Исследование уравнений движения спутника в неинерциальной системе координат

________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Т о м V 1974

№ 4

УДК 521.31

ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ СПУТНИКА В НЕИНЕРЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ

В. П. Семенко

В работе исследуются уравнения движения ИСЗ, выведенные при помощи специальной вращающейся системы координат. Делаются выводы о перспективности использования рассматриваемых уравнений для численного интегрирования и получения приближенного аналитического решения.

Возмущенное движение центра масс спутника может быть описано при помощи различных систем дифференциальных уравнений. Естественно, что системы уравнений движения при практическом применении неравноценны, и выбор того или иного способа описания движения спутника определяется конкретной задачей. Некоторые системы уравнений имеют простой и компактный вид, но с их помощью затруднительно проводить аналитическое исследование движения спутника. Другие системы уравнений сложны и громоздки, ряд известных систем уравнений движения имеют особенности при некоторых значениях переменных. Вследствие этого, наряду с известными системами уравнений движения спутника, иногда используются новые уравнения движения.

Однако введение новых систем уравнений может быть оправданным, по-видимому, только в том случае, если новые уравнения имеют те или иные явные преимущества перед старыми широко известными системами уравнений. Очевидно, что после получения новых уравнений движения спутника необходимо выяснить два вопроса:

— насколько удобны рассматриваемые уравнения для чисденных расчетов на ЭЦВМ;

— в какой мере эти уравнения могут использоваться для получения конечных соотношений, приближенно описывающих движение спутника.

Выяснению этих вопросов должно предшествовать исследование самих дифференциальных уравнений: рассмотрение их структуры, исследование поведения переменных, оценка области возможных применений. Такое исследование позволит целенаправленно рассматривать поставленные выше вопросы о численном интегрировании и приближенном решении и в какой-то мере предсказать результат их рассмотрения. Исследование поведения переменных даст возможность обоснованно выбрать нулевое приближение при нахождении приближенного аналитического решения системы уравнений.

В данной работе проводится исследование недавно полученной системы уравнений движения спутника [1] именно в указанном смысле. Вопросы, связанные с численным интегрированием уравнений, а также с нахождением приближенного аналитического решения, рассмотрены в отдельных работах.

Прежде всего кратко остановимся на основных соображениях, используемых при выводе уравнений движения, и на геометрическом смысле переменных, полученной системы уравнений.

Пусть на спутник действует сила/=/н + ^". где/н=—¡а/?//?3—ньютоновская, сила, И—возмущающая сила.

В центре масс планеты поместим начало неподвижной декартовой системы координат ОХ0У020. Введем вращающуюся систему координат (ВСК) OXYZ, начало которой также совпадает с центром масс планеты (см. фигуру).

Вращающаяся система координат вводится для того, чтобы представить сложную пространственную траекторию возмущенного движения спутника в более простом виде, например, в виде плоской кривой. Очевидно, что характер движения ВСК определяет вид траектории спутника в этой системе координат. Из физических соображений ясно, что любое пространственное движение точки можно различными способами представить в виде движения в некоторой плоскости и перемещения самой плоскости. Поэтому форму траектории спутника в ВСК или характер движения самой ВСК можно подчинить тем или иным условиям. Однако можно показать, что в общем случае при произвольных возмущениях требование о том, чтобы траектория спутника в ВСК была, например, коническим сечением или чтобы ВСК вращалась равномерно, оказывается невыполнимым.

Задача заключается, следовательно, в выборе таких условий, чтобы траектория спутника в ВСК была достаточно простой и удобной для анализа, а движение самой ВСК при этом не было чрезмерно сложным.

Потребуем, чтобы компонента эффективной силы, нормальная радиус-вектору

/? спутника, была в ВСК равна нулю. Под эффективной силой здесь подразумевается сумма реально действующих сил и сил, возникающих из-за вращения системы координат. Если выполняется указанное условие, то на спутник в ВСК будет действовать только центральная сила. Отсюда ясно, что траектория спутника в этой системе координат будет плоской кривой, а величина кинетического момента спутника £ постоянной. Если потребовать, чтобы в начальный момент плоскость ХОУ ВСК содержала радиус-вектор и вектор относительной скорости спутника, то движение спутника будет происходить в этой плоскости.

Подробный вывод уравнений движения ВСК и спутника, а также формулы, осуществляющие переход от опорной системы координат ОХ0 Кс^о к ВСК и обратно, приведены в работе [1].

Выпишем полученные в [1] уравнения движения спутника в ВСК:

V -- , X- ---РпгЯ, Хг ------- Рпху^-’

ху

Ф = — "^2 8ш 8  соэ (ф + V), ф=-?С05»

Яч

Два первых уравнения описывают движение спутника в ВСК в плоскости орбиты (совпадающей с плоскостью ХОЧ); /? и V—полярные координаты спутника в плоскости ХОУ, причем угол V отсчитывается от оси ОХ.

Два следующих уравнения описывают изменение переменных \ху и Хг, определяющих угловую скорость ВСК. Геометрически эти переменные можно-представить как проекции вектора переносного кинетического момента ВСК (па аналогии с вектором переносной скорости) соответственно на плоскость Х^У и ось 02Г.

Три остальных уравнения описывают изменение углов Эйлера 8-, <р, ф, определяющих положение ВСК относительно опорной системы координат.

В приведенных уравнениях Р^ — радиальная компонента возмущающей

силы, Рпг и Рпху — проекции компоненты возмущающей силы, нормальной Я соответственно на ось 02 и плоскость ХОУ ВСК.

Величина кинетического момента спутника I в ВСК, как уже отмечалось, при любых возмущениях' постоянна.

В отличие от оскулирующей плоскости или плоскости идеальной системы координат Ганзена [2] плоскость ВСК не содержит вектор полной скорости спутника. Движение ВСК происходит таким образом,что ортогональные плоскости ХОУ компоненты переносной скорости и полной скорости спутника совпадают. Вследствие этого движение спутника происходит в плоскости ХОУ.

Вектор угловой скорости ВСК нормален вектору положения спутника /?. Отметим, что вектор угловой скорости системы координат Ганзена коллинеарен

вектору Я.

Перейдем теперь к исследованию системы уравнений движения ВСК к спутника (1).

Прежде всего отметим одно особое свойство полученных уравнений. Известно, что для описания движения точки достаточно, чтобы система дифференциальных уравнений была шестого порядка. Полученная же система уравнений (1) восьмого порядка. Избыточность системы уравнений (1) является важным достоинством рассматриваемого метода описания движения спутника. Используя представляемые системой (1) степени свободы, можно для одного и того же реального движения получать различные траектории движения спутника в ВСК, обладающие теми или иными удобными для исследования или численных расчетов свойствами.

' —У

При отсутствии возмущений, т. е. когда Р — 0, систему уравнений (1) можна проинтегрировать аналитически, причем, если начальные значения 1ху и Аг равны нулю, получаем кеплерово движение. При наличии возмущений траектория спутника в ВКС уже не будет коническим сечением, плоскость орбиты (плоскость ХОУ ВСК) не будет неподвижной, но тем не менее, если возмущения малы, то и отклонения движения от кеплеровского (при соответствующих начальных ~кХу, будут малы. В этом смысле система (1) подобна системе уравнений в оскули-рующих элементах (УОЭ) [3, 4]. Однако этим сходство уравнений движений спутника в ВСК и уравнений в оскулирующих переменных не исчерпывается. Из физического смысла переменных легко усмотреть определенную аналогию между переменным системы (1) 0, ф, ф и соответственно оскулирующими элементами /, 2, <0. Аналогами в некотором смысле являются также истинная аномалия и угол V.

Проведем сравнительный анализ системы уравнений (1) и системы уравнений в оскулирующих элементах (УОЭ). УОЭ широко известны и являются одним и» наиболее мощных инструментов исследования возмущенного движения в небесной механике. Именно поэтому они выбраны в качестве своеобразного эталона при исследовании системы уравнений (1).

Система (1) проще и компактнее* любой из многочисленных форм записи систем УОЭ. Если рассчитать по операциям время, затрачиваемое ЭЦВМ на

один шаг при интегрировании системы (1), то окажется, что это время приблизительно в полтора раза меньше соответствующего времени для УОЭ.

Известным недостатком УОЭ является наличие особенностей при эксцентриситете е = 0 и наклонении i = 0, приводящих к трудностям при анализе и численных расчетах траекторий. Известны также и способы преодоления этих трудностей. В первом случае обычно переходят от е и а к новым переменным Aj=es¡n<o и Х2 = е cos ы> [4]. Во втором приходится переопределять опорную систему координат или переходить к новым переменным, заменяющим в этом случае элементы i и Q.

Переход к переменным Хх и Х2 нежелателен, так как при этом в большой мере теряется геометрическая наглядность описания движения спутника, являющаяся важным достоинством УОЭ. Кроме того, при анализе движения по приближенным формулам переход к ^ и Х2 эффективен только на интервале нескольких витков. При прогнозе по формулам первого приближения [4] на сутки и более точность определения положения спутника оказывается низкой. Система уравнений (1) свободна от каких-либо особенностей и вырождений. Особо отметим, что присутствие sin ft в знаменателе в уравнении для <р не приводит к затруднениям, так как выбором начального положения ВСК можно всегда избежать обращения sin ft в нуль. (Выбор различных начальных положений ВСК возможен благодаря уже упоминавшейся избыточности системы (1)).

Введем понятие кеплеровой траектории для ВСК подобно тому, как для УОЭ вводится понятие кеплеровой траектории на определенный момент оскуляции. Под кеплеровой траекторией для ВСК будем подразумевать кривую, являющуюся коническим сечением, обладающую следующими свойствами:

плоскость этой кривой неподвижна относительно опорной системы координат и такова, что в момент оскуляции с ней совпадает плоскость XOY ВСК;

параметры этого конического сечения определяются известными формулами кеплерова движения по относительной скорости и положению спутника в ВСК на момент оскуляции.

Рассмотрим теперь поведение переменных системы уравнений (1) на примере движения ИСЗ. Система (1) выведена без каких-либо ограничений на величину и характер возмущающих сил. В качестве возмущений можно принять тягу двигателей спутника, нецентральность гравитационного поля Земли, влияние атмосферы, влияние Луны и Солнца, световое давление и т. д. Для иллюстрации выберем преобладающее возмущение, определяющее основной характер движения спутника. Для широкого класса орбит спутников Земли определяющими являются возмущения от сплюснутости Земли [3, 4]. Во многих практически важных задачах оказывается достаточным учет только первых двух гармоник в разложении геопотенциала по сферическим функциям. В этом случае система уравнений (1) примет вид

.. [А Е (£ ~ Ю2 "Ь

Я = — Д2 — П ~ 3 Sin2 (v + Ф) sin2 +' -------------^3-------- >

V = £ IR2,

. £

\ху = —sin 2ft sin (v -f ф),

^ sin2»sin 2

ft = ~ sin (v + 40,

R2

. ^xy

* = ~ /?» sin'» cos (v + ^

• . к

Ф = — T cos ft — -ф .

На ЭЦВМ были проведены расчеты для орбит с значениями эксцентриситетов и наклонений, заключенных в диапазонах 0,0018 <; е < 0,2; Г С ¿<¿63,43°. Эти расчеты производились следующим образом. По начальным данным определялись две группы констант — элементов кеплеровых орбит обычной и введенной выше кеплеровой орбиты для ВСК. Эти две кеплеровы орбиты для одного и того же реального движения не совпадают, так как величина относительной скорости спутника в ВСК не совпадает с величиной скорости в опорной, неподвижной системе координат. Одновременно (в одной программе) осуществлялось численное интегрирование системы уравнений (2) и системы УОЭ. С интервалом в 300 с

J20

значения интегрируемых величин сравнивались с соответствующими кеплеровыми элементами—константами, совпадающими с начальными значениями интегрируемых величин. Таким образом, легко определяются отклонения г, Q, « для УОЭ и соответственно Ь, ф, ф для ВСК. Определить отклонения от кеплеровых таких величин, которые являются переменными и в кеплеровых движениях (например/?, истинная аномалия), оказалось несколько сложнее. В этих случаях пришлось прибегать к решению уравнения Кеплера. На моменты времени, в которые производилось сравнение, определялась кеплерова истинная аномалия и по ней уже легко определялась величина радиус-вектора кеплеровой орбиты. Естественно, что на один и тот же момент времени (кроме начального) радиус-векторы кеплеровых орбит (обычной и введенной для ВСК), не совпадают. Очевидно, что не совпадают и истинные аномалии.

Поведение переменных исследовалось на интервале времени, соответствующем одному витку. Расчеты показали, что отклонения от кеплеровых величин, характеризующих движение спутника в плоскости, оказываются для всех ВСК во всех вариантах значительно меньше, чем для УОЭ. Отклонение от кеплеровых величин таких, как R, истинные аномалии, а также перемещение линии апсид (в случае ВСК перемещение оси ОХ) для всех ВСК меньше, чем для УОЭ, в несколько раз, в ряде случаев (для орбит, близких к круговым) на порядок.

Отклонения величин $, ф и г, Я, определяющих положение плоскостей орбит (плоскости, XOY ВСК и оскулирующей плоскости УОЭ), не отличаются столь значительно, но во всех случаях отклонения 9 и ф от кеплеровых не превышают отклонений соответствующих оскулирующих элементов.

Переменные системы (2) \ху и Хг не имеют аналогов в УОЭ. Как показали расчеты, они изменяются по закону, близкому к синусоидальному с периодом для \Ху, равным периоду обращения, а для \г с периодом в два раза меньшим. Эти переменные не могут считаться медленно изменяющимися, однако, как показывают расчеты, величины Хху и Áz не превышают 102итак как в системе (2) они встречаются лишь в отношениях Xxy//?2 и Хг//?2, то очевидно, что погрешности в Хху и \г при численном интегрировании или аналитическом определении положения спутника окажутся несущественными.

На основании проведенного исследования можно сделать следующие выводы:

1. Кеплерова траектория в ВСК точнее описывает движение спутника, чем соответствующая кеплерова траектория в опорной системе координат. Этот результат можно пояснить таким образом: кеплерова траектория, полученная по начальным данным при помощи ВСК, оказывается ближе к реальной траектории спутника, чем кеплерова траектория, полученная обычным способом. Отсюда следует возможность получения приближенного аналитического решения системы уравнений (2). В качестве нулевого приближения при этом, естественно, взять кеплерово движение. Учитывая, что нулевое приближение решения системы (2) точнее нулевого приближения, обычно используемого при аналитическом решении УОЭ, можно ожидать хорошей точности решения системы (2) уже в первом приближении. Вопросам приближенного аналитического решения системы (2) посвящена работа [5]. Конечные соотношения, полученные с применением ВСК, во всех рассмотренных случаях оказались точнее соответствующих формул, полученных с использованием метода оскулирующих элементов.

2. Система уравнений движения ВСК и спутника является системой с медленно изменяющимися переменными. Отсюда следует, что численное интегрирование этой системы можно проводить без существенной потери точности с большим шагом. Большая простота и компактность рассматриваемых уравнений, а также отсутствие вырождений и особенностей указывают на перспективность использования этих уравнений для численных расчетов.

Было проведено сравнение эффективности использования для численного прогнозирования движения спутника следующих систем уравнений движения:

а) система уравнений в декартовых координатах [4];

б) система УОЭ [3];

в) система УОЭ, в которой вместо элементов е и ш используются элементы Áj = е sin ш и Х2 = е cos [4]; '

г) система уравнений в цилиндрических координатах [4];

д) система уравнений, записанных для ВСК.

Численное интегрирование систем осуществлялось методом Рунге—Кутта четвертого порядка с постоянным шагом, причем величина шага интегрирования для каждой системы выбиралась с учетом сложности правых частей уравнений таким образом, чтобы машинное время интегрирования для всех систем было одинаковым. Были проведены расчеты орбит ИСЗ, номинальные значения элементов которых приведены в табл. 1.

Учитывались две первые гармоники в разложении потенциала Земли в ряд

по полиномам Лежандра. Максимальные ошибки интегрирования Д/? = [ /?э -— |

|(здесь /?э—радиус-вектор спутника в опорной системе координат, полученный

путем численного интегрирования с малым шагом, — радиус-вектор в опорной системе координат, полученный на тот же момент путем интегрирования -с большим шагом сравниваемых систем уравнений) на интервале трех суток полета для рассмотренных систем уравнений приведены в табл. 2. Время интегрирования для всех систем уравнений было одинаковым и равным 275 с.

Таблица 1 __________________Таблица 2

Номер Начальные значения элементов орбит Номер Ошибка определения положения спутника ДЯ, в м, для

орбиты эксцентри- параметр р, накло- орбиты систем уравнений

ситет е км нение і А Б В Г Д

/ 0,0018 6634 51,51° / 234 115 96 54 6

II 0,2 7900 51,51° II 159 119 180 63 219

III 0,05 6996 63,43° III 195 68 89 24 11'

IV 0,0018 6634 1° IV 219 998 00 53 20 4

Из таблицы видно, что система уравнений, записанных для ВСК, может быть с успехом использована при численном прогнозировании движения спутников. В классе орбит с малыми и умеренными эксцентриситетами (е<;0,05) использование этой системы оказывается предпочтительнее других рассмотренных систем.

Более подробно вопросы, связанные с численным прогнозированием движения спутника, будут рассмотрены в отдельной работе.

ЛИТЕРАТУРА

1. Семен к о В. П. О движении спутника в неинерциальной системе координат. Труды вторых чтений, посвященных разработке научного наследия Ф. А. Цандера. М., 1973.

2. Субботин М. Ф. Введение в теоретическую астрономию. М., „Наука“, 1968.

3. Эльясберг П. Е. Введение в теорию полета искусственных спутников Земли. М., .Наука“, 1965.

4. Основы теории полета космических аппаратов. М., „Машиностроение“, 1972.

5. С е м е н к о В. П. Прогнозирование движения спутника сфероидальной планеты во вращающейся системе координат. Космические исследования, 12, № 4, 1974.

Рукопись поступила ¡¡IV 1973 г.