На пути к целостному образу математики: философско-математический синтез в контексте гуманизации математического знания

НА пути к целостному образу математики: философско-математический синтез в контексте гуманизации математического знания

АнисимовА.С., Квартальнова С.Е.,

ФГОУВПО «Российский государственный университет туризма и сервиса», г. Москва

Humanitarization is a way of humanizing the mathematical knowledge that structures the holistic model of mathematics as one of the phenomena of spiritual culture. Philosophical and mathematical synthesis justifies the humanitarian component of mathematical knowledge; that is, such synthesis restores the complex and holistic image of a fundamental cultural phenomenon. Moreover, it promotes harmonization of technical and humanitarian trends as a solution to global problems.

Гуманитаризация является средством гуманизации математического знания, способствующего формированию полноценного образа математики как одного из феноменов духовной культуры. Философско-математический синтез способствует раскрытию гуманитарной составляющей математического знания, восстанавливая многоплановый и целостный образ одного из центральных феноменов культуры и содействуя гармонизации технической и гуманитарной тенденций современной цивилизации как аспекту решения глобальных проблем.

Ключевые слова: гуманизация образования, математические знания, философско-математический синтез.

Фундаментальные преобразования в науке, технике, образовании второй половины XX века, связанные с внедрением информационных технологий и компьютеризацией, качественно изменили облик культуры. Сердцевиной трансформаций, связанных со вступлением человечества в «информационную» эру, стало логико-математическое «точное» знание и основанное на нем образование. Именно они часто рассматриваются как оплот современного технократизма, на них возлагается ответственность за дегуманизацию и дегуманитаризацию духовной культуры XX века. «Засилие» математики и точных наук многими расценивается как главная причина «бездуховности» современной цивилизации, и в качестве выхода их создавшегося положения предлагается резкое сокращение математических дисциплин в структуре образования.

Однако проблема заключается отнюдь не в логико-математическом знании самом по себе. Развитие духовной культуры человечества в XX столетии выявило, что разграничительная линия, отделяющая гуманитарное и негуманитарное (техническое, технологи-

ческое), проходит не между отдельными видами деятельности, а внутри каждой из них. Дегуманитаризация, исключение человека из научной картины мира — общая тенденция развития «техногенной» цивилизации, пик которой пришелся как раз на вторую половину XX века. Компьютеризация (механизация умственного труда) представляет собой высший продукт и «предельный» пункт развития в соответствии с данной тенденцией.

Однако с массовым внедрением компьютеров во все сферы человеческой деятельности, выявилась неустранимость другой составляющей культуры — гуманитарной, смысловой, «субъективной». Средством преодоления технократизма должен быть отнюдь не отказ от компьютеризации, а адекватная оценка ее роли в общекультурном пространстве и эффективное ее использование, что невозможно без соответствующего пропорционального развития смысловой составляющей культуры. И именно гуманитаризация человеческой деятельности представляет «дополнительное» к компьютеризации смысловое «измерение» происходящим трансформациям.

ФИЛОСОФСКАЯ РЕФЛЕКСИЯ

Таким образом, используя выражение современного математика В.И. Арнольда, можно сделать вывод, что гуманитаризация призвана вернуть математике «человеческое» лицо1, т.е. она является средством гуманизации математического знания, способствующего формированию полноценного образа математики как интереснейших и ценнейших феноменов духовной культуры человечества.

Как известно, само слово «гуманизм» (от лат. humanus — «человеческий», «человечный») означает признание ценности человека как личности, его права на свободное развитие и проявление своих способностей, утверждение блага человека как критерия оценки общественных отношений. Отсюда вытекает центральная идея гуманизации образования — актуализация через гуманистические занятия возможностей, заложенных в индивиде.

Развитие механизмов познавательной деятельности, логического, образного, аналитического, дедуктивного и других видов мышления является одним из главных проявлений гуманизации в образовании. Здесь уместно вспомнить слова, вложенные А. Ре-ньи в уста Гиппократа: «...главная цель математики — исследование секретов и загадок в море человеческого мышления» и Галилея: «она (математика) ... интересное и прекрасное, загадочное и удивительное приключение человеческого разума»2. Человеческое мышление имеет знаковый, символический характер, поэтому теоремы математики могут быть расширенно истолкованы как теоремы о человеческом мышлении, что определяет общегуманитарное значение математики. Гуманистическую ориентацию феномена математического знания можно определить как «человекоразмерность» процесса применения математики в научном познании, когда математические идеи являются специфическим результатом своеобразной «интериоризации» ценностных, гуманистических, социокультурных установок.

С другой стороны, в период поздней античности и в эпоху Возрождения слово <йитапш» употреблялось для обозначения высокой образованности и учености, и под гуманизмом пони-

малось,преждевсего,духовно-интеллектуальное направление развития общества. Если исходить из этого толкования, то гуманизация общества есть «приобщение» индивидов к общечеловеческой культуре, духовная связь между существующим и прошлыми поколениями.

В данном контексте гуманизация образования предполагает выявление связей и взаимодействий учебных дисциплин с общечеловеческой культурой, создание определенной «культурной ауры» вокруг предмета изучения, а также его философское осмысление. «Гуманитаризация направлена на поворот сознания к целостной картине мира и, прежде всего — мира культуры, мира человека, на очеловечивание знания, на формирование гуманитарного и системного мышления»3.

Вычленение и актуализация гуманитарного потенциала математики реализуется в различных направлениях ее гуманитаризации, таких как анализ роли математики в контексте культуры, специфика проявления «человеческого фактора» в процессе математического доказательства, исследование феномена интуиции в математическом познании, анализ взаимовлияния и взаимодействия собственно математики и работ в области ее истории и методологии и т.д.4 С целью выявления потенциала философско-математического синтеза в контексте гуманизации математического знания выделим и раскроем некоторые из этих направлений.

1. Рассмотрение математики как феномена культуры. В данном направлении речь идет, в первую очередь, о попытках увидеть в математике не просто мощный аппарат для разрешения пусть весьма значимых, но по сути прикладных (в смысле утилитарности) проблем, но и нечто большее, включенное, «вписанное» (причем самым естественным образом) в общекультурный контекст человеческой деятельности. Такой подход предполагает рассмотрение математики в тесной взаимосвязи с религией, искусством, философией и даже организацией общественной жизни. Философско-математический синтез предлагает обширный материал для видения математики в избранном ракурсе. Вписыва-

1 Арнольд В.И., Математика с человеческим лицом//Природа. М., 1988. № 3. С. 117

2 Реньи А. Диалоги о математике. М., 2004. С. 34, 72—73.

3 Вестник образования. М., 1992. № 10. С. 14.

4 См.: Панов М.И. Основные направления гуманитаризации современной математики// Проблемы гуманитаризации математики и естественнонаучного знания. Сб. научно-аналитических обзоров. М., 1991. С . 44—45.

ние математики в культуру происходит здесь через ее взаимодействие с философией.

Так, в пифагорейско-платонической трактовке взаимосвязи философии и математики проявились основные культурные доминанты античности, а именно: вера в способность человеческого разума постичь тайны природы, видение мира как структурированного целого — космоса, который есть одновременно порядок и гармония, понимание красоты как целостности, соразмерности (пропорциональности), упорядоченности.

Вариант философско-математического синтеза, предложенный Николаем Кузан-ским, отражает своеобразное сочетание философских идей античности и христианского миропонимания, что является характерной чертой ренессансной эпохи. Рационалистическая версия философско-математического синтеза, представленная в трудах Р. Декарта, Б. Спинозы, Г. Лейбница, отражает дух и стиль мышления Нового времени. Мысль И. Канта о «разведении функций философии и математики» стимулировала поиски новых подходов к исследованию духовного мира и возникновение диалектики, феноменологии, «интуиции», «понимания», герменевтики как особых методов философии естественным образом повлияло на облик европейской культуры XIX века.

Русская версия философско-математического синтеза представляет попытку преодолеть разрыв в миросозерцании, раздробленность в познании, проложить пути к формированию цельного мировоззрения, тем самым выражая духовные устремления, преобладавшие в отечественной культуре на рубеже XIX—XX столетий.

В целях гуманитаризации математического образования видится целесообразным изменить стиль изложения дисциплин математического цикла, т.е. изучение определенных разделов (наиболее походящими являются «Вещественные числа», «Интегральное и дифференциальное исчисление», «Элементы теории множеств», «Неевклидовы геометрии») провести через погружение математического материала в историко-философскую и социокультурную атмосферу, проследить влияние философских концепций соответствующих эпох на становление математических теорий. Интересно привлечь математические образы для характеристики мировоззренческого

фона того периода истории, в процессе которого они сложились. Пути подобного изложения математики намечены А.Ф. Лосевым в «Диалектических основах математики». Нет сомнения, что продолжение и развитие лосевских начинаний благотворно повлияет на раскрытие гуманитарной составляющей математического знания.

2. Создание и использование математических моделей для исследования разнообразных аспектов реальности. Как правило, математика здесь используется для изучения природных образований и прогнозирования процессов в биосфере. Однако различные варианты философско-математического синтеза демонстрируют специфическое моделирование в области философии (например, работы Н. Кузанского, П. Флоренского, В. Налимова, рассмотренные в предыдущих главах). Специфика математического моделирования в рассмотрении философских проблем состоит в том, что исследователь не придумывает новых математических построений, а берет уже существующую математическую структуру и дает ей новую неожиданную экспликацию в системе философских категорий. Математическая структура начинает выступать здесь в роли своеобразного мифа, которому исследователь дает новое раскрытие, — так же, как когда-то это делал мыслитель древности с мифами своего времени. Предметная область обогащается идущими от математики новыми идеями, порождающими новое видение реальности.

Так, В. Налимов, рассматривая философствование как конструирование специфического поля смыслов, предложил применить при анализе этого поля математический аппарат теории вероятностей. Не менее выразительные примеры «мифологической математизации» содержатся в работах Н. Кузанского и П.Флоренского — они подробно рассмотрены нами ранее.

3. Использование математики для методологических исследований в области теории живописи и других областей культуры. В данном контексте сразу вспоминается теория обратной перспективы, которая, согласно П. Флоренскому, лежит в основе создания икон в православной церкви. Уместно привести пример книги немецкого живописца, графика и математика А. Дюрера «О человеческой пропорции», вышедшей в свет в 1528 г. Система-

философская рефлексия

тизируя накопленные к тому времени знания о количественных отношениях форм красивого человеческого тела, он показал, что его красота выражается «золотым сечением». В частности, Дюрер определил, что в этой пропорции рост человека делится линией пояса, а также линией, проведенной через кончики средних пальцев опущенных рук, нижняя часть лица — ртом и т.д. П. Флоренский в работе «Понятие формы» дает философское обоснование этому математическому соотношению, повсеместно обнаружимому как в природе, так и в человеческой культуре (в частности, в античных трагедиях), и признает за ним онтологический статус.

Обратимся к еще одному «срезу» рассматриваемой проблемы. Как известно, наукой о числах в древности называли музыку. Античные мыслители роднили ее с арифметикой, геометрией, астрономией. Именно математика дала ответ на вопрос: какие тоны следует положить в основу музыкальной шкалы? Речь идет конкретно об алгебре иррациональных величин и теории логарифмов. Известно, что около 1700 г. немецкий ученый и музыкант А. Вер-кмейстер предложил логарифмически равномерную шкалу из двенадцати звуков и создал первое фортепьяно с таким строем. С тех пор все композиторы сочиняют музыку по единой системе. Ее возможности неисчерпаемы, а союз математики и музыки преподносит все новые и новые сюрпризы. Например, в последнее время к созданию музыкальных пьес стали привлекаться электронно-вычислительные машины. А. Лосев в работах по философии музыки, признавая теснейшую связь музыки с числом, числовыми отношениями, математикой в целом и ее отдельными теориями, показал, что музыкальная форма тем самым является реализацией диалектического соотношения числа и времени. А музыкальная ритмика «поэтической прозы» Андрея Белого оказывается упорядоченной математическим (аритмологическим) принципом, отражая математическую теорию прерывных функций в художественном творчестве мыслителя.

Современные компьютерные технологии позволили выразить математические понятия в качественно новом ракурсе — музыкальнографическом. Иными словами, компьютерная графика позволила увидеть в цвете и в движении многие математические истины

5 Пойа Д. Как решать задачу. М., 1961. С. 50.

(теоремы, формулы), а также услышать их в музыкальном исполнении. Причем основополагающие истины классической теории чисел, выведенные на экран дисплея, создали не хаотическую картину, а совершенно четкие параболы. Следовательно, абстрактное свойство параболичности прочно «заложено» в тех или иных числовых множествах. Довольно важен еще и методологический вывод: использование компьютерной графики в математике позволяет значительно интенсифицировать самые глубинные творческие процессы человеческой деятельности.

4. Раскрытие ценностного потенциала математической деятельности. Природа математики предоставляет богатые возможности для воспитания у занимающихся ею чувства прекрасного. Гармония, пропорциональность, симметрия, порядок, последовательность, периодичность, а также определенное чередование порядка и беспорядка (как, например, у фрактальных образований) придают математическим объектам эстетическую привлекательность. Более того, стремление соединить «с минимумом слепых формул максимум зрячих мыслей» (Г. Минковский) всегда отличает творчески работающего математика: «чувство того, что гармоничное и простое не может оказаться обманчивым, владеет исследователем и в математических, и в других истинах»5.

Внимание к эстетическому аспекту математики является характерной чертой реализации философско-математического синтеза в разных его вариантах. Так, еще в античности «мир чисел» привлекал пифагорейцев своим многообразием, строгостью, совершенством законов, красотой построения. Числа древними греками мыслились не только абстрактно, но и конкретно («зримо») в виде рисунка из камешков, разложенных на песке. Числа-камешки раскладывались в виде правильных геометрических фигур, а сами фигуры определенным образом классифицировались. Так появились числа, которые сегодня мы называем фигурными: линейные (простые числа), плоские, телесные, треугольные, квадратные, пятиугольные и другие. В пифагорейском наследии мы находим числа «дружественные» (сумма правильных делителей одного из них равна другому числу, и наоборот; сейчас их в бесконечном мире натуральных чисел обнаружено свыше тысячи пар). Основные кате-

гории, исследуемые П. Флоренским в рамках философско-математического синтеза — форма, бесконечность, ритм, антиномичность, пространственность — являются одновременно математическими и эстетическими. Эстетический аспект математических конструкций является определяющим в сближении математики и музыки, математики и поэзии в философско-математических работах А. Лосева и А. Белого.

Удивительная простота фрактальных алгоритмов и потрясающее великолепие их форм сделали фрактальную геометрию эффективным орудием для описания морфологических свойств природы. Своей красотой и разнообразием форм фракталы поразили не только математиков. Устроенная в 1984 г. Институтом Гете выставка «Границы хаоса», представлявшая собой портреты фрактальных структур, имела сенсационный успех и обошла весь мир. Впервые в истории науки результаты математических расчетов демонстрировались широкой публике как произведения искусства.

Красота в математике — это не какое-то вспомогательное дополнительное свойство, а одна из ее характерных особенностей. Как всякая подлинная красота, математическое действо обладает магическим обаянием, оно способно создать в нас ощущение прикосновения к тайне, а порой и религиозный восторг. И тех, кто интересуется математикой ради нее самой, приближается к ней с чистой любовью, ради ее собственной красоты, она награждает результатами практической важности.

5. Роль математики в формировании цельного мировоззрения и построении целостной картины мира. Стоит заметить, что многие ученые, которые внесли в развитие математической теории наиболее значительный вклад, не были только специалистами узкого профиля. П. Флоренский — математик, электротехник, специалист по истории искусства, автор выдающихся трудов по методологии математики, религиозный философ. Академик Н. Лузин — создатель дескриптивной теории множеств и одновременно человек с необы-

Литература

чайно широким кругом как научных, так и философских и общекультурных интересов. Л. Брауэр, основатель интуиционизма, всерьез увлекался музыкой, литературой, историей культуры. Выдающийся немецкий математик Ф. Хаусдорф писал пьесы, шедшие на профессиональной сцене (псевдоним Поль Монтре); Н. Винер, автор не только двух автобиографических книг, но и романа «Искуситель»; наш выдающийся соотечественник, создатель «воображаемой (неаристотелевой) логики Н. Васильев был известным поэтом. Этот список, демонстрирующий важность гуманитарной компоненты в математической деятельности, может быть продолжен.

В контексте построения целостной картины мира следует отметить, что болезненный для XX в. разрыв между естественнонаучным знанием и гуманитарной культурой не является абсолютным, так как «культура в целом имеет символическую природу» (Ю. Лотман). Математика, понимаемая П. Флоренским как символическое описание, может выступить в качестве идеальной универсалии современной культуры (подобно Дао в культуре Древнего Китая или откровений Божественной мудрости в средневековой Европе), наличие которой позволит преодолеть раздробленность знания и обосновать единую картину мира. Рассмотрение философско-математического синтеза в контексте формирования новой парадигмы мировосприятия свидетельствует об эффективности «положительного» взаимодействия философии и математики в утверждении нового видения реальности.

Таким образом, философско-математический синтез способствует раскрытию гуманитарной составляющей математического знания, тем самым внося свой вклад в восстановление многопланового и в то же время целостного образа интереснейшего феномена культуры и содействуя гармонизации технической и гуманитарной тенденций современной цивилизации как одному из важнейших аспектов в решении глобальных проблем.

1. Арнольд В.И.. Математика с человеческим лицом// Природа. М., 1988. № 3.

2. Вестник образования. М., 1992. № 10.

3. ПановМ.И. Основные направления гуманитаризации современной математики// Проблемы гуманитаризации математики и естественнонаучного знания. Сб. научно-аналитических обзоров. М., 1991.

4. Пойа Д. Как решать задачу. М., 1961.

5. Реньи А. Диалоги о математике. М., 2004.