Оценка вероятности захвата в резонанс при движении динамически несимметричного твeрдого тела в атмосфере

УДК 629.136 В. В. Любимов

ОЦЕНКА ВЕРОЯТНОСТИ ЗАХВАТА В РЕЗОНАНС ПРИ ДВИЖЕНИИ ДИНАМИЧЕСКИ НЕСИММЕТРИЧНОГО ТВЁРДОГО ТЕЛА В АТМОСФЕРЕ

Производится оценка вероятности захвата в длительный резонансный режим при движении в атмосфере твёрдого тела с аэродинамической и инерционной асимметриями. Полученные выражения позволяют найти величины асимметрий в двух противоположных случаях: при реализации гарантированного захвата в резонанс и при вероятности захвата равной нулю.

При движении твёрдого тела с малой асимметрией в атмосфере возможна реализация длительных резонансов. При этом, наблюдается совпадение характерных частот системы и происходит увеличение угла атаки до 90° и более. На практике такие условия полёта космического аппарата являются недопустимыми, так как они приводят к сбоям в работе парашютной системы. Поэтому необходимо оценивать вероятность захвата в резонанс. Известно, что начальные условия движения, приводящие к захвату в резонанс и к проходу через резонанс, в общем случае, перемешаны на сепаратрисе [1], то в подобных случаях возникает необходимость подсчёта вероятности захвата в резонанс. Оценка вероятности захвата в резонанс для различных конфигураций динамически симметричных твёрдых тел (ТТ) производилась в работах [2, 3].

В данной работе рассматривается задача о вычислении вероятности захвата в резонанс при движении динамически несимметричного ТТ на атмосферном участке.

Квазилинейная система уравнений движения динамически несимметричного ТТ в этом случае имеет следующий вид:

А 2 2

а—х тА—2 2а

—-— = є-----=Г1------8ІП

аґ I

X

а а тАші2 а . , тА ша а ш

— = +є—-—-— 2шх - ші,2] 8Іп

аґ 2ша 2ша 2ш2а аґ

ав тА тАші 2 г ,

— = Шх -Ші, 2 ± є-----8Іп

аґ 2аша 2ша

где шх — угловая скорость тела относительно продольной оси; а — пространственный угол атаки; в = (рп - п, фп — аэродинамический угол крена; ш = ^1тс/БЬ; q — скоростной напор; 5 и Ь — характерные площадь и размер тела; тА, тл, в\, в2 — обобщённые параметры асимметрии;

тА = ^{тА)2 + [т^А)2; тА = ^(Іуг)2 + (АІ)2; тА

т=

ф

гу о'

ту0 (і - і а2) + ту2а

ф2 У 2

—— ’ тА = —

тгі ; т2 =

тф0(і - 2 а2) +

; 008202 = - тА; 8Іп202 = - ттА; —а = \/т —X + Ш2; —і,2 = 1-х—х ±Ша -частоты «прямой» и «об-

ф2

+тг2а2

фффф

ратной» прецессий; шх -ші>2 — резонансная расстройка частот; ту0, т^0, ту2, т^2, тгі — известные коэффициенты разложения аэродинамических характеристик в степенной ряд по углу атаки (первые четыре коэффициента определяют аэродинамическую асимметрию формы тела); I = і(Іу + Іг); АІ =і(Іг-Іу); АІ = А-; 1уг = ; 1х = у — инерционная (динамическая) асимметрия;

Іу, Іг — осевые моменты инерции относительно поперечных главных осей инерции.

Величину угловой скорости шх при главном резонансе нетрудно получить из уравнения (3), приравнивая к нулю резонансную расстройку шх - ші>2 = 0:

ш

і _ Іх

Для описания движения в резонансной области уравнения (1)-(3) приводятся к «маятниковой» форме. С этой целью вводится замена переменных Шх ^ р = —= = — (шх - — і,2) и изменяется

масштаб времени т = \/Гєґ. В результате этих замен получаем

й о 2

— = /лБ

й т

йР = ДР

йт

й 0 2

— = р + лФ1

йт

где л = V*, о = (а, ^ *р = Ш ж (И = 0), Б = {йТ, й?} • Функции Б, р, Б также периодичны

по фазе 0 с периодом 2я.

Уравнения движения (5)-(7) при л = 0 можно представить в виде

й20

—2 = а

й12

?2 а2

где а (о) = ^ й?, с (о) = - дЦА-—=1!?— ^ Уравнение (8) описывает движение маятника с постоянным крутящим моментом а (о).

Под вероятностью захвата будем понимать так называемую вероятность по начальным условиям [1]. Определение вероятности захвата в резонанс по начальным условиям движения основывается на использовании величины полной механической энергии, отсчитываемой от се-ператрисы Н. Данное определение предусматривает ряд вводных замечаний. В пространстве переменных (0, р, о) выделяется точка, для которой Н = Н(00, Р0, о0) > 0 (00, р0, о0 — начальные значения переменных). Пусть Я — её малая 5-окрестность. В Я выделим подмножество ДЯ точек, которые захватываются в колебательную область.

Определение. Вероятностью по начальным условиям называется вероятность захвата точки М в колебательную область, которая

Шв8

Рг

8^0л^0 Шв8

где тв8(Я) — объём в пространстве (0, р, о).

Определение вероятности по начальным условиям (9) является формальным. По данному определению нельзя, например, вычислить вероятность захвата в резонанс для конкретных уравнений задачи движения ТТ в атмосфере.

Для оценки вероятности захвата по начальным условиям при движении ТТ в атмосфере могут быть использованы следующие выражения [1]:

Рг =

£(

- ж' Лг

2п\а\ + 2 Рг = 1, если

- ж' Лг

Рг = 0,

если

Г( аЙЇ 1 Г

если ф----------\аг< 2п |а| + -ф

11 аг) 2 7

с

-~0їі]аг 35 2п \а\ + ^ Ф I —от I

с

У (-*) *

£ (-от] аг ^ о,

аг

ай\ J —-— а г; аг І

где интегралы берутся по сепаратрисе С; — полная производная энергии «невозмущённого»

маятника (8), вычисленная в силу возмущённых уравнений (5)-(7). Величины, стоящие в числителе и знаменателе первого из выражений (10), имеют тот же смысл, что и соответствующие им члены в соотношении (9).

Предположим, что постоянный крутящий момент в «невозмущённом» уравнении маятника (8) является малым: а (о) = О (л). Так как производная интеграла энергий по времени также

мала dH = O(^), то вероятность захвата, согласно первому выражению (10), имеет в этом случае порядок единицы. Таким образом, используя данное допущение можно оценить критические значения параметров асимметрии, при которых вероятность захвата равна единице.

Пусть на фазовом портрете системы в = в(в) имеется кроме области вращения ещё и колебательная (резонансная) область. Ограничимся рассмотрением случая, когда на периоде колебаний п располагается одна устойчивая точка типа «центр». Фазовый портрет системы разделяется на области сепаратрисой. По аналогии с работой [1] будем считать, что фазовая траектория пересекает сепаратрису с ненулевым углом, а доля начальных значений, при которых фазовая траектория «сливается» с сепаратрисой, асимптотически мала.

Первым интегралом уравнения маятника (8) является интеграл энергий:

Р2 _

H =^2 + П

где П — аналог потенциальной энергии системы (5)-(7) при л = 0:

П = -JAPdв = 2c(a)cos20 = ^c(a)(2cos2в - 1), в = в + 02-

Вид функции потенциальной энергии определяет фазовый портрет системы (5)-(7) при л = 0. Данный фазовый портрет содержит на интервале [0, п] два типа особых точек: соответствующих минимуму (центр) и максимуму (седло) потенциальной энергии системы, удовлетворяющих условиям:

дП — * д2П — * д2П - *

дв0о, 1,2) = °, "дв^^ > °’ дв2 h2) < 0-

—* —*

где в° и в12 — особые точки типа центра и седла.

Полученное выражение для потенциальной энергии позволяет вычислить её величину на сепаратрисе. При в*1 и в*2 равным 0 или п потенциальная энергия на сепаратрисе П*(а, в*1>2) = |.

Найдём полную механическую энергию системы (5)-(7) при л = 0, отсчитываемую от неустой-

чивого положения равновесия при условии малости крутящего момента а(ст):

2 2 HI= + П

Условие равенства нулю функции (13) позволяет найти уравнение сепаратрисы рс = Рс(в). При H = 0 имеем: - c sin2 в = 0. Отсюда находим:

р± = +V/2c sin в-

Здесь р+ и р- — верхняя и нижняя части сепаратрисы.

Для вычисления интеграла j> djj dt найдём производную полной механической энергии

ddl. Продифференцируем функцию HH в силу возмущенных уравнений (5)-(7). Полная производная энергии H1 с учётом (6) и (7) будет равна

d H1 d c 2 — — — c —

—— = цар + ц— sin в + /dcdsin2вsin

d т d т 2

Здесь c = 2шАы2а2 = mAw d = mAw(1-1x)1/2 dc = 3c da + 3^ dv

Здес = 1x(2-1 x) ’ = (2-1 x)(1-lx)1/2 , = a(2-lx) , dт = да dт ды dт •

Интеграл £ (-dH2dt вь,чиеляется no участкам сепаратрис /, и /2, псжаза,™^ „а риеунке.

При вычислении интеграла j> djj dt реализуется замена переменных:

d 0

d т = +------------=,

V/2c sin в

где знак «+» и «-» соответствуют интегрированию по участкам 11 и I2, соответственно.

При интегрировании по участку сепаратрисы /1 нижний и верхний пределы интегрирования соответственно равны 0 и я. В итоге получим:

/

- d^dt = Il

рп _ _

где Il(a) = -|na, І2(а) = ^ sinбdб, Із(а) =

2c 0

p,рад/с 2

1

0

-1

-2

-3

Gl^

0

+ I 2cos б sin^ + б1+ б2)dб±

iVce Г77 sin 2V2 J0 si

sin4J d б.

0 30 60 90 120 150 0, град

Фазовый портрет при a(a) > 0

V2cJ 0 2V2 J° sin в

Из выражения (15) следует, что интегралы I2 и 1з, так же, как и I1, берутся в элементарных функциях.

Аналогичным образом находим значение данного интеграла на границе областей G2 и G3. Нижний и верхний пределы интегрирования в этом случае соответственно равны п и 0. В результате выряжение для интеграла £ (-f2dt приобретает еледующий вид:

/

dH\

- ~dj\dt = І4(а) +15(а) +16 (а),

где /4(0-) = -^(ст), /5(0) = /2(0), /в(о) = /з(о).

Учитывая (16) и (17), значение интеграла £ (-^, вычисленного по всей сепаратрисе, примет вид

/

- "dyjdt = 212 + 2І3.

Рассмотрим движение маятника с положительным малым крутящим моментом а (а). По соотношениям (10) оценим вероятность захвата в резонанс для этого случая. Случай отрицательных а(а) рассматривается аналогично.

Пусть крутящий момент а(а) >0, тогда фаза в на нерезонансных участках движения возрастает. Фазовый портрет в этом случае (с учётом того, что а (а) = О(^) = 0 принимает вид показанный на рисунке.

Вероятность перехода траектории из области вращения 02 в колебательную область 03 (вероятность захвата) в этом случае будет равна

Pr(G2 — G3) =

2І2 + 2І3 цп a +12 +13

При а (о) > 0 кроме перехода О2 ^ О3 возможен также переход О2 прохода ищется аналогичным образом. Она равна

Pr(G2 - G1) =

ina -12 - Із ina +12 +13

G1 (проход). Вероятность

Окончательно, при малых углах атаки а и положительном постоянным крутящем моменте а(о) > 0 для вычисления вероятности захвата (10) получаем соотношения

п 2І2 + 2І3

Pr =-------------------,

na +12 + Із

Pr = 1,

Pr = 0,

если I2 +13 < n | a |;

если I2 +13 & n |a|; если 2I2 + 2I3 ^ 0,

I2 + I3 = + і7771-Ix—ш2 VmA mA cos(6 _б„) , 4a dt'/m

где І2 + 13

' VTx(2-Ix)3

^- б2) + (1 -

Iy

a=

2-Ix

dt

I2 +13 выражено через углы: sin2б2 = , cos262 = -

—*

x

ІІЗ

Проанализируем соотношение для определения вероятности (21), полученное для малых углов атаки. Вероятность захвата в этом случае, как и для динамически симметричного ТТ, максимальна тогда, когда производная минимальна. Из выражения (21) также следует, что величина вероятности захвата при ео8(01 -02) ~ -1 увеличивается с ростом параметров асимметрии \[тДД, тА. При малых углах а влияние второго слагаемого в выражении /2 + /з на величину вероятности захвата Рг не существенно по сравнению с влиянием первого члена, поэтому при анализе (21) в этом случае можно ограничиться рассмотрением лишь первого слагаемого. Из соотношения (21) также следует, что максимум вероятности захвата по параметру 01 - 02 наблюдается, в частности, при 01 -02 = я в случае малых начальных значений продольной угловой скорости шх(0) = О(ц) > 0 и малых углов атаки. При асимметрии вида 01 - 02 = Я или 01 - 02 = 3Я первое слагаемое в /2 + /з равно нулю и вероятность захвата определяется величиной второго. В этом случае вероятность захвата, вычисляемая по (21), будет расти с увеличением угла атаки а и обобщённого параметра асимметрии VтД.

Остановимся подробнее на двух противоположных случаях: случае прохода через резонанс (Рг = 0) и случае гарантированного захвата в резонанс (Рг=1).

Величину асимметрии, при которой вероятность захвата равна нулю, также можно найти из необходимого условия существования внутренне устойчивого резонанса Р(о, 0) =0. В результате получаем уравнение для определения предельных значений тА, при которых появляется сепаратриса (см. рис.):

1а| 2-1, (1 - 7,13'2 |§2

-^3^7 = 1-

Ь 2-31

X

Для оценки величины параметра асимметрии тД необходимо учесть переменные а, ш, вы-

численные на сепаратрисе в виде [2]:

а = а0

I2 ,,2 '1/4

їх шх0

к4ш2 + IX ш2х

х шх0>

22 — ^- 1 й

ш = "х0

Индекс «0» у переменных обозначает их начальные значения. При оценке критических значений параметров асимметрии предлагается учитывать также максимальную величину амплитуды угла атаки а, вычисленную при проходе через резонанс Датах, которая определяет максимальное отклонение амплитуды относительно её нерезонансного значения.

В итоге величина параметра асимметрии тД при вероятности захвата, равной нулю, определяется следующим образом:

д 2 — 31х атахш

тД = —-----_х3/2 т,ах .

Здесь атах = а + Датах, где а вычисляется согласно (23).

Если Рг = 1, то происходит гарантированный захват в резонанс и тогда согласно (21) с учётом приближённого равенства шх ~ ш, получаем условие гарантированного захвата:

2яу 1 - 1х

2- їх

й ш

йґ

2я\] 1 - їх 2 4аййш\[тД

^ +——-ш V тД т ео8(в1 - в2) +

їх(2 - їх)3/2 \/ї^2 - їх

, 2

1 —

3/2

В условии (25) а, ш, вычисляются по (23).

В случае, если влияние параметра тА сое(01 - 02) существенно больше влияния, которое оказывает изменение скоростного напора д на величину , то условие (25) принимает вид

2 „ їх (2 (й ш 'І2

гок2(в—в)э —----------I — I .

тД [тА] со82

ш

2

х0

йґ

Итак, вероятность попадания траектории в резонансную область определяется величиной параметра VтДтАеов(в1 -в2), что следует из (21).

х

Таким образом, для движения динамически несимметричного твердого тела в атмосфере получена оценка вероятности захвата в резонанс и определены параметры асимметрии, приводящие к гарантированному захвата и захвату с нулевой вероятностью.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Нейштадт, А. И. Прохождение через сепаратрису в резонансной задаче с медленно изменяющимся параметром [Текст] / А. И. Нейштадт // Прикладная математика и механика. — 1975. — Т. 39, № 4. — С. 621-633.

2. Бобылев, А. В. Оценка условий захвата в режим резонансного вращения неуправляемого тела при спуске в атмосферу [Текст] / А. В. Бобылев, В. А. Ярошевский // Космические исследования. — 1999. —Т. 37, № 5.—С. 515523

3. Белоконов, В. М. Оценка вероятности захвата в резонансный режим движения космического аппарата при спуске в атмосферу [Текст] / В. М. Белоконов, М. Ю. Заболотнов // Космические исследования. — 2002. — Т. 40, № 5. —С. 1-12.

Самарский государственный аэрокосмический университет им. ак. С. П. Королева, г. Самара vlubimov@mail.ги

Поступила 13.02.2006