Анализ точности математической модели трехфазного асинхронного двигателя

УДК 621.313.32

АНАЛИЗ ТОЧНОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ТРЕХФАЗНОГО АСИНХРОННОГО ДВИГАТЕЛЯ

В.Г. МАКАРОВ

Казанский государственный технологический университет

Рассматривается математическая модель трехфазного асинхронного двигателя в фазных осях. Насыщение магнитной системы и потери в стали не учитываются. С помощью компьютерного моделирования и экспериментального исследования проводится анализ точности этой модели. Показано, что традиционные допущения об отсутствии насыщения магнитной системы и потерь в стали не позволяют обеспечить высокую точность расчетов.

Ключевые слова: трехфазный асинхронный двигатель, математическая модель, компьютерное моделирование, экспериментальное исследование.

Введение

Математические модели трехфазных асинхронных двигателей (АД) приобретают особую значимость в связи с разработкой частотно-регулируемых электроприводов, являющихся высокоэффективным средством энерго- и ресурсосбережения.

Общепризнанной и широко распространенной в настоящее время является линейная математическая модель асинхронного двигателя (АД) в фазных осях [13], которая строится на базе уравнений электрического равновесия фаз обмоток.

При записи этих уравнений вводятся следующие допущения:

1) статор и ротор собраны из тонких листов высококачественной электротехнической стали, вследствие чего потерями на гистерезис и вихревые токи пренебрегаем;

2) магнитная система двигателя не насыщена;

3) параметры обмотки ротора приведены к числу витков и количеству фаз статора;

4) фазы обмоток статора и ротора смещены в пространстве на угол 2п/3 эл. рад и симметричны в электрическом и магнитном отношении;

5) воздушный зазор равномерный.

С использованием данной модели в работе [4] проведено компьютерное моделирование электромагнитных и электромеханических процессов, а также расчет рабочих характеристик. Однако анализ точности рассматриваемой модели при перечисленных выше допущениях в [1-4] не проводился. В данной статье проводится анализ точности указанной математической модели. Анализ проводится на основании результатов компьютерного моделирования и экспериментального исследования переходных процессов и рабочих характеристик двигателя типа АИР80А6У2. Экспериментальные исследования проводились с использованием пакета Power Craph 3.3.

Методика исследования

На рис. 1 показана пространственная модель трехфазного АД, где оси фаз статора обозначены Ах, Вх, Сх, а оси фаз ротора - А2, В2, С2. Система координат

© В.Г. Макаров

Проблемы энергетики, 2010, № 11-12

ротора вращается относительно системы координат статора с угловой скоростью ш, их взаимное расположение характеризуется электрическим углом а между одноименными осями.

Рис. 1. Пространственная модель трехфазного АД

Линейная математическая модель трехфазного АД в [1] представлена системой дифференциальных уравнений в векторно-матричной форме:

к ] [«2 ]

к ] [0]" [0] [*2 ]

[¿1 ] [ 2]

] [М 12] [М21 ] [¿2 ]

[ 1] [ 2]

Л /

й

+—

й

[¿1] [М12] [М21 ] [¿2 ]

[ 1] [ 2]

,

где [«1 ], [¿1 ] - векторы напряжений и токов фаз статора; [^1 ], [ь1 ] - матрицы активных сопротивлений и индуктивностей статора; [«2 ], [¿2 ] - векторы напряжений и токов фаз ротора; [^ ], [¿2 ] - матрицы активных сопротивлений и

индуктивностей ротора; [о] - нулевая матрица; М12 ] - матрица взаимных индуктивностей статора и ротора; М21 ] - матрица взаимных индуктивностей ротора и статора.

В [1] показано, что коэффициенты [М12 ] и М21 ] зависят от угла поворота а , который можно определить из уравнения

I

а(г) = а(0) + )йг .

0

Уравнение электромагнитного момента имеет вид

М, = 1 № 1^]=

2 даг

"[¿1 ]  Т д

[¿2 ] _ даг

[¿1 ] [М12 ] [М21 ] [¿2 ]

[ 1] [ 2]

+

где [г] - вектор токов трехфазного АД; [¿] - матрица индуктивностей трехфазного АД; аг - геометрический угол поворота ротора.

Электрический и геометрический углы поворота связаны выражением

а = Рпаг•

Запишем уравнение движения:

^ = Рп(мэ - М), т

где - суммарный момент инерции подвижных частей; Мс - статический момент.

Система (1) относится к классу систем дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Решение подобных систем возможно лишь численными методами.

Основные результаты

С целью анализа точности математической модели трехфазного АД в фазных осях проведено компьютерное моделирование переходных процессов.

'1А, А

0,075

0,150

0,225

РЬ ВА

5000 -I

3000 2000 1000 о

а)

Л с

0,075

0,150

0,225

б)

- результаты компьютерного моделирования; результаты экспериментального исследования

Рис. 2. Сравнительный анализ кривых переходных процессов при пуске двигателя АИР80А6У2 без нагрузки: а) - фазный ток статора; б) - мгновенная потребляемая мощность; в) - частота

вращения ротора

В качестве объекта исследования использовался двигатель АИР80А6У2. Результаты моделирования и экспериментального исследования переходных процессов представлены на рис. 2 и 3.

'1 А; А

0,24

а)

Ръ ВА

5000 4000 3000 2000 1000

0,12 0,24 0,36

в)

результаты компьютерного моделирования;

- результаты экспериментального исследования

Рис. 3. Сравнительный анализ кривых переходных процессов при пуске двигателя АИР80А6 с номинальной нагрузкой: а - фазный ток статора; б - мгновенная потребляемая мощность;

в - частота вращения ротора

Для вычисления потребляемой мгновенной мощности при компьютерном моделировании и экспериментальном исследовании использовалось выражение

Р1 = "1А '1 А + и1В кв + "1С '1С •

Значения величин и параметров двигателя АИР80А6 для различных режимов работы, полученные с помощью компьютерной модели, а также в ходе экспериментального исследования, приведены в табл. 1.

Таблица 1

Сравнительный анализ результатов компьютерного моделирования и экспериментального

исследования

Наименование параметров, единицы измерения Обозначение Результаты компьютерного моделирования Результаты эксперимента

Параметры пускового режима

Пусковой ток статора, А ¡1п 7,636 8,845

Параметры критического режима

Критический момент, Нм М2кр 17,73 17,71

Критическая частота вращения, об/мин пкр 593,7 не измерялась

Параметры номинального режима

Ток статора, А ¡1 2,072 2,295

Активная мощность, потребляемая статором, Вт Р1 1019 1105

Коэффициент мощности, о.е. СО« ф 0,745 0,731

Мощность, Вт Р2 755,7 755,2

Коэффициент полезного действия, о.е. П 0,741 0,683

Момент, Н • м М2 7,785 7,791

Частота вращения, об/мин п 926,9 925,6

Скольжение, о.е. s 0,073 0,074

На рис. 4 показаны рабочие характеристики асинхронного двигателя АИР80А6, полученные с помощью компьютерного моделирования и экспериментального исследования. Шаг изменения статического момента при снятии экспериментальных и получении расчетных рабочих характеристик принимался равным 0,1 Н • м, поэтому на рис. 4 они представлены множеством точек.

В табл. 2 приводятся результаты сравнительного анализа рабочих характеристик, проведенного по значениям их абсолютных и относительных погрешностей.

В качестве эталона используются экспериментальные данные.

С целью выявить влияние нелинейности магнитопровода АД были получены зависимости момента на валу от величины фазного напряжения статора как с помощью компьютерного моделирования, так и экспериментально. Указанные зависимости показаны на рис. 5.

а)

б)

в)

375 750

г)

Вт

375

750

Ръ Вт

д)

результаты компьютерного моделирования; результаты экспериментального исследования

Рис. 4. Сравнительный анализ рабочих характеристик двигателя АИР80А6У2

Таблица 2

Сравнительный анализ рабочих характеристик

Наименование величин, единицы измерения Обозначение Значения величин

Ток статора /1

Абсолютная погрешность в номинальном режиме, А Д/1н 0,223

Относительная погрешность в номинальном режиме, % 8/1н 9,890

Максимальная абсолютная погрешность, А д/1 0,359

Максимальная относительная погрешность, % 8/1 15,96

Потребляемая активная мощность Р1

Абсолютная погрешность в номинальном режиме, Вт ДР1н 83,07

Относительная погрешность в номинальном режиме, % 8Р1н 8,054

Максимальная абсолютная погрешность, Вт АР1 115,2

Максимальная относительная погрешность, % 8Р1 10,75

Коэффициент полезного действия п

Абсолютная погрешность в номинальном режиме, о.е. ЛЛн 0,058

Относительная погрешность в номинальном режиме, % йПн 8,285

Максимальная абсолютная погрешность, о.е. АЛт 0,145

Максимальная относительная погрешность, % йЛт 20,83

Коэффициент мощности СОЗ ф

Абсолютная погрешность в номинальном режиме, о.е. А соз фн 0,015

Относительная погрешность в номинальном режиме, % 8 СОЗ фн 2,142

Максимальная абсолютная погрешность, о.е. А СО3 ф т 0,042

Максимальная относительная погрешность, % 8 СО3 ф т 5,846

Момент на валу М2

Абсолютная погрешность в номинальном режиме, Н • м Ш2Н 0,0l7

Относительная погрешность в номинальном режиме, % SM 2н 0,2l8

Максимальная абсолютная погрешность, Н • м AM 2 0,027

Максимальная относительная погрешность, % 8M 2 0,346

Частота вращения n

Абсолютная погрешность в номинальном режиме, об/мин апн 2,83l

Относительная погрешность в номинальном режиме, % §пн 0,307

Максимальная абсолютная погрешность, об/мин Anm l0,8l

Максимальная относительная погрешность, % 8nm l,l75

На рис. 5 приводится также расчетная зависимость, построение которой осуществлялось в соответствии с формулой

M 2 = Mэ - M 0 =

mlUl R2pn

2n/l s[(Rl + R2/ s)2 + (X l + X 2 )2 ]

- M o,

где ml - число фаз статора; Ul - фазное напряжение статора; f - частота напряжения статора; s - скольжение; Xl - индуктивное сопротивление от потока рассеяния фазы обмотки статора; X2 - индуктивное сопротивление от потока рассеяния фазы обмотки ротора; M0 - момент холостого хода.

В формуле (2) используются параметры ротора, приведенные к статору. Величина M0 определялась экспериментально.

Обсуждение результатов

Точность математической модели АД и ее адекватность определяются целым рядом факторов, из которых наиболее значимыми являются следующие:

1) вводимые допущения;

2) корректность определения параметров схемы замещения фазы;

3) погрешность инструментальных средств экспериментального исследования;

4) погрешность численного метода решения системы дифференциальных уравнений.

Отметим, что большая часть известных методик экспериментального определения параметров схемы замещения фазы АД основывается на данных опытов холостого хода и короткого замыкания. Согласно сведениям, приведенным в работе [5], относительная погрешность этих методик весьма значительна. В ходе данного исследования использовались значения параметров схемы замещения фазы двигателя АИР80А6, представленные изготовителем.

Пакет Power Craph 3.3, с помощью которого производились экспериментальные исследования, представляет собой высокоточное программное средство, предназначенное для наблюдения, измерения, анализа и преобразования различного рода величин.

М2, Им

17,5 15 12,5 10

7,5

2,5

0

Г

/

-О.ЛЙ....

А

/* /9

и 1,В

100 200 300

Рис. 5. Зависимость момента на валу от фазного напряжения: результаты компьютерного моделирования; о - экспериментальные данные;--расчетные данные

Численное решение системы дифференциальных уравнений асинхронного двигателя производилось методом Рунге-Кутта четвертого порядка, погрешность которого пропорциональна шагу интегрирования в пятой степени [6]. Выбор шага интегрирования производился с учетом рекомендаций [7, 8].

Результаты компьютерного моделирования подтверждают основные положения теории асинхронных электрических машин. Сравнительный анализ кривых фазного тока показывает, что на начальном этапе пуска отклонения не превышают 7 %. При переходе в установившийся режим наблюдаются следующие отклонения кривых фазного тока статора: 16 % - в режиме холостого хода и 10 % в режиме номинальной нагрузки. Анализ кривых потребляемой мгновенной мощности показывает, что наибольшие отклонения наблюдаются при переходе от начального этапа пуска к установившемуся режиму. В установившемся режиме с номинальной нагрузкой отклонения кривых потребляемой мгновенной мощности составляют 8 %. Наибольшие отклонения кривых частоты вращения ротора наблюдаются при переходе от начального этапа пуска к установившемуся режиму и составляют 3,84 % при пуске без нагрузки и 9,61 % при пуске с номинальной нагрузкой. Кривые частоты вращения полностью совпадают после перехода в установившийся режим.

Результаты сравнительного анализа рабочих характеристик показывают, что максимальная относительная погрешность по току статора наблюдается в режиме холостого хода и составляет 15,96 %, относительная погрешность в номинальном режиме составляет 9,89 % (рис. 4, а). Относительная погрешность по потребляемой

активной мощности практически не меняется при изменении нагрузки от нуля до номинальной и находится в пределах 7-8 %. При дальнейшем увеличении нагрузки относительная погрешность возрастает до 10,75 % (рис. 4, б). Максимальная относительная погрешность по коэффициенту полезного действия составляет 20,83 % и наблюдается при нагрузке 0,1 от номинальной. При дальнейшем увеличении нагрузки относительная погрешность уменьшается и в номинальном режиме составляет 8,28 % (рис. 4, в). Относительная погрешность по коэффициенту мощности находится в пределах от 2 до 5,85 % (рис. 4, г). Относительная погрешность по моменту находится в пределах от 0,2 до 0,35 % (рис. 4, д), а относительная погрешность по частоте вращения не превышает 1,2 % (рис. 4, е).

Из рис. 5 видно, что насыщение магнитопровода начинает сказываться после 275 В, вследствие чего момент на валу изменяется незначительно. Влияние насыщения в математической модели и при расчетах по формуле (2) не учитывалось, поэтому после 275 В указанные кривые продолжают нарастать по квадратической параболе. Вместе с этим необходимо отметить хорошее совпадение экспериментальных и расчетных данных в диапазоне от 100 до 275 В.

Известно, что серии электрических машин проектируются с привлечением математического аппарата теории подобия. Поэтому полученные результаты анализа точности математической модели трехфазного асинхронного двигателя могут быть обобщены в пределах одной серии асинхронных двигателей с применением критериев подобия.

Проведенный анализ показывает, что введенные выше допущения о ненасыщенной магнитной системе и отсутствии потерь на гистерезис и вихревые токи не позволяют обеспечить высокую точность расчетов. Поэтому возникает необходимость разработки более точных математических моделей, учитывающих насыщение магнитопровода, гистерезис и вихревые токи.

Выводы

1. Сравнительный анализ кривых переходных процессов трехфазного асинхронного двигателя свидетельствует, что отклонения кривых фазного тока находятся в пределах от 7 до 16 %, отклонения частоты вращения ротора не превышают 10 %. В установившемся режиме отклонения кривых мгновенной потребляемой мощности не превышают 8 %, а кривые частоты вращения полностью совпадают.

2. Результаты сравнительного анализа рабочих характеристик показывают, что максимальные относительные погрешности по коэффициенту полезного действия и току статора составляют, соответственно, 20,83 и 15,96 %. Максимальные относительные погрешности по коэффициенту мощности и потребляемой активной мощности не превышают 6 и 11 % соответственно. Максимальная относительная погрешность по частоте вращения составляет 1,175 %, а по моменту на валу не превышает 0,35 %.

3. Экспериментально установлено, что насыщение магнитопровода начинает сказываться при больших токовых нагрузках, вследствие чего момент на валу изменяется незначительно. Влияние данного фактора в математической модели и при расчетах не учитывалось.

4. Проведенный анализ показывает, что введенные допущения о ненасыщенной магнитной системе и отсутствии потерь в стали не позволяют получить высокую точность расчетов. Поэтому данные допущения нельзя считать корректными. В связи с этим возникает необходимость разработки

более точных математических моделей, учитывающих насыщение магнитопровода и потери в стали.

Summary

The mathematical model of the three-phase asynchronous motor in phase axes is considered. Saturation of magnetic system and loss in a steel are not considered. The analysis of accuracy of this model is carried out by means of computer modelling and an experimental research. It is shown that traditional assumptions about absence of saturation of magnetic system and losses in a steel do not allow to provide a split-hair accuracy.

Key words: the three-phase asynchronous motor, mathematical model, computer simulation, an experimental research.

Литература

1. Уайт Д., Вудсон Г. Электромеханическое преобразование энергии. М.-Л.: Энергия, 1964. 528 с.

2. Иванов-Смоленский А.В. Электрические машины. М.: Энергия, 1980.

928 с.

3. Копылов И.П. Математическое моделирование электрических машин. М.: Высшая школа, 2001. 327 с.

4. Макаров В.Г. Моделирование и исследование электроприводов. Ч.1. Разомкнутые системы электропривода. Казань: Казан. гос. технол. ун-т, 2005. 260 с.

5. Андриенко В.М., Клингер К. Исследование параметров управляемых асинхронных двигателей/В.М. Андриенко, К. Клингер //Электричество. 2006. № 8. С. 41-48.

6. Справочник по алгоритмам и программам на языке Бейсик для персональных ЭВМ / В.П. Дьяконов. М.: Наука, 1987. 240 с.

7. Кузнецов В.А. Решение задач электромеханики на ЭВМ. М.: МЭИ, 1997. 42 с.

8. Афанасьев А.Ю. Моделирование электроприводов на ПЭВМ в системе Turbo Pascal 5.5. Казань: Казан. гос. техн. ун-т, 1999. 60 с.

Поступила в редакцию 28 января 2010 г.

Макаров Валерий Геннадьевич - канд. техн. наук, доцент, заведующий кафедрой «Электропривод и электротехника» (ЭЭ) Казанского государственного технологического университета (КГТУ). Тел.: 8 (843) 23l-4l-27. E-mail: electroprivod@list.ru.