Кольцевые вихри Абрикосова

ФИЗИКА

Вестник Омского университета, 2003. №2. С. 19-21. © Омский государственный университет

УДК 543.123

КОЛЬЦЕВЫЕ ВИХРИ АБРИКОСОВА

И.В. Тихомиров, К.Н. Югай

Омский государственный университет, кафедра общей физики 644077, Омск, пр.Мира, 55а

Получена 20 декабря 2002 г.

It's discussion about existence and behaviour of Abricosov's annular vortex in second-kind superconductors.

Первой теорией, успешно описавшей электродинамику сверхпроводников, была теория Лон-донов (1935). Это была феноменологическая теория, т.е. в дополнение к уравнениям Максвелла были предложены уравнения электромагнитного поля в сверхпроводнике, из которых следовали его основные свойства: (абсолютный диамагнетизм и отсутствие сопротивления постоянному току), но не объяснялось, в чем состоит микроскопический механизм сверхпроводимости на электронном уровне.

Предложенные Лондонами уравнения дали описание поведения сверхпроводящей компоненты электронной жидкости в постоянном и переменном электромагнитном полях. С их помощью удалось описать многие аспекты поведения сверхпроводников, но позже стало ясно, что теория Лондонов дает неверные ответы на некоторые вопросы.

Этот недостаток был устранен введением теории Гинзбурга и Ландау (теорией ГЛ), которая тоже была феноменологической, но учитывала квантовые эффекты. Вводилась некоторая волновая функция, квантомеханически описывающая поведение сверхпроводящих электронов. Квадрат модуля этой функции пропорционален плотности сверхпроводящих электронов и должен обращаться в нуль в нормальной фазе, плавно увеличиваясь на границе: нормальный металл - сверхпроводник и достигая равновесного значения в сверхпроводящей фазе. Следовательно, на границе должен возникать градиент волновой функции, но как известно из квантовой механики, квадрат модуля градиента волновой функции пропорционален плотности кинетической энергии. Это значит, что учитывая квантовые эффекты, мы учитываем дополнительную положительную энергию, запасенную на границе, что не делалось в теории Лондонов.

Поведение всей совокупности сверхпроводящих электронов было описано волновой функцией от одной пространственной координаты. Этим устанавливалось когерентное, согласованное поведение всех сверхпроводящих электронов. Открывалась возможность предсказания существования многих красивых квантовых и в то же время макроскопических эффектов сверхпроводимости.

Применив теорию ГЛ к изучению сверхпроводящих сплавов, А.А. Абрикосов (1957) создал теорию сверхпроводников второго рода. В сверхпроводниках второго рода эффект Мейсснера отсутствует, и магнитное поле проникает внутрь сверхпроводника второго рода в виде квантованных вихревых нитей. Сверхпроводимость в таких материалах может существовать до очень больших магнитных полей.

В основе теории фазовых переходов второго рода Ландау лежит разложение свободной энергии по степеням параметра порядка, который мал вблизи точки перvхода. Поскольку теория ГЛ основана на таком разложении, ясно, что область ее применимости ограничена близостью к критической температуре.

В теории Гинзбурга - Ландау - Абрикосова - Горькова фазовый переход в сверхпроводящее состояние в магнитном поле происходит при значении внешнего поля Ho = Hc2, когда одновременно появляется сверхпроводящий параметр порядка, периодически зависящий от координат, и возникает решетка вихрей. Размер сердцевины вихря мал по сравнению с расстоянием между вихрями, и решетку вихрей можно рассматривать как аналог обычной кристаллической решетки. Известно, что каждый кристалл плавится при некоторой температуре, когда амплитуда тепловых флуктуаций атомов становится сравнимой с постоянной решетки. Аналогично для

20

И.В. Тихомиров, К.Н. Югай.

решетки вихрей: в некотором интервале температур вблизи критической смешанное состояние сверхпроводника второго рода в форме решетки вихрей не устойчиво по отношению к тепловым флуктуациям. Происходит плавление решетки вихрей, и в смешанном состоянии вихри Абрикосова образуют жидкость.

Если сверхпроводник второго рода находится в смешанном состоянии и в направлении, перпендикулярном вихрям, идет транспортный ток (т.е. ток, созданный внешним источником), то на вихри действует сила Лоренца и они начинают двигаться. В неоднородном сверхпроводнике второго рода, когда существуют разные виды дефектов, вихри могут на них закрепляться. Тогда для отрыва вихря от дефектов нужен такой транспортный ток, чтобы он создавал достаточную для этого силу Лоренца. Эти дефекты часто называются центрами пиннинга, а закрепление на них — пин-нингом.

В результате тепловых флуктуаций или при взаимодействии вихря с центрами пиннинга он может деформироваться. Предположим, что такая деформация будет достаточно большой для того, чтобы вихрь разорвался. При этом он может свернуться в кольцо, несущее в себе квант потока магнитного поля. Далее мы рассмотрим эту модель.

Кольцевой вихрь представляет собой нормальный тор, через сердцевину которого текут незатухающие сверхпроводящие токи, захватывающие область порядка Л (глубины проникновения) вокруг керна тора. Радиус керна порядка £ (длины когерентности). К — большой радиус тора.

Магнитное поле сосредоточено в основном в керне тора и направлено по главной окружности тора, замыкаясь в кольцо. Мы будем рассматривать случай, когда вихревые токи не перекрываются. Т.е. радиус тора К больше глубины проникновения токов. Известно, что у сверхпроводников второго рода £ << Л, т.е.

R > А »

Представим волновую функцию сверхпроводящих электронов в виде

ф (г) = U (г — £) е'1

где г — координата, направленная по малому радиусу тора, 9 — угол между г и плоскостью симметрии тора, II — ступенчатая функция вида

U (г-О

1, г>£

ч0, г<£.

г, 9 — представляют собой смещенную систему

сферических координат

х = г совв СОВф + К сов<р у = г совв &1тр + К &1а<р х = г втв,

где (р — полярный угол в сферической системе координат. Таким образом, поле имеет компонен-

я = (0, 0, Я).

Рассмотрим второе уравнение ГЛ

- U'2 /Ф0 rot rot А = — —^ У 9 - А А- \ 2тг

Возьмем ротор от обеих частей, учитывая, что ША = Н,

получим

rot rotH = rot

X2 V 8тг

Мы знаем, что для любого векторного поля выполняется

rot rotV = grad {div я) - V2ff, (7) и так как векторное поле без источника, то

div Я = 0,

поэтому

rot rot.H = -V"ff.

Рассмотрим область г > ?"о • Ступенчатая функция в этой области равна 1. Учитывая это, взяв ротор от правой части, получим уравнение

V-ff - —Я = 0. А-

Распишем лапласиан в смещенной сферической системе координат:

r-,0 v) о 19 Я cosO д Я

v2H = d2Hdr2 + -— +-—-—. (и

г о г г cos9 + К or

Считая радиус тора большим, пренебрегаем последним членом по сравнению со вторым. В итоге уравнение примет вид

&2Н 1с)Н 1 „ о г- г о г А-

Его решением является линейная комбинация цилиндрических функций

Я = Ciio

Кольцевые вихри Абрикосова

21

/о, Ко ~ это функции Бесселя и Ганкеля мнимого аргумента. Так как поле на бесконечности не должно расходиться, избавимся от расходящейся функции Бесселя, приравняв С\ к нулю, т.е.

Н(г)=С К3 (г/X).

При малых значениях аргумента Ко логарифмически расходится. Очевидно, что в действительности этого не может быть, поскольку эта зависимость уже не справедлива вблизи нормальной сердцевины тора(радиуса порядка £).

Поэтому поле вихря в его центре можно получить с логарифмической точностью, обрезав логарифмическую расходимость формулы на радиусе г = Таким образом, поле кольцевого вихря можно описать так:

ЯМ = |Я(0)' w [Const, Ко (j

) , г >

Мы показали, что функция, описывающая тор, удовлетворяет уравнению ГЛ. Это значит, чоо Н (г) и ф (г) приносят минимум свободной энергии Гиббса. То есть мы нашли статистическое обоснование вопроса о существовании кольцевых вихрей Абрикосова в сверхпроводнике второго рода.

Для нахождения условия на К рассмотрим потенциал Гиббса:

J.

н

Jn +

IV

/I2 I р I /14 I

а \ф\ + — \ф\ +

+

4 т

2е ^

-¡Шф--Аф

с

ННр Нг_

4тг 8тг

dV.

Здесь интегрирование ведется по всему объему сверхпроводника. Перейдем в смещенную систему сферических координат:

JSH = Jn + / G

Jv

где r (r cos в + R) - якобиан перехода. G (r) мы обозначили:

С(г) = а\ф\2 + ^\ф\4 +

1

+ —

4 m

2е ^

-¡Шф--Аф

с

ННо Я

—- н--.

4тг 8тг

Так как ф (г) определяется в виде

ф{г) = и{г-Оег\

т.е. зависимость от 9 находится в фазе волновой функции и Н зависит только от г, то можно показать, что С зависит только от г и не зависит от в п (р, т.е.

С{г)=С{г).

Проинтегрировав (16) по углам, получим

JSH = Jn + 4тг R

G (г) г dr.

Найдем радиус, минимизирующий энергию поля. Для этого проварьируем потенциал по R и приравняем вариацию к нулю

S J,

н

SR

G (г) г dr = 0.

Как видно, полученное выражение не содержит R. Это значит, что энергия магнитного поля не имеет минимума по R. То есть в сверхпроводнике могут образовываться кольцевые вихри любого радиуса. Можно предположить, что радиус определяется условиями образования вихря, а также характеристиками нитевидного вихря, из которого он образуется.

В заключение хотелось бы отметить, что полученный результат требует более детального рассмотрения. Мы показали, что кольцевые вихри могут стационарно существовать в сверхпроводнике второго рода. При этом были допущены некоторые приближения, в частности, результаты получены только для вихрей с большими радиусами. В последующем попытаемся ответить на вопрос: могут ли образовываться вихри с радиусами, меньшими глубины проникновения, и будут ли они стационарны. Также будет исследоваться вопрос об образовании кольцевых вихрей и поведении их в сверхпроводнике второго рода.

[1] Шмидт В. В. Введение в физику сверхпроводников. М.: МЦНМО, 2000.

[2] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. T.V, М.: Наука, 1978.

[3] Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Статистическая физика. T.IX. Ч. 2. М.: Наука, 1978.

[4] Абрикосов А.А. Основы теории металлов. М.: Наука, 1987.

[5] Govaerts J., Stenuit G., Bertrand D. and O. van der Aa. Annular Vortex Solutions to the Landau-Ginzburg Equations in Mesoscopic Superconductors // preprint cond-matt/9908451 (August 1999).