Роль параметрического резонанса в стабилизации вязкоупругого стержня под действием следящей силы

МельничукП.П., Лоев В.Е., СтепчинЯ.А. Динамика привода подач станка для торцевого фрезерования с дискретной подачей при отсутствии резания

В статье приведены теоретические исследования математической модели нового способа финишной обработки плоских поверхностей деталей торцевым лезвийным инструментом, оснащенных СТМ с дискретным движением подач при отсутствии процесса резания. Патент Украины на изобретение № 94184 от 11.04.2011 г.

Описание нового способа приведено в работе [1].

Ключевые слова: обработка плоских поверхностей фрезерованием.

MelnychukP., Loev V., Stepchyn Y. Dynamics of feed machines for face milling with a discrete feeding in the absence of cutting

Theoretical research of new mathematical model of tools ’flats final processing by face-blade instrument equipped with ultra-hard material with discrete feeding movement for lack of cutting process are given. Patent of Ukraine for invention № 94184, 11.04.2011.

Key words: processing of flats by milling.

УДК 531.314

Канд. физ.-мат. наук И. А. Костюшко1, канд. физ.-мат. наук С. П. Швыдкая1,

А. В. Куземко2

1 Национальный университет, Национальный технический университет; г Запорожье

РОЛЬ ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО РЕЗОНАНСА В СТАБИЛИЗАЦИИ ВЯЗКОУПРУГОГО СТЕРЖНЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ СЛЕДЯЩЕЙ СИЛЫ

Дестабилизация равновесия неконсервативных систем малыми диссипативными силами обнаружена на примере рассмотрения двойного маятника с вязкоупругими шарнирами, на который действует следящая сила [1]. Дестабилизация также обнаруживается и при рассмотрении континуальных моделей. Например, в [2] рассматривается консолъно закрепленный стержень, изготовленный из вязкоупругого материала, и на который действует следящая сила. Таким образом, в пространстве параметров этих задач существует область, в которой равновесие системы без диссипации устойчиво, а при наличии малой диссипации -неустойчиво. Эта область имеет конечную меру при стремлении коэффициента вязкости к нулю. В публикуемой работе анализируется возможность параметрической стабилизации неустойчивой прямолинейной формы консолъно закрепленного стержня, на который действует следящая сила.

Ключевые слова: вязкоупругий стержень, стабилизация, параметрический резонанс.

Постановка задачи и уравнения движения Линеаризованное в окрестности прямоугольной

Рассматривается консолъно закрепленный стер- Ф°РМЫ У = 0 Уравнение движения стержня с гранич-

жень, на свободный конец которого действует следя- ными условиями имеет вид

щая сила Р (рис. 1). Стержень изготовлен из вязкоупругого материала с законом деформирования Кельви- q4v q5v q2v

/ \ ^ —т ^------т Р —Т~

на-Фойхта <j = E{e+ve), где <j,e,E,v - дх dtdx дх

соответственно напряжение, деформация, модуль уп- qi у ^ Qy

ругости и время релаксации. Предполагается, что ос- + т + тео  cos ~ = 0 i

нование х = 0 может совершать гармонические колебания вдоль невозмущенной прямой у = 0 (прямолинейной формы) по закону xn = sn cos со/ , хп - dv , d2v , % d3v , %

у{о,‘ =-? °.г =0.

неподвижная ось, коллинеарная осих. дх дх дх

© И. А. Костюшко, С. П. Швыдкая, А. В. Куземко, 2012 108

ще Е1 - жесткость сечения стержня при изгибе, т -линейная плотность стержня.

Редукция к системе дифференциальных уравнений

Решение уравнения (1) ищем в виде ряда

со

у{х^)= Х«*

к=\

Функции ^(с;) являются решениями краевой задачи

с%,4

214

л. 2 2 л 2 І

-Чм- **- = 0, ц =^7-ЕІ

ф)=^

и имеют ВИД

**-(£)= 5^)+^ ;

У к =

яіп 8^ + як &к соя 8^ + ск 8^

(к = 1,2,...),

ще 8к2 = /Ц.ц , причем 8ІГ являются корнями уравнения

ск 8к сое 8^ = -1

Первые два наименьших корня уравнения (5) приближенно равны 8: = 1,875, 82 = 4,694 . Соответственно = 1,362, у2 = 0,982 . Система функций

Ш(к = 1,2,...) на отрезке [0,1 ] удовлетворяет условию ортогональности

о

1

а; =

Подставляя (2) в исходное уравнение (1), умножая

на г, (£,) и интегрируя от 0 до 1 и учитывая условие

ортогональности (6), получим относительно м^-(х) бесконечную систему обыкновенных дифференциальных уравнений. Ограничимся рассмотрением системы двух

уравнений для ^(т), и2(т). Эта

система такова

и1 + к\х 28^гі1 + |и 28^г/1 + 2(епи1 + е21и2) +

+ єсо8х(/11и1+/21и2)=0,

_2 л , _9 4- _2/ \

и2+к]л 82гі2+|и 82и2 + р]л \е12щ+е22и2) + + єсозх(/12и1 + /22и2)=0,

. V Р1

к - —, р -----

Е1 ЕІ

екі=аіІ2к(&і(£№>’

0

/и = Ч11Ч ЙХ & * =1А

где точка означает производную по х . Малость е означает, что амплитуда параметрического возбуждения мала по сравнению с длиной стержня.

Вычисления по формулам (8) приводят к числовым значениям:

еп = 0,825, е22 = -17,73, е12 = 2,92, е21 = 8,582,

/и = 1.988, /22 = 1,646, /12 = 1,203, /21 = -3,383.

Для модели упругого стержня (к = 0) при отсутствии параметрического возбуждения (е = о) прямолинейная форма у(х,{) устойчива при р < р0 = 20,15 [3]. В этом случае характеристическое уравнение системы (7) при к - £ = 0 имеет две пары чисто мнимых

корней ±щ, ±т2, причем частоты со1зсо2 зависят от двух параметров ц и р . Пусть теперь к> 0, а параметрическое возбуждение по-прежнему отсутствует: е = 0  Применение критерия Рауса-Гурвица дает следующий результат. Условие асимптотической устойчивости сводится к положительности третьего гурви-цева определителя Д3, который приводится к виду

Г251-48^(8^-814)г1Дз = ц-8/(р)+

^10(«2 -8?)^ +814128^814 +{е22 541 +е115$)}2.

Коэффициент при к2 положителен, а функция /(р)= 473,12-37,11^-1,459^2 .Неравенство /(р)> 0 выполняется при р < р1 = 9,328 и при достаточно малом кт является условием асимптотической устойчивости.

Очевиден эффект падения критической нагрузки при наличии малой вязкости. Возникает задача о возможности стабилизации прямолинейной формы вязкоупругого стержня параметрическим возбуждением в области р\ < р < Ро  Эта задача решается ниже.

Комбинационные резонансы. Эффект стабилизации

Сделаем в системе (7) замену переменных

L =

= L vi V2 ’

1 *21Р

fl2002 -&1 - реп

*12 Р 1

2 2 ~~ °2 _ РЄ22

После этой замены система (7) примет вид

’i + + d2 iV2)+ &>i Vj + sctcost^/^Vj + /21^2)

ka

vi Vo +

= 0,

+ C02v2 + SC7COST1

В (9) коэффициенты выражаются через

Границу устойчивости системы (9) будем искать методом осреднения. Для этого приведем систему (9) к стандартному виду многочастотной системы с помощью замены переменных

vz = rt sincpz,vz = rtCDZ coscpj (i = 1,2). В новых переменных гг, ф система (9) имеет вид

Ф1 = СО] + ЙШф] СОЙф] + fif^r^COjCO^sil^] С08ф2 j+

-1//.0 • 2 Г-0 -1   'l

+ єстсО] ^/n sin ф] + f21>2ятф] 8Шф2 Icosx,

Ф2 = С02 + Aa^G^/^COjCOj1 sill Ф2 СОвф] + d22 8Іі1ф2 со8ф2)+

sill ф] sill Ф2 + /2°2 sill2 Ф2 jcos Т,

rA = -Аст^ cos2 ф^ + Jjjtojtoj"1 совф] со8ф2г2 j-

- sacoj'1 sill ф] COS ф]Г] + /2°] СОвф] sin ф2 r2 jcosx, r2 = -Aa^^cojcoj1 cos ф] cos ф2Г] + й?22 cos2 ф2 г2 ]-

- єасо^1

Рассмотрим сначала комбинационный резонанс

coj + со2 -1 = 0 . Этому резонансу на плоскости (ц, р) соответствует кривая (рис. 2). Введя расстройку Ai = coj + со2 -1, А: и є и сделав замену переменных

cpj, ср2, х —> ф^, ср2,0, 0 = ср1 + ф2-х приведем систе-

му уравнений (10) к виду в котором резонанс устранен за счет увеличения на единицу числа медленных переменных. Осредняя эту систему по быстрым переменным ф!,ф2, получим уравнения, описывающие эволюцию медленных переменных, для которых

сохранены прежние обозначения

0 = Aj COS0- ^sa/^co'V'1 cosO,

h= -^^4Vism0>

r2= -iкЫ\2г2 - ^saco^/A sin0.

На границе устойчивости система (11) имеет ненулевое стационарное решение, которое находится из уравнений

4А: - £<jf21 COS 0 - SC7/^2 21 ^2_1 C0S 0 = 0.

2kd^r\ + soo^1/2°1r2 sin0 = 0,

soo2 \/j2 ^ sin 0 + 2kd22 r2 = 0.

Условием существования стационарною решения является равенство нулю определителя, составленного из коэффициентов при г\, гг во втором и третьем уравнениях

Л.. ^ .. 11 22

J12J21

4(0^2к х - s sin 0 = 0, х =

Заметим, что соотношение (13) может быть выполнено только при х > 0  Исключая г\, гг, 0 из уравнений (12) с учетом (13), получим, с точностью до величин порядка е2 , уравнение границы области устойчивости

s2 = 4ю1ю2х

4Д2ц4 (б] + 82 У2 +к2

Численный расчет показал, что на резонансной кривой 0^ + 002-1 = 0 параметр % >0 только при Р\ < Р < Ро  Если 0 < р < р1, то Х<0 - Отсюда следует, что граница устойчивости существует в области, где прямолинейная форма вязкоупругою стержня неустойчива. В качестве примера построения границы устойчивости была взята на резонансной кривой «1 + ю2 -1 = 0 точка <2, которой отвечают значения параметров ц = 21,87, р = 13 . Граница устойчивости

изображена в плоскости е] (рис. 2) при к = 10“2.

0,5

£ -10-

\'У

0,01 0,02 0,03

Рис. 2.

рц.

Отметим следующее важное обстоятельство. Исходный объект исследования описывается уравнением в частных производных (1). При применении метода разделения переменных, оно сводилось к счетной системе обыкновенных дифференциальных уравнений, в которой ограничивались лишь двумя. Строю говоря, одна задача подменялась другой. Однако в задачах о параметрической неустойчивости (асимптотической устойчивости) имеет место близость показателя экспоненциального роста (убывания) решений уравнения (1) аналогичному показателю для конечной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. В пределе, когда число уравнений п —» оо они совпадают. Строгие формулировки и доказательства соответствующих теорем даны в [4].

Таким образом, рассмотрение комбинационных

резонансов показало, что резонанс се^ + 2 -1 = О приводит к стабилизации неустойчивой формы упруговязкого стержня посредством параметрического возбуждения. Резонанс ю2 - і — 1 = 0 , наоборот, приводит к дестабилизации асимптотически устойчивой формы стержня.

Список литературы

1. Ziegler Н. Die Stabilitatskriterien der Elastomechamk / H. Ziegler // Ind. - Arch. 1952. Bd. 20. H. 1. P. 49-56.

2. Bolotin V.V. Effects of damping on stability on stability of elastic system subjected to non-conservative forces / V. V Bolotin, N. I. Zhinzer// Intern. J. Solids and Structures. 1969. Vol. 5. - N 9. - P. 965-989.

3. Болотин В. В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости / В. В. Болотин. - М. : Физматгиз, 1961. - 339 с.

4. Якубович В. А. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения/ В. А. Якубович, В. М. Старжинский. - М. : Наука, 1972. - 720 с.

Одержано 19.12.2011

Костюшко I.A., Швидка С.П., Куземко А.В. Роль параметричного резонансу в стабілізації в’язкопружного стрижня під дією сили, що стежить

Дестабілізація рівноваги неконсервативних систем малими дисипативними силами виявлена на прикладі подвійного маятника з в ’язкопружними шарнірами, на який діє сила, що стежить [1]. Дестабілізація також виявляється і при розгляданні континуальних моделей. Наприклад, у [2] розглядається консольно закріплений стрижень, виготовлений із в ’язкопружного матеріалу, на який діє сила, що стежить. Таким чином, у просторі параметрів цих задач існує область, де рівновага системи без дисипації стійка, а при наявності малої дисипації -нестійка. Ця область має кінцеву міру при прагненні коефіцієнта в’язкості до нуля У роботі аналізується можливість параметричної стабілізації нестійкої прямокутної форми консольно закріпленого стрижня, на який діє сила, що стежить.

Ключові слова: в’язкопружний стрижень, стабілізація, параметричний резонанс.

Kostushko I., Shvidkaya S., Kuzemko A. Parametric resonance role in the stabilization problem of the viscoelastic rod under the follow force action

The stability region of elastic rod is wider compared to small viscous rod. In the parameter space region exists in which equilibrium system without dissipation is stable, but with small dissipation is unstable. Problem of the stabilization by means of parametric exaction is analyzed.

Key words: viscoelastic, rod, stabilization, parametric, resonance.

Область асимптотической устойчивости заштрихована.

Рассмотрим теперь другой комбинационный резонанс ю2 - 1 -1 = 0 (рис. 3).

Рис. 3.

Проведя аналогичные вычисления, получим выражение для границы устойчивости

є2 = -4ю1ю2х 4A22ju4 А 2 = со2 - со2 -1« є.

(s? + 4:

Вычисления показали, что % < 0 в области

0 < р < р\ и рО при р1 < р < Ро  Это означает, что граница устойчивости существует в области асимптотической устойчивости, т.е. наличие резонанса

со2 - 1 -1 = 0 приводит при параметрическом возбуждении к дестабилизации асимптотически устойчивой формы стержня.