. К. Завойского, так и на пути утверждения фундаментальных представлений о плазме Власова без столкновений. В более узком плане эксперимент нужен для теории ионно-звуковой турбулентности плазм с ионами, удовлетворяющими условию (2), как продвинутой до уровня, могущего обслуживать эксперимент. Научный успех в этом случае сможет вдохновить на преодоление тех трудностей, которые имеются на пути разработки теории модели турбулентности Кадомцева-Петвиашвили. В отсутствие современного эксперимента нас вдохновляют сегодня, по крайней мере, два обстоятельства. Во-первых, совпадение нашей теоретической зависимости ~ Е2 температуры сильно турбулентно нагреваемых частиц плазмы от напряженности греющего плазму электрического поля (см., напр., (12) и (18)) с давно такой экспериментально установленной закономерностью в работе [2]. Во-вторых, "эффект плато", названный

в работе [14] эффектом Демидова-Елагина-Фанченко (ДЕФ), эффект независимости турбулентной проводимости плазмы от напряженности греющего плазму электрического поля. Этот эффект экспериментально был обнаружен в случае сравнительно слабого греющего поля в работе [15], а для сравнительно сильного поля в [2], где также подтвержден результат [15]. В нашем понимании теория ИЗТ для слабого поля впервые в рамках развиваемой в [16] нестационарной турбулентной кинетики дала интерпретацию эффекта "плато ДЕФ" в работе [14], а для рассматриваемого в настоящей работе режима сильного поля этому эффекту дано теоретическое описание в работах [6, 7]. Это вселяет надежду на то, что экспериментальные усилия по изучению ионно-звуковой турбулентности вполне смогут и далее обогатить науку.

Работа поддержана грантом РНФ № 14-12-00824.

Приложение

Это математическое приложение связано с рис. 8, на котором представлено в виде сплошной кривой численное решение дисперсионного уравнения Власова (14) вт(т) в широком интервале изменения температуры электронов ве(т) и в виде пунктирной кривой приведена аппроксимирующая решение уравнения аналитическая зависимость 0.35^/ве(т). Здесь, как и в основном тексте статьи, температура электронов в единицах Е 2/Не.

ЛИТЕРАТУРА

[1] В. А. Супруненко, Сб. воспоминаний об акад. Е.К. Завойском (М., Наука, 1993), с. 103.

[2] Б. А. Демидов, Е. К. Завойский, Ю. Г. Калинин и др., Прогресс в исследовании турбулентного нагрева плазмы, в книге Е.К. Завойский, Избранные труды. Электронный парамагнитный резонанс и физика плазмы (М., Наука, 1990), с. 298-314.

[3] В. П. Силин, С. А. Урюпин, ЖЭТФ 102, Вып. 1(7), 78 (1992).

[4] В. П. Силин, С. А. Урюпин, Физика плазмы 19(7), 894 (1993).

[5] В. П. Силин, Физика плазмы 37(5), 461 (2011).

[6] V. P. Silin, Ukr. Journ. Phys. 57(3), 322 (2012).

[7] В. П. Силин, Физика плазмы 38(9), 826 (2012).

[8] В. Ю. Попов, В. П. Силин, Физика плазмы 40(4), 368 (2014).

[9] А. А. Власов, Теория вибрационных свойств электронного газа и её приложения, Ученые записки МГУ. Физика, Книга вторая, часть 1, выпуск 75 (М., МГУ, 1945), с. 3.

[10] А. А. Власов, Теория многих частиц (М., ГИТТЛ, 1950).

[11] В. П. Силин, Краткие сообщения по физике ФИАН 41(4), 25 (2014).

[12] В. Ю. Попов, В. П. Силин, Краткие сообщения по физике ФИАН 41(3), 28 (2014).

[13] N. G. Van Kampen, Physica 21, 949 (1955).

[14] В. П. Силин, Физика плазмы 37(3), 300 (2011).

[15] Б. А. Демидов, Н. И. Елагин, С. Д. Фанченко, ДАН СССР 174(2), 327 (1967).

[16] В. П. Силин, Физика плазмы 37(8), 739 (2011).

[17] Ж. А. Биттенкорт, Основы физики плазмы (М., Физматлит, 2009).

Поступила в редакцию 6 апреля 2015 г.