Методы подготовки студентов к компьютерному тестированию по математике

Тысячелетиями художники гравировали, рисовали, чертили на плоской поверхности, изображая предметы реального мира, но для создания изображений требуется дополнительное искусство. Прежде чем машина сможет воспроизвести на бумаге или на экране, идеи необходимо преобразовать в число -единственное, что доступно пониманию компьютеров, представленное двумерным изображением чисел, пользуясь декартовой системой координат, составляющих его точек. И наоборот, заданные оси координат, масштаб и список координат легко превратить в изображение.

В современных системах машинной графики используются три основных метода: свободное рисование, метод аппликации, формирование рисунков из графических предметов. Обычные графические видеоэффекты можно использовать в двух направлениях. В первом случае компьютерная графика используется в качестве иллюстрирования. Во втором случае графические видеоэффекты используются для научных целей, решения различных задач (перенос, поворот, масштабирование, добавление, удаление или замена всего изображения или его части).

Используя подобные компьютерные программы в педагогическом эксперименте, мы пришли к выводу, что наглядность не только расширяет возможности наглядных изобразительных средств, но и способствует повышению уровня усвоения знаний студентами, а также помогает освоить основы компьютерной грамотности.

Из всего сказанного можно сделать вывод, что для повышения уровня учебно-воспитательного процесса в школе будущие учителя должны обладать необходимыми графическими умениями и навыками использования наглядности:

- графическая наглядность обеспечивает полную информацию об изучаемом материале;

- развивает познавательные интересы;

- позволяет повысить темп изучаемого материала и увеличивает объем самостоятельной работы;

- формирует графические умения и навыки.

Литература

1. Смирнов, С.А. Графическая подготовка в общеобразовательных учебных заведениях: учеб. пособие для студентов педвузов [Текст] / С.А. Смирнов. - Вятка: Технология и предпринимательство, Вятский гос. ун-т, 1995.

2. Таджиев, И.И. Схематическая наглядность как средство повышения эффективности обучения учащихся 1У-У классов (На материалах природоведения, географии и ботаники) [Текст] / И.И. Таджиев. - Ташкент, 1970. - 178 с.

3. Харитонов, Б.П. Применение средств наглядности в обучении [Текст]: автореф. дис... канд. пед. наук / Б.П. Харитонов. - М., 1959. - 17 с.

ББК 74.262.21 УДК 378.016

П.И. СОВЕРТКОВ, МЕТОДЫ ПОДГОТОВКИ СТУДЕНТОВ

Н В- ТОЛПЕКИНА К КОМПЬЮТЕРНОМУ ТЕСТИРОВАНИЮ

ПО МАТЕМАТИКЕ

P.I. SOVERTKOV, N.V. TOLPEKINA

METHODS OF PREPARATION OF STUDENTS TO COMPUTER TESTING ON THE MATHEMATICIAN

Тестовая форма проверки и оценки знаний студентов в последнее время получила наибольшее распространение. Её оперативность и четкость позволяют проверить знания студентов по объемному содержанию образования. Цели и задачи компьютерного тестирования предопределяют мотивацию студента на выполнение каждого тестового задания и формируют новые эвристики для успешного прохождения теста (сокращение числа выполнения операций в задачах, содержащих большое количество однотипных элементов; поиск рационального решения).

The test form of check and estimation of knowledge of students has gained recently the greatest distribution. Its efficiency and clearness allow to check up knowledge of students under the volume maintenance of formation. The purposes and problems of computer testing predetermine motivation of the student on performance of each test task and form new heuristics for successful passage of the test (reduction of number of performance of operations in the problems containing a considerable quantity of the same elements; search of the rational decision).

Ключевые слова: компьютерное тестирование, компьютерные задания, методы подготовки студентов, эвристики.

Key words: computer testing, computer tasks, methods of preparation of students, heuristics.

1. Цели и задачи по подготовке к компьютерному тестированию.

Компьютерное тестирование по дисциплине становится обязательным элементом при аттестации вуза. Этот момент является ответственным для каждого студента, для студенческой группы, для преподавателя этой дисциплины, для кафедры и в целом для вуза.

Компьютерное тестирование имеет свои преимущества и недостатки по сравнению с классической текущей и итоговой оценкой знаний студентов, поэтому следует организовать подготовку, учитывая особенности компьютерного контроля.

Классическая система решения задачи направлена на полное решение этой задачи. Это требуется преподавателем на занятии, в этой же манере часто действуют и студенты при компьютерном тестировании.

В основу компьютерного тестирования заложена другая структура, т.к. тест предлагает различные варианты ответов на поставленный вопрос, а поэтому в этом случае быстрый просмотр этих вариантов иногда позволяет отсечь неправильные ответы и применить частичное решение задачи. Для задач, содержащих большие массивы данных, это позволяет значительно сократить время решения задачи. Но для этого необходимо применить эвристики, формированию которых необходимо посвятить тренинги по подготовке к компьютерному тестированию.

Второй важной задачей таких тренингов является разъяснение того, что правильное решение какой-нибудь задачи или частичное ее решение, наводя-

щее на правдоподобный ответ, значительно повышает рейтинг студента, участвующего в тестировании.

Отметим другие важные задачи, решаемые во время тренингов:

- восстановление забытых определений и формул;

- получение навыков ввода ответов на компьютере и формирование уверенности при работе с компьютерным тестом;

- формирование культуры по проведению математических вычислений на бумаге и подведению полученного ответа к одной из форм, предложенных на экране компьютера;

- формированию действий в той ситуации, когда тестируемый студент решил задачу верно, а на экране компьютера нет правильного ответа (подготовка тестируемого к случаю, когда на экране компьютера имеется опечатка, т.е. разработчики теста допустили ошибку).

Дальнейшие рассуждения будут проводиться для теста по математике по специальности 020101.65 Химия, проверяющего освоение студентами десяти дидактических единиц. По каждой дидактической единице тест предлагает четыре задания, что составляет в общем, по всему тесту, сорок заданий.

Некоторые трудные задания требуют проведения расчетов порядка 5-8 минут. Учитывая общее время проведения теста - 80 минут, создается впечатление, что полностью выполнить все задания невозможно.

Для того чтобы тест был засчитан, решение всех задач не является обязательным условием. Каждая дидактическая единица считается освоенной, если на вопросы в этой дидактической единице получено не менее 50% правильных ответов.

Большинство студентов стремится продемонстрировать свои достижения по освоению знаний и навыков в данной дисциплине, поэтому встает важная задача по формированию поиска рациональных способов выбора правильных ответов.

2. Формирование мотивации на выполнение каждого задания.

Вычислим вероятность определения правильного ответа для дидактической единицы.

Будем считать, что дидактическая единица определяется по четырем вопросам и в каждом открывающемся экранном окне предлагается один правильный ответ и три неправильных ответа.

Общее число п возможных ответов в четырех экранных окнах равно.

4 х 4 х 4 х 44 = 256.

Дидактическая единица будет считаться освоенной, если отвечающий выберет два правильных ответа и два неправильных ответа, или три правильных ответа и один неправильный ответ, или четыре правильных ответа.

Число способов т4 выбрать четыре правильных ответа в четырех экранных окнах равно 1, т.к. в каждом окне можно единственным способом определить правильный ответ, т.е. т4 = 1.

Число способов тз выбрать три правильных ответа и один неправильный ответ в четырех экранных окнах равно 12, т.к. правильные ответы можно выбрать только одним способом, а для выбора неправильного ответа имеется в фиксированном окне три возможности. Но таким окном, на котором выбирается неправильный ответ, может оказаться любое из четырех окон, поэтому тз = 3 х 4 = 12.

Для определения числа способов т2 выбрать два правильных ответа и два неправильных ответа зафиксируем экранные окна, на которых выбира-

ются неправильные ответы. На них можно получить 3 х 3 = 9 способов выбора двух неправильных ответов. Число способов выбрать два экранных окна из

четырех окон равно С^ = 6 , следовательно, т2 = 6 х 9 = 54.

Общее число благоприятных исходов равно т = т4 + тз + т2, т.е. т = 67. Вероятность того, что простым выбором можно создать такую ситуацию, что дидактическая единица будет считаться освоенной равна

т 67

Рпе = —=- 0,26.

пе п 256

Вычислим непосредственным счетом вероятность противоположного события, т.е. вероятность того, что дидактическая единица не будет считаться освоенной.

Число способов то выбрать четыре неправильных ответа в четырех экранных окнах равно т0 = 3 3 3 3 =1.

Для определения числа способов т1 выбрать один правильный ответ и

три неправильных ответа в четырех экранных окнах зафиксируем окно с правильным ответом, тогда на остальных окнах неправильные ответы можно выбрать 3 3 3 =27 способами. Изменяя окно с правильным ответом, получаем т1 = 4 27 =108 способов.

Число благоприятных исходов для противоположного события (но не благоприятных для студента) равно т0 + т1 = 189.

Вероятность того, что дидактическая единица не будет считаться осво-

- 189

енной при произвольной разметке ответов равна РдЕ = .

Сумма вероятностей р и р равна единице, что и следовало ожидать.

В среднем из четырех тестирующихся один студент может оказаться «удачным», т.к. ему будет засчитана дидактическая единица.

Вначале этот показатель кажется компрометирующим всю систему компьютерного тестирования, но учтем, в тесте десять дидактических единиц.

Все дидактические единицы можно считать независимыми событиями с точки зрения теории вероятности, поэтому вероятность того, что тест будет считаться освоенным (а для этого необходимо освоить все дидактические единицы) равна

рТ = 0,0000015 .

Эта величина показывает, что компьютерному тестированию можно доверять, т.к. вероятность простого угадывания оказывается ничтожно малой.

Покажем, что знание одного правильного ответа на одну из тем или выбор правильного ответа на основе правдоподобных рассуждений в дидактической единице значительно повышает вероятность того, что дидактическая единица будет считаться освоенной.

Пусть студент полностью освоил одну из четырех проверяемых тем в дидактической единице. Будем считать, что в тесте в одном из экранных окон обязательно появляется задание на эту тему, а на остальные вопросы студент отвечает простым угадыванием.

Найдем вероятность события В, состоящего в том, что после ответа эта дидактическая единица оказалась освоенной.

В этом случае проще вычислить вероятность противоположного события В, состоящего в том, что эта дидактическая единица не освоена, а значит, среди ответов оказался один правильный ответ по той теме, которую он хорошо выучил, и три неправильных ответа.

Число способов выбрать три неправильных ответа в трех экранных окнах равно 3 3 3 =27 . Вероятность противоположного события равна

Р

-\ 27

(В ) =

64

Вероятность события В равна

р (В )= 1 - р (В ) =

37 64

0,58.

Отметим, прежде всего, что знание одного правильного ответа среди четырех тем в дидактической единице увеличивает более чем вдвое вероятность того, что дидактическая единица будет засчитана, как освоенная.

Если студент знает по одному вопросу в каждой теме, то вероятность того, что тест будет засчитан, по-прежнему является малой:

0,0042,

но она значительно увеличивается по сравнению с тем, когда студент не освоил ни одной темы.

3. Формирование эвристик по сокращению количества однотипных операций в задаче.

Рассмотрим задание из раздела линейной алгебры по теме «Определитель, операции с матрицами».

Произведение матриц

-3 2 фф 1 1'

-4 1235 2 3 Фравно ...

-5 3 Ф26 5 2<

Варианты ответа

(-1 5 -4! I1 5 - 5| |1 3 2 | |-1 - 8 - 3| 4 8 0 - 7Ш3 10 0 !,с)! 5 10 9 Ы 5 0 7 1 Г 3 7 - 71 12 9 - 71 1- 5 0 - 71 I- 4 - 7 - 71

а)!-8 0 -7Ш3 10 0 Ь)!5 10 9 Ш5 0 7 1

т

Первый способ решения этой задачи, сформированный всей системой предыдущего обучения, состоит в последовательном определении элементов искомого произведения матриц. Для этого студент должен выписать транспонированную матрицу, приложить ее справа к первой матрице и применять

сформированное ранее правило по составлению сумм произведений элементов, взятых из некоторой строки и некоторого столбца. Вычислив первый элемент с11 = + (-3) 2 ф= 1 для произведения матриц, студент должен обратить внимание на то, что среди вариантов ответов содержатся две матрицы, удовлетворяющие такому условию. Следовательно, необходимо продолжить аналогичные вычисления. После вычисления элемента с12 можно окончательно определить правильный вариант ответа.

Второй способ решения. Можно сократить число вычислений элементов для произведения матриц, если обратить внимание на то, что все предложенные варианты отличаются элементами, расположенными на пересечении первой строки и третьего столбца, т.е. элементами С13. Кстати, существуют и

другие одинаково расположенные элементы в вариантах ответа, которыми эти все варианты ответов отличаются. Итак, получаем более рациональный метод решения данной задачи. Начинаем решение задачи с вычисления элемента С13. Время решения задачи сокращается вдвое. А если учесть существующую реальность, состоящую в том, что в настоящее время учащиеся, а, следовательно, и студенты имеют слабые навыки устного счета, что приводит зачастую к неправильному ответу, то ставится ясно, что вероятность получения правильного ответа в этом случае дополнительно повышается.

Третий способ решения. На консультации перед тестированием можно обратить внимание студентов на то, что операцию перехода от данной матрицы к транспонированной, состоящую в простой замене столбцов на строки, и, наоборот, строк на столбцы, также можно сократить. Выписывание транспонированной матрицы является лишней, а элемент С^ для произведения можно вычислять как сумму элементов I -ой строки первой матрицы на соответствующие элементы ] -ой строки второй матрицы.

Если учесть, что перевернутая матрица в результате транспонирования окажется записанной на бумаге, а первая данная матрица представлена на экране, то дополнительно встает небольшая проблема для расположения этих матриц рядом. Конечно, можно умножать матрицы, расположенные в разных местах, но практика показывает, что умножение осуществляется в большинстве случаев для рядом расположенных матриц, записанных в определенном порядке.

В этом случае сокращается время на переписывание матрицы и как следствие сокращается вероятность появления описок в результате этой операции.

Сформулируем алгоритм выстраивания эвристик на сокращение числа выполнения операций в задаче, содержащих большое количество однотипных элементов.

^ В каждом варианте ответов определяем место с одинаковыми индексами, на котором все варианты отличаются элементами.

^ Решаем сформулированную задачу по определению элемента, расположенного на этом месте, и выбираем правильный ответ.

4. Обучение сокращению числа операций.

Одним из обязательных элементов подготовки к тестированию является ориентирование студентов на работу с тренировочным тестом в режиме самообучения.

Следует отметить, что разработчики тестов в пояснениях к решению некоторых заданий изложили столько теоретического материала, что оно заслонило непосредственное решение задачи. Рассмотрим следующее задание.

Пусть С° - поле комплексных чисел, а - поле матриц вида Ь |, где а и Ь - действительные числа. Известно, что отображение f : С 5, / : 2 = а + ¡Ь Ь |, есть изоморфизм указанных полей, тогда значение

f ((2-¡3)(—1 + ¡2)*), где * - операция комплексного сопряжения, ...

Решение для самообучения, предложенное в компьютере разработчиками теста.

По условию задачи заданные поля изоморфны, т.е. отображение /: 2 = а + ¡Ь Г 1 морфизм и биекция. Поскольку (2 — ¡3) (— 1 + ¡2)* С,

то значение

/((2 — ¡3) (—1 + ¡2)*) существует. Ьа Ь Г

Если / : г = а + ¡Ь Г |, то Г—Ь а Г

/ ((а + ¡Ь)*)= / (а — ¡Ь) = ,

-Ь<

Следовательно, в поле 5 аналогом операции комплексного сопряжения служит операция Ь П^ | |, которую можно назвать операцией матричного сопряжения. Учитывая, что отображение f является морфизмом, для значения заданного выражения имеем:

f ((2 — ¡3) ( 1 + / 2)*) = f (2 — ¡3) f ((—1 + / 2)*) =

Итак, искомое значение равно / ((2 — ¡3) (— 1 + ¡ 2)*) =

>8 —1 1 —8<

Рассмотрим более рациональное решение, которое не требует понятий морфизма, биекции, введения операции комплексного сопряжения и сокращает число операций.

(2 — ¡3) (—1 + ¡2)* = (2 — ¡3) (—1 — ¡2) = —8 — ¡,

^8 —11

/ ((2 — ¡3) ( 1 + ¡2)*)= / (—8 — ¡) = .

8

а

Для этого решения достаточно знание операций с комплексными числами, которые являются более простыми, чем вышеперечисленные операции в абстрактной алгебре.

Можно привести другие примеры, показывающие, что простое размышление над задачей позволяет более рационально решить предложенные задачи.

Рассмотрение различных решений одной и той же задачи ориентирует студентов на поиск наиболее рационального решения и повышает рейтинг преподавателя, осуществляющего тренинг к консультированию.

5. Формирование навыка поиска рационального решения задачи.

При решении поставленной задачи студенты, как правило, действуют по отработанному способу действия, который был сформирован в рамках изучения темы. При выполнении компьютерного теста студент работает автоматически, не задумываясь о том, что существует рациональный способ решения задачи, который позволит сэкономить его время работы над тестом. Поэтому при подготовке к компьютерному тестированию преподавателю необходимо уделить особое внимание рассмотрению различных решений одной и той же задачи, что способствует формированию эвристик по поиску рационального решения задачи.

х4

Рассмотрим пример. При каком значении к функция у = — является решением дифференциального уравнения у = (2k + 3) х3 ?

Студентами в большинстве случаев применяется следующий способ решения, рассматриваемый на практическом занятии:

1) ^ = (2к + 3) х3;

йх

2) йу = (2к + 3)хъйх;

3) фу = фк + 3)хъйх ;

х4

4) у = (2к + 3)^4 + С;

4 4

5) — = (2к + 3) — + С; 4 4

6) 1=2к±э, С=0; ш „

4 4 4 4

7) к = -1.

Второй способ решения данного задания использует подстановку предлагаемой функции в предложенное дифференциальное уравнение:

1) у = 4(х4) = х3;

2) х3 = (2к ± 3)х3;

3) 1 = (2к ± 3);

4) к = -1.

При сравнении количества выполненных действий второй способ решения является рациональным.

Оба способа изначально являются равновозможными. В первом способе акцентируется внимание на решение дифференциального уравнения, и затем на уравнивание полученной и данной функций. Во втором способе отправной точкой является данная функция, для которой находится производная, и затем уравниваются полученная и данная производные. Проиллюстрированный пример показывает, что метод подстановки функции в данное уравнение является рациональным способом решения.

Почему студенты используют в основном первый способ, несмотря на то, что второй способ также используется при формировании понятия дифференциального уравнения? Практика решения большого количества дифференциальных уравнений формирует нацеленность на обязательное решение уравнения согласно изученным ранее алгоритмам. Ограничение времени на выполнение теста также побуждает студента быстро использовать алгоритм решения.

При подготовке к тестированию большинство преподавателей акцентируют внимание на обучающих целях, пытаясь восстановить забытые алгоритмы и формулы. В действительности, нужно ставить развивающие цели по систематизации различных методов решения и применению эвристик. При компьютерном контроле студенту приходится часто решать дилемму -либо быстро и стандартно применить известный алгоритм, но при этом придется выполнить несколько шагов с достаточно большими расчетами, либо затратить небольшое время на поиск эвристики и упростить вычисления. Поэтому при подготовке к компьютерному тестированию задача преподавателя заключается не только в демонстрации различных способов решения, а в формировании дискуссии по выявлению рационального способа решения.

6. Критерий освоения теста в целом.

Иногда в тестах встречаются ошибки, состоящие в том, что ни один из предложенных вариантов не является правильным ответом. В этом случае либо разработчики теста сами неправильно решили задачу, либо, и это наиболее вероятно, в условии теста допущена опечатка. Если это случается, то почему эту проблему следует обходить стороной? Опечатки были и наверно будут встречаться даже при самом тщательном контроле. Из этого факта только нужно сделать правильные выводы, которые предлагаются ниже.

Во время консультации такую ошибку можно исправить, изменяя коэффициенты данной задачи. Во время тестирования нет времени исправлять ошибку, и вокруг студента создается нервная обстановка, т.к. полученный им правильный ответ не может быть введен в качестве варианта ответа. Нам кажется, что в компьютерном тестировании нужно изменить критерий освоения всего теста. Существующий ныне критерий того, что тест из п дидактических единиц считается освоенным, когда освоены все п дидактических единиц - является жестким критерием.

Во-первых, тестирование студентов при аттестации специальности или аккредитации вуза происходит в большинстве случаев, когда у студентов прошел один, два года после изучения этой дисциплины. Иногда тест требует знания таких определений, которые явно не должны запоминаться студентами на многие годы. Например, одно из заданий требует оперирование понятием регулярного элемента в разделе абстрактной алгебры, причем этого понятия нет ни в одном учебнике по высшей математике, а также в большинстве специальных учебников по абстрактной алгебре, нет в большом энциклопедическом словаре [3] по математике.

Пусть студент хорошо освоил две темы из четырех тем в дидактической единице и выполняет свободно соответствующие операции при тестировании. Знания по первым двум темам являются базовыми, которые должны сохраниться на многие годы для быстрого применения в процессе работы по специальности. Ясно, что этого достаточно для освоения темы, т.к. вычисления по более сложным третьей и четвертой темам он должен выполнять в других условиях, расположив рядом справочную литературу по математике. С этим согласны разработчики тестов, определив барьер в 50% для освоения дидактической единицы.

Теперь представим, что в одном задании тест содержит опечатку по первой теме, а студент хорошо освоил две темы из этой дидактической единицы и все темы из других дидактических единиц. Для студента этот тест не будет считаться освоенным.

Третье важное замечание. Студент-химик, изучающий математику, не обязан так же любить математику, как разработчик теста по математике, но обязан ее знать. Гуманно допустить, что студенту может не понравиться какая-то тема. Есть различные типы мышления у студента. Например, у него может быть прекрасно развито аналитическое и геометрическое мышление, но вероятностный подход ему не нравится по нескольким причинам. Пусть он ответил правильно на 75% в девяти темах, а в последней теме ответил правильно только на одно задание. Для него тест будет считаться не освоенным, что не является естественным по сравнению с классической системой проверки знаний.

Исходя из выше перечисленных причин, естественно считать, что тест из n дидактических единиц считается освоенным, когда освоены (n-1) дидактических единиц.

Вероятность угадывания правильных ответов изменится столь незначительно, что это не повлияет на валидность оценки теста, но это станет естественным критерием для теста. Процент выполнения заданий в тесте не изменится, что также является важной характеристикой обученности студента. Но на студента перестанут указывать как на субъекта, который снизил показатели аттестации.

Реформа математического образования будет продолжаться, т.к. уточняется понимание предмета деятельности по каждой специальности, а значит и роль математики, как инструментария и как метода познания будет уточняться [1; 2]. Предложенное уточнение критерия освоения теста не является попыткой снижения требований к уровню подготовки специалиста, а направлено на более естественную оценку уровня знаний.

Литература

1. Совертков, П.И. Обсуждаем вузовскую реформу [Текст] / П.И. Совертков // Математика в школе. - 1997. - № 1. - С. 37-39.

2. Стефанова, Н.Л. Первые результаты работы математического факультета в многоуровневой системе высшего педагогического образования [Текст] / Н.Л. Стефанова, Н.А. Лабунская, П.И. Совертков // Математика в школе. - 1997. - № 5. - С. 80-83 .

3. Большой энциклопедический словарь [Текст] / Математика. - М.: Большая Российская энциклопедия, 1998. - 848 с.