Весовые пространства функций в теории обобщенных уравнений Коши-Римана

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 2. № 1 (2010). С. 110-118.

УДК 517.5

ВЕСОВЫЕ ПРОСТРАНСТВА ФУНКЦИЙ В ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ УРАВНЕНИЙ КОШИ-РИМАНА

А.Ю. ТИМОФЕЕВ

Аннотация. Изучаются весовые пространства функций, возникающие при исследовании обобщенных уравнений Коши-Римана с сингулярными коэффициентами. Установлена связь с другими пространствами функций, описано сопряженное пространство.

Ключевые слова: обобщенные уравнения Коши-Римана, весовые пространства функций, квазивогнутые функции, сопряженное пространство.

1. Введение

Изучению краевых задач для обобщенного уравнения Коши-Римана посвящено много работ. Основополагающей работой в этом направлении является монография И.Н. Векуа (см. [1]), в которой построена теория уравнений вида

dzw

где A(z), B(z) — заданные в ограниченной области G функции, w(z) — неизвестная функция.

Теория Векуа построена в предположении, что A(z), B(z) принадлежат пространству Lp(G), где р > 2. В этом случае (1) называется регулярной обобщенной системой Коши-Римана, а его решение — обобщенными аналитическими функциями. Коэффициенты таких систем могут допускать «слабые» особенности, лимитируемые требованием р-интегрируемости. В частности, если A(z), B(z) обращаются в бесконечность в некоторой изолированной особой точке, то порядок этой особенности должен быть строго меньше единицы. Поэтому даже уравнение (1) с такими коэффициентами, как A(z) = 1, не вписывается в теорию Векуа. Исследованию задач для обобщенных уравнений с коэффициентами, имеющими особенности в изолированной точке, посвящены работы Л.Г. Михайлова,

З.Д. Усманова, А. Тунгатарова, М. Райссига и А.Ю. Тимофеева, Р. Сакса, Г.Т. Макацария и др. (см., напр., [2], [3], [7]).

В работе [7] исследуется задача Дирихле для обобщённого уравнения Коши-Римана (1), где G = {z G C : |z| < 1}, A(z) = 0.

При этом новизна исследований состоит в том, что допускающие особенности в точке z = 0 коэффициенты B(z) принадлежат весовому пространству функций Sp(G), которое является объединением пространств:

Sp(G) = jB(z) : sup( |B(z)|  p(|z|)) < +roj .

A.Yu. Timofeev, Weighted space of functions in the theory of generalized Cauchy-Riemann equation.

© Тимофеев А.Ю. 2010.

Поступила 15 февраля 2010 г.

Множество функций p(t), обладающих достаточно общими свойствами, обозначается через P. Пространство S-(G) состоит из тех и только тех заданных в G функций f (z), для каждой из которых существует такая функция p(t) Е P, что f (z) Е sp(G).

Предполагается, что функции p(t) удовлетворяют следующим условиям:

1. Заданы и положительны на некотором промежутке (0,tp], где tp < 1.

2. Не убывают на (0,tp].

3. lim p(t) = 0. t^+o v '

4. ? pd) < +-.

Научный интерес представляет задача описания функций p(t) класса P. В данной работе продолжено исследование функций этого класса.

В § 2 приведены основные свойства функций множества P, а также различные примеры, поясняющие эти свойства. Из этих свойств следует непосредственно, что поведение функции p(t) в точке t = 0 может быть сравнимо с pi(t) = t: p(t) > c • t. Функциями, сравнимыми с p1(t), являются и квазивогнутые функции. Установлена связь весовых функций из P с квазивогнутыми функциями, введёнными в работе [4]. В работе построены примеры, показывающие, что функции из P вообще говоря не являются квазивогнутыми и наоборот. Во множестве P вводится структура частичноупорядоченного множества.

В разделе 3 изучается поведение весовой функции в нуле. При этом за основу берется

шкала роста монотонно возрастающих функций на бесконечности: порядок и тип функции

-( t Т

имеет при порядке р =1 минимальный тип. Как следствие получается, что p(t) > Y(t) • t, где y(t) ^ при t ^ +0.

В разделе 4 устанавливается связь пространства S-(G) с другими пространствами функций (пространством Лоренца и др.). Кроме того, в связи с вопросом, поставленным на конференции по комплексному анализу и дифференциальным уравнениям в Якты-Куле (декабрь 2004 г.), описано сопряженное пространство к sp(G).

2. Свойства и примеры весовых функций p(t) е P

2.1. Основные свойства весовых функций. Весовые функции p(t), введенные в [7], удовлетворяют следующим достаточно общим условиям:

1. Заданы и положительны на некотором промежутке (0,tp], где число tp зависит от функции p(t), tp < 1.

2. Не убывают на (0,tp].

3. lim p(t) = 0. t^+0

4. ? -То < +-.

В дальнейшем будем считать функции p(t) заданными на всём промежутке (0,1], продолжая в случае необходимости p(t) на промежутке [tp, 1] постоянной, равной p(tp). В этом случае условия 1-2 и 4 будут выполнены уже на всём промежутке (0,1].

Нетрудно показать, что для функции p(t) Е P существует число cp > 0 такое, что

^ « с„* Е

Для этого рассмотрим произвольное t0 Е (0; 1]:

to to

*о = 1 f ,t = f dt

p(to) p(*0) J J p(to) ’

00

В силу неубывания р(£) для любого £ ^ £0 последний интеграл будет не превосходить

*0

/ рщ• В силу произвольности ¿0 Е

возникает гипотеза о том, что функции р(£) в окрестности £ = 0 ведут себя как р1 (£) = ¿. В разделе 3 мы докажем, что весовые функции р(£) удовлетворяют более сильному, чем (1.1) условию.

Рассмотрим некоторые примеры весовых функций.

1. р(£) = ¿а, 0 < а < 1.

Очевидно, выполняются условия 1-4, и р(£) = Е Р для 0 < а < 1.

2. р(£) = £  1пв 1, в> 1.

Так как для £ Е (0,1] выполняется 1 ^ 1, то 1п 1 ^ 0 и £  1пв 1 ^ 0.

'(*) = lne 1 + * • (в 1пв-1 1) • * • (- *2) = 1пв-1 1 • (ln 1 - в).

Значит, p(t) не убывает на (0, ^э].

, , в 1 , lneX , в • lne-1x

lim t  lne - = lim --------= lim ---------------.

f щгг = - f ОТ = ( e-! ß |0 < при 1 - в < 0 т.е. в > 1

X

*^+0 £ ж^+те X ж^+те X

Если в — 1 > 0, то применяем правило Лопиталя еще раз и таким образом окончательно

получим, что последний предел равен нулю.

1 1

___ ______ __________

Мпв 1 ( — 1п *)в в—1 |0

0 ь 0

Таким образом, если в > 1, то функция принадлежит Р.

3. Аналогично можно показать, что функция

р(£) = £  1п —  1п 1п —  ...  (1п... 1п -)  (1п ... 1п -)в Е Р при в > 1.

£ £ (&—1) £ (&) £

Во множестве весовых функций Р можно ввести частичный порядок. Пусть Р1(£), р2(£) Е Р. Будем писать р1 -< р2, если р1(£) ^ р2(£), £ Е (0,1], причем р1(£)/р2(£) ^ 0 при £ ^ +0.

Можно показать (см. [7]), что для каждой функции р Е Р существует р1 Е Р со свойством, что р1 -< р.

С другой стороны, отношение -< во множестве весовых функций Р не является порядком: не для любых р1(£),р2(£) Е Р можно сказать, что р1 -< р2 или р2 -< р1. В качестве функции р1(£) можно взять функцию примера 1: р1(£) = £а, 0 <а< 1, 0 < £ ^ 1. Построим теперь функцию р2(£): Р2(1) = 1, Р2(£) = (2 (^+1 + п))^ , ^+1 ^ £ < П. Очевидно, что Р1(£),Р2(£) Е Р, но нельзя утверждать, что р1 -< р2 или р2 -< р1.

Известно, что теория И.Н. Векуа (см. [1]) для уравнения (1) построена для случая, когда В (г) Е (С), д > 2 . Функция р1(£) = £а(0 < а < 1) удовлетворяет условиям 1-4, причём если f Е 5Р1 (С), то f Е (С) (2 < д < а). С другой стороны, f (г) = ^ Е 5Р2(С),

р2(£) = £  1п2 -1, но f (г) Е (С)(д > 2), поэтому исследования в [7] можно рассматривать как продолжение и расширение теории Векуа.

2.2. Связь между весовыми и квазивогнутыми функциями. Из неравенства (1.1) предыдущего параграфа следует, что для функции р(£) Е Р существует число ср > 0 со свойством:

р(£) ^ ср  £.

Возникает гипотеза о сравнении функций р(£) класса Р с функциями вида р1(£) = £ и с другими функциями такого вида.

В соответствии с определением, данным в [4], функция р(£), удовлетворяющая условиям 1-3 и дополнительному условию:

Р

і

убывает на некотором промежутке (0,ір]

называется квазивогнутой. Приведённые выше функции (см. примеры 1-3 раздела 1) являются квазивогнутыми.

Как следует из леммы 1.1 (см. [4]), квазивогнутые функции являются непрерывными и даже абсолютно непрерывными функциями.

В связи с этим возникает вопрос: не следует ли из условий 1-4 квазивогнутость функций р(£)? Отрицательный ответ на этот вопрос даёт следующий пример.

Положим р(1) = 1. Для к Е N считаем, что

1

р(і) = у=, если і Є ук

11

к + 1 к

Тогда условия 1-4 выполнены для этой функции:

1. р(£) > 0 для любых £ Е (0,1].

2. Докажем монотонность этой функции. Возьмём произвольные £1 ^ £2. Возможны две ситуации:

а) £1,£2 Е [ш, £).

В этом случае р(£) = р(^) = ^£, т.е. р(^) ^ р(^)-

б) £1 Е [£+П+Г, ) , £2 Е [¿г, £) , п Е N.

О

Тогда Р(іі) = 7Ш < Тк = Р(і2)-

3. Ііт р(і) = Ііт р(і) ¿^•+0

¿1іт А

/с—»ОО V Л-

0.

1 Ж & Ж

4.І % = Е І ій) = Е У^

0 к=1 к=1

к + 1

Последний ряд сходится.

V______1___

к=Г ^-(к+г) •

Покажем, тем не менее, что функция не является убывающей.

Для этого рассмотрим і1 = к+т , і2 = ¿+1 — є, є — положительное маленькое число; очевидно, І1 > і2.

Р(і1) =

Ук + 1

Поэтому

р(І1) р(І2) = Ук + 1  І2 — Ук  І1 = Ук + 1  (^1+1 — є) — У^ • Щ

І1 І2 \А

к + 1

к+1

к + 1

Ук + 1

Ук Ук + 1 1 — (к + 1)  £ Ук 1 — (к + 1) £

Подберём £ столь малым, чтобы выражение (2.2) было положительным, т.е:

к+1

Ук + 1

Ук 1 — (к + 1)  є

В итоге получаем следующее неравенство:

1

>0.

є <

Так как

(УкП+Ук)  (к + 1)3/2'

>

1

1

1

1

2

то достаточно взять следующее значение £:

1

£ = ---------

£ 2(к + 1)2.

В этом случае (2.3) будет выполнено, а значит, будет положительным и выражение (2.2). Таким образом, функции класса Р, вообще говоря, не удовлетворяют условию квазивогнутости.

Возникает обратный вопрос: не следует ли из квазивогнутости р(£) то, что р(£) Е Р? Отрицательный ответ на этот вопрос дает следующий пример: р1(£) = £  1п 1. Эта функция является квазивогнутой, хотя и не принадлежит классу Р.

3. Поведение весовой функции в нуле

3.1. Шкала роста монотонных функций. Приведем некоторые факты, связанные со шкалой роста монотонно возрастающих функций (см., напр., [5], с. 21-23; [6], с. 1-2).

Пусть f (t) — неотрицательная функция на полуоси (0, +то). Чтобы охарактеризовать скорость ее роста, будем сравнивать ее с функциями ^ • tA.

Точную нижнюю грань тех чисел А ^ 0, для которых при t ^ +то выполняется неравенство

f

назовем порядком р функции f (t).

Если чисел А со свойством (3.1.1) не существует, то говорят, что f (t) имеет бесконечный порядок, и полагают р = +то.

Лемма 1. (см. [5], с. 21-23; [6], с. 1-2). Порядок функции вычисляется по формуле

p

i^+œ ln t

Типом функции f (t) при порядке р (0 < р < +то) называют точную нижнюю грань a(f, р) тех чисел ^ ^ то, для которых при t ^ +то выполняется неравенство f (t) < ^ • tp. Легко видеть, что a(f, р) = lim .

i^+œ i

Функции f (t), для которых a(f ) = 0, 0 < a(f ) < то, a(f ) = то, называются соответственно функциями минимального, нормального и максимального типа при порядке

р.

Примеры.

1. fi(t) = ta, 0 < а < 1.

Тогда

р(^) = а, 0 < а < 1.

^(fi) = 1

2. f2(t) = Щ*,t Е К +то). р(/^2) = 1

= 0.

Наряду с указанием порядка и типа функции f (t) ее рост может быть охарактеризован поведением (сходимостью или расходимостью) интеграла

+œ

/ ft)dt.

Заметим, что при замене в этом интеграле порядка р произвольным числом а > р^) получится, очевидно, сходящийся интеграл. В то же время интеграл

+те

+ *

1

в случае монотонно неубывающей функции f (£) расходится, если а < р^) или а = р^), ) > 0. Действительно, в этом случае существует такая последовательность

чисел , что при любом з выполняется £^+1 > 2£- и при некотором а > 0

fС-) ^ а— з = 1,2,...

Ввиду монотонности функции f (£) имеем

*^ + 1

1Ш‘-£ р -К 1—й > а £ (—(21~

*1

Эти результаты можно сформулировать следующим утверждением:

Лемма 2. Если монотонно неубывающая неотрицательная функция f (£) удовлетворяет условию

+те

J £«+1 1

то

Пт М = 0.

Обратное утверждение неверно. В качестве примера можно привести функцию

-(-те -(-те -(-те

ТП*, £ Е [e, +то). Тогда = 0 но I шЬ+1 ^ = / ТП1*:*^ =

1 1 1

= 1п1п £ |+те = +то.

Таким образом, характеристика роста функций посредством интеграла (3.1.4) представляет интерес лишь для функций минимального типа.

Условимся неотрицательные функции f (£) и ^(£) называть принадлежащими к одному классу сходимости, если интегралы

те те

/ Е+ л, / Ш л

J ^ ’ У £«+1

11

сходятся (а значит, и расходятся) при одних и тех же значениях а.

3.2. Асимптотика весовой функции в нуле. Пусть р(£) Е Р — весовая функция.

Рассмотрим следующую функцию: ^(£) = —1). Эта функция является монотонно возрас-

Р

тающей на промежутке [1; +то); причем при £ ^ +то ^(£) ^ +то.

В силу условия 4

(I

3 :=/ < +^. <а2л)

Сделаем замену £ = 1 под знаком интеграла в (3.2.1).

Тогда

1/d

J = _ [ dx = [ . 1 dx = [ dx J x2p(x) J p(X) x2 J x2 •

1/d 1/d

Этот интеграл в силу (3.2.1) сходится, т.е. функция <^(x) принадлежит классу сходимости (см. раздел 3.1) с порядком р =1. Согласно лемме 2 из раздела 3.1 функция <^(x) имеет минимальный тип при порядке р =1, т.е.

<^

Рассмотрим е1 = 1. Тогда существует такое x1, что для любого x > x1 выполняется <^(x) < e1x. Аналогично для е2 = 1 существует x2 такое, что для любого x > x2 ^ x1 выполняется <^(x) < e2x и т.д. Таким образом, получена функция e(x):

1, x1 < x ^ x2 1

2 ,

1 x2 < x ^ Хз

e(x) = <

Ясно, что е(х) | 0 при х ^ то.

Значит,

<^(х) < е(х)  х, х > х0. Возвращаясь к весовой функции р(£), получаем неравенство

Л 1 рЫ >

"х е(х)X

Таким образом, доказана следующая теорема:

Теорема 1. Для любой функции р(і) Є Р существует функция 7(і) ^ +то при і ^ +0 такая, что

р

t

> Y(t).

4. Пространства Лоренца. Связь с другими пространствами.

Сопряженное пространство

Пространством Лоренца Ь/пЬ(С) называется множество измеримых в С функций следующего вида:

Ь 1пЬ(С) = |/(г) : // |/(г)| 1п+ |/(г)|

где С = (г € С : |г| < 1}, г = С + *(, г € С,

1п+ |/(г)| = тах (1п |/(г)| , °} .

Лемма 3. Справедливо следующее включение:

5Р(С) С Ь2(С) С Ь 1пЬ(С).

Доказательство.

Включение £р(С) С Ь2(С) доказано в [7].

Покажем, что Ь2(С) С Ь 1пЬ(С). Для этого рассмотрим /(г) € Ь2(С). Тогда

с со

Значит, /(г) € Ь 1пЬ(С).

Покажем, что обратные включения не выполняются.

Ь2(С) С 5Р(С), Ь 1пЬ(С) С 5Р(С) в силу примера 2 (см. ниже).

Чтобы показать, что Ь 1п Ь(С) С Ь2(С), достаточно в примере 1 (см. ниже) взять а = 1. Рассмотрим некоторые примеры, поясняющие связь пространства Лоренца с другими пространствами.

1. Рассмотрим функцию р! (¿) = ¿а, где 0 < а < 1. Тогда р! (¿) € Р .В этом случае функция комплексной переменной /1(2) = ща принадлежит зР1 (С), т.е. / (г) € 5Р(С). Очевидно, что /1(г) принадлежит Ь 1п Ь(С).

Проверим принадлежность функции /1(г) пространствам ЬР(С):

1

гг Г 1 --а^р+2

г«^р-1 2 — а  р

с о

Последнее выражение принимает конечное значение при —а  р + 2 > 0, т.е. р < а. Таким образом, /1(г) € ЬР(С) при 2 < р < а.

2. Рассмотрим функцию /2(г) = . .* 1 . Вычисляя интеграл, как в примере 1, покажем,

что функция принадлежит пространству Лоренца: /2(г) = . . * ^ Є Ь 1п Ь(С).

\г\ ІП —

С другой стороны, /2(^) не принадлежит £р(С). Действительно, если предположить обратное, то существует функция р2(|г|) Є £р(С) такая, что р2(|г|)  /2(^) ^ с. Если обозначить левую часть неравенства через ^(^), то можно сделать вывод о том, что ^(^) является ограниченной функцией. Но тогда для функции р2(|г|) не выполнено условие 4.

Таким образом, мы показали, что /2(^) не принадлежит 5р(С). Проверим, что /2(^) принадлежит пространству Ь2(С):

Ц |/йС 1 = 2п I г= 2п / ^ = —2п^ ^ = — ^ < +то, где ^ < 1.

с 11 И о г о

Таким образом, /2(г) Є Ь2(С).

3. Рассмотрим функцию р(і) = і  1п2 1. Тогда /3(г) = . .Д ^ Є $р(С).

Легко показать, что /3(^) не принадлежит Ьр(С), р > 2.

С помощью понятия интеграла Радона и схемы описания линейных функционалов из [8] (с. 212-223) нетрудно доказывается

Теорема 2. Любой линейный непрерывный функционал I в пространстве зр(С) задается в виде следующего интеграла Радона

1(/) = / /(*)  р(И)^Ф,

•Ус

где Ф — аддитивная ограниченной вариации функция множества.

Заключение. Полученные результаты могут быть использованы как в теории обобщенных уравнений Коши-Римана, так и при исследовании других функциональных пространств.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Векуа И.Н. Обобщённые аналитические функции. М.: Наука. 1988.

2. Михайлов Л.Г. Новый класс интегрируемых уравнений и его применение к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами. Душанбе. 1963. 183 с.

3. Усманов З.Д. Обобщенные системы Коши-Римана с сингулярной точкой. Душанбе. 1993. 245 с.

4. Крейн С.Г., Петунин Ю.И., Семёнов Е.М. Интерполяция линейных операторов. М.: Наука. 1978. 400 с.

5. Ронкин Л.И. Введение в теорию целых функций многих переменных. М.: Наука. 1971. 432 с.

6. Маергойз Л.С. Асимптотические характеристики целых функций и их приложения. Новосибирск: Наука. 1991.

7. M. Reissig, A. Timofeev Dirichlet problème for generalized Cauchy-Riemann systems with singular coefficients // Complex variables. Vol. 50. № 7-11. 2005. P. 653-672.

8. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. М.: Наука. 1959.

Алексей Юрьевич Тимофеев,

Сыктывкарский государственный университет,

Октябрьский проспект, д. 55,

167001, г. Сыктывкар, Россия E-mail: tim@syktsu.ru