О подходе к проектированию функционально избыточных систем, заданных автоматами специального класса

УДК 519.713.1

М.Д. Сластихина, А.А. Сытник, Т.Э. Шульга

О ПОДХОДЕ К ПРОЕКТИРОВАНИЮ ФУНКЦИОНАЛЬНО ИЗБЫТОЧНЫХ СИСТЕМ, ЗАДАННЫХ АВТОМАТАМИ СПЕЦИАЛЬНОГО КЛАССА

Рассматривается задача проектирования функционально избыточных дискретных систем. Показывается, что данная задача сводится к задаче построения универсального автомата для заданного класса автоматов. Исследуются особенности нахождения универсального автомата для класса автоматов, заданных полиномами с рациональными коэффициентами. Предлагается метод нахождения восстанавливающей последовательности для автоматов данного класса. Показывается, что сделанные выводы могут быть применены ко всем детерминированным конечным автоматом.

Функциональная избыточность, конечный детерминированный автомат, универсальный автомат, полином, функция перехода автомата

M.D. Slastihina, A.A. Sytnik, T.E. Shulga

ON THE APPROACH TO DESIGNING FUNCTIONALLY REDUNDANT SYSTEMS DEFINED

BY SPECIFIC CLASS AUTOMATA

The article considers the problem of designing functionally redundant discrete systems. We show that this problem is reduced to the problem of constructing a universal automation for a given automata class. The features of finding a universal automaton for

the automata class defined by polynomials with rational coefficients are researched. A method of determining the recovery sequence for this automata class is described. It is shown that the findings can be applied to all deterministic finite automation.

Functional redundancy, finite deterministic automaton, universal automaton, polynomial, automaton transition function

Одной из основных задач математического моделирования функционально избыточных дискретных систем является задача проектирования. Функционально избыточная система - это система, которая может реализовать одно из нескольких поведений (из заданного класса поведений) без аппаратной перенастройки, за счет специальным образом построенной системы входных воздействий (так называемых входных восстанавливающих последовательностей) и снятия реакций в определенные моменты времени [1]. Функциональная избыточность может выявляться в уже созданной системе с целью получения требуемой реакции, а может целенаправленно создаваться на этапе проектирования системы. В работе рассматривается один из подходов к решению второй задачи, т.е. проектированию функционально избыточных систем. В качестве модели дискретной системы будем использовать конечный детерминированный автомат (КДА) как одну из наиболее распространенных моделей. В этом случае рассматриваемая задача сводится к задаче синтеза универсального автомата для заданного семейства автоматов.

Для формальной постановки задачи введем ряд определений.

КДА можно охарактеризовать как устройство, имеющее входной и выходной каналы и находящееся в каждый из дискретных моментов времени, называемых тактовыми моментами, в одном из конечного числа состояний [2].

Рассмотрим конечный детерминированный автомат вида А = (Х,Б,д), где S ={s 1, ... ,sm} - конечное непустое множество внутренних состояний,

X={x 1 , ... ,x n } - конечное непустое множество входных сигналов, d: S xXS - функция переходов.

Занумеруем состояния автомата натуральными числами S ={0,1,...,m-1} и представим функцию переходов данного автомата в виде обобщенных подстановок:

^ 0 1 ... m -1

, xeX.

V5о 5 ... ^ у

Обозначим 5 = (0,1,...,т). Для краткости также будем использовать запись подстановки (1) в виде 8х (5).

Определение 1

Пусть задано семейство автоматов {Д = (Х{,3,8^,'))}1е1 , |£| = т. Автомат А = (Х,Б,3) назовем универсальным для семейства автоматов {Л. }е1, если

("хе X.)("1е 1 )(3^ е X*)(^ (5) = £(0(5)), где 5 = (0,...,т-1), т.е. для любого входного сигнала х любого автомата из семейства {Л. }1е1 существует последовательность входных сигналов автомата Л, индуцирующая преобразование, эквивалентное преобразованию, индуцируемому сигналом х автомата из семейства {Л. }1е1.

Определение 2

Пусть текущее поведение системы М моделируется автоматом Л=(Х,8,5), Х={хьх2,...,хп}, а требуемое - автоматом В = (Х,8,5'), Х={хьх2,...,хп}. Без ограничения общности будем считать, что

(5) * ^ (5),...Д„(5) * Зх„ (5)Дй+1 (5) = ^ (5),...Д„(5) = Зхп (5). Система М является функционально

избыточной системой относительно требуемых поведений {Зх }хе х , если ("I,I = 1,И) е X ) та-

кое, что 8'х (5) = 8( (5) . Последовательность Ъ будем называть восстанавливающей последовательностью для преобразования З'х (или для входного сигнала х;).

Нахождение восстанавливающей последовательности является важным этапом работы с универсальными автоматами, так как именно восстанавливающие последовательности позволяют моделировать работу одного автомата другим автоматом.

С алгебраической точки зрения приложение последовательности входных сигналов индуцирует на множестве внутренних состояний преобразование, представляющее произведение преобразований, индуцируемых каждым из входных сигналов этой последовательности. При этом под произведением преобразований §х (5) §х (5) понимается преобразование 8Х (8Х (5)), обозначаемое как §хЛ (5) . То есть все возможные преобразования, индуцируемые автоматом, представляют собой полугруппу преобразований относительно операции умножения, а автоматные подстановки {§х}хе х - систему образующих этой полугруппы. Таким образом, согласно определению 2, построение восстанавливающей последовательности для преобразования § автомата В означает нахождение преставления этого элемента в виде произведения эле-х

ментов системы образующих автомата А, т.е. элементов {§х} х.

Дадим содержательную и формальную постановку задачи проектирования функционально избыточной системы.

Пусть задан класс I требуемых поведений системы и каждое требуемое поведение / е I описывается автоматом А. Таким образом, предполагается заданным семейство конечных детерминированных автоматов {А1 }ге 1, моделирующих требуемые поведения системы.

Содержательная постановка задачи: спроектировать систему таким образом, чтобы она обладала функциональной избыточностью относительно заданного класса требуемых поведений.

Постановка задачи в терминах теории универсальных автоматов (задача синтеза универсального автомата): построить автомат А, задающий текущее поведение системы, который является

универсальным для семейства автоматов {А }ге I.

Рассматривая автоматные преобразования, моделируемые многочленами, сформулируем основные положения, присутствующие при разработке любого метода построения универсального автомата общего вида.

Схема синтеза универсального общего вида

Вход: класс требуемых поведений системы.

Выход: универсальный автомат общего вида, совокупность восстанавливающих последовательностей.

1. Построение полугруппы Р автоматных преобразований, описывающих требуемое поведение системы, т.е. описание всех различных автоматных преобразований, индуцируемых последовательностями входных сигналов при требуемом поведении.

2. Выбор в множестве Р системы образующих элементов с учетом возможных ограничений на их вид и количество, построение на их основе функции переходов универсального автомата.

3. Определение механизма порождения всех элементов заданного множества автоматных преобразований через выбранную систему образующих. В случае необходимости допускается изменение системы образующих и повторение данного шага.

4. Разработка метода, определяющего для произвольного автоматного преобразования из заданного множества Р его конкретного представления через элементы системы образующих. Конструирование на этой основе восстанавливающих последовательностей для заданного класса требуемых поведений.

Очевидно, что, используя данную схему для одного и того же класса автоматных преобразований, можно построить различные универсальные автоматы.

Рассмотрим всевозможные автоматные преобразования на множестве состояний {0,1,...,т-1}, т е К, т.е. симметрическую полугруппу степени т. Известно (см., например, [3]), что симметрическая полугруппа преобразований, определенных на множестве {0,1,...,т-1}, обладает минимальной системой образующих из трех элементов:

§

§

( 0 1 2 ... т -1 > § : ( 0 1 2. .. т - 3 т - 2 т -1л

ч т -1 0 1 ... т - 2 V , §1 : V 0 1 2. .. т - 3 т-1 - т

^0 1 2 т - 3 т- 2т -1>

V0 1 2 т - 3 т 1т - Ъ

Пример 1

Рассмотрим автомат и3 = (Х, 5, Л), гдеX = {0,1,2}, 51 = {0,1,2}, Л = {§,§,§}, функции §0, §, §2

представлены автоматными преобразованиями

( 0 12 ^ ( 0

, § :

§0:

2 0 1

0

1

2

, §2

^0

0

1 2Л 2 2

1

Из них может быть построено преобразование любого автомата с тремя состояниями. Следовательно, автомат и3 является универсальным в классе автоматов с числом состояний, не превосходящим 3, в том числе автомат и3 способен моделировать и поведение автоматов А = (ХД§), В = (ХД§), где

( 0 1 2Л §А : (0 1 2''

V 2 2 0 ) , §2 : V 2 1 1)

( 0 1 2 л , §в : (0 1 2

V 0 0 1) , §х 2 : V 1 1 1)

при подаче следующих последовательностей соответственно 002, 20, 00200, 2022. При этом длина

г- £А С А еВ еВ

восстанавливающих последовательностей для автоматных преобразовании §х , §х , §х , §х которая

определяет длительность процесса реализации требуемых поведений, равна соответственно 3, 2, 5, 4.

Отметим, что универсальный автомат и3 обладает тем же числом состояний, что и заданные автоматы А и В, и минимально возможным числом входных сигналов.

Для произвольного т построим автомат ит = (Х, £, д), где X = {0,1,2}, 5 = {0,1,...,т-1}, д = { до, д1, 32}. Из автоматных преобразований данного автомата может быть порождено любое автоматное преобразование автомата с т состояниями, т.е. оно может моделировать работу автоматов целого класса. Отсюда следует справедливость следующего утверждения.

Утверждение 1

ит = (Х, 5, 3), где X = {0,1,2}, 5 = {0,1,...,т-1}, д = { д0, дь д2}, функции д0, дь д2 которого представлены автоматными преобразованиями типа (2), является универсальным для любого автомата с т состояниями.

Несмотря на то, что для заданного числа состояний т моделируемых автоматов удалось получить явный вид универсального автомата ит, основная задача - построение для него восстанавливающих последовательностей, т.е. задача выразимости произвольного элемента полугруппы преобразований степени т через элементы системы образующих, - является неразрешимой [4]. Однако и она может быть решена при наложении ограничений на вид моделируемых автоматных преобразований.

Исследования представлений автоматных подстановок полиномами с целочисленными коэффициентами приведены в [5, 6].

Рассмотрим следующий способ задания функции перехода автомата:

§хс1

5 е 5, ак (хг) : X  2, где 2 - множество рациональных чисел, к = 0,(т - 1), х, е X.

Определение 3

Будем говорить, что поведение конечного автомата А определяется семейством полиномов {/х}xеX с рациональными коэффициентами, если подстановка из семейства {§х }хеХ представима в виде (3) для каждого х, е X, т.е. /х (5) = §х (5). Будем говорить, что в таком случае подстановка §х равна полиному /х .

Заметим, что полином /х всегда можно представить в виде перестановки &х, вычислив зна-

чения полинома на множестве 0, (т -1) , где т - количество состояний автомата.

Теорема 1. Любой конечный детерминированный автомат может быть задан с помощью полиномов с рациональными коэффициентами [7].

Таким образом, можно сделать вывод, что класс автоматов, моделируемых с помощью полиномов с рациональными коэффициентами совпадает с классом конечных детерминируемых автоматов.

Как было показано в работе [7] по подстановке всегда можно получить равный ей полином по формуле:

т-1 ( т-1 5 _I ^

/

,=0 VI=0,1 *2 2 1 )

Так как при данном методе получается многочлен (т-1)-й степени, предлагается ограничить степень полинома числом (т-1).

В данной работе решается задача нахождения универсального автомата для класса КДА с числом состояний т. Как было показано ранее, для данного класса уже существует решение в рамках

в

симметрических полугрупп преобразований, определенных на множестве Используя

данные результаты, можно по подстановкам вида (2) получить следующие полиномы:

я-1 ( т-1 ^ _/Л т-1 ^ _/ т-1 £ _/ т-1 ( т-1 £ __/ ^

Л( £) = I П

г=0 V/=0,1 Фг г / J

£ =

-1 т-1

П—(т _!)+1 П

П 0 -/ -/Л

(т

!) +П 7-г0 +1 П ~

/=0,1 &1 1 1 г=2 V/=0,1 &г 1

/

(г -1) =

£

I=1

У

г=2 у/=0,1 Фг

1 £ ____/ т-3 ( т-1 £ ___/ ^

г -/

£

(г _ 1),

/!(£) = П 7-7 0 +1 П - ,

/=1 и 1 г=1 V /=0,1 Ф 1 1

т-3 ( т-1 с / Л

I ( П —Л

г=1 V /=0,/ф/ ^ ^

\1: т -1

У

£ _ / ^-2 £ - /

------ (т _ 1) + П----------------\—7 (т _ 2) =

/=0,/Фт_2 т - 2 - / -/=0 т -1 - /

т -1

г + П

т-1 о _/

/1м=П^-т0+1 П

/=1 0 1

тт £ - / %-2 £ _ /

г + П -------------7(т _1) + П----------------Г1(т _ 2),

/=0*Фт_2 т - 2 - / -/=0 т -1 - /

-3 т-1 £ _/ ^ т-1 £ _/ т-2 £ _/

(т -1) + П----------------^—Т (т _ 1) =

т-1

5 7' + П

г=1 у/=0,/фг

г - /

/=0,/Фт-2

т-2-/

/=0

т -1 - /

т-3 т-1

=I (п

г=1 V /=0,/Фг

- / Л

г-/

-^4 £ _ / %-} £ _ /

+ П --------------;г_т(т -1 + П---------------^—г(т _!),

/=0-'/Фт-2 т - 2 - / 1=0 т -1 - /

Так как данные полиномы равны соответственно подстановкам (2), которые являются функциями перехода универсального автомата для класса КДА с числом состояний т, эти полиномы также могут задать функции аналогичного универсального автомата.

Пример 2

Рассмотрим автомат и3, приведенный в примере 1. Найдем полиномы Г0, Г!, Г2, равные соотве-ственно подстановкам 50, 61, 52.

/ (£) = П £ _/ 2 + П £ _/ = (£ _1)(£ _ 2) 2 + £(£ _!) =

°

= £ 2 _ 3£ + 2 + ££ = — £ 2 _ 7 £ + 2,

2

2

2

п ч £ _/ ^ тЧ£ _/ £(£ _ 2) ~ £(£ _ 1) , 2 . £2 £ 3 2 7

/(я) = П-------------2 + П---------- = —------- 2+ . = -2£2 + 4£ +-------= — £2 +-£,

/=0 1ф1 1 _ / /=0

2 - / !*

2*1

22

2

2

/=0,1ф1

... £ _ I £ _ I £(£ _ 2^ £(£ _ 1) 2 2 2

/2 (£) = 1 П ------2 + 1 П------2 =---------2 +-2 = —2£ + 4£ + £ — £ = —£ + 3£,

/=У*1 1 _ / ;=0 2 - / 1*(_1) 1*2 ’

Так как эти функции соответственно равны подстановкам 60, 61, 62, они обладают аналогичными свойствами и являются универсальными для класса автоматов с числом состояний, не превышающем 3.

Заметим, что каждой подстановке может быть равен больше чем один полином с рациональными коэффициентами. Например, подстановке

6

0 1 1 0

равны полиномы

У!(£) = _£ 1 Л(£) = _ £2 +1.

Кроме того, применении входной последовательности порождается суперпозиция подстановок, а следовательно и суперпозиция функций, в результате чего могут получаться полиномы больших степеней. При этом, так как в общем случае никаких ограничений на количество состояний и на степень полинома не накладывается, то возникает вопрос о том, как получить полином минимальной степени. Определение 3

Будем говорить, что два полинома ^(8) и Г2(8) равны на множестве ^ = 0 т _ !, где т - целое число, если они оба равны какой-либо подстановке вида (1) длиной в т элементов.

Теорема 2.

Для любого полинома вида (3), принимающего целочисленные значения на множестве

5 = 0..т _!, где т - целое число, степень которого больше т, существует равный ему полином, степень которого будет не больше (т-1).

Доказательство.

Так как полином Г(8) принимает только целочисленные значения на множестве 8, для него существует равная ему подстановка 5(8).

£

Найдем данную подстановку, вычислив соответствующие значения функции Г(8).

Так как доказано, что для любой подстановки существует равный ей полином Г1 (8), степень которого не превышает (т-1), найдем этот полином по схеме, представленной в работе [7].

Так как полиномы Г(8) и ^(8) оба равны подстановке 5(8), то по определению они являются равными на множестве 8.

Теорема доказана

Пример 3.

Рассмотрим полином - 2.25s +10,55 15,25^ + 7в, КОХОрЫй принимает следующие

значения на множестве  -2

/(0) = -2,25 * О4 +10,5 * О3 -15,25 * О2 + 7 * 0 = 0,

/(1) = -2,25 *14 +10,5 * 13 -15,25 *12 + 7*1 = 0,

/(2) = -2,25 * 24 + 10,5 * 23 -15,25 * 22 + 7*2 = 1.

Таким образом, данный полином по определению равен подстановке

£:(0 1 2 V 0 0 1

По формуле (4) вычислим полином, равный подстановке 5:

/(£) = I ( П —V- = (£ _1)(£ _ 2) 0 + £(£ _ 2) 0 + £(£ _1

^ И , Г >

Заметим, что оба полинома равны одной и той же подстановке, однако степень одного из них равна 4, а второго - 2. Очевидно, что удобнее будет использовать в вычислениях второй полином.

Рассмотрим произвольный автомат А=(Х, 8, 5), число состояний которого равно т, а функции перехода представлены полиномами. Как было показано в теореме (2), для данного автомата можно найти универсальный автомат, функции перехода которого имеют вид (5). Однако остается открытым вопрос о нахождении восстанавливающей последовательности для данного автомата. С практической точки зрения важно не просто знать, что для данной группы автоматов есть универсальный автомат, но и получить список восстанавливающих последовательностей.

Метод 1.

Вход: автомат А=(Х, 8, 5), универсальный для него автомат А’=(Х, 8, 5’), функции перехода которых заданы через полиномы с рациональными коэффициентами. Пусть |Х| = п.

Выход: список восстанавливающих последовательностей для автомата А.

1. Создадим множество I, каждый элемент которого будет хранить числовой идентификатор полинома (созданный на основе числовой последовательности), сам полином, идентификатор его предка, а также элемент из множества Х (входной сигнал), удовлетворяющий следующему условию: композиция поли-нома-предка и полинома, соответствующего данному входному символу, дает добавляемый в систему полином. То есть если входной сигнал х1 моделируется полиномом Г1, и есть какая либо последовательность входных символов, ввод которой в систему моделируется полиномом Г2, то в множество I может быть внесена запись вида (а, ГГ), Г2, х), где а - порядковый номер добавляемого полинома.

2. Создадим очередь полиномов 0, внеся в нее полиномы из множества 5’ и добавив их в структуру I, указав им в качестве предка значение -1, а в качестве числового идентификатора числа от 0 до п-1.

3. Берем первый полином р из очереди и для каждого вычисляем f = (р).

4. Если Г не является частью множества I - добавляем Г в множество I’; указав в качестве предка идентификатор полинома р, а в качестве предка очередное натуральное число.

5. Если Г принадлежит множеству 5, то восстанавливающей последовательностью для 5! = Г будет вычисляться следующим образом:

a. Получаем значение элемента множества Х, при котором было получено текущий полином Г и номер предка этого полинома.

b. Пока номер предка не станет равен -1 будем добавлять текущий символ из множества X в начало результирующей строки и переходить к следующему предку.

6. Переходим к шагу 3 до тех пор, пока не будут найдены восстанавливающие последовательности для любого е 0.. п — 1 либо очередь не станет пустой.

7. Если очередь оказалась пустой до того, как были найдены все восстанавливающие последовательности, то автомат А’ не является универсальным для автомата А.

Пример 4.

Рассмотрим автоматы и = (Х, 8, А), где X = {0,1,2}, 8 = {0,1,2}, А = {Г0,Г1,Г2}, и А = (ХДРА),

где:

/0 (£) = 1,5£ 2 - 3,5£ + 2, / (£) = — 1,5£ 2 + 3,5£, /2 (£) = _£ 2 + 3£;

/0Л (5) = -5 2 + 35, /хл (5) = 52 - 3s + 2.

Заметим, что автомат и является универсальным для автомата А. Найдем восстанавливающие последовательности для автомата А по методу 1:

1. Создадим множество I, удовлетворяющее параметрам, перечисленным в методе 1. Создадим очередь полиномов 0 и внесем в нее полиномы Го, Г, Г2, добавив их в множество I.

Таким образом, множество I будет содержать следующие данные:

Идентификатор элемента Полином Идентификатор предка Входной символ

0 /0(5) = 1,552 - 3,55 + 2 -1 0

1 /1(5) = -1,55 2 + 3,55 -1 1

2 /2(5) = - 5 2 + 35 -1 2

2. Выберем первый элемент из очереди 0 - Г0(при этом он удаляется из очереди) и вычислим композиции полинома Г0 с полиномами Г0, Г1, Г2:

/3(5) = /0(/0(5)) = 1,5(1,552 - 3,55 + 2)2 - 3,5(1,552 - 3,55 + 2) + 2 =

= 3,37554 -15,7553 + 22,12552 - 8,755 +1,

/4(5) = /0(/1(5)) = 1,5(—1,552 + 3,55)2 - 3,5(—1,552 + 3,55) + 2 =

= 3,37554 -15,7553 + 23,62552 -11,755 + 2,

/5(5) = /0(/2(5)) = 1,5(-52 + 35)2 -3,5(-52 + 35) + 2 =

= 1,554 - 953 +1752 -10,55 + 2.

Заметим, что получились функции 4 степени. Вычислим полиномы, равные полиномам/3, /4, /5 по методу, описанному в теореме 2. Получим следующие полиномы:

/3(5) = -1,55 2 + 2,58 +1,

Л(5) = -5 + 2

/5(5) = 0,55 2 - 1,58 + 2.

Так как ни одной из этих функций нет в множестве I, добавим их туда и в очередь 0. Так как ни один из полиномов не равен искомым, будем повторять действия, описанные в данном пункте, для всех элементов очереди, пока очередь не станет пустой, или мы не получим искомые полиномы.

При получении обоих искомых полиномов множество I будет следующим:

Идентификатор элемента Полином Идентификатор предка Входной символ

0 /0(5) = 1,55 2 - 3,55 + 2 -1 0

1 /1(5) = -1,55 2 + 3,55 -1 1

2 /2 (5) = -5 2 + 35 -1 2

3 /3(5) = -1,55 2 + 2,58 +1 0 0

4 /4 (5) = -5 + 2 0 1

5 /5(5) = 0,55 2 - 1,58 +2 0 2

6 /б(5) = 1,55 2 - 2,58 +1 1 0

7 /7 (5) = 5 1 1

8 /8 (5) = -0,552 + 1,58 1 2

9 /9(5) = 252 - 48 + 2 2 0

10 /10 (5) = -5 2 + 35 2 1

11 /11(5) = 0,55 2 -1,58 + 1 3 2

12 /12 (5) = 5 2 - 35 + 2 4 2

3. Заметим, что Г10 и Г12 равны искомым полиномам. Найдем восстанавливающие последовательности для данных полиномов.

/10(5) = /Д /2(5)),

/12(5) = /2 (/4(5)) = /2 (/0( /1(5))).

Т.е. восстанавливающими последовательностями для данных полиномов будут являться последовательности 21 и 102.

Сложность данного метода составляет О (шш). Заметим, что данный алгоритм, как и многие другие алгоритмы теории универсальных автоматов, можно отнести к пр-сложным алгоритмам. Однако данный алгоритм получает восстанавливающую последовательность минимальной длины.

Таким образом, в данной работе показано, как можно решить задачу проектирования функционально избыточной системы на основе решения задачи синтеза универсального автомата для автоматов с заданным числом состояний. Разработан метод получения восстанавливающей последовательности для автоматов, функции перехода которых заданы через полиномы с рациональными коэффициентами.

Данный метод может быть модифицирован для других способов задания автомата.

ЛИТЕРАТУРА

1. Сытник А. А. Об алгоритмической неразрешимости задач математического моделирования функционально избыточных дискретных систем / А. А. Сытник, Т.Э. Шульга // Вестник СГТУ. 2011. № 4(60). С. 213-218.

2. Гилл А. Введение в теорию конечных автоматов: пер. с англ. / А. Гилл. М.: Наука, 1966. 272 с.

3. Ляпин Е.С. Полугруппы / Е.С. Ляпин. М.: Физматгиз, 1960. 592 с.

4. Сытник А.А. Перечислимость при восстановлении поведения автоматов / А.А. Сытник // Доклады РАН. 1993. Т.238. С. 25-26.

5. Сытник А.А. Числовые методы функционального восстановления поведения систем / А.А. Сытник, Т.Э. Шульга //Автоматика и телемеханика. 2003. Вып. 10. С. 123-130.

6. Шульга Т.Э. Численные критерии восстановимости поведения КДА степенным многочленом / Т.Э. Шульга // Теоретические проблемы информатики и ее приложений. 1997. Вып. 1. С. 132-137.

7. Фатьянова М.Д. Задание автоматов с помощью семейства полиномов с рациональными коэффициентами / М.Д. Фатьянова // Наука и общество. 2011. Вып. 1. С. 113-116.

Сластихина Мария Дмитриевна -

аспирант, ассистент кафедры «Прикладная информатика и программная инженерия» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Сытник Александр Александрович -

доктор технических наук, профессор, первый проректор Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю. А.

Шульга Татьяна Эриковна -

доктор физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой «Прикладная информатика и программная инженерия» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Mariya D. Slastihina -

Postgraduate, Assistant Lecturer

Department of Applied Informatics and Software

Engineering,

Yuri Gagarin State Technical University of Saratov

Aleksandr A. Sytnik -

Dr. Sc., Professor Vice-rector

Yuri Gagarin State Technical University of Saratov

Tatyana E. Shulga -

Dr. Sc., Associate Professor

Head: Department of Applied Informatics

and Software Engineering,

Yuri Gagarin State Technical University of Saratov

Статья поступила в редакцию 10.09.13, принята к опубликованию