Динамические модели финансовых временных рядов

где В0 означает текущую цену облигации. Таким образом, построен случайный процесс, имеющий характеристики, близкие к броуновскому мосту, и реализующий мультипликативную модель эволюции цены облигации со временем погашения Т и номинальной стоимостью Р . Поэтому полученный процесс назван геометрическим броуновским мостом.

Стохастическое дифференциальное уравнение (16) дает возможность оценивать вероятностное распределение приращения йВ{ цены облигации в мо-

+ -г2

мент времени I , когда известно значение стохастической волатильности О .

1. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики: В 2т. М.: ФАЗИС, 1998. Т. 1. 512 с.

2. Лётчиков А.В. Лекции по финансовой математике. М.; Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004.

3. Сорос Дж. Алхимия финансов/ Пер. с англ. М.: Инфра-М, 1996.

4. Samuelson P.A. Rational theory of warrant pricing // Industrial Management Review. 1965. Vol. 6. P. 13-31.

5. Лашкарёв А.Н. Обобщённая биномиальная модель и блуждания на цилиндре // Вестн. Удм. ун-та. 2005. № 1.

6. Ширяев А.Н. Вероятность. М.: Наука, 1980. 576 с.

A. Yu. Vavilova, A.N. Lashkarev, A. V. Letchikov The dynamic models of financial time series

The mathematical models of the price evolution on the financial market are described in paper. In particular, the results of evaluation of the main dynamic characteristics of generalized binomial model are written, when the price movement of the financial market has an inertial property. The model of the geometric Brownian Bridge is constructed for to simulate the evolution of bond price.

Вавилова Анастасия Юрьевна,

Лашкарёв Алексей Николаевич,

Лётчиков Андрей Владимирович

Институт экономики и управления ГОУВПО «УдГУ»

426034, Россия, г. Ижевск, ул. Университетская, 1, корп. 4 E-mail: cmme@uni.udm.ru

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Поступила в редакцию 17.02.05

настоящем параграфе модель ценообразования облигаций есть попытка обобщить модель Самуэльсона применительно к рынку облигаций.

Главное отличие облигации от акции состоит в том, что облигация имеет ограниченный срок своего существования, и ее цена в момент погашения Т равна своей номинальной стоимости: ВТ = Р . Если полагать, что изменение цен облигаций чем-то напоминает геометрическое броуновское движение, то следует рассматривать случайный процесс с заданным условием. Такого рода случайные процессы известны в теории вероятностей. К ним, например, относится броуновский мост.

Согласно [6] под броуновским мостом У принято называть гауссовский

случайный процесс с функцией математического ожидания и автоковариацион-ной функцией, равными соответственно:

' Г Л

MYt = a

1 —

T

+ р T, Cov (Yt ,Ys )= min (s, t}-j.

Поскольку в момент времени Т математическое ожидание равно В , а дисперсия равна нулю, с вероятностью 1 случайный процесс УТ принимает значение В , что в принципе соответствует динамике цены рискованной облигации.

Однако применение броуновского моста к моделированию эволюцию цены облигации затруднительно, так как он может принимать отрицательные значения, что для цен невозможно. К тому же броуновский мост реализует аддитивную, а не мультипликативную модель. Это видно из соответствующего ему стохастического дифференциального уравнения:

В - У

ЖУ( = Т—^ Ж + odWt, г е( 0,Т).

Действительно, приращение ЖУг зависит от значения Уг только в коэффициенте при приращении аргумента Жг и, следовательно, имеет аддитивный характер.

Этот недостаток можно устранить, если вместо броуновского моста взять его стохастическую экспоненту (подробности этой процедуры можно найти в книге [1]). Опуская серьезные математические выкладки, выпишем стохастическое

дифференциальное уравнение, определяющее данный случайный процесс В{:

/1п Р - 1п Вг л

dBt = Bt

t

dt + s dWt

T -1 v 1 1

t e

Решением полученного уравнения будет следующий случайный процесс, определяемый стандартным броуновским мостом У0 (для него X = В = 0):

функции Лапласа. В частности, вероятность риска цены не превысить заданного уровня цен X может быть оценена по следующей формуле: P{St £ X} = P{h £ z} = Ф(z), где с учетом балансового уравнения

I - a2/2

a

1

z :

av t

rln

vS,

a

y/t 1 , (Xe-mt Л ajt

a

aV t

ln

S

Одним из следствий логнормальной модели является тот факт, что ожидаемое значение цены растет как безрисковый актив. Действительно, в силу свойства логнормального распределения математическое ожидание правой части в формуле (13) равняется

M

S,

S

M

j^exp (at + a4t h) = exp (t(a + a2/2)) = em.

Последнее есть следствие выбора вероятностей, нейтральных к риску. Модель геометрического броуновского движения впервые была предложена П. Самуэльсоном [5] и определялась через стандартный винеровский процесс по следующей формуле:

St = S0exp

a 2tA

S 0 exp (it + a Wt).

Само изменение цены удобно выписать в виде следующего стохастического дифференциального уравнения:

^

Более подробно об этом можно прочесть в работе А.Н. Ширяева [1].

§ 4. Геометрический броуновский мост

Изменение цен на рынке облигаций является более устойчивым, чем на

фондовом рынке. Поэтому модель, описывающую динамику цен облигаций , в

отличие от формулы (15) принято реализовывать дифференциальным уравнением, не содержащим стохастическую компоненту:

&Б{ = Г ^ ) Бtdt.

Величина Г ^) носит название непрерывно начисляемой процентной ставки и может быть не только переменной, но и случайной. Как правило, все риски, связанные с изменением процентной ставки, моделируются непосредственно случайным процессом Г ^). В этом случае сама модель динамики цены акции становится достаточно сложной и трудно реализуемой. Предлагаемая в

V имело биномиальное распределение с параметрами П и р . В теореме Му-авра - Лапласа утверждается, что для любого действительного числа у имеет место предельное соотношение:

lim P

£

У

Ф( У),

П П - ПР

\у1 Пр

где функция Лапласа Ф(у) есть функция стандартного гауссовского распределения:

Ф

1 У

7 'J

V27

e u2/2du.

В силу свойств гауссовского распределения теорему Муавра - Лапласа можно интерпретировать следующим образом: при достаточно больших П случайная величина V имеет распределение, близкое к гауссовскому с параметрами

пр и -^Пр(1 — р) . Но в силу формулы (5) 1п ( Б) есть линейная функция от Vп и, значит, также имеет асимптотически гауссовское распределение. Более того, из формул (6) и (9)-(10) в силу равенства t = П • Дt получаем, что

M

ln Sl

S

ln Sl

S

= s 2t

f 2 \ a

1 At s

V

s 2t.

Таким образом, устремляя Дt к нулю, распределение 1п ( Б(/ Б ) (аналогично и 1п ( Б+£/ Б£ )) сходится к гауссовскому распределению с параметрами at и О2t . Нетрудно также убедиться в независимости Б{+£ / Б£ от значений

случайного процесса до момента времени £ . Следовательно, при Дt —— 0 биномиальная модель приводит нас к геометрическому броуновскому движению.

Построенную таким образом модель эволюции цены рискового актива часто называют логнормальной моделью, поскольку одним из важных выводов геометрического броуновского движения является то, что отношение будущей

цены Б{ к настоящей цене Б есть случайная величина, имеющая логнормальное

2

распределение с параметрами at и О t. Последнее означает, что

Б- = ехр

Б

где Ц - стандартная гауссовская случайная величина. Полученная формула дает возможность оценивать вероятностное распределение с помощью

2005. №3 ЭКОНОМИКА

§ 3. Геометрическое броуновское движение

Пусть нас интересует динамика изменения цен некоторого финансового актива, описываемая случайным процессом Б,, г е [0, +¥) . Будем называть

случайный процесс Бг геометрическим броуновским движением с параметрами

а и О2, если для любых неотрицательных чисел г и £ выполнены два условия: случайная величина 5, +,/5 статистически не зависит от значений случайного

процесса до момента времени £ , и 1п ( 5,+£/ ) имеет гауссовское распределе-

ние со средним аг и дисперсией О г . Другими словами, финансовый временной ряд моделируется геометрическим броуновским движением, если отношение цены в будущий момент времени г к цене в настоящем не зависит от прошлой

2

динамики цены и имеет логнормальное распределение с параметрами аг и О г .

Процесс геометрического броуновского движения можно получить из биномиальной модели, если устремить А? к нулю (при этом П —— +¥ ). Чтобы убедиться в этом, необходимо воспользоваться центральной предельной теоремой. Не углубляясь в достаточно серьезные математические рассуждения, сформулируем частный случай центральной предельной теоремы, широко известный в теории вероятностей как теорема Муавра - Лапласа и применяемый для схемы Бернулли. Допустим, что мы проводим П независимых экспериментов, каждый из которых с вероятностью р заканчивается «успехом», а с вероятностью 1 — р заканчивается «неуспехом», тогда как и ранее число успешных экспериментов

Рассмотрим применение этой модели к одному из главных макроэкономических показателей фондового рынка России - индексу Российской Торговой Системы. Индексом РТС описывается состояние экономики в целом, а не одного определенного предприятия или отрасли. В его поведении периоды роста или падения более консолидированы. Этим он будет более соответствовать обобщенной биномиальной модели, когда с вероятность продолжить движение больше, чем вероятность изменить его. Таким образом, имеет смысл оценивать диапазон будущих значений такого индекса исходя именно из этой модели.

Для того чтобы построить динамику числовых характеристик будущих значений индекса РТС по формулам (12), необходимо оценить параметры модели и , d, С и рассчитать введенные вспомогательные величины. Воспользовавшись статистическими данными [6], для исходных параметров модели получим

и = 1,0146; d = 0,9873; С = 0,2410 . В качестве С взята частота смены

направления движения предыдущего шага, в качестве и и d взяты среднегеометрические из всех (больше и меньше единицы соответственно) значений отношений будущих цен к предыдущим Бк/ —1 . Подставляя эти значения в приве-

дённые выше формулы математического ожидания и дисперсии, получаем, что математическое ожидание индекса через г дней в нашей модели будет иметь следующий вид:

M

D

S

S±

S

= 0,0004 •(0,5183 ) + 0,9996 (1,001 1) ,

= 0,0016 •(0,5183) + 0,9984 (1,0028)' —

— (0,0004 •(0,5183 У + 0,9996 (1,0011)) 2.

Взяв в качестве начального значение индекса РТС на 06 октября 2004 г., равное 679,01, в рамках обобщённой биномиальной модели получим прогноз для диапазона колебаний индекса на ближайшие 1000 дней, представленный на рис. Средняя линия на рисунке и есть полученный прогноз для математического ожидания, верхняя и нижняя границы вычислены как среднее соответственно плюс и минус среднеквадратическое отклонение.

актива внутри каждого единичного промежутка времени может только либо вырасти с коэффициентом и , либо упасть с коэффициентом d . Пусть выбор направления - вверх или вниз - на первом промежутке производится с вероятностью 'А Дальнейшая динамика зависит от направления движения на предыдущем промежутке. Предположим, что вероятность продолжения движения цены в том же направлении, что и на предыдущем шаге, равна 1 — С, С £ [0,1]. Соответственно вероятность изменения направления движения относительно предыдущего шага равна С . Если С _ 1/2, то мы имеем простую классическую биномиальную модель, вероятностные характеристики которой определяются только параметрами и и d . Если С _ 0 или С _ 1, то такой случайный процесс будет вырожденным, так как на каждом последующем шаге предыдущее движение будет продолжено или обязательно изменено. В этом случае поведение процесса будет полностью определяться первым сделанным шагом. Таким образом, динамика вероятностных характеристик обобщенной модели задается параметрами и , d и С .

Следует сразу заметить, что в отличие от биномиальной модели распределение случайной величины не может быть сведено к некоторому биномиальному распределению, как это делается в формуле (8). Более того, даже динамика числовых характеристик, таких как математическое ожидание и дисперсия, имеет достаточно сложный характер. В результате проведенных исследований удалось получить точную формулу зависимости числовых характеристик от параметров модели. Опуская сложные математические выкладки (их можно найти в работе [5]), опишем алгоритм нахождения математического ожидания и дисперсии случайной величины .

Для этого введем следующие обозначения. Пусть

Ж _( (1 — С)(и + d) )2 — 4du (1 — 2с), 1± _ (1 — С)(и ) ± ^,

_ л/Ж ±(d + cd — и + си) ь _ (1 — с)(и — d) + 2cd±у[Ж

“*_ 4Ж ’ р±_ 2Ы •

Введем функцию С (и, d, С, t), зависящую от параметров модели и , d и С и времени t следующим образом:

С (и, d, с, t) _ а+ Ь+( 1+) + а— Ь— (1— ).

Тогда, полагая $ _ $ , окончательно получаем, что

M

=G(u, d, c, t), D

S:

S

=G

P{s; £ X}= B(x,п,р), где X определяется согласно (7). По определению

величин U и d находим, что ІП — — . А значит,

значит,

Последняя формула вместе со значением вероятности p позволяет вы-

Следует заметить, что введенные здесь формулы (8), (10) и (11) требуют для вычисления соответствующих вероятностей только два динамических параметра финансового ряда: Ц - непрерывно начисляемую безрисковую ставку и

мическое среднее a не влияет на оценку вероятностных характеристик заданного случайного процесса. Этому есть простое объяснение. Поскольку мы выбираем вероятности с условием нейтральности к риску, это условие требует строгого

межутке времени может с равной вероятностью как пойти вверх, так и упасть вниз.

§ 2. Обобщение биномиальной модели

Рассмотрим следующее обобщение биномиальной модели. Пусть вероятности для изменения цены на каждом последующем промежутке времени будут зависеть от того, в какую сторону произошло изменение цены на предыдущем шаге. Статистически такой подход весьма логичен, поскольку на практике довольно часто движение цены финансового рынка имеет свойство инертности, когда продолжение роста или падения более вероятно, чем изменение направления движения цены. В рамках обобщенной модели мы охватываем и те случаи, когда смена направления движения цены будет более вероятна, чем его сохранение.

Сформулируем такую модель более строго. Пусть, как и ранее, промежуток времени [0, t ] разбит на П одинаковых промежутков длины Дt. Для простоты положим Дt _ 1. Это означает, что t _ П . Будем предполагать, что цена

числять вероятность риска P

О 2 - волатильность рискового актива за единицу времени. При этом логариф-

2

соотношения между параметрами /Л , a и О в виде следующего балансового уравнения: а — /Л — О2/2 . Поэтому само среднее a однозначно определяется через параметры /Л и О2 . В частности, если а — 0 и, значит, ЛІО — О /2, из формул (10) вытекает, что р — 1 — р — 1/2 . В этом случае цена в каждом про-

Вернемся к рассмотренной в начале параграфа биномиальной модели

эволюции цен акции 5 0 = 5 , ^ ,

S

St — SnAt. Тогда согласно форму-

ле (8), зная параметры биномиальной модели и , d, р и П , нетрудно построить распределение цены акции в момент времени ?. Возникает простая проблема, каким образом выписанные параметры модели должны зависеть от вычисленных

2

характеристик а и О .

Еще более важной является зависимость параметров модели от выбора длины А? временного промежутка. Действительно, на практике в качестве единицы времени А можно выбирать различные промежутки: минута, пять минут, полчаса, час, день, неделя, месяц, год. Понятно, что изменение цены вверх и вниз зависит от длины промежутка. Было бы неправильно рассматривать изменения порядка десятков процентов, взяв за промежуток времени одну минуту или даже один день. Такого рода изменения требуют длительной торговли на рынке. Но коэффициенты изменения и и d не могут быть одинаковыми для различных акций. Есть акции, цены на которые изменяются с большой скоростью и большим размахом, есть акции с более устойчивыми изменениями цен. Таким образом, возникает вопрос об оценке изменчивости цен той или иной акции. Таким

2

параметром как раз является волатильность акции О . Дадим удобное (и поэтому общепринятое) определение зависимости коэффициентов и и d от него:

u

exp (ал/д7), d — exp (—aVAt).

В таком варианте биномиальной модели безрисковый коэффициент роста Г за один промежуток удобнее выражать, пользуясь непрерывно начисляемой процентной ставкой /Л . По определению этой величины за время Дt безрисковый актив увеличивается в ехр (Л • Дt) раз. Следовательно,

Г = ехр ( Л • Д ) . Вероятности р и 1 — р в этом случае могут быть вычислены как нейтральные к риску с помощью формул (2). На практике обычно пользуются более удобными формулами:

p

Ґ f l +

V

a

a

~2

\ \ л/AF

l

p

/ l — f m a л л VAt

V ,Q 2 0 0

Построенная модель дает возможность оценивать вероятностные характеристики случайной величины . Например, для заданного уровня рискового капитала из формулы (8) получаем, что вероятность риска равна

[х]

B(x,n,p) = P{v„ £ x} = £Ctp1 (1 - p)'

-k

k=0

где [ X] означает наибольшее целое число, не превосходящее X . Тогда искомая вероятность P{S, £ X} находится по формуле:

P{S^ £ X} = В

здесь X удовлетворяет (7).

Итак, с помощью формул (7) и (8) определяется распределение цены акции в момент времени ?, используя значения биномиального распределения. Поэтому такая модель называется биномиальной. Параметрами данной модели являются: п - число периодов, и и d - коэффициенты возможных роста и падения за период соответственно, Т - коэффициент наращивания безрискового актива. Все эти параметры в первую очередь зависят от величины А выбранного промежутка. Например, если мы выбрали в качестве промежутка времени день, а нас интересует окончательная цена по итогам месяца, то число рабочих дней биржи в месяце - это и есть число периодов модели. В этом случае П чуть больше 20. Понятно, что параметр Г = 1 + Т^ определяется исходя из значения процента Т^, начисляемого ежедневно. Для оценки остальных параметров применяются статистические методы. Для этого выбирается статистика дневных изменений цены акции за достаточно продолжительное время. При этом для оценки и берутся дни, когда цена росла, для оценки d - когда падала. После этого производится их усреднение (например, выбирается геометрическое среднее). По полученным численным значениям параметров нетрудно посчитать распределение случайной величины цены акции на конец месяца.

Как показывает практика, наиболее статистически значимыми величинами при исследовании эволюции конкретного финансового ряда являются так называемые логарифмическое среднее а и волатильность О2, показывающие среднестатистические изменения математического ожидания и дисперсии случайного процесса за единицу времени. Более строго эти параметры определяются по следующим формулам:

1

a

T

M

ln St- , a2 = - D ln St-

_ S _ T _ S _

Зная распределение случайной величины - значения цены финансового ряда в момент времени Т, нетрудно получить численную оценку парамет-

2

ров а и О заданного ряда.

Но в силу нейтральности к риску заданной вероятности р из равенства (2) следует, что M £ = Бтп = £(1 + Ту)п . Таким образом, вероятность р соотносится с величинами и , d и Г так, что ожидаемая величина цены акции в момент времени п равна инвестиции в безрисковый актив. Это еще раз подтверждает ее название нейтральной к риску вероятности.

Прологарифмируем равенство (3):

£ и

1п —1 = V п 1п и +

£ d

Из курса классической теории вероятностей известно, что математическое ожидание и дисперсия случайной величины, имеющей биномиальное распределение с параметрами п и р, равны Mv п = пр и DV п = пр (1 - р) . Поэтому из свойств математического ожидания и дисперсии вытекает, что

S u S

M ln — = np ln —+ n ln d, D ln —L = np(1 - p) •

S d S

, u ln — d

\2

Рассмотрим некоторый уровень возможных значений цены акции X . При различных финансовых расчетах (например, при расчете рациональной цены пут-опциона) важной является вероятность того, что в момент времени ? цена

акции не превосходит заданный уровень X : P{£^ £ X} . Такая величина является вероятностной характеристикой случайной величины , которую принято называть функцией распределения. Так как условие £ £ X эквивалентно

1 £ X

неравенству 1п — £ 1п —, из формулы (5) и положительности величины £ £

1п

(в силу и > d) следует, что

P{£^ £ X} = PV 1п и + п 1пd £ 1п^X| = P{vn £ х}, где ^ л £ J

1п( X / £) - п 1п л

X = —---------------------.

1п

Обозначим через В (X, п, р ) функцию биномиального распределения с параметрами п и р . По определению эта величина равна вероятности того, что число «успехов» в схеме Бернулли не превзойдет X . Следовательно,

Обозначим через V число периодов до момента времени t, в которых цена двигалась вверх. Тогда ( П — Vn ) будет числом единичных периодов до момента времени t, в которых цена двигалась вниз. Случайная величина V представима в виде суммы бернуллиевских случайных величин Xi, • • • , X n •

Vn = j X , n —Vn = X I1 — X )•

i=1 i=1

В итоге получаем, что

St = SuVndn~Vn •

Так как случайная величина V n принимает целые значения от 0 до n , то

О k in—k

возможные значения цены акции в конце n -го периода равны SU и , где

k = 0, • • • , n.

Чтобы получить вероятностное распределение случайной величины St,

обратимся к классической модели теории вероятностей, именуемой схемой Бернулли. Представим себе, что каждый рассматриваемый единичный промежуток времени есть эксперимент, «успехом» которого является движение цены вверх, а «неуспехом» - движение цены вниз. Тогда мы имеем n независимых экспериментов с вероятностью «успеха», равной p . Введенная случайная величина V

будет числом «успехов» в схеме Бернулли с заданными параметрами. Согласно теории вероятностей такая случайная величина имеет биномиальное распределение:

P{vп = k} = Ck • pk (1 — p)п—k, n!

где C =------------------ - биномиальные коэффициенты,

n k !(n — k)!

k = 0,1, . . . , n . Из формулы (3) вытекает, что

p{st = Sukdn—k} = Ck • pk

Найдем математическое ожидание случайной величины Sn :

MS, = jr Sukdn-kcn • pk

k=0 k=0

Воспользуемся формулой бинома Ньютона и получим

n

n——

M St = S (up + d(1 — p)) .

ленные деньги купить акции, получив при этом чистую прибыль. Но, если й > г, то, наоборот, появляется возможность занять деньги под безрисковый процент, на них купить акции, продать их в конце периода, вернуть взятые в долг деньги и после всех этих операций получить прибыль без риска.

Обозначим через р вероятность того, что цена изменится вверх. Тогда

1 — р - вероятность того, что цена пойдет вниз:

Р{Б,+д, = Би\Б, = Я } = р, Р{5,+д, = = 5 } = 1 — р.

Предположим, что выполнена гипотеза о нейтральности к риску инвесторов при заданном текущем значении цены 5 и возможных будущих ценах Би и Бй с учетом безрискового коэффициента Г . То есть инвестор не переплачивает за риск, связанный с приобретением данной акции. Тогда покупка акции по цене Б является эквивалентной операцией инвестированию суммы Б в безрисковый актив. Это означает, что выполнено равенство:

Б Ц Б,+д,|Б, _ Б) Б _ Би  р + Бй

Б _-------------------- , или Б _-------------------------.

Г Г

Отсюда получаем, что Г _ ир + й (1 — р). Выражая р из этого равенства, окончательно находим, что вероятности р и (1 — р ) равны

Г — й и — Г

р _-------7 ’ 1 — р _--------1.

и — й и — й

Заметим, что условия отсутствия арбитража (1) обеспечивают положительность выписанных величин. Таким образом, определенные вероятности принято называть нейтральными к риску вероятностями.

Пусть X - индикатор случайного события, состоящего в том, что цена

выросла в течение периода [(/ — 1)Д,/Д?], / _ 1, . . . , П . Тогда нетрудно вы-

X 1 X

числить, что Бг-д _ Б(/—1)д и ' й ' и, прологарифмировав, имеем

1п----------------------------------------------------------------—— _ X I ' 1п-+ 1п й. Полагая значение текущей цены акции неслучай-

Б(г—1) Д? й

ной величиной, равной Б о _ Б , из полученных формул находим, что

А { 1£ ^ £<1Ч)

Б, _ Б,д _ Бо П (и1 й1Ч') _ Б  и й - .

/_1

сет никакой информации для его исследователя. Наоборот, как правило, построенная модель позволяет получать описание процесса эволюции цены на другом более качественном уровне. Неудивительно, что гипотеза случайного блуждания привела к ставшей сегодня классической концепции рационально функционирующего (или эффективного) рынка. В частности, упомянутая выше модель Самуэльсона позволяет оценивать вероятностное распределение будущей цены финансового актива и его числовые характеристики. Это, в свою очередь, дает возможность рассчитать риски будущих финансовых операций и дисконтировать свои активы с учетом рассчитанного риска. Поэтому построение математических моделей финансовых временных рядов является актуальной задачей, требующей разнообразных методов ее решения. Некоторые из них и представлены в настоящей статье.

§ 1. Биномиальная модель эволюции цены акции

Рассмотрим временные ряды цен фондового рынка. Если взглянуть на графики цен акций, то нетрудно заметить, что их поведение носит хаотический

характер. Поэтому значение цены акции Б, в момент времени ? принято считать случайной величиной. Если к тому же рассмотреть эволюцию цены акции во времени Б,, ? е [0, +¥) , то она определяет некоторый случайный процесс.

Разобьем промежуток времени [0,, ] на , промежутков одинаковой

длины Д : ? _ П  Д . Рассмотрим модель эволюции цены конкретной акции, когда нас будут интересовать только цены в начале и конце каждого полученного промежутка (цена открытия и цена закрытия). Предполагая, что цена открытия следующего периода равна цене закрытия предыдущего, в рамках нашей модели нас будут интересовать только , +1 значение цены акции:

Б Б Б Б

°0’°Дп 2-Д?’" ""’ п-Д?*

Будем предполагать, что цена акции внутри каждого промежутка времени может только либо вырасти с коэффициентом и , либо упасть с коэффициентом

й . Если обозначить через Б цену акции в начале периода [?, ? + Д?] (Б? _ Б),

то цена акции Б?+д? в конце равна либо Би, либо Бй. Предположим также, что у любого инвестора в каждом промежутке времени имеется возможность получения гарантированного процента Гу _ Гу (Д?) . Коэффициент роста при инвестировании в безрисковый актив обозначим через Г _ 1 + Гу .

Чтобы исключить возможность арбитража, будем предполагать, что й < 1 < Г < и.

Действительно, если Г > и , то можно продать акции, потом инвестировать вырученную сумму под безрисковый процент, а в конце периода на накоп-

2005. №3 ЭКОНОМИКА

В Удмуртском государственном университете научная работа в данном направлении ведется на кафедре математических методов в экономике Института экономики и управления. На кафедре открыта специализация «Управление финансовыми рисками» по образовательной специальности «Математические методы в экономике». В рамках данной специализации читаются курсы «Теория случайных процессов», «Стохастическая финансовая математика», «Моделирование финансовых технологий», студенты выполняют курсовые и дипломные проекты в области стохастической финансовой математики, проходят производственную практику в банках и инвестиционных компаниях. Все это стимулирует научно-исследовательскую работу студентов, а также аспирантов и преподавателей кафедры по данному направлению. Данный факт подтвержден серией публикаций, в том числе и выходом в свет учебного пособия [2]. Цель настоящей статьи - ознакомить читателя с наиболее интересными научными результатами, полученными на кафедре математических методов в экономике УдГУ в области математического моделирования финансовых временных рядов.

Структура статьи такова. Первые два параграфа посвящены моделям с дискретным параметром времени, в следующих параграфах нами исследуются модели с непрерывным параметром времени. В начале мы даем описание классической биномиальной модели эволюции цены акции. Во втором параграфе описываются условия обобщенной биномиальной модели и сформулированы полученные в рамках ее исследования результаты. Третий параграф посвящен предельному переходу от биномиальной модели к диффузионной модели эволюции цены акции. В четвертом параграфе построен случайный процесс, называемый геометрическим броуновским мостом, с помощью которого удобно моделировать динамику изменения цены облигации.

Следует заметить, что большое количество финансистов довольно скептически относится к построению математических моделей финансовых временных рядов, поскольку не находят в них сколько-нибудь значимого прогноза относительно будущего движения цен на финансовом рынке. Например, Дж. Сорос в своей книге [3] подвергает серьезной критике гипотезу случайного блуждания, на основе которой П. Самуэльсоном [4] построена модель эволюции цены акции, называемая экономическим броуновским движением. Главным аргументом Дж. Сороса против данной гипотезы является то, что она не дает возможности получить какой-либо прогноз о будущих ценах с достаточной надежностью. Действительно, с точки зрения будущего движения цены даже ее направление - вверх или вниз - определяется в этой модели только с вероятностью порядка Это все равно что бросать монету, чтобы прогнозировать, куда пойдет цена: вверх или вниз. Понятно, что для финансового менеджера в момент спекулятивной игры на повышение или понижение данная модель не может дать каких-либо практических рекомендаций по управлению инвестиционным портфелем. Однако это не означает, что построение математической модели финансового временного ряда не не-

ЭКОНОМИКА 2005. №3

УДК 336.7+519.2

А.Ю. Вавилова, А.Н. Лашкарёв, А.В. Лётчиков

ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ФИНАНСОВЫХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

Описаны математические модели эволюции цен на финансовом рынке. В частности, приведены результаты по оценке основных динамических характеристик обобщенной биномиальной модели, когда движение цен на финансовом рынке обладает свойством инертности. Для моделирования эволюции цены облигации построена модель геометрического броуновского моста.

Ключевые слова: финансовый временной ряд, биномиальная модель эволюции цены, нейтральные к риску вероятности, геометрическое броуновское движение, броуновский мост.

Введение

Современная стохастическая финансовая математика сформировалась как бурно развивающаяся область фундаментальной математики, представляющая собой пример успешного применения методов классической теории случайных процессов к анализу динамики рыночных цен активов и хеджированию финансовых обязательств. Это обусловлено сильной конкуренцией между крупными финансовыми корпорациями, определяющей большой спрос на все более изощренные методы анализа финансовых временных рядов, что в свою очередь стимулирует дальнейшее развитие научных исследований в области стохастической финансовой математики.

Повышенный интерес к математическому моделированию процесса эволюции финансовых временных рядов активизировал научную деятельность в этом направлении во всем мире. В этом нетрудно убедиться по многочисленным статьям в журналах, посвященным как экономической тематике, так и теории случайных процессов. Начиная с 80-х годов двадцатого века в западных университетах проявилась тенденция по созданию новых финансово-аналитических и актуарных научных институтов и учебных направлений. В России развитие стохастической финансовой математики связывают с А.Н. Ширяевым, который не только создал научную школу в этой области, но и стал одним из первых инициаторов внедрения созданных им методов на финансовых рынках России и всего мира. Им выпущен замечательный двухтомник, вобравший в себя все наиболее важные открытия в области финансовой математики, опирающейся на результаты стохастического исчисления, теории мартингалов, оптимального стохастического управления и статистики случайных процессов [1].