К задаче динамики шарового робота

УДК 531.8:621

К ЗАДАЧЕ ДИНАМИКИ ШАРОВОГО РОБОТА

© 2011 г. Д.В. Михайлов, Г.В. Панкратьева

Московский энергетический институт Moscow Power Engineering Institute

Исследуется качение по плоскости сферического робота. Корпус робота приводится в движение с помощью ролика (диска), который может кататься без проскальзывания по внутренней поверхности корпуса. Управление движением ролика осуществляется с помощью двигателей. Условие отсутствия проскальзывания сферы по плоскости и ролика по внутренней поверхности сферы записано в виде уравнений кинематических связей между угловыми координатами сферы и ролика. Уравнения движения системы шар — диск получены из теоремы о движении центра масс и теоремы об изменении вектора кинетического момента применительно к шару и к диску. Рассмотрены частные режимы движения шарового робота. Проведен анализ реализуемости этих режимов.

Ключевые слова: мобильные роботы; шаровой робот; сферический робот; неголономные связи; качение без проскальзывания; коническая прецессия; сухое трение.

The matter of study of the work is rolling of spherical robot on the flat surface. Robot's case is put into motion with the help of a roll (a disk), which can roll without sliding on the inner side of the case. Control of motion is carried out with the help of the engines. Absence of sliding of the sphere on the roll surface and that of the roll on the inner side of the sphere is equated to kinematical connections between angular data of the sphere and the roll. The equations of the motion of the system sphere-disk are found in the theorem of the centroidal motion and theorem of the alteration the momentum applied to the sphere and the disk. Particular modes of motion of the spherical robot are observed. An analysis realizability of these modes is made.

Keywords: mobile robots; orbicular robot; spherical robot; nonholonomic constraints; rolling without sliding; conical motion; rubbing friction.

Интерес к нетрадиционным конструкциям мобильных роботов вызван возрастающими требованиями к их надежности и маневренности.

Рассматривается модель робота, состоящего из двух тел: полого сферического корпуса и ролика, катающегося по внутренней поверхности сферы. Проскальзывание ролика (диска) по сфере отсутствует. Плоскость диска остается все время перпендикулярной поверхности шара в точке касания. Движение корпуса вызывается силами, действующими со стороны ролика.

В данной работе исследуется качение без проскальзывания корпуса робота по горизонтальной плоскости. В результате анализа кинематики движения системы шар — диск получены следующие уравнения неголономных связей:

= Л(-ф sin 8 cos у + 8 sin у); (1) = -Щфsin 8 sin у + 8 cos у); Vp = Я(ф cos 8 +у) = 0;

а = -§4^ • ß = 5

R cos ß

R

где уш — проекции вектора скорости центра шара, точки О, на оси неподвижной системы координат С ; V , 9, Ф — углы Эйлера, задающие угловое положение шара; а, в, У, 5 — углы, определяющие положение диска относительно шара (рис. 1, 2); Я — радиус шара; г — радиус диска.

m(v0ix + i) x V0lx )= F^

Рис. 1. Повороты диска относительно шара на углы а и в

Для описания динамики системы использованы теоремы о движении центра масс и об изменении кинетического момента отдельно для диска и для шара [1].

Уравнения для шара, записанные в проекции на оси неподвижной системы координат, имеют следующий вид:

MVak = S^x Fm(1) + F™(2);

1Ш i ш _ S |Ш(1) + |ш(2) 1 i _ S%xLax + La%

где М — масса корпуса робота; Iш — тензор инерции сферической оболочки; &ш — вектор-столбец проекции угловой скорости шара на неподвижные оси; — матрица взаимной ориентации неподвижного трехгранника и трехгранника, связанного с диском

= S¡.z (у, 9, ф^а^р^у),

где (у, 9, ф) — матрица взаимной ориентации неподвижного трехгранника С ^ и трехгранника О^ , связанного с шаром; S3(a), $2(Р), S1(y) — стандартные матрицы поворотов; точкой обозначено дифференцирование по времени; FШ(1) — столбец проекций сил, действующих на шар со стороны диска (силы трения, силы нормальных реакций со стороны диска), на оси Ох,; F™(2) — столбец проекций сил со стороны горизонтальной поверхности и сил тяжести на оси С ^ ; ^О^ , LШ^2) — главные моменты сил, действующих на

шар; индекс соответствует действию сил и

моментов со стороны диска; индекс — сил и моментов, действующих между шаром и плоскостью качения.

Система уравнений для центра масс диска представляется в виде

где т — масса движителя (диска); У01х — столбец проекций вектора скорости точки О1 на оси О1х1 ; & х — вектор проекций угловой скорости

трехгранника О1х1 на оси ОХ1; F£ — вектор проекций на оси Ох1 сил, действующих на диск; «~ » обозначает соответствующую векторному произведению кососимметричную матрицу,

& X = & X (у, 9, ф, а, в, у).

Угловая скорость диска & отличается от & х на величину, соответствующую повороту на угол 5 вокруг оси динамической симметрии СЦ (рис. 2).

x у.

Рис. 2. Повороты диска на углы у и 5 Вектор угловой скорости диска

& 2 = & х +5 ез;

ез =

Из теоремы об изменении вектора кинетического момента для диска следует уравнение

тдix + ix 1яix _ L^x .

Здесь 1д — тензор инерции диска в осях; L"ojx — главный момент сил, действующих на диск, относительно его центра.

Входящие в уравнения (2)—(5) линейные скорости центров сферы и диска V^ и , а также угловые скорости ft™ и ftх представляют собой функции углов ^, 8, a, в, Y, 5 и их производных.

Таким образом, система (2)—(5) состоит из 12 уравнений второго порядка для углов. Эти уравнения получены при помощи математического пакета Maple [2]. Они громоздки и не могут быть здесь приведены.

Однако в некоторых частных случаях можно получить обозримую систему уравнений. Так,

например, при тождественном выполнении условий:

у = 0 ; 9 = П; р = 0; у =0,

получается частный случай движения робота по прямой. Задача приводится к плоской.

Тогда система уравнений (2)—(5), вместе с уравнениями (1) кинематических связей принимает вид:

0 = -МфЯ - Nд + Я )^(а + ф) -

- -ТШз + —Тр2 sin(а + Ф);

0 = - Яз + —Дз; 0 = -Nш + Mg - (ид + Я1 )sin(а + ф)-

- —Тр2cos(а + ф);

0 = т(а + ф)2(г - Я)cos(а + ф) + + тф[- Я (sin(а + р) +1) + г sin(а + р)] +

+ та

0 = R3 - FTp3;

0 = m

(а + cpX-R - r )cos(a + ф)-

-

+ (nд + Rx )sin(a + ф) + FT^ cos(a + ф) + mg ;

0 =mr (r - r) &X - mr2 -

тр2'

0 = "F^r -(R - r )Ä3;

0 = - sin(a + ф)^ТРз + F£ ;

0 = - 3 MRcp + FTp2 + FP3;

0 = R cos

тр3 •

В уравнениях (6.1), (6.2): —Тр2, —Трз — силы трения между диском и шаром; —Тр2, —Трз — силы трения между шаром и плоскостью; — сила нормального давления между диском и шаром; — сила нормального давления между шаром и поверхностью качения робота; Я1, Я3 — силы со стороны платформы, удерживающей ролик.

При анализе движения используется модель «сухого трения», согласно которой сила трения не превышает некоторой величины, пропорциональной силе нормального давления.

Использование общих теорем динамики для получения уравнений движения позволяет анализировать величину сил реакций между телами. Это может быть полезным при исследовании осуществимости различных типов движения.

Если исключить из (6.1), (6.2) силы реакций, то получатся уравнения, совпадающие с уравнениями, полученными по методике Лагранжа [3].

Другой простой случай уравнений имеем при выполнении условий:

V

8 = const; у = const; ф = 8 >

LOS 8

ß = const; (X = -ф; у = 0 .

В этом случае шар описывает окружность радиуса р = Rtg8 . Ролик внутри шара занимает неизменное по отношению к экваториальной плоскости шара положение (рис. 3). Такое движение называется конической прецессией.

Рис. 3. Коническая прецессия шарового робота

Уравнения движения, следующие из системы (1)—(5), имеют вид:

Му2р = ((д + Я1 )п о + (з - Я3)) о -

- FTp2 cos у + FTP3 sin у;

тр2 т ~ трЗ

-Nд + Ri )cos о + (РТр3 - R3 )sin 0 + Nш - Mg = 0 ; - FTP3 cos у-FтIШ2 sin у-FTP2 = 0 ;

3 MR2у2tg8 = -(- FTp2 cos у + FtI3 sin у + F^ )r ;

my2

F = 0;

FTp2 = u ;

(N д + R1 )cos о - (f^ - R3 )sin о - mg _ 0 ; 2 cosß 4

mr . 2 -\j/ со so

sin о - -

2 cos 8

_ R3(R - r)+ F*

тр3

r

Угол о характеризует положение диска относительно шара (см. рис. 3).

Таким образом, в (8) устанавливается связь между радиусом окружности р, по которой катится шар, скоростью движения шара и углом, определяющим положение ролика внутри шара.

Ниже приведены графики зависимости угла, задающего положение ролика, от радиуса траектории шара при некоторых значениях отношения масс движителя и корпуса робота (рис. 4).

о

0,25

0,2

0,15

0,1

0,05

= 1,5 кг; M = 0,5 кг

,5 кг

= 0,5 кг

0,5

1,5

2,5

Р

Рис. 4. График зависимости угла отклонения диска от радиуса траектории шара

Условие реализуемости для данного режима движения получается исключением сил реакции из уравнений (7.1), (7.2):

Г

rm

- т

+ mg

m(Rtg8 - (R - r)sin o)cos о cos ß

1 .. Г

R cos о

о-

R

-1

2 cos 8

sin о _ 0.

\ / cos о + M

Р - J Rtg8

Литература

1. Бутенин Н.В., Лунц Я. Л., Меркин Д. Р. Курс теоретической механики. СПб., 2004.

2. Сдвижков О. А. Математика на компьютере: Мар1е 8. М., 2003.

3. Зацепин М. Ф., Мартыненко Ю. Г., Тинъков Д. В. Уравнения Лагранжа, Воронца, Чаплыгина в задачах динамики мобильных роботов. М., 2005.

+

Поступила в редакцию 20 сентября 2010 г.

Михайлов Дмитрий Витальевич — ассистент, Московский энергетический институт (Технический университет). Тел. 8-926-597-75-30. E-mail: dmit-m@yandeх.ru

Панкратьева Галина Витальевна — канд ф.-м. наук, доцент, Московский энергетический институт (Технический университет). Тел. 8-916-531-36-90. E-mail: gvpankr@gmail.com

Mikhailov Dmitrii Vitalievich — assistant, Moscow Power Engineering Institute (Technical University). Tel. 8-926-597-75-30. E-mail: dmit-m@yandeх.ru

Pankratieva Galina Vitalievna — Candidate of Physico-Mathematical Sciences, assistent professor, Moscow Power Engineering Institute (Technical University). Tel. 8-916-531-36-90. E-mail: gvpankr@gmail.com