Определение кинематических характеристик шарнира Гука аналитическим методом

Definition kinematic characteristics of hinge hooke analytical method Gorshkov A.

Определение кинематических характеристик шарнира Гука аналитическим методом Горшков А. Д.

Горшков Александр Деомидович / Gorshkov Aleksandr - кандидат технических наук, доцент, кафедра общеинженерных дисциплин,

Пермский военный институт внутренних войск, г. Пермь

Аннотация: в статье предложен аналитический метод решения векторных уравнений [2]-[6], применение которого проиллюстрировано на примере расчета угловых скоростей пространственного механизма, в качестве которого выбран шарнир Гука. Проведено сравнение результатов, полученных другими методами. Abstract: this article proposes an analytical method for solving vector equations [2]-[6], the use of which is illustrated in the example of calculating angular velocities of a spatial mechanism in which the selected hinge Hooke. The comparison of the results obtained by other methods.

Ключевые слова: механизм, шарнир Гука, звено, кинематическая пара, угловая скорость.

Keywords: mechanism, the Hooke’s joint, link, kinematic pair, angular velocity.

Определим угловые скорости звеньев шарнира Гука аналитическим методом, используемым автором ранее для определения скоростей в плоских механизмах [2]-[6]. Для определения положения звеньев механизма используем углы Эйлера, и кинематическая схема механизма может быть представлена в виде (рис. 1). Вращательное движение от ведущего вала (звено 1) посредством крестовины (звено 2) передается ведомому валу (звено 3). Оси звеньев 1 и 3 расположены под углом а друг к другу.

Введем в рассмотрение две системы координат - неподвижная система (XYZ) и подвижная система координат (XYZ).

Таблица направляющих косинусов между осями подвижной и неподвижной системы координат будет такой:

Таблица 1. Направляющие косинусы между осями координат

X' yf z'

X cos a-cos (р2 COS (p: 0

У sin q>2 sin <p, 0

Z sin a- cos (p2 0 1

Систему векторных уравнений, связывающих между собой векторы угловых скоростей: O - входного звена, 02 - промежуточного звена 2 (крестовины), <э3 -

European science № 2(12)  26

выходного звена и векторов относительного вращения Ю21 и 23 звена 2 относительно звеньев 1 и 3 запишем в виде ([1], стр. 137).

Рис. 1. Кинематическая схема шарнира Гука

^2 — + £У21

Й?3 —(О2 + Ю32

или

Ю3—Юх+ Ю21 + Ю32

27  European science № 2

В работе ([1], стр. 138) уравнение (3) решено графическим построением в трехмерном пространстве. Решим эти уравнения аналитическим способом. Переход к проекциям векторов угловых скоростей на неподвижные оси координат производится по формулам, аналогичным формулам преобразования координат:

Таблица 2. Проекции векторов угловых скоростей на неподвижные оси координат

Oh Ohi 0)]2 00 j

ffix 0 cos <p, cos a  cos (p2 -sin a

Пр2 0 sin op-, sin op2 0

Прг 1 0 sm a cos q>2 cos a

I

Система уравнений для определения величин угловых скоростей т21, т32, т3 будет такой:

fcas^ cos a • cos - sin a^ f Q ( Ш21 f 0 ^

sin

V 0 sina^ cos cos a j V Q3 j VQ1 j

Перед тем как численно решить систему уравнений (4), учтем, что из условия перпендикулярности осей (ОХ') и (ОУ) следует равенство

cos a- cos^ • cos + sin^ • sin^2 = 0,

откуда получим кинематическое уравнение ведомого вала

tgq2 = - cos a • ctgq, ^ф2= arctg(- cos a • ctg<px).

Зададим численные значения: ю1 = 60 1/c, ф1 = 30°, a = 10°, тогда решение системы уравнений (4) будет таким:

<q21 = 9,0921/c, со32 = 5,2691/c, со3 = 60,465 1/c.

Рассмотрим расчет шарнира Гука, приведенный в [1], стр. 138. Расчетная кинематическая схема приведена на рис. 2.

European science № 2(12)  28

Рис. 2. а) схема движения крестовины и б) план угловых скоростей

Результат решения, приведенный в [1], стр. 138 имеет вид:

Щ = Щ

cos Р

11 - (sin Р  sin (рх)'

o2i = Щ  sin Р  sin фх

Чтобы установить соответствие кинематических схем, приведенных на рис. 1 и рис.2, сделаем замену в формулах

Р^а, ф]+л/2.

Значения угловых скоростей, полученные по формулам (5) и (6), будут равны полученным ранее

щ21 = 9,092 ]/с, Щ = 60,465 ]/с.

29  European science № 2

Заключение

Сравнение изложенных методов позволяет утверждать, что аналитический метод

решения векторных уравнений может быть использован для расчета кинематических

параметров пространственных механизмов.

Литература

1. Теория механизмов и механика машин: Учебн. для втузов / Фролов К. В. и др.; М.: Высшая школа, 2003.

2. Горшков А. Д. Применение аналитического метода в кинематическом анализе плоских механизмов. ХУ Международная научно-практическая конференция: «Научное обозрение физико-математических и технических наук в ХХ! веке» Россия, г. Москва, 27-28.03.2015-С 16-19.

3. Горшков А. Д. Применение аналитического метода в силовом анализе плоских механизмов. ХУ Международная научно-практическая конференция: «Научное обозрение физико-математических и технических наук в ХХ1 веке» Россия, г. Москва, 27-28.03.2015-С 19-22.

4. Горшков А. Д., Кузьминова Н. А. Применение аналитического метода в силовом анализе рычажного плоского механизма. European Research: Innovation in Science, Education and Technology // European research № 3(4) / Сб. ст. по мат.: IV межд. науч.-практ. конф.(Россия, Москва, 23-24 мая, 2015). М.. - 98 с.

5. Горшков А. Д., Примостка В. Е. Применение аналитического метода в кинематическом анализе плоских многозвенных механизмов. European Research: Innovation in Science, Education and Technology// European Research № 8(9) / Сб. ст. по мат.: IX межд. науч.-практ. конф.(Россия, Москва, 23-24 октября, 2015). М. 2015, 6-17 с.

6. Горшков А. Д., Примостка В. Е. Применение аналитического метода в силовом анализе плоских многозвенных механизмов. European Research: Innovation in Science, Education and Technology // European Research № 8(9) / Сб. ст. по мат.: IX межд. науч.-практ. конф.(Россия, Москва, 23-24 октября, 2015). М. 2015, 17-28 с.

European science № 2(12)  30