Численное моделирование волновых процессовв гидроупругих задачах разрывным методом Галеркина на неструктурированных треугольных сетках

УДК 519.6

В. А. Миряха, А. В. Санников, И. Б. Петров

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ В ГИДРОУПРУГИХ ЗАДАЧАХ РАЗРЫВНЫМ МЕТОДОМ ГАЛЕРКИНА НА НЕСТРУКТУРИРОВАННЫХ ТРЕУГОЛЬНЫХ СЕТКАХ

С помощью разрывного метода Галёркина на треугольных неструктурных сетках моделируется волновые процессы в гидроупругих задачах, в частности, в задачах шельфовой сейсморазведки, исследовании модели флюидонасыщенной трещины в сейсморазведке, при моделировании возмущений от подводных объектов.

Wave propagation through coupled elastic-acoustic media for marine seismology, comparison of reflected waves in fluid-filled and infinite thin crack model and underwater objects detection are simulated using discontinuous Galerkin method on triangle unstructured meshes.

Ключевые слова: разрывный метод Галёркина, механика деформируемого твердого тела, гидроупругие задачи, шельфовая сейсморазведка, модель флюидонасыщенной трещины.

Key words: discontinuous Galerkin method, the mechanics of deformable solids, wave problems in coupled elastic-acoustic media, marine seismology, fluid-filled crack, structural acoustics.

Введение

Данная работа посвящена численному моделированию волновых процессов в контактирующих акустической и упругой средах. Из-за волновой специфики в задачах такого типа применяются численные методы с высоким порядком сходимости по пространственным координатам и времени. К таким методам относится использованный авторами разрывный метод Галёркина.

1. Постановка задачи

Для описания динамических процессов в твердых телах используем модель упругого твердого тела с реологическими соотношениями, соответствующими линейной связи напряжений и деформаций в виде закона Гука для изотропных тел, в жидкостях — модель идеальной жидкости [1]:

• среда сжимаемая, где плотность изменяется за счет изменения давления, то есть р = р (p);

• среда невязкая;

• нет потока через замкнутую поверхность, то есть V • v0 = 0, где v0, p0, р0 — решение стационарного уравнения Эйлера;

• флуктуации давления и плотности малы: р' << р0, p' << p0.

Соответствующие линейные системы уравнений упругости и акустики в явном виде выписаны, например, в [2].

© Миряха В. А., Санников А. В., Петров И. Б., 2014

Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. 2014. Вып. 10. С. 16 — 20.

2. Численный метод

Для решения системы дифференциальных уравнений гиперболического типа в частных производных второго порядка используется разрывный метод Галёркина [3]. В данной работе в качестве системы базисных полиномов использовались полиномы Лагранжа [4]. Интегрирование по времени проводилось с помощью 7-стадийного интегратора Дор-манда — Принтца 5-го порядка с адаптивным шагом по времени.

3. Гидроупругие задачи

Имеется довольно большой класс задач, в которых требуется моделирование контакта упругой и акустической сред: задачи сейсморазведки, дефектоскопии, травматологии, исследования землетрясений, обнаружения подводных объектов. В данной работе использовался подход [5], суть которого заключается в аналитическом решении задачи Римана [6] на контакте акустической и упругой сред.

17

3.1. Шельфовая сейсморазведка

В данный момент сейсморазведка на шельфе арктических морей — это одно из очень перспективных направлений, которое тесно связано с большим потенциалом добычи углеводородов в северных регионах России.

Разрывный метод Галёркина позволяет использовать полиномы высокого порядка, тем самым добиваясь высокого порядка сходимости по пространственным координатам, что является критичным при моделировании волновых процессов в гетерогенных средах, которые, в свою очередь, играют ключевую роль для задач сейсморазведки.

На рисунке 1 приведен пример расчета волновой картины, инициированной серией синхронных сферических взрывов в многослойной среде, верхний слой которой имеет акустические характеристики с параметрами воды, остальные — упругие характеристики, соответствующие грунтам [7].

С целью увеличения контрастности изображения показана величи-

на

ду дх

^ (ду ^ + —

где V — абсолютная величина скорости. В расчете

использовались полиномы 8-го порядка.

3.2. Исследование модели флюидонасыщенной трещины в сейсморазведке

В качестве модели нефтесодержащих трещин при численном исследовании откликов в задачах сейсморазведки зачастую используется модель [8; 9] бесконечно тонкой флюидонасыщенной трещины, основное преимущество которой — отсутствие необходимости сильного измельчения расчетной сетки в трещиноватой области, что приводит значительному увеличению времени счета. Исследовалось отличие волновых откликов от флюидонасыщенного разлома с размерами 1 м х 100 м (см. рис. 2) и бесконечно тонкой трещины (см. рис. 3) в одинаковые моменты времени.

Рис. 2. Отклик от флюидонасыщенного разлома

Рис. 3. Отклик от бесконечно тонкой трещины

Обычно наблюдается существенное различие волновых картин, которое связано с конечностью размера разлома в первом. На рисунке 4 показаны так называемые волны Крауклиса, характерные для случая трещины конечного размера [10]. В этих расчетах использовались полиномы 4-го порядка.

Рис. 4. Волны Крауклиса во флюидонасыщенном разломе

Планируется исследовать влияние на отклик конечности трещины с отношением продольных и поперечных размеров 1:103 + 1:104, которые уже встречаются в практических задачах сейсморазведки.

3.3. Моделирование возмущений от подводных объектов

Спектр задач гидроакустики велик [11]. Одна из них — задача обнаружения подводных объектов, которую решают активным и пассивным методами. В данной работе проводилось численное моделирование пассивного способа обнаружения. Решалась только прямая задача генерации возмущения объектом. На рисунке 5 приведена волновая картина возмущений в толще воды в результате низкочастотной вибрации обшивки объекта. В расчете использовались полиномы 4-го порядка.

19

Рис. 5. Волновая картина от низкочастотной вибрации обшивки объекта

Заключение

Был рассмотрен высокоточный численный метод, позволяющий рассчитывать широкий круг волновых задач в акустических и упругих средах, а также постановку контактных условий между ними. Данный метод был реализован и показал хорошие показатели точности и производительности на прикладных задачах, включая задачи шельфовой сейсморазведки, исследования модели флюидонасыщенной трещины в сейсморазведке и моделирования возмущений от подводных объектов.

Работа выполнена при поддержке гранта РНФ 14-11-00263.

Список литературы

1. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. М., 1987. Т. 7.

2. Käser M., Dumbser M. Highly. Accurate discontinuous Galerkin method for complex interfaces between solids and moving fluids // Geophysics. 2008. № 73(3).

3. Käser M., Dumbser M. An arbitrary high order discontinuous Galerkin method for elastic waves on unstructured meshes I: The two-dimensional isotropic case with external source terms // Geophys. J. Int. 2006. № 166. P. 855 — 877.

4. Hesthaven J. S., Warburton T. Nodal discontinuous Galerkin methods: algorithms, analysis, and applications. Texts in Applied Mathematics. Springer, 2008. Vol. 54.

5. Wilcox L. C., Stadler G., Burstedde C. et al. A high-order discontinuous Galerkin method for wave propagation through coupled elastic-acoustic media // J. of Comp. Phys. 2010. № 229. P. 9373 — 9396.

6. LeVeque R. L. Finite volume methods for hyperbolic problems. Cambridge, 2002.

7. Голубев В. И., Петров И. Б., Хохлов Н. И. Численное моделирование сейсмической активности сеточно-характеристическим методом // Журнал вычисл. мат. и мат. физ. 2013. Т. 53, № 10. С. 1709—1720.

20

8. Муратов М. В., Петров И. Б. Расчет волновых откликов от систем субвертикальных макротрещин с использованием сеточно-характеристического метода // Математическое моделирование. 2013. Т. 25, № 3. С. 89 — 104.

9. Квасов И. Е., Петров И. Б. Численное моделирование волновых процессов в геологических средах в задачах сейсморазведки с помощью высокопроизводительных ЭВМ // Журнал вычисл. мат. и мат. физики. 2012. Т. 52, № 2. С. 330—341.

10. Frehner M. Krauklis wave initiation in fluid-filled fractures by seismic body waves // Geophysics. 2014. Vol. 79, № 1. C. 27 — 35.

11. Etter P. C. Underwater acoustic modelling and simulation. L., 2003.

Об авторах

Владислав Андреевич Миряха — асп., ассист., Московский физико-технический институт, Долгопрудный.

E-mail: vlad.miryaha@gmail.com

Александр Владимирович Санников — асп., ассист., Московский физико-технический институт, Долгопрудный.

E-mail: donxenapo@gmail.com

Игорь Борисович Петров — д-р физ.-мат. наук, профессор, чл.-кор. РАН, Московский физико-технический институт, Долгопрудный. E-mail: petrov@mipt.ru

About the authors

Vladislav Miryakha — PhD student, Ass., Moscow Institute of Physics and Technology (State University), Dolgoprudny.

E-mail: vlad.miryaha@gmail.com

Alexandr Sannikov — PhD student, Ass., Moscow Institute of Physics and Technology (State University), Dolgoprudny.

E-mail: donxenapo@gmail.com

Prof. Igor Petrov — corresponding member of RAS, Moscow Institute of Physics and Technology (State University), Dolgoprudny.

E-mail: petrov@mipt.ru