Сильное вырождение особых управлений принципа максимума в распределенных задачах оптимизации

Поступила в редакцию 10 апреля 2011 г.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа поддержана грантом Российского фонда фундаментальных исследований № 08-01-00410 и Федеральной программой содружества УрО РАН с СО РАН.

Subbotina N.N., Shagalova L.G. Application of the optimal control theory to solutions of Hamilton-Jacobi equations with state constraints. Two Cauchy problems with state constraints are considered for the Hamilton-Jacobi equations arising in molecular biology and economy, accordingly. The problems have no classical solutions. The generalized solutions are introduced, that are subdifferentiable everywhere in domain. A method is suggested to construct the generalized solutions using auxiliary optimal control problems. Results and analysis of numerical experiments are exposed.

Key words: Hamilton-Jacobi equations; state constraints; viscosity solutions; minimax solutions; optimal control; value function; subdifferential.

Субботина Нина Николаевна, Институт математики и механики УрО РАН, г. Екатеринбург, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, заведующий сектором отдела динамических систем, e-mail: subb@uran.ru.

Шагалова Любовь Геннадьевна, Институт математики и механики УрО РАН, г. Екатеринбург, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, научный сотрудник отдела динамических систем, e-mail: shag@imm.uran.ru.

УДК 517.95

СИЛЬНОЕ ВЫРОЖДЕНИЕ ОСОБЫХ УПРАВЛЕНИЙ ПРИНЦИПА МАКСИМУМА В РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ © В.И. Сумин

Ключевые слова: распределенные задачи оптимизации; управляемые вольтерровы функциональные уравнения; поточечный принцип максимума; особые управления. Показывается, что для широкого класса распределенных оптимизационных задач характерно сильное вырождение особых управлений поточечного принципа максимума, когда вместе с принципом максимума, который можно рассматривать как необходимое условие оптимальности первого порядка при игольчатом варьировании управлений, вырождаются и все необходимые условия оптимальности особых управлений до порядка, равного размерности пространства независимых переменных. Описан способ получения содержательных необходимых условий оптимальности сильно вырожденных особых управлений.

Управления, особые в смысле поточечного принципа максимума (п.п.м.), на которых он вырождается, играют важную роль в теории оптимизации и ее приложениях [1-4]. Однако, для распределенных систем вопросы получения необходимых условий оптимальности (н.у.о.) особых управлений (о.у.) изучены еще относительно слабо: в основном рассматривались управляемые системы Гурса-Дарбу и близкие им [2, 5-9]. Главные усилия были

направлены на конструирование с учетом специфики таких систем формул приращения, удобных для вычисления старших вариаций функционалов. За допустимые брались обычно кусочно-непрерывные управления. Предполагалось, как правило, что каждому допустимому управлению отвечает единственное глобальное решение управляемой начально-краевой задачи. Принципиально важно изучение более широкого класса управлений — измеримых (например, [3, С. 291; 4, 10], причем без указанного ограничительного условия на разрешимость управляемой начально-краевой задачи.

Соответствующий достаточно общий способ изучения о.у. п.п.м., опирающийся на возможность представления управляемой начально-краевой задачи в форме функционального уравнения второго рода специального вида в лебеговом пространстве и использующий теорию тензорных произведений лебеговых пространств для вычисления старших вариаций функционалов, был предложен в [11] (описание указанной формы см., например, в [12, 13]; в [13] можно найти самые разнообразные примеры приводимых к этой форме начальнокраевых задач для нелинейных дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений с частными производными). В [14-16] была представлена обобщающая способ [11] схема изучения о.у., обслуживающая широкий класс распределенных управляемых систем (приводимых к упомянутой форме) и обширный аксиоматически описанный в [14-16] класс способов варьирования, включающий большинство способов, традиционно использующихся в теории н.у.о. (классическое варьирование, игольчатое, импульсное на полосах, варьирование пакетами, сдвигом и др.).

Доклад посвящен конкретизации схемы [14-16] применительно к игольчатому варьированию [16, 17]. Показывается, что для распределенных задач оптимизации достаточно характерно сильное вырождение о.у. п.п.м., когда вместе с п.п.м. (н.у.о. 1-го порядка при игольчатом варьировании) вырождаются и все н.у.о. о.у. до порядка, равного размерности пространства независимых переменных. Это происходит, если задача «устроена не слишком сложно», как часто и бывает в приложениях.

ЛИТЕРАТУРА

1. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Особые оптимальные управления. М.: Наука, 1973.

2. Васильев О.В. Качественные и конструктивные методы оптимизации управляемых процессов с распределенными параметрами: автореф. дис. д-ра физ.-мат. наук Л.: ЛГУ, 1984.

3. Мордухович Б.Ш. Методы аппроксимации в задачах оптимизации и управления. М.: Наука, 1988.

4. Зеликин М.И., Борисов В. Ф. Синтез оптимальных управлений с накоплением переключений. // Итоги науки и техники. Серия Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. 90. Оптимальное управление 4. М.: ВИНИТИ, 2001.

5. Срочко В.А. Условия оптимальности для одного класса систем с распределенными параметрами // Сиб. математ. журн. 1976. Т. 17. № 5. С. 1108-1115.

6. Ащепков Л. Т., Васильев О.В., Коваленок И.Л. Усиленное условие оптимальности особых управлений в системе Гурса-Дарбу // Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16. № 6. С. 1054-1059.

7. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Максимов К.Б. Необходимые условия оптимальности второго порядка для систем с распределенными параметрами. Мн:, 1982. (Препринт/АН БССР. Ин-т математики, № 31).

8. Бурдуковский А.Н. Условия оптимальности особых управлений в задаче Гурса-Дарбу // Управляемые системы. Новосибирск, 1986. Вып. 26. С. 16-24.

9. Мансимов К.Б. Необходимые условия оптимальности особых процессов в задачах оптимального управления: автореф. дис. д-ра физ.-иат. наук Баку: Бакинский гос. ун-т, 1994.

10. Силин Д.Б. Линейные задачи оптимального быстродействия с разрывными на множестве положительной меры управлениями // Матем. сб. 1986. Т. 26. № 3. С. 439-448.

11. Сумин В.И. Оптимизация управляемых обобщенных вольтерровых систем: дис. канд. физ.-мат. наук. Горький. 1975.

12. Сумин В.И. Функционально-операторные вольтерровы уравнения в теории оптимального управления распределенными системами // ДАН СССР. 1989. Т. 305. № 5. С. 1056-1059.

13. Сумин В.И. Функциональные вольтерровы уравнения в теории оптимального управления распределенными системами. Вольтерровы уравнения и управляемые начально-краевые задачи. Н. Новгород: Изд-во ИНГУ. 1992.

14. Сумин В.И. Дифференцирование функционалов оптимального управления / "Материалы итоговой научной конф. радиофиз. ф-та ГГУ за 1982 г., Горький 1-2 февр. 1983. Ч. 2. Деп. в ВИНИТИ: № 6035-83 ДЕИ. С. 84-91.

15. Сумин В.И. Сильное вырождение особых управлений в распределенных задачах оптимизации // ДАН СССР. 1991. Т. 320. № 2. С. 295-299.

16. Сумин В.И. Сильное вырождение особых управлений в задачах оптимизации распределенных систем // Оптимизация. Сб. научн. тр.. Новосибирск, 1993. № 52 (69). С. 74-94.

17. Сумин В.И. Об особых управлениях поточечного принципа максимума в распределенных задачах оптимизации // Вестник Удмуртского государственного университета. Серия: Математика. Механика. Компьютерные науки. Ижевск, 2010. Вып. 3. С. 70-80.

Поступила в редакцию 10 апреля 2011 г.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» (2009-2013 годы) (проект НК-13П-13) и АЦВП «Развитие потенциала высшей школы (2009-2011 годы)» Минобрнауки РФ (регистрационный номер проекта 2.1.1/3927).

Sumin V.I. Strong degeneration of singular controls in the sense of the maximum principle in distributed optimization problems. It is proved that for distributed optimization problems a sufficiently typical situation is strong degeneration of the singular controls in the sence of the maximum principle, when together with the maximum princile (which is a first order necessary optimality condition in the case of spike-shaped variation) all necessary optimality conditions through order n are degenerate. A derivation of constructive necessary optimality conditions for singular controls is suggested.

Key words: distributed optimization problems; Volterra functional equations; pointwise maximum principle; singular controls.

Сумин Владимир Иосифович, Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского, г. Нижний Новгород, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математической физики, e-mail: v sumin@mail.ru.

УДК 519.853, 517.983

РЕГУЛЯРИЗОВАННАЯ ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА КУНА-ТАККЕРА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

© М.И. Сумин

Ключевые слова: выпуклое программирование; параметрическая задача; теорема Куна-Таккера в недифференциальной форме; двойственная регуляризация; оптимальное управление; некорректные задачи.

Обсуждаются т. н. регуляризованная теорема Куна-Таккера в недифференциальной форме для параметрической задачи выпуклого программирования в гильбертовом пространстве и возможности ее приложения при решении задач оптимизации, оптимального управления и некорректных задач.