Исследование влияния смещения несущей частоты сигналов от заданного значения на характеристики пеленгации алгоритма music

ФИЗИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2011. № 2. С. 93-97.

УДК 621.396

В.А. Березовский, ИД. Золотарев, Е.Ю. Михайлов, К.А. Сидоренко

ФГУП «Омский научно-исследовательский институт приборостроения»

Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского

ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ СМЕЩЕНИЯ НЕСУЩЕЙ ЧАСТОТЫ СИГНАЛОВ ОТ ЗАДАННОГО ЗНАЧЕНИЯ НА ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЕЛЕНГАЦИИ АЛГОРИТМА MUSIC

Исследованы характеристики алгоритма сверхразрешения MUSIC в системе с кольцевой антенной решеткой при смещении несущей частоты сигналов от заданного значения. Рассчитаны зависимости характеристик пеленгации от смещения несущей частоты для различного количества сигналов. Оценено влияние количества антенных элементов на возможность пеленгации.

Ключевые слова: радиопеленгация, сверхразрешение, кольцевая антенная решетка.

В настоящее время все большее распространение в радиопеленгации получают методы углового сверхразрешения, основанные на корреляционной обработке сигналов с выходов антенной решетки. Среди данных методов в первую очередь необходимо выделить алгоритм MUSIC, подходящий для антенных решеток любых конфигураций, обеспечивающий высокое разрешение сигналов и являющийся наиболее перспективным в области сверхразрешения [1; 2]. При этом использование данного алгоритма в задачах радиопеленгации предполагает наличие априорной информации о точном значении несущей частоты принимаемых сигналов, что на практике не всегда является возможным. Вследствие этого, возникают ошибки в определении несущей частоты сигналов, влияние которых на эффективность пеленгации с помощью алгоритма MUSIC не изучено.

Таким образом, целью настоящей работы является исследование алгоритма MUSIC в случае смещения несущей частоты сигналов от заданного значения при различных условиях с выявлением особенностей и ограничений в применении.

Рассмотрим особенности пеленгации сигналов с помощью алгоритма MUSIC. Возьмем антенную решетку (АР), состоящую из N элементов, на которую приходят сигналы от M источников радиоизлучения (ИРИ). Сигнал, принимаемый i-м элементом АР, может быть представлен в виде

где і = 1, N - номер антенного элемента (АЭ), т = 1, М - номер ИРИ,

5Ш {() = Ат {І)^(2лҐт‘+^т(ґ)) - сигнал т-го ИРИ, т($ - гауссов шум, Д^і(ат) - фазовый набег т-го сигнала на і-й АЭ относительно опорного АЭ [3]:

м

А Щ

© В А. Березовский, И.Д. Золотарев, Е.Ю. Михайлов, КА. Сидоренко, 2011

где їт - частота т-го сигнала, с - скорость света, X, у - координаты і-го АЭ, хоп, уоп -координаты опорного АЭ, ат - угол прихода т-го сигнала.

После аналогоцифрового преобразования в і-м канале АР сигнал (1) примет следующий вид:

ад=£ s, (kj(am) + n(k).

m=1

Преобразуем выражение (3) в матричную форму

X = AS+n,

где

*1

Xx

- матрица

_ XN (1) ... XN (K) _

цифровых отсчетов сигналов, принятых элементами АР, размерностью NxK;

A =

ejA^1

ОІАщ

q)aVn О

а)

ejAVnО

ам)

- матрица размерностью ЛхМ, элементы которой определяются фазовыми набегами Д^/(ат);

S =

S1

*

'SM ( К).

- матрица цифровых отсчетов сигналов от М источников радиоизлучения, размерностью МхК;

П =

Л

%

А

ПN (K

- шумовая матрица, размерностью NxK.

Целью метода MUSIC является определение угловых координат ai, ..., aM ИРИ с помощью обработки корреляционной матрицы R, формируемой из К временных выборок данных с выходов антенных элементов:

R = - XXH, K

где Н - знак эрмитова сопряжения.

После подстановки (4) в (5) получим

= K (AS+n)(AS+n )H =

= К

В случае если сигналы от разных источников не коррелированны, шумы не коррелированны между каналами и с сигналами от источников, мощности шу-

мов во всех каналах одинаковы, выражение (6) будет иметь вид

R = — (ASSH AH + nnH) = R +а2п I,

K\ ) s n

2 Т

где оп - дисперсия шума, I - единичная матрица, Rs - корреляционная матрица сигналов, а! - корреляционная матрица шума.

Для собственных значений матрицы R справедливо следующее соотношение:

^ -Л./| = 0.

Используя выражение (7), можно записать

\К+аП1-Л-\ = 0.

Таким образом, собственные значения матрицы Rs равны

Так как матрица А размерностью ЛхМ состоит из М линейно независимых векто-

ров am =

= |~ЄІА^І(Оо) ejAVN (ат) J7

то ее ранг

равен М. Матрица (88Н) размерностью МхМ также имеет ранг М до тех пор, пока приходящие сигналы не сильно коррелированны. Таким образом, если число принимаемых сигналов М меньше количества элементов N антенной решетки, матрицы Rs и R размерностью NхN будут иметь ранг М. Это означает [1], что Л-М собственных значений (Хх)м+ь ..., (Ах)л, матрицы равны нулю, и, как следует из (8), собствен-

ных значений Хм+ъ , -Ял, матрицы R равны средней мощности шума ап .

Собственные векторы У1,..,Ум матрицы R, называемые сигнальными, коллине-арны векторам аъ, ..., аМ, и им соответствуют собственные значения Я) + стп2, ..., (Хх)м+ ап2. Собственные векторы Ум+1, • ••, Ул, называемые шумовыми, ортогональны векторам аъ, ..., аМ, и всем им соответствует одно и то же собственное значение ап2. Отсюда следует, что собственные векторы матрицы R лежат в одном из двух ортогональных подпространств: сигналов и шума. Векторы аъ, ..., аМ лежат в подпространстве, ортогональном подпространству шума. Путем поиска среди всех возможных значений векторов аъ, ..., аМ необходимо определить векторы, ортогональные к векторам шумового пространства, в результате направление прихода т-го сигнала будет определено. Для этого сформируем матрицу, содержащую шумовые собственные векторы:

ип = (Ум+!,...Л).

Так как векторы аъ, ..., аМ ортогональны шумовым собственным векторам, то сформировав вектор

q(a) =

2п f

j----- [ ([-[) cos(a)+ (y-yon) sin(a)]

где £ - заданная частота, можно получить (Ли)2 = $н(а)ипипнд(а) = 0 для углов а, соответствующих направлению прихода сигнала. Таким образом, функция

Р(а) _- 1

qH (a)UnU’Hq(a) ____________1____________

qH

V i= m+1 )

будет иметь острые пики при а = am. Следовательно, изменяя значение вектора q(a), можно определить углы прихода сигналов путем нахождения максимумов функции (10), являющейся выходной функцией алгоритма MUSIC.

Как видно из (9), при формировании вектора q(a) необходима априорная информация о несущей частоте пеленгуемых сигналов. При этом отклонение несущей частоты сигналов от заданного значения будет влиять на значение функции P(a), что, в свою очередь, повлияет на характеристики пеленгации. Чтобы оценить данное влияние, проведем моделирование алгоритма MUSIC при различных условиях.

Определим оптимальные параметры антенной решетки, рассмотрев ее кольцевую структуру. Оценим влияние параметров кольцевой антенной решетки (КАР) на точность пеленгации. Для этого введем следующие характеристики: Да - разрешающая способность по азимуту, т. е. величина минимального разноса между ИРИ, при котором можно обнаружить наличие двух источников; о - среднеквадратическое отклонение (СКО) оценки пеленга от его истинного значения.

На рис. 1 представлены графики зависимости разрешающей способности и СКО оценки пеленга алгоритма MUSIC от радиуса при различном количестве элементов КАР. На графиках видно, что значения Да и о резко уменьшаются при увеличении радиуса КАР от 0,1X до X и несущественно уменьшаются в пределах от X до 4X. Отсюда следует, что применение антенной решетки с радиусом R > X не дает существенного выигрыша для Да и о, кроме того, увеличение радиуса КАР означает увеличение длины фидера, что приводит к ослаблению сигнала. Увеличение элементов КАР дает незначительный выигрыш для разрешающей способности и СКО оценки пеленга.

e

(((-(On )cos(a) + (yN-Уоп) sin(a)]

Да, град

-О—5АЭ —В—7 АЭ а

•9 АЭ

о, град

-О—5АЭ  7 АЭ

-9 АЭ

Рис. 1. Графики зависимости разрешающей способности

Для того, чтобы характеризовать возможность пеленгации, введем параметр

( P Л

g = 10 log

V P )

где Р2 - наименьший из пиков функции Р(а), соответствующих пеленгуемым сигналам, Р1 - наибольший из ложных пиков функции Р(а) (рис. 2). Следовательно, при g > 0 гарантируется правильность определения пеленгов, при g < 0 уровень наименьшего из пиков, соответствующих пеленгуемым сигналам, меньше либо равен уровню наибольшего из ложных пиков, что приводит к ошибке в определении пеленгов.

Смещение несущей частоты сигналов от заданного значения определяется следующим образом:

_\г- й

Af = i

f

l-100%,

где f = fm - несущая частота сигналов.

Р

Рис. 2. К определению параметра g

На рис. 3 приведены зависимости параметра g от смещения несущей частоты сигналов от заданного значения. На графиках видно, что параметр g резко снижается при увеличении значения Д£ при этом увеличение количества пеленгуемых сигналов ведет к более резкому уменьшению параметра g. В случае же, когда количество сигналов стремится к количеству антенных элементов, пеленгация становится невозможной уже при малых значениях смещения (это видно на графике для 4-х ИРИ на рис. 3а, а также для 6-ти ИРИ на рис. 3б).

g, ДБ

О— 2 ИРИ —В— 3 ИРИ —А— 4 ИРИ

а

—•— 5 ИРИ —— 6 ИРИ

б

Рис. 3. Графики зависимости параметра g от смещения несущей частоты сигналов от заданного значения для различного количества ИРИ при N = 5

Пусть Д£ - это значение смещение частоты, при котором g = 0. Тогда при значениях Д/> Д£ происходит ошибка в определении пеленга. На рисунке видно, что увеличение количества антенных элементов приводит к увеличению значения ДО для различного количества пеленгуемых сигналов.

На рис. 4 приведена зависимость параметра ДО от количества антенных элементов. Данная зависимость показывает, что увеличение элементов антенной решетки позволяет увеличивать значение ДО лишь до определенного момента, после которого происходит «насыщение».

АЛ, %

г i

О I I I I I I—I—I I I I—I-1—I—I I I I—I—I—

5 7 9 И 13 15 17 19 21 23 N

о 2 ИРИ —в— 3 ИРИ —А—4 ИРИ

Рис. 4. График зависимости параметра Д/0 от количества антенных элементов для различного количества ИРИ

В заключение приведем зависимость разрешающей способности от смещения несущей частоты сигналов от заданного значения (рис. 5). Видно, что рост смещения приводит к резкому увеличению значения разрешающей способности для различного количества ИРИ. Как показали результаты моделирования, увеличение количества антенных элементов N, а также цифровых выборок K не приводит к снижению значения разрешающей способности. Кроме того, смещение несущей частоты сигналов не влияет на СКО оценки пеленга.

Таким образом, показано, что возможность безошибочной пеленгации резко снижается при смещении частоты сигналов от заданного значения, а также при увеличении количества принимаемых сигналов. При этом для количества сигналов, близкого к числу антенных элементов, пеленгация становится невозможной уже при значениях Af ~ 2 %. Кроме этого, при росте смещения происходит резкое увеличение значения разрешающей способности, и если значение Af можно увеличить за счет увеличения количества элементов

антенной решетки, то разрешающая способность от N практически не зависит.

Да, град

-О—2 ИРИ  3 ИРИ —Д—4 ИРИ

Рис. 5. График зависимости разрешающей способности от смещения несущей частоты сигналов от заданного значения

Данный факт говорит о том, что алгоритм MUSIC является неустойчивым к смещению несущей частоты сигналов от заданного значения и может эффективно применяться лишь при значениях Af< 2 %.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Марпл С. Л., мл. Цифровой спектральный анализ и его приложения. M. : Мир, 1990. 584 с.

[2] Ратынский М. В. Адаптация и сверхразрешение в антенных решетках. М. : Радио и связь, 2003. 200 с.

[3] Денисов В. П., Дубинин Д. В. Фазовые радиопеленгаторы. Томск, 2002. 251 с.

[4] Liberti J. C., Rappaport T. S. Smart antennas for wireless communications. NJ : Prentice Hall PTR, USA, 1999. 377 с.

[5] Дрогалин В. В. Алгоритмы оценивания угловых координат источников излучений, основанные на методах спектрального анализа // Успехи современной радиоэлектроники. 1998. № 3. С. 3-17.