Двухуровневые модели поликристаллов: о разложении движения на макроуровне

УДК 538.9

Двухуровневые модели поликристаллов: о разложении движения на макроуровне

П.В. Трусов, П.С. Волегов, А.Ю. Янц

Пермский национальный исследовательский политехнический университет, Пермь, 614990, Россия

Рассматриваются некоторые вопросы применения многоуровневых математических моделей для описания процессов интенсивных неупругих деформаций моно- и поликристаллов, требующего использования геометрически и физически нелинейных определяющих соотношений; для определенности изложение проводится на примере двухуровневых моделей. Одним из нерешенных в нелинейной механике деформируемого твердого тела (и построения многоуровневых моделей в частности) является вопрос о «выделении» из движения среды составляющей, ответственной за геометрическую нелинейность (например при наложении на деформационное движение жестких поворотов), иначе говоря, о разложении движения на макроуровне на квазитвердое и деформационное. При построении многоуровневых конститутивных моделей данный вопрос усложняется необходимостью согласования определяющих соотношений и «родственных» параметров различных масштабных уровней в силу различия определений квазитвердого движения на разных уровнях. Рассматриваются три возможных способа представления квазитвердого движения на макроуровне. Для каждого из способов получены условия согласования, из которых, в том числе, следует связь квазитвердого вращения на макроуровне и вращений элементов мезоуровня. Показано, что определение вращения «сверху вниз» по масштабным уровням приводит к невозможности выбора произвольной модели ротации на нижнем уровне, что существенно ограничивает возможности применения физически обоснованных моделей ротации на нижних масштабных уровнях. Показано, что предлагаемое в работе определение квазитвердого движения на макроуровне в виде осредненного спина мезоуровня позволяет получить согласованные определяющие соотношения соседних уровней, не накладывая при этом ограничений на выбор модели ротации нижнего уровня.

Ключевые слова: поликристалл, многоуровневые модели, согласование определяющих соотношений, ротации, квазитвердое движение, коротационные производные, геометрически нелинейные модели

Two-scale models of polycrystals: macroscale motion decomposition

P.V. Trusov, P.S. Volegov, and A.Yu. Yanz

Perm National Research Polytechnic University, Perm, 614990, Russia

The paper considers the application of multiscale mathematical models to description of severe inelastic deformation of single- and polycrystals for which geometric and physically nonlinear constitutive relations are required; for definiteness, the discussion is given on the example of two-scale models. One of the unsolved problems in nonlinear solid mechanics (and in construction of multiscale models in particular) is how to single out the component of material motion responsible for geometric nonlinearity (for example, when rigid rotations are imposed on strain-induced motion) or, in other words, how to decompose the macroscale motion into quasirigid motion and strain-induced motion. In multiscale constitutive models, this problem is added complexity by the necessity to match the constitutive relations with "affined" parameters of different scales due to different definitions of quasirigid motion on different scales. We consider three possible methods of representing the quasirigid motion on the macroscale. For each method, consistency conditions are determined; from these conditions also follows a relation between macroscale quasirigid rotation and mesoscale rotation of elements. It is shown that determination of rotations on the scales "from the top down" makes it impossible to select an arbitrary rotation model on the lower scales, and this considerably limits the applicability of physically substantiated rotation models on the lower scales. It is shown that the proposed method of defining the macroscale quasirigid motion as an averaged mesoscale spin makes it possible to obtain consistent constitutive relations of neighbor scales with no limitations on the choice of a lower scale rotation model.

Keywords: polycrystal, multiscale models, consistency of constitutive relations, rotation, quasirigid motion, corotational derivatives, geometrically nonlinear models

1. Введение

В механике деформируемого твердого тела при построении моделей, описывающих поведение материалов при больших градиентах перемещений, одним из

острейших является вопрос о разложении движения на квазитвердое и собственно деформационное, а следовательно, и вопрос о выборе соответствующей не зависящей от наложенного жесткого движения производной

© Трусов П.В., Волегов П.С., Янц А.Ю., 2013

в определяющем соотношении модели материала. Для решения этой проблемы ниже предлагается подход, основанный на использовании условий согласования определяющих соотношений различных масштабных уровней в рамках многоуровневой конститутивной модели материала [1], позволяющий, в частности, определить вид не зависящей от выбора системы отсчета производной в определяющих соотношениях более высоких, чем нижний (в принимаемой для конкретной иерархии), уровнях.

Для ясности изложения ограничимся рассмотрением двухуровневой модели поликристаллического материала. Элементами нижнего (мезо) уровня являются кристаллиты (зерна, субзерна), верхнего — поликристаллический агрегат (совокупность нескольких сотен кристаллитов). «Родственные» параметры макро- и ме-зоуровня обозначаются одинаковыми буквами, для макроуровня — заглавными, для мезоуровня — строчными.

Под согласованием определяющих соотношений макро- и мезоуровня в двухуровневой модели понимается следующее: определяющие соотношения макроуровня должны следовать из определяющих соотношений мезоуровня при априори накладываемых связях части параметров макро- и мезоуровня; конкретный вид указанных связей обусловлен гипотезой агрегирования (объединения элементов мезоуровня в элемент макроуровня). Из условия согласования определяющих соотношений следуют соотношения между остальными параметрами макро- и мезоуровня.

Для рассмотрения различных способов разложения движения на макроуровне будут представлены три мате-магические формулировки двухуровневой модели [2, 3], отличающиеся способом разложения движения на квазитвердое и деформационное. В связи с этим в дальнейшем для всех параметров модели будет использован индекс а, принимающий целочисленные значения: а =1 — двухуровневая модель при отказе от концепции разложения движения и отнесении любого движения деформируемого тела к деформационному; а = 2 — скорость квазитвердого вращения на макроуровне определяется тензором спина О, устанавливаемым из условий согласования определяющих соотношений разных уровней; а = 3 — скорость квазитвердого вращательного движения материала на макроуровне определяется тензором вихря W. Стоит отметить, что хотя во всех случаях в качестве меры £(а) используется тензор напряжений Коши, однако в силу различных производных, используемых в определяющих соотношениях, текущие значения напряжений будут отличаться даже при одинаковой истории воздействий; при этом введенная ниже неголономная мера деформированного состояния Е(а) будет не только принимать различные значения, но и имеет различный физический смысл в каждом случае.

Весьма важным отличительным признаком различных многоуровневых моделей является гипотеза о связи

характеристик различных уровней (иногда говорят о гипотезе осреднения, или гипотезе агрегирования). Наиболее распространенной в физических теориях пластичности [4-6] является гипотеза Фойгта (в некоторых работах ее называют гипотезой Тейлора), согласно которой полные деформации (или деформации скорости) кристаллитов, входящих в поликристаллический агрегат, полагаются равными деформации (деформации скорости) представительного макрообъема, задаваемой условиями нагружения или решением соответствующей краевой задачи. Иначе говоря, передача воздействий с макроуровня на мезоуровень при принятии этой гипотезы осуществляется кинематическим способом. Другой распространенной гипотезой является гипотеза Рейса (называемая в некоторых работах гипотезой Закса), в соответствии с которой однородными по поликристаллическому агрегату являются напряжения. Таким образом, применение этой гипотезы соответствует силовому (статическому) способу передачи воздействий. Из сопоставления результатов численных экспериментов известно, что гипотеза Фойгта дает так называемую верхнюю оценку (интенсивность напряжений получается наибольшей из всех гипотез), гипотеза Рейса — нижнюю оценку по напряжениям. В используемой в данной работе двухуровневой модели в качестве гипотезы о передаче воздействия применяется гипотеза Фойгта в скоростной форме, в рамках которой предполагается равенство деформации скорости на мезо- и макроуровне:

) = d = D ^ — номер кристаллита); при этом может использоваться и более широкая (обобщенная) гипотеза Фойгта, согласно которой градиент скорости перемещений для каждого кристаллита совпадает с градиентом скорости перемещений макроуровня Уу^-) = Уу = У V. Отметим, что использование гипотезы о равенстве градиентов скоростей перемещений означает как равенство деформации скорости = d = D, так и равенство тензоров вихрей w(i) = w = W, что будет использовано в дальнейшем при выводе условий согласования определяющих соотношений мезо- и макроуровня.

2. Двухуровневая модель неупругого деформирования ГЦК-поликристаллов

Структура и алгоритмы реализации многоуровневых моделей для решения реальных краевых задач и возможности повышения эффективности вычислительных процедур подробно изложены, например, в [7, 8], здесь остановимся только на ключевых моментах. Как отмечено выше, в предлагаемой работе используется двухуровневая модель неупругого деформирования поликристаллических металлов [2, 3, 9, 10].

Приведем общую математическую постановку двухуровневой конститутивной модели неупругого деформирования представительного объема поликристаллического образца. Конститутивная модель макроуровня

представляется следующей совокупностью соотношений:

^г(а) = ^(а) + д(а)Т _ ^(а) + ^(а) _ д(а) -

= П : De(а) = П (Б - Din(а)), А(а) = А(а)(а(а)\п,), <>), i - 1,..., N

П = П(П(,.), о(а)), i - 1,..., N,

Din(а) _ D

(.)' "(О

in(а) / (а)in (а(

а(аЬ

.., N,

где Е(а) — тензор напряжений Коши; П — тензор модулей упругости; D, Бе(а), Бт(а) — тензор деформации скорости, его упругая и неупругая составляющая, индекс г означает не зависящую от выбора системы отсчета производную; А — спин подвижной системы координат, относительно которой определяется собственно деформационное движение [11] на макроуровне; а(а — спин квазитвердого движения на мезоуровне (определяемый в общем случае согласно любой из существующих моделей ротации кристаллитов с удовлетворением условий согласования для данного способа описания квазитвердого движения на макроуровне); П(.), о(а)), d (а)т, о (а)) — тензоры модулей упругости, напряжений, неупругой составляющей деформации скорости и ориентации решетки г'-го кристаллита на мезоуровне; N— число кристаллитов, образующих представительный макрообъем. Следует отметить, что в силу наличия связи между уровнями, при выборе различных способов представления движения на макроуровне в одни и те же моменты деформирования будут различаться и параметры мезоуровня (меры напряжений, неупругие составляющие деформации скорости, тензоры, задающие ориентацию кристаллических решеток), поэтому индекс а присутствует и у этих величин. Исключение сделано здесь для тензора упругих характеристик на обоих уровнях; сделано это для упрощения записи; кроме того, на мезоуровне в базисе кристаллографической системы координат компоненты этого тензора постоянны и не зависят от модели ротации решетки и от способа разложения движения.

На мезоуровне в двухуровневой модели используется следующая система соотношений (номер кристаллита опущен):

а(а) _

дг(а) ^ д(а) + я(а)Г

д(а) + д(а) • а^ -- п: de(а) - п - din(а)),

din(а) -2 у(к)(а)т(кс), d - Б

к-1

У(к)(а) - У0

г

Н (х'

к -1,..., 2К,

х(к)(а) -

-1 (у(Л(а), у(Л(а)), к, ] -1.....2К,

а также соотношения для определения спина решетки а(а), по которому из уравнения о(а) • о(а)т - а(а) определяется тензор ориентации о( а).

В системе (2) о(а) — тензор напряжений Коши; п — тензор четвертого ранга упругих свойств кристаллита; d, de(adin(а) — тензор деформации скорости, его упругая и неупругая составляющие на мезоуровне; у(к)(а), х(к)(а) — накопленный сдвиг и критическое напряжение сдвига по к-й системе скольжения; т( 5) — симметричная часть ориентационного тензора к-й системы скольжения; т(5) - 1/2(Ь(к)п(к) + п(к)Ь(к)), Ь(к), п(к) — единичные векторы в направлении вектора Бюргерса и нормали к плоскости скольжения; у0, п — константы материала: характерная скорость сдвигов при равенстве касательных напряжений на системе скольжения критическим и константа скоростной чувствительности материала [12]; т(к)(а) - Ь(к)и(к): о(а) — действующее в к-й системе скольжения касательное напряжение; Н (•) — функция Хевисайда; К — число кристаллографических систем для анализируемого типа решетки (в рассматриваемой модели принимается удвоенное число систем скольжения для возможности учета эффекта Бау-шингера); о(а) — тензор текущей ориентации кристаллографической системы координат кристаллита относительно фиксированной лабораторной системы координат.

В качестве определяющего соотношения (уравнения состояния) на мезоуровне выступает закон Гука в скоростной форме (первое уравнение в (2)), при этом учитывается геометрическая нелинейность: квазитвердое движение [11] связывается с поворотом решетки (кристаллографической системы координат); в коротацион-ной производной тензора напряжений Коши ог фигурирует тензор спина а, характеризующий скорость вращения кристаллической решетки. Различные модели поворота решетки подробно рассмотрены в работах [1315], оригинальная модель поворота решетки с учетом несовместности скольжения дислокаций в соседствующих кристаллитах представлена в статьях [2, 10, 16]. В конститутивной модели мезоуровня первое уравнение в (2) — уравнение состояния, четвертое и пятое уравнения в (2) — эволюционные уравнения, в качестве замыкающих выступают второе уравнение в (2) и соотношения для определения спина решетки а(а) [7, 17, 18].

Рассмотрим три возможных варианта представления квазитвердого движения на макроуровне и укажем точный вид соответствующих тензоров спина на мезо- и макроуровне.

1. Квазитвердым движением на макроуровне пренебрегаем: А(1) = 0, т.е. движение среды полностью относится к деформационному; ограничения на а(1) должны определяться из условия согласования.

2. Квазитвердое движение на макроуровне А(2) априори неизвестно, но определен конкретный вид тензо-

ра а - ю, равный спину кристаллической решетки элемента мезоуровня (см., например, [7, 16]).

3. Квазитвердое движение на макроуровне определяется тензором вихря А(3) = W, на мезоуровне конкретный вид тензора а(3) не определен.

Задача заключается в том, чтобы получить связь между тензорами спина мезо- и макроуровня при использовании того или иного способа представления квазитвердого движения на макроуровне, обеспечивающую условия согласования определяющих соотношений мезо- и макроуровня, а также (что существенно более важно) проанализировать эти полученные соотношения на предмет их применимости для использования в моделях, учитывающих физические механизмы неупругого деформирования. Ниже отдельно получены условия согласования для каждого из трех вариантов.

3. Согласование определяющих соотношений в случае отсутствия квазитвердого движения на макроуровне

Определяющие соотношения двухуровневой модели при принятии гипотезы, подразумевающей отсутствие квазитвердого движения на макроуровне и использование произвольной модели ротации на мезоуровне, на макро- и на мезоуровне примут следующий вид:

усреднив, получим

£г(1) = £(1) = п : Бе(1) = П (Б - Бт(1)), Ег(1) = Е(1) = D, ог(1) ^ о(1) + аТ • о(1) + о(1) • а =

= п: Де

Представляя величины, входящие в (4), в виде суммы средних по представительному объему макроуровня и отклонений от этих значений:

п = <п> + п', о(1) = (о(1) > + о(1)',

й1п

где (...> — оператор осреднения, обладающий следующими свойствами:

'

<п'>= 0, (о (1)'>= 0, ^ 1п(1)'>= 0,

определим неупругую составляющую тензора деформации скорости на макроуровне Бт(1), обеспечивающую следующие условия связи параметров макро- и мезоуровня:

П =

при использовании для агрегирования гипотезы Фойгта: Д =

Для этого подставим представления (5) в (4): ((о(1) > + о(1)' )• + а(1)т • ((о(1) > + о(1)') +

+ ((о(1) > + о(1)') • а(1) =

= ((п> + п' ):(Д -(Дт(1) >- Дт(1)'),

(о(1)> + о(1)') + (а(1)т • (о(1) >) + (а(1)'т • о(1)') + + (<о(1) >• а(1)) + ( о(1)'^ а(1)') = = ((п> : Д) -((п> : <Дт(1)>)-/(п> : Дт(1)Л +

+ (п': ^ п': (Дт(1)>)-(п': Дт(1)'), или с учетом (7), (8):

£(1) + (а(1)т>•£(1) +£(1) •(а)(1)> +

+ (а(1)'т •о (1)'> + (о(1)' • а(1)'> =

= П: D- П:

Согласно принятой концепции согласования определяющих соотношений, первое соотношение в (3) должно следовать из (9) при любых процессах деформирования и на любых его стадиях. Как известно из экспериментов, на начальной стадии деформирования согласованные ротации решетки пренебрежимо малы, тогда (9) преобразуется к виду:

£(1) = П :(В -(d1п(1)>) - (п': dт(1у> -

-

Из сопоставления (9) и (10) вытекает, что неупругая составляющая тензора деформации скорости на макроуровне примет вид:

Б

т(1) =((Г(1)> + п-1 : (п': Д1п(1)'> +

+ П-1:

Для согласования определяющих соотношений в любой момент деформирования, в том числе на развитой стадии деформирования, когда согласованные ротации решетки становятся весьма значительными, должно выполняться:

из чего следует невозможность произвольного выбора квазитвердого движения на мезоуровне, т.е. использования одной из известных моделей ротации решетки кристаллитов.

Найдем решения уравнения (12) с учетом антисимметрии тензора спина а(1) и симметрии тензора напряжений £(1). Запишем компоненты этих тензоров в собственном базисе тензора макронапряжений:

(

{(^ } =

0

-(Я(1) У

-(Я(1) >13

12

(Я(1) >12 0

(Я(1) > ( Я(1) >

Л

13

23

-(я(1) >

23

=

^

0 0

0 0

у

у

тогда из (12) получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных ( я12>, ( я13>, ( я23>, которую можно записать в виде:

^ -Г 0 0

Г 0 Л 0

0

V У

0

Г(1) -Г(1) Г1 Г3

0 0

Г(1) -Г(1) Г2 Г3

V

(Я(1) >

(Я(1) > (я(1) >

Л

12

13

23

Полученное соотношение должно выполняться при любом достигнутом к рассматриваемому моменту напряженном состоянии, от которого не зависит накладываемое жесткое вращение, т.е. детерминант матрицы может принимать любые значения. Тогда уравнение (13) имеет единственное тривиальное решение:

( Я(1) >12 =( Я(1) >13 =( Я(1) > 23 = 0.

Иначе говоря, при использовании исходного предположения о пренебрежении квазитвердым движением и отнесении движения к чисто деформационному не может быть реализовано вращение решеток, а следовательно, отсутствует возможность образования текстуры, что находится в противоречии с экспериментальными данными [19].

4. Согласование определяющих соотношений в случае тензора ротации макроуровня, определенного осреднением спинов решеток элементов мезоуровня

В [6] рассмотрена задача согласования определяющих соотношений различных масштабных уровней в двухуровневых моделях неупругого деформирования, одним из результатов решения которой явилось определение квазитвердого движения на макроуровне А(2) и неупругой составляющей тензора скорости деформации на макроуровне Бт(2), обеспечивающих выполнение условий согласования:

П =

Используя этот подход и проводя вычисления, аналогичные предыдущему разделу, получим вид тензоров спина А

= (ю>,

Б1п(2) = (Д1п(2)> + П-1: (п': Дт(2)'> -- П-1: ((ю'- о(2)'>-( о(2)' • ю'>),

где штрихами обозначены отклонения соответствующих величин от их средних значений по представительному макрообъему. Здесь вместо произвольного спина а(2) на мезоуровне используется конкретный спин ю,

определенный по одной из известных моделей ротации, которая устанавливает тензор спина решетки любого элемента мезоуровня в произвольный момент деформирования.

Таким образом, использование схемы «снизу вверх» при определении квазитвердого движения на макроуровне не приводит к внутренним логическим или физическим противоречиям. В статье [6] представлены результаты численных экспериментов, подтверждающие строгое равенство осредненных напряжений мезоуров-ня и макронапряжений, полученных напрямую из определяющих соотношений макроуровня при использовании условий согласования (15), (16).

5. Согласование определяющих соотношений при использовании производной Яуманна на макроуровне

В современных пакетах прикладных программ, широко применяемых для решения задач механики деформируемого твердого тела в случае геометрически нелинейных задач, часто используется производная Яуман-на, которая подразумевает, что вращение подвижной системы координат, отвечающее за квазитвердое движение на макроуровне, определяется тензором вихря W. Рассмотрим ситуацию использования производной Яуманна на макроуровне в случае принятия одной из двух возможных статистических гипотез: гипотезы Фойгта Д(.) = Д = Б и обобщенной гипотезы Фойгта Уу = УУ.

Определяющие соотношения на макро- и мезоуров-не имеют в таком случае вид:

£г

Ег(3) = Е(3) - W • Е(3) + Е(3) • W = Б,

ог(3) ^ о(3) + а(3)Т • о(3) + о(3) • а(3) =

= п: Де

где а(3) — тензор, характеризующий движение подвижной системы координат на мезоуровне, относительно которой отсчитывается собственно деформационное. В большинстве существующих двухуровневых моделей, использующих производную Яуманна на макроуровне, на мезоуровне применяют некоторую модель ротации, зачастую это модель стесненного поворота Тейлора или «материального поворота», что приводит к несогласованности определяющих соотношений и, как следствие, к вопросу о физической адекватности результатов, получаемых при использовании таких моделей. Однако существует иной способ выбора определяющего соотношения мезоуровня, а точнее, определения квазитвердого движения на мезоуровне, позволяющий согласовать определяющие соотношения. Данный способ заключается в определении вида тензора а(3) напрямую

22

из условий согласования, ниже приведем соответствующие выкладки.

Вновь представляя величины, входящие в (18), в виде суммы средних по представительному объему макроуровня и отклонений от этих значений и проводя аналогичную предыдущим случаям процедуру согласования, получим:

<а

Бт(3) - ^т(3)> + П-1: <пТ: din(3)'> -

- П-1:«а

Таким образом, использование на макроуровне производной Яуманна накладывает строгое ограничение на повороты на мезоуровне (19).

Другим вариантом статистической гипотезы о связи напряженно-деформированного состояния на макро- и мезоуровне может быть использование обобщенной гипотезы Фойгта, предполагающей равенство градиентов скоростей перемещений на верхнем и нижнем уровнях: VV - VV, в таком случае из определения вихря как антисимметричной части градиента скорости автоматически следует связь вихрей на мезо- и макроуровне: *

Если предположить, что спин мезоуровня отличается от тензора вихря мезоуровня, т.е. для каждого элемента мезоуровня а(3) - w + у(3), то аналогично п. 3 можно показать, что (у(3)> - 0 (заметим, что у(3) -- а(3)'). Таким образом, в данном случае закон ротации элементов мезоуровня также не может быть выбран независимо от кинематического соотношения макроуровня (от тензора вихря макроуровня).

Выше были рассмотрены вопросы согласования определяющих соотношений разных уровней при принятии различных гипотез о разложении движения материала на макроуровне на квазитвердое и деформационное. Основным полученным результатом является недопустимость произвольного выбора спинов одновременно и на макро-, и на мезоуровне, поскольку это ведет к несогласованности определяющих соотношений на разных уровнях и ставит под сомнение физическую адекватность получаемых результатов в такой постановке. Другими словами, выбор той или иной гипотезы о разложении движения на одном из уровней автоматически приводит к невозможности независимого определения квазитвердого движения на другом. Из рассмотренных вариантов разложения движения предпочтительным представляется второй, позволяющий определять спин мезоуровня исходя из физического анализа взаимодействия кристаллитов и механизмов ротации решетки на мезо- и микроуровнях.

6. Выводы

В предлагаемой работе рассмотрены вопросы согласования определяющих соотношений соседних уровней

при принятии на верхнем уровне различных гипотез о разложении движения на квазитвердое и деформационное, при этом рассматривались два часто используемых способа: пренебрежение квазитвердым движением на макроуровне и квазитвердого движения на макроуровне, определяемого тензором вихря (такой способ представления движения часто используется в современных пакетах прикладных программ). Было показано, что принятие какой-либо гипотезы о разложении движения на макроуровне, которая не следует из условий согласования определяющих соотношений и параметров разных уровней, накладывает жесткие ограничения на выбор модели ротации на мезоуровне. Так, например, при определении вращения системы координат макроуровня как жесткого целого со спином, равным тензору вихря, т.е. при использовании получившей в настоящее время широкое применение производной Яуманна, тензор спина мезоуровня либо в точности равен тензору вихря макроуровня, либо осредненный спин мезоуровня равен ему же, что в конечном счете ведет к невозможности выбора произвольной модели ротации на нижнем уровне. С другой стороны, принятие гипотезы о квазитвердом движении на макроуровне в виде осредненного спина мезоуровня позволяет получить согласованные определяющие соотношения соседних уровней, не накладывая при этом ограничений на выбор модели ротации мезоуровня.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (гранты №№ 12-08-33082-мол_а_вед, 12-01-31094-мол_а, 13-01-96006-урал_а), гранта Президента РФ № МК-390. 2013.1, Министерства образования и науки РФ (соглашение 14.B37.21.0382).

Литература

1. Трусов П.В., Волегов П.С., Швейкин А.И. Конститутивная упруго-вязкопластическая модель ГЦК-поликристаллов: теория, алгоритмы, приложения. - Saarbucken: LAP LAMBERT Academic Publishing, 2011. - 147 c.

2. Трусов П.В., Швейкин А.И. Многоуровневые физические модели моно- и поликристаллов. Статистические модели // Физ. мезо-мех. - 2011. - Т. 14. - № 4. - С. 17-28.

3. Трусов П.В., Швейкин А.И. Многоуровневые физические модели моно- и поликристаллов. Прямые модели // Физ. мезомех. - 2011. -Т. 14. - № 5. - С. 5-30.

4. Трусов П.В., Волегов П.С. Физические теории пластичности: теория и приложения к описанию неупругого деформирования материалов. Ч. 1: Жесткопластические и упругопластические модели // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. - 2011. - № 1. - С. 5-45.

5. Трусов П.В., Волегов П.С. Физические теории пластичности: теория и приложения к описанию неупругого деформирования материалов. Ч. 2: Вязкопластические и упруговязкопластические модели // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. - 2011. - № 2. - С. 101131.

6. Трусов П.В., Волегов П.С. Физические теории пластичности: теория и приложения к описанию неупругого деформирования материалов. Ч. 3: Теории упрочнения, градиентные теории // Вестник

Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. - 2011. - № 3. - С. 146-197.

7. Трусов П.В., Ашихмин В.Н., Швейкин А.И. Двухуровневая модель упругопластического деформирования поликристаллических материалов // Механика композиционных материалов и конструкций. - 2009. - Т. 15. - № 3. - С. 327-344.

8. Ашихмин В.Н., Трусов П.В., Швейкин А.И. Двухуровневая модель

стационарных процессов упругопластического деформирования. Часть 1. Алгоритм // Выгшслительная механика сплошныж сред. -2008. - Т. 1. - № 3. - С. 15-24.

9. Трусов П.В., Волегов П.С., Нечаева Е. С. Многоуровневые физические теории пластичности: теория, алгоритмы, приложения // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. -2011.- № 4. - Ч. 4. - С. 1808-1810.

10. Трусов П.В., Швейкин А.И., Нечаева Е.С., Волегов П.С. Многоуровневые модели неупругого деформирования материалов и их применение для описания эволюции внутренней структуры // Физ. мезомех. - 2012. - Т. 15. - № 1. - С. 33-56.

11. Поздеев А.А., Трусов П.В., Няшин Ю.И. Большие упругопласти-ческие деформации: теория, алгоритмы, приложения. - М.: Наука, 1986. - 232 с.

12. Balasubramanian S., AnandL. Elasto-viscoplastic constitutive equations for polycrystalline fcc materials at low homologous temperatures // J. Mech. Phys. Solids. - 2002. - V. 50. - P. 101-126.

13. Трусов П.В., Волегов П.С., Янц А.Ю. Описание внутризеренного и зернограничного упрочнения моно- и поликристаллов // Научно-

технические ведомости Санкт-Петербургского государственного политехнического университета. Физико-математические науки. -2010. - № 2. - С. 110-119.

14. Трусов П.В., Волегов П.С. Определяющие соотношения с внутренними переменными и их применение для описания упрочнения в монокристаллах // Физ. мезомех. - 2009. - Т. 12. - № 5. - С. 6572.

15. Трусов П.В., Волегов П.С. Физические теории пластичности: приложение к описанию упрочнения в поликристаллах // Вестник Тамбовского университета. Естественные и технические науки. -2010. - Т. 15. - Вып. 3. - Ч. 1. - С. 983-984.

16. Трусов П.В., Ашихмин В.Н., Волегов П.С., Швейкин А.И. Определяющие соотношения и их применение для описания эволюции микроструктуры // Физ. мезомех. - 2011. - Т. 12. - № 3. - С. 6171.

17. Трусов П.В., Ашихмин В.Н., Волегов П.С., Швейкин А.И. Моделирование эволюции структуры поликристаллических материалов при упругопластическом деформировании // Ученые записки Казанского университета. Физико-математические науки. - 2010. -Т. 152. - № 4. - С. 225-237.

18. Трусов П.В., Ашихмин В.Н., Швейкин А.И. Анализ деформирования ГЦК-металлов с использованием физической теории упруго-пластичности // Физ. мезомех. - 2010. - Т. 13. - № 3. - С. 21-30.

19. Рыбин В.В. Большие пластические деформации и разрушение металлов. - М.: Металлургия, 1986. - 224 с.

Поступила в редакцию 06.03.2013 г.

Сведения об авторах

Трусов Петр Валентинович, д.ф.-м.н., проф., зав. каф. ПНИПУ, tpv@matmod.pstu.ac.ru Волегов Павел Сергеевич, к.ф.-м.н., доц. ПНИПУ, crocinc@mail.ru Янц Антон Юрьевич, асп. ПНИПУ, maximus5.59@gmail.com