Теоретико-полевое описание мультикритического поведения n-компонентных сжимаемых систем

ФИЗИКА

Вестн. Ом. ун-та. IG1G. № I. C. 59-63.

УДК 544.344

П.В. Прудников, Н.Н. Анкилов, Г.А. Анкилова

Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского

ТЕОРЕТИКО-ПОЛЕВОЕ ОПИСАНИЕ МУЛЬТИКРИТИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ Л-КОМПОНЕНТНЫХ СЖИМАЕМЫХ СИСТЕМ*

Проведено теоретико-полевое описание мультикритического поведения п-ком-понентных систем. Исследованы различные типы неподвижных точек ренормгруп-повых преобразований и проведен расчет критических индексов.

Ключевые слова: фазовые переходы и мультикритические явления, ренормгруппа, сжимаемые системы.

Трикритическое поведение, возникающее в конденсированных средах при смене рода фазового перехода под воздействием изменения величины внешнего поля, термодинамически сопряженного параметру порядка, а также давления, состава растворов и т. д., выявлено при изучении фазовых превращений в различных типах твердых тел: ферромагнетиках, сегнетоэлектриках, кристаллах, испытывающих структурные фазовые переходы. Из всего многообразия систем, демонстрирующих трикритическое поведение, нас в данной работе будут интересовать сжимаемые магнетики и твердые тела, испытывающие структурные фазовые переходы, в которых внешнее давление обуславливает смену фазового перехода второго рода на фазовый переход первого рода. Наиболее подробные экспериментальные исследования трикритических аномалий и измерения трикритических индексов проведены на изингоподобных кристаллах NH4CI, ND4CI и моно-кристаллических твердых растворах на их основе.

В данной работе осуществлено теоретико-полевое описание сжимаемых систем, в которых в роли дополнительных нефлуктуирующих переменных, взаимодействующих с параметром порядка, выступают упругие деформации. Упругие деформации приводят к возможности реализации мультикритического поведения в системе.

Гамильтониан многокомпонентной модели с учетом упругих деформаций можно записать в виде:

H = не1 + Иор + Иы,

Hel - представляет собой часть гамильтониана, описывающую деформации кристалла:

* Работа поддержана грантами 2.1.1/930 программы «Развитие научного потенциала высшей школы» и 02.740.11.0541 программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России», грантами РФФИ 10-0200507, 10-02-00787 и грантом Президента РФ МК-3815.2010.2.

© П.В. Прудников, Н.Н. Анкилов, Г.А. Анкилова, 2010

1

НеГ~\

V

СІ £ и а +

а

+ 2С° £иааив+ 4С404 £ и2ар

ав а <в

, п , ^ і^ ^ 44 упругие постоянные

кристалла, иа0 - тензор деформаций.

^0 ^0 ^0 где С11 , С 1 О и С лл

Н - гамильтониан Гинзбурга-Ландау:

где

п-компонентный параметр поряд-

ка, ио - положительная константа.

Н т(. - гамильтониан взаимодействия флуктуаций с деформациями. Для квадратичной стрикции записывается в виде:

Н1П, =/ 1‘

Х

ш 0 £ и,^2

g0 - параметр квадратичной стрикции.

Осуществим переход к фурье-образу

и в (х) = и °в + У 12 Е ив (ч) ехр(/^х),

4^0

£(х) = V~12 Е £(ч) exp(iqx) .

4^0

Разделение на однородные и неоднородные деформации необходимо, так как неоднородные деформации отвечают за обмен акустическими фононами и приводят к эффектам дальнодействия, которые отсутствуют при однородных деформациях.

Интегрируя по нефлуктуирующим переменным, получаем эффективный гамильтониан:

Н —

+

2 / 1"Я(Г + к , +

и | 11 к Кд,2 5»

*1 - 42~к

+

+

На основе данного гамильтониана, используя диаграммную технику Фейнмана, могут быть построены следующие вершинные функции: двухточечная вершинная функция Г(02), четырёхточечные вершинные функции Гг(о’4), Г?0’^ , Г?0’4) и двухточечная вершинная функция со

вставкой Г(21). Аналитические выражения в рамках двухпетлевого приближения имеют вид:

дГ(0’2) , п + 2п 2

------ — | к=0 — 1 +---------^1 ( ,

дк2 к—0 18 1

г(0’4) — и - п+8З0и2 +

+

5п + 22 т п + 6п + 20 т2

'Л +'

36

г]0,4) — г - 4пЗ0г2 - П Ъ 2 З0и + 16п 2З^гъ +

-З

^ п

и

(п + 2)2 т2 + п + 2 Ъ

+ 2п(п + 2)З°иг2 + <{ ~г 2 З° + п ^ 2 З1 [и 2г,

12

Г!°’4) = ш + 4пЗ0ш2 - '“"ЪЪ"2З0иё - 8пЗ0г +

(п + 2)2 т9 п + 2 12

ч /

+ 4п(п + 2)З°игш - 48п2З°гш 2 + 16п2З°шъ + + 48п 2 З 02 г 2 ш,

+

З 02 +

З1

и 2ш - 2п(п + 2)З^щ 2 +

п + 2

г (2’1) — 1----------------------З0 и - 8З0 г + 8З0 ш +

6

+

п + 2 6

З1 +

(п + 2)2 Ъ6

Л

З02

Поведение системні вблизи критической точки определяется значениями эффективных зарядов в неподвижной точке ренормгруппового преобразования. Для определения эффективных зарядов проведём ренормгрупповую процедуру, которая определяется соотношениями:

— г * ,

к к •

4-і г

и

7,4-0 гу

По = Ь 2

0 I

7 4-0 гу

2 0 = Ь ,

g = ь 2

50 и ^g .

2-факторы определяются из требования регулярности перенормированных вершинных функций, выражаемом в условии нормировки:

_ гг10,21 ,

^ - - 2 \к=0) 1 ,

дк2

г! г,!"’41 (к )!„—0—ь “и,

6

9

Х

а

2

и

22г!"’4)(4)|к=0 = Ь4-°?,

22г80,4'(к)|„=0 = Ь4~08,

2* 2 г"'2 '(к )|к .0 = 1.

В двухпетлевом приближении были получены следующие выражения для 2-факторов:

1 2 1 2и = и + (Т(п + 8))-^0и + [“(п + 2)С1 +

9

+ ^(п + 8)2102-9(5п + 22)11 -

^-1(п2+6п + 20)12]и3,

36 0

22 = 2 + 4п1022 +-з(п + 2)10и2 + 16п21223 +

+ 2п(п + ^-иг2 + (-^(п + 2)21° -1 (п + ад +

36 3

1 1 2 2 + — (п + 2)01+—(п + 2)(п + 8)10и г,

в-функции определяют изменения эффективных вершин при ренормгруп-повом преобразовании:

в =-*, в =-*, в =-^.

и дЬ 2 дЬ ^ дЬ

В рамках двухпетлевого приближения были получены следующие скейлинговые функции:

ви = -и + 4(п + 8)и2 ^'67(41п + 190)3,

2 1472 2

в = - г + 2п? + 8(п + 2)и2 + ~2^(п + 2)и ? ,

в = -g - 2ng2 + 4п£2 + 8(п + 2)ug -

1472

27

(п + 2)и 2 g,

9

18

1

2& = g-4nJоg +8nJоZg+з(n+2)JоUg+16n J0g -

-48n2J0zg2 + 48^.1^^-2п(п+2).10^2 +

1

1

+4п(п+2)J2Uzg+(— (п+2) 10 ~ (п + 2) 11 +

36

3

128, 2

у5 =------(п + 2)и ,

5 27

у*2 = -4(п + 2)и - 4г + 4g + 32(п + 2)и2 -

- 64(п + 2)и2 + +64(п + 2)ug - 8(п + 2) г2 +

+ 16(п + 2)gz - 8(п + 2)g2.

В работе осуществлена перенормировка вершин:

и —— 24и / У0,2 —— 2 / 2У0, g —— g / 2У0, 00ч

где

1

1

^ (п + 2) ^ +— (п+2) (п + 8)12) и g,

(1 + Ч О

- однопетлевой инте-

9

18

2 = 1 (п + 2)0,и

18

2* =1-8J0g+8J0z+1(n+2)J0u+(64J; +32J°n)g2 -

грал.

Численные значения интегралов для d=3:

П г 2п4

Ц =

т- П т -2^ ^0 П ' Т1 "

6

16

-(128Т2 + 64Т2 п^+(64| +32J°n)z° -—^+2)^+

+^(n+2)T°uz+^^(n+2)(n+8)J°° -1(n+2)T1)u2.

3 36 6

В рамках теоретико-полевого подхода

асимптотическое критическое поведение

определяется уравнением Каллана-

Симманчика для вершинных функций:

д „ д _ д „ д га , д 1п 2

--+ ви------+ в 2-+ в V-----У 5 Ь ---

дЬ ди д2 г дg 2 дЬ

д

г(ш '(ч, 5 2, и, 2, ^) = 0.

3 27

Представленные ряды (3) являются асимптотическими и для получения значения функции необходимо првести суммирование ряда. В работе был использован метод Паде-Бореля, обобщённый на многопараметрический случай:

Б

В(а) (и, г, g, Я) = Е --— иг2^кЯ+]+к =

: ,.^(/+—+к)! *

N 1

=ЕуВ;)(и,2, g)Я'.

У.0 *!

Апроксиманты Паде [Ь/Ы\ имеют вид:

В( а) (и, 2 £,Я) =

^ ^ 1 ^ Г м 1 ^

Е -тА)(и, 2,8)Я / Е -т^/а)(u, 2, £)Я

V У=0 у! ) V У=0 У !

Выбор величин Ь и М ограничивается условиием Ь+М=Ы, где N - число слагаемых ряда (4). В нашем случае N=3, поэтому была использована апроксиманта [2/1]. Значение скейлинговых функций может быть найдено из выражения

в(а) ^ 2 g) = | °е‘В(аа) ^ 2, g, Я) .

Фиксированные точки ренормгруппо-вого преобразования определяются из требования обращения в нуль скейлинго-вых функций:

ви (и•’ г\ш•) — 0,

в

вш (и•’г\ш•) — 0 .

Из решения системы нелинейных уравнений (5) могут быть найдены значения вершин, определяющих фиксированные точки ренормгрупповых преобразований (табл.).

Значения фиксированных точек, собственных значений матрицы устойчивости и соответствующих значений критических индексов для л-компонентных систем

Модель Изинга

т и г 9 4 4 4 V п

1 0 0 0 -1 -1 -1 0,5 0

2 0,044353 0 0 0,65355 -0,16924 -0,169237 0,6285 0,02798

3 0,044353 0,089187 0 0,65355 0,170199 0,170975 0,5352 0,02798

4 0,044353 0,089187 0,089187 0,65355 0,170199 -0,170199 0,6285 0,02798

5 0 0,5 0 -1 1 1 0,2844 0

6 0 0,5 0,5 1 -1 -1 0,5 0

ХУ-модель

т и г 9 4 4 4 V п

1 0 0 0 -1 -1 -1 0,5 0

2 0,038958 0 0 0,66732 -0,00167 -0,00167 0,6636 0,02879

3 0,038958 0,000439 0 0,00167 0,667315 0,001673 0,6656 0,02879

4 0,038958 0,000439 0,000439 0,66732 0,001673 -0,00167 0,6636 0,02879

5 0 0,25 0 1 -1 1 0,3969 0

6 0 0,25 0,25 1 -1 -1 0,5 0

Модель Гейзенберга

т и г 9 4 4 4 V п

1 0 0 0 -1 -1 -1 0,5 0

2 0,034568 0 0 0,68138 0,131538 0,131538 0,696 0,02832

3 0,034568 0 0,022909 -0,13106 0,681378 0,131538 0,6136 0,02832

4 - - - - - - 0,4495 0

5 0 0,166667 0 1 -1 1 0,5 0

6 0 0,166667 0,166667 1 -1 -1 0,5 0

Устойчивость фиксированной точки опеделяется из условия положительной определённости линеаризованной матрицы ренормгруппового преобразования К:

дви дви дви

ди дг дЯ

дв дв дв

ди дг дш

в в в

ди дг дш

Значения собственных значений матрицы устойчивости для каждого типа фиксированных точек представлены в табл.

Критические индексы, определяющие критическое поведение термодинамических функций, находятся из скейлинго-вых функций /5 и /5 2 .

Индекс корреляционной длины V находится из следующего соотошения:

V = (2 + Я52 - Я5 ) 1 .

Итоговое выражение для индекса V в виде ряда в двухпетлевом приближении задается в виде:

- /оч л 2 Ъ2 152 '| 2

V — —+ (п + 2)и + г — ш + 1 2п-п-1и +

1

2 ' ' ” ^ 27 27

+ 20(п + 2)иг - 20(п + 2)иш + 2(п + Ъ)г2 -

- 4(п + Ъ) шг + 2(п + Ъ) ш2.

Для нахождения значения индекса V в фиксированной точке было проведено суммирование методом Паде-Бореля. В данном случае N=2 поэтому была использована апроксиманта [1/1].

Индекс Фишера п определяется на основе скейлинговой функции У* :

П — У*.

Итоговое выражение для индекса п в двухпетлевом приближении задается в виде:

128 2

П —----(п + 2)и .

27

Так как двухпетлевое приближение приводит к первым ненулевым слагаемым в асимптотическом ряду для индекса Фишера, то процедура пересуммирования невозможна.

Значения остальных критических индексов могут быть найдены из скейлинго-вых соотношений.

Анализ значений фиксированных точек и их устойчивости позволяет сделать следующие выводы: гауссова фиксированная точка N 1 для которой п-ком-понентная система характеризуется сред-

неполевыми значениями критических индексов становится неустойчивой к влиянию деформационных эффектов для всех значений п.

Фиксированная точка N 2, соответствующая критическому поведению однородных несжимаемых систем, оказывается неустойчивой к влиянию упругих деформаций для модели Изинга (п=1) и ХУ-модели (п=2). Для трехмерной модели Гейзенберга устойчивым критическим поведением является поведение, соответствующее несжимаемой модели со значение критического индекса v=0,696.

Фиксированная точка N 3 определяет критическое поведение в однородных сжимаемых системах. Данная точка устойчива к влиянию деформационных эффектов и определяет критическое поведение модели Изинга и ХУ-модели. Таким образом, критический индекс V для сжимаемой модели Изинга равен 0,5352, а для ХУ-модели v=0,6656.

Точка N 4, являющаяся трикритиче-ской точкой для однородных сжимаемых систем, неустойчива для всех значений п. Мультикритическое поведение сжимаемых систем может стать устойчивым при введении в систему структурного беспорядка [1].

ЛИТЕРАТУРА

[1] Прудников В. В., Белим С. В. // ФТТ. 2001. Т. 43.

№ 7. С. 1299-1304.