Интегральные направляющие функции и периодические решения включений с каузальными операторами

6. Bryson E.R., Yu-Chi Ho Applied Optimal Control: Optimization, Estimation and Control. Blaisdell Publishing Company, 1969.

7. Buskens C., Maurer H. SQP-methods for solving optimal control problems with control and state constraints: adjoint variables, sensitivity analysis and real-time control // Journal of Computational and Applied Mathematics, 2000. V. 120. P. 85-108.

8. Alexandrov V.V. and Budninskiy M.A. On Kinematic Control Extremals // European Control Conference (ECC), Zurich, Switzerland, 2013. P. 210-214.

9. Dubovickij A.YA., Milyutin A.A. Neobhodimye usloviya slabogo ehkstremuma v zadachah optimal'nogo upravleniya so smeshannymi ogranicheniyami tipa neravenstva // Zhurnal vychislitel'noj matematiki i matematicheskoj fiziki, 1968. T. 8. № 4. S. 725-779.

10. Natanson I.P. Theory of Functions of a Real Variable // Ungar. New-York, 1955.

11. Arutyunov A.V., Karamzin D.Yu., Perejra F.L. Usloviya otsutstviya skachka resheniya sopryazhennoj sistemy principa maksimuma v zadachah optimal'nogo upravleniya s fazovymi ogranicheniyami // Tr. IMM UrO RAN, 2014. T. 20. № 4. S. 29-37.

12. Zaharov E.V., Karamzin D.YU. K issledovaniyu uslovij nepreryvnosti mery-mnozhitelya Lagranzha v zadachah s fazovymi ogranicheniyami // Differencial'nye uravneniya, 2015. T. 51. № 3. S. 395-401.

13. Afanas'ev A.P., Dikusar V.V., Milyutin A.A., Chukanov S.A. Neobhodimoe uslovie v optimal'nom upravlenii. M.: Nauka, 1990. 320 s.

Received 9 February 2016.

Gorbacheva Anna Viktorovna, Russian State Social University, Moscow, Russian Federation, Lecturer of the Applied Mathematics Department, e-mail: avgorbacheva@inbox.ru

Karamzin Dmitry Yurjevich, Dorodnicyn Computing Center of the Federal Research Center "Informatics and Control" of the Russian Academy of Sciences, Moscow, Russian Federation, Doctor of Physics and Mathematics, Senior Researcher, e-mail: dmitry_karamzin@mail.ru

УДК 517.911.5

DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-1-55-65

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ НАПРАВЛЯЮЩИЕ ФУНКЦИИ И ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ВКЛЮЧЕНИЙ С КАУЗАЛЬНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ

© С. В. Корнев, В. В. Обуховский

В настоящей работе предлагаются новые методы решения периодической задачи для нелинейного объекта, описываемого дифференциальным включением с каузальным оператором. В первой части работы предполагается, что правая часть включения имеет выпуклые замкнутые значения. Далее мы предполагаем, что правая часть невы-пуклозначна и полунепрерывна снизу. В обоих случаях для исследования рассматриваемой задачи применяется интегральная направляющая функция. Ключевые слова: включение; каузальный оператор; интегральная направляющая функция; периодические решения; топологическая степень.

1. Введение

Изучение систем, описываемых дифференциальными и функциональными уравнениями с каузальными операторами, введенными Л. Тонелли (см. [1]) и А.Н. Тихоновым (см. [2]), привлекает внимание многих исследователей. Понятие «каузальный» пришло из техники и оказалось мощным инструментом для унификации задач в теории обыкновенных дифференциальных уравнений, интегро-дифференциальных уравнений, функционально-дифференциальных уравнений с конечным или бесконечным запаздыванием, интегральных уравнений Вольтер-ра, функциональных уравнений нейтрального типа и др. (см. [3]). Различные задачи для функционально-дифференциальных уравнений с каузальными операторами были рассмотрены в работах [4-10]. В частности, граничная и периодическая проблемы изучались в [5] и [7]. В настоящей работе мы применяем метод интегральных направляющих функций в исследовании периодической задачи для дифференциального включения с многозначным каузальным оператором.

Основные идеи метода направляющих функций были сформулированы М.А. Красносельским и А.И. Перовым еще в середине прошлого века (см [11, 12]). Будучи геометрически наглядным, этот метод первоначально применялся к изучению периодических и ограниченных решений обыкновенных дифференциальных уравнений (см, например, [13-15]). Позже этот метод был распространен на случай дифференциальных включений (см., например, [16, 17]), функционально-дифференциальных уравнений и включений (см., например, [18, 19]) и другие объекты. Сфера применения была расширена на изучение качественного поведения и бифуркации решений (см., например, [20]), асимптотики решений (см., например, [21, 22]). Эти и другие аспекты метода направляющих функций и его приложений, а также дополнительную библиографию, можно найти в недавно вышедшей монографии [23].

Работа организована следующим образом. После предварительных сведений (п. 2), где определяется, в том числе, понятие многозначного каузального оператора, мы формулируем периодическую задачу для дифференциального включения с каузальным мультиоператором, приводится основной результат работы для включений как с выпуклозначным и замкнутым каузальным мультиоператором (п. 3), так и для случая, когда правая часть включения является полунепрерывным снизу мультиотображением с невыпуклыми значениями (п. 4).

2. Предварительные сведения

В дальнейшем используются известные понятия и терминология из анализа и теории многозначных отображений (мультиотображений) (см., например, [16, 17, 24, 25]). Напомним некоторые из них.

Пусть (Х,йх) и (У,йу) — метрические пространства. Символами Р (У), С (У), К (У) обозначаются совокупности всех, соответственно, непустых, замкнутых или компактных подмножеств пространства У. Если У — нормированное пространство, то символами Сь(У) и Кь(У) обозначаются совокупности всех непустых выпуклых замкнутых и, соответственно, компактных подмножеств пространства У.

Пусть Е - сепарабельное банахово пространство; Ь1([а,Ь]; Е) обозначает банахово пространство (классов эквивалентности) суммируемых по Бохнеру функций / : [а, Ь] ^ Е.

Определение 1. Непустое множество М С Ь1([а,Ь]; Е) называется разложимым, если для любых /,д € М и любого измеримого по Лебегу множества т С [а, Ь] выполнено

/кт + дк{[ад\т) € М,

где кт - характеристическая функция множества т .

Определение 2. Мультиотображение Е : X ^ Р (У) называется полунепрерывным сверху (пн. св.) в точке х0 € X, если для любого е> 0 найдется 5> 0 такое, что из того,

что dX(x0,x) <5 следует, что F(x) С Ue(F(x0)), где символ Ue обозначает е-окрестность множества.

Определение 3. Мультиотображение F : X — P (Y) называется пн. св., если оно пн. св. в каждой точке x € X.

Определение 4. Мультиотображение F : X — P (Y) называется полунепрерывным снизу (пн. сн.) в точке x0 € X, если для любого е> 0 найдется 5> 0 такое, что из того, что dX(x0,x) <5 следует, что F(x0) С Ue(F(x)).

Определение 5. Мультиотображение F : X — P (Y) называется пн. сн., если оно пн. сн. в каждой точке x € X.

Определение 6. Если мультиотображение F полунепрерывно и сверху и снизу, то оно называется непрерывным.

Определение 7. Пусть F : X — P (Y) - некоторое мультиотображение. Множество Гр в декартовом произведении X х Y,

ГР = {(x,y) | (x,y) € X х Y, y € F(x)}

называется графиком мультиотображения F.

Определение 8. Мультиотображение F : X — P (Y) называется замкнутым, если его график Гр есть замкнутое множество в пространстве X х Y.

Мультиотображение будем называть мультифункцией, если оно определено на подмножестве числовой прямой.

Определение 9. Мультиотображение F : X — P (Y) называется компактным, если образ F (X) является относительно компактным в Y.

Определение 10. Однозначное отображение f : X — Y называется сечением мульти-отображения F, если

f (x) € F (x) для каждого x € X.

В дальнейшем будет использоваться следующая теорема Брессана-Коломбо-Фрышковско-го о непрерывном сечении (см., например, [26] ).

Л е м м а 1. Пусть X - сепарабельное метрическое пространство. Тогда любое пн. сн. мультиотображение F : X ^ L1([a,b]] E) с замкнутыми разложимыми значениями имеет непрерывное сечение.

Пусть I - замкнутое подмножество R, снабженное мерой Лебега.

Определение 11. Мультифункция F : I — K (Y) называется измеримой, если для любого открытого подмножества W С Y его прообраз

F-1(W) = {t € I : F(t) С W}

- измеримое подмножество I .

Замечание 1. Всякая пн. сн. мультифункция измерима.

Замечание 2. Всякая измеримая мультифункция F : I — K (Y) обладает измеримым сечением, т. е. существует такая измеримая функция f : I — Y, что f(t) € F(t) почти для всех (п.в.) t € I.

Определение 12. Мультиотображение F : I х X — K (Y) удовлетворяет условию подлинейного роста, если существует неотрицательная суммируемая по Лебегу на I функция а(^) такая, что п.в. t € I

||F(t,x)\\ := max \\y\\ < a(t)(l + ||x||).

y&F

В дальнейшем мы будем использовать определения и элементарные свойства топологической степени однозначных и многозначных векторных полей (см., например, [11, 17, 24, 25]).

Пусть Т> 0 и а > 0 - данные числа. Символами С([кТ - а, (к + 1)Т]; Мп) и Ь1 ((кТ, (к + + 1)Т); Мп) , где к € ^ , мы обозначаем соответствующие пространства непрерывных и суммируемых функций с обычными нормами.

Для подмножества ^С Ь1 ((кТ, (к + 1)Т); Мп) и т € (кТ, (к + 1)Т) сужение N на (кТ,т) определяется как

N \ (кТ,т) = {/ \ (кТ,т): / €М}.

Определение 13. Будем говорить, что 2 - каузальный мультиоператор, если для каждого к € ^ мультиотображение

2 : С

задано таким образом, что для каждого т € (кТ, (к + 1)Т) и для любых

О, О € С

условие и 1[кт-а,т] = V \[кт-а,т] влечет 0.

Рассмотрим примеры каузальных мультиоператоров. Обозначим С банахово пространство С ([-а, 0]; Мп).

Пример 1. Пусть мультиотображение Е : М хС — Kv (Мп) удовлетворяет следующим условиям:

(Е1) мультифункция Е (•, с): М — Kv (Мп) допускает измеримое сечение для каждого с €С;

(Е2) мультиотображение Е (г, •) : С — Kv (Мп) полунепрерывно сверху для п.в. г € М;

(Е3) для любого г > 0 найдется локально суммируемая неотрицательная функция Пг(•) € Ь]ос (М) такая, что

\\Е (г,с)\\ :=8пр{\\у\\ : у € Е (г,с)}< Пг (г) п.в. г € М ,

для всех с € С, ||с\\ < г.

Известно (см., например, [24, 25]), что при условиях (Е1) - (Е3) для каждого к € ^ определен мультиоператор суперпозиции

Тр : С ([кТ - а, (к + 1)Т]; Мп) ^ Ь1 ((кТ, (к + 1)Т); Мп),

Те (и) = {/ € Ь1 ((кТ, (к + 1)Т]; Мп) : / (г) € Е (г, и*) п.в. I € (кТ, (к + 1)Т)}.

Здесь иг €С определено как и*(в) = и(г + в), в € [-а, 0]. Мультиоператор Те является каузальным.

Пример 2. Пусть Е: М хС — Kv(Шn) - мультиотображение, удовлетворяющее условиям (Е1) - (Е3) примера 1. Пусть ^(г, в): -ж <в < г< - непрерывное семейство линейных

операторов в Мп и т € Ь1ос(М; Мп) - данная локально суммируемая функция. Для каждого к € ^ рассмотрим интегральный мультиоператор типа Вольтерра д : С ([кТ - а, (к + 1)Т]; Мп) ^ Ь1 ((кТ, (к + 1)Т); Мп), определенный как

д(и)(г) = т(г) + / K(г, в)Е(в, и3)йз,

кТ

т. е.

д(и) = {у € Ь1 ((кТ, (к + 1)Т); Мп) : у(г) = т(г) + / * K (г, в)/(в)йв : / € Те (и)}.

кТ

Мультиоператор д также является каузальным.

Пример 3. Пусть мультиотображение Е : М х С — K (Мп) удовлетворяет следующему условию почти полунепрерывности снизу:

( Fl ) найдется последовательность непересекающихся замкнутых множеств {Jn}, Jn Q R n = = 1, 2,... такая, что: (i) meas (R \(J n Jn) = 0; (ii) сужение F на каждое множество Jn xC полунепрерывно снизу.

При условиях (Fl), (F3) (см., например, [24, 25]) для каждого к € Z мультиоператор суперпозиции

Pf : C ([кТ - а, (к + 1)Т]; Rn) ^ L1 ((кТ, (к + 1)Т); Rn) также определен и каузален.

3. Периодическая задача для включений с каузальными мультиоператорами

Обозначим Ct пространство непрерывных Т -периодических функций x : R ^ Rn с нормой \\x\\c = sup \\x(t)\\ .Через 11x^2 мы обозначаем норму функции x в пространстве L2 , te[0,T ]

!tí 4 2

\\x\\2 = I J \x(s)\2 ds

Для определения понятия периодического каузального мультиоператора, рассмотрим для к € Z следующий оператор сдвига jk : L1 ((кТ, (к + 1)Т); Rn) ^ L1 ((0, Т); Rn):

jk (f )(t) = f (t + кТ).

Определение 14. Каузальный мультиоператор Q называется Т -периодическим, если для каждых x € Ct и к € Z выполнено

jk (Q(x\[kT-r,(k+1)T])) = Q(x\[-T,T])-

Для обеспечения периодичности каузальных мультиоператоров в вышеуказанных примерах, достаточно полагать, что мультиотображения F являются Т -периодичными по первому аргументу:

F

для всех (t,c) € R x C ив примере 2 дополнительно считать, что функция m(t) и семейство K(t,s) также Т -периодичны:

m(t + Т) = m(t) для всех t € R;

K(t + Т, s + Т) = K(t,s) для всех -то <s < t<

Ясно, что условие Т -периодичности каузального мультиоператора позволяет рассматривать его только на пространстве C([-г,Т]; Rn).

Сформулируем теперь нашу основную задачу:

Для заданного Т -периодического каузального мультиоператора Q, найти решение следующего операторного включения:

x € Q

где x € Ct - абсолютно непрерывная функция.

3.1. Случай выпуклозначного каузального мультиоператора

Обозначим ЬТ пространство суммируемых Т -периодических функций / : М — Мп . В этом разделе мы предполагаем, что Т -периодический каузальный мультиоператор 2: Ст — Cv(ЬT) имеет выпуклые значения и удовлетворяет следующим условиям:

(21) для любого ограниченного линейного оператора А: ЬТ — Е, где Е - банахово пространство, композиция А о 2 : Ст — Cv(E) - замкнутый мультиоператор;

(22) существует неотрицательная Т -периодическая суммируемая функция а(г) такая, что

\\2(х)(г)\ < а(г)(1 + \\х(г)\\) п.в. г € м, для каждой функции х € Ст .

Для обеспечения условия

- (Е3) (см. [16], теорема 1.5.30), а для выполнения условия (22) мы можем предположить в примере 1 выполненным условие подлинейного роста, а в примере 2 следующее условие глобальной интегральной ограниченности

\\Е(г,с)\\ < 7(г) п.в. г € [0,Т],

для некоторой неотрицательной суммируемой функции 7(г).

Для изучения периодической задачи (1) мы используем теорему о точке совпадения для линейного фредгольмова оператора и многозначного отображения. Введем необходимые обозначения.

Пусть Е1 , Е2 - банаховы пространства; и С Е1 - ограниченное открытое множество; I: Бош I с Е1 — Е2 - линейный фредгольмов оператор нулевого индекса такой, что 1т I С Е2 замкнуто.

Рассмотрим непрерывные линейные операторы проектирования р : Е1 —у Е1 и д : Е2 —У

— Е2 такие, что 1т р = Кег I, 1т I = Кег д. Символом 1Р обозначим сужение оператора I на Бош Iп Кег р.

Далее, пусть непрерывный оператор крд : Е2 — Бош I п Кег р определен соотношением кр,д(у) = I- 1(у - д(у)), У € Е2; канонический оператор проектирования п : Е2 — Е2/ 1т I имеет вид п(у) = у + 1ш I, у € Е2; и ф : Сокег I — Кег I - непрерывный линейный изоморфизм. Пусть д : и — Kv(E2) замкнутое мультиотображение такое, что

(a) д(и) - ограниченное подмножество Е2;

(b) мультиотображение кр,д од : и — Kv(El) компактно и полунепрерывно сверху.

Справедливо следующее утверждение (см. [24], лемма 13.1). Лемма 2. Пусть

(г) 1(х)/\д(х) для всех X € (0,1] , х € Бош Iп ди ;

(п) 0/пд(х) для всех х €Кег Iп ди ;

(ггг) degKer ¡(фпд\ик ,и кег I )=0, где символ degKer г обозначает топологическую степень многозначного векторного поля, вычисляемую в пространстве Кег I, и икег I = и п Кег I.

Тогда I и д имеют точку совпадения в и, т.е. найдется х€и такое, что 1(х) €С(х) . Напомним следующее понятие (см., например, [11, 18, 19]).

Определение 15. Непрерывно дифференцируемая функция V : Мп — М называется невырожденным потенциалом, если найдется K > 0 такое, что

vV (х) = 0

для всех х €МП , \\х\\ > K.

Из определения невырожденного потенциала V вытекает, что на каждом замкнутом шаре Вк С Мп с центром в нуле радиуса K > K, топологическая степень градиента deg(vV; В к) корректно определена и, более того, ее значения не зависят от радиуса K . Это общее значение степени называется индексом V невырожденного потенциала V.

Определение 16. Непрерывно дифференцируемая функция V : Мп — М называется строгой интегральной направляющей функцией для включения (1), если найдется Ы> 0 такое, что

[ ^

'о

для любой абсолютно непрерывной функции х€СТ такой, что \\х\\2 > N и \\х/(г)\<\2(х)(г)\ п.в. г [0, Т] .

Теорема 1. Пусть V : Мп — М - строгая интегральная направляющая функция задачи (1) такая, что

Ш V = 0.

Тогда задача (1) имеет решение.

Отметим, что условия теоремы выполнены, если, например, функция V четна или удовлетворяет условию коэрцитивности: Нш V (х) = .

Доказательство. Сведем задачу к лемме 2, обосновав разрешимость следующего операторного включения

1х € 2

где I :Бош I := {х€Ст : х абсолютно непрерывна} с Ст — ЬТ - линейный фредгольмов оператор нулевого индекса. Тогда Кег I = Мп, проекция п :

ЬТ — Мп может быть задана формулой

т

п/ = Т / /(в) ёв и мультиоператоры п2 и кр,д2 выпуклозначны и компактны на ограничено

ных подмножествах.

Пусть для некоторого X € (0,1] функция х € Бош I является решением включения

1(х) € Х2(х).

Это означает, что х(-) является абсолютно непрерывной функцией такой, что х'(г) = X/(г) п.в. г € [0, Т] , для некоторого / € 2(х) . Тогда

гТ 1 г т

/о х о

1 [т „...... 1

X

откуда

1Т

^(х(в)), /(в)) йв = - ^(х(в)), х (в)) йв = х У о

Ст , 1

V'(х(в)) йв = Т(У(х(Т)) - V(х(0))) = 0,

Л х

\\х\2 <N.

Из условия (Я2) вытекает, что \\х'\\2 < М', где М' > 0 . Но тогда найдется и такое М > 0,

что

\\х\\с <М.

Возьмем в качестве и шар Вг С Ст радиуса г = ш&х{К,М,МТ-1/2} . Тогда имеем

¡

для всех х € ди .

Возьмем произвольное и € ди п Кег1 .Получаем \\и\\ > МТ-1/2 и, рассматривая и как постоянную функцию, из определения строгой интегральной направляющей функции получаем

I (УУ (и),/ (в)) (в> 0 ./о

для любого / €Я(и) . Но тогда

Г(УУ(и), /(в)) (18 = (УУ(и), Г /(в) с1в) = Т(УУ(и), п/) > 0, оо

и, следовательно,

(УУ(и), у) > 0

для любого у € пQ(u) .

Это означает, что 0€пQ(u) и, более того, мультиполе пQ(u) и поле УУ(и) не допускают противоположных направлений для и € ди п Кег I. Это означает, что эти поля гомотопны, что и влечет равенство соответствующих топологических степеней:

deë(пQ\uKeI гйкег I) = <1еЕ(УУ,йКег ¡) = 0,

где икег I = и п Кег ¡. Таким образом, все условия леммы 2 выполнены и задача (3), а, следовательно, и задача (1) имеют решение. Теорема доказана.

3.2. Случай полунепрерывного снизу каузального мультиоператора

Теперь мы рассмотрим периодическую задачу для класса включений с невыпуклозначными полунепрерывными снизу каузальными мультиоператорами. Именно, мы будем предполагать, что Т -периодический каузальный мультиоператор Q : Ст ^ Р(ЬТ) удовлетворяет условию

(^ь) Q полунепрерывен снизу и имеет замкнутые разложимые значения

и условию (Q2) .

В качестве примера каузального мультиоператора, удовлетворяющего условиям (^ь) и (Q2), мы можем рассмотреть суперпозиционный мультиоператор Рр, порожденный Т -периодическим по первому аргументу мультиотображением Р : М хС^ К (Мга), удовлетворяющим условию почти полунепрерывности снизу (Рь) и условию подлинейного роста.

Теорема 2. Пусть Q : Ст ^ Р (ЬТ) - Т -периодический каузальный мультиоператор, удовлетворяющий условиям ( ^ь) и ^2) и У : Мга ^ М - строгая интегральная направляющая функция для соответствующей задачи (1) такая, что

1пё У = 0.

Тогда задача (1) имеет решение.

Доказательство. Применяя лемму 2, найдем непрерывное сечение q : Ct ^ LT мультиоператора Q . Для отображения q имеем соотношение

[ {VV(x(s)),q(x)(s)) ds> 0 J о

для каждой абсолютно непрерывной функции xeCT такой, что \\x\\2 >N и ||х'(£)||<||2(х)(£)|| п.в. t e [0,24.

Теперь, применяя «однозначную» версию леммы 2 (т. е. заменяя мультиотображение G непрерывным отображением g) и применяя аналогичные рассуждения, мы получим решение x следующего уравнения

l(x) = q(x),

которое является решением задачи (1). Теорема доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Tonelli L. Sulle equazioni funzionali di Volterra // Bull. Calcutta Math. Soc., 1930. V. 20. P. 31-48.

2. Тихонов А.Н. О функциональных уравнениях типа Volterra и их применениях к некоторым задачам математической физики // Бюл. МГУ. Секция А. Сер. матем. и мех., 1938. Т. 1. Вып. 8. С. 1-25.

3. Corduneanu C. Functional Equations with Causal Operators. Stability and Control: Theory, Methods and Applications, 16. London: Taylor and Francis, 2002.

4. Drici Z., McRae F.A., Vasundhara Devi J. Differential equations with causal operators in a Banach space // Nonlinear Anal., 2005. V. 62. №2. 301-313.

5. Drici Z, McRae F.A., Vasundhara Devi J. Monotone iterative technique for periodic boundary value problems with causal operators // Nonlinear Anal., 2006. V. 64. № 6. P. 1271-1277.

6. Jankowski T. Boundary value problems with causal operators // Nonlinear Anal., 2008. V. 68. № 12. P. 3625-3632.

7. Lupulescu V. Causal functional differential equations in Banach spaces // Nonlinear Anal., 2008. V. 69. № 12. P. 4787-4795.

8. Obukhovskii V., Zecca P. On certain classes of functional inclusions with causal operators in Banach spaces // Nonlinear Anal., 2011. V. 74. № 8. P. 2765-2777.

9. Бурлаков Е.О., Жуковский Е.С. Непрерывная зависимость от параметров решений уравнений Вольтера с локально сжимающими операторами // Известия вузов. Математика, 2010. № 8. С. 16-29.

10. Жуковский Е.С., Жуковская Т.В., Алвеш М.Ж. Корректность уравнений с обобщенно вольтерровы-ми отображениями метрических пространств // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2010. Т. 15. Вып. 6. С. 1669-1672.

11. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. M.: Наука, 1966.

12. Красносельский М.А., Перов А.И. Об одном принципе существования ограниченных, периодических и почти-периодических решений у систем обыкновенных дифференциальных уравнений // ДАН СССР, 1958. Т. 123. № 2. С. 235-238.

13. Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. M.: Наука, 1975.

14. Mawhin J. Topological Degree Methods in Nonlinear Boundary Value Problems. CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 40. American Mathematical Society. Providence. R.I., 1979.

15. Mawhin J., Ward J.R. Guiding-like functions for periodic or bounded solutions of ordinary differential equations // Discrete Contin. Dyn. Syst., 2002. V. 8. № 1. P. 39-54.

16. Борисович Ю.Г., Гельман Б.Д., Мышкис А.Д., Обуховский В.В. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений. Изд. 2-е. М.: Либроком, 2011.

17. Gorniewicz L. Topological Fixed Point Theory of Multivalued Mappings. Berlin: Springer, 2006.

18. Fonda A. Guiding functions and periodic solutions to functional differential equations // Proc. Amer. Math. Soc., 1987. V. 99. № 1. P. 79-85.

19. Kornev S., Obukhovskii V. On some developments of the method of integral guiding functions // Funct. Differ. Equ., 2005. V. 12. № 3-4. P. 303-310.

20. Loi N.V., Obukhovskii V., Zecca P. On the global bifurcation of periodic solutions of differential inclusions in Hilbert spaces // Nonlinear Anal., 2013. V. 76. P. 80-92.

21. Kornev S., Obukhovskii V., Yao J.C. On asymptotics of solutions for a class of functional differential inclusions // Discussiones Mathematicae. Differential Inclusions, Control and Optimization, 2014. V. 34. Issue 2. P. 219-227.

22. Корнев С.В., Обуховский В.В. Асимптотическое поведение решений дифференциальных включений и метод направляющих функций // Дифференциальные уравнения, 2015. Т. 51. № 6. С. 700-705.

23. Obukhovskii V., Zecca P., Loi N.V., Kornev S. Method of guiding functions in problems of nonlinear analysis. Lecture Notes in Math. V. 2076. Berlin: Springer, 2013.

24. Deimling K. Multivalued Differential Equations. Berlin; New York: Walter de Gruyter, 1992.

25. Kamenskii M., Obukhovskii V., Zecca P. Condensing Multivalued Maps and Semilinear Differential Inclusions in Banach Spaces. Berlin-New York: Walter de Gruyter, 2001.

26. Fryszkowski A. Fixed point theory for decomposable sets. Dordrecht: Kluwer AP, 2004.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 14-01-00468, 16-01-00386) и Российского научного фонда (грант 14-21-00066).

Поступила в редакцию 15 декабря 2015 г.

Корнев Сергей Викторович, Воронежский государственный педагогический универитет, г. Воронеж, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики, e-mail: kornev _ vrn@rambler.ru

Обуховский Валерий Владимирович, Воронежский государственный педагогический универитет, г. Воронеж, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой высшей математики, e-mail: valerio-ob2000@mail.ru

UDC 517.911.5

DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-1-55-65

INTEGRAL GUIDING FUNCTIONS AND PERIODIC SOLUTIONS FOR INCLUSIONS WITH CAUSAL MULTIOPERATORS

© S.V. Kornev, V.V. Obukhovskii

In the present paper the method of guiding functions is applied to study the periodic problem for a differential inclusion with a causal multioperator. At first we consider the case when the multioperator is closed and convex-valued. Then the case of a non-convex-valued and lower semicontinuous right-hand part is considered.

Key words: differential inclusion; causal multioperator; integral guiding function; periodic solutions; coincidence topological degree.

ACKNOWLEDGEMENTS: The present work is partially supported by the Russian Fund for Basic Research (projects № 14-01-00468, 16-01-00386) and by the Russian Scientific Fund (grant 14-21-00066).

REFERENCES

1. Tonelli L. Sulle equazioni funzionali di Volterra // Bull. Calcutta Math. Soc., 1930. V. 20. P. 31-48.

2. Tihonov A.N. O funkcional'nyh uravneniyah tipa Volterra i ih primeneniyah k nekotorym zadacham matematicheskoj fiziki // Byul. MGU. Sekciya A. Ser. matem. i mekh., 1938. T. 1. V. 8. S. 1-25.

3. Corduneanu C. Functional Equations with Causal Operators. Stability and Control: Theory, Methods and Applications, 16. London: Taylor and Francis, 2002.

2016. T. 21, Bbm. 1. MaTeMaTHKa

4. Drici Z., McRae F.A., Vasundhara Devi J. Differential equations with causal operators in a Banach space // Nonlinear Anal., 2005. V. 62. №2. 301-313.

5. Drici Z., McRae F.A., Vasundhara Devi J. Monotone iterative technique for periodic boundary value problems with causal operators // Nonlinear Anal., 2006. V. 64. № 6. P. 1271-1277.

6. Jankowski T. Boundary value problems with causal operators // Nonlinear Anal., 2008. V. 68. № 12. P. 36253632.

7. Lupulescu V. Causal functional differential equations in Banach spaces // Nonlinear Anal., 2008. V. 69. № 12. P. 4787-4795.

8. Obukhovskii V., Zecca P. On certain classes of functional inclusions with causal operators in Banach spaces // Nonlinear Anal., 2011. V. 74. № 8. P. 2765-2777.

9. Burlakov E.O., ZHukovskij E.S. Nepreryvnaya zavisimost' ot parametrov reshenij uravnenij Vol'tera s lokal'no szhimayushchimi operatorami // Izvestiya vuzov. Matematika, 2010. № 8. S. 16-29.

10. ZHukovskij E.S., ZHukovskaya T.V., Alvesh M.ZH. Korrektnost' uravnenij s obobshchenno vol'terrovymi otobrazheniyami metricheskih prostranstv // Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki. Tambov, 2010. T. 15. V. 6. S. 1669-1672.

11. Krasnosel'skij M.A. Operator sdviga po traektoriyam differencial'nyh uravnenij. M.: Nauka, 1966.

12. Krasnosel'skij M.A., Perov A.I. Ob odnom principe sushchestvovaniya ogranichennyh, periodicheskih i pochti-periodicheskih reshenij u sistem obyknovennyh differencial'nyh uravnenij // DAN SSSR, 1958. T. 123. № 2. S. 235238.

13. Krasnosel'skij M.A., Zabrejko P.P. Geometricheskie metody nelinejnogo analiza. M.: Nauka, 1975.

14. Mawhin J. Topological Degree Methods in Nonlinear Boundary Value Problems. CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 40. American Mathematical Society. Providence. R.I., 1979.

15. Mawhin J., Ward J.R. Guiding-like functions for periodic or bounded solutions of ordinary differential equations // Discrete Contin. Dyn. Syst., 2002. V. 8. № 1. P. 39-54.

16. Borisovich YU.G, Gel'man B.D., Myshkis A.D., Obuhovskij V.V. Vvedenie v teoriyu mnogoznachnyh otobrazhenij i differencial'nyh vklyuchenij. Izd. 2-e. M.: Librokom, 2011.

17. Gorniewicz L. Topological Fixed Point Theory of Multivalued Mappings. Berlin: Springer, 2006.

18. Fonda A. Guiding functions and periodic solutions to functional differential equations // Proc. Amer. Math. Soc., 1987. V. 99. № 1. P. 79-85.

19. Kornev S., Obukhovskii V. On some developments of the method of integral guiding functions // Funct. Differ. Equ., 2005. V. 12. № 3-4. P. 303-310.

20. Loi N.V., Obukhovskii V., Zecca P. On the global bifurcation of periodic solutions of differential inclusions in Hilbert spaces // Nonlinear Anal., 2013. V. 76. P. 80-92.

21. Kornev S., Obukhovskii V., Yao J.C. On asymptotics of solutions for a class of functional differential inclusions // Discussiones Mathematicae. Differential Inclusions, Control and Optimization, 2014. V. 34. Issue 2. P. 219-227.

22. Kornev S.V., Obuhovskij V.V. Asimptoticheskoe povedenie reshenij differencial'nyh vklyuchenij i metod napravlyayushchih funkcij // Differencial'nye uravneniya, 2015. T. 51. № 6. S. 700-705.

23. Obukhovskii V., Zecca P., Loi N.V., Kornev S. Method of guiding functions in problems of nonlinear analysis. Lecture Notes in Math. V. 2076. Berlin: Springer, 2013.

24. Deimling K. Multivalued Differential Equations. Berlin; New York: Walter de Gruyter, 1992.

25. Kamenskii M., Obukhovskii V., Zecca P. Condensing Multivalued Maps and Semilinear Differential Inclusions in Banach Spaces. Berlin-New York: Walter de Gruyter, 2001.

26. Fryszkowski A. Fixed point theory for decomposable sets. Dordrecht: Kluwer AP, 2004.

Received 15 December 2015.

Kornev Sergei Viktorovich, Voronezh State Pedagogical University, Voronezh, the Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of the Higher Mathematics Department, e-mail: kornev _ vrn@rambler.ru

Obukhovskii Valerii Vladimirovich, Voronezh State Pedagogical University, Voronezh, the Russian Federation, Doctor of Physics and Mathematics, Head of the Higher Mathematics Department, e-mail: valerio-ob2000@mail.ru