Электродинамический анализ распространения электромагнитных волн в 3D-магнитных нанокомпозитах на основе опаловых матриц

УДК 535.32

О. А. Голованов, Г. С. Макеева, М. А. Чиркина

ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В ЭБ-МАГНИТНЫХ НАНОКОМПОЗИТАХ НА ОСНОВЕ ОПАЛОВЫХ МАТРИЦ

Аннотация. Предложен декомпозиционный подход к математическому моделированию волновых процессов в 3Б-магнитных нанокомпозитах, который базируется на совместном решении уравнений Максвелла и уравнения движения вектора намагниченности в форме Ландау - Лифшица с учетом обменного взаимодействия. Получена матрица проводимости автономного блока в виде прямоугольного параллелепипеда, содержащего диэлектрические наносферы с внедренными в межсферное пространство магнитными наночастицами и каналами Флоке на гранях. Приводятся результаты электродинамического расчета постоянных распространения электромагнитных волн в магнитных нанокомпозитах на основе опаловых матриц в микроволновом диапазоне.

Ключевые слова: декомпозиционный подход, математическое моделирование, магнитные нанокомпозиты, опаловые матрицы, магнитные наночастицы.

Abstract. The decompositional approach for mathematical modeling of wave processes in 3D-magnetic nanocomposites based on the solution of the Maxwell's equations complemented by the Landau - Lifshitz equation is proposed. The scattering matrix of autonomous blocks in the form of a rectangular parallelepiped, consisting of dielectric nanosphere with magnetic nanoparticles, with Floquet channels was obtained. The results of electrodinamical calculation of the wave number of electromagnetic waves in opal-based magnetic nanocomposites at microwave frequencies. Keywords: decompositional approach, mathematical modeling, magnetic nanocomposites, opal matrix, magnetic nanoparticles.

Введение

Опаловая матрица с внедренными магнитными наночастицами представляет собой один из наиболее интересных вариантов реализации магнитофотонных кристаллов, систематическое исследование которых начинается в настоящее время. Перспективными структурами фотонных кристаллов являются правильные упаковки наносфер из различных материалов. В этой области лидируют опаловидные матрицы - правильные кубические упаковки наносфер SiO2 с диаметрами 180-1200 нм.

Структура типичного образца опаловой матрицы высокого качества (диаметр наносфер SiO2 200 нм) с внедренными в межсферное пространство магнитными наночастицами показана на рис. 1,а.

Одним из наиболее простых и широко применяемых технологических способов введения наночастиц магнитоупорядоченных веществ (химических соединений Fe(NO3)3 • 6H2O, №(N03)2, Mn(NO3)2, Zn(NO3)2 и т.д.) в опаловые матрацы является метод пропитки [1]. В процессе пропитки водные растворы солей самопроизвольно за счет капиллярного эффекта заполняют поры опаловой матрицы. Затем в процессе термообработки происходит термическое разложение нитратов и удаление несвязанной воды.

Одним из возможных способов осуществления управления физическими свойствами нанокомпозитов, созданных на основе опаловых матриц, явля-

б)

Рис. 1. Магнитный 3Б-нанокомпозит на основе опаловой матрицы: а - опаловая матрица из наносфер 8І02; б - разбиение магнитного 3Б-нанокомпозита на автономные блоки: 1 - область магнитных наночастиц; 2 - наносферы 8І02

Для успешного применения магнитных нанокомпонентов в управляемых магнитным полем микроволновых устройствах необходимо добиться оптимальных условий взаимодействия электромагнитной волны с магнитным нанокомпозитом, чтобы обеспечить эффективность этого взаимодействия. Эту проблему можно успешно решить, используя математическое моделирование распространения и дифракции электромагнитных волн в магнитных 3Б-нанокомпозитах и микроволновых устройствах на их основе.

1. Математическая модель

Математическую модель волновых процессов в магнитных 3Б-нано-композитах будем строить при помощи декомпозиционного подхода [2]. Область 3Б-нанокомпозита на основе опаловой матрицы (рис. 1,б) расчленяем условными границами на подобласти (автономные блоки) в виде однотипных прямоугольных параллелепипедов (рис. 2).

Рис. 2. Волноводный трансформатор в виде прямоугольного параллелепипеда с виртуальными каналами Флоке на гранях: ¥0 - основная область;

V = V и ¥2 и ¥3 и ¥4 - области диэлектрических наносфер; ¥0 - V - область магнитных наночастиц; оа(а = 1,2,..., 6) - локальные системы координат для входных сечений (граней); а, Ъ, с - геометрические размеры параллелепипеда

Автономный блок (рис. 2) будем рассматривать как волноводный трансформатор [2], который состоит из основной области Vq (прямоугольный параллелепипед) с присоединенными виртуальными каналами Флоке, граничащими с основной областью Vq входными сечениями Si, S2,..., Sg (грани параллелепипеда).

Дескриптор АБ (в линейном приближении это матрица проводимости Y) определяем в результате решения краевой задачи дифракции для уравнений Максвелла с электродинамическими граничными совместно с уравнением Ландау - Лифшица, в котором учитывается поле обменного взаимодействия [3].

Краевая задача электродинамики для автономного блока (рис. 2), содержащего диэлектрические наносферы и магнитные наночастицы, формулируется следующим образом.

Электромагнитное поле в области V (диэлектрические наносферы) автономного блока должно удовлетворять уравнениям Максвелла:

| rotH = iюе0 £V E,

\ - Q V -

[rot E = -i ro|iQ^V H,

где £q, ^q - электрическая и магнитная постоянные; £v, ^V - относительная диэлектрическая и магнитная проницаемости наносфер.

В области Vq - V (область с магнитными наночастицами) электромагнитное поле удовлетворяет системе уравнений электромагнитного поля, выведенной из уравнений Максвелла совместно с уравнением Ландау - Лифши-ца, в котором учитывается поле обменного взаимодействия [3]:

rotH = iЮ£0 £E, £ = £-i-^-,

£Qa

rot E = -i aM-i ro|iQ H,

< -

rot M = F, rot F = -q-1Hq,

где E, H - векторы напряженности электрического и магнитного полей; M - вектор намагниченности среды; Hq - эффективное магнитное поле обменного взаимодействия; £ - относительная диэлектрическая проницаемость; а - электропроводность среды; у - гиромагнитное отношение;

ar = ayHQ - частота релаксации; %q - статическая восприимчивость; q -константа обменного взаимодействия; Hq , Mq - постоянные магнитное поле и намагниченность.

На гранях автономного блока (входные сечения Sa ) электромагнитное поле удовлетворяет условиям неасимптотического излучения [5]:

ak

Sa Sa

k = 1,2,..., a = 1,2,..., 6,

где ek(a), hk(a) - электрическая и магнитная составляющие компонентов собственных волн каналов Флоке; k - номер моды собственной волны; a -номер грани параллелепипеда; ak(a), bk(a) - коэффициенты рядов Фурье;

Ea = ^ ak(a)ek(a) , k=1

Н а ^ Ьк

к=1

представления электрического и магнитного полей на гранях параллелепипеда.

Для решения этой краевой задачи применим проекционный метод [5]. В качестве базисных функций {¿к} , \Йк} используем системы собственных

функций прямоугольного резонатора с однородно-периодическими граничными условиями на гранях резонатора. Собственные частоты Юд и собственные функции {Ёд J , {Hk J резонатора определяются из решения следующей краевой задачи для уравнений Максвелла:

rotHk = i юд e0ev Ek, 1

^ > и в области Vq ,

rotЕд =_iюд M'OM'v Hk,

Ek(Sj) = Ek(S4), Hk(Sj) = Hk(S4),

Ek

на гранях,

где ev, - относительная диэлектрическая и магнитная проницаемости сре-

ды диэлектрических наносфер.

Геометрические размеры прямоугольного резонатора (область У) совпадают с геометрическими размерами автономного блока (рис. 2).

Запишем систему уравнений (2) в проекционной интегральной форме (для этого используются уравнения Максвелла (5), тождество Ьrot а - а rot Ь = = го^а X Ь) и формула Остроградского - Гаусса):

ф(НXЁ|) • = 7юе0 | £Ё • Ё% СУ + 7юк ц0 { Н • Н\ СУ,

а Уо У)

ф (Ё XН'1) • с& = -7 ю | М • Н'1 СУ - 7 юц0 | Н • Н'1 СУ -7 юк е0 | Ё • Ёк СУ, а У0 У0 У0

| Р • Ё1 СУ + 7 юк ц0 | М • Нк СУ = 0,

У0 У0

д-11 Нч • Н£ СУ + 7 юк £0 | Р • Ё£ СУ = 0,

У0 Ус

(ю г + 7 ю) | М • Нк СУ + у | (М0 X Н) • Нк СУ + у | (М0 X Нд) • Щ СУ +

У0 У0 У0

+у | (М X Н 0) • Н1СУ-юг %0 | Н • Н£ СУ = 0,

У0 У)

а = ¿1 и а2 и... и а6, а = 1,2,..., 6; к = 1,2,..., ы,

где N - количество учтенных базисных функций в (5).

Применяя метод Галеркина, из проекционной формы (6) и условий неасимптотического излучения (3) получаем

Ь =

где 8 21 = (м(61) М(62) 0 0 0);

Зц =

М1

М

(11) М(12) 0 0 0

(21) 2) (2 М 0^ (2 М 0 0

0 0 0^ т М 0 М

0 0 0 М(44) 5) (4 М

0 2) 1Л § М(53) 4) (5 § 0

' М(16) '

0

; в12 _ 0

0

0

V У

Из (7) следует матрица проводимости автономного блока У:

У = (821 • в—1 • 812 +1)-1 • (821 • вГ!1 • 8! -1), где I - единичная матрица.

Элементы матриц М(11), М(12), М(16), М(21), М(22), М(23), М(

М(33), М(35), М(44), М(45), М(52), М(53), М(61), М(62) определяю следующим образом:

Мкп ) — * ^кп + *  е0 (£ — ) Акп ; Мкп ^ — Г »к ^кп ; Мк1 (Р) — Мк1(Р) ;

Мкп — * »к ^кп ; Мкп — * ^кп ^ ¿»М^1 — Мг )Вкп ; Мкп — * » Вкп ;

мк27) = -*к1 (Р); М£3) = * »к ^0 Вкп; М£5) = Акп ; <4) = д—]1 вы;

Мкп — *»к е0 Акп ; Мкп — ЧХкп ~»г Х0 Вкп;

Мкг3) =Ч^кп +(юг +*ю)Вкп ;

М(54) —V X • М(61) —-Л Мкп — Хкп ; Мо(га) п — Л

• Ы (62) _ _

'д(а)п (а)и ; #(а)п ?(а)п;

где

Ык(от) и(от) ^ (^1 (Р)(от ) х Ек(от)) ' ,

^к(т)п(от) _ ^ (^/(Р)(от)ХНк(т)^ ' С^р•

^Р

^к(т)п(т) _ ^ (Еп(т) 'Ек(т));

Ко -V

Вк(т)п(т) _ ^ (Нп(т) ' Нк(т));

Ко-V

^к(т)п(т) _ ^ (Ы0 хНп(т)) 'Нк(т));

Ко _К

Yk(m)n(m) J (Hn(m) xH0) 'Hk(m))dV;

U,

Vq -V

q(a)n(m) J (En(m) xhq(a)(m)) ' dSa;

q(a)n(m) J ((eq(a)(m ) xHn(m)) ' dSa;

(т)р(г)г(/) ^ (Н р(г) хНг(/)) 'Нк(т))•

Ко -К

Компонентами векторов а, Ь являются коэффициенты рядов Фурье (4).

2. Результаты моделирования распространения волн в магнитном ЭБ-нанокомпозите

Дескриптор - матрицу проводимости У автономного блока - используем для математического моделирования распространения электромагнитных волн в магнитном 3Б-нанокомпозите, рассматриваемом как бесконечная трехмерная периодическая структура, состоящая из диэлектрических наносфер и внедренных в межсферное пространство магнитных наночастиц (рис. 1).

Постоянные распространения Ги электромагнитных волн в этой трехмерной периодической структуре определяем из решения характеристического уравнения [4]:

Л(Гп)=

Уа4 - H-1' Yba + Yab ' H - H-1' Ybb ' H

= 0,

где Л(Гп ) - определитель матрицы; Удд , Ува , Уав , Увв - клетки матрицы

проводимости автономного блока У =

сечений автономного блока SI, S2, S3; B - индекс входных сечений авто-

номного блока S4, S5, S6); H =

у = Г Yaa Yab Ї

1 Yba YBB у

S3; B - индекс

hx 0 0 ^

0 hy 0 -

0 0 hz у

(A - индекс входных

диагональная матрица

с элементами hx(i j) = -і §ij rna cos Px, hy (I j) = -i 8i j rnb cos Py, hz q j) = = -i 81 j Гпс cos Pz; Px, Py, P z - направление распространения волнового процесса.

В характеристическое уравнение (9) входят клетки Yaa , Yba , Yab , Ybb матрицы проводимости У автономного блока, содержащего диэлектрические наносферы и магнитные наночастицы, с виртуальными каналами Флоке. Поэтому на основе уравнения (9) можно провести электродинамический анализ волн в магнитном 3Б-нанокомпозите на основе опаловых матриц с различной геометрией областей внедренных в межсферное про-

a

странство магнитных наночастиц. Для этого необходимо использовать разработанный вычислительный алгоритм определения матрицы проводимости У автономного блока. Расчет матрицы проводимости У производится в результате решения краевой задачи дифракции (2) для уравнений Максвелла с электродинамическими граничными условиями, решаемых совместно с уравнением Ландау - Лифшица, в котором учитывается поле обменного взаимодействия.

На основе характеристического уравнения (9) с помощью алгоритма расчета матрицы проводимости У автономного блока, содержащего диэлектрические наносферы и магнитные наночастицы, с виртуальными каналами Флоке, проведен электродинамический расчет постоянных распространения Го электромагнитных волн, распространяющихся в трехмерной периодической структуре, состоящей из диэлектрических наносфер и внедренных в межсферное пространство магнитных наночастиц (рис. 1,б), в зависимости от внешнего постоянного поля подмагничивания Но на частоте/ = 9,375 ГГц.

В модели магнитный 3Б-нанокомпозит на основе опаловой матрицы из наносфер 8102 (радиус наносфер г = 125 нм , относительные комплексная

диэлектрическая и магнитная проницаемости еу = 4,6 — /3 '10-4, = 1) со-

держит октаэдрические и тетраэдрические межсферные полости (рис. 1,б) заполненные внедренными магнитными наночастицами. Материал наночастиц №0,72и03 Бе204 (намагниченность насыщения 4пМо = 21580 Гс) и N1 Бе204 ( 4пМо = 21580 Гс) с параметрами: комплексная диэлектрическая

—3

проницаемость е = 9,5 — /0,3 , параметр диссипации а = 6 '10 [6].

На рис. 3, 4 показаны результаты расчета зависимостей действительной и мнимой частей комплексного коэффициента распространения Г0 квазине-обыкновенной волны в магнитных 3Б-нанокомпозитах на основе опаловой матрицы от напряженности внешнего постоянного магнитного поля Н0 (вектор Н0 перпендикулярен направлению распространения волны).

Как следует из результатов расчета, приведенных на рис. 3, 4, характер распространения электромагнитных волн в гиромагнитной наноструктуриро-ванной среде - магнитном 3Б-нанокомпозите - существенно отличается от случая сплошной ферромагнитной среды.

Из графиков на рис. 3, 4 видно, что квазинеобыкновенная волна в гиромагнитной наноструктурированной среде имеет резонансное поглощение при значении напряженности магнитного поля Н0, которое не совпадает с частотой ферромагнитного резонанса в сплошной ферромагнитной среде (для частоты / = 9,375 ГГц ферромагнитный резонанс в сплошной ферромагнитной среде наблюдается при Н0 = 3330 Э [6]).

Разработанный автономный блок в виде прямоугольного параллелепипеда, содержащего диэлектрические наносферы и магнитные наночастицы, и с виртуальными каналами Флоке на гранях является универсальным базовым элементом для построения математических моделей волновых процессов в магнитных 3Б-нанокомпозитах и микроволновых устройствах на их основе.

12-

10

Г„

11\

\

\

21 \

— -У к

0

500

1000

1500

2000 2500 3000 3500

4000

Я0,Э

Рис. 3. Зависимость действительной и мнимой частей комплексного коэффициента распространения Г0 от внешнего магнитного поля Н0: наносферы (г = 125 нм,

Цу = 1); магнитные наночастицы №0,72по,з Ге204 (є = 9,5 - /0,3,

єу = 4,6 -/3-10"

а = 6 -10-3, 4пЫ3 = 5000 Гс);/ = 9,375 ГГц; 1 - ЯеГ0 ; 2 - 1тГ0

12-

10-

8-

6-

4-

2-

Гл

л/ЗД

\

2 - ' V 1

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

Н0,Э

Рис. 4. Зависимость действительной и мнимой частей комплексного коэффициента распространения Г0 от внешнего магнитного поля Н0: наносферы (г = 125 нм,

-1-4

єу = 4,6 -/3-10"

•1-3

Цу = 1); магнитные наночастицы Мі Ге204 (є = 9,5 -/0,3,

а = 6 • 10 , 4пМ3 = 3120 Гс);/= 9,375 ГГц; 1 - ЯеГ0 ; 2 - 1тГ0

Список литературы

1. Ринкевич, А. Б. Нанокомпозиты на основе опаловых матриц с 3Б-струк-турой, образованной магнитными наночастицами / А. Б. Ринкевич, В. В. Устинов, М. И. Самойлович, А. Ф. Белянин, С. М. Клещева, Е.А. Кузнецов // Технология и конструирование в электронной аппаратуре. - 2008. - № 4. - С. 55-63.

2. Никольский, В. В. Декомпозиционный подход к задачам электродинамики / В. В. Никольский, Т. И. Никольская. - М. : Наука. 1983. - 297 с.

3. Голованов, О. А. Вычислительный алгоритм определения дескрипторов автономных блоков с магнитными нановключениями и каналами Флоке / О. А. Голованов, Г. С. Макеева, М. В. Савченкова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2009. - № 2. - С. 91-101.

4. Голованов, О. А. Математическое моделирование и электродинамический расчет эффективных параметров магнитных наноматериалов / О. А. Голованов, Г. С. Макеева, М. В Савченкова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2008. - № 4. - С. 124-132.

5. Никольский, В. В. Проекционные методы в электродинамике / В. В. Никольский // Сборник научно-методических статей по прикладной электродинамике. -М. : Высшая школа, 1977. - С. 4-23.

6. Гуревич, А. Г. Ферриты на сверхвысоких частотах / А. Г. Гуревич. - М. : Гос. изд. физ.-мат. литер., 1960. - 407 с.

Голованов Олег Александрович доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математики и начертательной геометрии, Пензенский артиллерийский инженерный институт им. Н. Н. Воронова

E-mail: golovanovol@mail.ru

Макеева Галина Степановна

доктор физико-математических наук, профессор, кафедра радиотехники и радиоэлектронных систем, Пензенский государственный университет, действительный член Академии инженерных наук им. А. М. Прохорова

E-mail: radiotech@pnzgu.ru

Чиркина Марина Александровна ассистент, кафедра прикладной математики, Пензенский государственный университет архитектуры и строительства

E-mail: golovanovol@mail.ru

Golovanov Oleg Alexandrovich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of sub-department of mathematics and descriptive geometry, Penza Artillery and Military Engineering Institute named after N. N. Voronov

Makeeva Galina Stepanovna Doctor of physical and mathematical sciences, professor, sub-department of radio engineering and radio-electronic systems, Penza State University, full member of Engineering sciences Academy named after A. M. Prokhorov

Chirkina Marina Alexandrovna Assistant, sub-department of applied mathematics, Penza State University of Architecture and Construction

УДК 535.32 Голованов, О. А.

Электродинамический анализ распространения электромагнитных волн в ЭБ-магнитных нанокомпозитах на основе опаловых матриц /

О. А. Голованов, Г. С. Макеева, М. А. Чиркина // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2010. -№ 2 (14). - С. 126-135.