Существование гиперциклических подпространств у операторов Теплица

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 7. № 2 (2015). С. 109-113.

СУЩЕСТВОВАНИЕ ГИПЕРЦИКЛИЧЕСКИХ ПОДПРОСТРАНСТВ У ОПЕРАТОРОВ ТЕПЛИЦА

А.А. ЛИШАНСКИЙ

Аннотация. В работе построен класс операторов Теплица с антианалитическим символом, имеющих замкнутое бесконечномерное подпространство, в котором каждый ненулевой вектор — гиперциклический. А именно, если для функции р, аналитической в единичном круге D и непрерывной в его замыкании, выполнены условия <^(T) ПT = 0 и <^(Ю>) ПT = 0, то оператор <p(S*) (где S* — оператор обратного сдвига в пространстве Харди) будет обладать указанным свойством. Доказательство основано на применении теоремы Гонзалеса, Леон-Сааведры и Монтес-Родригеса.

Ключевые слова: операторы Теплица, гиперциклические операторы, существенный спектр, пространство Харди.

Mathematics Subject Classification: 47A16, 30H10, 47B35

1. Введение

Пусть X — сепарабельное банахово пространство (или пространство Фреше), а Т — ограниченный линейный оператор в X. Если найдется такой х Е X, что множество [Тпх,п Е No} плотно в X, то говорят, что Т — гиперциклический оператор, а х — его гиперциклический вектор. Здесь N0 = N U {0}.

Динамика линейных операторов и, как частный случай, теория гиперциклических операторов активно разрабатывалась последние 20 лет. Подробный обзор результатов, полученных до конца 1990-х гг., содержится в статье [1]. Недавнее освещение теории ищите в монографиях [2, 3].

Тем не менее, первые примеры гиперциклических операторов появились намного раньше. В 1929 Биркгоф показал, что оператор сдвига Та : f (z) м- f (z + а), а Е C, а = 0, гиперциклический в пространстве Фреше всех целых функций Hol(C) с топологией равномерной сходимости на компактах. Позднее МакЛейн доказал гиперцикличность оператора дифференцирования D : f м f' on Hol(C). Первый пример гиперциклического оператора в банаховом пространстве был дан в 1969 г. Ролевичем [4], показавшим, что для любого А Е C, |А| > 1, оператор XS* гиперциклический в пространстве lp(N0), 1 ^ р < ж, где S* — обратный сдвиг на l^(N0), переводящий вектор х = (х0,х\,... ,хп,...) Е l^(N0) в вектор

(Xl,X2, ..., Хп+х,,...).

Что можно сказать о множестве гиперциклических векторов данного гиперциклического оператора Т? Ясно, что если х — гиперциклический вектор для оператора Т, то Тх,Т2х,Т3х,... также являются гиперциклическими векторами для Т. Поэтому множество гиперциклических векторов плотно в X, если оно непусто.

A.A. Lishanskii, Existence of hypercyclic subspaces for Toeplitz operators.

© Лишанский А.А., 2015.

Работа поддержана грантом Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых — докторов наук МД-5758.2015.1 и ООО "Газпромнефть".

Поступила 20 апреля 2015 г.

Следующий результат доказан Бурдоном [5] (специальный класс операторов, коммутирующих с обобщенным обратным сдвигом, был до этого рассмотрен Годфруа и Шапиро в статье [6]).

Теорема (Bourdon, [5]). Пусть Т — гиперциклический оператор, действующий на гильбертовом пространстве Н. Тогда существует всюду плотное линейное подпространство, в котором каждый ненулевой вектор гиперциклический для 1 .

Определение. Для гиперциклического оператора Т замкнутое бесконечномерное подпространство, в котором каждый ненулевой вектор гиперциклический для Т, называется гиперциклическим подпространством.

Монтес-Родригес [7, Теорема 3.4] доказал, что оператор XS*, |А| > 1, действующий на l2(N0), не имеет гиперциклического подпространства. Тем не менее, для некоторого класса функций от обратного сдвига S* на l2(N) существует гиперциклическое подпространство, и это является основным результатом настоящей работы. Чтобы постулировать это, нужно ввести несколько обозначений. Пусть D = {z Е C : |z| < 1} — единичный круг, а T = {z Е C : |z| = 1} — единичная окружность. Напомним, что диск-алгебра A(D) — это пространство всех функций, непрерывных в замкнутом единичном круге D и аналитических в D (с нормой max^g l^(z)l).

Основная теорема. Для любой функции р Е A(D) такой, что ^(T) П T = 0 и (D) П T = 0, оператор p(S*), действующий на l2(N0), имеет гиперциклическое подпространство.

Заметим, что <p(z) = Xz, |А| > 1, не удовлетворяет этому условию.

Примеры применения основной теоремы могут быть интерпретированы как некоторые операторы Теплица в пространстве Харди. Пространство Харди Н2 = Н2 (D) — это пространство всех функций вида f (z) = 0 cnzn, где {сп} Е l2(N0), и поэтому может быть естественно отождествлено с l2(N0). Напомним, что для функции р Е L^(T) оператор Теплица Т^ с символом р определен как T^f = P+(pf), где Р+ — ортогональный проектор с L2 (T) на Н2. Тогда оператор обратного сдвига S* соответствует теплицеву оператору Tz. В работе [6] было показано, что любой антианалитический оператор Теплица Т-^ (где р — ограниченная аналитическая функция в круге D) является гиперциклическим всякий раз, когда ^(D) пересекает T. Наш основной результат дает класс антианалитических операторов Теплица, имеющих гиперциклическое подпространство.

Общее достаточное условие существования гиперциклического подпространства было дано Гонзалесом, Леон-Сааведрой и Монтес-Родригесом в статье [8]. Чтобы сформулировать его, нужна более сильная версия гиперцикличности:

Определение. Оператор Т, действующий на сепарабельном банаховом пространстве В является наследственно гиперциклическим, если существует последовательность неотрицательных целых {пь}, такая, что для каждой подпоследовательности {п^} существует вектор х, такой, что последовательность {Tnki х} всюду плотна в В.

Напомним также определение существенного спектра.

Определение. Оператор U называется фредгольмовым, если Ran U замкнут и имеет конечную коразмерность, а Ker U конечномерно. Существенный спектр оператора Т определяется как

ае(Т) = {X : Т — XI не фредгольмов}.

Теорема (Гонзалес, Леон-Сааведра и Монтес-Родригес, [8, теорема 3.2]). Пусть — наследственно гиперциклическии ограниченный линеиныи оператор, действующий на сепарабельном банаховом пространстве В. Пусть также существенный спектр оператора Т пересекает замкнутый единичный круг. Тогда оператор Т обладает гиперциклическим подпространством.

Мы намерены использовать эту теорему в доказательстве основного результата. Упомянем несколько других результатов на эту тему. С. Шкарин [9] доказал, что оператор дифференцирования в стандартном пространстве Фреше Hol (C) имеет гиперциклическое подпространство. К. Мене [10, следствие 5.5] обобщил этот результат: он доказал, что для каждого полинома Р, не равного константе, оператор Р(D) обладает гиперциклическим подпространством. Он также получил некоторые результаты, касающиеся весовых сдвигов в 1р.

2. О существенном спектре линейных операторов

Следующая лемма хорошо известна. Приведем ее доказательство для удобства читателя.

Лемма. Существенный спектр оператора Б * — единичная окружность.

Доказательство: Рассмотрим три случая:

Случай 1: |А| > 1. Оператор 5* — XI = — Х(1 — ^5*) обратим и поэтому фредгольмов. Случай 2: |А| < 1. Имеем 5* — XI = Б*(1 — ХБ). Так как оператор 5* фредгольмов (его ядро одномерно, а образ — все пространство I2), а I — ХБ обратим, их композиция — также фредгольмов оператор.

Случай 3: |А| = 1. Тогда оператор Б * — XI не фредгольмов, так как его образ имеет бесконечную коразмерность.

Действительно, прообраз последовательности (Ху\, Х2у2, Х3у3, Х4у4,...) € I2 является последовательностью вида (а, Х(у\ +а), Х2(у\+у2+а),...), и равенство а = — ^ уг необходимо

для вхождения этой последовательности в I2. Тогда прообраз последовательности

г=1 2

' 1 1 1 1,-, 0,..., 0 ,-, 0,..., 0 ,...,—, 0,..., 0 ,

>22-1 раза >24-1 раз >22™-1 раз

умноженной покомпонентно на (А, А2, А3,...), задается последовательностью

2 1, 2,..., 2, 4,..., 4,..., 2п 2п,

у у

>22 раза >24 раз >22" раз

умноженной покомпонентно на (1, А, А2,...), но эти последовательности не лежат в I2. Все последовательности вида (1), как легко заметить, формируют бесконечномерное подпространство в I2.

Следующую важную теорему об отображении существенного спектра можно найти, например, в книге [11, р. 107].

Теорема об отображении существенного спектра. Для любого линейного ограниченного оператора Т в гильбертовом пространстве Н и для любого полинома Р имеем ае(Р (Т)) = Р (ае(Т)).

3. Доказательство основного результата

В доказательстве наследственной гиперцикличности оператора p(S*) мы будем использовать хорошо известный критерий Годфруа-Шапиро [6] (точную формулировку ищите в [3, теорема 3.1]):

Теорема (критерий Годфруа—Шапиро). Let Т — ограниченный линейный оператор в сепарабельном банаховом пространстве. Предположим, что подпространства

Х0 = span{x Е X : Тх = Хх для некоторого X Е C, |А| < 1}, Y0 = span{x Е X : Тх = Хх для некоторого X Е C, |А| > 1}, плотны в X. Тогда Т наследственно гиперциклический.

Доказательство основной теоремы Нам нужно проверить два условия теоремы Гон-залеса, Леон-Сааведры и Монтес-Родригеса.

Любую функцию р из диск-алгебры можно равномерно приблизить в D последовательностью полиномов Рп. Поэтому Pn(S*) стремится p(S*) в операторной норме.

Нам нужно показать, что ae(p(S*)) пересекает замкнутый единичный круг. Так как ^(T) П T = 0, существуют X, ^ Е T, такие, что р(Х) = Тогда = Рп(Х) стремится к По теореме об отображении существенного спектра для любого полинома Р имеем ае(Р(S*)) = Р(ae(S*)) = Р(T). В частности, = Рп(Х) Е ae(Pn(S*)) для любого п, и поэтому Рп(S*) — не фредгольмов.

Так как множество фредгольмовых операторов открыто в операторной норме (см., например, [12, теорема 4.3.11]), множество нефредгольмовых операторов замкнуто, откуда получаем, что предел Pn(S*) — , равный p(S*) — , не фредгольмов, и ^ лежит в существенном спектре p(S*). Первое условие теоремы Гонзалеса, Леон-Сааведры и Монтес-Родригеса проверено.

Хорошо известно, что условие ^(D) П T = 0 влечет, что p(S*) удовлетворяет критерию Годфруа-Шапиро. Вкратце воспроизведем это рассуждение.

Напомним, что точечный спектр S* равен ар(S*) = {А : |А| < 1},и собственные вектора равняются (1,А, X2, •••) Е l2(N0), или если мы перейдем к пространству Харди Н 2(D), используя естественное отождествление Н2 с l2(N0),

kx(z) = -^ = £

Функции k\ — это ядра Коши, являющиеся воспроизводящими ядрами в пространстве Н2. Ясно, что kx, X Е D, также являются собственными векторами оператора p(S*) с собственными числами р(Х).

По условию ^(D) П T = 0 мы знаем, что ^(D) — открытое множество, пересекающее D и C \ D. Тогда понятно, что Х0 = {кх : А Е D, |^(А)| > 1} и Y0 = {кх : А Е D, |^(А)| < 1} плотны в Н2. В самом деле, f Е Н2 ортогональна к\ в том и только в том случае, когда f (А) = 0 и оба множества {А Е D : |^(А)| > 1} и {А Е D : |^(А)| < 1} открыты. Поэтому выполнены условия критерия Годфруа-Шапиро, откуда следует наследственная гиперцикличность оператора p(S*).

Следовательно, по теореме Гонзалеса, Леон-Сааведры и Монтес-Родригеса у оператора p(S*) есть гиперциклическое подпространство.

В завершение, сформулируем один открытый вопрос. Было бы интересно обобщить утверждение Монтес-Родригеса о том, что оператор XS*, |А| > 1, действующий на l2(N0), не имеет гиперциклического подпространства. Естественная гипотеза состоит в следующем:

Гипотеза. Пусть В = p(S*), где р — полином, такой, что |р(А)| > 1 при |А| = 1. Тогда оператор В не имеет гиперциклического подпространства.

Благодарности. Автор благодарен Контену Мене за полезные комментарии.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. K.-G. Grosse-Erdmann, Universal families and hypercyclic operators // Bulletin of American Mathematical Society, (3) 36. 1999. P. 345-381.

2. F. Bayart, E. Matheron, Dynamics of Linear Operators Cambridge University Press. 2009. 352 p.

3. K.-G. Grosse-Erdmann, A. Peris Manguillot, Linear Chaos Springer. Berlin. 2011. 388 p.

4. S. Rolewicz, On orbits of elements // Studia Math 32. 1969. P. 17-22.

5. P.S. Bourdon, Invariant manifolds of hypercyclic vectors // Proceedings of the American Mathematical Society, (3) 118. 1993. P. 845-847.

6. G. Godefroy, J.H. Shapiro, Operators with dense, invariant, cyclic vector manifolds // Journal of Functional Analysis, 98. 1991. P. 229-269.

7. A. Montes-Rodriguez, Banach spaces of hypercyclic vectors // Michigan Mathematical Journal, 43. 1996. P. 419-436.

8. M. Gonzalez, F. Leon-Saavedra, A. Montes-Rodriguez, Semi-Fredholm Theory: Hypercyclic and supercyclic subspaces // Proceedings of the London Mathematical Society, (3) 81. 2000. P. 169189.

9. S. Shkarin, On the set of hypercyclic vectors for the differentiation operator // Israel Journal of Mathematics, 180. 2010. P. 271-283.

10. Q. Menet, Hypercyclic subspaces and weighted shifts //Advances in Mathematics, 255. 2014. P. 305337.

11. S. Goldberg, Unbounded Linear Operators McGraw-Hill. New York. 1966. 199 p.

12. E.B. Davies, Linear Operators and Their Spectra // Cambridge Studies in Advanced Advanced Mathematics, Vol. 106, Cambridge University Press. 2007. 451 p.

Андрей Александрович Лишанский, Лаборатория им. П. Л. Чебышева СПбГУ 14-я линия В. О., 29Б, 199178, г. Санкт-Петербург, Россия E-mail: Lishanskiyaa@gmail.com