Об одном разностном методе продолжения потенциальных полей

УДК 518.5

И. В. Бойков, В. А. Рязанцев

ОБ ОДНОМ РАЗНОСТНОМ МЕТОДЕ ПРОДОЛЖЕНИЯ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЕЙ

Аннотация.

Актуальность и цели. Проблема продолжения потенциальных полей возникает во многих областях физики и техники: в геофизике - при продолжении полей, измеренных на поверхности Земли, в глубь Земли; в метеорологии -при определении границ атмосферных полей; в дефектоскопии - для исследования внутренних свойств материалов без их разрушения и в ряде других областей. Несмотря на то, что для этих задач предлагаются различные методы, все они, как правило, сводятся к интегральным уравнениям Фредгольма первого рода, которые являются некорректными задачами. Применение классических разностных методов невозможно, как показали численные эксперименты, из-за их неустойчивости. Так как разностные схемы обладают простотой и быстродействием, представляет значительный интерес построение специальных устойчивых схем. Данная статья посвящена построению устойчивых разностных схем продолжения потенциальных полей.

Материалы и методы. В основу построения разностных схем и продолжения потенциальных полей положены оптимальные методы аппроксимации потенциальных полей, принадлежащих классам функций Qr^ (О, M),

Br у (О,M), где О - область, в которую продолжается поле. Узлы локальных

сплайнов, являющихся оптимальными методами приближения функций классов Qr ^ (О,M) и Br у (О,M), взяты в качестве узлов разностных схем.

Результаты. Построены устойчивые разностные схемы, являющиеся эффективным методом продолжения потенциальных полей.

Выводы. Доказана возможность продолжения потенциальных полей разностными методами.

Ключевые слова: потенциальные поля, разностные схемы, неравномерные сетки, устойчивость, оптимальность.

I. V. Boykov, V. A. Ryazantsev

ON A DIFFERENCE METHOD OF POTENTIAL FIELDS’ EXTENSION

Abstract.

Background. The problem of potential fields’ extension rises in many branches of physics and technology: in geophysics in extension of fields measured on the Earth’s surface, in the depth of the Earth, in meteorology when determining the limits of atmospheric fields, in defectoscopy for research of materials inner properties without destruction thereof and in a number of other branches. In spite of the fact that for all such problems researchers suggest different methods, as a rule, all of them are reduced to Fredholm integral equations of first kind, which are the ill-conditioned problems. As proved by numerical experiments, application of classical difference methods is impossible due to instability thereof. As the difference schemes are characterized by simplicity and performance, of considerable interest is development of special stable schemes. The article is devoted to development of stable difference schemes of potential fields’ extension.

Materials and methods. Development of difference schemes and potential fields’ extension are based on optimal methods of approximation of potential fields belonging to the function classes Qr (О,M), Br y (О,M), where О is the area into which

a field is extended. The nodes of local splines, being the optimal methods of approximation of function classes Qry (О,M) and Bry (О,M), act as the nodes of

the difference schemes.

Results. The authors developed the stable difference schemes being the effective method of potential fields’ extension.

Conclusions. The researchers proved the possibility of potential fields’ extension by means of the difference methods.

Key words: potential fileds, difference schemes, non-uniform mesh, stability, optimality.

Введение

Задача аналитического продолжения потенциальных полей в нижнее полупространство имеет важное значение в вычислительной геофизике. Это обусловлено необходимостью локализовать расположение источников магнитных и гравитационных полей (аналогичные задачи возникают и в дефектоскопии при исследовании внутренних свойств материалов без их разрушения). Для решения этой задачи неоднократно использовались сеточные методы [1, 2]. В работе [1] отмечается, что потенциальное поле удается продолжить только на несколько шагов разностной схемы. В работе [2] за счет искусственных приемов потенциальное поле удалось продолжить на достаточно большую глубину, однако начиная с [N /2] +1 шага (всего N шагов в вычислительной схеме) погрешность резко возрастает. Основная причина возрастания погрешности связана с неустойчивостью разностных схем с постоянным шагом. В связи с тем, что разностные методы продолжения потенциальных полей обладают рядом существенных преимуществ по сравнению с алгебраическими методами (простота реализации, быстродействие, небольшая память), представляет значительный интерес построение устойчивых и точных разностных схем.

Решению этой задачи посвящена данная работа. Для построения эффективных алгоритмов используется информация о гладкости полей. Известно [3-5], что гладкость потенциальных полей описывается классами функций Qry(О,M) и Bry(О,M) (определение см. в разд. 1). Оптимальные методы

аппроксимации классов функций Qr у (О,M) и Bry(Q.,M) исследованы в

работах [6, 7], где построены локальные сплайны, являющиеся оптимальными (по порядку) алгоритмами аппроксимации упомянутых выше классов функций. Узлы этих локальных сплайнов взяты в качестве узлов разностных схем. В результате построена неравномерная разностная схема.

Устойчивость схемы обусловлена переменным шагом по оси z . Высокая точность обеспечивается тем, что в качестве узлов разностных схем берутся узлы локальных сплайнов, являющихся оптимальным по порядку методом аппроксимации соответствующих классов функций. Модельные примеры продемонстрировали эффективность предлагаемых алгоритмов.

1. Классы функций

В данном разделе приводятся определения классов функций, используемых в работе.

Определение 1 [5]. Пусть О = [-1,1]1, I = 1,2,..., г = 1,2,... Функция ф(х},...,х/) принадлежит классу Qг у (О,М), если выполнены условия

тах

хеО

э1и1ф

Эх?1 ...Эх?1

< M при 0 < Ь| < r,

э1и1ф

Эх?1 ...Эх?1

M

u-r—

при r < и < s

где 5 = г + [у] + 1, У = [у] + М, 0 < М < 1, С = 1 - М- при у нецелом, 5 = г + у при у целом; й (х, Г) - расстояние от точки х до границы Г, вычисляемое по формуле й (х, Г) = тттт (1 + х11,|1 - х1|), х = (х1,..., XI), и = (г>1,..., и/),

1<г </

1^ = и1 + ... + и/ .

Определение 2 [5]. Пусть О = [-1,1]1, I = 1,2,..., г = 1,2,..., 0<у< 1. Функция ф(х1,...,х/) принадлежит классу Вгу(1,М), если выполнены условия

ди1ф

тах

хеО

Эх?1 ...Эх?1

диф

Эх?1 ...Эх?1

<-

J г U I I и

M1 1 и1 1

при r < и < ^.

((х,Г)) г 1+т

Определение 3. Пусть О = [-1,1]1, I = 1,2,..., 0 <а<1, 0 <у< 1. Множество Ва0Т(О,М) состоит из функций /(х1,...,х/), удовлетворяющих следующим условиям:

/(х)е На, .,а(М), 0<а< 1, хе О;

Эг/

Эх!"1 ...Эхр

r -1+y

1 +

lnu

, хеО\Г при 1 <r<<

Определение 4. Пусть О = [-1,1]1, I = 1,2,... Множество В00(О,М) состоит из функций /(х1,..., х/), удовлетворяющих следующим условиям:

э1и1 f

Эх?1 ...Эх?1

<-

1 +

lnu

, xє О\Г при |d = О,1,...

Напомним несколько определений, которые понадобятся дальше. Следуя [7], назовем поверхностями Ляпунова области, ограниченные конечным числом замкнутых поверхностей, которые удовлетворяют трем условиям Ляпунова:

1) в каждой точке поверхности существует определенная касательная плоскость и, следовательно, определенная нормаль;

2) если 0 есть угол между нормалями в точках п\ и т2 и если г есть

л

расстояние между этими точками, то 0<Сг (0<Л<1), где С и X - вполне

определенные числа;

3) существует число й , одно и то же для всех точек поверхности и обладающее свойством: параллели к нормали в точке т поверхности пересекают не более чем в одной точке часть поверхности, находящуюся внутри сферы радиуса й с центром в т .

Определение 5 [7]. Функция /

(0 <а<1) в области В, если она в этой области ограничена и имеет ограниченные непрерывные производные порядка 5 , удовлетворяющие условию Гельдера

д г/ дхг1 дхг2 дхг3

г = 0,1,...,5; и для любой пары точек т1 е В и т2 е В, расстояние г^ между которыми меньше некоторого числа гд < 1, справедливо неравенство

с показателем a и с константой A, т.е.

< C, где ri + r2 + Гз = r,

d sf d sf

dxsi dys2 dzs3 dxsi dys2 dzs3 mi y m2

Пусть ^ - поверхность Ляпунова и п - внешняя нормаль к ней. Произвольную точку т0 на ^ примем за начало местной декартовой системы координат (х,П,С), направив ось £, по нормали щ в точке т0 и зафиксировав как-нибудь оси х,П в касательной плоскости. В достаточно малой окрестности точки т0 уравнение поверхности ^ в местной системе координат (Х,П,С) имеет вид £ = ^(х,п).

Определение 6 [7]. Поверхность ^ принадлежит классу функций (В, а), если ^(х, п) е Н (к, В, а) и константы В и а не зависят от выбора точки т0 .

2. Гладкость потенциальных полей

В работах [3-5] исследована гладкость потенциальных полей, создаваемых различными гравитирующими телами. В частности, получены следующие утверждения.

Пусть потенциальное поле представимо интегралом

P

D

V (х, y, z) = G JJJ----------- -----Z,

где О - постоянная; (х,у,г) - точка вне тела В; (,п,С) - точка, пробегающая область В; В - область, занимаемая гравитирующим телом, р (х,у,г) - его плотность.

Теорема 1 [3] . Пусть плотность р(х,у,г) ограничена и интегрируема. Тогда справедлива оценка

Г1, 0 < 5 < 1,

d sV

< crs • sN

((m,Г)) s+!, 1 < s <c

Эх5 Эу52 Эг53

где й(т,Г) - расстояние от точки т =(х,у,г) до границы Г области В, 5 = 51 + 52 + 53, 0 < 5^ < 5, i = 1,2,3.

Теорема 2 [3]. Пусть Г = ЭВ - поверхность Ляпунова класса Ьк (В,а), ре Н (/, с, а), 0 < I < к . Справедлива оценка

Э 5У

Эх1*' dys2 dzs 3

|1, 0 < s < l + 2.

<c2ss!

((m,Г)) s+l 2, l + 2<s <<

Известно [8], что лапласовы поля, определенные в области D, ограниченной поверхностью S, описываются многомерными интегралами типа Коши

F(r0=1“ tt\(n• F(r))grad 1 +[nxF(r)]xgrad 1 ids,

4n s у |r - r I |r - r IJ

F = grad{/1,/2,/3}; U - потенциальное поле; S - поверхность Ляпунова, ограничивающая область D; n = {n1, n2, Пз} - единичный вектор внешней нормали к поверхности S; r = (х, y, z) - радиус-вектор точки, пробегающей поверхность S; r/ = (х/,y/,z/) - радиус-вектор точки, лежащей внутри области D .

Теорема 3 [9]. Пусть D - выпуклая, замкнутая, связная область, ограниченная гладкой поверхностью S. Пусть вектор-функция F(r) - кусочнопостоянная. Тогда компоненты вектор-функции F(r) принадлежат классу

функций Bq,o(c, s).

Теорема 4 [9]. Пусть D - выпуклая, замкнутая, односвязная область. Пусть вектор-функция F(r) принадлежит классу Гельдера На(0<а<1). Тогда компоненты вектор-функции F(r) принадлежат классу функций

Ba,0,0(M).

Замечание. Аналогичные утверждения справедливы и для классов функций, представимых интегралом Пуассона по плоскости ^ .

Из теорем 1-4 следует, что потенциальные поля и производные потен-

индексами г, у, и и а, зависящими от конкретных видов полей.

В работах [3-5] построены локальные сплайны, являющиеся оптимальными по порядку (по точности) методами аппроксимации классов функций 2г у (П,М) и Вг у (П,М) . Способ построения узлов этих локальных сплайнов

взят в качестве способа построения узлов разностных схем, рассматриваемых в следующем разделе.

3. Разностные схемы продолжения потенциальных полей

Введем декартову систему координат Ох1 х2г, направив ось г вниз. Постановка задачи. Пусть в области П = Ох[0,Н]с% О с Я2, существует потенциальное поле и(х1, х2, г), удовлетворяющее уравнению

Требуется восстановить потенциальное поле и (1, х2, г) в области П .

Замечание. Эта постановка допускает обобщение. В связи с развитием в последнее время тензорной градиентометрии [10] можно рассматривать уравнение (1) с граничными значениями (2) и

Построим разностный метод восстановления потенциального поля и(X}, %2, г) в области О по неравномерной сетке узлов. В качестве исходной информации возьмем уравнение (1) с граничным условием (2).

Обозначим через кх шаг разностной схемы по переменным X}, Х2, а через кг (к) - шаг разностной схемы по переменной г. Здесь Н2 (к), к = 1,...,М, - шаг разностной схемы на к -м слое.

Прежде всего остановимся на выборе шагов Н2 (к). В работах [3-5] показано, что потенциальные поля, создаваемые тяготеющими массами, принадлежат классу функций Ву у (Б,М), где Б - область, в которой определяется потенциальное поле. В работах [3-5] при построении оптимального метода аппроксимации потенциальных полей область Б разбивалась на более

мелкие области Ак, к = 1,...,М -1, где область Ак определялась неравен-

циальных полей принадлежат классам функций Вг у и В^ у у с различными

AU = 0.

Пусть на поверхности О известно граничное значение и(Х1,Х2,0) = /(Х1,Х2), (Х1,Х2)є О.

ствами

2k-M < d(х,dD) < 2k+i-M, k = 1,2,...,M -1,

а область А0 определялась неравенствами 0 < й(х, Г) < 2-М . Здесь дБ - граница области Б . Поэтому естественно взять И2(к) = 2к 1 М, к = 1,2,...,М .

Для построения разностной схемы необходимо располагать значениями функции и(Х1, Х2, г) на дополнительном слое г = 2-М . Для этого возможны следующие подходы:

1) наряду с измерениями поля на уровне Земли (г = 0) измерить поле на уровне —Н2;

2) наряду с измерениями поля по уровне Земли (г = 0) измерить на этом же уровне вертикальную производную поля;

3) для определения значений поля на уровне г = —Н2 воспользоваться формулой Пуассона.

Интеграл Пуассона для полупространства имеет вид

і і

и

2п—І—І ((Х1 Ч)2 +(Х2 —П)2 + г2)3/2

Для его вычисления необходимо продолжить функцию /(х, у) на область Я2 \ О . Существуют различные способы продолжения. В качестве простейших можно отметить следующие способы:

1) продолжить функцию /(х, у) нулем на Я2 \ О ;

2) найти среднее значение функции /(х, у) по области О и продолжить функцию /(х, у) этой компонентой на £2 \ О ;

3) пусть £ (0, Я) - круг радиуса Я, где Я >> й, й - диаметр области

О . В области £ (0, Я )\ О найдем минимальное в квадратичной метрике решение и* (х, у) уравнения Лапласа с граничными значениями

и( х, у )1( х,у)є£ (0,Я), и ( х, у)1( х, у)єд О = / ( х, у).

Функцию /(х,у) продолжим функцией и*(х,у) на область £(0,Я)\ О и нулем на область Я2 \ £(0, Я).

Замечание. Третий случай достаточно трудоемкий и его можно применять в случае, когда одна и та же область О встречается во многих приложениях.

Для нахождения значений и^ j—1, і,] = 0,1,...,N, воспользуемся интегралом Пуассона (4). Предположим, что функция / (^, п) продолжена нулем. Интеграл Пуассона будем вычислять по кубатурной формуле:

2 N—12 N—1 , п

Е Е/

к1=0 к2 =0 А

kA

где vk =-A+n,k=0,i...2N, Akik2 = [vki;vki +i;vk2;vk2Ni],k = 0,i...2N-i.

Погрешность этой формулы на классе функций Наа (1) оценивается неравенством

^ [Наа (1)] П ^-а .

Погрешность этой формулы на классе функций Гельдера На а

//((1,(2 ) На а(М)) оценивается неравенством \R-nn(/)\ < еЫ~а .

Замечание. В данной работе мы ограничиваемся квадратурной формулой прямоугольников, так как вычислительный эксперимент показывает, что точность восстановления потенциального поля в случае, когда значения и/ у— вычисляются по кубатурной формуле (5), и в случае, когда даны точные значения функции и((1, (2, —И), одинакова.

Поэтому более точные кубатурные формулы представляют интерес в случае использования других разностных схем.

Приступим к построению разностных схем. Положим для определенности П = [а,Ь;а,Ь;0,Н]. Пусть У( ]- к =/,Су,dk), С/ = а + , / = °Л,...,N

ёк = кН /М, к = 0,1,...,М, d—1 =—Н /М.

В результате вычисления интеграла Пуассона получаем две сетки узлов

/(V,у,0) и и(V/,у—1).

Располагая этими данными, вычисляем значения и(V/ у 1),

/, у, = 1,2,..., N — 1, по семиточечной разностной схеме. Для удобства ее описания обозначим /(V/ у о) через и(У/уо). Значения и(V у 1) вычисляются по формуле

и (V/, у ,1) = 2и (V, у,о)—и (V, у,—1) —

—4

Их

где /,у=1,2,...,К—1 и Их = —И = М

Для вычисления значений и(^0 у 1), у = 1, . ., N — 1, используем следующую разностную схему:

и (^ у ,1) = 2и (^ у ,0) — и (^ у,—1) —

—4 (и/о, у—1,0) + и (V), у+1,0) — 2и (V), у ,0)) —

Их

—4

Их

Аналогичным образом вычисляются значения и(^ у 1),

у = 1,2,...К — 1; и(^,0,1), и(^^,1), / = 1,2,...,N — 1.

Для вычисления значения и^0 01) используем следующую разностную схему:

И2 ,

и^0,0,1) = 2и(К0,0,0) — и(^3,0,—1) ^-2(и^2,0,0) + и(^,0,0) — 2и(^,0,0) +

К

+и

Аналогичным образом вычисляются значения и(УN 01), и ^0 N1) и и(УN,N,1) .

На следующем шаге в соответствии с построением наилучших методов приближения функций из класса Вг у шаг разностной сетки удваивается и по

направлению О2, и по направлениям Ох и Оу . После этого по разностным схемам, алогичным (6), (7), (8), вычисляются значения и (У2г2 уз),

/,у = 0,1,...,N/2 (здесь для простоты полагаем N четным). Аналогичным образом, удваивая шаг по направлениям Ох , Оу , 02 при каждом следующем шаге алгоритма, проводятся вычисления до достижения уровня г = Н .

Замечание 1. Реализация вычислительной схемы с переменным шагом по Ох , Оу , О2 на каждом шаге алгоритма является достаточно трудоемкой. Поэтому целесообразно приводить удвоение шага не на каждом шаге, а после т шагов вычислительной схемы. Величина т выбирается исходя из соотношений начальных шагов Их и И2 и величины Н .

Замечание 2. Параметры Их, И2, т нужно выбирать таким образом, чтобы плоскость 2 = Н входила в число поверхностей, на которых происходит вычисление значений функции и(х, у, 2).

4. Вычислительный эксперимент

Для иллюстрации эффективности разностной схемы, предложенной в разд. 3, рассмотрим несколько модельных примеров.

4.1. Двумерный случай

Пример 1. На прямой 2 = 0 задана функция и(х,0) = ———, являю-

х2 + Ь2

щаяся граничным значением решения уравнения Лапласа в полуплоскости. Точное решение уравнения имеет вид

и(х, 2) =- 2 + Ь

+

Требуется, располагая значениями функции и(х,0) = ^-Ь—— на сег-

х2 + Ь2

менте [-В, В] (величина В определена ниже), продолжить потенциальное поле при г > 0. Результаты продолжения при Ь = 1 приведены в табл. 1.

Таблица 1

A H L N S ^адапт £равн

50 0,5 90 5  106 [5,2] 0,35556 да

50 i 75 5  106 [4,2] 0,40039 да

500 0,5 90 6 О -о [4,2] 0,01689 да

500 i 90 107 [5,2] 0,09273 да

500 і 100 2 О -о [5,2] 0,04794 да

500 1,5 90 6 О -о [4,2] 0,0496 да

500 2 90 6 О -о [4,2] 0,06546 да

4

Пример 2. На прямой г = 0 задана функция и(х,0) = —------------, являюща-

х2 + 4

яся граничным значением решения уравнения Лапласа в полуплоскости. Точное решение уравнения Лапласа имеет вид

4 — г

и( х, г) =—----------

х2 + (4 — г)2

4

Требуется, располагая значениями функции и (х,0) = —-------- на сегменте

х2 + 4

[—В, В] (величина В определена ниже), продолжить потенциальное поле при г > 0.

Результаты вычислений приведены в табл. 2.

Таблица 2

A H L N S ^адапт £равн

25 0,5 50 6 0 5 [3,2] 0,03314 да

25 i 100 6 0 5 [6,2] 0,07372 да

50 1,5 100 6 0 5 [6,2] 0,12689 да

50 2 100 6 0 5 [6,2] 0,4393 да

В табл. 1 и 2 использованы следующие обозначения: [-А,А] - сегмент, на котором определено граничное значение; Н - глубина, на которую продолжается поле; Ь - число слоев по переменной г ; N - число узлов сетки на сегменте [-А,А]; вектор £ = [ п, у] определяет структуру неравномерной сетки: у - коэффициент, на который умножаются шаги Нх и Н2 через каждые п слоев по г.

Замечание. В примерах 1 и 2 значения функции и(х,0) берутся на сегменте [—В,В], где В = 10, и продолжаются на сегмент [-А,А] значением и (В,0). Этот искусственный прием необходим для реализации принципиальной компоненты предложенного алгоритма, которая заключается в увеличении шага разностной схемы на каждом ее шаге (или по определенному правилу).

Пример 3. На глубине г* лежит полоса бесконечной длины и ширины , создающая на поверхности Земли поле

* * -x , x

* Л

* Л

x + x — arctg x — x

* *

z 1 z z — z

u( x, z) = arctg

Требуется, располагая значениями функции и (х,0) на сегменте [—А, А]. восстановить функцию и (х, г) на возможную глубину.

Здесь х* = 1, / = 1, А = 10, I = 50, N = 1000, £ = [15,2].

Результаты вычислений приведены в табл. 3.

Таблица 3

H ^адапт £равн

0,1 0,06748 0,0001

0,2 0,13952 0,0004

0,3 0,2167 0,00143

0,4 0,29946 6,48618

0,5 0,38808 49714,07

0,6 0,48254 294512793,53

0,7 0,58244 да

0,8 0,68789 да

0,9 0,81403 да

Пример 4. На глубине г' лежит цилиндр бесконечной длины, создающий на поверхности поле

и( х, 0) =-

+ (z f

где г' - глубина, на которой залегает цилиндр. В полуплоскости г > 0 это поле описывается формулой

/

и( х, г) =-

x~ +

здесь z' = 4, A = 10, L = 100, N = 2000, S = [20,2]. Требуется, располагая значениями функции u (x,0) на сегменте [—A, A], восстановить функцию u( x, z) на возможную глубину.

Результаты вычислений приведены в табл. 4.

В табл. 3 и 4 используются следующие обозначения: [-A, A] - сегмент, на котором определяются узлы нулевого слоя разностной схемы. При этом граничные значения берутся на сегменте [-B, B] с [-A, A]; L - общее число слоев по переменной z, L = 100 ; N - число узлов нулевого слоя разностной схемы; S - алгоритм изменения шагов разностной схемы.

4.2. Трехмерный случай

Пример 5. На плоскости z = 0 задана функция u (x, y,0) = = cos(x / 5)cos(y / 5), являющаяся граничным значением решения уравнения Лапласа в полупространстве. Точное решение уравнения Лапласа:

Таблица 4

H ^адапт Травном

0,1 0,00З31 1,З7  10-6

0,2 0,0107З 4,8721З

0,3 0,01636 309024З47,З1З

0,4 0,02216 да

0,З 0,02817 да

0,6 0,03441 да

0,7 0,04092 да

0,8 0,04772 да

0,9 0,0З486 да

1,0 0,06237 да

1,1 0,07038 да

1,2 0,0786З да

1,3 0,1167 да

1,4 0,48122 да

12,0397 да

Требуется продолжить функцию и(х, у, 0) на нижнее полупространство.

5 п

Пусть х*= 1, г* = 1, А = —, Ь = 60; N = 500, £ = [15,2].

Результаты вычислений приведены в табл. 5.

Таблица 5

H ^адапт Травном

0,1 0,00014 6,67  10-6

0,2 0,000З8 2,67  10^

0,3 0,0013 6,6З  10З

0,4 0,0023 0,03143

0,З 0,0036 109,27З79

0,6 0,00З19 312081,4462З

0,7 0,00707 8З0069796,08

0,8 0,0092З да

0,9 0,01172 да

1,0 0,01449 да

1,1 0,017З7 да

1,2 0,02094 да

1,3 0,02463 да

1,4 0,02864 да

м 0,0329З да

1,6 0,03804 да

1,7 0,04829 да

1,8 0,07877 да

1,9 0,27918 да

2,0 1,091З7 да

u(x,y,z) = cos| xicos I y

В таблицах 1-5 £адапт означает погрешность вычислений по неравномерной разностной схеме; £равн означает погрешность вычислений по равномерной разностной схеме.

Заключение

В работе продемонстрирована непригодность разностных схем с равномерной сеткой для решения задачи продолжения потенциальных полей и предложен эффективный разностный метод продолжения потенциальных полей.

Список литературы

1. Бойков, И. В. Оптимальные методы восстановления потенциальных полей / И. В. Бойков, А. И. Бойкова // Известия РАН. Физика Земли. - 1998. - № 8. -С. 70-78.

2. Бойков, И. В. Оптимальные методы восстановления потенциальных полей. I / И. В. Бойков, А. И. Бойкова // Известия РАН. Физика Земли. - 2001. - № 12. -С. 78-89.

3. Бойков, И. В. Оптимальные по точности методы восстановления потенциальных полей. II / И. В. Бойков, А. И. Бойкова // Известия РАН. Физика Земли. -2003. - № 3. - С. 87-93.

4. Бойков, И. В. Аппроксимация некоторых классов функций локальными сплайнами / И. В. Бойков // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1998. - Т. 38, № 1. - С. 25-33.

5. Бойков, И. В. Оптимальные методы приближения функций и вычисления интегралов / И. В. Бойков. - Пенза : Изд-во ПензПГУ, 2007. - 236 с.

6. Андреев, Б. А. Геологическое истолкование гравитационных аномалий / Б. А. Андреев, И. Б. Клушин. - Л. : Недра, 1965. - 495 с.

7. Бойков, И. В. Дискретные модели продолжения потенциальных полей / И. В. Бойкова А. И., В. И. Крючко, А. В. Филиппов // Геофизический журнал. -2007. - Т. 29, № 4. - С. 67-82.

8. Гюнтер, Н. М. Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики / Н. М. Гюнтер. - М. : ГИТТЛ, 1953. - 415 с.

9. Жданов, М. С. Аналоги интеграла типа Коши в теории геофизических полей / М. С. Жданов. - М. : Наука, 1984. - 327 с.

10. Бойков, И. В. Приближенные методы глобального гармонического сферического анализа потенциальных полей / И. В. Бойков, М. В. Кравченко // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. -2010. - № 4 (16). - С. 101-110.

11. Михайлов, В. О. Некоторые вопросы интерпретации данных тензорной гра-диентометрии / В. О. Михайлов, М. Диаман // Известия РАН. Физика Земли. -2006. - № 12. - С. 3-10.

References

1. Boykov I. V., Boykova A. I. Izvestiya RAN. Fizika Zemli [Proceedings of the Russian Academy of Sciences. Physics of the Earth]. 1998, no. 8, pp. 70-78.

2. Boykov I. V., Boykova A. I. Izvestiya RAN. Fizika Zemli [Proceedings of the Russian Academy of Sciences. Physics of the Earth]. 2001, no. 12, pp. 78-89.

3. Boykov I. V., Boykova A. I. Izvestiya RAN. Fizika Zemli [Proceedings of the Russian Academy of Sciences. Physics of the Earth]. 2003, no. 3, pp. 87-93.

4. Boykov I. V. Zhurnal vychislitel’noy matematiki i matematicheskoy fiziki [Journal of calculus mathematics and mathematical physics]. 1998, vol. 38, no. 1, pp. 25-33.

5. Boykov I. V. Optimal’nye metody priblizheniya funktsiy i vychisleniya integralov [Optimal methods of function approximation and calculation of integrals]. Penza: Izd-vo PenzPGU, 2007, 236 p.

6. Andreev B. A., Klushin I. B. Geologicheskoe istolkovanie gravitatsionnykh anomaliy [Geological interpretation of gravity anomalies]. Leningrad: Nedra, 1965, 495 p.

7. Boykov I. V., Boykova A. I., Kryuchko V. I., Filippov A. V. Geofizicheskiy zhurnal [Geophysical journal]. 2007, vol. 29, no. 4, pp. 67-82.

8. Gyunter N. M. Teoriya potentsiala i ee primenenie k osnovnym zadacham matematicheskoy fiziki [Potential theory and application thereof in basic problems of mathematical physics]. Moscow: GITTL, 1953, 415 p.

9. Zhdanov M. S. Analogi integrala tipa Koshi v teorii geofizicheskikh poley [Analogs of Cauchy integrals in the theory of geophysical fields]. Moscow: Nauka, 1984, 327 p.

10. Boykov I. V., Kravchenko M. V. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2010, no. 4 (16), pp. 101-110.

11. Mikhaylov V. O., Diaman M. Izvestiya RAN. Fizika Zemli [Proceedings of the Russian Academy of Sciences. Physics of the Earth]. 2006, no. 12, pp. 3-10.

Бойков Илья Владимирович

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей и прикладной математики, Пензенский государственный университет

E-mail: boikov@pnzgu.ru

Рязанцев Владимир Андреевич аспирант, Пензенский государственный университет

E-mail: ryazantsevv@mail.ru

Boykov Il'ya Vladimirovich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of sub-department of higher and applied mathematics, Penza State University (40 Krasnaya street,

Penza, Russia)

Ryazantsev Vladimir Andreevich Postgraduate student, Penza State University

УДК 518.5 Бойков, И. В.

Об одном разностном методе продолжения потенциальных полей /

И. В. Бойков, В. А. Рязанцев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2014. - № 2 (30). - С. 2033.