Особенности использования функций Бесселя при спектральном анализе выходного сигнала нелинейного устройства

Формирование и усиление сигналов

УДК 621.396.61

Особенности использования функций Бесселя при спектральном анализе выходного сигнала нелинейного устройства

Жиганова Е.А.

Аннотация: Рассмотрены особенности применения функций Бесселя при анализе спектра выходного сигнала нелинейного безинерционного устройства. Приведен пример аналитического разложения выходного сигнала при воздействии бигармонического сигнала с использованием функций Бесселя. Оценены преимущества и неудобства такого математического аппарата.

Ключевые слова: Нелинейное устройство, функция Бесселя, интермодуляционные колебания, бигармонический сигнал, помеховый сигнал, узкополосный сигнал, нечетные разностные порядки интермодуляции.

Especially the use of Bessel functionsin the spectral analysis output nonlinear device

Zhiganova E.A.

Abstract: The features of the Bessel functions in the analysis of the output signal of the nonlinear iner-tialess device. Is an example of the analytical output expansion when exposed biharmonic signal using Bessel functions. Expressions are obtained forcalculating individualintermodulationodddifferenceor-ders.Basedpolieksponentsialnoyapproximationdevelopedexpression for the nonlinear device ina narrow frequency band, which contains only the basic, interfering signalsand intermodulation oscillations. The advantages and disadvantages of such mathematical apparatus.

Key words: nonlinear device, the Bessel function, intermodulation oscillations biharmonic signal inertialess device, interference signal, the narrowband signal, difference order intermodulation.

Сегодня в качестве математического аппарата во многих отраслях современной прикладной математики, математической физики и технических приложениях широко используются цилиндрические и модифицированные функции Бесселя. Они обеспечивают очень быструю и корректную сходимость решений целого ряда прикладных задач, которые могут быть так или иначе сведены к уравнению Бесселя. Интерес математиков, физиков и инженеров к специальным функциям не угасает.

К настоящему моменту разработано множество математических программных продуктов, позволяющих проводить моделирование различных систем, в том числе и радиотехнических, на основе функций Бесселя. Все это упрощает синтез, проектирование и

анализ нелинейных устройств, описываемых системами дифференциальных уравнений.

Цилиндрические и модифицированные функции Бесселя - это очень удобный математический инструмент, с помощью которого можно разложить на спектральные составляющие выходной сигнал нелинейного радиотехнического устройства, с целью проведения анализа спектрального состава сигнала.

Такие функции упрощают аналитический расчет устройства, описание моделей сигналов и элементов устройства, создание программ для проведения математического моделирования нелинейных элементов [1].

Цель работы: оценить возможность применения функций Бесселя при анализе спектрального состава выходного сигнала нелинейного устройства в узкой полосе частот.

Аналитическая запись выходных сигналов нелинейных устройств НУ при использовании функций Бесселя дает возможность еще на стадии проектирования выяснить, какие гармонические составляющие (их амплитуды, частоты, степень близости к основному полезному сигналу) будут преобладать в спектре выходного сигнала устройства. А значит, уже на этой стадии можно будет предпринять меры по снижению уровня побочного излучения устройства и степени искажения информационного сообщения.

Другим неоспоримым преимуществом функций Бесселя является то, что математическую запись выходного сигнала можно упростить путем исключения тех спектральных составляющих, которые имеют либо высокий порядок, а значит, будут исключены фильтрующими системами, стоящими на выходе нелинейных усилителей, либо они не представляют интереса при анализе данного устройства. И, наоборот, можно оставить в выражении те составляющие, которые представляют наибольший интерес из-за трудностей, связанных с их компенсацией, как, например, интермодуляционные колебания нечетных разностных порядков, попадающие в полосу пропускания фильтров вследствие их близкого расположения к основному сигналу.

При расчете спектральных составляющих в выходном сигнале НУ наиболее эффективным является гармонический метод, заключающийся в определении уровня отдельной составляющей на основе выбранной аппроксимации характеристики НЭ. Метод позволяет

быстро и точно с применением ЭВМ осуществить спектральный анализ выходного сигнала НУ при воздействии на него полигармонического сигнала [1].

В [2] для описания сигнала была использована полиэкспоненциальная аппроксимация вида

M

u

Этот вид аппроксимации в наибольшей степени соответствует виду законов, отражающих сущность физических процессов, происходящих в полупроводниковых приборах, что позволяет использовать табулированные модифицированные функции Бесселя. В результате математических преобразований и использования функций Бесселя [2] выражение (1) примет вид

i(t)= £ amemU (t )cos0(t ]emU° =

= £^i I0(mU(t)) + 2£[In(mU(t))coS{n0{t))]\x

m=0 У n=1

x £ In(mU0),

где 1Ху) - модифицированная функция Бесселя, п - целое число (порядок гармоник), Ц(§ -амплитуда входного сигнала, Ф(?) - полная

фаза входного сигнала, - несущая частота, ат - коэффициенты аппроксимации, подлежащие определению, и0 - напряжение смещения.

Упрощая выражение (2) исключением постоянной составляющей, составляющих второго и более высоких порядков гармоник, для выходного тока нелинейного устройства имеем

A

2w-W2

JL

__спектр

" ¡/ входного | сигнала

I

2 02-О

Л—

спектр выходного сигнала

Ч W+W /

О-О 3о1-2о2 О о 30-20 '' 2о 2°> о

Рис. 1. Спектр сигнала на выходе нелинейного элемента

m=0

n

М I ¥ Т

£) = 2008

т=0 ^ п=-¥

Выражение (3) описывает выходной сигнал нелинейного устройства, причем содержит информацию только о первой гармонике и спектре вокруг нее. Ширина спектра основного сигнала определяется только нечетными разностными порядками интермодуляции [3].

Качественный анализ аналитического выражения (3) при воздействии двухчастотного сигнала приведен на рис. 1.

Подобное представление выходного сигнала не только уменьшает объем математических расчетов, но и упрощает анализ выходного сигнала до проведения математического моделирования, сосредоточив внимание на интересующей части спектра.

При спектральном анализе часто требуется вычисление не всего спектра выходного сигнала, а определение значения уровня одной конкретной спектральной составляющей. Предположим, что стоит задача расчета уровней нечетных разностных порядков интермодуляции при воздействии бигармонического сигнала на нелинейный элемент. В этом слу-

чае выходной сигнал при использовании той же полиэкспоненциальной аппроксимации запишется как

м

m(U cosw1f+U2 cos wwt)+mU0

m =0

При использовании таблиц сумм и модифицированных функций Бесселя [2] выражение (4) примет вид

i(t)= e *

Io

E In

Таблица 1

Порядок ИМК Амплитуда ИМК

ИМК-3 2w2 - W M ¥ 2 E3ml2(mU2)Ii(mUi) E In(mUo), m =0 n=-¥

2w - W2 M ¥ 2 E3m/2(mUi)Ii(mU2) E In(mUo), m =0 n=-¥

ИМК-5 3w2 - 2w M ¥ 2 E 3mI3(mU2)I2(mUi) E In(mUo), m=o n=-¥

3 w - 2 w M ¥ 2 E 3mI3(mUi)I2(mU2) E In(mUo), m=o n=-¥

ИМК-7 4W2 - 3w M ¥ 2 E amI4(mU2)I3(mUi) E In(mUo), m=o n=-¥

4w - 3w2 M ¥ 2 E 3mh(mUi) I3(mU2) E In (mUo), m=o n=-¥

составляющие воздействующих сигналов w M ¥ 2 E 3mIo(mU2) Ii(mUi) E In (mUo), m=o n=-¥

w M ¥ 2 E 3mIo(mUi)Ii(mU2) E In (mUo) m=o n=-¥

10

п=1

После несложных математических преобразований выражения (5) (п взяли до 4, потому что седьмой разностный порядок интермодуляции получается при п=4 (4й - 3й), уровень девятого порядка очень мал и сравним с уровнем собственных шумов устройства) и выделения составляющих с частотами нечетных разностных порядков ИМК были получены выражения для амплитуд соответствующих интермодуляционных колебаний, которые сведены в таблицу 1.

В [4] были получены аналитические выражения для расчета уровней нечетных разностных порядков интермодуляции при воздействии бигармониче-ского сигнала на вход квадратурного усилителя мощности.

Если детально провести исследование полученных выражений, то можно заметить насколько наглядно функции Бесселя отображают информацию о рассчитываемых с их помощью спектральных составляющих.

Аргумент функции Бесселя показывает, частота какого сигнала участвует в итоговом порядке интермодуляции й или &2, а поря-

X

m

док функции Бесселя определяет порядок частотной составляющей в интермодуляционной составляющей kw - 1w, т.е. значение k или 1.

Как показало проведенное исследование, полученные аналитические выражения и математическое моделирование с их использованием, функции Бесселя позволили значительно упростить анализ нелинейного устройства и рассматривать только те спектральные составляющие выходного сигнала, которые представляют наибольший интерес.

Литература

1. Ромашов В.В., Жиганова ЕА. Метод анализа интермодуляционных колебаний в усилителях мощности в узкой полосе частот / Деп. в ВИНИТИ 27.11.01, № 2474-В2001.

2. Заездный АМ. Гармонический синтез в радиотехнике и электросвязи Л.: Энергия, 1971. 528 с.

3. Ромашов В.В., Мошнина Е.Н, Шуненкова Е.А. (Жиганова ЕА.) Использование полиэкспоненциальной аппроксимации для анализа комплексной огибающей выходного сигнала нелинейного безинерционного устройства // Методы и устройства передачи и обработки информации: Межвуз. сб. науч. тр. / Под ред. В.В. Ромашова. Гидрометеоиздат, С.-Петербург, 2001. С.40-41.

4. Ромашов В.В, Жиганова ЕА. Метод анализа интермодуляционных колебаний в нелинейных безинерционных устройствах в узкой полосе частот // Радиотехника. 2004, №11. С. 80-83.

References

1. Romashov V.V., Zhiganova E.A. / Deponi-rovana d VINITI 27.11.01, № 2474-В2001.

2. ZaezdnyyА.М. Garmonicheskiy sintez v radio-tekhnike i elektrosvyazi. Leningrad.: Energiya, 1971, 528 pp.

3. Romashov V. V., Moshnina Е.Ы., Shynenkova Е.А. (Zhiganova E.A.) Metodyiustroystva peredachi i obrabotki informatsii, 2001, 1 pp. 40-41.

4. Romashov V. V., Zhiganova E.A. Radio-tekhnika, 2004, 11, pp. 80-83.

Поступила 30 мая 2012 г.

Информация об авторе

Жиганова Елена Александровна - кандидат технических наук, доцент Муромского института (филиала) ФГБОУ ВПО «Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых».

Адрес: 602264 Муром, ул. Орловская, д. 23.

Zhiganova Elena Aleksandrovna - candidate of technical sciences, assistant professor Murom institute (branch) «Vladimir state university name dafter Alexander and Nickolay Stoletovs».

Address: 602264 Murom, st. Orlovskaya, h. 23.

E-mail: zhiganova.el@gmail.com.