Исследование структурного разрушения сложных систем

Секция «Моделирование систем»

Исследование структурного разрушения сложных систем

А.А. Кочкаров, М.Б. Салпагаров Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН E-mail: Azret_Kochkarov@mail.ru

Исследовано явления разрушения сложных информационных, электроэнергетических, транспортных и коммуникационных систем. В рамках исследования предложена теоретико-графовая (дискретная) модель структурного разрушения. Предложены различные критерии отказа (выхода из строя) системы при структурном разрушении.

Существует ряд моделей и задач, для описания которых используются потоки в сетях и на графах [1-3]. Потоками в сетях моделируют потоки транспорта в сети автодорог, перевозку товаров по железным дорогам, перекачку жидкости и газа по сети трубопроводов от источника до пункта потребления и т.д. Но все эти модели и задачи не учитывают возможность прекращения функционирования узловых элементов сетей, а это часто приводит к нештатным ситуациям в описываемых этими моделями системах. Нередко отказ одного узлового элемента системы приводит к череде отказов в системе (каскадному отключению), в следствие чего из строя выходит вся система.

В настоящей работе предложена математическая модель структурного разрушения сложной системы.

Обозначим через G = (V, E) - граф, соответствующий структуре исследуемой системы, V - множество вершин, E - множество ребер графа G. Каждой вершине v eV припишем веса w(v) и w(v), отражающие текущую загрузку и предельную загрузку элемента системы. В случае, когда текущая загрузка w(v) элемента системы достигает предельного значения w(v) , то элемент системы выходит из строя, а проходящие через него потоки перераспределяются по «соседним» элементам системы. Выход из строя элемента системы в теоретико-графовой терминологии соответствует удалению из графа системы вершины с инцидентными ей ребрами. А

перераспределение весов в тривиальном случае соответствует равному разделению веса и>(у) удаленной вершины по вершинам, смежным с удаляемой.

При выходе из строя одного или нескольких элементов сети возможны несколько сценариев дальнейшего развития событий. Один из них, если система функционирует в предельном состоянии, т.е. загрузка элементов близка к предельному значению, то возможен "быстрый" переход системы в критическое состояние, когда система не может выполнять возложенные на нее функции.

Основная задача моделирования структурного разрушения системы - выяснить, при каких условиях система может перейти в критическое состояние (начальные причины повреждения системы могут быт как внутренними, так и внешними) Переход системы в критическое состояние означает, что в системе начался процесс структурного разрушения, но это не значит, что система окончательно прекратила функционировать. Систему можно считать вышедшей из строя только в том случае, когда изменения, произошедшие в структуре системы, будут соответствовать критериям отказа. Поэтому одной из основных характеристик в модели структурного разрушения будет служить время Тсг структурного разрушения, отражающее

длительность самого процесса структурного разрушения.

Нельзя утверждать, что система, перейдя в критическое состояние, когда из ее структуры удаляются элементы (начало процесса структурного разрушения), непременно выйдет из строя (перейдет и в состояние отказа системы). Время Тсг

структурного разрушения системы соответствует продолжительности процесса структурного разрушения от момента первого удаления (выхода из строя) элемента системы до момента остановки процесса разрушения или отказа самой системы.

Исследование процесса структурного разрушения систем было проведено при различных критериях отказа: критерии полного разрушения, критерии связности, компонентном критерии, диаметральном критерии.

В настоящей работе предложена теоретико-графовая модель разрушения сложных систем. Построенная простая модель не претендует на полноту описания процесса структурного разрушения систем, но позволяет выявить ряд важных качественных свойств и характеристик этого процесса.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 04-01-00510) и РГНФ (проект № 05-03-03188).

Список литературы

1. Робертс Ф.С. Дискретные математические модели с приложениями к социальным, биологическим и экологическим задачам. - М.: Наука, 1986.

2. Архипова Н.И., Кульба В.В. Управление в чрезвычайных ситуациях. - М.: РГГУ, 1998.

3. Кочкаров А.А. Малинецкий Г.Г. Обеспечение стойкости сложных систем. Структурные аспекты. Препринт Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН № 53. М., 2005.