Расчет напряжений около отверстий в двумерном случае

УДК 539.3

РАСЧЕТ НАПРЯЖЕНИЙ ОКОЛО ОТВЕРСТИЙ В ДВУМЕРНОМ СЛУЧАЕ

Миренков В.Е., доктор технических наук, профессор Институт горного дела им. Н.А. Чинакала СО РАН Шутов В.А., доктор технических наук, профессор

Новосибирский государственный университет архитектуры, дизайна и искусств

Аннотация. Расчет деформирования областей, имеющих угловые точки, любым численным методом приводит к ошибкам в окрестности границы. Предложен подход к решению задачи, связанный с выводом интегральных уравнений, обеспечивающий точность реализации при расчете напряженно-деформированного состояния в окрестности отверстия в виде выпуклого многоугольника. Метод основан на решении трех основных задач теории упругости для полуплоскости, единообразен для любой полигональной формы контура и сводит проблему к решению систем интегральных уравнений типа Фредгольма 2-го рода.

Ключевые слова: уравнения, моделирование, напряжения, смещения, решение, граница, угловые точки.

Далеко не все численные методы расчета сооружений могут служить достаточным основанием для суждений о поведении материала деталей конструкции с ослаблениями. Только описание конструкций, допускающее теоретический анализ, позволяет выявить качественно новые особенности деформирования, согласующиеся с натурными наблюдениями.

Проблема деформирования с учетом трибофатики на всевозможных контактах в неоднородностях пород, активизирующихся при ведении горных работ, что вызывает циклические подвижки окрестности выработки за счет случайного разрушения в каком-либо месте массива около ослабления, является первоочередной в механике горных пород. Такая ситуация аналогична испытанию образца на растяжение - первоначальный участок на диаграмме О устойчивый, но с появлением остаточных деформаций происходит переход на неустойчивый (колебательный) режим, приводящий к разделению образца на части.

Обратные задачи, в которых часть величин, определяемых в прямых, заранее задается, например равнопрочность контура отверстия, - главная возможность создания принципиально новых технологий с позиций механики горных пород. Формулировка их реализуема, если есть уравнения, описывающие процесс и допускающие строгий анализ его изменения.

Математическому моделированию напряженно-деформированного состояния около ослаблений посвящено много работ [1-3], основное

содержание которых демонстрировало скорее успехи математики, нежели удовлетворяло потребность в уточнении закономерностей деформирования сооружения. Совокупность предположений на процесс деформирования зачастую превосходит произвол, допускаемый упругой моделью, и приводит к их несовместности, что выражается в бесконечно больших напряжениях и образовании изломов (разрывность деформаций) на гладкой части границы [3].

Рассмотрим плоскость с отверстием в виде произвольного выпуклого п-угольника, по контуру которого заданы произвольные нормальные и касательные напряжения и (или) смещения. Продолжая каждую из сторон п-уголышка до бесконечности, выделим п полуплоскостей. На участке k-ой полуплоскости (k=l,2,...,n), совпадающей с k-ой стороной многоугольника, действуют заданные напряжения иук>хкук, а на остальных участках границы полуплоскости -возникшие в результате деформирования рассматриваемой плоскости искомые напряжения p^qí («±» относятся соответственно к положительным и отрицательным значениям абсциссы Хк локальной системы координат Хк, ук, связанной с серединой данной стороны длиной 2ак).

Допустим, что функции Рь известны. Тогда напряженное состояние стУк' т*Ук в k-ой полуплоскости определяется выражениями выписываемыми согласно [4]. Переходя последовательно от полуплоскости (к) к полуплоскости (к+1), будем получать цепочку соотношений

Рк =ах,к+1 sin2ai+i eos2 «fc+1 + T-ry,í:+l sin 2(*¿ +[ ;

9* =[°x.Ar + L - ay,¿+|]sin2«Ar+l + хА>-Д+1 c°s2ctA+l,

Pk+1 =<*x,k Si"2 r*A+] + Txy.k

q'k*\ =[oyk - + cüs2«a+] s

причем

, ± ± _0 0 -L

«дг,*+1 + ] > 1k + \» "x,k +1' Tjtv,Jt +1 ' 1 , +. J. O O 4

VxnMPk'lk'Cyk^xy,^, Pn +] - P\ > Qn+1 =?i .

Таким образом, выписывая последовательно решение для каждой полуплоскости и, вычисляя при этом напряженное состояние, после подстановки в (1), получим систему 4п интегральных уравнений, связывающую искомые Pk»Qk (k=l,2,...,п) и заданные граничные функции ,<ук. Знание p¿%Qk полностью решает задачу определения напряженно-деформированного состояния в плоскости с отверстием.

Не уменьшая общности, рассмотрим случай отверстия с контуром квадратного поперечного сечения (ак=1, к=1,2,3,4) в гидростатическом исходном поле напряжений нетронутого массива пород, т.е.

а,, =«о =const, тху =0

где "о - напряжение в точке нетронутого массива, совпадающее с центром будущей выработки.

В развернутом виде уравнения (1) могут быть записаны в виде

, 2(.у-1)'г[ и + \Г , (/-1): 1 р(х)-----—- +---—\pit ylt -

I

0 + 1)3 . (/-I)3

± г-li.iv-+

I 7 17

* * Г0 + 1Г +(х- 1Г Г

1 +(х~ 1) Г !) +(*- ») 1

=

о0 2 2а0

=—---у-г- ( 7 \

я л[4 + (л- 1) ]' ^

2{.*-1)жг Г + 1 /- 1

+ ——- Л -_т-7_-т-т - — ——- —- +

Г1№+1Г+(х- 1ГГ 1Г-К*- О ]

2(х-(/-И)2 (?-1)2

4а о

л(4 + (х - I)*]

[Г(*+1Г 1) ] К'- 1) 1) Г Система (3) по определению р(х) и ц(х) решает задачу нахождения напряженно-деформированною состояния во всех четырех полуплоскостях, выделенных около квадратного отверстия, и впервые допускает аналитическое исследование поведения напряжений при стремлении к угловым точкам контура [5,6].

Поскольку предполагается численная реализация системы интегральных уравнений (3), т.е. получение приближенного решения, то очень важно использовать всю информацию о характерных особенностях решения. Исследуем поведение напряжений аУ =р(*> и т =ч(х) для х >1, исходя из системы (3). Интегрирование этих уравнений по х от 1 до оо определяет

СО <>

=-

1 1

Переходя к пределу при х 1 и, оценивая интегралы, входящие в систему (3), получим

„Ю- |+ д0)+1-Р

Отсюда следует, что ограниченное решение системы (3) при х-» ] дает

/>

при условии, что

''тК

Выполнение (6) предполагает перемену знака ц(х) на луче х >1.

На рис. 1 приведены нормальные компоненты смещений контура отверстия, отвечающие представлению о бесконечных напряжениях в упругой задаче [1, 2]. Все известные решения с бесконечными напряжениями в угловых точках не учитывают того, что материал одной стороны отверстия не может проникнуть через материал соседней в окрестности углов, где необходимо учитывать контактное взаимодействие, т. е. решать дополнительно контактную задачу. Эта последняя является нелинейной, так как неизвестная граница контакта (задача Герца) ищется в процессе решения.

Рис.1. Эпюры нормальных смещений контура отверстия

Таким образом, в строгой постановке исходная задача нелинейная. Будем исходить из существования зоны контакта величиной Д, своего рода по-гранслой.

Проведенный анализ позволяет сделать следующие выводы:

- область контакта, обычно не учитываемая, достаточно малая и может рассматриваться как погранслой толщиной Д«1, обеспечивающий непрерывность напряжений всюду (необходимое условие для упругой задачи);

- решение системы (3) вне некоторой окрестности х=1, любым из известных методов дает достаточно хорошее приближение и может использоваться для оценки Д;

- качественное поведение р(х) и q(x) определяется дополнительно условиями (4)-{6);

- угловая точка х = 1 в процессе деформирования сместится в точку х=1-Д=Ь, т.е.

=»

К -ц

]\ т^г-^- ыл / ©

\

-:> -I в I : ; :

Рис.2

На рис.2 приведены поля напряжений °у и т для ол =10как решение системы (3). При разбиении области счета [1; 10] на конечное число участков, с серединами которых связаны значения рк постоянные в пределах участка к. Система интегральных уравнений сведена ,таким образом, к системе алгебраических.

Аппроксимируем поведение р(х) и с|(х) в пределах участка [Ь; 1] следующими функциями

Ь <х <1 гл.1- + - 1 <* <- Ь >

а,. =

* =<М , ,,

[(* + ¿0(1 + х), - 1 <л <- Ь К1

где А - подлежащая определению постоянная,

__ Ро + до р _/*о+«о+А „ _„т

«----—- Р--т-, Ро -МО,

Д д

а результаты, приведенные на рис.2, для у=0, х >1 —

</й =<?

X X

Как следует из (8), (9), данное представление зависит от параметров

РО*ЧО> у

подлежащих определению из четырех уравнений (5), (7) и (8).

Для реализации (7) воспользуемся уравнениями, связывающими граничные значения компонент напряжений и смещений, приведенными в [3], т.е.

> *

, . К — 1 С , К + 1 Г С -Г . , "( V ) =—-- П т х1х -+- —- Г | -сНсЬс

4ц 4лц I - х '

- -ж

- ОО

где К>Ц- упругие характеристики материала. Оценку параметров (10) из (11) лучше проводить, исходя из второго уравнения, учитывая только часть, даваемую касательными напряжениями на участке [Ь,1], ответственную за смещения (7). В этих предположениях получаем

(к- 1)(ЗЛ- 1) * Подставляя (8), (9) в (4), приходим к оценкам

6 аф . 16цД4

Ро ^—77 Зо0 > ЯО 4/»сто -

2 + ЗД

Условие (6) позволяет получить

для случая «« =ЮмПа, к =2 (рис.2) окончательно получаем оценки

Ро я=" Зоо» Яо й"4о0, х(х =Ь .

Сюда можно добавить, полагая и =1 о5 МПа, а *<о,023.

Выводы. Сформулирован метод определения ограниченного всюду решения для напряжений в окрестности отверстий, контур которых содержит угловые точки, в нелинейной постановке. Размер переходной области (погранслоя) зависит от модуля Юнга материала, увеличиваясь с уменьшением его. Поскольку решение построено для безразмерной геометрии ослабления со стороной, равной двум, то для реальной геометрии величина для пластичных материалов будет характеризовать величину выдавливания материала в отверстие. Все сказанное

остается в силе, если Ь-1+Л , т. е. искомое решение относить к недеформированному состоянию.

Библиографический список

1. Михлин С.Г. О напряжениях в породе над угольным пластом // Изв. АН СССР, ОТН. - 1942. - № 7-8. - С. 13-28.

2. Баренблатт Г.И., Христианович С.А. Об обрушении кровли при горных выработках // Изв. АН СССР, ОТН. - 1955. - № 11. - С. 73-86.

3. Курленя М.В., Миренков В.Е., Шутов В.А. Основы математического моделирования разрушения. - Новосибирск: Изд. СО РАН, 1998. - 168 с.

4. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. - М.: Наука, 1966. - 708 с.

5. Миренков В.Е. О некоторых задачах геомеханики. - ФТПРПИ, 2018. -№ 3. - С. 3-10.

6. Лурье С.А., Волков-Богородский Д.В. Тензор Грина и решение задачи Буссинеска в обобщенной теории упругости // Изв. РАН, МТТ. - 2018. -№ 4. - С. 100-114.

CALCULATION OF STRESS AREA ABOUT HOLES IN TWO-

DIMENSIONAL CASE

Mirenkov V.E., Doctor of Technical Sciences, Professor Institute of Mining of SB RAS, Novosibirsk Shutov V.A., Doctor of Technical Sciences, Professor Novosibirsk State University of Architecture, Design and Arts

Abstract. The calculation of the deformation of regions with angular points by any numerical method leads to errors in the vicinity of the boundary. An approach is proposed to solve the problem associated with the derivation of integral equations, which ensures the accuracy of the implementation of a swarm for calculating the stress-strain state in the vicinity of a hole in the form of a convex polygon. The method is based on solving three main problems of the theory of elasticity for a halfplane, is uniform for any polygonal contour shape and reduces the problem to solving systems of Fredholm type integral equations of the 2nd kind.

Keywords: equations, modeling, stresses, displacements, solution, boundary, corner points.