Итерационный способ и алгоритм решения систем линейных алгебраических уравнений

ИТЕРАЦИОННЫЙ СПОСОБ И АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

ITERATIVE METHOD AND SOLUTION ALGORITHM OF COMBINED LINEAR ALGEBRAIC EQUATIONS

Предложен модифицированный итерационный способ решения систем линейных алгебраических уравнений, описывающих поведение многоканальных систем со структурой «делитель-сумматор» Реализованный на его основе алгоритм апробирован на примере расчета распределения входных токов по усилительным модулям мощного высокочастотного транзисторного усилительного каскада с учетом взаимоиндукции его входных контуров.

A modified iterative method of solution of the system of linear algebraic equations, describing multichannel systems with divider-adder structure, is proposed. The algorithm is implemented on its foundation and tested on calculation of the distribution of input current in the amplifying modules of high-power radio-frequency transistor amplifier cascade with mutual induction of its input circuits.

Значительная часть численных методов решения различных задач включает в себя решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) как обособленную процедуру (подпрограмму) соответствующего алгоритма (программы). Необходимость в решении СЛАУ возникает при дискретизации уравнений в частных производных, решении краевых задач. Математические модели различных систем, реализующиеся посредством составления СЛАУ большой размерности, встречаются в математической экономике, биологии, электро- и схемотехнике и др.

В моделях на основе незамкнутых стохастических сетей приводятся характеристики функционирования и интенсивности потоков внутри параллельных каналов, которые находятся из систем линейных уравнений [1]. Вычисление показателей функционирования системы, таких как средние длины очередей, время ожидания, производительность и загрузка каналов, становится возможным благодаря итерационным алгоритмам анализа средних значений (функции нормализующей константы).

Методы решения СЛАУ подразделяются на две группы: прямые, или точные (Гаусса, Гаусса — Жордана, Крамера, матричный, прогонки, вращений, разложения Холецко-го или квадратных корней и др.) и итерационные (простой итерации (МПИ), релаксации, Якоби, Гаусса — Зейделя, Некрасова, Монтанте, Ричардсона и др.) [2]. В некоторых литературных источниках [3] выделяют третью группу методов — вероятностные.

В итерационных методах (ИМ) точное решение системы представляется как предел некоторой бесконечной последовательности приближений. В зависимости от применяемого подхода ИМ могут быть основанными на расщеплении (МПИ, Якоби, Зейделя и др.), вариационного типа (минимальных невязок, скорейшего спуска, двухслойный итерационный и др.), проекционного типа. Простота вычислительных схем и однообразие производимых операций делают эти методы востребованными для программирования ЭВМ.

Одно из значимых свойств ИМ — возможность создания самоисправляемых алгоритмов, когда отдельный сбой в вычислениях не ведет к ошибкам в окончательном результате, а может лишь увеличить число проводимых итераций.

Преимущество ИМ перед точными методами состоит в том, что они применимы для решения СЛАУ больших размерностей (порядка 107). Существенными характеристиками ИМ являются сходимость и устойчивость. ИМ будет сходящимся, если для

любого начального приближения можно построить последовательность, сходящуюся к истинному решению уравнения. Таким образом, сходимость определяется близостью получаемого численного решения задачи (вектора приближенного решения а}.) к истинному решению (вектору аи) и монотонным (квазимонотонным) уменьшением разницы между этими величинами по мере увеличения количества шагов итерации:

Ъ . 2 N к , 2

Е

aj - а„

> Е а,. - а.,

А-!\ j и

.1=^ ] =Мк+1

Устойчивость ИМ характеризуется увеличением или уменьшением промежуточных значений и накоплением ошибок (например, округления). При устойчивом методе малое приращение исходных данных приводит к малому изменению искомых величин.

Ввиду простоты контроля сходимости решения представляется целесообразным применение ИМ решения СЛАУ в качестве математической модели описания характеристик функционирования многоканальных систем обработки информации с резервированием.

На первом этапе зададим неоднородность каналов системы в виде матрицы коэффициентов М, диагональные элементы которой будут отражать свойства самого канала (например, пропускную способность, полосу частот, эквивалентное сопротивление), а недиагональные элементы будут характеризовать взаимодействие каналов или подсистему распределения информационных потоков между каналами.

Будем полагать, что распределение некоторой величины Х (плотности потока информации, электрического тока, плотности потока мощности) по взаимосвязанным каналам удовлетворяет объективному равенству для каждого изоморфного канала значений У нагрузочной характеристики (потока информации, электрического напряжения, электрической или тепловой мощности):

ук = у о +Хк М _.

Зададим требуемую точность е вычислений в итерационном процессе как требование, чтобы при некотором т достигалось условие

ут +1 -ут <е,

или

Xm+1 -Xm < £,

и начальное приближение X0.

Учитывая требование к сходимости итерационного процесса, следует ввести специальную процедуру, которая обеспечит сходимость решения, например посредством контроля значении Y :

Max Yk }/minYk }-1 < £,

где i = 1, ..., N — порядковый номер канала (строки коэффициентов Mij матрицы). Для этого необходимо предусмотреть поиск максимального значения компонентов вектора Yk, затем найти его отношение к остальным компонентам, сформировав тем самым дополнительный служебный массив Sk. Далее на основе массива Sk необходимо реализовать процедуру вычисления весовых коэффициентов С1 для формирования массива Xk+1 = Xk-Ck, на нулевом шаге итерационного цикла равных единице: C0i = 1, и обеспечивающих сходимость решения при значительном разбросе Ski.

Работа модифицированного итерационного алгоритма, реализующего предложенный способ решения СЛАУ (рис. 1), проиллюстрирована частным случаем изоморфных каналов системы, что в матрице коэффициентов отражается равенством элементов главной диагонали. Будем также полагать, что коэффициенты Mij, количественно отражающие взаимосвязь каналов, зависят лишь от разницы вторых индексов, что для систем с регулярной (мультиплицированной) структурой соответствует расстоянию, выраженному в количестве

структурных элементов (дискретных единиц топологии в соответствующем сечении), и приведёт к симметрии Мі] относительно главной диагонали.

В качестве технического прототипа модели системы с изоморфными параллельным каналами и неоднородными характеристиками взаимосвязи может быть рассмотрен оконечный каскад высокочастотного транзисторного усилителя мощности, реализующий структурную схему «делитель-сумматор мощности», т.е. совокупность N идентичных базовых конструктивных элементов — транзисторных ячеек (ТЯ), соединенных параллельно по входу и выходу. Неоднородное размещение ТЯ относительно оси симметрии конструкции приводит к неравномерному распределению рабочих токов в системах соединительных проводников вследствие их взаимной индукции [4].

Рис. 1. Блок-схема алгоритма нахождения корней СЛАУ модифицированным

итерационным методом Входные контуры транзистора удобно описать системой N линейных уравнений, в которых переменными являются входные токи или входные мощности ТЯ, а коэффициенты — параметры их эквивалентных схем, выраженные через топологические данные:

N р M

UЭБ1j = ZEE ZikmIexik .

i=1 k =1 m=1

Здесь Iexik — комплексные амплитуды входных (контурных) токов; Zikm — комплексные сопротивления элементов контуров, образованных при протекании полного входного тока 1вх по ТЯ; N — количество ТЯ; M — количество пассивных элементов физической эквивалентной схемы одной ТЯ; р — количество контуров, приходящихся на одну ТЯ.

В Z включены собственные индуктивности входных контуров и коэффициенты взаимоиндукции Mik.

Индуктивности проводников ТЯ имеют в своем составе разные суммы коэффициентов взаимоиндукции Mik. Поэтому во входном контуре центральной ТЯ значение полного наведенного магнитного потока Фк/2 при равенстве IBxi будет максимальным, а у крайних проводников (Ф1 и Фк) — минимальным. Так как проводники соединены параллельно, величины падения напряжения на них равны, т.е. равны и ЭДС индукции и наведенные в контурах магнитные потоки. Неоднородность Mik приводит к неоднородности токов в проводниках, причем в согласованном режиме распределение 1вх противоположно распределению Mik: минимум в центре и максимумы на краях.

Взаимодействие ТЯ может быть представлено зависимостью рабочих токов линейных коэ ффициентов уравнений, либо путем введения для ТЯ дополнительных внутрисхемных или межсхемных элементов: индуктивностей, сопротивлений, емкостей, отражающих реальные физические процессы.

Предлагаемый алгоритм, реализующий процесс итерационных приближений для нахождения относительных величин токов и напряжений во входных контурах мощного ВЧ транзисторного усилительного каскада, представляется следующим образом.

Значения массива коэффициентов заранее известны и определены, так же как и количество контуров в устройстве. Зададим начальное приближение:

ГИ —

N

для простоты полагая: Io= N, i=1.. .N.

Вычисление массива значений падения напряжения производится по формуле

uk и = U0[i]+ik-1[j]M[i][j].

Требование к точности можно интерпретировать как разность значений токов, удовлетворяющих условию

Ik -Ik-1 <e,

однако с учетом обеспечения сходимости итерационного процесса целесообразно руководствоваться критерием вида (3):

U max

--------1 <e.

U min

Сформируем служебный массив, элементы которого могут характеризовать сходимость решения (по однородности их значений) или, согласно (3а), степень достижения его заданной точности (по отличию значений от единицы):

Sk [,]—umax,

U[ i]

и который, в свою очередь, является основой формирования массива весовых коэффициентов, обеспечивающих сходимость решения:

С k [i] = С k-1[i] • Sk [i].

Сумма весовых коэффициентов

N

С 2k = 2 Ck

i=1

при её сравнении со значением С2к-1 также может выступать характеристикой сходимости решения и достижения заданной точности.

Вычисление значений тока для следующего приближения по формуле

rk+1 ГЛ — C[i] '10

Ik+1[i] —-

С 2

даёт начало следующей итерации (циклу алгоритма).

Результаты расчета значений токов и напряжений для транзисторного усилителя мощности, описываемого симметрической матрицей, со значениями 2.653, 0.958, 0.622,

0.459, 0.330, 0.215, 0.157, 0.108, 0.089 с заданной точностью є=0.01 по напряжению (рис.2) приведены ниже.

Итерация № 1

і и С I S

О 5.59100 1.32195 1.17992 1.32195

І 6.46000 1.14412 1.02120 1.14412

2 6.97400 1.05979 0.94593 1.05979

3 7.276ОО 1.01581 0.90667 1.01581

4 7.39100 1.ООООО 0.89256 1.00000

5 7.2760О 1.01581 0.90667 1.01581

6 6.97400 1.05979 0.94593 1.05979

7 6.46000 1.14412 1.02120 1.14412

8 5.59100 1.32195 1.17992 1.32195

Итерация № 7

і и С I S

О 6.47255 1.87687 1.43580 1.00879

1 6.51398 1.32577 1.01421 1.00237

2 6.51554 1.13732 0.87005 1.00213

3 6.51931 1.04243 0.79745 1.00155

4 6.52944 1.00000 0.76499 1.00000

Б 6.51931 1.04243 0.79745 1.00155

6 6.51554 1.13732 0.87005 1.00213

7 6.51398 1.32577 1.01421 1.00237

8 6.47255 1.87687 1.43580 1.00879

Рис. 2. Расчет распределений входного тока и напряжений по контурам

Таким образом, формирование массива компенсирующих весовых коэффициентов С[i] позволило создать процедуру вычислений последующих приближений тока Ik, которая обеспечивает сходимость решения. Дальнейшее усовершенствование процедуры вычисления Ik заключается в формировании массива Ck[i] путем перемножения значений C[i]k-1 предыдущего цикла на S[i]k, что, с одной стороны, ускоряет сходимость за счёт большей неоднородности компенсирующих весовых коэффициентов, а с другой

— позволяет пошагово контролировать сходимость при отладке алгоритмов за счет «памяти» о всех итерациях в Ck. Дополнительным достоинством представленного алгоритма является возможность контроля сходимости решения и достижения заданной точности по нескольким массивам или переменным на выбор.

ЛИТЕРАТУРА

1. Леонтович М.А. Введение в термодинамику. Статистическая физика. — М.: Наука, 1983. — 416 с.

2. Вержбицкий В.М. Численные методы (линейная алгебра и нелинейные уравнения). — М.: Высшая школа, 2000. — 266 с.

3. Бахвалов Н.С. Численные методы. — М.: Наука, 1975. — 632 с.

4. Булгаков О. М. Некоторые приложения декомпозиционных моделей мощных ВЧ и СВЧ транзисторов на основе изоморфно-коллективного подхода. — Воронеж: ВГУ, 2006. — 236 с.

REFERENCES

1. Leontovich M.A. Vvedenie v termodinamiku. Statisticheskaya fizika. — M.: Nauka, 1983. — 416 s.

2. Verzhbitskiy V.M. Chislennyie metodyi (lineynaya algebra i nelineynyie uravneniya).

— M.: Vyisshaya shkola, 2000. — 266 s.

3. Bahvalov N.S. Chislennyie metodyi. — M.: Nauka, 1975. — 632 s.

4. Bulgakov O. M. Nekotoryie prilozheniya dekompozitsionnyih modeley moschnyih VCh i SVCh tranzistorov na osnove izomorfno-kollektivnogo podhoda. — Voronezh: VGU, 2006. — 236 s.