Об оценке производной по направлению эрмитова сплайна на треугольнике

А.В. Мелешкина

УДК 517.51

ОБ ОЦЕНКЕ ПРОИЗВОДНОЙ ПО НАПРАВЛЕНИЮ ЭРМИТОВА СПЛАЙНА НА ТРЕУГОЛЬНИКЕ

Будем рассматривать замкнутый невырожденный треугольник Т = = (А1А2А3) на плоскости, Т - его внутренность. Пусть функция /(х) определена на Т и е^ = , ^ 3 = 13, - единичные векторы.

Будем строить полином ((х) третьей степени с действительными коэффициентами, интерполирующий функцию /(х) вместе с её производными в вершинах треугольника по направлениям сторон Т

ЛА,) = яша-Ш = =1-3.

Полином ((х) имеет 10 коэффициентов. Условия (1) определяют только 9 из них. То есть нужно еще одно условие для выбора десятого коэффициента. От этого будет зависеть степень приближения функции ](х) полиномом ((х).

Выбрав в качестве условия равенство производных по направлению нормали в средней точке на наименьшей стороне треугольника. А. Женишек [1] доказал теорему, в которой оценивается отклонение частных производных. В оценке присутствует синус второго по величине угла в знаменателе.

Ю.Н. Субботин [2] взял в качестве условия равенство производных в средней точке наименьшей стороны треугольника по направлению наибольшей стороны и вывел оценки для отклонения частных производных до третьего порядка, которые зависят от синуса наибольшего угла треугольника в знаменателе (некоторые оценки даже не зависят от углов).

У Ю.В. Куприяновой [3] последнее условие - равенство производных в средней точке одной из сторон треугольника по направлению другой стороны, и оцениваются уже не частные производные, а производные по направлениям сторон. Оценки для отклонений производных по направлениям двух сторон, как оказалось, не зависят от углов треугольника. Но при этом десятое условие берется как равенство производных по направлению в средней точке любой из сторон треугольника. Если возьмем два треугольника с общей границей, то при таком выборе десятого условия гладкости на границе вообще говоря может и не быть. Поэтому попробуем взять это условие как у А. Женишека [1] - равенство производных по нормали в средней точке, но уже не какой-то конкретной стороны, а произвольной, и найдем оценки отклонения производных по направлениям сторон треугольника.

Теорема. Пусть функция /(х) определена на треугольнике Т и имеет на нем частные производные до второго порядка включительно. Пусть

¿(Т) - диаметр треугольника,

М2 = вир

£,еьв2

д2/(£) де\де2

и пусть интерполяционный полином Q(x) третьей степени удовлетворяет условиям (1). Пусть Р12 = (А + А2)/2 и

дДР^) д^

д п

д п

где п - вектор нормали, проведенный к стороне А1А2. Тогда справедливы следующие неравенства:

дд

< ЗДТ)М2,

< с2(1(т )М2.

Доказательство. Будем рассматривать на треугольнике Т барицентрические координаты х1 , х2,хз. Тогда полином Q(x), интерполирующий функцию /(х) с условиями (1), (2), будет иметь следующий вид (воспользуемся результатом Ю.В. Куприяновой [3]):

Q(x) = / (А1)ж? + / (А2)х2 + / (Аз)х3 + 3/ (А1)х1(х2 + Жз)+3/ (^2)^2(^1 + хз) +

+3/(Аз)ж3(ж1 + Х2) + | А1А2 |

1) 2

д/

2) 2

де

V де12

Ж^Жз +

Х1Х2 +----Ж1Ж2 +

де

21

+ 1 А А I (д/(А1) 2 + д/(Аз) 2 .+ + | А1 Аз| —-х-^х з +----Ж1^2 +

1з

де

з1

(д/(А2) 2 + д/(Аз) Л + +б

—^-х 2Х з +----Ж2Ж 2 + +6аШХ1Х 2 Жз,

де2з 2 дез2 з

где

де

1з

де

2з

де

12

де

21

де

1з

+(еи,е12)И1 Аз| (б//+ д/^А! - д/ХА! - 4/(Р->

де

21

де

12

де

12

Используя формулу

df

д eij

преобразуем разность:

(df (x) df (x))ij -Т"з

dxi

dQ

d e

12

d e

12

-x

2 / df

\ de

12

+ x2 I " v "7___" v 7 1 + x2

dei2 J 2\ dei2 de^ / 3 V dei2

+2X1X2 (зf^f) - fA) + f(A2) fM

д e

+

12

+2x1xW 3

| A1A2I д e12 d e21 d e12

(аш - f (A1)) IA1A3I df (A1) df (x) \

+

+

13

+2x2XJ3

de^ /

— S1 + S2 + S3 + S4.

\ |АхА2| ' |АхА2| дв23 дв12 / Применяя теорему о среднем и формулу Тейлора для каждой из разностей в последнем равенстве, получим:

р!| < ¿(Т) • М2 • (ж? + х2 + х3);

|Е2| < 4 • ¿(Т) • М2 • ж?ж2;

19 — |Ез| < у ••¿(Т) • М2 • ж?жз;

27 — Р4| < V ¿(Т) • М2 • Ж?Жз.

о

Подставляя найденные оценки в формулу для разности производных, полу-

чим

dQ

d e

12

d e

12

ï/rrîx 71 л- ( 2 2 2 л 19 27

< d(T) • M2 • I x1 + X2 + X2 + 4x1x2 + — X1X3 + — X2X3

Используя методы анализа, получаем нужную оценку. Второе неравенство получается аналогично. Теорема доказана.

Замечание. В силу равноправия производных по направлениям e13 и e23 оценка отклонения производной по направлению e23 также будет зависеть только от диаметра треугольника и максимума второй производной. Таким образом, оценки отклонения производных по всем трем направлениям сторон не зависят от углов треугольника.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Zenisek A. Maximum-angle condition and triangular finite element of Hermite type // Math. Comp. 1995. Vol. 64, № 211. P. 929-941.

Т

2. Субботин Ю.Н. Новый кубический элемент в МКЭ // Тр. Института математики и механики УрО РАН. 2005. Т. 11, № 2. С. 120-130.

3. Куприянова Ю.В. Об оценке производной по направлению Эрмитова сплайна на треугольнике // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов, 2006. Вып. 8. С. 59-61.

УДК 519.4

В.А. Молчанов

О ЛОГИЧЕСКОЙ ОПРЕДЕЛЯЕМОСТИ ЯЗЫКОВ НА КОНЕЧНЫХ АВТОМАТАХ

В работе [1] предложен унифицированный подход к теории языков конечных автоматов на основе методов нестандартного анализа [2]: здесь естественно введено понятие распознаваемого автоматом Буши языка произвольных слов и описан класс Reeg(A) таких языков. В последующей работе [3] с помощью методов нестандартного анализа естественно введено понятие языка произвольных слов, распознаваемого конечной полугруппой, и описан класс Rees(A) таких языков. Проведенные исследования показывают, что в отличие от равносильности понятий распознаваемых автоматами и полугруппами языков конечных слов [4] класс Rees (A) значительно шире класса Reeg(A). С другой стороны, в работе [5] введено понятие обобщенного автомата Мюллера и доказано, что класс RecM(A) распознаваемых такими автоматами языков произвольных слов содержит класс Rees (A). С целью доказательства обратного включения ReeM (A) С Rees (A) в настоящей статье развивается теоретико-модельный подход к языкам произвольных слов, разработанный Буши [6] для языков конечных слов и языков бесконечных вправо слов.

В основе такого подхода лежит возможность описания языков над конечным алфавитом A формулами языка L монадической логики 2-го порядка [7] сигнатуры Q = {<, (Ra)a£A}, состоящей из одного символа бинарного предиката < и семейства символов унарных предикатов Ra (a £ A). Алфавит такого языка L, помимо символов < и Ra, содержит знак равенства =, символы логических связок —, Л, V, ^ и кванторов V, 3, предметные переменные x,y,..., предикатные унарные переменные X, Y,... и скобки. Атомарными формулами языка L являются выражения x = y, x < y, Ra(x), X (x), где x,y - предметные переменные и X - предикатная унарная переменная. Из таких атомарных формул с помощью логических связок и кванторов обычным образом [7] строятся формулы языка L.

Интерпретируются формулы языка L в алгебраических ^-системах M = =