Об одном методе вычисления ляпуновских величин для некоторых систем Льенара

УДК 517.938

DOI 10.21685/2072-3040-2018-1-7

А. А. Дёмин, В. В. Мачулис

ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ ЛЯПУНОВСКИХ ВЕЛИЧИН ДЛЯ НЕКОТОРЫХ СИСТЕМ ЛЬЕНАРА

Аннотация.

Актуальность и цели. Задача нахождения максимального числа предельных циклов, возникающих в дифференциальном уравнении первого порядка, составляет вторую часть 16-й проблемы Гильберта. Она вызывает постоянный интерес у математиков уже более 100 лет. И хотя отдельные частные результаты решения этой проблемы известны, полностью решить ее пока не удалось. Целью данной работы является практическая реализация одного из методов вычисления ляпуновских величин, который был в общих чертах описан в работах Ллойда и Линча. Метод применяется для оценки максимального числа малоамплитудных предельных циклов в некоторых системах (уравнениях) Льенара.

Материалы и методы. Ллойд и Линч доказали, что при разложении правых частей системы Льенара в ряды Тэйлора имеет место некоторое соотношение, зависящие от параметра k. Этот параметр непосредственно связан с возможным числом малоамплитудных предельных циклов, возникающих в

системе. Мы предлагаем процедуру точного нахождения функции F* (u) (правой части уравнения) в виде ряда, члены которого определяются с помощью представления в виде полиномов Белла, согласно формуле Фаа ди Бруно.

Результаты. Получена формула, которая позволяет найти ляпуновские величины произвольного порядка для некоторых систем Льенара с точностью до отрицательного множителя. Проведено сравнение вычислений с известными формулами и показана применимость предлагаемого метода для оценки числа малоамплитудных предельных циклов в системе Льенара.

Выводы. Выполнена техническая реализация метода, изложенного в работе Линча, которая позволяет достаточно просто находить ляпуновские величины, что дает возможность оценить максимальное число малоамплитудных предельных циклов, возникающих из неподвижной точки системы Льенара.

Ключевые слова: предельный цикл, ляпуновская величина, 16-я проблема Гильберта, локальная бифуркация.

A. A. Demin, V. V. Machulis

ON A METHOD OF LYAPUNOV QUANTITIES COMPUTATION FOR SOME LIENARD SYSTEMS

Abstract.

Background. The problem of finding the maximum number of limit cycles arising in the differential equation of the first order is the second part of the 16th Hilbert problem. It has been of constant interest to mathematicians for more than 100 years. And although some particular results of solving this problem are known, it has not yet been fully resolved. The aim of this paper is the practical implementation of one of the methods for calculating Lyapunov quantities, which was described in general terms in the papers of Lloyd and Lynch ([5, 6]). The method is used to estimate the maximum number of small-amplitude limit cycles in some Lienard systems (equations).

Materials ans methods. Lloyd and Lynch proved that when the right-hand sides of the Lienard system are expanded in Taylor series, some relation depends on the parameter k. This parameter is directly related to the possible number of small-amplitude limit cycles arising in the system. We propose a procedure for the exact

determination of the function F* (u) (the right-hand side of the equation) in the form of a series whose terms are determined using the representation in the form of Bell polynomials, according to the formula of Faa di Bruno.

Results. A formula is obtained which makes it possible to find Lyapunov quantities of arbitrary order for certain Lienard systems up to a negative factor. The calculations are compared with known formulas and the applicability of the proposed method for estimating the number of small-amplitude limit cycles in the Lienard system is shown.

Conclusions. The technical realization of the method described in [6] is performed, which makes it possible to easily find Lyapunov quantities, which makes it possible to estimate the maximum number of small-amplitude limit cycles arising from the fixed point of the Lienard system.

Key words: limit cycle, Lyapunov quantities, 16th Hilbert problem, local bifurcation.

В 1900 г. на Втором Международном конгрессе математиков Давид Гильберт в своем докладе предложил ученым того времени более двух десятков проблем, решение которых поспособствовало бы значительному развитию науки, рождению новых идей и, возможно, целых отраслей знаний [1]. Сейчас этот список известен как 23 проблемы Гильберта. Прошло более ста лет после выступления Гильберта, а эти проблемы продолжают оказывать влияние на развитие математики.

Большая часть вопросов, поднятых Гильбертом, уже решена, но некоторые из них и по сей день являются предметом исследований ведущих ученых современности. Среди нерешенных задач имеется 16-я проблема Гильберта, или проблема топологии алгебраических кривых и поверхностей. В исходной постановке она состоит из двух частей:

1. Определение максимального числа замкнутых и отдельно расположенных ветвей, которые могут существовать у алгебраической кривой порядка п на плоскости.

2. Определение максимального числа предельных циклов и их взаимного расположения для дифференциального уравнения первого порядка вида

где X, Y - целые рациональные функции п -й степени относительно своих аргументов.

Вторую часть проблемы часто переписывают в измененном виде, а именно рассматривают вместо одного уравнения систему дифференциальных уравнений на плоскости вида

Введение

dx _ Y(x,y) dy X (x, y)'

Хотя проблемы Гильберта исследуются более ста лет, для второй части 16-й проблемы до сих пор было получено очень мало результатов.

1. Постановка задачи

В настоящее время наибольший интерес представляет именно вторая часть 16-й проблемы Гильберта, в частности, некоторые отдельные случаи систем (1) и (2). Одним из них является уравнение (система) Льенара, играющее важную роль в теории колебаний:

x + f

или эквивалентная система уравнений

Гx = y - F(x),

1 •

I y = -g(x),

x

где F(x) = J f (%) d% .

0

В уравнении (3) и системе (4) могут возникать предельные циклы, но нас будут интересовать только те из них, которые появляются при локальных бифуркациях из неподвижной точки. Такие предельные циклы называются малоамплитудными.

Один из основных методов изучения существования малоамплитудных предельных циклов связан с исследованием ляпуновских величин (также встречаются названия фокусные величины, константы Ляпунова - Пуанкаре [2, 3]). Следуя Баутину [4], можно с помощью малых возмущений получить K малоамплитудных предельных циклов, если система уравнений имеет неподвижные точки типа центр или фокус, и для невозмущенной системы имеют место равенства

L

где L(k) есть k -я ляпуновская величина (фокальная величина).

В статье Баутина [4] ляпуновские величины напрямую не указаны, но представлены как нечетные члены в разложении функции последования.

Вычисление ляпуновских величин является весьма нетривиальной задачей; существует множество как точных, так и приближенных методов. N. G. Lloyd и S. Lynch [5, 6] предложили метод вычисления ляпуновских величин для уравнений вида (4) со следующими функциями:

F

g

где N,M > 1 есть натуральные числа.

Рассматриваемую систему заменой переменных и времени можно привести к системе вида

\ü = y-F* (u),

Iy = -u,

x

где u(x) = yj2G(x) signx , G(x) = Jg(£) d£ , F (u) = F(x(u)), x(u) - обрат-

0

ная функция к u (x).

N. G. Lloyd и S. Lynch [5, 6] показали, что при разложении в ряд Тейлора функции F (u) = 2 a*uk имеют место соотношения

k=1

a2k+i=CkL

где Ck < 0 числа, зависящие лишь от k .

Аналогичный результат имеет место и для обобщенных систем Льенара

| x = h (y)-F (x),

Iy = -g(x),

где h (0 ) = 0 и h'(y )> 0.

Равенства (8) позволяют переписать условие (5) в ином виде:

a3 = a5 = - = a2K-1 = 0 a2 K+1 ф

*

Заметим, что равенство ai = 0 является необходимым условием существования неподвижной точки типа центр в линеаризованной системе. Равенства (9), в свою очередь, определяют условия существования K малоамплитудных предельных циклов для системы уравнений Льенара в терминах разложения функции F (u) в ряд. Следовательно, возникает задача определения конкретного вида функции F * (u).

* , .

2. Нахождение функции F

Зададимся вопросом нахождения точного вида функции F (u). Для этого нам потребуется сначала определить обратную функцию для u (x). Для упрощения дальнейших вычислений представим функции F(x) и g(x) формально в виде степенных рядов

F(x) = 2akxk, g(x) = x + 2 bkxk, k=1 k=2

где ak = 0 при k > N и bk = 0 при k > M .

Тогда функция О (х) вычисляется следующим образом:

о )=J g (5) d t=i- +1 ^

0 k=2

bk ^k+1

Исходя из этого функция и (х) приобретает вид

(x) = ^Щх) sign x = x 1 + У -2+1 xk_1 .

V k=2

u (x) =

Для нахождения обратной функции х(и) воспользуемся теоремой об обращении ряда Тейлора [7]:

:(u ) = У — W ^ n!

n=1

n1 ( x ^

dx'

n-1

vu(xb

x=0

Нахождение производной в формуле (11) напрямую весьма неудобно, поэтому преобразуем выражение, стоящее под знаком производной, следующим образом:

( \n x

vu(xb

= exp1 n ln-

(x),

= exp{nlnx - nlnu (x)} .

Подставляя в данное выражение формулу (10), получаем

( ^n x

vu(xb

= exp 1- 2ln

II.

1 + У ^xk-1 k=2 k +1

V k=2

Таким образом, задача определения производной высшего порядка от п -й степени дроби свелась к отысканию производной высшего порядка сложной функции. Эта производная определяется по формуле Фаа ди Бруно [8], а именно ее представлением с помощью полиномов Белла [9]:

d

dxn

ПгР

k =1

где Вп к (х1,х2,...,хп_к+1) - полиномы Белла.

В рассматриваемом случае функции р и q имеют вид

x

чаем

р (у ) = в _пу/2, q (х ) = 1п 1 + 2 Г+Г-

1 ^ к +1 V к=2

Так как нас интересует значение производных только при х = 0 , полу-q (0 ) = 0 и

>( (0 )) = (- n )'e-nq'0»'2 = (- f)'.

Производные высших порядков функции q (х) при х = 0, которые встречаются в формуле (13), определяются также по формуле Фаа ди Бруно:

С n (

q(n)(0 )= ln 1 + У ^ У) dxn f ¿2k+1

2bk-xk-1

)

)

x=0

У (-1)k-1 (k -1)!Bnk f2b2,b,,-.,«b

k=1

bn—k+2

В итоге функция х (и) принимает вид

-(u )=У q

n=1

nun ,

где

& = 1, ^ =?«(,-,К) =1 уТ-^Ч-и(^(о),-,q(n-k}(о)), п> 1.

п-к=Л 2)

Определив выражение для обратной функции х(и), мы можем получить формулу для функции Г (и), подставив в (6) вместо х формулу (15):

N ^

(и )=г (х (и ))=^ акхк (и )=2 аПиП.

к=1 п=1

Определим 8п * как коэффициент при ип в разложении в ряд по степеням и функции хк (и). Заметим, что при и , близком к нулю, имеет место ра-

венство

f

k

(u )= У ^iu'

к k . k+1\ k . rtl k+1\ = ^1 u + O (u ) = u + O (u ).

VI =1 /

Следовательно, Бпк = 0 при п < к . Так как входящие в сумму члены порядка выше п не влияют на Бпк , заменим ряд суммой первых п слагаемых:

)к ( п )к

f ^ ) f П )

У

h+h +-+in =k

f i =1 ) f i =1 ) f k ) ч ^ z2,•••, ln

)

№ 1 (45), 2018 Физико-математические науки. Математика

Чтобы получить выражение Бпк, оставим в формуле (16) только те

слагаемые, для которых и'1 -(и2)2 ••• (ип )п = ип , или, что то же самое, ?1 + 2'2 + ... + тп = п . В итоге получаем выражение

k Л

Sn,k = У1 . .

V z1, l2,---, Jn J

s? s22 - sin

в котором суммирование идет по всем наборам целых неотрицательных чисел ('1,'2,.,'п) таким, что

Г'1 + '2 + ••• + 'п = к,

[/'1 + 2'2 + ... + тп = п.

*

Зная ^ к , можно легко записать выражение для ап :

* п

ап = 2 ак«п,к = 2 ак«п,к . к=1 к=1

Л *

Обозначив коэффициенты с нечетными номерами ап = а2п+1, получаем условие (5)в виде

= ¿¡2 =... = аК_1 = 0, аК ф 0.

Ниже представлены выражения для ¿1, 0/2, ¿3 с учетом <20 = а1 = 0 :

2

а1 = _" а2Ъ2 + a3,

7 , з 7 2 , 7,2^, 4 ,

а2 = _77а2Ъ2 + Та2Ъ2Ъ3 а2Ь4 +~а3Ь2 а3Ь3 а4Ь2 +а5, 9 6 5 6 4 3

143 5 143 3 33 2 11 2 9

¿3 = а2Ъ2 +ЧГа2Ъ2Ъ3 — а2Ъ2Ъ3 _ — а2Ъ2Ъ4 + ~а2Ъ3Ъ4 + 108 36 16 5 10

^ ^ 2 ^ 143 4 33 ,2, 27 2 9 +а2Ъ2Ъ5 _ 7а2Ъ6 + — а3Ъ2 _ у а3Ъ2 Ъ3 + — <3Ъ3 + 5 а3Ъ2Ъ4 _

_ 2а3Ъ5 _ 22 а4Ъ2 + 3а4Ъ2Ъ3 _ уа4Ъ4 + | а5Ъ2 _ 4 а5Ъ3 _ 2а6Ъ2 + а7.

Следует указать, что приведенные формулы записаны в общем виде без учета условия (9). Сравним полученные результаты с соответствующими результатами в работах [5, 6]:

£(1) = 2а2Ъ2 _3<З = _3V <2Ъ2 + ¿3 1 = _3<1.

2

Если взять аз = — а2^, получим Ь(1) = 0 . Тогда для Ь(2) будет иметь место следующее соотношение:

Ь(2) = 6а2р4 + 20а4&2 - 10а2&2Ьз - 15а5 =

= -151 -7а2Ь4 - "3а4Ь2 а2Ь2Ь3 + а5 I = -15а2.

Из этих формул и формулы (8) получаем С =-3 и С2 =-15 (заметим, что разница между формулами для Ь(2) в работах [5, 6] обусловлена тем, что в первой выражение представлено без учета равенства нулю Ь (1)).

Сравним теперь полученные результаты с более общей формулой для Ь(1) и Ь(2), продемонстрированной в [3]. Для этого выпишем систему уравнений в виде, представленном в исходной работе:

х = -У + /20х 2 + ¡11хУ + /02 У2 + /30х3 + /21х2 У + /12 хУ2 + /03 У3 + +/40 х4 + /31х3 У + /22х2 У2 + /13 хУ3 + /04 У4 + /50х5 + /41х^ У + +/32х3У2 + /23х2У3 + /14хУ4 + /05У5 + о((( + |у|)5 ),

У = х + ё 20х 2 + ё11хУ + ё02 У2 + ё30х3 + ё 21х2 У + ё12 хУ2 + ё03 У3 + +ё 40 х4 + ё31х3 У + ё22 х2 У2 + ё13 хУ3 + ё 04 У4 + ё50 х5 + ё41х4 У +

+ё32х3У2 + ё23х2У3 + ё14хУ4 + ё05У5 + о((|х| + |У|)5 ).

Для того чтобы данная система соответствовала виду системы (4), (6), (7), сделаем в ней циклическую замену переменных (поменяем местами х и у), примем все коэффициенты и ёу , кроме и ё0/, равными нулю.

С учетом того, что /0/ = -, ё0/ = -а?, получим

Ь(1) = ^(3/03 + 2/02ё02 ) = ^(-3а3 + 2а2Ь2 ) = -^(V-2а2Ь2 + а3 ) = -^а1 .

3л

В качестве следствия получаем, что С =—— <0. Приравняв Ь(1) к нулю и приняв а3 = -3- а2(2, получаем

Ь(2) = -72(-60а4Ь2 + 30а2Ь2Ь3 - 18а2Ь4 + 45а5) = 45П 2а2Ь2Ь3 —7а2Ь4 -4а4Ь2 + а5 | = 0?2,

72 f 3 5 3

п 5я < откуда С2 =--< 0 .

8

Причина, по которой константы С и С2 в двух рассмотренных случаях сравнения с работами [3, 5, 6] отличаются друг от друга, связана с различиями в методах вычисления ляпуновских величин. Заметим, однако, что абсолютная величина констант С1 и С2 не влияет на определение числа малоамплитудных предельных циклов.

В качестве основного результата мы можем теперь сформулировать следующую теорему.

Теорема. Для системы уравнений Льенара (4), (6) и (7) имеет место формула для вычисления ляпуновских величин Ь(к) = Ск<к, где Ск < 0, а значения ак вычисляются по формуле

2к+1

ак = 2 а'«2к+1,г . г =1

Заключение

В результате проделанной работы была получена расчетная формула, позволяющая определить величины Ляпунова произвольного порядка для систем Льенара вида (4), (6) и (7) с точностью до отрицательного множителя. Насколько известно авторам, данные результаты получены впервые. Было проведено сравнение вычислений с известными формулами для первой и второй ляпуновских величин, где на примерах была показана применимость данного метода в исследовании существования малоамплитудных предельных циклов в системе Льенара. Таким образом, технически реализован метод [6], позволяющий определять ляпуновские величины, что дает возможность оценивать количество малоамплитудных предельных циклов, возникающих из неподвижной точки систем Льенара. Преимуществом данного метода является то, что ляпуновские величины представлены в явном виде в терминах коэффициентов системы уравнений Льенара. Поэтому данный метод легко реализуется на компьютере, в том числе за счет использования таких средств, как полиномы Белла, широко представленных в различном математическом программном обеспечении.

В дальнейшем планируется изучение данного метода при исследовании проблемы числа предельных циклов в системе Льенара, а также оптимизация алгоритма вычисления коэффициентов ¿к .

Библиографический список

1. Проблемы Гильберта : сборник / под ред. Александрова П. С. - М. : Наука, 1969. - С. 48-49.

2. Ляпунов, А. М. Общая задача об устойчивости движения / А. М. Ляпунов. -Харьков, 1892.

3. Леонов, Г. А. Современные методы символьных вычислений: ляпуновские величины и 16-я проблема Гильберта / Г. А. Леонов, Н. В. Кузнецов, Е. В. Кудря-шова, О. А. Кузнецов // Труды СПИИРАН. - 2011. - № 16. - С. 5-36.

4. Баутин, Н. Н. О числе предельных циклов, рождающихся при изменении коэффициентов из состояния равновесия типа фокус или центр / Н. Н. Баутин // Математический сборник (Новая серия). - 1952. - Т. 30 (72), № 1. - С. 181-196.

5. Lloyd, N. G. Small-amplitude limit cycles of certain Lienard system / N. G. Lloyd, S. Lynch // Proceeding of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences. - 1988. - № 1854. - С. 199-208.

6. Lynch, S. Symbolic computation of Lyapunov quantities and the second part of Hil-bert's sixteenth problem / S. Lynch // Differential Equations with Symbolic Computations. - Cham : Springer International Publishing AG, 2005. - С. 1-22.

7. Шабат, Б. В. Введение в комплексный анализ / Б. В. Шабат. - М. : Наука, 1961. - С. 190-191.

8. Дворянинов, С. В. О формуле Фаа ди Бруно для производных сложной функции / С. В. Дворянинов, М. И. Сильванович // Математическое образование. -2009. - № 1. - С. 22-26.

9. Warren P. J. The curious history of Faa di Bruno's formula / Warren P. Johnson. // The American Mathematical Monthly. - 2002. - № 3. - С. 217-234.

References

1. Problemy Gil'berta: sbornik [Hilbert problems: collection]. Ed. P. S. Aleksandrov. Moscow: Nauka, 1969, pp. 48-49.

2. Lyapunov A. M. Obshchaya zadacha ob ustoychivosti dvizheniya [The general problem on motion stability]. Khar'kov, 1892.

3. Leonov G. A., Kuznetsov N. V., Kudryashova E. V., Kuznetsov O. A. Trudy SPIIRAN [Proceedings of SPIIRAS]. 2011, no. 16, pp. 5-36.

4. Bautin N. N. Matematicheskiy sbornik (Novaya seriya) [Mathematical collection (New series)]. 1952, vol. 30 (72), no. 1, pp. 181-196.

5. Lloyd N. G., Lynch S. Proceeding of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences. 1988, no. 1854, pp. 199-208.

6. Lynch S. Differential Equations with Symbolic Computations. Cham: Springer International Publishing AG, 2005, pp. 1-22.

7. Shabat B. V. Vvedenie v kompleksnyy analiz [Introduction into complex analysis]. Moscow: Nauka, 1961, pp. 190-191.

8. Dvoryaninov S. V., Sil'vanovich M. I. Matematicheskoe obrazovanie [Mathematical education]. 2009, no. 1, pp. 22-26.

9. Warren P. J. The American Mathematical Monthly. 2002, no. 3, pp. 217-234.

Демин Альберт Алексеевич магистрант, Институт математики и компьютерных наук, Тюменский государственный университет

E-mail: demin-albert@mail.ru

Мачулис Владислав Владимирович

кандидат педагогических наук, доцент, кафедра фундаментальной математики и механики, Институт математики и компьютерных наук, Тюменский государственный университет

E-mail: marelik@runbox.com

Demin Albert Alekseevich Master's degree student, Institute of mathematics and computer sciences, Tumen State University

Machulis Vladislav Vladimirovich Candidate of pedagogical sciences, associate professor, sub-department of fundamental mathematics and mechanics, Institute of mathematics and computer sciences, Tyumen State University

УДК 517.938 Дёмин, А. А.

Об одном методе вычисления ляпуновских величин для некоторых систем Льенара / А. А. Дёмин, В. В. Мачулис // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2018. -№ 1 (45). - С. 83-93. - БОТ 10.21685/2072-3040-2018-1-7.