Влияние адсорбированного слоя на резонансные частоты и добротность сферических микрорезонаторов

ОПТИКА И СПЕКТРОСКОПИЯ. ЛАЗЕРНАЯ ФИЗИКА

Влияние адсорбированного слоя на резонансные частоты и добротность сферических микрорезонаторов

Ю.А. Демченкоa, М. Л. Городецкийb

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, физический факультет, кафедра физики колебаний. Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2.

E-mail: a yury.demchenko@gmail.com, b michael.gorodetsky@gmail.com

Статья поступила 28.01.2015, подписана в печать 04.03.2015.

В работе рассматриваются два подхода к расчету резонансного сдвига частот и изменению добротности вследствие адсорбции однородного изотропного слоя диэлектрического вещества на поверхности микрорезонатора. Первый подход основан на аналитическом решении характеристического уравнения в случае сферического микрорезонатора в приближении тонкого диэлектрического слоя на его поверхности. Второй метод более общий и использует адиабатический инвариант. Этот метод, как было показано, эквивалентен известному методу теории возмущений, был применен для случая сферического микрорезонатора. Оба метода дали один и тот же результат и подтвердили результаты, полученные ранее. Полученная комплексная часть сдвига частот позволяет получить изменение добротности микрорезонатора для слоя с потерями.

Ключевые слова: МШГ, поглощение, тонкий слой, собственные частоты.

УДК: 535. PACS: 42.25.Bs.

Введение

В настоящей работе проведено сравнение методов расчета сдвига собственных частот и добротности микрорезонаторов с модами шепчущей галереи (МШГ) вследствие модификации граничных условий, в частности, из-за влияния тонкого однородного изотропного слоя на поверхности резонатора. Так, толщина слоя адсорбированного вещества на поверхности обычно не превышает нанометра [1-3]. Измерение сдвига резонансной частоты играет ключевую роль в работе оптических сенсоров на резонаторах с МШГ и определяет их предельную чувствительность. Оптические сенсоры и биосенсоры крайне востребованы в последние десятилетия [1]. В отличие от химических методов использование оптических сенсоров на основе микрорезонаторов позволяет при значительно меньших размерах устройств обеспечить меньшее время детектирования и большую чувствительность. Микрорезонаторные сенсоры возможны также в интегральном исполнении [1, 4, 5]. При этом именно сенсоры на резонаторах с МШГ наряду с более сложными сенсорами на фотонных кристаллах обладают наилучшими характеристиками [5].

В настоящей работе на примере сферических микрорезонаторов, допускающих аналитическое решение, рассматривается метод, использующий точное характеристическое уравнение в пределе тонкого слоя без использования дополнительных допущений. Эти результаты сравниваются с расчетом другим приближенным методом, использующим адиабатический инвариант и тензор Максвелла, который претендует на универсальность и, в отличие от решения характеристического уравнения, позволяет

рассчитывать поправки для микрорезонаторов более сложной геометрии.

Показано, что поглощение в тонком слое на поверхности резонатора по-разному влияет на добротность ТЕ- и ТМ-мод. В литературе существуют различающиеся выражения для оптических потерь в поверхностном слое, имеющие разные зависимости от длины волны и размера резонатора [1-5]. Одна из целей настоящей статьи состоит в разрешении этой неопределенности.

Следует отметить, что выражения для сдвигов, полученные для сферических микрорезонаторов, обычно можно использовать как хорошее приближение и для микрорезонаторов сфероидальной и тороидальной формы.

1. Характеристическое уравнение 1.1. Диэлектрическая сфера

Собственные частоты сферического резонатора с простейшим граничным условием Дирихле для электрического поля (металлическая граница) определяются корнями сферических функции Бесселя

пМ = т,д,

где ^ — волновой вектор в вакууме, a и п — радиус и показатель преломления резонатора и д и т — радиальный и азимутальный индексы мод соответственно.

Для диэлектрических резонаторов на границе поле не обращается в 0, и необходимо учитывать различные граничные условия для компонент поля. Вследствие изменения граничных условий поле частично «выпадает» из резонатора, что приводит к сдвигу собственной частоты. Так как сдвиг мал по сравнению с собственными частотами мод ШГ,

А

-0.5 -1.0 -1.5 -2.0 -2.5 -3.0 -3.5 -4.0 -4.5

ТЕ ,m- = I00,p=l

• TM ,m = 100,/7=1

ТЕ, m z = 1000,/? =1

TM, m = 1000,/? = 1

-ТЕ

-TM

_|_I_I_L

о

1

10 q 11

Рис. 1. Поправка А для собственной частоты диэлектрической сферы с показателем преломления п = 1.4 для мод с разными азимутальными индексами в зависимости от индекса моды д

то будем называть его поправкой. Выражение для нее определяется [6]

A(nk0 a) = —

nP/Pe

л/n2 — n

где пе — показатель преломления среды, окружающей резонатор, а Р и Ре равны 1 для ТЕ-мод и 1/п2 и 1/п2 для ТМ-мод соответственно.

Точность этого выражения для мод шепчущей галереи составляет ^ ад(2/т)2/3 [6-8], где ад — д-й корень функции Эйри, и потому слабо зависит от индекса д для больших т (мод с большой добротностью).

На рис. 1 показаны результаты численного анализ характеристического уравнения вблизи корней функции Бесселя с д ^ 1. Как видно из графика, поправки очень слабо зависят от д. Существенные отклонения для мод с д >6 при т = 100 обусловлены быстрым ухудшением локализации и соответственно излучательной добротности мод [7].

1.2. Поправки тонкого слоя

Рассмотрим оптический сферический резонатор с тонким слоем пробного оптического материала на поверхности толщиной й Л (Л — длина волны) с другим показателем преломления пр (рис. 2). Так как детектирование вещества может происходить не только в воздухе [9] но и, например, в растворах [10], то окружающая резонатор среда выбирается с показателем преломления, отличным от 1. Для того чтобы рассчитать поправку для собственной частоты, нужно воспользоваться условием сшивки для тангенциальных составляющих полей дважды: на границе между резонатором и слоем и между слоем и окружающий средой:

Рис. 2. Иллюстрация распределения поля у поверхности резонатора, в тонком диэлектрическом слое и в окружающей среде

где E и В — электрическое и магнитное поля, а индексы res, l и ext соответствуют полям внутри резонатора, внутри слоя и в среде соответственно.

Этот метод нахождения сдвига собственных частот позволяет найти поправку с любой точностью, так как не использует никаких дополнительных условий. Рассмотрим наиболее простой случай, допускающий аналитическое решение, когда резонатор имеет сферическую форму. При этом решение для электрического и магнитного полей уравнения Гельмгольца для TE-мод можно записать явно в виде

eTE = C

TE

fi(kr) (imYim(в, ф). дУ£т(в, ф) .

у/ЩTT) V sin в

1в —

дв

-ч\,

Eres |a = ET\a, E\\a+d = ET-Xt \aTd

ВГ\a = BT\a,

BT \a+d = B-Xt \a+d >

6te = —CTE

ko rcyj 1

1(1 + 1)Ym(в, фЪ(kr)ir +

+ зуде, ф) д(?п(к?)) + т У (е д(?п(к?)).

+ —ев--о? +¡теУ1т(е ф)^Гг

ф, = Ре 7

а для ТМ-мод как

в1Ж = Сш--7=1) + 1)ут(в, ф)!^?)1? +

д(?и(к?)).

+

д¥ы(е, ф) д(?и(к?)). , и

д?

¡1п е

гие, Ф)-

д?

Ьтм = -Стм

т^?) {¿тУет(е, ф) . дУы(в, ф) .

1(1+1) \ ¡1п е

1

гуР

фе(пк)а) =

1

-р

(ахе(пр^а) + вхе.(прка)),

^РфЦп^а) = ^/Рр (аф'е(пр^а) + вХМрКа)) (10) и аналогично на границе слоя и среды:

1 (аф,(пр^)(а + й)) + рхМркМ + й))) =

л/Р

1

~-^Х1(пеК(а + й),

= Ре7 (хе(пе^а) - Пе^й (1 -

Л \

V п2Ща2)

хМе^а)^.

где СТЕ и СТМ — нормировочные константы, I = т + р, т — азимутальный индекс моды, а р характеризует количество максимумов поля в меридиональной плоскости. При этом радиальная составляющая [

и Хе(х) = Пх/2 ^1+1/2(х) (¡1Л1/2(х) и А1+1/2 (х) — цилиндрические функции Бесселя и Неймана полуцелого порядка). В резонаторе мы выбираем функцию фе(пЬ)?), в слое афе(прк)?) + вхе(прк)?) и снаружи ^хе(пек0?). При этом мы пренебрегли ф^(пек0?) в среде ввиду ее малости в области от 0 до ее корней по сравнению с функцией хе(к0?). Используя граничные условия, можно получить систему уравнений на границе резонатора и слоя:

Так как влияние слоя мало, то поправку Др можно рассчитывать как

п^а = и,д + Д0 + Др.

Учитывая малость поправки, из характеристического уравнения вблизи корней функции Бесселя можно получить выражения, связывающее функции второго рода с их производными

ф^т,д + Д) = Дф'еМтд),

х'МеЬа) = ^п2/п2 - 1 хг

Подставив выражения (16) и (17) в (13) и в (14), разделив первое уравнение на второе, можно получить

-Р (Д0 + Д1) + ^ й-1

1+

кайп^Рр Ре \/п2-1

(1 -

1

1 - к0й^/п2 - п2

ПеРе^П2 - 1 1 + Пек й Л /ЩЛ  ^п—Л Щ>а2 )

Уравнение разрешается относительно Д :

Др = -п^й-^ х

е

Ре +

X 7Г +

П?Рр - П2Ре п2 Ре - Рр 1(1 + 1)'

+

Рр Ре (П2 - П2) Ре П2 - П2 к2й2

.

Учитывая, что Рр равно 1 или 1/п2р в зависимости от типа моды и пк0а — I, можно получить достаточно простое выражение

22 п2 - п2

Др = -пк0^~2-2

у п2 — п2

Пе\[Ре

л/Рр (аф'е(Прк0(а + й)) + вх'е(прЫа + й))) =

= ^ТРе Чх'МеШ + й)),

где а, в и 7 определяют отношение амплитуд поля в средах и Рр равно 1 для ТЕ мод и 1/п2 для ТМ мод. В общем виде эта система относительно к0 не разрешается, но ее удается разрешить в допущении тонкого слоя, много меньшего радиуса резонатора и длины волны.

Разложим члены в уравнениях, содержащие й, по малому параметру п = й/а и избавимся от вторых производных, воспользовавшись дифференциальным уравнением для функций Рикатти-Бесселя:

1 /Р

—= фе(п^а) + М—фКпкъа) = п Р Р

= 7 {х'Мек0а) + к0йх'Мек0а)),

/Р фМ^а) - М (1 - Щ+1 ) п/= фМ^а) = ^ П^а2 ! п\/Р

Это выражение согласуется с полученным в более ранних работах [11], но при этом имеет более простой вид. Так как в микрорезонаторных биосенсорах детектируемые величины крайне малы [12] и практически не зависят от членов I-1/3, то для большинства приложений выражение (20) хорошо описывает величину поправки.

Используя полученное выражение, также можно рассчитать изменение добротности резонатора, вносимое тонким слоем при наличии в нем затухания. Как было показано в работах [2, 13], такие потери из-за поглощения в тонком слое воды на поверхности резонатора могут очень существенно ограничивать добротность реального резонатора. Пусть показатель преломления слоя можно записать в виде пр ^ пр? - т'р, где п'р = -ар/2к0 (ар — оптические

потери в материале), тогда Qp = 21тк(Др) и

1 й 4п?

- ап2_ п2 Пр

Qp,TM

'' Qp-TE

(пр—nр + п^Л V п2 + п4)'

2. Расчет через тензор Максвелла

Чтобы рассчитать поправки для тонкого слоя, воспользуемся еще одним методом электродинамики.

При медленном адиабатическом изменении параметров системы величины, называемые адиабатическими инвариантами, не изменяются. В частности:

АЛ

Аш

ш

где АЛ — работа пондеромоторных сил давления света по перемещению границы адсорбированного слоя, Е — энергия поля. Так как микрорезонатор с диэлектрической границей является открытой системой, то интеграл энергии во всем пространстве расходится. Существуют разные методы обхода этого ограничения [7]. В настоящей работе в качестве энергии поля выбирается энергия, сосредоточенная внутри резонатора, что является хорошим приближением для высокодобротного микрорезонатора и обеспечивает сходимость интеграла.

Чтобы получить изменение собственных частот, адиабатически увеличим толщину слоя на поверхности резонатора от 0 до й. Чтобы найти работу поля внутри слоя, нужно получить разницу давления световой волны в слое и в окружающем слой пространстве. При этом удобно воспользоваться тензором Максвелла оц в среде с диэлектрической проницаемостью е [14]:

1 / ер2 + — 2 \ оц = 4П еЕЕ + ——--+— Ц,

Р = О г

-Ог

I ои

(ер - ее) 8п

ерЕ2 + [Е2 + £|]

Аш = ¡йБ

ш

£

где энергия поля в резонаторе определяется по формуле

Е = [ 1 еЕ2 йУ.

4п

Это выражение совпадает с выражением, полученным другим методом из обобщения теории возмущения границы двух диэлектриков с е\ и е2 [15]:

йЕ

йа

,л йН

йА — йа

Ае

12

Е

- А (е^

Б

где а — безразмерный параметр, характеризующий возмущение; Н(а) — смещение границы; йА —

элемент площади на границе, Е(0) и — невозмущенные параллельная и нормальная к границе напряженность электрического поля и электрическая индукция соответственно; Ае12 = е\ — е2

и А (е-1) = е-' — е-"1.

Рассчитаем поправку из этого выражения и сравним ее с результатом, полученным выше, из аналитического точного решения.

Поскольку угловая зависимость для ТЕ мод в числителе и в знаменателе одинаковая, выражение (25) сводится к

Аш рйа2

ш ^Е2г2 йг'

который необходимо использовать в сферических координатах. Разницу давлений на поверхности сред с показателями преломления ер и ее можно получить как

Для получения работы нужно проинтегрировать силу на всей внутренней поверхности слоя, действующую на элементарную площади поверхности йБ, на толщине слоя в данной точке поверхности. Так как толщина слоя мала и предполагается одинаковой на всей поверхности резонатора, то изменением напряженности поля в слое мы пренебрегаем:

Для расчета ТЕ-мод интеграл в знаменателе берется ппк0г

С 2 стм

п2 Щг (1+ 1) 2

-11 +1/2(п^0Г)2 йг =

С2 Стм

па

п2Щ/(1+ 1) 4п&0 х (1+1/2 (п^а)2 — 1/2 (п^0а)/1+з/2(пЙ0а^. (29) Так как МШГ т > 1 велико, то

1+1/2

Электрическое поле для ТЕ-мод тангенциальное и не имеет компонент, направленных перпендикулярно поверхности, и в слое будет отличаться в пр2/п2 раз. Пользуясь этим, поле в слое можно выразить через поле на границе внутри резонатора. Подставляя полученные выражения в (28), можно получить

Аш

пР — п1 й

и соответственно

А(пйа) = —пЫ

22 пР — пе

Для ТМ-мод электрическое поле имеет также нормальную к поверхности компоненту. Интегрируя отдельно угловые части для всех трех компонент поля и оценивая их радиальные части, можно получить, что в-компонента поля много меньше двух других компонент.

Получая интегралы для радиальных частей энергии поля ТМ-мод

С2 Ст

+

Т+Г)( /^1+1/2^ )) йг.

См атпО2

№1(1 + 1) 8

С2 Стм

+1)

(1 \ппк0г

пй0Г\ 2

2 1+1/2(п£0г) ) йг =

)

сТм апО\ ^а + т),

$1(1 + 1) 8т2

0

можно получить тм

= СТм атпО

жтм = , с,,,,-тт —п—.

+ 1) 8

п2 п2 а

ш

п2 п2

е

2

2

Упростить выражения для поля в слое можно, пользуясь условиями сшивки и разложениями для функций Рикатти-Бесселя:

CTM nnk0a (n4

k§l(l + 1) 2 \n*

CTM nnk0a 2 n2n2 + n2n2 - npn2

и, = ^ ( п^02Д2 + О2 J =

_ "1^0ао2 п2п2 + п2п2 - '-р'-е

^1(1 + 1) 2 п2 (п2 - п2) • ^ ;

Таким образом, для ТМ-моды относительная поправка для собственной частоты

Аш np - nl d n2n2 + npn2 - n^nl

n2n2

Полученный результат сходится как с результатом, полученным с помощью характеристического уравнения, так и с результатами, полученными ранее в работе [11].

Заключение

В настоящей работе были продемонстрированы новые подходы к оценке сдвига собственных частот при осаждении тонкого диэлектрического слоя на поверхности резонатора. Приведенные методы подтверждают результаты, полученные ранее с использованием возмущения векторного уравнения Гельм-гольца [11], но при этом обладают большей простотой, меньшим количеством допущений и физической ясностью. Исходя из рассчитанных поправок получены комплексные добавки к частоте из-за наличия поглощения в слое, определяющие зависимость оптических потерь от длины волны и размера резонатора, и показано, что для ТЕ- и ТМ-мод они различны. Кроме того, рассматривалась зависимость простой диэлектрической поправки от радиального

индекса q . Было получено, что для q < 6 поправки можно считать постоянными, а для мод высших порядков их нужно учитывать более точно.

Авторы выражают благодарность профессору С. П. Вятчанину за плодотворные обсуждения.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 13-02-00271).

Список литературы

1. Fan X, White I., Shopova S. et al. // Anal. Chimica. 2008. 620. P. 8.

2. Gorodetsky M., Savchenkov A., Ilchenko V. // Opt. Lett. 1996. 21. P. 453.

3. Ganta D., Dale E., Rosenberger A. // Meas. Sci. and Tech. 2014. 25. P. 055206.

4. Luchansky M., Bailey R. // Anal. Chem. 2012. 84. P. 793.

5. Volmer F, Yang L. // Nanophotonics. 2012. 1. P. 267.

6. Schiller S. // Appl. Opt. 1993. 32. P. 2181.

7. Городецкий М.Л. Оптические микрорезонаторы с гигантской добротностью. М., 2011.

8. Demchenko Y., Gorodetsky M. // J. Opt. Soc. Amer. B. 2013. 30. P. 3056.

9. Farca G., Shopova S., Rosenberger A. // Opt. Express. 2007. 15. 17443-8. 033106.

10. Westcott S., Zhang J., Shelton R. et al. // Rev. Sci. Instrum. 2008. 79.

11. Teraoka I., Arnold S. // J. Opt. Soc. Amer. B. 2006. 23. P. 1381.

12. Arnold S., Khoshsima M., Teraoka I. // Opt. Lett. 2003. 28, N 4. P. 272.

13. Vernooy D., Ilchenko V., Mabuchi H. et al. // Opt. Lett. 1998. 23. P. 247.

14. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. М., 1988.

15. Johnson S., Ibanescu M., Skorobogatiy M. et al. // Phys. Rev. 2002. 65. P. 066611.

n2 n2 a

ш

The effect of an absorbed layer on the resonant frequencies and Q-factors of spherical microresonators

Y.A. Demchenkoa, M. L. Gorodetskyb

Department of Physics of Oscillations, Faculty of Physics, M. V. Lomonosov Moscow State University, Moscow 119991, Russia.

E-mail: a yury.demchenko@gmail.com, b michael.gorodetsky@gmail.com.

We investigate two approaches to the calculation of the resonant frequency shift and Q-factor modification in a microresonator due to adsorption of a homogeneous isotropic dielectric layer on its surface. The first approach is based on the analytical solution of the characteristic equation for a spherical microresonator in the approximation of a thin dielectric layer on its surface. The second, more general approach, uses the adiabatic invariant. We demonstrate it to be equivalent to the well-known perturbation-theory technique and use it for the case of a spherical microresonator. Both approaches yield the same result and confirm the previous data. The obtained complex part of the frequency shift allows one to calculate the variation in the Q-factor of a microresonator with a lossy layer.

Keywords: whispering-gallery mode, absorption, thin layer, eigenfrequencies. PACS: 42.25.Bs. Received 28 January 2015.

English version: Moscow University Physics Bulletin 3(2015).

Сведения об авторах

1. Демченко Юрий Анатольевич — аспирант; e-mail: yury.demchenko@gmail.com.

2. Городецкий Михаил Леонидович — доктор физ.-мат. наук, профессор; тел.: (495) 939-39-03, e-mail: michael.gorodetsky@gmail.com.