О теореме типа Штрассена в пространстве измеримых селекторов

Владикавказский математический журнал октябрь-декабрь, 2006, Том 8, Выпуск 4

УДК 517.98

О ТЕОРЕМЕ ТИПА ШТРАССЕНА В ПРОСТРАНСТВЕ ИЗМЕРИМЫХ СЕЛЕКТОРОВ1

А. Г. Кусраев

Светлой памяти А. М. Рубинова

Устанавливается вариант теоремы Штрассена о дезинтегрировании для пространства измеримых селекторов измеримых банаховых расслоений с лифтингом.

Одним из ключевых вопросов при исследовании выпуклых интегральных функционалов и операторов является вопрос об аналитическом представлении соответствующих субдифференциалов [2, 5]. Формально говоря, речь идет о перестановочности операций интегрирования и субдифференцирования, т. е. о справедливости формулы вида

Несмотря на внешнюю схожесть с классическим правилом дифференцирования интеграла, зависящего от параметра, обоснование этого математического факта, называемого иногда дезинтегрированием, связано с тонкими вопросами теории меры и теории положительных операторов. Впервые такой результат получил В. Штрассен [6] для случая субдифференциалов в нуле сублинейных функционалов. Дальнейшие исследования в этом направлении привели к созданию теории двойственности выпуклых интегральных функционалов и операторов в пространствах измеримых вектор-функций, которая вместе соответствующей библиографией и историческими комментариями представлена

Развитие аналогичной теории в пространствах измеримых селекторов представляется важным не только как содержательная теоретическая задача, но и с точки зрения приложений к экстремальным задачам. Вместе с тем, хорошей основой для такого расширения двойственности выпуклых интегральных функционалов может послужить теория измеримых банаховых расслоений с лифтингом, построенная А. Е. Гутманом, см. [1, 3]. Настоящую работу, в которой устанавливается вариант теоремы Штрассена в

© 2006 Кусраев А. Г.

1 Работа выполнена при поддеpжке Российского фонда фундаментальных исследований (Гpант РФФИ №06-01-00622).

1. Введение

в [2, 4, 5].

пространстве измеримых селекторов (сечений), можно рассматривать как первый шаг в указанном направлении.

Своим интересом к выпуклым интегральным операторам я обязан А. М. Рубинову*, памяти которого посвящается настоящая статья с чувством искренней признательности.

2. Измеримое банахово расслоение

Всюду ниже (П, £, — пространство с мерой, которое, как правило, обладает свойством прямой суммы. Необходимые сведения из теории измеримых банаховых расслоений см. в [1, 3].

Банахово расслоение над П — произвольное отображение X, определенное на П и ставящее в соответствие каждой точке ш £ П некоторое банахово пространство Xш : = X(ш) — слой в точке ш. Норма элемента х в слое X(ш) будет обозначаться символом ||х||ш := ||х||х(ш). Функция и, определенная на подмножестве ёош(и) С П, называется сечением (реже, селектором) над ёош(и) расслоения X, если и(ш) £ X(ш) для всех ш £ ёош(и). Говорят, что сечение и определено почти всюду, если множество П \ ёош(и) имеет нулевую меру. Множество всех почти всюду определенных сечений расслоения X обозначается символом X). Множество сечений и С Б^(П, X) называют послойно

плотным в X, если множество {и(ш) : и £ и, ш £ ёош(и)} плотно в X(ш) для любой точки ш £ П. Сечение и называют скалярно измеримым,, если измерима функция ш ^ ||и(ш)||ш. Линейная комбинация двух почти всюду определенных сечений определяется поточечно и представляет собой почти всюду определенное сечение (над пересечением их областей определения).

Измеримой структурой в X называют послойно плотное множество скалярно измеримых сечений С С X), замкнутое относительно образования линейной комбинации любых двух элементов. Банахово расслоение над П с фиксированной измеримой структурой называют измеримым банаховым расслоением над П. При этом пишут проще X вместо (X, С) и иногда обозначать измеримую структуру С символом Сх.

Пусть (X, С) — измеримое банахово расслоение над П. Сечение, совпадающее с и на измеримом множестве А £ £ и равное нулю на дополнении к А, обозначим символом [А]и. Сечение в £ X) называют ступенчатым, если в = ^П=1 [А^]с& для некоторых

п £ N А1,..., Ап £ £ и в1,...,сп £ С. Сечение и £ &^(П, X) именуют измеримым, если для каждого К £ £, у(К) < существует такая последовательность (вп)п6^

ступенчатых сечений, что вп(ш) ^ и(ш) для почти всех ш £ К.

Множество всех измеримых сечений расслоения X обозначим символом М(П, X). Для и, V £ М(П, X) положим и ~ V, если и(ш) = v(ш) для почти всех ш £ П. Класс эквивалентности, содержащий элемент и £ М(П, X), обозначается символом и := и~. Фактор-множество М(П, Xестественным образом превращается в векторное пространство.

*"* При нашей первой встрече в 1978 году А. М. Рубинов находился под впечатлением недавно изданной монографии Шарля Кастена и Мишеля Валадье [5], содержащей, в частности, результаты о двойственности выпуклых интегральных функционалов и обобщение теоремы В. Штрассена о дезинтегрировании. Он рассказывал об основных идеях и результатах книги, о своих собственных замыслах, частично воплощенных в монографии: Рубинов А. М. Суперлинейные многозначные отображения и их приложения к экономико-математическим задачам.—Л.: Наука, 1980.—166 с. Его увлеченность математикой была заразительной, а генерируемые им идеи — вдохновляющими. Он был щедр на оригинальные мысли и добрые чувства, потому общение с ним было легким и радостным. Последующие встречи с ним не изменили этих первых впечатлений. Таким он и остается в моей памяти...

Далее, для каждого элемента и £ М(П, Xвводится векторная норма |п| := |и£ Ь°(П). Ясно, что пара (М(П, X||) является решеточно нормированным пространством над Ь°(П, Е,^); это пространство будем обозначать символом Ь°(П, Е,^, X) или, короче, Ь°(П, X). Заметим, что пространство Ь°(П, X) можно снабдить также естественной структурой модуля над кольцом Ь°(П, Е,^), полагая ёй:= (еи)~ для всех е £ М(П) и и £ М(П, X). При этом выполняется |ёй| = |ё||й|.

Пусть Е — идеальное пространство над Ь°(П, Е,^). Положим

Е(X):= {и £ Ь°(П, Е,^, X): |и| £ Е}.

Известно, что Е(X) — пространство Банаха — Канторовича, а Ь°(П, Е,^, X) — его максимальное расширение, см. [3; теорема 2.5.3].

3. Сопряженное банахово расслоение

По измеримому банахову расслоению с лифтингом X над П однозначно определяется новое измеримое банахово расслоение с лифтнгом X' над П, которое называют сопряженным. При этом в каждой точке и £ П слой X'(и) является замкнутым подпространством сопряженного пространства X(и)'. Включение X'(и) С X(и)' может оказаться строгим, но для любой точки и £ П пространство X'(и) нормирует X(и), т. е.

для всех ж £ X(и). Здесь (, -)ш — каноническая билинейная форма двойственности X(и) ^ X(и)'.

Если и £ М(П, X) и и' £ М(П, X'), то (и, и') £ М(П), где (и, и') обозначает функцию и ^ (и(и), и'(и)). Более того, для произвольных классов и £ Ь°(П, X) и и' £ Ь°(П, X') и любых представителей и £ и и и' £ и' функции (и(-), и'(-)), определяют один и тот же класс эквивалентности входящий в Ь°(П), который обозначим таким же символом (и, и').

Отображение (и, и') ^ (и, и') является билинейным оператором, приводящим пространства Ь°(П, X) и Ь°(П, X') в Ь°(П)-значную двойственность. При этом для любых фиксированных и° £ М(П, X) и и° £ М(П, X') выполняется

|и°| = тах{(и°, и') : и' £ Ь~(П, X'), |и'| < 1}, |и°| = 8ир{(и, и°) : и £ Ь~(П, X), |и|< 1},

где Ьте(П, X) обозначает Е(X) при Е = Ьте(П). Все эти факты о сопряженном измеримом банаховом расслоении имеются в [1].

4. Основной результат

Пусть (П, Е, — пространство с мерой, а X — измеримое банахово расслоение над (П, Е,^). Рассмотрим идеальное пространство Е С Ь°(П, Е,^) и двойственное к нему идеальное пространство

Е' := {е' £ Ь°(П, Е,^) : (Vе £ Е) ее' £ Ь1 (П, Е,^)}.

Предположим, что дано семейство (ршнепрерывных сублинейных функционалов рш : Xш ^ Ж, причем для каждого и £ Е(X) функция и ^ рш(и(и)) := р(и,ж(и)) измерима, а функция и ^ ||рш|| мажорируется некоторой измеримой функцией из Е'. Тогда формула

р(и) = ^ р(и, (и(и))) ^и(и) (и £ Е(X)), п

определяет сублинейный функционал р : Е(X) ^ Ж.

Обозначим символом д(рш) ^ц(ш) множество всех линейных функционалов на Е (X), представимых в виде

и(0 ^ / (и(ш),и'(ш)) ^ц(ш),

где и'(-) — измеримое сечение сопряженного расслоения X' такое, что и'(ш) £ д(рш) для всех ш £ П и |и'| £ Е'.

Измеримое банахово расслоение X назовем сепарабельным, если существует счетное множество измеримых сечений, послойно плотное в X.

Теорема. Пусть (П, £,ц) — пространство с мерой, обладающее свойством прямой суммы, а X — сепарабельное банахово расслоение над (П, £,ц) с лифтингом. Если семейство (рш)шеп удовлетворяет указанным выше условиям, то имеет место представление

др = J д(рш) ф(ш).

п

< Доказательство содержится в следующих ниже трех леммах. >

Замечание. Заменим в этой теореме рш на выпуклую функцию /ш : Xш ^ Ж и {+<^} и обозначим /(ш,и(ш)):= /ш(и(ш)). Положим

I/(и):= / /(ш,и(ш)) ^ц(ш) (и £ E(X)), Jn

если функция ш ^ /(ш, и(ш)) суммируема, и I/(и) := в противном случае. Допустим, что для некоторых ио £ Е(X) и 0 < б £ Ж выполнены условия:

(1) шар В(ио(ш), б) содержится в эффективном множестве ёош/ш при всех ш £ П;

(2) функция ш ^ /(ш,и(ш)) суммируема для каждого сечения и такого, что и(ш) £ В(ио(ш), б) (ш £ П);

(3) для любого сечения Н £ Е(X) существует измеримая функция А : П ^ (0, такая, что и0(ш) + А(ш)Н(ш) £ В(и0(ш),б).

Тогда из сформулированной выше теоремы можно вывести справедливость представления

д1/(ио) = / д/ш(ио(ш)) ^ц(ш). Jn

5. Доказательство основного результата

Обозначим символом Е^)* множество всех линейных операторов Б : Е(X) ^ ЬХ(П, £, ц), для которых существует элемент 0 ^ е' £ Е' такой, что

Лемма 1. Если X — измеримое банахово расслоение с лифтингом, то пространство измеримых сечений Е'(X') и пространство операторов Е^)* линейно изометричны. Линейная изометрия осуществляется сопоставлением измеримому сечению V £ Е'(X') оператора Б^ : Е^) ^ Ь1(П, £,, ц), определяемого формулой Б^ : и ^ (и, V).

< Так как |(и, V) ^ |и|  и £ Е', то £ Е(X)*. Наоборот, пусть 5 £ Е^)*. Учитывая, что оператор Б сохраняет полосы и пользуясь техникой разложения пространства Е(X) на полосы, можно свести все к случаю = 1, когда оператор действует в Ьо(П, X). Если теперь р := рх — лифтинг пространства Ьо(П, X), то сечение V £ Ь°(П, X'), определяемая условиями

(ж,^(и))ш:= (р о Б)(и), ж = и(и) (и £ П),

будет искомым. >

С семейством (рш)шеп свяжем оператор Р : Е(X) ^ Ь1(П, Е,^) по формуле

Ри:= п(р(-,и(-))) (и £ Е(X)),

где п(/) — класс эквивалентности суммируемой функции /. Очевидно, что Р сублинейный оператор.

Лемма 2. Для произвольного измеримого банахова расслоения имеет место представление

др = J дР^(ш).

п

< Известно, что оператор Магарам можно выносить слева из под знака субдифференциала, см. [4; теорема 4.5.2]. Так как интеграл : Ь1(П, Е,^) ^ Ж, очевидно, является функционалом Магарам, то имеет место формула

д(/м о Р) = о дР,

что равносильно требуемому. >

Лемма 3. Если расслоение X сепарабельно, то для любого оператора Б £ дР существует единственное с точностью до эквивалентности сечение и' сопряженного расслоения X' такое, что и'(и) £ д(рш) (и £ П), |ж'| £ Е' и имеет место представление

Би = п((и°,и')) (и £ Е(X), и° £ и).

< Если 5 £ дР и ||рш|| ^ е'(и) (и £ П) для некоторого е' £ Е', то |Би| ^ е'|и| (и £ Е(X)), следовательно, Б £ Е(X)*. По лемме 1 имеет место представление 5и = (и, V) (и £ Е(X)) для некоторого V £ Е'^'). Далее, привлекая свойство прямой суммы и разлагая Е(X) на дизъюнктные полосы, можно считать без ограничения общности, что функция, тождественно равная единице на П, содержится в Е. Пусть последовательность измеримых сечений (ип)пем послойно плотна в X. Заменив, если нужно, ип на ип/(1 + |ип |), можно считать, что (ип) С Е.

Возьмем произвольный представитель Vo £ V из класса эквивалентности V. Обозначим символом П(и) множество тех и £ П, для которых нарушается неравенство

оо

(и(и), Vo(и)) ^ р(и, и(и)). Тогда П° := и П(ип) — множество нулевой меры. Для любого

п=1

и £ П° выполняется неравенство (ип(и), Vo(и)) ^ р(и,ип(и)) п £ N. Следовательно, для каждого и £ П° будет (ж, v0(ш)) ^ р(и, ж) при ж £ XI](и) := {ип(и) : п £ Множество Xo(ш) по условию плотно в Xш, значит в силу непрерывности функционалов рш и Vo(ш) это неравенство выполняется на всем Xш. Но это означает, что Vo(ш) £ дрш. Определим теперь сечение и' полагая и'(ш) := Vo(ш) при ш £ П° и считая и'(и) произвольным функционалом из дрш при ш £ П°. Тогда и' — измеримое сечение сопряженного расслоения

Xи'(ш) £ для всех ш £ ^ и и'(ш) = зд(ш) для почти всех ш £ Остается заметить, что в силу последнего утверждения (п(ш),п'(ш)) = (u(w),v0(ш)) для почти всех ш £ поэтому Su = n((u0, v0)) = n((u0,u')), где u0 £ u. >

Литература

1. Гутман А. Е. Банаховы расслоения в теории решеточно нормированных пространств // В кн.: Линейные операторы, согласованные с порядком.—Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 1995.—С. 63211.

2. Левин В. Л. Выпуклый анализ в пространствах измеримых функций и его применение в математике и экономике.—М.: Наука, 1985.—352 с.

3. Кусраев А. Г. Мажорируемые операторы.—М.: Наука, 2003.—619 с.

4. Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С. Субдифференциалы. Теория и приложения.—Новосибирск: Наука, 1992.—270 с.

5. Castaing Ch., Valadier M. Convex Analysis and Measurable Multifunctions.—Berlin etc.: Springer, 1977.—278 p. (Lecture Notes in Math. 580).

6. Strassen V. The existence of probability measures with given martingals // Ann. Math. Stat.—1965.— V. 36.—P. 423-439.

Статья поступила 20 октября 2006 г.

Кусраев Анатолий Георгиевич, д. ф.-м. н. Владикавказ, Институт прикладной математики и информатики ВНЦ РАН E-mail: kusraev@alanianet.ru