Подготовка студентов к использованию историко-математических сведений в школе

математического портфолио // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. Киров: Изд-во ВятГГУ, 2010. С. 186-189.

6. Скорнякова А. Ю. Электронное портфолио в математической подготовке студентов педвуза // Ярославский педагогический вестник. Психолого-педагогические науки: науч. журн. 2010. № 2. С. 176-179.

УДК 370

А. Е. Малых, В. Л. Пестерева

ПОДГОТОВКА СТУДЕНТОВ К ИСПОЛЬЗОВАНИЮ ИСТОРИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ СВЕДЕНИЙ В ШКОЛЕ

Представлено многовековое развитие и формирование понятия «интеграл»; показаны возможности исторического содержания в решении профессиональных проблем. Рассмотрена проектная технология для реализации компетентностного подхода. Отмечена роль преподавателя в подготовке студентов.

Centuries old development and formation of notion «integral» is represented; possibilities of historical maintenance in decision of professional problems are showen. The project technology for realization of competency approach is examined; role of the teacher in preparation of students is marked.

Ключевые слова: компетенция, профессиональная проблема, историко-математический материал, цель, средства, интеграл, вычислительные методы, предельный переход, проектная технология, опыт, самостоятельность.

Keywords: competency, professional problem, historical material, intention, means, integral, computational methods, limiting passage, project technology, experiment, independence.

В процессе обучения преподаватель старается дать студентам как можно больше знаний. Считается, что начинающие школьные учителя сами выбирают материал, необходимый им для решения профессиональных проблем. Однако без достаточного опыта у них могут появиться трудности. Научить студентов использовать знания как средство для достижения цели - основная задача компетентнос-тного подхода к обучению, однозначное толкование которого, к сожалению, в психолого-педагогической литературе пока отсутствует. Не лучше обстоит дело и с трактовкой его важнейших понятий - «компетенция» и «компетентность». В определениях ряда авторов содержатся компоненты: а) знания, умения, навыки; б) способы деятельности; в) владение компетентностью; г) личное отношение к объекту компетентности. Именно они составляют

© Малых А. Е., Пестерева В. Л., 2012 72

инвариантное ядро различных определений понятия «компетенция». Оно имеется и в определении А. В. Хуторского: «Компетентность - владение, обладание человеком соответствующей компетенцией, включающее его личное отношение к ней и к предмету деятельности». При этом компетенция определяется и как «...совокупность взаимосвязанных качеств личности (знаний, умений, навыков, способов деятельности), задаваемых по отношению к определенному кругу предметов и процессов, и необходимых, чтобы качественно, продуктивно действовать по отношению к ним» [1].

В статье рассмотрена реализация компетентно-стного подхода при изучении студентами истори-ко-математического материала на примере рассмотрения многовекового развития и формирования понятия интеграла. Наш выбор обусловлен рядом обстоятельств, в том числе и профессиональной проблемой. Она заключается в том, что в развитии инфинитезимальных методов, охватывающем около 23 столетий, ученым приходилось решать многочисленные проблемы, которые, в конечном счете, привели к формированию понятия «интеграл». В школьном курсе математики этому вопросу уделяется несколько уроков. За это время ученики не могут осознать суть понятия интеграла, необходимость его изучения, что, в свою очередь, приводит к формальному использованию знаний при решении задач из различных областей естествознания.

Изучение историко-математического материала осуществляется со студентами на основе совместной разработки проекта; его структура включает описание проблемы, средства для ее решения и ожидаемого результата [2]. Деятельность преподавателя в этой ситуации направлена на развитие самостоятельности будущих учителей. Так, при обсуждении способов решения проблемы активизируется деятельность студентов, связанная с фиксацией определенного набора знаний по выбранной теме, формулируется цель - разработка дидактических материалов, обеспечивающих понимание «интеграла». Для ее достижения могут быть выбраны средства, приведенные ниже.

1. Изучение предыстории введения понятия интеграла и осознание важности таких сведений в предметном понимании темы.

2. Адаптация для школьников исторического материала при постановке проблемы и формировании понятия интеграла; вычислении площади фигуры; подготовке и проведении итогового урока по теме.

3. Выбор форм реализации исторического содержания: экскурс, эвристическая беседа, фрагмент лекций, семинар, сообщения учащихся, исследовательская работа школьников, конференции и т. д.

4. Разработка методики изучения темы с использованием исторических сведений в классах различной профильной направленности.

А. E. Малых, В. Л. Пестерева. Подготовка студентов к использованию историко-математических сведений.

5. Апробация подготовленных дидактических материалов при прохождении педагогической практики.

Первым шагом в достижении поставленной цели является изучение предыстории введения понятия интеграла. Преподаватель обозначает наиболее важные моменты развития научного знания, а студенты осуществляют поиск необходимых материалов и адаптируют их для школьников. При таком подходе исторические сведения являются не только целью, но и средством решения профессиональной проблемы. Рассмотрим ключевые моменты эволюции понятия интеграла.

Обратимся к Древней Греции. Для решения многих метрических задач уже во времена античности использовались два метода, считавшиеся строгими: «исчерпывания» и «неделимых». Покажем, как развивался и усовершенствовался первый. Его открытие принадлежит Евдоксу Книдскому (ок. 408 -ок. 355 до н. э.) - знаменитому математику и астроному. Архимед (287-212 до н. э.) значительно его усовершенствовал, создав на его основе методы интегральные, дифференциальные и др.

Метод «исчерпывания» или «истощения» применялся древними греками при вычислении площадей криволинейных фигур; объемов тел вращения и их частей, длин кривых, касательных и под-касательных к ним, а также в других случаях. Математическая суть его заключалась в выполнении последовательности ряда операций. Пусть следует найти площадь S криволинейной фигуры Ф. Тогда:

1. В Ф вписывается монотонно возрастающая последовательность фигур А1, Аг,...Ая,..., причем площадь каждой из них могла быть определена.

2. Фигуры А, где i = 1, 2,..., подбираются так, чтобы положительная разность S - Ак могла быть сделана сколь угодно малой.

3. Из существования и построения описанной около Ф последовательности монотонно убывающих фигур Вх, Вг,..., Бк ... делается вывод об ограниченности сверху Ак, «исчерпывающих» Ф.

4. Неявным образом, исходя из различных соображений для каждой конкретной задачи, находится предел последовательности Ак.

5. Наконец, методом от противного («приведение к нелепости») доказывается единственность предела А к, т. е. что выполняется основная лемма исчерпывания: если от данной величины отнять часть, большую её половины, затем таким же образом отнимать вновь и вновь, то остаток может быть сделан сколь угодно малым.

Покажем, как применял этот метод Архимед (III в. до н. э.) для нахождения площади косого параболического сегмента АБС, отсекаемого хордой АС. Описанной фигурой В1 был параллелограмм AMNC, образованный касательной MN в точке Б диаметра ОБ, прямыми AM и CN, параллельными БО (рис. 1).

Рис. 1

1. Первой фигурой последовательности А. «исчерпывающих» сегмент, являлся треугольник АБС (рис. 1). Фигура А2 получалась добавлением треугольников ADB и BEC к ABC. Они строились делением АС на четыре равных части и проведением FD|| OB, GE II OB. Из определения параболы доказывалось, что = = A + f, где S) abc = ). Аналогичным образом строились фигуры А3, ..., Ая.Таким образом, получали последовательность площадей фигур:

ДА Д

S. =Д + — + + + —Г + -.

Л 4 42 •• 4» i ••••

В п. п. 2-3 доказывалось, что эта последовательность «исчерпывает» параболический сегмент, т. е. разность S - An < е, где n = n(e). Для этого описывался параллелограмм AMNC и выяснялось выполнение приведенной выше леммы.

4. Находился предел последовательности А..

¿4

Архимед доказал, что Ап = Д(1 + > ,) , нашел сум-

it -i §

му членов геометрической прогрессии с Ь1 = 1,

1 . 4 . 1 А _

q =- и получил А„ = -л_g ' ¿j^t. Так как вычитаемое может быть сделано сколь угодно малым при

4 4

n 6 4, то ученый получил Ss =-А = у<5дш;.

5. Решение задачи завершилось доказательством методом от противного единственности результа-

4

та: s - Д.

3

Метод исчерпывания лежал в основе многих инфинитезимальных методов. В своих сочинениях, например, «О шаре и цилиндре», «О коноидах и сфероидах» для вычисления объемов тел вращения и их частей, Архимед применял метод интегральных сумм. Исходные положения оставались прежними. Конкретному решению задачи предпослана лемма исчерпывания: если дан сегмент сфероида, отсеченный плоскостью, перпендикулярной оси, то можно вписать в него и описать около него фигуры, состоящие из цилиндриков равной высоты так, чтобы описанная фигура превосходила

вписанную меньше, чем на любую сколь угодно малую телесную (объемную) величину.

2 а -

Рис. 2

Итак, даны тело вращения эллипсоида ABC и телесная величина е > 0 (рис. 2). Архимед делил BO на n равных частей, строил вписанные и описанные цилиндры, сумму объемов которых считал

как VSn и Von. Их разность равна объему цилиндра °n' 2 Ъ

AA1C1C, т. е. t-e •—, который при достаточно большом n может быть сделан сколь угодно малым. Для вычисления объема ^V эллипсоида вращения Архимед нашёл Vn и Von. Пользуясь леммой исчерпывания и выполнив сложные вычисле-2

ния, он нашёл Vсешш =~Ba2b. Единственность доказывалась, как всегда, методом от противного.

Приведенный пример показывает, что уже в античной математике сложились элементы определенного интегрирования, в первую очередь, построение верхних и нижних интегральных сумм, до известной степени аналогичных суммам Дарбу, носящих имя французского математика (1842— 1917), изучавшего определенные интегралы. Метод исчерпывания широко применялся не только в античные времена. Его логическая строгость оставалась непревзойденной на протяжении многих столетий.

К середине XVII в. ученые Западной Европы восхищались безупречной строгостью метода «исчерпывания», но пошли несколько иным путем. Дело в том, что понятие предела последовательности определялось не всегда достаточно четко; но в том случае, когда пределы S

совпадали, их общее значение считалось величиной площади (объема). Учитывая это, ученые уже не стали использовать метод по всем пунктам. Именно так применял его итальянский математик Лука Валерио (1552-1618) в работах «О центрах тяжести тел» и «О квадратуре параболы». Он показал не только знакомство с исследованиями древних греков, но и проявил огромную находчивость и смекалку. Его труды, возможно, оказали влияние и на Бонавентуру Кавальери (1598-1647), создавшего метод, названный его именем. Впоследствии усовершенствованным методом истощения пользовались Блез Паскаль (1623-1662), Пьер Ферма (1601-1665), Жиль Роберваль (1602-1675) и другие. Во второй половине XVII в. рассматриваемое направление сделалось основным. Относящиеся к нему вычисления стали называть квадратурами.

При отыскании новых квадратур возникали трудности с вычислениями пределов. Была обнаружена взаимная связь между задачами на квадратуры и проведением касательных. Ее значимость смогли осознать и сделать основой нового исчисления лишь Исаак Ньютон (1643-1727) и Готтф-рид Вильгельм Лейбниц (1646-1716). Основным понятием для вычисления квадратур у И. Ньютона была первообразная (флюента, вычисляемая по флюксии). Квадратура, соответствующая площади криволинейной трапеции, выражалась значением первообразной Р(х), что равносильно Р(Ь) - Б(а). В таком же направлении выполнял свои исследования и Г. В. Лейбниц. Однако он был неудовлетворен решением, предлагаемым Ньютоном, так как замена понятия, лежавшая в основе квадратуры (первообразной), означала, что рассматриваемый объект удалялся от его реального происхождения. Условий для формирования математически корректного понятия интеграла в то время не существовало ввиду еще не сформировавшейся теории пределов. Возникали и другие трудности.

Лейбниц определял интеграл как сумму бесконечно большого числа бесконечно малых дифференциалов йу = (х)йх. Он не хотел рассматривать йх конечным, потому что тогда интеграл представлял бы площадь ступенчатой фигуры, лишь приближенно равной площади криволинейной трапеции. Понимая суть решения конкретных задач, Лейбниц создал удобную символику, в основном сохранившуюся до сих пор. В статье 1693 г. ученый дал своё понимание связи между интегралом (как площадью) и производной (как тангенсом угла наклона касательной с положительным направлением оси Ох); привел геометрическое доказательство теоремы, называемой формулой Ньютона -Лейбница. И. Ньютон же в «Методе флюксий» доказал теорему применительно к задаче квадратуры кривых.

Е. А. Перминов. О методологии реализации дискретной линии в интеграции содержания математической.

Несмотря на многочисленные приложения анализа, отсутствие нового исчисления привело к попыткам его построения на иных началах, отличных от подходов Ньютона и Лейбница. Так, Жо-зеф Луи Лагранж (1736-1813) пытался выполнить строгое построение анализа на основе разложения функций в ряды. Ему принадлежат термины производная и первообразная. Термин предел был известен в XVIII в., и Леонард Эйлер (1707-1783) считал необходимым строить анализ на этом понятии. Такой же точки зрения придерживался и Жан Леран Даламбер (1717-1783). Он первым определил бесконечно малую величину как переменную, имеющую предел, равный нулю.

Лишь в XIX в. были сформулированы и получили математическое решение проблемы, вытекающие из его логической сущности. Работа по перестройке анализа в этом направлении выпала главным образом на долю Огюстена Луи Коши (17891857) - великого французского математика. В работах 1821, 1823 гг. он первым дал строгое определение предела. Смысл определения ученого расширил (1853) Бернхард Риман (1826-1866). Итальянский математик Джузеппе Пеано (1858-1932) дал определение интеграла (1883), которое оказалось эквивалентным римановому.

После осознания значимости предельного перехода студенты перешли к решению одной из ключевых методических проблем: как раскрыть школьникам процесс перехода от приближенных вычислений площади фигуры к ее точному значению? Лучше, конечно, использовать компьютерные технологии. С их помощью выполняются рисунки, приводятся расчеты, готовится раздаточный материал. Они помогут раскрыть суть процесса предельного перехода на наглядно-интуитивном уровне.

Воссозданию картины научного поиска способствует конференция исторической направленности «Из истории интеграла». При подведении ее итогов учитель отмечает, что с конца XVII в. математический анализ получил мощный стимул не только для своего развития, но и оказал влияние на формирование исчисления конечных разностей, теории дифференциальных уравнений; вариационного исчисления и других.

К сожалению, в рамках статьи нельзя комплексно рассмотреть все возможности использования в школе историко-математического материала [3]. Актуально построение курса по выбору на основе цепочки профессиональных проблем, которая позволит студентам постепенно овладевать проектной технологией, предполагающей предварительное планирование последовательности действий, приводящих к решению проблемы, а затем их выполнение.

Таким образом, реализация компетентностного подхода потребовала переосмысления всей орга-

низации вузовского обучения: начиная от постановки цели, выбора соответствующих технологий, их использования и заканчивая ролью педагога в этой системе. При таком подходе приобретаются знания, умения; формируются навыки, накапливается необходимый опыт, развивается профессиональный интерес.

Примечания

1. Хуторской А. В. Ключевые компетенции как компонент личностно ориентированной парадигмы образования // Народное образование. 2003. № 2. С. 58-64.

2. Организация проектной деятельности в современной школе: сб. науч.-метод. тр. / под ред.

B. Л. Пестеревой. Пермь: ПГПУ, 2006.

3. Малых А. Е., Пестерева В. А. Использование исторических сведений в обучении математике // Ярославский педагогический вестник. Т. II (Психолого-педагогические науки). 2011. № 3.

C. 60-64.

УДК 371.124:004]:371.134:51

Е. А. Перминов

О МЕТОДОЛОГИИ РЕАЛИЗАЦИИ ДИСКРЕТНОЙ ЛИНИИ В ИНТЕГРАЦИИ

СОДЕРЖАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ И ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ ПОДГОТОВКИ БУДУЩИХ УЧИТЕЛЕЙ ИНФОРМАТИКИ

В статье анализируется роль современной дискретной математики в формировании современного междисциплинарного научного направления исследований. На основе этого характеризуются методологические аспекты реализации дискретной линии в интеграции содержания математической и профессиональной подготовки будущих учителей информатики.

The article analyzes the role of modern discrete mathematics in the formation of the modern interdisciplinary scientific area of research. Proceeding from this the author outlines methodological aspects of implementing the discrete line in the integration of the contents of mathematical and vocational training of prospective teachers of informatics.

Ключевые слова: интеграция, математическая и профессиональная подготовка, будущий учитель информатики.

Keywords: integration, mathematical and vocational training, prospective teacher of informatics.

В последние десятилетия в подготовке студентов многих специальностей важную роль стала играть дискретная математика, т. е. математика дис-

© Перминов Е. А., 2012