Течение газа в цилиндрическом канале при дозвуковой скорости

МЕХАНИКА

УДК 533:532

Н. Л. Великанов, В. А. Наумов, С. И. Корягин

ТЕЧЕНИЕ ГАЗА В ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ КАНАЛЕ ПРИ ДОЗВУКОВОЙ СКОРОСТИ

96 Рассмотрено стационарное течение совершенного газа в вертикаль-

ном канале. Температура стенки канала задана. Для определенности расчеты выполнены для азота. Течение полагается высокоскоростным, дозвуковым и расчетным, то есть давление газа на выходе равно давлению среды (противодавлению). Силами тяжести можно пренебречь.

Для решения краевой задачи численным методом использованы стандартные процедуры, в частности в среде Mathcad.

По экспериментальным данным методом наименьших квадратов была найдена эмпирические зависимости теплоемкости азота от температуры. Третий порядок многочлена аппроксимации дает среднее отклонение от опытных данных менее 0,5 %. Установлено, что с увеличением температуры стенки канала растет необходимое давление на входе в фурму и скорость на выходе. Последнее важно в технологическом процессе для увеличения влияния продувки.

Разработанный метод позволяет решать в среде Mathcad краевую задачу газодинамики совершенного газа в канале с теплоподводом. Учтена зависимость вязкости и теплоемкости газа от температуры.

The article gives the account of steady flow of a perfect gas in a vertical channel having some other parameters set. The flow is supposed to be highspeed, subsonic and design, that is the gas pressure at the outlet equal to the pressure (back pressure), while the forces of gravity can be neglected.

The boundary value problem is solves with the standard numerical method, the Mathcad in particular.

The least squares method was used to find the empirical dependence of the heat nitrogen on the temperature. Third order polynomial approximation gives the average deviation from experimental data of less than 0.5%. The paper also shows that with increase of the wall temperature of channel increases the required pressure at the inlet of the lance and the speed of the output. The latter fact is important in the process to increase the influence of the purge.

The developed method allows applying the Mathcad to solve the boundary problem of gas dynamics of a perfect gas in the channel with heat supply. The authors also show the dependence of the viscosity and heat capacity on the gas temperature.

Ключевые слова: динамика, совершенный газ, температуры стенки канала.

Keywords: dynamics, perfect gas, temperature of channel wall.

В металлургии широко используются технологии, предусматривающие обработку металлов инертными газами и порошками в ковшах и конвертерах [1 — 11]. При этом газ подается в донную часть с помощью

© Великанов Н. Л., Наумов В. А., Корягин С. И., 2018

Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта.

Сер.: Физико-математические и технические науки. 2018. № 1. С. 96 — 103.

длинной тонкой цилиндрической трубы (фурмы) [1]. В разработанных методах приближенного аналитического решения все характеристики газа считались постоянными. Были разработаны специальные газодинамические функции, позволявшие оценивать адиабатные течения сжимаемого газа в трубе (см.: [2]). В дальнейшем, несмотря на развитие методов вычислительной газодинамики, решения пространственных задач, теория продувки и научные основы конструирования заглубленных под металл фурм базируются на одномерном (гидравлическом) подходе [3—5]. В данной статье показана возможность усовершенствования метода гидравлического расчета течения газа в цилиндрическом канале при дозвуковой скорости.

Рассмотрим стационарное течение совершенного газа в вертикальном канале длиной L, диаметром D (L ^ D). Температура стенки канала TW задана. Аргон в большинстве случаев применяется в металлургии как инертный газ, но при производстве сталей простых марок аргон заменяют дешевыми газами (азотом или даже паром) [6]. Далее для определенности расчеты выполнены для азота. Течение полагается высокоскоростным, дозвуковым и расчетным, то есть давление газа на выходе равно давлению среды (противодавлению). Силами тяжести можно пренебречь.

Исходные уравнения движения сжимаемого газа в одномерном приближении приведены, например, в [7]. Уравнение сохранения массового расхода газа Gi с учетом постоянства площади поперечного сечения трубы S:

G1 = pWS = const, G = GS" = pW = const, где p, W — средние по сечению плотность и скорость газа соответственно; S = "В ; D — диаметр трубы.

Уравнение состояния совершенного газа (с учетом T < 1000 К):

P = pRT,

где R — газовая постоянная, равная универсальной газовой постоянной, деленной на молекулярную массу; Т — термодинамическая температура газа (средняя по сечению трубы); Р — давление. Координата X направлена по оси трубы в направлении течения.

Уравнение движения (количества движения):

pW— = -^-CpWi,

dX dX 2D

где Q — коэффициент гидравлических потерь на трение. Так как длина трубы L достаточно велика (L/D ^ 100), можно не учитывать эффект начального участка трубы и рассчитывать коэффициент гидравлических потерь на трение по формуле Блазиуса [7]:

Q = 0,3164 Re-0,25.

97

98

Уравнение теплообмена (для внутренней энергии):

рС^й!

у йХ й^ 2— щ К '

где Су — теплоемкость газа при постоянном объеме.

Тепловой поток через стенки трубы рассчитывается по формуле [8]

В

где СР — теплоемкость газа при постоянном давлении. Число Стэнтона в трубах при числах Маха М < 0,8 можно найти по формуле А. А. Гухмана [8]:

Оы =—Рсры (тщ - т),

St = 0,0167(КеРг)-0'18 ,

где Ты — термодинамическая температура стенки трубы; ТМ — средняя по сечению трубы температура торможения [2]:

Ы 2

Тм = Т + 0,5—.

СР

Для решения системы дифференциальных уравнений (1) —(2) необходимо задать граничные условия. В прикладных задачах, как правило, известен расход газа, давление на выходе из трубы (противодавление) Рк, температура газа на входе Ы0. Скорости на входе и на выходе неизвестны. В связи с этим разрабатывают специальные методы решения таких задач (см.: [3; 4]). В данной статье получим дифференциальное уравнение для давления, что позволит непосредственно использовать заданные граничные условия.

С Р

С учетом р = выразим скорость через температуру и давление:

ы = С = СЯГ.

р Р

Найдем производную по координате выражения (3):

йЫ = ОЯйТ - ОЯТ йР ~йХ ~ Р йХ Р2 йХ'

Подставим это выражение в уравнения (1) и (2):

2° йТ ( - С2КТ^ йР = О2ЯТ С

Р йХ

- +

Р2

йХ Р 2В

рСуЫ— + Р у йХ

2

ОЯйТ ОЯТ йР

ы2 = Ср+

Р йХ Р2 йХ Заменим в последнем уравнении скорость по формуле (3):

• , I2

йХ Р йХ I Р I 2В

Учтем, что Су + Я = СР. Считая (4), (5) системой уравнений, выразим производные по координате от давления и температуры:

G2R dT Р dX

1 -

G2 RT

dP dX

G2RT Q ~ 2D

Cp,

C

dT -RTdP (GRT dX P dX

Qw

2D G

G2 R

Ср

( G2RTл л2

1 —

+'?I t

dP G2RT dX ~~ 2D P

CP +lGR I t

Q GR

99

G2R dT P dX'

1 -

G2 RT

dP dX

G2RT Q

P 2D

RT

Cp

dT-RTdp (GRT ~dX ~ P dX

A.+О™

2D G

(1 - g2RT Л

Cp

(1 - G2 RT Л

GR

T

dT (GRTf G2RT Q + Q (

dX

2D

¿w G

1-

g2rt л

Граничные условия:

T(0) _ To, P(L) _ Pk.

Для решения краевой задачи (6) —(8) численным методом могут быть использованы стандартные процедуры, в частности в среде Mathcad. При расчетах были приняты следующие параметры: длина фурмы L _ 5 м; противодавление РК _ 300 кПа; расход газа G1 _ 0,06 кг/ с.

В расчетах [3—5] теплоемкость газа считалась постоянной. Хотя известно, что при высоких температурах влияние теплоемкости газа может привести к заметному изменению характеристик течения [9]. По экспериментальным данным [10] методом наименьших квадратов была найдена эмпирические зависимости теплоемкости азота от температуры. Третий порядок многочлена аппроксимации дает среднее отклонение от опытных данных менее 0,5 % (рис. 1):

Ср (T) _ bp 0 + bP1T + bP2T2 + bp 3T3,

Су (T) _ by 0 + by 1T + by 2T2 + by 3T3.

С J*

кг-К 1150

1000

S5Q

700

300 500 700 900 1100 1300 1500

Рис. 1. Зависимость удельной теплоемкости азота от температуры. Точки — экспериментальные данные [10]; линии — расчет по формулам

На рисунках 2 — 6 показаны результаты расчетов с использованием зависимостей (9) при различных температурах стенки. Видно, что с увеличением Tw растет необходимое давление на входе в фурму и скорость на выходе. Последнее важно в технологическом процессе для увеличения влияния продувки.

г к

750 600 450

300

О 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 X, и Рис. 2. Изменение температуры газа вдоль канала при Б = 20 мм и различных температурах стенки: 1 _ Ты = 400 К; 2 - Ты = 600 К; 3 - Ты = 800 К; 4 - Ты = 1000 К

Г

м/с 145

110

75

40'----------

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 Х.и

Рис. 3. Изменение скорости газа вдоль канала при различных температурах стенки: 1 - Ты = 400 К; 2 - Ты = 600 К; 3 - Ты = 800 К; 4 - Ты = 1000 К

а

м/с 550

500

450

400

350

0 0.5 1 1 5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 1м Рис. 4. Изменение скорости звука вдоль канала при различных температурах стенки: 1 - Tw = 400 К; 2 - Tw = 600 К; 3 - Tw = 800 К; 4 - Tw = 1000 К

4

3

2

1

101

Рис. 5. Изменение чисел Маха вдоль канала при различных температурах стенки: 1 _ Tw = 400 К; 2 - TW = 600 К; 3 - TW = 800 К; 4 - TW = 1000 К

Р кПа

360

340 320 300

4 з"-

__ 1

0

0.5

1

1.5

2.5

3.5

4.5 X.:

Рис. 6. Изменение давления вдоль канала при различных температурах стенки: 1 - Tw, = 400 К; 2 - TW = 600 К; 3 - TW = 800 К; 4 - ТШ = 1000 К

На рисунках 7—8 представлены результаты расчетов при различных диаметрах трубы.

Р кПа 450

400

350

300

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 X, и

Рис. 7. Изменение давления вдоль канала при Ты = 800 К и различных диаметрах: 1 - Б = 15 мм; 2 - Б = 17 мм; 3 - Б = 20 мм; 4 - Б = 25 мм

Р

кг/ь 5

4 3 2 1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 X, и

Рис. 8. Изменение плотности газа вдоль канала при различных диаметрах: 1 - Б = 15 мм; 2 - Б = 17 мм; 3 - Б = 20 мм; 4 - Б = 25 мм

Заключение

Таким образом, разработанный метод позволяет решать в среде МаШсад краевую задачу газодинамики совершенного газа в канале с теплоподводом. При этом была учтена зависимость вязкости и теплоемкости газа от температуры. Если считать их постоянными погрешность расчета в выходном сечении может достигать 20%.

Список литературы

1. Корнеев С. В. Применение инжекционных технологий в металлургическом производстве // Литье и металлургия. 2011. № 2. С. 152-159.

2. Абрамович Г. Н. Прикладная газовая динамика : учебник. М., 1976.

3. Кузнецов Ю. М., Горшков А. В., Добровольский Б. В. Численное исследование двухфазного течения в донной фурме конвертера // Теплотехнические исследования процессов и агрегатов в черной металлургии. М., 1986. С. 47-51.

4. Куземко Р. Д., Наумов В. А. Математическая модель течения в фурмах для глубинной продувки расплавов порошками и инертными газами // Теплотехнические исследования процессов и агрегатов в черной металлургии. М., 1991. С. 103-125.

5. Харлашин П. С., Мохаммед А. К., Харин А. К., Куземко Р. Д. Влияние концентрации порошка на течение газовой взвеси в торкрет-фурме 160-т конвертера // Сталь. 2015. № 4. С.21-25.

6. Валуев Д. В. Внепечные и ковшовые процессы обработки стали в металлургии : учеб. пособие. Томск, 2010.

7. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. М., 1978.

8. Юдаев Б. Н. Теплопередача: учебник. М., 1981.

9. Гавин Л. Б., Медведев В. А., Наумов В. А. Модель двухфазной турбулентной струи с учетом гетерогенного горения частиц // Физика горения и взрыва. 1988. Т. 24, № 3. С. 12-17.

10. Вукалович М. П., Кириллин В. А., Ремизов С. А. и др. Термодинамические свойства газов : учеб. пособие. М., 1953. _

11. Великанов Н. Л., Наумов В. А., Корягин С. И. Гидравлический расчет систе- 103 мы подачи смазочно-охлаждающей жидкости в зону обработки материала // Вестник машиностроения. 2017. № 10. С. 70 — 74.

Об авторах

Николай Леонидович Великанов — д-р техн. наук, проф., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Россия.

Е-ша11: monolit8@yandex.ru

Владимир Аркадьевич Наумов — д-р техн. наук, проф., Калининградский государственный технический университет, Россия. Е-таП: van-o1d@ramb1er.ru

Сергей Иванович Корягин - д-р техн. наук, проф., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Россия. Е-mail: SKoryagin@kantiana.ru

The authors

Prof. N. Velikanov, Immanuel Kant Baltic Federal University, Russia. E-mail: monolit8@yandex.ru

Prof. V. Naumov, Kaliningrad state technical university, Russia. E-mail: van-old@rambler.ru

Prof. S. Koryagin, Immanuel Kant Baltic Federal University, Russia. E-mail: SKoryagin@kantiana.ru