Некоторые задачи интегральной геометрии на п-мерном симплексе

УДК 519.01

НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ИНТЕГРАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ НА я-МЕРНОМ СИМПЛЕКСЕ

© С.В. Кольцова, С.В. Поленкова

Koltsova S.V.. Polenkova S.V. Some problems of integral geometry on the n-meter simplex. In the article discrete conver-tive formulas of integral geometry for a new model - л-dimensional sumplex - are obtined. The connection of these results with the algoritm of regeneration is possible.

1. Введение.

В последние годы бурно развивается направление математики, связанное с самыми разнообразными прикладными проблемами - теория некорректных задач и, в частности, теория некорректных обратных задач.

Сформулированное Адамаром понятие корректности задачи требует выполнения трех условий:

1) решение задачи существует;

2) решение задачи единственно;

3) решение задачи устойчиво, то есть непрерывно зависит от данных.

В противном случае задача считается некорректной.

Среди математических задач выделяют два больших класса, которые можно условно назвать: прямые задачи и обратные задачи. Прямые задачи в настоящее время достаточно хорошо изучены. Обратная задача состоит в восстановлении объекта (например, функции) по некоторой совокупности его свойств. Обратные задачи обладают рядом особенностей, которые часто приводят к неединственности восстанавливаемого объекта, появлению посторонних или, как говорят, «фантомных» решений. Более того, в обратных задачах, как правило, отсутствует непрерывная зависимость решения от исходных данных. Все это приводит к некорректности обратной задачи. В одних случаях некорректность можно преодолеть достаточно просто, в других - требуется переосмысление понятия решения задачи. Большой вклад в развитие теории некорректных обратных задач внес А.Н. Тихонов, который предложил один из возможных способов регуляризации некорректной задачи.

К настоящему времени накоплен большой

опыт применения тех или иных методов решения обратных задач, основанных на интегральной геометрии. Интегральная геометрия - интересная современная область математики. Одна из первых задач интегральной геометрии была поставлена и решена Минковским. Он восстановил непрерывную четную функцию на сфере, зная ее интегралы по большим окружностям. В 1917 г. появилась работа Радона, который вместо сферы рассмотрел плоскость, вместо окружностей - прямые. Работа Радона была надолго забыта. В последние пятьдесят лет появились многочисленные ее обобщения в работах Гельфанда, Граева, Гиндикина, Хелгасона и др.

Интегральная геометрия изучает преобразования, сопоставляющие данной функции / на многообразии X функцию / на некотором семействе X подмногообразий М многообразия X , задаваемую интегралами от / вдоль подмногообразий М этого семейства. Задача обращения (то есть выражение / через /), решенная в ряде случаев, является очень трудной.

Обобщения задачи Радона оказались тесно связанными не только с различными областями математики (дифференциальные уравнения, математическая физика, теория представлений и др.), но и с приложениями. Они естественным образом появляются при изучении асимптотических свойств обобщенных функций квантовой теории поля. Преобразование Пенроуза-Уорда, являющееся, по существу, вариантом преобразования Радона, позволяет свести изучение многих важных уравнений теории поля (например, уравнений Янга-Миллса) к решению некоторых задач комплексного анализа в проективных пространствах.

Более того, в последнее время преобразова-

ние Радона нашло неожиданное применение в компьютерной томографии. При этом формула обращения Радона была переоткрыта заново физиком из Кейптауна А.Кормаком. Компьютерный томограф впервые появился в клинике в 1971 г. Создателями компьютерной томографии были упомянутый выше А.Кормак и английский инженер Г.Хаунсфилд. В 1979г. они стали лауреатами Нобелевской премии по медицине.

Компьютерная томография завоевывает все новые и новые области применения. Уже традиционными сферами использования томографов стали медицина, биология, химия, биохимия, дефектоскопия, геофизика, сейсмология. Существуют различные виды томографов, например, рентгеновские, ультразвуковые, ЯМР (основанные на явлении ядерно-магнитного резонанса) и электротомографы. Различные виды томографии отличаются между собой как используемыми физическими принципами, так и типами математических уравнений, решаемых при создании алгоритмов восстановления. Формулы обращения интегральных преобразований служат математической основой этих алгоритмов, применяющихся в томографии для восстановления изображений по проекциям. Вывод явных формул обращения в математической теории позволяет наиболее естественно переходить к построению алгоритмов. В реальных ситуациях важно уметь оценивать влияние шумов на точность получаемых приближений. Наличие явного выражения для аппроксимирующей функции позволяет повысить точность метода. Важность развития математических методов решения обратных задач определяется их высоким потенциалом в построении алгоритмов обнаружения и исследования различных сложных объектов, которые либо не поддаются изучению другими методами, либо другие методы несоизмеримо дороже, например, простое бурение пробных скважин в разведке полезных ископаемых.

Важно отметить, что обратные задачи, например, возникающие в геоакустике, или задачи ультразвукового неразрушающего контроля значительно труднее задач, решаемых компьютерной томографией, основанной на формуле обращения Радона на плоскости и связанном с ней алгоритме свертки и обратной проекции. Для их решения требуются объединенные усилия как прикладников, так и математиков-теоретиков. В интегральной геометрии получено большое количество обобщений формулы Ра-

дона, которые ждут своего осмысления и использования для решения более трудных обратных задач, порождаемых практикой. Алгоритмы восстановления связаны с дискретизацией формул обращения. В нашей работе поставлена задача построить дискретные формулы обращения, связанные с функциями на конечных множествах.

Результаты этого типа, совершенно отсутствующие в классической интегральной геометрии, имеют очевидную теоретическую и прак-тическу ценность, так как выявляют потенциальные вычислительные тупики и способствуют четкому пониманию принципиальных границ вычислительных возможностей. Это актуальная задача на "стыке"дисциплин: интегральной геометрии, дискретной математики, вычислительной математики.

Полученные в работе результаты, возможно, найдут применение при построении алгоритмов восстановления.

2. Постановка задач.

Пусть даны точки Ао, Аг,..., Ап , находящиеся в общем положении, т.е. не лежащие в одной (п — 1)-мерной плоскости. Выпуклую оболочку этих точек назовем п-мерным симплексом и обозначим Д” . Выпуклые оболочки (к + 1) -элементных подмножеств множества {Ло, А\,..., Ап} назовем к -мерными гранями. Заметим, что каждая из них является к -мерным симплексом Д* . Нуль-мерные грани Д° будем называть вершинами симплекса, одномерные грани Д1 - ребрами. Пустому подмножеству сопоставим (-1)-мерную грань. Таким образом, получим взаимно-однозначное соответствие между (п + 1)-элементным конечным множеством со своими подмножествами и п-мерным симплексом со своими гранями. Рассмотрим треугольник Паскаля:

1

1 1 1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

Каждая (п+2) -строка треугольника состоит из чисел, равных количеству к -мерных граней симплекса Д" , начиная с к = — 1 до к = п.

Эти числа находятся по формуле

Обозначим Нк множество к -мерных граней при фиксированном к . Рассмотрим простран-

п + 1 к + 1

ства Рк функций /к , определенных на множествах Нк - Эти пространства отождествим п + 1 \

к + I ) ~меРньши векторными пространствами.

Пусть /о £ -?о - произвольная функ-

ция на Н0 • Определим "интегральное преобразование" 1ко ' -^о -> Рк , где к = = 1,2 , ...,п, относящее функции /о{Но)

функцию 1коМНк) по следующему правилу: значение /&о/о(Д*) равно для любой грани Д* € Нк сумме значений функции /о по множеству вершин Д°, инцидентных к -мерной грани Ак . Введем понятие индикатора пересечения граней Д°,ДА

тс1(Д

0 ДА) = I

' ’ \ о,

если Д° Л ДА' = Д° если Д° П Ак ф Д°

Тогда определение интегрального преобразования можно записать так

/и/о(Д*)= £ /0(Д?)шс1(Д°,Д*).

Д°€Я0

Преобразование 1ко является линейным, его можно в фиксированном базисе задать матри-

( п + 1 \ , .

цеи размера I ^ ^ 1х(п+1), строки которой

содержат (к + 1) единицу и (п — к) нулей на всевозможных местах (см. ниже пример).

Рассмотрим двойственное к 1ко преобразование 1[0 = 1ок , матрица которого получается из 1ко транспонированием. Преобразование 1ок  Рк ^ Ро определяется по следующему правилу: значение /о*/*(Д°) равно для любой вершины Д° 6 Но сумме значений функции }к{Нк) по граням Ак , инцидентным вершине Д° . Другими словами

1ок/к(А°)= £ Л(Д*)Ь<1(Д0,Д?). д ^енк

Задача 1. Для любой вершины Д° € Но и любой функции /о € .Ро(Яо) восстановить значение /о(Д°), зная ее интегралы До/о(Д£) для всех Д* € Нк, где к = 1,2,...,п.

Задача 2. Для любой вершины Д° € Но и любой функции /о 6 Го (Я0) восстановить значение /о(Д°), зная ее интегралы 1ко/о(Ак) для всех Д* 6 Нк при фиксированном к, равном любому из чисел 1,2,... п — 1.

Для формулировки следующих задач определим интегральное преобразование I^  Рк

Я;, 0 ^ к < I ^ п по формуле

/,*л(д') = £л(д*),

где суммирование ведется по всем г таким, что Д* , инцинденты Д' . Введем понятие индикатора пересечения граней А1 и Ак :

• J / \ к \1\ [ 1> если Д( П Д^ = Дт

шат(Д ,Д ) - | ^ еслид!пд^дт -

где т = — 1,0,..., к. Тогда формулу (1) можно переписать в виде

/«л(д') = Е л(д?м*(д?,д‘).

Двойственное преобразование =

= Д; : Р[ Рк определяется по формуле:

(1[кШАк) = £ /,(Д')ш(1*(Д',Д*). д!ея,

Обозначим 11к/к(А1) = щк{А1). Другими словами, функцию /; € Я( , принадлежащую образу оператора /;* , будем обозначать .

Задача 3. Пусть Ак - произвольная к-мерная грань, 0^/с^п —2, Д - произвольная функция на Нк  Восстановить значение функции /к{Ак), зная ее интегралы <^(Д-) для всех Д ^ 6 Я;, где / = & + 1,А; + 2, ...,п, г = п + 1 / + 1

= 1,

Далее введем обозначения

<^*(Д|)тс1т(Д'\Д<) =п$к (ДО-

Задача 4. Пусть 0 ^.к<1, к + 1<п, Ак - произвольная А;-мерная грань, Д. - произвольная функция на Я* . Восстановить значение /к(Ак), если известны все ее интегралы '(р^к (Д{) при фиксированном I и т = =-1,0,..., &.

Замечание 1. Назовем грани Д^ и Д( двойственными, если к+1 = п—1. Можно сформулировать задачи, аналогичные поставленным выше, заменив грани на двойственные, а операторы IIк на 1[к .

3. Формулировка результатов.

Теорема 1. Пусть /0 - произвольная функция на множестве вершин симплекса. Пусть известны ее интегралы /;о/о 1 гДе I — 1,2,..., п . Тогда имеет место следующая формула обраще-

/0 = Е(-1)'+1^о/о.

1=1

Замечание. Формулу (2) можно записать в виде

У"

1=1

здесь внутреннее суммирование ведется по всем i таким, что Д  инцидентны Д°.

Теорема 2. Пусть /о - произвольная функция на множестве вершин симплекса. Пусть известны ее интегралы Д/о при фиксированном I (I = 1,2,...,п — 1). Тогда имеет место следующая формула обращения

/о -

Тт -1ю

I

(7 - 110)т 11о/о,

где I - матрица, все элементы которой равны 1, имеющая тот же размер, что 1ю

Замечание. Формулу (3) можно записать в виде

/о(Д°) =

/ + 1

п : + 1

£ ‘Рю (А')-

г

У 4>ю (А'),

где г такое, что А* инцидентны вершине Д° , а ] такое, что Д^ не инцидентны Д° .

4. Пример.

п — 3 , Д3 - тетраэдр.

У тетраэдра имеются 4 вершины, 6 ребер, 4 двумерных грани и одна трехмерная - сам тетраэдр. Обозначим Но - множество вершин, Н\ - множество ребер, #2 * множество двумерных граней и Я3 = А3 - сам тетраэдр.

Пусть

Ео(Но) ~ пространство функций на вершинах, сНтД) = 4;

.Г (Н\) - пространство функций на ребрах, = 6;

Гг (Яг) - пространство функций на двумерных гранях, (ИшГг = 4 ;

-Рз(Яз) - пространство функций на трехмерной грани, сИтГз = 1.

Фиксируем в этих пространствах некоторые базисы. Зададим в этих базисах операторы До, к = 1,2,3 матрицами

Ло =

( 1 1 1 о о

\ О

0 \

0

1

0

1

1 /

/го =

0 \ 1 1

/зо = ( 1 1 1 1 ) .

Утверждение 1. Пусть функция /о задана на вершинах тетраэдра, т.е. /о € -?о . Пусть известны ее интегралы До/о, До/о, До/о , тогда имеет место следующая формула обращения

/о = £(-1)'+1^о/о.

1=1

Доказательство. Покажем, что

з

XX- 1)(+17;о//о = Е , где Е единичная ма-/=1

трица.

Действительно, 1?01ю - /20/20 + /30/30 =

1 1 1 о 0 1 о о

(\ 1 о о \ 0

( 1 111) =

2 2 2 \ / 1

3 2 2 1 + 1 1

2 3 2 1

2 2 3/ \ 1

/10 0 0

/010 0

“001 0

V 0 0 0 1

1

о

0

1 1

0

1

0

1 1

1

3

1

1

1

1

1

I

0 \

0

1

0

1

1 /

1 \ 1 1

3 /

Заметим, что /м/аю —

(0

V

/

матрица порядка (п + 1).

Утверждение 2. Пусть функция /0 задана на вершинах тетраэдра, т.е. /о € Г0 . Пусть известны ее интегралы 7/о/о при фиксированном 1,1 = 1,2. Тогда имеет место следующая формула обращения

/о —

II-

1 (I - 1ю)т ) До/о,

где I - матрица, все элементы которой равны 1, имеющая тот же размер, что Д0 •

Доказательство. Убедимся непосредственно, что (/£ - згт (/ - 1ю)Т) 1ю = Е,

где к = 1,2.

Рассмотрим отдельно случаи /с = 1 и к = 2 .

1) /г = 1 . Проверим, что

(|/,Т0 - | (I ~ Ао)Г) 1\о — Е . Действительно,

/ 1 1 1 0 0 0 \

I 1 0 0 1 1 0

3 1 0 1 0 1 0 1

V 0 0 1 0 1 1

/ 0 0 0 1 1 1

-і 1 0 1 1 0 0 1 _

6 1 1 0 1 0 1 0 -

V 1 1 0 1 0 0 /

/ 2 2 2 -1 -1 -1

2 -1 -1 2 2 -1

-1 2 -1 2 -1 2

V -і -1 2 -1 2 2

Полученную матрицу умножим справа на 1-го , будем иметь

( 2 2 2 -1 -1 -1 \

1 2 -1 1 2 2 -і 1

6 -1 2 1 2 -1 2

К -1 -1 2 -1 2 2 /

/ і 1 0 0 \

і 0 1 0 / 1 0 0 0 \

0 1 1 0 0 0 1 0

0 1 0 1 V о 0 0 1 /

V 0 0 1 1

2) к — 2 . Убедимся, что (3^20 ~ | _ ^2о)71 /го = Е . Действительно,

( 1 1 1 0 ( 0 0 0 1 \

11 ' 1 1 0 1 1 2 1 0 0 1 0 1

3 1 1 0 1 1 | 3 1 0 1 0 0

^ 0 1 1 1 ) ^ 1 0 0 0 /

і

і і

1 1 -2

1 -2 1

-2 1 1

Полученную матрицу умножим справа на /г , будем иметь

1 1 1 -2 \ ( 1 1 1 0 \

1 1 -2 1 1 1 0 1

1 -2 1 1 1 0 1 1

-2 1 1 1 \ 0 1 1 1 /

/ 1 0 0 0 \

- 1 0 1 0 0 1

~ ° 0 1 0 ‘

V о 0 0 1

5. Доказательства теорем.

1)Доказательство теоремы 1. Докажем,

П

ЧТО (— 1)(+1//ц//о = Г. Используя формулу

1=1

(*) , получим

/Го/ю - ^20^20 + . . . + (-1)"+1^0/„0 =

С“г1)

Л\")

+(-1)"+1

/ / п \

V п )

п - 1 \

п~ 1 /

п - 1 \

V п~ 1 )

0 0

1 0

0 1

Здесь мы применили формулы п к

£=0

и Е(-і)*+1 к=1

= о

= 1.

Из полученной формулы следует формула

(2).

2) Доказательство теоремы 2. Формулу (3) легко преобразовать к виду

/о

-(( V )"*'••-;( V

Обозначим I,

к 0

к

-1

1Т -

кО

П — 1

к

п- 1 Х _1 к

Записывая биномиальные коэффициенты через факториалы, используя форму (*), а также заметив, что 1т1к0 = ^ ^ /п+1 , где 1п+х

- матрица (п + 1) -порядка, все элементы которой равны 1, получим, что

1Т

ПоЬо =

п — к

/ п к і . . і \

і п к . і

V і і п к )

( 1 1

к 1 1

п — к

^ 1 1

( 1 0 0 \

0 1 0

V о 0 1 )

1 \ 1

1 /

Е,

п-Ь 1

6. Основные обозначения

1) Дп - п -мерный симплекс;

2) Ак - к -мерная грань симплекса, к = —1,0,1,..., п ;

3) Нк - множество всех к -мерных граней

4) Ек{Нк) - пространство функций на множестве к-мерных граней

,11т ^=(11!

5) Если /; € Г; и /, € 1т Цк , то /, = у1к ;

6) Индикатор пересечения граней:

Шт(Ак,А1) =

1, если Д' П Д* = Д

0, если Д' П ДА' ф А

где т = —1,0,... ,к;

7) Ьо  Г. -)• Гс , к = 1,2,...,гг - интегральное преобразование определено следующим образом

П+1

(I* о/о)(Ак) = £/0(Д?)щ<1о(Д?,Д‘);

г=1

8) 7оа- = о : Г* —^ Го - двойственное преобразование, определяется формулой

(/£,Л)(Д°)= £ Л(Д*)тс1о(Д*,Д0),

к = 1,2,..., гг;

9) I - матрица, все элементы которой равны

1, имеющая тот же размер, что //* ;

1п+1 ~ матрица, все элементы которой равны 1, имеющая порядок (гг + 1);

10) 1^ : Гь —> Г;, 0 ^ к < I ^ п по формуле

(11к/к)(А1)= £ Л(Д*)тси(Д*,Д'); д \&нк

11) 1^к : Г; —> Г* , 0 ^ /с < I ^ гг по формуле

(1^ШАк)= £ /;(Д')тси(Д',Д*);

Д'ея,

12)

/|*Л(А') =<Р1к(А1),1?МАк) = ЫД‘);

13)

1?к.11к/к(Ак) — ]Г у>,*(Д{)т(и(Д{,Д*); л[ен,

14) 1р1к

ЛИТЕРАТУРА

1. Кольцова С.В. Преобразование Радона, связанное с ниль-потентными подгруппами полной линейной группы // Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. Тамбов, 2002. Т. 7. Вып. 1. С. 46-47.

2. Кольцова С.В. Об одной задаче интегральной геометрии для группы СЦ4,Й) // Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. V Державинские чтения: Матер, науч конф. Тамбов, 2000. С. 20-21.

Поступила в редакцию 20 октября 2004 г.