Поперечники некоторых классов аналитических функций в весовом пространстве Бергмана

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН __________________2G10, том 53, №11____________

МАТЕМАТИКА

УДК 517.5

М.Ш.Шабозов, М.Р.Лангаршоев

ПОПЕРЕЧНИКИ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

В работе вычислены точные значения п-поперечников некоторых классов аналитических в единичном круге функций, определяемых модулем гладкости, в весовом пространстве Бергмана.

Ключевые слова: аналитическая функция - модуль гладкости - наилучшее приближение - весовое пространство Бергмана - комплексный алгебраический полином - п-поперечники.

1. В работе найдены точные значения различных п -поперечников классов аналитических в единичном круге функций, усредненных модулей гладкости г -ых обычных производных и г -ых производных по аргументу, которые в весовом пространстве Бергмана мажорируются заданной функцией.

Некоторые экстремальные задачи наилучшего приближения аналитических функций алгебраическими комплексными полиномами в весовом пространстве Бергмана рассмотрены в работах [1,2], где также вычислены точные значения п-поперечников классов функций, определяемые модулями непрерывности высших порядков.

Говорят, что аналитическая в единичном круге и = ^ е С :| z |< 1} функция

где у(\ 2 |) - положительная интегрируемая весовая функция, da - элемент площади и интеграл понимается в смысле Лебега.

Очевидно, что норму (1) можно записать в виде

Адрес для корреспонденции: Шабозов Мирганд Шабозович. 734063, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул.Айни, 299/4, Институт математики АН РТ. E-mail: shabozov@mail.ru

В ВЕСОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ БЕРГМАНА

Институт математики АН Республики Таджикистан

принадлежит весовому пространству Бергмана B , 1 < q < да, если

Величину

= sup <

2(f> 2t) q,/ =

\f 1 12л Vі 41

—11 P/(P)|f(pe*‘">) -2f(pe") + f(pe'<--t')\dpdt

v 2л о 0

назовем интегральным модулем гладкости в пространстве Вд , 1 < q < да. Функция (2) обладает всеми свойствами модуля гладкости (см. например, [3], стр.151).

Пусть N - множество натуральных чисел, Ъ+ = N ^ {0}, С - множество комплексных чисел. Для любого п є N и а є С через

n

к I

vn = ] Pn(z): Pn(z) = Е akz

к=0

обозначим множество алгебраических комплексных полиномов степени < n .

Через

En (Л9,г = inf {(У - Рп-Цв^  Pn-1(Z) G ^n-l}

обозначим наилучшее приближение функции /(z) G Bc r 1 < q < да полиномами из Vn_x. Для r g N обычную производную r -го порядка функции /(z) обозначим /(r)(z) = dr / / dzr, а через /(r)(z) = дг/(pelt) / dt1 обозначим производную r -го порядка по аргументу. При этом /а (z) = / (z)  z/ > /ir)(z) = {./^ЧZ)L r > 2. Всюду, далее, полагаем

anr = n(n - 1)(n - 2) • • • (n - r +1), n > r,

= {./(z) G Пrr„<»}•

Щ ={/(z) G B,,|,<r,q^»}

а через B R обозначим множество функций /(z) аналитических в круге | z |< R(0 < R < 1). В работе [6] нами доказано, что для произвольной /(z) G B(r^a о B^ , 1 < q < да при любых n G N, r g Z+ и 0 < R < 1 имеют место точные неравенства

nn л/

E,

О- 2)n J0

D« M2n)

En С/-)q,/,r ---- j 2

(Л 2)<ХШ 0

S1S

и знак равенства в неравенствах (3) и (4) реализует функция /0 (г) = агп, а е С.

Отправляясь от неравенств (3) и (4) для любых целых неотрицательных г е Z+ и любых п е N определим классы функций

ж/(2п

ж-2

(ф) = /(z) Gtsqql / J 01(/l1\2t),rdt <Ф(ж/(2п))|

[ п Ж/( 2п) ]

<Г’(Ф) = /(z) Gtsqir:— J о^^\2\гЛ <Ф(ж/(2п))|.

где мажоранта Ф(и) - положительная неубывающая функция, определенная для и > 0 и удовлетворяющая условию Нт{ф(и) : и ^ 0 +} = ф(0) = 0. Положим также

2. Пусть S = {/ g B? у : ||/||^^ < 1} - единичный шар в пространстве B? у\ M - выпуклое цен-

трально-симметричное подмножество в В ; Ли ^ B - n -мерное подпространство;

E

- отклонение множество M ^ B от подпространство A ^ B .

q,r n q r

Величины

bn (M  Bq,,r = SuP {SuP {S > 0 :S оЛ'»1 C M }:A- C Bq,r}’

^ ( M  B»,r ) = lnf {E (M -A )q,r :Л  ^ ,}•

соответственно называют бернштейновским и колмогоровским n -поперечниками множества M в пространстве B . Указанные n -поперечники связаны неравенством

b

Теорема 1. Пусть мажоранта ф^) для всех t G (0,ж/ 2) удовлетворяют условиям

Ф(и0 ж [l-(2/(жи)) sin^/2), если 0 <и< 2,

------>-------/

ф(t) ж- 2 [2(1 -и-), если и> 2.

Тогда при любых r g Z+, n g N и R g (0; 1] справедливы равенства

Ь

К <К. а (ф), В., у, *) = dn, <№?.а (Ф), В,. г. *) = Я-а;!•фж/(2п)).

Ч, У, Ю п\ у , а

Ч ,У Я '

Для доказательства теоремы потребуется следующая

Лемма. Для любого полинома рп (г) е р справедливы точные неравенства

02 ((Рп 1а ) . 2), ,у < 2(1 - СОЇ5 п).-Г\\Рп

Ч ,У

Ч , У '

и равенство достигается на полиноме р п (г) = гп.

Доказательство леммы. Пользуясь схемой рассуждений Л.В.Тайкова [4, с.293], [5, с.345] для произвольного рп (г) е Рп запишем

2л

/ |(Рп£'(ре""') - 2(Р„++’(ре") + (Рп++))- <

2п

< 2Ч (1 -

Умножая обе стороны неравенства (13) на ру(р), и интегрируя по р от 0 до 1, получаем

<

Ч , У

<2

Ч , У

В силу (14), неравенства С.Н.Бернштейна для полиномов [6] в В и определения модуля гладкости

из (14) получим

2 ((Рп £ ),2і )Ч , У < 2(1 - СОЇ5 -0, (Рп Уа < 2(1 - СО3 -0.-1|рЛч, у,

и неравенство (11) доказано. Аналогичным образом доказывается неравенство (12), чем и завершаем доказательство леммы.

Доказательство теоремы. Прежде всего заметим, что согласно лемме 2 из [6] для любой / (г) е В ,1 < q <да имеет место неравенство

Е-(/)_ < Я- • Еп(/)„ , 0 < Я < 1,

которое обращается в равенство для функции /0 (г) = агп, а е С. Учитывая соотношение (6), из неравенства (15) получаем

Е(М, V-)_ = Яп • Е(М, V-)„ ,

0

0

где M = W(?в(Ф) или M = W =)(Ф). Заменяя в (16) подпространство P на любое подпространство

£и ^ В у и пользуясь определением колмогоровского п -поперечника, запишем

<

Аналогичное равенство имеет место для бернштейновского п -поперечника. В связи с равенством (17) соотношения (9) и (10) достаточно доказать для Я = 1. Докажем, например, что

К

В самом деле, оценку сверху для колмогоровского п -поперечника с учетом определения класса Ж

(r ) ,,у

получаем из неравенство

Чтобы получить оценку снизу для бернштейновского п -поперечника, вводим в рассмотрение (п +1) -мерный шар полиномов в В :

S,)1={ p. (z) є pn : II p\Bqi < <Ф(л i (2,))}

и докажем, что £и+1 ^ г. Для этого требуется доказать, что для любого рп (г) е £и+1 выполняется

неравенство

ж/

2n

n

л — 2

0

Согласно неравенству (12) и соотношению (5) при т > п / 2, пользуясь первым неравенством из условия (8), имеем

Ж

т с , г ч , _ , _ чч 2т

[ бэ2(zrp(r), 2t)dt <Ф(л/ (2n))----------------------[ (1 —cos nt)dt

J -7Г _ О J

= Ф(л/ (2n)) .m Л 2 sin л.

л — 2 I m n 2m

,/л « ж П 2m . жп ] _ . , чч

= Ф

ж - 2 [ жп 2m J

Неравенство (21) равносильно первому из неравенств условия (8), если положить x = ж/(2n), U = n / m, их = ж / (2m).

Если же m < n / 2, то снова согласно неравенству (12) и соотношению (5) получаем

Ф

т 12*

+ 4(

* *

*-2 I п

2т п

2* ( т 1

Ф(* / (2п))  -* 1 - - 1 < Ф(* / (2т)).

Этим неравенство (20) и вместе с ним включение £и+1 ^ ^(Ф) доказаны. Согласно теореме о по-

перечнике шара [7, с.258] имеем

Сопоставляя неравенства (19) и (22), получаем равенство (18). Множество функций, удовлетворяю-

1. Шабозов М.Ш, Шабозов О.Ш. - ДАН России, 2006, т.410, 4, с.461-464.

2. Шабозов М.Ш, Шабозов О.Ш. - ДАН России, 2007, т.412, 4, с.466-469.

3. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М: Наука, 1977, с.151.

4. Тайков Л.В. - Мат.заметки, 1977, т.22, 2, с.285-295.

5. Айнуллоев Н., Тайков Л.В. - Мат. заметки, 1986, т.40, 3, с.341-351.

6. Шабозов М.Ш., Лангаршоев М.Р. - Изв. Ан РТ., 2009, т.136, 3, с.7-23.

7. Корнейчук Н.П. Экстремальные задачи теории приближения - М., 1976.

ЦУТР^ОИ БАЪЗЕ СИНФИ ФУНКСИЯ^ОИ АНАЛИТИКИ ДАР ФАЗОИ

Дар макола киммати аники п -кугрхои баъзе синфи функсиях,ои дар давраи воидй аналитикй, ки ба воситаи модули суфтагй муайян карда шудаанд, дар фазои вазндори Бергман х,исоб карда шудаанд.

щих условию (8), не пусто. Этому условию удовлетворяет, например, ф(/) = /2 ^ 2) (см.,[4]). Следствие. В условиях теоремы справедливы равенства

Поступило 25.08.2010 г.

ЛИТЕРАТУРА

М.Ш.Шабозов, М.Р.Лангаршоев

ВАЗНДОРИ БЕРГМАН

Институти математикаи Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон

Калима^ои калиди: функсияи аналитики - модули суфтаги - наздиккунии бе^тарин - фазои вазндори Бергман - бисераьзогии алгебравии комплекси - н-цутр^о.

M.Sh.Shabozov, M.R.Langarshoev WIDTHS OF SOME CLASSES OF ANALYTICAL FUNCTIONS IN THE WEIGHT BERGMAN’S SPACE

Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan

In the article the exact value of widths of some classes of analytical in the unit circle functions whose defined by modulus of smoothness in the weight Bergman’s space are calculated.

Key words: analytical function - modulus of smoothness - best approximation - weight Bergman’s space -analytical algebraic polynomial - n-widths.