Спектральные коэффициенты операторов дифференцирования высокого порядка для ограниченных и неограниченных интервалов

УДК 517.956.227

Д.И. Попов, Р.М. Утемесов

Спектральные коэффициенты операторов дифференцирования высокого порядка

*

для ограниченных и неограниченных интервалов

D.I. Popov, R.M. Utemesov

Spectral Coefficient of High Order Differentiation Operators for Bounded and Unbounded Intervals

Обсуждается спектральный метод для аппроксимации операторов дифференцирования второго и четвертого порядка в случае бесконечного и конечного интервалов. Методом Галеркина получены спектральные коэффициенты в базисах, использующих полиномы Чебышева. Результаты имеют прикладное значение для разработки эффективных численных методов решения дифференциальных уравнений.

Ключевые слова: спектральная аппроксимация, метод Галеркина, полиномы Чебышева, пространства Соболева, дифференциальные операторы.

The spectral method of approximation of the second and the fourth order differential operators in finite and infinite intervals is concerned in the work. Spectral coefficients are produced by Galerkin method using Che-byshev polynomials base sets. The results are applied for the development of effective numerical solvers of differential equations.

Key words: spectral approximation, Galerkin method, Chebyshev polynomials, weighted Sobolev spaces, differential operators.

Введение. Обсуждается спектральный метод для решения одномерных граничных задач для уравнений второго и четвертого порядков в случае ограниченной и неограниченной областей. Обзор новых, систематических результатов по существованию и условиям сходимости разложений по ортогональным базисам для неограниченных областей можно найти, например, в работе [1]. Основная стратегия в этом случае заключается в отыскании глобально ортогонального базиса на R=

или отображении интервала I=(-1,1) на R или R+=(0, +то) (см.: [4-8]). В статье рассматривается алгебраическое преобразование координат 8^ ^1. Получены коэффициенты матриц операторов дифференцирования для однородных краевых условий в базисах, построенных с помощью полиномов Чебышева. Результаты использовались в реальных расчетах.

Преобразование координат. Рассмотрим алгебраическое отображение прямой R в интервал I

следующего вида:

У=8

,]Ь2 + х2 ф-У

Далее масштабный множитель Ь положим равным единице.

Конечность нормы элемента иеЬ2^) определяет следующее условие:

II 1|2 Г+да I 12 Г1 I I 2

№(-*,«)=Ь И ^=.1-1И =

*1 (2) =. 1И 2(1-у2)-3/2 ёу <+да.

Для существования интеграла (2) достаточно, чтобы

И ~(1-у )ф(у), где ц/(у) - ограниченная функция, суммируемая с весом а (у), здесь а (у)=(1-у2)-1/2.

II2 2

И ~1/(1+х )^(х), а <//(х)—сош( при х—±да. Конечность нормы

И\\1. Требуется выполнение условия

С1)

И 1<(/) =1-11 “I ’(1-у !>-1° ёу=

= .+” И 2

3 -да ’ '

= . \й\ 2(1+х2)-1 ёх <+да.

Л -да I I

Для существования интеграла (3) будет достаточным, чтобы выполнялось И 2/(1+х2)——0

* Работа выполнена при финансовой поддержке программы «Проведение научных исследований коллективами научнообразовательных центров в области механики» (2009-2013) (проект №2010-1.1-112-129-003).

при х—±да , т.е. И ~х0(1+1/х). Таким образом, с помощью гомеоморфизма g (х) установлено взаимно-однозначное соответствие пространств ьа да, где а (х)=(1+х2) 1 - весовая функция, и пространства Ью (I). Соответствующие системы, ортогональные с весом а(у) из Ьа (I), будут ортогональными в Ьа да с весом а (х). В качестве полной ортогональной системы в пространстве Ью (I), очевидно, следует выбрать полиномы Чебышева {Тк }”=0. В случае однородных краевых условий для аппроксимации пространства Ьа (I) следует использовать линейные оболочки функций {фк };=0, где фк =Тк -Тк + 2 [9].

Результаты спектральной аппроксимации операторов. Рассмотрим однородные предельные условия “(±1)=0 в ограниченном интервале I и соответствующее максимальное самосопряженное расширение оператора D2 в пространстве Ь (I). Для интерполяции пространства Ью (I) будут применяться линейные оболочки элементов {фк }=0 .

При алгебраическом отображении прямой R на

интервал I вида (1) действие оператора D2 запишется следующим образом:

I

^Фк =р\рфк ] =РРфк +Рф =

= 3 у (1-у2)2 ф[ +(1-у2)3 Фк = Д(2)фк + D22)Фk.

Используя соотношение

которое будет доказано позже, можно представить спектральные коэффициенты Dfk =фф ф )а через известные величины Лкк =(ф',фА )а,

СНк =(Ф Ф )а , ВНк =(Ф Ф )а [9]. Действительн0, первое слагаемое в уравнении (4) можно записать в виде

D1(2ф' =(3/2)у(1-у2 )[кф-, -(к+2)ф+1 ],

D1(2)ф=(3/4)(1-y 2)[кф-2 - 2ф - (к+2)ф+2)].

Полученную формулу целесообразно переписать в виде

D1(2)ф =(3/4)(1- у 2)[а£ф-2 +г1[)ф +вф+2 ], где а =к , у<к1 =-2, Да) =-(к+2).

Далее второе слагаемое аналогичным образом можно представить следующим образом:

D22)ф=(1/2)(1-у2)2[кф_х -(к+2)ф+,],

D22)ф=(1/4)(1-у 2)[ к[( к-1)ф-2-(к+1)ф] -- (к+2)[(к+1)ф- (к+3)ф+2]],

D2(2)ф=(1/4)(1-у 2)[ к (к-1)ф-2 -

-2(к+1)2ф+ (к+2)(к+3)ф+2].

D22)ф=(1/4)(1-у 2)[а^2)ф-2 +^4+^4+2, где а(2) =к(к-1), ^2) =-2(к+1)2, в2 =(к+2)(к+3).

Таким образом, элемент Ё2фк окончательно запишется в виде

D ф =(1/4)(1-у2 )[(3а<1) +а<2) )ф-2 +

+(3Г« +^2)Ж+ (3Д(1) +А(2))ф+2], п>2фк =(1/4)(1-у2)[акфк-2 +УФ +Рфк+2].

Нетрудно установить следующую формулу:

к + 2

В2ф =

/=к-4,

/+к-четн

2

Си п —аи

Гк

с,=п---------

Ск + 2 Рк

Гк

=Гк

Рк

Рк

22 Тогда коэффициенты спектральной матрицы Dhk =(Dф ф )а будут представлены следующей формулой:

= фф ф )а =(1/8) £ С,, (ф,. ф )а =

,=к - 4,

,+к-четн

= (1/8) £ с,В,.

Рассуждая аналогичным образом, коэффициенты спектральной матрицы Dj;4) =^ф ф )ш запишутся в виде

к+2 ,+2

^=ффк ф)а=

,= к- 4, s=/- 4,

/+к-четн I+s-четн

В общем случае формулы типа (6-8) удается получить, налагая дополнительное требование на поведение соответствующих производных в окрестности границы. Отметим, что область применимости соотношений (6-8) ограничена функциями, убывающими на бесконечности хотя бы алгебраически.

Рассмотрим однородные предельные условия и(±1)=и'(±1)=0 в ограниченном интервале I и соответствующее максимальное самосопряженное расширение оператора D4 в пространстве Ь2 (I). Для интерполяции пространства Ь2ш (I) будут применяться линейные оболочки элементов следующего вида:

к £0={

Утверждение. Производная элемента ц/к записывается следующим образом:

к - 4

кк=аф-1 +Лфк+^

к-2 в к +4 „т

где ак =—, р=——.

Доказательство. Действительно,

кк=- 2уфк +(1-у2)фк.

Воспользуемся характеристическим уравнением для многочленов Чебышева первого рода и известным свойством полиномов

Т' т'

2Т п+1_______п-1

п~(п+1) (п-1) .

Тогда можно записать

(1-у2) I -^ |-2уТп + (п+1)Т+1 -(п-1)Тп-, = 0 .

^

Откуда получим формулу

Таким образом,

Тем самым доказано последнее соотношение в (5), откуда несложно установить окончательный результат (10), ч.т.д.

Используя формулу (10), можно записать выражение для спектральных коэффициентов оператора D4.

Тогда, учитывая краевые условия и соотношения (10), проекция DАцк на ц* в Ью (I) запишется следующим образом:

=Ф 4к к )а=|-1 D ккнаёу=-|-1кк"(кЛа)' ёу, =-|-1 кУиаёу-|-'1 ккиа’ёу ,

=-|-11 кУиаёу+(1/2) {^ Кфи-1 +фл+1 )аёу,

={-11 Кк[К>]'ёу-(1/2){-1 кк[ф-1 +фЛ+1)]'ёу .

Используя предпоследнее выражение и формулу (10) для производной ц/’п, нетрудно получить выражение для спектральных коэффициентов:

=-{^1 [аф-1 + Аф+1 ]" [аф-1 +Р„ф„+1 ]ёу+

+(1/2) {-1[аф-1+вф+1]" (ф*_1+фш>ёу,

^ =- [аа (ф-1, ф*-1 ) а +ар (ф-1, фл+1) а-

-[а/Л (ф+1 ф*-1 )а + Р Р (ф+1, ф*+1 )а ] +

+ (1/2)а [(ф-1, фи-\ )а +(ф-1, ф,+1 ) „] +

+(1/2) А[(ф+1,ф„-1)а+ (ф+1,ф„+1)а],

D/г*) =- [ааАЛА-1,к-1 +акРнЛИ+1,к-1 ]-

~\аИРкЛА-1,к+1 +р рЛА+1,к+1 ] +

+(1/2)а [ЛИ-1,к-1 + ЛИ+1,к-1] +

+(1/2) в [ Л-и+1 + Л„+и+,].

Таким образом, окончательно можно записать следующее выражение:

^ =-[«* -

Легко видеть, что число обусловленности результирующей матрицы Сопё (D(4)) мажорируется величиной ;2 • Сопё(Л)/4 , поскольку значения И* |~| Рк |—(к/2). Следует отметить, что выбору базиса в форме (9) соответствует вполне ожидаемый рост первой производной с величиной ; . Для сравнения величин, описываемых соотношением (12), можно привести результаты работы [9], в которой значения аналогичных матричных элементов Dh4)— к2к2. Теперь несложно установить выражение для спектральных матриц операторов дифференцирования младших порядков

=(К к* )а ={-11 (Иф-1 +Рф+1 К„аёу ,

Dh3 =(1/2)а [ Л*,к-,-(1/2) Л*-2,к-, -(1/2) Ак+2,к-,]+ +(1/2)Р[Л*,к+, -(1/2)Л*-2,к+, -(1/2)Ак+2,к+, ].

Я» =(К, К )а =-{^1 к№ёу+(1/2){-1 К (ф-1 +фЛ+1 )аёё

D/г*) =-И (а* -1/2)В*-1,к-1 -р (а* -1/2)В*-1,к+1 -

-И (Р -1/2) В*+и-, -Р (Р -1/2) в*+и+,. Обозначим скалярное произведение элементов цк в Ь2 (I) через Т*к, тогда

Т» =(К К)а =

= (1/4)([ф -(1/2)(ф-2 +ф + 2 )],[ф* -(1/2)(ф*-2 +ф* + 2 )])а.

В^гразим коэффициенты Т*к через известные величины В*к =

Т № =(1/4)[ В№ -0,5 В*,к-2 -0,5 В*к+2 -0,5 В*-^ +

+0, 25ВИ-2,к-2 + ^ 25В*-2,к+2 -0, 5В*+2,к +

+0, 25В* + 2,к-2 +0, 25В* + 2,к+2 ] .

Для приложений полезно знать представление квадратичных нелинейных слагаемых “ • D“ . При

;

разложении “; = £ акек, где (ек }да=0 - некоторая

к=0

ортогональная система, проекцию “; • D“; на элемент е* можно рассчитывать по формулам типа Ь* =£к+s_ьака! . Здесь приведем в^гражение, необходимое для расчета вклада слагаемого “; • D“; при разложении по элементам {фк };=0. Слагаемое ф • Dфs можно записать в виде

s + к+1

%• ^ = s[s,gn(s-к )фs-к-1 -ф,+к+1]-2 £ ф1 .

j=\s-k-1,

] + s + к-оёё

Тогда Ь* запишется следующим образом:

bh _

s • sign(s—к)akas — 2 • akas, h _ |s—k| — i;

—s • akas — 2 • akas, h _ s+к + i;

—2• akas, h _ |s—k| +1,...,s + к — i; j+s+к — odd.

Численные результаты. В качестве примера уравнения четвертого порядка рассмотрим уравнение Орра-Зоммерфельда (см.: [10]), которое записывается с граничными условиями в следующем виде:

(D2 - а2)2“ - 1аК[ц(у)(D2 - а2)-д "(у)]“ =

= -г'аЛЛ.(D2 -а2)“,

“ (±1) = И (±1) = 0.

Здесь .О=ё!йу, а^0 - волновое число; Л -число Рейнольдса; X - спектральный параметр; q(у) = 1 - у2 - профиль сдвигового течения.

Для аппроксимации применялся базис в виде (10). В результате рассматривается обобщенная алгебраическая задача на собственные значения, сравнение полученной величины X производилось в точке Томаса а=1, Л=104 (см. табл.) с результатами работ [11, 12]. Из таблицы видно, что наилучшее совпадение знаков наблюдается в сравнении с работой [12], где применялся спектральный метод Петрова-Галеркина.

Значение Я при а_1, R_104

I =0.23752649 +0.00373967i Orszag [11]

I =0.23752708 +0.00373980i Dongarra [11]

I =0.2375264888204 +0.0037396706229i Pop (N = 96, N = 512) [12]

X=0.2375264888206 +0.0037396706230i Псевдоспектральный метод N = 64

I =0.2375264888204 +0.0037396706229i N = 64

Библиографический список

1. Shen J. and Wang L. Some recent advances on spectral methods for unbounded domains // Commun. Comput. Phys. - 2009. - Vol. 5, No. 2-4.

2. Guo B.-Y., Shen J. and Xu C.-L. Generalized Laguerre approximation and its applications to exterior problems // J. Comput. Math. - 2005. - Vol. 23(2).

3. Christov C.I. A complete orthonormal system of functions in L2(-c»,+<») space // SIAM J. Appl. Math. - 1982. -Vol. 42(6).

4. Boyd J.P. Spectral methods using rational basis functions on an infinite interval // J. Comput. Phys. - 1987. - Vol. 69.

5. Guo B.-Y. and Wang Z.-Q. Legendre rational approximation on the whole line // Sci. China Ser. A. - 2004. -Vol. 47(suppl.).

6. Shen J. and Wang L.-L. Error analysis for mapped Legendre spectral and pseudospectral methods // SIAM J. Numer. Anal. - 2004. - Vol. 42.

7. Guo B.-Y., Shen J. and Wang Z.-Q. Chebyshev rational spectral and pseudospectral methods on a semi-infinite inter-

val // Internat. J. Numer. Methods Engrg. - 2002. -Vol. 53(1).

8. Boyd J.P. Chebyshev and Fourier Spectral Methods. -Mineola; NY., 2001.

9. Shen J. Efficient spectral-Galerkin methods II. Direct solvers of second and fourth order equations by using Cheby-shev polinomials // SIAM J. Sci. Comput. - 1995. - Vol. 16, No.1.

10. Drazin P.G. & Reid W.R. Hydrodynamic stability. -Cambridge, 1981.

11. Dongarra J.J. & Straughan B. & Walker D.W. Cheby-shev tau-QZ algorithm methods for calculating spectra of hydrodynamic stability problems, Appl. // Numer. Math. 1996. - Vol. 22.

12. Pop I.S. & Gheorghiu C.I. A Chebyshev-Galerkin method for fourth order problems // Approximation and Optimization, Proceedings of the International Conference on Approximation and Optimization / D.D. Stancu et al. (eds.). -Transilvania, 1997. - Vol. II.