Математическая модель оптимизации плана производства промышленного предприятия

ПРАВО • МЕНЕДЖМЕНТ • МАРКЕТИНГ

Математическая модель оптимизации плана производства промышленного предприятия

Ф. И. Клубовский,

аспирант кафедры экономики и финансов СПГУТД

Ассортиментная политика рассматривается сегодня как система мер по определению набора товарных групп, наиболее предпочтительного для успешной работы на рынке и обеспечивающих экономическую эффективность деятельности предприятия [1].

Ассортиментная политика — это одна из важнейших составляющих конкурентной стратегии компании. Формирование ассортимента товаров можно рассматривать как процесс деятельности, направленный на выпуск товаров, соответствующих покупательскому спросу и обеспечивающих высокую прибыль предприятия.

Существуют различные методы формирования товарного ассортимента, рассматриваемые разными авторами (Ф. Котлер, Е. Дихтль и Х. Хершген), в том числе матрицы, предложенные сотрудниками компании «Маркон» [2, 3]. Проведенный анализ методов формирования ассортиментной политики показывает, что все они в известной мере являются эвристическими и не лишены недостатков.

Практически ни один из этих методов не обеспечивает решение задачи оптимизации ассортимента, так как не содержит соответствующей математической модели, учитывающей цели, переменные и ограничения. Существующий в математической литературе классический (традиционный) подход предполагает нахождение оптимального ассортимента продукции по критерию максимальной прибыли при наличии ограничений в виде задачи линейного программирования. Однако, с экономической точки зрения такая постановка задачи не является адекватной, по крайней мере, по двум причинам.

Во-первых, этот подход подразумевает, что прибыль зависит исключительно от внутренних ресурсов предприятия, а не от ситуации на рынке.

Во-вторых, традиционный подход не учитывает различное поведение постоянных и переменных издержек при изменении объема производства, что приводит к зависимости себестоимости от объема выпуска продукции.

А. И. Богданов,

д. т. нпрофессор кафедры экономики и финансов СПГУТД

Из экономической теории давно известно, что эффект масштаба производства и спрос влияют соответственно на себестоимость и цену, то есть

р = f АТСг = <Р Ш,

где Р{ — цена г-го типа изделия; q¿— объем продаж г-го типа изделия; АТС^ — средние общие издержки (себестоимость) г-го типа изделия.

Получаемая прибыль от г-ой позиции ассортимента определяется по формуле

П =

Очевидно, что в общем случае эта зависимость носит нелинейный характер. Для ее построения необходимо определить зависимость цены и себестоимости от объемов производства, то есть определить вид функций f и ^. При этом можно считать, что на малом участке изменения цены зависимость спроса от цены носит линейный характер:

Аг = к р + Ь.

В общем случае параметры к и Ь этой зависимости могут быть оценены по методу наименьших квадратов на основе собранной информации о ценах и объемах продаж.

Однако оценки коэффициентов могут быть получены и на основании данных об эластичности спроса.

Рассмотрим такой подход на примере данных, имеющихся у ООО «Золотой жук».

Специалистами отдела маркетинга ООО «Золотой жук» проводились пробные исследования для определения ценовой эластичности спроса, результаты которых представлены в табл. 1.

Расчет показателя ценовой эластичности производился по формуле:

Ер

Таблица 1

Исследование эластичности спроса при величине скидки 10%

Изделие Первоначальная цена (Р0 ) Новая цена (Р±) Первоначальный объем продаж (¿/о) Новый объем продаж Эластичность Ер(д

Халат Х50Д 1161 1044,9 200 231 -1,55

Куртка К23Д 1098 988,2 270 312 -1,57

Халат Х22Д 1210 1089 340 395 -1,62

Халат Г41 1136 1022,4 280 330 -1,80

Халат Х5а 1175 1057,5 430 494 -1,49

Халат Г40 1085 976,5 330 376 -1,38

Жилетка Ж1 1043 938,7 370 431 -1,64

Куртка Кб 1073 965,7 480 575 -1,97

Куртка К7 972 874,8 250 288 -1,52

Халат Х2А 1187 1068,3 410 481 -1,73

ИННОВАЦИИ № 7 (117), 2008

ИННОВАЦИИ № 7 (117), 2008

ПРАВО • МЕНЕДЖМЕНТ • МАРКЕТИНГ

Таблица 2

Оптимальные объемы производства при отсутствии ограничений

Наименование изделия Оптимальный объем производства (q*), шт.

Куртка К23Д 287

Халат Х22Д 453

Халат Г41 315

Халат Х5а 407

Халат Г40 578

Жилетка Ж1 259

Куртка Кб 363

Куртка К7 435

Халат Х2а 322

где Aq/qq — относительное изменение спроса; AP/Pq — относительное изменение цены.

Коэффициенты k и b модели q{ = kp{ + b могут быть выражены через значения эластичности спроса следующим образом [4]:

k =

Коэффициент b определяется по формуле:

b = qo - k Po.

Например, для халата Х50Д , выпускаемого на ООО «Золотой жук», по данным табл. 1:

k = -1,57 (200/1161) = - 0,270, b = 200 + (0,270-1161) = 513,47.

Таким образом, мы имеем зависимость q = -0,270 P + 513,47.

Отсюда, выражая P через q, получим искомую функцию f: P = -3,704q + 1901,74.

Для определения зависимости себестоимости изделия от объема производства проанализируем статьи затрат, чтобы определить средние переменные (AVC) и средние постоянные (AFC) издержки.

Для халата Х50Д:

AVC = 351, 31 руб., AFC =339, 88 руб.

Тогда значение прибыли от реализации халата Х50Д составит:

П = (-3,704q + 1901,74 - AFC - AVC) q =

= (-3,704q + 1901,74 - AVC) q - FC =

= -3,704q2 + 1550,43q - 67976.

При отсутствии ограничений задачу оптимизации объемов производства можно решать независимо для каждого изделия как с использованием ЭВМ (программа MS Excel) [5], так и аналитическим путем.

Проиллюстрируем аналитическое решение задачи оптимизации объема производства на примере халата Х50Д:

П = - 3,704 q2 + 1550,43g - 67976 ^ max.

Возьмем производную от прибыли по объему производства и приравняем ее нулю:

dn/dq = -3,704-2q+1550,43 = 0.

Таблица 3

Оптимальные объемы производства с учетом ограничений

Наименование изделия Оптимальный объем производства (¿/*), шт.

Халат Х50Д 202

Куртка К23Д 277

Халат Х22Д 438

Халат Г41 304

Халат Х5а 392

Халат Г40 555

Жилетка Ж1 249

Куртка Кб 352

Куртка К7 429

Халат Х2а 311

Отсюда оптимальный объем производства q* составит: q* = 1550,43/(2-3,704) = 209,29 ~ 209.

Произведенные на ЭВМ расчеты для остальных изделий дали следующие результаты (табл. 2).

Такие объемы производства продукции позволят получить прибыль, равную 1,540 млн руб., тогда как в настоящее время прибыль от реализации продукции составляет всего 1,518 млн руб. в год.

Однако в реальной ситуации мы сталкиваемся с ограничениями на объем выпуска продукции, связанными с производственными возможностями. Так, например, для ООО «Золотой жук» суммарный объем выпуска всех изделий не может превышать 3500 штук в год.

Это ограничение может быть записано в виде

2 Х{ < 3500,

где — объем выпуска i-ой продукции.

Целевая функция задачи оптимизации имеет вид:

f (x) = 1550,43x1 - 3,704x12 + 1488,2 x2 - 2,59 x22 +

+ 1597,2 x3 - 2,197 x32 + 14 1 9,73 x4 - 2,252 x42+

+ 1595,89 x5 - 1, 834 x52 + 1533,6 x6 - 2,383 x62 +

+ 1384,25 x7 - 1,7 x72 + 1313,17 x8 - 1,135 x82 +

+ 1323,98 xg - 2,556 xg2 + 1516,93 x10 -- 1,673 x102 ^ max.

Решение задачи на ЭВМ дало следующие результаты (табл. 3).

Эти объемы производства позволят получить прибыль, равную 1,537 млн руб., т. е. по сути повысить ее на 19 тыс. руб. или на 1,25%. Таким образом, применение метода оптимизации позволяет повысить эффективность работы ООО «Золотой жук». Небольшой процент повышения эффективности объясняется тем, что в настоящее время план производства ООО «Золотой жук» близок к оптимальному.

Литература

1. А. С. Варламов. Совершенствование управления ассортиментом на современных производственных предприятиях//Изве-стия Челябинского научного центра, вып. 4, 2000.

2. Ф. Котлер, Г. Армстронг, Д. Сондерс, В. Вонг. Основы маркетинга: Пер. с англ. 2-е европ. изд. М.; СПб.; К.:Изд. Дом «Вильямс», 2000.

3. Г. Ассэль. Маркетинг: принципы и стратегия: Учебник для вузов. М.: ИНФРА-М, 2001.

4. И. К. Белявский. Маркетинговое исследование: информация, анализ, прогноз. М.: Финансы и статистика, 2004.

5. Разработка бизнес-приложений в экономике на базе MS EXCEL: Учебник/Под ред. А. Н. Афоничкина. М.: Диалог-МИФИ, 2003.