Задача дифракции электромагнитной волны на многосекционной анизотропной диафрагме в прямоугольном волноводе

УДК 517.3, 517.958, 537.876.46, 517.927

Е. Д. Деревянчук

ЗАДАЧА ДИФРАКЦИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ НА МНОГОСЕКЦИОННОЙ АНИЗОТРОПНОЙ ДИАФРАГМЕ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ВОЛНОВОДЕ1

Аннотация.

Актуальность и цели. Целью работы является исследование задачи дифракции электромагнитной волны многосекционной анизотропной диафрагмы, помещенной в прямоугольный волновод.

Материалы и методы. Применены общие методы теории краевых задач, а также методы линейной алгебры.

Результаты. Получена явная формула зависимости коэффициента прохождения электромагнитной волны от электромагнитых параметров диафрагмы, а именно: диэлектрической и магнитной проницаемостей.

Выводы. Получены рекуррентные формулы решения задачи дифракции электромагнитной волны на многосекционной анизотропной диафрагме, помещенной в прямоугольный волновод; результаты решения данной задачи могут быть использованы в нанотехнологиях, нанооптике, а также при исследовании композитных материалов.

Ключевые слова: задача дифракции электромагнитной волны, многосекционная диафрагма, тензор диэлектрической проницаемости, тензор магнитной проницаемости, прямоугольный волновод.

E. D. Derevyanchuk

ELECTROMAGNETIC WAVES DIFFRACTION BY N-SECTIONAL ANISOTROPIC DIAPHRAGM IN A RECTANGULAR WAVEGUIDE

Abstract.

Background. The article investigates diffraction of electromagnetic waves by n-sectional anisotropic diaphragm in a rectangular waveguide.

Materials and methods. The author used the theory of boundary value problem for Maxwell’s equations and the methods of linear algebra.

Results. The researcher obtained an explicit formula of dependence of the coefficient transmission on the electromagnetic parameters.

Conclusions. The developed recurrent formula allows determining the transmission coefficient of n-sectional anisotropic diaphragm in a rectangular waveguide; these results can be applied in nanotechnology, optics, and for composite materials investigation.

Key words: electromagnetic waves diffraction, n-sectional diaphragm, permittivity tensor, permeability tensor, rectangular waveguide.

Введение

Задача дифракции электромагнитной волны на многосекционной диафрагме в прямоугольном волноводе возникает при исследовании нанокомпо-зитных материалов и наноструктур [1-3]. Данная статья является продолже-

1 Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Минобрнауки РФ (в рамках госзадания).

нием работ [4-8]. В работе [4] был представлен метод решения задачи дифракции ЭМ-волны на многосекционной диафрагме, каждая секция которой имеет скалярные диэлектрическую и магнитную проницаемости; а также представлено решение обратной к ней задачи. Разработанный метод решения применяется в работах [5-8].

Данная работа - продолжение работы [5], в которой были рассмотрены задача дифракции и обратная к ней задача для односекционной диафрагмы с тензорными электромагнитными параметрами в прямоугольном волноводе. В отличие от работы [5], будет рассмотрена задача дифракции ЭМ-волны на многосекционной анизотропной диафрагме, помещенной в прямоугольный волновод. Предложен рекуррентный метод решения поставленной задачи. На основе разработанного метода решены задачи дифракции для двух-, трехсекционной диафрагм. Представлены численные результаты.

1. Постановка задачи

Рассмотрим волновод

P ={( x, у, z) :0 < x < a,0 < у < Ь, -^ < z < ^}

с идеально проводящими стенками дP , расположенный в декартовой системе координат Oxyz. В волновод помещена неоднородная диафрагма

Q :={^,у,z): 0 < x < a,0 < у <Ь,0 < z < /} (рис. 1).

Z

Рис. 1. Диафрагма в волноводе

В P \ Q среда изотропна и однородна с проницаемостями Єд > 0, Цо > 0 . Считаем, что всюду магнитная проницаемость постоянна и равна Цд . Диафрагма Q представляет собой анизотропную среду с диагональным тензором магнитной проницаемости

^ii(j)N 0 Л 0

ц () = 0 М-22(J) () 0

0 0 ^33^)

и с диагональным тензором диэлектрической проницаемости в каждой секции:

еп^)(ю) 0 0 1

є (ro) = 0 Є22(і)(го) 0

0 0 єзз

Здесь s(ю) = s(j)(w), ц(ю) = £(J)(w) в j-й секции, lj - длина каждой

секции диафрагмы, предполагается известной.

Поведение электромагнитного поля внутри волновода P удовлетворяет уравнениям Максвелла

rot H = —/Ю£о E,

= Л

вне диафрагмы и

rot E = iw^0 H

rot H = -iros E, rot E = iro£ H

внутри диафрагмы, где E - вектор напряженности электрического поля; H -вектор напряженности магнитного поля; ю> 0 - круговая частота.

Будем искать решение задачи в виде ТЕ-волн:

E =

Будем предполагать, что внешнее электрическое поле имеет вид волны

H

10

Т7.0 Л  | nx I —iY0 z

E = A sin I — I e 10 e2

с известной

амплитудой А, где Y0 =Y0 (w)^ 0; k0 = ro2£0^0; k0 -

волновое

число вакуума; e2 - орт вдоль оси Oy . Вектор H определяется из второго уравнения системы (3). Тогда поле E вне объекта Q имеет вид

E =

sin

nx

a

nx

)(

Ae—iY0z + BeiY0z

z < 0,

sin I — |Fe iY°ze2, z > l

вне объекта Q и

Здесь уи+1 = Уо; А - амплитуда падающей волны; В и Е - коэффициенты, подлежащие измерению. На границе областей должны выполняться следующие условия:

[Ey]l = 0; [HxjL = 0,

где Ь :={(х,у,z): z = 0, z = /}, [ - скачок предельных значений функции на

границе раздела сред Ь; Еу, НХ - тангенциальные составляющие векторов E, H соответственно.

2. Определение коэффициентов прохождения и отражения

Из уравнений Максвелла (4) и уравнений (1), (2), (5) получаем

1 д2

-E,. +-

1 д2

jx2 y .({) dz2 y

= —ro2e2J2)Ey, j = 1,.,n,

причем

Н =__________——Е

Х іщЦ) ^ У,

Hz =/ НУ) дХЕу.

Подставляя выражение (7) в уравнение (9), находим выражение для у у :

ґ

2 j П го £22 — ~

V а2 У

.1

.зз)

j = 1,•••, n .

Из уравнений Максвелла (3) и того, что £о, Мо - скалярные величины, согласно постановке задачи получаем

-77 Ey +ТГ Ey = —ro2e0.0 Ey dx dz

причем

H, =—-L-AE,

iro.0 dz y ’

H, =-L-d e,.

iro.0 dx y

Подставляя выражение (6) в уравнение (11), находим выражение для у0:

2 п2 L 2 п2

Y0 = Jro £0.0 —2 = J k0 —2 .

Здесь ^ - волновое число. С учетом того, что НХ = —

1

d

i со.' dz У

Ey , граничные условия (S) для век-

тора Н можно записать в следующем виде:

—E = 0 dzEy 0.

Подставляя выражения (6), (7) в граничные условия (8), (14), получим следующую систему уравнений:

А + В = С1 + Ву,

?- ( — A)=-Jiy(Di — С). .0 .її'

Cje~iJjlj + DjeiJjlj = Cj+1e

Yl

—IYj+llj + Dj+ie

iY j+i'j

J .

„ .11

(e iYjlj — D,eiJjlj (С'+1e iYj+llj — DJ+1eiYj+llj

j

j

.(j+1) .11

Здесь 1 < у < п , Си+1 = Е, Оп+1 = 0 , уу, Уо выражаются по формулам

(10) и (13) соответственно.

Система уравнений (15) относительно неизвестных В, Су, В у представляет собой систему линейных алгебраических уравнений, которую можно решить любым известным методом решения СЛАУ.

Прямая задача. Требуется по известной амплитуде А падающего поля,

;

известным диагональным тензорам магнитной проницаемости цт ' и диэлек-

1У

трической проницаемости г(у) и известным длинам I у каждой секции диа-

фрагмы найти электромагнитное поле в волноводе.

Будем использовать разработанный в работе [4] метод для решения поставленной задачи. Выражая коэффициенты Су, В у на у -м шаге через коэффициенты Су+1, Б у+1 на следующем шаге, получим следующую рекуррентную зависимость неизвестного коэффициента прошедшего поля Е от известного коэффициента падающего поля А :

F =

2 aY0 / .0

1Ж+Л_1 .0 .11

Сі +

1Ж Yl 1

.0 .11

А

где

±i'Y jl

( (

CJ ,DJ =

J J

2

Y j

С

j+1

YJ ,±.Yj+l

\

.(') V .11

.

.11 .11

—ij +i'j +

+Dj+1

Y j + Yj+i

^7 + '

.('Г .('+1) .11 .11

Л J+i'j

1 < j < n;

Cn+1 = Cn+i = F, Dn+i = Dn+i =0, Cj = Cj •F, 1 < j<n; Dj = Dj • F, 1 < j < n;

B = -

1

2 Ю .0

Подставляя выражение (17) в формулы (16) и (20), мы получим следующие рекуррентные формулы зависимости коэффициента прохождения Е/А и коэффициента отражения В А от компонент диагональных тензоров магнитной проницаемости ц и диэлектрической проницаемости г и

длин

J

0 u(j) J=0 .11

2П

(

e—iY oln

Yn J+) + Tfo q(+) (n) pn+1 + .0 qn+1 .ll .0

\

Здесь

( I

J^n

(n) p>n+1 .0 1

.ll .0

p

(n) p>n+1 .0 qn+1

.ll .0

\ •

1 (±) Yj—i ± Yj . .

pi = 1; p2 ; = (J—1) pi cos a j ± —J- qii sin а j;

—1)

.11

.11

(±) Y J—і (±) Y j (±)  •

pj+1=j) pj cos aj + (jy qJi sin aJ; .її .її

Y ._i у.

=1; ^2 = (_1) /1/ sin а. ± qi cos а.;

.11 -11

Yj_1

-.7/j гsinа. +—qj cosа.;

.11 -n

а. = Yj (lj _lj_1)’ j =1’-’"•

Элементы у. , Yo определяются по формулам (10), (13) соответственно.

Таким образом, формулы (6), (7), (12), (17)-(19), (21), (22) будут давать полное решение задачи дифракции.

3. Численные результаты

На основе предложенного метода решены задачи для случаев двух- и трехсекционной диафрагм. Результаты вычислений представлены, соответственно в табл. 1, 2. Все единицы измерения указаны в системе СГС.

Таблица 1

Двухсекционная диафрагма

q(±) = qj+1 =

Исходные данные Результаты вычислений

l1 = 1,5 см, l2 = 2 см, eg = 1,3 , e222) = 1,5, -(1) =_1,8, -3з)=_1,5, -g>= 2 B = -0,179 _ 0,984/, C1 = 3,497 • 10_6 + 3,497 • 10_6 /, D = 0,821 _ 0,984/, C2 = 2,56210_3 _2,51 -10_3/, D2 =_2,1110_4 _ 1,098 10_3/ F = _1,432 • 10_3 +3,517 • 10_3 /

l1 = 1,5 см, l2 = 2 см, eg = 1,3 , e222) = 1,5, -g = 1,8, -3з = _1,5, -^ = 1,7, -323) = 2 B = -0,108 + 0,032/, C1 = 0,909 + 2,657 • 10_3/, D1 =-0,016 + 0,03/, C2 = 0,713 _ 0,61/, D2 =-0,055 _6,56 10_3 / F = -0,435 + 0,893/

l1 = 1,5 см, l2 = 2 см, eg = 1,3 + 0,1/, e222) = 1,5 -g = 1,8, -313)= 1,5, -n =1,7, -32)=2 B = 0,077 - 0,231/, C1 = 1,016 - 0,02/, D = 0,061 - 0,21/, C2 = 1,08 + 0,536/, D2 =-0,02 -0,068/ F = -1,275 -0,066/

Таблица 2

Трехсекционная диафрагма

Исходные данные Результаты вычислений

l- = і, 2 см, і2 = і, 5 см, і2 = 2 см, е212)=1’4, е222)=2, 432 = ^ p(1)= 1,3, p3-3)= 1,8 , p(2)=—1,8, p323)=—1,5, p(-)= 2 p333)= 4 B =-0,945 — 0,188i, CH = 0,821 — 0,017i, D1 =-0,766 — 0,17i, C2 =-5,419 10—5 —2,875 10—5 i, D2 = —45,484 + 440,3Si, C3 =-0,028 + 0,2i, D3 = —0,016 + 0,066i, F = -0,218 + 0,159i

l- = 1,2 см, і2 = і, 5 см, і2 = 2 см, 42= 'А 422 = ->7, 432 = ^ p(1)= 1,3, p3-3)= 1,8, p^i 1,8, p(,23)= 1,5, Л?-, pg>=4 B = -0,105 — 0,129i, CH = 0,899 — 0,012i, D1 = —3,489 10—3 — 0,117i, C2 = 0,423 + 0,823i, D2 = —45,484 + 440,3Si, C3 =-0,028 + 0,2i, D3 = —0,016 + 0,066i, F = -0,218 + 0,159i

l- = 1,2 см, і2 = і, 5 см, і2 = 2 см, eg = 1,4 + 0,0li, є222) = 1,7, є232) = 1,9, p(-)= 1,3, p3-3)= 1,8, p(:-) = 1,8, p32) = 1,5 + 0,2i, p(-) = 2 + 0,03i, p333) = 4 B = -0,121 — 0,149i, CH = 0,897 — 0,016i, D1 =-0,018 — 0,134i, C2 = 0,404 + 0,788i, D2 =-0,115 — 0,024i, C3 =-0,507 + 0,715i, D3 =-0,043 + 0,09i, F = -0,996 + 0,2S1i

Параметры волновода: а = 2 см, Ь = 1 см, с = 2 см, измерения проводятся на частоте / = 11,93 ГГц, амплитуда падающего поля А = 1. Диэлектрическая и магнитная проницаемости вне диафрагмы равны: вд = 1, Мо = 1. В первом столбце таблиц указаны длины ^ каждой секции диафрагмы, а

также компоненты тензоров, необходимые для вычислений. Следует отметить, что из формул (10), (21) для проведения вычислений достаточно знать

значения компоненты диагонального тензора диэлектрической проницаемости и значения компонент цЦ , ц3з^ диагонального тензора магнитной

проницаемости. Во втором столбце представлены вычисленные значения коэффициентов В, С]-, , ¥ .

Подставляя значения коэффициентов B, Cj , Dj (j = 1, 2), F в уравнения поля (6), (7), (12), получаем полное решение задачи дифракции для двухсекционной диафрагмы. В качестве математического пакета для реализации данной модели использовался пакет компьютерной математики MathCad.

Подставляя значения коэффициентов B, Cj , Dj, (j = 1, 2, 3 ), F

в уравнения поля (6), (7), (12), получаем полное решение задачи дифракции для трехсекционной диафрагмы.

Заключение

В данной работе рассмотрена задача дифракции ЭМ-волны на многосекционной диафрагме, каждая секция которой имеет скалярные диэлектрическую и магнитную проницаемости, в прямоугольном волноводе. Разработан рекуррентный метод решения поставленной задачи, на основе которого решены задачи дифракции для двух- и трехсекционной диафрагм.

Список литературы

1. Solymar, L. Waves in Metamaterials / L. Solymar, E. Shamonina. - Oxford : Oxford University Press, 2009.

2. Усанов, Д. А. Комплексная диэлектрическая проницаемость композитов на основе диэлектрических матриц и входящих в их состав углеродных нанотрубок / Д. А. Усанов, А. В. Скрипаль, А. В. Романов // Журнал технической физики. -2011. - Т. 81, № 1. - С. 106-110.

3. Tao Pan. Study of a slab waveguide loaded with dispersive anisotropic / Tao Pan, Guo-Ding Xu, Tao-Cheng Zang, Lei Gao // Applied Physics A. - 2009. - Р. 367-372.

4. Деревянчук, Е. Д. Решение обратной задачи определения диэлектрической проницаемости диафрагмы в волноводе / Е. Д. Деревянчук // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2011. -№ 4 (20). - С. 36-43

5. Деревянчук, Е. Д. Решение обратной задачи определения тензора магнитной проницаемости диафрагмы в прямоугольном волноводе / Е. Д. Деревянчук // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2013. - № 1 (25). - С. 34-44.

6. Smirnov, Yu. G. Permittivity reconstruction of layered dielectrics in a rectangular waveguide from the transmission coefficients at different frequencies / Yu. G. Smirnov, Yu. V. Shestopalov, E. D. Derevyanchuk // Inverse Problems and Large-Scale Computations, Series: Springer Proceedings in Mathematics & Statistics. - New York, Heidelberg, Dordrecht, London, 2013. - Vol. 52. - Р. 169-182.

7. Smirnov, Yu. G. Permittivity determination of multi-sectional diaphragm with metamaterial layers in rectangular waveguide / Yu. G. Smirnov, Yu. V. Shestopalov, E. D. Derevyanchuk // Proceedings of Progress in Electromagnetic Research Symposium (PIERS 2013). - Taipei, Taiwan, 2013. - P. 135-139.

8. Smirnov, Yu. G. Reconstruction of permittivity and permeability tensors of anisotropic materials in a rectangular waveguide from the reflection and transmission coefficients at different frequencies / Yu. G. Smirnov, Yu. V. Shestopalov, E. D. Derevyanchuk // Proceedings of Progress in Electromagnetic Research Symposium (PIERS 2013). - Stockholm, Sweden, 2013. - P. 290-295.

References

1. Solymar L., Shamonina E. Waves in Metamaterials. Oxford: Oxford University Press, 2009.

2. Usanov D. A., Skripal' A. V., Romanov A. V. Zhurnal tekhnicheskoy fziki [Journal of technical physics]. 2011, vol. 81, no. 1, pp. 106-110.

3. Tao Pan., Guo-Ding Xu, Tao-Cheng Zang, Lei Gao Applied Physics A. 2009, pp. 367372.

4. Derevyanchuk E. D. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fizi-ko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2011, no. 4 (20), pp. 36-43

5. Derevyanchuk E. D. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fizi-ko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2013, no. 1 (25), pp. 34-44.

6. Smirnov Yu. G., Shestopalov Yu. V., Derevyanchuk E. D. Inverse Problems and Large-Scale Compu-tations, Series: Springer Proceedings in Mathematics & Statistics. New York, Heidel-berg, Dordrecht, London, 2013, vol. 52, pp. 169-182.

7. Smirnov Yu. G., Shestopalov Yu.V., Derevyanchuk E. D. Proceedings of Progress in Electromagnetic Research Symposium (PIERS 2013). Taipei, Taiwan, 2013, pp. 135139.

8. Smirnov Yu. G., Shestopalov Yu. V., Derevyanchuk E. D. Proceedings of Progress in Electromagnetic Research Symposium (PIERS 2013). Stockholm, Sweden, 2013, pp. 290-295.

Деревянчук Екатерина Дмитриевна аспирант, Пензенский государственный университет

Derevyanchuk Ekaterina Dmitrievna

Postgraduate student, Penza State University (40 Krasnaya street,

Penza, Russia)

E-mail: mmm@pnzgu.ru

УДК 517.3, 517.958, 537.876.46, 517.927 Деревянчук, Е. Д.

Задача дифракции электромагнитной волны на многосекционной анизотропной диафрагме в прямоугольном волноводе I Е. Д. Деревянчук II Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2014. - № 1 (29). - С. 20-29.