МЕОН И ЭЙДОС В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ

НА УНИВЕРСИТЕТСКИХ ПЕРЕКРЕСТКАХ

ББК 87.252:22.1

С Р. Когаловский МЕОН И ЭЙДОС В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ

Показывается гуманитарная природа математической деятельности.

Ключевые слова: научная деятельность, учебная деятельность, меон, эйдос, творческий продукт, мета-модель.

The humanitarian nature of mathematical activity is shown in the article.

Key words: scientific activity, educational activity, meon, еidos, creative product, meta-model.

Человеческое мировосприятие, человеческое мышление, человеческая деятельность пронизываются моделированиями. Ведь знания о вещах не имманентны им. Знания «не являются и результатом простой регистрации наблюдений. Процесс познания невозможен без структурации, осуществляемой благодаря активности субъекта» [17, с. 90]. Знания о вещах формируются как их модели. А значит, предмет познавательной деятельности, предмет всякой деятельности, не сам по себе, но с ее субъектом и со своим инструментарием должны рассматриваться как образующие единую систему, развивающуюся вместе со своими компонентами. И потому в исследованиях, посвященных моделированию, субъектный план должен играть не вторичную, а ведущую роль1. Это отвечает пониманию роли моделей и самого моделирования как всего того, что создается путем самопреобразований деятеля в процессе осуществляемой им деятельности (М. Вартофский [2]). Моделирование — это сложная рефлексивная деятельность, это взаимодействия субъекта и предмета деятельности, это анализ взаимоотношений между объектом и его моделью, это и языки, и «технологии» поисково-исследовательской деятельности, и навыки такой деятельности. Все это говорит и о том, что всякая наука является гуманитарной и что традиционное разделение наук на естественные и гуманитарные основано не столько на различии стратегий научной деятельности, сколько на различии предметов наук.

Гуманитарное начало наук в «чистой» форме предстает на их мета-предметных уровнях. На этих уровнях осуществляются их взаимодействия, их взаимные обогащения орудийными средствами и энергией воплощения таких средств.

Глубокие исследования в области литературоведения несут в себе богатейший материал, относящийся к процессам и инструментариям моделирования, и проявляют многомерные полифонические взаимодействия его механизмов. Раскрывая глубинные смыслы исследуемых произведений и средства их воплощения, их стили, авторы открывают (= созидают) мета-смыслы этих произведений и мета-средства их воплощения. Тем самым они созидают

© Когаловский С. Р., 2016

1 Осознание этого не могло не привести к сплетению в таких исследованиях эпистемологического анализа с когнитивистским и обращенности к проблемам реальности наук.

их мета-модели, еще более проявляющие и усиливающие их символическое звучание. Они не изменяют «плоть» исследуемых произведений, но развивают и преображают их «ауру» и тем самым становятся смиренными соавторами, но дерзновенными наследниками творцов этих произведений.

В ряду таких исследований особое место занимают те, в которых обосновывается необходимость обогащения концептуального арсенала литературоведения и осуществляется такое обогащение, несущее и возможность далеко идущего обогащения строящихся мета-моделей исследуемых произведений. К таким работам относится монография В. П. Ракова «Меон и стиль» [18]. Обращаясь к идее меона, автор «возводит внушительную по убедительности методологическую базу... исследований поэтики и культуры» [16] и осуществляет теоретический анализ стилей произведений начала ХХ в., характеризуемых открытой формой. Такие произведения «конструируются в модусе преодоления собственных пределов, за счет чего максимально "усиливается резонирующая способность "текста", позволяющая. читателям услышать и пережить дремлющие в нем обертоны культуры"» [18, с. 51]. Цитируемое в полной мере относится и к самой этой монографии, погружаясь в которую невозможно не услышать звучащие в ней обертоны культуры.

Автор пишет: «... меональная стихия оказывает постоянное воздействие на воображение. творческой личности. Эта мглистость, вторгающаяся в сознание художника, должна быть не столько подавлена, потому что ее аннигиляция может разрушить самое способность к эстетической деятельности, сколько подвергнута своеобразной обработке со стороны... инаковости, то есть эйдоса, этого мыслительно-светового начала» [18, с. 84]. Его исследования имеют не только литературоведческую ценность. Блестящий анализ рассматриваемых в монографии произведений возносит читателя к ее метапредметному началу, представляемому тезисом «Благодаря единству. меона и эйдетики только и возможен акт творения» [там же], и несет видение высокой его эффективности и как орудия научной деятельности, и как эпистемологического орудия.

За процессами моделирования, за процессами взаимодействий моделей и их прообразов скрываются взаимодействия меона и эйдоса. Начальные формы таких взаимодействий, взаимодействий чувственного и рационального, дионисийского и аполлонического, усматриваются уже в начальных формах мышления, являющегося «процессом непрерывно совершающегося обратимого перевода с собственно психологического языка пространственно-предметных структур. то есть языка образов, на психолингвистический, символически-операторный язык»2 (Л. М. Веккер [3, с. 134]), Точнее говоря, мышление — это процесс развивающегося взаимного моделирования взаимонепереводимых языка образов и символически-операторного языка, сопровождающийся развитием самих этих языков. Это процесс взаимодействий разнонаправленных и, что особенно существенно, разнохарактерных, инаковых по отношению друг к другу, процессов моделирования3, продукты которых

2 Шире говоря, «никакое мыслящее устройство не может быть одноструктурным и одноязычным: оно... должно включать в себя разноязычные и взаимонепереводимые семиотические образования. Обязательным условием любой интеллектуальной структуры является ее внутренняя семиотическая неоднородность» (Ю. М. Лотман [15, с. 38—39]).

3 В таком процессе язык образов может обретать черты рационального образования и многократно меняться ролями с символически-операторным языком. Каждый их этих языков может представлять совокупность нескольких языков, и на разных стадиях процесса активизируются разные из них.

инаковы по отношению к их прообразам. В синергии этих процессов источник креативности.

«Стержень» исторического процесса развития науки состоит из процессов формирования фундаментальных научных понятий. Это процессы длительных, мучительных поисков «адекватного» представления прото-понятий в рациональной форме и рационального начала в образной форме. Это процессы мучительных поисков продуктивного синтеза образа и Слова, рационального и образного начал. Это процессы активных взаимодействий меона и эйдоса4. Такие процессы сопровождаются смысловыми скачками. И в этом объяснение агенетичности рождаемых ими творческих продуктов (в смысле А. Ф. Лосева [14]).

Особый характер предмета математики рождает особый характер ее методологии. Он делает не просто естественными, но важными исследования, посвященные эпистемологическому анализу процессов моделирования в математике, их особенностей, анализу сложных полифонических взаимодействий механизмов и направлений деятельности, участвующих в таких процессах и скрытых в их продуктах, анализу особенностей взаимодействий меонального и эйдетического начал в математической деятельности (см., в частности: [11, 12]).

Фундаментальные математические понятия явились средствами преображения поисково-исследовательской деятельности, несущего качественно новые ее возможности. Анализ исторических процессов их становления, укоренения и развития приводит к формированию мета-модели (или схемы) этих процессов, выражающей их общую внутреннюю логику и развивающиеся средства с «внешних», метапредметных позиций.

Генезис культуры, или культурный филогенез, порождает изменение траектории культурного онтогенеза школьников, его логики. Чем дальше уходит первый, тем больше расходится с его логикой логика второго (в противоположность закону Геккеля), несущая возможность более многомерного, более далеко идущего развития личности [6]. Но при всем различии характеров научной и учебной деятельности и условий, в которых они протекают, при всем различии исторических процессов становления фундаментальных математических понятий как полифункциональных орудий поисково-исследовательской деятельности и процессов учебной деятельности при онтогенетическом подходе к обучению математике, направленном на освоение фундаментальных математических понятий посредством постижения их природы и логики процессов их формирования, укоренения и разви-тия5, у этих процессов должна быть общая мета-модель. Выявление и «очищение» ретроспективным анализом внутренней логики названных исторических процессов несет осознание природосообразности обучения математике,

4 Заметим также, что многие научные теории, достигая «критической массы» развития, обретают полисистемный характер: они превращаются в сложные образования, состоящие из подсистем, обретающих в значительной степени самостоятельный характер и претерпевающих далеко идущее «автономное» развитие. Их взаимодействия (являющиеся не только взаимоСОдействиями) во все большей степени становятся взаимодействиями «инаковостей». Дальнейшее развитие такой теории сопровождается нарастанием влияния меонального начала, а с ним нарастанием потенции ее дальнейшего развития. Сказанное особенно характерно для развивающихся математических теорий.

5 Этот подход описывается, в частности, в [6—9].

следующего мета-логике этих процессов, являющейся логикой процессов развития когнитивных механизмов поисково-исследовательской деятельности, выступающих как орудия математической деятельности и как ее «средства производства». Общая мета-модель не может не основываться на этой металогике. Процесс обучения математике должен строиться так, чтобы учебная деятельность учащегося не уподоблялась деятельности ученого, не имитировала ее (к чему устремляются многие методисты), но отвечала этой металогике, металогике научно-исследовательской деятельности, металогике ученого. И потому в обучении математике (и далеко не только математике) должен использоваться не генетический подход в традиционном понимании, следующий «предметным» логикам исторических процессов, а подход, следующий этой металогике. Таков онтогенетический подход.

Сказанное естественно сопоставить с позицией Дж. Брунера, согласно которой школьник, изучающий физику, является физиком и для него легче изучать науку действуя подобно ученому-физику [1]. (Естественно полагать, что под легкостью изучения он понимал легче достижимую его эффективность.) Поскольку речь идет об общем образовании и общем интеллектуальном развитии учащихся, то при отвечающем целям такого образования и такого развития продуктивном обучении, например, физике школьник должен действовать не столько как физик, сколько как мета-физик. Такое обучение способствует приобщению школьника к общим формам и способам поисково-исследовательской деятельности, а тем самым и лучшему приобщению к физике и не может не предполагать ведущей роли метапредметного плана.

Исследования исторических процессов становления, укоренения и развития фундаментальных математических понятий являются отправной базой для решения задач проектирования учебной деятельности, направленной на освоение учащимися этих понятий как носителей множества функций, в первую очередь как носителей продуктивных стратегий поисково-исследовательской деятельности. С другой стороны, обращение к таким задачам, исследование природы трудностей освоения учащимися фундаментальных математических понятий способствуют выявлению скрытых планов, направлявших исторические процессы их становления и укоренения. Все это делает продукты решения такого рода задач моделями названных исторических процессов, продуктивными в когнитивистском и эпистемологическом планах. Из таких моделей легче «экстрагировать» искомую мета-модель, несущую возможность в эпистемологическом анализе этих процессов видеть и исследование методологии обучения математике, а в последнем — и их эпистемологический анализ.

Математические знания должны осваиваться как имеющие двуипостас-ное существо, как предметные и как метапредметные знания. В качестве объекта математики как учебного предмета естественно и продуктивно рассматривать саму математическую деятельность, а в качестве ее предмета — фундаментальные математические понятия, выступающие как ее идеальные орудия и «средства производства».

Сценарии занятий со школьниками должны представлять идеальные формы процессов становления и освоения этих понятий. Сама учебная их направленность, их ориентированность на формирование механизмов поисково-исследовательской деятельности с учетом тех контекстов, в рамках которых это формирование предполагается осуществлять, осознание и воплощение внутренней логики процессов восхождения учащихся к фундаментальным понятиям (чему способствует исследование природы трудностей

их освоения), достижение максимально возможной свернутости проектируемых процессов восхождения и, конечно же, их соотнесение с основательно изучаемыми историческими процессами становления фундаментальных математических понятий делают такие сценарии-проекты эффективными моделями не только учебной деятельности, но и этих исторических процессов. Анализ таких моделей — это и осуществляемый «изнутри» анализ процессов моделирования. Это взаимодействие анализа таких процессов «изнутри» и анализа их «извне», несущее к тому же возможность углубленного исследования моделирования в математике.

Ядро задачи разработки продуктивного подхода к освоению фундаментальных математических понятий — задача формирования моделей процессов восхождения к ним от протопонятий, или «житейских понятий», являющихся их истоками, как перехода в существенно иное — «в новый и высший план мысли» (Л. С. Выготский). Такие процессы не могут не сопровождаться активизацией меонального начала, несущей активизацию эйдетического начала, а с нею смысловые скачки, венчающиеся преображениями способов мышления. Такие процессы не могут не быть многостадийными, несущими преображения учебной деятельности, т. е. коренные изменения ее содержания, формы, направлений и самих ее целей. Это процессы, движимые развиваемым ими творческим пониманием (В. П. Зинченко [5, с. 280]). Освоение формируемых ими понятий сопровождается развитием культурного понимания6 и, что еще более важно, развитием культурного понимания на метапредметном уровне. Оно сопровождается и нарастанием потенции развития творческого понимания. Осуществление таких процессов предполагает многомерную и многоуровневую учебную деятельность, более сложную, чем бытующие сегодня ее формы. Но это не значит, что такая деятельность более трудна для учащихся. Сложность той или иной формы деятельности и трудность ее освоения — не одно и то же.

Процессы освоения фундаментальных математических понятий продуктивно выстраивать и как процессы, направленные на свое «само»-постижение, на постижение логики своего развертывания, и тем самым как процессы восхождений на метапредметный уровень. Они должны быть ориентированы на постижение учащимися как субъектами такой деятельности своего познающего «Я». А значит, они должны быть процессами осуществления феноменологической редукции, близкой к феноменологической редукции в смысле Э. Гуссерля [4] (см.: [8, 10]). Начальная стадия таких процессов — феноменолого-психологическая редукция, близкая феноменолого-психологи-ческой редукции в смысле Гуссерля, осуществляющей поворот от восприятия мира «в естественной установке» к сосредоточению на самих переживаниях сознания. Она состоит в том, что объектами рассмотрения становятся не столько сами исходные объекты, сколько их остраняемое восприятие

6 В смысле В. П. Зинченко: «Культурное понимание предполагает наряду с извлечением смысла из ситуации его знаковое оформление, означение и возможность трансляции. Его полнота и адекватность удостоверяются не столько... действием, но прежде всего сообщением, текстом, которые должны соответствовать. предмету понимания. Творческое понимание предполагает наряду с извлечением, означением и трансляцией смысла порождение и оформление нового смысла. Здесь речь идет уже не столько об адекватности действия или воспроизведения оригиналу — предмету понимания, сколько о произведении смысла и нахождении новой текстовой, знаковой, иконической, символической формы» [5, с. 280].

в смысле В. Б. Шкловского, т. е. «не приближение значения к нашему пониманию, а создание особого восприятия предмета, выведение его из "автоматизма восприятия", позволяющее взглянуть на обычное необычным взглядом, увидеть в нем нечто странное, новое, заставляющее думать». Ведь «становясь привычными, действия делаются автоматическими». «Так уходят, — пишет ученый, — например, в среду бессознательно-автоматического все наши навыки... В результате "обавтоматизации" вещь проходит мимо нас как бы запакованной, мы знаем, что она есть. но видим только ее поверхность. При процессе алгебраизации, обавтоматизации вещи получается наибольшая экономия воспринимающих сил: вещи или даются одной только чертой своей. или выполняются как бы по формуле, даже не появляясь в сознании» [21, с. 6]. Понятие остранения, рассматриваемое единственно в искусствоведческих исследованиях, в действительности является далеко не только искусствоведческим понятием. Оно представляет общий метод познания.

Феноменолого-психологическая редукция активизирует меональное начало и тем активизирует начало эйдетическое, приводящее к смысловому скачку, несущему переход к иной форме мышления, которая проявляется как переход к следующей стадии феноменологической редукции, направленной на «уточнение» содержания протопонятия, приводящее к определению строгого понятия. Это стадия работы эйдетической редукции, близкой к эйдетической редукции в смысле Гуссерля, осуществляющей переход от рассмотрения переживаний в их индивидуальности к «усмотрению их сущностей», или «переход от фактов к усмотрению сущностей». Эйдетическая редукция «очищает» субъективность, приводит ее к формированию определения строгого понятия как четкой рациональной формы, направляющей сознание на «схватывание сущности», стоящей за исходными представлениями. Эта форма как форма знаковая способствует соответствующей настройке сознания, его «очищению». «Направленность знака извне внутрь, во-первых, и связанную с этим реконструкцию и объективацию "внутреннего", его вынесение вовне, во-вторых» (Б. Д. Эльконин [22, с. 9] — вот раскрытый Выготским механизм, помогающий «очищению» субъективности. «Объективация» — вот ключевое слово, выражающее превращение субъективности в субъектность.

Использование формально-логических средств способствует «очищению» сознания и порождает метаморфозу продукта уточнения в продукт творческого акта, в понятие, имеющее иное содержание и предполагающее иную позицию рассмотрения, в понятие, относящееся к иному смысловому пространству. Тем самым завершается работа эйдетической редукции по «очищению» субъективности, т. е. по восхождению на метапредметный уровень и построению метапредметной модели рассматриваемого протопонятия. Та четкая рациональная форма, которая является продуктом эйдетической редукции, та знаковая форма, в которую она облекается, подготавливает прорыв в идеальный мир, в мир «сущностей», в котором субъективность, прошедшая «очищение», становится развитой субъектностью, и тем самым осуществляется трансцедентальная редукция, подобная трансцендентальной редукции в смысле Гуссерля. (То, что обычно понимают под сущностью фундаментального математического понятия, не есть сущность протопоня-тия, моделью которого оно является. Она формируется, развивается и преображается вместе с самим понятием. Последнее же выражает способ действий, представляющий эту сущность. Эйдетическая редукция — начало восхождения от прото-сущности протопонятия к одному из вариантов сущности,

а именно к сущности формируемого строгого понятия, являющегося вариантом продуктивной модели протопонятия. Трансцендентальная редукция, приводящая к построению такого варианта, а тем самым к началу качественно новой ситуации, закладывает начало процесса формирования и развития его сущности, происходящего вместе с укоренением сформированного понятия в практике математической деятельности, с развитием практики его использования и приводящего к преображению этого понятия, которое ведет к преображению практики и формированию более высокой сущности преображенного понятия7.)

Феноменологическая редукция — эффективный инструмент формирования фундаментального понятия как продуктивной модели протопонятия, являющегося его истоком, как «выразителя» сущности протопонятия, как его идеальной формы. Выступая как превращенная форма протопонятия, эта модель рождает преображение внутренней формы математической деятельности. Тем самым феноменологическая редукция является орудием формирования идеальных орудий математической деятельности, служащих одновременно средствами обоснования продуктов использования этих орудий и средствами развития этой деятельности, ведущего к ее преображению. Впрочем, это орудие (как и феноменологическую редукцию в смысле Гуссерля) настолько же естественно называть редукцией, насколько и работу скульптора, «очищающего» глыбу мрамора от «посторонних» кусков. По достижении нового уровня математической деятельности опыт, обретенный на предшествующих ему уровнях, не превращается в «строительный мусор». Он служит необходимым средством «обживания» нового уровня, поставляя ему и «язык» образов, и ориентировку, и проблемы, и цели, и средства. Он задает первичное направление развития нового уровня. Преображаясь в процессе обживания нового уровня, этот опыт остается как не просто важный, но необходимый его компонент, функционирующий и на уровне «чистого» сознания, и на уровне «эмпирической» деятельности.

Представления, протопонятия, явившиеся истоком сформированного строгого понятия, взаимодействуя с ним, задавая начальные направления его развития, развиваются и сами и тем способствуют развитию ориентировки, а значит, и развитию поисково-исследовательской деятельности. И в этом дополнительное подтверждение значимости «наивной» стадии формирования строгого понятия. Урезание такой стадии, ее низведение до уровня всего лишь предварительных разъяснений, приводит к трудновосполнимым потерям в деле собственно математического и общего интеллектуального развития учащихся. К тому же возможности, несомые строгим понятием, не исчерпывают тот орудийный потенциал, который заложен в его «хтонических» истоках. Протопонятия, «наивные» формы мышления должны участвовать в учебной деятельности не только на начальных стадиях восхождений к строгим понятиям. Они должны в ней участвовать и развиваться, взаимодействуя с «высшими» формами мышления, на всем последующем ее протяжении как неотъемлемые компоненты теоретического мышления, обеспечивающие

7 «Сущность», облаченная в «чистую» форму, как бы становясь самой этой формой, обретает потенцию «само»-развития. При соотнесении с (соответствующим) предметным содержанием (использующем механизм моделирования) она обретает метапредметный характер по отношению к себе самой и посредством этого реализует потенцию «само»-развития. Это ведет к ее преображению в более высокую сущность.

продуктивное взаимодействие меонального и эйдетического начал, их единство и тем обеспечивающие полнокровное функционирование и развитие теоретического мышления.

Строгие понятия, являющиеся продуктами феноменологической редукции, участвуя в математической деятельности как ее орудия, «очищая» и преображая ее, не сводят эту деятельность к работе «чистого сознания». Включенность интуиции в работу мышления, участие в этой работе многих языков и многих логик, их синергия — это работа далеко не только «чистого сознания». Творческие продукты работы мышления, их «агенетичность» — продукты работы далеко не только «чистого сознания». Они являются продуктами взаимодействий «высших» и «низших» форм мышления, «чистого» созерцания и прагматики, меона и эйдоса. Они несут новый материал, новую задачу для феноменологической редукции, подготавливающей прорывы на новые уровни математической деятельности.

В истории математики, в процессах становления и развития фундаментальных математических теорий усматривается стадиальность, близкая стадиям феноменологической редукции. Это говорит о том, что последняя является природосообразным инструментом.

Описанная схема осуществления феноменологической редукции может служить общей мета-моделью исторических процессов восхождения к фундаментальным математическим понятиям от протопонятий, являющихся их истоками, и процессов восхождения учащихся к этим понятиям, отправляющихся от протопонятий, являющихся их историческими или конструируемыми истоками. Эта мета-модель представляет активные взаимодействия дионисийского и аполлонического, меонального и эйдетического планов, их единство.

Использование в обучении этой мета-модели сближает деятельность учащихся с научно-исследовательской деятельностью. Более того, оно сближает их учебную деятельность с научной деятельностью многопоколенного коллектива выдающихся ученых по формированию орудийных средств математики, по формированию ее «средств производства». Оно приближает к постижению высокой эстетической и прагматической ценности продуктов этой деятельности и способствует формированию потребности в такой деятельности, а тем самым и формированию способностей к ней. Наконец, использование этой мета-модели отвечает задачам и целям общего образования, способствуя общему интеллектуальному развитию учащихся. Оно приобщает к продуктивным стратегиям поисково-исследовательской деятельности и способствует формированию интеллектуальных механизмов, необходимых для реализации этих стратегий. «Благодаря единству. меона и эйдетики только и возможен акт творения». Благодаря такому единству только и возможно восхождение на новые уровни поисково-исследовательской деятельности. На таком единстве основываются эти стратегии. В его игнорировании исток «великой иллюзии. веры в рациональную природу человеческого интеллекта» [20, с. 51]. В его игнорировании главная причина трудностей в обучении математике, и не только математике.

Обретение знаний, конечно, возможно и без работы меонального начала. Но такие знания являются мертвыми, догматическими знаниями. В отличие от Живых Знаний, воплощающих эйдетическое начало и активизирующих начало меональное, а тем самым несущих потенцию дальнейшего развития, они не несут в себе опыта восхождения к знаниям. Такие знания лишены

оживотворяющего метапредметного начала, а значит, они лишены эйдетического начала.

Доминирующие на протяжении последних десятилетий направления развития педагогики математики выразимы как борьба нового «аполлониче-ского» с укоренившимся «аполлоническим» и как борьба за внедрение дио-нисийского начала, но в рамках, подобных рамкам «управляемой демокра-тии»8. Все это происходит на фоне весьма значимых достижений, представленных в ряде научных исследований, и их реализации (в узких рамках) в обучении школьников как реакция на эти достижения. Реакцией на них является и нарастание явно консервативного начала. Не говорит ли это о «перезревшем» состоянии педагогики математики как нормальной по Т. Куну [13] теории и практики, являющемся кануном научно-практической революции.

Особый характер этому ее состоянию придает нарастающее использование компьютеров в обучении.

В рамках математики появляются результаты, свидетельствующие о сближении ее методологии с методологией естественных наук. Таковы новые теоремы «чистой» математики, компьютерные доказательства которых не доступны проверке традиционными, «человеческими» средствами. Проверка их корректности осуществима посредством многократных компьютерных экспериментов. С другой стороны, развитие программного обеспечения компьютерной техники приводит к появлению продуктов математической деятельности, имеющих зримо гуманитарный характер в традиционном понимании. Все это вновь и вновь обращает к попыткам прояснения природы математики, которое невозможно на базе рассмотрения лишь ее продуктов. Математика — это деятельность, венчающаяся своими продуктами. Это развивающаяся поисково-исследовательская деятельность, характеризуемая нарастанием многомерности и многоуровневости, многообразными взаимодействиями разных форм рациональности, существенным участием внерациональных форм мышления.

Сказанное должно быть воплощено в обучении математике. Использование в учебной деятельности компьютеров помогает его полнокровному воплощению. Оно несет экономию времени, избавляя от выполнения ряда рутинных операций, и тем самым позволяет более широко осуществлять эксперименты, помогающие испытанию гипотез и отысканию закономерностей. Оно расширяет возможности визуального представления исследуемых ситуаций. Оно несет большие возможности удерживать в сознании и целое, являющееся предметом освоения, и его детали, а значит, исследовать детали в контексте целого, в постоянном соотнесении с целым. Оно несет существенную экономию времени без жертвования теми или иными содержательными сторонами дела, основательностью обсуждений, глубиной освоения материала. Оно несет развитие алгоритмического мышления. Оно несет развитие способности к математическому моделированию.

Понятия бифуркации, фрактала, хаоса и другие математические понятия, являющиеся продуктами достижений ХХ в., начинают обретать статус общекультурных понятий. Все острее заявляет о себе проблема приобщения школьников к этим понятиям (Н. Х. Розов [19]). Использование в обучении компьютеров не просто целесообразно, но необходимо для ее решения.

8 Такая борьба обычно приводит к внедрению нового «аполлонического» в практику обучения.

С другой стороны, вместе с нарастающим использованием компьютеров в обучении математике, вместе с нарастанием достижений в этом направлении приходит нарастание гипертрофии в использовании компьютеров. И все более актуальными становятся вопросы о том, в каких планах использование компьютеров не просто нецелесообразно, но блокирует развитие теоретического уровня мышления учащихся, блокирует развивающее начало в обучении математике, о том, какое содержание школьного курса математики и какие системопорождающие механизмы в обучении математике могли бы служить препятствием для такой гипертрофии9. Решение этих вопросов предполагает радикальный пересмотр содержания школьного курса математики, методов обучения математике и самих принципов дидактики математики, а прежде всего пересмотр ценностной позиции, которая стоит за этими принципами, пересмотр традиционных представлений о месте и роли формальной логики в обучении математике10.

Центральным вопросом является вопрос о том, как могут и как не могут быть использованы компьютеры в учебной деятельности, направленной на формирование фундаментальных математических понятий.

Использование компьютеров заметно расширяет возможности осуществления начальной стадии такого процесса, направленной на формирование и первичное освоение протопонятия, являющегося истоком формируемого понятия. Оно несет возможность в рамках ограниченного времени рассмотреть широкое разнообразие ситуаций, представляемых этим протопонятием, и тем способствовать не только его формированию, но и более далеко идущему его развитию и осуществлению на более богатой содержательной базе психолого-феноменологической редукции. Важность начальной стадии (которую обычно вырождают в краткие предварительные пояснения) и ограниченность бюджета времени делают использование компьютеров эффективным средством обучения.

Что же касается стадий эйдетической и трансцендентальной редукции, то на этих стадиях использование компьютеров если в какой-то степени и возможно, то такая возможность крайне ограничена. Так, переход от стадии феноменолого-психологической редукции к стадии эйдетической редукции осуществим посредством столкновения с пограничными ситуациями, для чего требуется работа воображения учащихся. Возможность использования компьютеров в таких ситуациях весьма проблематична. Предельные ситуации обычно выстраиваются с помощью радикальных трансцендирований или обращений к предельно простым случаям, но таким, которые не имелись в виду, не ассоциировались с рассматриваемым протопонятием. Использование компьютера в первом случае невозможно, а во втором не нужно.

А главное — использование компьютеров на этих стадиях противопоказано, так как оно не только не способствует, но препятствует переходу от натуральной формы мышления к идеальной, работе по «очищению» субъективности как подготовке к осуществлению прорыва в идеальный мир, в мир «сущностей», и его первичному «обживанию».

9 В число этих вопросов входят вопросы предотвращения гипертрофии в направленности обучения на техническую выучку учащихся, несущей ущерб развивающему началу. Эта старая проблема сегодня стала еще более актуальной в связи с возможностью использования компьютеров в обучении.

10 Попутно отметим естественность вопроса о месте и роли алгоритмических процедур в обучении математике, о том, всегда ли там, где такие процедуры возможны, они целесообразны.

При всей очевидности достижений в использовании компьютеров в обучении математике очевидно и существование границ, за которыми их использование не просто нецелесообразно, но блокирует развитие теоретического мышления, а тем самым и развивающее начало, и что за этими границами находится самая значимая, самая сокровенная, самая существенная, а именно «чисто» гуманитарная «часть» математики.

Обращение к компьютеру должно помочь учащимся увидеть, что саму возможность использования компьютеров открывает использование математического моделирования, проявляющее гуманитарное существо математики. Намного более существенно то, что обращение к самой идее компьютера может и должно им помочь осознать глубинное гуманитарное существо математики, проявляющееся прежде всего в неожиданных ассоциированиях, в далеко идущих трансцендированиях, в «одомашнивании» математикой идеи бесконечности, рождающем такие методы исследования, такие методы решения сложных задач, которые принципиально «непосильны» для компьютеров и за которыми стоит сокровенная креативная природа человеческого интеллекта, проявляющаяся как креативная «природа» математики.

Новые возможности несут и новые проблемы. Вопросы о том, в каких планах использование компьютеров, даже там, где оно эффективно, не просто нецелесообразно, но блокирует развивающее начало в обучении математике, пока не привлекают должного внимания специалистов в области педагогики математики и когнитивистики. Их исследование способствовало бы и лучшему постижению психологических особенностей математической деятельности, места и роли в ней механизмов свертывания сложных действий, несущих развитие дальновидения и дальнодействия мышления, развитие способностей к трансцендированиям, а в конечном счете — лучшему постижению механизмов взаимодействия меонального и эйдетического начал как механизмов рождения творческих продуктов.

Обучение математике должно раскрывать ее гуманитарное существо и приводить к пониманию того, что математика является не только необходимым средством развития материальной культуры и не только важным средством развития гуманитарной культуры, но и важным ее компонентом.

Информационная революция, возможности постановки и осуществления трансцендирующих экспериментов, несомые использованием компьютеров, открывают новую научную эпоху, долженствующую ознаменоваться намного более масштабными и более глубокими постановками проблем и их решениями, представимыми новыми методологиями, качественно новыми фундаментальными научными понятиями. Несомненно, эта новая эпоха приведет, и уже начинает приводить, к рождению новых типов научных коллективов и новых типов их взаимодействий. Она не сможет не привести к доминированию нового типа взаимодействий холистического и аналитического мышления, к новым формам креативности, к необходимости нового уровня развития гуманитарного начала и ее реализации. Но не компьютеры «сами по себе» откроют такие возможности, а более далеко идущее личностное развитие людей с их помощью. И математическое развитие должно становиться для этого все более важным компонентом их общего личностного развития.

Какими будут плоды приближающейся научно-практической революции, принесет ли она возможности далеко идущего развития или вырождение, будет зависеть от того, в какой мере она воплотит гуманитарное начало, а с ним единство меонального и эйдетического начал.

Библиографический список

1. Брунер Дж. Процесс обучения. М. : Изд-во АПН РСФСР, 1962. 82 с.

2. Вартофский М. Модели : репрезентация и научное понимание. М. : Прогресс, 1988. 408 с.

3. Веккер Л. М. Психические процессы. Л. : Изд-во ЛГУ, 1976. Т. 2. 342 с.

4. Гуссерль Э. Логические исследования : исследования по феноменологии и теории познания. М. : Дом интеллект. кн., 2001. 500 с. (Собрание сочинений ; т. 3).

5. Зинченко В. П. Психологические основы педагогики : (психолого-педагогические основы построения системы развивающего обучения Д. Б. Эльконина — В. В. Давыдова). М. : Гардарики, 2002. 432 с.

6. Когаловский С. Р. О психологических механизмах продуктивного обучения математике : (онтогенетический подход к обучению) // Архетип детства : научно-художественный альманах. Иваново, 2003. С. 313—357.

7. Когаловский С. Р. О ведущих планах обучения математике // Педагогика. 2006. № 1. С. 39—48.

8. Когаловский С. Р. Развивающее обучение математике как преображающее обучение. Иваново : Иваново, 2010. 208 с.

9. Когаловский С. Р. К проблеме модернизации математического образования // Школьные технологии. 2011. № 6. С. 93—99.

10. Когаловский С. Р. К проблеме модернизации математического образования. Saarbrucken : LAP LAMBERT Academic Publishing, 2012. 118 с.

11. Когаловский С. Р. Математическая деятельность и понятие модели // Вестник Ивановского государственного университета. Сер.: Гуманитарные науки. 2013. Вып. 2. С. 28—40.

12. Когаловский С. Р. Математическая деятельность как деятельность метапредмет-ная // Вестник Ивановского государственного университета. Сер.: Гуманитарные науки. 2014. Вып. 3. С. 55—63.

13. Кун Т. Структура научных революций. М. : Прогресс, 1975. 288 с. (Логика и методология науки).

14. Лосев А. Ф. Диалектика творческого акта : (краткий очерк) // Контекст-1981. М. : Наука, 1982. С. 48—78.

15. Лотман Ю. М. Чему учатся люди : статьи и заметки. М. : Центр кн. ВГБИЛ им. М. И. Рудомино, 2010. 416 с.

16. Маликов Е. «По губам меня помажет пустота». URL: http://www.lgz.ru/article/18288/ (дата обращения: 20.12.2015).

17. Пиаже Ж. Психогенез знаний и его эпистемологическое значение // Семиотика. М. : Радуга, 1983. С. 90—101.

18. Раков В. П. Меон и стиль. Иваново ; Шуя, 2010. 448 с.

19. Розов Н. X. Курс математики общеобразовательной школы: сегодня и послезавтра // Задачи в обучении математике : материалы Всероссийской научно-практической конференции. Вологда : Русь, 2007. С. 6—12.

20. Холодная М. А. Психология интеллекта. СПб. : Питер, 2002. 264 с.

21. Шкловский В. Б. Гамбургский счет. М. : Сов. писатель, 1990. 543 с.

22. Эльконин Б. Д. Введение в психологию развития. М. : Тривола, 1994. 168 с.