Способ графической записи изменения двухосных напряжений в рассматриваемой точке поверхности детали (варианты)
METHOD OF GRAPHIC RECORDING OF CHANGE OF TWO-AXIAL STRESSES IN THE CONSIDERED POINT OF THE PART SURFACE (VERSIONS)

Изобретение относится к способу графической записи изменения напряженного состояния на поверхности деталей в процессе их эксплуатации с целью исследования прочностных свойств этих деталей.
Наибольшие напряжения вне зон приложения к деталям внешних сил возникают на поверхности деталей. Это обусловлено тем, что именно на поверхности деталей напряжения от изгибающих и крутящих моментов достигают наибольших значений. В связи с этим для оценки прочности и сопротивления усталости деталей важно оценить степень опасности напряжений, возникающих на их поверхности. Для этого необходимо описать характер изменения напряжений на поверхности деталей в процессе их эксплуатации. Особо актуальна эта задача в тех случаях, когда нагружение детали носит регулярно повторяющийся характер.
В зонах поверхности детали, на которые не воздействуют внешние силы, составляющие напряжений, направленных перпендикулярно данной поверхности, отсутствуют, поэтому напряжения в этих зонах имеют плосконапряженный (двухосный) характер. Для облегчения восприятия характера изменения плосконапряженного состояния на поверхности детали в процессе ее эксплуатации, создают зрительный образ этого напряженного состояния.
Известен способ наглядной записи изменения деформаций и напряжений на поверхности детали в одном из ее заданных направлений. Такая запись производится в виде осциллограммы процесса.
Недостатком этого способа является то, что он не описывает изменения всех компонентов тензора напряжений, поэтому не позволяет получить полную информацию об изменении плосконапряженного состояния на поверхности детали.
Известен способ наглядного представления компонентов плосконапряженного состояния на поверхности детали посредством круговых диаграмм Мора, заключающийся в построении круга Мора в системе координат Оστ, который характеризует напряженное состояние в рассматриваемой точке детали в данный момент времени при заданном нагружении ([1], § 51; [2], § 36-39).
Недостатком этого способа является то, что его обычно применяют лишь для записи напряженного состояния при статическом нагружении детали.
Техническим результатом изобретения является способ осуществления наглядной записи изменения двухосных напряжений в рассматриваемой точке поверхности детали в процессе ее нагружения.
Технический результат (по первому варианту) достигается тем, что в способе графической записи изменения двухосных напряжений в рассматриваемой точке поверхности детали, включающем построение в заданный момент времени круговой диаграммы напряженного состояния в системе координат Оστ, для получения наглядного представления об изменении в течение определенного промежутка времени двухосных напряжений в рассматриваемой точке поверхности детали производят построение серии кругов Мора, каждый из которых отображает плоское напряженное состояние в рассматриваемой точке в последовательно взятые моменты, на которые разбит рассматриваемый промежуток времени, при этом центры всех кругов Мора расположены на одной оси Оσ, направление которой связано с выбранным направлением на поверхности исследуемой детали, а для обеспечения полного соответствия между тензором плоского напряженного состояния в рассматриваемой точке поверхности детали и изображением этого тензора в виде круга Мора круги, у которых нормальные напряжения, действующие в выбранном на детали направлении, меньше напряжений, действующих в направлении, перпендикулярном по отношению к выбранному, отображают линией другого типа.
Технический результат (по второму варианту) достигается тем, что в способе графической записи изменения двухосных напряжений в рассматриваемой точке поверхности детали, включающем построение в заданный момент времени круговой диаграммы напряженного состояния в системе координат Оστ, при помощи кругов Мора производят непрерывную графическую запись изменения тензора напряжений в трехмерной системе координат Oστt, ось t которой является осью времени.
α
β
αβ
Технический результат (по третьему варианту) достигается тем, что в способе графической записи изменения двухосных напряжений в рассматриваемой точке поверхности детали графическую запись изменения напряжений в рассматриваемой точке поверхности детали выполняют в трехмерной декартовой системе координат Oσστ, по осям которой откладывают нормальные и касательные напряжения, действующие на поверхности детали в ее рассматриваемой точке через заданные промежутки времени по любым двум взаимно перпендикулярным площадкам, нормаль к которым составляет с выбранным направлением на поверхности детали углы α и β.
Предложенный способ поясняется чертежами.
На фиг. 1 в системе координат Оστ представлена запись серии кругов Мора, каждый из которых отображает плоское напряженное состояние в рассматриваемой точке поверхности детали в последовательно взятые моменты времени.
На фиг. 2 представлена запись серии кругов Мора, выполненная для демонстрации действий, направленных на определение нормальных и касательных напряжений, возникающих на поверхности детали в двух взаимно перпендикулярных площадках, нормаль к одной из которых составляет с выбранным направлением на поверхности детали некоторый заданный угол α.
На фиг. 3 представлена непрерывная графическая запись изменения тензора напряжений, выполненная в трехмерной системе координат Oστt, ось t которой является осью времени.
α
β
αβ
На фиг. 4 представлена графическая запись изменения напряжений в рассматриваемой точке поверхности детали, выполненная в трехмерной декартовой системе координат Oσστ.
Осуществление способа графической записи изменения двухосных напряжений в рассматриваемой точке поверхности детали рассмотрено на примере записи изменения тензора напряжений в одной из точек, расположенных в наиболее нагруженной зоне диска вагонного колеса, изготовленного по ГОСТ 9063. Эта зона находится в районе радиуса перехода диска колеса к ступице. Запись указанных напряжений была выполнена в процессе совершения колесной пары половины оборота вокруг ее оси. При этом на буксовые подшипники колесной пары со стороны вагона действовала постоянная по величине вертикальная сила 23 кН. Противодействующие ей силы, приложенные со стороны рельсов, были смещены относительно внутренних торцевых поверхностей ободов обоих колес на 70 мм.
м
o
мо
м
o
мо
ом
Методом конечных элементов в исследуемой точке колеса рассчитывают меридиональные напряжения σ, окружные напряжения σ, и касательные напряжения τ. Меридиональные напряжения σ направлены вдоль касательной к поверхности колеса, проходящей через рассматриваемую точку в его радиальном сечении. Окружные напряжения σ направлены в окружном направлении колеса. Касательные напряжения τ и парные по отношению к ним τ действуют в плоскости, касательной к поверхности колеса в площадках, перпендикулярных меридиональному и окружному направлениям. Полученные расчетом значения напряжений представлены в виде таблицы. В качестве начального положения точки замера напряжений, которое в таблице отмечено углом 0°, было принято нижнее положение этой точки. Эти же напряжения могли быть получены экспериментально путем замера в колесе деформаций, посредством установленной на его рассматриваемом участке розетки тензорезисторов и последующей обработки этих результатов ([1], § 116).
По представленным в таблице данным осуществляют построение графического изображения процесса изменения двухосных напряжений в исследуемой точке колеса.
На фиг. 1 наглядное представление о характере изменения двухосных напряжений в исследуемой точке колеса в процессе перемещения колесной пары по рельсам получено путем построения серии кругов Мора, которые при каждом из рассмотренных в таблице вариантов нагружения последовательно отображают тензоры напряжений в этой точке - способ графической записи изменения двухосных напряжений по первому варианту. Совокупность представленной серии кругов Мора позволяет наблюдать динамику изменения двухосных напряжений в исследуемой точке колеса.
Согласно известным правилам ([2], § 37), круги напряжений (круги Мора) рекомендовано строить на направлении наибольшего из двух главных напряжений. Однако для получения записи изменения двухосных напряжений, удобной для ее последующей обработки, круги Мора при всех вариантах нагружения привязывают к единому, заранее выбранному на детали направлению. В рассматриваемом примере (фиг. 1) ось Оσ, на которой построены все круги Мора, привязана в исследуемой точке колеса к его меридиональному направлению. В общем случае рассмотрения произвольной детали применяемый в рассматриваемом примере термин «меридиональное направление» следует понимать, как «выбранное направление на поверхности этой детали», а термин «окружное направление» - как «направление на поверхности этой детали, перпендикулярное по отношению к выбранному».
При каждом нагружении построение соответствующего круга Мора в системе координат Оστ (фиг. 1) производят следующим образом. На оси Оσ в масштабе этой оси откладывают в виде точек числовые величины нормальных напряжений, которые действуют в исследуемой точке поверхности колеса в его меридиональном направлении и величины нормальных напряжений, которые действуют в окружном направлении. От нанесенных таким образом на оси Оσ точек параллельно оси Оτ откладывают по два одинаковых отрезка, длины которых в том же масштабе отображают касательные напряжения в площадках, перпендикулярных меридиональному и окружному направлениям. При этом положительные касательные напряжения, которые стремятся повернуть выделенный элементарный фрагмент колеса в направлении вращения часовой стрелки, откладывают в положительном направлении оси τ, а отрицательные касательные напряжения - в отрицательном направлении оси τ. Через противоположные концы отложенных указанным образом отрезков, проводят окружность (круг Мора) с центром на оси Оσ.
При указанном способе графического построения двухосных напряжений важно отличать круги, у которых нормальные напряжения, действующие в исследуемой точке поверхности колеса в меридиональном направлении, алгебраически (то есть с учетом их знаков) меньше напряжений, действующих в окружном направлении. Для этого на диаграмме изменения тензора напряжений, выполненной в координатных осях Оστ, такие круги необходимо графически выделять, например, наносить их пунктирной линией, как это выполнено применительно к кругам 5, 6 и 7 (фиг. 1).
Когда в процессе изменения нагружения колеса меридиональные напряжения начинают превышать окружные напряжения, динамика такого перехода на диаграмме изменения тензора напряжений, выполненной в координатных осях Оστ выглядит следующим образом: круг Мора в плоскости диаграммы сначала обращается в точку и далее как будто поворачивается вокруг вертикальной оси, то есть напряжения, действующие в меридиональном направлении начинает отображать не левая, а правая часть этого круга, а напряжения, действующие в окружном направлении - его левая часть.
По построенным указанным образом кругам Мора определяют направления наибольшего из двух главных напряжений. Направление алгебраически большего главного напряжения, действующего в исследуемой точке колеса в плоскости, касательной к его поверхности, определяется направлением прямой, проведенной через две точки: левую точку пересечения каждого круга Мора с осью Оσ и точку, симметричную относительно оси Оσ по отношению к точке, определяющей на каждом круге Мора величину меридиональных напряжений. В кругах Мора, у которых напряжения, действующие в меридиональном направлении, алгебраически меньше напряжений, действующих в окружном направлении (на фиг. 1 это круги 5-7), эта точка расположена в левой половине круга. На фиг. 1 наибольшие из двух главных направлений для каждого круга указаны прямыми, которые оканчиваются точкой.
Построение кругов Мора, которые отображают представленное в таблице последовательное изменение тензора напряжений в рассматриваемой точке поверхности колеса, можно проследить по фиг. 1. Порядковые номера нагружений, к которым относятся изображенные на диаграмме круги Мора, указаны цифрами 1-7.
Диаграмма, которая представлена на фиг. 1, позволит последовательно проследить за изменением напряжений в двух начально выбранных взаимно перпендикулярных направлениях на поверхности детали (в нашем случае за изменением меридиональных, окружных напряжений и касательных напряжений в площадках, перпендикулярных этим двум направлениям).
Посредством этой же диаграммы можно проследить за изменением нормальных и касательных напряжений, действующих в исследуемой точке в плоскости, касательной к поверхности детали, по любым двум взаимно перпендикулярным площадкам. Чтобы проследить за изменением нормальных и касательных напряжений в площадках, нормаль к одной из которых составляет с выбранным на этой детали направлением (в нашем случае с меридиональным направлением колеса) некоторый угол α, выполняют построения, показанные на фиг. 2.
α1
αβ1
β1
βα1
1
1
При нагружении 1 (см. таблицу) направление наибольшего главного напряжения, действующего в плоскости поверхности колеса, совпадает с меридиональным, вдоль которого направлена ось Оσ. С учетом этого для круга Мора 1, построенного для нагружения 1, величина нормальных σ и касательных τ напряжений в исследуемой точке поверхности колеса в площадке, нормаль к которой составляет с меридиональным направлением угол α, а также величина нормальных σ и касательных τ напряжений на поверхности колеса в площадке, перпендикулярной той, что задана углом α, определяются, соответственно, значениями абсциссы и ординаты точек A и В изображенных в системе координат Оστ (фиг. 2). Способ графического определения этих напряжений известен и описан ([2], § 37).
Величины напряжений в площадках, заданных углом α, могут также быть определены при последующих нагружениях колеса по кругам Мора 2-6, которые на фиг. 1 построены не на их главных направлениях. На фиг. 2 в качестве примера выполнено графическое построение, необходимое для определения напряжений в площадках, заданных углом α, для кругов Мора, соответствующих нагружениям 3 и 5.
3
5
3
5
С этой целью на фиг. 2 круги Мора 3 и 5 сначала строят на их главных направлениях. Главные направления для этих кругов обозначены, соответственно, осями Оσ и Oσ, проходящими через начало исходной системы координат Оστ. При изменении пространственного положения оси Оσ относительно рассматриваемой детали радиусы кругов Мора и координаты их центров на оси остаются неизменными, то есть размеры и положения кругов Мора 3 и 5 на главных осях координат Oσ и Oσ остаются таким же, как на оси Оσ, проведенной в меридиональном направлении.
После того, как круги Мора на их главных направлениях построены, напряжения в двух взаимно перпендикулярных площадках, задаваемых углом α, определяют аналогично тому, как это было выполнено для круга Мора 1 (фиг. 2). Подобным образом напряжения в площадках, заданных любым углом α могут быть определены при всех прочих нагружениях колеса.
Выполненная на фиг. 2 последовательность преобразования кругов Мора демонстрирует, что в ходе этих преобразований радиусы кругов и их положение на оси Оσ не меняются. Это говорит о том, что характер записи изменения тензора напряжений, представленный на фиг. 1 в виде серии кругов Мора, не зависит от выбора начального положения оси Оσ, то есть приведенная на фиг. 1 графическая запись изменения двухосных напряжений в рассматриваемой точке поверхности детали, представляет собой некоторую объективную реальность, которая зависит лишь от характера изменения тензора напряжений в рассматриваемой точке.
При изменении в исследуемой точке детали направления, к которому привязано направление оси Оσ, на фиг. 1 изменятся углы между осью Оσ и прямыми, которые указывают положения площадок с наибольшими главными напряжениями. При этом положения этих площадок относительно самой рассматриваемой детали также представляет собой объективную реальность, которая не зависит от выбора начального направления на этой детали, к которому привязана ось Оσ.
При изменении начального направления на детали, к которому привязана ось Оσ, на фиг. 1 часть кругов, которые были изображены сплошной линией, изображают пунктирной линией и наоборот. Например, если в рассматриваемом примере записи изменения двухосных напряжений в колесе в качестве начального направления оси Оσ принять не меридиональное, а окружное, то радиусы и положения кругов Мора на диаграмме, представленной на фиг. 1 не изменятся, но круги, которые были изображены сплошной линией, нужно будет изобразить пунктирной линией и наоборот, а все прямые с точкой на конце, которые указывают направление наибольшего из двух главных напряжений в плоскости колеса, при этом повернутся на 90°.
Таким образом, выполняя графические преобразования записи изменения тензора напряжений, представленной на фиг. 1, способом, который продемонстрирован фиг. 2, можно проследить за последовательным изменением напряжений не только в двух взаимно перпендикулярных площадках с начально заданным направлением, но и в площадках, расположенных на поверхности детали в зоне исследуемой точки в любом направлении. Способ дает объективное, наглядное представление о динамике изменения плосконапряженного состояния в исследуемой точке поверхности детали в процессе изменения ее нагружения. Изменения радиусов кругов Мора и их положений на оси Оσ, происходящие при переходе от одного нагружения к другому, определяются исключительно изменением тензора напряжений в рассматриваемой точке поверхности детали и не зависят от выбора направления на детали, к которому привязана Оσ.
Представленная форма записи изменения напряжений (фиг. 1) получается прерывистой, состоящей из отдельных фрагментов отображения процесса изменения напряжений, регистрируемых на отдельных стадиях изменения нагрузки. Для получения плавной графической записи изменения напряжений предложен второй вариант способа графической записи изменения двухосных напряжений в рассматриваемой точке поверхности детали. Время t процесса нагружения (в рассматриваемом примере вместо времени t использован угол поворота ϕ колеса) отображают вдоль третьей оси Ot (в рассматриваемом примере вдоль оси Оϕ), перпендикулярной по отношению к двум указанным ранее осям координат Оσ и Оτ,. Запись процесса производят в трехмерной системе координат Oστt или Оστϕ, как это показано на фиг. 3. При этом для обеспечения возможности определения по данной диаграмме напряжений в заданной точке в любом направлении на поверхности детали, необходимо в кругах Мора, образованных сечением диаграммы плоскостями, соответствующими рассматриваемому моменту времени (то есть плоскостями, параллельными плоскости Оστ), указать направление главных осей напряжений. Эти направления в каждом из кругов Мора задают, например, двумя точками, расположенными на окружности с двух противоположных сторон от ее центра. На пространственной оболочке, построенной в системе координат Oστt, данные точки образуют продольные линии (на фиг. 3 не показаны).
Описанные выше способы графической записи изменения тензора напряжений основаны на использовании кругов Мора. Преимуществом этих способов является простота построения диаграммы, возможность контролировать процесс изменения напряжений в рассматриваемой точке детали по времени во всех площадках, перпендикулярных поверхности этой детали. Однако для обработки заключенной в диаграммах информации необходимы специальные знания о том, как по представленным кругам Мора определить величину нормальных и касательных напряжений в площадках любого заданного направления.
α
β
αβ
α
β
αβ
Запись изменения плосконапряженного состояния в рассматриваемой точке поверхности детали может быть также выполнена в Декартовой системе координат Oσστ - третий вариант способа графической записи. По осям Oσ и Оσ в этой системе координат откладывают уже непосредственно сами напряжения, которые через заданные промежутки времени действуют в рассматриваемой точке поверхности детали по двум любым взаимно перпендикулярным направлениям α и β, а по оси Оτ - касательные напряжения в площадках, перпендикулярных этим двум направлениям.
α
β
α
β
αβ
м
о
мо
м
о
мо
мо
м
о
На фиг. 4 способ графической записи по третьему варианту рассмотрен на примере регистрации изменения двухосных напряжений в исследуемой точке рассматриваемого вагонного колеса (см. таблицу). Пусть ось Oσ направлена в меридиональном, а ось Оσ в окружном направлении колеса. В этом случае система координат Oσστ, в которой производится запись изменения напряжений в рассматриваемой точке поверхности колеса может быть обозначена Оσστ, где индексы «м» и «о», соответственно, означают «меридиональное» и «окружное» направления колеса. Последовательное изменение нормальных и касательных напряжений в площадках, перпендикулярных этим направлениям, на фиг. 4 представлено в виде пространственной кривой, которая пронумерована римской цифрой I. Значения меридиональных, окружных и касательных напряжений, которые были использованы для построения этой пространственной кривой в системе координат Оσστ, взяты непосредственно из приведенной выше в таблицы. Чтобы на фиг. 4 создать четкое представление о трех пространственных координатах каждой из отображенных на этой диаграмме точек, координаты τ этих точек показаны посредством вертикальных линий, которые проводят от этих точек до их следа на координатную плоскость 0σσ.
м
о
мо
α
β
αβ
м
о
мо
м
о
мо
м
о
мо
ом
α
β
αβ
α
β
αβ
На представленной на фиг. 4 диаграмме, выполненной в системе координат Оσστ, могут также быть отображены напряжения, которые на каждом из этапов нагружения детали возникают в исследуемой точке по любым двум другим взаимно перпендикулярным площадкам, которые в то же время перпендикулярны поверхности этой детали. Для этого способом, который был продемонстрирован на фиг. 2, при каждом из нагружений колеса определяют напряжения σ, σ и τ, возникающие на его поверхности в любых двух других взаимно перпендикулярных площадках, нормаль к одной из которых расположена под каждым из интересующих исследователя углом α к первоначально заданному направлению (в нашем случае меридиональному). После этого данные напряжения в виде точек с координатами, которые соответствуют этим напряжениям, отображают в системе координат Оσστ. В результате в системе координат Оσστ (фиг. 4) уже отображены не только нормальные σ и σ и касательные τ и τ напряжения, действующие в площадках, перпендикулярных меридиональному и осевому направлениям, но и напряжения σ, σ и τ, возникающие в процессе нагружения колеса в любых двух других взаимно перпендикулярных площадках, которые расположены в исследуемой точке под углом 90° к плоскости касательной к поверхности колеса и под углами α и β к его меридиональному направлению. Поэтому рассматриваемую систему координат в этом случае обозначают, как Оσστ.
α
β
αβ
α
β
αβ
α
β
αβ
м
о
мо
При любом угле α поворота двух взаимно перпендикулярных площадок в плоскости поверхности детали между величинами возникающих в них нормальных напряжений σ и σ и касательными напряжениями τ существует строгая закономерность. В результате наличия такой закономерности при каждом из рассмотренных нагружений детали в случае поворота площадок все точки кривой изменения напряжений попадают на диаграмме Оσστ в одну плоскость и образуют при этом эллипсы. Эти эллипсы соответствуют кругам Мора, которые на фиг. 1 и обозначены цифрами от 1 до 7. Путем выбора на диаграмме Оσστ соотношения между масштабом осей нормальных напряжений σ и σ и касательных напряжений τ указанные эллипсы на фиг. 4 могут быть преобразованы в окружности.
α
β
αβ
α
β
α
β
αβ
α
β
αβ
Полностью характер изменения двухосных напряжений в рассматриваемой точке поверхности колеса, связанный с изменением его напряженного состояния в процессе эксплуатации и рассмотрением напряжений в любых взаимно перпендикулярных площадках, расположенных на этой поверхности под различными углами, графически в системе координат Оσστ представляют в виде эллиптической поверхности, которая расположена симметрично относительно плоскости Oσσ и для рассматриваемого случая нагружения показана на фиг. 4. На фигуре 4 изменение двухосных напряжений при переходе от одной нагрузки колеса к другой представлено в виде перехода от эллипса к эллипсу. Изменение напряжений σ, σ и τ в исследуемой точке колеса при повороте площадок, перпендикулярных его поверхности, в плоскости касательной к этой поверхности на угол α по отношению к меридиональному направлению колеса отмечают точками на этих эллипсах, возле которых указывают соответствующие углы поворота α этих площадок. Соединяя на данной диаграмме точки, которые при каждом из отображенных на ней напряженных состояний соответствует одинаковому углу поворота площадок, строят пространственную кривую, которая позволяет проследить за изменением напряжений в площадках с указанным направлением. В качестве примера на фиг. 4 представлена кривая, обозначенная римской цифрой II, которая отображает изменение в процессе эксплуатации рассматриваемого колеса напряжений σ, σ и τ в площадках, нормаль к которым составляет с меридиональным направлением угол 45° и 135°.
α
β
αβ
Способы графической записи (по вариантам 2 и 3) изменения двухосных напряжений в рассматриваемой точке поверхности детали, которые представлены на фигурах 3 и 4, основаны на преобразовании формы записи, представленной на фиг. 1. Поэтому в случае выбора на поверхности детали любого начального положения оси Оσ характер геометрических образов, представленных на фигурах 3 и 4, тоже не изменится. При повороте оси Оσ относительно поверхности детали на фигурах 3 и 4 лишь сдвинутся положения точек, которые на окружностях или эллипсах этих фигур отображают напряжения при различных углах поворота площадок замера напряжений, но относительно самой детали положения площадок с отображаемыми при этом величинами нормальных σ, σ и касательных τ напряжений останутся неизменными.
Преимуществом формы записи изменения плосконапряженного состояния в рассматриваемой точке поверхности детали в виде диаграммы, которая представлена на фиг. 4, является возможность определять величины нормальных и касательных напряжений в площадках заданного направления при рассматриваемых видах последовательного нагружения детали непосредственно путем определения координат различных точек эллиптической поверхности, что облегчит работу с диаграммой.
Современное состояние программного обеспечения позволяет автоматизировать указанные способы построения диаграмм изменения двухосных напряжений в рассматриваемой точке поверхности детали. Построение таких диаграмм позволит на основании представленных в них данных получить наиболее полную наглядную информацию об изменении в процессе нагружения детали всех трех компонентов тензора напряжений в любой точке ее поверхности, на которую не действуют внешние силы и осуществить сравнительный анализ полученных диаграмм. Используя эти диаграммы, можно давать оценку прочности и сопротивления усталости детали, применяя при этом любые известные гипотезы прочности.
Список используемых источников
1. В.И. Феодосьев Сопротивление материалов. Издание седьмое, переработанное, «Наука», М., 1974 г., 560 с.
2. И.М. Беляев Сопротивление материалов. Издание двенадцатое. Государственное издательство физико-математической литературы. М. 1959 г., 856 с.