О возможном пути и проблемах развития дисциплины "начертательная геометрия"

УДК 514.18: 378.1

О ВОЗМОЖНОМ ПУТИ И ПРОБЛЕМАХ РАЗВИТИЯ ДИСЦИПЛИНЫ "НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ"

Н.В. Кайгородцева, В.Я. Волков

Аннотация. Представлен путь модернизации дисциплины "Начертательная геометрия" путем введения формализованного аппарата исследования исходных данных, заданных условий и их размерностей с применением математических методов исчислительной геометрии в анализе и синтезе геометрических задач.

Ключевые слова: начертательная геометрия, модернизация, математизация, исчислительная геометрия, методика преподавания

Введение. Интенсивное развитие информационных технологий, и в том числе пакетов САПР, "освобождают" начертательную геометрию от роли теоретической основы проекционного черчения. В этой связи, учебная дисциплина "Начертательная геометрия" может перейти из ряда наук технических в ряд математических наук. Для такого перехода есть все возможности. Они обусловлены наличием разработанного научно-

обоснованного геометрического аппарата для расчета размерностей и структурных характеристик заданных объектов при проведении анализа и синтеза условий геометрических задач.

Из истории развития начертательной геометрии. Время и место возникновения понятия "Геометрия" доподлинно не установлено. Дословный перевод (от греч. YП - Земля и ^£трш -меряю) позволяет сделать вывод, что в ранний период своего развития геометрия была эмпирической наукой, возникшей из повседневных потребностей общества. Она достигла высокого уровня в древнем Египте в связи с решением ряда землемерных, ирригационных (оросительных) и навигационных задач. Об этом свидетельствует папирус Ахмеса, где сообщаются относительно точные сведения об уровне геометрических знаний (измерение земельных участков, расчеты пирамид).

В первом тысячелетии до н.э. геометрические сведения от египтян перешли к грекам, которые использовали геометрию в ремесле землемерия и в измерении объёмов тел. Древние греки превратили геометрию в строгую научную дисциплину. Античные геометры от набора рецептов перешли к установлению общих закономерностей, составили первые систематические и доказательные труды по геометрии. Центральное место среди них занимают составленные около 300 лет до н.э. «Начала» Евклида. Этот труд более двух тысячелетий считался образцо-

вым изложением в духе аксиоматического метода: все положения выводятся логическим путем из небольшого числа явно указанных и не доказываемых предположений - аксиом.

Дальнейшее развитие геометрии связано с удовлетворением потребностей науки и техники в построении изображений (документировании) трехмерных объектов (деталей машин и механизмов, строительных конструкций, архитектурных, гидротехнических, фортификационных и многих других сооружений) по законам геометрии на двумерном (проекционном) чертеже (от франц. projecere - бросать вперед), возникших из практических задач, прежде всего строительства сложных сооружений, военных укреплений и т.д., а на позднем этапе - из запросов машиностроения и техники.

Творцом ортогональных проекций и основоположником начертательной геометрии стал французский геометр Гаспар Монж (1746-1818 гг.). Появление начертательной геометрии было вызвано необходимостью в развитии теории изображений. В самом названии дисциплины отражена ее сущность - черчение, построение изображений путем вычерчивания на листе бумаги и графическое решение стереометрических задач на чертеже [4]. Знания, накопленные по теории и практике изображения пространственных предметов на плоскости, Монж систематизировал, обобщил и развил. Начертательная геометрия Монжа была представлена обществу, как научная дисциплина.

Две главные задачи решала новая наука:

1. Точное представление на чертеже, имеющем два измерения, трехмерных объектов;

2. Выведение из точного описания тел всего, что следует из их формы и взаимного расположения.

Методы Монжа были дополнением к анализу, связанного с практическими потребностями инженерного дела. Впервые ученый предложил рассматривать плоский чертеж в двух проек-

циях, как результат совмещения изображенной фигуры в одной плоскости - комплексный чертеж или эпюр Монжа.

В работе Г. Монжа "Начертательная геометрия", изданной в 1798г., рассматривались следующие задачи:

1. Применение теории геометрических преобразований;

2. Рассмотрение некоторых вопросов теории проекций с числовыми отметками;

3. Подробное исследование кривых линий и поверхностей, в частности применение вспомогательных плоскостей и сфер при построении линии пересечения поверхностей.

С момента возникновения геометрия развивалась, тесно переплетаясь с математикой, механикой, физикой, а также оказывала влияние на разработку теоретических основ в технике и изобразительном искусстве. Теоретические предпосылки инженерной графики основаны на положениях начертательной геометрии, что позволило создать фундамент, на котором базируется инженерное образование, инженерное творчество и система создания технической документации.

С этой точки зрения, с момента своего возникновения и в течение более 200 лет, начертательная геометрия была и остается «языком техники», знание которого необходимо каждому инженеру, создающему что-то новое, и тем, кто реализует инженерный проект. Такое относительно узко-утилитарное назначение начертательной геометрии, вызванное практикой на этапе ее становления, стало пересматриваться во второй половине XIX в., и появились вполне обоснованные попытки позиционировать начертательную геометрию как раздел математики.

Примерно в то же время возникла необходимость изучения свойств геометрических пространств с различным мероопределением, и как следствие, необходимость изучения свойств этих пространств путем их отображения на пространства с известной метрикой. Отказ от примитивного взгляда на начертательную геометрию и признание ее в качестве раздела математики способствовали развитию ее методов, выявили существование тесных взаимосвязей со смежными разделами геометрии и рядом других дисциплин [4].

Причины необходимости модернизации учебного курса "Начертательная геометрия".

В настоящее время в высших учебных заведениях сложилась ситуация принижения значения начертательной геометрии как учебной дисциплины. Ее практически исключили, либо сократили до минимума, из образовательных стандартов нового поколения некоторых специальностей и

направлений. На наш взгляд, существует несколько причин негативного отношения к одной из базовых инженерных дисциплин.

Во-первых, с развитием информационных технологий и систем автоматизированного проектирования появилась возможность реализовывать идеи проектировщиков, конструкторов, изобретателей, архитекторов сразу в пространственную виртуальную модель. То есть чертеж, как плоское изображение объемного объекта, перестал быть первостепенным. В связи с чем, начертательная геометрия, считавшаяся всегда основой инженерной графики, изжила себя и поэтому ее роль "камешка" в теоретической базе технических знаний кажется уже не актуальной.

Во-вторых, начертательная геометрия всегда считалась сложной для понимания дисциплиной. Это обстоятельство связано с тем, что для осуществления мысленного перехода от изображения трехмерной модели к двумерному чертежу и обратно, необходимо наличие у человека, такой способности человеческого мозга, как пространственное мышление. По наблюдениям ученых-психологов [10], только 25% населения Земли обладают таким уникальным даром. При таком малом проценте, к моменту поступления в вуз менее 19% студентов имеют развитое пространственное мышление [3]. Остальные 6% за 16-18 лет либо не раскрыли в себе этот дар, либо не поступили в вуз.

Эти два обстоятельства и побудили некоторых преподавателей геометро-графических дисциплин сомневаться в необходимости наличия начертательной геометрии в багаже знаний современного инженера.

Действительно, прежнее назначение начертательной геометрии себя исчерпало. Появились новые потребности, а главное и возможности в решении геометрических инженерных задач. В этой связи можно утверждать, что начертательная геометрия должна перестать быть дисциплиной обслуживающей инженерную графику. Она должна стать полностью самодостаточной и получить право на дальнейшее развитие, так как решение проблем конструктивного или аксиоматического построения отображений остаются актуальными сегодня и будут таковыми завтра.

Инженерно-конструкторская деятельность при изменении инструментария продолжает в своей сущности использовать методы начертательной геометрии, состоящие в перекодировке двумерной информации в трехмерные объекты и обратно. Именно поэтому необходимо в вузах сохранить дисциплину "Начертательная геометрия", но при этом следует изменить в ней подход к решению геометрических задач, переориентировав его в область исследования параметров

заданных объектов и условий, определения размерностей и структурных характеристик искомого решения с целью определения оптимального алгоритма решения.

Модернизация позволит расширить методы начертательной геометрии на пространства с размерностями более трех, сохраняя такую важную функцию данной учебной дисциплины, как осуществление мысленного перехода из пространств большей размерности к пространствам меньшей размерности и наоборот.

Такая мысленная операция оказывает непосредственное влияние на развитие пространственного мышления будущих инженеров. Этот вид мышления особенно важен для инженеров, так как образ будущего изобретения сначала "рождается в голове", а только потом он реализуется. Ранее средством реализации был чертеж, а теперь - пространственная геометрическая модель виртуального пространства. Поэтому нельзя недооценивать способы и методы начертательной геометрии; нельзя отказаться от дисциплины "Начертательная геометрия", как от дисциплины, якобы утратившей свою актуальность; нельзя причислять начертательную геометрию к умирающим наукам.

Отказаться от науки можно только в той ситуации, когда наука, выявила какие либо внутренние или внешние противоречия.

На наш взгляд: начертательная геометрия есть и остается быть наукой, не проявившей никаких противоречий со своими постулатами; не обнаружилось никаких неадекватных отражений ею окружающей реальности, а 1Т являются лишь новым инструментом способным во всех отношениях (скорость, время, качество) улучшить уровень усвоения студентами геометрографических дисциплин.

Новый виток развития дисциплины "Начертательная геометрия". Прежняя начертательная геометрия была в большей степени эмпирической наукой. То есть знания об определенных свойствах, отношениях, закономерностях были получены путем непосредственного контакта с реальностью [11]. Эмпирическое познание позволило использовать методы наблюдения, эксперимент и описание, так как оно позволяет выражать свои результаты в общих представлениях и отдельных понятиях. Оно отражает внешние, являющиеся свойствами предметов связи и обслуживает необходимые на том этапе виды практики [5].

Классическая начертательная геометрия была лишена строгой доказательной базы. Это положение не спасали ни теорема Монжа, ни другие несколько теорем. Так как более двухсот лет начертательная геометрия по сути своей явля-

лась набором приемов для отображения объектов трехмерного пространства на двумерную плоскость с возможностью их мысленного воссоздания по плоскому изображению.

На лекциях по начертательной геометрии лектор демонстрацией учебных моделей и наглядных пособий старался убедить студентов в правоте своих слов, в корректности постулатов и методов. Как правило, студентам приводился алгоритм решения задачи и демонстрировался один, максимум два, способа решения. При этом зачастую анализ условия задачи состоял в определении расположения заданных объектов относительно друг друга и плоскостей проекций. Анализ полученного результата заключался в подсчете количества возможных ответов.

Главной целью начертательной геометрии было: научить студента способам и методам отображения объектов трехмерного пространства на плоскости с возможностью последующего оперирования проекциями для достижения желаемого результата в процессе проектирования инженерных сооружений.

Вот только теперь, с появлением 1Т, начертательная геометрия может перестать быть "служанкой инженерной графики", в значительной мере "слиться" с аналитической геометрией, о чем еще в XVIII говорил Гаспар Монж (М.: Изд-во АН СССР, 1947. С. 23), и получить новый виток развития.

К настоящему времени в начертательной геометрии накоплен достаточный потенциал научных исследований [ 1, 2, 4, 6, 7 и др.], содержащих теорию, подходы, новые области исследований и практических приложений, позволяющих изменить подход к начертательной геометрии, как учебной и научной дисциплине.

В новой математически обоснованной начертательной геометрии, "вооруженной" четкими положениями, формулами и доказательствами, при решении задачи можно проводить анализ на достаточность и совместность условий, что позволяет при расчете параметров и структурных характеристик искомого решения, кроме определения количества возможных ответов, осуществлять выбор оптимального алгоритма решения. При этом все действия сопровождаются математическими расчетами по формулам и имеют строгую доказательную базу.

Сегодня, благодаря той же компьютеризации, весьма актуальными являются задачи математического моделирования объектов различной природы и назначения, технологических процессов, экономических зависимостей, явлений природы и т. д., которые по природе своей многопараметричны.

Известно, что графические модели евклидова трехмерного пространства допускают развитие для решения задач многомерных пространств, что еще раз подтверждает необходимость математизации начертательной геометрии с целью анализа, синтеза и геометрического моделирования, в том числе и многофакторных процессов в различных прикладных задачах.

Внутренние проблемы геометрографических кафедр. Сегодня, несмотря на наличие теоретической базы, несмотря на потребности общества и производства, практически во всех вузах сохраняется стереотипный подход к начертательной геометрии, как к чисто технической науке, занимающейся в основном изучением методов отображения трехмерного евклидова пространства на плоскость.

Нежелание, а зачастую невладение информацией о возможностях преобразования начертательной геометрии в дисциплину со строгой математической базой, привели к тому, что некоторые кафедры геометро-графического профиля исключили начертательную геометрию из списка дисциплин, необходимых для базового инженерного образования и полностью переключились на обучение студентов использованию в своей будущей деятельности систем автоматизированного проектирования. А некоторые кафедры продолжают, используя методики наработанные десятилетиями, учить студентов построению ортогональных чертежей пространственных объектов, при этом делая вид, что этот навык, несомненно, пригодится выпускникам в их будущей профессиональной деятельности.

Такое положение сложилось потому, что профессорско-преподавательский состав кафедр не готов в один миг сломать устоявшиеся стереотипы, изменить методику преподавания начертательной геометрии отработанную годами (из-за отсутствия в масштабах государства системы подготовки и переподготовки), и переключить свою работу в русло, которое будет "двигаться в ногу" с производством, или даже обгонять его.

Искренняя вера в то, что замена преподавания начертательной геометрии обучением студентов владению САПР исправит положение дел, не может считаться выходом из сложившейся ситуации потому, что, как было сказано ранее, специалист с высшим инженерным образованием для выполнения возложенной на него функции - изобретения и проектирования, должен обладать развитым пространственным мышлением.

Возможный порядок модернизации процесса обучения геометро-графическим дисциплинам. На наш взгляд, модернизация про-

цесса обучения геометро-графическим дисциплинам студентов вузов должна начаться с повышения квалификации профессорско-преподавательского состава кафедр через прохождение курсов по изучения предлагаемого математического аппарата исследования исходных данных задач, символики принятых обозначений и порядка проведения анализа и синтеза геометрических задач, причем задач не только трехмерного пространства, но и пространств большей размерности.

После этого, необходимо пересмотреть как содержание, так и методы преподавания начертательной геометрии в высшей школе. Прежде всего, необходимо перенаправить изучение начертательной геометрии по пути изучения теории, методики, алгоритмов построения геометрических моделей объектов, явлений, технологических процессов и т.п., то есть на изучение проблем геометрического моделирования, причем, не только абстрактных геометрических пространств, но и объектов и процессов реального мира.

Что касается задач инженерной графики, то здесь неоспоримо должны применяться возможности компьютерной графики, пакетов программ САПР. Причем выполнение задания должно начинаться с создания виртуальной пространственной модели, а затем уже осуществляться доработка ассоциативных чертежей, по правилам оформления конструкторской документации.

Параллельно со всем этим, должна проходить модернизация учебных аудиторий. Например, возможно переоборудование чертежных залов в классы, вдоль стен, которых будут расставлены столы с персональными компьютерами, а в центре - столы, выполняющие функцию "кругового стола" при обсуждении и выяснении теоретических вопросов и для использования их в качестве рабочих мест для студентов, работающих на личных ноутбуках.

Методика решения геометрических задач "новой" начертательной геометрии. Для демонстрации нового подхода к решению геометрических задач необходимо привести алгоритм выполняемых действий.

1. Анализ заданных условий.

На этом этапе необходимо провести процедуру подсчета параметров заданных объектов. Это можно сделать по формулам, изложенным в ряде литературных источников [1, 6 и др.]. Так для подсчета размерности линейного объекта применяется формула Грассмана [8]:

Dm =

где п - размерность пространства, в котором рассматривается грассманово многообразие, т - размерность плоскости, образующей грассманово образование.

2. Параметризация геометрических условий.

Здесь выполняется одна из основных задач исчислительной геометрии, выполняющей роль доказательной математически обоснованной базы построений начертательной геометрии. Данная задача состоит в параметризации заданных по геометрических условий: обобщенное условие инцидентности (принадлежность и пересечение); условие параллельности различной степени; условие перпендикулярности различной степени.

Так, например, для подсчета размерности обобщенного условия инцидентности, применяется формула [1]:

(2и - т)(т +1) ^

Уоб = “ ^ аі

2 і=0

3. Анализ искомого результата.

Проводится подсчет числа решений задачи или размерности искомого объекта и его алгебраических характеристик.

4. Конструирование.

Результатом решения задачи, исходя из анализа данных условий и многообразий, ими определяемых, является конструирование графо-математических алгоритмов решения поставленной задачи.

Как видно из этапов решения геометрической задачи, непосредственному геометрическому построению предшествуют математические выкладки и подсчеты, позволяющие аргументировано подойти к определению корректности поставленной задачи и выбору оптимального алгоритма решения.

Символьное представление геометрических условий. Применение исчислитель-ной геометрии в качестве основы выполняемых расчетов позволяет применить в начертательной геометрии и ее основный метод -символьное представление геометрических условий [1].

Предлагается для обозначения условий инцидентности и для обозначения соответствующих многообразий применять букву е (читается "ешка"), тогда обобщенное условие инцидентности символьно представится в виде [1]:

е

т, т -1, 1, 0

ат’ ат-\’ ’ а1, а0

В приведенном обозначении число верхних и нижних индексов равно, а величины т, т-1, 1, 0; ат, ат-], а], а0 - принимают

значения чисел натурального ряда, включая "ноль" (0, 1, 2, 3, 4, ...), т.е. значения чисел использующихся для обозначения количества объектов. Значения верхних индексов т, т-

1, ., 1, 0 определяют размерность искомого линейного многообразия (само значение т) и размерности всех его линейных подмногообразий вплоть до точки. Нижние индексы задают размерность пространства или подпространства, которому принадлежит искомый элемент.

Для детального понимания символьного представления условия инцидентности рассмотрим простейшие условия инцидентности для точек, прямых и плоскостей трехмерного пространства.

0

&2 - условие принадлежности точки

(верхний ноль) заданной плоскости пространства (нижняя двойка - размерность плоскости);

Л°

-2,0

- условие инцидентности (принад-

лежности) прямой (первый верхний индекс) плоскости (первый нижний индекс "2" - размерность обычной плоскости) и проходящей через заданную в ней точку (верхний и нижний "0"). Это условие инцидентности определяет пучок прямых - множество прямых принадлежащих плоскости и проходящих через заданную точку плоскости;

\/ „2,1,0

Условие ^2 10 определяет совпадение

плоскости пространства (первый верхний индекс) с заданной в нем плоскостью (первый нижний индекс), причем плоскость задана прямой (вторые индексы) и точкой (третьи индексы). Другими словами: прохождение искомой плоскости (первый верхний индекс) через заданные прямую (вторые индексы) и точку, не лежащую на этой прямой (третьи индексы), принадлежащих заданной плоскости (первый нижний индекс). Аналогично определяют и другие условия.

Приведенный формализованный геометрический аппарат, символика условий, расчетные формулы более подробно описаны во множестве учебных пособий, изданных в последнее время [1, 2, 4, 6, 8]. Дополнительно необходимо указать, что символьное представление условий задач наиболее актуально именно в настоящее время - во время цифровых, информационных и программных технологий.

Ожидаемые результаты модернизации

Модернизация традиционного курса начертательной геометрии в дисциплину, изучающую проблемы конструктивного или аксиоматического построения отображений многообразий различной размерности, позволит подготавливать высококвалифицированных выпускников вузов инженерных специальностей, востребованных на современном рынке труда. Развитое средствами начертательной геометрии пространственное мышление повышает творческий потенциал будущих инженеров, а знания современного аппарата исследования позволяет решать задачи и не только технического профиля, используя формализованный аппарат позволяющий проанализировать условия задачи, установить корректно ли они сформулированы, совместны ли и сколько решений имеет поставленная задача.

Основными направлениями модернизации преподавания начертательной геометрии в технических вузах на наш взгляд должны стать:

1. Приведение содержания и структуры курса начертательной геометрии в соответствие с формализованным аппаратом обоснования графических моделей пространств различной размерности, определения их структурных характеристик, анализа исходных данных решаемых задач и определения числа их решений. Это объективно определит место начертательной геометрии как математической дисциплины, обеспечивающей не только курсы черчения и инженерной графики, но и ряда математических, общеинженерных и специальных дисциплин;

2. Параллельное изучение графических и аналитических алгоритмов решения геометрических задач многомерных пространств с целью создания в перспективе интегрированного курса начертательной, исчислительной, дифференциальной и аналитической геометрий, как базы общегеометрической подготовки специалистов с высшим техническим образованием.

Заключение. Внедрение в начертательную геометрию методики обоснованного подхода к решению и составлению задач, позволит изменить складывающееся в настоящее время отношение к начертательной геометрии и поднять ее на новую ступень развития.

Библиографический список

1. Волков В.Я. Многомерная исчислительная геометрия: монография / В.Я. Волков, В.Ю. Юрков. -Омск: Изд-во ОмГПУ, 2008. - 244 с.

2. Волков В.Я. Графические оптимизационные модели многофакторных процессов: монография / В.Я. Волков, М.А. Чижик. - Омск: ОмГИС, 2009. -101 с.

3. Далингер В.А. Методика формирования пространственных представлений у учащихся при обуче-

нии геометрии: учеб. пособие / В.А. Далингер. - Омск: Изд-во ОмГПИ, 1992. - 96 с.

4. Иванов Г.С. Теоретические основы начертательной геометрии: учебное пособие / Г.С. Иванов. -М.: Машиностроение, 1998. - 157 с.

5. Кузнецова Л.Ф. Научная картина мира / Новейший философский словарь / Сост. А.А. Грицанов.

- Мн.: Изд. В.М. Скакун, 1998. - 896 с.

6. Курс начертательной геометрии на основе геометрического моделирования: учебник / В.Я. Волков, В.Ю. Юрков, К.Л. Панчук, Н.В. Кайгородцева. -Омск: Изд-во СибАДИ, 2010. - 253 с.

7. Пеклич В.А. Высшая начертательная геометрия: монография / В.А. Пеклич. - М.: АСВ, 2000.

- 344 с.

8. Розенфельд Б.А. Многомерные пространства / Б.А. Розенфельд. - М.: Наука, 1966. - 647 с.

9. Сборник задач и упражнений по начертательной геометрии (к учебнику "Курс начертательной геометрии на основе геометрического моделирования") / В.Я. Волков, В.Ю. Юрков, К.Л. Панчук, Н.В. Кайгородцева - Омск: Изд-во СибАДИ, 2010.- 73 с.

10. http://nauka.izvestia.ru/news/article80734.html? о№еагсЬ|=1 _ Каждый четвертый европейский школьник страдает дислексией. Web-сайт ОАО "Редакция газеты "Известия", 2008.

11. http://search.rambler.ru/cgi-bin/ramЫer_search?words=%ED% Классическая философия. Природа философского знания / Место философии в духовной культуре.

ON THE POSSIBLE WAYS AND PROBLEMS OF DEVELOPMENT OF DISCIPLINE "DESCRIPTIVE GEOMETRY"

N.V. Kaygorodtseva, V.Y. Volkov

Described by way of modernization of discipline "Descriptive Geometry" by introducing a formal staff study the original data, given the conditions and theirdimensions using mathematical methods of enumerative geometry in the analysis and synthesis of geometric problems.

Кайгородцева Наталья Викторовна - канд. пед. наук, доцент, доцент кафедры начертательной геометрии, инженерной и компьютерной графики Омского государственного технического университета. Основное направление научных исследований - методика и технологии геомет-ро-графического образования. Общее количество публикаций - 94. e-mail: kaygorodtceva@pisem.net

Волков Владимир Яковлевич - д-р. техн. наук, профессор, заведующий кафедрой начертательной геометрии, инженерной и машинной графики Сибирской государственной автомобильнодорожной академии. Основное направление исследований - многомерная исчислительная геометрия. Общее количество публикаций - более 200. e-mail: volkov_vy39@mail.ru