Взаимодействие волн с различными временными масштабами

Раздел II. Математическое моделирование сложных физических процессов

УДК 534.22

О.А. Савицкий

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ВОЛН С РАЗЛИЧНЫМИ ВРЕМЕННЫМИ

МАСШТАБАМИ*

В работе задача о нелинейном взаимодействии упругих волн с различными временными масштабами рассмотрена в общей постановке. Из уравнения Хохлова - Заболотской удается получить частные уравнения, описывающие эволюцию каждой компоненты вол. . -частотной волны на высокочастотную проявляется, главным образом, в амплитуднозависимом изменении фазовой скорости высокочастотной волны.

Волна; нелинейные взаимодействия; звуковой пучок; временной масштаб; дифракция; волна конечной амплитуды.

O.A. Savitsky WAVES INTERACTION WITH DIFFERENT TEMPORAL SCALES

In this paper the problem about nonlinear interaction of elastic waves with different temporal scales surveyed in common statement. From Khokhlov-Zabolotskaia equation it is possible to receive the partial equations describing evolution of each component of a wave field. One-sided character of such interaction is shown. Influence of a low-frequency wave on high-frequency is exhibited primarily in amplitude dependence of a high-frequency wave phase velocity variation;

Wave; nonlinear interactions; a sound beam; a temporal scale; a diffraction.

В ряде работ [1,2] рассматривалось взаимодействие первоначально гармонических волн vi и v2, частоты которых Щ и О удовлетворяют условию О << (Oi,

- , . этом исследователи ограничивались рассмотрением случая плоских волн, накладывалось также дополнительное условие на амплитудные соотношения в исходном спектре v20 >> viQ.

Вместе с тем представляет теоретический и практический интерес рассмотреть задачу взаимодействия высокочастотной и низкочастотной волн в общем ви, -, -амплитуд взаимодействующих волн.

Описание дифракционных явлений во взаимодействующих волнах будем проводить в рамках квазиоптического приближения. Таким образом, в качестве модельного уравнения воспользуемся уравнением Хохлова - Заболотской [3]:

* Работа выполнена при финансовой поддержке по гранту РНПВШ 2.1.1/6584.

д Гдг _ дт)

дг дО

дв

=N Д±(,.

4 1

С целью сокращения записи будем считать, что акустическое поле обладает

і д ( д¥Л

г—— , г - поперечная координата). Из даль-

осевой симметрией (А1У

г дг

дг

/

нейшего будет видно, что это предположение никак не повлияет на общность получаемых результатов.

Будем искать решение уравнения (1) в виде

V (, г,в) = V (, г, в) + У2 (, г, к в),

. . ,

так что выполнено условие, к<<1. Такой вид решения (1) соответствует начальному условию

V (0, г ,в) = VI (0, г,в)+V, (0, г, кв).

Рис. 1. К постановке задачи

Пример начального условия для рассматриваемого класса задач приведен на рис. 1.

, , -мой функции У(г,Т, в), их среднее значение по достаточно большому промежутку времени (в, в+Ав) равно нулю

Ііш

дв^-

1 в+дв \ Ґ 1 в+дв \

— \У<(, у,в) = Ііш — |V, (г, г, кв)ів

дв в ) “Ндв в )

0.

, , -щая собой постоянный поток среды. Такое условие выглядит достаточно естественным для всех практически значимых ситуаций.

Малость параметра к, входящего в предполагаемое решение позволяет с помощью операции усреднения «отфильтровать» одну компоненту решения от другой. Действительно, усредняя (2) по временному интервалу (в, в+Лв), когда Лв является большим параметром и одновременно величина кЛв является малой, получим

І1Ш

Дв^~ кДв^0\

Ґ 1 в+Дв Л Ґ 1 в+Дв

— |V (г, г,в))в = Ііш — |^ (г, г,в))в Дв і Дв^°, Дв і

+ 11ш

Дв^о

кДв^0\

в

Ґ і в+Дв Л

— |У2 (г, r, кв)в = V2 (z, г, кв) . Дв I

+

Выбранная величина интервала усреднения значительно превышает характерный временной масштаб высокочастотной компоненты решения, но в то же время является малой величиной для низкочастотной компоненты.

Воспользуемся указанным свойством решения (2) для выяснения наиболее общих закономерностей поведения взаимодействующих волн. Для этого усредним уравнение (1) по временному промежутку (в, в+Дв), длину которого удовлетворяет поставленным выше условиям Дв^ и кДв^О.

В результате почленного усреднения уравнения (1), с учетом (4), и отбрасывания малых членов порядка кДв членов уравнения (1):

/ „ в + Дв \ -ч2 /

дв дz

± I

Дв в

л в+Дв

+----- [ V2 (z

д в 2У

ав =

д2

дв дz

\

, кв)ав

л в + Дв \ 2 ! і в+Дв

дв I(г1 (z,г,в)+V2(z,г=кв)в =дв^ Дв I^^г,в)в

Дв в

двдz

Дв в

1 в+Дв

Дв

I{Д^)в = Д1 — I(VI г, г,в) + V2 (z, г,кв)в

Дв в

= Д,

1 в+Дв

Дв в

IV1 (z, г,в)в-

Дв

IV2 (z, г, кв)в -

^ ТА V д*-\ів=— Т

дв дв 2Дв )

Дв в дв

дв

’д2 у

2Дв

дв2

2' 1 д2 ав=--^— 2 дв2

в+Дв в+Дв

+Дв IVIV2лв+— IV22ави -

Дв в Дв в 2

1 д V2

_Э_

дв

2 дв2 д¥1 дz

V рЛ

2 дв у

в+ Дв 2 в+ Дв

— [ V2 ав = [ V2 ав +

Дв * 2 дв1 Дв >

Дв в

N Д Т/

= —Д]уг.

4 1 2

Дв в

Полученный результат (5) показывает, что низкочастотная компонента решения с точностью до малых величин порядка кАв подчиняется уравнению, совпа-

(1), . . , -тотной компоненты не существовало. Другими словами, в нелинейной среде высокочастотная волна никак не влияет на распространение низкочастотной волны, несмотря на конечность ее амплитуды. Вместе с тем обратное влияние низкочастотной волны на высокочастотную компоненту поля имеет место. К такому же вы-

1

в

1

в

в

воду пришли авторы экспериментальной работы [2] при наблюдении взаимодействия первоначально гармонических волн конечной амплитуды. Нетрудно убедиться,

имеет место и в случае нелинейностей более высоких порядков, для этого достаточно рассмотреть соответствующее модельное уравнение

_э_

дв

где а>1.

Рассмотрим теперь закономерности распространения высокочастотной компоненты. Подставим решение в виде

Э(дГ,+Ж-у ЭГ1-г ЭУ^г ;>У±-К N . .. №

дв

дz дz 1 дв 1 дв 2 дв 2 дв у

Д^ +—Ді^

4 1 1 4 1 2

и вычтем из него уравнение (5), тогда, отбрасывая малые величины порядка кАв и

,

_э_

дв

^дV дV ^ N дV

1 Т/~ 1 _ Л Т/" і т/~ 1

---V

дz 1 дв

^Д.Т, + У2—Jr,

4 1 1 2 дв2

где функция У2(г,т,кв) является решением уравнения Хохлова-Заболотской (1).

, -ми временными масштабами можно свести к последовательному решению уравнений Хохлова-Заболотской (1) для низкочастотной компоненты У2(г,т,кв), а затем

- уравнения (7) для высокочастотной волны У]^,г, в).

д 2у

Наличие в правой части уравнения (7) дополнительного члена у--------1 отра-

2 дв2

жает возможное влияние присутствующей в среде низкочастотной волны на эволюцию волнового профиля высокочастотной компоненты, причем это влияние пропорционально амплитуде низкочастотной волны У2. Волна У2(г,г,кв), не испытывая на себе влияния У^(г,т, в), может играть роль своеобразного «катадизато-ра» для нелинейной трансформации волны У^(г,т, в), определяющего направление

. (7),

свойствами такого воздействия низкочастотной компоненты поля на высокочастотную являются локальность и безынерционность.

Совместный анализ уравнений (5) и (7) позволяет обобщить вывод об одностороннем характере взаимодействия одномерных синусоидальных волн с существенно разными частотами [1,2] на случай взаимодействия неодномерных волн с различными временными масштабами, амплитудными соотношениями и произвольной формой временной зависимости.

_э_

дв

д¥1 ^.дУ,

(V* + Vl)-d =-гДУ

дz 42 " дв

N

4

то с точностью до величин порядка кАв можно считать, что основным механизмом воздействия низкочастотной волны на высокочастотную является локальное изменение скорости смещения волновых профилей Vl(z,r, 6) на величину V2.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Тагунов ЕЯ. Исследование нелинейных взаимодействий слабых ультразвуковых сигналов с мощными низкочастотными акустическими возмущениями. - М.: Изд-во МГУ. 1981. - 14 с.

2. Moffett M. et. al. Experimental demonstration of the absorption of sound by sound in water. // J. Acoust. Soc. Amer. - 1978. - Vol. 63. - P. 1048-1051.

3. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухорукое А.П. Теория волн - М.: Наука, 1990. - 432 с.

Савицкий Олег Анатольевич

Технологический институт федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» . .

E-mail: osav66@mail.ru.

347932 . , . 57/1, . 57.

Тел.: 8(8634)315-638; 8-903-435-40-49.

Кафедра высшей математики; доцент; зам. директора НОЦ Комплексных исследований и математического моделирования сложных природных и техногенных систем, с.н.с. ОКБ «Ритм» ЮФУ.

Savitsky Oleg Anatoljevich

Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”.

E-mail: osav66@mail.ru.

57/1 Lomonosov street, sq. 57, 347932. Taganrog, Russia.

Phone: 8(8634)315-638; 8-903-435-40-49.

The Department of Higher Mathematics; associate professor; the deputy director REC «Complex research and mathematical modeling of the complex natural and anthropogenic systems , senior staff scientist of the Design Office "RITM".

551.594

А.А. Редин, АХ. Клово, Г.В. Куповых, В.Н. Морозов

ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ АТМОСФЕРНОГО ПРИЗЕМНОГО

СЛОЯ

В работе построена модель нестационарного горизонтально-однородного приземного слоя с учетом однократно заряженного аэрозоля.

Получены распределения электрических характеристик в приземном слое атмосферы в зависимости от интенсивности турбулентного перемешивания и концентраций аэ-.

Приземный слой; аэрозоль; ионы; турбулентное перемешивание; электродный эффект; электрическое поле.