Косоугольная факторная модель артериальной гипертензии первой стадии

МЕДИЦИНСКАЯ БИОФИЗИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2010. № 4. С. 120-128.

УДК 519.237.7

В. В. Гольтяпин,

Омский государственный университет им. Ф. М.

Института математики им. С.А.

КОСОУГОЛЬНАЯ ФАКТОРНАЯ МОДЕЛЬ АРТЕРИАЛЬНОЙ ГИПЕРТЕНЗИИ ПЕРВОЙ СТАДИИ

Построена многомерная факторная модель артериальной гипертензии первой стадии, базирующаяся на поиске косоугольной факторной структуры. Предложен адекватный алгоритм реализации метода. Проведен анализ корреляционных зависимостей и показателей факторной структуры.

Ключевые слова: артериальная гипертензия, факторный анализ.

Введение

В современном мире, согласно статистике, артериальная гипертензия является одним из самых распространенных заболеваний, связанных с психосоматическими, сердечно-сосудистыми, нейро-генетическими проблемами, возникающими при проживании человека в мегаполисе [1; 2]. Указанное обстоятельство обусловливает актуальность и значимость научных изысканий в исследуемой области.

Однако в настоящее время ни в монографической литературе, ни в периодике не встречаются работы, связанные с применением методов факторного анализа в области исследования феномена артериальной гипертензии (АГ), а именно эта область исследования представляется наиболее значимой.

Сначала приведем классификацию стадий артериальной гипертензии, указав возможные уровни артериального давления.

Согласно трехстадийной классификации гипертонической болезни, первая стадия предполагает отсутствие поражения органов-мишеней, вторая стадия - присутствие изменений со стороны одного или нескольких органов-мишеней; диагноз третьей стадии устанавливается при наличии ассоциированных клинических состояний [1].

Классификацию уровней артериального давления представим в табл. 1.

Если значения систолического артериального давления (САД) и диастолического артериального давления (ДАД) попадают в разные категории, то степень тяжести артериальной гипертензии оценивается по более высокой категории.

Целью является построение многомерной факторной модели артериальной гипертензии первой стадии и первой степени на базе метода косоугольного вращения.

Данная факторная модель позволит оценить функциональные состояния системы кровообращения через корреляционные зависимости соответствующих гемодинамических величин.

© В.В. Гольтяпин, В.А. Шоеин, 2010

Таблица 1 Классификация уровней артериального давления

Категории артериального давления САД ДАД

Оптимальное <120 <80

Нормальное 120-129 <84

Высокое нормальное 130-139 85-89

АГ 1 степени 140-159 90-99

АГ 2 степени 160-179 100-109

АГ 3 степени >180 >110

Изолированная систолическая АГ >140 <90

Так, в норме изменениям минутного объема циркуляции должна соответствовать адекватная по величине и направлению реакция прекапиллярного русла, которая бы нивелировала эти изменения и сохраняла среднее давление на нормальном уровне. Например, если минутный объем снижен, то артериолы должны сузиться. Если минутный объем увеличен, то артериолы должны расшириться. Если этого не происходит, согласованность нарушается, возникают те или иные патологические изменения в состоянии гемодинамики [3].

Для больных с начальными признаками гипертонической болезни характерно повышение минутного объема кровообращения, увеличение числа сердечных сокращений и усиление сократительной активности миокарда. По мере развития болезни и стабилизации артериального давления на высоком уровне повышается общее периферическое сосудистое сопротивление, что вызвано морфологическими изменениями в виде утолщения стенок и уменьшения внутреннего просвета сосудов сопротивления.

Выделение групп наиболее коррелирующих между собой параметров является заключительным этапом факторного исследования. Результирующие показатели, равные линейным комбинациям параметров, входящих в такие группы, должны находиться в тесной корреляционной связи с параметрами своей группы. За каждым таким результирующим показателем может стоять генеральный процесс или закономерность, характеризующие состояние объектов.

Основные задачи научного исследования. Методика и общая схема построения факторной модели артериальной гипертензии

Построение факторной модели заключается в нахождении матрицы весовых нагрузок факторов, анализ которой позволяет определять латентные факторы, описывающие скрытые процессы интересующего явления. Иначе говоря, предстоит выразить измеряемый параметр в терминах скрытых гипотетических факторов.

Неопределенность факторной модели обусловлена неоднозначностью факторных нагрузок. Это связано с тем обстоятельством, что факторное решение, определяя г-мерное пространство, содержащее общие факторы, не определяет базис в этом пространстве, а следовательно, не определяет положения факторов в нем. С этой неопределенностью приходится сталкиваться дважды: на первом этапе - при поиске какого-либо решения, удовлетворяющего модели в статистическом смысле, и на втором этапе - при придании этому решению вида, наиболее удобного с точки зрения интерпретации. Большинство вычислительных процедур факторного анализа дают неоднозначное решение для факторных нагрузок (исключая метод главных компонент). В то же время любое решение может быть найдено в «каноническом виде»: после того как факторное решение, достаточно хорошо описывающее выборку, найдено, система факторов подвергается такому «вращению», чтобы полученная в итоге система оказалось более инте-претируемой с точки зрения специалистов в соответствующей области.

На первом этапе исследовательской работы осуществляется формирование базы данных исходных показателей, характеризующих артериальную гипертензию первой стадии. После этого осуществляется первичная статистическая обработка данных: устранение грубых ошибок, проверка выборок на однородность и на наличие нормального распределения, исключение слабо коррелирующих показателей из базы данных.

Затем перед построением факторной модели исходные данные необходимо представить в виде таблицы, столбцы которой - объекты исследования, а строки -значения измеряемых параметров у конкретного объекта.

Объекты исследования - пациенты с артериальной гипертензией первой стадии. Количество объектов исследования обозначается п - размер выборки

(п = 120), а количество измеряемых параметров т- объем выборки (т= 15).

Основной этап формирования факторной модели

(

V

/Г

База данных исходных показателей, характеризующих артериальную гипертензию первой стадии

V — матрица однородных данных

Ъ-Ш

матрица

стандартизированных

данных

=• •ч # 7

Г 1) Л — корреляционная матрица

ҐҐ Т-

IX ь — редуцированная корреляционная матрица

А — матрица факторного отображения

Поиск косоугольной факторной структуры

с

Первичная

статистическая

обработка

Оценка общностей по наибольшему элементу в строке корреляционной матрицы

Нахождение первичной матрицы весовых нагрузок методом главных факторов и применение критерия отсеивания факторов

Интерпретация факторной структуры

Рис. 1. Схема построения факторной модели артериальной гипертензии

были

Для достижения дели работы поставлены следующие задачи:

1. Формирование базы данных исходных показателей с первичной статистической обработкой экспериментальных данных;

2. Нахождение первичной матрицы весовых нагрузок методом главных факторов;

3. Построение модели артериальной гипертензии путем нахождения факторных структур с помощью косоугольного метода вращения облимакс;

4. Интерпретация полученных факторных структур с целью выявления диагностически значимых факторов для исследуемых объектов.

В работе исследовались следующие экспериментальные показатели, характеризующие артериальную гипертензию:

1) вес;

2) индекс массы тела (ИМТ);

3) частота дыхания (ЧД);

4) сегменты (С);

5) лимфоциты (Л);

6) конечно-систолический размер левого желудочка (КСР);

7) конечно-систолический объем левого желудочка (КСО);

8) конечно-диастолический размер левого желудочка (КДР);

9) конечно-диастолический объем левого желудочка (КДО);

10) ударный объем (УО);

11) минутный объем сердца (МОС);

12) общее периферическое сосудистое сопротивление (ОПСС);

13) индекс Хильдебрандта (ИХ);

14) фракция выброса левого желудочка (ФВ);

15) фракция укорочения левого желудочка (ФУ).

Основной этап формирования факторной модели

Полученная на предыдущем этапе таблица объект-параметр записывается в виде матрицы V размерности т х п. Элемент этой матрицы обозначим за _у(,, где

индекс 1 = 1,..., т относится к параметрам, а индекс 7=1,..., п - к объектам. Каждую строку этой матрицы можно рассматривать в виде вектора-параметра и обозначать у( = ( у(|.....уи]) . Далее из матрицы V получаем матрицу ^ по формуле

(1). Элемент этой матрицы обозначим за

,т относится к

2,у, где индекс 1=1, ,

стандартизованным параметрам, а индекс 7= 1,..., п- к объектам:

2г1=-

У г, ~Мг

где э; - выборочное стандартное отклонение 1-го параметра, а М- выборочное математическое ожидание. Строки матрицы Z могут быть представлены в виде векторов-параметров матрицы стандартизованных данных zi = ,..., ).

В матричной форме общая факторная модель представляется следующим образом:

2 = АР,

где Z - матрица стандартизованных исходных данных размерности т х п, А -матрица факторного отображения размерности т х к, Т7 - матрица факторных значений размерности к х п, к - количество выделяемых факторов (компонент) < т [1]. Элементы матрицы факторного отображения т являются факторными нагрузками. Каждый фактор характеризуется столбцом, каждая переменная -строкой матрицы А. Корреляционная матрица К размерности т х т рассчитывается по формуле

1

Я = -

-ZZ1

п-1

Из (2) и (3) получаем формулу

Я = АСАТ,

1

где С =-----1<1< - матрица корреляции

п -1

между факторами.

Если матрица А имеет размерность т х г, где г - количество выделяемых факторов - много меньше т, то формула (4) является основной для построении факторных моделей и носит название теоремы Терстоуна. Если факторы ортогональны, то С = Е.

В случае выделения главных факторов производят редуцирование корреляционной матрицы 7? до матрицы Кн с оценкой общностей на главной диагонали. Оценку общностей можно производить по наибольшему элементу в строке корреляционной матрицы.

Матрицу весовых нагрузок факторов А будем находить по формуле

А = иА\

Я

где Л - матрица собственных значений с диагональными элементами Л; размерности т х т и и - матрица собственных векторов с элементами щ размерности т х т корреляционной матрицы К. Собственные числа матрицы К вещественны и различны. При этом полученные факторы ортогональны [4].

Полученная на этом шаге матрица А является первичной матрицей весовых нагрузок факторов. Размерность этой матрицы сокращается на следующем шаге моделирования на т - г столбцов, где г - количество получаемых факторов. На первом этапе число факторов равняется количеству собственных значений, больших единицы: Л; > 1. Критерий Гуттмана определяет нижнюю границу числа г общих факторов, подлежащих выделению: если у матрицы К число собственных значений Хц больших единицы, равно э, то имеет место соотношение г > э [5].

Поиск факторной структуры посредством облимакс критерия

Вращение системы координат и измерение факторных нагрузок необходимы, так как процедура выделения факторов имеет не однозначное решение, а бесконечно много эквивалентных решений, которые все одинаково хорошо удовлетворяют равенству 11н = ААТ для ортогональной модели и Як= А ('А1 для косоугольной модели, где А - факторное отображение для матрицы ортогональных факторов, А -факторное отображение для матрицы косоугольных факторов. Лишь благодаря введению ограничений, которые однозначно устанавливают положение системы координат, проблема факторов становится численно разрешима.

Теперь обратимся к понятию факторной структуры. Под факторной структурой понимается корреляционная матрица коэффициентов корреляции между исходными стандартизированными переменными и факторными значениями. В случае ортогональных факторов факторная структура совпадает с факторным

1 т

отображением А = —21< . Для косоуголь-

п

ных факторов факторная структура обозначается через У/з и имеет следующий вид:

УР = АС.

В случае косоугольных факторов нагрузки переменных не равны коэффициентам корреляций между этими переменными и факторами. Геометрически это означает, что факторы представляют косоугольную систему координат. Заметим, что координаты переменных в базисе косоугольных факторов - не ортогональные проекции переменных на факторы, а косоугольные проекции.

Целью вращения является нахождение в пространстве общих факторов одной из возможных систем координат, которая должна быть наложена на конфигурацию векторов-переменных для получения факторной структуры. Конфигурация - это система векторов, соотношения между которыми остаются постоянными. Чтобы вообще можно было изобразить конфигурацию векторов, при выделении факторов должна быть выбрана определенная система координат.

В проблеме вращения речь идет о выборе одной из многих возможных систем координат в пространстве общих факторов. В этом случае решающая роль принадлежит критериям вращения, которые позволяют оставить одно, с определенной точки зрения оптимальное положение системы координат для изображения конфигурации.

Для поиска оптимальной матрицы весовых нагрузок для модели косоугольных факторов существует много вариантов решения:

КЬ=АСАТ.

Если на предыдущем этапе найдено факторное отображение для матрицы ортогональных факторов А, то задача состоит в нахождении факторной структуры. Такая задача решается путем перехода от начального ортогонального отображения А (а, значит, от начальной ортогональной факторной структуры) к факторной структуре Ур по формуле (7). Матрицу преобразования обозначим за Д.

Г/Х=АА.

Такое преобразование получают из следующих соображений. Рассмотрим положение 1-й переменной 21 в плоскости первых двух ортогональных факторов ,Р\ и р2 , а также изобразим относительное расположение косоугольных факторов

на рис. 2. Введем следующие обозначения: і - запись 1-го параметра в векторной форме в факторных системах координат (ортогональная и косоугольная, точки отсчета которых совпадают); |ОМ| = а;1,

значения проекции вектора z(

на ортогональные факторные оси и

соответственно; угол между zj и обо-

значим за (р; /г - корень из общности, рав-

ныи

г, = -

+ а;

OM =v,.„ CW =v,..

значения проекций вектора гі на косоугольные факторные оси 1<\ и 1<\ соответственно; угол между и /', обозначим за а, а угол между /С и /', обозначим заД

Рис. 2. Базис ортогональных факторов, базис косоугольных факторов, переменные, заданные в общем л-мерном арифметическом пространстве Я?"

Очевидно, что проекции переменной на ортогональные и косоугольные оси можно найти по следующим формулам:

а,1 = /?, сов^), аа = /?,

V,! = /?, С05(9>-а),

\’Р_= 1ьсо$((р-р).

После элементарных преобразований формулы для проекций на косоугольные оси имеют следующий вид:

V,! = hi сое(<р~а) = hi (со$ср сова + вта) =

= (/?, со$ср)сож + (/?, вта =

= аЛ сова + ас вта, у,2 = hi сое{(р~ /?) = hi (со5ср сое/? + вш/?) =

= (/?, со$ср)со$р + (/?, вщв =

= ап сое/? + аР_ втД Таким образом, матрица преобразования с учетом предыдущих формул имеет следующий вид:

( cos a cos ^ sin a sin р J

Для поиска косоугольной факторной структуры будем использовать облимакс критерий [4], состоящий в максимизации функции:

К = -

m г

'=1 7=1

у

L2>;

V '=1 7=1

Такой критерий получают из следующих соображений. Будем рассматривать элемент факторной структуры и, и противоположное ему значение -щ, как значения некоторой случайной величины с;. То есть данные значения и, и -щ - это конкретная реализация случайной величины (выборка). Плотность распределения с; будет симметричной, а среднее значение элементов будет равняться нулю. Для лучшей интерпретации факторов необходимо максимизировать долю статистически значимых весовых нагрузок, одновременно минимизируя долю весовых нагрузок малой значимости путем вращения системы координат. Аналогично должны быть распределены элементы факторной структуры. Поэтому график плотности вероятностей Рс{- И/, у„) должен быть сильнее «заострен», чем у нормального распределения. Степень пологости функции распределения характеризует эксцесс [6]:

m

№

— 3

где т4=М(^-М<^)4 - центральный момент 4-го порядка; 1.)% = М%2 - (М^)2 -дисперсия; М§ - математическое ожидание. Выборочный коэффициент эксцесса для случайной величины с; в данном случае имеет следующий вид:

тг

2

т г

'=1 у=1

( т г ^

ZZvi

-3.

V '=1 7=1

Очевидно, что максимизация (8) эквивалентна максимизации (9).

2

2

Алгоритм поиска факторной структуры и построение модели артериальной гипертензии первой стадии. Интерпретация полученных факторов

Предлагается следующий алгоритм построения факторной модели артериальной гипертензии первой стадии, базирующийся на рассмотренной выше схеме:

1. Первичная статистическая обработка данных;

2. Из массива данных формируется матрица У, которая является таблицей «объект-свойство» размерности т х п, где столбцы - объекты исследования, а строки - характеристики объекта;

3. Из матрицы У путем элементарного преобразования по формуле (1) получается матрица стандартизированных данных ^ размерности тх п;

4. Вычисляется корреляционная матрица 7? размерности тх т по формуле (3);

5. Вычисляется редуцированная корреляционная матрица Кн размерности т х т с оценкой общностей по наибольшему элементу в строке корреляционной матрицы;

6. Вычисляется первичная матрица факторного отображения А размерности т х г. Число получаемых факторов опре-

деляется из анализа собственных значений матрицы Ик,

7. Матрица факторных нагрузок А, полученная на предыдущем шаге, подвергается облимакс вращению по критерию (8);

8. Проводится выделение из факторной структуры переменных, нагружающих каждый фактор по величине не меньше, чем 0,5;

9. Осуществляется интерпретация факторов с учетом группы переменных, их наполняющих.

На первом шаге алгоритма из экспериментальных данных были выявлены объекты, содержащие грубые ошибки измерения и нарушающие однородность показателей. Далее проведена проверка на нормальность распределения имеющихся показателей. После сглаживания неоднородности показателей (вычленения грубых ошибок) распределение всех показателей оказалось нормальным.

На втором шаге сформирована матрица однородных данных.

На третьем шаге получена матрица стандартизированных данных из матрицы однородных данных.

На четвертом шаге была построена матрица корреляций между переменными (табл. 2).

Таблица 2

Матрица коэффициентов корреляции между признаками

Вес ИМТ ЧД С л КСР КСО кдр кдо УО МОС опсс их ФВ ФУ

Вес 1.00

имт 0.72 1.00

чд 0.30 0.07 1.00

с -0.19 -0.13 -0.05 1.00

л 0.12 0.06 -0.03 -0.92 1.00

КСР 0.35 0.05 0.21 0.18 -0.23 1.00

ксо 0.29 0.10 0.36 0.28 -0.31 0.71 1.00

кдр 0.36 0.25 0.12 0.18 -0.27 0.73 0.78 1.00

кдо 0.38 0.13 0.28 0.23 -0.26 0.83 0.93 0.87 1.00

УО 0.42 0.14 0.18 0.17 -0.18 0.84 0.77 0.85 0.94 1.00

мос 0.24 -0.05 0.30 0.28 -0.26 0.77 0.73 0.62 0.86 0.88 1.00

опсс -0.23 -0.07 -0.00 -0.29 0.20 -0.63 -0.60 -0.61 -0.72 -0.75 -0.66 1.00

их -0.33 -0.06 -0.81 0.11 -0.01 -0.14 -0.26 -0.14 -0.22 -0.18 -0.16 0.04 1.00

ФВ 0.07 0.05 -0.19 -0.19 0.29 -0.35 -0.40 -0.18 -0.16 0.04 0.01 0.02 0.05 1.00

ФУ -0.16 -0.12 -0.33 0.04 0.124 -0.42 -0.41 -0.26 -0.24 -0.07 -0.01 0.06 0.11 0.80 1.00

На пятом шаге произведена оценка общностей по наибольшему элементу в строке корреляционной матрицы и сформирована редуцированная корреляционная матрица.

На шестом шаге с помощью метода главных факторов была выделена первичная матрица весовых нагрузок

(табл. 3). Число общих факторов определялось по критерию каменистой осыпи и критерию Гуттмана [7] (рис. 3).

На седьмом шаге с помощью метода косоугольного вращения облимакс, примененного к первичному факторному отображению, была построена факторная структура (табл. 4).

Первичная матрица весовых нагрузок факторов, полученная методом главных факторов

Таблица 3

F^ F2 Fз F4 F5

Вес 0.422 0.597 0.075 -0.092 0.455

ИМТ 0.175 0.457 0.061 -0.274 0.664

чд 0.347 0.444 -0.477 0.542 -0.040

с 0.309 -0.788 -0.105 0.262 0.373

л -0.358 0.707 0.257 -0.230 -0.424

КСР 0.872 -0.014 -0.033 -0.168 -0.160

ксо 0.910 -0.028 -0.152 -0.035 -0.084

кдр 0.856 0.018 0.110 -0.182 0.054

кдо 0.974 0.018 0.125 -0.014 -0.082

УО 0.926 0.056 0.346 0.005 -0.074

мос 0.842 -0.082 0.258 0.205 -0.189

опсс -0.718 0.127 -0.296 0.061 0.046

их -0.283 -0.490 0.332 -0.610 -0.006

ФВ -0.267 0.182 0.779 0.327 0.103

ФУ -0.241 -0.101 0.729 0.399 0.070

Рис. 3. Собственные значения редуцированной корреляционной матрицы

Факторная структура облимакс

Таблица 4

F^ F2 Fз F4 F5

Вес 0.399 0.080 -0.018 --0.078 0.652

ИМТ 0.208 -0.168 -0.037 -0.268 0.789

чд -0.038 0.334 0.519 0.542 0.136

с 0.168 -0.813 0.146 0.269 0.037

л -0.127 0.794 -0.303 -0.235 -0.115

КСР 0.718 0.107 0.149 -0.143 -0.153

ксо 0.669 0.041 0.273 -0.011 -0.089

кдр 0.786 -0.027 0.006 -0.155 0.056

кдо 0.874 0.072 0.007 0.017 -0.069

УО 0.955 0.092 -0.218 0.040 -0.046

мос 0.816 0.081 -0.143 0.235 -0.207

опсс -0.762 0.054 0.197 0.033 0.092

ИХ 0.018 -0.332 -0.367 -0.612 -0.197

ФВ 0.178 0.050 -0.807 0.335 0.165

ФУ 0.082 -0.121 -0.769 0.403 0.025

В факторной структуре облимакс выявление пять групп переменных:

1. КСР, КСО, КДР, КДО, УО, МОС, ОПСС;

2. ФВ, ФУ;

3. Вес, ИМТ;

4. Частота дыхания, индекс Хильдеб-ранта;

5. Сегменты, лимфоциты.

Эти группы переменных были выделены по уровню значимости - 0,5, т. е. переменные нагружают свой фактор по величине, не меньшей - 0,5.

Первый главный фактор можно интерпретировать как гемодинамический фактор, включающий параметры, описывающие центральную и периферическую гемодинамику. Переменные УО, МОС, ОПСС определяют уровень артериального давления. Нарушения взаимосвязи этих показателей лежат в основе изменений уровня артериального давления. Вместе с тем изменение уровня артериального давления взаимосвязано с модуляцией сердца, за которую отвечают параметры КСР, КСО, КДР, КДО.

Фактор, составленный из параметров второй группы, можно считать важным для непосредственной оценки контрак-тильной (сократительной, нагнетательной) функции левого желудочка. Этот фактор определяет объемную ресурсоемкость АЖ. Он показывает, насколько использованы объемные резервы самого сердца для поддержания уровня артериального давления.

Фактор, наполненный показателями из третьей группы, отвечает за соответствие массы и роста.

Четвертая группа параметров характеризует уровень слаженности работы сердца и легких.

Пятая группа парметров образует иммунологический фактор, который может отражать психосоматическое состояние индивида, поскольку этот фактор активируется в стрессовых состояниях.

Выводы

Сформирована база данных исходных показателей, характеризующих артериальную гипертензию первой стадии. Проведена первичная статистическая обработка данных. Разработана методика построения факторной модели артериальной гипертензии первой стадии и пред-

ставлена ее адекватная реализация при использовании оригинального вычислительного алгоритма. Согласно этой реализации найдена факторная структура методом косоугольного вращения облимакс. Произведена интерпретация полученной факторной структуры, выявлены диагностически значимые факторы.

Выделенные факторы позволяют указать группу параметров, на которую нужно воздействовать, чтобы получить максимальный эффект от лечения. Например, для стабилизации уровня артериального давления следует воздействовать на всю группу признаков, описывающих гемодинамический фактор. При этом следует учитывать ремоделирование сердца при формировании патофизиологических взаимоотношений в системе кровообращения у пациентов с гипертонической болезнью. Поскольку ожирение является одним из факторов риска, то снижение веса позволит нормализовать фактор, отвечающий за соответствие массы и роста. Исключение стрессовых ситуаций пациентом позволит улучшить показатели, формирующие иммунологический фактор, а также нормализовать фактор, характеризующий уровень слаженности работы сердца и легких.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Чазова И. Е. и др. Диагностика и лечение артериальной гипертензии. Рекомендации Российского медицинского общества по артериальной гипертонии и Всероссийского научного общества кардиологов. М., 2008.

[2] Шляхто Е. В. Гипертоническая болезнь. Патогенез и прогрессирование с позиции нейрогенных механизмов. Научно-исследовательский институт кардиологии им. В.А. Алмазова Минздрава России. СПб., 2008.

[3] Фофанов П. Н. Учебное пособие по механокардиографии. URL: http://www.constel.ru/pub. html.

[4] Харман Г. Современный факторный анализ : пер. с англ. В.Я. Лумельского; науч. ред. и вступ. ст. Э.М. Бравермана. М. : Статистика, 1972.

[5] Иберла К. Факторный анализ / пер. с нем. В.М. Ивановой; предисл. А.М. Дуброва. М. : Статистика, 1980.

[6] Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М. : Высш. шк., 2003.

[7] Guttman L. Some necessary conditions for com-mon-factor. Psyhometrika. 1954. № 19. P. 149161.