Пульсации давления при однородной деформации однородной турбулентности

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том V

197 4

№ 2

УДК 532.525.6

ПУЛЬСАЦИИ ДАВЛЕНИЯ ПРИ ОДНОРОДНОЙ ДЕФОРМАЦИИ ОДНОРОДНОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ

Исследуется поведение однородной турбулентности, которая подвергается однородной деформации. Задача решается в линейной постановке, учитывающей эффект инерционного взаимодействия между средним потоком и турбулентными флуктуациями скорости. Вязкий член уравнений, хотя он и является линейным и, следовательно, легко может быть учтен, в данной работе отбрасывается, что справедливо, если скорость деформации намного превышает скорость диссипации турбулентной энергии. Основным результатом работы является анализ свойств акустических пульсаций давления в процессе сферической и осесимметричной деформации. Показано, что взаимодействие вихревой моды турбулентности с полем средних скоростей может приводить к появлению значительной акустической моды. Полученные результаты можно использовать при расчете излучения звука турбулентностью, которая подвержена быстрой деформации.

Задаче о поведении однородной турбулентности при быстрой однородной деформации посвящено много работ (см., например, библиографию в работе [1]). Основные результаты этих работ относятся к изменению вихревой моды турбулентности (о классификации малых возмущений в сжимаемой среде см. [2]). Могут представиться, однако, случаи, когда предположение об отсутствии акустической и энтропийной мод турбулентности, которое делается в теории быстрой деформации, окажется несправедливым. Кроме того, скорость деформации может быть настолько большой [3], что в процессе деформации появляются значительные пульсации плотности и температуры.

Возникает вопрос о поведении этих пульсаций при однородной деформации среды. В настоящей работе проведено исследование акустической моды турбулентности для некоторых типов однородной деформации. Метод, использованный в работе, может быть применен также к исследованию изменения энтропийной моды турбулентности.

1. Общие уравнения. Рассмотрим однородную деформацию однородной: турбулентности, вызванную следующим полем относительной средней скорости:

Здесь Ау являются функциями времени, не зависящими от положения, а XI — координаты радиус-вектора между двумя произвольными точками; по-повторяющимся индексам, обозначаемым греческими буквами, здесь и в дальнейшем подразумевается суммирование.

В. А. Сабельников

(1.1>

В общем случае такое поле реализуется лишь при наличии внешних сил, отличных от сил давления, так как в настоящей работе среднее давление предполагается постоянным по пространству, хотя может зависеть от времени.

Уравнения для пульсационных характеристик после линеаризации и пренебрежения вязкими членами уравнений газовой динамики для однородной среды имеют вид:

уравнение неразрывности

др' дЬ

уравнение импульсов

и.

да, ди- ,

____1_ + и __________- 4- и

д1 а дх„ а

дха

дЩ

дх„

+ ?'

дх,.

= 0;

1 др'

уравнение сохранения энтропии

-Ж + и<

дЭ' “ дх.

= 0;

уравнение состояния совершенного газа

Р' Р' , Т’ (Р> -(р) +(т)'

уравнение неразрывности для осредненного течения, мацией среды

ди* = А а) =— й

дх„ “( ’

вызванного

<И

(1.3>

(1.5) дефор-

В уравнениях (1.2) —(1.6) приняты обозначения:

(р) и р'—средняя плотность и пульсации плотности соответственно;

(р) и р' — среднее давление и пульсации давления;

(5) и 5' —средняя энтропия и пульсации энтропии;

( 7") и V — средняя температура и пульсации температуры; иг — пульсации скорости.

Угловые скобки означают осреднение по ансамблю.

Удобно ввести безразмерные переменные (см., например, работу [2]) Р' 5' о'

р;

= 5;

Я,

где 7 = ср!су — отношение удельных теплоемкостей газа, которые предполагаются постоянными.

Используя соотношение

5 = Р-/?,

из уравнений (1.2) и (1.4) получим уравнение для безразмерных пульсаций давления Р:

да\

дР

дЬ

+ иа

дР

дх„

+

дх„

. = 0.

Дифференцируя уравнение (1.3) по X), получим уравнения для производных дul|дxj, которые мы в дальнейшем обозначим для краткости через £)у, а след тензора £>у, совпадающий с дивергенцией пульсационной скорости — через

£> = £>

дРц

дt

<5Д

и„

у

“ дха

дО .. дО

Аа] + АЫ :------------------------

д*Р

дх, дХ;

и.

здесь а=

(Р±

Т

дt

1/2

— скорость звука.

д*Р дх„ дх„

(1.10>

Из полученной системы уравнений (1.9) и (1.10), описывающей поведение акустической моды, вытекает: в процессе деформации взаимодействие вихревой моды турбулентности с полем средней скорости приводит к появлению или изменению акустических пульсаций давления.

Анализ линейной системы (1.9), (1.10) удобно проводить в волновом пространстве. С этой целью искомые функции представим в виде стохастического интеграла Фурье (см., например, [4]):

Р = ^ ехр (г&л:) йР\

£>// = ] ехР 0*х)

£> = ^ ехр (ікх) сІО,

Ї

где к — волновой вектор; ЛР {к, £), йОу (^, <), (Ю (к, — соответствующие коэф-

фициенты Фурье.

Фурье-представление системы уравнений (1.9), (1.10) имеет вид

дііОі

ді

- А.а к,

д(Юц

+ К) а°іа + Аіа = а2кі к) аР-

Отметим, что преобразование Фурье в смысле, указанном в [4], от членов

л д°Ч *

типа АфХр -—-не существует, так как они не являются ограниченными на беса

конечности. Поэтому здесь необходимо воспользоваться преобразованием Фурье в смысле обобщенных функций [5] и лишь после этого преобразовать полученные уравнения в уравнения для коэффициентов Фурье (1.12). Производные от коэффициентов Фурье но компонентам волнового вектора не существуют [4], и уравнение (1.12) имеет лишь символический характер.

Решение системы уравнений

^1 = -А к-сИ “г

МР

Лі

<Ю = 0;

сІйО^

~~КГ

+ А*І аоы + Аі? СІОї; = а2 к1 кі йР

)

Интенсивность пульсаций давления выражается через спектральную функ-

цию Фрр

связанную с коэффициентами Фурье (1Р следующим образом [4]:

Фрр

Здесь индекс * обозначает комплексно-сопряженное число.

При некоторых ограничениях на функции Ау (*) можно получить аналитическое решение или выяснить асимптотические свойства решений системы уравнений (1.13). Исследованию таких частных случаев однородной деформации, когда это возможно, посвящены следующие два параграфа настоящей работы.

2. Однородная сферическая деформация. Тензор скоростей деформации для этого случая имеет вид:

1 _1_ Л

<Р>

где Ъу—единичный тензор.

А1] —

Ч'

л-- 3

<ІІ

И акустическая мода турбулентности описывается следующими уравнениями, вытекающими из общей системы (1.13):

£1йР

-#- + еЮ = 0;

МО „

+ 2А

<и

= — А£г.

Отметим одну особенность этих уравнений: если в начальный момент перед деформацией акустическая мода отсутствовала, т. е. <1Р и ЙО равны нулю, то деформация не приводит к появлению этой моды. Конечно, тем самым эти уравнения теряют наиболее интересное свойство, присущее уравнениям (1.9) и (1.10), — порождение акустической моды. Но уже при анализе осесимметричной деформации мы избавимся от этого упрощающего предположения. А пока ограничимся замечанием, что любое турбулентное поле является источником звука из-за нелинейного взаимодействия вихревой моды с собой [7] и, следовательно, акустическая мода в турбулентном поле всегда отлична от нуля. Помимо акустической моды, вызванной нелинейным взаимодействием вихревой моды самой с собой, в турбулентном поле может присутствовать акустическая мода, вызванная внешними причинами. После исключения из (2.1) и (2.2) коэффициента Фурье получим уравнение для коэффициента Фурье пульсаций давления

& йР

<и2

+ 2 А

,<МР

М

+ а2 А2 йР = 0.

По внешнему виду последнее уравнение напоминает уравнение колебаний

при наличии „трения”. Кавычки поставлены потому, что при >0 (сжатие

сИ

среды) сила „трения*—-?---------!_ способствует колебаниям. Правда,

3 / р\ <и . сИ

еще нельзя определенно сказать, что при амплитуда колебаний будет

(Н

возрастать, так как в уравнении (2А) „частота" колебаний «>2 = а2£2 является переменной по времени.

Если ввести новую зависимую переменную

(Р)о

1/3

йР,

то уравнение (2.4) запишем в каноническом виде. (Индекс .нуль" относится к параметрам турбулентного поля до деформации) '

а? к? +

Л (Р\п <Р)/(Р)о _ 1 ( Л\п (Р)/(Р)0

(1Р

сИ

У1 = 0.

Так как мы рассматриваем адиабатическое изменение среды, то

а2 = 05

т-1

<Р> 4 2

(Р)о

Из уравнения (2.3) для модуля волнового вектора к справедливо соотношение

ка к=№-. а а

(Р)о

2/3

к20; ко — к (*„).

чения Ух к dP (k0) и введем безразмерное время т : ние (2.6) принимает вид

У" +

(Р)о

(Р)о

aok0t, после чего уравне-

1 її

(Р)о

/2

г=о,

где штрихом обозначается производная по т и У = У^^Р (ко).

Уравнение (2.4) необходимо решать при следующих начальных условиях:

йР(к)\ы^=аР(к) = йРл алр -

= — йО (ко) с10о-

dt

l=t„

Начальные условия для уравнения (2.9) тогда принимают вид

ddDo _ 1 '<*(Р)/<Р)о

YI =1; Гт_т =

\х = х0 Т—то

В настоящей работе мы приведем решение уравнения (2.9) при следующем законе изменения плотности среды:

rf2 1n (р)/(р)о dt2

= 0

ИЛИ

(р> = (р)оехр {3Q/},

где 2 = const, а множитель 3 выбран для удобства дальнейших выкладок.

Отметим, что, как следует из определения величины А, поле средней скорости в этом случае является стационарным:

Ui = —Qxi.

При таком законе изменения плотности уравнение (2 9) приводим к виду

Y" + ехр

, Г(3Т — 1) — х L "о .

-1 — 1 I у-

'0 ,

= 0

с начальными условиями (2.10). В общем случае решение этого уравнения нельзя получить аналитически (пример аналитического решения будет указан ниже), поэтому ограничимся приближенным решением при достаточно больших х.

Рассмотрим вначале случай Й>0, что соответствует сжатию среды. Здесь могут представиться две возможности: £2/о>0;>1 и й/ш0-<1. При 2/ю0<^1 выражение в фигурных скобках в (2.12), имеющее смысл частоты, всегда положительно, но при £2/ш0;>1 оно может обратиться в нуль, переходя от отрицательных значений к положительным при некотором значении т*. Приближенное решение уравнения в обоих случаях может быть найдено методом Вентцеля— Крамерса — Бриллюэна (ВКБ) [6]. Нас интересуют лишь асимптотические оценки. При достаточно больших т приближенное решение имеет следующий вид:

ехр

(3-f— 1) Q

X [С. ехр (г>) + С_ехр (—г»];

= |ехр[.

(3Т—1) Q

“о

dzx — п/4.

Здесь постоянные С_^_ и С_ определяются полным решением уравнения (2.12) с начальными условиями (2.10). Для коэффициентов Фурье пульсаций давления, с использованием (2.5), имеем: .

dP ~ dPo ехр

5—37

4

Используя определение спектральной функции (1.15) и соотношения (1.14) и (1.7) для акустических пульсаций давления, получим:

(р' 2)~ (р'2)о ехр |5+9т S!^ = (р,2)с

5+9Т (р)1 6

(р)о

Здесь было также использовано соотношение (р) ~ (р)т •

Перед тем как перейти к случаю й<0, укажем одно точное решение

уравнения (2.12). Если (З-f—1)~ = 2, то (2.12) приводится к уравнению для ци-

о>о

линдрических функций, и решение имеет вид [8]

У = Zv [ехр (со0 *)],

где

, a Zv — цилиндрическая функция.

37-1

Из (2.15) вытекает, что при сжатии среды акустические пульсации давления возрастают.

Рассмотрим теперь случай й<;0— расширение среды. Асимптотическое решение уравнения (2.12) в этом случае имее вид

У — ехр (—20-

Из выражений (1.7), (1.14) и (1.15) получим, что интенсивность акустических пульсаций давления меняется по закону

(р'2} ~ (pr 2)0 ехр (6lQt) = (р'2)о

(р)о

2Т

Последнее соотношение показывает, что при сферическом расширении среды происходит уменьшение акустических пульсаций давления.

3. Осесимметричная деформация. В этом случае среди компонент тензора Ау от нуля отличны три компоненты: Ап, Л22 и Л33, причем А22 — А33. Система уравнений, описывающая поведение коэффициентов Фурье акустической моды, принимает вид:

ddP

dt

- dD = 0;

ddD

dt

2A22 dD-\-2 (Ли — A22) dDn = a2 № dP; dD,

dkj

dt

Ч- 2Лц dDn = cflkj dP;

+ A%2 ki + (Лц — A22) 8; t ki = 0.

Получить решение этой системы в аналитическом виде при произвольных функциях Ап и А22 едва ли возможно, поэтому ограничимся наиболее простым случаем, когда Ап и А22 являются постоянными, а среда в среднем несжимаема «Р> = const). Как уже отмечалось в п. 2, случай осесимметричной деформации существенно отличается от случая сферической деформации в том отношении что в процессе деформации появляется акустическая мода, даже при ее отсутствии до деформации. Математически это выражено в появлении в системе уравнений (3.1) члена с dDn, который даже в несжимаемой жидкости отличен от нуля (т. е. тождественно не равен нулю спектр (dDndD*n), интеграл от которого по волновому пространству равен {(ди^дх^)).

Из условия несжимаемости в среднем среды при деформации имеем

Лц -}- 2А22 — 0 или А22=—___ Лц.

Обозначим Ап=А и перепишем систему (3.1) еще раз, учитывая (3.2):

ййР Л

ЧГ + ао = °’

ййО о

— ЛйО + 3 А(Юп — % *2 ЙР;

^^- + 2АШи = ^2 ар.

*1 = *ю ехр (—At)^, *2 = *20 ехр А^ ; *3 = *30 ехр Л*| .

Из системы (3.3) можно получить уравнение для йР

йз ар

+ Л'

й2 ар

йР

+ “о

*10

*20 + ^30

-2| АП^ «•о / I <«

г ехр

«о *о

*20 "Ь *40 + ЗА <0^-----------2“ ехр (Л*) йР = 0.

Если до деформации акустическая мода отсутствовала, то начальные условия для уравнения (3.4) принимают вид

= °;

ЙЙР

й(

<=*0

= 0,

и из первых двух уравнений системы (3.3) следует

<Р<№ = ЗЛй£>„Ь ,.

Й**

Таким образом, хотя уравнение (3.4) линейно и однородно, но начальные условия во всех случаях не являются однородными, и существует нетривиальное решение уравнения (3.4).

Для простоты рассмотрим коэффициенты Фурье пульсаций давления с *20 = *зо = 0. Уравнение (3.4) принимает вид

й3 ЙР

й2 йР йР

4

о>о ехр (— 2 /4*) — 2

Л \2

ЙЙР Й<

:0.

Уравнение (3.5) удобно привести к каноническому виду с помощью преобразования

У1 = йРехр А?\;

й3 Ухтз +

йо (ехР (—

2 Л0-

“о

ЙГ,

а

1 = 0.

^ к

Если Л>0, то асимптотическое решение уравнения (3.7) будет

сИ

ехр \ ~2~At) или У-! ~ ехр I ~2~ At\ , следовательно, для коэффициентов Фурье,

используя (3.6), получим

йР ~ ехр (А1).

Так как среднее давление постоянно, то из соотношения (3.8) следует, что акустические пульсации давления, выражаемые коэффициентами Фурье с *20 = = *зо== 0, возрастают. Случай Л>0 соответствует расширению элементов среды

вдоль оси ху и сжатию по осям х2 и х3. В какой-то мере подобная ситуация реализуется при прохождении однородного турбулентного потока через осесимметричный сужающийся канал.

Перейдем к случаю (сжатие элементов среды по xt и расширение по

х2 и лг3, течение через осесимметричный расширяющийся канал). Асимптотическое решение находим, как и в п. 2, методом ВКБ [6]:

~ exp ^ A?j X [С+ exp (/<p) -f C_ exp (— /9)];

<»o

<P = — ^-exp(— At) — */ 4,

где постоянные и C+ и C_ имеют тот же смысл, что и в (2.13).

d Y

При интегрировании выражения для ---------L можно воспользоваться прибли-

dt

женными методами для интегрирования быстро колеблющихся функций [9]

Уг ~ ехр

и для коэффициентов Фурье с использованием (3.6) следует

dP ~ ехр

Таким образом, при Л<0 пульсации давления, выражаемые коэффициентами Фурье с &20 = £зо = 0, уменьшаются.

В заключение отметим, что в общем случае произвольно направленной акустической волны уравнение (3.5) можно проинтегрировать лишь численно.

Автор выражает признательность В. Л. Зимонту за полезные замечания при постановке настоящей задачи.

ЛИТЕРАТУРА

1. Pearson I. A. R. The effect of uniform distortion on weak homa-

geneus turbulence. J. Fluid Mech., vol. 5, pt. 2, 1959.

2. Chy B., Kovasznay L. S. Q. Non-linear interaction in a viscous heat-conducting compressible gas. J. Fluid Mech., vol. 3, pt. 5, 1958.

3. Зимонт В. JI., С а б e л ь н и к о в В. А. О поведении коэффициента турбулентной диффузии при быстрой сферической деформации. .Ученые записки ЦАГИ“, т. III, № 6, 1972.

4. Бэтчэлор Д. Теория однородной турбулентности. М.,

И. Л., 1955.

5. Шварц Л. Математические методы для физических наук.

М., „Мир", 1965.

6. Мэтьюз Дж., Уокер Р. Математические (методы физики.

М., „Атомиздат”, 1972.

7. Light hi 11 М. J. On sound generated aerodynamically, pt. 1.

Proc. Royal S. A., vol. 211, № 1107, 1952; pt. 2, Proc. Royal S. A, vol. 222, № 1148, 1954.

8. ГрадштейнИ. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. Формула 8492. М., „Наука*, 1971.

9. Зельдович Я. Б., М ы ш к и с А. Д. Элементы прикладной математики, гл. 3, 1972.

Рукопись поступила 16/111973 г.

9—Ученые записки ЦАГИ № 2