О тождествах пространств линейных преобразований над бесконечным полем

УДК 512.554.33

А.В. Кислицин

О тождествах пространств линейных преобразований над бесконечным полем

A.V. Kislitsin

On Identities of Spaces of Linear Transformations over Infinite Field

В данной работе построен пример линейной алгебры Л, обладающей конечным базисом тождеств (как алгебры), которая является бесконечно базируемой, если ее рассматривать как векторное пространство. Векторное Л

сумму двух векторных пространств, каждое из которых имеет конечный базис тождеств.

Ключевые слова: тождество, слабое тождество, базис тождеств, конечно базируемая алгебра, бесконечно базируемая алгебра.

The author constructs the example of linear algebra A that have finite identity basis. If A is considered as vector space, it is infinitively based algebra.

The space A is a direct sum of two vector subspaces each of which has the finite basis of identities.

Key words: identity, weak identity, identity basis, finitely based algebra, infinitely based algebra.

В 1976 г. С. В. Полин [1] для любого конечного поля Р построил пример конечной неассоциативной линейной Р-алгебры, удовлетворяющей тождеству х(уг) = 0, не имеющей конечного базиса тождеств. Этот результат показывает, что теорема Львова-Крузе о конечной базируемое™ тождеств конечного ассоциативного кольца не выполняется для произвольного (неассоциативного) кольца (линейной алгебры над конечным полем). В 1977 г. Ю.Н. Мальцевым и В. А. Парфеновым был приведен пример неассоциативной пятимерной алгебры над полем нулевой характеристики, с указанием ее бесконечного неприводимого базиса тождеств [2]. Позже, в 1978 г. И. В. Львовым был построен пример шестимерной неассоциативной бесконечно базируемой алгебры V = V  Е, где V - конечномерное векторное пространство; Е С ЕпdFV; Р - некоторое поле [3]. Он также установил связь между базисами тождеств пространства Е и алгебры V. В 1989 г. И.М. Исаев доказал, что многообразие, порожденное неассоциативной пятимерной алгеброй V = V  Е (здесь V = (щ,,щ)р - векторное пространство, Е= (ец,е12,е22)р С EndрV, Р - конечное поле), удовлетворяющей тождеству х(уг) = О, является существенно бесконечно базируемым

Р

Р

базиса тождеств.

Введем основные определения, используемые в работе. Пусть F - некоторое поле; R - F-адгебра; R - алгебра R, рассматриваемая как векторное пространство над полем F; F[X] - свободная ассоциативная алгебра от множества образующих X; G С F[X] - некоторое непустое подмножество. Многочлен f(xi,x2,...,xn) G F[X] называется тождеством алгебры R, если f(^,^,...,an)=0 при всех ai,a-2,... ,an G R. Пусть далее £ = iai,a2 } _ множество операций,

производных от операций алгебры R, R ф 0 -R

раций S (например, S = {+, [ ], -А} - множество операций алгебры Ли; S = {+, о, -А} - операции йордановой алгебры). Скажем, что полином f(xi,x2,...,xn) G F[X] - слабое тождество пары (R, R), если f обращается в нуль в ал-R

щ, x, • • •, xn любых элементов из алгебры R. В том случае, когда это не вызывает недоразуме-

f

является тождеством векторного пространства R, если f - сл^ое тождество пары (R,R). Пусть FX

X

идеал I < F[X]s называется слабым вербальным идеалом, если из того что f(xi,x2,... ,xk) G I следует, ЧТО ) G I при всех

У1,У2,...,Ук € Р[Х]е. Будем говорить, что

слабое тождество д(хх,х2,хй) пары (К, К) является следствием слабых тождеств /* =

/*( гх, г2,..., г = 1,2,..., если д ле-

жит в слабом вербальном идеале, содержащем

/,/,..., /г-

Через Т(О) обозначим Т-идеал алгебры порожденный множеством О, а через Ь(О) - идеал Р[Х], который порожден множе-

О

только линейными заменами переменных. Скажем, что множество полиномов О С Р[Х] называется базисом тождеств алгебры К (пространства Щ, если все тождества К (соответственно К) следуют из конечной совокупности ОК которой конечной совокупности тождеств этой К

руемой (или короче, КБ-алгеброй). В против-

К

ма или бесконечно базируема (коротко: НКБ-алгебра). Аналогичную терминологию будем применять к векторным пространствам.

В связи с рассмотрением некоторыми авторами слабых тождеств (например, в [6]) особый интерес представляет поиск базисов тождеств алгебр, рассматриваемых как векторные пространства, поскольку тождества таких структур в некотором смысле ’’самые слабые” (так как новых производных операций в этом случае не возникает). Оказывается, если в конструкции линейной алгебры ’’отказаться” от операции умножения (т. е. допускать в тождествах лишь линейные замены переменных) и рассматривать алгебру как векторное пространство над полем, то полученная структура может оказаться бесконечно базируемой, даже если она обладала конечным базисом тождеств, будучи алгеброй. В настоящей работе приведен пример конечно базируемой алгебры, являющейся бесконечно базируемым векторным пространством. Построенный пример является прямой суммой двух антиизо-морфных алгебр, каждая из которых, рассматриваемая как векторное пространство, имеет конечный базис тождеств.

Некоторые вспомогательные утверждения. Сформулируем и докажем две следующие леммы.

Лемма 1. Пусть К - некоторая Р-алгебра, К - алгебра К, рассматриваемая как векторное пространство над полем Р. Если О - ба-

КО

сом тождеств пространства К тогда и только тогда, когда Ь(О) = Т(О).

О

пространства К и д = 0 - некоторое тождество К. Тогда д = 0 следует из О как тождество пространства К, т.е. д € Ь(О). Но вместе с этим д = 0 - тождество К, и д = 0 следует из О, как тождество алгебры К, т.е. д € Т(О). Таким образом, Т(О) = Ь(О).

Пусть теперь Т(О) = Ь(О) и пусть д = 0 -

Кд ОК что д € Т(О) = ЦО), т.е. д € ЦО). Таким дО странства К, т. е. О - базис тождеств К.

Лемма доказана.

Р

К - Р-алгебра. Если для всех хх,х2,... ,х^ € К выполняется /(X) = /(хх,х2,... ,х^) = 0, где /(хьх2,... ,ха) € Р[хг,х2,...,ха} и Ае%Хк =

I, то в К справедливы тождества /*(X) = и(Х) = 0 для любого 1 < г < I.

ш(Х)=г

Доказательство. Пусть /(X) = /х(Х) + Ь(Х) +   + ЖХ), где (1е§х& /^Х)= з', 1 < з < I.

Сделаем замену хи ^ Ахи, А € Р. Получим /(Х)= А/1(Х) + Х2/2(Х) +  + А1 М Х).

Теперь сделаем замены А ^ А1, А ^ А2,.. .,А ^ Аг, где А* € Р, А* ф А.,- при г ф 3. Получим систему равенств, которая в матричной форме записывается следующим образом: АФ = 0, где

А А А{\ /Х

А = А .А.. А? иФ = ЫХ)

УА* А?.. А\) / Х))

Матрица А имеет определитель Вандермон-да: |А| = АгА2 ... А1 П (А* — А,) ф 0. Следова-

г>3

тельно, она обратима. Умножив обе части равенства АФ = 0 на А-1 слева, будем и меть ЕФ = ф = о, т.е. /х(Х) = ЬХ =  = ЖХ) = о.

Лемма доказана.

Замечание. Из леммы 2 следует, что если основное поле бесконечно, то все тождества некоторой алгебры над этим полем можно считать однородными.

Р

Л

Л

1а, Ь € Р

1а, Ь € Р

и Л = Л  Л ~ Р-мгебры; Лх, Л2 и Л - алЛ Л Л ваемые как векторные пространства над полем Р

ждеств указанных алгебр и пространств.

Основные результаты.

Теорема. Векторное пространство

A = Ai  A% над полем F является НКБ-пространством с базисом тождеств

[x[y,u\v, [x, y][u, v],

[x, y]zxz2 . .. zm [u, v]}.

A

зисом тождеств {x[y,u]v, [x,y][u,v]}. Рассмотрим многочлены

x, y z

x y, z x, y u, v x y, u v

[x, y]zlz2 . . . zm К v,^=l^^,...

Предложение 1. Полином (1) образует базис тождеств пространства А\.

Доказательство. Пусть Mi =

var([x,y]z = 0), A = varAi. Докажем, что

A С Mi.

Легко видеть, ЧТО ^2А = 0, и, если x,y Є Ai, то [x,y} = Аеі2, А є F. Таким образом, лю-A

т. е. A С Mi.

Докажем обратное включение.

П>аТЬ а-= 0(xl,x'2,...,xn) =

aixin xi-2 ... x^n = 0, где ai Є F - произ-A

переписать как

H^^H'x1,x2,...,xn) =

ЕЬ.-МЛ Mi) - вп(i) 0k(V _ n

Ui^Y k • • • ^n k — 7

к Є 0 Л,.. ., n}.

Из леммы 2 следует, что ф(Х) = 0 можно считать однородным. Тогда, поскольку (1) - то-AA

ношение

Ea,x7l „72 xYn xlk — А

nk^^ •¿'2 • • • ^ k • • • ^n k —

kE{l ,2,...,n}

Сделав подстановки xi ^ єц (i =

1,2, ... ,t — 1,^+1,..., n), xt ^ Єц + Є12 для не-

которого t Є {1,2,..., n}, получим atei2 = 0, откуда следует, что at = 0, т. е. все ak будут равны нулю. Таким образом, коэффициенты при всех одночленах ф(Х) равны нулю, т. е.

^(xi,x2, ...,xn) = О (mod T([x,y\z)).

Следовательно, М1 С А, и окончательно получаем А = М^ Это потачает, что {[.х,у]г} -

Л

шение [ху, г] = х[у, г] + [х, г]у и антисимметричность коммутатора, получим, что

Т({х,у]г) = L([x,y]z),

т. е. в силу леммы 1 тождество (1) образует базис тождеств векторного пространства Лх. Предложение доказано.

Аналогично доказывается утверждение для антиизоморфного случая. А именно, справедливо следующее

Предложение 2. Полином (2) образует базис тождеств пространства Л2.

Доказательство теоремы. Рассмотрим многообразия алгебр М = УА1(х[у,ь]ю = [х, у][и, V = 0) и А = уагЛ.

Непосредственной проверкой можно убедиться, что если х, у,и,ю € Л, то [х, у] = (А1е12,А2е21), АЬА2 € Р, и [х,у][и,ю] = 0, а так-Л х, у Л

из А удовлетворяет тождествам (3) и (4), т. е. А С М.

Докажем обратное включение.

Пусть ф(Х) = ф(х1,х2,... ,хп) =

Еагл аг--> &г= п т~\

а*х^ х^ ... х*в в = 0, где а* € Р - произвольное тождество А Из леммы 2 следует, что ф(Х) = 0 можно считать однородным. Поскольку Л = Л Ф Л2, то ф(Х) = 0 также является ЛЛ

дующие случаи в зависимости от количества и

фХ

Случай 1. п = 1.

В этом случае ф(Х) = ф(х1) = ах^ = 0, т. е. для всех х € Л выполняется соотношение

ах^1 = О,

из которого после подстановки щ ^ ец следует, а

Случай 2. п = 2, degХl ф{Х) = 71 > 1, ф(Х) = 72 > 1.

По модулю тождества (4): Ф(Х) =

ф(х1,х2) = аххх'2 хI1 Ьх2х\1 х~2 ех^ х'2 +

йх*2 х^1 = 0, т. е. для всех щ, х2 € Л выполняется

ах х1г х71 —1 I Ьх ,х^ х~12-1_|_

ех71 х72 I ,1х12 х71 _ п 2 2 ~^ с<(оС'2 ^ •

Далее, поскольку (3) является тождеством в Л, для всех х,у,и,ю € Л имеем хуию = хуюи + ухию — ухьи. Подставляя в это соотношение

„72 -1

71 -1

получим,

х ^ хх,у-используя (4):

х х72 хИ —1 _ хИ х72 I х72 хИ I х72 — хИ

х х х х х х х х х х .

Таким образом, можно считать, что для всех х ,х-2 € Л имеет место соотношение

bx ,x7l x72 —i і cx7l xl2 і dx72 x7l

b^^2^^^ ^^2 I Cx ^ I x^

x

Подставив x ^ ец + Є12, x2 = 0, т. e. d = 0. Таким образом

0.

е

Таким образом, можно предположить, что для всех хх,х2,... ,хп € Л выполняется:

En,,x~fk x7l x72 X, X, xYn xll — n aklxk x x2 . . . xk . . . xl ... xn xl — u.

k,lE{l ,2,...,n} kl

Далее, заменяя в (3) x ^ xr, y ^ xi,

v xY^ ^ xY^ ^x7l ^ s 1 xYn v _____^ x

' X ^ X 2 • • • x r • • • X ^ • • • X n } V ' X §

(r ф 1, s ф n), получим:

bx^xj1

ех х

Далее подставим х ^ ец + е21, х ^ ец ее е

Получаем, что

0.

bx2xj

.71 х72 — 1

x

2

0.

После подстановки х ^ еп, х ^ ец полу-Ье Ь

ІПг

n *i's

х XY\ xY2 xYr 1 xYn і

xrx x . . . xr . . . xn

r

x7l x72 xYs—l xYn x _ x7l x72 xYn

x x xs xn xs - x x xn

Таким образом, мы можем считать, что для х , х , , хп € Л

соотношение:

ГФ(Х1,Х2) = 0 (mod T(x[y,u]v, [x,y][u,v])).

Случай 3. n > 3, degx. Ф(Х) = Yi > 1-Применяя (4), можно утверждать, что для всех хг,х2,... ,xn е A выполняется

En,,xYk Х71 х72 Х, Х, xYn x!l

aklxk xl x2 . . . xk . . . xl . . . xn xl '

k,lE{l ,2,.. kl

E

bmxmx\ x2 . . . xm . . . xri xm

.

.71 1 ’

~Л2 ~7з ^ „Yn

x2 xo ...xt ...xn і

_7i „72 ^ln\

ax x . . . xn

E bkxkxj

7i ^72

xYk 1 xYn I

. xk . . . xn

k£{2 ,3,...,n}

E

c,x7l x72 xll— xYn x, _ n

clx^ x ... xi ... xn xl ----- w

т£{1 ^,...,п}

Поскольку для всех х,у,и,ю € Л справедливо соотношение хуию = хуюи + ухию — ухюи, то подставим х ^ хг, у ^ х

,2,...,п — 1}

Выполнив подстановку хг ^ ^ + ех2 для некоторого t € {1,2,...,п — 1} х* ^ ^ (г = 1,2,... ,1 — 1, £ +1,..., п), получим, что еге12 = 0, ег е?

1Н.1 нулю. Будем иметь:

V ^ х]г (пр и ^^1и^7^п)в предположении,

7г >

сматривать вторую сумму). Учитывая, что (4) -Л

„х71х72 x7n_i_

ax x . . . xn

Е

b, x, xYl xY2 x!k— xYn — A

bk xk x x . . . xk . . . xn .

k£{2 ,Ъ,...,и}

7i 72

xtx^ x ... Xt

xYt xY xY

xt x x .

Yt —1 tt

r7n і x^ x72 x7^ xYt _

bn T x x ... xn xt

XX ...xt ... xn .

Если же t = то, сделав замены x ^ xl5 y ^ ^2 5 u ^ x^ xl . . . xn, v ^ x{ , получим

xx

72

Лп x^ —1

nx

^1 x2

2 X1

tn

x

y

n-

. Будем иметь

x xY xY xln— xYn —

xnx x . . . xn xn

n

xYn„ ^7n^i , 71^.72

xn x x . . . xn x x

x2

x2

x7n xYn ^

. x„ x„

n-

Теперь подставим хг ^ ^ + е21 для некоторого £ € {2,3,..., п}, х* ^ еп {г ф- £). Получим: Ьг^^0иЬ^^^е. все Ьи будут равны нулю. Тогда имеет место следующее равенство:

„х71х72 х7п _ п

n

и после подстановки xi ^ i = 1, 2,..., n, получим, что aeu = 0 и a = 0. Таким образом,

Hx,^,...,x^ = 0

T x y, u v, x, y u, v .

Следовательно, M С й, и окончательно по-M A {x y, u v, x, y u, v }

A

}

7

...xnn +

x

n

n

xln-

n

Далее из соотношения [ху, г] = х[у,г\ +

[х, г]у и антисимметричности коммутатора следует, что

T([x,y][u,v],x[y,u]v, \х,у\г1,г-2,...,гт [и,ю\) = Ь([х, у\[и, ю\,х[у, и\ю, [х, у\гг,г2, ..., гт [и, V),

т = 1,2,...,

откуда по лемме 1 получим, что полиномы (3)-(5) образуют базис тождеств векторного пространства Л. Докажем теперь, что векторное пространство Л явля-

О?

{[х,у][и,ю],х[у,и]ю, [х,у\ггг2 .. . гт [и,ю\ 1т =

1Л ...,1}ш д?+1 = [х,у]г1г2...г1+1 [и,ю\. Предположим, что все тождества пространства Л следуют из некоторой конечной совокупности тождеств {/,/,..., /г}- Тогда / € Ь(Ок1), /2 € Ь(Ои2), ..., /г € Ц°кь). Пусть к = тах{кь к2,..., кг}. Тогда /, /2,..., /г € ЦОк) и, поскольку дк+1 = 0 - тождество А, то дк € Ц Ок

дк

Ок. Рассмотрим векторное пространство V = (а, Ьх, Ь2,..., Ьк+з)р, вложимое в алгебру V = (а, Ь\ ,Ь2,..., Ьк+3)р с определяющими соотношениями а2 = аЬч Ь^ ...Ьт а = ЬаЬ, = [Ь*, Ь,] = О, т < к Ок

Однако, выполнив подстановку х ^ а V ^ а, у ^ Ь1, и ^ Ь2; Ч ^ к+2, г = l,2,. . . ,к + 1, дк аЬ Ь . . . Ьк а дк Ок

Полученное противоречие показывает, что Л -НКБ-пространство.

Теорема доказана.

Некоторые следствия. В работе [3] рассматривался вопрос конечной базируемое™ тождеств алгебры V = V Ф Е (V - векторное пространство, Е С Епс1р V, Р - поле) из многообра-

зия уаг(х(уг) = 0). Ненулевые произведения алгебры V задаются правилом V + ех)(ю2 + е2) = Ые2 - результат действия преобразования е2 € Е на вектор щ € V). В частности, в [3] доказано, что некоторое множество ассоциатив-О {д , д , . . . }

Е

гда и только тогда, когда множество неассоциативных полиномов гО = {гдх, гд2,... } (расстановка скобок - правонормированная) образует базис тождеств алгебры V = V Ф Е. Из этого следует, что неассоциативная линейная алгебра

V = V Ф Е имеет конечный базис тождеств тогда и только тогда, когда векторное пространЕ

Положим V = (ю\,щ,щ,щ )р, Е =

<£11, е12, е3з, е4з)р = Л = Лх ФЛ2. Определим на

V умножение, при котором все ненулевые произведения базисных элементов задаются правилом ю*е, = VЛегко видеть, что определенная таким образом алгебра V = V Ф Л принадлежит многообразию уаг(х(уг) = 0).

Таким образом, из доказанной теоремы и работы [3] вытекает

Следствие. Неассоциативная алгебра V =

V Ф X где = (щ,щ,щ,щ)р и Л = А Ф А является НКБ-алгеброй с базисом тождеств

{х(уг), г[х, у][и, ю\, гх[у, и\ю,

г\х,у\ггг2 .. . ги [и,ю\ 1к = 1,2,... }

(расстановка скобок в словах, где это не указано, предполагается правонормированной).

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доценту ИМ. Исаеву за постановку задачи, помощь при написании работы и тщательное вычитывание текста, а также профессору Ю.Н. Мальцеву за ценные советы, замечания и постоянное внимание к работе.

Библиографический список

1. Полин С.В. О тождествах конечных алгебр // Сибирский математический журнал. -1976.-T.XVII, №6.

2. Мальцев Ю.Н., Парфенов В.А. Пример неассоциативной алгебры, не допускающей конечного базиса тождеств // Сибирский математический журнал. - 1977. - T. XVIII, №6.

3. Львов И.В. Конечномерные алгебры с бесконечными базисами тождеств // Сибирский математический журнал. - 1978. -T. XIX, Ж.

4. Исаев И.М. Существенно бесконечно базируемые многообразия алгебр // Сибирский математический журнал. - 1989. - Т. ЗО, .V'0.

5. Isaev I.M. Finite algebras with no independent basis of identities // Algebra Universalis. - 1997. - Vol. 37.

6. Размыслов Ю.П. О конечной базируемое™ тождеств матричной алгебры второго порядка над полем характеристики нуль // Алгебра и логика. - 1973. - Т. 12, Ш1.