Учет рисков и буферизирующих их факторов при прогнозировании эффективности инвестиционных проектов

С.С. Тарасенко

УЧЕТ РИСКОВ И БУФЕРИЗИРУЮЩИХ ИХ ФАКТОРОВ ПРИ ПРОГНОЗИРОВАНИИ ЭФФЕКТИВНОСТИ ИНВЕСТИЦИОННЫХ ПРОЕКТОВ

В настоящее время весьма актуальной стала тема оценки рисков, где под риском понимается сочетание вероятности наступления неблагоприятного события и его последствий (размера ущерба от его наступления). Теория риска получила широкое применение в сфере финансовых инвестиций, страховании и иных областях экономики.

При этом в случае изучения финансовых инвестиций данная теория, как правило, используется для ответа на такие вопросы, как сколько мы рискуем потерять в следующие несколько периодов (дней, торговых сессий и т. д.) или каков оптимальный инвестиционный портфельный на данный момент. Здесь используются, например, различные портфельные теории (Markowitz и др.), модели рынка (CAPM, APT и др.) и методология VAR.

В рамках теории рисков в сфере страхования разрабатываются модели поведения как страховых фирм (Sparre and Anderson), так и их клиентов (Arrow, 1970). Основными вопросами здесь являются вероятность разорения страховой компании и оптимальный способ страховки для клиента. Кроме того, именно применительно к теории актуарных расчетов возникли и развивались процессы риска. На анализе свойств этих процессов и основываются рассуждения, например, о величине вероятности разорения.

Эффективность может измеряться в физическом смысле (технологическая эффективность) или стоимостном выражении (экономическая эффективность) [15]. Будем рассматривать любые затраты в стоимостном выражении, и, следовательно, экономическая эффективность инвестиционных проектов будет рассматриваться также в стоимостном выражении.

В качестве критерия оценки эффективности примем показатель чистой приведенной стоимости - NPV (Net Present Value) [1, 4, 5, 8, 12].

При расчете эффективности на основе этого показателя и его производных учитывается ограниченное количество макроэкономических факторов, (например, инфляция и процент за пользование инвестициями).

Увеличение возможностей данного показателя эффективности для принятия оперативных управленческих решений при изменяющейся экономической ситуации связано, на наш взгляд, с его модификацией с целью учета как рисков, возникающих при реализации инвестиционного проекта, так и факторов, буферизирующих эти риски.

Для модификации показателя NPV нами применены методы теории риска: классический процесс риска и его характеристики. Учет буферизирующих факторов осуществляется сверткой в показатель подверженности риску фирмы-исполнителя при помощи аппарата нечеткой логики.

Чистая приведенная стоимость (NPV) и система показателей эффективности. Центральной идеей оценки эффективности при помощи показателя NPV является получение разности между приведенными к настоящему времени денежными потоками прибыли и инвестиций. Таким образом, в общем случае NPV представляется формулой [3, 7, 9]:

T P L C

NPV = У---------t----У--------,

1=1(1 + rt)t Т=0(1 + т

где T - момент времени, до которого будет реализовываться проект; L - момент времени, до которого будут осуществляться инвестиции; Pt - прибыль на конец периода [0,t], te(0,Tj;

p=У

P - суммарная приведенная прибыль;

t=1 't

ICT - инвестиции в момент т;

L ict

-----т— - суммарные приведенные инвестиции;

т=0 (1 + i% )Т

ic=У

Ъ - «желаемая» рентабельность проекта, %; 1т - уровень инфляции в момент т, (%).

Формула (1) показывает, что инвестиционный проект будет признан доходным, если будет превышение приведенного потока прибыли над приведенным потоком инвестиций, т.е. ЫРУ > 0.

При помощи математических преобразований из NPV можно получить ряд производных показателей, которые определяют основные характеристики эффективности проекта.

Индекс рентабельности — PI (Profitability Index) показывает относительную прибыльность проекта, или дисконтированную стоимость денежных поступлений от проекта в расчете на единицу вложений. С его помощью можно сравнить доходность проекта, например, с безрисковой банковской ставкой процента. Этот показатель рассчитывается путем деления NPV проекта на суммарные приведенные инвестиции:

NPV

PI = NpV .

IC

Отношение прибыли и инвестиции (B/C — Benefits to Costs Ratio) или Индекс рентабельности (RI - Return Index) показывает, какова относительная доходность данного проекта, или во сколько раз прибыль превышает инвестиции для данного проекта. RI рассчитывается по следующей формуле:

P

RI = —.

IC

Легко увидеть из (2) и (3), что PI и RI связанны между собой тождественным соотношением: RI = 1 + PI.

Срок окупаемости (PP) определяет период от начала реализации инвестиционного проекта до момента, когда проект становиться

прибыльным, т.е. окупается. Этот показатель можно получить из

NPV следующим способом. Рассмотрим уравнение:

T P

v Л = IC.

=1(1 + rt )t

t=1 t

Решая данное уравнение относительно t одним из численных методов, получим t*, которое по определению будет являться сроком окупаемости, t* = PP.

Внутренняя норма рентабельности — IRR (Internal Rate of Return) — это значение процентной ставки r, при котором NPV=0, т.е. когда имеет место уравнение (4). Для нахождения r*=IRR необходимо решить уравнение (4) относительно r (более подробно см. [3, 5, 6, 9]).

Выше были рассмотрены основные показатели, использующиеся для расчета NPV. Одним из них является процент по инвестициям или стоимость капитала r. Это тот процент, который необходимо выплатить за пользование инвестициями. На практике r может быть,

например, банковским процентом. Именно с определением стоимости кредита связан показатель 1ЯЯ.

Выявим теперь взаимосвязь г и 1ЯЯ. МРУ в качестве функции от г, убывает по данному аргументу, причем при некотором значении г значение МРУ = 0. Абсциссой данной точки является по определению 1ЯЯ. Таким образом, 1ЯЯ можно трактовать как максимально допустимую стоимость капитала (процент по инвестициям), при которой данный проект остается безубыточным. Поэтому проект будет тем привлекательнее, чем больше его 1ЯЯ. Из приведенной выше трактовки 1ЯЯ так же следует, что проект будет оставаться бесприбыльным (безубыточным), если г < 1ЯЯ Г < 1ЯЯ).

Если обозначить стоимость капитала как га, то используя ГЯЯ, можно получить следующие случаи:

если 1ЯЯ > га, то проект следует принять; если 1ЯЯ < га, то проект следует отвергнуть; если 1ЯЯ = га, то проект является бесприбыльным.

В последних двух случаях проект не приносит никакой прибыли, то есть является неэффективным. Таким образом, видно, что значения г, на которые дисконтируются будущие прибыли, лежат в пределах интервала га < г < 1ЯЯ.

Однако в процессе реализации проекта возможны изменения стоимости инвестиций. Поэтому возникает вопрос об устойчивости проекта. Информацию об устойчивости проекта дают критерии 1ЯЯ и Р1. Так, например, при прочих равных условиях, чем больше 1ЯЯ по сравнению со стоимостью капитала, тем больше и устойчивость, иными словами в качестве меры устойчивости необходимо понимать разность между 1ЯЯ и г, т.е. 8 = 1ЯЯ - г, причем, чем больше эта разность, тем более устойчив данный проект.

Что касается критерия Р1, то правило здесь таково: чем больше значение Р1 превосходит единицу, тем больше устойчивость.

Резюмируя изложенное, необходимо отметить, что МРУ и его производные показатели образуют систему показателей эффективности. Для краткости в дальнейшем будем оперировать понятием интегральный показатель эффективности, подразумевая названную систему.

Описание процессов риска. Процессы риска, как уже отмечалось выше, получили свое развитие главным образом применительно к сфере страховых расчетов. Общая схема страховых моделей с точки зрения страховой компании имеет вид [14]:

Я = и + р - X,

где Я - это резерв страховой компании (собственные средства); и - начальный капитал; р - страховые премии, т.е. денежные средства, полу-

чаемые при заключении контрактов от клиентов; X - страховые выплаты по контрактам, которые являются случайными величинами (СВ).

Задачи, рассматриваемые в рамках данной схемы могут быть, в частности, разделены на статические и динамические.

Особый интерес для нас представляют динамические модели. В этом случае указанная модель имеет вид:

Я

Естественно, возникает вопрос о конкретном выражении страховых премий р(/) и выплат по контрактам Х(/).

Предположим, что все страховые премии одинаковы, а процесс их поступления линеен, т.е. р(/) = с/. Процесс страховых выплат в свою очередь также представим в следующем виде:

Мх

X© = £ X,,

,=1

где {Х}>1 - независимые одинаково распределенные СВ, ЕХ1 = а, 0<0Х1=ст < го; МХ(/) - однородный пуассоновский процесс с некоторой интенсивностью Х>0.

При этом МХ(/) и {Х^ независимы, а МХ(/) имеет экономический смысл количества страховых случаев до момента 1.

Таким образом, модель (6) преобразуется в модель (8):

Мх

Я

,=1

Модель (8) носит название классического процесса риска или процесса риска Спарре-Андерсона (8рагге-Апёегеоп). Поскольку выражение (8) представляет собой стохастический процесс, то речь пойдет о его количественных характеристиках. Кроме того, далее будет рассмотрен классический процесс риска при условии и=0.

Используя тождество Вальда, запишем формулу для математического ожидания Я(/):

Е[Я

или

Е[Я

Из формулы (10) видно, что наиболее благоприятным случаем, является ситуация, когда (с - аХ) > 0, в противном случае страховая компания может разориться.

Рассмотрим величину р:

с

р=—-1.

аХ

Данная величина носит название нагрузки безопасности (safety loading). Она показывает процентное превышение интенсивности потока страховых премий над интенсивностью потока страховых

выплат и, таким образом, характеризует устойчивость (безопас-

ность) деятельности страховой компании и ее эффективность. Понятно, что чем больше нагрузка безопасности тем, выше устойчивость компании и эффективность ее деятельности.

Помимо математического ожидания СВ R(t) также характеризуется дисперсией:

D[R

или

D[R

где t e [0,7] [13,14].

Интегральный показатель эффективности и классический процесс риска. Из приведенного выше описания видно, что классический процесс риска и показатель эффективности NPV имеют сходную структуру. В частности, потоку страховых премий модели Спарре-Андерсена соответствует поток прибыли NPV. С той лишь разницей, что в классическом процесс риска не учитывается временная стоимость денег, а при расчете NPV она играет ключевую роль.

Однако страховые выплаты классического процесса риска не имеют аналога в структуре NPV. Страховые же выплаты в модели Спар-ре-Андерсена выражают как раз страховые риски. При расчете интегрального показателя эффективности используется ограниченное число факторов (инфляция и процент по инвестициям). В то же время риски, возникающие при реализации проекта, не принимаются во внимание.

Таким образом, для более полного учета факторов при прогнозировании эффективности необходимо включить в расчетную формулу (1) дополнительное слагаемое, которое будет описывать возможные риски. Для простоты будем полагать, что риски независимы между собой и имеют одинаковое распределение вероятностей.

Тогда получим модификацию NPV с учетом рисков - mNPV, что показано нами в работе [11]:

Nx

mNPV = NPV - £ X .

1=1

В формуле (14) случайные величины {X1}1>1 также имеют смысл риска и сохраняют все ранее описанные свойства, однако в отличие от классического процесса риска под величиной X1 подразумевается величина потерь в результате наступления рискового события. Слу-

чайная величина N.(0 также сохраняет все свои описанные свойства без изменений.

Очевидно, что тЫРУ является случайным процессом, поэтому для работы с этим показателем понадобятся его числовые характеристики. Приведем конечный вид формул соответственно для математического ожидания и дисперсии т№У:

Е[тЫРУ] = ЫРУ - 1а1,

Б[тЫРУ] =

Знание количественных характеристик случайной величины может быть достаточным при наличии статистической информации о поведении случайной величины. Отличительной особенностью рисков является отсутствие статистической информации, поскольку рисковые события происходят, как правило, редко.

Поэтому для более полного понимания свойств величин {Х}^ необходимо иметь их закон распределения. Поскольку получение закона распределения из статистических наблюдений невозможно, то остается прибегнуть к одному из следующих способов:

• асимптотической аппроксимации;

• принципу максимума неопределенности (энтропии).

Рассмотрим каждый из них в отдельности.

Использование асимптотической аппроксимации основывается на применении центральной предельной теоремы (ЦПТ), теоремы Пуассона и законе больших чисел (ЗБЧ). Первые две теоремы говорят о виде предельного закона распределения для последовательности случайных величин. ЗБЧ утверждает сходимость выборочного среднего к истинному значению математического ожидания.

Основной предпосылкой применение ЦПТ в самом простом случае одинаково распределенных случайных величин является конечность моментов до второго порядка включительно. Тогда в соответствии с этой теоремой имеет место следующий предельный переход:

х=^(х) 1 ф{х-}а] при п^°°>

1=1 \а Ып )

где ¥Х(х)=Р(Х<х} - функция распределенияХ, которая через плотности случайных величин {X} выражается п-кратной сверткой

да

¥х(х)= ^ *п = | ^ *(п-1)^ (у) ^1,

где Р(у) - функция распределения X; ф(х) = (1/-\/2тс)|е 2 йп,

—ад

Vn - функций распределения стандартного нормального закона распределения.

Однако сходимость по ЦПТ возможна только в случае наличия суммы неслучайного числа слагаемых. На практике число рисковых факторов постоянно изменяется, что в данном случае делает невозможным применение ЦПТ.

Для сходимости суммы случайного числа слагаемых

= Х1 + ••• + ХЫ ,

1 п п

где Ып - случайная величина числа слагаемых ( ЕЫп = п) к предельной случайной величине Z необходимо и достаточно, чтобы

N й

—^ ^ и при п^ад, А(п) = Р{и<п}.

ЕК

Тогда при нулевом математическом ожидании слагаемых предельный закон распределения имеет следующий вид:

Р{1<2} = |Ф^=^йА

_________ й

где SN Ц 1)Х] 1Кп ^ 2 при п^ад [14].

Функция распределения 2, определенная выражением (17), представляет собой масштабную смесь нормальных законов распределения со смешивающим распределением А(п Л14].

В качестве распределения N выберем закон распределения Пуассона. Данный закон распределения в соответствии с теоремой Пуассона является моделью дискретного хаоса:

N е Ро^(1),

РМО = к} = —е~х, к=о,1,..., к!

Е[Щг)] = 1, Б[Щг)] = 1.

Данный закон имеет один параметр 1, и его количественные характеристики также выражаются через 1. Значение параметра 1 может быть определено на основе статистики, однако в случае ее отсутствии можно использовать экспертные методы.

Таким образом, получено предельное распределение для случайной суммы рисковых потерь, которая является составной частью тКРУ и, следовательно, предельного распределения тКРУ.

Поскольку нас интересуют только положительные значения рисков, с точки зрения максимальной неопределенности (энтропии) в качестве закона распределения рисков логично выбрать экспоненциальный закон, как наиболее энтропийный в классе положительных случайных величин:

Р{Ехр(|) = к} = /ие~щ, для х>0,

Е[Ехр(|)] = 1/| , )[Ехр(|)] = 2/(|Д

В случае экспоненциального распределения рисков п имеет Гамма-распределение.

При сравнении тКРУ и классического процесса риска видно, что по структуре эти два процесса идентичны. Следовательно, для тКРУ применимы все характеристики процесса Спарре-Андерсона.

Нагрузка безопасности процесса тКРУ имеет вид:

КРУ

РтКРУ =---1 = Е[тРГ],

а1

где Е[тРГ] - ожидаемое значение модифицированного индекса доходности.

Помимо предложенного способа учета риска и его оценки, полученная модификация тКРУ характеризуется еще одной принятой мерой риска - среднеквадратическим отклонением. Таким образом, данная модификация показателя эффективности позволяет теперь проводить анализ эффективности не только на основе интегрального показателя, но и сравнивать различные интегральные показатели разных проектов в пространстве прибыль - риск (математическое ожидание - среднеквадратическое отклонение).

Частным случаем такого сравнения является сравнение доходности инвестиционного проекта с безрисковым способом вложения денег. Вычислить соотношение доходности и рискованности проекта можно, например, при помощи коэффициента Шарпа, который в данном случае имеет вид:

КШарпа = РтШ’У — Г° , (Щ

^[тШУ']

где г0 - безрисковая доходность.

В случае если данный коэффициент равен нулю, реализация проекта не имеет смысла, так как тот же доход можно получить гарантированно. Что касается положительного значения КШарпа, то в дан-

ном случае каждый инвестор должен руководствоваться своим отношением к риску.

Моделирование подверженности риску с использованием нечеткой логики. Выше была рассмотрена модификация показателя эффективности с учетом рисков, в которой рассматривались абсолютные величины рисков. Однако помимо рисков существует множество других факторов, влияние которых на эффективность инвестиционного проекта очевидно, однако однозначно описано быть не может. Кроме того, эти факторы часто являются неформальными.

Неформальными факторами считаются те факторы, которые не поддаются исчерпывающему описанию. Такими факторами, например, являются реклама, склонность инвестора к риску и финансовое состояние.

В данном случае трудно описать все возможные варианты при влиянии этих факторов на интересующие нас показатели. Однако они играют важную роль при прогнозировании эффективности инвестиционного проекта.

Рассмотрим влияние на эффективность инвестиционного проекта такого фактора как подверженность риску фирмы-исполнителя. Это влияние можно учесть, например, введением в (14) дополнительного множителя а, который принадлежит интервалу (0,1) [11]:

Кл

тКРУ

,==1

Правомерность введения данного коэффициента можно объяснить следующим образом. Поскольку инвестиционная деятельность сопряжена с рисками, то такие показатели, как затраты на рекламу, влияют на риск «неизвестности товара потребителю», а коэффициент текущей ликвидности и коэффициент финансовой независимости, которые входят в показатель финансового состояния, характеризуют риск разорения в случае требования кредиторской задолженности. Вопрос оценки финансового состояния фирмы рассматривается, например, в работах [2, 11]. Склонность инвестора к риску определяет его поведение в той или иной рисковой ситуации, поэтому также влияет на финансовую устойчивость фирмы-исполнителя.

Указанные величины являются неким буфером, который ослабляет влияние рисков. Поскольку данный буфер ослабляет конкретные виды рисков, то и совокупное действие всех рисков снижается. Часть, которую составляют непогашенные за счет этого буфера риски, показывает множитель а. Таким образом, при помощи а можно измерять подверженность риску фирмы-исполнителя.

Количественные характеристики показателя mNPV(a) имеют вид E[mNPV(a)] = NPV- a alt,

D[mNPV(a)] = a2(a2 + a2)lt.

Из приведенных способов модификации NPV также следует, что NPV> mNPV(a) > mNPV.

Поскольку зависимость a от приведенных факторов трудно установить, то для описания данной зависимости воспользуемся аппаратом нечеткой логики.

В соответствии с [10, 17] нечетким множеством А на универсальном множестве U называется совокупность пар (^A(u),u), где /JA(u) - степень принадлежности элемента и из универсального множества U к множеству А. Степень принадлежности - это число на отрезке [0,1]. Чем выше степень принадлежности, тем в больше степени элемент u из множества U соответствует свойствам нечеткого множества А.

Функцией принадлежности называется функция, которая позволяет вычислить степень принадлежности произвольного элемента универсального множества U нечеткому множеству A.

Если базовое множество состоит из конечного количества элементов и=(щ,и2,... ,un}, тогда нечеткое множество А можно записать

n

в виде A = £|aA(Uj.)/ui . В случае непрерывного множества U исполь-

1=1

зуется такое обозначение A = |^A(u)/ u. В приведенных формулах

U

знаки £ и J означают совокупность пар (^A(u),u).

В рассматриваемом примере используется еще одно понятие -лингвистическая переменная. Лингвистической переменной называется переменная, значениями которой могут быть слова или словосочетания некоторого естественного или искусственного языка.

Терм-множеством называется множество всех возможных значений лингвистической переменной. Термом называется любой элемент терм-множества. Терм формализуется нечетким множеством при помощи функции принадлежности.

Построение терм-множества и функций принадлежности термам называется фаззификацией указанной переменной.

Центральным вопрос нечеткой логики является определение лингвистических переменных и соответствующих их термам функций принадлежности. Задачу построения функции принадлежности можно описать следующим образом: даны два множества - множество

термов лингвистической переменной Т={(1,(2,...,(т} и универсальное множество и={ы1,ы2,...,ып}. Нечеткое множество А(^), ]е[1,т], которым описывается терм / на универсальном множестве V представляется в виде

ГМ,,(и1) И,,(и2) !,,(ип) 1

Щ)

Таким образом, необходимо определить степени принадлежности элементов универсального множества к элементам терм-множества, т.е. найти | (и.) для всех / ,/е[1,т] и /е[1,и].

Не существует строгих алгоритмов определения лингвистических переменных и задания функций принадлежности термов - это делает исследователь самостоятельно, исходя из своих субъективных представлений. Чтобы ослабить субъективный фактор, необходимо воспользоваться экспертными методами.

После фаззификации переменных при помощи нечеткой логической базы знаний (правил) и функций принадлежности лингвистических переменных осуществляется нечеткий логический вывод.

Нечеткой базой знаний о влиянии факторов Х={х1, х2, ... , хп} на значение интересующего нас фактора у называется совокупность логических правил типа:

если (Х1 = а/ И (Х2 = а/ И ... И (хп = а/

или (Х1 = а/ И (х2 = а/ И ... И (Хп = а/

или (х1 а1,/к/ И (х2 а2,/к/) И . И (хп ап,/к/),

то у = //, для всех /е [1 ,т],

где а.,/р - нечеткий терм из терм-множества лингвистической переменной х, в строке с номером/р (ре [1,к]);

к/ - количество строк-конъюнкций (начинающихся с ИЛИ), в которых выход у оценивается нечетким термом/е [1,т];

т - количество термов, описывающих лингвистическую выходную переменную у.

С помощью операций и(ИЛИ) и п (И) нечеткую базу знаний можно переписать следующим образом:

к/ п

О П х=а‘/р) р=1 \- ,=1

Если входная переменная является скаляром, т.е. X = х, то выражение (21) перепишется следующим образом:

и

и

и

2

п

к,

и

р=і

Нечетким логическим выводом называется аппроксимация зависимости у = /(X), где Х в общем случае вектор, с помощью нечеткой базы знаний.

Существуют различные модификации нечеткого логического вывода, в частности, нечеткий логический вывод по композиционному правилу Заде, на основе алгоритма Мамдани или по алгоритму Така-ги-Сугено. Далее рассмотрим алгоритм Такаги-Сугено, поскольку он наглядно иллюстрирует саму процедуру нечеткого логического вывода и относительно прост в использовании.

Нечеткий вывод по алгоритму Такаги-Сугено производится на основе нечеткой базы знаний вида:

Шх = а‘.ір)с весом wip]^у = І + Ьі,іхі +... + ьіпхп, Іє[1,m],

р=1 і=1

где Ъц - некоторые числа. Правила в базе знаний Такаги-Сугено осуществляют переход от одного линейного закона, описывающего зависимость у = /(X). к другому линейному закону.

Границы подобластей являются размытыми, т.е. предполагают возможность одновременного выполнения нескольких линейных законов, но с различными степенями соответствия. Степени принад-

* * *

лежности входного вектора Х*=(хі . Х2..... Хп) к значениям

п

й = Ъ „+УЪ Х рассчитывается следующим образом:

І І.0 J,i і

(X*) = тах

w. *тіп[|а

і=1,п

ркр (х*)]

І є [і, т].

В результате получаем нечеткое множество у. соответствующее

*

входному вектору X :

~ = ^(Х*) + МХ*) +... + м<я(Х*).

йі й2 йт

Таким образом. результирующее значение у определяется как суперпозиция линейных законов. выполняемых в данной точке X п-мерного факторного пространства. Для получения четкого значения у. необходимо провести дефаззификацию полученного нечеткого множества у . Дефаззификация - процедура преобразования нечеткого множества в четкое число.

і=1

Наиболее распространенным методом дефаззификации является метод центра тяжести, который в данной случае имеет вид:

т

. (X*) •

у* = 2=_______________.

т

& ^

1=1

Однако при использовании нечеткого вывода Такаги-Сугено возникает вопрос настройки значений, т.е. идентификации зависимости с помощью нечеткой базы знаний Такаги-Сугено [17].

Предполагается, что известно:

1) выборка данных описываемой системы (Хг,уг) ге[1М], где Хг = (хг1, хг2,..., хг?п) - входной вектор в г-ой паре и уг - соответствующий выход;

2) правила нечеткой базы знаний Такаги-Сугено:

п

0 [Л (х- = аир) с весом ^] ^у = Ъ]о +Ь]1х +...+Ь]пхп, ] е[1,т].

р=1 1=1

Необходимо найти такие значения коэффициентов заключений

правил В = Ъ2,0^  ^ Ъm,0, Ъ1,Ь Ъ2Л,, Ъm,1, Ъ1,n, Ъ2,№- ^ Ът,п,)Т, кото-

рые обеспечивают минимум суммы квадратов ошибок:

2

X(у г- у Г)2 ^ т1а

у/

где У г - результат вывода по нечеткой базе знаний с параметрами В при значении входов из г-й строчки выборки (Хг).

В большинстве алгоритмов нечеткая идентификация параметров нечеткой базы знаний Такаги-Сугено происходит итерационно по значению «мгновенной ошибки». Рассмотрим один из алгоритмов идентификации, основанный на градиентном методе оптимизации. Обозначим «мгновенную ошибку» для г-й строчки выборки дан-

т , -

ных через ЕГ> = X (уг - уГ ) = е2.

г=1

Тогда, согласно градиентному методу Коши, новые значения управляемых переменных рассчитываются по формуле:

дЕ <г >

Ъ<г+1> = Ъ<г>-Ц—--------1 Ъ.. = Ъ<г> , 1е[1,и],]е[1,т],

],г 1,г дЪ ,г ],г

где ц>0 - длина шага, которая задает скорость обучения.

г=1

При малых значениях параметра ц обучение будет медленным. При больших значениях этого параметра возникает опасность переобучения, когда на каждой итерации алгоритма нечеткая модель будет настраиваться только на текущую пару «вход - выход», при этом забывая предыдущий опыт.

Частная производная в (23) имеет аналитическое выражение:

дЕ <г >

-------= 2ев х . С учетом этого перепишем правило обучения

дЪ1. г,] г,г

(24) в следующем виде:

= Ъи- 2МеРГ,]ХГ,1, 1£[1,п], .)е[1,т],

в Ц -1

где в =--------1------- - относительная степень выполнения /-го

гг,] т '*

Хц /Хг)

к=

правила для выходного вектора.

Процедуру настройки параметров нечеткой базы знаний с использованием правила (25) можно представить следующим алгоритмом:

*

1)задание Е - допустимого значений суммы квадратов ошибок и г - максимальное количество эпох настройки;

2) расчет вг/ для каждой строчки выборки, ге[1,М],]е[1,т];

3) установка счетчиков итераций и эпох в единицы: г=1 и г=1;

4) задание начальных значений настраиваемых параметров, например, , .е[1,п],]е[1,т];

5) расчет значения «мгновенной ошибки» для г-й пары данных из выборки и пересчет значения настраиваемых параметров по формуле (25);

6) проверка условия г<М, если «да», то увеличить счетчик итераций г = г+1 и перейти к шагу 5;

7) расчет значения суммы квадратов ошибок на всей выборке данных на г-й эпохе обучение Е<г>;

8) проверка условия «Е<г>< Е », если «да», то перейти к 10);

*

9) проверка условия «г<г », если «да», то увеличить счетчик эпох г=г+1, установить счетчик итераций обучения в единицу г=1 и перейти к 5);

10) остановка алгоритма.

В приведенном алгоритме используется два критерия остановки: первый - по достижению значения суммы квадратов ошибок, второй -по превышению заданного количества эпох настройки.

На протяжении одной эпохи осуществляется итерационная подстройка параметров по каждой паре таким образом, что шаг 5) алгоритма выполняется ровно M раз.

В качестве других критериев остановки алгоритма идентификации можно выбрать сходимость по величине коэффициентов, т.е. ко-

L<r+1> L<r >

гда разница в значениях bj г и bj г лежит в пределах заданного сколь угодно малого s:

max|b^>-bj;\<s ,

или если сумма квадратов ошибок не уменьшается Er+1>- E<><8 [17]. Выводы. Анализируя приведенные модификации, необходимо отметить, что полученный интегральный показатель эффективности mNPV(a) позволяет учесть риски, возможные при реализации инвестиционного проекта. Кроме того, данная модификация позволяет учесть и факторы, буферизирующие риски, что дает более полную картину взаимодействия различных факторов, влияющих на успешную реализацию инвестиционного проекта.

При анализе показателя mNPV(a) важную роль играет определение значения а при помощи аппарата нечеткой логики. Нечеткость (неоднозначность) законов в приведенной процедуре настройки коэффициентов нечеткой базы знаний Такаги-Сугено позволяет использовать сценарный анализ для прогнозирования возможных вариантов развития событий при реализации инвестиционного проекта. Основным преимуществом данного алгоритма является его способность производить гибкую оценку ситуации с учетом новой информации о сложившейся ситуации, что дает возможность принимать более эффективные управленческие решения при реализации инвестиционных проектов.

Литература и информационные источники

1. Четыркин ЕМ. Методы финансовых и коммерческих расчетов. М.: Дело Лтд, 1995.

2. Ефимова О.В. Финансовый анализ. М.: Бухгалтерский учет, 1999.

3. Липсиц И.В., Коссов В.В. Инвестиционный проект: методы подготовки и анализа. М.: БЕК, 1999.

4. Ковалев В.В. Методы оценки инвестиционных проектов. М.: Финансы и статистика, 1998.

5. Мелкумов Я.С. Экономическая оценка эффективности инвестиций. М.: ИКЦ “ДИС”, 1997.

6. Норткотт Д. Принятие инвестиционных решений. М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997.

7. Хорн Дж, К. Ван. Основы управления финансами. М.: Финансы и статистика, 1996.

8. Методические рекомендации по оценке эффективности инвестиционных проектов. Официальное издание /Под. ред. В.В. Коссова, В.Н. Лившица и А.Г. Шахнозарова. М.: Экономика, 2000.

9. Мыльник В.В. Инвестиционный менеджмент. М.: Академический проект, 2003.

10. Заде Л. Понятие лингвистической переменной и его использование к принятию приближенных решений. М.: Мир, 1976.

11. Тарасенко С.С. Прогнозирование эффективности инвестиционных проектов. Альманах «Экономические исследования молодых ученых», №3. М.: ТЕИС, 2004.

12. Eugene F. Brigham, JoelF. Houston Fundamentals of financial management. South-Western College Pub; 4th edition, 2003.

13. Бенинг В.Е., Королев В.Ю. Обобщенные процессы риска. М.: Макс Пресс, 2000.

14. Bening V.E., Korolev V.Yu. Generalized Poisson Models and their Applications in Insurance and Finance (Modern Probability and Statistics Series). VSP, 2002.

15. Кристофер Пасс, Браейн Лоуз, Лесли Девид. Словарь по экономике. С.-П.: Экономическая школа, 1998.

16. Takagi T., Sugeno M. Fuzzy Identification of Systems and Its Applications to Modeling and Control //IEEE Trans. on Systems, Man, and Cybernetics. Vol. 15, № 1. 1985. P.116 -132.

17. Штовба С. С. Введение в теорию нечетких множеств и нечеткую логику. www.matlab.ru.