Комбинированный сдвиг сжимаемого нелинейно-упругого полого цилиндра

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2015. Вып. 2. С. 42-52 Механика

УДК 539.3

Комбинированный сдвиг сжимаемого нелинейно-упругого полого цилиндра *

А. А. Маркин, В. В. Козлов

Аннотация. Рассматривается один из видов нагружения нелинейно-упругих материалов — комбинированный сдвиг полого цилиндра. На основании результатов решения задачи предлагается методика определения адекватности представления свойств материала выбранной связью напряжений и деформаций. В частности, используется соотношение из класса, в рамках которого можно контролируемо учитывать различные механические эффекты, удовлетворить частному постулату изотропии Ильюшина.

Ключевые слова: комбинированный сдвиг, полый цилиндр, нелинейная теория упругости, определяющие соотношения.

1. Введение

Рассмотрим одно из осесимметричных нагружений нелинейно-упругих, сжимаемых, изотропных материалов — равновесный процесс комбинированного сдвига полого цилиндра достаточно большой длины. При этом внутренняя и внешняя поверхности цилиндра скреплены с жесткими обоймой 2 и валом 1. Валик 1 закреплён неподвижно. К обойме 2 приложен момент и сила в направлении оси симметрии. Внутренний радиус цилиндра обозначим Я,2, внешний — К\. Расчетная схема приведена на рис. 1.

Установим отличие данного исследования от исследований, проводимых в отношении похожих видов нагружений. Так, в работах Э.Э. Лавендела [3], В.И. Бидермана [1] рассматривается задача кругового сдвига (приложен только момент М) для несжимаемого материала. Л.И. Лурье [4] изучает круговой сдвиг, но в рамках модели сжимаемого материала, Беа1у [9] — круговой сдвиг сжимаемого материала: на кинематические характеристики процесса накладываются ограничения, упрощающие выкладки, в результате использования которых изменение объема в процессе деформирования не происходит. Вследствие этого авторы устанавливают, каким дополнитель-

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты № 13-01-97501-р_центр_а, 14-01-31138-мол_а, 15-01-01875-а).

Рис. 1. Схема нагружения цилиндра

ным условиям должны удовлетворять определяющие соотношения для того, чтобы их можно было применить к фактически несжимаемым материалам.

Таким образом, в данной статье принимается более общее осесимметрич-ное нагружение цилиндра, на кинематику не накладывается дополнительных ограничений.

Результаты решения задачи о комбинированном сдвиге полого цилиндра могут быть использованы для апробации определяющего соотношения. Общность предложенной постановки задачи подчеркивается возможностью её записи для любого определяющего соотношения, принципы построения которого соответствуют изложенным в данной работе. К таким относятся классические соотношения Гузя, Мурнагана и т.п. Однако результаты решения задачи приведены для связи напряжений и деформаций, построенной в рамках подхода, обозначенного в работах Л.А. Толоконникова [8], А.А. Маркина [5], А.В. Муравлева [7] и позволяющего контролируемо учитывать различные механические эффекты, удовлетворять частному постулату изотропии Ильюшина.

2. Постановка задачи

2.1. Кинематика. Задачу об исследовании напряжённо-деформированного состояния полого цилиндра при комбинированном сдвиге естественно решать в цилиндрической системе координат.

Пусть (х1, х2, х3) = (К,в,го) — цилиндрические координаты материальной точки цилиндра в начальном состоянии (среда недеформирована), (г, ф, г) — цилиндрические координаты этой же точки в деформированном (ось Ог совпадает с осью симметрии цилиндра).

В рамках описываемой модели связь между указанными координатами будет выглядеть следующим образом:

г = г

где г (Я), гп (Я), вп (Я) — некоторые гладкие функции (обобщенные перемещения).

В дополнение к исходной цилиндрической системе координат с базисом ё% (ё1 = еп, ё2 = ёв, ё3 = ёго) вводится подвижная цилиндрическая система координат, повернутая относительно исходной на угол вп и характеризуемая базисом ё^ (ёп = ёг, ё^ = ё^, = ёг).

Из представлений (1) следует форма записи радиус-вектора положения точки в деформированном состоянии х:

х = гёг + (го + гп) ёго.

Запишем выражения векторов материального базиса Э = дХ:

Э1 = г'ёг + гв'цёр + г'кёХ0, Э2 = Гё^, Эз = ёг0.

Из последних формул можно найти базис э*, взаимный по отношению к материальному:

Э1 = ^ Э2 = ^ - Щ ёг, Э3 = ёг0 - 4 ёг.

гу>1 /у> 1У>1 ^ 1У>1

Приведём диадное представление аффинора деформации:

0 г

ф = V х = г' ёпёг + гвп ёпё^ + г'п ёпёг + ^ёвё^ + ё^ ёг = Фгз ёгё,

а также опишем подход к нахождению его полярного разложения ф = и • Я [5], где и — левая мера искажения, Я — тензор поворота.

о о о о

Конкретизируем меру Коши-Грина С = и2 = Е + v и + и v + v и • и v:

^ С = и2 = ф • фт = (г'2 + г'п2 + (Я вп )2) ёпёп + г'п (ёп ёго + ёгоёп) + г2 г2

+яв'п

Найдем левую меру искажения и, используя очевидную в рамках формулы (4) связь между главными значениями тензоров и и С, а также равенство между собой наборов их собственных векторов.

Собственные значения меры о находятся из уравнения — \°6гз | = 0.

Задача определения собственных значений меры Коши-Грина приводит нас к кубическому уравнению, аналитические решения которого весьма громоздки и неудобны для дальнейшего анализа и построения собственных векторов. Поэтому в среде ЫаЬЬаЪ разработан алгоритм численного нахождения различных мер (в частности, полярного разложения аффинора, левого тензора Генки) при указании значений г, г, в'я, г'я в точке.

Поскольку диады меры о состоят только из базисных векторов неподвижной цилиндрической системы координат, то производные меры и, е, Г

также будут содержать в диадах только векторы ёг. В то же время методика получения тензора поворота К = и-1  ф с учетом формулы (3) указывает,

что диадное представление тензора ф будет иметь вид

ф = № егё-п).

Запишем для полноты изложения тензор деформаций Коши-Грина е = = 2 (О — ф) исходя из формулы (4):

(V2 + г'к2 + (кв'к)2 — ёяёя + г'к (ёя ёго + ёхоёя) +

1

е = -Ф 2

г2 г2 +к^Я (ёяёв + ёеёя) + ( к2 —1\ ёвёв

к

При необходимости могут быть конкретизированы и другие меры описания деформированного состояния. Формулы данного пункта показывают, что компоненты тензоров деформаций зависят от функций обобщенных перемещений, их производных и радиальной координаты. Следовательно, получив обобщенные перемещения, деформированное состояние при комбинированном сдвиге будет полностью определено и компоненты мер деформированного состояния можно рассматривать как функции радиальной координаты.

2.2. Уравнение равновесия и разрешающие уравнения для неизвестных функций. Ввиду отсутствия массовых сил уравнение равновесия примет вид [5]

v  Ф = 0,

где v = ЭдХ — оператор Гамильтона в актуальном базисе.

В силу того, что нагружение осесимметрично и не зависит от координаты го, компоненты тензора напряжений зависят только от радиальной координаты: Бгз = Фгз (К). Положим, что тензор напряжений записан разложением по диадам, составленным из базисных векторов повернутой цилиндрической

вы-

системы координат, то есть Б = Тогда, рассмотрев последнее

ражение и конкретизируя производные , с учетом (2) получаем уравнение равновесия в виде

у S _ I 1 dsrr + srr s

pp

r' dR

r

ër+

+ -T

1 ds

rp

dR

+

2s

rp

ë ^ 1 dsrz + srz

p * r' dR r

ëz _0.

Для решения задачи и интерпретации результатов удобнее работать с безразмерными переменными. Введём переменную р = Я/Я\ и безразмерный тензор напряжений Коши Б (р)/(2С) (далее Б). Запишем безразмерные уравнения равновесия в координатной форме:

1 ds

r' dp 1 ds

rr srr s

pp

0,

rp

r' dp

+

p 2s

rp

p

0,

1 dsrz srz

r' dp p

Внешний радиус цилиндра обозначим Ri _ R\/R\ _ 1, а внутренний —

R2 _ R2/Ri-

Сформулируем для данной задачи граничные условия в перемещениях: на внутреннем радиусе перемещения отсутствуют, а на внешнем достигаются осевое смещение hz и смещение точек в круговом направлении на дугу

Ri Or (r^J . Что касается функции r (p), то на внешнем и внутреннем начальных радиусах она совпадает с соответствующими значениями этих радиусов. В безразмерных переменных данные граничные условия принимают вид

Or R2 _ 0, 9r Ri _ а

,

ZR [%) = 0, ZR

г

Таким образом, (6)—(9) вместе с формулой для компонент тензора истинных напряжений Коши определяют постановку решаемой задачи определения обобщенных перемещений.

2.3. Определяющие соотношения. Постановка задачи (6)—(9) будет полной, если с помощью выбранной связи напряжений и деформаций конкретизировать тензор истинных напряжений Коши. Рассмотрим подходы

r

r

к построению определяющих соотношений нелинейно-упругих изотропных сжимаемых материалов.

Принимая в качестве параметров состояния для начально изотропного тела тензор деформации Коши-Грина и температуру, свободная энергия ф будет функцией трех алгебраических инвариантов тензора Коши-Грина и температуры Т:

ф = ф ) .

Представим элементарную работу через энергетический тензор напряжений в виде [5] й'А(е) = Т • •йе. Тогда на основании рассуждений из работы [5]

получим связь напряжений и деформаций в форме

Т = 1 Т + 71 Т + 72 дГз) Е Л Т + '1 дГз)£~ + Т , (10) где Е — единичный тензор.

Для данного подхода наиболее простая форма свободной энергии, предлагаемая в работе Гузя [2], имеет вид

ф = С1Т + С2Т2.

Рассмотрим свободную энергию как функцию естественных инвариантов

о о о о

левого тензора Генки Г = 1п и, где и2 = С = Е + v и + и v + v и • и v.

Естественные инварианты левого тензора Генки в = Г • •Е и э (здесь э2 =

= Г • •Г) [5], в отличие от алгебраических инвариантов тензора Коши-Грина, имеют четкий физический смысл при конечных деформациях, а именно изолированно характеризуют изменение объема и формы соответственно. Тогда в рамках частного постулата изотропии Ильюшина, предполагающего независимость свободной энергии от угла вида тензора деформации Генки 7

(ео8 37 = 3^6^^эт^), свободная энергия примет вид

ф = ф

Преобразуем работу внешних сил в форме й'А(е = ап • •йГ [5]. Тогда, повторяя рассуждения из работы [5], получим

„ Г дф дф„ . ,

ап = ап + аоЕ = - + Е.

э д э дв

Рассмотрим представление (11) в форме прямого обобщения соотношений линейной теории упругости, что приведет нас к выражению, приведенному

в [5]:

Ф = Фо - ПоТ — Ь§О

где фо — начальная энергия; § = Т — То; Ь, Ср, К, О — постоянные.

Тогда для сжимаемых материалов в рамках изотермических процессов при подстановке последнего выражения в связь напряжений и деформаций (12) получим

По форме полученная связь напряжений и деформаций (13) асимптотически вырождаются в закон Гука [6] для малых деформаций.

2.4. Напряженное состояние. Поскольку в п.2.2 в уравнении равновесия содержится тензор истинных напряжений Коши, укажем принципы конкретизации данного тензора. Так как рассматривается сжимаемый материал, его напряженное состояние описывается общими формулами (10) либо (12), в которых по сути определяются выражения тензоров Т или аR как

функции мер деформированного состояния е, Г. Применительно к данной

задаче в п.2.1 отмечено, что компоненты мер е, Г зависят от обобщенных

перемещений, их производных и радиальной координаты. Следовательно,

Как следует из п.2.1 и формул (10), (12), тензоры Т, а^ будут содержать в диадах только векторы неподвижной цилиндрической системы координат eR, ёв, ёго. На примере тензора покажем, что в таком случае в простейшем представлении тензора Б базисные диады будут включать только векторы повернутой цилиндрической системы координат.

При использовании меры = 0'гjëiëj тензор истинных напряжений Ко-ши Б определяется из связи мер напряжений [5]

Тогда с учетом свойства ортогональности тензора поворота и его выражения (5) получим естественное разложение тензора истинных напряжений по базису подвижной цилиндрической системы:

= аR + аоЕ = 2ОГ + КОЕ.

ТV = Т^ (г (К), г' (К), О'к (К), 4 (К), К), ЫТ = ы)^ (г (К), Г (К), О'к (К), ^ (К), К).

9/сКр1 (апГ Ккт (ёр • ёг) ё • ёк) ¿ПЧП

№

^З/с^1 (ап)гз Езт4п)е(т) = в1тё(п)ёт).

На основе последних выкладок, начиная с (14), а также конкретизированных мер деформированного состояния из п.2.1 следует, что все компоненты тензора истинных напряжений Коши зависят только от параметра К и функций обобщенных перемещений г (К), вп (К) и гп (К).

Конкретизация постановки задачи (6)-(9) возможна с применением одного из определяющих соотношений для сжимаемой упругой среды (10), (12) и выражения свободной энергии, примеры которой можно найти в п.2.3. В результате получаем систему трех нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно функций г (р), вп (р) и гп (р), поскольку рассмотренные меры описания напряженно-деформированного состояния в конечном итоге зависят от этих функций, как показано в п.2.4. Получение результатов задачи (6)-(9) с выбранным определяющим соотношением реализовано в среде ЫаЬЬаЪ численным итерационным методом, где для начального приближения использовалось аналитическое решение задачи комбинированного сдвига нелинейно-упругого несжимаемого материала из линейной теории упругости:

Отметим, что для получения последних выражений введена гипотеза сохранения значения радиальной координаты в процессе деформирования г = р, что существенно упростило выкладки.

Найдя зависимость функций обобщенных перемещений от радиальной координаты, можем построить любую интересующую меру описания напряженно-деформированного состояния сплошной среды, в частности, модельные значения силы Е (а, Нх) и момента М (а, Нх), приложенных к внешней обойме, которые легко можно наблюдать и в эксперименте. Учитывая независимость от координаты г мер напряженно-деформированного состояния, формулы вычисления силы Е и момента М в безразмерных координатах, приходящиеся на единицу высоты цилиндра (в качестве таковой возьмем значение К1), сводятся к соотношениям

3. Численный метод

гп

4. Результаты

Е = 2пК2 згг (К^ , М = 2пК1 згф (Кг) .

Приведем на рис. 2, 3 для различных траекторий деформирования (зависимостей а = а (г), Нг = Нг (г) на внешней обойме, где г — некоторый параметр) графики модельных зависимостей М (а,Нх), Е (а,Нг), приложенных к единице длины цилиндра, в рамках решенной задачи (6)—(9) с тензором истинных напряжений Коши, полученным по формуле (15) для определяющего соотношения (13) аR = 2ОГ + КОЕ (К = 1000).

-1-;-1-1-1-1-

0 0.1 0.2 0.3 „ 0.4 0.5 0.6 0 7

Рис. 2. Зависимость М (а) для кругового сдвига при а (£) = г, Нг (£) = 0, г е [0, 0.67], К2 =0.6, К1 = 1

К

Рис. 3. Зависимость Е (Нх) для осевого сдвига при а (г) = 0, Нг (г) = г, г е [0, 0.6], К2 = 0.6, К1 = 1

Таким образом, сравнивая модельные и экспериментальные зависимости М (а,Нг), Е (а,Нг), можно сделать выводы об адекватности представления материала выбранным определяющим соотношениям.

Список литературы

1. Расчеты на прочность в машиностроении / С.Д. Пономарев, В.Л. Бидерман, К.К. Лихарев, В.М. Макушин, Н.Н. Малинин, В.И. Феодосьев. Т. 2. М.: Машгиз, 1958. 975 с.

2. Гузь А.Н. Устойчивость упругих тел при конечных деформациях. К.: Наукова думка, 1973. 270 с.

3. Лавендел Э.Э. Расчет резинотехнических изделий. М.: Машиностроение, 1976. 228 с.

4. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. 512 с.

5. Маркин А.А., Христич Д.В. Нелинейная теория упругости: учеб. пособие: 2-е изд., доп. Тула: Изд-во ТулГУ, 2007. 92 с.

6. Маркин А.А. Термомеханика сплошной среды: учеб. пособие. Тула: Изд-во ТулГУ, 2009. 140 с.

7. Муравлев А.В. О представлении упругого потенциала в обобщенном пространстве деформаций А.А. Ильюшина // Известия РАН. Механика твердого тела. 2011. № 1. С. 99-102.

8. Толоконников Л.А. Вариант соотношений разномодульной теории упругости // Прочность и пластичность. М.: Наука, 1971. С. 102-104.

9. Beatty Millard F, Qing Jiang On compressible materials capable of sustaining axisymmetric shear deformations. Part 2: rotational shear of isotropic hyperelastic materials // Q. J. Mechanics Appl. Math. 1997. V. 50. № 2. P. 211-237.

Маркин Алексей Александрович (markin-nikram@yandex.ru), д.ф.-м.н., профессор, зав. кафедрой, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.

Козлов Виктор Вячеславович (viktor1986t@mail.ru), к.ф.-м.н., доцент, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.

Combined shear compressible nonlinearly elastic hollow cylinder

A. A. Markin, V. V. Kozlov

Abstract. We consider one of the types of loading nonlinear-elastic materials -combined shear of the hollow cylinder. Based on the results of solving the problem is proposed technique for determining the adequacy of the presentation of the material properties of the selected relation stresses and strains. In particular, we use the ratio of the class in which can be controlled various mechanical effects, to satisfy the private isotropy postulate Il'yushin.

Keywords: combined shear, hollow cylinder, nonlinear elasticity theory, the defining relationships.

Markin Alexey (markin-nikram@yandex.ru), doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of department, department of mathematical modelling, Tula State University.

Kozlov Viktor (viktor1986t@mail.ru), candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, department of mathematical modelling, Tula State University.

Поступила 19.02.2015