Пятимерная геометрическая задача Райсснера-Нордстрема с геомет-ризированным скалярным полем

УДК 524.8

В. Г. Кречет, Д. В. Садовников, М. В. Левкоева

Пятимерная геометрическая задача Райсснера-Нордстрема с геометризированным скалярным полем

Рассматривается пятимерная геометрическая задача Райсснера-Нордстрема с геометризированным скалярным полем в рамках пятимерной теории гравитации и электромагнетизма. Получены соответствующие точные сферически-симметричные решения пятимерных вакуумных уравнений Эйнштейна, определяющих физические поля в данной задаче. Среди них есть решения, описывающие геометрию «кротовых нор».

Ключевые слова: гравитация, пятимерная теория, Райсснер-Нордстрем, электромагнетизм, «кротовые норы».

V. G. Krechet, D. V. Sadovnikov, M. V. Levkoeva

The Five-Dimensional Geometric Reisner-Nordstrem Problem with the Geometrized Scalar Field

We consider a five-dimensional geometric Reisner-Nordstrem problem with the geometrized scalar field in the five-dimensional theory of gravity and electromagnetism. The corresponding exact spherically symmetric solutions of the five-dimensional vacuum Einstein's equations, which define physical fields in the given problem, have been found. Among them there are the solutions describing geometry of «wormholes».

Keywords: gravitation, a five-dimensional theory, Reisner-Nordstrem, electromagnetism, «wormholes».

В рамках пятимерной геометрической теории гравитации электромагнетизма Калуцы [1] рассматривается задача Райсснера-Нордстрема при учете геометрического скалярного поля G44 (x) в пространстве со сферической симметрией, описываемом пятимерной метрикой вида

dI2 = -evdt2 + exdx2 + eM

где все метрические коэффициенты: ev, ex, e^ , ea , eB - зависят только от x, при этом коэффициент G44 (x) = ea имеет смысл геометризированного скалярного поля, eB пропорционален электромагнитному потенциалу срг.

В качестве гравитационного лагранжиана L в единой теории гравитации и электромагнетизма Ка-луцы-Клейна выбирается, как и в ОТО, скаляр кривизны 5R{GAB), но уже пятимерного пространства:

Lg =5 RGab )V-G, (2) где G - определитель матрицы метрических коэффициентов GAB общей пятимерной метрики (1), для которой

f А " 1'А' 'А' А '2 о II a+v . о'2 2 В \

'R

Здесь д = ea+v + e2В.

В рассматриваемом случае пятимерный гравитационный лагранжиан (2) данной вакуумной модели с метрикой (1) за вычетом дивергентного члена принимает вид

г д>' ¿и'2 а' у' ea+v+ß' 2e2ß . и L = —!— + — +---+ 2eÄ и

л/д .

Д 2 2 Д

V У

Варьированием лагранжиана (3) по независимым переменным V (х), Л(х), /и(х), а(х), Р(х) получается совместная система уравнений для гравитационного, взаимодействующих электромагнитного и скалярного полей геометрического происхождения. В данной задаче эта система уравнений получается эквивалентной системе первых интегралов:

© Кречет В. Г., Садовников Д. В., Левкоева М. В., 2013

дУ ju'2 а'v e + ß 2e2ß . u n

—?— + — +----2e* u = 0;

д 2 2д

д + у'|л/д e Д

= 2>/д e *;

(a'-v')ea+v = С-у/д e1-M;

r-— л-

a-P')ea+P = С24Дe> (y'-p)ev+P= С^л/д e1 где С, С, С — постоянные интегрирования.

В гармонических координатах: G"V-G = const, которые в данной задаче записываются как д = e1-2M, - система (4) приобретает вид:

а) з2^ayea^:^ - ^,,

г _2д

б) (Л-ц)' = w 4вЛ-ц + k, где k = const;

в) (a'-v' )ea+y = С Д;

г) (a'-p )ea+: = С2 д;

д) УУ-:' )ey+: = С2 д.

где s = +2 - знаковая функция.

Поскольку метрические коэффициенты Ge = ey и G44 = e: зависят только от x и не зависят ни от t, ни от x4 соответственно, то в интеграле (5в) константу С можно положить равной нулю. Откуда получим при соответствующей калибровке масштабов координат t и x4: ea = ey, а значит и С2 = С = С . Из системы (5) следует:

ff 2(*) Д '21 а' V' ea+V+ß' 2e2ß

f 2

e*-u = f (x) =

ea-ß = tg Cx,

2 д

при

- 2f (x) = 0;

k = 0;

cos ax

a2

sh2 ax

при k = -4a2 < 0; при k = 4a2 > 0,

откуда получаем: eV = ea = Aemx sin Cx, eß = Aemx cos Cx

где A,m = const, при этом m2 (С2 + k)/3 и 0 < x .

В зависимости от постоянной k другие коэффициенты метрики (1) выглядят: 1) при k = 0

A2 x2

A2 x4

2) при к = 4a2 > 0

3) при к = -4a2 < 0

A sh ax

2 -2 mx

a e

A cos ax

e* = -

A sh ax

2 -2mx

a e

A cos ax

ж ж

Представляет интерес последнее решение (11). Здесь при--< х <— поведение метрического

2а 2а

коэффициента вм соответствует пространству-времени «кротовой норы», т. к. он нигде не обращается в нуль, а на границах области (х ^ -ж /2а и х ^ ж /2а) неограниченно возрастает. Кроме того, чтобы

Пятимерная геометрическая задача Райсснера-Нордстрема 79

с геометризированным скалярным полем

1

1

2

x

e

e

*

eu =

e =

e* =

eu =

совместить границы интервалов (8) и (12), необходимо, чтобы C = 2a . При этом постоянная a имеет смысл параметра растяжения масштабов «кротовой норы», поскольку х =±л / 2a возрастают с уменьшением a и убывают с его ростом. Горловина получившейся «кротовой норы» соответствует минимуму функции e^ . В самом деле, максимум функции cos ax равен единице при х = 0 . Отсюда получаем, что радиус горловины «кротовой норы» равен ец (х = 0) = a2 / Л2.

Из (7) следует, что поскольку при х < 0 функции ev и еа становятся отрицательными, то временная координата t становится пространственной, а 4-я пространственная координата х4 - временной координатой, т. е. получается, что координаты t и х4 меняются ролями, но сигнатура метрики при этом не изменяется.

Библиографический список

1. Владимиров, Ю. С. Системы отсчета в теории гравитации [Текст] / Ю. С. Владимиров. - М. : Энергоиздат, 1982. - 256 с.

2. Bronnikov K. A. Acta Phys. Pol. B4 (1973), 251.

Bibliograficheskij spisok

1. Vladimirov, Ju. S. Sistemy otscheta v teorii gravitacii [Tekst] / Ju. S. Vladimirov. - M. : Jenergoizdat, 1982. - 256 s.

2. Bronnikov K. A. Acta Phys. Pol. B4 (1973), 251.