Метод взаимного перевода индексированных и табличных выводов

П.И. Быстров

МЕТОД ВЗАИМНОГО ПЕРЕВОДА ИНДЕКСИРОВАННЫХ И ТАБЛИЧНЫХ ВЫВОДОВ

Abstract. There "indexed derivation" means a derivation in Gentzen-style modal sequent calculi with indexed formulae. These calculi admit direct constructive proof of cut-elimination theorem. As consequence we have explicit procedure of mutual transformation for indexed and tableaux-style derivations in so called "normal" modal propositional systems.

В данной стате один из вариантов упомянутого в ее названии метода демонстрируется на примере класса нормальных пропозициональных модальных систем табличного вывода {ST}R и дедуктивно эквивалентных им секвенциальных исчислений с индексированными формулами {SG}r При этом предполагаются известными стандартные понятия и правила, применяемые при построении «блоковых» аналитических таблиц для конечных множеств префиксированных формул (т. е. формул с префиксами T и F) и генценовских секвенциальных исчислений. Везде далее —, &, з, v - классические пропозициональные константы; а, в, у (возможно, со штрихами) - формулы; i, k, l, m, n - натуральные числа; u, w, z (возможно, со штрихами) - индексы; S, Si - конечные множества (возможно, пустые) индексированных формул.

Индекс - это начинающаяся с 0 конечная последовательность попарно различных натуральных чисел (например: 0, 1, 7, 21, ..., n, где n не совпадает ни с одним из элементов последовательности {0, 1, 7, 21, ..., m}; m<n).

Индексированная формула - это выражение вида (a)w , где а -правильно построенная формула, а w - индекс. Соответственно, префиксированная индексированная формула - это выражение вида T(a)w ,(или F(a)w), где Т(или F) - префикс.

Отношение R - это бинарное отношение на множестве индексов, такое, что uRw, если и только если w = u, k или u = w. Свойства этого отношения определяются любой непустой комбинацией условий, выраженных следующими формулами: 1. Vw

2. Vu Vw Vz

3. Vu Vw

Выполнимость всех условий (1)-(3), означает, что имеет место

4. Vu Vw (uRw) (универсальность) В таком случае {ST}R обозначает класс табличных пропозициональных модальных систем. Конкретная система этого класса получается в зависимости от того, какие условия выполняются для R. Например, если R удовлетворяет условию (4), STR - это табличный вариант известной системы S5; если удовлетворяются только условия (1) и (3), STR - это табличный вариант «брауэровой» модальной системы. Точно также обстоит дело и с обозначением {SG}r класса секвенциальных исчислений с индексированными формулами. В общем случае {ST}R ({SG}R) охватывает весь класс таких модальных систем, которые непротиворечивы и полны относительно фреймов Крипке, в которых бинарное отношение достижимости R удовлетворяет конечному множеству условий {Con}, каждый элемент которого выразим общезначимой формулой первопорядковой логики с единственным двухместным предикатом.

Множество индексированных формул называется чистым, если всем его элементам не приписано никаких других индексов, кроме 0.

В формулировке систем {ST}R (кроме введенных только что понятий) используются только префиксированные индексированные формулы и следующие понятия и определения.

Начальное множество S (таблицы t) - это множество формул, которое служит посылкой хотя бы одного применения правила построения (таблицы t) и не является заключением ни одного применения такого правила.

Конечное множество ветви - это множество формул, которое не является посылкой ни одного применения правил построения таблицы.

Главной формулой рассматриваемого применения правила построения таблицы называется формула, к которой применяется данное правило; боковой формулой рассматриваемого применения правила построения таблицы называется любая из формул, которые получаются из главной формулы в результате применения данного правила. Например, в схеме правил построения таблицы для

S, T(avP)w S, F(avP)w

S, Fa wl S, Tp w S, Ta w ; S, Fp w

формулы T(avP)w и F(avP)w являются главными, а формулы Ta , и Fp w - боковыми.

Определение 1. Вхождения формул вида Т(а)„ и Р(а)„ в некоторую ветвь Ь таблицы 1 называются контрарной парой ветви Ь в 1.

Определение 2. Ветвь Ь таблицы 1 замкнута, если в ней содержится по крайней мене одна контрарная пара. Таблица Ь замкнута, если замкнута каждая ее ветвь.

Завершенная ветвь таблицы - это незамкнутая ветвь, в которой не применимо ни одно из правил построения таблицы. Завершенная таблица - это таблица, все ветви которой являются завершенными.

В общем случае, замкнутая ветвь таблицы может быть незавершенной в том смысле, что в конечном множестве этой ветви есть по крайней мере одна формула, которая может служить боковой формулой применения правила построения таблицы.

Система |8Т|К задается следующим множеством правил построения аналитических таблиц для формул, главными логическими знаками которых являются &, V, — и  :

8, Т(а^Р)и

8, Ба „ | 8, Тр „

8, Т^Р)„ 8, Та „ | 8, Тр „

8, Р(а&Р)„ 8, Ба „ | 8, Бр

8, Т(—а)„

- Т-

Т^

8, Б(а^Р)и

8, Та „ , Бр , 8, F(аvP)w

8, Ба w, Бр w

8, Т(а&Р)и

Fv

Т&

8, F(а)w 8, Т(Па)и 8, T(а)w

ТП

8, Та w, Тр ,

8,

8, T(а)w 8, Б(Па)и

Б-

БП

8, Б

'и, к

В схеме правила БП к - число, не встречающееся в индексах, приписанных формулам множества {8, Т(Па)и}; в схеме правила ТП имеет место иЯда.

Выводом Б (множества формул 8) в системе @Т}К называется замкнутая таблица Ь с начальным чистым множеством

S, построенная по правилам системы {8Т}К. Соответственно, под-выводом П такого вывода П считается любая подтаблица 1 таблицы 1.

При построении выводов в {8Т}К предполагается, что правила построения не применяются к конечному множеству формул замкнутой, но не завершенной ветви.

В определенном смысле (который будет ясен далее) интерес представляют "альтернативные формулировки" - систем {8 Т}и, которые получается из {8Т}и добавлением следующих схем правил:

Б, Т(а)и

8

ШТ

Б, Б(а)и

Б

Б, Т(а)„

Б, Т(а)„ , Т(Р),

СТ

Б, Б(а)и

СБ

Б, Б(а)„ , Р(Р)И

В схемах правил ШТ и ШБ множество Б содержит по крайней мере одну контрарную пару.

Пример вывода в 8Ти (где Я выполняет пункт (4)):

1. БП(-П (азР) з (П-Ща) з(азР)))) о

2. Б(-П (азР) з (П-Ща) з(азР))) о 1

3. Т(-а (азР))о,1 , Р(М((а) з(азР))) о, 1

4. Б(П (азР))о,1 , П((а) з(азР))) о, 1

5. Б(П (азР))о,1 , Б(-П((а) з(азР))) о, 1, 2

6. Б(П (азР))о,1 , Т(П((а) з(азР))) о, 1, 2

7. Б(азР))о,1,з , Т(П ((а) з(азР))) о, 1, 2

8. Б(азР))о,1,з , Т((а) з (азР)) о, 1, з

9. Б(азР))о,1,з , Б(а)о, 1, з I Б(азР))о,и ,Т(азР)) о, 1, з

Ю. Т(а)о,1,з , Б(Р)о, 1, з Б(а)о, 1, з

Здесь, в строках 1 и 2 Б - пустое множество, а единственной "точкой ветвления" табличного вывода является строка 8.

Секвенцией будем называть упорядоченную пару вида Б1, ; Б2, где Б1 и Б2 - конечные (возможно, пустые) множества индексированных формул. Как обычно, Б1 называется антецедентом, а Б2 - консеквентом. Будем считать, что означает 0;Б, Б; означает Б;0; и, наконец, ; означает 0;0. (Чистая секвенция Б1, ; Б2 после удаления всех индексов о в точности соответствует генценовской секвенции Г^ 0. Поэтому, перевод секвенции Б1, ; Б2 , в которой Б1 и Б2 - непустые мно-

жества,есть формула

Секвенциальные исчисления {8С}К задаются аксиомой (основной секвенцией вида 81, ; 82, где каждое из множеств 81 и 82 содержит формулу ((а^ и следующими схемами правил вывода:

81, ; 82, (а) 81, (Р) w; 82 (а) w, 81, ; 82 , (Р) w

- за - 38

81, (азр^; 82

81, ; 82, (азР)„

8ЬС^,; 82 8Ь (Р^; 82 8Ь ; 8( , (а)*_, (Р^ - va - vs

81, ^р^; 82

81, ; 82, ^Р)и

81, ; 82, (а) w 81 ; 82, (Р) ,

81,

&8

&а

81 ; 82, (а&Р)и 8Ь (а)!¥ ; 8(

81, ; 82, 8Ь (аХ( 82

81, (Па)и; 82

81,

—8

- а

8Ь (—'а^,; 82 81 ; 82 , (а)и, к

8 - Па

8 ; 82 (Па)и

81, ; 82,

еШ;

81, 82 ; 83 84

В схеме правила № к - число, не встречающееся в индексах, приписанных формулам в секвенции заключения; в схеме правила Па имеет место иЯ^.

Системы {8*С}К получаются из {8С}К заменой схем правил &а и vs соответственно схемами

8Ь (а^; 8(, 81, (а&P)w; 82

&а1

81, (в) w; 82 ,

81, (a&P)w; 82

&а2

и

Бь ; §2,

- vs1 - vs2

§1, ; §2, ^Р)„ §1, ; §2, ^Р)„

заменой схемы правила за схемой §1, ; §2,

§3,

- за1

§1, §3, (азР)„; §2 , §4

и добавлением схем структурных правил утончения и сокращения

§1, ; §2, §1, ; §2 - Ws - Wa

вь ; (а)ш Sl, (а)ш ; §2

§1, ; §2, (а) ш? (а) §1, (а) ш? (а)ш; §2 - Cs - Са

S1, ; ^ (в)ш S1, (а)ш ; §2

Приведем пример вывода в 8 (где Я выполняет пункты 1, 2):

(а) 0, 1, 2 ; (а) 0, 1, 2

(а) 0,1,2 , (Р) 0,1,2; (а) 0,1,2 (а) 0,2 ; (Рза) 0, 1, 2

)а) 0 ; ( (Рза)) 0, 1

)а) 0 ; ( [] ((а) з (Рза))) 0

; ( (а) 0 з   ((а) з (Рза))), Пример вывода в (где Я выполняет пункт (4)):

(а)0, 1, з; (а)0, 1, з, ((3)0, 1, з

; (а)0, 1, з, (азв))0,1,з (азр)0,и ;(аз() 0, 1, з

((а) з (а=э(3))0, 1, з; (аз()) 0, 1, з (((а) з(азв))) 0,1,2 ; (аз()))0,1,з ( ()а) з)азв))) 0, 1, 2 ;( (аз^Ь ( ((а) з(азв))) 0,i,) , (-.С] (азв)^; (- (аз(3))0,1 ; (- ((а) з(азв))] (- (а^(3))0,1 ; )- ((а) з(азв))) 0,1 ; (- (oi^(3))0,1 з (- ((а) з(азр))) 1 ; ( ((- (аз()) з (- ((а) з(азв))))) 0

Выводами в {SG}r и {S G}R являются деревья секвенций, построенные по правилам данных систем, начиная с основной секвенции (основных секвенций). Легко показать, что эти исчисления дедуктивно эквивалентны в том смысле, что секвенция S1, ; S2 выводима в {SG}r, если и только если она выводима в {S G}R. Выводы, в которых всем вхождениям формул приписан индекс 0 будем называть чистыми выводами. Степенью индекса называется общее количество натуральных чисел в данном индексе, отличающихся от 0. Нпример, степень индекса 0, 1, з, 12 равна з. Таким образом, 0 - это индекс нулевой степени. Индекс u называется подиндексом индекса w, если степень индекса u меньше или равна степени индекса w.

Для {SG}r и {S G}r верна следующая лемма. Лемма 1. Любой свободный от сечения вывод секвенции, являющейся посылкой единственного применения правила П s, можно преобразовать в чистый вывод этой секвенции.

Справедливость леммы вытекает из того факта, что степень индекса формулы, входящей в секвенцию, с необходимостью увеличивается на единицу только тогда, когда эта формула становится главной формулой применения правила Ds. Применения правил для введения в антецедент и сукцедент секвенций классических пропозициональных констант не влияют на индексы. Применение

правила Па позволяет не изменять степень индекса боковой формулы при переходе от посылки к заключению.

Например, рассмотрим удовлетворяющий условию леммы исходный вывод

(а) 0, 1, 2 ; (а) 0, 1, 2

(а) 0, 1; 2 , (Р) 0Л.2) (*_))) 0,1,2

(а) 0,;,2 ; (Рза)0,1,2

(а) 0 ; )Рза))0, 1, 2

(а) 0 ; ( (Рза))0, 1

Его подвывод, заканчивающийся секвенцией  (а) 0 ; ((а) з (Рза))0, 1, 2 , легко преобразовать в следующий чистый вывод посылки применения правила №:

(а) 0 ; (а) 0

(а) о, ((3) о; (а) о

(а) о ; (Р=эа)о  (а) о ; (Р^а)о

а затем применить Ds, получив ту же конечную секвенцию  (а) о ; ( (Рза))о, i . *

В общем случае, для {SG}R и {S G}R имеет место следующая лемма.

Лемма 2. Любой свободный от сечения вывод секвенции, заканчивающийся посылкой применения модального правила с главной формулой П (a)w, содержит вхождение секвенции, в которую входит формула(а)и, где u - подиндекс индекса w.

Поскольку только применение правила Ds может увеличить степень индекса боковой формулы ровно на единицу, лемма без затруднений доказывается возвратной индукцией по длине указанного в ее условии вывода.

В исчислениях {SG}R Cut является допустимым в силу следующей теоремы.

Теорема (об устранении сечения). Любой вывод в {SG}R можно преобразовать в вывод с той же конечной секвенцией, не содержащий применений правила Cut.

Теорема доказывается стандартным методом Генцена. Специфика доказательства состоит в том, что из исходного вывода устраняются не «смешения», а непосредственно применения правила сечения и добавляются следующие случаи, связанные с применением двух модальных правил.

1. Индукция по степени сечения. Ранг исходного вывода равен 2. Степень сечения >о. Конец исходного вывода D имеет следующий вид:

Si ; S2 , (a)u, k Sз, (a)w; S4

81, (Па)и; !5з, (Па)и ;

§1, 82 ; 83, 84

1.1 Если w = и, к, вывод Б преобразуется в следующий вывод В с меньшей степенью сечения:

81 ; §2 , (а)и, к ^ (а)w; 84

S1, S2 ; S3, S4

1.2 w Ф u, k. Тогда u является подиндексом индекса w. Согласно леммам 1 и 2, либо вывод левой посылки единственного применения Cut в D чистый, либо в нем найдется вхождение секвенции, в сукцедент которой входит формула (a)z , где u (и w) -подиндекс индекса z. В любом случае, сечение применяется к этому вхождению секвенции, и получается следующий вывод D с меньшей степенью сечения (z = w):

S1 ; S2 , (a)z ^»3, (a)w» S4

S1, S2 ; S3, S4

2. Индукция по рангу сечения. Ранг единственного применения сечения в исходном выводе >2. Степень сечения произвольна. Случаи применения модальных правил в исходном выводе рассматриваются так же, как случаи для других однопосылочных правил.

С одной стороны, преобразование любого вывода в табличной системе {ST}R в свободный от применений правила Cut вывод в исчислении {SG}R является простой "механической" процедурой.

С другой стороны, из теоремы об устранении сечения следует, что любой вывод в исчислении {SG}R можно «освободить» от применений правила Cut. Затем, можно естественным образом "переписать" такой секвенциальный вывод в табличный вывод системы {ST}R.

Например, с приведенным ранее примером табличного вывода мы поступаем следующим образом:

(1) Упорядочиваем все формулы слева направо, сначала записывая формулы с префиксом T, а затем - формулы с префиксом F.

(2) Группы формул с T (F) отделяем от групп формул с F (T) или от пустых групп знаком ; .

(3) Вычеркиваем все префиксы.

В результате шагов (1) - (з) получается секвенциальная конструкция:

1. ;(- (аз() з (-((а) з(азр)))) 0

2. ;(- (аз() з (-((а) з(азр))) 0, 1

3. (- (аз())0, 1 ; (-((а) з(азр))) 0, 1

4. ( (азр))0, 1 ; (-((а) з(азв))) 0, 1

5. ( (азр))0,1 , (-П((а) з(азв))) 0, 1, 2 ;

6. (D((a) з(азр))) 0, 1, 2 ; ( (азр))0,1 ,

7. ( ((а) з(азр))) 0, 1, 2 ; (азв))0,1,з ,

8. ((а) з (аз()) 0, 1, з ; (азв))0,и ,

9. (азв))0,1,з , (а)0, 1, з ; (аз()) 0, 1, з ; (азв))0,и ,

10. (а)0, 1, з ; (3)0, 1, з (а)0, 1, з

Очевидно, что если убрать нумерацию строк и «перевернуть» эту конструкцию «с ног на голову» получится корректный вывод в исчислении {SG}R. Естественно, что любой свободный от сечения вывод в {SG}r также переписывается в табличный вывод в {ST}R. Доказательство наличия такого взаимного преобразования для общего случая не встречает препятствий. Из этого следует, что системы {SG}r и {ST}R дедуктивно эквивалентны, а исчисления {SG}r разрешимы.