Отрыв пограничного слоя в завихренном сверхзвуковом потоке

________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Т о м VII 19 7 6

№ 4

УДК 533.6.011.55

ОТРЫВ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ В ЗАВИХРЕННОМ СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ

А. В. Казаков

Исследуется отрыв пограничного слоя в завихренном сверхзвуковом потоке при различных законах распределения завихренности по линиям тока энтропийного слоя. Приводятся решения, полученные для линейного и квадратичного законов изменения параметров энтропийного слоя в случае, когда толщина энтропийного слоя по порядку величины несколько больше поперечного размера области взаимодействия пограничного слоя с невязким сверхзвуковым потоком.

В последние годы отрыв пограничного слоя интенсивно изучался в различных теоретических и экспериментальных исследованиях. В работе [1] с помощью асимптотических методов на основе уравнений Навье—Стокса исследовался отрыв пограничного слоя при обтекании тела равномерным сверхзвуковым потоком. Большинство современных летательных аппаратов, предназначенных для полетов с большими сверхзвуковыми скоростями, имеют затупления, около которых возникают криволинейные скачки уплотнения, вызывающие завихренность потока, поэтому большой интерес представляет изучение влияния завихренности потока на отрыв пограничного слоя. В данной работе исследуется влияние завихренности на отрыв пограничного слоя при различных законах распределения завихренности по линиям тока энтропийного слоя. Приводятся постановка задачи для произвольного закона распределения завихренности и решения для линейного и квадратичного законов изменения параметров энтропийного слоя. Эти две формы распределения завихренности потока имеют существенное значение при изучении отрыва пограничного слоя на затупленном клине или конусе, обтекаемыми сверхзвуковым потоком при различных углах атаки, если толщина энтропийного слоя несколько больше поперечного размера области взаимодействия пограничного слоя с невязким сверхзвуковым завихренным потоком.

Постановка задачи и граничные условия. Пусть в некоторой точке на контуре обтекаемого тела в результате отклонения щитка или по какой-либо другой причине происходит отрыв пограничного слоя. Характерное расстояние до точки отрыва /. Предпола-

гается, что точка отрыва и окружающая ее область взаимодействия пограничного слоя со сверхзвуковым завихренным потоком располагается на такой части поверхности тела, где градиентом давления, индуцируемым при обтекании тела, можно пренебречь по сравнению с градиентом давления, индуцируемым при взаимодействии пограничного слоя и сверхзвукового потока около точки отрыва. Этот локальный градиент давления, согласно работе [1], велик. Приведем уравнения Навье—Стокса к безразмерному виду, используя значения величин на внешней границе невозмущенного пограничного слоя, а все координаты и толщины слоев отнесем к характерному размеру I. Уравнения Навье—Стокса в переменных Мизеса (л:, ф) запишутся следующим образом:

причем х отсчитывается вдоль поверхности тела от передней критической точки; р, А, р., р, ф, о —плотность, энтальпия, вязкость, давление, функция тока и число Прандтля соответственно, а и и V — составляющие скорости вдоль осей х и у; использовано следующее обозначение: е = Ке-1/2.

Характерными масштабами задачи являются размер области взаимодействия, который в соответствии с работой [1] равен г3/4, и толщина энтропийного слоя 85. Очевидно, что случаи и

^^>г3/4 описываются в рамках теории взаимодействия пограничного слоя с равномерным сверхзвуковым потоком. Например, при обтекании затупленного клина сверхзвуковым потоком случай приводит к задаче об отрыве пограничного слоя на остром клине, а случай 85;^>£3/4 сводится к отрыву в равномерном сверхзвуковом потоке, однако величины на внешней границе невозмущенного пограничного слоя перед зоной взаимодействия совпадают с соответствующими величинами на нижней границе энтропийного слоя. Случай 8$ также приводит к теории, развитой в работе [1], но при расчете невозмущенного пограничного слоя перед областью взаимодействия в качестве начального профиля пограничного слоя при х -* 0 следует принять профиль энтропийного слоя, который получается при решении невязкой задачи для х^м-^со (/^у — радиус затупления тела, который при 1 имеет порядок 85). Таким

2 йв ] д Г да , /ду дь \"П

3~ +Рийф- ^ ^ (53Г — ) )’

образом, завихренность невязкого потока непосредственно оказывает воздействие на течение в области взаимодействия и отрыв пограничного слоя только в случае — г3'4- В качестве на-

чальных условий для области взаимодействия в этом случае необходимо иметь профили распределения параметров в энтропийном слое «*(*, ys), Р*(х, .у5), h*0(x, ys) и т. д., где ys=y/bs, и характеристики невозмущенного пограничного слоя перед областью взаимодействия. Для расчета невозмущенного пограничного слоя необходимо принять следующие граничные условия

и -> и* (х, 0); h -» Л* (х, 0) при ф/е + оо;

и — v — 0; h = hw при ф = 0.

В частности, для случая течения на затупленном клине в формулах (4) следует положить и0(х, 0)~1 и hl(x, 0) = 1/(х—1)М2 , так как i«~s3,4<l и Rn^>£.

Асимптотические разложения и условия сращивания в области взаимодействия. Следуя работе [1], область взаимодействия разобьем на три части: область 1, соответствующую возмущенной зоне невязкого сверхзвукового завихренного потока; область 2, которая соответствует основной части пограничного слоя, и область 3 — вязкий подслой, в котором возмущения скорости порядка

самой скорости. Используя оценки, приведенные в работе [1], для

порядков величин получим:

§~г; Д/?~ Ди^—Др^ — ДЗ^уВ—е1/2;

д и<з) — и<з) — д§* (3J/8- Д8* О) Д5* (2).

Здесь Ди(2), Др(2), Д8*(2) — возмущения величин в области 2, а Ди<3>, Д8*<3) — возмущения соответствующих величин в области 3.

В области 1 введем новые координаты, сохраняющие масштаб 0(1) в области взаимодействия с длиной порядка г3'4:

*, =

Профили распределения параметров в невозмущенном энтропийном слое перед областью взаимодействия определяются следующими выражениями:

К (•*> Уя) = «о (У3) + О (г3/4); j

Po(*,-Vs) = PoOg + 0(e3/4);

Р М = Ро +о (в3''4); ho (х, ys) = Л0 (Уа) + О (г3'4), поэтому асимптотические разложения для области 1 имеют вид

м = «о 0's) + £,/2«i(^i. ^i) + • •; v = s1/2 V,{xb ^i)+-.; |

P = Po + £l/2 Pi

р — роСМ + ^рЛ-*!» J'i) + h=K

причем возмущения pu pb hu uu Vt -* 0 при xt -> — оо. Подставляя

переменные (5) — (7) в уравнения (1) — (3) и используя условие по-

стоянства энтропии вдоль линии тока, получим

dpi 1 „ да\ | dppl/i п- QM ¿Ml n v ди() дрх .

Здесь Ло = х/?0/Ро ОМ — квадрат скорости звука. Из уравнений (8) легко получить

причем и0, р0, Л0 —заданные функции от ys, но в рассматриваемом случае ys = 0(_Vi).

Итак, если параметр задачи е3/4/85~1, в области взаимодействия необходимо решать уравнение (9) с переменными коэффициентами для определения давления на внешней границе вязкого подслоя. Но если е3'4/85 = з1, где Sj — некоторый малый параметр, не зависящий от числа Рейнольдса, то величины и0, р0 можно представить в виде

причем з;1~ОИ) и у1=у3/г1.

В дальнейшем будем рассматривать только случай 53/4/85=г-.є1<^;1. Следует отметить, что при обтекании затупленного клина под нулевым углом атаки завихренность на поверхности тела обра-

начинаются с квадратичных членов. Однако в общем случае первые производные не обращаются на теле в нуль, поэтому ниже в работе рассмотрены оба случая, отвечающих учету влияния энтропийного слоя с линейным и квадратичным законом изменения параметров. Сначала рассмотрим случай с линейным законом распределения величин в энтропийном слое. Так как все величины отнесены к своим значениям на внешней границе пограничного слоя, то и0, р0, Л0 можно записать следующим образом:

причем «1,0, Р1,о» Аьо. М^о — линейные однородные функции от уг, а Ме — число М на внешней границе пограничного слоя, совпадающее с числом М на нижней границе энтропийного слоя. Так как величина в!<С 1, то можно предположить, что течение в этом случае мало отличается от течения в области взаимодействия с равномерным сверхзвуковым потоком при хг-* — ос, и искать решение уравнения (9) в виде

щается в нуль, т. е. Jy1 = = Jy2- = 0 при ys = 0, и разложения

ио — 1 Н~ £і иі, о (у і) + • • ; ро — 1 + £і рх, о(_Уі)Н~ • • ; h0 — he + о Ai, о(.Уі) + • • î M == Me-f- £i Mi.oi^i);

he -= l/(x- 1)M2,

Vl =• l/io -f £1 l/„.

Используя разложения (11), легко получить уравнение для V10 и Vu:

,2 1Ч дг 1/п д2 V)

№ - 1)

Г = -м-{2и'^)^+

¿“ьо_1 дн\.о\

дх^

ду

+ д-Х1о

+ ду,

дР1,0 ду! '

М

М* — 1 \ дУ1 не дУ1}

При хх-*—оо возмущенная скорость Ух стремится к нулю, следовательно, 1/10=1/п = 0. Поток в области взаимодействия обтекает некоторое „эффективное“ тело у — £5/4Дз(•*]), так как у<з),— д§»(3)^е5/4 д3> поэтому из условия непротекания

Дз = Дм + £1Дз1;

йхх

Лхг

можно получить

¿Д

Ую

йх

^¡1 йх, '

Решая уравнения (12) и (13) при соответствующих граничных условиях, находим

^10 (*1 — — 1^]) = Азо(л1 —/м2— 1 УО;

Уи=У

10

~Т Р1.0 I -

т

2 Ум]

==-1 ср &ух

дУи дх,

+ &(х1-Ум£-1у1),

где <р = 2 И1,0 — -¡^ .

Представляя возмущение давления в области взаимодействия рх в виде ряда

/'1=Рю + е1Яи+---

из (8), получим уравнения для />1о, рп,

<^10

дхх

дУ\ ’

(р!,о + «1.о +

Из этих уравнений следует, что при ух = 0

1 ¿Д*

дри

Р 1о(ХиО) =

*30

УМ? 1 ¿хх ’

Ри

ду1

2 ду,

4(М|"— 1)2

----— Дзо^О +

^31

Ум?-1 ¿*1

о daa

В с лучае когда -¿ф

rfpo __________ dh0

О и параметры энтропийного

dys dys

слоя в масштабах области взаимодействия являются квадратичными функциями, разложения (10) принимают вид

Uo — 1 “Ь £i в1,о (.Уі) + • ; Po = 1 + еі рі.о {у-і) -і- • •;

Ар — he + sj Лі,о(^і) + • •; М = Мг + еїМі,о(.Уі)+ ..,

где М],о, рі,о, Аі,о, Мі,о —однородные квадратичные функции^.

Разложение для возмущенной скорости будет также начинаться с члена, квадратичного по Vx — Vu -f- ... Урав-

нение (13) в этом случае примет вид

д*Уп

д2 V,

ду\

п __

dVu

дУі

öPi, о

du

1,0

dy, — 1 \

Решая уравнение (16), получим: / мі і

he ду

т)

V

10

1, о

Mj

j <?dy і

daai,o ду\ '

dV«

+

Mi

d%<p 1 ^Pi, q

~\~У\

4(M*-

1) dyj

dy{ dyf

ъУм* — 1

+ ^31 (^1 — 1^М2— \ У\)-Записывая возмущение давления в виде ряда

Р\ = Рю + г\Рп +• • • > из уравнений (15) найдем, что при ^1 = 0

] d&*

І vl0(t— Ум2в — \yx)dt

PlO '

УК

*30

dxt

4

P11 (*i> 0):

d%u

dyi

i,o 1 ^2Pi, 0

+

dy{

M;

dy\

8(M І

V М,— 1 yl)dyi

1)2

+

j Д30 (x!

dL

31

Умі—і dXi

1

Вводя новые координаты хг — хх — ; ф2 = ф/е (так как тол-

6 '

щина области порядка а), запишем асимптотические разложения в области 2:

« = «20 ОЬ) + е‘/2 Щ (*2. ф2) + . . ,  = е,/2 ^2 (*2> 'Ы + • •; Р = Р20 (фа) + е1/2 р2 (х%, Ф,) -Ь = /?о + £1/2/>2 (-«2, 'Ь) • •;

А = Л2о(Ф2) + £1/2Л2(-«2, ф2) + --; У=еу,(ф2)-Ь е5/4 3^2 (-^2> + •• •

Уравнения (1) —(3) в области 2 примут вид дуу 1 . ду2 v2

<^2 ' ди2

Р20 «20 ~^Г

Р20 ц20 - др2 дхз

дхо

«20 dhi

Р2° “20 Ж-

И

20

¿)Р‘2 дх2

:0.

Решения этих уравнений при х2 -> — сю сращиваются с решениями для невозмущенного пограничного слоя, а при ф2 00 и Ф20 — с решениями в областях 1 и 3 соответственно. Из уравнений (14) следует, что возмущение давления постоянно поперек слоя. Это дает возможность использовать найденное в области 1 распределение давления при решении соответствующих уравнений в области 3. Из оценок порядков величин следует, что в области 3 Д8* (3> ~_у(3) ^ в5/4; м(3) ^— в1/4 И, следовательно, ф(3)^г3/2.

Вводя новые координаты л:3 = : Ф, — ™

рЗ/4

рЗ/2 5

запишем асимп-

тотические разложения для области 3:

V-

г3'4 Ъя

u = s1^u3{xs, фз) + . . ;

Р=Р0 + *У2РАХ5, ф8) + .-; р = рв-И1/4ра(*„ «М + -.; h = hw + е1/4 h3 (х3, ф8) + ..; у = г5/4_у3 (*3> ф3).

Из уравнений (1) — (3) при совершении предельного перехода 0, считая переменные области 3 величинами 0(1), получим:

дия , др3 д

Рт «3 дрз

дхз 1 = 0;

dh3 дх3 '

дх3

ду3

Йфз

I

да, \

''Из (р “з -щ-);

I

¿Уз

, щ

дх3

dh3

Уз

«3

Переходя в уравнениях (18) —(20) к переменным (?, ij), опреде-

ленным соотношениями Yj:

АУа .

Кб

Фз = B%f (6, 7)); Лз - TV, V £ g (6, ч); А- = D*3, находим следующие уравнения и связь между константами:

Г

'^zlp + 4- (Л2-//" + S (//'• -/-л

BD

= 1;

Ptti

1.

В формулах (21), (22) использованы следующие обозначения:

f' = — • /“•

е>/

Граничные условия для функций / н g имеют вид 0; /(0, т))=:4-г(2; Г'(\, 0)->1 при 5-0;

ду ’ •' д%

/(6, 0) =•/'(?, 0) = 0; /(0, ч) = -|-ч2; /"(1, 0)-> 1 при

0) = 0; £'(£, оо)=/"(|, со) = 1; £'($, 0)-»-1 при 1-^0

и дают еще два условия

ди _ = А^в,

ду У=0 Р

dh J дУ |у=о

b = AN,.

Значения констант а и Ь определяются из решения для невозмущенного пограничного слоя перед областью взаимодействия. Давление на верхней границе вязкого подслоя в случае, когда закон распределения параметров энтропийного слоя в масштабах области взаимодействия можно считать линейным, будет иметь

ВИД В переменных І, ТГ)

СИ

/

А У М

4

X

Г диі,

І дУі

[/? Нш {у\ — У2/)] ~

X

2 дУі

СІср е ду

4 (М.2 - 1)2

-Уіііт

Если завихренность на поверхности тела обращается в нуль,

т. е. = = 0 при ^5 = 0, и разложения (10) начинаются

“Уз “У5 “-Уя

с квадратичных членов, то возмущение давления на верхней границе вязкого подслоя (область 3), используя полученные результаты, можно записать следующим образом:

со

лУм2е-

а П/Піт(ті-/2/)]#І +

Т'-ЮО иуХ

СІІ

с

4

дЫ

ду[

1,0 1 ¿4 о

,2+2 Л..2

ду{

мА

еду\

АО У МI

8 (М^— 1)2

X

В формулах (23) и (24) можно положить

СБ

А У

1

- 1, что

дает еще одно условие для определения констант перехода к переменным (£, -у)) от физических переменных. Значения этих констант в этом случае следующие:

С = ((М2е - 1 Р/а^)172; Л « (Р2ТО а3 (М? - 1 )1/2/^],/4; .

В={^/а(М1-\у»У12; Б = {М1аЦМ2е-\у*)114-,

Ъ = Ь{г91Р1а*( М2е-\у»)т.

Численный расчет асимптотического поведения решения при

X -> —оо. Пусть И10, Рю, к10— являются линейными однородными функциями у{. Рассмотрим поведение решения для области взаимодействия при $ 0. Для этого перепишем формулу (23) в виде

УШ -яг + *1 «5 /г Нт

здесь

і)-*- 00

4

ди

1, о

дУ і

+

дРі.о

дУі

4 (М^ — 1)2

Решая уравнения (21), (22) совместно с уравнением (25), можно получить характеристики отрыва в завихренном потоке. Так как

величина 3] является малой (г!<С1), то можно попытаться искать решение в виде ряда

? = £о + е1 35^(£о) + / = /о(£о> *]) 4* е1 (?0» т)) + • • •

Подставляя эти разложения в уравнения (25) и (17), получим

¿Ео

/о = ]Л0 § [l + 4- (/o)J -/о/; + So (Л/о - Ш ];

fi = + |/°/i —/i/о ~/о/l -f Ео |/i/o + /0/1 --

- /о /t - /о/t + (/ö/o - /0/;) ]} vl ш

F(to)-Vto Um (т) У2/o) +

T]->CO

dEo_

dX

-kiirt $s,"-yw

Ит (тАг

00 \ у */о

Граничные условия запишутся следующим образом:

/о(5о»°)=/о(5о»0) = 0; /1(60,оо) = 1; /0 (0, т|) = -I- -^2;

/1 («о. 0) = /1 (6о, 0) =/1 (5о, оо) =/, (О, Ч) = 0.

Уравнения

в новых переменных примет вид:

,3/2 д3 /о _ ,1/2^ Г д№ ~io dX |_

1 + e"(w)!

, t2 df0 d*/o t2 ö/o d2/ol

+ 5° dN ÖN ’° dj, '

Разлагая функцию /0 в ряд по $0, получим:

/о = ^г + фо(^) + 2оФ1(А/) + ..; dX

: ао + • • •

Подставляя разложения в уравнение (28), получим уравнение для Ф0 с граничными условиями

«о = —гг-—- ; Фо" = (1 - Ф„ + МЕ>о) «о, Ф0 (0) = (0) = Ф; (со) = 0.

— ф0

В результате расчета на ЭВМ было получено

а0 = 0,827; Ф"(0) = —1,2087.

Переходя в уравнении (27) к переменным (М, |0) и разлагая функции /1; Р в ряд

/1 = Ро(Л0 +ЕоЛ(Л0 + ..; р (^о) = Мо + • • ,

для функции Р0 получим следующие уравнения:

Ро’' = -|-Р0Фо + *о(МРо-РоУ, -I2- = Ііш (— Фо) — а0 Нт (Р^>).

^ A7._i.ry4 Л/-»по

При решении этих уравнений на ЭВМ было найдено, что р0 = 39,867, Ро(0) = — 46,737. Так как разложение функции / в ряд по £ имеет вид

Как известно, в точке отрыва напряжение трения обращается в нуль, т. е. в этой точке /" (0) = 0.

Используя полученную асимптотику при Е-»0, см. (29), можно качественно оценить влияние слабой завихренности потока на характеристики отрыва, найти значение X в точке отрыва

Из формулы (30) видно, что при увеличении завихренности величина растет. Однако, так как

коэффициент давления ср в точке отрыва в случае 8^— е-Ч3/4 может, вообще говоря, быть меньше, чем Ср5 в случае 8^ = 0. Это объясняется тем, что в случае 85—е,-1 £3/4 число Ме на верхней границе пограничного слоя равняется числу М на нижней границе энтропийного слоя, т. е. числу М на линии тока, проходящей через прямой скачок. В случае отсутствия энтропийного слоя 85 = 0 число Мг равняется числу М на верхней границе энтропийного слоя и может существенно отличаться от числа М на нижней границе слоя, в результате чего с/0 на остром клине может не совпадать с коэффициентом трения в случае 85— г-1 г3'4. Как уже отмечалось, разложения (10) в случае обтекания клина под нулевым углом атаки начинаются с квадратичных членов. Поэтому для рассмотрения влияния завихренности на отрыв пограничного слоя в этом случае необходимо решать уравнения (21) — (22) совместно с уравнением (24).

Используя уравнение (25), легко определить влияние завихренности потока на затухание возмущений давления рх(рх пропорционально I) при х3 -»со. Записывая функцию / в виде / =

ДГ2

= —|—|— (ЛГ> и подставляя в (25), получим

/= -¡“ + фо(Л,) + £1°$Ро(Л0+ • • »

то при ? 0 получим

% = (1 + 39,86) £0 . . ;

(0) = 1 - (1,2087 + в1 а5 46,734) £0 + .  •

Из (31) видно, что давление при —с» убывает в завихренном потоке более медленно, чем в равномерном сверхзвуковом потоке. Следовательно, рост завихренности приводит к увеличению протяженности области взаимодействия вверх по течению.

ЛИТЕРАТУРА

1. Нейланд В. Я. Асимптотические задачи теории вязких сверхзвуковых течений. Изв. АН СССР МЖГ, 1969, № 4.

2. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. М., .Наука“, 1973.

3. Хейз У. Д., Пробстин Р. Ф. Теория гиперзвуковых течений. М., Изд. иностр. лит., 1962.

Рукопись поступила 16/Х 1974 г.