Метод оценки изменения частот и форм собственных колебаний конструкций при варьировании массовой загрузки и жесткости подвески

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

1996

Том XXVII

№1-2

УДК 629.7.015.4:533.6.013.43

МЕТОД ОЦЕНКИ ИЗМЕНЕНИЯ ЧАСТОТ И ФОРМ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ КОНСТРУКЦИЙ ПРИ ВАРЬИРОВАНИИ МАССОВОЙ ЗАГРУЗКИ И ЖЕСТКОСТИ ПОДВЕСКИ

Р. А. Шибанов

Предложен метод определения частот и форм собственных колебаний конструкции по характеристикам ее собственных колебаний при других массовой загрузке и упругих связях, который позволяет производить прямой перерасчет характеристик собственных колебаний при больших изменениях загрузки и связей. Представлены примеры, иллюстрирующие точность метода. Получены зависимости, непосредственно связывающие изменение частот и форм собственных колебаний консервативных систем с изменением массы системы и упругих связей.

Изменение величины и распределения массы по конструкции летательного аппарата (ЛА), связанное с изменением загрузки ЛА топливом, полезным грузом и оборудованием, существенно сказывается на частоты и формы собственных колебаний ЛА- Проведение соответствующих параметрических исследований характеристик собственных колебаний при частотных испытаниях ЛА, являющихся наиболее надежным путем определения его динамических свойств, затруднительно, а иногда практически невозможно. Вносит искажения и подвеска конструкции при испытаниях. Для получения по результатам частотных испытаний характеристик собственных колебаний свободного ЛА с эксплуатационной загрузкой необходимы расчетные методы определения влияния изменения массовой загрузки конструкции и упругости подвески на частоты и формы собственных колебаний ЛА

При малых изменениях массы конструкции и мягкой подвеске весьма эффективен для корректировки характеристик собственных колебаний метод возмущений [1]. Однако во многих случаях изменения массовой загрузки ЛА, а иногда и жесткость подвески не являются малыми. В данной работе предлагаются методы прямой* корректировки

* Без решения обратной задачи, что связано со схематизацией жеспсостных характеристик и значительными трудностями, вызываемыми плохой обусловленностью задачи.

частот и форм собственных колебаний конструкции при конечном изменении ее массовой загрузки и жесткости закрепления. Методы основаны на развитии и обобщении идей, ранее применявшихся в [2, 3] и их синтезе с [4].

При общепринятых допущениях установившиеся колебания консервативной конструкции под действием гармонических внешних сил могут быть представлены как линейная комбинация собственных форм с коэффициентами, зависящими только от характеристик собственных колебаний и возбуждающих сил:

Г

р 1

где т(ю,х, у, z)etat — смещение точек конструкции с координатами х, у, z е V под действием внешних гармонических сил JF(co, х, у, z)ekai; С1к, \ik, \]ç{x, у, z) — соответственно частота, обобщенная масса и форма к-то тона собственных колебаний конструкции для исходного варианта загрузки; <2к(а)еш{ — обобщенная сила, соответствующая к-му тону;

Qk(a) = J JF(e>, х, у, z)$k(x, у, z)dxdydz. v

Рассматривая инерционные силы, обусловленные изменением массы конструкции, как внешние силы по отношению к конструкции при исходном варианте загрузки

Fia, х, у, z) = ю2р*(х, у, z)r(a>, х, у, z),

где p*(x,y,z) — плотность добавленной массы (разность между измененной и исходной плотностью конструкции), получаем из (1) уравнения свободных колебаний конструкции с измененными массовыми характеристиками.

Умножая скалярно (1) на р*(х, у, z)Çj(x, у, z), интегрируя по конструкции и переходя к обобщенным координатам к= 1,... ,р,

= Jp*(*> У> Z)tk(x> У, Z)r(m, х, у, z)dxdydz, V

преобразуем уравнения колебаний (1) к виду

g/

V-k

fi

о2

ч

1 = 1,..., р,

где

Мы = |р*(х, у, у, г)§/ (х, у,г)Ьхдудх..

Собственные частоты С1*к и формы ^(х, у, г) колебаний конструкции с измененными массовыми характеристиками определяются из условия нетривиальности решения линейной однородной алгебраической системы уравнений (2) — равенства нулю определителя этой системы. Замена переменных

1

ю

_1_

О2 "¿у

сводит их определение к решению стандартной математической задачи — нахождению собственных чисел хк и векторов ик =

мат-

рицы II

1 +

щ

при у = 1,

м±

у при ]

Собственные частоты С1*к = •

Собственные формы (переход от обобщенных координат к исходным физическим координатам осуществляется с помощью равенств (1) при ю = Ор:

Предлагаемый способ оказался эффективным средством оценки влияния изменения распределенных массовых харакгерстик конструкции на частоты и формы низших тонов собственных колебаний, даже если ограничиться небольшим числом учитываемых тонов конструкции при исходных массах. Причем для инженерных оценок иногда достаточно 01раничигься двумя-тремя степенями свободы. При этом задача пересчета может быть решена в замкнутом виде.

Например, при учете двух конструктивных тонов и одной степени свободы твердого тела («нулевой» тон, П0= 0) получаем следующие формулы, связывающие частоты и формы собственных колебаний конструкции с изменением ее массовых характеристик:

(ц-)2

И)2

11(я.)2 - —

~ 2 С \4icJ С'

2

1=1

С = (1 + ¿оо)(1 + ¿и)(1 + ¿22) + 2Ь01Ь02Ьп-- (1 + ¿00)^12- (1 + (! + ^22)^01»

У, = &(*> У> *) + <*0$0(*> У, z) + <*1Ых, У, г),

__ [ц^ ~ 6 ц)+¿0.1^12

1 (1 + АооХА-- 4 '

>

6И) + А2

01

У

V 2 У

1, нулевой индекс присвоен «нулевому»

где  у , А =

у М'/Цу

тону.

Выражение для у, г) записывается аналогично, если поменять местами индексы 1 и 2.

В табл. 1 приведены собственные частоты и обобщенные массы р.2 2-го тона симметричных изгибных колебаний балки, эквивалентной по жесткости и массе крылу самолета при разных вариантах заполнения крыльевых баков топливом; отнесенные к соответствующей величине для сухого крыла; М — отношение массы топлива к массе сухого крыла, (¿2 — эталонное решение прямым расчетом, О.^, приближенное решение по формулам (4) на основе характеристик собственных колебаний сухого кры-

ла. Обобщенные массы соответствуют форме колебаний, нормированной по концу крыла. На рис. 1 представлено сравнение соответствующих собственных форм для этого тона колебаний при М = 1,4.

В табл. 2 сравниваются с точным решением собственные

Таблица 1

м 0,14 0,28 0,56 1,4

«2 0,980 0,949 0,861 0,757

0,980 0,944 0,856 0,753

»4 1,23 1ДЗ 1,10 1,19

т мЗ 1,26 1,08 1,08 1,31

Таблица 2

Приближенное решение с учетом Точное

одного тона двух тонов трех тонов решение

П*/П! 0,65 0,63 0,63 0,62

"2 / "2 0,65 0,77 0,76 0,75

о приближенное решение по формуле (V, -эталонное решение

Рис. 1. Сравнение собственных форм

частоты продольных колебаний стержня с сосредоточенной массой (0,7 массы стержня) на конце, найденные предлагаемым способом по характеристикам собственных колебаний стержня без добавленной массы с учетом разного числа тонов, отнесенные к соответствующей частоте колебаний стержня без добавки.

При малых изменениях массы « щ-цу из

Г \2

1+Мш.

1 р

Ык

^-шгр

Р м.

Ъ*к(х>у,z) = Ыx,у,г) + ]Г ( * у,z) + О

у

Ц/Ц/

Ч У /

V^w7

Уравнение для форм колебаний в (5) задает также и условие их нормировки.

Введем для описания изменения массовых характеристик безразмерный параметр у. Малому изменению плотности массы от р(у, х, у, г) до р(у + бу, х, у, г) соответствуют присоединенные массы Щ(у) = где

Г ъ

™ц(у) = *» У» z)ЫУ, *» У> z)lj(y, X, у, 1)дхдуд1.

Из (5) при 5у -> 0 получаются дифференциальные уравнения, устанавливающие зависимость характеристик собственных колебаний конструкции от изменения массовых характеристик:

у) = Щк(у) пкм &Г Му) 2

> *> У>1) ^ у тш

„ У "ЧкКЧ) 5АУ> х, у, у ^ ^

« II. АА » У ч \2

-1

{ЪЬ)) к = 1,.

Совместно с (6) и выражением для обобщенной массы Му) = |р(у> У, х, у, г)%к{у,х, у, г)дхдудг

V

равенства (7), (8) образуют замкнутую систему интегродифференциаль-ных уравнений, позволяющих находить частоты и формы собственных колебаний конструкции с произвольными массовыми характеристиками, не определяя ее жесткостиых характеристик, если известны характеристики собственных колебаний конструкции при одном из вариантов загрузки. Характеристики собственных колебаний исходной системы входят лишь как начальные условия при решении полученных уравнений. Нормировка собственных форм, удовлетворяющих (8), соответствует условию постоянства обобщенных жесткостей:

П2 (у.)МУ*) = ^(уо)МУО).

При такой нормировке собственные частоты П*(У») можно прямо выразить через задаваемые обобщенные жесткости и соответствующие обобщенные массы.

Из (7) следует формула, в явном виде определяющая зависимость собственных частот колебаний конструкции от изменения ее массовых характерсгик:

п2

Равенство (9) не зависит от нормировки собственных форм колебаний. Обобщенные массы ц*(у) в (9) можно рассматривать как задаваемые, а не искомые параметры. При нормировке, соответствующей

(8), ткк = и равенство (9) становится тождественным (8а). При заду

дании естественного условия нормировки форм колебаний — равенство обобщенных масс ц^(у) = Но и с учетом решения (9) вместо (8) получаются следующие уравнения:

«»<**'*«> -х.у,г),

ик «*(У0>

У

где т№(у) = ай(у) = ](ткк($) - й«0))0р.

то

Решение представленных уравнений не должно зависеть от вида функциональной зависимости р(у), а будет определяться только исходными и конечными массовыми характеристиками конструкции.

Подходы, аналогичные изложенным выше, применимы и для определения влияния упругих связей (например, из-за подвески при частотных испытаниях) на частоты и формы собственных колебаний конструкции. Рассмотрим эту задачу на примере сосредоточенных упругих связей, эквивалентных пружинам с фиксированным направлением их действия:

*Н<в) = -с*(в,г(ш, щ, У{,ц))*1,

где — сила, действующая на конструкцию со стороны /-Й пружины, связывающей точки xi,yi>Zi конструкции с неподвижным основанием; с*, ег- — коэффициент жесткости (или величина изменения этого коэффициента) и единичный вектор направления действия 1-й пружины.

Выполняя преобразования, аналогичные тем, которые были использованы для оценки влияния массовой загрузки конструкции, сводим задачу определения собственных частот и форм %*к(х, у, г) колебаний конструкции с задаваемыми упругими связями по частотам О,-и формам %ii.x,y)z) собственных колебаний конструкции при других, исходных связях (в том числе и при отсутствии связей) к нахождению

,«1 *

собственных чисел Хк и векторов ик =

*рк

матрицы щ

йу =

С-

при у = /,

при ] Ф I,

где

су = У5> Zs)»s)(%j(xs, у3, Zs)°s)>

П*к = >

Если исходными являются характеристики упруго подвешенной конструкции, то для получения частот и форм собственных колебаний свободной конструкции надо брать соответствующие отрицательные коэффициенты с* («антипружина»). Величины коэффициентов жести другие параметры связей должны соответствовать соб-

кости

ственным частотам и формам подвесочных тонов колебаний изделия, расположению и другим конструктивным параметрам узлов подвески.

Вводя функциональную зависимость коэффициентов жесткости с*(у) упругих связей от безразмерного параметра у (при этом направления действия пружин е,- сохраняем неизменными), аналогично изложенному выше, получаем формулу, в явном виде выражающую зависимость собственных частот колебаний конструкции от изменения жесткости ее упругих связей с неподвижным основанием:

а\(у ,) = п2(го)+(12) то

где

CijÍУ) = ^-^cl

и интегродифференциальные уравнения, связывающие формы собственных колебаний конструкции с изменением упругих связей:

8Ьк{у>х>У>£) _у_сщ

ду

¿а

г=1

У

п|(у0) -П?(уо) + |(<ЫР) - %(Р))ЭР

Т о

где Су (у) = Су (у) / ц0, при этом формы колебаний нормированы таким образом, что обобщенные массы всех тонов остаются равными фиксированной величине ц,(у) = р. о-

Из решений (9), (12) вытекает одно из оригинальных свойств собственных форм колебаний консервативных механических систем —

инвариантность интегралов Г ткк(у) и Г с*е(у) При произволь-

* Му) 1 МУ)

то то

ном непрерывном изменении массовой до1рузки и жесткости связей между заданными начальными и конечными их значениями*. Эти инварианты расширяют перечень известных качественных особенностей характеристик собственных колебаний конструкции [5].

* И при непрерывности по у, рассматриваемой собственной формы ^¿(у, х, у, г), что является защитой от перескока на другой тон.

Представленные в (5) — (10), (12), (13) равенства получены в предположении отсутствия равных собственных частот колебаний. Необходимым условием разрешимости уравнений (10, 13) является достаточное число степеней свободы системы при исходных параметрах, поэтому требуется, чтобы в области изменения массовых характеристик исходная плотность конструкции р(х,у,г)*0, а в зонах наложения (изменения жесткости) связей имелись соответствующие исходные связи или массовая загрузка. Поскольку способ перехода к обобщенным координатам при выводе уравнений (10), (13) и в алгоритмах, основанных на нахождении собственных значений и векторов ||а,у|| и ||г/,у|, является общим, а задачи физически идентичны, то следует ожидать, что зависимости их решений от числа учитываемых тонов будут близки.

При добавлении сосредоточенных больших масс и жестких связей точность оценки влияния добавки может быть существенно ограничена из-за значительного влияния локальной податливости конструкции, плохо отображаемого низкочастотной частью спектра тонов исходной конструкции. Для повышения точности оценки необходимо ввести между добавляемыми сосредоточенными массами и конструкцией упругие элементы, соответственно снизить жесткость накладываемых связей. Величина податливости дополнительных упругих элементов должна соответствовать локальной статической податливости конструкции под действием сосредоточенных сил от добавляемых масс и связей, не отображаемой учтенными тонами колебаний конструкции. Алгоритмы расчета величины податливости этих дополнительных упругих элементов аналогичны алгоритмам, используемым для корректировки жесткости межблочных связей в методах компонентного модального синтеза [4].

Введение дополнительных податливостей в накладываемые упругие связи не изменяет вида равенств (11) — (13), а лишь соответственно снижает величины жесткости связей с* и корректирует коэффициенты Су, ск1- Введение упругих элементов между добавляемыми массами и конструкцией увеличивает число степеней свободы и требует другого подхода. Метод компонентного модального синтеза позволяет решить эту задачу, сводя ее к нахождению собственных чисел и векторов матрицы, коэффициенты которой выражаются через характеристики собственных колебаний исходной системы, величины добавляемых масс и жесткостей связывающих их с конструкцией пружин.

Продемонстрируем эффективность предлагаемого алгоритма пересчета и влияние корректировки жесткости накладываемой связи из-за добавления дополнительного упругого элемента на трудном для пересчета примере нахождения собственных частот продольных колебаний стержня постоянного сечения, закрепленного за конец пружиной жесткости с,, по характеристикам собственных колебаний свободного

стержня. Характеристическое уравнение матрицы Щу | из (11) в этом

случае сводится к уравнению

Л, ^ 1 1—2 + 2*1—2 ¡2 ~ 2<в /^1  '

%1 ЕЕ

2 I

1 1

— + —

где ю

ГШ-

=пт

со — искомые собственные частоты колебаний стержня

на пружине; ЕЕ, I, М — продольная жесткость, длина и масса стержня; р — количество учитываемых тонов при пересчете (с «нулевым» тоном); сд — жесткость дополнительного упругого элемента,

1

/

ЕЯ

Р-1

_2 ¿-г ;2 Я /-11 у

»4*

Без учета локальной податмИости

10

,-г

гЗ

На рис. 2 представлены зависимости относительного расхождения квадрата низшей собственной частоты П* колебаний стержня на пружине, найденной из (14) с учетом дополнительного упругого элемента и без него и соответствующего точного значения от относительной

величины жесткости пружины с = с, / сд при р = 5. Корректировка жесткости накладываемой связи с учетом лб-кальной податливости стержня увеличивает точность пересчета собственной частоты в данном примере на несколько порядков.

Перерасчет характеристик собственных колебаний конструкции на другую массовую загрузку и учет влияния упругих связей являются необходимым элементом эффективного использования экспериментальных результатов при формировании расчетных динамических схем конструкции, применяемых для решения проблем динамической прочности и аэроупругости ЛА. Предложенные

методы позволяют построить эффективные алгоритмы решения этой важной практической задачи, а также устанавливают прямую зависимость характеристик собственных колебаний консервативной системы от ее массовых характеристик и упругих связей.

10

иг

10~

иг*

Отчетом

8 ЦЯ10

Рис. 2. Относительное расхождение с точным значением квадрата низшей собственной частоты, определяемой пересчетом с учетом и без учета локальной податливости

ЛИТЕРАТУРА

1. Кат о Т. Теория возмущений линейных операторов.— М.: Мир.—

1972.

2. Гершгорин С. А. О влиянии наложения дополнительных масс на колебания материальной системы // Прикладная математика и механика,— 1933. Т. 1, № 1.

3. Шибанов Р. А. Уравнения собственных колебаний конструкций с варьируемыми массовыми характеристиками //В сб.: Колебания упругих конструкций с жидкостью.— М.: ЦНТИ «Волна».— 1976.

4. Шибанов Р. А. Способ ускорения сходимости методов Ритца и Бубнова — Галвркина при использовании координатных функций, не удовлетворяющих граничным условиям задачи // Ученые записки ЦАГИ.— 1989. Т. 20, № 1.

5. Гантмахер Ф. Р., Крейн М. Г. Осцилляционные матрицы и ядра и малые колебания механических систем,— М.— Л.: ГИТТЛ.— 1950.

Рукопись поступила 21/Ш1994 г.