О доминионе полной подгруппы метабелевой группы

УДК 512.54.01

А.И. Будкин

О доминионе полной подгруппы метабелевой группы

A.I. Budkin

On the Dominion of a Divisible Subgroup of a Metabelian Group

Доминион подгруппы Н группы А в квазимногообразии М - это множество всех элементов а € А, образы которых равны для всех пар гомоморфизмов, совпадающих на Н А М

является оператором замыкания на решетке подгрупп данной группы. В работе исследуются замкнутые подгруппы относительно доминиона. Найдены условия, при которых доминион полной подгруппы метабелевой группы совпадает с этой подгруппой.

Ключевые слова: квазимногообразие, мета-белева группа, доминион, п-замкнутая подгруппа, полная абелева группа.

Введение. Понятие доминиона было введено в [1] для изучения эпиморфизмов. СоН

сальной алгебры А в полной категории М (А € М), обозначаемым Аотм(Н), называется множество всех элементов а € А таких, что а? = аУ для любых двух морфизмов р,ф : А ^ М € М, Н

ние р : А ^ В (А, В € М) является эпи-М

<Зотм(А^) = В. Этот факт послужил началом исследования доминионов. Далее, понятие доминиона изучалось в различных классах алгебр [2-4] (см. также библиографию в [5]). В частности, была установлена тесная связь между доминионами и амальгамами. За подробностями мы отсылаем читателя к обзорной статье [2]. Целесообразность изучения доминионов в квазимногообразиях обосновывается в [5] тем, что, согласно [6], только квазимногообразия среди аксиоматизируемых классов обладают полной теорией определяющих соотношений, позволяющей определить свободное произведение с объединенной подалгеброй. Отметим, что доминионы рассмотрены в квазимногообразиях абелевых групп [3, 7, 8], а решетки доминионов введены и изучались в [5, 9, 10].

The dominion of a subgroup H of a group A in a quasi-variety M is the set of all elements a G A with equal images under all pairs of homomor-AM

H

the lattice of subgroups of a given group. In this paper we study the closed subgroups with respect to this operator. We find conditions for the dominion of a divisible subgroup of a metabelian group to coincide with the subgroup.

Key words: quasi-variety, metabelian group, n-closed subgroup, divisible abelian group.

М А

М и ее подгруппы Н доминион domM( Н) под-Н А М

domM (Н) = {а € А \УМ €МУ/,д:А ^ М, если ] \н= д \н, то а/ = ад}.

Здесь, как обычно, через /,д : А ^ М обозначе-

АМ

/ \н - ограничение / на Н.

Несложно заметить, что domM (—) является оператором замыкания на решетке подгрупп А

НН

идемпотентный (доминион доминиона подгруп-НН Н С В, то доминион Н содержится в доминионе В

исследование замкнутых подгрупп. В [10] введено понятие п-замкнутой группы и показано [10, следствие 2], что изучение замкнутых групп своп

ности, в [10, теорема 5] описаны все 1-замкнутые абелевы группы в каждом квазимногообразии нильпотентных групп без кручения ступени 2.

* Работа выполнена при финансовой поддержке АВЦП ’’Развитие научного потенциала высшей школы” (мероприятие 1).

Нп М, ести для любой группы А = гр

МН

Нп равенство: Аотм (Н) = Н.

Н М

А М Н

равенство: Аотм (Н) = Н.

Цель данной работы - изучение 1-замкнутых групп в многообразии метабелевых групп.

С основными понятиями теории квазимногообразий можно познакомиться в [11-14], а теории групп - в [15, 16].

2. Предварительные замечания. Напомним некоторые понятия и обозначения.

Л2 - класс метабелевых (т.е. с абелевым коммутантом) групп.

Запись А < В означает, что А является под-В

Через гр(Я) будем обозначать группу, порожденную множеством Я, через (а) - ци-

а

С - коммутант гр уппы С.

Через С = АХВ обозначаем полупрямое произведение групп А и В (т.е. С = АВ, А < С, А п В = (1)).

Как обычно, [а, Ъ] = а-Ъ— аЪ, аь = Ъ— аЬ.

Z,Q - аддитивные группы целых и рациональных чисел, соответственно. <Ц> - поле рациональных чисел.

АВ зывать любой гомоморфизм р : А ^ В. являющийся изоморфизмом А на Ар. Если существу-А В А

В С

кого целого числа п > 0 и любого элемента д € С уравнение хп = д имеет в группе С хотя бы одно решение.

Дадим определение метабелева квадрата группы с объединенной подгруппой. Пусть

СЛ

С = гр({х \ I € I} II {г^х= г' (ж) \ 2 € .1}).

Возьмем две группы С, С-2, изоморфные

СЛ С1 = гр({х* \ I € 1} 1 {гз(х)= Г(х) \ 2 € 7Б,

С2 = гр({У* \ г € 1} 1 {гз(у) = г(у) \ 2 € 7}).

Предполагаем, что пересечение X = {х^ \ г € I} И V = {уI \ г € I} пусто.

НС извольное множество {Н^х) \ I € Ь} групповых

слов в алфавите X = {х^ \ г € I}, множество {Н^х) \ I € Ь} значений которых в С порождает Н. Возьмем группу В € Л, обладающую в Л

представлением:

В = гр(Х и У || {г^х) = г' (х) \ 2 € 7}и

{гз{у) = г' (у) \ 2 € 7} и {НХх^НХу) \ I € Ь}).

Эта группа В обозначатся через С *Н С и называется метабелевым произведением групп С С Н Н

С

единенной подгруппой Н. Отображения Х : С ^ В, где х* = хДг € I); р : С ^ В (х? = уДг € I)) являются вложениями, и подгруппы Сх, Ср, Нл

ССН

но.

НВ

С

С и будет обозначаться через В = С * С2.

Хорошо известно (см., например, [2]), что С1 п С2 = йот^1 (Н).

В [17] найдено строение коммутанта метабелева произведения метабелевых групп. Нам понадобится следующий факт из доказательства теоремы [17].

СС

трим их метабелево произведение В = С * С2. СС

вложены в В. Пусть А = С/С^, В = С2/С'2, С = А х В = В/В'. ВС[, С'2 рассматриваем как правые ZC-, ZA-, ZB-мoдyли соответственно. В [17] построены Z^ ZA-, ZB-мoдyли С^, Р, Я, содержащие в качестве подмодулей, соответственно, ВС^, С.^, такие, что Q, как Z-модуль, разлагается в прямую сумму Z-мoдyлeй:

Q = Eeв Р • Ъ © Еел Я • а.

3. Основные результаты. У нас всегда С а, Н Н

ва группа без кручения ранга 1, М = Н° = гр(Н“ \ г € Z) - нормальная подгруппа, по-

рожденная (как нормальная подгруппа) груп-НМ

М

торное пространство над полем <Ц> рациональных а

М а М

сопряжениями). Часто будем использовать аддитивную запись.

Лемма 1. Пусть Н = ^ М - конечномерное векторное пространство над полем <Ц> размерности > 2. Предположим, что минимальный мно-

гочлен преобразования а равен

/(х) = ^ + агХ+. . - + ап-1 ХП— (а0ф 0, аи-1 = 1)-п—1

Если ^ Нгаг = 0(Нг € Н), то аоНг = агНо для

г=0

всех г,

Н

но циклическая группа, то зафиксируем Н € Н такой, что Нг = кгН, где кг € Z. Считаем, что

п—

Н ф 0. Так как Н Е кгаг = 0, то а - корень мно-

г=0

п—

гочлена д(х) = ^ кгхг. С другй стороны, а -

г

корень /(х). Так как /(х) - минимальный мно-Н

/ х д х

/(х). Таким образом, /(х) = сд(х) для некоторого с € ф, с ^ 0. Отсюда скг = аг для каждого г, поэтому сНг = скгН = агН. Значит, ао-Нг = с—1 а^сНг = с— аоагН, агН^ = с— агсН^ = с—1 а^агН, откуда ао-Н^ = агНо-. Лемма доказана.

Лемма 2. Пусть С = гр(а, Н), где Н = ф, Н < С', М = Н° - конечномерное векторное пространство над полем Если С = М\(а) -

ап

ный многочлен линейного преобразования век-М

л2

ментом а имеет степень п—1, то дотс (Н) = Н.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если М = Н, то Н < С Рассмотрим естественный гомоморфизм р : С ^ С/Н и гомоморфизм ф : С ^ С/Н, отобра-

С

ем: р \н= ф \н и д? ф д^ для все д € Н. Отсюда аот^ (Н) = Н.

МН

мерность М не меньше 2. Пусть С ^ Сг(г =

1, 2) - изоморфизмы, Нг = На = а?, Ъ = а?, Г = С * С2 - метабелево произведение групп С и С2. Считаем, что С, С ~ подгруппы Г. Пусть р : С2 ^ Сх - изоморфизм, при котором рх = рр. Условимся всякому элементу д€ С д д

образу при р - индекс 1 (т.е. д? = дх). Пусть Ж = гР(НН— \ Н € Н)F - нормальная подгруппа, порожденная всевозможными элементами вида НхН—1 ,Нх € Н. Тогда группа Г/Ж

С

и С2 с объединенными подгруппами Нх и Н2. Возьмем произвольный элемент р €

А2

с1отс (Н) и покажем, чтор € С'. В самом деле, так как Н < С', то группа Г = (Г/Ж)/(Г/Ж)' изоморфна прямому произведению абелевых групп Сх/С[ и С/С'. Пусть £ : Г ^ Г -

Г

ПУ Г, £1 - тождественное отображение Г на

Г, £2 : Г ^ Г - гоморфизм, при котором все элементы отображаются в единицу. Так как р1££ьр1££'2 совпадают на Н. то, по определению доминиона, р?1^1 = р? £&; откуда р € С'.

р€

А2

с1от;5 (Н),р ф 1. Покажем, что р € Н. Так

А2 —1

как р € с1отс (Н), то рхр2 € N. Далее будем

использовать аддитивную запись. а

М

/

а

ап М / х

хп — аг

всех г. Поскольку рх — р2 € N и /(х) - мно-п— р — р

следующем виде:

п—

р. — р2= Е Нго — Н-2гз)агЪо ,

1,3=0

где Нкгз € Нк(к = 1,2), Н?з = Нго- Если Нюо Ф 0, то вместо рх, р2 будем рассматривать, соответственно, рх — Нхоо,р2 — Нгоо- Итак, считаем, что

Нюо = 0, Н2оо = 0.

Полагаем, что у нас есть модули (^, Р, Б, введенные ранее, и имеет место разложение (1). Ясно, что рх, Нго € Р, р2, Н2о € Б.

Так как (1) - разложение в прямую сумму ^-модулей, то из (2) получаем

п—

Е Нгоа=0

г

п—

Е Нг го ъ3 = 0

о

р

венство

п—

Е Н1 ога.г=0ОФО).

г

Теперь (3) и (5) дают

п—

Е Нго — Ног)аг = 0Ц ф 0).

г

По лемме 1, примененной к (3), для любых

к, г

НЦ = Н к]{3^0).

Аналогично из

В частности, из (7) получаем, что Н1 г] = Н1]](3 Ф 0),

а из

Н1 = Н1 ц(3 Ф 0)-

Отсюда

Н1 ]г — Н1 г]

г, 3 3

3

Учитывая, что Нюо = 0, из (2) следует равенство

п —1

Р1 = ^2 Нго аг,

г

откуда

п—

р = ^2 Нго^ =

г

п—

= Н“^ =

г

п— п—

= Н,п —1 ,га = 53 Н,п —1 ,га* — Н1,п—1 ,0 =

гг

= (по 5) п—1 ,о.

Следовательно р^ = — Н,п—1,о € Щ. Лемма доказана. Теперь несложно доказать следующую теорему.

Теорема 1. Пусть О = гр(а, Н), где Н = ф,

Н < О', М = Н° - группа без кручения. Если ап € Ми минимальный многочлен линейного преобразования векторного пространства М, индуцированного элементом а, имеет степень п — 1, то с! оп1д (Н) = Н.

М

группа, то выберем элемент Н € М, для которого Нп = ап. Тогда (а-На)п = Нп. По-а— На, Н € М М

а— На Н

(аН-1 )п = апН—п = 1. Элемент аН-1 действует Ма довательно, их минимальные многочлены совпадают. Так как рассматриваемый минимальный

п—

аН- п

О = МА(аН-1) и по лемме 2 (Н) = Н.

Теорема доказана.

О а, Н

Н = ф, Н < О', М = Н° - группа без кручения. Если ар € М для некоторого простого

А2

числа р, то с!отс (Н) = Н.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В этом случае соответствующий минимальный многочлен равен хр—1+ хр—2 + .. ^ж+1 и можно воспользоваться теоремой 1.

О а, Н Н

ская группа простого порядка р. Тогда на абелеву группу М = Н° можно смотреть как на

р

тов. Почти дословное повторение доказательств лемм 1, 2 и теоремы 1 позволяет получить следующую теорему.

О а, Н Н Н < О'

М = НЕсли О = МА(а), а" = 1и минимальный многочлен линейного преобразования век-М

А2

ментом а, имеет степень п—1, то <1отА (Н) = Н.

Мр

пп

р

тельно, доказательство теоремы 1 может быть Мр образом, справедлив следующий факт.

О а, Н Н циклическая группа простого порядка р Н < О', М = НЕсли ап € М, п не делится на р и минимальный многочлен линейного преобра-

М

ванного элементом а, имеет степень п — 1, то <1от£а (Н) = Н.

Замечание 1. Пусть Н < О € А, Н П О' Н

ботА (Н) = Н.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть р:О ^ О/О' -естественный гомоморфизм. Так как Нр - полО/О'

прямым сомножителем. Отсюда существует гомоморфизм ф : О/О' ^ Нр, тождественный на Нр. Пусть £ : Нр ^ Н < О - изомор-

Н€Н

имеем: Н,р^€ = Н. Тождественное отображение ^: О ^ О и гомоморфизм рф£ совпадают на Н. Кроме того, д1, ф др^ для любого д € Н. Полу-

А2

чаем, что с1отс (Н) = Н. Замечание доказано.

Библиографический список

1. Isbell, J.R. Epimorphisms and dominions // Proc. of the Conference on Categorical Algebra, La Jolla 1965, Lange and Springer. - New York, 1966.

2. Higgins, P.M. Epimorphisms and amalgams // Colloq. Math.- 1988. - V. 56, №1.

3. Шахова С.А. О решетках доминионов в квазимногообразиях абелевых групп // Алгебра и логика. - 2005. - Т. 44, №2.

4. Magidin, A. Dominions in varieties of nilpo-tent groups // Comm. Algebra. - 2000. - V. 28, №3.

5. Budkin, A.I. Dominions in Quasivarieties of Universal Algebras // Studia Logica. - 2004,-V. 78, Ж/2.

6. Мальцев А.И. Квазипримитивные классы абстрактных алгебр // Доклады АН СССР. -1956. - Т. 108, №2.

7. Шахова С.А. Условия дистрибутивности решеток доминионов в квазимногообразиях абелевых групп / / Алгебра и логика. - 2006. -Т. 45, №4.

8. Шахова С.А. Об одном свойстве операции пересечения в решетках доминионов квазимногообразий абелевых групп // Известия АлтГУ. - 2010. ДЧ.

9. Будкин А.И. Решетки доминионов универсальных алгебр // Алгебра и логика. - 2007. -Т. 46, №1.

10. Будкин А.И. Доминионы универсальных алгебр и проективные свойства / / Алгебра и логика. - 2008. - Т. 47, №5.

11. Будкин А.И. Квазимногообразия групп.

- Барнаул, 2002.

12. Будкин А.И., Горбунов В.А. К теории квазимногообразий алгебраических систем // Алгебра и логика. - 1975. - Т. 14, Ш2.

13. Горбунов В.А. Алгебраическая теория квазимногообразий. - Новосибирск, 1999.

14. Мальцев А.И. Алгебраические системы.

- М., 1970.

15. Каргаполов М.И., Мерздяков Ю.И. Основы теории групп. - М., 1982.

16. Будкин А.И. О доминионах в квазимногообразиях метабелевых групп // Сиб. матем. журнал. - 2010. - Т. 51, №3.

17. Ремесленников В.Н., Романовский Н.С. О метабелевых произведениях групп // Алгебра и логика. - 2004. - Т. 43, №3.