Об орграфах, имеющих минимальные вершинные 1-расширения с малым количеством дополнительных дуг

ЛИТЕРАТУРА

1. Hayes J. P. A graph model for fault-tolerant computing system // IEEE Trans. Comput. 1976. V.C.25. No. 9. P. 875-884.

2. Harary F. and Hayes J. P. Edge fault tolerance in graphs // Networks. 1993. V. 23. P. 135-142.

3. Harary F. and Hayes J. P. Node fault tolerance in graphs // Networks. 1996. V. 27. P. 19-23.

4. Mukhopadhyaya K. and Sinha B. P. Hamiltonian graphs with minimum number of edges for fault-tolerant topologies // Inform. Process. Lett. 1992. V. 44. P. 95-99.

5. Hsu L. H. and Lin C. K. Graph Theory and Interconnection Networks. CRC Press, 2009.

6. Абросимов М. Б. О неизоморфных оптимальных 1-отказоустойчивых реализациях некоторых графов // Теоретические проблемы информатики и её приложений. Саратов: СГУ, 2000. Вып. 3. С. 3-10.

7. Абросимов М. Б. О неизоморфных минимальных реберных 1-расширениях графов // Теоретические проблемы информатики и её приложений. Саратов: СГУ, 2004. Вып. 6. С. 3-9.

8. Абросимов М. Б. О сложности некоторых задач, связанных с расширениями графов // Матем. заметки. 2010. №5(88). С. 643-650.

9. Абросимов М. Б. Минимальные вершинные расширения циклов с числом вершин не более одиннадцати / Саратов: СГУ, 2001. 17 с. Деп. в ВИНИТИ 14.08.2001, №1869-В2001.

УДК 519.17

ОБ ОРГРАФАХ, ИМЕЮЩИХ МИНИМАЛЬНЫЕ ВЕРШИННЫЕ 1-РАСШИРЕНИЯ С МАЛЫМ КОЛИЧЕСТВОМ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ДУГ

М. Б. Абросимов, О. В. Моденова

Понятие минимального вершинного k-расширения введено на основе понятия оптимальной k-отказоустойчивой реализации, которое предложено Дж. П. Хейзом [1]. В работе [2] исследована задача описания неориентированных графов с заданным числом дополнительных рёбер минимальных вершинных 1-расширений. В данной работе рассматривается аналогичная задача для орграфов без петель. В [3] приводится лемма, устанавливающая связь между минимальными вершинными k-расширениями неориентированного графа и его ориентации.

Лемма 1 [3]. Пусть G* есть минимальное вершинное k-расширение орграфа G. Тогда симметризация G* является вершинным k-расширением симметризации G.

Следствие 1. Число дополнительных дуг минимального вершинного k-расширения орграфа G не менее числа дополнительных рёбер минимального вершинного k-расширения симметризации орграфа G.

В работе [2] получены следующие результаты (теоремы 1-3).

Теорема 1. Графы со степенным множеством {1, 0}, и только они, имеют минимальные вершинные 1-расширения с одним дополнительным ребром; для каждого графа со степенным множеством {1, 0} такое расширение единственно с точностью до изоморфизма.

С учётом следствия 1 получаем, что только ориентации графов из теоремы 1 могут иметь минимальные вершинные 1-расширения с одной дополнительной дугой.

Теорема 2. Среди связных графов только цепи имеют минимальные вершинные 1-расширения с двумя дополнительными рёбрами; для каждой цепи такое расширение единственно с точностью до изоморфизма.

С учётом следствия 1 получаем, что только ориентации графов из теорем 1-2 могут иметь минимальные вершинные 1-расширения с двумя дополнительными дугами. Оказывается, что ориентация цепи имеет две дополнительные дуги в минимальном вершинном 1-расширении, только если цепь является гамильтоновой. Минимальным вершинным 1-расширением такой цепи является контур.

Теорема 3. Среди несвязных графов без изолированных вершин только графы вида Рп и Сп+1 и ... и Сп+1 при п > 1 имеют минимальные вершинные 1-расширения с двумя дополнительными рёбрами, причём это расширение с точностью до изоморфизма совпадает с Сп+1 и Сп+1 и ... и Сп+1.

С учётом следствия 1 получаем, что только ориентации графов из теорем 1-3 могут иметь минимальные вершинные 1-расширения с двумя дополнительными дугами.

Удалось получить следующие результаты.

Теорема 4. Орграфы, полученные объединением п двухвершинных цепей с т изолированными вершинами, где т > 0, и только они имеют минимальные вершинные 1-расширения с одной дополнительной дугой. Каждый такой орграф имеет единственное с точностью до изоморфизма минимальное вершинное 1-расширение.

Теорема 5. Среди связных орграфов гамильтоновы цепи Рп, и только они, имеют две дополнительные дуги в минимальном вершинном 1-расширении. При п > 2 каждая цепь имеет единственное с точностью до изоморфизма минимальное вершинное 1-расширение. При п = 2 цепь имеет два неизоморфных минимальных вершинных 1-расширения: циклическую и транзитивную тройки.

Теорема 6. Среди несвязных орграфов без изолированных вершин только орграфы вида Рп и Сп+1 и ... и Сп+1 при п > 2, где циклы являются контурами, а цепь — гамильтоновой цепью, имеют единственное с точностью до изоморфизма минимальное вершинное 1-расширение с двумя дополнительными дугами. При п = 2 возможен ещё один случай: вместо контура С3 можно взять транзитивную тройку Т3. Граф Р2 и Т3 и ... и Т3 также имеет единственное с точностью до изоморфизма минимальное вершинное 1-расширение с двумя дополнительными дугами.

На рис. 1 представлена схема построения семейства графов из теоремы 6 и их минимальных вершинных 1-расширений.

т т + 1

Рис. 1. Орграф и его минимальное вершинное 1-расширение с двумя дополнительными дугами

ЛИТЕРАТУРА

1. Hayes J. P. A graph model for fault-tolerant computing system // IEEE Trans. Comput. 1976. V.C.25. No. 9. P. 875-884.

2. Абросимов М. Б. Характеризация графов с заданным числом дополнительных ребер минимального вершинного 1-расширения // Прикладная дискретная математика. 2012. № 1. С.111-120.

3. Абросимов М. Б. Минимальные вершинные расширения направленных звезд // Дискретная математика. 2011. №23:2. С. 93-102.

УДК 519.17

О МИНИМАЛЬНЫХ РАСШИРЕНИЯХ ЧЕРНО-БЕЛЫХ ЦЕПЕЙ ОСОБОГО ВИДА

П. П. Бондаренко

Определение 1. Граф G* = (V*,а*) называется минимальным вершинным k-расширением [1,2] n-вершинного графа G = (V, а) с вершинами p типов, если выполняются следующие условия:

1) граф G* является вершинным k-расширением графа G, то есть граф G вложим в каждый подграф графа G*, получающийся удалением любых его k вершин;

2) граф G* содержит n + kp вершин, то есть |V* | = |V| + kp;

3) а* имеет минимальную мощность при выполнении условий 1 и 2.

Определение 2. Граф G* = (V*,а*) называется минимальным рёберным

k-расширением [3] n-вершинного графа G = (V, а) с вершинами p типов, если выполняются следующие условия:

1) граф G* является рёберным k-расширением графа G, то есть граф G вложим в каждый граф, получающийся из G* удалением любых его k рёбер;

2) граф G* содержит n вершин, то есть |V*| = |V|;

3) а* имеет минимальную мощность при выполнении условий 1 и 2.

Вершины разных типов можно изображать различными цветами. Будем рассматривать минимальные вершинные и рёберные 1-расширения черно-белых неориентированных графов, в которых вершины имеют два типа: p =2 (белые и чёрные вершины).

В результате вычислительного эксперимента построены все минимальные вершинные и рёберные 1-расширения черно-белых цепей, в которых две белые вершины имеют степень 1, а чёрные — степень 2 (то есть белые вершины на концах цепи), с количеством вершин до 9.

Теорема 1. Минимальные вершинные расширения цепей Pn с вершинами двух типов, в которых белые вершины имеют степень 1, а чёрные — степень 2, содержат m = 3k рёбер при чётном n = 2k, и одно из минимальных 1-вершинных расширений имеет вид, показанный на рис. 1,а. При нечётном n = 2k + 1 количество рёбер m = 3k + 2, и одно из минимальных вершинных расширений имеет вид, показанный на рис. 1,б.