Оценка параметров сигналов, основанная на анализе собственных значений матриц данных

УДК 519.873

В. В. Козлов

ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛОВ, ОСНОВАННАЯ НА АНАЛИЗЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ МАТРИЦ ДАННЫХ

V. V. Kozlov

ESTIMATION OF SIGNAL PARAMETERS BASED ON AN ANALYSIS OF THE DATA MATRIX EIGENVALUES

Аннотация. Актуальность и цели. Целью работы является возможность применения метода разложения матрицы данных сигнала на собственные числа для измерения параметров сигналов в условиях действия шумов и помех. Материалы и методы. Применяемый метод основан на анализе собственных значений матрицы данных сигнала, при этом происходит разделение информации на два векторных подпространства - сигнала и шума и впоследствии обрабатывается подпространство сигнала. Результаты. Рассмотрено краткое описание метода разложения на собственные числа автокорреляционной матрицы сигнала и на его основе представлено описание метода разложения на собственные числа матрицы данных сигнала. Приведено описание разложения автокорреляционной последовательности, состоящей из комплексных синусоид, а также действительных синусоид и аддитивного действительного белого шума. Выводы. В результате представлено описание разложения матрицы данных на собственные значения используемых для получения спектральных оценок или параметров сигналов, а также описан процесс устранения основной доли вклада шума в автокорреляционную матрицу или матрицу данных.

Abstract. Background. It is considered a possibility application of a method of decomposition of the data matrix signal eigenvalues for measuring signals in conditions of noise and interference. Materials and methods. The applied method is based on an analysis of the eigenvalues of the data signal, the data is separated into two vector subspaces - a signal and a noise subspace and subsequently processed signal. Results. The article deals with a brief description of the method of decomposition into eigenvalues of the autocorrelation matrix of the signal and, based on a description of the method of expansion in the eigenvalues of the data signal. It is provided of the decomposition of the autocorrelation sequence consisting of a complex sinusoid, as well as the actual real sinusoids and additive white noise. Conclusions. Describes a result of decomposition of the data matrix eigenvalue for deriving estimates of spectral parameters or signals, as well as the main process of elimination described noise contribution proportion autocorrelation matrix or data matrix.

Ключевые слова: спектр сигнала, отношение сигнал/шум, параметрические методы, обработка информации, аппроксимация сигналов, авторегрессионная модель со скользящим средним.

Key words: signal spectrum, signal/noise ratio, parametric methods of measurement information processing, signals approximation, autoregressive moving - average model.

Один из классов спектральных методов, основанный на анализе собственных значений автокорреляционной матрицы или одной из матриц данных, описывается в научной литературе как класс методов, обеспечивающих лучшие характеристики разрешения и оценивания частоты, чем авторегрессионный метод, метод Прони [1] и др., особенно при низких отношениях сигнал/шум, когда эти методы не в состоянии разрешить близкие по частоте синусоидальные сигналы или другие узкополосные спектральные компоненты [2].

Причины улучшения характеристик методов, основанных на анализе собственных значений, заключаются в разделении информации, содержащейся в автокорреляционной матрице или матрице данных, на два векторных подпространства - подпространство сигнала и подпространство шума.

В указанных подпространствах можно определять различные функции от векторов сигнала и шума для получения оценок частоты, графическое представление которых имеет острые пики на частотах синусоид или других узкополосных спектральных компонент. Однако эти оценки не являются оценками действительной спектральной плотности мощности, поскольку они не сохраняют мощность анализируемого процесса, а их обратное преобразование Фурье не позволяет восстановить исходную автокорреляционную последовательность.

Автокорреляционная последовательность для стационарного в широком смысле процесса, состоящего из М комплексных синусоид со случайными фазами и аддитивного комплексного белого шума, описывается как

м

[к ] = X Р ехр( ]2ц/7к Д) + рю5[к ],

7=1

где Р] - мощность 7-й синусоиды; рю5[к] - аддитивный белый шум с дисперсией рю .

Если процесс состоит из М действительных синусоид и аддитивного действительного белого шума, то автокорреляционная последовательность описывается выражением

м м

г'"

.Р

с [к ] = X Р ос8( ] 2/кД) + рю5[к ] = £-2[ехр( ]2цГ1кМ) + ехр(-]2/к ДО] + рю5[к ].

7 =1 7 =1 2

Тёплицева автокорреляционная (р + 1) х (р + 1)-матрица

( гхх [0] - [р]Л

Кр =

Гхх [-Р]

Г« [0]

V XX Ь ^ J XX /

в случае комплексных синусоид в белом шуме имеет следующую структуру:

м

Яр = X +р^

7=1

где I - единичная (р + 1) х (р + 1)-матрица, р - порядок модели,

ч ехр

вектор сигнала размерности р + 1, несущий информацию о частоте 7-й синусоиды. Матрицу Яр можно представить как сумму автокорреляционной матрицы сигнала 8Р и автокорреляционной матрицы шума Wp:

Яр = 5р + Жр.,

где

м

н

Бр = X =1

Жр =р»1 -

(р + 1) х (р + 1)-матрицы. Если порядок автокорреляционной матрицы Яр больше числа комплексных синусоид (т.е. р > М), то матрица сигнала 8р будет иметь ранг М, так как каждое

внешнее произведение векторов - это матрица ранга 1. Матрица шума будет иметь полный ранг р + 1.

Аналогичным образом в случае М действительных синусоид в белом шуме автокорреляционная матрица р-го порядка имеет следующую структуру:

м р

кр = X т [***н+ ]+р»1. /=12

Матрица сигнала 8р в этом случае будет иметь ранг 2М [3].

Матрица сигнала будет иметь следующее разложение по собственным значениям:

р+1

5 = X X уу1

р /_< г г г i=1

н

где собственные значения упорядочены по степени их убывания, т.е. Х > Х2 > ... > X

р+1-.

а собственные векторы ортонормальны ( УИУг = 0, если i Ф у, и 1, если i = у). Можно показать, что матрица размерности р + 1, обладающая рангом М < р + 1, будет иметь р - М + 1 нулевых собственных значений. Тогда разложение (4) можно записать в следующем виде [4]:

м

5 =XХуун

"р / ггг '

i=1

На собственные векторы у,...,Ум , называемые главными собственными векторами, «натянута» та же область подпространства сигнала, что и на векторы сигнала ¿1,..., Sм . Это означает, что любой главный собственный вектор должен быть представим в виде некоторой линейной комбинации векторов сигнала

м

^=X ь

гк к '

к=1

где 1 < г < М.

Для того чтобы этот вектор был собственным вектором матрицы 8р, должно выполняться условие

5 у = Х- V

Подставляя (2) в (6), получим

м

X рк^куг =Х,у,, к=1

или

где 1 < г < М, а это означает, что

м (

V, = X

к=1

Рь

к „И

V X

¿к V

Р к .

Заметим, что в случае М = 1 будем иметь Х1 = рР и у = ^Д/р .

Одно из представлений единичной матрицы, записанное через ортонормальные собственные векторы, имеет вид

р+1

I = XууИ .

г=1

Подставляя (5) и (7) в (1), получаем разложение автокорреляционной матрицы по собственным значениям:

М р+1 М р +1

= I Хуу? + рю I УУ? = I

1 =1 1 =1 1 =1 1=1

Следовательно, собственные векторы УМ +1,..., Ур+1 принадлежат подпространству шума матрицы Яр, и всем им соответствует одно и то же собственное значение рю . Главным собственным векторам т^,...,Ум принадлежит подпространство сигнала матрицы Яр и матрицы 8Р, и им соответствуют собственные значения Л1 + рю,...,Хм + рю . Заметим, что эти собственные значения главных собственных векторов составлены как из мощности сигнала, так и из мощности шума, поэтому белый шум будет обязательно влиять на веса, формируемые собственными значениями собственных векторов, соответствующих свободному от шума подпространству сигнала [5].

Разложение (8) автокорреляционной матрицы на собственные значения можно использовать для получения спектральных оценок или, точнее говоря, улучшенных процедур измерения частоты. Сохранение одной лишь информации, соответствующей собственным векторам подпространства сигнала, т.е. формирование для матриц Яр аппроксимации пониженного ранга, эффективно способствует увеличению отношения сигнал/шум, поскольку устраняет вклад мощности компонент подпространства шума [6]. Этот факт лежит в основе процедур оценок частоты главных компонент (подпространства сигнала). При этом собственные векторы ортогональны и главным собственным векторам принадлежит то же подпространство, что и векторам сигнала, а следовательно, векторы сигнала ортогональны всем векторам в подпространстве шума, включая любую их линейную комбинацию:

( р+1 ? —

5,

I

V к=М +1

«кук

= 0.

где 1 < 1 < М (или 2М в случае М действительных синусоид). Это свойство положено в основу процедур оценок частоты в подпространстве шума.

В частном случае р = М (или р = 2М в случае М действительных синусоид) подпространство шума будет иметь только один собственный вектор ур + 1 с собственным значением ряда рю. Этому собственному вектору будут ортогональны Мвекторов сигнала

М+1

1 = I "р+1[к]еХР(" 12л/1кА) = ^

к=1

где 1 < 1 < М.

Следовательно, корни полинома

М

I »р+1[к + 1]2"к

к=0

будут лежать на единичной окружности в точках, которым соответствуют центральные углы 2п/г А?, где 1 < 1 < М.

На практике автокорреляционная последовательность, как правило, неизвестна, поэтому свойства автокорреляционных матриц, представляют скорее теоретический, чем практический интерес. Однако эти идеи можно использовать в экспоненциальных методах оценивания [7].

Свойства разложения матриц данных на собственные значения аналогичны свойствам подобного разложения для автокорреляционной матрицы [8]. На главные собственные векторы матрицы данных в основном натянуто подпространство сигнала, а сингулярные числа, соответствующие этим главным собственным векторам, чаще всего имеют значения, превосходящие значения сингулярных чисел, соответствующих подпространству шума. Следовательно, сингулярные числа, определяемые в результате применения к матрице данных процедуры разложения на собственные числа, будут составлять основу, необходимую для

разделения собственных векторов на векторы, наиболее вероятно принадлежащие подпространству сигнала и подпространству шума.

Данный метод основывается на оценивании параметров некоторой затухающей экспоненциальной модели, используемой для аппроксимации заданной последовательности отсчетов данных. Центральным моментом для этого метода является решение некоторой системы линейных уравнений, содержащей подобное автокорреляционной матрице произведение

ТН ГШП

р тр , где

Т =

р

( х[ р +1] х[ N ]

х[1]] >

х[N - р]

Тр - матрица данных порядка р.

Рассмотрим свободную от шума последовательность комплексных экспоненциальных сигналов

м

х[ п]=X К2, к=1

где ¿к = ехр([ак + ]2п/к]Л0 ; кк = Акехр(]<$к).

В качестве приемлемых сигналов в данном случае допустимы и затухающие экспоненты. Сформированная из этой последовательности х[п] матрица Тр вида (9) будет иметь ранг М до тех пор, пока выбранное значение порядка р будет лежать в интервале М < р < NМ . Матрицу данных Тр можно записать в виде следующего разложения на множители [2]:

Тр = ВС,

где ф-р)*М- матрица В, (М*р) - матрица С определяются выражениями

В

к1

\ 2Р+1

N

V к2

к 2р ^

к гр +1

ММ

пМ2М

С =

-1

-1

-1 2М

2-( р-1) ^ 1

2-

2-

М

Используя разложение (10), получаем далее

тН Тр = Сн Вн ВС .

Соответствующая матрица ВНВССН размера М*М является положительно определенной, поскольку матрицы В и С обе имеют полный ранг М. Если X,, 1< г < М, - собственные значения, а wi, 1< г < М, - собственные векторы, то

(BяBCCя)wг = Ъ wг,

где 1< г < М. Умножая слева обе стороны выражения на матрицу Сн, получаем

СНВНВСС%,- = CHWi.

Вводя обозначение

у,

: С Wi

и подставляя (11) в (12), окончательно получаем

тн тр v = х,v,

где 1 < г < М.

Таким образом, М ненулевых собственных значений матрицы Т?Тр размером рхр идентичны собственным значениям матрицы БЯБССЯ. Остальные (р - М) собственных значений матрицы Тр? Тр равны нулю, поскольку эта матрица имеет ранг М. Собственные векторы, соответствующие ненулевым собственным значениям, определяются выражением (12). Следовательно, любой главный собственный вектор матрицы Тр? Тр будет представлять собой

некоторую линейную комбинацию из столбцов матрицы С, которая составлена из векторов сигнала, о чем свидетельствует выражение (10). Можно также показать, что любой главный

собственный вектор матрицы Т?Тр представляет собой некоторую линейную комбинацию из

столбцов матрицы В, которая также составлена из векторов сигнала. Матрица Тр будет иметь М ненулевых сингулярных чисел, которые просто равны корням квадратным из собственных значений. Собственные векторы, соответствующие нулевым собственным значениям матрицы

Т?Тр или Тр Тр?, ортогональны М собственным (или главным) векторам подпространства

сигнала, связанным с ненулевыми собственными значениями в пространстве сигнала [2].

Если данные содержат шум, описанные свойства будут справедливы не точно, а приближенно. Следовательно, М главных сингулярных чисел матрицы Тр, составленной из зашумлен-ных отсчетов, чаще всего будут иметь значения, превосходящие значения (р-М) наименьших

сингулярных чисел (которые точно равны нулю в случае отсутствия шума). Поэтому М соб-

?

ственных векторов, соответствующих М главным собственным значениям либо матрицы Тр Тр,

либо матрицы Тр Тр?, будут содержать меньшие вклады шума, чем собственные векторы подпространства шума, соответствующие (р - М) наименьшим сингулярным числам.

Таким образом, сохранение собственных (или главных) векторов подпространства сигнала эффективно увеличивает отношение сигнал/шум для процессов, состоящих из смеси экспонент и аддитивного белого шума, за счет устранения основной доли вклада шума в автокорреляционную матрицу или матрицу данных [9]. Можно построить один из классов процедур оценки частоты в подпространстве сигнала, просто заменяя автокорреляционную матрицу или матрицу данных их аппроксимациями пониженного ранга, записываемыми через главные собственные векторы.

Допустим, для определения спектральных оценок используется известная или оцененная автокорреляционная матрица Яр [10].

р?

Тогда Яр = IХкУкУ? - ортонормальное разложение матрицы Яр по собственным зна-

к=1

чениям, величины которых упорядочены по степени их убывания, т.е. А,2>...> , и должны оцениваться М главных компонент (М < р), то аппроксимация пониженного порядка для матрицы Яр, записанная через главные собственные векторы, будет иметь следующий вид:

М

?

Кр=IХ кукук?,

к=1

и может использоваться вместо матрицы Яр для вычисления спектральных оценок с пониженным содержанием шума благодаря устранению собственных векторов подпространства шума.

Все оценки этого класса основаны на использовании того факта, что собственные векторы автокорреляционной матрицы или матрицы данных, соответствующие подпространству шума, ортогональны собственным векторам сигнала или любой линейной комбинации этих векторов.

Список литературы

1. Марпл мл., С. Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения : пер. с англ. / С. Л. Марпл мл. - М. : Мир, 1990. - 548 с.

2. Кей, С. М. Современные методы спектрального анализа: Обзор / С. М. Кей, С. Л. Марпл // Труды института инженеров по электротехнике и радиоэлектронике. -1981. - № 11. - С. 12-25.

3. Козлов, В. В. Применение методов цифрового спектрального оценивания в задаче измерения параметров сигнала / В. В. Козлов, Б. В. Цыпин, М. Г. Мясникова, С. В. Ионов // Измерительная техника. - 2010. - № 10. - С. 260-264.

4. Козлов, В. В. Определение параметров гармонических сигналов в условиях действия шумов и помех на основе метода разложения сигнала на собственные числа / В. В. Козлов // Современные проблемы науки и образования. - 2013. - № 6. - URL: http ://www.science-education.ru/113-10860.

5. Козлов, В. В. Методы определения порядка авторегрессионной модели / В. В. Козлов, М. Г. Мясникова // Современные проблемы оптимизации в инженерных приложениях : сб. тр. Междунар. науч.-техн. конф. - Ярославль, 2005. - С. 354-364.

6. Мясникова, М. Г. Измерение параметров гармонического сигнала в шумах / М. Г. Мяс-никова, Б. В. Цыпин, В. В. Козлов // Информационно-измерительная техника : межвуз. сб. науч. тр. - Вып. 30. - Пенза : Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2006. - С. 48-56.

7. Сергиенко, А. Б. Цифровая обработка сигналов / А. Б. Сергиенко. - СПб. : Питер, 2003. -608 с.

8. Шахтарин, Б. И. Методы спектрального оценивания случайных процессов / Б. И. Шах-тарин, В. А. Ковригин. - М. : Гелиос АРВ, 2005. - 278 с.

9. Козлов, В. В. Определение параметров гармонического сигнала на основе метода разложения на собственные числа / В. В. Козлов, Е. А. Ломтев, С. Б. Шахов // Датчики и системы: методы, средства и технологии получения и обработки измерительной информации : тр. Междунар. науч.-техн. конф. - Пенза : Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2012. - С. 260-264.

10. Радиотехнические системы. Обнаружение сигналов на фоне помех / Н. Б. Джазовский, А. Х. Зябиров, В. А. Казаков, Б. В. Цыпин, П. П. Чураков. - Пенза : Изд-во гос. ун-та, 2000. - 52 с.

Козлов Валерий Валерьевич

кандидат технических наук, доцент, кафедра информационно-измерительной техники и метрологии, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40) E-mail: iit@pnzgu.ru

Kozlov Valeriy Valer'evich

candidate oftechnical sciences, associate professor, sub-department of information-measuring equipment, Penza State University

УДК 519.873 Козлов, В. В.

Оценка параметров сигналов, основанная на анализе собственных значений матриц данных / В. В. Козлов // Измерение. Мониторинг. Управление. Контроль. - 2016. - № 1 (15). - С. 61-67.