Влияние пластических свойств сталей на состояние в вершине трещины

ЭНЕРГОМАШИНОСТРОЕНИ

УДК 539.4

ВЛИЯНИЕ ПЛАСТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ СТАЛЕЙ НА СОСТОЯНИЕ В ВЕРШИНЕ ТРЕЩИНЫ

В.Н.ШЛЯННИКОВ, А.М.ТАРТЫГАШЕВА

Казанский государственный энергетический университет

Представлена оценка влияния комплекса пластических свойств сталей на состояние в области вершины трещины при произвольном двухосном нагружении. Варианты соотношений двухосных номинальных напряжений выбирались исходя из соответствия условиям эксплуатации дисков роторов паровых турбин. Управляющим фактором вариации исследованных вариантов двухосного нагружения являлось значение несингулярного члена на удалении от вершины трещины. Получены численные результаты по полям параметров напряженно-деформированного состояния в пластической области вершины трещины для двух значений показателя деформационного упрочнения. На основе декомпозиции общего численного решения на составляющие дана оценка свойств пластичности на поведение радиальных, окружных и сдвиговых безразмерных полярных распределений второго члена разложения напряжений при двухосном нагружении.

Вращающиеся диски роторов паровых турбин в эксплуатации подвержены двухосному нагружению различной интенсивности, обусловленному центробежными усилиями от собственной массы диска, а также воздействием контурной и контактной нагрузок на внешнем и внутреннем обводах диска. Соотношение радиальных и окружных компонент напряжений изменяется по радиусу диска в широких пределах, оставаясь положительным по знаку в неослабленных сечениях, и приобретает отрицательные значения в зонах конструктивной концентрации напряжений. В подобных зонах с течением времени эксплуатации накапливаются и развиваются повреждения в виде несплошностей, пор и трещин. Для дисков роторов паровых турбин весьма актуальной является задача обоснования продления сверх паркового ресурса по условиям диагностики технического состояния и критериям безопасной повреждаемости. К числу основных прочностных и деформационных критериев несущей способности элементов конструкций относятся критерии и параметры механики трещин или критерии сопротивления разрушению. В настоящей работе поставлена цель оценки влияния пластических свойств роторных сталей на поведение в области вершины трещины при двухосном нагружении применительно к условиям эксплуатации дисков паровых турбин.

Описание полей параметров напряженно-деформированного состояния (НДС) в пластической области вершины трещины будем проводить с учетом членов высоких порядков. Подобная постановка является очень актуальной ввиду установленных ранее ограничений использования классического решения Хатчинсона-Райса-Розенгрена (ХРР) [1,2,3] в практике упруго-пластических расчетов и интерпретации экспериментальных данных по определению

© В.Н. Шлянников, А.М. Тартыгашева Проблемы энергетики, 2004, № 11-12

характеристик сопротивления разрушению. Степень несоответствия ХРР-модели объективной реальности, как оказалось, пропорциональна величине несингулярного члена или наведенной двухосности внешнего нагружения.

Согласно решению Вильямса [4] упругие напряжения в окрестности вершины трещины можно представить в виде разложения в ряд по степеням г :

^ = Aij (0>-12 + Bij (0)+ Су(0)г12,

где первый член этого асимптотического решения является сингулярным, тогда как члены более высоких порядков конечны и ограничены. Второй член разложения (1) назван Райсом [5] как Т -напряжение или несингулярный Т -член. Для условий нормального отрыва (чистая мода I) при удержании первых двух членов разложения (1) компоненты упругих напряжений и перемещений могут быть выражены через коэффициент интенсивности напряжений (КИН) и Т -член в следующей форме:

СТ гг

СТ уу -

СТ xy =

K1 0

_ со8— л/2Лг 2

К

1

0

-----С08 —

42пг 2

, . 0 . 30

1 - 81П— 81П--

22

' . 0 . 30

1 + 81П — 81П-

22

К .0 0 30

—¡=5=81П — сое —сое—

л/2пг 2 2 2

+ T

ux - —Ц|-Г-С08—Г(і - 2у)+ 81п2 0 + Т(і -V2)гСО80 + я]

x Єї 2п 2 Г 2 ] Е' Л J

Кі ГГ. 0Г2(і ) 201

иУ -—--------81П—I 2(1 -V)-С08 —

у Є V 2п 21_ 2 _

-----v(l + v)[^8lп0]

Е

К1 -стл/ПЯ ,

Т - -ст(1 - п).

Здесь ст - номинальное напряжение, приложенное вдоль оси ОУ; п -коэффициент двухосности; О - модуль сдвига; г и 0 - полярные координаты с центром в вершине трещины; V - коэффициент Пуассона; а - длина трещины.

Подход с использованием многочленного разложения, аналогичного (1), был использован для построения решений в диапазоне от маломасштабной текучести до развитой (полной) пластичности. Авторы работ [6,7] предложили решение плоской задачи для деформационно-упрочняющегося материала на основе двухчленного разложения в следующей форме:

(r,0)-

ґ

1аст 0*5 01пг

V

где первое слагаемое представляет собой известное сингулярное решение ХРР [13]. Здесь / - интеграл Райса; а и и - константы упрочнения; ст? и е? -напряжения и деформации текучести; г ,0 - полярные координаты; Q и * -

; ст , стУ - безразмерные угловые

амплитуда и тип сингулярности второго члена

у у

функции компонент напряжений первого и второго членов; 1п - константа интегрирования Хатчинсона [1].

В настоящей работе полное решение будет получено путем численного решения по модифицированному методу граничного слоя на основе метода конечных элементов (МКЭ). Представим нормированные на предел текучести поля напряжений в пластической области вершины трещины следующим образом, аналогичным [8]:

1 1 = Кг " П+Т (0) = Г-О п+15 (?) + & ст () +... ,

СУ ст0 ^ 1а1пг у

где г =(стог/./)=(г/а)(стоб/ст2п); а = ае?. В левой части уравнения (6) стоит полное МКЭ решение для напряжений сту. Первый член разложения (6) является

ХРР решением, в котором безразмерные угловые функции получены в результате решения нелинейного дифференциального уравнения совместности деформации четвертого порядка по методу Рунге-Кутта.

Авторами работ [7,8] доказано, что если первый член разложения (6) имеет сингулярность типа я = — 1/(и +1), а сингулярность второго члена подчиняется условию * <(и — 2)/(и +1), то возможна декомпозиция структуры второго члена по отношению к переменным г и 0. Тогда, разрешая уравнение (6) относительно

ст(У^, мы можем найти угловые безразмерные распределения компонент

напряжений второго члена как разность между полным МКЭ-решением и ХРР-решением (которое соответствует значению упругого несингулярного члена

Т = 0):

г л у/^+О

ГМ)—Ш сто*»

1п'

&

В уравнении (7) произведение Qгt играет роль масштабного множителя, который нормирует угловые функции так, чтобы безразмерная интенсивность напряжений второго члена ст^) имела максимальное значение

ст £‘Ц уу / 2^ = 1 (где - девиатор напряжений) в пределах

рассматриваемого диапазона изменения полярного угла 0. Заметим, что угловые

функции ХРР-решения ствд известны в литературе [1,2,9] и искомые угловые

распределения компонент напряжений для второго члена могут быть

рассчитаны непосредственно по уравнению (7).

Поставленная в работе задача решалась численно на основе МКЭ с использованием модифицированного метода граничного слоя. Поведение упругопластической среды описывалось по модели Рамберга-Осгуда для двух значений показателя деформационного упрочнения: п = 5,02 и п = 10,61, соответствующих материалам, основные механические характеристики которых приведены в таблице 1.

Таблица 1

Основные механические характеристики сталей

Материал ст0 [МПа] стЬ [МПа] [МПа] Е [МПа] V % п

Сталь 1 380 680 1130 205000 60 5,02

Сталь 2 1163 1298 1596 197000 20 10,61

В этой таблице: ац - предел текучести; аь - предел прочности; Бс -истинное сопротивление отрыву; Е - модуль упругости; у - относительное сужение; п - показатель деформационного упрочнения.

Рассматривалась пластина бесконечных размеров, нагруженная системой взаимно перпендикулярных нормальных напряжений и ослабленная внутренней сквозной центральной прямолинейной трещиной, расположенной вдоль оси ОХ. Вершина трещины имела достаточно малый, но конечный радиус кривизны. На удалении от вершины трещины в упругой области пластины проведена окружность, центрированная на вершину трещины, которая служила внешним контуром рассматриваемой области. В силу симметрии геометрии и условий нагружения достаточно рассмотреть только одну четверть пластины. Выделение ряда областей в геометрии тела с трещиной, рассматриваемой в настоящей работе, является традиционным для модифицированного метода граничного слоя. Перемещения, определяемые формулами (3), воспроизводили условия внешнего двухосного нагружения на внешнем контуре выделенной круговой области в пластине и включали в себя несингулярный Т -член. Внутри области, ограниченной поверхностями трещины и внешней круговой областью, использовалось конечно-элементное разбиение. Расчетная схема включала 49 концентрических окружностей, центрированных на вершину трещины и содержащих по 80 промежуточных узлов каждая с шагом по углу 4,5°. Радиусы кривизны вершины трещины и внешней окружности отличались на три порядка. При формировании расчетной схемы использованы плоские восьмиузловые изопараметрические элементы. Сетка конечных элементов включала 1905 узлов и 1849 восьмиузловых квадратичных элементов. Конечно-элементный комплекс А^У8 [10,11] использован для реализации модифицированного метода граничного слоя.

Коэффициент двухосности номинальных напряжений п и относительная величина приложенных номинальных напряжений а = а/ст0 варьировались так, чтобы для каждого п несингулярный член Т, нормированный на предел

текучести ао, изменялся в пределах от Т = +0,53 до Т = -1,0, как это показано в таблице 2.

Таблица 2

Условия двухосного нагружения пластины

п = 5, а = 0,53

п 2,00 1,75 1,50 1,25 1,00 0,75 0,50 0,25 0,00 -0,25 -0,50 -0,66 -0,90

п = 10, а = 0,39

п 2,38 2,00 1,66 1,33 1,00 0,67 0,34 0,00 -0,37 -0,71 -1,05 -1,25 -1,59

Т 0,53 0,39 0,26 0,13 0,00 -0,13 -0,26 -0,39 -0,53 -0,66 -0,79 -0,87 -1,00

После численного решения упруго-пластической задачи выходные файлы А^У8 использовались в качестве входной информации к разработанному и реализованному комплексу программ по интерпретации результатов в порядке определения безразмерных полей параметров напряженно-деформированного состояния и амплитуды сингулярности второго члена.

Прежде всего было исследовано распределение напряжений на продолжении трещины (0 = 0). На рис.1 показаны распределения нормированных на предел текучести компонент нормальных напряжений для п = 5,02 и п = 10,61, относящихся к общему МКЭ решению (без декомпозиции на структуру первого и второго членов). Для сравнения на эти графики нанесены ХРР-решения, соответствующие каждому из показателей упрочнения. Для четырех вертикальных линий на каждом из графиков цифрами введены обозначения расстояний от вершины трещины для контуров, в которых определялись безразмерные полярные распределения компонент напряжений, а именно для п = 5,02 (1- г = 2,3 ; 2- г = 4,05 ; 3- г = 6,83 ; 4- г = 11,3); для п = 10,61 (1- г = 2,45 ;

2- Г = 4,12 ; 3- Г = 6,84 ; 4- Г = 9,44 ).

Совершенно четко можно заметить проявление эффектов конечных деформаций и разгрузки вследствие затупления вершины трещины для (ГО0/ /)< 3. При больших расстояниях от вершины трещины влияние упругого несингулярного члена и двухосности нагружения имеет достаточно упорядоченный характер. Положительные значения Т и двухосности напряжений п в диапазоне пе(+1-0 *+2.0) не оказывают существенного влияния на распределение напряжений. Напротив, монотонное увеличение отрицательных значений Т или переход от равно-двухосного растяжения п = +1 к двухосному растяжению-сжатию п = —0-9 приводит к существенному отклонению полученных распределений напряжений от ХРР-решения. Заметим, что случай равнодвухосного растяжения п = +1 (когда Т = 0) наиболее близко совпадает с ХРР-

решением и соответствует области определения этого асимптотического упругопластического решения. Можно также заметить, что градиент напряжений в пластической области вершины трещины существенно зависит от показателя деформационного упрочнения. Кроме этого, область совпадения ХРР и МКЭ распределений для Т = 0 при п = 10,61 существенно меньше, чем при п = 5,02.

Wq/ J

г^о/J

Рис.1. Радиальное распределение окружных напряжений на продолжении трещины

На рис.2 представлены полярные распределения для r » 4.1 относящихся к общему МКЭ решению

безразмерных функций компонент напряжений

J IJ

для общего МКЭ-решения в исследованном диапазоне условий двухосного нагружения для материалов с различными пластическими свойствами. Для каждой из компонент напряжений степень отличия от ХРР-решения зависит от величины несингулярного члена T и коэффициента двухосности нагружения п и имеет возрастающий характер по мере перехода к отрицательным значениям этих параметров. Для материалов со слабым и средним упрочнением степень отличия

численных результатов от ХРР-решения является одинаково существенной, что указывает на безусловное влияние условий двухосного нагружения на распределение напряжений в области вершины трещины.

45 90 135

0 [градусы]

180

45 90 135

0 [градусы]

180

90 135

0 [градусы]

45 90 135

0 [градусы]

-0.3

180

-0.3

45 90 135

0 [градусы]

45 90 135

0 [градусы]

Рис. 2. Угловые распределения компонент полных напряжений © Проблемы энергетики, 2004, № 11-12

Полярные распределения компонент напряжений для второго члена разложения (6), определенные по уравнению (7) как разность между общим МКЭ-решением и ХРР-полем показаны на рис.3-5 для двух исследованных сталей, обладающих различными пластическими свойствами.

0 [градусы] 0 [градусы]

0 [градусы] 0 [градусы]

0 [градусы] 0 [градусы]

Рис. 3. Угловые распределения окружных напряжений для второго члена разложения © Проблемы энергетики, 2004, № 11-12

0 [градусы]

0 [градусы]

0 [градусы]

0 [градусы]

0 [градусы]

0 [градусы]

Рис. 4. Угловые распределения радиальных напряжений для второго члена разложения © Проблемы энергетики, 2004, № 11-12

0 [градусы]

0 [градусы]

0 [градусы]

0 [градусы]

0 [градусы]

0 [градусы]

Рис. 5. Угловые распределения сдвиговых напряжений для второго члена разложения © Проблемы энергетики, 2004, № 11-12

Можно отметить, что значения безразмерных функций напряжений второго члена имеют тот же порядок величины, что и функции доминирующего первого ХРР-члена. Напомним, что цифрами на этих графиках обозначены расстояния от вершины трещины для контуров, в которых вычислялись безразмерные угловые функции компонент напряжений для n = 5.02 (1- r =2.3, 2- r =4.05,

3- r =6.83, 4- r =11.3); для n = 10.61 (1- r =2.45, 2- r =4.12, 3- r =6.84, 4-r =9.44). Представленные распределения компонент напряжений, соответствуют трем значениям упругого несингулярного члена - двум ограничивающим исследованный диапазон условий нагружения (T = 0.526

и T = -1.0) и одному промежуточному (T = -0.132).

Численные результаты показывают, что для каждой из компонент напряжений имеет место влияние пластических свойств материала. Однако в условиях двухосного растяжения-сжатия распределения безразмерных компонент напряжений второго члена для n = 5.02 и n = 10.61 становятся подобными и, более того, независимыми от удаления от вершины трещины. Наибольший эффект влияния пластичности и положения контура, охватывающего вершину трещины наблюдается в отношении распределения напряжений при положительной двухосности внешнего нагружения. Таким образом проведенное исследование устанавливает характер влияния показателя деформационного упрочнения материала и условий двухосного внешнего нагружения на поведение безразмерных угловых характеристик второго члена разложения напряжений в пластической области вершины трещины.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 03-01-96233) и Академии наук и Фонда НИОКР Республики Татарстан (код проекта 05-5.3-218/2003 (Ф)).

Литература

1. Hutchinson J.W. Singular behaviour at the end of a tensile crack in a hardening material // J. Mech. Phys. Solids. - 1968. - 16. - P. 13-31.

2. Hutchinson J.W. Plastic stress and strain fields at a crack tip // J. Mech. Phys. Solids. -

1968. - 16. - P.337-347.

3. Rice J.R., Rosengren G.F. Plane strain deformation near a crack tip in power law hardening material // J. Mech. Phys. Solids. - 1968. - 16.- P.1-12.

4. Williams M.L. On the stress distribution at the base of stationary crack // J.Appl. Mech.-

1957.- 24.- P.111-114.

5. Rice J.R. Limitations to the small scale yielding approximation for crack tip plasticity //

J. Mech. Phys. Solids. - 1974. - 22.- P.17-26.

6. Li Y., Wang Z. High-order asymptotic field of tensile plane-strain nonlinear crack problems

// Scientia Sinica (series A).- 1986.- 29. - P.941-955.

7. Sharma S.M., Aravas N. Determination of higher-order terms in asymptotic elastoplastic

crack tip solutions // J. Mech. Phys. Solids. - 1991. - 39.- P.1043-1072.

8. Yuan F.G., Yang S. Crack-tip fields in elastic-plastic material under plane stress mode I

loading // Int. J. Fract. -1997.- 85.- P.131-155.

9. Shlyannikov V.N. Elastic-plastic mixed mode fracture criteria and parameters. - Springer,

Berlin, 2003. - 248 p.

10. ANSYS Structural Analysis Guide. 001245. Fifth Edition. SAS IP, Inc, 1999.

11. ANSYS Theory Reference. 001242. Eleventh Edition. SAS IP, Inc., 1999.

PLASTIC PROPERTIES INFLUENCE ON THE STATE AT A CRACK TIP V.N. Shlyannikov, A.M.Tartygasheva Kazan State Power Engineering University

Full-field finite element analysis based on a modified boundary layer approach is employed to model the effects of biaxial loading on elastic-plastic crack tip behavior. Loadings were applied corresponding to the operation conditions of power steam turbine disks. The governing factor of biaxial loading was the value of an elastic nonsingular term. Stress-strain state analysis is represented for different plastic properties of strain-hardening materials. On the basis of decomposition of a general numerical solution on components the estimation of plastic properties influences on behavior of radial, tangential and shear dimensionless polar stresses distributions of the second-order term is given at biaxial loading.