Динамика капиллярного подъема магнитной жидкости в пористой среде

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

«НАУКА. ИННОВАЦИИ. ТЕХНОЛОГИИ», №4, 2015

удк532.685,532.546 Закинян А.P. [Zakinyan A.R.], Мкртчян J1.С. [Mkrtchyan L.S.], Лукинов А.А. [Lukinov А.А.], Кульгина Л.М. [Kulgina L.M.]

ДИНАМИКА

КАПИЛЛЯРНОГО ПОДЪЕМА МАГНИТНОЙ ЖИДКОСТИ В ПОРИСТОЙ СРЕДЕ*

Dynamics of magnetic fluid capillary rise in porous medium

Б работе экспериментально исследовано движение магнитной жидкости в отдельном цилиндрическом капилляре, а также в пористой среде при воздействии внешнего неоднородного магнитного поля. Рассмотрена динамика капиллярного подъема жидкости. Показано, что неоднородное магнитное поле, градиент которого направлен вверх, ускоряет процесс капиллярного поднятия, тогда как неоднородное магнитное поле, градиент которого направлен вниз, замедляет капиллярное поднятие жидкости. Проведен анализ полученных результатов. Предложен метод исследования капиллярного подъема магнитной жидкости в пористой среде на основе магнитных измерений. Обсуждаются приложения полученных результатов для целей анализа свойств пористых материалов.

Ключевые слова: магнитная жидкость, пористая среда, капиллярный подъем, пористость, проницаемость.

Abstract: In the present work the capillary flow of magnetic fluid in a single cylindrical capillary and in a porous medium under the action of a non-uniform magnetic field is studied experimentally. The dynamics of the capillary rise has been considered. It has been demonstrated that the non-uniform magnetic field with upward directed gradient accelerates the capillary rise; contrary, the non-uniform magnetic field with downward directed gradient decelerates the capillary rise. The obtained results have been analyzed. The method of the study of magnetic fluid capillary rise based on the use of magnetic measurements has been proposed. The potential applications to the porous materials characterization technique have been discussed.

Key words: magnetic fluid, porous medium, capillary rise, porosity, permeability.

Данная работа выполнена при поддержке гранта Президента РФ (проект МК-5801.2015.1), а также при поддержке Министерства образования и науки РФ в рамках базовой части государственного задания высшим учебным заведениям в сфере научной деятельности (проект №2479).

1. ВВЕДЕНИЕ

Движение жидкостей под действием капиллярных сил представляет собой важную область исследований в виду наличия большого числа приложений в науке, промышленности и повседневной практике [1-3]. Примерами важной роли капиллярного транспорта жидкостей в пористых средах могут служить дренаж и ирригация земель сельскохозяйственного назначения, движение грунтовых вод, процессы, связанные с хранением отходов производства, нефте- и газодобыча, процессы в тепловых трубках, производство капиллярных пишущих принадлежностей и др. [4]. Исследования движения магнитных жидкостей в пористых средах позволили выявить ряд особенностей, связанных с возможностью влияния на этот процесс внешнего магнитного поля [5]. Магнитная жидкость представляет собой коллоидную дисперсию ферро- или ферримагнитных наночастиц в несущей жидкой среде. Ввиду малости размера магнитных наночастиц магнитная жидкость может двигаться как целое сквозь пористые среды, такие как пески, осадочные или раздробленные породы под действием силы тяжести, приложенного градиента давления, капиллярных и магнитных сил [6]. Движением магнитной жидкости в этом случае можно управлять, соответствующим образом прикладывая внешнее магнитное поле, без необходимости прямого контакта с жидкостью. Контролируемое движение жидкости в пористой среде может иметь ряд значимых приложений в таких областях как горное дело, средства и методы охраны окружающей среды, техника моделирования эксплуатационных условий и т.п. Перечисленные обстоятельства обусловливают растущий интерес к изучению капиллярного транспорта магнитных жидкостей в пористых средах.

Ранее был выполнен ряд исследований особенностей движения магнитных жидкостей в пористых средах. Для лучшего понимания механизмов данного процесса представляется целесообразным изучение поведения магнитной жидкости в отдельном капилляре. Движение в отдельном капилляре может рассматриваться в качестве модели для экспериментального и теоретического изучения капиллярного движения в порис-

тых структурах различных типов. Влияние однородного магнитного поля на стационарное значение величины капиллярного поднятия магнитной жидкости в отдельном капилляре изучалось в работах [7, 8]. Динамика капиллярного подъема магнитной жидкости в отдельном капилляре при воздействии однородного магнитного поля исследовалась в [9]. Движение ограниченного объема магнитной жидкости в слое песка под действием неоднородного магнитного поля было изучено в работах [10, 11]. Различные аспекты движения магнитной жидкости в пористых средах изучались теоретически в ряде работ [12-19]. В настоящей работе представлено дальнейшее развитие описанных исследований. Рассматривается динамика капиллярного подъема магнитной жидкости в пористой среде при воздействии неоднородного магнитного поля.

2. МАТЕРИАЛЫ И МЕТОДЫ

Для исследования капиллярного поднятия магнитной жидкости в отдельном капилляре применялся стеклянный цилиндрический капилляр внутренним диаметром 200 мкм. Капилляр устанавливался вертикально и был снабжен миллиметровой шкалой. При помещении капилляра в резервуар с магнитной жидкостью, в момент касания его нижнего конца поверхности жидкости происходил капиллярный подъем магнитной жидкости. Данный процесс фиксировался при помощи видеокамеры. Для изучения капиллярного поднятия магнитной жидкости в пористой среде использовалась стеклянная трубка внутренним диаметром 5 мм заполненная песком и аналогичным образом помещаемая в резервуар с магнитной жидкостью. Размер частиц песка находился в диапазоне от 0.03 до 0.3 мм. Образцы песка приготавливались путем предварительной очистки при помощи дистиллированной воды и последующей сушки при температуре 105 °С. Движение фронта смачивания в трубке с песком также фиксировалось при помощи видеокамеры.

Для создания неоднородного магнитного поля использовался электромагнит, питаемый источником постоянного тока. Неоднородное магнитное поле с направленным вертикально вниз градиентом создавалось

за счет расположения полюсных наконечников электромагнита в нижней части стеклянной трубки (капилляра), в области расположения резервуара с магнитной жидкостью. В свою очередь, неоднородное магнитное поле с направленным вверх градиентом создавалось за счет расположения полюсных наконечников электромагнита в верхней части стеклянной трубки. При этом стеклянная трубка (капилляр) располагалась вдоль центральной линии между полюсами электромагнита. В результате проведенных измерений величины напряженности магнитного поля было показано, что учету подлежит лишь изменение магнитного поля с высотой, тогда как изменением магнитного поля в пределах поперечного сечения трубки можно пренебречь. Также было определено, что величина напряженности магнитного поля изменяется с высотой по закону близкому к линейному в пределах исследуемых координат. Для упрощения вычислений и интерпретации экспериментальных результатов будем полагать, что градиент магнитного поля в вертикальном направлении постоянен и равен по модулю 106А/м2.

Наличие у магнитной жидкости выраженных магнитных свойств делает возможным применение магнитных измерений для изучения ее движения в пористой среде. Для этого вместо стеклянной трубки заполненной песком применялся заполненный песком соленоид. Внутренний диаметр соленоида составлял 5 мм, а его длина равнялась 6.5 см. Таким образом, длина соленоида была значительно больше его диметра и в тоже время меньше, чем высота максимального поднятия магнитной жидкости в песке. Для измерения индуктивности соленоида применялся мост переменного тока. Увеличение индуктивности соленоида со временем соответствует капиллярному поднятию магнитной жидкости внутри соленоида. Отметим, что величина измерительного поля соленоида была мала и не влияла на процессы движения магнитной жидкости. При помощи магнитных измерений также может быть определено положение фронта смачивания в стационарном случае. Для этого применялась сенсорная катушка индуктивности малой длины (5 мм) надетая на трубку с песком, в котором установился стационарный уровень магнитной жидкости. Путем

перемещения катушки вдоль трубки производилось сканирование магнитных свойств. Положение фронта смачивания определялось по резкому изменению величины индуктивности сенсорной катушки.

В экспериментах, описанных в данной работе, применялась магнитная жидкость на основе керосина с диспергированными наночастицами магнетита, стабилизированными олеиновой кислотой. Магнитная жидкость имела следующие характеристики: плотность р = 1000 кгм динамическая вязкость // 5 мПа с, начальная магнитная проницаемость /л = 1.85, межфазное натяжение на границе с воздухом о = 0.027 Н/м.

3. РЕЗУЛЬТАТЫ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

На рис. 1 показана экспериментально полученная зависимость высоты И подъема магнитной жидкости в отдельном капилляре от времени. Как видно из рисунка, неоднородное магнитное поле, градиент которого направлен вниз, замедляет капиллярное поднятие магнитной жидкости и уменьшает высоту максимального поднятия. В противоположность этому, неоднородное магнитное поле, градиент которого направлен вверх, ускоряет капиллярное поднятие и увеличивает высоту максимального поднятия. Наблюдаемый эффект связан с действием пондеромотор-ной силы со стороны неоднородного магнитного поля, направление которой совпадает с направлением градиента поля. В случае, когда градиент магнитного поля был направлен вверх, напряженность магнитного поля у основания капиллярной трубки составляла /У 10 кА/т. В случае же, когда градиент магнитного поля был направлен вниз, напряженность магнитного поля у основания трубки составлялаН=29 кА/т. В обоих случаях напряженность магнитного поля изменялась с высотой линейно по закону Я = И{) + И  УЯ , где в первом случае УЯ = 10° А/м2 и во втором случае УЯ = -106 А/м2.

На рис. 2 представлена экспериментально полученная зависимость высоты подъема магнитной жидкости в трубке с песком от времени. Как видно из рисунка, характер влияния неоднородного магнитного поля на

Рис. 1. Временная зависимость высоты капиллярного подъема

магнитной жидкости в отдельном цилиндрическом капилляре при различных направлениях градиента магнитного поля. Точками показаны экспериментальные результаты, сплошные линии представляют теоретические зависимости.

динамику капиллярного подъема магнитной жидкости в пористой среде аналогичен тому, который имел место в случае отдельного капилляра. Параметры магнитного поля, при которых были получены зависимости, представленные на рис. 2, совпадают с описанным выше для рис. 1.

Отметим, что визуальная фиксация процесса движения фронта смачивания не всегда может быть эффек-

о В отсутствие поля  Градиент направлен вверх д Градиент направлен вниз

100

200 300

Время, t

400

0

Рис.2. Временная зависимость высоты капиллярного подъема

магнитной жидкости в трубке с песком при различных направлениях градиента магнитного поля. Точками показаны экспериментальные результаты, сплошные линии представляют теоретические зависимости.

тивной. В частности, это имеет место для материалов, у которых смоченная и сухая области визуально неразличимы. В таких случаях процесс движения магнитной жидкости в пористой среде может быть исследован при помощи магнитных измерений. На рис. 3 представлены результаты измерения зависимости от времени относительной индуктивности ЫЬи соленоида, заполненного песком, при капиллярном поднятии магнитной жидкое-

400 600 Время, ?

800 1000

Рис. 3. Временная зависимость относительной индуктивности со-

леноида, заполненного песком, в процессе капиллярного поднятия магнитной жидкости.

ти. Здесь Ьп - начальное значение индуктивности соленоида при t = 0. Измерения проводились в отсутствие внешнего магнитного поля. Индуктивность соленоида с течением времени достигает максимального значения ¿тах, когда магнитная жидкость в процессе своего подъема достигает верхнего конца соленоида.

4. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ

Уравнение движения магнитной жидкости в отдельной капиллярной трубке в присутствии неоднородного магнитного поля может быть записано в виде

я

рМ1 =^tl_pghAph2 _|Lm+Ио Jм{Ht)dH.

Но

Здесь R - внутренний диаметр трубки, в - краевой угол смачивания между жидкостью и материалом трубки, М(Н) - намагниченность магнитной жидкости. Н - напряженность локального магнитного поля внутри магнитной жидкости. Отдельные члены уравнения (1) означают (слева направо): инерционное слагаемое, капиллярное давление, гравитационный член, динамический напор, вязкое трение, магнитная сила. Здесь и далее сделаны следующие допущения: не учитывается влияние вытесняемого из трубки воздуха, не учитываются эффекты, связанные с движением жидкости в резервуаре, течение жидкости в трубке считается пуазелевским, краевой угол смачивания постоянен и равен краевому углу в стационарном состоянии. Опуская последнее слагаемое в уравнении (1), получим известное выражение для описания динамики капиллярного подъема в отдельном капилляре [20-22]. Отметим также, что в виду высокой смачивающей способности керосина краевой угол смачивания будем принимать близким к нулю.

Следует заметить, что сила, действующая на магнитную жидкость со стороны неоднородного магнитного поля, в общем случае имеет вид:

//0 \v MVHdV

Однако, принимая во внимание, что в рассматриваемом случае

VH = dll / dh

путем несложных преобразований можно получить выражение для магнитной силы в форме, представленной в уравнении (1). Входящая в выражение (1) намагниченность определяется из экспериментально полученной кривой намагничивания магнитной жидкости. Напряженность магнитного поля внутри жидкости может быть рассчитана по напряженности внешнего поля согласно уравнению:

Щ=Н-Ш

где /V размагничивающий фактор, равный 0.5 для магнетика в

форме цилиндра в перпендикулярном поле.

Будем считать, что магнитное поле перпендикулярно капиллярной трубке. Результаты численного решения уравнений (1) и (2) представлены на рис. 1. Как видно, наблюдается хорошее согласие экспериментальных и теоретических результатов.

Воспользуемся аналогией, имеющей место между линейным капиллярным транспортом в отдельном капилляре и линейным капиллярным движением жидкости в пористой среде. При анализе движения жидкости в пористой среде будем следовать работам [20, 22, 23]. Аналогично уравнению (1) может быть записано уравнение капиллярного поднятия магнитной жидкости в пористой среде, в котором вязкий член преобразован в соответствии с законом Дарси:

щ

где (р - пористость песка,

К - проницаемость,

.К - средний радиус пор.

Таким образом, пористая среда характеризуется тремя параметрами: пористостью, проницаемостью и радиусом пор. Сущест-

вуют различные подходы к определению значении данных параметров. В рамках данного исследования будут применяться результаты описанных выше экспериментов для нахождения соответствующих характеристик пористой среды.

Так, средний радиус пор может быть определен по высоте максимального поднятия жидкости. Соответствующий расчет дает значением Я = 55 мкм для образца песка, использовавшегося в экспериментах. Пористость может быть рассчитана по величине максимального значения относительной йн дуктивности соленоида, заполненного песком, в соответствии с формулой с формулой Бруггемана для магнитной проницаемости дисперсной системы:

/ 'с - /

( У/3

/V

/

где ц , - эффективная магнитная проницаемость среды,

¡л. - магнитная проницаемость дисперсной фазы,

[А - магнитная проницаемость дисперсионной среды.

В рассматриваемом случае дисперсная фаза представлена песком ¡л = 1, дисперсионная среда представлена магнитной жидкостью //е //1.85 , эффективная магнитная проницаемость среды равна максимальному значению относительной индуктивности соленоида /ие{ = X Такой подход к определению пористости верен при условии насыщения пористой среды жидкостью, т.е. в предположении, что все поры заполнены магнитной жидкостью. Соответствующий расчет дает для пористости значение (р = 0.38 в рассматриваемом случае. Проницаемость среды может быть найдена путем аппроксимации экспериментальных данных, представленных на рис. 2, при помощи теоретической зависимости (3). Численное решение уравнения (3) для случая отсутствия внешнего поля дает для величины проницаемости значение К = 15 10 11 м2. Используя полученные значения величин параметров пористого материала, можно также рассчитать кривую динамики капил-

лярного поднятия магнитной жидкости в присутствии внешнего магнитного поля. Соответствующий расчет представлен на рисунке 2. Как видно из рис. 2, в случае, когда градиент магнитного поля направлен вверх, наблюдается хорошее согласие экспериментальных и теоретических результатов. Напротив, когда градиент магнитного поля направлен вниз, наблюдается заметное количественное расхождение экспериментальной и теоретической зависимостей. Последнее может быть связано с влиянием сильного магнитного поля на структуру пористого материала (песка) при наличии в нем магнитной жидкости.

Рассмотрим изменение индуктивности соленоида в процессе происходящего внутри него капиллярного поднятия магнитной жидкости. Индуктивность может быть представлена в виде суммы индуктивностей смоченной и сухой областей:

ь=ьх +ь2.

Очевидно, имеем:

а = 12=^¿т

где /.(, - магнитная постоянная,

п - число витков на единицу длины соленоида,

- площадь поперечного сечения соленоида,

/ - длина сухой части соленоида.

Принимая во внимание,

ЧТО /,,= /7 + /, 10 = МсР^Л Апах = ^Л/^Л легк0 получить

шп\ О

где I - общая длина соленоида.

Рис.4. Временная зависимость высоты капиллярного подъема

магнитной жидкости в пористой среде, полученная на основе магнитных измерений, в сравнении с соответствующими результатами визуальных наблюдений.

На рисунке 4 показана рассчитанная согласно (5) зависимость высоты поднятия магнитной жидкости в пористой среде от времени. Для сравнения также показаны соответствующие результаты визуальных наблюдений. Как видно, результаты, полученные при помощи магнитных измерений, соответствуют результатам визуальных наблюдений.

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Изучение капиллярного поднятия жидкости в вертикальном цилиндрическом образце пористого материала применяется для определения его характеристик [20, 22-24]. Однако в рамках существующих методик подобного рода не все представляющие интерес параметры пористой среды могут быть определены в рамках одного эксперимента. Представленные в данной работе результаты позволяют предложить усовершенствованную методику определения свойств пористых материалов на основе применения магнитных измерений. Используя магнитную жидкость и рассматривая ее капиллярный подъем в пористой среде, можно определить интересующие параметры пористой структуры путем измерения временной зависимости индуктивности соленоида (для определения пористости и проницаемости), а также применяя сканирование по высоте при помощи сенсорной катушки индуктивности (для нахождения среднего радиуса пор).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Van Brakel J., Heertjes P.M. Capillary rise in porous media // Nature. 1975. Vol. 254. P. 585-586.

2. Alava M., Dube M., Rost M. Imbibition in disordered media //Adv. Phys. 2004. Vol. 53. P. 83-175.

3. Nia S.F., Jessen K. Theoretical analysis of capillary rise in porous media//Transport Porous Med. 2015. Vol. 110. P. 141-155.

4. Vafai K. (Ed.), Handbook of Porous Media. CRC Press, 2015.

5. Rosensweig R.E. Ferrohydrodynamics. Cambridge University Press, 1985.

6. Sadrhosseini H., Sehat A., Shafii M.B. Effect of magnetic field on internal forced convection of ferrofluid flow in porous media // Exp. Heat Transfer. 2016. Vol. 29. P. 1-16.

7. Bashtovoi V., Kuzhir P., Reks A. Capillary ascension of magnetic fluids//J. Magn. Magn. Mater. 2002. Vol. 252. P. 265-267.

8. Lee C.-P, Chang H.-C., Lai M.-E Magnetocapillary phenomenon affected by magnetic films//J. Appl. Phys. 2011. Vol. 109. 07E310.

9. Bashtovoi V., Bossis G., Kuzhir P., Reks A. Magnetic field effect on capillary rise of magnetic fluids // J. Magn. Magn. Mater. 2005. Vol. 289. P. 376-378.

10. Borglin S.E., Moridis G.J., Oldenburg C.M. Experimental studies of the flow of ferrofluid in porous media // Transport Porous Med. 2000. Vol. 41. P 61-80.

11. Oldenburg C.M., Borglin S.E., Moridis G.J. Numerical simulation of ferrofluid flowforsubsurface environmental engineering applications //Transport Porous Med. 2000. Vol. 38. P. 319-344.

12. Ivanov A.B., Taktarov N.G. A study into the filtration of magnetic fluids // Magnitnaya Gidrodinamika. 1990. Vol. 26. P. 390-392.

13. Qin Y„ Chadam J. A nonlinear stability problem of ferromagnetic fluids saturating a porous medium with inertial effect//Appl. Math. Lett. 1995. Vol. 8. P. 25-29.

14. Vaidyanathan G., Sekar R. Ferroconvective instability of fluids saturating a porous medium // Int. J. Eng. Sci. 1991. Vol. 29. P. 1259-1267.

15. Verma A.P, Rajput A.K. Instabilities in displacement processes through porous media with magnetic fluid // J. Magn. Magn. Mater. 1987. Vol. 65. P. 330-334.

16. Taktarov N.G. Convection of magnetizable fluids in porous media // Magnitnaya Gidrodinamika. 1981. Vol. 17. P. 333-335.

17. Larachi F., Desvigne D. Magnetoviscous control of wall channeling in packed beds using magnetic nanoparticles - Volume average ferrohydrodynamic model and numerical simulations // Chem. Eng. Sci. 2006. Vol. 61. P. 1627-1657.

18. Larachi F., Desvigne D. Ferrofluid induced-field effects in inhomogeneous porous media under linear-gradient d.c. magnetic fields // Chem. Eng. Process. 2007. Vol. 46. P. 729-735.

19. Larachi F., Desvigne D. Ferrofluid magnetoviscous control of wall channelling in porous media // China Particuology. 2007, Vol. 5. P. 50-60.

20. Fries N., Dreyer M. An analytic solution of capillary rise restrained by gravity//J. Colloid Interface Sci. 2008. Vol. 320. P. 259-263.

21. Fries N., Dreyer M. The transition from inertial to viscous flow in capillary rise//J. Colloid Interface Sci. 2008. Vol. 327. P. 125-128.

22. Fries N., Dreyer M. Dimensionless scaling methods for capillary rise //J. Colloid Interface Sci. 2009. Vol. 338. P. 514-518.

23. Fries N., Odic K., Conrath M., Dreyer M. The effect of evaporation on the wicking of liquids into a metallic weave // J. Colloid Interface Sci. 2008. Vol. 321. P. 118-129.

24. Lago M., Araujo M. Capillary rise in porous media // J. Colloid Interface Sci. 2001. Vol. 234. P. 35-43.