Исследование немарковской динамической RQ-системы с конфликтами заявок

УДК 519.872

ИССЛЕДОВАНИЕ НЕМАРКОВСКОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ RQ-СИСТЕМЫ С КОНФЛИКТАМИ ЗАЯВОК

Т. В. Любина, А. А. Назаров

RESEARCH OF NON-MARKOVIAN DYNAMIC RQ-SYSTEM WITH CONFLICTS OF DEMANDS

T. V. Lyubina, A. A. Nazarov

Работа выполнена в рамках аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2011 годы)», проект № 11803.

В статье рассматривается немарковская RQ-система с конфликтами заявок, управляемая динамической дисциплиной обслуживания. Проводится анализ этой RQ-системы и находится характеристическая функция распределения вероятностей P(i) числа заявок в источнике повторных вызовов. Найдено условие существования стационарного режима RQ-системы. Получено распределение вероятностей числа заявок в источнике повторных вызовов для гамма-распределения времени обслуживания, а также для экспоненциального времени обслуживания.

In article the non-Markovian RQ-system with conflicts of the demands, controlled dynamic discipline of service is considered. The analysis of this RQ-system is carried out and there is a characteristic function of distribution of probabilities of number of demands in a source of repeated calls. The condition of existence of a stationary mode of RQ-system is found. Distribution of probabilities of number of demands in a source of repeated calls for holding time gamma distribution, and also for an exponential holding time is received.

Ключевые слова: RQ-система, динамический протокол доступа, конфликт заявок, пропускная способность.

Keywords: RQ-system, the dynamic report of access, the conflict of demands, throughput.

Введение

Исследование математических моделей компьютерных сетей связи является необходимым для обеспечения надёжной передачи данных. Методы теории массового обслуживания [1 -3] являются наиболее действенными в проведении таких исследований, в частности, при исследовании RQ-систем (Retrial Queueing systems) [4 - 7], которые являются адекватными математическими моделями компьютерных сетей связи. В монографии J. R. Artalejo,

A. Gomez-Corral [4] приведено более семисот ссылок на работы по этой тематике, опубликованные за последние двадцать лет.

Большого внимания заслуживают вопросы исследования математических моделей сетей связи случайного доступа [8 - 10]. Особенностью протоколов случайного множественного доступа является то, что для станций не вводится изначальной строгой очерёдности. Каждая станция после появления у неё готового пакета вправе его передавать сразу же, как только обнаружит канал свободным. При этом не исключена возможность возникновения конфликта [11, с. 38], если произойдёт наложение и искажение сигналов, передающих сообщение. В подобных случаях станция прекращает передачу и генерирует случайную задержку, после которой вновь пытается занять канал. Представляет интерес рассмотрение моделей, учитывающих интервалы недоступности прибора (моноканала), когда реализуется этап оповещения о конфликте [12, с. 94 - 111] и комплексное исследование процессов функционирования прибора и источника повторных вызовов.

Исследованию математических моделей компьютерных сетей связи в виде систем массового об-

служивания (СМО) с источником повторных вызовов посвящены работы А. А. Назарова, А. Н. Ду-дина, И. И. Хомичкова [1, 8 - 10, 13 - 14] и др. Однако ряд задач, посвящённых исследованию ЯР-систем и моделей сетей случайного доступа, остаётся не решённым, и для них требуется разработка оригинальных методов исследования, в частности, недостаточно исследованы системы с динамическим протоколом доступа.

В данной статье проведем исследование немарковской ЯР-системы с конфликтами заявок, управляемой динамической дисциплиной обслуживания.

1. Математическая модель

Рассмотрим немарковскую однолинейную динамическую ЯР-систему, на вход которой поступает простейший поток заявок с интенсивностью Я (рис. 1). Требование, заставшее прибор свободным, занимает его для обслуживания в течение случайного времени, имеющего произвольную функцию распределения В(х). Если во время обслуживания одной заявки поступает другая, то они вступают в конфликт. Обе заявки, попавшие в конфликт, переходят в источник повторных вызовов (ИПВ), из которого с динамической (зависящей от состояния ИПВ) интенсивностью а / г вновь обращаются к прибору с попыткой повторного его захвата, то есть вероятность обращения к прибору за время Д t для любой

заявки из ИПВ составляет аД t + о (Д t), если в

г

ИПВ находится г заявок. Если прибор свободен, то поступающая заявка становится на обслуживание,

если же он занят, то вновь возникает конфликт заявок и процедура его разрешения повторяется.

к(і) =

0, если прибор свободен,

Рис. 1. Немарковская динамическая RQ-система с конфликтами заявок

Задачей данной работы является нахождение распределения вероятностей числа заявок в источнике повторных вызовов.

1, если прибор занят,

г(0 - длина интервала от момента t до момента окончания текущего режима функционирования прибора при к (ь) = 1 в момент времени t.

Компонента х(() определяется только в те моменты, когда к(ь) = 1, если к(ь) = 0, то компонента х(Г) не определяется. Обозначим Р| к(ь) = 0, г(ь) = г} = Р(0,г,Ь),

Р{ к(ь) = 1, г(ь) = г,г(ь) < г} = Р(1,}г,ь).

Процесс {к(ь),г(ь),г(ь)} изменения во времени состояний описанной системы является марковским.

Для распределения вероятностей Р(к, г, г, ь) состояний {к, г, г} рассматриваемой Яр-системы Аь -

методом по формуле полной вероятности составим систему равенств:

2. Исследование немарковской динамической RQ-системы с конфликтами заявок

Пусть і(Ь) - число заявок в ИПВ, к(Ь) - определяет состояние прибора следующим образом:

Р(0, 0, Ь + АІ) = Р(0, 0, Ь) (1 - ЛАЬ) + Р(1, 0, АЬ, Ь) + о(АЬ) ,

Р(1,0, г — АЬ, Ь + АЬ) = [ Р(1,0, г, Ь) — Р(1,0, АЬ, Ь) ] (1 — ЛАЬ) + Р (,0, Ь ^ЛАЬВ(г) + Р (,1, Ь (аАЬВ(г) + о(АЬ),

Р(0,1, Ь + АЬ) = Р(0,1, Ь( (1 — ЛАЬ) (1 — аАЬ) + Р(1,1, АЬ, Ь) + о(АЬ),

Р(1,1, г — АЬ, Ь + АЬ) = [ Р(1,1, г, Ь) — Р(1,1, АЬ, Ь) ] (1 — ЛАЬ) (1 — аАЬ) + Р (0,1, Ь) ЛАЬВ(г) +

+ Р

Р(0,і,Ь + АЬ) = Р(0,і,Ь(1 — ЛАЬ)(1 — аАЬ) + Р(і,і, АЬ,Ь( + Р(і,і — 2,Ь)ЛАЬ + Р(і,і — 1,Ь(аАЬ + о(АЬ),

Р(1, і, г — АЬ, Ь + АЬ) = [ Р(1, і, г, Ь) — Р(1, і, АЬ, Ь) ] (1 — ЛАЬ) (1 — аАЬ) + Р (0, і, Ь (ЛАЬВ(г) +

+ Р (0, і + 1, Ь (аАЬВ(г) + о( АЬ),

применяя которые, получим систему дифференциальных уравнений Колмогорова и запишем её для стационарного распределения Р(0,г,ь) = Р(0,г),

Р(1, г, г, ь) = Р(1, г, г):

дР

—Р (0,0)Л

д г

= 0,

д Р

— Р (1, 0, г)Л +

дг д г

+Р (0, 0 (Л В (г) + Р (0,1 (а В (г) = 0,

—Р

а) + дР(1.1.0) = а

дР

дг

— Р

дг дг

+Р (0,1 (ЛВ(г) + Р (0,2 (аВ(г) = 0,

_Р(0,,)(Л + а) + «М +

дг

+Р

— Р(1, і, г )(Л + а) +

дг дг

+Р (0, г )ЛВ(г) + Р (0, г + 1 )<тВ(г) = 0.

Чтобы решить систему (2), определим характеристические функции:

¥

Н(0, и) = ^ е]шР(0, г),

г=0 ¥

н

г=0

Тогда из системы (2) с учётом равенств (3) получаем следующую систему уравнений для функций

Н(0, и) и Н(1, и, г):

Вестник КемГУ

№ 1 (49) 2012

—Н (0, и) (Л + а) + Р(0,0)а + дН (1, и,0) + Н (1, и)в2 іиЛ + Н (1, и)віи а — Р(1,0)І а = 0,

дг

дН

дг дг

—Р (0,0 (в—іи аВ(г) = 0,

— Н(1, и, г)(Л + а) + Р(1,0, г)а + Н(0, и)ЛВ(г) + Н(0, и)в іиаВ(г) —

которая является системой двух уравнений с двумя основными неизвестными Н(0, и), Н(1, и) и четырьмя вспомогательными неизвестными

дН(1, и,0), Р(0,0), Р (1,0) и Р(1,0, г).

дг

Нахождение вспомогательных неизвестных Из первых двух уравнений системы (2) неизвестные Р (1,0) и Р(1,0, г) выразим через величину Р(0,0). Для этого второе уравнение системы (2) запишем в виде:

ЙР

&

-- Р(1,0, 2)Х =

°Р(1Д0) - Р(0,0)щ2) - Р(0,1>гВ(2), 02

откуда получим:

Р(1,0, 2) =

= \в-Хх

0Р

02

- р

>ёх.

Так как Л > 0, следовательно, Пт еЛг = ¥,

г -^¥

отсюда следует, что для второго сомножителя выполняется предельное равенство:

-л, . дРд,а0,0) - Р(0,0)ЛБ(Х) -

—Р

Тогда, определяя здесь значения интегралов по лучим равенство:

дР

дх

— Р(0,0)ЛВ (Л) — Р(0,1 (аВ (Л) = 0,

В *(Л) = J е—ЛхёВ(х).

истемы (2) с

= Р(0,0)Л,

Из первого уравнения системы

дг

поэтому уравнение (6) примет вид:

Р(0,0(Л(1 — В*(Л)( — Р(0,1 (аВ*(Л) = 0 , следовательно,

аР

Тогда, с учётом (8) и (9), равенство (5) перепишем в виде:

г Л — ЛВ(х) —

Р(1,0, г) = Р(0,0)еЛг J е—Лх^

—Л 1—ВІЛ) в

В"

ёх =

Лх

1 —

В

В*

Так как Р (1,0 ( = Ііт Р(1,0, г), то

1

Л

Р (1,0 ( = Р(0,0)-1

1 —

В*

= Р

В *

—Л

= Р

— 1

1 — В *(Л) В*(Л) '

Таким образом, неизвестные Р

выражены через величину Р(0, 0) , которую определим ниже.

где

Нахождение Н(0, и) и Н(1, и).

Перепишем систему (4) в следующем виде:

дН (1, и,0) — Н (0, и) (Л + а) + Н (1, и) (в2 іиЛ + еіи а ( + Р(0,0)а — Р(1,0)віи а = 0,

дг V '

дг

дН(1,и,г) дН(1,и,0) / — т \

— Н(1, и, г)(Л + а) =------------------Н(0, и) I Л + в — а I В(г) +

дг

Решая второе уравнение системы, запишем:

дг

+ Р (0,0 (в—іи аВ(г) — Р(1,0, г )а.

Н (1, и, г) = в(Л+а)г £ в—(Л+а)х {дН (1,и,0) — Н (0, и) (Л + в—іи а )в(х) — Р (1,0, х )а + Р (0,0)в—•аВ(х) ]йх .

0

0

Так как Н (1, и ) = Ііт Н(1, и, г), то

Н (1, и) =

дН

дг

— Н (0, и) (Л + в—іи а) — Р (1,0)а + Р(0,0)в—іи а

дг дН

—

— Н (0, и) (л + в—іи а ( + Н (1, и) (Л + а ( = Р(1,0)а — Р(0,0)в— а,

— Н (0, и)(л + в—іи а )В* (Л + а) = Р *(1,0, Л + а)а — Р (0,0)в-^ а В* (Л + а),

тогда получим следующую систему уравнении:

дН

дг

дН (1, ^ 0) — Н (0, и) (Л + а) + Н (1, и) (иЛ + е^ а) = Р(1,0)е^и а — Р(0,0)а,

дг

где Р (1,0) определяется равенством (10),

¥

Б* (Л + а) = J е—(Л+а )гЙБ(г),

0

Р*(1,0, Л + а) = ¥ е—(Л+а)ЙР(1,0, г) = Л Р(0,0) Б (Л) — Б (Л + а) .

•0 а Б *

Система (11) является системой трех уравнений относительно двух основных неизвестных Н(0, и), Н(1, и) и двух вспомогательных неизвестных

и Р(0,0).

дг У '

тт ^ дН

Для того чтобы наити --------------1, домножим

дг

первое уравнение системы (11) на -е^и и, складывая с третьим, запишем:

дН(1, u, 0) /1 — е^и ) — Н(0, и)Л (1 — е^ ) —

дг

—Н(1, и)Ле^и (1 — е*) = 0. откуда получим равенство:

дН

дг

= Н(0, и)Л + Н(1, и)Лвіи.

дг

— Н (0,0) (Л + а )В *(Л + а) =

При и = 0 из (13) получим:

дН

дг

= Н (0,0)Л + Н (1,0)Л = Л.

и = 0

Таким образом в системе (11) остается неизвестно только одна вспомогательная величина

Р (0,0), для того, чтобы её определить в системе

(11), положим и = 0, получим следующую систему двух уравнений:

- Н(0.0)(Л + а) +

+Н

Применяя это равенство к уравнениям системы (14) получаем систему двух уравнений:

2Л + а — 2Н (0,0) (Л + а) =

= аР(0,0)1 — Б (Л) — аР(0,0),

Б*

Л — Н

= лр

—аР(0,0)Б *(Л + а),

относительно двух неизвестных Н(0, 0) и Р(0, 0) . Из полученной системы (15) нетрудно получить выражение, определяющее значение величины

Р(0,0) :

(2Л + а )*(Л + а) — 2Л *

Р

= Р (1,0,Л + а)а — Р(0,0)аВ (Л + а).

Таким образом, значение величины Р(0,0) определяется равенством (16), а с учётом равенства (13) в системе (11) значения функций Н(к, и) определяются однозначно из следующей системы:

Н(0, и)(Л — (Л + ае—1и )Б*(Л + а)) + Н(1,и)Ле1и = Р(0,0)| Л Б (Л) Б (Л + а) — лББ*(Л + а) [,

[ Б (Л) ]

—Н (0, и)ае—зи + Н (1, и)(и + Л + а) = Р(0,0) | а 1 — ае-'11.

Решая данную систему уравнений, выражения для нахождения функций Н(0, и) и Н(1, и) примут вид:

{ — ( + ае-—и) Б*(Л + а)} {а1 — Б (Л) — ае—1 + ае—и {л Б (Л) — Б (Л + а) — ае—эиБ* (Л + а) 1

Н(0, и) =--------------------------------------------------------------------------------------------- ^ Б (Л) *-^-1-ЁМ-I Р0 0),

{А — ( + ае--и )б (Л + а)}(л^ +А + а )+Ла

ЛБ(Л) — Б(Л + а) — ае--иБ*(Л + а)|(Ае^и + Л + а) — {а1 — Б (Л) — ае—и\ле*

Н(1 и) =±--------Б (Л)------------ ------------—^------г--------------1 Б (Л)--------------^---Р(0,0),

{А — ( + ае—и )Б*(Л + а)}(Л^ +А + а )+Ла

где преобразования Лапласа-Стилтьеса Б*(Л) и Б* (Л + а) определяются равенствами (7) и (12) соответственно, а Р(0, 0) определяется равенством (16).

Так как характеристическая функция Л(и) = Ие^иг(ь) определяется равенством:

Н(и) = Н(0, и) + Н(1, и),

то распределение вероятностей Р(г) числа заявок в источнике повторных вызовов определяется обратным преобразованием Фурье:

(2Л + а )В*(Л + а) > 2Л,

Р(і) = — [ в—ітЬ,(и)йи. 2р ^

0 <

В* (Л) < 1:

которое определяет условие существования стационарного режима. Таким образом, в данном неравенстве необходимо, чтобы числитель и знаменатель принимали значения одного и того же знака. Нетрудно показать, что эти значения должны быть положительными, тогда имеет место система трёх неравенств:

2Л + а) (*(Л + а) — 2Л < (2Л + а) (*(Л + а) — 2ЛВ*(Л), 2Л + а) (Л + а) > 2Л,

2Л + а) В (Л + а) > 2ЛВ*(Л).

Таким образом, из вида этои системы следует, что при выполнении второго неравенства

выполняются также и два остальных неравенства.

Полученное неравенство (18) является необходимым и достаточным условием существования стационарного режима в немарковской динамической Яр-системы с конфликтами заявок.

4. Численные результаты

1) Рассмотрим гамма-распеделение времени обслуживания заявок. Для гамма-распределения с параметрами а и 3 преобразования Лапласа-

Стилтьеса Б* (Л) и Б*(Л + а) имеют следующий вид:

Численное интегрирование в (17) при заданных значениях параметров Л, а и преобразованиях Ла-

пласа-Стилтьеса В* (Л) и В*(Л + а) не представляет труда для широкого спектра значении і .

3. Исследование условия существования стационарного режима

В силу своиств вероятности, должны выполняться неравенства 0 < Р(0,0) < 1, то есть из (16) запишем двоиное неравенство:

(2Л + а)(*(Л + а) — 2Л

В* (Л) =

1 + л

В* (Л + а) =

1

1 + Л + а

, 1

Значение пропускной способности для Яр-системы с таким гамма-распределением будет определяться условием (18), в котором Б* (Л + а) имеет соответствующий вид (19).

Определение. Пропускной способностью сети связи называется точная верхняя граница Б тех значений загрузки р = ЛЬ, где Ь - среднее значение времени обслуживания, для которых в математической модели сети существует стационарный режим.

Для заданных значений параметров а = 0,5, а = 3 = 0,5 пропускная способность данной системы Б = 0,379, тогда параметр Л примем равным Л = 0,35 . Распределение вероятностей Р\(г) числа заявок в источнике повторных вызовов определяется обратным преобразованием Фурье (17) и приведено в табл. 1, где также указаны значения величин ^(г) = р(г + 1)/ р(г).

Таблица 1

Распределение вероятностей Р^О числа заявок в ИПВ при гамма-распределении времени обслуживания

і 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Р(і) 0,1566 0,0420 0,0720 0,0593 0,0557 0,0508 0,0467 0,0428 0,0393

§1 (і) 0,2680 1,7151 0,8231 0,9403 0,9122 0,9183 0,9169 0,9172 0,9172

і 9 10 11 12 13 14 15 16

Р(і) 0,0360 0,0330 0,0303 0,0278 0,0255 0,0234 0,0214 0,0196

§1 (і) 0,9172 0,9172 0,9172 0,9172 0,9172 0,9172 0,9172 0,9172

Данное распределение вероятностей Р1(г) обладает свойством стабилизации последовательности соотношений ^ (г) = р (г + 1) / Р1 (г), которая достаточно быстро стабилизируется и принимает постоянное значение при г > 3 с точностью до двух знаков после запятой. Аналогичные результаты имеют место и для других значений параметров Л, а , а и 3 .

2) При а = 1 и 3 = т гамма-распределение является экспоненциальным, то есть требование, заставшее прибор свободным, занимает его для обслуживания в течение случайного времени, имеющего экспоненциальную функцию распределения с

параметром т . Тогда Б* (Л) и Б * (Л + а) примут

вид: В *(Л) =

В* (Л + а) =

т + л т + л + а

а значение величины Р(0,0) будет выглядеть следующим образом:

Р(0,0) =

ат — 2Л

а

В силу своиств вероятности должно выполнять-

ся следующее неравенство:

1

<

1 +

1 + 2-т

= б ,

где Б - пропускная способность рассматриваемой системы.

Определим значение параметра Л. Для заданных значений параметров т = 1, а = 4 пропускная способность данной системы Б = 0,4495, поэтому примем Л = 0,4 . Распределение вероятностей Р2(г) числа заявок в источнике повторных вызовов определяется обратным преобразованием Фурье (17) (табл. 2).

Таблица 2

Распределение вероятностей Р2(1) числа заявок в ИПВ при экспоненциальном распределении времени обслуживания

і 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Р2(і) 0,2800 0,0432 0,0795 0,0685 0,0607 0,0537 0,0476 0,0421 0,0373

§2 (і) 0,1543 1,8400 0,8617 0,8864 0,8851 0,8851 0,8851 0,8851 0,8851

і 9 10 11 12 13 14 15 16

Р2 (і) 0,0330 0,0292 0,0259 0,0229 0,0203 0,0179 0,0159 0,0141

§ 2 (і) 0,8851 0,8851 0,8851 0,8851 0,8851 0,8851 0,8851 0,8851

Распределение вероятностей Р2(г) также обладает свойством стабилизации последовательности соотношений ё2(г) = Р2(г + 1) / Р2(г) и при г > 2

принимает постоянное значение с точностью до двух знаков после запятой. Аналогичные результаты имеют место и для других значений параметров Л, а и т .

Результаты, полученные в случае экспоненциального распределения времени обслуживания, совпадают с результатами исследования марковской динамической Яр-системы с конфликтами заявок [7, с. 73 - 84].

Заключение

Таким образом, в данной статье проведено исследование немарковскои динамическои

ЯР-системы с конфликтами заявок. В результате исследования получена характеристическая функция для распределения вероятностей Р(і) числа заявок в источнике повторных вызовов в виде обратного преобразования Фурье (17). Найдено условие существования стационарного режима данной ЯР-системы в виде (18).

Далее для гамма-распределения и экспоненциального распределения времени обслуживания заявок найдены распределение вероятностей Р1(г) и

P2(i) числа заявок в ИПВ соответственно. Обнаружено свойство стабилизации последовательностей соотношений 6(г) = P(i + 1) / P(i). Показано, что

распределение вероятностей P,(i) совпадает с полученным ранее распределением вероятностей числа заявок в ИПВ при исследовании марковской динамической RQ-системы с конфликтами заявок.

Литература

1. Назаров, А. А. Теория массового обслуживания: учеб. пособие / А. А. Назаров, А. Ф. Терпугов. -Томск: НТЛ, 2010. - 228 с.

2. Гнеденко, Б. В. Введение в теорию массового обслуживания / Б. В. Гнеденко, И. Н. Коваленко. Изд. 3-е, испр. и доп. - М.: КомКнига, 2005. - 400 с.

3. Саати, Т. Л. Элементы теории массового обслуживания и её приложения / Т. Л. Саати. - М.: Сов. радио, 1971.

4. Artalejo, J. R. Retrial Queueing Systems: A Computational Approach / J. R. Artalejo, A. Gomez-Corral. - Springer, 2008. - 309 p.

5. Falin, G. I. A finite source retrial queue / G. I. Falin, J. R. Artalejo // European Journal of Operation Research. - 1998. - № 108.

6. Falin, G. I. Approximations for multiserver queues with balking/retrial discipline / G. I. Falin, J. R. Artalejo. - OR Spektrum, 1995.

7. Любина, Т. В. Исследование марковской динамической RQ-системы с конфликтами заявок / Т. В. Любина, А. А. Назаров // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. - 2010. -№ 3(12).

8. Назаров, А. А. Сравнение асимптотической и допредельной модели сети связи с динамическим протоколом случайного множественного доступа /

A. А. Назаров, С. Л. Шохор; под ред. И. А. Александрова и др. - Томск: Пелент, 1998.

9. Назаров, А. А. Исследование сети связи с динамическим протоколом «синхронная Алоха» в условиях большой загрузки / А. А. Назаров, Ю. Д. Одышев // Автоматика и вычислительная техника. - 2001. - № 1.

10. Назаров, А. А. Устойчивое функционирование нестабильных сетей связи с протоколами случайного множественного доступа / А. А. Назаров // Проблемы передачи информации. - 1997. - № 2.

11. Любина, Т. В. Аппроксимация допредельного распределения в динамической Яр-системе с конфликтами заявок / Т. В. Любина, А. А. Назаров // Новые информационные технологии в исследовании сложных структур: тезисы докладов VIII Российской конференции с международным участием. -Томск: НТЛ, 2010.

12. Назаров, А. А. Метод асимптотических семиинвариантов для исследования математической модели сети случайного доступа / А. А. Назаров, Е. А. Судыко // Проблемы передачи информации. -2010. - № 1.

13. Дудин, А. Н. Системы массового обслуживания с коррелированными потоками / А. Н. Дудин,

B. И. Клименок. - Минск: БГУ, 2000. - 221 с.

14. Хомичков И. И. Системы массового обслуживания с повторными вызовами и вероятность потери при сдвоенных соединениях / И. И. Хомичков // Доклады НАН Беларуси. - 1998. - Т. 42. - № 2.