Последовательное течение жидкостей разной плотности по трубному и межтрубному пространству. Часть 2

УДК 622.24

Н. Х. Зиннатуллин, А. А. Булатов, Р. Г. Галимуллин, М. В. Астраханов

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТЕЙ РАЗНОЙ ПЛОТНОСТИ ПО ТРУБНОМУ И МЕЖТРУБНОМУ ПРОСТРАНСТВУ. ЧАСТЬ 2

Ключевые слова: плотность жидкости, трубное и затрубное пространство, нулевое давление, воздушный столб, время кон-

Для случая, когда внешнее давление в начале вертикальной трубы падает до нуля, получено дифференциальное уравнение движения неограниченного количества жидкостей разной плотности в трубном и затрубном пространстве.

Keywords: liquid density, tube side and annular space, zero pressure, air column, contact time.

Obtained the differential equation of motion for an unlimited number of liquids of different density in the tube side and in the annulus, for the case when the external pressure at the top of the vertical pipe drops to the zero.

В процессе цементирования в скважину закачиваются жидкости разной плотности. С точки зрения гидродинамики ситуация остается тривиальной, пока в обсадные трубы закачиваются легкие растворы, плотность которых не превышает плотности жидкости, находящейся в затрубном пространстве [1,2]. Скорость движения растворов в системе обсадная труба - затрубное пространство остается постоянной и ее величина определяется производительностью насосов. С началом закачки тяжелых тампонажных растворов гидродинамическая ситуация резко меняется, возникает в устье обсадной трубы воздушный столб, скорости движения растворов становятся переменными [3-6].

В настоящей работе описывается гидродинамика цементирования для интервалов времени, когда существует воздушный столб.

В первой части работы было получено дифференциальное уравнение движения неограниченного количества жидкостей разной плотности по вертикальной обсадной трубе и в затрубном пространстве в зависимости от роста высоты воздушного столба 2, технологических параметров процесса цементирования и размеров скважины в виде:

рп+1£—г—/1Т—п+11Ы-!'-ас10рп+1Ьп+1—1+г +ЛТ+п+ИЛ1'а+2пр/Л/+р11 —2пЛ/—р11п+1 —I +г+/1Г+п +22Ь1а}=дрГ/1Г+п +22р1Ы+рп 11 +11Ь1а—22р//1/—р11—2п/1/—/т+1—1+2+/1Г +п+1Ш1а.

Также было получено уравнение для определения высоты тампонажного раствора и время его закачивания Ь* к моменту, когда давление в насосах падает до нуля (рис. 1):

Z" Pjhj + Pi [(I - Zi hj)- Pl(hn+1 -L + Zn+2 M«]]} Pihi + Pn+l(i -

Z2 hj -pn+1(hn+1 -L + hi)a) -I2 Pjhj +(h[L - Zl ^ -{hn+1 -h + In+2 / {^igipT -Pn+1 -pn+ia +

Pl«) - f Wo2^! ipT -Pn+l) + ^ (A

Pi)]} ... (2) t* = h*T/w0...

'n+l

Pn+ зА

7777777777777777777

Z«+i + [Pn+i(^n+i L + ZT2+2 hi) +

777

Рис. 1 - Схема течения растворов после образования зоны опорожнения (столба воздуха).

Уравнения (2) и (3) отображают начальные условия для решения уравнения (1). В этих уравнениях Я - коэффициент гидравлического сопротивления; ш0 - скорость жидкости, создаваемый насосом; 2 - глубина зоны воздушного столба; й0 - эквивалентный диаметр затрубного кольцевого канала; ^вн - внутренний диаметр обсадной трубы; - площадь поперечного сечения канала обсадной трубы; ш2 - площадь поперечного сечения затрубного

Ы !

кольцевого канала;« =--их соотношение; ь- глубина каналов скважины; кт - высота столба тяжелого раствора с плотностью рт в обсадной

lj

- высота столба j-го раствора с плотно-

такта.

стью р]и=ад в затрубном пространстве; ^(¿=^+2^) -высота столба 1-го раствора с плотностью р^п+гл) в обсадной трубе; Ьп+1 - высота столба раствора с плотностью рп+1 в расчете на сечение обсадной трубы.

Поскольку часть раствора с плотностью рп+1 высотой к'п+1 в обсадной трубе, а часть высотой в затрубном пространстве, то йи+1 =

ъ"

I I | "п+1

пп+1^ а .

При выводе уравнения (1) были использованы следующие допущения:

1. Через затрубное пространство прокачивается то же количество жидкости, что через обсадные трубы.

2. Силы гидродинамического давления столбов жидкости и силы, обусловленные потерями напора при движении жидкости в скважине гораздо больше силы инерции столбов жидкости.

3. Коэффициент гидравлического сопротивления X не зависит от числа Рейнольдса, определяется для квадратичной зоны и для обсадной трубы и затрубного пространства имеет одинаковое значение.

Полученное уравнение может быть решено при помощи компьютерных программ. В данной работе предлагается аналитическое решение поставленной задачи.

Для решения уравнения (1) обозначим

т , , йи йи йх

пТ = м/п£ = х; г + wnt = и, тогда — = — • — =

' и ' аь ах аь

йи , йг ...

WQ — — WQ + — и уравнение (1) приводится к виду:

я

2^вн

^ 2

где а = а2^(рп+1 -рг) -рп+1; Ъ= +

"о

рп+——-п+ПЖ1+ас1ВНН0рп+——п+——1+п+ППМа +Ппр^'+рИ —2п^'—/1п+-—1+п+2М/11а.; с=ар-—р п+—-рп+—

й = V р1К1 +рп+1 (ь- V О

'п+2 ^ ¿—1п+г>

р^

2

-Р1 к

Исходя из уравнения (4) можно получить упрощенное выражение:

йи

н

Яшд

ртх+си+й

йх дI ртх+аи+Ь''

Для решения уравнения (5) перенесем начало координат в точку (х1,и1), где х1,и1 - решение системы уравнений:

(ргхг + сщ + й = 0, \ртх1 + ащ + Ь = 0.

Иными словами, делаем подстановку и = и — и1, X — х х^. Решив систему уравнений (6), получим:

XI =

ай—сЬ рт(с-аУ

и-, =

ь-а

Тогда в переменных X, и уравнение (5) примет вид:

аи ах

Яшп

ртХ+си ртХ+аи

Яшп

м

^1 = /©,

рт + а- УХУ

Для разделения переменных уравнения (8) сделаем подстановку ~\М= ^ , илиУ = ШХ.

Дифференцируя по Хпоследнее выражение,

имеем:

Тогда

ах ах ' у '

¿м ах

-= —, или, взяв интеграл име-

х г

ем:

/

йШ

2дЛв Яш«

рт + с№ рт + а№

— Ш

_ ГйХ

~ ] т .

В интеграле, стоящем в левой части равенства (9), который обозначим далее через I, сделаем

подстановку Эйлера: Рт+С™ = у2; Ш = РтУ =

> Г рт + а]^ с-аУ2

уау

2Рт • _

с-а (с-аУ2)2 '

Тогда левая часть уравнения(9) приводится

к виду: }

= пРт г_

с-а } (с-

УйУ

аУ2){к• аУ3 + ртУ2 -к-сУ - рТ)'

где к =

Яшп

Определив действительные корни а, в, у кубического сомножителя и корни ±5 квадратного сомножителя знаменателя интегрального выражения

имеем: }

Прт{с-а) а2к

\

УйУ

(У- а)(У — Р)(У - у){У- 5)(У + 8)'

Возвращаясь к уравнению (9), подставив пределы интегрирования получим:

1У-а1А • 1У-Р1В • 1У-у1с • • |У+5|В Xя

„ а2 • к

где 5 =

А =

2рт(с-а)' а

в =

С = 0 = Е =

_Р_;

(у-а)(у-Д)(у-5)(у+5) : _-5_;

_-5_

(5+а)(5+Д)(Д+у) • 25 .

Нижние пределы интегрирования (X* и У*) соответствуют моменту времени, когда давление, развиваемое насосами с появлением зоны опорожнения (воздушного столба) при закачивании тяжелой жидкости с плотностью рт становится равной нулю.

Теперь значение J можно определить, разложив интегральное выражение следующим образом:

2рт(с - а) Г/ А | В С D J a2k J \Y-a Y-p Y-y Y-S

Y*

+ V^Zj)dY = 2РТК~ъ a) lln(-lY~ • \Y~P\B

Y +o) azk

• lY-Y\c • lY-S\D • |У + Я|*)]|£ .

Исходное уравнение (1) и его решение (12) будут справедливы, очевидно, до тех пор, пока раствор с плотностью Ри+1 не перетечет полностью из обсадной трубы в затрубное пространство. В момент времени 1 этот раствор полностью вытесняется в затрубное пространство и тогда выполнится условие:

zn+1 +wo • Cl + Sn+2 hi = L ,

которое и обуславливает верхний предел интегрирования. Затем из обсадной трубы в затрубное пространство перетекает раствор с индексомп+2, для которого получится уравнение, аналогичное (12), но со своими значениями постоянных a, b, С, d и с пределами от до t^+2 , причем 2 находится точно также, как и t^+i; затем перетекает раствор с индексом п+3 и так далее. После того, как последний легкий раствор (с плотностью р^ ) перетечет в затрубное пространство, туда начинает поступать тяжелый тампонажный раствор. При этом

скорость движения и, следовательно, скорость роста зоны опорожнения начинают уменьшаться, достигая максимального значения. Высота воздушного столба ъ начинает уменьшаться. Поэтому, когда, тампо-нажный раствор поступает в затрубное пространство, пределы интегрирования берутся уже от ^ до момента времени ^, когда зона опорожнения исчезает (т.е. ъ=0).

Таким образом, когда существует зона опорожнения, для описания процесса цементирования составляется №-п однотипных уравнений по количеству растворов, находящихся в обсадной трубе. Эти уравнения позволяют подсчитать гидродинамические характеристики процесса закачивания растворов в буровую скважину, в том числе время контакта любого 1-го раствора со стенками скважины, глубину и динамику изменения зон опорожнения и других характеристик.

Реализация этого алгоритма будет осуществлена в следующих работах.

Литература

1. Б.П. Минеев. Нефтяное хозяйство, №3, 10-13, (1980).

2. Б.П. Минеев. Бурение, №8, 17-19, (1981).

3. Н.Х. Зиннатуллин, А. А. Булатов, Р.Г. Галимуллин, И.М. Нафиков, Г.Н. Зиннатуллина. Вестник Казанского технологического университета, 17, 22, 340-343, (2014).

4. Н.Х. Зиннатуллин, А.А. Булатов, Р.Г. Галимуллин, И.М. Нафиков, Г.Н. Зиннатуллина, С.Г. Николаева. Вестник Казанского технологического университета, 17, 19, 315-318,(2014).

5. А.И. Булатов, Р.Ф. Уханов. Трубы ВНИИБТ, Москва, вып. 8, 230-237, (1974).

6. А.А. Булатов, Н. Г. Коваленко, Н. Х. Зиннатуллин, Г. В. Ситников. Деп. во ВНИКОЭНГе, № 670, 18с, (1980).

© Н. Х. Зиннатуллин - д-р техн. наук, проф. каф. процессов и аппаратов химической технологии КНИТУ, проф. каф. энергообеспечение предприятий и энергоресурсосберегающих технологий КГЭУ, znazif@yandex.ru; А. А. Булатов - канд. техн. наук, гл. инженер ООО «Апарт»; Р. Г. Галимуллин - канд. техн. наук, доц. каф. процессов и аппаратов химической технологии КНИТУ, liliagalimullina@gmail.com; М. В. Астраханов - студ. КГЭУ.

© N. Kh. Zinnatullin - the Doctor of Engineering, professor of chair of processes and devicesofchemical technology of the KNITU, professor of chair power supply of the enterprises and the power resource-saving technologies of the KSPEU, znazif@yandex.ru; A. A. Bulatov - Candidate of Technical Sciences, the chief engineer of JSC Apart; R. G. Galimullin - Candidate of Technical Sciences, the associate professor of processes and devices of the chemical technology of the KNITU, liliagalimullina@gmail.com; M. V. Astrakhanov - the student ofthe KSPEU.