К вопросу построения таблиц тригонометрических функций без применения числа

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

К ВОПРОСУ ПОСТРОЕНИЯ ТАБЛИЦ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ БЕЗ ПРИМЕНЕНИЯ ЧИСЛА п Драпезо В.Д.

Драпезо Владимир Данилович - инженер-механик, инженер-конструктор, Специализированный строительно-монтажный поезд № 1 ОАО «Трест Белтрансстрой»,

г. Минск, Республика Беларусь

Аннотация: в статье представлено решение задачи, которую не удалось решить математикам древнего мира на протяжении 16-ти веков: найти значение синуса шагового угла с любым числом верных знаков (без нахождения числа п- отношение длины окружности к её диаметру), необходимого для построения таблиц тригонометрических функций. По известным значениям синуса и косинуса 15° и 18° (выраженных в радикалах) находится значение с выбранным числом верных знаков синуса 3°, а затем 1°, 1', 1", используя формулы тригонометрии и метод последовательных приближений. Ключевые слова: синус угла, шаговый угол, число п.

Математики древних времен делали попытки составления таблиц синусов без вычисления числа п (в Индии), но ниже шага 3045: не опускались.

Наибольших успехов в построении таблиц синусов и косинусов достиг математик Ретикус (1514 - 1576 г.) со своими помощниками и построил таблицы с 15-ю верными цифрами, углы шли через 1011, радиус окружности делился на 1015 частей. Искали сначала число п с достаточной точностью, находили радианную меру малого угла, принимали за синус угла величину самого угла и тогда строили таблицы. Но это настолько трудоемко, что, например, упомянутый Ретикус со своими помощниками работал над таблицами в течении 30 лет, таблицы были изданы только в 1596 году его учеником Ото [1, с. 328-330].

Настоящая статья предлагает способ построения таблиц синусов и косинусов элементарной математикой без определения числа п.

Поводом для рассмотрения этого способа явилась кем-то составленная задача: доказать справедливость тождества

С0536° - 517118° = 0.5 В результате решения ее найдено значение 5ш18°в радикалах

П >/5 — 1

517118° = -

4

Это дало возможность определить 8ш3°:

51пЗ° = зт(18° - 15°) = 51тг18°со515° - со518°51тг15° = 0.05233 59562 42943 83272 21186 29609 078, т.к входящие составляющие в приведенной формуле определены в радикалах (позволяющие вычислять их с любым числом верных цифр):

п л/2 - л/3 п л/2 + л/3 п Бт15° =---; С0515 =---; со518° =

5 + л/5

М

Для нахождения 5ш1° рассмотрим формулу синуса тройного угла:

51пЗа = 351па — 4 51п3а,

8

которая представляет собой кубическое уравнение, и по формулам Кардана имеет решение в радикалах, но числовой результат, в конечном счете, приводит к определению значения тригонометрической функции.

Преобразуем формулу синуса тройного угла следующим образом:

51пЗа = 51па

sin3a

5Ыа = 3 — 4sin2a

Обозначим sina = x:

sin3a

x„+i —

3

Таким образом, получили формулу для вычисления синуса угла по известному значению синуса тройного угла методом последовательного приближения к более точному его значению путем подстановки сначала приближенного значения (х0), а потом очередного вычисленного (хп+1).

Для вычисления 5ш1°примем начальное приближенное значение:

х0 = 5Ш1° * 5£п3°/3 = °-0523/з = 0.0174,

Вычисления проводим по рабочей формуле:

бЫЗ0

3 4х,2г

Результаты последовательных вычислений приведены ниже: Xj = 0.01745 23639 17914 32789 65915 05928 806 X2 = 0.01745 24064 02733 98936 97949 91045 545 X3 = 0.01745 24064 37255 43923 67499 34860 47 X4 = 0.01745 24064 37283 49000 79308 31494 062 X5 = 0.01745 24064 37283 51280 08832 61233 037 X6 = 0.01745 24064 37283 51281 94039 17122 119 X7 = 0.01745 24064 37283 51281 94189 66278 02 X8 = 0.01745 24064 37283 51281 94189 78506 372 X9 = 0.01745 24064 37283 51281 94189 78516 308 X10 = 0.01745 24064 37283 51281 94189 78516 316 X„ = 0.01745 24064 37283 51281 94189 78516 316 При Xn = X10 расчет закончен. s¿nl° = 0.01745 24064 37283 51281 94189 78516 316;

cosí0 = Vi ~sin2l° = 0.99984 76951 56391 23915 70115 58813 91. Далее ставим задачу найти значение sinl' и sin1".

sin30' = V( 1 - cosí0)/2 = 0.0087265354 98373 93496 88821 39735 844. Используя формулу (1), определим sin10' по рабочей формуле:

sin30'

Приняв первоначальное приближенное значение 0.0029.

Результаты расчета последовательных приближений приведены ниже: Xj = 0.0029 08877 78434 08667 30548 34320 66166 X2 = 0.0029 08877 98435 74210 60270 73338 33755 X3 = 0.0029 08877 98436 19343 22504 52483 11924 X4 = 0.0029 08877 98436 19344 24343 77888 48792 X5 = 0.0029 08877 9843619344 24346 07683 10495 X6 = 0.0029 08877 98436 19344 24346 07688 29014 X7 = 0.0029 08877 98436 19344 24346 07688 29025 X8 = 0.0029 08877 98436 19344 24346 07688 29025 При X8 = X7расчет закончен. sinlO' = 0.00290 88779 84361 93442 43460 76882 9025 coslO' = 0.99999 57692 05486 23611 59460 12436 12

sin5'

\

1 - cosW

---= 0.00145 44405 30541 535507 62744 90817 1115

Определим формулу вычисления синуса угла по известной величине синуса пятерного (в 5 раз большего) угла по типу формулы (1) (вывод формулы см. приложение 2):

sin5a

Sma ~~ 5 - 20sin2a + 16sin4a ^ Обозначим sina = x, тогда рабочая формула для вычисления значения Бш1:,будет выглядеть следующим образом:

sin5'

Xn+1 = 5 - 20x2 + 16х4 Примем первоначальные значения х0 = s ¿n 1 ' = s ¿n 5 ' /5 = 0.00145 /5 = 0. 0002 9 Результаты расчета последовательных приближений приведены ниже: Xj = 0.00029 08882 03963 09224 47687 36112 59005 X2 = 0.00029 08882 04563 42418 99926 89079 76325 X3 = 0.00029 08882 04563 42459 63740 22324 76527 X4 = 0.00029 08882 04563 42459 63742 97415 55378 X5 = 0.00029 08882 04563 42459 63742 97415 74 X6 = 0.00029 08882 04563 42459 63742 97415 74 При X6 = X5расчет закончен. sinl' = 0.00029 08882 04563 42459 63742 97415 74 cosí' = 0.99999 99576 92025 32795 12624 87173 34

sin30" = V(1 - cosl')/2 = 0.00014 54441 03820 07367 14773 93983 57667 Для нахождения значения sin10'' используем формулу (1), приняв первоначальное приближенное значение

Результаты вычислений последовательных приближений по рабочей формуле:

_ sin30"

Xn+1 = -3 _ 4Т2

ij i ,/v

приводим ниже:

Xj = 0.00004 84813 68091 95290 86694 58097 9336 72 X2 = 0.00004 84813 68091 96148 35411 0972 55971 27 X3 = 0.00004 84813 6809196148 35411 51001 96468 2 X4 = 0.00004 84813 6809196148 35411 51001 96501 9 X5 = 0.00004 84813 6809196148 35411 51001 96501 9 При X5 = X4 расчет закончен. sinlO" = 0.00004 84813 68091 96148 35411 51001 96501 9 eos 10" = 0.99999 99988 24778 47327 52966 51948 49

eos 10"

—-= 0.00002 42406 84053 10278 52020 56404 61511

sinS"

\

Для нахождения значения sin1'' используем формулу (2), приняв первоначальное приближенное значение

х0 = sinl" = sin5"/5 = 0.00002424/5 = 0.000004848

Результаты вычислений последовательных приближений по рабочей формуле

sin5"

Xn+1 = 5 - 20x2 + 16x2

приводим ниже.

Xj = 0.00000 48481 36811 07634 20951 10533 51299 38 X2 = 0.00000 48481 36811 07636 78200 79086 10371 09 X3 = 0.00000 48481 36811 07636 78200 79090 94091 68 X4 = 0.00000 48481 36811 07636 78200 79090 94091 68 При X4 = Xзрасчет закончен. sinl" = 0.00000 48481 36811 07636 78200 79090 94091 68 cosí" = 0.99999 99999 88247 78473 04740 76217 93

Таким образом, значение синусов и косинусов малых углов определены (число верных цифр и шаг угла выбирает составитель по своему желанию) можно строить таблицу.

В данной статье показано, что наряду с традиционным методом построения таблиц синусов и косинусов в те далекие времена, когда еще не была открыта высшая математика гениальным ученым Ньютоном, был и другой способ, менее трудоемкий, но, к сожалению, не открытый в свое время.

Примечание.

Этим способом можно определить значения s in ' ' , s in и т.д.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Доказать: cos 3 60 — s in 1 8 0 = 0 . 5

Рис. 1. Геометрическое представление тождества

OB = R = 1.

LAOK = 180; LBOA = 360 LNOB = 900 - (180 + 360) = 360. BD = cos360 - sin180. Решение:

AAOB - равнобедренный, так как OB = OA = R, LOBA =LOAB = (1800 - 360)/2 = 720.

AOBC - равнобедренный, так как LBOC = LOBC = 360,MC 1OB; OM = MB = 0.5. AABC -

равнобедренный, так как СЛ = L О СЯ = L ВАС = 72 0; AB = BC. AABD = ABMC - по

стороне и 2 углам. Следовательно, BM = BD = 0.5

Определение значений s ¿n 1 8 °и eos 1 8 0 :

eos36° - sinlQ0 = 0.5; eos218° - sin218° - sinlQ0 = 0.5;

1 - sin218° - sin218° - s¿nl8° = 0.5;

l-2sin218°-sinl8° = 0.5; s¿nl8° = x;

1 - 2x2 - x = 0.5; 2x2 + x - 0.5 = 0;

-1± VI-4-2-0.5 -1±V5 n V5-1

x =-=-; s¿nl8° =-;

2-2 4 4

л/5 — 1

5 + л/5

sina

eos 18° = л/l — sin218° =

M

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

2.1 Вывод формулы sin5a:

sin5a = sin(3a + 2а) = s¿n3a  cos2a + cos3a  sin2a = = (3sina — 4sin3 a)(cos2 a — sin2a) + (4eos3a — 3cosa)  2sina  cosa = = 3sina  cos2a — 3sina  sin2a — 4sin3a —6cos2a  sina = 3sin(l — sin2a) — 3sin2a — 4sin3a(l — sin2a) + +4sin5a + 8(1 — sin2a)2sina — 6(1 — sin2a)  sina = 3sina — 3 sin3 a — 3sin3a — 4 sin3 a + 4 sin5 a + 4 sin5 a + 8 sina — —16 sin3 a + 8 sin5a — 6sina + 6sin3a = 5 sina — 20 sin3 a + 16 sin5a;

2.2 Вывод формулы нахождения sina при известном sin5a методом последовательных приближений:

sin5a = sina(5 — 20 sin2a + 16 sin4a); sin5a

sina =

Если sina = x;

5 — 20sin2a + 16sin4a' sin5a

Xn+1 = 5 - 20x„2 + 16x4

sinSa xo ~ ?

Список литературы

1. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. Государственное издательство технико-теоретической литературы. М., 1955 г.