К асимптотической теории обтекания малых пространственных неровностей

Том ХЫУ

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

2013

№ 2

УДК 532.526.5

К АСИМПТОТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ОБТЕКАНИЯ МАЛЫХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ НЕРОВНОСТЕЙ

Вик. В. СЫЧЕВ

Рассмотрено стационарное течение несжимаемой жидкости при больших числах Рей-нольдса около малой пространственной неровности, находящейся в трехмерном пограничном слое. Исследован режим ее обтекания с новым видом взаимодействия, присущим только пространственным течениям. Получено решение линеаризированной задачи.

Ключевые слова: трехмерный пограничный слой, струя, взаимодействие.

Изучению обтекания малой пространственной неровности, расположенной на гладкой поверхности твердого тела, посвящено большое число работ. Формулировка краевой задачи, решение которой дает описание локального течения около неровности, определяется главным образом размерами неровности, ее ориентацией относительно невозмущенного (в общем случае) трехмерного пограничного слоя и формой поверхности обтекаемого тела. Изложение результатов исследований в этом направлении, основанных на асимптотическом анализе системы уравнений Навье — Стокса при больших числах Рейнольдса (Яе), содержится в работах [1 — 4].

Данная работа посвящена изучению режима течения при Яе ^ да, когда малая неровность вытянута вдоль линий тока внешнего потенциального потока, лежащих вблизи поверхности, т. е. на внешней границе тонкого пограничного слоя.

1. Рассмотрим стационарное течение около поверхности, обтекаемой однородным потоком несжимаемой жидкости. Для простоты изложения будем полагать эту поверхность плоской, но течение в пограничном слое на ней существенно трехмерным. Решения соответствующих задач даны в [5 — 7].

Введем следующие обозначения: ¡х, ¡у, ¡г — оси ортогональной прямолинейной системы координат, связанной с поверхностью (у = 0); идаи, идау, ида^ и рда+ри^р — соответствующие компоненты вектора скорости и давление. Здесь I — расстояние от передней кромки тела до точки начала системы координат, в малой окрестности которой находится неровность; ида и рда — абсолютная величина вектора скорости и давление в набегающем потоке; р — плотность жидкости. Число Рейнольдса Яе=ида1 /V , где V — кинематический коэффициент вязкости.

Пусть размеры неровности вдоль осей Ох и Ог суть величины порядка в и ц соответственно, а ее высота - О (И Яе-1/2). Введенные параметры будем считать малыми: в (Яе) ^ 0, ц (Яе) ^ 0, И (Яе) ^ 0 при Яе ^да . Положим, что направление вектора скорости на внешней границе пограничного слоя здесь почти совпадает с направлением оси Ог. Иначе говоря, пусть линия тока (рис. 1), проходящая при у = + 0

в масштабах х = О(1), у = О(1), г = О(1) через начало системы коор-

СЫЧЕВ Виктор Владимирович

доктор физико-математических наук, начальник сектора ЦАГИ

Рис. 1. Схема течения около неровности

О ............ х

динат, составляет с осью Ог малый угол а = са0, где а(Яе) ^ 0 при Яе ^ <х> и а0 — постоянная.

В силу регулярности решения внешней задачи обтекания и на основании сказанного при х ^ 0, Ы ^ 0 в пограничном слое справедливо представление:

Рис. 2. Асимптотическая структура течения около неровности в сечении z = const

U = U0(Y)+O(x)+O(z)+c [a0 W0(Y)+o(1)]+O(a2), W = W0(Y) + O( x)+O( z)+c [-a0U0(Y)+o(1)]+O(c2), Uo(») = 0, W)(w) = q0 > 0.

Таким образом, приходящий к неровности в поперечном направлении (вдоль оси Ох) профиль скорости и0(Г) будет таким же, как в струе (рис. 2). В (1.1), как обычно, для течения в пограничном слое

y = Re-12 Y, Y = O(1), (u, v, w) = (U, Re-1/2 V, W) + o().

Функции и0(У), ^)(У) определяются решением задачи в целом (см. [5 — 7]), qo — решением внешней задачи. При У ^ 0:

U0 =

O(Y 2),

W) = b^Y-

O(Y 2),

где а0, ¿0 — положительные постоянные.

Для описания течения с локальными зонами отрыва вблизи неровности необходимо, чтобы градиент давления не был заранее задан. Как известно со времени первых исследований для плоских течений, здесь имеются две возможности: если самоиндуцированный градиент давления связан с наклоном линий тока [8, 9] — течение со взаимодействием, если отсутствует вытесняющее действие пристеночного слоя — компенсационный режим течения [8, 10]. Заметим, что локальная область взаимодействия была обнаружена ранее при изучении отрыва пограничного слоя в сверхзвуковом потоке газа [11, 12] и обтекании задней кромки пластины несжимаемой жидкостью [13, 14], а также при исследовании отрыва потока жидкости от гладкой поверхности [15], которое привело к установлению важной связи теории пограничного слоя с теорией течений идеальной жидкости со свободными линиями тока.

Течение с локальными зонами отрыва может реализоваться, если неровность находится внутри «вязкого» пристеночного подслоя, введение которого необходимо для удовлетворения условию прилипания. Поэтому в подслое (обл. 3 на рис. 2) х = О(в), у = О(к Яе-12), г = О(ц). Приходящий к неровности пограничный слой обладает конечным (отнесенным к р и 2Яе-1/2) поверхностным трением (см. (1.3)). Следовательно, решение в пристеночной области может быть представлено в виде

X = SX*, y = h Re-1/2 Y*, z = ,

2 p00 = 1 - q2 + O(a2) = const.

Подставляя это асимптотическое разложение в систему исходных уравнений Навье — Стокса при Re ^да и исходя из баланса инерционных членов, градиента давления и «вязких» членов, приходим к уравнениям вида

* du* * du* , * du* dp* д2u* u*-+ v*-+ Xw* 1 -

dx* dY * dz* dx* dY *2

* dw* * dw* . * dw* . dp* д2w* u*-+ v*-+ Xw*-+ X- -

дх* дY * дz * дz* дY *2

ды* ду* . д^* „ др* * *. * *ч

-+-+ Х-= 0, -?— = 0, р* = р0(х*, z*),

дх* дY * дz* дY*

Х = -, к*=к2, к = в1/3. Ц

Одновременно находится связь между малыми параметрами. Необходимо также полагать, что вЯе34 —да при Яе —да, поскольку иначе вместо (1.5) была бы получена система полных уравнений Навье — Стокса с локальным числом Рейнольдса, равным единице [8].

Уравнения (1.5) содержат параметр Х , который, как будет показано ниже, мал для рассматриваемого в работе режима течения.

Из сращивания с приходящим профилем скорости (1.3), а также, поскольку градиент давления согласно (1.4), (1.5) здесь велик (порядка в-1/3), получаем, что при |х*|—да, *|—да:

ы* —^а0 Y*, Ь0 Y*, р* — 0.

Решение должно удовлетворять условию прилипания:

ы*= у*= w* = 0

при Y* = Е*(х*, z*), где функция Е*(х*, z*) определяет форму неровности. Будем полагать, что Е * — 0 при х*2 + z *2 — да и является гладкой.

В основной части пограничного слоя (обл. 2), сохраняющей толщину О(Яе-1/2), главные члены разложения суть функции и0(Y) и Y). Поэтому при Y* — да:ы* —aoY*, w* — boY* и тогда из (1.5), как известно [16], находим, что

ы* = а^*+ а0А(х*, z*) + о(1),

w*= b0Y*+ Ь0А

при Y*—да, где А(х*, z*) некоторая, пока произвольная функция: А—0 при х*2 + z*2 —да.

Анализ течения в области 2, где Y = Яе12 у = O(l), начнем с предварительных оценок. Пусть в (1.5), (1.8) параметр Х = О(1). Тогда [16] (см. (1.4), (1.5)) здесь

V =— Qr

v = s-2/3 Re-1/2[V1(x*, Y, z*) + o(1)],

p-P00 = s2/3P0

V u d .A ^ w dA

1 " 0 dx* 0 dz*

При s << Re-3/8 имеет место компенсационный режим [8, 17, 18]; при s = Re-3/8 — течение со взаимодействием [8, 9, 19]; при s >>Re-3/8 — течение с заданным градиентом давления [8, 20, 1]. Если же X ^ 0, то возможен режим течения со взаимодействием, отличный от хорошо известного. Действительно, используя (1.9), из уравнения движения в проекции на ось Оу получаем:

s7/3 Re IP0 = -U0 - XW0 ^ + о

dY 0 d x* 0 dz* w

Во избежание противоречия необходимо, чтобы функция P0 (т. е. давление в главном приближении) была ограничена при Y ^ да . Это возможно, если только X ^ 0, так как U0(да) = 0, W)(<») = q0 > 0. Из (1.10) находим также, что s = Re-3/7 . Этот масштаб для области взаимодействия и тип последнего были впервые обнаружены при рассмотрении двумерного течения «вязкой» струи вблизи задней кромки пластины и точки отрыва [21 — 23]: двухслойная структура.

Здесь наиболее общий режим течения, с дР0 / dY Ф 0 в основной части области взаимодействия, реализуется, как будет видно из дальнейшего, если X = с . Рассмотрим его.

Согласно (1.2), (1.1), (1.4), (1.8) и сказанному выше, в области 2 решение имеет вид

x = sx*, y = Re-12 Y, z = ^z*, X = c = £-, s = Re-3/7,

u = U0 (Y) + ca0W0 (Y) + O(c2) +... + sV3U 1(x*, Y, z*) + O(sV%),

v = s-2/3 Re-12[V1

w = W0 (Y) - ca0U0 (Y) + O(c2) + • • • + s1/3W1(x*, Y, z*) + O(sV3c), p = P00 + s2/3P0 (x*, Y, z*) + O(s2/3c)].

Внося это разложение в систему исходных уравнений, находим решение, удовлетворяющее условиям сращивания при Y ^ 0 с разложениями (1.4), (1.8):

dA

U1 = A(x*, z*) U' (Y), V1 = -— U0(Y),

dx*

rs2 A Y

W1 = A

( dA dA Л^ ч d B . .

V2=-l,a0 &a +¥*) W0( Y)-iB*U0(7)-

где согласно (1.4), (1.5), p* (x*, z*) — распределение давления в пристеночной области. Приведенное здесь выражение для V2 будет использоваться, хотя для нахождения функции B(x*, z*) необходимо получение решения для коэффициентов в следующих членах асимптотических разложений во всех областях.

Рассмотрим, наконец, слабовозмущенное течение во внешней области, где У = O(s) (обл. 1 на рис. 2). Согласно (1.11), (1.1), (112), при Y ^ да:

u ^oa 0q0, V ^--в-2/3о Re-1/2 q0 fa 0 + ,

0 ^ 0 dx* dz * J

2 -

p - Poo ^ в2/3P(x*, z*), P = P0* + ¿0 ^ , ¿0 = í U0dY•

Используя эти выражения, можем представить решение для внешней области в виде

x = вх*, y = ву*, z = ^z*, B = Re-3/7, u =oa0q0 + O(o3) + A1u 1(x*, y*, z*) + 0(A1o),

v = B-2/3oRe-1/2[v1

w = q0 + O(o2) + 51 w1(x*, y*, z*) + 0(5^), p = P00 +в2/3P1(x*, y*, z*) + 0(в2/3о).

Подставляя это разложение в систему уравнений Навье — Стокса и исходя из соображений о наибольшей общности получаемых в результате уравнений, имеем:

A1 = в2/3о-1, o = Re-1/28, 51 = Re-2/7,

du 1 Su, дР1 a0 q0 —- + q0 —- + —1 = 0,

0 0 dx* dz* dx* dv1 dv1 dP1

a«q0 iv1+q»dz*'+dF=

5wi dw1 3p1

a0q0-- + q0 —L + —^ = 0,

dx* dz* dz*

du1 + dv1 = 0 dx* cy *

Нетрудно видеть, что р1(х*, у*, z*) является гармонической функцией и z* играет роль параметра:

д 2Р1 , д2Р1 = 0.

д x*2 dy*2

1 дp1 2 д2— „ д2— д2—

-1—— = a2- + 2a0- + -

q2 дy* 0 дx*2 0 дx*дz* д z*

x*2 + y*2 + z*2 ^ да: P1 ^ 0.

y* = 0: p = p

У ' F1 F ' h -,2?, y* 0Я v*2 0 Яг*Я-7* Я -7*2 ' V ' '

Выражения при У* = 0, согласно (1.13) — (1.15), обеспечивают сращивание асимптотических разложений в областях 1 и 2 при у* — 0 и Y — да для давления и нормальной составляющей вектора скорости.

Решение задачи (1.16) с учетом (1.13) дает замыкающее соотношение — условие взаимодействия, связывающее распределение давления в пристеночной области с изменениями наклона линий тока на внешней границе этой области ^ * —да) и кривизной линий тока в основной части области взаимодействия ^ = О (1)):

* _ q0 даа 2дА / д t+ 2а 0дА / дг* + г *) , 524

Р0_—ГХ* ^~ко к

X* д 24

б( х * г *) Л * *.

—да

Здесь интеграл понимается в смысле главного значения. 2. Аффинное преобразование

х * _ а0р 3Х', У * _Р7', г * _ а—1/2р2', и * _ а0ри', V* _р—V', ^ ^РЖ', р0_а2Р2Р', А _РА',

Е* ', р_ к0/7 а —4/7

приводит задачу (1.5) — (1.8), (1.17), решение которой описывает течение в «вязком» подслое области взаимодействия, к виду

и у и дР _ ди и дУ _ 0

дХ + дУ + дХ _ дУ2 ' дХ + дУ _ , Т7дЖ тгдЖ д2 Ж

и--+ у— _-•

д X д У д У 2 ' У _ Е

дА

У ^да: и — У ^ А(X, 2), У—1У ^--, Ж — У ^ А(Х, 2);

дХ

|Х| ^ да, ^да: и^ У, Ж^ У, Р^ 0, А ^ 0; q 2 да а*2дА /д t + 2а*дА / д2 + б^, 2К д2А

Р _ —

10 Г

п Г

t — Х дХ2 '

б( х, г) _ а*_а0 к 02/7а 0—5/14

-да

д2-

Здесь и ниже штрихи в обозначениях (2.1) опущены.

Согласно (1.11), (115) параметр А_ Яе—1/28 ^ 0 при Яе ^да, поэтому некоторые члены в системе уравнений (1.5) не существенны в главном приближении и уравнение для функции (х*, У *, г* ) отделяется (см. (2.2)), как это бывает, когда течение квазидвумерно [24].

Рассмотрим теперь обтекание неровности, у которой размер вдоль оси Ог мал (см. (1.11), (1.15)), но по порядку величины больше, чем Яе—11/28: ц^0, цЯе11/28 ^ да при Яе ^да , что соответствует значениям параметра А << Яе—1/28. При этом будем по-прежнему полагать а _ Яе—11/28, т. е. в (2.3) параметр подобия а * _ О(1). Тогда условие взаимодействия (2.3) принимает вид

0 а0 дадА/д^ д2А * 2 *2

Р _--0 I -Л--, а0 _ q0а*2.

п •> t — Х дХ2 0 У0

В этом легко убедиться, сделав в (2.3) предельный переход: 2 — у2, у — да . Заметим также, что решение задачи (2.2), (2.4) не зависит от знака а0 .

Следуя [25], получим решение линеаризированной задачи. Уместно вспомнить, что в [25] была впервые сформулирована задача, решение которой (см.[26]), как и ожидалось, дает описание зарождения отрыва потока — появления небольшой области возвратного течения около точки слабого излома поверхности.

Итак [25], пусть в (2.2) Е = Н0(Х, 2), где И мало. Тогда

(и-Y, V, Р, А, Ж - Y) = И(Ц, Ух, Рх, Ах, Жх) + О(Н2). Введя фурье-изображение

да

и(ш, Y, 2) = | и1в~'аХёХ,

после подстановки (2.5) в (2.2), (2.4) приходим к следующей краевой задаче:

_ _ _ д2и

¡^и + V + ¡шР =-,

дY 2

- дV - - д2Ж

¡ши +-= 0, ¡шYЖ + V =-;

дY дY2

Y = 0: и = -0, V = 0, Ж = -0;

Y — да: и — А, Ж — А; Р = Ь(ш) А, Ь = а0 |Ш- (¡ш)2.

Решение для и (ш, Y, 2), где 2 — параметр, выражается [25] через функцию Эйри А^г\, 2), п = (¡ш)1/3Y. В результате для фурье-изображений давления и добавки к поверхностному трению вдоль оси Ох получаем:

Р =

- Ь(ш)0 (ш, 2) У0 (¡ш)1/3 Ь(ш) +

ди

тХ =-

Х дY

и1 У=0

А/'

У-1 = -3 АГ(0), у, ,

1 0 и^ П Аф)

-у1(/'ш)2/3Р, |ат§(/'ш) <п.

Решение уравнения для Ж(ш, Y, 2) в (2.6) известно [27], и для соответствующей добавки

в составляющей поверхностного трения имеем:

АГ

- дЖ т7 =

дY

= Ктх, К = 1-

7=0

3 Аг' 2

= 0.31554.

На рис. 3 — 5 представлены графики функций А1, Рх, тХ для неровности вида

О = g(2)е "Х2/2, я(± да) = 0, g(0) = 1

в сечении 2 = 0 при различных значениях параметра а0.

Рис. 3. Графики функции А1(Х, 0): 1 — а0= 0.1; 2 — а0 = 1; 3 — а0 = 5

Рис. 4. То же, что на рис. 3, для функции Р1

Рис. 5. То же, что на рис. 3, для функции тХ

При больших значениях |Х| в асимптотиках доминирует первое слагаемое из условия взаимодействия (2.4). Поэтому при Х ^—да :

А1 _— ¿0У0П7/3) |Х|"7/3 +О (|Х|"10/3 ), ^0 _п—^6(0, 2), Р1 _ ¿0|Х|"2 + О (|Х|"3 ), тх _— ¿0^хГ(8/3) |Х|"8/3 + О (|Х|"Ш3 ), а при X ^ да [9]:

А1 _—2¿0^0Г(7/3) X—7/3 +О(Х—10/3), р1 _ ¿0X—2 + О(Х—3), тХ _2¿0у1Г(8/3) X—8/3 + О(X—11/3).

Если параметр подобия а0 мал, что соответствует значениям а << Яе—1/28, то приходим к задаче об обтекании неровности струей [28, 29].

Таким образом, показано, что если малая неровность вытянута почти вдоль линий тока внешнего потенциального течения, лежащих на внешней границе трехмерного пограничного слоя, то возникает режим взаимодействия, при котором в масштабах неровности существенно

изменение давления по нормали к обтекаемой поверхности. В результате условие взаимодействия, помимо интеграла теории малых возмущений, содержит слагаемое, обусловленное кривизной линий тока в основной части пограничного слоя.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (№ 10-01-00516).

ЛИТЕРАТУРА

1. Боголепов В. В. Общая схема режимов пространственных локальных течений // ПМТФ. 1986. № 6, с. 80 — 91.

2. Smith F. T., Walton A. G. Flow past a two-or three-dimensional steep-edged roughness // Proc. Roy. Soc. London, ser. A. 1998. V. 454, N 1968, рр. 31 — 69.

3. Сычев Вик. В. О пространственных течениях около неровностей на поверхности осесимметричного тела // Ученые записки ЦАГИ. 1993. Т. XXIV, № 1, с. 12 — 28.

4. Королев Г. Л., Сычев Вик. В. О локальных возмущениях трехмерного пограничного слоя // Изв. РАН. МЖГ. 2003. № 2, с. 123 — 135.

5. Лойцянский Л. Г. Ламинарный пограничный слой. — М.: Гос. изд. физ.-мат. лит., 1962, 480 с.

6. Crabtree L. F., Kuchemann D., Sowerby L. Three-dimensional boundary layers // Laminar Boundary Layers / L. Rosenhead, (Ed.). — Oxford: Clarendon Press, 1963. Ch. VIII, рр. 409 — 491.

7. W e i d m a n P. D. New solutions for laminar boundary layers with cross flow // Z. angew. Math. Phys. 1997. V. 48, N 2, рр. 341 — 356.

8. Боголепов В. В., Нейланд В. Я. Обтекание малых неровностей на поверхности тела сверхзвуковым потоком вязкого газа // Труды ЦАГИ. 1971, вып. 1363, 12 с.

9. Smith F. T. Laminar flow over a small hump on a flat plate // J. Fluid Mech. 1973. V. 57, pt. 4, рp. 803 — 824.

10. Боголепов В. В. Расчет взаимодействия сверхзвукового пограничного слоя с тонким препятствием // Ученые записки ЦАГИ. 1974. Т. V, № 6, с. 30 — 38.

11. Нейланд В. Я. К теории отрыва ламинарного пограничного слоя в сверхзвуковом потоке // Изв. АН СССР. МЖГ. 1969. № 4, с. 53 — 57.

12. Stewart son K., Williams P. G. Self-induced separation // Proc. Roy. Soc. London, ser. A. 1969. V. 312, N 1509, рp. 181 — 206.

13. Messiter A.F. Boundary-layer flow near the trailing edge of a flat plate // SIAM J. Appl. Math. 1970. V. 18, N 1, рp. 241 — 257.

14. S t e w a r t s o n K. On the flow near the trailing edge of a flat plate II // Mathematika. 1969. V. 16, pt. 1, рp. 106 — 121.

15. Сычев В. В. О ламинарном отрыве // Изв. АН СССР. МЖГ. 1972. № 3, с. 47 — 59.

16. Duck P. W. Laminar flow over a small unsteady three dimensional hump // Z. angew. Math. Phys. 1981. V. 32, fasc. 1, рp. 62 — 80.

17. Smith F. T. Pipeflows distorted by non-symmetric indentation or branching // Mathematika. 1976. V. 23, pt. 1, рp. 62 — 83.

18. Lipatov I. I.,Vinogradov I. V. Three-dimensional flow near surface distortions for the compensation regime // Phil. Trans. Roy. Soc. London, ser. A. 2000. V. 358, N 1777, рp. 3143 — 3153.

19. S m i t h F. T., S y k e s R. I., B r i g h t o n P. W. M. A two-dimensional boundary layer encountering a three-dimensional hump // J. Fluid Mech. 1977. V. 83, pt. 1, рp. 163 — 176.

20. Smith F. T., Brighton P. W. M., Jackson P. S., Hunt J. C. R. On boundary-layer flow past two-dimensional obstacles // J. Fluid Mech. 1981. V. 113, pp. 123 — 152.

21. Messiter A. F., Linan A. The vertical plate in laminar free convection: effects of leading and trailing edges and discontinuous temperature // Z. angew. Math. Phys. 1976. V. 27, fasc. 5, рp. 633 — 651.

22. Шидловский В. П. Структура течения вязкой жидкости вблизи кромки вращающегося диска // ПММ. 1977. Т. 41, вып. 3, с. 464 — 472.

23. Smith F. T., Duck P. W. Separation of jets or thermal boundary layers from a wall // Quart. J. Mech. Appl. Math. 1977. V. 30, pt. 2, pp. 143 — 156.

24. Боголепов В. В. Исследование малых пространственных возмущений ламинарного пограничного слоя // ПМТФ. 1987. № 5, с. 69 — 79.

25. Stewartson K. On laminar boundary layers near corners // Quart. J. Mech. Appl. Math. 1970. V. 23, pt. 2, рp. 137 — 152.

26. Рубан А. И. К теории ламинарного отрыва жидкости от точки излома твердой поверхности // Ученые записки ЦАГИ. 1976. Т. VII, № 4, с. 18 — 28.

27. Gittler Ph., Kluwick A. Interacting laminar boundary layers in quasi-two-dimensional flow // Fluid Dyn. Res. 1989. V. 5, N 1, рp. 29 — 47.

28. M e r k i n J. H. Free convection boundary layers over humps and indentations // Quart. J. Mech. Appl. Math. 1983. V. 36, pt. 1, рp. 71 — 85.

29. Yapalparvi R. Double-deck structure revisited // Eur. J. Mech. — B/Fluids. 2012. V. 31, рp. 53 — 70.

PyKonucb nocmynuna 27/I2012 г.