О диссипативности неавтономных систем по нелинейному приближению

УДК 517.925

Вестник СПбГУ. Сер. 10, 2004, вып. 4

Н. А. Степенко

О ДИССИПАТИВНОСТИ НЕАВТОНОМНЫХ СИСТЕМ ПО НЕЛИНЕЙНОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ

В данной статье рассматриваются задачи, связанные с исследованием свойств ограниченности движений возмущенных систем по нелинейному приближению.

В. И. Зубов в работе [1] показал, что при воздействии на асимптотически устойчивую однородную систему возмущениями, порядок которых больше порядка функций, входящих в правые части системы, нулевое решение остается асимптотически устойчивым. А в случае когда порядок возмущающих функций меньше порядка правых частей системы, возмущенная система будет равномерно диссипативной [2]. В [3] изучались системы с обобщенно-однородными правыми частями и были выделены классы систем, все решения которых ограничены при возрастании времени. В [4] для некоторых классов нестационарных систем получены условия равномерной диссипативности, которые существенно расширили область возможных порядков функций, входящих в правые части систем.

Развивая эти исследования, в п. 1 настоящей статьи в качестве систем первого приближения рассматриваются системы уравнений, правые части которых являются обобщенно-однородными функциями. Предполагая, что для системы первого приближения существует непрерывно дифференцируемая обобщенно-однородная функция Ляпунова, определяются достаточные условия равномерной диссипативности возмущенных систем по обобщенно-однородному первому приближению, причем порядки возмущающих функций могут превосходить порядок правых частей исходной системы.

В п. 2 изучается вопрос о равномерной диссипативности систем уравнений по первому приближению специального вида.

В работе [5] была доказана теорема о канонической структуре силовых полей, согласно которой любая автономная система дифференциальных уравнений с непрерывно дифференцируемыми правыми частями всегда может быть представлена в виде

где С(Х) - кососимметрическая матрица. Здесь функция \¥(Х), непрерывно дифференцируемая при всех X € Еп, является потенциалом поля скоростей, а функция Сг(Х)Х представляет собой соленоидальное поле. Физическое свойство соленоидаль-ного поля сил заключается в том, что оно не дает вклада в элементарную работу, а именно Х*в{Х)Х = 0.

В данной статье, рассматривая в качестве системы первого приближения систему (1), определяются условия сохранения равномерной диссипативности систем при наличии внешних возмущающих воздействий. При этом предполагается, что ]¥(Х) является отрицательно-определенной однородной функцией.

1. Пусть задана система дифференциальных уравнений

Х =

д\У{Х) дХ

+ в(Х)Х,

Х = Р&Х),

© Н. А. Степенко, 2004

в которой функция X) определена и непрерывна при всех £ > О, X € Еп.

Определение 1 [2, с. 289]. Система (2) называется равномерно диссипативной, если существует такое положительное число И, что для любого ф > 0 найдется достаточно большое Т > 0 такое, что для каждой начальной точки Хо, ||Хо|| <Я, и всякого начального момента времени ¿о > 0 выполняется неравенство Хо,^о)|| < < В при всех £ > £о + Т.

Рассмотрим теперь систему дифференциальных уравнений

к

Х = + С).

3=1

Вектор-функции F(X) = (Л(Х),... ,/п(Х))*,ЯЛ(Х) = (Лу(Х), опреде-

лены и непрерывны при всех X € Еп, а вектор-функции = (Ьц^),...

непрерывны и ограничены при £ > 0 вместе с интегралами

t

= Jbsj(r)dr, я = 1,..., n, j = 1, - - -,

Jfe.

Будем считать, что функции являются обобщенно-однородными класса

(т!,..., тп) порядка т8 + /х и т8 + а8 соответственно, причем /х, сгя <0итв+^,ш4 + сгя >0.

Предположим далее, что существует непрерывно дифференцируемая положительно-определенная обобщенно-однородная функция У{Х) класса (ш1,...,шп) порядка т > 0 такая, что функция

W

8=1

отрицательно-определенная. Известно [3, с. 187], что W{X) будет обобщенно-однородной функцией класса (тi,..., тп) порядка тп+ц. Тогда нулевое решение системы

X = F

асимптотически устойчиво. В работе [3, с. 197, 198] показано, что при crs > ц нулевое решение системы (3) также асимптотически устойчиво, а при ars < ц система (3) равномерно диссипативна. Докажем теперь теорему, которая позволяет уточнить эти известные условия равномерной диссипативности для систем вида (3). Теорема 1. Если функции

^p-hsj

непрерывно дифференцируемы, то при выполнении неравенств

1а8 < /л, я = 1,... ,п,

система (3) является равномерно диссипативной.

Доказательство. Рассмотрим функцию Ляпунова [4] вида

Vi(i,X) = V(X) - ¿¿/.i(t)^^MX).

5=1 j=1 S

Здесь выражения

дУ(Х) дх3

есть обобщенно-однородные функции класса (т\,..., тп) порядка т + а3. Поэтому

П !

если ввести обозначение г = |ж8|т», то нетрудно увидеть, что выполнены следующие

8=1

неравенства:

дх.

< агт+а'.

где а - некоторая положительная постоянная, а т + а8 > 0, так как это значение является порядком непрерывной обобщенно-однородной функции.

Тогда, в силу ограниченности интегралов (¿), также будут выполнены неравенства

п п

счгт - а3 Е гт+<Т' < Уг (4, X) < а2гт + а3 Е *т+<Г'>

8=1

8=1

в которых 01,а2,аз - положительные постоянные, причем а2 > а\.

Найдем теперь полную производную от функции VI (£, X) в силу системы (3). Имеем

та,*)

Г,8=1 3 = 1 Г \ 8 /

-ЕЕ

г,8=1 г \ а /

здесь функция \У(Х) - отрицательно-определенная обобщенно-однородная класса (ш1,... ,га„) порядка т+[л. Из ограниченности функций bri(t),Iaj(t) при £ > 0 следует,

лыьх)

(И

/

< -а4*т+м + а5 Е + Об Е ,

(3) 8=1 Г,8=1

постоянные <24, <25, ае - положительные.

Учитывая, что с8 < 0 и принимая во внимание неравенства (5), получаем, что в некоторой области

*>0,РП|>Д,

где Я - достаточно большое положительное число, функция VI удовлетворяет оценке

< Ъ&Х) < \а2гт, а ее полная производная в силу системы (3) - оценке

(й

Тогда нетрудно показать, что выполнены условия теоремы Йосидзавы [2, с. 290], и, следовательно, система (3) является равномерно диссипативной.

Замечание 1. Система (3) будет равномерно диссипативной и в случае ц = 2а 8, если функции b8j(t) на промежутке [0,+оо) удовлетворяют неравенствам

IM0I < 7

при 7 - достаточно малой положительной величине.

Замечание 2. Когда же функции b8j(t) не являются достаточно малыми, оценки (8) можно заменить аналогичными условиями, накладываемыми на величины интегралов I8j(t).

Пусть возмущенная система (3) имеет вид

з=1

Здесь и - положительный параметр, вектор-функции С¿(£) = (ci¿(£),..., cnj(t))* непрерывны и ограничены при £ > 0 вместе со своими интегралами.

Теорема 2. Существует положительное число шо такое, что при всех ш >шо и при выполнении неравенств

2as < /х, s = 1,... ,п,

система (3') является равномерно диссипативной. Доказательство. Несложно убедиться, что

bri{t)ISj

Cri

Ult

(ut) J c8j(r)di

Об S i

Ш

где Об - положительная постоянная. Проводя дальнейшие рассуждения аналогично доказательству теоремы 1, получаем, что

dV-i&X)

dt

s=1

Г,8=1

Тогда при достаточно большом числе ыо в области (б) будет выполнена оценка (7). Следовательно, система (3') равномерно диссипативна.

Покажем далее, что в случае, когда функции (£) удовлетворяют некоторым дополнительным условиям, область значений параметров ¡л и а3, при которых имеет место равномерная диссипативность системы (3), можно расширить, используя несколько модифицированный способ построения функции Ляпунова [6]. Рассмотрим функции

<¿¿¡4*) = МО-М*), г,в = 1,...,п, ¿,.7 = 1

непрерывные и ограниченные при £ > 0. Предположим, что функции (4) непрерывно дифференцируемы, а интегралы

ь

(*) = { ¿%г) (т)ат> Г, в = 1,..., п, = 1,...,

о

ограничены при £ > 0.

Теорема 3. Если функции

Ъх ^ ¿fc^ M*), r,e = l,...,n, i,j =

непрерывно дифференцируемы, то при выполнении неравенств

За8 < fi, s = 1,... , n,

система (3) является равномерно диссипативной.

Для доказательства теоремы достаточно выбрать функцию Ляпунова вида

V2

r,s=l i,j=1 r \ s /

и повторить весь ход рассуждений доказательства теоремы 1.

Замечание 3. Накладывая аналогичным образом новые условия на функции bSj(t), можно продолжить процесс построения функций Ляпунова и расширить область параметров /х и as, при которых имеет место равномерная диссипативность системы (3).

Для пояснения этого замечания рассмотрим случай, когда система (3) представима в виде

xs = fs

Тогда функции Ляпунова можно определить по формуле

= + I b(r)drYsk(Xh

k=1 о

где Sk(X) = E-——hs(X), So = V(X). Условия равномерной диссипативности,

s=i Xs

получающиеся с помощью этих функций, имеют вид

(р+ 1)<гв < ¡i.

Если все функции Vp(t,X) непрерывно дифференцируемы по компонентам вектора X, то система (9) равномерно диссипативна при любых значениях /х и crs, удовлетворяющих неравенствам fi < 0,а8 < 0 и т8 + fi > 0, т8 + а8 > 0.

Замечание 4. Требование непрерывной дифференцируемости функций (4) приводит к существенным ограничениям на параметры \l и <xs. Однако для доказательства диссипативности системы (3) достаточно, чтобы эти функции были непрерывно дифференцируемы при ||Х|| > R, R > 0.

Исследуем теперь условия существования периодических решений нестационарных систем. Рассмотрим систему

к

X = F

j=i

Здесь элементы вектор-функций F(X),Hj(X) определены и непрерывны при X G Еп и удовлетворяют условию Липшица во всякой ограниченной области изменения X,

а элементы вектор-функций и Ф(£) - непрерывные ^-периодические функции,

причем функции ЬвЛО имеют нулевые средние значения.

Теорема 4. При выполнении условий теоремы 1 система (10) является равномерно диссипативной и имеет по крайней мере одно периодическое решение.

Для доказательства равномерной диссипативности достаточно взять функцию Ляпунова VI (Ь, X), а существование периодического решения следует из [7, с. 32].

2. Рассмотрим теперь в качестве системы первого приближения систему вида (1). Предполагая, что потенциал поля скоростей является отрицательно-определенной однородной функцией, на основе методов, предложенных в работе [8], определим условия равномерной диссипативности такого рода систем, находящихся под воздействием нестационарных возмущений.

Пусть задана система дифференциальных уравнений

Здесь \¥(Х) - непрерывно дифференцируемая отрицательно-определенная однородная функция порядка /х + 1,0</х<1; О(Х) - кососимметрическая матрица, непрерывная при всех X Е Еп\ матрица В(Ь) порядка п х к непрерывна и ограничена при £ > 0; /¡-мерный вектор Р(Х) определен и непрерывен при всех X € Еп и в некоторой области вида (6) удовлетворяет неравенствам

где /?ь /?2 ~ положительные постоянные и 0 < сг < 1.

Нетрудно доказать (см. [1]), что при а < /х система (11) будет равномерно диссипативной. Покажем теперь, что при некоторых дополнительных ограничениях на правые части системы (11) равномерная диссипативность может сохраняться и в случае, когда а >11.

Пусть для матрицы С(Х) в области (6) справедлива оценка

Х =

д!У(Х) дХ

+ С(х)х + В(г)р(х).

\\С(Х)\\<<у\\Х\Г\ 7 > 0, А > 0,

а интеграл

4

система (11) является равномерно диссипативной.

Доказательство. Возьмем функцию Ляпунова

у1

и найдем ее полную производную, в силу системы (11). Учитывая ограниченность матрицы В(£) и интеграла /(£), а также неравенство (13), в области (6) при достаточно большом числе Я будут выполнены оценки

dV.it, X)

(¿4

< -а|тг\

в которых а - положительная постоянная. Таким образом, используя теорему Йосид-завы, получаем равномерную диссипативность системы (11).

Пример. Рассмотрим математическую модель движения твердого тела, вращающегося в инерциальном пространстве с угловой скоростью и вокруг своего центра инерции О. Предположим, что с телом связаны оси Охуг, которые являются его главными центральными осями. Уравнения вращательного движения тела под действием управляющего момента М и момента внешних возмущающих сил М\ имеют вид

вш + и х 9ш = М + Ми

где в - тензор инерции тела; в = diag{Al, А2, Лз}.

Будем считать, что М = ^ а _ непрерывно дифференцируемая

дш

отрицательно-определенная однородная порядка /х + 1 функция, 0 < /х < 1. Также предположим, что М\ = В^)Р(и), В{£) - матрица порядка 3 х непрерывная и ограниченная при 4 > О вместе с интегралом (12), а /г-мерный вектор Р(и>) непрерывен при всех ш 6 Е3 и является непрерывно дифференцируемым в некоторой области вида (6). Пусть

Такая составляющая Р(и>) момента внешних возмущающих сил М\ обеспечит при рассмотрении функции Ляпунова

У( и) =

сокращение компоненты ш х вш в ее полной производной, в силу системы (14), тем самым обеспечив возможность получить условия равномерной диссипативности а < ц, а при применении теоремы 5 и расширить область параметров до

о- < ^у-.

при которых система (14) будет равномерно диссипативна.

Если же твердое тело имеет одну ось симметрии, т.е. два из трех значений А3 совпадают, то в качестве возмущений, не нарушающих равномерной диссипативности, можно взять

'И-^ОМГ1)-

Для простоты предположим, что А2 = А3 и £?(£) - скалярная функция, а /(4) -интеграл от нее. Тогда в качестве функции Ляпунова возьмем функцию

Ух(4,и) = ^и'Ои - ш*1(г)Р(ы) = ^ы*ви> - 1№\\и\\а+1.

Продифференцировав функцию в силу системы (14), имеем

<И

= (/* + 1) И^М - Щ +

дш

Учитывая, что

х 6ш) = О

и выполнено неравенство (15), нетрудно показать, что система (14) равномерно дисси-пативна.

Рассмотрим теперь систему вида

к = ^р-+ в{х)х +

эх

3=1

Здесь Н^{Х) - непрерывно дифференцируемые п-мерные вектор-функции, которые в некоторой области вида (6) удовлетворяют неравенствам

1|Я;11<№Г,

±

</?4рГ|Г, 3 = 1

где /5з,/?4 - положительные постоянные и 0 < а < 1; функции &_,(£) непрерывны и ограничены при £ > О вместе с интегралами

г ь

^(0 = JЬ^т)ёт, ./¿¿(г) = JЬ{(т)Н^(т)(1т, г,^ = 1,... ,ш. о о

Теорема 6. При выполнении неравенства

1> + 2 Л

а < шш < , ^ + А >

система (16) является равномерно диссипативной.

Действуя аналогично теореме 5, в качестве функции Ляпунова достаточно взять

1 тп

У2(*,Х) = -х*х +

1 3=1

т о

Рассмотрим теперь случай, когда система (11) представима в виде

х = + С

Здесь скалярная функция 6(4) непрерывна и ограничена при 4 > О вместе с интегралом

г

/(4) = I Ь(т)с1т, о

а п-мерный вектор Р(Х) определен и непрерывен при всех X (Е Еп. Далее будем предполагать, где это необходимо, непрерывную дифференцируемость данных функций по компонентам вектора X в области (6), по крайней мере при достаточно больших значениях Я, а также выполнение в этой области неравенств

ШХ)\\<Ш\\

2-«

дЯа

дХ

</ЗбЦХЦ1-^1-^,

где Ях{Х) = Х*Р(Х)\ Я3{Х) = Р(Х); & - положительные постоян-

ные.

Теорема 7. При выполнении неравенства а < /¿ + Л система (17) является равномерно диссипативной.

Выберем функцию Ляпунова следующего вида:

уг( 4,х) = \х*х + £ 8=1

в которой г - достаточно большое натуральное число, выбираемое так, чтобы выполнялось неравенство

(7 < 1--^

г + 1

для любого фиксированного положительного числа о < 1. Ее полная производная, в силу системы (17),

6УГ{ 4,Х)

Iи

= (» + т(Х) + + 0(х)х) * х

V дХ к ' )

* £ Чг1^^1 + {-=^ъа)Г№г+1т.

Л Г!

8=1

Отсюда из полной ограниченности функций 6(4) и /(4) следует, что функция УГ(Ь,Х) будет удовлетворять теореме Йосидзавы, и тем самым получаем равномерную дисси-пативность системы (17).

Замечание 5. Результаты теорем 5-7 будут также верны и для более общего случая, когда \У(Х) - непрерывно дифференцируемая функция, для которой в некоторой области (6) выполнены неравенства

-ахИГ1 < УЦХ) < -а2\\Х\\*+\ < -азН^Г1,

где «1, «2, сц - положительные постоянные.

Summary

Stepenko N. A. On ultimately boundedness of non-autonomous systems by nonlinear approximation.

The boundedness properties of solutions of non-autonomous systems by nonlinear approximation are investigated. Some criteria of uniform ultimately boundedness axe obtained.

Литература

1. Зубов В. И. Устойчивость движения. М., 1973. 272 с.

2. Демидович В. П. Лекции по математической теории устойчивости. М., 1967. 472 с.

3. Зубов В. И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования. Л., 1959. 324 с.

4. Александров А. Ю. Об устойчивости равновесия нестационарных систем // Прикл. математика и механика. 1996. Т. 60, вып. 2. С. 205-209.

5. Зубов В. И. Аналитическая динамика системы тел. М., 1983. 344 с.

6. Александров А. Ю. Об асимптотической устойчивости в нелинейных системах // Теоретические и методические проблемы подготовки учителя в системе непрерывного образования (математика, информатика): Межвуз. сб. науч. трудов. Мурманск, 1997. С. 157-160.

7. Плисс В. А. Нелокальные проблемы теории колебаний. М.; Л., 1964. 368 с.

8. Александров А. Ю. Об асимптотической устойчивости решений нелинейных неавтономных систем // Изв. АН. Сер. Теория и системы управления. 1999. № 2. С. 5-9.

Статья поступила в редакцию 19 октября 2004 г.

РЕФЕРАТЫ

УДК 512.643.8

Беспалов А. А. Матричный метод проверки изоморфизма графов // Вестн. С.-Пе-терб. ун-та. Сер. 10. 2004. Вып. 3. С. 3-12.

Предложен эффективный метод проверки изоморфизма графов, основанный на рассмотрении матричных инвариантов частного случая преобразования подобия. Кроме того, дан конструктивный метод нумерации вершин графов в случае их изоморфности. Библиогр. 8 назв.

УДК 539.3

Бочкарев А. О. Граничные интегралы в геометрически и физически нелинейной плоской задаче // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. 2004. Вып. 3. С. 13-21.

В геометрически и физически нелинейной теории упругости формулируются общие интегральные соотношения, аналогичные формулам Грина, теореме взаимности Бетти, а также представлению регулярных решений в форме Сомильяны применительно к плоским краевым задачам. Библиогр. 9 назв.

УДК 519.1

Горьковой В. Ф. О 5-хроматических графах // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. 2004. Вып. 3. С. 22-29.

С помощью специальных преобразований, изменяющих раскраску, выясняются свойства