Физические поля в компонентах композитов с псевдослучайной структурой

Физические поля в компонентах композитов с псевдослучайной структурой

Д.С. Иванов, A.A. Ташкинов

Пермский государственный технический университет, Пермь, 614600, Россия

Получены аналитические выражения для моментных функций случайного индикатора структуры двухкомпонентных разупорядоченных армированных композитов. Построена и исследована статистически изотропная псевдослучайная структура на базе регулярной. Предложена и реализована схема вычисления физических полей (напряжений и деформаций) в псевдослучайной структуре на основе решения ряда краевых задач для ячейки периодичности регулярной структуры.

1. Введение

Исследуются случайные поля структурных деформаций, напряжений и модулей упругости двухфазных композитов, армированных, например, однонаправленными волокнами или жесткими частицами. Предполагается, что результаты могут быть использованы при прогнозировании стадии начального накопления повреждений, а значит для оценки прочности композитов.

Трудности, связанные с детерминистическим описанием возникновения повреждений в неоднородном материале, заставляют привлекать дополнительные математические средства для изучения физических полей. В данной работе изучаются распределения физических полей с учетом тех или иных особенностей взаимного расположения армирующих компонентов в композитах.

Решению проблемы учета стохастичности характера расположения элементов структуры композита при вычислении физических полей посвящено множество исследований [1-5]. Особый интерес представляют подходы, в которых совмещается феноменологическая модель однородной среды с информацией о геометрии структуры. Таким подходом является, например, подход, связанный с постановкой и решением приближенными методами краевой задачи теории упругости ком-

позитов со случайной структурой. При этом большой общностью обладает полное корреляционное приближение стохастической краевой задачи в перемещениях [6]. В нем информация о структуре композитов содержится в моментных функциях случайного индикатора структуры.

Среди множества инструментов, которыми можно характеризовать структуру, рассматриваются, в частности, распределения хорд и промежутков между включениями на произвольно проведенной прямой, распределения диаметров включений, моментные функции индикатора структуры [4]. Результаты моделирования плотных упаковок представлены и обобщены в [7]. Встречаются описания случайной структуры и с помощью вычисления ее фрактальной размерности [8].

Как отмечается в [6], специфика вычисления характеристик случайных физических полей проявляется в сильном различии результатов, получаемых в разных работах, что вызвано отсутствием точных аналитических методов решения стохастической краевой задачи.

Определенными достоинствами обладает численное решение данной задачи в реализациях на базе некоторого представительного объема, например методом ко-

© Иванов Д.С., Ташкинов A.A., 2001

нечных элементов. Однако количество возможных, даже только геометрических, факторов, которые влияют на характер полей, очень велико. Такими факторами, очевидно, являются объемная доля волокон, законы распределения дискретных компонентов по объему, закон распределения размеров включений, их форма, ориентация и т.д. Для того чтобы учесть все особенности геометрии единообразно, то есть оценить вклад каждого из них по отдельности и в сочетаниях, необходимо провести очень много численных экспериментов. С другой стороны, если предположить, что существует апробированный на частных задачах аналитический метод, использующий информацию о структуре в виде статистических характеристик поля структурных модулей упругости, то реализация этого метода могла бы быть очень удобной с точки зрения анализа вышеперечисленных факторов.

2. Постановка стохастической задачи теории упругости композитов

Введем ряд традиционных предположений относительно структуры и свойств двухкомпонентного композита:

1. Размер включений велик настолько, чтобы в пределах компонентов оставались справедливыми феноменологические уравнения механики деформируемого твердого тела.

2. Размер включений много меньше размеров, на которых существенно меняются осредненные поля напряжений и деформаций. Тогда граничные условия на рассматриваемой области можно выбрать так, чтобы, например, поле средних деформаций было однородным.

3. Случайная структура заданного типа может быть воспроизведена в сколь угодно большом числе реализаций. Поскольку в каждой точке поля с радиус-вектором г = (г1, г2) может находиться материал либо одного компонента (например волокна), либо другого (матрицы), то весь набор реализаций структуры характеризуется случайной индикаторной функцией одного из компонентов (т.е. индикатора структуры) А(г), принимающей значение 1, если в точке г оказался этот компонент, и 0 в противном случае.

4. Включения расположены по объему материала так, чтобы структуре можно было приписать свойства статистической однородности и изотропности.

Структуру называют статистически однородной, если все моментные функции индикатора структуры (А°(г) • А°(г') •... - А0(г(и) п не изменяются после парал-

/

лельного переноса системы точек г, г ,..., г1 ' на равные расстояния, не превышающие характерного размера области статистической зависимости. Здесь (...^ — оператор статистического осреднения по реализациям, а А0 (г) = А°(г) -(а°(г)).

Структуру называют статистически изотропной, если все моментные функции индикатора структуры ^А°(г)-А°(г')•...-А°(г(и))^ не изменяются при всевозможных вращениях рассматриваемой системы координат вокруг осей, проходящих через начало координат, и при зеркальном отображении этой системы точек

/

г, г ,..., п ' относительно плоскостей, проходящих через начало координат.

На практике используют и другие определения статистической однородности и изотропности. Так, будем считать структуру статистически однородной в широком смысле [4], если математическое ожидание индикатора включений Р = (А(г)^ не зависит от г, и статистически изотропной, если двухточечный корреляционный момент индикаторной функции (А (г) • А° (г')^ зависит только от модуля разности радиус-векторов точек г и г'.

5. Элементы структуры идеально прочно контактируют по границам компонентов. Тогда на этих поверхностях выполняются условия непрерывности нормальных к поверхности раздела фаз напряжений и непрерывности компонент вектора перемещений.

Для постановки стохастической краевой задачи теории упругости используются геометрические соотношения Коши, обобщенный закон Гука, уравнение равновесия:

е и(г)=2(ик ,1(г)+и1 к(г)).

Ст

°Ц,у (г) = ° и граничные условия в перемещениях:

ик (г)|5 = екГ,

ек1 = (е к1(г)),

где ик,1(г) ек1(г) (г) у (г)— структурные пере-

мещения, деформации, напряжения и модули упругости в точке композита.

Эквивалентная система уравнений в перемещениях имеет вид:

Разложением полей модулей упругости и перемещений на флуктуационные и осредненные составляющие уравнения (3) преобразуются к уравнениям

°

относительно пульсаций вектора перемещений и . В силу предположения 2 поле пульсаций перемещений не будет зависеть от формы границы. В этом случае уравнения относительно пульсаций могут быть преобразованы в интегро-дифференциальные уравнения, ядром которых является тензор Кельвина-Сомилианы уравнений теории упругости Gik (г, г') для однородной среды:

и°

ТГ /~1° I /~1° г>° / /~1° г>° \

где Пу = Сук1ек1 + Сук1 ек1 - \Сук1 %/, а тензор ^к удовлетворяет уравнению: д 2

{С^(г)) 'дhrrrGkm (г’г) =8(г - г) -8 ш ’

у 1

где 8(г - г') — обобщенная функция Дирака; 8т- — символ Кронекера.

В первом корреляционном приближении считается, что дисперсии физических свойств малы и вклад в случайные объемные силы Пу вносит только первое слагаемое. Далее используется статистический подход, связанный с вычислением моментов полей структурных напряжений и деформаций. Так, например, двухточечная моментная функция полей деформаций запишется в виде:

заведомо принадлежит ей же: а(г, г') = Рр^/(г, г'). Трехточечная нецентрированная функция представляется аналогично: а(г, г', г') = Рргу/ г (г, г', г'), где ргу/ г есть вероятность того, что точка г принадлежит фазе армирующего элемента при условии, что точки г' и г принадлежат ей же.

Очевидно, что для рассматриваемых статистически однородных и изотропных структур вероятность ргГ' зависит только от модуля разности векторов г и г'. В дальнейшем разность этих векторов, отнесенную к некоторому характерному размеру включений (диаметру в случае шарообразных или волокнистых включений или диаметру шаров, равных по объему рассматриваемым эллипсоидам, тетраэдрам), будем обозначать х.

Как правило, моментные функции нормируют — относят к центрированным моментам: двухточечную к

(4 (г0 • 4 (Г2)) = | ^(і,у)1 (г'> Г0 • Ga(i,у)в (г"> Г2) {С0ру6 (г') • СИрд (г"))¿г'*"Єу5Є

где (С^г)• СР?ГЛ(гО) = (Сум -С«к,)(Срг -С”га)х X (А° (г) • А° (г'^; С!ук1, С™к1 — тензоры модулей упругости волокна и матрицы; Ок- у у — круглыми скобками обозначено симметрирование по соответствующим индексам.

Моментная функция полей напряжений

зависит от двухточечной моментной функции индикатора структуры третьего порядка (А°(г) •А°(г') •А°(г' )).

3. Описание структуры с помощью моментных функций

Распишем моментные функции индикатора структуры второго и третьего порядков через нецентриро-ванные функции а:

= (а(г, г', г') - Р{а(г, г') + а(г, г'') + а (г', г')}+ 2Р3).

Функциям а(г, г') = (А(г) • А(г')) и а(г, г', г') = = (А(г) •А(г') •А(г''^ можно приписать геометрический смысл, они отражают вероятность того, что аргументы функций а (точки г, г' или г, г', г') одновременно окажутся в дискретной фазе [4]. Тогда а(г, г') может быть выражена через условную вероятность ргг' (г, г') того, что в некоторой реализации точка г принадлежит фазе армирующего элемента при условии, что точка г

^А° (г)2^ = ^А2) = Р(1 - Р), трехточечную к ^А° (г)3 ^ = = Dj(3) = Р(1 - Р)(1 - 2Р). Нормированную моментную функцию второго порядка для статистически однородной структуры К[2) будем называть корреляционной.

Выберем в одной из реализаций структуры некоторое включение, в которое попала первая точка. Вероятность рг1/ (х) можно представить как сумму вероятностей несовместных событий, состоящих в том, что вторая точка попадет в какое-либо из включений, лежащих в окрестности рассматриваемого, либо в это же включение, либо в ближайшее в данном направлении и так далее:

(х)-

Рт/

j=1

Первое слагаемое этой суммы р(1)(х) для матричного композита с одинаковыми включениями вычисляется следующим образом. Смещаем включение в заданном направлении на расстояние х. Отношение объема (площади) пересечения смещенного и несмещенного включений к объему (площади) включения дает искомую вероятность. На рис. 1 дана геометрическая интерпретация вероятности р(1) (х) для поперечного сечения композита, армированного волокнами произвольного сечения.

Для волокон круглого поперечного сечения однонаправленного волокнистого композита получено:

Рк1)( х) =-П

arccos

- хл/1 -.

при 0 < х < 1;

рК (х) = 0 при х > 1.

Рис. 1. Геометрическая интерпретация функции р(1) (х) для плоской фигуры произвольной формы

Для объемных включений в форме шара: рШР (х) = ~(2 + х)(1 - х)2 при 0 < х < 1;

рШР (х) = 0 при х > 1.

Для включений, имеющих форму эллипсоидов вращения, ось вращения которых ориентирована под углом Р к направлению подсчета корреляционной функции, вероятность Рз1) получается из вероятности Рщ) (х) в результате аффинных преобразований:

Р^( х) = рШ)(1 r - r' I/ d р ),

где dp = ((sinР/2a)2 + (cosР/2b)2)_^2, a, b — полуоси эллипсоида. На рис. 2 представлены функции для различных пространственных форм включений.

Из выражений (6) и (8) следуют два предельных случая:

Kj^2) (х) = p(1) (х) Ух при P ^ 0, prjr' (х) = p(1)(х) VP при х ^ 0. Производная функции p(1)(х) имеет вид:

dx

РкЧх) = —““Vi - х2 ,

х) = -1(1 - х)(3 + 2 х).

dx 4

Видно, что эта вероятность для рассматриваемых форм включений является монотонно убывающей вогнутой функцией с ненулевым значением производной при х = 0.

Для плоских структур исследовалась зависимость вида корреляционной функции на всем интервале ее изменения от объемной доли волокон. Для этого использовалось моделирование случайных структур поперечных сечений однонаправленных композитов простым методом Монте-Карло. Сравнение экспериментально построенных корреляционных функций с аналитическими зависимостями вида (9) показало, что аппроксимации рг1/ (х) функцией р (1)(х) приводят к удовлетворительным результатам на достаточно широком интервале изменения аргумента х [9]. Причем хорошее соответствие обнаружилось не только для модельных структур с кругами одинакового диаметра, но и для фрагмента структуры реального стеклопластика из [10] с разбросом в значениях диаметров.

Однако стоит заметить, что угол наклона кривой в нуле может существенно зависеть от функции распределения диаметров волокон, поскольку справедлива оценка:

K i2)(0).

dx

1

P (1 — P )\ d

Если рассмотреть полидисперсную структуру с двумя типами включений, сильно отличающихся диаметром, то при равной объемной концентрации включений

Рис. 2. Вероятности р^

- р(1)(х)-Р

1 'Ч. 1 - Р

\

\

\

3

Рис. 3. Нормированные корреляционные функции (рг^ (х) аппроксимирована р(1)(х)) для структур с разбросом в диаметрах волокон, но одинаковым средним размером включений: 1 — р^, 2 — ступенчатый, 3 — нормальный, 4 — показательный законы распределения диаметров. Р = 0.3

основной вклад в наклон кривой на начальном участке внесут включения с меньшим диаметром. На рис. 3 представлены корреляционные функции, в которых р^/(х) аппроксимирована р(1)(х). Все функции характеризуются одинаковым средним значением диаметра волокон 1^) = 1, одинаковым объемным содержанием армирующей фазы, но разными функциями распределения диаметров: нормальным со значением среднеквадратического отклонения 0.25, показательным и ступенчатым (два типа включений, отличающиеся в диаметрах в четыре раза). Видно, что корреляционная функция для структуры с разбросом в диаметрах хорошо совпадает с корреляционной функцией для моно-дисперсной структуры только в случае нормального распределения диаметров включений, где (1/ ^ = 1.°82.

Для того чтобы определить условные вероятности р(1) (х) для j > 1, предположим, что структура композита такова, что случайные поля А(г) детерминированного аргумента г можно описать функцией ^(р) случайного аргумента р. Функция w принимает значения 0 или 1 в зависимости от того, попал ли радиус вектор р в матрицу или во включение одной конкретной представительной реализации структуры. Эквивалентность функций А и w будем понимать в том смысле, что

^А°(г) •А°(г') •... •А°(г(п ])) =

= ^^°(Р + г)• w0(р + г )•...• w°(р + г(п))^ ?

где (...) — оператор осреднения по объему. Если

выполняется данное соотношение, то интерпретировать этот факт можно следующим образом: на базе одной представительной реализации структуры (прототипе) генерируется весь набор реализаций. Осуществляется это смещением прототипа в пространстве на случайный радиус-вектор р.

Отметив и присвоив номер j всем включениям прототипа, получим, что р(у)(х) выражаются через р(1)(х) заменой аргумента:

р 0 )

Здесь 1у — модуль вектора 1 у, соединяющего центры 1-го и у-го кругов; в у — угол между векторами г - г' и 1 у. Параметры 1у и в у, необходимые для аналитического подсчета корреляционной функции, характеризуют взаимное положение включений и являются случайными величинами для случайной структуры.

Прототипом структуры, удовлетворяющим соотношению (15), можно выбрать и среду с регулярной упаковкой включений. Структуры, имеющие такой прототип, будем называть псевдослучайными. Моментные функции индикатора w(р), а значит и индикатора А(г), для этих структур строятся аналитически.

Здесь важно отметить одно обстоятельство. Структуры композита, получаемые только смещением произвольного протипа на р, вообще говоря, статистически анизотропны. В зависимости от разной геометрической комбинации г, г' ,..., гп моментные функции будут различны. В частности, двухточечная моментная функция может зависеть от ориентации разности радиус-векторов г - г . В этом можно убедиться, принимая в качестве прототипа реализацию с гексагональной или тетрагональной упаковкой включений (рис. 4).

Чтобы псевдослучайная структура обладала свойством статистической изотропности, нужно допустить наличие не только случайных подвижек исходной реализации в пространстве, но и существование случайных поворотов прототипа.

Обобщая (15) на случай статистически изотропных псевдослучайных структур, помимо случайного радиус-вектора р введем случайный угол поворота ф, ответственный за случайный поворот системы точек г, г' ,..., гп:

Рис. 4. Нормированные корреляционные функции для структур с регулярным расположением волокон в прототипе, построенные в различных направлениях. Р = 0.5

(А,°(г) •А°(г ') •... •А°(гп)) =

= / (н ° (р + г) • н* °(р + г') •... • н °(р + гп

где система точек г, г,..., г повернута относительно системы г, г',..., гп на случайный угол ф.

В этом случае оператор осреднения по реализациям распадается на оператор осреднения по объему прототипа и оператор осреднения по возможным значениям ф. Это примечательно, поскольку псевдослучайной структуре не присуще свойство эргодичности, так как нельзя судить обо всей структуре по одной реализации.

Приведенные рассуждения позволяют вычислить моментные функции А(г) осреднением моментных функций индикатора w(р, ф), построенных в равнозначных направлениях. Характерное отличие корреляционных функций изотропных псевдослучайной и случайной структур — в степени затухания, т.е. в размере области статистической зависимости (рис. 5). Причина, видимо, заключается в мере случайности структур, то есть в степени свободы во взаимном расположении включений. В этом смысле псевдослучайные структуры можно рассматривать как переходные от регулярных к стохастиче ским.

Построение трехточечной моментной функции выполняется аналогично, с помощью вычисления геометрических вероятностей. Примечательно, что эта функция даже для статистически изотропной и однородной структуры уже будет зависеть от геометрической комбинации точек г, г', г'. На рис. 6 представлены КА3)(х) (структуры с Р ^ 0) для двух различных комбинаций точек.

4. Поля напряжений и деформаций в псевдослучайной структуре

Одним из достоинств статистически изотропных псевдослучайных структур является то, что для них можно получить точное решение. Покажем, как отыскиваются поля напряжений и деформаций в псевдослучайных структурах, на примере задачи о деформировании в поперечной плоскости однонаправленного волокнистого композита.

В задачах о плоских деформациях предполагаются равными нулю деформации, нормальные плоскости нагружения (деформации): 833 = °. Предполагается, что поперечное сечение бруса остается плоским и не поворачивается.

ф

Рис. 5. Нормированные корреляционные функции для изотропной псевдослучайной (1) и реальной случайной (2) структур. Р = 0.63

Рис. 6. Трехточечные моментные функции для двух разных комбинаций г, г', г' при Р ^ 0

В силу линейности задачи, пульсации полей деформации в любой точке можно считать прямо пропорциональными задаваемым на границе тела:

є 0 (г) = Ф (г )е„,

где Ф щ — неизвестный тензор.

В качестве конкретного примера найдем дисперсии деформаций при одноосном деформировании в поперечной плоскости. Граничные условия согласно (2) выберем так, чтобы в тензоре средних деформаций единственной ненулевой компонентой была еп. Тогда дисперсии полей структурных деформаций растяжения в направлении деформирования могут быть записаны как

е11е11-

Свойство оператора статистического осреднения для псевдослучайной структуры позволяет перейти от решения задачи в глобальной системе координат к системе координат, связанной с ячейкой периодичности:

(ф1ш -Фпп) = ((ф1ш -Фпп),) •

Компоненты тензора Ф щ в глобальной системе координат и в системе координат, связанной с ячейкой периодичности, которая имеет произвольную ориентацию на плоскости, связываются формальным правилом:

Ф1111 = а1і «1 і «1к «1/Ф 'цкі >

где Ф' — тензор в новой системе координат, а а у — матрица углов поворота в новой системе координат. Ос-редняя компоненты и квадраты компонент тензора Ф по равнозначным направлениям и по площади ячейки с учетом симметрии направлений, получаем:

?ш >=\ ¿1 ^7 к=^/2) V+

5) V'

+-^(/1/2)V +-Іт(/з/4)V +7Т-

^ 82 10 , 5

У5 /.) V + /¡) г •

<Ф,,,0 = :^<л> V + /,

где

/1 = Ф1111; /2 = Ф2222 ; /3 = 2(Ф1112 + Ф1211);

/4 = 2(Ф 2212 + Ф1222); /5 = 2(Ф 2211 + Ф1122 + 4Ф1212).

Итак, для нахождения ^(Ф?111)^ необходимо решить задачу теории упругости для ячейки периодичности с тремя разными граничными условиями. Граничные условия следует задать так, чтобы в тензоре средних для ячейки деформаций е у = ^8у ) единственной ненулевой компонентой была в первом случае е11, во втором— е22, в третьем — е12 = е21. При этом следует принять во внимание, что из симметричности тензора малых деформаций вытекают следующие соотношения: при е12 = е21 Ф 0; е у = 0,1, у Ф 1, 2

Ф1212 = 0 5812 ; Ф1112 = °.5811; Ф1212 = °.5822 ; при е22 Ф 0; еу = 0,1, у Ф 2

Ф 2222 = 822 ; Ф1122 = 811; Ф1222 = 812; (23) при е11 Ф 0; е у = 0,1, у Ф 1

Ф 2211 = 8 22 ; Ф1111 = 811; Ф1211 = 812.

Аналогично находятся характеристики полей напряжений введением в глобальной системе координат тензора Тщ, связывающего напряжения в точке псевдослучайной структуры со средними деформациями:

(г) = (г)ек1, и тензора Тщ в системе координат,

связанной с ячейкой периодичности:

Т1111 =а1/а1 у а1к а11Тук1.

Пользуясь терминологией, введенной в разделе 3, тт и Фук1 — тензоры в точке псевдослучайной структуры с равновероятными значениями ф, а Т т и Ф 'ук1 > по сути, являются тензорами для анизотропной псевдослучайной структуры с единственно возможным значением ф.

Были получены распределения компонент тензоров Ф, Ф' и Т, Т в волокне, матрице для структур с различными объемными концентрациями Р (рис. 7). Значения материальных констант компонентов принимались такими, как у стеклопластика: модуль Юнга волокна —

fT- 10 ГПа

1 1 1 1 1 1

ІГ

' 1 1 /* "

Q-J&nil ІііПпЇп ÎÎ|ÎÎ9(5QOlDflÛÛüü

10

20

30

. ГПа

Рис. 7. Плотность распределения/т случайной величины Т1111 в матрице при различном объемном содержании волокон Р = 0.1

70 ГПа, матрицы — 6 ГПа, коэффициент Пуассона волокна — 0.2, матрицы — 0.25. В таблице 1 приведены некоторые характеристики величин Т1111 и Т{ш для структуры с ф = 0 (см. рис. 4).

Видно, что различия в статистических характеристиках полей напряжений данных псевдослучайных структур незначительны. Однако, в принципе, коэффициент вариации инвариантов напряжений в матрице псевдослучайных структур в зависимости от угла ф отличается более чем в два раза.

5. Заключение

В соответствии с предложенной схемой вычисления полей напряжений и деформаций физические поля в компонентах изотропной псевдослучайной структуры однозначно выражаются через комбинацию соответствующих полей в периодической структуре. Однако примененный вероятностный формализм позволяет получить из тривиальных задач для ячейки периодичности значительно больше информации, чем при детерминистическом подходе. Например, можно вычислить мо-ментные функции физических полей, корреляции меж-

Таблица 1

Волокно Матрица

P il p P = 0.57 P II 0. P = 0.57

Изотропная псевдослучайная структура

mo ± so, ГПа 11.32 ± 0.18 22.54 ± 2.76 8.78 ± 1.18 13.72 ± 5.79

kv 0.016 0.123 0.149 0.422

Анизотропная псевдослучайная структура

mo ± so, ГПа 15.80 ± 0.04 23.42 ± 3.31 7.87 ± 1.19 13.62 ± 7.19

kv 0.003 0.141 0.151 0.528

где mo = (rnn),so2 = ((Гпп)2), kv = mo/so ; mo = {Tun)V so2 =((T1/1°11)^ , kv = mo/so.

ду различными компонентами тензора напряжении, построить распределения инвариантов напряжении, максимальных по реализациям напряжении.

С другоИ стороны, использование статистического подхода позволило исследовать композиты с геометриеИ псевдослучаИноИ структуры так же, как с геометриеИ любоИ другоИ разупорядоченноИ структуры. Более того, известное взаимное расположение включениИ дало возможность аналитического построения корреляционноИ функции индикатора псевдослучаИноИ структуры. Благодаря этому можно оценивать точность решения сто-хастическоИ краевоИ задачи для тел со случаИноИ струк-туроИ более общего вида, чем псевдослучаИная.

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ №01-01-96488.

Литература

1. Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред. -М.: Наука, 1977. - 400 с.

2. Соколкин Ю.В., Ташкинов A.A. Механика деформирования и разрушения структурно-неоднородных тел. - М.: Наука, 1984. - 115 с.

3. Канаун С.К., Левин В.М. Метод эффективного поля в механике композитных материалов. - Петрозаводск: Изд-во Петрозаводского гос. ун-та, 1993. - 598 с.

4. Волков С.Д., Ставров В.П. Статистическая механика композитных

материалов. - Минск: Изд.-во БГУ им. В.И. Ленина, 1978. - 206 с.

5. Ванин Г.А. Микромеханика композиционных материалов. - Киев: Наукова думка, 1985. - 304 с.

6. Вилъдеман В.Э., Соколкин Ю.В., Ташкинов A.A. Механика неупру-

гого деформирования и разрушения композиционных материалов / Под ред. Ю.В. Соколкина. - М.: Наука. Физматлит, 1997. - 288 с.

7. Мошев В.В., Свистков AM., Гаришин О.К. и др. Структурные меха-

низмы формирования механических своИств зернистых полимерных композитов. - Екатеринбург: УрО РАН, 1997. - 508 с.

8. Гладков С.О. Физика композитов: Термодинамические и диссипативные своИства. - М.: Наука, 1999. - 330 с.

9. Иванов Д.С., Иванов С.Г. К статистическому описанию структуры

двухкомпонентных композитов // Вестник ПГТУ. Механика композитов. - 1999. - № 1. - С. 60-65.

10. Miller A., Wei C., Gibson A.G. Manufacture of polyphenylene sulfide (PPS) matrix composites via the powder impregnation route // Composites, Part A. - 1996. - No. 1. - P. 49-56.