Построение минимальных кубатурных формул, точных для полиномов Хаара высших степеней в двумерном случае

Вычислительные технологии

Том 10, Специальный выпуск, 2005

построение минимальных кубатурных формул, точных для полиномов хаара

_____ и _______

высших степеней в двумерном случае*

К. А. Кириллов Красноярский государственный технический университет, Россия

e-mail: KKirillov@rambler.ru

Cubature formulae with Haar d-property are considered in the two-dimensional case. For all d ^ 5 the minimal cubature formulae satisfied d-property are constructed.

Введение

Существенный интерес в теории приближенного интегрирования вызывает задача построения минимальных кубатурных (квадратурных) формул, точных для некоторого заданного набора функций, т. е. таких формул, которые точно интегрируют указанные функции, используя наименьшее возможное число узлов. Многие работы известных авторов посвящены проблеме построения минимальных формул приближенного вычисления интегралов, точных для алгебраических и тригонометрических многочленов. Квадратурные и кубатурные формулы, точные на алгебраических полиномах, восходят еще к Гауссу. Минимальные формулы приближенного вычисления интегралов, точные на тригонометрических многочленах, рассматривались в работах И.И. Кеда, М.В. Носкова, И.П. Мысов-ских и др. Квадратурные и кубатурные формулы, точные для системы функций Хаара, можно найти в монографии И.М. Соболя [1] и работах K. Entacher [2-4]. В их трудах точность формул приближенного интегрирования на конечных суммах Хаара использовалась при выводе оценок погрешностей этих формул. Вопрос минимизации числа узлов не рассматривался.

Минимальные квадратурные формулы с произвольной суммируемой функцией, точные для функций Хаара, были описаны М.В. Носковым и автором настоящей статьи в [5]. В двумерном случае вопрос построения минимальных кубатурных формул, точных для полиномов Хаара степени d — специальных линейных комбинаций произведений функций Хаара, исследовался автором в [6, 7]. В этих работах рассмотрено свойство кубатурных формул быть точными на константах и полиномах Хаара первых d степеней (так называемое d-свойство), получены нижние оценки числа узлов кубатурных формул, обладающих d-свойством, а также приведены примеры минимальных формул для d = 1, 2, 3, 5.

В настоящей работе рассмотрены примеры минимальных кубатурных формул, обладающих d-свойством для d = 5, 6, 7; на основании этих формул для любого целого d ^ 8

* Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты № 04-01-00823, № 03-01-00703).

© Институт вычислительных технологий Сибирского отделения Российской академии наук, 2005.

построены точные на полиномах Хаара кубатурные формулы, минимальность которых следует из оценки числа узлов, полученной в [6].

В [1] сформулировано понятие функций Хаара и даны сопутствующие ему определения. Приведем их с незначительными изменениями, вызванными тем, что в настоящей работе используется оригинальное определение функций {Хт,у (х)}, введенное А. Хааром [8], отличное от определения этих функций из [1].

Двоичными промежутками назовем промежутки с концами в точках 2т-1 , 2т-1

(т =1, 2,..., ' = 1, 2,..., 2т_1). Если левый конец промежутка совпадает с 0, то будем считать промежуток замкнутым слева, если правый конец совпадает с 1, — замкнутым справа. Остальные двоичные промежутки считаются открытыми.

Левую и правую половины (без середины этого двоичного промежутка) будем обозначать /_ • и /+ • соответственно.

Система функций Хаара строится группами: группа номер т содержит 2т-1 функций Хт,з (х), где т — некоторое натуральное число, ' = 1,..., 2т-1. Функции Хаара Хт,] (х) определим следующим образом:

' 22-1

Хт,] (х) =

-2

0 1

о [Хт,] (х - 0) + Хт,] (х + 0)]

2

при х € , при х € ,

при х € [0, 1] \ , если х — внутренняя точка разрыва.

Здесь I.

т,]

' - 1 3

2т_1

2

т_ 1

т

1, 2,

'

1,...,2

т_ 1

В систему функций Хаара включают также функцию Хо (х) = 1.

В двумерном случае полиномами Хаара степени б будем называть линейные комбинации функций Хо(х) = 1, ХрДх), Хя,з(у), Хт,к(х)Хп,1(у) с действительными коэффициентами, где р, д = 1,..., б, т + п = 2,..., б, г = 1,..., 2Р-1, ' = 1,..., 2«-1, k = 1,..., 2т-1, 1 = 1,..., 2п-1 и хотя бы один из коэффициентов при Х^г(х), Х^ (у), Хт,к (х)Хп,1 (у) (т + п = б) отличен от нуля.

Заметим, что в записи полинома Хаара 1-й степени отсутствуют произведения Хк,т(х)Х1,п(у), а под полиномом Хаара нулевой степени будем понимать константы.

Рассмотрим кубатурные формулы

1 1

N

I [/]

/(х,у) бхбу « £ С«/(х«у«) = д [/],

оо

где (х(г),у(г)) € [0,1] х [0,1] — узлы формулы; C « € М — ее коэффициенты, г = 1,..., N; /(х,у) — функция, определенная и суммируемая на [0, 1] х [0,1].

Будем говорить, что формула (1) обладает б-свойством, если она точна для любого полинома Хаара P(х, у) степени, не превосходящей б, т. е. Q [Р] = I [Р].

Мономами Хаара степени б назовем функции Хd,k(х), Хd,k(у), Хм(х)Хт,](у), где к =1,..., 2^, 1 + т = б, г = 1,..., 21-1, ' = 1,..., 2т-1.

Приведем определение к-функции, введенное в [5]. Пусть п и ' — некоторые натуральные числа, причем 1 ^ ] ^ 2п.

Функцию

п

кп,^

т=1

назовем к-функцией группы номер п, где 3 = 1, а индексы з'2, таковы, что /п+1;^ С

/п,^ С • • • С ^ С /1,1 = [0, 1],

а Г 1 если /т+1,^т+1 = с ¿т, т I-1, если ^+1,^+1 = >

т = 1., •••,п, ^п+1 = 3.

Функции к^(ж), к^(у), кг,г(х)кт)^(у) будем называть к-мономами степени й, где к = 1, • • •, 2й, / + т = й, 'г = 1, • • •, 21, 3' = 1, • • •, 2т.

Лемма 1. [5] Каждая функция Хаара из первых п групп и функция (ж) представи-мы в виде линейной комбинации к-функций п-й группы, и притом единственным образом.

Следствие 1. Формула вида (1) обладает й-свойством, тогда и только тогда, когда она точна для всех к-мономов степени й.

Лемма 2. [5] Для к-функций п-й группы имеет место равенство

2п при ж € /п+1,^, кпл (ж) = { 2п-1 при ж € /п+и \ /п+и,

0 при ж € [0, 1] \ /п+1 , 3 = 1,^, 2п.

Следствие 2. Для к-мономов степени й справедливо соотношение

( 2й, если (ж, у) € /т+м х /п+и,

2й-1, если (ж, у) € ((/т+М \ /щ+м) х /п+1,5) и

кт,,г

и(/т+1,г Х (/п+1,^ \ /п+1,^)), 2й-2, если (ж, у) € (/т+м \ /т+1,г) Х (/п+и \ /п+1,^),

0, если (ж, у) € ([0, 1] х [0,1]) \ (/т+м х /п+и), т + п = й, г = 1, • • •, 2т, 3 = 1, • • •, 2п. Из этого следствия вытекает

Лемма 3. Если К^(ж, у) — произвольный к-моном степени й, то

1 1

I К = J ! Кй(ж, у) йж йу = 1 оо

В [6] установлена оценка числа узлов кубатурной формулы (1), обладающей й-свойст-вом:

N ^ 2й - А

где

А

1 У [ 3  2~ - 2 при й = 2к +1, v '

к = 1, 2, • • •

Лемма 4. Пусть кубатурная формула (1) удовлетворяет следующим условиям:

1) число узлов этой формулы N (б) = 2й — А(б);

2) числа х(1), у(1), х(2), у(2),..., х(л(й)), у(л(й)) кратны 2-й и отличны от 0 и 1, а ж(л(й)+1), у(л(й)+1), х(л(Й)+2), у(л(Й)+2),..., ж(2Й-л(Й)), у(2Й-л(Й)) кратны 2-Й-1, но не кратны 2-Й, коэффициенты формулы С(1) = С(2) = ... = С(л(й)) = 2-Й+1, С (л(Й)+1) = С (л(й)+2) = ... = С (2Й-л№) = 2-й;

3) носитель каждого к-монома степени б содержит ровно один узел формулы;

4) для любого к-монома К степени б, такого, что (х(г), у(г)) € вирр (Кй),

„(г) у(г)) = / 2<г при « = 1,..., А(d),

К(х(г) У(г)) = I

К<г(Х ,У ) \ 2й-1 при г = А(б) + 1,..., 2й — А(б);

5) х(2^-л(^)) = у(2^-л(Й)-1) = 1 — 2-Й-1, где вирр (Кй) — носитель функции Кй, а параметр А(б) определяется формулой (3).

Указанная формула является минимальной кубатурной формулой, обладающей б-свойством.

Доказательство. В силу леммы 3 и следствия 2 формула (1), удовлетворяющая условиям 1-5, точна для всех к-мономов степени б. Согласно следствию 1, она обладает б-свойством. Тогда в соответствии с неравенством (2) эта кубатурная формула является минимальной формулой, обладающей б-свойством.

Лемма доказана.

Рассмотрим примеры кубатурных формул, которые удовлетворяют условиям леммы 4 для б = 5, б = 6, б = 7 и, следовательно, являются минимальными формулами, обладающими б-свойством для соответствующих значений б. Узлы каждой из этих формул удобно представить в виде

(х(г),у(г)) = (а(г)  2-й-1,Ь(г)  2-й-1).

Ниже приведены значения коэффициентов при узлах и таблицы значений параметров а(г), ь(г) для указанных кубатурных формул.

Имеет место следующая теорема.

Теорема 1. Если (х(г),у(г)) — узлы кубатурной формулы (1), удовлетворяющей условиям 1-5 леммы 4 (г = 1, 2,..., 2й — А(б)), то кубатурная формула

1 1 2й-л

/ /(х,у) бхбу « £ (С«/(х!г),у«) + С«/(х«^)) +

. V „ ^ Ч , .

0 0 г=1

л(й) . ч 2й-л(^)-2

+ Е (с-1/(х-2, у-2) + С-4/(х-4, у«)) + "Е " (С2г)/(х2г), у2г)) + С«/(х4г), )) +

г=1 4 7 г=1 4 7

+С22Й-л

Пример 1

й = 5 : С

С

С(22) = 2-5.

г а(1) &(<) г а &(<) г а(1) 6« г а(1) 6« г а(1) 6«

1 2 32 2 8 8 3 16 44 4 20 16 5 24 56

6 32 64 7 40 40 8 48 12 9 52 48 10 56 24

11 5 63 12 63 5 13 11 51 14 13 21 15 27 27

16 29 37 17 35 53 18 37 29 19 43 19 20 45 61

21 59 35 22 61 59

Пример 2 й = 6 : С(1) = С(2) = С(14) =2 -5, С(15) = С (16) = • • = С(50) 2-6

г 6« г а

1 6 64 2 12 32 3 16 88 4 32 116 5 40 16

6 48 56 7 56 80 8 64 6 9 72 48 10 80 72

11 88 112 12 96 12 13 112 40 14 116 96 15 9 109

16 19 9 17 21 43 18 23 99 19 25 51 20 27 75

21 29 23 22 35 37 23 37 93 24 43 107 25 45 69

26 51 103 27 53 27 28 59 45 29 61 123 30 67 121

31 69 83 32 75 101 33 77 25 34 83 59 35 85 21

36 91 35 37 93 91 38 99 105 39 101 53 40 103 77

41 105 29 42 107 85 43 109 119 44 119 19 45 121 61

46 123 67 47 1 3 48 125 1 49 3 127 50 127 125

Пример 3

й = 7 : С(1) = С(2) = • • • = С(22) = 2-6, С(23) = С(24) = • • • = С(106) = 2

-7

г а 6« г а

1 4 64 2 10 128 3 16 16 4 32 88 5 40 32

6 48 112 7 64 4 8 80 80 9 96 24 10 104 96

11 112 48 12 128 10 13 144 208 14 152 160 15 160 232

16 176 176 17 192 252 18 208 144 19 216 224 20 224 168

21 240 240 22 252 192 23 7 195 24 13 237 25 19 243

26 21 153 27 23 103 28 25 213 29 27 43 30 29 165

31 35 171 32 37 221 33 43 227 34 45 141 35 51 147

36 53 201 37 55 55 38 57 181 39 59 75 40 61 249

41 69 149 42 71 107 43 73 107 44 75 59 45 77 173

46 83 179 47 85 217 48 87 39 49 89 133 50 91 123

51 93 229 52 99 235 53 101 157 54 107 163 55 109 205

56 115 211 57 117 185 58 119 71 59 121 137 60 123 119

61 125 245 62 131 247 63 133 117 64 135 139 65 137 69

66 139 187 67 141 45 68 147 51 69 149 93 70 155 99

71 157 21 72 163 27 73 165 121 74 167 135 75 169 37

76 171 219 77 173 77 78 179 83 79 181 57 80 183 199

81 185 105 82 187 151 83 195 7 84 197 73 85 199 183

86 201 53 87 203 203 88 205 109 89 211 115 90 213 29

91 219 35 92 221 85 93 227 91 94 229 41 95 231 215

96 233 101 97 235 155 98 237 13 99 243 19 100 245 125

101 247 131 102 249 61 103 1 189 104 189 1 105 67 255

106 255 67

с узлами

(x(2d-A(rf)-l),y(2d-A(rf)-l)) = ^ x(2d-A(d)-l), ^ , (Xj2d-A(rf)) ,y{2d-A(d))) = ^, 2 y(2d-A(rf)A •

(42 У±2) = (l - 1 x(i) ± ^, 1 y(i) ± , i = 1-----A(d),

(х2г), y(i)) = (l - 2x(i) - 2d+3,1 y(i) - , i = A(d) + 1, A(d) + 2,..., 2d - A(d) - 1;

(х$г),у(г))=(1 - ix(i), 1 - iy(i)) , i = 1,..., A(d),

) = ( 1 - 2X(i) + ^, 1 - 2y(i) + , i = A(d) + 1, A(d) + 2,..., 2d - A(d);

(х4г),у!г)) = Qx(i) - , 1 - 2У(г) - , i = A(d) + 1, A(d) + 2,..., 2d - A(d) - 2,

i = 2d - A

и коэффициентами

C(2d-A(d)-1 ) = C(2d-A(d)) = C« = C3(i) = 2-d- 1, i = 1,..., A(d), C« = 2-d-2, i = A(d) + 1, A(d) + 2,..., 2d - A(d) - 2,

C-2 = C-i = 2-d-2, i = 1, 2,..., A(d),

C2i) = 2-d-2, i = 1, 2,..., 2d - A(d) - 1,

C« = 2-rf-2, i = A(d) + 1, A(d) + 2,..., 2d - A(d), C« = 2-d-2, i = 1, 2,..., 2d - A(d) - 2, i = 2d - A(d) является минимальной формулой, обладающей (d + 2)-свойством.

Доказательство. Согласно лемме 4 для доказательства утверждения теоремы достаточно показать, что кубатурная формула (4) удовлетворяет следующим условиям: 1') для числа узлов формулы имеет место равенство

N

2') абсциссы и ординаты A(d + 2) узлов формулы кратны 2-d-2 и отличны от 0 и 1, коэффициенты формулы при указанных узлах равны 2-d-1, обе координаты каждого из

остальных 24+2 — 2Л(й + 2) узлов кратны 2-4-3, но не кратны 2-4-2, коэффициенты при этих узлах равны 2-4-2;

3') носитель каждого к-монома степени й + 2 содержит ровно один узел формулы; 4') все к-мономы степени й + 2, носители которых содержат произвольный узел формулы, принимают в этом узле значения, равные 24+2, если абсцисса и ордината узла кратны

2Й+1, если обе координаты кратны 2 4 3, но не кратны 2

>-4-2.

2

5') найдутся два узла формулы такие, что абсцисса одного из них и ордината другого равны 1 — 2-4-3.

Докажем, что кубатурная формула (4) удовлетворяет условию 1'. Для числа узлов формулы (4) справедливо равенство

N (й + 2) = 24+2 — 2Л(й) — 2.

Нетрудно проверить, что

Л

Отсюда следует равенство (9).

Установим, что формула (4) удовлетворяет условию 2'. Из соотношений (5), (7) и условия 2 леммы 4 следует, что абсциссы и ординаты узлов (ж^, у(1)), (х12),у(2)),...,

кратны 2 4 2 и отличны от 0 и 1. Согласно условию теоремы, коэффициенты формулы (4) при указанных узлах равны 2-4-1. В силу равенства (10) общее число таких узлов Л(й + 2). Кроме того, из соотношений (5)-(8) следует, что обе координаты каждого из остальных 24+2 — 2Л(й + 2) узлов формулы (4) кратны 2-4-3, но не кратны 2-4-2. По условию теоремы коэффициенты формулы при этих узлах равны 2-4-2. Докажем теперь, что кубатурная формула (4) удовлетворяет условиям 3' и 4'. Рассмотрим множество носителей всех к-мономов степени й

Ел =

г — 1 г

2т , 2Г

х

х

3 — 1 _3_

2« ' 2"

: т + п = й, т, п = 0,1,

Определим множества е4+2, к = 1, 2,..., 6, следующим образом:

г = 1, 2,..., 2т, з = 1, 2,

Е(1) = Е4+2 =

г — 1

2т+1 ' 2т+1

х

х

3 — 1 3

х

2«+1 ' 2"+1

3 — 1 3

: т + п = й, т, п = 0,1, 2,..., г = 1, 2,..., 2т, з = 1, 2,

Е (2) =

Е4+2 =

1—

1—

г — 1

2^+1' 2т+1

х

2«+1 ' 2"+1

т + п = й, т, п = 0,1, 2,..., г = 1, 2,..., 2т, з = 1, 2,..., 2"

Е (3) = Е4+2 =

1—

1—

г — 1

2^+1' 2т+1

х

п

2

п

2

х

1—

2«.+1

1—

х

1—

2«.+1

1—

3 — 1

2«.+1

3 — 1

2«.+1

т + п = б, т, п = 0,1, 2,..., г = 1, 2,..., 2т, 3 = 1, 2,

Е

(4) ^+2

г — 1

2т+1 ' 2т+1

х

: т + п = б, т, п = 0,1, 2,

ЕЙ+2 = [0,1] х

г — 1

2^+2' 2^+2

г = 1, 2,

1, 2.....2т

)й+2

1, 2.....2п

Е

(6) ^+2

г — 1

2^+2 ' 2^+2

х [0, 1] : г = 1, 2,..., 2

^+2

Имеет место равенство

Ей+2 = У Е,

(к) й+2.

к=1

Следовательно, для доказательства 3' и 4' достаточно установить, что условие 3' выполнясь) 1?

ется для прямоугольников каждого из множеств Е^+2, Е^+2, . . . , Е^+2, а условие 4 — для к-мономов, носителями которых являются эти прямоугольники.

Покажем, что условиям 3' и 4' удовлетворяют элементы множества Е^+)2 и к-мономы с носителями из Е^+2. Очевидно, что прямоугольникам этого множества принадлежат

только узлы (х11), у(1)), (х12), У(2)), ..., (х12 л(й)), у(2 л(й))) формулы (4).

Уменьшив вдвое обе координаты каждого узла формулы (1), удовлетворяющей условиям 1-5 леммы 4, получим множество

^ =

1 ж(г),1 у(г) 22

: г = 1,..., 2й — А

Прямоугольники множества Е^+2 можно получить из прямоугольников множества Е^ также уменьшением обеих координат их точек в два раза. Тогда из условия 3 леммы 4 следует, что каждый прямоугольник из Е^+2 содержит ровно одну точку множества В соответствии с условием 4 леммы 4 каждый из узлов (ж(1),у(1)), (ж

формулы (1) есть граничная точка всех содержащих его прямоугольников множества Е^, отличная от их вершин. Следовательно, каждая точка множества также лежит на границе всех содержащих ее прямоугольников из Е^+2 и отлична от их вершин, поэтому при условии

имеет место равенство

Кй+2(х,у) =2й+1, г = 1, 2,...,А(б),

где Кй+2 — к-моном степени б + 2. В силу

формулы (4) принадлежат множеству Значит, указанные узлы и к-мономы, носители

которых являются элементами множества Ей+2, действительно удовлетворяют условиям 3' и 4'.

Каждый из узлов (ж(л(й)+1), у(л(й)+1)), (ж(л(й)+2), у(л(й)+2)),..., (ж(2'-л(й)), у(2'-л(й))) формулы (1) отстоит от границ прямоугольников множества Е^, внутри которых он находится,

п

2

3

3

6

на расстоянии не меньше 2 4 1. Следовательно, каждая из тех точек множества которые могут быть получены из указанных узлов уменьшением их абсцисс и ординат в два раза, отстоит от границ содержащих ее прямоугольников множества Е^+2 на расстоянии

не меньше 2-4-2. узлЬ1 (х^^,у(Л(4)+1)), (х1Л(4)+2), у(Л(4)+2)),..., (хГ-Л(4)-2), у^-Л(4)"2)) формулы (4) получаются из указанных выше точек множества сдвигом на +2-4-3 по обеим координатам, узел (х1 , У1 ) может быть получен сдвигом точки

х(2Й-Л(4)-1), ^ — 2<ц-2^ множества на +2-4-2 по второй координате, а узел

, (2^-Л(4)) (2^-Л(4))х [1 11 (2Й-Л(4)-1Л гу , п-4-2

(х1 , У1 ) — сдвигом точки I 2 — 24+2, 2У ) множества на +2 по

П - I (Л(4)+1) (Л(4)+1К / (Л(4)+2) (Л(4)+2)\

первой координате. Следовательно, каждый из узлов (х1 , У1 ), (х1 , У1 ),

.. . , (х1 , У1 ) формулы (4) содержится в тех же прямоугольниках из Е^+2, что

и точка множества , из которой узел получен с помощью указанных преобразований.

Таким образом, носители к-мономов степени й + 2, являющиеся элементами множества

Е4+2, действительно удовлетворяют условию 3'.

В соответствии с условием 2 леммы 4 узлы (х(Л(4)+1), у(Л(4)+1)), (х(Л(4)+2), у(Л(4)+2)),...,

(х(2 -Л(4)),у(2 -Л(4))) формулы (1) являются внутренними точками всех содержащих их

Т? ТТ ( (Л(4)+1) (Л(4)+1К / (Л(4)+2) (Л(4)+2)\

прямоугольников множества Е4. Поэтому узлы (х1 , У1 ), (х1 , У1 ),...,

(х1 , У1 ) формулы (4) есть внутренние точки всех прямоугольников мно-

жества Е4+2, которым они принадлежат. Следовательно, для каждого к-монома К^+2(х, у) степени й + 2 с носителем, содержащим любой из этих узлов (х1г),у(г)), справедливо равенство

К^+2(х1г), У?) = 24+2, г = Л(й) + 1, Л(й) + 2,..., 24 — Л(й) — 2. В любой точке множества

1 \ /1 г \ 4+2

: г = 1.....24+2 — 1

24+2' 2 Г \ 2' 24+2

все к-мономы степени й +2 с носителями, содержащими эту точку, принимают значения, равные так что

К4+2(х12'-Л(4)-1),у(2'-Л(4)-1)) = К4+2(х12Й-Л(4)),у(2Й-Л(4))) = 24+

Таким образом, к-мономы степени й + 2, носители которых являются прямоугольниками множества Е^+)2, действительно удовлетворяют условию 4'.

Докажем теперь, что условиям 3' и 4' удовлетворяют элементы множества Е^+2 и к-мономы с носителями из е4+2. Заметим, что прямоугольникам этого множества принадлежат только узлы (х±2, У±2), (х±2,У±2),..., (х±Л2(4)),у±Л2(4))), (х2Л(4)+1),у2Л(4)+1)),..., (х22'-Л(4)-1),у22'-Л(4)-1)), (х12'-Л(4)),у(2'-Л(4))) формулы (4).

Рассмотрим множество

1 г(0 1

х , I

22

Каждая точка — ^х(г), ^У(г)^ этого множества симметрична относительно прямой х = ц точке х(г), ^У(гМ множества (г = 1,2,..., 24 — Л(й)), а каждый прямоугольник

^2 = {

1 — , 1 — г—-1

2т+1 ' 2™+1

х

3 — 1 3

2п+1 2п+1

множества Ей+2 — симметричен прямоугольнику

г — 1 г

2^+1' 2™+1

х

3 — 1 3

2п+1 ' 2п+1

множества Е((^1|)2 относительно той же прямой. Тогда в соот-

ветствии с результатами, установленными для множеств Ей+2 и каждый прямоугольник из Ей+2 содержит ровно одну точку множества каждая из точек

1 — 1 Ж

<Л/ .и 1,11. <Л/ .и I ..... I X <Л/ ,

2 2 2 2 2 2

отстоит от границ содержащих ее прямоугольников множества Ей+2 на расстоянии, не

г»-2

меньшем 2 й 2, а точки

лежат на границах прямоугольников множества Ей+2 и отличны от их вершин.

Заметим, что узлы (Х^, у2л(<гН1)), (Х^, у2л(й)+2)),..., (ж^-^^, у22'-л(й)-1)) формулы (4) могут быть получены сдвигом точек

1 — 1 ж(л(й)+1) 1 у(л^)+1Л (1 — 1 ж(л(й)+2) 1 у(л(й)+2Л (1 — 1 ж(2^-л(й)) 1 у(2^-л(^)) 2 2 2 2 2 2

о-й-3 л ( (1) (1)\ ( (2) (2)\ , (л(й)) (л(й))ч

на —2 й 3 по обеим координатам, узлы (ж-2, у-2), (ж-2, у-2),..., (ж2 , у2 ) — сдвигом

точек

О о-й-3 ¿г / (1) (1)\ / (2) (2)\ / (л(й)) (л(й))ч

на —3  2 й 3 по обеим координатам, а узлы (ж2 , у2 ), (ж2 , У2 ),..., (ж2 , у2 ) — сдвигом точек

1 — 1 х

на +3  2-й-3 по обеим координатам. Так как расстояние между граничными точками каждого из прямоугольников множества Ей+2 не меньше, чем 2-й-1, то каждый из указанных узлов является внутренней точкой всех содержащих его прямоугольников этого множества. Тогда при условии (ж2г),у(г)) € вирр(Кй+2) имеет место равенство

Кй+2(х2г), у2г)) = 2й+2, г = 1, 2,..., 2й — А(б) — 1.

Мы установили, что каждый прямоугольник из Е^+2 содержит ровно одну точку множества а следовательно, ровно один узел множества

'/ (1) (1)А ( (2) (2)л ( (2й-л(^)) (2й-л(й))\

(х2 %у2 (ж2 %у2 О^.^ (х2 , У2 О

О / (2й-л(^)) (2й-л(^))х

Заметим также, что узел (ж1 , у1 ) можно получить в результате сдвига

точки

1 — 1 Х(2й-л(й)) 1 у(2й-л(^)) 2 ' 2

угольникам множества е4+2, что и точка — ^х(2 Л(4)), ^У(2 Л(4))^ . Значит,

множества на —2 4 2 по первой координате, так что и он принадлежит тем же прямо-

-х(2 -Л(4)), 1 у ' |. Значит, он является 22

единственным узлом в содержащих его прямоугольниках этого множества.

Итак, к-мономы степени й + 2, носители которых являются элементами множества

Е4+2, действительно удовлетворяют условию 4', а сами носители из этого множества — условию 3'.

Аналогично доказывается, что указанные условия выполняются для к-мономов с носителями, принадлежащими множествам Е4+2, Е4+2, и для самих носителей из этих множеств.

Очевидно, что к-мономы, носителями которых являются прямоугольники множеств Е(+2 и е£+2, удовлетворяют условию 4'. Докажем, что для самих прямоугольников из этих множеств выполняется условие 3'.

Пусть

Е

4+2,1

[0,1] X

г—1

2^+2 ' 2^+2

: г = 1.....2

4+1

Очевидно, что

Е(5) = е4+2,2

= [0, 1] х

г — 1

24+2 ' 24+2

г = 24+1 + 1,..., 24+2

;;(5) у4+2

п

Е( . у4+2,1 ^ е4+2,2 .

Докажем, что для прямоугольников множества Е(+2 1 имеет место условие 3'. Рассмотрим прямоугольники

А = [0,1] х

к — 1 2к — 1

24+1 ' 24+2

А = [0, 1] X

2к — 1 к

24+2 ' 24+1

(к = 1, 2,..., 24),

являющиеся элементами множества Е

4+2,1

Заметим, что

А и А = А'и А

где

А

2

х

к — 1 к

24+1 ' 24+1

А'

2

х

к — 1 к

24+1 ' 24+1

А е е(1+2, А2 е Е.

(2) у4+2.

По доказанному прямоугольники А и А2 содержат ровно по одному узлу. В этой связи рассмотрим следующие четыре случая. 1. Прямоугольник А' содержит узел

(х!М),у!Мх(м), 1 у(м^ , 1 < М < Л(й), формулы (4). Согласно условию 2 леммы 4,

(х<М ),У<М )) = 3М1

и

1

1

0

1

причем ж(м), у(м) отличны от 0 и 1, а так как (ж1м),у(м)) € Д1, то 1 ^ гм ^ 2й — 1, 3м € {к — 1, к} .

Если 3м = к — 1, то, согласно (6), прямоугольник Д2 содержит узел

(ж2м), у2м)) = — 2  х(м) + 3  2-й-3,1  у(м) + 3  2-й-3) .

Тогда имеем

(х1м),у(м)) € Дь (х2м),у(м)) € ^2, (х(м),у(м)), (х2м),у(м)) €АП ^2. (12) Если 3м = к, то в силу соотношений (6) прямоугольнику Д2 принадлежит узел

(х-м2), у-м2)) = — 2х(м) — 3  2-й-3, 2  у(м) — 3  .

В этом случае

Так как прямоугольники Д1, Д2 содержат ровно по одному узлу, то в силу (11)-(13) каждый из прямоугольников Д1, Д2 также содержит ровно один узел.

2. Прямоугольник Д1' содержит узел

(ж1м),у!м)) = (2  х(м) + ^, 2  у(м) + 2^) , А(б) + 1 < м < 2й — А(б) — 2,

формулы (4). Согласно условию 2 леммы 4,

а так как

(х2м),у2м)) = (1 — 2  х(м) — 53+3.1  у(м) — € Д2.

Следовательно,

Так как каждый из прямоугольников Д', Д2 содержит ровно один узел, в силу (11), (14) прямоугольники Д1, Д2 также содержат ровно по одному узлу.

3. Прямоугольник Д' содержит узел

(ж12й-л(й)-1), у(2"-л(й)-1)) = . Х(2й-л(^)-1), 2

формулы (4), вследствие чего к = 2й. Тогда этот узел принадлежит и прямоугольнику Д2. В силу (6) Д2 содержит узел

1 — 1 . х(2й-л(^)-1)__1 . у(2й-л(й)-1) —

1 ~ Х od+3 , п у

2 2й+3' 2 ь 2й+3

= (1 — 1  х(2'-Л(4)-1) — ^,1 — 3

2 24+3' 2 24+3 который принадлежит также прямоугольнику А1. Так как

(х1М ),у(М)), (х2М ),у(м)) е а п а

и прямоугольники А1, А содержат ровно по одному узлу, в силу (11) каждый из прямоугольников А1, А2 также содержит ровно один узел. 4. Прямоугольник А содержит узел

(х12'-Л(4)),У(2'-Л(4))) = ^2., 1 . у(2й-Л(4))^

22

формулы (4). В то же время этот узел принадлежит прямоугольнику А. Согласно условию 2 леммы 4,

(2й-Л(4)) = 2т — 1

Следовательно, причем т = к. Тогда

У 24+1

у(2й-Л(4)) = 2т — 1 У1 24+2 :

Так как (х12 Л(4)),У(2 Л(4))) — единственный узел, принадлежащий А А, в силу (11) и (15) прямоугольники А1, А2 содержат ровно по одному узлу.

Аналогично доказывается, что условие 3' выполняется для прямоугольников множеств

Е

Е4+2,2 и Е4+2.

Покажем, что формула (4) удовлетворяет условию 5'. Докажем существование узла указанной формулы, абсцисса которого равна 1 — 2-4-3.

Согласно условию 3', прямоугольник [1 — 2-4-2, 1] х [0, 1] содержит ровно один узел. Обозначим его через (х, у). Из соотношений (5)—(8) и условия 2' следует, что у = 0, у = 1, а х совпадает с одним из чисел: либо 1 — 2-4-2, либо 1 — 2-4-3. Предположим, что х = 1 — 2-4-2. Тогда узел (х, у) лежит на границе всех прямоугольников множества Е4+2, которым он принадлежит. Следовательно, у = ^, так как в противном случае

1 2

или

этот узел будет внутренней точкой одного из прямоугольников ^[1 — 24 1, 1] х

[1 — 24-1, 1] х 1, 1 ^ , являющихся элементами множества Е4+2. Из условия 2 леммы 4 и

соотношений (6), (7) вытекает, что ординату, равную 1/2, имеет только один узел формулы (4) —

(х12'-Л(4)-1),у(2'-Л(4)-1)) = х(2й-Л(4)-1), ^ .

Очевидно, что его абсцисса х12 Л(4) 1) < 1/2, а по предположению х = 1 — 2-4-2. Полученное противоречие показывает, что х = 1 — 2-4-3.

Существование узла формулы (4), ордината которого равна 1 — 2-4-3, доказывается аналогично. Теорема доказана.

1

Теорема 1 позволяет из кубатурной формулы, приведенной в примере 2, поэтапно получить минимальные формулы, обладающие б-свойством для б = 8, 10, 12,..., а из формулы, приведенной в примере 3, — минимальные формулы для б = 9, 11, 13,... Попытаемся вывести соотношения, с помощью которых можно было бы вычислить координаты узлов минимальной формулы для любого целого б > 10, минуя формулы, обладающие б0 + 2, б0 + 4,..., б — 2-свойством (б0 = 6, 7). С этой целью формулы (5)-(8) запишем в следующем виде:

х

Ук

¿2,к + ¿3,к + (^1,к + ¿4,к — ¿3,к + ¿4,к + ( ¿1,к + ¿2,к —

X« +

у« +

к+1

2^+3 (—1)к+1 2й+3 :

г = Л(б) + 1, Л(б) + 2,..., 2й — Л(б) — 2 при к = 1, г = Л(б) + 1, Л(б) + 2,..., 2й — Л(б) — 1 при к = 2, г = Л(б) + 1, Л(б) + 2,..., 2й — Л(б) при к = 3, Л(б) + 1, Л(б) + 2,..., 2й — Л(б) — 2, г = 2й — Л(б) при к

к

х(2*-А(Л)-1) у (2^-А(^)-1) х1 , у1

х

х

1 1 2, 2

у

'У II

хк , ук

= ¿3,к

^ + _ I) ^^ — 1) „«

г = 1, 2,...,Л(б), к = 1, 3;

х

(¿) _

1

= ¿-2,к + ¿2,к + ¿-4,к + ¿4,к — Т х(г) +

3

sgnk,

2Г ' 2й+3

1 \ 3

= ¿-4,к + ¿4,к + ( ¿-2,к + ¿2,к — ^ ) У(г) + 2^+3 Sgnk,

1, 2,...,Л(б), к = —2, 2, —4, 4.

Здесь ¿„ к — символ Кронекера.

Будем рассматривать кубатурные формулы вида (1), удовлетворяющие условиям 1-5 леммы 4 и следующему условию: абсцисса узла номер 2й — Л(б) — 3 и ордината узла номер 2й — Л(б) — 2 равны 2-й-1. Таковыми являются формулы, приведенные в примерах 2, 3. Координаты узлов указанных формул снабдим нижними индексами, равными 0, т. е. обозначим (х0г), у0г)), г = 1, 2,..., N(б0). Здесь N(б0) — число узлов рассматриваемых формул. Таким образом, N(б0) = 2йо — Л(б0).

Для любого наперед заданного целого б ^ 10 несложно вывести соотношения для вычисления координат хО^ к2 кт, Уо^ к2 кт узлов минимальной кубатурной формулы,

обладающей б-свойством (б = б0 + 2т, б0 = 6, 7, т = 1, 2, формула имеет следующий вид:

.). Указанная кубатурная

1 1

/(х у)бх

N

Е Е

¿=1 к! ,к2,...,к„

С

,...,кт3 V -ь0,к!,к2,...,кт> У0,к!,к2,...,кт!'

1

В соответствии с теоремой 1 число ее узлов N= 24 — Л(^). Вопрос о варьировании нижних индексов А1, А2,..., Ат рассмотрим позже.

С целью вывода указанных соотношений необходимо в определенных последовательностях комбинировать формулы (16)—(19), начиная с формул, в которых будут фигуриро-

(?) (?) (?) (?) вать , вместо ж(1), у(1).

В/ (?) (?) \ / (?) (г)\

записи (х0 к , к2 к ) верхний индекс г означает номер узла (х0 , ) ми-

нимальной кубатурной формулы, обладающей ^-свойством, из которого получен узел (х^ к2 , Уо?кк1 к2 кт), нижние индексы &1, А2,..., Ат — номера преобразований, последовательно применяемых к координатам ж0г), У^, при этом А; = 1 соответствует преобразованию, заданному формулой (5), = ±2 — формулой (6), = 3 — (7), = ±4 — (8).

При выводе искомых соотношений используется следующий принцип, вытекающий из те°ремы 1 если при г = ^ 2,..., N(^о) — 4, N(^о) — 1, N(^о) узел (х0?}к1,^2,... ,кг+1, Уо?к1,к2,... ,кг+1) мы получаем из некоторого узла (Х? ^ ^ к;, ) кубатурной формулы, обладаю-

щей ^'-свойством = + 2/, / < т), то в случае координат ^ к1 к2 к1, к2 к1, кратных 2-4 , значения ^о? к1 д., к2 к1+1 определяются по формулам

- -1 ( (^Мо))-2) (МЛо)-2)\ ' '

с ординатой 2 " 1 — из узла (хо , Уо ), причем номера применяемых пре-

образований образуют одну из последовательностей: 3, 1, 2, 3, 1,... 2, 2,..., 2, 3, 1. Отсюда получаем, что при г = N(^о) — 3, N(^о) — 2 отмеченный принцип комбинирования формул

(16)-(19) с целью вывода соотношений для вычисления ^о, к2, ... , к1+1, ^о^, к2, кг+1 сохраняется со следующими изменениями: при г = N(^о) — 3 (г = N(^о) — 2) в случае совпадения последовательности значений А1,..., А; с одной из комбинаций 3, 1, 4, 3, 1,... 4, 4,..., 4, 3, 1 (3, 1, 2, 3,1,... 2, 2,..., 2, 3, 1) на последнем этапе используются формулы (17).

Из теоремы 1 следует, что коэффициенты при узлах минимальной кубатурной формулы (20), обладающей ^-свойством (^ = + 2т), определяются следущим образом. Если

обе координаты узла (хо? кс1, ... , кт , А, кк2,... , кт ) кра™Ы то коэффициент С^, ^ ,... , при

данном узле равен 2-4+1, а если каждая из этих координат кратна 2-4-1, но не кратна 2-4,

то С(?) = 2-4

то Со,к , ... , кт = 2 .

Из приведенных выше рассуждений вытекает, что нижние индексы координат узлов

(хо?к1,к2,... ,, Уо?к1,к2,... ,) варьируются следующим образом. при г = Л(^о) + 1,..., N(^о) — 4 каждый из индексов А1, А2,..., Ат принимает значения 1, 2, 3, 4. При г = 1, 2,..., Л(^о) А1 = 1, ±2, 3, ±4; если А1, А2,..., А; = 1, 3, то А1+1 тоже принимает значения 1, ±2, 3, ±4, а если хотя бы один из индексов А1,А2,...,А; — четное число, то А;+1 = 1, 2, 3,4 (/ = 1, 2,..., т — 1). При г = N(^о) — 1 А1 = 1, 2, 3, при г = N(^о) А1 = 1, 3,4; если А1 = 1, то индексы А2,..., Ат варьируются так же, как и А1,..., Ат при г = 1, 2,..., Л(^о), а если А1 = 1, то как при г = Л(^о) + 1,..., N(^о) — 4. Если при г = N(^о) — 3 последовательность значений индексов А1, А2,..., А; (/ < т) представляет собой один из упорядоченных наборов: 3, 1, 4, 3, 1,... 4, 4,..., 4, 3,1 (при г = N(¿о) — 2 — 3, 1, 2, 3, 1,... 2, 2,..., 2, 3, 1), то последовательность индексов А;+1, А;+2,..., Ат принимает те же комбинации, что и А2,..., Ат при г = N(^о) — 1 или г = N(^о) в случае А1 = 1; если же в начале последовательности индексов А1,А2,..., Ат отсутствуют комбинации 3, 1, 4, 3, 1, ... 4,4,..., 4, 3, 1 в случае г = N (^о) — 3

и 3, 1, 2, 3,1, ... 2, 2,..., 2, 3, 1 в случае i = N (d0) — 2, то нижние индексы вычисляемых координат узлов принимают значения 1, 2, 3, 4.

Таким образом, можно выделить следующие две группы соотношений для вычисления координат узлов минимальной кубатурной формулы, обладающей d-свойством (d = d0 + 2m), и коэффициентов при узлах этой формулы. I. i = À(d0) + 1, À(d0) + 2,..., N(d0) — 4.

0,ki,...,km

(i) y0,ki

m—1

E

«=i

+x0i)

52,km-i + 53,km-i +

2do+2(m-0+1

m—1

E

«=i

(— 1)km-l+1 N m

П ( +

j=m+1-1 V

m Л . 1\ . . (—1)km+1

Ц1 + ¿4,fci — - ) + Ö2,fem + Ö3,fe„ +

+ 5,

4 k

+

2

(—1)km-i + 1 2do+2(m-«)+1

2d0+2m+1

П ( 51,kj + ¿2,^

j=m+1-1 V

(— 1)km+1

+y0i)  ПД51,ki + 52,fc; — 2 J + 53'km + 54,km + ^0+2m+l

C(i) = 2-do-2m

C0,fci,fc2,...,fcm = 2 .

+

+

Здесь k1, k2,..., km G {1, 2, 3,4}.

II. i = 1, 2,..., À(d0), i = N(d0) — 3, N(d0) — 2, N(d0) — 1, N(d0).

m

x,

0i)

0,ki ,... ,kp + i ,...,km

m-p-1

E

г=1

+x,

(i) 0,ki,...,k.

y

y0 ,ki ,...,kp ,kp+ i ,...,k

53,fcm-i ' П ( 51,kj — ~

j=m+1-i \ 2

П ( 51,k; — 1 ) + 53,km f=p+1\ 2

m-p-1

+

E

г=1

53,km-i ' П ( 51,kj — -

j=m+1-1 (i) m 1

+

C

i=p+1

0,ki,k2,...,km

2

_ 2-do-2m+1

Здесь кр+1,..., кт £ {1, 3}.

Вопрос о варьировании нижних индексов координат узлов (х, лении этих координат рассмотрим позже.

0,ki.....kp, y0,ki,...,kp) и вычис-

x

0,ki ,...,kp ,kp+i ,...,km—i ,km

5 2,km + 52,km +

+

3

2 y 0,ki,...,kp,kp+i,...,km—^ 2d0+2m+1

0,ki,... ,kp ,kp +i ,...,km — i ,km

1

= 5-4,km + 54,km + ( 5-2,km + 52,km 0 )  y0,ki,...,kp,kp+i,...,km-i +

3

C(i) C0,ki,k2,...,km

2 y ^0,ki ;...,kp,kp+i

2 -do -2m.

2do+2m+1

Sgnk„

Sgnk„

Здесь кт = ±2, ±4.

Можно выделить две ситуации, описывающие индексы, предшествующие кт

а) т > р + 1, кр+1,..., кт-1 £ {1, 3} ;

m

б) т = р +1.

Координаты узлов (хо^1)...)кр)кр+1)...)кт_1 , Уо!к1 >...>кр>кр+1>...,кт-1 ) находятся по формулам (22):

х,

ж,

о,к1 ,... ,кр ,кр + 1 — 1

1=п+1

П ¿1А + ¿4^ — ^ +

т-п-1

+

1=1

+ £

3,к

+

кт —1 + 1

уо,к1,...,кр,кр+1,...,кп—1,к„,к„+1,...,кт Уо,к1 ,...,кр,кр+1,...,к„—ьк„ ' П ( + 9 ) +

2^о+2

п

17=т+1-1

(— 1)кт+1 2^о+2т+1 ,

+

1=п+1

т-п-1

+

1=1

3 ,кго. — (

+ ¿4,кт — 1 +

кт —1 + 1

п

2^о+2(т-;)+^ ,=т+1-Д ^ + ^ 2

1

+ + +

кт + 1

+

С

2^о+2т+1

2-4о-2т, Ап+1,..., Ат е {1, 2, 3,4} , Ап = ±2, ±4.

Здесь имеет смысл выделить следующие две ситуации, описывающие индексы, предшествующие Ап:

а) п>р + 1, Ар+1,..., Ап-1 е {1, 3} ;

б) п = р +1.

Координаты узлов (жо^1;...;кр,кр+1....., Уо!к,1,...,кр,кр+1 .....кп—1,к„) находятся по формулам (23).

Поясним, как варьируются нижние индексы координат узлов (^о?^ кр, у^^ к) и как вычисляются эти координаты.

При г = 1, 2,..., Л(^о) параметр р = 0, т. е. в качестве узла (хо,;к1 кр, Уо?^ кр) рассматривается узел (жог), ^ог)) (индекс Ао везде считается равным 0).

При г = N (¿о) — 1, N (¿о) параметр р = 1, индекс А1 = 1, а координаты рассматриваемых узлов вычисляются по формулам

х(М (йо)-1) = 1 Ш№)-1) Ш№)-1) = 1 С (М (¿о)-1) = 2-^о-1

хо,1 =2 хо , уо,1 = 2, Со>1 = 2 ,

„(М (Йо)) = 1 У(М (¿о)) = 1 У(М (Йо)) С (М (¿о)) = 2-^о-1

-о,1 = 2, уо,1 =2 уо , Со>1 = 2 .

Хг

Если А =2 3

Если А1 = 2 , 3 (А1 = 3 , 4), то хо)к1)...;кт , уо,к1,...,кт , Со,к1,к2,...,кт ,...,кт , Уо,к1 ,...,кт , Со,&1

находятся по формулам (21).

При г = N(¿о) — 3 имеют место два случая:

1) р = 2, индексы А1 = 3, А2 = 1,

х(М№)-3) = 1 у(М(^о)-3) = 1 — 1

хо,3,1 = 2, уо,3,1 =2 4 уо

+

2 ¿о +4 :

С (М (¿о)-3) = 2-^о-3 Со,3,1 = 2 '

2) р > 2, при этом индексы А1 = ... = Ар-2 = 4, Ар-1 = 3, Ар = 1,

(М (¿о)-3) о,4,4,...,4,3,1

1 2 ,

(М(¿о)-3) = 2^°+2р + (—1)р  2Р-1  (24о+2 — 1) + 5 + (—1)р+1

Уо,4,4,...,4,3,1 3 ^ 2^о+2р + 2р

С(М №)-3) = 2-^о-2р+1

Со,4,4,...,4,3,1 = 2 ,

у(М (¿о)-3)  уо ,

1

2

т

1

р + 1 — число нижних индексов (вместе с к0 = 0).

Если отсутствуют комбинации 3, 1, 4, 3, 1, ..., 4, 4,..., 4, 3, 1 в начале последовательнос-

, , (М(^о)-3) (М(^о)-3) 1

ти нижних индексов кь...,кт, то х0,к1 ,...,кт , у0,кь...,кт , с0,к1,к2.....нахОДятся по формулам (21).

При г = N (¿о) — 2 имеют место следующие два случая:

1) р = 2, индексы к1 = 3, к2 = 1,

хо,з,1 = 2 4 хо + 2^0+4' уо,3,1 = 2' со,3,1 =2 .

2) р > 2, при этом к1 = ... = кр-2 = 2, кр-1 = 3, кр = 1,

^

(N(¿о)-2) = 2?0+2р + (—1)р  2Р-1  (2?0+2 — 1) + 5 (—1)р+1

Х0,2,2,...,2,3,1 = 3 ^ 2^о+2р + 2Р '"О '

ш

у0,2,2,...,2,3,1 = 2 ,

с ^ (?о)-2) = 2-^о-2р+1

с0,2,2,...,2,3,1 = 2 ,

р + 1 — число нижних индексов (вместе с к0 = 0).

Если отсутствуют комбинации 3, 1, 2, 3, 1, ..., 2, 2,..., 2, 3, 1 в начале последовательнос-

, , (N(^-2) (N(^-2) ^(N(^-2) 1

ти нижних индексов к1 , . . . , кто то Х0,к1 ,...,кт , У0>к1>...,кт , С0,к1,к2.....находятся По фоРмулам (21).

Соотношения (25)-(29) применяются не только для вычисления промежуточных величин, используемых в формулах (21)-(24), но и для нахождения координат узлов минимальных кубатурных формул, обладающих ¿-свойством при некоторых значениях й, именно: соотношения (25) — при й = й0 + 2, (26), (28) — при й = й0 + 4, (27), (29) — при й = й0 + 2р.

Чтобы получить соотношения (21), достаточно скомбинировать т формул вида (16), начиная с формул, в которых ж(г) = ж0г), у(г) = у0*\ соотношения (22) — т — р формул вида (18), начиная с формул с (ж(г), у(г)) = (жО^ кр, уО1 1 кр), соотношения (24) — т — п

формул вида (16), начиная с формул, в которых ж(г) = жО^ кп, У(г) = Уо^к1 кп.

Для вывода соотношений (26) требуется скомбинировать вышеупомянутые формулы в такой последовательности: формулы (16) при к = 3 с ж(г) = ж0N(?о)-3), у(г) = y0N(?о)-3) и (17) с (ж(г),у(г)) = (ж0^3(Йо)-3),у0^3(^о)-3)), для вывода соотношений (28) — формулы (16) при к = 3 с ж«) = )-2), у« = y0N№)-2) и (17) с (ж« у«) = (ж07о)-2), у02№)-2)), (27) — р — 2 формул (16) при к = 4, начиная с формул, в которых ж(г) = ж0N(?0) 3), у(г) = y0N(?0)-3), формулы (16) при к = 3 с ж« = ж0^о.)-43), у(г) = уО!4;£)-43) и (17) с (ж«, у«) = (жО??0 /3, уОУ /3), для вывода соотношений (29) — р — 2 формул (16) при к = 2, начиная с формул, в которых ж(г) = жО^"(?0) 2),у(г) = УоN(?о) 2), формулы (16) при к = 3 с ж(г) = жОЙ)/, у« = уО^)? и формулы (17) с (ж« у«) = (жО^З, уО^З).

Соотношения (23) представляют собой формулы (19) с ж(г) = жО^ к _1, у(г) =

у0*к1 к 1. Соотношения (25) совпадают с формулами (17).

Учитывая, каково множество упорядоченных групп индексов к1, к2,..., кт, можно сделать вывод о том, что соотношения (21)-(29) предусматривают всевозможные допустимые комбинации этих индексов, т. е. с помощью указанных соотношений можно вычислить координаты всех 2? — А(й) узлов и коэффициенты при узлах минимальной кубатурной формулы, обладающей й-свойством.

Список литературы

[1] Соболь И.М. Многомерные квадратурные формулы и функции Хаара. М.: Наука, 1969.

[2] Entaoher K. Generalized Haar function system, digital nets and quasi-Monte Carlo integration // H.H. Szu (Ed.). Wavelet Application III, Proc. SPE 2762. 1996.

[3] Entaoher K. Quasi-Monte Carlo methods for numerical integration of multivariate Haar series // BIT (Dan). 1997. Vol. 37, N 4. P. 846-861.

[4] Entaoher K. Quasi-Monte Carlo methods for numerical integration of multivariate Haar series II // BIT (Dan). 1998. Vol. 38, N 2. P. 283-292.

[5] Кириллов К.А., Носков М.В. Минимальные квадратурные формулы, точные для полиномов Хаара // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2002. Т. 42, № 6. С. 791-799.

[6] Кириллов К.А. Нижние оценки числа узлов кубатурных формул, точных для полиномов Хаара в двумерном случае // Вычисл. технологии. 2004. Т. 9, Спец. выпуск. С. 62-71.

[7] Кириллов К.А. Минимальные кубатурные формулы, точные для полиномов Хаара в R2 // Вопр. мат. анализа. Красноярск. Изд-во Краснояр. гос. техн. ун-та. 2002. Вып. 6. С. 108-117.

[8] Haar A. Zur Theorie der orthogonalen Funktionensysteme // Math. Ann. 1910. Vol. 69. P. 331-371.

Поступила в редакцию 2 ноября 2005 г.