Моделирование нестационарных процессов в гелиосистеме

УДК 620.92:330.138

МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ В ГЕЛИОСИСТЕМЕ

© 2011 г. Р.А. Амерханов, К.А. Гарькавый

Кубанский государственный аграрный Kuban State Agriculture

университет, г. Краснодар University, Krasnodar

Представлена математическая модель небольшой солнечной установки с естественной циркуляцией теплоносителя, построенная на нестационарных уравнениях энергии, движения и сплошности, которая позволяет определить температуру прозрачного покрытия, пластины абсорбера, температурное распределение в жидкости, протекающей по трубам коллектора, а также на уравнении сохранения энергии для бака-теплоаккумулятора.

Ключевые слова: гелиосистема; математическая модель; нестационарные уравнения; граничные условия.

The mathematical model of a small solar installation with a natural circulation of a heat carrier constructed on nonstationary equations of energy, motion and integrity which allows to determine the temperature of transparent cover, plate of absorber, temperature distribution in a liquid flowing in tubes of a collector and on an equation of energy safety for thermal receiver as well was presented.

Keywords: heliosystem; mathematical model; nonstationary equation; interfacial conditions.

Математическая модель небольшой солнечной установки с естественной циркуляцией теплоносителя представлена нестационарными уравнениями энергии, движения и сплошности для всех элементов установки с соответствующими начальными и граничными условиями, обеспечивающими сопряжения этих элементов. При этом учитываются наиболее существенные характеристики тепловых и гидродинамических процессов, протекающих во всей системе и в каждом её элементе. Процесс расчёта включает ряд этапов: тепловой расчёт солнечного коллектора (СК), тепловой расчёт бака-теплоаккумулятора (БТА) совместно с соединительными трубопроводами, определение расхода теплоносителя при его естественной циркуляции [1, 2].

Температура прозрачного покрытия Тс = Тс (т, х, у) определяется уравнением

дТ„

5сРссс = Uac (Т. - Tc) + Uco T - To) .

При расчете коэффициента тепловых потерь и учитывалось излучение пластины и стекла (прозрачной изоляции), свободная конвекция между пластиной и стеклом в воздушном зазоре, теплопроводность через теплоизоляцию и т.д.

Температура пластины абсорбера описывается уравнением

8aPaCa ^ = ^8a

дг

^д 2Т. дх 2

2

д 2Т ду 2

+ [Е - иг

где иг =%г/§г .

Начальное условие для уравнений (1) и (2) имеет вид Та = Тс = Т0 при т = 0 .

Граничные условия для области пластины

0 < х < N, 0 < у < Lск можно представить следую-

5Т N

щим образом: -= 0 при х = —,

дх 2

дТ

2Ха§а "дТ = ажП

Здесь предполагается, что тепловой поток равномерно распределен по периметру трубы солнечного коллектора

дТ дТ

= 0 при у = 0, —^ = 0 при у = LCк. (4) дУ ду

Температурные поля Тс =Тс (т, х,у) и Та =Та (т, х, у) определяются в области

0 <т<тс,

где тс - продолжительность светового дня.

Для типовой конструкции солнечного коллектора выполняется неравенство Lск << N / 2, поэтому представляется возможность провести усреднение температурного поля по координате х, т.е. свести задачу к одномерной, полагая

2

2

Та (т у )=Т7 | Та (т х, у) йх '

" 0

N

- 2 2

Тс (т у ) = — | Тс (т X, у) ^ .

п 0

В гелиосистемах с естественной циркуляцией обычно осуществляется ламинарный режим течения жидкости, для которого справедливо соотношение аж = 4,36А,ж / dж .

С учетом этого соотношения и приведенных выше граничных условий можно записать:

дТ

8сРсС = иас

дг

дТ д Т 1

Sapaca^ = Xa5a —2--13,7-^(Ta -Тж) +

a a a дг a a ду2 N V '

+ [ J - U (Ta - To )] + Uac (Tc - Та ).

N

+

Индексы усреднения в этих формулах опущены. Система уравнений (6) и (7) решалась при следующих условиях:

- начальные

Та = То = Т при т = 0,

- граничные

дта А

— = о при у = 0 и у = !ск.

Температурное распределение в жидкости, протекающей по трубам коллектора, описывается дифференциальным уравнением конвекции

Рж Сж

n dж дТж 4 dt

- + с,„

G^ дТж

n dy

— 13,7Хж

Тепловой расчет солнечного коллектора заключается в решении уравнений (6), (7) и (10) при начальных и граничных условиях:

дТа

Та = Тж = То = Т при т = 0; — = 0 при у = 0,

ду

дТ. _ 0 ,

— - 0 пРи y = La

dt

dz

— X ж fi

д 2T

БТА

жУБТА „ 2

dz

+ Uбта (T - То ).

Начальное условие

ТБТА = Т0 при т = 0.

Граничное условие

ТБТА = Тж.под (т L2 ) при 2 = 0;

дТ-т

dz

— UБТА

Температура жидкости в подъемном трубопроводе определяется уравнением

nd 2

dT_

Р ж.под L ж.под + с G Т ж.под

гж ж л ж.под ж ж ж.под

4 ж.иид dt Ж Ж Ж.ПОД dy

— иж.подП dЖ.ПOДТж.под

Начальное условие

Тж.под = Т0 при т = 0.

Граничное условие

Тж.под = Тж

Температура жидкости в опускном трубопроводе Тж.оп = Тж.оп (т, У) определяется уравнением

nd 2

dT„

dT,

Р с ж.оп Т ж.оп + с G Т ж.оп

гжж, ж.оп ж ж ж.оп ^

4 dt dy

— Uж.оп0П<^ж.опТж.оп (Тж.оп - Т0 ).

Начальное условие

Тж.оп = Т0 при т = 0. Граничное условие

Тж.оп = ТБТА

Для определения расхода жидкости по замкнутому контуру воспользуемся уравнением Навье - Стокса для одномерного течения жидкости по трубе

дю дю 1 др д 2ю --ь ю — =----ь ю —— + г ?

дт Рж дС2 ^

В уравнениях (1) - (11) приняты обозначения: Тс, 8С, рс, сс - соответственно температура, толщина, плотность и удельная теплоёмкость прозрачного покрытия; т - время; Та - температура пластины поглощающего элемента (абсорбера); Т0 - температура окружающей среды; и - коэффициент тепловых потерь, и = U8i (X - теплопроводность; 8 - толщина пластины); Lск, N - размеры пластины; - теплопроводность жидкости (теплоносителя); dж - диаметр трубопровода для теплоносителя; Gж - расход теплоносителя; Тж - температура теплоносителя.

Математическая модель бака-теплоаккумулятора (БТА) учитывает эффект перемешивания стратифицированных слоев жидкости в результате конвекции при подводе горячего теплоносителя. Уравнение сохранения энергии для БТА имеет вид

р г дТБТА + с G дТБТА _

или

dro dro

Рж| ^ + I-+ Ц

dp

d 2ro

+

Р

ж| дт д^ д§ дС2 Применяя уравнение к поперечному сечению тру-

бы, получим

dro _ dro

Рж I--+ro —

—-d^+XcT +р

сечению

где ю = ю (т, , р = р (т, - средние по

скорость и давление жидкости; тст - касательное напряжение к стенке трубы.

Здесь учтено, что на оси трубы

дю

т = ц—

дС

а на стенке трубы

дю

- 0,

С—0

dC

— t.

С—-

Индекс усреднения в дальнейшем опущен. Поскольку движение жидкости в результате естественной конвекции происходит по замкнутому контуру гидравлической системы установки, то произведем интегрирование уравнения (19) по этому контуру: дю дю

§Рж "dtd$РжГО^ —

^д^^Кт + ^ж^^^

Проанализируем величины, стоящие в правой части уравнения (20). Можно показать, что

!тст (5)d ^ = -Рж г Е К,

I

где ^ - удельные потери напора на преодоление всех сил сопротивления на 1-м участке гидравлического контура.

ж

Рассмотрим интеграл ф[ ржgi -дт I d% .

I ди

Как известно, разность между объемной силой и силой давления при естественной конвекции жидкости можно принять равной g (р - р0). Таким образом,

^рж g %- d %=g (рж -р0)51п Ф%d %= = -g§(рж -р0)втф%d%,

где ф% - угол наклона контура d% к горизонтали.

Проанализируем величины, находящиеся в левой части уравнения (20). Так как скорость жидкости при естественной циркуляции мала, скоростным слагае-

дю

д

i 2\

фрж ю —— d| = рф—- — dd% можно пренебречь.

2

/б

БТА

/ж

первое слагаемое представим как

^ Рж

f

_ + —ж.оп + —ж.под

n /ск /ж

/ж

dG„„

ж.под у

дх

Вводя коэффициент объемного расширения, первое слагаемое в правой части уравнения (21) запишем

в виде

— |(Рж "Ро)sinФd£ = Ро

ламинарного режима течения, который, как правило, имеет место при естественной циркуляции теплоносителя, коэффициент сопротивления по длине определяется соотношением V' = 64Же, второе слагаемое в правой части в формуле (22) запишем в виде

g I ^ = ^ g,

(

л

V nd ск /ск d ж. оп /1

ж.оп./ ж.оп

d.

д

2

ж.под^ ж.под у

Здесь учтено, что

H

БТА

"БТА /б-

БТА ./БТА d ж.оп Уж .оп

зультате уравнение движения жидкости примет вид

В ре-

(

_+ —ж.оп + —ж.под

n/ск /ж.оп /ж

dG„„

ж.под у

дх

Первое слагаемое в левой части уравнения (20) представим в виде:

Г дю дЮг

d% = ?.рг—Ц . д% г дт

В результате уравнение (20) примет удобный для практических расчетов вид

^ =-g$ —

г дт р0 г

Записывая уравнение неразрывности для всех элементов гелиоситемы (СК, БТА, опускного и подъемного трубопроводов) и учитывая соотношение

НБТА << _^.оп

I [Тж (у)- ж.под ж.под )] dy -

-32v„, G_

v nd ск /ск d ж.оп

ж.оп ж.оп

d 2

д f

.

ж.под ж.под у

Начальное условие: = 0 при т = 0. В уравнениях (12) - (24), кроме указанных в тексте, приняты обозначения: ТБТА - температура жидкости в баке аккумуляторе; /БТА - поперечное сечение БТА; иБТАо - основные тепловые потери в БТА; НБТА -высота БТА; ю - скорость; %, ^ - естественные координаты для движения жидкости по трубе; g - ускорение свободного падения; ц - динамическая вязкость; уж - кинематическая вязкость жидкости; р' - угол наклона поверхности к горизонту.

Таким образом, гелиосистема с естественной циркуляцией описывается следующей системой уравнений с учетом начальных и граничных условий: - для солнечного коллектора:

дТ

8сРсСс-д^ = Uac T - Тс) + UC0 (Тс - Т0);

ск г \"1

= ß ' I [Тж (У)- Тж.под (-ж.под )J sin Фскdy -

0

-ск

-ß ' I [Тбта

где фск - угол наклона солнечного коллектора; перепадом температур по длине соединительных трубопроводов пренебрегаем.

Последний интеграл в правой части уравнения (22) является движущей силой для свободной конвекции в БТА, приводящей к образованию замкнутых токов жидкости внутри бака, поэтому данным интегралом можно пренебречь.

Записывая выражение для гидравлических потерь, пренебрегая местными сопротивлениями по сравнению с сопротивлением по длине и учитывая, что для

дТ

д Т

Д.

5a Ра = Хa5a—f -13,7-^ (Ta - Тж) +

a a a ох a a ду2 N v ж/

+ J - U (Ta - То )]+ Uac (Тс - Та ) ;

Р с П dж.оп дТж + с дТж

Г Ж Ж "l"t™

4 дх n ду

= 13,7Х ж (Та - Тж);

Тс = Та = Тж = Т0 при Х = 0; дТ

"ду ' 0 Тж = Тж под (-ж.под ) при у = 0;

дТа

—^ = 0 при у = -ск. дУ

+

р

ж

Р

ж

2

L

L

L

ж.под

ж.оп

+

L

- для бака-теплоаккумулятора с подъемным и опускным трубопроводами:

_ f дТБТА + G дТБТА Рж сж f Бтл

дг

dz

д 2Т

-7 f а J БТ. _ Лж./БТА „ 2

dz 2

- + UбтАО Р БТА (70 7БТА ) ;

2

_ с п dж.под L 01 ж.под + с G Т Т ж.пс

I ж ж 4 ж.под дг ж ж ж.под ду

— ^ж.под^ ^ж.подТж.под (7ж.под 70 ) ;

. с П dж.оп Т дТж.оп + с G Т дТ

гжж, ж.под ж ж ж.оп

4 жпод дг

— Uж.оп^ dж.опТж.оп (7ж.оп - 7 ) ;

ду

Тж.оп — ТБТА — Тж.под — Т0 при Г — 0 Тж.оп — Тж (Тск ) , Тж.под — ТБТА (НБТА ) ^И У — 0 ТБТА — Тж.оп (Тж.оп ) при Z — 0;

дТ

дz

UБТАО (Т0 - ТБТА ) при Z — H ;

- уравнение движения:

(

Тск + Тж.оп + Тж.под

дО„

дг

«/ск /ж.оп /ж.п

Рж gß ' 'Г[Т ж ( У )-Т ж.под ( Тж.под )] dy -

2

(

-32vж Ож

Тс

+

+

«d2 f d2 f d2 f y ск./ ск ж.под-'ж.оп ж.под^ж.под у

Ож = 0 при т = 0.

Расчет произведен методом конечных разностей по неявной схеме Кранка - Николсона, которая является абсолютно устойчивой и показана в работе [1].

Литература

1. Амерханов Р.А., Бутузов В.А., Гарькавый К.А. Вопросы теории и инновационных решений при использовании гелиоэнергетических систем : монография. М., 2009. 504 с.

2. Горин А.Н., Дорошенко А.В. Альтернативные холодильные системы кондиционирования воздуха. Донецк, 2006. 311 с.

Поступила в редакцию

15 ноября 2011 г.

Амерханов Роберт Александрович - д-р техн. наук, профессор, Кубанский государственный аграрный университет. Тел. (861) 221-58-54. E-mail: energyksau@mail.ru

Гарькавый Константин Алексеевич - канд. техн. наук, доцент, Кубанский государственный аграрный университет. Тел. (861) 221-58-54. E-mail: energyksau@mail.ru

Amerkhanov Robert Aleksandrovich - Doctor of Technical Sciences, professor, Kuban State Agriculture University. Ph. (861) 221-58-54. E-mail: energyksau@mail.ru

Garkavij Konstantin Alexeevich - Candidate of Technical Sciences, assistant professor, Kuban State Agriculture University. Ph. (861) 221-58-54. E-mail: energyksau@mail.ru

ж