О существовании и единственности решений обратной краевой задачи для определения эффективной диэлектрической проницаемости наноматериалов

УДК 517.6+537.874.6

Ю. Г. Смирнов

О СУЩЕСТВОВАНИИ И ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЙ ОБРАТНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЭФФЕКТИВНОЙ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ НАНОМАТЕРИАЛОВ*

Аннотация. Работа посвящена исследованию задачи определения эффективной диэлектрической проницаемости образцов наноматериалов произвольной геометрической формы, помещенных в прямоугольный волновод с идеально проводящими стенками. Задача сводится к решению нелинейного объемного сингулярного интегрального уравнения. Интегральное уравнение изучается, опираясь на результаты исследования соответствующей краевой задачи и теорему эквивалентности краевой задачи и интегрального уравнения. Доказана теорема о существовании и единственности решений нелинейного объемного сингулярного интегрального уравнения и обратной краевой задачи для определения эффективной диэлектрической проницаемости наноматериалов.

Ключевые слова: краевые задачи, обратные краевые задачи электродинамики, интегральные уравнения, теоремы о существовании и единственности решений.

Abstract. The paper is devoted to the problem of reconstruction of effective permittivity of nanomaterials of arbitrary shape located in rectangular waveguide with perfectly conducting walls. The problem is reduced to the nonlinear volume singular integral equation. Research of the integral equation is based on the theorem of equivalence of boundary value problem and integral equation. Theorem of existence and uniqueness of solutions of integral equation and boundary value problem for reconstruction of effective permittivity of nanomaterials is solved.

Keywords: inverse boundary value problems, integral equations, electromagnetic problems, theorems of existence and uniqueness of solutions.

Введение

Работа посвящена исследованию вопросов существования и единственности решений в задаче определения эффективной диэлектрической проницаемости образцов наноматериалов произвольной геометрической формы, помещенных в прямоугольный волновод с идеально проводящими стенками.

Определение диэлектрических параметров нанокомпозитных материалов и сложных наноструктур с различной геометрией является актуальной задачей при использовании нанокомпозитных материалов и наноструктур на практике. Однако эти параметры не могут быть измерены экспериментально. Это приводит к необходимости применять методы математического моделирования и решать задачи численно с помощью компьютеров. При этом приходится решать трехмерные векторные задачи в полной электродинамической постановке. Решение таких задач является в настоящее время одной из самых актуальных проблем в электродинамике. Решение этих задач с прием-

* Работа выполнена в рамках ФЦП Минобрнауки РФ «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 годы)» (регистрационный номер 2.1.1/1647) и при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 06-07-89063а).

лемой для практики точностью на электродинамическом уровне строгости математическими методами требует очень большого объема вычислений и часто невозможно даже на самых современных суперкомпьютерах. Особенно остро стоит проблема решения обратных электродинамических задач на сложной системе тел в резонансном диапазоне частот, возникающая при определении параметров нанокомпозитных материалов и наноструктур [1].

Таким образом, возникает необходимость разработки новых методов решения указанного круга задач. Одним из перспективных методов является метод объемных сингулярных интегральных уравнений [2-4]. Здесь оператор задачи получается эллиптическим, а интегральное уравнение решается только внутри тела (в области неоднородности). В отличие от [3], мы изучаем интегральное уравнение, опираясь, в основном, на результаты исследования соответствующей краевой задачи и теорему эквивалентности краевой задачи и интегрального уравнения. На этом пути удается доказать теорему о существовании и единственности решений в L2 нелинейного интегрального уравнения, в также теорему о существовании и единственности решений обратной краевой задачи.

1 Краевая задача дифракции для системы уравнений Максвелла

Рассмотрим следующую задачу дифракции. Пусть в декартовой системе координат P = ^: 0< Xl < a, 0 < X2 < Ь, - ^ < xз < ^} - резонатор с идеально проводящей поверхностью ЭP. В резонаторе расположено объемное тело Q (Q с P - область), характеризующееся постоянной магнитной проницаемостью Цо и положительной 3 х 3-матрицей-функцией (тензором) диэлектрической проницаемости £(x). Компоненты £(x) являются ограниченными

функциями в области Q , £ЄІ„^), а также є-1 є Ьх^).

Граница ЭQ области Q кусочно-гладкая. Точнее, предположим, что

з

для каждой точки границы Xо є ЭQ существует окрестность 0 (в R ) и

2 3

C -диффеоморфизм этой окрестности на R , при котором точка Xо переходит в точку 0, а образом множества 0п Q является множество одного из

2

следующих типов (ниже (Xl, X2, xз) - декартовы; (г, 0), г > 0, 0є ^ - сфери-

3

ческие координаты в R ). Либо Xl > 0 (Xо - точка гладкости границы); либо

3

Xl > 0, X2 > 0 (Xо - точка на «выходящем» ребре); либо R \ ^ > 0, X2 > 0}

(Xо - точка на «входящем» ребре); либо г > 0, 0є Q/, где Q/ с S2 - односвязная область с кусочно-гладкой границей ЭQ/ (Xо - вершина «конуса с ребрами»). В частности, если дQ' - гладкая, то Xо - коническая точка; если дQ' образована дугами больших окружностей, то Xо - вершина многогранного угла. Пусть Q - ограниченная область и каждая точка x є ЭQ принадлежит одному из этих типов. Тогда будем говорить, что Q - область с кусочногладкой границей. Будем также предполагать, что тело Q не касается стенок резонатора, ЭQ = 0 . В P \ Q среда изотропна и однородна с постоянными £0 (> 0), ^0 (> 0).

Требуется определить электромагнитное поле Е, H є L, ioc (P), возбуждаемое в резонаторе сторонним полем с временной зависимостью вида e imt . Источник стороннего поля - электрический ток j0 є L, loc (P).

з

В области P с R стандартные дифференциальные операторы grad, div, rot понимаются в смысле обобщенных функций.

Будем искать «слабые» (обобщенные) решения системы уравнений Максвелла:

rot H = -'юєЕ + jE,

I rot Е = 'ro^oH.

Эти решения должны удовлетворять условиям на бесконечности [6]: поля Е и Н при |хз| > С для достаточно больших С > 0 имеют представление

f Е' H

(

^^Пpeз - 'YpV2Пp

- 'Yp^ -/ЮЄ0 (V2Пp )xєз

/ЮЦ0 (V2¥p )x єз

\

XP2)'

- 'Y

V p T(Єз - 'YV,Tp y

где Y P' =

и , Vр ( ху,%2) (к0 =ю2ео^о) - полная система собственных значений и ортонормированных в Ь^( П) собственных функций двумерного оператора Лапласа —А в прямоугольнике П :={( Ху, Х2 ):0 < Ху < а,0 < Х2 < &} с условиями Дирихле и Неймана соответственно, и У2 = еу д/дху + ^2 д/дх2 . Для коэффициентов разложений (2) имеют место оценки

RP

для всех т е N.

С физической точки зрения условия (2) означают, что рассеянное поле является суперпозицией нормальных волн, расходящихся от тела. Условия (3) обеспечивают экспоненциальную сходимость рядов (2), а также возможность их почленного дифференцирования по х) любое число раз.

Для Е, Н должны выполняться краевые условия на стенках резонатора

Если выполняются уравнения Максвелла, то второе условие в (4) следует из первого, и его можно опустить. Но если рассматривать оператор Максвелла, порождаемый левой частью (1), то надо ставить оба условия.

Для и є Н1 (Р) существуют граничные значения из пространства

1/2

Н (ЭР) в смысле теории следов. Почти везде на ЭР определен вектор нормали.

Пусть также Е0 и Н0 - решения рассматриваемой краевой задачи в отсутствие неоднородного тела Q , є(х) = ЄоI, хє Р (I - единичный тензор):

гоґН0 = -7Ю£0Е° + і0г, гоґЕ0 = /ю|і0Н0

с краевыми условиями

Е*° 1эр = 0, Н°|эр = 0.

Эти решения могут быть выражены аналитически через {Е с помощью введенного ниже тензора Грина. Решения не обязаны удовлетворять условиям на бесконечности. Например, Е0 и Н0 могут быть ТМ- или ТЕ-модой этого волновода.

Имеют место результаты о гладкости решений задач (1)-(4) и (5), (6) при более гладких данных [2]. Сформулируем один из таких результатов.

Утверждение 1. Пусть е Н 11ос(Р). Тогда Е0,Н0 е Н 11ос(Р). Пусть,

2 ^ 1 — 1 кроме того, дQе С , ее С (0. Тогда сужения Е |д,Н |де Н (0 и Е |р\д,

Н |р^е Н 1/ос(Р \ Q). Кроме того, справедливы условия сопряжения на дQ:

[Ет ] |д^^ = 0, [Нт ] | д^^ = 0,

где [ • ] означает разность следов с разных сторон дQ.

В предположениях утверждения 1 краевые условия на дР и условия сопряжения на дQ понимаются в смысле равенства следов элементов из 1/2 1/2

Н 1ос(дР) и Н (дQ). Ясно, что при первоначальных общих предположениях о тензоре е такие условия сопряжения не имеют смысла.

2 Тензорная функция Грина прямоугольного волновода

Построим диагональный тензор Грина , компоненты которого являются фундаментальными решениями уравнения Гельмгольца в Р с коэффи-, 2 2

циентом К0 =ю £0^0 и удовлетворяют краевым условиям первого или второго рода на дР , обеспечивающим обращение в нуль тангенциальных составляющих напряженности электрического поля на стенках волновода. Его компоненты имеют вид

_ ^ ^ —V Хо — у->

^1 2 ^ е пт 3 31 кп . пт кп . пт

СЕ = — > > ----- сов-----Д^Ш — х2 СОЭ------------------Лвіп — У2;

аЬп=0 т=1 Vпт(1 + 80п) а Ь а Ь

2 2 е ~^пт\Хъ Уз1 . кп пт . кп пт

°Е =—Т^ ^---------------Г81^ — Х1 сО^х2 81^ — У1 сО^У2 ;

аЬп=1 т=0 V пт(1 + 80т) а Ь а Ь

_ —Y Хо —уо

„3 2 ^ e nm 3 3 . -n . -m . -n . -m

GE = “Г X X-----------------------Sin--X1 Sin^- X2 Sin-------уі Sin^r у2 .

a^^ “ Ynm a b a b

n=1 m=1 1

:v

-и f -га 2

— I +1----------I - kq , при этом ветвь квад-

а ) \ Ъ )

В этих выражениях упт =

ратного корня выбирается так, чтобы 1т упт ^ 0 .

Запишем О™ с выделенной особенностью при х = у:

1 „г'ко1-^-у|

GE = 7-1------Г + gm

где функция gm е C“(g XР) (см. [5, с. 132]).

Отсюда и в силу симметрии функций Грина G™

(т = 1,2,3) имеем

Утверждение 2. Тензор Грина GE допускает представление

„ i Jko\x-У1 „

Ge =~—:--------т1 + g

где матрица-функция (тензор) g е C“ (Q X Р) и g е C“ (Р X Q).

Такое представление функции Грина удобно для теоретического исследования задачи дифракции, но непригодно для численных расчетов, т.к. не содержит алгоритма вычисления g . В работе [5] изложен конструктивный метод выделения особенности, позволяющий корректно вычислять значения функции Грина вблизи особых точек.

Отметим, что функции Грина имеют единственную особенность вида 1 ^о^—И

-----------и не имеют других особенностей в силу сделанного нами пред-

положения о том, что тело не касается поверхности волновода.

3 Объемное сингулярное интегральное уравнение

Наша ближайшая цель - свести краевую задачу к объемному сингулярному интегральному уравнению и доказать теорему эквивалентности.

Пусть решения краевых задач (1)-(4) и (5), (6) существуют и единственны. Перепишем (1) в эквивалентной форме:

rot H = —/mEqE + jE, rot E = /Ю|1он,

где

jE=jE+jE.

В последнем равенстве jE =—ю( E(x) — EqI)E - электрический ток поляризации.

Нетрудно проверить, что решение краевой задачи (12), (4) имеет вид

где

Е = /юц0 А Е-----^—grad А Е, Н = го1 А е

/Ю£0

АЕ = | ОЕ(г)ІЕ (у)іїу -Р

векторный потенциал электрического тока.

Потенциал Ае удовлетворяет уравнению

ДАЕ + ^0АЕ = -ІЕ .

Таким образом, потенциал Ае есть свертка с тензором Грина прямоугольного резонатора для уравнения Гельмгольца, обеспечивающий выполнение требуемых краевых условий для полей.

Однако формулы (14) не дают явного решения задачи (12), (4), т.к. ток ІЕ зависит от Е. Из соотношений (13)-(15) для поля Е следует интегро-дифференциальное уравнение

Е

й

ё

е0

-1

Е( у)оУ +

ё

е0

-1

Е(у)йу, х є й .

Кроме того,

Е

й

Чу)

. е0

-1

Е( у)йу +

ё

е0

-1

Е(у)йу, х є Р \ й .

Формула (18) дает представление решения Е(х) в области Р \ Q , если Е(у), у е Q - решение уравнения (17). Поле Н выражается через решение (17) в виде

Н(х) = Н0 (х) - /юЄ0ГОІ| Ое (г) й

ё

е0

-1

Е(у)йу, х є Р .

Сведем полученное выше интегродифференциальное уравнение к объемному векторному сингулярному интегральному уравнению.

Представим функцию Грина в виде

Ое (г) = 00 (г) + О (г) + О2 (г), г =| х - у |,

6о

4кг 4кг

Применяя теорему [6] о дифференцировании интеграла с ядром, имеющим слабую особенность, придем к известному [3] представлению:

Э г Э 1

Э2 1

1

Э 1Э-Т~и"

Эх^ ЭхП 4кг * ЭхіЭхП 4кг 3

I ф П ф I п

Используя полученные соотношения, переходим от интегродифферен-циального уравнения (16) к векторному сингулярному интегральному уравнению:

Е( х) +

1 Г

б

£

е0

_ I

Е

б

є

е0

_ I

Е( у)оУ _

ё

е0

_ I

Е

б

ё

е0

_ I

Е

Здесь тензоры Г, Гі, Г2 имеют вид

Р( х, у) = к1оЕ (г) + ( • ^га^га»! в0(г); Гі( х, у) = ( • ,8га<і)ега<і Оі(г);

Э2gJ

(Г 2( x, у ))iJ =

Эх, ЭxJ

Вопрос о разрешимости уравнения (23) и об эквивалентности краевой задачи дифракции и сингулярного интегрального уравнения устанавливается в следующей теореме.

Теорема 1. Пусть тело б с кусочно-гладкой границей Эф характеризуется положительным тензором диэлектрической проницаемости є (б) и є _і є (Є). Пусть Е, Н и Е0, Н0 - единственные решения

краевых задач (і)-(4) и (5), (6) соответственно. Тогда существует и единственно решение Е є 1-2(0 уравнения (23). Обратно, если Е є Ь^б) - решение интегрального уравнения (23), то формулы (і3)-(і5), (і8), (і9) дают решение краевой задачи для системы уравнений Максвелла (і), удовлетворяющее условию (4).

Перепишем интегральное уравнение (23) для электрического поля в виде

(I + 5 _ К )Е = Е0, где операторы 5 и К определяются в соответствии с (23):

(5Е)( х) =

£

е0

_ I

Е

б

Чу)

е0

_ I

Е( у Му;

Q

Чу)

є0

-1

Е

Q

Чу)

. є0

-1

Е

Имеет место [2] следующий результат о разрешимости уравнения (27).

Теорема 2. Пусть однородное уравнение (27) имеет только тривиальное решение и тензор диэлектрической проницаемости таков, что

е,?,$ 8ир

XЄQ

3

2

I ,и=1

1/2

е1п

-5

0

1п

<

Тогда уравнение (27) однозначно разрешимо для любой правой части Е0 є І2(0.

Часто интерес представляют задачи рассеяния в среде, характеризующейся постоянной во всем объеме резонатора диэлектрической проницаемостью (є = є оI) и тензорной магнитной проницаемостью & в Q (вне Q Д = ДоI). В этом случае краевая задача сводится к объемному сингулярному интегральному уравнению (такого же типа) для магнитного поля и выражению для электрического поля через решение этого уравнения

Н

Q

Д( у) Д0

-1

Н( у)<яу +

graddiv | Он

Q

Д( у) Д0

-1

Н(у)<яу, х є Q ;

Е

Q

Д( у) Д0

-1 Н(у)ёу, х є Р.

В последних формулах Он (х, у) - тензорная функция Грина прямоугольного волновода, отвечающая произвольному распределению источников магнитного поля. Как и для рассматривавшейся функции Грина Ое (х, у), имеет место представление в виде суммы сингулярного слагаемого того же вида и гладкой функции. Следовательно, для обратной краевой задачи об определении эффективной магнитной проницаемости материала будут верны теоремы, аналогичные сформулированным в этой статье.

4 Обратная краевая задача

Мы будем рассматривать обратную краевую задачу для определения эффективной диэлектрической проницаемости образца наноматериала, расположенного в волноводе. Рассмотрим изотропный случай и будем считать, что £(х) = е, где £ - неизвестная константа (эффективная диэлектрическая проницаемость) образца [1]. Предположим, что п/а < ко <п/Ь . В этом случае в волноводе может распространяться только одна мода, потому что

(2) = g y(2) = ^kg - т2/a2 > G и Im Ypj)> 0 для всех p, j за исключени-

Im Yj ’ = 0, Yi = ем ^ = 1 и j = 2 . Мы также предполагаем, что

i?0 j \ /((+) т -iYi(2)x3

E (x) = e2Av sin—-e n 3.

a a

Здесь A ' - (известная) амплитуда распространяющейся волны,

^1 = cos mi/ a . Следовательно, g\ ^ 0 и Ge ^ 0 равномерно по y e Q при . Мы также получаем

„2 1 • ^1 • ту1 -іу(2) x3 -у3|

Ge-------sin—e 11 1 3 ^3|

abYig a a

равномерно по ye Q при |x^^^. Затем мы имеем divGe ^0 равномерно

по

у є Q при |x^ (потому

dGE

что

dx2

-> 0 равномерно по у є Q при

|хз| ). Вычислив предел при |х3 в (18), получим уравнение

Е(х) = Е0 (х) + ко —— 1] ГоЕ (х,у)Е2 (у)у, хе О;

I£о ) О

и, принимая во внимание условие на бесконечности (2) при |хз| ,

~(+) -i'Y,(2)xv т . roq (+) -iypV П.ЮС1

e2Ql e 1 3іюр^—sin—- = e2Av 'e 1 3іюр^—sin—- +

•(2)x

a a

a a

( P > 7,2 — -1 є0

V

/

Vl. f sin^sm^e"^ (-уз)e2 (уУу.

abYlo Q a a

Из этого следует

Q += A(+) + ko2

\

------1

,eo ,

1-f sin ^ e^^3 E2

a

bY^'n^po Q a

Мы предполагаем, что коэффициент ' известен из эксперимента. Таким образом, мы имеем

1=-с

о

где

c=

(E, f ) iтюpobYlo (Q1(+)- A(

f • ny1 —'Yi(2)>’3

f = в2 sin—- e 1 3,

a

а скобки обозначают скалярное произведение в пространстве L2

О

5 Теорема о существовании и единственности решения интегрального уравнения и обратной краевой задачи

Подставляя (33) и (35) в формулу (30), мы получаем нелинейное объемное интегральное уравнение

C

(е(х) -Е° (х)) = )Ge ^,y)Е(y)dy

-

Q

- graddivJGe (x,y)E(y)dy, xe Q. Q

Введем линейный интегральный оператор

4)Е := ко ГОе

О О

Перепишем уравнение (37) в форме

^

Так как Е0 = А(+Г , А(+) = А(+)/юцоп, то из (39) получаем

а

(Е,f )(Е - A(+)f ) = CAqE и, далее, A(

Е

Л

(

Е

Л

= CAqE ,

Е

Е

C . Е

~ Е ~ С ~ ~

Пусть Е = ———, С = ——-, Ао = САо, тогда из уравнения (40) получаем

А

Положим и = Е - Г , тогда уравнение (41) преобразуется к виду

Из(42) получаем

Полагаем Го = А^ , и из (43) находим и-Ц2

'и + (и, і )и = ^ + А0 и.

Приведем последнее уравнение к виду А (и) = и, необходимому для применения принципа сжимающих отображений:

и = -

и,-

и + -

"А0и.

Введем обозначения I- = Г2 , -о = —0^, А = —^, и из (45) получим

і

и = А (и ) = (-и, Г )и + Г0 + А0 и.

Оценим норму оператора А (и) из (46):

\\А

=

Пусть 8Г (0) - (замкнутый) шар радиуса г с центром в точке 0 в про-

странстве Ь2 (О). Пусть и е 8г (0). Имеем оценку

Если

(г11(1 +1 А°1 )г+Ы1 <г,

то оператор А(и) действует из шара Sг (0) в шар Sг (0).

Теперь, считая, что и,Уе Sг (0), и используя неравенство Коши-Буняковского, из (47) получаем

Таким образом, если

то оператор А (и) является сжимающим. Выберем радиуса шара г так, чтобы выполнялись оба условия (49) и (51) (ниже будет показано, когда это воз-

можно). Учитывая эквивалентность преобразований при переходе от уравнения (37) к уравнению (46), по теореме о сжимающих отображениях [7] имеем следующий основной результат.

Теорема 3. Пусть выполнены условия (49) и (51). Тогда существует и единственно решение уравнения (46) и = А(и) (и, соответственно, (37)).

Также существует и единственно решение обратной краевой задачи, полученное по формуле (33). Кроме того, приближенные решения уравнения (46) могут быть найдены посредством итерационного процесса и« +1 = А(и«),

который сходится для любого начального приближения и0 е Sr (0) со скоростью геометрической прогрессии.

Заметим, что при переходе от неизвестной функции и к первоначальной неизвестной функции Е центр шара (точка 0) перейдет в Е0 .

Преобразуем оценки (49) и (51) к более удобному виду, соответственно к оценкам:

г 2

\С \<

Г “И

йт - Р

1 “—

кМИ2^-  Р

Из оценки (53) следует, что необходимо выполнение условия

И

0 < г < . Выберем радиус г так, чтобы в наибольшей степени ослабить

оценку для \ (С \ . Для этого надо найти величину Р = тах тт{рр (г), р (г)].

0<г <И

2

Легко проверить, что на отрезке 0 < г функция р (г) является неотрицательной и убывающей, а функция р (г) является неотрицательной и имеет

И

максимум в точке г*, 0 < г* < ^, где

г* =

И+им

0/2

ПАИ

КГ

Кроме того, точка г* является (единственной) точкой пересечения гра-

1 _ 2*

2 И

фиков функций р (г) и р (г). Таким образом, Р = И ЦаЦц . Тогда оценки (52) и (53) можно заменить одной оценкой 22

1 _ 2*

~ 2 llfll

Переформулируем теорему 3 в первоначальных неизвестных.

Теорема 4. Пусть выполнено условие <55). Тогда существует и единственно решение нелинейного объемного интегрального уравнения <37). Также существует и единственно решение обратной краевой задачи, полученное по формуле <33). Кроме того, приближенное решение уравнения <37) может быть найдено посредством итерационного процесса

E«+1 = En _ .л.1,, ,|2 {

A(+) |f 112 1 ' ' J

который сходится для любого начального приближения Eo е Sr* |e0 ) со скоростью геометрической прогрессии, где г* определяется формулой <54).

Условие <55) имеет место, если величина | Q+ _ A(+) | достаточно мала. С физической точки зрения это означает, что амплитуда прошедшей волны не сильно отличается от амплитуды падающей волны.

6 Итерационный метод для решения обратной краевой задачи

Рассмотрим схему итерационного процесса <56) для решения нелинейного интегрального уравнения <37). При n = 0, 1, ... на каждом шаге необходимо <численно) вычислять действие линейного объемного сингулярного интегрального оператора Ao. Алгоритм вычислений описан в работе [3]. Алгоритм суммирования рядов представлен в работах [2, 6]. В качестве начального приближения естественно взять Eo = E0. После решения уравнения <37) с заданной точностью с помощью итерационной процедуры <56) по формулам <33)-<35) находим неизвестную диэлектрическую проницаемость s.

Список литературы

1. Shestopalov, Yu. V. Volume singular integral equation method for determination of effective permittivity of meta-and nano-materials / Yu. V. Shestopalov, Yu. G. Smirnov, V. V. Yakovlev // Proc. Progress in Electromagnetics Research Symposium <PIERS'2008). - Cambridge, MA. - 2008. - Jule 2-6. - Р. 291-292.

2. Смирнов, Ю. Г. Применение ГРИД-технологий для решения нелинейного объемного сингулярного интегрального уравнения для определения эффективной диэлектрической проницаемости наноматериалов / Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. -2008. - № 3. - С. 39-55.

3. Самохин, А. Б. Интегральные уравнения и итерационные методы в электромагнитном рассеянии / А. Б. Самохин. - М. : Радио и Связь, 1998.

4. Медведик, М. Ю. Применение ГРИД-технологий для решения объемного сингулярного интегрального уравнения для задачи дифракции на диэлектрическом теле субиерархическим методом / М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2008. - № 2. - С. 2-14.

5. Ильинский, А. С. Дифракция электромагнитных волн на проводящих экранах / А. С. Ильинский, Ю. Г. Смирнов. - М. : ИПРЖР, 1996.

6. Михлин, С. Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения / С. Г. Михлин. - М. : Физматгиз, 1962.

7. Треногин, В. А. Функциональный анализ / В. А. Треногин. - М. : Наука, 1993.

Смирнов Юрий Геннадьевич

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математики и суперкомпьютерного моделирования,

Пензенский государственный университет

Smirnov Yury Gennadyevich Doctor of Science (in Mathematics), professor, head of sub-department of mathematics and supercomputer modeling, Penza State University

УДК 517.6+537.874.6 Смирнов, Ю. Г.

О существовании и единственности решений обратной краевой задачи для определения эффективной диэлектрической проницаемости наноматериалов / Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2009. - № 1 (9). -С.11-24.