Выделение замкнутых контуров в топологии допусков

А.С.Калашников, А.В.Никитин

Выделение замкнутых контуров в топологии допусков

Современное промышленное производство невозможно представить без использования систем автоматического проектирования (САПР), позволяющих облегчить весь цикл разработки изделий - от выработки концепции до создания опытного образца и запуска его в производство. Однако непонятно, почему при наращивании функциональности подобных систем уделяется столь малое внимание такому производственному аспекту, как собираемость деталей. Как следствие этого наблюдается практическое отсутствие модуля анализа пространственных допусков, значительно увеличивающего эффективность производства на этапе сборки. Последнее время некоторое распространение в САПР получили линейные размерные цепи и их расчет.

Размерная цепь - совокупность взаимосвязанных размеров, образующих замкнутый контур и определяющих взаимное положение поверхностей (или осей) одной или нескольких деталей. Замкнутость размерной цепи приводит к тому, что размеры, входящие в размерную цепь, не могут назначаться независимо, т.е. значение и точность, по крайней мере, одного из размеров определяются остальными.

В общем случае размерная цепь может быть представлена в виде зависимости параметров Хх, Х2,

..., Хт_х, влияющих на параметр У.

Уравнение, связывающее отклонения размеров в размерной цепи, может быть записано в виде

дГ

с1< о И

Л Г = —АХ, + ----- /АХ, +.

ох.

дХ,

эх.

АХ

'1 2 х т-Л

Размерная цепь состоит из составляющих и замыкающего звеньев.

Замыкающим называется звено, получающееся последним в результате обработки или сборки изделия. К нему предъявляются основные требования точности и служит оно для контроля расчета.

Составляющими называют все остальные звенья. Составляющие звенья получаются в процессе обработки деталей [1].

Выявление любой размерной цепи начинается с нахождения ее замыкающего звена. Смысл задачи, возникающей при конструировании, изготовлении или измерении изделия, связывается с замыкающим звеном.

При конструировании изделия переход от поставленной задачи к нахождению замыкающего звена заключается в выявлении такого линейного или углового размера, от значения которого полностью зависит решение поставленной задачи. При изготовлении изделия

замыкающим звеном размерной цепи является размер, точность которого должна быть обеспечена технологическим процессом.

Однако проводимые расчеты принятых размерных цепей не обеспечивают стопроцентной собираемости, поскольку рассматривают только численные колебания значений допуска в одной плоскости, в то время как в [2] показано, что конфигурационное пространство многих допусков представляет собой трехмерный геометрический объект. Теория размерных цепей предлагает разложение звеньев размерной цепи на составляющие вектора, проецируемые на оси координат, что требует значительных временных ресурсов и потому не подходит для анализа сложных сборок [3]. При этом результаты, получаемые при анализе, не обеспечивают стопроцентного успеха сборочного процесса.

Оперирование пространственными допусками решает эту проблему. Тем не менее, не ясно, как учитывать взаимное влияние отклонений размеров, не только не заданных вдоль одной оси, но и находящихся в разных плоскостях. Для начала введем формализованное представление структуры допуска, включающей в себя уникальное описание различных типов допусков.

СТРУКТУРА ДОПУСКОВ В ФОРМАЛИЗОВАННОМ ВИДЕ:

1. Базовые/Присоединяемые тело/поверхность, принадлежащие базовому/присоединяемому телу и участвующие в сборке.

2. Тип допуска (например, соосность, радиус, перпенди кулярность).

3. Значение отклонения допуска (одно или два в зависимости от типа).

4. Указатель на то, в каком состоянии находится допуск

технологический:

1) коррекция формы (собственный допуск поверхности);

2) переопределение контуров (допуск внутри детали);

конструкторский:

3) топология (внутри узла [разные детали/поверхности]);

замыкающий:

4) топология и собираемость (внутри сборки).

5. Кол-во «родительских» допусков.

6. Лента указателей на адреса «родительских» допусков.

7. Уровень допуска.

Поясним некоторые элементы структуры. Технологический допуск - допуск, задаваемый на деталь. Согласно теории [1], технологические допуски делятся на допуски формы и допуски расположения поверхностей. Уровень технологического допуска не должен превышать 1.

Конструкторский допуск - допуск, задаваемый на сборочный узел. Конструкторским допуском также является всякий замыкающий допуск для любого этапа сборки.

Уровень допуска - указывает на его удаленность относительно собственных допусков и позволяет ограничить направленность связей [3]. То есть допуск большего уровня зависит от допуска меньшего уровня, но не наоборот.

Собственный допуск - допуск формы, задаваемый на одну и ту же поверхность одного тела. Не зависит ни от каких других допусков. Уровень такого допуска всегда равен 0.

Родительский допуск - допуск, уточнение которого влияет на другие допуски этой же сборки, ужесточая или смягчая их. Родительских допусков может быть несколько.

Замыкающий допуск - допуск сборки, непосредственно влияющий на собираемость узла. По аналогии с замыкающим звеном размерной цепи назначается принудительно, исходя из рациональных соображений. Уровень такого допуска всегда на 1 больше чем максимальный уровень любых других допусков на данном этапе сборки. Этот допуск нельзя варьировать, зато необходимо выдержать.

Подобный подход к формализации допуска подразумевает, что топология допусков, составленная из объектов этой структуры, будет представлена в виде сети. В концептуальном виде топологическая схема изображена на рис. 1.

Рис. 1. Концептуальный вид топологической схемы лопусков

Снаружи находятся собственные допуски (допуски формы), при увеличении числа деталей к изображению добавляются дополнительные допуски формы, а все допуски собираемости узлов и деталей находятся внутри кольца, и чем ниже уровень, тем глубже у них вложение.

Алгоритм формирования между узлами данной системы основан на прямом переборе всех возможных пар допусков сборки и проверки возможности связи.

Так, если сравниваются два допуска - первый зависит от второго, если его базовая поверхность является присоединяемой для второго или же их присоединяемые поверхности равны. В этом случае адрес родительского допуска помещается в специально выделенный массив при условии, что такого допуска там еще нет. Кроме того, массив адресов допусков может содержать не адреса, а, например, структуру, в состав которой можно будет включить не только адрес допуска но и характеристики связи (пространственная направленность, степень влияния, стоимость и т.д.) [3].

Удобный для описания и анализа полученной топологической схемы математический аппарат предлагает теория графов. К основным задачам анализа топологии относятся задачи поиска путей, выделения контуров, декомпозиции на подсистемы. Алгоритмы топологического анализа имеют огромное значение для исследований с помощью ЭВМ, так как проблема повышения эффективности по быстродействию и точности существующих методов моделирования может быть решена за счет более полного учета топологических особенностей модели.

Представление топологии модели возможно в списочной и матричной формах. При организации программных средств чаще используется списочная форма. При больших размерностях одноуровневых сильно разряженных моделей она имеет преимущества по требуемой памяти и скорости работы алгоритмов топологического анализа. Однако для сильно связанных систем небольшой размерности или иерархических систем эффективнее испробовать алгоритмы, основанные на матричных формах, например, на матрицах смежности или матрицах изоморфности.

Все три основные задачи топологии легко находят свою интерпретацию в сети технологических и конструкторских допусков.

Задача выделения контуров служит для определения таких мест в топологической сети, где возможны зацикливания. Контур - путь, у которого конечная вершина совпадает с начальной вершиной. Путем называется последовательность дуг (в ориентированном графе) такая, что конец одной дуги является началом другой дуги. Наличие таких контуров усложняет анализ топологии допусков, поэтому важно найти их все и устранить, например, введением уровней допуска. Для нахождения контуров используют матричные алгоритмы структурного анализа. Они строятся на основе последовательного возведения в соответствующие степени матрицы смежности (рис. 2).

Единица в матрице смежности Б говорит о наличии пути между ¡-й и }-й вершинами длиной 1. Наличие I в (¡, позиции в матрице Б2 означает путь длиной 2 между этими вершинами и так далее. Таким образом,

£

у /

д,

т

Ш Механика

1

7

0

1

0 о

1

8 э2 &

1 0 о" [1 0 I о" '0 1 0

0 1 0 |о 1 0 1 2 0 2

0 0 1 ' I1 0 1 0 : 0 1 0

0 1 0 10 ¡_ 1 0 2 0 2

Рис. 2. Пример направленного графа и соответствующей ему матрицы смежности

84 О

О 2

существование ненулевого значения на главной диагонали означает наличие пути из данной вершины в данную вершину, длина которого равна степени матрицы. Использование этого алгоритма позволяет формализовать поиск контуров для анализа на ЭВМ.

Задача декомпозиции на подсистемы служит для разбиения допусков по этапам сборки с тем, чтобы в дальнейшем можно было заменить цепочку допусков на определенном этапе на один замыкающийся допуск, который должен быть обязательно выдержан для обеспечения собираемости сборки. Оптимальным будет решение и прямой, и обратной задачи.

О. Прямая задача - по заданному номинальному размеру и допуску исходного звена определить номинальные размеры, допуски и предельные отклонения всех составляющих звеньев размерной цепи.

О. Обратная задача - по установленным номинальным размерам, допускам и предельным отклонениям составляющих звеньев определить номинальный размер, допуск и предельные отклонения замыкающего звена.

В идеале конструктор должен будет установить только значения замыкающих допусков, по которым сначала рассчитаются промежуточные звенья, а затем произведется анализ собираемости.

Традиционная декомпозиция модели основывается на выделении части графа в подсистему на основе принципа сильных связей, то есть связи элементов внутри подсистемы должны быть значительно сильнее, чем связи между ними и внешними элементами. Существенную часть этой работы при иерархическом построении модели выполняет сам пользователь, используя известную ему информацию о функциональном назначении подсистем исследуемого объекта.

В случае болыиеразмерной (крупномасштабной) системы численное интегрирование неявными методами, как правило, не эффективно вследствие значительных временных затрат. Снизить затраты возможно в результате проведения редукции системы за счет формальной (искусственной) декомпозиции системы.

Предлагается выделять последовательные цепи элементов или структуры без обратных связей, уравнения которых впоследствии интегрируются явными методами. В результате получается гиперграф, на ребрах которого образуются подсистемы, не содержащие обратные связи. Формируемая на основе преобразованного гиперграфа система уравнений моделируется по явной

схеме интегрирования и периодически корректируется (балансируется) по выделенным переменным на основании неявной схемы [4].

Задача поиска путей есть не что иное, как нахождение допусков в топологической сети, оказывающих прямое или косвенное, возможно, даже чрезвычайно удаленное влияние. Рассмотрим возможные варианты определения допусков, влияющих на выбранный нами допуск из имеющихся в топологической сетке.

Задача о кратчайшем пути. Пусть задана сеть из п + 1 вершины, то есть ориентированный граф, в котором выделены две вершины - вход (нулевая вершина) и выход (вершина с номером п). Длину пути (контура) определим как количество входящих в него дуг. Задача заключается в поиске кратчайшего пути (пути минимальной длины) от входа до выхода сети. Будем предполагать, что в любую вершину сети можно попасть из входа и из любой вершины можно попасть в выход (вершины, не удовлетворяющие этому требованию, можно удалить).

Предположим, что в сети нет контуров. Тогда всегда можно пронумеровать вершины таким образом, что для любой дуги (¡, ]) имеет место ] > ¡. Такая нумерация называется правильной. Легко показать, что в сети без контуров всегда существует правильная нумерация.

Существует множество алгоритмов, реализующих решение этой задачи. Рассмотрим Алгоритм Форда.

Шаг 0: Помечаем нулевую вершину индексом Ло= 0, все остальные вершины - индексами /ч = +°°> ' = п, 1.

Шаг к: Рассматриваем все дуги. Для дуги (¡; Д, если Л-, - А, >/у, вычисляем новое значение А', = Д + Я,г

Индексы устанавливаются за конечное число шагов. Обозначим {Л,*} - установившиеся значения индексов, которые обладают следующим свойством: величина Д* равна длине кратчайшего пути из нулевой вершины в вершину ¡. Кратчайший путь из вершины 0 в вершину 1 определяется методом обратного хода.

Однако стоит заметить, что помимо нахождения всех влияющих допусков важной информацией является эффективность изменения той или иной цепочки, а также стоимость этого изменения. Данное условие нашло реализацию в задаче нахождения пути максимальной эффективности.

Пусть задана сеть допусков, в которой для каждой дуги (¡; ]) определены два числа (Эу; интерпретируемые как эффект при ужесточении этого допуска - Э,, и

затраты на эту операцию - Sy. Если эффективность К(ц) пути ц определяется как отношение его эффекта Э(jli ) = Эу. к затратам S(ju) =^ Sy .

^ м

то К(ц ) - Э(ц )/S(/л ). Задача заключается в

*

поиске пути // максимальной эффективности: К( /и ) —> max.

Если решение ^Г* = К(/и*) этой задачи известно, то по определению К* выполнено:

Э

Следовательно, задача свелась к поиску минимального значения К*, для которого имеет место (1). Другими словами, необходимо найти минимальное К такое, что все пути (длина которых определяется как

(К*) - Эу - К*Sx]) в сети имеют неположительную длину (неравенство (1) должно выполняться в том числе и для пути максимальной длины).

Алгоритм решения

1) Положим К* = 0. Находим путь цЛ максимальной длины. Положим К} = Э(ЦЛ )1$(Цх ) (заметим, что при К — Кх длина пути ц(Кх) равна нулю).

2) Находим максимальный путь при К = К]. Если длина пути ц,, которую мы обозначим Ц) , равна нулю, то задача решена.

Если ЦКХ)> 0, то вычисляем К2 = Э(ц2)1$(Ц2)\л находим максимальный путь ц2 при К = К^ и т.д. [5].

Приведем в качестве примера простейшую сборку, состоящую из двух плит с цилиндрическими отверстиями и двух цилиндрических штырей (рис. 3). Зададим все проставленные на чертеже допуски и построим топологическую сеть допусков (рис. 4). Собственные допуски выделены пунктирной окружностью. Замыкающий допуск выделен цветом. Стрелочки указывают допуск, на который происходит влияние родительских допусков. Распишем типы допусков и поверхности, между которыми они задаются (таблица).

[§)) Механика

Описание допусков, входящих в топологическую сеть

Номер допуска Тип допуска Деталь-поверхность!, деталь-поверхность_2

0 0 Штырь 1/Цилиндрическая + Штырь 1/Цилиндрическая

1 EJ Плита 1/ Поверхность А + Плита 1/ Поверхность А

2 0 Плита Шалое отверстие + Плита 1/Малое отверстие

3 Плита_1/Малое отверстие + Плита !/ Поверхность б

4 Плита_1/Малое отверстие + Плита_1/ Поверхность В

5 ± Плита Шалое отверстие + Плита_1/ Поверхность А

6 0 Штырь 2/Цилиндрическая + Штырь 2/Цилиндрическая

7 0 Плита 1/Большое отверстие + Плита_1/Большое отверстие

8 ф Плита_1/Большое отверстие + Плита_1/ Поверхность Б

9 Плита_1/Большое отверстие + Плита__1/ Поверхность В

10 ± Плита_1 /Большое отверстие + Плита_1/ Поверхность А

11 EJ Плита 2/ Поверхность А + Плита 2/ Поверхность А

12 0 Плита 2/Малое отверстие + Плита 2/Малое отверстие

13 + Плита_2/Малое отверстие + Плита_2/ Поверхность Б

14 + Плита_2/Малое отверстие + Плита_2/ Поверхность В

15 0 Плита 2/Большое отверстие + Плита 2/Большое отверстие

16 -Ф- Плита_2/Большое отверстие + Плита_2/ Поверхность Б

17 4 Плита_2/Большое отверстие + Г1лита_2/ Поверхность В

18 // Плита_1/ Поверхность А + Плита_2/ Поверхность Б

С Допуск-связка

Шита 1

ж 1

60

Штырь 2 (дет.

т •Ч--—.—-...---—-----

Сборочный чертёж 1

Рис. 3. Сборочный чертеж

Плата2 (дет,4}

•шйГ'г

Рис. 4. Топологическая сеть допусков

В рассмотренном примере отчетливо видно, что от замыкающего допуска мы можем добраться до любого технологического (в том числе собственного) допуска, что все собственные допуски находятся с краю. Таким образом, при варьировании любого из них получим изменение замыкающего. Это обуславливается простотой сборки.

Допуски-связки вводятся в систему искусственно для предотвращения потери связей и заполняются автоматически системой. Зная весовые коэффициенты экономической эффективности допусков, можно согласно приведенным алгоритмам выделить наиболее выгодные технологические допуски с точки зрения их варьирования.

Для более сложных топологий, включающих контуры и множественные пересечения допусков с различных уровней сборки, подобный анализ позволит технологу более полно представить систему установленных сборочных ограничений и адекватно и обоснованно внести

изменения, согласно указанным системой рекомендациям. Введение такого анализа в структуру модуля расчета собираемости - шаг в сторону создания экспертной интеллектуальной системы.

Библиографический список

1. Палей МЛ и др. Допуски и посадки: Справочник: в 2-х ч- 7-е изд., перераб. и доп. - Л.: Политехника, 1991. - Ч. 2. - 607 с.

2. Журавлёв Д.А., Гаер М.А. Пространственная геометрическая характеристика допусков // Вестник ИрГТУ. -2005. - № 1.

3. Калашников A.C. Пространственный размерный анализ собираемости изделий машиностроения // ВинероБ-ские чтения ИрГТУ. - 2006.

4. Красов A.B. Теория информационных процессов и систем.Алгоритмы топологического анализа систем. -М.,2001.

5. Бурков В.Н., Горгидзе И А, Ловецкий С.Е. Прикладные задачи теории графов. - Тбилиси: Мецниереба, 1974. -234 с.

С.Ю.Павдикова

Высокоресурсные болтовые соединения с применением промежуточной втулки

При агрегатной сборке осуществляется взаимная ориентация агрегатов за счет совместной разделки стыковочных отверстий. Для снижения трудоемкости формообразования отверстий в условиях агрегатно-сборочного производства (АСП) практикуют обработку отверстий на станках с припуском под дальнейшую обработку от 2 до 5 мм (в ряде случаев и больше) [6]. Разделка отверстий в условиях АСП как правило выпол-

няется ручным механизированным инструментом путем зенкерования и развертывания. Несколько реже применяется разделка на механизированных стапелях. В том и другом случае невозможно обеспечить высокое качество. Для повышения ресурса выполняется упрочнение стенок отверстий чаще всего раскатыванием, т.к. для высокопрочных алюминиевых сплавов дорнование не разрешено инструкцией 10.21.ВИАМ. Отрицательны-