Применение математического аппарата исследования вынужденных колебаний механической системы

ПРИКЛАДНАЯ ИНФОРМАТИКА

УДК 628.517:[629.5+623.9]

ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АППАРАТА ИССЛЕДОВАНИЯ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ

СИСТЕМЫ

Фомичева Е.В., кандидат технических наук, доцент Новосибирский государственный университет экономики и управления Новосибирский государственный университет архитектуры, дизайна и искусств Фомичев П.А., кандидат технических наук, доцент Новосибирский государственный технический университет

Аннотация. В статье рассматривается общая задача об установившемся режиме вынужденных колебаний механической системы с одной степенью свободы. По полученным соотношениям представляется возможным построить амплитудно-частотные и фазово-частотные зависимости механической колебательной системы. Из полученных графиков определяются границы областей неустойчивости амплитудно-частотных кривых.

Ключевые слова: виброзащита, вынужденные колебания, виброзащитные системы.

В современных условиях требования к уровню высшего профессионального образования постоянно повышаются, практика требует от специалиста овладения самыми современными методами работы, основанными на научных исследованиях и их новейших результатах. С учетом этого обстоятельства роль вузовской науки в обеспечении качества образовательных услуг трудно переоценить: наличие в вузе научного потенциала и проведение собственных научных исследований создает основу для формирования у студентов высокого профессионализма. Для того чтобы научный потенциал вуза конвертировался в высокое качество образовательных услуг, необходимо обеспечить широкую реализацию этого потенциала. Решение этой задачи существенно повышает возможности вуза в предоставлении образовательных услуг высокого качества, способствует повышению имиджа вуза, а значит и его коммерческой эффективности. В российской науке вообще и в ее вузовском секторе в частности накапливаются научно-технические результаты высокого

уровня, но их коммерческая и иная реализация в современной российской национальной экономике оставляет желать лучшего.

В последние годы преподавателями ведется интенсивная работа по созданию учебно-методических комплексов дисциплин, включающих учебные программы, комплекты электронных конспектов лекций, учебные и методические пособия. Так, в лекционном курсе «Теории колебаний» при подготовке студентами курсовых и дипломных работ применяются исследования дифференциальных уравнений вынужденных колебаний механической системы с одной степенью свободы, имеющей кубическую нелинейность, при воздействии гармонической внешней возмущающей силы.

Рассматривается общая задача об установившемся режиме вынужденных колебаний системы, схема которой приведена на рис. 1.

ШШШШШШуШУ

Рис. 1. Принципиальная схема механической колебательной систем

Допустим, что на нашу систему, кроме упругих сил и силы вязкого сопротивления, действует внешняя возмущающая сила, изменяющаяся по гармоническому закону P sin юг, где P - амплитуда внешней возмущающей силы, ю - ее частота. Учтем силы вязкого сопротивления bx и геометрическую нелинейность упругой характеристики, полагая

F+

где C - результирующий коэффициент жесткости в вертикальном направлении; K - коэффициент нелинейной упругости. Отметим, что такой вид упругой характеристики часто встречается при решении практических задач, включающих нелинейно-упругие элементы.

При выполнении этих условий дифференциальное уравнение движения рассматриваемой колебательной системы имеет вид:

mx + bx + Cx + Kx =Px sin юг.

Его можно привести к виду

x + 2rx + F

b , 2 3 n Px 2 ^

где r =—; F(x) =v0x +ax ; P0x ; v0 =—; a =—. 2m m m m

В системе с нелинейной упругой характеристикой, кроме установившихся колебаний с круговой частотой т„ могут развиваться колебания с частотой, отличной от частоты возмущения. Эти колебания обусловлены развитием резонансов п-го рода.

Найдем приближенное периодическое решение уравнения (2) периода

пользуясь методом гармонической линеаризации [1]. Учитывая равенства

3aA2 h

q =Vo +

=2r

w

4 w

запишем линеаризованное дифференциальное уравнение колебаний:

•• h .

x + — x + qx =P0 x sin wt.

w

Решение уравнения (4), отвечающее вынужденным установившимся колебаниям, принимаем в форме:

x = A sin

Подставляя (5) в (4) и приравнивая коэффициенты при sin (at - p) и cos(wt - p), находим:

<2 '

A = y0w2cosp;

Aw2 +

v0 +

3aAx

4

hAw =y0w sin p.

где y0

mw

m

m

ф

ф - масса фундамента.

Из соотношений (6) получим:

A =

P0

0 x

У0С

-w2 +

q) + h

tgp

2 2 3aA

- w + v2 +

2

4

+ 4r 2w2

2rw

2 2 3aA

- w + v2 +-

0 4

2 '

2

Если исключить фазовый угол V из (6) и выразить частоту с амплитуду колебаний А, то

со —

\

А- ±Л- Ь,

2 V 4 1

через

2

где

А

У0 +

3аА 4

- 4г2

А

2

А2 - у2

В —

-о2 +

3аА2 4

А2

А2

Уо

Соотношение (9) позволяет построить амплитудно-частотную зависимость, если задаваться произвольными значениями А и подсчитывать соответствующие значения с. По имеющимся значениям А и с легко построить график зависимости угла сдвига фаз от частоты возмущения [2].

На рис. 2 и 3 приведены соответственно графики амплитудно-частотных и фазово-частотных зависимостей рассматриваемой механической колебательной системы, построенные при следующих значениях параметров: у0 —40 Гц2;

2г

а

40 У 2 2- у0 —0,1 см • Р—-—0; 0,15; 0,20; 0,40; 1,0; 2,0.

/см -с ' ' у0

Пунктирная кривая на рис. 2 отвечает собственным колебаниям консервативной системы (при Р —Р0х —0). Графики на рис. 2 по своей конфигурации напоминают соответствующие кривые амплитудно-частотных зависимостей линейной системы. Для рассматриваемого случая нелинейной системы с жесткой упругой характеристикой (а > 0) они получаются искривлением вправо соответствующих им кривых линейной системы. При мягкой нелинейности (а < 0) амплитудно-частотные кривые получаются искривлением влево.

О 0,5 1 1,5 И.

ч.

Рис. 2. График амплитудно-частотных зависимостей механической колебательной

систем

2

О 0,5 1 1,5 2 £*_

Ч

Рис. 3. График фазово-частотных зависимостей механической колебательной системы

Следует заметить, что в некоторой области частот возмущения одному и тому же значению возмущающей частоты ю отвечают три различных значения амплитуды колебаний. Некоторые из этих кривых являются неустойчивыми. Границы областей неустойчивости амплитудно-частотных кривых определяются уравнениями:

ю2 —V + 9-аЛ2,

со2 -V2 + 4«Л2,

Зависимость (10) представляет собой геометрическое место точек, в которых кривые, изображенные на рис. 2, имеют вертикальные касательные. Уравнение (11) представляет зависимости частоты собственных незатухающих колебаний от амплитуды (скелетную кривую).

Таким образом, мы показали, что дифференциальное уравнение вынужденных колебаний с кубической нелинейностью механической системы с одной степенью свободы при воздействии гармонической внешней возмущающей силы может быть решено с помощью метода гармонической линеаризации. Приведенные графики амплитудно-частотных и фазово-частотных зависимостей подтверждают достоверность решений.

Проведенные исследования могут применяться для расчета колебаний различных виброзащитных устройств, в том числе используемых при виброизоляции судовых энергетических установок и другого судового оборудования.

Библиографический список

1. Фомичев П.А., Фомичева Е.В. Разработка виброизолирующих опор нового поколения для судовых энергетических установок // Речной транспорт. - 2004. - № 4. - С. 52-54.

2. Фомичев П.А., Фомичева Е.В. Исследование вынужденных колебаний виброизолирующей опоры при действии произвольной возмущающей силы // Научные проблемы транспорта Сибири и Дальнего Востока. -2005. - № 1-2. - С. 165-170.

3. Фомичев П.А., Фомичева Е.В. Исследование эффективности активных виброзащитных систем // Вестн. Новосиб. гос. техн. ун-та. - 2005. -№ 2(20). - С. 111-123.

4. Фомичев П.А., Фомичева Е.В. Расчет надежности пневмогидравлической виброизолирующей опоры // Речной транспорт (XXI век). - 2006. - № 4. -С. 47-49.

5. Фомичев П.А., Фомичева Е.В. Критерий качества параметрической оптимизации виброизолирующих опор // Научные проблемы транспорта Сибири и Дальнего Востока. - 2013. - № 2. - С. 167-169.

APPLICATION OF THE MATHEMATICAL APPARATUS OF RESEARCH OF FORCED VIBRATIONS OF THE MECHANICAL SYSTEM

Fomicheva E.V., Candidate of Technical Sciences, Docent Novosibirsk State University of Economics and Management Novosibirsk State University of Architecture, Design and Arts Fomichev P.A., Candidate of Technical Sciences, Docent Novosibirsk State Technical University

Abstract. The article deals with the general problem of the steady state offorced oscillations of a mechanical system with one degree of freedom. According to the obtained relations, it is possible to construct the amplitude-frequency and phase-frequency dependences of the mechanical oscillatory system. From the graphs obtained, the boundaries of the instability regions of the amplitude-frequency curves are determined.

Keywords: vibration protection, forced vibrations, vibration protection systems.