Решение задач многокритериальной оптимизации для оценки качества объектов с неоднородными признаками

УДК [004.383: 654.1.02.003.13]: [519.233.6: 519.816]

Фам Куанг Хиеп, И.Ю. Квятковская

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ ДЛЯ ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА ОБЪЕКТОВ С НЕОДНОРОДНЫМИ ПРИЗНАКАМИ

Рассмотрена методика решения задачи многокритериальной оптимизации для оценки качества и ранжировки объектов в телекоммуникационных компаниях. Определены задачи выбора, альтернативами в которых являются состояния качества различных объектов в структуре управления телекоммуникационной компании. Предложенный подход может быть использован при разработке программ повышения эффективности управления деятельности телекоммуникационных компаний.

Многокритериальная задача, ранжировка, предпочтение, эффективность, множество Парето, телекоммуникационная услуга

Pham Quang Hiep, I. Yu. Kvyatkovskaya

SOLVING MULTIOBJECTIVE OPTIMIZATION PROBLEMS TO EVALUATE THE QUALITY OF OBJECTS WITH HETEROGENEOUS FEATURES

The paper discusses the methodology for solving the problem of multicriteria optimization for quality evaluation and ranking of objects in telecommunications companies. The authors define the tasks of choice alternatives, which are quality status of various objects in the management structure of telecommunication companies. The proposed approach could be used to develop programs enhancing efficiency of telecommunication companies.

Multicriteria problem, ranking, preference, efficiency, Pareto, telecommunication

service

Введение

Оценка и ранжировка объектов крупных технических и народнохозяйственных проектов -одни из важных условий трудов повышения эффективности управления деятельности в любых компаниях. Однако наибольшая трудность анализа их заключается в необходимости решения задачи многокритериальной оптимизации для управления его характеристиками.

Существуют различные подходы к решению задач многокритериальной оптимизации, которые рассмотрены в работах Подиновского В.В, Ларичев О.И. и статьях российских ученых [1-9]. Большинство существующих подходов решения многокритериальных задач позволяют находить одно решение оптимальное по Парето при фиксированных параметрах метода. Актуальной задачей является разработка подходов к решению задачи многокритериальной оптимизации путем сужением множества Парето на основе количественной информации об относительной важности показателей.

Целью данной работы является разработка подходов к решению задачи многокритериальной оптимизации для оценки и ранжировки объектов при оценке деятельности телекоммуникационных компаний, характеризующихся неоднородными признаками, и определение наиболее предпочтительного объекта по заданным показателям.

Для этого определим объект как альтернативу в задаче многокритериального принятия решения. Все показатели, характеризующие различные стороны этого процесса, должны быть сведены в систему [6, 7]. Часть показателей отражает параметры работы технической системы, другая часть формируется посредством обработки данных, хранящихся в корпоративной информационной системе предприятия, остальные формируются экспертным путем, либо в результате опроса.

Положим, всего имеется п альтернатив (объектов), каждая из которых характеризуется значениями т показателей, причем в качестве показателей могут выступать как количественные, так и качественные показатели. Значение ]-го показателя для выбора /-го объекта будем обозначать к^^ , j=1, т, / =1, П . Исходные данные можно задать в следующем виде (табл. 1).

Таблица 1

Исходные данные для оценки

Альтернативы (Объекты) Показатели

ki k2 ki km

Oi kii ki2 kn kim

О2 k2i k22 k2i k2m

Oi kii ki2 kn kim

On kni kn2 kni knm

На основе неоднородных данных результатов, полученных в процессе измерения параметров качества телекоммуникационных услуг, необходимо привести к единой шкале измерения и затем найти итоговое ранжирование объектов.

Значения показателей могут иметь различную важность для лица, принимающего решения (ЛПР) при выборе наилучшего объекта из множества объектов, поэтому введем aj как критерий важности j-го показателя. В случае количественного измерения aj показатель называется коэффициентом важности j-го показателя, а сумма всех коэффициентов показателей должна составлять 1.

Можно разделить существующие методы многокритериальной оптимизации на 2 группы. Первая группа включает задачи, в которых методы сводят многокритериальную задачу к однокрите-риальной путем сужения векторного показателя.

При этом многокритериальную задачу желательно свести к однокритериальной задаче, сформулировав единую цель при множестве показателей: K\ = max [k\(x)}, K2 = max {k2(x)}

Km = max{km(x)}, при x e X, где: X - множество допустимых значений переменных х; m - число целевых функций(показателей);

Kj - значение j-го показателя (целевой функции).

По существу, многокритериальная задача отличается от обычной задачи оптимизации только наличием нескольких целевых функций вместо одной.

Решение этой задачи не даст наилучших значений для каждого показателя, так как зачастую улучшение другого вызывает ухудшение первого. Таким образом, при решении многокритериальной задачи получаем некоторое компромиссное решение [1, 2].

Информация о сравнительной важности показателей задается совокупностью сообщений ЛПР

типа:

- показатель i важнее, чем показатель j (i F j);

- показатели i и j равноценны (i~j);

- набор показателей (ii,..., ii) важнее, чем набор (ji,..., jm);

- наборы показателей (ii,..., ii) и (ji,..., jm) равноценны по важности.

При поиске одной наиболее предпочтительной альтернативы необходимы дополнительные сведения о показателях или предпочтениях, которые смогли бы уменьшить множество Парето.

Альтернатива а, для которой не существует другой альтернативы ak, лучшей по всем показателям одновременно, т.е. каждая из них превосходит любую другую по какому-то из показателей, называется номинируемой, или оптимальной по Парето. Множество всех таких альтернатив называется множеством Парето [3].

Полученная информация используется для сужения множества Парето (множество неулучша-

емых или эффективных точек) следующим образом: пусть хе R" , х']получен из х перестановкой координат i и j. Тогда, если от ЛПР получено сообщение о равноценности показателей i и j (i ~ j), то варианты х и x'J считаются эквивалентными (х~ x'J). Если же ЛПР считает, что показатель i важнее показателя j (i F j), то из двух вариантов более предпочтительным считается тот, у которого больше i-я координата. Так, еслиХ' > Xj , то х предпочтительнее, чем х" (х FX1).

Построенное на основании информации о важности показателей бинарное отношение предпочтения позволяет существенно сузить множество Парето. Так, если имеется информация о том, что все n показателей равноценны, то при большом числе сравниваемых вариантов это позволяет сузить Паретовское множество приблизительно в n! раз [5].

Ниже дается детальное описание подхода к решению этой задачи.

Решение задачи с упорядоченными по важности однородными показателями [2]

При выборе наилучшего объекта (альтернативы) из множества всех объектов OBJ необходимо учитывать не один, а несколько показателей, ki, k2, ks,... ,^,образующих векторный показатель K = (ki, k2, ks,... ,km). Рассматриваем задачу в условиях определенности и считаем, что по каждому показателю

kj(u), j=1, m желательно иметь возможно большее значение.

Вообще всякая многокритериальная задача формально может быть сведена к задаче с однородными показателями, если каждый исходный показатель kj разделить на положительную величину той же размерности. Однородные показатели ki, k2, k3,... ,km, заданные на множестве объектов OBJ, называются равноценными, если для характеристики каждого объекта u достаточно перечислить в произвольном порядке m чисел ki(u), k2(u),...,km(u) не указывая при этом, какое из них является значением того или иного показателя.

Считаем, что объект u не менее предпочтителен, чем объект v (u F= V), если векторная оценка k(u) не хуже вектора k(v) (k(u) > k(v)), т. е. если выполняются неравенства

kj

Если среди неравенств (1) хотя бы одно строгое, то kj(u) > jv), а объект u предпочтительнее объекта v (u F v). Если же все нестрогие неравенства (1) выполняются как равенства, то векторы k(u) и k(v) равны, а объекты эквивалентны (u~ v).

Объект v называется эффективной альтернативой (или неподчиненной, недоминируемой, не худшей, оптимальной по Парето), если он не улучшаем по отношению F , т.е. если не существует объекта такого, что u F v.

Пример: Оценить 8 компаний (объектов) по 5 показателям: k - время выполнения начального подключения потребителя к сети (день), k2 - доля успешных вызовов потребителя (процент), k3 - ско-

рость установлений соединения (секунда), к4 - качество передачи речи (балл), и к5 - степень удовлетворенности (балл).

1. Ранжируем объекты по каждой строке, соответствующей одному из показателей. Каждый

_)-й показатель даст свой вектор предпочтений (кд, к^, ..., кр), - =1,т, где kji- порядковый номер объекта, занимающего в ранжировании по j-му показателю i-е место. В этом примере исходные данные представлены в табл. 2.

Таблица 2

Исходные показатели объектов

Альтернатив

к1 Кдень) к 2 (процент) ! к 3 (секунда)! к 4 (балл)! к 5 (балл)!

01 3 96 3 5 4

02 6 90 2 4 3

0з 2 98 1 4 5

04 4 95 4 5 3

05 3 80 5 3 4

06 5 98 4 4 5

07 5 96 3 3 4

08 3 93 2 5 4

2. Перейдем к единой порядковой шкале, определяя для каждого j-го столбца таблицы вектор предпочтений Л- = (ЛдЛд,... ЛуП), где Л-,г- равно количеству объектов, по которому >й элемент вектора к предпочтительнее остальных объектов этого вектора. Объединить полученные т ранжировок А =Ц,...,Л). В матрицу Л , где строки соответствуют экспертным оценкам каждого объекта

Х=(xl, Х2,...,Хи) и выражены рангами. Затем перейти матрицу Л к матрице X: если значения элемента Л - ,г- = 1 (в матрице Л ), то в векторе X полагаем Х^ = П—1, где п - количество объектов. Для примера: приоритет каждого показателя определяем следующим образом (табл. 3).

Таблица 3

Матрица Л - Приоритет каждого показателя по местам

Альтернативы (0|) Векторы предпочтений л

Л1 12 1 Л Л

01 2 2 2 1 2

02 5 4 2 2 3

0э 1 1 1 2 1

04 3 3 4 1 3

05 2 6 5 3 2

06 4 1 4 2 1

07 4 2 3 3 2

08 4 4 2 1 2

Матрица X - Приоритет каждого показателя по коэффициентам важности

Альтернативы (0|) Векторы предпочтений Х

х1 Х2 Х3 Х4 х5

01 6 6 6 7 6

02 3 4 6 6 5

0э 7 7 7 6 7

04 5 5 4 7 5

05 6 2 3 5 6

06 4 7 4 6 7

O7 4 6 5 5 6

O8 4 4 6 7 6

Следовательно, исходное множество объектов OBJ, сравниваемых по пяти показателям, имеет вид

O = (6, 6, 6, 7, 6); Оз = (6, 2, 3, 5, 6);

06 = (4, 7, 4, 6, 7);

07 = (4, 6, 5, 5, 6); Он = (4, 4, 6, 7, 6);

02 = (3, 4, 6, 6, 5);

03 = (7, 7, 7, 6, 7);

04 = (5, 5, 4, 7, 5);

Упорядочим оценки:

01 = (7, 6, 6, 6, 6);

02 = (6, 6, 5, 4, 3);

03 = (7, 7, 7, 7, 6);

04 = (7, 5, 5, 5, 4);

05 =

06 = (7, 7, 6, 4, 4);

07 = (6, 6, 5, 5, 4);

08 = (7, 6, 6, 4, 4);

Недоминируемым по Парето оказался объект О3, следовательно, результат выбора - это объект Оз.

На первое место в ранжировании OBJ помещается объект О3 и он исключается из дальнейших рассмотрений.

Получаем подмножество OBJi, включающее 7 объектов: Q, О4, О5, О6, О7 иО8 тогда аналогично сравниваем эти объекты. Недоминируемыми по Парето оказались векторы О1 и О6, следовательно, на второе место в ранжировании OBJ помещаются объекты о и о6, и они исключаются из дальнейших рассмотрений.

Аналогично сравниваем и получаем порядок предпочтения оставшихся объектов

f о2 f о

Таким образом, ранжировка OBJ имеет следующий вид:

ОВЗ =

Замечание

Достоинством этого метода является то, что сужение множества Парето происходит без ввода числовых аналогов важности показателей с использованием лишь качественной информации об их сравнительной важности. Однако метод может быть применен только в случае однородности показателей, т.е. показателей, значения которых принадлежат одному и тому же множеству.

Решение задачи лексикографическим методом [2, 4, 5]

Во многих случаях эффективным методом сведения многокритериальной задачи к однокрите-риальной является расстановка приоритетов показателей. В этом случае в многокритериальной задаче оптимизации на множестве допустимых решений задаются лексикографические отношения предпочтения: все показатели можно ранжировать (строго упорядочить) по важности так, что при последовательном рассмотрении показателей вначале используется первый показатель (наиболее важный с точки зрения ЛПР), затем второй и т.д. Для этого на первом этапе оптимизации определяют множество решений, которые оптимизируют цель наивысшего ранга. Множество допустимых значений, полученное на втором этапе, сужается при оптимизации второй по важности цели. И этот процесс продолжается до тех пор, пока не останется одно единственное решение.

Лексикографическое отношение предпочтения задается в виде

условий: 1. 2. 3.

объект и предпочтительнее объекта V (обозначается и У V), если выполняется одно из т к:(и) > к^);

к:(и) = к^), к2(и) > к2^);

к:(и) = к^), к2(и) = к2^), кз(и) > кз^);

L

j. ki(u) = ki(v), k2(u) = k2(v), ..., kj-i(u) = kj-i(v), kj(u) > kj(v); m. ki(u) = ki(v), k2(u) = k2(v), km-i(u) = km-i(v), km(u) > km(v);

- объекты u и v эквивалентны (u ~ v), если ki(u) = ki(v), k2(u) = k2(v), ..., km-i(u) = km-i(v), km(u) = km(v);

- объект u лексикографически не менее предпочтителен, чем объект v (обозначается

L

UF— V), если выполнено одно из приведенных выше (m +i) условий.

При сравнении любых двух объектов по рассматриваемому отношению предпочтения всегда выполняется одно из условий

L L L

U ~V, u Fv, u Pv

L

Объект u* е OBJ будет лексикографически оптимальным, если u F— v для любого допустимого объекта v. OBJ - множество всех объектов.

Для отыскания оптимальных объектов возможно решить такую последовательность задач:

1. найти fc(u *) — max £,(u) в области u е OBJ;

ue obj

2. найти k2

ue obj

m. найти к (u ) — max к (u) в области, задаваемой условиями u е OBJ; кj(u ) — кj(u);

m ue obj m

j — i, m — i

При решении лексикографической задачи оптимизации определяются оптимальные объекты. Так как все такие объекты эквивалентны, можно ограничиться отысканием не всего множества OBJ*, а лишь одной оптимальной объекты. Каждый последующий частный показатель сужает множество объектов, получаемых с помощью всех предыдущих частных показателей:

OBJmC OBJm/с...с OBJ2C OBJiC OBJ; OBJ* = OBJm* Пример. Задача об оценке степени удовлетворенности потребителей, использующих телекоммуникационные услуги пяти компании в 20i4 году. Степень удовлетворенности оценивается по 4 показателям:

ki - степень удовлетворённости потребителей качеством обслуживания. к2 - степень удовлетворённости потребителей качеством информационного и материального обеспечения.

кз - степень удовлетворённости потребителей техническими параметрами качества услуги. к4 - степень удовлетворённости потребителей качеством технической поддержки телекоммуникационной услуги.

Каждый показатель оценивается по шкале от 5 до i. Исходные данные задачи представлены в табл. 4.

Таблица 4

Исходные данные для оценки

Альтернативы

ki k2 кз к4

O1 4 5 4 3

O2 5 3 4 4

O3 5 4 5 5

O4 3 3 4 4

O5 5 3 3 5

Коэффициент важности 0,1 0,2 0,4 0,3

В исходных данных показатели имеют общую порядковую шкалу измерения с градацией на «очень высокие», «высокие», «средние», «низкие» и «очень низкие» значения, которые для удобства оперирования заменены цифрами 5, 4, 3, 2 и 1 соответственно.

Приведем исходные данные к такому виду, в котором все показатели оценки были бы равно-важны. Для этого используется процедура клонирования - удлинения векторной оценки. Для ее осуществления веса показателей необходимо умножить на такое натуральное число, которое бы преоб-

разовало их в целые числа. В данном примере таким числом является 10. Следовательно, W = {0,1; 0,3; 0,4; 0,2} преобразуется в W* = {1; 3; 4; 2}

После этого значения по показателю вписываются в удлиненный вектор оценки соответствующее числу его важности раз. В рассматриваемом случае 01 (4, 5, 4, 3) преобразуется в О = (4, 5, 5,

5, 4, 4, 4, 4, 3, 3);

02 = (5, 3, 4, 4) преобразуется в О = (5, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4);

03 = (5, 4, 5, 5) преобразуется в О' = (5, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5);

04 = (3, 3, 4, 4) преобразуется в О = (3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4);

О 5 = (5, 3, 3, 5) преобразуется в О = (5, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 5, 5); Упорядочим оценки:

= (5, 5, 5, 4, 4, 4, 4, 4, 3, 3); = (4, 4, 4, 4, 4, 4, 3, 3, 3, 3);

* *

02 = (5, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 3, 3, 3); ~52 = (5, 5, 5, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3);

= (5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 4, 4, 4); Полученные результаты позволяют на основе лексикографического сопоставления удлиненных векторов оценки получить следующие отношения: о3 ^ 0 >- о2~ о5 ^ о4. Заключение

В статье описаны подходы к решению задачи оценки и ранжировки объектов в телекоммуникационных компаниях по многокритериальным выборам, что позволяет сравнить и оценить качество предоставления услуг между компаниями в целом, и телекоммуникационными компаниями в частности. Кроме того, такой подход может быть применен, например, для сравнения различных хозяйствующих субъектов, предоставляющих телекоммуникационные услуги: сотовых компаний и их филиалов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Подиновский В.В. Многокритериальные задачи с упорядоченными по важности критериями / В.В. Подиновский // Автоматика и телемеханика, 1976, № 11. С. 118-127/

2. Подиновский В.В. Оптимизация по последовательно применяемым критериям / В.В. Подиновский, В.М. Гаврилов. М.: Сов. радио, 1975. 192 с.

3. Ларичев О.И. Теория и методы принятия решений, а также хроника событий в Волшебных Странах: учеб. / О.И. Ларичев. М.: Логос, 2002.392 с.

4. Саранча М.А. Методика лексикографической оценки туристско-рекреационного потенциала территории с использованием географических информационных систем / М.А Саранча // Вестник Удмуртского университета. Серия: биология. науки о земле. 2011. Вып. 3. С. 114-122.

5. Березовский Б.А. Многокритериальная оптимизация. Математические аспекты / Б. А. Березовский. М.: Наука, 1989. 128 с.

6. Квятковская И.Ю. Методика мониторинга и оценки качества телекоммуникационных услуг / И.Ю. Квятковская, Фам Куанг Хиеп // Прикаспийский журнал: управление и высокие технологии. 2013. № 4 (24). С. 126-135.

7. Квятковская И. Ю. Система показателей оценки качества телекоммуникационных услуг и метод их оценки / И.Ю. Квятковская, Фам Куанг Хиеп // Вестн. Астрахан. гос. техн. ун-та. Сер. Управление, вычислительная техника и информатика. 2013. № 2. С. 98-103.

8. Квятковская И.Ю. Линейное расслоение классов альтернатив с использованием логической формы функции выбора / И.Ю. Квятковская // Вестник Астраханского государственного технического университета. 2007. № 1. С. 116-119.

9. Полумордвинова А. О. Информационная система поиска оптимального управленческого решения / А.О. Полумордвинова, И.Ю. Квятковская // Вестник Астраханского государственного технического университета. Серия: Морская техника и технология. 2009. № 2. С. 61-64.

Квятковская Ирина Юрьевна - Irina Yu. Kvyatkovskaya-

доктор технических наук, профессор, директор института информационных технологий и коммуникаций Астраханского государственного технического университета

Фам Куанг Хиеп -

аспирант кафедры «Прикладная информатика в экономике» Астраханского государственного технического университета

Dr. Sc., Professor

Director: Institute of Information Technologies

and Communications,

Astrakhan State Technical University

Pham Quang Hiep -

Postgraduate

Department of Applied Informatics in Economics, Astrakhan State Technical University

Статья поступила в редакцию 15.03.14, принята к опубликованию 15.05.14