Теорема существования ограниченного решения задачи Коши для системы Франкля гиперболического типа

МАТЕМАТИКА

УДК 517.9

Т.А. Шемякина

ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ ОГРАНИЧЕННОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ СИСТЕМЫ ФРАНКЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

Система Франкля используется для описания многочисленных задач в области геофизики, гидро- и газодинамики, механики газового спрайта, в теориях переноса нейтронов, термоупругости и т. п. В настоящей работе исследуется система Франкля двух квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка смешанного типа. Известный физик Ф.И. Франкль [1] впервые привлек внимание к системе уравнений смешанного типа как значимого математического объекта, в отличие от чисто физических исследований таких систем, которые в частном случае описывают стационарный процесс трансзвуковой газовой динамики. Многие ученые — такие как С.А. Чаплыгин, С.В. Фалькович, А.В. Би-цадзе, Ф. Трикоми, Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко, исследовали задачи для таких систем уравнений (чаще всего в виде дифференциального уравнения второго порядка) для частных случаев, когда коэффициенты системы уравнений либо являются константами, либо независимыми переменными. Метод исследования заключался, как правило, в приведении нелинейных уравнений к линейным с помощью новых переменных. Но возврат к исходным переменным в общем случае представляет собой более трудоемкую задачу, чем исходная задача. В итоге разработанные методы наряду с преимуществами имеют существенные недостатки. Например, применение метода характеристик для таких систем уравнений в соответствующем интегральном уравнении вносит суперпозицию

неизвестных функций. В применении большинства методов условием разрешимости исходной задачи является условие существования обратной функции. Новая задача во многих случаях оказывается настолько сложной, что ее не решают, а принимают допустимость обратного преобразования переменных в качестве условия. Для преодоления таких трудностей исследуем задачу для достаточно общего вида системы Франкля гиперболического типа методом дополнительного аргумента.

В работах [4 — 7] автора данной статьи разработан принципиально новый способ применения метода дополнительного аргумента к системе Франкля для гиперболического случая. В работе [4] были сформулированы условия разрешимости системы Франкля, а также определен интервал разрешимости через начальные данные, в работах [5 — 7] построены новые расширенные характеристические системы для изучения системы Франкля. В указанных системах было уменьшено количество суперпозиций неизвестных функций, что упростило исследование. Численные эксперименты проводились для модельных примеров, а также для частного случая системы Франкля, когда она имела явное физическое содержание [7 — 9]. В настоящей работе продолжено исследование системы Франкля для гиперболического случая — представлено полное доказательство теоремы существования решения с новой расширенной характеристической системой.

Постановка задачи

Исследуется гиперболическая система Франкля двух квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка:

Гд уи(х, у) - Р (х, у, и, V )д х, у) = 0;

[д Хи(х, у) - Q(x, у, и, v)д уУ(х, у) = 0

при условии, что функции Р, Q—дважды непрерывно дифференцируемые по всем аргументам и

Р(х,у,и,у) > р0 > 0; Q(х,у,и,\) > > 0

(р0, q0 — константы).

Поставим для системы уравнений (1) задачу Коши:

и

в области П = {(х,у): х е (-да,да),у е[0,У]}.

Преобразование исходной задача к характеристической форме

Для применения метода дополнительного аргумента к задаче (1), (2) необходимо привести систему уравнений (1) к характеристической форме, когда каждое уравнение содержит производные только от одной неизвестной функции. Это осуществляется с помощью алгоритма [2 — 5] и введения неизвестных функций, которые называют инвариантами Римана:

Гду2 + едх2 = РудхУ -еЬхдуv - еудхи = ; 1ду z2 - едх22 = РудxV - еЬхдуV + еудхи = Р2,

тогда будут определены правые части системы уравнений (4). Для функций z1, z2 из соотношений (3), (1) находим начальные условия:

211 у=0 = Р (х, 0, ф, V V - е(х, 0, ф, ф)ф' = Ф! (х);

22\ у=0 = Р(х,0, ф, ф)ф' + е(х,0, ф, ф)ф' = Ф2(х).

Чтобы система уравнений была полной, добавим уравнения, полученные из выражений (3), (1) с помощью алгебраических преобразований:

Гд уи+ед хи = ^ = ^(z2);

I дyV - едxV = -zl / Ь = G2 (х, у, и, V, 2).

Начальные условия для функций и, V определяются из задачи Коши (2).

Таким образом, мы получили характеристическую форму (4) — (6), (2) системы уравнений (1) относительно неизвестных функций и, V, Zl, 22В работе [5] нами доказана лемма об эквивалентности исходной задачи (1), (2) и характеристической формы (4) — (6), (2).

Применение метода дополнительного аргумента

Согласно методу дополнительного аргумента [3], в работе [5] для характеристической формы (4) — (6), (2) нами построена новая расширенная характеристическая система уравнений:

z1(x, у, s) = дуи - Ьд V; z2(x, у, s) = д уи + Ьд V

где е(х,у,и^) = -/Р70; Ь(х,у,и^) = у[Р0 .

В результате алгебраических преобразований системы уравнений (1) и выражений (3) получаем систему уравнений относительно функций 2р 2^:

где Ру =дуР + диРдуи + дуРдyV, р =дуР.

Частные производные выразим из (3), (1) через функции 21, 22 :

дуи = 0,5(21 + 22); дуу = 0,5(22 -2Х)/Ь; дхи = 0,5(22 - 21) / е; дxv = 0,5(21 + 22) / Р,

d П1

ds

d П2

ds

= е0(п1 (х, у, s), s, ц(х, у, s), Vl); = -е0(ц2(х, у, s), s, И2, V2( х, у, s));

dw1(x, у, s) 0

1 = ^ (т, s, и^^х,у,s),wз);

ds

dw2 (x, y, $) = ^о (п2, s, и2, v2, w4, w2 (х, у, s));

ds

du1

ds

dv2

= w3(x, у, s);

-W4

Iк Ь(п2(х, у, s), s,u2,v2(x, у, s))'

п,(x, y, s ^ s=у = ^ =12;

^

и11=0 =ф(п1(х у,0)); ^ ^=0 =у(п2(-х у,0));

где

w3 (х, y, s) = w2 (гц, s, s), w4(x, y, s) = w1(n2, s, s); Vi(x, y, s) = V2(m, s, s), u2 (x, y, s) = u1(n2, s, s),

e(x, y, u, v) = e0 (n, s, u, vf )|s=y, i = 1,2;

F

s=y

Функции , wi, W3, w4, ut, v, i = 1,2 зависят временных x, y и от дополнительного ар-ента 5 в области

nY = {(х, y, s): х ей1, 0 < s < y < Y}.

П1(х, y, s) = x - je0(n1(x, y, т), t, u1, v1)dт;

s y

П2(х, y, s) = x + Je0(n2( x, y, t), t, u2, v2)d т;

s

s

u1(x, y, s) = 9(n1(x, y,0)) + jw3(x, y, T)d т;

0

/ Ч / / пчч \ w4(x, y, T)dт V2( x, y, s) = y(^(x, y,0)) -j—j--;

0 ^^T,u2,v2)

w1 = ф1 (П1 |s=0) + jF10 (n, т, ul, vl, wl, w3)d t;

Для получения оценок функций будем пользоваться следующими обозначениями.

Саьа2>-- >«п (^*) - пространство функций, определенных и непрерывных вместе со своими производными до порядка аг- по / -му аргументу (/ = 1,2,..., п) на некотором подмножестве , п = 1,2,...;

:= {(х, у, и, V): х ей1, у е [0,7 ], и, V е[-К, К ]};

= {(х,w2): х ей1,у е[0,7], и, V е [-К, К], wi е [-К*, К* ], / = 1,2}, где К, К* — положительные числа (докажем, что

К = 3Сфу, К* = 3СФ);

Cw = max{ sup

Новая расширенная характеристическая система уравнений, в отличие от предыдущей системы из работ [3, 4], имеет меньшее количество суперпозиций неизвестных функций. Интегрируя уравнения (7) по аргументу s и учитывая условия (8), (9), получим эквивалентную систему интегральных уравнений:

ф(1 > , sup V >

Сф = max{ sup

NFj = max{ sup

nF

ф(') i

, l = 0,2};

, l = 0,2; i = 1,2}; , i = 1,2}, j = 16;

NF = max{sup \Fi , i = 1,2};

nF

Nux = sup |dxU|, Nuxx = sup

nY nY

Nuy = sup dyU\; nY

Nvx = sup |dxv|, Nvxx = sup

nY nY

d2xxU

Nvy = sup d yV ; nY

Nwx = sup |dxwi|, Nwixx = sup

nY nY

d2xxwi

, i = 1,2.

w2 =Ф2(П2 |s=0) + j^W T,u2,v2,w4,w2)d т.

Считаем функции ф, у, P, Q, Fi, Фг- (i = 1,2) непрерывно дифференцируемыми и удовлетворяющими условию Липшица по своим аргументам. Для функции w е С(nY) определим норму

nY

Лемма 1. Если функции и^х, у, s), V2(х, у, s), wi (х, у, s), / = 1, 2, удовлетворяют системе интегральных уравнений (10) — (12) и являются непрерывно дифференцируемыми и ограниченными вместе со своими первыми производными, то тогда функции

и( х, у) = и^х, у, у); v(х, у) = V2 (х, у, у);

г/ (х, у) = wi (х, у, у), / = 1, 2,

будут решением задачи (4) — (6), (2) на ^,

0 < у < 70 < 7, где 70 - константа, определяемая через начальные условия.

0

0

Д о к а з а т е л ь с т в о. Введем дифференциальные операторы:

Wi (w) = д yw + e(x, y, u, v)d xw;

W2 (w) = д yw - e(x, y, u, v)d x w,

где функция w( x, y, s) определена на области QY • Применяя операторы к соотношениям (9)—(11) и суммируя оценки, для всех (x, y, s) е QY получим неравенство:

Тогда для всех 0 < s < y < Y < C-i (С0 — const) имеют место равенства:

|W-(n)|| = 0, i = i, 2; \Wl(ul)\ = 0, |W2(v2)|| = 0;

Wi(vi) = 0, Wi(w3) = 0, W2(u2) = 0, W2(w4) = 0.

Применяя операторы W1, W2 к уравнениям (12) и учитывая равенства (13), получим уравнения Вольтерра

s

Щ (wI.) ^^ (w, )dт, , = 1,2,

0

решением которых будут выражения Wi ) = 0, I = 1, 2, при условии

0 < s < у < У0 < С0-1.

Дифференцируя интегральные уравнения (10) — (12) по переменной 5, получим соотношения:

дsu11=у = 22(х у) = (1(22);

dsv21 s=y = - zi/ b = G2( y,u,v, zi);

дswi\s=у = ^(x, y,u,v, zl, 22);  =12 Учитывая последние результаты, убеждаемся, что функции

и(х, у) = и (х, у, у), v( х, у) = V2 (х, у, у), 2,(х,у) = wi(х,у,у), I = 1, 2, удовлетворяют системе уравнений (4), (6):

д у 21 + ед х 21 =^1 ^=у +д yw1 + ед хЩ = Р\; ду22 -едх22 =дsw2^=у +дyw2 -едxw2 = Р2;

Iд уи+ед хи=дsul ^=у + д уи1 +ед хи1 = (1; [дyv - едxv = дsV21=у +ду v2 - едxV2 = G2,

а из уравнений (10) — (12) при 5=0 следуют начальные условия (2), (5). Таким образом, функции

и(х, у) = и (х, у, у), v( х, у) = V2 (х, у, у), 2,(х,у) = wi(х,у,у), I = 1, 2,

будут решением задачи (4) — (6), (2) на 0 < у < 70 < 7, где У0 — константа, определяемая через начальные условия. Лемма 1 доказана.

Существование ограниченного непрерывного решения системы интегральных уравнений

Для доказательства существования решения задачи (1), (2) в классе ограниченных функций используем систему интегральных уравнений (10) — (12). Введем новые функции:

ц, (х, у, s) = х - п, (х, у, s), i = 1, 2;

тогда система интегральных уравнений примет вид

y

I (x, y, s) = Je0 (x - | (x, y, t), t, ui, vi )d т;

l2(x, y, s) = - J e0(x -|2(x, y, т), T,u2,v2)d т;

s

s

ui(x, y, s) = 9(x-|i(x, y,0)) + Jw3(x, y, T)d т;

0

( ч ( I ч \ w4(x, y, T)dT

v2(x,y,s) = V(x-l2 s=0)- Ь-7; „

ls=0 0 b

wi(x, y, s) = Фl(x - |i (x, y, 0)) +

s

+ J i*i0(x -|i, T,ui,vi, wi(x, y, T),w3)d t;

0

w2 (x, y, s) = Ф2 (x -12 (x, y, 0)) +

s

+ Jf20 (x -12, t, u2, v2, w4, w2 (x, y, T))d t;

0

w3 = w2(x-|i,s,s); w4 = wi(x-|2,s,s); vi = v2(x-|i, s, s); u2 = ui(x-|2, s, s).

s

Лемма 2. Система интегральных уравнений (14) имеет единственное, ограниченное, непре-рывноерешение на , 0 < 71 < 7, где 71 — константа, определяемая из исходных данных.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Нулевое приближение к решению системы интегральных уравнений (14) при i=1, 2 задаем равенствами:

ц(0) = 0 , w(0) =Ф/(х),

и((0) =ф(х), v2u; =у(х).

Все последующие приближения системы интегральных уравнений (14) определим при помощи рекуррентной последовательности систем уравнений (п = 1, 2, ...):

У

|(п) (x, y, s) = je0 (x - |(n), т, U((n-1), v(n) )dv,

ц2и) (x, y, s) = - je0 (x - |2n), т, u2n), v2n-1) )d т;

u1n) =ф^ -|1n)(x, y,0)) + jw3n)(x, y, T)d t;

v2n) = y(x -ц2и)( x, y,0)) -

j w4n)(x, y, T)dт ; - 0

W((n)(x, y, s) = Ф1 (x - ц((И)(x, y, 0)) +

s

+ jF10 (x - |n), т, u(n-1), v<n), W((n), w(n))d T;

w2n) (x, y, s) = Ф2 (x - |2n) (x, y, 0)) +

s

+ jF0 (x - |2n), T, u2n), v2"-1), w4n), w2n)) d t; 0

кажем существование решения. Затем покажем, что при п ^ <» последовательности

{и^Ь^Мц^},^}, / = 1, 2,

сходятся и тем самым дают решение системы интегральных уравнений (14). Предположим, что для (п -1) -го приближения справедливы оценки:

w

< 1;

< 2Сф;

д x 1

u

< 1;

d xW

<N

< 2C ;

- 2Сфу;

< 2C ;

-2Сфу;

d xU

< 3C

ФУ'

d xv2n-1)

< 3Сфу, i = 1, 2.

Рассмотрим уравнения (15), определяя начальные приближения ц-п'0) = 0, / = 1, 2, и ^-приближения {ц-п)}, / = 1, 2; к=1, 2, ...:

^(x,y,s) = je0(x-ц(п'к-1), T,«1(n-1),v1(n))dт;

s

y

^2n'k)(x, y, s) = - je0(x-|2n'k-1), T,«2n), v2n-1))dT.

Для всех 0 < y <Yk1 = Ce 1 получаем оценки

Mi

<yCe < 1, i = 1, 2. Последовательные приближения {|M-n'k)},i = 1,2 сходятся для всех 0 < y < Yk2,

Yk 2 = 0, 5Мщ, гд е M^n = min{M|-11, M-fc2 }, M|ki - const, i = 1, 2, так как выполняются неравенства

M

Mi - Mi

<y

M(n,k ) M(n,k-1) Mi -Mi

M.

Производные по переменной x функций M(n'k), i = 1,2 и их оценки имеют вид:

v(n) = v2n-1)(n(n), s, s); u2n) = u{n-1)(n2n), s, s); w3n) = w2n-1)(n(n), s, s); w4n) = w|n-1)(n2n), s, s).

Будем рассматривать системы уравнений (15) — (17) отдельно. Для всех пар независимых уравнений при каждом п > 1с помощью своего процесса последовательных приближений до-

5 x iin'k)(x, y, s) = j [^ 5 xU((n-1) +

+ (5 xe() +dve0d xv2n-1))(1 -5 x мГ^Ж т;

y

5 x M2n'k)(x, y, s) = 5 xv2n-1) +

s

+ (5 xe0 + due0d xutin-1) )(1 - 5 x -1) )]d т,

(n,k-1K

д x M

< 1, i = 1, 2 для всех

1

2

s

s

s

s

0

0

s

0 < у < ^, ^ = шахМ-з;М^},

где Mцk3,Мцк4 -сопй.

Последовательные приближения (19) ограничены, сходятся и имеют ограниченные частные производные по переменной х:

r-i

< i,

д x1

< i, i = i, 2.

Рассмотрим уравнения

с оценками

,(n,0) i

< C,

Ф¥'

,

^-приближения {u{n)},{v2n)}, k = i, 2,...:

u((n,k) = Ф^-цГ n) +

s=0

s

+ Jw2n-i) (x - ц((П), т, T)dt; v2n'k) (x, y, s) =

0 ( . (21) = V(x -|2n)(x, y,0)) -

J w(n-i)( x -|2n), t, T)d т

о b( x - |2n), t, u((n-i) (x - |2n), t, t), v2n'k-i)).

Для всех 0 < y < Yk4,

Yk4 = 0,5тах{СфУ / Сф; СфуСе^0 / Сф } получаем оценки

< 2C ;

< 2C

ФУ'

Последовательные приближения {и|"'к ^2"'к^} сходятся для всех 0 < у < Ук5,

¥к 5 = Рс/(4СфСеУ), так как выполняются соотношения:

-u

= 0;

2

-v

2

< y2СфСеуРо

-i

2

-v

2

Предположим, что справедливо неравен-

ство

д xv2nk-i)

< 3Сфу. Производные по переменной х функций ujn'k),v2n'k^ и их оценки име-

ют вид

д xv2nk > = (i-д x i2n))y'-i {(i-д x i2n)) -

[дxW((n-i)b-i - Wi(n-i)(дxb + дuЬдxu|n-i) )b-2] -

- W((n-1)дvbд xv(2n'k-i)b-2}d t;

д Л"*)

< 3C

--ЬФУ

д A'k)

< 3C,

ФУ

< СФу. и

для всех 0 < y < Yk6,

Yk6 = тах{СФу / (2Nw2x ); СФУ / Mvn }.

Mvn - const.

Последовательные приближения (21) ограничены, сходятся и имеют ограниченные частные производные по переменной х:

< 2C ;

- 2СФУ;

< 2C ;

- ФУ'

д Л00

д xv2n)

< 3C •

—ФУ'

< 3C

- 3СФУ.

Рассмотрим уравнения (17), определяя начальные приближения

(n)(

w

с оценками

w

< Сф, и ^-приближения

{w(n)}, i = i, 2; k = i, 2, ...: w{n,k) (x, y, s) = ф^ - ц(п) (x, y, 0)) +

s

+ J F0(x-|(n), T,u1(n-i), vin), w{n'k-i), w3n))d t; 0 (22) w(nk) (x, y, s) = ф2 (x - |2n) (x, y, 0)) +

s

+ J F20(x-|2n), T,u2n),v2n"i), w4n),w2n'k-i))d т.

Для всех 0 < у < Ук7 = NF 1 получим оценки < 2СФ, , = 1, 2. Последовательные приближения ^} сходятся для всех 0 < у < Ук8,

w

Yk 8 = 0,5 minNF4, NF-}, так как выполняются неравенства:

>>k+i) ,Jn,k)

< yNF5

д^) = (i-д, linV+j (i-д, ц^д^^т;

w(n,k+i) w(n,k) w2 - w2

< yNF6

w2 - w2

s

0

2

u

2

2

0

s

Производные по переменной х функций wí¡n,k), / = 1, 2, и их оценки имеют вид:

д^) = (1 -дх Ц^Ж + |{(1 -дх ц((п))[5 х^10 +

0

+ хv2n-1) + д„ 2^1°д хw2n-1)] +

+ ди^10д хи{п-1) +дwlFl0д хw(n•k-1)}^ т;

дхw2n'k) = (1 -дх Ц(2п))Ф2 + ]{(1 -д х м2п))[дх^2° +

0

+ ад0д хи((п-1) + д„1^д хw{n-1)] + + д^д хv2n-1) + д„ 2^0 д хw2n'k-1)}^ т,

д х™/

< ^х, / = 1, 2 для всех 0 < у < 7к8.

Последовательные приближения (22) ограничены, сходятся и имеют ограниченные частные производные по переменной . :

w,

< 2Сф;

д^ w\

< МЫх, / = 1, 2.

Таким образом, система уравнений (15)— (17) при каждом п = 1, 2,... имеет гладкое, ограниченное решение с производными первого порядка по переменной . . При этом равномерно выполняются оценки:

w,

< 1,

< 2Сф,

д х Ц

< 1,

< 2С ,

- 2Сфу ,

д хwi

»

< N.

< 2СфУ;

д хи

< 3С

--^фУ

д х.2п)

< ЗСфу, / = 1, 2,

рп+1 _ ^ =

ц

, ЯТ1 =

w

К+1 =

и1 -и

я+1 =

.2п+1) - п2п)

, / = 1,2.

где константы определяются через исходные данные и не зависят от номера итерации.

На основе этого докажем, что при п ^ да последовательные приближения из системы рекуррентных уравнений (15) — (17) сходятся, то есть система уравнений (14) для всех 0 <s<у <71, х ей1 имеет ограниченное и дифференцируемое решение с производными первого порядка по х. В силу полученных оценок (23) следует, что для функций и(п), п2п), ц(п), w(n), / = 1, 2, равномерно выполняется условие Липшица по переменной . . Введем обозначения:

Из системы рекуррентных уравнений (15) с учетом оценок (23) имеем:

ЯЦ+1 < уК+Мф+у(СеиЯп + Сея),

и поскольку {ц(п,к)}, / = 1,2, сходятся при 0 < у < 7к2, получим:

Я71 <Мп

Из системы рекуррентных уравнений (15) — (17) с учетом (23), (24) для последовательностей Ц(п)}, {.2п)}, ^<п)}, / = 1, 2, выводим неравенства:

яп+1 < япСи1( у)+япСУ1( у)+Я2пу;

яп+1 < КСи 2 (у)+КСУ 2( у)+ЩСК 2( у);

яп+1 < япСиз( у)+КСУз( у)+я2пС„з( у);

Яп+1 <яп Си4(у) + КСуА(у) + я^у).

Просуммируем последние неравенства и обозначим соответствующий максимальный коэффициент Стах(у), тогда имеем:

яип+1 + я^1 + щ+1 + я2п+1 <

< Стах(у)[Яип + К + К + яп].

Так как Стах(у) есть многочлен первой степени относительно у с коэффициентами, не зависящими от номера итерации и определяемые через исходные данные, то точно определяется такое значение 7к9 = 0,5С1-11ах, что для всех 0 < у < 7к9 выполняется неравенство Стах (у) < 1. Тогда следует сходимость ряда

х (Яп + яп + яп + яп),

п=1

и

по признаку сравнения ряды X яп, X Яп ,

да да п

и '

п =1 п =1

дада

X яп, X яп/, / = 1, 2, сходятся.

п=1 п=1

Таким образом, доказана сходимость по-следовательныхприближений {и(п)}, {п2п)}, {ц(п)}, ^(п)}, / = 1,2. Переходя к пределу при п ^ да в рекуррентных уравнениях (15) — (17), получим, что предельные функции будут удовлетворять

2

системе уравнений (14). Этим самым мы установили, что при 0 < s < у < У1, х е^1,

71 = шт^Л^-Л 9,7к 9}

существует ограниченное и непрерывное решение системы уравнений (14). Единственность решения системы уравнений (14) следует из того, что для разности двух возможных решений этой системы будет выполняться неравенство вида

Лемма 2 доказана.

Дифференцируемость решения системы интегральных уравнений

Для получения оценок производных второго порядка по переменной х функций и1(х, у, s), у2(х,у,s), ц,(х,у,s), (х,у,s), , = 1, 2, удовлетворяющих системе интегральных уравнений (14), будем учитывать оценки (23).

Лемма 3. Функции и1(х,у,s), у2(х,у,s), ц, (х, у,s), м, (х, у, s), , = 1,2, удовлетворяющие системе интегральных уравнений (14), имеют ограниченные и непрерывные производные по переменной х на П^ .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предполагаем, что для (п -1) приближений функций и1(х, у, s), у2(х,у,s), ц,(х,у,s), (х,у,s), , = 1, 2, справедливы оценки:

дXxUln-1)

<N

4 i

<N

дXxv2n-1) д^-1)

<N

< Nwba, i = 1, 2.

Найдем производные второго порядка функций |п), , = 1, 2:

д2« l(n) = J{-S L l(n) (д xe + дуед Xv{«-1)) + (1 -

s

-д x ц(n))2[2дXveдxv2n-1) +д2ve(д ^-1))2 + дХxe] +

+(1 - д x ц(п) ) [^e + д^д x v2n-1) )д xu{n-1) +

+дveд2xxv2n-1) ] + д2ue(д xu(n-1) )2 + дueд ^u}n-1) }d т;

(n-i) 2

Ч2 „(n-1).

д^мП = - J{-д»мП (дxe + дueдxu(n-1)) + (1 -

-д x ц(2n))2[2дXueдxu1n-1) +д2ue(д U^Y + дХxe] +

(n-i) 2 2

+(1 - д х |(2п)) [2(дх^е + д2Уед хи{п"1) )д хг2п-1) +

+диед2хи((п"1) ] + д2Уе(д х г2п-1) )2 + дуед2х г2п-1) ^ т. Поскольку для всех 0 < у < Ук2 имеем

умцш < 0,5;M- const,

д2 м(п) < 2 yM < M M < N

xxr^i у ±y±iii—a у±щ±у± цп — 1 'uxx-

Mi

Найдем производные второго порядка функций и(п), у<п):

дХxu1n) =-дХx Ц((П)Ф' + (1 -д x |(n))2 Ф' +

s

+ J {-S2x Ц(П)д xw2n-1) + (1 -д x Ц((П))2 дХxw2n-1)}d т;

д2 v(n) = д2 м(п)У' + (1 д n(n))2У'' дxxv2 =-дxx Ц2 У + (1 -дx Ц2 ) У -

s

- J{дХx мП [w(n-1)b "2 (д xb + диЬд xu{n-1)) -0

-д xw(n-1)b-1] + (1 -д x м2п))2 дХxw1n-1)b-1 -

+ (1 -д x М2П))(д xb + дubд xu(n-1))] -

- 2(1 -д x 12") )д xw(n-1)b -2[дvbд xv2n) +

•/П-1)).

-2w|n-1)b "3 [(1 - д x м2п) )(д xb + дubд xu(n-1)) +

+ дvbдxv2n)]2 -w(n-1)b-2[дvv2b(дxv2n))2 +

д2 Ь(дxu(n-1))2-

+(1 -д x ц(2n))2(2дХubдxu1n-1) +д2ub(д xu{n-1))2 +

+д ixb) + (1 -д x м2П))(2д x^^ + дUvbд xur4) + +дubдХxuln-1))+дvbдХxv2n)]}d T.

Поскольку для всех 0 < y < Yk5, имеем y2CфCevPo-1 < 0,5; My2 - const,

тогда

< Сфу (3 + N|xx) +

(n) 2

д2xxUln)

+P0 (CCev )-1 (Nw2xNMxx + 3Nw2xx ) < Nuxx

д2xxV2n)

< 2Сфу (3 + Nmxx ) +

ФУ -i

+ Р0(2СфСеу)~1 Му2 < N\хх.

Рассмотрим производные второго порядка функций м(п), , = 1, 2 :

0

s

д^п) =-д^х ц|п)Ф1+ (1 -д х ц("Т ФГ +

+ 1{-д2хх ц(1п)(д х^1 + ду^д хп2п-1) + дуи^д хУ2п-1)) + 0

+(1 -д х ц(п))[(1 -д х ц(п))(д2хЛ +д2хуВ1д Щ-1) +

+д2хw2Flдхw2n-1)) + д XuFlдхUin-1) +д Х^у^ +

(п-1) 2

+(1 -д х ц(n))(дXvFlдхV2n-1) + д2„ Лд хw2n-1) +

(п-1) 2

+д2х^1)д хП2п-1) + (д2и^1д хи1п-1) +

+д^1^((п))дхП2п-1) + (1 -д х ц("Ж2 х^1 +

+дW2vFlдхV2n-1) + дУи,у Х^У^^^У^1 +

(п) 2

+(дУ 2и^1дхи{п-1) + дУ и^^^д ^ + 2

+(1 - д х Цп) ад-»+д„ лд1^-1)]+

„(п))д (п-1). 2

+(1 -дх ц((п))[д2У^1дхп2п-1) +д2у и^д хУ2п-1) +

(п-1) 2

+дих^]дхи((п-1) +д2и„1Р1дхуГ)д хиГЧ +

+(д2и^1д хи(п-1) +д2у1^1д хУ1(п))д хи1п-1) +

+ди^д ^^ + (1 -д х Ц^МдУь^ +

+дУ1у^1дхп2п-1) +дУ1у 2^1д хУ2п-1)]дхУ((п) +

+дУ1у^(д хУ1(п))2 +ду1^1д т;

д2ху2п) (х, у, $)=-д2х ц2п)Ф2+(1 -д х ц(2п))2 Ф2 +

+ 1 {-дХх ц(2п)(дх^2 +ди^д хи((п-1) +ду1/2дхУ1(п-1)) + 0

+(1 -д х ц(ип))[(1 -д х ц2п))(д!л+дХи^2д хи(п-1) +

+дХу1^2д ху(п-1))+д2п^ид хп2п-1)+дХу и^ид хУ2п) +

+(1 -д х ц(ип))(д2и^д хи{п-1) +д2у1^ид хУ(п-1) +

+д2х^и)д хи(п-1) + (дХп^ид хп2п-1) + +д2уи^д хУ2п))д хи(п-1) + (1 -д х Ц(2п))(дУьЛ +

+д1и?гд хи(п-1) +дУ1,у1^2д хУ(п-1))д хУ(п-1) +

+(дУ^ид хп2п-1) +д2уи,у1^ид хУ2п))д хУ1(п-1) +

+(1 -д х ^(ди/иди^ +дwlF2дXхWln-1))] +

+(1 -д х ц(ип))[д2п/2д хи(п-1) +дХ^2д хУ(п-1) +

+д2х/и]д хп2п-1) +дУ иу^ид хп2п-1)д хУ2п) +

+дХЛ(д хУ2п-1) +дХуи/ид хУ2п))д хУ2п-1) +

2

+ду/ид^-1) + (1 -д х ц2"0[дУ и хри +

МчГЯ2

+ду хи/ид хи{п-1) +дуь и/ид хУи"; +

+ду 2,у 2^2 (д хУ2п))2 +ду и^ид^Т'^ т.

2

Поскольку для всех 0 < у < 7к8 имеем у^5 < 0,5; уШ6 < 0,5,

¿М0

д2ху2п)

< 2Сф (3 + Nцхх) + ^5-1МК1 < ^^;

< 2Сф (3 + N_) + №6~1Муи < ихх

цхх

Таким образом, мы получили оценки для производных второго порядка функций и(п),у2п), ц^у«, / = 1, 2, по переменной х:

д^ир0 дХх ц

< N

< N

цхх'

д2ху2п)

д2ху

< N.

< Кхх, / = 1, 2.

Тогда для функций дхи(п), дху^}, дхц\п>, дху(п), / = 1, 2, равномерно выполняется условие Липшица по переменной х:

дхип](х1,у,$)-дхип)(х2,у,$)| < NuхX|хl -хи|;

д х у2п) (х( , у, $) - д хУ2п) (хх, у, $)| < N^1 - хи |;

дхц(п)(х1,у,$)-дх^(хи,у,$) <N^^1 -хх|;

д хУ

< ^хх х1 - х2 .

дада

Учитывая, что ряды X яп, X К, X яп,

п =1 п =1 п =1

да

X яп, / = 1, Х, сходятся, из рекуррентных урав-

п=1

нений для определения

{дхи(п)},{дхУ2п)},{дхц(п)}, {дхУ(п)}, / = 1, 2,

получим, что будут выполняться соотношения

д хи

д ху(п+()-д хУ/

<у;

<Уп

д ху2п+

д х ц(п+()-д х Ц

<Уу; <у".

_ / ц /

да да да да

где ряды X Уп, X Уп, X УЦ/, X У п, ' = 1 2, схо-

п =1 п =1 п =1 п =1

дятся.

В результате мы получили, что последовательные приближения

{д хи(п)},{д хУ2п)},{д хУ(п)}, {д х ц(п)}, /= 1,2,

сходятся, а значит решения системы интегральных уравнений (14) имеют ограниченные и непрерывные производные по переменной х на П^.

да

Лемма 3 доказана.

Лемма 4. Функции и1(х,у,s), у2(х,у,s), ц,(х,у,s), —1 (х,у,s), , = 1,2, удовлетворяющие системе интегральных уравнений (14), имеют ограниченные и непрерывные производные по переменной у на .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предполагаем, что для (п -1) приближений функций

и1(х, у, s), у2(х, у, s), ц, (х, у, s), —, (х, у, s), , = 1, 2,

справедливы оценки:

д уи1

< N

иу

< N ;

- цу'

д у^2п_1) д уМ

< N

уу'

< N-iy , , = 1, 2.

Рассмотрим производные функций ц(п), , = 1, 2, по переменной у:

д у ц(п) = е(х -ц(п), у,и{п-1), у(п)) + у

+1 {-д у ц

д у ц2п) = -е(х - ц(2п), у, и2п), у2п-1) ) +

у у

+ |{дуцП (дхе + диедуи{п-1)) - дуед-1) }Л;

д у ц

< Nцy, , = 1, 2, для всех 0 < у < Ук

к3

Поскольку для всех 0 < у < Ук2 имеем уМцМ < 0,5, то справедливы оценки

дуц(п) < 2Се + 2уСе^иу < Nцy;

д у ц2П)

< 2Се + 2уС^у < Nцy.

Рассмотрим производные функций и(п),

по переменной у:

s

д уи(п) =-ду ц(п)Ф' + |(-д у ц(п)д х—ПХ))й т; 0

s

д уу(п) = -д у ц^У + jdт{¿-1д у ц2п)д хм1(п-1) - (26) 0

м

- -^[д у ц<п)(д хЬ + диЬд xu1n-1))-дуЬд уу2п)]}.

Ь2

Поскольку для всех 0 < у < Ук5 имеем -1

у2СфСеуР0 < 0,5, то

д уи

д уу2п)

< с N + р0

- 4с с

N <, N < N

—2 х цу — иу'

ф*-' еу

< Р0(2СфСеу 1х (Р0?0)-1/2 +

+ 2Сф Pо-1NЦyMцk2} + 2СфуNцy < ^у.

Рассмотрим производные функций —г-п), , = 1, 2, по переменной у:

s

д у—1(п)=-д у ц((П)ф;-| {д у ц(п)[д х^ + 0

+дуFlд ху2П-1) +д—2Flд х-2П-1)] -

-дuFlд уи{п-1)-д—lFlд у—т;

s

ду—2п) =-дуц2П)ф2 {дуц2п)[дх^2 +

+ди^д хи(п-1) +д—lF2д х—((П-1)] +

+дуF2д уу2П-1) +д—2F2д у— 2n)}d т.

Поскольку для всех 0 < у < Ук8 имеем уШ5 < 0,5; уШ6 < 0,5, то

д у—1

д у—2П)

< 2Сф Nцy + 2у{^ (NFl + N^4 3Сфу +

+ — 2х) + Шз^у} < ;

< 2Сф Nцy + 2у{^ (NFl + ^3Сф„ +

+ Ш5^1х) + Ш4^у} < ^ 2у.

В лемме 3 было доказано, что для функций дхц(п), дх—(п), , = 1,2, дхи{п), дху2п) равномерно выполняется условие Липшица по переменной х. Из соотношений (25) — (27) выводится, что последовательные приближения

{д уи(П)},{д уу2П)}, {д у ц(П)},{д у—(П)}, , = 1, 2,

при достаточно малом У* < У1 сходятся, обеспечивая тем самым существование у функций

и1(х,у,s),у2(х,у,s), ц,(х,у,s),

(х, у, s), , = 1,2,

ограниченных и непрерывных производных по у на ПУ*.

Лемма 4 доказана.

0

s

На основании проведенных исследований нами доказана следующая теорема.

Теорема. Пусть функции P(x,y,u,v), Q(x, y, u, v) дважды непрерывно дифференцируемы по всем аргументам, P > Р0 > 0, Q > #0 > 0, 9(x), y(x) е С(2)(^1). Тогда задача Коши (1), (2) для системы Франкля в гиперболическом случае при 0 < y < Y* имеет единственное ограниченное, диф-ференцируемоерешение u(x, y), v(x,y) е е С (2,1)(Q), при этом функции u(x, y), v(x, y) определяются из системы интегральных уравнений (14).

СПИСОК J

1. Франкль, Ф.И. Избранные труды по газовой динамике [Текст] / Ф.И. Франкль. — М.: Наука, 1973. — 712 с.

2. Рождественский, Б.Л. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике [Текст] / Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко. — М.: Наука, 1968. - 592 с.

3. Alekseenko, S.N. A basic scheme to investigate two first order quasi-linear partial differential equations [Текст] / S.N. Alekseenko // Analytical and Approximate Methods / H.-P. Blatt, R. Felix, L.G. Lelevkina, M. Sommer (Eds.) International Conference at the Kyr-gyz-Russian-Slavic University. Bishkek — Aachen: Shaker Verlag. — 2003. — P. 1 — 14.

4. Алексеенко, С.Н. Локальное существование ограниченного решения системы Франкля в гиперболическом случае [Текст] / С.Н. Алексеенко, Т.А. Шемякина, К.Г. Круц // Исследования по ин-тегро-дифференциальным уравнениям. — Бишкек: Илим, 2006. — Вып. 35. — С. 142—147.

5. Шемякина, Т.А. Построение расширенной характеристической системы для системы Франкля в гиперболическом случае [Текст] / Т.А. Шемякина // Труды Средне-Волжского матем. об-ва: докл. III Междунар. науч. школы. — Ульяновск, 2007. —Т. 9. — № 1. — С. 264—273.

Итак, полученные в данной работе результаты свидетельствуют об эффективности применения метода дополнительного аргумента к исследованию условий разрешимости и построению численных решений для систем квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка.

Автор выражает благодарность ведущему научному сотруднику профессору А.П. Качалову из лаборатории математических проблем геофизики ПОМИ им. В.А. Сте-клова РАН за полезные дискуссии.

6. Шемякина, Т.А. Условия существования и дифференцируемости решения системы Франкля в гиперболическом случае [Текст] / Т.А. Шемякина// Журнал Средне-Волжского матем. об-ва. — 2011. — Т. 13. — № 2. — С. 127—131.

7. Шемякина, Т.А. Численное решение задачи Коши для системы Франкля на основе метода дополнительного аргумента [Текст] / Т.А. Шемякина // Матер. XVII Междунар. конф. по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС'). —М.: Изд-во МАИ-ПРИНТ, 2011. — С. 669—672.

8. Алексеенко, С.Н. Построение расширенной характеристической системы уравнений для частного случая системы Франкля эллиптического типа [Текст] / С.Н. Алексеенко, Т.А. Шемякина // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки. — 2009. — №3 (83). — С. 73 —82.

9. Шемякина, Т.А. Примеры решения задачи Коши для некоторых вариантов системы Франкля эллиптического типа [Текст] / Т.А. Шемякина // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки. — 2011. — № 4 (134). — С. 191 — 197.

УДК 519.1

А.М. Магомедов, Т.А. Магомедов ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОДГРАФА МАКСИМАЛЬНОЙ ПСЕВДОПЛОТНОСТИ

Среди основных направлений исследований в теории графов паросочетания занимают одно из основных мест. Тесные связи теории

паросочетаний с задачами о раскрасках и назначениях с оптимизационными проблемами и задачами расписаний привлекают к ней много-