Систематизирующий фактор кластера по математике

УДК 51(07) ББК 22.1р30

П.И. Совертков, Н.В. Суханова

систематизирующий фактор кластера

ПО МАТЕМАТИКЕ

В статье рассматриваются методические рекомендации по сворачиванию и разворачиванию мыслительных операций при построении кластера на примере решения тригонометрических неравенств. Введено новое обозначение переменной на графике для тригонометрического неравенства. Рассмотрены примеры поэтапного построения кластера для решения простейших тригонометрических неравенств.

Ключевые слова: анализ основного понятия, синтез производных понятий, кластер, тригонометрические неравенства.

P.I. Sovertkov, N.V. Sukhanova FACTOR wHICH ORGANIZES MATH CLUSTER

The methodological recommendations on the folding and unfolding of thinking to build a cluster on the example of solving trigonometric inequalities are discussed. A new designation to the variable on the graph to a trigonometric inequality is introduced. The examples of the phased construction of a cluster to solve the simplest trigonometric inequalities are considered.

Key words: analysis of basic concepts, synthesis of concepts, cluster, trigonometric inequality.

Процесс построения кластера - это последовательное построение анализа изучаемого понятия или исследуемой проблемы с последующей систематизацией полученных результатов. Основное понятие изображается овалом в центре листа, а производные понятия размещаются вокруг основного понятия с изображением причинно-следственных связей [4].

Если производных понятий много и каждое из них требует для расшифровки нескольких действий, то для конкретного случая строится подробный чертеж. Для объединения всех рассмотренных вариантов в единое целое, т.е. для систематизации производных понятий в единый кластер нужно опустить подробности рассмотрения в каждом отдельном случае, сделать краткое, но информативное резюме.

Систематизация (от греч. systema - целое, состоящее из частей) - мыслительная деятельность, в процессе которой изучаемые объекты организуются в определенную систему на основе выбранного принципа [3].

Такимобразом,осуществляется свертка промежуточных действий на основе перевода сформированных операций в разряд очевидных. Процесс обзора всего кластера в обратном направлении, т.е. от его периферии к основанию, является синтезом производных понятий в единую систему.

Использованию кластеров для обучения математике посвящен цикл работ [5-7]. В данной статье рассмотрим методические рекомендации по сворачиванию и разворачиванию мыслительных операций при построении кластера на примере решения тригонометрических неравенств. Эти рекомендации помогут учителю организовать деятельность школьников по выработке обобщенного способа решения тригонометрических неравенств, а обучающимся - систематизировать знания в этой области.

Во-первых, отметим, что большинство методических пособий, иллюстрирующих графически решение тригонометрических неравенств, в качестве основной функции обычно выбирают иллюстрацию интервала изменения пе-

го са о х го

X >

О QD

п:

со о

н ^

ф

са о О

ременной х и значений тригонометрической функции, а в качестве второстепенной (вспомогательной) функции - истоки происхождения тригонометрических функций.

В действительности происходит наоборот. Оси декартовой системы координат показываются как основные, а значения тригонометрических функций отмечаются в скобках, как второстепенные.

На приведенных ниже кластерах направление изменения переменной х показано либо рядом с координатной окружностью, либо на самой окружности в итоговом кластере.

Вторая особенность решения тригонометрических неравенств обусловлена тем, что фактически решается обратная задача.

Понятие, сформированное при первоначальном введении, иногда трудно применить при решении задач в новом разделе математики.

Для большинства функций первоначально равенство f(x) = y изучается следующим образом. Изменяется переменная х. Требуется определить значения функции у, если известен закон построения функции.

После закрепления сформированных понятий начинается новый этап применения равенства f (x) = y . Для заданного значения величины у требуется определить значения переменной х при заданном законе построения функции. Фактически обучающийся должен найти прообраз для значения у или построить обратную функцию (не используя этих терминов).

Для тригонометрических функций внешне все оказывается намного сложнее, т.к. вначале формируются понятия функций cosx и sinx как значений проекций точки единичной окружности на горизонтальную и вертикальную оси, т.е. x = cos t и y = sin t. Очередность действий -вначале нужно изобразить угол, а затем определить проекции.

Тренинг сводится к вызову из памяти таблицы значений для угла, а затем нужно записать значения тригонометрических функций.

Объяснение решения уравнений cos x = m и sin x = m, тем более триго-

нометрических неравенств, вызывает большие затруднения, т.к. вначале нужно переставить очередность операций -по заданной проекции на определенной оси найти величину главного угла, затем определить величину угла с точностью до 2 п и, наконец, записать решение данного тригонометрического неравенства с помощью неравенств для переменной х.

Постепенно решение тригонометрических уравнений сводится к вызову из памяти таблицы значений тригонометрических функций, к ее прочтению в обратном направлении и подстановкой в формулу корней тригонометрических уравнений.

Для решения тригонометрических неравенств требуется обращение либо к графическому изображению значений тригонометрической функции на единичной окружности, либо оперирование с графиком функции и знание монотонности данной функции на определенном промежутке, либо оперирование памятками для решения неравенств, которые приведены в справочниках.

Школьные учебники и пособия по подготовке к ЕГЭ приводят примеры решения тригонометрических неравенств для конкретных числовых значений. Пособие [4, с. 202-204] использует иллюстрацию значений тригонометрических функций на единичной окружности. Такой подход ближе обучающимся, т.к. тригонометрические функции вводились с помощью единичной окружности. При решении уравнения зт х = т учащийся отмечает значение т на вертикальной оси и выделяет точки на единичной окружности, удовлетворяющие тригонометрическому неравенству. Если обучающийся соблюдает масштаб при построении этого числа, то чертеж ориентирует его на выбор правильного значения угла х.

Основная трудность в этом случае состоит в том, что наряду с осью Ох нужно рассматривать значения переменной на числовой окружности или величины углов, опирающихся на выделенные точки окружности.

Пособие [2, с. 77, 78, 115-118] использует график тригонометрической функции. В этом случае нужно дополнительно

знать график этой функции, уметь его построить и вызвать из памяти таблицу значений тригонометрических функций. Роль переменной х в этом случае становится более понятной для школьника, но обучающимся сложнее выбрать интервалы переменной, удовлетворяющей данному неравенству.

Пособие [1, с. 234-239] приводит большое число разнообразных случаев, которые учащемуся трудно запомнить.

Построение кластера для решения тригонометрического неравенства, содержащего функцию зт х, начинается с эскиза (рис. 1).

:. 1

Иллюстрация решения неравенства тельных значений т приведена соответ-зт х > т для положительных и отрица- ственно на рис. 2 и рис. 3.

Рис. 2 Рис. 3

Авторы всех пособий при решении тригонометрических неравенств с помощью единичной окружности изображают на плоскости декартову систему координат. Изображение горизонтальной оси Ох и запись решения для переменной х в этом случае противоречат друг другу, т.к. некоторые обучающиеся пытаются изобразить значение переменной х для решенного неравенства на оси Ох. Конечно, в этом случае под переменной х подразумеваются либо координаты на единичной окружности, либо параметризация угла с вершиной в центре окружности. Рисунки 2 и 3 поясняют значение переменной х и начало отсчета этого параметра.

Обозначение угла а , для которого синус равен данному числу т, и точки

окружности этим же символом подчеркивает взаимно однозначное соответствие между величиной главного угла и координатой точки на окружности.

Запись решения для двух случаев оказывается одинаковой:

зт х > т ^ а + 2кп < х < п-а+ 2кп,к е X, а=ат1зт т Следовательно, эти два случая можно свернуть и изображать в дальнейшем одним рисунком.

Вначале направление отсчета переменной х специально выделяем стрелкой рядом с окружностью. Потом это направление можно показать стрелкой на самой окружности.

Аналогично, иллюстрация решения неравенства зт х > т для положительных и отрицательных значений т приведена соответственно на рис. 4 и рис. 5.

Рис. 4

Рис. 5

in л* < т => -~л - a + 2 к л < х < а + 2 кл, к е Zjx = ares

sin

/ \ У

I n - a a уГ ^ч-тг - a г n-a ^

т Чч

Рис. 6

Рис. 7

ш m

0

1

ш

X

0 Ш

1

со

о ^

н

с^ ф

со о О

Решение неравенства sin x > m можно показать на графике синусоиды. На рисунки 6 и 7 представлены случаи для положительного и отрицательного значения числа m.

Корни x = а и x = п - а симметрично расположены относительно значения п/2. Аналогично корни x = а и x = -п - а симметрично расположены относительно значения -п/2.

Формулы решения тригонометрического неравенства являются одинаковыми для двух рассмотренных случаев,

поэтому целесообразно свернуть эти два случая, считая число m положительным, а угол а острым. Из двух рисунков 6 и 7 рисунок 6 в этом случае легче наглядно представить.

Аналогично можно рассмотреть решение неравенства sin x < m на графике синусоиды, изображая два случая для значения числа m, затем объединить в один случай.

Четыре случая решения тригонометрического неравенства на графике синусоиды можно объединить на одном рисунке.

~я -- а \ -2 к тг < х < а + 2 к тт. к с-: У,.а - ares i и m.  1 < m <

Рис. 8

(X -i \ 2 к л < л' < п а -

к С: '/..а  - a res i п /н........ 1 < /;/ <

Точки, удовлетворяющие неравенству зт х > т, изобразим сплошной линией, а точки, удовлетворяющие неравенству зт х < т, изобразим пунктирной линией. На итоговом кластере должны быть изображены координаты п - а и -п - а одной и той же точки окружности, т.к. ее координаты используются в различных неравенствах.

Во-первых, это подчеркивает специфику координат на окружности с точностью до 2п, а во-вторых, координаты ориентирует на правильную запись концов интервала возрастания переменной при решении неравенства зт х < т.

Очевидно, что итоговый опорный рисунок должен быть кратким и информативным. Объединяя всю информацию о тригонометрических неравенствах с функцией зт х, получим кластер (рис. 8). Он соединяет три метода решения неравенств и объединяет частные случаи для числа т.

Интегрирующий фактор кластера состоит в том, что на нем оказались соединенными различные методы решения неравенства: метод единичной окружности, метод использования графика триго-

нометрической функции, метод работы с памятками, как с опорным конспектом. Систематизирующий фактор кластера состоит в возможности изображения на нем сплошной линией для случая положительного значения параметра т и пунктирной линией для отрицательного значения параметра т.

Создание аналогичных кластеров для других тригонометрических функций должно проводиться на основе подробного анализа всех случаев на единичной окружности. Приведем их, т.к. нам кажется, что в нашей редакции этих рисунков удалено то лишнее, что мешает формированию у обучающихся явного понимания значения переменной х, содержит больше информативности и наглядности, ориентирует на объединение различных случаев в один кластер. Каждый из этих рисунков может быть предметом иллюстрации при решении конкретного тригонометрического неравенства.

Решение неравенства соз х > т на единичной окружности изображено на рис. 9 и 10, а неравенства соз х < т на рис. 11 и 12.

Рис. 9 ^ а ^^^ Рис. 10

eos v > /7/ :.....> а v 2 к л < .y < а -+- 2 к л Л е. /.г/ -  arceos///

eos х < т ==> а -+• 2 к л < .v < 2л - а + 2 к тс Л е Z,a ~ arceos m Рис. 11 Рис. 12

н

ш ^

(D н ш

ш

(D

{з

Ш

с;

^

Q_ О

I-

^

ш

2

>

н

ш ^

(D н о

О

Объединяя эти четыре случая и соединяя с решением неравенства на графике косинусоиды, получаем систематизирующий кластер (рис. 13) для решения неравенства, содержащего тригонометрическую функцию .

Сплошной линией на единичной окружности и на графике косинусои-

ды изображены точки для неравенства cos x > m и пунктирной линией для неравенства cos x < m.

Аналогичным образом рассмотрим вначале кластеры (рис. 14, 15) для неравенства tg x > m, а затем построим итоговый кластер, интегрирующий все случаи и методы.

Рис. 13

lg.У ^

л + а

л

lg х > т => а I к л < х < — f кл.к е /.. а  arclg т

Рис. 14

Рис. 15

Замечание. В компьютерной программе величина центрального угла х для построения пунктира выбрана постоянной. При построении графиков тригонометрических функций пунктир изображается штрихом с изменяющейся длиной и реально показывает длину штриха на графике (рис. 16).

Длятригонометрическихнеравенств с функцией ctg x аналогично получаем систематизирующий кластер (рис.17).

В заключении отметим, что формирование систематизирующей функции кластера возможно только на основе проведенного подробного анализа имеющейся информации. Как показывает

Рис. 16

практика, объединение различных случаев или различных методов является сверткой мыслительных операций. Изображение любого неравенства рисунком

с острым углом возможно только на основе сформированного понятия, этот частный случай является отражением общей закономерности для любых углов.

си

I-

го

го ^

си &

го ^

о.

о

I-

го

2

си &

о

Библиографический список

1. Кожухов, И.Б. Справочник по математике [Текст]: справочник / И.Б. Кожухов, А.А. Прокофьев. - М.: Лист, 1999. - 640 с.

2. Роганин, А.Н. ЕГЭ. Математика: Универсальный справочник [Текст]: справочник / А.Н. Рога-нин, Ю.А. Захарийченко, Л.И. Захарийченко. - М.: Эксмо, 2015. - 368 с.

3. Российская педагогическая энциклопедия [Текст] / под ред. В.Г. Панова. - М.: Большая российская энциклопедия,1993. - 208 с.

4. Рязановский, А.Р. Алгебра и начала анализа. 10-11 классы. Модульный триактив-курс [Текст]: учеб. пособие / А.Р. Рязановский, С.А. Шестаков, И.В. Ященко. - М.: Национальное образование, 2014. - 360 с.

5. Совертков, П.И. Выстраивание параллельных связей на числовых осях и концентрических окружностях с помощью кластера [Текст] / П.И. Совертков, Н.В. Суханова // Вестник Челябинского государственного педагогического университета. - 2015. - № 8. - С. 78-85.

6. Совертков, П.И. Методика работы с кластером по математике [Текст] / П.И. Совертков // Северный регион: наука, образование, культура. - Сургут: Изд-во СурГУ. - 2014. - С. 146-157.

7. Совертков, П.И. Преобразование кластера-понятия в кластеры-инструментарии [Текст] / П.И. Совертков, Н.В. Суханова // Вестник Сургутского государственного педагогического университета. - 2014. - № 6(33). - С. 83-88.

Referencеs

1. Kozhukhov I.B., Prokofiev A.A. Handbook of mathematics. M.: List, 1999. P. 640. [in Russian].

2. Roganin A.N., Zakhariichenko J.A, Zakhariichenko L.I. Exam. Mathematics: a Universal reference book. M.: Eksmo, 2015. P. 368. [in Russian].

3. Russian pedagogical encyclopedia. Ed. by V. G. Panov. M.: Bolshaia Rossiiskaia encyclopedia, 1993. P. 208. [in Russian].

4. Riasanovsky A.R., Shestakov S.A., Yaschenko I.V. Algebra and beginning of analysis. 10-11. Modular triaktiv-course. M: Nationalnoie obrazovanie, 2014. P. 360. [in Russian].

5. Sovertkov P I., Sukhanova N.V. Building parallel relations on numeric axes and concentri-ical circles with cluster). Herald of the Chelyabinsk state pedagogical University, 2015. № 8. P. 78-85. [in Russian].

6. Sovertkov P.I. The method works with a cluster of mathematics. Surgut: Izd-vo SurgSPU. 2014. P. 146-157. [in Russian].

7. Sovertkov P.I., Sukhanova N.V. The transformation in the concept of cluster-cluster tools. Vestnik Surgutskogo Gosudarstvennogo Pedagogicheskogo Universiteta. 2014. №6 (33). P. 83-88. [in Russian]

ro m о

X

го

X >

0 DD

1

со о

I-

Œ ф

са о О

Сведения об авторах: Совертков Петр Игнатьевич,

кандидат физико-математических наук, доцент,

доцент кафедры высшей математики, Сургутский государственный университет,

г. Сургут, Российская Федерация. Ктай: Psovertkov@mail.ru

Суханова Наталья Владимировна,

кандидат педагогических наук, доцент, доцент кафедры высшей математики и информатики, Сургутский государственный педагогический университет, г. Сургут, Российская Федерация. Ктай: tonavl@mail.ru

Information about the authors: Sovertkov Petr Ignatievich,

Candidate of Sciences (Physical and Mathematical),

Academic Title of Associate Professor,

Associate Professor, Department of Mathematics,

Surgut State University,

Surgut, Russia.

E-mail: Psovertkov@mail.ru

Sukhanov Natalia Vladimirovna,

Candidate of Sciences (Education),

Academic Title of Associate Professor,

Associate Professor, Department of Mathematics

and Computer Science,

Surgut State Pedagogical University,

Surgut, Russia.

E-mail: tonavl@mail.ru