Напряженно-деформированное состояние при контакте цилиндров в условиях перекоса

УДК 620.173.21-231.221

НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ ПРИ КОНТАКТЕ ЦИЛИНДРОВ В УСЛОВИЯХ ПЕРЕКОСА

Ф.Г. Нахатакян, О.И. Косарев, В.В. Фирсанов, М.Ю. Леонтьев

С использованием модели упругого основания разработан метод решения задач о контакте двух цилиндров и цилиндра с плоской плитой при наличии перекоса между ними. Получены аналитические выражения для контактной деформации, максимальных контактных напряжений, а также величин полуширины площадки контакта и ее длины.

Ключевые слова: контактная деформация; контактная задача Герца; контактная деформация цилиндров; перекос осей цилиндров; контактные напряжения.

При расчете нагруженности и прочности машин и механизмов в различных отраслях промышленности, в том числе авиационной и ракетно-космической техники, содержащих зубчатые передачи и соединения (муфты), а так же роликовые опоры, возникает задача о контакте элементов конструкций с непараллельными осями, обусловленного как погрешностями изготовления и монтажа элементов, так и их упругими деформациями. Наличие перекоса исключает возможность использования решения контактной задачи Г.Герца для двух цилиндров с параллельными осями. Поэтому необходимо рассмотреть задачу о контакте конструктивных элементов машин, например цилиндров, в условиях перекоса (рис. 1).

В литературе имеются работы по данной проблеме, например [1-3]. В работе [1] задача о контакте двух цилиндров при перекосе решена на основе специально разработанной модели упругого основания. Однако полученные соотношения применимы лишь при больших углах перекоса и дают большие погрешности при малых углах. В работе [2] на основе результатов экспериментальных исследований и расчетов МКЭ получены эмпирические зависимости, которые можно применять при малых углах перекоса, так как они дают значительные погрешности при больших углах. Аналитическое решение задачи в работе [3] позволило устранить указанные недостатки, однако там рассмотрен контакт двух цилиндров, изготовленных из материалов с одинаковыми коэффициентами Пуассона, равными 0,3.

Цель настоящей работы состоит в построении аналитического решения рассматриваемой задачи с определением таких параметров, как контактная деформация (полное сближение цилиндров) а; максимальные контактные напряжения атах; максимальная полуширина Ьу и длина 1к

площадки контакта для двух указанных вариантов задач, изготовленных из произвольных материалов.

Рис. 1. Контакт цилиндров с непараллельными осями

В статье предложен метод решения задачи с использованием Винк-леровской модели упругого основания, согласно которой основание состоит из близко расположенных линейных пружин, деформирующихся независимо друг от друга [4]. Для этой модели давление р(х,у), действующее по нормали к поверхности, и соответствующая деформация А(х,у) поверхности основания связаны следующей зависимостью: р(х,у) = к-А(х,у), где к- коэффициент постели упругого основания. С использованием предложенного метода стало возможным аналитическое решение поставленной задачи.

Представим цилиндр в виде набора круглых тонких элементарных дисков, полученных рассечением тела цилиндра плоскостями, нормальными к оси цилиндра, смещенных друг относительно друга таким образом, чтобы образовался перекос у (рис.2).

Пусть длина исходного цилиндра /, тогда а0 - п = 1 , где а0- толщина элементарного диска, п- количество этих дисков.

Рис.2. Расчетная модель силового контакта при перекосе

Таким образом, вместо исходного цилиндра получаем другой- "ступенчатый", состоящий из п элементарных дисков, который служит расчетной моделью для поставленной задачи. В результате при приложении на-

199

грузки каждый элементарный диск вступает в контакт без перекоса. При этом очень важно, что при стремлении а0 ^ 0 (и естественно п ^ да) получим практически гладкий цилиндр, а угол перекоса, очевидно, останется прежним - у.

Пусть после приложения нагрузки в контакт входят N элементарных дисков ^ - й диск только вошел в контакт, но пока нагрузку PN не воспринимает, т.е. PN =0), тогда длина контактной линии ¡к будет

¡к = ао •N .

В этом случае согласно принятой модели основания уравнение равновесия будет

N

I Рг = Р ,

г

а уравнение совместности деформаций, перемещений и зазоров

«г = Щ + 3 ,

где аг, Щ, , р - перемещение, контактная деформация, зазор и нагрузка на г - м элементе соответственно. Согласно [5] для цилиндров в отсутствии перекоса контактная деформация определяется по формуле

4(1 -V

w =

рЕ

' 4 Я Л 1п — - 0,5

V ЬН )

5Р 2 4(1 -V 2/ Л

или w =—, где о =

¡ ' рЕ

1п^ - 0,5 . ЬН )

Е и V - приведенный модуль

Р

упругости и коэффициент Пуассона материалов цилиндров; q = — - погонная нагрузка; Я - приведенный радиус кривизны цилиндров; Ьн - полуширина площадки контакта по Герцу. Тогда для г - го элементарного диска упругая деформация будет

Wi =°р,

¡г

где ¡1 = ¡2 = • • • = ¡1 = ао .

Рассмотрим случай, когда площадка контакта не распространяется на всю длину цилиндра, т.е. ¡к < ¡. При небольших углах перекоса (функцию синус можно заменить аргументом) зазоры Si в (2) будут определяться:

3 =

Следовательно, из (2) с учетом (4) и (5) следует

аг =°р +

¡г

где согласно принятой модели основания 82 =82 =... = 87 =8. Просуммируем уравнения

¿«,.=-¿/>+^¿

7=1 ао 1=1 7=1

и, считая а1 - а, с учетом (1) из (7) получим

а ^ = — Р + .

2

тт . 8 „

Из (3) для г- го элемента имеем м?; = —- Р{ =-1-, тогда прини-

^к

ЪР

мая во внимание условия N»1 ; • 7 = а; и> = — = а^, при 7 Ф 0 из (8) окончательно получим

а = ран1у ,

где ан- контактная деформация цилиндров при отсутствии перекоса. Из (9) нетрудно получить величину коэффициента угла перекоса Ку (коэффициент концентрации контактных деформаций) в безразмерном виде

Ку=^ = 42 =Т2-С0'5,

( 1 лЛ0,5

.у

ан

'•у " г0,5

аН

где безразмерный загрузочный параметр С, определяется равенством

аН

Далее определим коэффициент концентрации контактных напряжений Кс - как отношение максимального контактного напряжения отах к номинальным (при 7 = 0) напряжениям <гн по Герцу:

ко= атах/оН-

Максимальное контактное напряжение будет на первом диске и

равно

1 — V?

где =-—; 7* = 1; 2, Я7; у7; Ег - радиусы кривизны, коэффициенты

кЕ)

Пуассона и модули упругости материалов соприкасающихся тел. При условии = = Ф , последнее соотношение можно переписать в виде

ашах - а1 - -

Здесь Я = - приведенный радиус кривизны соприкасающихся тел.

Для упрощения записи последнего выражения, введем обозначение

От = —Г~—> с помощью которого формула для максимальных на-У 2я(1-V ]

пряжений упростится

С*тах= О^Щ- ,

г ЩЕ2

здесь Е --— приведенный модуль упругости материалов соприка-

ЕХ+Е2

сающихся тел.

С другой стороны, учитывая что Рдг =0, справедливо соотношение

N р . р р\Т

& 2 2

2 Р

откуда Р, = —. Тогда (12) можно переписать в виде N

^тах ~~

2 РЕ ]ЬЖ

или

а

тах

.

Таким образом, для коэффициента концентрации контактных напряжений окончательно получим формулу

ту- _ ^тах _ / ТУ-

Максимальная полуширина площадки контакта (рис. 3) будет также на первом диске и определяется:

»шах -Й1 =4 -^/

При условии = = О, последнее соотношение можно переписать:

^тах - ~ Л ^ •

После некоторых преобразований, аналогичным образом, как и для максимальных контактных напряжений, легко находим

202

Здесь для упрощения записи введено обозначение С=

181-у2

к

Рис. 3. Пятно контакта цилиндров при перекосе

Длина площадки контакта определяется из условия

1кУ = а = анКу ,

или

1 к ^

Далее рассмотрим случай, когда площадка контакта занимает на всю длину цилиндра: ¡к = /. В этом случае система уравнений (6) принимает вид

8Р .. 1Ч . , „ „

а;. =-^+(1-1 Кг ; / = 1;2;3...и.

/

Просуммируем последние уравнения

=1 1=1 7=1

5/Р

или, с учетом п» 1 легко получить а = —+ ^ , и наконец,

/у

Отсюда для коэффициента угла перекоса Ку в этом случае окончательно получим формулу

К„

а

= 1 +

/у

=1 + 0,5£

4 ац 2ац

Следует отметить, что формула (10) для коэффициента угла перекоса в случае (что соответствует £>2), и формула (14), что соответствует ^<2 (или 1К = /) при С, =2 для Ку дают одинаковое значение Ку=2.

Если требуется определить параметры в силовом контакте цилиндр-плоская плита в условиях перекоса (рис. 4), то решение получается аналогично вышеизложенному случаю, только в этом случае вместо формулы (3) необходимо использовать формулу для определения сближения в контакте цилиндр- плита в отсутствии перекоса [6], т.е.

4(1 -V2)/

кЕ

или

м? —

1п 1,842

5Р 1

ЕС

2\(

где 8 определяется по формуле 5

4

кЕ

1п 1,842.

ЕС

С - толщина

плиты. Соответственно, при определении безразмерного загрузочного параметра £ в формуле (11) необходимо принимать а^ определяемой по формуле (15).

Рис.4. Контакт цилиндра с плитой при перекосе

Для проверки достоверности расчетных формул, полученных в данной работе, на рис.5 приведены результаты аналитического решения (линии) зависимости контактных деформаций (при силовом взаимодействии стального цилиндра с плитой при наличии перекоса) от угла перекоса. Здесь же показаны имеющиеся в [2] аналогичные данные (точки), полученные МКЭ (длина ролика / = 40 тт ; диаметр ролика 2г = 40 тт; сжимающая сила: А - 30 кН; о - 60 кН; 0 - 90 кН). Из этих графиков видно, что эти данные хорошо согласуются.

204

а [мм]

у [рад]

Рис.5. Сопоставление результатов аналитического и численного решений

Таким образом, формулы (10) и (14) определяют значение коэффициента угла перекоса Ку во всем диапазоне изменения угла перекоса (или

безразмерного загрузочного параметра /у/а^), тем самим определены необходимые параметры контакта при перекосе.

Заключение

С помощью предложенного метода аналитически решена задача о контакте цилиндров при наличии перекоса во всем диапазоне изменения загрузочного параметра /у / ац. Установлена связь между коэффициентами концентраций контактных деформаций и напряжений.

Определены необходимые для практических расчетов параметры контакта: контактная деформация ау; максимальные контактные напряжения отах ; максимальные значения полуширины и длины площадки контакта Ъу и lk соответственно. Эти параметры могут быть использованы при

расчете нагруженности и прочности зубчатых зацеплений и роликовых подшипников при перекосе.

Список литературы

1. Айрапетов Э.Л., Айрапетов С.Э., Мельникова Т.Н. Расчет контактной нагрузки в зубчатых зацеплениях. // Вестник машиностроения, 1982, № 10. С. 3-6.

2. Орлов A.B. Упругие деформации и напряжения на линейном контакте. //Проблемы машиностроения и надежности машин, 2006, № 6. С. 31-36.

3. Нахатакян Ф.Г. Контактные напряжения и деформации цилиндров при перекосе // Вестник машиностроения, 2011, № 10. С. 45-48.

4. E.Winkler, "Die Lehre von der Elasticitaet und Festigkeit", Prag, Do-minicus, 1867. 204 p.

5. Нахатакян Ф.Г. Об одном методе точного решения контактной задачи Герца для круговых цилиндров с параллельными осями // Вестник машиностроения, 2011, № 3. С. 3-6.

6. Нахатакян Ф.Г. Контактная деформация упругих тел конечных размеров при взаимодействии по линии // Вестник машиностроения, 2014, № 2. С. 24-27.

Филарет Гургенович Нахатакян, д-р техн. наук, проф., ст. научн. сотрудник, filnahat7@,mail. ru, Россия, Москва, Институт машиноведения им. А.А. Благонравова РАН,

Косарев Олег Иванович, д-р техн. наук, проф., гл. научн. сотрудник, filna-hat7@mail.ru, Россия, Москва, Институт машиноведения им. А.А. Благонравова РАН,

Фирсанов Валерий Васильевич, д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой, filna-hat7@mail.ru, Россия, Москва, Московский авиационный институт,

Леонтьев Михаил Юрьевич, канд. техн. наук, доц., filnahat7@mail.ru, Россия, Москва, Московский государственный университет им. Н.Э.Баумана

THE INTENSE DEFORMED STA TE AT CONTACT OF CYLINDERS IN THE CONDITIONS OF THE DISTORTION

F.G. Nahatakjan, O.I. Kosarev, V.V. Firsanov, M.Ju. Leont'ev

With use of model of the elastic basis the method of the solution of tasks on contact of two cylinders and the cylinder with a flat plate in the presence of a distortion between them is developed. Analytical expressions for contact deformation, the maximum contact tension, and also sizes of half-width of the platform of contact and its length are received.

Key words: contact deformation; contact problem of Hertz; contact deformation of cylinders; distortion of axes of cylinders; contact tension.

Filaret Gurgenovich Nahatakjan, doctor of technical sciences, professor, senior research associate, filnahat 7@,mail. ru, Russia, Moscow, Institute of engineering science of A.A. Blagonravov of the Russian Academy of Sciences,

Kosarev Oleg Ivanovich, doctor of technical sciences, professor, chief researcher, filnahat 7@mail. ru, Russia, Moscow, Institute of engineering science of A.A. Blagonravov of the Russian Academy of Sciences,

Firsanov Valerij Vasil'evich, doctor of technical sciences, professor, head of the department, ^filnahat 7@mail. ru, Russia, Moscow, Moscow aviation institute,

Leont'ev Mihail Jur'evich, candidate of technical sciences, docent, filna-hat7@mail.ru, Russia, Moscow, Moscow State University of N.E. Bauman

206