Математическое моделирование определения параметров изоляции отдельных фаз электрической сети с изолированной нейтралью

В.В. Нагорных

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ИЗОЛЯЦИИ ОТДЕЛЬНЫХ ФАЗ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СЕТИ С ИЗОЛИРОВАННОЙ НЕЙТРАЛЬЮ

Разработана математическая модель определения параметров изоляции отдельных фаз электрических сетей с изолированной нейтралью. В основе модели метод добавочной проводимости. Приведены результаты численных экспериментов.

Ключевые слова: математическая модель, метод добавочной проводимости, определение параметров изоляции отдельных фаз, рабочее напряжение, сопротивление изоляции, ток прикосновения, токи утечки, трехфазная электрическая сеть, устройство защитного отключения.

Состояние изоляции электрических сетей с изолированной нейтралью определяется активными сопротивлениями между каждым линейным проводом и землей, а также ёмкостью фаз относительно земли (реактивные сопротивления изоляции). Активные сопротивления изоляции определяют токи утечки на землю. В силу распределенности и разветвленности электрических сетей все возможные токи утечки суммируются на шинах НН подстанции. Поэтому общепринятой [1, 2, 3] моделью трехфазной сети для контроля предельно допустимых токов утечки является схема с сосредоточенными на шинах НН сопротивлениями изоляции и емкостями фаз относительно земли рис. 1.

Активные проводимости изоляции отдельных фаз ^А, gB и gC)и их ёмкости (СА, СВ и СС) относительно земли в шахтных электрических сетях с изолированной нейтралью определяются путем косвенных измерений, например, методом добавочной проводимости [7, 9]. Он состоит в следующем. На некоторое время между одной из фаз и землей подключается добавочная проводимость (активная или реактивная). Сеть при этом находится под рабочим напряжением и с подключенной нагрузкой. Измеряются напряжения фаз относительно земли до и после подключения добавочной проводимости. По напряжениям до и после подключения вычисляются напряжения смещения нейтрали, с

Рис. 1 Модель электрической сети с изолированной нейтралью трансформатора и сосредоточенными параметрами изоляции отдельным фаз относительно земли

помощью которых рассчитывается суммарное (трех фаз) активное и суммарное реактивное сопротивления изоляции. Составляющие вектора напряжений смещения

нейтрали и суммарные сопротивления позволяют рассчитать раздельно сопротивление изоляции каждой фазы относительно земли. Очевидно, что без использования микропроцессорной техники такие расчеты выполнить не удастся. Для формализации поставленной задачи нужны математические модели. Такие модели были разработаны, а вычисления были реализованы в пакете MathCAD (MathSoft Engineering & Education Inc.):

1. Модель «Прямая задача» для расчетов истинных значений напряжений фаз относительно земли при известных сопротивлениях изоляции, емкостях фаз относительно земли и линейного напряжения сети (классическая задача анализа в ТОЭ);

2. Модель «Обратная задача» для расчетов сопротив-

лений изоляции отдельных фаз и суммарной ёмкости сети относительно земли по известным истинным напряжениям фаз относительно земли и линейному напряжению.

Математическая модель «Прямая задача» позволяет рассчитывать истинные (теоретические) напряжения фаз относительно земли при известных параметрах элементов схемы замещения сети (рис. 1). В модели решается прямая задача - классический расчет напряжений фаз относительно земли трехфазной электрической сети с изолированной нейтралью. Она заключается в определении истинных значений напряжений фаз относительно земли, т.е. по заданным параметрам изоляции и напряжению сети рассчитываются фазные напряжения относительно земли. При этом между одной из фаз сети (выбрана «А») и землей может подключаться активная проводимость. В модели вначале определяется напряжение смещения нейтрали без добавочной проводимости, затем определяются напряжения отдельных фаз, далее в одну из фаз включается добавочная проводимость и снова определяются фазные напряжения. Полученные напряжения представляют собой истинные (расчетные, теоретические) значения напряжений фаз относительно земли.

Расчет выполняется дважды: без добавочной проводимости и с дополнительной проводимостью между одной из фаз и землей.

Исходные данные:

сопротивления изоляции отдельных фаз относительно земли

ёмкость фазы

добавочная активная проводимость в фазе А

gДоб = ,?.

Расчетные соотношения:

напряжение смещения нейтрали без добавочной проводимости

напряжения фаз относительно земли без добавочной проводимости

Са — Св — Сс — С;

Ub = Uф • a2 — UN,

U с = иф • a — UN .

напряжение смещения нейтрали с добавочной проводимостью TV _тт Ya + g доб + a • YB + a • YC

U N = U0 v v v ,

Ya + ?доб + Yb + Yc

напряжения фаз относительно земли с добавочной проводимостью

UA = Uф—UN,

U B = UФ • a — U N ,

U с = Uф •a — U n .

где - фазное напряжение сети; Y - комплексная проводимость

изоляции отдельной фазы, ^равная — + jwCj; a = e 3 - комплексный оператор поворота фазы в трехфазной системе.

Математическая модель «Прямая задача» позволяет определять влияние добавочной проводимости g^ на напряжения смещения нейтрали и напряжения фаз относительно земли. Напряжения фаз относительно земли в свою очередь позволяют рассчитывать токи утечки отдельных фаз на землю:

1уА = UA-gA;

1уВ = UB'gB; »

1уС = Ucgc.

где g - активная проводимость соответствующей фазы, U - напряжение соответствующей фазы относительно земли.

Поскольку в системе непрерывного контроля параметров изоляции отдельных фаз измеряются действующие напряжения, то в математической модели из соотношений (2) - (4) и (6) - (8) определяются модули комплексных напряжений. Модель реализована в системе компьютерной математики Mathcad (MathSoft Engineering & Education Inc.). Модель является инструментом расчетов и численного анализа в прямой задаче: расчетах напряжений фаз отно-

сительно земли и токов утечки отдельных фаз на землю, а также напряжения смещения нейтрали.

Результаты расчетов Цу, и'м - действующие напряжения смещения нейтрали без и с добавочной проводимостью в фазе «А»;

ЦА, Цв, Цс, и А, и в, ис - напряжения отдельных фаз относительно земли без и с добавочной проводимостью в фазе «А»;

!уа, !уВ, !уС - токи утечки соответствующей фазы на землю.

На рис. 2 приведена топографическая диаграмма с результатами рассчитанных напряжений фаз относительно земли (выделены жирными линиями). Здесь же указаны линейные и фазное напряжения сети.

ил - ивс Щ2

Рис. 2. Топографическая диаграмма напряжений фаз относительно земли

Из диаграммы следует:

1) Напряжения фаз относительно земли связаны между собой и с фазным (линейным) напряжением сети геометрическими соотношениями, а именно: два напряжения из трех однозначно определяют третье;

2) напряжение смещения нейтрали и одно из трех напряжений фаз относительно земли однозначно определяют остальные два

напряжения. Это легко видеть из фрагмента диаграммы справа на рис. 2. Предположим, что известны и к и и А. Тогда можно записать два уравнения:

ются а V и Ь V. Зная эти величины, рассчитываются напряжения ив

В качестве примеров в табл. 1 приведены рассчитанные напряжения фаз относительно земли, напряжения смещения нейтрали и токи утечки с добавочной проводимостью и без неё при различных параметрах изоляции сети и величинах добавочной проводимости.

Модель «Прямая задача» позволяет рассчитать при известных активных сопротивлениях изоляции отдельных фаз наибольшую добавочную проводимость, подключаемую к фазе <А», чтобы токи утечки на землю любой из фаз не превышали предельно допустимого по ГОСТ_Р 52273, равного 25 мА. При подключении именно такой проводимости обеспечивается наименьшая погрешность в модели «Оценка погрешностей»[2]. В примерах табл. 1 добавочные проводимости удовлетворяют этому стандарту.

Численные эксперименты в описываемой модели выполнялись для различных параметров сопротивлений изоляции фаз (от 3,5 кОм до 60 кОм) и емкостей фаз относительно земли (от 0,25 до 2,5 мкФ). Результаты расчетов напряжений математической модели «Прямая задача» используются в качестве исходных данных в модели «Обратная задача».

и а = Ъ2 + (и - а'ы )2 и и’К = Ъ'К + а'ы 2, из которых рассчитыва-

и ис:

400

Таблица 1

Параметры изоляции Параметры изоляции

активные сопротивления , кОм ёмкость, мкФ активные сопротивления, кОм ёмкость, мкФ

RА Rв Rc С RА Rв Rc С

30 15 9,4 0,5 30 30 30 0,5

без добавочной проводимости ил, В ив, В иа В им, В без добавочной проводимости ил, В ив, В иа В им, В

125,4 141,7 115,3 15,6 127,0 127,0 127,0 0,0

с добавочной проводимостью и л, В и л, В иа В ик, В с добавочной проводимостью Ул, В и в, В иа В ик, В

1 104,1 127,4 155,0 30,1 1 111,8 112,6 168,4 41,4

&°б 5,1 • 103 &°б 5,6 • 103

без добавочной проводимости 1уЛ, мА 1уВ, мА !ус, мА без добавочной проводимости 1уЛ, мА 1уВ, мА !ус, мА

4,18 9,45 12,3 4,23 4,23 4,23

с добавочной проводимостью 1 ул, мА 1 ув, мА 1 ус, мА с добавочной проводимостью 1 ул, мА 1 ув, мА 1 ус, мА

1 23,9 8,50 16,5 1 23,7 3,75 5,61

д°б 5,1 • 103 &°б 5,6 • 103

Математическая модель «Обратная задача» предназначена для расчёта сопротивлений изоляции отдельных фаз и ёмкости сети относительно земли. В основу обратной задачи положен метод добавочной проводимости, который заключается в следующем: по рассчитанным или измеренным напряжениям фаз относительно земли с добавочной проводимостью и без, определяются значения параметров изоляции каждой из фаз. Вначале по истинным значениям напряжений фаз определяются комплексные напряжения смещения нейтрали с добавочной проводимостью и без неё. Далее рассчитывается полная комплексная проводимость изоляции всех фаз, а затем определяются активные проводимости изоляции отдельных фаз на землю и ёмкость относительно земли.

Исходные данные:

действующие напряжения фаз В и С относительно земли без добавочной проводимости

иь и ис ;

действующие напряжения фаз В и С относительно земли с добавочной проводимостью и'ь и и'с;

действующие фазное и линейное напряжения сети

иф и ил.

Расчетные соотношения [4, 5]:

комплексное напряжение смещения нейтрали без добавочной проводимости:

иы = аы + =

и2 -

ги2ь - и2 + иТТ тт2 тг2

2л/э 2 • и

2 • и

л

комплексное напряжение смещения нейтрали с добавочной проводимостью:

и' N = а'м + ]'К =

ҐТТ'2 ТТ'2 , ТТ2\2 и и' 2 - и'2

иь2 -

+Гь :

2^3 2 • и

полная комплексная проводимость изоляции всех фаз сети относительно земли (при активной добавочной проводимости):

Ъ = gдoп •

UN UN

л

активные проводимости изоляции отдельных фаз на землю рассчитываются по формулам, предложенным Е.С.Шуриным [9]:

Данный метод так же позволяет определять емкости фаз относительно земли. Мнимая часть полной комплексной проводимости по (12) определяет суммарную емкость фаз относительно земли:

где Сф - емкость изоляции фазы сети.

Результаты расчетов:

gA, gB и gC - активные проводимости изоляции отдельных фаз; Сф - ёмкость фазы сети относительно земли.

Ключевым соотношением этой математической модели является формула (12), которая выявляет и основной недостаток метода добавочной проводимости - большую погрешность расчетов, вызванную наличием разности близких чисел в знаменателе. Эта погрешность возникает не только из-за ошибок округления, но и из-за неточности определения вещественных и мнимых частей комплексных напряжений смещения нейтрали. Для обеспечения приемлемой точности расчетов необходимо с наименьшей погрешностью определить вещественные и мнимые части напряжений смещения нейтрали с добавочной проводимостью и без неё. Соотношения (10) и (11) не единственно возможные в качестве расчетных. Поскольку для расчетов требуется определять комплексное напряжение смещения нейтрали (1) и (5), то, например, иА можно рассчитывать по (2) и (6), а остальные напряжения по геометрическим соотношениям. На рис.3 показана топографическая диаграмма напряжений, из которой легко получаются альтернативные формулы к (10) и

gA = +2"^)/3,

gв = - & - ^)/3,

gc = ^Е - ^ + ^)/3, где Gl = (^Е-аы - Ье-Ьм) / иф;

G2 = -у/3 *^е*Ьм + Ье -ам) / иф.;

Ьх = 3ш- СФ,

(11):

>

Рис. 3. Топографическая диаграмма для расчета aN и bN, a'N и b'N

и U2b - uc

b _ —b------------------— a

2 • U ’ aN

Ul

U-b

b, U’b2 - uf _ U„ ^T-b,

bN _-^W~ a* _Ъ 4 Ua - bf

У

aA

иф + un - U2

2 • U

bN _ Sign(Ub - Uc ) ^UN -

a,

ф

>

, иф + UN - ua

a _ —----------------

N

2 • U

bN _ sign(Ub - U'c) •VUN - a

ф

Соотношения (19) или (20) или (21) теоретически заменяют (10) и (11).

Модель «Обратная задача» реализована в системе компьютерной математики MathCAD (MathSoft Engineering & Education Inc.). Модель является инструментом расчетов и численного анализа в обратной задаче: расчетов параметров изоляции отдельных фаз относительно земли и ёмкости сети относительно земли.

Таблица 2

2

2

2

2

Измеренные напряжения, В £доб, мкС м Расчет

проводимостей, мкСм сопротивлений, кОм ёмко- сти, мкФ

иф иА ив ис

125,2 15,6 125,4 141,7 115,3 - ёл ёв ёс Rл Rв Rc С

VN и'л и'л и'с 100 33,33 66,67 106,4 30,00 15,00 9,400 0,500

30,1 104,1 127,4 155,0

Истинные значения: 30 15 9,4 0,5

В качестве примера в табл. 2 приведены проводимости изоляции, рассчитанные по напряжениям фаз относительно земли по любым формулам: (10) и (11), (19), (20), (21).

Очевидно, что расчеты проводимостей изоляции по истинным значениям напряжений фаз относительно земли дадут истинные значения сопротивлений изоляции, а погрешность расчетов будет равна нулю. Это объясняется большой разрядностью (15 знаков) чисел, используемых в MathCAD при расчетах, то есть ничтожностью ошибок округления.

Математическая модель «Обратная задача» положена в основу аналитического исследования погрешностей определения изоляции, состоящая из прямой и обратной задачи в модели «Оценка по-грешностей»[2], а также для обработки измерений на физической модели изоляции электрической сети с изолированной нейтралью.

Заключение

1. Предложена математическая модель метода добавочной проводимости для контроля параметров изоляции отдельных фаз электрической сети с изолированной нейтралью, состоящая из прямой задачи - классический расчет напряжений фаз трехфазной электрической сети, и обратной задачи - позволяющей рассчитывать сопротивления изоляции отдельных фаз.

2. Метод добавочной проводимости для практического использования требует весьма высокой точности измерения напряжений фаз относительно земли.

3. Громоздкие вычисления и возможная большая погрешность расчетов при неточности измерений напряжений фаз относительно земли, препятствуют практическому использованию метода. Эти недостатки могут быть принципиально преодолены благодаря использованию цифрового измерения напряжений фаз сети относи-

тельно земли, а также использованию микропроцессора для выполнения вычислений.

------------------------------------------ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гладилин Л.В. Щуцкий В.И. Бацежев Ю.Г. Чеботаев Н.И. Электробезопасность в горнодобывающей промышленности, М.:Недра, 1977, с.327

2. Нагорных В.В. Бабичев Ю.Е. О погрешностях непрерывного определения параметров изоляции отдельных фаз относительно земли в электрических сетях с изолированной нейтралью, Горный информационно-аналитический бюллетень (ГИАБ), №2, 2010. с. 232 - 239

3. Бабичев Ю.Е., Цапенко Е.Ф. Определение токов утечки отдельных фаз в шахтных сетях с изолированной нейтралью /В сб. научн. тр. XI Международной конференции "Электробезопасность"/, Вроцлав, Польша, 1997. с.433-438.

4. Бабичев Ю.Е. «Новые подходы к измерениям и контролю токов утечки в шахтных сетях». - М.: Горный информационно-аналитический бюллетень (научно-технический журнал). 2004. № 6. С. 294-297.

5. Бабичев Ю.Е. Об уставках устройств защитного отключения в трехфазных сетях с изолированной нейтралью. Научная статья М.: 5 с.

6. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники, М.: Высшая школа, 1996, с. 628

7. Шкрабец Ф.П., Вареник Е.А. Контроль параметров изоляции в распределительных сетях без снятия рабочего напряжения, Горный информационноаналитический бюллетень (ГИАБ), отдельный выпуск № 8, 2009. с. 93 - 105.

8. Демирчян К.С., Нейман Л.Р., Коровкин Н.В., Чечурин В.Л. Теоретические основы электротехники: В 3-х т. Учебник для вузов. Том 1. - 4-е изд. /-СПб.: Питер, 2004.

9. Шурин Е. С. Определение параметров изоляции фаз относительно земли в сети с изолированной нейтралью. Электричество, 1984, №9.

КОРОТКО ОБ АВТОРЕ -----------------------------------------

Нагорных Владислав Викторович - ассистент, Московский государственный горный университет, Nagornykh@gmail.com.