Инъективные и делимые модули над csp-кольцами

Е.Г. Зиновьев

ИНЪЕКТИВНЫЕ И ДЕЛИМЫЕ МОДУЛИ НАД С8Р-КОЛЬЦАМИ

Дается описание инъективных и делимых модулей над так называемыми csp-кольцами.

В работах П.А. Крылова [1] и А.А. Фомина [2] появилось понятие кольца псевдорациональных чисел. С помощью этого кольца, например, изучалась модульная структура абелевых sp-групп над их кольцами эндоморфизмов [3, 4]. sp-группа - это смешанная группа, лежащая между суммой и произведением своих p-компонент с некоторыми дополнительными свойствами. В данной работе изучаются инъективные и делимые модули над csp-кольцами, которые являются обобщением кольца псевдо-рациональных чисел. В статьях [1] и [2] дано описание идеалов, факторколец кольца псевдорациональных чисел, доказана его наследственность, в [5] дано описание инъективных модулей над этим кольцом, в [6] рассматриваются общие результаты о модулях над csp-кольцами.

Определение 1. Пусть P - некоторое бесконечное множество простых чисел. Для каждого p е P пусть Rp = Z t, где k е N, или Rp = Q * (здесь Z к - кольцо

вычетов по модулю p , Qp - кольцо целых p -ади-

ческих чисел). Положим K = П Rp , T =  Rp . Под-

р^р psP

кольцо R кольца K называется csp-кольцом, если T с R и RT - некоторое поле.

Если все Rp = Zp и RT = Q, то R называется кольцом псевдорациональных чисел (Q - поле рациональных чисел).

Приведем без доказательства несколько результатов, встречающихся в [5].

Теорема 1. Пусть I - идеал кольца R. Если I с T, то I = Ф (I п R p). Если I X T , то I = eR ФФ (I п R p),

peP " peS "

где e - идемпотент кольца R, S - некоторое конечное

множество простых чисел.

Рассмотрим общее строение R-модулей. Обозначим

RT

Теорема 2. Всякий R-модуль M равен A Ф D, где D -наибольший подмодуль в M, являющийся F-пространством, а A - подмодуль, не содержащий F-пространств.

Определение 2. Пусть R - csp-кольцо. Модуль DR называется делимым, если rD = D для всех неделите-лей нуля r е R .

Обозначим через s элемент кольца R такой, что его p -компонента равна 1, а все остальные равны 0.

Если модуль A не содержит F-пространств, то такой модуль будем называть редуцированным. Далее для каждого p е P имеет место разложение R = R Ф K ,

где Kp - дополнительное прямое слагаемое.

Отсюда A = R A Ф K A . Нетрудно видеть, что

R A = 0 либо Rp A - наибольший R -подмодуль в A.

Далее Rp A будем обозначать как Ap.

Предложение 1. Пусть A - редуцированный R-модуль. Тогда справедливы включения

0 Ар с A с П Лр .

p^P p^P

Доказательство. Поскольку Ap =s A, где

s p = 1R , Ap с A для каждого p e P, то

Aq П X Ap = 0 для всех q e P и 0 Ap с A . Покажем,

p*q. p<=-P

что A вкладывается в ^ Ap . Построим отображение

psP

f : A ^ П Ap , действующее по правилу f (a) = (ap),

psP

где a = s a , p e P. Тогда Kerf = {a e A : s p a = 0 для всех p e P}. Поскольку A - редуцированный модуль, то Kerf = 0 . Предложение доказано.

Для описания делимых R-модулей достаточно описать строение делимых редуцированных R-модулей. Без доказательства приведем следующие свойства, некоторые из них являются известными.

Предложение 2. _р-адический модуль делим тогда и только тогда, когда он инъективен.

Предложение 3. Каждый модуль над Z s, где

k е N , делим.

Лемма 1. Справедливы следующие утверждения:

1) делимые ^-адические модули являются инъективными R-модулями;

2) инъективные модули над Z к, где к е N , являются инъективными R-модулями.

Лемма 2. Делимые Z к -модули являются делимыми R-модулями.

Теперь можно доказать такой результат.

Теорема 3. Редуцированный R-модуль D делим тогда и только тогда, когда s D - делимый Rp -модуль

для всех таких p е P, что Rp = Qp.

Доказательство. Необходимость очевидна, докажем достаточность. Если s D - делимый Rp -модуль,

то s D - делимый R-модуль для всех p е P (леммы

1, 2). Тогда П D p - делимый R-модуль, и уравнение

psP

rx = d, где r е R , d е D , разрешимо в П D, .

psP

Покажем, что оно разрешимо в D. Пусть rdl = d , где d ^ п Dp . Тогда уравнение rx = d разрешимо в

psP

Лв ^ . Действительно, поскольку - поле, то все

еР Р

отличные от нуля элементы кольца Я обратимы по модулю Т. Далее гйх е д .

/ р„р р

Существует ^ е Я такой, что га = 1 +1, где I е Т. Имеем ти<1х е ^0 д , но га = 1, следовательно,

/ р„р р

diє De d и diє D •

Таким образом, В - делимый Я-модуль. Теорема доказана.

Если рассмотреть один «крайний» случай для кольца Я, когда все Яр = Z к, где к є N , то справедливо

следствие.

Следствие 1. Пусть для всех р є Р Яр = Z к, где

к є N . Тогда каждый модуль над Я делим.

Далее рассмотрим инъективные Я-модули. Известно, что Я-модуль, являющийся ^-пространством, инъ-ективен. Значит, достаточно рассмотреть редуцированные Я-модули. Известен следующий результат.

Предложение 4. Для всякого делимого ^-адичес-кого модуля В имеет место разложение

О = О р  Ар,

где Б - векторное пространство над полем />-ади-ческих чисел, Ар - делимый периодический Qp -модуль.

Следующая теорема обобщает основной результат из [5].

Теорема 4. Редуцированный ^-модуль инъективен тогда и только тогда, когда он имеет вид П Ср , где

р^р

Ср - инъективный модуль над Z к, если Яр = Z к,

либо Ср = Вр  Ар , если Я = (¿р , где Вр - векторное пространство над полем _р-адических чисел, Ар -делимый периодический 2* -модуль.

Доказательство. Заметим, что П Ср - инъектив-

р^р

ный ^-модуль (лемма 1). Обратно, пусть М - инъективный редуцированный ^-модуль.

Тогда е М - инъективный 2* -модуль или инъективный Z 4-модуль.

р

В случае 2* -модуля е М - делимый _р-адический модуль, тогда е М = 0 Ар (предложение 4). Каждый

р^р

редуцированный ^-модуль А содержится в ^-модуле ^ е А (предложение 1). Поэтому

р^р

M ^ П C, >

рєР

где Cp - такие, как и в условии теоремы. Поскольку M

инъективен

дуля N. Тогда

, то П Cp = M 0 N для некоторого R-

рєР

8 р П Ср = Ср = 8, М 8 , N .

ргР

Отсюда следует, что 8р N = 0 для каждого р е Р. Учитывая, что N с ^ 8 N, находим N=0 и

р^р

М = ^ Ср . Теорема доказана.

р^р

ЛИТЕРАТУРА

1. Крылов П.А., Пахомова Е.Г., Подберезина Е.И. Об одном классе смешанных абелевых групп // Вестник Томского государственного универ-

ситета. 2000. № 269. С. 29-34.

2. Fomin A.A. Some mixed abelian groups as modules over the ring of pseudo-rational numbers // Trends in Math. 1999. P. 87-100.

3. Крылов П.А. Наследственные кольца эндоморфизмов смешанных абелевых групп // Сибирский математический журнал. 2002. Т. 43, № 1.

С. 108-119.

4. Царев А.В. Псевдорациональный ранг абелевой группы // Сибирский математический журнал. 2005. Т. 46, № 1. С. 312-325.

5 Чеглякова С.В. Инъективные модули над кольцом псевдорациональных чисел // Фундаментальная и прикладная математика. 2001. Т. 7, № 2. С. 627-629.

6. Зиновьев Е.Г. Об одном обобщении колец псевдорациональных чисел // Вестник Томского государственного университета. 2006. № 290. С. 46-47.

Статья поступила в редакцию журнала 20 ноября 2006 г., принята к печати 27 ноября 2006 г.