Совместное оценивание параметров сигнала ЛДИС методом максимального правдоподобия

Том X

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

19 79

№ 5

УДК 621.378.525:532.57

СОВМЕСТНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛА ЛДИС МЕТОДОМ МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ

Г. JI. Гродзовский, Р. Н. Овсянников, В. Г. Шумалкин

Дано решение задачи о дисперсии оценок параметров сигнала лазерного допплеровского измерителя скорости (ЛДИС) с дифференциальной оптической схемой, фиксирующего моменты вылета отдельных фотоэлектронов при пролете светорассеивающей частицы через измерительный объем. Оценка параметров сигнала находится из условия максимума функции правдоподобия. Решение задачи получено методом статистического моделирования на ЭЦВМ. Приведены результаты численных расчетов дисперсии оценки допплеровской частоты сигнала для случая известного и неизвестного моментов пролета частицей через центр измерительного объема и интенсивности светового потока рассеянного лазерного излучения, падающего на фотоприемник ЛДИС. Проведено сравнение дисперсий оценок, полученных из условия максимума функции правдоподобия, и нижних границ дисперсий оценок параметров сигнала ЛДИС (границ Pao — Крамера).

Принцип работы ЛДИС газовых потоков с дифференциальной оптической схемой подробно описан в литературе (см., например, [1]). Приложение метода максимума правдоподобия для нахождения оценок параметров сигнала ЛДИС по результатам измерения моментов вылета отдельных фотоэлектронов рассматривалось в [2], в которой приведена формулировка задачи получения оценки допплеровской частоты шД и момента прохождения светорассеивающей частицей центра измерительного объема методом максимального правдоподобия для случая известного и постоянного во всех реализациях сигнала числа фотоэлектронов.

В настоящей статье рассматривается задача о дисперсиях оценок параметров сигнала ЛДИС методом максимального правдоподобия для случайного числа фотоэлектронов в каждой реализации, известном и неизвестном моменте времени пролета частицей центра измерительного объема и неизвестной интенсивности светового потока, падающего на фотоприемник ЛДИС. Кроме того, получены аналитические зависимости для нижних границ дисперсий

совместных оценок допплеровской частоты, момента прохождения частицей через центр измерительного объема и интенсивности светового потока, падающего на фотоприемник (границ Pao — Крамера).

1. Рассматривается ЛДИС с дифференциальной оптической схемой, работающий в одночастичном режиме (оптический сигнал на фотоприемнике системы формируется в результате пролета через измерительный объем одной светорассеивающей частицы). Фотоприемное устройство — идеальное, на его катоде осуществляется безынерционное преобразование приходящего от светорассеивающей частицы светового потока в поток фотоэлектронов,а момент вылета отдельного фотоэлектрона регистрируется без ошибки. В этом случае каждая реализация фототока определяется общим числом k вылетевших фотоэлектронов и моментами tu . . ., tk вылета электронов из фотокатода. Функцию правдоподобия отдельной реализации фототока ik(t) для фиксированного вектора г параметров оптического сигнала ЛДИС представим в виде [1]:

k

£[**

R- j=\

здесь t¡ — момент вылета у'-го фотоэлектрона; S(t¡, ^ — интенсивность потока фотоэлектронов, которая полностью определяется интенсивностью светового потока и зависит как от параметров оптической схемы ЛДИС, так и от „оптических" свойств и координат пролета светорассеивающих частиц. При пролете частицы через центр измерительного объема эта интенсивность определяется выражением [1]:

S

где Л0 — константа, определяемая размерами и „оптическими" свойствами рассеивающих частиц, конструкцией приемной оптики, квантовым выходом материала фотокатода, длиной волны лазерного

излучения; с = nNJcos-у- — константа, характеризующая число интерференционных полос, укладывающихся в измерительном объеме

с относительной интенсивностью освещенности е 2 от максимальной, 6 — угол между лазерными лучами в дифференциальной схеме ЛДИС. Среднее число пе фотоэлектронов, вылетающее из фотокатода за время пролета одной частицы через центр измерительного объема, определяется выражением

я, « Л0/2^4-

Вектор г параметров сигнала в данном случае в качестве компонентов содержит допплеровскую частоту шд, линейно связанную

со скоростью V движения частицы (ш = 4тг sin — V/X, X — длина волны лазерного излучения), момент пролета частицей геометрического центра измерительного объема и константу Л0, т. е. г = = (шд, Л0). Параметры tЛ0 в типичных аэродинамических экспериментах относятся к числу несущественных. Однако их неопре-

деленность может оказывать влияние на точность оценок существенного параметра сигнала — допплеровской частоты а>д. В связи с этим в настоящей работе рассматриваются совместные оценки всех трех параметров методом максимального правдоподобия и исследуется влияние отсутствия априорных сведений о параметрах и А0 на дисперсию оценки шд.

2. Стандартная форма уравнений правдоподобия представляет собой необходимые условия экстремума логарифма функции правдоподобия (1) и в данном случае записывается следующим образом:

^^-14 С, - Ь - 2 V, - tg 4 с,- - Ь = 0;

Я П1 2

Л к к Л

2 (*, - + Е « ^ ^ - <*> =

' _ —о

л л — •

Л >д ^

л л л

Оценки параметров шд> Л0 являются корнями системы уравнений (4).

л

Разрешая третье уравнение системы (4) относительно А0, получим:

Л ь л

=

У 2тс с

Окончательную форму записи уравнений правдоподобия полу-

„ л

чаем после перехода к безразмерным переменным шд = шд/(од, х,- =

Л А

— — и исключения из первого уравнения параметра Л0

в соответствии с (5):

~ т 2 Ъ—^ - X .(«, - tg - = 0:

Система уравнений, приведенная в работе [2] для оценки безразмерных шд и отличается от системы (6) отсутствием члена с2/<Од в первом уравнении.

Таким образом, оптимальная в смысле максимума функции правдоподобия система обработки сигнала ЛДИС должна зарегистрированные моменты tj вылета фотоэлектронов засылать в блок решения системы (6).

Решить систему (6) в аналитическом виде не представляется возможным. Это значительно усложняет задачу получения выра-

л

жений для дисперсий оценок шд и t¡|!. В связи с этим для исследования статистических характеристик оценок максимального правдоподобия использован метод статистического моделирования сигнала ЛДИС на ЭЦВМ. Сущность метода сводится к замене процесса

измерения t¡ процессом вычисления случайных чисел i¡, имеющих известную плотность распределения вероятностей, с последующим решением системы (6). По результатам многократного решения системы (6) вычислялись значения выборочных средних и дисперсий оценок параметров сигнала ЛДИС.

Алгоритм вычисления моментов появления фотоэлектронов т;. состоит в следующем. Вначале вычисляется целочисленное, случайное для каждой реализации, число фотоэлектронов k, распределенное по закону Пуассона с параметром пе. Для получения таких случайных чисел использован метод, предложенный Каном [3]. Согласно этому методу, для получения числа k необходимо вычислить произведение равномерно распределенных на отрезке [0,1] случайных чисел Вт, т= 1, 2, . . ., М. Количество сомножителей М выбирается так, чтобы

м м

П Вт < ехр

т=1 m=1

Тогда число k = M—1 равно значению случайной величины, распределенной по закону Пуассона с параметром пе. После получения значения k вычисляются k случайны?: чисел i¡, плотность распределения которых

р

у 2¡t с

Процедура вычисления случайных моментов сводится с помощью преобразования Смирнова [4] к решению относительно ~¡ уравнения

fP

—оо

После вычисления k случайных моментов i¡ оценки шд и параметров находятся в результате решения системы уравнений (6) методом Ньютона. В качестве математического ожидания и дисперсии оценок принимались выборочные средние и выборочные дисперсии

N N , м

1 V 2 V (XJ~XC Р> ~ /,п\

•Кср = ах = 2и дг_ |- - Х — Ш,

/=1 У=1

найденные в результате jV-кратного повторения описанной процедуры отыскания оценок.

3. Нижние границы дисперсий несмещенных оценок г*, компонентов r¡ вектора параметров г определяются из обобщенного неравенства Pao — Крамера и имеют вид [5]

4t¡>Y

где Уи-')—диагональные элементы матрицы, обратной информационной матрице Фишера /. Элементы матрицы Фишера / определяются по формуле

/

Скобками (...) обозначено статистическое осреднение случайной величины, заключенной в эти скобки.

Для функции правдоподобия вида (1) элементы информационной матрицы можно представить в виде

м-7"

(„ I- 1 1

я (г, г)<а.

Для интенсивности потока фотоэлектронов, определяемой зависимостью (2), элементы информационной матрицы / определятся следующими выражениями:

о л 2 (°+т 2 Ап о> с

'о

2 Ло о>

3 'о+Г

<*) __ /С*. шд) _ _ - "»

. с

<„ +Т

. С4

2

с4

¡(А0. Аа) = ^^

и+т

/Ио,шд)==/(Шд,Л0) = _2шд | ££ ¿ОБ

2 'о+Г

Здесь введены следующие обозначения:

£=ехр —

2 с2

С*

При времени наблюдения сигнала (¿0— £*)< —2с/<од и (£0 — + + Т)^>2с/а>я выражения (14), входящие в зависимости для дисперсий оценок (11), значительно упрощаются

/<»д. шд> = [3 + С2 + (3 _ С2)]Д1 + е-сЧ2),

/ (V'») __ /<'«• шд) _ о>

4) = [1 + с2 + е-с,'2]/(1 +

с2

ЦА0.А0) =Пе/А1

В соотношениях (15) учтено, что при временах наблюдения сигнала (¿0 — /*) ^ — 2 с/шя и (£0 — + Т) ^ 2 с/юд среднее число фотоэлектронов

пе = Л о ]/ 2^ с (1 + е~с'12)1(ал.

Учитывая (15), можно выражения (11) для дисперсий оценок записать в форме

2 . Осо > Д

2 \

:

пе [2 + <*

е-с'12 (2 _ с2)]

С» (1 +

2 \

^ [3 + с2 + е~ 1 (3 — с2)]

[2 + + е-с'12 (2 _ С2)]

При оценивании одной допплеровской частоты, т. е. при известных моменте и параметре Л0, нижняя граница дисперсии оценки шд определится соотношением

-2 ,. . —с»/2\

= 1//(тд'шд> = _!

(1 +

пе [3 + С2 + е~с2'2 (3 — с2)]

0,01

Метод максимального __ ^ правдопоНобия

0п1

Поскольку практически интересны значения параметра с2~^> 1, из анализа соотношений (16) и (17) можно сделать вывод о том,

что предельные значения дисперсий оценки допплеровской частоты (оценки Рао — — Крамера) не зависят от степени информированности о таких параметрах сигнала ЛДИС, как момент времени прохождения частицы через центр измерительного объема и максимальное значение интенсивности светового потока на фотоприемник.

Аналогичный вывод можно сделать и о дисперсиях оценки <ид, определяемой методом максимального правдоподобия. На рисунке приведена зависимость относительной среднеквадратичной погрешности ош/о)д от среднего числа фотоэлектронов пе, полученная методом максимального правдоподобия. Результаты, приведенные на рисунке, соответственно относятся: обозначенные кружочком — к случаю совместной оценки параметров шд, íj¡., А0\ обозначенные треугольником — к случаю оценки только шд; обозначенные крестиком— к варианту постановки задачи, рассмотренному в [2] (сид и — оцениваются, А0 — известно и число фотоэлектронов во всех реализациях постоянно).

Из приведенных на рисунке данных видно, что все рассмотренные варианты постановки задачи дают примерно одинаковые результаты. Пунктирными линиями на рисунке показаны зависимости ащ/ад (пе), являющиеся границей Рао—Крамера. Видно, что дисперсии оценок допплеровской частоты, полученные методом максимального правдоподобия, и границы Рао — Крамера практически совпадают при больших средних значениях числа фотоэлектронов 10), порожденных одной частицей.

ЛИТЕРАТУРА

1. Лазерное допплеровское измерение скорости газовых потоков. Сб. работ № 1 под редакцией Г. Л. Гродзовского. Труды ЦАГИ, вып. 1750, 1976.

2. Гродзовский Г. Л. Приложение метода максимума правдоподобия к задачам оптимизации обработки данных аэродинамического эксперимента. .Ученые записки ЦАГИ", т. 8, № 3, 1977.

3. Мартин Ф. Моделирование на вычислительных машинах. М., .Советское радио", 1972.

4. Е р м а к о в С. М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. М., .Наука", 1971.

5. Л е в и н Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники. М., .Советское радио", 1975.

Рукопись поступила 23/ VI 1978 г.