К теории электромагнитных волн в градиентных структурах с киральной метасредой

К теории электромагнитных волн в градиентных структурах

с киральной метасредой

1 2 И.П. Руденок , А.И. Киреева

1 Волгоградский государственный технический университет,

2 Волгоградский государственный медицинский университет.

Аннотация: Выполнено исследование процесса распространения волн в киральной метасреде с градиентными диэлектрической, магнитной и магнитоэлектрическими проницаемостями. Рассмотрено условие существования в ней неклассических электромагнитных волн. Получены зависимости поперечных и продольных компонент вектора распространения от параметров градиентности пространственных профилей материальных характеристик искусственной среды.

Ключевые слова: киральная метасреда, плоские электромагнитные волны, градиентные материальные характеристики, нормированный волновой вектор.

Введение

Одним из перспективных и интенсивно развивающихся направлений оптоэлектроники и интегральной оптики в последнее время является изучение волноводных свойств метасред и композиционных структур на их основе, материальные характеристики и параметры которых изменяются в пространстве и во времени. Линейно поляризованная мода в таких искусственных средах испытывает вращение плоскости поляризации, фарадеевское вращение, гиротропию, бианизотропию, киральность, биизотропию и т.д. [1, 2]. Бурное развитие метаматериальных технологий стимулирует исследования новых градиентных киральных метасред и волновых явлений в них [3,4]. Очень часто материальные уравнения градиентных бианизотропных метаматериалов моделируются выражением вида [5]:

3 = ё

В = ц(х, у, г )Н + в(х, у, г )Ё,

которое использовалось ранее для однородных структур.

При этом структура входящих в уравнение (1) тензоров определяется взаимностью и отсутствием или присутствием поглощения и т.д.

В настоящее время не возможно быть уверенным до конца, что материальные уравнения (1) являются истинной математической моделью метаматериалов. Эти высказывания основаны на том, что отсутствует строгое однозначное обоснование этих уравнений. Из-за этого существует несколько видов соотношений, считающихся материальными уравнениями композиционной среды, которые не являются полностью эквивалентными. До конца не ясен физический смысл магнитоэлектрических проницаемостей для большинства физико-математических моделей сложных сред, что определяет связь между ними и геометрическими характеристиками мета элементов или пространственной конфигурацией мета молекул, мета атомов. Материальные уравнения (1) не учитывают существенной периодичности расположения мета микроэлементов для описания пространственной дисперсии [6].

В рамках использования заданных материальных уравнений со скалярными диэлектрической, магнитной и магнитоэлектрических проницаемостей решён достаточно широкий круг электродинамических задач распространения волн в волноведущих структурах с простейшими искусственными заполнениями. Авторами были выяснены их основные электродинамические свойства. В частности, к ним можно отнести невозможность направления плоской электромагнитной волны с линейной поляризацией [7]. Здесь нормальными волнами являются гибридные моды, имеющие шесть компонент векторов Н и Е явление кросс-поляризации поля направляемой волны. Однако до сих пор небольшое внимание уделяется математическому моделированию волновых процессов в градиентных, бианизотропных, периодических композиционных структурах.

Волны дискретного спектра в градиентной искусственной среде

Изучим волновые свойства неклассических плоских электромагнитных волн. Запишем их электрический и магнитный векторы: Ё = Ё„ ехр[1 (кг -аг)]

-а

Н = Н„ ехр|/ \кг -а г

где ё„, Н„ - амплитуды электрического и магнитного векторов волны,

к = (кх,ку,кг} - волновой вектор, г - радиус-вектор, а- круговая частота

волны, г - текущее время.

Материальные уравнения для метасреды имеют следующую форму:

3 = а (х)Ё + [а (х) + ]Р (х)]Н, В = ц(х )Н + [(х)-]у(х )]Ё

а а(х), ¡и(х) - относительная градиентная диэлектрическая и магнитная

проницаемости; а(х), в(х), у(х), у(х) - составляющие магнитоэлектрических

проницаемостей. Для определённости будем считать, что диэлектрическая и

магнитная проницаемости искусственной среды распределены по закону

вида [7, 8]:

8Ы= I (т0 Т2 , х )= /о - /

т0  гИ

' х ^

V Т0  Т2

1 + т0  т  гИ

С х ^

VT0  Т2 У

Здесь параметры т0,т1 удовлетворяют условию 0 <т0 т1<1. Тогда выражение (4) не имеет особенностей. Её схематичный график представлен на рисунке 1.

При этом:

/2 =8 (Д^) = /0 - /Т0 (1 + Т0  Т )-2 ,

/з = ^(//Х-да) = /о -/т0(1 -то Т)-2.

2

Рис. 1. Распределение диэлектрической и магнитной проницаемости градиентной композиционной среды.

Магнитоэлектрические проницаемости а(х), в(х), у(х), у(х) распределены по обобщённым степенным законам[9]:

а

в

V

Ъ2,х) = г,

где 40,42,44, а0, а6, Ъ0, Ъ2 - параметры градиентности пространственных профилей.

С учётом материальных уравнений (3) и производных по времени получаем:

V, £] = ] ¡0 \/и(х)Н + а(х)Ё + j в(х)Ё],

V,Н]= Д [- гг(х)Ё - v(x)Н + jу(х)Н],

где ¡0 = —. Для плоской волны (2) справедливы равенства:

»0

С

V, ё]=[/7, Ё],

V, Н ]=[[, Н ].

С учётом (10) уравнения (9) можно представить:

l, E,

l, H ,

= j(x)H, +a(x )E, + j в(х )E,, = -s(x)E„ - v(x)H, - j y(x)H,

а l = —. Первое уравнение из (11) умножим векторно слева на вектор l и

получаем:

[/, [ l, E. ]]= j(x ) [/, H, ] + a(x) [ l, E, ]+ je(x ) [ l, E, ].

Подставим в уравнение (12) выражения (11) и после нескольких

математических преобразований находим, что

[/, [ /, Ё,]]= [/в(x)v(x)-^(x)e((x)-v(x)a(x)- /у(х)а(х)+у(х)р(х)]Ё, + + [х)+/>(х)+а(х)+/в(х¿7, Ё,].

0

Дисперсионные уравнения

Для последующих преобразований представим волновой вектор через его проекции на координатные оси:

l = lA + lA + lA.

Запишем уравнение (13) в координатной форме. Результатами такого разложения будут являться следующие покомпонентные равенства:

- ( + l2z + То )+(lylx+T2lz ) y+(lJx - T2ly E = 0,

((+T2ly )+(( - T2lx ) - ((x2 + ly + T0 ) = 0,

здесь введены следующие обозначения:

Т0 = -ДТ0 , Т т х)£(т0, г^ т х) - ^ х)а(40 , 42, 44, х) +

+ /в((0 , ^ хМ(0 , «И х) - />(Ъ0 , Ъ2 , х)а(40 , 42, 44, х) + КЪ0 , Ъ2 , х)в(0 , ^ х), (16) Т2 = К(0 , «И х) + /У(Ъ0 , Ъ2 , х) + а(40 , 42, 44, х) + /в((0 , ^ х).

Приведём систему уравнений к матричному виду:

Ь

а

¿^ТТ х ) =

Ф0

Ё.=

Ё Ё. Ё.

Ф0 (Т0,Т1,Т2, х) = 1У + + Т0 (Т0 , Т1, Т2, х),

Ф1 (Т0,Т1,Т2, х) = 1у1х + КТ2 (Т0 , Т1, Т2, хХ Ф2 (Т0,Т1,Т2, х) = 1А - 1уТ2 (Т0 , Т1, Т2, x), Ф 3 (Т0,Т1,Т2, х) = 1х1у - КТ2 (Т0 , Т1, Т2, х),

Ф 4

Ф5 (Т0 , Т1, Т2, х) = К1у + 1хТ2 (Т0 , Т1, Т2, х), Ф6 (Т0 , Т1, Т2, х) = К1х + 1уТ2 (Т0 , Т1, Т2, хX Ф7 (Т0,Т1,Т2, х) = 1уК - 1хТ2 (Т0 , Т1, Т2, 4 Ф8 (Т0,Т1,Т2, х) = - 11 - Т0 (Т0 , Т1, Т2, х).

Так как ранг матрицы равен количеству алгебраических уравнений, то необходимо приравнивать к нулю её главный:

det ¿

Вычисляя определитель, после некоторых математических преобразований получаем:

Ф 0 (Т0,Т1,Т2, х )Ф 4 (Т0,Т1,Т2, х )Ф 8 (Т0,Т1,Т2, х )-

-Ф 0 (Т0,Т1,Т2, х )Ф 7 (т0 ,Т1,/ Т 2 , х )Ф 5 (Т0,Т1,Т2, х )--Ф1 (Т0,Т1,Т2, х)Ф3 (Т0,Т1,Т2, х)Ф8 (Т0,Т1,Т2, х) + + Ф1 (Т0,Т1,Т2, х )Ф 4 (Т0,Т1,Т2, х )Ф 6 (Т0,Т1,Т2, х) + + Ф 2 (Т0,Т1,Т2, х )Ф 3 (Т0,Т1,Т2, х )Ф 7 (Т0,Т1,Т2, х )--Ф 2 (Т0,Т1,Т2, х )Ф 6 (Т0,Т1,Т2, х )Ф 4 (т0 ,Т1'^ Т2 , х )= 0.

Из структуры элементов главного определителя матрицы l(t0,t1,t2,x) видно, что продольная составляющая lz нормированного волнового вектора l входит в равенство (21) в четвёртой степени. Это означает то, что как и для обычной киральной среды продольная компонента волнового вектора в градиентной метасреде будет иметь четыре значения. Делаем вывод о том, что в искусственной среде, как и в однородной, в общем случае могут распространяться четыре волны, свойства которых определяются параметрами градиентности материальных характеристик метасреды [10]. Аномальное распространение волн в такой среде, когда может быть больше или меньше двух встречных мод, порождает математические проблемы неопределённости или отсутствия решения (необычная комбинация знаков поперечных и продольной составляющей волнового вектора).

Представим условия существования плоских электромагнитных волн в некоторых частных случаях композиционной искусственной среды. Рассмотрим однородную изотропную киральную среду в СВЧ диапазоне на основе спиралей с правой закруткой. В материальных уравнениях (3) s = const, ¡и = const, a{x) = v{x) = 0, fi{x) = у(x) = в = const. Пусть в разложении волнового вектора l проекция ly равна нулю. Тогда в разложении (20) после

некоторых математических преобразований получаем дисперсионное уравнение в следующей форме:

Выражение (21) представляет собой биквадратичное алгебраическое уравнение, которое имеет четыре различных корня:

dxtz + d2l2z + d/z = 0,

а

d = в2 - sи, d2 = 2(в2 - su)(lx2 - 2в2),

d2 = (-su)[( -2в2)-4в242].

L =

i

- ¡11 2, lz 2 =Г((^-в)2 - l

¡3 =-

((¿ + в)2 - ¡1

, lz 4 =-

((¿-в - ¡2

которые характеризуются продольными составляющими волнового вектора, отличаются только направлением распространения. Это касается и волн, для которых справедливы второе и четвёртое уравнения, причём во всех четырёх выражениях наблюдается явная зависимость от материальных параметров искусственной среды.

Литература

1. Бакеева И.В. Наноструктуры: основные понятия, классификация, способы получения. - 2-е изд. М.: МИТХТ им. М. К. Ломоносова, 2008. 68 с.

2. Иванов О.В. Распространение электромагнитных волн в анизотропных и бианизотропных слоистых структурах. Ульяновск: УлГТУ, 2010. 262 с.

3. Dmitry A. Yakovlev, Vladimir G. Chigrinov, Hoi-Sing Kwok. Modeling and Optimization of LCD Optical Performance. John Wiley & Sons, 2015. 584 p.

4. Rego G., Caldas P., Ivanov O.V., "Coupling to antisymmetric modes in long-period gratings", Livro das Actas da 16 Conferencia Nacional de Fisica, Portugal, Lisbon, Sept. 3 - 6, 2008, p. 212.

5. Руденок И.П., Киреева А.И., Филичева Т.В. Распространение волн в кристаллических структурах с искусственной композиционной средой // Физика волновых процессов и радиотехнические системы, 2011, Т 14, №2. С. 10-15.

6. Руденок И.П., Агишева Н.Н., Руденок А.И. О некоторых краевых задачах теории базовых композиционных волноведущих структур // Физика волновых процессов и радиотехнические системы, 2003, Т.6, №4. С.5-12.

7. Руденок И.П., Киреева А. И., Филичева Т.В. Поверхностные волны вдоль слоев градиентности в периодических композиционных структурах // Физика волновых процессов и радиотехнические системы, 2012, Т15, №4. С. 41- 47.

8. Руденок И.П., Руденок А.И. К теории волн в открытых анизотропных нелинейных градиентных волноведущих структурах //Физика волновых процессов и радиотехнические системы, 2001, Т.4, №2. С. 10-15.

9. Киреева А.И., Руденок И.П., Поздняков А.П. К математической теории поверхностных волн в открытых композиционных нелинейных анизотропно-градиентных структурах // Инженерный вестник Дона, 2015, № 4. URL: ivdon.ru/uploads/article/pdf/IVD_112_Kireeva.pdf_44b312aaf3.pdf

10. Киреева А.И., Руденок И.П. Математическое моделирование взаимодействия поверхностных волн в открытых анизотропно-градиентных волноводах // Инженерный вестник Дона, 2015, № 4. URL: ivdon.ru/uploads/article/pdf/IVD_20_Kireeva.pdf_da760066f0.pdf

References

1. Bakeeva I.V. Nanostruktury: osnovnyeponjatija, klassifikacija, sposoby poluchenija [Nanostructures: basic concepts, classification, methods of preparation]. 2-e izd., M.: MITHT im. M. K. Lomonosova, 2008. 68 p.

2. Ivanov O.V. Rasprostranenie jelektromagnitnyh voln v anizotropnyh i bianizotropnyh strukturah [Distribution of electromagnetic waves in anisotropic and bianizotropic structures]. Ul'janovsk: UlGTU, 2010. 262 p.

3. Dmitry A. Yakovlev, Vladimir G. Chigrinov, Hoi-Sing Kwok. Modeling and Optimization of LCD Optical Performance. John Wiley & Sons, 2015. 584 p.

4. Rego G., Caldas P., Ivanov O.V., "Coupling to antisymmetric modes in long-period gratings", Livro das Actas da 16 Conferencia Nacional de Fisica, Portugal, Lisbon, Sept. 3 - 6, 2008, p. 212.

5. Rudenok I.P., Kireeva A.I., Filichjova T.V. Fizika volnovyh processov i radiotehnicheskie sistemy, 2011. V.14, № 2. pp. 10-15.

6. Rudenok I.P., Agisheva N.N., Rudenok A.I. Fizika volnovyh processov i radiotehnicheskie sistemy, 2003. V.6, № 4. pp. 5-12.

7. Rudenok I.P., Kireeva A.I., Filichjova T.V. Fizika volnovyh processov i radiotehnicheskie sistemy, 2012. V. 15, № 4. pp. 41-47.

8. Rudenok I.P., Rudenok A.I. Fizika volnovyh processov i radiotehnicheskie sistemy, 2001. V.4, № 2. pp. 10-15.

9. Kireeva A.I., Rudenok I.P., Pozdnjakov A.P. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2015, № 4. URL:

ivdon.ru/uploads/article/pdf/IVD_112_Kireeva.pdf_44b312aaf3.pdf

10. Kireeva A.I., Rudenok I.P. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2015, № 4. URL: ivdon.ru/uploads/article/pdf/IVD_20_Kireeva.pdf_da760066f0.pdf