Компьютерное моделирование эффектов старения в неравновесном критическом поведении структурно неупорядоченной модели Изинга

ФИЗИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2013. № 2. С. 87-91.

УДК 539.2

В.В. Прудников, П.В. Прудников, Е.А. Поспелов

КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭФФЕКТОВ СТАРЕНИЯ В НЕРАВНОВЕСНОМ КРИТИЧЕСКОМ ПОВЕДЕНИИ СТРУКТУРНО НЕУПОРЯДОЧЕННОЙ МОДЕЛИ ИЗИНГА

Представлено численное исследование методом Монте-Карло особенностей неравновесного критического поведения в трёхмерной как однородной, так и неупорядоченной модели Изинга. На основе анализа двухвременной зависимости автокорреляционных функций и динамической восприимчивости для систем со спиновыми концентрациями р = 1 и 0,6 были выявлены эффекты старения, характеризующиеся замедлением релаксации системы с ростом времени ожидания, и нарушение флук-туационно-диссипативной теоремы.

Ключевые слова: метод Монте-Карло, неравновесное критическое поведение, неупорядоченная модель Изинга, эффекты старения.

Исследование систем, характеризующихся медленной динамикой, вызывает значительный интерес как с теоретической, так и экспериментальной точек зрения. Это обусловлено предсказываемыми и наблюдаемыми в них свойствами старения при медленной эволюции систем из неравновесного начального состояния и нарушениями флуктуационно-диссипативной теоремы [1]. Хорошо известными примерами подобных систем с медленной динамикой и эффектами старения являются такие комплексные неупорядоченные системы, как стекла: дипольные, металлические и спиновые [2]. Однако данные особенности неравновесного поведения, как показали различные аналитические и численные исследования, могут наблюдаться и в системах при фазовых переходах второго рода в критической точке или вблизи нее [3], так как критическая динамика этих систем характеризуется аномально большими временами релаксации.

Эффекты старения проявляются на неравновесном этапе эволюции системы. Они выражаются в существовании двухвременных зависимостей в поведении таких функций, как корреляционная функция и функция отклика от времени ожидания ^ и времени наблюдения 1 - 1те. Время ожидания характеризует время, прошедшее с момента приготовления образца до начала измерения его характеристик.

На временах 1 ^ << хге1, где хге1 - время релаксации системы, в нерав-

новесном критическом поведении системы проявляется влияние начальных состояний системы и эффектов старения, характеризующихся замедлением релаксационных процессов с увеличением «возраста» образца ^.

Ещё одним проявлением медленной динамики является нарушение флуктуационно-диссипативной теоремы (ФДТ) [3; 4], которая связывает функцию отклика системы на внешнее возмущение Щ^"^) и корреляционную функцию 0(1:,^):

ЩЪК)--------г?----------,

кТ

где Х(1,С) - флуктуационно-диссипативное отношение (ФДО). ФДТ утверждает, что в равновесном состоянии Х(1 > >> тге1) = 1. Предельное значе-

ние ФДО

© В.В. Прудников, П.В. Прудников, Е.А. Поспелов, 2013

X“ = ііш ііш X

может быть использовано в качестве универсальной характеристики неравновесного поведения систем с медленной динамикой.

Корреляционная функция и функция отклика в неравновесном состоянии имеют следующую скейлинговую зависимость:

C(t, tw )~(t - tw )a

K(t, tw )~(t - tw )a

f tЛ ^wy

^wj

Показатели a и 0 связаны с критическими индексами рассматриваемой системы соотношениями: a = (2 — n — z)/z , 6 =

= 6'— z _1(2 — n — z).

Функция отклика R(t, tw) спиновой системы на внешнее магнитное поле, приложенное к системе в момент времени tw, характеризуется выражением (t > tw):

R(t, tw) = V J d

dx S< S (x, t) >|

FJ Sh( x, t) |h=0

Однако линейная функция отклика, соответствующая данному определению, не может быть непосредственно измерена экспериментально или получена методами компьютерного моделирования. Более удобной величиной является интегральная характеристика - динамическая (обобщённая) восприимчивость

X(t, tw) = j dt'K(t, t').

При численном исследовании на основе функциональной зависимости

т К) = Гх ^^ = |С( ) X (С)аС

0,5 *^с

определяется ФДО.

В данной работе проведены исследования эффектов старения в неравновесном критическом поведении трёхмерной как однородной, так и структурно неупорядоченной модели Изинга. Гамильтониан модели задаётся выражением:

Н = -у £ ,

<1

где Я =±1, а суммирование проводится по ближайшим соседям. Динамика системы моделировалась методом Монте-Карло посредством реализации алгоритма Метропо-лиса. В отсутствии магнитного поля осуществлялось вычисление автокорреляционной функции 0(1, 1те):

C(t,tw ) =

I si<' )Si

где треугольные скобки означают статистическое усреднение по реализации начально-

го состояния, квадратные - по различным распределениям немагнитных примесей по узлам кубической решётки.

Для вычисления х(1, ^ в момент времени к гамильтониану добавлялось возмущение АН = -^ , характеризующее

/

влияние случайного внешнего магнитного поля Ь;. Оно задавалось бимодальным распределением ±Ь по узлам г кристаллической решетки со средним <Ь> = 0 [5]. На временах, превышающих время ожидания (1 > 1те), восприимчивость рассчитывалась по формуле:

X(t, tw ) =

1

. h2 pL

43

I hi

где черта означает статистическое усреднение по распределению случайного магнитного поля Ь; на решётке.

Исследование проводилось на кубической решётке спинов с линейным размером Ь = 128 со спиновой концентрацией р = 1 для однородной системы и с р = 0,6 для системы со случайно распределёнными по узлам замороженными точечными немагнитными дефектами структуры. Данная концентрация спинов р = 0,6 позволяет рассмотреть случай сильно неупорядоченной системы при р < рс » 0,69 - порога примесной перколяции.

При моделировании формировалось высокотемпературное (при Т >> Тс) начальное состояние системы с малым значением намагниченности М0 << 1, которое для исследуемого (при Т = Тс) критического режима являлось существенно неравновесным. Поведение системы исследовалось на временах до 10000 шагов Монте-Карло на спин (МОВ/в) для различных времён ожидания. Амплитуда случайного поля Ь была выбрана равной 0,01.

На рис. 1 приведены полученные графики временной зависимости автокорреляционной функции для различных времён ожидания С для исследованных систем. Для системы с р = 1 были использованы времена ожидания 1^ = 10, 25, 50, 75; для системы с р = 0,6 - = 50, 250, 500, 1000. Выбор

больших времён ожидания для сильно неупорядоченной системы обусловлен ее более медленной динамикой за счет влияния дефектов.

На графиках временной зависимости автокорреляционных функций (рис. 1, а, б) можно выделить два характерных участка

степенной зависимости С(?)~ Гс“ . На временах (1 - С) << С реализуется квазиравно-весный режим с са = у / XV, где у и V - критические индексы равновесной восприимчивости и корреляционной длины, z - динамический индекс, произведение индексов zv

Z

W

а

б

Рис. 1. Временная зависимость автокорреляционной функции для спиновых концентраций: а) р = 1 и б) р = 0,6 при различных временах ожидания I»

определяет температурную зависимость времени релаксации системы ты ~| Т - Тс |-2 . Для (1 - 1») >> 1» проявляется существенно неравновесный режим поведения системы. На временах (1 - 1») ~ возникает переходный режим с зависимостью корреляционных характеристик от времени ожидания. При этом, как показывают полученные значения показателей са для переходного режима (табл. 1), с увеличением времени ожидания 1 значения са уменьшаются, а, следовательно, времена корреляции и релаксации системы растут. Это явление получило название эффекта старения [1-4]. Сопоставление значений са для систем с различной концентрацией спинов показывает, что эффекты старения усиливаются с ростом концентрации дефектов.

Таблица 1 Значение показателей еа для различных времён ожидания

Р = 1 (1 - 1»): [160; 1600] р = 0,6 (1 - 1»): [300; 1200]

10 1,057

25 0,930

50 0,819

75 0,758

Теоретико-полевое описание поведения корреляционной функции предсказывает её скейлинговую двухвременную зависимость в виде [4]:

сЦ, с)~ с

Для её проверки была построена зависимость ^ = 3) ?мТ''1+п)/2С(?, ) от 1/,», пока-

занная на рис. 2 (а, б). Демонстрируется «коллапс» полученных данных для различных 1» на одной универсальной кривой.

а

б

Рис. 2. Временная зависимость функции

а-2+п)/2с(?, ^ ) от Й»

различных времён ожидания для спиновых концентраций а) р = 1 и б) р = 0,6

Скейлинговая функция К0 на временах

1 >> 1» имеет зависимость Гс ~ (/с . На

этом участке показатель са связан с критическими индексами z и 0’ соотношением са = а/2-в', где показатель 0’ определяет

рост намагниченности М(?) ~ 1в в коротковременном режиме критической эволюции системы (С^- 0). Черта под данными на рис. 2, а, б демонстрирует участок, на котором выполняется скейлинговая зависимость для Ес. Используя экстраполяцию 1 ^ да, были вычислены значения показателя са для различных спиновых концентраций:

Са(р = 0,6) = = 0,87(9) и Са(р = 1) = 1,31(5). В случае «чистой» системы с р =1 значение показателя Са в пределах погрешности согласуется с вычисленным методом коротко-

временной динамики значением са = 1,36(2) в работе [5].

На основе вычисленных временных зависимостей для динамической восприимчивости х(1:, 1и) и автокорреляционной функции С(1:, 1и) можно определить флуктуацион-но-диссипативное отношение (2), выразив

1и) как функцию 0(1:^) и представив её в виде некоторой кривой. В качестве примера на рис. 3 изображена указанная зависимость для сильно неупорядоченной системы с = 250 МОВ/в. Из асимптотической кривизны этой кривой можно выделить значение:

Xж

* с^о ас

Получая X“ (X*) для различных времён ожидания и осуществляя экстраполяцию X“ (X* ^ ж) , определяется искомое предельное флуктуационно-диссипативное отношение X“ .

На рис. 3 пунктирной линией показана прямая, соответствующая термодинамически равновесному состоянию с выполнением ФДТ и X “ =1. График выявленной зависимости Тх(1, 1и) от С^^и,) для сильно неупорядоченной модели Изинга наглядно демонстрирует нарушение ФДТ. Аналогичные зависимости и ФДО вычислялись для времён ожидания = 250, 500 и 1000 МОВ/в в случае сильно неупорядоченной системы, и для = 10, 25 и 50 МОВ/в в случае бездефектной системы. В таблице 2 приведены значения X “ (X* ) для различных 1и.

Рис. 3. Зависимость Тх(Ь, Ьш) от О^Дш) для системы с р = 0,6, Ь» = 250 МОБ/б

Таблица 2

Значение ФДО X “ для систем с р = 1 и 0,6

X ” , р = 1 X 8 р 1 1 0, 6

10 0,521

25 0,456

50 0,411

—— го 0,394

На рис. 4 приведены зависимости

X “ (1/ X* ) и их экстраполяция для ^ да.

о.з-0.20.1 -

0.0-|-,-,-,-,--,-,-,--,-,--,-,--,-,--,-,--,-,

0.0000 0.0005 0.0010 0.0015 0.0020 0.0025 0.0030 0.0035 0.0040

1Л».

б

Рис. 4. Получение ФДО путём экстраполяции и ^ м для систем с а) р = 1 и б) р = 0,6

В данной работе проведено численное исследование неравновесного критического поведения трёхмерной модели Изинга. На основе анализа двухвременного поведения автокорреляционной функции показано, что в критической точке как в однородной, так в сильно неупорядоченной модели Изинга проявляются эффекты старения, а именно: с увеличением времени ожидания релаксация системы замедляется. Выявлено, что процессс релаксации в сильно неупорядоченной системе происходит заметно медленнее, чем в «чистой» системе при отсутствии в ней дефектов.

Путём анализа зависимости обобщённой восприимчивости от автокорреляционной функции доказано нарушение ФДТ в неравновесном критическом поведении исследованных систем и найдены характеристические значения предельного флуктуктуацион-но-диссипативного отношения X“= 0,39

и X“= 0,43(2) для систем со спиновыми концентрациями р = 1 и 0,6 соответственно. Из полученных данных следует, что с рос-

том концентрации дефектов увеличивается флуктуационно-диссипативное отношение. Отметим, что полученное значение ФДО для структурно неупорядоченной модели Изинга в пределах статистических погрешностей находится в хорошем согласии с результатами ренормгруппового расчета с X“ = 0,416 , проведенного в работе [4].

Данные исследования были проведены с привлечением вычислительных ресурсов СКИФ МГУ «Чебышев».

Результаты работы были представлены на IX Сибирском семинаре по сверхпроводимости и физике наноструктур ОКНО -2012.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Vincent E., Hammann J., Ocio M., Bouchaud J.P., Cugliandolo L.F. Slow dynamics and aging in spin glasses // Lect. Notes Phys. 1997. V. 492. P. 184-219.

[2] Bouchaud J.P., Cugliandolo L.F., Kurchan J., M'ezard M. // In Spin Glasses and Random Fields, Directions in Condensed Matter Physics. 1998. V. 12.

[3] Calabrese P., Gambassi A. Ageing properties of critical systems // J. Phys. A. 2005. V. 38. P. R133.

[4] Calabrese P., Gambassi A. Aging and fluctuation-dissipation ratio for the diluted Ising Model // Phys. Rev. B. 2002. V. 66. P. 212407.

[5] Jaster A, Mainville J., Schulke L., Zheng B. Short-time critical dynamics of the 3-dimensional Ising model // J. Phys. A. 1999. V. 32. P. 1395.