Nurbs-аппроксимация экспериментальных кривых упрочнения с линейной асимптотикой

2. Никереев В.М. Расчет безмоментной пологой оболочки на постоянную вертикальную нагрузку // Строительная механика и расчет сооружений, 1959, № 6, С. 1-9.

3. Головлев В. Д. Расчет процессов листовой штамповки. М.: Машиностроение, 1974. 136 с.

Ремнев Кирилл Сергеевич, канд. техн. наук, доц., mpf-tula@rambler.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет

LOSS OF STABILITY PANELS K.S. Remnev

Theoretical studies of loss of stability in terms of rectangular convex curvature panels and spherical panels. It is shown that a significant effect on the carrying capacity of flat panels turn out to are the boundary conditions and the shape of the surface of the panel.

Key words: stability, deflection, panel, covering parts, stress, strain.

Remnev Kirill Sergeevich, candidate of technical sciences, docent, mpf-tula@rambler. ru, Russia, Tula, Tula State University

УДК 621.784.4: [517.551: 004.92

NURBS-АППРОКСИМАЦИЯ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ КРИВЫХ УПРОЧНЕНИЯ С ЛИНЕЙНОЙ АСИМПТОТИКОЙ

П.Г. Морев, Т.В. Фёдоров

Предлагается эффективная аппроксимация экспериментальных кривых упрочнения с линейной асимптотикой на бесконечности, основанная на дробнорациональных B-сплайнах (NURBS-функциях). Ограничиваясь лишь тремя опорными точками и кривизной, задаваемыми в сумме шестью параметрами, можно, тем не менее, получать хорошие приближения для широкого спектра экспериментальных кривых. Приводятся все необходимые формулы как для аппроксимирующеё функции, так и для её производной.

Ключевые слова: упругопластический материал, кривая упрочнения, аппроксимация, параметрическая кривая, дробно-рациональный сплайн.

Кривая упрочнения является важнейшей характеристикой упругопластического материала. Как правило, она определяется экспериментально, а для наиболее распространённых материалов существуют справочные пособия [1]. Их объём непрерывно растёт, поскольку появляются всё новые конструкционные материалы и схемы сложного нагружения в технологических процессах [2-10]. Вместе с тем “пользователем” этих справоч-

ных данных всё чаще становится не инженер, а компьютер. В этой связи встают две проблемы: компактного хранения большого объёма информации по кривым упрочнения, изначально представленной в графическом виде, а также придание этой информации формы, удобной для математических операций.

Решение следует искать в удачной аппроксимации как можно более широкого класса кривых упрочнения с помощью некоторой зависящей от небольшого числа параметров функции. Существующие простейшие аппроксимации, перечисленные в [11], годятся далеко не во всех случаях, поэтому большинство коммерческих программ, нацеленных на упругопластические задачи, предусматривают поточечный ввод кривых упрочнения с кусочно-линейной или иной аппроксимацией. Но этот способ не самый экономный. В настоящее время известны случаи аппроксимации на основе NURBS (nonuniform rational B-spline) функций, обычно используемых в машинной графике для представления кривых линий и искривлённых поверхностей [12], которая с очень хорошей точностью воспроизводит монотонные кривые упрочнения при варьировании всего лишь шестью параметрами. В настоящей статье дано обобщение этого метода на кривые с линейной асимптотикой на бесконечности. Актуальность данной задачи вытекает из следующих соображений. В некоторых задачах максимальная пластическая деформация заранее неизвестна. Особенно это касается новых технологий, в которых она может достигать очень больших значений. Поэтому при расчётах на ЭВМ можно “вылететь” за пределы кривой упрочнения, если та вводилась в память ЭВМ по точкам. В этом случае придётся привлечь интерполяцию за пределами первоначальной области определения, что может привести к серьёзным погрешностям. Отсюда и вытекает необходимость поиска хорошей аппроксимации при неограниченном росте пластической деформации.

Предлагаемое нами решение основано на том экспериментальном факте, что большинство кривых упрочнения обладают линейной асимптотикой, чаще всего горизонтальной, вида s = ae + b , где коэффициенты a и b легко определить по экспериментальной кривой упрочнения s = H

(рис.1). По этой же кривой определяются начальный предел текучести S0 и характерная деформация e1. Мы не ограничиваемся какими-то специальными мерами деформации и напряжения и предлагаем метод, работающий при любом их выборе.

Построение аппроксимирующей функции начнём с того, что сделаем замену переменных

~ = e /

При этом экспериментальная кривая s = H (e) перейдет в кривую s~ = H (~e) , которую будем называть приведённой кривой упрочнения (рис. 2).

Рис. 1. Экспериментальная кривая упрочнения

Рис. 2. Приведенная кривая упрочнения

На плоскости (е,0) приведённая кривая точно впишется в единичный квадрат [0,1] х [0,1], причём будет иметь горизонтальную касательную в точке (1,1). Данное обстоятельство позволяет прибегнуть к КиЯББ аппроксимации, как это сделано в [12]. Полюса кривой д = H(е) имеют очень простой вид: р0(0,0), р1(е1,1), р2(1,1), где неизвестен лишь один параметр е - абсцисса точки пресечения касательных, проведённых из концов кривой о = И (е). Но он легко находится из уравнения

И '

В свою очередь, И '(0) несложно вычислить:

д, йИ йИ / йе И

йе йе / йе

и непосредственно из соотношений (1) получаем

И'(0) = И,(0)е1/ Ь .

Подставляя в (2), находим:

81 = Ь /(И '(0)£1) .

Итак, полюса аппроксимирующей функции известны, и мы можем её выписать:

е

^1812м(1 - и) + и2 ~( )= Ь[2ы(1 — и) + и2

о

(1 — и)' + /^2и (1 — и) + и (1 — и) + /^2и(1 — и) + и

Единственным неизвестным параметром здесь является кривизна /?!, которая отыскивается путём визуальной подгонки под известную функцию о = И (е). В результате эта функция (или, что то же самое, её график) оказывается представленной в параметрическом виде е =е(и), о = о(и), где

(0 < и < 1). Для приложений, однако, требуется явная зависимость о = И(е), и её легко найти по следующему рецепту. Сначала по заданному е находим е согласно (1); затем подставляем найденное е в первое из соотношений (3) и решаем квадратное уравнение относительно и (имеет смысл лишь его левый корень); найденное значение и подставляем во второе соотношение (3) и находим о; наконец, по второй из формул (1) находим о.

Приведём ещё формулу для производной И\е) от функции упрочнения - эта производная, в частности, входит в уравнение Прандтля-Рейса. Прежде всего, найдём связь между И (е) и И (ед) с помощью (1):

йИ _ йИ / йе йИ _ И'(е)(ае + Ь) — а(И(е) — о0) йе _ £1

И (~) =

поэтому

(Ш. / (е (е (ае + Ь)2 (е (є + 8і)2

Я'(е) = (е + еі) 2 [И'(е)(ае + Ь)-а(И(е)-Оо)],

Єі

откуда

И'(е) =

ИХг )е1

(е + Єі)2

При использовании КЦКББ-кривой возможно аналитическое определение ее производной. С учётом того, что для приведённой кривой упрочнения = И (е) имеем: ~~0 = 0, д = 1, ~~2 = 1, = 0, ~2 = 1, по форму-

лам для производной получаем:

И~/(~) = (Ну — 1)и 2 + (2^1 — 4)и + 2 (/?1 — 1)и + [1 — 401 ]и + 201

Вместе с первым из соотношений (3) это даёт параметрическое представление функции И' (е), а в совокупности с (4) - рецепт вычисления показателя упрочнения И (е) (переход от параметрического представления к явному описан выше).

Практическое применение полученных результатов авторы считают целесообразным привести в одной из своих ближайших работ.

Список литературы

1. Кроха В.А. Упрочнение металлов при холодной пластической деформации: Справочник. М.: Машиностроение, 1980. 157 с.

2. Радченко С.Ю. Создание градиентных структур на основе метода валковой штамповки / Голенков В.А., Радченко С.Ю., Дорофеев О.В., Дорохов Д.О. // Фундаментальные и прикладные проблемы техники и технологии. 2009. № 3. С. 42-46.

3. Радченко С.Ю. Формирование градиентных субмикро- и наноструктурных состояний комплексным локальным нагружением очага деформации / Голенков В.А., Радченко С.Ю., Дорохов Д.О. // Упрочняющие технологии и покрытия. 2009. № 3. С. 54-56.

4. Дорохов Д.О. Классификация процессов комплексного локального деформирования / Голенков В.А., Радченко С.Ю., Дорохов Д.О., Гряду-нов И.М. // Фундаментальные и прикладные проблемы техники и технологии. 2010. № 6. С. 85-89.

5. Грядунов И.М. Анализ видов упрочняющей обработки пластическим деформированием / Голенков В.А., Радченко С.Ю., Дорохов Д.О., Грядунов И.М. // Фундаментальные и прикладные проблемы техники и технологии. 2011. № 1. С. 59-62.

6. Грядунов И.М. К вопросу о повышении эксплуатационных характеристик полых осесимметричных деталей машин методами интенсивной пластической деформации/ Голенков В.А., Радченко С.Ю., Дорохов Д.О., Грядунов И.М. // Фундаментальные и прикладные проблемы техники и технологии. 2012. № 6. С. 71-77.

7. Пат. 2462327 РФ, МПК Б21Н1/22. Способ получения металлических втулок с градиентно-упрочнённой структурой / В. А. Голенков, С.Ю. Радченко, И.М. Грядунов (ЯИ). - №2010153917/02; Заявлено 27.12.2010; Опубл. 27.09.2012, Бюд. №27.

8. Радченко С.Ю. Новая технология упрочнения вкладышей подшипников скольжения [Текст] / С.Ю. Радченко, Д.О. Дорохов, И.М. Грядунов // Актуальные вопросы инновационного развития транспортного комплекса. Материалы 3-ей Международной научно-практической конференции, под общей редакцией д.т.н., проф. А.Н. Новикова (21 - 23 мая 2013 года, ФГБОУ ВПО «Госуниверситет - УНПК»). Орел: ФГБОУ ВПО «Гос-университет - УНПК», 2013. 320 с.

9. Яковлев С.С. Силовые режимы ротационной вытяжки цилиндрических деталей на специализированном оборудовании / Трегубое В.И., Яковлев С.П., Яковлев С.С. // Кузнечно-штамповочное производство. Обработка материалов давлением. 2005. № 1. С. 17.

10. Яковлев С.С. Подход к анализу операции отбортовки плоских заготовок с отверстием из анизотропных материалов. / Яковлев С.С., Суков М.В. // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2008. № 4. С. 56-61.

11. Джонсон У., Меллор П.Б. Теория пластичности для инженеров. пер. с англ. /Пер. А.Г. Овчинников. М.: Машиностроение, 1979. 567с.

12. Ли К. Основы САПР (САБ/САМ/САБ). Спб.: Питер, 2004. 560 с.

Морев Павел Геннадьевич, канд. ф-м. наук, раиЬгвЩтаИ ги, Россия, Орел, Государственный университет - учебно-научно-производственный комплекс,

Фёдоров Тимофей Васильевич, канд. техн. наук, доц.,

timofeyfedorov@rambler.ru, Россия, Орел, Государственный университет - учебнонаучно-производственный комплекс,

AN APPROXIMATION OF STRAIN-STRESS CURVES WITH LINEAR ASYMPTOTIC AT INFINITY, BASED ON NONUNIFORM RATIONAL B-SPLINE

P.G. Morrev, T. V. Fedorov

An effective nonuniform rational B-spline (NURBS) approximation for experimental stress-strain curves with linear asymptotic at infinity is proposed. That approximation is determined by only б parameters (3 poles and curve curvature), but, nevertheless, a good approximation for many elastoplastic materials is provided. The formulae for both approximation function and its derivative are deduced.

Key words: elastoplastic material, stress-strain curve, approximation, parametric curve, nonuniform rational spline.

Morev, Pavel Gennadievich, candidate of physical and mathematical Sciences, paulorel@mail. ru, Russia, Orel, FSBEIHVT «State University - ESPC»,

Fedorov Timofey Vasilyevich, candidate of technical Sciences, associate Professor, timofeyfedorov@rambler. ru, Russia, Orel, FSBEI HVT «State University - ESPC»,

УДК 621.983; 539.974

НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ

МАТЕРИАЛА ИЗДЕЛИЯ ПОЛУЧАЕМОГО В ПРОЦЕССЕ

РЕДУЦИРОВАНИЯ С РОМБОВИДНЫМ ВНУТРЕННЕМ

РИФЛЕНИЕМ

О.Н. Митин

В статье приведен анализ напряженно-деформированного состояния материала в стенки цилиндрической заготовки при ее редуцировании профильным пуансоном через гладкую коническую матрицу, для получения изделия с ромбовидным внутренним рифлением. Приведены результаты, характеризующие изменение гидростатического напряжения, интенсивности напряжений, деформаций и температур, возникающих изменение в стенке стакана в процессе его редуцирования.

Ключевые слова: редуцирование, пуансон, матрица, напряженно-

деформированное состояние материала, напряжение, деформация.

В специальных отраслях машиностроения существует ряд деталей, имеющих форму полого цилиндра, на внутренних поверхностях которых выполнены углубления в виде разнонаправленных наклонных канавок [1] или рифлей (рис. 1).