Анализ поведения неточно заданных функций с помощью их граничных функций

УДК 62-50:519.7/8

АНАЛИЗ ПОВЕДЕНИЯ НЕТОЧНО ЗАДАННЫХ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ИХ ГРАНИЧНЫХ ФУНКЦИЙ

© В.И. Левин

Ключевые слова: оптимизация систем; неопределенность; детерминированная функция; интервальная функция; анализ поведения функций.

Рассмотрены существующие подходы к расчету, анализу, синтезу и оптимизации систем в условиях неопределенности. Сформулирована и подробно описана задача вычисления и анализа поведения неполностью определенной функции, заданной с точностью до интервала значений. Для решения этой задачи предложен алгоритм детерминизации, который позволяет свести задачу к двум аналогичным - для верхней и нижней граничных функций исходной неполностью определенной функции. В этом алгоритме использован аппарат интервальной математики и интервально-дифференциального исчисления. Выделены различные типы возможного поведения интервальных функций (постоянство, возрастание, убывание, расширение, сужение) и различные типы экстр е-мальных точек таких функций (например, точка максимума, точка минимума, точка максимального расширения, точка минимального расширения). Доказаны теоремы, позволяющие определять участки различного поведения интервальных функций и точки с различными видами их экстремума. Подробно рассмотрена работа предложенного алгоритма детерминизации, позволяющего анализировать поведение интервальных функций. Работа проиллюстрирована на конкретном примере.

ВВЕДЕНИЕ

В современной науке и практике обработки информации успешно решаются задачи исследования различных систем с полностью определенными (детерминированными) параметрами. Эти задачи обычно формулируются как задачи расчета, анализа и синтеза тех или иных функций с детерминированными параметрами, служащих соответствующими характеристиками изучаемых систем. Но на практике часто встречаются другие системы - системы с неточно известными, т. е. неполностью определенными (недетерминированными) параметрами. Причины появления таких систем заключаются в естественной неопределенности, свойственной многим реальным процессам, происходящим в системах; в неточном задании параметров большинства систем из-за неизбежных погрешностей при их вычислении или измерении; в изменении во времени параметров систем; в необходимости или целесообразности совместного исследования целых семейств однотипных систем, имеющих функции-характеристики одного вида и различающиеся лишь значениями параметров этих функций. Учет неопределенности систем особенно важен при их проектировании, поскольку полная определенность в работе системы появляется лишь на последних этапах ее создания.

Исследование введенных неопределенных систем формулируется в виде задач расчета, анализа и синтеза различных функций с недетерминированными параметрами, служащих соответствующими характеристиками данных систем. Все эти задачи значительно сложнее их вышеупомянутых детерминированных аналогов, которые приходится решать при исследовании систем с детерминированными (точно известными) параметрами. Усложнение связано с тем, что алгебра

недетерминированных чисел сложнее алгебры детерминированных чисел.

В статье рассматриваются задачи расчета и анализа неточно заданных (недетерминированных) функций интервального типа. В качестве математического аппарата широко используется интервальная алгебра и ин-тервально-дифференциальное исчисление.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим обычную (детерминированную) функцию одной независимой переменной

У = /

однозначно отображающую заданное множество X = {х} независимых переменных х в заданное

множество У = {у} зависимых переменных у в соответствии с некоторым законом / , который и называется функцией. Хорошо известно, что задача расчета (вычисления значений) функции (1) решается с помощью адекватного этой задаче математического аппарата алгебры вещественных чисел, при использовании подходящих методов вычисления, а задача анализа поведения функции (1) - с помощью адекватного ей аппарата дифференциального исчисления [1].

Рассмотрим теперь недетерминированную (а конкретно, интервальную) функцию одной независимой переменной [2]

У = /

1762

однозначно отображающую заданное множество X = {х} независимых вещественных (как и в (1)) переменных х в заданное множество Г = зависимых переменных-интервалов у = [у1, у2 ] , в соответствии

с законом /, который и называется интервальной функцией. Согласно определению (2), любую интервальную функцию / можно представить в виде пары обычных функций /1, /2

/ = {/1, /2}, которые имеют вид

У1 = Мх\ У2 = /2(х')'

Из формул (3), (4) видно, что интервальная функция / эквивалентна паре обычных функций /1, /2, где первая однозначно отображает заданное множество X={х} независимых переменных х функции / в множество У1 = {у1} нижних границ интервалов у = [у1,у2] - зависимых переменных этой функции, а вторая однозначно отображает X = {х} в множество Г2 = {у2} верхних границ интервалов у = [у1, у2] -зависимых переменных функции.

Задача настоящей работы заключается в построении двух систематических процедур (алгоритмов), связанных с изучением интервальных функций вида (2). А именно:

1) процедура расчета (вычисления значений) интервальной функции;

2) процедура анализа поведения интервальной функции.

2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕРВАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ

Начнем с решения задачи расчета (вычисления значений) интервальной функции. Здесь возможны два случая.

Случай 1. Интервальная функция задана в разделенном виде, в котором верхняя и нижняя границы интервального значения функции выражены каждая по отдельности. Этот вид представления интервальной функции вытекает из соотношений (2)-(4). Именно из (2), (3) следует явное представление интервальной функции в виде интервала

[ Я, у2] = [/1(хХ Л(х)] =

границы которого согласно (5) выражаются формулами

у = ЛОХ у2 = /2

Итак, вычисление интервального значения У = [у1,у2] интервальной функции (2), соответствующего значению х независимой переменной этой функции, осуществляется по алгоритму:

Шаг 1. Записываем вычисляемую интервальную функцию (2) в разделенном виде (5), (6) с помощью нижней /1 и верхней /2 граничных функций функции (2).

Шаг 2. Вычисляем нижнюю граничную функцию /1 , используя для этого какой-то подходящий известный метод вычисления обычных (детерминированных) функций [3].

Шаг 3. Вычисляем соответствующую верхнюю граничную функцию /2 , используя ту же методику, что и на шаге 2.

Шаг 4. Соединяя вычисленные значения нижней /1 и верхней /2 граничных функций, получим явное представление (5) вычисленной интервальной функции (2) в виде интервала.

Случай 2. Исходная интервальная функция задана в неразделенном виде, т. е. как суперпозиция элементарных интервальных функций: интервального сложения и вычитания, умножения интервала на вещественное число, умножения и деления интервалов [4]. В этом случае перед вычислением интервальная функция приводится к разделенному виду, после чего к функции применяется 4-шаговый алгоритм случая 1. Приведение любой интервальной функции к разделенному виду можно осуществить с помощью формул интервальной математики, выражающих результаты элементарных преобразований интервалов [4]

к • [а, а2 ] =

[а, а ] + [Ь, Ь ] = [а + Ь, а2+ Ь ]; [а, а ]_ [Ь, Ь ] = [а _ Ь, а _ Ь ]; Г[ка, ка2 ], к > 0,

[[к^2, ка1 ], к < 0; [а, а ] • [Ь, Ь ] = [шт(а. • Ь ), шах (а, • Ь)];

[а, а ] / [Ь, Ь ] = [а, а ] • [1 / Ь ,1 / Ь ]

Пример 1. Привести к разделенному виду интервальную функцию

у = ([2,3]х + [1,2]х) • ([5,7]х + [4,6]х) в области х > 0 .

Решение. Применяя к заданной интервальной функции последовательно третью, первую и четвертую формулы из (7), получим нужный нам вид функции

у = [ у, у2 ] = ([2х, 3х] + [ х, 2х]) • ([5х, 7 х] + [4х, 6х]) = = [3х, 5х] • [9х, 13х] = [шт(3 • 9х2,3 • 13х2,5 • 9 х2,5 • 13х2), тах(3 • 9х2,3 • 13х2, 5 • 9 х2, 5 • 13х2)] = [27 х2, 65х2 ]

Таким образом, у1 = 27х2, у2 = 65х2 и, наконец, разделенная форма заданной интервальной функции

= [уl, у2] = [27х2,65х2].

3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ АНАЛИЗА ПОВЕДЕНИЯ ИНТЕРВАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ: СРАВНЕНИЕ ИНТЕРВАЛОВ

Перейдем к описанию уже упомянутой в п. 1 задачи анализа поведения интервальной функции. Постановка

1763

этой задачи аналогична постановке задачи анализа поведения обычной детерминированной функции и включает, в первую очередь, отыскание:

1) интервалов возрастания функции;

2) интервалов убывания функции;

3) интервалов постоянства значений функции;

4) точек максимума функции;

5) точек минимума функции.

Кроме того, постановка задачи анализа поведения интервальной функции может включать отыскание особых интервалов (особых точек) такой функции. Существование таких интервалов (таких точек) связано с интервальным характером этой функции. У обычных детерминированных функций такие интервалы (точки) отсутствуют.

Очевидно, что решение задач анализа поведения интервальной функции требует сравнения величин интервалов. В связи с этим ниже кратко изложены основные результаты теории сравнения интервалов [5-6]. Данные результаты составляют теоретическую базу детерминизационного подхода к принятию решений в условиях интервальной неопределенности. Теоретические основы других возможных подходов к принятию решений в условиях неопределенности можно найти в литературе [7-10]. Принятие решений в условиях неопределенности является важной составной частью онтологии проектирования [11].

Рассмотрим два интервала ~ = [аьа2] и Ь = \ЬХ, Ь2]. Попытаемся сравнить величины этих двух интервалов, рассматривая их как интервальные числа. Прямое

сравнение интервалов аУ и Ь на основе отношений отдельных пар вещественных чисел (а[, Ь^) , где

а! е у, Ьj е Ь , не всегда возможно, т. к. в общем случае одни пары чисел будут находиться в отношении (ц > Ьj), а другие - в противоположном отношении

а < Ьj). Поэтому остается только реализовать сравнение интервалов на теоретико-множественном уровне, рассматривая каждый из интервалов как единое целое, не делимое на части. При этом операции нахождения максимума V и минимума Л интервалов ~ = \а1, а2] и

Ь = \Ь, Ь2 ] можно ввести в виде теоретико-множественных конструкций

а v Ь = {а v Ь | а е а,Ь е Ь}, а л Ь = {а л Ь | а е а\,Ь е Ь}

Таким образом, взятие максимума (минимума) двух

интервалов а и Ь определяется, согласно (8), как нахождение множества максимумов (минимумов) двух точных величин а и Ь , при условии, что эти величины пробегают все возможные значения соответственно

из интервалов аУ и Ь . Теперь для того, чтобы интервалы аУ и Ь можно было сравнить по величине, при

этом установив отношение у > Ь или у < Ь , нужно, чтобы 1) введенные операции V,Л над этими интервалами существовали; 2) эти операции давали в результате один из операндов: ~ или Ь ; 3) указанные две опе-

рации были согласованы, т. е. если большим (меньшим) оказывается один интервал, то меньшим (большим) является другой из них. Сформулированное условие сравнимости величин интервалов является, очевидно, необходимым и достаточным.

Нетрудно доказать, что условие согласованности операций V , Л над интервалами всегда выполняется. Очевидно также, что эти операции существуют для любой пары аУ,Ь , причем результатом операции в общем случае является некоторый новый интервал, отличный как от аУ , так и от Ь . Таким образом, необходимым и достаточным условием сравнимости интервалов аУ и Ь оказывается условие, по которому операции а v Ь и а л Ь должны иметь своим результатом один из интервалов - аУ или Ь . Из этой формулировки условия сравнимости выводятся различные его конструктивные формы, удобные для практического применения. Эти формы содержатся в следующих теоремах 1-4.

Теорема 1. Для того чтобы два интервала у = \ах,а2] и Ь = \Ь,Ь2] б^1ли сравним^1 по величине и

находились в отношении у > Ь , необходимо и достаточно выполнения условий

а1 > Ь, а2 > Ь2,

а для того чтобы эти интервалы были сравнимы по величине и находились в отношении аУ < Ь , необходимо и достаточно выполнения условий

аг < Ь, а2 < Ь2.

Из этой теоремы вытекает, что любые интервалы а,Ь сравнимы по величине (по отношению > или < ) и находятся в этом отношении только тогда, когда в таком же отношении находятся их одноименные гра-ниц^1 а1,Ь1 и а2,Ь2.

Значение теоремы 1 в том, что она сводит сравнение интервалов и выбор большего (меньшего) из них к очевидной операции сравнения границ указанных интервалов, являющихся вещественными числами.

Теорема 2. Для того чтобы два интервала

~ = \а{,а2] и Ь = \Ь,Ь2] были несравнимы по величине (по отношению > или < ), т. е. не находились в отношении у > Ь или у < Ь , необходимо и достаточно выполнения следующих условий

Интервала: у и Ь не сравнимы по отношениям > и < лишь тогда, когда один из них полностью «накрывает» другой. Смысл теоремы 2 в том, что она выявляет существование случаев несравнимости интервалов по отношениям > и < , в отличие от обычных вещественных чисел, которые всегда сравнимы по этим отношениям. Несравнимость некоторых интервалов -это естественный результат того, что интервальные числа, в отличие от вещественных чисел, задаются не

1764

точно, а с неопределенностью (число принимает некоторое значение в заданном интервале, но при этом не уточняется, какое именно это значение).

Будем рассматривать теперь систему нескольких интервалов

~1 = [а11,а12], у2 = [а21,а22], а3 = [а31,аз2],...

Сравнение по отношениям >, < величин интервалов системы (12), рассматриваемых как интервальные числа, можно реализовать в результате попарного сравнения указанных интервалов, выполняемого в соответствии с предложениями 1, 2. Главные результаты, получаемые этим путем, содержатся в теоремах 3 и 4.

Теорема 3. Для того чтобы в системе нескольких интервалов (12) существовал максимальный интервал, который бы находился со всеми остальными интервалами в отношении > , и этим интервалом являлся у1, необходимо и достаточно, чтобы границы этого интервала были расположены относительно одноименных границ всех остальных интервалов согласно условиям

а,, > а,,, а,, > а,,, а,, > аД1

11 21 11 31 11 41

а12 > а22, а12 > a32, а12 > а42-.

Теорема 4. Для того чтобы в системе нескольких интервалов (12) существовал минимальный интервал, который бы находился со всеми остальными интервалами в отношении < , и этим интервалом являлся у1, необходимо и достаточно, чтобы границы этого интервала были расположены относительно одноименных границ всех остальных интервалов согласно условиям

а11 < a21, а11 < a31, а11 < а41 — а12 < а22, а12 < а32, а12 < а42,...

Как показывают теоремы 3, 4, интервал является максимальным (минимальным) в системе (12) только тогда, когда максимальны (минимальны) его нижняя граница - среди нижних границ всех интервалов и верхняя граница - среди верхних границ всех интервалов. Подобно случаю сравнения двух интервалов, сравнение любого числа интервалов не выявит экстремального интервала, если интервалы, входящие в систему, попарно не сравнимы.

До сих пор мы рассматривали процедуры выделения, вообще говоря, нестрого максимального (или нестрого минимального) интервала, основанные на теоретико-множественных операциях (8) вычисления нестрогого максимума (нестрогого минимума) двух интервалов.

Аналогично этому вводятся процедуры выделения строго максимального (строго минимального) интервала, т. е. единственного интервала, являющегося максимальным (минимальным).

Будем считать равными по определению совпадающие интервалы, т. е. для произвольных интервалов

у = [а1, а2] и Ь = [Ь1,Ь2] условие их равенства вводится

таким образом:

Из выражения (15) видно, что неравными являются интервалы, удовлетворяющие следующему условию:

Теперь определение того факта, что некоторый интервал ау является строго максимальным из двух интервалов а, Ь можно записать в виде

аналогичным образом, определение того, что некоторый интервал у является строго минимальным из

двух интервалов а,Ь , запишем в виде

Здесь V ил - теоретико-множественные операции (8) нахождения максимума и минимума двух интервалов.

Из формулировки условий (17), (18) сравнимости интервалов в виде строгих неравенств между ними можно вывести различные конструктивные формы этих условий, удобные для практики. Такие формы содержатся в теоремах 5-8, которые подобны теоремам 1-4, дающим удобные конструктивные формы сравнимости интервалов в виде нестрогих неравенств.

Теорема 5. Для того чтобы два интервала

у = [а, а ], Ь = [Ь ] были сравнимы по величине и

находились в отношении у > Ь , необходимо и достаточно выполнения условий

а для того чтобы эти интервалы были сравнимы по

величине и находились в отношении а < Ь , необходимо и достаточно выполнения условий

Из теоремы 5 ясно, что интервалы у и Ь сравнимы по величине (по отношению > или < ) и находятся в указанном отношении лишь тогда, когда в том же отношении находятся их нижние границы а1,Ь1 (при этом верхние границы а2 , Ь2 находятся в соответствующем нестрогом отношении - для > это > , а для < это < ) или же, наоборот, их верхние границы а2, Ь2 (при этом нижние границы а1,Ь1 находятся в соответствующем нестрогом отношении).

Теорема 6. Для того чтобы два интервала

у = [а1, а2] и Ь = [Ь, Ь2 ] были не сравнимы по величине (по отношению > или < ), т. е. не находились в отношении у > Ь или а < Ь , необходимо и достаточно выполнения следующих условий

1765

или

Итак, произвольные интервалы ау и Ь не сравнимы по отношениям > и < только в тех случаях, когда один из них полностью «накрывает» другой либо когда интервалы равны между собой.

Значение теоремы 6 в том, что оно показывает существование случаев несравнимости интервалов по отношениям > и < даже тогда, когда сравниваемые интервалы не равны между собой, а только «накрывают» один другой. Эта ситуация отличается от ситуации со сравнением вещественных чисел, где неравные числа всегда сравнимы по > и < .

Рассмотрим теперь систему нескольких интервалов (12). Сравнение по отношениям > и < величин интервалов системы (12), рассматриваемых как интервальные числа, реализуется путем попарного сравнения этих интервалов, в соответствии с теоремами 5 и 6. Основные результаты, получаемые этим путем, изложены в теоремах 7, 8.

Теорема 7. Для того чтобы в системе нескольких интервалов (12) существовал максимальный интервал, который находился бы со всеми остальными интервалами в отношении > , и этим интервалом был а1, необходимо и достаточно, чтобы границы этого интервала были расположены относительно одноименных границ всех остальных интервалов в соответствии с условиями

(«11 > «41, «12

> «42) или (а„ > «41, «12 > «42) I

Теорема 8. Для того чтобы в системе нескольких интервалов (12) существовал минимальный интервал, который находился бы со всеми остальными интервалами в отношении < , и этим интервалом был а1, необходимо и достаточно, чтобы границы данного интервала были расположены относительно одноименных границ всех остальных интервалов согласно условиям

(«11 < «41, «12 < «42) или («11 < «4l, «12 < «42) I

4. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ АНАЛИЗА ПОВЕДЕНИЯ ИНТЕРВАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ.

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ И АЛГОРИТМ

В предыдущем параграфе мы изложили вспомогательный для задачи анализа поведения интервальной функции материал, который связан со сравнением интервальных величин. Теперь займемся собственно анализом поведения интервальных функций.

Рассмотрим произвольную интервальную функцию (2). Будем полагать, что эта функция задана в разделенном виде (5), (6). Это не ограничивает общности

рассмотрения, т. к. функция, заданная в неразделенном виде, всегда сводится к разделенному виду (п. 2). Будем также полагать, что нижняя и верхняя граничные функции интервальной функции непрерывны и дифференцируемы. Сформулируем условия, при которых функция возрастает, убывает, остается постоянной, достигает максимума (минимума), ведет себя иным способом. По аналогии с детерминированными функциями [1] введем понятия возрастания, убывания, постоянства, максимума и минимума интервальной функции.

Определение 1. Интервальная функция у = / (х) называется возрастающей на интервале (а, Ь), если для любых точек х1 и х2 из указанного интервала, для которых х1 < х2, выполняется неравенство / (х1) < / (х2).

Определение 2. Интервальная функция у = /(х) называется убывающей на интервале (а, Ь) , если для любых х1 и х2 из данного интервала, для которых х1 < х2 , выполняется неравенство /(х) > /(х2) .

Определение 3. Интервальная функция у = = / (х) называется постоянной на интервале («, Ь) , если для любых х1 и х2 из этого интервала, для которых х1 < х2, выполняется неравенство /(хх) = /(х2) .

Определение 4. Точка х = х0 называется точкой максимума заданной интервальной функции у = / (х) , а само число /(х0) - максимумом этой функции, если для всех х из некоторой окрестности х0 , не совпадающих с х0 , истинно строгое неравенство /(хо) > /(х).

Определение 5. Точка х = х0 называется точкой минимума интервальной функции у = /(х) , а число / (х ) - минимумом этой функции, если для всех точек х из некоторой окрестности точки х0 , не совпадающих с х0 , выполняется строгое неравенство

/(хо) < /(х) .

Введем теперь понятия расширения и сужения интервальной функции, которые не применимы к детерминированным функциям.

Определение 6. Интервальная функция у = /(х) называется расширяющейся на интервале («, Ь), если для любых точек х1 и х2 из этого интервала, для которых х1 < х2, /(х2) полностью «накрывает» /(х1).

Определение 7. Интервальная функция у = /(х) называется сужающейся на интервале («, Ь), если для любых х1 и х2 из данного интервала, для которых х1 < х2, /(х1) полностью «накрывает» интервал /(х2) .

Определение 8. Точку х = х0 назовем точкой максимального расширения интервальной функции

1766

у = /(х), а число Дх0) = /2(х0)-/1(х0) - максимальной шириной указанной функции, если для всех точек х из некоторой окрестности точки х0 , не совпадающих с х0 ,

интервал / (х0) полностью «накрывает» интервал / (х) .

Определение 9. Точку х = х0 назовем точкой максимального сужения интервальной функции у = / (х), а число й(х0) = /2(х0) - /1(х0) - минимальной шириной

интервальной функции /(х), если для всех точек х , лежащих в некоторой окрестности точки х0 и не совпадающих с х0, интервал /(х) полностью «накрывает» .7(х0).

Сформулируем и докажем условия, которые определяют то или иное поведение интервальной функции.

Теорема 9. Для того чтобы интервальная функция

у = /(х) являлась возрастающей на интервале (а, Ь), необходимо и достаточно, чтобы на данном интервале ее нижняя граничная функция /1(х) была возрастающей, а верхняя граничная функция /2 (х) - неубывающей либо, наоборот, функция /2 (х) была возрастающей, а /1( х) - неубывающей.

Доказательство. Представим нашу интервальную функцию уу = / (х) в интервальной форме (5): у = [/1(х),/2(х)]. Возрастание данной функции на интервале (а, Ь) согласно определению (1) означает, что для любых х1 , х2 из этого интервала, таких, что х1 < х2 , выполняется неравенство [/1(х1), /2(х1)] < < [/1(х2),/2(х2)], которое, по теореме 5, ведет к следующим двум возможным вариантам:

/1

или /

Итак, либо на всем интервале (а, Ь) нижняя граничная функция /1(х) нашей интервальной функции у = / (х) является возрастающей, а верхняя граничная функция /2(х) - неубывающей либо наоборот, /2(х) является возрастающей, /1 ( х) - неубывающей, что и требовалось доказать.

Теорема 10. Для того чтобы интервальная функция

у = /(х) была убывающей на интервале (а, Ь), необходимо и достаточно, чтобы на указанном интервале ее нижняя граничная функция /1(х) была убывающей, а верхняя граничная функция /2 (х) - невозрастающей либо, наоборот, функция /2 (х) была убывающей, а функция /1(х) - невозрастающей.

Доказательство аналогично доказательству теоремы 9, однако использует определение 2 вместо определения 1.

Теорема 11. Для того чтобы интервальная функция у = / (х) была постоянной на интервале (а,Ь), необходимо и достаточно, чтобы на этом интервале ее нижняя /1(х) и верхняя /2(х) граничные функции также были постоянными.

Доказательство следует из определения интервала как множества всех вещественных чисел между заданными двумя числами - границами интервала, включая сами границы.

Теорема 12. Для того чтобы точка х = х0 являлась

точкой максимума интервальной функции у = /(х), а

число /(х0) - максимумом указанной функции, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке достигала максимума ее нижняя граничная функция /1(х) и не достигала минимума ее верхняя граничная функция /2 (х) или, наоборот, достигала максимума ее верхняя граничная функция /2(х) и не достигала минимума ее

нижняя граничная функция /1(х) .

Доказательство. Представим нашу интервальную функцию у = /(х) в интервальной форме (5): у = = [/1 (х), /2 (х)]. Существование максимума этой функции в точке х = х0 по определению 4 означает, что для всех точек х из некоторой окрестности точки х0 , не совпадающих с х0 , выполняется интервальное

неравенство /(х0) > /(х) или же, в интервальной фор-

Ш^Х /2(х0)] > [/1(x), /2 (х)] , причем последнее неравенство, согласно теореме 5, эквивалентно условию

или

Условия левой скобки говорят, что в точке х0 функция /1 ( х) обращается в максимум, функция /2 (х) при этом не обращается в минимум, а условия правой скобки показывают, что в точке х0 функция /2 (х) обращается в максимум, а функция /1 (х) не обращается в минимум, что и требовалось доказать.

Теорема 13. Для того чтобы х = х0 была точкой минимума интервальной функции у = / (х), а число / (х0) -минимумом этой функции, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке достигала минимума ее нижняя граничная функция /1(х) и не достигала максимума верхняя граничная функция /2 (х) либо, наоборот, достигала минимума /2(х) и не достигала максимума /1(х) .

Доказательство теоремы 13 аналогично доказательству теоремы 12, с использованием определения 5. Теорема 14. Для того чтобы интервальная функция

у = / (х) являлась расширяющейся на интервале (а, Ь), необходимо и достаточно, чтобы на этом интервале была

1767

убывающей ее нижняя граничная функция /1( х) и была возрастающей ее верхняя граничная функция /2 ( х) .

Доказательство. Для любых точек х1, х2 из интервала («,Ь), таких, что х1 < х2, в силу расширения / на этом интервале должно выполняться условие: интервал / (х ) полностью «накрывает» / (х ) . Выражая интервалы в интервальной форме / (х) = \ / (х), /2 (х)],

/ (х2) = \/1 (х2), /2 (^)], имеем следующее условие «накрытия» интервалов:

/1(х2) < /l(x1), /2(х2) > /2(х1) .

Первое из приведенных неравенств показывает, что функция /1 ( х) является убывающей, а второе - что

функция /2 (х) является возрастающей. Что и требовалось доказать.

Теорема 15. Для того чтобы интервальная функция

у = / (х) являлась сужающейся на интервале («,Ь), необходимо и достаточно, чтобы на этом интервале убывала ее верхняя граничная функция /2 (х) и возрастала ее нижняя граничная функция /1(х) .

Доказательство аналогично доказательству теоремы 14.

Теорема 16. Для того чтобы х = х0 была точкой максимального расширения интервальной функции У = /(х) , а число Дх) = /2 (х)- /1 (х) максимальной шириной этой функции, необходимо и достаточно, чтобы в некоторой окрестности точки х0 слева функция У = /(х) была расширяющейся, а в некоторой окрестности х0 справа она была сужающейся.

Теорема 17. Для того чтобы точка х = х0 была точкой максимального сужения интервальной функции у = /(х), а число ё(х0) = /2(х0)-/1(х0) минимальной шириной данной функции, необходимо и достаточно, чтобы в некоторой окрестности точки х0 слева функция

у = / (х) была сужающейся, а в некоторой окрестности х0 справа - расширяющейся.

Доказательства теорем 16, 17 вытекают из определений 8, 9 точек максимального расширения и сужения интервальной функции.

Анализ поведения интервальной функции

у = /(х), как показывает изложенный в этом параграфе материал, всегда сводится к анализу поведения двух обычных детерминированных функций: нижней /1(х) и верхней /2(х) граничных функций функции

/ (х) . Это позволяет нам использовать для анализа поведения интервальных функций хорошо известные и разработанные методы анализа поведения обычных (детерминированных) функций, основанные на приме-

нении классического дифференциального исчисления [1]. Алгоритм анализа поведения произвольной интервальной функции опишем следующим образом.

Шаг 1. Проверка формы, в которой записана интервальная функция у = /(х), подлежащая анализу. Если она неразделенная, т. е. не имеющая вид интервала

У = \У1,У2] = \/1(х),/2(х)], где У1 = /1(х) и У2 = /,(х) -

соответственно нижняя и верхняя граничные функции заданной интервальной функции, то переход к шагу 2. Если она разделенная, т. е. имеющая указанный вид, то переход к шагу 3.

Шаг 2. Приведение функции у = /(х) из неразделенного вида к разделенному с помощью основных формул интервальной математики (7).

Шаг 3. Анализ поведения нижней граничной функции у1 = /1(х) интервальной функции у = /(х) с помощью известных методов анализа поведения обычных (детерминированных) функций, на основе классического дифференциального исчисления. В ходе анализа устанавливаем интервалы возрастания и убывания функции /1 и точки ее максимумов и минимумов.

Шаг 4. Анализ поведения верхней граничной функции у2 = /2(х) той же самой интервальной функции. Он выполняется теми же методами и по той же программе, что и предыдущий шаг.

Шаг 5. Составление сводной таблицы поведения граничных функций у1 = /(х), у2 = /2(х) путем заполнения в ней первых 3 строк (табл. 1), в соответствии с результатом анализа функций /1(х) и /2(х) (шаги 3, 4).

Шаг 6. Анализ табл. 1 с помощью теорем 9-15, позволяющих идентифицировать последовательные интервалы (-<»,х1),(х1,х2),...,(хи,ю) в ней как интервалы возрастания, убывания, расширения или сужения анализируемой интервальной функции у = /(х), а промежуточные точки х1,...,хп между интервалами как точки

максимума (минимума) у = / (х) или точки максимума (минимума) ее расширения или сужения. Например, если на интервале (х^, хг-+1) функция /2(х) возрастает, а на соседнем интервале (хг+1,хг+2) убывает, так что в точке хг+1 она максимальна, и при этом функция /1(х) на обоих интервалах постоянна, то, по теоремам 9, 10, 12, интервальная функция у = /(х) на интервале (х1, хг+1) возрастает, достигает максимума в точке хг+1, затем на интервале (хг+1, х^+2) уб^1вает.

После выполнения шага 6 заполняем четвертую строку сводной таблицы поведения и на этом анализ поведения данной интервальной функции заканчивается. Возможн^1й вид четвертой строки сводной таблицы поведения проиллюстрирован в табл. 1. По результатам

анализа можно вычертить график функции у = /(х) (рис. 1).

1768

Таблица 1

Сводная таблица поведения интервальной функции

У (-да, х1) х1 (x1, х2) х2 (x2, х3) хз (х3, х4) (хя-1, хп ) хп (хп,

У1 = /1(х) монотонная возможный экстремум /1 или /2 монотонная возможный экстремум /1 или /2 монотонная возможный экстремум /1 или /2 монотонная монотонная возможный экстремум /1 или /2 монотонная

У2 = /2(х) монотонная возможный экстремум / или /2 монотонная возможный экстремум /1 или /2 монотонная возможный экстремум /1 или /2 монотонная монотонная возможный экстремум /1 или /2 монотонная

У = / (х) возрастание максимум убывание минимум расширение максимальное расширение сужение сужение максимальное сужение расширение

Я = 1\

Рис. 1. Пример интервальной функции у = /

1769

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной статье разработаны систематические методы решения задач анализа поведения недетерминированных функций интервального типа, в которых функции определяются с точностью до интервала возможных значений. В качестве математического аппарата используются интервальная алгебра и дифференциальные характеристики верхней и нижней границ интервальных функций, которые можно рассматривать как специальное дифференциальное исчисление для неполностью определенных функций интервального типа.

ЛИТЕРАТУРА

1. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: в 3 т. М.: Физматлит, 2001. Т. 1. 616 с.

2. Левин В.И. Интервальная производная и начала недетерминистского дифференциального исчисления // Онтология проектирования. 2013. № 4. С. 72-84.

3. Милн В.Э. Численный анализ. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1980. 350 с.

4. Алефельд Г., Херцбергер Ю. Введение в интервальные вычисления. М.: Мир, 1987. 360 с.

5. Левин В.И. Интервальные методы оптимизации систем в условиях неопределенности. Пенза: Изд-во Пенз. технол. ин-та, 1999. 101 с.

6. Левин В.И. Оптимизация в условиях интервальной неопределенности. Метод детерминизации // Автоматика и вычислительная техника. 2012. № 4. С. 157-163.

7. Tsoukias A., Vincke P. A Characterization of PQI Interval Orders // Discrete Applied Mathematics. 2003. № 127 (2). P. 387; 397.

8. Ozturk M., Tsoukias A. Positive Negative Reasons in the Interval Comparisons: Valued PQI Interval Orders. LAMSADE-CNRS: Universite Paris Dauphine, 2004. 7 p.

9. Davidov D. V. Identification of Parameters of Linear Interval Controllable Systems with the Interval Observation // Journal of Computer and Systems Sciences International. 2008. V. 47. № 6. P. 861-865.

10. Пиявский С.А. Простой и универсальный метод принятия решений в пространстве критериев «стоимость-эффективность» // Онтология проектирования. 2014. № 3. С. 89-102.

11. Боргест Н.М. Ключевые термины онтологии проектирования // Онтология проектирования. 2013. № 3 (9). С. 9-31.

Поступила в редакцию 4 сентября 2015 г.

Levin V.I. ANALYSIS OF BEHAVIOUR OF INACCURATELY GIVEN FUNCTIONS WITH THE HELP OF THEIR BOUNDARY FUNCTIONS

The existing approaches to the calculation, analysis, synthesis and optimization of systems under conditions of uncertainty are considered. The problem of calculating and analyzing the behavior of not fully determined function specified up to a range of possible values is formulated and described in detail. To solve this problem, an algorithm of determination is proposed, which reduces the problem to two similar problems - the upper and lower boundary functions of the original incompletely defined function. This algorithm uses means of interval mathematics and interval-differential calculus. We highlighted the different types of possible behaviour of interval functions (consistency, increase, decrease, expansion, contraction) and various types of extreme points of these functions (the maximum point, minimum point, the point of maximum expansion, the point of minimum expansion). The theorems admitting to allocate areas in the different behavior of interval functions and points of their various extreme are proved. The execution of the proposed determination algorithm that allows analyze behavior of interval functions is described. This operation is illustrated by the example.

Key words: problem of system optimization; uncertainty; deterministic function; interval function; analysis of functions' behaviour.

Левин Виталий Ильич, Пензенская государственная технологическая академия, г. Пенза, Российская Федерация, доктор технических наук, профессор, советник ректора по науке, заслуженный деятель науки РФ, e-mail: levin@pgta.ru

Levin Vitaliy Ilyich, Penza State Technological Academy, Penza, Russian Federation, Doctor of Technics, Professor, Science Advisor of Rector, Honored Worker of Science of Russian Federation, e-mail: levin@pgta.ru

1770