ЭМПИРИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ПОВЕДЕНИЯ ПОКАЗАТЕЛЯ ХёРСТА НА ПРИМЕРЕ РОССИЙСКИХ И АМЕРИКАНСКИХ ФИНАНСОВЫХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

Nb 1(5) 2007

А. А. Злотник

Эмпирическое исследование устойчивости поведения

показателя Хёрста

К/Б-анализ подтверждает и значительно усиливает спектральный анализ: общее правило гласит, что экономические циклы настолько далеки от периодичности и настолько зависят как от длины имеющейся в нашем распоряжении выборки, так и от предпочтений наблюдателя, что вплоть до новых распоряжений их следует рассматривать как артефакты. Если верить Кейнсу, ценность таких циклов заключается прежде всего в том, что с их помощью очень удобно разбивать главы по истории экономики.

Статья посвящена исследованию устойчивости поведения показателя Хёрста во времени как для российских, так и для американских активов. Для этого разработана специальная методика анализа изменения этого показателя. Предлагается также метод группировки активов в соответствии с фрактальными свойствами данных финансовых временных рядов.

Существующие эконометрические модели описания рынка основаны на гипотезе эффективного рынка (EMH)1 [Малюгин (2003)], которая предполагает мартингальность цен финансовых активов [Ширяев (2004)]. Примерно водно время с EMH появилась гипотеза фрактального рынка (FMH)2 [Петерс (2004)], которую можно считать обобщением гипотезы эффективного рынка.

Показатель Херста (H):

• используется как альтернативная волатильности мера риска финансовых активов. То есть иследуемые активы ранжируются в соответствии с абсолютным значением показателя Хёрста [Петерс (2000)];

• связан с фрактальным показателем [Ширяев (2004)]3 d (fractional differencing parameter d) в моделях ARFIMA и FIGARCH с модификациями4:

1 Effective Market Hypothesis.

2 Fractal Market Hypothesis.

3 Ширяев пишет, что термин фрактальный «принят по соображениям благозвучия». Притом fractional переводится как дробный. Устоявшимися можно считать следующие термины (они широко употребляются как в статьях, приведенных в списке литературы, так и в «Основах стохастической финансовой математики»: фрактальное броуновское движение (fractional Brownian motion), фрактальный белый шум (fractional white noise), фрактальный процесс (fractional process). Распространенный в литературе по R/S-анализу термин фрактальный анализ (fractal analysis) можно рассматривать как рекламную акцию, т.к., по сути, речь идет о наборе статистических методов пригодных для исследования процессов, отличных от случайного блуждания.

4 Модель FIGARCH [Baillie et al. (1996)], FIEGARCH [Bollerslev et al. (1999)].

Бенуа Мандельброт. «Фракталы, случай и финансы»

Фрактальная статистика указывает на беспорядочность и сложность жизни, но многое таит и в себе.

Эдгар Петерс. «Хаос и порядок на рынках капитала»

Введение

20

Не 1(5) 2007

ё = Н - -. 2

В настоящей работе предлагается методика исследования устойчивости5 показателя Хёр-ста во времени на примере российских и американских активов: сначала мы получаем ряд значений показателя Хёрста для исходного ряда цен актива, затем для ряда цен за исключением первого года, потом за исключением первых двух лет и т.д. Для реализации этой методики была написана программа на языке САиББ, текст которой приводится в Приложении6.

В рамках исследования:

• устанавливается, что выбор точки отсчета влияет как на абсолютное значение показателя Хёрста, так и на поведение траектории его изменения;

• показывается, что траектории изменения показателя Хёрста сохраняются при изменении частоты снятия данных (день, неделя, месяц);

• выделяются группы компаний со сходным поведением показателя Хёрста.

Методика исследования показателя Хёрста7

Пусть {Рг} — ряд цен актива.

Рассмотрим накопленную доходность актива:

Уг = у1 +...+у{, Г е N,

I Р< 8 где у, = 1п--доходность актива8.

Р,-1

Степень отклонения от случая постоянной доходности:

Р!г = тах| У, --У, I-тт[ У, --У, | = 1п

¡-Г I , I ¡-г

г

тахР,

¡-г \ Р,

Ро 1 г

т1пР,

¡- { Рг

Ро 11

Пропорциональное изменение цен | У, = -Уг | на рис. 1 показано пунктирной линией. Пусть далее:

1 Г 1 г

52 = £(у, - у, )2 = £

1 ,=1 1 ¡=1

( Л2

щР- - !пГ Р-11

Р, -1 I Ро I

I

5 Под устойчивостью будем понимать сохранение абсолютного значения показателя Херста и поведения его траектории независимо от выбора точки отсчета.

6 Находящийся в свободном доступе пакет программ РгаЛап 4.4 позволяет рассчитывать показатель Херста только для ряда в целом; при этом расчеты с их помощью отличаются от результатов нашей программы втысячных. Достоверность программы, предложенной Петерсом [Петерс (2004)], вызывает сомнения и выдает неверные значения показателя Херста.

7 Об истоках К/Б-анализа [Мандельброт (2004)], [Петерс (2000)].

8 Р Р

В действительности величина 1п—1- приблизительно равна доходности актива:—11—1.

РГ-1 Р,-1

21

Na 1(5) 2007

2500 Время

Рис. 1. Отклонение от случая пропорционального изменения цен на примере значений индекса РТС

— выборочная дисперсия;

и £

I

<в

м §

0 с

1

03

о с

U

0 §

1 £ <ъ S

ig 03

о

5 5

и S

<ъ

и <ъ

Qt

нормализованныи размах накопленных сумм9.

maxi У, --Yt |- mini Y --Yt | , max|i (-Yt) - (-У, )|+ max|i Yt - Y,

q _ _ i<-t V t ) j<t К t ) _ t -2 V t_) j<t V t

Sr

Q±

i

t2

X

maxi- (-Yt) - (-Y,

X

maxi -Yt - Y j

< v t

Ъ

_ k-y + k; ,

где — статистика Колмогорова-Смирнова10. Ширяев [Ширяев (2004)] пишет, что простой визуальный анализ статистики —р часто приводит к весьма содержательным статистическим

выводам. t2

Из формул (1)—(3) следует, что величина Qt инвариантна относительно преобразований у, ^ ц(у, + р), / е N и не зависит от математического ожидания и дисперсии величин {у^,

Э. Ло [1_о (1991)] предложил модифицировать знаменатель дроби, однако в настоящей работе рассматривается стандартная версия модели.

10 О статистике Колмогорова-Смирнова [Гаек, Шидак (1971)].

t

t

22

Не 1(5) 2007

что означает непараметричность статистикиQt.Это свойство позволяет проверять гипотезу о случайном блуждании цен, которая лежит в основе концепции эффективного рынка [Ширяев (2004)].

Феллер [Feller (1951)] показал, что для независимых и одинаково распределенных случайных величин {yt} имеем:

^ ~ ct {

St

где c — константа.

R

Хёрст [Hurst (1951)] обнаружил, что на практике вместо ожидаемых значений — получились следущие значения: St

R,

-L ~ ctH <=> In— ~ Inc + HInf,

St

St

I

о

s

4

1

где Н (показатель Хёрста) значимо отличается от—.

Рассмотрим ряд показателей Хёрста для ежедневных значений индекса Доу-Джонса (ОЛ)11. Рассчитаем сначала ряд показателей Хёрста за период12 с 1 октября 1928 года по 30 декабря 2005 года13 — всего 19 397 значений. Затем рассчитаем ряд показателей Хёрста за период с 1929 года по 2005 год и т. д.

HDJI1928 -----HDJI1980

HDJI1940 -----HDJI2000

HDJ11960

Время

Рис. 2. Траектории поведения показателя Хёрста для ежедневных значений индекса Dow-Jones

11 Данные по американским активам доступны на сайте YAHOO! Finance: http://finance.yahoo.com

12 Минимальное количество данных для расчета показателя Херста должно составлять 300 значений [Петерс (2004)].

13 Первое значение индекса, доступное на сайте YAHOO! Finance, и последнее значение в 2005 году соответственно.

23

На 1(5) 2007

Полученные при этом значения показателя Хёрста различаются как по абсолютному значению, так и по тенденции изменения, причем эти различия достаточно существенны.

Проверим теперь устойчивость траекторий показателя Хёрста в случае изменения частоты снятия данных (неделя, месяц).

и t

i <s

м §

0 с

1

if 03

о с

и

0 §

J

1 £

<ъ S

¡S

03

о if 5

и S

<ъ

U

<ъ

5 0,6-

HDJIW1928 -----HDJIW1980

HDJIW1940 -----HDJIW 2000

HDJIW1960

р-п-г-р

4000 Время

Рис. 3. Траектории поведения показателя Хёрста для еженедельных значений индекса Dow-Jones

5 0,7-

HDJIM 1928 -----HDJIM 1980

HDJIM 1940 -----HDJIM 2000

HDJIM 1960

Время

Рис. 4. Траектории поведения показателя Хёрста для ежемесячных значений индекса Dow-Jones

24

N91(5)2007

Для разных частот снятия данных абсолютные значения показателя Хёрста разнятся, а траектории остаются почти неизменными. Заметим, что, несмотря на различие абсолютных значений, ряд остается стабильно персистентным14.

По мнению Ширяева [Ширяев (2004)], существуют два основных объяснения того факта, что показатель Хёрста отличается от — (случай показателя Хёрста, равного— соответствует случайному блужданию): 2 2

• исходные данные — независимые устойчивые случайные величины с индексом устои-

1

чивости а = —, где H — показатель Херста;

H 1

• показатель Херста может отличаться от — в случае нормально распределенных зависимых величин. 2

В некоторых источниках [Петерс (2000), (2004)] не приводится примеров стабильно анти-персистентного ряда среди финансовых активов, из чего может сложиться ошибочное впечатление, что таких рядов на пратике не существует. В качестве примера возьмем курс акциИ компании ALCOA15.

Как видно из рис. 5 и 6, значения показателя Херста для большинства траектории стабильно антиперсистентны.

2000

Ч 111 Ч 111 Ч 111 Ч 111 Ч 111 Ч 111 Ч 111 Ч 111 Ч 111 Ч 1

4000 6000 8000

- HALC0A1962 -----HALC0A1990

- HALC0A1970 -----HALCOA2000

- HALC0A1980

10000 Время

Рис. 5. Траектории поведения показателя Хёрста для ежедневных значений курса акций компании ALCOA

14 Персистентный процесс (черный шум, H >2) имееттенденцию следовать по направлению тренда исходного ряда. Персистентные временные ряды имеют «долгую память» — долговременную корреляцию между событиями. Антиперсистентный процесс (розовый шум, H< 2) имееттенденцию быстро перемежаться в последовательных значениях. Антиперсистентный временной ряд реверсирует чаще, чем случайный ряд. Случайный процесс (белый шум, H = 1) не тенденциозен. Первые два процесса — разновидности фрактального. Ради общности рассуждения мы склонны относить и случайный процесс к фрактальным. В литературе встречается противопоставление фрактального и случайного процессов (фрактальный — неслучайный).

15 Метод расчета тот же, что и для индекса Dow-Jones, данные со 2 января 1962 года по 30 декабря 2005 года, всего — 11 076 значений.

25

Mb 1(5) 2007

1,0

5 0,6

1000 1500

HALCOAW1962 -----HALCOAW1990

HALCOAW1970 ----------HALCOAW2000

HALCOAW 1980

Время

u t

i <s

M §

0 с

1

if 03

о с

u

0 §

J

1 £

<ъ s

iB

03

о

if S3

u s

<ъ §

u <u

Рис. 6. Траектории поведения показателя Хёрста для еженедельных значений курса акций компании ALCOA

Группировка российских компаний

Теперь перейдем к анализу российских активов, в качестве которых рассматриваются обыкновенные акции16.

Таблица 1

Анализируемые активы

Компания Период Ряд

РАО ЕЭС 01.09.1995-30.12.2005 HEESR

Норильский никель 06.06.2001-30.12.2005 HGMKN

Лукойл 01.09.1995-30.12.2005 HLKOH

Мосэнерго 05.09.1995-30.12.2005 HMSNG

Ростелеком 01.09.1995-30.12.2005 HRTKM

РТС 01.09.1995-30.12.2005 HRTSI

Сбербанк 29.01.1997-30.12.2005 HSBER

Сибнефть 05.09.1997-30.12.2005 HSIBN

Сургутнефтегаз 05.01.1997-30.12.2005 HSNGS

ЮКОС 18.06.1997-30.12.2005 HYUKO

Началом периода будет первое изменение цены (то есть, если первые несколько дней цена не менялась, то данные начинают считываться с последнего из них).

Применяя методику, предложенную в предыдущем разделе, анализируемые активы группируем потрем критериям.

' Данные по российским активам доступны на сайте Российской Торговой Системы: http://www.rts.ru

26

N91(5)2007

1. Постоянство тенденции изменения показателя Хёрста. Изменение траектории может свидетельствовать о фундаментальных переменах в свойствах исследуемого актива.

Группировка рядов по постоянству процесса

5

Таблица 2

Характеристика процесса Ряд

Постоянен17 ИБЕБР, Н1_КОН, НРТКМ, ИРТБ!

Редко постоянен НСМЩ НМБМС^БЫСБ

Непостоянен НБВЕР Н5!ВЫ, НУУКО

2. Уровень волатильности показателя Хёрста18. Чем меньше волатильность, тем надежнее актив.

Таблица 3

Группировка рядов по степени волатильности

Характеристика процесса Ряд

Не очень часто сверхволатилен НЕЕБР НМБЫС, НРТКМ, НРТБ!

На грани НСМЩ Н5!ВЫ

Очень часто сверхволатилен Н_КОН, НБВЕР НБЫСБ, НУУКО

3. Фрактальные свойства актива — персистентность, антиперсистентность, случайность.

Таблица 4

Группировка рядов по предсказуемости

Характеристика процесса Ряд

Стабильно персистентен НЕЕБР НСМКЫ, НМБЫС, НБВЕР

Персистентен19 НРТКМ, НРТБ!

Значения как персистентны,так и антиперсистентны Н_КОН, Н5!ВЫ, НБЫСБ, НУУКО

Результат группировки в целом соответствует действительности. Например, непостоянство, сверхволатильность и резкие различия фрактальных свойств ряда показателей Хёрста ЮКОСа связаны с изменением ситуации вокруг компании в 2002 году. С другой стороны, РАО ЕЭС известен как надежный актив, поэтому показатель Хёрста будет стабильно персистен-тен, постоянен и его волатильность не так высока.

Выводы и перспективы

В работе показано, что выбор точки отсчета существенно влияет на устойчивость показателя Хёрста.Таким образом, использование его абсолютныхзначений для ранжирования активов сомнительно. В то же время траектории поведения показателя Хёрста сохраняются при изменении частоты снятия данных.

17 Постоянен в некотором подходящем смысле, то есть, когда колебания незначительны.

18 Стандартное отклонение ряда показателей Херста.

19 Как правило, персистентен, однако встречаются антиперсистентные значения.

27

и

Щ

Ne 1(5) 2007

В соответствии с предложенной методикой анализа выделены группы российских компаний.

Выполненное исследование ведет к установлению оптимального периода расчета показателя Хёрста. Для этого необходимо определить критерии, по которым данный период может быть рассчитан. Это улучшит методы группировки активов и позволит использовать показатель Хёрста во фрактальных моделях ARCH-семейства.

Список литературы

Гаек Я., Шидак 3. Теория ранговых критериев. М.: Наука, 1971.

Малюгин В. И. Рынок ценных бумаг: Количественные методы анализа/Учеб. пособие. М.: Дело, 2003.

Мандельброт Б. Фракталы, случай и финансы/Пер. с англ. М., Ижевск: НИЦ «Регулярная хаотическая динамика», 2004.

Петере Э. Хаос и порядок на рынках капитала. Новый аналитический взгляд на циклы, цены и изменчивость рынка/Пер. с англ. М.: Мир, 2000.

Петере Э. Фрактальный анализ финансовых рынков: применение теории хаоса в инвестициях и экономике/Пер. с англ. М.: Интернет-трейдинг, 2004.

Ширяев А. Н. Основы стохастической финансовой математики.Т. 1: Факты и модели. М.: ФАЗИС, 2004.

Baillie R. Long Memory Processes and Fractional Integration in Econometrics// Journal of Econometrics. 1996, № 73.

Baillie R., Bollerslev T., Mikkelsen H. Fractionally Integrated Generalized Autoregressive Conditional He-teroskedasticity// Journal of Econometrics. 1996. №74.

¡3 Bollerslev T., Mikkelsen H. Long — term equity anticipation securities and stock market volatility dyna-

^ mics// Journal of Econometrics. 1999. №92.

§ Feller W. The asymptotic distribution of the range of sums of independent random variables/Annals of

¡5 Mathematical Statistics. 1951. № 22.

to

g Hurst H. Long term storage capacity of reservoirs/Transactions of the American Society of Civil Engineers. 1951. № 116.

с Lo A. W. Long-term memory in stock market prices//Econometrica. 1991. №59.

! Приложение

ta

о /* Программа PSAXIS.gauss

Входной файл: <Input_file>.prn содержит столбец цен P_i

§ * Выходной файл: <Output_File>.out содержит столбец показателей Хёрста H_i

| * Вспомогательные файлы: ln(RS).prn, ln(t).prn хранят промежуточные данные, необходимые для

£ корректной работы программы/ щ

s

¡S

03

о if 5

и S

<ъ g

<5 h = (ln(price[2:n]./price[1:n-1])); ф j

ц

5 output file = test\ln(RS).prn reset; s

^ output file = test\ln(t).prn reset;

new; #lineson;

load sret[] = <Input_file>.prn;

pricel = sret[.,1]; n = int(Rows(price1)); starting_point=1; // starting_point -точка отсчета price = price1[starting_point:n]; n = int(Rows(price));

n = int(Rows(h)); //эквивалентно n = n-1

output file = <Output_File>.out reset;

28

Не 1(5) 2007

t = 2; //При t=1: St[1]\equivü => In(Rt/St) == бесконечность §

// При t=2: Rt[2]=St[2] => In(Rt/St) == ü |

do whiIe t<=n; ¡Sc

i = 1; middIe = ü;

do whiIe i<=t; middIe = middIe+h[i]; i = i+1; endo;

middIe = middIe/t;

s§

U

j = 1; p

<ъ

St = 0; //соответствует случаю j = 1 Ч

max = 0; min = 0; HUpper = 0; // соответствует случаю j = t 3

do while j<=t;

HUpper = HUpper+h[j]; if HUpper-j*middle>max; max = HUpper-j*middle;

endif;

if HUpper-j*middIe<min; min = HUpper-j*middIe;

endif;

St = St+(h[j]-middle)A2; j = j+1;

endo;

Rt = max-min; St = (St/t)A(1/2);

output file = test\ln(RS).prn on; print ln(Rt/St); output file = test\ln(t).prn on; print ln(t); t = t+1; endo;

load vector[] = test\ln(RS).prn; Y = vector[.,1]; load vector[] = test\ln(t).prn; X = vector[.,1];

j = 3;

//приj = 1 получаем H=0 //при j = 2 ols выдает ошибку n = rows(Y); //эквивалентно n = rows(X);

do while j<=n; Y1 = Y[1:j]; X1 = X[1:j]; //вызываем функцию ols _output = 0;

{vnam,m,b,stb,vc,stderr,sigma,cx,rsq,resid,dwstat}=ols(0,Y1,X1); output file=<Output_File>.out on; print b[2]; //оценка показателя Хёрста j = j+1; endo; end.

29