Об устойчивости гироскопических систем

2013 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА Сер. 10 Вып. 2

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

УДК 531.36

А. Ю. Александров, А. А. Косое

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ГИРОСКОПИЧЕСКИХ СИСТЕМ*)

1. Введение. В качестве математических моделей гироскопических приборов и устройств обычно используются системы дифференциальных уравнений второго порядка высокой размерности, что затрудняет проведение анализа устойчивости и других динамических свойств. Эффективный способ исследования таких моделей заключается в декомпозиции полной системы на прецессионную и нутационную подсистемы первого порядка [1, 2]. Обоснование корректности метода декомпозиции было дано в [1, 2] первым методом Ляпунова на основе разложения корней характеристического уравнения в ряды по отрицательным степеням большого параметра. Установлено, что при достаточно большом параметре асимптотическая устойчивость рассматриваемых изолированно нутационной и прецессионной подсистем влечет такое же свойство и для полной системы, однако в указанных работах не были предложены конструктивные способы нахождения оценок допустимых величин параметра. Так как в прикладных задачах параметр принимает не бесконечно большие, а конечные положительные значения, то для приложений представляет интерес определение его нижней оценки, гарантирующей обоснованность вывода об устойчивости, сделанного на основе декомпозиции.

Необходимо отметить, что изучаемые в [1, 2] уравнения гироскопических систем с большим параметром различны и друг к другу не сводятся, поэтому оценки допустимых значений параметра для них требуется находить независимо. Для уравнений, рассмотренных в [1], оценка была установлена в [3] с помощью метода векторных функций Ляпунова. Цель данной статьи состоит в получении нижней оценки параметра, гарантирующей обоснованность применения метода декомпозиции для уравнений гироскопических систем, исследовавшихся в [2].

В ряде случаев (см., например, [4-6] и цитируемую там литературу) при изучении механических систем, содержащих большой параметр, необходимо учитывать эволюцию данного параметра, в уравнениях движения его приходится считать нестационарным, т. е. функцией времени. Это приводит к возникновению новых динамических

Александров Александр Юрьевич — доктор физико-математических наук, профессор, Санкт-Петербургский государственный университет; e-mail: alex43102006@yandex.ru.

Косое Александр Аркадьевич — кандидат физико-математических наук, ведущий научный сотрудник Института динамики систем и теории управления Сибирского отделения РАН; e-mail: aakosov@yandex.ru.

*) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты № 13-01-00347-а и 13-01-00376-а) и частично поддержана Санкт-Петербургским государственным университетом (НИР № 9.38.674.2013).

© А. Ю. Александров, А. А. Косов, 2013

эффектов и трудностей обоснования по сравнению со случаем постоянного параметра, которые требуют специального исследования.

В настоящей статье рассматривается наиболее радикальный тип эволюции гироскопических сил, соответствующий неограниченно растущему со временем коэффициенту при указанных силах. Определяются условия, при выполнении которых эволюция ведущего параметра не нарушает асимптотической устойчивости положения равновесия. Следует отметить, что для гироскопических систем с линейными диссипативными силами и единичной матрицей кинетической энергии такие условия были установлены в [7] на основе метода декомпозиции. В данной работе используется другой подход. Предлагаются новые конструкции функций Ляпунова, позволяющие, с одной стороны, гарантировать асимптотическую устойчивость положений равновесия при менее жестких ограничениях на нестационарный параметр, по сравнению с найденными в [7], а с другой - получить условия устойчивости для уравнений Лагранжа как в случае линейных диссипативных сил, так и существенно нелинейных.

2. Обоснование декомпозиции с помощью вектор-функции Ляпунова. Движение широкого класса гироскопических систем описывается уравнениями Лагранжа второго рода [2]

й дТ & дд

дТ дд

= - (В + НС) д - (С + Р) д + Ц (I, д, д) .

Здесь д и д - п-мерные векторы обобщенных координат и обобщенных скоростей соответственно, кинетическая энергия имеет вид Т =1/2 дтА(д)д, где А(д) - симметрическая и непрерывно дифференцируемая при д € М" матрица, а правые части представляют собой сумму сил, действующих на систему. Линейная часть вектора обобщенных сил включает диссипативные силы -В д с постоянной симметрической положительно-определенной матрицей В, гироскопические силы -НСд с постоянной кососимметриче-ской матрицей С и большим параметром Н > 0, потенциальные силы -Сд с постоянной симметрической матрицей С и силы радиальной коррекции -Рд с постоянной косо-симметрической матрицей Р. Нелинейные обобщенные силы Ц(Ь,д,д) считаются удовлетворяющими оценкам ||Ц(£, д, д)|| ^ а (||д|| + ||д||)1+ш, здесь а и ш - положительные постоянные, а под || • || будем понимать евклидову норму вектора. Предположим, что для кинетической энергии при всех д, д € М" справедливы оценки

Ь иди2 < т(д, д) < к2

дТ

дд

< кз

дТ

дд

< к4

в которых к\,к2,кз,к4 - положительные постоянные.

У системы (1) существует очевидное положение равновесия д = д = 0, которое рассматривается в качестве невозмущенного движения. Основной целью исследования является получение условий асимптотической устойчивости этого движения. Линеаризованные вдоль невозмущенного движения уравнения имеют вид [2]

Аод +(В + НС) д +(С + Р) д = 0,

где Ао = А(д)\^о - постоянная симметрическая положительно-определенная матрица.

Будем считать, что det С = 0, и рассмотрим линейную изолированную подсистему

у = -С-1

2

2

Теорема 1. Если матрица В диссипативных сил положительно определена и нулевое решение изолированной подсистемы (4) асимптотически устойчиво, то существует число Но > 0 такое, что при всех Н > Но положение равновесия д = д = 0 исходной системы (1) также асимптотически устойчиво.

Прежде чем переходить к доказательству теоремы, поясним некоторые моменты. Условие положительной определенности матрицы диссипативных сил означает асимптотическую устойчивость нутационной подсистемы

¿= -

Тем самым теорема 1 сводит анализ устойчивости исходной системы (1) к аналогичной задаче для двух изолированных систем (4) и (5), размерность каждой из которых вдвое меньше.

Справедливость утверждения теоремы 1 вытекает из результатов работы Д. Р. Мер-кина [2, § 5.5], однако в ней не был предложен конструктивный способ нахождения оценок критического значения параметра Но. Потому приведем доказательство теоремы 1, которое позволяет получить такого рода оценку.

Доказательство. Как известно [2], линейной заменой переменных в системе (3) можно одновременно привести матрицу при второй производной к единичной, а матрицу диссипативных сил - к диагональному виду. Поэтому, не ограничивая общности, будем считать, что такое приведение уже выполнено и системы (3) и (5) можно соответственно записать так:

?+

г = -

Здесь Во = diag{Ь1,...,Ьп} - диагональная матрица с положительными элементами на главной диагонали, а Е = С + Р - матрица позиционных сил.

Введем новые переменные г = д, у = д + (Во + НО) 1 2 и представим систему (6) в эквивалентном виде

у = -гС-^у - — М(!г)Ру + — (С-1 + М(Н)) Е (С-1 + М(Н)) г,

\с~1ру~\м{н)ру+Ь

Ру + ^ {С-1 + М{Ь)) - (Во + 1гС)^ г,

где матрица М (Н) задается формулой М(Ъ) = —}С-1В0С-1 (Е + тВоС ) и удовлетворяет при всех Н > ||ВоО-:Ч| оценке

\\М

а

НЬ

Из экспоненциальной устойчивости систем (4) и (7) следует [8] существование функций Ляпунова У1(у), V (г) таких, что для любых у, у, г, г € К" выполнены неравенства

«11ЫК УЛУ) <«2|Ы|, ^Ы-^ЫКазНу-уН, ^

< -аАУ1

в1 \\г\\ < У2(г) < в2 \\г\\ , - < вз \\г - Щ\ ,

Л

< -ВДг),

где ау, в^, ] = 1, 2, 3, 4, - некоторые положительные числа. Здесь в качестве производной в силу системы используется правосторонняя производная Дини.

Заметим, что для нутационной системы (7) можно взять в качестве функции Ляпунова У2(г) = 1И1, при этом в1 = в2 = вз = 1, в4 = т1Пг=11...1„ Ъг.

Для экспоненциально устойчивой прецессионной системы (4) решаем матричное уравнение Ляпунова и строим квадратичную функцию Ляпунова VI(у), удовлетворяющую оценкам Красовского [9]. Переходя в соответствии с [10, с. 160-162] к квадратному корню (у) = \/щ(г/), будем иметь для (4) функцию Ляпунова с условиями (9). Таким образом, подчиненные (9) и (10) функции Ляпунова строятся конструктивно, по матрицам размером п х п, без необходимости работать с матрицами размером 2п х 2п.

С учетом (9) и (10) для двухкомпонентной вектор-функции Ляпунова (У1 (у), У2(г))Т получаем следующую оценку производной в силу полной системы (8):

(-а, + ^-/(ч) + р (9 + 7(Ч)2 /ОД1ЗД,

"

к

в которой использованы обозначения / = Ц^11| и д = ЦС^Ц.

Для асимптотической устойчивости соответствующей (11) системы сравнения [11] необходимо, чтобы параметр Н удовлетворял неравенству

к>Ьл = Ъ+^1,

«1«4

Если неравенство (12) выполнено, то система сравнения будет асимптотически устойчива при у(Н) > 0, где

2 (г. , /д , аза/ : аз/2д2^ , Ъ/д 1 азЪ/2д2 аза/2д а/

< (8) 1

ИГ Й\

т < (8) £

Л а1

ф) = к1 - [ь + ^ + + и + +

в4 а1а4 а1 а4р4 / в4 а1а4в4 а1а4в4 в4

Обозначим через Н2 максимальный корень квадратного трехчлена у(Н), а если у(Н) не имеет вещественных корней, то положим Н2 = 0. При выполнении неравенства Н > Но = тах {Н1, Н2} соответствующая (11) система сравнения асимптотически устойчива. Значит [11], положение равновесия ц = д = 0 исходной системы (1) также асимптотически устойчиво. Теорема доказана.

Замечание 1. Утверждение теоремы 1 и оценка Но сохраняют силу и в том случае, когда в системе (1) элементы матриц С и Р являются функциями времени (С = С (г), Р = Р(г)), непрерывными и ограниченными при г ^ 0, а нулевое решение системы (4) экспоненциально устойчиво. Функция Ляпунова для прецессионной системы при этом может явно зависеть от времени, но оценки (9) сохраняются [9].

3. Обоснование декомпозиции с помощью скалярной функции Ляпунова. Рассмотрим вновь систему (1), считая теперь матрицу диссипативных сил В переменной (В = В (г)). Введем обозначения: Ът[п = Ы ^о ^шт(В(г)), Ътах = эир^о АтаХ(В(г)).

Теорема 2. Если матрица В (г) диссипативных сил положительно определена и ограничена, т. е. Ът;п > 0, Ътах < и нулевое решение изолированной подси-

стемы (4) асимптотически устойчиво, то существует число Н* > 0 такое, что при всех Н > Н* положение равновесия ц = ц = 0 исходной системы (1) также асимптотически устойчиво.

Доказательство. Из асимптотической устойчивости прецессионной системы (4) следует, что для нее существует квадратичная функция Ляпунова

VI (у) = 1/2 утNу с симметрической положительно-определенной постоянной матрицей N, удовлетворяющая при всех у € К" оценкам Красовского [9]:

< — 4 \\у\\2 ,

2 2 Зю\

где ах, а2, аз, а4 - положительные постоянные.

Будем строить функцию Ляпунова для системы (1) в виде

"<••• = Г«>« + + & + <">

Здесь матрица М выбрана следующим образом: М = (N — Ет)С-1, а Е = С + Р. Пусть т = \\Му. Для функции (14) справедлива оценка

У(я,я)^к1\\ч\\1-1ткзМ Ы+а1|Ы|2,

поэтому она будет положительно определена при условии к > /13 = тк%/(21/^101). Вычисляя производную функции (14) в силу системы (1), с учетом (13) получаем

¿V

= -дТВд + - 1дтМВд - ^дт (Ж?^ + (С"1 ЛГ) д +

+ - дтС} + lqTMQ < -Ьт;п \\g\f + ±тк3 \\g\f + ±тЬтах ЦдЦ \\д\\ -

Функция ¿У/&|(х) будет отрицательно определена в достаточно малой окрестности положения равновесия д = д = 0 при выполнении неравенства

ьшт 4а4ьшт

Пусть к* = тах {^3,^4}. Тогда при выполнении неравенства к > к* функция (14) будет удовлетворять оценкам Красовского [9] в достаточно малой окрестности положения равновесия д = д = 0, потому равновесие асимптотически устойчиво. Теорема доказана.

Замечание 2. Утверждение теоремы 2 ввиду переменности матрицы диссипа-тивных сил не выводится из результатов Д. Р. Меркина [2, § 5.5], полученных на основе анализа свойств корней характеристического уравнения. Кроме того, полезная особенность теоремы 2 заключается в том, что для нахождения оценок допустимых значений параметра к в ней используются лишь фигурирующие в (2) числа к\, к2, кз, к4, а сама матрица кинетической энергии может при этом оставаться неизвестной. Такого рода ситуации встречаются в приложениях и представляют интерес для современной теории управления механическими системами [12].

Замечание 3. Использованная при доказательстве теоремы 2 конструкция функции Ляпунова представляет собой обобщение конструкций, применявшихся в работах [13-15]. Следует отметить, что теорема 2 из [13], а также результаты, установленные

в [14, п. 1] и [15, п. 1], являются частными случаями теоремы 2, получающимися из нее при специальном выборе матрицы N.

4. Устойчивость гироскопических систем с нестационарным ведущим параметром. Предположим теперь, что в системе (1) отсутствуют нелинейные обобщенные силы (^(г, ц, ц) = 0), а большой параметр Н является функцией времени (Н = Н(г)), заданной, непрерывно дифференцируемой и положительной при г ^ 0. Таким образом, получаем уравнения

Г дТ дТ

= + Щ)с) 4"

Здесь кинетическая энергия Т(ц, ц) и матрицы В, О, С, Р обладают свойствами, указанными в начале п. 2.

Рассмотрим наиболее радикальный тип эволюции гироскопических сил, когда для нестационарного параметра Н(г) справедливо предельное соотношение

Н

Условия асимптотической устойчивости положения равновесия ц = ц = 0 системы (15) с неограниченно растущим со временем параметром исследовались в работе [7] с помощью метода декомпозиции. Было показано, что если матрица В положительно определена, а прецессионная система (4) асимптотически устойчива, то для асимптотической устойчивости положения равновесия ц = ц = 0 системы (15) достаточно, чтобы функция Н(г) обладала следующими свойствами:

а) Н(г)/Н(г) ^ 0 при г ^ +<;

б) для любого в > 0 имеет место предельное соотношение

кШ ехр ( —¡3 [ —— I —> 0 при £ —> +оо.

\ о

Покажем, что применение предложенной при доказательстве теоремы 2 конструкции функции Ляпунова позволяет ослабить указанные ограничения на нестационарный параметр.

Теорема 3. Пусть матрица В положительно определена и нулевое решение изолированной подсистемы (4) асимптотически устойчиво. Если выполнено условие

Н

то положение равновесия ц = ц = 0 системы (15) устойчиво. А если, наряду с (17), выполнено условие

г

/ ——- —> +оо при Ь —> +оо,

! Н

о

то данное положение равновесия асимптотически устойчиво.

Доказательство. Как и при доказательстве теоремы 2, сначала находим для прецессионной системы квадратичную функцию Ляпунова ^(у) = 1/2 уТNy с симметрической положительно-определенной постоянной матрицей N, удовлетворяющую оценкам (13), а затем для системы (15) выбираем функцию Ляпунова в виде (14).

При всех г ^ 0, ц, ц € К" справедливы неравенства

+

1 ; Нг)

(15)-

где аI > 0, г = 1,..., 7.

Если выполнено условие (17), то существует число г > 0 такое, что в области г ^ ¿, ц, ц € К" имеют место соотношения

VI <--

+

2),

а = со^ > 0.

Следовательно, положение равновесия ц = ц = 0 системы (15) устойчиво.

Предположим теперь, что для функции Н(г) выполнено и условие (18). Рассмотрим решение ц(г) уравнений (15) с начальными данными го ^ 0, цо,цо € К". Пусть Ь = шах{го; ¿}. Тогда при г ^ Ь

У(г,д(1),д(г)) < У(Ь,д(Ь),д(Ь))ыр (I

Гт

щ

Значит,

Ш1|2 + Ш1|2 < -У(Ь,д(Ь),д(Ь))ыр (I

а1 2а2

гт

щ

^ 0 при г ^ +<.

Получаем, что положение равновесия асимптотически устойчиво.

Замечание 4. Из выполнения условий а) и б) следует, что условия (16) и (17) также выполнены. На примере функции Н(г) = г нетрудно убедиться, что обратное, вообще говоря, неверно. Таким образом, теорема 3 задает менее жесткие ограничения на нестационарный параметр по сравнению с ограничениями, полученными в [7].

Рассмотрим теперь систему с нелинейными диссипативными силами. Пусть уравнения движения представимы в виде

д, дТ гг дц

дТ дц

дЕ

дц

- Н(г)оц - (С + Р)ц.

Здесь кинетическая энергия Т(ц, ц) и матрицы О, С, Р обладают свойствами, указанными в начале п. 2; Н(г) - непрерывно дифференцируемая и положительная при г ^ 0 скалярная функция, для которой справедливо предельное соотношение (16); Е(ц) -непрерывно дифференцируемая при ц € К" положительно-определенная однородная порядка V +1 функция, V > 1. Таким образом, на исследуемую систему действуют существенно нелинейные диссипативные силы. Уравнения (19) также имеют положение равновесия ц = ц = 0. Определим условия на нестационарный параметр Н(г), при выполнении которых можно гарантировать устойчивость этого положения равновесия.

2

Теорема 4. Пусть матрица В положительно определена и нулевое решение изолированной подсистемы (4) асимптотически устойчиво. Если

к

то положение равновесия д = д = 0 системы (19) устойчиво. А если, наряду с (20), выполнено условие (18), то данное положение равновесия асимптотически устойчиво.

Доказательство. Снова в качестве функции Ляпунова выбираем функцию (14). Произвольным образом задаем число Н > 0. В области г > 0, \\д\\ < Н, \\д\\ < Н справедливы оценки

*1(1В>< - -МГ1 + + - (щ + Щ <

где аг > о, I = 1,..., 7; ^(г) = ь2(г)/ь3(г) + \/н(г).

Применяя неравенство Иенсена [16], находим, что числа Ъ\ > 0 и 62 > 0 можно выбрать так, чтобы получить соотношения

< -щ (^МГ + Ыя^-ьМгъ&ю).

Пусть функция удовлетворяет условию (20). Тогда (£) —> 0 при Ь —> +оо.

Покажем, что для любого е € (0, Н) существуют числа 5 > 0 и Ь > 0 такие, что если для начальных данных решения д(г) системы (19) выполнены неравенства

го > Ь, \\д

то

\\д

при всех г ^ ¿о.

Выберем сначала число Ь\ > 0 так, чтобы в области г ^ Ь\, д, д € М" имели место оценки

Пусть

Находим число Ь2 > 0 такое, что (¿) < /3/2 при £ ^ Ь2.

Если Ь = шах{Ьх, Ь2}, то для решения д(г) с начальными данными, удовлетворяющими условиям (21), при всех г ^ ¿о справедливо неравенство (22).

Действительно, иначе нашлись бы два момента времени г\ и г2 такие, что ¿о <г\ <

г2, \\д(г1)\2 + \\д(г1)\\2 = 52, \|д(г2)П2 + ||д(г2)И2 = е2 и 52 < \\д(г)\\2 + \\д(г)\\2 < е2 при г € (г1 ,г2). Но тогда V(г, д(г), д(г)) < 0 для всех г € [г!, г2].

Интегрируя данное неравенство, получаем

< V(t2, q(t2), q(t2)) < V(tb q(hl q(tl)) < 2a2<52 = fe2.

Это противоречие показывает, что таких моментов времени ti и t2 не существует. Значит, неравенство (22) выполняется.

Далее в соответствии с теоремой об интегральной непрерывности по найденным числам 5 и L выберем такое S > 0, что если to € [0, L], ||qo||2 + Noll2 < <52, то

\\q(t, qo, ¿10, to)||2 + Uq(t, qo, qo, to)||2 < 52

при t € [0, L]. Но тогда согласно неравенству (22) при всех t ^ to

Uq(t, qo, qo,to)||2 + Hq(t, qo, qo,to)||2 < е2.

Тем самым установлено свойство равномерной устойчивости положения равновесия.

Пусть теперь, наряду с (20), выполняется соотношение (18). Докажем асимптотическую устойчивость положения равновесия.

Возьмем произвольное число е € (0,H), и по нему в соответствии с определением равномерной устойчивости выберем 51 = 51(е) > 0. Тогда при to > 0, ||qo||2 + ||qo||2 < 52 имеем

для всех t ^ to.

Предположим, что равновесие не является асимптотически устойчивым. Значит [17], оно не будет даже слабо притягивающим. Поэтому найдется решение q(t) системы (19), момент времени to > 0 и число r > 0 такие, что ||q(to)||2 + ||q(io)||2 < 52 и r2 < ||q(t)||2 + ||q(t)||2 < е2 при всех t > io. Пусть

ß= n™iV-ii2<- 2 (ylMI2 + Ь2Н|Г+1) •

при

Тогда при t € [L, +ж) получаем

Выберем L > 0 так, чтобы при t ^ L выполнялось неравенство bih^ip»-1 (t) < /3/2.

V(t,q(t),q(t))<-, ß

2h(t)' Следовательно,

t

V(t, q(t), №) < V(L, q(L), q(L)) - J ^dr.

L

Левая часть данного неравенства ограничена при t ^ L, а правая стремится к —ж при t ^ +ж.

Полученное противоречие показывает, что предположение об отсутствии асимптотической устойчивости положения равновесия неверно. Теорема доказана.

Замечание 5. Таким образом, предложенный при доказательстве теоремы 2 способ построения функций Ляпунова позволяет установить условия устойчивости положения равновесия и в случае, когда действующие на систему диссипативные силы

существенно нелинейны. Отметим, с одной стороны, что использовавшийся в [7] подход в данном случае неприменим, с другой - с помощью разработанного в [7] подхода можно определить условия устойчивости для систем с существенно нелинейными позиционными силами. Изложенный в п. 4 способ анализа устойчивости на такие системы распространить не удается.

5. Примеры. Пример 1. Гировертикаль с радиальной коррекцией описывается уравнениями [2]

д+

ъ_

А А А

_Л

А Ь_

А

д+

О -и А

К о

А и

д

0.

Здесь параметры А, Ъ, к, Н положительны и д € М2.

Необходимое и достаточное условие асимптотической устойчивости для системы (23) известно [2] и задается неравенством Н > кА/Ъ. Применение теоремы 1 приводит к неравенству Н > Но = 2Ъ + 2кА/Ъ, а теоремы 2 - к неравенству

и и 1 /12 , Л2 , Ъ(к2+А2) /г > /г* = тах < — ук^+А2] ---+ \кА '

Нетрудно видеть, что каждая из найденных оценок содержит некоторое подмножество значений параметров, не охватываемое другой оценкой. Таким образом, этот пример показывает, что оценки, получаемые с помощью теорем 1 и 2, могут быть взаимодополняющими.

Пример 2. Силовой гироскопический горизонт описывается уравнениями [18]

/ а1 0 0 0 \ / Ъ1 0 0 2Н \

0 а2 0 0 9 + 0 Ъ2 -2Н 0

0 0 а3 0 0 2Н Ъз 0

V 0 0 0 а4 / \ -2Н 0 0 Ъ4

д +

+

( ¡1 0 0

\ -¡14

0

¡2 ¡23 0

0

¡23 ¡3 0

¡14 0 0

¡4

Физический смысл параметров и фазовых координат подробно разъяснен в [18], где даны ссылки на предшествующие работы. Все входящие в систему (24) параметры принимают положительные значения, условия теорем 1 и 2 для данного примера выполняются. Поэтому для кинетического момента гироскопов Н можно указать такую зависящую от конкретных величин остальных параметров нижнюю границу Н > 0, что при Н > Н система (24) будет асимптотически устойчива. Иначе говоря, стабилизация положения равновесия силового гироскопического горизонта при любых допустимых значениях параметров может быть обеспечена за счет раскрутки роторов гироскопов до достаточно больших угловых скоростей. Отметим, что такой вывод не может быть получен на основе результатов работы [18], так как приведенные в ней условия устойчивости содержат ограничения на Н сверху.

6. Заключение. В тех случаях, когда требуется определять нижнюю границу для значений параметра Н, Д. Р. Меркин рекомендует [2, с. 193] пользоваться полным характеристическим уравнением. Однако при этом придется работать с матрицами размером 2п х 2п. В случае высокой размерности такой подход может оказаться не реализуемым

д

на практике. Применение теорем 1 и 2 требует строить решение матричного уравнения Ляпунова для матриц размером п х п. Таким образом, несмотря на то, что получаемые с помощью второго метода Ляпунова оценки параметра являются лишь достаточными, предложенные в данной статье подходы могут быть полезны при анализе устойчивости гироскопических систем высокой размерности. При этом теоремы 1 и 2 являются взаимодополняющими в том плане, что первая с учетом замечания 1 позволяет работать с нестационарной матрицей при позиционных силах, а вторая дает такую же возможность относительно матрицы при диссипативных силах.

Результаты, установленные в теоремах 3 и 4, могут применяться при анализе устойчивости гироскопических систем в существенно нестационарных режимах, в частности на этапе раскрутки роторов гироскопов.

Литература

1. Зубов В. И. Аналитическая динамика гироскопических систем. Л.: Судостроение, 1970. 320 с.

2. Меркин Д. Р. Гироскопические системы. М.: Наука, 1974. 344 с.

3. Косое А. А. Исследование устойчивости сингулярных систем методом вектор-функций Ляпунова // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2005. Вып. 4. C. 123-129.

4. Козлов В. В. Об устойчивости положений равновесия в нестационарном силовом поле // Прикл. математика и механика. 1991. Т. 55, вып. 1. С. 12-19.

5. Хатвани Л. О действии демпфирования на свойства устойчивости равновесий неавтономных систем // Прикл. математика и механика. 2001. Т. 65, вып. 4. C. 725-732.

6. Воротников В. И., Румянцев В. В. Устойчивость и управление по части координат фазового вектора динамических систем: теория, методы и приложения. М.: Научный мир, 2001. 320 с.

7. Александров А. Ю., Косов А. А. Об асимптотической устойчивости положений равновесия механических систем с нестационарным ведущим параметром // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2008. № 3. C. 8-22.

8. Озиранер А. С., Румянцев В. В. Метод функций Ляпунова в задаче об устойчивости движения относительно части переменных // Прикл. математика и механика. 1972. Т. 36, вып. 2. C. 364-384.

9. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959. 212 с.

10. Воронов А. А. Введение в динамику сложных управляемых систем. М.: Наука, 1985. 352 с.

11. Матросов В. М. Метод векторных функций Ляпунова: анализ динамических свойств нелинейных систем. М.: Физматлит, 2001. 384 с.

12. Черноусько Ф. Л., Ананьевский И. М., Решмин С. А. Методы управления нелинейными механическими системами. М.: Физматлит, 2006. 328 с.

13. Агафонов С. А. Об устойчивости движения неконсервативных механических систем // Прикл. математика и механика. 1992. Т. 56, вып. 2. С. 212-217.

14. Агафонов С. А. Устойчивость неконсервативных систем и оценка области притяжения // Прикл. математика и механика. 2003. Т. 67, вып. 2. С. 239-243.

15. Агафонов С. А. Об устойчивости и стабилизации движения неконсервативных механических систем // Прикл. математика и механика. 2010. Т. 74, вып. 4. С. 560-566.

16. Зорич В. А. Математический анализ: в 2 ч. М.: Наука, 1981. Ч. 1. 544 с.

17. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости / пер. с англ.; под ред. В. В. Румянцева. М.: Мир, 1980. 300 с.

18. Агафонов С. А. Об асимптотической устойчивости неконсервативных систем // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1988. № 3. С. 3-8.

Статья рекомендована к печати проф. А. П. Жабко. Статья поступила в редакцию 20 декабря 2012 г.