Параметрическая идентификация математической модели теплообменного процесса для тонкостенных криволинейных оболочек турбомашин

УДК 536.24

Параметрическая идентификация математической модели теплообменного процесса для тонкостенных криволинейных оболочек турбомашин

© И.К. Андрианов, М.С. Гринкруг

Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет, Комсомольск-на-Амуре, 681013, Россия

Рассмотрена математическая модель теплообменного процесса, протекающего в тонкостенных криволинейных оболочках турбомашин. Предложен алгоритм расчета теплового состояния на граничных поверхностях оболочки и покрытия согласно требуемому тепловому условию. Представлены результаты расчета распределения температур при заданном температурном поле на наиболее термонагруженной поверхности оболочки в результате теплового воздействия.

Ключевые слова: оболочка, температурное поле, теплоотдача, теплопроводность.

Введение. В процессе модернизации элементов турбомашин достаточно большое количество научных работ направлено на исследование теплового состояния оболочковых элементов и их теплозащитных покрытий с целью прогнозирования возможного разрушения и появления необратимых тепловых деформаций. Особенности напряженно-деформированного состояния лопаток газотурбинного двигателя при тепловом и механическом нагружениях рассмотрены в работах [1, 2].

Анализ теплового напряженного состояния оболочковых элементов представляется весьма важным, поскольку позволяет выявить наиболее опасные зоны, подверженные быстрому разрушению. Соответственно на основании таких исследований принимаются меры по интенсификации теплообмена, связанные с применением различных турбулизаторов, систем перфорации. Однако методы интенсификации не всегда эффективны и могут лишь частично повысить отвод тепловой энергии от стенки оболочки.

Безусловно, основным способом тепловой защиты оболочковых элементов турбомашин является система внутреннего охлаждения, поскольку именно она обеспечивает отвод тепловой энергии от стенки оболочки. Соответственно, управляя тепловыми характеристиками внутреннего охлаждения, можно получить такое тепловое состояние, которое будет удовлетворять желаемым значениям. Однако в процессе внутреннего охлаждения возможно появление существенных тепловых потоков в стенке оболочки. В этих условиях, для того чтобы избежать опасных градиентов температур, необходимы сведения об условиях теплообмена на поверхностях теплоподвода и теп-

лоотвода. Фундаментальные аспекты исследования теплообменного процесса рассмотрены в работах [3, 4], особенности численного расчета течения газового потока — в работе [5]. Вопросы теплоотдачи при охлаждении элементов газотурбинных двигателей отражены в работах [6-8], методы моделирования расхода газа — в работе [9]. Применение численных методов при решении задач газовой динамики исследовано в работах [10-12].

Актуальность исследования обусловлена тем, что, задавая необходимое температурное поле, мы можем существенно повысить срок службы оболочковых элементов, в частности турбинных лопаток, за счет оптимального охлаждения. На сегодняшний день одна из важных задач на стадии проектирования рабочих и сопловых лопаток, камер сгорания состоит в разработке рациональной системы внутреннего охлаждения, которая бы позволяла регулировать процесс теплопередачи.

Цель исследования заключается в том, чтобы провести численный расчет основных параметров математической модели теплофи-зического процесса, которые позволят повысить рабочий ресурс оболочковых элементов в условиях теплового нагружения.

Математическое моделирование нелинейной теплопроводности для криволинейной оболочки. Теплообменный процесс, протекающий в оболочковых элементах с теплозащитным покрытием, носит достаточно сложный характер. С одной стороны за счет воздействия газового потока происходит подвод тепловой энергии к стенке оболочки с покрытием, а с внутренней стороны охлаждающий поток газа отводит тепло путем теплоотдачи. В результате с обеих сторон имеет место конвективный теплообмен. Распределение коэффициентов теплоотдачи от газа к поверхности покрытия оболочки будем считать известным, так как оно определяется внешними условиями обтекания оболочки.

Параметрическая идентификация математической модели тепло-обменного процесса предполагает нахождение коэффициентов теплоотдачи, которые входят в граничные условия теплопроводности III рода, а также определение теплового состояния охлаждающего агента и температурных полей на граничных поверхностях оболочки.

Рассмотрим параметрическую идентификацию математической модели теплообмена для криволинейного участка контура оболочки. В работе [10] предложена математическая модель нелинейной теплопроводности оболочкового элемента, однако не учитывается криво-линейность контура оболочки. В результате математическую модель теплопереноса в оболочке с системой теплоподвода и теплоотвода, будем рассматривать в системе координат r, s, z, учитывая изменение радиуса кривизны вдоль контура r = r (s) (рис. 1).

Теплозащитный слой

Теплоподвод: ау ГА

Оболочка

Рис. 1. Участок оболочкового элемента с теплозащитным слоем в условиях теплового воздействия

Процесс переноса теплоты внутри твердой среды описывается дифференциальными уравнениями Фурье в системе координат г, я, 2:

• для оболочкового элемента:

Х.

дг 2

дХ„ дТ X„ дТ„

дг дг

X, дг дТ, г дя дя

дг

+ Х.

д2Т, дХ, дТ,

дя2

дя дя

+ Х.

д Тр дХРдТ„

д2 2

д2 д2

= 0,

• для внешнего теплозащитного покрытия:

Х „ дТ

Х д% +дХ£_дТ^+ГР

дг2

-Х Р

дг дг

дг_ дТр г дя дя

— + Х Р

дг Р

д2тр +дХр дТр

дя 2

дя дя

+ Х

д 2Тр Р д22

дХр дТр д2 д2

= 0,

где Х 8 — коэффициент теплопроводности оболочки; Х — коэффициент теплопроводности покрытия; Т8 — температура оболочки; Тр — температура покрытия.

Для обеспечения единственности решения задачи теплопроводности необходимо описать условия однозначности. Конвективный теплообмен на наружной поверхности теплоизоляционного слоя описывается граничным условием III:

Х

Ра

дТР

дг

= <ь (Ть - Та ),

Г=га

где ХРа — коэффициент теплопроводности на наружной поверхности покрытия й, омываемой газом; — температура на наружной поверхности покрытия, омываемой газом; < — коэффициент теп-

лоотдачи от нагревающего газа к покрытию; Th — температура теп-лоподводящей газовой среды; rd — радиус кривизны в точке на поверхности теплоподвода d.

Направление вектора температурного градиента заранее неизвестно, следовательно, в уравнении теплоотдачи III рода (3) производная температурной функции по r принимается положительной, поскольку из физических соображений для обеспечения теплопере-носа должно выполняться следующее соотношение: Th > Td.

Необходимо отметить, что ввиду малой площади торцевых поверхностей оболочки граничные условия в данных областях опускаются. Лучистым теплообменом, который может иметь место при теп-лопереносе в лопатках газотурбинного двигателя, по сравнению с воздействием высокоскоростного высокотемпературного газового потока пренебрегаем.

Переходя к рассмотрению теплофизических свойств элементов, отметим, что особенности поведения теплозащитных покрытий в процессе тепловой изоляции элементов турбомашин отражены в работах [13, 14]. Для расчета коэффициентов теплопроводности лопатки и покрытия, которые зависят от температуры, используем линейные зависимости следующего вида [14]:

где £5, ^, £р, ^р — теплофизические константы материала.

Поскольку рассматривается задача теплопереноса в оболочковом элементе, находящемся в условиях воздействия высокотемпературной газовой среды, необходимо учитывать зависимость коэффициента теплопроводности от теплового состояния. Соответственно, с учетом соотношения (5) получим:

Поскольку оболочка является тонкостенной, температурную функцию целесообразно аппроксимировать квадратичной зависимостью в направлении радиуса кривизны при фиксированных координатах ^ = const, z = const:

lP Р'

Ts (г ) = Äsr2 + Bsr + Cs Tp (r ) = Apr2 + Bpr + C

где А., Б., С., Ар, Вр, Ср — интерполяционные коэффициенты, подлежащие определению.

В условиях данной задачи температурное поле Та = Та (., г) на

поверхности оболочки а, контактирующей с покрытием и являющейся наиболее термонагруженной по сравнению с поверхностью тепло-отвода Ь, является известным. Соответственно, краевое условие IV рода, обуславливающее равенство температурных полей и плотностей теплового потока в точке на поверхности контакта, будет иметь следующий вид:

..2 , о „ , ^ _ л „2

АЛ + Бга + С = Арга + БрГа + Ср,

где га — значение радиальной координаты на поверхности а оболочки лопатки, контактирующей с покрытием.

В результате система уравнений теплопереноса в точках при г = га и г = на граничных поверхностях теплозащитного слоя согласно уравнениям (2), (5)-(6), (8)-(9) будет определяться соотношениями

2 Арга + Бр

= а н (Тн - ),

Та = Арг2 + Бргл + С

Та = Арга + Брга + Ср,

( Бр

4 А„

р

\ га

д2 Та -а + д 2Та

д. 2 дг 2

+ Л р

'дТп У (дТг

дг

дг

(р +ЛрТа )дТа дга

д. д.

= 0.

Аналогично для оболочкового слоя систему уравнений нелинейной теплопроводности в соответствии с (1), (4), (7), (9)-(10) представим в виде

Та = А,г2 + Бага + С,,

Тъ = А.гъ + Б,.гъ + С.,

4 Аа + В

V

'а у

\

дя 2

д2 2

у

(дТ^ У дг у I дг

(( +лТа)Та да г дя дя

= 0.

Полученная нелинейная система уравнений (11)—(18), включающая в себя восемь неизвестных: Ар, Вр, Ср, Ая, В8, С8, Та, Ть, при

фиксированных координатах я и г позволяет описать течение процесса нелинейной теплопроводности с учетом криволинейности контура оболочки.

Алгоритм расчета температурных полей оболочкового элемента. На основании предложенной математической тепловой модели с учетом заданного температурного поля Та построим алгоритм

расчета температурных полей криволинейной оболочки и покрытия. С этой целью на исследуемых поверхностях построим расчетную сетку вдоль осей я и г:

^ = /Ая, = ]Ьа, г = 0, 1, ..., п, j = 0, 1, ..., т. В результате искомые параметры представим в виде:

АР ^ = АР (, zj ), ВР ^ = Бр (, zj ), СР ^ = СР (, zj ),

ТУ = Та (^, ), ТЬ = Ть (, ) .

Несмотря на то, что полученная система уравнений является нелинейной, можно разрешить ее аналитически согласно следующей последовательности действий.

1. Решение линейной системы уравнений (11)—(13) при заданном

тепловом состоянии теплоподводящего газа Тгк ^ и распределении коэффициентов теплоотдачи . Выражение интерполяционных коэффициентов Ар-1, Вр, Ср] относительно температуры Ту.

2. Подстановка полученных выражений на шаге 1 в уравнение (14). В результате простых алгебраических преобразований нелинейное уравнение (14) сводится к полиному IV степени относительно температуры Т^, решение которого может быть найдено с помощью, например, метода Феррари.

3. Определение интерполяционных коэффициентов А1р, Б1р , С1р

на основании найденных значений Т1^ в точках на поверхности теп-лоподвода с помощью выражений на шаге 1.

4. Выражение интерполяционных коэффициентов А1^, Б1^, С1^

температурной функции в оболочковом слое через температуру Т ^ согласно уравнениям (15)-(17).

5. Вставка полученных соотношений для А1^, Б'^, Сг5в уравнение теплопроводности (18). Получение квадратного уравнения для определения температурного поля Т^ ^.

Численный метод расчета массового расхода хладагента в процессе теплоотвода. Таким образом, зная температурное поле на поверхности теплоотвода, можно определить требуемые параметры теплоотдачи. Положим, что движение охлаждающего газового потока проходит вдоль контура 5. В процессе расчета параметров тепло-отвода наиболее важной характеристикой при определении теплоотдачи и температуры хладагента является массовый расход газа. Об этом свидетельствуют численные соотношения для расчета распределения коэффициентов теплоотдачи и теплового состояния охладителя, отраженные в работе [15]:

al+1'j-

2срОг

2 A

i+1, V+1, j

• и

B

i+1, j

1(5 •

а

Г'j ((j - Т rj )-

2 Ai'+j+1, j

j)

(5s

2срОг (Ть

(ть+1, j - T'j)-

AzAs

Ti+1,j - Ti+1,j Tr - Tb

а

i+1, j

пЛ+j

2 A'+1, jrb+1, j + B'+1,j| (5 5 +ЧЛ+1,j),

где Ть — температура на поверхности оболочки b, омываемой хладагентом; а r — коэффициент теплоотдачи от поверхности теплоотвода b к охладителю; Тг — температура охлаждающей газовой среды; Гь — радиус кривизны в точке на поверхности теплоотвода b; ср — изобарная теплоемкость охлаждающего газа.

В процессе течения газового потока в канале отсутствуют дополнительные источники притока или же оттока охлаждающего вещества. Для расчета массового расхода воспользуемся допущением, согласно которому расход Gj, j - 0,1,..., m вдоль контура течения

будет постоянным. Процесс теплоотдачи вследствие направленного течения охлаждающего потока будем рассматривать вдоль контура s для фиксированного слоя Zj = const (см. рис. 2).

r

2

Ощ- 1 0,т 0,т -Г 1,т 2,т и-1,т п,т

п,т-\

С> ,

0,7 У и-и и»/

Ох о,г

Оо и,1

О 1,0 2,0

А5

и-1,0 и,0 5

Рис. 2. Расчетная схема направленного течения хладагента

Для 2. слоя на поверхности теплоподвода й количество теплоты,

отданное наружной поверхности покрытия в результате теплоотдачи, определяется равенством

ь

" ' "

= {а I [п - п ) Шэ,

о

где Ь — длина контура; ^ — время.

На сегодняшний день распределение коэффициентов теплоотдачи газа, обеспечивающее подвод тепловой энергии к поверхности оболочкового элемента турбомашин, определяется экспериментально, поэтому функция теплоотдачи аА является табличной. Соответственно, расчет массового расхода будем проводить с помощью метода численного интегрирования по э на основании квадратурной формулы трапеции применительно к уравнению (19):

Ь

И [( -У ^=

I а1 1 (^ - Тк/ ) к=1

'<и

аГ (То -Т'Л

I АгАэ.

Количество теплоты, идущее на нагрев хладагента в результате теплоотвода, определяется соотношением

2=1 с т [тк+и

к=0

_ тк, 1 )

В результате суммирования преобразуем соотношение (21):

<2/ = с рш1 [т"'1 - Т01).

Для обеспечения теплового баланса приравняем количество отданной теплоты и теплоты, идущей на нагрев хладагента в соответствии с выражениями (20) и (22):

п-\ а 0,:

Iар

к=1

гА^Аэ =

= сX (( - Т,^ ). В результате на основании соотношения (23) массовый расход

тг

хладагента О, =—— в сечении определяется как

г

25:а":

О, = --:-:-2.

2ср

С помощью данного соотношения учитывается неравномерность подвода тепловой энергии к поверхности оболочки при расчете массового расхода. Суммарный расход хладагента, необходимый для охлаждения всей оболочки, определяется следующим образом:

ш

оъг=: ок.

к=0

Результаты численного расчета параметров теплоотвода.

В рамках данного исследования проведем расчет теплового состояния оболочковой лопатки и покрытия при заданном температурном условии Та = Та (э, 2), а также определим требуемое распределение

параметров теплоотдачи охлаждающего агента. Их реализация позволит получить моделируемое температурное поле на поверхности оболочки. Результаты расчета представим в виде графических зависимостей для температурных полей, омываемых газовой высокотемпературной средой и охлаждающим агентом.

Зададим требуемые значения температуры в точках поверхности Та (э, 2 ) = 1000 К. Оболочковая лопатка работает в условиях воздействия высокотемпературного газового потока Т" (э, 2 ) = 1600 К. Толщина лопатки и теплозащитного покрытия составляет 5э = 0,002 м и 5 р = 0,001 м соответственно. Температура охлаждающего воздуха

на выходе из сопла дефлектора в области входной кромки равна Тг = 400 К. Теплофизические свойства лопатки и покрытия опре-

Вт Вт Вт

деляются константами Е. = 8-, л. = 0,01-- Е„ = 4-, лР =

* мК . мК Р мК р

Вт

= 0,005

мК2 '

Распределение коэффициентов теплоотдачи нагревающего газового потока определяется значениями на рис. 3. Геометрия лопатки определяется согласно данным работы [16].

аА) Вт/

Рис. 3. Распределение коэффициентов теплоотдачи на поверхности теп-лоподвода защитного покрытия для отдельного сечения по высоте пера:

1 — корневое сечение, 2 — среднее сечение, 3 — периферийное сечение

Для того чтобы проанализировать изменение теплового состояния оболочкового элемента, рассмотрим поверхность, охлаждаемую воздухом. На рис. 4-6 представлены результаты расчета теплообмен-ного процесса, удовлетворяющие требуемому тепловому состоянию оболочки.

Согласно условию поставленной задачи ни в одной из точек поверхности температура лопатки не должна превышать предельное значение 1000 К, которому соответствует температурное поле поверхности а, контактирующей с покрытием. В данном случае температурное поле на внутренней поверхности оболочки удовлетворяет значениям на рис. 4. В области спинки и корытца температурное поле несущественно различается, неравномерность температур находится в пределах 30-40 °С в направлении контура . сечения. При изменении температуры по толщине наибольший температурный градиент достигается на входной кромке, где разность температур между граничными точками составляет более 160 °С.

Рис. 4. Распределение температуры на охлаждаемой поверхности лопатки для отдельного сечения по высоте пера:

1 — корневое сечение, 2 — среднее сечение, 3 — периферийное сечение

Рис. 5. Распределение коэффициентов теплоотдачи на поверхности теп-лоотвода по контуру сечения:

1 — корневое сечение, 2 — среднее сечение, 3 — периферийное сечение

Очевидно, что при исследуемой схеме охлаждения температурное поле несущественно меняется вдоль пера лопатки. Наибольшая разность температур в направлении г по высоте достигается на входной кромке, разность температур между корневым и периферийным сечениями составляет 30 °С.

Распределение требуемых коэффициентов теплоотдачи на внутренней поверхности оболочки, омываемой охлаждающим агентом, для обеспечения необходимого температурного поля представлено на рис. 5. Наибольший теплоотвод достигается в области входной и выходной кромок. На входной кромке значительные значения коэффициентов теплоотдачи достигаются за счет высокой интенсивности теплообмена при обдуве поверхности струей воздуха. В областях ко-

Параметрическая идентификация математической модели... ТпК

733,333 666,667 600,000 533,333 466,667 400,000

-0,4 -0,3 -0,2 -ОД 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 SIL

Рис. 6. Распределение температуры охлаждающего газа по контуру лопатки для отдельного сечения по высоте пера:

1 — корневое сечение, 2 — среднее сечение, 3 — периферийное сечение

рытца и спинки теплоотдача к охлаждающему агенту имеет сравнительно небольшие значения и повышается в области выходной кромки, что обусловлено схемой течения охладителя. При поперечной схеме охлаждения температура хладагента в процессе течения во внутренних каналах лопатки и отведения тепла повышается, приближаясь к температуре внутренней поверхности на выходной кромке (см. рис. 6).

Выводы. Представлены результаты параметрической идентификации математической модели теплообменного процесса с учетом теплофизических свойств защитного покрытия и криволинейного оболочкового элемента, нагревающего и охлаждающего газовых потоков. В ходе исследования был рассмотрен процесс переноса теплоты внутри стенки оболочки и покрытия, а также рассчитано температурное поле охлаждающего агента, удовлетворяющее желаемому тепловому состоянию на поверхности лопатки. Согласно проведенному расчету для реализации требуемого теплового состояния криволинейной оболочки распределение коэффициентов теплоотдачи должно быть неравномерным и удовлетворять полученным значениям (см. рис. 5) при суммарном массовом расходе охлаждающего газа G = 0,011 кг/с на одну оболочковую лопатку. Соответственно, полученные результаты позволят повысить долговечность элементов тур-бомашин за счет организации требуемого теплового состояния, что, в свою очередь, обеспечит оптимальные условия работы оболочки в условиях высокотемпературного воздействия.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Bachkar K., Rathod W.S. Static and thermal analysis of turbine blade of turbo-charger. International Journal of Engineering Development and Research, 2014, vol. 2, iss. 2, p. 2648-2654.

[2] Mazur Z., Luna-Ramirez A., Juarez-Islas J., Campos-Amezcua A. Failure analy-

sis of a gas turbine blade of Inconel. Engineering Failure Analysis, 2005, no. 2, р. 474-486.

[3] Лыков А.В. Теория теплопроводности. Москва, Высшая школа, 1967, 599 с.

[4] Новиков И.И., Воскресенский К.Д. Прикладная термодинамика и теплопередача. Москва, Атомиздат, 1977, 352 с.

[5] Фомин А.А., Фомина Л.Н. О стационарном решении задачи течения несжимаемой вязкой жидкости при больших числах Рейнольдса. Математическое моделирование и численные методы, 2015, № 8, с. 92-109.

[6] Liu Y. Aerodynamics and heat transfer predictions in a highly loaded turbine blade. International Journal of Heat and Fluid Flow, 2007, vol. 12, iss. 5, p. 932-937.

[7] Зысина-Моложен Л.М., Зысин Л.В., Поляк М.П. Теплообмен в турбомаши-нах. Ленинград, Машиностроение,1974, 335 с.

[8] Shchukin A.V., Il'inkov A.V., Dezider'ev S.G., Ivanov S.N. Heat transfer enhancement in combined cooling of the turbine blade leading edge. Russian Aeronautics, 2013, vol. 56, no. 4, р. 384-389.

[9] Горский В.В., Сысенко В.А. Моделирование расхода газа через ламинарный

пограничный слой на поверхности полусферы в сверхзвуковом воздушном потоке. Математическое моделирование и численные методы, 2014, № 4 (4), c. 88-94.

[10] Димитриенко Ю.И., Коряков М.Н., Захаров А.А. Применение метода RKDG для численного решения трехмерных уравнений газовой динамики на неструктурированных сетках. Математическое моделирование и численные методы, 2015, № 4 (8), c. 75-91.

[11] Димитриенко Ю.И., Коряков М.Н., Захаров А. А., Строганов А.С. Численное моделирование сопряженных аэрогазодинамических и термомеханических процессов в композитных конструкциях высокоскоростных летательных аппаратов. Математическое моделирование и численные методы, 2014, № 3, с. 3-24.

[12] Димитриенко Ю.И., Захаров А.А., Коряков М.Н., Сыздыков Е.К. Моделирование сопряженных процессов аэрогазодинамики и теплообмена на поверхности теплозащиты перспективных гиперзвуковых летательных аппаратов. Известия высших учебных заведений. Машиностроение, 2014, № 3, с. 23-34.

[13] Chang G., Phucharoen W., Miller R. Behavior of Thermal Barrier Coatings for Advanced Gas Turbine Blades. Surface and Coatings Technology, 1987, no. 30, p. 13-28.

[14] Трушин В.А. Теплопроводность многослойных металлокерамических покрытий деталей ГТД. Вестник УГАТУ, 2001, № 1(3), c. 174-180.

[15] Гринкруг М.С., Андрианов И.К. Численный метод расчета теплоотдачи для требуемого температурного поля на поверхности контакта лопатки и теплозащитного покрытия при поперечной схеме охлаждения. Вестник Московского государственного областного университета. Физика-Математика, 2015, № 2, с. 34-43.

[16] Дейч М.Е., Филиппов Г.А., Лазарев Л.Я. Атлас профилей решеток осевых турбин. Москва, Машиностроение, 1965, 54 c.

Статья поступила в редакцию 18.05.2016

Ссылку на эту статью просим оформлять следующим образом: Андрианов И.К., Гринкруг М.С. Параметрическая идентификация математической модели теплообменного процесса для тонкостенных криволинейных оболочек турбомашин. Математическое моделирование и численные методы, 2016, № 2(10), с. 24-38.

Андрианов Иван Константинович — аспирант Комсомольского-на-Амуре государственного технического университета. Область научных интересов: теплофизика, прикладная математика и механика. e-mail: ivan_andrianov_90@mail.ru

Гринкруг Мирон Соломонович — канд. техн. наук, доцент, заведующий кафедрой «Общая физика» Комсомольского-на-Амуре государственного технического университета. Область научных интересов: физика, электротехника, теплообмен-ные процессы.

Parametric identification of a mathematical model of heat exchange process for thin-walled curved shells of turbomachines

© IK. Andrianov, M.S. Grinkrug

Komsomolsk-na-Amure State Technical University, Komsomolsk-na-Amure, 681013, Russia

The paper considers a mathematical model of the heat exchange process occurring in the thin-walled curved shells of turbomachines. We propose an algorithm _ for calculating the thermal state on the boundary surfaces of the shell and of the coating according to the desired thermal condition. We present the calculation results of the temperature distribution in the given temperature field for the most terminally loaded shell surface caused by the heat effect.

Keywords: shell, temperature field, heat transfer, thermal conductivity. REFERENCES

[1] Bachkar K., Rathod W.S. International Journal of Engineering Development and Research, 2014, vol. 2, iss. 2, pp. 2648-2654.

[2] Mazur Z., Luna-Ramirez A., Juarez-Islas J., Campos-Amezcua A. Engineering Failure Analysis, 2005, no. 2, рр. 474-486.

[3] Lykov A.V. Teoriya teploprovodnosti [Theory of thermal conductivity]. Moscow, Vysshaya shkola Publ., 1967, 599 p.

[4] Novikov 1.1., Voskresenskiy K.D. Prikladnaya termodinamika i teploperedacha

[Applied thermodynamics and thermal conductivity]. Moscow, Atomizdat Publ., 1977, 352 p.

[5] Fomin A.A., Fomina L.N. Matematicheskoe modelirovanie i chislennye metody — Mathematical Modeling and Computational Methods, 2015, no. 8, pp. 92-109.

[6] Liu Y. International Journal of Heat and Fluid Flow, 2007, vol. 12, iss. 5, pp. 932-937.

[7] Zysina-Molozhen L.M., Zysin L.V., Polyak M.P. Teploobmen v turbomashinakh [Heat exchange in turbomachines]. Leningrad, Mashinostroenie Publ., 1974, 335 p.

[8] Shchukin A.V., Il,inkov A.V., Dezider,ev S.G., Ivanov S.N. Russian Aeronautics, 2013, vol. 56, no. 4, рp. 384-389.

[9] Gorskiy V.V., Sysenko V.A. Matematicheskoe modelirovanie i chislennye meto-dy — Mathematical Modeling and Computational Methods, 2014, no. 4 (4), pp. 88-94.

[10] Dimitrienko Yu.I., Koryakov M.N., Zakharov A.A. Matematicheskoe modeliro-vanie i chislennye metody — Mathematical Modeling and Computational Methods, 2015, no. 4 (8), pp. 75-91.

[11] Dimitrienko Yu.I., Koryakov M.N., Zakharov A.A., Stroganov A.S. Mate-

maticheskoe modelirovanie i chislennye metody — Mathematical Modeling and Computational Methods, 2014, no. 3, pp. 3-24.

[12] Dimitrienko Yu.I., Zakharov A.A., Koryakov M.N., Syzdykov E.K. Izvestiya

vysshikh uchebnykh zavedeniy. Mashinostroenie — Proceedings of Higher Educational Institutions. Machine Building, 2014, no. 3, pp. 23-34.

[13] Chang G., Phucharoen W., Miller R. Surface and Coatings Technology, 1987, no. 30, pp. 13-28.

[14] Trushin V.A. Vestnik UGATU — Bullitin of Ufa State Aviation Technical University, 2001, no. 1 (3), pp. 174-180.

[15] Grinkrug M.S., Andrianov I.K. Vestnik Moskovskogo gosudarstvennogo oblast-nogo universiteta. Fizika-Matematika — Bullitin of the Moscow State Regional University. Physics and mathematics, 2015, no. 2, pp. 34-43.

[16] Deich M.E., Filippov G.A., Lazarev L.Ya. Atlasprofiley reshetok osevykh turbin [Atlas of profiles of blade grids of axial turbines]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1965, 54 p.

Andrianov I.K., post-graduate student of Komsomolsk-na-Amure State Technical University. Science research interests include thermal physics, applied mathematics and mechanics. e-mail: ivan_andrianov_90@mail.ru

Grinkrug M.S., Cand. Sci. (Eng.), Assoc. Professor, Head of the General Physics Department at the Komsomolsk-na-Amure State Technical University. Science research interests include physics, electrical engineering, heat-exchange processes.