Сопоставление мощностей двух типов искусственных нейронов, осуществляющих обогащение биометрических данных в линейном и квадратичном пространствах

УДК 519.24; 53; 57.017

DOI 10.21685/2072-3059-2018-3-5

В. И. Волчихин, А. И. Иванов, Е. А. Малыгина, Ю. И. Серикова

СОПОСТАВЛЕНИЕ МОЩНОСТЕЙ ДВУХ ТИПОВ ИСКУССТВЕННЫХ НЕЙРОНОВ, ОСУЩЕСТВЛЯЮЩИХ

ОБОГАЩЕНИЕ БИОМЕТРИЧЕСКИХ ДАННЫХ В ЛИНЕЙНОМ И КВАДРАТИЧНОМ ПРОСТРАНСТВАХ

Аннотация.

Актуальность и цели. Целью работы является численное сравнение потенциальных возможностей двух типов искусственных нейронов, осуществляющих обогащение входных биометрических данных в линейном пространстве и в квадратичном пространстве.

Материалы и методы. Используется численное моделирование двух типов нейронов, построенное на простых геометрических моделях монотонно увеличивающейся размерности, работоспособных при симметризации корреляционных связей высокоразмерных биометрических данных.

Результаты. Логически доказано, что сопоставимые по мощности сети искусственных нейронов с суммированием в линейном пространстве должны иметь более чем в два раза больше нейронов по сравнению с сетями, нейроны которых обогащают данные в квадратичных пространствах. Этот эффект усиливается с ростом размерности решаемой нейронными сетями задачи. На него слабо влияют естественные корреляционные связи реальных биометрических данных.

Выводы. Мощность нейронных сетей, обученных по ГОСТ Р 52633.5, можно усилить, если перейти от обычных нейронов к гибридным нейронам, осуществляющим обогащение данных одновременно как в линейном, так и в квадратичном пространствах. При этом вычислительная сложность алгоритмов обучения гибридных нейронов должна увеличиться с линейной до полиномиальной (квадратичной).

Ключевые слова: корреляционные коэффициенты, искусственные нейроны (перцептроны), искусственные нейроны квадратичной формы, высокая размерность статистического анализа.

V. I. Volchikhin, A. I. Ivanov, E. A. Malygina, Yu. I. Serikova

COMPARISON OF CAPACITIES OF TWO TYPES OF ARTIFICIAL NEURONS ENRICHING BIOMETRIC DATA IN LINEAR AND QUADRATIC SPACES

Abstract.

Background. The aim of the work is to numerically compare the potential of two types of artificial neurons engaged in enriching input biometric data in linear and quadratic space.

© Волчихин В. И., Иванов А. И., Малыгина Е. А., Серикова Ю. И., 2018. Данная статья доступна по условиям всемирной лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License (http://creativecommons.org/ licenses/by/4.0/), которая дает разрешение на неограниченное использование, копирование на любые носители при условии указания авторства, источника и ссылки на лицензию Creative Commons, а также изменений, если таковые имеют место.

Materials and methods. Numerical simulation is used for two types of neurons, built on simple geometric models of monotonously increasing dimension, operable with symmetrization of correlation links of high-dimensional biometric data.

Results. It is logically proved that networks of artificial neurons comparable in capacity with a summation in linear space should have more than twice the number of neurons compared to networks of neurons that enrich data in quadratic spaces. This effect increases with the growth of dimension of the problem solved by neural networks. It is weakly affected by the natural correlation of real biometric data.

Conclusions. The capacity of neural networks trained in accordance with GOST R 52633.5 can be enhanced if we move from ordinary neurons to hybrid neurons that enrich the data simultaneously in both linear and quadratic spaces. At the same time, the computational complexity of learning algorithms for hybrid neurons should increase from linear to polynomial (quadratic).

Keywords: correlation coefficients, artificial neurons (perceptrons), artificial neurons of quadratic forms, high dimensionality of statistical analysis.

Геометрические соотношения между нейронами, накапливающими данные в линейном и квадратичном пространствах

Нейросетевые преобразователи биометрия-код имеют число нейронов, равное длине выходного кода [1, 2]. Каждый нейрон, обученный стандартным для биометрии алгоритмом [2], описывается следующей системой уравнений:

где Ni - последовательность из п случайно выбранных номеров входных биометрических параметров, контролируемых нейроном и зафиксированных в таблице связей нейрона при его обучении; щ - весовой коэффициент сумматора обученного нейрона; z(.) - функция квантования выходного состояния сумматора обученного нейрона.

Работу каждого из обученных нейронов можно интерпретировать как деление ^мерной гиперсферы образов все «Чужие» гиперплоскостью, обязательно проходящей через центр ^мерной гиперсферы. Если взять любое сечение гиперсферы «Чужие», то мы получим ситуацию, отображенную на рис. 1 для двух анализируемых биометрических параметров (первого N = 1 и четырехсотого N = 400).

Для любой пары биометрических параметров линейный нейрон дает вероятность ошибок второго рода

Положение меняется, если использовать квадратичный нейрон, осуществляющий выделение данных образа «Свой» ^мерной сферой:

i=No

z(y) = "0", если у < 0, z(y) = "1", если у > 0,

Pifé) = 0,5

при малом значении ошибок первого рода

Pl(v) - 0,0.

Nn

y = Z

i=No

z(у) = "0", если у < k, z(у) = "1", если у > k,

где E (Vi) - математическое ожидание /-го биометрического параметра образа «Свой»; а(У/) - стандартное отклонение биометрического параметра образа «Свой»; k - порог срабатывания квантователя выходных данных сумматора квадратичного нейрона.

Рис. 1. Геометрическая интерпретация работы линейного нейрона и квадратичного нейрона

Следует отметить, что квадратичные нейроны (2) и линейные нейроны (1) всегда имеют сопоставимые вероятности ошибок первого рода:

P {(v)1}-P {(v)2}- 0,0.

Совершенно иная ситуация возникает для ошибок второго рода. Квадратичные нейроны практически всегда имеют меньшую вероятность ошибок второго рода:

P {(i)}< P2 {(5)1} = 0,5.

Так, для ситуации, представленной на рис. 1, вероятность появления ошибок второго рода составит 0,05, что в 10 раз меньше в сравнении с вероятностью шибок второго рода линейного нейрона. Неравенство (4) фактиче-

ски описывает «накладные расходы», идущие на обеспечение сокрытия биометрических данных пользователя при обучении нейросетевого преобразователя биометрия-код [1, 2]. Параметры квадратичных нейронов E(Vi), с("Уг-) полностью компрометируют персональные биометрические данные пользователя, тогда как весовые коэффициенты линейных нейронов ^ могут быть надежно защищены криптографическими механизмами [3]. В паспортно-визовых биометрических документах с ламинированной КРГО-микросхемой сетями квадратичных нейронов можно пользоваться; применять их в «облачной интернет-биометрии» нельзя, так как это приводит к нарушению требований Федерального закона № 152 «О персональных данных» [4]. На сегодняшний момент «облачная интернет-биометрия» может быть реализована только с использованием сетей линейных нейронов [1, 2], защищенных криптографическими механизмами по технической спецификации [3].

Ранее было высказано предположение, что гибридные линейно-квадратичные нейроны [5, 6] могут сохранять положительные свойства линейных нейронов, скрывая персональные данные, и одновременно снизить накладные расходы на защиту информации. Желательно построить гибридный полиномиальный нейрон, надежно скрывающий биометрические данные пользователя, и одновременно имеющий минимальные вероятностные издержки (5), идущие на обеспечение информационной безопасности.

Численное решение задачи оценки соотношения вероятностей ошибок второго рода для линейных и квадратичных форм нейронов

Для оценки вероятностей ошибок второго рода воспользуемся стандартизованной методикой [7], которая для одного нейрона сводится к использованию заранее созданной базы естественных тестовых образов «Чужой», сформированной по рекомендациям ГОСТ Р 52633.1 [8]. Если база тестовых биометрических образов оказывается мала, то ее необходимо увеличить за счет дополнительного использования синтетических биометрических образов, полученных по рекомендациям ГОСТ Р 52633.2 [9].

Так как линейные нейроны, обученные стандартизованным алгоритмом [2], при любой входной размерности дают одинаковую вероятность ошибок

второго рода ^2 {(^) } = 0,5, нам требуется оценивать только связь вероятности ошибок второго рода квадратичных нейронов с их входной размерностью. На рис. 2 приведен пример такой зависимости в логарифмическом масштабе значений вероятностей.

На рис. 2 пунктирная горизонтальная линия соответствует вероятности ошибок второго рода линейных нейронов с п входами. Падающая пунктирная линия соответствует идеальному квадратичному нейрону, обеспечивающему экспоненциальное снижение вероятности ошибок второго рода по мере роста размерности решаемой задачи:

P1

Реальные данные нейросетевой реализации квадратичной формы 2 вместо прямой линии дают монотонно снижающуюся кривую все больше и больше отклоняющуюся от идеальной. Так, идеальная квадратичная форма

8-го порядка (убывающая пунктирная линия на рис. 2) на данных рукописного образа «Пенза» [10, 11] должна давать вероятность ошибок второго рода 0,02, если среднее значение вероятностей ошибок второго рода для 8-разных вариантов одномерных квадратичных форм составляет 0,613. Реальная вероятность ошибок второго рода для 8-мерной квадратичной формы составляет 0,07, что более чем 3 раза больше предельного значения в вероятности ошибок второго рода - 0,02.

Рис. 2. Пример типичной функции монотонного роста выигрыша от замены линейного нейрона на нейрон с накоплением данных в квадратичном пространстве

Симметризация корреляционных связей нейронов при оценке эффекта усиления обогащения данных в квадратичном пространстве

При нейросетевом анализе многомерных биометрических данных важным вычислительным приемом является симметризация корреляционных связей [12, 13]. Суть этого приема состоит в замене обычных биометрических данных с некоторой асимметричной корреляционной матрицей на данные одинаково коррелированные и, соответственно, имеющие полностью симметричную корреляционную матрицу:

1 r1,2 r1,3 : r1, n

r2,1 1 r2,3 : r2,n

r3,1 r3,2 1 : r3,n = R(r1,2, r1,3,•••, rn,( n

rn,1 rn ,2 r n ,3 : 1

" 1 rn r : n : r n

rn 1 rn : r  'n

r n r n 1 : : rn = Rn (rn ),

r n r n rn : : 1

где Г/ j - обычные коэффициенты парной корреляции; Гп - одинаковые значения

коэффициентов парной корреляции, полученные после выполнения процедуры симметризации корреляционной матрицы.

Такая замена позволяет использовать простое описание реальной кривой вероятности ошибок второго рода:

Р2

По мере роста входной размерности реального нейрона с обогащением (накоплением) данных в квадратичном пространстве растет значение коэффициента равной коррелированности:

Г < Г < Г3 < .... < Гп .

При этом разность между соседними показателями равной коррелированности монотонно падает:

11ш

п^»

При некотором значении показателя входной размерности квадратичных нейронов (2) рост выигрыша от их использования по сравнению с линейными нейронами (1) прекращается.

Абсолютная устойчивость алгоритмов обучения нейронов, реализующих квадратичные формы Махалонобиса после их симметризации

Следует отметить, что разница между идеальным квадратичным нейроном и его упрощенным вариантом (рис. 2) обусловлена тем, что вместо метрики Махалонобиса использовалась взвешенная евклидова метрика (2). Обычная квадратичная метрика Махалонобиса в биометрии редко применяется из-за проблем с обучением этого типа нейронов:

'у = (Е (V) - V )Т[X п ]-1 • (Е (V) - V),

z

z(у) = "1", если у > k,

где [Хп ] 1 - обратная матрица коэффициентов ковариации биометрических данных.

Проблемы обучения классической формы нейронов Махалонобиса (10) обусловлены тем, что матрица коэффициентов ковариации плохо обращается. По мере роста ее размерности задача обращения матрицы коэффициентов ковариации становился все хуже и хуже обусловленной. Уже при размерности 3 и более задача обращения ковариационной матрицы с высокой вероятностью становится некорректной.

Обойти эту математическую проблему удается в том случае, если выполнить нормирование входных биометрических данных:

V

Ю/ .

^)

В этом случае матрица ковариаций [Хп ] 1 становится корреляционной матрицей общего вида [п ] , являющейся функцией от (п2/2-п) переменных. Если

же мы применим процедуру симметризации (6), то получим симметричную корреляционную матрицу Ёп ^ , являющуюся функцией одной переменной.

Переход от обращения обычных корреляционных матриц к обращению симметричных корреляционных матриц кардинально меняет ситуацию. Самыми устойчивыми являются симметричные единичные корреляционные матрицы. Такие матрицы получаются выбором слабокоррелированных биометрических данных, обрабатываемых одним нейроном Махалонобиса (10). Для этой цели необходимо вычислить полностью корреляционную матрицу исходных биометрических данных образа «Свой».

В этом случае для данных среды моделирования «БиоНейроАвтограф» [10, 11] мы имеем возможность построить сеть нейронов Махалонобиса с 416 нейронов для нормированной корреляционной матрицы 416*416 коэффициентов. При этом для синтеза таблицы входных связей первого нейрона М,ь М,2, •••., М,п необходимо анализировать первую строку матрицы корреляционных связей, выбирая коэффициенты корреляции с малыми значениями:

Г i := 0...415,

N j ^ j, если U j < 0,05.

Обычно для биометрических данных рукописного почерка удается находить от 8 до 24 слабо зависимых биометрических параметра. То есть в среднем удастся получать порядка 16 входов у нейронов Махалонобиса с единичной корреляционной матрицей:

у = (Е(Ю) -Ю)Т [1]- (Е(Ю) -Ю) г(у) = "0", если у < к, г(у) = "1", если у > к.

1-1

Легко убедиться в том, что таким же способом мы можем построить нейроны Махалонобиса с иными близкими к единичной симметричными корреляционными матрицами. Для всех симметричных корреляционных матриц число обусловленности оказывается близким к единице:

cond

" 1 0 : : 0" " 1 0.05 : : 0.05"

0 1 : : 0 0.05 1: : 0.05

= 1 ~ cond

0 0: : 1 0.05 0.05 : : 1

: cond

" 1 0.1 : : 0.1"

0.1 1 : : 0.1

0.1 0.1 : : 1

Для симметричных корреляционных матриц с малыми значениями коэффициентов равной корреляции число обусловленности оказывается вполне приемлемым для обучения нейронов Махалонобиса с входной размерностью от 8 до 16. Фактически выбор одинаковых коэффициентов корреляции или симметризация корреляционных связей входных данных нейронов Махалонобиса (12) - это один из весьма

эффективных способов регуляризации обучения нейросетевых преобразователей биометрия-код. Симметричные корреляционные матрицы [14] нет необходимости обращать во время обучения нейронов, они могут быть заранее обращены и запомнены. Исчезает самый неустойчивый в вычислительном отношении элемент алгоритм обучения. Еще одним важным элементом повышения устойчивости вычислений является то, что обратные симметричные корреляционные матрицы (14) при вычислениях (13) усредняют исходные данные. За счет этого свойства ошибки вычисления равных коэффициентов корреляции на малых выборках компенсируют друг друга. Симметричные корреляционные матрицы нейрона Махалонобиса с малыми значениями вне диагонали - это почти усреднение исходных данных в квадратичном пространстве.

Заключение

Таким образом, приведенные в данной статье соотношения позволяют однозначно утверждать, что мощность квадратичных форм нейронов значительно выше, чем мощность нейронов с накоплением данных в линейных пространствах. Для биометрических данных заданного качества всегда можно указать показатель размерности нейронов, при котором выигрыш от замены обычных нейронов на квадратичные стабилизируются. Так, для размерности n = 37 вероятность появления ошибок второго рода для данных графика на рис. 2 составит 0,007 и больше не растет. То есть максимально возможное снижение вероятности ошибок второго рода не может быть более чем в 71,5 раза для взвешенной Евклидовой метрики (2). Дальнейшее повышение размерности такого типа нейронов с квадратичным накоплением не дает роста выигрыша.

Если же мы выполним симметризацию корреляционных связей у нейронов, воспроизводящих квадратичные формы, их входная размерность может быть значительно увеличена, а кривая снижения мощности на рис. 2 выпрямляется, приближаясь к предельной прямой максимально возможного наклона.

Библиографический список

1. ГОСТ Р 52633.0-2006. Защита информации. Техника защиты информации. Требования к средствам высоконадежной биометрической аутентификации. - М., 2006.

2. ГОСТ Р 52633.5-2011. Защита информации. Техника защиты информации. Автоматическое обучение нейросетевых преобразователей биометрия-код доступа. -М., 2011.

3. Техническая спецификация (проект, публичное обсуждение второй редакции с 01.06.2018 в ТК 26 «Криптографическая защита информации»). Защита нейросетевых биометрических контейнеров с использованием криптографических алгоритмов. - М., 2018.

4. О персональных данных : федер. закон № 152-ФЗ от 27 июня 2006 г. - URL: https://duma.consultant.ru/page.aspx7878610

5. Волчихин, В. И. Особенности обучения сетей вероятностных нейронов Крамера - фон Мизеса на малых биометрических выборках / В. И. Волчихин, А. И. Иванов, С. Е. Вятчанин // Новые информационные технологии и системы : сб. науч. ст. XIV Междунар. науч.-техн. конф. (Пенза 22-24 ноября, 2017). - Пенза, 2017. - С. 159-163.

6. Волчихин, В. И. Абсолютно устойчивый алгоритм автоматического обучения сетей вероятностных нейронов Крамера - фон Мизеса на малых выборках биометрических данных / В. И. Волчихин, А. И. Иванов, С. Е. Вятчанин, Е. А. Малыгина // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2017. - № 2 (42). - С. 55-65.

7. ГОСТ Р 52633.3-2011. Защита информации. Техника защиты информации. Тестирование стойкости средств высоконадежной биометрической защиты к атакам подбора. - М., 2011.

8. ГОСТ Р 52633.1-20009. Защита информации. Техника защиты информации. Требования к формированию баз естественных биометрических образов, предназначенных для тестирования средств высоконадежной биометрической аутентификации. - М., 2011.

9. ГОСТ Р 52633.2-2010. Защита информации. Техника защиты информации. Требования к формированию синтетических биометрических образов, предназначенных для тестирования средств высоконадежной биометрической аутентификации. -М., 2011.

10. Иванов, А. И. Среда моделирования «БиоНейроАвтограф». Программный продукт создан лабораторией биометрических и нейросетевых технологий / А. И. Иванов, О. С. Захаров. - URL: Шр://пниэи.рф/ас1т1у/5аепсе/пос/Ьюпеигоаи-tugraph.zip.

11. Иванов, А. И. Автоматическое обучение больших искусственных нейронных сетей : учебное пособие к пакету лабораторных работ «БиоНейроАвтограф» / А. И. Иванов. - Пенза, 2013. - 30 с. - URL: http://пниэи.рф/activity/science/noc/tm_ IvanovAI.pdf

12. Ахметов, Б. Б. Многомерные статистики существенно зависимых биометрических данных, порождаемые нейросетевыми эмуляторами квадратичных форм : монография / Б. Б. Ахметов, А. И. Иванов. - Казахстан-Алматы : Из-во LEM, 2016. - 86 с.

13. Волчихин, В. И. Быстрый алгоритм симметризации корреляционных связей биометрических данных высокой размерности / В. И. Волчихин, Б. Б. Ахметов, А. И. Иванов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2016. - № 1 (37). - С. 5-15.

14. Волчихин, В. И. Обучение сетей квадратичных форм на малых выборках биометрических данных с использованием процедуры симметризации корреляционных связей / В. И. Волчихин, А. И. Иванов, Е. А. Малыгина, Ю. И. Серикова // Измерение. Мониторинг. Управление. Контроль. - 2018. - № 1 (23). - C. 66-74.

References

1. GOST R 52633.0-2006. Zashchita informatsii. Tekhnika zashchity informatsii. Tre-bovaniya k sredstvam vysokonadezhnoy biometricheskoy autentifikatsii [Information protection. Information protection technology. Requirements to the means of high-reliability biometric authentication]. Moscow, 2006.

2. GOST R 52633.5-2011. Zashchita informatsii. Tekhnika zashchity informatsii. Avto-maticheskoe obuchenie neyrosetevykh preobrazovateley biometriya-kod dostupa [Information protection. Information protection technology. Automatic learning of neural network biometrics-access code converters]. Moscow, 2011.

3. Tekhnicheskaya spetsifikatsiya (proekt, publichnoe obsuzhdenie vtoroy redaktsii s 01.06.2018 v TK 26 «Kriptograficheskaya zashchita informatsii»). Zashchita neyrosetevykh biometricheskikh konteynerov s ispol'zovaniem kriptograficheskikh algorit-mov [Technical specification (draft, public discussion of the second edition on 01.06.2018 in TK 26 "Cryptographic protection of information"). Protection of neural network biometric containers using cryptographic algorithms]. Moscow, 2018.

4. O personal'nykh dannykh: feder. zakon № 152-FZ ot 27 iyunya 2006 g. [On personal data: the federal law № 152-FZ of June 27th, 2006]. Available at: https://duma.consultant.ru/page.aspx7878610

5. Volchikhin V. I., Ivanov A. I., Vyatchanin S. E. Novye informatsionnye tekhnologii i sistemy: sb. nauch. st. XIV Mezhdunar. nauch.-tekhn. konf. (Penza 22-24 noyabrya,

2017) [New information technologies and system: proceedings of XIV International scientific and technical conference (Penza, November 22nd-24th, 2017)]. Penza, 2017, pp. 159-163.

6. Volchikhin V. I., Ivanov A. I., Vyatchanin S. E., Malygina E. A. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Tekhnicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Engineering sciences]. 2017, no. 2 (42), pp. 55-65.

7. GOST R 52633.3-2011. Zashchita informatsii. Tekhnika zashchity informatsii. Te-stirovanie stoykosti sredstv vysokonadezhnoy biometricheskoy zashchity k atakam pod-bora [Information protection. Information protection technology. Testing the resistance of high reliability biometric protection means to picking attacks]. Moscow, 2011.

8. GOST R 52633.1-20009. Zashchita informatsii. Tekhnika zashchity informatsii. Tre-bovaniya k formirovaniyu baz estestvennykh biometricheskikh obrazov, prednazna-chennykh dlya testirovaniya sredstv vysokonadezhnoy biometricheskoy autentifikatsii [Information protection. Information protection technology. Requirements to the formation of bases of natural biometric images intended for testing of high reliability biometric authentication means]. Moscow, 2011.

9. GOST R 52633.2-2010. Zashchita informatsii. Tekhnika zashchity informatsii. Tre-bovaniya k formirovaniyu sinteticheskikh biometricheskikh obrazov, prednaznachen-nykh dlya testirovaniya sredstv vysokonadezhnoy biometricheskoy autentifikatsii [Information protection. Information protection technology. Requirements to the formation of synthetic biometric images intended for testing og high reliability biometric authentication means]. Moscow, 2011.

10. Ivanov A. I., Zakharov O. S. Sreda modelirovaniya «BioNeyroAvtograf». Pro-grammnyy produkt sozdan laboratoriey biometricheskikh i neyrosetevykh tekhnologiy [Simulation environment "BioNeuroAutograph". Software created by the laboratory of biometric and neural network technologies]. Available at: http://pniei.rf/activity/ science/noc/bioneuroau-tugraph.zip.

11. Ivanov A. I. Avtomaticheskoe obuchenie bol'shikh iskusstvennykh neyronnykh setey: uchebnoe posobie k paketu laboratornykh rabot «BioNeyroAvtograf» [Automatic learning of large artificial neural networks: tutorial to the practical training package "Bio-Neuro Autograph"]. Penza, 2013, 30 p. Available at: http://pniei.rf/activity/ science/noc/tm_ IvanovAI.pdf

12. Akhmetov B. B., Ivanov A. I. Mnogomernye statistiki sushchestvenno zavisimykh biometricheskikh dannykh, porozhdaemye neyrosetevymi emulyatorami kvadratichnykh form: monografiya [Multidimensional statistics of significantly dependent biometric data created by neural network emulators of quandratic forms: monograph]. Kazakhstan-Almaty: Iz-vo LEM, 2016, 86 p.

13. Volchikhin V. I., Akhmetov B. B., Ivanov A. I. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Tekhnicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Engineering sciences]. 2016, no. 1 (37), pp. 5-15.

14. Volchikhin V. I., Ivanov A. I., Malygina E. A., Serikova Yu. I. Izmerenie. Monitoring. Upravlenie. Kontrol' [Measurement. Monitoring. Management. Control]. 2018, no. 1 (23), pp. 66-74.

Волчихин Владимир Иванович доктор технических наук, профессор, президент Пензенского государственного университета

E-mail: president@pnzgu.ru

Volchikhin Vladimir Ivanovich Doctor of engineering sciences, professor, president of Penza State University

Иванов Александр Иванович доктор технических наук, доцент, начальник лаборатории биометрических и нейросетевых технологий, Пензенский научно-исследовательский электротехнический институт

E-mail: ivan@pniei.penza.ru

Малыгина Елена Александровна кандидат технических наук, научный сотрудник, межотраслевая лаборатория тестирования биометрических устройств и технологий, Пензенский государственный университет

E-mail: mal890@yandex.ru

Серикова Юлия Игоревна аспирант, Пензенский государственный университет

E-mail: julia-ska@yandex.ru

Ivanov Aleksandr Ivanovich Doctor of engineering sciences, associate professor, head of the laboratory of biometric and neural network technologies, Penza Research Institute of Electrical Engineering

Malygina Elena Aleksandrovna Candidate of engineering sciences, researcher, interdisciplinary laboratory of biometric devices and technologies testing, Penza State University

Serikova Yuliya Igorevna Postgraduate student, Penza State University

УДК 519.24; 53; 57.017 Волчихин, В. И.

Сопоставление мощностей двух типов искусственных нейронов, осуществляющих обогащение биометрических данных в линейном и квадратичном пространствах / В. И. Волчихин, А. И. Иванов, Е. А. Малыгина, Ю. И. Серикова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2018. - № 3 (47). - С. 47-57. - Б01 10.21685/2072-3059-2018-3-5.