Минимизация рассеяния звука сфероидом вблизи идеальной поверхности выбором параметров внешнего слоя

УДК 539.3; 534.26

МИНИМИЗАЦИЯ РАССЕЯНИЯ ЗВУКА СФЕРОИДОМ ВБЛИЗИ ИДЕАЛЬНОЙ ПОВЕРХНОСТИ ВЫБОРОМ ПАРАМЕТРОВ

ВНЕШНЕГО СЛОЯ

С.А. Скобельцын

Рассматривается задача поиска параметров неоднородности внешнего слоя эллипсоида для минимизации отражения звука в заданном диапазоне углов. Выбор параметров базируется на основе решения задачи дифракции плоской звуковой волны на упругом эллипсоиде с внешним слоисто-неоднородным слоем. Эллипсоид находится в полупространстве, заполненном идеальной жидкостью. Граница полупространства является идеально жесткой или мягкой поверхностью. При решении используется введение зеркального препятствия. Показан подбор параметров слоя в частном случае.

Ключевые слова: рассеяние звуковых волн, обратная задача, полупространство, неоднородный упругий эллипсоид, метод конечных элементов.

Создание покрытий для тел с требуемыми звукоотражающими свойствами является актуальной проблемой. Получить заданные звукоот-ражающие характеристики упругих тел можно с помощью покрытий в виде слоисто-неоднородного упругого слоя. В целом решение как прямых, так и обратных задач дифракции звуковых волн на упругом теле существенно зависит от формы тела, свойств его материала и наличия ограничивающих поверхностей.

Известно немного эффективных решений для задачи рассеяния звуковых волн объектами в форме эллипсоида. В статье [1] предложено решение скалярного уравнения Гельмгольца на основе системы функций Ламе, которые возникают в результате применения метода разделения переменных в ортогональной эллипсоидальной системе координат. Однако аппарат функций Ламе и алгоритмы их вычисления разработаны не так полно, как для многих других специальных функций.

Много работ посвящено исследованию дифракции звука на эллипсоидах вращения - сфероидах. Дифракция звуковых волн на упругих однородных сфероидах изучалась в работах [2 - 5]. В [6] рассматривался упругий неоднородный сфероидальный рассеиватель.

Большая часть задач о рассеянии звука трехосными эллипсоидальными объектами решена с помощью приближенных аналитических или численных методов. В работе [7] решается задача о рассеянии звуковых волн на эллипсоидальных полостях в жидкости с помощью метода Т -матриц. Метод Т-матриц, предложенный П. Уотерманом [8], широко используется для решения многих задач дифракции звуковых и упругих волн на объектах сложной формы [9, 10]. Задача о рассеянии звука жидким сфероидом решается в работе [11]. В статьях [12 - 13] рассматривается отражение звука многослойными эллипсоидами из акустического материала с

421

жестким или мягким включением. Рассеяние сферической волны малым жестким сфероидом изучается в [14]. С использованием метода граничных интегральных уравнений в работе [15] решена задача о рассеянии звука эллипсоидом, заполненным акустической средой. В статье [16] рассматривается задача о рассеянии звуковых волн эллипсоидальной оболочкой.

Широкие возможности для решения задач дифракции дает использование метода конечных элементов [17 - 19]. В работах автора [20, 21] используется подход, в котором во внешней области решение представляется в виде разложения по ортогональной системе волновых функций. Поэтому искусственная внешняя граница рассматривается как поверхность, на которой устанавливаются граничные условия согласования звуковых колебаний в двух областях жидкости: внешней (с аналитическим представлением решения) и внутренней, в которой для решения используется МКЭ.

В данной работе представлено решение задачи об отражении плоской звуковой волны упругим эллипсоидом с внешним неоднородным слоем с использованием метода конечных элементов. Предполагается, что эллипсоид расположен вблизи плоской поверхности идеальной жидкости. Сама граница жидкости является жесткой или идеально мягкой. Такого рода задачи решались для однородных тел и тел, имеющих другую форму [21-25]. Здесь, как и в указанных работах используется метод замены границы полупространства на симметрично расположенную копию препятствия и решения задачи с двумя телами в неограниченной области.

Пусть у границы полупространства П, заполненного идеальной жидкостью с плотностью Ро и скоростью звука со, находится упругий объект Е, внутренняя (основная) часть которого - упругий однородный эллипсоид с полуосями а, Ь, с, а внешняя - неоднородный упругий слой толщины И. Заметим, что в общем случае поверхность Е не является эллипсоидальной, поскольку от поверхности эллипсоида основной части она отстоит на фиксированную величину И . Считается заданным й - расстояние от центра эллипсоида О до П. Также известны модули упругости Ламе и плотности для однородной части тела - 1\, т1, Р1, и для внешнего слоя - 1(г), т(г), р(г), где г - радиус-вектор точки пространства. Граница полупространства является идеально жесткой или идеально мягкой. На тело набегает гармоническая плоская звуковая волна с потенциалом смещения

^о = ехр[/

где к о - волновой вектор падающей волны (| к о |= ко = ш/со); ш - круговая частота; ? - время.

Геометрическая схема задачи представлена на рис. 1. Символом на нем условно показан потенциал смещений в рассеянной волне, который требует определения в задаче. Точка О на рис. 1 - проекция центра эллипсоида на плоскость П .

Рис. 1. Геометрия задачи

Введем глобальную ортогональную декартову систему координат х, y, z так, чтобы ее начало было в точке O, а плоскость П совпадала с координатной поверхностью z = 0. Будем считать, что направление вектора в (1) задается углом 6о между осью z и kо, а также углом jo между осью x и проекцией kо на плоскость П . Тогда в системе x, y, z волновой вектор можно записать в виде kо= (kosin6ocosjo, kosin6osinjo, kocos 9o). Центр эллипсоида O будет иметь координаты (o,o,d). Также введем локальную систему координат х1, y1, z1 с началом в точке O1 так, чтобы уравнение поверхности Г однородной части рассеивателя имело каноническую форму

2 2 2 + (2) a b c

Каждой точке M(xi, yi, zi) поверхности T будет соответствовать точка внешней поверхности тела Г с локальными координатами

xi = xi + hnx, yi = yi + hny, zi = zi + hnz,

U u _

где nx, ny, nz - компоненты единичной внешней нормали n к поверхности

Г в точке M в системе координат xi, yi, zi.

Введем параметр q - расстояние от поверхности Г внутренних точек неоднородного упругого слоя тела E. Тогда любую точку

внутри этого слоя по аналогии с (3) можно представить в виде

423

х{ = х + qnx, у = у + дпу, гх = ¿1 + ,

где о £ q £ И.

Ориентацию осей локальной системы координат х\, у, по отношению к глобальной х, у, 2 будем задавать углами Эйлера а, Ь, у, схемы (3,2,3). Эти углы Эйлера будем трактовать как углы поворота эллипсоида при задании его ориентации по отношению к поверхности П .

Обозначим области, занимаемые различными средами так: Оо -область полупространства г>о, занятая идеальной жидкостью; - область эллипсоида, занятая однородной упругой средой

о О О О о о

(Х1 /а + у1/Ь + /с £ 1); О1 - неоднородный слой упругого препятствия.

В области Оо движение частиц идеальной жидкости определяется потенциалами смещений в падающей и рассеянной волнах. Смещение ио и давление ро в области Оо определяются через эти потенциалы так 27.:

ио = + ^), ро = Рош2

При этом потенциал должен удовлетворять уравнению Гельм-гольца 27.

А^ + к^ = о

и условиям излучения на бесконечности.

Предполагается, что движение частиц в препятствии подчиняется законам линейной теории упругости [28]. Обозначим вектор смещения и тензор напряжения в области однородного эллипсоида и и о^ соответственно. Тогда гармонические колебания частиц в однородной части тела Е описываются уравнениями движения

2

Б1У01 = -р1« и1,

где Б1уО! - первый инвариант ковариантной производной тензора напряжений.

Аналогично в неоднородном слое препятствия уравнения движения будут иметь вид

2

Б1уо = -рш и,

где и и о - вектор смещения и тензор напряжения в О1.

Тензор напряжения выражается через компоненты вектора смещения посредством закона Гука, так что уравнения (7), (8) можно рассматривать как системы дифференциальных уравнений второго порядка относительно компонент векторов смещения и1 и и.

424

На поверхности Г) соединения неоднородного слоя и однородного эллипсоида должны быть непрерывными смещения и вектор напряжений:

и|Г) = ub snn Г = s1nn, snt|ri = s1nt

где snj, Oinj - компоненты скалярных произведений о • n, 01 • n; индекс t определяет два ортогональны касательных к Г) направления.

На внешней поверхности тела - Г) - поверхности соприкосновения жидкости и упругого материала должны быть непрерывными нормальная компонента вектора смещения и вектор напряжений:

un Г = u0n , snn Ir) = p0' snt|ri = 0

здесь индекс n соответствует проекции на нормаль (индекс t на касательные) уже к поверхности Г^; величины щп , po выражаются через потенциалы Yo, в соответствии с (5).

Наконец, на границе полупространства П в зависимости от ее типа должно выполнятся условие

a) uo z\z=0 = 0 или б) po| z=0 = 0,

где случай «a» соответствует варианту жесткой поверхности П , а «б» -абсолютно мягкой.

Таким образом, при решении требуется решить уравнения (6), (7), (8) с учетом граничных условий (9), (10), (11) и условий излучения.

Для решения задачи применим подход, использованный в [26]. при решении задачи о рассеянии звука сфероидом в присутствии подстилающей поверхности. Исключим из рассмотрения границу полупространства П, расширив область Q0 до полного пространства, введя в рассмотрение второй рассеиватель E', являющийся зеркальным отражением исходного E относительно плоскости z = 0, и вторую падающую плоскую волну Y[, распространяющуюся в направлении волнового вектора k1 = (^sin00CÜS j>0, ^0sin00 sinФ0, - ^0cos^0) (рис. 2).

На рис. 2. O2 - центр тела E' (глобальные координаты - (0,0,-d)), x2, y2 , z2 - локальная система координат с началом в точке O2 в которой поверхность однородной части E' имеет вид, аналогичный (2). Эту поверхность будем обозначать Г2, область второго эллипсоида - Q2.

В случае абсолютно жесткой плоскости П потенциал смещений во второй падающей плоской волне должен быть [23]

Y1=exp[i(k1 • r)].

В случае акустически мягкой плоскости потенциал Y[ должен иметь вид

Известия ТулГУ. Технические науки. 2018. Вып. 9 ^1= -ехр[/(к! • г)].

Рис. 2. Введение второго тела

Тогда граничные условия (11) на плоскости z = 0 будут выполнены автоматически.

Таким образом, задача дифракции сводится к задаче о рассеянии двух плоских волн на двух идентичных телах, находящихся в безграничном пространстве ^о, заполненном однородной идеальной жидкостью.

В силу линейной постановки задачи следует найти решение задачи дифракции каждой из двух плоских волн на двух эллипсоидах, а затем полученные результаты просуммировать.

Рассмотрим корректировку математической постановки задачи о дифракции плоской звуковой волны ¥о на двух упругих эллипсоидах с неоднородными внешними слоями. Уравнения (7), (8) должны быть продублированы для областей и соответственно. Будем обозначать

векторы смещений и тензоры напряжений в областях ^2 и ^2 через и2,

, / &2 и и , а .

На поверхностях Г2, Г2 должны быть введены граничные условия, подобные (9), (10):

и '| Г2 = и2, апп '| Г2 = а2пп, апт '| Г2 = а2пт;

ип \Т,= и0п, апп 1 Т,= P0, апт 1 Г^=0

где индексы п и т в (12) определяют нормаль и касательные к Г2, а в (13) - к Г2.

В новой постановке условия излучения сохраняют свой вид, а условия (11) исключаются.

Заметим, что в общем случае зависимостей р(г), 1(г), т(г) для неоднородного слоя рассеивателя аналитическое решение поставленной задачи невозможно. Значительно осложняется поиск аналитического решения и тем, что граничные поверхности Г{, Г2 не являются координатными поверхностями ортогональных систем координат.

Будем решать сформулированную задачу численно с использованием метода конечных элементов на основе подхода, предложенного в работах [20, 21, 26].

В соответствии с этим подходом в области жидкости, прилегающей к телам Е и Е', выделим сферическую поверхность Г радиуса Я такого, чтобы внутри этой поверхности оказались оба препятствия и некоторая область жидкости 00, содержащая упругие тела. При этом минимальное расстояние от упругих тел до поверхности Г0 должно иметь порядок характерного размера упругого тела.

Тогда совокупность областей жидкой и упругих сред О = 00 и Пц и 01 и 02 и 02 можно рассматривать как некоторое неоднородное сферическое препятствие для падающей волны Ч.

Решение уравнений движения во всей области такого неоднородного препятствия будем выполнять с помощью МКЭ. Для этого, к уравнениям вида (5), (6) для упругих областей О^, 02 и надо добавить уравнения, описывающие колебания жидкости в 00 . Введем новую переменную - потенциал смещений в 00 - Ч. Поскольку в 00 находится та же жидкость, что и в целом 00, то Ч должен удовлетворять волновому уравнению

АЧ + к^Ч = 0.

Немного изменится вид граничных условий (8), (15) на поверхностях Г{, Г2. В них надо заменить щп и Р0 на

^ 2»т/

— и Р = ап

соответственно.

На сферической внешней поверхности области О0 надо ввести условия согласования параметров движения жидкости в О0 и во внешней среде Од

Эг

= + ¥)

г=R

-^, п= ¥0 + ¥.

Эг г=R 0 5

Здесь первое условие выражает требование равенства нормальных смещений в частицах, расположенных по обе стороны Г0, а второе - требование равенства давлений.

Разобьем все подобласти шара О на конечные элементы в форме тетраэдров. Двумерная иллюстрация этой процедуры представлена на рис. 3.

Рис. 3. Схема разбиения О на конечные элементы

Все неизвестные функции в О представляются в виде линейных комбинаций координатных функций узлов [19]. В частности, для потенциала ¥ можно записать

¥(г) = | у к/к (г),

к=1

где у к - узловые значения потенциала в области О; /к (г) - координатные функции конечно-элементной модели; К - количество узлов; будем считать, что множество значений к = 1, К охватывает узлы всей конечно-элементной сетки области О, просто в узлах, не относящихся к О0, положим у к ° 0.

Во внешней области содержащей жидкости потенциал смещений Ys в рассеянной волне будем искать в виде разложения по сферическим гармоникам с учетом условий излучения

¥ П

Ys = I I Anmhn

n=0m=-n

где hn (x) - сферическая функция Ханкеля первого рода порядка n; P(x) - присоединенный многочлен Лежандра степени n порядка m; r, 0, j -координаты сферической системы координат, связанной с системой x, y, z; Anm - неизвестные коэффициенты подлежащие определению из граничных условий.

Разложим также по сферическим гармоникам и потенциал смещений в падающей плоской волне [29]:

¥ n

Yo= I I gnmJn

n=0m=-n

in(2n + 1)(n - m)\ m, лч / • \ • / ч i

где gnm =-:-^-Pn (cos 0o)exp(-imjo); Jn (x) - сферическая

(n + m)\

функция Бесселя первого рода порядка n.

Подставляя (16), (17), (18) во второе граничное условие (15) и, используя ортогональность сферических гармоник, получим выражения Anm через узловые значения yk на поверхности r = R:

Anm gnm

hn (kor) hn (V ) Nnmj=1

4p(n + m)\ ,

где Nnm =-1--— - норма сферической гармоники

(2n + 1)(n - m)\

Ynm(0,j) = Pm(cos0)exp(imj); f,Ynm) = Цfj(R,0,j)Y™(0,j)sin0djd0 -

o o

скалярное произведение на поверхности Tg координатной функции fk (R, 0, j) и сферической гармоники Ynm (0, j); здесь множество значений J = 1,M соответствует множеству узлов, расположенных на поверхности

Go.

Затем подставим выражение (19) для Anm в первое граничное условие (15).

В форме, аналогичной (16), будем искать и смещение в упругой части препятствия (в областях Qj, Q1, Q2, Q2):

U

k=1

429

Здесь u рассматривается как общее обозначение для смещений u, uj, u , u2, введенных выше.

В результате граничные условия (9), (10), (12), (13) и первое из (15) будут содержать в качестве неизвестных только узловые значения функций Y, u, u1, u , u2 из ограниченной области W. Далее можно решать краевую задачу для уравнений (5), (6), аналогичных для E' и (9) с указанными граничными условиями стандартной технологией МКЭ [19]. В результате решения находим все узловые значения неизвестных функций y k , Uk (k = 1,2,...K). Подставляя найденные значения yj (j = 1,2,...M) в

(13), найдем коэффициенты в разложении потенциала смещения в рассеянном поле (17).

Аналогично решим задачу о рассеянии второй падающей волны Y и найдем коэффициенты Anm в разложении потенциала смещения в рассеянном поле, подобном (11). Тогда потенциал смещения в рассеянном поле, полученном от действия двух волн, можно представить в виде

¥ П

Y

n=0m=-n

где Bnm = Anm + Anm.

Используя асимптотическое поведение сферической функции Хан-келя при больших значениях аргумента, представим (r, 0, j) при r ¥ из (21) в виде

Ч ¥» ф

где Ф(0, j) - нормированная форм-функция рассеянного поля в дальней зоне, определяющая распределение амплитуды и фазы отраженной волны вдали от препятствия

2 ¥ n

ф

k0R n=0m=-n

При проведении численных исследований решения анализировалось распределение по углам 0 и j амплитуды рассеянного поля, поэтому расчеты выполнялись для функции

F (0, j)= 1

krR'

¥ n

I I

n=0m=-n

где коэффициент 2 заменен на 1, поскольку, в конечном счете, нас интересует отражение одного тела (а не двух); Я' = (а + Ь + с)/3 + к - характерный

размер исходного упругого препятствия.

430

В качестве функциональных зависимостей переменных материальных параметров упругой среды в неоднородном слое препятствия рассматривались линейных зависимости, в которых функции зависят только от расстояния q от однородной части эллипсоида и от коэффициента t:

f(q;t) = 1 + t(2q/h -1). (25) Коэффициент может принимать значения из интервала [-0.5, 0.5]. Для фиксированного значения коэффициента t при изменении аргумента в интервале 0 £ q £ h функция f (q; t) изменяется от 1 -t до 1 + t. При t> 0 функция возрастает, а при t< 0 убывает. Легко видеть, что при t = 0 f (q;0) ° 1. Вариант f (q;0) соответствует случаю постоянного значения

материального параметра в пределах внешнего упругого слоя сфероида. Еще функция (25) обладает тем свойством, что независимо от величины коэффициента t в середине слоя (q = h / 2): f (q; t) = 1.

Считается, что в каждой данной реализации неоднородного слоя сфероида коэффициент t фиксирован для плотности t = t1 и для модулей упругости - t = t2. Т. е.

р=f

/ л / /

где p , l , m - средние значения материального параметра по толщине слоя.

При решении исходной экстремальной задачи, заявленной в работе, искались такие коэффициенты t и t2, которые обеспечивают минимальное среднее значение F(0, ф) в некотором диапазоне углов 0, ф .

В простом случае в качестве такого диапазона может выступать множество пар (0, ф) из декартова произведения D = (01,02) х (ф1, Ф2). Если не учитывать пространственный смысл углов 0, ф, то задача минимизации может быть сформулирована так

1 02 Ф2

Ö1

(02 -01)(Ф2 -Ф1) 01 ф1

Если же учитывать геометрический смысл сферических координат 0, ф, то правильнее минимизируемую функцию записать в виде

! 02 ф2

Ö2(t1,t2)= 7----- J JF(0,ф;t1,t2)sin0dфd0min.

(cos01 - cos 02)(ф2-ф1) 01 ф1

В численный исследованиях рассматривалось препятствие, однородная часть которого представляла собой эллипсоид с полуосями a, b, c такими, что a/c = 3, b/c = 2; толщина внешнего слоя h полагалась такой, что h/c = 0.5. Если не оговорено другое, то в представленных далее расче-

тах расстояние й установлено таким, что с1/е = 4. Углы Эйлера поворотов Е относительно осей системы координат х, у, z равны а = 0, р = -20°, 7 = 0.

Плотность и модули упругости в однородной эллипсоид части заданы так: рх =2700 кг/м3, 1Х = 5.3 1010 Н/м2, 1^=2.6 • 1010 Н/м2. В большей части экспериментов материальные свойства для внешнего слоя полагались равными: р = рх, X = Х^, ц' = М1

В качестве идеальной среды, заполняющей полупространство, использовалась жидкость с плотностью р0 = 1000кг/м3, и скоростью звука С0 =1485 м/с. Граница полупространства, занятого жидкостью полагалась абсолютно жесткой.

Частота падающей волны выбиралась такой, что &0 ^ = 3. Во всех

показанных далее расчетах 60 =120 °, Ф0 = 0.

На рис. 4 показано влияние на форм-функцию Е(6,0) изменения

параметров материала неоднородного слоя эллипсоида. Сплошной линией изображена форм-функция для случая, когда материал слоя характеризуется зависимостями (20) с коэффициентами Т1 = -0.5, Т2 = 0, т.е. неоднородной является только плотность. Штриховой линией изображена диаграмма для случая однородного слоя (Т1 = 0, Т2 = 0). Сравнение диаграмм показывает, что неоднородность существенно влияет на коэффициент отражения звука. В виде эллипсов, изображенных тонкими пунктирными линиями, на рисунке показаны контуры сечения эллипсоида и внешнего слоя.

Анализ представленных диаграмм показывает, что в рассматриваемых условиях можно искать сочетание параметров Т1, Т2, которые доставляют экстремальные значения величины Е (6,0) в заданном диапазоне уг-

лов 01 £ 0 £ 02. В ряде приложений особую роль играет направление, обратное распространению падающей волны (направление на источник). Будем искать сочетание параметров ti, t2, обеспечивающие экстремальные значения величины F (0,0) в направлениях в окрестности направления на источник - 0о. Для рассматриваемого случая падения волны направление на источник задается 0 = 00=60°, j = 180°.

Угол j = 180° был зафиксирован, а коэффициенты (% Т2) изменялись в области [-0.5, 0.5] х [-0.5, 0.5] с шагом 0.1 по каждому коэффициенту с тем, чтобы минимизировать целевую функцию, аналогичную Q1(t1, t2) c

одинарным интегралом по 0 с пределами от 01 = 00 - D0 до 02 = 00 + D0. При этом D0 полагалось равным 2, 4,..., 12°. Полученные результаты представлены в таблице.

Экстремальные значения Q1

D0, ° 2 4 6 8 10 12

01, ° 58 56 54 52 50 48

02, ° 62 64 66 68 70 72

Q0 2.284 2.267 2.240 2.203 2.159 2.108

Qmin 1.986 1.973 1.950 1.920 1.883 1.840

Qmax 3.579 3.543 3.485 3.407 3.314 3.209

Qmax ! Qmin 1.802 1.796 1.787 1.775 1.760 1.744

Qmax/ Q0 1.567 1.563 1.556 1.547 1.535 1.522

Q0I Qmin 1.150 1.149 1.149 1.147 1.147 1.146

В первых строках таблицы представлены пределы интегрирования: Д0 - отклонение от 0д; 01, 01 - собственно, пределы. В четвертой строке - Qo -показаны значения функции Q при Т1=Т2=0 (для случая однородного цилиндра). В строке Qmln показаны найденные минимальные значе-

433

ния Q. Для всех рассмотренных пар 01, 02 минимальное значение Q достигается при 11=0.5, 12 =-0.5. На рис. 5 представлена соответствующая диаграмма Г (0,0).

Максимальные значения из строки Qmax для разных пар 01, 02 также получены при одном сочетании коэффициентов: 11=-0.5, 12=0.5. Соответствующая диаграмма Г (0,0) показана на рис. 6.

Заметим, максимальное превышение Qmax над Qmin, выраженное их отношением, составляет величину 1.802. Это значит, что путем изменения параметров неоднородности внешнего слоя эллипсоида в узком диапазоне углов 58° £ 0 £ 62° можно изменить коэффициент отражения почти в 2 раза.

0=0

Рис. 5. Диаграмма Г(0,0) при 1т = 0.5, 12 =-0.5

Рис. 6. Диаграмма Г(0,0) при 11 =-0.5, 12 = 0.5

434

На рис. 6 показано изменение диаграммы направленности рассеянного поля при повороте однородного эллипсоида. Угол Эйлера р изменил значение с -20° на 0. Видно, что этот поворот изменяет характеристики рассеяния намного больше, чем получено подбором параметров неоднородности внешнего слоя тела.

Рис. 7. Диаграмма Г(0,0) для случая р = 0, т = 0, Т2 = 0

Несмотря на это, показано, что при стационарном положении рас-сеивателя можно подбором параметров неоднородности заметно влиять на характеристики рассеяния, и при определенных сочетаниях зависимостей в параметрах неоднородности в диаграмме рассеяния есть видимые изменения.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований и Правительства Тульской области (проект № 16-41-710083).

1. Федорюк М.В. Дифракция звуковых волн на трехосном эллипсоиде // Акуст. журн. 1988. Т. 34. № 1. С. 160-164.

2. Клещев А. А. Трехмерные и двумерные (осесимметричные) характеристики упругих сфероидальных рассеивателей // Акуст. журн. 1986. Т. 32. № 2. С. 268-271.

3. Hackman R.H., Sammelmann G.S., Williams K.L., Trivett D.H. A reamalysis of the acoustic scattering from elastic spheroids // J. Acoust. Soc. Amer. 1988. V. 83. № 4. P. 1255-1266.

4. Рождественский К.Н., Толоконников Л. А. О рассеянии звуковых волн на упругом сфероиде // Акуст. журн. 1990. Т. 36. Вып. 5. С. 927-

Список литературы

5. Толоконников Л. А. Дифракция звуковых волн на упругом сфероиде с малым эксцентриситетом в вязкой среде // Известия Тульского государственного университета. Математика. Механика. Информатика. 1997. Т. 3. Вып. 1. С. 152-157.

6. Толоконников Л.А., Лобанов А.В. Дифракция плоской звуковой волны на неоднородном упругом сфероиде // Известия ТулГУ. Естественные науки. 2011. Вып. 2. С. 176-191.

7. Cooper G., Temple J.A.G. Calculations of acoustic scattering from ellipsoidal voids: bends, krill and fish // Ultrasonics. 1983. V. 21, № 4. С. 171176.

8. Waterman P.C. Matrix formulation of electromagnetic scattering // Proc. IEEE. 1965. Vol. 53, P. 805-812.

9. Waterman P.C. T-matrix methods in acoustic scattering // Acoust. Soc. Amer. 2009. V. 125, № 1, P. 42-51.

10. Tsao S.J., Varadan V.V., Varadan V.K. T-Matrix Approach to Scattering of Elastic (SH-) Waves by an Inclined Surface Void // ASME. J. Appl. Mech. 1983. V. 50. № 1. P. 143-148.

11. Lavia E., Gonzalez J.D., Blanc S.A Computational Method to Calculate the Exact Solution for Acoustic Scattering by Liquid Spheroids // arXiv: 1603.00499v2 [physics.comp-ph.] 2016. V. 3. P. 1-14.

12. Athanasiadis C. The hard-core multi-layered ellipsoid in a low-frequency acoustic field // Int. J. Eng. 1994. V. 32. P. 1352-1359.

13. Athanasiadis C. The multi-layered ellipsoid with a soft core in the presence of a low-frequency acoustic wave // Q. J. Mech. Appl. Math. 1994. V. 47. P. 441-159.

14. Charalambopoulos A., Dassios G. Scattering of a spherical wave by a small ellipsoid // IMA J. Appl. Math. 1999. V. 62. P. 117-136.

15. Ершов Н.Е., Илларионова Л.В., Смагин С.И. Численное решение трехмерной стационарной задачи дифракции акустических волн // Вычислительные технологии. 2010. Т. 15. № 1. С. 60-76.

16. Veksler N.D., Dubus B., Lavie A. Acoustic wave scattering by an ellipsoidal shell // Acoust. Phys. 1999. V. 45. P. 46-51.

17. Harari I., Hughes T.J.R. Finite element method for the Helmholtz equation in an exterior domain: model problems // Comp. Methods Appl. Mech. Eng. 1991. V. 87. P. 59-96.

18. Gan H., Levin P.L., Ludwig R. Finite element formulation of acoustic scattering phenomena with absorbing boundary condition in the frequency domain // J. Acoust. Soc. Am. 1993. V. 94. № 3. Pt. 1. P. 1651-1662.

19. Ihlenburg F. Finite element analysis of acoustic scattering. New York: Springer Publishing Company Inc., 2013. 226 p.

20. Скобельцын С.А. Подход к решению задач о рассеянии упругих волн с использованием МКЭ // Тез. докл. междунар. научн. конф. «Современные проблемы математики, механики, информатики». Тула: Изд-во ТулГУ. 2004. С. 135-136.

21. Иванов В.И., Скобельцын С.А. Моделирование решений задач акустики с использованием МКЭ // Известия ТулГУ. Естественные науки. 2008. Вып. 2. С. 132-145.

22. Иванов Е.А. Дифракция электромагнитных волн на двух телах. Минск: Наука и техника. 1968. 584 с.

23. Клещев А. А. Рассеяние звука сфероидальными телами, находящимися у границы раздела сред // Акуст. журн. 1977. Т. 23, № 3. С. 404410.

24. Gaunaurd J.C., Huang H. Acoustic scattering by a spherical body near a plane boundary // J. Acoust. Soc. Amer. 1994. V. 96, № 6. Р. 2526-2536.

25. Толоконников Л. А, Логвинова А. Л. Дифракция плоской звуковой волны на двух неоднородных цилиндрах с жесткими включениями // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2015. Вып. 1. С. 54-66.

26. Скобельцын С.А., Толоконников Л.А. Дифракция плоской звуковой волны на упругом сфероиде с неоднородным покрытием в присутствии подстилающей поверхности // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2015. Вып. 2. С. 64-75.

27. Исаакович М.А. Общая акустика. М.: Наука, 1973. 496 с.

28. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.

29. Скучик Е. Основы акустики. Т. 2. М.: Мир, 1976. 542 с.

Скобельцын Сергей Алексеевич, канд. физ.-мат. наук, доцент, skhlaramhler.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет

MINIMIZING THE SCATTERING OF SOUND BY A SPHEROID NEAR AN IDEAL SURFACE BY SELECTING PARAMETERS OF THE OUTER LAYER

S.A. Skohel'tsyn

The problem of searching for the inhomogeneity parameters of an ellipsoid outer layer is considered. The purpose of the solution is to minimize the reflection of sound in a given range of angles. The choice of parameters is based on the solution of the problem of diffraction of a plane sound wave on an elastic ellipsoid with a layer-inhomogeneous coating. The ellipsoid is immersed in a half-space filled with an ideal fluid. The boundary of a halfspace is an ideally rigid or soft surface. At the decision the introduction of a mirror obstacle is used. The choice of the parameters of the layer is shown in the special case.

Key words: scattering of sound waves, inverse problem, half-space, inhomogeneous elastic ellipsoid, finite element method.

Skohel'tsyn Sergey Alekseevich, candidate of physical and mathematical sciences, docent, skhlaramhler. ru, Russia, Tula, Tula State University