К вопросу о повышении качества самостоятельной работы студентов по высшей математике

ПРОБЛЕМЫ ОБЩЕСТВЕННОГО РАЗВИТИЯ И ОБРАЗОВАНИЯ

УДК 378.147

К вопросу о повышении качества самостоятельной работы студентов

по высшей математике

И. В. Бардушкина, А. М. Ревякин

Национальный исследовательский университет «МИЭТ»

Обсуждается вопрос о повышении качества самостоятельной работы студентов по математическим дисциплинам в условиях увеличения доли этого вида работы по отношению к аудиторной. Предлагается больше внимания уделять заданиям, связывающим дисциплины разных семестров и имеющим экономическое содержание. В качестве примера приведена задача аппроксимации экспериментальных данных. Для конкретных значений показаны разные методы обработки данных, включающие в себя построение линейного тренда, регрессионный анализ и сглаживание временного ряда.

Ключевые слова: самостоятельная работа студентов; высшая математика; профессионально ориентированное задание; тренд; аппроксимация; прогнозирование.

Одна из целей модернизации образования — развитие у обучающихся самостоятельности, способности к самоорганизации и творческой деятельности, готовность к сотрудничеству. Современный профессионал должен не только иметь знания, относящиеся к его узкой специализации, но и ориентироваться в смежных областях деятельности, в информационном потоке, стремиться к постоянному личностному и профессиональному росту. Высшее образование призвано формировать личностные качества будущего специалиста: когнитивные (познавательные), креативные (творческие), коммуникативные и мировоззренческие (в числе которых способность к самопознанию и саморазвитию) [1], а их невозможно развить без эффективной регулярной самостоятельной работы.

Реализация федеральных государственных образовательных стандартов высшего образования подразумевает сокращение аудиторной нагрузки

© Бардушкина И. В., Ревякин А. М.

и увеличение самостоятельной работы (СР) студентов. Внеаудиторная СР обучающихся предполагает выполнение заданий, предусмотренных учебным планом, а также творческих заданий, поиск и обработку информации и научно-исследовательскую деятельность под руководством преподавателя. Правильно спланированная СР активизирует творческий потенциал студента, дает возможность почувствовать уверенность в собственных интеллектуальных способностях. Именно самостоятельная деятельность обеспечивает подготовку мыслящего специалиста в своей области. Цель СР студентов состоит не только в отработке тем лекций и практических занятий, но и в приобретении опыта исследовательской деятельности, навыков нахождения информации и представления результатов.

Условия организации СР в вузе: наличие и доступность литературы и методических разработок, обязательное проведение преподавателями регулярных

консультаций и контроля выполненных заданий. На консультациях преподаватель отвечает на вопросы, возникающие у студентов при самостоятельной деятельности, дает общее направление исследований и советы в трудных случаях, обсуждает мнения и гипотезы, высказываемые студентами. Оценивать СР следует не только по полученным результатам, но и по оформлению отчета и обоснованности и ясности ответов на вопросы преподавателя во время защиты. Активность студентов в СР определяется наличием мотивации, формированию которой способствует подбор профессионально ориентированных заданий. При их выполнении студент осознает полезность и значимость проделанной работы для его будущей профессии. Он может использовать свои достижения в дипломном проекте и в научно-исследовательской деятельности.

Математические дисциплины традиционно преподают студентам экономических направлений подготовки на младших курсах. Из-за ограниченного времени общения с преподавателем обучающиеся не успевают не только продумать исследовательскую задачу (даже простейшую), но и усвоить необходимый материал в полном объеме. Особенно сильно это сказывается при изучении математической статистики, без знания которой невозможна нормальная деятельность экономиста. В подобных случаях преподавателям необходимо так составлять задания для СР, темы рефератов и курсовых работ, чтобы студенты могли не только освоить тот или иной раздел дисциплины и выполнить некоторые вычисления, но и заинтересоваться своей темой как возможной составляющей будущей профессиональной деятельности и попытаться провести собственные научные изыскания.

Нами предлагается метод повышения качества СР студентов экономического факультета технического вуза, опирающийся на повторение материала

предыдущих семестров с повышением уровня сложности заданий в рамках одной темы. Так, для выполнения задания во втором семестре необходимо использовать материал, изученный в нем, и применить знания и навыки, полученные в первом, а в третьем — не только опираться на новые темы, но и задействовать знания и навыки, освоенные во всех предыдущих семестрах. Благодаря этому студент не забывает изученный материал сразу после сдачи экзамена и применяет накопленный интеллектуальный запас в дальнейшем. При этом, проводя в разных семестрах различные вычисления и обобщения по одной и той же теме, студент получает начальные навыки научно-исследовательской работы.

Поясним изложенное на примере одной задачи с экономическим содержанием. Во втором семестре в курсе математического анализа для студентов экономического факультета дается задача аппроксимации экспериментальных данных [2]. Теория опирается на знание линейной алгебры (первый семестр).

Пусть требуется сгладить экспериментальные данные (табл.1), т. е. найти такую зависимость у(х), которая по возможности отражает общую тенденцию.

Таблица 1

Экспериментальные данные для задачи аппроксимации

х х1 Х2 Х3 х п

У У1 У2 Уз У у п

Сначала определяют характер зависимости (линейная, квадратичная, логарифмическая и т. д.). Заключение о нем делается не только по исходным данным, но и с учетом конкретной проблемы, с использованием теории и опыта подобных исследований. Затем находят параметры по методу наименьших квадратов, так, чтобы сумма квадратов

отклонений экспериментальных данных от теоретической кривой, называемых невязками б(., была наименьшей (рис. 1). Задача аппроксимации, как правило, решается численными методами.

Пусть зависимость у = /(х) линейна: у = ах + Ь. Требуется найти точку минимума функции

Б(а, Ь) = £ (ах + Ь - у,)2.

I = 1

Из необходимых условий экстремума функции многих переменных получается система нормальных уравнений, решение которой является точкой минимума. Искомая линейная зависимость

y = ax + b называется линейным трендом или линейной регрессией y на x. Задача может быть решена и в матричном виде. Студентам будет полезно после необходимых вычислений построить график и найти уравнение тренда на компьютере, например в пакете MS Excel. Далее с помощью этого уравнения делается прогноз. Рекомендуется обсудить со студентами, на каком отрезке времени прогнозирование имеет смысл, а на каком нецелесо о бр азно.

В целях практического применения задачи рассмотрим рынок участков без подряда (УБП) в организованных коттеджных поселках Подмосковья, где предусмотрены коммуникации, но нет построенного жилья. Такие участки пользуются наибольшим спросом. Их доля в общем объеме реализованных объектов отражена в таблице 2, составленной по данным компании «Инком-Недвижимость» за последние 5 лет.

Таблица 2

Доля УБП в совокупном объеме проданной недвижимости, 2011—2015 гг.

Период Доля УБП, % Период Доля УБП, % Период Доля УБП, % Период Доля УБП, % Период Доля УБП, %

I квартал 2011 г. 47 I квартал 2012 г. 52 I квартал 2013 г. 46 I квартал 2014 г. 51 I квартал 2015 г. 54

II 56 II 53 II 49 II 58 II 57

квартал 2011 г. квартал 2012 г. квартал 2013 г. квартал 2014 г. квартал 2015 г.

III 58 III 44 III 55 III 57

квартал 2011 г. квартал 2012 г. квартал 2013 г. квартал 2014 г. — —

IV 64 IV 41 IV 56 IV 58

квартал 2011 г. квартал 2012 г. квартал 2013 г. квартал 2014 г. — —

На рисунке 2 представлены график данных по продажам участков и полученный линейный тренд за весь рассматриваемый период.

При изучении теории вероятностей и математической статистики в третьем семестре ту же задачу можно решить на качественно новом уровне.

70 60 50 40 30 20 10 0

-—-Г-7

-♦

у = 0,2147х + 51,072

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Рис. 2. График данных и линия тренда

Кроме регрессионных прямых студенты находят коэффициент корреляции, доверительные интервалы для среднего и оценки дисперсии, проверяют значимость регрессионной модели. Облегчает освоение темы то, что регрессионный анализ строится на известном по первому курсу методе наименьших квадратов.

Дисциплина «математическая статистика», читаемая на экономическом факультете, представлена несколькими основными главами и имеет большой объем, что создает трудности при ее изучении. Времени, выделенного на аудиторные занятия и на дисциплину в целом, студентам недостаточно для понимания и запоминания материала. С целью компенсировать это в следующем семестре в рамках курсовой работы по методам моделирования экономики обучающимся предлагаются темы, связанные с математической статистикой [3—5]. Это могут быть различные виды анализа (корреляционный, регрессионный, кластерный, анализ временных рядов) и др. Выбор математической модели для обработки данных и решения возникающих в экономике задач оптимизации — сложный и во многом

творческий процесс. Представление одной и той же информации в разном качестве помогает будущим экономистам понять, насколько этот выбор влияет на результат, и получить информацию к размышлению, какую модель в каких случаях следует разрабатывать.

Рассмотрим данные из таблицы 2 и проведем их обработку как динамического (временного) ряда. Его анализ имеет две основные цели: определение модели (аппроксимация) и прогнозирование. Скользящее среднее сглаживает выбросы, усредняя соседние значения, взвешенное скользящее среднее дает значениям разные веса, экспоненциальное скользящее среднее является его частным случаем, давая больший вес последним значениям и меньший — более ранним. Проведем анализ с помощью скользящего среднего и экспоненциального сглаживания (рис. 3).

Сравнение полученных кривых с графиком линейного тренда (см. рис. 2) показывает, что линейная модель не лучшим образом подходит для аппроксимации данных. Имея некоторый опыт в построении аппроксимирующих функций, студенты могут попытаться найти нелинейную зависимость

_Бардушкина И. В., Ревякин А. М._

и затем выбрать наиболее подходящую. выбросов и выдвинуть гипотезы о них, Далее можно выделить сезонные состав- сделать прогноз и оценить вероятность ляющие, проанализировать причины результатов прогнозирования.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

а)

0

1 I I I I I I I I I I I I I I г

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

б)

Рис. 3. Анализ временного ряда (фактический прогноз): а — экспоненциальное сглаживание; б — скользящее среднее

Обращение к одним и тем же экономически ориентированным задачам, распределенное во времени, с возрастанием уровня сложности на каждом этапе повышает качество и эффективность СР студентов по дисциплинам высшей

математики и подготавливает почву для научно-исследовательской работы. Предложенный метод — один из тех, что позволяют преподавателям поддерживать развитие личностных качеств будущего профессионала, не только давая

знания, но и обеспечивая условия для расширения интеллектуальной самостоятельности, стремления к саморазвитию и творчеству.

Литература

1. Якушкина Л. П. Развитие ключевых компетенций специалиста в процессе внеаудиторной самостоятельной работы в вузе // Научные исследования в образовании. 2007. № 1. С. 154— 155.

2. Бардушкина И. В., Кальней С. Г. Сборник задач по математике для экономистов. М.: МИЭТ, 2015. 256 с.

3. Ревякин А. М., Бардушкина И. В. Математические методы моделирования в экономике. М.: МИЭТ, 2013. 327 с.

4. Теория и практика статистических исследований / Под ред. А. М. Ревякина, В. В. Косты-лева. М.: МГАДА, 2007. 354 с.

5. Задания для выполнения лабораторных и индивидуальных работ по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» с использованием пакета MATLAB / В. В. Бардушкин, И. В. Бардушкина, В. В. Лесин, А. М. Ревякин // Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB: мат-лы V Междунар. науч. конф. (г. Харьков, 11—13 мая 2011 г.) / Сост. В. В. Замаруев. Харьков: БЭТ, 2011. С. 471—533.

Бардушкина Ирина Вячеславовна — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики № 2 (ВМ-2) МИЭТ. E-mail: i_v_bars@mail.ru

Ревякин Александр Михайлович — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры ВМ-2 МИЭТ. E-mail: arevyakin@mail.ru