Применение эквивалентных преобразований при замене линейной пассивной многолучевой звезды эквивалентным многополюсником

Серверная часть системы визуализации реализована на MPI и с использованием библиотек PACX-MPI может быть запущена на нескольких многопроцессорных системах, объединенных в метакомпьютер.

Стоит отметить, что далеко не все и не всегда могут позволить себе использование дорогостоящих многопроцессорных систем или воспользоваться услугами суперкомпьютерных центров для визуализации. В связи с этим остро встает проблема визуализации данных большого объема на обычном персональном компьютере или в условиях сильно ограниченных вычислительных ресурсов. Существующая на сегодняшний день, технология последовательно-парадлельной обработки данных, так называемый data-streaming, позволяет получить конечный результат на

, , поэтапно. Информация разбивается на куски, которые компьютер может обработать относительно быстро. Подбирая размер данных обрабатываемых за один этап, можно минимизировать общее время, затрачиваемое на обработку всего объёма. К сожалению, получаемая в результате система уже не является интерактивной, так как получение окончательного изображения занимает значительное время. Тем не менее, такой подход позволяет обработать и исследовать данные, когда нет возможности их анализа другими средствами.

На данный момент на базе разработанного комплекса распределённой визуализации внедряются методы последовательно-парадлельной обработки данных в условиях ограниченных вычислительных ресурсов.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. M.V. Iakobovski, D.E.Karasev, P.S. Krinov, S.V. Polyakov. Visualisation of Grand Challenge Data on Distribyted Systems, Mathematical Modeling. Problems, methods, applications, Proc. of the Fourth International Mathematical Modeling Conference, June 27 - July 1 2000, Moscow, Russia (Ed. by L.A. Uvarova, A.V. Latyshev), Kluwer Academic, Plenum Publishers, New York, Boston, Dordrecht, London, Moscow. ISBN 0-306-46664-3, 2001, pp. 71-78.

2. Peter S. Krinov, Mikhail V. Iakobovski, Sergey V. Muravyov. Large Data Volume Visualization on Distributed Multiprocessor Systems , Parallel Computational Fluid Dynamics (Moscow, Russia, May 13-15, 2003), Edited by B. Chetverushkin, A. Ecer, J. Periaux and N. Sato-fuka - Assistant Editor: Pat Fox, Elsevier Science BV, Amsterdam, 2004, pp. 433-438.

3. П.С.Кринов. Моделирование на многопроцессорных системах затопленной тепловой струи. Материалы пятого Всероссийского семинара «Сеточные методы для краевых задач и приложения». - Казань. 2004 Изд-во «К^анский государственный университет имени В.И. Ульянова-Ленина». С. 129-132.

4. Charles D. Hansen, Chris R. Johnson. The Visualization Handbook. 2005, Elsevier Inc.

УДК 621.372.061.3

С.Н. Басан, В.В. Пивнев

Филиал ТРТУ, г. Туапсе

ПРИМЕНЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ПРИ ЗАМЕНЕ ЛИНЕЙНОЙ ПАССИВНОЙ МНОГОЛУЧЕВОЙ ЗВЕЗДЫ ЭКВИВАЛЕНТНЫМ МНОГОПОЛЮСНИКОМ

Эквивалентные преобразования являются перспективным направлением в теории электрических и электронных цепей.

Частные случаи эквивалентного преобразования линейной пассивной звезды эквивалентным многоугольником давно известны и широко применяются в инже-

нерной практике. Например, замена двух последовательно соединенных ветвей эквивалентной, трехлучевой звезды эквивалентным треугольником и т.п. [1].

Данная работа посвящена проблеме решения указанной выше задачи для общего случая, когда звезда имеет п лучей.

Сложность решения данной задачи в существенной мере зависит от элементно, . -ного базиса идеальный проводник и источник тока управляемый напряжением [2].

Докажем следующее утверждение: любая схема замещения, состоящая из линейных пассивных двухполюсных элементов, может быть заменена схемой замещения, состоящей из источников тока, управляемого напряжением. Для этого дос,

источником тока, управляемым собственным напряжением (рис.1).

Рис.1

Действительно, если выполняется условие (1), то полюсные уравнения схем на рис. 1,а и рис.1,6 совпадут, следовательно, эти схемы эквивалентны.

K

Z

d

где p = — - оператор дифференцирования. dt

Если в исходной схеме замещения выполнить преобразования приведенные на рис.1, то и будет получена схема замещения, состоящая только из ИТУН и иде.

Напряжение на источнике тока (рис.1,6) может быть выражено в виде линейной комбинации других напряжений, образующих с u(p) контур (второй закон ), . .

u

k=1

Здесь ак - коэффициент, принимающий значения:

+1, если направление Uk

0, если Uk(p) не входит в рассматриваемый контур.

Пусть в частном случае

и

Тогда ток J(p) на рис.1,6 будет равен

n

В общем случае

У(Л = ЧЮ - и3(0 + ^(0

Л) г

кык' к-1 г

(4) ( .2).

Рис.2

(6) -

личаться только количеством параллельно соединенных источников тока.

Докажем теперь следующую теорему:

Теорема: Любая п-лучевая звезда, состоящая из линейных пассивных двухполюсников гДр), (ц = 1 ¥ п), может быть заменена полным многоугольни-

,

гу

гч

7 7 к=1 гк

где К Ф V, К Ф ] .

.

Для доказательства теоремы воспользуемся методом полной математической .

Пусть п=2 (рис. 3,а). Сопротивления гг(р) и г2(р) могут быть заменены источниками тока, управляемыми напряжениями (рис.36). Здесь коэффициенты 1 1

управления равны --------и-------- соответственно. Так как элементы соединены

г1

, :

«х

и2

^

и(Х) = их(Х) + и2(*).

Решая уравнения (8) и (9) совместно, получим:

и

и1(*) =

г1

б

а

и

С учетом (10) и (11) схема замещения на рис. 3,6 может быть представлена в , . 3, . ,

одинаковых источников тока можно заменить одним из них. В результате получается схема замещения (рис. 3,г). Полученный источник тока, управляемый собст-

[1] э к в и вал е етеым со проти в л ен ием

2Э

что соответствует утверждению теоремы.

в

Рис.3

Пусть теперь п=3 (рис. 4,а). Выразим в этой схеме замещения токи ветви і1, і2, и і3 через напряжения неизменяемой части и12, и13, и23. Для этого запишем для нее систему уравнений по законам Кирхгофа:

[7і(Р) • і1 + 73(Р) • (і1 + і2) = и13; 17з(Р) • (і1 + і2) + 72(Р) • і2 = и23;

при ЭТОМ и12 = и13 — и23.

Тогда

Но

>1

Л

Л

Л(Р) = 71 (Р)72 (Р) + 71 (Р)73 (Р) + 72 (Р)73 (Р) =

Л1(Р) = 72 (Р) • и13 + 73(Р) • и12 = Л2(Р) = 71(Р) ^ и23 — 73 ^ и12(Р).

Окончательно получаем

г

д

и1372( Р) + и1273( Р) Л(Р) ,

,и2371( Р) + и12 73( Р) Л(Р) ,

_и137 2

Уравнениям (18), (19), и (20) соответствует схема замещения с управляемыми . 4, .

римскими цифрами I, II, III три контура. Каждый из них состоит из стрелки напряжения и двух равных источников тока (ИТУН).

Рис.4

і1 =

2

3

]

д

Так как ток ¡х в ветви “2-0” равен нулю (следует из первого закона Кирхгофа для узла 2), то эту ветвь можно оторвать, а последовательное соединение двух равных источников тока можно заменить одним из них. В результате схема замещения примет вид, приведенный на рис. 4,г. В свою очередь источники тока, управляемые собственным напряжением, могут быть заменены двухполюсником с сопротивлениями г12(р), г13(р) и г23(р) (рис. 4,д).

712( Р) =

71зСР):

7гз

А

л( Р) _

ХО)"

_ А( Р) _

= 71( Р) + 72( Р) +

-¿іІр)+¿зСр)+

71

73

¿ІР^зІР)

--¿2(Р) + 73(Р) +

22

ад '

Таким образом, теорема верна и для случая, когда п=3.

Аналогичный результат получается и для случая четырехлучевой звезды.

, п- ,

заданная для преобразования звезды имеет (п+1) луч. Построим в соответствии с соотношением (7) полный многоугольник. Выбрав узел с номером (п+1) за базисный, запишем матрицу сопротивлений для обоих многополюсников:

для звезды

^11 ¿21 7

"12

22

к 2

2И1 2

п2

для многоугольника

[2 '] =

71к •• 2ш'

72к •• 7 2п

7кг •• 7кп ,

7пк •• 7кп

7' ¿11 712 .. 7' • 71к 7' ••• 71 п

7' 721 7' 22 7' • 72к 7' ••• 72п

7' 7к1 7' 7к 2 •• 7' • 7кк 7' ••• 7кп

7' 7п1 7' 7п 2 •• 7' • 7пк 7' ••• 7кп

[г Ыг'] окажутся

равными, то и (п+1-полюсник будет эквивалентен (п+1)-лучевой звезды. Для докозательства этого воспользуемся методом частных режимов.

Пусть в исходной звезде => ^. Тогда согласно (7) все ветви многоугольника, соединеные с первым узлом, будут равны бесконечности, и ток 11 будет равен нулю. То есть в этом режиме

2[к ^ те, к = 1 п,

Матрицы сопротивлений, полученных в данном режиме п-полюсников могут быть получены путем вычеркивания первого столбца и первой строки.

, , п-

,

=о,

7 = 7'

где V = 2 п, к = 2 п,

Во втором частном режиме положим 2п ^те (іп = 0), Тогда в многоугольниках

7'пк ^ те, к = 1 +

і'п = 0-

Так как сопротивления многополюсников в даннном режиме удовлетворяет условию (7), то и соответствующие им матрицы будут равны и можно записать

2

у1к

7

к1

7' •

71к •

7'

7к1,

где к = 1 (п — 1) •

, ,

например

ік = 0, где к = 2 ^

7 = 7'

7п1 7п1,

7,„ = 7' •

,

ч»- -ш.

, , (24) (25) . -

тельно, эквивалентны и соответствующие им схемы. Что и требовалось доказать.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Басан С.Н, Данилов Л.В. Эквивалентные преобразования нелинейных цепей // Изв. вузов. Энергетика.1972. №1. С.27-31.

2. Ласточкин А.А. Преобразование п-лучевой звезды в эквивалентный многоугольник //Сб. трудов Ленинградского механического института. 1969. №72.

3. . .

// - -нике. 1965. Т.53. № 12. С. 2350-2351.

4. . .

//Сб. Автоматический контроль и измерительная техника. Киев, 1962. Вып. 6.