Аналитический расчет остаточных напряжений при упрочнении цилиндрических деталей поперечной обкаткой

УДК 621.787.4

АНАЛИТИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ОСТАТОЧНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ ПРИ УПРОЧНЕНИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ДЕТАЛЕЙ ПОПЕРЕЧНОЙ ОБКАТКОЙ

© С.А. Зайдес1, Фам Дак Фыонг2

Иркутский национальный исследовательский технический университет, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

Рассмотрено напряженно-деформированное состояние цилиндрических деталей при упрочнении поперечной обкаткой плоскими плитами. С помощью программного комплекса ANSYS доказана возможность перехода от объемного напряженного к плоско-деформированному состоянию. На основе теории упруго-пластических деформаций предложен подход для расчета напряженного состояния цилиндра при поперечной обкатке. Получены математические зависимости для определения распределения остаточных напряжений по сечению цилиндра. По результатам расчетов сделан вывод о том, что при поперечной обкатке, используемой в качестве метода поверхностного пластического деформирования, не может возникать разрушение материала в центральной зоне заготовки.

Ключевые слова: упрочнение; поперечная обкатка; напряженно-деформированное состояние; упруго-пластическая деформация; остаточное напряжение.

ANALYTICAL CALCULATION OF RESIDUAL STRESSES UNDER CYLINDRICAL PART HARDENING

BY CROSS ROLLING

S.A. Zaydes, Pham Dac Phuong

Irkutsk National Research Technical University, 83 Lermontov St., Irkutsk, 664074, Russia.

A stress-strain state of cylindrical parts is considered under cross rolling hardening by flat plates. By means of ANSYS software, the possibility of transition from the three-dimensional stress state to the plane-strain state is proved. An approach to calculate a cylinder stress state under the cross rolling is proposed on the basis of the theory of elastic-plastic deformations. The mathematical dependences to determine the residual stress distribution over the cylinder cross section are obtained. The calculation results allowed to conclude that material is unlikely to be damaged in the central zone of the work piece under the cross rolling used as a method of surface plastic deformation. Keywords: hardening; cross rolling; stress-strain state; elastic-plastic deformation; residual stress.

Актуальность

Для деформационного упрочнения деталей типа осей, пальцев, втулок в работе [8] предложен перспективный способ поверхностного пластического деформирования, основанный на обкатке заготовки плоскими плитами. Предложенный способ позволяет обрабатывать цилиндрические детали, которые не имеют центровых отверстий. При поперечной обкатке исключается также изгиб заготовки от действия поперечных сил нагружения. Аналогичная схема силового нагружения используется в процессах поперечной прокатки при обработке металлов давлением. При разработке этой технологии были обнаружены в центральной зоне заготовки большие рас-

тягивающие напряжения [6, 7], которые являются причиной формирования зоны с наличием трещин и повреждений (позднее несплошности металла в осевой зоне заготовки стали использовать для получения цельнотянутых труб). В этой связи возникает вопрос о величине напряженного состояния при малых обжатиях, которые предполагается использовать для упрочняющей обработки цилиндрических деталей.

Оценка деформированного состояния при поперечной обкатке плоскими плитами

Для определения напряженно-деформированного состояния цилиндра в условиях поперечной прокатки использует-

1

Зайдес Семен Азикович, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой машиностроительных технологий и материалов, тел.: (3952) 405119, email: zsa@istu.edu

Zaydes Semen, Doctor of technical sciences, Professor, Head of the Department of Machine-Building Technologies and Materials, tel.: (3952) 405119, e-mail: zsa@istu.edu

2Фам Дак Фыонг, аспирант, тел.: 89246069558, e-mail: dacphuong.ru88@gmail.com Pham Dac Phuong, Postgraduate, tel.: 89246069558, e-mail: dacphuong.ru88@gmail.com

ся расчет с известным приближением на основе теоретического и экспериментального решений задачи о сжатии параллельными плитами цилиндра по диаметру. Сопоставление полей деформаций при поперечной прокатке цилиндра после поворота тела на некоторый малый угол, измеренное при помощи поляризационно-оптического метода [5], показало, что оно несущественно отличается от полей деформации при сжатии цилиндра по диаметру между плоскими параллельными плитами. Поэтому многие исследователи [3, 5, 6] считают поля напряжений и деформаций сжатого между плоскими плитами цилиндра близкими к полям напряжений и деформаций в цилиндре при поперечной обкатке.

Напряженно-деформированное состояние цилиндра при осадке рассмотрено с помощью прикладной программы АМБУБ [1], которая предназначена для математического моделирования различных физических процессов с использованием метода конечных элементов. Для проведения расчета в программе АМБУБ была построена геометрическая модель в виде цилиндра и двух плит и контакта между ними (рис. 1).

Для оценки влияния длины цилиндра на его напряженно-деформированное состояние после обработки приведены опыты по осадке цилиндров с одинаковым диаметром б, но с разными длинами I. Приняты следующие параметры моделирования: цилиндры диаметром 20 мм, длины цилиндров последовательно равны 20, 40,

60, 80, 100 мм из стали Ст45 (От = 360 МПа); плиты размерами соответственно 22х22х3, 42х42х3, 62х62х3, 82х82х3, 102х102х3 мм считаются абсолютно жесткими; величина абсолютного обжатия равна 0,4 мм (относительное обжатие 8 = 2%).

В схеме на рис. 1 нижняя плита неподвижна, верхняя плита опускается вниз до значения величины обжатия, после этого верхняя плита поднимается в исходное положение, т.е. происходит полная разгрузка заготовки. В результате в цилиндре появляются остаточная деформация в радиальном направлении и остаточные напряжения по всем направлениям.

Результаты расчетов показали, что для цилиндра с отношением длины к диаметру l/d = 3 значения пластической деформации в осевом направлении для всех точек, находящихся на расстоянии больше 0,018*1 от торца, представляют 0,001 — 0,003 мм. Деформации в радиальном направлении находятся в пределах десятых долей миллиметра. Максимальные значения пластической деформации в осевом направлении для точек, находящихся в торце цилиндра, представлены в табл. 1. При относительном обжатии до 2,5% деформация в осевом направлении находится в пределе от 0,05% до 0,27% от длины цилиндра. Это обеспечивает достижение точности длины цилиндра после обработки до 13-го квалитета.

Рис. 1. Конечно-элементная модель цилиндра при радиальном сжатии: 1 - нижняя плита, 2 - верхняя плита; 3 - цилиндр

Таблица 1

Значения пластической деформации в осевом направлении цилиндра в зависимости от величины относительного обжатия

АН, мм 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

АН 8 = — • 100% 0,5 1 1,5 2 2,5

А 1 zmax, ММ 0,03 0,06 0,11 0,14 0,16

Квалитет 60JS9

Таким образом, перемещения металла, отнесенные к единице длины, малы по сравнению с относительными перемещениями металла в поперечных сечениях. Только для точек в зоне контакта плит с концевым участком цилиндра наблюдается максимальная пластическая деформация. Значения пластической деформации в осевом направлении при различных отношениях длины к диаметру даны в табл. 2. При увеличении отношения длины цилиндра к его диаметру максимальные значения пластической деформации в осевом направлении изменяются незначительно. Для длинного цилиндра ^ = 5d) точность после обработки достигает 13-го квалитета (100^(10,175)).

Таблица 2 Значения пластической деформации

в осевом направлении цилиндра при различных отношениях длины к диаметру

L/D 1 2 3 4 5

А l zmax, 0,11 0,11 0,12 0,13 0,138

ММ

Из вышеизложенного следует, что в осевом направлении деформируемого цилиндра перемещения металла малы по сравнению с размерами цилиндра в этом направлении. Причем продольные перемещения металла, отнесенные к единице длины, малы по сравнению с относительными перемещениями металла в поперечных сечениях. Это обстоятельство позволяет считать, что в данном случае имеет место «плоская деформация» металла в поперечных сечениях заготовки. Полученные результаты позволяют перейти от объ-

емного напряженного состояния к плоской деформации.

Аналитический расчет

остаточных напряжений

Для плоско-деформированного состояния широко используют приближенное условие пластичности вместо точного [2]:

°р-°в = ук, где К = 2к, V = ±1, к = -=оТ для случая

энергетической теории предельного состояния; оТ - предел текучести; ор - радиальное напряжение; ов - тангенциальное напряжение.

Основные уравнения теории упругости для плоской задачи в цилиндрической системе координат имеют вид [7]: дор 1 дТрв ар - ов

др+ р'дв дт.

Р

= 0;

Ч2

где трв - касательное напряжение; опера-

„2 д2 , д2 ция V2- — + — носит название операто-

др2 дв2

ра Лапласа второго порядка над функциями ор и ов или гармонической операции «набла два». Первые два уравнения системы являются дифференциальными уравнениями равновесия, а третье уравнение - условием сплошности материала.

Введена некоторая функция <(р,в) так, чтобы уравнения равновесия удовлетворялись тождественно [4]:

1д < 1 д2< д2< ' ; ов

°р рдр+'р2дв2

д р2'

трв = -

д /1д< дрКрдв,

Функция <(р,в) называется функцией напряжений (функцией Эри). Подстав-

ляя напряжения, выраженные через функцию Эри, в уравнение сплошности (1), получим:

Ч4

Функция, удовлетворяющая уравнению (2), называется бигармонической. И, таким образом, решение плоской задачи сводится к отысканию бигармонической функции, удовлетворяющей граничным условиям.

В связи с этим бигармоническое уравнение У4(<р) = 0 в цилиндрической системе координат приобретает следующий вид:

(д2 1 д 1 д2\ + -— + ——) х

др2 рдр р2 дв2

+

В случае симметричного распределения компоненты напряжений не зависят от угла в (т.е. являются только функцией радиуса р), а касательное напряжение трв = 0. При этом остается только одно уравнение статики:

dun dp

Р

0.

Условие совместности (3) можно переписать в виде

/ й2 1й\и2у \йр2 рйр1\йр2 pd.pl

или

d4( 2 d3( 1 d2(p 1 ¿<Р _ q dp4 p dp3 p2 dp2 p3 dp ' ^ '

Уравнение (5) - линейное однородное дифференциальное уравнение четвертого порядка типа Эйлера. Общим решени-

ем уравнения (5) будет выражение

<р = А1пр + Вр21пр + Ср2 + И.

Компоненты напряжений на основании уравнения (4) можно найти по формулам:

1дю А а0 = ^ + В(1 + 21пр) + 2С;

и р др р2

°о=^?=-^ + В

Константы А, В, С при решении конкретных задач определяются с учетом граничных условий.

Определение граничных условий при обкатке плоскими плитами

Пусть круглый валик, длина которого значительно превышает диаметр, подвергается поперечной обкатке так, чтобы единичные обжатия были небольшими - в пределах от десятых долей до трех процентов.

В таком случае силы, действующие на валик со стороны плит, будут по существу сосредоточенными. Тогда пластическая деформация получит наибольшее развитие в периферийной части заготовки. По мере перехода от периферии цилиндра к центру пластическая деформация будет быстро уменьшаться за счет резкого спада напряжений от сосредоточенных нагрузок.

Таким образом, если обработать вал по всему периметру, а затем прекратить воздействие на него плит, то после снятия нагрузки напряжения от внешних сил исчезают, а в цилиндре формируются остаточные напряжения, связанные с неравномерностью деформации.

Рис. 2. Схема процесса поперечной обкатки плоскими плитами: 1 - неподвижная плита, 2 - подвижная плита, 3 - заготовка

С помощью программы ANSYS определены напряжения в стальном валике, упрочненном поверхностной поперечной обкаткой. Для проведения расчета в программе ANSYS были приняты следующие параметры моделирования: цилиндр радиусом 12 мм и длиной 100 мм из стали Ст45 (ат = 360 МПа); плиты размерами 10х80х100 мм считаются абсолютно жесткими; величина обжатия равна 0,2 мм. В схеме на рис. 2 нижняя плита неподвижна, верхняя плита опускается вниз до значения величины обжатия, после этого верхняя плита перемещается вправо до того, как валик совершил полуоборот, т.е. обработка проходила по всему периметру валика. Затем верхняя плита поднимается для полной разгрузки валика. В результате в цилиндре появляются остаточная деформация в радиальном направлении и остаточные напряжения по всем направлениям. Значения остаточных напряжений после поперечной обкатки показано в табл. 3, из которой видно, что радиальные напряжения по всему сечению детали являются растягивающими и обращаются в нуль на поверхности в соответствии с условиями статики. Тангенциальные напряжения от растягивающих в центральной области валика переходят к сжимающим в периферийных слоях заготовки и на контуре приобретают максимальное значение. При других значениях обжатия получено аналогичное распределение остаточных напряжений.

С учетом этого обстоятельства выполнен ориентировочный расчет величины остаточных напряжений, возникающих в цилиндре в результате поперечной обкатки. Сформулируем на основании условий статики и приведенных выше опытных данных граничные условия:

1. На контуре заготовки радиальное напряжение равно нулю при р = г и ор = 0.

2. Опыты показывают, что в некотором промежуточном кольцевом сечении, которому соответствует радиус гв, разность напряжений обращается в нуль, и далее во всей центральной зоне эта разность в 5-10 раз меньше, чем на периферии. Например, для значения обжатия 0,2 мм на рис. 3 значение гв равно 0,8 R. Это дает возможность приближенно считать для всей центральной зоны разность напряжений равной нулю, а для кольцевого сечения принять точ-

ов бу-

О,

р

ное условие: при р, равном дет равно 0.

3. Ввиду того, что деформированная заготовка находится в упруго-напряженном состоянии, максимальное значение напряжений на контуре вала должно быть меньше истинного сопротивления деформации К. Однако чтобы приближенно оценить величину и характер остаточных напряжений, можно принять максимальное значение разности напряжений на поверхности тела равным К. Тогда на основании опытных данных третье граничное условие можно представить в следующем виде: при р, равном г, ор - ов будет равно уК.

Результаты численного расчета остаточных напряжений

Для решения данной осесимметрич-ной упругопластической задачи применимы формулы (6). Используя второе из граничных условий, находим: В = А/г2.

Принимая во внимание это соотношение и используя первое и третье граничное условие, получим:

уКгв ук

А =----—В = —

2 И г) _

2 И г) _

2С = — — +

2

vKlnr

1-р

V г

Распределение остаточных напряжений в цилиндре после поперечной обкатки при абсолютном обжатии 0,2 мм

Таблица 3

p/R 0 0,2 0,4 0,6 0,8 0,9 0,95 1

1,33 1,36 1,38 1,5 3 10 -110 -216

1,4 1,5 1,8 1,9 3 1,3 0,5 0

0,82 0,85 0,95 1 1,8 3,3 -32,85 -64,8

Подставляя значения констант в формулы (6) и принимая с учетом граничных условий V = ±1, найдем выражение для напряжений:

I©2 -

О

К

21п-

Ов

К

21п-

- (р)2 - &

-(в)2

— = и

к г

2lnL

_Р

1

Последняя формула получена из условия плоской деформации:

о,

= fi(Op+Oe).

На рис. 3 изображена эпюра остаточных напряжений после обкатки. В расчетах принято: тв/Я = 0,2; ^ = 0,3.

Из рис. 3 также следует, что в центре сечения цилиндра напряжения являются растягивающими. Наружные слои заготовки деформируются по толщине в большей мере, чем внутренние. За счет уменьшения толщины периметр наружных слоев стремится возрасти и, следовательно, они испытывают стремление к отрыву от сердцевины вала. Этому препятствует сплошность тела. Поэтому возникают растягивающие радиальные напряжения, максимальные в центре и равные нулю на периферии.

1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 -0,2 -0,4 -0,6 -0,8 -1

На рис. 3 также видно, что максимальные остаточные напряжения возникают при р = гв. Заменив р на гв в формулах (7), можем определить максимальные остаточные напряжения:

о

pmax Овтах

К

К

1 2

21п —

(в)2

-1

=

2 n

-1

Зависимость максимальных

остаточных напряжений после поперечной обкатки от величины в показана на рис. 4.

Опасность появления трещин в центральной области цилиндра при упрочнении поперечной обкаткой можно оценить по данным табл. 4. Расчеты, выполненные в программе АМБУБ, показывают, что поверхностное пластическое деформирование обкаткой плоскими плитами (0 = 0,83,3%) происходит по периферии цилиндрической детали в пределах (0,7-0,9)Р. При этом остаточные напряжения растяжения в центральной области заготовки весьма малы и не превышают значения (4-23%)от. Таким образом, при указанных значениях параметров обработки возникающие внутренние напряжения не способствуют образованию трещин и разрушению материала.

11= =1 U

\ \ 1

<>— Л

\\

Гв N

oz К

щ-Ор

К

х ре К

р R

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 Рис. 3. Распределение остаточных напряжений после поперечной обкатки

при ¡1 = 0,3;гв/Я = 0,2

1

1

2

G

в

1

2

к

2 1,8 1,6 1,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0

ÖV

К

о,

ртах

Гв R

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 Рис. 4. Распределение максимальных остаточных напряжений после поперечной обкатки в зависимости от величины гв

Таблица 4

Отношение максимальных напряжений к пределу текучести в зависимости от величины ги

Тв/R

0,9 0,04 0,06

0,8 0,08 0,14

0,7 0,14 0,23

0,6 0,21 0,34

0,5 0,29 0,49

0,4 0,41 0,68

0,3 0,57 0,95

0,2 0,81 1,35

0,1 1,26 2,10

Выводы

На основании вышеизложенного можно сделать следующие выводы:

1. Установлено, что деформация цилиндра в осевом направлении мала по сравнению с деформацией в поперечном направлении. Это обстоятельство позволя-

ет при расчете напряжений перейти от объемного напряженного к плоско-деформированному состоянию цилиндрической заготовки.

2. Предложен математический подход и определены граничные условия для расчета напряженного состояния при поперечной обкатке плоскими плитами. Получены аналитические зависимости для определения компонент остаточных напряжений при поперечной обкатке.

3. Результаты расчетов доказали, что при поверхностном пластическом деформировании поперечной обкаткой плоскими плитами в центральной области заготовки возникают остаточные напряжения, величины которых намного меньше предела текучести материала. Это позволяет утверждать, что предлагаемый способ упрочнения исключает образование трещин и разрушение материала в центральной области цилиндрических изделий.

Статья поступила 06.11.2015 г.

Библиографический список

1. Басов К.А. ANSYS в примерах и задачах / под общ. ред. Д. Г. Красковского. М: КомпьютерПресс, 2002. 224 с.

2. Ишлинский А.Ю., Ивлев Д. Д. Математическая теория пластичности. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001, 2003. 704 с.

3. Кантер Ю.Л. Напряженно-деформированное состояние и прочность цилиндра в условиях циклического радиального сжатия: дис. ... канд. техн. наук: 01.02.06. Киев: КОЛПИ, 1983. 197 с.

4. Кац А.М. Теория упругости. 2-е изд., стер. СПб.: Изд-во «Лань», 2002. 208 с.

5. Лисицин А.И., Остренко В.Я. Моделирование процессов обработки металлов давлением (оптические методы). Киев: Технка, 1976. 208 с.

6. Поперечно-клиновая прокатка / Г.В. Андреев [и др.]. Минск: Наука и техника, 1974. 160 с.

7. Томленов А.Д. Механика процессов обработки металлов давлением. М.: Машгиз, 1963. 234 с.

8. Фам Дак Фыонг, Зайдес С.А., Нгуен Ван Хуан. Определение условий поперечной обкатки при поверхностном пластическом деформировании // Вестник ИрГТУ. 2015. № 4. С. 48-52.