Отображение на круговой счетноугольник с симметрией переноса

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2013 Математика и механика № 2

УДК 517.54

И.А. Колесников

ОТОБРАЖЕНИЕ НА КРУГОВОЙ СЧЕТНОУГОЛЬНИК С СИММЕТРИЕЙ ПЕРЕНОСА

Получено аналитическое представление голоморфного в верхней полуплоскости отображения с симметрией переноса вдоль вещественной оси в виде дифференциального уравнения. Для одного частного случая получено аналитическое представление в интегральном виде.

Ключевые слова: счетноугольник, симметрия переноса, линейные дифференциальные уравнения класса Фукса, конформные отображения.

Одним из основных направлений в геометрической теории функций является задача о построении конформного отображения одной односвязной области на другую, возникшая благодаря работе Римана 1851 г. В различных приложениях теории функции комплексного переменного используются, прежде всего, отображения, построенные для конкретных областей, а также количественные оценки и качественные особенности этих отображений. В качестве области определения обычно выбирают каноническую односвязную область или единичный круг, или верхнюю полуплоскость. В данной работе получено уравнение для отображения с симметрией переноса верхней полуплоскости на круговой счетноугольник.

Определение 1. Область Д назовем областью с симметрией переноса вдоль вещественной оси на 2п, если при линейном преобразовании сдвига вида Ь(^)=м>+2% область остается неизменной ЦД)=Д.

Ограничимся рассмотрением областей типа полуплоскости, т. е. таких областей, у которых при указанном преобразовании сдвига среди всех простых концов в бесконечно удаленной точке неподвижным остается только один простой конец.

Определение 2. Круговым счетноугольником с симметрией переноса вдоль вещественной оси на 2п будем называть односвязную область типа полуплоскости с симметрией переноса вдоль вещественной оси с границей, состоящей из счетного числа дуг окружностей.

Будем считать, что часть границы кругового счетноугольника с симметрией переноса от точки ю0 до точки ю0+2л состоит из конечного числа дуг окружностей.

Согласно теореме Римана, существует однолистное и конформное отображение верхней полуплоскости на круговой счетноугольник.

Определение 3. Отображением с симметрией переноса вдоль вещественной оси на 2п будем называть отображение /: П+ ^ С, такое, что /(П+) = Д, где П+ = {г :1т г > 0} - верхняя комплексная полуплоскость, Д - круговой счетноугольник с симметрией переноса вдоль вещественной оси на 2п.

Замечание 1. Отображение с симметрией переноса вдоль вещественной оси на 2п удовлетворяет условию [1] /(г+2пк)=/(г)+2пк, к є Z , г є П+ .

Аналитическое продолжение отображения с симметрией переноса

Двигаясь от ю0 к ю0+2л по границе области Д в положительном направлении, будем обозначать последовательно встречающиеся угловые точки границы через

нижнюю полуплоскость П = {г : 1т г < 0} согласно принципу симметрии. Получим функцию /*(!), конформно отображающую нижнюю полуплоскость П- на

Это голоморфное отображение можно снова продолжить через любой интер-

Предположим, что мы выполнили все возможные аналитические продолжения описанного вида. В результате получится бесконечнозначная аналитическая функция, для которой исходная функция / (г) является в верхней полуплоскости одной из однозначных ветвей. Различные значения функции в точке г связаны дробно-линейным преобразованием.

Заметим, что различные ветви , /‘ продолженной функции / заданные на

верхней или нижней полуплоскостях, связаны дробно-линейным преобразованием

Определение 4. Пусть функция / : П+ ^ С голоморфна в верхней полуплоскости П+ и имеет производную, не принимающую значение ноль. Производной Шварца [1, с. 399] функции / в области П+ называется функция

А°,А°,...,А°,А° Ф А10 + 2п, а углы области Д соответственно а1п, а2п,..., аип. Прообразы вершин Ак счетноугольника Д обозначим а1,, 5 = 1,...,и, к = 0, ±1, ±2,. . Интервал, начинающийся в точке а5к, 5=1,2,...,и-1, к=0,±1,±2,..., и оканчивающийся в а5+1 обозначим 1, . Когда точка г пробегает интервал 1%, двигаясь слева направо, точка ю=Дг) пробегает дугу Ь, границы области Д, начинающуюся в точке Ак так, что область Д остается слева. В силу принципа симметрии Римана -Шварца [1] отображение /(г) голоморфно вплоть до интервалов 1, и аналитически продолжается через эти интервалы.

Продолжим отображение /из верхней полуплоскости П+ через интервал I% в

круговой счетноугольник А* симметричный области А относительно Ьк,,.

чк *

вал 15, в верхнюю полуплоскость, причем новое аналитическое продолжение

/**(г) будет реализовать конформное отображение верхней полуплоскости П+ на счетноугольник А** симметричный счетноугольнику А* относительно дуги Ь,,.

Замечание 2. Производная Шварца {/(г),г} инвариантна относительно дробно-линейного преобразования функции /.

В силу замечания 2 видим, что {/5, г} = {/, г}, где /5 и / - различные ветви продолженной функции /(г), заданные в верхней или нижней полуплоскости. Таким образом, производная Шварца {/(г), г} функции /(г) является однозначной. Заметим, что /'(г) Ф 0, поэтому отображение {/(г), г } голоморфно во всей плоскости за исключением точек а%,а%,...,акп , к = ±1, ±2,..

Особые точки функции {/(I), z}

Обозначим {/ (г), г} = -Р(г). Изучим поведение функции Е(г) в ее изолированных особых точках. Предположим сначала, что угол в вершине образован ду-

гами окружностей или дугой окружности и прямолинейным отрезком А1к_1А>к , А^А^ и имеет величину а5п, а5 е (0,1) и (1,2). Тогда, при достаточном продолжении сторон такого угла, они пересекутся еще в некоторой точке, обозначим ее

а%

А* . Дробно-линейным отображением ю(^) = е'1-*— переведем область

" - А*к

ие (А,) П А, где ие( А5;) - некоторая окрестность точки Ак радиуса е, е > 0, в прямолинейный угол с вершиной в начале координат. Причем параметр у выберем так, чтобы точки из окрестности Пе (А,) П А переходили в точки

0 < ал£ ю<ла 5

некоторой окрестности нуля.

Последующим преобразованием ю1 = юа этот угол переводится на лежащую в верхней полуплоскости Ю1-плоскости часть окрестности точки ноль. Функция ю1(г)=ю1(ю(/г))) взаимно однозначно и конформно отображает часть верхней полуплоскости г-плоскости на часть верхней полуплоскости о^-плоскости, причем

к

участок вещественной оси в окрестности точки а, переходит в участок вещественной оси в окрестности точки Ю1=0. Функция Ю:(г) согласно принципу симметрии продолжается на полную окрестность точки ак и, являясь голоморфной функцией, представляется рядом

1

с ненулевым радиусом сходимости. В этом ряду отсутствует свободный член, так как ю1 (ак) = 0 , однако у(5) = ю| (ак) Ф 0 , так как функция осуществляет конформное отображение. Поскольку при вещественных г вблизи точки г = а1, функция Ю:(г) вещественна, все коэффициенты у( 5) - вещественны.

Возвращаясь к функции ю(г) = (со1(г))а, находим, что в окрестности а, функция о(г) представима в виде

ю(г) = (г - а, )а [с05) + С5)(г - а,) +...] .

Отсюда можно получить разложение для функции Р(г) в окрестности точки ак, если учесть, что в силу замечания 2 {/,г}={о,г}. Тогда получим

{/ ,г} = 1 -ак 2 +-1~Т ( + ( ‘)(г - а,) + ...),

2 (г - а, )2 г -

причем коэффициенты ц, также вещественны. Выделим главную часть разложения производной Шварца в ряд Лорана по степеням г - а1, . Обозначив = М,,

5) + ) (г - ак) +... = 5, (г), имеем

1 -а, М,

Р

2 (г - а5 ) г а5

где М, - вещественный параметр, 5, (г) - голоморфная функция в окрестности

к

точки а5 .

Предположим теперь, что угол в вершине А, образован прямолинейными отрезками и имеет величину а,п, а5 е (0,1) и (1,2). Тогда стороны угла при их продолжении пересекаются в бесконечно удаленной точке.

В этом случае с помощью линейного преобразования ю(^) = егу (V - А,) переведем окрестность Пе(А,)ПА вершины в угловую область (1) и, таким образом, сведем данный случай к предыдущему.

Наконец, рассмотрим случай, когда угол в вершине А, имеет величину а,п, где а,=0,1,2, при этом прилегающие стороны могут быть дугами окружностей, дугой окружности и прямолинейным отрезком. Кроме того, если а,=2, то угол может быть образован двумя прямолинейными отрезками.

В случае если угол имеет величину а,=0,1,2, продолженные стороны такого угла имеют одну общую точку, т. е. они касаются в точке А, .

С помощью дробно-линейной функции Ю(V) =---------^-Т + Ь переведем вершину

V - ак

А,^ в бесконечно удаленную точку. При этом стороны, прилегающие к вершине, переходят в параллельные прямолинейные отрезки, пересекающиеся в бесконечно удаленной точке. Область Пе А) П А преобразуется теперь с помощью отображения ю(^) в прямолинейную полуполосу. Если выбрать а и Ь так, чтобы одна из сторон перешла в положительную вещественную полуось, а другую - в прямую ю=/с, то функция Ю1(о), определяемая равенством

а, С Л Ю 5 + — 1ПШ1 = Ю,

П

отображает эту область в верхнюю полуплоскость Ю1-плоскости в окрестности точки о>1=0. Как и выше, приходим к выводу, что о>1(г)= о/(г)) голоморфна в окрестности точки а,, и разлагается в окрестности этой точки в ряд (2). Записывая с

помощью последнего равенства разложение для производной Шварца Р(г) функции /(г), получаем опять формулу (3).

Уравнение для отображения с симметрией переноса

Рассмотрим функцию

g(z)=F (z) - X X

k=-да ,=1

і-а2

Ms

2 ' z - ak

^ _______________к ____к 0 0 к

Здесь -да <... < а, < а5+1 <... < а1 <... < ап <... < а5 <... < +да - прообразы вершин кругового счетноугольника А с симметрией переноса, а а^, а2п,..., апп - углы в этих вершинах, а5 е [0,2]. С учетом того, что а1, = а1,-1 + 2п , функцию g(г) за-

пишем

g(z) = F(z)-X X

,=1 k=-да

і-а:

M,

2 (z - a,1 + 2kП

2 z - a0 + 2kп

і-а2

Перепишем слагаемое ^ -

к=-да 2

следующим образом:

і-а„

X 2

k=-да 2

і-а

2 +да

- X

k=-да

0^2 2 п

/0

2

2п

--k

Обозначим

a0 - z

2п

= x и учтем [2, с. 50], что

cosec2 nx

і k=+w і

=— X-----------------------

п2 k=-да (x - k)2

тогда

і-а2

-X

k=-да

і-а2

0^2 2 п

0

+да і

x-A

2п

--k

А2 8п2 k=-» (x - k)2

і-а;

2

і-а2

і-а2

-cosec ш=

cosec

0

Ssin

2

Ms

k=-да z - as + 2k п

+да M„

X

следующим образом: 1

k=-да z - ax + 2kп 2п k=-да z - a5

2п

- + k

+да n

+да

2

Введем обозначение

z - a,

2п

+да

= x , тогда

2п

k=-да z a,

2п

+ k

2п

k=-да

і і , ч і

+ k X 2 ,2 + = 2ctg( xп) = Tctg

x + k п k=1 x 2 - k2 2 xп 2 2

Итак,

+да

і-а„

X 2

k=-да 2 (z - a0 + 2k п)2 Ssin2

і-а„

M

M

z - a0 k=-да z - a0 + 2kп 2

ctg

2

Таким образом, функция g (г) является голоморфной в плоскости С, следовательно, целой. Функция /(і), однолистно и конформно отображающая верхнюю полуплоскость П+ = {і :1т г > 0} на круговой счетноугольник А с симметрией переноса, удовлетворяет дифференциальному уравнению

f(z) - 3 Г 'А2 = і X f'(z) 21 f'(z) J 2 X

1 2 0

і-а, z-a,

-------+ Ms ctg —^

4sin

+ g (z) =

, n і-а, +4M,cos-----

= і X " * 2

2

-sin-

і

4sin2

і-а^ +2M, sin

+ g (z).

sin

2 2 Получаем:

Теорема 1. Функция fz), однолистно и конформно отображающая верхнюю

полуплоскость П+ = {z : Im z > 0} на круговой счетноугольник Л с симметрией

переноса вдоль вещественной оси на 2п, удовлетворяет дифференциальному уравнению

ч2 ’ n,1 -

f"

f'

1 n J

=1X-

о L-i

- + g (z),

4sin2

где a° , , = і, 2,...,n, - прообразы вершин A° счетноугольника, принадлежащие промежутку [0,2п), a,n, а, є [0,2], , = і, 2,., n, - углы при вершинах A,, M, , = і, 2,...,n, - константы, g(z) - целая функция.

Целая функция g(z) и константы Ms, , = і, 2,., n, подлежат определению из условий конкретной задачи.

Пример. Рассмотрим круговой счетноугольник с симметрией переноса, вершины которого находятся в точках Ak = 2kn, k = 0, ±1, ±2,.; углы при вершинах равны an.

В области определения функции f( z ), отображающей на заданный счетно-угольник, промежутку [0,2п) принадлежит только один из прообразов вершин -a0. В качестве a0 берем точку ноль.

2

Запишем уравнение (4) для данного случая:

f "'(z) 3 f f "(z)f _ 1 -a2 + 2Msinz

8sin2 Z 2

f'

+ g (z) :

где М - вычет производной Шварца функции /(г), вычисленный в точке ноль. Полагаем g(г)=0.

Представляя тригонометрические функции через показательные, запишем уравнение

/"'

f'

2

Воспользуемся легко проверяемым равенством [3, с. 82]

{ f

d_

dz 2

2

і

Уравнение преобразуется к следующему виду:

d

2

dz

і

і-а +2M sin z і

Полагаем

л/7чТ)

= t(z),тогда

іб sin

in2 z VT7

= 0.

4

t = 0.

Пусть -ь -2 - два линейно независимых решения уравнения (6). Согласно формуле Остроградского - Лиувилля, между -\ и -2 имеет место следующее соотношение: Ц'2 - -2-[ = сот-. Поэтому, если положить / = —, то

{ f

2

dz2

л/ТЇТ)

t”

2

Следовательно, отношение двух линейно независимых интегралов уравнения (6) есть интеграл уравнения (5).

Выполнив замену еш=и в уравнении (6), получаем уравнение класса Фукса [4]

,, і , —iMu +

t +~ t +-------------^--------r-------1 = 0.

u 4u (u - і)2

Видим, что точки и=0, и=1 являются для уравнения (7) особыми точками. Проверим, является ли точка  особой для уравнения (7). Сделав замену и =1,

имеем

4

2

і

Для получившегося уравнения (8) точка ^=0 - особая точка, следовательно, для уравнения (7) точка и= является особой точкой. Итак, в уравнении (7) три особых точки: ^1=0, 4г=1, ^3=.

Введем обозначения для коэффициентов уравнения (7):

1 -Ми2 + (1 -а2) +'М

Р(и) =- , Ч(и) =---------;------;-----.

и 4и (и -1)2

Запишем разложение функций (и-^)2р(и), (и-502д(и) в ряд Тейлора в окрестности точки и=£к, к=1,2. При к=1 имеем разложение

и р(и)=и,

2 і \ ІМ и а(и) =--------+

4

ІМ

и +... .

При к=2 - разложение

1 -а

(и -1)2 д(и) =-----

2

1 -а2

ІМ

(и -1) +....

Уравнение (7) можно записать с учетом приведенных для к=1,2 разложений в виде

(и -^к)21" + [Ак (и -^к ) + Ак (и -^к )2 + ...]? ' +

2

+ [Вк + Вк(и Чк) + Вк(и Чк)2 +...]- = 0.

Будем искать решение уравнения в окрестности точки ^, к=1,2, как

- = (и -1к)р(к) ('У +У2^) (и - 1к ) +...).

Чтобы найти показатель р(к), подставим решение (10) в окрестностях точек и = ^, к = 1, 2, в уравнение (9) при соответствующих к:

(и -|)р(к) [у(к)Р(к)(Р(к)-1) + т2к)(Р(к) +1)Р(к)(и-I.) + ...] +

+(и -|к)Р(к)(Ак - Ак (и -|к) +...) [у(к)Р(к) + У2к) (Р(к) + 1)(и Чк) +...] +

+(и-|к)Р(к) (Вк + В”к(и-|к) + Вк(и-|к)2 +...) +У2к)(и-Iк) + ...] = 0.

Суммируя коэффициенты при (и -|к)Р( ), получаем определяющие уравнения для показателей Р(к), к=1,2:

р(к) (р(к) -1) + Ак р(к) + В'к = 0 .

п

Откуда, обозначая корни этих уравнений через р|

ІЇМ

1 -а

р2к);

получаем

р = 24ім , р21) =- І

р12) =

1 + а

р22) =

2 2 2

Особым точкам уравнения ^ соответствуют по два параметра р(к), р(к). Найдем параметры, соответствующие точке ^3 = . Разложим коэффициенты уравне-

ния (8), домноженные на £ в ряд Тейлора в окрестности точки £ = 0. Запишем уравнение (8) с учетом этих разложений

Zt "+1 ' +

f iM і-а2 „

---+—z + ...

4 4

t = 0 .

Подставим в уравнение (11) разложение для - вида

t = Zp '[Yi(a° + Y(2да)С +...].

Получим для показателя р(м) определяющее уравнение

/ (да) \2 'М (р( )) —

Откуда, обозначив корни уравнения через р(да), р2да), имеем

р(да) =—-ЛМ, р2да) = -—4'м .

1 2 2 2

Интегралы уравнения (7) вполне определяются положением особых точек

и параметрами р—к), '=1,2,3, к=1,2. Запишем интегралы уравнения (7) по схеме

Р-функций Римана [4, с. 229]:

t=P

0 і да

-4ЇМ і + а Іл/М

2 2 2

i 1 і-а і /тт

—4,m ViM

2 2 2

^JiM 1+а

Сделаем подстановку ю= и2 (и -1) 2 ґ, по свойству Р-функции Римана на-

ходим

1-Ш 1±а

ю= u2 (u- і)2 P<

0

і

0 0 -

-iJM -а -2

Уравнение при этом примет вид

Ю +

і + HiM і + а

--------+------

u u - і

А , (і + а)2 + 2i(і + а)л/М - 2iM Л

иЧ------- ------ ---- -----------ю = 0 .

4u

Введем следующие обозначения:

2 ('М (1 +') +1 + а) = 5,

1 (м (-1 +') +1 + а) = р, 1 + '^'М = у.

Тогда уравнение перепишется

и

Это есть известное уравнение Гаусса. Найдем интеграл этого уравнения, голоморфный в окрестности особой точки ^=0. Положим

ю = Со + С1и + +...+ опи + ... .

Подставляя ряд (13) в уравнение (12) и суммируя коэффициенты при ип, получим

ад

£ [(п +1)пСп+! - п(п -1)Сп + пСп+!У - (п +1)Сп (5 + р +1) - 5рСп ]ип = 0 .

5=0

Откуда следует, что

Сп+1 (п + 1)(п + у) = Сп (п2 + (5 + Р)п + 5Р) = 0 ,

или Сп+1 =

Рекуррентная формула (14) позволяет по с0 последовательно найти все коэффициенты. Полагая С0=1, получим

С = 5Р о = 5

С — , Со — , . .. .

1 1-у 2 1-2-у

Подставляя найденные значения в ряд (13), будем иметь интеграл уравнения Гаусса в виде гипергеометрической функции ю=д(5,Р,у,и) [5, с. 634], представленной гипергеометрическим рядом, который сходится при у г Z \ N .

Сделав подстановку ю=м1-ую1 в уравнении (12), получим уравнение, которое можно записать в виде уравнения Гаусса, если положить 5-у+1=5', Р-у+1=Р',

2-у=у'; следовательно, ему удовлетворяет ряд ю1=2(5',Р',у',м). Для уравнения (12) получим второй интеграл ю=и1-,д(Р-у+1,5-у+1,2-у,и), линейно независимый с 2(5,Р,у,м) при 0<у<1 и сходящийся при у-2гZ\N . Таким образом, для уравнения (12) имеем два линейно независимых интеграла:

0 ^ 2 (м (1 + г) +1 + а) (м (-1 +г) +1 + а),1 + 1*)м,

и^}_^-ЛМ(1 + г) +1 + а)(М(1 -1) +1 + а),1 - гЛй,и^ .

Возвращаясь к г, /(х), заключаем, что одним из интегралов уравнения (7) будет функция

/ (х) =

б ^ 2 (-4ЇИ (1 + і) +1 + а) (М (1 - і) +1 + а),1 - іЛМ, егг ^

б ^ 2 (м (1 + і) +1 + а) (м (-1 + і) +1 + а),1 + і4ім, еіх

Выразив гипергеометрические ряды через определенные интегралы [4], получим следующий результат.

Теорема 2. Функция /(х), однолистно и конформно отображающая верхнюю полуплоскость П+ = {х :1т х > 0} на круговой счетноугольник А с симметрией

переноса вдоль вещественной оси на 2п, вершины которого находятся в точках

Лк=2кп, к=0,±1,±2,..., причем/(0)=Л0, имеет вид

(1 - V)с (1 - е12у) вс1у

/(г) — Ле^ ?—---------------------------,

| V8 (1 - V)° (1 - е^)С ду

где а, Ь, g, И - зависят от значений параметров М, а. Константы Л, В, С, Б определяются формулами

М - константа, ап, а є [0,2] - углы при вершинах Ak, к=0,±і,±2,....

ЛИТЕРАТУРА

1. Александров И.А. Теория функций комплексного переменного. Томск: ТГУ, 2002.

2. Градштейн И.С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И.С. Градштейн, И.М. Рыжик. 4-е изд., перераб. М.: ГИФМЛ, 196З.

3. Голузин Г.М. Геометрическая теория функции комплексного переменного. 2-е изд. / под ред. В.И. Смирновой. М.: Наука. Физматлит, і966.

4. Голубев В.В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. 2-е изд. М.: ГИТТЛ, 1950.

5. ЛаврентьевМ.А. Теория функций комплексного переменного / М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. 4-е изд., перераб. и доп. М.: Наука. Физматлит, 197З.

Статья поступила 08.01.201З г.

Kolesnikov I.A. A MAPPING TO A ROUND NUMERABLE POLYGON WITH THE SYMMETRY OF TRANSFER. An analytical representation for a mapping holomorphic in the upper halfplane with symmetry of transfer along the real axis is obtained in the form of a differential equation. One particular case is represented in the integral form.

Keywords: numerable polygon, symmetry of transfer, linear differential equations of the Fuchs class, conformal mappings.

KOLESNIKOV Ivan AleksandroviCh

E-mail: ia.kolesnikov@mail.ru