Решение задачи для определения зависимостей потерь мощности в несимметричных режимах методом наименьших квадратов

УДК 621.311

А. В. ДЕД Е. Г. АНДРЕЕВА

Омский государственный технический университет, г. Омск

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЗАВИСИМОСТЕЙ ПОТЕРЬ МОЩНОСТИ В НЕСИММЕТРИЧНЫХ РЕЖИМАХ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

В статье представлены результаты решения задачи по нахождению зависимости потерь мощности в несимметричном режиме от заданных параметров нагрузки и коэффициентов, характеризующих несимметрию токов по обратной и нулевой последовательности. На основе опытных расчетов за искомую зависимость определена полиномиальная аппроксимация третьей степени. С помощью разработанного алгоритма по расчету потерь мощности при несимметричной нагрузке в распределительных сетях 0,4 кВ получены зависимости потерь мощности от коэффициентов несимметрии по обратной и нулевой последовательности при наличии амплитудной несимметрии токов.

Ключевые слова: качество электрической энергии, несимметричная нагрузка, потери мощности.

Одной из задач, решаемой для повышения эффективности транспорта и распределения электроэнергии, является установление уровня роста потерь мощности при передаче ее в распределительных сетях с несимметричным характером нагрузки.

В связи с этим возникает необходимость охарактеризовать исследуемую схему сети каким-либо количественным показателем, который можно определить на основе объективных данных, а затем вывести зависимости потерь мощности от этого показателя.

Как указывалось ранее, несоблюдение требований по симметричному подключению потребителей электрической энергии, таких как перегрузка или недогрузка фаз из-за неравномерного распределения по фазам однофазных потребителей, ввод новых электроприемников без учета симметричного распределения по фазам, приводит к значительному отклонению качества электроэнергии по несимметрии напряжений и токов [1, 2].

В результате воздействия несимметрии токов в фазных проводах возникает ток в нулевом проводе, а вместе с ним напряжения смещения нейтральной точки системы фазных напряжений. При этом значения фазных напряжений на зажимах электроприемников отклоняются от нормативных значений и становятся несимметричными. Среди основных и главных последствий отклонений показателей качества электрической энергии, в том числе появления несимметрии токов можно также назвать появления добавочных потерь мощности [3 — 5]. Следовательно, необходимо решить задачу определения зависимости потерь мощности в несимметричном режиме от заданных параметров нагрузки

и коэффициентов, характеризующих несимметрию токов по обратной и нулевой последовательности.

Решением этой задачи может стать аналитическая функция, то есть функция, которая задана соответствующим уравнением, описывающая наилучшим образом зависимость уровня увеличения потерь от уровня несимметрии токов. Оптимальным способом для решения этой задачи является метод аппроксимации — нахождение приближенного описания корреляционной зависимости известных переменных подходящим уравнением функциональной зависимости, которое отражает основную тенденцию зависимости [6].

Таким образом, цель метода заключается в нахождении такого полинома, который, основываясь на известных параметрах, будет давать график с минимальным отклонением его линии от функции начального графика. Подобный полином называется аппроксимирующей функцией для исходной функции, заданной в качестве массива данных.

В отличие от интерполяционного многочлена, аппроксимирующая функция проходит не в точности по узловым точкам, а вблизи них. Метод наиболее известный для аппроксимации полиномиальной функции — это метод наименьших квадратов [6].

Согласно данному методу, в качестве меры отклонения значений полученной функции от экспериментальных значений определена сумма квадратов отклонений:

n

Ф

i=i

Исход= из уссовий конкретно исследуемой задачи, происходит выбор3 типа а2 проксимирования

функции. Как правило, чем ниже степень уравнения, применяемого для аппроксимации, тем более искомая зависимость функции будет определена приблизительно [6].

Исходя из опытных расчетов, за искомую зависимость выбрана полиномиальная аппроксимация третьей степени, определяемая с помощью программного продукта Microsoft Excel. Данный выбор обусловлен, в первую очередь, тем, что именно полином третьей степени лучше всех из выбранных функций аппроксимирует экспериментальные данные с максимальным коэффициентом достоверности RM [7].

В общем виде функцию полинома третьей степени можно записать в форме выражения:

f (а) = а3а3 + а2 а2 + +1а + а0,

B00+0 + B01+1 + B02a2 + B03+3 = Co.-

Bjoao + Виф + Виф2 + В1ъфъ = Cj ;

B20+0 + В+21ф1 + В22ф2 + B23+3 = C2 >' В30ф0 + B31+1 + B32+2 + B33+3 = C3-

B00 = n;

B0i = Bi0 = È a ;

i=i

n

B02 = B20 = B11 = È ai -

i=1

n

B03 = B30 = B12 =1 B21 = X a3 ;

i=1

n

B13 = B31 = B22 = È a'4 ;

i=1

B23= В?32=Ё a,5 ;

i=1

B33= Èa,6,

где n — колич ество набо ров экспериментальных данных; x. — о пытные ( экспериментальные) значения.

Величины свободных коэффициентов C. рассчитываются согласно ^^еуюзанным соотношениям:

с0 =È y<; i=1

n

C1 =È ас

¡=1

n

C 2 = È 3 y,;

¡=1

n

C3 =È3 У,'

где а0, а1, а2, а3 — константы, к о то рые в ы бир а ются исходя из условия найменьшего отклонения значе-ний полученнойфункции;

х — определенные экспер име нтальным или расчетным путем зннчеиия узловых точек аппроксимируемой функции.

Применитеннно к представлениий н данной статье задаче искомне ураонетна (Ь) миккет пронимать следующий вид (3) или (4):

НДПф н /

оо^ф = /<ыл,) = е3нтт,.3 я е^ я еы^ я е0. (т

Коэфф/циекты а. ф.) натодятся методом наименьших квадратов, котоуый в случае решения (2) принимает вид кистеме1 лине;йных алтетраических уравнениН:

где у. — значения искомой функции, полученной на основе опытных (экспериментальных) значений.

В качестве величины у. в расчетах принимаются значения коэффициента дополнительных потерь мощности от несимметрии — КДПН [8], а х. — значения коэффициентов несимметрии токов обратной К. или нулевой К0. последовательности, которые получены в результате эксперимента, в зависимости от необходимости нахождения функциональной

задисимости КАпн = АК2,) или КДпн = /ко,)-

С учетом (6) и (7) получим систему уравнений (я) в виде, позволяющем с помощью метода Крамера [9], способа решения систем алгебраических уравнений, в которых число уравнений равно числу неизвестных с ненулевым определителем матрицы коэффициентов системы, определить искомые для аппроксимирующей функции КДПН = /К2.) коэффициенты а0, а1, а2, а3:

( 50

Значендя кnоффифиeнтое В.. о=ределяются на основе слеВуащив выражений:

+0n++1S ai++2 S 3++3 S3 = S y,;

t=1 t=1 t=1 t=1

n n n n n

+0 S 3 + +1 S 3i + +2 S ai + +3 S ai =S aiy>;

1=1 1=1 1=1 1=1 1=1

n n n n n

+0 S 3 + +1 S 3 + +2 S 3 + +3 S 3 = S а2У';

i=1 i=1 i=1 i=1 i=1

n n n n n

+0 S 3 + +1 S 3 + +2 S 3 + +3 S 3 = S 3 Уi

Аналогиши сиособом будуз определяться коэффициенты Ъ0, 21Г by ь3 нахождения зависимости кдпн = лк0, с

По результатам каждой аппроксимации определяется коэффицие=т достове+но2ти аппрокс+мации R2 в соотвеВствии с вьсоажением:

a 2 = 1 --

ее (с,-с,)2

где у. — значения коэфф ициента КДПН, рас считанного на осноое экспррнменнализых знтчений; ят — значения коэфффциента КДПН, полугенные в результате расчета по уравнению аппроксимированной функции.

Чем ближе значение коэффициента достоверности аппроксимации Я2 к единице, тем точнее функция аппроксимирует исследуемый объем данных.

На рис. 1—4 в качестве примера представлены графики полученных зависимостей результатов расчетов и аппроксимирования зависимостей КдПН = /К№) при наличии амплитудной несимметрии,

,=1

,=1

,=1

,=1

,=1

,=1

,=1

Рис. 3. Зависимость КДПН = /(К21) для 8ТР = [100^630] кВА, К,= [0,6^0,9], сов.» = [0,77 ^0,9] при 1А * Т * 1с

Рис. 4. Зависимость КДПН = /(К01) для БТР = [100^630] кВА, Кз= [0,6^0,9], сов.» = [0,7^0,9] при Та * 1в * Тс

Таблица 1

Функции зависимостей КДПН = /(К21) и КДПН = /(К01) при наличии амплитудной несимметрии 1А Ф 1в Ф 1с

БТр| кВА КДПН = ЛК*) КДПН = /

100 КДПН(100) = -ЯК*) = 7,62К213 " 0,49К212 + 1,63К21 + 0,88 КДПН(100) = /(К01) = 6,82К013 + 0,53К012 + 1,3К01 + 0,9

160 КДПН(1») = Л^) = 11,80К2,3 " 3,98К212 + 2,68К21 + 0,79 КДПН(1») = Л^) = 10,81К013 - 2,69К012+ 2,25К01 + 0,83

250 КДПН(250) = Л^) = 15,73К213 " 8,02К212 + 4К21 + 0,68 КДПН(250) = Л^) = 14,73К013 - 6,88К012+ 3,66К01 + 0,7

400 КДПН(400) = ЛК*) = 10,28К213 " 2,97К212 + 2,41К21 + 0,81 КДПН(400) = Л^) = 9,38К013 - 1,86К012 + 2,06К01 + 0,84

630 КДПН(630) = ЛКЙ) = 10,45К2,3 " 3,09К2,2 + 2,44К21 + 0,81 КДПН(630) = /(К01) = 9,37К013 - 1,7К012+ 1,99К01 + 0,85

К ДПН2 !(К21) = 11,57К213 - 4,19К212+ 2,8К21 + 0,78 ЦКоО = 10,64К013 - 3,04Ко12 + 2,44К01 + 0,81

когда 1А * 1В * 1С , а углы сдвига фаз между токами и напряжениями равны между собой ФА * Фв * ФС .

Для экспериментальных расчетов использовались Ккаталожные характеристики трансформаторов с номинальными напряжениями 10/0,4 кВ и линейкой мощностей 100, 160, 250, 400 и 630 кВА.

Длина расчетной линии Ь, на основе данных о средних и максимальных протяженностях кабельных линий 0,4 кВ холдинга МРСК Российской Федерации, принималась равной 300 метров [10].

В соответствии с разработанным алгоритмом [8, 11] получали массив значений коэффициентов несимметрии токов по обратной К2. и нулевой К0. последовательности и соответствующие им значения коэффициентов дополнительных потерь мощности КДПН. Данный массив для каждого исследуемого случая аппроксимировался, с учетом максимальной достоверноет/ определялась полиноминальная функция третьей степени и вычислялись искомые зави°имрс°и Кфн = до 2) и КДПН = /(Ко).

Итоговые ^фаонедия рэун^ций увеличения потерь мощносеи 13 ваеисимоети ов ееровдя несимметрии наг/уеки Ктн = Же.) и Кепн = /(Ко) при наличии ампоинудной несимнетрии дле £ЗТр =100 кВА определены пуьем аппроксимирования множества всех полученоых знвчгний КДПН я соответствующим им значеноям К и К и имеют вид:

К

ДПН

-- f (K2i) = 7,62K2i3 - 0,4932i2 + 1,63K2i + 0,i

210)

КДПН = f

= 6,82K3 + 0,5332 + 1,3K0i +0,9.

Множества полученных значений КДПН и аппроксимированные графико заоисимосоей КАПН = ЛК21) и КДПН = ЛКИ) для 3Тр= 10ОкВА в соответствии с уравнениями (10) и (11) представленны на рис. 1 и рис. 2.

Результаты расчетов и а ппроксизир ования зависимостей КдПН = 0(К№) при наличии амплитудной несимметрии, когда 1А * 1В * 1С для всех исследуемых вариантов, для указанных выше условий, приведены в табл. 1, графики полученных зависимостей на рис. 3 и рис. 4 соответственно.

Библиографический список

1. Дед А. В., Зайцев В. Ю., Сухов Е. С. Дополнительные потери мощности в электрических сетях при несимметричной нагрузке // Динамика систем, механизмов и машин. 2012. № 1. С. 123-126.

2. Петрова Е. В., Гиршин С. С., Горюнов В. Н., Хрис-тич Д. Е. Учет температурной зависимости сопротивления

неизолированного провода при выборе мероприятий по снижению потерь энергии на примере компенсации реактивной мощности // Научные проблемы транспорта Сибири и Дальнего Востока.2013. №1.С. 284-291.

3. Дед А. В., Паршукова А. В. Дополнительные потери мощности при несимметрии напряжения в электрических машинах // Роль технических наук в развитии общества: сб. ст. Междунар. науч.-практ. конф. Уфа: Аэтерна, 2014. С. 10-13.

4. Дед, А. В., Паршукова А. В. Дополнительные потери активной мощности в силовых трансформаторах при несимметричных режимах // Современное состояние и перспективы развития: сб. ст. Междунар. науч.-практ. конф. Уфа: Аэтерна, 2014. С. 13-16.

5. Петрова Е. В., Бигун А. Я., Горюнов В. Н., Гиршин С. С., Бубенчиков А. А. Расчет погрешностей определения потерь электрической энергии в проводах повышенной пропускной способности из-за неучета атмосферных и режимных факторов // Омский научный вестник. Сер. Приборы, машины и технологии. 2013. № 2 (120). С. 191-197.

6. Капустин, Е. И. Решение некоторых классов математических задач в программе Excel. URL: http://old.exponenta.ru/ educat/systemat/kapustin/011.asp (дата обращения: 25.02.2017).

7. Калиткин Н. Н. Аппроксимация: численные методы / Под ред. Г. М. Лизнева. М.: Информационные системы в экономике, 2008. 400 с.

8. Дед А. В. Математическое моделирование расчета потерь мощности в трехфазной сети при несимметрии нагрузки // Омский научный вестник. Сер. Приборы, машины и технологии. 2016. № 5 (149). С. 98-101.

i i9. Крянев, А. В., Лукин Г. В., Удумян Д. К. Метрический анализ и обработка данных. М. : Физматлит, 2012. 308 с.

10. Смоловик С. В., Халилов Ф. Х. Анализ технического состояния электрических сетей 0,38-110 кВ Российской Федерации // Тр. Кольского научного центра РАН. 2011. №. 5. С.24-29.

11. Дед А. В. Разработка алгоритма расчета потерь мощности в четырехпроводной трехфазной сети при несимметричной нагрузке // Омский научный вестник. Сер. Приборы, машины и технологии. 2016. № 5 (149). С. 101-104.

ДЕД Александр Викторович, старший преподаватель кафедры «Электроснабжение промышленных предприятий».

Адрес для переписки: ded_av@mail.ru

АНДРЕЕВА Елена Григорьевна, доктор технических

наук, профессор (Россия), профессор кафедры

«Электрическая техника».

Адрес для переписки: lenandr02@yandex.ru

Статья поступила в редакцию 09.03.2017 г. © А. В. Дед, Е. Г. Андреева

р

о