Оценка интеграла от произведения двух вещественных функций посредством неравенств типа Левина-Стечкина

УДК 519.24

Вестник СПбГУ. Сер. 10. 2014. Вып. 3

Р. Н. Мирошин

ОЦЕНКА ИНТЕГРАЛА ОТ ПРОИЗВЕДЕНИЯ

ДВУХ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ ПОСРЕДСТВОМ НЕРАВЕНСТВ ТИПА ЛЕВИНА-СТЕЧКИНА*)

Санкт-Петербургский государственный университет, Российская Федерация,

199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9

Классическое интегральное неравенство Левина—Стечкина известно с 1948 г. В работе получены более сложные и точные неравенства, с помощью которых можно определить верхнюю и нижнюю границы интеграла от произведения двух вещественных функций, используя обобщенные коэффициенты Фурье каждой из этих функций отдельно. Коэффициенты Фурье вычисляются по определенной чебышевской системе функций и предполагается, что упомянутые вещественные функции, добавленные к указанной системе, сами образуют чебышевские системы. Предполагается также, что все функции в чебышев-ских системах взаимно ортогональны, как это принято при доказательстве неравенства Левина—Стечкина. Результат сформулирован в виде теоремы, которая иллюстрируется пятью примерами. В двух примерах чебышевскими системами являются ортогональные полиномы на конечных интервалах, в двух следующих конкретизируются упомянутые функции и показано, что, увеличивая число коэффициентов Фурье, можно заключить исходный интеграл в сужающуюся вилку из нижней и верхней границ. Последний пример показывает, как использовать теорему для оценки дисперсии числа нулей гауссовского стационарного процесса. Библиогр. 9 назв.

Ключевые слова: интеграл от произведения двух вещественных функций, неравенства типа Левина—Стечкина, чебышевские системы функций, обобщенные коэффициенты Фурье.

R. N. Miroshin

ON EVOLUTION OF THE INTEGRAL OF THE PRODUCT OF TWO REAL FUNCTIONS WITH LEVIN-STECHKIN TYPE OF INEQUALITY

St. Petersburg State University, 7/9, Universitetskaya embankment, St. Petersburg,

199034, Russian Federation

Classical integral Levin—Stechkin inequality known since 1948. This article received more complex and accurate inequality, with which you can get the upper or lower bounds of the integral of the product of two real functions,using the generalized Fourier coefficients of each of these functions separately. Fourier coefficients calculated according to a certain Chebyshev set of functions and it is assumed that the real valued functions added to the specified set also form Chebyshev systems. It is suggested also that all functions in Chebyshev systems are mutually orthogonal, as it is customary in the proof of Levin-Stechkin inequality. The result is formulated with theorem, which being illustrated with five examples. In two examples Chebyshev systems are orthogonal polynomials on finite intervals, in following two examples the cited functions have specific form and it is shown that increasing the number of Fourier coefficients you can enclose the original integral in narrowing the plug from both the bottom and top boundaries. Last example shows how to use the theorem in the problem of estimation of the variance of the number of zeros of Gaussian stationary process. Bibliogr. 9.

Keywords : the integral of the product of two real functions, Levin—Stechkin type of inequality, Chebyshev system of functions, generalized Fourier coefficients.

Мирошин Роман Николаевич — доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник; e-mail: miroshin-roman1938@yandex.ru

Miroshin Roman Nikolaevich — doctor of physical and mathematical sciences, professor, chief scientific collaborator; e-mail: miroshin-roman1938@yandex.ru

*) Работа выполнена при финансовой поддержке Санкт-Петербургского государственного университета (грант № 6.0.24.2010).

Неравенство В. И. Левина-С. Б. Стечкина доказано в дополнении Д.8 к русскому переводу классической монографии [1]. Впоследствии оно использовалось в примерах, демонстрирующих мощь метода моментов [2, с. 412]. В [3] это неравенство обобщалось на более широкий класс подынтегральных функций и в [4] применялось для оценки лобового сопротивления острого кругового конуса в теории локального взаимодействия. В настоящей статье получены более точные неравенства с привлечением коэффициентов обобщенного ряда Фурье, которые будем называть неравенствами типа Левина-Стечкина. В примерах иллюстрируется полезность новых неравенств при вычислениях интегралов от произведения двух вещественных функций. Рассмотрим интеграл

ь

I = I р

а

в котором р(1), я(^) и вес т(1) суть вещественные функции такие, что

и

- чебышевские системы в (а,Ь), интервал [а,Ь] не обязательно конечен, а интеграл (1) здесь и далее понимается в смысле Римана. Входящие в наборы (2) функции предполагаются ортонормированными, т. е.

ь

J (^)^к = бгк,

а

где 5^к - символ Кронекера. Если

ь ь

!р2(1)т(г)А < ж, J д2(1)т(г)А < ж,

аа

то наилучшим приближением для р(Ь) и ц(Ь) в среднеквадратическом являются отрезки обобщенного ряда Фурье [5, с. 159]

п—1 п—1

рп

к=0 к=0

в которых ак, Ьк - обобщенные коэффициенты Фурье:

ь ь

ак = ! р^)фк Ьк = ! Як

аа

Точность приближения оценивается для р(Ь) величиной [5, с. 160]

ь п—1

/ р2(Ь)и}(1)А а2к > 0,

а к=0 к

а для я(1) такой же формулой, но с заменой р на я и ак на Ьк.

Положив в (1) рп(Ь)цп(Ь) вместо р(Ь)ц(Ь) и используя (3), получаем приближенное значение 1п интеграла I

" п 1

1п = Рг()Чп(ь)ю(ь)а = афк.

{ к=0

Наша задача-определить, как соотносятся I и 1п, когда р(Ь) ф Pn.it) и д(Ь) ф дп(Ь). Напомним, что система функций {у>о(£), • • •, называется чебышев-

ской в [а, Ь], если [2]

Q

(в (5) показана г-тая строка определителя). При Q(t) > 0 эту систему будем именовать Т+-системой [2]. Определитель (5) при замене д(и) на p(ti) обозначаем Р(t). Введем функцию

п — 1

Ап

к=0

и вычислим интеграл

о

J = I АпШ^'М^,

а

в котором Q(t) - определитель (5). Полагая

В(ЬоМ,...,Ьп—1) = det \\^о (к ),...,¥п—1(и)\\п—01, а < Ьо < ••• <Ьп—1 < Ь, (8) получим

о

J = В

а

Если {^о(Ь),...,^п—1(Ь)} тоже Т+-система, т. е. определитель (8) положителен, то знаки интеграла в правой части (9) и интеграла (7) совпадают. Найдем этот общий знак. Очевидно,

о

! Ап(Ь)^ь(Ь)т(Ь)Л =0 при I = 0,1,...,и - 1,

а

в силу определения (см. (4)). Следовательно, функция Ап(Ь) обладает по крайней мере п различными вещественными нулями в [а, Ь] (см. [2, с. 408]). Но Ап (Ь) не может иметь более п нулей в [а, Ь], поскольку отличен от нуля определитель Р(Ь), т. е. у Ап(Ь) есть ровно п различных вешественных нулей в [а, Ь], которые обозначим Ьо,Ь1,..., Ьп—1 в порядке возрастания и возьмем параметрами в Q(t), тем самым отождествив нули определителя Q(t) с нулями Ап(Ь). Так как в интервалах между последовательными нулями знак подынтегральной функции в (7) либо плюс, либо минус одновременно для всех интервалов, то знак .1 в (7) обусловливается знаком Ап,^^^) в последнем интервале (Ьп—1,Ь]. Когда Q(t) > 0 при а ^ Ьо < t1 < ••• < Ьп—1 < t ^ Ь, находим из (7) и (9), что

J > 0 при Ап

Подставляя (6) в (7) и используя (10), убеждаемся в справедливости следующей теоремы.

Теорема. Если р(€) и я(€) - вещественные непрерывные в (а, Ь) функции и {(ро{Ь),  , фп-1 (¿Ж {<P0(t),  , <Pn-l(t), яШ

- Т+-системы в [а, Ь], а    , ^п-1(€),р(€)} - чебышевская система в [а, Ь], при-

чем (¿) ортонормированы в [а,Ь], то тогда

Ь п—1 п—1

I = р

V />_п _п

k=0 k=0

(в случаеp(b) ^ Y1 fc=o akVk(b) знак неравенства в (11) меняется на противоположный). Здесь ak и bk - коэффициенты (4) обобщенных рядов Фурье (3). Замечание 1. Правую часть неравенства (11) можно записать в более наглядном виде

n—l b b

In = / p

k=0 a a

При n = 1 (12) имеет форму, использованную в неравенстве Левина-Стечкина, так что естественно назвать при n > 1 неравенство (11), (12) неравенством типа Левина-Стечкина. Его удобно использовать в ситуациях, когда интеграл в левой его части не вычисляется аналитически, а интегралы в правой части (коэффициенты Фурье) табличные.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Пусть w(t) = 1, a = 0, b = 1. Тогда ортонормированными функциями Vk (t) в [0,1] являются нормированные полиномы Якоби [6, с. 581]

Gfc(l,M) (fc!)4

М) = VK ' к =

(они совпадают со сдвинутыми полиномами Лежандра). Так как определитель

D

для этих полиномов сводится к определителю Ван-дер-Монда, при to < ti < ••• < tn—i имеем D > 0. Потому для указанных в теореме p(t) и q(t) справедливо неравенство (11), (12).

Замечание 2. В случае, когда Vk (t) - полиномы по степеням t в [0,1], как в примере 1, удобнее в теореме условие p(1) ^ Xn=o ak Vk (b) заменить на условие

n—l

p(0) akVk (0) при n четном,

k=0

n—l

p(0) akVk (0) при n нечетном,

k=0

поскольку An (1) и An(0) имеют один и тот же знак при n четном и разные знаки при n нечетном. Удобнее потому, что при t = 0 степенные полиномы легко вычисляются. Например,

ад, i,o) = .

Замечание 3. Когда в теореме n = 2 и a = 0, b = 1, w = 1, получаем из

1 i 1 1 I2 = Jp

0 0 0 0

поскольку из (13) следует, что у0(t) = 1, у1(t) = 12(t — 1/2).

Выражение (14) выведено в [3], к сожалению, с опиской (пропущен коэффициент 12), не повлиявшей на остальные формулы статьи [3]. Если p(t) выпукла и p(t) = p(1 — t) в [0,1], то второе слагаемое в (14) равно нулю, так что по теореме имеем неравенство Левина-Стечкина [1].

При n = 3 и a = 0, b = 1, w = 1 получаем из (12) дополнительный к (14) член,

т. е.

1 1 I3 = I2 + 180 j (t2 — t +1 /6)p(t)dt j(t2 — t +1 /6)q(t)dt, 00 поскольку, в силу (13), у2(t) = 180(t2 — t + 1/6).

Замечание 4. Когда уи (t) - степенные полиномы, проверка принадлежности системы {y0(t),..., yn-1(t), q(t)} к Т+-системам определяется достаточным условием [7]

dnq , ,

——^ > 0, 0 <¿<1. 15

dtn v '

Пример 2. Пусть u> = 1, а = 0, но 6^1. Тогда ортогональными в [0, Ь] являются полиномы Gk{ 1,1 ,t/b)/\/b, так что

и=0 k a a

(hk см. в (13)).

Неравенство в теореме целесообразно использовать в случае, когда, увеличивая n в (11), попадаем в ситуацию, в которой I оказывается в вилке из верхней и нижней границ, и можно ожидать, что с увеличением n вилка будет сужаться, как в артиллерийской пристрелке. Числовые примеры 3 и 4 демонстрируют, что эта надежда не беспочвенна. Вычисления правой части в (11) облегчаются тем обстоятельством, что, как следует из (11), (12),

b b In = In-1 + an-1bn-1 = In-1 + ¡p(t)yn-1(t)w(t)dt J q(t)yn-1(t)w(t)dt.

aa

Пример 3. Пусть w =1, a = 0, b = n/2, p(t) = sint, q(t) = lnt, т. е.

к/2

I = J sin t ln tdt.

0

Нет аналитического представления для этого интеграла, но зато интегралы в правой части (11) - табличные при всех n и степенных полиномах ^k (t). Используем теорему и рассчитаем правую часть (11) по формуле (16) при n = 1, 2, 3, 4. Последовательно увеличивая n, получаем

-0.5484 < I при n = 1,

-0.1385 < I при n = 22,

I < -0.1020 при n = 3,

I < -0.1050 при n = 4,

т. е., используя 4 члена в правой части (11), находим, что

-0.1385 < J < -0.1050.

Интеграл (17) оказался отрицательным, что вовсе не очевидно. Вилка границ в этом примере с ростом n сжимается. При проверке условий теоремы использовался критерий (15), причем для n нечетного {1, t,..., tn-1, ln t} - Т+-система, а для n четного Т+-системой является {1,t,..., tn~1, - ln t}.

Пример 4. Пусть p(t) = sin t, q(t) = cht, т. е.

п/2

I = / sin tchtdt.

Как и в примере 3, нет аналитического представления для этого интеграла, но зато интегралы в правой части (11) - табличные при всех n. По критерию (15) при любом n система {1,t,..., tn-1, cht} всегда T+ -система, а {1,t,..., tn-1, sint} - чебышевская в \0,п /2]. Применив теорему и вычислив In для n = 1, 2, 3, 4 по формуле (16), имеем

1.4651 < I при n =1,

I < 2.8673 при n = 2,

I < 2.0550 при n = 3,

I < 1.5929 при n = 4,

т. е., взяв лишь 4 члена в правой части (1), получим, что

1.4651 < J < 1.5929.

Нижняя граница отличается от верхней всего на 8% !

Разумеется, применять неравенство (11) есть смысл только тогда, когда вычислять правую часть много проще, чем сам интеграл, как в следующем примере.

Пример 5. Для второго факториального момента числа нулей на интервале [0, t] гауссовского стационарного процесса с нулевым средним и корреляционной функцией k(t) в [8] выведено представление

t

N2

о

в котором

7ЛЛ • f" sin f jit) = arceos hit), sin a =--, .

1 - (f'Y

Интегрируя (18) по частям, находим

2

w2(í) = —г [t(ao + ctg «o) + j], «o = а(т = 0), п2

где

t

J =J f '(т)[(t - т)(а + ctg а)]^,т.

o

Если f '(т ) - функция, убывающая в [0, t], положим в (11) I = N2(t), n = 1, p(t) = f '(t), q(t) - производная от квадратной скобки в (18), а G \0,п/2], w = 1, Go = 1, ho = 1

и мгновенно получаем неравенство

2

N2(1) ^ —т («о + ctg ao)[t — arceosk(t)]. п2

При этом мы предположили, что и q(t) удовлетворяет условиям теоремы (такие процессы существуют, например процесс Уонга, для которого все указанные выше функции вычисляются в простом виде аналитически [8]).

К сожалению, при других n > 1 найти столь же простое неравенство трудно да и не нужно, так как вычисление интегралов в правой части (11) и самого интеграла N2(t) сравнимо по трудозатратам.

Еще один пример приложения теоремы к конкретной задаче был рассмотрен в [4], где дана оценка снизу сопротивления летящих в газе острых конусов, вычисляемого по теории локального взаимодействия [9]. Использовался частный случай теоремы при n = 2, опубликованный в [3].

Литература

1. Харди Г. Г., Литтльвуд Дж. Е., Полиа Г. Неравенства / пер. с англ. В. И. Левина; с доп.

B. И. Левина, С. Б. Стечкина. М.: Гос. изд-во иностр. лит., 1948. 456 с.

2. Карлин С., Стадден В. Чебышёвские системы и их применение в анализе и статистике / пер. с англ.; под ред. С. М. Ермакова. М.: Наука, 1976. 568 с.

3. Mирошин Р. H. Обобщение неравенства Левина—Стечкина // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2013. Вып. 1. С. 18—21.

4. Mирошин Р. H. Использование обобщенного неравенства Левина—Стечкина в теории локального взаимодействия // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 2013. Вып. 3. С. 126-130.

5. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции: в 2 т./ пер. с англ. Н. Я. Вилен-кина. М.: Наука, 1966. Т. 2. 205 с.

6. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами/ под ред. М. Абрамовица, И. Стиган / пер. с англ.; под ред. В. А. Диткина, Л. Н. Кармазиной. М.: Наука, 1979. 832 с.

7. Крейн M. Г., Hудельмaн А. А. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи. Идеи и проблемы П. Л. Чебышева и А. А. Маркова и их дальнейшее развитие. М.: Наука, 1973. 551 с.

8. Mирошин Р. H. О дисперсии числа нулей гауссовского стационарного процесса // Вестн.

C.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 2001. Вып. 1. С. 40-47.

9. Mирошин Р. H., Халидов И. А. Локальные методы в механике сплошных сред. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2002. 304 с.

References

1. Hardi G. G., Littl'vud Dzh. E., Polia G. Neravenstva (Inequalities). Per. s angl. V. I. Levina; s dop. V. I. Levina, S. B. Stechkina. Moscow: Gos. izd-vo inostr. lit., 1948, 456 p.

2. Karlin S., Stadden V. Chebyshjovskie sistemy i ih primenenie v analize i statistike (Tchebycheff systems: with applications in analysis and statistics). Per. s angl.; pod red. S. M. Ermakova. M.: Nauka, 1976, 568 p.

3. Miroshin R. N. Obobshhenie neravenstva Levina-Stechkina (Generalization of Levin—Stechkin inequality). Vestnik St. Petersburg University, ser. 10: Applied mathematics, computer science, control processes, 2013, issue 1, pp. 18—21.

4. Miroshin R. N. Ispol'zovanie obobshhennogo neravenstva Levina-Stechkina v teorii lokal'nogo vzaimodejstvija (To use generalized Levin—Stechkin inequality in the theory of local interaction). Vestnik St. Petersburg University, ser. 1: Mathematica, mekhanika, astronomia, 2013, issue 3, pp. 126—130.

5. Bejtmen G., Jerdeji A. Vysshie transcendentnye funkcii: v 2 t. (Higher transcendental functions: in 2 vol.). Per. s angl. N. Ja. Vilenkina. M.: Nauka, 1966, vol. 2, 205 p.

6. Spravochnik po special'nym funkcijam s formulami, grafikami i matematicheskimi tablicami (Handbook of mathematical functions with formulas, graphs and mathematical tables). Pod red. M. Abramovica, I. Stigan; per. s angl., pod red. V. A. Ditkina, L. N. Karmazinoj. Moscow: Nauka, 1979. 832 p.

7. Krein M. G., Nudelman A. A. Problema momentov Markova i jekstremal'nye zadachi. Idei i problemy P. L. Chebysheva i A. A. Markova i ih dal'nejshee razvitie (Markov moment problem and extremal problems. Ideas and problems of Chebyshev and Markov and their further development). Moscow: Nauka, 1973, 551 p.

8. Miroshin R. N. O dispersii chisla nulej gaussovskogo stacionarnogo processa (On the variance of the number of zeros of a Gaussian stationary process). Vestnik St. Petersburg University, ser. 1: Mathematica, makhanika, astronomia, 2001, issue 1, pp. 40—47.

9. Miroshin R. N., Khalidov I. A. Lokal'nye metody v mehanike sploshnyh sred (Local methods in continuum mechanics). St. Petersburg: Izd-vo S.-Peterb. un-ta, 2002, 304 p.

Статья рекомендована к печати проф. Ю. М. Далем. Статья поступила в редакцию 3 апреля 2013 г.