Сгорит ли дерево при пожаре в случайном лесе?

Труды Карельского научного центра РАН № 5. 2012. С. 89-93

УДК 519.2

СГОРИТ ЛИ ДЕРЕВО ПРИ ПОЖАРЕ В СЛУЧАЙНОМ ЛЕСЕ?

Ю. Л. Павлов, Е. В. Хворостянская

Институт прикладных математических исследовании Карельского научного центра РАН

Рассматривается множество Fn,N всех возможных лесов, состоящих из N ^ 2 упорядоченных некорневых деревьев и n помеченных вершин, на котором задано равномерное распределение вероятностей. При n/N ^ то получены предельные теоремы для числа несгораемых вершин одного дерева в модели распространения огня в случайном лесе из Fn,N.

Ключевые слова: случайный лес, случайное дерево, модель лесного пожара, плотность несгораемых вершин.

Yu. L. Pavlov, E. V. Khvorostyanskaya. WHETHER A TREE WILL BURN IN A FIRE IN RANDOM FOREST?

We consider the set Fn,N of all possible forests, consisting of N > 2 ordered non-root trees and n labeled vertices. We specify the uniform distribution on FN,n. When n/N ^ то limit theorems were obtained for the number of fireproof vertices of one tree in a forest fire model on a random forest taken from Fn,N.

Key words: random forest, random tree, forest fire model, density of fireproof vertices.

В последние годы в теории случайных графов появилось новое направление - разработка и исследование моделей лесных пожаров (в англоязычной литературе они получили название "forest fire models"). Такие модели используются не только в ландшафтной экологии с целью определения наиболее устойчивой к пожарам топологии лесных насаждений (см., например, [1, 7]), но также в статистической физике [5-7] и в экономике, где с их помощью пытаются понять природу кризисов банковских систем и найти способы минимизации их последствий [1].

В статье [4] предложена одна из возможных моделей такого типа. В ней рассматривается случайный процесс распространения огня по ребрам некорневого дерева с помеченными вершинами. Пусть Tn - множество всех

таких деревьев, имеющих п вершин. Хорошо известно, что Тп содержит пп-2 различных деревьев. Это значит, что равномерное распределение вероятностей на Тп приписывает каждому дереву меру п2-п. Ребра случайного дерева могут находиться в одном из трех состояний: воспламеняемое, огнеупорное или сгоревшее. Введем случайную величину т, имеющую распределение Бернулли:

Р{т = 1} = 1/ (1 + п-а) ,

Р{т = 0} = п-а/ (1 + п-а) ,

где а - некоторое положительное число. Процесс распространения огня происходит следующим образом. До начала пожара все ребра являются воспламеняемыми. В первый

©

момент времени одно из ребер дерева выбирается равновероятно, и считается, что именно на нем начинается возгорание (это можно интерпретировать как «удар молнии»). Новое состояние ребра определяется с помощью случайной величины т. Если т = 1, то ребро навсегда становится огнеупорным и в дальнейшем процессе не участвует. Поэтому такое ребро можно считать удаленным, и, следовательно, исходное дерево распадается на два поддерева. Если же т = 0, выбранное ребро считается сгоревшим, и вместе с ним сгорает все дерево. Таким образом, продолжение процесса возможно, только если первое ребро стало огнеупорным. В этом случае второй шаг состоит в равновероятном выборе одного из воспламеняемых ребер, содержащихся в двух поддеревьях, и его дальнейшее состояние, как и в случае первого ребра, определяется с помощью т по той же схеме. Следующие шаги процесса происходят аналогично, и он закончится, когда в исходном дереве не останется воспламеняемых ребер.

Вершина дерева называется несгораемой, если после окончания процесса все инцидентные ей ребра начального дерева огнеупорны. Обозначим через £ случайную величину, равную числу несгораемых вершин случайного дерева из Тп, и пусть $(ж) - плотность распределения вероятностей, имеющая вид:

9(х) =

1

л/2пх(1 — х)3

ехр< —

х

2

каждом дереве такого случайного леса пожар происходит независимо от других деревьев. Рассмотрим одно из деревьев, например, первое (это возможно, поскольку деревья упорядочены), и пусть £1 - число несгораемых вершин этого дерева. Ниже изучается предельное поведение этой случайной величины в двух случаях: п ^ то, N фиксировано и п, N ^ то так, что n/N ^ то. Обозначим

о(1) = 2

У» =

N-1

те N — 1 ікі —2

Е ЕП ^

N Ь!

і=0 Кі j=1 •'

=

1

х Є (0,1).

В [4] изучалось предельное поведение £ при п ^ то, и была доказана следующая теорема.

Теорема 1. При п ^ то справедливы утверждения:

1. Если а < 1/2, то Р {£/п = 0} ^ 1.

2. Если а = 1/2, то для всех к таких, что и = к/п Є

п Р{£ = к} = #(и)(1 + о(1)).

3. Если а > 1/2, то Р {£/п = 1} ^ 1.

В настоящей работе теорема 1 используется для исследования описанного выше процесса распространения огня на дереве в случайном лесе. Ниже, в соответствии с теоремой 1, рассматривается только нетривиальный случай а = 1/2.

Пусть Fn,N - множество всех возможных лесов, состоящих из N упорядоченных некорневых деревьев и п помеченных вершин. Зададим на этом множестве равномерное распределение вероятностей. Предположим, что на

где К = {к1,..., к»—1 ^ 1, к1 + ... + к»—1 = N — 1 + і} . Справедливы следующие утверждения.

Теорема 2. Пусть п ^ то, N ^ 2 фиксировано. Тогда для всех к таких, что к = иф^п,

и Є (° 1/ул?)),

пР{£1 = к} = 9 (^ї) °]у)(1 + о(1)).

Теорема 3. Пусть п, N ^ то так, что n/N ^ то. Тогда для всех к таких, что к =

и^5?)п, и Є (0,1/0^) ,

пР{£1 = к} = 9 (иф^) 0»;)(1 + о(1)).

Доказательство теоремы 2. Обозначим через V! объем выбранного дерева. По формуле полной вероятности

п Р {£1 = к}

п—N +1

= п Р {£1 = к^ = т} Р {^ = т} .

т=к

Нетрудно видеть, что

Р ^1 = т} = Cnlmm—2bn—m,N —1 /Ъп^,

где Ъп^, Ъ^т^—1 - число всех возможных лесов соответственно в Fn,N и Fn—m,N—1. В книге [3] доказано равенство

Ъп.^ = п!

П

Е

к1,..., kN ^ 1 j=1 к1 + ... + kN = п

N кк'—2

к,!

Согласно результатам статьи [2] при фиксированном N и п ^ то справедливо соотношение

ЪпМ - Nnn—2/2N — 1.

Используя формулу Стирлинга, из (3), (5) и равенства (4) для Ьп_ш,м-1 находим, что при т = п — N + 1 — г, г = 0,1,2,...

Доказательство теоремы 3. Следуя доказательству теоремы 2, представим сумму (2) в виде

2

N — 1 ___ N — 1 кк'—2

N

ЕП

Кі j=1

к,-!

п Р {£1 = к} = $1 + ^2 + Б3 + Б4,

где

Представим сумму (2) в виде

п Р {£1 = к} = $1 + $2 + $з,

Бі = ^ п Р {£1 = к^ = т} Р ^ = т} ,

Ьі

I = 1, 2, 3, 4,

где

Бі = ^ п Р {£1 = к^ = т} Р ^ = т}

Ь.

I = 1,2,3,

Ь = {п — N + 1 — А < т ^ п — N + 1} ,

Ь2 = {п — Ап4/5 ^ т ^ п — N + 1 — А} ,

Ь3 = {к ^ т < п — Ап4/5} ,

положительная постоянная А будет выбрана позднее.

Согласно теореме 1, при т е Ь2

т Р {£1 = к|VI = т} = д (1 + о(1)).

Используя (6), (8), получаем равенство Б1 = 9 (иф^) RN,

(8

Ь1 = {к ^ т < п — 2N — А^/3} ,

Ь2 = {п — 2N — А^/3 ^ т

^ п — 2N + AN2/}} , Ь3 = {п — 2N + А^/3 <т ^ п — N — А} , Ь4 = {п — N — А < т ^ п — N + 1} ,

положительная постоянная А будет выбрана позднее.

Из (4) и теоремы 1 [2] находим, что если п, N ^ то и п/^ ^ то, то сохраняет силу (5) и при достаточно большом значении А выполнены соотношения: при т е Ь1

^ — 1)(п — т)п_ш+1/2

ьп_ш,м_1 ^ ^ ~ ; ^хТТо,

2N—2(п — т — 2N + 2)5/2 '

при т Є Ь2

где величина Ям может быть сделана сколь угодно близкой к QN выбором достаточно большого А.

Используя (3) и формулу Стирлинга, нетрудно найти, что при т е Ь2 У Ь3

N —11/62N—3^ \2^ 2

Ъ л/л(п — т)п—тт—22 _ 3 1(

bn—m.N—1 ^ Лт_ 11 /«гч лт-— *37 л ; о , 1 ) ,

при т Є Ьз

Р ^ = т} < С1(п — т) 5/2, (10) Ъп—m.N—1

N !(п — т)2Т N 2Т Т!

1

2Т \ 1/2

пт

здесь и далее символом С1,С2,... обозначены некоторые положительные постоянные (не всегда различные). Тогда если т е Ь3, то Р ^ = т} < С1А_5/2п_2 и

^ п Р {VI = т} < С1А_5/2,

а если т Є Ь2, то, учитывая (8) и (10), находим, что

[ А

Б2 < С2 У"](п — т)—5/2 < СП х—5/2^х.

г ./Ап4/5

Ь 2

Следовательно, Б2 и Б3 можно сделать сколь угодно близкими к нулю за счет выбора А. Отсюда и из (7), (9) получаем утверждение теоремы 2.

Ъп—

П—т^—1 — СП_т

Т

N - 1

Т

где

Т = п — т — N + 1, d = (2/3)2/3, у = <* — 1)1/3 (^ — 2

р (у/^); 3/2, —1) - плотность устойчивого закона распределения вероятностей, имеющая вид:

1 />+те Г Ну ,.,3/2 [ . пі

2п

ехр

2^

91

Пусть т Є Ь1. Из (1) и теоремы 1 следует,

что

т Р{£1 = к^ = т} < С3.

С помощью формулы Стирлинга из (3), (5), (12) получаем оценку

Р ^ = т} ^ С4(п — т — 2N + 2)_5/2.

Учитывая эти неравенства, легко показать, что Я! < С5А_3/^_1 и при выборе достаточно большого А выполнено соотношение

Б1 = 0(0$).

Пусть т Є Ь2. Согласно теореме 1

т Р {£1 = к^1 = т} = 9 (и^) (1 + о(1)).

Из (3), (5), (13) находим, что

п

Отсюда и из (17) следует равенство

Б2 = ----„т0 /.3--

N 2/3

х £/114 —1)

где суммирование по у проводится с шагом ^ — 1)—2/3. Поэтому

Б2 =

А

у3

< Сб

/У2 (е(1 — /N/2))—^+1

N3/2 (1 — /N + 1^)N—^+3/2.

Используя это неравенство, несложно показать, что если 1 — є < /N < 1 — , где

положительное число є сколь угодно мало, то

п

< N72 ехр{ —№/к — N/N 1п^ — /Г —N (і— /N + 2І) 1^1 - Л + N

< С7 е—

< N3/2 е ,

если А/^1/3 < ^ < 1 — є, то

п

<

С/

1/2

N

N 3/2

ехр {—N/N — N/N 1п

— N (1 — ^) 1п(1 — /N)} <

С/'У^/24

N3/2 '

С помощью этих соотношений и (17) получаем, что если V = N1/3 /м , то

Б3 <

С10

N 3/2

п—2N+N

Е

Л1/2 ^/24

/N е

т=п—2N+AN 2/3

п—2N+N

+ ^ Е Є —^

N 3/2

т=п—2N+N

—C8N

N

величина 5 сколь угодно мала при достаточно большом значении А. Учитывая, что р (у/^);3/2, —1) - плотность распределения вероятностей, получаем, что

Поскольку величина V меняется с шагом N_2/3, заменяя в последнем выражении суммирование интергированием, находим, что

Б2 =

Пусть т е Ь3. Из теоремы 1 следует, что выполнено (17). Представим т в виде

т = п — 2N + N/N,

где /м меняется с шагом 1/^, A/N1/3 ^ /м ^ 1 — A/N. Из (3), (5), (14) получаем оценку

п

— Р {v1 = т}

т

где А может быть выбрано сколь угодно большим. Поэтому

Б3 = 0(0?).

Пусть т е Ь4. Из теоремы 1 следует (17), а с помощью (3), (5), (15) можно показать, что

а

n P, , , C14 (N - AT(2' N-1

mP{V1 = m} < tw —) e

Тогда

N

2e

Cl5 N

Отсюда и из (11), (16), (18), (19) следует утверждение теоремы 3.

Работа выполнена при поддержке Программы стратегического развития на 2012— 2016 гг. «Университетский комплекс ПетрГУ в научно-образовательном пространстве Европейского Севера: стратегия инновационного развития».

1. Аннаков Б. Б. Банковский кризис и пожары в лесу. 2008. URL : http//www.

empatika.com/6log/agent_modeling_/orest_/ire (дата обращения 24.04.2012).

2. Бритиков В. Е. Асимптотика числа лесов из некорневых деревьев // Матем. заметки. 1988. Т. 43, № 5. С. 672-684.

3. Колчин В. Ф. Случайные графы. М.: Физмат-лит, 2000. 256 с.

4. Bertoin J. Fires on trees // Ann Inst. Henri Poincare. 2011. ArXiV1011.2308v2 (to appear).

5. Drossel B., Schwabl F. Self-organized critical forest-fire model // Phys. Rev. Lett. 1992. Vol. 69. P. 1629-1632.

6. Henley C. L. Static of self-organized percolation model // Phys. Rev. Lett. 1993. Vol. 71. P. 27412744.

7. Zink R., Grimm V. Unifying wildfire models from ecology and statistical physics // The American Naturalist. 2009. Vol. 174. E170-E185.

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ:

Павлов Юрий Леонидович

зав. лаб. теории вероятностей и компьютерной статистики, д. ф.-м. н.

Институт прикладных математических исследований Карельского научного центра РАН ул. Пушкинская, 11, Петрозаводск, Республика Карелия, Россия, 185910 эл. почта: pavlov@krc.karelia.ru тел.: (8142) 781218

Pavlov, Yury

Institute of Applied Mathematical Research, Karelian Research Centre, Russian Academy of Sciences 11 Pushkinskaya St., 185910 Petrozavodsk, Karelia, Russia

e-mail: pavlov@krc.karelia.ru tel.: (8142) 781218

Хворостянская Елена Владимировна

старший научный сотрудник, к. ф.-м. н.

Институт прикладных математических исследований Карельского научного центра РАН ул. Пушкинская, 11, Петрозаводск, Республика Карелия, Россия, 185910 эл. почта: cher@krc.karelia.ru тел.: (8142) 781218

Khvorostyanskaya, Elena

Institute of Applied Mathematical Research, Karelian Research Centre, Russian Academy of Sciences 11 Pushkinskaya St., 185910 Petrozavodsk, Karelia, Russia

e-mail: cher@krc.karelia.ru tel.: (8142) 781218