Особенности генерации фотоакустического сигнала сверхтекучего гелия

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН __________________2009, том 52, №9_____________

ФИЗИКА

УДК 535.21: 536.48: 538:953

Т.Х.Салихов, О.Ш.Одилов ОСОБЕННОСТИ ГЕНЕРАЦИИ ФОТОАКУСТИЧЕСКОГО СИГНАЛА СВЕРХТЕКУЧЕГО ГЕЛИЯ

Теория фотоакустичсекого (ФА) эффекта применительно к случаю микрофонной регистрации сигнала была предложена в [1], но ее результаты не могут быть применены для сверхтекучего гелия. Это связанно с тем, что Не-11 является квантовой жидкостью, и ее двухскоростная гидродинамика существенно отличается от гидродинамики классических жидкостей. В макроскопических масштабах это отличие проявляется в существовании двух звуковых волн в этой системе.

В [2] теоретически был рассмотрен случай, когда подложка ФА камеры, содержащей Не-11, является тепловым изолятором. Такое рассмотрение вызвано двумя обстоятельствами: во-первых, при низких температурах коэффициенты теплопроводности твердых тел къ существенно отличаются друг от друга и это отличие составляет до пяти порядков [3,4]; во-вторых, при этих условиях существенно упрощаются граничные условия, что позволило сравнительно легко определить некоторые особенности генерируемого ФА сигнала и возможности его применения для определения макроскопических величин Не-11. Целью настоящей работы является развитие теории ФА эффекта в Не-11, свободной от каких-либо ограничений.

Будем считать, что кювета, заполненная сверхтекучим гелием Не-11, сосуществует со слоем собственного пара, который в данном случае играет роль буферного газа. Толщина подложки, Не-11 и паров гелия соответственно равны 1Ъ, I и I . Газ и подложку считаем прозрачными. Будем исходить из системы уравнений, состоящей из уравнения теплопроводности для газового слоя и подложки, а также волнового уравнения для второго звука (ВЗ) в Не-

II [5]:

где f = 0.5 ßI 0e'° eß, 10 и о интенсивность и частота модуляции падающего луча; ß - ко-

эффициент поглощения; их = [(дР/др)Т] и и2 = (рха0Т0 /рпСр) скорости первого и второ-

го звуков; <у0 - удельная энтропия; и СРг. коэффициенты теплопроводности и удельная теплоемкость соответствующих слоев; ат - коэффициент теплового расширения и

Ь = Таа^и2 / С •

Ввиду того, что тепловой поток в Не-11 содержит и конвективное слагаемое, определяемое согласно выражению рТ0<гаЗп, где Зп - скорость нормальной компоненты Не-11, возникает необходимость в уравнении и для Зп. Для этого примем во внимание, что в поле колебания температуры справедливо соотношение рпйп + р^й5 = 0, тогда из уравнения

дД / д + д^/ д = 0 будем иметь

дЗ^= рs_ ф

dt рп dz ’

где = —&0dT + pdp - термодинамическое тождество. Для совместного решения (1)-(4) необходимо иметь семь граничных условий - шесть для приращения температур и потоков тепла и одно для нормальной составляющей поля скоростей. Для получения последнего граничного условия необходимо принять во внимание условие (dp / dz)| = 0 на границе с

твердым телом. Тогда граничные условия будут иметь вид [6,7]

T

g z=0 '

Т

dT

dz

_ dT | d3n dT

z= 0 = K n z=0 , dz n dt z=—l = ^0 ~ dz , Tb z=—l

z=—

= 0,

R—(T—Tb) „—i

dT

-- --K

z=—l b z=—l

dz

K-

dT'

dz

z=—l ^P0T0^03nz

dT

z=—l

= —K

dz

z=—l

где Як - сопротивления Капицы. Подчеркнем существенное отличие граничных условий на границе для Не-11-твердое тело от соответствующего случая для классических жидкостей.

Решения (1)-(3) будем искать в виде Т (2Л) = Т (2,ю)ехр(7ю0,

Т (2, О = Т (1,а>)ехр(1ай), Ть (z, t) = ТЬ () . Тогда, подставляя эти выражения в (1)-(3) и используя определения а] =(1 + 1)ц] 1, где ¡и] (ю) = л](2х]- /а) и %] = (к] /р]Ср]) -длина тепловой диффузии и температуропроводности в соответствующих средах, = а/ и2, и2 = и2 л/1 + Ь , получим систему

ё2тя

-лт=°-

^ + Я1т = - *°с\ е*,

ёг 2рСри2

а2Т

~тТ~-*2ТЪ =0 •

а2

Сравнивая уравнение (8) с соответствующим уравнением работы [2], обнаружим, что в случае Не-11 комплексный волновой вектор тепловой волны в образце а заменяется волновым вектором второго звука д2.

Решения (7)-(9), обеспечивающие условия непрерывности температур на границах ФА камеры, можно записать в виде

Т (2, Ю>) = ©ехр(-а2) , 0 < 2 < ^

Т (^ = У* ехр(щ22) * V- ехр(-щ22) - Щг 10^Ь >-1 < 2 < 0 >

2рСри 2 Р * Ц 2

ТЬ(2) = № ехР(аь(2 +1), - (1 + 1Ь) < 2 <-1 •

В (4), положив ип (2, t) = Зп (z,ю)exp(iюt), получим

Ра0Т0 дТ

Зп ( 2,ю) ,

П\ ’ /\2 = -1 ^

2 1 РпЮ д2

Тогда условие непрерывности потока тепла на границе с подложкой примет вид

г ^ ^ дТдТь [ксо - iPCpu2 ] —- 2=- = ажъ — д2 д2

2 =-I

что позволит совместно с другими граничными условиями (5)-(6) получить для коэффициентов 0, V, V-, № систему уравнений

V- щ 2Р 0,

2рСРи2 Р + ц 2

[V* - V- - 2*^ Я С 2 ^ = -0

2рСри2 Р * ц2

v+ ехР

2рСри2 Р * ц2

V+ ехР

2рСри2 Р * ц2

iрC и ^

Здесь е = 1каг /ка, В = [1 ]-1 кьаь /ikq2, О = (1 -ЯКкЬаЬ). Для вычисления пара* * кю

метров ФА сигнала вполне достаточно определить лишь величину 0 , поскольку это сигнал детектируется в газовом слое. Решая (11)-(14) для этой величины, имеем

0 = /^^/Г+Ъ Р ^

2рСри2 Р * ц2

где г = *0/ ка . Выражение для 0 существенно отличается от соответствующего выражения в [2] и поэтому частотное поведение параметров генерируемого ФА сигнала также будет

существенно отличаться от результатов [2].

Из формулы для Т (2,ю) видно, что тепловая волна, распространяющаяся в газовом

слое, будет локализована слоем с толщиной, равной длине тепловой диффузии ц . Именно

этот слой и становится акустическим поршнем, периодическое изменение толщины которого генерирует ФА сигнал. Тогда для определения величины ФА сигнала необходимо провести усреднение величины Т (2, ю) по толщине этого слоя 2жцг :

о 2л/л„

Л Ур02^1л& л Р IV ч. Р

ф(ю) = ——— Т(2,ю) = ^г ]Т*2,ю)а2 = —— 0,

Т01* Т01* 0 Т01*а*

или, используя обозначение У = ур010 /[4Т0/рСри2], будем иметь

У (1 * 0^2 Р

5Р(Ю)=—^-2-------2^ Х

X

Выражение (15) является искомым, а при В = 0 и О = 1 получим результаты [5]. Нетрудно заметить, что параметры генерируемого ФА сигнала сложным образом зависят как от частоты, так и от физических параметров среды. Для подробного анализа выражения (14) и, тем самым, определения особенностей генерации ФА сигнала, необходимо учитывать сле-

дующие обстоятельства: 1) волновое уравнение (2) и, следовательно, выражение (15) справедливы для области частот о<< ох = ы2/х, соответствующей малости длины свободного

пробега молекул пара и элементарных возбуждений в Не-11, по сравнению длиной звуковой волны [8]; именно в этой области частот заведомо существует равновесие между жидким гелием и паром и тогда можно записать

ад = ^ [1 - / о ]-1 ;

¡щ2 о Щ2х

2) в зависимости от коэффициента оптического поглощения 3 и толщины жидкого слоя возможны 2 предельных случая - случай непрозрачного (31 >> 1) и прозрачного (3 << 1) жидкого слоя. В этой связи возникает необходимость подробного анализа этих случаев.

А. Пусть жидкий слой является непрозрачным (или сильно поглощающим) 31 >> 1. В этом случае ехр(-З) ^ 0 и из выражения (15) будем иметь

. . . . 2Ука>/л132&

др0

кя

Очевидно, что величины |ф| и (о) являются амплитудой и фазой сигнала, а ве-

личины, входящие в (16), определены следующим образом:

О(о') = (в2 (о)/ О, (о))1/2, Т(о) = *¥2 (о) -% (о),

<^1(о) = Ш°)С0<Ч21) + У2(о)85П(Ч21)Т + Ш°)С™Ш) + /4(°)^п(., кь о 1 2къЯк. _ кц2^,

/ = 2 —±. • —• —• (1 + -^), / =-2 -

к& — — /в — к&

2к^ —— 1 ^ _к^ 2к— 2къЯ | кЧ—:<

•у 3 » ^ ^ ^ ^ 4 -г ^ ^ і

к& —ъ — /о —ъ кЧ2 — Х—ъ/о —ъ к&

/в —) = [1 - ^і2 + [—і2, Ъ = 1 + - - к—

—ъ —ъ 3 к——ъ/в

02 —) = [Ъ —) С08(д2/) + Ъ ЪО]2 + [Ъ —) соБ^гО + Ъ ЪО]2, Ъ3 = 0,

Ъ = Ъ.. [1 Къ‘° (1 - 2къК‘ )] къ— , Ъ = кЬ— (1 - 2кЛ ),

2 3 Щ2 — Х—ъ/п —ъ кЪ — —ъ/в’ 4 кЪ — —ъ/в —ъ

Ч+ /4

1 ^ ’ 2 +^2(°М'

Для более детального определения особенностей частотной зависимости |ф0

необходимо провести численные расчеты. Вид выражения (16) показывает, что прежде всего необходимо рассчитать величину G(о) -функции, входящую в него. Нами выполнены численные расчеты этих функций при Т = 1.5 К , и2 = 20 м / с , р = 145 кг / м [3], рь= 2х 103 кг/м3, Ср = 1125 Дж /кгК, = 0.0025 Дж /кгК [4], г = 0.06 Вт / мК [9],

Як = 0.041м2 К / Вт [10], к& = 0.003 Вт / мК, ^= 0.03 Вт / мК [4], 3 = 200 м—, I = 0.02 м , / = 1 см, СРя = 7 х103 Дж/ кг^, р= 0.15 кг / м3 для случая, когда роль подложки играет кварцевое стекло. Результаты расчета показывают, что: /в (0) = 1 и при о1 = (2рСркЯ1) — функция /0 (о) имеет плавный минимум, а при о >> о функция / (о) « 2(кКк /цъ)2 становится линейной функцией о; / (0) = 2 и на частоте ох функция / (о) проходит через максимум, а затем плавно падает; /2 (0) = -2 и с ростом частоты плавно уменьшается; абсолютное значение /3(о) на 4 порядка меньше, чем /4(о); в выражении для /4(о) первое

кд2«

слагаемое является пренебрежимо малым и поэтому /4 ------------------------. Введя функции

к2

/ (о) = [/ ()соь(я2/) + /2 (^т(д2/)]2 и /6 (о) = [/ ()с°$,(ц2Т) + /4 (ю)8т(д2/)]2, можно записать Ог (о) = /5 (о) + /6 (о) . Нетрудно видеть, что /5 (0) = 4, /6 (0) - 0 . Функция /5 (о) имеет набор пиков, положение которых определяется соотношением и(шх) «/ 1Щ (^ + ш), а положение

ее минимумов соответствуют частотам ои(0)« 0.5птг/ -1 и отстоят друг от друга на величину До = ои+1 — о = 0.5т2/ 1. Абсолютная величина /6 (о), как минимум, на 2 порядка меньше, чем /5 (о), и поэтому ею можно пренебречь. Тогда, очевидно, справедливо выражение ^ (о) = /5 (о). Аналогичным образом можно ввести ^ (о) = (ю)с°>(ц2/) + ^ ()§т( ь/)]2

и ^(о) = [^(о)с°б(ь/) + ^(о)вт(ь2/)]2, тогда 02(о) = ^5(о) + ^6(о). Поскольку ^(0) - 1, ^ - Ч23 1, ^ - 0, то справедливы выражения ^ (о) * [с°в(д2/) + д23— 8т(д2/)]2, ^6 - 0 и ^ (о) - ^ (о) . Результаты численных расчетов частотной зависимости ^ (о) и ^ (о) показаны на рис.1. Нетрудно заметить, что поведения ^ (о) и ^ (о) противофазные, а их численные значения имеют один и тот же порядок. Отметим, что минимальные значения этих функций отличаются от нуля. Это приведет к тому, что частотная зависимость функции

G(a) будет иметь набор импульсов, положения максимумов и минимумов которых примерно совпадают с соответствующими положениями G2 (а) (см. рис.2). Общая картина частотного распределения \др0 (а)| показана на рис. 3. Нетрудно заметить, что в этом случае

^ (а)« arctg ^¡cq2 sin (q2l 2^g(cos(q2l) - sin (q2l)) j, ¥2 (а)« 0 и поэтому ¥(а) «-^ (а). Из частотной зависимости ¥(а), приведенного на рис.4, видно, что нули этой функции определяются час-

К

тотами = тпщГ , а положение пиков а = (_+тж)и2Г . Вышеприведенные расчеты пока-

4

зывают, что вид частотного распределения как амплитуды, так и фазы генерированного ФА сигнала, состоит из набора резко выраженных импульсов, между которыми частотное поведение является плавным. Последнее обстоятельство является очень важным, поскольку измерения параметров ФА сигнала становятся более надежными.

Рис. 1. Частотная зависимость функции О —) (кривая А) и О2 —) (кривая Б) для сверхтекучего гелия в ФА камеры при Г0 = 1.5К , I = 2 х10 2 м и 3 = 200м 1.

Рис. 2. Частотная зависимость функции О—) (значения параметров аналогичны рис.1) .

Рис. 3. Частотная зависимость амплитуды ФА сигнала р—)/ р0 (значения параметров аналогичны рис.1) .

выражения

Рис. 4. Частотная зависимость фазы ФА сигнала для сверхтекучего гелия функции ^(ю) (значения параметров аналогичны рис.1).

В. Пусть жидкий слой является прозрачным (или слабо поглощающим), @1 << 1,

тогда справедливо приближение ехр(-@)«1 и из (15) для амплитуды ФА сигнала получим

. . . . 2їкоіл]р2и

фт (ю) = \ф\т ехр(-/^г (ю)) , |ф|г = ----—-, (ю) = ^з(ю) -^1(ю),

к?

в которых использованы обозначения и (ю) = (03 (ю) / ^ (ю)) ,

03 (ю) = (ю) соб(^/) + (ю) вт( д2ї) + ^ (ю)]2 + [Р3 (ю) ес>8(д2/) + ^ (ю) 8Їп( д21) + ^ (ю)]2,

Ръ(ю) = -(1 +

1

кЬю Л тт / Ч 1

•)> К(ю) =

кью

р к^ЬюХ/о

Р к^ьюх/о

(1 - ), Рь

^

Очевидно, что и в этом случае частотные поведения амплитуды и фазы ФА сигнала определяются функциями ^ (а), ^ (), ^(а), () , а измерения их характеристик и

частотного поведения позволит определить набор физических величин, через которые определены эти параметры.

Таким образом, в настоящей работе предложена теория генерации ФА сигнала сверхтекучим гелием в буферном газе и установлены его основные особенности. Выявлено, что экспериментальное измерение параметров этого сигнала позволяет определить акустические, оптические и теплофизические параметры системы.

Таджикский национальный университет

Поступило 30.06.2009 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гусев В.Э., Карабутов А.А. Лазерная оптоакустика. - М.: Наука, 1991, 342 с.

2. Rosencwaig A., Gersho A. - J. Appl. Phys.,1976, v. 47, 1,p. 64-69.

3. Есельсон Б.Н., Григорьев В.Н., Иванцов В.Г., Рудавский Э.Я. Свойства жидкого и твердого гелия.-М: Из-во Стандартов, 1978, 128с.

4. Frank Pobell. Matter and Methods Low Temperatures, Springer, 1996, 250 p.

5. Салихов Т.Х., Одилов О.Ш. - ДАН РТ, 2009, т.52, №5, с.362-368.

6. Халатников И.М. Теория сверхтекучести. - М.: Наука, 1971, 120 с.

7. Паттерман C. Гидродинамика сверхтекучей жидкости. - М.: Мир, 1978, 520 с.

8. Черникова Д.М. - ЖЭТФ, 1964, т.47, № 8, с.537-542.

9. Зиновьева К.Н., Дубровин А.В. - ФНТ, 1983, т.9,№5, с.461-467

10. Аметистов Е.В., Григорьев В.В. Теплообмен с He-II. - М.: Энергоатомиздат, 1986, 144 с.

Т.Х,.Салихов, О.Ш.Одилов ХУСУСИЯТ^ОИ АНГЕЗИШИ СИГНАЛИ ФОТОАКУСТИКИИ ^ЕЛИИ АБАРШОРО

Мавриди умумии назарияи ангезиши сигнали фотоакустикии хелии абаршоро пешниход карда шудааст. Ифодахои мушахас барои параметрхои ин сигнал хосил карда шудааст. Нишон дода шудааст, ки фаза ва амплитудаи ФА сигнал бо бузургихои гармофизикии намуна, такягох ва кдбати бугй вобастаанд. Долатхои мушахас муфассал тахлил карда шудааст.

T.Kh.Salikhov, O.Sh.Odilov THE FEATURE OF THE GENERATION OF A PHOTOACOUSTIC SIGNAL OF SUPERFLUID HELIUM

The theory of the generation of the photoacoustic signal by superfluid helium corresponding to the general case has been proposed. The expression for the parameters of this signal obtained. Shown that amplitude and phase of the PA signal are dependences from thermophysics parameters of the sample, substrate and buffer gas. The simple cases a detail are analyzed.