Структура особенностей на мировых листах релятивистских струн

Структура особенностей на мировых листах релятивистских струн

Никитина.Л.Д. , Никитин.И.Н.

Фраунгоферовское Общество, Санкт Августин, Германия

С.В.Клименко

Институт Физики Высоких Энергий, Протвино, Россия

Аннотация

Мы показываем, что релятивистские струны открытого и замкнутого типов в пространстве-времени Минковского размерностей 3 и 4 имеют топологически устойчивые особые точки. В данной работе описывается структура особенностей, выводятся их нормальные формы, и вводится локальная характеристика особенности (топологический заряд), обладающая глобальным законом сохранения. Также рассмотрены два других типа решений, которые соответствуют разрывам струн и обладают особенностями при любом значении размерности. Ключевые слова: классическая теория струн, особенности дифференцируемых отображений, научная визуализация.

1 Введение

Классическая теория струн рассматривает времени-подобные поверхности экстремальной площади в ¿-мерном пространстве-времени Минковского, называемые мировыми листами струн. Эти поверхности заметаются при движении сквозь пространство-время одномерного объекта, называемого релятивистской струной. Теория струн используется в физике высоких энергий для моделирования внутренней структуры элементарных частиц. Для этой цели мировые листы, имеющие микроскопические пространственные размеры и бесконечно протяженные во временном направлении, рассматриваются как структурированные мировые линии элементарных частиц. В результате этого, внутренние характеристики частиц, такие как масса и спин, выражаются в терминах струнной динамики и могут быть выведены из малого набора фундаментальных постоянных. При построении теории струн возник ряд серьезных проблем, связанных с квантово-механическим представлением бесконечномерных групп симметрий, которые до сегодняшнего дня разрешены только в пространстве-времени высокой размерности (й = 26) и в некоторых топологически нетривиальных пространственно-временных многообразиях [1, 2]. Также, в работах [3-5], были найдены некоторые подмножества фазового пространства теории струн, допускающие свободное от аномалий квантование при произвольном значении размерности пространства-времени. Успешное построение квантовой теории струн часто рассматривается как первый

шаг, необходимый для квантования гравитации [1]. С другой стороны, в нескольких работах [6-12] авторы отмечали сингулярные свойства классической теории струн в плоском пространстве-времени Минковского малой размерности (й = 3, 4). В данной работе мы рассмотрим эту тему более детально.

Пусть мировой лист представлен параметрически как жм(<71,<72). Свойство времениподобности означает, что мировой лист допускает параметризацию с (¿>1 ж)2 > 0, (д2х)2 < 0, т.е. один касательный вектор к этой поверхности должен быть времениподоб-ным или светоподобным, в то время как другой должен быть пространственноподобным или светоподоб-ным. Площадь мирового листа в этом случае может быть записана как

A = J J daida2\/ (dix d2x)2 — (dix)2 (d2x)2 = экстремум.

Теорема 1

Площадь мирового листа минимальна по отношению к локальным вариациям, протяженным во временном направлении, изменяющим в основном длину струн, находящихся в срезах мирового листа плоскостями постоянного времени, см. рис.1; и максимальна для вариаций, протяженных в пространственном направлении, которые изменяют в основном интервал мировых линий точек на струне.

Теория струн рассматривает мировые листы различных топологических типов, см. рис.2: открытые струны - поверхности, гомеоморфные лентам I х И.1, замкнутые струны - цилиндры Б1 х И1, 3-струны - три ленты, склеенные вдоль одного края, а также поверхности

более сложной топологии, соответствующие переходам между описанными типами (распадам и взаимопревращениям элементарных частиц).

Yf

Рис.2. Основные топологические типы мировых листов.

Требование экстремума площади для каждого топологического типа приводит к уравнениям Лагранжа-Эйлера, выполняющимся во внутренних точках мирового листа, которые имеют вид локального закона сохранения энергии-импульса:

рЧ = 5A/5(diXД dirf = 0,

и граничным условиям, обеспечивающим обращение в нуль потока импульса через границу мирового листа. Например, открытая струна удовлетворяет граничному условию p^-ij daj = 0 (здесь daj - касательный элемент к границе мирового листа на плоскости параметров, eijdaj - нормальный элемент); для 3-струн имеется аналогичное условие: Pi^ijdaj = 0, выполняющееся на мировой линии узла, где сумма берется по трем поверхностям, примыкающим к этой линии.

Дальнейшее построение теории струн обычно производится в гамильтоновом подходе. Координаты на мировом листе различаются: a - компактная координата, a € I для открытых струн, a € S1 для замкнутых струн; т € R1 - некомпактная координата, называемая эволюционным параметром. Вводятся следующие обозначения: X = дх/дт, xX = dx/da, рЧ = рЧ, так что действие струны (площадь) можно записать как A = f dT J da L, где L = \J(X,x')2 — X2x'2 - ла-гранжева плотность. Скобки Пуассона вводятся следующим образом: {X^(a,T),ри(a,T)} = S(a — a), где 9Чи = diag(+1, —!,..., — 1) - метрический тензор, S() -функция Дирака. Ставится задача Коши о нахождении решения x(a,T),p(a,T) по заданным начальным данным x(a, 0),p(a, 0). Эволюция описывается системой автономных дифференциальных уравнений, одновременных по t (так что T-зависимость обычно опускается, подразумевая, что все переменные определяются при одном значении эволюционного параметра).

Теория струн является гамильтоновой теорией со связями первого рода [13, 14], что означает следующее. Каноническая гамильтонова плотность определяется по лагранжевой с помощью преобразования Ле-жандра как Hc = Xp — L. Подстановка определения р в терминах X', X обращает канонический гамильтониан в нуль: Hc = 0, и, кроме того, порождает следующие тождества: Ф1 = Xp = 0, Ф2 = X2 + р2 =0. Появление этих тождеств, называемых дираковскими

связями, связано с симметриями действия относительно группы репараметризаций (правых диффеоморфизмов) мирового листа, т.е. гладких невырожденных преобразований (а,т) ^ (а,Т), обратные к которым также являются гладкими. Рассмотрение теорий со связями обычно начинается в расширенном фазовом пространстве (х,р), в котором гамильтониан определяется как линейная комбинация связей, в нашем случае Н = / dа(VlФl + У2Ф2). Здесь коэффициенты У1,2(а) произвольны и называются лагранжевыми множителями. На поверхности Ф^ = 0 гамильтониан обращается в нуль1, однако его производные не обращаются в нуль, и образуют гамильтоново векторное поле:

Х^(а) = 5Н/5р^(а), р^(а) = -5Н/5х^(а).

Это поле касательно поверхности Ф^ =0 в силу того, что скобки Пуассона {ФДа), Фj(а)} обращаются в нуль на поверхности Ф^ = 0, именно такие связи называются связями первого рода. Фазовая траектория, проинтегрированная вдоль этого поля, принадлежит поверхности Ф^ = 0, и ее проекция в координатное пространство {х} дает решение уравнений Лагранжа-Эйлера. В теории струн Ф^-члены гамильтониана генерируют инфинитезимальные сдвиги точек в касательных направлениях к мировому листу: Ф1 генерирует сдвиги 6х ~ Х, в то время как Ф2 генерирует 6х ~ р ± Х, см. рис.3. Совместно связи генерируют все возможные ре-параметризации мирового листа (связную компоненту группы правых диффеоморфизмов).

Коэффициенты У12 влияют только на параметризацию мирового листа, выбор У\ =0, У2 = 1 отвечает конформной параметризации хх = 0, х2 + х'2 = 0. Этот выбор линеаризует гамильтоновы уравнения. Решение уравнений производилось различными методами в работах [14, 15, 1, 11], результат имеет следующее геометрическое представление.

2 Структура решений: открытые и замкнутые струны

Построение мирового листа основано на понятии опорных кривых. Рассмотрим кривую Q(а) в пространстве Минковского, обладающую следующими свойствами:

1Этот скалярный гамильтониан не совпадает с энергией, ко-

торая в релятивистских теориях описывается компонентой им-

пульса ро.

(1) периодичность: Q(a + 2п) = Q(a) + 2P; (2) светопо-добие: Q'2 = 0.

п/гг\

Рис.4. Мировой лист открытой струны.

Мировой лист открытой струны строится по этой кривой следующим образом: х(а\,02) = ((а!) + Я(а2))/2, 01 < 02 < а1 + 2п, см. рис.4. Данная поверхность имеет два края, один из которых совпадает с ((а), другой - с ((а) + Р. При параллельном переносе на вектор Р мировой лист переходит в себя, и его края меняются местами.

Рис.5. Структура мирового листа вблизи края.

Теорема 2 (край мирового листа): любой вектор из касательной плоскости к мировому листу открытой струны на его крае ортогонален Q'. Эта плоскость касается светового конуса по направлению Q' (такие плоскости называются изотропными). Вследствие этого, концы открытой струны двигаются со скоростью света перпендикулярно направлению струны в этих точках.

Для построения мирового листа замкнутой струны необходимы две опорных кривых Qi^i^). Обе должны быть светоподобными: Q122 =0 и периодичными с одним и тем же периодом: Qi,2(0 + 2п) = Qi,2(0) + P. Мировой лист задается формулой: x(0^02) = (Q1 (01) + Q2(02))/2, 01 < 02 < 01 +4п.

Переменные 0i вводят светоподобные координаты на мировом листе: (dix)2 = 0, связанные с гамильтоно-выми координатами выражением 01,2 = т ± 0. Опорные кривые определяются начальными данными задачи Коши: координатой x и плотностью импульса p на струне при значении т = 0, с помощью следующих формул:

f ст

а) Q

J о

б) Qi,2(ä) = x(±a) ± da p((), для замкнутой струны.

о

В последней формуле кривая Q1 получается при выборе верхних знаков, в то время для определения Q2 необходимо выбрать нижние знаки. Функции x(0),p(0) продолжены на всю ось 0, см. [1]: как 2п-периодические

функции в (1б) и как четные 2п-периодические функции в (1а).

Замечание: Переход к комплексным переменным т ^ %т, р ^ ip в вышеприведенных формулах дает решение проблемы Бьерлинга [16] о минимальных поверхностях в евклидовом пространстве (найти минимальную поверхность, проходящую через заданную кривую и касающуюся заданного векторного поля на кривой).

Обратные формулы:

а) х(а) = (а) + Я(-а))/2, р(а) = (д'(а) + Я'(-а))/2,

б) х(а) = (д!(*)+ Я2(-*))/2, р(а) = (Я1 (*) + Я'2(-*))/2.

Из (1аб) мы видим, что вектор Р совпадает с вектором полного энергии-импульса струны. В частном случае ( = ( мировой лист замкнутой струны вырождается в 2-кратно сложенный мировой лист открытой струны. В этом случае периоды опорных кривых равны: Резвей = 2Рореп, вследствие чего каждый из двух совпадающих листов открытой струны получает половину энергии-импульса первоначальной замкнутой струны.

Подпространство, ортогональное Р, определяет систему центра масс (СЦМ). Будучи спроецированными в СЦМ, опорные кривые становятся замкнутыми. Те кривые, у которых временная компонента (0(а) не является монотонной функцией, будут рассмотрены в следующем разделе. Здесь мы будем рассматривать кривые, удовлетворяющие в каждой точке условию ('0 > 0. Такие кривые можно восстановить по их проекции в СЦМ:

Q'o = \Q'\ ^ Qo

\Q '(0)\d0 = ¿(01),

где Ь(а) - длина дуги кривой (((а) между точками (((0) и (((а). Полная длина кривой (((а) равна 2л/Р2 для открытой струны и л/Р2 для замкнутой струны. На кривой (((а) можно ввести натуральную параметризацию, т.е. параметризацию длиной: а = 2пЬ/Ьг0г, тогда (0 = ('\ = ¿^/2^. В теории струн такая параметризация называется калибровкой Рорлиха [17].

В пространстве-времени размерности й = 3,4 струны имеют устойчивые особые точки. Причина их появления состоит в следующем.

Q 1nQ 2

проекция

©

R

R

S

Рис.6. Особенности мирового листа соответствуют параллельным касательным векторам к опорной кривой. И -регулярная точка, Е — край, X — внутренняя особая точка.

o

Т = Т

1 2

Касательными векторами к мировому листу в точке ж(<71,<72) являются Q'(а 1) и Q'т.е. касательные векторы к опорной кривой в соответствующих точках. Если эти два вектора линейно независимы, они определяют касательную плоскость к мировому листу, и эта точка является регулярной (точка R на рис.6). В противном случае, если эти векторы параллельны, точка является особой. Точка E с а2 — ai =0 или 2п лежит на крае мирового листа. Точка X с 0 < а2 — ai < 2п является внутренней особой точкой.

Для опорных кривых с Q/0 > 0 линейная зависимость векторов Qi и Q2 в пространстве-времени эквивалентна равенству единичных касательных векторов т = Q//\Q/\ к проекции опорной кривой в СЦМ. Таким образом, особенности мирового листа отвечают точкам самопересечения годографа т(ai) = т(а2) (для замкнутой струны - пересечению двух годографов Ti(ai) = fi(a2)). Годографы лежат на сфере Sd-2: на окружности при d = 3 и на 2-мерной сфере при d = 4. Вселдствие этого, при d =3 пересечения годографов образуют 1-мерные множества, а при d =4 трансверсальные пересечения находятся в изолированных точках, см. рис.7. В случае d > 4 пересечения можно устранить малыми шевелениями годографов на сфере Sd-2.

d=3, S 1 d=4, S 2

Рис.8. а) особые линии на плоскости параметров (схема); б) классификация особенностей по вырождению первого дифференциала [18].

Случай d = 3. Используем представление T(a) = (cos p(a), sin <^(a)). Особенности определяются уравнением <£>(<7i) = mod2п.

Для открытых струн это уравнение необходимо решить в треугольнике на (ai, а2)-плоскости, показанном на рис.8а, и затем продолжить на весь мировой лист, используя тривиальные симметрии ai ^ a2, ai¡2 ^ ai,2 + 2nk, к € Z. Для замкнутых струн уравнение у>1 (ai) = ^>2^2) mod2п необходимо решить в квадрате 0 < a i ,2 < 2п, и продолжить решения, используя ai,2 ^ ai,2 + 2пк. Для опорных кривых общего положения (см. далее) решения этих уравнений определяют гладкие кривые на плоскости параметров, обозначенные на рис.8а как (с), для которых возможно следующее поведение:

• кривые распространяются по всему мировому листу, не достигая его краев;

• кривые могут образовывать замкнутые контуры;

• в случае открытых струн кривые (с) могут обрываться на крае мирового листа.

В последнем случае кривая (с) входит в край под прямым углом, в силу симметрии ai ^ a2. На рисунке рис.8а также отмечены точки, в которых кривая (с) ка-сательна направлениям da2 = ±dai. Эволюция струны определяется с помощью сечений мирового листа плоскостями постоянного времени xo = Const, которые в калибровке Рорлиха отвечают ai + a2 = Const. Структура мирового листа вблизи особых точек показана на рис.9:

Рис.7. Самопересечение годографа г(а).

Из (1) мы получаем формулу для линейной плотности энергии-импульса на струне:

(ро,р)/\Х\ = (2,п + 72)7, 7 = (2(1 - Рр))-1/2.

В особых точках и на крае мирового листа 7 ^ то, вследствие чего в этих точках линейная плотность энергии-импульса стремится к бесконечности.

E :

c :

S :

W :

I :

Рис.9. Нормальные формы особенностей мирового листа, d = 3.

Нормальные формы приведены в световых координатах (Ь,у,х — Ь), так что направление (1,0,0) является светоподобным, и совместно с направлением (0,1,0) определяет изотропную плоскость.

Е: край мирового листа;

с: складка, или линия каспов; на этой линии сечения мирового листа плоскостями постоянного времени имеют точку возврата, или касп (0,и2,и3), который

S

c

I

движется в пространстве-времени в светоподобном направлении (1, 0,0), т.е. касп движется со скоростью света перепендикулярно направлению струны в этой точке (0,1,0);

8: линия самопересечения поверхности обрывается на мировой линии каспа, в этой точке "крылья" каспа проходят друг сквозь друга.

ласточкин хвост [18], точка рождения или уничтожения пары каспов.

I: в случае открытых струн касп может появляться и исчезать одиночно на краю мирового листа в точке перегиба этой кривой: аI) = 0. Другими словами, поглощение каспа концом струны приводит к перегибу его траектории.

Случай d = 4

E : P :

Рис.10. Нормальные формы особенностей мирового листа, d = 4.

Здесь мы используем световые координаты (t, y,z,x — t). Направление (1, 0,0,0) является светоподобным, и совместно с (0,1,0,0), (0, 0,1,0) оно определяет 3-мерную изотропную гиперплоскость, касательную к световому конусу в 4 измерениях.

Срезы мирового листа плоскостями постоянного времени вблизи точки (P) дают кривую, которая является гладкой при t = 0 и имеет касп (0,u2, 0,u3) в момент времени t = 0. Проекции в почти любое2 3-мерное подпространство преобразуют эту особенность в точку пинча, в окрестности которой поверхность имеет форму зонтика Уитни: (v,u2,vu).

Следующие теоремы описывают приведение мировых листов к нормальным формам. Пусть Q : S1 ^ R" - Сто-гладкая аналитическая функция с Q'(а) = 0, т.е. гладкая замкнутая кривая в R". Пусть а - натуральный параметр (длина) на кривой.

Определение (n = 2): Пусть у>(а) - полярный угол вектора Q'(а). Обозначим ¥г = у>(а$). Будем говорить, что кривая находится в общем положении, если в каждой паре точек, удовлетворяющих уравнению у>1 = ¥2 mod 2^, выполняется одно из следующих свойств:

(c) ¥>1 = ±¥2;

(S) ¥ = ^2 = 0, <р'( = ¥>2';

(W) ¥1 = —¥2 = 0, ¥1 = ¥2';

(E) а1 = а2, ¥1 =0;

(I) а1 = а2, = 0, ¥1 = 0, ¥1' = 0.

2 Исключительные направления проекции принадлежат плос-

кости I = х, они порождают особенности высшего порядка.

Для двух замкнутых кривых Q 1,2 в R2 обозначим = pi(ai). Будем говорить, что кривые находятся в общем положении друг к другу если в каждой паре точек, удовлетворяющих уравнению pi = ^2 mod 2п, выполняется одно из свойств (c),(S),(W).

Определение (n = 3): Для кривой R3 обозначим Qi = Q'(ai). Кривая находится в общем положении, если в каждой паре точек, удовлетворяющих уравнению Q1 = Q2, выполняется одно из следующих свойств:

(E) ai = Qi' =0;

(P) Qi'F Q2', iQi'l = \Q2'|.

Для двух кривых в R3 обозначим Qi = Qi(ai). Две кривые находятся в общем положении друг к другу, если в каждой паре точек, удовлетворяющих уравнению Q1 = Q2, выполняется свойство (P).

Теорема 3 (общее положение): кривые в общем положении образуют открытое всюду плотное множество в C-топологии.

Теорема 4 (нормальные формы): для опорных кривых в общем положении, окрестность особой точки мирового листа можно преобразовать к одной из приведенных выше нормальных форм с помощью LR-диффеоморфизмов, т.е. гладких невырожденных преобразований плоскости параметров (ai, a2) ^ (ai, ^2) и пространства Минковского x ^ Х, обратные к которым также являются гладкими. Линейная часть преобразования в пространстве Минковского, заданная матрицей Якоби дХ/дх, отображает светоподобное направление QHIQ2 в светоподобное направление (1,0,.., 0) и также отображает друг в друга изотропные плоскости, связанные с этими направлениями.

Теорема 3 означает, что кривые в общем положении представляют общий случай во множестве всех гладких кривых. Уточнение в теореме 4 связывает изотропные плоскости в пространствах образа и прообраза и позволяет записывать нормальные формы в световых координатах.

Х-классификация [18]. Е-класс (символ Тома) особенности определяется ядром первого дифференциала рассматриваемого отображения, в нашем случае: решением уравнения Q^dai + Q2da2 = 0, которое в калибровке Рорлиха влечет dai + da2 = 0. Это ядро одномерно, поэтому кривые (с), края (E) и точки (P) являются особенностями класса Е1. Линии dai + da2 = 0 показаны штриховкой на рис.8б. Точки (W), в которых штриховка касательна кривым (с), соответствуют особенностям класса Е1'1 (касп на линии каспов). Для точек (I) символ Тома не определен, однако в уточняющей схеме Боардмана такие точки классифицируются как Е1'1'1'0. Точки (S) имеют класс Е1, т.е. не отличаются от окружающих точек линии каспов (c) по Е-классификации.

P

г) Д) е)

Рис.11. Деформации, изменяющие структуру особенностей.

Устойчивость. Будем называть особенность мирового листа слабо устойчивой (W-устойчивой), если все мировые листы в е-окрестности данного листа (*) имеют особенности. Особенность называется дифференцируемо устойчивой (ЬИ-устойчивой) [18], если все мировые листы в е-окрестности данного листа (*) могут быть преобразованы в (*) ЬИ-диффеоморфизмом (в этом случае особенность будет также W-устойчивой). Описанные выше особенности являются ЬИ-устойчивыми, если е-окрестность мирового листа определена в Сто-топологии: |£<3(п)| < еп, п = 0,1,2... Особенности W-устойчивы в С1-топологии: |£<5'I < е (в этом случае они уже не являются ЬИ-устойчивыми, пример показан на рис.11г: вблизи точки трансверсального самопересечения годографа ('(а) в его |£<3'I < е -окрестности существуют С1-малые, но С2 -большие вариации, изменяющие структуру самопересечения). С 1-малые вариации опорных кривых эквивалентны вариациям начальных данных, малым в смысле 1§х'1 < е, < е. С физической точки зрения, также интересно рассматривать С0-малые вариации: | < е, эквивалентные малым вариациям координаты |£х| < е и малым вариациям интегралов | ^ dаSp| < е, взятым по конечным отрезкам струны. Вариации опорной кривой, которые являются С0-малыми, но С 1-большими, соответствуют стягивающимся петлям, изображенным на рис.11а. Такие петли могут устранить совпадение касательных векторов, перебрасывая годограф на противоположную сторону окружности, см. рис.11б, таким образом устраняя особенность. Более детальный анализ показывает, что в случае d =3 этот процесс порождает новые каспы (с') и ласточкины хвосты (Ш), см. рис.11в, так что особенность может быть устранена лишь в малой области, но не полностью на всем мировом листе. Точки пин-ча могут быть полностью устранены С0-малыми деформациями, см. рис.11д. Этот процесс сопровождается рождением малой петли на струне, рис.11е, которая распространяется со скоростью света и проходит через точку (Р), препятствуя появлению мгновенного

каспа в этой точке. В этой области линейная плотность энергии-импульса струны является большой, но не бесконечной.

Интересно также исследовать свойства особенностей в Фурье-пресдтавлении [1], в котором коэффициенты разложения ('(а) = ^ апвгпа используются как координаты в фазовом пространстве струны. В конечномерных подпространствах {ап,п < N; ап = 0,п > N} подмножества с (' = 0 и только трансверсаль-ными пересечениями годографа т = ('/(^ являются открытыми, таким образом, особенности являются W-устойчивыми; и поскольку соответствующие таким множествам функции т являются аналитическими, особенности являются ЬИ-устойчивыми. Для образования стягивающихся петель требуется бесконечное число Фурье-гармоник. В пространстве всех {ап} определения С0- и С1 -малых вариаций воспроизводятся определенными требованиями на скорость убывания Фурье-гармоник.

В данной таблице представлены различные определения топологии и соответствующие типы устойчивости особенностей на мировых листах:

топология d = 3 d = 4 d> 4

т(п)| <еп (С ЬИ ЬИ —

< е (С1) W W —

| < е (С0) W — —

^а^ < е; ап = 0,п > N ЬИ ЬИ —

^а^ <е/пР,р> 1 (С1) W W —

^а^ < е/пР,р > 0 (С0) W — —

Мировые листы могут также иметь устойчивые самопересечения, которые обладают теми же самыми свойствами, что и для поверхностей общего вида. В следующих таблицах приводятся все типы устойчивых особенностей мировых листов и поверхностей общего вида (в С ^-топологии).

Самопересечения

Поверхность d = 3 d = 4 d> 4

общая, мировой лист линии точки —

Другие

Глобальная структура особенностей:

d = 3, замкнутые струны. Дальнейшее рассмотрение будет проводиться в СЦМ.

Теорема 5 (наличие особенностей) [7]: все мировые листы замкнутых струн в 3-мерном пространстве Мин-ковского имеют особенности.

Поверхность = 3 d = 4 d> 4

общая точки пинча — —

мировой лист линии каспов и их особенности (В),^),(1) точки пинча —

Замечание: при определенных условиях (центральной симметрии опорной кривой) мировой лист имеет особенность типа "коллапс", при котором вся струна на одно мгновение стягивается в точку. Пример: Q 1,2 = (a, cos а, ± sin а), опорные кривые, проекции которых в СЦМ имеют вид двух противоположно ориентированных окружностей. Эта особенность является неустойчивой: малые вариации кривых расправляют ее в малую замкнутую линию каспов.

Напомним, что скорость каспа v ортогональна направлению струны k в этой точке.

Определение: топологический заряд каспа будем называть число с, равное +1, если вращение от v к k производится против часовой стрелки; и равное —1, если это вращение по часовой стрелке.

тем самым закону сохранения топологического заряда: (+1, —1) ^ 0.

+1

Рис.12.

Топологический заряд.

Рис.13. Перманентный режим.

Теорема 6 (сохранение топологического заряда): Полный топологический заряд струны, равный сумме топологических зарядов всех каспов, постоянен во времени и равен щ + П2. Здесь щ - числа вращений векторов Q[(а) при полном обходе опорной кривой (щ > 0, если вращение производится против часовой стрелки; щ < 0, если это вращение по часовой стрелке).

Теорема 7 (перманентный режим): Пусть опорные кривые QQi(a) не имеют точек перегиба. Пусть sign ni = sign П2. В этом случае каспы не сталкиваются и топологические заряды всех каспов имеют один и тот же знак, равный sign П12. В результате этого, число каспов на струне постоянно во времени и равно |ni + п2|.

Замечание: кривые с щ =0 (например, восьмерка) с необходимостью имеют точки перегиба и нарушают условия перманентности. Таким образом, эти условия подразумевают 1щ1 > 1, и струны при перманентных условиях всегда имеют N > 2 каспов.

Теорема 8 (столкновение каспов): пересечение линий каспов неустойчиво, т.е. малые вариации опорных кривых переводят их либо в моду рассеяния, либо в моду рождения и уничтожения (рис.14). Каспы рождаются и уничтожаются парами в особых точках типа W. В момент рождения каспы имеют равные скорости и противоположные направления, удовлетворяя

Рис.14. Пересечение линий каспов неустойчиво.

Открытые струны могут быть свободными от особенностей. Пример [3]: опорная кривая (((а) - окружность, мировой лист - геликоид рис.4, струна в СЦМ - прямая линия, вращающаяся с постоянной угловой скоростью. Открытая струна является вырожденным случаем замкнутой, поэтому аналогичные теоремы для открытых струн можно получить в пределе ((1 ^ ((2. В этом пределе две линии каспов замкнутой струны отображаются в края мирового листа, в то время как остальные ка-спы становятся 2-кратными, как показано на рис.15а,б. Из полученных двух совпадающих листов только один представляет открытую струну, поэтому топологические заряды особенностей необходимо поделить пополам, что дает заряд ±1 для каспов и ±1/2 для концов струны. Поглощение каспа на конце соответствует процессу рис.15в: (+1, -1/2) ^ +1/2.

+1/2

+1

Вырождение мирового листа: замкнутый —> открытый.

Теорема 6': полный топологический заряд открытой струны, равный сумме топологических зарядов каспов и концов, постоянен во времени и равен п, числу оборотов вектора QQ'(а) при обходе опорной кривой.

Теорема 7': если опорная кривая QQ(а) не имеет точек перегиба, то каспы не сталкиваются и не достигают концов струны, и топологические заряды всех каспов и концов имеют один и тот знак, равный sign п. Полное число каспов в этом случае постоянно во времени и равно Щ — 1.

Теорема 8': существует устойчивое пересечение линии каспов с краем мирового листа в точках типа I. Эта особенность получается при слиянии ласточкиного хвоста с линией каспов в пределе QQ1 ^ QQ 2, как показано на рис.15в.

+1

+1

Рис.16.

2-процесс.

Замечание: описанные локальные элементы могут объединяться в более сложные конфигурации, в частности, следующий процесс происходит как на замкнутых, так и на открытых мировых листах, см. рис.16: на струне первоначально имеется ка-сп (0), затем появляется пара каспов (1,2), один касп из пары уничтожает касп (0), в то время как другой становится каспом (0) в следующем периоде эволюции.

Некоторые примеры особенностей на струнах при с! =3 показаны на рис.21а-г.

Глобальная структура особенностей:

Устойчивыми особенностями являются точки пинча, периодически расположенные на мировом листе. При эволюции мгновенные каспы появляются на струне при ее прохождении через точки пинча, периодически в одной и той же точке в СЦМ. 3-мерные проекции мирового листа открытой струны из 4-мерного пространства-времени Минковского показаны на рис.21д,е. Два типа особых точек показаны на этом рисунке: Р, Р',... -особые точки, существующие на самом мировом листе, которые проецируются в точки пинча при проекции в 3-мерные пространства, такие как (хуг), (хуЬ), показанные на рисунке; Q - точка пинча, которая имеется только в проекции, и таким образом не является физически важной.

Для точек пинча также можно ввести топологический заряд, характеризующий поведение особенностей при непрерывных деформациях (гомотопиях) мирового листа. Для замкнутых струн трансверсальные пересечения двух замкнутых ориентированных кривых Q1 2(0") на сфере Б2 характеризуются индексом [19], который равен +1 или —1, если пара касательных векторов (<'{,<32') имеет соответственно совпадающую или противоположную ориентацию с системой координат, определяющей глобальную ориентацию на сфере Б2. В силу теорем [19], сумма всех индексов инвариантна относительно гомотопий и для двух замкнутых кривых на сфере всегда равна нулю. Таким образом, число точек пинча на одном периоде мирового листа замкнутой струны является четным: п = 0, 2, 4, 6... и при непрерывных деформациях мирового листа точки пинча появляются и исчезают парами: (+1, —1) ^ 0.

Рис.17. Топологический заряд точки пинча.

Для открытых струн точки самопересечения кривой <3'(а) могут появляться и исчезать одиночно, при рождении каспа <<''(а) = 0, см. рис.17в. Эта ситуация соответствует рождению точки перегиба на опорной кривой <3(а) в 3-мерном пространстве. На мировом листе точка пинча перемещается к краю (<\ = <32, а\ ^ 02) и исчезает в точке перегиба края. Точки пинча также могут появляться и исчезать парами во внутренней области мирового листа во время его непрерывной деформации, с сохранением локальной характеристики, которая вводится следующим образом [19]. Зафиксируем на кривой <<'(а) точку ао, не совпадающую с самопересечением. Будем обходить кривую начиная от ао и отмечать касательные векторы в точках самопересечения: при первом проходе через точку самопересечения пишем 1 на соответствующем касательном векторе, во втором проходе пишем 2, см. рис.17б. Присвоим точке самопересечения число ±1 в зависимости от ориентации системы координат (1, 2). Сумма этих чисел называется индексом самопересечения (числом Уитни) замкнутой кривой. Это число зависит от выбора ао (при перемещении ао через точку самопересечения ее индекс меняет знак), однако четность числа Уитни не зависит от ао и инвариантно относительно тех гомотопий, которые не порождают каспы <3''(а) = 0.

3 Экзотические решения

Решения такого вида соответствуют опорным кривым, у которых временная компонента <о(а) не является монотонной функцией, см. рис.18. Такие кривые можно задать явно, определяя касательный вектор в виде 3(а) = ао(а)(1,п(а)), где |п(а)| = 1, п(а) является 2п-периодической функцией, и ао(а) является 2п-периодической функцией переменного знака. Соответствующий мировой лист показан на рис.21ж. На этом рисунке (оАВЬ) - опорная кривая, которая имеет два каспа А,В. Эти каспы порождают линии каспов на мировом листе: (ША^ и ^ВИе), которые разбивают мировой лист на множество областей. Здесь И=(А+В)/2.

Г

Рис.18. Опорная кривая, не монотонная во временном направлении.

Срезы такого мирового листа плоскостями постоянного времени содержат несвязные компоненты. Одна компонента ("длинная струна") постоянно присутствует в системе, дополнительно происходят следующие процессы:

У

I

Рис.19. Экзотические решения.

• в точке А из вакуума появляется новая короткая струна;

• в точке И, она рекомбинирует с длинной струной: присоединяется к длинной струне, в то время как часть длинной струны отсоединяется;

• в точке В короткая струна исчезает.

Таким образом, мировые листы рассмотренного типа соответствуют процессам рождения, уничтожения и рекомбинации струн. Дальнейший анализ [11] показывает, что плотность энергии для решений такого типа не является всюду положительной: области, отмеченные (+) на рис.21ж, обладают положительной энергией, в то время как области (—) имеют отрицательную энергию (теоретическая физика использует для таких решений термин "экзотическая материя" [20]). Для таких решений те компоненты струн, которые появляются и исчезают в вакууме вблизи точек А,В, имеют нулевые полные энергию-импульс и момент импульса, поэтому законы сохранения не препятствуют таким процессам. В [11] также показано, что мировые листы такого типа являются времениподобными, т.е. квадратный корень в лагранжиане струны является вещественным, однако линия каспов мирового листа соответствует точкам ветвления этого квадратного корня, таким образом, для выбора знака лагранжиана имее-ется несколько вариантов. Экзотические решения соответствуют такому выбору, что площади областей мирового листа, отмеченные (±) на рис.21ж, дают противоположный вклад в действие. В [11] показано, что экзотические решения существуют при произвольной размерности пространства-времени и образуют области, т.е. не являются редкими в фазовом пространстве ковариантной гамильтоновой теории струн. Это фазовое пространство образовано коэффициентами Фурье-разложения функции а(а). Исключение экзотических решений из теории, возможное только с помощью явного требования ао(а) > 0, или эквивалентного условия в терминах Фурье-коэффициентов, в квантовой теории приводит к дополнительным трудностям и фактически никогда не проводилось.

4 Разрыв струны

Рассматривая разрыв струны и другие процессы перехода, необходимо зафиксировать топологический класс процесса и найти экстремум действия в этом классе. Например, разрыв открытой струны на две открытые струны соответствует диаграмме "штаны" рис.2, справа. Поверхность должна варьироваться до достижения экстремума действия при фиксированных начальном и конечном положениях струн и свободных положениях границ и точки разрыва. Такие поверности можно построить, используя следующий алгоритм [6], см. рис.21з,и:

1. Зададим мировой лист открытой струны с помощью опорной кривой Q (которая как обычно является 2Р-периодической и светоподобной). Q является первым краем мирового листа; Q+P задает второй край.

2. Зафиксируем две произвольные точки A,C на кривой Q, содержащиеся в пределах одного периода. Найдем их середину B = (A+C)/2. Эта точка будет точкой разрыва мирового листа. Зафиксируем также точки A'=A-2P и B'=(A'+C)/2=B-P.

3. Рассмотрим следующие кривые: AB, полученная из участка AC опорной кривой с помощью гомотетии с центром в точке A и с коэффициентом 1/2; BC, полученная из AC гомотетией с центром C и тем же коэффициентом (AB и BC конгруэнтны); и аналогично: A'B' - это A'C, сжатая в 2 раза к A'; B'C - это A'C сжатая в 2 раза к C (A'B' и B'C конгруэнтны). Пусть A"BC' = A'B'C+P (параллельный перенос на вектор

Р).

Замечание: Кривые ABC и A"BC' принадлежат мировому листу. Эти кривые отмечают путь светового сигнала, излученного из точки B на мировом листе, и называются характеристиками.

4. Рассмотрим криволинейно-треугольные части мирового листа:

1 = часть, ограниченная дугами AB, BC и AC;

2 = часть, ограниченная дугами A"B, BC' и A"C'. Рассмотрим последовательность переносов этих частей на векторы BA и BC':

1' = 1+BA, 1" = 1'+BA, ...

2' = 2+BC', 2" = 2'+BC', ... Последовательность {1,1', 1'',...} образует связную поверхность (части стыкуются вдоль характеристики AB и ее образов при переносах; эта стыковка непрерывна, но в общем случае не является гладкий - мировой лист имеет излом вдоль характеристик). Аналогично построим {2, 2', 2'',...}.

5. Часть первоначального мирового листа, ограниченная краями Q,Q+P и дугами A"B, BC (лежащая слева от A"BC), объединенная с поверхностями {1,1', 1'',...}, {2, 2', 2'',...}, образует полный мировой лист для распада "открытая струна ^ 2 открытых

струны". Замечания:

а) Продукты распада {1', 1",...}, {2', 2",...} можно построить по опорным кривым по общему правилу "геометрическое место середин", рис.4. Опорные кривые в этом случае являются периодическими продолжениями дуг СА и А"С'. Полупериоды равны энергии-импульсу, и свойство Р = + Р2 (т.е. сохранение энергии-импульса в процессе распада) очевидно из рис.21и.

Рис.20. Разрыв "открытая струна —> 2 открытых струны" на плоскости параметров.

б) На плоскости параметров (а 1,02) характеристики AB, BC, A"B, BC' соответствуют прямым аi = Const. Части 1,2 являются треугольниками, ограниченными этими прямыми. Отсюда мы получаем эквивалентный алгоритм построения мирового листа: рассмотрим треугольники 1,2 на плоскости параметров, отобразим их в пространство-время используя х(а 1,02) = (Q(ai) + Q(a2))/2, найдем их образы при переносах, описанных выше, и возьмем объединение поверхностей {1,1', 1'',...}U{2, 2', 2" ,...}U 3.

Теорема 9 (экстремальное свойство): мировой лист, построенный с помощью такого алгоритма, имеет экстремальную площадь.

Теорема 10 (разрыв по особой точке): продукты разрыва струны не имеют излома вдоль характеристик, если и только если B является особой точкой исходного мирового листа (см. рис.21з).

Заключение

Мы описали геометрический метод для явного представления решений в теории струн, удобный для исследования особых точек на них. Показано, что в пространстве-времени Минковского размерности 3 и 4 мировые листы открытых и замкнутых струн имеют устойчивые особые точки, которые не устраняются при малых деформациях поверхности в рассматриваемом классе. В размерности 3 особенности имеют вид кас-пов, распространяющихся по мировому листу со скоростью света, появляются и исчезают одиночно на грани-

це мирового листа или парами во внутренних областях мирового листа. В размерности 4 особенности располагаются в изолированных точках, и имеют вид мгновенных каспов, периодически расположенных на мировом листе. При большем значении размерности устойчивые особенности отсутствуют.

Мы показали, что при определенных условиях теория струн имеет решения вида I х И.1, граница которых не является гладкой кривой в пространстве-времени Минковского, а имеет точки возврата. Такие решения обладают не всюду положительной плотностью энергии и соответствуют спонтанному рождению струн из вакуума. Данные процессы приводят к нестабильности вакуумного состояния в ковариантной гамильтоновой теории струн, о чем ранее упоминалось в работе [8].

Рассматривая процессы разрыва струны по схеме [6], мы описали взаимосвязь между особенностями на струнах и процессами разрыва. В частности, гладкий мировой лист может возникнуть только в результате разрыва особого мирового листа по одной из особых точек. Этот факт дает возможность построения моделей распада элементарных частиц, в которых гладкие мировые листы описывают долгоживущие частицы, в то время как особые мировые листы распадаются в конечном итоге на гладкие в результате последовательности разрывов по особым точкам. Размерности с! =3,4 естественным образом выделены для таких моделей, как только те значения размерности, при которых на мировых листах существуют устойчивые особые точки. Рассмотрение таких моделей на квантовом уровне возможно по крайней мере для подмножеств фазового пространства [3-5], квантование которых свободно от аномалий при с! = 3, 4.

Особенности при d = 3

Особенности при d = 4

Экзотическое решение

A

б)

W

W

W

Разрыв струны

Рис.21. Особенности на мировых листах. Изображения построены с помощью компьютерной программы [21], представляющей струнную динамику в виртуальном окружении Аванго [22].

Список литературы

[1] L. Brink, M. Hennaux, Principles of String Theory, Plenum Press, New York and London 1988.

[2] M. Green, J. Schwarz, E. Witten, Superstring Theory Vol. 1,2, Cambridge Univ. Press, 1987.

[3] Пронько Г.П., Разумов А.В., ТМФ 1983. Т.56. N.2. С.192.

[4] Никитин И.Н., ТМФ 1996. Т.109. С.202.

[5] Никитин И.Н., ЯФ 1993. Т.56. С.230.

[6] X. Artru, Phys.Rep. V.97 (1983) p.147.

[7] Пронько Г.П. и др., ЭЧАЯ 1983. Т.14. N3. С.558.

[8] Желтухин А.А., ЯФ 1981. Т.34. N.2. С.562.

[9] S. Brundobler, V. Elser, Am.J.Phys. V.60, N8 (1992) p.726.

[10] R. Dilao, R. Schiappa, Phys.Lett. B 404 (1997) p.57.

[11] S.V. Klimenko, I.N. Nikitin, Il Nuovo Cimento A, V.111 (1998) p.1431.

[12] Петров В.П., Шаров Г.С., ТМФ 1996. Т.109. С.187.

[13] P.A.M. Dirac, Lectures on Quantum Mechanics, New York 1964.

[14] G.P. Pronko, Rev.Math.Phys. V.2, N3 (1990) p.355.

[15] V.S. Vladimirov, Equations of mathematical physics, edition 5, Moscow, Nauka, 1988.

[16] U. Dierkes et al, Minimal Surfaces I, Springer-Verlag 1991.

S

S

S

в

t

[17] F. Rohrlich, Phys.Rev.Lett. V.34 (1975) p.842.

[18] Арнольд В.И., Варченко В.И., Гусейн-Заде С.М., Особенности дифференцируемых отображений -1, М.:Наука, 1982.

[19] Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т., "Современная геометрия: Методы и приложения", М.:Наука, 1979.

[20] M. Alcubierre, Classical and Quantum Gravity, V.11 (1994) L73.

[21] S. Klimenko, V. Dyachin, I. Nikitin, "Singularities on the world sheets of open relativistic strings" chap.18 in the book Scientific Visualization: Overviews, Methodologies, and Techniques, eds. G.M.Nielson, H.Hagen, and H.Muller, IEEE Comp.Society Press, Los Alamitos 1997.

[22] M. Gobel et al, Virtual Spaces: VR Projection System Technologies and Applications. Tutorial Notes. Eurographics '97, Budapest, 1997, 75 pages.

[23] Мазер Дж.Н., УМН 1974. Т.29 С.99.

[24] Арнольд В.И., УМН 1972. Т.27 С.119.

[25] R. Thom, G. Levin, "Singularities of differentiable maps", in: Singularities of Smooth Maps, Gordon (1967).

Приложение

Здесь мы приводим доказательства сформулированных выше теорем.

T1: Пусть х(а,т) - экстремальная поверхность, приведенная в окрестности регулярной точки (ао,то) к конформной параметризации: X2 = —х'2 > 0, Хх' = 0. Рассмотрим локальную вариацию х ^ х + eSx, т.е. Sx G Cто, обращающуюся в нуль снаружи малой окрестности точки (сто,то). Заметим, что параметризация возмущенной поверности более не является конформной. Вычислим вариацию площади:

S((Xx')2 — х2х'2)1/2 = eSL1 + e2SL2 + O(e3), SC\ = iSx — х'Sx', SL2 = (¿2(S¿2 — Sx'2) + ((ж — x')(Sx' — Si))((¿ + x')(Sx' + Si)))/2i2.

Линейные по Sx члены дают вклад SAi = е/ SCidTda = е/(— х + x'')SxdTda = 0 (здесь граничный член обращается в нуль, поскольку Sx локальна, х = х'' - условие экстремума в конформной параметризации). Рассмотрим вариации специального вида: Sx(a,T) = (0,0,F(a,T), 0...) в системе координат, где х(ао,то) = (с, 0,0...), х'(сто,то) = (0,c, 0...), т.е. вариации,ортогональные касательной плоскости к мировому листу в точке (сто,Тэ). Для таких вариаций SL2 = (F'2 — F2)R/2, где R = 1 + (х2 — х22)/х2. В силу х2 = —х'2 > 0, хх' = 0 мы имеем неравенство

Д > 0, и поскольку До = 1 в точке (сто ,то), мы имеем К > 0 в окрестности этой точки. Уже сейчас ясно, что 6С2 не является положительно определенной, однако имеется возможность, что ¿Л2 станет положительной после интегрирования. Рассмотрим явный пример: Г(ст, т) = /(а2¡а2 + т2/Ъ2), где /(р) е Смонотонна в р е [0,1] и /(р) = 0 для р > 1. В пределе малых а, Ъ мы имеем 5Л2 = б2 / SC2dтda = 2пе2аЪ(а-2 — Ъ-2)1, где I = /0 //2р3dр > 0, так что 5Л2 < 0 для а > Ъ > 0 (максимум) и 5Л2 > 0 для 0 < а < Ъ (минимум), см. рис.1.

Т2: касательная плоскость к открытому мировому листу на крае натянута на два вектора ^, Q//) и изотропна в силу Q/2 = Q/Q// = 0. Касательный вектор к струне х/, полученной как срез мирового листа плоскостью постоянного времени х0 = 0, содержится в касательной плоскости к мировому листу, и на крае ортогонален Q/: хХ= 0 ^ х/С^/ = 0, так что направление струны на конце и скорость конца ортогональны.

Т3: кривые, которые не находятся в общем положении, образуют замкнутое стратифицированное подмногообразие пространства мультиструй 2J3(S/, И") [23], коразмерность которого больше, чем размерность рассматриваемого отображения. В силу критериев, приведенных в [24], этот случай можно устранить малой вариацией отображения. Утверждение теоремы следует из теоремы трансверсальности Тома [25, 18], обобщенной в пространство мультиструй в [23].

Т4: нормальные формы определяются линейно независимыми членами низшего порядка в разложении Тейлора мирового листа в окрестности особой точки каждого типа. Центральная часть теоремы состоит в доказательстве того, что члены высшего порядка не изменяют структуру особенности и могут быть скомпенсированы ЬИ-диффеоморфизмами. Например, разложение Тейлора мирового листа для случая (с), записанное в калибровке Рорлиха в световых координатах, связанных с направлением Q/1 = Q2, содержит кроме нормальной формы (х0,х2,х_) = (у,и2,и3) добавки в х2,х_-компоненты вида укип со следующим множеством возможных индексов: (к,п) е{к > 2,п = 0} и {к = 0,п > 3} и {к > 1, п > 2}, где член с

к = 0,п = 3 входит только в х2-компоненту. Эти чле-

Лк "/2

п = хк х2 для четных

к (п-3)/2 ,

п и /кп = хкх_х2 для нечетных п (они при-

2 3\

надлежат идеалу, натянутому на мономы у,и2,и3), поэтому их добавление эквивалентно гладкому отображению х ^ х + /кп

и (0,1, 0). Сходимость ряда Тейлора ^ Ск^кип соответствуют сходимости ^ Скп1кп(%), поэтому построенное отображение и его обратное аналитичны. Таким образом, поправки более высокого порядка к нормальной форме (с) можно скомпенсировать аналитическим Ь-диффеоморфизмом, сохраняющим светопо-добное направление и связанную с ним изотропную плоскость. В случае (5) : (у,и2,уи3) члены и2п+1 не могут быть скомпенсированы Ь-диффеоморфизмом (они не принадлежат идеалу). Препятствием здесь является линия самопересечения, положение которой на плоскости параметров V = 0 инвариантно относительно Ь-диффеоморфизмов, но может быть изменено при добавлении и2п+1. Нетрудно доказать, что эти члены можно устранить с помощью аналитических И-диффеоморфизмов (репараметризаций). Таким же образом преобразование к нормальной форме производится для особенностей другого типа. В каждом случае необходимо убедиться, что построенное отображение аналитично и его линейная часть определяется невырожденной матрицей Якоби верхнетреугольного вида:

1 = ( о * * ^. Последнее свойство означает, что линейная часть построенного отображения сохраняет све-топодобное направление и изотропную плоскость, первоначально связанную с Q'l = <2.

Т5: если два годографа на окружности Я1 не имеют пересечения, то один из них должен покрывать дугу с угловым размером Д^ < п. Это невозможно в силу условия £ !асг^ = 0, эквивалентного замкнутости кривой Q (а).

Т6: в калибровке Рорлиха топологический заряд ка-спа определяется ориентацией пары (<1, <1' + <2') и равен sign(^>/l + ^2). Это число является частным случаем следующего топологического инварианта. Рассмотрим отображение Я1 х Я1 ^ Я1, определенное функцией /(а1,а2) = — у>1(а1) + ^>2(а2). Линия каспов (с) является нулевым уровнем /(а1,а2) = 0. Вектор (—^1,^2) является нормальным элементом, а (у>2, ^1) - касательным элементом к (с), который можно использовать для введения ориентации на (с). Рассмотрим другой ориентированный контур (к) на торе, с касательным элементом (!а1, !а2), пересекающий (с) в некоторой точке. Число V = sign(—+ ^2!а2) в этой точке называется индексом пересечения. Рассмотрим также отображение Я1 ^ Я1, определенное с помощью ограничения /(а1, а2) на контур (к). То же самое число V = sign(d/), вычисленное в прообразе точки 0 для этого отображения (т.е. в (с)П(к)), называется степенью отображения. В силу теорем, приведенных в [19], сумма так определенных чисел по всем точкам пересечения (с)П(к), инвариантна относительно гомотопий отображения / и контура (к). В нашем случае этот инвариант равен —П1(к) + П2(к), где щ(к) - числа оборотов

yi(ai), соответствующие полному обходу (к). Утверждение теоремы соответствует случаю, когда (к) является срезом мирового листа плоскостью постоянного времени: (ai, 02) = (то — а,то + а), а € [0, 2п], так что v = sign(yi + у>2) и ^ vi = ni + П2, где ni - числа оборотов уi вдоль базисных циклов тора. Другой инвариант ni — П2, равный индексу пересечения (с) с траекторией точки ао на струне: (01,02) = (т—ао,т+ао), т € [0, 2п], представляет полное число оборотов линии каспов вокруг цилиндра мирового листа замкнутой струны.

T7: если функции уi монотонны и sign yi = sign у>2, то на срезах плоскостями постоянного времени мы имеем функцию f(а) = —уч(то — а) + у 2 (то + а), которая также монотонна и имеет интервал изменения f (2п) — f (0) = 2n(ni + n2). В этом случае уравнение f (а) = 2пк, к € Z имеет на интервале а € [0, 2п) в точности |ni + n2| изолированных решений. Другие утверждения теоремы следуют из T6.

T8: пересечение линии каспов соответствует седло-вой точке функции f(ai,a2) = —yi(ai) + у2(а2) на уровне f = 0. Малые вариации преобразуют линию каспов аналогично рекомбинации гипербол х2 — y2 = с, когда с проходит через 0. Затем, используя условия

yi + у2 =0, d(yi + у2) = (y'i — у2')d*i = 0, da2 =

—dai, справедливые в точке W, мы видим, что функция yi + у2 изменяет знак при проходе через эту точку, поэтому созданные каспы имеют противоположные топологические заряды, в то время как скорости Qi 2 равны.

T9: внутренние области участков {1,1', 1'',...}, {2,2', 2'',...}, 3 построены по правилу x(ai,a2) = (Q(ai) + Q(o2))/2, поэтому в них выполняются уравнения Лагранжа-Эйлера dipi = 0. Необходимо только проверить, что условие Д/ = Apitijdaj = 0 выполняется на линиях стыковки (характеристиках), т.е. поток импульса, вытекающий из одного участка, равен потоку импульса, втекающему в другой участок. Здесь Дрi - разрыв импульса на характеристиках. Вычисляя pi: pi = Q'(o2), Р2 = Q'(ai) (см. [11]), мы имеем Д/ = —ДQ'(al)dai + ДQ'(a2)da2, где ДQ'(ai) -разрывы касательного вектора к опорной кривой. Далее, поскольку разрыв ДQ'(ai) = 0 распространяется вдоль характеристики dai =0 с тем же i, мы имеем Д/ = 0. Фактически, разрыв возникает только в компонентах импульса, касательных характеристикам. Поток импульса через свободный край обращается в нуль в силу тождеств Q'(ai) = Q'(a2), dai = da2. Далее, рассматривая контуры, отделяющие точку разрыва и точки (A,C'...), в которых характеристики пересекают края, см. рис.20, мы видим, что поток импульса через эти контуры не меняется при непрерывном стягивании этих контуров в точки. Используя тот факт, что pi ограничены: \рil < Const (даже в особых точках ми-

рового листа), мы видим, что поток импульса обращается в нуль в этом пределе, следовательно, не имеет утечки в этих точках.

Т10: струна терпит разрыв в особой точке, когда касательные векторы к опорной кривой в точках А,С параллельны. В этом случае периодическое продолжение кривых СА и А"С' на рис.21з является С/-гладким.