Моделирование акустической неустойчивости в камере ракетного двигателя твердого топлива

5. Iglesias M., Tojo J., Dominguez A. Rectification de sistemas multi-componentes. 1. Simulacion de una columna empleando contribu-cion de grupos // Afinidad. - 1995. - V. 52. - № 455. - Р. 12-18.

6. Леонтьев В.С. Компьютерное моделирование процессов ректификации // Химическая промышленность. - 2005. - № 7. -С. 334-346.

7. Карапетьянц М.Х. Химическая термодинамика. - М.: Химия, 1975. - 582 с.

8. Рид Р., Праусниц Дж., Шервуд Т. Свойства газов и жидкостей: Справочное пособие. - Л.: Химия, 1982. - 592 с.

9. Рабинович ГГ., Рябых П.М., Хохряков П.А. и др. Расчеты основных процессов и аппаратов нефтепереработки: Справочник / Под ред. Е.Н. Судакова. - М.: Химия, 1979. - 568 с.

10. Холланд Ч.Д. Многокомпонентная ректификация. - М.: Химия, 1969. - 348 с.

11. Хиао-Мин Ху, Фу Шен. Применение оценки скорости переноса для расчета бинарных коэффициентов массопередачи и моделирование многокомпонентной ректификации // Теоретические основы химической технологии. - 1992. - Т. 26. - № 4.

- С. 486-493.

12. Платонов В.М., Берго Б.Г. Разделение многокомпонентных смесей. Расчет и исследование ректификации на вычислительных машинах. - М.: Химия, 1965. - 368 с.

13. Taylor R., Achuthan K., Lucia A. Complex-domain distillation calculations // Comput. and Chem. Eng. - 1998. - V. 22. - № 12. -Р. 1731-1732.

14. Петлюк Ф.Б., Серафимов Л.А. Многокомпонентная ректификация. Теория и расчет. - М.: Химия, 1983. - 304 с.

15. Diwekar U.M., Malik R.K., Madhavan K.P. Optimal reflux rate policy determination for multicomponent batch distillation columns // Comput. and Chem. Eng. - 1987. - V. 11. - № 6. - Р. 629-637.

16. Ульянов Б.А., Щелкунов Б.И. Процессы и аппараты химической технологии: Гидравлика контактных тарелок. - Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 1996. - 160 с.

17. Павлечко В.Н. Комплексная модель эффективности ректификационных тарелок. 5. Перекрестное движение фаз при перемешивании жидкости // Инженерно-физический журнал. -2001. - Т. 74. - № 3. - С. 177-180.

18. Павлечко В.Н. Комплексная модель эффективности ректификационных тарелок. 7. Взаимосвязь отдельных параметров // Инженерно-физический журнал. - 2002. - T. 75. - № 1. - С. 112-116.

19. Pamfil V. Modele matematice ale corelatiei Gilliland // Rev. Chim.

- 1983. - V. 34. - № 11. - Р. 1022-1024.

20. Rooney J.M. Simulating batch distillation // Chem. Eng. - 1984. -Т 91. - № 10. - P. 61-64.

21. Alopaeus V., Aittamaa J. Appropriate simplifications in calculation of mass transfer in a multicomponent rate-based distillation tray model // Ind. and Eng. Chem. Res. - 2000. - V. 39. - № 11. -Р. 4336-4345.

22. Sharif M., Shah N., Pantelides C.C. On the design of multicomponent batch distillation columns // Comput. and Chem. Eng. -1998. - V. 22. - Appl. - Р. 69-76.

23. Анисимов И.В., Бодров В.И., Покровский В.Б. Математическое моделирование и оптимизация ректификационных установок. - М.: Химия, 1975. - 214 с.

24. Дьяконов С.Г, Лаптев А.Г., Данилов В.А. Определение объемных коэффициентов массоотдачи с помощью математической модели при расчете тарелок с прямоточными клапанами // Химическая промышленность. - 1991. - № 8. - С. 499-501.

25. Jimenez L., Basualdo M. S., Gomez J.C., Toselli L., Rosa M. Nonlinear dynamic modeling of multicomponent batch distillations: a case study // Braz. J. Chem. Eng. - 2002. - V. 19. - № 3. - Р. 307-317.

УДК 536.46

МОДЕЛИРОВАНИЕ АКУСТИЧЕСКОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ В КАМЕРЕ РАКЕТНОГО ДВИГАТЕЛЯ

ТВЕРДОГО ТОПЛИВА

Р. Мырзакулов*, М.Ж. Козыбаков**, К.О. Сабденов

*Евразийский национальный университет, г. Астана **Шымкентский социально-педагогический университет, г. Шымкент Томский политехнический университет E-mail: sabdenovko@mail.ru

Изучается возникновение, развитие и последствия акустической неустойчивости в камере ракетного двигателя с твердотопливным зарядом. Рассматриваются относительно низкочастотные колебания с периодом, намного превышающим период собственных колебаний камеры. Но частота изменения термодинамических параметров находится в широких пределах и может быть сравнима с собственной частотой зоны горения. Неустойчивость может приводить к автоколебательному горению, или к хаотическому режиму, или к погасанию горения.

Введение

Еще в конце 30-х гг. прошлого века разработчики системы залпового огня «Катюша» столкнулись со странным явлением. Как оказалось, ряд оригинальных технических решений, который позволил бы достичь больших скоростей реактивных снарядов, не осуществим из-за особенностей горения топлива. Оно, превосходно сгорая на открытом воз-

духе, при определенных условиях «не желало» гореть в камере, или же горело настолько нестабильно, что совершенно приводило в негодность двигатель. Как оказалось, наличие окислителя и горючего в составе топлива не гарантирует равномерное протекание химической реакции, необходимо еще, чтобы внутренние закономерности механизма горения оптимально сочетались с конструкционными особенностями самого двигателя ракеты. Даль-

нейшие теоретические и экспериментальные исследования, проведенные в основном в СССР и США [1-9], позволили понять основные причины нестабильного горения в ракетном двигателе твердого топлива (РДТТ) и сформулировать простые критерии для избегания проявления неустойчивости. Но многогранность и сложность явления горения показывает, что эти критерии имеют весьма узкую границу применимости [1]. Особенно это начинает ярко проявляться по мере продвижения в высокочастотную область, при горении веществ со сложной кинетикой разложения и ее изменчивости при различных температурах и давлениях [2].

Поэтому дальнейшие усилия должны быть направлены на раскрытие детального механизма горения, установление его связи с конструкционными особенностями РДТТ при возникновении неустойчивости. Настоящая работа является продолжением комплекса теоретических исследований [3-5], направленных на выявление такой модели нестационарного горения, которая содержала бы минимум параметров и описывала максимум наблюдаемых эффектов.

Математическая модель

нестационарного горения в РДТТ

При возникновении неустойчивого горения в РДТТ, как правило, звуковые колебания давления происходят на основной моде. При этом не обязательно, чтобы частота звуковой волны совпадала или была близка к собственной частоте горящего топлива: при нарушении баланса массы продуктов горения в камере сгорания колебания могут происходить и на частоте, близкой к обратной величине характерного времени истечения газа из сопла. В таком случае длина волны звука много больше длины камеры, все термодинамические и гидродинамические параметры газа можно считать не зависящими от пространственных переменных. Это, конечно, не относится к процессам горения, которые протекают на масштабах порядка нескольких десятков мкм. Здесь рассматриваются такие изменения физических величин, которые характеризуют двигатель в целом, и их с удовлетворительной точностью можно считать зависящими только от времени. Это существенно упрощает теоретический анализ.

Пусть - площадь поверхности горения; и -скорость горения; / - время. Обычно (наибольшее) характерное время протекания нестационарных процессов таково, что поверхность горения за этот промежуток времени меняется слабо. Поэтому можно считать ¿р«сош1. Скорость изменения массы т=р¥с газа с плотностью р в камере объема ¥с определяется разностью поступающего за счет горения и покидающего камеру через сопло количества вещества [1]:

— =Рси8р - АРРт!

й

где р - плотность топлива; Лс - коэффициент истечения; Еп - минимальное (критическое) сечение сопла. Плотность газа можно определять по уравнению состояния идеального газа р=р/В?Тр. Здесь р - давление; В - газовая постоянная; Тр -температура продуктов сгорания. В широких пределах изменения плотности и давления газа незначительными колебаниями температуры продуктов сгорания можно пренебречь (изотермическое приближение) [1]. Тогда ур. (1) можно записать как

V йр

RgTP dt

= PcUSp - AcPFm

Начальным условием для этого уравнения служит

0 о

0 Рси 8Р

P(t = 0) = p0

P =-

AF

Волну горения твердого ракетного топлива, движущуюся в отрицательном направлении координаты х, представим следующей моделью [4, 5]:

-»<*<х,

х (г) < х <+<ю : др + -^ру = 0, д г 3х

РШ+%)=дх [ °ртх}- рП°ехр(-

pcp\~dT+v J = 99X [Л9Х l +

+РбгаоехР(-~E) + pc

яг ^ р у р йг р = ряТ •

Граничные условия:

Tc =To,

dxs d x s

x = x (t): -p-r1- = -p—rL + pv, Hc dt И dt И ’

dx dx дY

-Pcd = -pd+PvY - dp-

dt

dxs д Tc .9 T + L dxs

-d-=U(TP)T=Tc,. axr=Aax-+Lp-4t

u = const • p ° exp I -

x ^+co: = 0.

dx

2 RT dY

dx

= 0.

Здесь х, - поверхность разложения топлива; сс, Хс - теплоемкость и коэффициент теплопроводности материала топлива с температурой Тс, Т(х=х)= Т; Т0 - начальная температура топлива; У, Б - массовая концентрация (доля) и коэффициент диффузии реагирующего вещества; к0 - предэкспо-ненциальный множитель в законе Аррениуса; Ес, Е - эффективные энергии активации химической реакции в твердой и газовой фазах; Т- температура газа; В - универсальная газовая постоянная; X - ко-

эффициент теплопроводности газа; 2 - суммарный тепловой эффект химической реакции в газе; у- показатель адиабаты; Ь - тепловой эффект разложения топлива на газообразные компоненты; у0=сош1 В качестве начальных условий к ур. (3) должны быть взяты их стационарные решения. Дальнейшие упрощения для решения ур. (2), (3) сводятся к переходу к лагранжевой координате. Ур. (3) в безразмерных переменных приведены в работах [4, 5]. В частности, весь процесс горения в модели определяется следующими параметрами:

Т

й —

о т о ’

ято

ч—О-

СТО '

а —

в

В —-

1

йх.

Кс рс

1 = —Ъ.

в

Р

П — —

Р

йг

X

ЯТ_

Е ’ (и °)2

сТ0

с ,

ак к,

г,

к, — •

рс

Ко —

(и °)2

Здесь ноль вверху символов означает их стационарные значения. Отрицательное I означает экзотермическую реакцию на поверхности разложения топлива, положительное - эндотермическую.

Результаты исследования и их анализ

Как выяснилось в процессе решения ур. (2, 3), частота реализующихся в системе колебаний имеет порядок обратной величины т.н. аппаратурной константы х:

V (и •)=

%

яТ АЛКс

представляющей собой отношение %=^Д, где Ц^ЛВТРЛРХ 4=к,/(и0)2 - характерные времена истечения газа из сопла и тепловых процессов в твердой фазе топлива. Стационарная скорость горения и0 определяется рабочим давлением р° в камере, р°~107 Па.

Существует критическое значение %=%, ниже которого стационарный режим работы двигателя невозможен [1]. Как удалось установить, это критическое значение % сильно зависит от параметров, определяющих механизм горения. Причем, уменьшение его значения означает появление все более высокочастотных колебаний с началом потери устойчивости (рис. 1-4). Для всех рисунков а=0,01; ^=1,0; 7=1,4. На рис. 1 %*«2,4. Феноменологические коэффициенты к, г рассчитывались по формулам, приведенным в [4, 5].

За границей устойчивости %<х*«2,4 сначала наступает автоколебательное горение (рис. 1, а). По мере дальнейшего продвижения вглубь области неустойчивости, т. е. с уменьшением %, колебания становятся более жесткими, с глубокими падениями скорости горения. В дальнейшем выхода на автоколебание не происходит: амплитуда скорости горения становится настолько большой, что реагирующая среда переходит к другому устойчивому состоянию - отсутствию горения. Проще говоря, наступает самопроизвольное погасание (рис. 1, б).

Рис. 1. Потеря устойчивости, выход на автоколебательное горение (а, %=1,0) и погасание (б, %=0,08): й0=0,3; =-0,3; д=2,0; =0,09; к=1,04

Как известно [6], горящее топливо как самостоятельная система при неизменных внешних условиях имеет свой внутренний механизм, регулирующий его устойчивое состояние. Если этот механизм не сбалансирован, то наступает неустойчивое горение, приводящее или к автоколебательному горению, или к погасанию [4]. Удаленность от границы устойчивости (назовем ее (/„-границей) может быть охарактеризована двумя параметрами к и г. Замечено, что величина % тем больше, чем дальше располагается состояние горения от С0-гра-ницы. Например, стоит только немного отодвинуться (по сравнению с рис. 1) от этой границы, наблюдается быстрое снижение % (рис. 2). Здесь уже %*«0,63.

Дальнейшее удаление от (/„-границы приводит к еще большему снижению %. Такое уменьшение сопровождается появлением новых качественных свойств: относительное небольшое изменение (в сторону уменьшения) % в неустойчивой области сразу же приводит к погасанию (рис. 3). Т е. область существования по параметру % автоколебательного режима горения сужается. Периодический режим горения сосредоточен в очень узком интервале изменения %, например, при %=8.10-3 горение еще устойчиво.

Варьирование параметром % показало возможность реализации нерегулярного режима горения, который может быть охарактеризован как динамиче-

а

ский хаос (странный аттрактор). Действительно, по мере уменьшения аппаратурной константы растет амплитуда автоколебаний и все сильнее проявляется нелинейность системы. Если еще уменьшать %, то происходит удвоение периода колебаний. Над увеличением периодов в дальнейшем проследить трудно: малое изменение % приводит к нерегулярному режиму горения, подобно приведенному на рис. 4. Таким образом, переход к хаотическому режиму горения соответствует сценарию Помо-Манневила [7]. При больших значениях % хаотического колебания не удалось обнаружить. Хотя, конечно, это не говорит о его невозможности появления. Возможно, варьирование параметрами произведено недостаточно.

1,81,61,41,21,00,8- ^^*Ал/ч/\ллллдЛДДДДДД/

В

в*

««ллллллаллааал/уа/

у*

Рис. 3. Автоколебательное горение (а) х=7103 и наступление погасания (б) %=5- 1Сг3 при потере устойчивости: 00=0,43; =-0,23; q=2,7; к=0,63; г=0,11

1.6

В

1.2

Рис. 2. Потеря устойчивости и выход на автоколебательное горение: х=0,2; в0=0,3; ¡=-0,23; q=2,2; г=0,13; к=1,17. Обозначены: ^ - положение фронта пламени в газе; 6, У5 - температура и концентрация на поверхности разложения

Для надежной идентификации странного аттрактора следовало бы произвести расчет энтропии Колмогорова-Синая или спектра реализующихся колебаний. Но это отдельная и довольно сложная задача. Но грубо наличие динамического хаоса можно определить визуально, представив колебательный режим горения в фазовых переменных, например, в плоскости В - ёВ/ёт. Если зависимость В(т) периодическая функция, то на фазовой плоскости ей будет соответствовать замкнутая кривая. Если же периодичности нет, то на фазовой плоскости траектория будет «заметать» область [7]. Соответствующее построение приведено на рис. 5.

Рис. 4. Нерегулярные колебания скорости горения (а) и основных параметров границ разделов фаз (б) при эндотермической реакции разложения топлива: 6=0,43; ¡=0,23; q=3,С; к=0,70; г=0,12; %=4-Ш3

а

а

1.6'

B

1.2'

0.8'

-40"

"40"

"80"

i2o

dB/dт

Рис. 5. Фазовая кривая режима горения, приведенного на рис. 4

Такому «визуальному» анализу аналогичен по своей сути подход, основанный на построении отображения Пуанкаре: периодической кривой на плоскости Пуанкаре отвечает изолированный набор точек, а странному аттрактору - множество точек, которое может быть охарактеризовано своей размерностью, обычно дробным числом.

Потеря устойчивости не всегда приводит к автоколебательному горению. Существуют такие параметры, например, 60=0,6; /=-0,23; #=2,41; в=0,06; в=0,02; К>=3,8.108; о=0,01; Ье=1,0; 7=1,4; г=0,14; к=0,95, когда за границей устойчивости % возрастающие возмущения приводят к погасанию.

Говорить о какой-либо конкретной частоте колебаний на рис. 4, 5 не приходится. Но интервал (безразмерного) времени между двумя максимумами колебаний составляет около 0,07, т. е. сравним с безразмерным временем релаксации о процессов в газовой фазе. Если этот промежуток времени принять за период колебаний, то при давлении около 107 Па и в размерных единицах их частота составляет примерно 103 Гц, т. е. относится к области высоких частот. Для сравнения заметим, параметры на рис. 1, 2 имеют частоту колебаний примерно 40 и 100 Гц.

Заключение и основные выводы

Моделирование нестационарного горения твердых ракетных топлив в камерах ракетных дви-

гателей показало возможность проведения описания рассматриваемого явления на основе ур. (2, 3). Возникновение потери устойчивости при уменьшении аппаратурной константы, реализация вслед за этим автоколебательного и нерегулярного режима горения или же погасания горения наблюдалось в многочисленных экспериментах, которые хорошо отражены в обзорной литературе [1, 8, 9 и др.]. Показанная в работе единая акустическая природа низкочастотной и высокочастотной неустойчивостей согласуется со сложившимися современными представлениями [1].

Возникновение акустической неустойчивости может приводить (если нет погасания) к росту или небольшому падению среднего давления в камере. В проведенных расчетах среднее давление всегда немного падает, несмотря на рост средней скорости горения. Это происходит из-за запаздывания давления относительно скорости горения (рис. 1, а), т. к. изменение скорости горения зависит от давления опосредованно через изменение температуры. Отсюда следует вывод, что среднее давление в камере будет повышаться при снижении сдвига фаз между давлением и скоростью горения. Показатель у0 в скорости горения в приведенных выше расчетах полагался равным нулю. В противном случае принципиальных изменений в физической картине развития неустойчивости не наблюдается, но ярче проявляется нелинейный характер возникающих колебаний. Это обычно приводит к нерегулярным изменениям во времени физико-химических параметров, характеризующих горение.

Более подробное сравнение с имеющимися экспериментальными данными не представляется возможным из-за отсутствия в литературе сведений по кинетике химических реакций, протекающих в камерах ракетных двигателей. В настоящей работе при проведении расчетов ориентиром служили коэффициенты к и г, числовые значения которых меняются для большинства топлив в относительно небольших интервалах [1, 6]: г=0,05...0,3; к=0,8...1,5. Соответственно, параметры 00, /, q, в, в, К брались так, чтобы коэффициенты к и г попадали в указанные интервалы или же были близки к ним.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Присняков В.Ф. Динамика ракетных двигателей твердого топлива. - М.: Машиностроение, 1987. - 248 с.

2. Теория взрывчатых веществ: Сб. статей / Под ред. А.А. Андреева. - М.: Высшая школа, 1967. - 384 с.

3. Сабденов К.О., Миньков Л.Л. Особенности горения ракетного топлива при не равном единице числе Льюиса в газовой фазе // Инженерно-физический журнал. - 2001. - Т 74. - № 6. -C. 61-72.

4. Сабденов К.О. Режимы горения твердого ракетного топлива, распадающегося на газ по механизму пиролиза // Известия Томского политехнического университета. - 2006. - Т. 309. -№ 3. - С. 120-125.

5. Мырзакулов Р., Козыбаков М.Ж., Сабденов К.О. Погасание твердых ракетных топлив и взрывчатых веществ при переменном давлении // Известия Томского политехнического университета. - 2006. - Т. 309. - № 5. - С. 122-130.

6. Новожилов Б.В. Нестационарное горение твердых ракетных топлив. - М.: Наука, 1973. - 176 с.

7. Лоскутов А.Ю., Михайлов А.С. Введение в синергетику. - М.: Наука, 1990. - 212 с.

8. Исследования ракетных двигателей на твердом топливе / Пер. с англ. Под ред. И.Н. Козловского. - М.: Иностранная литература, 1963. - 440 с.

9. Абугов Д.И., Бобылев В.М. Теория и расчет ракетных двигателей твердого топлива. - М.: Машиностроение, 1987. - 272 с.