О возможности упрощения дифференциальных уравнений движения в задаче о максимальной скороподъемности самолета

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том X/

19 8 0

№ I

УДК 629.735.33.015

О ВОЗМОЖНОСТИ УПРОЩЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ В ЗАДАЧЕ О МАКСИМАЛЬНОЙ СКОРОПОДЪЕМНОСТИ САМОЛЕТА

В. А. Широкопояс

Рассматриваются три последовательно упрощаемые системы уравнений движения самолета: полная система дифференциальных уравнений с учетом нормальных и тангенциальных ускорений, система дифференциальных уравнений без учета нормальных к траектории полета ускорений и квазистационарная система. На базе этих систем уравнений решены задачи о максимальной скороподъемности самолетов с высокой тяговооруженностью, и показана неприемлемость квазистационарной системы и ограниченная применимость системы уравнений, не учитывающей нормальных ускорений.

При решении вариационных задач механики полета используется уравнения движения самолета различной степени точности. Исследование достаточно точных систем вызывает известные трудности. Поэтому решение конкретных задач оптимального управления самолета вынуждает каждый раз делать те или иные упрощения и оценивать их допустимость.

Анализ применимости упрощенных уравнений движения самолетов с умеренной тяговооруженностью для некоторых частных случаев содержится в ряде работ, например [1,2]. Появление маневренных самолетов с большой тяговооруженностью (Р/С> 1) заставило пересмотреть методы решения задач оптимального управления такими самолетами, поскольку методы, разработанные для самолетов с умеренной тяговооруженностью, не всегда применимы в силу невыполнения некоторых допущений, на которых они основаны.

В работе рассмотрены три последовательно упрощаемые системы уравнений движения самолета в вертикальной плоскости: полная система дифференциальных уравнений с учетом нормальных и тангенциальных ускорений, система дифференциальных уравнений без учета нормальных к траектории полета ускорений и квазистационарная система. Проведен сравнительный анализ решений задачи о максимальной скороподъемности самолета с большой тяговооруженностью для указанных систем с целью установления границ применимости упрощенных уравнений движения самолета.

1. Рассматриваемые упрощения дифференциальных уравнений движения. Уравнения движения самолета как точки переменной массы в вертикальной плоскости в однородном гравитационном поле Земли в предположении, что поляра самолета аппроксимируется квадратичной параболой

СХ = СХ о — А2С^ и Су = С* а,

(IV

сіі

= ~ {Р 005 а - [Схо— а + А, (С* ар]}-С 8іп Й,

____— ——— (Р зіп а + С^лаБ — <5 сої й)>

сіі ОУ у ^

еЮ

(ІІ

РСе

3600

(1Н

сіі

-- V БІП 0,

(II

(ІІ

= V7 С05 Й.

Коэффициенты аэродинамических сил Сх0, Аъ А2, С* , содержащиеся в (1), задаются как функции числа М полета. В системе (2) пять фазовых координат: у.— скорость полета, 0 — угол наклона траектории, 6 — вес самолета, Н — высота полета, А — дальность полета. За независимую переменную принято время

Управляющими функциями являются тяга двигателей Р и угол атаки а (или нор-

мальная перегрузкапу = . Кроме того, приняты обозначения: 5 — пло-

щадь крыла, д - скоростной напор, Се — удельный расход топлива, § — гравитационное ускорение.

Рассмотрим последовательно возможные упрощения системы (2). Если считать, что направление вектора тяги двигателя совпадает с направлением вектора скорости, пренебречь нормальным к траектории полета ускорением, следова-//0

тельно, положить -----= 0, систему (2) можно записать в виде:

М

с1У

сіі

[Р - цЯ (Схо - Л1 Су Л2С у ) — й вІп Й]

сЮ РСе с1Н = V БІП Й,

(И 3600 <И

А1 = V соэ 0, Г' 0 СОБ 0

(ІІ У дБ

Система (3) содержит четыре фазовые координаты V, в, Н, Ь и две управляющие функции Р и 0 (или Су). Пренебрегая в первом уравнении системы (3) тангенциальным ускорением, получим квазистационарную систему:

Р - дБ (Схо — Л,СУ +/?„С':,) - О віп Ь = 0,

(Ю

СІІ

с1Ь_

СІІ

РСР

3600 = У’сов 6,

іІН сіі

— і/біп Й, в

<?<?

СОБ Й.

В системе (4) из четырех переменных Р, 0, Су, V две являются управляющими функциями.

Для квазистационарной системы (4) можно рассматривать два типа задач: определение наивыгоднейших параметров, характеризующих движение самолета в отдельных точках траектории (локальные характеристики) и определение оптимальных характеристик самолета на траектории полета в целом (интегральные характеристики).

Задачи первого типа сводятся к определению экстремума функции многих переменных [3]. Задачи о нахождении интегральных характеристик требуют интегрирования системы (4) с двумя дополнительными связями между переменными. Ниже эти связи будут определяться в результате решения задачи о локальных характеристиках.

2. Выбор задачи для сравнительного анализа системы уравнений движения.

Среди возможных вариационных задач механики полета самолета как точки переменной массы чаще других рассматривают задачи со следующими функционалами:

минимизация конечного времени полета / = min tK\

• максимизация конечной скорости полета / = max VrK; максимизация конечного веса самолета /=maxGK; максимизация конечной высоты полета / = max//к.

Первая в методическом аспекте представляет большой интерес, поскольку траектории скороподъемности отличаются разнообразием граничных условий, фазовых ограничений и характеризуются широким диапазоном изменения фазовых координат. Кроме того, в этой задаче реализуется, как правило, режим максимальной тяговооруженности, исследование влияния которой на точность решения является важным моментом работы. По этим причинам, а также учитывая трудоемкость процесса численного решения вариационных задач, ограни-

15

1G

5

P0/60=1J, (jo/S^lj кН/м'

F

Цкм\ t=128'cх \ШсЧКОптимальные mpaemo-\t-Wc

I ' \ ппп Яла гпгтолмl/ f 7) . /

ч

Оптимальные тра,- \ ектории дли систе- х мы(2) v /\ \

\рии д/9 системы(3) i \/ | —

\ 'Кбазистационарнар , ________\{прштрия t=22k_____

Hmin Мп 1

тт д

Рис.

чимся сравнительным анализом результатов решения задачи о максимальной скороподъемности самолета. Сравнение решений, полученных с помощью полной системы (2) и нестационарной системы (3) проводится также в задаче о достижении самолетом максимальной высоты полета.

Задачи решались на ЭЦВМ БЭСМ-6. Дифференциальные уравнения интегрировались методом Рунге—Кутта с постоянным шагом, и число шагов во всех задачах было одним и тем же. Все исходные данные, необходимые для расчета, имели единообразное представление, а переменные коэффициенты в правых частях уравнений вычислялись с помощью тождественных алгоритмов.

Решение задачи о максимальной скороподъемности проводилось для гипотетического самолета с высокой начальной (при И0 = У0 = 0) тяговооружен-ностью Я0/^о ~ 1,21,6 и малой нагрузкой на крыло С0/5о ~ 3,5-г-2,2 кН/м2. Траектории полета таких самолетов имеют существенное отличие от траекторий самолетов умеренной тяговооруженности, и это ограничивает возможности упрощения системы дифференциальных уравнений движения. Фазовые ограничения, принятые в расчетах, показаны на рис. 1.

3. Решение задачи о максимальной скороподъемности самолета в квази-стационарной постановке. Основная особенность квазистационарной системы состоит в фазовом ограничении, вытекающем из первого уравнения системы (4),

Р - дБ

-----------------1---11—= бш 0 1.

Для самолетов с высокой тяговооруженностыо оно может быть выполнено путем дросселирования тяги двигателей, что приведет к ухудшению летных характеристик самолетов.

Задача о максимамальной скороподъемности самолетов в квазистационарной постановке сводится к максимизации в каждой точке траектории вертикальной скорости самолета Уу = КбшО. Функцию Vу = \Zsin6, определенную без учета

ограничения (5) будем назвать энергетической скороподъемностью. Задача состоит в определении для каждой высоты полета максимума функии Уу (И, М, в) с учетом ограничения (5). Применение здесь градиентного метода поиска экстремума функции конечного числа переменных [3] Уу = Кет 0 связано с определенными трудностями, обусловленными наличием двух экстремумов — дозвукового и сверхзвукового (рис. 2) и необходимостью перехода в некоторый момент с первого на второй, поскольку для малых высот полета существует только дозвуковой экстремум, а для больших — только сверхзвуковой. Оптимальный переход может быть найден только в результате решения задачи в вариационной постановке. В рассматриваемой постановке переход осуществляется в тот момент, когда сверхзвуковая скороподъемность сравняется с дозвуковой (рис. 2).

В

При определении функции V* (И, М, в) для каждой высоты полета вес самолета С=С(И) в первом приближении назначался с учетом израсходованного топлива на набор данной высоты по статистическим зависимостям. При Ро/^о = 1,6 энергетическая скороподъемность К* превышает скорость движения самолета по траектории К, и чтобы не нарушить ограничения (5) необходимо дросселировать двигатель (см. рис. 2). При Р0/(70 = 1,2 ограничение (5) не нарушается. Анализ вида функций Vу (И, М, С) позволяет определить режим максимальной скороподъемности по локальному критерию на каждой высоте (на рис. 2 он отмечен штриховой линией со стрелками). На рис. 1 представлена проекция квазиста-ционарной траектории на плоскость М, И. Она включает пять характерных участков:

1. Участок ЛВ — разгон на минимальной высоте до числа Мд, соответствующего дозвуковому экстремуму локальной скороподъемности.

2. Участок ВС— полет с набором высоты при экстремальном значении дозвуковой локальной скороподъемности до высоты, на которой дозвуковая и сврехзвуковая локальные скороподъемности равны между собой.

3. Участок СО—переход на постоянной высоте с дозвукового экстремума функции V до ограничения по скоростному напору <7тах> или до ограничения ио максимальному давлению во входном канале воздухозаборника />вх>тах-

4. Участок ОЕ— полет по ограничению ^шах и /?вх шах до числа Мс, соответствующего сверхзвуковому экстремуму локальной скороподъемности.

5. Участок ЕР — полет с набором высоты при экстремальном сверхзвуковом значении локальной скороподъемности У у до заданной конечной высоты.

Как уже отмечалось выше, на участках траектории АВ и СО, лежащих выше кривой V = V (рис. 2), требуется дросселирование тяги двигателей.

Очевидно, что конечная скорость полета Ук будет определяться сверхзвуковым экстремумом функции У* = У у (Н, М, С).

С использованием найденной таким образом зависимости изменения высоты от скорости полета H=f(М) дифференциальные уравнения квазистационарной

системы (4) могут быть проинтегрированы на тех участках полета, где высота полета увеличивается. На участках АВ и CD, где Н = const, система (4) может быть проинтегрирована, если задать функцию G = G (V), подобно тому, как задавалась в первом приближении зависимость G = (?(//) при определении функции V . Отмеченные трудности можно исключить, если перейти к системе (3), используя найденную выше связь Н = /(М), и проинтегрировать эту систему от начальной до конечной высоты полета. Полученная таким образом траектория набора высоты ABCDEF показана на рис. 1.

4. Решение задачи о максимальной скороподъемности самолета в вариационной постановке без учета нормальных к траектории полета ускорений. Решение вариационных задач для системы дифференциальных уравнений (3), в которой не учитывается нормальное к траектории полета ускорение, может быть получено ряд методов. Отметим, что использование методов, предполагающих малость углов наклона траектории (sin 0 6 и cos0=: 1), для самолетов

с высокой тяговооруженностью некорректно, так как на траекториях максимальной скороподъемности могут быть участки с большими значениями 0, в том

числе и с 6 гг _гс.. Ниже задача решалась методом динамического программирования [4—7].

За независимую переменную удобно взять удельную механическую энергию Е — И *§* t/2/2g; при этом предполагается, что вдоль траектории полета Е есть функция монотонно возрастающая. Тогда систему (3) можно переписать в виде:

dt

dE

1

nxV

dG

dE

PC„

3600nxV

nr =

P

G

dH sin 6 dL cos 0

dE nx dE ”x

qS G Г G cx о - A — cos 0 +4 G \2] ,s cos") J

V = v {E — H) 2g.

Из третьего уравнения системы (6) следует:

dH

0 = агс«іп----- п...

dE х

В системе (6) й, Н, £ — фазовые координаты, 0 — управление. Тягу двигателей и соответствующей ей удельный расход топлива полагаем заданным на режиме полного форсажа. Ограничения по дтах и рвхтах показаны на рис. 1.

Поставим задачу определения оптимальной траектории и соответствующего ей оптимального управления, переводящих систему (6) при фазовых ограничениях ;

Н > Д

Рвх < Рви. шах

mim Я ^ Яш ах*

м с мтах

из начального состояния £0, С0, Н0, £0, Е0 в конечное состояние Нк, Ук так, чтобы функционал I = tк принимал минимальное значение Метод решения

поставленной задачи аналогичен примененному в [7] с той лишь разницей, что рассматриваемый функционал можно считать аддитивным, если предположить, что на всем многообразии пробных траекторий, содержащихся в пределах полосы варьирования, окружающей опорную траекторию, вес самолета в зависимости от Е изменяется так же, как и на опорной траектории.

Оптимальная траектория по скороподъемности представлена на рис. 1, 3. При ее нахождении в качестве опорной траектории использовалась соответствующая квазистационарная траектория. Улучшение по функционалу на оптимальной (для системы 6) траектории по сравнению с опорной составляет ~14%при Р0/С0= 1,6 и ~22% при Ро/^о=1,2, На рис. 1 показаны про-

екции сравниваемых траекторий на плоскость МИ. Из этого рисунка видно, что траектория, полученная в результате решения вариационной задачи, существенно отличается от опорной квазистационарной траектории. Прежде всего обращает на себя внимание наличие у оптимальной траектории участка с локальным уменьшением высоты полета (АН = — 2 км) в момент разгона самолета

130

120

110

100

к м/с /—1

600 15-

400 10 -

-200 5 -

0 о L

1 пгтщмальна 9 системbi(л е 9 mpce*rjд / 9 / т^А/ / / \

У У / / < \ J

1 / \ ^

iL I/1 \

15

0,5

50 100 150 t ,с

Рис. 3

Lkm

75

-50

25

30

20

10

м Динамический, потолок PjH0'1,i j — bjnax И..

222с- l >4. \

Скороподъемность. V V

LK V ч

система.

f

— > I

500

У, м/с

Рис. 4

в диапазоне чисел М=0,9-4- 1,2, а также участка с локальным уменьшением скорости полета в конечной фазе траектории (Л V —40 м/с). Локальное уменьшение высоты объясняется необходимостью увеличения тяги двигателей самолета в момент, когда силы аэродинамического сопротивления достигают максимального значения. Локальное уменьшение скорости связано с необходимостью трансформации части кинетической энергии в потенциальную и увеличения за счет этого скороподъемности. Суть допущений, при которых определена опорная квазистационарная траектория, состоит в пренебрежении изменением кинетической энергии в общем энергетическом балансе. Отношение нестационарной скороподъемности Уу к квазистационарной скороподъемности для яд- <; 1

1Л

dY

У_______

g dH

Y'L 2

d

Таким образом, различие между Уу и Уу зависит от быстроты изменения кинетической энергии по сравнению с быстротой изменения потенциальной энергии. Для меньшей взлетной тяговооруженности Ро/^о = 1»2 конечная высота //к=- 20км близка к высоте статического потолка (Нст = 20,2 км), и набор высоты в конечной фазе полета происходит крайне медленно. Поэтому трансформация части кинетической энергии в потенциальную существенно увеличивает скороподъемность самолета. Именно этим обстоятельством и объясняется тот факт, что в этом случае улучшение по функционалу по сравнению с опорной траекторией составило 22%, а для большей взлетной тяговооруженности только 14%. Следует отметить, что оптимальная нестационарная траектория отходит от фазовых ограничений по <7тах и рвх таУ, в то время как опорная траектория частично их включает (см. рис. 1).

При интегрировании системы (6) возникает ограничение, аналогичное ограничению (5) в системе (4). Из третьего уравнения системы (6) следует:

sin 6 = п

dH

dE

Естественное ограничение I sin 0 | ^ 1 для самолетов с высокой тяговооружен-

dH

ностью может быть выполнено либо за счет ограничения величины —— (как это

dE

сделано в работе, см. рис. 3), либо за счет уменьшения пх путем дросселирования двигателя. Следует отметить, что оба способа дают близкие по функционалу решения.

5. Решение задачи о максимальной скороподъемности самолета с учетом нормальных и тангенциальных ускорений. Сравнение результатов. Рассмотрим теперь задачу о максимальной скороподъемности самолета для полной системы дифференциальных уравнений (2), описывающей его движение с учетом расхода энергии на создание нормальных и тангенциальных ускорений. Тягу двигателя

и соответствующий ей удельный расход топлива полагаем заданными на режиме полного форсажа.

Поставим задачу определения оптимальной траектории и соответствующего оптимального управления, переводящих систему (2) при фазовых ограничениях (7) и ограничениях на управление

I Пу I Пу тах

из начального состояния ?0, У0, 0О> И0, Ь0 в конечное состояние Нк так, чтобы

функционал I = tк принимал минимальное значение /=тт/к.

Задача решалась методом, основанным на идее перебора и последовательного анализа вариантов [6]. Расчеты оптимальных траекторий (см. рис. 1, 5) проводились для двух конечных высот Нк= 12 и 20 км. Эти высоты выбраны для расчета потому, что им соответствуют принципиально различные траектории скороподъемности. Для высоты Нк = 12 км получается типично дозвуковая траектория полета с большой крутизной: конечная дальность полета вдвое меньше конечной высоты. Как видно из рис. 1, на оптимальной траектории скорость для каждой высоты достаточно близка к дозвуковому экстремуму локальной скороподъемности. Полет на высоту Нк — 20 км происходит по сверхзвуковой траектории с меньшей крутизной. Здесь конечная дальность в 1,7 раза превосходит конечную высоту полета. Важно отметить, что режим набора высоты нигде не соответствует ни дозвуковому, ни сверхзвуковому экстремумам локальной скороподъемности (см. рис, 5).

По сравнению с точным решением квазистационарное решение для Нк — 20 км дает увеличение времени набора высоты на 73%, для Нк = 12 км это увеличение составляет 115%. Столь большое отличие во времени набора высоты для Як = 12 км объясняется главным образом тем обстоятельством, что при движении по квазистационарной траектории на высоте И ~ 7 км (см. рис. 1) происходит переход с дозвукового экстремума локальной скороподъемности к сверхзвуковому, что для Нк = 12 км оказывается невыгодным. Если ограничиться конечной высотой Нк — 6 км (т. е. рассмотреть траекторию до перехода с одного экстремума на другой) с практическим совпадением конечных условий по скорости Ук, то время движения по квазистационарной траектории получится на 4% меньшим, чем при движении по оптимальной траектории, что объясняется, главным образом, неучетом расхода энергии на создание нормальных ускорений, необходимых для искривления реальной траектории полета. Такой нерегулярный (в зависимости от конечной высоты полета) разброс относительной точности от —115 до -{-4% является следствием неприемлемости квазистационарного метода расчета для самолетов рассматриваемого типа.

Вернемся к сравнительному анализу траекторий скороподъемности для Нк — 20 км. Основное отличие оптимальной траектории для системы (4) от оптимальной для системы (2) состоит в граничных условиях по Ук на правом конце. Конечная скорость Ук на квазистационарной траектории (см. рис. 1) в 3,7 раза больше, чем на оптимальной. Для нестационарной системы (3) в рассматриваемой задаче существует своя наивыгоднейшая конечная скорость (см. рис. 1). Она несколько больше, чем для полной системы, но время полета здесь на 3,9% меньше по сравнению с временем полета самолета на ту же высоту по оптимальной траектории, найденной для полной системы (2), что объясняется неучетом в системе (3) расхода энергии на создание нормальных ускорений, необходимых для искривления траектории полета. С увеличением конечной высоты полета (см. рис. 4) отличие по функционалу между решениями систем (2) и (3) уменьшается и для Нк = 30 км составляет менее 0,5%. (Отметим, что Нк = 30 км превышает в 1,5 раза высоту статического потолка Ист при Я0/О0= 1,6.) Происходит это потому, что оптимальные траектории, полученные для полной системы (2), включают значительные участки полета на высотах, превышающих статический потолок, где нормальная перегрузка значительно меньше единицы,

а

и сопротивление самолета меньше, чем при Су=-^соз6. При расчетах с помощью системы (3) сопротивление самолета оказывается достаточно близким; к его сопротивлению в горизонтальном полете.

Расчет оптимальной траектории полета самолета на динамический потолок с функционалом / = тах Нк с применением системы (3) снова приводит к существенной ошибке (см. рис. 4) по сравнению с точным решением для системы (2)',. поскольку начиная с высоты И ~ 23 км и до конечной высоты Нк = 31,6 км самолет летит с нормальной перегрузкой близкой к пу ^0,5. Конечная высота полета оказывается заниженной на ~Ю00 м, т. е. на 9% по функционалу, считая от высоты статического потолка, при одном и том же конечном скоростном напоре = 883 Па.

Необходимо отметить, что несмотря на близость ио функционалу решений, получаемых для систем (2) и (3), их фазовые траектории имеют существенное

10 — «У ченые записки» ЛГ° 1

133-

КМ\яН

|_| - Ц^т. 1.1 1_„ \

/ Оптимальная траектория ' X / дпя системы(2) 1=128с

Лтл '

I в

-75

-50

? 1

Рис. 5

отличие. Достаточно сравнить проекции траектории максимальной скороподъемности самолетов на плоскость МН, приведенные на рис. 1 и 4. Решение укороченной системы (3) приводит обычно к оптимальным траекториям с локальным уменьшением высоты полета в момент прохождения самолетом трансзвукового диапазона скоростей (М ^ 0,95 -4- 1,2), благодаря чему и увеличивается здесь тангенциальная перегрузка. Такие траектории были получены не только дли функционала / - гшп/к, но и для функционалов / шах Кк и I шах Ок [7].

Полная система дифференциальных уравнений движения |2|, как правило, не дает таких решений, поскольку в момент прохождения самолетом трансзвукового диапазона скоростей (см. рис. Б) нормальная перегрузка существенно меньше единицы, благодаря чему и возрастает тангенциальная перегрузка. Однако в некоторых случаях и для полной системы (2) оказываются возможными оптимальные траектории с локальным уменьшением высоты полета. Одна из таких траекторий максимальной скороподъемности самолета с весьма малой нагрузкой па крыло О,,'Б ~ 2 к11/м- и тяговооруженностыо /', = I приведена

па рис. 1 и отмечена пунктирной линией с двумя точками. Она получена для самолета той же конфигурации, что и рассмотренная выше, и тех же аэродинамических характеристик с соответствующим уменьшением взлетного веса и тяги двигателей.

11а рис. 1 видно, что в плоскости МН оптимальные траектории для систем (2) и (3) существенно отличаются. Если систему (2) проинтегрировать вдоль траектории максимальной скороподъемности, полученной для системы (3), то решение этой задачи с помощью метода [6], показывает, что время полета по таким траекториям больше на 4—5% по сравнению с оптимальными для системы (3), что является следствием учета расхода энергии на создание нормальных ускорений, необходимых для искривления траектории полета для системы (2). Поэтому оптимальные траектории, полученные из решений системы (3), не следует рекомендовать для практической реализации.

Для решения па ЭЦВМ рассмотренных задач с помощью сравниваемых систем уравнений требовались различные затраты машинного времени. Так, с переходом от системы (4) к нестационарной системе (3) время решения увеличивалось на порядок. С переходом от нестационарной системы (3) к полной системе дифференциальных уравнений движения (2) время решения увеличивалось в два раза.

На основе проведенного сравнительного анализа решений задачи о максимальной скороподъемности самолета иа основе различных систем уравнений движения самолета можно сделать следующее заключение. Квазистационарная система уравнений движения (V 0 и 0 = 0) и методы ее исследования, основанные на определении максимума-минимума функций многих переменных, могут быть использованы для нахождения оптимальных режимов полета дозвуковых самолетов малой тяговооруженности. Для сверхзвуковых самолетов с большой тяговооруженностыо использование квазпстационарной системы приводит к ошибочным результатам.

Пренебрегая расходом энергии на создание нормального ускорения на траектории полета [0 = 0; система дифференциальных уравнений движения (3)] можно получить в вариационной постановке достаточно точные, хотя и завы-

шешгые по функционалу (Л/= г3%), решения для самолетов с тяговооружен-ностыо Р„ G,, = I : 1,5 как в области установившихся режимов полета, так и за ее пределами, если методы оптимизации не предполагают малости углов наклона траектории cost) / 1 и sin 0 / 0 и позволяют эффективно учитывать граничные условия. Решение траекторных задач в области динамических потолков с помощью укороченной системы дифференциальных уравнений (3) дает неприемлемые по точности результаты А/ ^ — 10%.

Оптимальные траектории полета, получаемые с использованием укороченной системы дифференциальных уравнений движения (3), отличаются от траекторий, полученных с помощью точных уравнений движения (2), и не могут быть рекомендованы для практической реализации. Полет по таким траекториям, как показывают расчеты для системы (2), будет приводить к ухудшению функционала па 4 — 5°,, по сравнению с точным решением. Для определения оптимальных траекторий необходимо использовать полную систему дифференциальных уравнений движения самолета как точки переменной массы.

ЛИТЕРАТУРА

IHO

ка.

ми

из

юй

!на

ем

)ЛЬ

то

по

те-

ых

2).

ие-

ых

ак,

1И-

ой

ва-

:и-

ий

1ан

JO-

ю-

со-

ть-

,ит

за-

3)]

!Ы-

1. И неле Л. Механика полета. М., „Наука", 1965.

2. Шкадов Л. М, Плохих В. П., Илларионов В. Ф., Ву ха нова Р. С. Механика оптимального пространственного движения летательного аппарата в атмосфере. М., „Машинострое-

ние“, 1972.

;м-эо-ым зго

;сь 3. Врайсон А., Хо Ю-ши. Прикладная теория оптимального

1ля управления. М., „Мир", 1972.

4. В е л л м а н Р., Дрейфус С Прикладные задачи динами-

яо, четкого программирования. М., „Наука", 1965.

5. Моисеев Н. 11. Элементы теории оптимальных систем. М., „Наука“, 1975.

в. Широк опоя с В. А. Исследование оптимальных режимов полета самолетов методом динамического программирования с использованием в качестве первого приближения опорной траектории. Груды ЦАГИ, вып. 1460, 1973.

1ля 7. Ш и р о к о п о я с В. А. Набор самолетом крейсерской высоко- ты н скорости полета с минимальным расходом горючего. Труды

;са ЦАГИ, вып. 1552, 1974.

Рукопись поступила в IX 1978