Решение уравнения в вариациях второго порядка нелинейных управляемых систем

Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение

в том, что здесь пытаемся управлять более высокочастотным элементом через медленный упругий элемент, что, в соответствии с теорией автоматического управления, приводит к значительным фазовым задержкам при передаче управляющего воздействия на второй упругий элемент. Устранить этот недостаток здесь можно, например, путем фазовой коррекции сигнала Д—, что в условиях априорной неопределенности налагает дополнительные трудности.

Более простым и эффективным решением для этого случая является построение управления через второй более быстродействующий упругий элемент: сигнал Д— переместить между массами т и т2. При этом система уравнений (1) будет незначительно изменена - Д— перейдет из первого уравнения в правые части второго (со знаком минус) и третьего (плюс) уравнений этой системы. Исследования при таком решении показали также высокое качество гашения упругих колебаний, близкое рассмотренному выше.

Заключение

Представленные результаты показали достаточно высокую эффективность активной системы гашения упругих колебаний в трехмассовом упругом исполнительном механизме, построенной на основе адаптивного управления с указанным принципом функционирования.

Необходимо отметить, что качество управления можно повысить путем использования априорной информации об объекте, применения более точных датчиков, уменьшения временного шага алгоритма идентификации и др. Также в ка-

честве вывода можно рекомендовать строить активную систему гашения упругих колебаний с подачей управляющего воздействия через более быстродействующий упругий элемент.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Динамический синтез в обобщенных задачах виброзащиты и виброизоляции технических объектов / Елисеев С.В. и др. Иркутск : Изд-во Иркут. гос. ун-та, 2008. 523 с.

2. Кузнецов Н.К. Динамика управляемых машин с дополнительными связями. Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2009. 288 с.

3. Кузнецов Н. К., Перелыгина А.Ю. Динамическое гашение колебаний упругой трехмассовой системы // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2008. №3. С. 1419.

4. Кузнецов Н.К. Активное гашение упругих колебаний исполнительных механизмов мехатрон-ных систем // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2011. Спецвып. С.101-110.

5. Круглов С.П. Условия адаптируемости систем управления с идентификатором и эталоном // LAP LAMBERT Academic Publishing GmbH & Co. KG, Saarbucken, Deutschland, 2012. 125 c.

6. Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя : пер. с англ. / под ред. Я.З. Цып-кина. М. : Наука, 1991. 432 с.

УДК 62-501.12 Огородников Юрий Иннокентьевич,

к. т. н, ИДСТУ СО РАН, тел. 89834011463, e-mail: ogor23@yandex.ru

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ В ВАРИАЦИЯХ ВТОРОГО ПОРЯДКА НЕЛИНЕЙНЫХ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ

Yu. I. Ogorodnikov

SOLUTION OF EQUATION IN THE SECOND ORDER VARIATIONS FOR NON-LINEAR CONTROLLABLE SYSTEMS

Аннотация. Для исходных уравнений движения управляемого объекта в виде системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений в нормальной форме Коши получены уравнение в вариациях второго порядка и решение этого уравнения. Уравнение в вариациях определяет связь между вариацией вектора состояния управляемой системы и вариацией вектора управления, когда малое возмущение управления в управляемой системе приводит к соответствующему малому возмущению фазовой траектории. Широко известны уравнение в вариациях первого порядка, представляющее собой систему линейных дифференциальных уравнений, и аналитическое решение этого уравнения. Уравнение в вариациях второго порядка записывается в виде системы нелинейных дифференциальных уравнений, аналитическое решение которых неизвестно. При выводе уравнения в вариациях второго порядка для упрощения записи используется скалярное произведение векторов. В статье используется подход, при котором решение нелинейного уравнения в вариациях второго порядка осуществляется методом итераций. Вариации вектора состояния и вектора управления являются малыми величинами. Это обстоятельство позволяет найти решение нелинейного уравнения в вариациях второго порядка в две итерации: решение линейного уравнения

в вариациях первого порядка подставляется в квадратичные члены уравнения в вариациях второго порядка и решается соответствующая система линейных дифференциальных уравнений. Дальнейших итераций можно не проводить, поскольку они дают поправки к вариации вектора состояния, имеющие формально третий порядок малости.

Ключевые слова: нелинейная управляемая система, уравнение в вариациях первого порядка, уравнение в вариациях второго порядка.

Abstract. An equation in the second order variations and solution of this equation have been obtained for initial equations of motion of a controllable object in the form of a system of common non-linear differential equations in the normal Cauchy form. An equation in variations impacts the relations between variation of the system's state vector and variation of the control selection when a small disturbance of control in the controlled system results in the corresponding small disturbance of a phase trajectory. An equation in the first-order variations representing a system of linear differential equation and an analytical solution of this equation are well-known. An equation in the second-order variations, is presented as a system of non-linear differential equations whose solution is unknown. When deriving the equation in the second-order variations the scalar product of vectors is used for simplifying its representation. The paper uses the approach when a non-linear equation in the second order variations is solved using the iterative method. The state vector and control vector variations are small values. This fact allows us to find a solution of non-linear equation in the second-order variations into two iterations: solution of a non-linear equation in the first-order variations is introduced into the quadratic members of the equation in the second-order variations and the corresponding system of linear differential equations is solved. Further iterations can be omitted as their corrections of the state vector variations formally have the third order of smallness.

Keywords: non-linear controllable system, equation in the first order variations, equation in the second order variations.

Введение

Рассматривается движение управляемого объекта во времени, описываемое векторным дифференциальным уравнением x

где x(t) e R n - n-мерный вектор состояния системы;

u(t) e R m - m-мерный вектор управления; x(-) e D(T), D(T) - пространство абсолютно непрерывных на T функций;

u (•) e L (T), L (T) - пространство кусочно-непрерывных на T функций с нормой

llu Mil = max max\u.

II v 'llo> i=1,2,...,m teT 1 V /l

f (x, u) - известная нелинейная n-мерная вектор-функция, непрерывная и непрерывно дифференцируемая по (x, u) дважды;

u(-), x(-) - символы функций, рассматриваемых как точки функциональных пространств.

Использование в качестве основного функционального класса, из которого разрешается выбирать u(t), класса кусочно-непрерывных на T функций обосновывается тем фактом, что решения содержательных задач оптимального управления в подавляющем большинстве - сравнительно просто устроенные функции, имеющие разрывы первого рода, а между точками разрывов - достаточно гладкие.

Допустим, что все требования существования и единственности решения уравнения (1) при заданных начальных условиях выполнены [1].

Пусть известно некоторое управление м0(-), которому соответствует «невозмущённая» траектория системы х0(-). Пусть управление и0(•) возмущено малой функцией 5ш(^)еЬ(Т), следствием чего будет малое возмущение фазовой траектории: хо(0 ^ хо(0 + 5х(-).

Связь между 5х(0 и 5и(^ определяет известное уравнение в вариациях. В теории первого порядка оно имеет вид [2]

5х

В (3) элементами на пересечении 7-й строки и /-го столбца матриц и /и(?) служат частные производные 8//8х/ и д[/ды/ соответственно, вычисленные в точке (и0, х0).

Уравнение (3) является точным для систем вида (1), линейных относительно х и и. В общем случае 5х(0 отличается от точной разности между возмущённой и невозмущённой траекториями на величину более высокого порядка малости, чем норма от 55и.

Решение уравнения в вариациях (3) имеет

вид

ь

5х

к

где 0(, т) - матрица Коши уравнения в вариациях (3);

/и (г) - якобиан для дифференциальной системы (1), связывающей вектор состояния х(0

Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение

размерности п и вектор управления п(р) размерности т.

Уравнение в вариациях первого порядка в виде (3) и его решение в виде (4) широко известны. Поставим задачу вывести уравнение в вариациях второго порядка и выписать для него решение.

Вывод уравнения в вариациях второго порядка

Разложим в ряд Тейлора нелинейные правые части системы (1) в окрестности невозмущённого движения, ограничивая ряд членами второго порядка включительно.

Sx ,=У^0х ,+f-^ôu,+ ' I f.Y ' \ Г и ;

n n .

i » » d2f +-УУ-— 5xj ôxk +

2 j=i k=i dx j dxk

j=i k=i j^k m m

+—УУ-f— ÔUj ÔUk +

2 j=— k=i duj ÔUk

+

yy Ô2f i k=i ôx j du.

ôxj ÔUk, i = i, n

f ( xi, x2,•••, xn , UU U2 — Um ) = f ( Л U 0 ) +

f

+У

j=i

dfk

n

+У:

j=i

dx,-

m ^V, U0

ÔU,

UJ - UJ '+

)+ i_ff d f

' r, У У -, -,

2 j=i k=i dxj dxk

Ôx. Ôxk +

dfiiVk.,, ,VV d2 f

m m

+1 yyd f\x , U ) ôu ÔUk +УУ

Ô11 dli j 2 j=i k=i dUjdUk j=i k=i

i = i, 2,..., n

Ôx. ÔUk .

dxôU, j

о. ^dfïs s2/

Ь

i ÔUj j 2 j-idxjdxk

1 mm d2 f n m d2 f

+i УУ-— ÔUj ÔUk + УУ-— Ôxj ÔUk

2 j=i k=i dUj dUk

k

j =i k=i dTj dUk

Подставляя (5) в векторное выражение (1), расписанное поэлементно, имеем

2 ^ Я,, J ¿—> Л,, J О ¿—>¿—1 я,, я,, J

d/2

i-

d f

^ a*,. J=1 ôUj 2 J=1 i=1 a^.a^

1 mm d2 f n m d2 f

+ i УУ-ÔUj ÔUk + У У-— Ôxj ÔUk

2 j=i k=i ÔUj dUk j=i k=i dTj dUk

1 m m f n m -C

+iУУ^^ÔUj ÔUk + ôxj ÔUk

2 j=i k=i ÔUj dUk j=i k=i ÔXJ dUk

или в более компактной форме

Вводя скалярное произведение векторов

(xЬУ^ ; (x)=УУУ

«jxixj

i=i j=i

и обозначая

Г Я2

fi = J xx

d1f1 d fi

2/ Л

Ôx1 дх1дх2 " дхгдхп

d 2f

dx dx &22 ' дх2дхп

d2f,

Ôx2 Ôxn

Ôxl dxt

f dfi df

fi = J x

ydx dx2

Ж

cx„

dx2

uxn y

^т

где Гж - симметричная матрица Гессе, уравнение в вариациях второго порядка (7) можно записать в виде

=

ЗХг {¡0 ) = ' = 1, П Учитывая, что ёх и Зп являются малыми величинами, решение системы нелинейных дифференциальных уравнений (8) можно осуществить

методом итераций: сначала найти ) решением системы линейных дифференциальных уравнений (СЛДУ) (3) в виде (4), а затем это первое приближение подставить в квадратичные члены уравнения (8) и найти следующее приближение 5х) решением СЛДУ

i=i

п

m

nn

8х,=

+ 2

+ 1 (Гии5и,5и) + (ГХи5ХМ) ,

8х,

Дальнейших итераций можно не проводить, поскольку они дают поправки к 55х, имеющие формально третий порядок малости.

Решение уравнения в вариациях второго порядка

Решение СЛДУ (9) имеет вид

т п Я-Т

и ёк дк5 иу

j=1 к = 1 (Му

t

Sx, (t) = j

1 n n ^ n Q2 f \

11ISik p,

2 j =1 k =1 ^ l=1 dxl dXj J

SX, SX.

lj

1 m n m Q2 f \

l=1 du, du

1=1 1 j j

~ I * I * g ik I *

j=1 k=1

Sui Suj

m n n Q2 f

11 Sik I

j=1 k=1

И d. Qu

SX; Suj

j J

где

SXi (r) = j

г

SX (r) = j

m n iii1

II Sik ^ uj j=1 k=1 duj

m n

IlSjk jf^ uj

j=1 k=1 duj

i = 1, n

dr

В (10) gk(t, т), k = 1, 2,..., n; i = 1, 2,..., n — элементы матрицы Коши уравнения в вариациях первого порядка (3).

Заключение

В статье для исходных уравнений движения управляемого объекта в виде системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений в нормальной форме Коши (1) получены уравнения в вариациях второго порядка в виде (8) и решение уравнения в вариациях второго порядка в форме (10)—(11). Уравнение в вариациях второго порядка для нелинейных управляемых систем более точно определяет связь между вариацией вектора состояния и вариацией вектора управления по сравнению с уравнением в вариациях первого порядка. Этот факт при наличии высокопроизводительной современной вычислительной техники позволяет надеяться на перспективность применения уравнения в вариациях второго порядка в задачах тео-р ии управления.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М. : Наука, 1979. 430 с.

2. Справочник по теории автоматического управления / под редакцией Красовского А.А. М. : Наука, 1987. 711 с.

УДК 330.115 Пашков Николай Николаевич,

д. т. н., профессор кафедры «Логистические транспортные системы и технологии», Московский государственный университет путей сообщения, тел. 8-916-949-27-17, email: pashkovnn@gmail.com

АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ

N. N. Pashkov

ALGEBRAIC METHOD FOR SOLVING LINEAR MULTICRITERIA PROBLEM

Аннотация. В статье дано обоснование алгебраического метода решения линейной многокритериальной задачи. Изучены решения задачи в угловых точках границы множества условий, в которых нарушается диффе-ренцируемость. В этих точках классические методы математического анализа для поиска условных экстремумов неприменимы. На основании гомеоморфизма отображений выпуклых подпространств задачи доказана теорема о существовании единственного экстремального решения двойственной пары линейной многокритериальной задачи.

Ключевые слова: алгебраический метод, линейная многокритериальная задача, множество решений.

Abstract. This article deals with a substantiation of the algebraic method for solving linear multicriteria problem. The solving ofproblems at the corner points located on the boundaries of a variety of conditions is studied. Differentiability is broken at these points and classical methods of mathematical analysis to find the conditional extreme are not appli-