Оптимальное управление двигателем постоянного тока с учетом упругих связей

ЭЛЕКТРОТЕХНИКА

УДК 621.313.2

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ДВИГАТЕЛЕМ ПОСТОЯННОГО ТОКА С УЧЕТОМ УПРУГИХ СВЯЗЕЙ

Нгуен Мань Хунг

Рассмотрены вопросы повышения точности, эффективности работы электромеханических систем постоянного тока с учетом упругих связей в расчетах. Предложена структурная схема электромеханической системы постоянного тока с учетом упругих связей.

Ключевые слова: оптимальное управление, двигатель постоянного тока, упругие связи.

Передача движения от двигателя к нагрузке осуществляется с помощью механизма. Известно, что в любых реальных механизмах и системах электропривода механические связи не являются абсолютно жесткими из-за влияния упругих связей. В маломощных системах в большинстве случаев можно считать, что валы и зубчатые колеса имеют бесконечно большую жесткость. В системах большой мощности появляются упругие деформации [1], которые влияют на точность управления выходным валом следящих систем с электродвигателями постоянного тока [2, 3].

Объектом исследования для данной работы является электромеханическая система (рис. 1), в которую включены упругие элементы. Эта система состоит из двигателя постоянного тока, редуктора, упругого элемента и нагрузки. Предметом исследования являются упругие свойства элемента и их влияние на точность синтезируемого оптимального управления в системе с двигателем постоянного тока [3, 4]. Цель исследований -получение оптимальных по точности законов управления при появлении упругих связей в следящих системах, применяемых в различных отраслях промышленности.

Рис. 1. Физическая модель системы двигателя с учетом упругих связей

На рис. 1: и - напряжение, приложенное к якорной обмотке, В; I -ток якоря, А; М - момент, развиваемый двигателем, Н.м; Jя - момент инерции ротора двигателя, кг.м ; Я - активное сопротивления цепи якоря, Ом; Ь

- индуктивность цепи якоря, Г; Мс - момент сопротивления движению вала двигателя, обусловленный трением в уплотнениях, в подшипниках, в щетках коллектора и т.п., Н.м; Jp - момент инерции редуктора, кг.м2; г - передаточное число редуктора; ф - угол поворота вала двигателя, рад; с

- коэффициент упругости механической передачи, Н.м.рад-1; х - коэффициент потерь на внутреннее вязкое трение, учитывает потери на деформацию, Н.м.с.рад-1; фн - угол поворота вала нагрузки, рад; Мсн - момент сопротивления движению вала нагрузки, обусловленный сухим трением, Н.м; Jн - момент инерции нагрузки, кг.м ; Мвн - внешний нагрузочный момент, Н.м.

Модель (рис. 1) можно представить в виде системы из пяти дифференциальных уравнений:

Л • ю = М - Мс(ю) - - • с •( ф - фн)-1 • х •(ф - ф н),

Л • ю„ = -М„

г г

Мсн (ю) + с •( ф - фн) + х •(ф - фн),

_ & Ь — = и

бх

к • ю - Я • /',

ф н

ю.

ю

ф =—.

г

Первое уравнение описывает механическую систему, связанную с валом двигателя, второе - механическую систему, связанную с выходным валом нагрузки, третье - динамику электрической цепи якоря двигателя. Входящие в систему два вспомогательных уравнения, отражают зависимости угловых скоростей валов от углов их поворота. В уравнениях (1): Л, Лн - момент инерции двигателя и нагрузки; ю, юн и ф, фн - угловые скорости и углы поворота вала двигателя и вала нагрузки; и - напряжение питания

двигателя; г - ток через обмотки двигателя; ка - конструктивный коэффициент. Структурная схема, построенная по уравнениям (1) изображена на рис. 2.

Рис. 2. Структурная схема электромеханической системы

с учетом упругих связей

В модели (1) момент двигателя постоянного тока пропорционален величине тока в обмотке статора и отличается от него в кт раз:

М = кял.

Для синтеза оптимального по точности управления по критерию «расхода сигнала управления» воспользуемся результатами [4]. Применение современных методов синтеза приводит к выводу, что необходимым условием оптимальности по критерию точности является релейный закон управления

и=-8 Ыу{х)),

где \|/(Х) - функция переключения регулятора, причем \|/(Х) = 0 - поверхность переключения [4, 5].

Для того, чтобы получить такое уравнение, выразим из второго уравнения системы (1) слагаемые <?(ф-фн) + Х(Ф~Фн)и подставим в первое уравнение. В результате получим

J.

Далее выражаем из уравнения (4) ток г и подставляем его в третье уравнение системы (1) - уравнение электрической цепи якоря двигателя, получаем выражение:

г 1 Л J.a) + -(Jя•6,к + Mcк+MJ + Mc

Ь • г и -к- (о-К

Переносим и из левой в правую часть уравнения (5) и, принимая во внимание пятое уравнение из системы (1), получим выражение для управления

г & Я  / . Я  . Я  Мсн Ь  1 +--ю +-н  ю„ +-— +

к

к„  2

Я  М Я  М ,

вн +-с + к  ю = и

к  2 к  2 к  2

Момент сопротивления двигателя Мс и момент сопротивления нагрузки Мсн представим в этом уравнении в следующем виде:

Мс

Учитывая четвертое и пятое уравнения из системы (1), а также нелинейные составляющие моментов сил сопротивления в зависимости от частоты М с* (ю) и М с*н (юн), запишем следующие выражения для моментов:

Мс

Подставляя уравнения (8) в уравнение (6), получим следующее уравнение:

Ь.2.к

т

Я../

1 +

г  J

н

/

ю + юн +

кт кю + Я кс

к

н

Я./

Ф +

сн

2 * —М * /

1

М *

/

Фн =

2.к

т

н

Я./

и -

н

1

М

сн Т ±у± вн •

н ^ н

Далее преобразуем выражение (9), чтобы получить основное уравнение теории аналитического конструирования оптимальных по точности регуляторов по критерию «расхода система управления», которое имеет вид

Г т 1 1 . г, 1 1 т 1 _ \

юх

(г

'и

2  / кт .кю + Я.кс к +--ю + т ю-сф +

V

/

н

Я./

Ь  к  2

фн +--1

н

/

н

Я

2

У

/

М с -

н

1 * г* 1 2.кт

--М сн--М вн + —тт сн т вн Я т н н н

и.

Итак, для данного объекта получим закон управляющего воздейст-

вия в виде

и

ит  ^

1 +

/  2

2 \

V

/

зад

/  2 , ксн + юн +--ю+—.фн +

н

к .к + Я.к Ь  к  2 -^ ф +-т--1

Я./..

Я./.,

где юзад - заданное значение угловой скорости вала нагрузки, которую должна достигнуть система.

Условие устойчивости

/

2 * -М с

1 * -М,

1

н

/

сн

/ н

М

вн

нн 142

7 к

^т

~ Я/

н

Условие (12) легко выполняется подбором мощности двигателя и передаточного числа редуктора 2.

При моделировании принимаем значение созад = 0,4; время моделирования от 0 до ОД5 с; ограничение напряжения £/тах = 27 В. Полученные результаты моделирования представлены на рис. 3, 4, 5.

и

0

501-1-1-1-1-1-1-1-

О 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16

Рис. 3. Управляющее воздействие системы

г

6.2 5.4 4.6 3.8 3 2.2 1.4 0.6 -0.2

Рис. 4. График тока / в переходном процессе

Г )

1 V

t ±

1

V

0 0.016 0.032 0.048 0.064 0.08 0.096 0.112 0.128 0.144 0.

Рис. 5. Выходной сигнал со„ (угловая скорость нагрузки) и угловая скорость двигателя со

143

Как видно из рис. 5, заданная величина отрабатывается системой практически с нулевой ошибкой, а переходный процесс имеет апериодический характер.

Вывод. В электромеханических системах, где требуется высокая точность, необходим учет влияния упругих связей при синтезе и анализе. То есть разработка систем электроприводов без учета упругих связей приводит к существенным ошибкам при расчетах.

Список литературы

1. Арутюнян Н.Х., Абрамян Б.Л. Кручение упругих тел. М.: Физ-матгиз, 1963. 686 с.

2. Андреев В.Д., Ивкин А.М. Основы проектирования следящих систем / под ред. Н.А. Лакоты. М.: Машиностроение, 1978. 391 с.

3. Ловчаков В.И., Сухинин Б.В., Сурков В.В. Оптимальное управление электротехническими объектами. Тула: Изд-во ТулГУ, 2003. 148 с.

4. Сухинин Б.В., Сурков В.В., Цырук С.А., Феофилов Е.И. Оптимальное по точности (быстродействию, энергосбережению) управление электромеханическими объектами. Тула: Изд-во ТулГУ, 2014. 140 с.

5. Колесников А.А., Горелов В.Н., Штейников Г.А. Синтез оптимальных нелинейных систем управления на ЭЦВМ. Таганрог: ТРТИ, 1975. 177 с.

Нгуен Мань Хунг, студент, nguyenmanhhung09092009@gmail.com, Россия, Тула, Тульский государственный университет

OPTIMAL CONTROL DC MOTOR WITH ACCOUNTING ELASTIC TIES

Nguyen Manh Hung

The problems of improving the accuracy, efficiency of the electromechanical DC systems for accounting elastic ties in the calculations. Developed a structure circuit electromechanical DC system with accounting elastic ties. In a basis of techniques of investigation developed the modeling of proposed system.

Key words: optimal control, DC motor, elastic ties.

Nguyen Manh Hung, student, nguyenmanhhung09092009@gmail.com, Russia, Tula, Tula State University