О графе Кэли одной подгруппы бернсайдовой группы B0(2, 5)

Следствие 2 означает, что свойство ВРП-функции задавать подстановку или n-ква-зигруппу зависит лишь от разрядных многочленов, а не от выбора разрядного множества B, относительно которого рассматривается такая функция. Это позволяет строить различные подстановки и ВРП n-квазигруппы, используя одни и те же разрядные многочлены, но разные разрядные множества.

ЛИТЕРАТУРА

1. Елизаров В. П. Конечные кольца. М.: Гелиос-АРВ, 2006.

2. Заец М. В. О классе вариационно-координатно полиномиальных функций над примар-ным кольцом вычетов // Прикладная дискретная математика. 2014. №3. С. 12-28.

3. Заец М. В., Никонов В. Г., Шишков А. Б. Класс функций с вариационно-координатной полиномиальностью над кольцом Z2m и его обобщение // Матем. вопросы криптографии. 2013. Т. 4. №3. С. 19-45.

4. Заец М. В. Классы полиномиальных и вариационно-координатно полиномиальных функций над кольцом Галуа // Прикладная дискретная математика. Приложение. 2013. №6. C. 13-15.

5. Lausch H. and Nobauer W. Algebra of polynomials. Amsterdam: North-Holl. Publ. Co, 1973.

6. Заец М. В. Построение подстановок с использованием вариационно-координатно полиномиальных функций над примарным кольцом вычетов // Матем. вопросы криптографии. 2015. Т. 6. №1. С. 5-32.

7. Нечаев А. А. Полиномиальные преобразования конечных коммутативных локальных колец главных идеалов // Матем. заметки. 1980. Т. 27. Вып. 6. C. 885-899.

8. Белоусов В. Д. n-Арные квазигруппы. Кишинев: Штиинца, 1972.

УДК 519.688 DOI 10.17223/2226308X/10/6

О ГРАФЕ КЭЛИ ОДНОЙ ПОДГРУППЫ БЕРНСАЙДОВОЙ ГРУППЫ B0(2, 5)1

А. А. Кузнецов, А. С. Кузнецова

Пусть Bo (2, 5) — максимальная конечная двупорожденная бернсайдова группа периода 5, порядок которой равен 534. Определим автоморфизм p, при котором каждый порождающий элемент отображается в другой порождающий. Пусть CBo(2,5)(p) — централизатор p в B0(2, 5). Известно, что |CBo(2,5)(p)| = 517. В работе вычислена функция роста данного централизатора для минимального порождающего множества. В результате получены диаметр и средний диаметр соответствующего графа Кэли Св0(2,5)(р).

Ключевые слова: функция роста группы, граф Кэли, группа Бернсайда.

Одним из важных инструментов для определения строения группы является изучение её роста относительно фиксированного порождающего множества. Пусть G = (X). Шаром Ks радиуса s группы G будем называть множество всех её элементов, которые могут быть представлены в виде групповых слов в алфавите X длиною, не превышающей s. Для каждого целого неотрицательного s можно определить функцию роста группы F(s), которая равна числу элементов группы G относительно X, представимых в виде несократимых групповых слов длиною s. Таким образом,

1 Работа поддержана РФФИ и Правительством Красноярского края (проект № 17-47-240318).

20

Прикладная дискретная математика. Приложение

Как правило, функцию роста конечной группы представляют в виде таблицы, в которую записывают ненулевые значения ^(в).

Отметим, что при вычислении функции роста группы мы параллельно выясняем характеристики соответствующего графа Кэли, например такие, как диаметр и средний диаметр [1]. Пусть ^ (з0) > 0, но ^ (з0 + 1) = 0, тогда во является диаметром

графа Кэли группы О в алфавите порождающих X, который будем обозначать Ох (С).

_ 1 «0

Соответственно средний диаметр Ох(С) равен —— ^ в  ^(в).

К сожалению, вычисление функции роста большой конечной группы является хотя и разрешимой, но весьма сложной проблемой. Это связано с тем, что в общем случае задача по определению минимального слова элемента группы, как показали С. Ивен и О. Голдрейх [2], является КР-трудной. Таким образом, в наихудшем случае количество элементарных операций, которые необходимо выполнить для решения указанной задачи, представляет собой экспоненциальную функцию от |Х |.

Отметим, что подобные задачи естественным образом возникают в теории кодирования и криптографии. Сюда можно отнести задачу эффективного восстановления вершин в графе, например в графе Хэмминга, который является графом Кэли. Многие вопросы в рамках этой задачи остаются открытыми [3].

Пусть В(2, 5) = (а^а2) —свободная двупорождённая бернсайдова группа периода 5. На сегодняшний день неизвестно, конечна или бесконечна данная группа. Далее, пусть В0(2, 5) = (а1,а2) —максимальная конечная группа, порядок которой равен 534 [4]. Если В(2, 5) конечна, то В0(2, 5) = В(2, 5).

Вычислить функцию роста В0(2,5) относительно минимального порождающего множества в настоящее время едва ли возможно, поскольку количество её элементов очень велико:

534 = 582076609134674072265625 и 5  1023.

Отметим, что на сегодняшний день при помощи компьютерных вычислений удалось получить функции роста фактор-групп группы В0(2, 5), порядок которых не превышает 517 [5].

Рассмотрим отображение ^ следующего вида:

12 а2 ^ аь

Нетрудно увидеть [6], что ^ является инволютивным автоморфизмом в группах В(2, 5) и В0(2, 5).

Пусть Св(2,5)(<^) и Св0(2,5)(<^) —централизаторы автоморфизма ^ в В(2, 5) и В0(2, 5) соответственно. Согласно теореме В. П. Шункова [7], если Сд(2,5)(^) окажется конечной группой, то группа В(2, 5) также будет конечна. Другими словами, если СВ(2,5)(^) = Св0(2,5)(<^), то В(2, 5) = В0(2, 5). По этой причине исследование функций роста Св0(2,5) представляет большой интерес. Далее для краткости вместо Св0(2,5) будем писать С.

В [6] исследовано строение группы С и получены следующие результаты:

2) ступени разрешимости и нильпотентности равны 3 и 6 соответственно;

3) 3 — минимальное число порождающих С.

Целью настоящей работы является исследование функции роста группы С относительно минимального порождающего множества X = |ж1,ж2,ж3|.

Результаты компьютерных вычислений

Вычисление функции роста группы C относительно X проведено по алгоритму из [5]. Для эффективного умножения элементов были задействованы полиномы Холла [8]. Алгоритм реализован на языке С+—+. В качестве инструмента распараллеливания использована библиотека OpenMP. Вычисления проводились на компьютере, имеющем 8-ядерный процессор и 64 Гб оперативной памяти под ОС Linux. Трансляция программы осуществлялась встроенным в систему компилятором gcc. Время вычисления функции роста составило примерно З6 ч.

Функция роста группы содержит в себе информацию о характеристиках соответствующего графа Кэли:

Следствие. Dx(C) = 33, Dx(C) « 26,1.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кузнецов А. А., Кузнецова А. С. Параллельный алгоритм для исследования графов Кэли групп подстановок jj Вестник СибГАУ. 2014. №1. C. 34-39.

2. Even S. and Goldreich O. The Minimum Length Generator Sequence is NP-Hard // J. Algorithms. 1981. No. 2. P. 311-313.

3. Константинова Е. В. Комбинаторные задачи на графах Кэли. Новосибирск: НГУ, 2010. 110с.

4. Havas G., Wall G., and Wamsley J. The two generator restricted Burnside group of exponent five jj Bull. Austral. Math. Soc. 1974. No. 10. P. 459-470.

5. Кузнецов А. А. Об одном алгоритме вычисления функций роста в конечных двупорождён-ных группах периода пять jj Прикладная дискретная математика. 2016. №3. C. 116-125.

6. Кузнецов А. А., Филиппов К. А. Об одном автоморфизме порядка 2 бернсайдовой группы Bo(2, Б) jj Владикавказский математический журнал. 2010. №4. C. 44-48.

7. Шунков В. П. О периодических группах с почти регулярной инволюцией // Алгебра и логика. 1972. №4. C. 470-494.

8. Кузнецов А. А., Кузнецова А. С. Быстрое умножение элементов в конечных двупорождён-ных группах периода пять jj Прикладная дискретная математика. 2013. № 1. C. 110-116.

УДК 519.151, 519.725, 519.165 DOI 10.17223/2226308X/10/7

ОБ ОДНОРОДНЫХ МАТРОИДАХ И БЛОК-СХЕМАХ

Н. В. Медведев, С. С. Титов

Работа посвящена вопросам, связанным с разграничением доступа посредством идеальных совершенных схем разделения секрета и матроидов. Рассматриваются однородные матроиды, т. е. такие, все циклы которых имеют одинаковую мощность, при этом, возможно, не все подмножества этой мощности являются циклами. Установлена их связь с блок-схемами, в том числе с семейством троек Штейне-ра, а именно доказано, что матроид, у которого когиперплоскости — тройки Штей-нера, является однородным связным и разделяющим, если его мощность не меньше семи. Доказано, что блок-схема, в которой каждая пара различных элементов появляется в единственном блоке, задаёт когиперплоскости однородного связного разделяющего матроида. Выдвинуты гипотезы для дальнейшего исследования.

Ключевые слова: схемы разделения секрета, однородные матроиды, блок-схемы, циклы.

Разграничение доступа на основе схем разделения секрета (СРС) состоит в том, чтобы заранее заданные (разрешённые) коалиции участников могли однозначно вос-