О роли образного и словесно-знаковых языков в формировании математических концептов у студентов инженерных специальностей

УДК 159.955.2

Вестник СПбГУ. Сер. 16. 2015. Вып. 2

И. В. Сейферт, М. В. Осорина

О РОЛИ ОБРАЗНОГО И СЛОВЕСНО-ЗНАКОВЫХ ЯЗЫКОВ В ФОРМИРОВАНИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ КОНЦЕПТОВ У СТУДЕНТОВ ИНЖЕНЕРНЫХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ1

В работе исследовалась роль логических навыков, а также способностей к актуализации ментальных образов и оперированию ими в формировании математических понятий у студентов технического вуза (29 чел.). Было использовано шесть методик, в том числе «Опросник на яркость зрительных образов» (D. F. Marks) и тест на способность к произвольному оперированию пространственными представлениями (R. Gordon). Обнаружено, что способности к визуализации образов и оперированию ими, а также логические навыки являются базовыми для усвоения студентами математического знания. Сформированность математического концепта проявляется в умении студента выразить его содержание тремя способами: в виде словесного определения, на языке математических символов и в пиктографической форме. Библиогр. 19 назв. Табл. 3. Ил. 3.

Ключевые слова: ментальная репрезентация, ментальный образ, математический концепт, пиктографический лексикон математики.

I. V. Seifert, M. V. Osorina

ON THE ROLE OF THE LANGUAGE OF IMAGERY AND VERBAL AND SIGN LANGUAGES IN FORMATION OF MATHEMATICAL CONCEPTS IN STUDENTS OF TECHNICAL INSTITUTION OF HIGHER EDUCATION

We studied the role of logical skills and the ability to actualize and control mental imagery in mathematical concept formation in students. 29 students of technical institution of higher education took part in our research. We used six methods including: Vividness of Visual Imagery Questionnaire (D. F. Marks), Test of Visual Imagery Control (R. Gordon). Our research showed that the ability to visualize and control mental imagery and also logical skills are fundamental for learning mathematics. A student who understands a mathematical concept is able to express its essence in three ways: in the form of a verbal definition, mathematical symbol and in a pictographic form. Refs 19. Tables 3. Figs 3.

Keywords: mental representation, mental image, mathematical concept, pictographic lexicon in mathematics.

В последние полтора десятилетия среди выпускников школ наблюдается заметное снижение уровня сформированности математического мышления, а также общей подготовленности в области математики. У студентов, поступивших в технические вузы, наибольшие трудности вызывают задачи на доказательство

Сейферт Ирина Викторовна — кандидат педагогических наук, доцент, Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики (Университет ИТМО), Российская Федерация, 197101, Санкт-Петербург, Кронверкский пр., 49; sivis@inbox.ru

Осорина Мария Владимировна — кандидат психологических наук, доцент, Санкт-Петербургский государственный университет, Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9; maria_osorina@mail.ru

Seifert Irina V. — Ph.D. of pedagogical sciences, Associate Professor, NIU ITMO, 49, Kronverkskiy pr., St. Petersburg, 197101, Russian Federation; sivis@inbox.ru

Osorina Maria V. - Ph.D. of psychological sciences, Associate Professor, St. Petersburg State University, 7/9, Universitetskaya nab., St. Petersburg, 199034, Russian Federation; maria_osorina@mail.ru

1 Исследование поддержано грантом НИР «Психофизиологические маркеры ментальных пространств, актуализирующихся в ходе различных видов интеллектуальной деятельности» (8.38.303.2014); 01.01.2014-31.12.2016.

30

и практические задачи. Стойкое наличие подобных интеллектуальных проблем делает будущего инженера профессионально непригодным, что вызывает растущую озабоченность преподавателей математики ведущих инженерно-технических вузов страны и активно обсуждается на математических конференциях последних лет [1]. Одной из причин такого положения дел считаются негативные изменения в методике преподавания математики в школе. Они привели к тому, что многие студенты технических вузов сейчас не могут освоить даже классические достижения математиков XIX в., не говоря уже о современной математике.

Между тем математическое образование является одним из основных факторов развития современной науки, производства и общества в целом, и наше государство обращает сегодня особое внимание на его системообразующие функции, влияющие на интеллектуальную готовность молодого поколения к освоению не только математики, но и других предметов [2]. Эта ситуация побуждает к исследованию психологических условий усвоения студентами математических знаний [3]. Без понимания причин интеллектуальных затруднений студентов невозможны адекватные изменения в содержании и методике преподавания математики будущим инженерам в соответствии с текущими требованиями. Эти требования обусловлены как уровнем развития современной науки, так и характером технических задач, которые должен уметь решать инженер.

Традиционно считается, что математическое знание является проявлением высших уровней мышления человека, а предмет математической деятельности настолько специфичен, что в классификации наук математика выделена как отдельная, особая сфера познания. Специфика математических объектов состоит в их ментальной природе — все они являются продуктами человеческого ума, объективированными в виде математических понятий. Эти понятия тысячелетиями создавались наиболее одаренными математиками разных эпох и культур и закреплялись при помощи математических терминов и текстов. Для культурной трансляции этого вида знания человечеством были выработаны и используются до сих пор три основные семиотические системы:

1) естественный словесный язык, существующий в своих национальных разновидностях и универсальный по функциональному назначению;

2) профессиональный математический символьный язык — язык символов и формул, предназначенный для записи математических высказываний;

3) пиктографический язык2, традиционно используемый математиками разных эпох для наглядно-схематического, пространственно-иллюстративного отображения математических объектов в процессе обучения математике [4].

Для понимания того, как происходит формирование математического мышления у учащихся, важно осознавать принципиальную разницу между терминами «математическое понятие» и «математический концепт». В обосновании различий между ними мы опираемся на подход М. А. Холодной, которая указывает, что «понятие» является единицей культурного знания, внешнего по отношению к субъекту. В процессе освоения изучаемого понятия субъект создает собственную интеллектуальную версию этого понятия — «концепт». Концепт принадлежит психическому миру субъекта, является результатом его интеллектуальных усилий и представляет

2 Термин авторов статьи.

31

собой индивидуальную ментальную репрезентацию усвоенного понятия, выступает его психическим носителем [5, с. 55]. Как показала М. А. Холодная, структура концепта как продукта понятийного мышления характеризуется системностью, иерархичностью, присутствием полимодальных образных компонентов разной степени обобщенности и образных схем [5, с. 84]. Концепт — это динамическая, открытая, способная развиваться структурная единица многоуровневой концептуальной системы. Важно отметить, что способ организации концепта как ментального продукта данного субъекта может быть объектом психологического изучения и дифференциальной оценки.

Между осваиваемым понятием и его интрапсихическим аналогом — концептом, формируемым субъектом, должно иметься достаточное соответствие: концепт должен адекватно отображать «когнитивное ядро» понятия — отражать закрепленные в нем существенные признаки и объем его содержания, позволяющий определить его принадлежность к тому или иному множеству. Неполнота и неадекватность созданного субъектом концепта будет приводить к логическим сбоям в процессе оперирования им, например при решении задач. Именно эта проблема хорошо видна опытному педагогу вуза на занятиях по математике с современными студентами: многие студенты не способны мысленно представить себе объект, описанный в определении, или ситуацию, рассматриваемую в доказательстве теоремы. Создается впечатление, что в школьном возрасте их не научили конструировать образ по словесному описанию, манипулировать им, создавать образные схемы разного уровня обобщенности, где выделенные мыслью существенные связи и отношения кодируются через систему пространственно-временных отношений.

Вопрос о роли образов в понятийном мышлении имеет давнюю историю — от концепции «безобразного» мышления представителей вюрцбургской школы до современных представлений о специфике и роли «образного языка» в процессах мышления. В ленинградской-петербургской психологической школе наиболее глубоко и полно эту проблему раскрыл Л. М. Веккер [6-7], позицию которого далее разрабатывали его ученики [8-11].

Отметим, что проблема математической интуиции и роли образных компонентов в мышлении и творчестве математика имеет более чем двухтысячелетнюю историю, начинающуюся еще с Евклида [12-14]. Евклид, систематизировавший накопленный эмпирический материал своего времени, в дедуктивных построениях постоянно обращался к интуиции и наглядным представлениям. В древнеиндийской математике для каждой теоремы делали соответствующий чертеж и писали одно слово: «Смотри». Античная математика рассматривала интуитивные предпосылки дедукции как аксиоматические. В Европе XVII в. Декарт и Лейбниц указывали, что непосредственное знание очевидных, достоверных истин лежит в основе дедуктивно развивающейся теории. Кант считал источником математических истин «наглядные представления чувственности».

В XIX в., начиная с Гаусса и Коши, в науке развернулось логическое обоснование огромного массива нового материала, при этом обнаружилась недостаточность интуитивной очевидности как средства построения математического доказательства. Поэтому в XIX столетии появляется — и к началу XX в. активно развивается — критическое направление, которое «восстает» против интуиции и ставит своей целью полное логическое обоснование математического знания, добиваясь сведения

32

математики к логике. Тем более что Дж. Буль в середине XIX в. разработал язык логических символов, ставший основой для выражения математических понятий на языке логики. Однако тогда же, в начале XX в., среди математиков появляются активные сторонники интеллектуальной интуиции, которая опирается на внутреннее созерцание, интеллектуальное умозрение или, как сказали бы сегодня, умственное представливание и оперирование ментальными образами разной степени обобщенности, «растерявшими» большую часть своих модальных характеристик. В максимально обобщенном виде они похожи на кинематические схемы, которые создаются, трансформируются, исчезают и появляются в ментальном пространстве субъекта. Одним из первых математиков, обратившихся к интеллектуальному интуитивному умозрению, был Георг Кантор во время создания им теории множеств.

«Интуиционисты» представили убедительные доказательства невозможности чисто формалистического обоснования математики и необходимости того, что они называли «содержательной математикой». К. Гёдель доказал теорему, согласно которой в любой содержащей теорию чисел математической системе, для которой существует доказательство ее непротиворечивости, фигурируют положения, в этой системе недоказуемые, но доступные доказательствам по принципам «интуиционизма». В дальнейшем советский академик А. Н. Колмогоров показал, что при освоении принципиально новой и особой области исследования, где ограничения доинтуи-ционистской логики обусловлены своеобразием изучаемых объектов, необходима конструктивная логика интуиционизма.

Многолетний практический опыт обучения математике студентов ведущего инженерно-технического вуза Санкт-Петербурга, имеющийся у одного из авторов этой статьи, показывает, что проблемы усвоения математики во многом коренятся в психологии восприятия и понимания студентами математических символов и текстов. Новое научное понятие обычно бывает представлено обучающимся в какой-либо языковой форме: в виде словесного описания, в виде записи с использованием символьного языка математики и, что желательно, — в пиктографической форме, т. е. в виде рисунка-иллюстрации. Адекватное использование педагогом всех трех способов представления учебной информации обычно помогает ученикам ее усвоить.

В процессе понимания и усвоения смысла нового понятия субъект всегда осуществляет перекодировку: извлекает содержание из полученных им сообщений и переводит его на свои интрапсихические языки, которыми обычно пользуется. Именно в результате такой перекодировки «чужое», пришедшее извне сообщение становится «своим», усвоенным, т. е. занявшим свое место в психическом пространстве субъекта и получившим некое психическое «воплощение». Тем самым воспринятое извне содержание оформляется как субъективный психический концепт и получает онтологический статус ментального объекта, который реально существует в психике субъекта.

Ментальный объект является психической формой представления некоторого смысла, усвоенного субъектом, ментальной репрезентацией того смысла, который на данный момент доступен субъекту и смог получить интрапсихическое «языковое оформление». Такое оформление возникает благодаря совместной работе двух основных рабочих языков психики — языка образно-пространственных структур, первичного для психики, и языка словесного, используемого интрапсихически в виде внутренней речи [6-7; 15-16]. В мышлении взрослого человека это двуязычие

33

играет принципиальную роль, обеспечивая понимание, которое достигается только в результате совместной работы образно-пространственного и словесно-символического языков. Перевод обрабатываемого мыслью смыслового содержания с языка образов на словесный язык и наоборот — со словесного на образный является тем этапом работы мышления, который необходим для кристаллизации основного смыслового содержания исходного материала и отбрасывания всего несущественного, т. е. для достижения того, что называется пониманием. Такая работа позволяет уму достичь той меры инвариантности искомого смысла, которая субъективно переживается как чувство понятности.

Крайне важным фактором при освоении новой информации, новых понятий и текстов, условием их подлинного понимания является активная психическая работа самого обучающегося. Педагог не может сделать это за ученика — понять что-то каждый способен лишь сам. Первейшая задача педагога — отслеживать и корректировать то, каким образом и насколько адекватно конструируют и понимают смысл изучаемых явлений его ученики.

Практика современного обучения математике в школе показывает, что школьные учителя уделяют слишком большое внимание оперированию математическими символами как таковыми, т. е. работе с языковой формой математических высказываний, и недостаточно озабочены проблемой наполнения этих символов содержательным смыслом. В результате их ученики часто подменяют содержание математического понятия его символическим обозначением. Это делает невозможным решение практических задач или доказывание утверждений, поскольку при этом требуется работа именно с содержанием, в то время как символы являются лишь языковой формой обозначения этого процесса.

Важно помнить, что все символы и знаки (а следовательно, и состоящие из них языки) вторичны по отношению к базовому для психики языку образов и образных структур и возникают на его основе. Любой символ или знак, чтобы быть воспринятым, сам должен иметь некую форму материализации в виде буквы, слова, цифры, формулы, фонемы, жеста и т. п. Именно эта форма материализации знака или символа чувственно воспринимается реципиентом и потом им умственно «расшифровывается». «Материальная оболочка» слова или формулы для воспринимающего человека представлена так же образно, как и любой находящийся в его поле зрения предмет, поэтому ментальный образ слова или образ математической формулы тоже могут иметь различные пространственно-временные характеристики и даже «привкус» разных модальностей. Наивный ученик может принять образ символа за образ самого математического объекта, который этим символом обозначается. Так бывает, если сам учитель математики не различает их или если он надеется, что умение мысленно сконструировать математический объект, о котором идет речь, сформируется у ученика само собой и потому не прилагает никаких педагогических усилий в этом направлении.

Опытные школьные и вузовские преподаватели, наоборот, стремятся к тому, чтобы ученики поняли смысл самих изучаемых математических объектов и операций с ними. Поэтому они интуитивно чувствуют, что смысл формируемого математического понятия для учащихся желательно как-то иллюстрировать — это заметно улучшает понимание. Для некоторых групп понятий уже давно существуют традиционные способы пиктографического отображения (см. ниже). Другие группы

34

понятий в принципе нельзя представить в виде рисунка, и тогда преподаватели используют словесные образно-метафорические сравнения, позволяющие ярко представить себе существенные характеристики смысла таких понятий, выявляемые на материале знакомого учащимся житейского опыта [1]. Как показывают современные западные исследования, даже «рисование пальцем по воздуху» (пиктографическая жестикуляция учителя у доски на занятиях арифметикой) заметно повышает у учеников уровень понимания материала [17], а жесты, используемые в «математическом жестовом пространстве», помогают создавать виртуальные математические построения в ментальном пространстве партнеров по диалогу [18, p. 900].

В основу нашего эмпирического исследования было положено теоретическое представление о том, что качество усвоения математического понятия определяется степенью сформированности у студента его интрапсихического аналога — концепта и адекватностью способов оперирования им. Мы предполагали, что степень сфор-мированности концепта должна проявиться в способности студента синонимично выразить его содержание, раскрыв существенные признаки, на каждом из трех языков, которые обычно используются для репрезентации математических понятий: в виде словесного определения, в виде символьной математической записи и в пиктографическом виде. Качество оперирования концептом мы намеревались оценить на материале решения студентом математических задач разных типов.

Задачи нашего исследования состояли в том, чтобы определить:

1) каково качество усвоения студентами инженерно-технического вуза основных групп математических понятий, которые входят в программу курса математики на первом году обучения;

2) как проявляется качество сформированности концепта (психического аналога математического понятия) при решении задач разных типов;

3) как зависит освоение студентами программы по математике от их способности к представливанию и оперированию образными представлениями, а также к формированию логического вывода.

Наша гипотеза состояла в том, что полноценное понимание смысла математического понятия возможно только тогда, когда в структуре его психического аналога — концепта присутствует адекватно сформированная образная репрезентация существенных признаков математического объекта, обозначаемого этим понятием.

Поставленные нами задачи обусловили следующий набор использованных в исследовании методик, выборку участников исследования и методы математической обработки полученных данных.

Методики

I. Для исследования способности студентов к представливанию, т. е. к произвольной актуализации образов памяти и воображения, а также способности к произвольному управлению этими образами были выбраны две бланковые методики:

1. «Опросник на яркость зрительных представлений», разработанный Д. Марксом (D. F. Marks); текст опросника и характеристики его валидности и надежности представлены в книге Д. Т. Э. Ричардсона [19, с. 23-28]. Этот опросник позволяет оценить по пятибалльной порядковой шкале яркость и четкость зрительных представлений испытуемого.

35

2. «Гордон-тест» — опросник на контролируемость зрительных представлений, разработанный Р. Гордон [19, с. 28-30]. Эта методика позволяет оценить способность испытуемого к произвольному оперированию пространственными представлениями.

Проверка способностей студентов к интрапсихической манипуляции умственными образами была важна потому, что образные компоненты входят в структуру концепта как его существенный элемент, играющий важную роль в конструировании содержания понятия.

II. Способность к основным логическим преобразованиям была протестирована на словесном материале, менее привычном для студентов-математиков (их логические навыки решения математических задач мы проверяли при помощи других заданий; см. ниже). Словесный язык является естественным и универсальным средством общения между людьми и одновременно, в виде внутренней речи, — средством психической самоорганизации и управления собственной мыслительной деятельностью. Для экспериментов нами была подобрана серия словесных утверждений, которые нужно было понять и в письменном виде переформулировать в соответствии с инструкцией. Рабочее название этого набора — «Логические умения».

3. Методика «Логические умения». Задача испытуемого состояла в том, чтобы в словесной форме:

— переформулировать стимульное утверждение в виде импликации («если А, то В»);

— построить отрицание стимульного утверждения;

— построить обратное стимульному утверждение;

— построить утверждение, противоположное стимульному.

В качестве результата учитывалось количество правильных ответов.

III. Исследование образов, возникающих при актуализации тех или иных математических концептов, а также способности студента пиктографически визуализировать математические понятия разного типа осуществлялось при помощи модифицированной нами методики М. А. Холодной «Визуальный портрет слова» [5, с. 95]. Мы назвали ее «Визуальный портрет математического понятия» и составили набор стимульных слов таким образом, чтобы в него входили пять групп основных понятий, изучаемых в курсе математики и различающихся по уровню сложности в плане возможности их визуализации. Дадим краткий комментарий к стимульному материалу.

Слова первых двух групп взяты из списка математических понятий, обязательных для изучения в школе. Знакомство с ними на уроках математики предусматривает их обязательное наглядно-образное представление на сопроводительных рисунках, т. е. пиктографическую презентацию. Поэтому люди, окончившие среднюю школу, обычно владеют культурным навыком изображения этих понятий и пользуются подобными пиктограммами в собственной работе. Именно для этих понятий характерна наибольшая мера общности изображений математического объекта, сделанных разными людьми.

Понятия третьей группы также усвоены в школе. Обычно они вводятся аналитически, их графическое представление далеко не у всех сформировано и часто зависит от предпочтений учителя. Поэтому у кого-то из студентов в «пиктографическом лексиконе» математических понятий уже присутствует готовый стереотип для их

36

изображения, а кому-то приходится изобретать его в процессе работы над нашим заданием.

Понятия четвертой группы представляют собой основные понятия курса высшей математики в инженерных вузах, обязательные для усвоения студентами. Их образное представление осложняется тем, что те преобразования, которые являются содержанием данных математических понятий (например, понятия «производная»), невозможно изобразить на рисунке впрямую, буквально. Поясняющие рисунки к этим понятиям также приводятся в учебниках математики, но насколько они будут «оживлены» в сознании ученика, зависит от учителя. Уровень развития воображения играет здесь главную роль, поскольку неспособность представить себе процесс приводит к формальному усвоению материала.

Понятия пятой группы относятся к метакогнитивному плану математики: они обозначают математические методы, и иллюстраций к ним (например, к понятию «теорема») в учебниках не бывает. Преподаватели обычно определяют эти понятия вербально, не прибегая к рисункам, поэтому традиционно считается, что усвоение их происходит в процессе изучения. Однако есть преподаватели, которые находят метафорические способы «визуализации» этих понятий. Например, метод математической индукции можно описать, используя следующую метафору: «Перед вами бесконечная лестница, и вам надо убедиться в том, что при переходе с одной ступеньки на другую вода в стакане, который вы несете, остается в сохранности, как бы долго вы ни поднимались. Если сам процесс перехода не влияет на сохранность воды, то можно говорить, что так будет всегда, на всех ступеньках».

4. Методика «Визуальный портрет математического понятия»: перечень стимульных понятий с пояснениями.

1-я группа: точка, прямая, множество, плоскость, число (пять понятий, обозначающих математические объекты и имеющих традиционные «пиктографические портреты»);

2-я группа: эллипс, гипербола, функция, вектор, система координат (пять понятий, обозначающих математические объекты и имеющих традиционные рисуночные изображения);

3-я группа: уравнение, неравенство, включение, отрицание, последовательность (пять понятий, отражающих отношения между математическими объектами и не имеющих традиционных рисуночных изображений);

4-я группа: предел, интеграл, производная, непрерывность, бесконечность (пять понятий, отражающих процессы преобразований над математическими объектами и имеющих традицию частичного и статичного иллюстрирования, неспособного отразить динамику этих процессов, которую можно только вообразить);

5-я группа: теорема, определение, математическая индукция, сходимость решения, квантор (пять понятий, отражающих математический способ познания и вообще не имеющих традиции изображения).

В инструкции участников исследования просили нарисовать на листочках иллюстрации к каждому из предъявленных им в письменном виде понятий, используя те образы, которые появлялись у них при чтении написанных терминов. Подчеркивалось, что ни изобразительные навыки, ни качество рисунка не имеют значения, а также что эти рисунки нужны для исследовательской работы и не будут использоваться для оценки математических знаний участников.

37

Группы понятий предъявлялись отдельно друг от друга, в случайном порядке.

Выделялись следующие качественные показатели: типы образов, использованных в рисунках, и их адекватность содержанию понятия.

Критерии количественной оценки рисунка в баллах: 0 — замена рисунка соответствующим математическим символом; 1 — рисунок не отражает содержания понятия вовсе; 2 — рисунок содержит только второстепенные признаки понятия; 3 — рисунок содержит отдельные сущностные признаки и несколько второстепенных; 4 — рисунок передает существенные черты отражаемого понятия.

IV. Для оценки способности студентов к словесному описанию содержания математических понятий была использована письменная методика.

5. Методика «Письменное определение математических понятий» основывалась на том же наборе математических понятий, который использовался в предыдущей методике «Визуальный портрет математического понятия». Однако здесь студентов просили дать письменное определение каждого из понятий. Критериями оценки служили полнота и точность определения, математически грамотное оформление ответа в виде текста.

V. Для оценки умения студентов оперировать математическими символами использовалась шестая методика.

6. Методика «Символ». Студентам предлагался набор математических задач, где требовались символьные преобразования. В этих задачах использовались те же понятия, что и в методиках (4) и (5). Критериями оценки служили правильность использования символов и правильность преобразования символьных выражений в процессе решения задачи. Например, для проверки усвоенности таких понятий, как «предел функции», «производная», предлагалась задача на исследование функции.

VI. Для оценки успешности студентов в освоении математики использовалась итоговая оценка по математике за третий семестр, суммирующая результаты четырех контрольных работ (две контрольные работы по теме «Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы» и две — по теме «Ряды»), выполнение и защиту студентами двух типовых расчетов по указанным темам, письменные ответы студентов на экзаменационный билет. Для проверки способности понимать содержание и смысл математических расчетов студентам предлагались практические задачи и задачи на доказательство. Общая результативность студентов в части усвоения математических знаний представлена переменной «Общая оценка по математике».

В исследовании приняли добровольное участие 29 студентов первого курса. В первом семестре все участники выполнили задания по методикам (1)-(4), описанным выше. По окончании третьего семестра описанным в пункте VI методом была сформирована итоговая оценка по математике.

Результаты и их обсуждение

Корреляционный анализ не выявил связи между успешностью усвоения математики, результатами заполнения опросников Маркса (на яркость образных представлений) и теста Гордон (на управление образными представлениями), а также успешностью логических преобразований словесных утверждений (методика «Логические умения») (табл. 1). Этот факт согласуется с распространенным мнением

38

о том, что многие интеллектуально и творчески развитые люди неуспешны в овладении математическим знанием.

Табл. 1. Корреляции между успешностью в усвоении математики, логическими умениями и общей способностью к образным представлением недостоверны

Способность к представлениям и манипулированию ими Логические умения

Успешность в усвоении математики -0,259 0,107

При анализе пиктограмм, полученных с помощью методики «Визуальный портрет математического понятия», были выявлены следующие особенности образных структур математических концептов, изображенных испытуемыми (все они, каждый по-своему, выполнили задание):

Образные структуры всегда присутствуют при конструировании математического концепта, но они могут принадлежать к двум разным типам. Первый тип: образ отражает содержание понятия. Второй тип: образ воспроизводит математический символ, которым понятие обычно обозначается, т. е. отображает не содержание понятия, а его языковую форму. Например, понятие «прямая» вызывает образ линии у одних испытуемых и образ уравнения прямой у других.

Образные структуры обоих типов могут иметь разный уровень обобщенности: в случае образов первого типа активизируется или образ конкретной прямой, или обобщенный образ класса прямых, в случае образов второго типа — либо конкретное уравнение, либо уравнение в общем виде.

После проведения качественного анализа собранных материалов мы использовали различные количественные методы обработки данных с последующей интерпретацией полученных результатов.

Обозначим анализируемые переменные следующими условными названиями:

1) «Слово» — результаты словесного определения студентами математических понятий (оценивалась способность студента выразить содержание математического понятия с помощью естественного языка);

2) «Рисунок» — результаты изображения математических понятий в виде пиктограмм (оценивалась способность студента выразить содержание математического понятия с помощью языка изображений);

3) «Символ» — результаты оценки способности студентов оперировать математическими символами, владеть формальным символьным исчислением;

4) «Опросник Гордон» — результаты опросника Р. Гордон (оценивалась способность студента оперировать пространственными образами представлений);

5) «Опросник Маркса» — результаты опросника Д. Маркса (оценивались яркость и четкость актуализируемых образов представлений);

6) «Логика» — результаты теста «Логические умения» (проверялась способность понимать словесные утверждения и совершать над ними логические преобразования).

39

Корреляционные связи между исследуемыми переменными представлены на рисунке 1.

Рис. 1. Корреляционные связи между переменными

Для исследования структуры взаимосвязей переменных был использован факторный анализ, осуществленный методом выделения невзвешенных наименьших квадратов и методом максимального правдоподобия с последующим вращением методом облимин с нормализацией Кайзера. Требовалось выявить группировки переменных, чтобы провести анализ факторов, по которым эти переменные имеют максимальные нагрузки. Все переменные измерялись в порядковой шкале. Обработка данных проводилась с помощью программного пакета статистической обработки данных SPSS 21.

В результате факторного анализа нами были выявлены три фактора, значимо объясняющие дисперсию (табл. 2).

Табл. 2. Матрица факторной структуры. Методы выделения: невзвешенный метод наименьших квадратов, метод максимального правдоподобия с вращением методом облимин и нормализацией Кайзера

Фактор

1 2 3

Слово 0,894 0,359 0,109

Логика 0,571 0,243 0,443

Опросник Маркса 0,226 0,291 0,947

Опросник Гордон 0,115 0,717 0,284

Рисунок 0,430 0,701 0,046

Символ 0,586 0,652 0,177

40

Выделенные факторы объясняют 81% общей дисперсии, или разброса значений, по переменной «Общая оценка по математике».

Первый фактор имеет наибольшую информативность (45%) и объединяет следующие переменные: «Слово» (МНК — 0,894, МП — 0,896) и «Логика» (МНК — 0,571, МП — 0,570). Объединение переменных в один фактор можно объяснить следующим образом. Логические умения формируются вместе с речью, развиваются в ней, являются показателями сформированности понятийного мышления. Л. С. Выготский подчеркивал, что мысль совершается в слове. Поэтому естественно ожидать, что способность к словесному описанию смысла математического понятия с выделением его существенных признаков и способность совершать логические преобразования и переформулировки словесных утверждений будут связаны между собой.

Второй фактор с информативностью 19% объединяет переменные «Опросник Гордон» (МНК — 0,717, МП — 0,709), «Рисунок» (МНК — 0,701, МП — 0,709) и «Символ» (МНК — 0,652, МП — 0,668). В этом факторе оказались объединены: способность к управлению собственными образами (измеренная по опроснику Р. Гордон), способность отображать смысл математического объекта в виде рисунка (измеренная методикой «Визуальный портрет математического понятия») и способность правильно оперировать математическими символами и формулами при решении математических задач на символьные преобразования. Можно предполагать, что основой объединения этих трех переменных является способность субъекта к формированию ментального образа математического понятия. С одной стороны, наличие такой способности указывает на то, что человек может создавать новые ментальные образные структуры (о чем говорят высокие оценки по методике Гордон). С другой стороны, если у студента сформирована адекватная ментальная репрезентация математического понятия, то он может ее «опредметить», представив в виде рисунка-пиктограммы, а также интуитивно «прозревает» ее за фасадом символьной математической записи.

Третий фактор объясняет 17% дисперсии и определяется переменной «Опросник Маркса» (МНК — 0,947, МП — 0,937). Таким образом, общая способность к пред-ставливанию ярких и четких зрительных образов выделилась в отдельный фактор.

Из результатов факторного анализа видно, что эффективность усвоения математических знаний связана одновременно с логическими умениями и со способностями студента к образному представливанию. Можно заключить, что способность к актуализации и оперированию образными представлениями и словесно-логические способности являются базовыми для успешного освоения математики нашими испытуемыми.

Результаты факторного анализа были рассчитаны для всех наблюдений в переменных «Фактор 1» и «Фактор 2» для дальнейшего исследования взаимодействия переменных.

Кластерный анализ (метод К-средних) результатов решения студентами трех серий тестовых задач (сюда вошли данные по тесту «Логические навыки», по опроснику Д. Маркса и опроснику Р. Гордон) показал, что по двум переменным — «логические умения» и «навыки оперирования образами представлений» — студенты разделяются на четыре группы (9, 8, 7, 5 человек):

1) студенты, имеющие показатели выше среднего по обеим переменным (9 человек);

2) студенты, имеющие показатели ниже среднего по обеим переменным (8 человек);

3) студенты, имеющие показатели ниже среднего по логическим умениям и выше среднего по навыкам оперирования образами (7 человек);

41

4) студенты, имеющие показатели выше среднего по логическим умениям и ниже среднего по навыкам оперирования образами (5 человек).

Этот этап, на наш взгляд, был необходим для того, чтобы определить направление дальнейшего исследования влияния общих способностей к представливанию и логическим операциям на усвоение математических знаний. В результате анализа полученных данных выяснилось, что представители первой группы, имевшие высокие показатели как по логическим умениям, так и по навыкам оперирования образами представлений, в дальнейшем лучше всех учились по математике, из 9 человек 7 были отличниками. Представители второй группы, имевшие по обоим пунктам показатели ниже среднего, хуже всех учились по математике: из 8 человек 5 не смогли сдать семестровый экзамен на первом курсе, а 3 имели очень слабые «тройки».

Корреляционный анализ по переменным «успешность решения практических задач» (такие задачи давались в блоке математических заданий) и «способность создавать образы математических объектов» (проверявшаяся методикой «Визуальный портрет математического понятия») выявил высокую взаимосвязь между этими переменными (0,813, р < 0,023) при условии высоких показателей по логическим умениям. Такую успешность как раз и продемонстрировали студенты первой группы.

Оказалось, что при условии достаточного уровня логических навыков студенты с «неадекватными» и «недостроенными» образами математических объектов (это были студенты 4-й группы) могут успешно справляться с задачами абстрактного содержания. Это обусловлено тем, что операции с символами будут приводить к правильному ответу вне зависимости от того, насколько субъект способен содержательно интерпретировать эти символы и операции. В силу особенностей символьного исчисления смысловая интерпретация игнорируется. Однако эти студенты демонстрировали низкую способность решать задачи практического содержания, где требуется наполнение смыслом и символов, и операций с ними.

Двухэтапная кластеризация определила три группы по всем семи переменным. Данные, представленные на рисунке 2, показывают, что более высокие оценки по математике связаны с более высокими показателями по всем переменным.

Рис. 2. Содержание кластеров

42

С помощью регрессионного анализа (метод шагового отбора с использованием информационного критерия А1С) удалось построить линейную модель оценки результативности изучения математики, включающую переменные «Слово» и «Фактор 2» (для обеих переменных p < 0,01) (табл. 3):

Общмath = 0,949 * Слово + 0,138 * Фактор2.

Табл. 3. Результаты регрессионного анализа

Модель Нестандартизованные коэффициенты Стандартизованные коэффициенты t Знч.

B Стд. ошибка Бета

Слово 4,029 0,182 0,949 22,115 0,000

Фактор 2 11,484 3,568 0,138 3,219 0,003

Напомним, что в «Фактор 2» входят переменные, представляющие умения студентов оперировать образными представлениями, отображать их в виде рисунка и опознавать на основании символической записи. Качество модели составляет 71%, т. е. модель может предсказывать значения в 71 случае из 100. На рисунке 3 представлены графики наблюдаемых значений переменной «Общая оценка по математике» и значений, предсказанных с помощью построенной модели.

Рис. 3. Графики наблюдаемых и предсказанных значений переменной «Общая оценка по математике»

Значение коэффициента переменной «Слово» можно объяснить тем, что словесный язык является естественный средством, с помощью которого студент знакомится с новым математическим объектом, узнает о его свойствах и учится обращаться с ним. Влияние переменной «Фактор 2» на успеваемость студентов по математике обусловливается тем, что решение математических задач связано с работой

43

с образами. Чтобы оценить раздельное влияние переменных «Символ» и «Рисунок» на усвоение математических понятий, мы провели еще один регрессионный анализ по указанным переменным. Методом шагового отбора с использованием информационного критерия мы получили следующую зависимость ^2=0,633; р < 0,05):

Общ_оценкаМа4Ь = 0,534 * Символ + 0,347 * Рисунок.

Таким образом, на способность к усвоению математических понятий студентами значимо влияют как способности к пониманию математических символов и оперированию ими, так и умение отображать в рисунке содержание математического понятия.

Выводы

1. Результаты проведенного исследования показали, что навыки образного представливания и оперирования образами, наряду с логическими навыками, представляют собой базовые способности, необходимые для усвоения математического знания студентами инженерно-технического вуза.

2. Овладение символьным математическим языком также опирается на развитое умение представливать и оперировать образами.

3. Образные структуры в качестве значимого компонента входят в состав математических концептов, являющихся психической репрезентацией усваиваемых студентом математических понятий. Поэтому можно предположить, что способность к математике обусловлена не столько специальными математическими способностями, сколько умением создавать в своем воображении ментальные образы несуществующих объектов (а именно такими являются все математические объекты) на основании их словесного и символьного описания.

4. Исследование показало, что студенты, у которых неадекватно и неполно сформированы образы математических объектов, обозначаемых математическими понятиями, при условии достаточного уровня развития логических навыков могут успешно справляться прежде всего с задачами абстрактного содержания. Это объясняется тем, что правильные операции с символами будут приводить к правильному ответу вне зависимости от того, способен ли субъект содержательно интерпретировать эти символы и операции. В силу особенностей символьного исчисления смысловая интерпретация игнорируется. Однако эти же студенты сталкиваются с серьезными трудностями при решении задач практического содержания, где требуется наполнение смыслом и символов, и операций над ними. Этот вывод имеет большое значение для системы подготовки студентов инженерно-технических специальностей, которые в своей профессиональной деятельности призваны решать именно практические задачи.

Литература

1. Сейферт И. В. Компьютерная визуализация в формировании математического интуитивного опыта // Тезисы докладов IV Международной конференции «Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования». М.: РУДН, 2013. С. 718-720.

44

2. Распоряжение Правительства РФ от 24 декабря 2013 г. № 2506-р «Об утверждении Концепции развития математического образования в Российской Федерации» // СЗ РФ. 2014. № 2 (ч. I). Ст. 148.

3. Гельфман Э. Г., Холодная М. А. Психодидактика школьного учебника. Интеллектуальное воспитание учащихся. СПб.: Питер, 2006. 384 с.

4. Сейферт И. В. Роль образных структур в формировании математических концептов: выпускная квалификационная работа / науч. рук. М. В. Осорина. СПб., 2014. 60 с.

5. Холодная М. А. Психология понятийного мышления: От концептуальных структур к понятийным способностям. М.: Институт психологии РАН, 2012. 288 с.

6. Веккер Л. М. Психические процессы. Т. 1. Л.: Изд-во ЛГУ, 1974. 334 с.

7. Веккер Л. М. Психические процессы. Т. 2. Л.: Изд-во ЛГУ, 1976. 341 с.

8. Холодная М. А. Интегральные структуры понятийного мышления. Томск: Изд-во ТГУ, 1983. 190 с.

9. Холодная М. А. Психология интеллекта: парадоксы исследования. 2-е изд., перераб. и доп. СПб.: Питер, 2002. 272 с.

10. Осорина М. В. Экспериментальное исследование образных структур на разных уровнях мыслительной деятельности: дис. ... канд. психол. наук. Л.: Изд-во ЛГУ, 1976. 185 с.

11. Осорина М. В. Пространственная пульсация ментального образа и ее проявления в детском фантазировании // Теоретическое наследие Л. М. Веккера: на пути к единой теории психических процессов: материалы научного симпозиума, посвященного 90-летию со дня рождения Л. М. Веккера. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2008. С. 110-120.

12. Асмус В. Ф. Проблема интуиции в философии и математике. М.: Мысль, 1965. 312 с.

13. Адамар Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области математики. М.: Советское радио, 1970. 152 с.

14. Фридман Л. М. Что такое математика. Истоки, развитие, современное состояние. М.: Книжный дом ЛИБРОКОМ, 2014. 192 с.

15. Жинкин Н. И. Механизмы речи. М.: Издательство Академии педагогических наук РСФСР, 1958. 312 с.

16. Прибрам К. Языки мозга. Экспериментальные парадоксы и принципы нейропсихологии. М.: Прогресс, 1975. 464 с.

17. Edwards L. D. Gestures and conceptual integration in mathematical talk // Educational Studies in Mathematics. 2009. Vol. 70. Р. 127-141.

18. Yoon C., Thomas M., Dreyfus T. Gestures and insight in advanced mathematical thinking // International Journal of Mathematical Education in Science and Technology. 2011. Vol. 42, No. 7. P. 891-901.

19. Ричардсон Д. Мысленные образы: когнитивный подход. М.: Когито центр, 2006. 175 с.

Статья поступила в редакцию 9 февраля 2015 г.

45