Многоуровневые физические модели монои поликристаллов. Статистические модели

УДК 539.3

Многоуровневые физические модели моно- и поликристаллов.

Статистические модели

П.В. Трусов, А.И. Швейкин

Пермский государственный технический университет, Пермь, 614990, Россия

Представлен краткий обзор многоуровневых моделей (большей частью двухуровневых), позволяющих описывать процессы деформирования моно- и поликристаллов и сопровождающую последние эволюцию микроструктуры. Особое внимание уделяется моделям, ориентированным на анализ формирования текстуры. Рассмотрены модели, основанные на статистическом определении характеристик вышележащих уровней по соответствующим характеристикам нижележащих уровней.

Ключевые слова: многоуровневые модели, обзор, физические теории пластичности, микроструктура, текстура

Multilevel physical models of single- and polycrystals. Statistical models

P.V. Trusov and A.I. Shveykin

Perm State Technical University, Perm, 614990, Russia

The paper provides a brief review of multilevel models (mostly, two-level models) that allow description of deformation of single- and polycrystals and attendant microstructure evolution. Particular attention is given to texturing models. The paper covers models that are based on statistical determination of characteristics of higher levels from appropriate characteristics of lower levels.

Keywords: multilevel models, review, crystal plasticity, microstructure, texture

1. Введение

Известно [1], что физико-механические свойства материалов определяются их микроструктурой на различных масштабных уровнях, от макро- и мезоуровней до атомарного (возможно, и ниже). В связи с этим последние 15-20 лет наблюдается неуклонный рост интереса к экспериментальным и теоретическим подходам и методам исследования микроструктуры материалов в различных процессах их обработки; особое внимание при этом уделяется формированию текстуры. Интенсивные исследования текстурообразования и влияния текстуры на свойства материалов с применением как физических теорий пластичности [2], так и экспериментальных методов начались с конца 70-х - начала 80-х прошлого столетия [3-5 и др.]. Краткий обзор способов и современные эффективные методы описания текстуры интересующийся читатель может найти, например, в [6]. Обширный обзор экспериментальных данных,

теоретических методов и результатов анализа тексту-рообразования (главным образом, в процессах прокатки) с 60-х годов XX века по настоящее время содержится в статье [7]; особое внимание уделяется механизмам формирования в ГЦК-металлах двух типов текстуры прокатки — текстуры меди и текстуры латуни. Следует отметить, что подавляющее количество теоретических работ, посвященных описанию формирования и эволюции текстуры, основано на физических теориях пластичности [2, 8-10].

Классификационными признаками для подразделения многоуровневых моделей на классы могут быть выбраны: число уровней, включенных в рассмотрение, и связанный с уровнями выбор элементарной ячейки (в дальнейшем будем называть ее элементом); модель (гипотеза) связи однотипных характеристик различных уровней; физические теории, положенные в основу нижних масштабных уровней. Например, в работе [11]

© Трусов П.В., Швейкин А.И., 2011

предлагается выделить два элемента для классификации существующих моделей: подмодель мезомасштаба и подмодель перехода от мезо- к макроуровню. В настоящее время подавляющее большинство используемых многоуровневых моделей относятся к двухуровневым (макро- и мезоуровни), в качестве элемента в таких моделях, как правило, выбирается зерно. В последние годы появляются трехуровневые модели (с добавлением микроуровня, на котором рассматривается эволюция дислокационных субструктур).

Важным отличительным признаком многоуровневых моделей, во многом определяющим качество моделей, является гипотеза о связи характеристик различных уровней. По данному признаку можно выделить три основные группы моделей: статистические, самосогласованные и прямые. Статистические модели основаны на рассмотрении элементов мезоуровня (совокупности или отдельных зерен, субзерен) относительно независимо друг от друга. Объединение элементов мезо-уровня в элемент макроуровня (представительный макрообъем) осуществляется по части характеристик на основе априори принимаемых гипотез кинематического или статического типа, по остальным характеристикам осуществляется статистическое осреднение. В самосогласованных моделях на мезоуровне рассматривается поведение отдельных элементов мезоуровня в окружении матрицы материала с эффективными характеристиками, определяемыми итерационным путем по свойствам элементов мезоуровня с применением той или иной процедуры осреднения последних. Наконец, в прямых моделях, по сути, одноуровневых (хотя традиционно их относят к двухуровневым, этой традиции будем следовать и здесь), физические модели используются в качестве конститутивных для каждого из зерен (субзерен, фрагментов), входящих в исследуемый объем материала. Для реализации прямых моделей в подавляющем большинстве работ применяется метод конечных элементов.

Основная часть существующих статистических моделей основана на гипотезе Фойгта, в частности все модели типа Тейлора-Бишопа-Хилла [8-10, 12-14]. Напряжения на макроуровне в этом случае определяются, как правило, осреднением напряжений в элементах-зернах. Осреднение осуществляется или по объему, или статистически (чаще всего, в ориентационном пространстве). Менее распространенными являются статистические модели, основанные на гипотезе Рейсса (или статической гипотезе); в некоторых работах их называют моделями типа Закса. Компоненты тензора деформации скорости (или тензора деформации) макроуровня в этом случае определяются осреднением по поликристаллическому агрегату. По интенсивности напряжений макроуровня модели, использующие гипотезу Фойгта, дают более высокие значения (верхняя оценка), чем результаты, полученные по гипотезе Рейс-

са (нижняя оценка). Следует отметить, что применение той или иной модели связи уровней может вести к качественно отличающимся результатам. Так, в работе [7] указывается, что применение гипотезы Фойгта при исследовании процесса прокатки дает текстуру меди, а гипотезы Рейсса — текстуру латуни. Конечно, ни одна их этих гипотез не отражает реальные взаимодействия зерен в поликристалле. При этом в таких моделях обычно не учитывается взаиморасположение элементов-зерен в поликристалле. Модели, основанные на одной из вышеуказанных гипотез, относятся к классу статистических моделей, поскольку отклик (напряжения при использовании гипотезы Фойгта и деформации или скорости деформаций — гипотезы Рейсса) материала на макроуровне определяется статистическим осреднением соответствующих характеристик мезоуровня.

Более точными являются так называемые самосогласованные модели (или модели среднего поля), в которых рассматривается поведение отдельного включения-зерна (как правило, канонической формы, например эллипсоида), заключенного в матрицу с эффективными характеристиками поликристалла. Модели данного класса имеют широкое применение, однако большей частью — в теоретических работах, при анализе поведения представительного объема поликристаллического материала. Применение их для решения реальных задач сдерживается значительными затратами машинного времени. Краткий обзор работ по самосогласованным моделям можно найти в статье [15].

Дальнейшим развитием самосогласованных моделей являются так называемые прямые модели, в которых каждое зерно представляется совокупностью одного или нескольких конечных элементов, для каждого из элементов напрямую используется та или иная физическая теория (см., например, [16-19]; более детальное изложение прямых моделей содержится в отдельном обзоре, готовящемся к печати). Понятно, что в этом случае вопроса о согласовании полей перемещений и вектора напряжений не возникает, непрерывность полей обеспечивается автоматически. Однако модели этой группы являются еще более ресурсоемкими, чем самосогласованные.

Существует также обширная группа моделей, которые можно отнести к промежуточным. В части из них одновременно применяются гипотезы Фойгта и Рейсса, результаты устанавливаются осреднением по этим двум подходам. В других согласование полей скоростей перемещений и напряжений осуществляется по части компонент или по нескольким элементам-зернам.

Следует отметить сложности классификации моделей по указанным признакам, поскольку в одной и той же работе могут приниматься различные методы и подходы даже в рамках каждого классификационного признака. В связи с этим выделены только наиболее распространенные подходы по связи уровней — статисти-

ческие и прямые модели. В пределах каждого из соответствующих разделов авторы старались по возможности придерживаться хронологического порядка.

2. Статистические модели

В работах 70-80-х годов XX века для описания формирования текстуры использовались преимущественно модели типа Тейлора-Бишопа-Хилла, в которых повороты зерен, как правило, определялись антисимметричной частью тензоров сдвига (так называемая модель полных или жестких ограничений (стеснений) [20-22]). В более поздних работах применялись так называемые модели смягченных ограничений.

В ранних работах по физическим теориям предполагалось, что на макроуровне можно использовать теорию пластического течения, физические теории применяются для построения поверхности текучести [12, 13]. В работах [5, 23] рассматривается методика построения поверхности текучести текстурированного материала, которая может затем использоваться для анализа деформирования представительного макрообъема. Приведен краткий обзор работ предшественников (начиная с 1970 г.), посвященных данной тематике. Методика основана на использовании модели типа Тейлора-Бишопа-Хилла. Подробно описана методика построения поверхности текучести как огибающей гиперплоскостей в пространстве напряжений.

С использованием моделей указанного типа осуществлены расчеты параметров текстуры и их сопоставление с экспериментальными данными для различных материалов. Например, в работе [24] приведены экспериментально определенные и теоретически рассчитанные (с применением полностью стесненной и со смягченными ограничениями моделей типа Тейлора-Бишо-па-Хилла и самосогласованной модели) полюсные фигуры. Рассмотрены две марки низкоуглеродистой стали при трех режимах прокатки. Показано, что модель со смягченными ограничениями и самосогласованная модель обнаруживают результаты, наиболее близкие к экспериментальным. В работе [19] описана процедура конечно-элементного анализа процессов упругопластического деформирования с использованием двухуровневой модели, приведены результаты решения тестовой задачи (последовательное растяжение вдоль трех взаимно ортогональных осей с последующим аналогичным сжатием до возвращения образца к исходным размерам) для изотропного и текстурированного материала.

В работе [11] отмечается, что практически все известные модели в качестве подмоделей мезомасштаба используют восходящую к Тейлору-Бишопу-Хиллу физическую теорию пластичности (теорию пластичности кристаллов). Для перехода от мезо- к макроуровню во многих работах применяется используемая еще Тейлором [14] гипотеза Фойгта, такого рода модели назы-

ваются в рассматриваемой статье моделями типа Тей-лора-Бишопа-Хилла, или полностью стесненными моделями. В исходной форме гипотеза Фойгта предполагает равенство тензора деформации скорости во всех структурных элементах мезоуровня, входящих в представительный объем макроуровня. В более поздних работах она формулируется в обобщенной форме — для градиентов вектора скорости перемещений. Для кубических кристаллов модели этого типа в некоторых случаях дают удовлетворительное качественное соответствие рассчитанных текстур. В моделях типа Тейлора элементами являются зерна, для прямых моделей — субзерна и фрагменты. Как правило, для локальных полей этого уровня определяющие соотношения устанавливаются на основе закона Шмида. Полагается, что деформирование монокристаллов (зерен) осуществляется сдвигом по кристаллографическим системам:

1 = Уу = '№ 1 + £ у

к=1

где Ь(к), п(к) — единичные векторы нормали к плоскости и направления скольжения в актуальной конфигурации; у(к) — скорость сдвига по системе к; К — число систем скольжения; w1 — спин решетки. Отметим, что здесь и далее характеристики макроуровня обозначаются заглавными буквами, соответствующие характеристики мезоуровня — аналогичными строчными буквами. Напомним, что используется полностью стесненная модель Тейлора: тензоры градиентов скоростей перемещений макроуровня L и мезоуровня 1 равны в каждый момент времени. Тензор вихря макроуровня не совпадает со спином кристаллической решетки, к последнему на мезоуровне должна быть добавлена антисимметричная часть скоростей сдвига. Обычно в работах, посвященных модели Тейлора, в разложении (1) отсутствует член чЕ, отвечающий за спин решетки, последний определяется как антисимметричная часть скоростей сдвигов.

Введем симметризованный ориентационный тензор тк = 1/2(Ъ(к)п(к) + п(к)Ь(к)), девиатор деформации скорости, как обычно, определяется соотношением

^ = d' = £ т

к=1

где D/, d/ — девиаторы скоростей макро- и мезодефор-маций соответственно. В силу принятия гипотезы Фойгта, при кинематическом задании нагружения девиатор деформации скорости считается известным как на мак-ро-, так и на мезоуровне. Понятно, что если на соотношение (2) смотреть как на уравнение относительно скоростей сдвига, оно будет иметь неединственное решение; точнее, существует несколько наборов скоростей сдвига (по пять в каждом для пространственного случая), обеспечивающих предписанную деформацию скорости. Для преодоления этого затруднения Тейлором

предложено дополнительное требование (которое позднее было доказано в работах Бишопа и Хилла [12, 13]) — принцип минимума мощности Тейлора:

Р= 2 х?) ly

k=1 1 1

Заметим, что при одинаковых критических напряжениях сдвига х из (3) следует первоначально предложенный Тейлором принцип минимума сдвига [14]. Нетрудно видеть, что (3) при ограничении (2) представляет собой задачу линейного программирования. Из решения этой задачи находится система пяти ненулевых скоростей сдвига (по активным системам скольжения) и K - 5 нулевых скоростей сдвига (в неактивных системах). Проблема неединственности при этом полностью не снимается — возможно существование более одного множества из 5 систем скольжения, эквивалентных с точки зрения удовлетворения (3). В теории Тейлора полагается, что можно выбрать любую из эквивалентных совокупностей, однако остается вопрос об эквивалентности определяемых в дальнейшем напряжений и поворотов кристаллической решетки. Для активных систем скольжения выполняется закон Шмида:

х

где х(k) — действующее (так называемое разрешающее) в k-й системе скольжения касательное напряжение;

хс — критическое напряжение сдвига в той же системе. Для остальных систем скольжения х(k) = m(к): s < < хСк). Соотношение (4) представляет собой систему 5 линейных уравнений относительно 5 неизвестных компонент девиатора напряжений.

Данный подход не лишен трудностей. Первая связана с наличием для ГЦК- и ОЦК-металлов при одинаковых критических напряжениях (т.е. при изотропном законе упрочнения) нескольких кинематически и физически допустимых наборов ненулевых скоростей сдвигов (по пяти системам в каждом), соответствующих одному и тому же вектору напряжений и одному и тому же значению мощности, но дающих различные значения W [25, 26]. Проблема единственности выбора активных систем скольжения детально обсуждается в работе [27], где показано, что для единственности необходима положительная определенность матрицы коэффициентов упрочнения систем скольжения. Очевидно, что этому условию не соответствует изотропный закон упрочнения, равно как неизотропный закон с превалирующим латентным упрочнением.

Для преодоления этой сложности используются разные подходы. Например, в работах [28-31] предлагается для учета анизотропного упрочнения использовать модель, описывающую эволюцию дислокационных субструктур. Другим возможным подходом является использование моделей вязкопластичности (см., например, [20, 32]).

Другой класс моделей основан на частичном ослаблении этого жесткого кинематического ограничения (гипотезы Фойгта), в силу чего их называют моделями со смягченными ограничениями. В основу подобных моделей положено введение одной или нескольких мод деформации, согласованных с исследуемым процессом, с соответствующим уменьшением числа мод деформации, связанных с кристаллографическими сдвигами. Предельный вариант такого подхода — автоматический выбор этих мод деформации (так называемые обобщенные модели со смягченными ограничениями). Как отмечается в работах [26, 33], в таком случае получается разновидность самосогласованной модели. Из сопоставления результатов расчета текстуры, полученных с применением различных моделей (полностью стесненной, «рейки», «оладьи», самосогласованной), с экспериментальными данными делается вывод о лучшем соответствии результатов модели «оладьи» (pancake model), несмотря на то что обобщенные модели представляются физически более обоснованными.

В работах [26, 33, 34] приведен обзор подходов и моделей, используемых для теоретического описания процесса текстурообразования. Для количественного описания текстурообразования используется функция распределения ориентаций /(g), характеризующая в пространстве углов Эйлера g долю зерен представительного объема поликристалла, имеющих ориентацию выбранного кристаллографического направления (или плоскости), принадлежащую элементарному объему ориентационного пространства. Подробно рассматриваются модели тейлоровского типа, основанные на двухуровневом описании деформирования поликристаллов. Масштаб нижнего (мезо)уровня — от нескольких нанометров до десятков микрометров; для элементов этого уровня (монокристаллов) полагаются однородными поля напряжений и деформаций.

Приведены результаты расчета двух типов текстур — текстуры а-волокна (набор кристаллографических систем {М/}(110)) и текстуры у-волокна (набор кристаллографических систем {111} (uvw)) — в холоднокатаной низкоуглеродистой стали. Оказалось, что текстура у-волокна качественно и количественно весьма хорошо согласуется с экспериментальными данными, тогда как текстура а-волокна количественно описывается неудовлетворительно. Из анализа полученных результатов делается вывод о необходимости совершенствования модели, предлагаются некоторые пути ее модификации.

Одним из ключевых моментов при построении двухуровневых моделей является установление связи между мезо- и макроуровнем. В моделях типа Тейлора-Бишо-па-Хилла эта связь реализуется за счет двух гипотез. Первая из них — суть гипотеза Фойгта, согласно которой градиент деформации полагается однородным по представительному макрообъему. Согласно второй ги-

потезе неупругая составляющая тензора деформации скорости макроуровня определяется осреднением (по объему или в ориентационном пространстве) соответствующих составляющих для элементов мезоуровня, входящих в представительный объем макроуровня; неупругие составляющие тензора деформации скорости каждого элемента мезоуровня вычисляются по соотношениям (2), (3). Следует отметить, что в большинстве работ по моделям типа Тейлора-Бишопа-Хилла аналогичным осреднением определяется тензор напряжений макроуровня.

В соответствии с первой гипотезой окружение любого индивидуального зерна жестко заставляет его деформироваться так же, как в среднем деформируется окружение. В силу этого модели, основанные на данной гипотезе, называют полностью стесненными теориями или теориями однородных полей. Если через 1 обозначить градиент скорости перемещений на уровне зерна (мезоуровень), а через L — градиент скорости перемещений на уровне представительного макрообъема (макроуровень), то в скоростной форме гипотеза запишется в виде:

I = ^

Понятно, что в силу различной ориентации соседних зерен напряжения, требуемые для создания одинаковых деформаций, будут различными, и в общем случае на границах зерен уравнения равновесия, конечно, выполняться не будут.

Указанные ограничения являются слишком жесткими, в связи с чем в начале 80-х годов прошлого века появились работы по модификации модели Тейлора, основанные на релаксации (смягчении) геометрических ограничений; рассматриваемые модели относятся к классу промежуточных (между моделями, основанными на простых гипотезах (Фойгта, Рейсса), и самосогласованными моделями). Согласно этому подходу на основе предварительного анализа процесса деформирования выделялись некоторые моды деформаций кристаллитов (например сдвиговые деформации в плоскости прокатки для листовых материалов), которые наделялись дополнительной свободой, т.е. они не приравнивались соответствующим величинам мер на макроуровне. В этом случае (5) заменяется соотношением [11]:

1^ - £ К

Г=1

где R — число смягчений ограничений; Копреде-ляет моду релаксации (смягчения) (общую для исследуемой области); у — скорость сдвигов по г-й релаксационной моде, являющаяся свободным неизвестным параметром. Таким образом, можно записать соотношения

N Я

L = wг + £ Ь

5=1 Г=1

N R

d = Е m

5=1 r=1

где mRLX — симметричная часть K(r D — тензор деформации скорости. Заметим, что эти соотношения записываются для каждого кристаллита. При этом релаксационная мода считается некоторым отклонением от наложенных деформаций, в силу чего средняя от нее по представительному объему должна быть нулевым тензором. Их можно записать как в базисе кристаллографической системы координат, так и в лабораторной системе координат, в любом случае получаем систему 5 уравнений относительно 5 компонент вектора у = = (У(S), У Rix} истинных сдвигов и дополнительных сдвигов по некристаллографическим псевдосистемам скольжения. Для определения компонент этого вектора ставится та же задача линейного программирования с заменой целевой функции (3) на

P = Е т<5)У

5=1 Г=1

Отмечаются определенные сложности применения модели, которая в отличие от полностью стесненной модели Тейлора неспособна описать произвольные моды деформации. Главным недостатком релаксационной модели является то, что при количественной оценке предсказаний текстуры в сравнении с экспериментом она дает результаты не намного лучшие, чем полностью стесненная модель Тейлора.

Для всех указанных выше моделей (полностью ограниченная (стесненная) и релаксационная модели Тейло-ра-Бишопа-Хилла, самосогласованная модель) общим является выполнение однородности деформаций и напряжений внутри каждого зерна.

В связи с отмеченными выше недостатками однозе-ренных моделей появились многозеренные модели, предельным случаем которых являются прямые модели, основанные на методе конечных элементов. К числу этих моделей относятся следующие: LAMEL, оперирующая с двумя зернами, GIA (8 зерен), новая модифицированная модель ALAMEL (Advanced LAMEL). В этих моделях поля деформаций не являются однородными. Тем не менее, во всех этих моделях осредненные скорости деформаций приравниваются средним предписанным скоростям деформации. В большинстве случаев эти модели ориентированы на исследование прокатки (как правило, листовой).

В модели LAMEL элементом модели является совокупность двух зерен, первоначально имеющих форму прямоугольных параллелепипедов и находящихся в идеальном контакте вдоль одной из граней (параллельной плоскости листа) [11]. Первоначально с использованием функции распределения ориентаций каждому из зерен случайным образом приписывается ориентация. В качестве релаксационных мод приняты две сдвиговые

моды в плоскости границы зерен. Отмечается, что данная модель дает удовлетворительное описание образования текстуры, но только для задачи (листовой) прокатки, для которой она, собственно, и разработана. При этом средние по объему элемента релаксационные деформации автоматически равны нулю (в отличие от модели Тейлора со смягченными ограничениями, где это требование надо накладывать). Следует отметить, что хотя скорости релаксационных сдвигов входят в выражение мощности и в кинематические соотношения, интегрирование этих сдвигов с последующим изменением конфигурации кристаллитов не осуществляется в силу большой сложности [11]. Изменение конфигурации каждого элемента из двух зерен в реальном материале должно приводить к появлению локальных напряжений (мезоуровня), которые, в свою очередь, должны препятствовать сдвигам по релаксационной моде. На основе этих рассуждений авторы модели делают вывод о возможном завышении в модели скоростей релаксационных сдвигов.

Процедура определения скоростей сдвигов на каждом срезе по времени состоит из нескольких шагов [11]. Вначале минимизацией суммарной (для двух зерен и границы между ними) мощности определяются скорости сдвигов по релаксационным модам; для двух зерен число уравнений при этом равно 10. Следует отметить, что здесь имеет место неоднозначность в определении числа активных систем в каждом из зерен: из 10 уравнений два приходятся на скорости релаксационных сдвигов, а в зернах можно принять сочетание числа активных систем в первом и втором зернах как 4:4, 5:3, 3:5, так что на скорости внутризеренных сдвигов приходится в сумме 8 уравнений. Определив скорости релаксационных сдвигов, находят I1 и I2, после чего для каждого из зерен по отдельности реализуется процедура определения скоростей кристаллографических сдвигов по полностью стесненной модели Тейлора-Бишопа-Хилла. Далее определяются компоненты девиатора напряжений, для чего используется система 10 уравнений (сдвиговые напряжения на активных системах приравниваются критическим напряжениям сдвига). Здесь тоже возникает определенная неоднозначность: в силу отсутствия значений критических напряжений для релаксационных мод эти напряжения обычно полагаются нулевыми, откуда просто следует равенство соответствующих касательных напряжений в соседних зернах.

Таким образом, для многозеренных моделей гипотеза Фойгта должна выполняться в целом для элемента (кластера), но скорости деформаций отличаются от зерна к зерну, при этом внутриэлементные границы неравноправны границам кластера, что не имеет рационального физического объяснения. В многозеренных моделях число зерен в кластере и его форма могут рассматриваться как дополнительные подгоночные параметры. В

то же время дополнительные степени свободы, придаваемые отдельным зернам, могут вести к несовместности деформирования кластера и его окружения, а при числе зерен в кластере большем 2 (как в модели GIA) — и для внутренних границ. Для получения удовлетворительных результатов по текстуре для этих несовместностей применяется метод штрафных функций, вводимых в энергетическое уравнение, который тоже не имеет под собой четкого физического обоснования.

В связи с вышеуказанными недостатками анализируемых подходов авторами [26] предлагается модификация LAMEL - подхода, названная ALAMEL. Создание новой модели в значительной мере порождено анализом результатов, полученных с помощью прямой конечноэлементной модели, которые существенно отличаются от результатов модели Тейлора и значительно лучше согласуются с экспериментальными данными. Основной причиной авторы считают то, что в прямой модели одновременно выполняются и условия совместности деформаций соседних зерен, и условия равновесия на их границах. Опираясь на эти результаты, авторы предлагают сформулировать некоторые принципы, которые позволили бы построить аппроксимационную модель, дающую удовлетворительное согласование с результатами прямой модели и экспериментальными данными. Ставится задача: предложить простой метод, который позволял бы определять согласованные касательные напряжения и градиенты скоростей перемещений по обе стороны от границы. Понятно, что это легко сделать с применением прямой модели, однако она весьма ресурсоемкая. Предлагаемый в работе метод базируется на следующих положениях: осредненный градиент скоростей перемещений по зернам, примыкающим к рассматриваемой границе, равен предписанному градиенту скорости перемещений; выполняется равенство (касательных) напряжений на границе. Как следует из дальнейшего изложения, осреднение осуществляется по области, состоящей из примыкающих к границе подобластей обоих зерен.

В предлагаемой модели ALAMEL в качестве основы используется модель LAMEL. Несмотря на сходство математической основы моделей они существенно отличаются, прежде всего тем, что в модели ALAMEL в отличие от предшественницы напряжения и градиенты скоростей перемещений не считаются однородными внутри зерен. Определение их величин осуществляется в точках дискретизации, расположенных на границах (заметим, что в качестве границ могут фигурировать любые области резких изменений ориентировок, например микрополосы сдвига). При этом не делается никаких предположений об этих величинах в центрах зерен. Для каждого сегмента границы определяются зоны влияния (например, в плоском случае они определяются геометрически, проводя в каждой вершине многоуголь-

ника, описывающего зерно, биссектрису внутреннего угла до пересечения с другими биссектрисами; в дальнейшем используются дополнительные построения, например соединение вершин получающихся многоугольников (заметим, что получаемая конфигурация неединственна и остается вопрос о чувствительности решения к выбору построения зон влияния)), в которых соответствующая релаксационная мода приравнивается компоненте тензора градиента скорости перемещений мезоуровня. Понятно, что в общем случае в зонах влияния не будет выполняться гипотеза Фойгта, но в модели ALAMEL и не требуется выполнения этой гипотезы для каждой подобласти, она должна выполняться в среднем по кластерам. При этом в каждой зоне влияния определяются свои системы скольжения и скорости сдвигов по ним, что ведет к неоднородности скоростей деформаций в пределах каждого зерна.

Модель ALAMEL базируется на следующих основных гипотезах.

- Макроскопические деформации скорости считаются заданными, т.е. известным является тензор L (а следовательно, D).

- Тензор градиентов скоростей перемещений на мезоуровне 1 непостоянен по зерну, в силу чего непостоянны и скорости сдвигов по кристаллографическим системам.

- В областях, вплотную примыкающих к границам (зонах влияния), локальные напряжения, скорости деформаций и скорости сдвигов контролируются взаимодействием с соседним зерном. Речь идет о зонах влияния, отмеченных выше, в которых одна из мод мезоскопического градиента скорости перемещений определяется релаксационной модой. Вопрос об их выборе остается открытым.

Отмечается, что принятые гипотезы представляют предмет обсуждения; вывод об их применимости может быть сделан на основе сопоставления теоретических и экспериментальных результатов анализа текстурообра-зования. Предлагаемая модель в отличие от модели LAMEL или модели Тейлора со смягченными ограничениями не связана с видом деформирования и применима к любым деформационным модам.

Значительная часть статьи посвящается проверке адекватности модели. Приведены результаты сравнения различных моделей для случая листовой прокатки стали Ш и двух алюминиевых сплавов. Качественно (за исключением некоторых случаев для полностью стесненной модели Тейлора) результаты описываются всеми моделями правильно. Однако с количественной точки зрения результаты существенно различаются. Наилучшее описание дают прямая модель и предлагаемая модель ALAMEL, хотя для некоторых значений обжатий лучшие результаты дает модель LAMEL. Отмечается, что все модели требуют дальнейшей доработки, опреде-

ления и включения в модели важнейших физических факторов, управляющих текстурообразованием.

Сопоставлению результатов расчета с применением моделей тейлоровского типа и модели ALAMEL с экспериментальными данными по растяжению и кручению латунного образца (ГЦК-решетка) посвящена работа [35]. Расчеты проведены как с учетом, так и без учета двойникования, которое свойственно рассматриваемому материалу с низкой энергией дефекта упаковки. Результаты расчетов характеристик напряженно-деформированного состояния во всех случаях оказались близкими, однако текстура, полученная с помощью ALAMEL, оказалась более соответствующей экспериментально наблюдаемой. Отмечается, что используемые модели позволяют качественно предсказать эффект Пойнтинга-Свифта [36-38].

Интересный подход в развитие многозеренных моделей предлагается в [39], названный автором иерархической моделью. Для построения модели используется так называемое бинарное дерево, представляющее собой совокупность узлов и ветвей, причем из каждого узла исходят две ветви нижележащего иерархического уровня. Высший узел иерархии представляет модель поликристаллического агрегата, элементами низшего уровня («листьями») являются зерна. Для описания поведения монокристаллических зерен применяется модель вязкопластичности [20]. В узлах, начиная со второго уровня, осуществляется агрегирование двух элементов нижележащего уровня. При этом напряжения и скорости деформаций определяются взвешенными (по объемной доле) средними значениями соответствующих параметров элементов нижележащего уровня. Кроме того, в узлах реализуются те или иные условия сопряжения элементов (полное стеснение, смягченные ограничения, непрерывность вектора напряжений по границе), причем эти условия могут отличаться от уровня к уровню. Предлагаемая модель, с одной стороны, является развитием моделей типа LAMEL и ALAMEL, с другой стороны, она может рассматриваться как разновидность самосогласованных моделей.

Детально описывается алгоритм численной реализации модели. Приведены результаты расчетов для растяжения, сжатия, кручения и деформирования в условиях плоской деформации, моделирующего прокатку. Рассматривался представительный объем поликристалли-ческой меди, включающий 256 зерен (9 уровней иерархии, 511 узлов). Сопоставление результатов расчета полюсных фигур по предлагаемой модели с экспериментальными данными и результатами, полученными с помощью самосогласованной модели, обнаруживает удовлетворительное соответствие.

Другое направление развития класса промежуточных моделей связано с последовательным использованием гипотез Фойгта и Рейсса. Поля напряжений и де-

формаций макроуровня в таких моделях определяются осреднением соответствующих мезопараметров, полученных при применении каждой из этих гипотез по отдельности. Локальные поля мезоуровня определяются соотношением: Ап = (1 -"Л)АУ +ПАЯ, где Ап, Ау, л К

А — осредненная и полученные с использованием соответственно гипотез Фойгта и Рейсса характеристики (тензоры напряжений, деформаций скорости или спина); п — весовой коэффициент, 0 < п < 1 (П = 0 соответствует гипотезе Фойгта, п = 1 — гипотезе Рейсса).

Более сложный (нелинейный) подход предложен в статье [40]. Согласно предлагаемому подходу вводится так называемая функция ошибки

R =

<s)

где ( ) означает осредненные по объему характеристики; d, s — тензоры деформации скорости и девиатора напряжений мезоуровня (зерна); п — весовой коэффициент, определение и физический смысл которого не обсуждаются, отмечается только, что 0 < п < 1 (в предельном случае п = 0 реализуется гипотеза Фойгта, П = 1 — гипотеза Рейсса). В то же время отмечается, что модель весьма чувствительна по отношению к значениям параметра п. Например, незначительные отклонения параметра от 0 приводят к решению, существенно отличающемуся от получаемого в случае принятия гипотезы Фойгта. На мезоуровне используется степенной вязкопластический закон, упругими деформациями пре-небрегается. Наличие локальной связи s ~ d позволяет считать R функцией только одной тензорной переменной — локальной деформации скорости d. Записывая необходимое условие минимума функции ошибки (ЭЯ/д d = 0), получают связь, содержащую параметры вязкопластического материала и весовой коэффициент. Отметим, что минимизация среднеквадратичного отклонения локальных напряжений и деформаций, конечно, уменьшает несовместность полей векторов перемещений и напряжений на границах зерен, но не отражает реальной физики деформирования поликристалличес-кого агрегата. Однако в моделях со статистическим осреднением влияние границ, как правило, в рассмотрение не включается, что является общим недостатком таких моделей (типа Тейлора-Бишопа-Хилла, Линя и др.).

Разработанный на основе предложенного подхода алгоритм применен для анализа одноосного растяжения-сжатия и осадки в условиях плоского деформирования поликристаллов с ГЦК-решеткой. Особое внимание уделяется полюсным фигурам, полученным для различных значений весового коэффициента п. Отмечается, что качественное соответствие теоретических результатов экспериментальным данным оказывается

даже лучшим, чем результатов расчетов по самосогласованным моделям.

Результаты сопоставления вышеописанного подхода с самосогласованной вязкопластической моделью для эллипсоидальных включений представлены в статье [41]. Самосогласованная модель приводит к следующей связи отклонений скоростей деформаций и напряжений от средних по объему:

d-^) = П :^-^)),

где П = д(1 - Э)-1: Э: П, П — тензор (4-го ранга) вязкопластической податливости (связывающий осреднен-ные скорости пластических деформаций и осредненные напряжения); I — единичный тензор 4-го ранга; Э — тензор Эшелби (зависящий от формы включения и эффективных характеристик среды); С — подгоночный параметр, 1 < С < п; п — показатель скоростной чувствительности в степенном законе вязкопластичности; ( ) означает осреднение по объему. Использован степенной закон пластического течения и закон упрочнения Воуса.

Рассмотрены одноосное нагружение (растяжение и сжатие) и стесненная осадка (в условиях плоскодефор-мированного состояния), моделирующая процесс прокатки, представительного объема, состоящего из 500 зерен. Приведены кривые зависимости интенсивности напряжений и осредненного числа активных систем скольжения от интенсивности деформаций, распределения отклонений интенсивностей скоростей деформаций и напряжений от средних по представительному объему. Представлены также полюсные фигуры при различных значениях параметра п и подгоночного параметра С в самосогласованной модели. Отмечается высокая чувствительность предлагаемой модели по отношению к значениям параметра п, незначительные отклонения п от нуля приводят к существенным отличиям результатов расчета от полученных при использовании гипотезы Фойгта.

Результаты расчетов показывают соответствие двух подходов для зависимостей интенсивности напряжений и числа активных систем скольжения от интенсивности деформаций. В то же время наблюдается существенное различие в полюсных фигурах. При этом самосогласованная модель при различных значениях параметра С не в состоянии предсказать наблюдаемый в экспериментах по прокатке переход от текстуры типа меди (для материалов с высокой энергией дефекта упаковки при прокатке с низкими скоростями деформации) к текстуре типа латуни, имеющей место для материалов с низкой энергией дефекта упаковки при высоких скоростях деформации, тогда как предлагаемая модель при значениях п > 0.4 показывает появление текстуры типа латуни. Отмечается, что предлагаемая модель имеет более простую математическую структуру и легко встраивается в имеющиеся пакеты программ анализа напряженно-деформированного состояния.

Результаты аналогичных исследований приведены в статье [42] для случая стесненной осадки поликристаллов с ГЦК-решеткой до высоких степеней обжатия (порядка 100 %). Для самосогласованной модели принята сферическая форма зерен, не изменяющаяся в процессе деформирования. Приведены результаты расчета поверхности текучести и эволюции объемной доли различных составляющих текстуры с ростом деформации для нескольких фиксированных значений параметра п.

В работе [43] рассматривается двухуровневая упругопластическая модель. На мезоуровне применяется закон Гука в скоростной релаксационной форме, в качестве меры скорости напряжений использована коро-тационная решеточная производная тензора напряжений Коши. Скорость поворота решетки определяется упругой составляющей тензора вихря. Коэффициенты упрочнения по системам скольжения определяются плотностью накопленных дислокаций, приведено эволюционное уравнение для плотности дислокаций, учитывающее генерацию и аннигиляцию дислокаций. Для связи переменных мезо- и макроуровня принимается самосогласованная схема, основанная на решении Эшелби для эллиптического включения.

Приведены результаты расчетов с применением предлагаемой модели для однофазной стали феррит-ного класса при монотонном (растяжение, простой сдвиг) и сложном (растяжение - сжатие, растяжение -простой сдвиг) нагружениях. Модель использована для построения диаграмм предельного формоизменения листовых материалов и анализа локализации деформаций при различных нагружениях, для анализа потери устойчивости применен критерий Райса (потери эллиптичности задачи). Полученные теоретические результаты находятся в удовлетворительном соответствии с экспериментальными данными.

Одним из успешно развиваемых в последние 1520 лет подходов к описанию неупругого деформирования различных классов материалов является физическая мезомеханика, достаточно полный перечень публикаций по данному направлению до 1993 г. содержится в монографии [1]. Учитывая ограниченный объем предлагаемой работы и весьма значительное число публикаций по указанному направлению, остановимся подробнее только на нескольких статьях, содержащих ссылки на наиболее важные работы; интересующийся читатель может ознакомиться с работами последних лет по публикациям в журнале «Физическая мезомеханика». Согласно предлагаемому подходу [ 1, 44] материал рассматривается как сложная иерархическая трехуровневая система, обладающая свойством самоорганизации. К микроуровню относится уровень отдельных дефектов (дислокаций, вакансий и т.д.; в некоторых случаях применяется континуальная теория дефектов). Макроуровень есть уровень макрообразца (или представительного

макрообъема). Все механизмы и их носители, принадлежащие промежуточным уровням, относят к мезо-уровню. Основными структурными элементами ме-зоуровня являются конгломераты зерен, зерна, субзерна, фрагменты, дислокационные субструктуры, особое внимание уделяется границам. Полагается, что неупругое деформирование реализуется по схеме «сдвиг + поворот». При этом отмечается ключевая роль рассмотрения процессов, происходящих именно на мезоуровне, причем для описания этих процессов обычно используется континуальный подход [44].

В работе [44] указанный подход применен для построения диаграмм напряжение-деформация при одноосном нагружении стержней и для описания распространения фронта плоской ударной упругопластической волны в пластине. В качестве основного механизма пластического деформирования принимается скольжение (краевых) дислокаций. На микроуровне в качестве определяющих соотношений используется (изотропный) закон Гука в скоростной форме, скорости неупругих деформаций определяются скоростями сдвигов. Последние, в свою очередь, вычисляются с помощью уравнения Орована. Подобная релаксационная форма определяющих соотношений упругопластичности широко распространена в физических теориях пластичности. Приведены эволюционные уравнения для плотности дислокаций, доли подвижных дислокаций, скорости движения дислокаций.

На мезоуровне определяющие соотношения также записаны в релаксационной форме, при этом тензор напряжений представляется суммой симметричной и антисимметричной составляющих, в качестве спина используется тензор вихря (скорости вращения материальных волокон, совпадающих в текущий момент с главными осями тензора деформации скорости), в силу чего в скоростной форме закона Гука используется производная Яуманна. Скорости пластических деформаций, по существу, устанавливаются соотношениями теории пластического течения. Несимметричная составляющая тензора напряжений определяется как функция градиента пластической деформации; в качестве альтернативного варианта рассматривается модификация континуума Косс ера на случай упругопластического де формирования.

Наконец, на макроуровне используются аналогичные определяющие соотношения (релаксационная форма закона Гука), в которые вклад с микро- и мезоуровня учитывается через скорости сдвигов и изменение сопротивления деформации, обусловленное эволюцией мик-ро- и мезоструктуры. Сопоставление результатов расчета с экспериментальными данными показывает удовлетворительное соответствие.

Дальнейшее развитие предлагаемый подход получил в работах [45-47 и др.]. В цитируемых публикациях

деформируемую и разрушающуюся среду предлагается рассматривать как многоуровневую иерархическую самоорганизующуюся систему, для описания поведения которой применимы подходы и методы нелинейной динамики и синергетики. Для моделирования широкого класса процессов, имеющих место в неупруго деформируемом материале, предлагается ввести понятие деструкции как процесса нарушения локальных связей в широком диапазоне масштабов. В рамках этого понятия процессы пластического деформирования, накопления поврежденности, разрушения анализируются с единых позиций как процессы, происходящие в открытой нелинейной системе с диссипацией и обратными связями. Приведены примеры применения разработанных на основе данного подхода моделей для описания пластического деформирования и разрушения различных материалов (металлов, горных пород).

Физические теории позволяют исследовать не только эволюцию ориентаций, но и многие другие весьма важные характеристики деформируемых поликристаллов на мезо- и микроуровнях. Одним из интересных вопросов (особенно с точки зрения прочности) является анализ остаточных напряжений. В работе [48] физическая теория типа Тейлора-Бишопа-Хилла используется для определения эволюции текстуры и остаточных напряжений. Рассматриваются остаточные напряжения

1-го, 2-го и 3-го рода. Остаточные напряжения 1-го рода определяются как средние по представительному объему, под остаточными напряжениями 2-го рода понимаются осредненные по кристаллитам отклонения от остаточных напряжений 1-го рода. Наконец, остаточные напряжения 3-го рода трактуются как отклонения напряжений от средних по кристаллитам. При этом во всех определениях рассматривается состояние разгрузки на уровне представительного макрообъема. Остаточные напряжения 2-го рода подразделяются на две составляющие: первая обусловлена различием упругих модулей различных кристаллитов, вторая — отличием предела текучести, деформационного упрочнения и поведения при упругой разгрузке. В работе исследуется именно вторая составляющая остаточных напряжения

2-го рода. Для их вычисления используются модель Тей-лора-Бишопа-Хилла и гипотеза Фойгта об однородности деформаций при разгрузке; последние определяются по осредненным напряжениям на момент начала разгрузки с применением закона Гука с эффективными (по Фойгту) модулями упругости.

Результаты расчетов сопоставляются с экспериментальными данными, полученными дифракционным методом (с использованием рентгеновского и нейтронного излучений), кратко описана методика эксперимента. Представлены результаты для случая кручения аусте-нитной стали до степени сдвиговой деформации 3.5.

Своеобразная двухуровневая модель

предлагается в работе [49]. Для решения практически важных задач при глубоком пластическом деформировании на уровне представительного объема поликрис-таллического агрегата хорошо зарекомендовавшим себя инструментом является теория пластического течения с анизотропной функцией текучести. В разные годы уравнения для описания поверхности текучести, учитывающие наведенную при пластическом деформировании анизотропию, предложили R. Hill, M. Gotoh, F. Barlat и J. Lian. Однако построение и идентификация подобных соотношений требуют проведения трудоемких и дорогостоящих экспериментальных исследований.

С другой стороны, соотношения теории течения используются во многих конечно-элементных пакетах. Представляется заманчивым «дооснастить» эти пакеты процедурой теоретического построения уравнения эволюционирующей поверхности текучести для представительного объема поликристалла, что и предлагается авторами статьи. При этом взамен весьма трудоемкой процедуры построения поверхности текучести Бишопа-Хилла функция текучести поликристаллического агрегата определяется ориентационным осреднением функций текучести монокристаллов (зерен).

На уровне зерна используется мультипликативное разложение градиента места. В силу пренебрежения упругими деформациями упругая составляющая градиента места описывает поворот кристаллической решетки. Поверхности текучести монокристаллов описываются регуляризованной модификацией закона Шмида. В качестве модели мезоуровня применяется вязкопластическая модель со степенным законом зависимости скорости сдвигов от сдвиговых напряжений. Представительный объем поликристаллического агрегата— куб со стороной 1 мм, содержащий 1000 зерен (средний размер зерна — 100 мкм). Предлагаемая модель использована для анализа процесса волочения, прокатки и чистого сдвига. Приведены результаты расчета полюсных фигур и эволюционирующих поверхностей текучести для различных материальных параметров модели. Полученные поверхности текучести сравниваются с определенными по соотношениям R. Hill, а также F. Barlat и J. Lian. Приведена процедура определения материальных параметров указанных соотношений с помощью предлагаемой авторами модели.

Попытки описания деформирования материала при наличии текстуры восходят еще к работам Р. Хилла [50], в которых использовалась анизотропная поверхность текучести и теория пластического течения. В 70-е годы ХХ века это направление модификации теорий течения (назовем его аналитическим) весьма интенсивно развивалось в сочетании с применением мощного вычислительного инструмента — метода конечных элементов. В соответствии с этим подходом параметры, определяющие эволюцию (анизотропной) поверхности текучести на макроуровне, определяются на основе различных

моделей мезоуровня. Здесь указанный подход подробно рассматриваться не будет, поскольку авторы считают его чрезмерно трудоемким (на стадии экспериментального оснащения теории). Определенное представление о направлениях развития отмеченного подхода в последние десятилетия читатель найдет в работах [15, 23, 5154] и цитируемых в них источниках. В последние годы для реализации данного подхода интенсивно используются методы, основанные на различных моделях искусственного интеллекта. Например, в статье [55] для идентификации априори выбранной модели макроуровня (теория пластического течения с поврежденностью) используется искусственная нейронная сеть. Для «тренинга» нейронной сети использована прямая упругопластическая конечно-элементная модель, в качестве примера применения модели рассмотрено одноосное деформирование стержня.

3. Заключение

Приведен краткий обзор многоуровневых моделей, основанных на статистическом подходе к установлению связи однотипных характеристик напряженно-деформированного состояния различных масштабных уровней. Обзор не претендует на полноту, поскольку число работ по данному направлению растет весьма интенсивно. Выбор источников определялся потенциальной возможностью развития рассматриваемых моделей для более точного описания эволюции микроструктуры материалов при неупругом деформировании и, конечно, не лишен субъективизма.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты №№ 10-08-96010-р_урал_а, 10-08-00156-а).

Литература

1. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов: В 2-х т. / Под ред. В.Е. Панина. - Новосибирск: Наука, 1995. - Т. 1. - 298 с., Т. 2. - 320 с.

2. Линь Т.Г. Физическая теория пластичности // Проблемы теории пластичности. Сер. Новое в зарубежной механике. Вып. 7. - М.: Мир, 1976. - С. 7-68.

3. ВишняковЯ.Д., Бабарэко А.А., Владимиров С.А., Эгиз И.В. Теория

образования текстур в металлах и сплавах. - М.: Наука, 1979. -344 с.

4. Bunge H.J. Texture Analysis in Materials Science. Mathematical Meth-

ods. - London: Butterworths, 1982. - 591 р.

5. Van Houtte P Calculation of the yield locus of textured polycrystals using the Taylor and the relaxed Taylor theory // Texture Microstruct. -1987. - V. 7. - P. 29-72.

6. Raabe D., Roters F. Using texture components in crystal plasticity finite element simulations // Int. J. Plasticity. - 2004. - V. 20. - P. 339361.

7. Leffers T, Ray R.K. The brass-type texture and its deviation from the copper-type texture // Prog. Mater. Sci. - 2009. - V. 54. - P. 351-396.

8. Трусов П.В., Швейкин А.И. Теория определяющих соотношений. Ч. 2. Теория пластичности. - Пермь: Изд-во ПГТУ, 2008. - 243 с.

9. ТрусовП.В., ВолеговП.С. Физические теории пластичности: теория и приложения к описанию неупругого деформирования материа-

лов. Ч. 1. Жесткопластические и упругопластические модели // Вестник ПГТУ. Механика. - 2011. - № 1. - С. 5-45.

10. Трусов П.В., Волегов П.С. Физические теории пластичности: теория и приложения к описанию неупругого деформирования материалов. Ч. 2. Вязкоопластические и упругопластические модели // Вестник ПГТУ. Механика. - 2011. - № 2. - С. 101-131.

11. Van Houtte P., Delannay L., Samajdar I. Quantitative prediction of cold rolling textures in low-carbon steel by means of the LAMEL model // Texture Microstruct. - 1999. - V. 31. - P. 109-149.

12. Bishop J.F., HillR. A theory ofthe plastic distortion of a polycristalline aggregate under combined stresses // Phil. Mag. Ser. 7. - 1951. -V. 42. - No. 327. - P. 414-427.

13. Bishop J.F.W., Hill R. A theoretical derivation of the plastic properties of a polycristalline face-centered metal // Phil. Mag. Ser. 7. -1951. - V. 42. - No. 334. - P. 1298-1307.

14. Taylor G.I. Plastic strain in metals // J. Inst. Metals. - 1938. - V. 62. -P. 307-324.

15. Habraken A.M. Modelling the plastic anisotropy of metals // Arch. Comput. Meth. Engng. - 2004. - V. 11. - No. 1. - P. 3-96.

16. AnandL. Single-crystal elasto-viscoplasticity: Application to texture evolution in polycrystalline metals at large strains // Comput. Method Appl. Mech. - 2004. - V. 193. - P. 5359-5383.

17. Clayton J.D., McDowell D.L. A multiscale multiplicative decomposition for elastoplasticity of polycrystals // Int. J. Plasticity. - 2003. -V. 19. - P. 1401-1444.

18. Deshpande VS., Needleman A., van der Giessen E. Finite strain discrete dislocation plasticity // J. Mech. Phys. Solids. - 2003. - V. 51. -P. 2057-2083.

19. Van Bael A., van Houtte P., Aernoudt E., Hall F.R., Pillinger I., Hartley P, Sturgess C.E.N. Anisotropic finite-element analysis of plastic metalforming processes // Texture Microstruct. - 1991. - V. 1418. - P. 1007-1012.

20. Asaro R.J., Needleman A. Texture development and strain hardening in rate dependent polycrystals // Acta Metall. - 1985. - V. 33. - No. 6. -P. 923-953.

21. Van Houtte P., Aernoudt E. Solution of the generalized Taylor theory of plastic flow. P. I. Introduction and linear programming. P. II. The Taylor theory // Z. Metallkunde. - 1975. - Bd. 66. - H. 4. - S. 202209.

22. Van Houtte P., Aernoudt E. Solution of the generalized Taylor theory ofplastic flow. P. III. Applications // Z. Metallkunde. - 1975. - Bd. 66. -H. 5. - S. 303-306.

23. Van Houtte P., Mols K., van Bael A., Aernoudt E. Application of yield loci calculated from texture data // Texture Microstruct. - 1989. -V. 11. - P. 23-39.

24. Wagner F., Canova G., van Houtte P., Molinari A. Comparison of simulated and experimental deformation textures for BCC metals // Texture Microstruct. - 1991. - V. 14-18. - P. 1135-1140.

25. Peeters B., Seefeldt M., van Houtte P., Aernoudt E. Taylor ambiguity in bcc polycrystalls: A non-problem if substructural anisotropy is considered // Scripta Mater. - 2001. - V. 45. - P. 1349-1356.

26. Van Houtte P., Li S., Seefeldt M., Delannay L. Deformation texture prediction: from the Taylor model to the advanced Lamel // Int. J. Plasticity. - 2005. - V. 21. - P. 589-624.

27. Hill R. Generalized constitutive relations for incremental deformation of metal crystals for multislip // J. Mech. Phys. Solids. - 1966. -V. 14. - P. 95-102.

28. Peeters B., Bacroix B., Teodosiu C., van Houtte P., Aernoudt E. Work hardening-softening behaviour of bcc polycrystalls during changing strain paths: II. TEM observations of dislocation sheets in an IF steel during two-stage strain paths and their representation in terms of dislocation densities // Acta Mater. - 2001. - V. 49. - P. 1621-1632.

29. Peeters B., Kalidindi S.R., Teodosiu C., van Houtte P., Aernoudt E. A theoretical investigation of the influence of dislocation sheets on evolution of yield surfaces in single-phase bcc polycrystalls // J. Mech. Phys. Solids. - 2002. - V. 50. - No. 4. - P. 783-807.

30. Peeters B., Seefeldt M., Teodosiu C., van Houtte P., Aernoudt E. Work hardening-softening behaviour of bcc polycrystalls during chang-

ing strain paths: I. An integrated model based on substructure and texture evolution, and its prediction of the stress-strain of an IF steel during two-stage strain paths // Acta Mater. - 2001. - V. 49. - P. 16071619.

31. Van Houtte P., Peeters B. Effect of deformation-induced intragranular microstructure on plastic anisotropy and deformation textures // Mater. Sci. Forum. - 2002. - P. 408-412, 985-990.

32. Toth L.S., GilorminiP., Jonas J.J. Effect ofrate sensitivity on the stability of torsion textures // Acta Metall. - 1988. - V. 36. - No. 12. -P. 3077-3091.

33. Van Houtte P Crystal plasticity based modelling of deformation textures // Microstructure and texture in steels / Ed. by A. Haldar, S. Suwas, D. Bhattacharjee. - London: Springer, 2009. - P. 209-224.

34. Van Houtte P., Kanjarla А.К., Seefeldt М., Delannay L. Study of plastic strain heterogeneity in a polycrystal at meso-scale // Вопросы материаловедения. - 2007. - Т. 4. - № 52. - С. 7-12.

35. Dancette S., Delannay L., Jodlowski T., Giovanola J. Multisite model prediction of texture induced anisotropy in brass // Int. J. Mater. Form. -2010. - V. 3. - Suppl. 1. - P. 251-254.

36. Poynting J.H. On pressure perpendicular to the shear planes in finite pure shears and on the lengthening of loaded wires when twisted // Proc. Roy. Soc. A (London). - 1909. - V. 82. - P. 546-559.

37. Poynting J.H. On the changes in the dimensions of a steel wire when twisted, and on the pressure of distortion waves in steel // Proc. Roy. Soc. (London). A. - 1912. - V. 86. - P. 534-561.

38. Swift H. W. Length changes in metals under torsional overstrain // Enginiring. - 1947. - V. 163. - P. 253.

39. Mahesh S. A hierarchical model for rate-dependent polycrystals // Int. J. Plasticity. - 2009. - V. 25. - P. 752-767.

40. Ahzi S., M’Guil S. A new intermediate model for polycrystalline viscoplastic deformation and texture evolution //Acta Mater. - 2008. -V. 56. - P. 5359-5369.

41. M’Guil S., Ahzi S., Youssef H., Baniassadi M., Gracio J.J. A comparison of viscoplastic intermediate approaches for deformation texture evolution in face-centered cubic polycrystals // Acta Mater. - 2009. doi: 10.1016/j.actamat.2009.02.001.

42. M’Guil S., Wen W, Ahzi S. Numerical study of deformation textures, yield locus, rolling components and Lankford coefficients for FCC polycrystals using the new polycrystalline ф-model // Int. J. Mech. Sci. - 2010. - doi:10.1016/j.ijmecsci.2010.06.006. - 6 р.

43. Franz G., Abed-Meraim F, Ben Zineb T., Lemoine X., Berveiller M. Strain localization analysis using a multiscale model // Comp. Mater. Sci. - 2009. - V. 45. - P. 768-773.

44. Макаров П.В. Моделирование процессов деформации и разрушения на мезоуровне // Изв. РАН. МТТ. - 1999. - № 5. - С. 109-130.

45. Макаров П.В. Нагружаемый материал как нелинейная динамическая система. Проблемы моделирования // Физ. мезомех. - 2005. -Т. 8. - № 6. - С. 39-56.

46. Макаров П.В. Эволюционная природа блочной организации геоматериалов и геосред. Универсальный критерий фрактальной делимости // Геология и геофизика. - 2007. - Т. 48. - № 7. - С. 724746.

47. Макаров П.В., Смолин И.Ю., Стефанов Ю.П., Кузнецов П.В., Трубицын А.А., ТрубицынаН.В., Ворошилов С.П., ВорошиловЯ.С. Нелинейная механика геоматриалов и геосред / Отв. ред. Л.Б. Зуев. - Новосибирск: Академическое изд-во «Гео», 2007. - 235 с.

48. Aris S., Pyzalla A., Reimers W. Simulation of the development of deformation textures and residual stresses using the Taylor-Bishop-Hill theory // Comput. Mater. Sci. - 1999. - V. 16. - P. 76-80.

49. Kowalczyka K., Gambin W. Model of plastic anisotropy evolution with texture-dependent yield surface // Int. J. Plasticity. - 2004. -V. 20. - P. 19-54.

50. Хилл P. Математическая теория пластичности. - М.: Гостехиздат, 1956. - 407 с.

51. Cleja-Tigoiu S. Nonlinear elasto-plastic deformations of transversely isotropic material and plastic spin // Int. J. Eng. Sci. - 2000. - V.38.-P. 737-763.

52. Darrieulat M., Montheillet F. A texture based continuum approach for predicting the plastic behaviour of rolled sheet // Int. J. Plasticity. - 2003. - V. 19. - P. 517-546.

53. Li S., Hoferlin E., van Bael A., van Houtte P., Teodosiu C. Finite element modeling of plastic anisotropy induced by texture and strain-path change // Int. J. Plasticity. - 2003. - V. 19. - P. 647-674.

54. Van Houtte P., van Bael A. Convex plastic potentials of fourth and sixth rank for anisotropic materials // Int. J. Plasticity. - 2004. - V. 20. -P. 1505-1524.

55. Unger J.F., Konke C. Coupling of scales in a multiscale simulation using neural networks // Comput. Struct. - 2008. - V. 86. - P. 1994— 2003.

Поступила в редакцию 17.02.2011 г.

Сведения об авторах

Трусов Петр Валентинович, д.ф.-м.н., проф., зав. каф. ПГТУ, tpv@matmod.pstu.ac.ru Швейкин Алексей Игоревич, ст. преп. ПГТУ, alexsh59@bk.ru