Перспективы реализма в онтологическом обосновании математики: аргументы к одной интерпретации

УДК 1: 001

ПЕРСПЕКТИВЫ РЕАЛИЗМА В ОНТОЛОГИЧЕСКОМ ОБОСНОВАНИИ МАТЕМАТИКИ: АРГУМЕНТЫ К ОДНОЙ ИНТЕРПРЕТАЦИИ

© 2013 Е. И. Арепьев

докт. филос. наук, профессор, профессор каф. философии e-mail: arepiev@yandex.ru

Курский государственный университет

Статья посвящена рассмотрению современного положения дел в философии математики, и в частности проблемы истолкования связи математических истин и объектов с действительностью. В работе предложено краткое описание нового, авторского подхода к построению реалистической модели онтологических основ математики и изложена аргументация, обосновывающая предлагаемую трактовку.

Ключевые слова: новая реалистическая интерпретация природы математики, преодоление проблем теоретико-множественного подхода в онтологических и теоретико-познавательных основах математического знания

Выявление связей объектов и истин математики с действительностью является одной из наиболее рассматриваемых философско-математических проблем. На современном этапе развития в области философских оснований математического знания складывается неоднозначная ситуация. С одной стороны, определенные аргументы указывают на объективность математических истин, на непосредственную связь математики с действительностью. С другой же стороны, создание реалистических (объективистских) интерпретаций сущностных основ математики оказалось трудной задачей. Различные попытки подобного рода неизменно сталкивались с многочисленными проблемами. Так, теоретико-множественное обоснование математики оказалось противоречивым, и, хотя на теоретическом уровне были предложены версии избежания парадоксов, на уровне онтологических и гносеологических оснований была признана проблематичность рассмотрения понятия множества в качестве универсального сущностного базиса математики. То же можно сказать о программах, направленных на обоснование логической природы математических истин: эти программы подпадали под влияние теоретико-множественных трудностей, полное сведение математики (и даже одной арифметики) к логике так и не удалось, теоремы Геделя о неполноте показали невозможность представления достаточно больших математических областей в виде формальнологических исчислений, отвечающих одновременно требованиям непротиворечивости и полноты. В итоге, проблематичность построения реалистической модели онтологических основ математики становится практически главным аргументом противников реализма.

В связи с этим философия математики, разделяемая иногда на фундаменталистскую и нефундаменталистскую (социокультурную) версии, к настоящему времени выработала множество подходов, в которых различными способами аргументируется уклонение от попыток непосредственно онтологического обоснования математики, поскольку такие попытки, как правило, считаются заведомо бесперспективными. Исследователи рассматривают механизмы влияния общества на развитие математического знания, стремятся построить онтологические модели, обходящие реалистические аргументы. Существующие же попытки непосредственного онтологического обоснования математики в реалистическом ключе не только не

достигли результатов, которые могли бы считаться общепризнанными, но и не вызвали достаточно большого резонанса в среде специалистов (например резонанса, сравнимого с тем, который получила программа логицизма). В итоге оказывается, что наиболее сильными версиями математического реализма по настоящее время остаются теоретико-множественный, в частности основанный на нем логицистский подход.

В этой статье мы попробуем разобраться с тем, какие же конкретно трудности на современном этапе стоят на пути реалистического истолкования сущностных основ математики, а также попытаемся наметить перспективы развития данного подхода в новом ключе.

Многие концепции философии математики и программы оснований этой науки содержат установку о том, что базисом математического знания выступает арифметика натуральных чисел. Не разделяя эту установку в полной мере, мы, тем не менее, считаем арифметическую составляющую неотъемлемой частью сущностного фундамента математики. В трудах Г. Фреге осуществляется развернутое исследование сущностных основ арифметики. Этот мыслитель указывает, что решение вопроса о природе арифметических законов зависит от того, как будут определены натуральные числа [Фреге 2000: 28]. Предвосхищая, а вернее, предопределяя идеи аналитической философии, Фреге предлагает контекстуальный лингвистический анализ понятия числа. Он говорит, что указание на число содержит высказывание о понятии: «Более всего это, пожалуй, ясно относительно числа 0. Если я говорю: "Венера имеет 0 лун", то здесь вовсе нет луны или агломерата лун, о которых можно было бы нечто высказать; однако благодаря этому понятию "луна Венеры" прилагается свойство, а именно, под него ничего не подпадает. Если я говорю: "Карету кайзера везут четыре лошади", то понятию "лошадь, везущая карету кайзера" я прилагаю число четыре» [Фреге 2000: 75]. Указание на число, по мнению Фреге, выражает нечто объективное, аналогично указанию физических свойств объекта. Он аргументирует идею, что понятие есть нечто объективное (в отличие от представления) и что, следовательно, высказывание о понятии может содержать нечто фактическое [Фреге 2000: 76-77]. Причем свойства понятий следует отличать от свойств вещей, подпадающих под эти понятия.

Натуральные числа в трактовке Фреге представляют собой множества понятий (множеств, классов), объемы которых взаимнооднозначно сопоставимы, то есть числа -это множества всех равноэлементных классов. Так, ноль определяется Фреге как число, соответствующее понятию «неравное себе» или любому другому понятию, под которое ничего не подпадает [Фреге 2000: 98-99]. Он также дает определение отношения, в котором находятся друг к другу два смежных члена натурального ряда. Фреге говорит, что если понятие Б и подпадающий под него элемент х существуют так, что п - это число, соответствующее данному понятию, а т - число, соответствующее другому понятию: «подпадающий под понятие Б, но не равный х», то это означает, что число п в натуральном ряду следует непосредственно за числом т [Фреге 2000: 100].

Определив 0 и процедуру следования в натуральном ряду, Фреге говорит, что для определения единицы необходимо показать, что в натуральном ряду существует нечто, следующее непосредственно за нулем. Он рассматривает понятие «равно 0», под которое подпадает 0, и понятие «равно 0, но не равно 0». Под это, второе понятие ничего не подпадает. Таким образом, Фреге определяет, что число, соответствующее первому понятию («равно 0»), есть число 1. Тогда число, соответствующее второму понятию, есть число 0, и, по приведенному ранее определению, число 1 непосредственно следует в натуральном ряду за числом 0 [Фреге 2000: 101]. Далее, Фреге демонстрирует возможность выведения из приведенных определений некоторых свойств натурального ряда чисел.

В приводимых Фреге определениях конкретных чисел есть доля противоречивости. По-существу, он определяет числа, например: 2 как бесконечное (и даже несчетное) множество двухэлементных множеств, число 4 как бесконечное множество четырехэлементных множеств, число 0 как бесконечное (счетное?) множество пустых множеств, служащих объемами разных понятий: «неравное себе», «круглый квадрат», «треугольный шар» и пр. А вот с определением единицы вопрос встает несколько иначе. Можно сказать, что понятие «равное 0» имеет бесконечный объем, так как под него подпадает бесконечное несчетное множество выражений типа «5-5», «3-3» и т.п. Даже если считать числа еще не определенными, то их все равно необходимо определять и объем понятия «равное 0» получается бесконечным. Тогда понятию «равное 0» будут равночисленны понятия бесконечного (несчетного) объема. В итоге получается, что единица определяется Фреге не по аналогии с другими числами (0, 2,3,4...), то есть не как бесконечное (несчетное) множество одноэлементных множеств, а как бесконечное множество множеств, имеющих бесконечный несчетный объем. В такой интерпретации фрегевское определение единицы можно назвать сомнительным. Если же считать, что под понятие «равное 0» подпадает единственный предмет, то можно подобрать равночисленные понятия так, чтобы их смысл не вызывал сомнений, например «равное Платону», «равное Сократу», а можно и так, чтобы это опять выглядело сомнительным: «равное 4», «равное 5», «равное 6» и т. п. Ведь если полагать единственным предмет подпадающий под понятие «равное 0», то под понятия «равное 4», «равное 8» и т.п. также подпадают единственные предметы, что с содержательной точки зрения опять же сомнительно.

Фреге также утверждает, что «. числа не подвержены изменениям, ибо теоремы арифметики охватывают вечные истины» [Фреге 2004: 100]. В то же время определения натуральных чисел, начиная, по крайней мере, с двойки, в его варианте предполагают некоторую динамичность, нестатичность этих понятий. Так, если число 2 есть класс всех пар, или двухэлементных множеств, то создание новой пары, например супружеской, расширяет это множество пар, хотя и не изменяет (в силу бесконечности) его мощность.

Было бы неверным, на наш взгляд, считать описанные выше недочеты абсолютно разрушительными для фрегевской интерпретации чисел и арифметической составляющей основ математики. Их, вероятно, можно расценивать как технические погрешности. Тем не менее наличие подобных сомнительных мест указывает на определенную уязвимость фрегевской трактовки чисел и природы арифметики.

Вместе с тем исследования Фреге вносят многоаспектный вклад в развитие оснований математики. Одной из составляющих является логическая (или логико-математическая) компонента, заключающаяся в программе построения арифметики в виде логического исчисления. Вторая компонента - это философско-методологическая установка о возможности сведения арифметики к логике. Третья составляющая носит онтологический и теоретико-познавательный характер и заключается в утверждении объективности арифметических законов и истин, а также в утверждении, что эти законы и истины относятся к свойствам разума, который опять-таки трактуется реалистически, объективистски.

Можно сказать, что Бертран Рассел является продолжателем исследований Фреге практически по каждой из перечисленных установок. Но Рассел в различной степени последователен и постоянен по отношению к этим установкам. Его представления эволюционируют, порой преобразуясь до противоположных. Рассел считает, что построение Фреге не было успешно завершено потому, что Фреге пытался ограничиться одной лишь арифметикой, и потому еще, что он опирался на некоторые противоречивые принципы, которым оказались подвержены все системы логики того

времени. Рассел пытается преодолеть недостатки построений Фреге, преследуя цель систематического сведения математики к логике. В совместном с Уайтхедом труде «Principia Mathematica» [Russell, Whitehead 1910-1913] Рассел стремится доказать, что «...вся чистая математика может быть выведена из некоторых идей и аксиом формальной логики с помощью логики отношений, без обращения к каким-либо новым неопределенным понятиям или недоказанным утверждениям» [Рассел 1999а: 148]. При логизации математики они используют принцип, близкий идее «бритвы Оккама» и состоящий в необходимости замены (там, где это возможно) выводов к неизвестным сущностям конструкциями из известных сущностей. Рассел и Уайтхед принимают определение числа как множества всех равноэлементных множеств, данное Фреге, считая его наиболее правильным. В результате базисным понятием арифметики становится понятие множества, через которое определяется понятие числа. Однако Рассел рассматривает возможность избавления также и от понятия множества. Он говорит, обращаясь к теореме Кантора, что число классов сущностей будет больше, чем самих сущностей, поэтому признание классов (множеств) в качестве сущностей порождает проблемы. Хорошо, говорит далее Рассел, что все утверждения, в которых фигурируют классы, могут использоваться без предположения о том, что классы (множества) действительно существуют (см.: [Рассел 1999: 149-151]).

Как уже упоминалось, Рассел выступает продолжателем идей Фреге, но продолжателем не всегда последовательным. Он пишет, что числа являются логическими фикциями, так как, по определению Фреге, числа - это классы классов, а классы, в свою очередь, есть логические фикции. Рассел, таким образом, отказывается от онтологической позиции Фреге, отрицая универсальный бытийный статус чисел. Он ставит вопрос о существовании универсалий вообще и говорит, что слова, являющиеся именами, можно осмысленно употреблять в атомарных предложениях любого рода. Существуют еще слова-отношения. Они могут быть включены в некоторые атомарные предложения в случае, когда они содержат соответствующее число имен. Рассел говорит также, что универсалии - это значения слов-отношений (тех слов-отношений, значения которых существуют). Слова-отношения не имеют значений сами по себе, как, например, слова «если», «или» и др. Так, Рассел указывает, что отношение сходства различных объектов существует, является реальным элементом, свойством действительности. Поэтому, говорит он, мы вынуждены признать существование универсалий, по крайней мере, существование сходства. А в этом случае нет никакой необходимости изобретать средства избавиться от других универсалий [Рассел 1999: 390, 393-394].

Представляется вполне очевидным, что эволюция взглядов Рассела, по крайней мере - в философии математики, содержит в себе долю регресса, уменьшения порядка и тенденцию к противоречиям. В частности, Рассел пересматривает реалистическую позицию Фреге по отношению к математическим истинам и объектам, признавая в то же время фрегевское определение числа. Получается буквально следующее: Рассел согласен с Фреге, что числа - это объемы понятий «быть равночисленным понятию.», Рассел определяет универсалии как значения слов-отношений (там, где эти значения существуют), и, наконец, Рассел объявляет, что нет никакого смысла отрицать существование (он говорит - «избавляться от») универсалий, но вместе с тем объявляет числа фикциями! Такой ход рассуждений, на наш взгляд, указывает на неубедительность сделанных им выводов. Поэтому можно с определенным основанием сказать, что наибольшую ценность и потенциальную перспективность для философии математики имеют лишь те онто-гносеологические воззрения Рассела, которые согласуются с программой логицизма и идеями Г. Фреге.

Против реалистического, а в частности логицистского и теоретико-множественного, истолкования арифметики выдвигаются возражения представителями многих течений философии математики, философии науки XX века. Например, утверждается несостоятельность реалистического истолкования натуральных чисел, в частности несостоятельность множественного подхода Фреге, Рассела и Уайтхеда, вытекающая из неединственности множественного представления чисел. Действительно, Фреге-Расселовский способ сопоставления чисел множествам оказался не единственным. Как было сказано выше, их способ подразумевал, что числа являются объемами специфических понятий, или классами классов (множествами множеств). Например, 0 - это объем понятия «быть равночисленным понятию, под которое ничего не подпадает» (то есть 0 - это множество всех пустых множеств), 2 - это множество всех двухэлементных множеств и т.д. Такой подход подпадал под действие различных затруднений теоретико-множественного обоснования и, как мы видели, оказался несвободным от трудностей логического характера и у Фреге и у Рассела.

Э. Цермело разработал другой способ множественной интерпретации чисел. Он предлагает рассматривать 0 как пустое множество, а в качестве операции перехода к следующему элементу Б (х) - единичное множество, элементом которого является предыдущий элемент, то есть, 1 как множество, содержащее один элемент - пустое множество; 2 как множество, содержащее в качестве элемента одноэлементное множество, элементом которого выступает пустое множество; 3 как множество, состоящее из множества, соответствующего числу 2, и т.д. Дж. фон Нейман, предлагая собственный, третий вариант, сопоставляет 0 и пустое множество, 1 и множество, состоящее из одного элемента - пустого множества, 2 и множество, состоящее из двух элементов - пустого множества и множества, содержащее пустое множество в качестве единственного элемента и т.д., то есть определяет переход к следующему элементу числового ряда как образование множества, состоящего из объединения предыдущих множеств Б (х) есть хи{х} [Целищев 2002: 21-25].

Таким образом, реалистическое истолкование природы чисел, опирающееся на понятие множества, оказывается уязвимым или как минимум нуждающимся в дополнении и уточнении. Здесь резонно возникает вопрос о перспективах математического реализма вообще и его теоретико-множественных версий в частности.

Гипотеза, краткому описанию и аргументации которой посвящена следующая часть настоящей статьи, состоит в том, что философско-математический платонизм, или реализм, все же представляет собой наиболее адекватное и перспективное направление философского обоснования математики. Несмотря на критику с различных позиций, основным недостатком этого направления, на наш взгляд, является отсутствие развернутой интерпретации, раскрывающей, конкретизирующей связь математических истин и объектов с действительностью и углубляющей, тем самым, философские основания математики по сравнению с достигнутым ранее уровнем. Нашей установкой выступает подобная интерпретация, направленная на преодоление недостатков реализма, связанных с теоретико-множественным подходом, и ориентированная на современное положение дел в философии математики, в математическом знании и науке вообще. Она предполагает, что в системе математического знания имеется ряд основообразующих сфер, сущностные фундаменты которых неотождествимы между собой. В частности, существуют по крайней мере три подобных сферы. Это сфера, включающая в себя свойства порядковых и количественных отношений и создаваемые на их основе структуры (арифметическая составляющая), сфера пространственных (геометрических) отношений, их свойств и производных конструкций, и третья сфера -сфера, образуемая совокупностью свойств причинно-следственных, конъюнктивных и

других связей, свойств процесса рассуждения, функционирования разума и производных от них построений, то есть логическая сфера.

Вышеуказанные сферы в онтологическом и гносеологическом отношении могут, на наш взгляд, интерпретироваться следующим образом.

• Все области математического знания, опирающиеся лишь на производные положения от количественных и порядковых отношений, основываются на исходных, априорно заданных принципах разума, служащих неотъемлемой его составляющей, то есть возможностью его существования, и выражающих свойства действительности (материальной, идеальной, потенциальной), раскрывающие ее непрерывный и дискретный характер.

• Геометрические исходные истины и сама возможность построения системы геометрических истин также является неотъемлемой составляющей разума, выражающей в нем универсальные, общие возможные формы существования материального мира.

• Все разделы математической логики, то есть области, занимающиеся выражением свойств причинно-следственных, конъюнктивных и прочих связей, выражением свойств функционирования разума, процесса рассуждения, основываются на необходимой компоненте разума, относящейся к выражению в нем самом возможностей построения и функционирования любых систем, в том числе и математических.

Очевидно, что все три компоненты основ математического знания имеют обширные производные области, в которых эти основы пересекаются, взаимодействуют. Однако эти составляющие фундамента математики не тождественны, а специфичны. Главным же, определяющим саму принадлежность к математике для всех областей является то, что они выражают наиболее общие законы не только всего существующего, не только гипотетического, но и всего возможного вообще. Таким образом, в связи с вопросом об отношении к бытию разума и вместе с ним основ математического знания, представляется правомерным предположить, что разум принадлежит реальности, сущему в той же мере, в которой относятся к реальности все возможности ее существования, преобразования и развития.

В пользу подобного истолкования основ математики говорят множество аргументов. К ним относится устойчивость платонизма, его «живучесть» в истории философии и в истории науки, доминирование философии платонизма среди работающих математиков (см.: [Перминов 2004: 304; Биттей 1981: 472]), несводимость основ математического знания к истолкованию посредством эмпиризма (несводимость к индуктивизму), к конвенционализму, непредставимость математических истин лишь в виде абстрактного выражения социокультурных и исторических особенностей развития человеческого знания и пр. Основной же, на наш взгляд, выступает следующая совокупность аргументов: математические истины и объекты, при их правильном использовании, всегда эффективно применимы для исследования действительности - в естественных, в технических и других науках, эффективны в преобразовательной деятельности человека, то есть в практике, и, таким образом, критерий практики непосредственно, а эмпирический критерий опосредованно (так как непосредственная эмпирическая проверка математических утверждений недоступна) говорят в пользу объективности математических истин. В то же время отсутствуют случаи эмпирического опровержения истин математики или же обнаружения их ложности при использовании в практическом преобразовании действительности. Математика выступает источником и образцом рационального, логического мышления, и ее утверждения могут считаться объективно истинными, исходя также из критериев истинности рационализма.

В этом ключе и оформляется, на наш взгляд, наиболее перспективное направление разработки онтологических оснований математики.

Если принять вышеперечисленные положения в качестве исходных установочных гипотез, то можно рассмотреть вариант сущностного истолкования основ математики, в котором реалистическая трактовка данной проблемы выступает альтернативой традиционному теоретико-множественному подходу. Для указанного построения необходима определенная структуризация основ математики и поэтапное обоснование, разъяснение элементов этой структуры. Приняв намеченную выше структуризацию, будем считать, что в первой, «арифметической» составляющей прежде всего нуждаются в объяснении числа. О них и пойдет речь в завершающей части статьи.

Можно вспомнить, что, рассуждая о неправомерности истолкования чисел как абстракций от объектов, Г. Фреге указывает на невозможность получения единицы путем абстрагирования, например, от Луны. Он также говорит о неопределенности предмета, от которого необходимо абстрагироваться, чтобы получить ноль. «От чего собственно нужно абстрагироваться, чтобы, например, от Луны перейти к числу 1? . 1 не является понятием, под которое может подпадать Луна. У 0 даже вовсе не имеется предмета, от которого отталкиваются при абстракции» [Фреге 2000: 73]. В подобных рассуждениях пифагорейского типа есть очевидный смысл, так как они могут до определенной степени способствовать прояснению сущностного и гносеологического статуса чисел. Поскольку чисел бесконечное множество и поскольку все они обладают различными свойствами, было бы логичным рассмотреть вопрос о статусе некоторых из них - нуля, единицы., или даже вопросы о статусах чисел, соответствующих цифрам, поскольку, в конечном итоге, они играют ключевую роль в десятичной системе исчисления. Мы попытаемся начать с начала, то есть с арифметики и натурального ряда чисел. Особое внимание, как нам представляется, необходимо уделить нулю, единице и двойке. Специфичность их отмечалась и ранее. Фреге, например, указывает, что «. числа по природе вещей имеют свой порядок, каждое образуется собственным способом и обладает своеобразием, особенно заметным у 0, 1 и 2» [Фреге 2000: 37]. Итак, начнем с ноля.

Ноль можно истолковать как абстрактное выражение возможности наличия. Например, когда в десятичной дроби ставятся нули после запятой, подразумевается, что после нолей будет стоять какая-то цифра или цифры и что существует возможность вхождения в данную дробь десятых, сотых и т.д. долей, но там, где стоят нули, эта возможность не реализована. Так, число 0,0460007 выражает, помимо прочего, нереализованные возможности присутствия десятых, десятитысячных, стотысячных и миллионных долей. Число же 0,201 содержит в себе указание на нереализованную возможность наличия сотых долей. Аналогичным образом можно продемонстрировать приведенные рассуждения на натуральных, целых и других числах: 104023008; -2453067; 4,(209) и т.п. Нули будут указывать на возможности наличия единиц, десятков, сотен и пр. до определенного значения, в зависимости от количества знаков в числе, или же на возможности наличия десятых, сотых и т.д. долей. При обучении детей счету учитель говорит, что если из корзины, в которой находится пять яблок вынуть два яблока, а затем еще три, то в корзине останется ноль яблок. Число оставшихся яблок - «ноль яблок» -указывает на возможность их наличия, тогда как возможность наличия других объектов, например пароходов или метеоритов, не подразумевается.

Здесь уместен вопрос о том, не будет ли более точным истолкование нуля как абстрактного выражения нереализованной возможности наличия? Ответ на этот вопрос, по нашему мнению, будет отрицательный, поскольку, например, число 1000 состоит из единиц, десятков и сотен и истолкование нулей в нем как нереализованных

возможностей наличия порождает двусмысленность, противоречивость. Таким образом, ноль - это абстрактное выражение возможности наличия, являющееся безотносительным к реализации самой возможности.

Необходимо особо отметить, что возможность нельзя отождествлять с вероятностью. Вероятность можно предварительно определить как количественное выражение возможности. Сама же возможность должна пониматься как принципиальная допустимость вообще. Например, вероятность достать белый шар из ящика, содержащего только десять черных шаров, равна нулю, но это принципиально допустимо (Лейбниц или Витгенштейн сказали бы - логически допустимо), то есть возможно, в принятом нами понимании этого слова, в отличие от исхода, когда мы достаем кубический шар или треугольный квадрат. В этом смысле принятое в математике понятие «невозможное событие» было бы правильнее заменить на «невероятное событие».

Продолжим наше рассуждение истолкованием следующего числа - единицы. Единица может быть истолкована как абстрактное выражение реализовавшейся возможности наличия. Например, когда мы записываем число 0,1, мы указываем, что реализована возможность наличия определенной (десятой) доли, а когда записываем число 10, то указываем на реализацию возможности наличия определенного количества (десятка) и т.д. В принципе, помня о возможности перевода десятичной системы исчисления в двоичную, можно было бы сказать, что сущностный фундамент чисел в основном намечен. Однако возможность редукции, как мы знаем из ряда примеров, не означает тождественности онтологических и гносеологических оснований. Действительно, геометрия, что отмечено выше, имеет собственные онтогносеологические основания, отличные от арифметических, хотя геометрические отношения, благодаря работам Декарта и других, переводимы в числовые с достаточной степенью полноты. Рассел, пытаясь воплотить идею сводимости оснований всей математики к логике, определяет геометрию как область исследования последовательностей двух или более измерений, то есть как продолжение «чистой математики», в терминологии Рассела [Яш8е1 1937: 372]. В нашей же интерпретации это определение сводит геометрию к арифметической составляющей математики, что, как уже отмечено, является неадекватным реальному положению дел. Таким образом, редуцируемость десятичной системы исчисления к двоичной не предписывает необходимость ограничения компонентов сущностного истолкования чисел.

Сущностной интерпретацией следующего числа - двойки может служить истолкование ее как абстрактного выражения наличия альтернативы, вариантности, неоднозначности. Например, говоря о том, что длина одного отрезка больше длины другого, или о том, что десять больше семи, мы указываем лишь на количественные различия; различие же между единицей и двойкой является еще и качественным различием, имеющим сущностный фундамент. Если единица - это абстрактное выражение реализовавшейся возможности наличия, то двойка - это абстрактное выражение реализовавшейся возможности (наличия) альтернативы, наличия выбора, вариативности.

Что касается тройки и других чисел-цифр, то здесь нам необходимо признать отсутствие, возможно временное, аналогичного истолкования. Однако, скорее всего, это отсутствие само по себе выступает интерпретацией в том смысле, что в данном аспекте сущностных особенностей, натуральные числа фактически нуждаются в трех базисных элементах, обладающих наиболее ярко выраженной онтологической спецификой. Натуральные числа, таким образом, предстают в виде разнообразных сочетаний абстрактных выражений возможностей наличия, реализовавшихся возможностей и альтернатив. Это относится и к числам-цифрам, и к остальным.

Очевидно при этом, что наиболее удобной является десятичная система, и эта «удобность» не может считаться без веских оснований случайной. Видимо, она выступает следствием из еще не определенных сущностных особенностей чисел.

Предложенные онтогносеологические определения нуля, единицы и двойки, очевидно, предшествуют описанию их количественных и порядковых свойств, так же как и понятию множества. Эти свойства и понятия возникают лишь в процессе последующего рассмотрения свойств натурального ряда.

Итак, 0, 1, 2 - натуральные числа, и истолкование их отношения к бытию и процессу познания вполне возможно без обязательного привлечения понятия множества. 0 - первое натуральное число, 1 - следующее за 0, а 2 - следующее за 1.

Следование в натуральном ряду определимо через совмещенное абстрактное выражение натурального числа и единицы. Совмещенное абстрактное выражение некоторого натурального числа и абстрактного выражения реализованной возможности наличия есть следующее за этим натуральное число (получаемое прибавлением единицы). Совмещенное абстрактное выражение двух абстракций, понятий или предметов встречается в повседневной жизни, например, день и ночь объединяются в сутки, в обыденном языке и в логике совмещенное выражение утверждения и его отрицания называют противоречием и пр.

В итоге мы дали некоторое сущностное истолкование первых членов натурального ряда и способа получения его последующих членов без привлечения понятия множества. Вышеописанное истолкование чисел, может быть дополнено интерпретациями сущностных оснований базисных понятий геометрии и логики.

Библиографический список

Перминов В.Я. Развитие представлений о надежности математического доказательства. Изд. 2-е, стереотипное. М.: Едиториал УРСС, 2004.

Рассел Б. Исследование значения и истины. М.: Идея-Пресс: Дом интеллектуальной книги, 1999. URL: http://ihtik.lib.ru/lib ru philosbook 22dec2006.html

Рассел Б. Логический атомизм // Рассел Б. Философия логического атомизма. Томск: Водолей, 1999а.

Фреге Г. Основоположения арифметики: Логико-математическое исследование понятия числа. Томск: Водолей, 2000.

Фреге Г. Целое число // Философия науки. 2004. № 2

Целищев В.В. Философия математики. Ч. 1. Новосибирск: Наука, 2002.

Benacerraf P. What Numbers Could Not Be // Philos. Rev. 1965. Vol. 74. № 1.

Dummett M. The interpretation of Frege's philosophy. Duckworth. First published in 1981 by Gerald Duckworth & Company Limited The Old Piano Factory 43 Gloucester Crescent, London N.W.i - Printed in Great Britain by Ebenezer Baylis and Son Ltd. The Trinity Press, Worcester, and London.

Russell B. The Principles of Mathematics. London: George Allen & Unwin LTD Museum street second edition 1937 (first published 1903).

Russell B., Whitehead A. Principia Mathematica. Vol. I-III. Cambridge At the University press, 1910-1913.

Resnik M. Mathematics as a Science of Patterns. Oxford: Clarendon Press, 1997.

Shapiro S. Philosophy of Mathematics. Structure and Ontology. Oxford: University Press,

1997.