Анализ методов математического моделирования строгальных машин

УДК 675. 055.18

Анализ методов математического моделирования строгальных машин

В. В. Рашкин, аспирант каф. «Бытовая техника»

Д. В. Бурлин, аспирант каф. «Бытовая техника», e-mail: sokali@yandex.ru ФГОУ ВПО «Российский государственный университет туризма и сервиса», Москва

Рассмотрены методы математического моделирования технологического процесса строгания кожевенных материалов, наиболее эффективные для расчета и проектирования рабочих органов строгальных машин; представлены методики расчета, которые можно использовать как сопутствующие и вспомогательные для предварительной обработки данных в задачах прогнозирования показателей качества продукции.

The authors review the most efficient methods for analysis and design of working bodies in the planing machines--for mathematical modeling of the planing process for leather materials. The study introduces supplementary calculation methodology for preprocessing of data in forecasting products' quality indicators.

Ключевые слова: метод моделированиия рабочего процесса, расчетная модель, экспоненциальное сглаживание, предварительное прогнозирование.

Keywords: workflow modeling, design model, exponential smoothing, preliminary calculation.

Цель работы: представить методы объективного анализа рабочего процесса для обоснованного выбора расчетной модели строгальных машин, а также дать сравнительную характеристику различных моделей рабочего процесса, что позволяет оценить возможность их использования при проведении теоретических исследований с целью достижения эффективной стабилизации параметров рабочего процесса в процессе эксплуатации машин и гарантированного обеспечения необходимого качества обработки кожи.

Введение

Точность и достоверность получаемых результатов при реализации различных математических моделей существенно различаются между собой, что сказывается на условиях проектирования рабочих органов машин. На этой стадии жизненного цикла машин нужно исключить любую возможность появления таких неустранимых дефектов кожи, как «лестница» или разнотолщинность кожевенного полуфабриката по его площади, которые возникают в результате действия ножевых валов и винтообразных ножей в оборудовании мездрильных и строгальных машин. Поэтому, чтобы определить уровень качества обработки полуфабриката, возникает необходимость в предварительном прогнозировании условий нагружения рабочих органов.

Ввиду сложности самих производственнотехнологических процессов представляется целесообразным вначале провести оценочные расчеты, которые могут использоваться при составлении окончательной модели. Уже известные алгоритмы [2,3] вполне успешно можно использовать как со-

путствующие и вспомогательные для предобработки данных в задачах прогнозирования. Например, для прогнозирования показателей качества продукции после механической обработки в большинстве случаев необходимо проводить декомпозицию временных рядов (т.е. выделять отдельно нерегулярную и регулярные составляющие) [6]. Одним из методов выделения трендовых составляющих является использование экспоненциального сглаживания. Представим сравнительную оценку различных методов моделирования рабочего процесса.

Методы Хольта и Брауна

В развитие ранее существующих методов прогнозирования ученый Хольт предложил усовершенствованный метод (впоследствии названный его именем), в котором значения уровня и всплеска сглаживаются с помощью экспоненциального сглаживания [1,2,3]. Причем параметры сглаживания у них различны, хотя часто результаты являются соизмеримыми между собой. Например, для системы уравнений

Ц = аУ( + (1 - а)(Ц-1 - Т-1),

=в(ц-ц-1) + (1 -в)Т-1,

4 р =Ц + РТ.

первое уравнение описывает сглаженный ряд общего уровня, второе служит для оценки всплеска, а третье уравнение определяет прогноз на р отсчетов по времени вперед.

Постоянные сглаживания в методе Хольта идеологически играют ту же роль, что и постоянная в простом экспоненциальном сглаживании. Подбираются они, например, путем перебора зна-

Анализ методов математического моделирования строгальных машин

чений по этим параметрам с некоторым задаваемым шагом. Для этих целей можно также использовать и алгоритмы с меньшим количеством вычислений. Главное - подобрать такую пару параметров, которая дает большую точность модели на тестовом наборе, и затем использовать эту пару параметров при реальном прогнозировании.

Частным случаем метода Хольта является метод Брауна, когда а=р.

Метод Винтерса

Широко применяется для технических расчетов также и более сложный алгоритм, позволяющий прийти к уточненным результатам, который является расширением метода Хольта до трехпараметрического экспоненциального сглаживания. Хотя метод Хольта (метод двухпараметрического экспоненциального сглаживания) и не является совсем простым (относительно «наивных» моделей и моделей, основанных на усреднении), он не позволяет учитывать «сезонные» колебания при прогнозировании. Говоря более корректно, этот метод не может их «видеть» в предыстории, т.е. учитывать результаты, полученные в предварительных экспериментах. Также неучтенными остаются и ранее полученные статистические данные, которые, безусловно, содержат важную информацию, тогда как в методе Винтерса делается попытка учесть сезонные составляющие в данных. Система уравнений, описывающих этот метод, выглядит следующим образом:

Ц =а1Г- +(1 - а)(Ц-1 - Т -Д

^-5

Т =в(ц-ц-1) + (1 -в)Т-1,

<

^=уЦ+(1 ~у) ^-^,

р = (Ц + РТг )^(-5+р.

Дробь, имеющая место в первом уравнении, служит для исключения «сезонности» из Г(0, т.е. каких-то частных результатов, получаемых, например, при обработке новых партий товара. После исключения «сезонности» алгоритм работает с «чистыми» данными, в которых нет колебаний. Появляются они уже в самом финальном прогнозе, когда «чистый» прогноз, посчитанный почти по методу Хольта, умножается на «сезонный» коэффициент. Таким образом повышается объективность оценки, но сам по себе метод является относительно грубым.

Регрессионные методы прогнозирования

Достаточно долгое время для прогнозирования используют регрессионные алгоритмы, основанные на экспоненциальном сглаживании. Для срав-

нительного анализа, который предполагается при оценке работы строгальной машины, коротко суть алгоритмов такого класса можно описать так.

Пусть существует прогнозируемая переменная У (зависимая переменная) и заранее отобранный для анализа комплект переменных, от которых она зависит - Х1, Х2, ..., ХЫ (независимые переменные). Природа независимых переменных может быть различной. Например, если предположить, что У - уровень параметра данной машины в текущее время, то независимыми переменными могут быть параметры в прошлом и позапрошлом тесте, т. е. затраты на восстановление, уровень биения, волнистость и многое другое. Главное - уметь формализовать все внешние факторы, от которых может зависеть качество, в числовой форме.

Модель множественной регрессии в общем случае описывается следующим выражением:

У = ^ (Х1, X 2,..., Хы ) + е.

В более простом варианте линейной регрессионной модели рассматриваемая связь между зависимой переменной от независимых имеет вид

У = Ро + в1Х1 + в2Х 2 + ... + вЫХЫ + S, где Р0,РХ,Р2,...,РЫ - подбираемые коэффициенты регрессии; s - компонента ошибки.

Предполагается, что все ошибки независимы между собой и подчиняются закону нормального распределения. При других вариантах рассматриваемая модель значительно усложняется и должна оцениваться другими способами, однако практика показывает, что для большинства параметров строгальной машины справедлив именно нормальный закон распределения.

На начальном этапе построения регрессионных моделей исследователю необходимо иметь базу данных наблюдений, осуществляемых на достаточном временном интервале, примерно такого вида, как показано в таблице:

С помощью значений, приведенных в таблице, по результатам прошлых наблюдений (или экспериментов) можно подобрать (например, методом наименьших квадратов) коэффициенты регрессии, настроив тем самым расчетную модель на работу по достаточно большой выборке данных, что положительно сказывается на достоверности получаемых результатов. Это и является целью проведения подобных расчетов, которые предполагают использование расчетных данных при проектировании и эксплуатации строгальных машин.

При работе с регрессией на первом этапе и последующих операциях требуется соблюдать определенную осторожность в проводимых действиях и обязательно проверить на адекватность реальным условиям найденные модели. Существуют разные способы такой проверки, которые будут

Таблица. Связи между зависимыми и независимыми

переменными

№ Переменные

Независимые Зависимая

Х1 Х2 ХМ У

1 х 11 х 12 х 1М У 1

2 х 21 х 22 х 2М У 2

т х М1 х М2 х ММ У т

рассмотрены в дальнейших публикациях. Обязательным при этом является статистический анализ остатков (тест Дарбина - Уотсона). Причем, полезно, как и в случае работы с нейронными сетями, иметь независимый набор примеров, на которых можно проверить качество работы модели.

Методы Бокса-Дженкинса

В середине 90-х годов прошлого века был разработан принципиально новый и достаточно мощный класс алгоритмов для прогнозирования временных рядов. Большую часть работы по исследованию методологии и проверке моделей была проведена двумя статистиками, Г.Е.П. Боксом и Г.М. Дженкинсом. С тех пор методы построения подобных моделей и получение на их основе прогнозов иногда называются методами Бокса - Дженкинса. В это семейство входит несколько алгоритмов, самым известным и используемым из которых является алгоритм АЫМА. Он встроен практически в любой специализированный пакет для прогнозирования. В классическом варианте АММА не используются независимые переменные. Модели опираются только на информацию, содержащуюся в предыстории прогнозируемых рядов, что ограничивает возможности алгоритма. В настоящее время в научной литературе часто упоминаются варианты моделей АММА, позволяющие учитывать независимые переменные. В отличие от рассмотренных ранее методик прогнозирования временных рядов, в методологии АММА не предполагается какой-либо четкой модели для прогнозирования данной временной серии. Задается лишь общий класс моделей, описывающих временной ряд и позволяющих как-то выражать текущее значение переменной через ее предыдущие значения. Затем алгоритм, подстраивая внутренние параметры, сам выбирает наиболее подходящую модель прогнозирования. Как уже отмечалось выше, существует целая иерархия моделей Бокса - Дженкинса. Логически ее можно определить так:

AR(p) + МА^) ^ АИМА(p, q) ^

^ АИМА(p, q)(P, Q) ^

^ АММА(p,q,г)(Р,Q,R) ^... .

Наибольшее распространение среди этих моделей получили авторегрессионная модель и модель со скользящим средним.

Авторегрессионая модель ЛЯ(р) порядка р в общем виде может быть записана следующим образом: У(0=/_0+/_1 * У(М)+/_2* У^-2)+...

...+/_p*Y(t-p)+E(f), где Y(t) - зависимая переменная в момент времени V, /_0, /_1, /_2, ...; /_р - оцениваемые параметры; E(t) - ошибка, зависящая от переменных, которые не учитываются в данной модели.

Задача исследователя заключается в том, чтобы определить/_0,/_1,/_2, ...,/_р. Их можно оценить различными способами. Правильнее всего искать их через систему уравнений Юла-Уолкера, для составления которой потребуется расчет значений автокорреляционной функции. Можно поступить более простым способом - посчитать их методом наименьших квадратов.

Модель со скользящим средним ЫЛ(ф порядка q имеет вид

У(0=т+е(0-^’_1*е^-1)-^’_2*е(-2) -...

...- w _р*е^-р), где Y(f) - зависимая переменная в момент времени ^ w_1, w_2, ..., w_p - оцениваемые параметры.

На основании представленного анализа получена методика, которая адекватна исследуемой системе и может быть положена в основу модели не только управления операцией строгания натуральных кож, но и совершенствования строгального оборудования.

ЛИТЕРАТУРА

1. Иванов В. А. Балагуров И. А. Влияние конструкции опорных узлов ножевых валов строгальных машин на качество строгания // Научн. тр. МТИЛП. Химия и технология производств кожи и меха. 1987. С.131 - 132.

2. Иванов В. А. Карамышкин В. В. Исследование динамических характеристик многороторных машин // Мат. республиканской научн.-практ. конф. «Совершенствование механизма в свете решений 26-го съезда КПСС». Алма-Ата. 1981. С. 408 - 410.

3. Афанасьев В. В., Шуметов В. Г., Дьяченко С. А. Нейросе-тевые модели в управлении производительностью оборудования для обработки натуральных кож // Мат. всерос. научн.-метод. конф. «Актуальные проблемы планирования и прогнозирования». Орел: ОГУ. 2003.

4. Мерненко Н. В. Состояние и проблемы развития легкой промышленности в России // Межвузовский сборник «Наука и образование. Новые технологии». «Экономика и технологии». М.: МГУДТ. 2004. №1.

5. Афанасьев В. В. Иванов В. А. Управление качеством с применением нейросетевых технологий обработки на строгальных машинах // Межвузовский сборник «Наука и образование. Новые технологии». «Экономика и технологии». М.: МГУДТ. 2004. № 1.

6. Афанасьев В. В., Волков А. Н., Иванов В. А. Исследование приоритетов факторов строгания кож экспертноаналитическими методами // Научн. тр. VIII Междунар. научн.-практ. конф. «Наука - сервису». М.: МГУС. 2004.

Поступила 12.03.2010 г.