Движение внешней нагрузки по битому льду в канале

УДК 531.1

Движение внешней нагрузки по битому льду в канале*

К.Н. Завьялова1, К.А. Шишмарев1, Т.И. Хабахпашева2'3

1 Алтайский государственный университет

2 Университет Восточной Англии

3 Институт гидродинамики им. Лаврентьева СО РАН

Problem of a Moving Load in a Channel Covered with Broken Ice

K.N. Zavyalova1, K.A. Shishmarev1, T.I. Khabakhpasheva2'3

1 Altai State University

2 University of East Anglia

3 Lavrentyev Institute of Hydrodynamics of SB RAS

В данной работе изучается влияние битого льда на образование гравитационных волн, вызванных движением внешней нагрузки вдоль канала. Внешняя нагрузка моделируется гладким локально распределенным давлением, которое движется вдоль центральной линии канала с постоянной скоростью. За основу математической модели берутся дифференциальное уравнение колебаний тонкого битого льда и уравнение Лапласа для потенциала скорости течения жидкости под битым льдом. Данные уравнения замыкаются граничными условиями непротекания на стенках и дне канала, кинематическим и динамическим условиями на границе раздела битый лед — жидкость. Исследуется решение в виде бегущей волны, которое не зависит от времени в системе координат, движущейся вместе с внешней нагрузкой. С помощью преобразования Фурье по переменной, направленной вдоль канала, рассматриваемая задача сводится к двумерной задаче относительно профиля гравитационной волны поперек канала, которая решается методом разделения переменных. Проведен анализ формирования гравитационных волн в канале, покрытом битым льдом. Показано, что для каждой скорости движения нагрузки существует счетное число гравитационных волн, распространяющихся вдоль канала со скоростью движения нагрузки. Приведен пример тестовых расчетов трехмерной задачи.

Ключевые слова: битый лед, приграничная зона

ледового покрова, гравитационные волны, движущаяся нагрузка, канал,

БОТ 10.14258/izvasu(2018)4-13

In this paper, the effect of broken ice on the formation of gravitational waves caused by an external load moving along a channel is studied. The external load is modeled by a smooth locally distributed pressure moving along the center line of the channel at a constant speed. The governing equations are the differential equation of oscillations of thin broken ice and the Laplace equation for a flow velocity potential under the broken ice. These equations are closed by the impermeability conditions on the walls and bottom of the channel, and by the kinematic and dynamic conditions at the broken ice-liquid interface. The traveling wave solution that does not depend on time in a coordinate system moving together with the external load is investigated. Using the Fourier transform along the channel the problem under consideration reduces to a two-dimensional problem with respect to the profile of the gravitational wave across the channel, which is solved by the method of separation of variables. The analysis of the formation of gravitational waves in the broken ice is provided. It is shown that for every speed of the load there is a countable number of gravitational waves propagating along the channel with the velocity of the load. Each wave has a given profile across the channel. An example of test calculations for a three-dimensional problem is shown.

Key words: broken ice, marginal ice zone, gravity

waves, moving load, channel.

Введение. Целью данного исследования является изучение движения судна по битому льду

* Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ № 16-08-00291.

в канале или в реке. Предполагается, что лед был предварительно разрушен резонансным методом судном на воздушной подушке, которое движется вдоль замороженной части реки на определенной

скорости и создает напряженно-деформированное состояние ледового покрова. Вызванные напряжения могут быть достаточными для ломки льда ( [1], [2], [3]). При движении судна по битому льду основной прикладной задачей является определение параметров, гарантирующих безопасное движение. При отсутствии упругих сил в битом льду могут возникать волны большой амплитуды, как в области движения судна, так и в отдалении от него, в частности на стенках канала и возле речных сооружений. Рассматриваемая задача является близкой по постановке к задачам движения кораблей в морских льдах по полынье, образованной впереди идущим ледоколом, или движения по приграничной зоне ледового покрова.

Случай, когда верхняя поверхность канала описывается ледовым покровом, хорошо изучен в прошлом. Прогрессивные волны в замороженном канале исследованы в [4], [5], [6], [7]. Колебания неограниченной тонкой ледовой пластины исследованы в [1], [8], [9], колебания полубесконечного ледового покрова в [10]. Рассмотренные задачи решались в рамках линейной теории гидроупругости. При исследовании вынужденных колебаний внешняя нагрузка моделировалась гладким локализованным пятном давления. Показано, что стенки канала имеют важную роль в формировании прогибов ледового покрова. Исследование колебаний ледового покрова проведено в [11], [12]. Оценка влияния периодической нагрузки на ледовой покров получена в [13], [14]. Вопросы корректности начально-краевых задач динамики по-роупругого льда рассмотрены в [15], [16].

В данной работе рассматривается задача движения гладкого локализованного пятна давления вдоль битого льда в канале. Битый лед имеет постоянную толщину и моделируется поверхностью, обладающей массой, но с нулевой жесткостью. Жидкость в канале предполагается идеальной и несжимаемой [17]. Движение жидкости в канале является потенциальным и вызвано отклонением битого льда от состояния покоя. Краевые условия на функцию, описывающую колебания битого льда, на стенках канала отсутствуют. Основное внимание в статье уделено формированию колебаний битого льда для заданной скорости движения нагрузки [18].

Постановка задачи. Рассматривается прогиб битого льда в канале, вызванный движением внешней нагрузки вдоль канала. Канал имеет прямоугольное сечение с глубиной Н, (0 > z > —Н), и шириной 2Ь, (—L < у < L). В направлении оси х канал не ограничен. Канал занят жидкостью плотностью р£. Рассматривается невязкая и несжимаемая жидкость, покрытая битым льдом постоянной толщины. Внешняя нагрузка моделируется локализованным гладким распределением давления над верхней поверхностью битого льда.

Задача прогиба битого льда в канале формулируется в рамках линейной теории гидроупругости. Прогиб ш(х, у, ^ описывается уравнением колебания битого льда

= —Р(х, у, ^ + р(х, у, 0, ^

(—ж < х < ж, —L < у < L,z = 0),

где М = рЬ — масса битого льда на единицу площади, рг — плотность льда. р

Р (х,у,€) = РоР

— т

« V

(—ж < х < ж, —L < у < V),

р1(~)= (со^т) (С1х\ < !),

А(х) = 0 (с1\а\>1), ~ = (х-т) х ь ,

Р2 (у)= (С05(П22Ю + 1) (С2\у\< 1), Р2(у) = 0 Ыу\>1), у = ь,

где с1,с2 — безразмерные параметры внешней нагрузки, характеризующей размер зоны давления. Гидродинамическое давление на границе лед-жидкость удовлетворяет линеаризованному уравнению Бернулли

Р(х, у, 0, €) = —рерг — редш (—ж < х < ж, —V < у < V),

где д — гравитационное ускорение, р(х,у^,1) — потенциал скорости течения, удовлетворяющий уравнению Лапласа в области течения

Др = 0

и граничным условиям

Р? = тее (^ = 0), (у = 0 (у = ±L),

Р? = 0(г = —Н).

Сформулированная задача записывается в безразмерных переменных

у

х — тt _ z

I = —,

у= ь,х=— '--V Х= Р = Р1(х)Р2(у).

Рассматривается установившееся решение стационарной задачи. Предполагается, что искомые функции ш и р имеют следующую зависимость

ш(х, у, £) = w(XL + т, VII, ^ = wscw(X, у),

р(х,у^) = р(хх + = РесР(х, У,г),

где = и рвс = ир0, масштабы прогиба битого льда и потенциала скорости течения соответственно. В безразмерных переменных задача примет следующий вид

ahFr2wxx + " = hFт2px — Р1

У2р = 0

(—то < х < то, —1 <у < 1, —h<z< 0),

Рг = —"х (г = 0), Ру = 0 (у = ±1),

Рг = 0(г = —К),

где

1 [х

"Р (£,у) = w(x,y)e-i^xdx,

V 2п .]-х

1 [х

РР(£, У, г) = р(х, у, z)e-i^xdx,

V 2П .]-х

1 Сх

Рр (£) = -= P1(x)e-i^xdx.

Представим функцию рР (£,у,г) в виде

РР (£,у,г) = (£,У,z),

тогда система (1) - (7) примет вид

(£, у)(1 — hаFт2£2) = £2hFт2J(£, у, г) —

—Р2

^ (£,у,г) = ^ (£,у,г),

Jz(£,у,г) = "Р(£,у) (г = 0),

(£,у,г) = 0(г = —К), Jy (£,у,г) = 0(у = ±1).

Введем одномерные колебания в канале "-¡(у) cos(пiy) и функцию "Р будем искать в виде

"Р = ^2 а^£)"(У).

J (£,у,г) = £

ап({) со5(ппу)(1еп

1=1

Gsn

где

Gcn = собЪ(^ п2п2 + £2 (К + г)), Gsn = п2п2 + £2 зт)л(\/п2п2+£2К).

Подставим (13) и (12) в правую и левую части уравнения (9), умножим на соб(ппу) и проинтегрируем по dy на промежутке [— 1; 1]. Получим представление для коэффициентов разложения

ап

— РР Шп

ап

1 — Ка^т2£2 — ЦТ^ '

где

N

Gtn = Vп2п2 + £2 1дпЦ^п2п2 + £2К), МС + П) П ) . М

где Fт = и/—дИ — число Фруда, а = ^^, К = Н.

Решение поставленной задачи. Сформулированная задача (1) - (7) решается с помощью преобразования Фурье в направлении оси х. Уравнение пластины (5) дает

(£, у)(1 — hаFт2£2) = ^т2рР(£, у, г) —

—Р2

+

(С2 + п)п (С2 — п)п

^(С2 = П) = С2. Таким образом, получим

+

Е

—РР (№п

1 — Ксу^т2е —

СОБ(пПу).

Функцию "(х, у) найдем с использованием обратного преобразования Фурье

1 Гх

"

V .]-х

С учетом разложения (12), интеграл (15) примет вид

1 X „ х

" = —= V еов(ппу) an(0e-ilíxd£.

У2п п=1 ]-х

Коэффициенты ап(£), следуя (14), являются четными по £, тогда

апd£

ап(£) cos(x£)d£.

Для численного решения пользуемся свойством преобразования Фурье, "Р ^ 0 при £ ^ то, и ограничиваем интегрируемую область конечным отрезком. Данный отрезок разбиваем на конечное число шагов N с шагом Л£ и ограничиваем количество функций в (12) конечным числом Nmod. Коэффициенты ап(£) приближаются линейными функциями на каждом отрезке по £, тогда

"(х,у) = \ 2 Е 0Ов(ппу)х

п=

N 5т+1

х Т, I ап(£) сов(х£^,

т= 1

Решая систему уравнений (10) - (11) методом Фурье, функция J(£,у,г) примет вид

N„

"(х,у) = \ 2 Е сов(ппу)х

N

х Е

т=1

ап{£т + 1)

(sin(x£.

т+1,

+ COs

ап

пп

\

x

Тестирование численного алгоритма.

Точность описанного алгоритма тестировалась на функции внешней нагрузки Р1 (х). Для этого к функции Р1 последовательно применялись прямое и обратное преобразования Фурье. Функция Р1 имеет вид

р(х) = 1 ) (С1 х < 1),

Р1 (х)=0(с1 |х |>1).

Домножим Р1 на и проинтегрируем результат по х от —то до то, получим

PF (?) = *

PF

n

nci-g

nci+g

+

»n

c i 2n

Тогда функция P\ выразится через Pf по формуле

1

P1

1=

J Pf eixg d?,

P1

V2n

Pf cos(x?) d?.

P

— N gm+i.

V2 E / Pf

Коэффициент Pf на отрезке [?m, ?m+1 ] аппроксимируется линейной функцией

pf

Pf

A?

(? - ?m)+ Pf (?m).

Тогда решение уравнения (19) примет вид

sin(x?m+ 1) +

N

Pi = \/ 2 N

Pi

X

+ C

COs

xAg

Pi (gm) x

Sin

где егх^ = соз(х£)+г sm(x£). В силу того, что Р? — четная функция, из (17) следует

Воспользуемся в последнем равенстве тем, что соз(х£) — четная функция, тогда

Р1 = \] Ц Р? сов

0

Рассмотрим конечную область интегрирования по £ € [0, а]. Разобьем интервал [0, а] на N отрезков длиной Д£, тогда интеграл в правой части (18) примет вид

Рис. 1. Результаты расчетов тестовой задачи

Сравнение P1, вычисленной аналитически и вычисленной по формуле (20), приведено на рисунке 1. График оригинальной функции P1 представлен пунктирной линией. Сплошными линиями показаны численные решения при разных параметрах тестовой задачи. Параметр количество шагов N при всех вычислениях оставляем постоянным и равным 500. Параметр размера интегрируемой области a изменялся от 10 до 300. Вычисления показали, что чем больше параметр a, тем выше точность численного решения. Заметим, что функция P1 зависит от параметра с1, который определяет длину ненулевой области (c1|x| < 1). Чем больше c1, тем меньше область и тем медленнее Pf стремится к 0. Численное решение задачи о колебаниях битого льда в канале получено для канала ширины 2L = 10 м, толщина битого льда hi = 20 см, плотность льда pi = 917, плотность воды p£ = 1024, глубина канала H = 2 м.

Колебания битого льда в канале. Рассмотрим систему уравнений (1) - (4), где P(x,z,t) = 0. Решение для распространяющихся волн в битом льду имеет вид

w = A cos(kx — wt)F (у).

Соответствующий потенциал скорости течения жидкости в канале имеет вид

р = Aw sin(kx — wt)f (y, z),

где A = const — амплитуда, k = 2n/A — волновое число, ш = 2n/T — частота волны, A — длина волны, T — период волны, (kx — wt) — фаза волны. Колебания битого льда поперек канала F(у) представим в виде суммы

с

f(у) = xi an cos i l у

n=1 ^ '

f nny\

1

g

Функция /(у, z) удовлетворяет условиям на верхней и нижней границах канала

¡г (у^)= F(у) ^ = 0), ¡г(у, z)=0(z = -Н).

Решением данной задачи является зависимость ш = ш

г(к) =

Ред

\/ Нп + к2

М^Нп + к2 + ре соШ^Нп + к2Н)'

20

15

С(к) 10

п\

ц

ф\с

11 \\\3 и = 15

\\\

V4 и = 10

и - 5

0.5

1.5

где нп = (Пп)2. Фазовая скорость распространения волн в канале вычисляется по формуле Сп = ^. Функции Сп составлены так, что С < С2 < С3 и т.д. Каждая Сп соответствует волнам с профилем cos(ПпУ) поперек канала. Фазовые ско-

25

Рис. 3. Профили волн поперек канала. Сплошными линиями показаны волны для F1, F2, F3. Пунктирными линиями показана сумма этих волн

Рис. 2. Прямыми тонкими линиями показаны скорости. Кривые С1,С2, С3 представляют собой фазовые скорости

рости для первых трех волн (п = 1, 2, 3) показаны на рисунке 2. Жирной сплошной линией показана С1, пунктирными С2,С3. На графике построены горизонтальные линии для разной скорости и движения нагрузки. Данные линии имеют по одной точке пересечения с каждой фазовой скоростью. Для и =10 м/с соответствующие волновые числа, при которых Сп(к) = и, равны к1 = 0.225, к2 = 0.33, к3 = 0.405 -1. Решение задачи (5) - (7) получили численно согласно формуле (16). Результаты показаны на рисунках 3-5. На рисунке 4 показаны профили волн вдоль канала. Решение формируется из суммы волн. Профили этих волн поперек канала соответствуют Fn(y) = cos(пny) и показаны на рисунке 3. Согласно рисунку 1 для каждой скорости и движения нагрузки существует распространяющаяся с этой же скоростью волна в канале с профилем Fn(y). Длина каждой волны вычисляется как расстояние между пиками. Для первых трех волн: Л1 = 23.5, Л2 = 18.5, Аз = 15.5 м. Соответствующие волновые числа , Щ, Щ будут равны к1,к2,к3, вычисленным для распределяющихся волн. Отсюда следует, что нагрузка (корабль,

Рис. 4. Профили волн вдоль канала. Сплошными линиями показаны волны для Wз. Пунктирными линиями показана сумма этих волн

Рис. 5. Пример расчетов трехмерных колебаний битого льда в канале для и = 5 м/с и первых трех волн

судно на воздушной подушке и т.п.) создает волны, распространяющиеся вперед и назад в канале с той же скоростью, что и скорость и движения нагрузки. Такая волна будет для каждого профиля Fn(y).

ш

Пример трехмерных колебаний, составленный для первых трех волн, показан на рисунке 5.

Заключение. В работе исследована задача движения внешней нагрузки с постоянной скоростью вдоль канала. Задача решена в рамках линейной теории гидроупругости. Решение получено с помощью преобразования Фурье вдоль канала. Показано, что решение разбивается на сумму колебаний с заданным профилем поперек канала.

Для каждой скорости движения нагрузки существует счетное число волн, распространяющихся с этой же скоростью. Этот результат совпадает с результатом для гидроупругих волн и волн на свободной поверхности в канале. Приведены результаты расчетов тестовых расчетов трехмерной задачи. Основное отличие от гидроупругих волн в канале заключается в том, что на стенках могут образовываться волны большой амплитуды.

Библиографический список

1. Squire V., Hosking R., Kerr A., Langhorne P. Moving loads on ice. — Kluwer Academic Publishers, 1996.

2. Shishmarev K., Khabakhpasheva T., Korobkin A.. The response of ice cover to a load moving along a frozen channel. — Applied Ocean Research. — 2016. — Т. 59.

3. Kozin V.M. Resonance Method of Breaking of Ice Cover. Inventions and Experiments. — M., 2007.

4. Коробкин А.А., Папин А.А., Шишма-рев К.А. Аналитическое и численное исследование квазиизотермической задачи взаимодействия ледового покрова канала и поверхностных волн. // Известия АлтГУ. — 2012. — Вып. 1/2 (73).

5. Коробкин А.А., Папин А.А., Шишма-рев К.А. Поведение ледового покрова канала под действием поверхностных волн // Известия АлтГУ. — 2012. — Вып. 1/1 (73).

6. Korobkin A., Khabakhpasheva T., Papin A. Waves propagating along a channel with ice cover // European Journal of Mechanics B/Fluids, 2014. K.A.V. 47.

7. Batyaev E.A, Khabakhpasheva T.I. Hydroelastic waves in channel with free ice cover. Fluid Dynamics, 2015. — 6.

8. Zhestkaya V.D. Numerical solution of the problem of an ice sheet under a moving load // Journal of Applid Mechanics and Technical Physics. — 1999. — V. 40 (4).

9. Жесткая В.Д., Козин В.М. Численное решение задачи о воздействии ударного импульса на ледяной покров. — ПМТФ. — 2008. — Т. 49. — № 2.

10. Brocklehurst P. Hydroelastic waves and their interaction with fixed structures // PhD thesis, University of East Anglia, UK, 2012.

11. Sturova I.V., TkachevaL L.A. Wave motion in a fluid under and inhomogeneous ice cover // Journal of Physics: Conference Series. — 2017. -Т. 894. — № 1.

12. Стурова И.В., Ткачева Л.А. Колебания ограниченного ледяного покрова при локальном динамическом воздействии // Полярная механика. — 2016. — № 3.

13. Ткачева Л.А. Колебания ледяного покрова с трещиной при воздействии периодической по времени нагрузки. — Известия Российской академии наук. Механика жидкости и газа. — 2017. — № 2.

14. Tkacheva L.A. Vibrations of an ice sheet with crack under a time-periodic load // Fluid Dynamics. — 2017. — Т. 52. — № 2.

15. Токарева М.А. Конечное время стабилизации решения уравнений фильтрации жидкости в пороупругой среде // Известия Алтайского государственного университета. — 2015. — Т. 2. — № 1.

16. Tokareva М.А. Solvability of initial boundary value problem for the equations of filtration in poroelastic media // Journal of Physics: Conference Series. — 2016. — Т. 722. — № 1.

17. Kozin V.M., Zhestkaya V.D., Pogorelova A.V., Chizhumov S.D., Dzhabailov M.P., Morozov V.S., Kustov A.N. Applied problems of the dynamics of ice cover. — M., 2008.

18. Шишмарев К.А., Завьялова К.Н. Свободные и вынужденные волны в канале, покрытом битым льдом // МАК: Математики — Алтайскому краю : cборник трудов всероссийской конференции по математике. — 2017.