Квантовая электродинамика с поверхностными лагранжианами

В. Н. Марков, Ю. М. Писъмак, И. В. Фиалковский .

КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА С ПОВЕРХНОСТНЫМИ ЛАГРАНЖИАНАМИ*)

х \ Введение. Проблема описания граничных эффектов в моделях квантовой теории поля (КТП) активно исследуется уже долгое время. Быстрый прогресс экспериментальной техники, накопление и повышение точности экспериментальных данных, характеризующих квантовые флуктуации электромагнитных полей вблизи протяженных тел, требуют построения надежной теоретической базы для изучения подобных явлений. Исследованию порождаемых поверхностями границ квантовополевых макроэффектов посвящено большое число работ. Было установлено [1-3], что методы, основанные на суммировании нулевых мод и расчетах усредненных значений тензора энергии-импульса, в случае неплоской геометрии границ приводят к противоречивым результатам. В рамках квантовой теории сформировались различные подходы к решению данной проблемы. В одном из них при квантовании полей на них налагаются граничные условия [4]. В случае квантовой электродинамики (КЭД) другой возможностью служит введение «физических» граничных условий для напряженности электромагнитного поля, которые затем рассматриваются как связи при квантовании потенциала Ам. С формальной точки зрения, недостатком всех подобных моделей является, как правило, нарушение фундаментальных принципов - калибровочной инвариантности, перенормируемости или локальности. Кроме того, в подобных теориях одни и те же условия налагаются на все моды полей. Это вызывает обоснованные сомнения в корректности описания взаимодействия квантовых полей с границами - в реальности моды достаточно высоких частот с материальными границами не взаимодействуют и, следовательно, не ограничиваются никакими условиями, связанными с наличием границ.

Другой подход, методология которого используется в настоящей работе, состоит в моделировании граничных эффектов с помощью статического фонового поля (дефекта), взаимодействующего с квантовым полем. Простейшим фоновым полем является сингулярное поле с носителем, сосредоточенным на границе. Перенормируемые локальные квантовополевые модели с такими фоновыми полями были впервые исследованы в работе Симанчика [5]. Он показал, что некоторые простейшие граничные условия (а именно, условия Дирихле и Ней-. мана) моделируются путем добавления сингулярного вклада в плотность лагранжиана. В дальнейшем Макавити и Осборн [6] обобщили эту технику на случай многообразий с границами, обладающими ненулевой кривизной. Похожий подход для скалярных 2-мерных моделей был использован в [4, 7]. Данный метод был успешно применен также при исследовании критического поведения магнитов и сплавов со свободными границами [8, 9].

В настоящей работе рассмотрена калибровочно инвариантная, локальная, перенормируемая модель' простейшего дефекта в КЭД с положительной пространственной четностью и проводятся расчеты квантовых поправок к соответствующим результатам классической теории. .

Формулировка задачи. Рассмотрим КЭД с дефектом на плоскости хз = 0, который описывается функционалом действия

Sdef(ф,‘ф,A•,q,l) = + 5;(А),

— £ $(х, 0)ф/>(х, 0)с!х, 5»(Л) = £ 1А(х.,0)4х,

*) Работа В. Н. Маркова выполнена при финансовой поддержке ШТАЭ (грант К* 2000-587) и фонда «Династия», работа Ю. М. Письмака - Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 03-01-00837).

© В. Н. Марков, Ю. М. Письмак, И. В. Фиалковский, 2004

где ф, ф — дираковские спиноры; А - электромагнитный вектор-потенциал; qиl- фиксированные 4-векторы; д = <^7Я (7м — дираковские гамма-матрицы). В данной работе используется сокращенная запись для 4-вектора: х = (10, х\,Х2,хз) = (х, хз).

Требование калибровочной инвариантности функционала действия дефекта накладывает ограничение 1з = 0 на вектор I. Кроме того, примем, что I = 0)- Такая форма действия

3<1е{ согласуется с требованиями локальности, калибровочной инвариантности и перенорми-руемости. Полное действие рассматриваемой модели имеет вид

• 3(ф,ф, А) = 3<эео(Ф,Ф,А) + 34е/(Ф,Ф\Я,1)-

X

Здесь 5<ЗВ£)(^г Ф, А) - обычное действие КЭД ‘

Завп^Ф^тА) = / ф(х)(гд - еА(х) - т)ф(х)4х - ^

Яц* — дцАи - диА^, А — А„7м,

причем гамма-матрицы удовлетворяют коммутационным соотношениям {7^,7^} = 7^7* + 7^7м — 2рМ1/, и метрический тензор определен как д^и = <На§{1, —1, —1, —1}. Рассматриваемая модель инвариантна относительно трансляций и преобразований Лоренца, не затрагивающих координату хз (соответствующие преобразования вектора д подразумеваются).

В силу Лоренц-инвариантности модели (в указанном выше смысле) можно классифицировать свойства дефекта по значению инварианта q2 = до — 9? — Чг  Таким образом, выделяются три случая: ц2 = к2 > 0, q2 = —к2 < 0 и ц2 = 0, причем можно выбрать такие системы координат, где ч = (к, 0,0), я = (0, к, 0) и q = (к, к, 0) соответственно. Это означает, что взаимодействие полей КЭД с материалом дефекта описывается только тремя параметрами: к, т = дз и Л.

Рассчитаем среднее значение тензора электромагнитного поля: ,

= СI Р^е^'^ОАЛфОф,

где С - константа, равная

' С'1 = J ё^'^БАЩВф. .

Вычисления удобно проводить в евклидовом пространстве, переход к которому осуществляется виковым поворотом:

< —> — И, Ао —> г^о, 70 —> *70) Чо *^о, 1о —> Но- -Евклидово действие рассматриваемой модели имеет вид

5Ё , гуЁ ,

— д<ЗЕО + ^е/>

= ^(0 ~ еА + т)ф + -5ае{(ф,ф,А\д11) = Ч!11'Ч!+1А,

где Ф(х) = ф(х.,0), Ф(х) = -0(х,О). Матрица а определяется в евклидовой теории как а = £^=0 а»1и- . .

Для удобства дальнейших вычислений введем оператор проектирования на плоскость хз — 0

П(х,у) = 6(х-у)6(уз), .

тогда функции Ф(х), Ф(х) записываются следующим образом: \

Ф(х) = ! ф{у)£? {у,х)йу = фПТ, Ф(х) = £ П(х,у)ф(у)ау = Пф.

’Э4 ,

Тензор ^и калибровочно инвариантен, поэтому не зависит от выбора калибровки. Вычисления удобно проводить в фейнмановской калибровке, в которой фотонный пропагатор

А** (*,?/) = 4^2(;еМ1 у)2-

Мы вычислим только главное приближение которое может быть представлено так:

п- 1 Г ^..(*1' ~ у*№р(у) ~ 0е м — У^)^и(х) г ^

ъ-ю~м) (1

где , ' -

Му) = ей

В (2) использованы обозначения 5/(^. ф, я) для чисто фермионной части действия 5е:

3/

и Су1 = / е~5 Б-фИф. Если ввести обозначение 5 для свободного фермионного пропа-

гатора рассматриваемой модели

&/»

то для ^(у) получаем простую формулу

, ^д

Таким образом, наиболее нетривиальная часть расчета главного приближения сводится к вычислению фермионного пропагатора 5. '

Вычисление Тцу. Нетрудно убедиться, что из определения (4) следует, что пропагатор 5 можно представить в виде

£=£ + £*/, £*/ = -шТа~хчпЬ-

Были использованы следующие обозначения: Е) = К~1 ,<3 = 1 + дШЭС2т.

В правой части первого равенства (6) Е> является пропагатором свободного поля Дирака в теории без дефекта. Он не дает вклада в (5), поэтому ^ц(х) принимает вид

]у.

Вычислить (7), имея явную формулу для Sd.esу которую мы получим, задача довольно простая. В силу инвариантности модели относительно трансляций вдоль плоскости дефекта естественно использовать при проведении расчетов трехмерное преобразование Фурье, определяемое следующим образом:

^(х,*з) = ^Уфе^(р,:гз).

Для пропагатора Ь имеем

Ь{х) = Щх,хз) = J ~ + ~'~г^~381§~'Х3' ехр{-Е|ж3| + грх}ф,

где  • _______

р = Рк1к} Е = >/р2 4-тп2. •

Отсюда

д т + р + Ц^Ыв-Е!,,!

5ае/(ж,у) может быть представлено аналогично:

&«/

Несложные алгебраические вычисления, согласно (6), дают

Ч, у.) ~ [т+ р1^пщ2 + +Р2] -Я

Ь*е/{р,хз,уз) 2Е2[4 {Е - (рЧ)) + д2Е] '

Здесь введены следующие обозначения: р\ = (р^Е5щп(хз)), р2 = (р, —1Е&1£п(уз)), г — (2Ец— д2р,2£д3). .

• Теперь можно вычислить порожденное дефектом электромагнитное поле. Подставляя 5<*е/(я,у) из (8) в (7) и используя (9), получаем

З(х) = (К*)» Лз()) = -^з / ^РТгК">',Уз)5ае/(р,а:з,х3)] =

е-аВ|**1 / , Ч

^ДШ4 + аТ-4(ра)) 1р <рч) - £ Ч, 0).

ад4 + «2)-4

После интегрирования по угловым переменным 3(х) представляется в виде

1 Г°°

](х) = е(я,0Жж3), Ф(хз) = з2я.а'|ч|'з ] Лрр

е-2Е\х3\

1.1. и1 1 Е + ар ар — Ъ+Ъ-Е 1п -

Е — ар

где ,

В результате подстановки (10) в (2), а затем в (1) получаем поле Т^и(х) в виде суммы двух слагаемых:

Ых) =

Одно - с нетривиальным подынтегральным выражением

^х) = 5?/~ "д ~ ~^(,3>'. ... <12>

а во втором интегрирование проводится элементарно:

^)(з;) = Ъ /

Легко видеть, что, благодаря особой структуре этих интегралов, отличны от нуля только компоненты ^оз = —^зо, Яз = —^31, ^23 = —Рзг- Интегрируя по у, находим

= е(<?/Аз - д„йзд)81§п(жз)-Р’(а:з), .

^<га>=« [. ‘ * IЬ - ь+ь-е ь 1^] о - •-’-о •

= (дй<5„з - <Jl^<^з^Л^sign(я:3).

Для придания смысла интегралу (12) мы ввели промежуточную регуляризацию, ограничив область импульсов, по которым проводится интегрирование, условием |р| < Л. Асимптотическое поведение Е(р) = Р(р, Л) для больших Л имеет вид

Л'2

Г(р, Л) = с2—г + со + /(р) + О тп*

где С2, со являются функциями параметров дефекта

С2 =

т

.Sip)

(" 64|qj*b! ) ’

ар — b+b-E In

Е + ар

Е — ар

Здесь были использованы обозначения (11). Требование конечности при Л —> оо означает, что параметр А должен зависеть от Л и для больших Л иметь асимптотику вида

. Л(Л)=2е,„сг^+Л'+о(^). '

Обозначив F = (/оз, •Т'Ъ, -Т^з), получаем при Л -> оо

. F(x) = sign(a;3) q (е(с0 + f{x3)) - А'/2). .

Функция /(р) имеет следующее асимптотическое поведение:

р->оо 2(тггп(р|)3''2(4 + д2) Таким образом,

С2

р-+о 2 т2р2

Со + С2 + 0(р).

F(:r) = sign(*3)q ( eco - Л'/2 -

хз-юо у

0—2т\хз\

ет

2

>«).

*,(*). = „-й*п(и)ч(5^+Л72-ей + 0(и))-.

Видно, что поле, создаваемое рассматриваемым дефектом, имеет на больших расстояниях от дефекта тот же вид, что и поле плоскости с однородным распределением зарядов и токов в КЭД, а на малых расстояниях проявляется неклассическое поведение типа Р ~ qc2/2тn2a:з. Рассмотрим три случая: q = (к, 0,0, г) = дг, д = (0, к, 0, т) = д2; д = (к, к, 0, т) = дз-Если д = д'ь дефект создает чисто электростатическое поле:

Н\ — Н2 = На = 0, Е\ — Е2 = 0, Ез — ^зо,

Ез ,Г-<о К1 + " V«sM - "]

ет

Ез = -к\'/2 2

13-+00 47Г Ш

[arctg(w) — и], ш =

4к

4 — к2 + т2

Для q = д2 поле чисто магнитное:

Ei — Е2 — Ез — О, Н\ = Я3 = 0, Нг = Fz\,

1 + ц/

=

*3-+0 1б7Г2Хзи'2

ет2

(1 4- u/2)ln

J-W'

2ц/

Я2 = кА'/2 - 2 ,2

13-юо о7Г W

In

1W

1 -W'

2w'

4к

4 + /с2 + г

2 ’

При д — дз отличны от нуля и электрическое, и магнитное поле:

. Ех = E2 = Hi = #3 = О, X = ^

. • . 4 -f- Tz

В рассматриваемой модели дефект описывается тремя независимыми параметрами к, г и X1, которые должны быть фиксированы условиями нормировки.

Мы.видим, что, используя главное приближение для Tfxut можно зафиксировать параметр А' и простую комбинацию ш или х параметров кит, которые могут быть выражены в терминах наблюдаемых асимптотик при больших и малых хз- Важной особенностью асимптотик в 'случае чисто магнитного или чисто электрического поля является неоднозначность их связи с набором А', о; - одно и то же значение наблюдаемых может быть получено при различных величинах А', и>. Эта неоднозначность может быть проявлением возможности фазовых переходов в изучаемой системе. Если класс эквивалентности пар и и А' зафиксирован, то для полного описания параметров системы необходимо вычислить такие физические' наблюдаемые, которые не инвариантны относительно преобразований к и г, не меняющих и. Тогда можно будет выразить к и г в терминах этих наблюдаемых. .

Заключение. Предложенная модель описывает в рамках КЭД плоскость с однородным распределением зарядов и токов на ее поверхности. Добавочное действие Sdej определяется геометрией системы, а также требованиями локальности, калибровочной инвариантности и перенормируемости теории. Вычисления эффектов главного приближения показали, что среднее поле, создаваемое Sdef, имеет классическое поведение на больших расстояниях от дефекта. Это позволяет зафиксировать два параметра нашей модели. Асимптотика на малых расстояниях сингулярна г- Е ~ ^5^, что согласуется с имеющимися экспериментальными данными. Квантовые поправки к постоянному классическому электромагнитному полю становятся заметны на весьма малых расстояниях, которые тем не менее достижимы на эксперименте при существующих технологиях. Полученные формулы предсказывают зависимость сил Казимира-Полдера от заряда, что может быть проверено на эксперименте.

. ' ^  '

Авторы благодарят В. В. Верещагина и М. И. Вязовского за ряд полезных замечаний. Summary

Markov V. N., Pis’mak Yu. М., Fialkovsky I. V. Quantum electodynamics with surface la-grangians. . '

To build a gauge quantum field theory with boundaries is the aim of the paper. We study

quantum electrodynamics coupled to the matter field on singular background, which we call defect. For defect on the infinite plane we calculated the fermion propagator and mean electromagnetic 1 field. We show that at large distance from the defect plane, the electromagnetic field is constant what is in agreement with the classical results. The quantum corrections determining the field near the plane are calculated in the leading order of perturbation theory.

Литература .

1. Kay B. S. // Phys. Rev. D. 1979. Vol. 20, N 12. P. 3052-3062. 2. Deutsch D., Candelas P. 11 Phys. Rev. D. 1979. Vol. 20. P. 3063-3080. 3. Candelas P. // Annals Phys. 1982. Vol. 143.

P. 241-295. 4. Graham N., Jaffe R. L., Khemani V. et al. // Nucl. Phys. 2002. Vol. B645. P. 49-

84 (hep-th/0207120). 5. Symanzik K. // Nucl. Phys. 1981. Vol. B190. P. 1-44. 6. McAvity D. М., Osborn H. Ц Nucl. Phys. 1992. Vol. B394. P. 728-788. 7. Graham N., Jaffe R. L., Weigel H. //Intern. J. Mod. Phys. 2002. Vol. A17. P. 846-869. (hep-th/0201148). 8. Diehl H. W. // Intern. J. Mod. Phys. 1997. Vol. Bll. P. 3503-3523. (cond-mat/9610143). 9. Diehl H. W. // Phase transition and critical phenomena/ Eds. C. Domb, J. L. Lebowitz. London, 1986. Vol. 10. P. 75-267. *

Статья поступила в редакцию 25 декабря 2003 г.