Проективографические чертежи многокомпонентных систем многогранников

УДК 744

А.В. Иващенко, Т.М. Кондратьева*

НОУ ВПО «СФГА», *ФГБОУ ВПО «МГСУ»

ПРОЕКТИВОГРАФИЧЕСКИЕ ЧЕРТЕЖИ МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ СИСТЕМ МНОГОГРАННИКОВ

Проведен анализ возможностей традиционного проективографического аппарата формообразования многогранников с учетом нового подхода к исследованию многоядерных структур.

Ранее на практике применялись чертежи, основанные только на одном ядре. Рассмотрена возможность использования двух и более ядер. В общем случае получающаяся система плоскостей будет многоэпюрной.

Характеристики двухъядерной системы зависят от взаимного расположения и отношения размеров ядер. Для полного описания системы в дополнение к обычным параметрам необходимо добавить некоторые дополнительные параметры, определяющие взаимное расположение ядер. С увеличением количества ядер в многоядерной системе резко возрастает количество описывающих параметров.

Приведены примеры двухъядерных систем, составленных из тетраэдров, кубов и додекаэдров, реализованные в системе программирования Delphi. Полученные в работе результаты можно экспортировать в любую из известных систем трехмерного моделирования для дальнейшего исследования и использования.

Ключевые слова: формообразование, многоядерные проективографические системы, многогранники, многокомпонентная структура, правильные многогранники, ядро, вид симме-трий, многоэпюрность.

Формообразование на основе многогранников является перспективной областью прикладной геометрии, имеющей применения в архитектуре, строительстве и дизайне. Поэтому постоянно возникают попытки расширить диапазон применяемых в этом направлении средств, которые приводят к различным вариантам использования аппарата проективной геометрии, проективографии, аппарата аналитической геометрии и компьютерной графики.

Из зарубежных исследователей можно вспомнить Коксетера («59 икосаэдров») и М. Венниджера [1], которые обосновали геометрические принципы формообразования симметричных многогранных объектов.

Современные исследователи также не оставляют вниманием эту область геометрического моделирования (Владимир Булатов, Дж. Харк). Нужно отметить, что с появлением компьютерных технологий значительно усилились возможности математического исследования и графического представления получаемых результатов.

Отечественные ученые, работавшие в этом направлении, разрабатывали общую теорию проективографии, основанную на использовании многогранников той или иной группы симметрии [2, 3].

В данной статье проводится анализ возможностей традиционного проективографического аппарата формообразования с учетом нового подхода — исследования многоядерных (многокомпонентных) структур.

До появления компьютеров исследование подобных ситуаций было слишком трудоемко. Так, например, для исследования трехъядерной системы плоскостей полной икосаэдрической симметрии требовалось построить 118 • 3 = 354 линии на каждой из трех подсистем и проанализировать их на предмет проективного соответствия. Перечисление получаемых при этом форм не поддавалось анализу. с наступлением компьютерной эры ситуация изменилась в лучшую сторону [4, 5].

© Иващенко А.В., Кондратьева Т.М., 2012

155

вестник 6/2012 6/2012

Проективография как один из методов отображения трехмерных объектов на плоскость позволяет получить различные варианты формообразующих решений, пользуясь только проективографическими чертежами.

ранее применялись на практике проективографические чертежи, основанные только на одном ядре. ядром называется ограниченная пространственная область (выпуклый многогранник), порожденная системой плоскостей и, возможно, упорядоченная группой симметрии. встречаются и вырожденные ядра, когда все плоскости, образующие ядро, пересекаются в одной точке.

обобщим область применения проективографического метода, рассматривая не одно, а два и более ядер. в этом случае необходимо учитывать дополнительные параметры описания системы, такие как: количество ядер;

однотипность или разнотипность симметрий ядер; многоэпюрность или одноэпюрность системы; взаимное расположение ядер относительно друг друга.

в общем случае получающаяся система плоскостей будет многоэпюрной. нужно отметить, что многоядерность системы не всегда является причиной многоэпюрно-сти. известны системы соединения пяти тетраэдров, грани которых лежат в плоскостях граней икосаэдра (т.е. являются одноэпюрной системой). также одноэпюрными являются системы соединения двух додекаэдров (соединенных по октаэдрической группе симметрии), трех октаэдров (октаэдрическая симметрия), четырех кубов (октаэдрическая симметрия), пяти кубов (грани лежат на плоскостях ромбического тридцатигранника), двух кубов (симметрия диэдра), десяти кубов (грани лежат на плоскостях 60-гранника икосаэдрической симметрии) и многих других. однако все это частные случаи, а в общем случае получающаяся система будет многоэпюрной.

характеристики двухъядерной системы зависят от взаимного расположения и отношения размеров ядер. известно, что тетраэдр при продолжении граней не порождает новых пространственных отсеков (в отличие, например, от октаэдра), однако уже система из двух тетраэдров позволяет их получить. количество и форма этих отсеков зависят от взаимного расположения ядер. возможны следующие варианты взаимного расположения двух ядер:

одно ядро целиком содержится внутри другого ядра; ядра пересекаются между собой;

ядра располагаются в пространстве отдельно и не пересекаются. для полного описания системы в дополнение к обычным параметрам, характеризующим проективографические чертежи (вид симметрии, одноэпюрность или многоэпюрность, наклон плоскости проективографического чертежа к координатным осям), необходимо добавить некоторые дополнительные параметры, определяющие взаимное расположение ядер. к ним относятся: расстояние г между центрами ядер;

углы поворота координатных осей второго ядра относительно координатных осей первого ядра (в качестве используемых при разработке программного комплекса используются углы эйлера).

в частном случае при г = 0 возможно превращение системы в одноядерную многоэпюрную систему, а при совпадении соответственных внутренних координатных осей ядер возможны дальнейшие упрощения.

с увеличением количества ядер в многоядерной системе резко возрастает количество описывающих параметров, и полный расчет параметров системы целесообразно проводить с помощью компьютерных средств

рассмотрим наиболее простой случай системы двух тетраэдров (рис. 1—5). Проективографический чертеж системы состоит из двух подсистем (рис. 1, 2). каждая из них образована отдельным тетраэдром, на плоскостях граней которого

строится проективографический чертеж всей системы. В общем случае (когда ни одна грань первого тетраэдра не параллельна никакой грани второго тетраэдра) каждая подсистема может быть четырехэпюрной, по числу граней тетраэдра на каждую проективографическую эпюру. При этом каждая эпюра может содержать максимум семь прямых (три следа своего и четыре — второго тетраэдра). Таким образом, в самом общем случае для двухтетраэдической системы общего вида необходимо описать уравнения 8*7 = 56 прямых.

Однако существуют некоторые частные случаи, когда второй тетраэдр ориентирован в определенном соответствии с внутренней системой осей первого тетраэдра. В связи с тем, что наиболее интересные формообразующие решения возникают в случае симметрии системы тел, пока ограничимся рассмотрением таких систем.

Рис. 1. Проективографический чертеж внутренней компоненты двухтетраэдриче-ской системы

Рис. 2. Проективографический чертеж внешней компоненты двухте-траэдрической системы

На рис. 3 показано соответствующее формообразующее решение.

На рис. 4 показан другой случай двухъядерной проективографической системы — те же тетраэдры несколько иначе ориентированы в пространстве, но при этом плоскости граней у тетраэдров все еще параллельны, и они имеют один центр. Общая картина изменяется (показано только трехмерное формообразующее решение).

Рис. 3. Формообразующее решение на основе двухъядерной тетраэдри-ческой системы

Рис. 4. Формообразующее решение на основе другой двухъядерной тетраэдрической системы

На рис. 5 показан случай двухъядерной тетраэдрической системы с общим центром у обоих тетраэдров, но при этом внутренние координатные оси никак не привязаны к осям другого тетраэдра. Общая картина усложняется (система становится восьмиэпюрной), при этом формообразующее решение не столь интересно, как в предыдущих случаях.

6/2012

Рис. 5. Формообразующее решение на основе двухъядерной тетраэдрической системы общего вида

На рис. 6 и 7 показана двухъядерная про-ективографическая система двух вложенных один в другой кубов с параллельными соответствующими гранями (одно ядро находится внутри другого). Интересная особенность только таких систем заключается в совпадении прямых, входящих в проективографи-ческий чертеж каждой из подсистем, однако их смысл меняется (как меняется и смысл проективографических полей на каждой из подсистем — они образуют разные элементы трехмерного объекта). Радиусы описанных сфер кубов находятся в отношении «золотого сечения» (1:0.618). Обе подсистемы одно-эпюрные. На рис. 8 — соответствующее формообразующее решение.

Рис. 6. Проективографический чертеж внутренней компоненты двухъядерной кубической системы

Рис. 8. Формообразующее решение на основе двухъядерной кубической системы

Рис. 7. Проективографический чертеж внешней компоненты двухъядерной кубической системы

На рис. 9—11 показана двухъядерная проективографическая система двух вложенных додекаэдров с параллельными соответствующими гранями, и образованный ими трехмерный объект. Этот объект представляет собой однородный многогранник, называемый додекододекаэдром [5]. Обе проективографические подсистемы одноэпюрны, и, как и в случае вложенных тетраэдров, не совпадают.

Общие алгоритмы теории про-ективографии были использованы [6, 7] в программировании (система программирования Delphi). Полученные в работе результаты (многогранники и проективографические эпюры) можно экспортировать в любую из известных систем трехмерного моде-

v

лирования (например AutoCAD и 3d studio MAX) для дальнейшего исследования и использования.

Рис. 9. Проективографический чертеж вну-

Рис. 10. Проективографический чер-

тренней компоненты двухъядерной додекаэдри- теж внешней компоненты двухъядерной до-ческой системы декаэдрической системы

Многоядерные системы проективографических чертежей по сравнению с одноядерными позволяют получать значительно большее разнообразие форм, что может найти применение в архитектуре и дизайне (рис. 12).

Рис. 11. Формообразующее решение двухъядерной додекаэдрической системы

Рис. 12. Формообразующее решение десятиядерной додекаэдрической системы

Библиографический список

1. Венниджер М. Модели многогранников. М. : Мир, 1974.

2. Гамаюнов В.Н. Проективография. М. : МГПИ, 1976.

3. Гольцева Р.И. Геометрия многогранных п-эпюрных систем // Формообразование в строительстве и архитектуре: М. : МИСИ им. Куйбышева, 1986.

4. Никулин Е.А. Компьютерная геометрия и алгоритмы машинной графики: СПб. : БХВ-Петербург, 2003.

5. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М. : Наука, 1970.

6. Иващенко А.В. Описание пакета программ «Проективография» // Дизайн и искусствоведение. М. : МГОПУ, 1995.

7. Иващенко А.В. Модели представления элементов системы проективографических эпюр и алгоритм их определения // Молодые голоса : сб. науч.-исслед. работ аспирантов и соискателей МгОПу. Вып. 2. М., 2000.

Поступила в редакцию в мае 2012 г.

ВЕСТНИК 6/2012

6/2012

Об авторах: Иващенко Андрей Викторович — кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры дизайна, НОУ ВПО «Столичная финансово-гуманитарная академия» (НОУ ВПО «СФГА»), 109088, г. Москва, ул. Шарикоподшипниковская, д. 15, ivashchenko_a@inbox.ru;

Кондратьева Татьяна Михайловна — кандидат технических наук, доцент, заведующая кафедрой начертательной геометрии и графики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, 8 (499) 183-24-83, grafika@mgsu.ru.

Для цитирования: Иващенко А.В., Кондратьева Т.М. Проективографические чертежи многокомпонентных систем многогранников // Вестник МГСУ № 6. 2012. С. 155—160.

A.V. Ivashchenko, T.M. Kondrat'eva

SHAPE GENERATION BY MEANS OF A NEW METHOD OF ORTHOGRAPHIC REPRESENTATION ("PROEKTIVOGRAFIYA"): DRAWINGS OF MULTI-COMPONENT POLYHEDRA

The authors analyze the capabilities of a traditional set of shape generation techniques that employ orthographic representation in the generation of polyhedra with account for the advanced approach to the research of new multi-nuclear structures.

In the past, designs based on one nucleus were used in practice. The use of two or more nuclei is considered in the article. In the most common case, the resulting system of planes will constitute multiple orthographic representations.

The characteristics of a binuclear system depend on the mutual positions and relation of dimensions of the nuclei. In addition to regular parameters, complete description of the system need particular supplementary parameters that determine the mutual positions of the nuclei. Increase in the number of nuclei causes increase in the number of descriptive parameters.

The authors provide examples of binuclear systems composed of tetrahedrons, cubes, and dodecahedrons, implemented in the Delphi medium. The results can be exported into any three-dimensional modeling system with a view to their further study and use.

Key words: morphogenesis, multinuclear systems, polyhedra, multi-component structure, regular polyhedra, core, type of symmetry, multiple orthographic representations.

References

1. Gamayunov V.N. Proektivografiya [New Method of Orthographic Representation] Moscow, Moscow State Teachers' Training Institute, 1976.

2. Gol'tseva R.I. Geometriya mnogogrannykh n-epyurnykh sistem. Sbornik Formoobrazovanie v stroitel'stve i arkhitekture [Geometry of Polyhedral Systems. Collection "Shape Formation in Construction and Architecture"]. Moscow, Moscow Institute of Civil Engineering named after V.V. Kuybyshev, 1986.

3. Nikulin E.A. Komp'yuternaya geometriya i algoritmy mashinnoy grafiki [Computer Geometry and Computer Graphics Algorithms]. St.Petersburg, BKhV-Peterburg Publ., 2003.

4. Korn G., Korn T. Spravochnikpo matematike [Handbook of Mathematics]. Moscow, Nauka Publ., 1970.

5. Vennidzher M. Modeli mnogogrannikov [Models of Polyhedra]. Moscow, Mir Publ.,1974.

6. Ivashchenko A.V. Opisanie paketa programm «Proektivografiya». Sbornik "Dizayn i iskusstvo-vedenie" [Description of Software Package "Projectivographica". Collection of Art and Design. Moscow, Moscow State Open Teachers' Training University, 1995.

7. Ivashchenko A.V. Modeli predstavleniya elementov sistemy proektivograficheskikh epyur i al-goritm ikh opredeleniya. Sbornik nauchno-issledovatel'skikh rabot aspirantov i soiskateley MGOPU «Molodye golosa», vyp. 2. [Models of Elements of the System of Orthographic Drawings and Algorithms of Their Development. "Young Voices" Collection of Research Papers of Graduate Students and External Graduate Students of Moscow State Open Teachers' Training University]. Moscow, Moscow State Open Teachers' Training University, vol. 2, 2000.

About the authors: Andrey Ivashchenko Viktorovich — Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Metropolitan Academy of Finance and Arts (MAFA), 15 Sharikopodshipnikovskaya St., Moscow, 109088, Russian Federation; ivashchenko_a@inbox.ru;

Kondrat'eva Tat'yana Mikhaylovna — Candidate of Technical Sciences, Professor, Chair, Department of Descriptive Geometry and Graphics, Moscow State University of Civil Engineering (MSUCE), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; grafika@mgsu.ru, +7 (499) 183-24-83.

For citation: Ivashchenko A.V., Kondrat'eva T.M. Proektivograficheskie chertezhi mnogokomponent-nykh sistem mnogogrannikov [Shape Generation by Means of a New Method of Orthographic Representation ("Proektivografiya"): Drawings of Multi-Component Polyhedra]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2012, no. 6, pp. 155—160.