Уравнение Левнера для отображений полос

© Д. А. Дубовиков, 2007-2008

УДК 517.95

УРАВНЕНИЕ ЛЕВНЕРА ДЛЯ ОТОБРАЖЕНИЙ ПОЛОС

Д.А. Дубовиков

В работе получен полный аналог классического уравнения Левнера, описывающего стирание разреза, для конформных отображений полос с граничной нормировкой. Полученное уравнение позволяет д шолнить известные радиальную и хордальную эволюции Левнера (БЬЕ).

Введение

Уравнение Левнера возникло в знаменитой работе 1923 г. [2] в связи с попыткой решения проблемы коэффициентов. Геометрически оно описывало стирание разреза в терминах конформных отображений с нормировкой Римана. Впоследствии это уравнение обобщалось в связи с решением различных экстремальных задач. При переходе к граничным нормировкам возникли аналоги уравнения Левнера для полуплоскости (с гидродинамической нормировкой) и для полосы (при фиксации двух граничных точек, см. [5]). Поскольку такие обобщения ориентировались на создание вариационной техники в соответствующих классах конформных отображений, то конструкция, связанная со стиранием разреза, в них отсутствовала. С другой стороны, новые приложения уравнения Левнера, такие как 8ЬЕ (см., напр., [3]), опираются на эту конструкцию.

В настоящей работе изучается вопрос получения полного аналога уравнения Левнера для полосы и конформных отображений с граничными нормировками. Здесь, в огличие от случая полуплоскости, мы не имеем возможности свести задачу к внутренней нормировке, поскольку изначально фиксируется соответствие двух граничных точек. Кроме того, продолжение отображений с использованием принципа симметрии приводит к бесконечносвязным областям.

Определение 1. Пусть П = ^ : 0 < 1тг < Я"}, /— конформное отображение полосы П в

себя. Тогда (см., напр., [1, § 1-4]) для любого а е (0; 1/2) существуют конечные или бесконечные пределы

с±(/)= Нш (г-/(г)),

Ке 2-»±оо

где 2 меняется в подполосе Па={г : а < 1т г < (1 - а)ж}, причем с“(/) < с+(/) (см.

[5]). Эти пределы называют угловыми производными отображения / в бесконечно удаленных точках полосы П.

Определение 2. Совокупность всех конформных отображений fП —> П с конечными угловыми производными С" (У) обозначим через Т.

Определение 3. Через Т0 обозначим подмножество функций / из Т, которые аналитически продолжаются через вещественную ось в полосу £1 = {г : — к < 1гП2 < 7г}, оставляют инвариантной вещественную ось и удовлетворяют условию / (0) = 0. Конечность пределов С1 (/) влечет условие Яе /(г) —> ±со при ±оо .

Заметим, что класс Т замкнут относительно операции композиции. Более того, Т можно рассматривать как топологическую полугруппу относительно операции композиции и

топологии локально равномерной сходимости. При этом Т0 является подполугруппой. Определение 4. Для каждой f из Т рассмотрим функционал

Функционал у обладает свойством аддитивности: для У,У gT выполняется

г(А ° f2) = y(/) + r(f2)-

Основным объектом исследований настоящей работы является семейство конформных отображений полосы П, образ которой получается из П вытиранием разреза. Более точно, пусть Г - простая жорданова кривая в полосе п с параметризацией С, = у/(t), Q < t < t0,

где l//(t) € П при 0 <t <t0 и Im y/(t0) = 7T. Через Z) = П\Г,, 0 < / < ?0 обозначим

семейство расширяющихся областей, где под Г, понимается часть кривой Г, выделяемая

параметризацией Г, '.С, =lj/(s), t<S<t0. Обозначим через gt конформное отображение

П на Dt с нормировкой Reg,(z) —> ±ос при Rez—»±оо и g((0) = 0.

Используя разложение gt в композиции отображений на области с «малыми»

разрезами и мажорацию их «гиперболическими луночками», мы показываем конечность С {g,)> а следовательно, и y(g,)  Таким образом, gt G TQ при всех t Е [0;/0]. Кроме того, имеет место следующий результат.

Предложение 1. В принятых выше обозначениях y(gt) является непрерывной и

строго монотонно убывающей на [0;/о ] функцией.

Сформулированное утверждение позволяет выбрать параметризацию разреза F так,

чтобы ВЫПОЛНЯЛОСЬ соотношение y(g,) = t0~t, где t0 теперь будет равно y{g 0). В

определенном смысле эта параметризация аналогична левнеровской, где в качестве параметра выбирался конформный радиус расширяющейся области.

В принятых обозначениях основной результат работы можно сформулировать

следующим образом.

Теорема 1. Семейство отображений gt П —> Z) с нормировкой из класса Т0 и выбором параметра t согласно условию y(gr) = t0 — t, где 0 < / < f0, дифференцируемо по t и является решением задачи Коши

д е" -1 1

где fc(t) - непрерывная вещественнозначная функция и gr = k(t) — i7V .

Первый параграф данной работы посвяшен изучению свойств функционала y(f). В частности, устанавливается, что близость НЛ к о влечет близость f к тождественному преобразованию. Этот результат является основой для дифференцируемости gt. Кроме того,

здесь приводятся альтернативные формулы для вычисления С~ (У).

Во втором параграфе наряду с введением необходимых обозначений и определений устанавливается аналог интегральной формулы Шварца для специального класса функций и приводится ряд вспомогательных результатов, в том числе доказывается монотонность и непрерывность y(g,)-

Третий параграф посвящен доказательству основного результата, теоремы 1.

§ 1. Свойства функционала /

Вначале теорема об эквивалентном определении /{f) .

Теорема 2. Пусть f— конформное отображение полосы П в себя с конечными

угловыми производными С* (f), тогда

Im£z 1тП6

с+ (/) = sup In -=77, с-(/) = inf In—---------.

гбП Ime 2еП Imez

Доказательство: рассмотрим отображение <р(С) — L ° fob' (z) , где

У-S

где под логарифмом понимается непрерывная ветвь, принимающая значение 0 при С, = 0.

Так как L конформно отображает полосу П на единичный круг Д, то (р представляет собой конформное отображение единичного круга в себя. Кроме того, существуют угловые пределы

(р(±\) = lim<р{£) = ±1, (р’{±\) = lim<р'(£).

В таком случае для угловых пределов справедливо

с* (/) = lim (z - /(z)) s= limln ^ + 1

У Rez-»± f-+±l

i(z) = V-T. i4(C) = ln

e + г

+

2

c-i ^(0 + 1.

С учетом конечности С* (/) получаем равенства

с*

Для аналитических в единичном круге функций, удовлетворяющих условию <р(А) С А , определим функционал:

1 -со(П\2

(3*{(р) = $ ир]

і-кюГ 'і-кП:

Тогда по теореме Жюлиа-Карагеодори в случае конечного /?+ (<р) выполняется

равенство /3+ {

Замечая, что

р с 1 + С

|1-^(о12.11-^Г= 1-^

1-ИоГ'1-|сГ ке1±^2

1-кс)

и подставляя в формулу (3) выражение для (р (1) , получаем после преобразований

С+ (/) = \П(р'(\) = 5ир1п-1т^ .

геп 1т

Аналогичными вычислениями, рассмотрев функционал

/?'(<?) = sup

|1+«>(оГ.|1+сГ

-i-ИоГ 1-161”

получаем необходимое выражение для С (У).

Теорема доказана.

Отметим, что в случае f & Т0 имеет место равенство

с* (/) = Нт(х-/(*)). №

*-*±=0

Поскольку f из Т0 аналитична в О. и сохраняет вещественную ось, то условие

конформности влечет f'(x) > 0 при всех X Е R. С другой стороны, используя принцип

гиперболической метрики в полосе Г2, получаем для всех Z £ Q

1/^)1 ^ 1» cos Im

Следовательно, 0 < f(x) < 1, значит функция h(x) = X — f (х) не убывает на вещественной оси, что с учетом равенств (4) для f £ Т0 дает

c-(f)<0<c*(f)<r(f). <5>

Решающим фактором в нашем исследовании, как и в оригинальной работе Левнера, является полугрупповая структура изучаемого класса функций. В частности, Левнером было установлено, что близость производной в нуле конформного отображения единичного круга в себя с нормировкой Римана к единице влечет «близость» отображения к тождественному. Следующая теорема устанавливает аналогичный результат для полугруппы Т0: близость /(f) к 0 влечет «близость» отображения f к тождественному.

Теорема 3. Пусть f е Т0, 0 < y{f) < In 3, тогда для любого компакта К в полосе п существует константа М(К) такая, что для всех Z Е К

\f(z)-z\<y(f)-M(K).

Доказательство. Пусть f еТ0, рассмотрим f(z) = f(z+C+(f)) - конформное

л а

отображение полосы П в себя. Легко видеть, что — О, С (f)< О,

а /\ А

y(f) = y(f) > 0. Конечность С1 (/) влечет Re f (z) —> +со при Rez —» ±оо .

Как в (2), определим (р{£,) — L ° f ° L 1 (z) - конформное отображение единичного

круга в себя. Существуют угловые пределы #>(±1) = Нш^(<^) = ±1, $/(±1) = \\Ш(р\^) и

£->±1 £-*±1

(p'iX)  (р\~ 1) ^ 1, причем равенство достигается тогда и только тогда, когда (р - мебиусово

А А

преобразование единичного круга

24

Ч«Г

Учитывая, что <£" = Ь(г) , (р° Ь(г) = Ь° /(2) И (р'{~ 1) = в’(^\ получаем

24

Отрезок Я, соединяющий точки 2 и /(я), целиком лежит в полосе п в силу ее

А А

выпуклости. Параметризуем отрезок Я следующим образом: С, (/) = ({г — /(V)) + /(г), О < ? < 1. Тогда легко получаем оценку

Не

1{ет + і)

>2

А Г

-л*)-/

„С(0

1ш

СІІ

Покажем, что значение ІГП

(ес<" + і)2

отделено от нуля, когда С, (?) отделена от

' >

бесконечно удаленных точек полосы. Для этого рассмотрим отображение

/

к(С) =

і

+ /)2

Г І Л2 Л е — г

-—- -1 е< +І,

Легко видеть, что отображает двулистно полосу П на круг с центром в точке

— г/4 радиуса 1 / 4. При этом точке И> = О соответствуют две бесконечно удаленные точки полосы П. Если точки г,/(г) € К, где К - компактное подмножество полосы П , то

/У А

точка С,{() — 1(2 — /X2)) + /(%) отделена от бесконечно удаленных точек полосы П при всех 0</ < 1. Значит, ее образ М>(<^ (/)) отделен от нуля,тогда

ІҐП

(ее<" + і)‘

где Л/, - некоторая константа, зависящая от выбора компакта К . С учетом последнего неравенства, получаем для любого 2 £ К

Ь

•М.

С другой стороны, по принципу открытости зир|£(г)| < 1, поэтому для любого 2 £ К

:<=К

24

<М„ <00.

Тогда с учетом (6) и (7) получаем для любого 2 £ К

1 £(/(*)) - 1(г)| <(е'"'-\)-М,

/(2)-

<

м.

Теперь получим оценку для \/

|/(2) -г\< }(2 - с+ (/)) -(2-е* (/)) + у(/).

дает

Так как при 2 Е К точка (2~с'{/))еК’ , где К' - компакт в полосе п , то из последнего соотношения с учетом (8) и равенства у(/) = у{/) получаем для любого 2 Е К

|/(г)-2|<(е"'-1 )-М,+Г(Л,

где Мг - некоторая константа, зависящая от выбора компакта К'.

Так как при 0 < X < 1пЗ справедливо 6х — 1 < (3/1п3)х, то для любого 2 Е К

|/0) -г\< у(Л ~ • мъ + /(/) = /(/) • М .

1пЗ

Теорема доказана.

Таким образом, окрестность единицы в полугруппе Т0 описывается в терминах функционала У(/)  Этот результат играет решающую роль в доказательстве дифференцируемости {£,} на [0; /<>].

§ 2. Вспомогательные результаты

Для определения вида производной нам потребуется следующий аналог интегральной формулы Шварца.

Лемма 1. Пусть /X2) = и(г) + 1У(г) - аналитическая в П функция, непрерывно

продолжающаяся в П , принимающая вещественные значения на вещественной оси, имеющая конечные пределы при Яе л —> +оо и удовлетворяющая условию 1ш /(2) > 0 при 2 €Е П ,

тогда для всех 2 еП

1 , £Г - 1 е Х ^

/(7) = - --------г • ---7 • У(Х + /Я)& + /(0) .

К к е + е 1 + е

Доказательство. Не нарушая общности, можно считать /(0) = 0. По принципу симметрии Римана-Шварца f аналитически продолжается в О = {г — ТС <\Ш2 < /с], где удовлетворяет условию (1ш/(2))(1гП2) > 0.

Рассмотрим = f °/ '(£), где С, = = (е' 2 — 1)/(е' 2 +1). Заметим, что

/(г) конформно отображает полосу на единичный круг А, причем полосе П соответствует 1т£ > о). Тогда 7^(0 - аналитическая в А функция,

непрерывная в А . Пусть /^(^) = £/(<^Г) + г ^(О» тогДа из интегральной формулы Шварца с учетом ^(0) = / (0) = 0 получаем

ПО = ^~\~:У(.к) \tlKl 2я

Условие (1т/(2))(1т2) > 0 влечет /^(|^) = для С, Е А , поэтому

V(/с) = —V(К) для К Е ЗА . Тогда с учетом аддитивности интеграла как функции множества получаем

/ к + С, к + к-С~к-С

У{к)\(1к\

где

ЭЛ* = {<Г: |<Г| = 1,1т£ > О} . Замечая, что

К + С, К Л- С, - 2(к - К)£

к-С К-С \-(к + к)£ + £2

получаем для любого ^ 6 А

ПО = -~ Г ~2(*гГ*г)С.7Г(к)\с1к\. л,1.\-(к + ку; + сг

^ = 1(г), пусть 2 = X + /у, тогда

1ех,г + 1

-*/2 Л / 1\ 2

_ ^ _ 4[е*гг _ 2(бХ-\) , , , с .

к ~ . х/2 1 ,к-к =------,аг + аг =---------, \ак =------ах.

ге х 1 - 1 1 + е* 1 + е* 1 1 \ + ех

Подставляя эти выражения в формулу (10), получаем г осле преобразований

т=р

(ех/2-\] _ 1 {е’-\ ех

[ех12+\) 71 } в" + еХ 1 + ех

v(x + 1п)(1х.

Лемма доказана.

При изучении семейства } перенос рассуждений в окрестность тождественного преобразования позволяет осуществить понятие эволюционного семейства (см. [5]).

Определение 5. Двупараметрическое множество |и,(5,0 < £ < I ^ 10 } называется

эволюционным семейством полугруппы Т0, если выполняются следующие условия:

1-4, еТо,0<5<Г<Го;

VI. л = м/,_г о $ ,0 < X < Т < I < (0;

2 локально равномерно в п при / — 5 —> 0 .

Пусть g| определены как ранее. Для 0 < 5 < ? < (0, положив W| х(2) — g|' ° gs (г), получаем эволюционное семейство полугруппы Т0. Функция ^ = gs(z) отображает П на £)$, в то время как (С) отображает £)/ на П, причем О$ С Д. Поэтому при

отображении g~> область О; соответствует полосе П , из которой удален образ части кривой Г, выделяемой параметризацией С, — Ц/(т), 6' < Т < ? . Обозначим этот образ через В(л Таким образом, функция = Н,г г (г) отображает П на П \ В< з. Пусть А1л - множество граничных точек полосы П , соответствующих В15. Ясно, что А' $ целиком лежит на прямой 1т г = к .

Обозначим А(/) = g~> ((//(/)). Заметим, что г = Я(л') Е А1 (, эта точка соответствует точке ^ — при отображении gs и концу разреза В1:, не лежащему на прямой

1т 2 = К, при отображении (. Точка >У=Я(?) - это конец разреза В/$, лежащий на прямой IГП2 = 71.

Лемма 2. Пусть Т Е [5^] и 5 Т Г, / Х’ Т . Тогда множества А1$ и В/ $ стягиваются

в точку Я(г) в соответствующих плоскостях. Кроме того, Я - непрерывная на [0; ?0] функция.

Доказательство. Из теоремы Каратеодори о граничном соответствии при конформном отображении следует, что при фиксированном ? и 5 Т I множество В1 $ стягивается в точку

А(/), а при фиксированном 5 и / 4^ множество А15 стягивается в точку А(5’).

Применение принципа длины и площади дает, что при Т £[•?;?] и 5 Т Т, ? -!• Т оба множества Аг 1 и В1$ стягиваются в точку Л(т) в соответствующих плоскостях.

Покажем теперь непрерывность функции /1(7). По теореме Каратеодори о сходимости к ядру нг (г)-> г локально равномерно в п при / — 5 —> 0 . По принципу симметрии Римана-Шварца функция Н-’. 5 (г) продолжается до аналитической функции в П' = {г:0 < 1гп 2 < 271 ] \ А1$, где также 7г $ (г) —> 2 локально равномерно при t — 5 —У 0 .

Так как при фиксированном 5 и I ^ 51 множество А15 стягивается в точку Л($), то

для любого £ > 0 найдется 3 > 0 такое, что при I Е [л’^ + ] множество

, где Ое (А(б')) - 8-окрестность точки Л(я), достаточно малая, чтобы Ое (А^)) С ГГ. Обозначим С£ = дОе (А^)). Сс - компакт в 1Т, поэтому 'И' г (г) —> г равномерно на Се при I — S —> 0 . Пусть г0 Е Се , тогда

IЛ(0 - А(»| < |А(» - г0| + |*0 - (г0 )| + |и>, 5 (г0) - Я(/)| < € + е + 4£ = б£.

Таким образом, А(/) непрерывна справа, аналогичным образом доказывается

непрерывность слева.

Лемма доказана.

Обозначим = {г = А(/),0 ^ ^ /0}. Заметим, что непрерывность А(?) с учетом теоремы Кантора влечет следующее: множество @ - отрезок на прямой 1т г — К. Пусть 2 = {2 = А(?) — г ЯГ,0 < / < ?0} - проекция отрезка ()' на вещественную ось.

Отметим монотонность у(м>' ) по I и 5 . Действительно, пусть Т Е [а*;?], тогда 00 = g;' о (^) = g;1 о о ё-1 о gJ (2) = ы1г о К х о).

В силу аддитивности функционала у имеем у{м>, $) = у(мг г) + у(з.) . Значит, при фиксированном I и 6‘ Т ? значение монотонно убывает до нуля. Действительно, в

силу последнего равенства и того, что у(м>т $) > 0, получаем при 5 < Т < /

у{м>,5)>у(ч>'Г).

Аналогично при фиксированном 5 и ! 1х значение монотонно убывает до

нуля.

Обозначим через С гиперболический (в полосе П) полукруг, вырезаемый из полосы п гиперболической прямой, проходящей через ТОЧКИ к\ = Х] + 17Г , Л, = Х2 + 17Г , X, < Х2. За счет выбора точек х\, х2 разрез В15 можно заключить в гиперболический полукруг С. Пусть /(. - конформное отображение П на П \ С с нормировкой К.е/(2) —> ±оо при

Яег —> ±оо ,/(0) — 0. Обозначим к = /с. В силу аддитивности функционала у выполняется у(\У, 5) + у(Ь) — У(/с ) > тогда

К^м)^г(/с)-

Элементарными вычислениями получаем, что

(1 + ех'~*г V Г(/) = 1ПА—----------Ь,

с 4ех,~х*

Так как при ? — 5 —> 0 разрез В1 можно заключить в гиперболический полукруг С, такой что Х2 — X, —> 0, то имеет место у(5) < /(/с ) -> 0 при ? — 5 —> 0 .

Пусть теперь 0 < 51 < ? < ?0 . Тогда y(gt) = у(£, о ) = /(£5) + у(УУ15), отсюда видно, что у(§г) - непрерывная и строго монотонно убывающая на [0; /0] функция. Поэтому можно считать, что параметризация кривой Г выбрана так, чтобы выполнялось равенство Г(8,) = *о тогда у{м><в) = 1~8.

§ 3. Доказательство теоремы 1

Покажем вначале дифференцируемость семейства {м^ 51 по /. Это будет следовать из

локально равномерной липшицевости. Фиксируем 0 < 5 < ? ^ ^ < 10 и точку г Е К а П , где К - компакт. Тогда точка И',. J (г) Е К а П, где К - также компакт. Используя теорему 3 и условие параметризации у(\\^15) = Ь — 5 , получаем для любого 2 Е К

К.»(*)_ (*)|=К/(*)) - ^(*)| У - г'|.

Семейство {и' 51 также дифференцируемо по 5. Действительно, фиксируем О < я' < 5я < I < ?0 и точку 1 € К С П , где К - компакт. Тогда точка М>1 $. (г) Е К * С П, где А" - выпуклый компакт, следовательно

”, ,• О) - ЧЛ4 = кг.*- О) - (м>5. (г))| < тах^. (г)\  М(К*)  - я'|.

2ЕК

Найдем теперь вид производной. Рассмотрим семейство функций

г — №1+3(г) ^ ^

Л О) =---------------, 0 < 5 < 50

о

Заметим, что аналитична в П, непрерывно продолжается в П, принимает

вещественные значения на вещественной оси и имеет конечные пределы при Яег —> ±оо , В

силу принципа максимума для гармонических функций \т(\/б (г) > 0 при гбП. Таким

образом, выполнены условия леммы 1 и имеет место представление (9), которое можно записать в виде

£ е~ + е 1 + е

где //й- - мера, определяемая равенством

<///,. (х) = — 1т(/. (х + 1я))с1х.

К

Из двух последних равенств и определения y( w! s) с учетом (4) получаем

$ = y(wl+s,,) = ~ (х + in))dx.

К R

Таким образом, fls - вероятностная мера. Заметим, что носитель меры jUs сосредоточен на проекции на вещественную ось множества Al+g,. Но так как справедливо A1+gl Cl Q\ то меры (16, 0 < 8 < 8Ь можно рассматривать как вероятностные меры на компакте Q.

Известно, что пространство V(iQ) борелевских зарядов на Q изоморфно пространству, сопряженному к пространству C(Q) непрерывных на Q функций (см., напр.,

[6], гл. IV, § 6): С(0* = V(0, причем для V Е V(Q) и / € C(Q) v(f) = jf dv .

* Q

По теореме Ванаха-Алаоглу единичная сфера S Е V(Q) .-слабо компактна (свойства слабой компактности см., напр., в [6], гл. V). Поэтому, если 8п О, то JUS —> (Л .-слабо и Ц Е S.

(Л - вероятностная мера. Поскольку по определению .-слабой сходимости для любой f Е С(Q) имеет место JUS (f) —> fd . Положив f = 1, получаем /,l{Q) = 1, что с учетом

jd Е S дает требуемое.

Легко видеть также, что SUpp// = k(t), к(т) = Я(г) — in. Тогда из интегрального

представления функций fs и определения .-слабой сходимости следует, что при <5^0

z~w,*sj

-------------— ------------------ du? (jv) —^-------7— ------- .

8 lez+ex l + ex ez+ek

Последнее соотношение позволяет определить вид производной по t:

д , ч vvf+,

- w„, (z) = lim------------- ------------= ^ «>'>

Далее, W, 0 (z) — Wt s 0 Ws0(z), дифференцируя no S сложную функцию, получаем

^wls

OS

Подставляя в последнюю формулу W s (z) = gs (z), приходим к уравнению (1).

Теорема доказана.

Summary

LOWNER EQUATION FOR STRIPS MAPPINGS

D.A. Dubovikov

This paper provides an analogue of classical Lowner equation describing the process of slit erasing for conformal mappings of strips with boundary normalization. This equation allows to supplement the well-known radial and chordal Stochastic Lowner Evolution with a new' process.

Список литературы

1. Alhfors L.V. Conformal Invariants. Topics in Geometric function theory. N. Y.: McGraw-Hill, 1973. 157 p.

2. Lowner K. Untersuchungen uber schlichte konforme Abbildungen des Einheitskreises. I // Math. Ann. 1923. B. 89. S. 103-121.

3. Rohde S., Schramm O. Basic properties of SLE // Ann. Math. 2005. Vol. 161. № 2. P. 879-

920.

4. Горяйнов B.B. Дробные итерации аналитических в единичном круге функций с заданными неподвижными точками // Мат. сб. 1991. Вып. 182. № 9. С. 1281-1299.

5. Горяйнов В.В. Полугруппы конформных отображений // Мат. сб. 1986. Вып. 129 (171). №4. С. 451-472.

6. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Общая теория. М.: Изд-во иностр. лит., 1962. 892 с.

*