Математические модели поддержки принятия решений в управлении ассортиментом и товарными запасами

29. Справочник металлурга. Производство алюминия и сплавов на его основе. Иркутск : Изд-во ИрГТУ. 2015. 764 с.

30.Наноструктуры и алюминиевая промышленность / В.В. Кондратьев и др. // Вестник ИрГТУ. 2015. № 8. С. 77-85.

31. Обоснование возможности нагрева глинозема теплом анодных газов алюминиевого электролизера / В.А. Ершов и др. // Вестник ИрГТУ. 2016. № 3 (110). С. 131-138.

32.Радионов Е.Ю., Ершов В.А. Особенности магнитной гидродинамики электролизёров 0А-300 5-ой серии Иркутского алюминиевого завода // Вестник ИрГТУ. 2009. № 4 (40). С. 210-213.

33.Кондратьев В.В., Николаев В.Н., Карлина А.И. Моделирование и лабораторные испытания вы-

сокоэффективного теплообменника с низким статистическим сопротивлением // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2015. № 2 (46). С. 80-83.

34.Kondrat'ev V., Govorkov A., Lavrent'eva M., Sysoev I., Karlina A.I. Description of the heat exchanger unit construction, created in IRNITU // International Journal of Applied Engineering Research. 2016. T. 11. № 19. C. 9979-9983.

35.Сысоев И.А., Кондратьев B.B., Шахрай С.Г., Карлина А.И. Разработка способа управления энергетическим режимом электролизеров для производства алюминия // Цветные металлы. 2016. № 5 (881). С. 38-43.

УДК 007, 519.8 Истомина Алена Андреевна,

инженер кафедры технологии электрохимических производств, ФГБОУВО «Ангарский государственный технический университет», тел. 8(3955) 676-486, e-mail: AlenaIst@ya.ru

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПОДДЕРЖКИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ В УПРАВЛЕНИИ АССОРТИМЕНТОМ И ТОВАРНЫМИ ЗАПАСАМИ

A. A. Istomina

MATHEMATICAL MODELS OF DECISION SUPPORT IN ASSORTMENT AND INVENTORY

MANAGEMENT

Аннотация. Предложена многоэтапная процедура выработки решений по управлению ассортиментом и запасами в условиях неопределенности. В связи с неопределенностью и отсутствием достоверной информации о характеристиках спроса практическое решение задачи управления запасами опирается на многоэтапную процедуру. На первом этапе ищется ассортимент товаров и уровень их объемов, доставляющих максимум прибыли торгового предприятия. На втором этапе, с учетом найденного ассортимента товаров и их объемов, определяется оптимальная стратегия пополнения запасов на горизонте управления, позволяющая снизить издержки торговой организации. Показано, что многие ситуации управления товарными запасами можно рассматривать как задачи массового обслуживания. Разработана математическая модель пополнения запасов партиями на основе теории массового обслуживания, в которой приходится иметь дело с групповыми поставками. Приведены основные характеристики системы массового обслуживания восполнения запасов. Важнейшей особенностью приведенных моделей является возможность получения оптимальных параметров стратегии управления запасами при известном математическом ожидании спроса на товар. Задача управления ассортиментом и запасами имеет высокую размерность, в качестве инструмента снижения размерности и повышении качества управления был предложен ABC-анализ. Для реализации анализа используется дифференциальный метод. Эффективность системы управления в значительной степени зависит от способности дать с приемлемой точностью прогноз спроса на товары. Предложены математические модели прогнозирования спроса на основе анализа временных рядов.

Ключевые слова: математические модели, поддержка принятия решения, управление ассортиментом, управление запасами, оптимизация процессов, системы массового обслуживания.

Abstract. The multi-stage procedure for decision-making for inventory and assortment management under conditions of uncertainty is proposed. In the first stage we seek a range of products and their volumes, delivering the maximum profit of the trade enterprise. In the second stage, with the found range of products and their volumes, by the optimal strategy of replenishment on the horizon of management, allowing to reduce the costs of the trade organization, is determined. It was shown that many situations of inventory management can be considered as Queuing tasks. The mathematical model of replenishment of stocks by batches on the basis of the theory of mass service in which it is necessary to deal with group deliveries is developed. The main characteristics of a refill are given Queuing system. The most important feature of the proposed model is the possibility of obtaining the optimal parameters of inventory control strategy with known mathematical expectation of demand for goods. The problem of assortment and stocks management has a high dimension, ABC-analysis was proposed as a tool for reducing the dimension and improving the quality of management. To implement the analysis, a differential method is used. The effectiveness of the management system depends to a large extent on the ability to give with an acceptable accuracy the forecast of demand for goods. Mathematical models of demand forecasting based on the analysis of time series are proposed.

Keywords: mathematical models, decision support, assortment management, inventory management, process optimization, Queuing systems.

Введение

Одним из важнейших направлений повышения эффективности предприятий розничной торговли становится задача значительного совершенствования управления ассортиментом и товарными запасами - их оптимизация на основе математических моделей, связывающих показатели эффективности торговых предприятий с имеющимися ресурсами.

До сих пор управление ассортиментом товаров и управление товарными запасами рассматривались отечественными и зарубежными исследователями независимо друг от друга [2, 11-13, 15]. Так, отвечая на вопросы, когда запасы подлежат пополнению и каковы объемы пополнения запаса, теория управления запасами не касалась вопроса о том, какие наименования товаров целесообразно иметь торговому предприятию.

Рассматривая эти две задачи во взаимосвязи друг с другом, можно значительно повысить эффективность торговых предприятий, если задачу управления конкретизировать следующим образом: на первом этапе найти оптимальный ассортимент товаров и уровень их объемов, доставляющих оптимум тому или иному критерию оптимальности функционирования торгового предприятия; на втором этапе, с учетом найденного ассортимента товаров и их объемов, определить оптимальную стратегию управления запасами на горизонте управления [5].

Определение оптимального ассортимента

товаров

Для нормального функционирования торгового предприятия необходимо, чтобы его доход от продажи товаров не только покрывал все текущие издержки по хранению и реализации товаров, но и приносил прибыль [10]. Иначе торговая организация не обеспечит свое эффективное развитие, а значит и свое предназначение по своевременному обеспечению населения товарами. Следовательно, из множества вариантов ассортимента товаров необходимо найти такой, который при эффективном использовании имеющихся ресурсов обеспечил бы удовлетворительный спрос населения и приносил торговому предприятию максимальную прибыль.

Обозначим через г/ спрос на /-й товар или

товарную группу. Пусть спрос является случайной величиной с известным законом распределения. Устанавливая вид и задавая параметры распределения вероятностей для описания спроса (такие, как среднее значение для пуассоновского распределения или среднее значение и среднеквадрати-ческое отклонение для нормального распределе-

ния и т. п.), мы даем компактное представление той степени неопределенности относительно будущего спроса на товар или группу товаров [8].

Очевидно, что торговая организация не дополучит дохода, если в ней не окажется достаточного количества товаров, желаемых покупателями.

Торговая организация понесет потери и в случае, если количество товаров превысит спрос на горизонте планирования. Эти потери складываются из затрат на их приобретение, хранение, распродажу по сниженным ценам и списание в случае достижения срока годности.

Тогда можно считать, что ожидаемая прибыль от продажи товара равна ожидаемому доходу минус издержки торгового предприятия, минус ожидаемая потеря.

Ожидаемый доход торговой организации от продажи/-го товара составит:

Р/г/, если г/ < X/,

Р/х/'

если Г/ > X/,

где х/ - искомый объем /-го товара или товарной группы (в натуральном выражении); Р/ - розничная цена /-го товара.

Примем допущение, что переменные х/ и г/

(/ = 1, п) непрерывны.

При включении в ассортимент /-го товара торговое предприятие теряет прибыль в объеме

0,

если Г/ < X/,

л/ (Г/ - X/), если Г/ > X/,

где л / - потеря прибыли из-за отсутствия одной

единицы/-го товара.

Товары, оставшиеся на конец планового периода и для которых не истек срок хранения, продаются со скидкой на сумму

X/Р/ (X/ - Г/), если Г/ < X/

0,

если Г/ > X/,

где X/ - торговая скидка на/-й товар.

Тогда ожидаемая прибыль от продажи /-го товара будет равна ожидаемому доходу от продажи /-го товара минус издержки обращения /-го товара, минус ожидаемая потеря, плюс ожидаемый доход от продажи /-го товара по сниженным ценам.

Если через f (Г/) обозначить плотность распределения случайной переменной спроса Г/, то можно записать ожидаемую прибыль Е/ от продажи /-го товара как

иркутским государственный университет путей сообщения

к =

Pj |г)/(rj)ёгз + Рзхз | /(гз)ёгз - cjx -

- Яз1 (гз - хз)/(гз)ёгз + хзРз I(хз - гз)/(гз)ёгз,

где сз - издержкоемкость з'-го товара, включая

затраты на его закупку.

Ожидаемая прибыль торговой организации от реализации всех товаров составит:

(

п

к = Е з = 1

х

з

р . I г . f (г ,)йг.

з з з з

- да

(

п

+ Е з = 1

р х . I f (г ,)йг .

з з X з з 3

(

п

- Е з = 1

-Ес .х .-

з з з

\

(

п

+Е з = 1

Я . I (г . - X .) f (г ,)йг .

з X з з з з з

X . з

X .р . I (х . - г.) f (г ,)йг. з з з з з з - да

Пусть §. - закупочная цена з-го товара,

а § - общий объем финансовых средств на приобретение товаров торговым предприятием. Тогда суммарная цена всех товаров не должна превышать всей суммы финансовых средств т. е.:

* §.

з=1

На переменные хз накладываются ряд ограничений, связанных с издержкоемкостью товаров.

Окончательно, задача нахождения оптимального ассортимента товаров в торговой организации заключается в нахождении таких

хз >0, з = й,

при которых критерий оптимальности (5) достигает максимума и выполняются ограничения (6), (7) [9].

Для решения задачи оптимизации ассортимента в постановке (5)-(7) необходимо установить тип распределений спроса на товары и идентифицировать параметры распределений.

Исследование выборок продаж товаров различных видов в торговых организациях различных форм собственности показало, что описать точно спрос на товары определенным законом распределения для всей генеральной совокупности не представляется возможным. Однако если расчленить вероятностные распределения на всем

интервале времени на подинтервалы, равные, например, горизонту управления ассортиментом и товарными запасами, то спрос на товары можно достаточно точно аппроксимировать с помощью закона Пуассона [8].

Определение оптимальной стратегии управления товарными запасами Анализ задачи управления запасами показал, что многие ситуации управления товарными запасами можно рассматривать как задачу массового обслуживания, которая учитывает вероятностный характер спроса на запасы и при которой издержки на систему управления запасом, в том числе и потери, связанные с дефицитом запасов, минимальны [3, 11-13]. Пусть в качестве требований выступают товары, поступающие в систему массового обслуживания, а обслуживающими устройствами являются потребители товаров. Если нет запроса на товары - запасы возрастают и образуют очереди. Если спрос на товары превышает предложение, то имеет место дефицит, потребители товаров не обслуживаются. Зная интенсивность спроса на товары, требуется определить оптимальную интенсивность пополнения запасов [2, 15].

Стратегия, получившая наибольшее распространение, — стратегия пополнения запасов партиями. Данная стратегия пригодна для широкого круга задач управления, в которых приходится иметь дело с групповыми поставками. В дальнейшем будем рассматривать именно эту стратегию.

Пусть спрос на запасы является пуассонов-ским с интенсивностью Ц единиц в единицу времени. Длительность промежутка времени от момента подачи заказа до момента поступления партии запасов имеет показательное (экспоненциальное) распределение. При показательном законе и потоке событий с интенсивностью X среднее время доставки заказа составляет Т = 1/ X.

Пусть при уменьшении уровня запасов до критического уровня («точки заказа») Р заказывается количество товара, равное 2 единицам, таким образом, что

Р + 2 = М ,

где М - максимальный уровень товара (заранее заданное максимальное количество товара, которое может принять торговая организация). Определению подлежит либо точка заказа Р, либо объем партии 2 . Очевидно, что, установив любое из этих значений, второе можно найти из уравнения (8).

Пусть Рп есть вероятность того, что в наличии имеются п единиц товара.

х

да

—сс

х

х

да

х

+

да

да

Р

йг

Р йг

Р

йг

= Хр -цр + = XPс + XP2 -|Р5.

Правило «заказывать О единиц товара, когда уровень запасов уменьшится до Р, и заказывать М единиц товара, когда уровень запасов уменьшается до нуля» означает, что:

1) система 8 переходит из состояния 8п в состояние 8п-1 при продаже единицы товара с интенсивностью |;

2) система 8 переходит из состояния 8п (п Ф 0) в состояние 8п+о и из состояния 80

в состояние 8м при пополнении запаса с интенсивностью X.

Случайный процесс, протекающий, например, в системе 8 с шестью состояниями (максимальный запас товара равен пяти единицам, а точка заказа, двум единицам товара), показан на рис. 1.

Стационарные решения системы уравнений (9) принимают вид:

Р = Р Г1 Г0

Р = Р Г2 г0

V

1 + Х I

V

Р = Р

г3 г0

I)

^Уц+х^2

I)

I

Р = Р

г4 г0

аУц + х^2

V

I)

V I

2

)

Р = Р

Г5 Г0

^У 12 + IX + X2 ^

VI)

V

I

2

)

где

Р =

I

Рис. 1. Случайный процесс движения товаров при заказе товара партиями

Из рис. 1 видно, что при отсутствии товара делается заказ на пополнение запаса до максимального уровня. Далее, как только запас товара уменьшается до двух единиц (точки заказа), следует заказ товара в количестве трех единиц. Пополнение запаса может наступить до прибытия очередного покупателя (в этом случае система перейдет из состояния 82 в состояние 85), либо уже после прибытия очередного покупателя и продажи ему единицы товара (в этом случае система перейдет из состояния 81 в состояние 8 4) и т. д.

Например, для системы на рис. 1 получаем следующие уравнения для вероятностей состояний:

йР йг йР

йг 1 1 2 йР

^ = -XP2 -^Р, +^Р3,

йг 2 2 3

3 2 ---.

I3 + 5|2X + б^А2 + 3X2

Запишем в общем виде уравнения для вероятностей состояний системы с пополнением запасами партиями:

йР = "^0 +ЦР1,

йг

Р

йг

Р

йг

Р

йг

Р

йг

= -АPn -!Рп + Р

для

= -К +!Рп+1, = XPn-e -!Рп + мРп+1,

для п < Р, Р < п < О, (12) для О < п < м,

= АPo-ЦРм + Xp

- м-О-

(12):

Стационарные решения системы уравнений

(\ V

Г = Г

Гп г0

I + X

- для 0 < п < Р,

Л VV

Р = Р

I + X

- для Р < п < м - Р +1,

Р = Р

(X!

VI) ДЛЯ

1 +

! +X!Р (I + X

I

чп-е-1

I

м - Р +1 < п < м,

где

Р =

I

р+1

с^)Р

п

И

И

Вычислим показатели эффективности системы пополнения запасами партиями.

Среднее число запасенных товаров, находящихся в системе в стационарном режиме, определяется по формуле: _ м

п = Е Р = 0 • Р0 +1 • Р1 + 2 • Р2 +... + N • Рх

г=0

пли

р+1

п

= Е i • Р0

ц + x . ц

V-1

М - р+1 л

+ Егр -

ц

р

ц + x

г = Р + 2

+

+

+ Е г Р

г=М - р+2

x

ц

1 +

ц

г , х лр ц + x

X

ц + x

. ц )

ц у

г - 2 -1

Вынесем в (20) р0 — за скобки:

Ц

п = Рп

Е г

ц + x

-1

+

+ 2+ г

г = Р + 2

V Ц ) ц + X

V Ц )

+

м

+ Е г

г = М - р + 2

1 +

Р

ц + X Ц ,

г-2-1

ц + X

.

п =

цр+1 X

(ц + x)р (ц + (2.x) ц

х

х

1 -

Р

ц + Х

Ц

Р +1 - Р

У_V

ц + Х Ц

1-

ц + Х Ц

+

+

' М (М +1) - Р(Р +1) У ц + Х

2

Ц

.

Пусть 2 - доход на единицу проданного товара, С1 — издержки выполнения заказа, С2 — затраты на хранение единицы товара. Если спрос на товар на горизонте управления составляет ц , то количество заказов в установившемся режиме будет равно Ц / (.

Тогда общие издержки управления запасами составят

К = С, Ц + С2 п, 1 2

или

К = С1Ц + С2

Ц

X

1 -

2

^ц + Х^ Р (

(ц + Х)Р (ц + 2Х) ц

Ц

Р +1 - Р

У V

ц + X Ц

1-

ц + Х Ц

+

+

М (М +1) - Р(Р +1) У ц + Х^

2

Ц

.

Нас интересуют критический уровень запаса Р и объем каждой партии ( , минимизирующие К . Поскольку Р и ( связаны уравнением (8), подставим в (20) М - Р вместо ( :

К = С,

Ц

М - Р

- +

+с0

Ц

. р+1

X

(ц + Х)Р [ц + (М - Р)Х] ц

V Ц )

Сумма, стоящая в скобках (17), представляет сумму трех рядов. Не приводя подробные вычисления, запишем окончательное выражение для нахождения среднего числа запасенных товаров [6], которое принимает вид

1 -

^ц + Х^ р (

Ц

Р+1-Р

) V

ц + Х Ц

+

1-

ц + Х Ц

+

М (М +1) - Р(Р -1) У ц + Х

2

Ц

Оптимальное значение критического уровня запасов находится из необходимых условий оптимальности. Приравнивая производную целевой функции К от Р к нулю, получим нелинейное уравнение. Решая это уравнение численно, можно найти оптимальное значение критического уровня запаса Р, а по уравнению (20) - оптимальный размер заказа ( .

Снижение размерности задачи

управления ассортиментом и запасами

Задача управления многономенклатурным ассортиментом и запасами имеет высокую размер-

1

х

2

х

Р

г =1

2

х

Р

2

Р

ность в части не только наименовании запасов, но и числа идентифицируемых параметров моделей управления запасами. Так, например, ассортимент даже небольшого универсама включает в себя несколько тысяч наименований товаров. Решение задачи оптимизации при случайном спросе на товары приводит к задаче с сотнями тысяч переменных.

Важным инструментом снижения размерности и повышения эффективности управления ассортиментом и запасами выступает так называемый АВС-анализ [1, 14]. Суть АВС-анализа состоит в том, чтобы разбить все множество товаров на несколько групп (как правило, три) так, чтобы в группу А вошло относительно небольшое число наиболее значимых с точки зрения приносимой прибыли или издержек ассортимента, в группу В - менее значимый ассортимент и, наконец, в группу С - все оставшиеся наименования ассортимента.

Для решения задачи АБС-классификации товаров применяются различные методы - от чисто эмпирических до хорошо формализованных (кластеризация, автоматическая классификация и др.) [14]. Наиболее простым в реализации ЛВС-классификации с участием ЛПР является дифференциальный метод [1]. При использовании дифференциального метода границы между группами А, В и С определяются в несколько этапов. На первом этапе рассчитывается годовая сумма расходов (доходов) по всей номенклатуре товаров, на втором этапе рассчитываются средние расходы (доходы) на одну позицию номенклатуры товаров. На третьем этапе осуществляется разделение на группы. В группу А включают товары, расходы (доходы) на которые в 6 и более раз превышают среднее значение, в группу С - товары, расходы (доходы) на которые меньше среднего значения в 2 и более раза, остальные позиции входят в группу В.

Приведем в качестве примера таблицу результатов, полученных при разбиении дифференциальным методом лекарственных препаратов, реализуемых муниципальным унитарным предприятием Ангарского городского округа «Аптека № 28» за 24 месяца (табл. 1).

Т а б л и ц а 1

Результаты АВС-анализа дифференциальным методом

Группа Количество наименований в группе Распределение по группам, % Распределение по доходам от продаж, %

А 123 6,86 51,45

В 402 22,43 25,64

С 1267 70,71 22,91

Всего 1792 100 100

Из табл. 1 видно, что ~ 7 %, или 123 наименования, лекарственных средств приносят более половины доходов от продаж. Группа В (22,43 %, или 402 наименования) обеспечивает чуть более 25 % доходов; группа С (70,71 %, или 1792 наименований) обеспечивает почти 23 % дохода.

Очевидно, что выбор соотношений между средними значениями расходов (доходов) по группам товаров подбирается ЛПР с учетом его приоритетов и проводимой предприятием ассортиментной политики.

В связи с высокой размерностью задачи управления товарами, а также ввиду того, что основную прибыль или издержки приносят товары групп А и В, достаточно задачу управления товарами решать лишь для товаров групп А и В. Для товаров группы С не следует применять усложненные процедуры управления.

Прогнозирование спроса в задачах

управления ассортиментом и запасами

Эффективность системы управления ассортиментом и запасами в значительной степени зависит от способности дать с приемлемой точностью прогноз спроса на товары. Исследование показало, что использование только одной модели для прогнозирования спроса на товары не оправдано. Так, для товаров, спрос на которые за прошлый период не подвергался значительным сезонным колебаниям, можно применить простейшие модели прогнозирования, основанные на методе наименьших квадратов и на экспоненциальном сглаживании [1]. Если же спрос значительно меняется во времени, наблюдаются заметные колебания спроса в зависимости от времени года, то требуется другие модели прогнозирования.

Наиболее широкое применение получили методы прогнозирования с использованием временных рядов [1]. Так, например, модель временного ряда спроса на аскорбиновую кислоту по данным продаж за 24 месяца в муниципальном унитарном предприятии Ангарского городского округа «Аптека № 28» приняла вид:

у = 173,55 - 0,5128х - 7,39 соэ^ ^ ^ -

- 6,43 81пГ ^ V б1,97со/^ V

I 24 ) { 24 )

+35^ Iх )+12,3Ц Iх ) +

+ 1,348Ш( 10,49со/ 13,618*/

^ 24 ) ^ 24 ) ^ 24 )

Удовлетворительное совпадение расчетных величин с опытными данными достигнуто при ис-

иркутским государственный университет путей сообщения

пользовании четырех гармоник [4, 7]. Однако во многих случаях может оказаться необходимым применение значительно большего числа гармоник.

Заключение

Таким образом, в результате исследования были получены следующие результаты.

1. Построена математическая модель задачи определения оптимального ассортимента товаров в условиях вероятностного характера спроса на товары и разработаны эффективные алгоритмы ее реализации.

2. Построены математические модели управления товарными запасами в условиях вероятностного характера спроса на товары для стратегии пополнения запасов партиями, при которой приходится иметь дело с групповыми поставками, и разработаны эффективные алгоритмы их реализации.

3. Предложена многоэтапная процедура решения задачи управления ассортиментом и запасами. На первом этапе классифицируются виды товаров по ABC-анализу, а затем для товаров групп А и В на основе построенных прогнозных моделей решается задача нахождения оптимальной стратегии управления.

Приведенные модели позволяют не только находить оптимальные ассортимент и стратегии пополнения запасов, но и моделировать систему обслуживания, численно оценивать издержки, устанавливая различные стоимостные показатели и интенсивности спроса и пополнения.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Айвазян С.А., Мхитарян B.C. Прикладная статистика и основы эконометрики. М. : ЮНИТИ, 1998. 1022 с.

2. Букан Д., Кенигберг Э. Научное управление запасами. М. : Наука, 1967. 423 с.

3. Вентцель Е.С. Исследование операций. М. : Советское радио, 1972. 552 с.

4. Истомина A.A., Бадеников В.Я., Истомин А.Л. Анализ и прогнозирование продаж лекарственных средств в аптечных организациях // Математические методы в технике и технологиях :

сб. трудов XXIX Междунар. науч. конф. ММТТ-29. T.3. Саратов, 2016. С. 136-139.

5. Истомина A.A., Бадеников В.Я., Истомин А.Л. Задача формирования оптимального ассортимента и товарных запасов в розничной торговле в условиях неопределенности // Вестник АГТУ. Сер.: Управление, вычислительная техника и информатика. 2017. № 2. С. 105-116.

6. Истомина A.A., Бадеников В.Я., Истомин А.Л. Оптимальное управление товарными запасами на основе теории массового обслуживания // Вестн. Ангар. гос. техн. ун-та. 2016. № 10. С.148-152.

7. Истомина A.A., Бадеников В.Я., Истомин А.Л. Оценка спроса на лекарственные средства в задаче управления товарными запасами // Вестн. АнГТУ. 2016. № 10. С.153-158.

8. Истомина A.A., Бадеников В.Я., Истомин А.Л. Постановка задачи оптимизации ассортимента товаров в розничной торговле в условиях неопределенности // Естественные и технические науки в современном мире : сб. тр. XI Междунар. науч.-практ. конф. Москва, 2017. С. 13-17.

9. Истомина A.A., Истомин АЛ., Сумарокова H.H. Оптимальное управление закупками в условиях неопределенности // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2015. № 3 (47). С. 131-137.

10. Кравченко Л.И. Анализ хозяйственной деятельности в торговле. М. : Высшая школа, 2003. 271 с.

11.Лотоцкий В.А., Мандель A.C. Методы и модели управления запасами. М. : Наука, 1991. 188 с.

12.Мандель A.C. Управление многономенклатурными запасами в условиях неопределенности и нестационарности. Ч. 1. Нормативная модель // Проблемы управления. 2011. № 6. С. 47-51.

13.Рыжиков Ю. И. Теория очередей и управление запасами. СПб. : Питер, 2001. 384 с.

14.Садриев Д.С, Садриев Р.Д. ABC-анализ и оптимизация товарного ассортимента // Маркетинг, 2008. № 1. С. 119-125.

15.Шрайбфедер Дж. Эффективное управление запасами. М. : Альпина БизнесБукс, 2006. 304 с.